Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Biblia: Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata Beta 2

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 11:00, 07 Cze 2012    Temat postu: Biblia: Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata Beta 2

2012-07-24
Końcowa wersja algebry Kubusia:
Elementarz logiki człowieka

Ta wersja jest cenna ze względu na omówiony tu rachunek zero-jedynkowy, logikę w bramkach logicznych oraz dużą ilość niuansów i przykładów.

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji.

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Podręcznik w oryginale:
BIBLIA: Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata

Szczególne podziękowania dla:
www.sfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Wstęp

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.
Algebra Kubusia obowiązuje w całym naszym Wszechświecie, zarówno martwym, jak i żywym, dlatego to jest matematyka naszego Wszechświata.
Nie ma żadnych wyjątków, algebra Kubusia opisuje naturalny język mówiony człowieka i jego logikę, działa doskonale także w obszarze matematyki.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest pełna, zero-jedynkowa lista operatorów logicznych zapisana w formie równań algebry Kubusia (Boole’a!). Równania te wyprowadzone zostały z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, oraz niezależnie z nowej teorii zbiorów. Nowa teoria zbiorów jest w 100% zgodna z aksjomatycznymi, zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Algebra Kubusia jest zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie. Czytając ten podręcznik od początku do końca nie powinniśmy napotkać pojęcia, które wcześniej nie zostałoby wyjaśnione. Proszę czytelników o sygnały, w którym miejscu jest jakikolwiek schodek, wspólnie będziemy doskonalić AK.

Zawodowym matematykom (i nie tylko) polecam rozpoczęcie przygody z algebrą Kubusia od zapoznania się z pkt. 15.0 „Wszechświat się śmieje” … z matematycznej logiki Ziemian oczywiście.


Od Autora:
Wirtualnie autorem „Algebry Kubusia” jest Kubuś wraz przyjaciółmi, biorącymi udział w 6-letniej wojnie wszechczasów AK vs KRZiP, i niech tak zostanie.

Kim jest Kubuś w rzeczywistości?
Kubuś to absolwent elektroniki na Politechnice Warszawskiej 1974-1980. Były to czasy największej świetności bramek logicznych (1961-1974). Pierwszy przyzwoity mikroprocesor i8080 pojawił się na rynku w 1974. Praca magisterska to działający w realu wieloprocesorowy system (na i8080) ze wspólną pamięcią i portami we/wy na widok którego komisja bez żadnego pytania postawiła w indeksie 5. Tuż po studiach Kubuś skonstruował pierwszy sterownik edukacyjny na i8085 dla hobbystów-elektroników. Okazało się jednak że hobbystom często brakuje wiedzy podstawowej z zakresu elektroniki, a co tu mówić o mikroprocesorach.
W 1984 Kubuś wpadł na niezwykły pomysł, aby skonstruować mikroprocesorowy sterownik edukacyjny adresowany do absolwenta szkoły podstawowej, gdzie wymaganą wiedzą wstępną będzie „tabliczka mnożenia”. Po dwóch latach szalonej pracy ukazał się CA80 na mikroprocesorze Z80 wraz z 6-cio tomową dokumentacją MIK01-06, zawierającą śmietankę wiedzy o elektronie od prawa Ohma po wiedzę uniwersytecką. Przedsięwzięcie zakończyło się sukcesem, czego dowód w tym [link widoczny dla zalogowanych]

Przytoczę dwie spośród setek recenzji Kubusiowych podręczników do nauki elektroniki:
1.
Serdecznie dziękuję za MIK01 i MIK02. Są one naprawdę doskonale napisane. Mimo, że przesyłke dostałem dwa dni temu to już zdążyłem je obie przeczytać - bardzo trudno się od nich oderwać.
Obecnie jestem uczniem I klasy Technikum Elektronicznego ...
2.
Jestem zachwycony Pańskimi podręcznikami na temat mikroprocesorów. Książki są wyjątkowo przejrzyście napisane. Takiej metodyki mogą pozazdrościć najlepsze uczelnie w kraju - jednej z nich jestem absolwentem.


Już choćby z powyższego widać, że dokumentacja CA80 jest wciągającą lekturą zarówno dla 15-latka, jak i absolwenta wyższej uczelni.

Algebra Kubusia to dzieło mojego życia, na Ziemi.
Kubuś-Kosmita

[link widoczny dla zalogowanych]


Spis treści:

Część I
Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata


1.0 Notacja

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia

3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe działania na zbiorach

4.0 Operatory OR i AND w zbiorach
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.2 Operator OR w zbiorach
4.3 Operator AND w zbiorach
4.4 Właściwości operatorów OR i AND
4.5 Tworzenie równań algebry Kubusia
4.6 Minimalizacja funkcji logicznych
4.7 Operator OR w bramkach logicznych
4.8 Operator AND w bramkach logicznych
4.9 Osiem równań opisujących operator OR
4.10 Osiem równań opisujących operator AND
4.11 Logika zero

5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
5.1 Warunki wystarczający i konieczny
5.2 Równoważność
5.3 Implikacja prosta
5.4 Implikacja odwrotna
5.5 Operator chaosu
5.6 Operator śmierci

6.0 Operatory implikacji w zbiorach
6.1 Warunki wystarczający => i konieczny ~>
6.2 Implikacja prosta w zbiorach
6.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych
6.4 Implikacja odwrotna w zbiorach
6.5 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych
6.6 Właściwości operatorów implikacji

7.0 Operator równoważności w zbiorach
7.1 Równoważność w bramkach logicznych
7.2 Równoważność w zbiorach
7.3 Wirtualny warunek konieczny [~>]

8.0 Najważniejsze definicje równoważności i implikacji
8.1 Definicje w warunkach wystarczających i koniecznych
8.2 Definicje w gwarancjach matematycznych
8.3 Definicje wykorzystujące przemienność argumentów
8.4 Definicje wykorzystujące ilość zbiorów

9.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych
9.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych
9.2 Dowodzenie warunku wystarczającego
9.3 Dowodzenie warunku koniecznego

10.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
10.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
10.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
10.3 Operatory transmisji P i Q
10.4 Operatory negacji NP i NQ

11.0 Algebra zbiorów rozłącznych
11.1 Operator XOR
11.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności

12.0 Punkt odniesienia, najważniejsza rzecz w logice
12.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)
12.2 Operator OR vs operatory implikacji
12.3 „Prawo” eliminacji implikacji
12.4 Obalenie „prawa” eliminacji implikacji rozumowaniem logicznym
12.5 Gwarancja fałszu w operatorze OR i operatorach implikacji
12.6 Nietypowe warunki wystarczające

Część II
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki


13.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
13.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
13.2 Złożona implikacja prosta
13.3 Złożona implikacja odwrotna
13.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
13.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

14.0 Obietnice i groźby
14.1 Obietnica
14.2 Groźba
14.3 Obietnica w równaniach logicznych
14.4 Groźba w równaniach logicznych
14.5 Analiza złożonej obietnicy
14.6 Analiza złożonej groźby
14.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
14.8 Rodzaje obietnic

Dodatek A
15.0 Wszechświat się śmieje
15.1 Dlaczego stara matematyka działa?

16.0 Katastrofalna logika Ziemian
16.1 Formalne obalenie prawa eliminacji implikacji
16.2 Zakpijmy sobie z „matematyki” Ziemian!
16.3 Tragiczna logika Ziemian w blasku księżyca
16.4 O co chodzi w operatorach implikacji?


1.0 Notacja

Skróty używane w podręczniku:
AK - algebra Kubusia
KRZ - klasyczny rachunek zdań
KRZiP - klasyczny rachunek zdań i predykatów

1.0.1
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1

1.0.2
~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
~1=0
~0=1
Wnioski:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli p=1 to ~p=0

1.0.3
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

1.0.4
Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

1.0.5
Przykład:
Jutro będzie padało
Matematycznie powyższe zdanie jest równoważne zdaniu:
Jutro na pewno => będzie padało
J=>P =?
To nie jest zdanie w sensie matematycznym, bo nie da się określić jego prawdziwości.
Zbiór „będzie padło” może okazać się zbiorem pustym (gdy nie będzie padać), albo zbiorem niepustym (gdy będzie padać).
To zdanie może więc być albo prawdziwe, albo fałszywe.

ale!
1.0.6
Jutro może padać
J~~>P=1
To jest zdanie prawdziwe w sensie matematycznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Zbiór „może padać” jest zbiorem pełnym, cokolwiek jutro nie zajdzie to zdanie będzie prawdziwe.

Matematycznie zdanie to jest równoważne zdaniu:
Jutro będzie padać lub nie będzie padać
J=>P+~P=1
Cokolwiek nie zajdzie, zdanie będzie prawdziwe.
Prawo algebry Kubusia:
p+~p=1

1.0.7
# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

1.0.8
Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

1.0.9
Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

1.0.10
= - znak tożsamości

Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B

Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).

1.0.11
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

1.0.12
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

1.0.13
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

1.0.14
Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać wartość fałsz lub prawda, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Inaczej zdanie jest fałszywe.

1.0.15
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

1.0.16
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

1.0.17
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1
Algebra Kubusia to przede wszystkim algebra równań logicznych, bowiem człowiek w swej naturalnej logice posługuje się wyłącznie równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Oczywiście wszelkie równania logiczne mają swoje 100% odbicie w tabelach zero-jedynkowych.

1.0.18
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

1.0.19
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

1.0.20
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład 1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład 2.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

1.0.21
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0


2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.

2.0.1
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1.

2.0.2
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

2.0.3
Przeczenie
~ - symbol przeczenia, w języku potocznym NIE

2.0.4
Fundamentalne właściwości przeczenia NIE:
~0=1
~1=0
Wnioski:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli p=1 to ~p=0
Dowód:
Jeśli p=0 to ~(0)=1
Jeśli p=1 to ~(1)=0

2.0.5
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Dowód:
Jeśli p=1 to ~[~(1)]= ~[0] =1
Jeśli p=0 to ~[~(0)]= ~[1] =0
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p uzyskując zgodność, co jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.

To samo w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p ~p ~(~p)
1  0   1
0  1   0

Zgodność kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy = nieprawdą jest że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

2.0.6
Fundament matematyczny algebry Kubusia:
Iloczyn kartezjański dla dwóch zmiennych binarnych p i q
[p,q] = (1,1), (1,0), (0,1), (0,0)

Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie wyjścia Y dla wejścia p i q
Kod:

p q Y=pOPERATORq
1 1  =x
1 0  =x
0 1  =x
0 0  =x

Dla czterech wartości x w pionie możliwe jest zdefiniowanie 2^4=16 różnych funkcji logicznych (operatorów logicznych).

2.0.7
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1  1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0  0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

Równania algebry Kubusia to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.

2.0.8
Techniczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

2.0.9
Fizyczny model operatora logicznego:
Operator logiczny to czarna skrzynka z dwoma kabelkami wejściowymi p i q i jednym kabelkiem wyjściowym Y. Na wejścia p i q podajemy wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1. Czarna skrzynka odpowiada nam jednoznaczną sekwencją na wyjściu Y.

Definicja operatora OR:
Kod:

p q Y=pORq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

W technice cyfrowej TTL odpowiednikiem 0 i 1 są poziomy napięć:
0 = 0-0.4V
1 = 2.4-5.0V

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

2.0.10
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

2.0.11
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

2.0.12
Kod:

p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

2.0.13
Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

2.0.14
Świętość algebry Kubusia:
Wszelkie przekształcenia tabel zero-jedynkowych muszą mieć swoje 100% odbicie w równaniach algebry Kubusia.

2.0.15
Definicja logiki w algebrze Kubusia
Logika to narzędzia do rozwiązywania problemów a nie rozwiązywanie konkretnego problemu.

Układ równań liniowych można rozwiązać na dziesiątki rożnych sposobów. Logika to algorytmy tych rozwiązań a nie rozwiązanie konkretnego układu równań. Rozwiązanie układu równań liniowych według wybranego algorytmu, to zero pracy twórczej, to zadanie czysto mechaniczne, dobre dla komputera.

Logika w pisaniu programu komputerowego to wybór najlepszych algorytmów a nie techniczne kodowanie i uruchamianie programu:
1. Program główny powinien być zbiorem dobrze pomyślanych procedur.
2. Im dłużej się myśli, tym lepsze procedury można wymyśleć.
3. Myślenie w nieskończoność nie ma sensu.


2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia

2.1.1
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

2.1.2
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK =1

Definicja operatora równoważności.
Kod:

Definicja           |Definicja               |Przykład
zero-jedynkowa      |symboliczna             |
równoważności       |operatora równoważności | TP<=>SK
   p q Y=p<=>q      |                        |
A: 1 1  =1          | p* q =1                | TP* SK =1
B: 1 0  =0          | p*~q =0                | TP*~SK =0
C: 0 0  =1          |~p*~q =1                |~TP*~SK =1
D: 0 1  =0          |~p* q =0                |~TP* SK =0
 

gdzie:
* - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
Definicję symboliczną utworzono korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
Kolumny wynikowe są identycznie zatem twierdzenie Pitagorasa jest bezdyskusyjną równoważnością.

Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
p<=>q=1 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1)
Nasz przykład:
TP<=>SK = (TP=1 i SK=1) lub (~TP=1 i ~SK=1)
Wszystkie te zbiory istnieją (nie są puste), dlatego ich wartość logiczna jest równa 1
TP = SK =1 - zbiory tożsame
~TP=~SK=1 - zbiory tożsame

To jest algebra Kubusia, zatem w pozostałych możliwych przeczeniach musimy uzyskać 0.
p*~q=0
i
~p*q=0
co doskonale widać w powyższej tabeli.

2.1.3
Analiza matematyczna:
Linia A
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
A: TP*SK=1
Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym zachodzi suma kwadratów (SK)?
Oczywista odpowiedź: TAK
co wymusza w wyniku 1

Interpretacja w zbiorach:
A: TP*SK = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1

Linia B
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
B: TP*~SK=0
Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym suma kwadratów nie jest spełniona (~SK)?
Oczywista odpowiedź: NIE
co wymusza w wyniku 0

Interpretacja w zbiorach:
B: TP*~SK=1*1=0
Oba zbiory istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Linia C
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
C: ~TP*~SK=1
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK)?
Oczywista odpowiedź: TAK
co wymusza w wyniku 1

Interpretacja w zbiorach:
C: ~TP*~SK = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1

Linia D
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
D: ~TP*SK=0
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym suma kwadratów jest spełniona (SK)?
Oczywista odpowiedź: NIE
co wymusza w wyniku 0

Interpretacja w zbiorach:
D: ~TP*SK=1*1=0
Oba zbiory istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Z powyższego wynika, że aby stwierdzić z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy sprawdzić odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q, zgodnie z definicją operatora logicznego w technicznej algebrze Boole’a i algebrze Kubusia.

2.1.4
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

2.1.5
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych, bowiem człowiek w swej naturalnej logice posługuje się wyłącznie równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Oczywiście wszelkie równania logiczne mają swoje 100% odbicie w tabelach zero-jedynkowych.

2.1.6
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

2.1.7
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

2.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład 1.
Y=p+q
~Y=~p*~q

Przykład 2.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

2.1.9
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=p+~p=1
Zdanie zawsze prawdziwe (=1), cokolwiek nie zrobię to nie zostanę kłamcą
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K=0
Sytuacja niemożliwa, zdanie fałszywe (=0)

2.1.10
Prawo algebry Kubusia z którego będziemy korzystać przy przechodzeniu z tabel zero-jedynkowych na postać symboliczną.
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1


3.0 Nowa teoria zbiorów

Podstawowe działania na zbiorach są identyczne jak w klasycznej algebrze zbiorów.

3.0.1
Różnice w stosunku do klasycznej algebry zbiorów:
1.
Zbiór pusty jest rozłączny z dowolnym zbiorem niepustym (nie jest częścią tego zbioru!).
2.
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe

3.0.2
Definicja zbioru:
Zbiór w sensie matematycznym musi spełniać fundament algebry Kubusia:
p+~p=1 - definicja dziedziny
Zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny
p*~p=0
Żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L

Dziedzina po stronie p:
P +~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory ulokowane są w tej samej dziedzinie.

3.0.3
Zbiór aktualny (bieżący):
Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”

Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych zbiory p i q nie są rozłączne i należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej.

3.0.4
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie zdania:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
P*~K = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
P*~S = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.
W tym przypadku zbiór:
~S - to uniwersum, wszelkie możliwe pojęcia


3.1 Podstawowe działania na zbiorach

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

3.1.1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach

3.1.2
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p*q=[1,2]

3.1.3
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.1.4
Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o część wspólną zbiorów p i q
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = [5,6]

3.1.5
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów
Stąd:
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym

Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

3.1.6
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
@ - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p+@ = p+0 = p
p*@ = p*0 = 0

W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero.
Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @.

3.1.7
Przykład.
Słońce nie jest czarne
1 - zbiór niepusty, Bowiem w zbiorze „nie czarnych słońc” znajduje się zbiór „słońce jest żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce jest czarne
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońce czarne”, zdanie fałszywe

3.1.8
Przykład:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
B.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę.

Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe


4.0 Operatory OR i AND w zbiorach

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora operuje na zbiorach opisywalnych aksjomatycznymi operatorami logicznymi.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.


4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)

4.1.1
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

4.1.2
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

4.1.3
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
* - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):

W: Y=p*q

4.1.4
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

4.1.5
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

4.1.6
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
Kod:

p ~p p*~p p+~p
1  0  =0   =1
0  1  =0   =1

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.

4.1.7
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
+ - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Prawo algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Stąd mamy tabelę symboliczną spójnika „lub”(+):
Kod:

 p  q Y=p+q
 p* q  =Y
 p*~q  =Y
~p* q  =Y

W powyższej tabeli wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) wyżej, mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y = p*q+p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):

Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q


4.2 Operator OR w zbiorach

4.2.1
Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q

4.2.2
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):


Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q

4.2.3
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):

D: ~Y=~p*~q

4.2.4
Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Tabela 1
Zbiory!
Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q

4.2.5
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mam prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)

Jak widzimy wyżej operator OR nie jest tworem jednorodnym. Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).

4.2.6
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Tabela 2
Definicja symboliczna    |Zbiory           |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Logika człowieka |Technika
W: Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q   |binarnie         |p q Y=p+q
A: p* q= Y               |1*1=1            |1 1 =1
B: p*~q= Y               |1*1=1            |1 0 =1
C:~p* q= Y               |1*1=1            |0 1 =1
~Y=~p*~q                 |
D:~p*~q=~Y               |1*1=1            |0 0 =0
   1  2  3               |4 5 6            |7 8  9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                           |p=1, ~p=0
                                           |q=1, ~q=0
                                           |Y=1, ~Y=0

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC789 w powyższej tabeli.
Symbol „+” jest wystarczającym opisem powyższej tabeli zero-jedynkowej mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Odczyt linii D123: w powiązaniu z D456:
~p*~q=~Y
Oba zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (~Y=1)

Wynika z tego że logika człowieka jest w pełni symboliczna, niezależna o zer i jedynek. Cała logika jest tu przerzucona na zmienne zaprzeczone i niezaprzeczone.
Przykład:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

4.2.7
Pełna definicja operatora OR, opisująca wszystkie cztery linie tabeli symbolicznej to układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
C: ~Y=~p+~q
D: Y=p*q
To jest pełna definicja operatora AND.
cnd
To jest automatycznie dowód iż znaczek „+” (spójnik „lub”) nie może być operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie operatora OR bo negujemy zmienne p, q i Y i nie otrzymujemy operatora AND. Z równania A otrzymamy wyłącznie C, brakuje B i D.

4.2.8
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym D otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

Tabela 3
Definicja symboliczna    |Zbiory           |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Logika człowieka |Technika
W: Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q   |binarnie         |~p ~q ~Y=~p*~q |Y=~(~p*~q)
A: p* q= Y               |1*1=1            | 0  0   =0     | =1
B: p*~q= Y               |1*1=1            | 0  1   =0     | =1
C:~p* q= Y               |1*1=1            | 1  0   =0     | =1
~Y=~p*~q                 |
D:~p*~q=~Y               |1*1=1            | 1  1   =1     | =0
   1  2  3               |4 5 6            | 7  8    9     |  a
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                           |~p=1, p=0
                                           |~q=1, q=0
                                           |~Y=1, Y=0

4.2.9
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD9 (Tabela 2) i ABCDa (Tabela 3) jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

4.2.10
Po obu stronach tożsamości de’Morgana mamy definicję spójnika „lub”(+) względem sygnałów p i q (tabela 2) a nie względem sygnałów ~p i ~q (tabela 3).
Sprawdzenie względem sygnałów p i q dla tabeli 2:
p=1 i q=1 - linia A w tabeli 2
~(~p*~q)
~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~0=1
Sekwencja spójnika „lub”(+):
1 1 =1 - ok.

Względem sygnałów ~p i ~q (tabela 3) otrzymamy sekwencję:
~(~p*~q)
~p=0, ~q=0 - linia A w tabeli 3
~[0*0]=~0=1
Uzyskana sekwencja:
0 0 =1 - to nie jest sekwencja spójnika „lub”(+)!

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

4.2.11
Zdanie wypowiedziane:
W.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Z powyższego wynika, że odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w obszarze ABC123 = ABC789 w tabeli 2, bo tylko tu mamy poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) w obszarze ABC789.
Kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) mamy w linii D123 = D789 tabeli 3, bo tylko tu mamy poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*), w pozostałej części tabeli (ABC789) muszą być zera w wyniku.

4.2.12
Tabela ABCD789 powstała z tabeli symbolicznej ABCD123 dla kodowania zgodnego z przyjętym punktem odniesienia.
Stworzyliśmy tabele zero-jedynkowe dla dwóch punktów odniesienia:
Y=p+q - dotrzymam słowa
~Y=~p*~q - skłamię

Jak uzyskać działanie odwrotne?

4.2.13
Twierdzenie:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.

Zamiana na postać symboliczną dowolnej tabeli zero-jedynkowej to sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek względem nagłówka tabeli!

4.2.14
Weźmy linię B789 tabeli 3.
Kod:

  ~p ~q ~Y=~p*~q
B: 0  1   =0     /p*~q=Y
   7  8   =9

Spis z natury:
B789: ~Y=0 <=> ~p=0 i ~q=1
Korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli ~p=0 to p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
B789: Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Stąd równanie algebry Kubusia dla linii B789:
B789: Y = p*~q
Co jest zgodne z linią symboliczną B123.

4.2.15
Algorytm uproszczony
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy 1 to przepisujemy nagłówek tabeli.
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli.

Stąd dla naszej linii B789 mamy natychmiast równanie końcowe:
Y = p*~q
Ten banalny algorytm warto zapamiętać.

4.2.16
Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

4.2.17
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

4.2.18
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

4.2.19
Tabela logiki dla naszego przykładu:
Kod:

Tabela 2
Definicja symboliczna    |Zbiory           |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Logika człowieka |Technika
W: Y=K+T=K*T+K*~T+~K*T   |binarnie         |K T Y=K+T
A: K* T= Y               |1*1=1            |1 1 =1
B: K*~T= Y               |1*1=1            |1 0 =1
C:~K* T= Y               |1*1=1            |0 1 =1
~Y=~K*~T                 |
D:~K*~T=~Y               |1*1=1            |0 0 =0
   1  2  3               |4 5 6            |7 8  9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                           |K=1, ~K=0
                                           |T=1, ~T=0
                                           |Y=1, ~Y=0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Zbiory dla naszego przykładu to możliwe przyszłe zdarzenia.

4.2.20
Linia D123:
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Jutro może się zdarzyć, że nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1).
Wtedy skłamałem:
~Y=1
Kłamstwo w logice dodatniej (tabela ABCD789) to:
Y=0
co widać w punkcie D9.

4.2.21
Interpretacja operatora OR (obszar ABCD789) wyłącznie w logice dodatniej:
1.
Operator OR odpowiada na pytanie:
Kiedy w przyszłości dotrzymam słowa?
Y=1
Kiedy w przyszłości skłamię?
Y=0
2.
Wynikowe jedynki w operatorze OR definiują spójnik „lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Zgodnie z definicją spójnika „lub”(+) dowolny składnik sumy logicznej ustawiony na 1 wymusza Y=1.
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Z tego powodu jedynki w operatorze OR są jedynkami miękkimi, nieważne która z nich zajdzie i już będzie Y=1. Zauważmy, że nie możemy znać z góry która z tych jedynek zajdzie w przyszłości, bo wtedy operator OR leży w gruzach, pozostałe człony będą automatycznie zerami.

4.2.22
Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli dotrzymałem słowa (Y=1):
Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

4.2.23
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

            Y=~K*T
 K* T= 0*1 =0
 K*~T= 0*0 =0
~K* T= 1*1 =1
~K*~T= 1*0 =0
Dotrzymałem słowa (Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w linie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
Y=1 <=> ~K=1 i T=1

4.2.24
Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając nasza obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
czy też:
C.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki którzy w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B lub C!

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.

4.2.25
Podsumowanie:
Kod:

Tabela 4
Definicja          |Bramki           |Bramki
symboliczna        |logiczne         |logiczne
Y-dotrzymam slowa  |Technika         |Technika
W: Y=p+q           |Y-logika dodatnia|~Y-logika ujemna     |
W: Y=p*q+p*~q+~p*q |p q Y=p+q        |~p ~q ~Y=~p*~q       |Y=~(~p*~q)=p+q
A: p* q= Y         |1 1 =1 / Y= p* q | 0  0   =0 # Y= p* q | =1
B: p*~q= Y         |1 0 =1 / Y= p*~q | 0  1   =0 # Y= p*~q | =1
C:~p* q= Y         |0 1 =1 / Y=~p* q | 1  0   =0 # Y=~p* q | =1
~Y=~p*~q - sklamie |                 |                     |
D:~p*~q=~Y         |0 0 =0 #~Y=~p*~q | 1  1   =1 /~Y=~p*~q | =0
   1  2  3         |4 5  6           | 7  8    9           |  a
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                   |p=1, ~p=0        |~p=1, p=0
                   |q=1, ~q=0        |~q=1, q=0
                   |Y=1, ~Y=0        |~Y=1, Y=0

4.2.26
Jak widzimy, definicja symboliczna może być kodowana z dwóch różnych punktów odniesienia.
1.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p+q
to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora OR (obszar ABCD456).
2.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p*~q
to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND (obszar ABCD789)

4.2.27
Zauważmy że:
1.
Zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+):
Y=p+q
mamy wyłącznie w obszarze ABC456
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
.. i teraz uwaga!
W linii D456 nie mamy definicji spójnika „i”(*) bowiem definicja tego spójnika jest taka:
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Linia D456 to tylko zapchaj dziura, w logice człowieka nie używana.

2.
Definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789!
~Y=~p*~q / 1 1 =1
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
… czyli przechodzimy do fundamentalnie innego operatora logicznego, zero-jedynkowo operatora AND (obszar ABCD789).
Przejście z powyższym równaniem do logiki przeciwnej poprzez negacje sygnałów i wymianę spójników:
Y=p+q
Co na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… i znów uwaga!
Obszar ABC789 nie jest zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+), bowiem linie B789 i C789 gwałcą definicję spójnika „lub”(+).
Obszar ABC789 jest wiec kolejną zapchaj dziurą w logice człowieka nie używaną.

Poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze ABC456 i do tego obszaru musimy zawędrować w obsłudze spójnika „lub”(+).
Linie ignorowane przez mózg każdego człowieka oznaczono znakiem #.

4.2.28
Zastanówmy się co oznacza prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Z powyższego mamy dwie niezależne funkcje logiczne:
Y = p+q - obszar ABCD456
Y = ~(~p*~q) - obszar ABCD45 plus wynik w kolumnie ABCDa

4.2.29
W tabeli zero-jedynkowej doskonale widać że to są tożsame funkcje logiczne.
W świecie fizyki są to identyczne bramki logiczne OR o tabeli prawdy:
Kod:

p q Y=p+q=~(~p*~q)
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

Prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
nie jest zatem prawem eliminacji operatora OR, bo to jest niewykonalne, na mocy definicji!

4.2.30
Prawo de’Morgana mówi tylko w jaki sposób przy pomocy bramki OR zbudować bramkę AND, lub odwrotnie.

Pełna definicja bramki OR:
Y = p+q = ~(~p*~q)
1.
Negujemy sygnały wejściowe p i q:
y = ~p+~q = ~(p*q)
2.
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
To jest oczywiście pełna definicja bramki AND.

W 1 i 2 wyłącznie zanegowaliśmy sygnały p, q, Y bez zmiany spójników, są to więc fundamentalnie różne funkcje logiczne. Dodatkowo mamy dowód iż operator AND (~y) jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (Y), albo odwrotnie.

4.2.31
Oczywiście 1 i 2 to dwie fundamentalnie różne bramki logiczne (funkcje logiczne) na mocy definicji.
Definicja zero-jedynkowa bramki AND:
Kod:

p q Y=p*q=~(~p+~q)
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0

4.2.32
Na mocy definicji zachodzi:
Y = p+q = ~(~p*~q) ## Y = p*q = ~(~p+~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywiście Y po lewej stronie znaku ## nie ma nic wspólnego z Y po prawej stronie znaku ##.
To dwie fundamentalnie różne bramki logiczne (funkcje logiczne), pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości logiczne.

4.2.33
Przykład:
Kod:

Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro Pojdę do kina i do teatru
Y=K+T                             ## Y=K*T
... a kiedy sklamie?              ## .. a kiedy skłamię?
Przejscie do logiki ujemnej:      ## Przejscie do logiki ujemnej
~Y=~K*~T                          ## ~Y=~K+~T
Sklamie (~Y=1) gdy jutro:         ## Skłamię (~Y=1) gdy jutro:
~K=1 - nie pojde do kina          ## ~K=1 - nie pójdę do kina
i                                 ## lub
~T-1 - nie pojde do teatru        ## ~T=1 - nie pójdę do teatru

Po obu stronach znaku ## mamy dwa różne zdania, znaczące fundamentalnie co innego. Nie da się zastąpić jednego drugim!


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 23:27, 02 Sie 2012, w całości zmieniany 64 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 11:02, 07 Cze 2012    Temat postu:

4.3 Operator AND w zbiorach

4.3.1
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).



Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

4.3.2


Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
B.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
B.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją (=1) i mają części wspólne.
Zbiory ~p i ~q nie są rozłączne, żaden ze zbiorów nie zawiera się w drugim.
stąd:
~Y=~p+~q =~p*~q + ~p*q + p*~q

Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p*q w kompletnej dziedzinie, czyli mamy odpowiedź zarówno na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y), jak również odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y).

4.3.3
Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Tabela 1
Zbiory!
Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i U mam prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)

Jak widzimy wyżej operator AND nie jest tworem jednorodnym. Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).

4.3.4
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Tabela 2
Definicja symboliczna     |Zbiory           |Bramki logiczne
Zbiory!                   |Logika człowieka |Technika
W: Y=p*q                  |binarnie         |p q Y=p*q
A: p* q= Y                |1*1=1            |1 1 =1
U:~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q|
B:~p*~q=~Y                |1*1=1            |0 0 =0
C:~p* q=~Y                |1*1=1            |0 1 =0
D: p*~q=~Y                |1*1=1            |1 0 =0
   1  2  3                |4 5 6            |7 8  9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                            |p=1, ~p=0
                                            |q=1, ~q=0
                                            |Y=1, ~Y=0

Gdzie:
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A789 w powyższej tabeli.
Symbol „*” jest wystarczającym opisem powyższej tabeli zero-jedynkowej mimo że opisuje wyłącznie jedną linię. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Odczyt linii B123: w powiązaniu z B456:
~p*~q=~Y
Oba zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (~Y=1)

Wynika z tego że logika człowieka jest w pełni symboliczna, niezależna o zer i jedynek. Cała logika jest tu przerzucona na zmienne zaprzeczone i niezaprzeczone.
Przykład:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

4.3.5
Pełna definicja operatora AND, opisująca wszystkie cztery linie tabeli symbolicznej to układ równań logicznych:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator OR:
C: ~Y=~p*~q
D: Y=p+q
To jest pełna definicja operatora OR.
cnd
To jest automatycznie dowód iż znaczek „*” (spójnik „i”) nie może być operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie operatora AND bo negujemy zmienne p, q i Y i nie otrzymujemy operatora OR. Z równania A otrzymamy wyłącznie C, brakuje B i D.

4.3.6
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

Tabela 3
Definicja symboliczna     |Zbiory           |Bramki logiczne
Zbiory!                   |Logika człowieka |Technika
W: Y=p*q                  |binarnie         |~p ~q ~Y=~p+~q |Y=~(~p+~q)
A: p* q= Y                |1*1=1            | 0  0   =0     | =1
U:~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q|
B:~p*~q=~Y                |1*1=1            | 1  1   =1     | =0
C:~p* q=~Y                |1*1=1            | 1  0   =1     | =0
D: p*~q=~Y                |1*1=1            | 0  1   =1     | =0
   1  2  3                |4 5 6            | 7  8    9     |  a
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                            |~p=1, p=0
                                            |~q=1, q=0
                                            |~Y=1, Y=0

4.3.7
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD9 (Tabela 2) i ABCDa (Tabela 3) jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)

4.3.8
Po obu stronach tożsamości de’Morgana mamy definicję spójnika „i”(+) względem sygnałów p i q (tabela 2) a nie względem sygnałów ~p i ~q (tabela 3).
Sprawdzenie względem sygnałów p i q dla tabeli 2:
p=1 i q=1 - linia A w tabeli 2
~(~p+~q)
~[~(1)+~(1)] = ~[0*0] = ~0=1
Sekwencja spójnika „i”(*):
1 1 =1 - ok.

Względem sygnałów ~p i ~q (tabela 3) otrzymamy sekwencję:
~(~p+~q)
~p=0, ~q=0 - linia A w tabeli 3
~[0*0]=~0=1
Uzyskana sekwencja:
0 0 =1 - to nie jest sekwencja spójnika „i”(*)!

Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

4.3.9
Zdanie wypowiedziane:
W.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Z powyższego wynika, że odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w linii A123 = A789 w tabeli 2, bo tylko tu mamy poprawną definicję spójnika „i”(*) - pozostały obszar BCD789 ma zera w wyniku.
Kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) mamy w obszarze BCD123 = BCD789 tabeli 3, bowiem wyłącznie tu mamy definicję zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w obszarze BCD789.

4.3.10
Tabela ABCD789 powstała z tabeli symbolicznej ABCD123 dla kodowania zgodnego z przyjętym punktem odniesienia.
Stworzyliśmy tabele zero-jedynkowe dla dwóch punktów odniesienia:
Y=p*q - dotrzymam słowa
~Y=~p+~q - skłamię

Jak uzyskać działanie odwrotne?

4.3.11
Twierdzenie:
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.

Zamiana na postać symboliczną dowolnej tabeli zero-jedynkowej to sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek względem nagłówka tabeli!

4.3.12
Weźmy linię A789 tabeli 3.
Kod:

  ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 0  0   =0     /p*q=Y
   7  8   =9

Spis z natury:
A789: ~Y=0 <=> ~p=0 i ~q=0
Korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli ~p=0 to p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A789: Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Stąd równanie algebry Kubusia dla linii A789:
A789: Y = p*q
Co jest zgodne z linią symboliczną A123.

4.3.13
Algorytm uproszczony
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy 1 to przepisujemy nagłówek tabeli.
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek tabeli.

Stąd dla naszej linii A789 mamy natychmiast równanie końcowe:
Y = p*q
Ten banalny algorytm warto zapamiętać.

4.3.14
Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

4.3.15
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

4.3.16
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
A: K*T =1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

4.3.17
Tabela logiki dla naszego przykładu:
Kod:

Tabela 2
Definicja symboliczna     |Zbiory           |Bramki logiczne
Zbiory!                   |Logika człowieka |Technika
W: Y=K*T                  |binarnie         |K T Y=K*T
A: K* T= Y                |1*1=1            |1 1 =1
U:~Y=~K+~T=~K*~T+~K*T+K*~T|
B:~K*~T=~Y                |1*1=1            |0 0 =0
C:~K* T=~Y                |1*1=1            |0 1 =0
D: K*~T=~Y                |1*1=1            |1 0 =0
   1  2  3                |4 5 6            |7 8  9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                            |K=1, ~K=0
                                            |T=1, ~T=0
                                            |Y=1, ~Y=0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Zbiory dla naszego przykładu to możliwe przyszłe zdarzenia.

4.3.18
Linia D123:
~Y=K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Jutro może się zdarzyć, że pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1).
Wtedy skłamałem:
~Y=1
Kłamstwo w logice dodatniej (tabela ABCD789) to:
Y=0
co widać w punkcie D9 w wynikowej kolumnie BCD9

4.3.19
Interpretacja operatora AND (obszar ABCD789):
1.
Operator AND odpowiada na pytanie:
Kiedy w przyszłości dotrzymam słowa?
Y=1
Kiedy w przyszłości skłamię?
Y=0
2.
Wynikowa jedynka w operatorze AND definiuje spójnik „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> (p*q)=1
Z tego powodu jedynka w operatorze AND jest jedynką twardą, istnieje tylko jeden taki przypadek.

4.3.20
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli skłamałem (~Y=1):
C: ~Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

4.3.21
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

           ~Y=~K*T
 K* T= 0*1 =0
 K*~T= 0*0 =0
~K* T= 1*1 =1
~K*~T= 1*0 =0
Skłamałem (~Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1

4.3.22
Doskonale widać działanie prawa Sowy!
Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
~Y=~K*T=1*1=1
~Y=1 - skłamałem
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając nasza obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
czy też:
C.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki którzy w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B lub C!

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.

4.3.23
Podsumowanie:
Kod:

Tabela 4
Definicja           |Bramki           |Bramki
symboliczna         |logiczne         |logiczne
Y-dotrzymam slowa   |Technika         |Technika
                    |Y-logika dodatnia|~Y-logika ujemna     |
W: Y=p*q            |p q Y=p*q        |~p ~q ~Y=~p+~q       |Y=~(~p+~q)=p*q
A: p* q= Y          |1 1 =1 / Y= p* q | 0  0   =0 # Y=~p*~q | =1
U:~Y=~p+~q -sklamie |                 |~Y=~p+~q             |
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q|                 |~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B:~p*~q=~Y          |0 0 =0 #~Y=~p*~q | 1  1   =1 /~Y=~p*~q | =0
C:~p* q=~Y          |0 1 =0 #~Y=~p* q | 1  0   =1 /~Y=~p* q | =0
D: p*~q=~Y          |1 0 =0 #~Y= p*~q | 0  1   =1 /~Y= p*~q | =0
   1  2  3          |4 5  6           | 7  8    9           |  a
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                    |p=1, ~p=0        |~p=1, p=0
                    |q=1, ~q=0        |~q=1, q=0
                    |Y=1, ~Y=0        |~Y=1, Y=0

4.3.24
Jak widzimy, definicja symboliczna może być kodowana z dwóch różnych punktów odniesienia.
1.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p*q
to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND (obszar ABCD456).
2.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p+~q
to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora OR (obszar ABCD789)

4.3.25
Zauważmy że:
1.
Zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*):
Y=p*q
mamy wyłącznie w linii A456
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
.. i teraz uwaga!
W obszarze BCD456 nie mamy definicji spójnika „lub”(+) bowiem definicja tego spójnika jest taka:
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gwałt na definicji spójnika „lub”(+) jest tu w liniach C456 i D456.
Obszar BCD456 to tylko zapchaj dziura, w logice człowieka nie używana.

2.
Definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze BCD789!
~Y=~p+~q / 1 1 =1
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
… czyli przechodzimy do fundamentalnie innego operatora logicznego, zero-jedynkowo operatora OR (obszar ABCD789).
Przejście z powyższym równaniem do logiki przeciwnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
Y=p*q
Co na mocy definicji spójnika „i”(*) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… i znów uwaga!
Linia A789 nie jest zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*).
Lonia A789 jest wiec kolejną zapchaj dziurą w logice człowieka nie używaną.

Poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii A456 i do tej linii musimy zawędrować w obsłudze spójnika „i”(*).
Linie ignorowane przez mózg każdego człowieka oznaczono znakiem #.

4.3.26
Zastanówmy się co oznacza prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Z powyższego mamy dwie niezależne funkcje logiczne:
Y = p*q - obszar ABCD456
Y = ~(~p+~q) - obszar ABCD45 plus wynik w kolumnie ABCDa

4.3.27
W tabeli zero-jedynkowej doskonale widać że to są tożsame funkcje logiczne.
W świecie fizyki są to identyczne bramki logiczne AND o tabeli prawdy:
Kod:

p q Y=p*q=~(~p+~q)
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0

Prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
nie jest zatem prawem eliminacji operatora AND, bo to jest niewykonalne, na mocy definicji!

4.3.28
Prawo de’Morgana mówi tylko w jaki sposób przy pomocy bramki AND zbudować bramkę OR, lub odwrotnie.

Pełna definicja bramki AND:
Y = p*q = ~(~p+~q)
1.
Negujemy sygnały wejściowe p i q:
y = ~p*~q = ~(p+q)
2.
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p*~q) = p+q
To jest oczywiście pełna definicja bramki OR.

W 1 i 2 wyłącznie zanegowaliśmy sygnały p, q, Y bez zmiany spójników, są to więc fundamentalnie różne funkcje logiczne. Dodatkowo mamy dowód iż operator OR (~y) jest logiką ujemną w stosunku do operatora AND (Y), albo odwrotnie.

4.3.29
Oczywiście 1 i 2 to dwie fundamentalnie różne bramki logiczne (funkcje logiczne) na mocy definicji.
Definicja zero-jedynkowa bramki OR:
Kod:

p q Y=p+q=~(~p*~q)
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

4.3.30
Na mocy definicji zachodzi:
Y = p*q = ~(~p+~q) ## Y = p+q = ~(~p*~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywiście Y po lewej stronie znaku ## nie ma nic wspólnego z Y po prawej stronie znaku ##.
To dwie fundamentalnie różne bramki logiczne (funkcje logiczne), pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości logiczne.

4.3.31
Przykład:
Kod:

Jutro pójdę do kina i do teatru   ## Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K*T                             ## Y=K+T
... a kiedy sklamie?              ## .. a kiedy skłamię?
Przejscie do logiki ujemnej:      ## Przejscie do logiki ujemnej
~Y=~K+~T                          ## ~Y=~K*~T
Sklamie (~Y=1) gdy jutro:         ## Skłamię (~Y=1) gdy jutro:
~K=1 - nie pojde do kina          ## ~K=1 - nie pójdę do kina
lub                               ## i
~T-1 - nie pojde do teatru        ## ~T=1 - nie pójdę do teatru

Po obu stronach znaku ## mamy dwa różne zdania, znaczące fundamentalnie co innego. Nie da się zastąpić jednego drugim!


4.4 Właściwości operatorów OR i AND

4.4.1
Świętość algebry Kubusia:
Wszelkie przekształcenia tabel zero-jedynkowych muszą mieć swój odpowiednik w równaniach algebry Boole’a.

Wyobraźmy sobie, że trzymamy w ręku fizyczną bramkę OR (np. 7432) o wejściach p i q i wyjściu Y. Dokładamy negatory na wszystkie sygnały i otrzymujemy bramkę AND, co łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.

Wnioski:
1.
Operator OR (bramka OR) musi zawierać w sobie operator AND w logice ujemnej, inaczej powyższa sztuczka nie byłaby możliwa.
2.
Spotykane w katalogach równanie algebry Boole’a opisujące bramkę OR:
Y=p+q
nie jest pełne, bowiem w powyższym równaniu negujemy wszystkie zmienne:
~Y=~p+~q
i nie otrzymujemy definicji operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
3.
Z powyższego wynika że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR!

... o co tu chodzi?

4.4.2
Aksjomatyczna definicja operatora OR
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~q ~Y=~(p+q)=~p*~q Y=~(~p*~q) |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1    0  0   =0             =1        | p* q= Y  /Y=p+q
B: 1 0  =1    0  1   =0             =1        | p*~q= Y
C: 0 1  =1    1  0   =0             =1        |~p* q= Y
D: 0 0  =0    1  1   =1             =0        |~p*~q=~Y  /~Y=~p*~q
   1 2   3    4  5    6              7        | 8  9 10

4.4.3
Operator OR to tabela zero-jedynkowa ABCD123 opisana nagłówkiem:
Y=p+q
Kolumny ABCD3 i ABCD7 są dowodem prawa de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Z prawa de’Morgana wynika, iż aby z bramki OR zrobić bramkę AND wystarczy zanegować sygnały wejściowe p i q oraz wyjście Y.
Dowód:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
Negujemy wejścia p i q:
y = ~p+~q = ~(p*q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
W tabeli zero-jedynkowej wyżej doskonale widać, że w obszarze ABCD456 mamy zero-jedynkową definicję operatora AND.
Wniosek:
Prawo de’Morgana jest poprawnym, pełnym opisem operatora OR (opisuje wszystkie cztery linie).

4.4.4
Zastanówmy się teraz czym jest znaczek „+” w równaniu:
Y=p+q
Znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR o definicji w liniach ABCD123, bo negując wszystkie zmienne w powyższym równaniu nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q
Oczywiście śladu operatora AND w tym równaniu nie widać.
Wniosek:
Znaczek „+” w równaniu:
Y=p+q
na pewno nie jest kompletnym operatorem OR.

4.4.5
Znaczek „+” to tylko i wyłącznie spójnik logiczny „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) o definicji w liniach ABC123:
Y = p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
To jest ostatnia linia (D123) definicji operatora OR w zapisie symbolicznym, definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q

4.4.6
Pełna i kompletna definicja operatora OR to układ równań logicznych:
A: Y=p+q - definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y), linie ABC123
B: ~Y=~p*~q - definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y), linia D123
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać definicję operatora AND:
A: ~Y=~p+~q - definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
B: Y=p*q - definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
cnd
Oczywiście to jest piękna definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a.

4.4.7
Matematycznie opis operatora OR w postaci równania:
Y=p+q (linie ABC123)
jest wystarczający bo jednoznacznie opisuje tabelę zero-jedynkową.

Mając tylko i wyłącznie to równanie łatwo wygenerujemy wszystkie możliwe równania dla operatora OR w ilości sztuk 8, o czym będzie za chwilę.

Oczywiście, dowolne z ośmiu możliwych równań jest wystarczającym opisem kompletnego operatora OR.
Równanie minimalne to:
Y=p+q
Żadne z ośmiu równań nie opisuje kompletnego operatora AND (wszystkie cztery linie).

4.4.8
Aksjomatyczna definicja operatora AND
Kod:

   p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~(p*q)=~p+~q Y=~(~p+~q) |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1    0  0   =0             =1        | p* q= Y   /Y=p*q
B: 0 0  =0    1  1   =1             =0        |~p*~q=~Y   /~Y=~p+~q
C: 0 1  =0    1  0   =1             =0        |~p* q=~Y
D: 1 0  =0    0  1   =1             =0        | p*~q=~Y
   1 2   3    4  5    6              7        | 8  9 10

4.4.9
Operator AND to tabela zero-jedynkowa ABCD123 opisana nagłówkiem:
Y=p*q
Kolumny ABCD3 i ABCD7 są dowodem prawa de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Z prawa de’Morgana wynika, iż aby z bramki AND zrobić bramkę OR wystarczy zanegować sygnały wejściowe p i q oraz wyjście Y.
Dowód:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
Negujemy wejścia p i q:
y = ~p*~q = ~(p+q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p*~q) = p+q - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
W tabeli zero-jedynkowej wyżej doskonale widać, że w obszarze ABCD456 mamy zero-jedynkową definicję operatora OR.
Wniosek:
Prawo de’Morgana jest poprawnym, pełnym opisem operatora OR (opisuje wszystkie cztery linie).

4.4.10
Zastanówmy się teraz czym jest znaczek „*” w równaniu:
Y=p*q
Znaczek „*” nie może być kompletnym operatorem AND o definicji w liniach ABCD123, bo negując wszystkie zmienne w powyższym równaniu nie otrzymujemy definicji operatora OR.
~Y=~p*~q
Oczywiście śladu operatora OR w tym równaniu nie widać.
Wniosek:
Znaczek „*” w równaniu:
Y=p*q
na pewno nie jest kompletnym operatorem AND.

4.4.11
Znaczek „*” to tylko i wyłącznie spójnik logiczny „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) o definicji w linii A123:
Y = p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
Linie BCD123 to spójnik „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q - obszar BCD123, logika ujemna (bo ~Y)

4.4.12
Pełna i kompletna definicja operatora AND to układ równań logicznych:
A: Y=p*q - definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
B: ~Y=~p+~q - definicja spójnika „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać definicję operatora OR:
A: ~Y=~p*~q - definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
B: Y=p+q - definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
cnd
Oczywiście to jest piękna definicja operatora OR.

4.4.13
Matematycznie opis operatora AND w postaci równania:
Y=p*q (linia A123)
jest wystarczający bo jednoznacznie opisuje tabelę zero-jedynkową.

Mając tylko i wyłącznie to równanie łatwo wygenerujemy wszystkie możliwe równania operatora AND w ilości sztuk 8, o czym za chwilę.

Oczywiście, dowolne z ośmiu możliwych równań jest wystarczającym opisem kompletnego operatora AND.
Równanie minimalne to:
Y=p*q
Żadne z ośmiu równań nie opisuje kompletnego operatora AND (wszystkie cztery linie).

4.4.14
Kompletna definicja operatora OR (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y=~p+~q = ~(p*q)
Oczywiście Y ## y bo tylko zanegowaliśmy zmienne (bez wymiany spójników)
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
Ostatnie równanie to definicja operatora AND
Oczywiście Y ## ~y

4.4.15
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
OR: Y= p+q = ~(~p*~q) ## AND: ~y= p*q = ~(~p+~q)
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Powyższe równanie jest dowodem, iż operator AND jest logiką ujemną (~y) w stosunku do OR (Y), albo odwrotnie.

4.4.16
Oczywiście:
Jeśli p+q=1 => p*q=0
Jeśli p*q=1 => p+q=0
Przykład:
Zdanie:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Nie jest równoważne zdaniu:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Jeśli K+T=1 (to zdanie powiedzieliśmy) to K*T=0
Jeśli K*T=1 (to zdanie powiedzieliśmy) to K+T=0

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - definicja operatora AND
p+q = ~(~p*~q) - definicja operatora OR

W operatorach AND i OR zachodzi przemienność argumentów:
p*q = q*p
p+q = q+p


4.5 Tworzenie równań algebry Kubusia

4.5.1
Poznamy teraz banalną technikę tworzenia równań algebry Kubusia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej, na przykładzie operatora OR. Algorytmy które poznamy obowiązują dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej. Będzie to jednocześnie wyprowadzenie wszystkich możliwych spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*), fundamentu na którym stoją operatory OR i AND.

4.5.2
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

Tabela 1
   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
B: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

4.5.3
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej uzyskujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością w wyniku.

Najprostsze równanie algebry Kubusia uzyskamy dla linii D123, bo mamy tu samotne zero w wyniku.

4.5.4
Algorytm:
1.
Spis z natury:
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

4.5.5
Stąd dla 2 mamy najprostsze równanie algebry Kubusia opisujące tabelę 1.
3.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Oczywiście to równanie opisuje wyłącznie linię D123!

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.

4.5.6
Dla równania 3 mamy:
4.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Oczywiście to równanie opisuje teraz wyłącznie obszar ABC123 w tabeli 1!

4.5.7
Wnioski:
1.
Nagłówek w tabeli 1 to tylko matematyczny opis spójnika „lub”(+) zdefiniowanego w obszarze ABC123.
Y=p+q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
2.
Kompletny operator OR, czyli wszystkie cztery linie opisuje układ równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q
To jest oczywiście operator AND w układzie równań logicznych.
cnd

4.5.8
Z twierdzenia Prosiaczka wynika, ze równoważny opis tabeli 1 uzyskamy opisując obszar ABC123, czyli linie z jedynkami w wyniku.

Algorytm:
Spis z natury:
1.
A: Y=1 <=> p=1 I q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
2.
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Stąd mamy równanie algebry Kubusia opisujące obszar ABC123, definicję spójnika „lub”(+):

4.5.9
Definicja spójnika lub w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

4.5.10
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q
bo oba te równania opisują identyczny obszar tabeli 1 (ABC123)

4.5.11
Stąd kompletna definicja operatora OR w wersji maksymalnej tu układ równań:
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q - obszar ABC123
~Y=~p*~q - linia D123

4.5.12
Z prawa de’Morgana wynika że negując wszystkie zmienne musimy otrzymać operator AND:
~y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
y=p*q
To jest oczywiście pełna i maksymalna definicja operatora AND
cnd

4.5.13
Zauważmy że wyłącznie zanegowaliśmy zmienne zatem matematycznie zachodzi:
Kod:

Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND
Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q    ##  ~y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p*~q               ##   y=p*q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Funkcja logiczna Y (duże) to zupełnie co innego niż funkcja logiczna y (małe).

4.5.14
Przykład:
Kod:

A.                                ## B.
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T=1                           ## y=K*T=1

## - różne na mocy definicji
Wynika z tego że jeśli powiem zdanie A to nie mogę go zastąpić zdaniem B i odwrotnie.

4.5.15
Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
co matematycznie oznacza:
~y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
~y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)

4.5.16
Oraz definicje spójnika „i”(*) w logice dodatniej
y=p*q
y=1 <=> p=1 i q=1
cnd

Doskonale widać zgodność czystej matematyki z nową teoria zbiorów i naturalną logika człowieka!


4.6 Minimalizacja funkcji logicznych

Geniuszem w minimalizacji funkcji logicznych jest nasz mózg, który w praktyce zawsze operuje funkcjami minimalnymi. Minimalizacja jest przydatna przy projektowaniu złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych, tyle że w dobie mikroprocesorów to epoka kamienna. Można zatem ten rozdział traktować jako ciekawostkę, lub pominąć.

4.6.1
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

4.6.2
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

4.6.3
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

4.6.4
Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

4.6.5
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

4.6.6
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.

Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

4.6.7
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

4.6.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przykład:
Y=p+q(r*s)
Uzupełniamy nawiasy i operatory:
Y=p+[q*(r+s)] - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p*[~q+(~r*~s)] - logika ujemna bo ~Y

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.

4.6.9
Metody minimalizacji funkcji logicznej

Nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.

Absorpcja:
p*(p+q)=p

4.6.10
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

4.6.11
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
Kod:

p q p+q p*(p+q)
1 1 =1   =1
1 0 =1   =1
0 1 =1   =0
0 0 =0   =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p

4.6.12
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd


4.7 Operator OR w bramkach logicznych

4.7.1
Prawo de’Morgana
Y=p+q = ~(~p*~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki OR w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki AND, otrzymując bramkę OR.
Definicja bramki AND:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Negujemy wejścia p i q:
y=~p*~q = ~(p+q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p*~q) = p+q
To jest definicja bramki OR.
cnd

4.7.2
Doświadczenie
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora OR przedstawionymi wyżej.



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy, po lewej i prawej stronie, dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora OR.
Oczywiście względem wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p+q = ~(~p*~q)

4.7.3
Zero-jedynkowa definicja bramki OR (operatora OR):
Kod:

   p q Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q |Definicja symboliczna operatora OR
A: 1 1  =1    | 0  0  =0      | p* q = Y
B: 1 0  =1    | 0  1  =0      | p*~q = Y
C: 0 1  =1    | 1  0  =0      |~p* q = Y
D: 0 0  =0    | 1  1  =1      |~p*~q =~Y
   1 2   3    | 4  5   6

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /obszar ABC123
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p+q

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /linia D456
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p*~q

W laboratorium techniki cyfrowej wymuszamy na wejściach p i q dowolne zera i jedynki przełącznikami. Próbnikiem stanów logicznych sprawdzamy zgodność rzeczywistości z tabelami zero-jedynkowymi wyżej.
Znaczenie światełek w próbniku stanów logicznych:
0 - zielona dioda świecąca LED
1 - czerwona dioda świecąca LED
Pewne jest, że algebra Kubusia ma 100% pokrycie w teorii i praktyce bramek logicznych.


4.8 Operator AND w bramkach logicznych

4.8.1
Prawo de’Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki AND w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki OR otrzymując bramkę AND.
Definicja bramki OR:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Negujemy wejścia p i q:
y=~p+~q = ~(p*q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
To jest definicja bramki AND.
cnd

4.8.2
Doświadczenie
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora AND przedstawionymi wyżej.



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora AND.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p*q = ~(~p+~q)

4.8.3
Zero-jedynkowa definicja bramki AND (operatora AND):
Kod:

   p q Y=p*q  |~p ~q ~Y=~p+~q |Definicja symboliczna operatora AND
A: 1 1  =1    | 0  0   =0     | p* q = Y
B: 0 0  =0    | 1  1   =1     |~p*~q =~Y
C: 0 1  =0    | 1  0   =1     |~p* q =~Y
D: 1 0  =0    | 0  1   =1     | p*~q =~Y
   1 2   3    | 4  5    6

Kompletna definicję operatora AND możemy obejrzeć w punkcie:
Y = p*q = ~(~p+~q)

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /linia A123
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p*q

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /obszar BCD456
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p+~q


4.9 Osiem równań opisujących operator OR

Kolejne trzy punkty można traktować jako matematyczną ciekawostkę. Osobom nie zainteresowanym na serio matematyką doradzam pominiecie punktów 4.9, 4.10 i 4.11.

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR wyprowadzonej wyżej.

4.9.1
Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=p*q

4.9.2
Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

4.9.3
Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

4.9.4
Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

4.9.5
Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

4.9.6
Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1          |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q                      |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q)                 |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)      |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja    |                |
Symboliczna  |                |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q     |Y=p*q+p*~q+~p*q |                       |
             |p q Y=p+q       | ~p ~q ~Y=~p*~q        |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 /p*q =Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 /p*~q=Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p*q=Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0         |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3            4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |Y=p+q           |~Y=~p*~q
             |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0       | ~Y=1, Y=0

4.9.7
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
4.9.8
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

4.9.9
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


4.10 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND wyprowadzonej wyżej.

4.10.1
Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a:
Y=p*q
~Y=~p+~q

4.10.2
Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

4.10.3
Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

4.10.4
Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

4.10.5
Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

4.10.6
Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1            |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q                        |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q)                   |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q)        |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]   |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
-------------------------------------------------------------
Definicja    |
Symboliczna  |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
             |
Dotrzymam    |
slowa: Y=1   |p q Y=p*q         | ~p ~q 2:~Y=~p+~q      | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
Sklamie: ~Y=1|                  |  ~Y=~p+~q             |
U: ~Y=~p+~q  |                  |  ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
C: ~p* q=~Y  |0 1  =0           |  1  0   =1 /~p* q=~Y  | =0
D:  p*~q=~Y  |1 0  =0           |  0  1   =1 / p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

4.10.7
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.

4.10.8
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

4.10.9
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.


4.11 Logika zero

4.11.1
Logika zero jest logiką totalnie przeciwną do naturalnej logiki człowieka.
Logika zero i logika człowieka to logiki tożsame.

4.11.2
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q  Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
   1 2  3

4.11.3
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Obszar działania: ABC123

4.11.4
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Obszar działania: D123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logika człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „lub”(+), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „i”.

4.11.5
Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q  Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
   1 2  3


4.11.6
Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Obszar działania: A123

4.11.7
Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 0.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=>p=0 lub q=0
Obszar działania: BCD123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logiką człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „i”(*), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „lub”.

4.11.8
Ułożymy wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla zero-jedynkowej definicji operatora OR.
Kod:

                |Logika człowieka  |Logika zero
   p q  Y=p+q   |Y=p*q+p*~q+~p*q   |~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
A: 1 1 =1       | Y= p* q          |~Y=~p+~q
B: 1 0 =1       | Y= p*~q          |~Y=~p+ q
C: 0 1 =1       | Y=~p* q          |~Y= p+~q
D: 0 0 =0       |~Y=~p*~q          | Y= p+ q
   1 2  3

W logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionach.
LC: Y = p*q + p*~q + ~p*q

W logice zero wszystkie zmienne sprowadzamy do zera korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=1 to ~p=0
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „lub”(+) w poziomach i spójnika „i”(*) w pionach:
LZ: ~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Dowód tożsamości tych logik.
Przechodzimy z równaniem LZ do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
LZ: Y= (p*q) + (p*~q) + (~p*q)

Doskonale widać:
LC=LZ
cnd

Oczywiście logikę zero wywalamy w kosmos, bowiem naturalną logiką dla każdego człowieka jest logika człowieka.


5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.


5.1 Warunki wystarczający i konieczny

Zacznijmy całkiem serio, czyli od dwóch najważniejszych definicji w całej logice matematycznej.

5.1.1
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A: p=>q=1
B: p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
z czego wynika że zdanie B musi być fałszem
z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>CH=0
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
cnd

5.1.2
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0

p=>q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
bo zdanie B jest fałszem i nie ma prawa wystąpić
z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0
Brak chmur wystarcza aby nie padało
cnd

5.1.3
Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzenika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

Przykład 1:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8 - wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Na mocy definicji warunku koniecznego mamy:
A: P2~>P8 = B: ~P2=>~P8
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zdanie B jest prawdziwe, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>.
P2~>P8=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> aby była ona podzielna przez 8

Przykład 2:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Warunek konieczny tu nie zachodzi bo:
P3~>P8 = ~P3=>~P8 =0 bo 8
Prawa strona definicji jest fałszem, zatem w zdaniu P3~>P8 nie zachodzi warunek konieczny:
P3~>P8=0


5.2 Równoważność
... a teraz włączmy poczucie humoru.

Na początku było:
Kod:

1=1

i stał się cud:
Kod:

(p+~p)=(q+~q)

p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
Kod:

A: p=>(q+~q)
C: ~p=>(~q+q)

stąd mamy …

5.2.1
Operatorowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q p<=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p=> q =0    /o definicji w C i D

5.2.2
Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej

5.2.3
W równoważności (i tylko tu) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p

5.2.4
Stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q

5.2.5
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1

5.2.7
Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


5.3 Implikacja prosta

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności.
Możliwe jest rozczepienie linii:
1. A i B - implikacja odwrotna
2. C i D - implikacja prosta
3. Wszystkich czterech linii (A i B oraz B i C) - operator chaosu

Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności.

5.3.1
Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

5.3.2
Pełna definicja implikacji prostej (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy definicję implikacji odwrotnej:
~p=>~q = p~>q
... o której za chwilę.

5.3.3
Zauważmy że znaczek „=>” nie jest operatorem logicznym, tzn nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej.
Dowód:
p=>q
Negujemy zmienne wejściowe p i q i nie otrzymujemy definicji operatora implikacji odwrotnej:
~p=>~q
To jest błąd czysto matematyczny współczesnej logiki matematycznej która błędnie myśli, iż znaczek „=>” opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

5.3.4
Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunek wystarczający (linie A i B) oraz dodatkowo udowodnimy prawdziwość zdań C i D, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający C i jeden przypadek spełniający D.

5.3.5
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
A: P8=>P2=1
B: P8=>~P2=0
Podzielność liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym =>, aby była ona podzielna przez 2
Definicja implikacji prostej spełniona bo:
P8=>P2= ~P8~>~P2=1
C: ~P8~>~P2=1 bo 3
D: ~P8~~>P2=1 bo 2

5.3.6
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


5.4 Implikacja odwrotna

Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności.

5.4.1
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q p~>q
A: p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p=>  q =0    /o definicji w C i D

5.4.2
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, plus musi być spełniona definicja warunku koniecznego ~>.
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

5.4.3
Pełna definicja implikacji odwrotnej (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy definicję implikacji prostej:
~p~>~q = p=>q
... o której wyżej.

5.4.4
Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunek wystarczający (linie C i D) oraz dodatkowo udowodnimy prawdziwość zdań A i B, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający A i jeden przypadek spełniający B.

5.4.5
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
A: P2~>P8=1 bo 8
B: P2~~>~P8=1 bo 2
P2 jest konieczne dla P8 bo:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
C: ~P2=>~P8=1
D: ~P2=>P8=0 bo 3
Niepodzielność liczby przez 2 jest warunkiem wystarczającym => aby była ona niepodzielna przez 8

Definicja implikacji odwrotnej spełniona:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1

5.4.6
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0



5.5 Operator chaosu

Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p.
Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy pełną przypadkowość.

5.5.1
Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
B: p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
C:~p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
D:~p~~> q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

5.5.2
p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
W każdym przypadku (A,B,C,D) wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

5.5.3
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
P3~~>~P8=1 bo 3
~P3~~>~P8=1 bo 2
~P3~~>P8=1 bo 8

5.5.4
Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:04, 29 Cze 2012, w całości zmieniany 24 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 11:04, 07 Cze 2012    Temat postu:

5.6 Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.

5.6.1
Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

5.6.2
Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


5.6.3
Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0



6.0 Operatory implikacji w zbiorach

O co chodzi w operatorach implikacji?

Oczywiście o coś fundamentalnie innego niż w operatorach OR i AND.
W operatorach OR i AND interesowało nas kiedy dotrzymam słowa (Y=1) a kiedy skłamię (~Y=1).
Definicja operatora OR:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Definicja operatora AND:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Operatory implikacji dają odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

Wniosek:
Operatory OR i AND to fundamentalnie inne operatory niż operatory implikacji!
cnd

Całą logikę matematyczną w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do badania dwóch banalnych warunków wystarczających.


6.1 Warunki wystarczający => i konieczny ~>

6.1.1
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A: p=> q =1
B: p=>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika, że zdanie B musi być fałszem
Warunek wystarczający => to gwarancja matematyczna występująca wyłącznie w operatorach implikacji i równoważności.
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
P=>~CH=0

6.1.2
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

A: ~p=>~q =1
B: ~p=> q =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zdanie B musi być fałszem
Warunek wystarczający => to gwarancja matematyczna występująca wyłącznie w operatorach implikacji i równoważności.
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
~CH=>P=0

Definicje operatorów logicznych implikacji i równoważności w równaniach logicznych:
6.1.3
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
6.1.4
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
6.1.5
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

6.1.6
Legenda do operatorów implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q (rzucanie monetą)
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności.
Nie jest to spójnik „może” między p i q bowiem w równoważności mamy 100% determinizm gdzie nie ma miejsca na „rzucanie monetą”, charakterystycznego w implikacji. W równoważności zarówno po stronie p, jak i ~p mamy rzeczywiste warunki wystarczające =>, co widać w definicji wyżej.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy

6.1.7
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q


6.2 Implikacja prosta w zbiorach

6.2.1
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

   p q  Y= p=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =1
   1 2   3


6.2.2
Zamieńmy definicję implikacji prostej po stronie wejścia p i q na postać symboliczną, korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to q=1
Kod:

Definicja      |Definicja   |Zbiory            |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna |dla p i q         |operatorowa
Technika       |w zbiorach  |sprowadzonych do 1|implikacji prostej
bramki logiczne|Czlowiek    |                  |Czlowiek
----------------------------------------------------------
   p  q p=>q   | p  q p=>q  | 1 1 =x           | p   q p=>q
----------------------------------------------------------
A: 1  1  =1    | p* q  =1   | 1*1 =1           | p=> q =1
B: 1  0  =0    | p*~q  =0   | 1*1 =0           | p=>~q =0
C: 0  0  =1    |~p*~q  =1   | 1*1 =1           |~p~>~q =1
D: 0  1  =1    |~p* q  =1   | 1*1 =1           |~p~~>~q=1
   1  2   3      4  5   6                        7   8  9

Z obszaru AB456 widać, że jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q (linia A456),
bowiem przypadek zajdzie p i zajdzie ~q jest wykluczony (linia B456).
stąd:
6.2.3
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A.
p=> q =1
Zbiory:
p*q =1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną, stąd w wyniku 1
B.
p=>~q =0
Zbiory:
p*~q =1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, stąd w wyniku 0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że p musi być wystarczające dla q

Z linii B wynika, że zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero. Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.

6.2.4
... a jeśli zajdzie ~p?
Z symbolicznej definicji operatora implikacji prostej widać że:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q (linia C789)
lub
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q (linia D789)
Wniosek:
W definicji implikacji prostej po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Jeśli zajdzie ~p to nie mamy bladego pojęcia czy zajdzie ~q czy też q.

6.2.5
Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji wyłącznie w liniach A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1    /naturalny spójnik „może” ~~>

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” => między p i q w całym obszarze logiki, o definicji wyłącznie w liniach A i B.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” ~> między p i q o definicji:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

6.2.6
Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy spełniony jest warunek wystarczający => o definicji w liniach A i B oraz dodatkowo udowodnimy zachodzenie C i D, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający C i jeden przypadek spełniający D.

6.2.7
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q

6.2.8
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):


Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q.
Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
p* q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=0
p* ~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika, że p jest wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

6.2.9
Zobaczmy ten przypadek na diagramie.


Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

6.2.10
Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Tabela 1
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1       /Twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p=>~q=0      /Twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p~>~q=1     /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
D: ~p~~>q=1     /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C

p=>q = ~p~>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki, o definicji wyłącznie w liniach A i B
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

6.2.11
Definicja zero-jedynkowa dla powyższej tabeli symbolicznej zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p=>q
czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.
Kod:

Tabela 2
  Definicja     |Zbiory      |Zbiory    |Kod
  symboliczna   |logika      |zero      |maszynowy
  Czlowiek      |czlowieka   |jedynkowo |bramki logiczne
--------------------------------------------------------
   p   q  p=>q  | p  q  p=>q | 1 1 x    | p  q  p=>q
--------------------------------------------------------
A: p=> q  =1    | p* q  =1   | 1*1=1    | 1  1  =1
B: p=>~q  =0    | p*~q  =0   | 1*1=0    | 1  0  =0
C:~p~>~q  =1    |~p*~q  =1   | 1*1=1    | 0  0  =1
D:~p~~>q  =1    |~p* q  =1   | 1*1=1    | 0  1  =1
   1   2   3    | 4  5   6   | a b c    | 7  8   9
Punkt odniesienia w tabeli zero-jedynkowej to nagłówek tabeli
                                        |p=1, ~p=0
                                        |q=1, ~q=0

6.2.12
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli symbolicznej, tabeli zbiorów lub tabeli zero-jedynkowej.
Dla naszej tabeli punkt odniesienia to zdanie:
p=>q
Punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane, traktujemy zawsze jako zdanie nowo wypowiedziane nadając mu wartości logiczne 1 1 =1.
Odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
mamy wyłącznie w liniach A i B bo tylko tu widzimy niezanegowane p.

6.2.13
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~p~>~q
czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
To otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela 3
  Definicja     |Zbiory      |Zbiory    |Kod
  symboliczna   |logika      |zero      |maszynowy
  Czlowiek      |czlowieka   |jedynkowo |bramki logiczne
--------------------------------------------------------
  ~p  ~q ~p~>~q |~p ~q ~p~>~q| 1 1 x    |~p ~q ~p~>~q
--------------------------------------------------------
A: p=> q  =1    | p* q  =1   | 1*1=1    | 0  0  =1
B: p=>~q  =0    | p*~q  =0   | 1*1=0    | 0  1  =0
C:~p~>~q  =1    |~p*~q  =1   | 1*1=1    | 1  1  =1
D:~p~~>q  =1    |~p* q  =1   | 1*1=1    | 1  0  =1
   1   2   3    | 4  5   6   | a b c    | 7  8   9
Punkt odniesienia w tabeli zero-jedynkowej to nagłówek tabeli
                                        |p=1, ~p=0
                                        |q=1, ~q=0

6.2.14
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli symbolicznej, tabeli zbiorów lub tabeli zero-jedynkowej.
Dla naszej tabeli punkt odniesienia to zdanie:
~p~>~q
Punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane, traktujemy zawsze jako zdanie nowo wypowiedziane nadając mu wartości logiczne 1 1 =1.
Odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
mamy wyłącznie w liniach C i D bo tylko tu widzimy ~p.

6.2.14
Tożsamość kolumn wynikowych:
ABCD9(Tabela 2) i ABCD9(Tabela 3)
jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zauważmy, że w tabelach 2 i 3 mamy identyczne tabele symboliczne i tabele zbiorów.
Identyczna jest też definicja symboliczna implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W tabelach 2 i 3 inny jest tylko nagłówek tabeli, punkt odniesienia.

6.2.15
Podsumowanie:
Pełna definicja symboliczna implikacji prostej, opisująca wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej:
p=>q = ~p~>~q
stąd:
Tabela 2
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
A: p=> q =1
B: p=>~q =0
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zajście p wystarcza dla zajścia q
... a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
stąd:
Tabela 3
C: ~p~>~q=1
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p jest konieczne ~> dla ~q
lub
D: ~p~~>p=1
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

6.2.16
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
Zbiory:
P8=[8,16…]
P2=[2,4,8,16..]
P8*P2=1*1=1 bo 8,16…
Zbiory P8 i P2 istnieją (P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
P8=[8,16..]
~P2=[1,3,5…]
P8*~P2=1*1=0
Zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
Zbiory:
~P8=[2,3,5…]
~P2=[3,5,7…]
~P8*~P2=1 bo 3,5…
Zbiory ~P8 i ~P2 istnieją (~P8=1 i ~P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~P8=[2,4,5…]
P2=[2,4,6…]
~P8*P2=1 bo 2,4…
Zbiory ~P8 i P2 istnieją (~P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Kod:

                   |P8 P2 P8=>P2
A: P8=> P2=1 bo 8  | 1  1  =1
B: P8=>~P2=0       | 1  0  =0
C:~P8~>~P2=1 bo 3  | 0  0  =1
D:~P8~~>P2=1 bo 2  | 0  1  =1
Punktem odniesienia jest zawsze nagłówek tabeli zero-jedynkowej
                   |P8=1, ~P8=0
                   |P2=1, ~P2=0

6.2.17
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

6.2.18
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdy znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

6.2.19
Definicja implikacji w zbiorach:
Kod:

Definicja    |Zbiory
symboliczna  |
A: P8=> P2   | P8* P2
B: P8=>~P2   | P8*~P2
C:~P8~>~P2   |~P8*~P2
D:~P8~~>P2   |~P8* P2

6.2.20
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L8=>P8*P2
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P8=1 i P2=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Kod:

L=8
                               L8=>P8*P2
A: P8=> P2   | P8* P2 = 1 * 1  =1
B: P8=>~P2   | P8*~P2 = 1 * 0  =0
C:~P8~>~P2   |~P8*~P2 = 0 * 0  =0
D:~P8~~>P2   |~P8* P2 = 0 * 1  =0
Dla liczby 8 mamy:
L8=1 => P8=1 i P2=1
Liczba 8 jest podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0

Liczba 8 wpada do pudełka A i należy do zbioru:
A: P8*P2 = 8,16,24 ...
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.2.21
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
L3=>~P8*~P2
Co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P8=1, P8=0
~P2=1, P2=0
Kod:

L=3
                               L3=>~P8*~P2
A: P8=> P2   | P8* P2 = 0 * 0  =0
B: P8=>~P2   | P8*~P2 = 0 * 1  =0
C:~P8~>~P2   |~P8*~P2 = 1 * 1  =1
D:~P8~~>P2   |~P8* P2 = 1 * 0  =0
Dla liczby 3 mamy:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
Liczba 3 nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8=1, P8=0
~P2=1, P2=0

Liczba 3 wpada do pudełka C i należy do zbioru:
C: ~P8*~P2 = 3,5,7...
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.2.22
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L2=>~P8*P2
co matematycznie oznacza:
L2=1 => ~P8=1 i P2=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P8=1, P8=0
P2=1, ~P2=0
Kod:

L=2
                               L2=>~P8*P2
A: P8=> P2   | P8* P2 = 0 * 1  =0
B: P8=>~P2   | P8*~P2 = 0 * 0  =0
C:~P8~>~P2   |~P8*~P2 = 1 * 0  =0
D:~P8~~>P2   |~P8* P2 = 1 * 1  =1
Dla liczby 2 mamy:
L2 => ~P8=1 i P2=1
liczba 2 nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
~P8=1, P8=0
P2=1, ~P2=0

Liczba 2 wpada do pudełka D i należy do zbioru:
D: ~P8*P2 = 2,4,6...
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

Jak widzimy prawo Sowy działa doskonale.
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.


6.3 Implikacja prosta w bramkach logicznych

6.3.1
Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

   p q p=>q  |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1   | p=> q =1
B: 1 0  =0   | p=>~q =0
C: 0 0  =1   |~p~>~q =1
D: 0 1  =1   |~p~~>q =1
   1 2   3     4   5  6

Najprostsze równanie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) otrzymamy z linii B123, bowiem mamy tu samotne zero.
Spis z natury:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~(p=>q)=1 <=> p=1 i ~q=1
Korzystając z definicji spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
mamy minimalne równanie logiczne opisujące powyższa tabelę:
~(p=>q) = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
p=>q = ~p+q
stąd:
Definicja bramki „musi” =>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi” to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

6.3.2
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

   p q p~>q  |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1   | p~> q =1
B: 1 0  =1   | p~~>~q=1
C: 0 0  =1   |~p=>~q =1
D: 0 1  =0   |~p=> q =1
   1 2   3     4   5  6

Postępujemy identycznie jak wyżej.
Najprostsze równanie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) uzyskamy z linii D123, bo mamy tu samotne zero.
Sprowadzamy zmienne do jedynek:
~(p~>q)=1 <=> ~p=1 i q=1
Stąd równanie algebry Kubusia:
~(p~>q) = ~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja bramki „może”~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może” to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

6.3.3


Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p=>q = ~p~>~q

6.3.4
Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście p (~p).

6.3.5
Definicja implikacji prostej:
Kod:

Definicja    |Definicja                |Definicja
symboliczna  |zero-jedynkowa           |zero-jedynkowa
             |w logice dodatniej (bo q)|w logice ujemnej (bo ~q)
             | p  q  p=>q              | ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1  | 1  1   =1               |  0  0   =1
B: p=>~q =0  | 1  0   =0               |  0  1   =0
C:~p~>~q =1  | 0  0   =1               |  1  1   =1
D:~p~~>q =1  | 0  1   =1               |  1  0   =1
               1  2    3               |  4  5    6
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
             | p=1, ~p=0               | ~p=1, p=0
             | q=1, ~q=0               | ~q=1, q=0

6.3.6
Doświadczenie
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji prostej wyżej.

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
Kod:

A: p=> q=1    /1 1 =1
B: p=>~q=0    /1 0 =0

Bramki „musi” =>

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
Kod:

C: ~p~>~q=1  /1 1 =1
D: ~p~~>q=1  /1 0 =1

Bramki „może” ~>


6.4 Implikacja odwrotna w zbiorach

6.4.1
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

   p q  Y= p~>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0
   1 2   3


6.4.2
Zamieńmy definicję implikacji odwrotnej po stronie wejścia p i q na postać symboliczną, korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to q=1
Kod:

Definicja      |Definicja   |Zbiory            |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna |dla p i q         |operatorowa
               |w zbiorach  |sprowadzonych do 1|implikacji odwrotnej
--------------------------------------------------------------------
   p  q p~>q   | p  q p~>q  | 1 1 =x           | p   q p~>q
-----------------------------------------------------------
A: 1  1  =1    | p* q  =1   | 1*1 =1           | p~> q =1
B: 1  0  =1    | p*~q  =1   | 1*1 =1           | p~~>~q=1
C: 0  0  =1    |~p*~q  =1   | 1*1 =1           |~p=>~q =1
D: 0  1  =0    |~p* q  =0   | 1*1 =0           |~p=> q =0
   1  2   3      4  5   6                        7   8  9

6.4.3
Z definicji implikacji odwrotnej w zbiorach (obszar ABCD456) widzimy, że jeśli zajdzie p to może zajść q (linia A456) bowiem przypadek zajdzie p i zajdzie ~q też może wystąpić (linia B456).
W linii C456 widzimy, że jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q, bowiem przypadek zajdzie ~p i zajdzie q nie ma prawa wystąpić (linia D456)

6.4.4
Z symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej ABCD789 widać że:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (linia A789)
lub
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q (linia B789)
Wniosek:
W definicji implikacji odwrotnej po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Jeśli zajdzie p to nie mamy bladego pojęcia czy zajdzie q czy też ~q.

... a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Z obszaru CD789 widać, że jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q (linia C789),
bowiem przypadek zajdzie ~p i zajdzie q jest wykluczony (linia D789).
stąd:
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

C.
~p=>~q =1
Zbiory:
~p*~q =1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną, stąd w wyniku 1
D.
~p=> q =0
Zbiory:
~p* q =1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, stąd w wyniku 0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika, że ~p musi być wystarczające dla ~q

Z linii D wynika, że zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero. Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.

6.4.5
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p   q p~>q
A: p~> q =1    /Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q=0    /Naturalny spójnik „może” ~~>
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =1    /Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p=> q =1    /o definicji wyłącznie w liniach C i D

gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q), spójnik „na pewno” => między p i q w całym obszarze logiki, o definicji wyłącznie w liniach C i D.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” ~> między p i q o definicji:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

6.4.6
Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy zachodzenie A i B, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający A i jeden przypadek spełniający B oraz dodatkowo udowodnimy spełniony jest warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w liniach C i D.

6.4.7
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

6.4.8
Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:

p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

6.4.9
Zobaczmy to na diagramie logicznym:

~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q
W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q.
Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo q):
Kod:

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p* ~q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
~p* q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi.

6.4.10
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela 1
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~>q  =1   - miękka prawda, może zajść ale nie musi
B: p~~>~q=1   - miękka prawda, może zajść ale nie musi
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1   - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D: ~p=>q =0   - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C

p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
bo druga linia p~~>~q też ma prawo wystąpić
Gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D

6.4.11
Definicja zero-jedynkowa dla powyższej tabeli symbolicznej zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p~>q
czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.
Kod:

Tabela 2
  Definicja     |Zbiory      |Zbiory    |Kod
  symboliczna   |logika      |zero      |maszynowy
  Czlowiek      |czlowieka   |jedynkowo |bramki logiczne
--------------------------------------------------------
   p   q  p~>q  | p  q  p~>q | 1 1 x    | p  q  p~>q
--------------------------------------------------------
A: p~> q  =1    | p* q  =1   | 1*1=1    | 1  1  =1
B: p~~>~q =1    | p*~q  =1   | 1*1=1    | 1  0  =1
C:~p=>~q  =1    |~p*~q  =1   | 1*1=1    | 0  0  =1
D:~p=> q  =0    |~p* q  =0   | 1*1=0    | 0  1  =0
   1   2   3    | 4  5   6   | a b c    | 7  8   9
Punkt odniesienia w tabeli zero-jedynkowej to nagłówek tabeli
                                        |p=1, ~p=0
                                        |q=1, ~q=0

Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli symbolicznej, tabeli zbiorów lub tabeli zero-jedynkowej.
Dla naszej tabeli punkt odniesienia to zdanie:
p~>q
Punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane, traktujemy zawsze jako zdanie nowo wypowiedziane nadając mu wartości logiczne 1 1 =1.
Odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
mamy wyłącznie w liniach A i B bo tylko tu widzimy niezanegowane p.

6.4.12
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~p=>~q
czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
To otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.
Kod:

Tabela 3
  Definicja     |Zbiory      |Zbiory    |Kod
  symboliczna   |logika      |zero      |maszynowy
  Czlowiek      |czlowieka   |jedynkowo |bramki logiczne
--------------------------------------------------------
  ~p  ~q ~p=>~q |~p ~q ~p=>~q| 1 1 x    |~p ~q  ~p=>~q
--------------------------------------------------------
A: p~> q  =1    | p* q  =1   | 1*1=1    | 0  0  =1
B: p~~>~q =1    | p*~q  =1   | 1*1=1    | 0  1  =1
C:~p=>~q  =1    |~p*~q  =1   | 1*1=1    | 1  1  =1
D:~p=> q  =0    |~p* q  =0   | 1*1=0    | 1  0  =0
   1   2   3    | 4  5   6   | a b c    | 7  8   9
Punkt odniesienia w tabeli zero-jedynkowej to nagłówek tabeli
                                        |p=1, ~p=0
                                        |q=1, ~q=0

6.4.13
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli symbolicznej, tabeli zbiorów lub tabeli zero-jedynkowej.
Dla naszej tabeli punkt odniesienia to zdanie:
~p=>~q
Punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane, traktujemy zawsze jako zdanie nowo wypowiedziane nadając mu wartości logiczne 1 1 =1.
Odpowiedź na pytanie:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
mamy wyłącznie w liniach C i D bo tylko tu widzimy ~p.

6.4.14
Tożsamość kolumn wynikowych:
ABCD9(Tabela 2) i ABCD9(Tabela 3)
jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Zauważmy, że w tabelach 2 i 3 mamy identyczne tabele symboliczne i tabele zbiorów.
Identyczna jest też definicja symboliczna implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W tabelach 2 i 3 inny jest tylko nagłówek tabeli, punkt odniesienia.

6.4.15
Podsumowanie:
Pełna definicja symboliczna implikacji odwrotnej, opisująca wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej:
p~>q = ~p=>~q
stąd:
Tabela 2
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
A: p~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p jest konieczne ~> dla q
lub
B: p~~>~p=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
... a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
stąd:
Tabela 3
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q =1
D: ~p=> q =0
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q

6.4.16
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
P2=[2,4,8,16..]
P8=[8,16…]
P2*P8=1*1=1 bo 8,16…
Zbiory P2 i P8 istnieją (P2=1 i P8=1) i maja cześć wspólną co wymusza w wyniku jeden
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
P2=[2,4,6…]
~P8=[2,4,5…]
P2*~P8=1*1=1 bo 2,4…
Zbiory P2 i ~P8 istnieją (P2=1 i ~P8=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden

… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~P2=[3,5,7…]
~P8=[2,3,5…]
~P2*~P8=1*1=1 bo 3,5…
Zbiory ~P2 i ~P8 istnieją (~P2=1 i ~P8=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden
stad:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~P2=[1,3,5…]
P8=[8,16..]
~P2*P8=1*1=0
Zbiory ~P2 i P8 istnieją (~P2=1 i P8=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: ~P2~>P8 = D: P2=>~P8=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu B nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

6.4.17
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Kod:

   P2   P8 P2~>P8  |P2 P8 P2~>P8
--------------------------------
A: P2~> P8 =1 bo 8 | 1  1  =1
B: P2~~>~P8=1 bo 2 | 1  0  =1
C:~P2=>~P8 =1 bo 3 | 0  0  =1
D:~P2=> P8 =0      | 0  1  =0
Punkt odniesienia to nagłówek tabeli zero-jedynkowej
                   |P2=1, ~P2=0
                   |P8=1, ~P8=0

6.4.18
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

6.4.19
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdy znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

6.4.20
Definicja implikacji w zbiorach:
Kod:

Definicja
symboliczna   |Zbiory
----------------------
A: P2~> P8    | P2* P8
B: P2~~>~P8   | P2*~P8
C:~P2=>~P8    |~P2*~P8
D:~P2=> P8    |~P2* P8


6.4.21
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i jest podzielna przez 8 (P8=1)
L8=>P2*P8
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P2=1 i P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Kod:

L=8
                                L8=>P2*P8
A: P2~> P8    | P2* P8 = 1 * 1  =1
B: P2~~>~P8   | P2*~P8 = 1 * 0  =0
C:~P2=>~P8    |~P2*~P8 = 0 * 0  =0
D:~P2=> P8    |~P2* P8 = 0 * 1  =0
Dla liczny 8 mamy:
L8=1 => P2=1 i P8=1
Liczba 8 jest podzielna przez 2 (P2=1) i jest podzielna przez 8 (P8=1)
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0

Liczba 8 wpada do pudełka A i należy do zbioru:
A: P2*P8 = 8,16,24 ...
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.4.22
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie B będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L2=>P2*~P8
Co matematycznie oznacza:
L2=1 => P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
~P8=1. P8=0
Kod:

L=2
                                L2=>P2*~P8
A: P2~> P8    | P2* P8 = 1 * 0  =0
B: P2~~>~P8   | P2*~P8 = 1 * 1  =1
C:~P2=>~P8    |~P2*~P8 = 0 * 1  =0
D:~P2=> P8    |~P2* P8 = 0 * 0  =0
Dla liczby 2 mamy:
L2 => P2=1 i ~P8=1
Liczba 2 jest podzielna przez 2 (P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
P2=1, ~P2=0
~P8=1, P8=0

Liczba 2 wpada do pudełka B i należy do zbioru:
B: P2*~P8 = 2,4,6 ...
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.4.23
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 2 (~P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L3=>~P2*~P8
co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P2=1, P2=0
~P8=1. P8=0
Kod:

L=3
                                L3=>~P2*~P8
A: P2~> P8    | P2* P8 = 0 * 0  =0
B: P2~~>~P8   | P2*~P8 = 0 * 1  =0
C:~P2=>~P8    |~P2*~P8 = 1 * 1  =1
D:~P2=> P8    |~P2* P8 = 1 * 0  =0
Dla liczby 3 mamy:
L3 => ~P2=1 i ~P8=1
Liczba 3 nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=1, P2=0
~P8=1, P8=0

Liczba 3 wpada do pudełka C i należy do zbioru:
C: ~P2*~P8 = 3,5,7 ...
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.4.24
Jak widzimy, prawo Sowy działa doskonale.
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.


6.5 Implikacja odwrotna w bramkach logicznych

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

   p q p~>q  |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1   | p~> q =1
B: 1 0  =1   | p~~>~q=1
C: 0 0  =1   |~p=>~q =1
D: 0 1  =0   |~p=> q =0
   1 2   3     4   5  6

Najprostsze równanie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) otrzymamy z linii D123, bowiem mamy tu samotne zero w wyniku.
Spis z natury:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~(p~>q)=1 <=> ~p=1 i q=1
Korzystając z definicji spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
mamy minimalne równanie logiczne opisujące powyższa tabelę:
~(p~>q) = ~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja bramki „może” ~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może” to bramka OR z zanegowaną w środku linią q.

Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

   p q p=>q  |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1   | p=> q =1
B: 1 0  =0   | p=>~q =0
C: 0 0  =1   |~p~>~q =1
D: 0 1  =1   |~p~~>q =1
   1 2   3     4   5  6

Postępujemy identycznie jak wyżej.
Najprostsze równanie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) uzyskamy z linii B123, bo mamy tu samotne zero w wyniku.
Sprowadzamy zmienne do jedynek:
~(p=>q)=1 <=> p=1 i ~q=1
Stąd równanie algebry Kubusia:
~(p=>q) = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne:
p=>q = ~p+q
stąd:
Definicja bramki „musi” =>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi” to bramka OR z zanegowaną w środku linią p.



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p~>q = ~p=>~q

Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście p (~p).

Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Definicja    |Definicja                |Definicja
symboliczna  |zero-jedynkowa           |zero-jedynkowa
             |w logice dodatniej (bo q)|w logice ujemnej (bo ~q)
             | p  q  p~>q              | ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1  | 1  1   =1               |  0  0   =1
B: p~~>~q=1  | 1  0   =1               |  0  1   =1
C:~p=>~q =1  | 0  0   =1               |  1  1   =1
D:~p=> q =0  | 0  1   =0               |  1  0   =0
             | 1  2    3               |  4  5    6
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
             | p=1, ~p=0               | ~p=1, p=0
             | q=1, ~q=0               | ~q=1, q=0

Doświadczenie
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji odwrotnej wyżej.

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
Kod:

A: p~> q =1   /1 1 =1
B: p~~>~q=1   /1 0 =1

Bramki „może” ~>

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
Kod:

C: ~p=>~q=1  /1 1 =1
D: ~p=> q=0  /1 0 =0

Bramki „musi” =>


6.6 Właściwości operatorów implikacji

6.6.1
W operatorach OR, AND i równoważności argumenty są przemienne tzn. wszystko jedno co nazwiemy p a co nazwiemy q.
W operatorach implikacji prostej i odwrotnej argumenty nie są przemienne i tu nie jest wszystko jedno co nazwiemy p a co nazwiemy q.

6.6.2
Kompletna definicja Implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Negujemy wyłącznie wejścia p i q i zgodnie z prawem Kubusia musimy otrzymać definicję implikacji odwrotnej:
~p=>~q = p~>q - kompletna definicja implikacji odwrotnej
cnd

6.6.3
Kompletna definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Negujemy wyłącznie wejścia p i q i zgodnie z prawem Kubusia musimy otrzymać definicję implikacji prostej:
~p~>~q = p=>q - kompletna definicja implikacji prostej
cnd

6.6.4
Oczywiście wyłącznie zanegowaliśmy sygnały wejściowe p i q, zatem matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

6.6.5
Zauważmy, że sam znaczek „=>” nie jest kompletną definicją implikacji prostej!
Dowód:
p=>q
Negujemy wejścia p i q i nie otrzymujemy definicji implikacji odwrotnej:
~p=>~q - to nie jest definicja implikacji odwrotnej
cnd

6.6.6
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
gdzie:
# - różne
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Jeśli P8=>P2=1 to P2=>P8=0
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
Jeśli P2~>P8=1 to P8~>P2=0
Dowód:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
P8~>P2 = ~P8=>~P2 =0 bo 2

Odwrotnie nie zachodzi:
Jeśli p=>q=0 to q=>p=1
Jeśli P2=>P8=0 to P8=>P2=1
bo kontrprzykład:
Jeśli p=>q=0 to q=>p=0
Jeśli P3=>P8=0 to P8=>P3=0

6.6.7
Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
Kod:

Implikacja prosta:                  |Implikacja odwrotna:
p=>q=~p~>~q                         |p~>q=~p=>~q
   p q ~p ~q  p=>q  q=>p  ~p~>~q    |  p~>q    q~>p   ~p=>~q
A: 1 1  0  0  =1     =1     =1      |   =1      =1      =1
B: 1 0  0  1  =0     =1     =0      |   =1      =0      =1
C: 0 0  1  1  =1     =1     =1      |   =1      =1      =1
D: 0 1  1  0  =1     =0     =1      |   =0      =1      =0
   1 2  3  4   5      6      7      |    8       9      10   

6.6.8
Prawa Kubusia
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD7 jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia:
p=>q=~p~>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia zachodzi tu w tej samej definicji operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD10 jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia:
p~>q=~p=>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia zachodzi tu w tej samej definicji operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

6.6.9
Brak przemienności argumentów:
Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD6 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p=>q # q=>p
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Odwrotnie nie zachodzi.
Zauważmy, że brak przemienności argumentów zachodzi w tej samej definicji operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD9 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
p~>q # q~>p
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
Odwrotnie nie zachodzi.
Zauważmy, że brak przemienności argumentów zachodzi w tej samej definicji operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

6.6.10
Zauważmy, że mimo tożsamości kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD9 zachodzi:
p=>q ## q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Podobnie, mimo tożsamości kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD6 zachodzi:
p~>q ## q=>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
bowiem definicje:
p=>q = ~p~>~q
i
p~>q = ~p=>~q
to dwa niezależne układy cyfrowe
to dwie niezależne logiki pomiędzy którymi nie zachodzą żadne prawa tożsamościowe.

6.6.11
Oczywiście możemy przyjąć sztywny punkt odniesienia ustawiony na zdaniu:
p=>q
... ale wówczas na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji


7.0 Operator równoważności w zbiorach

Czym różni się implikacja od równoważności?

7.0.1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Jak widzimy, w równoważności nie ma miejsca na spójnik „może”, charakterystyczny dla implikacji (rzucanie monetą). W równoważności zarówno po stronie p jak i ~p mamy 100% determinizm, warunek wystarczający =>.

7.0.2
Wynika z tego fundamentalne twierdzenie:
Nic co jest równoważnością prawdziwą (brak „rzucania monetą”) nie ma prawa być implikacją prawdziwą (jest „rzucanie monetą”) i odwrotnie.

7.0.3
Stąd mamy błąd fatalny w logice ziemian zwanej KRZiP która twierdzi, iż równoważność prawdziwa wymusza implikację prawdziwą.
KRZiP - klasyczny rachunek zdań i predykatów

Trzeba być idiotą aby twierdzić iż zdania:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Deszcz jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
i
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym => aby kąty były równe

To są identyczne implikacje proste prawdziwe!

W zdaniu A jest matematycznie zakodowane rzucanie monetą po stronie ~P.
Prawo Kubusia:
P=>CH =~P~>~CH
~> - ten znaczek to warunek konieczny, „rzucanie monetą”, spójnik "może" w implikacji
A1.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno
Wniosek:
Zdanie A to implikacja prosta prawdziwa

Natomiast w zdaniu B po stronie ~TR mamy 100% determinizm, kolejny warunek wystarczający!
B1.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych!
~TR=>~KR=1
Bycie trójkątem nierównobocznym jest warunkiem wystarczającym => aby kąty nie były równe

Zdanie B to oczywiście implikacja prosta fałszywa bo nie ma tu "rzucania monetą", fundamentu każdej implikacji!
... a logika zwana KRZiP nie widzi między tymi zdaniami żadnej różnicy.

W KRZiP zdania A i B to identyczne implikacje proste prawdziwe!

Wniosek:
KRZiP to idiotyzm, to totalnie błędna matematyka!
cnd

Fundamentem wariatkowa zwanego KRZiP jest ...

Idiotyczna definicja operatora logicznego w KRZiP:
O tym czym jest wypowiedziane zdanie decyduje użyty spójnik, treść jest bez znaczenia.
Zdanie ujęte w spójnik „ ... wtedy i tylko wtedy ...” jest równoważnością niezależnie od tego co wstawimy w wykropkowane miejsca.
Zdanie „Jeśli ... to ...” jest implikacją niezależnie co wstawimy w miejsca wykropkowane.

Dowód wyżej pokazuje, iż nie jest to prawdą. Z tej idiotycznej definicji wynika, że jeśli twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością prawdziwą, a bezdyskusyjnie jest, to równocześnie twierdzenie Pitagorasa musi być implikacją prawdziwą.

Większego debilizmu to nasz Wszechświat nie widział!
Kubuś i wszyscy normalni matematycy.


7.1 Równoważność w bramkach logicznych

Zaczniemy od równoważności w bramkach logicznych bo łatwiej jest tu wytłumaczyć pojęcie implikacji wirtualnej i wirtualnego warunku koniecznego [~>].
Pojęcia te występują wyłącznie w równoważności, a ich poprawność można doskonale sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.

7.1.1
Definicja równoważności wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Schemat ideowy operatora równoważności w bramkach logicznych jest następujący.

Bramka „musi” to bramka OR z zanegowaną w środku linią p.
Tabela prawdy dla bramki „musi” =>
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

Symboliczne działanie układu równoważności:
Kod:

 p   q p<=>q| p q p<=>q       |~p ~q ~p<=>~q
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
 p=> q =1   | 1 1  =1 /p=> q=1| 0  0   =1
 p=>~q =0   | 1 0  =0 /p=>~q=1| 0  1   =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q =1   | 0 0  =1         | 1  1   =1  /~p=>~q =1
~p=> q =0   | 0 1  =0         | 1  0   =0  /~p=> q =0

Po znaku „/” uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka

Warunek wystarczający w logice dodatniej p=>q obsługuje bramka po lewej stronie bo tylko tu widzimy niezanegowane sygnały p i q.
Warunek wystarczający w logice ujemnej ~p=>~q obsługuje bramka po prawej bo tylko tu widzimy sygnały ~p i ~q.

Pełna definicja tych bramek to definicje implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Układ AND na wyjściu bramek implikacyjnych wycina warunki konieczne ~> z obu implikacji które nie są dostępne w świecie rzeczywistym, są to więc warunki konieczne [~>] wirtualne.

Gdybyśmy zwarli wyjścia bramek implikacyjnych bez pośrednictwa bramki AND to cały układ wyleciałby w powietrze, byłoby dużo dymu i smrodu.

7.1.2
O co chodzi tego z tymi bramkami?
Kod:

    p  q  p=>q   | p  q [p~>q]| p  q  p=>q | p  q  p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A:  1  1   =1    |[1  1   =1] | 1  1   =1  | 1  1    =1 / p=> q=1
B:  1  0   =0    |[1  0   =1] | 1  0   =0  | 1  0    =0 / p=>~q=0
   ~p ~q [~p~>~q]|~p ~q ~p=>~q|~p ~q ~p=>~q|
C: [1  1   =1]   | 1  1   =1  | 1  1   =1  | 0  0    =1 /~p=>~q=1
D: [1  0   =1]   | 1  0   =0  | 1  0   =0  | 0  1    =0 /~p=> q=0
    1  2    3      4  5    6    7  8    9    a  b     c

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności mamy do czynienia z wirtualnymi warunkami koniecznymi [~>] wycinanymi przez definicję równoważności, niedostępnymi w świecie rzeczywistym.

7.1.3
Bramki rożne na powyższym schemacie to:
p=>q = [~p~>~q] ## [p~>q] = ~p=>~q ## p<=>q
co odpowiada obszarom:
ABCD123 ## ABCD456 ## ABCDabc

7.1.4
Oczywiście bez trudu rozpoznajemy tu implikacje wirtualne.

Wirtualna definicja implikacji prostej:
p=>q = [~p~>~q] - obszar ABCD123

Wirtualna definicja implikacji odwrotnej:
[p~>q] = ~p=>~q - obszar ABCD456
gdzie:
[~>] - wirtualne warunki konieczne, niedostępne w świecie rzeczywistym

7.1.5
Obszar wirtualny AB456 wycinany jest przez obszar rzeczywisty AB123 tzn. w rzeczywistym punkcie B9 mamy zero wynikłe z mnożenia logicznego:
B3(0)*B6(1) = B9(0).
W świecie rzeczywistym dostępny jest wyłącznie warunek wystarczający o definicji w obszarze AB123:
A: p=>q =1
B: p=>~q=0
Podobnie:

7.1.6
Obszar wirtualny CD123 wycinany jest przez obszar rzeczywisty CD456 tzn. w rzeczywistym punkcie D9 mamy zero wynikłe z mnożenia logicznego:
D3(1)*D6(0) = D9(0).
W świecie rzeczywistym dostępny jest wyłącznie warunek wystarczający o definicji w obszarze CD456:
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q =0

7.1.7
W obszarze AB789 zakodowany jest warunek wystarczający z indywidualnym punktem odniesienia:
p=>q =1
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0

Podobnie:

7.1.8
W obszarze CD789 zakodowany jest warunek wystarczający z indywidualnym punktem odniesienia:
~p=>~q =1
~p=1, q=0
~q=1, q=0
Kod:

~p ~q ~p=>~q
 1  1   =1
 1  0   =0


7.1.9
Finałowy obszar:
ABCDabc
to kodowanie całej tabeli zero-jedynkowej ze wspólnym punktem odniesienia ustawionym na zdaniu:
p<=>q=1
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)  /Komentarz
1 1  =1                    / p=> q=1
1 0  =0                    / p=>~q=0
0 0  =1                    /~p=>~q=1
0 1  =0                    /~p=> q=0

7.1.10
Podstawowa definicja równoważności z tego układu to:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
To jedyna definicja dostępna w świecie rzeczywistym.
Nie ma tu miejsca na „rzucanie monetą”, charakterystycznego dla implikacji.
Zarówno po stronie p, jak i nie p mamy warunek wystarczający, czyli 100% determinizm.

7.1.11
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
Jak widzimy w układzie wyżej, obie definicje warunku koniecznego [~>] są spełnione na poziomie wirtualnym:
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, niedostępny w świecie rzeczywistym.

stąd:
7.1.12
Popularna definicja równoważności:
p<=>q = [p~>q]*(p=>q) =1*1=1
Dla zajścia q potrzeba [~>] i wystarcza => aby zaszło p

Nasz przykład:
TR<=>KR = [TR~>KR]*(TR=>KR)=1*1=1
Do tego aby trójkąt miał kąty równe potrzeba [~>] i wystarcza =>, aby był trójkątem równobocznym.

Oczywiście mamy tu do czynienia z wirtualnym warunkiem koniecznym [~>] o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q - prawo Kubusia
Tak wiec koniec końców i tak dowodzimy banalnego warunku wystarczającego p=>q.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:05, 29 Cze 2012, w całości zmieniany 17 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 11:05, 07 Cze 2012    Temat postu:

7.2 Równoważność w zbiorach

7.2.1
Zero-jedynkowa definicja równoważności wraz z dowodem formalnym przemienności argumentów:
Kod:

   p q  p<=>q | q p q<=>p 
A: 1 1  =1    | 1 1  =1
B: 1 0  =0    | 0 1  =0
C: 0 0  =1    | 0 0  =1
D: 0 1  =0    | 1 0  =0   
   1 2   3      4 5   6

Gdzie:
<=> - operator równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” w naturalnej logice człowieka
Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w równoważności.

7.2.2
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to q=1
sprowadzamy zmienne wejściowe p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Kod:

Definicja    |Zbiory     |Zbiory      |Definicja
zero         |definicja  |sprowadzone |symboliczna
jedynkowa    |symboliczna|do jedynek  |w warunkach wystarczających =>
Bramki log.  |Czlowiek   |            |Czlowiek
   p q p<=>q |           | 1 1 =x     | p q p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: 1 1  =1   | p* q =1   | 1*1 =1     | p=> q =1
B: 1 0  =0   | p*~q =0   | 1*1 =0     | p=>~q =0
C: 0 0  =1   |~p*~q =1   | 1*1 =1     |~p=>~q =1
D: 0 1  =0   |~p* q =0   | 1*1 =0     |~p=> q =0
   1 2   3     4  5  6                  7   8  9

W symbolicznej definicji w zbiorach łatwo wyłapać dwa warunki wystarczające.

7.2.3
1.
Obszar AB456:
Jeśli zajdzie p to na pewno=> zajdzie q (linia A456)
A: p=>q =1
bo zajście p i zajście ~q jest niemożliwe (linia B456)
B: p=> ~q=0
Zbiory:
A: p* q =1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku 1.
B: p*~q =0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q

7.2.4
2.
Obszar CD456:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q (linia C456)
C: ~p=>~q=1
bo zajście ~p i zajście q jest niemożliwe (linia D456)
D: ~p=> q =0
Zbiory:
C: ~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
D: ~p*q =0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p zbiorze ~q

7.2.5
Spełnienie warunku B i D wymusza tożsamość zbiorów:
p = q
~p = ~q

7.2.6
Stąd definicja symboliczna równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1
B: p=>~q =0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q =1
D: ~p=> q =0

W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.

7.2.7
Dowód:
1.
Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji równoważności dla punktu odniesienia:
p<=>q
czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela 1
Definicja        |Zbiory       |Definicja
symboliczna      |             |zero-jedynkowa
--------------------------------------------
   p   q  p<=>q  | p  q  p<=>q | p  q  p<=>q
--------------------------------------------
A: p=> q   =1    | p* q   =1   | 1  1   =1
B: p=>~q   =0    | p*~q   =0   | 1  0   =0
C:~p=>~q   =1    |~p*~q   =1   | 0  0   =1
D:~p=> q   =0    |~p* q   =0   | 0  1   =0
   1   2    3      4  5    6     7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                               |p=1, ~p=0
                               |q=1, ~q=0

2.
Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji równoważności dla punktu odniesienia:
~p<=>~q
czyli:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Tabela 2
Definicja        |Zbiory       |Definicja
symboliczna      |             |zero-jedynkowa
----------------------------------------------
  ~p  ~q ~p<=>~q |~p ~q ~p<=>~q|~p ~q ~p<=>~q
----------------------------------------------
A: p=> q   =1    | p* q   =1   | 0  0   =1
B: p=>~q   =0    | p*~q   =0   | 0  1   =0
C:~p=>~q   =1    |~p*~q   =1   | 1  1   =1
D:~p=> q   =0    |~p* q   =0   | 1  0   =0
   1   2    3      4  5    6     7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                               |~p=1, p=0
                               |~q=1, q=0

Zauważmy, że definicje symboliczne i tabele zbiorów w tabelach 1 i 2 są identyczne i nie zależą od przyjętego punktu odniesienia.
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenie prawa algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q

7.2.8
Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

7.2.9
Zobaczmy to wszystko na diagramie:

W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
.. albo odwrotnie.
W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q.

7.2.10
Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie <=>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=0
Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie <=>
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~p*q=0
Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.

Spełnienie warunku B i D wymusza tożsamość zbiorów:
p = q
~p = ~q

7.2.11
Tożsamość zbiorów:
A.
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q (p=>q) i każdy element zbioru q należy do zbioru p (q=>p).
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
B.
Tożsamość zbiorów po stronie p i q wymusza tożsamość zbiorów po stronie ~p i ~q (i odwrotnie):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1=1
Zbiory ~p i ~q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q (~p=>~q) i każdy element zbioru ~q należy do zbioru ~p (~q=>~p).

Zauważmy że matematycznie zachodzi:
p<=>q = ~p<=>~q

7.2.12
W poziomach A i B zachodzi:
Kod:

Tabela 1
A:  p<=>q  = (p=>q)*(q=>p)     =1*1 =1
A:  p=> q ##  q=> p

B: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
B: ~p=>~q ## ~q=>~p

gdzie:
## - różne na mocy definicji

7.2.13
Dowód nie wprost:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Załóżmy że zachodzi:
p=>q = q=>p
Wówczas definicję równoważności możemy zredukować do postaci:
p<=>q = p=>q
co jest oczywistym nonsensem.
cnd

7.2.14
W równoważności (i tylko tu) w definicjach A i B zachodzą prawa kontrapozycji (bo argumenty są przemienne):
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

7.2.15
Porządkujemy tabelę 1, aby w pionach były tożsamości:
Kod:

Tabela 2
A:  p=> q ##  q=> p
B: ~q=>~p ## ~p=>~q

Ponieważ w pionach mamy tożsamości, to wszystkie możliwe definicje równoważności w warunkach wystarczających są takie:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~p=>~q) = (~q=>~p)*(q=>p) = (~q=>~p)*(~p=>~q)
Wszystkie możliwe iloczyny logiczne między lewą i prawa stroną znaku ##.
Możliwych definicji jest zatem:
2^2=4
co widać wyżej.

Dalej mamy tak!

7.2.16
Definicja warunku koniecznego ~> obowiązująca w całym obszarze logiki matematycznej:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.

7.2.17
Implikacja
Prawa Kubusia w implikacji:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji (i tylko tu!) spójnik „może” miedzy p i q

7.2.18
Równoważność
Prawa Kubusia w równoważności:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny, wycięty przez definicję równoważności i niedostępny w świecie rzeczywistym.

7.2.19
Oczywiście w równoważności mamy 100% determinizm i nie ma tu miejsca na spójnik „może” ~> znany z implikacji, ale na poziomie wirtualnym warunek konieczny [~>] w równoważności zachodzi.

Zauważmy, że koniec końców w równoważności (także w implikacji) dowodzimy banalnych warunków wystarczających.

7.2.20
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Z tej definicji, oraz definicji warunku koniecznego [~>] wynika, że w równoważności między dowolnymi dwoma punktami zachodzą jednocześnie:
=> - warunek wystarczający rzeczywisty
[~>] - warunek konieczny wirtualny (niedostępny w świecie rzeczywistym).

7.2.21
Zastosujmy w tabeli 2 prawa Kubusia po obu stronach znaku ##:
Kod:

Tabela 3
A:    p=> q  ##   q=> p
A1: [~p~>~q] ## [~q~>~p]
B:   ~q=>~p  ##  ~p=>~q
B1: [ q~> p] ## [ p~> q]

Po obu stronach znaku ## mamy matematyczne tożsamości, zatem wszystkich możliwych definicji równoważności mamy:
4^2 = 16
Mnożymy logicznie każdy składnik przez każdy po obu stronach znaku ##.

7.2.22
Oczywiście najważniejsze definicje równoważności to definicje w warunkach wystarczających =>:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~p=>~q) = (~q=>~p)*(q=>p) = (~q=>~p)*(~p=>~q)

7.2.23
Najciekawszą definicją spoza tego grona jest ta definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Do tego aby zaszło q potrzeba [~>] i wystarcza => aby zaszło p.
Równoważność, to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego [~>] między p i q.

7.2.24
Przykład:
Trójkąt ma kąty równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
KR<=>TR = (KR=>TR)*[KR~>TR]

Dla zbudowania trójkąta równobocznego potrzeba [~>] i wystarcza => aby miał kąty równe.
KR<=>TR = [KR~>TR]*(KR=>TR)

7.2.25
Definicja ogólna:
p<=>q = [p~>q]*(p=>q)

Oczywiście w praktyce korzystamy z zależności:
[p~>q] = ~p=>~q = q=>p
i dowodzimy jedną z definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
lub
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1

Równoważność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy udowodnimy oba warunki wystarczające po prawej stronie znaku <=>.

7.2.26
Na zakończenie dowody formalne dla tabeli 3:
Kod:

Tabela 3
A:    p=> q  ##   q=> p
A1: [~p~>~q] ## [~q~>~p]
B:   ~q=>~p  ##  ~p=>~q
B1: [ q~> p] ## [ p~> q]


Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q = [~p~>~q]
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q [p~>q] = ~p=>~q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0


7.2.27
Lewa strona znaku ##:
Kod:

p q ~p ~q p=>q [~p~>~q] q p ~q ~p [q~>p] ~q=>~p
1 1  0  0  =1     =1    1 1  0  0   =1     =1
1 0  0  1  =0     =0    0 1  1  0   =0     =0
0 0  1  1  =1     =1    0 0  1  1   =1     =1
0 1  1  0  =1     =1    1 0  0  1   =1     =1

Doskonale widać zachodzącą tożsamość:
p=>q = [~p~>~q] = [q~>p] = ~q=>~p
gdzie:
[~>] – wirtualne warunki konieczne wycinane przez definicję równoważności.

7.2.28
Prawa strona znaku ##:
Kod:

q p ~q ~p q=>p [~q~>~p] p q ~p ~q [p~>q] ~p=>~q
1 1  0  0  =1     =1    1 1  0  0   =1     =1
0 1  1  0  =1     =1    1 0  0  1   =1     =1
0 0  1  1  =1     =1    0 0  1  1   =1     =1
1 0  0  1  =0     =0    0 1  1  0   =0     =0

Doskonale widać zachodzącą tożsamość:
q=>p = [~q~>~p] = [p~>q] = ~p=>~q
gdzie:
[~>] – wirtualne warunki konieczne wycinane przez definicję równoważności.

7.2.29
Powyższe tabele są poprawne tylko i wyłącznie dlatego iż opisują równoważność o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
W równoważności argumenty są przemienne, tylko i wyłącznie tu mamy dwie gwarancje matematyczne:
p=>q=1
q=>p=1
W implikacji jeden z powyższych warunków wystarczających jest prawdziwy a drugi fałszywy.
W implikacji argumenty nie są przemienne:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0

7.2.30
Oczywiście matematycznie zachodzi:
p=>q = [~p~>~q] = [q~>p] = ~q=>~p ## q=>p = [~q~>~p] = [p~>q] = ~p=>~q

7.2.31
W bramkach logicznych jeśli połączymy wyjścia:
p=>q i [p~>q]
to zobaczymy dużo dymu i smrodu, te układy logiczne nie są tożsame.

7.2.32
Wyjścia układów:
p=>q i [p~>q]
możemy połączyć jedynie poprzez bramkę AND, otrzymując definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] =1*1=1
Oczywiście wszystkich możliwych definicji równoważności na mocy powyższych tożsamości jest 4^2=16.

4.2.33
Najważniejsze z nich to oczywiście definicje równoważności w warunkach wystarczających:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = (~q=>~p)*(q=>p) = (~q=>~p)*(~p=>~q)
cnd

4.2.34
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[KR~>TR]
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = (TR=>KR)*(KR=>TR) = (~KR=>~TR)*(KR=>TR) = (~KR=>~TR)*(~TR=>~KR)


7.3 Wirtualny warunek konieczny [~>]

Z implikacjami wirtualnymi i warunkiem koniecznym wirtualnym zapoznaliśmy się już w punkcie 7.1 omawiając bramkę logiczną równoważności. W tym punkcie pokażemy to samo na poziomie symbolicznym.

7.3.1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnych definicji implikacji prostej i odwrotnej.
gdzie:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym

Kod:

Wirtualna       Wirtualna
implikacja      implikacja
prosta          odwrotna
p=>q=[~p~>~q]   [p~>q]=~p=>~q    p<=>q=(p=>q)*[p~>q]=(p=>q)*(~p=>~q)
--------------------------------------------------------------------
A:  p=> q=1      [p~>  q=1]        =1
B:  p=>~q=0      [p~~>~q=1]        =0
C:[~p~>~q=1]     ~p=> ~q=1         =1
D:[~p~~>q=1]     ~p=>  q=0         =0
    1   2 3       4    5 6          7

gdzie:
[…] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym

7.3.2
Uwaga:
W iloczynie logicznym:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
mnożone są wynikowe zera i jedynki w odpowiednich liniach.
A: 1*1=1
B: 0*1=0
C: 1*1=1
D: 1*0=0

7.3.3
Wirtualny warunek konieczny w implikacji odwrotnej (linie AB456):
[p~>q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji prostej (AB123) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach A i B widzimy wyłącznie warunek wystarczający AB123:
p=>q = 1 - gwarancja matematyczna w wirtualnej implikacji prostej

Analogicznie:
7.3.4
Warunek konieczny w implikacji prostej (linie CD123):
[~p~>~q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji odwrotnej (CD456) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach C i D widzimy wyłącznie warunek wystarczający CD456.
~p=>~q = 1 - gwarancja matematyczna w wirtualnej implikacji odwrotnej

7.3.5
Stąd mamy:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w kierunku p=>q:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q=1
[p~>q] = ~p=>~q =1

7.3.6
Definicja równoważności w postaci gwarancji matematycznych:
Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A123: p=>q=1
C456: ~p=>~q=1

Na podstawie powyższego mamy.

