Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:39, 22 Kwi 2019    Temat postu: Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata

Algebra Kubusia
logika naszego Wszechświata

Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Szczególnie dziękuję cierpliwemu Fiklitowi za 7 letnią dyskusję, bez niego o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019

Krasnoludki rysował: Krzysztof Ducki

Wstęp:

Algebra Kubusia to siedmioczęściowa Biblia logiki matematycznej. Zalecane jest przynajmniej jednokrotne jej przeczytanie od A do Z, mimo że dla zrozumienia dowolnej jej części nie są konieczne wiadomości z innej części. Wystarczy podstawowa znajomość zasad rachunku zero-jedynkowego plus umiejętność logicznego myślenia. Po jednokrotnym przeczytaniu i zrozumieniu, algebra Kubusia redukuje się wyłącznie do rozdziału 1.0 gdzie podano wszystkie definicje i prawa algebry Kubusia (bez przykładów)

Logika matematyczna to domena człowieka, bowiem tylko on potrafi myśleć abstrakcyjnie na poziomie, który umożliwia jej zrozumienie. Tak się niestety zdarzyło iż ewidentnego losowania w operatorze chaosu p|~~>q oraz operatach implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q ziemscy matematycy nie są w stanie zobaczyć.
Wina leży tu po stronie ziemskiej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań w której nie ma poprawnych, zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i warunku koniecznego ~> bez których logika matematyczna jest bezsensem.
Algebra Kubusia w skład której wchodzą dwa podstawowe działy „Teoria zdarzeń” i „Teoria zbiorów” to spojrzenie na logikę matematyczną z zupełnie innej perspektywy niż to czyni ziemski, Klasyczny Rachunek Zdań.
Pod algebrę Kubusia podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy (w tym matematyka).
Algebra Kubusia w świecie żywym to przede wszystkim matematyczna obsługa obietnic (implikacja prosta p|=>q) i gróźb (implikacja odwrotna p|~>q).
Matematyczna obsługa obietnic i gróźb to fundament wszelkiego życia - nie jest możliwe istnienie jakiejkolwiek formy żywej która nie znałaby perfekcyjnie definicji implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.

Algebrę Kubusia dedykuję przede wszystkim młodym czytelnikom.
Pisząc ten podręcznik założyłem, że wiedza czysto matematyczna czytelnika jest na poziomie I klasy LO, czyli że młody człowiek nie wie jeszcze co kryje się pod pojęciem „logika matematyczna”.
Pisząc algebrę Kubusia starałem się, aby wyłożona wiedza podana była po równi pochyłej, od stanu zera do stanu pełnego poznania logiki matematycznej której niekwestionowanymi ekspertami są 5-cio latki, panie przedszkolanki i gospodynie domowe. Wszyscy po prostu podlegamy pod algebrę Kubusia i nie mamy żadnych szans by się z tych „sideł” uwolnić.

Każdą teorię można udoskonalać w nieskończoność, chodzi tu przede wszystkim o takie wyłożenie teorii, by była ona zrozumiała dla jak najmłodszych odbiorców. Jeśli w czasie czytania niniejszego podręcznika czytelnik spotka „schody” czyli mowę o pojęciu które nie byłoby wcześniej wyjaśnione, to proszę o sygnały.

Jak czytać algebrę Kubusia?
Praktycznie 100% definicji w temacie „logika matematyczna” występujących w algebrze Kubusia jest sprzecznych z aktualną „logiką matematyczną” ziemian zwaną Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Wynika z tego, że warunkiem koniecznym zrozumienia algebry Kubusia przez zawodowych matematyków, jest wykasowanie z ich pamięci wszelkiej wiedzy w temacie „logika matematyczna” dostępnej w Wikipedii. Wierzę, że ziemscy matematycy mają umysły otwarte na nową teorię i będą w stanie tymczasowo (na czas czytania algebry Kubusia) skasować wszystko to, czego ich uczono w ziemskich szkółkach w temacie „logika matematyczna”.
Klasycznego Rachunku Zdań nie da się uczyć na serio w I klasie LO, a dowód tego faktu jest w artykule dr. Marka Kordosa, zamieszczonym w czasopiśmie matematycznym Delta:
[link widoczny dla zalogowanych]

dr. Marek Kordos napisał:

Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu.

Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?

Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?

Powstają dwa pytania.
Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?

Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.

Ostatnie zdanie jest już nieaktualne:
Lepsza propozycja = algebra Kubusia.


Części algebry Kubusia:

Część I
Algebra Kubusia w definicjach

Część II
Rachunek zero-jedynkowy

Część III
Operatory logiczne jednoargumentowe

Część IV
Operatory logiczne dwuargumentowe

Część V
Teoria zdarzeń

Część VI
Teoria zbiorów (w trakcie pisania)

Część VII
Algebra Kubusia w języku potocznym (w trakcie pisania)

Dodatek A
Wstęp do największej rewolucji matematycznej w dziejach ludzkości

Dodatek B
Fatalna aksjomatyka logiki matematycznej ziemian


Część I
Algebra Kubusia w definicjach



Spis treści
1.0 Aksjomatyka algebry Kubusia 4
1.0.1 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego dla spójników „i”(*) i „lub”(+) 8
1.1 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” 13
1.1 Definicje elementarne w zdarzeniach 13
1.1.1 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 13
1.1.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 13
1.1.3 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 14
1.1.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 14
1.1.5 Prawo Kobry w zdarzeniach 14
1.2 Definicje elementarne w zbiorach 14
1.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 14
1.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 15
1.2.3 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 15
1.2.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 15
1.2.5 Prawo Kobry w zbiorach 15
1.3 Zdjęcie układu 15
1.3.1 Zdjęcie układu w zdarzeniach 15
1.3.2 Zdjęcie układu w zbiorach 16
1.4 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym 17
1.4.1 Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 17
1.4.2 Brak przemienności argumentów w => i ~> 17
1.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 18
1.5.1 Prawa Kubusia 20
1.5.2 Prawa Tygryska 20
1.5.3 Prawa kontrapozycji 20
1.6 Definicje operatorów logicznych w algebrze Kubusia 20
1.6.1 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q 20
1.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q 21
1.6.3 Definicja równoważności p<=>q 21
1.6.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q 22
1.7 Definicje obietnicy i groźby 22
1.7.1 Definicja obietnicy 22
1.7.2 Definicja groźby 23
1.7.3 Prawo Tygrysiątka 23
1.8 Pozostałe prawa algebry Kubusia 23
1.8.1 Prawa sfinii 23
1.8.2 Prawa przechodniości 24
1.9 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach 24
1.9 1 Definicja operatora chaosu p|~~>q 24
1.9.2 Definicja implikacji prostej p|=>q 25
1.9.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 26
1.9.4 Definicja równoważności p<=>q 27



1.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.

Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość w obrębie danej teorii. Przykładowo, studentowi informatyki nie są potrzebne wiadomości w temacie „technologia wykonania mikroprocesora” mimo że programy pisze na komputerze którego sercem jest mikroprocesor. Co więcej, aksjomatyka może być na poziomie abstrakcyjnym jeśli takie podejście ułatwia zrozumienie teorii. Przykładowo w „Teorii zdarzeń” sięgnąłem po krasnoludki znakomicie ułatwiające zrozumienie teorii młodemu człowiekowi. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym (wszystko ma swoją przyczynę) niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowa tabela szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają wszelkie prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnej:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.
Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)

Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - przedrostek „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q lub zdarzenie możliwe p~~>q
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q

Definicje elementarnych znaczków w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja negacji (~) na mocy tabeli T1
   p ~p
A: 1  0
B: 1  0
C: 0  1
D: 0  1

Po minimalizacji mamy:
Kod:

1.
Zero-jedynkowa definicja negacji (~)
   p ~p
A: 1  0
C: 0  1

Kod:

2.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

3.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1

Kod:

4.
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

5.
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Kod:

6.
Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
lub zdarzenia możliwego ~~>
   p   q p~~>q
A: 1~~>1  1
B: 1~~>0  1
C: 0~~>0  1
D: 0~~>1  1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~~>q = p*q+p*~q+~p*q+~p*~q
Dowód:
p~~>q = p*(q+~q)+~p(q+~q)=p+~p=1

Kod:

7.
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1   1
B: 1<=>0   0
C: 0<=>1   0
D: 0<=>0   1
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> p=1 i q=1 lub p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q

Kod:

8.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
   p  q p$q
A: 1$ 1  0
B: 1$ 0  1
C: 0$ 1  1
D: 0$ 0  0
Do łatwego zapamiętania:
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q


KONIEC!
W algebrze Kubusia elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.

1.0.1 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego dla spójników „i”(*) i „lub”(+)

Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego dla spójników „i”(*) i „lub”(+) to prawa niezbędne do minimalizacji dowolnie złożonych funkcji logicznych wyrażonych tymi spójnikami.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negacji
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1


Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


1.
Elementy neutralne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):

Elementem neutralnym w spójniku „”i”(*) jest 1
A: p*1 =p
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
B: p+0 =p

2.
Prawa redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*) oraz do 1 w spójniku „lub”(+)

Prawo redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*)
A: p*0 =0
Prawo redukcji zmiennych binarnych do 1 w spójniku „lub”(+)
B: p+1 =1
W ogólnym przypadku zmiennych może być dowolnie dużo i nie muszą to być te same zmienne:
p*q*r*0 =0
p+q+r+1 =1

3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:

A: p*p = p
B: p+p = p
Powyższe prawa działają dla dowolnej ilości zmiennych binarnych:
p*p*p*…*p =p
p+p+p+…+p =p

4.
Prawa definiujące dziedzinę dowolnego równania logicznego:

Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
A: D=p+~p =1
Zbiory p i ~p są rozłączne
Iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych jest zbiorem pustym []
B: ~D=p*~p=[] =0

5.
Przemienność
Argumenty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne:

A: p*q = q*p
B: p+q = q+p

6.
Łączność
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) spełniają relację łączności

A: p*(q*r) = (p*q)*r
B: p+(q+r) = (p+q)+r

7.
Prawa De Morgana:

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
A: p*q = ~(~p+~q)
Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
B: p+q = ~(~p*~q)
Wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „i”(*) to:
p*q = ~(~p+~q)
p*~q = ~(~p+q)
~p*q = ~(p+~q)
~p*~q = ~(p+q)
Wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „lub”(+) to:
p+q = ~(~p*~q)
p+~q = ~(~p*q)
~p+q = ~(p*~q)
~p+~q = ~(p*q)

8.
Definicja spójnika „lub”(+) w równaniu cząstkowym:

p+q = p*q + p*~q + ~p*q

9.
Definicja funkcji logicznej Y wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):

Funkcja logiczna Y wyrażona spójnikami „i”(+) i „lub”(+) to przyporządkowanie symbolowi Y dowolnej ilości zmiennych zanegowanych lub nie zanegowanych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Funkcja logiczna może być zapisana w logice dodatniej (bo Y):
Przykład: Y=p+q*(r+s)
albo w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykład: ~Y=a+~b*(c+~d)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Matematyczne tożsamości:
Spójnik „i”(*) = koniunkcja
Spójnik „lub”(+) = alternatywa

10.
Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:

Dowolną funkcję logiczną możemy wyłącznie dwustronnie negować
Y=f(x)
~Y=~f(x)

11.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:

Przejście z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) to dwustronna negacja funkcji logicznej Y
1.
Y=f(x)
2.
~Y=~f(x)

12.
Skrócone prawo przejścia do logiki przeciwnej:

Przykład:
Y = p*q + ~p*~q
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy
Y = (p*q)+(~p*~q)
2.
Negujemy zmienne wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
Domyślna kolejność wykonywania działań nie zmienia się:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

13.
Mnożenie wielomianów logicznych:

Zasady operowania na wielomianach logicznych są identyczne jak zasady operowania wielomianami w matematyce klasycznej.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Matematyczne tożsamości:
Spójnik „i”(*) = koniunkcja
Spójnik „lub”(+) = alternatywa

Przykład:
1.
Dana jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji):
Y = (p*q)+(~p*~q)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
3.
Przejście z funkcji koniunkcyjno-alternatywnej do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianu.
~Y=(~p+~q)*(p+q)
~Y=~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p=0
x*0 =0
stąd:
~Y=p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
4.
Przejście z funkcją 3 do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Krok 1
Uzupełniamy brakujące nawiasy
~Y = (p*~q)+(~p*q)
Krok 2
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = (~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y=(~p+q)*(p+~q)
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 2: (~p+~q)*(p+q)

Prawo Skowronka:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

1.1 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów (zdarzenie możliwe w zdarzeniach)
p~~>~q=p*~q - definicja kontrprzykładu

1.1 Definicje elementarne w zdarzeniach

1.1.1 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

1.1.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

1.1.3 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

1.1.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.1.5 Prawo Kobry w zdarzeniach

Prawo Kobry w zdarzeniach:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zakodowanego spójnikiem => lub ~> jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>


1.2 Definicje elementarne w zbiorach

1.2.1 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

1.2.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

1.2.3 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny

1.2.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.2.5 Prawo Kobry w zbiorach

Prawo Kobry w zbiorach:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zakodowanego spójnikiem => lub ~> jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>


1.3 Zdjęcie układu

1.3.1 Zdjęcie układu w zdarzeniach

Zdjęcie układu w zdarzeniach:
Zdjęciem układu w zdarzeniach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją zdarzenia możliwego ~~>

A.
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Kod:

Zdjęcie układu w zdarzeniach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0



1.3.2 Zdjęcie układu w zbiorach

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Definicja negacji zbioru:
Negacją (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Przyjmujemy dziedzinę D.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
~q=[D-q]

Zdjęcie układu opisywanego zdaniem „Jeśli p to q” definiuje tabela prawdy zdjęcia:
Kod:

Zdjęcie układu w zbiorach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q=p*q=0



1.4 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikają z rachunku zero-jedynkowego gdzie warunki te zdefiniowane są następująco.

1.4.1 Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

W obu definicjach p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Kolumny wynikowe są różne, z czego wynika różność powyższych tabel na mocy definicji:
p=>q ## p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.4.2 Brak przemienności argumentów w => i ~>

Zbadajmy przemienność argumentów w warunku wystarczającym => na gruncie rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q q=>p
A: 1  1  1    1
B: 1  0  0    1
C: 0  0  1    1
D: 0  1  1    0
   1  2  3    4
Brak tożsamości kolumn 3##4 jest dowodem formalnym
braku przemienności argumentów w warunku wystarczającym =>

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q q~>p
A: 1  1  1    1
B: 1  0  1    0
C: 0  0  1    1
D: 0  1  0    1
   1  2  3    4
Brak tożsamości kolumn 3##4 jest dowodem formalnym
braku przemienności argumentów w warunku koniecznym ~>


1.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q


Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.

1.5.1 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

1.5.2 Prawa Tygryska

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

1.5.3 Prawa kontrapozycji

Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.


1.6 Definicje operatorów logicznych w algebrze Kubusia

1.6.1 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234

1.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234

1.6.3 Definicja równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

1.6.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~> potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość zdania p~~>q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234

1.7 Definicje obietnicy i groźby

1.7.1 Definicja obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Spełnienie warunku nagrody (W=1) jest warunkiem wystarczającym => otrzymania nagrody (N=1)
Na mocy definicji dowolna obietnica to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N o definicji.
W|=>N = (W=>N)*~(W~>N) = 1*~(0) =1*1 =1
W przypadku obietnicy nic a nic nie musimy udowadniać na mocy definicji:
Obietnica = warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

1.7.2 Definicja groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Spełnienie warunku kary (W=1) jest warunkiem koniecznym ~> wykonania kary (K=1)
Na mocy definicji dowolna groźba to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K o definicji.
W|~>K = (W~>K)*~(W=>K) = 1*~(0) =1*1 =1
W przypadku groźby nic a nic nie musimy udowadniać na mocy definicji:
Groźba = warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

1.7.3 Prawo Tygrysiątka

Prawo Tygrysiątka:
Wyłącznie w obietnicach i groźbach, w prawach Tygryska i kontrapozycji czas przyszły transformuje się do czasu przeszłego.

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => otworzę parasol
P=>OP =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego bym otworzył parasol

Prawo kontrapozycji:
P=>OP = ~OP=>~P

Bez prawa Tygrysiątka:
Jeśli jutro nie otworzę parasola to na 100% => nie będzie padało
~OP=>~P =1

Z prawem Tygrysiątka:
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP=>~P =1

1.8 Pozostałe prawa algebry Kubusia

1.8.1 Prawa sfinii

I prawo śfinii:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p=>p =1
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Dla p=q mamy:
p=>p = ~p+p =1
cnd

II prawo śfinii:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>q =1
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
dla p=q mamy:
p~>p = p+~p =1
cnd

1.8.2 Prawa przechodniości

Matematyczne tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)
Dowód prawa przechodniości dla warunku wystarczającego => jest w punkcie 2.4.5

Prawo przechodniości warunku koniecznego ~>
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru r to na 100% => zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru r
(p~>q)*(q~>r) => (p~>r)


1.9 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.9 1 Definicja operatora chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Kod:

Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q


Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0

1.9.2 Definicja implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Kod:

T2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p=>  q       =1 - zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla q
B: p~~>~q= p*~q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~> ~q       =1 - zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p~>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Fałszywość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A: p=>q)*~(A: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1

1.9.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Kod:

T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~>  q       =1 - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p=> ~q       =1 - zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1

1.9.4 Definicja równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
Kod:

T1
Definicja równoważności w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
Kod:

T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q       =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie p i ~q
.. a jeśli nie zajdzie p (~p=1)?
C:~p=>~q       =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie ~p i q

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q)
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości p=q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest tożsame [=] z zaświeceniem się diody LED (q=1)

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
~p=~q <=> (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
czyli:
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest tożsame [=] z nie zaświeceniem się diody LED (~q=1)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 19:14, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 38 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:41, 22 Kwi 2019    Temat postu:

Część II
Rachunek zero-jedynkowy


Spis treści
2.0 Rachunek zero-jedynkowy 1
2.1 Definicja negacji 1
2.1.1 Prawo podwójnego przeczenia 2
2.2 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 2
2.2.1 Wykresy czasowe w logice matematycznej 3
2.2.2 Konwersja liczby binarnej na liczbę dziesiętną i odwrotnie 5
2.3 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego 8
2.4 Minimalizacja funkcji logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 15
2.4.1 Prawo przejścia do logiki przeciwnej 16
2.4.2 Mnożenie wielomianów logicznych 17
2.4.3 Kluczowe znacznie postaci alternatywno-koniunkcyjnej 18
2.4.4 Analiza zdania złożonego z języka potocznego 19
2.4.5 Przykłady minimalizacji funkcji logicznych 20
2.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych z równań logicznych 23
2.6 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych 26


2.0 Rachunek zero-jedynkowy

Rachunek zero-jedynkowy dzielimy na:
1.
Rachunek zero-jedynkowy spójników „i”(*) i „lub”(+)
2.
Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>

W niniejszej części algebry Kubusia zajmować się będziemy wyłącznie spójnikami „i”(*) i „lub”(+).


2.1 Definicja negacji
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negacji
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B


2.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)

2.2 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej (dwuwartościowej):
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmienna binarna mogąca w osi czasu przyjmować dwie wartości logiczne 1 albo 0

Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Sygnał cyfrowy = zmienna binarna
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


Oś czasu w powyższych definicjach spójników „i”(*) i „lub”(+) to dla danej zmiennej kompletna kolumna wynikowa.


2.2.1 Wykresy czasowe w logice matematycznej

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach (p,q,r,s..) i tylko jedynym wyjściu Y

Prawo Kruka:
Każdą tabelę zero-jedynkową możemy przedstawić w postaci wykresu czasowego pokazującego w osi czasu wszystkie możliwe stany na wejściach bramki logicznej oraz odpowiedzi na wyjściu Y.

Najpopularniejszą reprezentacją cyfr binarnych 1 i 0 w świecie techniki jest technika TTL gdzie cyfrom 1 i 0 odpowiadają napięcia:
1 = H (high) = 2,4-5,0V - wysoki poziom logiczny
0 = L (low) = 0,0-0,4V - niski poziom logiczny

Wykresy czasowe definiujące działanie bramki „i”(*) i bramki „lub”(+) w technice cyfrowej (logice matematycznej) są następujące.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3





Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3




Wykresy czasowe w technice cyfrowej są tym, czym w matematyce klasycznej układ kartezjański. W katalogach układów cyfrowych powszechnie stosowany jest system wykresów czasowych gdzie doskonale widać zarówno znaczenie poszczególnych sygnałów cyfrowych, jak i działanie opisywanego układu.

2.2.2 Konwersja liczby binarnej na liczbę dziesiętną i odwrotnie

Uwaga!
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy załamuje się już na układach cyfrowych średniej skali integracji: przerzutniki, liczniki, rejestry, dekodery, multipleksery, demultipleksery etc
Niniejszy rozdział należy zatem traktować jako ciekawostkę, której zadaniem jest pokazanie iż technika cyfrowa bez wykresów czasowych jest tym, czym matematyka klasyczna bez układu Kartezjańskiego.

Konwersję dowolnie długiej liczby binarnej na liczbę dziesiętną opisuje równanie:
bn… b3,b2,b1,b0 = Bn*2^n+ … + b3*2^3 + b2*2^2 + b1*2^1 + b0*2^0
Gdzie:
bn.. b3,b2,b1,b0 - uporządkowany ciąg cyfr binarnych [0,1]
bn - cyfra najstarsza
b0 - cyfra najmłodsza

Konwersję czterocyfrowej liczby binarnej DCBA na liczbę dziesiętną opisuje równanie:
DCBA = D: x*2^3 + C: x*2^2 + B: x*2^1 + A: x*2^0
Innymi słowy:
DCBA = D: x*8 + C: x*4 + B: x*2 + A: x*1
gdzie:
DCBA - cyfry binarne [0,1]

Przykład:
Zamień liczbę binarną DCBA=1001 na liczbę dziesiętną.
Rozwiązanie:
DCBA = D: 1*8 + C: 0*4 + B: 0*2 + A: 1*1 = D: 8 + C: 0 + B: 0 + A: 1 = 9 (dziesiętnie)

Równie banalna jest konwersja dowolnej liczby dziesiętnej na liczbę binarną.
Algorytm konwersji:
Liczbą dziesiętną należy stale dzielić przez 2 zapisując wartość reszty z dzielenia

Zadanie:
Zamień liczbę dziesiętną 10 na liczbę binarną
Rozwiązanie:
Kod:

10/2=5 - b0=0 - brak reszty z dzielenia
5/2 =2 - b1=1 - jest reszta z dzielenia
2/2 =1 - b2=0 - brak reszty z dzielenia
1/2 =0 - b3=1 - jest reszta z dzielenia

Stąd mamy::
10 (dziesiętnie) = b3b2b1b0 = 1010 (binarnie)

Przykład wykresu czasowego z katalogu (strona 5):
[link widoczny dla zalogowanych]


Rys. 2.3 Czterobitowy licznik dziesiętny liczący do przodu albo do tyłu z ładowaniem równoległym

Jak czytać ten wykres czasowy?
1.
Wejścia binarne do czterobitowego licznika dziesiętnego to:
DATA(DCBA)
Wyjście binarne z czterobitowego licznika dziesiętnego to:
OUTPUTS (Qd, Qc, Qb, Qa)
2.
Sygnałem CLR licznik jest zerowany
Aktywny wysoki poziom logiczny sygnalizowany jest brakiem kreski nad nazwą sygnału.
Qd=Qc=Qb=Qa =0
3.
Sygnał ~LOAD przepisuje stan wejść DCBA do licznika dziesiętnego, co widać na wyjściach Qdcba
Aktywny niski poziom logiczny sygnalizowany jest kreską nad nazwą sygnału.
Kod:

Sytuacja pokazana na wykresie:
Wejścia     |Dziesiętnie
binarnie    |
D  C  B  A  |
0  1  1  1  | 0*8+1*4+1*2+1*1 =0+4+2+1 =7
            |
Wyjścia     |
Binarnie    |
Qd Qc Qb Qa |
0  1  1  1  |  7

4.
Wraz z narastającym zboczem sygnału UP zwiększana jest zawartość licznika co widać na wykresie czasowym.
5.
Przy stanie licznika dziesiętnego 9 = 1001B generowany jest sygnał ~CO (aktywny niski poziom logiczny sygnalizowany kreską nad nazwą sygnału) trwający tyle co niski poziom sygnału UP.
Przy kolejnym narastającym zboczu sygnału UP licznik jest zerowany i kontynuowane jest liczenie do przodu od stanu 0000.
W sumie na wyjściach licznika dziesiętnego pojawiają się kolejno liczby:
Kod:

Binarnie:   |Dziesiętnie
Qd Qc Qb Qa |
0  0  0  0  |  0
0  0  0  1  |  1
0  0  1  0  |  2
0  0  1  1  |  3
0  1  0  0  |  4
0  1  0  1  |  5
0  1  1  0  |  6
0  1  1  1  |  7
1  0  0  0  |  8
1  0  0  1  |  9
0  0  0  0  |  0
0  0  0  1  |  1
itd

6.
Dalsza część wykresu pokazuje że wejściem DOWN można zmniejszać zawartość licznika (liczenie do tyłu).

Posumowanie:
Inżynier elektronik bez wykresu czasowego to matematyk klasyczny bez układu kartezjańskiego - obaj są ślepi.


2.3 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


1.
Elementy neutralne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):

Elementem neutralnym w spójniku „”i”(*) jest 1
A: p*1 =p
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
B: p+0 =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 1A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=1 mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  q  p*q
A: 1* 1  1         | 1* 1   1
B: 1* 0  0         | 1* 1   1
C: 0* 1  0         | 0* 1   0
D: 0* 0  0         | 0* 1   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym iż 1 jest elementem neutralnym w spójniku „i”(*):
p*1 =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 1B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=0 mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  q  p+q
A: 1+ 1  1         | 1+ 0   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 0   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 0   0
D: 0+ 0  0         | 0+ 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym iż 0 jest elementem neutralnym w spójniku „lub”(+):
p*0 =p

2.
Prawa redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*) oraz do 1 w spójniku „lub”(+)

Prawo redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*)
A: p*0 =0
Prawo redukcji zmiennych binarnych do 1 w spójniku „lub”(+)
B: p+1 =1
W ogólnym przypadku zmiennych może być dowolnie dużo i nie muszą to być te same zmienne:
p*q*r*0 =0
p+q+r+1 =1

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 2A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=0 mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  q  p*q
A: 1* 1  1         | 1* 0   0
B: 1* 0  0         | 1* 0   0
C: 0* 1  0         | 0* 0   0
D: 0* 0  0         | 0* 0   0
   1  2  3           4  5   6

Same zera w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa redukcji do 0 w spójniku „i”(*)
p*0 =0

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 2B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=1 mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  q  p+q
A: 1+ 1  1         | 1+ 1   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 1   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 1   1
D: 0+ 0  0         | 0+ 1   1
   1  2  3           4  5   6

Same jedynki w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa redukcji do 1 w spójniku „lub”(+)
p+1 =1

3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:

A: p*p = p
B: p+p = p
Powyższe prawa działają dla dowolnej ilości zmiennych binarnych:
p*p*p*…*p =p
p+p+p+…+p =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 3A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla p=q mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  p  p*p
A: 1* 1  1         | 1* 1   1
B: 1* 0  0         | 1* 1   1
C: 0* 1  0         | 0* 0   0
D: 0* 0  0         | 0* 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym prawa powielania/redukcji zmiennych binarnych połączonych spójnikiem „i”(*):
p*p =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 3B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla p=q mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  p  p+p
A: 1+ 1  1         | 1+ 1   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 1   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 0   0
D: 0+ 0  0         | 0+ 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym prawa powielania/redukcji zmiennych binarnych połączonych spójnikiem „lub”(+)
p+p =p

4.
Prawa definiujące dziedzinę dowolnego równania logicznego:

Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
A: D=p+~p =1
Zbiory p i ~p są rozłączne
Iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych jest zbiorem pustym []
B: ~D=p*~p=[] =0

Z 4A mamy:
Definicję zaprzeczenia zbioru (~p):
Zbiór ~p to uzupełnienie do dziedziny D dla zbioru p
~p=[D-p]

Przykład:
Zdefiniujmy pojęcia znane każdemu 5-cio latkowi:
C = człowiek
M = mężczyzna
K = kobieta
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C = M+K
Obliczamy zaprzeczenie zbioru K:
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Czyli:
nie kobieta = mężczyzna
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Stąd mamy spełnioną definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Nasz przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~K=>M) =1*1 =1
Powyższa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów:
M (zbiór mężczyzn) = ~K (zbiór nie kobiet)

Jak widzimy wszystko co wyżej jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 4A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=~p mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p ~p  p+~p
A: 1+ 1  1         | 1+ 0   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 0   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 1   1
D: 0+ 0  0         | 0+ 1   1
   1  2  3           4  5   6

Same jedynki w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa uzupełnienia do dziedziny D dla zbioru p
D = p+~p =1

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 4B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=~p mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p ~p  p*~p
A: 1* 1  1         | 1* 0   0
B: 1* 0  0         | 1* 0   0
C: 0* 1  0         | 0* 1   0
D: 0* 0  0         | 0* 1   0
   1  2  3           4  5   6

Same zera w kolumnie 6 są dowodem formalnym rozłączności zbiorów p i ~p
~D=p*~p =[] =0

5.
Przemienność
Argumenty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne:

A: p*q = q*p
B: p+q = q+p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 5A:
Kod:

Definicja spójnika |
„i”(*)             |
   p  q p*q        | q  p q*p
A: 1* 1  1         | 1* 1  1
B: 1* 0  0         | 0* 1  0
C: 0* 1  0         | 1* 0  0
D: 0* 0  0         | 0* 0  0
   1  2  3           4  5  6

Tożsamość kolumn 3=6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w spójniku „i”(*)
p*q = q*p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 5B:
Kod:

Definicja spójnika |
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | q  p q+p
A: 1  1  1         | 1+ 1  1
B: 1  0  1         | 0+ 1  1
C: 0  1  1         | 1+ 0  1
D: 0  0  0         | 0+ 0  0
   1  2  3           4  5  6

Tożsamość kolumn 3=6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w spójniku „lub”(+)
p+q = q+p

6.
Łączność
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) spełniają relację łączności

A: p*(q*r) = (p*q)*r
B: p+(q+r) = (p+q)+r

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 6A:
Kod:

   p  q  r | (q*r) p*(q*r) | (p*q) (p*q)*r
A: 1  1  1 |   1    1      |   1     1
B: 1  1  0 |   0    0      |   1     0
C: 1  0  1 |   0    0      |   0     0
D: 1  0  0 |   0    0      |   0     0
E: 0  1  1 |   1    0      |   0     0
F: 0  1  0 |   0    0      |   0     0
G: 0  0  1 |   0    0      |   0     0
H: 0  0  0 |   0    0      |   0     0
   1  2  3     4    5          6     7

Tożsamość kolumn 5=7 jest dowodem formalnym prawa łączności w spójniku „i”(*):
A: p*(q*r) = (p*q)*r

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 6B:
Kod:

   p  q  r | (q+r) p+(q+r) | (p+q) (p+q)+r
A: 1  1  1 |   1    1      |   1     1
B: 1  1  0 |   1    1      |   1     1
C: 1  0  1 |   1    1      |   1     1
D: 1  0  0 |   0    1      |   1     1
E: 0  1  1 |   1    1      |   1     1
F: 0  1  0 |   1    1      |   1     1
G: 0  0  1 |   1    1      |   0     1
H: 0  0  0 |   0    0      |   0     0
   1  2  3     4    5          6     7

Tożsamość kolumn 5=7 jest dowodem formalnym prawa łączności w spójniku „lub”(+):
B: p+(q+r) = (p+q)+r

7.
Prawa De Morgana:

I Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
A: p*q = ~(~p+~q)
II Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
B: p+q = ~(~p*~q)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 7A:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0

Kod:

Dowód I prawa De Morgana:
p*q=~(~p+~q)
Definicja spójnika |            |
„i”(*)             |            |
   p  q p*q        |~p ~q ~p+~q | ~(~p+~q)
A: 1* 1  1         | 0  0   0   |    1
B: 1* 0  0         | 0  1   1   |    0
C: 0* 1  0         | 1  0   1   |    0
D: 0* 0  0         | 1  1   1   |    0
   1  2  3           4  5   6        7

Tożsamość kolumn 3=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Uwaga:
Nazwy zmiennych wejściowych nad kolumnami 1 i 2 mogą być w dowolnych przeczeniach.
Stąd wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „i”(*) to:
p*q = ~(~p+~q)
p*~q = ~(~p+q)
~p*q = ~(p+~q)
~p*~q = ~(p+q)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 7B:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0

Kod:

Dowód II prawa De Morgana:
p+q=~(~p*~q)
Definicja spójnika |            |
„lub”(+)           |            |
   p  q p+q        |~p ~q ~p*~q | ~(~p*~q)
A: 1  1  1         | 0  0   0   |    1
B: 1  0  1         | 0  1   0   |    1
C: 0  1  1         | 1  0   0   |    1
D: 0  0  0         | 1  1   1   |    0
   1  2  3           4  5   6        7

Tożsamość kolumn 3=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Uwaga:
Nazwy zmiennych wejściowych nad kolumnami 1 i 2 mogą być w dowolnych przeczeniach.
Stąd wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „lub”(+) to:
p+q = ~(~p*~q)
p+~q = ~(~p*q)
~p+q = ~(p*~q)
~p+~q = ~(p*q)

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków:
Błędne jest twierdzenie ziemskich matematyków jakoby na mocy prawa De Morgana zbędny był jeden ze spójników „i”(*) albo „lub”(+) bowiem do dowodu czysto matematycznego prawa De Morgana potrzebujemy zarówno zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) jak i zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+).
Innymi słowy:
Prawo De Morgana nie istnieje bez znajomości zero-jedynkowych definicji obu spójników „i’(*) i „lub”(+)


2.4 Minimalizacja funkcji logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja funkcji logicznej Y wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y wyrażona spójnikami „i”(+) i „lub”(+) to przyporządkowanie symbolowi Y dowolnej ilości zmiennych zanegowanych lub nie zanegowanych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Funkcja logiczna może być zapisana w logice dodatniej (bo Y):
Przykład: Y=p+q*(r+s)
albo w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykład: ~Y=a+~b*(c+~d)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Matematyczne tożsamości:
Spójnik „i”(*) = koniunkcja
Spójnik „lub”(+) = alternatywa

Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną możemy tylko i wyłącznie dwustronnie negować:
Y=f(x)
~Y=~f(x)

Przykład:
Postać alternatywno-koniunkcyjna funkcji logicznej (alternatywa koniunkcji)
Y = p*q + ~p*~q - logika dodatnia (bo Y)
Domyślne wykonywanie działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Dowolną funkcję logiczną możemy tylko i wyłącznie negować stronami:
Nasz przykład:
~Y = ~(p*q+~p*~q) - logika ujemna (bo ~Y)

Podstawmy:
a=p*q
b=~p*~q
Stąd mamy:
~Y = ~(a+b)
Dla prawej strony korzystamy z prawa De Morgana:
~Y = ~a*~b
Odtwarzamy podstawienia:
~Y = ~(p*q)*~(~p*~q)
Znów korzystamy z prawa de Morgana dla poszczególnych członów:
~(p*q) = ~p+~q
~(~p*~q) = p+q
Stąd mamy::
~Y = (~p+~q)*(p+q)
Nasza funkcja ~Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną (koniunkcja alternatyw)

2.4.1 Prawo przejścia do logiki przeciwnej

Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną możemy wyłącznie dwustronnie negować
Y=f(x)
~Y=~f(x)
Algorytm skróconego przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Dokładnie to samo co wyżej możemy zrobić nieporównywalnie prościej korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej.

Nasz przykład:
Y = p*q + ~p*~q
Domyślna kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Krok 1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy
Y = (p*q)+(~p*~q)
Krok 2.
Negujemy zmienne wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
Domyślna kolejność wykonywania działań nie zmienia się:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Doskonale widać, że postać koniunkcyjno-alternatywną otrzymaliśmy tu bardzo prosto i błyskawicznie.

Weźmy bardziej skomplikowaną funkcję logiczną:
~Y = p+~p*q*r + ~(p*q+~r) - logika ujemna (bo ~Y)
Krok 1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
~Y = p+(~p*q*r) + ~(p*q+~r)
Krok 2.
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p*(p+~q+~r)*(p*q+~r)
Zauważmy, że jeśli mamy zanegowane wyrażenie w nawiasie:
1: ~(p*q+~r)
to w algorytmie przejścia do logiki przeciwnej wyłącznie likwidujemy przeczenie przed nawiasem - nie negujemy zmiennych w tym nawiasie.

2.4.2 Mnożenie wielomianów logicznych

Algorytm mnożenia wielomianów logicznych jest identyczny jak algorytm mnożenia wielomianów w matematyce klasycznej.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) traktujemy tu analogicznie jak znaczki mnożenia (*) i dodawania (+) z wielomianów algebraicznych, czyli mnożymy każdy człon wielomianu z każdym.
Domyślna kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy to na naszym przykładzie:
1.
Dana jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna:
Y = (p*q)+(~p*~q)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q)

Prawo Wróbelka:
Z dowolnej funkcji koniunkcyjno-alternatywnej może przejść do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów.

Przechodzimy do postaci alternatywno-koniunkcyjnej z naszą funkcją logiczną 2.
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p+ ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q +0 = p*~q + ~p*q
bo prawa algebry Kubusia:
~p*p =0
x+0 =x
Stąd mamy funkcję alternatywno-koniunkcyjną po minimalizacji:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)

Przejdźmy z równaniem 3 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)

We wszystkich czterech równaniach 1234 zmienne p, q, Y są tymi samymi zmiennymi.
Stąd mamy tożsamości matematyczne [=]:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Ziemscy matematycy znają to co wyżej w postaci prawa Skowronka.

Prawo Skowronka:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

2.4.3 Kluczowe znacznie postaci alternatywno-koniunkcyjnej

W obsłudze języka potocznego człowieka kluczowe znaczenia ma postać alternatywno-koniunkcyjna zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
Postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie zrozumie, z najwybitniejszym ziemskim matematykiem włącznie.
Udowodnimy to na przykładzie równoważności wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) którą rozpracowaliśmy w poprzednim punkcie.

Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T

Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisuje układ równań Y i ~Y:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Podstawmy zdanie pani przedszkolanki:
p=K
q=T
Stąd mamy:
1: Y=K*T+~K*~T [=] 4: Y = (~K+T)*(K+~T)
oraz:
3: ~Y=K*~T + ~K*T [=] 2: ~Y = (~K+~T)*(K+T)

Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)

Odpowiedź na pytanie kiedy pani dotrzyma słowa (Y) w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka:
1: Y=K*T + ~K*~T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Odpowiedź na pytanie kiedy pani skłamie (~Y) w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym również jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
3: ~Y=K*~T + ~K*T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zobaczmy teraz matematycznie tożsame odpowiedzi w równaniach koniunkcyjno-alternatywnych.
Kiedy pani dotrzyma słowa?
4: Y = (~K+T)*(K+~T)
Jak to przeczytać i nie zwariować?
Próbujmy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru i pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru

Horror widać jak na dłoni.
Przede wszystkim w języku potocznym nie istnieje coś takiego jak istotne tu nawiasy, a bez nich powyższe zdanie znaczy zupełnie co innego, znaczy to co niżej:
Y = ~K+T*K + ~T
Nawet gdybyśmy w języku potocznym krzyczeli że tu i tu jest nawias to i tak nie zrozumiemy kiedy pani dotrzyma jutro słowa - czarna dziura i tyle.
Dokładnie z tego powodu minimalizując zdania złożone wypowiadane przez człowieka musimy na końcu zapisać funkcję minimalną tylko i wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

2.4.4 Analiza zdania złożonego z języka potocznego

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy na basen lub do kina i do teatru
Y=B+(K*T)
… a kiedy pani skłamie?
Przejście z 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprze negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~B*(~K+~T)
Przechodzimy do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla 5-cio latka poprzez wymnożenie wielomianu
~Y = ~B*~K + ~B*~T
Stąd mamy odpowiedź:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~B*~K =1*1 =1 - nie pójdziemy na basen (~B=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
lub
~B*~T =1*1 =1 - nie pójdziemy na basen (~B=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)


2.4.5 Przykłady minimalizacji funkcji logicznych

1.
Prawo absorpcji

A: p+(p*q) =p
B: p*(p+q) =p

Jak to udowodnić bez tabeli zero-jedynkowej?

Dowód dla 1A:
Zapisujemy lewą stronę w postaci funkcji logicznej:
Y = p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(~p+~q)
Minimalizujemy:
~Y = ~p*~p + ~p*~q
~Y = ~p+~p*~q
~Y = ~p*1 + ~p*~q
~Y = ~p*(1+~q)
~Y=~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p
Stad mamy:
Y = p+(p*q) =p
cnd

Dowód dla 1B:
Zapisujemy lewa stronę w postaci funkcji logicznej:
Y = p*(p+q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+(~p*~q)
~Y = ~p*1 +~p*~q
~Y = ~p*(1+~q)
~Y=~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p
Stad mamy:
Y = p*(p+q) =p
cnd

Na zakończenie trochę trudniejszy przykład dowodzenia prawa logiki matematycznej z użyciem warunku wystarczającego => i koniecznego ~> o definicjach w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jak niżej.
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q

2.
Prawo przechodniości


Matematyczne tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
1.
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Dowód:
Zastosujmy prawo De Morgana:
a*b = ~(~a+~b)
dla lewej strony prawa przechodniości:
2.
~[~(p=>q) + ~(q=>r)] => (p=>r)

Zastosujmy ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki => i ~> na przeciwne
3.
~(p=>q) + ~(q=>r) ~> ~(p=>r)
Uwaga:
Z lewej strony 2 likwidujemy tylko negację sprzed nawiasu kwadratowego nie dotykając zawartości nawiasu kwadratowego.

Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Po zastosowaniu definicji znaczka => mamy:
4.
~(~p+q) + ~(~q+r) ~> ~(~p+r)

Prawo De Morgana:
~p+q = ~(p*~q)
stąd mamy:
5.
p*~q + q*~r ~> ~(~p+r)
Domyślna kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), => albo ~>

Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q

stąd:
6.
p*~q + q*~r + ~p+r
Uporządkujmy to wyrażenie logiczne grupując wspólne symbole (p i r):
7.
(p*~q + ~p) + (q*~r+r)

Podstawmy:
w=(p*~q)+~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~w) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~w = (~p+q)*p = p*~p + p*q
~w=p*q
Powrót do logiki dodatniej:
w=~p+~q

Podobnie podstawmy:
z=(q*~r) + r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~z = (~q+r)*~r = ~q*~r + r*~r
~z = ~q*~r
Powrót do logiki dodatniej:
z = q+r

Stąd:
8.
(p*~q + ~p) + (q*~r+r) = ~p+~q+q+r = ~p+1+r =1
bo:
~q+q=1
1+x =1
cnd

Dowód tożsamy otrzymamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego, gdzie zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są następujące.

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q


Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q  r |(p=>q) (q=>r) (p=>q)*(q=>r) (p=>r) (p=>q)*(q=>r)=>(p=>r)
A: 1  1  1 |  1      1          1         1                 1
B: 1  1  0 |  1      0          0         0                 1
C: 1  0  1 |  0      1          0         1                 1
D: 1  0  0 |  0      1          0         0                 1
E: 0  1  1 |  1      1          1         1                 1
F: 0  1  0 |  1      0          0         1                 1
G: 0  0  1 |  1      1          1         1                 1
H: 0  0  0 |  1      1          1         1                 1
   1  2  3    4      5          6         7                 8

Same jedynki w kolumnie 8 są dowodem poprawności prawa przechodniości warunku wystarczającego =>:
(p=>q)*(q=>r)=>(p=>r)


2.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych z równań logicznych

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1


Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


Weźmy układ równań logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisujący równoważność p<=>q który niedawno wyprowadziliśmy:

Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisuje układ równań Y i ~Y:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 2: Y = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

W tabeli zero jedynkowej musimy uwzględnić wszystkie sygnały widniejące w równaniu logicznym.
W naszym równaniu mamy dwa sygnały wejściowe p i q, zatem tabela prawdy wszystkich możliwych zdarzeń będzie czterowierszowa.

I.
Rozważmy na początek funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y):

1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y = (~p+q)*(p+~q)

Kod:

T1
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
1: Y=p*q+~p*~q
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q | p*q ~p*~q Y=p*q+~p*~q
A: 1  1  0  0 |  1    0    1
B: 1  0  0  1 |  0    0    0
C: 0  1  1  0 |  0    0    0
D: 0  0  1  1 |  0    1    1
   1  2  3  4    5    6    7

Otrzymana finalnie tabela zero-jedynkowa ABCD127 to zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
   p  q  Y=p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1  1      1
B: 1  0      0
C: 0  1      0
D: 0  0      1


Kod:

T2
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
2: Y=(~p+q)*(p+~q)
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q |~p+q  p+~q Y=(~p+q)*(p+~q)
A: 1  1  0  0 |  1    1    1
B: 1  0  0  1 |  0    1    0
C: 0  1  1  0 |  1    0    0
D: 0  0  1  1 |  1    1    1
   1  2  3  4    5    6    7

Otrzymana finalnie tabela zero-jedynkowa ABCD127 to zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
   p   q  Y=p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
A: 1<=>1      1
B: 1<=>0      0
C: 0<=>1      0
D: 0<=>0      1


Tożsamość kolumn zero-jedynkowych w tabelach:
T1: 7 = T2: 7
Jest dowodem formalnym w rachunku zero-jedynkowym poprawności naszej tożsamości:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 2: Y = (~p+q)*(p+~q)

II.
Rozważmy naszą funkcję w logice ujemnej (bo ~Y):

3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

W powyższej tożsamości nie ma nigdzie sygnału Y zatem nie musimy tego sygnału uwzględniać w tabeli zero-jedynkowej, co nie oznacza że nie możemy uwzględnić.
Kod:

T3
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
3: ~Y=p*~q+~p*q
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q | p*~q ~p*q ~Y=p*~q+~p*q
A: 1  1  0  0 |  0     0    0
B: 1  0  0  1 |  1     0    1
C: 0  1  1  0 |  0     1    1
D: 0  0  1  1 |  0     0    0
   1  2  3  4    5     6    7

Otrzymana finalnie tabela zero-jedynkowa ABCD127 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) w logice ujemnej (bo ~Y):
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) w logice ujemnej (bo ~Y)
   p  q  ~Y=p$q=(~p+q)*(p+~q)
A: 1$ 1      0
B: 1$ 0      1
C: 0$ 1      1
D: 0$ 0      0

Kod:

T4
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
4: ~Y=(~p+~q)*(p+q)
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q |~p+~q  p+q ~Y=(~p+~q)*(p+q)
A: 1  1  0  0 |  0     1    0
B: 1  0  0  1 |  1     1    1
C: 0  1  1  0 |  1     1    1
D: 0  0  1  1 |  1     0    0
   1  2  3  4    5     6    7



2.6 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

Rozważmy zero-jedynkową definicję równoważności:
Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Y=p<=>q
   p  q  Y
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  1

Z prawa rozpoznawalności pojęcia p wynika, że powyższą tabelę musimy uzupełnić o sygnały zanegowane.
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności Y=p<=>q
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?
A: 1  1  0  0   1    0
B: 1  0  0  1   0    1
C: 0  1  1  0   0    1
D: 0  0  1  1   1    0


Prawo Jeża:
Dowolną, pełną tabelę zero-jedynkową zawierającą wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane możemy opisać w logice jedynek albo w logice zer.

Logika jedynek:
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki w pełnej tabeli zero-jedynkowej stosując w poziomie spójnik „i”(*) zaś w pionie spójnik „lub”(+).

Logika zer:
W logice zer opisujemy wyłącznie zera w pełnej tabeli zero-jedynkowej stosując w poziomie spójnik „lub”(+) zaś w pionie spójnik „i”(*).

Zobaczmy to na przykładzie pełnej tabeli równoważności:

I.
Logika jedynek

Kod:

T3
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności Y=p<=>q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki w tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela           |Co w logice         |Równania
równoważności Y=p<=>q  |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?|                    |
A: 1  1  0  0   1    0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   0    1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   0    1 |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   1    0 | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5    6   a       b      c     d   e  f

Definicja operatora równoważności opisanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator równoważności opisany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) tu układ równań logicznych Y i ~Y

W tabeli równań cząstkowych ABCDdef w pionie stosujemy spójnik „lub”(+).
1.
Y=Ya+Yd
Po rozwinięciu mamy:
1: Y = A: p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> A: p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
2: ~Y= B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

II.
Logika zer

Kod:

T3
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności Y=p<=>q w logice zer
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice zer opisujemy wyłącznie zera w tabeli zero-jedynkowej.
W poziomie stosujemy spójnik „lub”(+), zaś w pionie spójnik „i”(*)
Pełna tabela           |Co w logice           |Równania
równoważności Y=p<=>q  |jedynek oznacza       |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?|                      |
A: 1  1  0  0   1    0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1   0    1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  1  1  0   0    1 | Yc=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yc= p+~q
D: 0  0  1  1   1    0 |~Yd=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yd= p+ q
   1  2  3  4   5    6   a       b        c     d   e  f

Definicja operatora równoważności opisanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator równoważności opisany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) tu układ równań logicznych Y i ~Y

W tabeli równań cząstkowych ABCDdef w pionie stosujemy spójnik „i”(*).
3.
Y=Yb*Yc
Po rozwinięciu mamy:
3: Y = B: (~p+q)* C: (p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> B: (~p=0 lub ~q=0) i C: (p=0 lub ~q=0)
4.
~Y=~Ya*~Yd
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = A: (~p+~q) * D: (p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> A: (~p=0 lub ~q=0) i D: (p=0 lub q=0)

Wniosek:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek uzyskujemy równania alternatywno-koniunkcyjne, natomiast w logice zer otrzymujemy równania koniunkcyjno-alternatywne.

W logice jedynek i w logice zer mamy do czynienia z tymi samymi zmiennymi [p, q, Y].

Stąd zapisujemy tożsamości matematyczne:
1: Y = A: p*q + D: ~p*~q [=] 3: Y = B: (~p+q)* C: (p+~q)
2: ~Y= B: p*~q + C: ~p*q [=] 4: ~Y = A: (~p+~q) * D: (p+q)

Doskonale tu widać, dlaczego w przełożeniu na język potoczny wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne są zrozumiałe dla każdego człowieka.

Zauważmy że w logice zer w linii A mamy:
Kod:

   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?|                      |
A: 1  1  0  0   1    0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
   1  2  3  4   5    6   a       b        c     d   e  f

W naturalnej logice matematycznej człowieka widzimy że:
~Ya=0 <=> ~p=0 i ~q=0
Tymczasem w Aabc mamy spójnik „lub”(+) a nie spójnik „i”(*) jakby to wynikało z naturalnej logiki matematycznej człowieka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 12:21, 01 Maj 2019, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:43, 22 Kwi 2019    Temat postu:

Część III
Operatory logiczne jednoargumentowe



Spis treści
3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe 1
3.1 Definicja negatora 1
3.1.1 Prawo podwójnego przeczenia 2
3.2 Prawa Prosiaczka 2
3.3 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 4
3.5 Operatory logiczne jednoargumentowe 5
3.5.1 Operator transmisji 5
3.5.2 Operator negacji 7
3.5.3 Operator chaosu 8
3.5.4 Operator śmierci 9



3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Interpretacja 1 i 0 w algebrze Kubusia:
1 = prawda (tak)
0 = fałsz (nie)

Matematyczny związek prawdy i fałszu:
1=~(0) - prawda nie może (~) istnieć bez fałszu
0=~(1) - fałsz nie może istnieć (~) bez prawdy
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Podobne aksjomaty binarne obowiązujące w naszym Wszechświecie:
D=~(Z) - dobro nie może (~) istnieć bez zła
Z=~(D) - zło nie może (~) istnieć bez dobra
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Z = ~(S) - Życie nie może (~) istnieć bez śmierci
S = ~(Z) - Śmierć nie może (~) istnieć bez życia
Bo zabraknie punktu odniesienia.
etc


3.1 Definicja negatora
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B

3.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)


3.2 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wynikają z definicji negatora (~):
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2


I Prawo Prosiaczka:
Linia A12
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K) = Fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie (~K)

II Prawo Prosiaczka:
Linia B12
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K) = Fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a Y i ~Y opisujących tą tabelę (i odwrotnie)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO:

I prawo Prosiaczka:

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

II prawo Prosiaczka:

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

3.3 Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Skorzystajmy w definicji negatora z praw Prosiaczka.
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   p ~p            |                    |                |         |
A: 1  0            |( p=1)*(~p=0)       |( p=1)*( p=1)   |( p=1)   | p
B: 0  1            |( p=0)*(~p=1)       |(~p=1)*(~p=1)   |(~p=1)   |~p
   1  2               3      4             5      6         7        8

W AB7 skorzystano z prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*p=p
Z AB78 mamy w pionie prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1
Warunek wystarczający p=>~p zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego pojęć p i ~p.
A78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie p (p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1)
p=>~p=1
B78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie p (p=1)
~p=>p=1

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.


3.4 Funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja funkcji logicznej jednej zmiennej binarnej:
Funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p

Z definicji wynika, że możliwe jest cztery i tylko cztery różnych na mocy definicji funkcji logicznych jednoargumentowych.
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji odpowiedzi na wyjściu Y.

Kod:

T1
Wszystkie możliwe funkcje logiczne jednoargumentowe
w logice dodatniej (bo Y)
   p   Y  Y  Y  Y
A: 1   1  0  1  0
B: 0   0  1  1  0
   p   1  2  3  4

W powyższej tabeli prawdy mamy jedną zmienną binarną p na wejściu układu cyfrowego i jedną zmienną binarną Y na wyjściu tego układu.

3.5 Operatory logiczne jednoargumentowe

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w tabeli T1 były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T2
Tabela prawdy wszystkich możliwych funkcji logicznych jednoargumentowych
z uwzględnieniem zmiennych w logice ujemnej (bo ~p)
        |Operator   |Operator  |Operator        |Operator
        |transmisji |negacji   |chaosu          |śmierci
   p ~p |Y=p ~Y=~p  |Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 | 1    0    | 0     1  |  1       0     |  0       1
B: 0  1 | 0    1    | 1     0  |  1       0     |  0       1
   1  2   3    4      5     6     7       8        9       0


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p)
2.
~Y=~f(p)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Funkcje logiczne różne na mocy definicji w tabeli operatorów jednoargumentowych to:
Kod:

   Operator   ## Operator ## Operator ## Operator
   transmisji ## negacji  ## chaosu   ## śmierci
A:  Y= p      ## Y=~p     ## Y=p+~p   ## Y=p*~p
B: ~Y=~p      ##~Y= p     ##~Y=p*~p   ##~Y=p+~p
    1            2           3           4

Jedną legalną operacją na dowolnej funkcji logicznej jest jej negacja stronami.
Doskonale widać, że jeśli wybierzemy dowolną funkcję logiczną z kolumny x to nie da się poprzez jej dwustronną negację uzyskać funkcji tożsamej z jakąkolwiek inną kolumną.
Przykład:
Wybieram funkcję logiczną B3:
B3: ~Y=p*~p
Poprzez dwustronną negację tej funkcji uzyskujemy funkcję logiczną A3:
A3: Y = ~(p*~q) = ~p+q = p+~q (prawo De Morgana)
Nie jest możliwe poprzez dwustronną negację funkcji B3 uzysknie funkcji tożsamej z którąkolwiek inna kolumną: 1, 2 czy też 4.

3.5.1 Operator transmisji

Kod:

Tabela prawdy operatora transmisji w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |            |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia    |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p  ~Y=~p |                |
A: 1  0 |  1     0   | Ya=1<=> p=1    | Ya= p
B: 0  1 |  0     1   |~Yb=1<=>~p=1    |~Yb=~p
   1  2    3     4   | 5       6        7   8

W operatorze transmisji zmienna wejściowa p transmitowana jest na wyjście Y bez żadnych modyfikacji co widać w tabeli prawdy - dokładnie dlatego jest to operator transmisji.

Definicja operatora transmisji to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Ya=Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice dodatniej (bo Y)
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Yb=~Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

… a kiedy pani nie dotrzyma skłamie (~Y)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.5.2 Operator negacji

Kod:

Tabela prawdy operatora negacji w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |            |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia    |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=~p ~Y=p  |                |
A: 1  0 |  0     1   |~Ya=1<=> p=1    |~Ya= p
B: 0  1 |  1     0   | Yb=1<=>~p=1    | Yb=~p
   1  2    3     4   | 5       6        7   8

W operatorze negacji na wyjście Y transmitowana jest zanegowana zmienna wejściowa p - dlatego jest to operator negacji.

Definicja operatora negacji to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Yb=Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice dodatniej (bo Y)
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2.
~Ya=~Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy pani nie dotrzyma skłamie (~Y)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.5.3 Operator chaosu

Kod:

Tabela prawdy operatora chaosu w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |                 |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia         |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p+~p  ~Y=p*~p |                |
A: 1  0 |  1        0     | Ya=1<=> p=1    | Ya= p
B: 0  1 |  1        0     | Yb=1<=>~p=1    | Yb=~p
   1  2    3        4     | 5       6        7   8

W logice jedynek w pinie (kolumna 7) stosujemy spójnik „lub”(+)

Definicja operatora chaosu to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z kolumny 7 odczytujemy:
Y=Ya+Yb
Po rozwinięciu mamy:
Y=p+~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
Wniosek:
Funkcja logiczna Y to twarda prawda:
Y=p+~p =1
której nie da się zamienić na twardy fałsz (Y=0) jakimikolwiek działaniami dostępnymi w naszym Wszechświecie.
2.
Funkcję ~Y otrzymujemy poprzez dwustronną negację funkcji 1.
~Y = ~(p+~p) = p*~p - prawo De Morgana
~Y=p*~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
Wniosek:
Funkcja logiczna ~Y to twardy fałsz:
~Y=p*~p =0
którego nie da się zamienić na twardą prawdę, czyli ustawić ~Y=1.

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) kub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa.
Oczywistym jest że pani zdrowa na umyśle nigdy takiego zdania nie wypowie bo to jest po prostu bełkot, żadna konkretna deklaracja.

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(K+~K) = K*~K - prawo De Morgana
Prawo Rachunku zero-jedynkowego:
K*~K =0
Wniosek:
Funkcja logiczna ~Y to twardy fałsz:
~Y=K*~K =0
którego nie da się ustawić na twardą prawdę, czyli ustawić na ~Y=1
Wynika z tego że cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na kłamstwo (~Y=1)

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.5.4 Operator śmierci

Kod:

Tabela prawdy operatora śmierci w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |                 |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia         |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p*~p  ~Y=p+~p |                |
A: 1  0 |  0        1     |~Ya=1<=> p=1    |~Ya= p
B: 0  1 |  0        1     |~Yb=1<=>~p=1    |~Yb=~p
   1  2    3        4     | 5       6        7   8

W logice jedynek w pinie (kolumna 7) stosujemy spójnik „lub”(+).

Definicja operatora śmierci to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z kolumny 7 odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yb
Po rozwinięciu mamy:
~Y=p+~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
Stąd mamy:
~Y = p+~p =1
Mamy tu do czynienia z twardą prawdą (=1):
~Y=p+~p=1
której nie da się ustawić na twardy fałsz (=0):
~Y=0
środkami dostępnymi w naszym Wszechświecie.

… a kiedy zajdzie Y?
Funkcję Y otrzymujemy poprzez dwustronną negację funkcji ~Y
2.
Y = ~(p+~p) = p*~p - prawo De Morgana
Y=p*~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
Stąd mamy:
Y=p*~p =0
Mamy tu do czynienia z twardym fałszem (=0):
Y=p*~p=0
którego nie da się ustawić na twardą jedynkę (=1):
Y=1
środkami dostępnymi w naszym Wszechświecie.

Związek operatora śmierci z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
K*~K =0
Stąd:
Y=K*~K =0
Wypowiadając zdanie to pani jest kłamczuchą w trybie natychmiastowym (Y=0), bowiem niemożliwe jest aby jutro dzieci jednocześnie poszły do kina (K=1) i nie poszły do kina (~K=1).
Chwilą czasową (jednocześnie) jest tu cały jutrzejszy dzień.

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(K*~K) = (K+~K) - prawo de Morgana
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
K+~K =1
stąd:
~Y = K+~K =1
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi tzn. pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) to skłamie (~Y=1).

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:44, 22 Kwi 2019    Temat postu:

Część IV
Operatory logiczne dwuargumentowe



Spis treści
4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Definicja operatora AND(p,q) 3
4.1.1 Operatory logiczne typu AND 6
4.1.2 Prawo Jastrzębia 7
4.2 Definicja operatora OR(p,q) 9
4.2.1 Definicja spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych 12
4.2.2 Operatory logiczne typu OR 14
4.2.3 Definicja obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub” 15
4.3 Aksjomatyka algebry Kubusia 18
4.3.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> zdarzeniach 22
4.3.2 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach 22
4.3.3 Definicje znaczków złożonych |~~>, |=> i |~> 23
4.4 Operatory logiczne dwuargumentowe wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 24
4.4.1 Operatory logiczne grupy I 25
4.4.2 Operatory logiczne grupy II 26
4.4.3 Operatory logiczne grupy III 27
4.4.4 Operatory logiczne grupy IV 28
4.5 Operatory logiczne wyrażone spójnikami NAND i NOR 29
4.5.1 Spójnik NAND 29
4.5.2 Spójnik NOR 29
4.5.3 Prawa De Morgana dla spójników NAND i NOR 30
4.5.4 Dlaczego żaden człowiek nie używa spójników NAND i NOR? 32



4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Definicja negatora
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B

Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wynikają z definicji negatora (~):
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2


I Prawo Prosiaczka:
Linia A12
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K) = Fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie (~K)

II Prawo Prosiaczka:
Linia B12
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K) = Fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)

Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Skorzystajmy w definicji negatora z praw Prosiaczka.
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   p ~p            |                    |                |         |
A: 1  0            |( p=1)*(~p=0)       |( p=1)*( p=1)   |( p=1)   | p
B: 0  1            |( p=0)*(~p=1)       |(~p=1)*(~p=1)   |(~p=1)   |~p
   1  2               3      4             5      6         7        8

W AB7 skorzystano z prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*p=p
Z AB78 mamy w pionie prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1
Warunek wystarczający p=>~p zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego pojęć p i ~p.
A78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie p (p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1)
p=>~p=1
B78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie p (p=1)
~p=>p=1

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

4.1 Definicja operatora AND(p,q)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1<=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1<=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Operator AND(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Matematyczne związki logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*q = ~(~p+~q)
Matematyczne związki logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y=~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Dokładnie to samo w tabeli zero-jedynkowej:
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w funkcji logicznej Y=p*q były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T1
Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+)
w funkcji logicznej Y=p*q
   p  q ~p ~q  Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q)
A: 1  1  0  0   1      0         0       1
B: 1  0  0  1   0      1         1       0
C: 0  1  1  0   0      1         1       0
D: 0  0  1  1   0      1         1       0
   1  2  3  4   5      6         7       8

Tożsamość kolumn 5=8 to dowód formalny prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn 7=6 to dowód formalny prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Definicja operatora AND(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w powyższej tabeli prawdy.

Rozważmy wewnętrzną budowę funkcji Y=p*q
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa funkcji logicznej Y=p*q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki pełnej tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela              |Co w logice         |Równania
funkcji Y=p*q             |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=p*q ~Y=? |                    |
A: 1  1  0  0   1     0   | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   0     1   |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   0     1   |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   0     1   |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5     6     a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych ABCDdef odczytujemy definicję operatora AND(p,q):
1.
Y=Ya - bo jest tylko jedna funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Po rozwinięciu mamy:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> A: p=1 i q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 2:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q

4.1.1 Operatory logiczne typu AND

W logice matematycznej istnieją cztery i tylko cztery operatory logiczne typu AND o definicjach:

I.
AND(p,q)

1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

II.
AND(p,~q)

1.
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
2.
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

III.
AND(~p,q)

1.
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1
2.
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

III.
AND(~p,~q)

1.
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1
2.
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1


4.1.2 Prawo Jastrzębia

Prawo Jastrzębia:
W dowolnym operatorze logicznym suma logiczna funkcji Y+~Y stanowi dziedzinę matematyczną którą jest zbiór zdarzeń rozłącznych (zbiorów rozłącznych) uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.

Dowód na przykładzie operatora AND(p,q) odczytujemy z równań cząstkowych w tabeli T2:
Y=A: p*q
~Y=B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Dowód iż zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne:
Iloczyn logiczny zdarzenia każdego z każdym jest zbiorem pustym o wartości logicznej równej 0
Przykład:
A: (p*q)* B: (p*~q) = [] =0
bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
q*~q =0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y+~Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p=1
cnd

Wnioski z prawa Jastrzębia:

Załóżmy że mamy operator logiczny AND(p,~q):
1.
Y=A: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p*~q) = ~p+q - prawo De Morgana

Jak wygenerować funkcję logiczną ~Y w postaci sumy zdarzeń rozłącznych bez użycia tabeli zero-jedynkowej?
Z prawa Jastrzębia wynika że funkcja logiczna ~Y to wszystkie pozostałe zdarzenia rozłączne nie występujące w funkcji logicznej Y, czyli:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q

Weźmy dwa przykłady z przedszkola

Przykład 1
Weźmy operator AND(p,q).
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawda jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Innymi słowy:
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)
Znaczenie zmiennych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)

Zauważmy, że zarówno zdanie 1 jak i zdanie 2 bez problemu zrozumie każdy 5-cio latek.
… ale weźmy przykład 2.

Przykład 2
Weźmy operator AND(p,~q)
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) ale nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K*~T) = ~K+T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1

W tym momencie mamy schody bowiem zdania 2 nie rozumie nie tylko 5-cio latek …
Jak wytłumaczyć 5-cio latkowi kiedy pani skłamie?
Oczywiście korzystając z prawa Jastrzębia.
Pani do Jasia (lat 5):
Czy wiesz kiedy jutro skłamię?
Jaś:
Nie wiem
Pani:
Skłamię wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych poza zdarzeniem Y=K*~T
Czy możesz wymienić wszystkie zdarzenia możliwe związane z moją obietnicą 1?
Jaś:
Jutro możemy:
A: K*T =1*1 =1 - iść do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - iść do kina (K=1) i nie iść do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie iść do kina (~K=1) i iść do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1 =1 - nie iść do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Hura!
Teraz rozumiem kiedy pani skłamie (`Y):
~Y= A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Innymi słowy::
Zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń i już pani skłamie (~Y=1)


4.2 Definicja operatora OR(p,q)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1<=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1<=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q =0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Operator OR(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 i ~q=1

Matematyczne związki logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(~p*~q)
Matematyczne związki logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y=~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Dokładnie to samo w tabeli zero-jedynkowej:
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w funkcji logicznej Y=p+q były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T1
Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+)
w funkcji logicznej Y=p*q
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1  1  0  0   1      0         0       1
B: 1  0  0  1   1      0         0       1
C: 0  1  1  0   1      0         0       1
D: 0  0  1  1   0      1         1       0
   1  2  3  4   5      6         7       8

Tożsamość kolumn 5=8 to dowód formalny prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn 7=6 to dowód formalny prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Definicja operatora OR(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w powyższej tabeli prawdy.

Rozważmy wewnętrzną budowę funkcji Y=p+q
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa funkcji logicznej Y=p+q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki pełnej tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela              |Co w logice         |Równania
funkcji Y=p+q             |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=? |                    |
A: 1  1  0  0   1     0   | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   1     0   | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   1     0   | Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   0     1   |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5     6     a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych ABCDdef odczytujemy definicję operatora OR(p,q):
1.
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
2.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
Po rozwinięciu mamy:
~Y= D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q

Zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q


4.2.1 Definicja spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych

Zapiszmy jeszcze raz powyższą tożsamość logiczną:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Stąd mamy:
Definicja ogólna spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Co w logice jedynek oznacza:
(p+q)=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

To jest bardzo ważna definicja którą każdy uczeń LO musi po prostu znać na pamięć:
Dlaczego?

Wszystkich możliwych operatorów logicznych typu OR jest cztery:
I. OR(p,q)
II. OR(p,~q)
III. OR(~p,q)
IV. OR(~p*~q)

Rozpiszmy dwa pierwsze:
I.
OR(p,q)

1.
Y=p+q
Definicja tożsama spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych którą musimy znać na pamięć.
p+q = p*q+p*~q+~p*q
Stąd funkcja tożsama:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
2.
~Y=~p*~q

II.
OR(p*~q)

1.
Y=p+~q
2.
~Y=~p+q

Jak wygenerować funkcję logiczną w równaniach cząstkowych tożsamą do funkcji:
1: Y=p+~q

Sposób 1.
Pamiętana definicja ogólna w spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiamy:
q=(~q)
stąd mamy:
p+(~q) = p*(~q) + p*~(~q) + ~p*(~q)
Po zdjęciu nawiasów mamy:
p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Stąd:
Y =p+~q = p*q + p*~q + ~p*~q

Sposób 2.
Dużo prostszy.
Przyjrzyjmy się definicji ogólnej spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
p i q po lewej stronie mogą być w dowolnych przeczeniach.

Algorytm generowania spójnika „lub”(+) przy dowolnie zaprzeczonych argumentach:
1.
Przepisujemy argumenty w oryginale połączone spójnikiem „i”(+):
ARG1*ARG2
2.
Dołączamy do zapisu sumę logiczną:
ARG1*~(ARG2) + ~(ARG1)*(ARG2)
Innymi słowy:
ARG1+ARG2 = ARG1*ARG2 + ARG1*~(ARG2) + ~(ARG1)*ARG2

Zobaczmy na przykładach jak to działa:
Y=p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Y=~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p+q = ~p*q + ~p*~q + p*q

Wniosek:
Pamiętanie algorytmu generowania definicji spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych jest zdecydowanie bardziej uniwersalne i prostsze niż sposób 1 czy też generowanie tabeli T2.

Przykład 1

Weźmy operator OR(p,q).
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawda jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

Uwaga:
Jeśli chcemy rozpisać wszystkie możliwe sytuacje w których pani dotrzyma słowa (Y=1) to musimy skorzystać z definicji spójnika „lub” w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Nasz przykład:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Znaczenie zmiennych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)


4.2.2 Operatory logiczne typu OR

W logice matematycznej istnieją cztery i tylko cztery operatory logiczne typu AND o definicjach:

I.
OR(p,q)

1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

II.
OR(p,~q)

1.
Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
2.
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1

III.
OR(~p,q)

1.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

III.
OR(~p,~q)

1.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1


4.2.3 Definicja obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub”

Rozważmy operator OR(~p,q):
1.
Y=~p+q
2.
~Y=p*~q

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru
Y=~K+T
Kiedy pani dotrzyma słowa?
Matematyk sobie z tym poradzi korzystając z definicji spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
Y = ~K*T + K*T + ~K*~T
Po uporządkowaniu do naszego standardu (nie musimy tego robić):
Y = A: K*T + C: ~K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1

Zauważmy, że normalnemu człowiekowi (nie matematykowi) na dźwięk zdania 1 włosy staną na głowie, czyli najchętniej posłałby panią do diabła za taki stosunek do maluchów.
Co ta pani wyprawia, przecież żaden człowiek nie wypowiada tak „bezsensownego” zdania.

Dlaczego nie wypowiada?
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Stąd zdanie tożsame do 1 brzmi:
1’
Jeśli jutro pójdziemy do kina to na 100% => pójdziemy do teatru
K=>T =1
Pójście do kina jest warunkiem wystarczającym => do tego aby dzieci poszły także do teatru.
Na mocy definicji:
Y = (K=>T) = ~K+T
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1’ stronami:
2’
~Y = ~(K=>T) = K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1).
W każdym innym przypadku pani nie (~) skłamie (~Y), czyli dotrzyma słowa (Y) bo prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania nagrody
Dowolna obietnica to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przykład:
1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera.
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona na mocy definicji.
Tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Innymi słowy:
Ojciec daje dziecku gwarancję matematyczną => że jak zda egzamin to dostanie komputera.
Jedyny przypadek kiedy ojciec skłamie (~Y=1) to sytuacja że syn zdaje egzamin i nie dostaje komputera. W każdym innym przypadku ojciec nie (~) skłamie (~Y).
~(~Y) = Y - ojciec dotrzyma słowa.
Zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (K=1) bowiem syn może dostać komputer mimo nie zdanego egzaminu
E~>K =0
Po egzaminie ojciec może powiedzieć:
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że bardzo się uczyłeś ale miałeś pecha (dostałeś trudne zadanie)
Ten przypadek to powszechnie znany w przyrodzie (także wśród zwierząt) matematyczny akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody, mimo nie spełnienia warunku nagrody (syn nie zdał egzaminu).

Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Nasz przykład:
E=>K =~E+K
… i już wiadomo dlaczego nikt przy zdrowych zmysłach nie wypowiada obietnicy w formie definicji spójnika „lub”(+).

Obietnica matematycznie tożsama do 1 wyrażona spójnikiem „lub”(+) brzmiałaby:
1’
Synku, nie zdasz egzaminu lub dostaniesz komputer
Y=~E + K
Pewne jest, że tej obietnicy żaden normalny człowiek nie zrozumie, bowiem nie ma tu w sposób jawny warunku wystarczającego =>, czyli gwarancji matematycznej => iż jeśli syn zda egzamin to na 100% => dostanie komputer - poza tym wszystko może się zdarzyć.

Znając definicję spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
z dziecinną łatwością odpowiemy na pytanie:
Kiedy ojciec dotrzyma słowa Y, czyli kiedy ojciec nie (~) skłamie ~Y
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Nasz przykład:
~E+K = ~E*K + ~E*~K + E*K
Nasza funkcja logiczna:
Y = (E=>K) = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> E=1 i K=1 lub ~E=1 i ~K=1 lub ~E=1 i K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), ze ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K=1*1 =1 - jutro dam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
lub
C: ~E*~K = 1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
lub
Matematyczny akt miłości:
D: ~E*K =1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)

Oczywistym jest, że ojciec może skorzystać z aktu miłości (przypadek D) ale nie musi tego robić.
Równie dobrze może zaistnieć sytuacja C, czyli ojciec tak może uzasadnić nie zajście przypadku D.
C.
Synku, nie zdałeś egzaminu, nie dostajesz komputera bo widziałem że kompletnie się nie uczyłeś - biegałeś za spódniczkami zamiast się uczyć.
W przypadku C syn nie dostaje komputera i kropka.

Oczywiście w jakiejś tam przyszłości syn może dostać komputer, ale ten komputer będzie miał zero wspólnego z obietnicą wypowiedziana przez ojca (E=>K).

… a kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1’ stronami:
1’.
Y=~E+K
Negujemy stronami:
~Y = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2’
~Y=E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) ze ojciec skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1

Znaczenie zmiennych binarnych:
Y = (E=>K) - ojciec dotrzyma słowa
~Y = ~(E=>K) - ojciec skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)

Doskonale widać, że wszystko jest tu zgodne z logiką matematyczną 5-cio latka z tym że:
Póki co w ziemskich przedszkolach uczą „aktu miłości”, czyli wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody w pięknych opowiadaniach i bajkach dla dzieci.
Niestety, póki co żaden ziemian nie zna matematycznego podkładu pod kwint esencję wielu bajek dla dzieci.
… ale to się wkrótce zmieni!


4.3 Aksjomatyka algebry Kubusia

Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.

Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowa tabela szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają wszelkie prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnej:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.

Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)

Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - spójnik „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q lub zdarzenie możliwe ~~>
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q

Definicje elementarnych znaczków w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja negacji (~) na mocy tabeli T1
   p ~p
A: 1  0
B: 1  0
C: 0  1
D: 0  1

Po minimalizacji mamy:
Kod:

1.
Zero-jedynkowa definicja negacji (~)
   p ~p
A: 1  0
C: 0  1

Kod:

2.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

3.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1

Kod:

4.
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

5.
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Kod:

6.
Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
lub zdarzenia możliwego ~~>
   p   q p~~>q
A: 1~~>1  1
B: 1~~>0  1
C: 0~~>0  1
D: 0~~>1  1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~~>q = p*q+p*~q+~p*q+~p*~q
Dowód:
p~~>q = p*(q+~q)+~p(q+~q)=p+~p=1

Kod:

7.
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1   1
B: 1<=>0   0
C: 0<=>1   0
D: 0<=>0   1
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> p=1 i q=1 lub p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q

Kod:

8.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
   p  q p$q
A: 1$ 1  0
B: 1$ 0  1
C: 0$ 1  1
D: 0$ 0  0
Do łatwego zapamiętania:
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q


KONIEC!
W jedynej poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia, elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.

4.3.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

4.3.2 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny


4.3.3 Definicje znaczków złożonych |~~>, |=> i |~>

Wszystkie możliwe znaczki złożone zbudowane ze znaczków elementarnych ~~>, => i ~> to:
9.
Operator chaosu p|~~>q:

Operator chaosu p|~~>q to spełniona definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe) oraz nie spełnione (=0) definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p~~>q = p*q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów p i q
p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) =1*1 =1
10.
Operator implikacji prostej p|=>q:

Operator implikacji prostej p|=>q to spełniona wyłącznie definicja warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
11.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:

Operator implikacji odwrotnej p|~>q to spełniona wyłącznie definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
12.
Operator równoważności p<=>q:

Operator równoważności p<=>q to spełniona zarówno definicja warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
Stąd definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q =(p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
Definicja równoważności p<=>q uzasadnia zaliczenie jej do grupy zdaniowej „Jeśli p to q”, bowiem znaczki => i ~> są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”


4.4 Operatory logiczne dwuargumentowe wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

W tabeli T1 elementarne znaczki logiczne podzielono na cztery grupy I do IV.
Celem tego podziału jest przejrzystość klasyfikacji.

Dowolny operator logiczny dwuargumentowy można wyrazić spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1



4.4.1 Operatory logiczne grupy I

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w tabeli T1 były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T2
Operatory logiczna grupy I
              | AND(p,q)   | OR(p,q)    | AND(~p,~q) | OR(~p,~q)
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=   |  Y=   ~Y=  |  Y     ~Y
   p  q ~p ~q | p*q  ~p+~q | p+q  ~p*~q | ~p*~q  p+q | ~p+~q  p*q
A: 1  1  0  0 |  1     0   |  1     0   |   0     1  |   0     1
B: 1  0  0  1 |  0     1   |  1     0   |   0     1  |   1     0
C: 0  1  1  0 |  0     1   |  1     0   |   0     1  |   1     0
D: 0  0  1  1 |  0     1   |  0     1   |   1     0  |   1     0
                 1     2      3     4       5     6      7     8


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T2
AND(p,q)   ## OR(p,q)    ## AND(~p,~q) ## OR(~q,~q)
1: Y=p*q   ## 1: Y=p+q   ## 1: Y=~p*~q ## 1: Y=~p+~q
2:~Y=~p+~q ## 2:~Y=~p*~q ## 2:~Y=p+q   ## 2: ~Y=p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różne na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.

4.4.2 Operatory logiczne grupy II

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy II bazują na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”
Kod:

T3
Operatory logiczna grupy II wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
              | =>         | ~>        |<=>           |~~>
              | OR(~p,q)   | OR(p,~q)  | Y=    ~Y=    |
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=  | p*q+   p*~q+ | Y=1)  ~Y=2)
   p  q ~p ~q |~p+q   p*~q | p+~q ~p*q |~p*~q  ~p*q   |   
A: 1  1  0  0 |  1     0   |  1     0  |   1     0    |  1      0
B: 1  0  0  1 |  0     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
C: 0  1  1  0 |  1     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
D: 0  0  1  1 |  1     1   |  0     1  |   1     0    |  1      0
                 1     2      3     4       5    6       7      8
1)
Y=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2)
~Y = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T3
=>        ## ~>        ## <=>            ## ~~>
OR(~p,q)  ## OR(p,~q)  ##                ##
1: Y=~p+q ## 1: Y=p+~q ## 1: Y=p*q+~p*~q ## 1: Y=  p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2:~Y=p*~q ## 2:~Y=~p*q ## 2:~Y=p*~q+~p*q ## 2:~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różna na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.


4.4.3 Operatory logiczne grupy III

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy III to zanegowane spójniki grupy II, jednak opisane funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y), nie zaś funkcja logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) - dlatego są to funkcje różne na mocy definicji ##.
Kod:

T4
Operatory logiczna grupy III wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
              |~(=>)       |~(~>)      | „albo”($)   |~(~~>)
              | AND(p,~q)  | AND(~p,q) | Y=    ~Y=   |
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=  | p*~q+  p*q+ | Y=1)  ~Y=2)
   p  q ~p ~q | p*~q ~p+q  |~p*q  p+~q |~p*q   ~p*~q |   
A: 1  1  0  0 |  0     1   |  1    0   |  0      0   |  0      1
B: 1  0  0  1 |  1     0   |  1    0   |  1      1   |  0      1
C: 0  1  1  0 |  0     1   |  1    0   |  1      1   |  0      1
D: 0  0  1  1 |  0     1   |  0    1   |  0      0   |  0      1
                 1     2      3    4      5      6      7      8
1)
 Y = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
2)
~Y=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T4
~(=>)     ## ~(~>)     ## ~(<=>)         ## ~(~~>)
AND(p,~q) ## AND(~p,q) ## „albo”($)      ##
1: Y=p*~q ## 1: Y=~p*q ## 1: Y=p*~q+~p*q ## 1: Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
2:~Y=~p+q ## 2:~Y=p+~q ## 2:~Y=p*q+~p*~q ## 2:~Y=  p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różna na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.

4.4.4 Operatory logiczne grupy IV

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy IV to operatory jednoargumentowe omówione w części II algebry Kubusia.

I.
Operator transmisji

1.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

I.
Operator negacji

1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

4.5 Operatory logiczne wyrażone spójnikami NAND i NOR

Spójniki NAND i NOR to matematycznie konkurencyjne spójniki logiczne w stosunku do spójników „i”(*) i „lub”(+) totalnie nieużywane w języku potocznym człowieka, więc bez znaczenia dla logiki matematycznej.

4.5.1 Spójnik NAND

Spójnik NAND to zanegowany spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, którego w języku potocznym absolutnie nikt nie używa.
Y = pNANDq = ~(p*q) - definicja NAND w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q =~(pNANDq) - definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q p*q pNANDq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  0    1
C: 0  1  0    1
D: 0  0  0    1


4.5.2 Spójnik NOR

Spójnik NOR to zanegowany spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, którego w języku potocznym absolutnie nikt nie używa.
Y = pNORq = ~(p+q) - definicja NOR w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(pNORq) - definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q p+q pNORq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  1    0
C: 0  1  1    0
D: 0  0  0    1


4.5.3 Prawa De Morgana dla spójników NAND i NOR

Między spójnikami NAND i NOR obowiązują analogiczne prawa De Morgana jak w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

I prawo De Morgana dla spójnika NAND:
pNANDq = ~(~pNOR~q)

Definicja operatora NAND(p,q) to złożenie funkcji logicznej wyrażonej spójnikami NAND i NOR w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Y = pNANDq
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~pNOR~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = pNANDq = ~(~pNOR~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~pNOR~q = ~(pNANDq)

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q p+q pNORq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  1    0
C: 0  1  1    0
D: 0  0  0    1

Kod:

Dowód prawa I De Morgana:
pNANDq = ~(~pNOR~q)
Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q ~p ~q p*q pNANDq ~(pNANDq) ~pNOR~q ~(~pNOR~q)
A: 1  1  0  0  1    0        1        1         0     
B: 1  0  0  1  0    1        0        0         1
C: 0  1  1  0  0    1        0        0         1
D: 0  0  1  1  0    1        0        0         1
   1  2  3  4  5    6        7        8         9

6=9 Prawo De Morgana:
pNANDq =~(~pNOR~q)
7=8 Prawo De Morgana:
~(pNANDq)=~pNOR~q
cnd

II Prawo De Morgana dla spójnika NOR:
pNORq = ~(~pNAND~q)

Definicja operatora NOR(p,q) to złożenie funkcji logicznej wyrażonej spójnikami NAND i NOR w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Y=pNORq
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~pNAND~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = pNORq = ~(~pNAND~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~pNAND~q = ~(pNORq)

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q p*q pNANDq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  0    1
C: 0  1  0    1
D: 0  0  0    1

Kod:

Dowód prawa De Morgana:
pNORq=~(~pNAND~q)
Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q ~p ~q p+q pNORq ~(pNORq) ~pNAND~q ~(~pNAND~q)
A: 1  1  0  0  1    0      1        1          0
B: 1  0  0  1  1    0      1        1          0
C: 0  1  1  0  1    0      1        1          0
D: 0  0  1  1  0    1      0        0          1
   1  2  3  4  5    6      7        8          9

6=9 Prawo De Morgana:
pNORq = ~(~pNAND~q)
7=8 Prawo De Morgana:
~(pNORq) = ~pNAND~q
cnd

Mamy tu sytuację identyczną jak w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków:
Błędne jest twierdzenie ziemskich matematyków jakoby na mocy prawa De Morgana zbędny był jeden ze spójników NAND albo NOR bowiem do dowodu czysto matematycznego prawa De Morgana potrzebujemy zarówno zero-jedynkowej definicji spójnika NAND jak i zero-jedynkowej definicji spójnika NOR.
Innymi słowy:
Prawo De Morgana nie istnieje bez znajomości zero-jedynkowych definicji obu spójników NAND i NOR

4.5.4 Dlaczego żaden człowiek nie używa spójników NAND i NOR?

Powód jest oczywisty:
Który normalny człowiek, nie matematyk, zrozumie matematyczną tożsamość:
Y=p*q = ~p NOR ~q
Innymi słowy:
Kto zamiast powiedzieć prościutkie zdanie:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
wypowie zdanie matematycznie tożsame:
2.
Jutro nie pójdziemy do kina NOR nie pójdziemy do teatru
Y = ~K NOR ~T

Prawo czarnej mamby:
W całym obszarze języka mówionego człowieka (środki masowego przekazu, literatura, matematyka klasyczna) nie istnieje ani jedno zdanie ze spójnikiem „i”(*) wyrażone spójnikiem NOR zgodnie z bezdyskusyjną matematyczną tożsamością:
Y=p*q = ~p NOR ~q

Dokładnie z tego powodu spójniki NAND i NOR należy traktować jako ciekawostkę matematyczną, z zerowym znaczeniem dla obsługi języka potocznego człowieka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 10:32, 29 Kwi 2019, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:45, 22 Kwi 2019    Temat postu:

Część V
Teoria zdarzeń

Czyli:
Fizyczna realizacja operatorów logicznych w zdarzeniach
Na przykładzie sterowania diodą świecącą LED


Spis treści
5.0 Teoria zdarzeń 2
5.1 Definicje elementarne znaczków =>, ~> i ~~> 2
5.1.1 Zdjęcie układu w zdarzeniach 3
5.1.2 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym 3
5.1.3 Definicje operatorów implikacyjnych 6
5.2 Operator chaosu p|~~>q 8
5.2.1 Zdjęcie operatora chaosu p|~~>q 10
5.2.2 Komputerowa symulacja operatora chaosu p|~~>q 12
5.2.3 Analiza operatora chaosu spójnikiem ~~> 13
5.2.4 Matematyczna definicja operatora chaosu p|~~>q 15
5.2.5 Operator chaosu p|~~>q w języku potocznym 15
5.3 Operator implikacji prostej p|=>q 17
5.3.1 Zdjęcie operatora implikacji prostej p|=>q 18
5.3.2 Komputerowa symulacja implikacji prostej p|=>q 19
5.3.3 Analiza zdjęcia implikacji prostej p|=>q 20
5.3.4 Zgodność układu fizycznego p|=>q z teorią matematyczną 24
5.3.5 Dowód istnienia krasnoludków w logice matematycznej 26
5.3.6 Analiza implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~> 30
5.3.7 Matematyczna definicja implikacji prostej p|=>q 33
5.4 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 36
5.4.1 Zdjęcie operatora implikacji odwrotnej p|~>q 36
5.4.2 Komputerowa symulacja implikacji odwrotnej p|~>q 38
5.4.3 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójniku ~~> 38
5.4.4 Zgodność układu fizycznego p|~>q z teorią matematyczną 43
5.4.5 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~>, => i ~~> 44
5.4.6 Matematyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 47
5.5 Operator równoważności p<=>q 50
5.5.1 Zdjęcie operatora równoważności <=> 50
5.5.2 Komputerowa symulacja równoważności <=> 52
5.5.3 Analiza równoważności w spójniku ~~> 52
5.5.4 Zgodność układu fizycznego p<=>q z teorią matematyczną 56
5.5.5 Analiza równoważności w spójnikach => i ~~> 58
5.5.6 Matematyczna definicja równoważności <=> 64
5.6 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach 67
5.6 1 Definicja operatora chaosu p|~~>q 68
5.6 2 Definicja implikacji prostej p|=>q 68
5.6 3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 69
5.6 4 Definicja równoważności p<=>q 70



5.0 Teoria zdarzeń

Czyli:
Fizyczna realizacja operatorów logicznych w zdarzeniach
Na przykładzie sterowania diodą świecącą LED

5.1 Definicje elementarne znaczków =>, ~> i ~~>

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

5.1.1 Zdjęcie układu w zdarzeniach

Zdjęcie układu w zdarzeniach:
Zdjęciem układu w zdarzeniach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją zdarzenia możliwego ~~>

A.
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Kod:

Zdjęcie układu w zdarzeniach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0



5.1.2 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikają z rachunku zero-jedynkowego gdzie warunki te zdefiniowane są następująco.
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

W obu definicjach p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Kolumny wynikowe są różne, z czego wynika różność powyższych tabel na mocy definicji:
p=>q ## p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.


5.1.3 Definicje operatorów implikacyjnych

Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
II.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
III.
Operator równoważności p<=>q:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
IV.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1


I.
Definicja implikacji prostej p|=>q

Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234

II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234

III.
Definicja równoważności p<=>q

Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q

Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~> potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość zdania p~~>q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234


5.2 Operator chaosu p|~~>q

Stworzenie naszego Wszechświata - dzień pierwszy.
Na początku było: NIC
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata rzekł:
Niech stanie się chaos.
.. i stał się chaos p|~~>q

Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~> potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość zdania p~~>q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Fizyczna realizacja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
[link widoczny dla zalogowanych]



Prąd płynący przez diodę LED (dioda świeci) to:
Id = (E-Uf)/R
Gdzie:
KP=1 - przycisk KP wciśnięty
KO=0 - przycisk KO nie wciśnięty
E=6V - napięcie zasilania
Uf=2V - spadek napięcia na diodzie LED
R=1K - rezystor ograniczający prąd płynący w obwodzie
Id=(E-Uf)/R
Id = (6V-2V)/0,4K = 10mA
Zwarcie diody LED przyciskiem KO (dioda LED zgaszona) zwiększy prąd Id do:
Id=6V-0V/0,4k = 15mA
co jest bez znaczenia dla przycisku KO bowiem z reguły Imax=2500mA.

Jak zrealizować powyższy układ w praktyce?
Należy kupić w sklepie z częściami elektronicznymi:
- koszyczek na cztery baterie paluszki AA
- cztery paluszki AA
- rezystor 390R (0,4k nie są produkowane)
- diodę LED
- trzy dowolne przyciski zwierne (p, KO ,KP)
… i już możemy się bawić, czyli sprawdzać zgodność teorii matematycznej z rzeczywistością.

Zapewne wielu ziemskich matematyków (i nie tylko) na widok dwóch krasnoludków na powyższym schemacie ideowym o imionach Prosty (przycisk KP) i Odwrotny (przycisk KO) przeżyje szok podobny do tego, jaki przeżyła większość księgowych, kiedy to zabrano im liczydła dając w zamian komputery.

Dlaczego Krasnoludki?
Spójrzmy na powyższy schemat ideowy.
Bez krasnoludków byłby tak:
Jeśli niewidoczny dla człowieka przycisk KP zostanie wciśnięty to żarówka na 100% => zaświeci się.
To zdanie rodzi w człowieku niepotrzebną ciekawość.
Kto wciska przycisk KP?
Z krasnoludkami jest tak:
Wiadomym jest, że sam przycisk nie może się wcisnąć. Wcisnąć KP może wyłącznie istota żywa, na przykład krasnoludek. Algebra Kubusia z krasnoludkami w tle jest banalna i zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
Fizyczna symulacja istnienia krasnoludków jest bardzo prosta, należy zmontować powyższy układ z jedną dioda LED (q) i trzema przyciskami (p, KO, KP) i dostarczyć tą zabawkę do przedszkola na odział maluchów do lat 3, niech sobie naciskają wszystkie trzy przyciski jak im się podoba. Zadaniem niezależnego obserwatora, matematyka, jest analiza matematyczna faktów które obserwuje.

5.2.1 Zdjęcie operatora chaosu p|~~>q

Fizyczna realizacja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
[link widoczny dla zalogowanych]

Zróbmy zdjęcie układowi operatora chaosu p|~~>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T1
Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D.
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)

A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         gdy KO=0 i KP=x. Sytuacja możliwa (Ya=1).
LUB
B: p~~>~q= p*~q = Yb=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         gdy KO=1 i KP=x. Sytuacja możliwa (Yb=1)
.. a jeśli przycisk p nie jest włączony (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         gdy KO=x i KP=0. Sytuacja możliwa (Yc=1)
LUB
D:~p~~> q=~p* q = Yd=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         gdy KO=0 i KP=1. Sytuacja możliwa (Yd=1)

Notacja:
p=1 - przycisk p wciśnięty (=1)
p=0 - przycisk p nie wciśnięty (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)

5.2.2 Komputerowa symulacja operatora chaosu p|~~>q

Algorytm komputerowej symulacji operatora chaosu p|~~>q

Kod:

;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
      CALL CHAOS        ;Wywołanie procedury operatora chaosu p|~~>q
      CALL DELAY200     ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
      JMP START         ;Zapętlenie programu głównego

;II.
;Algorytm procedury symulującej operator chaosu p|~~>q:
CHAOS:
     CALL  STAN_P        ;Pobierz stan klawisza p
     Jeśli p=0 to skocz do ET1
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
;W tym przypadku stan klawisza Prostego KP jest nieistotny KP=x
     CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KO
;Wyjście z GEN(KO)
;KO=1 - klawisz Odwrotnego wciśnięty
;KO=0 - klawisz Odwrotnego nie wciśnięty
     Jeśli KO=1 to skocz do WYG_LED    ;Wygaszenie diody LED (q=0)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
ZAS_LED:
     q=1     ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
     q=0      ;Wygaś LED
RETURN
;
;Procedura obsługująca przypadek: p=0 - klawisz p nie wciśnięty
ET1:
     CALL GEN(KP) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KP
;Wyjście z GEN(KP)
;KP=1 - klawisz Prostego wciśnięty
;KP=0 - klawisz Prostego nie wciśnięty
     Jeśli KP=0 to skocz do WYG_LED (wygaś diodę LED)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;KP=1
     CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KO
;Wyjście z GEN(KO)
;KO=1 - klawisz Odwrotnego wciśnięty
;KO=0 - klawisz Odwrotnego nie wciśnięty
     Jeśli KO=0 to skocz do ZAS_LED  ;Zaświecenie diody LED (q=1)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;KO=1 - przycisk KO wciśnięty
     JMP  WYG_LED  ;Wygaszenie diody LED (q=0)

Kod:

Działanie rozkazów mikroprocesora:
1.
JMP WYG_LED  ; Skok bezwarunkowy do adresu WYG_LEG
2.
CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych ustawiającego KO=x
-------
-------
GEN(KO):
Procedura ustawiająca zmienną binarną KO na losowa wartość logiczną:
KO=x
Gdzie:
x=[0,1]
RETURN      ;Powrót do pierwszego rozkazu po wywołującym rozkazie CALL



5.2.3 Analiza operatora chaosu spójnikiem ~~>

Zróbmy zdjęcie układu operatora chaosu p|~~>q w postaci serii zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest świecenie LED q (q=1)
p~~>q = p*q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=0
KP=x
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=1
KP=x
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=x
KP=0
LUB
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~A~~>Z = ~A*Z =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=0
KP=1
Kod:

Zdjęcie układu operatora chaosu
Tabela prawdy operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach możliwych ~~>
wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
                   |co w logice        |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
                   |jedynek oznacza    |A: p~~>q          |
                 Y |                 Y |                Y | p   q  p~~>q
A: p~~> q= p* q =1 |( p=1)~~>( q=1) =1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1   =1
B: p~~>~q= p*~q =1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0   =1
C:~p~~>~q=~p*~q =1 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0   =1
D:~p~~> q=~p* q =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1   =1
   a    b  c  d  e                       Prawa Prosiaczka   1   2    3
                                         (~p=1)=(p=0)
                                         (~q=1)=(q=0)

Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego, tu względem linii:
A: p~~>q
Operator chaosu p|~~>q to wszystkie cztery linie ABCD:
Zauważmy, że w tabeli ABCDabcde nie ma kontrprzykładu, czyli zdania fałszywego kodowanego zdarzeniem możliwym ~~>
Wyklucza to w operatorze chaosu p|~`>q zarówno warunek wystarczający => jak i warunek konieczny ~>.
p=>q =0
p~>q =0
Stąd spełniona jest definicja operatora chaosu p|~~>q.

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Kod:

Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q


Kod:

Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>
Wszystko może się ~~> zdarzyć
   p  q Y=(p~~>q)
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1


Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0

Na wyjściu bramki Y mamy twardą jedynkę niezależną wartości logicznych sygnałów p i q.
Dowód:
Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q=~q)
Y = p+~p =1
cnd
Na wyjściu bramki ~Y mamy oczywiście twarde zero niezależnie od wartości logicznych p i q.

5.2.4 Matematyczna definicja operatora chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Kod:

Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q


Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0


5.2.5 Operator chaosu p|~~>q w języku potocznym

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y= K+T + ~K*~T
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice matematycznej:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Sposób I
Udowodnienia iż mamy tu do czynienia z operatorem chaosu K|~~>T:
1.
Y = (K+T) + ~K*~T
Prawo De Morgana:
K+T = ~(~K*~T)
Podstawiając do 1 mamy:
1.
Y = ~(~K*~T) + (~K*~T) =1
cnd

Sposób II
1.
Y = (K+T)+~K*~T
Rozwijamy spójnik „lub”(+) w wyrażeniu (K+T) na równania cząstkowe:
K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Podstawiając do 1 mamy:
1.
Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kima (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru
lub
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Wszystkie cztery zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.

Dowód iż zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne:
Nie istnieje iloczyn logiczny dowolnych dwóch zdarzeń spośród ABCD który nie byłby zbiorem pustym.
Weźmy przykładowo:
A*B = (K*T)*(K*~T) =[] =0
Bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
T*~T =0

Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y = K*T + K*~T + ~K*T + ~K*~T
Y = K*(T+~T) + ~K*(T+~T)
Y = K+~K=1
cnd

Oznacza to, że cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa Y=1.
Nie ma tu żadnych szans na kłamstwo.

Wniosek:
W języku potocznym zdanie zawsze prawdzie typu:
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=K+~K =1
To bełkot którego zdrowy na umyśle człowiek nie używa.

Podobny bełkot:
Jutro pójdę piechotą na Księżyc lub nie pójdę piechotą na Księżyc
Y = PK+~PK =1
To też jest zdanie zawsze prawdziwe.

Identyczny bełkot:
Dowolna liczba jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
Y=P2+~P2 =1
To jest twierdzenie matematyczne zawsze prawdziwe.
Jaka jest wartość użyteczna takiego twierdzenia w matematyce?

Wniosek:
Wartość komunikacyjna zdania zawsze prawdziwego jest równa zeru.
Dokładnie dlatego żaden człowiek przy zdrowych zmysłach nie wypowiada zdań zawsze prawdziwych.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:47, 22 Kwi 2019    Temat postu:

5.3 Operator implikacji prostej p|=>q

Stworzenie naszego Wszechświata - dzień drugi.
Spojrzał Kubuś na operator chaosu p|~~>q i rzekł:
Nie podoba mi się ten totalny chaos zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
Zabieram Odwrotnemu przycisk KO.
Tak powstał operator implikacji prostej p|=>q z jedną gwarancją matematyczną => po stronie p.
Po stronie ~p dalej będziemy mieć „rzucanie monetą” bo tu Prosty ma przycisk KP i ma wolną wolę, czyli może naciskać ten przycisk jak mu się podoba.

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234


5.3.1 Zdjęcie operatora implikacji prostej p|=>q

Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Zróbmy zdjęcie układowi implikacji prostej p|=>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

Zdjęcie układu implikacji prostej p|=>q
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja możliwa (Ya=1).
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yb=0)=(~Yb=1)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         gdy Prosty ustawi KP=0. Sytuacja możliwa (Yc=1)
LUB
D:~p~~> q=~p* q = Yd=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         gdy Prosty ustawi KP=1. Sytuacja możliwa (Yd=1)

Notacja:
p=1 - przycisk p wciśnięty (=1)
p=0 - przycisk p nie wciśnięty (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)

5.3.2 Komputerowa symulacja implikacji prostej p|=>q

Algorytm komputerowej symulacji implikacji prostej p|=>q:
Kod:

; - po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
    CALL IMP_PROSTA ;Wywołanie procedury operatora implikacji prostej p|=>q
    CALL DELAY200   ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
    JMP START       ;Zapętlenie programu głównego

;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji prostej p|=>q:
IMP_PROSTA:
       CALL STAN_P      ;Pobierz stan przycisku p
       Jeśli p=0 to skocz do ET1
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek: p=1 - klawisz p wciśnięty
;W tym przypadku stan klawisza Prostego KP jest nieistotny KP=x
ZAS_LED:
     q=1     ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
     q=0      ;Wygaś LED
RETURN
;
;Procedura obsługująca przypadek: p=0 - klawisz p nie wciśnięty
ET1:
     CALL GEN(KP) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KP
;Wyjście z GEN(KP)
;KP=1 - klawisz Prostego wciśnięty
;KP=0 - klawisz Prostego nie wciśnięty
     Jeśli KP=0 to skocz do WYG_LED (wygaś diodę LED)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;KP=1
     JMP  ZAS_LED   ;Zaświecenie diody LED (q=1)


5.3.3 Analiza zdjęcia implikacji prostej p|=>q

Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Zapiszmy powyższą serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Dowód: patrz schemat ideowy
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Nie jest możliwe ~~> (=0), że wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie świeci się dioda LED (~q=1)
(~q=1)=(q=0) - prawo Prosiaczka
Dowód: patrz schemat ideowy
Zauważmy, że w przypadku wciśniętego klawisza p (p=1) przycisk krasnoludka Prostego jest blokowany (KP=x), czyli może go sobie włączać i wyłączać bez jakiegokolwiek wpływu na świecenie diody LED.
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisku krasnoludka Prostego KP:
KP=0 - nie wciśnięty (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
LUB
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisku krasnoludka Prostego KP:
KP=1 - wciśnięty (=1)
Dowód: patrz schemat ideowy

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T1
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=1

Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=> q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
Kod:

T1-T2
T1          |T2
A: p~~> q=1 | p=> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1

Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji prostej p|=>q o definicji:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek konieczny p~>q =?

Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q=1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0

Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
Kod:

T1-T3
T1          |T2        |T3
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1

Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.

Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego q~>p
A: p=>q = A: q~>p =1
6.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego ~q=>~p:
C: ~p~>~q = C: ~q=>~p =1

Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
Kod:

T1-T4
T1          |T2        |T3        ||T4
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =0 || q~> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =0 ||~q=>~p =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1 || q~~>~p=1

W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q~>p = C: ~q=>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją odwrotną:
q|~>p = (q~>p)*~(q=>p)
Czy też z równoważnością:
q<~~>p = (q~>p)*(q=>p) = q<=>p
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego:
q=>p=?
7.
Z prawdziwości kontrprzykładu D:
D: q~~>~p =1
Wynika fałszywość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: q=>p =0
8.
Prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~p
Z fałszywości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość warunku koniecznego ~> C
A: q=>p = C: ~q~>~p =0

Nanieśmy to do tabeli T1-T4:
Kod:

T1-T5
T1          |T2        |T3        ||T4        |T5
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =0 || q~> p =1 | q=> p =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0 |~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =0 ||~q=>~p =1 |~q~>~p =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1 || q~~>~p=1 | q~~>~p=1

Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej q|~>p

Definicja implikacji odwrotnej q|~>p
Implikacja odwrotna q|~>p to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
q~>p =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
q=>p =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p w równaniu logicznym:
q|~>p = (q~>p)*~(q=>p) = 1*~(0) = 1*1 =1

Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.

Doskonale tu widać, że prawo Tygryska spełnione jest także na poziomie operatorów logicznych:
p|=>q = q|~>p
cnd

Podsumowanie:

Na mocy naszej tabeli T1-T5 zapisujemy:
T2: p=>q = ~p~>~q [=] T4: q~>p = ~q=>~p =1
##
T3: p~>q = ~p=>~q [=] T5: q=>p = ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

5.3.4 Zgodność układu fizycznego p|=>q z teorią matematyczną

Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu implikacji prostej p|=>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A oraz fałszywość dowolnego zdania serii B.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1


5.3.5 Dowód istnienia krasnoludków w logice matematycznej

Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)

Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Interpretacja tej definicji w odniesieniu do naszego schematu ideowego:
1.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to zaświeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się diody LED
Dowód: patrz schemat
2.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to zaświeci się dioda LED (q=1)
p~>q =0
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się diody LED
Dowód:
Dioda LED może się zaświecić mimo nie wciśniętego przycisku p.
Może to zrobić poza naszą świadomością krasnoludek Prosty swoim przyciskiem KP.
Zauważmy, że zdania 1 i 2 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo wszystko matematycznie zachodzi:
1: p=>q ## 2: p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zdanie 2 to twardy dowód na istnienie krasnoludków w logice matematycznej.
Zauważmy, że gdyby na powyższym schemacie nie było krasnoludka Prostego ze swoim przyciskiem KP to wciśnięcie przypisku p byłoby jednocześnie warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> zaświecenia się diody LED.
Byłoby wtedy tak:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony
co by oznaczało że mielibyśmy do czynienia z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
a nie z operatorem implikacji prostej p|=>q o definicji:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Zauważmy, że gdyby przycisk KP istniał w świecie dostępnym człowiekowi to wtedy w zadaniu matematyczno-fizycznym mielibyśmy do czynienia z równoważnością, o implikacji moglibyśmy co najwyżej pomarzyć.

Dowód.
Zadanie matematyczno-fizyczne na maturze z fizyki.

Dany jest schemat układu elektrycznego:

[link widoczny dla zalogowanych]

Dla uproszczenia zapisów dokonano podstawienia:
r=KP

Polecenie:
Zapisz kiedy dioda świeci się (q=1) a kiedy nie świeci się (~q=1)

Rozwiązanie Jasia:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p lub r to na 100% => dioda q się świeci
(p+r)=>q =1
Wciśniecie przycisku p lub r jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby dioda q się świeciła
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p lub r to na 100% => dioda q się świeci
(p+r)~>q =1
Wciśniecie przycisku p lub r jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby dioda LED się świeciła
Warunek konieczny ~> jest tu spełniony, bowiem z żadnego innego powodu dioda LED nie ma prawa się świecić.
Zauważmy, że zdania A i B są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo wszystko zachodzi:
A: (p+r)=>q ## B: (p+r)~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd spełniona jest definicja równoważności.
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Nasz przykład:
1.
Do tego aby dioda q się świeciła (q=1) potrzeba => i wystarcza ~> aby wciśnięty był przycisk p (p=1) lub przycisk r (r=1)
(p+r)<=>q = [(p+r)~>q]*[(p+r)=>q)] = 1*1 =1
Innymi słowy:
Dioda q świeci się (q=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk r (r=1)
q<=>(p+r) = (q~>(p+r)]*[q=>(p+r)]

Zauważmy, że ziemscy matematycy znają tą definicję równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
tylko nie mają pojęcia jak ją zapisać na gruncie rachunku zero-jedynkowego, bowiem nie znają zero-jedynkowych definicji ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~> (patrz poprzedni punkt)

[link widoczny dla zalogowanych]ównoważność
Wikipedia napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym ~>, jak i dostatecznym => przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Dowód:
Klikamy na googlach:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 600
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 800
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9 050
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 130
Klikamy na googlach:
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 1 130
Klikamy na googlach:
„wystarczające i konieczne”
Wyników: 2 320
„wystarczającym i koniecznym”
Wyników: 494
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
Twierdzenie tożsame:
Opisać okrąg na czworokącie można wtedy i tylko wtedy gdy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.

… a kiedy dioda q nie świeci (~q=1)?
2.
Do tego aby nie świeciła się dioda q (~q=1) potrzeba ~> i wystarcza => by nie był wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie był wciśnięty przycisk r (~r=1)
~p*~r<=>~q = [(~p*~r)=>~q]*[(~p*~r)=>~q)]
Innymi słowy:
Dioda q nie świeci (~q=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk r (~r=1)
~q<=>(~p*~r) = [~q=>(~p*~r)]*[~q~>(~p*~r)]

Podsumowując:
Twardy dowód istnienia krasnoludków w logice matematycznej został właśnie w sposób czysto matematyczny udowodniony.


5.3.6 Analiza implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>

Weźmy jeszcze raz nasz nieśmiertelny schemat ideowy implikacji prostej p|=>q:

Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)

Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Tabelę prawdy naszego układu w spójnikach =>, ~> i ~~> wyprowadziliśmy wyżej, to tabela T2.
Kod:

T2
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
to seria czterech zdań A,B,C,D.
A: p=> q =1 -wciśnięcie p (p=1) jest wystarczające => dla świecenie q (q=1)
B: p~~>~q=0 - wciśnięty p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
              sytuacja niemożliwa (Yb=0)
              Krasnoludek prosty ze swoim KP jest tu zablokowany (KP=x)
.. a jeśli nie jest wciśnięty p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~>~q =1 - nie wciśnięcie p jest konieczne ~> dla nie świecenia LED
              tu krasnoludek Prosty na 100% => ustawił KP=0 (rozwarty)
LUB
D:~p~~> q=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
              tu krasnoludek Prosty na 100% => ustawił KP=1 (zwarty)


Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% => świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)
Wciśnięcie przycisku p (p=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia diody LED (q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania B

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
stąd:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~> nie świecić dioda LED (~q=1)
~p~>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia diody LED (~q=1) bowiem jak wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% => świeci się dioda LED (q=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~p~>~q = A: p=>q =1
Zauważmy, że warunkiem prawdziwości zdania C jest ustawienie przez krasnoludka Prostego przycisku KP w stan:
KP=0 - nie jest (=0) wciśnięty przycisk KP
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenie możliwe (=1) gdy krasnoludek Prosty ustawi swój przycisk KP w pozycję:
KP=1 - jest (=1) wciśnięty przycisk KP
Dowód: patrz schemat ideowy

Zauważmy że:
1.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż świeci się dioda LED (q=1)
Mówi o tym zdanie A: p=>q =1
2.
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to wszystko może się zdarzyć, czyli może ~> nie świecić dioda LED (~q=1) o czym mówi zdanie C lub może ~~> świecić dioda LED (q=1) o czym mówi zdanie D.
Ewidentne „rzucanie monetą” widać tu jak na dłoni.
Kod:

Tabela prawdy operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
                   |co w logice        |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
                   |jedynek oznacza    |A: p=>q           |
                   |                   |                  | p   q  p=>q
A: p=> q        =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
B: p~~>~q= p*~q =0 |( p=1)~~>(~q=1) =0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
C:~p~> ~q       =1 |(~p=1)~> (~q=1) =1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0~> 0   =1
D:~p~~> q=~p* q =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1   =1
   a    b  c  d  e                       Prawa Prosiaczka   1   2    3
                                         (~p=1)=(p=0)
                                         (~q=1)=(q=0)

Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
A: p=>q

Operator implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jedna linia A (warunek wystarczający =>)

Nasza tabela spełnia zatem definicję implikacji prostej p|=>q:


5.3.7 Matematyczna definicja implikacji prostej p|=>q

Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
II.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
III.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
IV.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.

Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat implikacji prostej p|=>q?

Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny implikacji prostej p|=>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Kod:

T2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p=>  q       =1 - zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla q
B: p~~>~q= p*~q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~> ~q       =1 - zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p~>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Fałszywość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A: p=>q)*~(A: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:48, 22 Kwi 2019    Temat postu:

5.4 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Stworzenie naszego Wszechświata - dzień trzeci.
Spojrzał Kubuś na powyższą tabelę implikacji prostej p|=>q i rzekł:
W implikacji prostej p|=>q mamy warunek wystarczający => po stronie p i chaos po stronie ~p
Zróbmy odwrotnie, czyli w operatorze chaosu p|~~>q zostawmy krasnoludkowi Odwrotnemu przycisk KO i zabierzmy Prostemu przycisk KP.
Tak powstał operator implikacji odwrotnej p|~>q z chaosem po stronie p, ale z gwarancją matematyczną => po stronie ~p.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234

5.4.1 Zdjęcie operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Zróbmy zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

Zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja możliwa (Ya=1) gdy nie wciśnięty KO=0
B: p~~>~q= p*~q = Yb=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa gdy wciśnięty KO=1
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa (Yc=1), stan przycisku KO=x
LUB
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yd=0), stan przycisku KO=x
KO=x - stan przycisku KO dowolny 1 albo 0.

Notacja:
p=1 - przycisk p włączony (=1)
p=0 - przycisk p nie włączony (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)

5.4.2 Komputerowa symulacja implikacji odwrotnej p|~>q

Algorytm komputerowej symulacji implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
      CALL IMP_ODWR     ;Wywołanie procedury implikacji odwrotnej p|~>q
      CALL DELAY200     ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
      JMP START         ;Zapętlenie programu głównego

;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji odwrotnej p|~>q:
IMP_ODWR:
     CALL  STAN_P        ;Pobierz stan klawisza p
     Jeśli p=0 to skocz do ET1
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
     CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KO
;Wyjście z GEN(KO)
;KO=1 - klawisz Odwrotnego wciśnięty
;KO=0 - klawisz Odwrotnego nie wciśnięty
     Jeśli KO=1 to skocz do WYG_LED    ;Wygaszenie diody LED (q=0)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
ZAS_LED:
     q=1     ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
     q=0      ;Wygaś LED
RETURN
;
;Procedura obsługująca przypadek: p=0 - klawisz p nie wciśnięty
ET1:
     JMP  WYG_LED  ;Wygaszenie diody LED (q=0)
                   ;Stan przycisku KO jest nieistotny KO=x



5.4.3 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójniku ~~>

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Wymagane:
KO=0 - przycisk krasnoludka Odwrotnego nie jest wciśnięty
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane:
KO=1 - przycisk krasnoludka Odwrotnego jest wciśnięty (zwiera diodę LED)
Dowód: patrz schemat ideowy

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest bez znaczenia:
KO=x
x=0 albo 1
Dowód: patrz schemat ideowy
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
KO=x - bez znaczenia
Nie jest możliwe ~~> (=0), że nie jest wciśnięty przycisk p (p=1) i świeci się dioda LED (q=1)
(~q=1)=(q=0) - prawo Prosiaczka
Dowód: patrz schemat ideowy
Zauważmy, że w przypadku nie wciśniętego klawisza p (p=0) przycisk krasnoludka Odwrotnego jest blokowany (KO=x), czyli może go sobie włączać i wyłączać bez jakiegokolwiek wpływu na świecenie diody LED.

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T1
Zdjęcie układu ze schematu R3
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=0

Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
Kod:

T1-T2
T1          |T2
A: p~~> q=1 | p~> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0

Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji odwrotnej p|~>q o definicji:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek wystarczający p=>q=?

Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B:
B: ~p~~>q=1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0

Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
Kod:

T1-T3
T1          |T2        |T3
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0

Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.

Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p~>q = A: q=>p =1
6.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C:~p=>~q = C: ~q~>~p =1

Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
Kod:

T1-T4
T1          |T2        |T3        ||T4
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0 || q=> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1 ||~q~~>p =1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0 ||~q~>~p =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0

W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją prostą:
q|=>p = (q=>p)*~(q~>p)
Czy też z równoważnością:
q<=>p = (q=>p)*(q~>p)
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia czy spełniony jest warunek konieczny:
q~>p =?
7.
Z prawdziwości kontrprzykładu B:
B: ~q~~>p =1
Wynika fałszywość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~q=>~p =0
8.
Prawo Kubusia:
C: ~q=>~p = A: q~>p
Z fałszywości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość warunku koniecznego ~> A
C: ~q=>~p = A: q~>p =0
Kod:

T1-T5
T1          |T2        |T3        ||T4        |T5
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0 || q=> p =1 | q~> p =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1 ||~q~~>p =1 |~q~~>p =1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0 ||~q~>~p =1 |~q=>~p =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0 |q~~>~p =0

Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora implikacji prostej q|=>p która to definicję odczytujemy z linii A

Definicja implikacji prostej q|=>p
Implikacja prosta q|=>p to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
q=>p =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
q~>p =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej q|=>p w równaniu logicznym:
q|=>p = (q=>p)*~(q~>p) = 1*~(0) = 1*1 =1

Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.

Doskonale tu widać, że prawo Tygryska spełnione jest także na poziomie operatorów logicznych:
p|~>q = q|=>p
cnd

Podsumowanie:

Na mocy naszej tabeli T2-T5 zapisujemy:
T2: p~>q = ~p=>~q [=] T4: q=>p = ~q~>~p =1
##
T3: p=>q = ~p~>~q [=] T5: q~>p = ~q=>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

5.4.4 Zgodność układu fizycznego p|~>q z teorią matematyczną

Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu implikacji odwrotnej p|~>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B oraz fałszywość dowolnego zdania serii A.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1


5.4.5 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~>, => i ~~>

Weźmy jeszcze raz nasz nieśmiertelny schemat ideowy implikacji odwrotnej p|~>q

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Tabelę prawdy naszego układu w spójnikach =>, ~> i ~~> wyprowadziliśmy wyżej, to tabela T2.
Kod:

T2
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D.
A: p~> q =1 - wciśnięcie p (p=1) jest konieczne ~> dla świecenia q (q=1)
              Krasnoludek Odwrotny musi tu ustawić KO=0 (rozwarty)
LUB
B: p~~>~q=1 - wciśnięty p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
              sytuacja możliwa (=1) gdy Odwrotny ustawi KO=1 (wciśnięty)

.. a jeśli nie jest wciśnięty p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
Stąd:
C:~p=>~q =1 - nie wciśnięcie p jest wystarczające => dla nie świecenia LED
              Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest bez znaczenia KO=x
D:~p~~> q=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
              Sytuacja niemożliwa.
              Stan przycisku Odwrotnego jest bez znaczenia KO=x


Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~> świeci się dioda LED (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia diody LED (q=1) bowiem jak nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci się dioda LED (~q=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: p~>q = C: ~p=>~q
Zauważmy, że warunkiem koniecznym ~> prawdziwości zdania A jest ustawienie przez krasnoludka Odwrotnego przycisku KO w stan:
KO=0 - nie jest (=0) wciśnięty przycisk KO
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie możliwe (=1) gdy Odwrotny wciśnie przycisk KO (KO=1)

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
stąd:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci dioda LED (~q=1)
~p=>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia diody LED (~q=1)
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia diody LED (~q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc.
Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest tu bez znaczenia KO=x
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenie niemożliwe (=0).
Stan przycisku KO jest bez znaczenia KO=x
Dowód: patrz schemat ideowy

Zauważmy że:
1.
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie świeci się dioda LED (~q=1)
Mówi o tym zdanie C: ~p=>~q =1
2.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to wszystko może się zdarzyć, czyli może ~> świecić dioda LED (q=1) o czym mówi zdanie A lub może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1) o czym mówi zdanie B.
Ewidentne „rzucanie monetą” widać tu jak na dłoni.
Kod:

Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p|~>q
w spójnikach ~>, => i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
                   |co w logice        |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
                   |jedynek oznacza    |A: p~>q           |
                   |                   |                  | p   q  p~>q
A: p~> q        =1 |( p=1)~> ( q=1) =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1   =1
B: p~~>~q= p*~q =1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0   =1
C:~p=> ~q       =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~p~~> q=~p* q =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
   a    b  c  d  e                       Prawa Prosiaczka   1   2    3
                                         (~p=1)=(p=0)
                                         (~q=1)=(q=0)

Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
A: p~>q

Operator implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jedna linia A (warunek konieczny ~>)

Nasza tabela spełnia zatem definicję implikacji odwrotnej p|~>q.


5.4.6 Matematyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
II.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
III.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
IV.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.

Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat implikacji odwrotnej?

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny implikacji odwrotnej p|~>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Kod:

T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~>  q       =1 - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p=> ~q       =1 - zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:49, 22 Kwi 2019    Temat postu:

5.5 Operator równoważności p<=>q

Stworzenie naszego Wszechświata - dzień czwarty.
Rozmyślania Kubusia:
W implikacji prostej p|=>q mamy warunek wystarczający => po stronie p i chaos po stronie ~p
W implikacji odwrotnej p|~>q mamy chaos po stronie p i warunek wystarczający => po stronie ~p
Rzekł Kubuś:
Niech stanie się równoważność p<=>q czyli zabieram krasnoludkom oba przyciski KP i KO z operatora chaosu p|~~>q.
Tak powstał operator równoważności p<=>q gdzie nie ma krasnoludka z jego wolną wolą, wszystko jest totalnie zdeterminowane, mamy warunek wystarczający => zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
Nie ma tu śladu „rzucania monetą” zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234


5.5.1 Zdjęcie operatora równoważności <=>

Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Zróbmy zdjęcie układu równoważności p<=>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

Zdjęcie układu równoważności p<=>q.
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja możliwa (Ya=1)
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yb=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa (Yc=1).
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yd=0).
 

Notacja:
p=1 - przycisk p włączony (=1)
p=0 - przycisk p nie włączony (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)

5.5.2 Komputerowa symulacja równoważności <=>

Algorytm komputerowej symulacji równoważności <=>:
Kod:

;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
      CALL ROWN         ;Wywołanie procedury równoważności p<=>q
      CALL DELAY200     ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
      JMP START         ;Zapętlenie programu głównego

;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji odwrotnej p|~>q:
ROWN:
     CALL  STAN_P        ;Pobierz stan klawisza p
     Jeśli p=0 to skocz do WYG_LED
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
ZAS_LED:
     q=1     ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
     q=0      ;Wygaś LED
RETURN



5.5.3 Analiza równoważności w spójniku ~~>

Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Dowód: patrz schemat ideowy
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy.

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T1
Zdjęcie układu ze schematu R4
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=0

Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
Kod:

T1-T2
T1          |T2
A: p~~> q=1 | p=> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0

Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji prostej p|=>q o definicji:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek konieczny p~>q=?

Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =1
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1

Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
Kod:

T1-T3
T1          |T2        |T3
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0

Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.

Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p=>q = A: q~>p =1
6.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C:~p~>~q = C: ~q=>~p =1

Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
Kod:

T1-T4
T1          |T2        |T3        ||T4
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1 || q~> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1 ||~q=>~p =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0

W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q~>p = C: ~q=>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją odwrotną:
q|~>p = (q~>p)*~(q=>p)
Czy też z równoważnością:
q<=>p = (q~>p)*(q=>p)
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia czy spełniony jest warunek wystarczający:
A: q=>p =?
7.
Z fałszywości kontrprzykładu B:
B: ~q~~>p =0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: q=>p =1
8.
Prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~q
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> C
C: ~q~>~p =1
Kod:

T1-T5
T1          |T2        |T3        ||T4        |T5
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1 || q~> p =1 | q=> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0 |~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1 ||~q=>~p =1 |~q~>~p =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0 | q~~>~p=0

Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora równoważności którą to definicję odczytujemy z linii A

Definicja równoważności q<=>p
Równoważność q<=>p to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
q=>p =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
q~>p =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
q<=>p = (q=>p)*(q~>p) = 1*1 =1

Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.

Podsumowanie:

Na mocy naszej tabeli T2-T5 zapisujemy:
T2: p=>q = ~p~>~q [=] T4: q~>p = ~q=>~p =1
##
T3: p~>q = ~p=>~q [=] T5: q=>p = ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

5.5.4 Zgodność układu fizycznego p<=>q z teorią matematyczną

Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu równoważności p<=>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B oraz prawdziwość dowolnego zdania serii A.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji

Definicja równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
p<=>q = (B1: p~>q)*(A1: p=>q) = 1*1 =1


5.5.5 Analiza równoważności w spójnikach => i ~~>

Fizyczna realizacja operatora równoważności <=> w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T6
Zdjęcie układu równoważności p<=>q.
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja możliwa (Ya=1)
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yb=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa (Yc=1).
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yd=0).
 

Fałszywość kontrprzykładu B wymusza warunek wystarczający => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
Kod:

T7
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q       =1 - wciśnięcie p jest wystarczające => dla zaświecenia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                     Sytuacja niemożliwa (=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
C:~p=>~q       =1 - nie wciśnięcie p jest wystarczające dla nie świecenia q
D:~p~~> q=~p* q=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                    Sytuacja niemożliwa (=0).
 

Doskonale tu widać 100% zgodność ze schematem ideowym.

Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% => świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)
Wciśnięcie przycisku p (p=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia diody LED (q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania B

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Jak widać z tabeli prawdy równoważności w spójnikach => i ~~> po stronie ~p mamy kolejny warunek wystarczający.
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci się dioda LED (~q=1)
~p=>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia diody LED (~q=1)
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia diody LED (~q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania D

Zauważmy że:
1.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to mamy gwarancje matematyczną => że świeci się dioda LED (q=1)
Mówi o tym zdanie A: p=>q =1
2
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie świeci się dioda LED (~q=1)
Mówi o tym zdanie C: ~p=>~q =1
Doskonale widać, że nie ma tu „rzucania monetą” ani po stronie p, ani też po stronie ~p.
Kod:

T7
Tabela prawdy operatora równoważności p<=>q
w spójnikach => i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
                       |co w logice        |Punkt odniesienia| Tabela
                       |jedynek oznacza    |RA: p<=>q        |tożsama
RA                     |                   |                 |
p<=>q=(p=>q)*~(p=>q)   |                   |                 | p   q  p<=>q
A: p=> q       =1      |( p=1)=> ( q=1) =1 |(p=1)=> (q=1)=1  | 1=> 1   =1
B: p~~>~q= p*~q=0      |( p=1)~~>(~q=1) =0 |(p=1)~~>(q=0)=0  | 1~~>0   =0
RC                     |                   |                 |
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)|                   |                 |
C:~p=> ~q      =1      |(~p=1)=> (~q=1) =1 |(p=0)=> (q=0)=1  | 0=> 0   =1
D:~p~~> q=~p* q=0      |(~p=1)~~>( q=1) =0 |(p=0)~~>(q=1)=0  | 0~~>1   =0
   a    b  c  d e                           Prawa Prosiaczka   1   2    3
                                            (~p=1)=(p=0)
                                            (~q=1)=(q=0)

Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja równoważności.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
RA: p<=>q

Z tabeli symbolicznej odczytujemy dwie kluczowe równoważności dla naszego układu z przyciskiem p i diodą LED.

Równoważność dotycząca wciśniętego przycisku p (p=1):
RA
Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci dioda LED (q=1)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Równoważność dotycząca nie wciśniętego przycisku p (~p=1):
RC
Przycisk p jest nie wciśnięty (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie świeci dioda LED (~q=1)
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Oczywiście stan:
p=1 - przycisk wciśnięty
jest rozłączny ze stanem:
~p=1 - przycisk nie wciśnięty

Dowód:
p*~p=0 - prawo rachunku zero-jedynkowego
cnd

Zastosujmy do równoważności RA prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
stąd:
p<=>q = A1: (p=>q)* B1: (p~>q)
Zdanie A1 czytamy:
A1.
Jeśli przycisk p jest wciśnięty (p=1) to na 100% świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)

Zdanie B1 czytamy:
B1.
Jeśli przycisk p jest wciśnięty (p=1) to na 100% świeci się dioda LED (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia diody LED (q=1)
To jest warunek konieczny ~> bowiem w równoważności nie ma krasnoludków, w szczególności nie ma krasnoludka Prostego ze swoim przyciskiem KP który mógłby zaświecić diodę LED poza naszą świadomością.

Armagedon ziemskiej logiki matematycznej:
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, dodatkowo oba te zdanie są prawdziwe … a mimo wszystko są to zdania różne na mocy definicji ##.
To jest czysto matematyczny to gwóźdź do trumny z napisem „Logika matematyczna ziemian” gdzie dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Ziemscy matematycy oczywiście są w błędzie bowiem różność na mocy definicji ## wynika z definicji równoważności!

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q=1 ## B1: p~>q =1
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Powyższa definicja równoważności:
p<=>q=(p~>q)*(p=>q)
znana jest ziemianom w praktyce, ale nie potrafią jej matematycznie zapisać bowiem nie znają zero-jedynkowych definicji zarówno warunku wystarczającego => jak i warunku koniecznego ~>.

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q=~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q=p+~q


Dowód iż ziemianie znają w praktyce tą definicję równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)

[link widoczny dla zalogowanych]ównoważność
Wikipedia napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym ~>, jak i dostatecznym => przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Tej definicji równoważności ziemscy matematycy nie potrafią zapisać matematycznie bowiem nie znają kluczowych, zero-jedynkowych definicji zarówno warunku koniecznego ~> jak i warunku wystarczającego =>
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = warunek dostateczny => = wystarcza =>
warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> = potrzeba ~>

Faktem jest, że powyższa definicja równoważności jest w powszechnym użyciu zarówno w matematyce jak i w innych naukach.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 600
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 800
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9 050
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 130
Klikamy na googlach:
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 1 130
Klikamy na googlach:
„wystarczające i konieczne”
Wyników: 2 320
Klikamy na googlach:
„wystarczającym i koniecznym”
Wyników: 494

Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
Twierdzenie tożsame:
Opisać okrąg na czworokącie można wtedy i tylko wtedy gdy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.

5.5.6 Matematyczna definicja równoważności <=>

Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
II.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
III.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
IV.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.

Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat równoważności p<=>q?

Fizyczna realizacja operatora równoważności <=> w zdarzeniach

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T1
Definicja równoważności w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny równoważności p<=>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
Kod:

T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q       =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie p i ~q
.. a jeśli nie zajdzie p (~p=1)?
C:~p=>~q       =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie ~p i q

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q)
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości p=q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest tożsame [=] z zaświeceniem się diody LED (q=1)

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
~p=~q <=> (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
czyli:
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest tożsame [=] z nie zaświeceniem się diody LED (~q=1)


5.6 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

5.6 1 Definicja operatora chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Kod:

Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q


Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0

5.6 2 Definicja implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Kod:

T2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p=>  q       =1 - zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla q
B: p~~>~q= p*~q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~> ~q       =1 - zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p~>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Fałszywość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A: p=>q)*~(A: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1

5.6 3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Kod:

T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~>  q       =1 - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p=> ~q       =1 - zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1

5.6 4 Definicja równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
Kod:

T1
Definicja równoważności w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
Kod:

T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q       =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie p i ~q
.. a jeśli nie zajdzie p (~p=1)?
C:~p=>~q       =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie ~p i q

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q)
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości p=q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest tożsame [=] z zaświeceniem się diody LED (q=1)

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
~p=~q <=> (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
czyli:
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest tożsame [=] z nie zaświeceniem się diody LED (~q=1)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:51, 22 Kwi 2019    Temat postu:

Teoria zbiorów - w trakcie pisania
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:52, 22 Kwi 2019    Temat postu:

Algebra Kubusia w języku potocznym - w trakcie pisania
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:54, 22 Kwi 2019    Temat postu:


Dodatek A
Wstęp do największej rewolucji matematycznej w dziejach ludzkości!


Spis treści
1.0 Wstęp do największej rewolucji matematycznej w dziejach ludzkości 1
1.1 Na czym polega tragedia ziemskiej logiki matematycznej? 2
1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 3
1.3 Armagedon ziemskiej logiki matematycznej 4


1.0 Wstęp do największej rewolucji matematycznej w dziejach ludzkości

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock

[link widoczny dla zalogowanych]ównoważność
Wikipedia napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym ~>, jak i dostatecznym => przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Tej definicji równoważności ziemscy matematycy nie potrafią zapisać matematycznie bowiem nie znają kluczowych, zero-jedynkowych definicji zarówno warunku koniecznego ~> jak i warunku wystarczającego =>
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = warunek dostateczny => = wystarcza =>
warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> = potrzeba ~>

Faktem jest, że powyższa definicja równoważności jest w powszechnym użyciu zarówno w matematyce jak i w innych naukach.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 600
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 800
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9 050
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 130
Klikamy na googlach:
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 1 130
Klikamy na googlach:
„wystarczające i konieczne”
Wyników: 2 320
Klikamy na googlach:
„wystarczającym i koniecznym”
Wyników: 494

Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
Twierdzenie tożsame:
Opisać okrąg na czworokącie można wtedy i tylko wtedy gdy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.


1.1 Na czym polega tragedia ziemskiej logiki matematycznej?

Tragedia ziemskiej logiki matematycznej polega na braku kluczowych, zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i warunku koniecznego ~> które w algebrze Kubusia są następujące:
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q=~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q=p+~q

W obu definicjach p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Kolumny wynikowe są różne, z czego wynika różność powyższych tabel na mocy definicji:
p=>q ## p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>


1.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.


1.3 Armagedon ziemskiej logiki matematycznej

Są na świecie rzeczy o których ziemskim matematykom się nie śniło!

Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa:
TPP:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Bycie trójkątem prostokątnym jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych TP jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów SK
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna => = na 100% =>

Weźmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
TOP:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =1
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Bycie trójkątem w którym zachodzi suma kwadratów jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa oznacza, że zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów SK jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych TP
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna => = na 100% =>

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Podstawmy pod parametry formalne w powyższej definicji równoważności nasze twierdzenie Pitagorasa.
p=TP
q=SK
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: TP~>SK = 2: ~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów SK
TP<=>SK = A1: (TP=>SK) * B3: (SK=>TP) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p i q:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy do zbioru p
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Udowodniona równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych oznacza tożsamość zbiorów TP=SK.
Dwa zbiory TP i SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru TP należy => do zbioru SK i każdy element zbioru SK należy => do zbioru TP
TP=SK <=> A1: (TP=>SK) * B3: (SK=>TP) =1*1 =1

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.

Skorzystajmy z prawa kontrapozycji dla członów A1 i B3 w powyższej definicji równoważności.
Stąd mamy:
TP<=>SK = A4: (~SK=>~TP) * B2: (~TP=>~SK) = ~TP<=>~SK

Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~SK = B2: (~TP=>~SK) * A4: (~SK=>~TP)

Spełniona równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych oznacza tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Dwa zbiory ~TP i ~SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru ~TP należy => do zbioru ~SK i każdy element zbioru ~SK należy => do zbioru ~TP
~TP=~SK <=> B2: (~TP=>~SK) * A4: (~SK=>~TP)

Zapiszmy raz jeszcze.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = A1: (TP=>SK) * B3: (SK=>TP) =1*1 =1

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Skorzystajmy dla B3 z prawa Tygryska:
B3: (SK=>TP) = B1: (TP~>SK)

Stąd mamy wersję równoważności którą ziemscy matematycy (i nie tylko) doskonale znają nie potrafiąc jej udowodnić na gruncie rachunku zero-jedynkowego!

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny
TP<=>SK = B1: (TP~>SK) * A1: (TP=>SK) =1*1 =1

Zauważmy, że wobec udowodnionej tożsamości zbiorów TP=SK interpretacja warunku wystarczającego => i koniecznego ~> jest oczywista i banalna.

Matematyczne tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

I prawo śfinii:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p=>p = ~p+p =1

II prawo śfinii:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p = p+~p =1

Wypowiedzmy słownie twierdzenie Pitagorasa ze spełnionym warunkiem wystarczającym TP=>SK.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Wobec udowodnionej tożsamości zbiorów TP=SK warunek wystarczający => w twierdzeniu A1 jest spełniony (=1) bo I prawo śfinii.
I prawo śfinii:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
TP=>SK =1
Wymuszamy dowolny trójkąt ze zbioru TP i mamy gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt będzie w zbiorze SK

Wypowiedzmy słownie twierdzenie Pitagorasa ze spełnionym warunkiem koniecznym w tym samym kierunku między tymi samymi punktami TP~>SK.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP~>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Wobec udowodnionej tożsamości zbiorów TP=SK warunek konieczny ~> w twierdzeniu B1 jest spełniony (=1) bo II prawo śfinii.
II prawo śfinii:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
TP~>SK =1
Zabieram zbiór TP i znika mi zbiór SK
Zbiór TP jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru SK

Armagedon logiki matematycznej ziemian:
Zauważmy, że słowny zapis twierdzeń A1 i B1 jest identyczny z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to matematycznie zachodzi:
A1: TP=>SK ## B1: TP~>SK
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Gówno-dogmat logiki matematycznej ziemian:
Dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Innymi słowy wedle ziemian wobec tożsamości zdań A1 i B1 z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka zachodzi matematyczna tożsamość zdań:
A1: TP=>SK = B1: TP~>SK

Zobaczmy jakie są konsekwencje gówno-dogmatu ziemskich matematyków:
TP<=>SK = A1: (TP=>SK) * B1: (TP~>SK) = A1: (TP=>SK)
Doskonale widać, że na mocy gówno-dogmatu ziemian równoważność TP<=>SK jest logicznie tożsama z warunkiem wystarczającym TP=>SK
Tymczasem …
Kod:

Definicja równoważności <=>
   p  q p<=>q
A: 1  1   1
B: 1  0   0
C: 0  1   0
D: 0  0   1

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1  1   1
B: 1  0   0
C: 0  1   1
D: 0  0   1

Doskonale widać, że matematycznie zachodzi:
p<=>q ## p=>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przypomnijmy ten gwóźdź do trumny z napisem „Logika matematyczna ziemian”

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny
TP<=>SK = B1: (TP~>SK) * A1: (TP=>SK) =1*1 =1

Dowód iż ziemscy matematycy (i nie tylko) znają powyższą definicję równoważności w praktyce nie potrafiąc jej wyprowadzić na gruncie rachunku zero-jedynkowego!
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9 050
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 13:10, 28 Kwi 2019    Temat postu:

Dodatek B
Fatalna aksjomatyka logiki matematycznej ziemian

Taz napisał:


Artykuł dedykuję Fizykowi (Tazowi) który po przeczytaniu definicji aksjomatyki algebry Kubusia stwierdził że dalej nie ma co czytać bo pierwsze zdanie jest do bani.
Oczywistym jest, że przy takiej postawie ziemscy matematycy nie mają żadnych szans na zrozumienie algebry Kubusia - logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (z matematyką włącznie).
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-logika-naszego-wszechswiata,13065.html#446355
Algebra Kubusia w definicjach napisał:

1.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowa tabela szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają wszelkie prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnej:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.
Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)

Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - przedrostek „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q

Definicje elementarnych znaczków w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja negacji (~) na mocy tabeli T1
   p ~p
A: 1  0
B: 1  0
C: 0  1
D: 0  1

Po minimalizacji mamy:
Kod:

1.
Zero-jedynkowa definicja negacji (~)
   p ~p
A: 1  0
C: 0  1

Kod:

2.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

3.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1

Kod:

4.
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

5.
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Kod:

6.
Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
lub zdarzenia możliwego ~~>
   p   q p~~>q
A: 1~~>1  1
B: 1~~>0  1
C: 0~~>0  1
D: 0~~>1  1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~~>q = p*q+p*~q+~p*q+~p*~q
Dowód:
p~~>q = p*(q+~q)+~p(q+~q)=p+~p=1

Kod:

7.
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1   1
B: 1<=>0   0
C: 0<=>1   0
D: 0<=>0   1
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> p=1 i q=1 lub p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q

Kod:

8.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
   p  q p$q
A: 1$ 1  0
B: 1$ 0  1
C: 0$ 1  1
D: 0$ 0  0
Do łatwego zapamiętania:
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q


KONIEC!
W jedynej poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia, elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.

Zacznijmy od aksjomatyki algebry Boole’a rodem z Wikipedii.
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Algebra Boole’a – struktura algebraiczna definiowana przez zaledwie pięć znaczków [0,1,(~), (+),(*)], w której (+) i (*) są działaniami dwuargumentowymi. (~) działaniem jednoelementowym, zaś 0 i 1 wyróżnionymi elementami spełniająca następujące warunki:
1.
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r, p*(q*r) = (p*q)*r
2.
Przemienność:
p+q = q+p, p*q = q*p
3.
Absorpcja
p+(p*q)=p, p*(p+q)=p
4.
Rozdzielność:
(p+q)*(p+r) = p+q*r, (p*q)+(p*r) = p*(q+r)
5.
Pochłanianie:
p+~p=1, p*~p=0


Po pierwsze:

W definicji algebry Boole’a poza elementami wyróżnionymi (1,0) wyraźnie chodzi o zero-jedynkowe definicje (powtórzę: definicje) zaledwie trzech znaczków logiki matematycznej (~), (*) i (+).
Definicje te są znane nawet najbardziej łysemu, ziemskiemu matematykowi - bez trudu można je znaleźć w byle Wikipedii.
1.
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja negacji (~)
Kod:

1.
Zero-jedynkowa definicja negacji (~)
   p ~p
A: 1  0
C: 0  1

2.
Zero-jedynkowa definicja znaczka (*):
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

2.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

3.
Zero-jedynkowa definicja znaczka (+)
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:

3.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


Po drugie:

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Algebra Boole’a – struktura algebraiczna definiowana przez zaledwie pięć znaczków [0,1,(~), (+),(*)], w której (+) i (*) są działaniami dwuargumentowymi. (~) działaniem jednoelementowym, zaś 0 i 1 wyróżnionymi elementami spełniająca następujące warunki:
1.
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r, p*(q*r) = (p*q)*r
2.
Przemienność:
p+q = q+p, p*q = q*p
3.
Absorpcja
p+(p*q)=p, p*(p+q)=p
4.
Rozdzielność:
(p+q)*(p+r) = p+q*r, (p*q)+(p*r) = p*(q+r)
5.
Pochłanianie:
A: p+~p=1
B: p*~p=0

Wszystkie wyżej wymienione właściwości algebry Boole’a to najzwyklejsze prawa rachunku-zero jedynkowego!

Dowód dla 5.
Dowód w rachunku zero-jedynkowym 5A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=~p mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p ~p  p+~p
A: 1+ 1  1         | 1+ 0   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 0   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 1   1
D: 0+ 0  0         | 0+ 1   1
   1  2  3           4  5   6

Same jedynki w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa uzupełnienia do dziedziny D dla zbioru p
D = p+~p =1

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 5B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=~p mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p ~p  p*~p
A: 1* 1  1         | 1* 0   0
B: 1* 0  0         | 1* 0   0
C: 0* 1  0         | 0* 1   0
D: 0* 0  0         | 0* 1   0
   1  2  3           4  5   6

Same zera w kolumnie 6 są dowodem formalnym rozłączności zbiorów p i ~p
~D=p*~p =[] =0

Dochodzimy tu do sprzeczności czysto matematycznej, bowiem najzwyklejsze prawo rachunku zero-jedynkowego urasta w oczach ziemskich matematyków do „Bóg wie czego”.

Uważaj Fizyku:
Jeśli za aksjomatykę logiki matematycznej przyjmiemy dokładnie to co napisałem w pierwszym cytacie to będziemy mieć w głębokim poważaniu wszystkie 5 niby jakichś tam kluczowych dla logiki matematycznej definicji (aksjomatów) w postaci praw łączności, przemienności, absorpcji, rozdzielności i pochłaniania .. że o innych trywialnych prawach rachunku zero-jedynkowego nie wspomnę.
Choćby takich:
2.
Prawa redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*) oraz do 1 w spójniku „lub”(+)

Prawo redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*)
A: p*0 =0
Prawo redukcji zmiennych binarnych do 1 w spójniku „lub”(+)
B: p+1 =1
W ogólnym przypadku zmiennych może być dowolnie dużo i nie muszą to być te same zmienne:
p*q*r*0 =0
p+q+r+1 =1

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 2A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=0 mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  q  p*q
A: 1* 1  1         | 1* 0   0
B: 1* 0  0         | 1* 0   0
C: 0* 1  0         | 0* 0   0
D: 0* 0  0         | 0* 0   0
   1  2  3           4  5   6

Same zera w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa redukcji do 0 w spójniku „i”(*)
p*0 =0

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 2B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=1 mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  q  p+q
A: 1+ 1  1         | 1+ 1   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 1   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 1   1
D: 0+ 0  0         | 0+ 1   1
   1  2  3           4  5   6

Same jedynki w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa redukcji do 1 w spójniku „lub”(+)
p+1 =1

3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:

A: p*p = p
B: p+p = p
Powyższe prawa działają dla dowolnej ilości zmiennych binarnych:
p*p*p*…*p =p
p+p+p+…+p =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 3A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla p=q mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  p  p*p
A: 1* 1  1         | 1* 1   1
B: 1* 0  0         | 1* 1   1
C: 0* 1  0         | 0* 0   0
D: 0* 0  0         | 0* 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym prawa powielania/redukcji zmiennych binarnych połączonych spójnikiem „i”(*):
p*p =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 3B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla p=q mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  p  p+p
A: 1+ 1  1         | 1+ 1   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 1   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 0   0
D: 0+ 0  0         | 0+ 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym prawa powielania/redukcji zmiennych binarnych połączonych spójnikiem „lub”(+)
p+p =p

Po trzecie:

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków:

7.
Prawa De Morgana:

I Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
A: p*q = ~(~p+~q)
II Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
B: p+q = ~(~p*~q)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 7A:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0

Kod:

Dowód I prawa De Morgana:
p*q=~(~p+~q)
Definicja spójnika |            |
„i”(*)             |            |
   p  q p*q        |~p ~q ~p+~q | ~(~p+~q)
A: 1* 1  1         | 0  0   0   |    1
B: 1* 0  0         | 0  1   1   |    0
C: 0* 1  0         | 1  0   1   |    0
D: 0* 0  0         | 1  1   1   |    0
   1  2  3           4  5   6        7

Tożsamość kolumn 3=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Uwaga:
Nazwy zmiennych wejściowych nad kolumnami 1 i 2 mogą być w dowolnych przeczeniach.
Stąd wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „i”(*) to:
p*q = ~(~p+~q)
p*~q = ~(~p+q)
~p*q = ~(p+~q)
~p*~q = ~(p+q)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 7B:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0

Kod:

Dowód II prawa De Morgana:
p+q=~(~p*~q)
Definicja spójnika |            |
„lub”(+)           |            |
   p  q p+q        |~p ~q ~p*~q | ~(~p*~q)
A: 1  1  1         | 0  0   0   |    1
B: 1  0  1         | 0  1   0   |    1
C: 0  1  1         | 1  0   0   |    1
D: 0  0  0         | 1  1   1   |    0
   1  2  3           4  5   6        7

Tożsamość kolumn 3=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Uwaga:
Nazwy zmiennych wejściowych nad kolumnami 1 i 2 mogą być w dowolnych przeczeniach.
Stąd wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „lub”(+) to:
p+q = ~(~p*~q)
p+~q = ~(~p*q)
~p+q = ~(p*~q)
~p+~q = ~(p*q)

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków:
Błędne jest twierdzenie ziemskich matematyków jakoby na mocy prawa De Morgana zbędny był jeden ze spójników „i”(*) albo „lub”(+) bowiem do dowodu czysto matematycznego prawa De Morgana potrzebujemy zarówno zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) jak i zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+).
Innymi słowy:
Prawo De Morgana nie istnieje bez znajomości zero-jedynkowych definicji obu spójników „i’(*) i „lub”(+)
Innymi słowy:
Twierdzenie ziemskich matematyków iż w logice matematycznej można się obejść bez dowolnego spójnika „i”(*) albo „lub”(+) na mocy prawa De Morgana jest gówno-twierdzeniem.

Po czwarte:

Na algebrze Boole’a logika matematyczna się nie kończy!

Przypomnijmy gówno-definicję logiki matematycznej ziemian.
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Algebra Boole’a – struktura algebraiczna definiowana przez zaledwie pięć znaczków [0,1,(~), (+),(*)], w której (+) i (*) są działaniami dwuargumentowymi. (~) działaniem jednoelementowym, zaś 0 i 1 wyróżnionymi elementami spełniająca następujące warunki:
1.
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r, p*(q*r) = (p*q)*r
2.
Przemienność:
p+q = q+p, p*q = q*p
3.
Absorpcja
p+(p*q)=p, p*(p+q)=p
4.
Rozdzielność:
(p+q)*(p+r) = p+q*r, (p*q)+(p*r) = p*(q+r)
5.
Pochłanianie:
A: p+~p=1
B: p*~p=0


Zero-jedynkowe definicje kluczowych dla logiki matematycznej warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są następujące.

Kod:

4.
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

5.
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Z powyższych definicji wynikają następujące związki czysto matematyczne miedzy warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-logika-naszego-wszechswiata,13065.html#446355
Algebra Kubusia w defincijach napisał:

1.5 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q


Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.

1.5.1 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

1.5.2 Prawa Tygryska

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

1.5.3 Prawa kontrapozycji

Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.


Kwadratura koła dla Fizyka:
1.
Na 100% nie zaprzeczysz że zero-jedynkowe definicje znaczków => i ~> w twojej logice matematycznej są jak w cytacie wyżej
2.
Na 100% nie zaprzeczysz iż matematyczne związki miedzy znaczkami => i ~> w twojej logice matematycznej są jak wyżej.
3.
Ja pod te znaczki podłożyłem znaczenie:
I.
Definicja znaczka =>:
Jeśli p to q
p=>q =1 wtedy i tylko wtedy gdy p jest wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0
W przełożeniu na zbiory zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
II.
Definicja znaczka ~>:
Jeśli p to q
p~>q =1 wtedy i tylko wtedy gdy p jest konieczne ~> dla q
Inaczej:
p~>q =0
W przełożeniu na zbiory zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
4.
Mam nadzieję że zgadasz się Fizyku, że choćbyś zjadł 1000 kotletów i nie wiem jak się naprężał to nigdy w tej swojej gówno-aksjomatyce logiki matematycznej (nie ważne jaką tam ja masz) nie dojdziesz do banalnych związków matematycznych miedzy warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> zaprezentowanych w cytacie wyżej … czyli do praw Kubusia, Prosiaczka i praw kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Ciekaw jestem czy Fizyka stać na rzeczową dyskusję czyli ustosunkowanie się do niniejszego postu!

Na zakończenie zacytujmy głupka zwanego Wikipedią:

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Algebra Boole’a – struktura algebraiczna definiowana przez zaledwie pięć znaczków [0,1,(~), (+),(*)], w której (+) i (*) są działaniami dwuargumentowymi. (~) działaniem jednoelementowym, zaś 0 i 1 wyróżnionymi elementami spełniająca następujące warunki:
1.
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r, p*(q*r) = (p*q)*r
2.
Przemienność:
p+q = q+p, p*q = q*p
3.
Absorpcja
p+(p*q)=p, p*(p+q)=p
4.
Rozdzielność:
(p+q)*(p+r) = p+q*r, (p*q)+(p*r) = p*(q+r)
5.
Pochłanianie:
A: p+~p=1
B: p*~p=0

Minimalna aksjomatyzacja:
Powyższa (tradycyjna) definicja algebry Boole’a nie jest minimalna, np. nie jest konieczne wprowadzanie w niej symboli 0 i 1.
Mogą one być konsekwencją aksjomatyki, a nie niezbędną dla niej definicją.
A.
0 można zastąpić przez p*~p=0 a 1 przez p+~p=1
B.
Dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować spójnik „i”(*) albo „lub”(+).
C.
W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – dysjunkcją (NAND) lub binegacją (NOR).

Ad. A
Wikipedia napisał:

0 można zastąpić przez p*~p=0 a 1 przez p+~p=1

Prawo De Morgana:
7.
Prawa De Morgana:

I Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
A: p*q = ~(~p+~q)
II Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
B: p+q = ~(~p*~q)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 7A:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0

Kod:

Dowód I prawa De Morgana:
p*q=~(~p+~q)
Definicja spójnika |            |
„i”(*)             |            |
   p  q p*q        |~p ~q ~p+~q | ~(~p+~q)
A: 1* 1  1         | 0  0   0   |    1
B: 1* 0  0         | 0  1   1   |    0
C: 0* 1  0         | 1  0   1   |    0
D: 0* 0  0         | 1  1   1   |    0
   1  2  3           4  5   6        7

Tożsamość kolumn 3=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana:
p*q = ~(~p+~q)

Czekam na śmiałka który nieprawdopodobnie trywialne prawo De Morgana wytłumaczy uczniowi I klasy LO po zastąpieniu 0 i 1 tą głupotą:
1=p+~p
0=p*~p
Takie podstawienie, co z tego że matematycznie poprawne, to czysto matematyczna głupota w której nie sposób zrozumieć (udowodnić) prościuteńkie prawo De Morgana.
Zauważmy, że równie dobrze możemy dokonać takiego podstawienia:
1=p+~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p=p*(p+q)
gdzie:
q - może być dowolne złożoną funkcją logiczną

Stąd mamy:
1=p*(p+r*s+t*~u) +~p
Do dzieła matematyku, głupku z Wikipedii, udowodnij iż nie wolno mi podstawić pod 1 funkcji logicznej jak wyżej. Skoro ewidentnie mogę, to wal swoje wywody na temat logiki matematycznej w oparciu o powyższą definicje 1 z logiki matematycznej.


Ad. B
Wikipedia napisał:

Dzięki prawom de Morgana można też z aksjomatyki wyeliminować spójnik „i”(*) albo „lub”(+).

To jest matematyczna gówno- prawda.
Dowód wyżej w punkcie:
Po trzecie:
Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków:
Błędne jest twierdzenie ziemskich matematyków jakoby na mocy prawa De Morgana zbędny był jeden ze spójników „i”(*) albo „lub”(+) bowiem do dowodu czysto matematycznego prawa De Morgana potrzebujemy zarówno zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) jak i zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+).
Innymi słowy:
Prawo De Morgana nie istnieje bez znajomości zero-jedynkowych definicji obu spójników „i’(*) i „lub”(+)
Innymi słowy:
Twierdzenie ziemskich matematyków iż w logice matematycznej można się obejść bez dowolnego spójnika „i”(*) albo „lub”(+) na mocy prawa De Morgana jest gówno-twierdzeniem.

Ad. C
Wikipedia napisał:

W istocie wszystkie działania można tak naprawdę zastąpić jednym – dysjunkcją (NAND) lub binegacją (NOR).


I.
Spójnik NAND to zanegowany spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, którego w języku potocznym absolutnie nikt nie używa.
Y = pNANDq = ~(p*q) - definicja NAND w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q =~(pNANDq) - definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q p*q pNANDq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  0    1
C: 0  1  0    1
D: 0  0  0    1

II.
Spójnik NOR to zanegowany spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, którego w języku potocznym absolutnie nikt nie używa.
Y = pNORq = ~(p+q) - definicja NOR w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(pNORq) - definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q p+q pNORq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  1    0
C: 0  1  1    0
D: 0  0  0    1


Uwaga!
Miedzy spójnikami NAND i NOR obowiązują analogiczne prawa De Morgana jak w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Weźmy I.
1.
Y = pNANDq
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~pNOR~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = pNANDq = ~(~pNOR~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~pNOR~q = ~(pNANDq)


Weźmy II.
1.
Y=pNORq
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~pNAND~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = pNORq = ~(~pNAND~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~pNAND~q = ~(pNORq)

Mamy tu sytuację identyczną jak w Ad. B.

Dowód prawa De Morgana dla spójników NAND i NOR wymaga skorzystania z obu zero-jedynkowych definicji spójników NAND i NOR.
Błędem czysto matematycznym jest zatem twierdzenie, iż prawo De Morgana umożliwia eliminację dowolnego ze spójników NAND albo NOR.
Innymi słowy:
Prawo De Morgana nie istnieje bez znajomości zero-jedynkowych definicji obu spójników NAND i NOR.

Dlaczego żaden człowiek nie używa spójników NAND i NOR?

Popatrzmy:
I prawo De Morgana dla spójnika NAND:
pNANDq = ~(~pNOR~q)

Dowód:
Kod:

Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q p+q pNORq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  1    0
C: 0  1  1    0
D: 0  0  0    1

Kod:

Dowód prawa I De Morgana:
pNANDq = ~(~pNOR~q)
Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q ~p ~q p*q pNANDq ~(pNANDq) ~pNOR~q ~(~pNOR~q)
A: 1  1  0  0  1    0        1        1         0     
B: 1  0  0  1  0    1        0        0         1
C: 0  1  1  0  0    1        0        0         1
D: 0  0  1  1  0    1        0        0         1
   1  2  3  4  5    6        7        8         9

6=9 Prawo De Morgana:
pNANDq =~(~pNOR~q)
7=8 Prawo De Morgana:
~(pNANDq)=~pNOR~q
cnd

II Prawo De Morgana dla spójnika NOR:
pNORq = ~(~pNAND~q)

Dowód:
Kod:

Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q p*q pNANDq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  0    1
C: 0  1  0    1
D: 0  0  0    1

Kod:

Dowód prawa De Morgana:
pNORq=~(~pNAND~q)
Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q ~p ~q p+q pNORq ~(pNORq) ~pNAND~q ~(~pNAND~q)
A: 1  1  0  0  1    0      1        1          0
B: 1  0  0  1  1    0      1        1          0
C: 0  1  1  0  1    0      1        1          0
D: 0  0  1  1  0    1      0        0          1
   1  2  3  4  5    6      7        8          9

6=9 Prawo De Morgana:
pNORq = ~(~pNAND~q)
7=8 Prawo De Morgana:
~(pNORq) = ~pNAND~q

Pytanie do Fizyka:
Który normalny człowiek, nie matematyk, zrozumie matematyczną tożsamość:
Y=p*q = ~p NOR ~q
Innymi słowy:
Kto zamiast powiedzieć prościutkie zdanie:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
wypowie zdanie matematycznie tożsame:
2.
Jutro nie pójdziemy do kina NOR nie pójdziemy do teatru
Y = ~K NOR ~T

Czy już rozumiesz Fizyku, że spójniki NOR i NAND mają zero wspólnego z naturalną logiką człowieka, znaczy z logiką 5-cio latków, pań przedszkolanek i gospodyń domowych?
TAK/NIE

Kwadratura koła dla orłów logiki matematycznej: Fizyka, Idioty i Irbisola:
Pokażcie mi jedno jedyne zadanie matematyczne z całego obszaru matematyki gdzie zamiast prościutkiego spójnika „i”(*) użyto tożsamego spójnika NOR zgodnie z matematyczną, bezdyskusyjną tożsamością:
Y=p*q = ~p NOR ~q

P.S.
Znam Fizyka osobiście z dwóch sfińskich spotkań, wiem że z wykształcenia jest dobrym fizykiem tylko, czyli nie ma wykształcenia czysto matematycznego czy filozoficznego gdzie głupota zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań wykładana jest w pełnej krasie.
Ciekawe zatem co na temat niniejszego postu ma do powiedzenia Idiota, z wykształcenia filozof którego konikiem jest logika matematyczna.
… albo nasz zarozumiały Irbisol, który zjadł wszystkie rozumy, włącznie z własnym?

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:
Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:49, 29 Kwi 2019, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin