Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:18, 10 Maj 2020    Temat postu: AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-05-10

Część V
Kubusiowa teoria zdarzeń


Jak czytać algebrę Kubusia?
Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej.
Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a.
Szczególnie polecam część IV i V

Części:
AK1 Algebra Boole’a
AK2 Elementarz algebry Kubusia
AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń
AK6 Obietnice i groźby
AK7 Teoria transformacji
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?


Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020




Algebra Kubusia w pdf

AK1 Algebra Boole’a.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK2 Elementarz algebry Kubusia.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK3 Wstęp do Kubusiowej Teorii zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK6 Obietnice i groźby.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK7 Prawo transformacji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]


Spis treści
1.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 3
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 3
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 5
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 5
1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 6
1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
1.4 Prawa Prosiaczka 9
1.4.1 Prawa Prosiaczka - sterowanie żarówką 10
1.4.2 Prawa Prosiaczka - 3-latek w ZOO 11
2.0 Definicja tożsamości matematycznej 12
2.1 Tożsamość równoważnościowa 12
2.1.1 Tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń 12
2.1.2 Tożsamość równoważnościowa dla zbiorów 15
2.2 Tożsamość implikacyjna 17
2.2.1 Tożsamość implikacyjna dla zdarzeń 17
2.2.2 Tożsamość implikacyjna w zbiorach 23
2.3 Definicja poprawności matematycznej definicji 26




Wstęp:
Algebra Kubusia to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” bo to one decydują o logice matematycznej, spójniki „lub”(+) i „i”(*) z algebry Boole’a pełnią tu wyłącznie funkcję pomocniczą.
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń lub zbiorów p i q.
W teorii zbiorów, kluczowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w algebrze Kubusia i aktualnej logice matematycznej ziemian są sprzeczne.
W teorii zdarzeń sytuację mam bajkową - tu po prostu nie sposób rozumieć definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na dwa sprzeczne ze sobą sposoby.
Poza tym w teorii zdarzeń wszystko jest na poziomie 5-cio latka, bo nie ma tu zbiorów nieskończonych, na których operuje matematyka klasyczna.
Zdecydowanie więc polecam wszystkim czytelnikom „AK4 Kubusiową teorię zdarzeń” reszty można nawet nie czytać, bowiem zrozumienie teorii zdarzeń w AK jest konieczne i wystarczające dla zrozumienia kompletnej logiki matematycznej.
Solidne streszczenie AK4 (śmietanka wiedzy) jest na końcu podręcznika:
Dodatek A. Algebra Kubusia w pigułce.


1.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego linie definiujące znaczki =>, ~> i „lub”(+) można dowolnie przestawiać, matematycznie to bez znaczenia.

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Weźmy prawo Kubusia odczytane z tabeli B.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony.

1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji


1.4 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.4.1 Prawa Prosiaczka - sterowanie żarówką

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

1.4.2 Prawa Prosiaczka - 3-latek w ZOO

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.0 Definicja tożsamości matematycznej

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

2.1 Tożsamość równoważnościowa

Rozróżniamy dwa rodzaje tożsamości równoważnościowych:
- tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń
- tożsamość równoważnościowa dla zbiorów

2.1.1 Tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Rozważmy poniższy schemat sterowania żarówką:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)

Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego a mimo to są to zdania różne na mocy definicji - taki przypadek możliwy jest wyłącznie w równoważności. O tym z jakim zdaniem mamy w rzeczywistości do czynienia informują nas wyłącznie znaczki => i ~> w zapisie słownym tych zdań.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni. Skupmy się na I i II.

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
A=S
Pojęcie przycisk A jest wciśnięty (A=1) jest tożsame z pojęciem żarówka świeci (S=1)

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
~A=~S
Pojęcie przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) jest tożsame z pojęciem żarówka nie świeci (~S=1)

Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S = ~A<=>~S

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widać tożsamość logiczna to co innego niż tożsamość matematyczna.
Z faktu że zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S = ~A<=>~S
Nie wynika że przycisk wciśnięty (A=1) to jest to samo co przycisk nie wciśnięty (~A=1)=(A=0)

Podsumowanie:
Kod:

Równoważność:                 [=]  Równoważność:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)   [=] ~A<=>~S=(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
A=S                            #  ~A=~S
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Spełniona jest definicja dziedziny dla A i S:
A+~A =D =1 - zdarzenia uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
A*~A =[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
S=A # ~S=~A - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że klawisz A nie jest wciśnięty (~A) = prawdą jest że klawisz A jest wciśnięty (A)
~(~A) =A

2.1.2 Tożsamość równoważnościowa dla zbiorów

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Podstawmy równoważność Pitagorasa do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla równoważności:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: TP=>SK = 2:~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4:~SK=>~TP =1
##
B: 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4:~SK~>~TP =1
       I          II             III         IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Mamy tu sytuację identyczna jak w teorii zdarzeń.
Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)

II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~TP=~SK
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)

Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widać tożsamość logiczna to co innego niż tożsamość matematyczna.
Z faktu że zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Nie wynika iż zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem ~TP

Podsumowanie:
Kod:

Równoważność dla                   |  Równoważność dla
trójkątów prostokątnych            |  trójkątów nieprostokątnych
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
definiująca tożsamość zbiorów:     |  definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK                              #  ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
| - rozdziela komentarz

Dziedzina minimalna:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dla dziedziny minimalnej zachodzi:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
TP=SK # ~TP=~SK - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Zaprzeczeniem (~) zbioru trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest zbiór trójkątów prostokątnych TP
~(~TP)=TP
Nie jest prawdą (~) że trójkąt x nie jest prostokątny (~TP) = prawdą jest że trójkąt x jest prostokątny (TP)
~(~TP) = TP

2.2 Tożsamość implikacyjna

Rozróżniamy dwa rodzaje tożsamości implikacyjnych:
- tożsamość implikacyjna dla zdarzeń
- tożsamość implikacyjna dla zbiorów

2.2.1 Tożsamość implikacyjna dla zdarzeń

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
Operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q  =1 - Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
                 zajście p jest konieczne ~> zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: p=>q=0 musi być prawdą, stąd:
LUB
A1’: p~~>~q =1 - Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 - Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
                zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
                kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem


Rozważmy fizyczną realizację operatora implikacji odwrotnej A|~>S jak niżej:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S dla naszego układu:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|~>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na początek musimy udowodnić, iż schemat S1 rzeczywiście jest fizyczną realizacją operatora implikacji odwrotnej A|~>S o definicji:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1

Dowodzimy fałszywości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki S bowiem zmienna wolna B może być ustawiona na B=0, wtedy żarówka nie świeci się mimo włączonego przycisku A (A=1).

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S.
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1.

Udowodniliśmy wyżej że warunek konieczny A~>S wchodzi w skład implikacji odwrotnej A|~>S.
Podstawmy nasz przykład do szablonu ogólnego implikacji odwrotnej:
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej A|~>S
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)
Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie A?
B1:  A~> S  =1 - Jeśli zajdzie A to może ~> zajść S
                 zajście A jest konieczne ~> zajścia S
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: A=>S=0 musi być prawdą, stąd:
LUB
A1’: A~~>~S =1 - Jeśli zajdzie A to może ~~> zajść ~S

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~A?
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
B2: ~A=>~S =1 - Jeśli zajdzie ~A to na 100% => zajdzie ~S
                zajście ~A jest wystarczające => dla zajścia ~S
B2’:~A~~>S =0 - Jeśli zajdzie ~A to może ~~> zajść S
                kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem

Rozwińmy powyższy szablon w języku potocznym z bardziej szczegółowymi wyjaśnieniami dotyczącymi schematu S1.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Implikacja odwrotna A|~>S w równaniu logicznym:
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)

Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S.
Koniecznym ~> bo dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1
LUB
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S =1
Zdarzenie możliwe ~~> gdy dodatkowo zmienna wolna B ustawiona jest na B=0

2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?


Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
stąd:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1).
Stan zmiennej wolnej B jest tu bez znaczenia B=x gdzie: x={0,1}
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Dla schematu S1 zdarzenie niemożliwe. Stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x gdzie: x={0,1}.

Podsumowanie:
1.
Doskonale tu widać, że po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli klawisz A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić (prawdziwe zdanie B1, fałszywe A1’) albo może ~~> się nie świecić (fałszywe zdanie B1, prawdziwe A1’)
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy gwarancje matematyczną => iż jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się.

Kluczowym zagadnieniem jest tu poprawne zrozumienie tożsamości logicznej w prawie Kubusia.

Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Lewa strona prawa Kubusia:
Zdanie B1 w prawie Kubusia mówi nam co może się wydarzyć gdy klawisz A nie jest wciśnięty:
B1: A~>S =1
LUB
A1’: A~~>~S=1
Po stronie wciśniętego przycisku A mamy „rzucanie monetą” RM tożsame z brakiem gwarancji matematycznej ~GM co zapisujemy:
RM=~GM
RM=1 - „rzucanie monetą”
(~GM=1)=(GM=0) - brak gwarancji matematycznej (prawo Prosiaczka)

Prawa strona prawa Kubusia:
Zdanie B2:
B2: ~A=>~S =1
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie świeci się (~S=1)
Oczywistym jest, że spełniona gwarancja matematyczna GM=1 jest tożsama z brakiem „rzucania monetą” ~RM=1
GM = ~RM
GM=1 - gwarancja matematyczna
(~RM=1)=(RM=0) - brak „rzucania monetą” (prawo Prosiaczka)

Podsumujmy nasze rozważania w tabeli prawdy:
Kod:

Prawo Kubusia:
B1:  A~> S =1      [=]  B2: ~A=>~S=1
lub                 |   Kontrprzykład B2’ musi być fałszem
A1’: A~~>~S=1       |   B2’:~A~~>S=0
Rzucanie monetą RM  #   Brak „rzucania monetą” ~RM
Brak gwarancji ~GM  #   Gwarancja matematyczna GM
RM=~GM              #   GM=~RM
Gdzie:
RM - rzucanie monetą
GM - gwarancja matematyczna
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
| - rozdziela istotne fragmenty analizy symbolicznej

Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S

Znaczenie prawa Kubusia w implikacji odwrotnej A|~>S:
1.
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
2.
W implikacji odwrotnej A|~>S po stronie opisanej warunkiem koniecznym ~> mamy „rzucanie monetą” (RM), natomiast po stronie opisanej warunkiem wystarczającym => mamy gwarancję matematyczną =>, czyli brak „rzucania monetą” (~RM)
Kod:

B1: A~>S   = B2:~A=>~S
   RM=~GM  #    ~RM=GM

Spełniona jest definicja dziedziny dla rzucania monetą RM:
RM+~RM =D =1 - ~RM jest uzupełnieniem do dziedziny dla RM
RM*~RM =[] =0 - pojęcia RM i ~RM są rozłączne
Z powyższego wynika że:
~RM=[D-RM]=[RM+~RM-RM]=~RM

Prawo podwójnego przeczenia też jest tu spełnione:
~(~RM) = RM - bo ~RM jest uzupełnieniem do dziedziny dla RM, zatem zaprzeczając ~RM otrzymamy RM.

Interpretacja w języku potocznym:
Nie jest prawdą (~) że nie rzucam monetą (~RM) = rzucam monetą (RM)
~(~RM)=RM

Analogicznie:
Spełniona jest definicja dziedziny dla gwarancji matematycznej GM:
GM+~GM =D =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =[] =0 - pojęcia GM i ~GM są rozłączne
Z powyższego wynika że:
~GM=[D-GM]=[GM+~GM-GM]=~GM

Prawo podwójnego przeczenia też jest tu spełnione:
~(~GM) = GM - bo ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM, zatem zaprzeczając ~GM otrzymamy GM.

Interpretacja w języku potocznym:
Nie jest prawdą (~) że nie mam gwarancji matematycznej (~GM) = mam gwarancję matematyczną (GM)
~(~GM)=GM

2.2.2 Tożsamość implikacyjna w zbiorach

Znaczenie tożsamości implikacyjnej w zbiorach jest analogiczne do znaczeni tożsamości implikacyjnej w zdarzeniach.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax

Rozważmy warunek konieczny ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zdanie prawdzie bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co jest wystarczającym dowodem iż warunek konieczny P2~>P8 wchodzi w skład implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1 =1*1 =1

Definicja podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej:
p=>q =0

Definicja nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
inaczej:
p~>q =0

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
inaczej:
p~~>q p p*q =[] =0 - zbiory rozłączne

Ponieważ będziemy badać relacje nadzbioru ~> i podzbioru => między zbiorami P2 i P8 wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów.
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory podstawowe:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8

Podstawmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej P2|~>P8
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: P2=>P8 = 2:~P2~>~P8 [=] 3: P8~>P2 = 4:~P8=>~P2 =0
##
B: 1: P2~>P8 = 2:~P2=>~P8 [=] 3: P8=>P2 = 4:~P8~>~P2 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Algebra Kubusia daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości wszystkich relacji w zbiorach w linii Bx oraz fałszywości wszystkich relacji w zbiorach w linii Ax.

Operator implikacji odwrotnej P2|~>P8 odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?

B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny (np.2)

2.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?


Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
stąd:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Tego faktu nie musimy dowodzić na mocy prawa Kubusia.
Warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[] =0 - zbiory rozłączne
Rozłączności zbiorów ~P2 i P8 nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia.

Wnioski:
1.
Po stronie zbioru P2 mamy tu „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę ze zbioru P2=[2,4,6,8..] to wylosowana liczba może ~> należeć do zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie B1) albo może ~~> należeć do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (zdanie A1’). Trzeciej możliwości brak.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
„Rzucanie monetą” RM=1 jest tożsame z brakiem „gwarancji matematycznej” ~GM=1
RM=~GM
Gdzie:
RM=1 - „rzucanie monetą”
(~GM=1)=(GM=0) - brak „gwarancji matematycznej” (prawo Prosiaczka)
2.
Po stronie zbioru ~P2 mamy gwarancję matematyczną =>, że jeśli wylosujemy dowolna liczbę ze zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..] to wylosowana liczba na 100% => będzie należała do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Zachodzi matematyczna tożsamość:
„Gwarancja matematyczna” GM=1 jest tożsama z brakiem „rzucania monetą” ~RM=1
GM=~RM
Gdzie:
GM=1 - „gwarancja matematyczna”
(~RM=1)=(RM=0) - brak „rzucania monetą” (prawo Prosiaczka)

Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8

Znaczenie tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumujmy nasze rozważania w tabeli prawdy:
Kod:

Prawo Kubusia:
B1:  P2~> P8 =1                 [=]  B2: ~P2=>~P8=1
lub                              |   Kontrprzykład B2’ musi być fałszem
A1’: P2~~>~P8=1                  |   B2’:~P2~~>P8=0
Rzucanie monetą RM               #   Brak rzucania monetą ~RM
Brak gwarancji matematycznej ~GM #   Gwarancja matematyczna GM
RM=~GM                           #   GM=~RM
Gdzie:
RM - rzucanie monetą
GM - gwarancja matematyczna
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
| - rozdziela istotne fragmenty analizy symbolicznej

Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8

Znaczenie prawa Kubusia w implikacji odwrotnej P2|~>P8:

Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
1.
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
2.
W implikacji odwrotnej P2|~>P8 po stronie opisanej warunkiem koniecznym ~> mamy „rzucanie monetą” (RM) tożsame z brakiem „gwarancji matematycznej” ~GM, natomiast po stronie opisanej warunkiem wystarczającym => mamy gwarancję matematyczną GM tożsamą z brakiem „rzucania monetą” (~RM)

Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
RM=~GM # ~RM=GM
Spełniona jest definicja dziedziny dla rzucania monetą RM:
RM+~RM =D =1 - ~RM jest uzupełnieniem do dziedziny dla RM
RM*~RM =[] =0 - pojęcia RM i ~RM są rozłączne
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że nie rzucam moneta ~RM = prawdą jest że „rzucam monetą” RM
~(~RM) = RM
Spełniona jest definicja dziedziny dla gwarancji matematycznej GM:
GM+~GM =D =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =[] =0 - pojęcia GM i ~GM są rozłączne
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) ze nie mam gwarancji matematycznej ~GM = prawdą jest że mam gwarancję matematyczną”
~(~GM) = GM

2.3 Definicja poprawności matematycznej definicji

Definicja poprawności matematycznej definicji:
Definicja jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ją relacja równoważności

Definicja równoważności <=>:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego

Definicja 100% => pewności matematycznej:
p=>q =1 - gdy z p wynika 100% => pewność q
Inaczej:
p=>q =0

Przykład:
Pies to na 100% => zwierzę domowe
P=>D =1 - pies na 100% => jest zwierzęciem domowym
Jednak w drugą stronę z faktu, że jakieś zwierzę jest zwierzęciem domowym nie wynika => iż to musi być pies
D=>P =0
Stąd równoważność jest tu fałszywa:
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) =1*0 =0

Poprawna definicja minimalna psa jest na przykład taka:
Pies to na 100% => zwierzę domowe, szczekające
P=>D*S =1
Relacja pewności matematycznej => w drugą stronę też tu zachodzi.
Zwierzę domowe, szczekające to na 100% => pies
D*S => P =1

Stąd mamy spełnioną relację równoważności:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest zwierzęciem domowym i szczeka
P<=>D*S = (P=>D*S)*(D*S=>P) =1*1 =1

Ponieważ każda równoważność to z definicji tożsamość matematyczna możemy zapisać:
P=D*S


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:22, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 17 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:21, 10 Maj 2020    Temat postu:

Spis treści
3.0 Definicja operatora implikacyjnego 1
3.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej 2
4.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 2
4.1 Prawda miękka i twarda 3
4.2 Prawda absolutna 4
4.2 Czy twarda prawda może przejść w fałsz absolutny? 6



3.0 Definicja operatora implikacyjnego

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, dająca odpowiedź na następujący zestaw pytań:

Dla zdania „Jeśli p to q” zadajemy dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB12:
1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

W zdaniu „Jeśli p to q” zamieniamy p i q.
Dla zdania „Jeśli q to p” zadajemy kolejne dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB34:
3. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
4. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?

3.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej

Zasady tworzenia definicji symbolicznej:
1.
Zdanie warunkowe fałszywe zapisujemy wtedy i tylko wtedy gdy nie da się danego miejsca uzupełnić zdaniem prawdziwym.
2.
Jeśli na danej pozycji mamy do wyboru jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~> co może się zdarzyć wyłącznie w równoważności definiującej tożsamość zbiorów (zdarzeń) p=q, to zawsze wybieramy warunek wystarczający =>.
Uzasadnienie:
Warunek wystarczający => daje nam gwarancję matematyczną =>, iż jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q w całym obszarze logiki matematycznej, natomiast warunek konieczny ~> daje identyczną gwarancję wyłącznie dla zbiorów (zdarzeń) tożsamych p=q.
Dokładnie z tego powodu spójnik warunku wystarczającego => jest w logice matematycznej spójnikiem domyślnym.


4.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Istnienie chmur nie jest wystarczające => dla padania.
Nie zawsze gdy są chmury, pada.
Stąd mamy dowód, iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną.

Definicja implikacji odwrotnej CH|=>P:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
CH|~>P = (A: CH~>P)*~(A1: CH=>P) =1*~(0) =1*1 =1
cnd
W tym momencie kompletną analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wykona według szablonu implikacji odwrotnej p|~>q najgłupszy komputer. Dla celów edukacyjnych warto zabawić się przynajmniej raz w głupi komputer.

4.1 Prawda miękka i twarda

Analiza podstawowa zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:

Operator implikacyjny to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”

Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie: są chmury i pada A: CH*P =1 to zdarzenie A będzie prawdą, natomiast zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie: są chmury i nie pada B: CH*~P=1 to zdarzenie B będzie prawdą, natomiast zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0

Stąd mamy:
Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu

Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B (miękkie jedynki)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?


.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie padało (~P0
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D (i odwrotnie)
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.

Definicja twardej prawdy:
Jeśli p to q
Z twardą prawdą mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Przykład to zdanie C wyżej.
Zapiszmy naszą analizę matematyczną w tabeli prawdy:

Kod:

A: CH~> P        =1 - bo chmury są konieczne ~> dla padania
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe ~~> jest zdarzenie: są chmury i nie pada
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C:~CH=>~P
C:~CH=>~P        =1 - bo brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
D:~CH~~>P=~CH* P =0 - niemożliwe ~~> jest zdarzenie: nie ma chmur i pada


4.2 Prawda absolutna

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Stąd mamy tabelę zdarzeń możliwych które mogą zajść jutro:
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że:
Jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych ABC (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym.
W tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu.
Żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić zaistniałego faktu.

Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.

Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
Kod:

T2
A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka była pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców spoza Warszawy, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i sensowna.
Innymi słowy:
Jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika dalej działa w postaci identycznej serii zdań jak w naszej analizie podstawowej, tylko w zdaniach zapisanych w czasie przeszłym.

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.

Przykład:
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.

4.2 Czy twarda prawda może przejść w fałsz absolutny?

Czy twarda prawda może przejść w fałsz absolutny?
Odpowiedź na to pytanie jest twierdząca.

Zauważmy, że w czasie przyszłym (lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu) zdanie C jest twardą prawdą.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Innymi słowy:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało.
~CH=>~P =1 - twarda prawda
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
To samo zdanie w czasie przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu:
C1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na 100% => nie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania

Jak widzimy z naszego przykładu twarda prawda w czasie przyszłym może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym gdy zajdzie jedna z miękkich jedynek, w naszym przykładzie gdy zajdzie zdarzenie B.

Jak powyższe rozważania udowodnić matematycznie?
Mamy naszą tabelę prawdy T1 opisująca naszą rzeczywistość w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy faktów.
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Dowód czysto matematyczny naszych rozważań to po prostu iloczyn logiczny zaistniałego faktu CH*~P w każdej z linii ABCD.
Kod:

T3
Tabela prawdy dla zaistniałego zdarzenia CH*~P
A: CH~~> P=( CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
B: CH~~>~P=( CH*~P)*( CH*~P)=1 - prawda absolutna
C:~CH~~>~P=(~CH*~P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
D:~CH~~> P=(~CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny

Czytamy:
A.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny
B.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało?
TAK - prawda absolutna
C.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i nie padało?
NIE - fałsz absolutny
D.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny fałsz
Tylko tu zachodzi matematyczna tożsamość:
twardy fałsz (gdy mówimy o nieznanej przyszłości) = fałsz absolutny (gdy znamy fakt który zaistniał np. CH*~P)

Podsumowując:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Twarda prawda może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym.
Kontrprzykład D dla prawdziwego warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)

Zauważmy że:
1.
Twarda prawda w czasie przyszłym (zdanie C) może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym (tabela T3, zdanie C)
2.
Twardy fałsz w czasie przyszłym (zdanie D) nie może przejść w twardą prawdę w czasie przeszłym, bowiem niemożliwe jest zajście zdarzenia D (=0) w czasie od minus do plus nieskończoności.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 9:08, 13 Cze 2020, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:22, 10 Maj 2020    Temat postu:

Spis treści
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach 1
5.1 Wstęp do wyprowadzenia definicji warunku koniecznego ~> 2
5.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> 5
5.3 Czym różni się definicja warunku koniecznego ~> od operatora |~> 7
5.4 Definicja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach 8
5.5 Programowa realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S 12
5.6 Od definicji zero-jedynkowej warunku koniecznego ~> do operatora |~> 16
5.6.1 Definicja warunku koniecznego A~>S 18
5.6.2 Definicja implikacji odwrotnej A|~>S 19
5.7 Odtworzenie definicji operatora implikacji odwrotnej A|~>S 21
5.8 Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 22
5.9 Matematyczna obsługa groźby W~>K 22




5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
Operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q  =1 - Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
                 zajście p jest konieczne ~> zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: p=>q=0 musi być prawdą, stąd:
lub
A1’: p~~>~q =1 - Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 - Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
                zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
                kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem


5.1 Wstęp do wyprowadzenia definicji warunku koniecznego ~>

Rozważmy żarówkę S sterowaną szeregowo połączonymi przyciskami A i B.
Kod:

S1 Schemat 1
                        Krasnoludek        Jaś
             S               B              A       
       -------------       ______         ______
  -----| Żarówka   |-------o    o---------o    o---
  |    -------------                              |
  |                                               |
______                                            |
 ___    U (źródło napięcia)                       |
  |                                               |
  |                                               |
  -------------------------------------------------

Klasyka logiki matematycznej jest tu następująca:
1.
Jaś siedzi w pokoju A widząc tylko żarówkę S i swój przycisk A.
2.
Krasnoludek siedzi w pokoju B widząc tylko swój przycisk B i tą samą żarówkę S
3.
Nazwijmy przycisk B którym dysponuje krasnoludek zmienną wolną, będąca poza kontrolą Jasia.

Te dwa pokoje są symetryczne.
Jaś nie wie nic o krasnoludku, zaś krasnoludek nie wie nic o Jasiu, jednak obaj zawzięcie naciskają i puszczają swoje przyciski próbując rozszyfrować „co tu jest grane”?
… czyli próbując rozszyfrować rzeczywisty schemat połączeń do którego nie mają dostępu.

Takie doświadczenie łatwo zrealizować w laboratorium techniki cyfrowej w naszym świecie rzeczywistym.
Nasz krasnoludek w laboratorium techniki cyfrowej to oczywiście generator losowy cyfr binarnych {0,1} sterujący przyciskiem B. Aby ćwiczenie laboratoryjne miało sens musimy narzucić sensowny przedział czasowy zmiany stanu przycisku B (np. max 10sek). Oznacza to, że biorący udział w doświadczeniu uczniowie po odczekaniu 10 sek mogą przyjąć, że żarówka nigdy nie zmieni swego stanu na przeciwny.
Zadaniem Jasia jest rozszyfrowanie co może się wydarzyć jak wciśnie swój przycisk A (A=1) oraz co może się wydarzyć jak nie wciśnie przycisku A (~A=1)
Innymi słowy:
Zadaniem Jasia jest zrobienie „zdjęcia” nieznanego mu układu, czyli analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia A i S spójnikiem zdarzenia możliwego ~~>.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q =p*q =0

Kluczowym jest tu zauważenie, że Jaś nie wie nic o rzeczywistym układzie połączeń, w szczególności nic nie wie o krasnoludku w pokoju B.

Zróbmy zdjęcie połącznia szeregowego zdarzeniami możliwymi ~~> z punktu odniesienia Jasia:
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się świecić
A~~>S =A*S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
A~~>S =A*S =?
Odpowiedź Jasia: TAK
Komentarz trzeciego obserwatora:
Jaś stwierdza, że przy wciśniętym przycisku A żarówka świeci się i gaśnie w sposób losowy, stąd wnioskuje że jego przycisk A połączony jest szeregowo z przyciskiem B - krasnoludek został zdemaskowany.
Badamy sytuację zdarzeniem możliwym ~~> zatem wystarczy przez chwilkę zaobserwować zdarzenie A i już Jaś może zapisać TAK!
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
A~~>~S =A*~S =?
Odpowiedź Jasia: TAK
Komentarz trzeciego obserwatora:
Uzasadnienie jak wyżej.
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
~A~~>~S=~A*~S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
~A~~>~S =~A*~S =?
Odpowiedź Jasia: TAK
Komentarz trzeciego obserwatora:
Taki stan Jaś obserwuje non-stop bo w połączeniu szeregowym nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Mamy tu badanie sytuacji zdarzeniem możliwym ~~> zatem Jaś nie musi na nic czekać, zauważył jedno zdarzenie możliwe C trwające chwilkę i już może z dumą postawić TAK przy zdaniu C.
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
~A~~>S=~A*S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
~A~~>S =~A*S =?
Odpowiedź Jasia: NIE - żarówka nigdy się nie zaświeci, nawet w czasie nieskończenie długim.
Komentarz trzeciego obserwatora:
Tu Jaś ma problem.
Jaś nie wie czy przypadkiem jakiś przycisk C nie jest połączony równolegle z jego przyciskiem A, czyli może zaświecić żarówkę S mimo nie wciśniętego przycisku A (~A=1).
Teoretycznie musi zatem czekać do nieskończoności wpatrując się w żarówkę w oczekiwaniu „a może jednak się zaświeci?”
W laboratorium techniki cyfrowej możemy jednak zmusić krasnoludka (generator cyfr losowych) do zmiany stanu przycisku B na przeciwny w czasie nie dłuższym niż 10 sek.
Przy takim założeniu Jaś po odczekaniu 10 sek może tu zapisać:
NIE - żarówka nigdy się nie zaświeci, nawet w czasie nieskończenie długim.

W ten oto sposób rozszyfrowaliśmy w 100% schemat ideowy sterowania żarówką z punktu odniesienia Jasia (przycisku A).
Zapiszmy odpowiedzi Jasia kodowane zdarzeniem możliwym ~~> w tabeli prawdy.
Kod:

S1 Schemat 1
                        Krasnoludek       Jaś
             S               B              A       
       -------------       ______         ______
  -----| Żarówka   |-------o    o---------o    o---
  |    -------------                              |
  |                                               |
______                                            |
 ___    U (źródło napięcia)                       |
  |                                               |
  |                                               |
  -------------------------------------------------

Kod:

T1.
A: A~~>S =1 - Jeśli wcisnę A (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              TAK! Żarówkę może zaświecić krasnoludek swoim przyciskiem B
B: A~~>~S=1 - Jeśli wcisnę A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              TAK! Żarówkę może zgasić krasnoludek swoim przyciskiem B
C:~A~~>~S=1 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              TAK! Stan przycisku B krasnoludka jest bez znaczenia.
D:~A~~>S =0 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              NIE! Nie ma takiej możliwości bo połączenie szeregowe.
              Krasnoludek nie jest w stanie zaświecić żarówki przyciskiem B

Analiza matematyczna:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~A~~>S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C:~A=>~S=1.
2.
Dla warunku wystarczającego C:~A=>S stosujemy prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q.
Prawo Kubusia:
C: ~A=>~S = A: A~>S
Zdanie C jest prawdziwe, zatem musi być prawdziwe zdanie A: A~>S, inaczej prawo Kubusia leży w gruzach.
Nanieśmy to to tabeli T2.
Kod:

T2.
A: A~> S =1 - Jeśli wcisnę A (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
              Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~>
              dla zaświecenia się żarówki A (dodatkowo musi być B=1)
B: A~~>~S=1 - Jeśli A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              Jest taka możliwość gdy B=0
.. a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Prawo Kubusia:
A: A~>S = C:~A=>~S
C:~A=>~S =1 - Jeśli nie A (~A=1) to na 100% żarówka nie zaświeci się (~S=1)
              Stan przycisku B jest bez znaczenia bo połączenie szeregowe
D:~A~~>S =0 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              Nie ma takiej możliwości bo połączenie szeregowe.


5.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>

Zapiszmy tabelę T2 w wersji skróconej:
Kod:

T3.         |
Definicja   |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
A: A~> S =1 |( A=1)~> ( S=1)=1
B: A~~>~S=1 |( A=1)~~>(~S=1)=1
C:~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1
D:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=1)=0

Przejście z definicji symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej (i odwrotnie) możliwe jest tylko i wyłącznie na mocy praw Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.

Zakodujmy tabelę T3 z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~>:
A: A~>S
Jedyne przydatne tu prawo Prosiaczka to:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Kod:

T4.
Definicja   |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela matematycznie
symboliczna |jedynek oznacza   |A: A~>S           |tożsama
            |                  |                  | A   S  A~>S
A: A~> S =1 |( A=1)~> ( S=1)=1 |( A=1)~> ( S=1)=1 | 1~> 1   =1
B: A~~>~S=1 |( A=1)~~>(~S=1)=1 |( A=1)~~>( S=0)=1 | 1~~>0   =1
C:~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1 |( A=0)=> ( S=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=1)=0 |( A=0)~~>( S=1)=0 | 0~~>1   =0
   a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                               | Prawa Prosiaczka |
                               | (~A=1)=( A=0)    |
                               | (~S=1)=( S=0)    |

Zauważmy że:
Nagłówek w kolumnie wynikowej w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 wskazuje linię względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
W naszym przypadku jest to linia A: A~>S.
Kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest tu zero-jedynkową definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Łatwo udowodnić że definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to:
A~>S = A+~S
Dowód:
Tu trzeba iść w kierunku przeciwnym, czyli od tabeli zero-jedynkowej ABCD123 do tabeli symbolicznej ABCDabc.
Tabelę symboliczną ABCDabc możemy zapisać w tożsamy sposób na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q =p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q =0
Stąd nasza definicja symboliczna przybierze postać:
Kod:

T5.
Definicja symboliczna warunku koniecznego ~>:
                 Y=(A~>S)
A: A~> S = A* S =1
B: A~~>~S= A*~S =1
C:~A=>~S =~A*~S =1
D:~A~~>S =~A* S =0

Zauważmy, że zdarzenia ABCD są matematycznie i fizycznie rozłączne, czyli iloczyn logiczny dowolnego zdarzenia z dowolnym innym jest zbiorem pustym.
Przykłady:
A*B = (A*S)*(A*~S) =[] =0
A*C = (A*S)*(~A*~C) =[] =0
A*D = (A*C)*(~A*S) =[] =0
cnd
Dowód w języku potocznym:
Dla każdego 5-cio latka oczywistym jest że żarówka nie może się jednocześnie świecić i nie świecić, to fizycznie niemożliwe.
Przycisk A również nie może być jednocześnie wciśnięty i nie wciśnięty, to fizycznie niemożliwe.

Na mocy tabeli T5 w naturalnej logice matematycznej człowieka (logika jedynek) odczytujemy:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub B: A*~S=1 lub C:~A*~S =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Kubusia w zdarzeniach rozłącznych:
1’
Y = A: A*S + B: A*~S + C: ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub B: A*~S=1 lub C:~A*~S =1

Minimalizujemy równanie 1’:
Y = A*S + A*~S + ~A*~S
Y = A*(S+~S) + ~A*~S
Y = A + (~A*~S)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~A*(A+S)
~Y = ~A*A + ~A*S
~Y=~A*S
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = A+~S
Odtwarzając podstawienie mamy:
A~>S = A+~S
cnd


5.3 Czym różni się definicja warunku koniecznego ~> od operatora |~>

Kod:

S1 Schemat 1
                        Krasnoludek        Jaś
             S               B              A       
       -------------       ______         ______
  -----| Żarówka   |-------o    o---------o    o---
  |    -------------                              |
  |                                               |
______                                            |
 ___    U (źródło napięcia)                       |
  |                                               |
  |                                               |
  -------------------------------------------------


Wyżej wyprowadziliśmy definicję symboliczną warunku koniecznego p~>q.
Kod:

S1
Definicja symboliczna warunku koniecznego ~>:
                 Y=(A~>S)
A: A~> S = A* S =1
B: A~~>~S= A*~S =1
C:~A=>~S =~A*~S =1
D:~A~~>S =~A* S =0

1’
Y = A: A*S + B: A*~S + C: ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub B: A*~S=1 lub C:~A*~S =1
Po minimalizacji mamy:
1.
Y = A+~S
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub ~S=1

Definicja warunku koniecznego A~>S odpowiada na pytania:
1.
Kiedy warunek konieczny p~>q jest spełniony?