7.3.7
Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wynikły z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
D: ~p=> q=0 - twardy fałsz wynikły z C
    1   2 3

Definicja równoważności:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:

7.3.8
Możliwe są dwie równoważne interpretacje słowne prawej strony równania:
A.
p=>q - warunek wystarczający o definicji w liniach A i B
~p=>~q - warunek wystarczający o definicji w liniach C i D
B.
p=>q - wirtualna implikacja prosta w logice dodatniej (bo q), gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie C i D powyższej definicji i niedostępne w świecie rzeczywistym.
~p=>~q - wirtualna implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q), gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie A i B powyższej definicji i niedostępne w świecie rzeczywistym.

7.3.9
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Dowód poprzez analizę wszystkich możliwych przeczeń TR i KR.
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
TR=>KR - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A

… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR=>KR = ~TR=>~KR
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
~TR=>~KR - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno =>ma kąty równe
~TR=>KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C

7.3.10
Kodowanie zero-jedynkowe dla naszego przykładu:
Kod:

Definicja symboliczna     |Definicja zero-jedynkowa
TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Warunek wystarczający
TR=>KR                    |TR  KR  TR<=>KR      |~TR ~KR ~TR<=>~KR
A: TR=>KR  =1             |1    1  =1 /TR=> KR=1|  0  0  =1
B: TR=>~KR =0             |1    0  =0 /TR=>~KR=0|  0  1  =0
~TR<=>~KR=(~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający
~TR=>~KR
C: ~TR=>~KR=1             |0    0  =1           |  1  1  =1 /~TR=>~KR=1
D: ~TR=>KR =0             |0    1  =0           |  1  0  =0 /~TR=> KR=0
     1   2  3              4    5   6              7  8   9
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z nagłówkiem tabeli
                          |TR=1, ~TR=0        |~TR=1, TR=0
                          |KR=1, ~KR=0        |~TR=1, KR=0

W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Jak widzimy, zarówno w logice dodatniej:
p<=>q - logika dodatnia bo q
jak i ujemnej:
~p<=>~q - logika ujemna bo ~q
mamy identyczną tabelę zero jedynkową operatora równoważności.
Zauważmy, że kodowanie zero-jedynkowe nie wpływa na treść zdań A,B,C,D w definicji symbolicznej.

7.3.11
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo TR):
TR=>KR=1
Obsługują wyłącznie obszary AB123 i AB456, bowiem tylko tu widzimy niezanegowane TR.

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~TR):
~TR=>~KR=1
Obsługują wyłącznie obszary CD123 i CD789, bowiem tylko tu widzimy zanegowane TR.

7.3.12
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
… jak w tabeli wyżej.

Wynika z tego że:
1.
Zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych obowiązują dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani q.
2.
Implikacja i równoważność to matematyczny opis nieznanego!

7.3.13
Dla konkretnego wylosowanego trójkąta mamy do czynienia wyłącznie z operatorem AND, bo taki świat jest zdeterminowany gdzie obowiązuje prawo Sowy.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Oczywiście prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

7.3.14
Załóżmy, że wylosowaliśmy trójkąt równoboczny.
W tym momencie nasz świat jest w 100% zdeterminowany:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Nasza tabela zero-jedynkowa przyjmuje postać:
Kod:

TR=1 - rozpatrujemy konkretny trójkąt równoboczny (wylosowany)
   TR  KR |  TR  KR Y=TR*KR
-----------------------------
A: TR* KR |  1 * 1  =1
B: TR*~KR |  1 * 0  =0
C:~TR*~KR |  0 * 0  =0
D:~TR* KR |  0 * 1  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
          |TR=1, ~TR=0
          |KR=1, ~KR=0

Oczywiście to jest tabela zero-jedynkowa operatora AND!
Prawo Sowy działa wiec doskonale.

7.3.15
Załóżmy teraz, że wylosowaliśmy trójkąt nierównoboczny.
W tym momencie nasz świat jest w 100% zdeterminowany:
~TR=1, TR=0
~KR=1, KR=0
Nasza tabela zero-jedynkowa przyjmuje postać:
Kod:

~TR=1 - rozpatrujemy konkretny trójkąt nierównoboczny (wylosowany)
  ~TR ~KR | ~TR ~KR Y=~TR*~KR
-----------------------------
A: TR* KR |  0 * 0  =0
B: TR*~KR |  0 * 1  =0
C:~TR*~KR |  1 * 1  =1
D:~TR* KR |  1 * 0  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
          |~TR=1, TR=0
          |~KR=1, KR=0

Oczywiście to jest tabela zero-jedynkowa operatora AND!
Również w tym przypadku prawo Sowy działa doskonale.

Doskonale widać, że dla nieskończonej ilości losowań otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora równoważności. Pudełka A i C będą niepuste, natomiast pudełka B i D będą puste.


8.0 Najważniejsze definicje równoważności i implikacji

Całą logikę matematyczną w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do badania dwóch banalnych warunków wystarczających.

8.0.1
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A: p=> q =1
B: p=>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zdanie B musi być fałszem

8.0.2
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

A: ~p=>~q =1
B: ~p=> q =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zdanie B musi być fałszem

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

8.0.3
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:

Implikacja
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
gdzie:
~> - rzeczywisty warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q

Równoważność
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności warunek konieczny [~>] wycinany jest przez definicję równoważności, stąd dostępny jest wyłącznie na poziomie wirtualnym.


8.1 Definicje w warunkach wystarczających i koniecznych

8.1.1
1.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego [~>] w kierunku p=>q:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
czyli:
p=>q =1
[p~>q] = ~p=>~q =1
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny niedostępny w świecie rzeczywistym

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*1 =1

8.1.2
2.
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => w kierunku p=>q:
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q =0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
P8~>P2 = ~P8=>~P2 =0 bo 2

8.1.3
3.
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego w kierunku p~>q
p~>q = ~p=>~q =1
p=>q =0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
P2=>P8 =0 bo 8


8.2 Definicje w gwarancjach matematycznych

8.2.1
1.
Równoważność to dwie gwarancje matematyczne:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
GW1: p=>q=1
GW2: ~p=>~q=1

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*1 =1
GW1: TR=>KR =1
GW2: ~TR=>~KR =1

8.2.2
2.
Implikacja prosta to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna w kierunku p=>q:
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
GW1: p=>q=1
GW2: ~p=>~q=0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
GW1: P8=>P2=1
GW2: ~P8=>~P2 =0 bo 2

8.3.3
3.
Implikacja odwrotna to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna w kierunku ~p=>~q:
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
GW2: p~>q = ~p=>~q =1
GW1: p=>q =0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
GW2: ~P2=>~P8 =1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
GW1: P2=>P8 =0 bo 8


8.3 Definicje wykorzystujące przemienność argumentów

8.3.1
1.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to wynikanie => w dwie strony (przemienność argumentów):
p=>q =1
q=>p =1

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) =1*1 =1
TR=>KR =1
KR=>TR =1

W równoważności (i tylko tu) zachodzi prawo kontrapozycji:
q=>p = ~p=>~q
stąd:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~p=>~q)

8.3.2
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~p=>~q)
stąd:
Jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający w jedną stronę i wykluczymy warunek wystarczający w drugą stronę to zdanie będzie implikacją.

8.3.3
Definicja implikacji prostej:
p=>q = p~>~q
p=>q=1
q=>p=0
Przykład:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
p=>q=1
Sprawdzamy q=>p:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
q=>p =0
Wniosek:
Zdanie 1 spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 =1

8.3.4
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p=>q=0
q=>p=1

Jeśli udowodnimy:
p=>q=0
to zdanie p~>q może być:
A.
Implikacją odwrotną prawdziwą jeśli udowodnimy q=>p=1
B.
Operatorem chaosu ~~> jeśli również q=>p=0

Przykład implikacji odwrotnej:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 16
Sprawdzamy p=>q:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 8
p=>q=0
Sprawdzamy q=>p:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
q=>p =1
Wniosek:
Zdanie 1 spełnia definicję implikacji odwrotnej, w skrócie, jest implikacją odwrotną prawdziwą:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
cnd

Przykład operatora chaosu:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Sprawdzamy p=>q:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to na pewno => jest podzielna przez 8
P3=>P8=0 bo 3
p=>q =0
Sprawdzamy q=>p:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3
P8=>P3=0 bo 8
q=>p =0
Wniosek:
Zdanie 1 spełnia definicję operatora chaosu ~~>, prawdziwe są wszelkie możliwe przeczenia p i q.
cnd


8.4 Definicje wykorzystujące ilość zbiorów

8.4.1
Definicja równoważności:
Kod:

   Definicja |Zbiory       |Definicja
   zero      |             |operatorowa
   jedynkowa |             |
   p q p<=>q | p  q  p<=>q | p   q p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: 1 1  =1   | p* q   =1   | p=> q  =1 /warunek wystarczający dla q
B: 1 0  =0   | p*~q   =0   | p=>~q  =0 /o definicji w A i B
C: 0 0  =1   |~p*~q   =1   |~p=>~q  =1 /warunek wystarczający dla ~q
D: 0 1  =0   |~p* q   =0   |~p=> q  =0 /o definicji w C i D

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne:
A: p*q=1
C: ~p*~q=1
Pozostałe zbiory musza być puste, czyli wynik ich iloczynu logicznego musi być równy zeru:
B: p*~q=0 - zbiory p i ~q muszą być rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
D: ~p*q=0 - zbiory ~p i q muszą być rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

Linie B i D wymuszają tożsamość zbiorów:
p = q
~p = ~q
W równoważności zbiór ~p=~q jest dopełnieniem do dziedziny zbioru p=q

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = 1*1=1
Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne:
TR=>KR=1
~TR=>~KR=1
Tożsamość zbiorów:
TR = KR
~TR = ~KR
jest oczywista

Uwaga:
Zbiór trójkątów nierównobocznych (~TR=1) jest dopełnieniem do dziedziny trójkątów równobocznych (TR=1), albo odwrotnie, zbiór trójkątów równobocznych (TR=1) jest dopełnieniem do dziedziny trójkątów nierównobocznych (~TR=1)
gdzie:
Dziedzina = zbiór wszystkich możliwych trójkątów

8.4.2
Definicja implikacji prostej:
Kod:

   Definicja |Zbiory      |Definicja operatorowa
   zero      |            |
   jedynkowa |            |
   p q p=>q  | p  q  p=>q | p   q p=>q
A: 1 1  =1   | p* q   =1  | p=> q  =1 /warunek wystarczający dla q
B: 1 0  =0   | p*~q   =0  | p=>~q  =0 /o definicji w A i B
C: 0 0  =1   |~p*~q   =1  |~p~>~q  =1 /warunek konieczny dla ~q
D: 0 1  =1   |~p* q   =1  |~p~~>q  =1

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny o definicji:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
C: ~p~>~q = A: p=>q
W linii D warunek konieczny nie zachodzi bo:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Linia D jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Implikacja prosta to trzy zbiory rozłączne:
A: p*q=1
C: ~p*~q=1
D: ~p*q=1
Pozostałe zbiory musza być puste, czyli wynik ich iloczynu logicznego musi być równy zeru:
B: p*~q=0 - zbiory p i ~q musza być rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

Żadne z powyższych zbiorów A, C, D nie są tożsame (zbiór B nie istnieje).

Zbiór:
C: ~p*~q =1
nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru:
A: p*q =1
bowiem poza tymi zbiorami występuje trzeci zbiór:
D: ~p*q=1

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
A: P8=>P2=1 bo 8,16,24... - zbiór gwarantowany
C: ~P8*~P2=1 bo 3,5,7... - zbiór poza gwarancją
D: ~P8*P2=1 bo 2,4,6 ... - zbiór poza gwarancją

8.4.3
Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   Definicja |Zbiory      |Definicja operatorowa
   zero      |            |
   jedynkowa |            |
   p q p~>q  | p  q  p~>q | p   q p~>q
A: 1 1  =1   | p* q   =1  | p~> q  =1 /warunek konieczny dla q
B: 1 0  =1   | p*~q   =1  | p~~>~q =1
C: 0 0  =1   |~p*~q   =1  |~p=>~q  =1 /warunek wystarczający dla ~q
D: 0 1  =0   |~p* q   =0  |~p=> q  =0 /o definicji w C i D

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny o definicji:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
A: p~>q = C: ~p=>~q
W linii B warunek konieczny nie zachodzi bo:
B: p~>~q = D: ~p=>q =0
Linia B jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
Implikacja odwrotna to trzy zbiory rozłączne:
A: p*q=1
B: p*~q=1
C: ~p*~q=1
Pozostałe zbiory musza być puste, czyli wynik ich iloczynu logicznego musi być równy zeru:
D: ~p*q=0 - zbiory ~p i q muszą być rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

Żadne z powyższych zbiorów A, B, C nie są tożsame (zbiór D nie istnieje).

Zbiór:
C: ~p*~q =1
nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru:
A: p*q =1
bowiem poza tymi zbiorami występuje trzeci zbiór:
B: p*~q=1

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=~P2=>~P8=1
A: P2*P8 =1 bo 8,16,24 ... - zbiór poza gwarancją
B: P2*~P8=1 bo 2,4,6... - zbiór poza gwarancją
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C: ~P2*~P8=1 bo 3,5,7... - zbiór gwarantowany

8.4.4
Podsumowanie:
1.
Zbiór gwarantowany w implikacji prostej:
P8=>P2=1
P8*P2=1 bo 8,16,24... - zbiór gwarantowany
Zbiór gwarantowany w implikacji odwrotnej:
P2~>P8 = ~P2=>~P8=1
~P2*~P8=1 bo 3,5,7
2.
Zauważmy że zbiór gwarantowany w implikacji odwrotnej:
~P2*~P8=1 bo 3,5,7...
nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru gwarantowanego przez implikacje prostą:
P8*P2=1 bo 8,16,24...
bowiem poza tymi gwarancjami znajduje się trzeci zbiór:
~P8*P2 = P2*~P8 =1 bo 2,4,6...

3.
Gdyby zachodziło wspomniane wyżej dopełnienie, to mielibyśmy do czynienia z równoważnością a nie z implikacją, czyli z zupełnie inną bajką (patrz wyżej).

4.
To jest dowód iż implikacji prosta to zupełnie co innego niż implikacja odwrotna:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Owszem, możemy przyjąć sztywny punkt odniesienia ustawiony na zdaniu:
p=>q
... ale wówczas równanie ogólne implikacji przybierze postać:
p=>q = ~p~>~q ## q~>q = ~q=>~p
Nasz przykład:
P8=>P2 = ~P8~>P2=1 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji


9.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych

9.0.1
Operatorowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q p<=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p=> q =0    /o definicji w C i D

Definicja operatorowe równoważności:
I.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej

Stąd definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


9.0.2
II.
W równoważności (i tylko tu) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

9.0.3
Inna równoważna definicja równoważności:
III.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego [~>] w kierunku p=>q
A: p=>q =1
B: [p~>q] = ~p=>~q =1
Dla zajścia q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, (niedostępny w świecie rzeczywistym) o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q
Jak widzimy koniec końców i tak wszystko sprowadza się do badania warunku wystarczającego =>.

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Do tego aby trójkąt miał kąty równe potrzeba [~>] i wystarcza => aby był równoboczny

9.0.4
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
TR=>~KR=0
stąd w zdaniu A zachodzi warunek wystarczający:
Bycie trójkątem równobocznym wystarcza, aby miał kąty równe
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR) spełniony.

Z definicji równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*? =?
Badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0
stąd w zdaniu C zachodzi warunek wystarczający:
Bycie trójkątem nierównobocznym wystarcza, aby nie miał on katów równych.
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR) spełniony.

Na mocy powyższego spełniona jest definicja równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = 1*1 =1

Nasza analiza w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

  TR KR TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR)
-----------------------------------
A: 1  1   =1  | TR=> KR =1
B: 1  0   =0  | TR=>~KR =0
C: 0  0   =1  |~TR=>~KR =1
D: 0  1   =0  |~TR=> KR =0

Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
TR<=>KR
Stąd:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1

Oczywiście zdania po prawej stronie to tylko i wyłącznie warunki wystarczające:
TR=>KR=1 - warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B
~TR=>~KR=1 - warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach C i D
To nie są implikacje proste!

9.0.5
Twierdzenie:
Jeśli cokolwiek jest równoważnością prawdziwą to nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
Dowód:
Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji równoważności i implikacji.

9.0.6
Alternatywnie w punktach C i D możemy skorzystać z równoważnej definicji równoważności i badać prawdziwość twierdzenia odwrotnego q=>p:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)=1*1=1

9.0.7
W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q

Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunek wystarczający p=>q (linie A i B) oraz dodatkowo udowodnimy zachodzenie C i D, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający C i jeden przypadek spełniający D.


9.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych

Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych:
I.
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q
II.
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Jeśli oba warunki są spełnione to mamy do czynienia z równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
Jeśli jeden warunek (dowolny) jest spełniony a drugi nie jest spełniony to mamy do czynienia z implikacją.
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
~p=>~q = p~>q - definicja implikacji odwrotnej

Jeśli oba warunki wystarczające => są niespełnione to mamy do czynienia z operatorem chaosu ~~>, gdzie wszystkie zdania z dowolnymi przeczeniami p i q są prawdziwe.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3=1 bo 1
~P8~~>P3=1 bo 3
gdzie:
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy


9.2 Dowodzenie warunku wystarczającego

9.2.1
Twierdzenie:
Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone w spójniku „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie warunek wystarczający.

Dla rozstrzygnięcia czy dane twierdzenie jest równoważnością czy też czymś fundamentalnie innym, implikacją, konieczny jest dodatkowy dowód, o czym za chwilę.

9.2.2
W całym obszarze logiki zdanie:
Jeśli p to q
Jest równoważne zdaniu:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q

Wynika z tego, że w logice spójnik „na pewno” => jest domyślny i nie musi być wypowiadany
Przykład zdań tożsamych:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=1

9.2.3
Sposób I
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
z czego wynika że linia B musi być twardym fałszem
czyli:
Bierzemy kolejno wszystkie obiekty spełniające warunek p i badamy czy dla każdego z nich zachodzi q
Obiektów spełniających warunek ~p nie rozpatrujemy, bowiem w poprzedniku warunku wystarczającego mamy filtr „Jeśli zajdzie p”

9.2.4
Twierdzenie:
Prawdziwość dowolnego zdania:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
dowodzimy rozpatrując wyłącznie obiekty precyzyjnie zdefiniowane w poprzedniku p.
Dowód wyżej.

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR
Rozpatrujemy wyłącznie trójkąty równoboczne badając czy każdy z nich ma kąty równe.
Trójkątów nierównobocznych nie rozpatrujemy, bowiem w poprzedniku warunku wystarczającego mamy filtr „Jeśli trójkąt jest równoboczny”

9.2.5
Sposób II
Drugi, bardzo ważny sposób dowodzenia warunku wystarczającego => to szukanie kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu:
Kod:

A: p~~> q=1
B: p~~>~q=1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
gdzie:
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy

Jeśli zdania A i B są prawdziwe, to warunek wystarczający nie zachodzi:
p=>q =0
Jeśli zdanie A jest prawdziwe i wykluczymy B to warunek wystarczający zachodzi:
p=>q =1

Nasz przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Dowód poprzez wykluczenie kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu:
A: TR~~>KR=1 - wystarczy pokazać jeden taki trójkąt
B: TR~~>~KR=0
Oczywiście tu kontrprzykładu B nie znajdziemy, co jest dowodem iż zdanie A spełnia definicję warunku wystarczającego =>.
TR=>KR=1

9.2.6
... ale weźmy takie zdanie.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3
P8=>P3=0 bo kontrprzykład: 8

Dowód z wykorzystaniem definicji kontrprzykładu:
P8~~>P3=1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8 - kontrprzykład
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy
Wniosek:
Zdanie A nie spełnia definicji warunku wystarczającego =>.
P8=>P3=0 bo 8
bo istnieje kontrprzykład

9.2.7
Warunek wystarczający w algebrze Kubusia:
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Zajście p wystarcza dla zajścia q
Z czego wynika że zbiór p musi się zawierać w całości w zbiorze q

Dokładnie to samo co wyżej w zapisie kwantyfikatorowym

Warunek wystarczający w zapisie kwantyfikatorowym:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)

W definicji kwantyfikatora wyrażenie „Jeśli zajdzie p(x)” jest filtrem na mocy którego rozpatrujemy wyłącznie obiekty zgodne z p(x)

Kwantyfikatory używane są wyłącznie w matematyce, w naturalnym języku mówionym obowiązuje algebra Kubusia bez żadnych bzdur w postaci kwantyfikatorów.
Kwantyfikatory duży to naturalny wniosek z definicji warunku wystarczającego:
p=>q=1
p=>~q=0
... ale w języku mówionym TOTALNIE nie używany.

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe
TR=>KR
Zdanie A w zapisie kwantyfikatorowym:
/\TR TR(x)=>KR(x)
czyli:
Dla każdego wylosowanego trójkąta x, jeśli trójkąt x jest równoboczny, to na pewno => trójkąt x ma kąty równe.
Wytłuszczono filtr na mocy którego mamy zakaz rozpatrywania trójkątów nierównobocznych.


9.3 Dowodzenie warunku koniecznego

9.3.1
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” (nie w równoważności!) między p i q o definicji wyżej
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, nie jest to spójnik „może” miedzy p i q, bowiem w równoważności na mocy definicji mamy zakaz „rzucania monetą” charakterystyczny w implikacji.

9.3.2
Zdanie:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
może być:
1.
Zdaniem prawdziwym, jeśli istnieje część wspólna zbiorów p i q
2.
Zdaniem fałszywym, gdy zbiory p i q są rozłączne

9.3.3
Przykład 1.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Prawa strona jest prawdą zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>
B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, mrówka, wąż

9.3.4
Przykład 2.
A.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura, mrówka, wąż
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L=1
Prawa strona jest prawdą zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies

9.3.5
Przykład 3.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń, hipopotam...
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0 bo każdy pies ma cztery łapy
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu A nie zachodzi warunek konieczny ~>
Zdanie A jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Odpowiednikiem naturalnego spójnika „może” ~~> w świecie kwantyfikatorów jest kwantyfikator mały.
Algebra Kubusia:
p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
Wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Kwantyfikatorowo:
\/x p(x)~~>q(x)
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to zajdzie q(x)

Kwantyfikatory używane są wyłącznie w matematyce, w naturalnym języku mówionym obowiązuje algebra Kubusia, gdzie są one zbędne na mocy definicji które podano wyżej.

Zauważmy, że w logice istnieje warunek konieczny ~>, także spójnik „może” w implikacji, będący czymś fundamentalnie innym niż naturalny spójnik „może” ~~>.
Jak widzimy kwantyfikator mały leży tu i kwiczy. Nie da się opisać dwóch fundamentalnie różnych spójników może (~> i ~~>) jednym symbolem, to fizycznie niemożliwe.
cnd

9.3.6
Przykład 4.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Zbiory P8 i P2 mają cześć wspólną, zatem to zdanie jest prawdziwe
Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden przypadek.

To zdanie jest zaczynem szukania czegoś większego, czyli implikacji lub równoważności.
Zauważamy bowiem, że powyższe zdanie jest prawdziwe także dla liczb: 16, 24 ...
W tym momencie zadajemy sobie pytanie czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla dowolnej liczby podzielnej przez 8.

9.3.7
Formułujemy twierdzenie matematyczne:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Pozostaje „drobiazg”, udowodnić to twierdzenie.

9.3.8
Przykład 5.
Jeśli pies ma cztery łapy to kura ma dwie nogi
P4L=>K2N =0
Zbiór psów jest rozłączny ze zbiorem kur, zatem to zdanie jest fałszywe


10.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.

10.1.1
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


10.1.2
Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

10.1.3
Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.

10.1.4
Dowolny operator logiczny jest jednoznacznie zdefiniowany tabelą zero-jedynkową i nie ma tu miejsca na jego niejednoznaczną interpretację. Argumenty w dowolnym operatorze logicznym mogą być albo przemienne (AND, OR, <=>), albo nieprzemienne (implikacja prosta i implikacja odwrotna).


10.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego

Zajmijmy się operatorami dotychczas nie omówionymi.

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 - lampka zaświecona
Y=0 - lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
Fizyczna realizacja takiej czarnej skrzynki w technice TTL jest banalna. W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem że … krasnoludki są na świecie.


10.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)

10.2.1
Definicje ~~> i N(~~>)
Kod:

p q Y=p~~>q Y=~(p~~>q)
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Jak widzimy po wybraniu operatora ~~> krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też ten człowieczek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator N(~~>) to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).

10.2.3
Zdanie zawsze prawdziwe to operator chaosu ~~>, gdzie prawdziwe są wszelkie możliwe przeczenia p i q
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W operatorze ~~> możemy sobie długo i namiętnie zaprzeczać p i q, wartość funkcji będzie niewzruszona Y=1.
Kod:

p q Y=p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


10.2.4
Dokładnie to samo w równaniu algebry Boole’a opisującym powyższą tabelę
Y = p~~>q = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
p+~p=1
p*1=1

Oczywiście operator:
Y=1 ma zero argumentów
cnd

10.2.5
Operator ~~> to naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, to ścisły odpowiednik kwantyfikatora małego „istnieje takie x że:”
Znaczek ~~> jest jednocześnie spójnikiem i operatorem, bo równanie algebry Boole’a opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Analiza przez wszystkie możliwe przeczenia:
Kod:

 P8~~> P3=1 bo 24
 P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3=1 bo 5
~P8~~> P3=1 bo 3


10.2.6
Weźmy na zakończenie operator śmierci N(~~>q) w równaniach algebry Boole’a.
Operator śmierci to stan naszego wszechświata przed jego stworzeniem, żadne pojęcie nie jest zdefiniowane, stąd wartość logiczna dowolnych przeczeń p i q jest równa zeru.
Kod:

p q Y=N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0

Operator śmierci w tabeli symbolicznej:
Kod:

 p  q  Y=N(p~~>q)
 p  q  =0
 p ~q  =0
~p*~q  =0
~p* q  =0

10.2.7
Stąd równanie w algebrze Kubusia (w naturalnej logice człowieka):
~Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
mamy:
~Y=1
Negujemy stronami:
Y=0
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=0
cnd


10.3 Operatory transmisji P i Q

10.3.1
Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


10.3.2
Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

10.3.3
Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


10.3.4
Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

10.3.5
Operator transmisji w zbiorach:

Y=p

10.3.6
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1


10.4 operatory negacji NP i NQ

10.4.1
Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


10.4.2
Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1

Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

10.4.3
Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

10.4.4
Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

10.4.5
Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q

10.4.6
Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia (Boole’a)
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Dowód formalny:
Kod:

~Y=p  Y=~p  ~Y=~(~p)
  1    =0     =1
  0    =1     =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.

Operator negacji w zbiorach:

Y=~p

10.4.7
Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:40, 29 Cze 2012, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 11:06, 07 Cze 2012    Temat postu:

11.0 Algebra zbiorów rozłącznych

W tym rozdziale omówimy mało ważne i rzadkie zastosowanie algebry Kubusia.
Są to zdania prawdziwe typu:
Pies to nie kot
Pies to nie samochód
itd.

11.1 Operator XOR

Operator XOR opisuje zbiory rozłączne.

11.1.1
Definicja:
Kod:

p q pXORq
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0
1 1  =0

p XOR q = p*~q + ~p*q


11.1.2
Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
C.
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
D.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
pXORq = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji na mocy teorii zbiorów

11.1.3
Tabela XOR dla dwóch zbiorów:
Kod:

           |Definicja symboliczna |Definicja symboliczna
p q pXORq  |Teoria zbiorów        |Warunki wystarczające
1 0  =1    | p*~q =1              | p=>~q=1
1 1  =0    | p* q =0              | p=> q=0
0 1  =1    |~p* q =1              |~p=> q=1
0 0  =0    |~p*~q =0              |~p=>~q=0

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Warunki wystarczające opisane są prawidłowo wyłącznie dla przypadku gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q jest zbiorem pustym.
~p*~q=0
Zachodzi wówczas równoważność jak niżej.

11.1.4
Nietypowa równoważność dla zbiorów rozłącznych:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)=1*1=1

11.1.5
Przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)=1*1=1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej
Dziedzina: człowiek
Możliwe zbiory: mężczyzna, kobieta
Stąd poprawność powyższej równoważności

11.1.6
Nietypowa implikacja prosta dla zbiorów rozłącznych:

Definicja warunku wystarczającego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

p=>~q=1
Zbiory:
p*~q=1*1=1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku jeden
p=> q=0
Zbiory:
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne,
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

p=>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
Zajście p wystarcza dla zajścia ~q

11.1.7

Definicja warunku koniecznego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

~p~> q=1
Zbiory:
~p*q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną,
co wymusza w wyniku jeden
~p~~>~q=1
Zbiory:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną,
co wymusza w wyniku jeden

~p~>q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p jest warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
~> - warunek koniczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
~p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

11.1.8
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Bycie psem wystarcza aby nie być kotem
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest kotem
P=>K=0 - zbiory rozłączne
... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..

11.1.9
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Kod:

               |P ~K P=>~K
A: P=>~K=1     |1  1  =1
B: P=> K=0     |1  0  =0
C:~P~> K=1     |0  0  =1
D:~P~~>~K=1    |0  1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
               |P=1, ~P=0
               |~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”

11.1.10
Ciekawy jest wyjątek gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma milion łap
P=>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

11.1.11
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML p=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P=> ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.

11.1.12
Identyczną analizę otrzymamy gdy zbiór q należy do innej dziedziny niż zbiór p

A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
Bycie psem wystarcza aby nie być samochodem
Dziedzina po stronie p: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q: zbiór wszystkich maszyn jeżdżących
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest samochodem
P=>S=0
Zbiory:
P*S=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym (S=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

.. a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może być samochodem
~P~>S=0
Zbiory:
~P*S = 1*0=0
Zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym, stąd w wyniku zero.
W linii C będziemy mieli sekwencję (0 0 =0) co wyklucza zarówno implikację, jak i równoważność.
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym o definicji w liniach A i B.


11.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności

11.2.1
Implikacja

Rozważmy dwa zbiory p i q...
Wspólna dziedzina: zbiór liczb naturalnych

11.2.2
Zbiór p:
p=[2]
~p = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2
Dla poprzednika p musi być spełniony fundament algebry Boole’a
p+~p=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
p*~p=0 - zbiory rozłączne
ok.

11.2.3
Zbiór q:
q=[2,3]
~q = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2,3
Także dla następnika q musi być spełniony fundament algebry Boole’a:
q+~q=1 - ~q jest uzupełnieniem q do dziedziny
q*~q=0 - zbiory rozłączne
ok.

11.2.4
Twierdzenie:
W implikacji i równoważności po stronie p i q musi być spełniony fundament algebry Boole’a!
p+~p=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
p*~p=0 - zbiory rozłączne

11.2.5
Wnioski:
1.
Dla wyżej wymienionych zbiorów spełniony jest warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
2.
Zbiory p i q nie są tożsame, zatem na pewno to jest implikacja prosta (równoważność wykluczona).

11.2.6


A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 bo 2
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną (2), co wymusza w wyniku jeden.
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=0
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

11.2.7


C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 bo 4,5,6....
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> aby zaszło ~q (bo 3)
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną (4,5,6...), co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 bo 3
Zbiory:
~p*q=3
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną (3), co wymusza w wyniku jeden.

11.2.8
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji prostej.
Kod:

             |p q p=>q
A: p=> q=1   |1 1 =1
B: p=>~q=0   |1 0 =0
C:~p~>~q=1   |0 0 =1
D:~p~~>q=1   |0 1 =1


11.2.9
Zauważmy że spełniona jest wyżej definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej!
A=[2]
C=[3]
D=[4,5,6..]


Równoważność

11.2.10


Rozważmy dwa zbiory p i q...

Wspólna dziedzina: zbiór liczb naturalnych
11.2.11
Zbiór p:
p=[2]
~p = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2
Dla poprzednika p musi być spełniony fundament algebry Boole’a
p+~p=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
p*~p=0 - zbiory rozłączne
ok.

11.2.12
Zbiór q:
q=[2]
~q = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2
Dla poprzednika p musi być spełniony fundament algebry Boole’a
q+~q=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
q*~q=0 - zbiory rozłączne
ok.

11.2.13
Wnioski:
1.
Dla wyżej wymienionych zbiorów spełniony jest warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
2.
Zbiory p i q są tożsame, zatem na pewno jest to równoważność.

11.2.14
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 bo 2
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną (2), co wymusza w wyniku jeden.
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=0
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

.. a jeśli zajdzie ~p?
W równoważności zachodzi:
p=>q = ~p=>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 bo 1, 3,4,5...
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => aby zaszło ~q
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną (1, 3,4,5,6...), co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
Zbiory:
~p*q=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

11.2.15
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową równoważności.
Kod:

             |p q p=>q
A: p=> q=1   |1 1 =1
B: p=>~q=0   |1 0 =0
C:~p=>~q=1   |0 0 =1
D:~p=> q=0   |0 1 =0


11.2.16
Zauważmy że spełniona jest wyżej definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej.
A=[2]
C=[1, 3,4,5,6...]
p<=>q = ~p<=>~q
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
p=[2], q=[2]

Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q
~p=[1,3,4,5...]
~p=[1,3,4,5...]

11.2.17
Podsumowanie:
Sztuczne, a przede wszystkim losowe ograniczanie dziedziny w zbiorze liczb naturalnych jak wyżej pozbawione jest sensu, bowiem będziemy wówczas mieli „matematykę” życzeniową.

11.2.18
Odpowiednikiem takich działań w świecie rzeczywistym są:
1.
Wybijam wszystkie zwierzątka mające cztery łapy z wyłączeniem psów.
Wtedy mam taką równoważność:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy ma cztery łapy
P<=>4L = (P=>4L)*(~P=>~4L)=1*1=1
2.
Wybijam wszystkie zwierzątka zostawiając psa, kurę, i kota.
Dziedzina: pies, kura, kot
Na tym 3-elementowym zbiorze zachodzi oczywiście implikacja prosta:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies
B.
P=>~4L=0
... a nie pies?
Prawo Kubusia:
P=>4L=~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P~~>4L=1 bo kot

Jest oczywistym, że tego typu poczynania to „matematyka” życzeniowa, mająca zero wspólnego z otaczającą nas rzeczywistością.


12.0 Punkt odniesienia, najważniejsza rzecz w logice

Definicja operatora OR w równaniach logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q

Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p+q
to zobaczymy zero-jedynkową definicję operatora OR

Jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p*~q
to zobaczymy zero-jedynkową definicję operatora AND

Wniosek:
Wygląd otaczającego nas świata zależy od punktu odniesienia, z czarnego zawsze można zrobić białe i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.

Algebra Kubusia ma 100% przełożenie na bramki logiczne, jest więc weryfikowalna doświadczalnie.


12.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

Operatory logiczne OR i AND stoją na definicjach spójników „lub”(+) i „i”(*) w 100% zgodnych z naturalną logiką człowieka.

Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”(*) w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Uzupełniamy zatem powyższą tabelę o brakujące kombinacje na wejściach p i q z zerami w wyniku.

Definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 0 0  =0
C: 0 1  =0
D: 1 0  =0

Oczywiście znaczek „*” definiowany jest wyłącznie w linii A.

Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja
zero-jedynkowa
Technika
   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
   1 2   3

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Uzupełniamy zatem powyższą tabelę o brakującą kombinację na wejściach p i q z zerem w wyniku.
Kod:

Definicja
zero-jedynkowa
Technika
   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Znaczek „+” definiowany jest wyłącznie w obszarze ABC123:
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Wyprowadzenie równoważnej definicji spójnika „lub”(+).
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
… a wynika to ze sposobu dochodzenia do tej definicji.

Dziewicza definicja spójnika „lub”(+):
W: Y=p+q - dotrzymam słowa (Y=1), logika dodatnia bo Y
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
D: ~Y = ~p*~q - skłamię (~Y=1), logika ujemna bo ~Y
co na mocy definicji spójnika „i”(*) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i D mamy prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)


12.2 Operator OR vs operatory implikacji

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja operatora OR.
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna    |Bramki logiczne    |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Technika           |Technika
Y=1 - dotrzymam słowa
W: Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q   |p q Y=p+q          |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y               |1 1 =1 /Y= p* q    | 0  0   =0
B: p*~q= Y               |1 0 =1 /Y= p*~q    | 0  1   =0
C:~p* q= Y               |0 1 =1 /Y=~p* q    | 1  0   =0
~Y=1 - skłamię
~Y=~p*~q                 |
D:~p*~q=~Y               |0 0 =0             | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
   1  2  3               |4 5  6             | 7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                         |p=1, ~p=0          |~p=1, p=0
                         |q=1, ~q=0          |~q=1, q=0
                         |Y=1, ~Y=0          |~Y=1, Y=0

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y), ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).

Definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
1.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
To wyłącznie obszar ABC123 (symbolicznie) i ABC456 (zero-jedynkowo)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Nie ma żadnego znaczenia która z jedynek po prawej stronie zajdzie i ustawi Y=1, dlatego są to jedynki miękkie, nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej (gwarancja będzie w implikacji)
2.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
D: ~Y = ~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
To wyłącznie linia D123 (symbolicznie) i D789 (zero-jedynkowo)

Punkt odniesienia to zawsze nagłówek tabeli zero-jedynkowej.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie W to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR (ABCD456), jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie D to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND (ABCD789), co widać w tabeli wyżej.

Oczywiście w definicji symbolicznej operatora OR pod parametry formalne p i q możemy podstawiać dowolne parametry aktualne, nie ma to żadnego wpływu na tabele zero-jedynkowe wyżej!

Wewnętrzna budowa bramki OR:


Dla dwóch zmiennych wszystkich możliwych kombinacji jest cztery.

Przypadek I
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Oczywiście:
p=K
q=T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Alternatywna definicja spójnika „lub”(+):
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
W rozpisce szczegółowej mamy zatem:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
A: K*T = 1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
B: K*~T = 1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Wystarczy że którykolwiek z członów przyjmie wartość 1 i już ustawi:
Y=1 - dotrzymałem słowa
Z tego powodu w spójniku „lub”(+) mamy do czynienia z jedynkami miękkimi, wszystkie są jednakowo ważne, nie ma wśród nich jedynki twardej, gwarancji matematycznej (będzie w implikacji).

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójnika na przeciwny.
D: ~Y=~K*~T
stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co matematycznie na mocy definicji spójnika „i”(*) oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Przypadek II
W.
Jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
Y=~K+~T
p=~K
q=~T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=~K+~T
Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Alternatywna definicja spójnika „lub”(+):
Y = p*q + p*~q +~p*q
Nasz przykład:
Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~K*~T)=1 lub (~K*T)=1 lub (K*~T)=1
Wystarczy że którykolwiek z członów po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już ustawi:
Y=1 - dotrzymałem słowa

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K*T
stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
~Y=K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i T=1

Przypadek III
W.
Jutro nie pójdę do kina lub pójdę do teatru
Y=~K+T
p=~K
q=T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=~K+T
Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Alternatywna definicja spójnika „lub”(+):
Y = p*q + p*~q +~p*q
Nasz przykład:
Y = ~K*T + ~K*~T + K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~K*T)=1 lub (~K*~T)=1 lub (K*T)=1
Wystarczy że którykolwiek z członów po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już ustawi:
Y=1 - dotrzymałem słowa

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K*~T
stąd:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1

Przypadek IV
W.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do teatru
Y=K+~T
p=K
q=~T
Przypadek IV jest identyczny jak III ze względu na przemienność argumentów w operatorach OR i AND. Przemienność argumentów oznacza, że jest wszystko jedno co nazwiemy p a co nazwiemy q.
W implikacji, gdzie przemienność argumentów nie zachodzi, nie jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q.

Zapiszmy przypadek III w tabeli symbolicznej i zero-jedynkowej z użyciem parametrów formalnych p i q:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna    |Bramki logiczne    |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Technika           |Technika
Y=1 - dotrzymam słowa
W: Y=~p+q=~p*q+~p*~q+p*q |~p q Y=~p+q         | p ~q ~Y=p*~q
A:~p* q= Y               | 1 1 =1 /Y=~p* q    | 0  0   =0
B:~p*~q= Y               | 1 0 =1 /Y=~p*~q    | 0  1   =0
C: p* q= Y               | 0 1 =1 /Y= p* q    | 1  0   =0
~Y=1 - skłamię
~Y=p*~q                  |
D: p*~q=~Y               | 0 0 =0             | 1  1   =1 /~Y=p*~q
   1  2  3               | 4 5  6             | 7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                         |~p=1, p=0           | p=1, ~p=0
                         | q=1, ~q=0          |~q=1, q=0
                         | Y=1, ~Y=0          |~Y=1, Y=0

W tabeli ABCD456 widzimy zero-jedynkową definicję operatora OR, dla sygnałów odniesienia:
~p, q.
Y = ~p+q

W dzisiejszej matematyce mamy.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Oznaczmy:
Y = p=>q = ~p+q
stąd mamy:
Y = p=>q
Y=~p+q

Z tabeli wyżej widzimy, że równanie:
Y=~p+q
opisuje zero-jedynkową definicję OR, mającą zero wspólnego z implikacją.

Co oznacza ta tożsamość?
p=>q = ~p+q
Ta tożsamość obowiązuje dla punktu odniesienia ustalonego po lewej stronie:
p=>q
czyli dla sygnałów odniesienia:
p i q!

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

   ~p  p  q  p=>q Y=~p+q |q=>p |Y=q+~p
A:  0  1  1  =1    =1    | =1  | =1
B:  0  1  0  =0    =0    | =1  | =0
C:  1  0  0  =1    =1    | =1  | =1
D:  1  0  1  =1    =1    | =0  | =1
    1  2  3   4     5       6     7

Doskonale widać, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
~p, q
to otrzymamy definicję operatora OR gdzie zachodzi przemienność argumentów:
Y=~p+q = q+~p
czego dowodem formalnym jest tożsamość kolumn ABCD5 i ABCD7.

Jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
p, q
To otrzymamy definicję zero-jedynkową implikacji prostej gdzie przemienność argumentów nie zachodzi:
p=>q # q=>p
czego dowodem formalnym jest brak tożsamości kolumn ABCD4 i ABCD6.

Zauważmy, że definicja implikacji prostej p=>q gwałci definicję spójnika „lub”(+) w liniach B234 i C234.

Nie da się więc wyeliminować operatora implikacji prostej operatorem OR z powodu podwójnego gwałtu na algebrze Boole’a!
1.
W operatorze OR zachodzi przemienność argumentów
W operatorze implikacji prostej nie zachodzi przemienność argumentów
2.
Gwałt definicji spójnika „lub”(+) w liniach B234 i C234

Poprawne rozumienie tożsamości:
p=>q = ~p+q
Bramka (operator) implikacji prostej „musi”=>, to bramka (operator) OR z zanegowaną w środku linią p. Nie da się wyeliminować z logiki operatora implikacji prostej, bowiem ma on fundamentalnie inne właściwości niż operator OR!

Weźmy na warsztat symetryczną tożsamość:
p~>q = p+~q
Poprawne rozumienie tej tożsamości:
Bramka (operator) implikacji odwrotnej „może”~>, to bramka (operator) OR z zanegowaną w środku linią q.

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

   ~q  p  q  p~>q Y=p+~q |q~>p |Y=~q+p
A:  0  1  1  =1    =1    | =1  | =1
B:  1  1  0  =1    =1    | =0  | =1
C:  1  0  0  =1    =1    | =1  | =1
D:  0  0  1  =0    =0    | =1  | =0
    1  2  3   4     5       6     7

Doskonale widać, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
p, ~q
to otrzymamy definicję operatora OR gdzie zachodzi przemienność argumentów:
Y=p+~q = ~q+p
czego dowodem formalnym jest tożsamość kolumn ABCD5 i ABCD7.

Jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
p, q
To otrzymamy definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej gdzie przemienność argumentów nie zachodzi:
p~>q # q~>p
czego dowodem formalnym jest brak tożsamości kolumn ABCD4 i ABCD6.

Zauważmy, że definicja implikacji odwrotnej gwałci definicję spójnika „lub”(+) w liniach C234 i D234.

Nie da się więc wyeliminować operatora implikacji odwrotnej operatorem OR z powodu podwójnego gwałtu na algebrze Boole’a!
1.
W operatorze OR zachodzi przemienność argumentów
W operatorze implikacji odwrotnej nie zachodzi przemienność argumentów
2.
Gwałt definicji spójnika „lub”(+) w liniach C234 i D234

Poprawne rozumienie tożsamości:
p~>q = p+~q
Operator implikacji odwrotnej to operator OR z zanegowaną w środku linią q. Nie da się wyeliminować z logiki operatora implikacji odwrotnej, bowiem ma on fundamentalnie inne właściwości niż operator OR!

Znane ziemskim matematykom prawo eliminacji implikacji.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
… można więc między bajki włożyć.

Zupełnie czym innym jest fizyczna budowa dowolnego operatora, tu wszystkie operatory da się zredukować do dowolnego z poniższych operatorów:
NAND, NOR, =>, ~>
a zupełnie czym innym są zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych.
Na mocy definicji ani jednego z operatorów logicznych nie da się wyeliminować, bo to są definicje!

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zamykamy zatem nasz układ logiczny:
p=>q = ~p+q
w czarnej skrzynce z której wystają kabelki:
p, q, Y
Badamy odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q:
Kod:

p q p=>q=~p+q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

To jest oczywiście operator implikacji prostej, mający ZERO wspólnego z operatorem OR.

Nie da się wyeliminować operatora implikacji prostej!

Można go natomiast fizycznie zbudować na nieskończoną ilość sposobów.
Dowód:
p=>q = ~p + q*(q+~q*p + p*r*~s + t*u*~w + ….) = ~p+q
To samo w zapisie skróconym:
p=>q = ~p + q*(q+x) = ~p + q
gdzie:
x - dowolnie długa i dowolnie skomplikowana funkcja logiczna (nawet nieskończona)
Dowód:
Y = q*(q+x) = q
Jeśli q=0 to:
0*(cokolwiek) =0
Jeśli q=1 to:
Y = 1*(1+x) =1
bo prawo algebry Boole’a:
1+x=1
z powyższego mamy:
Jeśli q=0 to Y=0
Jeśli q=1 to Y=1
Niezależnie od budowy i wartości logicznej funkcji x zatem:
Y = q*(q+x) = q
cnd

Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.

Definicja operatora AND:
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana

Definicja operatora OR:
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana

Definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Na mocy definicji matematycznie zachodzi:
p*q=~(~p+~q) ## p+q=~(~p*~q) ## p=>q=~p~>~q ## p~>q=~p=>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Operator AND ## operator OR ## operator implikacji prostej ## operator implikacji odwrotnej ## operator równoważności
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Nie da się wyeliminować żadnej z powyższych definicji, bo to są fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.

Fakt budowy operatora X przy pomocy operatora Y, nie oznacza eliminacji operatora X!


12.3 „Prawo” eliminacji implikacji

W dzisiejszej „matematyce” mamy:
[link widoczny dla zalogowanych]
„Prawo” eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Zakpijmy sobie z „matematyki” Ziemian!

Negujemy dwustronnie p i otrzymujemy …
„Prawo” eliminacji operatora OR:
p+q = ~p=>q

Dla lewej strony korzystamy z prawa de’Morgana:
~(~p*~q) = ~p=>q
Negujemy tożsamość dwustronnie:
~p*~q = ~(~p=>q)
Negujemy dwustronnie wejścia p i q i mamy …
„Prawo” eliminacji operatora AND:
p*q = ~(p=>~q)

Oczywiście błędny jest wniosek, że wobec tego operatory OR i AND są w logice zbędne.

Poprawna interpretacja powyższych tożsamości to:
1.
p+q = ~p=>q
Bramka OR (operator OR) to bramka „musi”=> z zanegowanym wejściem p
2.
p*q = ~(p=>~q)
Bramka AND (operator AND) to bramka „musi”=> z zanegowanym wejściem q i zanegowanym wyjściem ~(p=>~q)

To co wyżej to tylko jedna z nieskończonych możliwości fizycznej budowy bramek logicznych OR i AND (operatorów logicznych OR i AND). To jest tylko hardware (sprzęt), natomiast logika człowieka to software (program) operujący na tym sprzęcie.

Analogia do świata komputerów:
Logika człowieka ma się tak do bramek logicznych (operatorów), jak software do hardware w świecie komputerów.

Oczywistym jest że hardware (sprzęt) bez software (oprogramowanie) to tylko nikomu niepotrzebna, kupa złomu.

Dowód formalny 1.
„Prawo” eliminacji operatora OR
p+q = ~p=>q
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~p=>q
A: 1 1  =1    0   =1
B: 1 0  =1    0   =1
C: 0 1  =1    1   =1
D: 0 0  =0    1   =0
   1 2   3    4    5

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD5 jest dowodem poprawności „prawa” eliminacji operatora OR.

Wniosek oczywiście błędny na mocy definicji operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Wyobraźmy sobie, że Kubuś zbudował operator OR korzystając z definicji bramki OR, natomiast Tygrysek wykorzystał w tym celu bramkę „musi” => z zanegowanym sygnałem p.
Załóżmy, że obaj zrealizowali swoje fizyczne rozwiązania w technice TTL gdzie odpowiednikiem logicznych sygnałów 0 i 1 są napięcia:
„0” = 0 - 0.4V
„1” = 2.4-5.0V

Obaj swoje fizyczne rozwiązania umieścili w czarnych skrzynkach z których wystają kabelki wejściowe p i q oraz kabelek wyjściowy Y.
Na mocy definicji operatora logicznego wymuszając odpowiednie napięcia na wejściach p i q sprawdzamy odpowiedź układu na wyjściu Y. Możliwości mamy tylko i wyłącznie cztery.

Pewne jest że w obu przypadkach otrzymamy identyczne tabele prawdy:
Kod:

p q  Y
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0

Złote gacie dla tego, kto na podstawie zdjętej w świecie rzeczywistym tabeli prawdy jak wyżej rozszyfruje z pewnością 100% która skrzynka należy do Kubusia a która do Tygryska.

Wniosek:
Fizyczna realizacja bramki OR jest totalnie obojętna, może to być nawet nieskończenie wiele najróżniejszych bramek logicznych. W matematyce istotą jest spełnienie zero-jedynkowej definicji operatora OR a nie jego budowa fizyczna.

Definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dowód formalny 2.
„Prawo” eliminacji operatora AND:
p*q = ~(p=>~q)
Kod:

   p q Y=p*q ~q p=>~q ~(p=>~q)
A: 1 1  =1    0  =0      =1
B: 1 0  =0    1  =1      =0
C: 0 1  =0    0  =1      =0
D: 0 0  =0    1  =1      =0
   1 2   3    4   5       6

To co wyżej to tylko algorytm budowy bramki AND przy pomocy bramki „musi”.

Widzimy że aby z bramki „musi” => zbudować operator AND musimy zanegować wejście q oraz zanegować wyjście p=>~q:
p*q = ~(p=>~q)
Nie jest to eliminacja operatora AND z logiki, to fizycznie niemożliwe, bo to jest DEFINICJA!


12.4 Obalenie „prawa” eliminacji implikacji rozumowaniem logicznym

W dzisiejszej matematyce mamy!
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Ziemscy matematycy beztrosko zastępują sobie warunek wystarczający => spójnikiem „lub”(+) nie mając pojęcia w którym kościele dzwony biją. Poza tym błędnie interpretują znaczki „=>” i „+” jako kompletne, cztero-linijkowe operatory logiczne, podczas gdy w rzeczywistości to tylko spójniki logiczne, połówki odpowiednich operatorów.

I
Operator OR


Symboliczna i zero-jedynkowa definicja operatora OR.
Kod:

Definicja symboliczna    |Bramki logiczne       |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Technika              |Technika
Y=1 - dotrzymam słowa
W: Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q   |p q Y=p+q             |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y               |1 1 =1 /miękka prawda | 0  0   =0
B: p*~q= Y               |1 0 =1 /miękka prawda | 0  1   =0
C:~p* q= Y               |0 1 =1 /miękka prawda | 1  0   =0
~Y=1 - skłamię
~Y=~p*~q                 |
D:~p*~q=~Y               |0 0 =0                | 1  1   =1 /Skłamię
   1  2  3               |4 5  6                | 7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                         |p=1, ~p=0             |~p=1, p=0
                         |q=1, ~q=0             |~q=1, q=0
                         |Y=1, ~Y=0             |~Y=1, Y=0

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
Symbol „+” jest wystarczającym opisem powyższej tabeli zero-jedynkowej mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

Definicja spójnika „lub”(+), symbolicznie obszar ABC123 i zero-jedynkowo obszar ABC456:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Zauważmy że nie ma żadnego znaczenia która z jedynek po prawej stronie zajdzie, wystarczy że zajdzie dowolna i już ustawi:
Y=1 - dotrzymałem słowa
Wszystkie jedynki są jednakowo ważne, nie ma tu żadnej gwarancji!

Linia D789 opisuje przypadek „kiedy skłamię?”. Mamy tu samotną jedynkę, skłamać mogę wyłącznie w jedynym przypadku:
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ta jedynka jest zatem jedynką twardą (jest tylko jeden taki przypadek).

Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T

Rozwijamy zdanie W na mocy definicji spójnika „lub”(+)
Y=K*T +K*~T+~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Wystarczy że spełnimy dowolny z prawych członów i już ustawimy:
Y=1 - dotrzymałem słowa
Załóżmy że jest już pojutrze i zaszło:
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
(~K*T)=1 - dotrzymałem słowa

Wniosek 1:
Operator OR = zero gwarancji matematycznych!
Wszystkie trzy jedynki w spójniku „lub”(+) są jedynkami miękkimi, żadna z nich nie jest gwarantowana, wszystkie są tak samo ważne.

II
Operator implikacji prostej


Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

  Definicja     |Kod
  symboliczna   |maszynowy
  Czlowiek      |bramki logiczne
------------------------------------------------------
                | p  q  p=>q             |~p ~q ~p~>~q
------------------------------------------------------
A: p=> q  =1    | 1  1  =1 /twarda prawda| 0  0   =1
B: p=>~q  =0    | 1  0  =0 /twardy falsz | 0  1   =0
C:~p~>~q  =1    | 0  0  =1               | 1  1   =1 /miekka prawda
D:~p~~>q  =1    | 0  1  =1               | 1  0   =1 /miekka prawda
   1   2   3    | 4  5   6               | 7  8    9
Punkt odniesienia w tabeli zero-jedynkowej to nagłówek tabeli
                |p=1, ~p=0               |~p=1, p=0
                |q=1, ~q=0               |~q=1, q=0

Warunek wystarczający => w implikacji definiowany wyłącznie liniami A i B. Obszar AB123 to definicja symboliczna warunku wystarczającego =>, natomiast obszar AB456 to jego poprawne kodowanie zero-jedynkowe.
Warunek wystarczający => to gwarancja matematyczna, istota implikacji!
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Zajście p gwarantuje zajście q!

Warunek konieczny ~> to symbolicznie obszar CD123, natomiast zero-jedynkowo obszar CD789.
Warunek konieczny ~> to najzwyklejsze „rzucanie monetą”, jak zajdzie ~p to nie mamy bladego pojęcia co się stanie, może zajść zarówno ~q jak i q.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Deszcz jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
... a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Brak deszczu jest warunkiem koniecznym, aby nie padało
lub
D.
Jeśli nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

W linii A456 mamy twardą jedynkę, gwarancję matematyczną
Prawdy miękkie występujące w liniach C i D są kompletnie bezwartościowe, to po prostu „rzucanie monetą”, żadna gwarancja.

W implikacji nie wolno zrównywać twardej jedynki z linii A, z jedynkami miękkimi występującymi w liniach C i D. Zastąpienie operatora implikacji prostej, operatorem OR to zagłada istoty implikacji, gwarancji matematycznej, bowiem wszystkie trzy jedynki w operatorze OR są jedynkami miękkimi, nie ma tu żadnej gwarancji!

Wniosek 2
Implikacja = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna!
Nie wolno zastępować operatora implikacji prostej operatorem OR, bo zabijamy istotę implikacji, gwarancję matematyczną!


III
Implikacja odwrotna


Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Analiza implikacji odwrotnej będzie symetryczna do implikacji prostej, z tym że gwarancja będzie po stronie ~p
Implikacja odwrotna to jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna:
~p=>~q =1

IV
Równoważność


Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać że równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne!
A: p=>q =1
B: ~p=>~q =1

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna!
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wynikły z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna!
D: ~p=> q=0 - twardy fałsz wynikły z C
    1   2 3

Definicja równoważności:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo KR):
A: TR=>KR=1
B: TR=>~KR=0
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~KR):
C: ~TR=>~KR=1
D:~TR=> KR =0

Zauważmy, że nie da się zastąpić równoważności implikacją, bowiem w tym przypadku musielibyśmy znaleźć trójkąt równoboczny o nie równych kątach (wymuszenie 1 w linii B), albo trójkąt nierównoboczny o kątach równych (wymuszenie 1 w linii D), co jest niemożliwe. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, na mocy definicji zero-jedynkowej.

Nic co jest równoważnością prawdziwą nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.

Znaczek „=>” to tylko i wyłącznie warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w liniach A i B, albo warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w liniach C i D.

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
W matematyce i mowie potocznej znaczek „=>” to spójnik „na pewno” miedzy p i q.

Niemożliwe jest także zastąpienie implikacji równoważnością.
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1 - twarda jedynka, gwarancja matematyczna

Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
Aby ze zdania A zrobić równoważność musielibyśmy wymusić sytuację iż:
Zawsze kiedy nie pada nie ma chmur, co jest oczywiście niemożliwe.

Nie da się też zastąpić operatora równoważności operatorem OR (AND) bo zgubimy aż dwie gwarancje!

Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Powyższa tożsamość to tylko i wyłącznie możliwość fizycznej budowy operatora równoważności przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+), to nie jest żadne prawo eliminacji równoważności, bo tego nie da się zrobić!
Prawa strona generuje tu tabelę zero-jedynkowa równoważności, bowiem przypadki nie opisane powyższym równaniem muszą mieć w wyniku zero, czyli:
p*~q=0
~p*q=0

Nasz przykład:
TR<=>KR = TR*KR + ~TR*~KR
co matematycznie oznacza:
TR<=>KR = (TR*KR)=1 lub (~TR*~KR)=1

Wystarczy że znajdę jeden trójkąt równoboczny o równych kątach i już ustawię:
TR<=>KR=1
Zgubiliśmy gwarancję A!
lub
Wystarczy że znajdę jeden trójkąt nierównoboczny o nierównych kątach i już ustawiam:
TR<=>KR=1
Zgubiliśmy gwarancję C!


12.5 Gwarancja fałszu w operatorze OR i operatorach implikacji

Gwarancja fałszu w operatorze OR i operatorach implikacji jest identyczna.
p=>q = ~p+q
Fundamentalnie inne jest znaczenie jedynek w obu operatorach.

Definicja symboliczna i zero-jedynkowa operatora OR dla sygnałów odniesienia ~p i q.
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna    |Bramki logiczne      |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Technika             |Technika
Y=1 - dotrzymam słowa
W: Y=~p+q=~p*q+~p*~q+p*q |~p q Y=~p+q          | p ~q ~Y=p*~q
A:~p* q= Y               | 1 1 =1 /Y=~p* q     | 0  0   =0
B:~p*~q= Y               | 1 0 =1 /Y=~p*~q     | 0  1   =0
C: p* q= Y               | 0 1 =1 /Y= p* q     | 1  0   =0
~Y=1 - skłamię
~Y=p*~q                  |
D: p*~q=~Y               | 0 0 =0 /Twardy falsz| 1  1   =1 /~Y=p*~q
   1  2  3               | 4 5  6              | 7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                         |~p=1, p=0            | p=1, ~p=0
                         | q=1, ~q=0           |~q=1, q=0
                         | Y=1, ~Y=0           |~Y=1, Y=0

Kompletny operatora OR opisany jest układem równań logicznych W i D.

Równanie opisujące obszar ABC456:
W: Y=~p+q
Wszystkie wynikowe jedynki są miękkie, żadna z nich nie jest wyróżniona.

Równanie logiczne opisujące linię D456:
D: ~Y=p*~q
Wynikowe 0 jest tu zerem twardym, bo jest tylko jedno.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i D mamy prawo de’Morgana:
Y = ~p+q = ~(p*~q)

Przykład:
Jutro nie pójdę do kina lub pójdę do teatru
Y=~K+T
Powyższe równanie opisuje obszar ABC456 gdzie wszystkie wynikowe jedynki są jedynkami miękkimi, żadna z nich nie jest wyróżniona.

Zdanie równoważne na mocy prawa de’Morgana:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y = ~(K*~T)
Poza tym wszystko może się zdarzyć, czyli może wystąpić:
A: ~K*T =Y
B: ~K*~T=Y
C: K*T=Y
To równanie opisuje ten sam obszar ABC456, gdzie wszystkie wynikowe jedynki są jedynkami miękkimi, żadna z nich nie jest wyróżniona.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

Tabela 2
  Definicja     |Kod
  symboliczna   |maszynowy
  Czlowiek      |bramki logiczne
---------------------------------------------------------------------------
                | p  q  p=>q             |~p ~q ~p~>~q             |~(p=>q)
---------------------------------------------------------------------------
A: p=> q  =1    | 1  1  =1 /twarda prawda| 0  0   =1               |  =0
B: p=>~q  =0    | 1  0  =0 /twardy falsz | 0  1   =0               |  =1
C:~p~>~q  =1    | 0  0  =1               | 1  1   =1 /miekka prawda|  =0
D:~p~~>q  =1    | 0  1  =1               | 1  0   =1 /miekka prawda|  =0
   1   2   3    | 4  5   6               | 7  8    9               |   a
Punkt odniesienia w tabeli zero-jedynkowej to nagłówek tabeli
                |p=1, ~p=0               |~p=1, p=0
                |q=1, ~q=0               |~q=1, q=0

Warunek wystarczający => w implikacji definiowany wyłącznie liniami A i B. Obszar AB123 to definicja symboliczna warunku wystarczającego =>, natomiast obszar AB456 to jego poprawne kodowanie zero-jedynkowe.
Warunek wystarczający => to gwarancja matematyczna, istota implikacji!
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Zajście p gwarantuje zajście q!

Tabela 2.
Najprostsze równanie logiczne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla tabeli zero-jedynkowej ABCD456 ułożymy dla linii B456 bo mamy tu samotne zero w wyniku.

Spis z natury:
Y=0 <=> p=1 i q=0
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie logiczne opisujące tabelę 2:
~Y = p*~q
To równanie opisuje wyłącznie linię B456.

STOP!
Zauważmy, że powyższym równaniem nie opisujemy zera w tabeli 2, ale zero w tabeli 1, gdzie punktem odniesienia są sygnały ~p i q

Czyli w rzeczywistości mówimy tu o takiej tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Tabela 3
  Definicja     |Kod
  symboliczna   |maszynowy
  Czlowiek      |bramki logiczne
---------------------------------------------------------------------------
                |~p  q  Y=~p+q           | p ~q ~Y=p*~q            |~(p=>q)
---------------------------------------------------------------------------
A: p=> q  =1    | 0  1  =1 /miekka prawda| 1  0   =0               |  =0
B: p=>~q  =0    | 0  0  =0 /twardy falsz | 1  1   =1               |  =1
C:~p~>~q  =1    | 1  0  =1 /miekka prawda| 0  1   =0               |  =0
D:~p~~>q  =1    | 1  1  =1 /miekka prawda| 0  0   =0               |  =0
   1   2   3    | 4  5   6               | 7  8    9               |   a
Punkt odniesienia w tabeli zero-jedynkowej to nagłówek tabeli
                |p=1, ~p=0               |~p=1, p=0
                |q=1, ~q=0               |~q=1, q=0

Jak widzimy tabela 3 opisująca operator OR dla sygnałów odniesienia ~p i q to totalne zburzenie sensu i znaczenia tabeli 2!
Przede wszystkim zniknęła nam twarda prawda (gwarancja matematyczna) istota implikacji!
W tabeli 1, 2 i 3 pokrywa się wyłącznie twardy fałsz (twarde zero):
~Y = p*~q
natomiast znaczenie jedynek w tabeli 2 i 3 jest fundamentalnie inne!

Równanie:
Y = ~(~Y)=~(p*~q)
należy poprawnie interpretować iż w implikacji nie może pojawić się fałsz ~(~Y), co jest zgodne z prawdą.
W implikacji to równanie niesie błędną informacje w stosunku do prawdy:
Y = ~(~Y) = ~(p*~q) = ~p+q
W operatorze OR po stronie jedynek mamy trzy jedynki miękkie, wszystko jedno która wystąpi i już dotrzymaliśmy słowa.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
W implikacji mamy natomiast do czynienia z bezcenną twardą jedynką (gwarancją matematyczną = warunek wystarczający =>) oraz dwoma bezwartościowymi jedynkami miękkimi („rzucanie monetą” = warunek konieczny ~>).

Nie wolno zatem zastępować operatora implikacji operatorem OR, bo gubimy istotę implikacji, gwarancję matematyczną!

Przykład analizy ewidentnej implikacji bez rozróżniania warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A.
Jeśli jutro będzie padało to „może” ~~> być pochmurno
P~~>CH=1 - miękka prawa
Zbiory:
P*CH =1*1=1
B.
Jeśli jutro będzie padało to „może” ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH =0 - ta linia na pewno nie zajdzie, gwarancja fałszu identyczna w operatorze OR i implikacji!
Zbiory:
P*~CH=1*1=0 - twardy fałsz
Zbiory istnieją (P=1 i ~CH=1), ale są rozłączne, stąd w wyniku 0
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to „może”~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH=1 - miękka prawda
Zbiory:
~P*~CH=1*1=1
D.
Jeśli jutro nie będzie padło to „może” ~~> być pochmurno
~P~~>CH =1 - miękka prawda
Zbiory:
~P*CH=1*1=1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Po stronie jedynek mamy wyżej trzy prawdy miękkie, zgubiliśmy TOTALNIE istotę implikacji, czyli warunek wystarczający => i warunek konieczny ~>.

Powyższa analiza ma więc zero wspólnego z operatorem implikacji prostej, mimo że formalnie daje poprawną informację o prawdziwości zdań A, C i D.

Zdanie B w zbiorach:
P*~CH=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~CH=1), ale są rozłączne, z czego wynika że zbiór P musi zawierać się w zbiorze CH, z czego wynika że P musi być wystarczające => dla istnienia chmur.

Wynika z tego ze zdanie A spełnia definicję warunku wystarczającego =>, a całość, czyli analiza zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spełnia definicję implikacji prostej.

Poprawne, matematyczne brzmienie zdania A i jego poprawna analiza jest więc następująca.
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z twardej prawdy wyżej

… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
stąd:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 - miękka prawda bo zdanie D, sytuacja możliwa
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 - miękka prawda bo zdanie C, sytuacja możliwa
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnika „na pewno” => o definicji wyłącznie w liniach A i B
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” o definicji:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
Nasz przykład:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH =1
Zdanie C spełnia definicję warunku koniecznego ~>

Natomiast zdanie D nie spełnia bo:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH =0
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Dal kodowania zgodnego ze zdaniem A:
P=>CH=1
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=1
otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji prostej.
Kod:

Tabela        |Tabela
Symboliczna   |zero-jedynkowa
              | P  CH  P=>CH
A: P=> CH =1  | 1   1   =1
B: P=>~CH =0  | 1   0   =0
C:~P~>~CH =1  | 0   0   =1
D:~P~~>CH =1  | 0   1   =1

Zdanie A spełnia pełną, zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie, zdanie A jest implikacją prostą prawdziwą!
… ale możemy to powiedzieć wyłącznie po pełnej analizie zdania A jak wyżej!

Zauważmy, że gwarancja braku fałszu w linii B wyrażona w spójniku „i”(*) jest poprawna matematycznie bo jest identyczna jak w operatorze OR.

GW1:
P=>CH = ~P+CH = ~(P*~CH) =1 - twarda prawda na mocy definicji implikacji
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH)

Zauważmy, że w implikacji jest tylko jedna gwarancja braku fałszu (mamy wyłącznie jedno zero w wyniku).

Fakt że zdanie A spełnia definicję warunku wystarczającego => w liniach A i B nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją czy też z czymś fundamentalnie innym, równoważnością.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - nasz przykład wyżej

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

W obu przypadkach zdania p=>q są identyczne, to tylko warunki wystarczające o definicji wyłącznie w linii A i B. Konieczna jest dalsza analiza aby rozstrzygnąć czy mamy do czynienia z implikacją, czy też z równoważnością.

Przykład równoważności:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = 1*1 =1

Równoważność można interpretować jako iloczyn logiczny dwóch implikacji wirtualnych, gdzie warunek konieczny [~>] („rzucanie monetą”) jest wycięty przez definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q

W równoważności mamy wiec do czynienia z dwoma gwarancjami braku zaistnienia fałszu:
GW1:
p=>q = ~(p*~q) =1 - twarda prawda
GW2:
[p~>q] = ~p=>~q = ~(~p*q) =1 - twarda prawda

Nasz przykład:
GW1:
TP=>SK = ~(TP*~SK)
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny i nie zachodzi suma kwadratów
TP=>SK = ~(TP*~SK)=1 - twarda jedynka
GW2:
[TP~>SK] = ~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny (~TP) i zachodzi suma kwadratów (SK)
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)=1 - twarda jedynka

Na mocy powyższego mamy kolejne możliwe definicje implikacji i równoważności.

Implikacja, to jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna wyrażona w spójniku „i”(*).

Implikacja prosta:
p=>q = ~(p*~q) =1
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q) =0

Implikacja odwrotna:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q) =1
p=>q = 0

Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne:
p=>q = ~(p*~q) =1
~p=>~q = ~(~p*q)=1

Wniosek końcowy:
Operatory OR i AND to fundamentalnie co innego niż operatory implikacji.


12.6 Nietypowe warunki wystarczające

Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

W Teorii Mnogości zbiory nie mają wartości logicznej, natomiast w algebrze Kubusia mają - jak wyżej.

KRZiP uznaje za zdania prawdziwe wyłącznie te dające 100% pewność, czyli wyłącznie warunki wystarczające =>.
W takim opisie niemożliwe jest matematyczne opisanie rzeczywistości, bo gdyby to się udało to oznaczałoby że nasz Wszechświat jest totalnie zdeterminowany matematycznie, czyli także przyszłość dałoby się opisać matematycznie, przewidzieć do przodu.

Współczesna matematyka kompletnie nie rozumie matematycznych związków między warunkiem wystarczającym => (100% pewność) a warunkiem koniecznym ~> („rzucanie monetą”).

Oczywiście są to prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Algebra Kubusia to jedyny możliwy i poprawny matematycznie opis logiki naszego Wszechświata.

KRZiP nie uznaje za prawdziwe matematycznie takiego choćby zdania:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
… bo nie ma tu 100% pewności.

Czysta matematyka jest tu taka!
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1

W KRZiP prawdziwe jest zdanie:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1

Skoro zdanie C jest prawdziwe, to musi być prawdziwe zdanie A, inaczej prawo Kubusia, będące prawem rachunku zero-jedynkowego (KRZ) leży w gruzach.

Definicja warunku wystarczającego w algebrze Kubusia:
Kod:

A.
p=>q=1
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku 1
B.
p=>~q=0
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne, stad w wyniku 0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że linia B musi być twardym fałszem

Zdanie podobne do A to:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać lub nie będzie padać
CH=>(P+~P)=1
p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
To jest warunek wystarczający =>, 100% pewność.
czyli:
Jak będzie pochmurno to nie mamy pojęcia czy będzie padać czy nie.

To zdanie jest warunkiem wystarczającym bo:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać lub nie będzie padać
CH=>P+~P =1
p=>q=1
1 1 =1
Zbiory:
CH*(P+~P) = 1*1=1
P+~P=1 - prawo algebry Boole’a
Obliczenie ~q:
P+~P = ~P*P - prawo de’Morgana
stąd:

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać i nie będzie padać
CH=>~(P+~P)=~P*P=0
p=>~q=0
1 0 =0
~P*P=0 - prawo de’Morgana
Zbiory:
CH*(~P*P) = 1*0 =0
Oczywiście zbiór: P*~P jest zbiorem pustym o wartości logicznej równej 0.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym.
Definicja warunku wystarczającego spełniona (A1 plus B1).

Zdanie A1 nie jest jednak ani implikacją, ani równoważnością, bo nie spełnia definicji zero-jedynkowej ani jednego, ani drugiego.

Zbadajmy warunek wystarczający w logice ujemnej:
A1.
Mamy:
CH=>P+~P=1
Warunek wystarczający w logice ujemnej:
C1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać i nie będzie padać
~CH=>~(P+~P) = P*~P =0
~p=>~q = ???
0 0 =0
Zbiory:
~CH*(P*~P) = ~CH*0 =0 - zbiór pusty
Oczywiście zbiór: P*~P jest zbiorem pustym o wartości logicznej równej 0.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym.

Stąd dla zdania C1 mamy:
0 0 =0
Nie ma takiej sekwencji ani w implikacji, ani w równoważności
cnd

Matematycznie zdanie A1 nie jest równoważne ze zdaniem A bo:
A: CH~>P = ~CH=>~P=1 ## A1: CH=>(P+~P)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi warunkami wystarczającymi.
Warunki wystarczające => mogą istnieć samodzielnie

Rzucanie monetą jak w zdaniu A to też jest matematyka ścisła (logika matematyczna).

Rzucanie monetą jest zakodowane w implikacji!

Nie ma rzucania monetą - nie ma implikacji, jest równoważność, czyli 100% pewność w każdym przypadku. Dopóki ludzie nie zrozumieją iż operator implikacji (ze swoim „rzucaniem monetą”) to też jest matematyka ścisła, dopóty będą się babrać w matematycznym idiotyźmie w rodzaju:
„Z fałszu może wyniknąć prawda”

To jest oczywiście dogmat rodem z KRZiP, wynikły z definicji implikacji materialnej, żadna matematyka.

Weźmy na koniec jeszcze jedno ciekawe zdanie:
A.
Jeśli pies ma cztery łapy to jutro będzie padało lub nie będzie padało
P4L=>P+~P =0!
p=>q =0!

Dowód:
W poprzedniku p mamy tu zbiór psów z czteroma łapami.

W następniku q natomiast mamy dwa zdarzenia:
P - pada
~P - nie pada
Oczywiście matematycznie zachodzi:
P+~P=1 - prawo algebry Boole’a

Zauważmy że zbiór w poprzedniku jest zbiorem rozłącznym w stosunku do następnika.

Stąd zdanie A w zbiorach:
P4L*(P+~P) = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (4L=1 i (P+~P)=1) ale są rozłączne, stąd w wyniku ZERO!
Zdanie A jest zdaniem fałszywym (wynik=0) o wejściowym kodowaniu:
1 1 =0
Oczywiście nie ma takiej sekwencji ani w implikacji, ani w równoważności.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 7:56, 30 Cze 2012, w całości zmieniany 25 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 11:08, 07 Cze 2012    Temat postu:



13.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


13.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


13.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno nie ma czterech łap lub ćwierka
P+K => ~4L+C =0
p=>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty.
stąd:

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja następnika.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w następniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

P+K=> 4L*~C=1*1=1
P+K=> 4L* C=1*0=0
P+K=>~4L*~C=0*1=0
P+K=>~4L* C=0*0=0

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy następnika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


13.3 Złożona implikacja odwrotna

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu, możemy to robić wyłącznie w implikacjach bezczasowych. Oba zdania będą prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie (pkt. 6.1).
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K
Po stronie poprzednika mamy tu prawdę powstałą z negacji fałszu (~C=1) którą możemy sunąć ale nie musimy tego robić.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
p~>q=1
Posiadanie czterech łap i brak umiejętności ćwierkania jest warunkiem koniecznym aby być psem lub kotem.
Zbiory:
(4L*~C)*(P+K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (P+K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
Obliczanie ~q:
q=P+K
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~q = ~P*~K
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~~> nie być psem i nie być kotem
4L*~C ~~> ~P*~K =1 bo słoń, koń, hipopotam ...
p~~>~q=1
Zbiór zwierząt mających cztery łapy i nie ćwierkających ma część wspólną ze zbiorem zwierząt nie będących psami i nie będących kotami (słoń, koń, hipopotam...).
Zbiory:
(4L*~C)*(~P*~K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (~P*~K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

... a jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
4L*~C ~> P+K
stąd:
~4L+C => ~P*~K

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => nie jest psem i nie jest kotem
~4L+C => ~P*~K =1 bo wąż, mrówka, wróbelek ...
~p=>~q=1
Brak czterech łap lub ćwierkanie jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem i nie być kotem.
Zbiory:
(~4L+C)*(~P*~K)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (~P*~K)=1)]i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => jest psem lub kotem
~4L+C => P+K =0
~p=>q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap lub ćwierkających jest rozłączny ze zbiorem psów lub kotów, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(~4L+C)*(P+K)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (P+K)=1)] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
B: (4L*~C) ~> (~P*~K) = D: (~4L+C) => (P+K) =0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
Kod:

Definicja       |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna     |p q p~>q
A: p~> q =1     |1 1  =1
B: p~~>~q=1     |1 0  =1
C:~p=>~q =1     |0 0  =1
D:~p=> q =0     |0 1  =0
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w skrócie jest implikacją odwrotną

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja poprzednika.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w poprzedniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

 4L*~C=1*1=1 ~>P+K
 4L* C=1*0=0 ~>P+K
~4L*~C=0*1=0 ~>P+K
~4L* C=0*0=0 ~>P+K

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy poprzednika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


13.4 Zdania złożone typu p+(q*r)

Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.

Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...

Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  0   1         0  0  1   1     0            1
1 0 1  0   1         0  1  0   1     0            1
1 0 0  0   1         0  1  1   1     0            1
0 1 1  1   1         1  0  0   0     0            1
0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
B: 0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
C: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


13.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).

Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  1   1         0  0  1   0     0            1
1 0 1  1   1         0  1  0   0     0            1
1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)]

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
B: 0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
C: 0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
D: 0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
E: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


14.0 Obietnice i groźby

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q)
To jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że:
Groźba = implikacji odwrotna (p~>q = ~p=>~q)
Dowód na przykładzie …


14.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania czekolady.
Obietnica, zatem implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q), tu wszyscy się zgadzamy
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki
Skoro to warunek wystarczający => to na mocy definicji:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości!
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary, oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować!
gdzie:
~> - warunek konieczny
~~> - naturalny spójnik "może", jest taka możliwość.

Z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną!

Jedyne możliwe definicje obietnicy i groźby są zatem takie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


14.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!)
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do AND i OR to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


14.3 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych.

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


14.4 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


14.5 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
B.
p=>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to nie dostaniesz czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B=>~C+~D =0
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary
C: C*~D=0 - tu również jest kara
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą i definicją groźby.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranocki
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


14.6 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W~>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać kare w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


14.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 14.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


14.8 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

Raj, 2012-06-07


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 14:09, 21 Cze 2012, w całości zmieniany 31 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 18:45, 07 Cze 2012    Temat postu:

Dodatek A
Z dedykacją dla Quebaba, który przez dwa lata dzielnie wspomagał Kubusia w walce z Szatanem, KRZiP.

[link widoczny dla zalogowanych]
Quebab napisał:

... ale póki mam siły i ochotę, to mogę próbować przyjąć głupotę naszego kosmity na własną klatę.


Quebabie, poruszamy się po dziewiczych obszarach matematyki, po których ludzkość jeszcze nie stąpała.
Bądź dzielny,
Kubuś

I tak jak obłęd, w wyższym tego słowa znaczeniu, jest początkiem wszelkiej mądrości, tak schizofrenia jest początkiem wszelkiej sztuki, wszelkiej fantazji.
Herman Hesse.

Wstęp:

Fundamentem porozumiewanie się człowieka z człowiekiem jest implikacja, będąca w 50% warunkiem wystarczającym => (100% pewność) zaś w drugich 50% warunkiem koniecznym (~>) (rzucanie monetą). Z tego powodu implikacja to idiotyzm w świecie techniki.

Rachunek zero-jedynkowy jest identyczny w KRZ i algebrze Kubusia. Inżynierowie wzięli od matematyków rachunek zero-jedynkowy a za resztę podziękowali. W technice myśli się naturalna logiką człowieka zgodną w 100% z algebrą Kubusia, tylko i wyłącznie dlatego komputery działają.

Algebra Kubusia to 100% wywrotka logiki matematycznej zwanej KRZiP, dosłownie każde pojęcie i każda definicja są tu wywrócone do góry nogami. Z tego powodu jakiekolwiek próby opisania AK przy pomocy środków dostępnych w KRZiP to syzyfowa praca, kompletnie bez sensu. Warunkiem koniecznym zrozumienia Algebry Kubusia jest wykasowanie (może być czasowe) z własnego mózgu wszelkiej wiedzy na temat logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach.

W dzisiejszej logice matematycznej (KRZiP) wszystko trzeba wywrócić do góry nogami aby świat był normalny tzn. aby logika matematyczna była w 100% zgodności z naturalną logiką człowieka.

Od samego początku Kubuś był pewien, iż logika robiąca z człowieka idiotę (KRZiP) musi być fałszywa.
Zdania prawdziwe w KRZiP to logika debilna, będąca pośmiewiskiem w świecie ludzi normalnych:
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
Jeśli pies ma 8 łap to księżyc krąży wokół Ziemi - autentyczne z podręcznika „matematyki” do I klasy LO

Inżynierowie totalnie nie znają KRZiP (nawet nie słyszeli tej nazwy), nie mają pojęcia iż w tym badziewiu jest:
1 = prawda
0 = fałsz
Tylko i wyłącznie dzięki temu mamy dzisiaj komputery i Internet.
Oczywistym jest, że w logice zwanej KRZiP, totalnie sprzecznej z naturalną logiką człowieka, nie dałoby się zaprojektować nawet prostego układu na bramkach logicznych, że o mikroprocesorach nie wspomnę. Bramki logiczne to w dniu dzisiejszym epoka kamienna, zabiły je mikroprocesory. Dziś już nikt nie uczy projektowania złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych. Wynika z tego, że najprawdopodobniej Kubuś to ostatni Mohikanin, który miał szansę rozpracować matematykę naszego Wszechświata, całe szczęście, że się udało.

Jest oczywistym, że matematycy z kagańcem jedynie słusznej logiki zwanej KRZiP i zerowym doświadczeniem w technice bramek logicznych nie mieli tu żadnych szans.

Kubuś-kosmita

15.0 Wszechświat się śmieje

Niemożliwa jest rewolucja po dobroci, trzeba walić … nie chcę, ale muszę.
Logika matematyczna Ziemian to jedna wielka brednia, przez przypadek działająca poprawnie wyłącznie w rozpoznawaniu równoważności (dowód w pkt. 15.1).

Pewność dzisiejszej „matematyki” Ziemian iż warunku wystarczającego => i koniecznego ~> nie da się opisać ściśle matematycznie odpowiednimi wzorami matematycznymi, oraz pewność iż między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> nie zachodzą żadne związki matematyczne to największa matematyczna głupota ludzkości z której śmieje się cały nasz Wszechświat i nie tylko. Te banalne związki matematyczne doskonale znają w praktyce wszelkie istoty żywe na naszej planecie (od bakterii po człowieka - matematyczna obsługa obietnic => i gróźb ~>) … z wyjątkiem ziemskich matematyków!

Zobaczmy co na temat warunku wystarczającego => i koniecznego ~> ma do powiedzenia „matematyka” Ziemian.

Warunek wystarczający:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) - każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.
Na przykład, jeżeli liczba jest podzielna przez 10, to jest podzielna przez 5. Fakt podzielności przez 10 jest warunkiem wystarczającym dla podzielności przez 5, natomiast fakt podzielności przez 5 jest warunkiem koniecznym dla podzielności przez 10.
Warunek wystarczający nie musi być warunkiem koniecznym - liczba nie musi wcale być podzielna przez 10, by była podzielna przez 5


Warunek konieczny:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunek konieczny - wniosek wypływający z danego faktu. Jeżeli fakt ma zaistnieć, to zaistnieć (koniecznie) musi również fakt będący wnioskiem.
Na przykład: jeżeli liczba jest podzielna przez 15, to jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5.
Jest to oczywiste, bo liczba podzielna przez 15 jest podzielna przez 5, a ostatnią cyfrą takiej liczby może być jedynie 0 lub 5. Zatem - to, że ostatnią cyfrą liczby jest 0 lub 5 jest warunkiem koniecznym dla podzielności przez 15 - liczba KONIECZNIE musi mieć ostatnią cyfrę 0 lub 5, by była podzielna przez 15. Nie ma zatem sensu badanie podzielności przez 15 liczb, które nie kończą się na 0 lub 5.
Nie jest to jednak warunek wystarczający - liczba może kończyć się na 0 lub 5, a jednak nie być podzielna przez 15.


Definicje z Wikipedii to bełkot, bełkot, bełkot …
Matematyczne fakty są banalne.

Definicje implikacji i równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
gdzie:
[~>] – wirtualny warunek konieczny, występujący wyłącznie w równoważności.
Nie jest to spójnik „może” ~> między p i q („rzucanie monetą”), istota implikacji, o którym będzie za chwilę.
Dlaczego istota?
Nie ma rzucania monetą – nie ma implikacji!
… jest równoważność!

Definicja warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
Stąd aksjomatyczna definicja równoważności gdzie nie ma śladu „rzucania monetą”:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1 =1
Przykład:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1 =1
Definicja warunku koniecznego [~>]:
[TR~>KR] = ~TR=>~KR =1
Stąd definicja równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*1 =1
Wniosek:
Zdanie A to równoważność prawdziwa

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to wyłącznie zachodzenie warunku wystarczającego => między p i q:
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8~>P2 = ~P8=>~P2=0 bo 2
Wniosek:
Zdanie A to implikacja prosta prawdziwa.
cnd


Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to wyłącznie zachodzenie warunku koniecznego ~> między p i q:
p~>q = ~p=>~q =1
p=>q =0
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
P2=>P8 =0 bo 2
Wniosek:
Zdanie A to implikacja odwrotna prawdziwa.
cnd

Szczegółowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> za chwilę.

Definicje z Wikipedii są bez sensu bo mamy tu zero matematyki, czyli ZERO wzorów matematycznych opisujących warunek wystarczający => i konieczny ~>.
Poprawne, matematyczne definicje warunków wystarczającego => i koniecznego ~> to po prostu prawa Kubusia, czyli zero-jedynkowe definicje implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.

Kompletna i jedyna poprawna matematyka w temacie implikacji to zaledwie kilka podstawowych definicji matematycznych, a nie bajdurzenia słowne jak w Wikipedii, czyli w ziemskiej „matematyce”.

Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

Definicja        |Zbiory    |Definicja
symboliczna      |logika    |zero-jedynkowa
Logika czlowieka |czlowieka |Technika – bramki logiczne
                            | p  q  p=>q
A: p=> q=1       | p* q=1   | 1  1   =1   / p=> q=1
B: p=>~q=0       | p*~q=0   | 1  0   =0   / p=>~q=0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                            | p=1, ~p=0
                            | q=1, ~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zdanie B musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi zajść
Relacja w zbiorach:
p*~q=0
Wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 10 to na pewno => jest podzielna przez 5
P10=>P5=1 bo 10,20,30…
Zbiory:
P10*P5=1
Zbiory P10 i P5 istnieją (P10=1 i P5=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 10 to na pewno => nie jest podzielna przez 5
P10=>~P5=0
Zbiory:
P10*~P5=0
Zbiory P10 i ~P5 istnieją (P10=1 i ~P5=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Z A i B wynika, że podzielność liczby przez 10 jest warunkiem wystarczającym, aby była ona podzielna przez 5
P10=>P5=1
Zbiór P10 zawiera się w całości w zbiorze P5.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

Definicja        |Zbiory    |Definicja
symboliczna      |logika    |zero-jedynkowa
Logika czlowieka |czlowieka |Technika – bramki logiczne
                            |~p ~q ~p=>~q
A:~p=>~q=1       |~p*~q=1   | 1  1   =1   /~p=>~q=1
B:~p=> q=0       |~p* q=0   | 1  0   =0   /~p=> q=0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                            |~p=1, p=0
                            |~q=1, q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zdanie B musi być twardym fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Jak zajdzie ~p to ~q też musi zajść
Relacja w zbiorach:
~p*q=0
Wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q!
Przykład:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 5 to na pewno => nie jest podzielna przez 10
~P5=>~P10=1 bo 4,6,9,11 …
Zbiory:
~P5*~P10 =1
Zbiory ~P5 i ~P10 istnieją (~P5=1 i ~P10=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 5 to na pewno => jest podzielna przez 10
~P5=>P10 =0
Zbiory:
~P5*P10 =0
Zbiory ~P5 i P10 istnieją (~P5=1 i P10=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Z A i B wynika że niepodzielność liczby przez 5 jest warunkiem wystarczającym aby była ona niepodzielna przez 10
~P5=>~P10=1
Zbiór ~P5 zawiera się w całości w zbiorze ~P10.

Matematyczna definicja warunku koniecznego ~>:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

KONIEC!
To wszystko jest aż tak nieprawdopodobnie proste!
Cała ta banalna teoria wyżej to matematyka w zapisach formalnych a nie wygłupy Wikipedii na temat warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Dlaczego nie uczą tych banałów w ziemskich szkołach!
W 100-milowym lesie nauka logiki matematycznej zaczyna się w przedszkolu, bowiem 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia.

Rozpiszmy przykład warunku wystarczającego => z Wikipedii:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 10 to na pewno => jest podzielna przez 5
P10=>P5=1 bo 10,20,30…
Zbiory:
P10*P5 =1 bo 10
Zbiory P10 i P5 istnieją (P10=1 i P5=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 10 to na pewno => nie jest podzielna przez 5
P10=>~P5=0
Zbiory:
P10*~P5 =0
Zbiory P10 i ~P5 istnieją (P10=1 i ~P5=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Z A i B wynika, że podzielność liczby przez 10 jest warunkiem wystarczającym =>, aby była ona podzielna przez 5
P10=>P5=1
Zbiór P10 zawiera się w całości w zbiorze P5.

… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 10?
Prawo Kubusia:
P10=>P5 = ~P10~>~P5
stąd:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 10 to może ~> nie być podzielna przez 5
~P10~>~P5=1 bo 4,6…9,11…
Zbiory:
~P10*~P5=1 bo 1
Zbiory ~P10 i ~P5 istnieją (~P10=1 i ~P5=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1.
Na mocy definicji warunku koniecznego:
C: ~P10~>~P5 = A: P10=>P5=1
Niepodzielność liczby przez 10 jest warunkiem koniecznym ~> aby była ona niepodzielna przez 5
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 10 to może ~~> być podzielna przez 5
~P10~~>P5=1 bo 5
Zbiory:
~P10*P5=1 bo 5
Zbiory ~P10 i P5 istnieją (~P10=1 i P5=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

~P10 nie jest konieczne dla P5 bo nie jest spełniona definicja warunku koniecznego ~>:
D: ~P10~>P5 = B: P10=>~P5 =0
Prawa strona jest fałszem zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>:
~P10~>P5=0

Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P10=1, ~P10=0
P5=1, ~P5=0
otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej:
Kod:

  P10 P5 P10=>P5
A: 1   1   =1     / P10=> P5=1
B: 1   0   =0     / P10=>~P5=0
C: 0   0   =1     /~P10~>~P5=1
D: 0   1   =1     /~P10~~>P5=1

stąd o zdaniu A możemy powiedzieć iż spełnia pełną, zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie, zdanie A jest implikacją prostą prawdziwą.
… ale dopiero po udowodnieniu tego faktu analizą matematyczną jak wyżej!


15.1 Dlaczego stara matematyka działa?

… bo poprawnie (choć nadmiarowo) rozpoznaje warunek wystarczający => i korzysta z poprawnej definicji równoważności.

Równoważność to wynikanie => w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Jedynym ziemianinem w historii 6-cio letniej wojny algebra Kubusia vs KRZiP który podał poprawną definicję warunku wystarczającego => był wykładowca logiki Macjan.

Co ciekawe, ekspert KRZiP na ateiście.pl, Windziarz, wyśmiał Macjana twierdząc iż warunek wystarczający w zdaniu:
p=>q
to samo p bez związku z q!
Oczywiście to jest sprzeczne z naturalną logiką człowieka, czy choćby z Wikiepedią wyżej.

Weźmy zdania równoważne matematycznie:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2

Między tymi zdaniami nie ma żadnej różnicy, znaczą dokładnie to samo, to jest warunek wystarczający =>, który można poprawnie zdefiniować także kwantyfikatorem dużym w algebrze Kubusia i KRZiP, matematycznie o definicji identycznej w KRZiP (Macjana) i algebrze Kubusia !

W algebrze Kubusia kwantyfikator duży to warunek wystarczający => o takiej definicji:
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik "na pewno" między p i q w całym obszarze matematyki, to nie jest operator logiczny!

Dokładnie to samo w zapisie kwantyfikatorowym:
/\x Jeśli p(x) => q(x)
Dla dowolnego przypadku x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)

Fragment w powyższej definicji:
„Jeśli zajdzie p(x)”
jest filtrem na mocy którego mamy zakaz rozpatrywania przypadków ~p(x).

Artykuł Macjana w oryginale:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/paradoks-warunku-wystarczajacego,3164.html#56053

Kluczowy fragment:
Macjan napisał:

Zdanie analizowane:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Dokładnie to samo kwantyfikatorowo:
/\x P8(x) => P2(x)
Dla każdego x, jeśli x jest podzielna przez 8 to na pewno => x jest podzielna przez 2

Ogólnie:
/\(x) (p(x)=>q(x))
gdzie /\ oznacza kwantyfikator ogólny (z braku lepszego symbolu).

I teraz uwaga: DOPIERO TAKIE ZDANIE OKREŚLA "WARUNEK WYSTARCZAJĄCY". Bierzemy tu bowiem wszystkie możliwe liczby i rzeczywiście okazuje się, że gdy p jest prawdziwe, to zawsze q też. Mamy więc gwarancję.

Należy zatem zapamiętać, że warunek wystarczający = implikacja pod kwantyfikatorem ogólnym.

W przypadku twierdzeń matematycznych używa się często sformułowania "warunek wystarczający". Musimy pamiętać, że nie dotyczy ono "zwykłej" implikacji, lecz dopiero tej właściwej postaci twierdzenia. Przedstawianie twierdzenia w postaci prostej implikacji dwóch zdań jest skrótem myślowym. Nieświadomość tego faktu prowadzi do paradoksów, gdy usiłujemy podpiąć pojęcie "warunek wystarczający" pod zwykłą implikację.

Fakt że Macjan iteruje po całej dziedzinie p i ~p, natomiast w algebrze Kubusia wystarczy iterować wyłącznie po zbiorze aktualnym zdefiniowanym w poprzedniku (czyli wyłącznie po p), jest z punktu widzenia matematyki totalnie nieistotny, bowiem obie te definicje, Macjana i AK wypluwają identyczne wyniki.

Jak ktokolwiek znajdzie choćby najmniejszą różnicę w wyniku dla dowolnego przykładu, natychmiast kasuję algebrę Kubusia!

Zdanie wytłuszczone wyżej jest dowodem równoważności definicji warunku wystarczającego w AK i KRZiP !

Tylko i wyłącznie dlatego KRZiP działa poprawnie w udowadnianiu dowolnej równoważności na mocy jedynie słusznej, uwielbianej przez matematyków definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*1=1
gdzie:
=> - warunek wystarczający zgodny z definicją AK, to nie jest operator logiczny!

Cena jaką płacą Ziemscy matematycy za posługiwanie się badziewiem zwanym KRZiP jest jednak straszliwa.
KRZiP jest TOTALNIE sprzeczna z naturalną logiką człowieka, aby posługiwać się tym gównem trzeba wyprać sobie mózg z naturalnej logiki człowieka. Pal licho gdy to robią matematycy na studiach matematycznych, są dorośli i nich sobie robią co chcą … ale wkraczać z tym gównem w świat dzieci, do I klasy LO? … to już nie przystoi, a to się niestety zaczyna dziać. W matematycznych czasach Kubusia (40 lat temu) można było skończyć szkołę średnią i studia techniczne nie mając pojęcia o takich badziewiach jak: definicja implikacji materialnej, kwantyfikator, zdanie prawdziwe/fałszywe, KRZiP.
Pytanie dlaczego matematyka mogła być wtedy normalna, czyli w 100% zgodna z naturalną logiką człowieka, a teraz już nie może?

KRZiP to także TOTALNIE fałszywa, matematyczna wizja naszego Wszechświata z jej naczelnym IDIOTYZMEM jakoby „z fałszu mogła powstać prawda”.

Ciekawostka:
Kubuś pierwszy raz usłyszał słowo „kwantyfikator” od Wuja Zbója na forum sfinia zaledwie 6 lat temu, nie mając zielonego pojęcia co to jest - musiał szukać w Wikipedii (daję słowo honoru!).


16.0 Katastrofalna logika Ziemian

Logika to fundament wszystkiego, także matematyki.
Bez logiki nie byłoby matematyki, nie byłoby naszego Wszechświata.

Czym jest algebra Kubusia?
To śmiertelny cios dla całej aktualnej logiki matematycznej.

Leży i kwiczy dosłownie wszystko:
1. Twierdzenie Godla - obalone, oczywiście Godel ma rację na gruncie badziewia zwanego KRZiP
2. Aksjomaty Zermelo-Fraenkela - fałszywy jest aksjomat równoważności (równoważność to dwa rozłączne zbiory a nie jeden) i brak aksjomatów implikacji
3. Teoria mnogości - jest ewidentnie fałszywa ze względu na powyższe
4. KRZiP - największe badziewie jakie w swej historii stworzył człowiek
5. KRZ - bo nie rozpoznaje poprawnej budowy ani jednego operatora logicznego

Algebra Kubusia to największa matematyczna rewolucja w historii ludzkości, podobna wyłącznie do rewolucji Lavoisiera, tylko nieporównywalnie większa i ważniejsza ... ze względów „ideologicznych” - skąd przyszliśmy, i dokąd zmierzamy.

Algebra Kubusia, to fizyka a nie matematyka. Człowiek podlega pod prawa fizyki, czy mu się to podoba czy nie ...

Cytat pochodzi z książki Luc'a Burgin - "Błędy Nauki"

Ludzie mają widocznie skłonność do przedwczesnego i negatywnego oceniania perspektyw rozwojowych pewnych dziedzin nauki. Niektóre rewolucyjne odkrycia lub idee przez lata bojkotowano i zwalczano tylko dlatego, że dogmatycznie nastawieni luminarze nauki nie umieli odrzucić swych ulubionych, choć przestarzałych i skostniałych idei i przekonań. Jednym słowem: „Niemożliwe!" hamowali postęp nauki, a przykładami można dosłownie sypać jak z rękawa:

• Gdy w XVIII wieku Antoine-Laurem de Lavoisier zaprzeczył istnieniu „flogistonu" – nieważkiej substancji, która wydziela się w trakcie procesu spalania i w którą wierzyli wszyscy ówcześni chemicy – i po raz pierwszy sformułował teorię utleniania, świat nauki zatrząsł się z oburzenia. „Observations sur la Physique", czołowy francuski magazyn naukowy, wytoczył przeciwko Lavoisierowi najcięższe działa, a poglądy uczonego upowszechniły się dopiero po zażartych walkach.



16.1 Formalne obalenie prawa eliminacji implikacji

Więcej szczegółów w pkt. 12.0

W dzisiejszej matematyce mamy.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Mamy funkcję logiczną:
Y = ~p+q
co matematycznie na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

  ~p q Y=~p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
   1 2   3

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia na wejściach p i q

To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostały przypadek w powyższej tabeli musimy uzupełnić zerem w wyniku.
Stąd:
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

  ~p q Y=~p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Oczywiście znaczek „+” definiowany jest wyłącznie obszarem ABC123.

Pełna definicja symboliczna operatora OR z podkładem zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna    |Bramki logiczne    |Bramki logiczne
Zbiory!                  |Technika           |Technika
Y=1 - dotrzymam słowa
W: Y=~p+q=~p*q+~p*~q+p*q |~p q Y=~p+q         | p ~q ~Y=p*~q
A:~p* q= Y               | 1 1 =1 /Y=~p* q    | 0  0   =0
B:~p*~q= Y               | 1 0 =1 /Y=~p*~q    | 0  1   =0
C: p* q= Y               | 0 1 =1 /Y= p* q    | 1  0   =0
~Y=1 - skłamię
~Y=p*~q                  |
D: p*~q=~Y               | 0 0 =0             | 1  1   =1 /~Y=p*~q
   1  2  3               | 4 5  6             | 7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                         |~p=1, p=0           | p=1, ~p=0
                         | q=1, ~q=0          |~q=1, q=0
                         | Y=1, ~Y=0          |~Y=1, Y=0

W tabeli ABCD456 widzimy zero-jedynkową definicję operatora OR, dla sygnałów odniesienia:
Y = ~p+q
~p i q.

Przykład:
Jutro nie pójdę do kina lub pójdę do teatru
Y=~K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y = K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=K*~T
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1

W dzisiejszej matematyce mamy.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Oznaczmy:
Y = p=>q = ~p+q
stąd mamy:
Y = p=>q
Y=~p+q

Z tabeli wyżej widzimy, że równanie:
Y=~p+q
opisuje zero-jedynkową definicję OR, mającą zero wspólnego z implikacją.

Co oznacza ta tożsamość?
p=>q = ~p+q
Ta tożsamość obowiązuje dla punktu odniesienia ustalonego po lewej stronie:
p=>q
czyli dla sygnałów odniesienia:
p i q!

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

   ~p  p  q  p=>q Y=~p+q |q=>p |Y=q+~p
A:  0  1  1  =1    =1    | =1  | =1
B:  0  1  0  =0    =0    | =1  | =0
C:  1  0  0  =1    =1    | =1  | =1
D:  1  0  1  =1    =1    | =0  | =1
    1  2  3   4     5       6     7

Doskonale widać, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
~p, q
to otrzymamy definicję operatora OR gdzie zachodzi przemienność argumentów:
Y=~p+q = q+~p
czego dowodem formalnym jest tożsamość kolumn ABCD5 i ABCD7.

Jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
p, q
To otrzymamy definicję zero-jedynkową implikacji prostej gdzie przemienność argumentów nie zachodzi:
p=>q # q=>p
czego dowodem formalnym jest brak tożsamości kolumn ABCD4 i ABCD6.

Zauważmy, że definicja implikacji prostej gwałci definicję spójnika „lub”(+) w liniach B234 i C234.

Nie da się więc wyeliminować operatora implikacji prostej operatorem OR z powodu podwójnego gwałtu na algebrze Boole’a!
1.
W operatorze OR zachodzi przemienność argumentów
W operatorze implikacji prostej nie zachodzi przemienność argumentów
2.
Gwałt definicji spójnika „lub”(+) w liniach B234 i C234

Poprawne rozumienie tożsamości:
p=>q = ~p+q
Bramka (operator) implikacji prostej „musi”=>, to bramka (operator) OR z zanegowaną w środku linią p. Nie da się wyeliminować z logiki operatora implikacji prostej, bowiem ma on fundamentalnie inne właściwości niż operator OR!

Weźmy na warsztat symetryczną tożsamość:
p~>q = p+~q
Poprawne rozumienie tej tożsamości:
Bramka (operator) implikacji odwrotnej „może”~>, to bramka (operator) OR z zanegowaną w środku linią q.

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

   ~q  p  q  p~>q Y=p+~q |q~>p |Y=~q+p
A:  0  1  1  =1    =1    | =1  | =1
B:  1  1  0  =1    =1    | =0  | =1
C:  1  0  0  =1    =1    | =1  | =1
D:  0  0  1  =0    =0    | =1  | =0
    1  2  3   4     5       6     7

Doskonale widać, że jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
p, ~q
to otrzymamy definicję operatora OR gdzie zachodzi przemienność argumentów:
Y=p+~q = ~q+p
czego dowodem formalnym jest tożsamość kolumn ABCD5 i ABCD7.

Jeśli natomiast za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały:
p, q
To otrzymamy definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej gdzie przemienność argumentów nie zachodzi:
p~>q # q~>p
czego dowodem formalnym jest brak tożsamości kolumn ABCD4 i ABCD6.

Zauważmy, że definicja implikacji odwrotnej gwałci definicję spójnika „lub”(+) w liniach C234 i D234.

Nie da się więc wyeliminować operatora implikacji odwrotnej operatorem OR z powodu podwójnego gwałtu na algebrze Boole’a!
1.
W operatorze OR zachodzi przemienność argumentów
W operatorze implikacji odwrotnej nie zachodzi przemienność argumentów
2.
Gwałt definicji spójnika „lub”(+) w liniach C234 i D234

Poprawne rozumienie tożsamości:
p~>q = p+~q
Operator implikacji odwrotnej to operator OR z zanegowaną w środku linią q. Nie da się wyeliminować z logiki operatora implikacji odwrotnej, bowiem ma on fundamentalnie inne właściwości niż operator OR!

Znane ziemskim matematykom prawo eliminacji implikacji.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
… można więc między bajki włożyć.

Zupełnie czym innym jest fizyczna budowa dowolnego operatora, tu wszystkie operatory da się zredukować do dowolnego z poniższych operatorów:
NAND, NOR, =>, ~>
a zupełnie czym innym są zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych.
Na mocy definicji ani jednego z operatorów logicznych nie da się wyeliminować, bo to są definicje!

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

Zamykamy zatem nasz układ logiczny:
p=>q = ~p+q
w czarnej skrzynce z której wystają kabelki:
p, q, Y
Badamy odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q:
Kod:

p q p=>q=~p+q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1

To jest oczywiście operator implikacji prostej, mający ZERO wspólnego z operatorem OR.

Nie da się wyeliminować operatora implikacji prostej!

Można go natomiast fizycznie zbudować na nieskończoną ilość sposobów (pierwszy przykład wyżej).
Dowód:
p=>q = ~p + q*(q+~q*p + p*r*~s + t*u*~w + ….) = ~p+q
To samo w zapisie skróconym:
p=>q = ~p + q*(q+x) = ~p + q
gdzie:
x - dowolnie długa i dowolnie skomplikowana funkcja logiczna (nawet nieskończona)
Dowód:
Y = q*(q+x) = q
Jeśli q=0 to:
0*(cokolwiek) =0
Jeśli q=1 to:
Y = 1*(1+x) =1
bo prawo algebry Boole’a:
1+x=1
z powyższego mamy:
Jeśli q=0 to Y=0
Jeśli q=1 to Y=1
Niezależnie od budowy i wartości logicznej funkcji x zatem:
Y = q*(q+x) = q
cnd

Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.

Definicja operatora AND:
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana

Definicja operatora OR:
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana

Definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Na mocy definicji matematycznie zachodzi:
p*q=~(~p+~q) ## p+q=~(~p*~q) ## p=>q=~p~>~q ## p~>q=~p=>~q ## p<=>q
Operator AND ## operator OR ## operator implikacji prostej ## operator implikacji odwrotnej ## operator równoważności
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Nie da się wyeliminować żadnej z powyższych definicji, bo to są fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.

Fakt budowy operatora X przy pomocy operatora Y, nie oznacza eliminacji operatora X!


16.2 Zakpijmy sobie z „matematyki” Ziemian!

W dzisiejszej „matematyce” mamy:
[link widoczny dla zalogowanych]
„Prawo” eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Zakpijmy sobie z „matematyki” Ziemian!

Negujemy dwustronnie p i otrzymujemy …
„Prawo” eliminacji operatora OR:
p+q = ~p=>q

Dla lewej strony korzystamy z prawa de’Morgana:
~(~p*~q) = ~p=>q
Negujemy tożsamość dwustronnie:
~p*~q = ~(~p=>q)
Negujemy dwustronnie wejścia p i q i mamy …
„Prawo” eliminacji operatora AND:
p*q = ~(p=>~q)

Oczywiście wyłącznie IDIOTA będzie tu dochodził do wniosku że wobec tego operatory OR i AND są w logice zbędne.

Poprawna interpretacja powyższych tożsamości to:
1.
p+q = ~p=>q
Bramka OR (operator OR) to bramka „musi”=> z zanegowanym wejściem p
2.
p*q = ~(p=>~q)
Bramka AND (operator AND) to bramka „musi”=> z zanegowanym wejściem q i zanegowanym wyjściem ~(p=>~q)

To co wyżej to tylko jedna z nieskończonych możliwości fizycznej budowy bramek logicznych OR i AND (operatorów logicznych OR i AND). To jest tylko hardware (sprzęt), natomiast logika człowieka to software (program) operujący na tym sprzęcie.

Analogia do świata komputerów:
Logika człowieka ma się tak do bramek logicznych (operatorów), jak software do hardware w świecie komputerów.

Oczywistym jest że hardware (sprzęt) bez software (oprogramowanie) to tylko nikomu niepotrzebna, kupa złomu.


Dowód formalny 1.
„Prawo” eliminacji operatora OR
p+q = ~p=>q
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~p=>q
A: 1 1  =1    0   =1
B: 1 0  =1    0   =1
C: 0 1  =1    1   =1
D: 0 0  =0    1   =0
   1 2   3    4    5

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD5 jest dowodem poprawności „prawa” eliminacji operatora OR z logiki matematycznej … w mózgach matematycznych IDIOTÓW oczywiście.


Dowód formalny 2.
„Prawo” eliminacji operatora AND:
p*q = ~(p=>~q)
Kod:

   p q Y=p*q ~q p=>~q ~(p=>~q)
A: 1 1  =1    0  =0      =1
B: 1 0  =0    1  =1      =0
C: 0 1  =0    0  =1      =0
D: 0 0  =0    1  =1      =0
   1 2   3    4   5       6

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD6 jest dowodem poprawności „prawa” eliminacji operatora AND z logiki matematycznej … w mózgach matematycznych IDIOTÓW oczywiście.


16.3 Tragiczna logika Ziemian w blasku księżyca

[link widoczny dla zalogowanych]
Z fałszu wynika wszystko!!!
Z każdego zdania fałszywego wynika dowolne inne zdanie.... (niektórzy twierdzą, że tak powstała teologia). Poniższa anegdota pochodzi od znakomitego XX-wiecznego logika- Bertranda Russella
Bertrand Russell napisał:

Udowodnijmy zatem, że ze zdania: "2+2=5" wynika zdanie: "Ja (tzn. Windziarz) jestem papieżem"
Argumentacja przebiega następująco:
-Jeśli 2+2=5, to w takim razie: 4=5
po odjęciu od obu stron "3" otrzymujemy: 1=2
Zatem:
-skoro ja i papież to razem dwie osoby, a 2=1
to
-ja i papież jesteśmy jedną osobą
Zatem:
-ja jestem papieżem


[link widoczny dla zalogowanych]
Windziarz napisał:

Kubuś napisał:

Algebra Kubusia to koniec robienia z człowieka DEBILA dowodami „matematycznymi” w stylu dziadka Russella wyżej!

Gdzie niby w tym dowodzie jest błąd?
Poza tym ten dowód to przykład, że z fałszu wynika fałsz. Coś w tym jest złego?
Kubusiu! Jeśli nie wskażesz, gdzie w dowodzie Russella (że jeśli 2+2=5 to jestem papieżem) jest błąd, a będziesz nadal upierał się, że jest błędny, to znaczy, że kompletnie nic nie rozumiesz.

Windziarzu, tego żaden normalny człowiek NIGDY nie zrozumie!
Czy ewidentne idiotyzmy mogą być dowodem matematycznym?
Przecież to jest chore dla każdego, nawet pacjenta szpitala psychiatrycznego.

Spróbuj powiedzieć komukolwiek normalnemu (nie matematykowi) takie zdanie prawdziwe w KRZiP:
Jeśli 2+2=4 to jesteś wielbłądem.
... szpital psychiatryczny masz pewny.

Na razie IDIOTYZMY jak wyżej nie dotarły jeszcze w pełnej krasie do podręczników matematyki I klasy LO, ale wszystko jest na dobrej drodze, bowiem już są tego zwiastuny.

Dzieciaków w I klasie LO naucza się iż prawdziwe jest takie zdanie:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi

Każdemu normalnemu człowiekowi wyjdzie tu iż:
Ponieważ pies nie ma ośmiu łap to Księżyc nie może krążyć wokół Ziemi.

Trzeba być idiotą, aby twierdzić że miedzy dwoma TOTALNIE niezależnymi zdaniami może cokolwiek wynikać (przykłady wyżej).

Błąd Russella nazywa się:
Gówno zwane KRZiP, a dowód tego jest niżej.


16.4 O co chodzi w operatorach implikacji?

Oczywiście o coś fundamentalnie innego niż w operatorach OR i AND.
W operatorach OR i AND interesowało nas kiedy dotrzymam słowa (Y=1) a kiedy skłamię (~Y=1).
Definicja operatora OR:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Definicja operatora AND:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Operatory implikacji dają odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Wniosek:
Operatory OR i AND to fundamentalnie inne operatory niż operatory implikacji!
cnd

Trzeba być idiotą aby twierdzić iż zdania:
1.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Deszcz jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
i
2.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym => aby kąty były równe

To są identyczne implikacje proste prawdziwe!

W pierwszym jest matematycznie zakodowane rzucanie monetą po stronie ~P.
Prawo Kubusia:
P=>CH =~P~>~CH
~> - ten znaczek to warunek konieczny, „rzucanie monetą”, spójnik "może" w implikacji
1A.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno
Wniosek:
Zdanie 1 to implikacja prosta prawdziwa

Natomiast w zdaniu 2 po stronie ~TR mamy 100% determinizm, kolejny warunek wystarczający!
2A.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych!
~TR=>~KR=1
Bycie trójkątem nierównobocznym jest warunkiem wystarczającym => aby kąty nie były równe

To jest oczywiście implikacja prosta fałszywa bo nie ma tu "rzucania monetą", fundamentu każdej implikacji!
... a to gówno zwane KRZiP nie widzi miedzy tymi zdaniami żadnej różnicy.
W KRZiP oba te zdania to implikacje proste prawdziwe!

Wniosek:
KRZiP to IDIOTYZM, to totalnie błędna matematyka!
cnd

Fundamentem wariatkowa zwanego KRZiP jest ...

Idiotyczna definicja operatora logicznego rodem z KRZiP:
O tym czym jest wypowiedziane zdanie decyduje użyty spójnik, treść jest bez znaczenia.
Zdanie ujęte w spójnik „ ... wtedy i tylko wtedy ...” jest równoważnością niezależnie od tego co wstawimy w wykropkowane miejsca.
Zdanie „Jeśli ... to ...” jest implikacją niezależnie co wstawimy w miejsca wykropkowane.

Dowód wyżej pokazuje, iż nie jest to prawdą. Z tej idiotycznej definicji wynika, że jeśli twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością prawdziwą, a bezdyskusyjnie jest, to równocześnie twierdzenie Pitagorasa musi być implikacją prawdziwą.

Większego debilizmu to nasz Wszechświat nie widział!
Kubuś i wszyscy normalni matematycy.

Pozdrawiam,
Kubuś - kosmita, przyjaciel Ziemskich dzieci, którego zadaniem na Ziemi jest zniszczenie KRZiP, co by nikt nigdy nie prał tym gównem mózgów naszych dzieci ... już w I klasie LO.
Wara z tym na studia matematyczne, nie mam nic przeciwko aby dorośli prali sobie mózgi matematycznym debilizmem zwanym KRZiP totalnie sprzecznym z naturalną logiką człowieka ... ale od dzieci WON!

Przyjaciel wszystkich dzieci,
Kubuś – kosmita

KONIEC
2012-06-07 Dom wczasowy: Lot nad kukułczym gniazdem


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 9:23, 04 Lip 2012, w całości zmieniany 15 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 14:08, 21 Cze 2012    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

To, co było, jest tym, co będzie,
a to, co się stało, jest tym, co znowu się stanie:
więc nic zgoła nowego nie ma pod słońcem.
Jeśli jest coś, o czym by się rzekło:
"Patrz, to coś nowego" -
to już to było w czasach,
które były przed nami.

Kubuś ściga to gówno, Szatana w przebraniu KRZiP, po wszystkich możliwych Wszechświatach.
Wszechświat Ziemian jest ani pierwszy, ani ostatni ...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:33, 22 Cze 2012    Temat postu:

1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:34, 22 Cze 2012    Temat postu:

2
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24607
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:37, 22 Cze 2012    Temat postu:

......

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 8:19, 16 Sie 2012, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin