ŚFiNiA

rafal3006 · 2009-03-31 Koniec

Beta 1.0
Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści:

1.0 Notacja w algebrze Kubusia

2.0 Definicja algebry Kubusia
2.1 Definicje operatorów logicznych
2.2 Prawa Kubusia
2.3 Logika dodatnia i ujemna

3.0 Teoria implikacji w pigułce
3.1 Definicje implikacji prostej i odwrotnej
3.2 Najprostsza teoria matematyczna świata
3.3 Matematyka języka mówionego w przedszkolu
3.4 Aktualny stan matematyki w zakresie implikacji

4.0 Algebra Kubusia - implikacja
4.1 Prawa matematyczne implikacji
4.2 Prawa matematyczne równoważności
4.3 Naturalne kodowanie zdań
4.4 Symboliczne definicje operatorów

5.0 Nowa definicja implikacji
5.1 Definicje operatorów
5.2 Definicje spójników zdaniowych
5.3 Matematyczne kodowanie zdań
5.4 Pełny kwadrat logiczny implikacji
5.5 Równoważne definicje implikacji prostej
5.6 Równoważne definicje implikacji odwrotnej
5.7 Uproszczony kwadrat logiczny implikacji
5.8 Algorytm działania implikacji prostej
5.9 Algorytm działania implikacji odwrotnej
5.10 Kwadrat logiczny równoważności

6.0 Istota implikacji
6.1 Planeta implikacji
6.2 Implikacja w praktyce
6.3 Równoważność tabel zero-jedynkowych w logice dodatniej i ujemnej

7.0 Obietnice i groźby
7.1 Obietnice
7.2 Groźby

8.0 Podsumowanie

Wstęp:
Od 2500 lat ludzie poszukują logiki człowieka, czyli implikacji którą się on posługuje, dotychczas bez powodzenia. Żadna ze znanych implikacji, materialna, logiczna i ścisła tego nie robi. Powodem niepowodzeń jest fałszywy fundament dzisiejszej logiki w zakresie implikacji, według którego implikacja odwrotna jest zbędna. Tymczasem implikacją prostą => i odwrotną ~> plus prawami Kubusia doskonale posługują się wszystkie dzieci w przedszkolu milion razy na dobę. Musi to być zatem właściwy fundament którego logicy całego świata szukają.

W rzeczywistości implikacja to najprostszy ze spójników zdaniowych, nieporównywalnie prostszy od spójników technicznych AND(*), OR(*) i negacji na bazie których zbudowana jest cała dzisiejsza technika, z komputerami i Internetem na czele.

1.0 Notacja w algebrze Kubusia

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Spójniki zdaniowe:
=> - „musi”, implikacja prosta, warunek wystarczający między p i q
~> - „może”, implikacja odwrotna, warunek konieczny między p i q
~~> - MOŻE (wystarczy jedna prawda), warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna.

2.0 Definicja algebry Kubusia

Lista operatorów logicznych:

rafal3006 · 2009-04-12 Koniec

Beta 2.0
Pożegnalny post Kubusia ze ŚFINIĄ ... w sumie wyszło że góra urodziła mysz ... :grin:

Nie myli się tylko ten kto nic nie robi ….

Szukając cytatu z dyskusji z Vorathem Kubuś natknął się na post którego szukał i doznał olśnienia ….

Logicy sami nie wiedzą co mają !

Autor: Kubuś, wirtualny Internetowy Miś

rafal3006 · 2009-05-08 Koniec

Beta 3.0
Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Algebra Kubusia
matematyka języka mówionego

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Fabryka robotów ?

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Boole’a
2.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
2.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
2.3 Funkcja iloczynu logicznego
2.4 Funkcja sumy logicznej
2.5 Funkcja implikacji prostej
2.6 Funkcja implikacji odwrotnej

3.0 Algebra Kubusia - operatory „musi” => i „może” ~>
3.1 Definicja algebry Kubusia
3.2 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej
3.3 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.4 Prawa Kubusia
3.5 Implikacja w bramkach logicznych

4.0 Obietnice i groźby
4.1 Obietnice
4.2 Groźby

5.0 Algebra Kubusia w pigułce
5.1 Definicje operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
5.2 Prawa matematyczne implikacji
5.3 Prawa matematyczne równoważności
5.4 Naturalne kodowanie zdań
5.5 Definicje spójników zdaniowych
5.6 Matematyczne kodowanie zdań
5.7 Sens implikacji prostej
5.8 Sens implikacji odwrotnej

6.0 Metody dowodzenia praw implikacyjnych
6.1 Metoda równań algebry Boole’a
6.2 Metoda makarona czterojajecznego
6.2.1 Dowód p=>q # q~>p metoda makarona czterojajecznego
6.3 Metoda symboliczna Kubusia
6.3.1 Dowód p=>q # q~>p metodą symboliczną Kubusia
6.4 Dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji

7.0 Kwadratura koła w dzisiejszej matematyce
7.1 Rozwiązanie kwadratury koła

Wstęp.

Matematycy kompletnie nie rozumieją implikacji czego dowód jest tutaj. Algebra Boole’a jest dobra w obszarze spójników AND(„i”) i OR(„lub”) i kompletnie bez sensu w obszarze implikacji. W definicji algebry Boole’a brakuje operatorów implikacji, spójników „musi” => i „może” ~>. Implikacja, opisująca między innymi wolną wolę wszelkich istot żywych sprowadzona została do technicznych spójników AND i OR, czyli wolną wolę człowieka usiłuje się opisać aparatem matematycznym dobrym w świecie techniki.

Do matematycznego opisu zachowania się wszelkich istot żywych niezbędne są bramki „musi” => i „może” ~>, to dwie różne definicje zero-jedynkowe, dwa różne operatory logiczne.

Algebra Kobusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji operatorami „musi”=> i „może” ~>. W naturalnej logice człowiek posługuje się prawie wyłącznie tymi operatorami plus prawami Kubusia. Prawa Kubusia to odpowiedź na pytanie co będzie gdy nie zajdzie poprzednik p. W języku mówionym gwarancja wynika bezpośrednio z definicji operatora „musi” =>, stąd wszyscy wiedzą kiedy w przyszłości dotrzymają słowa a kiedy skłamią. Oczywiście każde dziecko w przedszkolu bez problemu przejdzie do operatorów ślepych AND(*) i OR(+) i odpowie kiedy wystąpi kłamstwo innym sposobem, to jedyny sensowny powód takiego przejścia. W operatorach „musi” => i „może” ~> nie wolno zamieniać argumentów p i q. Matematyczne przejście z operatorów „musi” => i „może” ~> do operatorów AND(*) i OR(+) wymusza zatem brak przemienności argumentów w AND(*) i OR(+). Matematycy o tym nie wiedzą i z zapałem zamieniają te argumenty błędnie sądząc, iż dalej jest to implikacja. Zamiana argumentów p i q dozwolona jest w równoważności, dlatego dzisiejsze pojęcie ”implikacji” zdaje egzamin jedynie w matematyce bo wszystkie twierdzenia matematyczne to równoważności i totalnie zawodzi w świecie rzeczywistym gdzie równoważność praktycznie nie występuje, tu króluje implikacja.

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe:
=> - „musi”, implikacja prosta, warunek wystarczający między p i q
~> - „może”, implikacja odwrotna, warunek konieczny między p i q
~~> - naturalny spójnik MOŻE (wystarczy jedna prawda), warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna.

1.1 Fabryka robotów ?

Za moich czasów, wcale nie tak dawnych świat był normalny. Skończyłem normalne szkoły na Politechnice Warszawskiej kończąc (elektronika) i nigdy nie słyszałem o bzdurze zwanej „kwantyfikatorem”. Na matematyce w szkole średniej w temacie implikacja była w podręczniku wyłącznie tabelka zero-jedynkowa z której wszyscy się śmiali, nauczyciel matematyki nawet na to badziewie nie zwrócił uwagi. Świat był wówczas normalny czyli wszystkie twierdzenia w szkole średniej i na studiach technicznych były równoważnościami. W międzyczasie musiało dojść do jakiegoś przełomowego odkrycia bo okazuje się dzisiaj, że wiele twierdzeń np. twierdzenie Pitagorasa nagle stało się implikacjami.

Najtragiczniejsze jest to, że dzisiejsza szkoła usiłuje robić z ucznia robota czyli poprawne twierdzenie musi być superprecyzyjne, wypowiedziane w jedynie słuszny sposób.

Za moich czasów wystarczało to:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Dla wszystkich była to równoważność, nikt się nie pytał czy to może być implikacja bo nikt nie wiedział co to jest implikacja, łącznie z nauczycielem matematyki. W świecie techniki tabela zero-jedynkowa implikacji to najzwyklejszy idiotyzm, nic więcej.

W dniu dzisiejszym mamy taką sytuację na lekcjach matematyki w szkole podstawowej.

Pani do Jasia:
Poproszę o definicję trójkąta równobocznego …
Jaś:
Jeśli trójkąt ma równe boki to jest równoboczny

To nie jest poprawne twierdzenie matematyczne Jasiu, powiedz to inaczej.
Jaś:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
Pani:
Źle Jasiu, spróbuj inaczej.
Jaś:
Trójkąt jest równoboczny gdy ma wszystkie boki równe

Ty zakuta pało, ile razy mam wam powtarzać że to równoważność zatem jedynie poprawne są takie zdania.
Pani:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
Jaś:
Ale proszę Pani to nie jest prawda bo jest równoboczny także wtedy gdy ma boki równe ….

Przestańmy robić z dzieci i siebie idiotów na lekcjach matematyki.

Człowiek to nie komputer, zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności.

Można powiedzieć:
Jeśli trójkąt ma równe boki to jest równoboczny

Domyślnie wszelkie twierdzenia matematyczne to równoważności. Oczywiście zapis matematyczny powyższego twierdzenia jeśli nie wiedzieć po co będzie wymagała Pani to:
BR<=>R.

Zauważmy, że jeśli twierdzenie jest poprawnie powiedziane, a można to zrobić na bardzo dużo sposobów (dwa wyżej), to Pani powinna spytać czy to implikacja tylko w stosunku do implikacji bo równoważności w matematyce są domyślne.

Implikacją jest prawidło matematyczne:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Prawidło matematyczne, nie twierdzenie - to autentyczne określenie wykładowcy logiki.

W implikacji obowiązują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - tu po obu stronach jest IDENTYCZNA bramka logiczna „na pewno” =>
p~>q = ~p=>~q - tu po obu stronach jest IDENTYCZNA bramka logiczna „może” ~>

W obu powyższych równaniach mamy do czynienia ze spójnikiem może ~>. Gdyby jakiekolwiek twierdzenie było rzeczywiście implikacją to mamy tak:

Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P

… ale zdanie absolutnie równoważne do powyższego, z identyczną gwarancją w każdym przecinku i literce jest takie.

Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P

Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P

Jaka jest użyteczność takiego twierdzenia w matematyce ?

Oczywiście chmury mają „wolną wolę” i jedyne co możemy to rzucać monetą …
orzełek - będzie padać
reszka - nie będzie padać

Implikacja to między innymi matematyczny opis wolnej woli w świecie wszelkich istot żywych, w technice to idiotyzm. Nie da się na bazie definicji implikacji zbudować jakiejkolwiek użytecznej logiki, mającej zastosowanie np. w technice.

Nie zabijajmy w dzieciach wyobraźni, nie rozkazujmy im wypowiadać twierdzeń matematycznych w jedynie słuszny sposób, to już było, to komunizm.

Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy
Albert Einstein

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Boole’a

Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji to fundament matematyczny algebry Boole’a. Bezpośrednio z tych pojęć wynika przemienność argumentów w ślepych operatorach AND(*) i OR(+) oraz brak przemienności argumentów w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>.
Brak przemienności argumentów w operatorach implikacyjnych przenosi się oczywiście na brak przemienności w implikacyjnych AND(*) i OR(+) wynikających z tych operatorów czyli:
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
To jest fundamentalna różnica wymuszająca włączenie operatorów implikacyjnych do poprawnej definicji algebry Boole’a. Oczywiście algebrę Boole’a uzupełnioną w definicji o operatory implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> mamy prawo nazwać, niech to będzie algebra Kubusia.

2.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji

W drugiej klasie szkoły podstawowej Pani na kartkówce zadała uczniom napisanie tabliczki mnożenia do 100. Wszystkie dzieci zrobiły to w sposób uporządkowany, łatwy do sprawdzenia. Jedynie dowcipny Jaś oddał kartkę pozornie bez sensu, bo poszczególne działania poustawiane były w sposób losowy, taki groch z kapustą.

Jak sprawdzić czy Jaś wykonał poprawnie zadanie ?

Oczywiście należy wykreślać po kolei jedno działanie z kartki uporządkowanej, odszukać identyczne w Jasiowym bałaganie i też je skreślić. Jeśli na końcu okaże się że Jaś zapisał wszystkie działania poprawnie i żadnego nie brakuje to Jaś wykonał zadanie poprawnie, powinien dostać 6 za fajny dowcip.

Ogólnie na obu kartkach z tabliczką mnożenia może być dowolny bałagan byleby zawierały wszystkie mnożenia do 100, co wynika z definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji. Zobaczmy to na przykładzie budując tabelę mnożenia do dziewięciu.

2.2 Funkcja iloczynu algebraicznego

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3} jest zbiór C = AxB składający się z par liczb (a,b), gdzie a jest liczbą ze zbioru A, zaś b jest liczbą ze zbioru B. Innymi słowy, zbiór C wygląda tak: C = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Wobec tego zadanie, jakie otrzymały dzieci, polegało na tym, żeby każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B przyporządkować liczbę całkowitą równą iloczynowi algebraicznemu liczb zawartych w tym elemencie.

Oznaczmy:
* - matematyczny operator iloczynu algebraicznego, funkcja mnożenia algebraicznego (nie mylić z iloczynem logicznym AND !)

rafal3006 · 2009-05-08 Koniec

Beta 3.0

Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Algebra Kubusia
matematyka języka mówionego

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Fabryka robotów ?

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Boole’a
2.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
2.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
2.3 Funkcja iloczynu logicznego
2.4 Funkcja sumy logicznej
2.5 Funkcja implikacji prostej
2.6 Funkcja implikacji odwrotnej

3.0 Algebra Kubusia - operatory „musi” => i „może” ~>
3.1 Definicja algebry Kubusia
3.2 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej
3.3 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.4 Prawa Kubusia
3.5 Implikacja w bramkach logicznych

4.0 Obietnice i groźby
4.1 Obietnice
4.2 Groźby

5.0 Algebra Kubusia w pigułce
5.1 Definicje operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
5.2 Prawa matematyczne implikacji
5.3 Prawa matematyczne równoważności
5.4 Naturalne kodowanie zdań
5.5 Definicje spójników zdaniowych
5.6 Matematyczne kodowanie zdań
5.7 Sens implikacji prostej
5.8 Sens implikacji odwrotnej

6.0 Metody dowodzenia praw implikacyjnych
6.1 Metoda równań algebry Boole’a
6.2 Metoda makarona czterojajecznego
6.2.1 Dowód p=>q # q~>p metoda makarona czterojajecznego
6.3 Metoda symboliczna Kubusia
6.3.1 Dowód p=>q # q~>p metodą symboliczną Kubusia
6.4 Dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji

7.0 Kwadratura koła w dzisiejszej matematyce
7.1 Rozwiązanie kwadratury koła

Wstęp.

Matematycy kompletnie nie rozumieją implikacji czego dowód jest tutaj. Algebra Boole’a jest dobra w obszarze spójników AND(„i”) i OR(„lub”) i kompletnie bez sensu w obszarze implikacji. W definicji algebry Boole’a brakuje operatorów implikacji, spójników „musi” => i „może” ~>. Implikacja, opisująca między innymi wolną wolę wszelkich istot żywych sprowadzona została do technicznych spójników AND i OR, czyli wolną wolę człowieka usiłuje się opisać aparatem matematycznym dobrym w świecie techniki.

Do matematycznego opisu zachowania się wszelkich istot żywych niezbędne są bramki „musi” => i „może” ~>, to dwie różne definicje zero-jedynkowe, dwa różne operatory logiczne.

Algebra Kobusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji operatorami „musi”=> i „może” ~>. W naturalnej logice człowiek posługuje się prawie wyłącznie tymi operatorami plus prawami Kubusia. Prawa Kubusia to odpowiedź na pytanie co będzie gdy nie zajdzie poprzednik p. W języku mówionym gwarancja wynika bezpośrednio z definicji operatora „musi” =>, stąd wszyscy wiedzą kiedy w przyszłości dotrzymają słowa a kiedy skłamią. Oczywiście każde dziecko w przedszkolu bez problemu przejdzie do operatorów ślepych AND(*) i OR(+) i odpowie kiedy wystąpi kłamstwo innym sposobem, to jedyny sensowny powód takiego przejścia. W operatorach „musi” => i „może” ~> nie wolno zamieniać argumentów p i q. Matematyczne przejście z operatorów „musi” => i „może” ~> do operatorów AND(*) i OR(+) wymusza zatem brak przemienności argumentów w AND(*) i OR(+). Matematycy o tym nie wiedzą i z zapałem zamieniają te argumenty błędnie sądząc, iż dalej jest to implikacja. Zamiana argumentów p i q dozwolona jest w równoważności, dlatego dzisiejsze pojęcie ”implikacji” zdaje egzamin jedynie w matematyce bo wszystkie twierdzenia matematyczne to równoważności i totalnie zawodzi w świecie rzeczywistym gdzie równoważność praktycznie nie występuje, tu króluje implikacja.

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe:
=> - „musi”, implikacja prosta, warunek wystarczający między p i q
~> - „może”, implikacja odwrotna, warunek konieczny między p i q
~~> - naturalny spójnik MOŻE (wystarczy jedna prawda), warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna.

1.1 Fabryka robotów ?

Za moich czasów, wcale nie tak dawnych świat był normalny. Skończyłem normalne szkoły na Politechnice Warszawskiej kończąc (elektronika) i nigdy nie słyszałem o bzdurze zwanej „kwantyfikatorem”. Na matematyce w szkole średniej w temacie implikacja była w podręczniku wyłącznie tabelka zero-jedynkowa z której wszyscy się śmiali, nauczyciel matematyki nawet na to badziewie nie zwrócił uwagi. Świat był wówczas normalny czyli wszystkie twierdzenia w szkole średniej i na studiach technicznych były równoważnościami. W międzyczasie musiało dojść do jakiegoś przełomowego odkrycia bo okazuje się dzisiaj, że wiele twierdzeń np. twierdzenie Pitagorasa nagle stało się implikacjami.

Najtragiczniejsze jest to, że dzisiejsza szkoła usiłuje robić z ucznia robota czyli poprawne twierdzenie musi być superprecyzyjne, wypowiedziane w jedynie słuszny sposób.

Za moich czasów wystarczało to:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Dla wszystkich była to równoważność, nikt się nie pytał czy to może być implikacja bo nikt nie wiedział co to jest implikacja, łącznie z nauczycielem matematyki. W świecie techniki tabela zero-jedynkowa implikacji to najzwyklejszy idiotyzm, nic więcej.

W dniu dzisiejszym mamy taką sytuację na lekcjach matematyki w szkole podstawowej.

Pani do Jasia:
Poproszę o definicję trójkąta równobocznego …
Jaś:
Jeśli trójkąt ma równe boki to jest równoboczny

To nie jest poprawne twierdzenie matematyczne Jasiu, powiedz to inaczej.
Jaś:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
Pani:
Źle Jasiu, spróbuj inaczej.
Jaś:
Trójkąt jest równoboczny gdy ma wszystkie boki równe

Ty zakuta pało, ile razy mam wam powtarzać że to równoważność zatem jedynie poprawne są takie zdania.
Pani:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
Jaś:
Ale proszę Pani to nie jest prawda bo jest równoboczny także wtedy gdy ma boki równe ….

Przestańmy robić z dzieci i siebie idiotów na lekcjach matematyki.

Człowiek to nie komputer, zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności.

Można powiedzieć:
Jeśli trójkąt ma równe boki to jest równoboczny

Domyślnie wszelkie twierdzenia matematyczne to równoważności. Oczywiście zapis matematyczny powyższego twierdzenia jeśli nie wiedzieć po co będzie wymagała Pani to:
BR<=>R.

Zauważmy, że jeśli twierdzenie jest poprawnie powiedziane, a można to zrobić na bardzo dużo sposobów (dwa wyżej), to Pani powinna spytać czy to implikacja tylko w stosunku do implikacji bo równoważności w matematyce są domyślne.

Implikacją jest prawidło matematyczne:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Prawidło matematyczne, nie twierdzenie - to autentyczne określenie wykładowcy logiki.

W implikacji obowiązują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - tu po obu stronach jest IDENTYCZNA bramka logiczna „na pewno” =>
p~>q = ~p=>~q - tu po obu stronach jest IDENTYCZNA bramka logiczna „może” ~>

W obu powyższych równaniach mamy do czynienia ze spójnikiem może ~>. Gdyby jakiekolwiek twierdzenie było rzeczywiście implikacją to mamy tak:

Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P

… ale zdanie absolutnie równoważne do powyższego, z identyczną gwarancją w każdym przecinku i literce jest takie.

Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P

Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P

Jaka jest użyteczność takiego twierdzenia w matematyce ?

Oczywiście chmury mają „wolną wolę” i jedyne co możemy to rzucać monetą …
orzełek - będzie padać
reszka - nie będzie padać

Implikacja to między innymi matematyczny opis wolnej woli w świecie wszelkich istot żywych, w technice to idiotyzm. Nie da się na bazie definicji implikacji zbudować jakiejkolwiek użytecznej logiki, mającej zastosowanie np. w technice.

Nie zabijajmy w dzieciach wyobraźni, nie rozkazujmy im wypowiadać twierdzeń matematycznych w jedynie słuszny sposób, to już było, to komunizm.

Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy
Albert Einstein

2.0 Matematyczne fundamenty algebry Boole’a

Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji to fundament matematyczny algebry Boole’a. Bezpośrednio z tych pojęć wynika przemienność argumentów w ślepych operatorach AND(*) i OR(+) oraz brak przemienności argumentów w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>.
Brak przemienności argumentów w operatorach implikacyjnych przenosi się oczywiście na brak przemienności w implikacyjnych AND(*) i OR(+) wynikających z tych operatorów czyli:
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
To jest fundamentalna różnica wymuszająca włączenie operatorów implikacyjnych do poprawnej definicji algebry Boole’a. Oczywiście algebrę Boole’a uzupełnioną w definicji o operatory implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> mamy prawo nazwać, niech to będzie algebra Kubusia.

2.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji

W drugiej klasie szkoły podstawowej Pani na kartkówce zadała uczniom napisanie tabliczki mnożenia do 100. Wszystkie dzieci zrobiły to w sposób uporządkowany, łatwy do sprawdzenia. Jedynie dowcipny Jaś oddał kartkę pozornie bez sensu, bo poszczególne działania poustawiane były w sposób losowy, taki groch z kapustą.

Jak sprawdzić czy Jaś wykonał poprawnie zadanie ?

Oczywiście należy wykreślać po kolei jedno działanie z kartki uporządkowanej, odszukać identyczne w Jasiowym bałaganie i też je skreślić. Jeśli na końcu okaże się że Jaś zapisał wszystkie działania poprawnie i żadnego nie brakuje to Jaś wykonał zadanie poprawnie, powinien dostać 6 za fajny dowcip.

Ogólnie na obu kartkach z tabliczką mnożenia może być dowolny bałagan byleby zawierały wszystkie mnożenia do 100, co wynika z definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji. Zobaczmy to na przykładzie budując tabelę mnożenia do dziewięciu.

2.2 Funkcja iloczynu algebraicznego

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3} jest zbiór C = AxB składający się z par liczb (a,b), gdzie a jest liczbą ze zbioru A, zaś b jest liczbą ze zbioru B. Innymi słowy, zbiór C wygląda tak: C = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Wobec tego zadanie, jakie otrzymały dzieci, polegało na tym, żeby każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B przyporządkować liczbę całkowitą równą iloczynowi algebraicznemu liczb zawartych w tym elemencie.

Oznaczmy:
* - matematyczny operator iloczynu algebraicznego, funkcja mnożenia algebraicznego (nie mylić z iloczynem logicznym AND !)

rafal3006

Beta v5.0
Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).

Algebra Kubusia
matematyka języka mówionego

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Fabryka robotów ?

2.0 Algebra Kubusia
2.1 Definicja algebry Kubusia

3.0 Matematyczne fundamenty algebry Boole’a
3.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
3.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
3.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
3.4 Funkcja sumy logicznej OR(+)
3.5 Logika dodatnia i ujemna w bramkach logicznych
3.6 Prawo de’Morgana dla sumy logicznej
3.7 Prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
3.8 Logika dodatnia i ujemna w operatorach AND i OR
3.9 Matematyczne związki operatorów typu AND(*) i OR(+)

4.0 Ogólna algebra Boole’a
4.1 Logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a
4.2 Logika dodatnia i ujemna człowieka

5.0 Implikacja
5.1 Logika przedszkolaka
5.2 Funkcja implikacji prostej
5.3 Funkcja implikacji odwrotnej
5.4 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
5.5 Prawa Kubusia w równaniach matematycznych
5.6 Implikacja w bramkach logicznych

6.0 Operatorowe definicje implikacji
6.1 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej
6.2 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej

7.0 Obietnice i groźby
7.1 Obietnice
7.2 Groźby

8.0 Algebra Kubusia w pigułce
8.1 Definicje operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>
8.2 Prawa matematyczne implikacji
8.3 Prawa matematyczne równoważności
8.4 Naturalne kodowanie zdań
8.5 Definicje spójników zdaniowych
8.6 Matematyczne kodowanie zdań
8.7 Sens implikacji prostej
8.8 Sens implikacji odwrotnej

9.0 Zburzenie starej logiki w zakresie implikacji
9.1 Dowód p=>q # q~>p metodą równań algebry Boole’a

10.0 Kwadratura koła w dzisiejszej matematyce
10.1 Rozwiązanie kwadratury koła
10.2 Jednoznaczność zapisu ogólnego w implikacji

Wstęp.

Matematycy kompletnie nie rozumieją implikacji czego dowód jest tutaj oraz tutaj. Algebra Boole’a jest dobra w obszarze spójników AND(„i”) i OR(„lub”) i kompletnie bez sensu w obszarze implikacji. W definicji algebry Boole’a brakuje operatorów implikacji, spójników „musi” => i „może” ~>. Implikacja, opisująca między innymi wolną wolę wszelkich istot żywych sprowadzona została do technicznych spójników AND i OR, czyli wolną wolę człowieka usiłuje się opisać aparatem matematycznym dobrym w świecie techniki.

Do matematycznego opisu zachowania się wszelkich istot żywych niezbędne są bramki „musi” => i „może” ~>, to dwie różne definicje zero-jedynkowe, dwa różne operatory logiczne.

Algebra Kobusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji operatorami „musi”=> i „może” ~>. W naturalnej logice człowiek posługuje się prawie wyłącznie tymi operatorami plus prawami Kubusia. Prawa Kubusia to odpowiedź na pytanie co będzie gdy nie zajdzie poprzednik p. W języku mówionym gwarancja wynika bezpośrednio z definicji operatora „musi” =>, stąd wszyscy wiedzą kiedy w przyszłości dotrzymają słowa a kiedy skłamią. Oczywiście każde dziecko w przedszkolu bez problemu przejdzie do operatorów ślepych AND(*) i OR(+) i odpowie kiedy wystąpi kłamstwo innym sposobem, to jedyny sensowny powód takiego przejścia. W operatorach „musi” => i „może” ~> nie wolno zamieniać argumentów p i q. Matematyczne przejście z operatorów „musi” => i „może” ~> do operatorów AND(*) i OR(+) wymusza zatem brak przemienności argumentów w AND(*) i OR(+). Matematycy o tym nie wiedzą i z zapałem zamieniają te argumenty błędnie sądząc, iż dalej jest to implikacja. Zamiana argumentów p i q dozwolona jest w równoważności, dlatego dzisiejsze pojęcie ”implikacji” zdaje egzamin jedynie w matematyce bo wszystkie twierdzenia matematyczne to równoważności i totalnie zawodzi w świecie rzeczywistym gdzie równoważność praktycznie nie występuje, tu króluje implikacja.

To jest podręcznik, przy pomocy którego chciałbym poznać fundamenty techniki cyfrowej, gdybym miał znowu 16 lat.
Kubuś

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe:
=> - „musi”, implikacja prosta, warunek wystarczający między p i q
~> - „może”, implikacja odwrotna, warunek konieczny między p i q
~~> - naturalny spójnik MOŻE (wystarczy jedna prawda), warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna.

1.1 Fabryka robotów ?

Za moich czasów, wcale nie tak dawnych świat był normalny. Skończyłem normalne szkoły na Politechnice Warszawskiej kończąc (elektronika) i nigdy nie słyszałem o bzdurze zwanej „kwantyfikatorem”. Na matematyce w szkole średniej w temacie implikacja była w podręczniku wyłącznie tabelka zero-jedynkowa z której wszyscy się śmiali, nauczyciel matematyki nawet na to badziewie nie zwrócił uwagi. Świat był wówczas normalny czyli wszystkie twierdzenia w szkole średniej i na studiach technicznych były równoważnościami. W międzyczasie musiało dojść do jakiegoś przełomowego odkrycia bo okazuje się dzisiaj, że wiele twierdzeń np. twierdzenie Pitagorasa nagle stało się implikacjami.

Najtragiczniejsze jest to, że dzisiejsza szkoła usiłuje robić z ucznia robota czyli poprawne twierdzenie musi być superprecyzyjne, wypowiedziane w jedynie słuszny sposób.

Za moich czasów wystarczało to:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Dla wszystkich była to równoważność, nikt się nie pytał czy to może być implikacja bo nikt nie wiedział co to jest implikacja, łącznie z nauczycielem matematyki. W świecie techniki tabela zero-jedynkowa implikacji to najzwyklejszy idiotyzm, nic więcej.

W dniu dzisiejszym mamy taką sytuację na lekcjach matematyki w szkole podstawowej.

Pani do Jasia:
Poproszę o definicję trójkąta równobocznego …
Jaś:
Jeśli trójkąt ma równe boki to jest równoboczny

To nie jest poprawne twierdzenie matematyczne Jasiu, powiedz to inaczej.
Jaś:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
Pani:
Źle Jasiu, spróbuj inaczej.
Jaś:
Trójkąt jest równoboczny gdy ma wszystkie boki równe

Ty zakuta pało, ile razy mam wam powtarzać że to równoważność zatem jedynie poprawne są takie zdania.
Pani:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
Jaś:
Ale proszę Pani to nie jest prawda bo jest równoboczny także wtedy gdy ma boki równe ….

Przestańmy robić z dzieci i siebie idiotów na lekcjach matematyki.

Człowiek to nie komputer, zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności.

Można powiedzieć:
Jeśli trójkąt ma równe boki to jest równoboczny

Domyślnie wszelkie twierdzenia matematyczne to równoważności. Oczywiście zapis matematyczny powyższego twierdzenia jeśli nie wiedzieć po co będzie wymagała Pani to:
BR<=>R.

Zauważmy, że jeśli twierdzenie jest poprawnie powiedziane, a można to zrobić na bardzo dużo sposobów (dwa wyżej), to Pani powinna spytać czy to implikacja tylko w stosunku do implikacji bo równoważności w matematyce są domyślne.

Implikacją jest prawidło matematyczne:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Prawidło matematyczne, nie twierdzenie - to autentyczne określenie wykładowcy logiki.

W implikacji obowiązują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - tu po obu stronach jest IDENTYCZNA bramka logiczna „na pewno” =>
p~>q = ~p=>~q - tu po obu stronach jest IDENTYCZNA bramka logiczna „może” ~>

W obu powyższych równaniach mamy do czynienia ze spójnikiem może ~>. Gdyby jakiekolwiek twierdzenie było rzeczywiście implikacją to mamy tak:

Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P

… ale zdanie absolutnie równoważne do powyższego, z identyczną gwarancją w każdym przecinku i literce jest takie.

Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P

Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P

Jaka jest użyteczność takiego twierdzenia w matematyce ?

Oczywiście chmury mają „wolną wolę” i jedyne co możemy to rzucać monetą …
orzełek - będzie padać
reszka - nie będzie padać

Implikacja to między innymi matematyczny opis wolnej woli w świecie wszelkich istot żywych, w technice to idiotyzm. Nie da się na bazie definicji implikacji zbudować jakiejkolwiek użytecznej logiki, mającej zastosowanie np. w technice.

Nie zabijajmy w dzieciach wyobraźni, nie rozkazujmy im wypowiadać twierdzeń matematycznych w jedynie słuszny sposób, to już było, to komunizm.

Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy
Albert Einstein

2.0 Algebra Kubusia

Algebra Kubusia jest fundamentalnie inna od algebry Boole’a wyłącznie w zakresie operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~>. W definicji algebry Boole’a nie ma operatorów implikacji, czyli Bóg coś zaprojektował a mądrzejszy od Niego człowiek uznał że są niepotrzebne. W algebrze Kubusia operator implikacji odwrotnej ~> ma równe prawa z implikacją prostą => i jest niezbędny, bowiem implikacja w naturalnym języku mówionym to zmiana operatora z => na ~> lub odwrotnie milion razy na dobę.

2.1 Definicja algebry Kubusia

Lista operatorów logicznych:

rafal3006 · 2009-05-15 Koniec

Ciąg dalszy powyższego postu ...

7.0 Obietnice i groźby

Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej i odwrotnej jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb.

7.1 Obietnice

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Przykład:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
Jeśli będziesz grzeczny nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz

… a jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~>~C
Jeśli nie będziesz grzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C =1
LUB
Jeśli nie będziesz grzeczny to możesz dostać czekoladę
~G~~>C =1 - zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~>
~G~>C=0 - implikacja odwrotna fałszywa
(~G~~>C)+(~G~>C) = 1+0=1
~~> - nadawca ma prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości)

Uwaga:
W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” jest pomijany gdyż osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności gdyż wszystko co żyje musi odróżniać nagrodę od kary, to warunek przetrwania.

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji prostej do operatorów implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jaś:
….mama a kiedy będziesz kłamczuchą ?
G=>C = ~G+C = ~(G*~C) - dotrzymam słowa
czyli:
~(G=>C) = G*~C - skłamię

Synku, skłamię jeśli będziesz grzeczny i nie dostaniesz czekolady.
G*~C
Jaś:
Mama, a czy może się zdarzyć że będę grzeczny i nie dostanę czekolady ?

Nie może się zdarzyć że będziesz grzeczny i nie dostaniesz czekolady
~(G*~C)

Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.

7.2 Groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~>
B~>~L=0 - implikacja odwrotna fałszywa
(B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1
~~> - nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
C: ~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
LUB
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lania
D: ~B => L =0 - twardy fałsz

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do operatorów implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
czyli:
~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię, jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie.
~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostane lanie ?

Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie.
~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.

8.0 Algebra Kubusia w pigułce

Narodziny algebry Kubusia na SFINII trwały 3 lata …

8.1 Definicje operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>

Definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
p=>q = ~p+q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p+~q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

8.2 Prawa matematyczne implikacji

Fundament logiki implikacyjnej:

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Jeżeli zdanie jest implikacja prostą to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający zaś w drugą stronę q~>p zachodzi warunek konieczny.
Jeśli zdanie jest implikacja odwrotną to w stronę p~>q zachodzi warunek konieczny zaś w drugą stronę q=>p na pewno zachodzi warunek wystarczający.

Jeśli zdanie p=>q jest implikacją prostą to zdanie q=>p jest zawsze fałszywe czyli:
(p=>q)(q=>p) = 1*0 =0
(p=>q)(~p=>~q)=1*0=0
(p~>q)(q~>p) =1*0=0
Dwustronny warunek konieczny jest fizycznie niemożliwy do zaistnienia, w przeciwieństwie do warunku wystarczającego w równoważności.

8.3 Prawa matematyczne równoważności

Fundament logik równoważnościowych:

Definicja równoważności:
p<=>q = p*q+~p*~q

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Jeśli zdanie jest równoważnością to zachodzi warunek wystarczający w obie strony.

Możliwe, równoważne definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)(q=>p)=1*1=1 - dwustronny warunek wystarczający
p<=>q = (p=>q)(~p=>~q)=1*1=1

8.4 Naturalne kodowanie zdań

* - spójnik „i” (AND)
+ - spójnik „lub” (OR)
=> - spójnik „na pewno” (zachodzi dla każdego elementu po „Jeśli…)
~~> - naturalny spójnik „MOŻE” (wystarczy jedna prawda)

Naturalne kodowanie zdań jest w 100% zgodne z logiką człowieka. W kodowaniu tym rozstrzygamy czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe lub kiedy w przyszłości zdanie będzie prawdziwe/fałszywe.

Przykłady:
Pies ma cztery łapy - prawda
Pies nie ma czterech łap - fałsz

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1 bo każdy pies ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - oczywisty fałsz
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~~>~4L =1 bo kura
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo koń

Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy
Zdanie fałszywe bo brak związku między księżycem a psem.

8.5 Definicje spójników zdaniowych

MUSI =>
p=>q=1
Dla każdego elementu spełniającego warunek p musi zajść q
MUSI = warunek wystarczający =>

MOŻE ~>
Warunek konieczny spełniony
p~>q=1
Istnieje element spełniający warunek p i q i zdanie spełnia warunek konieczny, implikacja odwrotna jest prawdziwa
MOŻE = warunek konieczny ~>

MOŻE ~~>
Warunek konieczny niespełniony
p~~>q=1
Istnieje element spełniający warunek p i q ale zadnie nie spełnia warunku koniecznego, implikacja odwrotna jest fałszywa

Kryterium prawdziwości zdania dla spójnika może:
(p ~~>q) + (p~>q)
Zdanie jest prawdziwe jeśli zajdzie MOŻE ~~> lub MOŻE ~>

Wniosek:
Nie każde zdanie prawdziwe na mocy spójnika MOŻE ~~> jest implikacją odwrotną, czyli spełnia warunek konieczny ~>

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń...
Zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika MOŻE ~~>, implikacja odwrotna fałszywa bo 4 łapy nie są konieczne by nie być psem bo pies
4L~>~P=0 - implikacja odwrotna fałszywa.

Możemy użyć prawa Kubusia by uprościć rozstrzygnięcie o warunku koniecznym/wystarczającym. Dobre prawo matematyczne zawsze zamieni prawdę w prawdę albo fałsz w fałsz - nie ma innej możliwości.
Prawo Kubusia:
4L~>~P (warunek konieczny) = ~4L => P (warunek wystarczający)

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
Oczywisty fałsz, zatem warunek wystarczający nie zachodzi, co oznacza także brak warunku koniecznego w zdaniu 4L~>~P.

8.6 Matematyczne kodowanie zdań

Algorytm rozstrzygania o rodzaju wypowiedzianego zdania:

1. Sprawdzamy czy z zdaniu występuje warunek wystarczający, jeśli tak to idziemy do pkt. A
2. Sprawdzamy czy w zdaniu występuje spójnik może ~~>, jeśli tak to idziemy do pkt. B
3. Jeśli żaden z powyższych warunków nie zachodzi to zdanie jest fałszywe lub niepoprawne

Zdanie niepoprawne - zdanie któremu nie da się przypisać ani prawdy, ani fałszu np. wszelkie zdania pytające.

A. Implikacja prosta:
Do prawidłowej obsługi warunku wystarczającego => konieczne są dwa symbole:
=> - warunek wystarczający, spójnik MUSI
<=> - równoważność
Po stwierdzeniu p=>q musimy wykluczyć q=>p aby mieć pewność, że p=>q to implikacja prosta.
Jeśli zachodzi warunek wystarczający w dwie strony p=>q i q=>p to zdanie jest równoważnością i do kodowania używamy symbolu równoważności <=>.

B. Implikacja odwrotna:
Do prawidłowej obsługi warunku koniecznego ~> również potrzebujemy dwóch symboli:
~> - warunek konieczny, jeśli zachodzi to implikacja jest prawdziwa, zdanie oczywiście prawdziwe
~~> zdanie prawdziwe na mocy definicji spójnika MOŻE ~~>, ale nie zachodzi warunek konieczny ~>, implikacja odwrotna jest fałszywa
Po stwierdzeniu prawdziwości zdania na mocy spójnika MOŻE ~~> musimy dodatkowo stwierdzić warunek koniczny by mieć pewność że zdanie jest implikacją odwrotną prawdziwą.

UWAGA !
Dowolne zdanie „Jeśli…to…” kodujemy matematycznie w następujący sposób:
p - poprzednik implikacji, zawsze po spójniku „Jeśli…”
q - następnik implikacji, zawsze po spójniku „to…”

Poprzednik p i następnik q łączymy ze sobą jednym z czterech możliwych operatorów =>, <=>, ~>, ~~>. Jednoznaczne rozstrzygnięcie z jakim zdaniem mamy do czynienia umożliwia algorytm przedstawiony wyżej.

8.7 Sens implikacji prostej

Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.

Algorytm działania implikacji odwrotnej:

rafal3006

rezerwa 4

rafal3006

DODATEK

Wnioski końcowe z ciekawej dyskusji na ateiście.pl są tu:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/dyskusja-ze-zbanowanym-uczy-i-nobody-na-ateiscie-pl,4156-20.html#84855

Fizyk:
Twierdzenie Pitagorasa jest twierdzeniem czyli ani to implikacja, ani równoważność …

Uczy:
Twierdzenie Pitagorasa jest implikacją

Kubuś:
Twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością

Oczywiście wyłącznie jeden ma tu rację, twierdzę że Kubuś, pozostali są w błędzie.

Humor 1000-lecia, czyli twierdzenie Pitagorasa wypowiedziane w postaci równoważności

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

Beta 6.0
Wszystko co do tej pory Kubuś napisał w temacie implikacji blednie w obliczu tego podręcznika, napisanego przy założeniu, że matematyczna wiedza startowa czytelnika jest na poziomie 16-latka.
Kubuś, Gdynia ME’2009-07-15

Narzędzia, których próbujemy używać, język lub notacja których używamy do wyrażenia lub rejestrowania naszych myśli, są głównymi czynnikami określającymi to, co w ogóle możemy myśleć lub wyrazić.
E.W. Dijkstra, pionier informatyki

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

Ciekawe artykuły na temat „Algebry Kubusia”:
Komentarz do wstępu „Algebry Kubusia”
Nadmierna precyzja
Współczesna logika vs Algebra kubusia
Fundamentalny błąd współczesnej logiki

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję
Spotkało się jedenstu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

… wszystko, co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

To jest podręcznik, przy pomocy którego chciałbym poznać fundamenty logiki człowieka, gdybym miał znowu 16 lat
Kubuś

Spis treści:

1.0 Notacja
1.2 Algebra Kubusia
1.3 Definicja algebry Kubusia
1.4 O co chodzi w implikacji

Część I Operatory AND i OR

2.0 Kubuś na tropie logiki człowieka
2.1 Podstawowe pojęcia i definicje
2.2 Funkcja logiczna jednej zmiennej
2.3 Funkcja logiczna dwu zmiennych - suma logiczna
2.4 Funkcja logiczna dwu zmiennych - iloczyn logiczny
2.5 Logika ujemna
2.6 Definicja sumy logicznej
2.7 Prawo Prosiaczka
2.8 Definicja iloczynu logicznego
2.9 Dowody zero-jedynkowe w algebrze Boole’a
2.10 Logika dodatnia i ujemna w bramkach logicznych
2.11 Operatory OR i AND w logice człowieka

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.4 Operatory dodatnie i operatory ujemne

Część II Implikacja

4.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
4.1 Implikacja odwrotna
4.2 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
4.3 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
4.4 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej

5.0 Kubuś na tropie implikacji prostej
5.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
5.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
5.3 Gwarancja w implikacji prostej

6.0 Fundamenty algebry Boole’a
6.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
6.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
6.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
6.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
6.5 Prawa Kubusia
6.6 Prawo Kłapouchego
6.7 Implikacja w bramkach logicznych
6.8 Kwadrat logiczny implikacji
6.9 Równoważność
6.10 Kwadrat logiczny równoważności

7.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
7.1 Prawo Tygryska

8.0 Obietnice i groźby
8.1 Obietnice
8.2 Groźby
8.3 „Równoważność” w obietnicach i groźbach

9.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji
9.1 Kwantyfikatory w implikacji są nieporozumieniem

10.0 Podsumowanie
10.1 Geneza zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych

Wstęp.

Trzy lata temu, całkiem przypadkiem, Kubuś dowiedział się iż w dzisiejszej logice obowiązuje hasło „Logika człowieka nie istnieje”, czyli nie jest znana implikacja którą posługuje się człowiek. Ktoś nawet powiedział, że logika człowieka nie jest podobna do jakiejkolwiek sensownej, czyli zapewne znanej człowiekowi logiki.

Kubuś to przybysz ze świata techniki dobrze znający techniczną algebrę Boole’a której fundamentem są operatory AND(*) i OR(+). Zaskoczył go fakt, że dzisiejsza logika (KRZ) to rachunek zero-jedynkowy, że cała współczesna algebra Boole’a to mielenie bezsensownych zer i jedynek. W technicznej algebrze Boole’a myślimy naturalną logiką człowieka zapisując symbolicznie to co chcemy uzyskać. Na tym najważniejszym etapie projektowania (poziom algorytmu) zera i jedynki kompletnie nas nie interesują, wszystko zapisujemy w symbolicznych równaniach algebry Boole’a.

Matematycznie istnieją dwie zero-jedynkowe definicje implikacji znane człowiekowi od ponad stu lat, implikacja prosta => i implikacją odwrotna ~>. Definicje implikacji to w jednej połówce pewne wynikanie matematyczne (gwarancja matematyczna), natomiast w drugiej połowie to najzwyklejsze rzucanie monetą, czyli przypadek (pkt.6.6). Z tego powodu implikacja jest bezsensem w świecie techniki. Implikacja opisuje między innymi „wolną wolę” świata martwego i żywego. Oczywiście żaden projektant nie życzy sobie, aby zaprojektowane przez niego urządzenie wykazywało jakiekolwiek oznaki wolnej woli.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.

Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu

Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki.

Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji tej algebry poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Algebra Kubusia jest algebrą symboliczną (język asemblera) mającą 100% przełożenie na kod maszynowy, czyli zera i jedynki, co pokażemy za chwilę.

Nowe, nieznane człowiekowi definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> (oczywiście chodzi tu o interpretacje tabel zero-jedynkowych) plus prawa Kubusia działają doskonale w matematyce, przyrodzie martwej i żywej, groźbach i obietnicach oraz opisują takie pojęcia jak „wolna wola” czy „dobro-zło”.

Najśmieszniejszy w całej tej historii jest fakt, że człowiek nie musi się uczyć matematycznej wersji swojej logiki, po prostu ma ją wyssaną z mlekiem matki, wystarczy że będzie logicznie myślał i zapisywał swoje myśli w postaci równań algebry Kubusia w przełożeniu 1/1.

KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań, dział logiki, w zakresie implikacji oparty na definicji implikacji materialnej. Fundamentem KRZ jest rachunek zero-jedynkowy.

Uwaga:
W tej publikacji używając terminu „dzisiejsza logika” będziemy mieli na myśli KRZ

Zobacz też:
Komentarz do wstępu „Algebry Kubusia”

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

Symboliczna algebra Kubusia:
Y - prawda, dotrzymam słowa
~Y - fałsz, kłamstwo
Rachunek zero-jedynkowy:
1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+):
Y = A+(B*C) ….

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Warunki wystarczający w implikacji prostej => i konieczny w implikacji odwrotnej ~> wynikają bezpośrednio z dziewiczych definicji zero-jedynkowych tych implikacji.

Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Najważniejsze prawa algebry Kubusia.
Prawa Kubusia - fundament logiki człowieka:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>
Prawami Kubusia każdy człowiek posługuje się milion razy na dobę.

Najważniejsze prawa algebry Boole’a.
Prawa de’Morgana - fundament działania komputerów:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
W naturalnej logice praw de’Morgana człowiek praktycznie nie używa, zamiast nich doskonale posługuje się logiką dodatnią i ujemną.

Prawo Kłapouchego:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją wtedy i tylko wtedy gdy spełnione jest prawo Kubusia

Prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności) to wyrocznia rozstrzygająca czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją.

Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające dla q

Stwierdzenie warunku wystarczającego w p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być:
1.
Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli:
~p~>~q
Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą.
2.
Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli
~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1
3.
Jeśli zdanie jest implikacją prostą to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający, natomiast w stronę q~>p musi zachodzić warunek konieczny. Jeśli w stronę q=>p stwierdzimy warunek wystarczający to zdanie jest na pewno równoważnością, nigdy implikacją.
Definicja równoważna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Stąd mamy kolejną możliwość stwierdzenia czy zdanie jest implikacją. Po stwierdzeniu warunku wystarczającego w stronę p=>q wystarczy wykluczyć warunek wystarczający w stronę q=>p.

Implikacja odwrotna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną:
p~>q
ale ….
Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie być implikacją odwrotną np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
P8 nie jest konieczne dla P3 bo 3, nie jest to zatem implikacja odwrotna.

Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

1.2 Algebra Kubusia

Punkty 1.2 i 1.3 na pewno nie będą zrozumiałe dla początkującego czytelnika. Nie należy się tym przejmować, można je nawet pominąć i wrócić do nich po przeczytaniu całości, bowiem właściwy elementarz zaczyna się od punktu 1.4. Algebra Kubusia to coś nowego w matematyce i jej definicja dla zawodowców musi znaleźć się na początku.

Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji (pkt. 6.1) to fundament matematyczny algebry Boole’a. Bezpośrednio z tych pojęć wynika przemienność argumentów w operatorach AND(*), OR(+), równoważności <=> i XOR oraz brak przemienności argumentów w operatorach implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~>.

Brak przemienności argumentów w operatorach implikacji przenosi się oczywiście na brak przemienności w implikacyjnych AND(*) i OR(+) wynikających z definicji tych operatorów czyli:
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
czyli:
p=>q # q~>p
p~>q # q=>p
To jest fundamentalna różnica wymuszająca włączenie operatorów implikacji do poprawnej definicji algebry Boole’a. Oczywiście algebrę Boole’a uzupełnioną w definicji o operatory implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> mamy prawo nazwać, niech to będzie algebra Kubusia.
W algebrze Kubusia operator implikacji odwrotnej ~> ma równe prawa z implikacją prostą => i jest niezbędny, bowiem implikacja w naturalnym języku mówionym to zmiana operatora z => na ~> lub odwrotnie milion razy na dobę.

Ściśle rzecz biorąc w implikacji poprawne jest równanie (pkt. 9.0):
p~>q = p<=q = p+~q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
Wynika z tego że:
~> = <= - jeśli wektor <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Wprowadzenie nowego symbolu implikacji odwrotnej ~> jest konieczne, aby uniknąć potwornego zamieszania i możliwych niejednoznaczności.

Oczywiście na mocy definicji:
p~>q = p<=q =p+~q # p=>q = ~p+q
gdzie:
~> = <= - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Równanie którym operuje dzisiejsza logika:
p~>q = p+~q = ~q+p = q=>p
czyli:
p~>q = q=>p
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między q i p ze spełnionym warunkiem wystarczającym

z którego wynika że implikacja odwrotna p~>q jest zbędna, poprawne jest tylko i wyłącznie w równoważności bo tu argumenty są przemienne, co przenosi się na przemienność argumentów w powyższej sumie logicznej (szczegóły pkt. 6.10)

Zauważmy coś fundamentalnie ważnego:
W operatorach AND(*) i OR(+) można się obejść bez jednego z tych operatorów na podstawie praw de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)

Wydawać by się mogło, że na tej samej zasadzie zbędna jest implikacja odwrotna ~>, bo prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

Nic bardziej błędnego !

Prawa Kubusia działają bowiem w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej. Niemożliwe jest zatem istnienie implikacji prostej => bez implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie - patrz prawo Kłapouchego pkt. 6.6.

1.3 Definicja algebry Kubusia

Definicja algebry Kubusia:
Dwuelementowa algebra Kubusia (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra legalnych operatorów logicznych z których najważniejsze to OR(+), AND(*), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus definicja negacji (~) oraz pojęcie zmiennej binarnej i funkcji logicznej.

Definicja negacji:
1=~0
0=~1

Zmienna binarna - zmienna przyjmująca w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
Funkcja logiczna (Y) - to funkcja zmiennych binarnych połączonych operatorami logicznymi AND(*) lub OR(+) przyjmująca w osi czasu wartości wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnych wartości tych zmiennych.

Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
gdzie:
Y - funkcja logiczna (typowe oznaczenie rodem z teorii układów logicznych)
A,B,C … - zmienne binarne

Wszelkie prawa logiczne tylko i wyłącznie z powyższej definicji wynikają.

Lista legalnych operatorów logicznych w postaci zero-jedynkowej:

rafal3006

Część II Implikacja

4.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej

Notacja szczególna w implikacji:
W implikacji dla uproszczenia używać będziemy bezwzględnych zer i jedynek wyłącznie dla określenia prawdziwości zdania:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe
To „uproszczenie” wynika tylko i wyłącznie z przyzwyczajeń przeciętnego człowieka do powyższego standardu. Elegancja w matematyce polega na wyprowadzeniu wzoru ogólnego i dopiero na końcu na podstawieniu danych.

Gdybyśmy w tej publikacji użyli symboli w 100% czyli zastosowali:
Y - zdanie prawdziwe
~Y - zdanie fałszywe
to otrzymalibyśmy w pełni symboliczne tabele operatorowe implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności czyli zero styczności z zerami i jedynkami.

4.1 Implikacja odwrotna

Udajmy się do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.

Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci

Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci

Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci ani razu nie popełniły błędu !

Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P

Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).

4.2 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)

rafal3006

Beta 6.0

Narzędzia, których próbujemy używać, język lub notacja których używamy do wyrażenia lub rejestrowania naszych myśli, są głównymi czynnikami określającymi to, co w ogóle możemy myśleć lub wyrazić.
E.W. Dijkstra, pionier informatyki

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

Kim jest Kubuś ?
Kubuś to Miś kosmita, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji. W mniemaniu Kubusia zadanie zostało wykonane, ale wcale nie jest pewne czy ludzie to załapią … cóż, będzie co ma być, niebo albo piekło.

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję

… wszystko, co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

To jest podręcznik, przy pomocy którego chciałbym poznać fundamenty logiki człowieka, gdybym miał znowu 16 lat
Kubuś

Spis treści:

1.0 Notacja

1.1 Fundament logiki klasycznej w pigułce
1.1.1 Funkcja logiczna
1.1.2 Definicja logiki ujemnej
1.1.3 Definicja implikacji prostej
1.1.4 Definicja implikacji odwrotnej
1.1.5 Spójniki zdaniowe

1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
1.2.1 Operatory AND i OR

1.3 Implikacja z gwarancją
1.3.1 Prawa Kubusia

1.4 Implikacja bez gwarancji
1.4.1 Prawa kontrapozycji
1.4.2 Prawo kontrapozycji w operatorze ~>
1.4.3 Prawo kontrapozycji w operatorze =>

1.5 Równoważność
1.5.1 Prawo kontrapozycji

1.6 Prawo Sowy

1.7 Algebra Kubusia
1.8 Definicja algebry Kubusia

Część I Operatory AND i OR

2.0 Kubuś na tropie logiki człowieka
2.1 Podstawowe pojęcia i definicje
2.2 Funkcja logiczna jednej zmiennej
2.3 Funkcja logiczna dwu zmiennych - suma logiczna
2.4 Funkcja logiczna dwu zmiennych - iloczyn logiczny
2.5 Logika ujemna
2.6 Definicja sumy logicznej
2.7 Prawo Prosiaczka
2.8 Definicja iloczynu logicznego
2.9 Dowody zero-jedynkowe w algebrze Boole’a
2.10 Logika dodatnia i ujemna w bramkach logicznych
2.11 Operatory OR i AND w logice człowieka

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.4 Operatory dodatnie i operatory ujemne

Część II Implikacja

4.0 Notacja szczególna w implikacji
4.1 Rodzaje implikacji
4.2 O co chodzi w implikacji
4.3 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
4.4 Implikacja odwrotna
4.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
4.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
4.7 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej

5.0 Kubuś na tropie implikacji prostej
5.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
5.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
5.3 Gwarancja w implikacji prostej

6.0 Fundamenty algebry Boole’a
6.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
6.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
6.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
6.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
6.5 Prawa Kubusia
6.6 Prawo Kłapouchego
6.7 Implikacja w bramkach logicznych
6.8 Kwadrat logiczny implikacji
6.9 Równoważność
6.10 Kwadrat logiczny równoważności

7.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
7.1 Prawo Tygryska

8.0 Obietnice i groźby
8.1 Obietnice
8.2 Groźby
8.3 „Równoważność” w obietnicach i groźbach

9.0 Podsumowanie
9.1 Geneza zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych

Wstęp.

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, odpowiednik języka asemblera ze świata mikroprocesorów. W algebrze Kubusia operujemy przede wszystkim na symbolach, czyli naturalnym języku mówionym, trzymając się możliwie jak najdalej od idiotycznych zer i jedynek. Oczywiście algebra Kubusia ma bezpośrednie i 100% przełożenie na zera i jedynki, co będziemy zawsze udowadniać.

Kubuś to przybysz ze świata techniki dobrze znający techniczną algebrę Boole’a której fundamentem są operatory AND(*) i OR(+). Zaskoczył go fakt, że dzisiejsza logika (KRZ) to rachunek zero-jedynkowy, że cała współczesna algebra Boole’a to mielenie bezsensownych zer i jedynek. W technicznej algebrze Boole’a myślimy naturalną logiką człowieka zapisując symbolicznie to co chcemy uzyskać. Na tym najważniejszym etapie projektowania (poziom algorytmu) zera i jedynki kompletnie nas nie interesują, wszystko zapisujemy w symbolicznych równaniach algebry Boole’a.

Matematycznie istnieją dwie zero-jedynkowe definicje implikacji znane człowiekowi od ponad stu lat, implikacja prosta => i implikacją odwrotna ~>. Definicje implikacji to w jednej połówce pewne wynikanie matematyczne (gwarancja matematyczna), natomiast w drugiej połowie to najzwyklejsze rzucanie monetą, czyli przypadek (pkt.6.6). Z tego powodu implikacja jest bezsensem w świecie techniki. Implikacja opisuje między innymi „wolną wolę” świata martwego i żywego. Oczywiście żaden projektant nie życzy sobie, aby zaprojektowane przez niego urządzenie wykazywało jakiekolwiek oznaki wolnej woli.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.

Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu

Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki. Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Nowe, nieznane człowiekowi definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> (oczywiście chodzi tu o interpretacje tabel zero-jedynkowych) plus prawa Kubusia działają doskonale w matematyce, przyrodzie martwej i żywej, groźbach i obietnicach oraz opisują takie pojęcia jak „wolna wola” czy „dobro-zło”.

KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań, dział logiki, w zakresie implikacji oparty na definicji implikacji materialnej. Fundamentem KRZ jest rachunek zero-jedynkowy.

Uwaga:
W tej publikacji używając terminu „dzisiejsza logika” będziemy mieli na myśli KRZ

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

Symboliczna algebra Kubusia:
Y - prawda, dotrzymam słowa
~Y - fałsz, kłamstwo
Rachunek zero-jedynkowy:
1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

Matematyczny żargon stosowany w tej publikacji:
Implikacja z gwarancją (zabroniona zamiana p i q), oznacza patrzenie na implikację z punktu odniesienia praw Kubusia.
Implikacja bez gwarancji (zezwolenie na zamianę p i q), oznacza patrzenie na tą samą implikację z punktu odniesienia praw kontrapozycji.

Oczywiście nie ma dwóch różnych implikacji z gwarancją i bez gwarancji, tu chodzi wyłącznie o możliwość zamiany p i q oraz brak takiej możliwości.

Uwaga:
W całym podręczniku pisząc „implikacja” będziemy mieli na myśli domyślnie „implikację z gwarancją”.

W tym miejscu początkujący czytelnicy proszenie są o przeskok do punkt 2.0 gdzie rozpoczyna się elementarz algebry Boole’a od zupełnego zera. Oczywiście można zerknąć na cały rozdział 1.0 ale z pewnością będą to dla początkującego czytelnika nic nie mówiące krzaczki.

1.1 Fundament logiki klasycznej w pigułce

Logika klasyczna zbudowana na zaprezentowanym tu fundamencie to 100%, poprawna algebra Boole’a. Niemożliwe są tu jakiekolwiek paradoksy znane w starej logice klasycznej. W poprawnej matematyce to po prostu niemożliwe.
Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych która ma zero wspólnego z matematyką klasyczną np. całki, ekstrema funkcji itp. Prawa tu obowiązujące nie muszą pokrywać się z aksjomatami wyznaczonymi dla matematyki klasycznej,

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a której fundamentem w obszarze implikacji są nieznane ludziom, definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Oczywiście chodzi tu o interpretacje odpowiednich tabel zero-jedynkowych, znanych ludziom od prawie 200 lat.

1.1.1 Funkcja logiczna

Definicja:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+):
Y = A+(B*C) ….

1.1.2 Definicja logiki ujemnej

Definicja:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logika ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

1.1.3 Definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

1.1.4 Definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Warunki wystarczający w implikacji prostej => i konieczny w implikacji odwrotnej ~> wynikają bezpośrednio z dziewiczych definicji zero-jedynkowych tych implikacji.

1.1.5 Spójniki zdaniowe

Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Zaprezentowane tu prawa to fundament logiki człowieka:

Logika człowieka = poprawna algebra Boole’a

1.2.1 Operatory AND i OR

Operatory AND i OR - przemienność argumentów zachodzi

OR(+)
Y=p+q
~Y=~p*~q
Y=~(~Y)
stąd:
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana

AND(*)
Y=p*q
~Y=~p+~q
Y=~(~Y)
stąd:
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy argumenty i wymieniamy operatory.

1.3 Implikacja z gwarancją

Implikacja z gwarancją - przemienności argumentów nie zachodzi

Definicja:
Implikacja z gwarancją, to implikacja w której występuje tożsamość gwarancji i nie występuje tożsamość operatorów (prawa Kubusia)

1.3.1 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
W prawach Kubusia występuje tożsamość gwarancji i nie występuje tożsamość operatorów co widać wyżej.

Dowód:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
Doskonale widać zachodzące tożsamości w poziomie nie zachodzące ani w pionach, ani po przekątnych.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy argumenty i wymieniamy operator na przeciwny
Uwaga:
Zachodzące prawa Kubusia są dowodem implikacji z gwarancją.

1.4 Implikacja bez gwarancji

Implikacja bez gwarancji - przemienność argumentów zachodzi

Definicja:
Implikacja bez gwarancji to implikacja, w której występuje tożsamość operatorów i nie występuje tożsamość gwarancji (prawa kontrapozycji).

1.4.1 Prawa kontrapozycji

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
p~>q = ~q~>~p
W prawach kontrapozycji występuje tożsamość operatorów (co widać wyżej) i nie występuje tożsamość gwarancji.

Dowód:
p=>q =~p~>~q = ~p+q = q+~p = q~>p = ~q=>~p = q+~p = ~p+q
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~q+p = q=>p = ~q~>~p = ~q+p = p+~q
Doskonale widać zachodzące tożsamości w poziomie i nie zachodzące ani w pionach, ani po przekątnych.
gdzie:
p=>q =~p~>~q - prawo Kubusia

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Zamieniamy zanegowane argumenty bez zmiany operatorów

1.4.2 Prawo kontrapozycji w operatorze ~>

Prawo kontrapozycji w operatorze ~>:
p~>q = ~q~>~p
Zachodzące prawo kontrapozycji w operatorze ~> jest dowodem implikacji z gwarancją. Zauważmy jednak, że już samo zapisanie implikacji p~>q prawdziwej czyli z zachodzącym warunkiem koniecznym, jest dowodem zachodzenia prawa kontrapozycji w operatorze ~>. W mowie potocznej człowiek praktycznie nie korzysta z implikacji bez gwarancji co nie oznacza, że 5-cio latek miałby tu jakiekolwiek problemy.

Sens prawa kontrapozycji w implikacji odwrotnej ~>
Wystarczy udowodnić warunek konieczny zachodzący po dowolnej stronie tożsamości, aby mieć pewność, że zachodzi po drugiej stronie. W implikacji zdecydowanie łatwiej jest udowodnić warunek konieczny w p~>q.

Przykład:
A
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa
Prawo kontrapozycji:
4L~>P = ~P~>~4L - gwarancje różne
B.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L = 4L~>P

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia, zawsze jest nią warunek wystarczający =>.

Zdanie A:
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P - gwarancje po obu stronach identyczne
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Gwarancja:
mrówka, stonoga, wąż - na pewno nie są psami

Zdanie B.
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L - gwarancje po obu stronach identyczne
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarancja:
Pies, który na pewno ma cztery łapy

Zauważmy, że gwarancje w zdaniach A i B są różne zatem prawo kontrapozycji nie zachowuje gwarancji w implikacji.
4L~>P = ~P~>~4L - gwarancje różne
CND

1.4.3 Prawo kontrapozycji w operatorze =>

Zastosowanie tego prawa to głównie matematyka.

Prawo kontrapozycji w operatorze =>:
p=>q = ~q=>~p
Zachodzące prawo kontrapozycji w operatorze => jest dowodem, że zdanie może być albo równoważnością albo implikacją, nie sposób tu rozstrzygnąć czym jest na prawdę.

Sens prawa kontrapozycji w operatorze =>
Wystarczy udowodnić warunek wystarczający zachodzący po dowolnej stronie, aby mieć pewność warunku wystarczającego z drugiej strony.

Przykład z implikacji:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 - gwarancje po obu stronach identyczne
8,16,, = 8,16 .. - tu jest wszystko w porządku !
Prawo kontrapozycji:
P8=>P2 = ~P2=>~P8 - gwarancje po obu stronach różne
8,16 .. # 1,3 ..
Powyższe zbiory nie są swoim dopełnieniem bo istnieje trzeci zbiór 2,4,6 …

Przykład z równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny.
BR=>R
Prawo kontrapozycji:
BR=>R = ~R=>~BR - gwarancje po obu stronach identyczne
W tym przypadku zbiór trójkątów po lewej stronie jest dopełnieniem zbioru trójkątów po prawej stronie

Pytanie zatem czy nie powinna być odwrotna kolejność, czyli najpierw rozstrzygamy czy coś jest implikacją/równoważnością a dopiero później stosujemy prawa Kubusia (implikacja) albo prawa kontrapozycji (równoważność).

1.5 Równoważność

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p<=>q = p*q+~p*~q
Znaczy się równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową.

Wszelkie tabele zero-jedynkowe w logice to epoka dinozaurów … czemu nikt nie zauważył iż żyjemy w XXI wieku, epoce komputerów i Internetu ?

Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) - definicja operatorowa równoważności
gdzie:
p=>q, ~p=>~q, q=>p - zachodzące warunki wystarczające, nie są to implikacje

Dowód:
W równoważności zachodzi przemienność argumentów zatem:
~p=>~q = p~>q = p+~q = ~q+p = q=>p
gdzie:
~p=>~q = p~>q - prawo Kubusia

W twierdzeniach matematycznych zdecydowanie łatwiejsza jest definicja:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście, udowodnienie równoważności z wykorzystaniem powyższej definicji, jest dowodem zachodzącego warunku wystarczającego w stronę q=>p czyli pewne jest że:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

1.5.1 Prawo kontrapozycji

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Dowód:
W równoważności zachodzi przemienność argumentów zatem:
~q=>~p = q~>p = q+~p = ~p+q = p=>q
gdzie:
~q=>~p = q~>p - prawo Kubusia

1.6 Prawo Sowy

Prawo Sowy
W algebrze Boole’a jeśli coś jest implikacją to nie może być równoważnością
W algebrze Boole’a jeśli coś jest równoważnością to nie może być implikacją

Implikacja i równoważność to dwa oddzielne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne.

1.7 Algebra Kubusia

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a której fundamentem w obszarze implikacji są nieznane ludziom, definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Oczywiście chodzi tu o interpretacje odpowiednich tabel zero-jedynkowych, znanych ludziom od prawie 200 lat.

Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji (pkt. 6.1) to fundament matematyczny algebry Boole’a. Bezpośrednio z tych pojęć wynika przemienność argumentów w operatorach AND(*), OR(+), równoważności <=> i XOR oraz brak przemienności argumentów w operatorach implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~>.

Brak przemienności argumentów w operatorach implikacji przenosi się oczywiście na brak przemienności w implikacyjnych AND(*) i OR(+) wynikających z definicji tych operatorów czyli:
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
czyli:
p=>q # q~>p
p~>q # q=>p
To jest fundamentalna różnica wymuszająca włączenie operatorów implikacji do poprawnej definicji algebry Boole’a. Oczywiście algebrę Boole’a uzupełnioną w definicji o operatory implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> mamy prawo nazwać, niech to będzie algebra Kubusia.
W algebrze Kubusia operator implikacji odwrotnej ~> ma równe prawa z implikacją prostą => i jest niezbędny, bowiem implikacja w naturalnym języku mówionym to zmiana operatora z => na ~> lub odwrotnie milion razy na dobę.

Zauważmy coś fundamentalnie ważnego:
W operatorach AND(*) i OR(+) można się obejść bez jednego z tych operatorów na podstawie praw de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)

Wydawać by się mogło, że na tej samej zasadzie zbędna jest implikacja odwrotna ~>, bo prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

Nic bardziej błędnego !

Prawa Kubusia działają bowiem w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej. Niemożliwe jest zatem istnienie implikacji prostej => (pewne wynikanie) bez implikacji odwrotnej ~> (rzucanie monetą) i odwrotnie - patrz prawo Kłapouchego pkt. 6.6.

1.8 Definicja algebry Kubusia

Definicja algebry Kubusia:
Dwuelementowa algebra Kubusia (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra legalnych operatorów logicznych z których najważniejsze to OR(+), AND(*), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus definicja negacji (~) oraz pojęcie zmiennej binarnej i funkcji logicznej.

Definicja negacji:
1=~0
0=~1

Zmienna binarna - zmienna przyjmująca w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
Funkcja logiczna (Y) - to funkcja zmiennych binarnych połączonych operatorami logicznymi AND(*) lub OR(+) przyjmująca w osi czasu wartości wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnych wartości tych zmiennych.

Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
gdzie:
Y - funkcja logiczna (typowe oznaczenie rodem z teorii układów logicznych)
A,B,C … - zmienne binarne

Wszelkie prawa logiczne tylko i wyłącznie z powyższej definicji wynikają.

Lista legalnych operatorów logicznych w postaci zero-jedynkowej:

rafal3006

Część II Implikacja

4.0 Notacja szczególna w implikacji

W implikacji dla uproszczenia używać będziemy bezwzględnych zer i jedynek wyłącznie dla określenia prawdziwości zdania:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe
To „uproszczenie” wynika tylko i wyłącznie z przyzwyczajeń przeciętnego człowieka do powyższego standardu. Elegancja w matematyce polega na wyprowadzeniu wzoru ogólnego i dopiero na końcu na podstawieniu danych.

Gdybyśmy w tej publikacji użyli symboli w 100% czyli zastosowali:
Y - zdanie prawdziwe
~Y - zdanie fałszywe
to otrzymalibyśmy w pełni symboliczne tabele operatorowe implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności czyli zero styczności z zerami i jedynkami.

4.1 Rodzaje implikacji

Istnieją dwa rodzaje implikacji, implikacja z gwarancją (prawa Kubusia) i implikacja bez gwarancji (prawa kontrapozycji). Wyprzedzimy trochę czas, nie należy się przejmować jeśli poniższe definicje i prawa nie będą zrozumiałe. Można spokojnie przejść do następnego punktu.

Definicja:
Implikacja z gwarancją, to implikacja w której występuje tożsamość gwarancji i nie występuje tożsamość operatorów (w prawach Kubusia).

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>

W prawach Kubusia po obu stronach zachowana jest tożsamość gwarancji, oczywisty brak tożsamości operatorów widać doskonale.

Definicja:
Implikacja bez gwarancji to implikacja, w której występuje tożsamość operatorów bez zachowania tożsamości gwarancji (w prawach kontrapozycji).

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
p~>q = ~q~>~p

W prawach kontrapozycji zachowana jest tożsamość operatorów co widać wyżej, ale nie jest zachowana tożsamość gwarancji o czym dowiemy się … w swoim czasie.

Uwaga:
W całym podręczniku pisząc „implikacja” będziemy mieli na myśli domyślnie „implikację z gwarancją”.

4.2 O co chodzi w implikacji

Implikacja to zdanie złożone warunkowe typu „Jeśli…to…”

W dzisiejszej matematyce funkcjonuje taka definicja implikacji:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Koniec, absolutne zero jakiegokolwiek komentarza czyli kompletnie nie wiadomo o co chodzi.

Matematycznie istnieją dwie różne tabele zero-jedynkowe implikacji.
p=>q - implikacja prosta
p~>q - implikacja odwrotna
Oczywiście dzisiejsza matematyka akceptuje fakt że:
p=>q # p~>q
Jednak z powodu fałszywej interpretacji zer i jedynek w definicjach implikacji wychodzi jej że implikacja odwrotna jest zbędna. Poprawne definicje implikacji prostej i odwrotnej są wyżej.

Ujmując rzecz całą ściśle matematycznie można udowodnić, że wszystkie operatory logiczne są zbędne za wyjątkiem jednego, NOR albo NAND … nie o to jednak chodzi.

Twierdzenie Kubusia:
W logice niezbędne są tylko i wyłącznie te operatory których człowiek używa w naturalnym języku mówionym czyli: AND(*), OR(+), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus negacja (~).

Powyższego zestawu operatorów nie należy ani skracać, ani też rozszerzać bo wyjdzie z tego logika-potworek nie mająca nic wspólnego z nieprawdopodobnie prostą i doskonałą, logiką człowieka.

Implikacja to przede wszystkim matematyczny opis przyszłości, dzięki niej człowiek z góry wie kiedy w przyszłości zostanie kłamcą a kiedy nie.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Oczywiście jeśli zdam egzamin do mam gwarantowany komputer. Jeśli nie zdam to wszystko może się zdarzyć wedle „widzi mi się” czyli wolnej woli ojca … mamy rzucanie monetą.

Implikacja to również matematyczny opis przyszłości świata martwego.

Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
Jeśli będzie padać to na pewno będzie pochmurno. Jeśli nie będzie padać, to może być pochmurno lub nie być, wedle „wolnej woli” pogody, czyli rzucanie monetą.

Implikacja występuje również w przyrodzie i matematyce. Wszelkie twierdzenia matematyczne to równoważności, implikacja jest tu niezwykle rzadkim wyjątkiem.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to na pewno będzie mieć cztery łapy
P=>4L
Matematycznie to dwa równoważne zdania. Oczywiście wszystkie psy mają cztery łapy, ale jeśli wylosowane zwierzę nie będzie psem to może mieć cztery łapy (słoń) albo nie mieć czterech łap (mrówka), czyli rzucanie monetą.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Jeśli wylosowana w przyszłości liczba będzie podzielna przez 8 to będzie podzielna przez 2
P8=>P2
Matematycznie to dwa równoważne zdania. Oczywiście każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2, ale jeśli wylosowana liczba nie będzie podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2 (2,4,6..) albo nie (3,5,7…), czyli rzucanie monetą.

Jak widać wyżej każda implikacja prosta => jest w pierwszej części zdeterminowana, tu mamy pewność, ale w drugiej części definicji to najzwyklejsze rzucanie monetą.

W implikacji odwrotnej ~> mamy dokładnie odwrotnie. Tu w pierwszej części definicji mamy przypadek czyli rzucanie monetą zaś w drugiej części mamy pewność.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie mieć cztery łapy to może być psem
4L~>P
Oba zdania są matematycznie równoważne. Ta implikacja jest prawdziwa bo spełnia definicję implikacji odwrotnej ~>. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być (np.słoń). W pierwszej części definicji implikacji odwrotnej mamy rzucanie monetą, ale w drugiej części mamy pewność, czyli jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem.

Matematycznie obie implikacje, prosta => i odwrotna ~> są równie cenne bowiem w obu występuje gwarancja matematyczna.

Zdanie bez żadnej gwarancji jest po prostu śmieciem np.
Jeśli księżyc świeci to pies ma cztery łapy
KS=>4L
Implikacja oczywiście fałszywa bo brak związku poprzednika z następnikiem, nie możemy tu mówić o jakiejkolwiek gwarancji. Świecenie księżyca nie gwarantuje czterech łap u psa … no, chyba że suczka zaszła w ciążę przy pełni księżyca i dlatego pies ma cztery łapy ?

Implikacja jest implikacją prawdziwą, jeśli spełnia odpowiednią definicję implikacji. W matematyce występują dwie definicje implikacji: implikacja prosta => oraz implikacja odwrotna ~>. Logika każdego człowieka to przechodzenie z jednej implikacji do drugiej milion razy na dobę zgodnie z prawami Kubusia.
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Przyczyną klęski dzisiejszej logiki w poszukiwaniu logiki człowieka są fałszywe interpretacje zero-jedynkowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> uniemożliwiające stosowanie praw Kubusia.

4.3 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej

Udajmy się do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.

Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci

Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci

Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci ani razu nie popełniły błędu !

Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P

Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).

4.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)

rafal3006

Beta 7.0

Narzędzia, których próbujemy używać, język lub notacja których używamy do wyrażenia lub rejestrowania naszych myśli, są głównymi czynnikami określającymi to, co w ogóle możemy myśleć lub wyrazić.
E.W. Dijkstra

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

Kim jest Kubuś ?
Kubuś to Miś kosmita, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji. W mniemaniu Kubusia zadanie zostało wykonane, ale wcale nie jest pewne czy ludzie to załapią … cóż, będzie co ma być, niebo albo piekło.

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję

… wszystko, co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

To jest podręcznik, przy pomocy którego chciałbym poznać fundamenty logiki człowieka, gdybym miał znowu 16 lat
Kubuś

Spis treści:

1.0 Notacja

1.1 Fundament logiki klasycznej w pigułce
1.1.1 Funkcja logiczna
1.1.2 Definicja logiki ujemnej
1.1.3 Definicja implikacji prostej
1.1.4 Definicja implikacji odwrotnej
1.1.5 Spójniki zdaniowe

1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
1.2.1 Operatory AND i OR

1.3 Implikacja
1.3.1 Prawa Kubusia

1.4 Równoważność
1.4.1 Prawo kontrapozycji

1.5 Prawo Sowy
1.6 Prawa kontrapozycji w implikacji

1.7 Algebra Kubusia
1.8 Definicja algebry Kubusia

Część I Operatory AND i OR

2.0 Kubuś na tropie logiki człowieka
2.1 Podstawowe pojęcia i definicje
2.2 Funkcja logiczna jednej zmiennej
2.3 Funkcja logiczna dwu zmiennych - suma logiczna
2.4 Funkcja logiczna dwu zmiennych - iloczyn logiczny
2.5 Logika ujemna
2.6 Definicja sumy logicznej
2.7 Prawo Prosiaczka
2.8 Definicja iloczynu logicznego
2.9 Dowody zero-jedynkowe w algebrze Boole’a
2.10 Logika dodatnia i ujemna w bramkach logicznych
2.11 Operatory OR i AND w logice człowieka

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.4 Operatory dodatnie i operatory ujemne

Część II Implikacja

4.0 Notacja szczególna w implikacji
4.1 Rodzaje implikacji
4.2 O co chodzi w implikacji
4.3 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
4.4 Implikacja odwrotna
4.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
4.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
4.7 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej

5.0 Kubuś na tropie implikacji prostej
5.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
5.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
5.3 Gwarancja w implikacji prostej

6.0 Fundamenty algebry Boole’a
6.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
6.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
6.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
6.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
6.5 Prawa Kubusia
6.6 Prawo Kłapouchego
6.7 Implikacja w bramkach logicznych
6.8 Kwadrat logiczny implikacji
6.9 Równoważność
6.10 Kwadrat logiczny równoważności

7.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
7.1 Prawo Tygryska

8.0 Obietnice i groźby
8.1 Obietnice
8.2 Groźby
8.3 „Równoważność” w obietnicach i groźbach

9.0 Podsumowanie
9.1 Geneza zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych

Wstęp.

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, odpowiednik języka asemblera ze świata mikroprocesorów. W algebrze Kubusia operujemy przede wszystkim na symbolach, czyli naturalnym języku mówionym, trzymając się możliwie jak najdalej od idiotycznych zer i jedynek. Oczywiście algebra Kubusia ma bezpośrednie i 100% przełożenie na zera i jedynki, co będziemy zawsze udowadniać.

Kubuś to przybysz ze świata techniki dobrze znający techniczną algebrę Boole’a której fundamentem są operatory AND(*) i OR(+). Zaskoczył go fakt, że dzisiejsza logika (KRZ) to rachunek zero-jedynkowy, że cała współczesna algebra Boole’a to mielenie bezsensownych zer i jedynek. W technicznej algebrze Boole’a myślimy naturalną logiką człowieka zapisując symbolicznie to co chcemy uzyskać. Na tym najważniejszym etapie projektowania (poziom algorytmu) zera i jedynki kompletnie nas nie interesują, wszystko zapisujemy w symbolicznych równaniach algebry Boole’a.

Matematycznie istnieją dwie zero-jedynkowe definicje implikacji znane człowiekowi od ponad stu lat, implikacja prosta => i implikacją odwrotna ~>. Definicje implikacji to w jednej połówce pewne wynikanie matematyczne (gwarancja matematyczna), natomiast w drugiej połowie to najzwyklejsze rzucanie monetą, czyli przypadek (pkt.6.6). Z tego powodu implikacja jest bezsensem w świecie techniki. Implikacja opisuje między innymi „wolną wolę” świata martwego i żywego. Oczywiście żaden projektant nie życzy sobie, aby zaprojektowane przez niego urządzenie wykazywało jakiekolwiek oznaki wolnej woli.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.

Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu

Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki. Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Nowe, nieznane człowiekowi definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> (oczywiście chodzi tu o interpretacje tabel zero-jedynkowych) plus prawa Kubusia działają doskonale w matematyce, przyrodzie martwej i żywej, groźbach i obietnicach oraz opisują takie pojęcia jak „wolna wola” czy „dobro-zło”.

KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań, dział logiki, w zakresie implikacji oparty na definicji implikacji materialnej. Fundamentem KRZ jest rachunek zero-jedynkowy.

Uwaga:
W tej publikacji używając terminu „dzisiejsza logika” będziemy mieli na myśli KRZ

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

Symboliczna algebra Kubusia:
Y - prawda, dotrzymam słowa
~Y - fałsz, kłamstwo
Rachunek zero-jedynkowy:
1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

W tym miejscu początkujący czytelnicy proszeni są o przeskok do punkt 2.0 gdzie rozpoczyna się elementarz algebry Boole’a od zupełnego zera. Rozdział 1.0 to streszczenie całego podręcznika w pigułce, oczywiście można na to zerknąć, ale z pewnością będą to dla początkującego czytelnika nic nie mówiące krzaczki.

1.1 Fundament logiki klasycznej w pigułce

Logika klasyczna zbudowana na zaprezentowanym tu fundamencie to 100%, poprawna algebra Boole’a. Niemożliwe są tu jakiekolwiek paradoksy znane w starej logice klasycznej. W poprawnej matematyce to po prostu niemożliwe.
Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych która ma zero wspólnego z matematyką klasyczną np. całki, ekstrema funkcji itp. Prawa tu obowiązujące nie muszą pokrywać się z aksjomatami wyznaczonymi dla matematyki klasycznej,

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a której fundamentem w obszarze implikacji są nieznane ludziom, definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Oczywiście chodzi tu o interpretacje odpowiednich tabel zero-jedynkowych, znanych od prawie 200 lat.

1.1.1 Funkcja logiczna

Definicja:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+):
Y = A+(B*C) ….

1.1.2 Definicja logiki ujemnej

Definicja:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logika ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

1.1.3 Definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

1.1.4 Definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Warunki wystarczający w implikacji prostej => i konieczny w implikacji odwrotnej ~> wynikają bezpośrednio z dziewiczych definicji zero-jedynkowych tych implikacji.

1.1.5 Spójniki zdaniowe

Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Zaprezentowane tu prawa to fundament logiki człowieka:

Logika człowieka = poprawna algebra Boole’a

1.2.1 Operatory AND i OR

Operatory AND i OR - przemienność argumentów zachodzi

OR(+)
Y=p+q
~Y=~p*~q
Y=~(~Y)
stąd:
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana

AND(*)
Y=p*q
~Y=~p+~q
Y=~(~Y)
stąd:
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy argumenty i wymieniamy operatory.

1.3 Implikacja

Implikacja - przemienności argumentów nie zachodzi
Dowód pkt. 6.1

1.3.1 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
W prawach Kubusia występuje tożsamość gwarancji.

Dowód:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
Doskonale widać zachodzące tożsamości w poziomie nie zachodzące ani w pionach, ani po przekątnych.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy argumenty i wymieniamy operator na przeciwny
Uwaga:
Zachodzące prawa Kubusia są dowodem implikacji z gwarancją.

1.4 Równoważność

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p<=>q = p*q+~p*~q
Znaczy się równanie algebry Boole’a opisujące tabelę zero-jedynkową.

Wszelkie tabele zero-jedynkowe w logice to epoka dinozaurów … czemu nikt nie zauważył iż żyjemy w XXI wieku, epoce komputerów i Internetu ?

Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) - definicja operatorowa równoważności
gdzie:
p=>q, ~p=>~q, q=>p - zachodzące warunki wystarczające, nie są to implikacje

Dowód:
W równoważności zachodzi przemienność argumentów zatem:
~p=>~q = p~>q = p+~q = ~q+p = q=>p
gdzie:
~p=>~q = p~>q - prawo Kubusia

W twierdzeniach matematycznych zdecydowanie łatwiejsza jest definicja:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście, udowodnienie równoważności z wykorzystaniem powyższej definicji, jest dowodem zachodzącego warunku wystarczającego w stronę q=>p czyli pewne jest że:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

1.4.1 Prawo kontrapozycji

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Dowód:
W równoważności zachodzi przemienność argumentów zatem:
~q=>~p = q~>p = q+~p = ~p+q = p=>q
gdzie:
~q=>~p = q~>p - prawo Kubusia

1.5 Prawo Sowy

Prawo Sowy
W algebrze Boole’a jeśli coś jest implikacją to nie może być równoważnością
W algebrze Boole’a jeśli coś jest równoważnością to nie może być implikacją

Implikacja i równoważność to dwa oddzielne światy matematyczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne.

1.6 Prawa kontrapozycji w implikacji

Prawa kontrapozycji w implikacji są fałszywe.
Prawa kontrapozycji działają w matematyce doskonale bo praktycznie wszystkie twierdzenia matematyczne to równoważności, dlatego działają. Twierdzeń implikacyjnych typu „Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2” jest w matematyce zdecydowania mniej. Definicja implikacji to zawsze w jednej połowie „rzucanie monetą” (dowód pkt. 6.6).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że w implikacji występuje przemienność argumentów p i q co jest sprzeczne z punktem 6.1.
Zachodzą wówczas prawa kontrapozycji.

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
p~>q = ~q~>~p

Przemienność argumentów przenosi się na przemienność implikacyjnej sumy logicznej zatem:
p=>q =~p~>~q = ~p+q = q+~p = q~>p = ~q=>~p = q+~p = ~p+q
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~q+p = q=>p = ~q~>~p = ~q+p = p+~q
Doskonale widać zachodzące tożsamości w poziomie i nie zachodzące ani w pionach, ani po przekątnych.
gdzie:
p=>q =~p~>~q - prawo Kubusia

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Zamieniamy zanegowane argumenty bez zmiany operatorów

Prawo kontrapozycji w operatorze ~>
p~>q = ~q~>~p

Sens prawa kontrapozycji w implikacji odwrotnej ~>
Wystarczy udowodnić warunek konieczny zachodzący po dowolnej stronie tożsamości, aby mieć pewność, że zachodzi po drugiej stronie. W implikacji zdecydowanie łatwiej jest udowodnić warunek konieczny w p~>q.

Przykład:
A
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa
Prawo kontrapozycji:
4L~>P = ~P~>~4L - gwarancje różne
B.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L = 4L~>P
Tu jak widać warunek konieczny dowodzi się zdecydowanie trudniej.

Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia, zawsze jest nią warunek wystarczający =>.

Zdanie A:
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P - gwarancje po obu stronach identyczne
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Gwarancja:
mrówka, stonoga, wąż - na pewno nie są psami

Zdanie B.
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L - gwarancje po obu stronach identyczne
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarancja:
Pies, który na pewno ma cztery łapy

Zauważmy, że gwarancje w zdaniach A i B są różne zatem prawo kontrapozycji nie zachowuje gwarancji w implikacji.
4L~>P = ~P~>~4L - gwarancje różne

Poza powyższym równaniem jest zbiór zwierzaków które mają cztery łapy i nie są psami czyli koń, słoń, hipopotam … dlatego gwarancje są różne. Zauważmy, że w prawie Kubusia po obu stronach mamy identyczne zbiory, zatem tu jest wszystko w porządku.

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia. Oczywiście prawo matematyczne które nie zachowuje gwarancji jest w implikacji fałszywe. Oznacza to, że prawo kontrapozycji jest fałszywe w operatorze ~>
CND

Prawo kontrapozycji w operatorze =>
p=>q = ~q=>~p
Zachodzące prawo kontrapozycji w operatorze => jest dowodem, że zdanie może być albo równoważnością albo implikacją, nie sposób tu rozstrzygnąć czym jest na prawdę. Gdyby prawo kontrapozycji było prawdziwe w implikacji to mielibyśmy wprowadzenie do logiki elementu losowości … na szczęście nie jest.

Sens prawa kontrapozycji w operatorze =>
Wystarczy udowodnić warunek wystarczający zachodzący po dowolnej stronie, aby mieć pewność warunku wystarczającego z drugiej strony.

Przykład z implikacji:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2

Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 - gwarancje po obu stronach identyczne
8,16,, = 8,16 .. - tu jest wszystko w porządku !

Prawo kontrapozycji:
P8=>P2 = ~P2=>~P8 - gwarancje po obu stronach różne
8,16 .. # 1,3 ..
Powyższe zbiory nie są swoim dopełnieniem bo istnieje trzeci zbiór 2,4,6 …

Jak widać prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji również w operatorze => bo nie zachowuje istoty implikacji, gwarancji matematycznej.

Przykład z równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny.
BR=>R
Prawo kontrapozycji:
BR=>R = ~R=>~BR - gwarancje po obu stronach identyczne
W tym przypadku zbiór trójkątów po lewej stronie jest dopełnieniem zbioru trójkątów po prawej stronie, zatem w równoważności prawo kontrapozycji działa doskonale.

Zauważmy coś fundamentalnego i trywialnego zarazem.
W równoważności zawsze mamy do czynienia z dwoma zbiorami, zbiorem podstawowym i jego dopełnieniem, dlatego tu działają prawa kontrapozycji.
W implikacji zawsze mamy do czynienia z trzema zbiorami, czyli po obu stronach prawa Kubusia muszą być dokładnie te same zbiory aby zachodziła tożsamość … i są te same !
To jest algebra Boole’a i nie może być w implikacji dobre prawo kontrapozycji gdzie po obu stronach mamy różne zbiory, zaś trzeci jest poza opisem.

Wszystko jest tu zgodne z naturalną logiką. Równoważność i implikacja to dwa różne światy pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczne, czyli nie mogą obowiązywać wspólne prawa matematyczne.

Z powyższego wynika że:
Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawa kontrapozycji są poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji

1.7 Algebra Kubusia

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a której fundamentem w obszarze implikacji są nieznane ludziom, definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Oczywiście chodzi tu o interpretacje odpowiednich tabel zero-jedynkowych, znanych ludziom od prawie 200 lat.

Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji (pkt. 6.1) to fundament matematyczny algebry Boole’a. Bezpośrednio z tych pojęć wynika przemienność argumentów w operatorach AND(*), OR(+), równoważności <=> i XOR oraz brak przemienności argumentów w operatorach implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~>.

Brak przemienności argumentów w operatorach implikacji przenosi się oczywiście na brak przemienności w implikacyjnych AND(*) i OR(+) wynikających z definicji tych operatorów czyli:
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
czyli:
p=>q # q~>p
p~>q # q=>p
To jest fundamentalna różnica wymuszająca włączenie operatorów implikacji do poprawnej definicji algebry Boole’a. Oczywiście algebrę Boole’a uzupełnioną w definicji o operatory implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> mamy prawo nazwać, niech to będzie algebra Kubusia.
W algebrze Kubusia operator implikacji odwrotnej ~> ma równe prawa z implikacją prostą => i jest niezbędny, bowiem implikacja w naturalnym języku mówionym to zmiana operatora z => na ~> lub odwrotnie milion razy na dobę.

Zauważmy coś fundamentalnie ważnego:
W operatorach AND(*) i OR(+) można się obejść bez jednego z tych operatorów na podstawie praw de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)

Wydawać by się mogło, że na tej samej zasadzie zbędna jest implikacja odwrotna ~>, bo prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikacje prostą =>

Nic bardziej błędnego !

Prawa Kubusia działają bowiem w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej. Niemożliwe jest zatem istnienie implikacji prostej => (pewne wynikanie) bez implikacji odwrotnej ~> (rzucanie monetą) i odwrotnie - patrz prawo Kłapouchego pkt. 6.6.

1.8 Definicja algebry Kubusia

Definicja algebry Kubusia:
Dwuelementowa algebra Kubusia (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra legalnych operatorów logicznych z których najważniejsze to OR(+), AND(*), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus definicja negacji (~) oraz pojęcie zmiennej binarnej i funkcji logicznej.

Definicja negacji:
1=~0
0=~1

Zmienna binarna - zmienna przyjmująca w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
Funkcja logiczna (Y) - to funkcja zmiennych binarnych połączonych operatorami logicznymi AND(*) lub OR(+) przyjmująca w osi czasu wartości wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnych wartości tych zmiennych.

Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
gdzie:
Y - funkcja logiczna (typowe oznaczenie rodem z teorii układów logicznych)
A,B,C … - zmienne binarne

Wszelkie prawa logiczne tylko i wyłącznie z powyższej definicji wynikają.

Lista legalnych operatorów logicznych w postaci zero-jedynkowej:

rafal3006

Część II Implikacja

4.0 Notacja szczególna w implikacji

W implikacji dla uproszczenia używać będziemy bezwzględnych zer i jedynek wyłącznie dla określenia prawdziwości zdania:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe
To „uproszczenie” wynika tylko i wyłącznie z przyzwyczajeń przeciętnego człowieka do powyższego standardu. Elegancja w matematyce polega na wyprowadzeniu wzoru ogólnego i dopiero na końcu na podstawieniu danych.

Gdybyśmy w tej publikacji użyli symboli w 100% czyli zastosowali:
Y - zdanie prawdziwe
~Y - zdanie fałszywe
to otrzymalibyśmy w pełni symboliczne tabele operatorowe implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności czyli zero styczności z zerami i jedynkami.

4.1 Rodzaje implikacji

Istnieją dwa rodzaje implikacji, implikacja z gwarancją (prawa Kubusia) i implikacja bez gwarancji (prawa kontrapozycji). Wyprzedzimy trochę czas, nie należy się przejmować jeśli poniższe definicje i prawa nie będą zrozumiałe. Można spokojnie przejść do następnego punktu.

Definicja:
Implikacja z gwarancją, to implikacja w której występuje tożsamość gwarancji i nie występuje tożsamość operatorów (w prawach Kubusia).

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>

W prawach Kubusia po obu stronach zachowana jest tożsamość gwarancji, oczywisty brak tożsamości operatorów widać doskonale.

Definicja:
Implikacja bez gwarancji to implikacja, w której występuje tożsamość operatorów bez zachowania tożsamości gwarancji (w prawach kontrapozycji).

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
p~>q = ~q~>~p

W prawach kontrapozycji zachowana jest tożsamość operatorów co widać wyżej, ale nie jest zachowana tożsamość gwarancji o czym dowiemy się … w swoim czasie.

Uwaga:
W całym podręczniku pisząc „implikacja” będziemy mieli na myśli domyślnie „implikację z gwarancją”.

4.2 O co chodzi w implikacji

Implikacja to zdanie złożone warunkowe typu „Jeśli…to…”

W dzisiejszej matematyce funkcjonuje taka definicja implikacji:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Koniec, absolutne zero jakiegokolwiek komentarza czyli kompletnie nie wiadomo o co chodzi.

Matematycznie istnieją dwie różne tabele zero-jedynkowe implikacji.
p=>q - implikacja prosta
p~>q - implikacja odwrotna
Oczywiście dzisiejsza matematyka akceptuje fakt że:
p=>q # p~>q
Jednak z powodu fałszywej interpretacji zer i jedynek w definicjach implikacji wychodzi jej że implikacja odwrotna jest zbędna. Poprawne definicje implikacji prostej i odwrotnej są wyżej.

Ujmując rzecz całą ściśle matematycznie można udowodnić, że wszystkie operatory logiczne są zbędne za wyjątkiem jednego, NOR albo NAND … nie o to jednak chodzi.

Twierdzenie Kubusia:
W logice niezbędne są tylko i wyłącznie te operatory których człowiek używa w naturalnym języku mówionym czyli: AND(*), OR(+), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus negacja (~).

Powyższego zestawu operatorów nie należy ani skracać, ani też rozszerzać bo wyjdzie z tego logika-potworek nie mająca nic wspólnego z nieprawdopodobnie prostą i doskonałą, logiką człowieka.

Implikacja to przede wszystkim matematyczny opis przyszłości, dzięki niej człowiek z góry wie kiedy w przyszłości zostanie kłamcą a kiedy nie.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Oczywiście jeśli zdam egzamin do mam gwarantowany komputer. Jeśli nie zdam to wszystko może się zdarzyć wedle „widzi mi się” czyli wolnej woli ojca … mamy rzucanie monetą.

Implikacja to również matematyczny opis przyszłości świata martwego.

Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
Jeśli będzie padać to na pewno będzie pochmurno. Jeśli nie będzie padać, to może być pochmurno lub nie być, wedle „wolnej woli” pogody, czyli rzucanie monetą.

Implikacja występuje również w przyrodzie i matematyce. Wszelkie twierdzenia matematyczne to równoważności, implikacja jest tu niezwykle rzadkim wyjątkiem.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to na pewno będzie mieć cztery łapy
P=>4L
Matematycznie to dwa równoważne zdania. Oczywiście wszystkie psy mają cztery łapy, ale jeśli wylosowane zwierzę nie będzie psem to może mieć cztery łapy (słoń) albo nie mieć czterech łap (mrówka), czyli rzucanie monetą.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Jeśli wylosowana w przyszłości liczba będzie podzielna przez 8 to będzie podzielna przez 2
P8=>P2
Matematycznie to dwa równoważne zdania. Oczywiście każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2, ale jeśli wylosowana liczba nie będzie podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2 (2,4,6..) albo nie (3,5,7…), czyli rzucanie monetą.

Jak widać wyżej każda implikacja prosta => jest w pierwszej części zdeterminowana, tu mamy pewność, ale w drugiej części definicji to najzwyklejsze rzucanie monetą.

W implikacji odwrotnej ~> mamy dokładnie odwrotnie. Tu w pierwszej części definicji mamy przypadek czyli rzucanie monetą zaś w drugiej części mamy pewność.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie mieć cztery łapy to może być psem
4L~>P
Oba zdania są matematycznie równoważne. Ta implikacja jest prawdziwa bo spełnia definicję implikacji odwrotnej ~>. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być (np.słoń). W pierwszej części definicji implikacji odwrotnej mamy rzucanie monetą, ale w drugiej części mamy pewność, czyli jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem.

Matematycznie obie implikacje, prosta => i odwrotna ~> są równie cenne bowiem w obu występuje gwarancja matematyczna.

Zdanie bez żadnej gwarancji jest po prostu śmieciem np.
Jeśli księżyc świeci to pies ma cztery łapy
KS=>4L
Implikacja oczywiście fałszywa bo brak związku poprzednika z następnikiem, nie możemy tu mówić o jakiejkolwiek gwarancji. Świecenie księżyca nie gwarantuje czterech łap u psa … no, chyba że suczka zaszła w ciążę przy pełni księżyca i dlatego pies ma cztery łapy ?

Implikacja jest implikacją prawdziwą, jeśli spełnia odpowiednią definicję implikacji. W matematyce występują dwie definicje implikacji: implikacja prosta => oraz implikacja odwrotna ~>. Logika każdego człowieka to przechodzenie z jednej implikacji do drugiej milion razy na dobę zgodnie z prawami Kubusia.
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Przyczyną klęski dzisiejszej logiki w poszukiwaniu logiki człowieka są fałszywe interpretacje zero-jedynkowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> uniemożliwiające stosowanie praw Kubusia.

4.3 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej

Udajmy się do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.

Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci

Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci

Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci ani razu nie popełniły błędu !

Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P

Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).

4.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)

rafal3006

Beta 7.0

Narzędzia, których próbujemy używać, język lub notacja których używamy do wyrażenia lub rejestrowania naszych myśli, są głównymi czynnikami określającymi to, co w ogóle możemy myśleć lub wyrazić.
E.W. Dijkstra

Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Artykuł związany z publikacją:
Pytania do matematyków całego świata

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś

Kim jest Kubuś ?
Kubuś to Miś kosmita, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji. W mniemaniu Kubusia zadanie zostało wykonane, ale wcale nie jest pewne czy ludzie to załapią … cóż, będzie co ma być, niebo albo piekło.

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję

… wszystko, co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

To jest podręcznik, przy pomocy którego chciałbym poznać fundamenty logiki człowieka, gdybym miał znowu 16 lat
Kubuś

Spis treści:

1.0 Notacja

1.1 Fundament logiki klasycznej w pigułce
1.1.1 Funkcja logiczna
1.1.2 Definicja logiki ujemnej
1.1.3 Definicja implikacji prostej
1.1.4 Definicja implikacji odwrotnej
1.1.5 Spójniki zdaniowe

1.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
1.2.1 Operatory AND i OR

1.3 Implikacja
1.3.1 Prawa Kubusia

1.4 Równoważność
1.4.1 Prawo kontrapozycji

1.5 Prawo Sowy
1.6 Prawa kontrapozycji w implikacji

1.7 Algebra Kubusia
1.8 Definicja algebry Kubusia

Część I Operatory AND i OR

2.0 Kubuś na tropie logiki człowieka
2.1 Podstawowe pojęcia i definicje
2.2 Funkcja logiczna jednej zmiennej
2.3 Funkcja logiczna dwu zmiennych - suma logiczna
2.4 Funkcja logiczna dwu zmiennych - iloczyn logiczny
2.5 Logika ujemna
2.6 Definicja sumy logicznej
2.7 Prawo Prosiaczka
2.8 Definicja iloczynu logicznego
2.9 Dowody zero-jedynkowe w algebrze Boole’a
2.10 Logika dodatnia i ujemna w bramkach logicznych
2.11 Operatory OR i AND w logice człowieka

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.4 Operatory dodatnie i operatory ujemne

Część II Implikacja

4.0 Notacja szczególna w implikacji
4.1 Rodzaje implikacji
4.2 O co chodzi w implikacji
4.3 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
4.4 Implikacja odwrotna
4.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
4.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
4.7 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej

5.0 Kubuś na tropie implikacji prostej
5.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
5.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
5.3 Gwarancja w implikacji prostej

6.0 Fundamenty algebry Boole’a
6.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
6.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
6.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
6.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
6.5 Prawa Kubusia
6.6 Prawo Kłapouchego
6.7 Implikacja w bramkach logicznych
6.8 Kwadrat logiczny implikacji
6.9 Równoważność
6.10 Kwadrat logiczny równoważności

7.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
7.1 Prawo Tygryska

8.0 Obietnice i groźby
8.1 Obietnice
8.2 Groźby
8.3 Znaczenie operatora implikacji odwrotnej ~>
8.4 „Równoważność” w obietnicach i groźbach

9.0 Podsumowanie
9.1 Geneza zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych

Wstęp.

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, odpowiednik języka asemblera ze świata mikroprocesorów, z nowymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>, fundamentalnie różnymi od wszelkich znanych człowiekowi delicji implikacji np. materialna, logiczna, ścisła etc. Oczywiście chodzi tu o nową interpretację tabel zero-jedynkowych, znanych ludziom od 200 lat.

Kubuś to przybysz ze świata techniki dobrze znający techniczną algebrę Boole’a której fundamentem są operatory AND(*) i OR(+). Zaskoczył go fakt, że dzisiejsza logika (KRZ) to rachunek zero-jedynkowy, że cała współczesna algebra Boole’a to mielenie bezsensownych zer i jedynek. W technicznej algebrze Boole’a myślimy naturalną logiką człowieka zapisując symbolicznie to co chcemy uzyskać. Na tym najważniejszym etapie projektowania (poziom algorytmu) zera i jedynki kompletnie nas nie interesują, wszystko zapisujemy w symbolicznych równaniach algebry Boole’a.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.

Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu

Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki. Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Nowe, nieznane człowiekowi definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> (oczywiście chodzi tu o interpretacje tabel zero-jedynkowych) plus prawa Kubusia działają doskonale w matematyce, przyrodzie martwej i żywej, groźbach i obietnicach oraz opisują takie pojęcia jak „wolna wola” czy „dobro-zło”. Najśmieszniejszy w całej tej historii jest fakt, że człowiek nie musi się uczyć matematycznej wersji swojej logiki, po prostu ma ją wyssaną z mlekiem matki, wystarczy że będzie logicznie myślał i zapisywał swoje myśli w postaci równań algebry Kubusia w przełożeniu 1/1.

KRZ - Klasyczny Rachunek Zdań, dział logiki, w zakresie implikacji oparty na definicji implikacji materialnej. Fundamentem KRZ jest rachunek zero-jedynkowy.

Uwaga:
W tej publikacji używając terminu „dzisiejsza logika” będziemy mieli na myśli KRZ

1.0 Notacja

Notacja w algebrze Kubusia jest identyczna jak notacja technicznej algebry Boole’a czyli tej, której używają praktycy.

Symboliczna algebra Kubusia:
Y - prawda, dotrzymam słowa
~Y - fałsz, kłamstwo
Rachunek zero-jedynkowy:
1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

W tym miejscu początkujący czytelnicy proszeni są o przeskok do punkt 2.0 gdzie rozpoczyna się elementarz algebry Boole’a od zupełnego zera. Rozdział 1.0 to streszczenie całego podręcznika w pigułce, oczywiście można na to zerknąć, ale z pewnością będą to dla początkującego czytelnika nic nie mówiące krzaczki.

1.1 Fundament logiki klasycznej w pigułce

Logika klasyczna zbudowana na zaprezentowanym tu fundamencie to 100%, poprawna algebra Boole’a. Niemożliwe są tu jakiekolwiek paradoksy znane w starej logice klasycznej. W poprawnej matematyce to po prostu niemożliwe.
Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych która ma zero wspólnego z matematyką klasyczną np. całki, ekstrema funkcji itp. Prawa tu obowiązujące nie muszą pokrywać się z aksjomatami wyznaczonymi dla matematyki klasycznej,

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a której fundamentem w obszarze implikacji są nieznane ludziom, definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>. Oczywiście chodzi tu o interpretacje odpowiednich tabel zero-jedynkowych, znanych od prawie 200 lat.

1.1.1 Funkcja logiczna

Definicja:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+):
Y = A+(B*C) ….

1.1.2 Definicja logiki ujemnej

Definicja:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logika ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

1.1.3 Definicja implikacji prostej

Implikacja prosta - przemienność argumentów nie występuje

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Operatorowa definicja implikacji prostej:

rafal3006

Część II Implikacja

4.0 Notacja szczególna w implikacji

W implikacji dla uproszczenia używać będziemy bezwzględnych zer i jedynek wyłącznie dla określenia prawdziwości zdania:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe
To „uproszczenie” wynika tylko i wyłącznie z przyzwyczajeń przeciętnego człowieka do powyższego standardu. Elegancja w matematyce polega na wyprowadzeniu wzoru ogólnego i dopiero na końcu na podstawieniu danych.

Gdybyśmy w tej publikacji użyli symboli w 100% czyli zastosowali:
Y - zdanie prawdziwe
~Y - zdanie fałszywe
to otrzymalibyśmy w pełni symboliczne tabele operatorowe implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności czyli zero styczności z zerami i jedynkami.

4.1 Rodzaje implikacji

Matematycznie istnieją dwie zero-jedynkowe definicje implikacji.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być wystarczające dla q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

4.2 O co chodzi w implikacji

Implikacja to zdanie złożone warunkowe typu „Jeśli…to…”

W dzisiejszej matematyce funkcjonuje taka definicja implikacji:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Koniec, absolutne zero jakiegokolwiek komentarza czyli kompletnie nie wiadomo o co chodzi.

Matematycznie istnieją dwie różne tabele zero-jedynkowe implikacji.
p=>q - implikacja prosta
p~>q - implikacja odwrotna
Oczywiście dzisiejsza matematyka akceptuje fakt że:
p=>q # p~>q
Jednak z powodu fałszywej interpretacji zer i jedynek w definicjach implikacji wychodzi jej że implikacja odwrotna jest zbędna. Poprawne definicje implikacji prostej i odwrotnej są wyżej.

Ujmując rzecz całą ściśle matematycznie można udowodnić, że wszystkie operatory logiczne są zbędne za wyjątkiem jednego, NOR albo NAND … nie o to jednak chodzi.

Twierdzenie Kubusia:
W logice niezbędne są tylko i wyłącznie te operatory których człowiek używa w naturalnym języku mówionym czyli: AND(*), OR(+), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus negacja (~).

Powyższego zestawu operatorów nie należy ani skracać, ani też rozszerzać bo wyjdzie z tego logika-potworek nie mająca nic wspólnego z nieprawdopodobnie prostą i doskonałą, logiką człowieka.

Implikacja to przede wszystkim matematyczny opis przyszłości, dzięki niej człowiek z góry wie kiedy w przyszłości zostanie kłamcą a kiedy nie.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Oczywiście jeśli zdam egzamin do mam gwarantowany komputer. Jeśli nie zdam to wszystko może się zdarzyć wedle „widzi mi się” czyli wolnej woli ojca … mamy rzucanie monetą.

Implikacja to również matematyczny opis przyszłości świata martwego.

Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
Jeśli będzie padać to na pewno będzie pochmurno. Jeśli nie będzie padać, to może być pochmurno lub nie być, wedle „wolnej woli” pogody, czyli rzucanie monetą.

Implikacja występuje również w przyrodzie i matematyce. Wszelkie twierdzenia matematyczne to równoważności, implikacja jest tu niezwykle rzadkim wyjątkiem.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to na pewno będzie mieć cztery łapy
P=>4L
Matematycznie to dwa równoważne zdania. Oczywiście wszystkie psy mają cztery łapy, ale jeśli wylosowane zwierzę nie będzie psem to może mieć cztery łapy (słoń) albo nie mieć czterech łap (mrówka), czyli rzucanie monetą.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Jeśli wylosowana w przyszłości liczba będzie podzielna przez 8 to będzie podzielna przez 2
P8=>P2
Matematycznie to dwa równoważne zdania. Oczywiście każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2, ale jeśli wylosowana liczba nie będzie podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2 (2,4,6..) albo nie (3,5,7…), czyli rzucanie monetą.

Jak widać wyżej każda implikacja prosta => jest w pierwszej części zdeterminowana, tu mamy pewność, ale w drugiej części definicji to najzwyklejsze rzucanie monetą.

W implikacji odwrotnej ~> mamy dokładnie odwrotnie. Tu w pierwszej części definicji mamy przypadek czyli rzucanie monetą zaś w drugiej części mamy pewność.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie mieć cztery łapy to może być psem
4L~>P
Oba zdania są matematycznie równoważne. Ta implikacja jest prawdziwa bo spełnia definicję implikacji odwrotnej ~>. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być (np.słoń). W pierwszej części definicji implikacji odwrotnej mamy rzucanie monetą, ale w drugiej części mamy pewność, czyli jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem.

Matematycznie obie implikacje, prosta => i odwrotna ~> są równie cenne bowiem w obu występuje gwarancja matematyczna.

4.3 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej

Udajmy się do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.

Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci

Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci

Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci ani razu nie popełniły błędu !

Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P

Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).

4.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)

rafal3006

rafal3006