Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia dla matematyków (c.d.n)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20113
Przeczytał: 18 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:53, 24 Gru 2017    Temat postu: Algebra Kubusia dla matematyków (c.d.n)

Algebra Kubusia dla matematyków

Autor: Kubuś

Wstęp:
[link widoczny dla zalogowanych]
dr. Marek Kordas napisał:

Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?

Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.

Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
.. .. ..
Powstają dwa pytania.
Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
.. .. ..
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.

Błąd ludzkości polega na tym, że źle zinterpretowano tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, usiłowano nagiąć otaczającą nas rzeczywistość do błędnych definicji podstawowych. Takie siłowe dopasowywanie musiało się skończyć katastrofą wyżej opisaną.
Nie wolno stosować zasady:
Jeśli otaczająca nas rzeczywistość nie pasuje do mojej logiki matematycznej, to tym gorzej dla rzeczywistości.
Zawartość powyższego cytatu była bezpośrednim powodem zainteresowania się logiką matematyczną Rafala3006, absolwenta elektroniki PW-wa, dla którego algebra Boole’a jest chlebem powszednim od 35 lat, głównie poprzez programowanie w języku asemblera. Po 12 latach zaciętej dyskusji narodziła się algebra Kubusia, zupełnie nowa, kompletnie nieznana ziemianom logika matematyczna, mająca 100% przełożenie na język potoczny człowieka, niezależna od jakiegokolwiek języka mówionego.
Prace nad algebrą Kubusia są doskonale udokumentowane na forum „śfinia”:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
W „Algebrze Kubusia dla matematyków” zakładam, że podstawową algebrę Boole'a w zakresie choćby minimalizacji funkcji logicznych zna każdy zawodowy matematyk.


Spis treści
1.0 Definicje podstawowe: 2
2.0 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych 3
2.1 Pełna metoda mintermów i makstermów 4
2.2 Uproszczona metoda mintermów i makstermów 7
2.3 Logika matematyczna człowieka 11
2.4 Zdanie zawsze prawdziwe 15
2.5 Algorytm działania mózgu człowieka w obsłudze operatora OR(|+) 18


1.0 Definicje podstawowe:

Układ cyfrowy:
Układ cyfrowy to obiekt fizyczny w którym występują wyłącznie dwa stany (cyfry binarne) 0 i 1

W elektronice najpopularniejsza interpretacja fizyczna stanów 0 i 1 to technika TTL gdzie cyfrom binarnym 0 i 1 odpowiadają napięcia:
1 = H (high) = 2,4-5,0V
0 = L (low) = 0,0-0,4V

Bramka logiczna:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach (p,q,r..) i tylko jednym wyjściu Y na którym pojawia się zawsze ten sam stan 0 albo 1 dla tych samych wymuszeń na wejściach (p,q,r..)

Tabela prawdy bramki logicznej:
Tabela prawdy bramki logicznej to zapis wszystkich możliwych wymuszeń na wejściach (p,q,r..) wraz z odpowiedzią na jej wyjściu Y
Tabela prawdy definiuje matematycznie dowolną bramkę logiczną.
Kod:

Przykład tabeli prawdy bramki logicznej:
   p  q  Y
A: 1  1 =1
B: 1  0 =0
C: 0  1 =0
D: 0  0 =1
Kolejność zapisanych wierszy i kolumn jest nieistotna


Pełna tabela prawdy bramki logicznej:
Pełna tabela prawdy bramki logicznej zawiera wszystkie możliwe sygnały na wejściach i wyjściu wraz z ich zaprzeczeniami.
Kod:

Przykład pełnej tabeli prawdy bramki logicznej:
   p  q ~p ~q   Y  ~Y
A: 1  1  0  0  =1  =0
B: 1  0  0  1  =0  =1
C: 0  1  1  0  =0  =1
D: 0  0  1  1  =1  =0
Kolejność zapisanych wierszy i kolumn jest nieistotna

Uzasadnienie:
Jest fizycznie niemożliwe, abyśmy znając sygnał niezanegowany p nie znali sygnału zanegowanego ~p.
Wynika to z ogólnego prawa rozpoznawalności pojęcia p.

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie i idealnej temperaturze:
t=const
W takim Wszechświecie nie istnieją pojęcia „ciepło” „zimno” bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

Definicja spójnika „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja spójnika „i”(*):
Y=1<=>p=1 i q=1 - wyłącznie linia A123
Inaczej:
Y=0 - obszar BCD123
co doskonale widać w powyższej tabeli prawdy
Obszar BCD123 to uzupełnienie tabeli prawdy dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Definicja spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja spójnika „lub”(+):
Y=1<=>p=1 lub q=1 - wyłącznie obszar ABC123
Inaczej:
Y=0 - linia D123
co doskonale widać w powyższej tabeli prawdy
Linia D123 to uzupełnienie tabeli prawdy dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.


2.0 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Matematycznie istnieją dwie równoważne metody tworzenia równań logicznych jednoznacznie opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową

Metoda mintermów:
W metodzie mintermów opisujemy wyłącznie jedynki w kompletnej tabeli zero-jedynkowej uwzględniającej wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane.
W poziomach używamy spójnika „i”(*) tworząc funkcje cząstkowe, które łączmy spójnikiem „lub”(+) dla identycznych wartości wyjścia (Y lub ~Y)
Domyślną wartością logiczną w mintermach są jedynki które możemy pominąć otrzymując jednoznaczne równanie logiczne opisujące tabelę zero-jedynkową.

Metoda mintermów tworzy równania alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Metoda makstermów:
W metodzie makstermów opisujemy wyłącznie zera w kompletnej tabeli zero-jedynkowej uwzględniającej wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane.
W poziomach używamy spójnika „lub”(+) tworząc funkcje cząstkowe, które łączmy spójnikiem „i”(*) dla identycznych wartości wyjścia (Y lub ~Y)
Domyślną wartością logiczną w makstermach są zera które możemy pominąć otrzymując jednoznaczne równanie logiczne opisujące tabelę zero-jedynkową.

Metoda makstermów tworzy równania koniunkcyjno-alternatywne (koniunkcja alternatyw) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.


2.1 Pełna metoda mintermów i makstermów

Metoda mintermów:
W metodzie mintermów otrzymujemy równania alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Rozważmy przykładową tabelę zero-jedynkową:
Kod:

Pełna tabela prawdy   |Co w minetrmach     |Funkcje cząstkowe
bramki logicznej      |oznacza             |w mintermach
   p  q ~p ~q   Y  ~Y |                    |
A: 1  1  0  0  =1  =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1  =0  =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  1  0  =0  =1 |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  1  1  =1  =0 | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5   6   a       b      c     d   e  f

Pełny opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej to układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Funkcję w logice dodatniej (bo Y) odczytujemy z tabeli mintermów ABCDdef:
1.
Y=Ya+Yd
Y = p*q + ~p*~q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Funkcję w logice ujemnej (bo ~Y) odczytujemy z tabeli mintermów ABCDdef:
2.
~Y=~Yb+~Yc
~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Zauważmy, że naszą tabelę zero-jedynkową jednoznacznie opisuje dowolne równanie wyżej, bowiem znając funkcję logiczną Y bez problemu wygenerujemy funkcję ~Y poprzez negację równania Y stronami (i odwrotnie).
Nasz przykład:
Y = (p*q)+(~p*~q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y=(~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y=p*~q + ~p*q
cnd

Metoda makstermów:
W metodzie makstermów otrzymujemy równania koniunkcyjno-alternatywne (koniunkcja alternatyw) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Rozważmy dokładnie tą samą tabelę zero-jedynkową jak w powyższym przykładzie:
Kod:

Pełna tabela prawdy   |Co w makstermach      |Funkcje cząstkowe
bramki logicznej      |oznacza               |w makstermach
   p  q ~p ~q   Y  ~Y |                      |
A: 1  1  0  0  =1  =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1  =0  =1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  1  1  0  =0  =1 | Yc=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yc= p+~q
D: 0  0  1  1  =1  =0 |~Yd=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yd= p+ q
   1  2  3  4   5   6   a       b        c     d   e  f

Pełny opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej to układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Funkcję w logice dodatniej (bo Y) odczytujemy z tabeli makstermów ABCDdef:
3.
Y=Yb*Yc
Y = (~p+q)*(p+~q)
Co matematycznie oznacza:
Y=0 <=> (~p=0 lub q=0) i (p=0 lub ~q=0)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Funkcję w logice ujemnej (bo ~Y) odczytujemy z tabeli makstermów ABCDdef:
4.
~Y=~Ya*~Yd
~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
~Y=0 <=> (~p=0 lub ~q=0) i (p=0 lub q=0)

Zauważmy, że naszą tabelę zero-jedynkową jednoznacznie opisuje dowolne równanie wyżej, bowiem znając funkcję logiczną Y bez problemu wygenerujemy funkcję ~Y poprzez negację równania Y stronami (i odwrotnie).
Nasz przykład:
Y = (~p+q)*(p+~q)
Mnożymy wielomiany:
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
Y = (p*q) + (~p*~q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
cnd

Matematyczne związki funkcji alternatywno-koniunkcyjnej z funkcją koniunkcyjno-alternatywną:
1: (Y = p*q + ~p*~q) = 3: (Y = (~p+q)*(p+~q))
oraz:
2: (~Y = p*~q + ~p*q) = 4: (~Y = (~p+~q)*(p+q))

Prawo Kukułki:
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej występuje więcej niż jedno wynikowe zero i więcej niż jedna wynikowa jedynka to dwie możliwe do zapisania funkcje alternatywno-koniunkcyjne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) mają swoje tożsame odpowiedniki w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnych.

Doskonale widać, ze prawo Kukułki będzie fałszywe jeśli w tabeli zero-jedynkowej będzie samotne wynikowe zero lub samotna wynikowa jedynka.

Przypadek 1
Samotna jedynka na wyjściu Y:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |co w mintermach    |Równanie cząstkowe
                         |oznacza            |w mintermach
   p  q ~p ~q   Y  ~Y    |                   |
A: 1  1  0  0  =1  =0    | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1  =0  =1    |                   |
C: 0  1  1  0  =0  =1    |                   |
D: 0  0  1  1  =0  =1    |                   |
   1  2  3  4   5   6    | a       b     c     d   e  f

W mintermach mamy:
Y=Ya - bo mamy samotną jedynkę na wyjściu Y
Stąd:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Oczywistym jest że równanie:
Y=p*q
nie jest równaniem alternatywno-koniunkcyjnym
cnd

Przypadek 2
Samotne zero na wyjściu Y:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |co w makstermach      |Równanie cząstkowe
                         |oznacza               |w makstermach
   p  q ~p ~q   Y  ~Y    |                      |
A: 1  1  0  0  =0  =1    | Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 | Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1  =1  =0    |                      |
C: 0  1  1  0  =1  =0    |                      |
D: 0  0  1  1  =1  =0    |                      |
   1  2  3  4   5   6    | a       b        c     d   e  f

Y=Ya - bo mamy samotne zero na wyjściu Y
Stąd:
Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=> ~p=0 lub ~q=0
Oczywistym jest, że równanie:
Y=~p+~q
nie jest równaniem koniunkcyjno-alternatywnym
cnd


2.2 Uproszczona metoda mintermów i makstermów

W uproszczonej metodzie mintermów i makstermów posługujemy się uproszczonymi definicjami bramek logicznych, gdzie uwzględniamy wyłącznie rzeczywiste sygnały dochodzące do bramki logicznej i jeden, rzeczywisty sygnał wyjściowy.
W tym przypadku przy tworzeniu równania logicznego opisującego tabelę zero-jedynkową korzystamy z praw Prosiaczka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Uproszczona metoda mintermów:

Zapiszmy uproszczoną definicję naszej bramki logicznej w logice dodatniej (bo Y) uwzględniając wyłącznie sygnały wejściowe w logice dodatniej (p, q).
Kod:

Uproszczona definicja
bramki logicznej.
   p  q   Y
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =1

Dla dowolnej uproszczonej tabeli zero-jedynkowej funkcję logiczną w mintermach (równania alternatywno-koniunkcyjne) tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Opisujemy wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej zapisując dokładnie to co widzimy, stosując w wierszach spójnik „i”(*) natomiast w pionach spójnik „lub”(+):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub D: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki w mintermach są domyśle, pomijamy je otrzymując poprawne równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące nasza tabelę
Y = A: p*q + D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1

Mając to jedno równanie z łatwością generujemy wszystkie pozostałe opisujące naszą tabelę:
1.
Y = p*q + ~p*~q
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+~q)*(p+q)
3.
Wymnażamy wielomian:
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = (~p*q) + (p*~q)
4.
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = (p+~q)*(~p+q)

Matematycznie zachodzi:
1: (Y = p*q + ~p*~q) = 4: (Y = (p+~q)*(~p+q))
oraz:
3: (~Y = ~p*q + p*~q) = 2: (~Y = (~p+~q)*(p+q))

Jak widzimy, wszystko jest tu zgodne z techniką mintermów i makstermów dla pełnego opisu bramki logicznej z uwzględnieniem sygnałów niezanegowanych (p,q,Y) i zanegowanych (~p,~q,~Y).
cnd

Uproszczona metoda makstermów:

Zapiszmy uproszczoną definicję naszej bramki logicznej w logice dodatniej (bo Y) uwzględniając wyłącznie sygnały wejściowe w logice dodatniej (p, q).
Kod:

Uproszczona definicja
bramki logicznej.
   p  q   Y
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =1

Dla dowolnej uproszczonej tabeli zero-jedynkowej funkcję logiczną w makstermach (równania koniunkcyjno-alternatywne) tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Opisujemy wynikowe zera w tabeli zero-jedynkowej zapisując dokładnie to co widzimy, stosując w wierszach spójnik „lub”(+) natomiast w pionach spójnik „i”(*):
Y=0 <=> B: (p=1 lub q=0) i C: (p=0 lub q=1)
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera:
Y=0 <=> B: (~p=0 lub q=0) i C: (p=0 lub ~q=0)
Krok 3
Zera w makstermach są domyśle, pomijamy je otrzymując poprawne równanie koniunkcyjno-alternatywne opisujące nasza tabelę
Y = B: (~p+q)* C: (p+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=> B: (~p=0 lub q=0) i C: (p=0 lub ~q=0)

Mając to jedno równanie z łatwością generujemy wszystkie pozostałe opisujące naszą tabelę:
1.
Y = (~p+q)*(p+~q)
2.
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y =p*~q + ~p*q
3.
Wymnażamy wielomiany w równaniu 1.
Y = (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
Y = (p*q) + (~p*~q)
4.
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q)

Matematycznie zachodzi:
3: (Y=p*q+~p*~q) = 1: (Y = (~p+q)*(p+~q))
oraz:
2: (~Y =p*~q + ~p*q) = 4: (~Y = (~p+~q)*(p+q))

Matematyczne związki logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
I.
Y = ~(~Y)
Podstawiając 2 i 3 mamy:
Y = p*q + ~p*~q = ~(p*~q+~p*q)
II.
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 3 mamy:
~Y=p*~q+~p*q = ~(p*q+~p*~q)

Jak widzimy, wszystko jest tu zgodne z techniką mintermów i makstermów dla pełnego opisu bramki logicznej z uwzględnieniem sygnałów niezanegowanych (p,q,Y) i zanegowanych (~p,~q,~Y).
cnd

Porównajmy otrzymane równania w mintermach i makstermach:

Mintermy:
1: (Y = p*q + ~p*~q) = 4: (Y = (p+~q)*(~p+q))
oraz:
3: (~Y = ~p*q + p*~q) = 2: (~Y = (~p+~q)*(p+q))

Makstermy:
3: (Y=p*q+~p*~q) = 1: (Y = (~p+q)*(p+~q))
oraz:
2: (~Y =p*~q + ~p*q) = 4: (~Y = (~p+~q)*(p+q))

Doskonale widać, że jest bez znaczenia w jakiej technice będziemy tworzyć równania logiczne opisujące dowolna tabelę zero-jedynkową.

Oczywistym jest, że:
1.
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej będzie mniej wynikowych jedynek to korzystniej jest zastosować technikę mintermów, bo otrzymamy prostsze równanie końcowe
2.
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej będzie mniej wynikowych zer to korzystniej jest zastosować technikę makstermów, bo otrzymamy prostsze równanie końcowe

Przykład:
Niech będzie dana bramka logiczna 3-wejściowa o następującej tabeli prawdy:
Kod:

   p  q  r  Y=?
A: 1  1  1  1
B: 1  1  0  1
C: 1  0  1  0
D: 1  0  0  1
E: 0  1  1  1
F: 0  1  0  0
G: 0  0  1  1
H: 0  0  0  1

Polecenie:
Zapisać wszystkie możliwe funkcje logiczne opisujące powyższą bramkę.

Rozwiązanie:
Doskonale widać, że mamy zdecydowanie mniej wynikowych zer, zatem korzystniej jest wybrać tu technikę makstermów.
Kod:

   p  q  r  Y=? |
A: 1  1  1  1   |
B: 1  1  0  1   |
C: 1  0  1  0   | Yc=0<=>p=1 lub q=0 lub r=1
D: 1  0  0  1   |
E: 0  1  1  1   |
F: 0  1  0  0   | Yf=0<=>p=0 lub q=1 lub r=0
G: 0  0  1  1
H: 0  0  0  1

Krok 1
W technice makstermów mamy:
Y = Yc*Yf
Y=0<=>(p=1 lub q=0 lub r=1) i (p=0 lub q=1 lub r=0)
Krok 2
Korzystając z prawa Kubusia:
(p=1) = (~p=0)
sprowadzamy wszystkie zmienne do zera:
Y=0<=>(~p=0 lub q=0 lub ~r=0) i (p=0 lub ~q=0 lub r=0)
Krok 3
Zera w technice makstermów są domyślne, pomijamy je otrzymując równanie koniunkcyjno-alternatywne opisujące naszą tabelę:
Y = (~p+q+~r)*(p+~q+r)
co matematycznie oznacza:
Y=0<=>(~p=0 lub q=0 lub ~r=0) i (p=0 lub ~q=0 lub r=0)

Mając jedno poprawne równanie opisujące naszą tabelę, ławo generujemy wszystkie pozostałe.
1.
Y = (~p+q+~r)*(p+~q+r)
2.
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=p*~q*r + ~p*q*~r
3.
Wymnażamy wielomian 1:
Y = (~p+q+~r)*(p+~q+r)
Y = ~p*p+~p*~q + ~p*r + q*p + q*~q + q*r + ~r*p + ~r*~q + ~r*r
Y = ~p*~q + ~p*r + p*q + q*r + p*~r+~q*~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
Y = (~p*~q) + (~p*r) + (p*q) + (q*r) + (p*~r)+(~q*~r)
4.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (p+q)*(p+~r)*(~p+~q)*(~q+~r)*(~p+r)*(q+r)

Matematycznie zachodzi:
1: (Y = (~p+q+~r)*(p+~q+r)) = 3: (Y = (~p*~q) + (~p*r) + (p*q) + (q*r) + (p*~r)+(~q*~r))
oraz:
2: (~Y=p*~q*r + ~p*q*~r) = 4: (~Y = (p+q)*(p+~r)*(~p+~q)*(~q+~r)*(~p+r)*(q+r))

Oczywistym jest, że w przypadku fizycznej realizacji naszej funkcji logicznej wybierzemy równanie 1 albo 2, bo są to równania najprostsze.

Związki logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
~Y = ~(Y)

W ogólnym przypadku równania 1 i 2 daje się minimalizować, nasze równania 1 i 2 wydają się być minimalne.
Nie zajmujemy się tu minimalizacją bowiem dla idei tworzenia wszystkich możliwych (czterech!) równań logicznych dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej nie ma to znaczenia.


2.3 Logika matematyczna człowieka

Logika matematyczna człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne, co w niniejszy punkcie udowodnimy na przykładzie.

Dowód:
W punkcie 2.1 posłużyliśmy zero-jedynkową definicją równoważności
Y = p<=>q
Wyprowadzając wszystkie możliwe równania logiczne w spójniach „i”(*) i „lub”(+) jakie można utworzyć z tej tabeli.

Matematyczne związki funkcji alternatywno-koniunkcyjnej z funkcją koniunkcyjno-alternatywną:
1: (Y = p*q + ~p*~q) = 3: (Y = (~p+q)*(p+~q))
oraz:
2: (~Y = p*~q + ~p*q) = 4: (~Y = (~p+~q)*(p+q))

Idealnym przykładem pozwalającym zrozumieć logikę matematyczną człowieka jest zdanie pani przedszkolanki mówiące o pójściu/nie pójściu do kina i/lub teatru.

W przypadku równoważności Y=p<=>q zdanie to przyjmuje brzmienie.
1.
Pani:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy Pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
Krok 1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
1: Y = (K*T)+(~K*~T)
Przejście do logiki ujemnej:
2.
~Y = (~K+~T)*(K+T)
Z prawej strony mamy równanie koniunkcyjno-alternatywne którego nie zrozumie najwybitniejszy nawet prof. matematyki.
Odczytujemy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro (nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)) i (pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1))

Doskonale widać, ze postać koniunkcyjno-alternatywna to masakra dla każdego człowieka, żaden człowiek nie zrozumie postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Stąd:
Definicja logiki matematycznej człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Logika matematyczna człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równania te są doskonale rozumiane przez wszystkich, od 5-cio latka po prof. matematyki.

Dowód na naszym przykładzie:
Przechodzimy z równaniem 2 do postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
~Y=(~K+~T)*(K+T)
~Y = ~K*K + ~K*T + ~T*K + ~T*T
3.
~Y = K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Oczywistym jest ze to zdanie zrozumie każdy 5-cio latek.
Kolejność wykonywania działań w naturalnej logice matematycznej człowieka:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Ta cecha logiki matematycznej człowieka zwalnia nas od używania nawiasów w powyższym zdaniu.

Wartości logiczne wszystkich możliwych zdarzeń jakie jutro mogą wystąpić zna każdy 5-cio latek!
Kod:

A: K* T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
B: K*~T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
C:~K* T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
D:~K*~T =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Zauważmy, że znajomość wszystkich faktów jakie mogą jutro wystąpić nie jest warunkiem wystarczającym do odtworzenia zdania wypowiedzianego przez panią przedszkolankę.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to przypisanie wszystkim możliwym kombinacjom przeczeń p i q wartości logicznych 0 albo 1 na podstawie wypowiedzianego zdania!
Kod:

Definicja logiki matematycznej:
          Y=?
A: p* q = x
B: p*~q = x
C:~p* q = x
D:~p*~q = x
Gdzie:
x = [0,1]

Sama znajomość wartości logicznych wszystkich możliwych przeczeń p i q nie determinuje znajomości funkcji logicznej Y.

Nasz przykład:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y=K*T + ~K*~T
… a kiedy pani skłamie?
2.
~Y=K*~T + ~K*T

Zauważmy, że dopiero zdanie wypowiedziane przez panią przedszkolankę determinuje nam funkcję logiczną Y i ~Y.
Nanieśmy to do naszej tabeli:
Kod:

Tabela prawdy równoważności K<=>T w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Analiza      |Co matematycznie  |Prawo Prosiaczka  |Zapis
symboliczna  |oznacza           |(~p=1)=(p=0)      |tożsamy
             |                  |stąd:             | K  T  Y |~K ~T ~Y
A: K* T = Ya | K=1 i  T=1<=> Ya | K=1 i T=1<=> Ya=1| 1  1  1 | 0  0  0
B: K*~T =~Yb | K=1 i ~T=1<=>~Yb | K=1 i T=0<=> Yb=0| 1  0  0 | 0  1  1
C:~K* T =~Yc |~K=1 i  T=1<=>~Yc | K=0 i T=1<=> Yc=0| 0  1  0 | 1  0  1
D:~K*~T = Yd |~K=1 i ~T=1<=> Yd | K=0 i T=0<=> Yd=1| 0  0  1 | 1  1  0
Gdzie:
Y=Ya+Yd
Y=K*T+~K*~T
~Y=Yb+Yc
~Y=K*~T+~K*T


Definicja przykładu idealnego:
Przykład idealny umożliwiający zrozumienie logiki matematycznej to przykład w którym wszystkie możliwe zdarzenia mają szansę wystąpić, zaś o zajściu tych zdarzeń decyduje wolna wola człowieka.

Przykładem idealnym jest omówiona wyżej równoważność w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Pani:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T = K*T + ~K*~T
Kod:

        Y=K*T+~K*~T ~Y=K*~T+~K*T
A: K* T  =1           =0
B: K*~T  =0           =1
C:~K* T  =0           =1
D:~K*~T  =1           =0
   1  2   3            4

W przykładzie idealnym chodzi o to że wszystkie zdarzenia ABCD12 maja szansę wystąpić, zaś o zajściu (Y=1) lub nie zajściu (Y=0) tych zdarzeń decyduje człowiek.

Przykładem nie idealnym jest dowolna równoważność nie związana w wolną wolą człowieka np. twierdzenie Pitagorasa.

Szkolna definicja równoważności:
Równoważność to wynikanie p=>q w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Przykładem spełniającym definicję równoważności może być twierdzenie Pitagorasa gdzie twierdzenia proste TP=>SK i odwrotne SK=>TP zostały udowodnione wieki temu.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP) = 1*1 =1

Twierdzenie Pitagorasa w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych:
1.
Y = TP<=>SK = A: TP*SK + C: ~TP*~SK
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (TP=1 i SK=1) lub C: (~TP=1 i ~SK=1)
Człon A mówi tu o trójkątach prostokątnych (TP=1) w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1):
A: TP*SK = 1*1 =1
Człon B mówi o trójkątach nieprostokątnych (~TP=1) w których suma kwadratów nie jest spełniona (~SK=1):
C: ~TP*~SK =1
Oczywistym jest że możemy wylosować:
Trójkąt prostokątny (TP), wtedy:
TP<=>SK = TP*(TP*SK + ~TP*~SK) = TP*TP*SK + TP*~TP*~SK = TP*SK + [] = TP*SK =1 (zbiór niepusty)
albo
Trójkąt nieprostokątny (~TP), wtedy:
TP<=>SK = ~TP*(TP*SK+~TP*~SK) = ~TP*TP*SK + ~TP*~TP*~SK = [] +~TP*~SK = ~TP*~SK =1 (zbiór niepusty)

We wszystkich równoważnościach nie związanych z wolną wolą człowieka nie da się ustawić funkcji w logice ujemnej (bo ~Y) na wartość logiczną 1.
Dowód dla twierdzenia Pitagorasa wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~Y = ~TP<=>~SK = B: TP*~SK + C: ~TP*SK
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (TP*~SK)=1 lub C: (~TP*SK)=1
Sęk w tym że w matematyce mamy:
~Y = ~TP<=>~SK = B: TP*~SK + C: ~TP*SK = [] + [] =[] =0 - zbiór pusty
Wniosek:
Przyroda martwa i matematyka nie może kłamać, czyli nie może ustawić:
~Y=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd końcowy zapis równania wyżej jest następujący:
Y=0 <=> B: (TP*~SK)=0 lub C: (~TP*SK)=0
bez możliwości ustawienia: ~Y=1

Dziedzina dowolnego równania logicznego to suma logiczna funkcji Y+~Y:
D = Y+~Y
co matematycznie oznacza;
D=1 <=> Y=1 lub ~Y=1


2.4 Zdanie zawsze prawdziwe

Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe opisane jest tabelą prawdy z samymi jedynkami w kolumnie wynikowej, przy czym ilość argumentów w zdaniu jest bez znaczenia.

I.
Jednoargumentowe zdanie zawsze prawdziwe:


Kod:

Jednoargumentowe zdanie zawsze prawdziwe
              |co w mintermach |Równania cząstkowe
              |oznacza         |w mintermach
   p ~p  Y ~Y |                |
A: 1  0  1  0 | Ya=1<=> p=1    | Ya= p
B: 0  1  1  0 | Yb=1<=>~p=1    | Yb=~p

Funkcja wyjściowa Y opisana jest równaniem algebry Boole’a:
Y = Ya+Yb
1.
Y = p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=p*~q =0
~Y=0
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0) = (Y=1)
Z prawa Prosiaczka wynika że w logice dodatniej (bo Y) możliwe jest wyłącznie ustawienie:
Y=1
Nie ma tu możliwości kłamstwa w logice dodatniej, czyli ustawienia:
Y=0

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K =1
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa (Y=1)

Ogólna definicja operatora logicznego n-argumentowego:
Dowolny operator logiczny n-argumentowy opisany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

Definicja operatora OR(|+) n-argumentowego:
1.
Y = A1+A2+… An
co matematycznie w mintermach oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=~A1*~A2* … ~An
co matematycznie w mintermach oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i ~A2=1 i … ~An=1

Ogólna definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe (dziedzina) to suma logiczna funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
D=Y+~Y =1
Przejście do logiki ujemnej (bo ~D) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~D=Y*~Y =0

Definicja:
Wszystko co jest poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym []:
[] = ~D

stąd mamy:
Definicja dziedziny:
Y+~Y = D =1
Y*~Y = [] =0

II.
Dwuargumentowe zdanie zawsze prawdziwe:


Rozważmy operator OR(|+) dwuargumentowy:
1.
Y=p+q
co matematycznie w mintermach oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie w mintermach oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Kod:

Definicja operatora OR(|+) w równiach alternatywno-koniunkcyjnych (mintermy)
gdzie wszystkie zmienne opisują jedynki w tabeli zero-jedynkowej
(sprowadzone są do jedynek)
                    |Co w mintermach    |Równania    |Po minimalizacji
                    |oznacza            |cząstkowe   |
                    |                   |w mintermach|
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                   |            |
A: 1  1  0  0  1  0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1| Ya= p* q   | Y=Ya+Yb+Yc
B: 1  0  0  1  1  0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1| Yb= p*~q   | Y=p+q
C: 0  1  1  0  1  0 | Yc=1<=>~p=1 i  q=1| Yc=~p* q   |
D: 0  0  1  1  0  1 |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1|~Yd=~p*~q   | ~Y=~p*~q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c    d   e  f

Z tabeli funkcji cząstkowych w mintermach ABCDdef odczytujemy:
1.
Y=Ya+Yb+Yc
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q)+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD125
2.
~Y=~Yd
~Y=~p*~q
co matematycznie w mintermach oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Na mocy definicji zdania zawsze prawdziwego mamy:
D=Y+~Y
Stąd zdanie zawsze prawdziwe brzmi w tym przypadku:
Y = p+q+~p*~q
Minimalizujemy:
Y = (p+q) + ~(p+q) =1
cnd

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y = K+T+~K*~T
Nie ma tu szans aby jutro pani przedszkolanka została kłamcą

III.
Trzyargumentowe zdanie zawsze prawdziwe:


Rozważmy operator OR(|+) trzyargumentowy:
1.
Y=p+q+r
co matematycznie w mintermach oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=~p*~q*~r
co matematycznie w mintermach oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r

Na mocy definicji zdania zawsze prawdziwego mamy:
D=Y+~Y
Stąd zdanie zawsze prawdziwe brzmi w tym przypadku:
Y = p+q+r + ~p*~q*~q
Minimalizujemy:
Y = (p+q+r) + ~(p+q+r) =1
cnd

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru lub do cyrku lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru i nie pójdziemy do cyrku
Y = K+T++C + ~K*~T*~C
Nie ma tu szans aby jutro pani przedszkolanka została kłamcą

etc


2.5 Algorytm działania mózgu człowieka w obsłudze operatora OR(|+)

Matematycznie:
Spójnik „i” jest tożsamy ze znaczkiem „*”, fizycznie to jest ta sama bramka „i”(*), w technice zwana bramką AND
Spójnik „lub” jest tożsamy ze znaczkiem „+”, fizycznie jest to ta sama bramka „lub”(+), w technice zwana bramką OR
Dowód w tym punkcie

Uwaga:
Poprawność wszystkich tabel zero-jedynkowych w niniejszym punkcie można udowodnić w laboratorium techniki cyfrowej

I.
Matematyczna obsługa spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):


Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K+T - logika dodania (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1<=> K=1 lub T=1

… a kiedy pani skłamie?
2.
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T - logika ujemna (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> ~K=1 i ~T=1

Znaczenie symboli:
K=1 - jutro pójdziemy do kina
(~K=1) = (K=0) - jutro nie pójdziemy do kina - na mocy prawa Prosiaczka.
T=1 - jutro pójdziemy do teatru
(~T=1)=(T=0) - jutro nie pójdziemy do teatru - na mocy prawa Prosiaczka.
Y=1 - pani dotrzyma słowa
(~Y=1)=(Y=0) - pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y) - na mocy prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
I. (K=1) = (~K=0)
Prawda w logice dodatniej (bo K) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~K)
II. (~K=1) = (K=0)
Prawda w logice ujemnej (bo ~K) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo K)

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=K+T = ~(~K*~T)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y=~(Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~K*~T = ~(K+T)

Definicja pełnego opisu dowolnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełny opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej to układ równań logicznych funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)

Matematycznie zachodzi:
Definicja dowolnego operatora logicznego = pełny opis tabeli zero-jedynkowej tego operatora

Stąd mamy:
Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
2.
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Gdzie:
1: Y=K+T # 2: ~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
1: Y=1<=>(K+T)=1 # 2: ~Y=1<=>(~K*~T)=1

Definicja znaczka różne #:
Prawdziwość dowolnej strony znaczka # wymusza fałszywość drugiej strony

Nasz przykład:
1: Y=1<=>(K+T)=1 # 2: ~Y=1<=>(~K*~T)=1
Załóżmy że zajdzie:
K=1 - pójdziemy do kina
(K=1) = (~K=0) - prawo Prosiaczka
stąd:
1: Y=1<=>(1+x)=1 # 2: ~Y=1<=> (0*x)=0
1: Y=1<=>1 # 2: ~Y=1<=>0
Prawo Prosiaczka dla prawej strony:
(~Y=1)=(Y=0)
stąd:
1: Y=1<=>1 # Y=0 <=>0
cnd
Wniosek:
Aby porównywać dwie strony znaczka # musimy korzystając z prawa Prosiaczka doprowadzić do zgodności poziomów logicznych po obu stronach tego znaczka.

Nasz przykład:
1: Y=1<=>(K+T)=1 # 2: ~Y=1<=>(~K*~T)=1
Załóżmy że zajdzie:
~K*~T=1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Prawa Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
(~T=1) = (T=0)
Stąd:
1: Y=1<=> (0+0)=0 # 2: ~Y=1<=>(1*1)=1
1: Y=1<=>0 # ~Y=1<=>1
Prawo Prosiaczka dla lewej strony:
(Y=1) = (~Y=0)
Stąd:
1: ~Y=0 <=> 0 # 2: ~Y=1<=>1
cnd
Wniosek:
Aby porównywać dwie strony znaczka # musimy korzystając z prawa Prosiaczka doprowadzić do zgodności poziomów logicznych po obu stronach tego znaczka.

Matematycznie zachodzi tu tożsamość wiedzy:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y:
Y=f(x)
~Y=~f(x)

Wróćmy do zdania 1:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy w dowolne miejsce, do kina lub do teatru
Stąd mamy równanie tożsame:
1A.
Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (K*T)=1 lub B: (K*~T)=1 lub C: (~K*T)=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
A: K*T=1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Cząstkowe funkcje logiczne w punktach A, B i C to:
A:
Ya=K*T
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> K=1 i T=1
B:
Yb=K*~T
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> K=1 i ~T=1
C:
Yc=~K*T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i i T=1

Funkcja logiczna totalna Y, tu suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc:
Y = Ya+Yb+Yc

Zapiszmy to wszystko w tabeli prawdy (w tabeli zero-jedynkowej):
Kod:

Tabela 1
Pełna tabela prawdy dla zdania Y=K+T
   K  T Y=K+T | K  T Ya=K*T K ~T Yb=K*~T ~K  T Yc=~K*T Y=Ya+Yb+Yc
A: 1  1  =1   | 1  1   =1   1  0   =0     0  1   =0     =1
B: 1  0  =1   | 1  0   =0   1  1   =1     0  0   =0     =1
C: 0  1  =1   | 0  1   =0   0  0   =0     1  1   =1     =1
D: 0  0  =0   | 0  0   =0   0  1   =0     0  0   =0     =0
   1  2   3     a  b    c   d  e    f     g  h    i      j

1.
Spójnik logiczny „lub”(+) definiuje tabela zero-jedynkowa ABCD123:
Y = K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Doskonale to widać w obszarze ABC123
Inaczej:
Y=0

Definicje funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc:

Funkcja cząstkowa Ya to definicja spójnika „i”(*) w tabeli zero-jedynkowej ABCDabc:
Ya=K*T
co matematycznie oznacza:
Ya=1 <=> K=1 i T=1
Doskonale to widać w linii Aabc
Inaczej:
Ya=0

Funkcja cząstkowa Yb to definicja spójnika „i”(*) w tabeli zero-jedynkowej ABCDdef:
Yb=K*~T
co matematycznie oznacza:
Yb=1 <=> K=1 i ~T=1
Doskonale to widać w linii Bdef
Inaczej:
Yb=0

Funkcja cząstkowa Yc to definicja spójnika „i”(*) w tabeli zero-jedynkowej ABCDghi:
Yc=~K*T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
Doskonale to widać w linii Cghi
Inaczej:
Yc=0

Funkcja totalna Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yb, Yc:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (K*T)=1 lub B: (K*~T)=1 lub C: (~K+T)=1
Inaczej:
Y=0

Matematycznie zachodzi:
Y=Ya+Yb+Yc ## Ya ## Yb ## Yc
Y=A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T ## Ya=A: K*T ## Yb=B: K*~T ## C: ~K*T
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasze równanie wyżej spełnia definicje znaczka różne na mocy definicji ## bo żadnej z tych funkcji nie da się zminimalizować tak, by była tożsama z jakąkolwiek inną funkcją oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla tabel zero-jedynkowych:
Dwie kolumny tabeli zero-jedynkowej są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

W naszej tabeli doskonale widać, że nasze funkcje logiczne Y, Ya, Yb i Yc spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##:
Y ## Ya ## Yb ## Yc

Algorytm działania mózgu człowieka w obsłudze spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (K*T)=1 lub B: (K*~T)=1 lub C: (~K+T)=1
Inaczej:
Y=0

Zauważmy że:
A:
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)

Ya=K*T
co matematycznie oznacza:
Ya=1<=> K=1 i T=1
to w tabeli prawdy dla zdania Y=K+T aktywna będzie wyłącznie linia A:
Ya=K*T=1
Pozostałe funkcje cząstkowe będą miały wartość logiczną 0:
Yb=K*~T =0
Yc=~K*T=0
Stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = 1+0+0 =:Ya
Gdzie:
=: - redukcja funkcji logicznej Y dla konkretnego przypadku:
Ya=K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)

Nasza tabela dla przypadku A będzie następująca:
Kod:

Tabela 2
Dla przypadku: Ya=K*T
   K  T Y=K+T | K  T Ya=K*T K ~T Yb=K*~T ~K  T Yc=~K*T Y=Ya+Yb+Yc
A: 1  1  =1   | 1  1   =1   1  0   =0     0  1   =0     =1
B: 1  0  =0   | 1  0   =0   1  1   =0     0  0   =0     =0
C: 0  1  =0   | 0  1   =0   0  0   =0     1  1   =0     =0
D: 0  0  =0   | 0  0   =0   0  1   =0     1  0   =0     =0
   1  2   3     a  b    c   d  e    f     g  h    i      j

Dokładnie to samo w równaniu logicznym:
Y = Ya*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Dla Ya=K*T mamy:
Y = K*T*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Y = A: (K*T)*(K*T) + B: (K*~T)*(K*T) + C: (~K*T)*(K*T)
Y = A: K*T + B: 0 + C: 0
stąd:
Y= Ya = A: K*T

B:
Jeśli jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Yb=K*~T
co matematycznie oznacza:
Yb=1<=> K=1 i ~T=1
to w tabeli prawdy dla zdania Y=K+T aktywna będzie wyłącznie linia B:
Yb=K*~T=1
Pozostałe funkcje cząstkowe będą miały wartość logiczną 0:
Ya=K*T =0
Yc=~K*T=0
Stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = 0+1+0 =:Yb
=: - redukcja funkcji logicznej Y dla konkretnego przypadku:
Yb=K*~T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
O prawdziwości zdania:
Y=K+T =1
decyduje w tym przypadku prawdziwość funkcji cząstkowej:
Yb=K*~T=1

Nasza tabela dla przypadku B będzie następująca:
Kod:

Tabela 3
Dla przypadku Yb=K*~T
   K  T Y=K+T | K  T Ya=K*T K ~T Yb=K*~T ~K  T Yc=~K*T Y=Ya+Yb+Yc
A: 1  1  =0   | 1  1   =0   1  0   =0     0  1   =0     =0
B: 1  0  =1   | 1  0   =0   1  1   =1     0  0   =0     =1
C: 0  1  =0   | 0  1   =0   0  0   =0     1  1   =0     =0
D: 0  0  =0   | 0  0   =0   0  1   =0     1  0   =0     =0
   1  2   3     a  b    c   d  e    f     g  h    i      j

Dokładnie to samo w równaniu logicznym:
Y = Yb*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Dla Yb=K*~T mamy:
Y = (K*~T)*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Y = A: (K*T)*(K*~T) + B: (K*~T)*(K*~T) + C: (~K*T)*(K*~T)
Y = A: 0 + B: K*~T + C: 0
stąd:
Y= Yb = B: K*~T

C:
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Yc=~K*T
co matematycznie oznacza:
Yc=1<=> ~K=1 i T=1
to w tabeli prawdy dla zdania Y=K+T aktywna będzie wyłącznie linia C:
Yc=~K*T=1
Pozostałe funkcje cząstkowe będą miały wartość logiczną 0:
Ya=K*T =0
Yb=K*~T=0
Stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = 0+0+1 =:Yc
Gdzie:
=: - redukcja funkcji logicznej Y dla konkretnego przypadku:
Yc=~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Nasza tabela dla przypadku C będzie następująca:
Kod:

Tabela 4
Dla przypadku: Yc=~K*T
   K  T Y=K+T | K  T Ya=K*T K ~T Yb=K*~T ~K  T Yc=~K*T Y=Ya+Yb+Yc
A: 1  1  =0   | 1  1   =0   1  0   =0     0  1   =0     =0
B: 1  0  =0   | 1  0   =0   1  1   =0     0  0   =0     =0
C: 0  1  =1   | 0  1   =0   0  0   =0     1  1   =1     =1
D: 0  0  =0   | 0  0   =0   0  1   =0     1  0   =0     =0
   1  2   3     a  b    c   d  e    f     g  h    i      j

Dokładnie to samo w równaniu logicznym:
Y = Yc*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Dla Yc=~K*T mamy:
Y = (~K*T)*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Y = A: (K*T)*(~K*T) + B: (K*~T)*(~K*T) + C: (~K*T)*(~K*T)
Y = A: 0 + B: 0 + C: ~K*T
stąd:
Y= Yc = A: ~K*T

Rozważmy ostatni możliwy przypadek:
D:
Jeśli jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Yd=~K*~T
co matematycznie oznacza:
Yd=1<=> ~K=1 i ~T=1
Tego przypadku nie ma w naszej tabeli prawdy dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Tabela 5
Dla przypadku: Yd=~K*~T
   K  T Y=K+T | K  T Ya=K*T K ~T Yb=K*~T ~K  T Yc=~K*T Y=Ya+Yb+Yc
A: 1  1  =0   | 1  1   =0   1  0   =0     0  1   =0     =0
B: 1  0  =0   | 1  0   =0   1  1   =0     0  0   =0     =0
C: 0  1  =1   | 0  1   =0   0  0   =0     1  1   =0     =0
D: 0  0  =0   | 0  0   =0   0  1   =0     1  0   =0     =0
   1  2   3     a  b    c   d  e    f     g  h    i      j

Nasze równanie spójnika „lub”(+):
Y = Ya+Yb+Yc
Przypadku Yd nie ma w tabeli spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
stąd:
Y = 0+0+0 =0
Dokładnie to samo w równaniu logicznym:
Y = Yd*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Dla Yd=~K*~T mamy:
Y = (~K*~T)*(A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T)
Y = A: (K*T)*(~K*~T) + B: (K*~T)*(~K*~T) + C: (~K*T)*(~K*~T)
Y = A: 0 + B: 0 + C: 0
stąd:
Y= 0

Algorytm działania mózgu człowieka w obsłudze spójnika „lub”(+)

Pełna definicja spójnika „lub”(+) w równaniu alternatywno=koniunkcyjnym (mintermy) gdzie wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Znaczenie:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa
Stąd mamy:
Dokładnie to samo równanie w pełnej postaci alternatywno-koniunkcyjnej gdzie wszystkie możliwe przypadki mamy opisane spójnikiem „i”(*).
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro wydarzy się dowolne z tych trzech, rozłącznych zdarzeń.
Oznaczmy:
D=(dziedzina) - wszystkie możliwe zdarzenia jakie jutro mogą się wydarzyć
Dla naszego przykładu:
D = K*T + K*~T + ~K*T + ~K*~T
Minimalizujemy:
D = K*(T+~T) + ~K*(T+~T)
D=K+~K =1
Doskonale widać że to są wszystkie możliwe zdarzenia jakie jutro mogą się wydarzyć.
cnd

Oznaczmy:
x - zdarzenie które zajdzie jutro

Nasz mózg przechowuje w pamięci równanie ogólne spójnika „lub”(+) w wersji pełnej w następującym zapisie.
Y = x*(K*T + K*~T+~K*T)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T

Mały Jaś zadaje pytania swojemu własnemu mózgowi.

Mózgu ty mój:
1.
Załóżmy że jutro i zajdzie:
x=K*T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
Y = (K*T)*(K*T + K*~T+ ~K*T) = K*T =1
Odpowiedź:
Y=1 - pani dotrzyma słowa
2.
Załóżmy że jutro zajdzie:
x=K*~T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
Y = (K*~T)*(K*T + K*~T+ ~K*T) = K*~T =1
Odpowiedź:
Y=1 - pani dotrzyma słowa
3.
Załóżmy że jutro i zajdzie:
x=~K*T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
Y = (~K*T)*(K*T + K*~T+ ~K*T) = ~K*T =1
Odpowiedź:
Y=1 - pani dotrzyma słowa
4.
Załóżmy że jutro i zajdzie:
x=~K*~T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
Y = (~K*~T)*(K*T + K*~T+ ~K*T) = 0+0+0 =0
Odpowiedź:
Y=0 - pani nie dotrzyma słowa (skłamie)

Podsumowanie:
Doskonale widać, że mózg małego Jasia działa na poziomie równań algebry Boole’a.
Wszystkie te równania można oczywiście przedstawić w rachunku zero-jedynkowym.

Weźmy jeszcze raz zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
To samo równanie w wersji pełnej:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T) =1

… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników
2.
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie zachodzi tożsamość wiedzy:
Znam funkcję Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=Y)

Wynika z tego nasz mózg może korzystać z dowolnego równania 1 albo 2 aby udzielić Jasiowi poprawnej odpowiedzi na wszystkie możliwe pytania.

Załóżmy, że nasz Jaś zadaje pytania dokładnie jak poprzednio, a jego cwany mózg korzysta z równania ~Y.

W tym przypadku mamy:
~Y=x*(~K*~T)
gdzie:
x - dowolne ze zdarzeń które może jutro wystąpić

Pani wypowiada zdanie:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T

Mały Jaś zadaje pytania swojemu własnemu mózgowi.
Równanie z którego korzysta mózg:
~Y=~K*~T

Mózgu ty mój:
1.
Załóżmy że jutro i zajdzie:
x=K*T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
~Y=(K*T)*(~K*~T) =0
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
Odpowiedź:
Y=1 - pani dotrzyma słowa
2.
Załóżmy że jutro zajdzie:
x=K*~T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
~Y = (K*~T)*(~K*~T) =0
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
Odpowiedź:
Y=1 - pani dotrzyma słowa
3.
Załóżmy że jutro i zajdzie:
x=~K*T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
~Y=(~K*T)*(~K*~T) =0
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
Odpowiedź:
Y=1 - pani dotrzyma słowa
4.
Załóżmy że jutro i zajdzie:
x=~K*~T
czy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Mózg Jasia przystępuje do obliczeń:
~Y=(~K*~T)*(~K*~T) =1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
Odpowiedź:
Y=0 - pani nie dotrzyma słowa (skłamie)

W świecie zewnętrznym, poza mózgiem Jasia, nie da się rozpoznać z którego równania korzysta jego mózg.
Z tego:
Y=K*T+K*~T+~K*T
czy może z tego:
~Y=~K*~T
Sam Jaś również nie ma o tym pojęcia, może tylko podejrzewać, że z prostszego.


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:50, 14 Sty 2018, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin