Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - rewolucja w logice matematycznej
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3 ... 29, 30, 31, 32  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Filozofia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 11:31, 20 Lut 2021    Temat postu:

Pozwólmy umrzeć ziemskim, twardogłowym matematykom typu Irbisol czy Idiota ...
z okrzykiem na ustach:
Klasyczny Rachunek Zdań jest moim bogiem, zaś algebra Kubusia jest gównem.

Przez ładnych kilka dni dopieszczałem kluczową teorię implikacji prostej p|=>q - wreszcie czyta mi się ją lekko, łatwo i przyjemnie z czego wynika, iż wykluczone jest aby przeciętny ziemski matematyk nie rozumiał o czym piszę, chociaż ...

Biorąc pod uwagę fakt że 100% (dosłownie) definicji w algebrze Kubusia i Klasycznym Rachunku Zdań jest sprzecznych, dopuszczam możliwość, że będzie istniała grupka ziemskich matematyków którzy do śmierci nie zrozumieją algebry Kubusia np. Irbisol i Idiota - pozwólmy im umrzeć w spokoju, nie zmuszajmy ich by cokolwiek zrozumieli z AK.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.


Algebra Kubusia dedykowana jest przyszłym pokoleniom matematyków z czystymi mózgami tzn. nie wypranymi gównem zwanym KRZ.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578421

5.0 Implikacja prosta p|=>q

Spis treści
5.0 Implikacja prosta p|=>q 1
5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 1
5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 3
5.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|=>q 4
5.3 Operator implikacji prostej p||=>q 7
5.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 11
5.3.2 Operator implikacji prostej p||=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 14
5.4 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach 17
5.4.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> 20



5.0 Implikacja prosta p|=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po stronie przeciwnej
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość zdania po stronie przeciwnej

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

5.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Ax.
W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Bx.

Zachodzi tożsamość znaczków:
„=” = „[=]”
Znaczek [=] sygnalizuje tylko zamianę p i q w A3B3 i A4B4 względem A1B1 i A2B2.

Znaczenie tożsamości logicznej [=]:
Przykładowe prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
1.
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Ax w tabeli T2
2.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Bx w tabeli T2

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

W tabeli T2 możemy wyróżnić następujące implikacje:

A1B1:
Punkt odniesienia:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Poniższe nazwy implikacji tożsamych odnoszą się do punktu odniesienia A1B1: p|=>q:

[=]

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q)=~p*q
~p|~>~q = ~p*q

[=]

A3B3:
Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p w logice dodatniej (bo p) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p w logice dodatniej (bo p) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =0 - zajście q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(q=>p) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
q|~>p = q*~p

[=]

A4B4:
Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p w logice ujemnej (bo ~p) w stosunku do A1B1:

Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p w logice ujemnej (bo ~p) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~q=>~p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: ~q~>~q =0 - zajście ~q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) =1*~(0) =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
~q|=>~p = q*~p

Na mocy tożsamości logicznych w wierszach w tabeli T2 zachodzą tożsamości logiczne [=] implikacji:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q [=] A3B3: q|~>p [=] A4B4: ~q|=>~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Dokładnie to samo można udowodnić korzystając z definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wyrażonych spójnikami „i’(*) i „lub”(+) co wyżej zrobiono:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q [=] A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q

Warto zapamiętać różnicę między warunkiem wystarczającym p=>q:
A: p=>q = ~p+q
##
a implikacją prostą p|=>q:
A1B1: p|=>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego p=>q i implikacji prostej p|=>q
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q.

5.3 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w implikacjach p|=>q i ~p|~>~q:
Operator implikacji prostej p||=>q to złożenie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) i logicznie tożsamej z nią implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)

1.
Definicja implikacji prostej p|=>q prostej w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Z tabeli T2 widać, że implikacja prosta p|=>q odpowiada za zdarzenia po stronie niezanegowanego poprzednika p (p=1)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Implikacja prosta p|=>q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1):
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem (i odwrotnie).
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Zbiory p i ~q nie mają (=0) elementu wspólnego: p*~q =[] =0 - zbiory rozłączne

2.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2 ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A1: ~p~>~q)*~(B1: ~p=>~q)=1*~(0)=1*1 =1
Z tabeli T2 widać, że implikacja odwrotna odpowiada za zdarzenia po stronie zanegowanego poprzednika p (~p=1).
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’ ~p~~>q =1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wynikający z fałszywości warunku wystarczającego B2

Zauważmy że:
Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q =1

Stąd mamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1):
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> dla zajścia ~q (~q=1) bo jak zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q

Zauważmy, że implikacja prosta p|=>q definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania A1 i A1’), zaś implikacja odwrotna ~p|~>~q również definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania A2 i B2’).
W logice matematycznej zdania możemy dowolnie przestawiać co oznacza, że istotne są tu zdania składowe A1, A1’, A2, B2’, a nie implikacja prosta p|=>q, czy też odwrotna ~p|~>~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego fałszywość po drugiej stronie

Oznacza to, że po udowodnieniu prawdziwości implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) nie musimy dowodzić prawdziwości implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), bowiem prawdziwość implikacji odwrotnej ~p|~>~q gwarantuje nam prawo rachunku zero-jedynkowego:
p|=>q = ~p~>~q = ~p*q

Na mocy powyższych rozważań definicję operatora implikacji prostej p||=>q możemy uprościć do definicji poniższej, interesując się wyłącznie prawdziwością/fałszywością zdań warunkowych A1, A1’, A2 i B2’.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

5.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T4:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T4 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0   =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1   =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T4 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T6:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q ~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1   =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0   =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T5 i T6 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T5 i T6 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T5: p=>q = T6: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T5: 123) i koniecznego ~> (T6: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

5.3.2 Operator implikacji prostej p||=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Weźmy dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
         Y=    ~Y=           Y=      ~Y=
   p  q  p=>q ~(p=>q) ~p ~q ~p~>~q ~(~p~>~q)
A: 1=>1  =1     =0     0~>0   =1      =0
B: 1=>0  =0     =1     0~>1   =0      =1
C: 0=>0  =1     =0     1~>1   =1      =0
D: 0=>1  =1     =0     1~>0   =1      =1
   1  2   3      4     5  6    7       8
Tożsamość kolumn 3=8 jest dowodem zero-jedynkowym poprawności prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q

Jedynym równaniem logicznym zrozumiałym dla każdego człowieka opisującym dowolną tabelę zero-jedynkową jest równanie alternatywno-koniunkcyjne.
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej można też ułożyć tożsame równanie koniunkcyjno-alternatywne, które jednak nie ma przełożenia na język potoczny tzn. równań koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie zrozumie. Wyjaśnienie na poziomie 5-cio latka dlaczego nie zrozumie znajdziemy w punkcie 2.5.1.

Algorytm tworzenia równania alternatywno-koniunkcyjnego dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej:
W równaniu alternatywnym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki zarówno dla funkcji logicznej Y, jak i dla funkcji logicznej ~Y.
W wierszach stosujemy spójnik „i”(*) natomiast w pionie stosujemy spójnik „lub”(+)

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy warunek wystarczający Y=(p=>q) będzie spełniony (Y=1)?

Odpowiedź mamy w tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
a)
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
W równaniu alternatywno-koniunkcyjnym z definicji wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Prawo Prosiaczka można stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
b)
Stąd mamy zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
c)
Jedynki w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym są domyślne tzn. możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie c):
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q +~p*(~q+q)
Y = ~p+ (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Y = (p=>q) = p*q +~p*~q + ~p*q = p+~q

2.
Kiedy warunek wystarczający Y=(p=>q) nie będzie spełniony (~Y=~(p=>q)=1)?

Ten przypadek opisuje tabela zero-jedynkowa ABCD124:
a)
~Y=1 <=> p=1 i q=0
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
stąd zapis matematycznie tożsamy:
b)
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
c)
Jedynki w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym są domyślne tzn. możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Podobnie mamy:

Definicja operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy warunek konieczny Y=(~p~>~q) będzie spełniony (Y=(~p~>~q)=1)?

Odpowiedź mamy w tabeli zero-jedynkowej ABCD567:
a)
Y=1 <=> A: ~p=0 i ~q=0 lub C:~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=0
W równaniu alternatywno-koniunkcyjnym z definicji wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=0)=(p=1)
Prawo Prosiaczka można stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
b)
Stąd mamy zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
c)
Jedynki w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym są domyślne tzn. możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie c):
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q +~p*(~q+q)
Y = ~p+ (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Y = (p=>q) = p*q +~p*~q + ~p*q = p+~q

2.
Kiedy warunek konieczny Y=(~p~>~q) nie będzie spełniony (~Y=~(~p~>~q)=1)?

Ten przypadek opisuje tabela zero-jedynkowa ABCD568:
a)
~Y=1 <=> ~p=0 i q=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=0)=(p=1)
stąd zapis matematycznie tożsamy:
b)
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
c)
Jedynki w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym są domyślne tzn. możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Podsumowując mamy:
1.
Kiedy zajdzie Y=1?
Y = (p=>q) = (~p~>~q) = ~p+q
2.
Kiedy zajdzie ~Y=1?
~Y = ~(p=>q) = ~(~p~>~q) = p*~q
cnd

5.4 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Zobaczmy to na przykładzie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8=[8,16,24..] to podzbiór => zbioru wszystkich liczb parzystych P2=[2,4,6,8..], stąd prawdziwość zdania A1.
W zdaniu A1 poprzednik p mówi o zbiorze P8, zaś następnik q o zbiorze P2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb parzystych
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd wyznaczamy zbiory zaprzeczone rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór wszystkich liczb nieparzystych)
Definicja dziedziny dla P8 i ~P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8
P8*~P8=[] =0 - zbiory rozłączne
Definicja dziedziny dla P2 i ~P2:
P2+~P2=LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory rozłączne

Wnioski:
1.
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” dziedzina musi być wspólna dla p i q
2.
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Nasz przykład:
p+q = P8+P2 = P2 - bo P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjęta dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Jest szersza od sumy logicznej zbiorów:
P8+P2=P2=[2,4,6,8..]
zatem przyjęta dziedzina jest matematycznie poprawna.
3.
Zobaczmy co się stanie jak dla naszego zdania A1 przyjmiemy za dziedzinę zbiór tożsamy z sumą zbiorów P8+P2=P2:
D=P2=[2,4,6,8..]
Wyznaczamy zbiór ~P2:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Jak widzimy pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne, dlatego dla zdania A1 musimy przyjąć dziedzinę szerszą od sumy zbiorów P8+P2=P2, inaczej popełniamy błąd nierozpoznawalności analizowanego pojęcia (tu ~P2)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Analiza implikacji prostej p||=>q w zapisach formalnych (ogólnych)
----------------------------------------------------------------------
Analiza        |Po zamianie    |Komentarz do analizy podstawowej
podstawowa     |p i q          |na podstawie diagramu D1
A1:  p=> q =1  |A3:  q~> p =1  |A1   p=> q =1 - p jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
A2: ~p~>~q =1  |A4: ~q=>~p =1  |A2: ~p~>~q =1 - ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’ ~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
|
B1:  p~> q =0  |B3:  q=> p =0  |B1:  p~> q =0 - p nie jest nadzbiorem ~> q
A1’  p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
B2: ~p=>~q =0  |B4: ~q~>~p =0  |B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest podzbiorem ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’:~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Spójnik p~~>q=p*q jest przemienny.

Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie.

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Odpowiedź:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie.
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie.

5.4.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~>

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p||=>q wyżej zapisany.
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p||=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)             |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Operator p||=>q       |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T1.
Operator implikacji prostej p||=>q
definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q

Znaczenie tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2.
Operator p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

Analiza tabeli prawdy T1 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2
Kod:

T3.
Operator p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1:  p=> q  =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q  =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1

Stąd mamy:
Linia A1B1:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1

Uwaga:
W implikacji prostej p|=>q zbiory p i q nie mogą być tożsame bo …

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> dla zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dowód:
Dla zbiorów tożsamych p=q mamy:
A1: p=>q =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Czyli:
Dla zbiorów tożsamych p=q jest:
B1: p~>q =1
co jest sprzeczne z definicją implikacji prostej p|=>q gdzie musi być spełnione:
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
cnd

Stąd mamy:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (prawdziwe dla p##q)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Gdzie:
p##q - zbiory p i q różne ## na mocy definicji

Dodatkowy warunek jaki musi tu być spełniony brzmi:
Dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Dowód:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Przyjmijmy za dziedzinę zbiór q
D=q
Obliczamy zbiór ~q rozumiany jako uzupełnienie do dziedziny D dla zbiory q:
~q=[D-q] = [q-q} =[] =0
Wniosek:
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q inaczej zbiór wejściowy ~q jest nierozpoznawalny, jest zbiorem pustym. Nie możemy operować na czymkolwiek czego definicji nie znamy.
cnd

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - punkt 3.0:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach jako:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
możemy ją podstawić matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tym momencie możemy tylko powtórzyć to co już znamy.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 16:58, 20 Lut 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 20:24, 20 Lut 2021    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-29000.html#580729
Kubuś napisał:
krowa napisał:
Kubuś napisał:
Algebra Kubusia dedykowana jest przyszłym pokoleniom matematyków z czystymi mózgami tzn. nie wypranymi gównem zwanym KRZ.


Tu masz błąd logiczny pedale. Wołasz o czystość rasy, a nikt w gównie nie pierze tylko w proszku pozbawionym życianów.
Niech mi będą świadkami wszyscy że jak będzie wojna to ciebie Kubus należy zlikwidować w pierwszej kolejności. Już się zapisałeś w pamięci jako antyludzki.

Nie ma żadnego błędu bidulko nic nie rozumiejąca - po prostu, matematyka nie zna pojęcia litości, jak coś jest do dupy, a do dupy jest KRZ, to musi zdechnąć.
Amen
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 595
Przeczytał: 4 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:53, 21 Lut 2021    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-29025.html#580913
Kubuś napisał:
evaj23 napisał:

PS. Pies z kulawą nogą , to jakby z trzema nogami, a te z trzema, według AK należy wymordować, to może już Kubuś wymordował żeby mu się jego AK zgadzała.

Podobnie:
Wciśnięcie przycisku zapalającego światło daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka zaświeci się

Tu również musisz wywalić w kosmos przypadki losowe typu: uszkodzona żarówka lub przycisk etc

W matematycznej teorii musisz założyć świat idealny czyli: żarówka nigdy się nie spali, pies ma zawsze cztery łapy etc

Podsumowując:
Blondynka zwana Evaj23 nie ma pojęcia co to jest matematyka podobnie jak JWP Barycki.


Podobnie:
Weźmy I prawo Kirchhoffa:
Suma prądów w węźle jest równa zeru

Nie istnieje amperomierz o rezystancji wewnętrznej równej nieskończoność, a tylko takim amperomierzem moglibyśmy sprawdzić poprawność I prawa Kirchhoffa w świecie rzeczywistym z dokładnością nieskończenie wielką.
Czy to oznacza, że I prawo Kirchhoffa jest do dupy?
Oczywiście: NIE!
Matematycznie zakładamy tu istnienie amperomierza o rezystancji wewnętrznej nieskończenie wielkiej i po bólu.


Ostatnio zmieniony przez Kubuś dnia Nie 15:58, 21 Lut 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 1:42, 22 Lut 2021    Temat postu:

Po raz kolejny wróciłem do kluczowej implikacji prostej p|=>q znacząco udoskonalając przekaz - wszystko w imię doprecyzowywania i upraszczania problemu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578421

5.0 Implikacja prosta p|=>q


Spis treści
5.0 Implikacja prosta p|=>q 1
5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 1
5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 3
5.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|=>q 5
5.3 Operator implikacji prostej p||=>q 7
5.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 11
5.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 14
5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 15
5.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 16
5.4.3 Świat martwy vs „wolna wola” 18
5.4.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~> 18
5.4.5 Operator implikacji prostej p||=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> 20



5.0 Implikacja prosta p|=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po stronie przeciwnej
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość zdania po stronie przeciwnej

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

5.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Ax.
W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Bx.

Zachodzi tożsamość znaczków:
„=” = „[=]”
Znaczek [=] sygnalizuje tylko zamianę p i q w A3B3 i A4B4 względem A1B1 i A2B2.

Znaczenie tożsamości logicznej [=]:
Przykładowe prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
1.
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Ax w tabeli T2
2.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Bx w tabeli T2

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

W tabeli T2 możemy wyróżnić następujące implikacje:

A1B1:
Punkt odniesienia:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Poniższe nazwy implikacji tożsamych odnoszą się do punktu odniesienia A1B1: p|=>q:

[=]

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q)=~p*q
~p|~>~q = ~p*q

[=]

A3B3:
Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p w logice dodatniej (bo p) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p w logice dodatniej (bo p) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =0 - zajście q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(q=>p) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
q|~>p = q*~p

[=]

A4B4:
Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p w logice ujemnej (bo ~p) w stosunku do A1B1:

Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p w logice ujemnej (bo ~p) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~q=>~p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: ~q~>~q =0 - zajście ~q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) =1*~(0) =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
~q|=>~p = q*~p

Na mocy tożsamości logicznych w wierszach w tabeli T2 zachodzą tożsamości logiczne [=] implikacji:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q [=] A3B3: q|~>p [=] A4B4: ~q|=>~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Dokładnie to samo można udowodnić korzystając z definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wyrażonych spójnikami „i’(*) i „lub”(+) co wyżej zrobiono:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q [=] A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q

Warto zapamiętać różnicę między warunkiem wystarczającym p=>q:
A: p=>q = ~p+q
##
a implikacją prostą p|=>q:
A1B1: p|=>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego p=>q i implikacji prostej p|=>q
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q.

5.3 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w implikacjach p|=>q i ~p|~>~q:
Operator implikacji prostej p||=>q to złożenie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) i logicznie tożsamej z nią implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)

1.
Definicja implikacji prostej p|=>q prostej w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Z tabeli T2 widać, że implikacja prosta p|=>q odpowiada za zdarzenia po stronie niezanegowanego poprzednika p (p=1)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Implikacja prosta p|=>q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1):
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem (i odwrotnie).
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Zbiory p i ~q nie mają (=0) elementu wspólnego: p*~q =[] =0 - zbiory rozłączne

2.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2 ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A1: ~p~>~q)*~(B1: ~p=>~q)=1*~(0)=1*1 =1
Z tabeli T2 widać, że implikacja odwrotna odpowiada za zdarzenia po stronie zanegowanego poprzednika p (~p=1).
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’ ~p~~>q =1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wynikający z fałszywości warunku wystarczającego B2

Zauważmy że:
Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q =1

Stąd mamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1):
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> dla zajścia ~q (~q=1) bo jak zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q

Zauważmy, że implikacja prosta p|=>q definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania A1 i A1’), zaś implikacja odwrotna ~p|~>~q również definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania A2 i B2’).
W logice matematycznej zdania możemy dowolnie przestawiać co oznacza, że istotne są tu zdania składowe A1, A1’, A2, B2’, a nie implikacja prosta p|=>q, czy też odwrotna ~p|~>~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego fałszywość po drugiej stronie

Oznacza to, że po udowodnieniu prawdziwości implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) nie musimy dowodzić prawdziwości implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), bowiem prawdziwość implikacji odwrotnej ~p|~>~q gwarantuje nam prawo rachunku zero-jedynkowego:
p|=>q = ~p~>~q = ~p*q

Na mocy powyższych rozważań definicję operatora implikacji prostej p||=>q możemy uprościć do definicji poniższej, interesując się wyłącznie prawdziwością/fałszywością zdań warunkowych A1, A1’, A2 i B2’.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

5.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T4:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T4 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T4 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T6:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q ~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1   =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0   =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T5 i T6 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T5 i T6 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T5: p=>q = T6: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T5: 123) i koniecznego ~> (T6: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

5.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy wyprowadzoną wyżej zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q
Kod:

T1
        Y=
   p  q p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego Y = p=>q:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń możliwych i rozłącznych:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

5.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna

Weźmy naszą tabelę T2.
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna to suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych
DM = Y+~Y
Gdzie:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = A: p*q + C:~p*~q + D:~p*q
Zaś:
~Y=~Yb
~Y = B: p*~q
Stąd suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych to:
DM = Y+~Y = Ya+~Yb+Yc+Yd
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1

Zauważmy, że jeśli znamy dowolną funkcję logiczną Y to automatycznie znamy zaprzeczenie tej funkcji ~Y (albo odwrotnie).
W każdym przypadku otrzymamy równanie dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1

W ogólnym przypadku w definicji dziedziny matematycznej DM nie interesuje nas która część dziedziny matematycznej należy do funkcji logicznej Y a która do ~Y.
Matematycznie dla dwóch zmiennych p i q otrzymamy 16 różnych funkcji logicznych Y, definiujących 16 różnych definicji spójników logicznych.
Definicje tych spójników i ich szczegółowy zapis znajdziemy w punkcie 2.11.

Właściwości dziedziny matematycznej:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Wszystkie funkcje cząstkowe A, B, C i D dziedziny matematycznej DM są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny
1.
Wszystkie funkcje logiczne cząstkowe A, B, C i D są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C= (p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
B*C=(p*~q)*(~p*~q) =[] =0
B*D = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0
cnd
2.
Funkcje cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to część dziedziny matematycznej DM opisana funkcją logiczną Y.

Nasz przykład:
Y = (p=>q)
Y = Ya+Yc+Yd
Y= A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Po minimalizacji mamy:
Y = ~p+q

Oczywiście znając funkcję logiczną Y znamy też funkcję logiczną ~Y która powstaje przez dwustronną negację funkcji Y:
~Y=~(p=>q)
~Y = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zdarzeń:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zdarzenia możliwe ~~> uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zbiorów:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

5.4.3 Świat martwy vs „wolna wola”

Definicja świata martwego:
Świat martwy to świat w którym rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania x nie zależy od „wolnej woli” człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka):
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Świat martwy z definicji nie może gwałcić (i nie gwałci!) praw logiki matematycznej pod które sam podlega.

5.4.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku wystarczającego => w zdarzeniach możliwych ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p=>q) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną możliwych zdarzeń rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
LUB
Yd = D: ~p*q =1*1=1 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p=>q) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = B: p*~q =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe

5.4.5 Operator implikacji prostej p||=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku wystarczającego => w elementach wspólnych zbiorów ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zbiorów niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zbiór pusty (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd zapis tożsamy:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Operator implikacji prostej p||=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są mają element wspólny ~~> (Y=1)?

Odpowiedź:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zbiory mające element wspólny ~~> (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - istnieje (Ya=1) element wspólny ~~> zbiorów: p (p=1) i q (q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - istnieje (Yc=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (p=1) i ~q (~q=1)
LUB
Yd = D: ~p*q =1*1=1 - Istnieje (Yd=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (~p=1) i q (q=1)

Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są nie mają elementu wspólnego ~~> (~Y=1)?

Odpowiedź:
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zbiory nie mające elementu wspólnego ~~> (~Y=1) to:
~Y = B: p*~q =1*1 =1 - nie mają elementu wspólnego ~~> (~Yb=1) zbiory: p (p=1) i ~q (~q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie mają elementu wspólnego (~Y) zbiory: p (p=1) i ~q (~q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że mają element wspólny (Y) zbiory: p (p=1) i ~q (~q=1)

Znaczenie symboli:
Y - zbiory mają element wspólny ~~>
~Y - zbiory nie mają (~) elementu wspólnego ~~>
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 1:18, 25 Lut 2021    Temat postu:

Piszę sobie powoli końcową wersją algebry Kubusia.
Oto kolejny, fajny fragment.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578435


5.7.5 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach możliwych ~~>

Zdanie bazowe - punkt odniesienia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Twardym dowodem iż przedstawiona wyżej teoria ogólna (formalna) ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka jest odtworzenie podstawień:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
stąd mamy:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = P=>CH - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   P  CH ~P ~CH  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> P=1 i  CH=1 | Ya= P~~> CH= P* CH
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> P=1 i ~CH=1 |~Yb= P~~>~CH= P*~CH
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~P=1 i ~CH=1 | Yc=~P~~>~CH=~P*~CH
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~P=1 i  CH=1 | Yd=~P~~> CH=~P* CH
   1  2  3  4  5  6   a       b      c      d   e    f   g  h

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
P~~>CH=P*CH =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń P i CH
Inaczej:
P~~>CH=P*CH=0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: P*~CH
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: P=1 i ~CH=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(P=>CH) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną możliwych zdarzeń rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: P*CH =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: pada P (P=1) i są chmury CH (CH=1)
LUB
Yc=C: ~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: nie pada ~P (~P=1) i nie ma chmur ~CH (~CH=1)
LUB
Yd = D: ~P*CH =1*1=1 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie: nie pada ~P (~P=1) i są chmury CH (CH=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(P=>CH) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: P*~CH
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: P=1 i ~CH=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = B: P*~CH =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: pada P (P=1) i nie ma chmur CH (~CH=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: pada P (P=1) i nie ma chmur CH (~CH=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> B: P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): pada P (P=1) i nie ma chmur CH (~CH=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:32, 28 Lut 2021    Temat postu:

Właśnie napisałem kolejny kluczowy rozdział algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#581663

6.0 Implikacja odwrotna p|~>q


Spis treści
6.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 1
6.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 3
6.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|~>q 5
6.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 7
6.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 11
6.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 14
5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 14
6.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 16
6.4.3 Świat martwy vs „wolna wola” 18
6.4.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~> 18
6.4.5 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> 20




6.0 Implikacja odwrotna p|~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

6.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po stronie przeciwnej
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość zdania po stronie przeciwnej

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
IP: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

6.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
IP: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Ax.
W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Bx.

Zachodzi tożsamość znaczków:
„=” = „[=]”
Znaczek [=] sygnalizuje tylko zamianę p i q w A3B3 i A4B4 względem A1B1 i A2B2.

Znaczenie tożsamości logicznej [=]:
Przykładowe prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
1.
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Bx w tabeli T2
2.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Ax w tabeli T2

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

W tabeli T2 możemy wyróżnić następujące implikacje:

A1B1:
Punkt odniesienia:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q
Poniższe nazwy implikacji odnoszą się do punktu odniesienia A1B1: p|~>q:

[=]

A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) w stosunku do A1B1:

Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A2B2: ~p|=>~q = p*~q

[=]

A3B3:
Implikacja prosta przeciwna q|=>p w logice dodatniej (bo p) w stosunku do A1B1:

Implikacja prosta przeciwna q|=>p w logice dodatniej (bo p) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: q~>p =0 - zajście q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
A3B3: q|=>p = ~(A3: q~>p)*(q=>p) = ~(0)*1 =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
A3B3: q|=>p = ~(A3: q~>p)*(q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p)=(~q*p)*(~q+p) = ~q*p
A3B3: q|=>p = ~q*p
[=]

A4B4:
Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p w logice ujemnej (bo ~p) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p w logice ujemnej (bo ~p) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~q=>~p =0 - zajście ~q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: ~q~>~p =1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
A4B4: ~q|~>~p = ~(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =~(0)*1 =1*1 =1
Definicje znaczków => I ~>:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
A4B4: ~q|~>~p = ~(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) = ~(q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p)=~q*p
A4B4: ~q|~>~p = ~q*p

Na mocy tożsamości logicznych w wierszach w tabeli T2 zachodzą tożsamości logiczne [=] implikacji:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q [=] A3B3: q|=>p [=] A4B4: ~q|~>~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Dokładnie to samo można udowodnić korzystając z definicji podstawowych implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q wyrażonych spójnikami „i’(*) i „lub”(+), co pokazano wyżej.
A1B1: p|~>q=p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q=p*~q [=] A3B3: q|=>p=~q*p [=] A4B4: ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna, bo prawe strony są identyczne (iloczyn logiczny „*” jest przemienny)
cnd

Warto zapamiętać różnicę między warunkiem koniecznym p~>q:
A: p~>q = p+~q
##
a implikacją odwrotną p|~>q:
A1B1: p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i implikacji odwrotnej p|~>q
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q.


6.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
IP: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w implikacjach p|~>q i ~p|=>~q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to złożenie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) i logicznie tożsamej z nią implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q)

1.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne => dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(0)*1=1*1 =1
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą (i odwrotnie).
A1’: p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Implikacja odwrotna p|~>q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1):
Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Zajście p (p=1) jest (=1) konieczne dla zajścia q (q=1) bo jak nie zajdzie p (~p=1) to na 100% => nie zajdzie q (~q=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q

2.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|=>~q = ~(A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1 =1
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q =0

Implikacja prosta ~p|=>~q mówi nam co może się wydarzyć po stronie ~p (~p=1):
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q =0

Zauważmy, że implikacja odwrotna p|~>q definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania B1 i A1’), zaś implikacja prosta ~p|=>~q również definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania B2 i B2’).
W logice matematycznej zdania możemy dowolnie przestawiać co oznacza, że istotne są tu zdania składowe B1, A1’, B2, B2’, a nie implikacja odwrotna p|~>q, czy też prosta ~p|=>~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
p|~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego fałszywość po drugiej stronie

Oznacza to, że po udowodnieniu prawdziwości implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) nie musimy dowodzić prawdziwości implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q), bowiem prawdziwość implikacji prostej ~p|=>~q gwarantuje nam prawo rachunku zero-jedynkowego:
p|~>q = ~p=>~q = p*~q

Na mocy powyższych rozważań definicję operatora implikacji odwrotnej p|~>q możemy uprościć do definicji poniższej, interesując się wyłącznie prawdziwością/fałszywością zdań warunkowych B1, A1’, B2 i B2’.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy prawa śfinii zdanie B1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą, stąd:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q - mówi o tym zdanie B2

B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

6.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q            |jedynek oznacza
B1:  p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q        |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1  |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q   |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0  |(~p=1)~~>( q=1)=0
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T3 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T4:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |definicja ~>
              |                  |                  | p  q  B1: p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T3 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p=>~q         |definicja =>
              |                  |                  |~p ~q B2: ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T4 i T5 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T4 i T5 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T4: p~>q = T5: ~p=>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T4: 123) i wystarczającego => (T5: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Stąd mamy:
Kod:

T6
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1          1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1          1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1          1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0          1
     1  2   3    4  5    6          7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q


6.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy wyprowadzoną wyżej zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~>:
Kod:

T1
        Y=
   p  q p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego Y = p~>q:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń możliwych i rozłącznych:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

6.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna

Weźmy naszą tabelę T2.
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna to suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych
DM = Y+~Y
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*~q
Zaś:
~Y=~Yd
~Y = D: ~p*q
Stąd suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych to:
DM = Y+~Y = Ya+~Yb+Yc+Yd
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1

Zauważmy, że jeśli znamy dowolną funkcję logiczną Y to automatycznie znamy zaprzeczenie tej funkcji ~Y (albo odwrotnie).
W każdym przypadku otrzymamy równanie dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1

W ogólnym przypadku w definicji dziedziny matematycznej DM nie interesuje nas która część dziedziny matematycznej należy do funkcji logicznej Y a która do ~Y.
Matematycznie dla dwóch zmiennych p i q otrzymamy 16 różnych funkcji logicznych Y, definiujących 16 różnych definicji spójników logicznych.
Definicje tych spójników i ich szczegółowy zapis znajdziemy w punkcie 2.11.

Właściwości dziedziny matematycznej:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Wszystkie funkcje cząstkowe A, B, C i D dziedziny matematycznej DM są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny
1.
Wszystkie funkcje logiczne cząstkowe A, B, C i D są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C= (p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
B*C=(p*~q)*(~p*~q) =[] =0
B*D = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0
cnd
2.
Funkcje cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to część dziedziny matematycznej DM opisana funkcją logiczną Y.

Nasz przykład:
Y = (p~>q)
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Po minimalizacji mamy:
Y = (p~>q) = p+~q

Oczywiście znając funkcję logiczną Y znamy też funkcję logiczną ~Y która powstaje przez dwustronną negację funkcji Y:
~Y=~(p~>q)
~Y = ~(p+~q) = ~p*q - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zdarzeń:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zdarzenia możliwe ~~> uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zbiorów:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

6.4.3 Świat martwy vs „wolna wola”

Definicja świata martwego:
Świat martwy to świat w którym rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania x nie zależy od „wolnej woli” człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka):
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Świat martwy z definicji nie może gwałcić (i nie gwałci!) praw logiki matematycznej pod które sam podlega.

6.4.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku koniecznego p~>q w zdarzeniach możliwych ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p~>q) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
LUB
Yb=B: p*~q =1*1 =1 - możliwe jest (Yb=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p~>q) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = D: ~p*q =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe

6.4.5 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku wystarczającego => w elementach wspólnych zbiorów ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zbiorów niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd zapis tożsamy:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są mają element wspólny ~~> (Y=1)?

Odpowiedź:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zbiory mające element wspólny ~~> (Y=1) to:
Ya = A: p*q =1*1=1 - istnieje (Ya=1) element wspólny ~~> zbiorów: p (p=1) i q (q=1)
LUB
Yb = B: p*~q =1*1 =1 - istnieje (Yb=1) element wspólny ~~> zbiorów: p (p=1) i ~q (~q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - istnieje (Yc=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (p=1) i ~q (~q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są nie mają elementu wspólnego ~~> (~Y=1)?

Odpowiedź:
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zbiory nie mające elementu wspólnego ~~> (~Y=1) to:
~Y = D: ~p*q =1*1=1 - nie Istnieje (~Y=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (~p=1) i q (q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie mają elementu wspólnego (~Y) zbiory: ~p (~p=1) i q (q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że mają element wspólny (Y) zbiory: ~p (~p=1) i q (q=1)

Znaczenie symboli:
Y - zbiory mają element wspólny ~~>
~Y - zbiory nie mają (~) elementu wspólnego ~~>
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 10:10, 05 Mar 2021    Temat postu:

Ciągle wracam wstecz i modyfikuję AK - wszystko w imię upraszczania AK.
Myślę, że prościej kluczowego w logice matematycznej prawa śfinii nie da się wyjaśnić.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578421

4.5 Prawo śfinii

Spis treści
4.5 Prawo śfinii 1


4.5 Prawo śfinii

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicje znaczków => i ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
p~>q =p+~q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicje znaczków => i ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
p~>q =p+~q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP: p|=>q =~p*q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO: p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne p|=>q i p|~>q spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 IP: Y =(p|=>q)=~p*q  ##  IO: Y =(p|~>q) =p*~q
     #                        #
~IP:~Y=~(p|=>q)=p+~q  ## ~IO:~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym.
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q

Rozróżniamy dwa podstawowe twierdzenia matematyczne różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q - twierdzenie proste
##
B3: q=>p = ~q+p - twierdzenie odwrotne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne A1 i B3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B3:  Y= (q=>p)=~q+p
      #                        #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~B3: ~Y=~(q=>p)=q*~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Twierdzenie matematyczne => = warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>



[link widoczny dla zalogowanych]

Dlaczego Jaś i Kuba tak zaciekle się bija?
Odpowiedź:
Obaj w swoich stwierdzeniach mają racją, a biją się dlatego, gdyż nie ustalili wspólnego punktu odniesienia.

Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
A1: p=>q =1
A1: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
B3: q=>p =1
B3: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Zdanie bazowe Jasia, punkt odniesienia:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
A1: P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zapis zdania bazowego Jasia w zapisie formalnym (ogólnym):
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q

Punkt odniesienia Jasia dla zdania bazowego p=>q to:
p=P8
q=P2
Gdzie:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczba podzielnych przez 2

W naszym przykładzie twierdzenie odwrotne B3: q=>p do prawdziwego twierdzenia A1: p=>q jest fałszem:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
B3: P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Punkt odniesienia dla zdania B3: q=>p to:
q=P2
p=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P8, q=P2) dla zdania A1: p=>q (A1: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania B3: q=>p (B3: P2=>P8), dlatego porównywania A1 z B3 jest matematycznie poprawne (ma sens).

Zdanie bazowe Kuby, punkt odniesienia:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
B1: P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Zapis zdania bazowego Kuby w zapisie formalnym (ogólnym):
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
B1: p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q

Punkt odniesienia Kuby dla zdania bazowego B1: p~>q to:
p=P2
q=P8
Gdzie:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczba podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8

Kuba ma prawo skorzystać z dowolnego prawa logiki matematycznej.
Zastosujmy dla zdania bazowego B1 prawo Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
stąd mamy w zapisach aktualnych:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Gdzie:
p=P2
q=P8
stąd Kuba wypowiada zdanie prawdziwe B3.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
B3: P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zapis zdania B3 Kuby w zapisie formalnym (ogólnym):
B3.
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
B3: q=>p =1
Zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p

Punkt odniesienia Kuby dla zdania B3: q=>p to:
q=P8
p=P2

W przykładzie Kuby prawdziwe twierdzenie odwrotne B3: q=>p (B3: P8=>P2) wymusza fałszywe twierdzenie proste A1: p=>q (A1: P2=>P8):
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Punkt odniesienia dla zdania A1 to:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P2 i q=P8) dla zdania B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania A1: p=>q (A1: P2=>P8), dlatego porównywanie B3 z A1 jest matematycznie poprawne (ma sens).

Wróćmy do bijatyki Jasia z Kubą:



[link widoczny dla zalogowanych]

Doskonale widać, że Jaś i Kuba patrzą na identyczne zdanie P8=>P2 z różnych punktów odniesienia.

Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
A1: p=>q =1
A1: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
B3: q=>p =1
B3: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Porównanie zdania Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) ze zdaniem Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest matematycznie błędne bowiem są to zdania widziane z różnych punktów odniesienia.
Punkt odniesienia Jasia:
p=P8
q=P2
Punkt odniesienia Kuby:
q=P8
p=P2

Zauważmy, że zdanie prawdziwe Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) i zdanie prawdziwe Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ## z powodu trywialnego błędu podstawienia.

Jak zapobiec tego typu nieporozumieniom?

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Jaś wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Kuba wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Jak widzimy, prawo śfinii wymusza na uczestnikach matematycznej dyskusji identyczny punkt odniesienia czyniąc dyskusję sensowną, bez wzajemnej bijatyki.

Prawo naszego Wszechświata:
Otaczająca nas rzeczywistość zależy od punktu odniesienia.
Z „czarnego” zawsze można zrobić „białe” i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.

Wniosek:
Zanim zaczniemy się kłócić o cokolwiek ustalmy wspólny punkt odniesienia.

W logice matematycznej wspólny punkt odniesienia zapewnia prawo śfinii.

W świecie rzeczywistym nie ma jednak lekko.
Przykład:
Z punktu odniesienia Żyda dobro to brak Nazistów
ale:
Z punktu odniesienia Nazisty dobro to brak Żydów
etc


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:42, 05 Mar 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 0:53, 07 Mar 2021    Temat postu:

Czy dojdzie do nokautu ziemskich matematyków?
Na 100% TAK!
... a jeśli nie dojdzie to stracę wszelki szacunek dla ziemskich matematyków opętanych przez Szatana zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań i umrę sobie w spokoju.

Właśnie zrobiłem restart!
Kluczowy punkt 4.0 postanowiłem napisać na nowo.
Dlaczego?
Doszedłem do wniosku iż algebra Kubusia wychodzi mi zbyt szczegółowa, bo wyjaśniam wszystkie aspekty matematyczne np. skąd biorą się tabele zero-jedynkowe warunku wystarczającego => i koniecznego ~> - tymczasem dla matematycznego opisu języka potocznego są to sprawy drugorzędne, którymi nie wolno zaśmiecać mózgów humanistów z definicji mających kłopoty z matematyką.
Piszę właśnie na nowo punkt 4.0 z myślą o humanistach i 5-cio latkach, zawierający kompletną algebrę Kubusia na przykładach zrozumiałych przez 5-cio latków ... o deszczu i chmurce oczywiście.

Zamiarem punktu 4.0 jest również nokaut ziemskich matematyków tzn. nie danie im szansy na wygibasy iż nie są w stanie zrozumieć algebry Kubusia.

Te wygibasy!

Cytaty ze śfinii:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
Irbisol napisał:
Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz.


Cytaty z matematyki.pl:

[link widoczny dla zalogowanych]
silicium2002 napisał:

To nie ma sensu. Czy ktoś czytał co za brednie powypisywał na tym forum do którego podał linki. Równie dobrze możemy założyć że 2 # 2 i zacząć pisać nową matematykę. Jestem przeciwny takiemu zaśmiecaniu forum.

[link widoczny dla zalogowanych]
autor: miodzio1988 » 4 sie 2009, o 11:45
miodzio1988 napisał:

Znowu te brednie? Realne zastosowania poprosimy. Postaw problem i rozwiąż go za pomocą tego co napisałeś tutaj. Tylko konkrety poproszę.

[link widoczny dla zalogowanych]
miodzio1988 napisał:
No i na żadne pytanie nie odpowiedziałeś. Żadnego problemu nie postawiłeś . Żadnego problemu nie rozwiązałeś. Wniosek? Nic ta Twoja teoria nie jest warta. Musiałeś trafiić na mnie żeby się do tego przekonać :D No, ale uświadomiłem Cie. Zajmij się czymś pożytecznym . Ekstrema umiesz liczyć? Całki?
Jeśli następny Twój post nie będzie odpowiedzią na poprzednie pytania to stworzymy algebrę Miodzia. I ta algebra będzie równie absurdalna i równie nieprzydatna jak Twoja algebra.

[link widoczny dla zalogowanych]
Moderator matematyki.pl, Rogal, w ostatnim poście napisał:

Powtórzę się po raz ostatni - w matematyce niczego nie zmienisz, więc możesz nam przestać zawracać tym głowę - wszyscy już zrozumieli, o co chodzi - widzisz jaki entuzjazm? Nie jest potrzebny matematykom nowy operator do codziennego stosowania, bo te które są wystarczają.
Jeśli ktoś będzie miał tutaj coś bardzo istotnego do dodania do tej dyskusji, co nie zostało powiedziane, niech napisze do mnie PW, to temat odblokuję.

Algebra Kubusia od zawsze była wściekle zwalczana przez ziemskich matematyków, czego dowód wyżej. Za głoszenie algebry Kubusia na matematyce.pl, Rafal3006 po kilkudziesięciu postach został zbanowany. Małym usprawiedliwieniem dla matematyków jest fakt, iż to był rok 2009 kiedy to algebra Kubusia była jeszcze w wieku niemowlęcym.


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#577211

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń


Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 2
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.2.3 Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
4.4 Prawo śfinii 11



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Dowód tego faktu znajdziemy w punkcie 3.3

4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

4.2.3 Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia

Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia jest następująca.

Zapis pełny:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH=1
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)=>(CH=1) =1
Padanie (P=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby istniały chmury (CH=1), bo zawsze gdy pada (P=1) są chmury (CH=1)
Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1) = (P=1)*(~CH=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

Prawa Prosiaczka (omówiono w punkcie 2.3):
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Na przykładzie zdania A1’ pełne zapisy czytamy następująco:
A1’: (1: P=1)~~>(3: ~CH=1)

Poprzednik w zdaniu A1’:
1: (P=1)
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(1: P=1) = (2: ~P=0)
stąd mamy zapis symboliczny tożsamy:
2.
~P=0 - fałszem jest (=0), że nie pada (~P)
Stąd mamy dowód poprawności prawa Prosiaczka:
(1: P=1) = (2: ~P=0)
cnd

Następnik w zdaniu A1’:
3: (~CH=1)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(3: ~CH=1) = (4: CH=0)
stąd mamy zapis symboliczny tożsamy:
4.
CH=0 - fałszem jest (=0), że jest pochmurno (CH)
Stąd mamy dowód poprawności prawa Prosiaczka:
(3: ~CH=1) = (4: CH=0)
cnd

W logice matematycznej jedynki są domyślne i możemy je pominąć, stąd matematycznie tożsamy zapis zdań A1 i A1’ jest następujący.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby istniały chmury (CH), bo zawsze gdy pada (P) są chmury (CH)
Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)

Podsumowanie:
1.
Prosty manewr z pominięciem domyślnych jedynek zredukował nam logikę matematyczną dosłownie do poziomu 5-cio latka, gdzie wszelkie przeczenia muszą być uwidocznione w kodowaniu symbolicznym zdań.
P - pada (zapis pełny: P=1)
~P - nie pada (zapis pełny: ~P=1)
CH - są chmury (zapis pełny: CH=1)
~CH - nie ma chmur (zapis pełny: ~CH=1)
2.
Porównajmy:
P - pada (zapis pełny: p=1)
~P - nie pada (zapis pełny: ~P=1)
Tożsamy zapis ostatniego zdania jest następujący:
~P - nie pada (zapis pełny matematycznie tożsamy: P=0)
Sęk w tym, że w ostatnim zapisie mamy po lewej stronie zmienną zaprzeczoną ~P, natomiast w zapisie pełnym matematycznie tożsamym mamy zmienną P niezaprzeczoną (P=0).
Sprowadzenie wszystkich zmiennych użytych w zdaniu do jedynek na mocy praw Prosiaczka powoduje rzecz bezcenną tzn. dostajemy przełożenie języka potocznego na matematykę w przełożeniu 1:1, co widać chociażby w ostatnich dwóch zdaniach A1 i A1’.
Prawa Prosiaczka (omówiono w punkcie 2.3):
(~p=0)=(p=1)
(p=0)=(~p=1)

4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B1:  Y =(p~>q)= p+~q
      #                        #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 T1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  T2: Y=(p~>q) =p+~q ## T3: Y= p+q  ## T4: Y=p*q
      #                       #                     #              #
~T1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~T2:~Y=~(p~>q)=~p*q ##~T3:~Y=~p*~q ##~T4:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
albo odwrotnie.

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

4.4 Prawo śfinii

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p~>q =p+~q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP: p|=>q =~p*q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO: p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne p|=>q i p|~>q spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 IP: Y =(p|=>q)=~p*q  ##  IO: Y =(p|~>q) =p*~q
     #                        #
~IP:~Y=~(p|=>q)=p+~q  ## ~IO:~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym.
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q

Rozróżniamy dwa podstawowe twierdzenia matematyczne różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q - twierdzenie proste
##
B3: q=>p = ~q+p - twierdzenie odwrotne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne A1 i B3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B3:  Y= (q=>p)=~q+p
      #                        #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~B3: ~Y=~(q=>p)=q*~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Twierdzenie matematyczne => = warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:

[link widoczny dla zalogowanych]

Dlaczego Jaś i Kuba tak zaciekle się bija?
Odpowiedź:
Obaj w swoich stwierdzeniach mają racją, a biją się dlatego, gdyż nie ustalili wspólnego punktu odniesienia.

Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Gdzie:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczba podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8

I.
Zdanie bazowe Jasia, punkt odniesienia:


Twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt odniesienia dla twierdzenia prostego Jasia p=>q to:
p=P8
q=P2

Badamy prawdziwość/fałszywość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q.

Twierdzenie odwrotne B3: q=>p:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Punkt odniesienia dla zdania B3: q=>p to:
q=P2
p=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P8, q=P2) dla zdania A1: p=>q (A1: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania B3: q=>p (B3: P2=>P8), dlatego porównywania A1 z B3 jest matematycznie poprawne (ma sens).

II.
Zdanie bazowe Kuby, punkt odniesienia:

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
B1: P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p~>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Punkt odniesienia Kuby dla zdania bazowego B1: p~>q to:
p=P2
q=P8

Kuba ma prawo skorzystać z dowolnego prawa logiki matematycznej.
Zastosujmy dla zdania bazowego B1 prawo Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
stąd mamy w zapisach aktualnych:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Gdzie:
p=P2
q=P8
stąd Kuba wypowiada:

Twierdzenie odwrotne prawdziwe B3: q=>p:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt odniesienia Kuby dla zdania B3: q=>p to:
q=P8
p=P2

Mamy prawdziwe twierdzenie odwrotne Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2).
Badamy prawdziwość/fałszywość twierdzenie prostego A1: p=>q w stosunku do znanego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p (B3: P8=>P2):

Twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Punkt odniesienia dla zdania A1 to:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P2 i q=P8) dla zdania B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania A1: p=>q (A1: P2=>P8), dlatego porównywanie B3 z A1 jest matematycznie poprawne (ma sens).

Wróćmy do bijatyki Jasia z Kubą:



[link widoczny dla zalogowanych]

Doskonale widać, że Jaś i Kuba patrzą na identyczne zdanie P8=>P2 z różnych punktów odniesienia.

Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
A1: p=>q =1
A1: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
B3: q=>p =1
B3: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Porównanie zdania Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) ze zdaniem Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest matematycznie błędne bowiem są to zdania widziane z różnych punktów odniesienia.
Punkt odniesienia Jasia:
p=P8
q=P2
Punkt odniesienia Kuby:
q=P8
p=P2

Zauważmy, że zdanie prawdziwe Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) i zdanie prawdziwe Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, również kodowanie tych zdań warunkiem wystarczającym => jest identyczne - a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ## z powodu trywialnego błędu podstawienia.

Jak zapobiec tego typu nieporozumieniom?

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Jaś wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Kuba wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Jak widzimy, prawo śfinii wymusza na uczestnikach matematycznej dyskusji identyczny punkt odniesienia czyniąc dyskusję sensowną, bez wzajemnej bijatyki.

Prawo naszego Wszechświata:
Otaczająca nas rzeczywistość zależy od punktu odniesienia.
Z „czarnego” zawsze można zrobić „białe” i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.

Wniosek:
Zanim zaczniemy się kłócić o cokolwiek ustalmy wspólny punkt odniesienia.

W logice matematycznej wspólny punkt odniesienia zapewnia prawo śfinii.

W świecie rzeczywistym nie ma jednak lekko.
Przykład:
Z punktu odniesienia Żyda dobro to brak Nazistów
ale:
Z punktu odniesienia Nazisty dobro to brak Żydów
etc


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 7:48, 07 Mar 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 595
Przeczytał: 4 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 9:38, 07 Mar 2021    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-29325.html#583461

Twardy, matematyczny dowód, iż Bóg ma mniejszą „wolną wolę” od człowieka!

Prawo absolutu:
W naszym Wszechświecie logika matematyczna pod którą podlega człowiek musi być identyczna jak logika Boga który nasz Wszechświat stworzył, inaczej wszystko jest bez sensu, kara (piekło) i nagroda (niebo) również.

Zauważmy że:
Bóg z definicji nie ma prawa do kłamstwa, natomiast człowiek może kłamać do woli.
W tym sensie Bóg ma mniejszą wolną wolę od człowieka.
Powyższa maksyma była podstawą rozszyfrowania algebry Kubusia, pod którą podlega cały nasz Wszechświat, zarówno martwy, jak i żywy.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny ~> wchodzący w skład operatora implikacji odwrotnej W||~>K

Gwarancję matematyczną w groźbie opisuje prawo Kubusia:
B1: W~>K = B2: ~W=>~K
Gdzie:
B2.
Jeśli nie spełnisz warunku groźby (W) to na 100% => nie zostaniesz ukarany (~K)
~W=>~K =1
.. z powodu iż nie spełniłeś tego konkretnego warunku groźby W, z dowolnego innego powodu kara może być wykonana.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje matematyka ścisła, algebra Kubusia.
Zauważmy, że sadysta zawsze znajdzie tu sobie furtkę by walić.

Przykład:
Ojciec do syna:
B1.
Jeśli wrócisz w brudnych spodniach to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> lania, ale nie wystarczającym => bowiem operator implikacji odwrotnej B||~>L gwarantuje nadawcy możliwość darowania dowolnej kary, zależnej od niego.

Gwarancję matematyczną w groźbie opisuje prawo Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
Gdzie:
B2.
Jeśli nie ubrudzisz spodni (~B) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L)
~B=>~L =1
.. z powodu iż nie spełniłeś tego konkretnego warunku groźby, tu przyszedłeś w czystych spodniach.
Spodnie czyste = spodnie nie brudne (~B)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej B||~>L, z dowolnego innego powodu kara może być wykonana.
Zauważmy, że sadysta zawsze znajdzie tu sobie furtkę by walić, może bowiem powiedzieć.

Ojciec sadysta do syna:
Wróciłeś w czystych spodniach.
ok
.. ale dostajesz lanie bo masz brudne buty.

Bóg ŁP JWPB napisał:
A cóż ja na to poradzę, że jestem degeneratem i ciągnie mnie do meliny.

PS. Okazało się, że znowu mam konto na NIE, ale pisał już tam nie będę. Czyżby to z powodu jakiej przemiany duchowej, czyżby to było możliwym, że już nie jestem degeneratem i na melinę mnie nie ciągło?

Zgodnie z algebrą Kubusia Pana wytłuszczona deklaracja jest groźbą, iż Bóg ŁP JWPB opuścił NIE i nigdy tam nie wróci ... ku rozpaczy tamtejszych owieczek.
Wszyscy wiemy, iż jako Bóg ma Pan mniejszą "wolną wolę" od człowieka tzn. Bóg z definicji nie ma prawa do kłamstwa.

Proszę się jednak nie martwić, tu algebra Kubusia przychodzi Panu na ratunek - może Pan spokojnie wrócić na NIE i matematycznym kłamcą Pan nie będzie - bo każde żywe stworzenia (nie tylko człowiek) ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od tegoż stworzenia.
Prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy gwarantuje Panu algebra Kubusia.
Poza tym zarówno Bóg, jak i człowiek mają prawo do blefowania, czyli grożenia w dowolnie ostrej formie, tzn. mogą grozić do woli a kary nie muszą wykonać. Nie oznacza to, że finalnie nie mogą wykonać kary na która w chwili wypowiadania groźby była z punktu wypowiadającego groźbę blefem - oczywiście każdą karę w dowolnej groźbie (także w blefie) nadawca może wykonać i matematycznym kłamcą nie będzie. "Może" nie oznacza "musi". Zauważmy, że odbiorca z reguły nie wie kiedy nadawca blefuje a kiedy nie blefuje.

Najsłynniejszym blefem w Biblii jest grzech przeciwko Duchowi Świętemu.

Ewangelia Mateusza:
Dlatego powiadam wam: Każdy grzech i bluźnierstwo będą odpuszczone ludziom, ale bluźnierstwo przeciwko Duchowi nie będzie odpuszczone. Jeśli ktoś powie słowo przeciw Synowi Człowieczemu, będzie mu odpuszczone, lecz jeśli powie przeciw Duchowi Świętemu, nie będzie mu odpuszczone ani w tym wieku, ani w przyszłym.

Zauważmy, że gdyby Bóg nie miał prawa do darowania dowolnego grzechu przeciwko niemu to jego "wolna wola" byłaby matematycznym picem ... co oczywiście nie jest możliwe.

Wniosek:
Grzech przeciwko Duchowi Św. to blef Boga.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 18:51, 07 Mar 2021    Temat postu:

Dopisałem kolejną część AK z dedykacją dla humanistów - oczywiście od humanistów wymagamy umiejętności poprawnej analizy matematycznej konkretnych przykładów bez szczegółowej teorii matematycznej, która może im sprawiać trudności.
Dla humanistów praktyczna znajomość definicji znaczków =>, ~> i ~~> plus znajomość banalnych praw Kubusia, Tygryska i kontrapozycji jest całkowicie wystarczająca.

Podobnie:
5-cio latek nie zna gramatyki języka polskiego (tak jak ja nigdy nie znałem i nie znam), a mimo to bez problemu porozumiewa się potocznym językiem ojczystym ... algebrą Kubusia!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578421

4.5 Operatory implikacji prostej p||=>q I odwrotnej p||~>q

Spis treści
4.5 Operator implikacji prostej p||=>q 1
4.5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 1
4.5.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 4
4.5.3 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH 6
4.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 10
4.6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 10
4.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 13
4.6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 15




4.5 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny, to spójnik definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery spójniki implikacyjne:
p|=>q - implikacja prosta
p|~>q - implikacja odwrotna
p<=>q - równoważność
p|~~>q - chaos

Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p|=>q = ~p|~>~q = ~p*q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) … (albo odwrotnie)

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i A1B1:
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ##  B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                          #                         #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~A1B1: ~Y=~(p|=>q)=p+~q ## ~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Zauważmy ciekawostkę:
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y, mielibyśmy fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: ~p*q [=] ~B1: ~p*q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## ~B1: ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

4.5.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q to złożenie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p (p) to na 100% => zajdzie q (q)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajęcie p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p) to może ~~> zajść ~q (~q)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Po udowodnieniu prawdziwości A1 nie musimy dowodzić prawdziwości A2, gwarantuje nam to prawo Kubusia.
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to może ~> zajść ~q (~q)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to może ~~> zajść q (q)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.5.3 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Definicja punktu odniesienia:
Punkt odniesienia w logice matematycznej to zdanie bazowe, od którego rozpoczynamy analizę matematyczną zdania.

W naszym przypadku punktem odniesienia jest zdanie bazowe A1.

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Na mocy prawa śfinii to samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx z tabeli T2.
Najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej ze względu na definicję kontrprzykładu związaną wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Wybieramy zatem zdanie B3 gdyż jest to najprostszy warunek wystarczający.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym dla punktu odniesienia ustalonego zdaniem A1:
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - zapis formalny
B3: CH=>P = B1: P~>CH - zapis aktualny
Na mocy prawa Tygryska mając udowodnioną fałszywość zdania B3 nie musimy dowodzić fałszywości zdania B1 - gwarantuje nam to prawo Tygryska.
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
##
Przypomnijmy zdanie wypowiedziane A1 (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q - zapis formalny
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH = P+~CH - zapis aktualny

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli T2.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P=>~CH=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’(i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Zapis formalny dla punktu odniesienia A1:
p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie ma chmur (~CH)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q - zapis formalny
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH - zapis aktualny
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH - zapis aktualny
A2: ~p~>~q = A1: p=>q - zapis formalny

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada).

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% => będzie pochmurno (CH) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1


4.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny, to spójnik definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery spójniki implikacyjne:
p|=>q - implikacja prosta
p|~>q - implikacja odwrotna
p<=>q - równoważność
p|~~>q - chaos

Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p|~>q = ~p|=>~q = p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) … (albo odwrotnie)

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne B1 i A1B1:
Kod:

 B1:  Y= (p~>q)=p+~q ##  A1B1:  Y=(p|~>q) =p*~q  ##  A1:  Y=(p=>q) =~p+q
      #                         #                         #
~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q ## ~A1B1: ~Y=~(p|~>q)=~p+q  ## ~A1: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Zauważmy ciekawostkę:
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y, mielibyśmy fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p*~q [=] ~A1: p*~q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q ## ~A1: ~Y=~(p=>q) =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

4.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q to złożenie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli zajdzie p (p) to może ~> zajść q (q)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p (p) to może ~~> zajść ~q (~q)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q) - mówi o tym zdanie B2
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to na 100% => zajdzie ~q (~q)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajęcie ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to może ~~> zajść q (q)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Definicja punktu odniesienia:
Punkt odniesienia w logice matematycznej to zdanie bazowe, od którego rozpoczynamy analizę matematyczną zdania.

W naszym przypadku punktem odniesienia jest zdanie bazowe B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> padać (P)
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH) i pada (P).
Jak widzimy zdanie B1 kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest prawdziwe.

Jak udowodnić iż chmury są/nie są warunkiem koniecznym ~> dla padania?
W ogólnym przypadku najprościej założyć że w zdaniu B1 zachodzi warunek konieczny ~> i skorzystać z prawa Tygryska:
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym
B1: CH~>P = B3: P=>CH - nasz przykład
Udowodnienie prawdziwości zdania B3 jest już trywialne.
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.

Stąd dowodem nie wprost udowodniliśmy prawdziwość zdania B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P), co udowodniliśmy wyżej dowodem nie wprost, dowodząc prawdziwości zdania B3.
Tu mamy sytuację na tyle prostą, iż możemy udowodnić, że chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania w sposób bezpośredni:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Innymi słowy:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P), bo zabieram chmury (~CH) wykluczając => padanie (~P)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Na mocy prawa śfinii naszym punktem odniesienia dla dalszej analizy matematycznej jest zdanie B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa śfinii:
p~>q =1
Nasz punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax z tabeli T2.
Najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej ze względu na definicję kontrprzykładu związaną wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Wybieramy zatem zdanie A1 gdyż jest to najprostszy warunek wystarczający.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym dla punktu odniesienia ustalonego zdaniem B1:
p=>q =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli T2.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=CH (pada)
q=P (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]              = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]              = 4:~P~~>CH =1                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~CH=>~P=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’(i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
stąd nasz punkt odniesienia to:
p=CH
q=P
Chmury (CH) są konieczne ~> by jutro padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P - prawo Kubusia w zapisie aktualnym
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia w zapisie formalnym

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
Sprawdzenie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (chmury) i gwarancja matematyczna => po stronie ~CH (brak chmur)

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P) - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 20:48, 09 Mar 2021    Temat postu:

Właśnie zmieniłem wstęp do kluczowego wykładu podstawowego algebry Kubusia który zamierzam zapisać w punkcie 4.0 (jestem w trakcie) z dedykacją dla humanistów i 5-cio latków, naturalnych ekspertów AK.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#577211

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Wstęp:
Celem wstępu jest uświadomienie przyszłym matematykom, będącym już w 100% wyznawcami algebry Kubusia, z jakim betonem musiał walczyć Rafał3006, nim banalna algebra Kubusia trafiła do serc matematyków.

Czy dojdzie do nokautu ziemskich matematyków?
Na 100% TAK!
... a jeśli nie dojdzie to stracę wszelki szacunek dla ziemskich matematyków opętanych przez Szatana zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań i umrę sobie w spokoju.

2021-03-06
Właśnie zrobiłem restart!
Kluczowy punkt 4.0 postanowiłem napisać na nowo.
Dlaczego?
Doszedłem do wniosku iż algebra Kubusia wychodzi mi zbyt szczegółowa, bo wyjaśniam wszystkie aspekty matematyczne np. skąd biorą się tabele zero-jedynkowe warunku wystarczającego => i koniecznego ~> - tymczasem dla matematycznego opisu języka potocznego są to sprawy drugorzędne, którymi nie wolno zaśmiecać mózgów humanistów z definicji mających kłopoty z matematyką.
Piszę właśnie na nowo punkt 4.0 z myślą o humanistach i 5-cio latkach, zawierający kompletną algebrę Kubusia na przykładach zrozumiałych przez 5-cio latków ... o deszczu i chmurce oczywiście.

Zamiarem punktu 4.0 jest również nokaut ziemskich matematyków tzn. nie danie im szansy na wygibasy iż nie są w stanie zrozumieć algebry Kubusia.

Te wygibasy!

Cytaty ze śfinii:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
Irbisol napisał:
Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz.


Cytaty z matematyki.pl:

[link widoczny dla zalogowanych]
silicium2002 napisał:
To nie ma sensu. Czy ktoś czytał co za brednie powypisywał na tym forum do którego podał linki. Równie dobrze możemy założyć że 2 # 2 i zacząć pisać nową matematykę. Jestem przeciwny takiemu zaśmiecaniu forum.

[link widoczny dla zalogowanych]
autor: miodzio1988 » 4 sie 2009, o 11:45
miodzio1988 napisał:
Znowu te brednie? Realne zastosowania poprosimy. Postaw problem i rozwiąż go za pomocą tego co napisałeś tutaj. Tylko konkrety poproszę.

[link widoczny dla zalogowanych]
miodzio1988 napisał:
No i na żadne pytanie nie odpowiedziałeś. Żadnego problemu nie postawiłeś . Żadnego problemu nie rozwiązałeś. Wniosek? Nic ta Twoja teoria nie jest warta. Musiałeś trafiić na mnie żeby się do tego przekonać :D No, ale uświadomiłem Cie. Zajmij się czymś pożytecznym . Ekstrema umiesz liczyć? Całki?
Jeśli następny Twój post nie będzie odpowiedzią na poprzednie pytania to stworzymy algebrę Miodzia. I ta algebra będzie równie absurdalna i równie nieprzydatna jak Twoja algebra.

[link widoczny dla zalogowanych]
Moderator matematyki.pl, Rogal, w ostatnim poście napisał:
Powtórzę się po raz ostatni - w matematyce niczego nie zmienisz, więc możesz nam przestać zawracać tym głowę - wszyscy już zrozumieli, o co chodzi - widzisz jaki entuzjazm? Nie jest potrzebny matematykom nowy operator do codziennego stosowania, bo te które są wystarczają.
Jeśli ktoś będzie miał tutaj coś bardzo istotnego do dodania do tej dyskusji, co nie zostało powiedziane, niech napisze do mnie PW, to temat odblokuję.

Algebra Kubusia od zawsze była wściekle zwalczana przez ziemskich matematyków, czego dowód wyżej. Za głoszenie algebry Kubusia na matematyce.pl, Rafal3006 po kilkudziesięciu postach został zbanowany. Małym usprawiedliwieniem dla matematyków jest fakt, iż to był rok 2009 kiedy to algebra Kubusia była jeszcze w wieku niemowlęcym.

Cytaty z ateisty.pl

[link widoczny dla zalogowanych]
26.03.2012, 21:09
Windziarz napisał:
Wracając do tematu: Kubuś nadal nie wie, że zbiory to nie zdania.
Poza tym, teza iż "nie wolno w jednym zbiorze trzymać rzeczy zupełnie różnych" nie dość, że zaczyna zahaczać o teorię typów, to jeszcze w dodatku w żadnej teorii typów nie jest prawdziwe.
Kubusiu: bredzisz i zapętlasz się w swoich bredniach coraz bardziej. Zapomnij wszystkiego, co w ogóle wydaje Ci się o logice i zacznij czytać jakieś podręczniki.

Moja odpowiedź na to wytłuszczone jest od 15 lat niezmienna:
Nigdy nie przeczytałem choćby jednego podręcznika ziemskiej logiki matematycznej i nigdy nie przeczytam.
Dlaczego?
Bo nie zamierzam nurkować w szambie zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań, czy też w jakiejkolwiek innej pseudo-logice ziemskich matematyków.

[link widoczny dla zalogowanych]
Admin Fizyk napisał:

Miało się to stać na 140 stronie, stanie się na 144 (przynajmniej ładna liczba, 12^2) - zamykam wątek.
Na koniec chciałbym jeszcze podziękować wszystkim walczącym z Kubusiem za wsparcie, a nieraz i nauczenie mnie czegoś nowego o logice - w szczególności Idiocie, Windziarzowi i Quebabowi.
Samemu Rafałowi3006 też w sumie należą się podziękowania - za stworzenie okazji dla innych do nauki logiki. Dzięki temu ten wątek miał jednak jakąś wartość edukacyjną

Ten sam Quebab cztery lata później napisał do mnie na PW na matematyce.pl (sorry za cytat z PW):
23 sierpnia 2016, 19:01
Quebab napisał:

Od czasu naszej ostatniej dyskusji zdążyłem zacząć studia i skończyć magistra z matematyki. Nawet moja praca magisterska dotyczyła logiki właśnie! Nie piszę jednak o tym, żeby się chwalić - przeciwnie, chciałbym Ci podziękować za to, że tak dużo mogłem nauczyć się z powodu Twojej manii! :)
Jeśli chcesz pogadać na poważnie, to powiedz najpierw, czy zapoznawałeś się już z logikami nieklasycznymi? Przede wszystkim, z logiką relewantną?
[link widoczny dla zalogowanych]

Jeśli chodzi o link który podał Quebab wyżej to mogę tylko współczuć ziemskim matematykom, że nie znają banalnej algebry Kubusia, będącej gilotyną dla wszelkich ziemskich logik „matematycznych”, w tym tych z cytatu. Po prostu, logika rządząca naszym Wszechświatem może być jedna i tylko jedna, to matematyka języka potocznego człowieka, algebra Kubusia.
Jedna z moich odpowiedzi dla Quebaba była taka:
Rafal3006 napisał:

Quebab napisał:

rafal3006, widzę, że u Ciebie niewiele zmian? :)
Pozdrawiam,
quebab z pewnego-innego-forum :)

... a tobie już wyprali mózg implikacją materialną, czy są w trakcie?
Dobrze że Fizyk zamknął temat NTI na ateiście.pl ... bo dyskusja taka jak tam była nie miała najmniejszego sensu tzn. zawsze od zera musiałem tłumaczyć NTI przypadkowym osobom tam się pojawiającym np. Quebabowi.
Od 4 lat mam stałego partnera w dyskusji na śfinii, Fiklita, twierdzę że najlepszego speca od logiki w Polsce, a może i na świecie.
Efekty tej dyskusji są tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia,8889.html#287781
P.S.
Jak myślisz?
Czy matematyk z najwyższej półki, Fiklit, napisałby ok. 1100 postów na temat algebry Kubusia, gdyby sensu w tym nie widział?


Wściekłe ataki na konkurencyjną logikę matematyczną, algebrę Kubusia, która burzy stary porządek rzeczy przewidział Kuhn:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Paradygmat a rewolucja naukowa
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.

Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających go dowodów. Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki „nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem”. I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie – jak Newton, Lavoisier lub Einstein – mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.

Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć”. Zresztą kryzys zawsze niejawnie tai się w badaniach, ponieważ każdy problem, który nauka instytucjonalna postrzega jako łamigłówkę, może być ujrzany z innej perspektywy, jako sprzeczność (wyłom), a zatem źródło kryzysu – jest to „istotne obciążenie” badań naukowych...

Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”. Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.


2021-03-07
Dopisałem kolejną część AK z dedykacją dla humanistów (punkty 4.5 i 4.6).
Oczywiście od humanistów wymagamy umiejętności poprawnej analizy matematycznej konkretnych przykładów bez szczegółowej teorii matematycznej, która może im sprawiać trudności.
Dla humanistów praktyczna znajomość definicji znaczków =>, ~> i ~~> plus znajomość banalnych praw Kubusia, Tygryska i kontrapozycji jest całkowicie wystarczająca.

Podobnie:
5-cio latek nie zna gramatyki języka polskiego (tak jak ja nigdy nie znałem i nie znam), a mimo to bez problemu porozumiewa się potocznym językiem ojczystym ... algebrą Kubusia!

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 5
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 5
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 6
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 6
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 6
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 7
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 8
4.2.3 Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia 8
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 9
4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 13
4.4 Prawo śfinii 15


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:31, 10 Mar 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 22:30, 09 Mar 2021    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-29425.html#583957
Kubuś napisał:

Bóg ŁP JWPB napisał:
Kubusiu, jeżeli AK w sposób ściśle matematycznie naukowy udowodni, że lockdown jest absolutnie koniecznym i da na to 100% gwarancji matematycznej, to jeszcze w tym roku już od września będzie AK nauczana we wszystkich szkołach na naszej planecie.

Istotą AK jest implikacja która działa tak:
1.
Jeśli człowiekowi uda się skutecznie zwalczyć wirusa SARS-CoV-2 to na 100% świat wróci do normalności sprzed pandemii
ZW=>N =1

... a jeśli się nie uda?
Prawo Kubusia:
ZW=>N = ~ZW~>~N

Czyli:
2.
Jeśli się nie uda to wszystko może się zdarzyć łącznie z najczarniejszym scenariuszem że ludzkość wyginie tak, jak w przeszłości wyginęły dinozaury.
LUB
Jeśli się nie uda to ludzkość mimo wszystko nie zginie, nauczy się żyć z wirusem tzn. przyszłe pokolenia ludzkości uodpornią się na tegoż wirusa w sposób naturalny - tu nie jest potrzebna walka człowieka z wirusem.
W przeszłości już to było przerabiane np. grypa Hiszpanka.

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Śmiertelność grypy hiszpanki jest trudna do oceny, jednak na podstawie danych wojskowych można ją oszacować na 5–10%. W zamkniętych społecznościach śmiertelność była jeszcze wyższa. W Bostonie zachorowało 10% ludności. 2/3 chorych zmarło. W całej armii Stanów Zjednoczonych zachorowało 20%[7].

Liczba ofiar „hiszpanki” znacznie przewyższyła liczbę ofiar frontów I wojny światowej. Na grypę i jej powikłania zmarły 24 tysiące osób amerykańskiego personelu wojskowego (amerykańskie straty bojowe wyniosły 34 tysiące osób). W Wielkiej Brytanii zmarło 150 tysięcy osób[7].

Podawane są różne szacunki śmiertelności na całym świecie: od 21–25 mln[7] do 50–100 mln[15]. Była pierwszą pandemią od czasów czarnej śmierci (1347–1350) o tak wysokiej śmiertelności[7]. Zachorowało na nią ok. 500 mln ludzi, co stanowiło wówczas 1/3 populacji świata[16][17].


Proste jak cep!
Czyż AK nie jest piękna?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:57, 14 Mar 2021    Temat postu:

Po raz n-ty koryguję AK - wszystko w imię uproszczenia w taki sposób, by ziemscy matematycy nie mieli żadnych szans na niezrozumienie AK.
Zacząłem od operatora implikacji prostej p||=>q

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578421

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.5 Operator implikacji prostej p||=>q

Spis treści
4.5 Operator implikacji prostej p||=>q 1
4.5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 1
4.5.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 4
4.5.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 6
4.5.4 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 10



4.5 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p|=>q = ~p|~>~q = ~p*q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) … (albo odwrotnie)

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1:
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ##  B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                          #                         #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~A1B1: ~Y=~(p|=>q)=p+~q ## ~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Zauważmy ciekawostkę:
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y, mielibyśmy fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: ~p*q [=] ~B1: ~p*q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## ~B1: ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

4.5.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q to złożenie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
co w logice jedynek oznacza:
(p=1)=>(q=1)=1
Czytamy:
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
q=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie q
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
co w logice jedynek oznacza:
(p=1)~~>(~q=1)=(p=1)*(~q=1)=0
Czytamy:
p=1 = prawdą jest (=1) że zajdzie p
~q=1 - prawdą jest (=1), że zajdzie ~q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Po udowodnieniu prawdziwości A1 nie musimy dowodzić prawdziwości A2, gwarantuje nam to prawo Kubusia.
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
~q=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~q
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) = (~p=1)*(q=1) =0
Czytamy:
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
q=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.5.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                                   |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q                   |jedynek oznacza
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q          |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q           |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być prawdą  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                            d        e    f

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Z tabeli T3 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1 bo:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 - tu tylko A1 jest prawdą
albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2 bo:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1 - tu tylko A2 jest prawdą

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 - tu tylko A1 jest prawdą

Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T4:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: p=>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T3 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1 - tu tylko A2 jest prawdą

Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: ~p~>~q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T4 i T5 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T4 i T5 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T4: p=>q = T5: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T4: 123) i koniecznego ~> (T5: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T6
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

4.5.4 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w logice matematycznej
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##             ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Definicja punktu odniesienia:
Punkt odniesienia w logice matematycznej to zdanie bazowe, od którego rozpoczynamy analizę matematyczną zdania.

W naszym przypadku punktem odniesienia jest zdanie bazowe A1.

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Na mocy prawa śfinii to samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx z tabeli T1.
Najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej ze względu na definicję kontrprzykładu związaną wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Wybieramy zatem zdanie B3 gdyż jest to najprostszy warunek wystarczający.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym dla punktu odniesienia ustalonego zdaniem A1:
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - zapis formalny
B3: CH=>P = B1: P~>CH - zapis aktualny
Na mocy prawa Tygryska mając udowodnioną fałszywość zdania B3 nie musimy dowodzić fałszywości zdania B1 - gwarantuje nam to prawo Tygryska.
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
##
Przypomnijmy zdanie wypowiedziane A1 (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Kod:

A1: p=>q  = ~p+q  ## B1: p~>q  = p+~q  - zapis formalny
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH = P+~CH - zapis aktualny

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli T2.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
Zapis formalny:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
Zapis aktualny związany z naszym przykładem:
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
              bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
              bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia dla zmiennych to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P=>~CH=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’(i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury
Zapis formalny dla punktu odniesienia A1:
p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q - zapis formalny
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH - zapis aktualny
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH - zapis aktualny
Co w logice jedynek oznacza:
A2: (~P=1)~>(~CH=1) = A1: (P=1)=>(CH=1)
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur”
i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada).

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% => będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 22:09, 16 Mar 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 21:35, 16 Mar 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia to Armagedon dla absolutnie wszystkich mutacji ziemskich logik "matematycznych"
Dlaczego?
Bo fundamentem wszelkich ziemskich logik matematycznych jest gówno zwane implikacją materialną rodem z najbardziej śmierdzącego gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Fundamentem implikacji logicznej jest implikacja materialna, zatem implikacja logiczna też jest gównem.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578425

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
4.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 1
4.6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 1
4.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
4.6.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 6
4.6.4 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 10


4.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~>q = A2B2:~p|=>~q
Dowód:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q

A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p|~>q = ~p|=>~q = p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) … (albo odwrotnie)

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne B1, A1B1 i A1:
Kod:

 B1:  Y= (p~>q)=p+~q ##  A1B1:  Y=(p|~>q) =p*~q  ##  A1:  Y=(p=>q) =~p+q
      #                         #                         #
~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q ## ~A1B1: ~Y=~(p|~>q)=~p+q  ## ~A1: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Zauważmy ciekawostkę:
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y, mielibyśmy fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p*~q [=] ~A1: p*~q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q ## ~A1: ~Y=~(p=>q) =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

4.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q to złożenie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(p=1)~>(q=1) =1
Czytamy:
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
q=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(p=1)~~>(~q=1) = (p=1)*(~q=1) =1
Czytamy;
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
~q=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Co w logie jedynek oznacza:
(~p=1)=>(~q=1) =1
Czytamy:
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
~q=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~q
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
co w logice jedynek oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) = (~p=1)*(q=1) =0
Czytamy:
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
q=1 - prawda jest (=1) że zajdzie q
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.6.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                                   |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q                 |jedynek oznacza
B1:  p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q             |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być prawdą  |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q        |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem |(~p=1)~~>( q=1)=0
     a   b  c                                            d        e    f

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Z tabeli T3 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1 bo:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1 - tu tylko B1: p~>q =1
albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2 bo:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1 - tu tylko B2:~p=>~q =1

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1 - tu tylko B1: p~>q =1

Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T4:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |definicja ~>
              |                  |                  | p  q  B1: p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T3 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1 - tu tylko B2:~p=>~q =1

Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p=>~q         |definicja =>
              |                  |                  |~p ~q B2: ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T4 i T5 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T4 i T5 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T4: p~>q = T5: ~p=>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T4: 123) i wystarczającego => (T5: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Stąd mamy:
Kod:

T6
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1          1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1          1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1          1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0          1
     1  2   3    4  5    6          7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

4.6.4 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach

Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w logice matematycznej
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p  [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##             ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p  [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Definicja punktu odniesienia:
Punkt odniesienia w logice matematycznej to zdanie bazowe, od którego rozpoczynamy analizę matematyczną zdania.

W naszym przypadku punktem odniesienia jest zdanie bazowe B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i pada (P=1).
Czytamy:
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
Jak widzimy zdanie B1 kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest prawdziwe.

Jak udowodnić iż chmury są/nie są warunkiem koniecznym ~> dla padania?
W ogólnym przypadku najprościej założyć że w zdaniu B1 zachodzi warunek konieczny ~> i skorzystać z prawa Tygryska:
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym
B1: CH~>P = B3: P=>CH - nasz przykład
Udowodnienie prawdziwości zdania B3 jest już trywialne.
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.

Stąd dowodem nie wprost udowodniliśmy prawdziwość zdania B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P=1), co udowodniliśmy wyżej dowodem nie wprost, dowodząc prawdziwości zdania B3.
Mamy tu sytuację na tyle prostą, iż możemy udowodnić, że chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania w sposób bezpośredni:
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Innymi słowy:
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P=1), bo zabieram chmury (~CH=1) wykluczając => padanie (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Co w logice jedynek oznacza:
B1: (CH=1)~>(P=1) = B2: (~CH=1)=>(~P=1)
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur”
i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

Na mocy prawa śfinii naszym punktem odniesienia dla dalszej analizy matematycznej jest zdanie B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa śfinii:
p~>q =1
Nasz punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax z tabeli T2.
Najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej ze względu na definicję kontrprzykładu związaną wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Wybieramy zatem zdanie A1 gdyż jest to najprostszy warunek wystarczający.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym dla punktu odniesienia ustalonego zdaniem B1:
p=>q =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli T2.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
Zapis formalny:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
Zapis aktualny związany z naszym przykładem:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania
               bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania
               bo tylko z chmur cokolwiek pada
CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia dla zmiennych to:
p=CH (pada)
q=P (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]              = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]              = 4:~P~~>CH =1                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~CH=>~P=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’(i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
stąd nasz punkt odniesienia to:
p=CH
q=P
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by jutro padało (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P - prawo Kubusia w zapisie aktualnym
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia w zapisie formalnym

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
Sprawdzenie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (chmury) i gwarancja matematyczna => po stronie ~CH (brak chmur)

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:58, 19 Mar 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 7:48, 20 Mar 2021    Temat postu:

Kolejna część algebry Kubusia pisanej na nowo.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578435

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.7 Operator równoważności p|<=>q

Spis treści
4.7 Operator równoważności p|<=>q 1
4.7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
4.7.2 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q 3
4.7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 6
4.7.4 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 8
4.7.5 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q 9
4.7.6 Aksjomatyczna definicja operatora równoważności p|<=>q 10
4.7.7 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 11
4.7.8 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 14
4.7.9 Operator równoważności TP|<=>SK w zbiorach 18
4.7.10 Operator równoważności SK|<=>TP w zbiorach 21


4.7 Operator równoważności p|<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.7.2 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 400
„potrzebne i wystarczające”
wyników: 1 850
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 15 500
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest potrzebne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q

A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =1
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
~p<=>~q = p*q+~p*~q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p<=>q = ~p<=>~q - prawo rachunku zero-jedynkowego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Warto zapamiętać różnice:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej IP: p|=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Definicja implikacji prostej IP: p|=>q w równaniu logicznym:
IP: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej IO: p|~>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej IO: p|~>q w równaniu logicznym:
IO: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p=>q) = p*~q
##
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Definicja równoważności R: p<=>q w równaniu logicznym:
R: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne IP, IO, R:
Kod:

 IP: Y= (p|=>q)=~p*q ##  IO: Y=(p|~>q)=p*~q  ##  R: Y=(p<=>q) =p*q+~p*~q
     #                       #                      #
~IP:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## ~IO:~Y=~(p|~>q)=~p+q ## ~R:~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

4.7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.7.4 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

Przyjrzyjmy się tabeli prawdy dla równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Z tabeli T2 odczytujemy matematyczną definicję równoważności.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy tożsamą, matematyczną definicję równoważności dla zbiorów.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Analogicznie mamy:

Definicja tożsamości dwóch zdarzeń p i q (p=q):
Dwa zdarzenia p i q są logicznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

4.7.5 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q

Weźmy jeszcze raz tabelę prawdy równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Przyjmijmy punkt odniesienia A1B2:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2:~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1B2: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
       AB12                           | AB34
A1B2: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)    |
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B2A1: ~p=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)   |
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Aksjomatyczną definicję równoważności p<=>q z wykorzystaniem wyłącznie warunku wystarczającego => mamy w obszarze AB12. Musimy tu skompletować serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” zawierającą wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Jednoznaczne matematyczne rozwiązanie mamy w postaci poniższej definicji.

Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to iloczyn logiczny warunku wystarczającego A1: p=>q w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego B2: ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q

Aksjomatyczna definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to iloczyn logiczny warunku wystarczającego B2: ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) i warunku wystarczającego A1: p=>q w logice dodatniej (bo q)
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q

4.7.6 Aksjomatyczna definicja operatora równoważności p|<=>q

Definicja aksjomatyczna operatora równoważności p|<=>q:
Aksjomatyczny operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q i ~p<=>~q na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie p?

Punkt odniesienia A1B2:
Definicja spójnika równoważności p<=>q dla p:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
stąd mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zbiory: zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia: zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q =0
W zbiorach:
Zbiory: Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
Zdarzenia: Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

2.
Kiedy zajdzie ~p?

Punkt odniesienia B2A1
Definicja spójnika równoważności ~p<=>~q dla ~p:
Zajdzie ~p (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zbiory: zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia: zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory: Nie istnieje (=0) wspólny element zbioru ~p i q
Zdarzenia: Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Cecha charakterystyczna równoważności:
Równoważność p<=>q to jedyny spójnik logiczny gdzie mamy gwarancję matematyczną => (warunek wystarczający =>) zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

4.7.7 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T2
Definicja symboliczna               |Co w logice jedynek
                                    |oznacza
A1B2: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)  |
A1:  p=> q =1                       |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0                       |( p=1)~~>(~q=1)=0
B2A1:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q) |
B2: ~p=>~q =1                       |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0                       |(~p=1)~~>( q=1)=0


Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T2 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B2: p<=>q albo w odniesieniu do równoważności B2A1:~p<=>~q
Dlaczego tabeli T2 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiadam:
A1B2: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B2: p<=>q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B2: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
A1B2: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0   =0
B2A1:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1   =0
  a    b  c       d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
B2A1: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
B2A1: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T4.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |RB2: ~p<=>~q      |
A1B2: p<=>q   |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1   =0
B2A1:~p<=>~q  |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0   =0
  a    b  c      d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością <=>

Zauważmy, że w tabelach T3 i T4 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T3: p<=>q = T4: ~p<=>~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
     p   q p<=>q
A1:  1<=>1  =1
A1’: 1<=>0  =0
B2:  0<=>0  =1
B2’: 0<=>1  =0

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1
B2’: 0<=>1  =0     0<=>1   =0
     1   2   3     4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q  p<=>q <=> ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1            1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0            1
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1            1
B2’: 0<=>1  =0     0<=>1   =0            1
     1   2   3     4   5    6            7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

4.7.8 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Przykład:
Zbadaj w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym
p=>q =1
Stąd na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia (twierdzenie proste p=>q):
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Twierdzenie proste p=>q Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)

Badamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
to samo w zapisie formalnym
q=>p =1
Twierdzenie odwrotne q=>p Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest (=1) suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1) bo zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)

Wniosek:
Twierdzenie proste Pitagorasa i twierdzenie odwrotne Pitagorasa są częścią definicji równoważności dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Nanieśmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

T3
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
To samo w zapisach aktualnych dla punktu odniesienia:
p=TP, q=SK
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: TP=>SK=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
B2:~TP=>~SK=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Nasz przykład to dowód tożsamości zbiorów TP=SK:
Zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=TP<=>SK
to samo w zapisie formalnym:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: p=>q = B1: p~>q
Stąd mamy:
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatni zapis to definicja podstawowa równoważności p<=>q.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

Stąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa jest częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Kolumna A1B1:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Innymi słowy:
Dowolny trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
to samo w zapisie formalnym:
p=q

Dla A1 i B1 zastosujmy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p=>~q
B1: p~>q = B2: ~p~>~q
Stąd mamy:
p<=>q = (A2: ~p=>~q)*(B2: ~p~>~q) = ~p<=>~q

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Nasz przykład:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Stąd mamy logicznie tożsamą definicję równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Kolumna A2B2:
Do tego aby być trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Innymi słowy:
Dowolny trójkąt jest nieprostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
To samo w zapisie formalnym:
~p=~q

Definicja tożsamości logicznej:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wniosek:
Mając udowodnioną równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1
bowiem prawdziwość równoważności ~TP<=>~SK gwarantuje nam prawo rachunku zero-jedynkowego:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK

Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak
Kod:

Równoważność Pitagorasa              | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP)     | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów:         |  Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK                                #  ~TP=~SK
TP=~(~TP)                            | ~TP=~(TP)
SK=~(~SK)                            | ~SK=~(SK)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna o definicji wyżej

Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla twierdzenia Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Matematycznie dla dziedziny ZWT zachodzi definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo dla SK:
SK+~SK = ZWT =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne

Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~TP = [ZWT-TP]
~SK = [ZWT-SK]

Matematycznie zachodzi tu prawo podwójnego przeczenia:
TP=~(~TP)
SK=~(~SK)

Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia/zbiory p i q są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy jedno jest zaprzeczeniem drugiego

Pojęcia/zbiory spełniające definicję znaczka różne # spełniają definicję spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p=1
cnd
Nasz przykład:
Dowolny trójkąt może być tylko i wyłącznie prostokątny (TP=1) „albo”($) nieprostokątny (~TP=1)
TP$~TP = TP*~(~TP)+~TP*(~TP) = TP+~TP =1
Trzeciej możliwości brak.

Oczywiście równoważność między pojęciami (zbiorami) spełniającymi definicje znaczka różne # musi być fałszem.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
podstawmy:
q=~p
stąd mamy:
p<=>~p = p*~p + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p =[]+[] =0
cnd

4.7.9 Operator równoważności TP|<=>SK w zbiorach

Dla równoważności Pitagorasa przyjmujemy wspólną dziedzinę minimalną ZWZ:
ZWZ=[zbiór wszystkich trójkątów]
Stąd mamy na mocy definicji dziedziny:
TP+~TP =1 = ZWZ - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWZ dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[ZWZ-TP]
To samo dla SK:
SK+~SK =1 = ZWZ - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny ZWZ dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~SK=[ZWZ-SK]

Zapiszmy ponownie równoważności Pitagorasa w tabeli prawdy:
Kod:

T3
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
To samo w zapisach aktualnych dla punktu odniesienia:
p=TP, q=SK
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: TP=>SK=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
B2:~TP=>~SK=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

To samo w zapisach aktualnych:
Operator równoważności TP|<=>SK to złożenie równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - wylosowanie TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 - wylosowanie TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia sumy kwadratów SK
stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Wylosowanie z ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) trójkąta prostokątnego (TP=1) jest konieczne ~> i wystarczające => aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK=1)
Innymi słowy (lewą stronę czytamy) :
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1) to na 100% => w trójkącie tym będzie zachodziła suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Wylosowanie trójkąta prostokątnego (TP=1) jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia w nim sumy kwadratów (SK=1)
Wylosowanie trójkąta prostokątnego (TP=1) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż w tym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1) to może ~~> w nim nie zachodzić suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =[] =0
Czytamy:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: TP i ~SK
Innymi słowy:
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest rozłączny ze zbiorem trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1)
Dowód:
Zachodzą tożsamości zbiorów:
SK=TP
~SK=~TP
stąd mamy:
TP~~>~TP = TP*~TP =[] =0
cnd

2.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Równoważność Pitagorasa ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~TP~>~SK =1 - wylosowanie ~TP jest (=1) wystarczające => dla nie zajścia sumy kwadratów ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - wylosowanie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla nie zajścia sumy kwadratów ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Wylosowanie z ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) trójkąta nieprostokątnego (~TP=1) jest konieczne ~> i wystarczające => aby w tym trójkącie nie zachodziła suma kwadratów (~SK=1)
Innymi słowy (lewą stronę czytamy) :
Dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1) to na 100% => w trójkącie tym nie będzie zachodziła suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Wylosowanie trójkąt nieprostokątnego (~TP=1) jest (=1) wystarczające => dla nie zachodzenia w nim sumy kwadratów (~SK=1)
Wylosowanie trójkąta nieprostokątnego (~TP=1) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż w tym trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1) to może ~~> w nim zachodzić suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Czytamy:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~TP i SK
Innymi słowy:
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest rozłączny ze zbiorem trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Dowód:
Zachodzą tożsamości zbiorów:
SK=TP
~SK=~TP
stąd mamy:
~TP~~>TP = ~TP*TP =[] =0
cnd

4.7.10 Operator równoważności SK|<=>TP w zbiorach

Zapiszmy ponownie równoważności Pitagorasa w tabeli prawdy:
Kod:

T3
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
To samo w zapisach aktualnych dla punktu odniesienia:
p=TP, q=SK
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: TP=>SK=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
B2:~TP=>~SK=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora równoważności q|<=>p:
Operator równoważności q|<=>p to złożenie równoważności q<=>p w logice dodatniej (bo p) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~q<=>~p w logice ujemnej (bo ~p) zdefiniowanej w kolumnie A4B4.

To samo w zapisach aktualnych:
Operator równoważności SK|<=>TP to złożenie równoważności SK<=>TP w logice dodatniej (bo TP) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~SK<=>~TP w logice ujemnej (bo ~TP) zdefiniowanej w kolumnie A4B4.

Innymi słowy:
Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt w którym spełniona jest suma kwadratów (SK=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3:
Równoważność Pitagorasa SK<=>TP w logice dodatniej (bo TP) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: SK~>TP =1 - wylosowanie SK jest (=1) konieczne ~> aby trójkąt był prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1 - wylosowanie SK jest (=1) wystarczające => aby trójkąt był prostokątny (TP)
stąd:
A3B3: SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Wylosowanie z ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) trójkąta w którym spełniona jest suma kwadratów (SK=1) jest konieczne ~> i wystarczające => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1).
Innymi słowy (lewą stronę czytamy) :
W dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A3B3: SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
SK=TP

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B3.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt w którym będzie spełniona suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt będzie prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Wylosowanie trójkąta w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) jest (=1) wystarczające => dla wnioskowania iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Wylosowanie trójkąta w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) jest (=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż wylosowany trójkąt jest prostokątny (TP=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B3 musi być fałszem.
B3’.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt w którym będzie spełniona suma kwadratów (SK=1) to ten trójkąt może ~~> nie być prostokątny (~TP=1)
SK~~>~TP=SK*~TP =[] =0
Czytamy:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: SK i ~TP
Innymi słowy:
Zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1) jest rozłączny ze zbiorem trójkątów nieprostokątnych (~TP=1)
Dowód:
Zachodzą tożsamości zbiorów:
SK=TP
~SK=~TP
stąd mamy:
SK~~>~SK = SK*~SK = [] =0
cnd

2.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4:
Równoważność Pitagorasa ~SK<=>~TP w logice ujemnej (bo ~TP) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~SK=>~TP =1 - wylosowanie ~SK jest (=1) wystarczające => dla ~TP
B4: ~SK~>~SK =1 - wylosowanie ~SK jest (=1) konieczne ~> dla ~TP
Stąd:
A4B4: ~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Wylosowanie z ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) trójkąta w którym nie jest spełniona suma kwadratów jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby ten trójkąt był nieprostokątny (~TP=1)
Innymi słowy (lewą stronę czytamy) :
W dowolnym trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
A4B4: ~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~SK=~TP

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A4.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to na 100% => ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1).
~SK=>~TP =1
Wylosowanie trójkąta w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1) jest (=1) wystarczające => dla wnioskowania, iż ten trójkąt jest nieprostokątny (~TP=1)
Wylosowanie trójkąta w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1) daje nam (=1) gwarancję matematyczną =>, iż ten trójkąt jest nieprostokątny (~TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to ten trójkąt może być prostokątny (TP=1).
~SK~~>TP = ~SK*TP=[] =0
Czytamy:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~SK i TP
Innymi słowy:
Zbiór trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) jest rozłączny ze zbiorem trójkątów prostokątnych (TP=1)
Dowód:
Zachodzą tożsamości zbiorów:
SK=TP
~SK=~TP
stąd mamy:
~SK~~>SK = ~SK*SK =[] =0
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 22:04, 20 Mar 2021    Temat postu:

Kolejny fragment najnowszej wersji algebry Kubusia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#578755

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.8 Operator chaosu p||~~>q


Spis treści
4.8 Operator chaosu p||~~>q 1
4.8.1 Definicja podstawowa chaosu p|~~>q 1
4.8.2 Operator chaosu p||~~>q 4
4.8.3 Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 6
4.8.4 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 7
4.8.5 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 9


4.8 Operator chaosu p||~~>q

Od strony czysto matematycznej operator chaosu p||~~>q to matematyczny „śmieć” bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej => (warunku wystarczającego =>) - wszystko może się zdarzyć.
Z tego powodu omówimy go w sposób kompletny tylko raz w niniejszym punkcie i nie będziemy się nim więcej zajmować.

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.8.1 Definicja podstawowa chaosu p|~~>q

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
p|~~>q = 0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Definicja chaosu ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Kolumna A2B2:
Chaos ~p|~~>~q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1=1

4.8.2 Operator chaosu p||~~>q

Zapiszmy jeszcze raz tabelę prawdy dla chaosu p|~~>q
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź w spójnikach chaosu p|~~>q i ~p|~~>~q na dwa pytania 1 i 2

1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?

Kolumna A1B1:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej bo (q):
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory: Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory: Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Kolumna A2B2:
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej bo (~q):
Chaos ~p|~~>~q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~~>~q = ~(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory: Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory: Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Podsumowanie:
Definicja operatora chaosu p||~~>q w zbiorach to seria czterech zdań prawdziwych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>
Kod:

Zbiory:
Definicja operatora chaosu p||~~>q to wszystkie cztery zdania cząstkowe
                   Y ~Y   Analiza dla Y
A”:  p~~> q= p* q =1 =0 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
A’:  p~~>~q= p*~q =1 =0 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
B”: ~p~~>~q=~p*~q =1 =0 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q
B’: ~p~~> q=~p* q =1 =0 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

Definicja operatora chaosu p||~~>q w zdarzeniach to seria czterech zdań prawdziwych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Kod:

Zdarzenia:
Definicja operatora chaosu p||~~>q to wszystkie cztery zdania cząstkowe
                   Y ~Y   Analiza dla Y
A”:  p~~> q= p* q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A’:  p~~>~q= p*~q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
B”: ~p~~>~q=~p*~q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B’: ~p~~> q=~p* q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q


4.8.3 Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Rozważmy zdanie::
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9 ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..6,7..]

Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3

Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3

Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu P8|~~>P3.

Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3:
Chaos P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w chaosie p|~~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> obowiązującej wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w chaosie P8|~~>P3:
Punkt odniesienia A1B1:
A1: P8=>P3=0 - P8 nie jest (=0) wystarczające => dla P3
B1: P8~>P3=0 - P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P3
A1B1: P8|~~>P3=~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:           A4B4:
A:  1: P8=>P3  =0 = 2:~P8~>~P3=0  [=] 3: P3~>P8  =0 = 4:~P3=>~P8 =0
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1                 
       ##              ##          |     ##            ##
B:  1: P8~>P3  =0 = 2:~P8=>~P3 =0 [=] 3: P3=>P8  =0 = 4:~P3~>~P8 =0
B’:                 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1     3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P8=>P3=0 -fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P8=>~P3=0-fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Zdanie wypowiedziane:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Zdanie A1’’ definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[1,2..4.5..7,8..]

4.8.4 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach

Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w chaosie P8|~~>P3:
Punkt odniesienia A1B1:
A1: P8=>P3=0 - P8 nie jest (=0) wystarczające => dla P3
B1: P8~>P3=0 - P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P3
A1B1: P8|~~>P3=~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:           A4B4:
A:  1: P8=>P3  =0 = 2:~P8~>~P3=0  [=] 3: P3~>P8  =0 = 4:~P3=>~P8 =0
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1                 
       ##              ##          |     ##            ##
B:  1: P8~>P3  =0 = 2:~P8=>~P3 =0 [=] 3: P3=>P8  =0 = 4:~P3~>~P8 =0
B’:                 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1     3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P8=>P3=0 -fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P8=>~P3=0-fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)


Operator chaosu P8||~~>P3 odpowiada na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?

Kolumna AB1:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo element wspólny np. 24
Przyjmujemy zdanie A1’ za punkt odniesienia:
p=P8
q=P3
Zapis formalny:
p~~>q =1
Zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24
lub
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo element wspólny np. 8
Zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 8 (P8=1) to mamy tu „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła”
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo element wspólny np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo element wspólny np. 8
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

2.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?

Kolumna AB2:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo element wspólny 2
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2
lub
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolną liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1) to mamy „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła”
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo element wspólny 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

Podsumowanie generalne:
Zauważmy, że w operatorze chaosu P8||~~>P3 zarówno po stronie zbioru P8 jak i zbioru ~P8 mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

4.8.5 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Dowód iż mamy tu do czynienia z legalnym, matematycznym spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~>
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
P8 =p
P3 =q
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
              |
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A1”:
A1”: p~~>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadanie jest nam konieczne i wystarczające prawo Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~x=1)=(x=0)
Bo wszystkie zmienne dla punktu A1” musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1”: p~~>q        |
              |                  |                  | p   q p~~>q
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1  =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0  =1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0  =1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1  =1
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=(p=0)      |
                                 |(~q=1)=(q=0)

W tabeli zero-jedynkowej 123 nagłówek w kolumnie wynikowej 3 wskazuje linię A1”: p~~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>.

W tabeli abc widać, że spełniona jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> dla wszelkich możliwych kombinacji zbiorów rozłącznych A”. A’, B’’, B’ uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
D (dziedzina) = A1”: p*q + A1: p*~q + B2”:~p*~q + B2’:~p*q = p*(q+~q)+~p*(~q+q) = p+~p =1

Zauważmy że:
Operator chaosu p||~~>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: p~~>q =1
LUB
A1’: p~~>~q =1
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: ~p~~>~q =1
LUB
B2’: ~p~~> q =1

Operator chaosu p||~~>q to wszystkie cztery zdania: A1”, A1’, B2”,B2’, natomiast element wspólny zbiorów ~~> to dowolna linia w tabeli abc.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:10, 20 Mar 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 23:19, 20 Mar 2021    Temat postu:

Dopisałem najważniejszą część algebry Kubusia tzn. matematyczną obsługę obietnicy.
Za chwilę opublikuję matematyczną obsługę groźby.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#581037

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.0 Obietnice i groźby
5.1 Obietnica

Podsumowanie generalne:
Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnego opisu matematycznego obietnicy przedstawionego w punkcie 5.1 tzn. nie ma opisanych tu banałów w żadnym ziemskim podręczniku matematyki.

Spis treści
5.0 Obietnice i groźby 1
5.1 Obietnica 2
5.1.1 Prawo transformacji 7
5.1.2 Definicja „wolnej woli” 11
5.1.3 Obietnica w równaniach logicznych 13
5.1.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 18
5.1.5 Rodzaje obietnic 23



5.0 Obietnice i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

5.1 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy absolutnie nic nie musimy udowadniać poza rozstrzygnięciem czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.

A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla otrzymania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = 1*~(0) =1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy T2:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zmiennych aktualnych z naszego przykładu:
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K w logice dodatniej (bo K):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K w logice dodatniej (bo K) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1

Definicja implikacji odwrotnej ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie dostania komputera (~K=1)
B2:~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu (~E=1) nie jest (=0) wystarczające =>
dla nie dostania komputera (~K=1)
Stąd:
A2B2: ~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*~(B2:~E=>~K)=1*~(0)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: E|=>K = A2B2:~E|~>~K
Dowód:
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = (A2: ~E~>~K)*~(B2: ~E=>~K) = A2B2: ~E|~>~K
bo prawa Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
B1: E~>K = B2: ~E=>~K
cnd

Innymi słowy:
Kolumna A1B1 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1), natomiast kolumna A2B2 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1).

Definicja operatora implikacji prostej E||=>K:
Definicja operatora implikacji prostej E||=>K to złożenie implikacji prostej E|=>K w logice dodatniej (bo K) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji odwrotnej ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej E||=>K to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zdam egzamin (E=1) to mam gwarancję matematyczną => dostania komputera (K=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Zdanie tożsame:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera … z powodu że syn zdał egzamin.
Tyko tyle i aż tyle gwarantuje nam definicja warunku wystarczającego =>.
Oczywiście syn może dostać komputer z dowolnego innego powodu np. na urodziny, ale taki komputer będzie miał zero wspólnego z obietnicą A1.

Prawdziwy na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym natomiast może się zdarzyć, że jutro syn zda egzamin i nie dostanie komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q - zapis formalny
A1: E=>K = A2: ~E~>~K - zapis aktualny
Stąd mamy:
1: Warunek wystarczający A1: E=>K jest spełniony na mocy definicji obietnicy.
2: Prawo Kubusia gwarantuje nam spełnienie warunku koniecznego ~> w zdaniu A2: ~E~>~K.

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)

Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą z czego wynika, że wszelkie groźby musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób.
Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może tej groźby wykonać.
Weźmy taką super groźbę:
A22.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to przysięgam na wszystkie świętości Wszechświata iż dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Zdanie A22 jest tu ewidentną groźbą, zatem na mocy definicji groźby zdanie A22 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do darowania kary zdaniem B2’ i nie jest tu istotne czy zdanie A22 jest blefem, czy nie jest.
Zauważmy, że gdyby po wypowiedzeniu super groźby A22 nadawca nie miał prawa do darowania kary w niej zawartej to jego „wolna wola”, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy (zdanie B2’) ległaby w gruzach, co oczywiście na mocy definicji groźby nie jest możliwe.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~~K =0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K = ~E*K =1
Jest taka możliwość na mocy definicji obietnicy A1.

Podsumowanie:
1.
W świecie żywym zdanie B2’ to piękny akt miłości względem obietnicy A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).
A1: E=>K =1 - jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
2.
W świecie żywym dokładnie to samo zdanie B2’ to równie piękny akt łaski w stosunku do groźby A2, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca spełnił warunek kary wyrażony w poprzedniku zdania A2 (tu nie zdał egzaminu)
A2: ~E~>~K =1 - jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera

5.1.1 Prawo transformacji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Warunek wystarczający => A1 jest częścią implikacji prostej E|=>K na mocy definicji obietnicy
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zmiennych aktualnych z naszego przykładu:
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Weźmy naszą sztandarową obietnicę.

Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Zastosujmy do zdanie A1 prawo kontrapozycji.

Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: E=>K = A4: ~K=>~E

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu

Jak widzimy, zdanie A4 to paradoks w stosunku do zdania A1.
Dlaczego?
W zdaniu A1 ojciec obiecuje synowi komputer z powodu zdanego egzaminu (po egzaminie), natomiast zdanie A4 wymusza na ojcu danie komputera przed egzaminem, bowiem inaczej syn na 100% => nie zda egzaminu.

Inne zdania uwypuklające zachodzący tu paradoks.

Przykład 2
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz cukierka
E=>C =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania cukierka
Prawo kontrapozycji:
A1: E=>C = A4: ~C=>~E
stąd:
Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli nie dostaniesz cukierka (~C=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~C=>~E =1
Brak cukierka (~C=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zdamy egzaminu (~E=1)

Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)

Jak widzimy, logika matematyczna która działa wyśmienicie w świecie martwym i w matematyce prowadzi do paradoksów w świecie żywym, gdzie poprzednik lub następnik zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Jak uniknąć opisanego wyżej paradoksu?

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszych przykładach.

Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera

Prawo kontrapozycji:
A1: E=>K = A4: ~K=>~E

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przeszłym na mocy prawa transformacji.
Załóżmy iż jest po egzaminie.
Zaistniały fakt: Jaś nie ma komputera
Jaś do Zuzi która zna obietnicę ojca, ale nie zna zaistniałego faktu:
Zgadnij Zuzia czy zdałem egzamin jeśli nie mam komputera.
Zuzia:
A4.
Jeśli nie dostałeś komputera (~K=1) to na 100% => nie zdałeś egzaminu (~E=1)
~K=>~E =1
Brak komputera (~K=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż Jaś nie zdał egzaminu (~E=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera to będzie to oznaczało iż (wcześniej) nie zdałeś egzaminu
~K=>~E=1

Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)

Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1

5.1.2 Definicja „wolnej woli”

Obietnica rodem ze świata żywego:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera

Zauważmy, że w świecie martwym (w tym w matematyce) zdanie A1 jest gwarancją absolutną której świat martwy nie jest w stanie złamać.

Zobaczmy to przez analogię:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
W naszym Wszechświecie niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Stąd mamy wyprowadzoną definicję „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka).

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji widać, że pojęcia „wolna wola” możemy używać tylko i wyłącznie w stosunku do świata żywego, bowiem wyłącznie świat żywy może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

„Wolna wola” istot żywych może być wykorzystana także w niecnych celach, czyli nadawca wypowiada obietnicę której nie zamierza spełnić, której celem jest oszukanie odbiorcy.
„Wolna wola” istot żywych jest wodą na młyn dla oszustów wszelkiej maści np. wyłudzenia metodą na wnuczka. Ofiary dają się oszukiwać tylko dlatego iż oszust działa tak, by ofiara nie domyślała się że jest oszukiwana.

Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Piramida Madoffa napisał:

Piramida Madoffa – piramida finansowa na wielką skalę stworzona przez Bernarda Madoffa, który pozyskał jako klientów banki (m. in. HSBC, Fortis, Royal Bank of Scotland, Société Générale, BNP Paribas, UniCredit, Citigroup, JP Morgan, Bank of America, UBS), firmy i instytucje (Fairfield Greenwich Group, Uniwersytet Columbia, fundację Eliego Wiesela) oraz inwestorów prywatnych do lokowania pieniędzy w jego fundusz. Kiedy pieniądze trzeba było wypłacić, płacił z pieniędzy wpłacanych przez kolejnych klientów.
Fundusz Madoffa pierwotnie inwestował głównie w papiery wartościowe i nieruchomości, jednak likwidator firmy stwierdził, że przez ostatnie 13 lat swojej działalności fundusz w ogóle nie inwestował powierzonych środków. Amerykańska Komisja Papierów Wartościowych i Giełd (SEC) otrzymywała sygnały o nieprawidłowościach w działalności Madoffa, jednak nie zapobiegła powstaniu piramidy.
Fundusz miał charakter elitarny i należały do niego również osoby ze świata biznesu, polityki, kultury - można było do niego przystąpić wyłącznie mając rekomendację, a minimalna kwota inwestycji wynosiła 10 mln dolarów. Wśród oszukanych inwestorów znaleźli się m.in. przedsiębiorca budowlany Larry Silverstein, aktorzy John Malkovich i Kevin Bacon, żona Bacona Kyra Sedgwick, fundacja należąca do Stevena Spielberga, bejsbolista Sandy Koufax, senator Frank Lautenberg. Co najmniej dziesięciu inwestorów straciło po ponad miliard dolarów, a wszyscy inwestorzy łącznie stracili ok. 35 mld dolarów.
29 czerwca 2009 Bernard Madoff, mimo przyznania się do winy oraz wyrażenia skruchy, został skazany na 150 lat więzienia


Także zwierzęta potrafią składać fałszywe obietnice, przykładem może tu być żółw sępi.
[link widoczny dla zalogowanych]
Żółw sępi napisał:

Żółw sępi żywi się w zasadzie wszystkim, co uda mu się upolować. Jego silne szczęki radzą sobie nawet z muszlami dużych ślimaków oraz małży. Ofiarę wabi za pomocą mięsistego wyrostka na języku. Gdy ta znajdzie się w jego zasięgu, żółw szybko rzuca się na swą zdobycz i zaciska na niej szczęki.


Zauważmy, że ojciec wypowiadając obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Zdanie tożsame:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Tylko teoretycznie musi dać synowi komputer, bowiem w praktyce tak może się nie stać z różnych powodów, na przykład:
1.
Syn zdaje egzamin ale w drodze do domu ginie w wypadku samochodowym - oczywiście wyłącznie idiota będzie wkładał do trumny obiecany komputer.
2.
Syn zdaje egzamin, ale jednocześnie u mamy stwierdzono raka i wspólnie z ojcem postanawiają wydać pieniądze przeznaczone na komputer, na leczenie mamy.
3.
Ojciec jest sadystą i nie dotrzymuje danego słowa z premedytacją.

Oczywistym jest, że wyłącznie w przypadku 3 ojciec jest kłamcą, bo nie dotrzymał danego słowa z premedytacją.
Przypadek 1 to automatyczne zwolnienie z obietnicy wynikłe z przypadku losowego, natomiast w przypadku 2 syn dobrowolnie zwalnia ojca z danej obietnicy.

Prawo ogólne w obietnicy:
Zwolnić nadawcę z wypowiedzianej obietnicy może wyłącznie odbiorca.

Zauważmy że:
Jeśli rodzic cokolwiek obiecuje dziecku to z reguły dotrzymuje danej obietnicy. Nie ma tu mowy o ograniczeniu „wolnej woli” rodzica bowiem składa obietnicę dobrowolnie oczekując spełnienia warunku dostania nagrody.
Jeśli dziecko spełni warunek nagrody to rodzic wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.
Problem dla ojca zaczyna się, gdy syn nie spełni warunku nagrody.
Tu ojciec ma 100% wolnej woli, może nagrody nie wręczyć argumentując tak:
A2:~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), zatem nie dostaniesz komputera (~K=1)
W tym przypadku ojciec nie musi uzasadniać swojej negatywnej decyzji, ale może mówiąc tak:
A2: ~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), nie dostajesz komputera (~K=1) bo widziałem, że w ogóle się nie uczyłeś.

W przypadku nie zdanego egzaminu, na mocy zdania B2’ ojciec równie dobrze może wręczyć synowi komputer
B2’: ~E~~>K = ~E*K =1
uzasadniając to tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo cię kocham … bo widziałem że się uczyłeś, ale miałeś pecha itp.
Uwaga:
Uzasadnienie wręczenia komputera musi być w tym przypadku niezależne tzn. różne od poprzednika.

Ojciec nie może wręczyć komputera z uzasadnieniem zależnym bo będzie mimo wszystko kłamcą.
Uzasadnienie zależne brzmi tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)

W przypadku uzasadnienia zależnego ojciec mimo wszystko jest kłamcą, co udowodniłem na samym początku mojej przygody na serio z logiką matematyczną około 14 lat temu.

5.1.3 Obietnica w równaniach logicznych

A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Warunek wystarczający => A1 jest częścią implikacji prostej E|=>K na mocy definicji obietnicy

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zmiennych aktualnych z naszego przykładu:
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozważmy obietnicę:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc

Kolumna A1B1:
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego (na mocy definicji obietnicy) warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K =0
Jeśli syn zda egzamin (E=1) i ojciec nie wręczy komputera (~K=1) to ojciec będzie kłamcą (=0).

… a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
Stąd:
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera.
Nie jest to jednocześnie warunek wystarczający => bo na mocy definicji implikacji prostej E|=>K zdanie B2’ jest prawdziwe, czyli ojciec ma matematyczne prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K i kłamcą nie będzie.

Sposób wypowiedzenia groźby A2 nie ma tu znaczenia.
Zdanie A2 to ewidentna groźba, zatem im ostrzej wypowiedziana tym teoretycznie będzie skuteczniejsza - stąd w zdaniu A2 mamy „na 100% ~>”
Można wypowiedzieć groźbę „lichą”:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
W praktyce jednak nadawca rzadko używa spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę, bowiem marzeniem nadawcy jest, bo odbiorca na 100% ~> nie spełnił warunku groźby (tu zdał egzamin)

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~K =0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K = ~E*K =1
Zdanie B2’ to akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K.
Zauważmy, ze akt miłości jest tożsamy z aktem łaski, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy groźbę A2: A2: ~E~>~K.

Uwaga:
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec może wręczyć nagrodę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym, czyli różnym od poprzednika.
Po nie zdanym egzaminie może powiedzieć:
1.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo cię kocham
lub
2.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha
etc
Ojciec będzie kłamcą jeśli powie słowo w słowo:
3.
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)
W zdaniu 3 mamy do czynienia z uzasadnieniem zależnym, gdzie uzasadnienie jest identyczne jak poprzednik.

Czysto matematyczny dowód iż wypowiadając zdanie 3 ojciec będzie kłamcą:

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych (elektronicy).

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

Przypadek A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

Przypadek B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić!

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę (N=1), bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy U jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem dać ci komputer itp.
Gdzie:
U=1 - dowolne uzasadnienie niezależne.
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Podsumowując:
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

5.1.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => wyprowadziliśmy w punkcie 4.5.3
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
         Y=    ~Y=
   p  q  p=>q ~(p=>q)
A: 1  1  =1     =0
B: 1  0  =0     =1
C: 0  0  =1     =0
D: 0  1  =1     =0

Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy w punkcie 2.10.1

Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku wystarczającego Y = p=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji obietnicy.

Rozważmy naszą sztandarową obietnicę.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy zajdzie funkcja logiczna Y (Y=1)?

Nasz przykład:
1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1

2.
Kiedy zajdzie funkcja logiczna ~Y (~Y=1)?

Nasz przykład:
2.
~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1

Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)

Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: E*K=1*1=1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)

Zdanie D to oczywiście piękny akt miłości w odniesieniu do obietnicy A1, czyli prawo nadawcy do wręczenia nagrody (syn dostaje komputer), mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu syn nie zdał egzaminu)

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = B: E*~K = 1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
(Y=0) <=> B: E=1 i ~K=1
W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy:
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (K=1)

Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (E*K)*(E*~K) = [] =0
A*C = (E*K)*(~E*~K) =[] =0
A*D = (E*K)*(~E*K) =[] =0
B*C = (E*~K)*(~E*~K)=[] =0
B*D = (E*~K)*(~E*K) = [] =0
C*D = (~E*~K)*(~E*K) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienne do końca naszego Wszechświata.
Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie B:
~Y = B: E*~K =1*1 =1 - syn zdał egzamin (E=1) i nie dostał komputera (~K=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
~Y=1 - prawdą absolutna (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).

Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: E*K = 1*1 =0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn zdał egzamin (E=1) i ma komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~E=1) i nie ma komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =0 - nie zaszło (Yd=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~K=1) i ma komputer (K=1)

II.
Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B,C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = E*K + E*~K + ~E*~K + ~E*K = E*(K+~K) + ~E*(~K+K) = E+~E =1
cnd

Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
E (egzamin) =p
K (komputer) =q

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):

1.
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):

2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p+ (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Odtwarzając nasz przykład mamy:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Dokładnie to samo zdanie A1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając obietnicę A1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = ~E+K =1+1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)

Wnioski:
I.
Obietnica A1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka.
II.
Przejście z obietnicą A1 do tożsamego minimalnego równania 1’:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
III.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
IV.
Zauważmy, że przechodząc z obietnicą A1 do równania III zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu III nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~>.
cnd

5.1.5 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

Podsumowanie generalne:
Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnego opisu matematycznego obietnicy przedstawionego w punkcie 5.1 tzn. nie ma opisanych tu banałów w żadnym ziemskim podręczniku matematyki.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:03, 21 Mar 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 595
Przeczytał: 4 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 19:16, 21 Mar 2021    Temat postu:

Teraz wyprzedzę trochę czas - czyli szczegóły w temacie niniejszego artykułu będą później.

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-29600.html#585817

Ziemska logika "matematyczna" jest do dupy!

Anonymous napisał:
Cytat:
Algebra Kubusia czy dialektyka marksistowska?


nie wiem, pierwszej języka nie potrafię zrozumieć, jest męczący .... drugiej nie jestem ciekawy, raczej nic czego bym nie wiedział z niej się nie dowiem, a nawet z tego co wiem, wszystko, wątpię żebym znalazł. A z relacji naszego naczelnego dialektyka, jest w niej kilka pojęć nie do przyjęcia dla mnie jako absurdalne ... choćby "społeczeństwo", traktowane jak realny byt, a nie abstrakcyjny twór.

Podejrzewam, że to napisał Lucek, zatem z dedykacją dla niewiernego Tomasza, Lucka ... tu sobie zrobię premierę poniższego artykułu.


5.4 Największe wydarzenie w historii ziemskiej matematyki

[link widoczny dla zalogowanych]

Giordano Bruno - patron odwagi cywilnej
"Ogłaszamy cię bracie Giordano Bruno nieskruszonym, zawziętym i zatwardziałym heretykiem. Na podstawie tego podlegasz wszystkim potępieniom i karom Kościoła powszechnego" – brzmiał wyrok inkwizycji.

Gdyby to było średniowiecze, to za poniższy dowód czysto matematyczny prawdziwości zdania Chrystusa:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)
Rafał3006 spłonąłby niechybnie na stosie - na szczęście jest wiek XXI.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Nawiązując do poprzedniego punktu mamy największe odkrycie w historii ziemskiej matematyki, czyli poprawne, matematyczne rozszyfrowanie znaczenia zdania z ewangelii Św. Marka - MK16.

[link widoczny dla zalogowanych]
Mk15-16:
15 I rzekł do nich: «Idźcie na cały świat i głoście Ewangelię wszelkiemu stworzeniu!
16 Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony; a kto nie uwierzy, będzie potępiony.


Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
potępiony (P) = nie zbawiony (~Z)
P = ~Z

Chrystus:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Zdanie matematycznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie na 100% => będzie zbawiony a kto nie wierzy na 100% ~> nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Łącznik „a” pełni tu funkcję spójnika „i”(*), zatem kodowanie zdania A1A2 jest następujące:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)

Uzasadnienie poprawności kodowania zdania A1A2 Chrystusa:
Zdanie A1: W=>Z na mocy definicji obietnicy to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z
Zdanie A2:~W~>~Z na mocy definicji groźby to warunek konieczny ~W~>~Z wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z

Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Na mocy prawa Kubusia zdanie złożone A1A2 mamy prawo zredukować do zdania prostego A1 albo do zdania prostego A2.

Przypadek 1
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do obietnicy A1: W=>Z:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A1: W=>Z)*(A1: W=>Z) = A1: W=>Z
bo prawo Kubusia:
A2:~W~>~Z = A1: W=>Z
stąd mamy zdanie proste, obietnicę A1: W=>Z logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A1.
Kto wierzy we mnie ten na 100% => zostanie zbawiony
W=>Z =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z.
cnd

Przypadek 2
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do groźby A2:~W~>~Z:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A2:~W~>~Z)*(A2:~W~>~Z) = A2:~W~>~Z
bo prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2:~W~>~Z
stąd mamy zdanie proste, groźbę A2 logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A2.
Kto nie wierzy we mnie ten na 100% ~> nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1
Na mocy definicji groźby zdanie A2 to warunek konieczny ~W~>~Z wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.
cnd

Posumowanie:
W dowolnej groźbie nadawca ma prawo blefować, ale nie może być tak, że matematyka pozbawia nadawcę „wolnej woli”.

Ziemscy matematycy twierdzą, iż Chrystus wypowiadając poniższe zdanie A1B1 wypowiedział równoważność bo błędnie matematycznie kodują oba człony zdania warunkiem wystarczającym =>

Błędne kodowanie ziemskich „matematyków”:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(B2:~W=>~Z)

Prawo Kubusia:
B2: ~W=>~Z = B1: W~>Z

stąd mamy kodowanie tożsame:
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B1: W~>Z) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Wiara w Boga jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zbawienia
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B1: W~>Z) =1*1 =1

Dowód iż jest to definicja równoważności znana wszystkim ludziom.
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 7 350
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 17 000

Problem w tym, że błędne kodowanie zdania A1B1 przez ziemskich matematyków pozbawia Chrystusa „wolnej woli” czyli prawa wpuszczenie do nieba choćby jednego w niego niewierzącego.

Do piekła idą zatem w 100% wszyscy niewierzący w Chrystusa: ateiści, buddyści, Żydzi, Muzułmanie, Hindusi etc

Tymczasem Biblia roi się od prawa do darowania dowolnej kary zależnej od Chrystusa:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

Możliwości są tylko dwie:
1.
Biblia jest do bani
2.
Logika ziemskich matematyków jest do dupy

Na mocy niniejszego artykułu, ze 100% pewnością możemy stwierdzić, że od strony czysto matematycznej (algebra Kubusia) Biblia jest napisana genialnie poprawnie!

To ziemska logika „matematyczna” jest do dupy.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:49, 21 Mar 2021    Temat postu:

Kolejny, bardzo ważny z punktu widzenia języka potocznego, fragment algebry Kubusia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#581663

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.2 Groźba

Podsumowanie generalne:
Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnego opisu matematycznego groźby przedstawionego w punkcie 5.2 tzn. nie ma opisanych tu banałów w żadnym ziemskim podręczniku matematyki.

Spis treści
5.2 Groźba 1
5.2.1 Prawo transformacji 7
5.2.3 Groźba w równaniach logicznych 9
5.2.4 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11



5.2 Groźba

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.

B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy T2:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
To samo w zmiennych aktualnych z naszego przykładu:
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są konieczne ~> dla dostania lania
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: B=>L  =0 = 2:~B~>~L=0     [=] 3: L~>B  =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: B~~>~L=1 =                [=]             = 4:~L~~>B =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: B~>L  =1 = 2:~B=>~L=1     [=] 3: L=>B  =1 = 4:~L~>~B =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~B~~>L=0     [=] 3: L~~>~B=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: B=>L=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~B=>~L=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L w logice dodatniej (bo L):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna B|~>L w logice dodatniej (bo L) to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1

Definicja implikacji prostej ~B|=>~L w logice ujemnej (bo ~L):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~B=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B=1) nie są (=0) warunkiem koniecznym ~> braku lania (~L=1)
B2: ~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B=1) są (=0) warunkiem wystarczającym => braku lania (~L=1)
Stąd:
A2B2: ~B|=>~L = ~(A2: ~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
C = ~B
Czyste spodnie (C=1) = spodnie nie (~) brudne (~B=1)

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: B|~>L = A2B2:~B|=>~L
Dowód:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(A2: ~B~>~L)*(B2: ~B=>~L) = ~B|=>~L
bo prawa Kubusia:
A1: B=>L = A2: ~B~>~L
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
cnd

Innymi słowy:
Kolumna A1B1 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli wrócę w brudnych spodniach (B=1), natomiast kolumna A2B2 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli wrócę w czystych spodniach (~B=1).

Definicja operatora implikacji odwrotnej B||~>L:
Definicja operatora implikacji odwrotnej B||~>L to złożenie implikacji odwrotnej B|~>L w logice dodatniej (bo L) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji prostej ~B|=>~L w logice ujemnej (bo ~L) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej B||~>L to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli wrócę w brudnych spodniach (B=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli wrócę w brudnych spodniach (B=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
Zdanie tożsame:
B11.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~> dostać lanie (L=1)
B~>L =1
Co w logice jedynek oznacza:
(B=1)~>(L=1) =1
Czytamy:
B=1 - prawdą jest (=1) że mam brudne spodnie
L=1 - prawdą jest (=1) dostaję lania
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest konieczne ~> dla dostania lania (L=1) bo jak wrócę w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostanę lania (~L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: B~>L = B2:~B=>~L
Uwaga:
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykładu A1’. Ostrość wypowiedzianej groźby nie ma tu znaczenia, czyli:
B1 = B11
W groźbach nadawca z reguły nie wypowiada spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca nie spełnił warunku groźby, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba, tym teoretycznie lepiej.

LUB

Kolumna A1B1:
A1: B=>L =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
Co w logice jedynek oznacza:
(B=1)~~>(~L=1) = (B=1)*(~L=1) =1
Czytamy:
B=1 - prawdą jest (=1) że mam brudne spodnie (B)
~L=1 - prawdą jest (=1) że nie dostają lania (~L)
Na mocy definicji możliwe jest zdarzenie: przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1).
Zdanie A1’ to powszechny w świecie żywym (nie tylko u człowieka) akt łaski, czyli możliwość darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

2.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli przyjdę w czystych spodniach to mam gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) - mówi o tym zdanie B2
B2.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L=1
Co w logie jedynek oznacza:
(~B=1)=>(~L=1) =1
Czytamy:
~B=1 - prawdą jest (=1) że nie mam czyste spodnie (~B=1)
~L=1 - prawdą jest (=1) że nie dostaje lania (~L=1)
Czyste spodnie (~B=1) dają nam gwarancję matematyczną => baku lania (~L=1) ... z powodu iż przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1).
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>, poza tym wszystko może się zdarzyć, czyli lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe i ojciec nie będzie kłamcą, bo takie lanie będzie miało zero związku z wypowiedzianą groźbą B1.

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =0
co w logice jedynek oznacza:
(~B=1)~~>(L=1) = (~B=1)*(L=1) =0
Czytamy:
~B=1 - prawdą jest (=1) że mam czyste spodnie (~B=1)
L=1 - prawda jest (=1) że dostaję lanie (L=1)
Niemożliwe jest zdarzenie ~~>: przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostaję lanie (L=1)

Zauważmy, że gwarancja B2: ~B=>~L braku lania w groźbie jest niesłychanie silna.
Aby ją złamać ojciec musi powiedzieć słowo w słowo:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) (z powodu czystych spodni (~B=1)).
W tym momencie mama synka dzwoni po pogotowie - ojciec zwariował i należy go umieścić w szpitalu psychiatrycznym.

Zauważmy, że ojciec-sadysta, jeśli musi walić bez trudu znajdzie sobie pretekst do walenia bez powoływania się na czyste spodnie.
Ojciec-sadysta może powiedzieć tak:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty (BB=1).
… i sadysta już może walić, bez narażania się na umieszczenie w szpitalu psychiatrycznym.

Zauważmy że:
W świecie martwym (i matematyce) zdanie B2’ to twarda prawda której świat martwy nie jest w stanie złamać.
Przykład:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

To co nie jest możliwe w świeci martwym jest możliwe w świecie żywym, mającym „wolną wolę” co udowodniliśmy wyżej.

Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji pojęcie „wolnej woli” dotyczy wyłącznie świata żywego.

Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

5.2.1 Prawo transformacji

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.

B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B

Stąd mamy:
B3.
Jeśli dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => ubrudzisz spodnie (B=1)
L=>B=1
Dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż syn ubrudzi spodnie (B=1)
Innymi słowy:
Jeśli syn dostanie jakiekolwiek lanie (bo w zdaniu B3 nie ma przyczyny lania) to mamy gwarancję matematyczną => iż ubrudzi spodnie.

Zauważmy, że już samo dostanie lania bez podania przyczyny lania kwalifikuje się do szpitala psychiatrycznego.
Jak wybrnąć z tego paradoksu?

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszym przykładzie.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B
stąd na mocy prawa transformacji zdanie B3 wypowiadamy w czasie przeszłym:
B3.
Jeśli dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Na mocy groźby B1 dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż wcześniej syn ubrudził spodnie (B=1) i dostał to lanie z powodu brudnych spodni - w tym przypadku ojciec nie skorzystał z prawa łaski i nie darował synowi lania.

Jak widzimy, dzięki prawu transformacji obowiązującemu wyłącznie w obietnicach i groźbach nadawca skutecznie broni się przed umieszczeniem go w szpitalu psychiatrycznym.

5.2.3 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: W~>K = B2: ~W=>~K
stąd:
B2.
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na 100% => nie zostaniesz ukarany (~K=1)
~W=>~K =1
… z powodu iż nie spełniłeś warunku kary (~W=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna B|~>L.

Opiszmy groźbę w naturalnej logice matematycznej człowieka.

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Obowiązuje tu zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić.
Przyjmijmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary ustawiając swoją zmienną wolną U na wartość:
U=0 - akt łaski (nie karać)

Analiza równania groźby.
K=W*U

Przypadek A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karania jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną wolną U długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

Przypadek B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Akt łaski:
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania (~L=1) ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp.
Gdzie:
U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne jak wyżej.

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski (U=0)

Uzasadnienie zależne:
Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania (~L=1), bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).
Gdzie:
W=1 - warunek kary spełniony
U=W=1 - uzasadnienie darowania kary identyczne jak poprzednik

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

5.2.4 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> wyprowadziliśmy w punkcie 4.6.3
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
         Y=    ~Y=
   p  q  p~>q ~(p~>q)
A: 1  1  =1     =0
B: 1  0  =1     =0
C: 0  0  =1     =0
D: 0  1  =0     =1

Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy w punkcie 2.10.1

Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku koniecznego Y = p~>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji groźby.

Rozważmy naszą sztandarową groźbę.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dla lania (L=1)

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy zajdzie funkcja logiczna Y (Y=1)?

Nasz przykład:
1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1

2.
Kiedy zajdzie funkcja logiczna ~Y (~Y=1)?

Nasz przykład:
2.
~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1

Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)

Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: B*L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)

Zdanie B to oczywiście piękny akt łaski w odniesieniu do groźby B1: B~>L, czyli prawo nadawcy do darowania kary zależnej od nadawcy (syn nie dostaje lania ~L=1), mimo że odbiorca spełnił warunek kary (tu syn przyszedł w brudnych spodniach B=1).

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
(Y=0) <=> D: ~B=1 i L=1
W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy:
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = D: ~B*L =1*1 =0 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)

Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (B*L)*(B*~L) = [] =0
A*C = (B*L)*(~B*~L) =[] =0
A*D = (B*L)*(~B*L) =[] =0
B*C = (B*~L)*(~B*~L)=[] =0
B*D = (B*~L)*(~B*L) = [] =0
C*D = (~B*~L)*(~B*L) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienna do końca naszego Wszechświata.
Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie D:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i dostał lanie (L=1) z powodu czystych spodni (~B=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
~Y=1 - prawdą absolutna (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).

Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: B*L=1*1=0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i dostał lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yb=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i nie dostał lania (~L=1)

II.
Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B,C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = B*L + B*~L + ~B*~L + ~B*L = B*(L+~L) + ~B*(~L+L) = B+~B =1
cnd

Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
B (brudne spodnie) =p
L (lanie) =q

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):

1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):

2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y= ~p*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Odtwarzając nasz przykład mamy:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% ~> dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dostania lania.

Dokładnie to samo zdanie B1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając obietnicę B1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B+~L =1+1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) lub nie dostanie lania (~L=1)

Wnioski:
I.
Groźba B1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka tzn. każdy 5-cio latek wie iż może przyjść w brudnych spodniach i nie musi dostać lania, bo ojciec może mu to lanie darować.
II.
Przejście z groźbą B1 do tożsamego minimalnego równania 1’:
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
III.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
IV.
Zauważmy, że przechodząc z groźbą B1 do równania III zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu III nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~>.
cnd

Podsumowanie generalne:
Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnego opisu matematycznego groźby przedstawionego w punkcie 5.2 tzn. nie ma opisanych tu banałów w żadnym ziemskim podręczniku matematyki.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 21:33, 22 Mar 2021    Temat postu:

Napisałem właśnie kolejną super ważną część algebry Kubusia.
Dlaczego to takie ważne?
Bo matematyczna obsługa obietnic i gróźb to fundament wszelkiego życia na ziemi.
Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.
Poza tym obietnice i groźby to koło 99% zdań warunkowych "Jeśli p to q" wypowiadanych przez człowieka w języku potocznym ... od 5-cio latków poczynając, ekspertów algebry Kubusia!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#581665

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.3 Analiza obietnicy E=>K z różnych punktów odniesienia

Spis treści
5.3 Analiza obietnicy E|=>K z różnych punktów odniesienia 1
5.3.1 Definicje podstawowe implikacji prostej E|=>K i odwrotnej ~E|~>~K 2
5.3.2 Układ równań logicznych E|=>K i ~E|~>~K 5
5.3.3 Układ równań logicznych ~E|~>~K i E|=>K 8
5.3.4 Tożsame logicznie sposoby wyrażania obietnicy E=>K 12


5.3 Analiza obietnicy E|=>K z różnych punktów odniesienia

Zacznijmy od definicji obietnicy i groźby.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

5.3.1 Definicje podstawowe implikacji prostej E|=>K i odwrotnej ~E|~>~K

Weźmy klasyka obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla otrzymania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = 1*~(0) =1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy T2:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K w logice dodatniej (bo K):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K w logice dodatniej (bo K) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1

Definicja implikacji odwrotnej ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie dostania komputera (~K=1)
B2:~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu (~E=1) nie jest (=0) wystarczające =>
dla nie dostania komputera (~K=1)
Stąd:
A2B2: ~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*~(B2:~E=>~K)=1*~(0)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: E|=>K = A2B2:~E|~>~K
Dowód:
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = (A2: ~E~>~K)*~(B2: ~E=>~K) = A2B2: ~E|~>~K
bo prawa Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
B1: E~>K = B2: ~E=>~K
cnd

Innymi słowy:
Kolumna A1B1 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1), natomiast kolumna A2B2 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1).

Definicja operatora implikacji prostej E||=>K:
Definicja operatora implikacji prostej E||=>K to złożenie implikacji prostej E|=>K w logice dodatniej (bo K) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji odwrotnej ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.
1.
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K zawiera w sobie obietnicę A1: E=>K i wymusza sposób jej obsługi:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera
E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1
2.
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K zawiera w sobie groźbę A2:~E~>~K i wymusza sposób jej obsługi:
A2: ~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera
B2: ~E=>~K=0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera.
~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*(B2: ~E=>~K)=1*~(0) =1*1 =1

Oczywistym jest że układ równań logicznych 1 i 2 jest przemienny, dlatego bez znaczenia jest czy ojciec wypowie jako pierwszą obietnicę A1 czy też groźbę A2.

Innymi słowy:
I.
Jako pierwsze zdanie ojciec może wypowiedzieć obietnicę A1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mody definicji obietnicy zdanie A1 musimy kodować warunkiem wystarczającym E=>K wchodzącym w skład implikacji prostej E|=>K.
Wtedy mamy układ równań:
1.
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K zawiera w sobie obietnicę A1: E=>K i wymusza sposób jej obsługi:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera
E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1
2.
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K zawiera w sobie groźbę A2:~E~>~K i wymusza sposób jej obsługi:
A2: ~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera
B2: ~E=>~K=0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera.
~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*(B2: ~E=>~K)=1*~(0) =1*1 =1


ALBO!

II.
Jako pierwsze zdanie ojciec może wypowiedzieć groźbę A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Na mocy definicji groźby zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~E~>~K wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~E|~>~K
W tym przypadku mamy układ równań:
2.
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K zawiera w sobie groźbę A2:~E~>~K i wymusza sposób jej obsługi:
A2: ~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera
B2: ~E=>~K=0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera.
~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*(B2: ~E=>~K)=1*~(0) =1*1 =1
1.
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K zawiera w sobie obietnicę A1: E=>K i wymusza sposób jej obsługi:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera
E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

5.3.2 Układ równań logicznych E|=>K i ~E|~>~K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Załóżmy taką kolejność układu równań logicznych:
1.
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K zawiera w sobie obietnicę A1: E=>K i wymusza sposób jej obsługi:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera
E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1
2.
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K zawiera w sobie groźbę A2:~E~>~K i wymusza sposób jej obsługi:
A2: ~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera
B2: ~E=>~K=0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera.
~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*(B2: ~E=>~K)=1*~(0) =1*1 =1

Innymi słowy:
Obietnica z obszaru I od której rozpoczynamy analizę matematyczną brzmi:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera

Na mocy prawa śfinii punktem odniesienia jest tu zdanie A1, czyli zapis formalny zdania A1 przyjmuje postać:
A1.
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Gdzie:
p=E
q=K

Wtedy mamy:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej E||=>K to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zdam egzamin (E=1) to mam gwarancję matematyczną => dostania komputera (K=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Zdanie tożsame:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera … z powodu że syn zdał egzamin.
Tyko tyle i aż tyle gwarantuje nam definicja warunku wystarczającego =>.
Oczywiście syn może dostać komputer z dowolnego innego powodu np. na urodziny, ale taki komputer będzie miał zero wspólnego z obietnicą A1.

Prawdziwy na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym natomiast może się zdarzyć, że jutro syn zda egzamin i nie dostanie komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q - zapis formalny
A1: E=>K = A2: ~E~>~K - zapis aktualny
Stąd mamy:
1: Warunek wystarczający A1: E=>K jest spełniony na mocy definicji obietnicy.
2: Prawo Kubusia gwarantuje nam spełnienie warunku koniecznego ~> w zdaniu A2: ~E~>~K.

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)

Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą z czego wynika, że wszelkie groźby musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób.
Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może tej groźby wykonać.
Weźmy taką super groźbę:
A22.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to przysięgam na wszystkie świętości Wszechświata iż dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Zdanie A22 jest tu ewidentną groźbą, zatem na mocy definicji groźby zdanie A22 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do darowania kary zdaniem B2’ i nie jest tu istotne czy zdanie A22 jest blefem, czy nie jest.
Zauważmy, że gdyby po wypowiedzeniu super groźby A22 nadawca nie miał prawa do darowania kary w niej zawartej to jego „wolna wola”, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy (zdanie B2’) ległaby w gruzach, co oczywiście na mocy definicji groźby nie jest możliwe.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~~K =0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K = ~E*K =1
Jest taka możliwość na mocy definicji obietnicy A1.

Podsumowanie:
1.
W świecie żywym zdanie B2’ to piękny akt miłości względem obietnicy A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).
A1: E=>K =1 - jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
2.
W świecie żywym dokładnie to samo zdanie B2’ to równie piękny akt łaski w stosunku do groźby A2, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca spełnił warunek kary wyrażony w poprzedniku zdania A2 (tu nie zdał egzaminu)
A2: ~E~>~K =1 - jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera

5.3.3 Układ równań logicznych ~E|~>~K i E|=>K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Mamy naszą tabelę prawdy z punktem odniesienia ustawionym na obietnicy A1.
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera

Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Prawo Kubusia w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: E=>K = A2:~E~>~K

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1: p=>q = A2:~p~>~q - zapis formalny
A1: E=>K = A2:~E~>~K - zapis aktualny
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony

W świecie martwym (i matematyce) zawsze zdecydowanie prościej dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q która to prawdziwość wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2:~p~>~q.

W obietnicy A1: E=>K mamy ten komfort, iż na mocy definicji obietnicy prawdziwość obietnicy A1: E=>K mamy zdeterminowaną po banalnym rozstrzygnięciu iż następnik „dostanie komputera” jest nagrodą. Na mocy prawa Kubusia rozstrzygamy tym samym o prawdziwości na mocy definicji zdania A2: ~E~>~K (groźby).

Wypowiedzmy groźbę A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Następnik w zdaniu A2 „nie dostanie komputera” to groźba, zatem zdanie to podlega pod definicję ogólną groźby.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

W oryginale prawo Kubusia pozwoliło mi wyprowadzić poprawną, ogólną definicję groźby w brzmieniu jak wyżej. Nie jest zatem tak, że wziąłem sobie definicję groźby z sufitu.
Definicja groźby to rzecz święta, zatem zawsze musimy ją kodować warunkiem koniecznym A2: ~E~>~K wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~E|~>~K.

Zapiszmy teraz znaną nam tabelę T2 widzianą z punktu odniesienia groźby A2: ~E~>~K
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej ~p|~>~q
Kolumna A2B2 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A2:~p~>~q=1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające dla zajścia ~q
A2:~p~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A2B2 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A2:~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=0) konieczne ~>
              dla nie otrzymania komputera (~K=1)
B2:~E=>~K=0 -nie zdanie egzaminu (~E=1) nie jest (=0) wystarczające =>
             dla nie otrzymania komputera (~K=1)
A2:~E~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator logiczny ~E||~>~K to układ równań logicznych 2 i 1:
2.
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K zawiera w sobie groźbę A2:~E~>~K i wymusza sposób jej obsługi:
A2: ~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera
B2: ~E=>~K=0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera.
~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*(B2: ~E=>~K)=1*~(0) =1*1 =1
1.
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K zawiera w sobie obietnicę A1: E=>K i wymusza sposób jej obsługi:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera
E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1

W tym przypadku ojciec jako pierwsze zdanie wypowiada groźbę A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1).
Na mocy definicji groźby, zdanie A2 jest warunkiem koniecznym ~E~>~K wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~E|~>~K

Punktem odniesienia dla dalszej analizy matematycznej jest tu zdanie A2 którego zapis formalny na mocy prawa śfinii jest następujący:
A2.
~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Punkt odniesienia to:
p = E (egzamin)
q = K (komputer)

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej ~E||~>~K to odpowiedź na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)

Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą dlatego musimy je kodować warunkiem koniecznym A2: ~E~>~K wchodzącym w skład definicji implikacji odwrotnej ~E|~>~K, czyli z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykłady B2’
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji groźby zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu łaski względem zdania A2 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób.
Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może tej groźby wykonać.
Weźmy taką super groźbę:
A22.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to przysięgam na wszystkie świętości Wszechświata iż dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Zdanie A22 jest tu ewidentną groźbą, zatem na mocy definicji groźby zdanie A22 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do darowania kary zdaniem B2’ i nie jest tu istotne czy zdanie A22 jest blefem, czy nie jest.
Zauważmy, że gdyby po wypowiedzeniu super groźby A22 nadawca nie miał prawa do darowania kary w niej zawartej to jego „wolna wola”, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy (zdanie B2’) ległaby w gruzach, co oczywiście na mocy definicji groźby nie jest możliwe.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~K =0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K = ~E*K =1
Jest taka możliwość na mocy definicji groźby A2.

1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zdam egzamin (E=1) to mam gwarancję matematyczną => dostania komputera (K=1) - mówi o tym zdanie A1
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Prawo Kubusia w zapisie aktualnym:
A2: ~E~>~K = A1: E=>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby mamy prawdziwą groźbę A2:
A2: ~E~>~K =1
Groźba A2 na mocy prawa Kubusia wymusza prawdziwą obietnicę A1:
A1: E=>K =1
Wniosek:
Na mocy prawa Kubusia wszelkie obietnice musimy kodować warunkiem wystarczającym A1: E=>K wchodzącym w skład implikacji prostej E|=>K.

Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Zdanie tożsame:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera … z powodu że syn zdał egzamin.
Tyko tyle i aż tyle gwarantuje nam definicja warunku wystarczającego =>.
Oczywiście syn może dostać komputer z dowolnego innego powodu np. na urodziny, ale taki komputer będzie miał zero wspólnego z obietnicą A1.

Prawdziwy na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym natomiast może się zdarzyć, że jutro syn zda egzamin i nie dostanie komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.

Podsumowanie:
2.
W świecie żywym zdanie B2’ to piękny akt łaski w stosunku do groźby A2, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca spełnił warunek kary wyrażony w poprzedniku zdania A2 (tu nie zdał egzaminu)
A2: ~E~>~K =1 - jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera
1.
W świecie żywym zdanie B2’ to równocześnie piękny akt miłości względem obietnicy A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).
A1: E=>K =1 - jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer

5.3.4 Tożsame logicznie sposoby wyrażania obietnicy E=>K

Podsumujmy skrótowo nasze rozważania patrzenia na obietnicę A1 z różnych punktów odniesienia.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym E=>K wchodzącym w skład implikacji prostej E|=>K.

Tabela prawdy implikacji prostej E|=>K jest następująca:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K zawiera w sobie obietnicę A1: E=>K i wymusza sposób jej obsługi:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera
E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) =1*~(0)=1*1=1

Zapiszmy w tabeli prawdy skróconą wersję powyższej tabeli dla punktu odniesienia ustawionego na obietnicy A1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera wchodzącym w skład implikacji prostej E|=>K.
Kod:

Analiza matematyczna obietnicy A1.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
… z powodu zdanego egzaminu!
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>. Dostanie komputera z innej okazji np. z okazji imienin będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1.

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zdasz egzamin to możesz ~~> nie dostać komputera
E~~>~K=E*~K=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1). Wyłącznie w świecie żywym może się zdarzyć, że zdam egzamin i nie dostanę komputera - tylko i wyłącznie w tym przypadku ojciec będzie kłamcą.

… a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2:~E~>~K

Kolumna A2B2:
stąd mamy prawdziwą groźbę A2.
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest konieczne ~> dla nie otrzymania komputera (~K=1), bo jak zdam egzamin (E=1) to mam gwarantowany => komputer (K=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~E~>~K = A1: E=>K

Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~K =0
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K=~E*K =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Zdanie B2’ to akt łaski w stosunku do groźby A2 tożsamy z aktem miłości w stosunku do obietnicy A1.
Jak widzimy w przypadku nie zdania egzaminu ojciec nie a szans na zostanie matematycznym kłamcą, cokolwiek nie zrobi, nie skłamie - mówią o tym zdania A2 i B2’.


Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K zawiera w sobie groźbę A2:~E~>~K i wymusza sposób jej obsługi:
A2: ~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera
B2: ~E=>~K=0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera.
~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*(B2: ~E=>~K)=1*~(0) =1*1 =1
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej ~p|~>~q
Kolumna A2B2 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A2:~p~>~q=1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2:~p=>~q=0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A2B2 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A2:~E~>~K=1 - nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) konieczne ~>
              dla nie otrzymania komputera (~K=1)
B2:~E=>~K=0 - nie zdanie egzaminu (~E=1) nie jest (=0) wystarczające =>
              dla nie otrzymania komputera
A2B2:~E|~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Przeanalizujmy teraz skrótowo tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na groźbie A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Na mocy definicji groźby zdanie A2 to warunek konieczny ~E~>~K wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~E|~>~K.
Kod:

Analiza matematyczna groźby A2:
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest konieczne ~> dla nie otrzymania komputera (~K=1) bo jak zdam egzamin (E=1) to na 100% => dostanę komputer (K=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło - patrz tabela T2:
A2:~E~>~K = A1: E=>K

Kolumna A2B2:
B2:~E=>~K=0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K=~E*K=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Zdanie B2’ to akt łaski w stosunku do groźby A2 tożsamy z aktem miłości w stosunku do obietnicy A1 (patrz tabela T2).
Jak widzimy w przypadku nie zdania egzaminu ojciec nie a szans na zostanie matematycznym kłamcą, cokolwiek nie zrobi, nie skłamie - mówią o tym zdania A2 i B2’.

… a jeśli zdam egzamin?
Prawo Kubusia:
A2:~E~>~K = A1: E=>K

Przechodzimy do kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
… z powodu zdanego egzaminu!
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>. Dostanie komputera z innej okazji np. z okazji imienin będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1.

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zdasz egzamin to możesz ~~> nie dostać komputera
E~~>~K=E*~K=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1). Wyłącznie w świecie żywym może się zdarzyć, że zdam egzamin i nie dostanę komputera - tylko i wyłącznie w tym przypadku ojciec będzie kłamcą.


Podsumowanie:
Na mocy powyższych analiz jest totalnie wszystko jedno czy ojciec wypowie jako pierwszą obietnicę A1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera

Czy też jako pierwszą ojciec wypowie groźbę A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Zdanie A2 to groźba, zetem na mocy definicji musimy ja kodować warunkiem koniecznym ~E~>~K

Dlaczego jest wszystko jedno czy ojciec wypowie obietnicę A1: E=>K, czy też groźbę A2: ~E~>~K?

Odpowiedź jest trywialna:
Zdania A1 i A2 są logicznie tożsame na mocy prawa Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
cnd

Dowód tożsamy z wykorzystaniem definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
E=>K = ~E+K
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Nasz przykład:
E~>K = E+~K

Dowód formalny prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawa strona:
A2: ~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = A1: p=>q
cnd

Dowód aktualny prawa Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
Prawa strona:
A2: ~E~>~K = ~E+~(~K) = ~E+K = A1: E=>K
cnd

Znaczenie tożsamości logicznej „=”:
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wnioski:
1.
Jeśli na mocy definicji obietnicy uznamy prawdziwość obietnicy A1:
A1: E=>K =1
to z tego faktu wynika prawdziwość groźby A2:
A2: ~E~>~K =1
2.
Jeśli na mocy definicji groźby uznamy prawdziwość groźby A2:
A2: ~E~>~K =1
to z tego faktu wynika prawdziwość obietnicy A1:
A1: E=>K =1

Co więcej, ojciec ma prawo wypowiedzieć obietnicę A1: E=>K i groźbę A2: ~E~>~K jednocześnie łącząc te zdania spójnikiem „i”(*).

Dowód:
Ojciec do syna:
A1A2:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1) a jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> komputera nie dostaniesz (~K=1)
(A1: E=>K)*(A2: ~E~>~K)

Łącznik „a” pełni tu funkcję spójnika „i”(*), zatem kodowanie zdania A1A2 jest następujące:
(A1: E=>K)*(A2: ~E~>~K)

Uzasadnienie poprawności kodowania zdania A1A2:
Zdanie A1: E=>K na mocy definicji obietnicy to warunek wystarczający E=>K wchodzący w skład implikacji prostej E|=>K
Zdanie A2:~E~>~K na mocy definicji groźby to warunek konieczny ~E~>~K wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~E|~>~k

Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
Na mocy prawa Kubusia zdanie złożone A1A2 mamy prawo zredukować do zdania prostego A1 albo do zdania prostego A2.

Przypadek 1
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do obietnicy A1: E=>K:
(A1: E=>K)*(A2: ~E~>~K) = (A1: E=>K)*(A1: E=>K) = A1: E=>K
bo prawo Kubusia:
A2:~E~>~K = A1: E=>K
stąd mamy zdanie proste, obietnicę A1: E=>K logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający E=>K wchodzący w skład implikacji prostej E|=>K.
cnd

Przypadek 2
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do groźby A2:~E~>~K:
(A1: E=>K)*(A2: ~E~>~K) = (A2:~E~>~K)*(A2:~E~>~K) = A2:~E~>~K
bo prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2:~E~>~K
stąd mamy zdanie proste, groźbę A2 logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% ~> nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Na mocy definicji groźby zdanie A2 to warunek konieczny ~E~>~K wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~E|~>~K.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 0:53, 23 Mar 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 21:17, 23 Mar 2021    Temat postu:

Najciekawszy fragment algebry Kubusia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#582015

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.4 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Spis treści
5.4 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony 1
5.4.1 Największe wydarzenie w historii ziemskiej matematyki 7



5.4 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Chrystus:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Zdanie matematycznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie na 100% => będzie zbawiony a kto nie wierzy na 100% ~> nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Łącznik „a” pełni tu funkcję spójnika „i”(*), zatem kodowanie zdania A1A2 jest następujące:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)

Zajmijmy się na początek pierwszą częścią zdania A1A2 Chrystusa.
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Na mocy definicji obietnicy zdanie A1: W=>Z to warunek wystarczający => będący częścią implikacji prostej W|=>Z.
Z definicji obietnicy wynika, że jedyne co mamy do roboty w zdaniu A1 to rozstrzygnięcie iż zbawienie jest nagrodą dla człowieka.
Cała reszta jest w tym momencie totalnie zdeterminowana, czyli znana góry.

Zapiszmy znaną nam doskonale tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q z naniesionym podkładem aktualnym W|=>Z.

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: W~~>~Z=0 =                [=]             = 4:~Z~~>W =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~W~~>Z=1     [=] 3: Z~~>~W=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej W|=>Z w logice dodatniej (bo Z):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta W|=>Z w logice dodatniej (bo Z) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z)=1*~(0)=1*1=1

Definicja implikacji odwrotnej ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary w Boga jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
B2:~W=>~Z =0 - brak wiary w Boga nie jest (=0) wystarczający => dla nie zbawienia
Stąd:
A2B2: ~W|~>~Z = (A2: ~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z)=1*~(0)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: W|=>Z = A2B2:~W|~>~Z
Dowód:
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = (A2: ~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z) = A2B2: ~W|~>~Z
bo prawa Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
B1: W~>Z = B2: ~W=>~Z
cnd

Innymi słowy:
Kolumna A1B1 opisuje nam co Chrystus może zrobić z wierzącymi (W=1), natomiast kolumna A2B2 opisuje nam co Chrystus może zrobić z niewierzącymi (~W=1)

Definicja operatora implikacji prostej W||=>Z:
Operator implikacji prostej W||=>Z to złożenie implikacji prostej W|=>Z w logice dodatniej (bo Z) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji odwrotnej ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej W||=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co Chrystus może zrobić z wierzącymi (W=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Kto wierzy w Chrystusa (W=1) ma gwarancję matematyczną => zbawienia (Z=1) - mówi o tym zdanie A1.

Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej W|=>Z w logice dodatniej (bo Z):
Implikacja prosta W|=>Z w logice dodatniej (bo Z) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia
stąd:
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z)=1*~(0)=1*1=1

Szczegółowa rozpiska kolumny A1B1 jest następująca:
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Zdanie tożsame:
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia … z powodu wiary w Chrystusa.
Tyko tyle i aż tyle gwarantuje nam definicja warunku wystarczającego =>.

Prawdziwy na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Kto wierzy we mnie (W=1) ten może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: wierzę w Chrystusa (W=1) i nie zostanę zbawiony (Z=1)
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym może się zdarzyć, że ktoś spełni warunek nagrody i tej nagrody nie dostanie (matematyczny fundament działania oszustów), bowiem człowiek ma „wolną wolę” czyli zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy.
Zauważmy, że Chrystus z definicji podobnej wolnej woli nie ma, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła. Zdanie A1’ to jedyne miejsce w całej analizie matematycznej obietnicy Chrystusa A1: W=>Z, gdzie mógłby skłamać i posłać wierzącego w niego człowieka do piekła.
Gdyby tak w istocie się stało to wiara w Chrystusa nie miałaby sensu.
Dogmat:
Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa.
Moja przygoda w logiką matematyczną zaczęła się od poprawnego matematycznie rozszyfrowania obietnicy Chrystusa A1: W=>Z dzięki powyższemu dogmatowi … a było to 15 lat temu.

… a jeśli kto nie wierzy Panie?
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z

2.
Co Chrystus może zrobić z niewierzącymi (~W=1)?


Kolumna A2B2::
Definicja implikacji odwrotnej ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z):
Implikacja odwrotne ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~W~>~Z=1 - brak wiary w Boga (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)
B2: ~W=>~Z=0 - brak wiary w Boga (~W=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla nie zbawienia (~Z=1)
stąd:
A2B2: ~W|~>~Z=(A2: ~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z) = 1*~(0)=1*1=1

Szczegółową odpowiedź na pytanie:
Co Chrystus może zrobić z niewierzącymi?
mamy w kolumnie A2B2:
W przypadku niewierzących (~W=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła - mówią o tym zdania A2 i B2’
A1: p=>q = A2: ~p~>~q - zapis formalny
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z - zapis aktualny
Stąd mamy:
1: Warunek wystarczający A1: W=>Z jest spełniony na mocy definicji obietnicy.
2: Prawo Kubusia gwarantuje nam spełnienie warunku koniecznego ~> w groźbie A2: ~W~>~Z.
Dokładnie ten fakt pozwolił mi w przeszłości precyzyjnie zdefiniować groźbę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Kolumna A2B2:
Chrystus:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
A2: ~W~>~Z =1
Zdanie matematycznie tożsame (na mocy definicji groźby!):
A21.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
A21: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) bo jak kto wierzy (W=1) ten na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z

Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~W~>~Z = A21: ~W~>~Z?
Wynika to z definicji groźby zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu łaski względem groźby A2 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że na mocy powyższego w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób.
Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może tej groźby wykonać.

Weźmy taką super groźbę Chrystusa:
Każdemu, kto mówi jakieś słowo przeciw Synowi Człowieczemu, będzie przebaczone, lecz temu, kto bluźni przeciw Duchowi Świętemu, nie będzie przebaczone (Łk 12,10)

Zauważmy, że gdyby rzeczywiście człowiek był w stanie popełnić za życia grzech przeciwko Duchowi Świętemu i Chrystus musiałby takiego nieszczęśnika posłać do piekła to „wolna wola” Chrystusa, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy leży w gruzach … albo nasz Wszechświat jest zdeterminowany.

Definicja świata zdeterminowanego:
Jeśli ktokolwiek (łącznie z Bogiem) zna moje myśli z wyprzedzeniem to nasz Wszechświat jest zdeterminowany gdzie „wolna wola” człowieka jest picem.

Analogia do gier komputerowych:
Dzisiejsze zaawansowane gry komputerowe dają graczowi złudzenie, iż postaci w grze mają wolną wolę bo nie jest w stanie przewidzieć w 100% co postać X zrobi za chwilkę. Oczywiście nie oznacza to, że ludziki na ekranie monitora mają wolną wolę, bowiem matematycznie nie są w stanie zrobić niczego, czego nie przewidział programista piszący grę.
Podobnie jest z filmem, oglądając film pierwszy raz nie jesteśmy w stanie przewidzieć jak rozwinie się akcja filmu, co nie oznacza oczywiście iż postaci w filmie mają wolną wolę.

Zauważmy, że prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy to fundament Biblii:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

W świetle powyższych rozważań grzech przeciwko Duchowi Świętemu należy uznać z blef Chrystusa, do którego ma matematyczne prawo. Zauważmy, że im ostrzej wypowiedziana groźba, tym mniejsze prawdopodobieństwo iż odbiorca spełni warunek kary - we wszelkich groźbach chodzi dokładnie o to, by odbiorca nie spełnił warunku kary.

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~W=>~~Z =0
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą.
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Jest taka możliwość na mocy definicji groźby A2: ~W~>~Z

Zauważmy że:
1.
W świecie żywym zdanie B2’ to piękny akt miłości względem obietnicy A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie wierzył w Chrystusa).
A1: W=>Z =1 - kto wierzy we mnie zostanie zbawiony
2.
W świecie żywym dokładnie to samo zdanie B2’ to równie piękny akt łaski w stosunku do groźby A2, czyli wręczenie nagrody (tu zbawienie) mimo że odbiorca spełnił warunek kary wyrażony w poprzedniku zdania A2 (tu nie wierzył w Chrystusa)
A2: ~W~>~Z =1 - kto nie wierzy we mnie, ten nie zostanie zbawiony

Podsumowanie:

I.
Wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną => zbawienia - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Zdanie tożsame:
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia

II.
Z niewierzącymi Chrystus może postąpić wedle swojej „wolnej woli” tzn. dowolnego niewierzącego może umieścić w niebie, albo w piekle - nie ma tu żadnych szans, by Chrystus został matematycznym kłamcą - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten nie zostanie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)

LUB

B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1

Jest taka możliwość na mocy definicji groźby A2:
A2: ~W~>~Z=1
która jest logicznie tożsama z definicją obietnicy A1:
A1: W=>Z =1
na mocy prawa Kubusia:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z

W skrajnym przypadku absolutnie wszyscy ludzie mogą wylądować w niebie (z Hitlerem na czele) i Chrystus matematycznym kłamcą nie będzie - mówią o tym zdania A2 i B2’ w naszej analizie.

Wniosek:
Zanana filozofom idea powszechnego zbawienia jest możliwa, bo ma swoje podstawy matematyczne.

[link widoczny dla zalogowanych]

Apokatastaza (od gr. apokatastasis[1] czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) – końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.


5.4.1 Największe wydarzenie w historii ziemskiej matematyki

[link widoczny dla zalogowanych]

Giordano Bruno - patron odwagi cywilnej
"Ogłaszamy cię bracie Giordano Bruno nieskruszonym, zawziętym i zatwardziałym heretykiem. Na podstawie tego podlegasz wszystkim potępieniom i karom Kościoła powszechnego" – brzmiał wyrok inkwizycji.

Gdyby to było średniowiecze, to za poniższy dowód czysto matematyczny prawdziwości zdania Chrystusa:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)
Rafał3006 spłonąłby niechybnie na stosie - na szczęście jest wiek XXI.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Nawiązując do punktu 5.3.4 mamy największe odkrycie w historii ziemskiej matematyki, czyli poprawne matematycznie rozszyfrowanie znaczenia zdania z ewangelii Św. Marka - MK16.

[link widoczny dla zalogowanych]
Mk15-16:
15 I rzekł do nich: «Idźcie na cały świat i głoście Ewangelię wszelkiemu stworzeniu!
16 Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony; a kto nie uwierzy, będzie potępiony.


Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
potępiony (P) = nie zbawiony (~Z)
P = ~Z

Chrystus:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Zdanie matematycznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie na 100% => będzie zbawiony a kto nie wierzy na 100% ~> nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Łącznik „a” pełni tu funkcję spójnika „i”(*), zatem kodowanie zdania A1A2 jest następujące:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)

Uzasadnienie poprawności kodowania zdania A1A2 Chrystusa:
Zdanie A1: W=>Z na mocy definicji obietnicy to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z
Zdanie A2:~W~>~Z na mocy definicji groźby to warunek konieczny ~W~>~Z wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z

Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Na mocy prawa Kubusia zdanie złożone A1A2 mamy prawo zredukować do zdania prostego A1 albo do zdania prostego A2.

Przypadek 1
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do obietnicy A1: W=>Z:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A1: W=>Z)*(A1: W=>Z) = A1: W=>Z
bo prawo Kubusia:
A2:~W~>~Z = A1: W=>Z
stąd mamy zdanie proste, obietnicę A1: W=>Z logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A1.
Kto wierzy we mnie ten na 100% => zostanie zbawiony
W=>Z =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z.
cnd

Przypadek 2
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do groźby A2:~W~>~Z:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A2:~W~>~Z)*(A2:~W~>~Z) = A2:~W~>~Z
bo prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2:~W~>~Z
stąd mamy zdanie proste, groźbę A2 logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A2.
Kto nie wierzy we mnie ten na 100% ~> nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1
Na mocy definicji groźby zdanie A2 to warunek konieczny ~W~>~Z wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.
cnd

Posumowanie:
W dowolnej groźbie nadawca ma prawo blefować, ale nie może być tak, że matematyka pozbawia nadawcę „wolnej woli”.

Ziemscy matematycy twierdzą, iż Chrystus wypowiadając poniższe zdanie A1B1 wypowiedział równoważność bo błędnie matematycznie kodują oba człony zdania warunkiem wystarczającym =>

Błędne kodowanie ziemskich „matematyków”:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(B2:~W=>~Z)

Prawo Kubusia:
B2: ~W=>~Z = B1: W~>Z

stąd mamy kodowanie tożsame:
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B1: W~>Z) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Wiara w Boga jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zbawienia
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B1: W~>Z) =1*1 =1

Dowód iż jest to definicja równoważności znana wszystkim ludziom.
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 7 350
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 17 000

Problem w tym, że błędne kodowanie zdania A1B1 przez ziemskich matematyków pozbawia Chrystusa „wolnej woli” czyli prawa wpuszczenie do nieba choćby jednego w niego niewierzącego.

Do piekła idą zatem w 100% wszyscy niewierzący w Chrystusa: ateiści, buddyści, Żydzi, Muzułmanie, Hindusi etc

Tymczasem Biblia roi się od prawa do darowania dowolnej kary zależnej od Chrystusa:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

Możliwości są tylko dwie:
1.
Biblia jest do bani
2.
Logika ziemskich matematyków jest do dupy

Na mocy niniejszego artykułu, ze 100% pewnością możemy stwierdzić, że od strony czysto matematycznej (algebra Kubusia) Biblia jest napisana genialnie poprawnie!

To ziemska logika „matematyczna” jest do dupy.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:21, 24 Mar 2021    Temat postu:

Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje

Najciekawszy wniosek z przedstawionej wyżej analizy matematycznej obietnicy Chrystusa.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#582015


5.4.2 Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje

[link widoczny dla zalogowanych]

Giordano Bruno - patron odwagi cywilnej:
"Ogłaszamy cię bracie Giordano Bruno nieskruszonym, zawziętym i zatwardziałym heretykiem. Na podstawie tego podlegasz wszystkim potępieniom i karom Kościoła powszechnego" – brzmiał wyrok inkwizycji.
17 lutego 1600 roku w Rzymie zapłonął stos, który uwiecznił Giordana Bruna jako szermierza i patrona odwagi cywilnej.
Biuletyn Ritorni di Roma 19 lutego 1600 napisał: "W czwartek spalony został żywcem na Campo de Fiori zakonnik, dominikanin z Noli, niepoprawny heretyk. Z kneblem w ustach z powodu zbrodniczych słów, które wypowiadał". Tym samym Giordano Bruno stał się męczennikiem w rozwoju nauki, która ostatecznie wygrała walkę z Kościołem, feudalizmem i całą mentalnością tamtej epoki.


Gdyby to było średniowiecze, to za poniższy dowód czysto matematyczny:
Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje
Rafał3006 spłonąłby niechybnie na stosie - na szczęście jest wiek XXI.

Rozważmy przykładowy warunek wystarczający A: p=>q rodem ze świata martwego:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby jutro było pochmurno, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Padanie w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie padało, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno … z powodu że pada.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>

Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
… o czym ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś doskonale wie.
Wniosek:
W świecie martwym (także w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy (i matematyka) nie jest w stanie złamać.

Zapiszmy jeszcze raz omówioną wyżej obietnicę Chrystusa.

Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Zdanie tożsame:
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia … z powodu wiary w Chrystusa.
Tyko tyle i aż tyle gwarantuje nam definicja warunku wystarczającego =>.

Prawdziwy na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Kto wierzy we mnie (W=1) ten może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: wierzę w Chrystusa (W=1) i nie zostanę zbawiony (~Z=1)
W świecie martwym (także w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W matematyce zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = dowolne twierdzenie matematyczne znane ziemskim matematykom

W świecie żywym może się zdarzyć, że ktoś spełni warunek nagrody i tej nagrody nie dostanie (matematyczny fundament działania oszustów), bowiem człowiek ma „wolną wolę” czyli zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy.
Zauważmy, że Chrystus z definicji podobnej wolnej woli nie ma, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła. Zdanie A1’ to jedyne miejsce w całej analizie matematycznej obietnicy Chrystusa A1: W=>Z, gdzie mógłby skłamać i posłać wierzącego w niego człowieka do piekła.
Gdyby tak w istocie się stało to wiara w Chrystusa nie miałaby sensu.
Dogmat:
Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa.
Moja przygoda w logiką matematyczną zaczęła się od poprawnego matematycznie rozszyfrowania obietnicy Chrystusa A1: W=>Z dzięki powyższemu dogmatowi … a było to 15 lat temu.

Jak widzimy, w świecie żywym mającym „wolną wolę” Chrystus bez problemu mógłby skłamać posyłając wierzącego w niego człowieka do piekła.
Problem w tym, że z definicji nie może bo wtedy wiara w Chrystusa byłaby bezsensem.

W naszym Wszechświecie zachodzi matematyczna tożsamość:
Logika matematyczna Chrystusa = Logika matematyczna świata martwego bez prawa do kłamstwa

Wniosek:
Świat martwy nie ma „wolnej woli” rozumianej jako prawo do kłamstwa, zatem Chrystus również „wolnej woli” nie ma.

Niektórzy ziemscy filozofowie zajmują się matematycznym opisem innych Wszechświatów - algebra Kubusia, logika naszego Wszechświata się tym nie zajmuje.
W naszym Wszechświecie Chrystusa obowiązuje logika matematyczna naszego Wszechświata inaczej kara (piekło) i nagroda (niebo) jest picem.

Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia

Wniosek:
W naszym Wszechświecie Chrystusa nie obowiązuje logika matematyczna identyczna z logiką matematyczną człowieka bowiem Chrystus obiecując nagrodę (tu zbawienie) na 100% => musi dotrzymać danego słowa i wręczyć nagrodę (zbawić człowieka), natomiast człowiek obiecując nagrodę może tę nagrodę wręczyć, ale nie musi jej wręczyć.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.

Innymi słowy:
Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje
cnd

Stąd mamy wyprowadzoną definicję „wolnej woli” w świecie żywym.

Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

„Wolna wola”, czyli prawo do kłamstwa, występuje wyłącznie w świecie żywym na mocy definicji obietnicy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Teoretycznie istota żywa obiecując nagrodę na mocy definicji obietnicy na 100% => musi tą nagrodę wręczyć, inaczej jest kłamcą.
Problem w tym że istota żywa, mając „wolną wolę” zdefiniowaną wyżej, może obiecaną nagrodę wręczyć, ale nie musi wręczyć.
Jeśli zdarzy się, że odbiorca spełni warunek nagrody a nadawca nie wręczy nagrody to nadawca będzie kłamcą - tylko tyle i aż tyle rozstrzyga logika matematyczna w obszarze świata żywego.

Powtórzmy:
Na mocy definicji „wolnej woli” nadawca wypowiadając dowolną obietnicę może wręczyć obiecaną nagrodę, ale nie musi jej wręczyć.

Wniosek:
„Wolna wola” w świecie żywym to matematyczny fundament działania wszelkiej maści oszustów - nie tylko w świecie człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji widać, że pojęcia „wolna wola” możemy używać tylko i wyłącznie w stosunku do świata żywego, bowiem wyłącznie świat żywy może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

„Wolna wola” istot żywych może być wykorzystana w niecnych celach, czyli nadawca wypowiada obietnicę której nie zamierza spełnić, której celem jest oszukanie odbiorcy.
„Wolna wola” istot żywych jest wodą na młyn dla oszustów wszelkiej maści. Ofiary dają się oszukiwać tylko dlatego iż oszust działa tak, by ofiara nie domyślała się że jest oszukiwana.

Przykład oszustwa ze świata człowieka:
[link widoczny dla zalogowanych]
Piramida Madoffa napisał:

Piramida Madoffa – piramida finansowa na wielką skalę stworzona przez Bernarda Madoffa, który pozyskał jako klientów banki (m. in. HSBC, Fortis, Royal Bank of Scotland, Société Générale, BNP Paribas, UniCredit, Citigroup, JP Morgan, Bank of America, UBS), firmy i instytucje (Fairfield Greenwich Group, Uniwersytet Columbia, fundację Eliego Wiesela) oraz inwestorów prywatnych do lokowania pieniędzy w jego fundusz. Kiedy pieniądze trzeba było wypłacić, płacił z pieniędzy wpłacanych przez kolejnych klientów.
Fundusz Madoffa pierwotnie inwestował głównie w papiery wartościowe i nieruchomości, jednak likwidator firmy stwierdził, że przez ostatnie 13 lat swojej działalności fundusz w ogóle nie inwestował powierzonych środków. Amerykańska Komisja Papierów Wartościowych i Giełd (SEC) otrzymywała sygnały o nieprawidłowościach w działalności Madoffa, jednak nie zapobiegła powstaniu piramidy.
Fundusz miał charakter elitarny i należały do niego również osoby ze świata biznesu, polityki, kultury - można było do niego przystąpić wyłącznie mając rekomendację, a minimalna kwota inwestycji wynosiła 10 mln dolarów. Wśród oszukanych inwestorów znaleźli się m.in. przedsiębiorca budowlany Larry Silverstein, aktorzy John Malkovich i Kevin Bacon, żona Bacona Kyra Sedgwick, fundacja należąca do Stevena Spielberga, bejsbolista Sandy Koufax, senator Frank Lautenberg. Co najmniej dziesięciu inwestorów straciło po ponad miliard dolarów, a wszyscy inwestorzy łącznie stracili ok. 35 mld dolarów.
29 czerwca 2009 Bernard Madoff, mimo przyznania się do winy oraz wyrażenia skruchy, został skazany na 150 lat więzienia


Także zwierzęta potrafią składać fałszywe obietnice, przykładem może tu być żółw sępi.
[link widoczny dla zalogowanych]
Żółw sępi napisał:

Żółw sępi żywi się w zasadzie wszystkim, co uda mu się upolować. Jego silne szczęki radzą sobie nawet z muszlami dużych ślimaków oraz małży. Ofiarę wabi za pomocą mięsistego wyrostka na języku. Gdy ta znajdzie się w jego zasięgu, żółw szybko rzuca się na swą zdobycz i zaciska na niej szczęki.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 13:26, 26 Mar 2021, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 595
Przeczytał: 4 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 13:54, 28 Mar 2021    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-29775.html#586813

Kubuś napisał:
mika.maik napisał:
Tego posta już nie zdążył Bóg ŁP JWPB umieścić na NIE.
Przy logowaniu pojawiła się taka informacja:
Masz całkowicie zabroniony dostęp do tej witryny.
Aby uzyskać więcej informacji, proszę skontaktować się z administratorem witryny.
Twoja nazwa użytkownika została zablokowana.


JWPB - Pan jesteś po prostu logicznym tumanem bo nie rozumie Pan algebry Kubusia.
Wszystkie fora naszego Wszechświata zachowują się identycznie - zgodnie z algebrą Kubusia gdzie podstawowe prawo logiki matematycznej brzmi:
Fundament AK:
Szanuj swoich, bij wrogów naszych

Mod z NIE uznał JWPB za wroga którego musi zniszczyć tu wszelkie chwyty są dozwolone - ostateczne rozwiązanie problemu to zabić wroga, w przypadku forów tylko zbanować.

Gorzej jest w świecie rzeczywistym, gdzie fundament AK również obowiązuje:
Fundament AK:
Szanuj swoich, bij wrogów naszych

Wystarczy sobie pooglądać wścieklizny sączącej się z państwowej jadaczki TVP.

Zadanie dla JWPB:
Jak usłyszy pan w gównie zwanym TVP choćby jedno zdanie dobre na temat dowolnego członka z opozycji, to proszę tu napisać - ogłosimy święto narodowe.

TVP (ściślej dyktator Kurski) ostatnio wziął na cel marszałka senatu prof. Tomasza Grodzkiego:
[link widoczny dla zalogowanych]

„Po raz kolejny wykorzystano organy państwa i pieniądze podatników do zdyskredytowania w opinii publicznej Marszałka Senatu RP. Akcja CBA [ponad 100 funkcjonariuszy – MK], które bezskutecznie szuka haków na prof. Tomasza Grodzkiego została przeprowadzona tym razem w środku walki o władzę w tzw. Zjednoczonej Prawicy i miała za zadanie odwrócenie uwagi od tego, co dzieje się w obozie rządzącym”

Podsumowując:
JWPB czy rozumie Pan już AK?
Czy rozumie Pan że mod z NIE wcale Pana nie skrzywdził, bo nie ma takiej władzy by 100 funkcjonariuszy CBA zajęło się pańskim życiorysem od momentu narodzin do stanu na dzień dzisiejszy.

P.S.
Co ja gadam, CBA szuka haków na przeciwnika z opozycji do X pokoleń wstecz.
Dowód:
Hak na Tuska, gdzie TVP opublikowało zdjęcie dziadka Tuska (wszyscy widzieli) siedzącego za kierownicą limuzyny z Wermachtu.


Ostatnio zmieniony przez Kubuś dnia Nie 14:08, 28 Mar 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Kubuś




Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 595
Przeczytał: 4 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 14:06, 28 Mar 2021    Temat postu:

...

Ostatnio zmieniony przez Kubuś dnia Nie 14:32, 28 Mar 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 1:45, 30 Mar 2021    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3300.html#587035

Po 15-latach dobijamy do brzegu ...

Po 15 latach wojny o zaistnienie algebry Kubusia w głowach ziemskich matematyków (tylko o nich tu chodzi bo 5-cio latki są ekspertami AK) dobijamy do brzegu.
Aktualną algebrę Kubusia podzieliłem na wie części "AK - wykład podstawowy" i "AK - wykład rozszerzony".
W wersji podstawowej wyłożona jest kwintesenscja AK.
Matematycznie wersja rozszerzona AK nie jest trudniejsza w zrozumieniu od wersji podstawowej (głównie punkty 3.0, 4.0 i 5.0) o ile ktoś zna poprawną algebrę Boole'a. Poprawna algebra Boole'a to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) - niestety najwybitniejsi ziemscy matematycy nie mają o tym fakcie najmniejszego pojęcia, bo nigdy nie byli w laboratorium techniki cyfrowej (nie mają doświadczenia praktycznego), więc jak ja biedny mam z nimi o tym dyskutować?
Algebra Boole'a to najtrudniejsza część AK, dlatego praktycznie nie ma tego "świństwa" (z punktu widzenia normalnego człowieka tzn. nie matematyka) w wersji podstawowej którą są części 3.0, 4.0 i 5.0.

Aktualnie wojna toczy się nie o rozszyfrowanie algebry Kubusia (to już się stało), logiki matematycznej której autorem jest Stwórca naszego Wszechświata (Bóg), ale o jak najprostszy przekaz dla ludzkości, by matematycy byli w stanie zrozumieć AK.
Aktualny system pracy nad przekazem AK (zero dyskusji) bardzo mi odpowiada. Dyskusje z Zieminami były mi niezbędnie potrzebne - bez nich nie byłoby możliwe rozpracowanie algebry Kubusia, za co wszystkim dziękuję, także twardogłowemu Irbisolowi który pewnie nigdy nie zrozumie AK mimo iż jest bardzo dobrym ziemskim logikiem ... sęk w tym, że z mózgiem wypranym gównem zwanym "implikacja materialna".

Dlaczego nie chcę już dyskutować z ziemskimi, twardogłowymi matematykami?
Bo nie są w stanie zrozumieć, że może istnieć poprawna logika matematyczna, algebra Kubusia, gdzie 100% definicji z obszaru logiki matematycznej jest sprzecznych ze wszystkimi ziemskimi logikami "matematycznymi" tzn. jakąkolwiek logikę "matematyczną" ziemian wzięlibyśmy na tapetę to zawsze będziemy mieć 100% definicji sprzecznych względem AK.

P.S.
Z matematykami normalnymi, którzy są w stanie wysłać gówno zwane „implikacją materialną” do piekła na wieczne piekielne męki chętnie podyskutuję … tylko czy są tacy?
… wierzę, że są.


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263-25.html#587025

Algebra Kubusia - wykład rozszerzony
8.0 Równoważność p<=>q

Spis treści
8.0 Równoważność p<=>q 1
8.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
8.1.1 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q 3
8.1.2 Definicja operatora równoważności p|<=>q 6
8.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 8
8.3 Analiza podstawowa równoważności p<=>q 10
8.3.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 12


8.0 Równoważność p<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

8.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


8.1.1 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 400
„potrzebne i wystarczające”
wyników: 1 850
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 15 500
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p jest potrzebne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q

A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =1
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
~p<=>~q = p*q+~p*~q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p<=>q = ~p<=>~q - prawo rachunku zero-jedynkowego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Warto zapamiętać różnice:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej IP: p|=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Definicja implikacji prostej IP: p|=>q w równaniu logicznym:
IP: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej IO: p|~>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej IO: p|~>q w równaniu logicznym:
IO: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p=>q) = p*~q
##
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Definicja równoważności R: p<=>q w równaniu logicznym:
R: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne IP, IO, R:
Kod:

 IP: Y= (p|=>q)=~p*q ##  IO: Y=(p|~>q)=p*~q  ##  R: Y=(p<=>q) =p*q+~p*~q
     #                       #                      #
~IP:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## ~IO:~Y=~(p|~>q)=~p+q ## ~R:~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Porównajmy jeszcze implikacje prostą IP i odwrotną IO z warunkiem wystarczającym WW.
Kod:

 IP: Y= (p|=>q)=~p*q ##  IO: Y=(p|~>q)=p*~q  ## WW: Y= (p=>q)=~p+q
     #                       #                      #
~IP:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## ~IO:~Y=~(p|~>q)=~p+q ##~WW:~Y=~(p=>q)= p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Tu również doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Uwaga!
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) logika matematyczna jest niejednoznaczna, czyli jest do bani.

Popatrzmy:

Z funkcją logiczną Y definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest spełniona:
Dowód:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q
stąd:
WW: Y=(p=>q)=~p+q ## ~IO: ~Y=~(p|~>q)= ~(p*~q) = ~p+q
W powyższym zapisie uwzględniającym Y i ~Y definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest spełniona!
cnd

Bez funkcji logicznej Y definicja znaczka różne na mocy definicji ## nie jest spełniona:
Dowód:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q
stąd:
WW: (p=>q)=~p+q [=] ~IO: ~(p|~>q)=~(p*~q) = ~p+q
W powyższym zapisie gdzie nie ma funkcji logicznych Y i ~Y zachodzi fałszywa tożsamość logiczna - logika matematyczna leży, kwiczy i błaga o litość.
cnd

8.1.2 Definicja operatora równoważności p|<=>q
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
Innymi słowy (lewą stronę czytamy):
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

8.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

Przyjrzyjmy się tabeli prawdy dla równoważności p<=>q:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Z tabeli T2 odczytujemy matematyczną definicję równoważności.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Analogicznie mamy:

Definicja tożsamości dwóch zdarzeń p i q (p=q):
Dwa zdarzenia p i q są logicznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

8.3 Analiza podstawowa równoważności p<=>q

Weźmy jeszcze raz tabelę prawdy równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Przyjmijmy punkt odniesienia A1B2:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2:~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1B2: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
       AB12                           | AB34
A1B2: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)    |
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
       ##              ##             |     ##               ##
B2A1: ~p=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)   |
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
--------------------------------------------------------------------------
R: p<=>q=p*q+~p*~q ~p<=>~q=p*q+~p*~q [=] q<=>p=p*q+~p*~q ~q<=>~p=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q i ~p<=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Definicja spójnika równoważności p<=>q dla p:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Innymi słowy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Odpowiedź na pytanie 1 mamy w łatwiejszym dowodzie prawdziwości warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q =1
Kolumna A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zbiory:
zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zawsze gdy zajdzie p, zajdzie też q

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q =0
W zbiorach:
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

2.
Kiedy zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2
Definicja spójnika równoważności ~p<=>~q dla ~p:
Równoważność ~p<=>~q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Zajdzie ~p (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Zauważmy, że w tym momencie dowodzenie prawdziwości:
A2: ~p~>~q =1
nic nam nie da bo zachodzący tu warunek konieczny ~> udowodniliśmy w punkcie 1 na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Wniosek:
W kolumnie A2B2 musimy udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego =>:
B2: ~p=>~q =1

Kolumna A2B2:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
stąd:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia:
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zawsze gdy zajdzie ~p, zajdzie ~q

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbioru ~p i q
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Cecha charakterystyczna równoważności:
Równoważność p<=>q to jedyny spójnik logiczny gdzie mamy gwarancję matematyczną => (warunek wystarczający =>) zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

8.3.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T2
Definicja symboliczna                |Co w logice jedynek
                                     |oznacza
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)    |
A1:  p=> q =1                        |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0                        |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1                        |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0                        |(~p=1)~~>( q=1)=0


Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T2 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B1: p<=>q albo w odniesieniu do równoważności A2B2:~p<=>~q
Dlaczego tabeli T2 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiedź:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B1: p<=>q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
A1B1: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0   =0
A2B2:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1   =0
     a   b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T4.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |RB2: ~p<=>~q      |
A1B1: p<=>q   |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1   =0
A2B2:~p<=>~q  |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0   =0
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością ~p<=>~q

Zauważmy, że w tabelach T3 i T4 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T3: p<=>q = T4: ~p<=>~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
     p   q p<=>q
A1:  1<=>1  =1
A1’: 1<=>0  =0
B2:  0<=>0  =1
B2’: 0<=>1  =0

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0
     1   2   3     4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q  p<=>q <=> ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1            1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0            1
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1            1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0            1
     1   2   3     4   5    6            7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
można łatwo udowodnić bez tabel zero-jedynkowych.

Dowód tożsamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Kolejny dowód tożsamy to skorzystanie z definicji spójników warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wyrażonych spójniami „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
p<=>q = ~p<=>~q

Obliczamy lewą stronę:
L: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
L: p<=>q = p*q+~p*~q

Obliczamy prawą stronę:
P: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
P: ~p<=>~q =p*q + ~p*~q

Stąd mamy:
L: p<=>q = P:~p<=>~q = p*q+~p*~q
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 13:23, 30 Mar 2021, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Filozofia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3 ... 29, 30, 31, 32  Następny
Strona 30 z 32

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin