Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - rewolucja w logice matematycznej
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3 ... , 30, 31, 32  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Filozofia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 12:23, 31 Mar 2021    Temat postu:

Dowód wewnętrznej sprzeczności w ziemskiej algebrze Boole'a!

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.

Właśnie ulepszam przekaz AK
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#574087


2.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

2.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Wyjaśnienie o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## na bazie legalnych funkcji logicznych widniejących w tabeli TS.

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
0: Y=p*q
1: Y=p+q
2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Dla jasności dalszego opisu zmieńmy indeksowanie, co jest bez znaczenia:
1: = A1: Y=p+q
3: = B1: Y=~(p+q)*~p*~q

Rozważmy następujący przykład w zapisach formalnych (ogólnych):
Kod:

T1.
A1:  Y=p+q            ## B1:  Y=~(p+q)=~p*~q
     #                ##      #
A2: ~Y=~(p+q)=~p*~q   ## B2: ~Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatnie (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T2.
A1:  Y=p+q            ## B1:  Y=~(p+q)=~p*~q
     #                ##      #
A2:  Y=~(p+q)=~p*~q   ## B2:  Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=p+q # A2: Y=~p*~q - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=p+q ## B2: Y=p+q - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd

2.12.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

O co chodzi w znaczkach # i ## najłatwiej zilustrować przykładem z języka potocznego.

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub to teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1.
A1: Y=K+T # A2: ~Y=~K*~T
Stąd mamy:
A2:
~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro pójdziemy ani do kina (~K=1), ani do teatru (~T=1)
zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie # funkcję logiczną B1.
B1: Y=~K*~T # B2: ~Y=K+T
Stąd mamy:
B2:
~Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

Zapiszmy zdania z przedszkola A i B w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1:  Y= K+ T  ## B1:  Y=~K*~T
     #                #
A2: ~Y=~K*~T  ## B2: ~Y= K+ T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatnie (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T2.
A1:  Y=K+T            ## B1:  Y=~(K+T)=~K*~T
     #                ##      #
A2:  Y=~(K+T)=~K*~T   ## B2:  Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=K+T # A2: Y=~K*~T - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=K+T ## B2: Y=K+T - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:35, 02 Kwi 2021    Temat postu:

Armagedon wszelkich logik „matematycznych” znanych ziemskim matematykom!
Wielki piątek, roku Pańskiego 2021.

Wedle ziemskich „matematyków” możliwych logik matematycznych w naszym Wszechświecie jest nieskończenie wiele.
Wedle algebry Kubusia logika matematyczna obwiązująca w naszym Wszechświecie, pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy (z matematyką włącznie), jest jedna i tylko jedna - to algebra Kubusia!

Właśnie rozwaliłem doszczętnie znaną ziemianom algebrę Boole’a - jest wewnętrznie sprzeczna, czyli fałszywa - do piekła z nią, na wieczne piekielne męki!
Szczegóły w części:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#574087

Cytuję najważniejszy fragment:

2.0 Nieznana algebra Boole’a

Dlaczego nieznana?
W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

2.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Wyjaśnienie o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## na bazie legalnych funkcji logicznych widniejących w tabeli TS.

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
A0: Y=p*q
A1: Y=p+q
A2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
A3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Rozważmy następujący przykład w zapisach formalnych (ogólnych):
Kod:

T1.
A1:  Y=p+q          # B1: ~Y=~(p+q)=~p*~q
##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y)

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T1.
A1:  Y=p+q          # B1: Y=~(p+q)=~p*~q
##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q # B3: Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=p+q # B1: Y=~p*~q - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=p+q ## B3: Y=p+q - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd

2.1.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

O co chodzi w znaczkach # i ## najłatwiej zilustrować przykładem z języka potocznego.

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub to teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1.
A1: Y=K+T # B1: ~Y=~K*~T
Stąd mamy:
B1:
~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Pani w przedszkolu B:
A3.
Jutro pójdziemy ani do kina (~K=1), ani do teatru (~T=1)
zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie # funkcję logiczną A3.
A3: Y=~K*~T # B3: ~Y=K+T
Stąd mamy:
B3:
~Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

Zapiszmy zdania z przedszkola A i B w tabeli prawdy:
Kod:

T1.
A1:  Y=K+T          # B1: ~Y=~(K+T)=~K*~T
##
A3:  Y=~(K+T)=~p*~q # B3: ~Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T2.
A1:  Y=K+T          # B1: Y=~(K+T)=~K*~T
##
A3:  Y=~(K+T)=~p*~q # B3: Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=K+T # B1: Y=~K*~T - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=K+T ## B3: Y=K+T - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd

2.2 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy, że w definicji znaczka różne na mocy definicji ## mowa jest o funkcjach logicznych Y dla dowolnej z kolumn, a nie o gołych zerach i jedynkach w dowolnej z kolumn!

2.2.1 Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+)

Grupa I
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+):
Kod:

T1
A0:  Y= p* q          #  B0: ~Y=~p+~q
##
A1:  Y= p+q           #  B1: ~Y=~p*~q
##
A2:  Y=~(p*q)=~p*+~q  #  B2: ~Y=~(~p+~q)=p*q
##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q   #  B3: ~Y=~(~p*~q)=p+q

Zauważmy, że między dowolnymi dwoma wierszami spełniona jest definicja znaczka różna na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.
Przykładowo:
A1: Y=p+q ## B3: ~Y=~(~p*~q) = p+q - definicja znaczka ## dla funkcji logicznych jest spełniona

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy, że w fałszywej algebrze Boole’a ziemian tożsamość kolumn zero-jedynkowych w kolumnach A1 i B3 jest dowodem tożsamości funkcji logicznych opisujących te kolumny.
U algebrze Boole’a ziemian zachodzi zatem bzdura jakoby zachodziła tożsamość:
A1: Y=p+q = B3: ~Y=p+q
To jest czysto matematyczna bzdura bowiem wolno nam tylko i wyłącznie negować obie strony funkcji logicznej. Negowanie tylko Y jak w zapisie wyżej to błąd czysto matematyczny.
Jeśli założymy że poprawna jest funkcja logiczna A1 to jej negacja # będzie następująca:
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Jeśli natomiast założymy że poprawna jest funkcja logiczna B3 to jej negacja # będzie taka:
B3: ~Y=p+q # A3: Y = ~p*~q

Wniosek:
Fałszywe jest wnioskowanie ziemian z tożsamości zero-jedynkowych kolumn A1 i B3 jakoby zachodziło:
A1: Y=p+q = B3: ~Y=p+q
To jest czysto matematyczny bezsens, czyli Y=~Y

Całe szczęście, że jestem elektronikiem i właśnie wpadłem na pomysł jak przedstawić schematy elektryczne wszystkie 16 różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych, w sposób na 100% zrozumiały dla każdego ucznia I klasy LO, zatem mam nadzieję także dla każdego twardogłowego matematyka.
Schematy elektryczne które będą nas interesowały to sterownie żarówką przez różne układy przycisków. W algebrze Kubusia rozwiązanie dowolnie skomplikowanego układu, tzn. odpowiedzenie kiedy żarówka będzie się świecić a kiedy nie świecić jest trywialne, nawet gdy będziemy mieszać przyciski normalnie rozwarte z przyciskami normalnie zwartymi. To rozwiązanie znalazłem wiele lat temu w dyskusji z Fiklitem. Prezentowane schematy z definicji mają zero wspólnego z warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> bowiem w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie da się opisać tych relacji.

W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) możemy co najwyżej opisać istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów~~>:
p~~>q=p*q=1 - gdy istnieje wspólny element zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
albo:
Rozstrzygnąć czy zdarzenie ~~> jest możliwe/nie jest możliwe.
p~~>q=p*q=1 - gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0

Ziemskie prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
to największa tragedia ziemskich matematyków bowiem w ten sposób pozbywają się jakiejkolwiek możliwości poprawnego opisu zdań warunkowych „Jeśli p to q” przy pomocy warunków wystarczających => i koniecznych ~>

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Wspomniane wyżej prawo eliminacji warunku wystarczającego => oślepiło ziemskich matematyków i nie są oni w stanie opisać poprawnie matematycznie ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~>

Matematyk to ślepiec w ciemnym pokoju szukający czarnego kota, którego tam w ogóle nie ma.
Autor: Karol Darwin

Podsumowując:
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) ziemscy matematycy moją sobie szukać warunku wystarczającego => i koniecznego ~> do końca świata i jeden dzień dłużej, bowiem fizycznie niemożliwy jest opis tych warunków przy pomocy spójników „i”(*) oraz „lub”(+).

Prezentowane niżej przykłady opisane spójnikami „i”(*) i „lub”(+) z definicji mają zero wspólnego z warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Wszystkie prezentowane niżej przykłady to matematyczny opis prostych obwodów elektrycznych, matematyka musi sobie z tym poradzić inaczej jest do bani.
Zauważmy, że ziemianie nie mają żadnych szans na poprawny, matematyczny opis poniższych układów bo nie znają kluczowego tu pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).

Zapiszmy tabelę T1 w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

T2
Schemat: A0B0
   p  q ~p ~q  A0: Y=p*q          # B0:~Y=~(p*q)=~p+~q
A: 1  1  0  0       1                    1
B: 1  0  0  1       0                    1
C: 0  1  1  0       0                    1
D: 0  0  1  1       0                    0
##
Schemat: A1B1:
   p  q ~p ~q  A1: Y=p+q           # B1:~Y=~(p+q)=~p*~q
A: 1  1  0  0       1                     0
B: 1  0  0  1       1                     0
C: 0  1  1  0       1                     0
D: 0  0  1  1       0                     1
##
Schemat: A2B2:
   p  q ~p ~q  A2: Y=~(p*q)=~p+~q   # B2:~Y=~(~p+~q)=p*q
A: 1  1  0  0       0                      1
B: 1  0  0  1       1                      0
C: 0  1  1  0       1                      0
D: 0  0  1  1       1                      0
##
Schemat: A3B3:
   p  q ~p ~q  A3: Y=~(p+q)=~p*~q   # B3:~Y=~(~p*~q)=p+q
A: 1  1  0  0       0                      1
B: 1  0  0  1       0                      1
C: 0  1  1  0       0                      1
D: 0  0  1  1       1                      0

Doskonale widać, że w pionie spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Przyjmijmy konieczną dla zrozumienia przykładów notację:
Kod:

1.
Przycisk normalnie rozwarty (trzeba go wcisnąć aby zewrzeć styki):
         p
      ======
------o    0-----

2.
Przycisk normalnie zwarty (trzeba go wcisnąć, aby rozewrzeć styki)

         q
------o  |  o-----
      =======

W świecie techniki oba rodzaje przycisków są popularne i produkowane.


Fizyczne realizacje układów A0B0, A1B1, A2B2, A3B3 są następujące:

A0B0
Fizyczna realizacja układu A0B0:

A0: Y=p*q # B0: ~Y=~p+~q
Kod:

Schemat: A0B0
           Y                        p               q
     --------------              =======         =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o     o----
   |  -------------                                        |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A0B0:
A0:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska (normalnie rozwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A0 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B0:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p nie będzie wciśnięty (~p=1) lub przycisk q nie będzie wciśnięty (~q=1).
Innymi słowy:
Którykolwiek z przycisków p lub q nie będzie wciśnięty i już żarówka nie świeci się

Zrozumienie poniższej notacji jest konieczne dla zrozumienia niniejszego wykładu.

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - żarówka świeci się
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci się (~Y)
Innymi słowy:
Żarówka świeci się
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - żarówka nie świeci się (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci się (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci się (Y)
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci się

A1B1
Fizyczna realizacja układu A1B1

A0: Y=p+q # B0: ~Y=~p*~q
Kod:

Schemat: A1B1                       q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A1B1:
A1:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska (normalnie rozwarty) p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek z przycisków jest wciśnięty i już żarówka świeci się

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)

A2B2
Fizyczna realizacja układu A2B2

A2: Y=~p+~q # B2:~Y=p*q
Kod:

 Schemat: A2B2                      q

                           ------o  |  o------
                           |     =======     |
           Y               |        p        |
     --------------        |                 |
   --|  żarówka   |--------|-----o  |  o-----|-------
   |  -------------              =======            |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie zwarte (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A2B2:
A2:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Innymi słowy:
Wystarczy, że dowolny przycisk nie jest wciśnięty i już żarówka świeci się (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A2 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B2:
~Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A3B3
Fizyczna realizacja układu A3B3:

A3:
A3: Y=~p*~q # B3: ~Y=p+q
Kod:

Schemat: A3B3
           Y                        p               q
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o---------o  |  o----
   |  -------------              =======         =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie zwarte (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A3B3:
A3:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) i nie jest wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A3 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B3:
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1).
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q będzie wciśnięty i już żarówka nie świeci się (~Y=1)

2.2.2 Grupa spójników implikacyjnych

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik wyrażony szczegółowo zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q (szczegóły poznamy w punkcie 4.0).

Do grupy spójników implikacyjnych należą spójniki (~~>, =>, ~~>, <=>, „albo”($) potrzebne ~> i wystarczające => do obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
W algebrze Boole’a z definicji znającej wyłącznie 5 znaczków {0, 1, (~), „i”(*), „lub”(+)} interesują nas definicje znaczków ~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($) wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Prawo Skorpiona:
Ziemscy matematycy, którzy korzystają z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q =~p+q
jak również z prawa eliminacji warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q (bez znaczenia jest że tego akurat ziemianie nie znają)
nie mają żadnych szans na poprawny, matematyczny opis tych warunków.

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

Funkcje logiczne Y i ~Y w obszarze spójników implikacyjnych (zdania Jeśli p to q”) są następujące.
Kod:

Zdania warunkowe „Jeśli p to q” wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
A4:  Y=(p=>q)=~p+q            # B4: ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
A5:  Y=(p~>q)=p+~q            # B5: ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
A6:  Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q      # B6: ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
A7: Y=(p~~>q)=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=p*(q+~q)+~p*(q+~q) = p+~p=1
stąd:
A7:  Y=(p~~>q)=1              # B7: ~Y=~(p~~>q)=~(1)=0
##
Spójniki przeciwne do w/w:
A8:  Y=~(p=>q)=p*~q           # B8: ~Y=(p=>q)=~p+q
##
A9:  Y=~(p~>q)=~p*q           # B9: ~Y=(p~>q)=p+~q
##
A10: Y=p$q=~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B10: ~Y=~(p$q)=(p<=>q)=p*q+~p*~q
##
A11: Y=~(p~~>q)=0             # B11: ~Y=(p~~>q)=~(0)=1

Doskonale widać, że między wierszami spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

A4B4:
Fizyczna realizacja układu A4B4

A4: Y=~p+q # B4: ~Y=p*~q
Kod:

Schemat: A4B4                       q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |                 |
   --|  żarówka   |--------|-----o  |  o-----|-------
   |  -------------              =======            |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A4B4:
A4:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A4 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B4:
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) q (~q=1)

A5B5:
Fizyczna realizacja układu A5B5

A5: Y=p+~q # B5: ~Y=~p*q
Kod:

Schemat: A5B5                       q
                           ------o  |  o------
                           |     =======     |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A5B5:
A5:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A5 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
BB:
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A6B6:
Fizyczna realizacja układu A6B6

A6: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # B6: ~Y= ~(p<=>q) = p*~q+~p*q
Kod:

Schemat: A6B6                     
           q                        p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o----------
   |  -------------                              |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - żarówka

Opis układu A6B6 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A6.
Y=p*q+~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A6B6 to:
Ya=1 <=> p=1 i q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Ya=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q świeci się (q=1)
lub
Yc=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Yc=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)

Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
Y=p*q+~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Pozostałe zdarzenia na schemacie A6B6 nie są możliwe (~Y=1).
B6.
~Y=p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 to:
~Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yb=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)
lub
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yd=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q świeci się (q=1)

Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y=p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Uwaga:
W logice matematycznej każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć (zbiorów) p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q znana ziemskim matematykom:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem =>zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Stąd łatwo udowodnić że równanie:
Y= p<=>q = p*q+~p*~q
opisuje równoważność prawdziwą.
Dowód:
dla p=q mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd

Oczywistym jest że definicja spójnika „albo”($) musi tu być fałszem.
Definicja spójnika „albo”($) w równaniu algebry Boole’a:
p$q = p*~q + ~p*q
W równoważności zachodzi tożsamość zdarzeń (zbiorów):
p=q
stąd mamy:
p$p = p*~p + ~p*p = [] +[] =[] =0
Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy.
cnd

A7B7:
Fizyczna realizacja układu A7B7

A7: Y=(p~~>q)=1 # B7: ~Y=~(p~~>q)=~(1)=0
Kod:

Schemat: A7B7                     
           Y                        p           q
     --------------              =======     =======
   --|  żarówka   |---------   --o     o-----o     o---
   |  -------------        |
   |                       |
-------                    |
  ---   U (zasilanie)      |
   |                       |
   -------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Myślę, że tu wszystkich zaskoczę:
Najprostszy układ elektryczny chaosu Y=(p~~>q)=1 gdzie wszystko może się zdarzyć to żarówka na stałe podłączona do zasilania i dwie atrapy przycisków p i q - w jakimkolwiek nie byłyby stanie to żarówka musi się świecić.

A8B8:
Fizyczna realizacja układu A8B8

A8: Y=p*~q # B8: ~Y=~p+q
Kod:

Schemat: A8B8
           Y                        p               q
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o  |  o----
   |  -------------                              =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A8B8:
A8:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A8 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B8:
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (~p=1) lub jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A9B9:
Fizyczna realizacja układu A9B9

A9: Y=~p*q # B9: ~Y=p+~q
Kod:

Schemat: A9B9
           Y                        q               p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o  |  o----
   |  -------------                              =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A9B9:
A9:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A9 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B9:
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) q (~q=1)

A10B10:
Fizyczna realizacja układu A10B10

A10: Y=p$q=~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B10: ~Y=~(p$q)=(p<=>q)=p*q+~p*~q
Kod:

Schemat: A10B10                     
           q                        p
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o----------
   |  -------------              =======         |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - żarówka

Opis układu A10B10 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A10.
Y=(p$q) = p*~q+~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A10B10 to:
Ya=1 <=> p=1 i ~q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Ya=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)
lub
Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Yc=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q świeci się (q=1)

Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A10B10 opisuje równanie algebry Boole’a:
Y= (p$q) = p*~q+~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Pozostałe zdarzenia na schemacie A10B10 nie są możliwe (~Y=1).
B10.
~Y=~(p$q) = p<=>q = p*q +~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A10B10 to:
~Yb=1 <=> p=1 i q=1
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yb=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q świeci się (q=1)
lub
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yd=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)

Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y=p*q +~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Uwaga:
W logice matematycznej spójnik „albo”($) definiuje tożsamość p=~q
p=~q <=> p$q = p*~q+~p*q
Zachodzi także:
q=~p <=> q$p = q*~p + ~q*p = p*~q + ~p*q
cnd

Stąd łatwo udowodnić że równanie:
Y= p$q = p*~q+~p*q
opisuje prawdziwość zdania ze spójnikiem „albo”($):
Dowód:
dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p)+~p*~(p) = p*p + ~p*~q = p+~p=1
cnd

Oczywistym jest że definicja spójnika równoważności p<=>q musi tu być fałszem.
Definicja spójnika równoważności p<=>q w równaniu algebry Boole’a:
p<=>q = p*q + ~p*~q
W spójniku „albo”($) zachodzi tożsamość zdarzeń (zbiorów):
q=~p
stąd mamy:
p<=>~p = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p = [] +[] =[] =0
Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy.
cnd

A11B11:
Fizyczna realizacja układu A11B11

A11: Y=~(p~~>q)=0 # B11: ~Y=(p~~>q)=~(0)=1
Kod:

Schemat: A11B11                     
           Y                        p           q
     --------------              =======     =======
   --|  żarówka   |-------   ----o     o-----o     o---
   |  -------------
   |
-------
  ---   U (zasilanie)
   |
   -----------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Myślę, że tu także wszystkich zaskoczę:
Najprostszy układ elektryczny śmierci Y=~(p~~>q)=0 to żarówka nigdzie nie podłączona, czyli na stałe jest wygaszona plus dwie atrapy przycisków p i q - w jakimkolwiek nie były by stanie to żarówka nie będzie się świecić.

2.2.3 Grupa spójników jednoargumentowych

Kod:

TS’ - fragment z tabeli wszystkich możliwych spójników logicznych TS
        | Y  Y  Y  Y
   p  q | p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1  0  0
B: 1  0 | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0  1  1
          A  A  A  A
          12 13 14 15

Grupa spójników jednoargumentowych to:
A12: Y=p # B12: ~Y=~p
##
A14: Y=~p # B14: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

A12B12:
Fizyczna realizacja układu A12B12

A12: Y=p # B12: ~Y=~p
Układ A12B12 to operator transmisji, transmituje cyfrowy sygnał z wejścia p na wyjście Y w przełożeniu 1:1, bez żadnych zniekształceń
Kod:

Schemat: A12B12                     
           Y                        p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o----------
   |  -------------                              |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
Y - żarówka (wyjście sygnału)

Opis układu A12B12:
A12:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1)
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
Tu chodzi o to, że logiczna jedynka z wejścia p (p=1) jest transmitowana na wyjście Y (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A12 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B12:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=>~p=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
(~p=1) = (p=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
(Y=0) <=> (p=0)
Tu chodzi o to że logiczne zero z wejścia p (p=0) transmitowane jest na wyjście Y (Y=0)

Podsumowując:
Równanie operatora transmisji:
Y=p
oznacza, że zero-jedynkowy sygnał na wejściu p przesyłany jest na wyjście Y bez żadnych zniekształceń w skali 1:1.

A14B14:
Fizyczna realizacja układu A14B14

A14: Y=~p # B14: ~Y=p
Układ A14B14 to operator negacji, transmituje zawsze zanegowany sygnał z wejścia p na wyjście Y
Kod:

Schemat: A14B14                     
           Y                        p
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o----------
   |  -------------              =======         |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
Y - żarówka

Opis układu A14B14:
A14:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1)
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> p=0
Tu chodzi o to, że logiczne zero na wejściu p (p=0) wymusza logiczną jedynkę na wyjściu Y (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A14 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B14:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy przycisk p jest wciśnięty (p=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
(Y=0) <=> (p=1)
Tu chodzi o to że logiczna jedynka na wejściu p (p=1) wymusza logiczne zero na wyjściu Y (Y=0)

Podsumowując:
Równanie operatora negacji:
Y=~p
oznacza, że na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał z wejścia p.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:07, 02 Kwi 2021, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 7:12, 04 Kwi 2021    Temat postu:

Odliczanie do końca świata dla wszystkich ziemskich logik "matematycznych"!
Dwa!

Wczoraj napisałem "Kubusiową teorię zbiorów" od nowa, bowiem stara była zlepkiem wniosków z dyskusji na przestrzeni wielu lat, co nie było dobrym rozwiązaniem.
Starą wersję "Kubusiowej teorii zbiorów" zachowuję tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-teoria-zbiorow-beta-1,18647.html#587527

Niniejszym publikuję I część nowej "Kubusiowej teorii zbiorów":
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#574091

Wstęp do algebry Kubusia
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Część I

Spis treści
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
3.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
3.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
3.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 2
3.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
3.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 3
3.3 Dziedzina 5
3.3.1 Zaprzeczenie zbioru 6
3.3.2 Nazwa własna zbioru 6
3.3.3 Dziedzina użyteczna 7
3.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną? 7
3.4 Algebra Kubusia dla przedszkolaków 9
3.4.1 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~> 9
3.5 Teoria algebry Kubusia w zbiorach dla 5-cio latków 10
3.5.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 12
3.5.2 Prawa Kubusia 12
3.5.3 Prawo przedszkolaka 12
3.6 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
3.6.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 17


3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

3.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

3.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

3.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego

Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =1
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

3.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

3.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór liczb naturalnych”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze nie zdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod:

T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------
|                         DA - dziedzina absolutna                |
-------------------------------------------------------------------

Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA

Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie elementy ze zbioru ~U=[] musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

3.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Innymi słowy:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.

3.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[T]

3.3.2 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

W praktycznej logice matematycznej z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.


3.3.3 Dziedzina użyteczna

Definicja dziedziny użytecznej:
Dziedzina użyteczna do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Przyjęte dziedziny A i B mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
Dziedzina A (ZWZ) wskazuje nam że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
Dziedzina B (ZWS) mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.

Dowód na przykładzie:
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Nie interesują nas to żadne pojęcia spoza dziedziny minimalnej, o czym w praktyce każdy matematyk intuicyjnie wie.

3.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną?

Definicja dziedziny użytecznej:
Dziedzina użyteczna do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Dlaczego za dziedzinę użyteczną nie możemy przyjąć Uniwersum?

Odpowiedź:
Jeśli za dziedzinę przyjmiemy U(Uniwersum) to jedyną równoważnością jaką będziemy w stanie rozpoznać będzie równoważność:
U<=>U = (A1: U=>U)*(B1: U~>U) =1*1 =1
Definiująca tożsamość zbiorów U=U.

Żadnej innej równoważności w naszym Wszechświecie nie rozpoznamy!

Dowód na przykładzie:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Dziedzina minimalna w twierdzeniu Pitagorasa to:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

To jest najpopularniejsza definicja równoważności znana wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6740
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 17 200
Zachodzi tożsamość pojęć:
Konieczne ~> = potrzebne ~>

Dowód iż równoważność Pitagorasa definiuje tożsamość zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =p<=>q - definicja formalna (ogólna)
Dla twierdzenie Pitagorasa mamy:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3:SK=>TP) = 1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK =1 - twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
B3: SK=>TP =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione wieki temu

Powyższą definicję tożsamości zbiorów zna każdy ziemski matematyk.
Zastosujmy do B3 prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - zapis formalny (ogólny)
Dla twierdzenia Pitagorasa:
B3: SK=>TP - B1: TP~>SK - zapis aktualny dla twierdzenia Pitagorasa

Stąd mamy tożsamą definicję zbiorów TP=SK o której mówiliśmy w twierdzeniu Pitagorasa:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =TP<=>SK

Zobaczmy co się stanie jak dla twierdzenia Pitagorasa przyjmiemy dziedzinę U(Uniwersum):

Dla dziedziny U(Uniwersum) twierdzenie proste Pitagorasa nie będzie częścią równoważności:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: TP~>SK) =1*1 =1
lecz częścią implikacji prostej TP|=>U o definicji:
A1: TP=>U =1 - zbiór TP jest podzbiorem U(Uniwersum)
B1: TP~>U =0 - zbiór TP nie jest (=0) nadzbiorem ~> U (Uniwersum)
stąd:
TP|=>U = (A1: TP=>U)*~(B1: TP~>U) = 1*~(0) =1*1 =1

Innymi słowy:
Jeśli za dziedzinę przyjmiemy U(Uniwersum) to żegnajcie absolutnie wszystkie równoważności udowodnione przez ziemskich matematyków np. równoważność Pitagorasa.
cnd

3.4 Algebra Kubusia dla przedszkolaków

Wykład algebry Kubusia dla przedszkolaków dedykowany jest paniom przedszkolankom na całym świecie - na jego podstawie pani przedszkolanka nie będzie miała żadnego problemu z nauką algebry Kubusia w przedszkolu.

Na podstawie historycznych doświadczeń (15 lat wojny o algebrę Kubusia) mogę stwierdzić z całą mocą:
„Łatwiej jest wielbłądowi przejść przez ucho igielne, niż bogatemu wejść do królestwa niebieskiego” (Mt 19,24; por. Łk 18,25)
Innymi słowy:
Łatwiej 5-cio latkowi i pani przedszkolance wytłumaczyć o co chodzi w algebrze Kubusia, niż twardogłowemu matematykowi z mózgiem wypranym gównem zwanym „implikacja materialna”.

Prawo przedszkolaka:
Dla zrozumienia kompletnej algebry Kubusia na poziomie 5-cio latka wystarczający jest zbiór czteroelementowy.

Zacznijmy, tytułem wstępu, od zdefiniowania relacji podzbioru => i nadzbioru ~>

3.4.1 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja równoważności p<=>q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Stąd mamy bardzo ważne w logice matematycznej prawo Słonia:

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

3.5 Teoria algebry Kubusia w zbiorach dla 5-cio latków

Fundamentem algebry Kubusia są zaledwie trzy elementarne znaczki:
~~> - element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Zauważmy, że na mocy definicji wykonujemy tu procedurę wyznaczającą kompletny iloczyn logiczny zbiorów p*q, lecz przerywamy ją z rozstrzygnięciem „prawda” po napotkaniu pierwszego elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Do zapamiętania:

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

3.5.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.5.2 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia mówią o związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” bez zamiany p i q.

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
Dowód prawa Kubusia A1A2:
A2: ~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = A1: p=>q
cnd
Dowód prawa Kubusia B1B2:
B2: ~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = B1: p~>q
cnd

3.5.3 Prawo przedszkolaka

Prawo przedszkolaka:
Dla zrozumienia kompletnej algebry Kubusia na poziomie 5-cio latka wystarczający jest zbiór czteroelementowy.

Algebrę Kubusia dla przedszkolaków zilustrujemy przykładami na poziomie 5-cio latka definiując potrzebne nam elementy zbiorów
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
S - Słoń


3.6 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach

Przypomnijmy sobie kluczowe pojęcia podstawowe:

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
bowiem logika matematyczna nie zajmuje się liczeniem elementów w zbiorach, lecz tylko i wyłącznie badaniem czy relacja podzbioru => czy też nadzbioru ~> jest spełniona (=1), czy też niespełniona (=0).

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Implikacja prosta p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wynika z tego, że po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q =1 nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego A2: ~p~>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).

Zapiszmy definicję implikacji prostej p|=>q w tabeli prawdy z uwzględnieniem praw Kubusia.
Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
    A1B1           A2B2
A1: p=>q =1 [=] A2:~p~>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =0 [=] B2:~p=>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy kolumny A2B2 zapisujemy:
Definicja implikacji odwrotnej ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q=1)*~(B2:~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Kolumna A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy, że:
Zdanie A1: p=>q =1 mówi nam, iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdanie B1: p~>q =0 wyklucza tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy definicja warunku koniecznego p~>q byłaby spełniona (p~>q=1) i mielibyśmy do czynienia z równoważnością:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wniosek:
W implikacji prostej p|=>q zbiór p musi być podzbiorem => zbioru q i nie być tożsamy ze zbiorem q

Stąd mamy wyprowadzoną definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach.

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Definicja implikacji prostej p|=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne oba zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbudujmy minimalne zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej p|=>q:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
Budujemy:
p=[K] - Kubuś
q=[K+P] - Kubuś plus Prosiaczek
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej p i q:
p+q = [(K)+(K+P)] = [K+K+P] = [K+P]
bo prawo algebry Boole’a:
p+p = p
K+K = K
Przyjmujemy zatem dziedzinę:
D = [K+P+T] - Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q rozumiane jako uzupełnienie zbioru do wspólnej dziedziny D.

Obliczamy ~p:
~p = [D-p] = [(K+P+T)-(K)] = [K+P+T-K] = [P+T]
bo:
K-K=[] - zbiór pusty
Gdzie:
Zbiór pusty to z definicji zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, na którym nie możemy operować. Wszelkie zbiory na których operujemy muszą być niepuste i zrozumiałe dla człowieka na mocy definicji zbioru.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zbiór dwuelementowy P(Prosiaczek) + T(Tygrysek) jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Do zbioru ~p=[P+T] nie wolno nam dodać jakiegokolwiek elementu ze zbioru pustego [] zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka bo cały zbiór ~p=[P+T] stanie się niezrozumiały.
Dowód:
~p=[P+T+jadsyerg]
Pojęcia „jadsyerg” nikt nie rozumie, dlatego na mocy definicji zbioru nie wolno nam rozszerzać zbioru ~p to pojęcie.

Obliczamy ~q:
~q = [D-q] = [(K+T+P)-(K+T)] = [K+T+P-K-T] = [K-K+T-T +P] = [P]
bo:
K-K =[] - zbiór pusty
T-T =[] - zbiór pusty

Wypiszmy wszystkie zbiory potrzebne do dalszej analizy spełniające definicję implikacji prostej p|=>q:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K+P] - zbiór q (Kubuś plus Prosiaczek)
~p=[D-p]=[P+T] - zbiór ~p (Prosiaczek plus Tygrysek)
~q=[D-q]=[T] - zbiór ~q (Tygrysek)

Dlaczego w definicji implikacji prostej p|=>q jest zastrzeżenie iż dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q?
Obliczmy sumę logiczną naszych zbiorów p+q:
p+q = [K]+[K+P] = [K+P]
Przyjmijmy dziedzinę tożsamą z suma logiczną zbiorów p+q:
D=[K+P]
Obliczamy ~q:
~q=[D-q] = [(K+P)-(K+P)] = []
Doskonale widać, że zbiór ~q jest w tym przypadku zbiorem pustym [] zawierającym zero elementów zrozumiałych dla człowieka.
Na zbiorze pustym [] będący zbiorem pojęć niezrozumiałych dla człowieka nie jesteśmy w stanie operować, stąd w definicji implikacji prostej p|=>q zastrzeżenie iż:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.
cnd

3.6.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dający odpowiedź na dwa fundamentalne pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbiory spełniające definicję implikacji prostej p|=>q zdefiniowaliśmy wyżej:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K+P] - zbiór q (Kubuś plus Prosiaczek)
~p=[D-p]=[P+T] - zbiór ~p (Prosiaczek plus Tygrysek)
~q=[D-q]=[T] - zbiór ~q (Tygrysek)

Nasz przykład:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?

Odpowiedzi szczegółowe:

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?


Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K+P] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+P]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+P]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =0
Szczegóły:
p=[K]~~>~q=[T] = [K]*[T] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe p i ~q są rozłączne.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?


Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Zauważmy że:
W zdaniu A1 udowodniliśmy zachodzący warunek wystarczający A1: p=>q =1
Wniosek:
Na mocy prawa Kubusia w zdaniu A2 musi być spełniona definicja warunku koniecznego ~> inaczej matematyka ścisła, rachunek zero-jedynkowy, leży w gruzach.

Dla formalności pozostaje nam sprawdzić.
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to to ten element może ~> należeć do zbioru ~q
~p~>~q =1
Szczegóły:
~p=[P+T] ~>~q=[T] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby ten element znajdował się w zbiorze ~q, bo zbiór ~p=[P+T] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[T]

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Szczegóły:
B2: ~p=[P+T] => ~q=[T] =0
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p nie jest (=0) wystarczające => do tego aby ten element znajdował się w zbiorze ~q, bo zbiór ~p=[P+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q=[T]
cnd
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą.
B2’: ~p~~>q =~p*q =1
Sprawdzamy:
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze q
~p~~>q =~p*q =1
Szczegóły:
~p=[P+T]~~>q=[K+T] = [P+T]*[K+T] = [T] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory ~p=[P+T] i q=[K+T] mają co najmniej jeden element wspólny, to T (Tygrysek)
cnd

Zauważmy, że w zdaniu B2’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> co łatwo udowodnić metodą na piechotę, bo zbiory są prymitywnie małe i proste w interpretacji.
Dowód:
1.
B2’: ~p=[P+T]=>q=[K+T] =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0), bo zbiór ~p=[P+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K+T] tzn. nie wszystkie elementy zbioru ~p należą do zbioru q
cnd
2.
B2’: ~p=[P+T]~>q=[K+T] =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0), bo zbiór ~p=[P+T] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+T] tzn. zbiór ~p nie zawiera co najmniej wszystkich elementów zbioru q.
cnd

Podsumowanie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0

Zauważmy, że istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (A2:~p~>~q =1)

Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru p (p=[K]) wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q=[K+P] - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K+P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

ALE

2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, taki element może należeć do zbioru ~q albo do zbioru q - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to to ten element może ~> należeć do zbioru ~q
~p~>~q =1
Szczegóły:
~p=[P+T] ~>~q=[T] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
LUB
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze q
~p~~>q =~p*q =1
Szczegóły:
~p=[P+T]~~>q=[K+T] = [P+T]*[K+T] = [T] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona, bo zbiory ~p i q mają element wspólny (Tygrysek)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:59, 04 Kwi 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:01, 04 Kwi 2021    Temat postu:

Odliczanie do końca świata dla wszystkich ziemskich logik "matematycznych"!
Jeden!

Niniejszym publikuję część II „Kubusiowej teorii zbiorów” - do postu wyżej przeniosłem punkt 3.6 bo tu mi się nie mieścił.

Najciekawsza jest końcówka tego postu:
Algebra Boole’a ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczna!
… bo jest ślepa i nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)

Matematyk to ślepiec w ciemnym pokoju szukający czarnego kota, którego tam w ogóle nie ma.
Autor: Karol Darwin

Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a zaprezentowano w punkcie 2.1 w zapisie formalnym (ogólnym) i na przykładzie w punkcie 2.1.1.

Historyczny wniosek podsumowujący punkty 2.1 i 2.1.1:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#574093

Wstęp do algebry Kubusia
3.7 Kubusiowa teoria zbiorów

Część II

Spis treści
3.7 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 1
3.7.1 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
3.8 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 9
3.8.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q 13
3.9 Chaos p|~~>q w zbiorach 17
3.9.1 Operator chaosu p||~~>q 20
3.10 Relacje matematyczne między operatorami implikacyjnymi 23


3.7 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Przypomnijmy sobie najważniejsze definicje dotyczące zbiorów:

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
bowiem logika matematyczna nie zajmuje się liczeniem elementów w zbiorach, lecz tylko i wyłącznie badaniem czy relacja podzbioru => czy też nadzbioru ~> jest spełniona (=1), czy też niespełniona (=0).

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzący wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Implikacja odwrotna p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wynika z tego, że po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego koniecznego B1: p~>q =1 nie musimy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego B2:~p=>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).

Zapiszmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w tabeli prawdy z uwzględnieniem praw Kubusia.
Kod:

T1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
    A1B1            A2B2
A1: p=>q =0 [=] A2:~p~>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =1 [=] B2:~p=>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy kolumny A2B2 zapisujemy:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q=1)*(B2:~p=>~q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Kolumna A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1
cnd

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Zauważmy, że:
Zdanie B1: p~>q =1 mówi nam, iż zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zdanie A1: p=>q =0 wyklucza tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy definicja warunku wystarczającego p=>q byłaby spełniona (p=>q=1) i mielibyśmy do czynienia z równoważnością:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wniosek:
W implikacji odwrotnej p|~>q zbiór p musi być nadzbiorem ~> zbioru q i nie być tożsamy ze zbiorem q

Stąd mamy wyprowadzoną definicję implikacji odwrotnej ~> w zbiorach.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbudujmy minimalne zbiory p i q spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
Budujemy:
p=[K+P] - Kubuś plus Prosiaczek
q=[K] - Kubuś
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej p i q:
p+q = [(K+P)+(K)] = [K+P+K] = [K+P]
bo prawo algebry Boole’a:
p+p = p
K+K = K
Przyjmujemy zatem dziedzinę:
D = [K+P+T] - Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q rozumiane jako uzupełnienie zbioru do wspólnej dziedziny D.

Obliczamy ~p:
~p = [D-p] = [(K+P+T)-(K+T)] = [K+P+T-K-T] = [P]
bo:
K-K=[] - zbiór pusty
T-T=[] - zbiór pusty
Gdzie:
Zbiór pusty to z definicji zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, na którym nie możemy operować. Wszelkie zbiory na których operujemy muszą być niepuste i zrozumiałe dla człowieka na mocy definicji zbioru.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zbiór jednoelementowy P(Prosiaczek) jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Do zbioru ~p=[P] nie wolno nam dodać jakiegokolwiek elementu ze zbioru pustego [] zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka bo cały zbiór P stanie się niezrozumiały.
Dowód:
~p=[P+jadsyerg]
Pojęcia „jadsyerg” nikt nie rozumie, dlatego na mocy definicji zbioru nie wolno nam rozszerzać zbioru ~p to pojęcie.

Obliczamy ~q:
~q = [D-q] = [(K+T+P)-(K)] = [K+T+P-K] = [K-K+P] = [P]
bo:
K-K =[] - zbiór pusty

Wypiszmy wszystkie zbiory potrzebne do dalszej analizy spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K+P] - zbiór p (Kubuś plus Prosiaczek)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[T] - zbiór ~p (Tygrysek)
~q=[D-q]=[P+T] - zbiór ~q (Prosiaczek plus Tygrysek)

Dlaczego w definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest zastrzeżenie iż dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q?
Obliczmy sumę logiczną naszych zbiorów p+q:
p+q = [K+P]+[K] = [K+P]
Przyjmijmy dziedzinę tożsamą z suma logiczną zbiorów p+q:
D=[K+P]
Obliczamy ~p:
~p=[D-p] = [(K+P)-(K+P)] = []
Doskonale widać, że zbiór ~p jest w tym przypadku zbiorem pustym [] zawierającym zero elementów zrozumiałych dla człowieka.
Na zbiorze pustym [] nie jesteśmy w stanie operować, stąd w definicji implikacji odwrotnej p|~>q zastrzeżenie iż:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.
cnd

3.7.1 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dający odpowiedź na dwa fundamentalne pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbiory spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q zdefiniowaliśmy wyżej:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K+P] - zbiór p (Kubuś plus Prosiaczek)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[T] - zbiór ~p (Tygrysek)
~q=[D-q]=[P+T] - zbiór ~q (Prosiaczek plus Tygrysek)

Nasz przykład:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?

Odpowiedzi szczegółowe:

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?


Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~> należeć do zbioru q
p~>q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~>q=[K]
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby ten element należał do zbioru q, bo zbiór p=[K+P] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K]

Zauważmy, że:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Szczegóły:
A1: p=[K+P] => q=[K] =0
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p nie jest (=0) wystarczające => do tego aby ten element znajdował się w zbiorze q, bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
cnd
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
A1’: p~~>~q =p*~q =1
Sprawdzamy:

LUB

A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze ~q
p~~>~q =p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[P+T] = [K+P]*[P+T] = [P] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory p=[K+P] i ~q=[P+T] mają co najmniej jeden element wspólny, to P (Prosiaczek)
cnd

Zauważmy, że w zdaniu A1’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> co łatwo udowodnić metodą na piechotę, bo zbiory są prymitywnie małe i proste w interpretacji.
Dowód:
1.
A1’: p=[K+P]=>~q=[P+T] =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0), bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q=[P+T] tzn. nie wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru ~q
cnd
2.
A1’: p=[K+P]~>~q=[P+T] =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0), bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q=[P+T] tzn. zbiór p nie zawiera co najmniej wszystkich elementów zbioru ~q.
cnd

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?


Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym =>
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Zauważmy że:
W zdaniu B1 udowodniliśmy zachodzący warunek konieczny B1: p~>q =1
Wniosek:
Na mocy prawa Kubusia w zdaniu B2 musi być spełniona definicja warunku wystarczającego => inaczej matematyka ścisła, rachunek zero-jedynkowy, leży w gruzach.
Pozostaje nam sprawdzić dla ciekawości:

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q, bo zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q, bo zbiór p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Szczegóły:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe ~p i q są rozłączne.
cnd

Podsumowanie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (B1: p~>q=1) oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (B2:~p=>~q =1)

Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, iż taki element może należeć do zbioru q albo do zbioru ~q - mówią o tym zdania B1 i A1’.
B1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~> należeć do zbioru q
p~>q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~>q=[K]
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
LUB
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze ~q
p~~>~q =p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[P+T] = [K+P]*[P+T] = [P] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona, bo zbiory p i ~q maja element wspólny P(Prosiaczek)

2.
Jeśli ze zbioru ~p=[T] wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q=[K+P] - mówi o tym zdanie A1.
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q

3.8 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach

Przypomnijmy sobie kluczowe pojęcia podstawowe:

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
bowiem logika matematyczna nie zajmuje się liczeniem elementów w zbiorach, lecz tylko i wyłącznie badaniem czy relacja podzbioru => czy też nadzbioru ~> jest spełniona (=1), czy też niespełniona (=0).

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Powyższa, podstawowa definicja równoważności p<=>q znana jest wszystkim ludziom, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 600
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 16 400

Prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wynika z tego, że po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q =1 nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego A2: ~p~>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).
Podobnie:
Po udowodnieniu prawdziwości warunku koniecznego B1: p~>q =1 nie musimy dowodzić warunku wystarczającego B2: ~p=>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).

Zapiszmy definicję równoważności w tabeli prawdy z uwzględnieniem praw Kubusia.
Kod:

T1
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
    A1B1           A2B2
A1: p=>q =1 [=] A2:~p~>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =1 [=] B2:~p=>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy kolumny A2B2 zapisujemy:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p<=>~q = (A2:~p~>~q=1)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Kolumna A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1
cnd

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0   =
       ##              ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1
B’:               = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Zauważmy, że:
Zdanie A1: p=>q =1 mówi nam, iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdanie B1: p~>q =1 mówi nam iż jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
Determinuje to tożsamość zbiorów p=q.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję równoważności p<=>q w zbiorach.

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbudujmy minimalne zbiory p i q spełniające definicję równoważności:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
Budujemy:
p=[K] - Kubuś
q=[K] - Kubuś
Bo równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q

Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej p i q:
p+q = [(K)+(K)] = [K+K] =K
bo prawo algebry Boole’a:
p+p = p
K+K = K
Przyjmujemy dziedzinę minimalnie szerszą:
D = [K+P] - Kubuś plus Prosiaczek
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q rozumiane jako uzupełnienie zbioru do wspólnej dziedziny D.

Obliczamy ~p:
~p = [D-p] = [(K+P)-(K)] = [K+P-K] = [P]
bo:
K-K=[] - zbiór pusty
Gdzie:
Zbiór pusty to z definicji zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, na którym nie możemy operować. Wszelkie zbiory na których operujemy muszą być niepuste i zrozumiałe dla człowieka na mocy definicji zbioru.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zbiór jednoelementowy P(Prosiaczek) jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Do zbioru ~p=[P] nie wolno nam dodać jakiegokolwiek elementu ze zbioru pustego [] zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka bo cały zbiór ~p=[P] stanie się niezrozumiały.
Dowód:
~p=[P+jadsyerg]
Pojęcia „jadsyerg” nikt nie rozumie, dlatego na mocy definicji zbioru nie wolno nam rozszerzać zbioru ~p to pojęcie.

Obliczamy ~q:
~q = [D-q] = [(K+P)-(K)] = [K+P-K] = [P]
bo:
K-K =[] - zbiór pusty

Wypiszmy wszystkie zbiory potrzebne do dalszej analizy spełniające definicję równoważności p<=>q:
D = [K+P] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[P] - zbiór ~p (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[P] - zbiór ~q (Prosiaczek)

Doskonale tu widać, że tożsamość zbiorów p=q (Kubuś) wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (Prosiaczek).
Tożsamość zbiorów ~p=~q wymusza oczywiście prawdziwość równoważności ~p<=>~q

Dowód formalny:
Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1
cnd

3.8.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0   =
       ##              ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1
B’:               = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dający odpowiedź na dwa fundamentalne pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbiory spełniające definicję równoważności p<=>q zdefiniowaliśmy wyżej:
D = [K+P] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[P] - zbiór ~p (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[P] - zbiór ~q (Prosiaczek)

Nasz przykład:
Definicja operatora równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?

Odpowiedzi szczegółowe:

Definicja operatora równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?


Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =0
Szczegóły:
p=[K]~~>~q=[P] = [K]*[P] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe p i ~q są rozłączne.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?


Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym =>
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Na mocy prawa Kubusia możemy dowodzić prawdziwości dowolnej ze stron, warunek wystarczający => dowodzi się zawsze prościej ze względu na występującą wyłącznie tu definicję kontrprzykładu.

Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => B2.
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[P] => ~q=[P] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q, bo zbiór ~p=[P] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q, bo zbiór ~p=[P] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Szczegóły:
~p=[P]~~>q=[K] = [P]*[K] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe ~p i q są rozłączne.

Podsumowanie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p (B2:~p=>~q =1).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to miało miejsce zarówno w operatorze implikacji prostej p||=>q, jak i w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru p (p=[K]) wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q (q=[K]) - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

2.
Jeśli ze zbioru ~p (~p=[P]) wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru ~q (~q=[P]) - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[P] => ~q=[P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Uwaga:
Operator równoważności p|<=>q to jedyny sensowny operator w świecie techniki.
Dlaczego?

Operator równoważności p|<=>q w świeci techniki działa tak:
Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo:
1.
Jeśli kręcimy kierownicą w prawo (p-prawo) to samochód na 100% => skręca kierownicą w prawo (p-prawo)
p=>p =1
2.
Jeśli kręcimy kierownicą w lewo (~p - nie w prawo) to samochód na 100% => skręca kierownicą w lewo (~p- nie w prawo)
~p=>~p =1

Natomiast:
Operator implikacji prostej p||=>q działa w świecie techniki tak:
Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo:
1.
Jeśli kręcimy kierownicą w prawo (p-prawo) to samochód na 100% => skręca kierownicą w prawo (p-prawo)
p=>p =1
ALE!
2.
Jeśli kręcimy kierownicą w lewo (~p - nie w prawo) to komputer sterujący kierownicą wywołuje generator cyfr losowych (G) i w zależności od wyniku skręca:
G=1 - skręcam zgodnie życzeniem kierowcy w lewo (~p - nie w prawo)
G=0 - skręcam w prawo (p - w prawo) … ignorują życzenie kierowcy!

Mam nadzieję, że wszyscy już widzą bezsens zastosowania operatora implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q w świecie techniki.
Dokładnie z tego powodu ziemscy matematycy nie byli w stanie zrozumieć zarówno operatora implikacji prostej p||=>q jak i operatora implikacji odwrotnej p||~>q … bo oba te operatory z definicji są kompletnie nieprzydatne w świecie techniki, przy konstruowaniu jakiegokolwiek urządzenia technicznego od zapalniczki poczynając na promie kosmicznym kończąc.

3.9 Chaos p|~~>q w zbiorach

Od strony czysto matematycznej operator chaosu p||~~>q to matematyczny „śmieć” bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej => (warunku wystarczającego =>) - wszystko może się zdarzyć.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
stąd mamy:
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q =0

Zastosujmy do A1 i B1 prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1: p=>q =0 [=] A2:~p~>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =0 [=] B2:~p=>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relacje elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikające z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0
A’: 1: p~~>~q=1
A”: 1: p~~>q =1
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0
B’:             = 2:~p~~>q =1
B”:               2:~p~~>~q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2”.

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Definicja chaosu ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Kolumna A2B2:
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1=1


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q =0
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Zadajmy sobie pytanie:
Jaka jest minimalna dziedzina D na której możemy zbudować chaos p|~~>q?

Odpowiedź mamy w tabeli T2.
Widać z niej, że zbiory p, q, ~p, i ~q w relacji każdy z każdym muszą mieć element wspólny ~~> zatem poprawna odpowiedź to cztery elementy.

Zapiszmy dziedzinę czteroelementową konieczną dla zbudowania chaosu p|~~>q.
D=[K, P, T, S]
Gdzie:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)
S (słoń)
Teraz trzeba wykombinować cztery różne na mocy definicji ## zbiory zbudowane na bazie definicji D aby każdy z każdym miał co najmniej jeden element wspólny.
Zajmijmy się tym problemem:
Krok 1
1: [K,P]
2: [P,T]
3: [T,S]
4: [S,K]
Jak widzimy sąsiednie linie mają element wspólny, jednak aby ten element istniał w kombinacji każdy zbiór z każdym musimy nanieść poprawki.
Końcowe rozwiązanie:
Krok 2
1: [K,P]
2: [P,T]
3: [K,P,S]
4: [P,T,S]
Jak widzimy powieliliśmy zbiory 1 i 2 do 3 i 4 dokładając jedną zmienną wolną S.
Ta zmienna wolna S gwarantuje nam cztery zbiory różne na mocy definicji ## gdzie każdy z każdym ma co najmniej jeden element wspólny.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna istniejąca w układzie jednak nie biorąca udziału w definicji podstawowej układu przy pomocy zbiorów p i q.

Na mocy definicji zmiennej wolnej za p i q możemy przyjąć wyłącznie zbiory 1 i 2 - oczywiście jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q,

Zaczynamy:
Przyjmijmy następujący punkt odniesienia p i q:
1:
p=[K+P]
2:
q=[P+T]
Dziedzina:
D=[K+P+T+S]
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D
3:
Obliczamy ~p:
~p=[D-p] = (K+P+T+S)-(K+P) = (K+P)+T+S -(K+P) = T+S
bo:
x=[K+P]
x+~x =[] =0
Na mocy algebry Boole’a.
4:
Obliczamy ~q:
~q=[D-q] = (K+P+T+S)-(P+T) = K+S+(P+T)-(P+T) = K+S
bo:
x=[P+T]
x+~x =[] =0
Na mocy algebry Boole’a.

Jak widzimy, dzięki zmiennej wolnej S (Słoń) nasz cel został osiągnięty, otrzymaliśmy cztery zbiory p, q, ~p, ~q gdzie każdy z każdym ma co najmniej jeden element wspólny

Zdanie dla czytelnika:
Udowodnij, że nie da się utworzyć czterech zbiorów różnych na mocy definicji ## gdzie każdy zbiór z każdym ma element wspólny przy pomocy trzech elementów w dziedzinie.
D=[K, P, T]

3.9.1 Operator chaosu p||~~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0
A’: 1: p~~>~q=1
A”: 1: p~~>q =1
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0
B’:             = 2:~p~~>q =1
B”:               2:~p~~>~q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Nasz przykład:
Zapiszmy nasze zbiory spełniające definicję chaosu p|~~>q:
D=[K+P+T+S] - dziedzina
Gdzie:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)
S (słoń)
Punkt odniesienia to:
p=[K+P] - K(Kubuś)+P(Prosiaczek)
q=[P+T] - P(Prosiaczek)+T(Tygrysek)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[T+S) - T(Tygrysek) plus S(Słoń)
~q=[K+S) - K(Kubuś) plus S(Słoń)

Definicja operatora chaosu p||~~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2

1.
Co się stanie jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element (p=1)?

Kolumna A1B1:
A’’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
p~~>q = p*q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>q=[P+T] = [K+P]*[P+T] =[P] =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q, to P(Prosiaczek)

LUB

A’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[K+S] = [K+P]*[K+S] =[K]=1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q, to K(Kubuś)

LUB

2.
Co się stanie jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element (~p=1)?

Kolumna A2B2:
B’’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>~q=[K+S] = [T+S]*[K+S] = [S] =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q, to S(Słoń)

LUB

B’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>q=[P+T] = [T+S]*[P+T] = [T] =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q, to T(Tygrysek)

Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Podsumowanie chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q =0
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Istotą operatora chaosu p||~~~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

Dowód:
1.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, taki element może należeć do zbioru q albo do zbioru ~q - mówią o tym zdania A’’ i A1’.
A’’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
p~~>q = p*q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>q=[P+T] = [K+P]*[P+T] =[P] =1
LUB
A’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[K+S] = [K+P]*[K+S] =[K]=1

2.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to również mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, taki element może należeć do zbioru ~q albo do zbioru q - mówią o tym zdania B’’ i B’.
B’’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>~q=[K+S] = [T+S]*[K+S] = [S] =1
LUB
B’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>q=[P+T] = [T+S]*[P+T] = [T] =1

3.10 Relacje matematyczne między operatorami implikacyjnymi

Zapiszmy wszystkie podsumowania operatorów implikacyjnych:

3.6.1
Podsumowanie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0

Zauważmy, że istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (A2:~p~>~q =1)

##

3.7.1
Podsumowanie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (B1: p~>q=1) oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (B2:~p=>~q =1)

##

3.8.1
Podsumowanie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p (B2:~p=>~q =1).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to miało miejsce zarówno w operatorze implikacji prostej p||=>q, jak i w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

##

3.9.1
Podsumowanie chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q =1
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Istotą operatora chaosu p||~~~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Dowód skrócony iż miedzy w/w operatorami implikacyjnymi zachodzi relacja matematyczna:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

3.6.1
Y = p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
##
3.7.1
Y = p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
##
3.8.1
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
##
3.9.1
Y = p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q = 1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych Y
Definicje znaczka:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych Y omówiono szczegółowo w punkcie 2.1

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zapiszmy nasze funkcje logiczne w tabeli prawdy:
Kod:

T1
3.6.1
Y = ~p* q        # ~Y= p+~q
##
3.7.1
Y = p*~q         # ~Y=~p+ q
##
3.8.1
Y = p*q + ~p*~q  # ~Y=p*~q+~p*q
##
3.9.1
Y                # ~Y
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że w tabeli T1 spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##

Uwaga!
Zauważmy, że punkcie 3.9.1 musieliśmy pominąć wartościowanie bezwzględne w postaci twardej jedynki (Y=1) i twardego zera (~Y=0), bowiem w przeciwnym razie wychodzi bzdura:
Kod:

3.9.1
(Y=1)=(~Y=0) prawo Prosiaczka # (~Y=0)=(Y=1) prawo Prosiaczka
Jak widzimy bez pominięcia bezwzględnego wartościowania
definicja znaczka różne # leży i kwiczy
cnd


Algebra Kubusia jest algebrą symboliczną izolowaną od wszelkich zer i jedynek.
W algebrze symbolicznej negacją zmiennej binarnej Y jest zmienna binarna ~Y.

Uwaga
W algebrze Kubusia, w rachunku zero-jedynkowym każda kolumna wyjściowa musi być opisana funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y).
Logika matematyczna która nie widzi funkcji logicznych Y logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrze sprzeczna - to logika „matematyczna” ziemskich matematyków, niestety.

Innymi słowy:
Algebra Boole’a ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczna!
… bo jest ślepa i nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)

Matematyk to ślepiec w ciemnym pokoju szukający czarnego kota, którego tam w ogóle nie ma.
Autor: Karol Darwin

Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a zaprezentowano w punkcie 2.1 w zapisie formalnym (ogólnym) i na przykładzie w punkcie 2.1.1.

Historyczny wniosek podsumowujący punkty 2.1 i 2.1.1:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 5:57, 05 Kwi 2021    Temat postu:

Logika symboliczna

Do powyższego postu dopisałem bardzo ciekawe zakończenie ...


3.11 Logika symboliczna

Nawiązując do poprzedniego punktu udajmy się do przedszkola.

Definicja kodowania w naturalnej logice matematycznej człowieka:
Zdania kodowane są w naturalnej logice matematycznej człowieka wtedy i tylko wtedy gdy w kodowaniu uwzględnimy wszelkie przeczenia „nie” w zdaniach.
To jest kodowanie domyślne, gdzie nie musimy dołączać tabeli zmiennych.

Inaczej:
Zdania nie są kodowane w naturalnej logice matematycznej człowieka.
Matematycznie to kodowanie też jest dobre, ale wtedy i tylko wtedy gdy do kodowania dołączymy mapę zmiennych

3.11.1 Przykład kodowania zgodnego z logiką człowieka

Przykład kodowania w naturalnej logice matematycznej człowieka.

Mapa zmiennej Y:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Ta mapa jest domyślna co oznacza, że nie musimy jej zapisywać przed przystąpieniem do kodowania matematycznego zdań.

Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Co w logice jedynek oznacza
Y=1 <=>K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma (Y) słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)

.. a kiedy pani skłamie?
2.
Negujemy stronami równanie 1
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)

3.11.1 Przykład kodowania niezgodnego z logiką człowieka

Mapa zmiennej Y:
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa (Y)
Ta mapa nie jest domyślna co oznacza, że musimy ją zapisywać przed przystąpieniem do kodowania matematycznego zdań.

Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina
~Y=K
Co w logice jedynek oznacza
~Y=1 <=>K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma (~Y) słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)

.. a kiedy pani skłamie?
2.
Negujemy stronami równanie 1
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani skłamie (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)

Matematycznie to kodowanie jest dobre bo przed przystąpieniem do kodowania zapisaliśmy mapę zmiennej Y.

3.11.2 Kodowanie mieszane

Zauważmy że:
Przed przystąpieniem do kodowania zdania złożonego z wielu zmiennych możemy sobie rzucać monetą i zapisywać.
orzełek - tą zmienną zapiszę w logice zgodnej z logiką człowieka
reszka - tą zmienną zapiszę w logice niezgodnej z logika człowieka

Jeśli po zakończeniu losowania, przed kodowaniem zdania załączmy mapę zmiennych zapisanych w logice niezgodnej z logiką człowieka, to od strony czysto matematycznej takie kodowanie będzie poprawne.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 11:10, 05 Kwi 2021    Temat postu:

Masakra ziemskiej algebry Boole'a!

Wnioski na chwilę obecną:
2021-04-05 godz: 12:00

W ostatnich dwóch dniach napisałem kluczową część algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#574091
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

W zasadzie na tym punkcie można by poprzestać i dalej nie czytać, bo zawiera on kwint esencję algebry Kubusia - dalej są tylko przykłady małpowane na modłę punktu 3.0

Piszę od początku punkt 4.0 i właśnie dotarłem do twierdzenia masakrującego ziemską algebrę Boole'a.

Patrz koniec postu:
Twierdzenie masakrujące ziemską algebrę Boole’a:
Poprawna algebra Boole’a musi widzieć funkcje logiczne zarówno w logice dodatniej (bo Y) jak i w logice ujemnej (bo ~Y), inaczej jest wewnętrznie sprzeczna.
Wniosek:
Ziemska algebra Boole’a, która nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna
cnd

Ziemski matematyk który będzie tu twierdził iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien spalić się ze wstydu … i wziąć zimny prysznic.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-02-10,18263.html#577211

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 2
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
4.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 10
4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a 13



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 3.0)

4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p*q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p+~q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej (szczegóły w pkt. 2.1)

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
Kod:

A1: Y= (p=>q)=~p+q  #  A1N: ~Y=(p=>q)=~p+q
      ##                      ##
B1: Y=(p~>q)= p+~q  #  B1N: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różna na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T1:  Y= (p=>q)=~p+q  ## T2:  Y =(p~>q)=p+~q ## T3:  Y= p+q  ## T4:  Y=p*q
     #                       #                      #               #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q

##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

4.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Poznajmy kluczowe definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Porównajmy.

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Porównajmy:

IO Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różna na mocy definicji funkcji logicznych

W tabelach IP (implikacja prosta) i IO (implikacja odwrotna) p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Na mocy powyższego zapisujemy:

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q

IO Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q

Doskonale widać, że między implikacją prostą IP a implikacją odwrotną IO zachodzie relacja matematyczna:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Dowód formalny:
Kod:

IPIO:
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
~Y=~(p=>q)=p*~q ##~Y=~(p|=>q)=p+~q ##~Y=~(p~>q)=~p*q ##~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Doskonale widać, że definicja znaczka różna na mocy definicji ## dla funkcji logicznych w tabeli IPIO spełniona jest perfekcyjnie.

4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a

Biedni ziemscy matematycy nie odróżniają funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
W algebra Boole’a ziemian wszystkie funkcje logiczne zapisywane są wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem w tabeli IPIO wszystkie funkcje w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

IPIOZ: - matematyczna głupota ziemskich matematyków
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
 Y=~(p=>q)=p*~q ## Y=~(p|=>q)=p+~q ## Y=~(p~>q)=~p*q ## Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy, w tym momencie algebra Boole’a ziemskich matematyków leży, kwiczy i błaga o litość - jest wewnętrznie sprzeczna.

Dowód:
Bez logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest spełniona definicja znaczka:
## - różne na mocy definicji dla funkcji logicznych

Przykład z tabeli IPIOZ:
WW: Y=(p=>q)=~p+q [=] ION: Y=~(p|~>q) =~p+q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Funkcja logiczna WW jest (=1) tożsama [=] z funkcją logiczną ION

Gdy tymczasem w poprawnej algebrze Boole’a według tabeli IPIO powinno być:
WW: Y=(p=>q)=~p+q ## ION: ~Y=~(p|~>q) = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Funkcja logiczna WW nie jest (=0) tożsama z funkcją logiczną ION

Twierdzenie masakrujące ziemską algebrę Boole’a:
Poprawna algebra Boole’a musi widzieć funkcje logiczne zarówno w logice dodatniej (bo Y) jak i w logice ujemnej (bo ~Y), inaczej jest wewnętrznie sprzeczna.
Wniosek:
Ziemska algebra Boole’a, która nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna
cnd

Ziemski matematyk który będzie tu twierdził iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien spalić się ze wstydu … i wziąć zimny prysznic.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 11:27, 05 Kwi 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 20:05, 05 Kwi 2021    Temat postu:

Armagedon wszelkich logik matematycznych ziemskich matematyków!
Zrozumie to każdy kto zrozumie algebrę Kubusia!

Doszedłem do wniosku, że święta do dobra okazja na prezenty.
Algebra Kubusia przybrała już kształt ostateczny tak samo jak Windows 10 - czyli jej przekaz (nie meritum) może być udoskonalany w nieskończoność.
Nadszedł czas by końcową wersję AK pokazać światu co niniejszym czynię.
Wersja podstawowa AK - punkty od 1.0 do 5.0 jest już po końcowym liftingu -- wersja rozszerzona przed liftingiem.

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-04-05
Wersja finalna!

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein


Z dedykacją dla naszych wnuków, aby nikt, nigdy więcej, nie prał im mózgów gównem zwanym „implikacja materialna”

Tym gównem:
Cytuję zdania prawdziwe z gówno-podręcznika matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma cztery łapy to Księżyc krąży wokół Ziemi
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
Jeśli 2+2=5 to Płock leży nad Wisłą
Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap
Księżyc krąży wokół Ziemi wtedy i tylko wtedy gdy pies ma cztery łapy


Dowolny matematyk który broni prawdziwości powyższych zdań (wielu jest takich) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek, tylko o tym nie wie.
Dowód iż wielu matematyków na serio broni powyższego gówna:
[link widoczny dla zalogowanych]

Jeśli ziemscy matematycy nie zrozumieją banalnego wykładu algebry Kubusia dla przedszkolaków:
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

To będę miał takie samo zdanie o nich jak twardogłowi matematycy, Idiota i Irbisol, o mnie:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

W algebrze Kubusia 100% definicji w obszarze logiki matematycznej jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką „matematyczną” ziemskich matematyków.
Wniosek:
Z definicji niemożliwy jest jakikolwiek kontakt między ekspertem algebry Kubusia (5-cio latkiem) a ziemskim, twardogłowym matematykiem.
Algebra Kubusia to Armagedon wszelkich ziemskich logik „matematycznych” - zrozumie to każdy, kto zrozumie AK. Życzę wszystkim ziemskim matematykom, nawet tym twardogłowym, by udało im się zrozumieć algebrę Kubusia.
Na 100% nie wszyscy ziemscy matematycy są twardogłowi dla których „implikacja materialna” jest bogiem tzn. odcina im zdolność do logicznego myślenia (nawet na maleńkiej sfinii spotkałem takich: Wuj Zbój, Volrath, Macjan, Fiklit) - w nich cala nadzieja, to od nich zależy czy ludzkość zrozumie kiedykolwiek algebrę Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.


Przed chwilą wymieniłem prawo śfinii - teraz jest dużo prostsze, dokładnie na tym polega lifting algebry Kubusia.

4.6 Prawo śfinii

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

4.6.1 Skrócone definicje operatorów implikacyjnych

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
      A1B1:      A2B2:     |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q =1 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 4:~q=>~p =1
      ##         ##              ##         ##
B: 1: p~>q =0 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 4:~q~>~p =0
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystraczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystraczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
      A1B1:      A2B2:     |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q =0 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 4:~q=>~p =0
      ##         ##              ##         ##
B: 1: p~>q =1 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 4:~q~>~p =1
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystraczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Kod:

CH: Tabela prawdy chaosu p|~~>q
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystraczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Równanie operatora chaosu p||~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(B1:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.6.2 Przykładowe zastosowania prawa śfinii

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Zapisz pełną tabelę prawdy tego operatora.
Dokonaj analizy szczegółowej tego operatora

Rozwiązanie:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P =CH*~P =1
Zapis formalny:
p~~>~q = p*~q =1 - na mocy prawa śfinii
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada

Na mocy prawa śfinii punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Załóżmy, że zdanie W jest kontrprzykładem.
Wtedy fałszywy musi być warunek wystarczający =>:
A1: CH=>P =0
A1: p=>q =0
Sprawdzenie:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
A1: CH=>P =0
A1: p=>q =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
cnd

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> aby jutro padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W jest częścią implikacji odwrotnej:
Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Zapis formalny:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystraczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
Zapis aktualny:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla padania
      A1B1:       A2B2:      |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  =0 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p  =0 4:~q=>~p  =0
A: 1: CH=>P =0 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 4:~P=>~CH =0
      ##         ##              ##         ##
B: 1: p~>q  =1 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p  =1 4:~q~>~p  =1
B: 1: CH~>P =1 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 4:~P~>~CH =1
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Zapis formalny:
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)   = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)  =~p|=>~q
Zapis aktualny:
CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P)=~CH|=>~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Analiza szczegółowa operatora implikacji odwrotnej CH||~>P.

Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH) są konieczne ~> by padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’.
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’
B2’
Jeśli juro nie będzie pochurno (~CH) to może padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)

Podsumowując:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH i gwarancja matematyczna => po stronie ~CH co widać w powyższej analizie.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 10:31, 06 Kwi 2021, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 6:29, 06 Kwi 2021    Temat postu:

W mordę jeża!
Przed chwilką skorygowałem punkt 4.6. cytowany wyżej i doszedłem do wniosku, że to jest kwintesencja całej algebry Kubusia do zamieszczenia w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO.
Czy tak się stanie?
To zależy czy normalni matematycy wygrają wojnę z twardogłowymi matematykami typu Idiota czy Irbisol.

Pewne jest że powyższy punkt 4.6 będzie bronią normalnych matematyków którzy zrozumieją algebrę Kubusia.

Natomiast broń ich przeciwników, twardogłowych matematyków, będzie taka:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach


Podsumowując:

Algebra Kubusia - czas wojny
Algebra Kubusia to bezpardonowy atak na największe gówno jakie kiedykolwiek człowiek wymyślił zwane „implikacją materialną” będące fundamentem wszelkich ziemskich logik matematycznych. Czas wojny to czas przejściowy w którym matematycy głoszący nową wiarę, algebrę Kubusia, będą paleni żywcem na stosie przez twardogłowych matematyków tzn. zostaną wyklęci ze społeczności matematycznej.

Giordano Bruno - patron odwagi cywilnej:
"Ogłaszamy cię bracie Giordano Bruno nieskruszonym, zawziętym i zatwardziałym heretykiem. Na podstawie tego podlegasz wszystkim potępieniom i karom Kościoła powszechnego" – brzmiał wyrok inkwizycji.
17 lutego 1600 roku w Rzymie zapłonął stos, który uwiecznił Giordana Bruna jako szermierza i patrona odwagi cywilnej.
Biuletyn Ritorni di Roma 19 lutego 1600 napisał: "W czwartek spalony został żywcem na Campo de Fiori zakonnik, dominikanin z Noli, niepoprawny heretyk. Z kneblem w ustach z powodu zbrodniczych słów, które wypowiadał". Tym samym Giordano Bruno stał się męczennikiem w rozwoju nauki, która ostatecznie wygrała walkę z Kościołem, feudalizmem i całą mentalnością tamtej epoki.


… a może nie będzie aż tak źle?
… przecież mamy wiek XXI.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:24, 06 Kwi 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 11:08, 07 Kwi 2021    Temat postu:

Dlaczego ziemscy matematycy powinni spalić się ze wstydu?

Kolejny lifting algebry Kubusia:
Co jest celem kolejnych liftingów?
Nie danie ziemskim matematykom żadnych szans na niezrozumienie algebry Kubusia - tylko i wyłącznie to!

Matematycy często posługują się argumentem iż ich ukochany Klasyczny Rachunek Zdań ( i jego mutacje czyli inne gówno-logiki formalne) jest dobry … bo przecież komputery działają.

Owszem, komputery działają ale na 100% nie dzięki KRZ.
Dowód:
Skończyłem elektronikę (wydział automatyki) na Politechnice Warszawskiej w roku 1980 a takie pojęcia jak „Klasyczny Rachunek Zdań”, zdanie prawdziwe/fałszywe w sensie KRZ usłyszałem po raz pierwszy w życiu 26 lat po studiach od Wuja Zbója na forum śfinia.

Uprzejmie informuję ziemskich matematyków że ich KRZ to Armagedon dla logiki matematycznej która posługują się ludzie, w tym inżynierowie!

Dowód:
W technice bramek logicznych wszyscy studenci i inżynierowie posługują się wyłącznie pojęciem funkcji logicznej Y i tylko w tej postaci opisywane są wszelkie bramki logiczne.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
ti napisał:

3 Description
The SNx4xx00 devices contain four independent, 2-input NAND gates. The devices perform the Boolean function Y = ~(A*B) or Y = ~A + ~B in positive logic

To zaznaczenie “positive logic” (logika dodatnie) jest ważne, ale chodzi tu wyłącznie o sprzętową logikę dodatnią i ujemną (fizyczna interpretacja napięć), która z matematyczną logiką dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) ma zero wspólnego!
Sprzętowa logika dodatnia w technice TTL to:
1 = (2,4-5V)
0 = (0-0,4V)
Sprzętowa logika ujemna to:
0 = (2,4-5V)
1 = (0-0,4V)

Po prostu symboliczna logika matematyczna (algebra Kubusia) jest totalnie izolowana od rachunku zero-jedynkowego w rozumieniu ziemskich matematyków, którzy uznali że funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) są im „psu na budę potrzebne”, po prostu nie istnieją.
Innymi słowy:
Nie ma funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) w żadnym podręczniku matematyki, ani nawet nigdzie w Internecie … z wyjątkiem oczywiście, forum śfinia i Rafała3006.

Dlaczego ziemscy matematycy powinni spalić się ze wstydu?
Cytuję końcówkę postu:
Rafal6006 napisał:

Twierdzenie masakrujące ziemską algebrę Boole’a:
Poprawna algebra Boole’a musi widzieć funkcje logiczne zarówno w logice dodatniej (bo Y) jak i w logice ujemnej (bo ~Y), inaczej jest wewnętrznie sprzeczna.
Wniosek:
Ziemska algebra Boole’a, która nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna
cnd

Uwagi:

I.
Ziemski matematyk który będzie twierdził iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien spalić się ze wstydu … i wziąć zimny prysznic.
1: Y=p+q

II.
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż dowolnej funkcji logicznej nie wolno dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu … albo wziąć zimny prysznic (do wyboru)
1: Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~(p+q)
2: ~Y=~p*~q - na mocy prawa De Morgana
To jest niewyobrażalne, jak ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) zdołali uniknąć odkrycia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jak na powyższym przykładzie znanym każdemu 5-cio latkowi, ekspertowi algebry Kubusia ( i Boole’a oczywiście).

Dowód:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy pani jutro skłamie?
Jaś:
Oczywiście że wiem, przechodzę do logiki ujemnej (bo ~Y) i mam odpowiedź:
~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (= pani skłamie)

Niestety, o powyższych banałach, czyli logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w banalnym zastosowaniu jak wyżej najwięksi ziemscy matematycy nie mają najmniejszego pojęcia.
Dowód:
Nie ma tego typu przykładów zastosowania logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w żadnym podręczniku matematyki, ani nawet w żadnym miejscu w Internecie … z wyjątkiem forum śfinia oczywiście.


Teraz cytat kompletnej wersji liftingu w tym temacie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#577211

4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Poznajmy kluczowe definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Porównajmy.

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Porównajmy:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

W tabelach IP (implikacja prosta) i IO (implikacja odwrotna) p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Na mocy powyższego zapisujemy:

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q

IO Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q

Doskonale widać, że między implikacją prostą IP a implikacją odwrotną IO zachodzi relacja matematyczna:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Dowód formalny:
Kod:

IPIO:
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
~Y=~(p=>q)=p*~q ##~Y=~(p|=>q)=p+~q ##~Y=~(p~>q)=~p*q ##~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Doskonale widać, że definicja znaczka różna na mocy definicji ## dla funkcji logicznych w tabeli IPIO spełniona jest perfekcyjnie.

4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a

Biedni ziemscy matematycy nie odróżniają funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
W algebra Boole’a ziemian wszystkie funkcje logiczne zapisywane są wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem w tabeli IPIO wszystkie funkcje w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

IPIOZ: - matematyczna głupota ziemskich matematyków
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
 Y=~(p=>q)=p*~q ## Y=~(p|=>q)=p+~q ## Y=~(p~>q)=~p*q ## Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy, w tym momencie algebra Boole’a ziemskich matematyków leży, kwiczy i błaga o litość - jest wewnętrznie sprzeczna.

Dowód:
Bez logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest spełniona definicja znaczka:
## - różne na mocy definicji dla funkcji logicznych

Przykład z tabeli IPIOZ:
WW: Y=(p=>q)=~p+q [=] ION: Y=~(p|~>q) =~p+q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Funkcja logiczna WW jest (=1) tożsama [=] z funkcją logiczną ION

Gdy tymczasem w poprawnej algebrze Boole’a według tabeli IPIO powinno być:
WW: Y=(p=>q)=~p+q ## ION: ~Y=~(p|~>q) = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Funkcja logiczna WW nie jest (=0) tożsama z funkcją logiczną ION

Twierdzenie masakrujące ziemską algebrę Boole’a:
Poprawna algebra Boole’a musi widzieć funkcje logiczne zarówno w logice dodatniej (bo Y) jak i w logice ujemnej (bo ~Y), inaczej jest wewnętrznie sprzeczna.
Wniosek:
Ziemska algebra Boole’a, która nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna
cnd

Uwagi:

I.
Ziemski matematyk który będzie twierdził iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien spalić się ze wstydu … i wziąć zimny prysznic.
1: Y=p+q

II.
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż dowolnej funkcji logicznej nie wolno dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu … albo wziąć zimny prysznic (do wyboru)
1: Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~(p+q)
2: ~Y=~p*~q - na mocy prawa De Morgana
To jest niewyobrażalne, jak ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) zdołali uniknąć odkrycia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jak na powyższym przykładzie znanym każdemu 5-cio latkowi, ekspertowi algebry Kubusia ( i Boole’a oczywiście).

Dowód:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy pani jutro skłamie?
Jaś:
Oczywiście że wiem, przechodzę do logiki ujemnej (bo ~Y) i mam odpowiedź:
~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (= pani skłamie)

Niestety, o powyższych banałach, czyli logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w banalnym zastosowaniu jak wyżej najwięksi ziemscy matematycy nie mają najmniejszego pojęcia.
Dowód:
Nie ma tego typu przykładów zastosowania logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w żadnym podręczniku matematyki, ani nawet w żadnym miejscu w Internecie … z wyjątkiem forum śfinia oczywiście.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 17:31, 07 Kwi 2021, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 8:06, 08 Kwi 2021    Temat postu:

Dobijanie wszelkich logik formalnych ziemskich matematyków!

Co jest celem kolejnych liftingów AK?
Nie danie ziemskim matematykom żadnych szans na niezrozumienie algebry Kubusia - tylko i wyłącznie to!

Niniejszym cytuję kompletny punkt 4.7 po liftingu sprzed chwili:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#578421

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.7 Operator implikacji prostej p||=>q

Spis treści
4.7 Operator implikacji prostej p||=>q 1
4.7.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 1
4.7.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 5
4.7.3 Skrócona definicja operatora implikacji prostej p||=>q 7
4.7.4 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 8
4.7.5 Perła w koronie operatora implikacji prostej P||=>CH 13
4.7.6 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 18
4.7.7 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 23



4.7 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

4.7.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1:  p|=>q  =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
- w części A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
- w części A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
co udowodniono wyżej.

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A2B2:~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1:
Kod:

TA1B1:
A1:   Y= (p=>q)=~p+q  ## A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ## B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                         #                       #
A1N: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## A1B1N:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Zauważmy ciekawostkę:
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y, mielibyśmy fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: ~p*q [=] B1N: ~p*q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## B1N: ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
cnd

Uwaga:
Mamy tu do czynienia z wewnętrzną sprzecznością ziemskiej algebry Boole’a która nie widzi funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y), bez której tabela prawdy TA1B1 jest wewnętrznie sprzeczna.
cnd

4.7.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1:  p|=>q  =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Po udowodnieniu prawdziwości A1 nie musimy dowodzić prawdziwości A2, gwarantuje nam to prawo Kubusia.
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.7.3 Skrócona definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Podsumujmy poznaną wyżej teorię.

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
      A1B1:      A2B2:     |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q =1 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 4:~q=>~p =1
      ##         ##              ##         ##
B: 1: p~>q =0 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 4:~q~>~p =0

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



4.7.4 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na początek sprawdzamy prawo Kobry:
A1K.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i jest pochmurno (CH)

Załóżmy, że zdanie A1 spełnia definicje warunku wystarczającego =>, wtedy mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
cnd

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro było pochmurno bo może ~~> nie padać, a chmury mogą istnieć.
Indeksowanie B1 wymusza tu tabela T1.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa śfinii) warunek konieczny p~>q mamy wyłącznie na pozycji B1.
cnd

Zdania ze spełnionym najprostszym warunkiem wystarczającym => zawsze dowodzi się najprościej.
Skorzystajmy zatem z prawa Tygryska dla zdania B1.
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: P~>CH = B3: CH=>P - zapis aktualny

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Sprawdźmy iż dowód prawdziwości/fałszywości zdania B3 jest prostszy.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym dla padania bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada.
Niniejszy dowód fałszywości zdania B3 na mocy prawa Kubusia wymusza fałszywość zdania B1
Prawda, że prostsze?
cnd

Prawo Kameleona

Porównajmy zdania A1 i B1 wyżej:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
zapis formalny:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Zapis formalny:
p~>q =0
Padanie (P=1) nie jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro było pochmurno bo może ~~> nie padać, a chmury mogą istnieć.

Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
Kod:

A1: p=>q  = ~p+q  ## B1: p~>q  = p+~q  - zapis formalny
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH = P+~CH - zapis aktualny

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy T3.
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
Gdzie:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|=>q  =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - zapis formalny
P|=>CH  =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q - zapis formalny
~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)=>(CH=1)=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1)=(P=1)*(~CH=1)=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Co w logice jedynek oznacza:
A2: (~P=1)~>(~CH=1) = A1: (P=1)=>(CH=1) =1
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P=1)~~>(CH=1) = (~P=1)*(CH=1) =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

4.7.5 Perła w koronie operatora implikacji prostej P||=>CH

Perłą w koronie operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) jest tożsamy logicznie operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH).

Definicja tożsamości logicznej:
P||=>CH = ~P||~>~CH
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony

Wniosek:
Jeśli udowodnimy iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do operatora implikacji prostej P||=>CH to tym samym udowodnimy, iż zdanie to jest częścią składową implikacji odwrotnej ~P||~>~CH (albo odwrotnie)

Sprawdźmy, czy tak jest w istocie.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na początek badamy prawem Kobry czy zdanie W ma szansę być prawdziwym.
WK.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH =~P*CH =1
W tym momencie na mocy prawa śfinii mamy ustalony punkt odniesienia:
Zdanie WK w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Gdzie:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest (=1) spełniona bo możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń: nie pada (~P=1) j jest pochmurno (CH=1)
cnd

Lokalizacji do którego operatora logicznego należy zdanie wypowiedziane W dokonujemy w dwóch krokach.

Krok 1

Załóżmy, że zdanie WK jest prawdziwym kontrprzykładem.
Wówczas fałszywy musi być warunek wystarczający:
B2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to na 100% => nie będzie pochmurno (~CH=1)
~P=>~CH =0
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona, bo nie zawsze gdy nie pada, nie jest pochmurno.
Uwaga:
Indeksowanie B2 wynika z tabeli T1

Dlaczego?
W kolumnach A1B1 i A2B2 (na mocy prawa śfinii tylko te kolumny nas interesują) warunek wystarczający ~p=>~q występuje wyłącznie na pozycji B2.
cnd

Zauważmy, że jeśli skorzystamy z prawa kontrapozycji to dowód fałszywości zdania B2 będzie prostszy

Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~P=>~CH = B3: CH=>P

Dowodzimy warunku wystarczającego B3.
B3:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B2: ~P=>~CH = B3: CH=>P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Na mocy definicji tożsamości logicznej jest wszystko jedno którą stronę weźmiemy na cel i będziemy dowodzić jej prawdziwości/fałszywości.
W przypadku prostej teorii zdarzeń (nasz przykład) dowód fałszywości którejkolwiek ze stron jest banalny, ale w operacjach na zbiorach nieskończonych, gdzie obowiązuje identyczna logika matematyczna jak w teorii zdarzeń, już tak nie jest - tu zdania z najprostszym warunkiem wystarczającym => zawsze dowodzi się najprościej, czego wkrótce doświadczymy.

Krok 2

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania B2 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q=1
Uwaga:
Indeksowanie A2 mamy tu na mocy tabeli T1.
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

Oczywistym jest, że na mocy prawa Kubusia możemy dowodzić prawdziwości dowolnej ze stron, zawsze najprościej dowodzi się najprostszy (niezanegowany) warunek wystarczający => którym w tym przypadku jest zdanie A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd

Zdanie które przeanalizowaliśmy logicznie brzmi:
W.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1
na mocy prawa śfinii to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Gdzie:
p=P(pada)
q=CH(chmury)

Rozstrzygnięcie:
Zdanie analizowane W wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno
B2: ~P=>~CH =0 - brak opadów nie jest warunkiem wystarczającym => by nie było pochmurno
stąd:
~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH)=1*~(0)=1*1 =1

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy implikacji odwrotnej ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH):
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
W: jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH= ~P*CH =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p~>q =1
Gdzie:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q:
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) p|=>q
Operator implikacji prostej odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - zapis aktualny
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|=>q  =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - zapis formalny
P|=>CH  =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q zdefiniowanego tabelą T3.

Operator logiczny implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź na dwa pytania A2B2 i A1B1:

A2B2:
Co się stanie jeśli jutro nie będzie padało?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~CH=0 musi być prawdą.
stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH =~P*CH =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
cnd
Uwaga:
To jest nasze zdanie W które przeanalizowaliśmy.

A1B1:
Co się stanie jeśli jutro będzie padało?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1.

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q=p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~q najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), oraz gwarancja matematyczna => po stronie P (pada)

Doskonale widać, że szczegółowa analiza operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) poczyniona w poprzednim punkcie jest w 100% tożsama ze szczegółową analizą implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) przedstawioną w niniejszym punkcie, bowiem zdania z obu tych analiz możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.

Potwierdza to udowodnioną wyżej tożsamość operatorów logicznych:
p||=>q = ~p||~>~q


4.7.6 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S1 Schemat 1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie
Dane jest zdanie dotyczące schematu S1:
W.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie
Zapisz szczegółową analizę matematyczną tego operatora w zdaniach warunkowych

Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x=[1,0]
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka świeci się)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd

Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Popatrzmy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
Kod:

A1: p=>q = ~p+q   ## B1: p~>q = p+~q - zapis formalny
A1: A=>S = ~A+S   ## B1: A~>S = A+~S - zapis aktualny

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy T3.
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się
A=>S =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
Gdzie:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka S świeci się)
       A1B1:          A2B2:       |    A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1  [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S   =1 = 2:~A~>~S =1  [=] 3: S~>A   =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q =0 =              [=]              = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: A~~>~S =0 =              [=]              = 4:~S~~>A =0                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0  [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S   =0 = 2:~A=>~S =0  [=] 3: S=>A   =0 = 4:~S~>~A =0
B’:              = 2:~p~~>q =1  [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~A~~>S =1  [=] 3: S~~>~A =1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|=>q  =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - zapis formalny
A|=>S  =(A1: A=>S)* ~(B1: A~>S) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~A|~>~S =(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



Definicja operatora implikacji prostej A||=>S:
Operator implikacji prostej A||=>S to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
A1: A=>S =1
Dalsza analiza matematyczna związana będzie z przyjętym na mocy prawa śfinii punktem odniesienia, zdaniem A1.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A , co widać w analizie matematycznej wyżej.

4.7.7 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S

Wisienką na torcie w implikacji prostej A||=>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 10:54, 08 Kwi 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 20:36, 09 Kwi 2021    Temat postu:

Największa sensacja w historii odkrywania algebry Kubusia!

Na czym polega?
Jestem w 100% => pewien, że wytłumaczę ziemskim matematykom algebrę Kubusia wyłącznie w zapisach formalnych (ogólnych), czyli z zerowym odwoływaniem się do jakichkolwiek przykładów z języka potocznego.

Dotychczas sztandarowym dowodem na poprawność algebry Kubusia były moje pokazy pod tytułem:
Popatrzcie, biedni, ziemscy matematycy z potwornie wypranym mózgiem gównem zwanym „implikacja materialna”, jak fenomenalnie pasuje algebra Kubusia do opisu języka potocznego człowieka.

W tej chwili tego nie potrzebuję!
Nie potrzebuję żadnych przykładów z języka potocznego na udowodnienie poprawności czysto matematycznej algebry Kubusia.

Co więcej:
Z pomocą Kubusia (mam z nim kontakt we śnie) właśnie obaliłem ziemską algebrę Boole’a wykazując jej wewnętrzną sprzeczność!
Dowód niżej.

Z pomocą Kubusia lifting AK odchodzi na całego i non stop!

Szczegóły w niniejszym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#578421

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q

Spis treści
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q 1
5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 1
5.1.1 Pogrom ziemskiej algebry Boole’a 4
5.1.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 5
5.1.3 Skrócona definicja operatora implikacji prostej p||=>q 7



5.0 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

T1.
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A2B2:~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

5.1.1 Pogrom ziemskiej algebry Boole’a

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1:
Kod:

TA1B1:
A1:   Y= (p=>q)=~p+q  ## A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ## B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                         #                       #
A1N: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## A1B1N:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Pogrom ziemskiej algebry Boole’a:
Zauważmy, że bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), będziemy mieli fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: ~p*q [=] B1N: ~p*q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## B1N: ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
cnd

Uwaga:
Mamy tu do czynienia z wewnętrzną sprzecznością ziemskiej algebry Boole’a która nie widzi funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y), bez której tabela prawdy TA1B1 jest wewnętrznie sprzeczna.
cnd

5.1.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Po udowodnieniu prawdziwości A1 nie musimy dowodzić prawdziwości A2, gwarantuje nam to prawo Kubusia.
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

5.1.3 Skrócona definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Podsumujmy poznaną wyżej teorię.

IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)

Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 20:45, 09 Kwi 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 14:10, 10 Kwi 2021    Temat postu:

Niniejszym publikuję kolejną część algebry Kubusia!
z zerowym odnośnikiem do języka potocznego człowieka.

Tą część AK jestem w stanie wytłumaczyć ziemskim matematykom z zerowym odnoszeniem się do jakiegokolwiek języka mówionego, czyli wyłącznie na gruncie logiki formalnej (ogólnej), o ile będą chcieli dyskutować na normalnym, ludzkim poziomie.

Co to znaczy normalny ludzki poziom?
To znaczy że będziemy dyskutować na gruncie definicji rodem z algebry Kubusia.
Ponieważ 100% definicji w obszarze logiki matematycznej mamy sprzecznych, zatem bez sensu jest dyskusja w stylu Irbisola.

Na czym polegała pseudo-dyskusja z Irbisolem?
Zadawał proste na gruncie KRZ pytanie oczekując jedynie słusznej, prostej odpowiedzi obowiązującej w KRZ.

Taka dyskusja jest bez sensu, takiej "dyskusji" mówię zdecydowanie STOP!
Biedny Irbisol nigdy nie usłyszał trywialnej na gruncie KRZ odpowiedzi.
Dlaczego?
Bo moja odpowiedź poprawna na gruncie KRZ, byłaby akceptacją przez mnie gówno-logiki zwanej KRZ.

W sumie moja dyskusja z Irbisolem to kilkadziesiąt stron pseudo dyskusji gadał dziad do obrazu, co można zobaczyć tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663.html#505427

Nie oznacza to jednak że moja dyskusja z Irbisolem była dla mnie bezowocna.
Wręcz przeciwnie!
Dzięki Irbisolowi poznałem sposób myślenia ziemskich, twardogłowych matematyków z potwornie wypranym mózgiem gównem zwanym "implikacja materialna".
Ja się oczywiście dwoiłem i troiłem by wytłumaczyć Irbisolowi o co chodzi w algebrze Kubusia - wiele razy przycisnąłem go do muru gdzie zamiast odpowiedzieć ma moje pytanie uciekał się do takiej sztuczki.

Irbisol:
Odpowiem ci na twoje pytanie, ale najpierw ty odpowiedz na moje
Rafał3006:
Czy możesz precyzyjnie zadać to pytanie?
Irbisol;
Sam sobie znajdź w tonie gówna które zapisałeś.

... i taka była to "dyskusja"

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#578435

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 1
6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 1
6.1.1 Pogrom ziemskiej algebry Boole’a 4
6.1.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
6.1.2 Skrócona definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 7


6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Kod:

T1
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji
A1B1: p|~>q = A2B2:~p|=>~q
co udowodniono w tabeli T1

Dowód matematycznie tożsamy.

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q

A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>~q =0 - - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) - (albo odwrotnie)

6.1.1 Pogrom ziemskiej algebry Boole’a

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne B1, A1B1 i A1:
Kod:

TA1B1:
B1:   Y= (p~>q)=p+~q ## A1B1:   Y=(p|~>q) =p*~q  ## A1:  Y=(p=>q) =~p+q
      #                         #                        #
B1N: ~Y=~(p~>q)=~p*q ## A1B1N: ~Y=~(p|~>q)=~p+q  ## A1N: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Pogrom ziemskiej algebry Boole’a:
Zauważmy, że bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), będziemy mieli fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p*~q [=] A1N: p*~q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q ## A1N: ~Y=~(p=>q) =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
cnd

Uwaga:
Mamy tu do czynienia z wewnętrzną sprzecznością ziemskiej algebry Boole’a która nie widzi funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y), bez której tabela prawdy TA1B1 jest wewnętrznie sprzeczna.
cnd

6.1.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

A1: p=>q =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p(zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

6.1.2 Skrócona definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Podsumujmy poznaną wyżej teorię:

IO:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznyego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 19:07, 14 Kwi 2021    Temat postu:

Decydujące bitwy Rafała3006 w walce o podbój serc ziemskich matematyków!

W roku 1984 przytrafiła mi się taka historia.
Będąc świeżo po studiach elektronicznych (Politechnika Warszawska) zrobiłem na mikroprocesorze i8085 bardzo prosty i fajny sterownik edukacyjny gdzie samemu można było pisać programy z klawiatury szesnastkowej w kodzie maszynowym.
Wbrew pozorom nie było to trudne bo było sporo procedur systemowych możliwych do użycia we własnym programie. Poza tym sterownik posiadał prosty debugger (odpluskwiacz) pozwalający łatwo znajdować i usuwać popełnione błędy. Ten tani sterownik edukacyjny (miał to w nazwie) okazał się wielka ścianą dla elektroników hobbystów których wiedza elektroniczna była w zdecydowanej większości mizerna.
Co zatem miałem robić by to moje dziecko było sprzedawalne?

Idea która zawładnęła mną całkowicie przez następne dwa lata była następująca.
Dopisać do sterownika instrukcję zakładając, że wiedza wstępna w zakresie elektryki i elektroniki potencjalnego czytelnika jest równa zeru - czyli z założenia miała to być instrukcja-podręcznik dla ucznia I klasy LO który nie zna jeszcze prawa Ohma, nie ma pojęcia co to jest prąd, napięcie etc.

… i ta idea została z powodzeniem zrealizowana.
Kosztowało mnie to dwa lata ciężkiej harówy bo cały czas musiałem pamiętać że odbiorca nie wie nic a nic w temacie elektryki i elektroniki prowadząc go po łagodnej równi pochyłej od prawa Ohma poprzez podstawy elektryki, podstawy elektroniki, podstawy techniki cyfrowej (bramki logiczne), podstawy sprzętowego działania mikroprocesora, na podstawach programowania mikroprocesorów kończąc gdzie musiałem wytłumaczyć czytelnikowi język asemblera i zasady pisania programów w tym języku.

Niestety, albo na szczęście dla ludzkości, w roku 2006r nasz Wuj Zbój zaraził mnie kolejną ideą - rozszyfrować logikę matematyczną pod którą podlega język potoczny człowieka od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszych ziemskich matematykach kończąc.

Tu nie było tak „lekko” jak w przypadku sterownika edukacyjnego - rozszyfrowanie poprawnej logiki matematycznej pod którą podlega język potoczny kosztowało mnie 15 lat ciężkiej harówy .. ale warto było.
Całe szczęście, że dzięki dobrym ludziom (także dzięki zagorzałym oponentom typu Irbisol) którzy ze mną dyskutowali cel swój osiągnąłem - efekt końcowy to oczywiście:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Właśnie skończyłem dwa kluczowe rozdziały w AK:
7.0 Operator równoważności p|<=>q
7.2 Przykłady operatorów równoważności p|<=>q

Pozostał mi do opisania równie ważny jak operator równoważności p|<=>q, operator „albo”($) - p|$q.
Najważniejsze że wiem jak to zrobić w sposób zrozumiały dla matematyków - jestem w trakcie pisania.

Póki co zamieszczam część teoretyczną równoważności p|<=>q:
7.0 Operator równoważności p|<=>q


Algebra Kubusia - wykład podstawowy
7.0 Operator równoważności p|<=>q


Spis treści
7.0 Operator równoważności p|<=>q 1
7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
7.1.1 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q 3
7.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 6
7.2.1 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć p=q 8
7.2.2 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q 10
7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 12
7.3.1 Skrócona definicja operatora równoważności p|<=>q 16


7.0 Operator równoważności p|<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p$q - spójnik „albo”($) to nietypowa równoważność p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

7.1.1 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 400
„potrzebne i wystarczające”
wyników: 1 850
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 15 500
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
Kod:

T1.
Równanie operatora implikacji równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                      A2B2
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna równoważności:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1 prawami Kubusia.

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+ q*p+q*~q = p*q + ~P*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q

A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
stąd:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+ q*p+ q*~q = p*q + ~P*~q
~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Przechodząc na wyższy poziom operatorów |<=> mamy tak:
Udowodnienie iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż to samo zdanie jest częścią operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.


7.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Z tabeli TR odczytujemy matematyczną definicję równoważności.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Analogicznie mamy:

Definicja tożsamości dwóch zdarzeń p i q (p=q):
Dwa zdarzenia p i q są logicznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

7.2.1 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć p=q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podzbioru => (warunku wystarczającego =>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> (warunku koniecznego ~>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Z tabeli równoważności TR odczytujemy:

A1B1:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:

Z kolumny A1B1 odczytujemy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Sprawdzenie poprawności definicji.

Dowód 1
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
Uzasadnienie:
p=>p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Dowód 2
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dowód tożsamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = (~p+p)*(p+~p) = (p+~p)*(p+~p)= 1*1 =1
cnd

Kolejny dowód tożsamy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdefiniujmy równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q

Dowód 3
Definicja tożsamości zbiorów wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p=q <=> p*q + ~p*~q = p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd

Definicja dziedziny dla zbiorów p i ~p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Z powyższego wynika, że równoważność typu p<=>~p musi być fałszem bo nie zachodzi tożsamość zbiorów p=~p.

Sprawdzamy:
Dowód 1A
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = (p=>~p)*(p~>~p)= 0*0 =0
Uzasadnienie:
p=>~p =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => ~p bo zbiory p i ~p są rozłączne
p~>~p =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p bo zbiory p i ~p są rozłączne
cnd

Dowód 2A
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = (~p+~p)*(p+p) = ~p*p =0
cnd

Dowód 3A
Definicja tożsamości zbiorów w spójnikach „i” i „lub”(+):
p=q <=> p*q + ~p*~q = p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> p*~p + ~p*~(~p) = p*~p+~p*p = []+[] =0
cnd

7.2.2 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podzbioru => (warunku wystarczającego =>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> (warunku koniecznego ~>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja dziedziny dla zbiorów/zdarzeń p i ~p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Definicja dziedziny dla zbiorów/zdarzeń q i ~q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne

Z tabeli równoważności TR odczytujemy:

A2B2:
Definicja tożsamości zbiorów/zdarzeń ~p=~q:

Z kolumny A2B2 odczytujemy:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q

Dowód 1
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
dla ~q=~p mamy:
~p=~p <=> (A2: ~p~>~p)*(B2: ~p=>~p) = 1*1 =1
Uzasadnienie:
~p=>~p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
~p~>~p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Dowód 2
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Dowód tożsamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Dla ~q=~p mamy:
~p=~p <=> (A2: ~p~>~p)*(B2: ~p=>~p) = (~p+p)*(p+~p) = 1*1 =1
cnd

Kolejny dowód tożsamy:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdefiniujmy równoważność ~p<=>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Dowód 3
Definicja tożsamości zbiorów wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p=~q <=> p*q + ~p*~q = ~p<=>~q
Innymi słowy:
~p=~q <=> p*~(~q) + ~p*(~q)
dla ~q=~p mamy:
~p=~p = p*~(~p) + ~p*~p = p*p +~p*~p = p+~p =1
cnd

Z powyższego wynika, że równoważność typu p<=>~p musi być fałszem bo nie zachodzi tożsamość zbiorów p=~p.

Sprawdzamy:
Dowód 1A
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
dla ~q=p mamy:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2: ~p=>p) = 0*0 =0
Uzasadnienie:
~p~>p =0 - zbiór ~p nie jest nadzbiorem ~> zbioru p bo zbiory ~p i p są rozłączne
~p=>p =0 - zbiór ~p nie jest podzbiorem => zbioru p bo zbiory ~p i p są rozłączne
cnd

Dowód 2A
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Dowód tożsamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Dla ~q=p mamy:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2: ~p=>p) = (~p+~p)*(p+p) = ~p*p =0
cnd

Kolejny dowód tożsamy:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdefiniujmy równoważność ~p<=>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Dowód 3A
Definicja tożsamości zbiorów wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p=~q <=> p*q + ~p*~q = ~p<=>~q
Innymi słowy:
~p=~q <=> p*~(~q) + ~p*(~q)
dla ~q=p mamy:
~p=p = p*~(p) + ~p*(p) = p*~p +~p*p = []+[] =0
cnd

7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Punkt odniesienia:
p - poprzednik w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
q - następnik w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)

A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q (~q=1)
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)

A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Graficznie równoważności p<=>q i ~p<=>~q możemy przedstawić tak:
Kod:

T1:
Zbiór/pojęcie: p=q                  |  Zbiór/pojęcie: ~p=~q
Równoważność A1B1 dla p:            |  Równoważność A2B2 dla ~p:                               
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)      [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Definiuje tożsamość zbiorów/pojęć   |  Definiuje tożsamość zbiorów/pojęć
p=q                                 #  ~p=~q
p=~(~p)                             |  ~p=~(p)
q=~(~q)                             |  ~q=~(q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Przyjmijmy wspólną dziedzinę D dla wszystkich rozpatrywanych zbiorów/pojęć tzn. p, q, ~p, ~q
Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór/pojęcie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny/pojęcia p
p*~p =[] =0 - zbiory/pojęcia p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór/pojęcie ~q jest uzupełnieniem do dziedziny/pojęcia q
q*~q =[] =0 - zbiory/pojęcia q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] = [p+~p -p] =~p
~q=[D-q] = [q+~q -q] =~q
Zachodzi również:
~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q
p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia)
q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia)

Definicja znaczka różne #:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy jeden jest zaprzeczeniem drugiego
Stąd w tabeli T1 mamy:
p=q # ~p=~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Objaśnienia:
A1B1:
Równoważność p<=>q dla zbioru/pojęcia p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q
A2B2:
Równoważność ~p<=>~q dla zbioru/pojęcia ~p:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Równoważność A2B2: definiuje tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Udowodnienie tożsamości zbiorów p=q jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)

7.3.1 Skrócona definicja operatora równoważności p|<=>q

Podsumowanie:

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:03, 15 Kwi 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 7:00, 17 Kwi 2021    Temat postu:

Równoważność p<=>q w przykładach!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#581663

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
7.4 Przykłady operatorów równoważności p<=>q

Spis treści
7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 1
7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 2
7.4.2 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP 7
7.5 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 9
7.5.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 13
7.5.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach 18



7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadnia w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym
A1: p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Twierdzenie proste TP=>SK Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)

W świecie matematyki domyślnym twierdzeniem Pitagorasa jest twierdzenie proste Pitagorasa (A1: p=>q), zatem możemy mówić „twierdzenie Pitagorasa” bez słówka „proste”.
Oczywiście jeśli chcemy zaznaczyć, ż chodzi nam o twierdzenie odwrotne Pitagorasa to musimy to jawnie zapisać jako „twierdzenie odwrotne Pitagorasa” (B3: q=>p)

Badamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP =1
to samo w zapisie formalnym
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne q=>p Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest (=1) suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1) bo zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)

Wniosek:
Twierdzenie proste Pitagorasa i twierdzenie odwrotne Pitagorasa są częścią definicji równoważności dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK.

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Równoważność matematyczna Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

stąd mamy:
Definicja równoważności podstawowej p<=>q:
Równoważność podstawowa p<=>q to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność podstawowa Pitagorasa (TP<=>SK) to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Innymi słowy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy (tożsama wersja twierdzenia Pitagorasa):
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1

7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK

Nanieśmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q )= 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)

Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak
Kod:

T1:
Zbiór trójkątów prostokątnych:       |Zbiór trójkątów nieprostokątnych:
TP=SK                                |~TP=~SK
Równoważność Pitagorasa              | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP)     | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów:         |  Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK                                #  ~TP=~SK
TP=~(~TP)                            | ~TP=~(TP)
SK=~(~SK)                            | ~SK=~(SK)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK:
SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP
~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK
Zachodzi również:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP
~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia)
SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia)

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Nasz przykład:
Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK
Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)

Objaśnienia:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym
B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym

7.4.2 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP

Zapiszmy ponownie równoważności Pitagorasa w tabeli prawdy:
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Definicja operatora równoważności q|<=>p:
Operator równoważności q|<=>p to złożenie równoważności q<=>p w logice dodatniej (bo p) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~q<=>~p w logice ujemnej (bo ~p) zdefiniowanej w kolumnie A4B4.

Innymi słowy:
Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź na dwa pytania A3B3 i A4B4:

A3B3:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3.
A3B3:
Bycie trójkątem w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
SK=TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = SK<=>TP
Tożsamość zbiorów SK=TP wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
SK=TP # ~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
to samo w zapisach formalnych:
q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B3 musi być fałszem.
B3’.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to ten trójkąt może ~~> nie być prostokątny (~TP=1)
SK~~>~TP = SK*~TP =[] =0
to samo w zapisach formalnych:
q~~>~p = q*~p =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> SK i ~TP nie jest spełniona bo zbiory SK i ~TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów SK=TP która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP

A4B4:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4:
A4B4:
Bycie trójkątem w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~SK=~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = ~SK<=>~TP
Tożsamość zbiorów ~SK=~TP wymusza tożsamość zbiorów SK=TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~SK=~TP # SK=TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to na 100% => ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK=>~TP =1
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to ten trójkąt może ~~> być prostokątny (TP=1)
~SK~~>TP = ~SK*TP =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~SK i TP nie jest spełniona bo zbiory ~SK i TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~SK=~TP która wymusza tożsamość zbiorów SK=TP

7.5 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S3 Schemat 3
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
A1: A=>S =1
Tak, bo zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Zauważmy, że gdyby szeregowo z przyciskiem A występował przycisk zmiennej wolnej W to odpowiedź na powyższe pytanie byłaby negatywna (=0).
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka S świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam (=1) gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
B1: A~>S =1
Tak
Konieczne ~> dlatego, że nie ma przycisku zmiennej wolnej W podłączonego równolegle do przycisku A, który by zaświecił żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
cnd

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Wisienką na torcie naszych dotychczasowych rozważań jest odkrycie fizycznej realizacji definicji równoważności A<=>S w zdarzeniach
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S.

Jak udowodnić, iż schemat S3 to fizyczna realizacja równoważności?

Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach:
Równoważność p<=>q to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Załóżmy, że nasz schemat S3 spełnia definicję równoważności.
Wtedy mamy:
Definicja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
Równoważność A<=>S to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
stąd:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia żarówki S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
cnd

Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję równoważności.

Podstawowa definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Innymi słowy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.

Innymi słowy:
Wszystko zależy tu od tego, którym znaczkiem (=> albo ~>) zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S3:
S3:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)

Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny (ogólny) zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dopiero po udowodnieniu iż układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

7.5.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach

Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności A<=>S do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Innymi słowy:
Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

Kolumna A1B1
RA1B1:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A1B1 w warunku wystarczającym => jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na czym polega błąd ziemskich matematyków w podejściu do logiki matematycznej?
Ziemski matematyk buduje układ S3 po czym wykonuje nieskończoną ilość prób potwierdzających prawdziwość zdania A. Oczywistym jest, że w układzie S3 po skończonej liczbie wciśnięć przepali się żarówka - ziemski matematyk dochodzi wówczas do wniosku że obalona została definicja warunku wystarczającego => w zdaniu A.
W poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia, postępujemy inaczej.
Po pierwsze poznajemy teorię elektryczności którą możemy sprawdzić raz (słownie raz) dla potwierdzenia jej słuszności.
Dalsza analiza prawdziwości zdania A jest już czysto teoretyczna na bazie poznanej teorii elektryczności, tak więc w AK dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 nie budujemy żadnych układów - algebra Kubusia jest tu w pełni teoretyczna.

Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dowód:
Zdarzenia A=S i ~A=~S są rozłączne uzupełniając się wzajemnie do dziedziny:
a)
A+~A = D =1
Dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w stosunku do przycisku A
Przycisk A może być wciśnięty A=1 albo nie wciśnięty ~A=1, trzeciej możliwości brak.
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
b)
A*~A =0
Zdarzenia A i ~A są rozłączne tzn. przycisk A nie może być jednocześnie wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~A=1
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)

A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

Kolumna A2B2
RA2B2:
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A2B2 w warunku wystarczającym => to:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w implikacji prostej p||=>q jak i w implikacji odwrotnej p||~>q.
3.
Punkt 2 jest odpowiedzią na pytanie:
Dlaczego ziemscy matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować ani implikacji prostej p||=>q, ani też implikacji odwrotnej p||~>q.
Po prostu, oba operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q to absolutny idiotyzm w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania, co za chwilkę zobaczymy na przykładzie komputerowego sterowania kierownicą.
4.
Wniosek:
Jedynym operatorem implikacyjnym mającym zastosowanie w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.

Dowód prawdziwości punktu 4 zademonstruję na dwóch przykładach.

Przykład 1
Sterowanie kierownicą zgodnie z algorytmem równoważności p|<=>q.


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to na 100% => skręcaj koła w lewo (L=1)
L=>L =1
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Przykład 2
Sterowanie kierownicą zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to wywołaj generator cyfr losowych postępując zgodnie z poniższym algorytmem:
„orzełek” - skręcaj kierownicą w lewo zgodnie z rozkazem kierowcy
„reszka” - skręcaj kierownicą w prawo ignorując rozkaz kierowcy
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Mam nadzieję, że nikogo nie muszę przekonywać, iż implikacji prosta p||=>q w świecie techniki to idiotyzm absolutny i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.


7.5.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach

Weźmy tabelę prawdy dla naszej równoważności A|<=>S.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Zauważmy, że punktem odniesienia w tabeli prawdy TR jest równoważność A<=>S definiowana kolumną A1B1.
A1B1:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Innymi słowy:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
to samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Stąd mamy punkt odniesienia obowiązujący w całej tabeli TR:
p = A (przycisk A)
q = S (żarówka S)

Definicja operatora równoważności S|<=>A:
Operator równoważności S|<=>A to złożenie równoważności S<=>A w logice dodatniej (bo A) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~S<=>~A w logice ujemnej (bo ~A) zdefiniowanej w kolumnie A4B4

Zauważmy, że definicja równoważności S<=>A opisana kolumną A3B3 przyjmie brzmienie:
A3B3:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Innymi słowy:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by wciśnięty był przycisk A (A=1)
Zauważmy, że precyzyjnie powyższe zdanie brzmi następująco:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Dlaczego ta precyzja jest tu konieczna?
Wypowiedzmy warunek wystarczający => B3:
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Świecenie się żarówki S (S=1) jest wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)

Zauważmy, że w zdaniu B3 „świecenie się żarówki S” nie jest przyczyną dla skutku „przycisk A jest wciśnięty”
Dowód:
W laboratorium fizyki możemy łatwo zbudować układ S3 i stwierdzić iż rzeczywiście:
Wkręcenie żarówki (świeci) i wykręcenie żarówki (nie świeci) nie powoduje jakiejkolwiek zmiany stanu przycisku A.

Stąd mamy:
Definicja układu jednokierunkowego:
Układ jednokierunkowy to układ, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie możemy zamienić przyczyny p ze skutkiem q.
Oznacza to, że skutku q nie możemy traktować jako przyczyny dla zajścia p w zdaniu warunkowym „Jeśli q to p”
Dowód:
Nasz schemat S3

Wniosek:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście p na podstawie obserwacji wyjścia q.

Nasz schemat S3:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście A (przycisk A) na podstawie obserwacji wyjścia S (żarówka S).
W praktyce logiki matematycznej to wnioskowanie jest oczywistością, dlatego frazę „o wnioskowaniu” możemy niekiedy pominąć uznając ją jako domyślną w logice matematycznej.

Uwaga:
Zauważmy, że w teorii zbiorów (np. w równoważnościach Pitagorasa) układy jednokierunkowe nie występują, bo zawsze dochodzi tu do losowania elementów z kompletnej, wspólnej dziedziny D zawierającej wszystkie możliwe zbiory p, q, ~p, ~q.
cnd

Po tych wyjaśnieniach wracamy do definicji operatora równoważności S|<=>A

Na mocy tabeli prawdy TR mamy:
Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania A3B3 oraz A4B4:

A3B3:
W jakim stanie może być przycisk A jeśli żarówka będzie się świecić (S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3
A3B3:
Do tego aby żarówka S świeciła się (S=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A był wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Odpowiedź na pytanie A3B3 w warunku wystarczającym => to:
B3.
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o wciśniętym klawiszu A (A=1)
Mniej precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wciśnięcia klawisza A (A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że każdy nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” powinien uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’:
B3’
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to przycisk A może ~~> nie być wciśnięty (~A=1)
S~~>~A = S*~A =0
to samo w zapisie formalnym:
q~~>~p = q*~p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)

A4B4:
W jakim stanie może być przycisk A jeśli żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4
A4B4:
Do tego aby żarówka S nie świeciła się (~S=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A nie był wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1

Odpowiedź na pytanie A4B4 w warunku wystarczającym => to:
A4.
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o nie wciśniętym klawiszu A (~A=1)
Mniej precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) nie jest warunkiem wystarczającym => dla nie wciśnięcia klawisza A (~A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że każdy nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” powinien uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’:
A4’
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
S~~>~A = S*~A =0
to samo w zapisie formalnym:
q~~>~p = q*~p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności S|<=>A jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie świecącej się żarówki (zdanie B3) jak i po stronie nie święcącej się żarówki (zdanie A4).
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w implikacji prostej p||=>q jak i w implikacji odwrotnej p||~>q.
3.
Punkt 2 jest odpowiedzią na pytanie:
Dlaczego ziemscy matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować ani implikacji prostej p||=>q, ani też implikacji odwrotnej p||~>q.
Po prostu, oba operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q to absolutny idiotyzm w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania, co za chwilkę zobaczymy na przykładzie komputerowego sterowania kierownicą.
4.
Wniosek:
Jedynym operatorem implikacyjnym mającym zastosowanie w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.

Dowód prawdziwości punktu 4 zademonstruję na dwóch przykładach.

Przykład 1
Sterowanie kierownicą zgodnie z algorytmem równoważności p|<=>q.


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to na 100% => skręcaj koła w lewo (L=1)
L=>L =1
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Przykład 2
Sterowanie kierownicą zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to wywołaj generator cyfr losowych postępując zgodnie z poniższym algorytmem:
„orzełek” - skręcaj kierownicą w lewo zgodnie z rozkazem kierowcy
„reszka” - skręcaj kierownicą w prawo ignorując rozkaz kierowcy
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Mam nadzieję, że nikogo nie muszę przekonywać, iż implikacji prosta p||=>q w świecie techniki to idiotyzm absolutny i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 14:38, 17 Kwi 2021    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-30250.html#590269

Kubuś napisał:
WLR napisał:
Kubuś napisał:
WLR choćby się zesrał to nie udowodni iż Boga nie ma.


Gdybyś miał choć krztynę rozumu i słyszał o logice wiedziałbyś, że
niemożliwe jest udowodnienie istnienia nieistniejącego. Można udowodnić
istnienie istniejącego, ale nieistniejącego nie. Ta niemożność jest właśnie
niejako dowodem pośrednim twierdzenia nieistnienia, bo gdyby istniał,
wystarczyłoby go pokazać.
Coś w podobie twoich bredni pseudomatematycznych.
Nie możesz wszak udowodnić ich prawdziwości, ponieważ istnieją tylko w twojej głowie - tak jak bóg.

W tym wytłuszczonym mylisz się straszliwie, bowiem wkrótce algebra Kubusia będzie wykładana w I klasie LO na całym świecie, nie tylko w Polsce.

Teraz uważaj ateisto:
Algebra Kubusia to twardy, czysto matematyczny dowód na istnienie Boga - wkrótce to zrozumiesz.
Co więcej:
W całej Biblii nie ma ani jednego zdania, które by było wewnętrznie sprzeczne na gruncie algebry Kubusia ... i to jest twardy dowód, iż Biblia to słowo Boże.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 14:41, 17 Kwi 2021    Temat postu:

Armagedon mózgu JWP Baryckiego i wszystkich mu podobnych mózgów!

Dowód w niniejszym poście:

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-30275.html#590327

Bóg ŁP JWPB napisał:
Bóg ŁP JWPB napisał:
obecna logika

Ale nie musisz się mój drogi WLR-e martwić obecną logiką, ponieważ Algebra Kubusia już świat opanowała i skoro nas zapewnia, że nieprawdą jest, iż Płock leży nad Wisłą, to i zapewni nas w sposób ściśle matematycznie naukowy, że skoro bóg jest trupem, to nigdy nie istniał i da nam na to 100% gwarancji matematycznej.

JWP Barycki,
Niniejszy post to Armagedon Pańskiego mózgu.

Dowód iż tak jest w istocie ..
Zdanie prawdziwe to:
B1.
Jeśli jakieś miasto leży nad Wisłą to może ~> to być Płock
W~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór miast leżących nad Wisłą jest nadzbiorem ~> dla Płocka
cnd

Prawo Tygryska:
B1: W~>P = B3: P=>W
stąd mamy wymuszoną prawem Tygryska prawdziwość kolejnego zdania:
B3.
Jeśli miasto jest Płockiem to na 100% => leży nad Wisłą
P=>W =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo miasto Płock jest podzbiorem => miast leżących nad Wisłą
cnd

Majaczenia JWP Baryckiego którego mózg w całości opanowało gówno zwane "implikacją materialną" są takie ...

IM = "Implikacja materialna":
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
224=>PNW =?
W algebrze Kubusia to zdanie jest fałszem, bo nie jest tu spełniona relacja podzbioru => tzn.
Działanie arytmetyczne 2+2=4 nie jest podzbiorem => miast leżących nad Wisłą.

Natomiast wedle JWP Baryckiego z mózgiem opanowanym w 100% przez gówno zwane "implikację materialną" zdanie IM jest prawdziwe, bowiem w "implikacji materialnej" w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" z definicji poprzednik nie ma żadnego związku z następnikiem q.

JWP Barycki, z mózgiem wypranym "implikacją materialną" udowadnia prawdziwość zdania IM tak:
Poprzednik jest zdaniem prawdziwym:
224 =1
Następnik jest zdaniem prawdziwym:
Płock leży nad Wisłą
PNW=1

Z tych dwóch rozłącznych faktów biednemu JWP Baryckiemu wynika iż zdanie warunkowe IM jest prawdziwe.

Innymi słowy:
"Implikacja materialna" w dowolnym zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" z definicji nie bada matematycznych związków między poprzednikiem i następnikiem - dokładnie dlatego jest potwornie śmierdzącym gównem!
cnd

Kto w języku potocznym używa zdań warunkowych "Jeśli p to q" w których p jest bez związku z q?

Odpowiadam:
NIKT!
Nawet ciężko chorzy pacjenci szpitala psychiatrycznego nigdy tego typu zdań warunkowych nie wypowiadają.
cnd

Wniosek:
Mózgi ziemskich matematyków wierzących w sens "implikacji materialnej" są ciężej chore niż mózgi pacjentów dowolnego szpitala psychiatrycznego ... tylko nie są tego świadome.

Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/kawiarnia-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-desec-js-script,17/kubus-w-depresji-prosze-wszystkich-o-pomoc,5780.html#147302
rafal3006 napisał:
Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

Kubuś w depresji, proszę Wszystkich o pomoc

Nurtuje mnie to nieznośne pytanie, nie mogę spać i proszę Wszystkich o pomoc.

Fizyk napisał:
Przykład: "Jeśli 0=1, to istnieje człowiek, który ma 2 nogi"

Dowód:
Wiemy, że istnieje człowiek, który ma 1 nogę (a bo to mało jest ludzi, którzy mają amputowaną nogę?).
Z tego, że 0=1, wynika, że 1=2 (dodajemy 1 stronami).
Zatem człowiek, który ma 1 nogę, ma 2 nogi.
Zatem istnieje człowiek, który ma 2 nogi.
CND.

I co? Z fałszu wyniknęła prawda.


Sogors napisał:

rafal3006 napisał:

Weźmy zdanie:
Jeśli kura jest psem to człowiek ma dwie nogi
Zdanie prawdziwe w KRZ, jak tu będziesz dodawał stronami psa do kury, co z tego ci wyjdzie kuropies ?
Dowód analogiczny do twojego:
Wiemy, że istnieje człowiek, który ma 1 nogę (a bo to mało jest ludzi, którzy mają amputowaną nogę?).
Z tego, że kura=pies, wynika, że jedna kura=kuropies (dodajemy kurę stronami).
bo:
W algebrze Boole’a:
Kura+Kura = Kura – prawo algebry Boole’a: A+A=A
Kura+pies = kuropies ? co to za prawo algebry Boole'a ?
A+B=AB ? - co to jest AB w algebrze Boole'a ?
Zatem człowiek, który ma 1 nogę, ma 2 nogi.
Zatem istnieje człowiek, który ma 2 nogi.
CND.

Raź że to nie zrozumiałeś co napisał Fizyk, bo kompletnie ci ta analogia nie wyszła
Dwa że całość to bełkot, w przeciwieństwie do tego co napisał Fizyk

(to co napisał pojawia się w książkach popularnonaukowych i jest rozumiane przez dzieci w gimnazjum, sprawdź !!!! )

Jeśli kura jest psem to człowiek ma dwie nogi

kura ma dwie nogi pies 4, ale jeśli są tym samym mają tyle samo nóg

czyli 2=4 , dzielimy przez 2

i 1=2 odejmujemy 1

0=1

i dalej jak u Fizyka


To wytłuszczone to masakra Kubusia, bo wychodzi na to że dzieci w gimnazjum rozumieją dowód Fizyka a Kubuś ni w ząb nie rozumie.
Chyba się rozbeczę …
… a może jest iskierka nadziei ?
Pytanie do Sogorsa

… a dlaczego dodajesz nogi kury i psa ?
Czy nie prościej dodawać skrzydła ?

Pies ma zero skrzydeł, Kura ma dwa skrzydła.

Wyrywamy jedno skrzydło kurze i mamy:
0=1
Dalej jak u Fizyka.

Ooo !
mam jeszcze prostszy dowód i nie trzeba być sadystą.

Pies ma zero dziobów, kura ma jeden dziób zatem mamy:
0=1

Dalej jak u fizyka

Czy dowody Kubusia są poprawne ?

Własnie brak odpowiedzi na to pytanie jest przyczyną depresji Kubusia :cry:


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 7:52, 18 Kwi 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 14:55, 17 Kwi 2021    Temat postu:

...

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 18:58, 17 Kwi 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 21:43, 19 Kwi 2021    Temat postu:

Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q

Długo czekałem na natchnienie w temacie spójnika „albo”($) … ale przyszło.
Publikuję niniejszym początek rozdziału omawiającego spójnik „albo”($)
cdn

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#581665

Spis treści
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q 1
8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q 5


8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q

Spójnik „albo”($) to spójnik kompletnie przez ziemskich matematyków nierozumiany.

Dowód:
Który z ziemskich matematyków wie, że spójnik „albo”($) to szczególny rodzaj równoważności o definicji:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (p=q), natomiast przedstawiona niżej definicja spójnika „albo”($) definiuje negację zbiorów (p=~q) - różnica jest więc fundamentalna.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Lewą stronę spójnika „albo”($) czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Natomiast matematycznie tożsamą:
Prawą stronę definicji spójnika „albo”($) czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 2:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Oczywistym jest, że powyższe przykłady 1 i 2 są poprawne w dziedzinie:
C (człowiek) = M (mężczyzna) + K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór wszystkich ludzi C (człowiek) jest sumą logiczną (+) zbiorów mężczyzn M i kobiet K.
C = M+K
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnień do dziedziny
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy następujące tożsamości zbiorów:
M=~(K) - zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie (~) zbioru kobiet (K) w dziedzinie C
K = ~(M) - zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie (~) zbioru mężczyzn (M) w dziedzinie C

Graficzne związki matematyczne między zbiorami M (mężczyzna) i K (kobieta) można przedstawić następująco:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAN - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAN - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy do definicji spójnika „albo”($) tożsamość:
q=~p
stąd mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p)) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie ~p
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło p
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1

Oczywiście ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia iż w logice matematycznej w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Gdzie:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy tożsamy dowód iż spójnik „albo”($) to w istocie definicja negacji pojęć/zbiorów p=~q.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q
Dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p=1
cnd

Podsumujmy nasze rozważania wyżej.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Tożsama definicja szersza:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Definicja spójnika równoważności p<=>q jest inna i definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q a nie jak to jest w spójniku „albo”($) negację zbiorów/pojęć p=~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Rozważmy najszerszą definicję spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Z powyższej tożsamości wynika, że jeśli prawdziwa jest relacja negacji zbiorów p=~q definiowana spójnikiem „albo”($) to dla tej relacji równoważność musi być fałszem.

Dowód:
Dla relacji negacji zbiorów q=~p definiowanej spójnikiem „albo”($) mamy:
p$~ = ~(p<=>~p) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Sprawdźmy iż w istocie, dla relacji q=~p równoważność jest fałszem.
p<=>~p = (A1: p=>~p)*B1: p~>~p) = (A1: ~p)*(B1: p) =~p*p =0
bo:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q
Stąd mamy:
A1: p=>~p = ~p+~p =~p
B1: p~>~p = p+p =p
cnd

8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock


Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

W celu obalenia ziemskiej algebry Boole’a tzn. wykazania jej wewnętrznej sprzeczności, wyprowadźmy na początek definicje spójników „albo”($) p$q i równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q

Definicja spójnika „albo”($):
Y = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)=~p*p + ~p*q ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
Y = p$q = p*~q+~p*q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p$q) = p*q+~p*~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p +~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q

Zapiszmy te dwie definicje w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q          ## ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych


Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji funkcji logicznych ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.

W naszej tabeli T1 doskonale widać, że spójnik równoważności p<=>q jest różny na mocy definicji funkcji logicznych ## od spójnika „albo”($).

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem tabelę T1 tylko i wyłącznie w funkcjach logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

T2
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
 Y= (p<=>q)=p*~q+~p*q          ##  Y= (p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że wszędzie dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 6:39, 20 Kwi 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 11:47, 20 Kwi 2021    Temat postu:

Część teoretyczna spójnika "albo"($) skończona!

... przed chwilką zafiniszowałem!
cdn

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#581665

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q


Spis treści
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q 1
8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q 5
8.2 Spójnik „albo” p$q 7
8.2.1 Spójnik „albo”($) w logice dodatniej p$q i ujemnej ~p$~q 9
8.2.2 Spójnik „albo” p$q jako negacja zbiorów/pojęć 14
8.3 Operator „albo” p|$q 18
8.4 Operator „albo” q|$p 21
8.5 Skąd bierze się zero-jedynkowa definicja spójnika „albo” p$q? 23


8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q

Spójnik „albo”($) to spójnik kompletnie przez ziemskich matematyków nierozumiany.

Dowód:
Który z ziemskich matematyków wie, że spójnik „albo”($) to szczególny rodzaj równoważności o definicji:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (p=q), natomiast przedstawiona niżej definicja spójnika „albo”($) definiuje negację zbiorów (p=~q) - różnica jest więc fundamentalna.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja negacji zbiorów p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” p$q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p$q

Lewą stronę spójnika „albo”($) czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Natomiast matematycznie tożsamą:
Prawą stronę definicji spójnika „albo”($) czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 2:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Oczywistym jest, że powyższe przykłady 1 i 2 są poprawne w dziedzinie:
C (człowiek) = M (mężczyzna) + K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór wszystkich ludzi C (człowiek) jest sumą logiczną (+) zbiorów mężczyzn M i kobiet K.
C = M+K
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnień do dziedziny
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy następujące tożsamości zbiorów:
M=~(K) - zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie (~) zbioru kobiet (K) w dziedzinie C
K = ~(M) - zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie (~) zbioru mężczyzn (M) w dziedzinie C

Graficzne związki matematyczne między zbiorami M (mężczyzna) i K (kobieta) można przedstawić następująco:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy do definicji spójnika „albo”($) tożsamość:
q=~p
stąd mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p)) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia, iż w logice matematycznej w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Gdzie:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy tożsamy dowód iż spójnik „albo”($) to w istocie definicja negacji pojęć/zbiorów p=~q.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q
Dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p=1
cnd

Podsumujmy nasze rozważania wyżej.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Tożsama definicja szersza:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Definicja spójnika równoważności p<=>q jest inna i definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q a nie jak to jest w spójniku „albo”($) negację zbiorów/pojęć p=~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Rozważmy najszerszą definicję spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Z powyższej tożsamości wynika, że jeśli prawdziwa jest relacja negacji zbiorów p=~q definiowana spójnikiem „albo”($) to dla tej relacji równoważność p<=>q definiująca tożsamość zbiorów p=q musi być fałszem.

Dowód:
Dla relacji negacji zbiorów q=~p definiowanej spójnikiem „albo”($) mamy:
p$~p = ~(p<=>~p) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Sprawdźmy iż w istocie, dla relacji q=~p równoważność p<=>q jest fałszem.
p<=>~p = (A1: p=>~p)*B1: p~>~p) = (A1: ~p)*(B1: p) =~p*p =0
bo:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q
Stąd mamy:
A1: p=>~p = ~p+~p =~p
B1: p~>~p = p+p =p
cnd

8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock


Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

W celu obalenia ziemskiej algebry Boole’a tzn. wykazania jej wewnętrznej sprzeczności, wyprowadźmy na początek definicje spójników „albo”($) p$q i równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q

Definicja spójnika „albo”($):
Y = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)=~p*p + ~p*q ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
Y = p$q = p*~q+~p*q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p$q) = p*q+~p*~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p +~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q

Zapiszmy te dwie definicje w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q          ## ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych


Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji funkcji logicznych ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.

W naszej tabeli T1 doskonale widać, że spójnik równoważności p<=>q jest różny na mocy definicji funkcji logicznych ## od spójnika „albo”($).

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem tabelę T1 tylko i wyłącznie w funkcjach logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

T2
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
 Y= (p<=>q)=p*~q+~p*q          ##  Y= (p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że wszędzie dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##


8.2 Spójnik „albo” p$q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p$q - spójnik „albo”($) to nietypowa równoważność p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
      A1B1:      A2B2:  |      A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~> q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
      ##         ##            ##        ##               ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=> q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5:  p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji spójnika „albo”($) jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>q=p*q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


8.2.1 Spójnik „albo”($) w logice dodatniej p$q i ujemnej ~p$~q

W dalszej części wykładu, dla lepszego zrozumienia, będziemy się wspomagać prostym przykładem.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie od którego zaczynamy analizę matematyczną wyznacza punkt odniesienia, czyli jednoznacznie definiuje parametry formalne p i q.

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Na mocy prawa śfinii przyjmujemy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Przyjmujemy dziedzinę:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
C (człowiek) = M (mężczyzna) „lub”(+) K (kobieta)
Stąd:
~M=[C-M] = [M+K -M] =K
~K = [C-K] = [M+K -K] =M
Innymi słowy:
K=~M - zbiór K to zaprzeczenie (~) zbioru M w dziedzinie C
M=~K - zbiór M to zaprzeczenie (~) zbioru K w dziedzinie C

Zapis formalny naszego przykładu to:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

To samo w zapisie formalnym zgodnie z przyjętym punktem odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Jak widzimy, logika matematyczna obsługująca spójnik „albo” M$K jest dla wszystkich zrozumiała.

Tabela prawdy naszego przykładu rozpisana na zbiory to:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------


Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy spójnika „albo”($)
Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Przykład:
Bycie mężczyzną jest konieczne ~> i wystarczające => by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym poprzedniku p
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Przykład:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) „albo”($) nie jest kobietą (~K=1)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Trzeciej możliwości brak.
Zauważmy, że lewa strona spójnika „albo” ~p$~q jest zrozumiała, ale to zrozumienie nie jest trywialne.

Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => aby być kobietą (K=1)
A2B2: ~M$K = (A2: ~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Zauważmy, że tą wersję spójnika „albo”($) bez problemu rozumie każdy 5-cio latek.

Równanie operatora „albo” p|$q:
Kod:

T1.
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                    A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora „albo” p|$q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna spójnika „albo”($):
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1 prawami Kubusia.

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q

A2B2:
Spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)= (~p+~q)*(p+q) = ~p*p+~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
~p$~q = p*~q + ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = p*~q + ~p*q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika „albo”($) mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję spójnika „albo” A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję spójnika „albo” A2B2:~p$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Przechodząc na wyższy poziom operatorów p|$q mamy tak:
Udowodnienie iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora „albo” A1B1: p|$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż to samo zdanie jest częścią operatora „albo” A2B2: ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

8.2.2 Spójnik „albo” p$q jako negacja zbiorów/pojęć

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Z tabeli TA odczytujemy matematyczną definicję spójnika „albo”($).

Matematyczna definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B3: ~q=>p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Zajdzie p „albo”($) q
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p)=1*1=1

Prawo Albatrosa:
W spójniku „albo” p$q relacja warunku wystarczającego => w obie strony zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
q=~p
Dowód:
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p)=1*1=1
dla q=~p mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B3: ~(~p)=>p)
p$~p = (A1: p=>p)*(B3: p=>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Stąd mamy:
Definicja negacji zbiorów p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” p$q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p$q

Dla B3 Zastosujmy prawo Tygryska:
B3: ~q=>p = B1: p~>~q
stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($).

Podstawowa definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p “albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Przykład:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Prawo Albatrosa:
Spójnik „albo” p$q będzie spełniony wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
q=~p

Dowód:
Podstawowa definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
dla q=~p mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p))
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Zauważmy że:
W całej tabeli TA obowiązuje ten sam punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Zastosujmy do definicji A1B1 prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1: p=>~q = A4: q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
B1: p~>~q = B4: q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>

stąd mamy:
Definicja spójnika „albo” q$p:
Spójnik „albo” q$p to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego p
A4: q=>~p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: q~>~p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd:
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Łatwo to widzieć w tabeli TA.

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie q „albo”($) zajdzie p
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest kobietą (K=1) albo mężczyzną (M=1)
A4B4: K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)

Prawą stronę czytamy:
q jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło ~p
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Nasz przykład:
Bycie kobietą (K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być mężczyzną (~M=1)
A4B4: K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)

Prawo Albatrosa:
Spójnik „albo” q$p będzie spełniony wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
p=~q

Dowód:
Definicja spójnika „albo” q$p:
Spójnik „albo” q$p to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego p
A4: q=>~p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: q~>~p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd:
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Łatwo to widzieć w tabeli TA.

Dla p=~q mamy:
q$~q = (A4: q=>~(~q))*(B4: q~>~(~q))
q$~q = (A4: q=>q)*(B4: q~>q) =1*1 =1
bo:
q=>q =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
q~>q =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Stąd mamy:
Definicja negacji zbiorów q=~p:
Zbiór q jest negacją zbioru p (q=~p) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” q$p:
q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = q$p

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
# = $
Definicja znaczka #:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------
[code]
Przykład interpretacji spójnika „albo”($) dla zdania:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
[/code]
Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------


8.3 Operator „albo” p|$q

Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy dla spójnika „albo”($) wraz z przykładem.
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q)
Nasz przykład:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu A1.
A1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie być kobietą
Bycie mężczyzną daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
A1’
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2.
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
Nasz przykład:
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby być kobietą (K=1)
A2B2:~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu B2.
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być kobietą
Nie bycie mężczyzną daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B2’
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Dowód:
zachodzi tożsamość zbiorów:
K=~M - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C (człowiek)
stąd mamy
K~~>~K = K*~K =[] =0
bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem nie kobiet (~K)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd:
K~~>M = K*M =[] =0 - bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem mężczyzn (M)
cnd

Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Doskonale widać, że operator „albo” ~p|$~q to identyczna seria zdań jak wyżej, tylko analizę rozpoczynamy od A2B2 a kończymy na A1B1.

8.4 Operator „albo” q|$p

Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy dla spójnika „albo”($) wraz z przykładem.
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” q|$p:
A4B4:                                                    A3B3:
q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = (A3:~q~>p)*(B3:~q=>p) = ~q$~p
Stąd mamy:
Operator „albo” q|$p to układ równań logicznych A4B4 i A3B3
dający odpowiedź na dwa pytania o q (A4B4) i ~q (A3B3):
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~q|$~p to układ równań logicznych A3B3 i A4B4
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A3B3) i p (A4B4):
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Operator „albo” q|$p to układ równań logicznych A4B4 i A3B3 dający odpowiedź na dwa pytania o q (A4B4) i ~q (A3B3):

A4B4:
Co się stanie jeśli zajdzie q?

Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4.
Zajście q jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~p
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p)
Nasz przykład:
Bycie kobietą (K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by nie być mężczyzną (~M=1)
A4B4: K$M =(A4: K=>~M)*(B4 K~>~M)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu A4.
A4.
Jeśli człowiek jest kobietą (K=1) to na 100% => nie jest mężczyzną (~M=1)
K=>~M =1
Bycie kobietą jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie być mężczyzną
Bycie kobietą daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy mężczyzną
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A4 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
A4’
Jeśli człowiek jest kobietą (K=1) to może ~~> być mężczyzną (M=1)
K~~>K = K*M =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem mężczyzn (M)

A3B3:
Co się stanie jeśli zajdzie ~q?

Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3.
Zajście ~q jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia p
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p)
Nasz przykład:
Nie bycie kobietą (~K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby być mężczyzną (M=1)
A3B3:~K$~M=(A3:~K~> M)*(B3:~K=>M)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu B3.
B3.
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% => jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
Nie bycie kobietą jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być mężczyzną
Nie bycie kobietą daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy mężczyzną
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B3 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B3’
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to może ~~> nie być mężczyzną (~M=1)
~K~~>~M = ~K*~M =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
stąd mamy
M~~>~M = M*~M =[] =0
bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem nie mężczyzn (~M)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd:
M~~>K = M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
cnd

Operator „albo” ~q|$~p to układ równań logicznych A3B3 i A4B4 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A3B3) i p (A4B4):
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q

Doskonale widać, że operator „albo” ~q|$~p to identyczna seria zdań jak wyżej, tylko analizę rozpoczynamy od A3B3 a kończymy na A4B4.

8.5 Skąd bierze się zero-jedynkowa definicja spójnika „albo” p$q?

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p=>q=1


Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Stąd mamy:
Kod:

T3
               A1:    B1:     p$q=
   p  q ~p ~q  p=>~q  p~>~q   (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A: 1  1  0  0   0      1       0
B: 1  0  0  1   1      1       1
C: 0  0  1  1   1      0       0
D: 0  1  1  0   1      1       1

Stąd mamy zero-jedynkową definicję spójnika „albo”($):
Kod:

T4
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($):
   p  q  p$q
A: 1$ 1  =0
B: 1$ 0  =1
C: 0$ 0  =0
D: 0$ 1  =1
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0


Zadanie domowe dla czytelnika:
Wyprowadź definicję spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dwoma sposobami.

Sposób 1
Skorzystaj z definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q

Sposób 2
Wyprowadź definicję spójnika „albo”($) bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej (T4) definiującej ten spójnik.

Wskazówka:
Patrz punkt 1.10.1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 13:46, 20 Kwi 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 13:39, 25 Kwi 2021    Temat postu:

Kluczowe rozdziały w algebrze Kubusia!

Piszę sobie powoli, nie spiesząc się, kluczowe rozdziały algebry Kubusia.
Pewne jest jedno:
Na dzień dzisiejszy jakakolwiek dyskusja z ziemskimi matematykami na temat algebry Kubusia byłaby dla mnie szkodliwa, bowiem ziemscy matematycy nie będą mi w stanie pomóc, nawet gdyby bardzo chcieli, bowiem 100% definicji w zakresie logiki matematycznej mamy sprzecznych - DOSŁOWNIE!

Cały czas mam nowe pomysły jak ulepszać przekaz AK by trafić w serca matematyków - dopóki takie pomysły mam, dyskusja z ziemskimi matematykami nie ma sensu.
Możliwe że takie pomysły będę miał jeszcze długo, co oznacza, że dyskusja między mną a ziemskimi matematykami być może nigdy nie dojdzie do skutku.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#582015

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
8.6 Operatory AND(|*), OR(|+), p|<=>q i „albo” p|$q w świecie martwym i żywym

Spis treści
8.6 Operatory AND(|*), OR(|+), p|<=>q i „albo” p|$q w świecie martwym i żywym 1
8.7 Operator AND(|*) w świecie martwym 2
8.7.1 Operator AND(|*) w świecie żywym 3
8.8 Operator OR(|+) w świecie martwym 4
8.8.1 Twierdzenia o spójnikach „lub”(+) i „albo”($) 8
8.8.2 Operator OR(|+) w świecie żywym 10
8.8.3 Spójniki „lub”(+) i „albo”($) w świecie żywym 12
8.9 Operator równoważności p|<=>q w świecie martwym 14
8.9.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie żywym 17
8.10 Definicja spójnika „albo” p$q w świecie martwym 19
8.10.1 Operator „albo” p|$q w świecie martwym 21
8.10.2 Operator „albo” p|$q w świecie żywym 25



8.6 Operatory AND(|*), OR(|+), p|<=>q i „albo” p|$q w świecie martwym i żywym

W dalszej części zajmiemy się podsumowaniem zdobytej wiedzy w temacie operatorów AND(|*), OR(|+), równoważności p|<=>q i „albo” p|$q.

[link widoczny dla zalogowanych]
Użycie spójnika lub w zdaniach takich, jak „Przeżyję lub umrę”, nie jest błędem. Można się jedynie spierać o to, czy nie trafniej, dobitniej, wyraziściej itd. byłoby użyć w nim synonimicznego albo

Wyjaśnimy też dlaczego w języku potocznym spójnik „albo”($) zastępowany jest często spójnikiem „lub”(+) - odwrotnie to błąd czysto matematyczny!

Prawo naszego Wszechświata:
Logikę świata żywego wyznacza logika świata martwego - w tym matematyka i fizyka.

Matematyka operuje na zbiorach nieskończonych, z tego powodu mniej się nadaje na udowodnienie powyższego prawa na przykładach, niż banalna teoria zdarzeń, gdzie wszelkie rozstrzygnięcia w temacie logika matematyczna są bardzo proste.

Logika świata martwego daje człowiekowi odpowiedź na najważniejsze w świecie żywym pytanie:
Kiedy człowiek wypowiadając dowolne zdanie dotyczące przyszłości skłamie, a kiedy nie skłamie równo z wypowiedzianym zdaniem, bez potrzeby czekania na zajście opisywanego zdarzenia w przyszłości!

To jest bezpośrednie uderzenie w gówno zwane „implikacją materialną” które wymaga znajomości faktów mających się zdarzyć w nieznanej przyszłości by móc im przypisać prawdę/fałsz.
Innymi słowy, ziemski matematyk robi tu za boga - skutki muszą być tragiczne, czyli ląduje w szpitalu psychiatrycznym bełkocząc w stylu Russella, twórcy potwornie śmierdzącego gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań:
[link widoczny dla zalogowanych]
Russell napisał:

Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Wprowadzenie:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Tragiczny skutek:
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem.
Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!


8.7 Operator AND(|*) w świecie martwym

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) to odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y), oraz o funkcję logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy 1 stronami:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Rozważmy schemat elektryczny sterowania żarówką S dwoma szeregowo połączonymi przyciskami A i B.
Kod:

S1 - Fizyczna realizacja operatora AND(|*)
Operator AND(|*) to układ równań odpowiadających na pytanie o S i ~S:
1: S= A*B    | S=1<=> A=1 i B=1
2:~S=~A+~B   |~S=1<=>~A=1 lub ~B=1
             S               A            B
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
A, B - przyciski (wejście)
S - żarówka (wyjście)


Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) to odpowiedź na dwa pytania o S i ~S:


1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?

Odpowiedź:
Żarówka S będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A (A=1) i wciśnięty będzie przycisk B (B=1)
Y=A*B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 i B=1

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?

Negujemy 1 stronami:
~S=~A+~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 lub ~B=1
Stąd mamy odpowiedź:
Żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)

Ta sama odpowiedź w zdarzeniach rozłącznych jest następująca:
2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?

Żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = ~A*~B=1*1=1 - nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: ~Yc = ~A*B=1*1=1 - nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i jest wciśnięty przycisk B (B=1)
lub
D: ~Yd = A*~B =1*1=1 - wciśnięty jest przycisk A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)

Gdzie:
Funkcja logiczna ~Y opisująca wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne w których żarówka nie będzie się świecić to suma logiczna funkcji cząstkowych:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: ~A*~B + C: ~A*B + D: A*~B
co w logice jedynek (funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> B: ~A=1 i ~B=1 lub C: ~A=1 i B=1 lub D: A=1 i B=1

8.7.1 Operator AND(|*) w świecie żywym

Prawo naszego Wszechświata:
Logikę świata żywego wyznacza logika świata martwego - w tym matematyka i fizyka.

Dowód na przykładzie rodem z przedszkola:
Pani:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y = K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?

Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y = K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1), pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y) (innymi słowy: pani skłamie ~Y)

2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?


Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - bo prawo De Morgana
stąd:
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb=~K*~T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~Yc=~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: ~Yd=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Gdzie:
Funkcja logiczna ~Y opisująca wszystkie możliwe zdarzenia w których pani skłamie to suma logiczna funkcji cząstkowych:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: ~K*~T + C: ~K*T + D: K*~T
co w logice jedynek (funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> B: ~K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: K=1 i T=1

Podsumowując:
Logika matematyczna świata martwego wyznacza nam w świecie żywym kiedy człowiek w przyszłości dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1) bez potrzeby czekania na rozstrzygnięcie w nieznanej przyszłości.
cnd

8.8 Operator OR(|+) w świecie martwym

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y), oraz o funkcję logiczną Y w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy 1 stronami:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Rozważmy schemat elektryczny sterowania żarówką S dwoma równolegle połączonymi przyciskami A i B.
Kod:

S2 - Fizyczna realizacja operatora OR(|+)
Operator OR(|+) to układ równań odpowiadających na pytanie o S i ~S:
1: S= A+B    | S=1<=> A=1 lub B=1
2:~S=~A*~B   |~S=1<=>~A=1 i ~B=1
                                          A
                                        ______
                                  ------o    o------
             S                    |       B        |
       -------------              |     ______     |
  -----| Żarówka   |--------------------o    o-----|
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
A, B - przyciski (wejście)
S - żarówka (wyjście)


Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania o S i ~S:


1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?

Odpowiedź:
Żarówka S będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk A (A=1) lub wciśnięty będzie przycisk B (B=1)
Y=A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1

2.
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?

Negujemy równanie 1 stronami:
~S=~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1
Stąd mamy odpowiedź:
Żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
~S=~A*~B
co w logice jedynek oznacza:
~S=1 <=> ~A=1 i ~B=1

Odpowiedź na pytanie 1 w zdarzeniach rozłącznych jest następująca:
1.
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?

Żarówka będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = A*B=1*1=1 - wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)
lub
B: Yb = A*~B=1*1=1 - wciśnięty jest przycisk A (A=1) i nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1)
lub
C: Yc = ~A*B =1*1=1 - nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1)

Gdzie:
Funkcja logiczna Y opisująca wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne w których żarówka będzie się świecić to suma logiczna funkcji cząstkowych:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y=A: A*B + B: A*~B + C: ~A*B
co w logice jedynek (funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i B=1 lub B: A=1 i ~B=1 lub C: ~A=1 i B=1

Przejdźmy z powyższym przykładem na zapis formalny (ogólny) podstawiając:
A=p
B=q
stąd mamy odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną Y:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych binarnych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Udowodniliśmy wyżej tożsamość funkcji logicznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Gdzie:
1.
Funkcja logiczna Y w której zdarzenia p i q nie są wzajemnie rozłączne to:
Y=p+q
2.
Dokładnie ta sama funkcja logiczna Y opisana zdarzeniami rozłącznymi to:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Uwaga:
Definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych każdy uczeń I klasy LO musi znać na pamięć lub błyskawicznie ją wyprowadzić.
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Wracając do naszego przykładu.

Pan od fizyki w I klasie LO nr. 1:
Jasiu, powiedz nam kiedy żarówka ze schematu S2 będzie się świecić?
Jaś:
Żarówka S będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie klawisz A (A=1) lub wciśnięty będzie klawisz B (B=1).
S=A+B
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> A=1 lub B=1
Pan:
Bardzo dobrze dostajesz ocenę 5

Pan od fizyki w I klasie LO nr. 2:
Stasiu, powiedz nam kiedy żarówka ze schematu będzie się świecić?
Staś:
Żarówka S będzie się świecić (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie klawisz A (A=1) „albo”($) wciśnięty będzie klawisz B (B=1)
Pan:
Niestety Stasiu odpowiedź niepełna, dlatego dostajesz 2.

Dlaczego odpowiedź Stasia jest matematycznie błędna?
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Porównajmy to z definicją formalną spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Wniosek:
Odpowiedź Stasia jest matematycznie błędna dowiem spójnik „albo”($) nie uwzględnia przypadku w którym oba klawisze A i B są wciśnięte jednocześnie, gdzie żarówka również będzie się świecić.

Innymi słowy:
Staś udzielił niepełnej matematycznej odpowiedzi, dlatego dostał ocenę 2.
https://www.youtube.com/watch?v=-HP1Cvjmdio

Na mocy powyższego mamy.

8.8.1 Twierdzenia o spójnikach „lub”(+) i „albo”($)

Twierdzenie o spójniku „lub”(+):
Jeśli układ spełnia definicję spójnika „lub”(+) to tego spójnika nie możemy zastąpić spójnikiem „albo”($) bowiem definicja spójnika „lub”(+) nie jest podzbiorem => spójnika „albo”($)
p+q = [p*q + p*~q+~p*q] => p$q = [p*~q + ~p*q] =0 - bo p+q nie jest (=0) podzbiorem => p$q

Dowód na przykładzie twierdzenia o spójniku „lub”(+) mamy wyżej.

Twierdzenie o spójniku „albo”($):
Jeśli układ spełnia definicję spójnika „albo”($) to ten spójnik możemy zastąpić spójnikiem „lub”(+) bowiem definicja spójnika „albo”($) jest podzbiorem => spójnika „lub”(+)
p$q = [p*~q+~p*q} => p+q = [p*q + p*~q+~p*q] =1 - bo p$q jest (=1) podzbiorem => p+q

Dowód na przykładzie:
Jaś:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „lub”(+) kobietą (K=1)
C = M+K =1
Zdanie Jasia jest prawdziwe (=1) w dziedzinie C:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Elementy zbioru C to:
M (mężczyzna) - zbiór wszystkich mężczyzn
K (kobieta) - zbiór wszystkich kobiet
Obliczenia przeczeń zbiorów M i K rozumianych jako ich uzupełnienia do dziedziny C:
~M=[C-M] = [M+K-M]=K
~K=[C-K]=[M+K-K]=M
stąd mamy:
M=~K - zbór mężczyzn to zaprzeczony zbiór kobiet w dziedzinie C
K=~M - zbiór kobiet to zaprzeczony zbiór mężczyzn w dziedzinie C

Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny C dziedziny zarówno dla zbioru M jak i dla zbioru K.
M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem zbioru M do wspólnej dziedziny C (gdzie: K=~M)
M*K =[] =0 - zbiory M i K są rozłączne (gdzie: K=~M)

Zależności między zbiorami C, M i K możemy przedstawić na diagramie:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Z powyższego diagramu wynika superprecyzyjna wypowiedź Stasia w temacie w matematycznych związków miedzy zbiorami M (mężczyzna) i K (kobieta).

Staś (superprecyzyjnie):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
C = M$K =1

Twierdzenie o spójniku „albo”($):
Jeśli układ spełnia definicję spójnika „albo”(+) to ten spójnik możemy zastąpić spójnikiem „lub”(+) bowiem definicja spójnika „albo”($) jest podzbiorem => spójnika „lub”(+)
p$q = [p*~q+~p*q} => p+q = [p*q + p*~q+~p*q] =1 - bo p$q jest (=1) podzbiorem => p+q

Na mocy twierdzenia o spójniku „albo”($) prawdziwe jest też zdanie Jasia.

Jaś (wystarczająco precyzyjnie):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „lub”(+) kobietą (K=1)
C = M+K =1

Dowód prawdziwości matematycznej zdania Jasia:
1.
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
2.
Podstawmy zdanie Jasia to tej definicji:
M+K = M*K + M*~K + ~M*K := M*~K + ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania logicznego na mocy teorii zbiorów
Dowód poprawności:
Każdy 5-cio latek wie, że zbiór mężczyzn M jest rozłączny ze zbiorem K, zatem iloczyn logiczny tych zbiorów będzie zbiorem pustym []
M*K = [] =0 - bo zbiory M i K są rozłączne.
Z tym trywialnym na poziomie podświadomości dowodem, doskonale radzi sobie mózg każdego człowieka od 5-cio latka poczynając.
Dowód:
Pani w przedszkolu:
Jasiu, czy dowolny mężczyzna może być kobietą?
Jaś (lat 5): NIE!
bo:
M~~>K = M*K =[] =0 - bo zbiory M i K są rozłączne
Dokładnie dlatego oba zdania Jasia i Stasia są matematycznie prawdziwe.
cnd

Stąd mamy:
Staś (superprecyzyjnie):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
C = M$K = M*~K + ~M*K =1
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
K=~M
Stąd mamy:
M$~M = M*~(~M) + ~M*(~M) = M*M + ~M*~M = M+~M =1
Stąd:
M$~M =1
Czytamy:
Staś:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) nie jest mężczyzną (~M=1)
C = M$~M
… oczywiście w dziedzinie minimalnej C (człowiek).

Na mocy twierdzenia o spójniku „albo”($) prawdziwe jest też zdanie Stasia
Staś (superprecyzyjnie):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „lub”(+) nie jest mężczyzną (~M=1)
C=M+~M
Dowód prawdziwości:
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Rozwijamy prawą stronę (P) definicji spójnika „lub”(+) w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych:
Podstawmy:
p=M
q=~M
P = M*~M + M*~(~M) + ~M*~M = [] + M*M + ~M*~M = M+~M =1
Decydująca o poprawności matematycznej zdania Stasia jest informacja obrabiana przez mózg każdego człowieka na poziomie podświadomości:
M*~M =[] =0 - zbiór mężczyzn (M=1) i zbiór nie mężczyzn (~M=1) to zbiory rozłączne w dziedzinie C

Alternatywne wypowiedzi dla spełnionej definicji spójnika „albo”($):
1.
Jaś (wystarczająco precyzyjnie):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „lub”(+) kobietą (K=1)
C = M+K =1
2.
Staś (superprecyzyjnie):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
C = M$K =1
3.
Rozwijamy prawą stronę definicją spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+):
C = M$K = M*~K + ~M*K
co w logice jedynek oznacza:
C=1 <=> M=1 i ~K=1 lub ~M=1 i K=1
Prawą stronę czytamy:
M*~K + ~M*K
Jaś plus Staś - tu obaj bez problemu udzielą identycznej odpowiedzi:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
„lub”(+)
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i jest kobietą (K=1)

Stąd mamy poprawną argumentację polonisty ze słownika języka polskiego:
[link widoczny dla zalogowanych]
Użycie spójnika lub w zdaniach takich, jak „Przeżyję lub umrę”, nie jest błędem. Można się jedynie spierać o to, czy nie trafniej, dobitniej, wyraziściej itd. byłoby użyć w nim synonimicznego albo

8.8.2 Operator OR(|+) w świecie żywym

Operator OR(|+) w świecie martwym omówiliśmy wyżej:
Kod:

S2 - Fizyczna realizacja operatora OR(|+)
Operator OR(|+) to układ równań odpowiadających na pytanie o S i ~S:
1: S= A+B    | S=1<=> A=1 lub B=1
2:~S=~A*~B   |~S=1<=>~A=1 i ~B=1
                                          A
                                        ______
                                  ------o    o------
             S                    |       B        |
       -------------              |     ______     |
  -----| Żarówka   |--------------------o    o-----|
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
A, B - przyciski (wejście)
S - żarówka (wyjście)


Prawo naszego Wszechświata:
Logikę świata żywego wyznacza logika świata martwego - w tym matematyka i fizyka.

Dowód na przykładzie rodem z przedszkola:
Pani:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?

Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Znaczenie zmiennej binarnej Y (wyjście):
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y) (innymi słowy: pani skłamie ~Y)

2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?

Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K+T) = ~K*~T - bo prawo De Morgana
stąd:
2.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = ~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Szczegółowa odpowiedź na pytanie 1 w zdarzeniach rozłącznych jest następująca:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?


Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: Yb=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc=~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Gdzie:
Funkcja logiczna Y opisująca wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne w których pani dotrzyma słowa to suma logiczna funkcji cząstkowych:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y= A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek (funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1

Podsumowując:
Logika matematyczna świata martwego wyznacza nam w świecie żywym kiedy człowiek w przyszłości dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1) bez potrzeby czekania na rozstrzygnięcie w nieznanej przyszłości!
cnd

8.8.3 Spójniki „lub”(+) i „albo”($) w świecie żywym

Pani w przedszkolu:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = (p+q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Nasz przykład:
Y = (K+T) = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: Yb=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc=~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy, że chwilą czasową w zdaniu ABC pani przedszkolanki jest cały jutrzejszy dzień, gdzie może się zdarzyć że:
A: Ya=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)

Wniosek:
Z faktu iż przypadek A nie jest zbiorem pustym (=0) wynika, iż w zdaniu ABC pani nie ma prawa zastąpić spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”(+) bo popełni błąd czysto matematyczny.

Zauważmy jednak, że także w tym przypadku wielu ludzi „psim pędem” rozumie spójnik „lub”(+) jako spójnik „albo”($), czyli że pani zadeklarowała pójście wyłącznie w jedno miejsce, albo do kina, albo do teatru.

Ten „psi pęd” wielu ludzi wynika z prostego, logicznego myślenia.

Zauważmy bowiem że gdyby pani była pewna, iż jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1), to w zdaniu ABC użyłaby spójnika „i”(*):
ABC’:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

Przeciętny człowiek wnioskuje tu tak:
Z faktu, że pani nie wypowiedziała zdania ABC’ wynika, iż w zdaniu ABC pani „deklaruje” pójście tylko w jedno miejsce, albo do kina, albo do teatru.

Natomiast argumentacja pani przedszkolanki jest inna:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
To samo w rozpisce na zdarzenia rozłączne:
Y = (K+T) = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1

Ja, wasza pani przedszkolanka, nie jestem pewna czy jutro zdołamy pójść do kina i do teatru, mimo iż chciałaby by dzieci poszły i do kina i do teatru.
Dokładnie z tego powodu używam spójnika „lub”(+) który obroni mnie przed zarzutem kłamstwa nawet gdy jutro pójdziemy do kina i do teatru.
Tak jest po prostu dla mnie bezpiecznej - nie chcę by dzieci pokazywały mnie palcem mówiąc „kłamczucha” w przypadku gdy jutro pójdziemy i do kina i do teatru.


8.9 Operator równoważności p|<=>q w świecie martwym

Rozważmy najprostszy schemat elektryczny:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)

Dowód iż powyższy schemat jest fizyczną relacją równoważności.

Dowodzimy członu A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => to tego, aby żarówka świeciła się.
Zawsze gdy wciśniemy A, żarówka będzie się świecić.
cnd

Dowodzimy członu B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> będzie się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S bo przycisk A jest jedynym przyciskiem który może zaświecić żarówkę S
cnd

Matematycznie zachodzi:
A1: A=>S = ~A+S ## B1: A~>S = A+~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Dowód:
Zdania A1 i B1 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>. Różność tych zdań rozpoznajemy po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy prawdziwą równoważność A<=>S:
RA1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Podstawmy to do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego w równoważności.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Nasza udowodniona równoważność to:
RA1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się (S=1)
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ziemianom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 350
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 5 960
cnd

Definicja operatora równoważności A|<=>S:
Operator równoważności RA1B1 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Prawdziwy warunek wystarczający => A1 przyjmuje tu brzmienie:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A wystarcza => dla świecenia się żarówki S
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi tu być fałszem
Sprawdzamy:
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1

Prawdziwy warunek wystarczający => B2 przyjmuje tu brzmienie:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) wystarcza => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi tu być fałszem
Sprawdzamy:
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

8.9.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie żywym

Udajmy się do przedszkola.
Pani:
RA1B1:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) tylko wtedy, gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B1: K~>T =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Pójście do kina jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, abyśmy poszli do teatru.
K<=>T = (A1: K=>T)*(B1: K~>T =1*1 =1

Prawo naszego Wszechświata:
Logikę świata żywego wyznacza logika świata martwego - w tym matematyka i fizyka.

Matematycznie nie musimy tu udowadniać ani warunku wystarczającego A1: K=>T=1, ani też warunku koniecznego B1: K~>T =1.
Analiza równoważności w świecie żywym K<=>T jest z definicji identyczna jak analiza matematyczna równoważności w świecie martwym A<=>S omówiona wyżej.
Po prostu, logika matematyczna świata martwego jest dla człowieka wzorcem, pod który podlega, nie mając żadnych szans by się spod niej uwolnić.

Z punktu odniesienia przedszkolaków istotne jest pytanie kiedy pani dotrzyma słowa (Y) a kiedy skłamie (~Y). Aby uzyskać na to pytanie prostą i jednoznaczną odpowiedź musimy przejść do równoważności opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q

Stąd mamy odpowiedź na pytanie kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1):
1.
Y = p<=>q = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
2.
~Y = ~(p<=>q) = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Wróćmy do naszego przykładu.
Pani:
RA1B1:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) tylko wtedy, gdy pójdziemy do teatru (T=1)
K<=>T = (A1: K=>T)*(B1: K~>T =1*1 =1

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Jasiu, kiedy pani dotrzyma słowa?
Jaś:
Kubuś wyłożył ci teorię matematyczną w tym temacie wyżej.

Operator równoważności K|<=>T wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?

Y = K<=>T) = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

2.
Kiedy pani nie dotrzyma skłamie (~Y=1)?

~Y=~(K<=>T) = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~Yd=~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Jak widzimy odpowiedzi na pytania kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy pani skłamie (~Y=1) są zrozumiałe dla każdego 5-cio latka, co oczywiście nie oznacza, że umiałby podłożyć pod te odpowiedzi teorię matematyczną w tym punkcie wyłożoną - teorię pozna dopiero w I klasie LO na lekcji matematyki.

8.10 Definicja spójnika „albo” p$q w świecie martwym

Udajmy się do 100-milowego lasu, na lekcję matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej.

Pani:
Jasiu, podaj matematyczne definicje kwadratu i prostokąta.

Jaś:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
Kod:

 KW - kwadrat
      a
 -----------
 |         |
 |         | a
 |         | a=a
 -----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu


Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PR=KP*~BR
Kod:

 PR - prostokąt
         a
 ----------------
 |              |
 |              | b
 |              | b##a
 ----------------
## - boki są różne ## na mocy definicji prostokąta

Zbiór wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP) to:
ZWMP = KW + PR
Po rozwinięciu definicjami mamy:
ZWMP = KW+PR = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP

Stąd mamy:
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste
ZWMP = KP
Wszystkie kąty proste KP to wspólna cecha kwadratu KW i prostokąta PR

Na mocy definicji zachodzi:
ZWMP=KP ## KW=KP*BR ## PR=KP*~BR
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy definicji mamy:
KW=KP*BR - kwadrat (KW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i boki równe (BR)
PR=KP*~BR - prostokąt (PR) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)

To są wszystkie elementy zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP, stąd mamy:
ZWMP = KW+PR
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełniania do dziedziny ZWMP:
~KW = [ZWMP-KW] = [KW+PR-KW] = PR
~PR = [ZWMP-PR] = [KW+PR-PR]=KW
stąd mamy:
PR = ~KW - zbiór prostokątów jest zaprzeczeniem zbioru kwadratów w dziedzinie ZWMP
KW=~PR - zbiór kwadratów jest zaprzeczeniem zbioru prostokątów w dziedzinie ZWMP

Matematycznie zachodzi tu definicja dziedziny zarówno dla KW jak i dla PR:
Zbiór prostokątów PR jest uzupełnieniem do dziedziny ZWMP dla zbioru kwadratów KW
KW+PR =ZWMP =1
Zbiór kwadratów KW jest rozłączny ze zbiorem prostokątów PR w dziedzinie ZWMP
KW*PR =[] =0

Jak widzimy kwadrat (KW) i prostokąt (PR) spełniają definicję spójnika „albo”($) w zbiorze wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP):
ZWMP=KW+PR

Graficzne związki matematyczne między zbiorami KW (kwadrat) i PR (prostokąt) można przedstawić następująco:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” KW(kwadrat) $ PR(prostokąt)
---------------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” KW$PR w zbiorach                    |
| Dziedzina minimalna:                                                    |
| ZWMP=KW+PR - dziedzina ZWMP to suma logiczna zbiorów KW+PR              |
---------------------------------------------------------------------------
| KW - zbiór KW(kwadrat)             | PR - zbiór PR(prostokąt)           |
| KW$PR=(A1: KW=>~PR)*(B1: KW~>~PR)  | PR$KW=(A4: PR=>~KW)*(B4: PR~>~KW)  |
| KW$PR definiuje:                   | PR$KW definiuje:                   |
| KW=~(PR)- zbiór KW jest negacją PR | PR=~(KW) - zbiór PR jest negacją KW|
| KW=~PR - zapis tożsamy             | PR=~KW - zapis tożsamy             |
| W zbiorach zachodzi również:       | W zbiorach zachodzi również:       |
| KW=~(PR)=~(~KW) - bo PR=~KW        | PR=~(KW)=~(~PR) - bo KW=~PR        |
---------------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=KW(kwadrat)
q=PR(prostokąt)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Zauważmy, że spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy do definicji spójnika „albo”($) tożsamość:
q=~p
stąd mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p)) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia, iż w logice matematycznej w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>


8.10.1 Operator „albo” p|$q w świecie martwym

Wyprowadzona wyżej definicja spójnika „albo”($) w obszarze zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP) to:
A1B1:
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP):
Dowolny czworokąt ze zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP) może być tyko i wyłącznie kwadratem (KW) „albo”($) prostokątem (PR)
ZWMP = KW$PR
Trzeciej możliwości brak

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Podstawmy udowodnioną wyżej definicję spójnika „albo” KW$PR do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego w spójniku „albo”($).
Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: KW=>~PR =1 - bycie kwadratem wystarcza => by nie być prostokątem
B1: KW~>~PR =1 - bycie kwadratem jest konieczne ~> by nie być prostokątem
KW$PR = (A1: KW=>~PR)*(B1: KW~>~PR) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=KW (kwadrat)
q=PR (prostokąt)
       A1B1:           A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=> ~q  =1 = 2:~p~> q   =1 [=] 3: ~q~> p   =1 = 4: q=> ~p  =1
A:  1: KW=>~PR =1 = 2:~KW~>PR  =1 [=] 3: ~PR~>KW  =1 = 4: PR=>~KW =1
A’: 1: p~~> q  =0 =               [=]                = 4: q~~> p  =0
A’: 1: KW~~>PR =0 =               [=]                = 4: PR~~>KW =0
       ##              ##          |      ##              ##
B:  1: p~> ~q  =1 = 2:~p=> q   =1 [=] 3: ~q=>p    =1 = 4: q~> ~p  =1
B:  1: KW~>~PR =1 = 2:~KW=>PR  =1 [=] 3: ~PR=>KW  =1 = 4: PR~>~KW =1
B’:               = 2:~p~~>~q  =0 [=] 3: ~q~~>~p  =0
B’:               = 2:~KW~~>~PR=0 [=] 3: ~PR~~>~KW=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Dziedzina:
ZWMP - zbiór wszystkich możliwych prostokątów
Definicja dziedziny:
ZWMP=KW+PR
Na mocy definicji mamy:
KW=KP*BR - kwadrat (KW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i boki równe (BR)
PR=KP*~BR - prostokąt (PR) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)

Stąd obliczamy definicję dziedziny ZWMP czyli cechę wspólną kwadratu KW i prostokąta PR:
ZWMP=KW+PR = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
ZWMP=KP

stąd mamy:
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste
ZWMP = KP
Wszystkie kąty proste KP to wspólna cecha kwadratu KW i prostokąta PR

Na mocy definicji zachodzi:
ZWMP=KP ## KW=KP*BR ## PR=KP*~BR
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q)
Nasz przykład:
Bycie kwadratem (KW=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by nie być prostokątem (~PR=1) w dziedzinie ZWMP
A1B1: KW$PR =(A1: KW=>~PR)* (B1: KW~>~PR)

A1B1:
Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu A1.

A1.
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KW=1) to na 100% => nie jest prostokątem (~PR=1)
KW=>~PR =1
Bycie kwadratem (KW=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie być prostokątem (~PR=1) w dziedzinie ZWMP
Bycie kwadratem (KW=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy prostokątem (~PR=1) w dziedzinie ZWMP
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
A1’
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KW=1) to może ~~> być prostokątem (PR=1)
KW~~>PR = KW*PR =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór kwadratów (KW=1) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (PR=1)

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2.
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
Nasz przykład:
Nie bycie kwadratem (~KW=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby być prostokątem (PR=1) w dziedzinie ZWMP
A2B2:~KW$~PR=(A2:~KW~>PR)*(B2:~KW=>PR)

A2B2:
Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu B2.

B2.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem (~KW=1) to na 100% => jest prostokątem (PR=1) w dziedzinie ZWMP
~KW=>PR =1
Nie bycie kwadratem (~KW=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być prostokątem (PR=1) w dziedzinie wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP)
Nie bycie kwadratem (~KW=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy prostokątem (PR=1) w dziedzinie ZWMP
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B2’
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem (~KW=1) to może ~~> nie być prostokątem (~PR=1) w dziedzinie ZWMP
~KW~~>~PR = ~KW*~PR =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~PR=KW - zbiór kwadratów (KW) to zanegowany zbiór prostokątów (~PR) w dziedzinie ZWMP
stąd mamy
~KW~~>KW = ~KW*KW =[] =0
bo zbiór kwadratów (KW) jest rozłączny ze zbiorem nie kwadratów (~KW) w dziedzinie ZWMP
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~KW=PR - zbiór prostokątów (PR) to zanegowany zbiór kwadratów (KW) w dziedzinie ZWMP
Stąd:
PR~~>KW = PR*KW =[] =0 - bo zbiór prostokątów (PR) jest rozłączny ze zbiorem kwadratów (KW) w dziedzinie ZWMP
cnd

Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Doskonale widać, że operator „albo” ~p|$~q to identyczna seria zdań jak wyżej, tylko analizę rozpoczynamy od A2B2 a kończymy na A1B1.

8.10.2 Operator „albo” p|$q w świecie żywym

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Udajmy się do przedszkola.
Pani:
RA1B1:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) do teatru (T=1)
K$T = (A1: K=>~T)*(B1: K~>~T) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Pójście do kina (K=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, abyśmy nie poszli do teatru (~T=1)
K$T = (A1: K=>~T)*(B1: K~>~T) =1*1 =1

Prawo naszego Wszechświata:
Logikę świata żywego wyznacza logika świata martwego - w tym matematyka i fizyka.

Matematycznie nie musimy tu udowadniać ani warunku wystarczającego A1: K=>~T=1, ani też warunku koniecznego B1: K~>~T =1.
Analiza spójnika „albo”($) w świecie żywym K$T jest z definicji identyczna jak analiza matematyczna spójnika „albo”($) w świecie martwym:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
C=M$K
Po prostu, logika matematyczna świata martwego jest dla człowieka wzorcem, pod który podlega, nie mając żadnych szans by się spod niej uwolnić.

Z punktu odniesienia przedszkolaków istotne jest pytanie kiedy pani dotrzyma słowa (Y) a kiedy skłamie (~Y). Aby uzyskać na to pytanie prostą i jednoznaczną odpowiedź musimy przejść do spójnika „albo”($) opisanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Definicja podstawowa spójnika „albo”($):
Y = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
stąd mamy:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
stąd mamy:
Y = p$q = p*~q + ~p*q

Stąd mamy odpowiedź na pytanie kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y=1):
1.
Y = p$q = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
2.
~Y = ~(p$q) = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Wróćmy do naszego przykładu.
Pani:
RA1B1:
Jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) pójdziemy do teatru (T=1)
K$T = (A1: K=>~T)*(B1: K~>~T =1*1 =1

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Jasiu, kiedy pani dotrzyma słowa?
Jaś:
Kubuś wyłożył ci teorię matematyczną w tym temacie wyżej.

Operator „albo” K|$T wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?

Y = K$T) = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
Yd = ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

2.
Kiedy pani dotrzyma skłamie (~Y=1)?

~Y=~(K$T) = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Ya=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
~Yc=~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Jak widzimy odpowiedzi na pytania kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy pani skłamie (~Y=1) są zrozumiałe dla każdego 5-cio latka, co oczywiście nie oznacza, że umiałby podłożyć pod te odpowiedzi teorię matematyczną w tym punkcie wyłożoną - teorię pozna dopiero w I klasie LO na lekcji matematyki.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 8:40, 26 Kwi 2021    Temat postu:

Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#582221


Spis treści
8.11 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej 1
8.11.2 Koniec i bomba, kto nie zrozumiał, ten trąba 7
8.11.2 Definicje czworokątów w 100-milowym lesie 8
8.11.3 Przykładowy błąd definicyjny w podręczniku matematyki do 5 klasy sp 11


8.11 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej

Uwaga:
Poprawne definicje kwadratu KW i prostokąta PR rodem z podręcznika matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej w 100-milowym lesie zaprezentowano w punkcie 8.10.

W ziemskich podręcznikach matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej definicje kwadratu KW i prostokąta PR są następujące.

Lekcja matematyki w ziemskiej 5 klasie ziemskiej szkoły podstawowej.
Pani:
Jasiu, podaj matematyczne definicje kwadratu i prostokąta.

Jaś:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
Kod:

 KW - kwadrat
      a
 -----------
 |         |
 |         | a
 |         | a=a
 -----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu


Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste
PR=KP

Zauważmy, że definicja prostokąta u ziemian definiuje zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP nie definiując prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW!

U ziemian mamy tak:
Kod:

Zbiór wszystkich możliwych prostokątów to:
ZWMP = KW + PRNKW

Gdzie:
KW - kwadrat
      a
 -----------
 |         |
 |         | a
 |         | a=a
 -----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu

 PRNKW - prostokąt nie będący kwadratem
         a
 ----------------
 |              |
 |              | b
 |              | b##a
 ----------------
## - boki są różne ## na mocy definicji prostokąta nie będącego kwadratem

U ziemian dziedzina, czyli zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP opisany jest równaniem logicznym:
ZWMP = KW+PRNKW

Na czym polega fatalny błąd definicyjny w ziemskim podręczniku do 5 klasy szkoły podstawowej?

Ziemianie w zakresie zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP) dysponują dwoma definicjami:

Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR

Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR=KP

Teraz uwaga ziemianie!
Wasza definicja prostokąta nie definiuje kluczowego tu pojęcia - prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.
Wasza definicja prostokąta PR definiuje wspólną cechę kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.

Na czym polega katastrofalny błąd definicyjny ziemskich matematyków?

Zbiór kwadratów KW i zbiór prostokątów nie będących kwadratem PRNKW to zbiory rozłączne w dziedzinie zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
ZWMP = KW+PRNKW

Poprawne definicje matematyczne kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW są następujące:

Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW:
Prostokąt nie będący kwadratem to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PRNKW=KP*~BR

Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP to zbiór dwuelementowy gdzie elementami tego zbioru jest kwadrat KW i prostokąt nie będący kwadratem PRNKW.

Proszę o uwagę ziemskich matematyków po raz pierwszy:
Dopiero po zdefiniowaniu elementów zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP w postaci kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW wolno wam obliczyć w sposób czysto matematyczny cechę wspólną KW i PRNKW którą są wszystkie kąty proste KP

Dowód:
ZWMP = KW + PRNKW = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
cnd

Proszę o uwagę ziemskich matematyków po raz drugi:
Jeśli chodzi o definiowanie pojęć to humaniści i 5-cio latki są o lata świetlne przed ziemskimi matematykami, którzy nie mają o tym najmniejszego pojęcia!

Dowód na przykładzie identycznym jak problem zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP.

Definicja kobiety:
Kobieta to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, zdolna do rodzenia dzieci
K= IŻ*JL*RD

Definicja mężczyzny:
Mężczyzna to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, niezdolna do rodzenia dzieci
M = IŻ*JL*~RD

Zauważmy, że kluczową cechą pozwalającą humaniście i 5-cio latkowi odróżniać kobietę od mężczyzny jest pokazanie jednej, jedynej cechy, po której można odróżnić mężczyznę od kobiety - ta cecha to np. zdolność do rodzenia dzieci RD (kobieta) i niezdolność do rodzenia dzieci ~RD (mężczyzna)

Zauważmy, że dopiero po precyzyjnym zdefiniowaniu wszystkich możliwych elementów zbioru C (człowiek) możemy wyprowadzić cechę wspólną dla wszystkich ludzi.

C = K+M = IŻ*JL*RD + IŻ*JL*~RD = IŻ*JL*(RD+~RD) = IŻ*JL

Stąd mamy precyzyjną definicję człowieka C.

Definicja człowieka:
Człowiek to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem
C = IŻ*JL

Proszę o uwagę ziemskich matematyków po raz trzeci:
Wasz czysto matematyczny błąd jaki popełniacie przy definiowaniu zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP jest w przełożeniu na definicję zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) następujący.

Definiujecie sobie precyzyjnie kobietę, co jest odpowiednikiem definicji kwadratu KW i to jest dobre.

Definicja kobiety:
Kobieta to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, zdolna do rodzenia dzieci
K= IŻ*JL*RD

Po czym definiujecie pojęcie człowiek (C) co jest odpowiednikiem zdefiniowania waszego zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP)

Definicja człowieka:
Człowiek to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem
C = IŻ*JL

… i to jest niestety koniec wszystkich waszych definicji matematycznych w dziedzinie C (człowiek).

Pytanie do ziemskich matematyków jest tu następujące:
Gdzie jest definicja kobiety?!

Oczywistym jest, że nie jest definicją kobiety pokazywanie wspólnej cechy kobiety (K) i mężczyzny (M) którym jest np. używanie ludzkiego języka.
Humanista i 5-cio latek kobietę od mężczyzny odróżniają jedną, jedyną cechą odróżniającą kobietę (K) od mężczyzny (M) np. zdolność do rodzenia dzieci.

Mam nadzieję, że wszyscy już zrozumieli dlaczego w definiowaniu czegokolwiek ziemscy matematycy są lata świetlne za humanistami i 5-cio latkami, ekspertami algebry Kubusia.
Ziemscy matematycy po prostu nie rozumieją algebry Kubusia, której naturalnymi ekspertami są humaniści i 5-cio latki.

Wszystkiemu winne jest najbardziej śmierdzące gówno jakie człowiek w swej historii wymyślił „implikacja materialna” - ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy to zrozumieją?

Definicja normalnego matematyka:
Normalny matematyk jeśli ma do czynienia ze zbiorem małym którego elementy łatwo jednoznacznie zdefiniować najpierw definiuje te elementy, i dopiero po tym fakcie wyprowadza w sposób czysto matematyczny cechy wspólne tych elementów.

Przykładem może być tu matematyka 100-milowego lasu w temacie zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP) opisana w punkcie 8.10.

Fragment oficjalnego programu nauczania matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej:
[link widoczny dla zalogowanych]

Klasa 5
IX.
Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:
4) rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez;
XI.
Obliczenia w geometrii. Uczeń:
2) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu, przedstawionych na rysunku

Pytanie do ziemskich matematyków:
W jaki sposób uczeń ma obliczyć pole prostokąta skoro w ziemskim podręczniku matematyki oficjalna definicja prostokąta to zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP w postaci kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.
ZWMP = KW+PRNKW

W jaki sposób można policzyć pole zbioru wszystkich możliwych prostokątów?!

Dlaczego mimo tak katastrofalnego błędu definicyjnego w obszarze zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP matematyka działa?

Odpowiedź:
Mózg człowieka ma w głębokim poważaniu ziemską, oficjalną definicję prostokąta PR rozumianą jako zbiór wszystkich możliwych prostokątów:
PR = KW+PRNKW = KP

Wszystkie zadania matematyczne mówiące o prostokącie de facto mówią o prostokącie nie będącym kwadratem PRNKW, czyli prostokącie o różnych bokach a i b!

Dowód:
Pewne jest, że nikt nie znajdzie zadania matematycznego dotyczącego prostokąta gdzie na obrazku narysowany jest kwadrat KW zamiast prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.

Co więcej:
Jeśli jakiś matematyczny głąb narysuje kwadrat i podpisze prostokąt, to będzie to błąd czysto matematyczny!

Dlaczego?
Bo ziemska definicja prostokąta PR jest tożsama ze zbiorem wszystkich możliwych prostokątów ZWMP o definicji:
PR = ZWMP = KW + PRNKW = KP

Gdzie:
Definicja kwadratu:
Kwadrat (KW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i boki równe (BR)
KW=KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW:
Prostokąt nie będący kwadratem PRNKW to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PRNKW=KP*~BR

Stąd:
ZWMP=KW+PRNKW = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
ZWMP =KP

Stąd mamy:
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste (KP)
ZWMP = KW + PRNKW = KP

Podsumowując:
Jeśli uczeń dostanie od ziemskiej pani matematyczki polecenie.
Jasiu narysuj prostokąt wedle ziemskiej definicji:
PR=KP - prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP)
To Jaś musi narysować na tablicy zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP, czyli kwadrat KW oraz prostokąt nie będący kwadratem PRNKW.
ZWMP = KW + PRNKW = KP

Jeśli Jaś nie wykona na tablicy dwóch rysunków KW (kwadratu) i PRNKW (prostokąta nie będącego kwadratem) to powinien od pani matematyczki dostać pałę.

Pokazuję i objaśniam dlaczego Jaś na polecenie pani matematyczki „narysuj prostokąt” musi narysować dwa czworokąty KW (kwadrat) i PRNKW (prostokąt nie będący kwadratem).
1.
Załóżmy że, że jako pierwszy czworokąt Jaś rysuje kwadrat:
Kod:

Definicja kwadratu KW:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP)
i wszystkie boki równe (BR)
KW=KP*BR
      a
 -----------
 |         |
 |         | a
 |         | a=a
 -----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu

Matematycznie ewidentnie tu zachodzi:
KW = KP*BR ## ZWMP=KP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Jaś rysując kwadrat nie narysował jeszcze zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
ZWMP = KP
2.
Aby usunąć znaczek różne na mocy definicji ## Jaś musi do kompletu dorysować prostokąt nie będący kwadratem PRNKW:
Kod:

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW:
Prostokąt nie będący kwadratem PRNKW to czworokąt
mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PRNKW=KP*~BR
         a
 ----------------
 |              |
 |              | b
 |              | b##a
 ----------------
## - boki są różne ## na mocy definicji prostokąta nie będącego kwadratem

3.
Dopiero jak na tablicy będą widniały oba czworokąty KW oraz PRNKW Jaś może zapisać.

Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste (KP)
ZWMP = KW + PRNKW = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP

Podsumowując:
Tylko i wyłączne za dwa kompletne czworokąty narysowane na tablicy KW plus PRNKW Jaś ma prawo dostać ocenę: 5.
W każdym innym przypadku Jaś musi dostać pałę: 2
cnd

Pytanie do ziemskich matematyków:
Która pani matematyczka o tym wie?
W którym ziemskim podręczniku matematyki o tym pisze?

8.11.2 Koniec i bomba, kto nie zrozumiał, ten trąba

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-30525.html#592715
JWPB napisał:
Kubuś napisał:
Każdy 5-cio latek wie co jest sprzedawane w kwiaciarni - i oczywiście nie musi znać w 100% co jest w takiej kwiaciarni sprzedawane.

Również każdy 5-ciolatek wie, że każdy prostokąt na wszystkie kąty proste, ale nie musi wiedzieć ile boków prostokąta jest równych sobie i w takim razie w zupełnej zgodzie a AK może uznać, że 3 boki są równe sobie, a czwarty inny.

Niestety, wyszedł z pana matematyczny głąb.

Dowód:
W dalszej części będę stosował ziemską terminologię dotyczącą zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP, inaczej z ziemskimi matematykami się nie dogadam.

Twierdzenie:
Ziemski matematyk który nie będzie rozumiał co dalej do niego piszę stosując aktualne ziemskie definicje, jest matematycznym głąbem.

Każdy ziemski matematyk (o ile nie jest głąbem) musi wiedzieć że są dwa i tylko dwa rodzaje prostokątów, to:

Definicja kwadratu:
Kwadrat (KW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i wszystkie boki równe (BR)
KW=KP*BR

oraz:
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW:
Prostokąt nie będący kwadratem (PRNKW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PRNKW = KP*~BR

Każdy ziemski doskonale zna poniższe równanie (jak nie zna to jest głąbem):
PR=KW+PRNKW
po rozwinięciu mamy:
PR= KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP

Stąd mamy.
Ziemska definicję prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = KP

Teraz proszę o uwagę i skupienie!

1.
Każdy ziemski matematyk musi widzieć iż:

Zbiór kwadratów KW jest podzbiorem => zbioru wszystkich możliwych prostokątów PR
Dowód:
KW=[KP*BR] => PR=[KP*BR + KP*~BR]
cnd
Na mocy powyższego wyłącznie matematyczny głąb może powiedzieć iż pojęcie „kwadrat” jest tożsame z pojęciem „prostokąt”
Innymi słowy:
KW =KP*BR ## PR=[KP*BR+KP*~BR)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podobnie.
2.
Każdy ziemski matematyk musi widzieć iż:

Zbiór prostokątów nie będących kwadratem PRNKW jest podzbiorem => zbioru wszystkich możliwych prostokątów PR
Dowód:
PRNKW=[KP*~BR] => PR=[KP*BR + KP*~BR]
cnd
Na mocy powyższego wyłącznie matematyczny głąb może powiedzieć iż pojęcie „prostokąt nie będący kwadratem PRNKW” jest tożsame z pojęciem „prostokąt”
Innymi słowy:
PRNKW =KP*~BR ## PR=[KP*BR+KP*~BR)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Koniec i bomba, kto nie zrozumiał, ten trąba!


8.11.2 Definicje czworokątów w 100-milowym lesie

Definicja definicji:
Dowolna definicja musi być jednoznaczna w całym Uniwersum

Gdzie:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Innymi słowy:
Definicje podstawowe wszystkich czworokątów muszą być jednoznaczne w całym Uniwersum.

Dopiero na bazie poprawnych definicji wszystkich czworokątów możemy sobie tworzyć zbiory w oparciu o dowolne kryterium, ani grama wcześniej!

Fragment oficjalnego programu nauczania matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej:
[link widoczny dla zalogowanych]

Klasa 5
IX.
Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:
4) rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez;
XI.
Obliczenia w geometrii. Uczeń:
2) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu, przedstawionych na rysunku

Zobaczmy jak wyglądają definicje najważniejszych czworokątów w podręczniku matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej w 100-milowym lesie.

Kod:

      a
 -----------
 |         |
 |         | a
 |         | a=a
 -----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu

Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i wszystkie boki równe (BR)
KW = KP*BR




Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PR=KP*~BR




Definicja rombu:
Romb to czworokąt, którego wszystkie boki są równe ale nie wszystkie kąty są proste
RB=~KP*BR




Definicja równoległoboku:
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równoległe ale nie równe, i nie ma wszystkich kątów są prostych
ROWN=2BPRNR*~KP




Definicja trapezu:
Trapez to czworokąt który ma dokładnie jedną parę boków równoległych ale nie równych
TRAP = 1PBRNR

Rodzaje trapezów:




Trapez równoramienny:
Trapez równoramienny to trapez który ma dwa ramiona równe (c=d)




Trapez prostokątny
Trapez prostokątny to trapez, którego jedno ramię tworzy kąt prosty z podstawami.

8.11.3 Przykładowy błąd definicyjny w podręczniku matematyki do 5 klasy sp

[link widoczny dla zalogowanych]




Definicja trapezu:
Trapez to czworokąt który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Powyższa definicja pasuje do przedstawionego rysunku jak pies do jeża - jest niejednoznaczna w obszarze Uniwersum, zatem matematycznie błędna.

Zauważmy bowiem, że przynajmniej jedną parę boków równoległych mają:
1. Kwadrat
2. Prostokąt
3. Romb
4. Równoległobok
5. Trapez

Poprawna definicja powyższego zbioru powinna brzmieć.

Definicja zbioru wszystkich możliwych trapezów ZWMT:
Zbiór wszystkich możliwych trapezów (ZWMT) to zbiór czworokątów mających przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Sensowne pytanie pani matematyczki to:
Jasiu, wymień czworokąty należące do zbioru wszystkich możliwych trapezów ZWMT.
Poprawna odpowiedź to wymienienie wszystkich pięciu czworokątów.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 17:14, 27 Kwi 2021, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 21:30, 27 Kwi 2021    Temat postu:

Największe odkrycie w historii algebry Kubusia!
Największe, bo ostatnie z kluczowych odkryć stawiające kropkę nad "i"!

Na czym polega?
Na zapisaniu ogólnego algorytmu komputerowego (punkt 5.3) pozwalającego błyskawicznie rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q".
Algorytm jest absolutnie wspaniały - widzi nawet operator "albo" p|$q!

To już przesądzone:
Nawet najbardziej twardogłowi matematycy (fanatycy gówna zwanego "implikacją materialną") nie mają żadnych szans by się obronić przed algebrą Kubusia, logiką matematyczną której ekspertami są 5-cio latki!

Fragment z aktualnego wstępu:
4.
Algebrę Kubusia dedykuję naszym wnukom, aby nikt, nigdy więcej, nie prał im mózgów gównem zwanym „implikacja materialna”.
Tu nie chodzi o gołą tabelę zero-jedynkową zwaną przez ziemian „implikacją materialną” (sama tabela jest identyczna jak w algebrze Kubusia), ale o jej przełożenie na prawa matematyczno-fizyczne obowiązujące w naszym Wszechświecie w tym na język potoczny człowieka.

5.
W algebrze Kubusia 100% definicji w zakresie logiki matematycznej jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką „matematyczną” ziemskich matematyków.
Wynika z tego, że niemożliwa jest dyskusja między mną, a twardogłowym matematykiem (np. Irbisolem) dla którego bogiem jest „implikacja materialna”, który zadaje pytania sensowne na gruncie „implikacji materialnej” oczekując jedynie słusznej odpowiedzi, sensownej na gruncie „implikacji materialnej”.
Dowód to moja dyskusja z Irbisolem:
Szach-mat w czterech posunięciach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-w-finalna,18263.html#578421

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q


Spis treści
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q 1
5.1 Elementarz algebry Kubusia 2
5.1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
5.1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
5.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 5
5.2.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a 9
5.2.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 10
5.2.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 13
5.2.4 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q 16
5.3 Algorytm analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” 17
5.4 Sprawdzanie algorytmu analizy zdań w operatorze implikacji prostej P||=>CH 18
5.4.1 Zdanie bazowe P~~>CH 19
5.4.2 Zdanie bazowe P~~>~CH 21
5.4.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH 22
5.4.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH 23
5.5 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH 24
5.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 25



5.0 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

5.1 Elementarz algebry Kubusia

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

5.1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

5.1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

5.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Kod:

   p  q p=>q
A: 1  1 =1
B: 1  0 =0
C: 0  0 =1
D: 0  1 =1

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Kod:

   p  q p~>q
A: 1  1 =1
B: 1  0 =1
C: 0  0 =1
D: 0  1 =0

Stąd w rachunku zero-jedynkowym mamy:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na mocy tabeli T1 zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

T1.
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A2B2:~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1:
Kod:

TA1B1:
A1:   Y= (p=>q)=~p+q  ## A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ## B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                         #                       #
A1N: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## A1B1N:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

5.2.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zapiszmy zatem tabelę TA1B1 tylko i wyłącznie w funkcjach logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

TA1B1:
A1:   Y= (p=>q)=~p+q  ## A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ## B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                         #                       #
A1N:  Y= (p=>q)= p*~q ## A1B1N: Y= (p|=>q)=p+~q ## B1N: Y= (p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q [=] B1N: Y=(p~>q)=~p*q

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

5.2.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Po udowodnieniu prawdziwości A1 nie musimy dowodzić prawdziwości A2, gwarantuje nam to prawo Kubusia.
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


5.2.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

5.2.4 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q

Podsumujmy poznaną wyżej teorię.

IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)

Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



5.3 Algorytm analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”

START
1.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

2.
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

3.
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe lub zbiór pusty idź do 5

Inaczej:
4.
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego lub zbioru pustego
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

5.
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

6.
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

7.
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

8.
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowany spójnik logiczny p|?q będący częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w algorytmie podstawowym.

5.4 Sprawdzanie algorytmu analizy zdań w operatorze implikacji prostej P||=>CH

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

A1B1:
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - zdarzenia p i ~q są rozłączne (kontrprzykład dla A1)
A2B2:
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście ~p i q
                B2’ to prawdziwy kontrprzykład dla fałszywego B2:~p=>~q=0


Weźmy przykładowy wzorzec którym będziemy sprawdzać powyższy algorytm.
Wx.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - bo możliwe jest (=1) zdarzenie pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Oczywistym jest, że przy sprawdzaniu algorytmu z założenia nie mamy pojęcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie Wx.

Wiemy tylko i wyłącznie to, iż badane zdanie może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności:
5. p|$q - operator „albo”($)

Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.

Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne:
1: (p||=>q) = (p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
2: (p||~>q) = (p|~>q) = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
##
3: (p|<=>q) = p<=>q = (A1:p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
##
4: (p||~~>q) = (p|~~>q) = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0
##
5: (p|$q) = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

5.4.1 Zdanie bazowe P~~>CH

Zadanie 541
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
P~~>CH = P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)

Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
2: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN

Dygresja:
Łatwo sprawdzić, że zdanie W1 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 - wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P=>CH (prawo Kobry).
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
W punkcie 5.5 mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Tu jest wejście także z punktów 5.4.2, 5.4.3 i 5.4.4

3.
Punkt trzeci algorytmu:

Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

5.
Punkt piąty algorytmu:

Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

6.
Punkt szósty algorytmu:

Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

Nasz przykład:
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem nic nie musimy robić.
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

7.
Punkt siódmy algorytmu:

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

8.
Punkt ósmy algorytmu:


Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH, czyli:
Idź do punktu 5.5

5.4.2 Zdanie bazowe P~~>~CH

Zadanie 542
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)

Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Dygresja:
Łatwo sprawdzić, że zdanie W2 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 pod postacią fałszywego kontrprzykładu A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P=>CH =1:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
W punkcie 5.5 mamy:
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Idź do punktu 3 w punkcie 5.4.1

5.4.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH

Zadanie 543
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)

Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
2: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
3. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
4: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Dygresja
Łatwo sprawdzić, że zdanie W3 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 - wchodzi w skład warunku koniecznego A2:~P~>~CH (prawo Kobry)
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
W punkcie 5.5 mamy:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak padania (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie istnienia chmur (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

Idź do punktu 3 w punkcie 5.4.1

5.4.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH

Zadanie 544
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
2. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
3: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Dygresja
Łatwo sprawdzić, że zdanie W4 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 pod postacią zdarzenia możliwego ~~> B2’.
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
W punkcie 5.5 mamy:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Idź do punktu 3 w punkcie 5.4.1

5.5 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH

Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla istnienia chmur
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

5.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)=>(CH=1)=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1)=(P=1)*(~CH=1)=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Co w logice jedynek oznacza:
A2: (~P=1)~>(~CH=1) = A1: (P=1)=>(CH=1) =1
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P=1)~~>(CH=1) = (~P=1)*(CH=1) =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:23, 30 Kwi 2021, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 9:58, 01 Maj 2021    Temat postu:

Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to logika matematyczna której autorem jest Bóg, stwórca naszego Wszechświata.
My, ziemianie, możemy co najwyżej rozszyfrowywać AK, wykluczone jest, abyśmy byli jej autorami choćby w mikroskopijnym zakresie.

Moja wiedza na temat algebry Kubusia od 15 lat cały czas poszerza się.
Dokładnie wczoraj zrobiłem RESTART porządkując algebrę Kubusia, zgodnie z moją aktualną wiedzą na jej temat.

Postanowiłem podzielić AK na dwie części.
Część I:
Nowa algebra Boole'a
Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Obie części mają ścisły związek z językiem potocznym człowieka co non-stop wszędzie dowodzę, jednak fundament logiki matematycznej człowieka to zdania warunkowe "Jeśli p to q" których ziemscy matematycy matematycy kompletnie nie rozumieją. Winowajca jest oczywiście zlokalizowany - to potwornie śmierdzące gówno zwane "implikacją materialną"

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nowa-algebra-boole-a-w-finalna,18893.html#593673

Nowa algebra Boole’a
Matematyczny Raj: 2021-05-01

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Nowa algebra Boole’a

Części:
1.0 Podstawowa algebra Boole’a
2.0 Algebra Boole’a w języku potocznym
3.0 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a
4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a
5.0 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych
6.0 Jak uczyć algebry Boole’a


Wstęp
Nowa algebra Boole’a jest ważną częścią algebry Kubusia opisującą wszystkie możliwe operatory logiczne przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
Odpowiedź:
Stara algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a co dowiedziono w punkcie 4.0
4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 20:36, 01 Maj 2021    Temat postu:

4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a

Zdecydowanie najciekawszy fragment "Nowej algebry Boole'a!"

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nowa-algebra-boole-a-w-finalna,18893.html#593691

Nowa algebra Boole’a
4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a

Spis treści
4.0 Nieznana algebra Boole’a 1
4.1 Wstęp do Armagedonu algebry Boole’a 2
4.2 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a na poziomie przedszkola 3
4.3 Armagedon algebry Boole’a w funkcjach jednoargumentowych 6
4.3.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu 8
4.4 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 10
4.4.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu 12
4.5 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach równoważności <=> i „albo”($) 14
4.5.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu 16



4.0 Nieznana algebra Boole’a

Dlaczego nieznana?
W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = p*q+~p*~q - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Zdarzenia:
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić, że możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
lub
Zbiory:
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym
tu wystarczy udowodnić iż istnieje wspólny element zbiorów p i q

4.1 Wstęp do Armagedonu algebry Boole’a

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Twierdzenie Smoka:
Algebra Boole’a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna

Wniosek z twierdzenia Smoka:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna

Dowód twierdzenia Smoka na przykładach w następnych punktach.

4.2 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a na poziomie przedszkola

Fragment następnego rozdziału (pkt. 5.0):
S1
Fizyczna realizacja układu logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Kod:

Schemat: S1                         q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A1B1:
A1:
Żarówka świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p) lub wciśnięty jest przycisk q (q)
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek z przycisków jest wciśnięty i już żarówka świeci się

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q)
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Znaczenie zmiennych:
Y - żarówka świeci się
~Y - żarówka nie świeci się
Zapisy tożsame:
Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci się (~Y)

Jest oczywistym, że powyższy, trywialny opis działania układu ze schematu S1 znany jest każdemu uczniowi I klasy LO, znany jest każdemu ziemskiemu matematykowi.
Na czym polega tragedia wszystkich ziemskich matematyków w opisie układu S1?

Ziemski matematyk nie znając pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) zapisuje zdania A1 i B1 jako dwa niezależne zdania tak:
A1’.
Żarówka świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska p (p) lub wciśnięty jest przycisk q (q)
Y = p+q

.. a kiedy żarówka nie świeci się?
Ziemski matematyk odpowiada:
B1’.
Żarówka nie świeci się (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q)
Y=~p*~q

Zauważmy, że bez funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy uczeń I klasy LO (z wyjątkiem ziemskich matematyków, niestety).
A1’: Y - żarówka świeci się
B1’: Y - żarówka nie świeci się
Sprzeczność czysto matematyczną widzi tu każdy przedszkolak!
cnd

Matematycznym kodowaniem zdań A1’ i B1’ (wyłącznie funkcjami w logice dodatniej bo Y) ziemski matematyk obala własną algebrę Boole’a tylko nie jest tego świadom.
Dowód:
Poprawny opis matematyczny układu S1 jest następujący:
Kod:

T1
Tabela prawdy dla schematu S1
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej

Teraz uwaga panowie matematycy:
Zapisując funkcję logiczną B1 w logice dodatniej (bo Y) robicie błąd czysto matematyczny polegający na zabiciu kluczowego tu znaczka różne #.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Kod:

T2
Tabela gówno-prawdy dla schematu S1 ziemskich matematyków
A1’: Y=p+q # B1’: Y=~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej

Zauważmy, że w tabeli T2 definicja znaczka różne # legła w gruzach - dokładnie to morderstwo popełniają absolutnie wszyscy ziemscy matematycy nie będąc tego świadomym.
Doskonale widać, że matematycy kodując oba zdania A1’ i B1’ funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) zabijają swoją własną algebrę Boole’a, czyniąc ją wewnętrznie sprzeczną na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a
cnd

Uwaga:
Jedyna linia obrony ziemskich matematyków może tu być taka:
B1’
Y=~p*~q
Gdzie:
a)
Y=0 - żarówka nie świeci się
stąd zapis zdania B1’:
Y=0 <=> ~p*~q
b)
Y=1 - żarówka świeci się
Stąd zapis zdania A1’:
Y=1 <=> p+q
Problem w tym, że matematyk który tak opisze schemat S1 wpada z deszczu pod rynnę, udowadniając iż nie zna definicji funkcji logicznej!
Dowód:
W dowolnym podręczniku matematyki znajdziemy funkcje logiczne typu:
Y = ~p*~q
ale nigdzie nie znajdziemy gówno-funkcji logicznej typu:
Y=0 <=> ~p*~q

Definicja funkcji logicznej Y w logice matematycznej:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y=p+q
etc

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=0<=>~p*~q
Y=1<=>~p*~q
Y=~p*(~q=1)
etc


4.3 Armagedon algebry Boole’a w funkcjach jednoargumentowych

Operatory jednoargumentowe w tabel TS to:
A12: Y=p
A13: Y=q
A14: Y=~p
A15: Y=~q
Z faktu iż mamy tu do czynienia z operatorami jednoargumentowymi, za bazę do dalszych rozważań możemy przyjąć dwie funkcje logiczne.

Weźmy funkcję logiczną A12 zmieniając indeksowanie na A1 co jest bez znaczenia:
A1:
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
B1:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Stąd mamy:
A1: Y=p # B1: ~Y=~p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Weźmy funkcję logiczną A14 zmieniając indeksowanie na A2 co jest bez znaczenia:
A2:
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
B2:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Stąd mamy:
A2: Y=~p # B2: ~Y=p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Zapiszmy funkcje logiczne A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1: Y=p     ##  A2: Y=~p
    #       ##      #
B1:~Y=~p    ##  B2:~Y=p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
Irbisol napisał:
Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz.


Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=p     ##  A2: Y=~p
    #       ##      #
B1: Y=~p    ##  B2: Y=p

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=p  [=] B2: Y=p
A2: Y=~p [=] B1: Y=~p

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

4.3.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu

I.
Pani w przedszkolu nr.1 mówi:

A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1

Znaczenie funkcji logicznej Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Pani skłamie (~Y) = Pani nie dotrzyma słowa (~Y)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy funkcję logiczną A1 dwustronnie:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Na mocy powyższego zapisujemy:
A1: Y=K # B1: ~Y=~K
gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

II.
Pani w przedszkolu nr.2 mówi:

A2.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A2 dwustronnie:
B2.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1

Na mocy powyższego zapisujemy:
A2: Y=~K # B2: ~Y=K
gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

Zapiszmy dialogi z obu przedszkoli w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1: Y=K     ##  A2: Y=~K
    #       ##      #
B1:~Y=~K    ##  B2:~Y=K

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy, wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem wszystkich ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=K     ##  A2: Y=~K
    #       ##      #
B1: Y=~K    ##  B2: Y=K

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=p  [=] B2: Y=p
A2: Y=~p [=] B1: Y=~p

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd


4.4 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w tabeli spójników TS to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
A0: Y=p*q
A1: Y=p+q
A2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
A3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Weźmy funkcję logiczną A1: Y=p+q:
A1:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

… a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
~Y=~(p+q)=~p*~q - prawo De Morgana
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Stąd mamy:
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Weźmy funkcję logiczną A3: Y=~p*~q zmieniając indeksowanie na A2: Y=~p*~q co jest bez znaczenia:
A2:
Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

… a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie, stąd:
~Y=~(~p*~q) = p+q - prawo De Morgana
B2:
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1

Stąd mamy:
A1: Y=~p # B2: ~Y=p

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Zapiszmy funkcje logiczne A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1: Y=p+q    ##  A2: Y=~p*~q
    #        ##      #
B1:~Y=~p*~q  ##  B2:~Y=p+q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=p+q    ##  A2: Y=~p*~q
    #        ##      #
B1: Y=~p*~q  ##  B2: Y=p+q

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=p+q   [=] B2: Y=p+q
A2: Y=~p*~q [=] B1: Y=~p*~q

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

4.4.1 Przykład Armagedonu ziemskiej algebry Boole’a w przedszkolu

I.
Pani w przedszkolu Nr.1 mówi:

A1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub to teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1.
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
Stąd mamy:
B1:
~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Pani w przedszkolu Nr.2 mówi:
A2.
Jutro nie pójdziemy ani do kina (~K=1), ani do teatru (~T=1)
zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A2:
~Y=~(~K*~T)=K+T
Stąd mamy:
B2:
~Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

Zapiszmy zdania z przedszkola Nr.1 i Nr.2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1:  Y= K+ T  ## A2:  Y=~K*~T
     #                #
B1: ~Y=~K*~T  ## B2: ~Y= K+ T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać iż w tabeli T1 definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Dogmat ziemskich matematyków:
My, ziemscy matematycy, wszelkie funkcje logiczne zapisujemy tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y). Logika ujemna (bo ~Y) jest nam psu na budę potrzebna, to wymysł majaczeń Rafała3006.

Zgodnie z aktualnym dogmatem ziemskich matematyków w tabeli T1 likwidujemy przeczenia przy funkcjach logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
Kod:

T1’
A1: Y=K+T    ##  A2: Y=~K*~T
    #        ##      #
B1: Y=~K*~T  ##  B2: Y=K+T

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych po przekątnych:
Kod:

A1: Y=K+T   [=] B2: Y=K+T
A2: Y=~K*~T [=] B1: Y=~K*~T

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

4.5 Armagedon algebry Boole’a w spójnikach równoważności <=> i „albo”($)

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Z tabeli wszystkich możliwych spójników TS odczytujemy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”
A6: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A10: Y = (p$q) = p*~q + ~p*q

Weźmy funkcję logiczną A6: Y=p<=>q zmieniając indeksowanie na A1: Y=p<=>q co jest bez znaczenia:
A1:
Y=(p<=>q) =p*q+~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

… a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo zanegować dwustronnie.
A1: Y = (p<=>q) = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Stąd:
B1:
~Y=~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Stąd mamy:
A1: Y=p*q+~p*~q # B1: ~Y=p*~q + ~p*q

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Weźmy funkcję logiczną A