Y = A: A*S + B: A*~S + C: ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub B: A*~S=1 lub C:~A*~S =1
Ze schematu ideowego doskonale widać że wszystkie zdarzenia rozłączne ABC mają szanse wystąpić, analizowaliśmy to szczegółowo wyżej.
Po minimalizacji mamy:
Y = A+~S
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub ~S=1

2.
Kiedy warunek konieczny p~>q jest nie jest spełniony?

Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i S=1
Prawo Kubusia:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd mamy:
Y=0 <=> ~A=1 i S=1
Warunek konieczny Y nie jest spełniony (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = ~A*S =1*1 =0 - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Ze schematu ideowego S1 doskonale widać, iż tak jest w istocie.

Zauważmy, że warunek konieczny ~> może być tylko i wyłącznie spełniony Y=1 albo nie spełniony Y=0
Nie ma tu żadnych szans na jakiekolwiek „rzucanie monetą”.

Fundamentalnie inną sytuację będziemy mieć gdy na dokładnie tą samą tabelę symboliczną S1 spojrzymy przy pomocy definicji operatora implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Z operatorem implikacji odwrotnej p|~>q zapoznamy się w kolejnym rozdziale.


5.4 Definicja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo.

Rozważmy fizyczną realizację operatora implikacji odwrotnej A|~>S jak niżej:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S dla naszego układu:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|~>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Na początek musimy udowodnić, iż schemat S1 rzeczywiście jest fizyczną realizacją operatora implikacji odwrotnej A|~>S o definicji:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1

Dowodzimy fałszywości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki S bowiem zmienna wolna B może być ustawiona na B=0, wtedy żarówka nie świeci się mimo włączonego przycisku A (A=1).

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S.
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1.

Podsumowując:
Układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
W tym monecie wszelkie dalsze analizy matematyczne układu S1 możemy zlecić głupiemu komputerowi który dokona szczegółowej analizy w oparciu o szablon obsługi operatora implikacji odwrotnej p|~>q.

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Szablon implikacji odwrotnej A|~>S dla naszego przykładu:
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej A|~>S
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)
Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
B1:  A~> S  =1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~> świecić (S=1)
                 Wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: A=>S=0 musi być prawdą, stąd:
lub
A1’: A~~>~S =1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić (~S=1)
                 Zdarzenie możliwe gdy zmienna wolna B=0
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
B2: ~A=>~S =1 - Jeśli A nie wciśnięty ~A to na 100%=> żarówka nie świeci ~S
                ~A jest wystarczające => dla nie świecenia żarówki ~S
B2’:~A~~>S =0 - Jeśli zajdzie ~A to może ~~> zajść S
                kontrprzykład B2’ dla prawdziwego => B2 musi być fałszem

Przełóżmy otrzymany szablon na serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” (przez wszystkie możliwe przeczenia p i q) tworzących operator implikacji odwrotnej A|~>S.

Operator implikacji odwrotnej A|~>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2 jak niżej:

1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenie się żarówki S
Koniecznym bo dodatkowo musi być B=1
Zauważmy że:
A1: A=>S=0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Nie zawsze gdy wciśniemy A zaświeci się żarówka S (bo może być B=0)
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
LUB
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Jest taka możliwość (=1) gdy zmienna wolna B będzie ustawiona na B=0

2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (A=0)?

Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Przycisk A jest połączony szeregowo z żarówką (stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x)
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2:~A=>~S=1 musi być fałszem.
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zdarzenie niemożliwe (=0) bo przycisk A jest podłączony do żarówki szeregowo.

Podsumowanie:
1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić (zdanie B1) albo może ~~> się nie świecić ( zdanie A1’) - trzeciej możliwości brak.
Ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” widać tu jak na dłoni.
2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić. Oczywistość bo przycisk A jest połączony szeregowo z żarówką.


5.5 Programowa realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Algorytm komputerowy obsługujący implikację odwrotną A|~>S wynika z analizy matematycznej implikacji odwrotnej A|~>S przedstawionej w punkcie wyżej.
Przypomnijmy:
1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenie się żarówki S
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1
LUB
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Jest taka możliwość (=1) gdy zmienna wolna B będzie ustawiona na B=0
(~S=1)=(S=0) - prawo Prosiaczka

2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (A=0)?

B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
(~S=1)=(S=0) - prawo Prosiaczka
Kod:

AI.
Algorytm implikacyjny A|~>S szeregowo połączonych przycisków A i B.
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)=~(0)*1=1*1 =1

                {START}
                   |
 B2: (S=0) NIE     |      TAK  B1: (S=1) albo A1’: (S=0)
     ---------<Czy A=1? >--------
     |                           |
     |                        { B=x } Generator cyfr losowych x={0,1}
     |                           |
     |    A1’: (S=0)     NIE     |     TAK B1: (S=1)
     |<-----------------------< B=1?>-----------
     |                                         |
  { S=0 }                                   { S=1 }
     |                                         |
     |                                         |
     |<-----------------------------------------
     |
  {RETURN}

Doskonale tu widać że:

Przypadek: A=1
Jeśli A=1 to może ~> się zdarzyć że S=1 (gdy B=1) albo może ~~> się zdarzyć że S=0 (gdy B=0)
Innymi słowy:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to może ~> się zdarzyć że żarówka świeci się (S=1) (gdy B=1) albo może ~~> się zdarzyć że żarówka nie świeci się (~S=1) (gdy B=0)
Prawo Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Ewidentne „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła” realizowane przez generator cyfr losowych x={0,1} mamy tu jak na dłoni.

Przypadek: A=0
Jeśli A=0 to mamy gwarancję matematyczną => iż S=0
Innymi słowy:
Jeśli klawisz A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie świeci się (~S=1)
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(A=0)

Zauważmy, że bez generatora cyfr losowych nie mamy żadnych szans na napisanie procedury obsługującej poprawnie implikację odwrotną A|~>S:
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)=~(0)*1=1*1 =1
Bez generatora cyfr losowych x={0,1}, choćbyśmy zjedli 1000 kotletów i nie wiem jak kombinowali to koniec końców wylądujemy w procedurze równoważnościowej A*B<=>S sterowania przyciskami A i B gdzie o żadnym „rzucaniu monetą” z definicji nie może być mowy.

Dlaczego algorytm implikacyjny A|~>S jest w świecie techniki nonsensem?
Nie może być tak, że wciskamy przycisk A (A=1) a o tym czy żarówa zaświeci się (S=1) czy też nie zaświeci się (S=0) decyduje generator cyfr losowych x={0,1} będący poza naszą kontrolą.

Na szczęście:
Na schemat S1 możemy też spojrzeć przez pryzmat równoważności.
Najprostsza definicja równoważności to zero zmiennych wolnych, czyli wszystkie przyciski w układzie musimy opisać równaniem logicznym.
Funkcja logiczna Y opisjąca wszystkie zmienne związane dla schematu 1 to:
Y=A*B - bo przyciski A i B połączone są szeregowo.
Stąd:
W równoważnościowym spojrzeniu na dokładnie ten sam schemat S1 mam mamy tak:
Kod:

S3 Schemat 3
AR.
Algorytm równoważnościowy A*B<=>S szeregowo połączonych przycisków A i B.
A*B<=>S=(A1: A*B=>S)*(B1: A*B~>S) =1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności A*B<=>S jest brak zmiennych wolnych.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż na schemacie S3 mamy do czynienia z równoważnością A*B<=>S jest trywialny:
A1.
Jeśli wciśniemy jednocześnie przyciski A i B (A*B=1) to żarówka na 100% => zaświeci się (S=1)
A1: A*B=>S =1
Jednoczesne wciśniecie przycisków A i B jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się, bo nie ma w układzie szeregowo podłączonego przycisku C który by zgasił żarówkę.
##
B1.
Jeśli wciśniemy jednocześnie przyciski A i B (A*B=1) to żarówka na 100% ~> zaświeci się (S=1)
B1: A*B~>S =1
Jednoczesne wciśniecie przycisków A i B jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby żarówka świeciła się, bowiem jeśli nie wciśniemy któregokolwiek z przycisków to żarówka zgaśnie.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dygresja:
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią tu identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są różne na mocy definicji ##.
Fizyczna różnica między zdaniami A1 i B1 jednak jest - polega na wbudowaniu w treść zdań znaczków => i ~> które czynią je różnymi na mocy definicji ##.
Wynika z tego, że logika matematyczna oparta na fundamencie:
„Dwa zdanie brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame”
jest fałszywa, bowiem właśnie znaleźliśmy kontrprzykład dla takiego fundamentu.
Wniosek:
Aktualna logika matematyczna ziemian jest fałszywa

Stąd mamy prawdziwą równoważność A*B<=>S dla przycisków wciśniętych:
Przyciski A i B są wciśnięte wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się
A*B<=>S=(A1: A*B=>S)*(B1: A*B~>S) =1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
A*B = S
Pojęcie „oba przyciski A i B są wciśnięte” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci”

Kiedy żarówka nie będzie się świecić?
Negujemy powyższą tożsamość stronami:
~(A*B) = ~S
Prawo Prosiaczka:
(~(A*B)=1)=((A*B)=0)
(~S=1) =(S=0)
Stąd mamy równoważnościową obsługę schematu S3 który to schemat od strony czysto fizycznej jest identyczny jak schemat S1.
Kod:

AR.
Algorytm równoważnościowy A*B<=>S szeregowo połączonych przycisków A i B.

               {START}
                  |
         NIE      |        TAK
     ---------<Czy A*B=1?>--------
     |                           |
  { S=0 }                     { S=1 }
     |                           |
     |<---------------------------
     |
  {RETURN}

Podsumowanie:
Od strony czysto fizycznej schematy S1 i S3 są identyczne, ale widziane są z dwóch różnych punktów odniesienia.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Zauważmy bowiem że:
W obsłudze implikacyjnej A|~>S mamy „rzucanie monetę” (jest generator cyfr losowych) zaś w obsłudze równoważnościowej A*B<=>S nie mamy „rzucania monetą” (brak generatora cyfr losowych).
Oczywistym jest, że w świecie techniki jedynym poprawnym spojrzeniem na schemat sterowania żarówką przez dwa przyciski A i B połączone szeregowo jest spojrzenie równoważnościowe A*B<=>S gdzie nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” wewnątrz układu, czyli poza naszą świadomością.

5.6 Od definicji zero-jedynkowej warunku koniecznego ~> do operatora |~>

Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 14 lat zaciętych dyskusji w temacie logika matematyczna.
Po rozszyfrowaniu wszystko jest bajecznie proste.
Wiedząc o co chodzi w logice matematycznej łatwo można dojść od definicji zero-jedynkowej warunku koniecznego p~>q oraz do definicji operatora implikacji odwrotnej p|~>q.

Oczywiście posłużymy się naszym przykładem by wszystko było lepiej zrozumiałe.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=A
q=S
Oznaczmy dla uproszczenia zapisów:
Y = p~>q = A~>S

Definicję zero-jedynkową warunku koniecznego ~> wyprowadziliśmy wyżej:
Kod:

   p  q   Y=p~>q=A~>S
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie stosujemy spójnik „i”(*) zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logiką matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie stosujemy spójnik „i”(*) zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>:
Kod:

T1                  |T2                  |T3        |T4
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania  |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe |w zdarzeniach
                    |                    |          |możliwych ~~>
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |          |               Y
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =1
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

W logice matematycznej jedynki są domyślne, stąd przejście z tabeli T2 do tabeli T3

Z tabeli równań cząstkowych T3 odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1’
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Minimalizujemy:
Y = p*q+p*~q+~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1.
Y = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Widać to doskonale w tabeli ABCD145.

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych T3 otrzymujemy:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
2.
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1

5.6.1 Definicja warunku koniecznego A~>S

Odtwórzmy podstawienia, by przejść do naszego przykładu:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Związek naszego przykładu z definicja warunku koniecznego ~>:
1’
Y = A: A*S + B: A*~S + C: ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub B: A=1 i ~S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1
1.
Y = A+~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub ~S=1
Widać to doskonale w tabeli ABCD145.

Kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i S=1
Przejście tożsame:
Negujemy dwustronnie 1
2.
~Y=~(A+~S)
~Y=~A*S - na mocy prawa De Morgana

Stąd mamy:
1.
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Kod:

             Y=Ya+Yb+Yc
A: A*S =1*1 =1 - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
                 Sytuacja możliwa ~~> gdy B=1
lub
B: A*~S=1*1 =1 - A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
                 Sytuacja możliwa ~~> gdy B=0
lub
C:~A*~S=1*1 =1 - A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
                 Sytuacja możliwa. Stan przycisku B bez znaczenia

2.
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Kod:

            ~Y=~Yd
D: ~A*S=1*1 =1 - A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
                 Sytuacja niemożliwa Y=0 co doskonale widać na schemacie S1
                 Prawo Prosiaczka: (~Y=1)=(Y=0)


Podsumowanie:
Doskonale widać, że definicja warunku koniecznego może być spełniona (Y=1) albo nie spełniona (~Y=1).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” które za chwilkę nam się pojawi gdy spojrzymy na dokładnie tą samą tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego Y=(A~>S) z punktu widzenia operatora implikacji odwrotnej A|~>S.

5.6.2 Definicja implikacji odwrotnej A|~>S

Dowód iż z punktu odniesienia implikacji odwrotnej A|~>S w tej samej tabeli zero-jedynkowej (definicja warunku koniecznego A~>S) dojdzie do „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Opiszmy nasz schemat S1 serią zdarzeń możliwych:
Kod:

A: A~~> S=1 - Jeśli wciśniemy A (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              Zdarzenie możliwe ~~>, gdy zmienna wolna B=1
B: A~~>~S=1 - Jeśli A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              Zdarzenie możliwe ~~> gdy zmienna wolna B=0
C:~A~~>~S=1 - Jeśli nie wcisnę A (~A=1) to żarówka może~~> nie świecić (~S)
              Stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x x={0,1}
D:~A~~> S=0 - Jeśli nie wcisnę A (~A=1) to żarówka może ~~> świecić (S=1)
              Sytuacja niemożliwa co widać na schemacie S1.

Analiza matematyczna:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~A~~>S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego
C: ~A=>~S=1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~A=>~S = A: A~>S
stąd mamy:
Prawdziwość warunku wystarczającego C: ~A=>~S=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego
A: A~>S=1 (i odwrotnie)
Nanieśmy to do naszej tabeli:
Kod:

Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A: A~> S =1 - Jeśli wciśniemy A (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
              Wciśniecie A jest konieczne ~> dla zaświecenia S
lub
B: A~~>~S=1 - Jeśli wciśniemy A (A=1) to żarówka może ~> nie świecić (~S=1)
              Zdarzenie możliwe ~~> gdy zmienna wolna B=0
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
… a jeśli nie wciśniemy A?
Prawo Kubusia:
A: A~>S = C:~A=>~S
C:~A=>~S =1 - Jeśli nie wciśniemy A (~A=1) to na 100% =>
              żarówka nie zaświeci się (~S=1)
              Nie wciśnięcie A jest wystarczające => dla nie świecenia S
D:~A~~> S=0 - Jeśli nie wciśniemy A (~A=1) to żarówka może~~> świecić (S=1)
             Sytuacja niemożliwa, stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że po stronie wciśniętego klawisza (zdania A i B) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli wciśniemy klawisz A to żarówka może ~> się świecić (prawdziwe A, fałszywe B) albo żarówka może ~~> się nie świecić (fałszywe A i prawdziwe B) - trzeciej możliwości brak.
Zdarzenia A i B są rozłączne i nigdy nie mogą wystąpić jednocześnie.
„Rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest tu ewidentne.
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (zdania C i D) mamy gwarancję matematyczną => ze jeśli klawisz A nie będzie wciśnięty to na 100% => żarówka nie zaświeci się (zdanie C)

Podsumowanie:
Doskonale widać, że definicja warunku koniecznego A~>S (poprzedni punkt) to zupełnie co innego niże operator implikacji odwrotnej A|~>S (ten punkt), mimo ze bazą jest tu identyczna tabela zero-jedynkowa. Szczegóły poznamy w punkcie 5.8.

5.7 Odtworzenie definicji operatora implikacji odwrotnej A|~>S

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Operator implikacji odwrotnej A|~>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2 jak niżej:

1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

A.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenie się żarówki S
Koniecznym bo dodatkowo musi być B=1
Zauważmy że:
A=>S=0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Nie zawsze gdy wciśniemy A zaświeci się żarówka S (bo zmienna wolna B)
Fałszywy warunek wystarczający A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B
LUB
B.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Jest taka możliwość (=1) gdy zmienna wolna B będzie ustawiona na B=0

2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (A=0)?

Prawo Kubusia:
A: A~>S = C: ~A=>~S
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Przycisk A jest połączony szeregowo z żarówką (stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x)
Kontrprzykład D dla warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zdarzenie niemożliwe (=0) bo przycisk A jest podłączony do żarówki szeregowo.

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że zdania A i B realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli wciśniemy klawisz A to żarówka może ~> się świecić (prawdziwe A, fałszywe B) albo żarówka może ~~> się nie świecić (prawdziwe B, fałszywe A) - trzeciej możliwości brak.
Zdarzenia A i B są rozłączne i nigdy nie mogą wystąpić jednocześnie.
„Rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest tu ewidentne.
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (zdanie C) mamy gwarancję matematyczną => ze jeśli klawisz A nie będzie wciśnięty to na 100% => żarówka nie zaświeci się.

5.8 Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(~A+S)*(A+~S) = (A*~S)*(A+~S) = A*~S
Wniosek:
Definicja operatora implikacji odwrotnej A|~>S wskazuje prawdziwy kontrprzykład B:
B: A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1)

Na mocy definicji zachodzi:
Warunek wystarczający A=>S=~A+S
##
Warunek konieczny A~>S=A+~S
##
Operator implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A*~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

5.9 Matematyczna obsługa groźby W~>K

Najważniejszym zastosowaniem warunku koniecznego p~>q i implikacji odwrotnej p|~>q jest matematyczna obsługa gróźb.
Obietnice i groźby to fundament wszelkiego życia na ziemi, zwierzątka które nie odróżniały obietnicy od groźby dawno wyginęły.

Definicja obietnicy =>:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodząca w skład implikacji prostej W|=>N:
W|=>N = (A1: W=>N)*~(B1: W~>N) =1*~(0) =1*1 =1

Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K:
W|~>K = ~(A1: W=>K)*(B1: W~>K) = ~(0)*1 =1*1 =1

To są definicje obietnicy i groźby zatem tu nic a nic nie musimy udowadniać, jedyne co musimy to rozstrzygnąć fakt, czy w następniku mamy nagrodę (obietnica), czy karę (groźba).
Aktualnie jesteśmy przy obsłudze warunku koniecznego ~> i implikacji odwrotnej |~>, zatem z marszu zajmiemy się groźbami, odkładając obietnice do czasu omówienia implikacji prostej p|=>q.

Weźmy sztandarową groźbę:

A.
Jeśli ubrudzisz spodnie to ~> dostaniesz lanie
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% ~> dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> lania.
To jest ewidentna groźba, dlatego na mocy definicji musimy zakodować ją warunkiem koniecznym ~> bez względu na ostrość jej wypowiedzenia. W intencji nadawcy leży by odbiorca nie spełnił warunku kary, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba tym teoretycznie lepiej.
Warunek wystarczający B=>L=0 nie jest tu spełniony bowiem nadawca ma prawo darować dowolną karę zależną od niego (akt łaski powszechny w przyrodzie).
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);

Fałszywość warunku wystarczającego B=>L=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B~~>L = B*~L =1
Na mocy definicji groźby nadawca może darować dowolną kare zależną od niego i nie ma szans na zostanie matematycznym kłamcą. Wynika z tego, ze wypowiadając groźbę A nadawca ma prawo do blefowania, co nie przesądza iż finalnie nie może tej groźby wykonać - ma prawo zmienić zdanie i jednak wykonać groźbę, która w początkowych jego zamiarach była blefem.

… a jeśli nie ubrudzę spodni?
Prawo Kubusia:
A: B~>L = C: ~B=>~L
stąd:
C.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na 100% => nie dostaniesz lania
~B=>~L =1
Czyste spodnie (~B=1) dają nam gwarancję matematyczną => braku lania (~L=1)
… ale uwaga, tylko i wyłącznie z powodu przyjścia w czystych spodniach, tylko tyle i żz tyle gwarantuje warunek wystarczający ~B=>~L.
Z dowolnego innego powodu ojciec może walić.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B~~>L =0
Matematyczny zakaz lania, ale tylko i wyłącznie z powodu czystych spodni (~B=1). Z dowolnego innego powodu ojciec może walić i nie ma szans na zostanie kłamcą.
To jest niezwykle silna gwarancja matematyczna, aby ja złamać ojciec musiałby z siebie zrobić idiotę mówiąc słowo w słowo:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1)
Tylko i wyłącznie w tym przypadku, gdy uzasadnienie lania jest identyczne jak poprzednik (~B=1) ojciec jest kłamcą - z dowodem tego faktu zapoznamy się przy końcowym omawianiu obietnic i gróźb.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:23, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:24, 10 Maj 2020    Temat postu:

Spis treści
6.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach 1
6.1 Wstęp do wyprowadzenia definicji warunku wystarczającego => 2
6.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => 5
6.3 Czym różni się definicja warunku wystarczającego => od operatora |=> 7
6.4 Definicja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach 9
6.5 Programowa realizacja operatora implikacji prostej A|=>S 12
6.6 Od definicji zero-jedynkowej warunku wystarczającego => do operatora |=> 16
6.6.1 Definicja warunku wystarczającego A=>S 18
6.6.2 Definicja implikacji prostej A|=>S 20
6.7 Odtworzenie operatora implikacji prostej A|=>S 21
6.8 Definicja implikacji prostej A|=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 22
6.9 Matematyczna obsługa obietnicy W=>N 22






6.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach

Definicja podstawowa implikacji prostej |=>:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie definicji warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją prostą p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Kod:

Szablon operatora implikacji prostej p|=>q
p|=>q = (A1: p=>q )*~(B1: p~> q)
Operator implikacji prostej p|=>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q  =1 - Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
                 p jest wystarczające => dla q
A1’: p~~>~q =0 - Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
                 kontrprzykład A1’ dla prawdziwego A1 musi być fałszem
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 - Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
                ~p jest konieczne ~> dla ~q na mocy prawa Kubusia
Zauważmy że:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q=0 - na mocy prawa Kubusia
Stąd kontrprzykład B2’ musi być prawdą
lub
B2’:~p~~>q =1 - Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
                Kontrprzykład B2’=1 wymuszony przez fałszywy B2:~p=>~q=0



6.1 Wstęp do wyprowadzenia definicji warunku wystarczającego =>

Rozważmy żarówkę S sterowaną równolegle połączonymi przyciskami A i B.
Kod:

S2 Schemat 2
                              Krasnoludek
                                   B
                                 ______
                            -----o    o-----
                            |              |
                            |     Jaś      |
             S              |      A       |
       -------------        |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------------o    o-----
  |    -------------                       |
  |                                        |
______                                     |
 ___    U (źródło napięcia)                |
  |                                        |
  |                                        |
  ------------------------------------------

Klasyka logiki matematycznej jest tu następująca:
1.
Jaś siedzi w pokoju A widząc tylko żarówkę S i swój przycisk A.
2.
Krasnoludek siedzi w pokoju B widząc tylko swój przycisk B i tą samą żarówkę S
3.
Nazwijmy przycisk B którym dysponuje krasnoludek zmienną wolną, będąca poza kontrolą Jasia.

Te dwa pokoje są symetryczne.
Jaś nie wie nic o krasnoludku, zaś krasnoludek nie wie nic o Jasiu, jednak obaj zawzięcie naciskają i puszczają swoje przyciski próbując rozszyfrować „co tu jest grane”?
Obaj próbują rozszyfrować rzeczywisty schemat połączeń do którego nie mają dostępu.

Takie doświadczenie łatwo zrealizować w laboratorium techniki cyfrowej w naszym świecie rzeczywistym.
Nasz krasnoludek w laboratorium techniki cyfrowej to oczywiście generator losowy cyfr binarnych x={0,1} sterujący przyciskiem B. Aby ćwiczenie laboratoryjne miało sens musimy narzucić sensowny przedział czasowy zmiany stanu przycisku B (np. max 10sek). Oznacza to, że biorący udział w doświadczeniu uczniowie po odczekaniu 10 sek mogą przyjąć, że żarówka nigdy nie zmieni swego stanu na przeciwny.
Zadaniem Jasia jest rozszyfrowanie co może się wydarzyć jak wciśnie swój przycisk A (A=1) oraz co może się wydarzyć jak nie wciśnie przycisku A (~A=1)
Innymi słowy:
Zadaniem Jasia jest zrobienie „zdjęcia” nieznanego mu układu przez wszystkie możliwe przeczenia A i S spójnikiem zdarzenia możliwego ~~>.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q =p*q =0

Kluczowym jest tu zauważenie, że Jaś nie wie nic o rzeczywistym układzie połączeń, w szczególności nic nie wie o krasnoludku w pokoju B.

Zróbmy zdjęcie połącznia równoległego zdarzeniami możliwymi ~~> z punktu odniesienia Jasia:
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się świecić
A~~>S =A*S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
A~~>S =A*S =?
Odpowiedź Jasia: TAK
Komentarz trzeciego obserwatora:
Jaś stwierdza, że przy wciśniętym przycisku A żarówka świeci się.
Kodujemy sytuację zdarzeniem możliwym ~~> zatem wystarczy chwilka i już Jaś ma odpowiedź.

B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
A~~>~S =A*~S =?
Odpowiedź Jasia: NIE - żarówka nigdy nie zgaśnie, nawet w czasie nieskończenie długim.
Komentarz trzeciego obserwatora:
Tu Jaś ma problem.
Jaś nie wie czy przypadkiem jakiś przycisk C nie jest połączony szeregowo z jego przyciskiem A, czyli może zgasić żarówkę S mimo wciśniętego przycisku A (A=1).
Teoretycznie musi zatem czekać do nieskończoności wpatrując się w żarówkę w oczekiwaniu „a może jednak zgaśnie?”
W laboratorium techniki cyfrowej możemy jednak zmusić krasnoludka (generator cyfr losowych) do zmiany stanu przycisku C na przeciwny w czasie nie dłuższym niż 10 sek.
Przy takim założeniu Jaś po odczekaniu 10 sek może tu zapisać:
NIE - żarówka nigdy nie zgaśnie, nawet w czasie nieskończenie długim
Oczywisty wniosek:
Nie ma przycisku C połączonego szeregowo z przyciskiem A

C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
~A~~>~S=~A*~S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
~A~~>~S =~A*~S =?
Odpowiedź Jasia: TAK
Komentarz trzeciego obserwatora:
Jaś stwierdza, że przy nie wciśniętym przycisku A (~A=1) żarówka świeci się i gaśnie w sposób losowy, stąd wnioskuje że jego przycisk A połączony jest równolegle z przyciskiem B - krasnoludek został zdemaskowany.
Badamy sytuację zdarzeniem możliwym ~~> zatem wystarczy przez chwilkę zaobserwować zdarzenie C i już Jaś może zapisać TAK!

D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
~A~~>S=~A*S =?
Innymi słowy:
Czy możliwe jest zdarzenie przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
~A~~>S =~A*S =?
Odpowiedź Jasia: TAK
Komentarz trzeciego obserwatora:
Uzasadnienie jak wyżej.

W ten oto sposób rozszyfrowaliśmy w 100% schemat ideowy sterowania żarówką z punktu odniesienia Jasia (przycisku A).
Zapiszmy odpowiedzi Jasia kodowane zdarzeniem możliwym ~~> w tabeli prawdy.
Kod:

S2 Schemat 2
                              Krasnoludek
                                   B
                                 ______
                            -----o    o-----
                            |              |
                            |     Jaś      |
             S              |      A       |
       -------------        |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------------o    o-----
  |    -------------                       |
  |                                        |
______                                     |
 ___    U (źródło napięcia)                |
  |                                        |
  |                                        |
  ------------------------------------------

Kod:

T1.
A: A~~>S =1 - Jeśli wcisnę A (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              TAK! Stan przycisku B jest tu bez znaczenia B=x, x={0,1}
B: A~~>~S=0 - Jeśli wcisnę A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              NIE! Nie ma takiej możliwości
C:~A~~>~S=1 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              To jest możliwe ~~> jeśli dodatkowo B=0
D:~A~~>S =1 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              To jest możliwe ~~>, jeśli dodatkowo B=1


Analiza matematyczna!
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: A~~>~S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego
A: A=>S=1.
2.
Dla warunku wystarczającego A: A=>S stosujemy prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q.
Prawo Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S
Zdanie A: A=>S=1 jest prawdziwe, zatem musi być prawdziwe zdanie C: ~A~>~S=1, inaczej prawo Kubusia leży w gruzach.
Nanieśmy to to tabeli T1.
Kod:

T2.
A: A=>S  =1 - Jeśli wcisnę A (A=1) to na 100% => żarówka zaświeci się (S=1)
              Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
              Stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x. x={0,1}
B: A~~>~S=0 - Jeśli wcisnę A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              Nie ma takiej możliwości, co widać na schemacie S2
.. a jeśli nie wcisnę A?
Prawo Kubusia:
A: A=>S = C:~A~>~S
stad:
C:~A~>~S =1 - Jeśli nie wcisnę A (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
              Nie wciśnięcie A jest konieczne ~> dla nie świecenia S
              Zdarzenie możliwe ~> gdy zmienna wolna B=0
D:~A~~>S =1 - Jeśli nie wcisnę A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              Zdarzenie możliwe ~~>, gdy zmienna wolna B=1


6.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>

Zapiszmy tabelę T2 w wersji skróconej:
Kod:

T3.         |
Definicja   |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
A: A=> S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1
B: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0
C:~A~>~S =1 |(~A=1)~> (~S=1)=1
D:~A~~>S =1 |(~A=1)~~>( S=1)=1

Przejście z definicji symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej (i odwrotnie) możliwe jest tylko i wyłącznie na mocy praw Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.

Zakodujmy tabelę T3 z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym =>:
A: A=>S
Jedyne przydatne tu prawo Prosiaczka to:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Kod:

T4.
Definicja   |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela matematycznie
symboliczna |jedynek oznacza   |A: A=>S           |tożsama
            |                  |                  | A   S  A=>S
A: A=> S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1 |( A=1)=> ( S=1)=1 | 1=> 1   =1
B: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0 |( A=1)~~>( S=0)=0 | 1~~>0   =0
C:~A~>~S =1 |(~A=1)~> (~S=1)=1 |( A=0)~> ( S=0)=1 | 0~> 0   =1
D:~A~~>S =1 |(~A=1)~~>( S=1)=1 |( A=0)~~>( S=1)=1 | 0~~>1   =1
   a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                               | Prawa Prosiaczka |
                               | (~A=1)=( A=0)    |
                               | (~S=1)=( S=0)    |

Zauważmy że:
Nagłówek w kolumnie wynikowej w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 wskazuje linię względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
W naszym przypadku jest to linia A: A=>S.
Kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest tu zero-jedynkową definicja warunku wystarczającego A=>S dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Łatwo udowodnić że definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to:
A=>S = ~A+S
Dowód:
Tu trzeba iść w kierunku przeciwnym, czyli od tabeli zero-jedynkowej ABCD123 do tabeli symbolicznej ABCDabc.
Tabelę symboliczną ABCDabc możemy zapisać w tożsamy sposób na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q =p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q =0
Stąd nasza definicja symboliczna przybierze postać:
Kod:

T5
Definicja symboliczna warunku wystarczającego A=>S:
                 Y=(A=>S)
A: A=> S = A* S =1
B: A~~>~S= A*~S =0
C:~A~>~S =~A*~S =1
D:~A~~>S =~A* S =1

Zauważmy, że zdarzenia ABCD są matematycznie i fizycznie rozłączne, czyli iloczyn logiczny dowolnego zdarzenia z dowolnym innym jest zbiorem pustym.
Przykłady:
A*B = (A*S)*(A*~S) =[] =0
A*C = (A*S)*(~A*~C) =[] =0
A*D = (A*C)*(~A*S) =[] =0
cnd
Dowód w języku potocznym:
Dla każdego 5-cio latka oczywistym jest że żarówka nie może się jednocześnie świecić i nie świecić, to fizycznie niemożliwe.
Przycisk A również nie może być jednocześnie wciśnięty i nie wciśnięty, to fizycznie niemożliwe.

Z tabeli T5 w naturalnej logice matematycznej człowieka (logika jedynek) odczytujemy:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub C:~A*~S =1 lub D: ~A*S
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Kubusia w zdarzeniach rozłącznych:
1’
Y = A: A*S + C: ~A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub C:~A*~S =1 lub D: ~A*S =1

Minimalizujemy równanie 1’:
Y = A*S + ~A*~S* ~A*S
Y = A*S + ~A*(~S+S)
Y = ~A+(A*S)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = A*(~A+~S)
~Y = A*~A + A*~S
~Y=A*~S
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1.
Y = ~A+S
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~A=1 lub S=1
Odtwarzając podstawienie mamy:
A=>S = ~A+S
cnd

6.3 Czym różni się definicja warunku wystarczającego => od operatora |=>

Kod:

S2 Schemat 2
                              Krasnoludek
                                   B
                                 ______
                            -----o    o-----
                            |              |
                            |     Jaś      |
             S              |      A       |
       -------------        |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------------o    o-----
  |    -------------                       |
  |                                        |
______                                     |
 ___    U (źródło napięcia)                |
  |                                        |
  |                                        |
  ------------------------------------------

Wyżej wyprowadziliśmy definicję symboliczną warunku wystarczającego =>.
Kod:

S2.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego A=>S:
                 Y=(A=>S)
A: A=> S = A* S =1
B: A~~>~S= A*~S =0
C:~A~>~S =~A*~S =1
D:~A~~>S =~A* S =1

1’
Y = A: A*S + C: ~A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub C:~A*~S =1 lub D: ~A*S =1
Po minimalizacji mamy:
1.
Y = ~A+S
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~A=1 lub S=1

Definicja warunku wystarczającego => odpowiada na pytania:
1.
Kiedy warunek wystarczający => jest spełniony?

Y = A: A*S + C: ~A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A*S =1 lub C:~A*~S =1 lub D: ~A*S
Ze schematu ideowego doskonale widać że wszystkie zdarzenia rozłączne ACD mają szanse wystąpić, analizowaliśmy to szczegółowo wyżej.
Po minimalizacji mamy:
Y = ~A+S
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~A=1 lub S=1

2.
Kiedy warunek wystarczający => jest nie jest spełniony?

Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=A*~S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A=1 i ~S=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd mamy:
Y=0 <=> A=1 i ~S=1
Warunek wystarczający Y nie jest spełniony (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = A*~S =1*1 =0 - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Ze schematu ideowego S2 doskonale widać, iż tak jest w istocie.

Zauważmy, że warunek wystarczający => może być tylko i wyłącznie spełniony Y=1 albo nie spełniony Y=0.
Nie ma tu żadnych szans na jakiekolwiek „rzucanie monetą”.

Fundamentalnie inną sytuację będziemy mieć gdy dokładnie na tą samą tabelę symboliczną S2 spojrzymy przy pomocy definicji operatora implikacji prostej p|=>q.

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

6.4 Definicja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo.
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|=>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Pozostaje nam udowodnić iż schemat S2 rzeczywiście jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.
Zawsze najprostsze są dowody w warunkach wystarczających => ze względu na definicję kontrprzykładu która obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego =>.

Podstawowa definicja implikacji prostej A|=>S:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1 =1
Dla B1 zastosujmy prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
Stąd mam łatwą w dowodzeniu definicję w warunkach wystarczających =>:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B3: S=>A)

Dowód iż schemat S2 jest fizyczną realizacją operatora implikacji prostej A|=>S:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x, x={0,1}
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Świecenie się żarówki S nie jest warunkiem wystarczającym => do wyciągnięcia wniosku iż przycisk A jest wciśnięty, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B (B=1)

Jak widać udowodniliśmy iż schemat S2 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.

Stąd mamy szablon implikacji prostej A|=>S dla naszego przykładu:
Kod:

Szablon operatora implikacji prostej A|=>S
A|=>S = (A1: A=>S )*~(B1: A~> S)
Operator implikacji prostej A|=>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1:  A=> S  =1 - Jeśli A jest wciśnięty to na 100% => świeci żarówka S
                 Wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
A1’: A~~>~S =0 - Jeśli A jest wciśnięty to może ~~> nie świecić S (~S=1)
                 Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego A1 musi być fałszem
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
A2: ~A~>~S =1 - Jeśli nie A (~A=1) to może ~> nie świecić żarówka S (~S=1)
                ~A=1 jest konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
Zauważmy że:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S=0 - na mocy prawa Kubusia
Stąd kontrprzykład B2’:~A~~>S=1 musi być prawdą
lub
B2’:~A~~>S =1 - Jeśli zajdzie ~A to może ~~> zajść S
                Kontrprzykład B2’=1 wymuszony przez fałszywy B2:~A=>~S=0

Wnioski:
1.
W implikacji prostej A|=>S mamy po stronie wciśniętego klawisza A (zdanie A1) mamy 100% pewność zaświecenia się żarówki o czym mówi zdanie A1.
2.
Natomiast po stronie nie wciśniętego klawisza A (zdania A2 i B2’) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) albo może ~~> się świecić (zdanie B2’) - trzeciej możliwości nie ma.
Przeanalizujmy to samo bardziej szczegółowo.

Operator implikacji prostej A|=>S musi odpowiedzieć na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty?

A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x, x={0,1}
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?

Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> nie świecenia się żarówki S.
Koniecznym ~> dlatego, bo dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=0
Zauważmy że:
B1: A~>S = B2:~A=>~S =0 - na mocy definicji implikacji prostej A|=>S
Dla fałszywego B2:~A=>~S=0 kontrprzykład B2’:~A~~>S=1 musi być prawdą
LUB
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe ~~> bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B (B=1).

Wnioski:
1.
W implikacji prostej A|=>S mamy po stronie wciśniętego klawisza A (zdanie A1) mamy 100% pewność zaświecenia się żarówki o czym mówi zdanie A1.
2.
Natomiast po stronie nie wciśniętego klawisza A (zdania A2 i B2’) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) albo może ~~> się świecić (zdanie B2’) - trzeciej możliwości nie ma.


6.5 Programowa realizacja operatora implikacji prostej A|=>S

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Algorytm komputerowy obsługujący implikację prostą A|=>S wynika bezpośrednio z analizy matematycznej implikacji prostej A|=>S przedstawionej w punkcie wyżej.

Przypomnijmy:
Operator implikacji prostej A|=>S musi odpowiedzieć na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty?

A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?

A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> nie świecenia się żarówki S.
Dodatkowo zmienna wolna musi być B=0
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
LUB
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe ~~> bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B=1.
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
Kod:

AI.
Algorytm implikacyjny A|=>S równolegle połączonych przycisków A i B.
A|=>S = (A1: A=>S )*~(B1: A~> S)=1*~(0)=1*1 =1

               {START}
                  |
A1: (S=1) TAK     |       NIE         A2: (S=0) lub B2’: (S=1)
     ---------<Czy A=1? >--------
     |                           |
     |                        { B=x } Generator cyfr losowych x={0,1}
     |                           |
     |     B2’: (S=1)     TAK    |    NIE   A2: (S=0)
     |<-----------------------< B=1?>-----------
     |                                         |
  { S=1 }                                   { S=0 }
     |                                         |
     |                                         |
     |<-----------------------------------------
     |
  {RETURN}

Doskonale tu widać że:

Przypadek: A=1
Jeśli A=1 to mamy gwarancję matematyczną => iż S=1
Innymi słowy:
Jeśli klawisz A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka świeci się (S=1)

Przypadek: A=0
Jeśli A=0 to może ~> się zdarzyć że S=0 (gdy B=0) albo może ~~> się zdarzyć że S=1 (gdy B=1)
Innymi słowy:
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to może ~> się zdarzyć że żarówka nie świeci się (~S=1) (gdy B=0) albo może ~~> się zdarzyć że żarówka świeci się (S=1) (gdy B=1)
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Ewidentne „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła” realizowane przez generator cyfr losowych x={0,1} mamy tu jak na dłoni.

Zauważmy, że bez generatora cyfr losowych nie mamy żadnych szans na napisanie procedury obsługującej poprawnie implikację prostą A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S )*~(B1: A~> S)=1*~(0)=1*1 =1
Bez generatora cyfr losowych x={0,1}, choćbyśmy zjedli 1000 kotletów i nie wiem jak kombinowali to koniec końców wylądujemy w procedurze równoważnościowej (A+B)<=>S sterowania przyciskami A i B gdzie o żadnym „rzucaniu monetą” z definicji nie może być mowy.

Dlaczego algorytm implikacyjny A|=>S jest w świecie techniki nonsensem?
Nie może być tak, że jak przycisk A będzie wyłączony (A=0) to o tym czy żarówka nie zaświeci się (S=0) czy też zaświeci się (S=1) decyduje generator cyfr losowych x={0,1} będący poza naszą kontrolą.

Na szczęście:
Na schemat S2 możemy też spojrzeć przez pryzmat równoważności.
Najprostsza definicja równoważności to zero zmiennych wolnych, czyli wszystkie przyciski w układzie musimy opisać równaniem logicznym.
Funkcja logiczna Y opisjąca wszystkie zmienne związane dla schematu 2 to:
Y=A+B - bo przyciski A i B połączone są równolegle.
Stąd:
W równoważnościowym spojrzeniu na dokładnie ten sam schemat S2 mam mamy tak:
Kod:

S3 Schemat 3
Algorytm równoważnościowy (A+B)<=>S równolegle połączonych A i B.
(A+B)<=>S=(A1: (A+B)=>S)*(B1: (A+B)~>S) =1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności (A+B)<=>S jest brak zmiennych wolnych.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Z przyjętego punktu odniesienia (z założenia) mamy tu do czynienia z równoważnością:
Wciśnięty jest przycisk A lub B wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się
(A+B)<=>S=(A1: (A+B)=>S)*(B1: (A+B)~>S) =1*1=1
Dla B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: (A+B)~>S = B2: (~A*~B)=>~S
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności mówiącą o tym, kiedy żarówka będzie się świecić (S=1) a kiedy nie będzie się świecić (~S=1).
(A+B)<=>S=(A1: (A+B)=>S)*(B2: (~A*~B)=>~S) =1*1=1

Analiza matematyczna zdań A1 i B2.
A1.
Jeśli wciśniemy przycisk A lub B (A+B=1) to żarówka na 100% => zaświeci się (S=1)
A1: (A+B)=>S =1
Co w logice jedynek oznacza:
A1: (A=1 lub B=1)=>(S=1)
Wciśnięcie któregokolwiek z przycisków A=1 lub B=1 jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się (S=1), bo nie ma w układzie szeregowo podłączonego przycisku C z układem Y=A+B który by zgasił żarówkę.

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Z= p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
S = A*B + A*~B+~A*B
Innymi słowy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A*B=1*1=1 - wciśnięty przycisk A (A=1) i wciśnięty przycisk B (B=1)
lub
A*~B=1*1 =1 - wciśnięty przycisk A (A=1) i nie wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
~A*B =1*1 =1 - nie wciśnięty przycisk A (~A=1) i wciśnięty przycisk B (B=1)
Wszystko co wyżej jest zgodne ze schematem S3.

… a kiedy żarówka nie świeci się?
B2.
Jeśli nie wciśniemy A (~A=1) i nie wciśniemy B (~B=1) to żarówka na 100% => nie zaświeci się (~S=1)
B2: (~A*~B)=>~S
co w logice jedynek oznacza:
B2: (~A=1 i ~B=1) =>(~S=1)
Nie wciśnięcie A (~A=1) i nie wciśnięcie B (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S)
Co jest zgodne ze schematem S3.
cnd

Pozostaje nam narysować schemat blokowy procedury obsługującej naszą równoważność S3.
Kod:

AR.
Algorytm równoważnościowy (A+B)<=>S równolegle połączonych A i B.

                 {START}
                    |                B2: (~A*~B)=>~S
       TAK          |          NIE   B2: (~A=1 i ~B=1) =>(~S=1)
   ---------<Czy A1: (A+B)=1?>--------
   |                                 |   
{ S=1 }                            { S=0 } Prawo Prosiaczka: (~S=1)=(S=0)
   |                                 |
   |<---------------------------------
   |
{RETURN}


Podsumowanie:
Od strony czysto fizycznej schematy S2 i S3 są identyczne, ale widziane są z dwóch różnych punktów odniesienia.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Zauważmy bowiem że:
W obsłudze implikacyjnej A|=>S mamy „rzucanie monetę” (jest generator cyfr losowych) zaś w obsłudze równoważnościowej (A+B)<=>S nie mamy „rzucania monetą” (brak generatora cyfr losowych).
Oczywistym jest, że w świecie techniki jedynym poprawnym spojrzeniem na schemat sterowania żarówką przez dwa przyciski A i B połączone równolegle jest spojrzenie równoważnościowe (A+B)<=>S gdzie nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” wewnątrz układu, czyli poza naszą świadomością.

6.6 Od definicji zero-jedynkowej warunku wystarczającego => do operatora |=>

Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 14 lat zaciętych dyskusji w temacie logika matematyczna.
Po rozszyfrowaniu wszystko jest bajecznie proste.
Widząc o co chodzi w logice matematycznej łatwo można dojść od definicji zero-jedynkowej warunku wystarczającego p=>q oraz do definicji operatora implikacji prostej p|=>q.

Oczywiście posłużymy się naszym przykładem by wszystko było lepiej zrozumiałe.
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=A
q=S
Oznaczmy dla uproszczenia wyprowadzeń:
Y = p=>q = A=>S

Definicję zero-jedynkową warunku wystarczającego => wyprowadziliśmy wyżej:
Kod:

   p  q   Y=(p=>q)=(A=>S)
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego =>:
Kod:

Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania  |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe |w zdarzeniach
                    |                    |          |możliwych ~~>
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |          |               Y
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =1
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1’
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Minimalizujemy:
Y = p*q+~p*~q+~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p+p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1.
Y = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Widać to doskonale w tabeli ABCD235.

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

6.6.1 Definicja warunku wystarczającego A=>S

Odtwórzmy podstawienia, by przejść do naszego przykładu:
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Związek naszego przykładu z definicja warunku wystarczającego =>:
1’
Y = A: A*S + C: ~A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1 lub D: ~A i S
1.
Y = ~A+S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~A=1 lub S=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy 1 dwustronnie:
2.
~Y=A*~S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A=1 i ~S=1

Stąd mamy:
1.
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Kod:

             Y
A: A*S =1*1 =1 - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
                 Sytuacja możliwa ~~>. Stan przycisku B jest bez znaczenia.
lub
C:~A*~S=1*1 =1 - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
                 Sytuacja możliwa ~~> gdy B=0
lub
B:~A*S =1*1 =1 - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
                 Sytuacja możliwa ~~> gdy B=1

2.
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Kod:

            ~Y
B: A*~S=1*1 =1 - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
                 Sytuacja niemożliwa Y=0 co doskonale widać na schemacie S2
                 Prawo Prosiaczka: (~Y=1)=(Y=0)


Podsumowanie:
Doskonale widać, że definicja warunku wystarczającego => może być spełniona (Y=1) albo nie spełniona (~Y=1).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” które za chwilkę nam się pojawi gdy spojrzymy na dokładnie tą samą tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego Y=(A=>S) z punktu widzenia operatora implikacji prostej A|=>S.

6.6.2 Definicja implikacji prostej A|=>S

Dowód iż z punktu odniesienia implikacji prostej A|=>S w tej samej tabeli zero-jedynkowej (definicja warunku wystarczającego p=>q) dojdzie do „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

Opiszmy nasz schemat S2 serią zdarzeń możliwych:
Kod:

A: A~~> S=1 - Jeśli wciśniemy A (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              Stan zmiennej wolnej bez znaczenia B=x, x={0,1}
B: A~~>~S=0 - Jeśli A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              Zdarzenie niemożliwe co widać na schemacie S2.
C:~A~~>~S=1 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              Zdarzenie możliwe ~~> gdy zmienna wolna: B=0
D:~A~~> S=1 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              Zdarzenie możliwe ~~> gdy zmienna wolna: B=1

Analiza matematyczna:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: A~~>~S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: A=>S=1 (i odwrotnie)
2.
Prawo Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S
stąd mamy:
Prawdziwość warunku wystarczającego A: A=>S=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego:
C:~A~>~S=1 (i odwrotnie)
Nanieśmy to do naszej tabeli:
Kod:

Operator implikacji prostej A|=>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A: A=> S =1 - Jeśli A (A=1) to żarówka na 100% => zaświeci się (S=1)
              Wciśnięcie A wystarcza => do zaświecenia S
lub
B: A~~>~S=0 - Jeśli A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              Zdarzenie niemożliwe co widać na schemacie S2.
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
… a jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty?
Prawo Kubusia:
A: A=>S = C:~A~>~S
C:~A~>~S =1 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~> nie zaświecić (~S=1)
              Nie A (~A=1) jest konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
              Konieczne ~> dlatego, że dodatkowo musi być B=0
lub
D:~A~~> S=1 - Jeśli nie A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              Zdarzenie możliwe ~~> gdy zmienna wolna B=1


6.7 Odtworzenie operatora implikacji prostej A|=>S

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A


Operator implikacji prostej A|=>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli wciśniemy klawisz A?

A.
Jeśli wciśniemy klawisz A (A=1) to na 100% => żarówka zaświeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x, x={0,1}
Kontrprzykład B dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
B.
Jeśli wciśniemy klawisz A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Nie ma takiej możliwości, stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x, x={0,1}

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie wciśniemy klawisza A?

Prawo Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S
C.
Jeśli nie wciśniemy klawisza A (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśniecie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zaświecenia się żarówki S
Koniecznym ~> dlatego, że dodatkowo zmienna wolna musi być ustawiona na B=0
Zauważmy że:
Nie wciśniecie klawisza A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zaświecenie się żarówki S, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B=1
~A=>~S =0
Z fałszywości warunku wystarczającego ~A=>~S=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli nie wciśniemy klawisza A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S =~A*S =1
Sytuacja możliwa gdy zmienna wolna B=1

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że po stronie wciśniętego klawisza A (zdanie A) mamy gwarancję matematyczną => ze jeśli klawisz A będzie wciśnięty to na 100% => żarówka zaświeci się.
Ale!
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” realizowane przez zdania C i D:
Jeśli nie wciśniemy klawisza A to żarówka może ~> się nie świecić (prawdziwe C, fałszywe D) albo żarówka może ~~> się świecić (fałszywe C, prawdziwe D) - trzeciej możliwości brak.
Zdarzenia C i D są rozłączne i nigdy nie mogą wystąpić jednocześnie.
„Rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest tu ewidentne.

6.8 Definicja implikacji prostej A|=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja implikacji prostej A|=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = (~A+S)*~(A+~S) = (~A+S)*(~A*S) = ~A*S
Wniosek:
Operator implikacji prostej A|=>S wskazuje prawdziwy kontrprzykład D:
D: ~A~~>S = ~A*S =1 - sytuacja możliwa (=1)

Na mocy definicji zachodzi:
Warunek wystarczający A=>S=~A+S
##
Warunek konieczny A~>S=A+~S
##
Operator implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~A*S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

6.9 Matematyczna obsługa obietnicy W=>N

Najważniejszym zastosowaniem warunku wystarczającego p=>q i implikacji prostej p|=>q jest matematyczna obsługa obietnic.
Obietnice i groźby to fundament wszelkiego życia na ziemi, zwierzątka które nie odróżniały obietnicy od groźby dawno wyginęły.

Definicja obietnicy =>:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodząca w skład implikacji prostej W|=>N:
W|=>N = (A1: W=>N)*~(B1: W~>N) =1*~(0) =1*1 =1

Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej A|~>K:
W|~>K = ~(A1: W=>K)*(B1: W~>K) = ~(0)*1 =1*1 =1

To są definicje obietnicy i groźby zatem tu nic a nic nie musimy udowadniać, jedyne co musimy to rozstrzygnąć czy w następniku mamy nagrodę (obietnica), czy karę (groźba).
Aktualnie jesteśmy przy obsłudze warunku wystarczającego =>, zatem z marszu zajmiemy się obietnicami.

Weźmy sztandarową obietnicę, którą rozszyfrowałem jako pierwszą, dzięki której w ogóle zainteresowałem się logiką matematyczną.

Chrystus:
A.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => by być zbawionym
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Kontrprzykład B dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem.
B.
Kto wierzy we mnie może ~~> nie być zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Chrystus będzie kłamcą jeśli wierzącego w niego człowieka nie zbawi (pośle do piekła)

.. a jak kto nie wierz Panie?
Prawo Kubusia:
A: W=>Z = C: ~W~>~Z
stąd mamy:
C.
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z=1
Na mocy prawa Kubusia groźbę ta musimy kodować warunkiem koniecznym ~> bez względu na ostrość jej wypowiedzenia (np. grzech przeciwko Duchowi Św.) dającym prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);

lub
D.
Kto nie wierzy we mnie może ~~> zostać zbawiony
~W~~>Z = ~W*Z =1
To jest piękny akt miłości w stosunku do obietnicy A dający możliwość wręczenia nagrody (zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie wierzył).
Akt miłości jest tożsamy z równie pięknym aktem łaski w stosunku do groźby C, który umożliwia odstąpienie od ukarania mimo że odbiorca spełnił warunek kary (nie wierzył).
Oba te akty, akt miłości i akt łaski są powszechne w przyrodzie, nie tylko człowiek stosuje je w praktyce.
Ze zdań C i D wynika, że Chrystus cokolwiek by nie zrobił z niewierzącymi to nie ma najmniejszych szans na zostanie matematycznym kłamcą. W skrajnym przypadku wszyscy możemy zostać zbawieni tak wiec nadzieja powszechnego zbawienia ma swoje podstawy matematyczne:
[link widoczny dla zalogowanych]


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:24, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:25, 10 Maj 2020    Temat postu:

Spis treści
7.0 Operator równoważności w zdarzeniach p|<=>q 1
7.1 Operator równoważności A|<=>S 3
7.2 Równoważność A<=>S dla przycisku A 6
7.3 Analiza równoważności A<=>S w warunkach koniecznych ~> 8
7.4 Równoważność S<=>A dla żarówki S 10
7.5 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji równoważności A<=>S 12
7.6 Od tabeli zero-jedynkowej do definicji symbolicznej równoważności <=> 15
7.7 Odtworzenie operatora równoważności A<=>S 18
7.8 Definicja równoważności A<=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 20
8.0 Operator chaosu A|~~>S 20
8.1 Definicja operatora chaosu A|~~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 22
8.2 tabela zero-jedynkowa operatora chaosu 22





7.0 Operator równoważności w zdarzeniach p|<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
      I         II           III       IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja operatora równoważności p|<=>q (dla I i II):
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania:
1
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
I. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
II. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~p=~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Kod:

Równoważność:                  |  Równoważność:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p*~q)
Tożsamość zdarzeń:             |  Tożsamość zdarzeń:
p=q                            #  ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
| - komentarz

p # ~p
~(~p)=p
~(p)=~p
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie zdarzenie ~p = prawdą jest że zajdzie zdarzenie p
~(~p)=p
Prawo negacji p:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie p = prawdą jest że zajdzie ~p
~(p)=~p

Uwagi:
1.
Matematycznie zachodzi:
Operator równoważności p|<=>q ## Spójnik równoważności p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Spójnik równoważności <=> w formie skróconej nazywamy równoważnością <=>
3.
Zauważmy, że udowodnienie prawdziwości jednego zdania serii Ax i jednego zdania serii Bx jest potrzebne i wystarczające dla prawdziwości wszystkich możliwych spójników równoważności.
4.
Równoważność jest przemienna, zatem dokładnie to samo możemy zapisać dla kwarty III i IV.
5.
Zauważmy, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności <=> w logice dodatniej (bo q) p<=>q i w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q:
1.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)


7.1 Operator równoważności A|<=>S

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo.

Rozważmy poniższy schemat sterowania żarówką:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)

Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
cnd

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
A=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

1.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~A=~S
Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
S=A
Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~S=~A
Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV

7.2 Równoważność A<=>S dla przycisku A

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Operator równoważności A|<=>S musi odpowiada na dwa pytania 1 i 2

Analiza symboliczna w operatora równoważności A|<=>S.

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź w spójnikach równoważności A<=>S na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Dowód: Nie ma szeregowej zmiennej wolnej B która mogłaby zgasić żarówkę niezależnie od A
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Dowód: Nie ma równoległej zmiennej wolnej C która mogłaby zaświecić żarówkę niezależnie od A
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Zauważmy że w operatorze równoważności A|<=>S zachodzi:
Kod:

Równoważność:                   |  Równoważność:         
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)  [=] ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
Definiuje tożsamość pojęć:      | Definiuje tożsamość pojęć:
A=S                             #  ~A=~S
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S [=] ~A<=>~S

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Dziedzina matematyczna dla naszego układu to wszystkie możliwe zdarzenia między wciskaniem klawisza A świeceniem żarówki S bez analizy czy dane zdarzenie jest możliwe w badanym układzie.
D=A: A*S + B: A*~S + C~A*~S + D: ~A*S
Dowód iż to jest poprawna dziedzina matematyczna:
D = A*S + A*~S + ~A*~S + ~A*S = A*(S+~S) + ~A(~S+S) = A+~A =1
cnd
Dziedzina fizyczna dla naszego układu to zdarzenia fizycznie możliwe:
DF= A: A*S + C: ~A*~S

Matematycznie dla naszego przykładu spełniona jest definicja dziedziny oddzielnie dla A i oddzielnie dla S
Wszystkie możliwe zdarzenia dla A:
A+~A =D =1 - klawisz A może być wciśnięty (A=1) albo nie wciśnięty (~A=1)
A*~A =[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne.
Zwróćmy uwagę, że matematycznie zachodzi:
A # ~A
Stąd:
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że klawisz A nie jest wciśnięty (~A) = prawdą jest, że klawisz A jest wciśnięty (A)
~(~A)=A
Nie jest prawdą (~) że klawisz A jest wciśnięty (A) = prawda jest że klawisz A nie jest wciśnięty (~A)
~(A) =~A

Wszystkie możliwe zdarzenia dla S:
S+~S =D =1 - żarówka może świecić (S=1) albo nie świecić (~S=1)
S*~S =[] =0 - zdarzenia S i ~S są rozłączne.
Zwróćmy uwagę, że matematycznie zachodzi:
S # ~S
Stąd:
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci (~S) = prawdą jest, że żarówka świeci (S)
~(~S)=S
Nie jest prawdą (~) ze żarówka świeci = prawdą jest, że żarówka nie świeci (~S)
~(S) =~S

7.3 Analiza równoważności A<=>S w warunkach koniecznych ~>

Zauważmy, że analizę równoważności A<=>S równie poprawnie możemy przeprowadzić wyłącznie w warunkach koniecznych ~>.
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Analiza równoważności A<=>S w warunkach koniecznych ~>:
W tym przypadku po pierwsze i najważniejsze musimy udowodnić iż rzeczywiście badany układ jest układem równoważnościowym co akurat w tym przypadku jest trywialne.
Wystarczy bowiem zauważyć, iż na schemacie S3 wszystkie zmienne występują w równaniu logicznym opisującym układ, czyli mamy zero zmiennych wolnych - co determinuje równoważność.
W tym momencie analizę równoważności w warunkach koniecznych ~> według poniższego szablonu możemy zlecić najgłupszemu komputerowi.

Operator równoważności A|<=>S wyłącznie w warunkach koniecznych ~> to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki (S=1)
Oczywistość bo mamy zero zmiennych wolnych.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) daje nam gwarancję matematyczną ~> do tego by żarówka świeciła się (S=1)
W równoważności spełniony jest równocześnie warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1 - wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się

Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

Uwaga:
Zauważmy że zdania warunkowe B1 i A1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji:
B1: A~>S = A+~S ## A1: A=>S = ~A+S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Matematyczną różnicę między zdaniami B1 i A1 sygnalizują wyłącznie znaczki ~> i => wbudowane w treść zdań których co oczywiste, nie słychać w zdaniach mówionych.
Z powyższego wynika, że fałszywa jest logika matematyczna ziemian, zbudowana na poniższym fundamencie:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame
Fałszywa, bo właśnie znaleźliśmy kontrprzykład dla tego dogmatu wiary.

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% ~> nie świeci się (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki (~S=1)
Oczywistość bo mamy zero zmiennych wolnych.
Nie wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną ~> do tego, aby żarówka nie świeciła się.
W równoważności spełniony jest równocześnie warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S=1

Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Uwaga:
Zauważmy że zdania warunkowe A2 i B2 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji:
A2: ~A~>~S = ~A+S ## B2: ~A=>~S = A+~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
bo:
A~>S = A+~S
A=>S = ~A+S

Matematyczną różnicę między zdaniami A2 i B2 sygnalizują wyłącznie znaczki ~> i => wbudowane w treść zdań których co oczywiste, nie słychać w zdaniach mówionych.
Z powyższego wynika, że fałszywa jest logika matematyczna ziemian, zbudowana na poniższym fundamencie:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame
Fałszywa, bo właśnie znaleźliśmy kontrprzykład dla tego dogmatu wiary.

7.4 Równoważność S<=>A dla żarówki S

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

Związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności <=>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Odpowiedź na pytanie kiedy żarówka świeci się a kiedy nie świeci się mamy w kwarcie III i IV.

Operatora równoważności S|<=>A odpowiada na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy żarówka świeci się?

III
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A na 100% => jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
Świecenie się żarówki S jest warunkiem wystarczającym => do tego by mieć 100% pewność że przycisk A jest wciśnięty
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego => B3 musi być fałszem
B3’
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to przycisk A może ~~> nie być wciśnięty (A=1)
S~~>~A = S*~A =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy żarówka nie świeci się?

IV
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A na 100% => nie jest wciśnięty (~A=1)
~S=>~A =1
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) jest 100% dowodem => na to, że klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1)
Kontrprzykład A4’ dla warunku wystarczającego => A4 musi być fałszem
A4’.
Jeśli żarówka nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
~S~~>A = ~S*A =0 - zdarzenie niemożliwe

Zauważmy że w operatorze równoważności S|<=>A zachodzi:
Kod:

Równoważność:                   |  Równoważność:         
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A)  [=] ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A)
Definiuje tożsamość pojęć:      |  Definiuje tożsamość pojęć:
S=A                             #  ~S=~A
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony


Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
S<=>A [=] ~S<=>~A

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Podsumowanie:
Zarówno po stronie świecącej się żarówki S (zdanie B3), jak i po stronie nie świecącej się żarówki S (zdanie A4) mamy 100% pewności - nigdzie nie ma tu śladu „rzucania monetą”, charakterystycznego dla implikacji.

7.5 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji równoważności A<=>S

Równoważność A<=>S dla przycisku A

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

Związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności <=>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Podsumowanie:
Zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (zdanie A1), jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (zdanie B2) mamy 100% pewności - nigdzie nie ma tu śladu „rzucania monetą”, charakterystycznego dla implikacji.

Zapiszmy nasza analizę matematyczną w tabeli prawdy:
Kod:

T1.
Definicja     |Co w logice
symboliczna   |Jedynek oznacza
              |
A<=>S         |
A1:  A=>S  =1 |( A=1)=> ( S=1)=1
A1’: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0
~A<=>~S       |
B2: ~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1
B2’:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=1)=0

Tabelę prawdy T1 możemy zakodować względem równoważności w logice dodatniej (bo q):
A<=>S
Kodowanie zero-jedynkowe dowolnej definicji symbolicznej możliwe jest tylko i wyłącznie dzięki prawom Prosiaczka.
Tu potrzebujemy jedno prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.

Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
Kod:

T2.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |A<=>S             |
A<=>S         |                  |                  | A   S  A<=>S
A1:  A=>S  =1 |( A=1)=> ( S=1)=1 |( A=1)=> ( S=1)=1 | 1=> 1   =1
A1’: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0 |( A=1)~~>( S=0)=0 | 1~~>0   =0
~A<=>~S       |                  |                  |
B2: ~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1 |( A=0)=> ( S=0)=1 | 0=> 0   =1
B2’:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=1)=0 |( A=0)~~>( S=1)=0 | 0~~>1   =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (~A=1)=(A=0)     |
                                 | (~S=1)=(S=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności A<=>S

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci”
A=S

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „nie wciśnięty klawisz A” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci”
~A=~S

Wniosek:
Z powyższego wynika, że operatora równoważności A|<=>S nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności w logice dodatniej (bo S) A<=>S i spójnika równoważności w logice ujemnej (bo ~S) ~A<=>~S:
1.
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
2.
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)

7.6 Od tabeli zero-jedynkowej do definicji symbolicznej równoważności <=>

Rozszyfrowanie algebry Kubusia to 14 lat zaciętych dyskusji w temacie logika matematyczna.
Po rozszyfrowaniu wszystko jest bajecznie proste.
Widząc o co chodzi w logice matematycznej łatwo można dojść od definicji zero-jedynkowej równoważności p<=>q do jej postaci symbolicznej.

Oczywiście posłużymy się naszym przykładem by wszystko było lepiej zrozumiałe.
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=A
q=S
Oznaczmy dla uproszczenia wyprowadzeń:
Y = p=>q = A<=>S

Definicję zero-jedynkową równoważności A<=>S wyprowadziliśmy wyżej:
Kod:

T1
   p  q   Y=p<=>q=A<=>S
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania  |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe |w zdarzeniach
                    |                    |          |możliwych ~~>
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |          |               Y
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2.
~Y=B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Odtwórzmy podstawienia, by przejść do naszego przykładu:
p=A
q=S

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Związek naszego przykładu z definicją równoważności Y = A<=>S:
1.
Y = A: A*S + C: ~A*~S
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1

Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~(A<=>S)
2.
~Y=B: A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: A=1 i ~S=1 lub D: ~A=1 i S=1

Stąd mamy:
1.
Definicja równoważności Y=A<=>S jest spełniona (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Kod:

T3
             Yac=A<=>S
A: A*S =1*1 =1 - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
                 Sytuacja możliwa ~~>.
lub
C:~A*~S=1*1 =1 - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
                 Sytuacja możliwa ~~>.

2.
Definicja równoważności ~Y=~(A<=>S) nie jest spełniona (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Kod:

T4.
            ~Ybd=~(A<=>S)
B: A*~S=1*1 =1 - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
                 Sytuacja niemożliwa (~Yb=1) co doskonale widać na schemacie S2
                 Prawo Prosiaczka: (~Yb=1)=(Yb=0)
lub
D:~A*S =1*1 =1 - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
                 Sytuacja niemożliwa: (~Yd=1)
                 Prawo Prosiaczka: (~Yd=1)=(Yd=0)

1.
Z tabeli T3 mówiącej o spełnieniu definicji równoważności Y=1 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) odczytujemy:
Definicja równoważności jest spełniona (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: A*S =1*1 =(Ya=1) - przyciska A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
lub
C: ~A*~S =1*1=(Yc=1) - przycisk A nie sjest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
2.
Z tabeli T4 mówiącej o nie spełnieniu definicji równoważności ~Y=1 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) odczytujemy:
Definicja równoważności nie jest spełniona (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: A*~S=1*1 =(~Yb=1) - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
lub
D: ~A*S = 1*1 =(~Yd=1) - przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Podsumowanie:
Doskonale widać, że definicja równoważności A<=>S może być spełniona (Y=1) albo nie spełniona (~Y=1).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą”.
W przeciwieństwie do implikacji p|=>q i p|~>q w równoważności p<=>q nigdy nie pojawi się „rzucanie monetą”, także przy pytaniach definicyjnych operatora implikacyjnego p|<=>q:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

7.7 Odtworzenie operatora równoważności A<=>S

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Opiszmy nasz schemat S3 serią zdarzeń możliwych ~~>:
Kod:

T5
          Y
A: A~~>S =1 - Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
              Sytuacja możliwa: Ya=1
B: A~~>~S=0 - przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
              Sytuacja niemożliwa: Yb=0
C:~A~~>~S=1 - Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
              Sytuacja możliwa: Yc=1
D:~A~~>S =0 - Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
              Sytuacja niemożliwa: (Yd=0)


Analiza matematyczna:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: A~~>~S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: A=>S=1 (i odwrotnie)
2.
Fałszywość kontrprzykładu D:~A~~>S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~A=>~S=1 (i odwrotnie)
Nanieśmy to do naszej tabeli:
Kod:

A: A=> S =1 - Jeśli wciśniemy A (A=1) to żarówka na 100% => zaświeci się (S=1)
              Wciśnięcie A wystarcza => do zaświecenia S
B: A~~>~S=0 - Jeśli wciśniemy A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
              Sytuacja niemożliwa co widać na schemacie S3.
C:~A=>~S =1 - Jeśli nie wciśniemy A (~A=1) to na 100% => żarówka nie zaświeci się (~S)
              Nie wciśnięcie A jest wystarczające => dla nie świecenia A
D:~A~~> S=1 - Jeśli nie wciśniemy A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
              Sytuacja niemożliwa co widać na schemacie S3.

Analiza operatora równoważności A|<=>S:

Operator równoważności A|<=>S odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A: A=>S)*(C:~A=>~C)
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Kontrprzykład B dla warunku wystarczającego A musi być fałszem
B.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A: A=>S)*(C: ~A=>~S)
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Kontrprzykład D dla warunku wystarczającego => C musi być fałszem
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że w równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą”:
1.
Po stronie wciśniętego klawisza A (A=1) mamy gwarancję matematyczną => iż jeśli wciśniemy klawisz A (A=1) to na 100% => żarówka zaświeci się (S=1)
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy gwarancję matematyczną => iż jeśli nie wciśniemy klawisza A (~A=1) to na 100% => żarówka nie zaświeci się (~S=1)


7.8 Definicja równoważności A<=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja równoważności A<=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) = (~A+S)*(A+~S) = ~A*A + ~A*~S + S*A + S*~S = A*S + ~A*~S
Wniosek:
Operator równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje warunki wystarczające =>:
A*S - wskazuje warunek wystarczający: A1: A=>S
~A*~S - wskazuje warunek wystarczający: B2: ~A=>~S


8.0 Operator chaosu A|~~>S

Definicja operatora chaosu p|~~>q:[/b]
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w operatorze chaosu p|~~>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w p|~~>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z operatorem chaosu potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx

Przykładowa, fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S:
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C
Istotą operatora chaosu A|~~>S są dwie zmienne wolne B i C.
Zmienna wolna B jest połączona szeregowo z przyciskiem A
Zmienna wolna C jest połączona równolegle z przyciskiem B

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa operatora chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|~~>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Cechy charakterystyczne operatora chaosu A|~~>S:

Tabela prawdy operatora chaosu A|~~>S to same wynikowe jedynki w analizie zdarzeniami możliwymi ~~>
Kod:

T1.
A: A~~> S= A* S=1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~~>
                    się świecić (S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=1
B: A~~>~S= A*~S=1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~~>
                    się nie świecić (~S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=0
C:~A~~>~S=~A*~S=1 - Jeśli nie wciśnięty A (~A=1) to żarówka może ~~>
                    się nie świecić (~S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna C=0
D:~A~~> S=~A* S=1 - Jeśli nie wciśnięty A (~A=1) to żarówka może ~~>
                    się świecić (S=1)
                    Tak, gdy zmienne wolne: B=1 i C=1


8.1 Definicja operatora chaosu A|~~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja operatora chaosu A|~~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Definicja operatora chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A=>S)*~(A~>S) = ~(~A+S)*~(A+~S) = (A*~S)*(~A*S) =0
Wynikowe zero informuje nas, iż w operatorze chaosu A|~~>S nie ma ani jednego kontrprzykładu, zatem nie ma ani jednego warunku wystarczającego =>.
Fałszywe warunki wystarczające, na mocy prawa Kubusia wymuszają fałszywe warunki konieczne ~>.
Dowód:
A1: A=>S =0
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S =0
Podobnie:
B2: ~A=>~S =0
Prawo Kubusia:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S =0

8.2 tabela zero-jedynkowa operatora chaosu

Zapiszmy tabelę T1 w wersji skróconej:
Kod:

T2.         |
Definicja   |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
A: A~~>S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1
B: A~~>~S=1 |( A=1)~~>(~S=1)=1
C:~A~~>~S=1 |(~A=1)~> (~S=1)=1
D:~A~~>S =1 |(~A=1)~~>( S=1)=1

Przejście z definicji symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej (i odwrotnie) możliwe jest tylko i wyłącznie na mocy praw Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.

Zakodujmy tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym zdaniu A:
A: A~~>S
Jedyne przydatne tu prawo Prosiaczka to:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Kod:

T3.
Definicja   |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela matematycznie
symboliczna |jedynek oznacza   |A: A~~>S          |tożsama
            |                  |                  | A   S  A~~>S
A: A~~>S =1 |( A=1)~~>( S=1)=1 |( A=1)~~>( S=1)=1 | 1~~>1   =1
B: A~~>~S=1 |( A=1)~~>(~S=1)=0 |( A=1)~~>( S=0)=0 | 1~~>0   =1
C:~A~~>~S=1 |(~A=1)~~>(~S=1)=1 |( A=0)~~>( S=0)=1 | 0~~>0   =1
D:~A~~>S =1 |(~A=1)~~>( S=1)=1 |( A=0)~~>( S=1)=1 | 0~~>1   =1
   a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                               | Prawa Prosiaczka |
                               | (~A=1)=( A=0)    |
                               | (~S=1)=( S=0)    |

Łatwo zauważyć, że nie ma znaczenia względem której linii będziemy kodowali tabele zero-jedynkową bowiem w kolumnie wynikowej 3 mamy same jedynki.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:25, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:26, 10 Maj 2020    Temat postu:

Spis treści
9.0 Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń 1
9.1 Teoria niezbędna dla rozwiązania testu 2
9.2 Operator implikacji odwrotnej A|~>S 3
9.3 Operator implikacji prostej A|=>S 6
9.4 Operator równoważności A|<=>S 9
9.5 Operator chaosu A|~~>S 12
10.0 Transformacje operatorów logicznych 14
10.1 Schematy ideowe operatorów logicznych 16
10.2 Transformacja implikacji odwrotnej |~> do równoważności <=> 17
10.3 Transformacja implikacji prostej |=> do równoważności <=> 18
10.4 Transformacja operatora chaosu |~~> do równoważności <=> 19
10.5 Transformacja operatora chaosu |~~> do implikacji odwrotnej |~> 20



9.0 Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń

Prawo Delfina:
Dla wytłumaczenia kompletnej logiki matematycznej są potrzebne ~> i wystarczające => zaledwie cztery elementy.

W teorii zdarzeń o której rozmawiamy w niniejszej części podręcznika minimalna ilość elementów to:
Jedna żarówka S sterowana trzema przyciskami A, B i C w różnych konfiguracjach

Test sprawdzający rozumienie teorii zdarzeń:
Dane są cztery elementy, żarówka i trzy przyciski A, B, C sterujące tą żarówką które można połączyć w dowolnych konfiguracjach. Nie wszystkie przyciski muszą być używane.

W świecie rzeczywistym człowieka dostępny jest wyłącznie przycisk A i żarówka S. Pozostałe przyciski B i C jako zmienne wolne mogą być dołączane do przycisku A na wszelkie możliwe sposoby.

Polecenie:
Narysuj schematy elektryczne realizujące definicje operatorów logicznych:
1.
Operator implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = 1*~(0) =1*1 =11.
2.
Operator implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = 1*~(0) =1*1=1
3.
Operator równoważności A<=>S:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
4.
Operator chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Rozwiązanie:
Najłatwiejszy sposób rozwiązania powyższych zadań to sprowadzenie wszystkich spójników do warunku wystarczającego => zachodzącego w tą samą stronę, bowiem definicja kontrprzykładu działa tylko i wyłącznie w powiązaniu z warunkiem wystarczającym =>

9.1 Teoria niezbędna dla rozwiązania testu

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


9.2 Operator implikacji odwrotnej A|~>S

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S:[/b]
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1 =1*1 =1

Stąd mamy:
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej A|~>S:
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną A|~>S potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.

Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
Stąd mamy definicję tożsamą implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =0
B2:~A=>~S =1

Analizujemy zdanie A1.
A1: A=>S =0
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =0
Fałszywość warunku wystarczającego => A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S)
A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wniosek:
Musi istnieć zmienna wolna B połączona szeregowo z przyciskiem A

Stąd mamy schemat początkowy:
Kod:

Schemat 1A
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------


Kto wciska przycisk B?
Przycisk B jest zmienną wolną, której równanie logiczne opisujące układ nie widzi:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) = ~(0)*1 =1*1 =1

Zmienna wolna z definicji może przyjmować losowo wartości logiczne 0 albo 1 poza świadomością człowieka, bo nie występuje w równaniu opisującym układ.

Wynika z tego że:
Sterować wciskaniem przycisku B może zająć się generator cyfr binarnych w następujący sposób:
x=1 - przycisk B wciśnięty (B=1)
x=0 - przycisk B nie wciśnięty (~B=1)=(B=0) - prawo Prosiaczka.
Gdzie:
x={0,1} - zmienna binarna x której wartość logiczna jest losowana przez generator liczb losowych.

Podsumowując:
Wciskaniem przycisku B może sterować generator liczb losowych, istotne jest, aby to było do zauważenia w czasie skończonym.
W laboratorium do celów ćwiczebnych można zrealizować wciskanie przycisku B w interwałach kilkusekundowych po to, by ćwiczenie miało sens tzn. by dla wciśniętego przycisku A (A=1) dało się zauważyć zarówno B=1 (S=1) jak i B=0 (S=0).

Analizujemy zdanie B2:
B2: ~A=>~S =1
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka nie świeciła się (~S=1)
Wniosek:
Nie może istnieć zmienna wolna C połączona równolegle z przyciskiem A

Dla zdania B2 stosujemy prawo Kubusia:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S
stąd:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić
A~>S =1
Warunek konieczny ~> jest tu spełniony na mocy prawa Kubusia.

Stąd mamy schemat końcowy implikacji odwrotnej A|~>S:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1 =1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

A.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenie się żarówki S
Koniecznym bo dodatkowo musi być B=1
Zauważmy że:
A=>S=0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Nie zawsze gdy wciśniemy A zaświeci się żarówka S (bo zmienna wolna B)
Fałszywy warunek wystarczający A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B
LUB
B.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Jest taka możliwość (=1) gdy zmienna wolna B będzie ustawiona na B=0

2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (A=0)?

Prawo Kubusia:
A: A~>S = C: ~A=>~S
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Przycisk A jest połączony szeregowo z żarówką (stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x)
Kontrprzykład D dla warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zdarzenie niemożliwe (=0) bo przycisk A jest podłączony do żarówki szeregowo.

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że zdania A i B realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli wciśniemy klawisz A to żarówka może ~> się świecić (prawdziwe A, fałszywe B) albo żarówka może ~~> się nie świecić (prawdziwe B, fałszywe A) - trzeciej możliwości brak.
Zdarzenia A i B są rozłączne i nigdy nie mogą wystąpić jednocześnie.
„Rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest tu ewidentne.
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (zdanie C) mamy gwarancję matematyczną => ze jeśli klawisz A nie będzie wciśnięty to na 100% => żarówka nie zaświeci się.

9.3 Operator implikacji prostej A|=>S

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0) =1*1 =1

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej A|=>S:
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją prostą A|=>S potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia by przejść do warunku wystarczającego => w tą samą stronę
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy tożsamą definicję implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =0

Analizujemy zdanie A1:
A1: A=>S =1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wniosek:
Żarówka musi być w obwodzie zamkniętym z przyciskiem A

Stąd mamy schemat początkowy:
Kod:

Schemat 2A
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Analizujemy zdanie B2.
B2: ~A=>~S =0
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S)
~A=>~S =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może ~~> się świecić (S)
~A~~>S = ~A*S =1 - sytuacja możliwa (=1)
Wniosek:
Musi istnieć zmienna wolna B podłączona równolegle do zmiennej związanej A.

Stąd mamy schemat końcowy operatora implikacji prostej A|=>S:
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dla zdania A1 stosujemy prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
stąd:
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to żarówka może ~> nie świecić się
~A~>~S =1
Warunek konieczny ~> jest tu spełniony na mocy prawa Kubusia, tu nic a nic nie musimy udowadniać.

Kto wciska przycisk B?
Przycisk B jest zmienną wolną, której równanie logiczne opisujące układ nie widzi:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) = 1*~(0) =1*1 =1

Zmienna wolna z definicji może przyjmować losowo wartości logiczne 0 albo 1 poza świadomością człowieka, bo nie występuje w równaniu opisującym układ.

Wynika z tego że:
Sterowaniem wciskania przycisku B może zająć się generator cyfr binarnych w następujący sposób:
x=1 - przycisk B wciśnięty (B=1)
x=0 - przycisk B nie wciśnięty (~B=1)=(B=0) - prawo Prosiaczka.
Gdzie:
x={0,1} - zmienna binarna x której wartość logiczna jest losowana przez generator liczb losowych.

Podsumowując:
Wciskaniem przycisku B może sterować generator liczb losowych, istotne jest aby to było do zauważenia w czasie skończonym.
W laboratorium do celów ćwiczebnych można zrealizować wciskanie przycisku B w interwałach kilkusekundowych po to, by ćwiczenie miało sens tzn. by dla wyłączonego przycisku A (A=0) dało się zauważyć zarówno B=1 (S=1) jak i B=0 (S=0).

Analiza operatora implikacji prostej A|=>S:

Operator implikacji prostej A|=>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli wciśniemy klawisz A?

A.
Jeśli wciśniemy klawisz A (A=1) to na 100% => żarówka zaświeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x
Kontrprzykład B dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
B.
Jeśli wciśniemy klawisz A (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Nie ma takiej możliwości, stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie wciśniemy klawisza A?

Prawo Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S
C.
Jeśli nie wciśniemy klawisza A (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśniecie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zaświecenia się żarówki S
Żarówka nie zaświeci się gdy dodatkowo zmienna wolna będzie ustawiona na B=0
Zauważmy że:
Nie wciśniecie klawisza A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zaświecenie się żarówki S, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B=1
~A=>~S =0
Z fałszywości warunku wystarczającego ~A=>~S=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli nie wciśniemy klawisza A (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S =~A*S =1
Sytuacja możliwa gdy zmienna wolna B=1

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że po stronie wciśniętego klawisza A (zdanie A) mamy gwarancję matematyczną => ze jeśli klawisz A będzie wciśnięty to na 100% => żarówka zaświeci się.
Ale!
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” realizowane przez zdania C i D:
Jeśli nie wciśniemy klawisza A to żarówka może ~> się nie świecić (prawdziwe C, fałszywe D) albo żarówka może ~~> się świecić (prawdziwe D, fałszywe C) - trzeciej możliwości brak.
Zdarzenia C i D są rozłączne i nigdy nie mogą wystąpić jednocześnie.
„Rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest tu ewidentne.

9.4 Operator równoważności A|<=>S

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności A<=>S:
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją prostą A|=>S potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stad definicja tożsama równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =1

Analizujemy zdanie A1:
A1: A=>S =1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A) to na 100% => żarówka świeci się (S)
A=>S =1
Wniosek:
Żarówka musi być w obwodzie zamkniętym z przyciskiem A

Stąd mamy schemat początkowy:
Kod:

Schemat 3A
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Analizujemy zdanie B2.
B2: ~A=>~S=1
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S)
~A=>~S =1
Wniosek:
W układzie nie ma zmiennej wolnej (przycisk B) połączonej równolegle z przyciskiem A która by zaświeciła żarówkę niezależnie od przycisku A

Stąd mamy schemat końcowy operatora równoważności A<=>S:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Analiza operatora równoważności A|<=>S:

Operator równoważności A|<=>S odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A: A=>S)*(C:~A=>~C)
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Kontrprzykład B dla warunku wystarczającego A musi być fałszem
B:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A: A=>S)*(C: ~A=>~S)
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Kontrprzykład D dla warunku wystarczającego => C musi być fałszem
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że w równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą”:
1.
Po stronie wciśniętego klawisza A (A=1) mamy gwarancję matematyczną => iż jeśli wciśniemy klawisz A (A=1) to na 100% => żarówka zaświeci się (S=1)
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy gwarancję matematyczną => iż jeśli nie wciśniemy klawisza A (~A=1) to na 100% => żarówka nie zaświeci się (~S=1)

9.5 Operator chaosu A|~~>S

Definicja operatora chaosu A|~~>S:[/b]
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: A~>S =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w operatorze chaosu A|~~>S:
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z operatorem chaosu A|~~>S potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Rozważmy przykład z żarówką sterowaną przyciskami A, B i C dowolnie połączonymi:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Dla zdania B1 stosujemy prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy tożsamą definicje operatora chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B2: ~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Wniosek bezpośredni:
A1: A=>S =0
B2: ~A=>~S =0

Analizujemy zdanie A1:
A1: A=>S =0
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =0
Fałszywy warunek wystarczający => A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wniosek:
Musi istnieć zmienna wolna B połączona szeregowo z przyciskiem A. która będzie w stanie zgasić żarówkę (S=0) gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)

Stąd mamy schemat początkowy:
Kod:

Schemat 4A
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------


Analizujemy zdanie B2:
B2: ~A=>~S =0
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Wniosek:
Równolegle z przyciskiem A musi być połączona zmienna wolna C która będzie w stanie zaświecić żarówkę S gdy przycisk A nie jest wciśnięty (A=0)

Stąd mamy schemat końcowy operatora chaosu A|~~>S:
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C
Istotą operatora chaosu A|~~>S są dwie zmienne wolne B i C.
Zmienna wolna B jest połączona szeregowo z przyciskiem A
Zmienna wolna C jest połączona równolegle z przyciskiem B

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Cechy charakterystyczne operatora chaosu A|~~>S:

Tabela prawdy operatora chaosu A|~~>S to same wynikowe jedynki w analizie zdarzeniami możliwymi ~~>
Kod:

T1.
A: A~~> S= A* S=1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~~>
                    się świecić (S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=1
B: A~~>~S= A*~S=1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~~>
                    się nie świecić (~S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=0
C:~A~~>~S=~A*~S=1 - Jeśli nie wciśnięty A (~A=1) to żarówka może ~~>
                    się nie świecić (~S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=0
D:~A~~> S=~A* S=1 - Jeśli nie wciśnięty A (~A=1) to żarówka może ~~>
                    się świecić (S=1)
                    Tak, gdy zmienne wolne: B=1 i C=1



10.0 Transformacje operatorów logicznych

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo.

W przypadku układu żarówka-przyciski można spojrzeć na dowolnie rozbudowany układ z różnych punktów odniesienia grupując zmienne związane i zmienne wolne wedle swego „widzi mi się”
Stąd możemy mówić o transformacji jednego układu w drugi poprzez zmianę punktu odniesienia w patrzeniu na dokładnie ten sam układ.

Otaczająca nasz rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia np. rzeczywistość wierzącego jest inna niż rzeczywistość ateisty.
W przypadku układu żarówka-przyciski przed rozpoczęciem dyskusji należy ustalić wspólny punkt odniesienia tzn. które zmienne grupujemy jako zmienne związane, a które jako zmienne wolne.

W każdym przypadku sensowny jest problem Kłapouchego

Problem Kłapouchego:
Zbadaj możliwości transformacji badanego układu do różnych operatorów logicznych poprzez zmianę punktu odniesienia w patrzeniu na dokładnie ten sam układ fizyczny.

Przykład:
Dla kobiety sensowna jest dziedzina minimalna:
C - człowiek (zbiór wszystkich ludzi)
Dla dziedziny minimalnej C mamy równoważność:
Człowiek wtedy i tylko wtedy gdy kobieta lub mężczyzna
C<=>K+M
Każda równoważność to tożsamość stąd:
C = K+M

Jednak równie sensowne dziedziny dla kobiety to:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
ZWK - zbiór wszystkich kręgowców
itp.
Oczywistym jest, że przynależność kobiety do danej dziedziny zależy od problemu nad którym w danej chwili pracujemy.

Twierdzenie Kłapouchego:
Dowolnie rozbudowany układ żarówka-przyciski zbudowany ze skończonej liczby elementów da się transformować do równoważności opisując równaniem logicznym wszystkie zmienne układu (zero zmiennych wolnych)

Twierdzenie o transformacji układów minimalnych żarówka-przyciski:
Układ implikacji odwrotnej |~> da się transformować wyłącznie do równoważności <=>
Układ implikacji prostej |=> da się transformować wyłącznie do równoważności <=>
Układ operatora chaosu |~~> da się transformować do równoważności <=> lub do operatora implikacji odwrotnej |~>.


10.1 Schematy ideowe operatorów logicznych

Narysujmy na początek wszystkie schematy operatorów logicznych.

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1 =1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                                   C
                                 ______
                            -----o    o-----
             S              |      A       |
       -------------        |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------------o    o-----
  |    -------------                       |
  |                                        |
______                                     |
 ___    U (źródło napięcia)                |
  |                                        |
  |                                        |
  ------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: C
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej C
podłączonej równolegle do przycisku A


Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C
Istotą operatora chaosu A|~~>S są dwie zmienne wolne B i C.
Zmienna wolna B jest połączona szeregowo z przyciskiem A
Zmienna wolna C jest połączona równolegle z przyciskiem B


10.2 Transformacja implikacji odwrotnej |~> do równoważności <=>

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.


W równoważności wszystkie zmienne muszą być zmiennymi związanymi.
Stąd:
Funkcja logiczna Y wszystkich zmiennych związanych dla schematu S1 to:
Y=A*B - bo przyciski A i B połączone są szeregowo

Schemat ideowy równoważności zbudowany na bazie schematu S1 to:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A*B<=>S w zdarzeniach:
A*B<=>S=(A1: A*B=>S)*(B1: A*B~>S)=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


10.3 Transformacja implikacji prostej |=> do równoważności <=>

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                                   B
                                 ______
                            -----o    o-----
             S              |      A       |
       -------------        |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------------o    o-----
  |    -------------                       |
  |                                        |
______                                     |
 ___    U (źródło napięcia)                |
  |                                        |
  |                                        |
  ------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

W równoważności wszystkie zmienne muszą być zmiennymi związanymi.
Stąd:
Funkcja logiczna Y wszystkich zmiennych związanych dla schematu S2 to:
Y=A+B - bo przyciski A i B połączone są równolegle

Schemat ideowy równoważności zbudowany na bazie schematu S2 to:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności (A+B)<=>S w zdarzeniach:
(A+B)<=>S=(A1: (A+B)=>S)*(B1: (A+B)~>S)=1*1=1
                                   B
                                 ______
                            -----o    o-----
             S              |      A       |
       -------------        |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------------o    o-----
  |    -------------                       |
  |                                        |
______                                     |
 ___    U (źródło napięcia)                |
  |                                        |
  |                                        |
  ------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


10.4 Transformacja operatora chaosu |~~> do równoważności <=>

Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C
Istotą operatora chaosu A|~~>S są dwie zmienne wolne B i C.
Zmienna wolna B jest połączona szeregowo z przyciskiem A
Zmienna wolna C jest połączona równolegle z przyciskiem B

W równoważności wszystkie zmienne muszą być zmiennymi związanymi.
Stąd:
Funkcja logiczna Y wszystkich zmiennych związanych dla schematu S4 to:
Y=B*(A+C) - zespół przycisków równoległych (A+C) połączony jest szeregowo z B

Schemat ideowy równoważności zbudowany na bazie schematu S4 to:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności B*(A+C)<=>S w zdarzeniach:
B*(A+C)<=>S=(A1: B*(A+C)=>S)*(B1: B*(A+C)~>S)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, B, C, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


10.5 Transformacja operatora chaosu |~~> do implikacji odwrotnej |~>

Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C
Istotą operatora chaosu A|~~>S są dwie zmienne wolne B i C.
Zmienna wolna B jest połączona szeregowo z przyciskiem A
Zmienna wolna C jest połączona równolegle z przyciskiem B


Istotą operatora implikacji odwrotnej B|~>S jest zmienna wolna połączona szeregowo z przyciskiem B.
Wynika z tego że równolegle połączone przyciski C i D (C+D) musimy traktować jako zmienna wolną.
Funkcja logiczna zmiennej wolnej to:
W = A+C

Stąd mamy schemat ideowy implikacji odwrotnej B|~>S
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej B|~>S w zdarzeniach:
B|~>S=(B1: B~>S)*~(A1: B=>S)=1*~(0)=1*1=1

             S               B        W=A+C       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: B, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej B|~>S jest zmienna wolna W
połączona szeregowo z przyciskiem B


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:26, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25109
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 0:02, 11 Maj 2020    Temat postu:

Spis treści
11. Dodatek A Algebra Kubusia w pigułce 1
11.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
11.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
11.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
11.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 2
11.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
11.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 3
11.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
11.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
11.4 Prawa Prosiaczka 5
12.0 Definicja tożsamości matematycznej 5
13.0 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 6
13.1 Operator implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach 7
14.0 Operator implikacji prostej p|=>q 10
14.1 Operator implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach 11
15.0 Operator równoważności A<=>S 14
15.1 Operator równoważności A|<=>S 16
15.2 Równoważność A<=>S dla przycisku A 19
16.0 Operator chaosu A|~~>S 21



11. Dodatek A Algebra Kubusia w pigułce

11.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

11.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy tu kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

11.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

11.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

11.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

11.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

11.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


11.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

11.4 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

12.0 Definicja tożsamości matematycznej

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)


13.0 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
Operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q  =1 - Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
                 zajście p jest konieczne ~> zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: p=>q=0 musi być prawdą, stąd:
lub
A1’: p~~>~q =1 - Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 - Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
                zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
                kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem



13.1 Operator implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo.

Rozważmy fizyczną realizację operatora implikacji odwrotnej A|~>S jak niżej:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S dla naszego układu:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|~>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Na początek musimy udowodnić, iż schemat S1 rzeczywiście jest fizyczną realizacją operatora implikacji odwrotnej A|~>S o definicji:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1

Dowodzimy fałszywości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki S bowiem zmienna wolna B może być ustawiona na B=0, wtedy żarówka nie świeci się mimo włączonego przycisku A (A=1).

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S.
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1.

Podsumowując:
Układ S1 jest fizyczną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
W tym monecie wszelkie dalsze analizy matematyczne układu S1 możemy zlecić głupiemu komputerowi który dokona szczegółowej analizy w oparciu o szablon obsługi operatora implikacji odwrotnej p|~>q.

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Szablon implikacji odwrotnej A|~>S dla naszego przykładu:
Kod:

Szablon operatora implikacji odwrotnej A|~>S
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)
Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
B1:  A~> S  =1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~> świecić (S=1)
                 Wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: A=>S=0 musi być prawdą, stąd:
lub
A1’: A~~>~S =1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić (~S=1)
                 Zdarzenie możliwe gdy zmienna wolna B=0
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
B2: ~A=>~S =1 - Jeśli A nie wciśnięty ~A to na 100%=> żarówka nie świeci ~S
                ~A jest wystarczające => dla nie świecenia żarówki ~S
B2’:~A~~>S =0 - Jeśli zajdzie ~A to może ~~> zajść S
                kontrprzykład B2’ dla prawdziwego => B2 musi być fałszem

Przełóżmy otrzymany szablon na serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” (przez wszystkie możliwe przeczenia p i q) tworzących operator implikacji odwrotnej A|~>S.

Operator implikacji odwrotnej A|~>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2 jak niżej:

1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenie się żarówki S
Koniecznym bo dodatkowo musi być B=1
Zauważmy że:
A1: A=>S=0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Nie zawsze gdy wciśniemy A zaświeci się żarówka S (bo może być B=0)
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
LUB
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Jest taka możliwość (=1) gdy zmienna wolna B będzie ustawiona na B=0

2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (A=0)?

Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Przycisk A jest połączony szeregowo z żarówką (stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x)
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2:~A=>~S=1 musi być fałszem.
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zdarzenie niemożliwe (=0) bo przycisk A jest podłączony do żarówki szeregowo.

Podsumowanie:
1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić (zdanie B1) albo może ~~> się nie świecić ( zdanie A1’) - trzeciej możliwości brak.
Ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” widać tu jak na dłoni.
2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić. Oczywistość bo przycisk A jest połączony szeregowo z żarówką.


14.0 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej |=>:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie definicji warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją prostą p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Kod:

Szablon operatora implikacji prostej p|=>q
p|=>q = (A1: p=>q )*~(B1: p~> q)
Operator implikacji prostej p|=>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1:  p=> q  =1 - Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
                 p jest wystarczające => dla q
A1’: p~~>~q =0 - Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
                 kontrprzykład A1’ dla prawdziwego A1 musi być fałszem
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =1 - Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
                ~p jest konieczne ~> dla ~q na mocy prawa Kubusia
Zauważmy że:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q=0 - na mocy prawa Kubusia
Stąd kontrprzykład B2’ musi być prawdą
lub
B2’:~p~~>q =1 - Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
                Kontrprzykład B2’=1 wymuszony przez fałszywy B2:~p=>~q=0



14.1 Operator implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo.

Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|=>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Pozostaje nam udowodnić iż schemat S2 rzeczywiście jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.
Zawsze najprostsze są dowody w warunkach wystarczających => ze względu na definicję kontrprzykładu która obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego =>.

Podstawowa definicja implikacji prostej A|=>S:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1 =1
Dla B1 zastosujmy prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
Stąd mam łatwą w dowodzeniu definicję w warunkach wystarczających =>:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B3: S=>A)

Dowód iż schemat S2 jest fizyczną realizacją operatora implikacji prostej A|=>S:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x, x={0,1}
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Świecenie się żarówki S nie jest warunkiem wystarczającym => do wyciągnięcia wniosku iż przycisk A jest wciśnięty, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B (B=1)

Jak widać udowodniliśmy iż schemat S2 jest fizyczną realizacją implikacji prostej A|=>S.

Stąd mamy szablon implikacji prostej A|=>S dla naszego przykładu:
Kod:

Szablon operatora implikacji prostej A|=>S
A|=>S = (A1: A=>S )*~(B1: A~> S)
Operator implikacji prostej A|=>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A1:  A=> S  =1 - Jeśli A jest wciśnięty to na 100% => świeci żarówka S
                 Wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
A1’: A~~>~S =0 - Jeśli A jest wciśnięty to może ~~> nie świecić S (~S=1)
                 Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego A1 musi być fałszem
2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
A2: ~A~>~S =1 - Jeśli nie A (~A=1) to może ~> nie świecić żarówka S (~S=1)
                ~A=1 jest konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
Zauważmy że:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S=0 - na mocy prawa Kubusia
Stąd kontrprzykład B2’:~A~~>S=1 musi być prawdą
lub
B2’:~A~~>S =1 - Jeśli zajdzie ~A to może ~~> zajść S
                Kontrprzykład B2’=1 wymuszony przez fałszywy B2:~A=>~S=0

Wnioski:
1.
W implikacji prostej A|=>S mamy po stronie wciśniętego klawisza A (zdanie A1) mamy 100% pewność zaświecenia się żarówki o czym mówi zdanie A1.
2.
Natomiast po stronie nie wciśniętego klawisza A (zdania A2 i B2’) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) albo może ~~> się świecić (zdanie B2’) - trzeciej możliwości nie ma.
Przeanalizujmy to samo bardziej szczegółowo.

Operator implikacji prostej A|=>S musi odpowiedzieć na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty?

A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Stan zmiennej wolnej B nie ma tu znaczenia B=x, x={0,1}
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?

Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> nie świecenia się żarówki S.
Koniecznym ~> dlatego, bo dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=0
Zauważmy że:
B1: A~>S = B2:~A=>~S =0 - na mocy definicji implikacji prostej A|=>S
Dla fałszywego B2:~A=>~S=0 kontrprzykład B2’:~A~~>S=1 musi być prawdą
LUB
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe ~~> bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B (B=1).

Wnioski:
1.
W implikacji prostej A|=>S mamy po stronie wciśniętego klawisza A (zdanie A1) mamy 100% pewność zaświecenia się żarówki o czym mówi zdanie A1.
2.
Natomiast po stronie nie wciśniętego klawisza A (zdania A2 i B2’) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) albo może ~~> się świecić (zdanie B2’) - trzeciej możliwości nie ma.


15.0 Operator równoważności A<=>S

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
      I         II           III       IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Definicja operatora równoważności p|<=>q (dla I i II):
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania:
1
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
I. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
II. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~p=~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Kod:

Równoważność:                  |  Równoważność:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p*~q)
Tożsamość zdarzeń:             |  Tożsamość zdarzeń:
p=q                            #  ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
| - komentarz

p # ~p
~(~p)=p
~(p)=~p
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie zdarzenie ~p = prawdą jest że zajdzie zdarzenie p
~(~p)=p
Prawo negacji p:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie p = prawdą jest że zajdzie ~p
~(p)=~p

Uwagi:
1.
Matematycznie zachodzi:
Operator równoważności p|<=>q ## Spójnik równoważności p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Spójnik równoważności <=> w formie skróconej nazywamy równoważnością <=>
3.
Zauważmy, że udowodnienie prawdziwości jednego zdania serii Ax i jednego zdania serii Bx jest potrzebne i wystarczające dla prawdziwości wszystkich możliwych spójników równoważności.
4.
Równoważność jest przemienna, zatem dokładnie to samo możemy zapisać dla kwarty III i IV.
5.
Zauważmy, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności <=> w logice dodatniej (bo q) p<=>q i w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q:
1.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)


15.1 Operator równoważności A|<=>S

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo.

Rozważmy poniższy schemat sterowania żarówką:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją równoważności.

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)

Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
cnd

Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
A=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

1.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~A=~S
Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
S=A
Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~S=~A
Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV

15.2 Równoważność A<=>S dla przycisku A

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
Kod:

A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Operator równoważności A|<=>S musi odpowiada na dwa pytania 1 i 2

Analiza symboliczna w operatora równoważności A|<=>S.

Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź w spójnikach równoważności A<=>S na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?

Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego by żarówka świeciła się
Dowód: Nie ma szeregowej zmiennej wolnej B która mogłaby zgasić żarówkę niezależnie od A
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?

Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się.
Dowód: Nie ma równoległej zmiennej wolnej C która mogłaby zaświecić żarówkę niezależnie od A
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Zauważmy że w operatorze równoważności A|<=>S zachodzi:
Kod:

Równoważność:                   |  Równoważność:         
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)  [=] ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
Definiuje tożsamość pojęć:      | Definiuje tożsamość pojęć:
A=S                             #  ~A=~S
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S [=] ~A<=>~S

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.

Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1

Dziedzina matematyczna dla naszego układu to wszystkie możliwe zdarzenia między wciskaniem klawisza A świeceniem żarówki S bez analizy czy dane zdarzenie jest możliwe w badanym układzie.
D=A: A*S + B: A*~S + C~A*~S + D: ~A*S
Dowód iż to jest poprawna dziedzina matematyczna:
D = A*S + A*~S + ~A*~S + ~A*S = A*(S+~S) + ~A(~S+S) = A+~A =1
cnd
Dziedzina fizyczna dla naszego układu to zdarzenia fizycznie możliwe:
DF= A: A*S + C: ~A*~S

Matematycznie dla naszego przykładu spełniona jest definicja dziedziny oddzielnie dla A i oddzielnie dla S
Wszystkie możliwe zdarzenia dla A:
A+~A =D =1 - klawisz A może być wciśnięty (A=1) albo nie wciśnięty (~A=1)
A*~A =[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne.
Zwróćmy uwagę, że matematycznie zachodzi:
A # ~A
Stąd:
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że klawisz A nie jest wciśnięty (~A) = prawdą jest, że klawisz A jest wciśnięty (A)
~(~A)=A
Nie jest prawdą (~) że klawisz A jest wciśnięty (A) = prawda jest że klawisz A nie jest wciśnięty (~A)
~(A) =~A

Wszystkie możliwe zdarzenia dla S:
S+~S =D =1 - żarówka może świecić (S=1) albo nie świecić (~S=1)
S*~S =[] =0 - zdarzenia S i ~S są rozłączne.
Zwróćmy uwagę, że matematycznie zachodzi:
S # ~S
Stąd:
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~), że żarówka nie świeci (~S) = prawdą jest, że żarówka świeci (S)
~(~S)=S
Nie jest prawdą (~) ze żarówka świeci = prawdą jest, że żarówka nie świeci (~S)
~(S) =~S

16.0 Operator chaosu A|~~>S

Definicja operatora chaosu A|~~>S:[/b]
Operator chaosu A|~~>S to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: A~>S =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa operatora chaosu A|~~>S:
A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Kod:

Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|~~>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A i S muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z operatorem chaosu A|~~>S potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja operatora chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1:A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        C
                                      ______
                                   ---o    o----
                                   |           |
             S               B     |    A      |
       -------------       ______  |  ______   |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolna: B, C
Istotą operatora chaosu A|~~>S są dwie zmienne wolne B i C.
Zmienna wolna B jest połączona szeregowo z przyciskiem A
Zmienna wolna C jest połączona równolegle z przyciskiem B

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Cechy charakterystyczne operatora chaosu A|~~>S:

Tabela prawdy operatora chaosu A|~~>S to same wynikowe jedynki w analizie zdarzeniami możliwymi ~~>
Kod:

T1.
A: A~~> S= A* S=1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~~>
                    się świecić (S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=1
B: A~~>~S= A*~S=1 - Jeśli wciśnięty A (A=1) to żarówka może ~~>
                    się nie świecić (~S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=0
C:~A~~>~S=~A*~S=1 - Jeśli nie wciśnięty A (~A=1) to żarówka może ~~>
                    się nie świecić (~S=1)
                    Tak, gdy zmienna wolna B=0
D:~A~~> S=~A* S=1 - Jeśli nie wciśnięty A (~A=1) to żarówka może ~~>
                    się świecić (S=1)
                    Tak, gdy zmienne wolne: B=1 i C=1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:27, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin