Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Śmieci

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:49, 03 Maj 2019    Temat postu: Śmieci

Algebra Kubusia dla LO


1.0 Algebra Boole’a

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Znaczenie znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - negacja, słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Znaczenie tych spójników w języku potocznym poznamy za chwilę na przykładach z fizyki, analizując prosty obwód elektryczny z żarówką i przyciskami sterującymi włączającymi/wyłączającymi ową żarówkę.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Zwyczajowymi zmiennymi w algebrze Boole’a są symbole:
p,q,r,Y

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Definicja logiki dodatniej i ujemnej
Dowolna zmienna binarna zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
p = pies
Dowolna zmienna binarna zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~p=nie pies


1.1 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)

II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Dowód na przykładzie:
Rozważmy sterowanie żarówką (diodą LED) jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
             S               A
       -------------       ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)


1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Znaczenie 1 i 0 w algebrze Boole’a:
1 = prawda
0 = fałsz
Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Najważniejsze prawa algebry Boole’a to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
p*1=p
p+1=1
3.
p*0=0
p+0=p
4.
p+~p=1
p*~p=0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
„lub”(+) = suma klasyczna (+) np. x+y
„i”(*) = iloczyn klasyczny (*) np. x*y
Stąd mamy kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Pojęcia matematycznie tożsame:
„i”(*) = koniunkcja (*)
„lub”(+) = alternatywa (+)

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p+p*q =p
Dowód:
p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd


1.3 Algorytm Wuja Zbója

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to funkcja zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Zdanie pani podlega pod definicję równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=> którą w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisuje następująca funkcja logiczna Y:
Podstawmy:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
~Y=1
Dla każdego ucznia I klasy LO odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

Dowód tego prawa na naszym przykładzie przy wykorzystaniu algorytmu Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej jest trywialny - poznajmy zatem ten tajemniczy algorytm Wuja.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
w technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
1.
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
3.
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
~Y = p*~q + ~p*q

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)

Oczywistym jest że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy że, żadna z funkcji koniunkcyjno-alternatywnych nie jest zrozumiała dla człowieka.
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego!
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

Na zakończenie ciekawostka:
Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) na piechotę z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie masakrą.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Na zakończenie zabawy z algebrą Boole’a zminimalizujmy funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, “i”(*), “lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd


1.4 Definicja operatora AND(|*)

Rozważmy schemat elektryczny żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi szeregowo.

Kod:

Schemat 2
             Y               q          p       
       -------------       ______     ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------


Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty

Doskonale widać że:
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p będzie wciśnięty (p=1) i przycisk q będzie wciśnięty (q=1)
A: Ya = p*q
co matematycznie oznacza:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y = ~p + ~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Zdanie matematycznie tożsame do 2 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka nie świeci się (~Y=1):
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = ~p*~q=1*1=1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: ~Yc = ~p* q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
D: ~Yd = p*~q=1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)

Funkcje ~Yb, ~Yc i ~Yd nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan nie świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
~Y = ~Ya + ~Yb + ~Yc
Po rozwinięciu mamy:
3.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1

Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji 2 i 3.
Minimalizujemy funkcje 3:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*(~q+q)+p*~q
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
cnd

stąd mamy matematyczną tożsamość:
~Y = ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q

Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
Kod:

Tabela 1
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |A: Y=p*q mamy        |tożsama
            |                     |                     | p  q  Y=p*q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1  1   1
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|( p=0)*( q=0)=( Yb=0)| 0  0   0
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=0)| 0  1   0
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=1)*( q=0)=( Yd=0)| 1  0   0
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  |Prawa Prosiaczka     |
                                  |(~p =1)=( p =0)      |
                                  |(~q =1)=( q =0)      |
                                  |(~Yx=1)=( Yx=0)      |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A:
A: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
Nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD123 pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której kodowana jest tabela zero-jedynkowa, czyli wskazuje linię A.
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
De facto jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy wyłącznie linii A.

Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
~Y=~p+~q
która opisuje część BCDabc tabeli symbolicznej.
Kod:

Tabela 1
Tabela      |Co matematycznie     |Dla punktu           |Tabela
symboliczna |oznacza              |odniesienia          |matematycznie
            |                     |BCD:~Y=~p+~q mamy    |tożsama
            |                     |                     |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0  0   0
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)| 1  1   1
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)| 1  0   1
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yd=1)| 0  1   1
   a  b  c     d      e      f       g      h      I      1  2   3
                                  |Prawa Prosiaczka     |
                                  |( p =1)=(~p =0)      |
                                  |( q =1)=(~q =0)      |
                                  |( Ya=1)=(~Ya=0)      |

Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na obszarze BCDabc tabeli symbolicznej definiującej spójnik „lub”(+)
BCD: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> p=1 lub q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD123 pokazuje obszar BCDabc w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której kodowana jest tabela zero-jedynkowa, czyli wskazuje linie BCD.
BCD: ~Y=~p+~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
De facto jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy wyłącznie obszaru BCD123.

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) musi opisywać wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora AND(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Podsumowując:
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:
Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Definicja do zapamiętania:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej
















Kod:

Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Definicja do zapamiętania:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej

8.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 23:36, 01 Lis 2019, w całości zmieniany 34 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin