Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2021-01-06)

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 9:03, 01 Lis 2020    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2021-01-06)

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-01-06

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein


Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Części:
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.0 Nieznana algebra Boole’a
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
4.0 Implikacja prosta p|=>q
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q
6.0 Definicja chaosu p|~~>q
7.0 Definicja równoważności p<=>q
8.0 Obietnice i groźby

Algebra Boole’a dla przedszkolaków
9.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Algebra Kubusia dla LO
10.0 Algebra Kubusia dla LO
10.1 Definicja implikacji prostej p|=>q
10.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
10.3 Definicja chaosu p|~~>q
10.4 Definicja równoważności p<=>q

Dodatek do AK: Błędy fatalne w logice matematycznej ziemian

Dodatek do AK: Prawo Kameleona w zdaniach z języka potocznego


Wstęp

Nie jest możliwe, aby normalny ziemski matematyk nie zrozumiał wykładu algebry Kubusia dla LO:
10.0 Algebra Kubusia dla LO
Dla zrozumienia AK dla LO nie jest potrzebna algebra Boole’a.
Dokładnie z tego powodu zalecam ziemskim matematykom by swoją przygodę z algebrą Kubusia zaczęli od zrozumienia AK dla LO.
Śmietanka wiedzy w temacie algebry Kubusia zawarta jest w punkcie 3.0 który gorąco polecam wszystkim matematykom. Wymagana wiedza wstępna konieczna do zrozumienia punktu 3.0 to znajomość podstawowej algebry Boole’a.

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki na Politechnice Warszawskiej (1980r) - specjalność automatyka.
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 15 lat temu od Wuja Zbója.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości tego zdania na gruncie KRZ jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… i tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Bertrand Russell napisał:

Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."


3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat

4.
Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom, naturalnymi ekspertami algebry Boole’a są wszystkie 5-cio latki bowiem w języku potocznym, w komunikacji człowieka z człowiekiem, nasz mózg operuje minimalnymi równaniami algebry Boole’a, których nie da się dalej minimalizować - nie jest tu zatem potrzebna jakakolwiek teoria minimalizacji równań logicznych.
Dowód tego faktu jest tu:
9.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Początkowo chciałem napisać kompletną algebrę Kubusia dla 5-cio latków z omówieniem na przykładach wszystkich możliwych operatorów implikacyjnych:
1: Operator implikacji prostej p||=>q
2: Operator implikacji odwrotnej p||~>q
3: Operator równoważności p|<=>q
4: Operator chaosu p||~~>q
Wyszła z tego zamiaru cała masa kopiuj-wklejek z podstawowej części algebry Kubusia, dlatego z tego pomysłu zrezygnowałem.
Pozostawiam napisanie wersji algebry Kubusia dla 5-cio latków ziemskim matematykom, trzeba tu po prostu wybrać odpowiednie fragmenty z podstawowej wersji algebry Kubusia lub napisać własną wersję algebry Kubusia dla 5-cio latków.
Mam nadzieję, że klonów algebry Kubusia w różnych postaciach będzie dużo - nikt nie ma monopolu na napisanie najlepszej wersji AK, łącznie ze mną.

Moja maksyma sprzed 35 lat:
1.
Każdy duży program komputerowy, w tym teorię matematyczną zwaną algebrą Kubusia, można udoskonalać w nieskończoność. Chodzi tu oczywiście nie o błędy czysto matematyczne, bo tych na 100% nie ma, ale o formę przekazu AK dla wybranych grup ludzkości: przedszkolaki, uczniowie szkoły podstawowej, średniej, studenci, prawnicy, humaniści na zawodowych matematykach kończąc.
2.
Im dłużej się myśli tym lepszy program można napisać, tym doskonalszą wersję algebry Kubusia można zapisać.
3.
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu, tu trzeba tworzyć coraz doskonalsze wersje, dążąc do doskonałości absolutnej, której nie da się osiągnąć z definicji bo to co jest dobre dla 5-cio latka nie musi być wystarczające dla zawodowego matematyka.

Kluczowa uwaga:
W algebrze Kubusia 100% definicji z obszaru logiki matematycznej jest sprzecznych z definicjami obowiązującymi w Klasycznym Rachunku Zdań. Nie ma więc najmniejszego sensu czytanie algebry Kubusia i porównywanie tutejszych definicji z definicjami obowiązującymi w KRZ.
Jestem pewien, że nie ma wewnętrznej sprzeczności w algebrze Kubusia, bo wszystko jest tu w 100% zgodne z teorią bramek logicznych, której ekspertem jestem od czasu zaliczenia laboratorium techniki cyfrowej na I roku Politechniki Warszawskiej (1975r), gdzie budowaliśmy złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych - wtedy mikroprocesorów praktycznie jeszcze nie było, bowiem pierwszy przyzwoity mikroprocesor Intel i8080 narodził się w roku 1974.
Ciekawostka:
W 1974r Intel i8080 kosztował 360USD przy średniej płacy w Polsce 15USD.
[link widoczny dla zalogowanych]
Ile trzeba było pracować, by kupić ten szczyt techniki wymagający trzech napięć zasilania (+12V, +5V i -5V)?
W 1971r ukazała się pierwsza pamięć EPROM Intela i1702 o kosmicznej pojemności 256 bajtów wymagająca trzech napięć zasilania jak wyżej - w takiej pamięci można zapisać co najwyżej 256 liter.
[link widoczny dla zalogowanych]
… a dzisiaj (2020r)?
[link widoczny dla zalogowanych]
Na karcie pamięci microSD (wymiary: 11*15*1mm) z telefonu komórkowego mieści się 1024GB (1024GB=1024 miliardów bajtów-liter)


Dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań!

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock


Wstęp:

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

Zacznijmy od zero-jedynkowych definicji znaczków => i ~> w algebrze Kubusia i w Klasycznym Rachunku Zdań (sic!).

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja zero-jedynkowa znaczka =>:
Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja znaczka =>
w algebrze Kubusia i w klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>1  =1
D: 0=>0  =1


Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja zero-jedynkowa znaczka ~>:
Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja znaczka ~>
w algebrze Kubusia i w Klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>1  =0
D: 0~>0  =1


Twierdzenie Rekina:
Dowolny ziemski matematyk który stwierdzi iż tabele zero-jedynkowe T1 i T2 nie należą do legalnych tabel zero-jedynkowych w Klasycznym Rachunku Zdań jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.

Każdy ziemski matematyk, także twardogłowy ziemski matematyk dla którego bogiem jest gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań, z dziecinną łatwością wygeneruje tu matematyczne związki znaczków => i ~>.

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>


Dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań

Weźmy tabelę zero-jedynkową znaczka => i jej legalną interpretację w Klasycznym Rachunku Zdań.

Definicja zero-jedynkowa znaczka =>:
Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja znaczka =>
w algebrze Kubusia i w klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>1  =1
D: 0=>0  =1


Z książki Johna D. Barrowa „Kres możliwości”:

[link widoczny dla zalogowanych]
Bertrand Russell napisał:

Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."


Bertrand Russell, twórca Klasycznego Rachunku Zdań, swoją interpretacją tabeli zero-jedynkowej T1 zanurkował w potwornie śmierdzącym gównie stwierdzając iż linie C i D w tabeli zero-jedynkowej T1 należy interpretować tak.
Bertrand Russell napisał:

Wniosek z tabeli T1:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Mówią o tym linie C i D w tabeli T1.


Weźmy teraz legalną w Klasycznym Rachunku Zdań, bliźniaczą tabelę zero-jedynkową T2 definiującą znaczek ~>:
Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja znaczka ~>
w algebrze Kubusia i w Klasycznym Rachunku Zdań!
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>1  =0
D: 0~>0  =1


Teraz uwaga panowie matematycy!

W przypadku znaczka ~> nasz „geniusz” logiki matematycznej Bertrand Russell analogicznie musi tu stwierdzić co następuje.
Bertrand Russell napisał:

Wniosek z tabeli T2:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania prawdziwego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Mówią o tym linie A i B w tabeli T2.


Podsumowując:
Klasyczny Rachunek Zdań jest wewnętrznie sprzeczny bowiem dla tych samych wymuszeń p i q na mocy tabeli T1 stwierdza iż:
Ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe

Natomiast na mocy tabeli T2 Klasyczny Rachunek Zdań stwierdza iż:
Ze zdania prawdziwego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe

cnd

Twardy dowód iż ziemscy pseudo-matematycy połknęli gówno, które rzucił im na pożarcie ziemski „geniusz” logiki matematycznej Bertrand Russell:

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
Kod:

 p  q  p=>q
 1  1   1
 0  1   1
 1  0   0
 0  0   1

Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).

Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.

Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.

Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem". Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:
Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.
Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).

Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony". Wystarczy do już wyprowadzonego zdania "B. Russell jest papieżem" dodać oczywiście prawdziwe zdanie "Każdy papież jest wykształcony" i mamy:
B. Russell jest papieżem
Każdy papież jest wykształcony
zatem B. Russell jest wykształcony

Można również łatwo wskazać inne, prawdziwe konsekwencje zdania "5 = 4", np. "B. Russell jest mężczyzną", "B. Russell zna język łaciński", B. Russell jest osobistością znaną w całym świecie" itp.
Teoretyczna możliwość wyprowadzenia dowolnego zdania z danego zdania fałszywego nie zawsze jest równoznaczna z praktyczna łatwością wykonania takiego zadania. Ale takie zadanie jest do rozwiązania.
________________________________________
Prof. Tadeusz Kwiatkowski (Jego Wykłady i szkice z logiki ogólnej to źródło dzisiejszej notki) komentuje:
"Twierdzenie Falsum sequitur quodlibet i — tym samym — równoważne mu łącznie drugi i czwarty wiersze matrycy implikacji są nie tylko twierdzeniami logiki, lecz stanowią ujęcie głębokiej prawdy filozoficznej dotyczącej istoty prawdy i fałszu. Prawda ma tę istotną własność, że kierowana konsekwentnie prawami logiki. nigdy nie doprowadzi do konsekwencji fałszywej. Fałsz natomiast konsekwentnie stosowany przekreśla możliwość rozróżnienia prawdy i fałszu, czyli przekreśla wartość poznania (burzy wszelki porządek logiczny!)."


Panowie ziemscy matematycy:
Czy wy na serio nie widzicie, iż połknęliście potwornie śmierdzące gówno rzucone wam przez B. Russella opisane w cytacie wyżej?


Dowód wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań!

Po raz drugi:
Szczegóły o co tu chodzi można przeczytać w punkcie 2.11 i 2.12 algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2020-12-06,17779.html#559401
2.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock


Podsumowując:
Logika matematyczna która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna.

Historyczny wniosek:
Logika matematyczna ziemian zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W Klasycznym Rachunku Zdań wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jego wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.

Puenta:
Miejsce gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.

Uwaga:
Zauważmy, że de facto udowodniliśmy tu wewnętrzną sprzeczność starej algebry Boole’a która nie odróżnia logiki dodatniej (bo Y) od logiki ujemnej (bo ~Y)
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:19, 22 Sty 2021, w całości zmieniany 183 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 9:05, 01 Lis 2020    Temat postu:

1.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
1.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 3
1.2 Zbiór wszystkich zbiorów 3
1.2.1 Nazwa własna zbioru 4
1.3 Dziedzina 4
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru 4
1.3.2 Dziedzina minimalna 5
1.4 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~> 5
1.5 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny 7
1.5.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q 8
1.5.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($) 9
1.6 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q 13

1.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.


1.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty


1.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną pojęć lub zbiorów (+).

Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywnie:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór pusty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


1.2 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne


1.2.1 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru niemającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]


1.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

1.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]

1.3.2 Dziedzina minimalna

Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla „psa” P=[pies] to zbiór wszystkich zwierząt - przypadek A.
3.
Zauważmy, że dla zbioru P=[pies] nie możemy przyjąć dziedziny:
D=P=[pies]
bo pojęcie nie pies ~P będzie nierozpoznawalne.
Dowód:
~P=[D-P]=[P-P]=[] =0
cnd

1.4 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1


1.5 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny

Rozważmy zdanie:
MLK
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
Zbiór człowiek (C) to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
Kod:

S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C = M+K

Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie nie mężczyzna (~M) byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd

1.5.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q
Kod:

S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

W zbiorach zachodzi:
M = ~(K)=~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczony zbiór kobiet w dziedzinie C
K = ~(M)=~M - zbiór kobiet za zaprzeczony zbiór mężczyzn w dziedzinie C

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja => podzbioru:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Na mocy powyższej definicji mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Masz przykład:
RA1:
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy <=> gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =1*1 =1
Każda równoważność prawdziwa w zbiorach definiuje tożsamość zbiorów:
M = ~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczenie zbioru kobiet w dziedzinie C (człowiek)
Z diagramu widać, iż tak jest w istocie.
cnd

Sprawdzenie równoważności RA1:
A1:
Twierdzenie proste:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy mężczyznę (M=1) to na 100% => nie będzie to kobieta (~K=1)
M=>~K =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
M=>M =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

B3:
Twierdzenie odwrotne:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
~K=>~K =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego


1.5.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($)

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych na przykładzie ze świata fizyki.
Kod:

S2
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1

Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q jest wciśnięty i już żarówka świeci się.

Zapiszmy wszystkie zdarzenia rozłączne których efektem jest świecenie się żarówki.

Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy:
A: Sa = p*q =1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
lub
B: Sb=p*~q =1*1 =1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
C: Sc= ~p*q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i jest wciśnięty przycisk q (q=1)

Gdzie:
S = Sa+Sb+Sc - zdarzenie S=1 (żarówka świeci) jest sumą logiczną zdarzeń cząstkowych Sa, Sb i Sc

Po podstawieniu zdarzeń cząstkowych mamy:
S = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Zauważmy, że wszystkie trzy zdarzenia rozłączne A, B i C są tu możliwe, zatem nie możemy usunąć żadnego ze zdarzeń cząstkowych A, B, C z uzasadnieniem iż zdarzenie X jest niemożliwe w świecie rzeczywistym.

Warto zapamiętać definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych A,B, C.
S = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Fundamentalnie inaczej ma się sprawa ze spójnikiem „albo”($)

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
Kod:

S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K

Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Definicja spójnika „albo”($):
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są różne w znaczeniu spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona tego spójnika jest zaprzeczeniem drugiej strony.

Sprawdzamy na naszym przykładzie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M $ K = M $ ~M =1
Definicja spójnika „albo”($) jest spełniona.
cnd

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:

Y=p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Podstawmy na mocy schematu S1:
p=M
q=K
Y = C(człowiek)
Stąd mamy:
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := A: [] + B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne M*K=0.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję spójnika „albo”($) w spójnikach „i’(*) i „lub”(+) w zapisach ogólnych (formalnych):
p$q = p*~q + ~p*q

W języku potocznym często zamiast wypowiedzi matematycznie wzorcowej:
M$K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K
często stosujemy spójnik „lub”(+):
M+K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne A: M*K=0

To jest dowód, iż nasz mózg to zdecydowanie nie komputer, przy pomocy odpowiedniej procedury (istniejącej w mózgu) zapisze wytłuszczone równanie M+K dochodząc podświadomie do poprawnej tu definicji spójnika „albo”($) wyrażonej równaniem M$K
M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K

Dowód:
Załóżmy że Jaś (lat 5) wypowiada zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
Zbiór C to suma logiczna zbiorów M+K
Uzasadnienie znaczka sumy logicznej (+) jest tu jak najbardziej poprawne.

Pani:
Jasiu, czy dowolny człowiek może być jednocześnie mężczyzną i kobietą:
A: M*K=?
Jaś:
NIE
A: M*K =0
stąd mamy:
M$K
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = M*~K +~M*K
Innymi słowy:
Dowolny człowiek może być albo mężczyzną, albo kobietą
Dowolny człowiek nie może być równocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K):
A: M*K =0

Stąd mamy wyprowadzoną definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
M$K.
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C:~M*K

Definicja spójnika „albo”($) w zapisie formalnym (ogólnym):
p$q = p*~q + ~p*q

Zauważmy teraz, że w dziedzinie C (człowiek) w zbiorach zachodzi:
M=~K
K=~M
Stąd mamy:
M$K = B: M*~K + C: ~M*K := B: M*M + C: K*K = B: M + C: K = M+K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów

Wniosek:
M+A.
Zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
można uznać za matematycznie poprawne bo:
1.
C=M+K - zbiór człowiek to suma logiczna (+) zbiorów M+K (w zbiorach to jest prawda)
2.
Każdy 5-cio latek wie, że zbiory M i K są rozłączne zatem w zbiorach zachodzi:
M*K =[] =0
Wniosek:
Mózg każdego człowieka (także poza jego świadomością) bez problemu poradzi sobie z wszystkimi przekształceniami w zbiorach wyżej zapisanymi.

1.6 Prawdziwość/fałszywość zdań warunkowych przy znanej wartości logicznej p i q

W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element, ma wartość logiczną 1
[] =1 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu, ma wartość logiczną 0

Rozważmy problem rodem z teorii logiki matematycznej.

Zbadaj prawdziwość/fałszywość poniższego zdania:
A1
Jeśli 2+2=4 to na 100% => 2*2=4
4=>4 =1
p=1, q=1
1=>1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Zbiór jednoelementowy p=[4] jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[4]

Komentarz:
Użyte w zdaniu A1 znaczki sumy algebraicznej (+) i iloczynu algebraicznego (*) są dla logiki matematycznej kompletnie bez znaczenia, bowiem logika matematyczna z definicji nie zajmuje się jakimkolwiek algebraicznym liczeniem elementów w zbiorze bo jak to zrobić przy pomocy spójników „lub”(+) oraz „i”(*) z naturalnego języka potocznego?
Oczywiście to jest niewykonalne, czyli nie da się.

Uwaga!
Użyte w zdaniu A1 znaczki dodawania algebraicznego (+) i mnożenia algebraicznego (*) mają zero wspólnego z logiką matematyczną gdzie znaczki „lub”(+) oraz „i”(*) znaczą zupełnie co innego:
p+q - suma logiczna (+) zbiorów p i q
p*q = iloczyn logiczny (*) zbiorów p i q

Rozpatrzmy przypadek gdzie poprzednik i następnik jest twardą prawdą, ale nie są to zbiory tożsame.
A2.
Jeśli 2+2=4 to 2*3=6
4=> 6 =0
Wartości logiczne p i q:
p=1, q=1
1=>1 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór jednoelementowy p=[4] nie jest podzbiorem zbioru jednoelementowego q=[6]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Trzy pozostałe przypadki mutacji zdań gdzie wartość logiczna poprzednika i następnika jest znana z góry to:
B.
Jeśli 2+2=4 to 2+2=5
(2+2=4) => (2+2=5) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=4 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=5
224~~>225 = 224*225 = 1*[] =1*0 =0
1~~>0 =1*0 =0
Gdzie:
[] - zbiór pusty
stąd na mocy prawa Kobry zdanie B jest fałszem
B: (2+2=4)=>(2+2=5) =0
cnd

Zamieńmy teraz miejscami poprzednik z następnikiem:
C.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=4
225~~>224 = 225*224 =[]*1 = 0*1 =0
0~~>1 = 0*1 =0
Stąd na mocy prawa Kobry zdanie C jest fałszem
(2+2=5)=>(2+2=4) =0
cnd

Weźmy ostatni możliwy przypadek:
D.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=6
(2+2=5) => (2+2=6) =1
Dowód:
Korzystamy z prawa Kobry:
Jeśli 2+2=5 to może ~~> się zdarzyć, że 2+2=6
225~~>226 = 225*226 = []*[] =0
ALE!
0=>0 =1
Dlaczego mamy tu wynikową jedynkę a nie zero?
Odpowiedź:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego na mocy definicji podzbioru.
Zbiór pusty [] również jest podzbiorem => siebie samego, czyli podzbiorem zbioru pustego []
Stąd:
[]=>[] =1
0=>0 =1

Na mocy powyższego otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności:
Kod:

   p   q     p<=>q
A: 1=> 1      =1
B: 1~~>0 =1*0 =0
C: 0~~>1 =0*1 =0
D: 0=> 0      =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 0:52, 05 Sty 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 9:07, 01 Lis 2020    Temat postu:

2.0 Nieznana algebra Boole’a


Spis treści
2.0 Nieznana algebra Boole’a 1
2.1 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych 2
2.1.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y) 3
2.2 Zmienna binarna i stała binarna 4
2.2.1 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 7
2.3 Prawa Prosiaczka 8
2.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 8
2.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 9
2.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej 10
2.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 12
2.5 Algorytm Wuja Zbója 16
2.5.1 Prawo Małpki 16
2.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 18




2.0 Nieznana algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

2.1 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

2.1.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Przykład zdań z języka potocznego rodem z przedszkola ilustrujące o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y)
Pani w przedszkolu mówi:
Y1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y1 = K+T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y1) wtedy i tyko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y1 = K+T
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y0)?
Jaś:
Negujemy stronami Y1.
~Y1=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
stąd:
~Y1 = ~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Innym razem pani w przedszkolu mówi:
Y2:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y2=~K*~T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y2) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y0)?
Jaś:
Negujemy stronami Y2.
~Y2=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
stąd:
~Y2 = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y2) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)

W analogiczny sposób można przejść przez całą tabelę TS.

Doskonale widać, dlaczego w definicji znaczka różne na mocy definicji ## istotne jest zastrzeżenie „w logice dodatniej (bo Y)”

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

W naszym przykładzie funkcja logiczna Y1 nie ma żadnego związku matematycznego z funkcją logiczną Y2 poza związkiem „różne na mocy definicji ##”.
Matematycznie, powyższe dwa dialogi w przedszkolu możemy opisać tak:
Kod:

Y1=K+T # ~Y1=~K*~T ## Y2=~K*~T # ~Y2=K+T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji w logice dodatniej (bo Y)
     Dowolna strona znaczka ## nie ma żadnego związku z drugą stroną
     poza związkiem różne na mocy definicji ##


2.2 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:
Kod:

1: A:=A+B    ;Wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2  ;Jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
- - - - - - -

Co oznacza rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład:
Zdefiniujmy na początku programu symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
W tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.

Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych

Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.

Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak

Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?

Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
nie ma już sensu, bo Jaś poznał prawdę absolutną, pani skłamała.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.

Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)

1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) a kiedy skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)

W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.

Przykład:
Stała binarna TP zapisana jest w logice dodatniej (bo TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
TP=1 - trójkąt prostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt jest prostokątny

Stała binarna TP zapisana jest w logice ujemnej (bo ~TP) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~TP=1 - trójkąt nieprostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt nie jest prostokątny

2.2.1 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie aktualnym (język potoczny):
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
Podstawiamy:
U=p
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
p=~(~p)

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1 - zapis aktualny
p=>q =1 - zapis formalny
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu, stąd wartość logiczna tego zdania to 1.

Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym:
p=>q = ~q=>~p

Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A1:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
To samo w zapisie formalnym:
TP=p
SK=q
A1: p=>q = A4: ~q=>~p

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

stąd:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK=>~TP =1
Po udowodnieniu twierdzenia prostego Pitagorasa A1, co ludzkość zrobiła wieki temu, nie musimy udowadniać twierdzenia A4, bowiem jego prawdziwość gwarantuje nam prawo logiki matematycznej, prawo kontrapozycji.

2.3 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

2.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

2.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej

Definicja logiki symbolicznej:
Logika symboliczna to logika izolowana od wszelkich tabel zero-jedynkowych gdzie posługujemy się symbolami niezaprzeczonymi i zaprzeczonymi zamiast bezwzględnymi zerami i jedynkami

Przykład logiki symbolicznej, gdzie nie ma ani zer, ani jedynek:
TP - trójkąt prostokątny
~TP - trójkąt nieprostokątny

Przykład logiki zero-jedynkowej operującej na zerach i jedynkach:
TP=1 - trójkąt prostokątny
TP=0 - trójkąt nieprostokątny

Zadanie rodem ze 100-milowego lasu:
Dana jest dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich prostokątów
Polecenie:
Opisz kolejne losowania trójkątów prostokątnych TP z worka zawierającego wszystkie trójkąty ZWT,

Rozwiązanie:
Ze zbioru wszystkich trójkątów ZWT losujemy kolejne trójkąty.
To losowanie możemy opisać w logice dodatniej (bo TP) albo w logice ujemnej (bo ~TP).
1.
Obsługa losowania w logice dodatniej (bo TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo TP):
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP
TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP - czyli jest nieprostokątny
2.
Obsługa losowania w logice ujemnej (bo ~TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~TP):
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP
~TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP - czyli jest prostokątny

Z 1 i 2 można tu wyczytać prawa Prosiaczka:
I prawo Prosiaczka:
1: TP=1 = 2: ~TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt prostokątny
II prawo Prosiaczka:
2: ~TP=1 = 1: TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt nieprostokątny

Z praw Prosiaczka wynika logika symboliczna w której nie ma ani jednego zera.
3.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt prostokątny TP
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt nieprostokątny (~TP)

W logice symbolicznej, a także w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (o których za chwilę) jedynki są domyślne co oznacza, że możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
4.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:

TP - wylosowano trójkąt prostokątny
~TP - wylosowano trójkąt nieprostokątny

Jak widzimy, dopiero w tym momencie mamy naturalny, matematyczny język potoczny zgodny z logiką w pełni symboliczną, mającą w głębokim poważaniu wszelkie zera i jedynki.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd mamy:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP] = ~TP

To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p] =~p

2.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.

Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka


Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0


II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka


Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd

Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.

Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p=p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=1 mamy:
   p  1  p+1
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 1  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd

Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=~p mamy:
   p ~p  p+~p
A: 1+ 0  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd

Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod:

   p  q  p+q ~p ~q ~p*~q ~(~p*~q)
A: 1+ 1  =1   0* 0   0      1
B: 1+ 0  =1   0* 1   0      1
C: 0+ 1  =1   1* 0   0      1
D: 0+ 0  =0   1* 1   1      0
   1  2   3   4  5   6      7

Tożsamość kolumn wynikowych 3=7 jest dowodem poprawności prawa algebry Boole’a:
p+q = ~(~p*~q)
cnd

Praca domowa:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)

2.5 Algorytm Wuja Zbója

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Co w logice jedynek, będącej naturalną logiką matematyczną człowieka oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
W każdej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne.

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

2.5.1 Prawo Małpki

Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q
W technice cyfrowej spójnik „i”(*) jest domyślny i często jest pomijany.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki.

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała w języku potocznym.
Dowód:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego.
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

2.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej

Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Trudne - dla ambitnych:
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 22:24, 05 Sty 2021, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:02, 01 Lis 2020    Temat postu:

Spis treści
2.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej 1
2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 3
2.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+) 5
2.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej 7
2.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 9
2.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*) 12
2.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*) 14
2.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym 15
2.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 15
2.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 16
2.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu 17
2.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
2.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 19
2.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
2.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer 21
2.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 22
2.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych 22
2.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 24


2.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie ABC (Y) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
ABC: Y=p+q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0) - sprowadzenie wszystkich zmiennych binarnych do logiki dodatniej (bez przeczeń)
Kod:

T1: Y=p+q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia ABC: Y=p+q |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p+q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1+ 1  =1
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=1)  | 1+ 0  =1
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=1)  | 0+ 1  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0+ 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=1 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCDabc są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
Yb*Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0

cnd

Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+Yb+Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p+q opisuje wyłącznie obszar ABCabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p+q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem linii D gdzie mamy:
D: ~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yd).
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
Zróbmy to:
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x) bo w aktualnie przyjętym punkcie odniesienia mamy do czynienia wyłącznie ze zmiennymi w logice ujemnej (bo ~p):
D: ~Y=~p*~q

Kod:

T2: ~Y=~p*~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia D:~Y=~p*~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0* 0  =0
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)  | 0* 1  =0
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)  | 1* 0  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1* 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p*~q wskazuje wyłącznie linię D w obszarze ABCDabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
~Y=~Yd = ~p*~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p*~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p+q # T2: ~Y=~p*~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
2..
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p*~q = ~(p+q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)


2.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+)

Operator logiczny OR(|+) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator OR(|+):
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
##
spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p+q
#
spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q, inaczej błąd podstawienia.
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Kod:

Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q         ##
2:~Y=~p*~q       ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

T3
Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

T4.
Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora OR{|+):
1: Y=p+q
2:~Y=~p*~q
   p  q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1+ 1   1     0        0* 0   0
B: 1+ 0   1     0        0* 1   0
C: 0+ 1   1     0        1* 0   0
D: 0+ 0   0     1        1* 1   1
   1  2   3     4        5  6   7

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p*~q # 3: Y=p+q
cnd

W tabeli T5 widzimy że:
Kod:

Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q         ##
2:~Y=~p*~q       ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Do zapamiętania:

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna p lub q zostanie ustawiona na jeden i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość logiczną jeden (Y=1)
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 * ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD567
cnd

2.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie A (Y) dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych (nie związanych z konkretnym zdaniem).
Podstawmy:
K=p
T=q
stąd:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
minimalizujemy funkcję logiczną ~Y:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
cnd

2.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
K=p
T=q
A.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
stąd mamy:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Skorzystajmy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając p:=~p i q:=~q do ~Y mamy opis funkcji logicznej ~Y w zdarzeniach rozłącznych.
Gdzie:
p:=~p - w miejsce zmiennej binarnej p podstaw (:=) zmienną ~p
q:=~q - w miejsce zmiennej binarnej q podstaw (:=) zmienną ~q
Jedziemy:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*~(~q) + ~(~p)*~q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Stąd w przełożeniu 1:1 na przykład 5-cio latka mamy:
BCD:
~Y = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe (zdarzenia rozłączne) wchodzące w skład funkcji ~Y

Jak to udowodniliśmy wyżej zapis matematycznie tożsamy to:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Mamy:
~Y=~p+~q
~Y = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych BCD dla naszego przykładu:
~Y = ~p+~q = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
A: Y=p*q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki dodatniej (bo x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice dodatniej (bo x):
A: Y=p*q
Kod:

T1: A: Y=p*q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia A: Y=p*q   |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p*q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1* 1  =1
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=0)  | 1* 0  =0
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=0)  | 0* 1  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0* 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=0 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*~Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*~Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
~Yb*~Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0

cnd

Dowód iż zdarzenia rozłączne ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+~Yb+~Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p*q opisuje wyłącznie linię Aabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
Y=p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p*q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem obszaru BCDabc gdzie mamy:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Zapis matematycznie tożsamy (co wyżej udowodniliśmy):
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zakodujmy naszą analizę w języku potocznym względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice ujemnej (bo ~x):
BCD: ~Y=~p+~q
Kod:

T2: ~Y=~p+~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesien BCD:~Y=~p+~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0+ 0  =0
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=1)  | 0+ 1  =1
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)  | 1+ 0  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1+ 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p+~q wskazuje obszar BCDabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
BCD: ~Y = ~p+~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p+~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+).

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p*q # T2: ~Y=~p+~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
2..
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p+~q = ~(p*q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)


2.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*)

Operator logiczny AND(|*) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator AND(|*):
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
##
spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p*q
#
spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Kod:

Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q          ##
2:~Y=~p+~q        ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

T3
Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

T4.
Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora AND(|*):
1: Y=p*q
2:~Y=~p+~q
   p  q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1* 1   1     0        0+ 0   0
B: 1* 0   0     1        0+ 1   1
C: 0* 1   0     1        1+ 0   1
D: 0* 0   0     1        1+ 1   1
   1  2   3     4        5  6   7

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p+~q # 3: Y=p*q
cnd

W tabeli T5 widzimy że:
Kod:

Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q          ##
2:~Y=~p+~q        ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Do zapamiętania:

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD567
cnd


2.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*)

Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Pani w przedszkolu:
1: Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T)
Y=K+T

###

Operator AND(|*) to układ równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Pani w przedszkolu:
1: Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Definicja znaczka różne na mocy definicji operatorowych ###:
Znaczek różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że między układami związanymi tym znaczkiem nie zachodzą absolutnie żadne związki matematyczne tzn. wykluczone są jakiekolwiek tożsamości logiczne jak również wykluczone jest aby jedna strona znaczka ### była negacją drugiej strony #.

Doskonale to widać w powyższych definicjach operatora OR(|+) i AND(|*), w szczególności na zdaniach pani przedszkolanki.

2.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym

Logika dodatnia i ujemna w języku potocznym jest odpowiednikiem sprzętowej logiki dodatniej i ujemnej w teorii układów cyfrowych.
Chodzi tu o przyporządkowanie symboli 1 i 0 na których operuje rachunek zero-jedynkowy do symboli aktualnych wynikłych z języka potocznego. Matematycznie to przyporządkowanie może być dowolne pod warunkiem, że znamy startową tabelę przyporządkowań (punkt odniesienia).
O co tu chodzi dowiemy się za chwilkę.

2.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

2.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym

Definicja logiki ujemnej w języku potocznym:
W logice ujemnej w języku potocznym kodowanie wszelkich zmiennych binarnych jest przeciwne do kodowania w logice dodatniej.

Przykład kodowania zdania pani przedszkolanki w logice ujemnej.

Przykład kodowania w logice ujemnej:
K=1 - nie idziemy do kina
~K=1 - idziemy do kina
T=1 - nie idziemy do teatru
~T=1 - idziemy do teatru
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC’:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (~K=1) lub do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie wszystko jest tu jak najbardziej w porządku jednak ktoś kto nie wie iż zdanie ABC’ kodowane jest w logice ujemnej nie zrozumie tego kodowania.

W sumie dla trzech zmiennych binarnych Y, K, T możemy ustalić osiem różnych punktów odniesienia.
Łatwo wyobrazić sobie dyskusję ośmiu ludzi z których każdy patrzy na to samo zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
???
… z innego punktu odniesienia.

Przykłady:
Człowiek A zakoduje zdanie ABC w logice dodatniej:
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Człowiek B zakoduje zdanie ABC w logice ujemnej:
~Y = ~K+~T
co w logice ujemnej oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Pozostałe 6 osób za punkt odniesienia przyjmie pozostałe możliwości.
Przykładowo człowiek C zakoduje zdanie ABC w ten sposób:
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1

Matematycznie wszystkie te kodowania są dobre pod warunkiem, że znamy punkt odniesienia przyjęty przez nadawcę.
Ten fakt opisałem już 35 lat temu w moich podręcznikach do nauki techniki mikroprocesorowej podając twierdzenie ogólne.

Twierdzenie o ilości możliwych punktów odniesienia:
W równaniu logicznym n-zmiennych binarnych możliwych jest 2^n różnych punktów odniesienia
Gdzie:
2^n = 2 do potęgi n

Dla trzech zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^3 =8
Dla 8 zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^8 = 256

Przedstawiony wyżej problem prosi się o ustalenie domyślnego punktu odniesienia w logice matematycznej. Za domyślny punkt odniesienia przyjmijmy definicję logiki dodatniej w języku potocznym bez problemu zrozumiałą przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

2.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu

Przykład z techniki cyfrowej:
Definicja operatora OR(|+) w logice dodatniej (bramka SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]

1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana:
Y = ~(~p+~q)
Gdzie w technice TTL 1 i 0 to poziomy napięć:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Zauważmy że nieprzypadkowo pionier układów TTL firma Texas Instruments obok wzorku:
Y=A+B
Y= ~(~A*~B) - na mocy prawa De Morgana
pisze:
pisitive logic = logika dodatnia.

UWAGA!
Przyjęcie logiki ujemnej dla dokładnie tej samej bramki logicznej OR(|+) typu SN7432 to przypisanie do symboli logicznych 1 i 0 napięć odwrotnych:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Wtedy mamy:
Bramka logiczna OR(|+) SN7432 w logice dodatniej:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q

Dokładnie ta sama, fizyczna bramka SN7432 widziana w logice ujemnej to:
1: ~Y=~p+~q
2: Y = p*q
bowiem w logice ujemnej wszystkie poziomy napięć są odwrotne.

Wniosek:
Dokładnie ta sama bramka logiczna OR(|+) typu SN7432 w logice ujemnej jest fizyczną realizacją bramki AND(|*)!
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Tu Texas Instruments w opisie bramki SN7432 musiałby napisać:
Y=p*q
Y = ~(~p+~q) - na mocy prawa De Morgana
negative logic = logika ujemna
Gdzie:
Logika ujemna oznacza tu odwrotne przypisanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Doskonale tu widać, dlaczego w jednym rozumowaniu logicznym nie wolno mieszać logiki dodatniej i ujemnej.
Zauważmy bowiem że bramka AND(|*) SN7408 w logice dodatniej opisana jest układem równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Karta katalogowa fizycznej bramki AND(|*) SN7408 jest tu taka:
[link widoczny dla zalogowanych]

Opis bramki AND(|*) w katalogu TI jest następujący:
Y=p*q
Y=~(~p+~q) - prawo De Morgana
Tu obok powyższych wzorków firma Texas Instruments pisze:
Positive logic = logika dodatnia
co oznacza następujące przyporządkowanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Jest oczywistym, że jeśli w jednym rozumowaniu logicznym będziemy mieszać logikę dodatnią z logiką ujemną to wyjdą nam potworne głupoty, czyli że zaprojektowany układ nie ma prawa działać poprawnie.

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Przedziały napięć w układzie logicznym
W układach logicznych, gdzie są zdefiniowane tylko dwie wartości liczbowe, rozróżnia się dwa przedziały napięć: wysoki (ozn. H, z ang. high) i niski (ozn. L, z ang. low); pomiędzy nimi jest przerwa, dla której nie określa się wartości liczbowej – jeśli napięcie przyjmie wartość z tego przedziału, to stan logiczny układu jest nieokreślony.
Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwanej pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (lub negatywną).


2.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
Kod:

T1
          Y=
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

2.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

2.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer

2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

Zastosujmy logikę zer do naszej tabeli równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T3
Pełna definicja     |Co w logice zer       |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza               |cząstkowe
                    |                      |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                      |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)

Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc.

2.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer

Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q

Tabela T2
Logika jedynek:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Tabela T3
Logika zer:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Y i ~Y w tabelach T2 i T3 to te same funkcje logiczne.
Stąd mamy.

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dla tabel T2 i T3 zapisujemy:
1: Y = p*q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+q)*(p+~q)
2: ~Y = p*~q + ~p*q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
cnd

W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równanie koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.

2.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Zaczynamy od definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą tożsamości logiczne <=>:
1: Y = p*q + ~p*~q <=> 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
3: ~Y = p*~q + ~p*q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki.


2.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

2.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y).

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Wyjaśnienie o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y) na bazie legalnych spójników logicznych widniejących w tabeli TS.

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
0: Y=p*q
1: Y=p+q
2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Rozważmy następujący przykład w zapisach formalnych (ogólnych):
Kod:

T1.
1:  Y=p+q            ## 3:  Y=~(p+q)=~p*~q
    #                ##     #
3: ~Y=~(p+q)=~p*~q   ## 1: ~Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli z tabeli T1 usuniemy funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Kod:

T2.
1:   p+q          ## 3: ~(p+q)=~p*~q
     #            ##      #
3: ~(p+q)=~p*~q   ## 1:   p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że bez rozróżnienia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) logika matematyczna leży w gruzach bo w tabeli T2 ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych tabeli.
Kod:

1: p+q  [=] 1:  p+q
3:~p*~q [=] 3: ~p*~q

Podsumowując:
Logika matematyczna która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna.

Historyczny wniosek:
Logika matematyczna ziemian zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W Klasycznym Rachunku Zdań wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.

Puenta:
Miejsce gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.

Zobaczmy na przykładzie rodem z przedszkola o co tu chodzi.

Pani A w przedszkolu mówi:
Y:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tyko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Jaś:
Negujemy stronami Y.
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
stąd:
~Y = ~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Pani B w przedszkolu mówi:
Y:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y=~K*~T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Jaś:
Negujemy stronami Y.
~Y=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
stąd:
~Y = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)

Zapiszmy obietnice pani A i pani B w tabeli prawdy:
Kod:

T3.
Pani A               ## Pani B
1:  Y=K+T            ## 3:  Y=~(K+T)=~K*~T
    #                ##     #
3: ~Y=~(K+T)=~K*~T   ## 1: ~Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli z tabeli T1 usuniemy funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Kod:

T4.
1:   K+T          ## 3: ~(K+T)=~K*~T
     #            ##      #
3: ~(K+T)=~K*~T   ## 1:   K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że bez rozróżnienia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) logika matematyczna leży w gruzach bo w tabeli T2 ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych tabeli.
Kod:

1: K+T  [=] 1:  K+T
3:~K*~T [=] 3: ~K*~T

Podsumowując:
Logika matematyczna która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna.

Historyczny wniosek:
Logika matematyczna ziemian zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W Klasycznym Rachunku Zdań wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.

Puenta:
Miejsce gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.

Uwaga:
Zauważmy, że de facto udowodniliśmy tu wewnętrzną sprzeczność starej algebry Boole’a która nie odróżnia logiki dodatniej (bo Y) od logiki ujemnej (bo ~Y)
cnd

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 17:44, 10 Sty 2021, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 13:53, 01 Lis 2020    Temat postu:

3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń


Spis treści
3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
3.1 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 1
3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
3.2.2 Prawa Kobry dla zbiorów 4
3.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 4
3.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 5
3.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 5
3.4 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 5
3.4.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
3.5 Definicje operatorów logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 9
3.6 Definicje spójników implikacyjnych w logice dodatniej (bo q) 10
3.7 Teoria operatorów implikacyjnych 11
3.7.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 12
3.7.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 16
3.7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 20
3.7.4 Właściwości równoważności p<=>q 24
3.7.5 Definicja operatora chaosu p||~~>q 26



3.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

3.1 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy sobie definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów.

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

3.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.2.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

3.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

3.4 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Funkcja logiczna p=>q = ~p+q nie jest tożsama z funkcją logiczną p~>q = p+~q
oraz nie jest zaprzeczeniem funkcji logicznej p~>q = p+~q:
B1: ~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q ## A1: p=>q=~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p+q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale to widać w kolumnach wynikowych tabel T1, T2 i T3. Warunek konieczny jaki musi tu być spełniony to identyczna matryca zero-jedynkowa po stronie wejść p i q bowiem wtedy i tylko wtedy możemy wnioskować o tożsamości lub braku tożsamości kolumn zero-jedynkowych. Warunek wspólnej matrycy zero-jedynkowej tabelach T1, T2 i T3 jest spełniony.

Uwaga:
Powyższa definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest definicją uproszczoną, w zdecydowanej większości wystarczającą - mogą jednak zajść przypadki których powyższa definicja poprawnie nie definiuje. Pełna definicja znaczka różne na mocy definicji ##, dla wszystkich możliwych przypadków, omówiona jest w punkcie 2.12.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

3.4.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

3.5 Definicje operatorów logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Dowolny operator logiczny można wyrazić spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy funkcja logiczna przybierze wartość Y=1?

Przykład:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q +~p*~q
stąd:
Y = (p*q)+ (~p*~q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
Kiedy funkcja logiczna przybierze wartość ~Y=1?

Prawo prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Nasz przykład:
Przejście z 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
W logice jedynek opisana jest wyłącznie funkcja alternatywno-koniunkcyjna, musimy zatem wymnożyć powyższy wielomian:
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*p = p*~q + ~p*q
~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

3.6 Definicje spójników implikacyjnych w logice dodatniej (bo q)

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozróżniamy cztery spójniki implikacyjne w logice dodatniej (bo q):
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’: p~~>~q =p*~q =0
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’: p~~>~q =p*~q =1
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1


III.
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Podstawową definicję równoważności znają wszyscy ludzie, nie tylko matematycy.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 400
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 12 200

Zastosujmy do B1 prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
Uwagi:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

IV.
Definicja chaosu p|~~>q:

Definicja chaosu p|~~>q to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

3.7 Teoria operatorów implikacyjnych

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

3.7.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by istniały chmury, bo może nie padać a mimo wszystko może być pochmurno
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Przy okazji mamy tu wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Różność zdań ## rozpoznajmy tu po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
      AB12:                   |      AB34:
      A1B1:         A2B2:     |      A3B3:         A4B4:
A: 1: p=>q=1  =  2:~p~>~q=1  [=]  3: q~>p=1  =  4:~q=>~p=1
##
B: 1: p~>q=0  =  2:~p=>~q=0  [=]  3: q=>p=0  =  4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Operator implikacji prostej p||=>q wyrażony spójnikami implikacji prostej p|=>q i odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumna A1B1
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0

Odpowiedź szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w zdaniach A1 i A1’:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie p - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia: Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście p i ~q
Zbiory: Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q

Komentarz:
I.
Warunek wystarczający p=>q to zdanie A1
II.
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Implikacja prosta p|=>q to:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0

III:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Implikacja prosta p|=>q to:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

Odpowiedź szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w zdaniach A2 i B2’:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów ~~> ~p i ~q

Komentarz:
I.
Warunek konieczny ~p~>~q to zdanie A2
II.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
III:
Operator implikacji odwrotnej ~p|~>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Implikacja prosta p|=>q to:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = ~p|~>~q
Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
cnd

3.7.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

I.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p||~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) o jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A1: CH~>P = A2: ~CH=>~P

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
      AB12:                   |      AB34:
      A1B1:         A2B2:     |      A3B3:         A4B4:
A: 1: p=>q=0  =  2:~p~>~q=0  [=]  3: q~>p=0  =  4:~q=>~p=0
##
B: 1: p~>q=1  =  2:~p=>~q=1  [=]  3: q=>p=1  =  4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B(x) i fałszywość dowolnego zdania serii A(x)

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej p|~>q i implikacji prostej ~p|=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Kolumna A1B1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =p*~q =1

Odpowiedź szczegółowa w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w zdaniach B1 i A1’:
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’.
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

Komentarz:
I.
Warunek konieczny p~>q to zdanie B1
II.
Implikacja odwrotna p|~>q to:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =p*~q =1

III:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =p*~q =1

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Operator implikacji prostej ~p||=>~q to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej ~p|=>~q i odwrotnej p|~>q na dwa pytania 2 i 1:
Kolumna A2B2
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

Odpowiedzi szczegółowe w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w zdaniach B2 i B2’
Jeśli zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => zajścia ~q - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

Komentarz:
I.
Warunek wystarczający ~p=>~q to zdanie B2
II.
Implikacja prosta ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

III.
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
Uwaga:
Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =p*~q =1

3.7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja równoważności p<=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q:
      AB12:                   |      AB34:
      A1B1:         A2B2:     |      A3B3:         A4B4:
A: 1: p=>q=1  =  2:~p~>~q=1  [=]  3: q~>p=1  =  4:~q=>~p=1
##
B: 1: p~>q=1  =  2:~p=>~q=1  [=]  3: q=>p=1  =  4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q i ~p<=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy zajdzie p (p=1)?

Kolumna A1B1
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego aby zaszło q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Innymi słowy:
Kiedy zajdzie p (p=1)?
RA1B1:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicję podstawową równoważności doskonale znają wszyscy ludzie na ziemi, nie tylko matematycy.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 950
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 12 800
etc

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: p=>q=1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście p i ~q

Komentarz:
I.
Warunek wystarczający p=>q to zdanie A1

II.
Równoważność p<=>q opisana jest w kolumnie A1B1.
RA1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0
Kiedy zajdzie p (p=1)?
RA1B1:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

III.
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych RA1B1: p<=>q i RA2B2 ~p<=>~q:

RA1B1: p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0
Kiedy zajdzie p (p=1)?
RA1B1:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

RA2B2: ~p<=>~q
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1

Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź w spójnikach równoważności ~p<=>~q i p<=>q na dwa pytania 2 i 1:

2.
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?


Kolumna A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0
Stąd:
Podstawowa równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zajście ~p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Innymi słowy:
Kiedy zajdzie ~p?
Odpowiedź:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych “Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory:
Zajście ~p jest wystarczające dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Nie Istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~p i q

Komentarz:
I.
Warunek wystarczający ~p=>~q to zdanie B2
II.
Równoważność ~p<=>~q opisana jest kolumną A2B2:
RA2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
RA2B2:
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

III.
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych RA2B2: ~p<=>~q oraz RA1B1: p<=>q

RA2B2: ~p<=>~q
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
RA2B2:
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0

RA1B1: p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0
Kiedy zajdzie p (p=1)?
RA1B1:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Podsumowanie istoty operatora równoważności p|<=>q:
1.
Doskonale widać, ze jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => zajścia q.
Mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
2.
Doskonale też widać, że jeśli zajdzie ~p to również mamy gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Wniosek:
W przeciwieństwie do implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q w operatorze równoważności p|<=>q nie ma śladu jakiegokolwiek „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
W operatorze równoważności zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy gwarancje matematyczne =>.
Wniosek:
Operator równoważności p|<=>q to jedyny operator logiczny możliwy do zastosowania w świecie techniki.
W przełożeniu na programowanie komputerów programista musi mieć 100% pewność => jak zareaguje program kiedy zajdzie p oraz jak zareaguje program kiedy zajdzie ~p. O żadnym „rzucaniu monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” w programowaniu komputerów mowy być nie może.

3.7.4 Właściwości równoważności p<=>q

Zachodzi tożsamość logiczna równoważności:
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
cnd

W algebrze Kubusia w teorii zbiorów zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja tożsamości logicznej:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Definicja tożsamości zbiorów p=q (doskonale znana ziemianom):
Zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą, podstawową definicję równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)

Stąd mamy:
Tożsama definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu co oznacza że zbiór trójkątów prostokątnych TP jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów SK

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu co oznacza że zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych.

Dowody twierdzeń A1 i B3 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

Wniosek:
Równoważność Pitagorasa definiuje nam tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Jak to udowodniliśmy wyżej zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK

Wniosek:
Po udowodnieniu równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych, gdyż dowód ten wynika z tożsamości logicznej:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK

Stąd mamy 100% pewność równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (B2: ~TP=>~SK)*(A4: ~SK=>~TP) =1*1 =1

Oczywiście ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów: ~TP=~SK

Podsumowanie:
Przedstawionych tu banalnych właściwości równoważności nie znajdziemy w żadnym ziemskim podręczniku matematyki.
Dlaczego:
Bo fundamentem wszelkich ziemskich logi matematycznych jest gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Przykładowa równoważność prawdziwa w gówno-podręczniku matematyki do I klasy LO brzmi tak:
[link widoczny dla zalogowanych]
„Ziemia krąży wokół Księżyca wtedy i tylko wtedy, gdy pies ma osiem łap”

W tej gówno-równoważności prawdziwej mamy:
p=Ziemia krąży wokół Księżyca
q=pies ma osiem łap

Jak to wyżej udowodniliśmy w matematyce ziemian:
Każda równoważność prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Jak tą fundamentalną cechę równoważności prawdziwej przełożyć na zdanie z gówno-podręcznika matematyki do I klasy LO?
… oto jest pytanie.

3.7.5 Definicja operatora chaosu p||~~>q

Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w chaosie p|~~>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
      AB12:                   |      AB34:
      AB1:         AB2:       |      AB3:         AB4:
A: 1: p=>q=0  =  2:~p~>~q=0  [=]  3: q~>p=0  =  4:~q=>~p=0
##
B: 1: p~>q=0  =  2:~p=>~q=0  [=]  3: q=>p=0  =  4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:         AB2:          |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

Definicja operatora chaosu p||~~>q to odpowiedź w spójnikach chaosu p|~~>q i ~p|~~>~q na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Kolumna A1B1.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej bo (q):
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A’’ i A’
A’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory: Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
LUB
A’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście p i ~q
Zbiory: Istnieje element wspólny ~~> zbiorów p i ~q

Definicja operatora chaosu ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź w spójnikach chaosu ~p|~~>~q i p|~~>q na dwa pytania 2 i 1

2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Kolumna A2B2.
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej bo (~q):
Chaos ~p|~~>~q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~~>~q = ~(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B’’ i B’
B’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i ~q
Zbiory:
Istnieje element wspólny zbiorów ~p i ~q
LUB
B’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i q
Zbiory: Istnieje element wspólny zbiorów ~~> ~p i q

Podsumowanie:
Doskonale widać, że w operatorze chaosu p||~~>q mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie p (zdania A’’ i A’) jak i po stronie ~p (zdania B’’ i B’).

Nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej =>, wszystko może się zdarzyć zarówno po stronie p jak i ~p.

Przykład z teorii zbiorów:
Zbadaj częścią jakiego operatora logicznego jest poniższe zdanie.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = 1 bo 24

Dowód najprostszy:
1.
Badamy warunek wystarczający => A1:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
2.
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
Odpowiedź:
Zdanie A jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
cnd

Dowód tożsamy:
Aby udowodnić iż zdanie A jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3 potrzeba i wystarcza zbadać prawdziwość wszystkich możliwych zdań składowych przez wszystkie możliwe przeczenia P8 i P3 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Zapiszemy to w tabeli prawdy:
Kod:

A: P8~~> P3 =1 - 24 jest podzielne przez 8 i przez 3
B: P8~~>~P3 =1 - 8 jest podzielne przez 8 i nie jest podzielne przez 3
C:~P8~~>~P3 =1 - 2 nie jest podzielna przez 8 i nie jest podzielne przez 3
D:~P8~~> P3 =1 - 3 nie jest podzielna przez 8 i jest podzielne przez 3

Odpowiedź:
Zdanie A jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 18:47, 17 Sty 2021, w całości zmieniany 44 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 15:43, 01 Lis 2020    Temat postu:

Spis treści
3.8 Punkt odniesienia w logice matematycznej 1
3.8.1 Prawo Kameleona 3
3.8.2 Wielkie prawo Kameleona 5
3.9 Lekcja logiki matematycznej I klasie LO 8
3.9.1 Definicje warunku wystarczającego => i koniecznego w zdarzeniach 9
3.9.2 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
3.9.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w I klasie LO 11
3.9.4 Operator implikacji prostej ~CH||=>~P w I klasie LO 14
3.9.5 Rozwiązanie problemu wielkiego prawa Kameleona 18
3.10 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 20
3.11 Dziedzina minimalna - prawo Kobry, Pytona i Zaskrońca 24
3.11.1 Filozoficzna definicja zbioru pustego [] 28



3.8 Punkt odniesienia w logice matematycznej

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Przykład:
1: uczciwy / 2: nie uczciwy
1.
U=1 - prawdą jest (=1) że jestem uczciwy (U)
albo
2.
U=0 - fałszem jest (=0), że jestem uczciwy (U)

Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd mamy zmienną binarną w zapisie symbolicznym izolowaną od wszelkich zer:
1.
U - uczciwy
co w logice jedynek oznacza:
U=1 - prawdą jest (=1) że jestem uczciwy (U)
2.
~U - nie (~) uczciwy
co w logice jedynek oznacza:
~U=1 - prawdą jest (=1) że jestem nieuczciwy (~U)

Doskonale widać, że wyłącznie symboliczne zmienne binarne używane są w języku potocznym człowieka:
1: U (uczciwy) # 2: ~U (nie uczciwy)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie aktualnym (język potoczny):
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
Podstawiamy:
U=p
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym (ogólnym):
p=~(~p)

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy, gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane, inaczej mamy ustawienia domyślne.

Ustawienia domyślne w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
Ustawienia domyślne w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”:
Po „Jeśli..” domyślnie zapisujemy poprzednik p, zaś po „to..” domyślnie zapisujemy następnik q

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Wartość logiczna zdania A1 jest równa 1, bo twierdzenie proste Pitagorasa matematycy udowodnili poprawnie wieki temu.

Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia.
Na mocy prawa punktu odniesienia zapisujemy w zapisach formalnych (ogólnych):
p=>q =1
Gdzie:
p=TP
q=SK

Powyższe prawo punktu odniesienia to zaproponowany standard w logice dodatniej obowiązujący wszystkich ludzi. Matematycznie jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, jednak w imię wspólnego języka musimy trzymać się zaproponowanego standardu - inaczej będziemy mieli kociokwik we wzajemnym porozumiewaniu się, czego dowód będzie w kolejnym punkcie.

Analogia do świata fizyki, czyli powszechnie przyjęty standard:
1. Wektor napięcia wskazuje zawsze wyższy potencjał
2. Prąd elektryczny płynie zawsze od wyższego do niższego potencjału
Matematycznie, dla 1 i 2 możliwe są cztery różne punkty odniesienia matematycznie równie dobre, ale rozwiązując np. sieć elektryczną nie wolno mieszać przyjętego standardu w jednym rozumowaniu (zadaniu) bo wyjdą nam kosmiczne głupoty. Punkty 1 i 2 są powszechnie przyjętym standardem we wszystkich podręcznikach do nauki elektryki i elektroniki i należy to uszanować, nie robiąc bałaganu.
Ciekawostka:
W Węgierskich i Niemieckich podręcznikach fizyki znajdziemy inny punku odniesienia dla napięcia, gdzie wektor napięcia wskazuje zawsze niższy potencjał, a nie jak w krajach anglosaskich i w Polsce potencjał wyższy.

3.8.1 Prawo Kameleona

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie bowiem póki co, żaden ziemski matematyk nie zna jeszcze algebry Kubusia.
… ale wkrótce to się zmieni.

Zadanie 1
Przeanalizuj logicznie poniższe zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Dla zdania A1 badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo chmury mogą istnieć bez padania.

Domyślny punkt odniesienia:
Zdanie wypowiedziane jako pierwsze jest domyślnym punktem odniesienia.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie A1 wypowiedziane jako pierwsze, stąd:
p=P (pada)
q=CH (chmury)

Wniosek:
Zdania A1 i B1 wchodzą w skład definicji implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur bo chmury mogą istnieć bez padania
Stąd mamy definicję implikacji prostej P|=>CH w równaniu logicznym:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>CH
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       AB12:                       |     AB34:
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1  = 4:~CH=>~P =1
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0  = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Matematycznie zachodzi w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zauważmy, że w języku potocznym (zapis aktualny) zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania tożsame.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Prawo Kameleona to bezpośrednie uderzenie w fundament wszelkich logik matematycznych ziemskich matematyków.

Fundament wszelkich logik matematycznych ziemskich matematyków:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Fundament ziemskich logik matematycznych jest fałszem, bo znaleźliśmy kontrprzykład w postaci zdań A1 i B1 wyżej.

3.8.2 Wielkie prawo Kameleona

Wielkie prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame, nawet gdy kodowanie w zapisach aktualnych tych zdań jest identyczne.

Definicja zapisu aktualnego zdania:
Zapis aktualny zdania to zapis bezpośrednio w języku potocznym, z pominięciem zmiennych formalnych (ogólnych)

Wyprowadzenie wielkiego prawa Kameleona.

Zadanie 2
Przeanalizuj logicznie poniższe zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Dla zdania B1 badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Domyślny punkt odniesienia:
Zdanie wypowiedziane jako pierwsze jest domyślnym punktem odniesienia.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Za punkt odniesienia przyjmujemy zdanie B1 wypowiedziane jako pierwsze, stąd:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Wniosek:
Zdania A1 i B1 wchodzą w skład definicji implikacji odwrotnej CH|~>P:

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w równaniu logicznym:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 =1*1 =1

Zdanie bazowe w zadaniu 2, punt odniesienia to:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu B1 to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej CH|~>P:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1 =1*1 =1
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       AB12:                       |     AB34:
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Porównajmy to ze zdaniem bazowym w zadaniu 1:

Zdanie bazowe w zadaniu 1, punkt odniesienia to:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu B1 to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>CH
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       AB12:                       |     AB34:
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1  = 4:~CH=>~P =1
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0  = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy, że w zapisach formalnych (ogólnych) mamy tu 100% jednoznaczność:
T1_A1: p=>q =~p+q ## T2_B3: q=>p = ~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego =>

Zobaczmy co się stanie jak dokładnie do powyższej relacji dopiszemy zdania w zapisie aktualnym (w języku potocznym)
Kod:

Zapis formalny (ogólny)
T1_A1: p=>q  = ~p+q   ## T2_B3: q=>p = ~q+p
Zapis tego samego w zapisach aktualnych (język potoczny):
Punkt odniesienia:   ### Punkt odniesienia:
p=P (pada)           ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury)        ### q=P (pada)
T1_A1: P=>CH = ~P+CH ### T2_B3: P=>CH = ~P+CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego =>
     Warunek wystarczający => nie jest przemienny
### - różne na mocy wielkiego prawa Kameleona (błąd podstawienia)

Zauważmy, że w zapisach aktualnych ewidentnie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
Kod:

T1_A1: P=>CH = ~P+CH [=] T2_B3: P=>CH = ~P+CH

Innymi słowy:
Zdania T1_A1 oraz T2_B3 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
T1_A1 [=] T2_B3:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Co gorsza kodowanie matematyczne zdań T1_A1 oraz T2_B3 w zapisie aktualnym również jest identyczne, co widać wyżej.

Jednak zdanie T1_A1: P=>CH nie jest logicznie tożsame ze zdaniem T2_B3: P=>CH bowiem zdania te widziane są z dwóch różnych punktów odniesienia.

Punkt odniesienia dla zdania T1_A1: P=>CH (w zapisie ogólnym T1_A1: p=>q) to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Natomiast punkt odniesienia dla zdania T2_B3: P=>CH (w zapisie ogólnym T2_B3: q=>p) to:
q=P (pada)
p=CH (chmury)

Wniosek:
W zapisie aktualnym nie wolno nam postawić znaku tożsamości logicznej [=] między zdaniami T1_A1 i T2_B3 bo popełnimy trywialny błąd podstawienia.

Prawo Sowy:
Warunkiem koniecznym porównywania czegokolwiek w logice matematycznej jest uprzednie ustalenie wspólnego punktu odniesienia.

Dowód prawa Sowy to niniejszy przykład.
Stąd mamy wyprowadzone wielkie prawo Kameleona.

Wielkie prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame, nawet gdy kodowanie w zapisach aktualnych tych zdań jest identyczne.

Definicja zapisu aktualnego zdania:
Zapis aktualny zdania to zapis bezpośrednio w języku potocznym, z pominięciem zmiennych formalnych (ogólnych)

3.9 Lekcja logiki matematycznej I klasie LO

Wielkie prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame, nawet gdy kodowanie w zapisach aktualnych tych zdań jest identyczne.

Definicja zapisu aktualnego zdania:
Zapis aktualny zdania to zapis bezpośrednio w języku potocznym, z pominięciem zmiennych formalnych (ogólnych)

Jak w języku potocznym zneutralizować to paskudne, wielkie prawo Kameleona?
Przecież nikt w języku potocznym nie przechodzi do zapisów formalnych by cokolwiek udowodnić.

Spokojnie, zajmiemy się tym banałem po zrozumieniu niniejszej lekcji logiki matematycznej w I klasie LO w 100-milowym lesie, bowiem póki co żaden ziemski matematyk nie zna algebry Kubusia.

Na początek przypomnijmy sobie najważniejsze prawa logiki matematycznej wiążące warunki wystarczające => i konieczne ~>

3.9.1 Definicje warunku wystarczającego => i koniecznego w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.9.2 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

3.9.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w I klasie LO

Zadanie 1 (póki co w 100-milowym lesie):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zdanie tożsame:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Domyślny punkt odniesienia:
Zdanie wypowiedziane jako pierwsze jest domyślnym punktem odniesienia.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Uwaga:
Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia, stąd:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
To jest kluczowe posunięcie w matematyce języka potocznego o czym za chwilkę się przekonamy.

Dla zdania A1 dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku koniecznego ~> B1 między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo wszystko chmury mogą istnieć.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo wszystko chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Definicje znaczków => i ~>:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:

Dowód na naszym przykładzie:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH = P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
Stąd mamy:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1* ~(0) =1*1 =1

Teraz kluczowy manewr:
Tabelę związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>CH tworzymy ze zdań startowych A1 i B1 (punkt odniesienia) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej.

Prawa Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH =1
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH =0

Prawa Tygryska zastosowane do punktu odniesienia, czyli do zdań A1 i B1:
A1: P=>CH = A3: CH~>P =1
B1: P~>CH = B3: CH=>P =0

Prawa kontrapozycji zastosowane do punktu odniesienia, czyli zdań A1 i B1:
A1: P=>CH = A4: ~CH=>~P =1
B1: P~>CH = B4: ~CH~>~P =0

Tożsame dojście do zdań A4 i B4 to zastosowanie praw Kubusia do zdań A3 i B3:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P =1
B3: CH=>P = B4: ~CH~>~P =0

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji P|=>CH
Punkt odniesienia to zawsze pierwsza kolumna A1B1:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1* ~(0) =1*1 =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1           A2B2             A3B3           A4B4
A: 1: P=>CH =1 = 2: ~P~>~CH =1 [=] 3: CH~>P =1 = 4: ~CH=>~P =1
##
B: 1: P~>CH =0 = 2: ~P=>~CH =0 [=] 3: CH=>P =0 = 4: ~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>


Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1 która definiuje implikację prostą P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1* ~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~CH = P*~CH =0

Stąd mamy odpowiedź na pytanie 1:
Jeśli jutro nie będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => że będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2 która definiuje implikację odwrotną ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH)

Definicja implikacji odwrotnej ~P|~>~CH:
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur
bo jak pada to na 100% => są chmury
B2: ~P=>~CH =0 - brak opadów nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla braku chmur
bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmur
~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) =1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1

Stąd mamy odpowiedź na pytanie 2:
Jeśli jutro nie będzie padało to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1), bo jak pada (P=1) to na 100% => jest pochmurno (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
B2’
Jeśli jutro będzie nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Stąd mamy odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu 1:
Zdanie A1 jest częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
cnd

3.9.4 Operator implikacji prostej ~CH||=>~P w I klasie LO

Zadanie 2 (póki co w 100-milowym lesie):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to nie będzie padało
Zdanie tożsame:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało
Brak chmur daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Domyślny punkt odniesienia:
Zdanie wypowiedziane jako pierwsze jest domyślnym punktem odniesienia.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Uwaga:
Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia, stąd:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
To jest kluczowe posunięcie w matematyce języka potocznego o czym za chwilkę się przekonamy.

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% ~> nie będzie padało
~CH~>~P =?

W stosunku do zdania B1 wolno nam korzystać z dowolnych praw logiki matematycznej.
Skorzystajmy z prawa Kubusia bo prosty warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej.
Chodzi tu przede wszystkim o trywialny dowód fałszywości warunku wystarczającego => poprzez podanie kontrprzykładu, dostępny wyłącznie w warunkach wystarczających.

Prawo Kubusia:
B1: ~CH~>~P = B2: CH=>P

Stąd mamy do udowodnienia:
B2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
stąd mamy:
Prawo Kubusia:
B2: CH=>P = B1: ~CH~>~P =0
Stąd mamy dowód fałszywości warunku koniecznego ~> B1 metodą nie wprost, z wykorzystaniem prawa Kubusia.

Stąd mamy:
B1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% ~> nie będzie padało
~CH~>~P =0
Brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> by nie padało, bo mogą być chmury i nie musi padać.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame:
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało
##
B1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% ~> nie będzie padało
~CH~>~P =0
Brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> by nie padało, bo mogą być chmury i nie musi padać.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Definicje znaczków => i ~>:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
Dowód na naszym przykładzie:
A1: ~CH=>~P = CH+~P ## B1: ~CH~>~P ~CH+P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Definicja implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH=1) jest (=1) wystarczający => by nie padało (~P=1)
B1: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH=1) nie jest (=0) konieczny ~> by nie padało (~P=1)
Stąd mamy:
~CH|=>~P = (A1: ~CH=>~P)*~(B1: ~CH~>~P) = 1*~(0) =1*1 =1

Teraz kluczowy manewr:
Tabelę związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej ~CH|=>~P tworzymy ze zdań startowych A1 i B1 (punkt odniesienia) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej.

Prawa Kubusia:
A1: ~CH=>~P = A2: CH~>P =1
B1: ~CH~>~P = B2: CH=>P =0

Prawa Tygryska zastosowane do punktu odniesienia, czyli do zdań A1 i B1:
A1: ~CH=>~P = A3: ~P~>~CH =1
B1: ~CH~>~P = B3: ~P=>~CH =0

Prawa kontrapozycji zastosowane do punktu odniesienia, czyli zdań A1 i B1:
A1: ~CH=>~P = A4: P=>CH =1
B1: ~CH~>~P = B4: P~>CH =0

Tożsame dojście do zdań A4 i B4 to zastosowanie praw Kubusia do zdań A3 i B3:
A3: ~P~>~CH = A4: P=>CH =1
B3: ~P=>~CH = B4: P~>CH =0

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji ~CH|=>~P
Punkt odniesienia to zawsze pierwsza kolumna A1B1:
~CH|=>~P = (A1: ~CH=>~P)*~(B1: ~CH~>~P) = 1*~(0) =1*1 =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       A1B1           A2B2             A3B3           A4B4
A: 1: ~CH=>~P =1 = 2: CH~>P =1 [=] 3: ~P~>~CH =1 = 4: P=>CH =1
##
B: 1: ~CH~>~P =0 = 2: CH=>P =0 [=] 3: ~P=>~CH =0 = 4: P~>CH =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>


Operator implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1 która definiuje implikację prostą ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P).
Definicja implikacji prostej ~CH|=>~P:
Implikacja prosta ~CH|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH=1) jest (=1) wystarczający aby nie padało (~P=1)
B1: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH1) nie jest (=0) konieczny ~> aby nie padało
~CH|=>~P = (A1: ~CH=>~P)*~(B1: ~CH~>~P) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: ~CH~~>P = ~CH*P =0

Stąd mamy odpowiedź na pytanie 1:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to mamy gwarancję matematyczną => że nie będzie padało - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2 która definiuje implikację odwrotną CH|~>P w logice dodatniej (bo CH)

Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
B2: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania,
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
CH|~>P = (A2: CH~>P)*~(B2: CH=>P) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: CH~~>~P=CH*~P =1

Stąd mamy odpowiedź na pytanie 2:
Jeśli jutro będzie pochmurno to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: CH~>P = A1: ~CH=>~P
LUB
B2’
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

3.9.5 Rozwiązanie problemu wielkiego prawa Kameleona

Wielkie prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame, nawet gdy kodowanie w zapisach aktualnych tych zdań jest identyczne.

Definicja zapisu aktualnego zdania:
Zapis aktualny zdania to zapis bezpośrednio w języku potocznym, z pominięciem zmiennych formalnych (ogólnych)

Zauważmy, że algorytm podejścia do rozwiązania zadań 1 i 2 w I klasie LO skutecznie eliminuje wielkie prawo Kameleona.

Dowód:

Zadanie 1 (póki co w 100-milowym lesie):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zdanie tożsame:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury

Tabela prawdy warunków wystarczających i koniecznych ~> dla zdania A1:
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji P|=>CH
Punkt odniesienia to zawsze pierwsza kolumna A1B1:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1* ~(0) =1*1 =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1           A2B2             A3B3           A4B4
A: 1: P=>CH =1 = 2: ~P~>~CH =1 [=] 3: CH~>P =1 = 4: ~CH=>~P =1
##
B: 1: P~>CH =0 = 2: ~P=>~CH =0 [=] 3: CH=>P =0 = 4: ~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>


Zadanie 2 (póki co w 100-milowym lesie):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało

Tabela prawdy warunków wystarczających i koniecznych ~> dla zdania A1:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji ~CH|=>~P
Punkt odniesienia to zawsze pierwsza kolumna A1B1:
~CH|=>~P = (A1: ~CH=>~P)*~(B1: ~CH~>~P) = 1*~(0) =1*1 =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       A1B1           A2B2             A3B3           A4B4
A: 1: ~CH=>~P =1 = 2: CH~>P =1 [=] 3: ~P~>~CH =1 = 4: P=>CH =1
##
B: 1: ~CH~>~P =0 = 2: CH=>P =0 [=] 3: ~P=>~CH =0 = 4: P~>CH =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>


Zauważmy że w języku potocznym zachodzi dla tabel T1 i T2 zachodzi:
Kod:

T1_A1: P=>CH        ### T2_A4: P=>CH
Punkt odniesienia:  ### Punkt odniesienia:
p=P (pada)          ### p=CH (chmury)
q=CH (chmury)       ### q=P (pada)
Gdzie:
### - różne z powodu błędu podstawienia

Jak widzimy zdania prawdziwe:
T1_A1: P=>CH =1
oraz
T2_A4: P=>CH =1
brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, matematyczne kodowanie tych zdań warunkiem wystarczającym => również jest identyczne - jednak zdania te nie są tożsame z powodu błędu podstawienia ### który dzięki zastosowaniu odpowiedniego algorytmu wychwyciliśmy w sposób naturalny, unikając analizy tych zdań w zapisach formalnych (aktualnych)

3.10 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu

Analiza podstawowa zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:

Operator implikacyjny to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”

Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A.
Jeśli jutro zajdzie zdarzenie A: CH*P =1 to zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B.
Jeśli jutro zajdzie zdarzenie B: CH*~P=1 to zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0
Stąd mamy:

Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu

Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B.

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?


.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie padało (~P)
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.

Definicja twardej prawdy:
Jeśli p to q
Z twardą prawdą mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q

Przykład to zdanie C wyżej.
Koniec analizy podstawowej.

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Stąd dla naszej chmurki i deszczu mamy tabelę zdarzeń możliwych ~~> które mogą zajść jutro:
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
Wniosek:
Zdarzenie D to fałsz absolutny który nie ma szans stać się prawdą (jakąkolwiek prawdą)
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że:
Jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych A, B lub C (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym.
W tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu.
Żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić zaistniałego faktu.

Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.

Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
Kod:

T2
A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka była pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców spoza Warszawy, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i jest sensowna.
Innymi słowy:
Jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika dalej działa w postaci identycznej serii zdań jak w naszej analizie podstawowej, tylko w zdaniach zapisanych w czasie przeszłym.

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.

Przykład:
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą.
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej B: CH*~P na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.

Zauważmy, że w czasie przyszłym (lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu) zdanie C jest twardą prawdą.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Innymi słowy:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało.
~CH=>~P =1 - twarda prawda
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
To samo zdanie w czasie przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu:
C1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na 100% => nie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania

Jak widzimy z naszego przykładu twarda prawda w czasie przyszłym może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym gdy zajdzie jedna z miękkich jedynek, w naszym przykładzie gdy zajdzie zdarzenie B.

Jak powyższe rozważania udowodnić matematycznie?
Mamy naszą tabelę prawdy T1 opisująca naszą rzeczywistość w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy faktów.
Kod:

T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”

Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.

Dowód czysto matematyczny naszych rozważań to po prostu iloczyn logiczny zaistniałego faktu CH*~P w każdej z linii ABCD.
Kod:

T3
Tabela prawdy dla zaistniałego zdarzenia x=CH*~P
                      x=
A: CH~~> P=( CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
B: CH~~>~P=( CH*~P)*( CH*~P)=1 - prawda absolutna
C:~CH~~>~P=(~CH*~P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
D:~CH~~> P=(~CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny

Czytamy:
A.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny
B.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało?
TAK - prawda absolutna
C.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i nie padało?
NIE - fałsz absolutny
D.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny

Podsumowując:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Prawda ta może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym.
Kontrprzykład D dla prawdziwego warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)

Zauważmy że:
1.
Twarda prawda w czasie przyszłym (zdanie C) może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym (tabela T3, zdanie C)
2.
Twardy fałsz w czasie przyszłym (zdanie D) nie może przejść w twardą prawdę w czasie przeszłym, bowiem niemożliwe jest (=0) zajście zdarzenia D: ~CH*P w czasie od minus do plus nieskończoności.

3.11 Dziedzina minimalna - prawo Kobry, Pytona i Zaskrońca

Weźmy zdanie bazowe (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd

Nasze zdanie A1 definiuje dwa zbiory:
P=[pies] =1 - zbiór jednoelementowy P=[pies] (wartość logiczna 1 bo zbiór nie jest pusty)
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami (wartość logiczna 1 bo zbiór nie jest pusty)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] (kura jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap)
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny:
~P = [ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~P=[słoń, kura ..] =1
~4L=[ZWZ-4L] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt mających cztery lapy
~4L=[kura ..] =1

Analiza matematyczna warunku wystarczającego => A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo pies.
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1:  P~~> 4L=1 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają element wspólny
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają element wspólny
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny


Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza matematyczna - część I:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2
A1:  P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny


Dla zdania A1 ustalmy przykładową, najszerszą możliwą dziedzinę Uniwersum.
Uniwersum (U) to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Innymi słowy:
U=[zbiór wszystkich zwierząt ZWZ, zbiór liczb naturalnych, mydło, powidło, miłość, rower, krasnoludek ..]

Nasze zdanie A1 przyjmie wtedy brzmienie:
A1U.
Jeśli coś jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =?
Zauważmy, że jeśli z obszaru Uniwersum będziemy losować cosie z dziedziny minimalnej będącej zbiorem wszystkich zwierząt ZWZ to wtedy znajdziemy się w analizie matematycznej jak wyżej omówionej dla zdania A1 (tabela T2)

Na mocy prawa Kobry warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>, co możemy zapisać jako.

A1UE.
Jeśli coś (x) jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
x*P~~>4L = x*P*4L =?

Losujemy:
x=P (pies)
Wtedy mamy:
P*P~~>4L = P*P*4L = P*4L =1
Zdanie prawdziwe bo istnieje element wspólny zbioru P=[pies] i zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Na mocy prawa Kobry widzimy, że wylosowanie jakiegokolwiek cosia spoza dziedziny minimalnej zbioru wszystkich zwierząt ZWZ czyni zdanie A1UE zdaniem fałszywym bez względu na zawartość następnika.

Dowód:
Podstawmy:
x=M (miłość)
Wtedy w poprzedniku mamy:
M*P~~>4L = M*P*4L =[] =0 - bo pojęcie „miłość” jest rozłączne ze zbiorem P=[pies]

Stąd mamy.

Prawo Pytona dla zbiorów:
Dla dowolnego zdania „Jeśli p to q” nie ma sensu iterowane po elementach spoza dziedziny minimalnej definiowanej treścią zdania „Jeśli p to q” bowiem wszystkie takie zdania będą na 100% fałszywe.

Na mocy prawa Pytona mamy rozstrzygnięcie iż jedyną matematycznie poprawną dziedziną dla zdania A1 jest dziedzina minimalna:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Mamy nasze zdanie bazowe (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd
Dziedzina minimalna zdefiniowana treścią zdania to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Zastosujmy do zdania A1 prawo kontrapozycji:
A1: P=>4L = A4: ~4L=>~P

Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A4 inaczej matematyka ścisła (prawo kontrapozycji) leży w gruzach, co jest oczywiście niemożliwe.

A4.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zwierząt nie będących psem ~P=[słoń, kruk ..]

Tu również treść zdania A4 precyzyjnie definiuje nam dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Stąd mamy wyprowadzone wniosek w postaci prawa Zaskrońca.

Prawo Zaskrońca:
W dowolnym prawie logiki matematycznej dziedzina musi być wspólna i minimalna

Weźmy nasze prawo kontrapozycji:
A1: P=>4L = A4: ~4L=>~P

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Na mocy prawa Zaskrońca dziedzina dla zdań związanych tożsamością logiczną musi być wspólna i minimalna, zdefiniowana treścią zdania.

3.11.1 Filozoficzna definicja zbioru pustego []

Nawiązując do powyższych rozważań oraz do praw Kobry, Pytona i Zaskrońca podanych wyżej możemy pokusić się o podsumowanie problemu zbioru pustego [].

Podsumowanie problemu zbioru pustego []:
1.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum możemy podzielić na:
a)
Uniwersum indywidualne związane z konkretnym człowiekiem
b)
Uniwersum ludzkości, czyli zbiór pojęć historycznych rozpoznawalnych przez ludzkość w okresie swojego istnienia.

Oba typy Uniwersum są dynamiczne tzn. rozszerzają się gdy poznajmy nowe pojęcia oraz zawężają się gdy pojęcie ulegają zapomnieniu.
Przykład:
W okresie maturalnym bardzo dobrze znałem matematykę ale w dniu dzisiejszym pewne jest, że z marszu nie zaliczyłbym matury podstawowej z matematyki - nawet nie mam pojęcia co to jest delta w równaniu kwadratowym.
Wniosek:
Pojęć których się nie używa w życiu zawodowym w naturalny sposób zapominamy.

2.
Filozoficzna definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to wszelkie pojęcia spoza Uniwersum.
Innymi słowy:
Wszystko co jest poza Uniwersum jest dla nas zbiorem pustym, co nie oznacza iż tam już nic nie ma, czyli nie ma pojęć których jeszcze nie znamy, a które możemy poznać w przyszłości.
Ten zbiór pusty poza Uniwersum jest nieskończenie wielki, pewne pojęcia na zawsze pozostaną dla nas tajemnicą np. kwestia istnienia lub nie istnienia Boga w rozumieniu różnych odłamów ludzkości.

Jest oczywistym, że ten z naszego punktu odniesienia zbiór pusty leżący poza naszym Uniwersum jest podzbiorem => siebie samego.
Stąd mamy:
[]=>[] =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego, dotyczy to także wszystkich, nieskończonych z definicji pojęć spoza naszego Uniwersum, których jeszcze nie znamy, ale które możemy poznać w przyszłości.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:54, 05 Sty 2021, w całości zmieniany 40 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:24, 01 Lis 2020    Temat postu:

4.0 Implikacja prosta p|=>q


Spis treści
4.0 Implikacja prosta p|=>q 1
4.1 Operator implikacji prostej p||=>q 6
4.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 11
4.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 14
4.2.1 Odtwarzanie operatora implikacji prostej P||=>CH z pojedynczych zdań 21
4.2.2 Operator implikacji prostej P||=>CH w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 23
4.2.3 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 25



4.0 Implikacja prosta p|=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Przykład:
p=P (pada)
q= CH (chmury)
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
Stąd:
Spełniona jest definicja implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach:
p|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:
p=P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1 =1

Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia zbiorów do dziedziny:
~p=~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór LN minus zbiór P8
~q=~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] - zbiór LN minus zbiór P2 (= zbiór liczb nieparzystych)
Definicja dziedziny po stronie q=P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Zauważmy, że dla naszego przykładu wymóg iż przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów P2 i P8 jest spełniony
P8=[8,16,24..] + P2=[2,4,6,8..] => LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..]
Zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2, stąd suma logiczna (+) zbiorów P8 i P2 to zbiór P2:
P8+P2 = P2 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Jak widzimy, suma zbiorów P8+P2=P2=[2,4,6,8..] jest podzbiorem => dziedziny LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Wniosek:
Przyjęta dziedzina minimalna LN jest poprawna, bowiem żaden ze zbiorów P2, ~P2, P8 i ~P8 nie jest zbiorem pustym [], co udowodniono wyżej.

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy zbiór:
D = P2=[2,4,6,8..]
to zbiór ~P2 będzie zbiorem pustym:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Wniosek:
Przyjęta dziedzina D=[2,4,6,8..] jest matematycznie błędna bowiem zbiór ~P2 jest zbiorem pustym [] co oznacza, że pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne.

Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
      AB12:                  AB34:
      A1B1      A2B2         A3B3      A4B4
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Rozstrzygnięcie:
Aby udowodnić iż układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x).

Rozstrzygnięcie tożsame to:
1.
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q =1
Z prawa Kubusia wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość warunku wystarczającego B2
B2: ~p=>~q =0
możemy udowodnić dowodem nie wprost dowodząc prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Zdarzenia:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
4.
Ponownie korzystamy z prawa Kubusia:
B2:~p=>~q = B1: p~>q =0
Stąd mamy dowód fałszywości warunku koniecznego ~> B1:
B1: p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd mamy:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = ~p|~>~q = ~p*q

A1B1
Kolumna A1B1 to definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q).


Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q=1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q=0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

Warto zapamiętać różnicę:
p|=>q = ~p*q - definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
##
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Definicja implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q =~p*q
wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy B2’ w obszarze AB12:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy warunek wystarczający => B2:
B2: ~p=>~q =0
Na mocy prawa Kubusia fałszywy (=0) warunek wystarczający => B2 wymusza fałszywy (=0) warunek konieczny ~> B1:
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q =0
cnd

A2B2:
Kolumna A2B2 to definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).


Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= 1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Wniosek:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q=~p*q wskazuje prawdziwy kontrprzykład B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Dla fałszywego warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = ~p|~>~q
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
cnd

Dowód tożsamy:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
To są tożsamości logiczne, dlatego matematycznie zachodzi:
p|=>q = ~p~>~q
bo prawe strony (~p*q) są tożsame.

Znaczenie tożsamości logicznej:
p|=>q = ~p|~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

4.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej p|=>q i odwrotnej ~p|~>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Kolumna A1B1
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q=1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q=0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
Stąd:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =0

Stąd mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1) w zdaniach warunkowych:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q, mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zdarzenia: Zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Zbiory: Zbiór p jest podzbiorem => q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q=p*~q=0
Zdarzenia: Nie jest (=0) możliwe równoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory: zbiory p i ~q są rozłączne (=0)

Komentarz:
I.
Zdanie A1 to warunek wystarczający A1: p=>q w logice dodatniej (bo q)
II.
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź na pytanie:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0
III.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 oraz A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~>~q=1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q=0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~p|~>~q i prostej p|=>q na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Kolumna A2B2
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= 1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

Stąd mamy odpowiedź co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1) w zdaniach warunkowych:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, mówią o tym zdania A2 i B2’
A2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zdarzenia: Zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia ~q
Zbiory: Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą.
B2’:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q =~p*q=1
Zdarzenia: Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory: Istnieje wspólna część ~~> zbiorów ~p i q

Komentarz:
I.
Zdanie A2 to warunek konieczny A2: ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q)

II.
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q=1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q=0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

III.
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 oraz A1B1:

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~>~q=1 - ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q=0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0

Podsumowanie:
1.
Zauważmy, że jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => zajścia q
Mówi o tym zdanie A1:
A1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
2.
Jeśli natomiast zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’:
A2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
LUB
B2’:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q =~p*q=1

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) i implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p~>~q
stąd:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~p|~>~q
p|=>q = ~p|~>~q
cnd

Dowód tożsamy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
cnd
Doskonale widać, że zarówno spójnik Implikacji prostej p|=>q jak i odwrotnej ~p|~>~q wskazują jedyne zdanie prawdziwe B2’ w całej analizie, które nie jest ani warunkiem wystarczającym =>, ani też koniecznym ~>.

Zauważmy, że w świecie rzeczywistym może zajść zdarzenie p albo ~p, że nie jest możliwe jednoczesne zajście zdarzeń p i ~p, bowiem są to zdarzenia rozłączne.

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
dla q:=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p =1
cnd

Gdyby możliwe było jednoczesne zajście zdarzeń p i ~p to wtedy prawdziwa byłaby równoważność:
p<=>q = p*q+~p*~q
Sprawdźmy iż dla q:=~p równoważność jest fałszywa:
p<=>~p = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p+~p*p =[] =0
cnd

4.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T4:
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
Stąd:                                            |Co w logice
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1         |jedynek oznacza
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q
A2:~p~>~q=1
B2:~p=>~q=0
stąd:
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Zauważmy, że zdanie B1 jest tu fałszem:
B1: p~>q =0
zatem tabelę T4 możemy kodować zero-jedynkowo względem warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |
              |                  |                  | p  q  p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0   =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1   =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T4 mamy również implikację odwrotną ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2B2:
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
W tym przypadku zdanie B2 jest fałszem:
B2: ~p=>~q =0
zatem tabelę T4 możemy kodować zero-jedynkowo względem warunku koniecznego A2:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T6:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |
              |                  |                  |~p ~q ~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1   =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0   =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T5 i T6 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T5 i T6 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T5: p=>q = T6: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T5: 123) i koniecznego ~> (T6: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

4.2 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Przykład:
1: uczciwy / 2: nie uczciwy
1.
U=1 - prawdą jest (=1) że jestem uczciwy (U)
albo
2.
U=0 - fałszem jest (=0), że jestem uczciwy (U)

Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd mamy zmienną binarną w zapisie symbolicznym izolowaną od wszelkich zer:
1.
U - uczciwy
co w logice jedynek oznacza:
U=1 - prawdą jest (=1) że jestem uczciwy (U)
2.
~U - nie (~) uczciwy
co w logice jedynek oznacza:
~U=1 - prawdą jest (=1) że jestem nieuczciwy (~U)

Doskonale widać, że wyłącznie symboliczne zmienne binarne używane są w języku potocznym człowieka:
1: U (uczciwy) # 2: ~U (nie uczciwy)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka
P- pies
~P - nie(~) pies

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisach aktualnych:
Jestem uczciwy U = nie jest prawdą ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
U = ~(~U)
To samo w zapisach formalnych:
U:=p - pod U podstaw p
stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisach formalnych (ogólnych):
p=~(~p)

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Powyższe prawo punktu odniesienia to zaproponowany standard w logice dodatniej obowiązujący wszystkich ludzi. Matematycznie jest wszystko jedno co nazwiemy p a co q, jednak w imię wspólnego języka musimy trzymać się zaproponowanego standardu.

Analogia do świata fizyki, czyli powszechnie przyjęty standard:
1. Wektor napięcia wskazuje zawsze wyższy potencjał
2. Prąd elektryczny płynie zawsze od wyższego do niższego potencjału
Matematycznie, dla 1 i 2 możliwe są cztery różne punkty odniesienia matematycznie równie dobre, ale rozwiązując np. sieć elektryczną nie wolno mieszać przyjętego standardu w jednym rozumowaniu (zadaniu) bo wyjdą nam kosmiczne głupoty. Punkty 1 i 2 są powszechnie przyjętym standardem we wszystkich podręcznikach do nauki elektryki i elektroniki i należy to uszanować, nie robiąc bałaganu.
Ciekawostka:
W Węgierskich i Niemieckich podręcznikach fizyki znajdziemy inny punku odniesienia dla napięcia, gdzie wektor napięcia wskazuje zawsze niższy potencjał, a nie jak w krajach anglosaskich i w Polsce potencjał wyższy.

Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd

Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia.
Na mocy prawa punktu odniesienia podstawiamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Zajście p (pada) jest wystarczające => dla zajścia q (chmury)

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Na początek musimy udowodnić, iż zdanie A1 rzeczywiście jest częścią implikacji prostej P|=>CH.
Dowód prawdziwości A1 mamy na wstępie.

Dla zdania B1 najprościej skorzystać z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Podstawiając nasze zdanie mamy:
B1: CH~>P = B3: P=>CH

Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania B3:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
q=>p =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze, gdy są chmury, pada
cnd

Na mocy prawa Tygryska nie zachodzi warunek konieczny ~> w zdaniu B1.
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
p~>q =0
Warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony na mocy prawa Tygryska.
Dowód wprost:
„Padanie” nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia „chmur”, bo może się zdarzyć że „nie pada” a „chmury” istnieją.
Zabieram stan „pada” a „chmury” nie znikają.

Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdanie te nie są matematycznie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
„Padanie” nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia „chmur”, bo może się zdarzyć że „nie pada” a „chmury” istnieją.
Gdzie:
## - różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: P=>CH =~P+CH =1 ## B1: P~>CH = P+~CH =0
Zapis formalny zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Wniosek:
Zdanie A1 wchodzi w skład definicji implikacji prostej P|=>CH.
Podstawmy nasze zdanie do pełnej definicji implikacji prostej P|=>CH z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~>:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P|=>CH
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       AB12:                      |      AB34:
       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1  = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]               = 4:~CH~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0  = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
  p|=>q=~p*q     = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p  = ~q|=>~p=q*~p
  P|=>CH=~P*CH   = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~CH=P*~CH=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~CH=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>CH =~P*CH=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej ~P|~>~CH na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Definicja implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo q)
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: P=>CH=1 - padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
B1: P~>CH=0 - padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1)
Stąd:
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~CH = P*~CH =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Stąd mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli jutro będzie padało (P=1)?
Jeśli jutro będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno, mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Komentarz:
I.
Zdanie A1 to warunek wystarczający A1: P=>CH w logice dodatniej (bo CH)

II.
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało?
A1: P=>CH=1 - padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
B1: P~>CH=0 - padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1)
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~CH = P*~CH =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

III.
Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 oraz A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
A1: P=>CH=1 - padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
B1: P~>CH=0 - padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1)
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~CH = P*~CH =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było chmur (~CH=1)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było chmur
~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH)=1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~P|~>~CH i prostej P|=>CH na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH):
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było chmur (~CH=1)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było chmur
~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH)
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Stąd mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
Jeśli jutro nie będzie padało to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, mówią o tym zdania A2 i B2’:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH - mając udowodnione A1 nie musimy dowodzić A2 (albo odwrotnie)
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Komentarz:

I.
Zdanie A2 to warunek konieczny A2: ~P~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH)

II.
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) to:
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było chmur (~CH=1)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było chmur
~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH)
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

III.
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) to układ równań logicznych A2B2 oraz A1B1:

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było chmur (~CH=1)
B2: ~P=>~CH=0 - brak opadów (~P=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by nie było chmur
~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH)
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~P=>~CH=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

A1B1:
Co się może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało?
A1: P=>CH=1 - padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
B1: P~>CH=0 - padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1)
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~CH = P*~CH =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Podsumowanie:
1.
Zauważmy, że jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1)

Mówi o tym zdanie A1:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
2.
Jeśli natomiast jutro nie będzie padło (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1

4.2.1 Odtwarzanie operatora implikacji prostej P||=>CH z pojedynczych zdań

Zauważmy, że po stronie P (pada) w implikacji prostej P|=>CH zdanie A1 z warunkiem wystarczającym => możemy wypowiedzieć w jeden, jedyny sposób:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.

Po stronie ~P (nie pada) w implikacji ~P|~>~CH mamy sytuację diametralnie inną:
W implikacji odwrotnej ~P|~>~CH mamy dwa zdania prawdziwe A2 i B2’ połączone spójnikiem „lub”(+) o definicji:
Y=p+q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czyli:
Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek człon sumy logicznej (+) jest równy 1.

Możemy tu zatem wypowiedzieć trzy zdania prawdziwe:
A2
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH=1
LUB
B2’
Jeśli jutro nie będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH =~P*CH =1
LUB
A2+B2’:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno lub może ~~> być pochmurno
~P=> (CH+~CH) =1
Zdanie matematycznie tożsame typu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli jutro nie będzie padało to na 100% => nie będzie pochmurno lub będzie pochmurno
~P=>(~CH+CH) =1
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
dla q=1 mamy:
p=>1 = ~p+1 =1
cnd

Zauważmy, że mając do dyspozycji dowolne z powyższych zdań prawdziwych z łatwością odtworzymy serię czterech zdań A1, A1’, A2, B2’ wchodzących w skład operatora implikacji prostej P||=>CH

Dowód dla zdania A2+B2’:
A2+B2’:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno lub może ~~> być pochmurno
~P=> (CH+~CH) =1

Innymi słowy:
B2’
Jeśli jutro nie będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
LUB
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie padało (~P=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

Stąd mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Jak widzimy, z dziecinną łatwością ze zdania A2+B2’ odtworzyliśmy serię czterech zdań warunkowych A1, A1’, A2, B2’ wchodzących w skład operatora implikacji prostej P||=>CH

Do samodzielnego rozwiązania.
Zadanie 1.
Odtwórz serię zdań A1, A1’, A2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.

Zadanie 2,
Odtwórz serię zdań A1, A1’, A2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Zadanie 3.
Odtwórz serię zdań A1, A1’, A2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie padało (~P=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury

Zadanie 4.
Odtwórz serię zdań A1, A1’, A2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH =1
Możliwe jest zdarzenie nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)


4.2.2 Operator implikacji prostej P||=>CH w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć ~~> że jutro będzie padało i będzie pochmurno?
Jaś (lat 5): TAK
Stąd:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 wystarczy pokazać jeden taki przypadek.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno?
Jaś: NIE
Stąd:
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)

Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie padało i nie będzie pochmurno?
Jaś: TAK
Stąd:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - zdarzenie możliwe (=1)

Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie padało i będzie pochmurno?
Jaś: TAK
stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - zdarzenie możliwe (=1)

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1
             Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A1:  P~~> CH=1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie pada i są chmury
A1’: P~~>~CH=0  1 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie ma chmur
A2: ~P~~>~CH=1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i nie ma chmur
B2’:~P~~>CH =1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i są chmury

Zauważmy, że 5-cio latek de facto podał nam definicję operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Uprośćmy indeksowanie linii, by tabela była łatwiej czytelna:
T1’
Y ~Y Odpowiedzi dla Y:
A: P~~> CH=1 0 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie pada i są chmury
B: P~~>~CH=0 1 - niemożliwe jest (Yb=0) zdarzenie pada i nie ma chmur
C:~P~~>~CH=1 0 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie nie pada i nie ma chmur
D:~P~~>CH =1 0 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie nie pada i są chmury
[/code]

Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia są możliwe (Yx=1)?

Y = A: P*CH + C:~P*~CH + D: P*CH
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: P=1 i CH=1

Zdarzenia możliwe (Yx=1) to:
Ya = P*CH=1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
lub
Yc = ~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
lub
Yd = ~P*CH =1*1=1 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc+Yd

2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?

B: ~Y = P*~CH
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> P=1 i ~CH=1
~Y=~Yb - bo jest tylko jedno zdarzenie w logice ujemnej (bo ~Yx).
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka możemy stosować indywidualnie do dowolnej zmiennej binarnej
Stąd mamy opis dla Y w logice dodatniej (bez przeczenia):
Y=0 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie Y: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Innymi słowy:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie (Y): pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

To samo inaczej:
Zdarzenie niemożliwe (~Y=1) to:
~Yb=P*~CH=1*1 =1 - nie jest możliwe zdarzenie Yb (~Yb=1): pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Gdzie:
~Y=~Yb - bo jest tylko jedno zdarzenie w logice ujemnej (bo ~Yx)
stąd:
~Y=P*~CH=1*1 =1 - nie jest możliwe zdarzenie Y (~Y=1): pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
innymi słowy:
~Y=P*~CH=1*1 =1 - prawdą jest (=1) nie jest możliwe zdarzenie Y: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
zatem innymi słowy:
Y=P*~CH=1*1 =0 - fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie Y: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

4.2.3 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Z pomocą 5-cio latków w przedszkolu wygenerowaliśmy symboliczną tabelę operatora implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach możliwych ~~>:
Kod:

T1
             Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A1:  P~~> CH=1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie pada i są chmury
A1’: P~~>~CH=0  1 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie ma chmur
A2: ~P~~>~CH=1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i nie ma chmur
B2’:~P~~>CH =1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i są chmury


Analiza matematyczna tabeli T1 - część I:

W analizie bierze udział wyłącznie kolumna wynikowa Y w logice dodatniej (bo Y).

Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~CH=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>CH =1 - padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>CH =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~CH =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2
A1:  P=> CH =1 - padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie ma chmur
A2: ~P~> ~CH=1 - brak opadów jest konieczny ~> dla nie istnienia chmur
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i są chmury


Analiza matematyczna tabeli T1 - część II:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~CH =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~CH = B1: P~>CH
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~CH =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1: P~>CH =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2
A1:  P=> CH =1 |B1: P~> CH =0
A1’: P~~>~CH=0
A2: ~P~> ~CH=1 |B2:~P=>~CH =0
B2’:~P~~>CH =1

Stąd mamy:

Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej ~P|~>~CH na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?


A1B1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH:

Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1:
A1: P=>CH=1
Wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
A1’: P~~>~CH = P*~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Stąd mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało?
Jeśli jutro będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno, mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1 - padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, zawsze gdy pada są chmury
Kontrprzykład A1’ musi tu być fałszem.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH=P*~CH =0 - niemożliwe jest zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~P|~>~CH i prostej P|=>CH na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

[b]A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH:

Implikacja odwrotna ~P|~>~CH to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P~>~CH =1 - brak opadów jest (=1) konieczny ~> dla nie istnienia chmur
B2: ~P=>~CH =0 - brak opadów nie jest (=0) wystarczający => dla nie istnienia chmur
stąd:
~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) =1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~P=>~CH=0
wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie):
B2’: ~P~~>CH = ~P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Stąd mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
Jeśli jutro nie będzie padało to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, mówią o tym zdania A2 i B2’:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH - mając udowodnione A1 nie musimy dowodzić A2
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Podsumowanie:
Doskonale widać, jak łatwo odtworzyć spójnik implikacji prostej P|=>CH i odwrotnej ~P|~>~CH z serii czterech zdań w zdarzeniach możliwych ~~> zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 21:50, 05 Sty 2021, w całości zmieniany 28 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:40, 01 Lis 2020    Temat postu:

Spis treści
4.3 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach 1
4.3.1 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach 7
4.4 Przykład operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 9
4.4.2 Diagram operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 16
4.4.3 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 19




4.3 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przykład:
p=P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1 =1

Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia zbiorów do dziedziny:
~p=~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór LN minus zbiór P8
~q=~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] - zbiór LN minus zbiór P2 (= zbiór liczb nieparzystych)
Definicja dziedziny po stronie q=P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Zauważmy, że dla naszego przykładu wymóg iż przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów P2 i P8 jest spełniony
P8=[8,16,24..] + P2=[2,4,6,8..] => LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..]
Zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2, stąd suma logiczna (+) zbiorów P8 i P2 to zbiór P2:
P8+P2 = P2 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Jak widzimy, suma zbiorów P8+P2=P2=[2,4,6,8..] jest podzbiorem => dziedziny LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Wniosek:
Przyjęta dziedzina minimalna LN jest poprawna, bowiem żaden ze zbiorów P2, ~P2, P8 i ~P8 nie jest zbiorem pustym [], co udowodniono wyżej.

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy zbiór:
D = P2=[2,4,6,8..]
to zbiór ~P2 będzie zbiorem pustym:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Wniosek:
Przyjęta dziedzina D=[2,4,6,8..] jest matematycznie błędna bowiem zbiór ~P2 jest zbiorem pustym [] co oznacza, że pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne.

Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
      AB12:                  AB34:
      A1B1      A2B2         A3B3      A4B4
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Rozstrzygnięcie:
Aby udowodnić iż układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x).

Rozstrzygnięcie tożsame to:
1.
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q =1
Z prawa Kubusia wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość warunku wystarczającego B2
B2: ~p=>~q =0
możemy udowodnić dowodem nie wprost dowodząc prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Zdarzenia:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
4.
Ponownie korzystamy z prawa Kubusia:
B2:~p=>~q = B1: p~>q =0
Stąd mamy dowód fałszywości warunku koniecznego ~> B1:
B1: p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q

W kolumnie A1B1 mamy definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

W kolumnie A2B2 mamy definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd mamy:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = ~p|~>~q = ~p*q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej p|=>q i odwrotnej ~p|~>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Kolumna A1B1:
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru p
Stąd:
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory p i ~q są rozłączne.

Stąd mamy serię dwóch zdań warunkowych A1 i A1’ opisujących co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zajście p daje naje nam gwarancję matematyczną => iż zajdzie q, bo zbiór p jest podzbiorem => q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne

Komentarz:
I.
Zdanie A1 to warunek wystarczający A1: p=>q w logice dodatniej (bo q)

II.
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory p i ~q są rozłączne.

III.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 oraz A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Z diagramu D1 odczytujemy:
A1: p=>q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory p i ~q są rozłączne.

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Z diagramu D1 odczytujemy:
A2: ~p~>~q =1 - bo zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - bo zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów jest (=1) spełniona bo zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to odpowiedź w spójnikach ~p|~>~q i p|=>q na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~>~q =1 - bo zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - bo zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1), bo zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>.

Stąd mamy serię dwóch zdań warunkowych A2 i B2’ opisujących Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, mówią o tym zdania A2 i B2’:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>

Komentarz:
I.
Zdanie A2 to warunek konieczny A2: ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q)

II.
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to to odpowiedź na pytanie:
Co się może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - bo zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - bo zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1), bo zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>.

III.
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~>~q =1 - bo zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - bo zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1), bo zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>.

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=>q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory p i ~q są rozłączne.

4.3.1 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Analiza implikacji prostej p||=>q w zapisach formalnych (ogólnych)
----------------------------------------------------------------------
Analiza        |Po zamianie    |Komentarz do analizy podstawowej
podstawowa     |p i q          |na podstawie diagramu D1
A1:  p=> q =1  |A3:  q~> p =1  |A1   p=> q =1 - p jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
A2: ~p~>~q =1  |A4: ~q=>~p =1  |A2: ~p~>~q =1 - ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’ ~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
|
B1:  p~> q =0  |B3:  q=> p =0  |B1:  p~> q =0 - p nie jest nadzbiorem ~> q
A1’  p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
B2: ~p=>~q =0  |B4: ~q~>~p =0  |B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest podzbiorem ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’:~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Spójnik p~~>q=p*q jest przemienny.

Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej p|=>q i odwrotnej ~p|~>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Z diagramu D1 odczytujemy:
A1B1:
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru p
Stąd:
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory p i ~q są rozłączne.
Doskonale to widać na diagramie D1

Stąd mamy serię dwóch zdań warunkowych A1 i A1’ opisujących co może się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>~q=p*~q =0

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
Potwierdza to diagram D1 gdzie zbiory p i ~q są rozłączne

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Z diagramu D1 odczytujemy:
A2: ~p~>~q =1 - bo zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - bo zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Potwierdza to diagram D1 gdzie zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>.

Stąd mamy serię dwóch zdań warunkowych A2 i B2’ opisujących co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź:
Jeśli zajdzie ~p tp mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
Mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Doskonale to widać na diagramie D1.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~p i q mają co najmniej jeden element wspólny ~~>
Potwierdza to diagram D1.

4.4 Przykład operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
Zdanie tożsame:
Każdy pies ma => cztery łapy
P=>4L =1
Kodowanie w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => posiadania czterech łap
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Pies z trzema łapami to też pies, jednak z logiki matematycznej musimy usunąć psy kalekie bowiem wówczas warunek wystarczający => A1 leży w gruzach.
Jeśli uwzględnimy psy kalekie to wylądujemy w operatorze chaosu P|~~>4L bez żadnej gwarancji matematycznej =>.

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>4L między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
W zapisie formalnym:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
… o czym każdy 5-cio latek wie.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania tożsame:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
##
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Podsumowując:
W zapisie aktualnym mamy:
A1: P=>4L=~P+4L ## B1: P~>4L = P+~4L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Po raz kolejny wyskakuje nam tu prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie A1: P=>4L jest częścią implikacji prostej P|=>4L.

Definicja implikacji prostej P|=>4L
Implikacja prosta P=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
bo każdy pies ma cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
Stąd mamy definicję implikacji prostej P|=>4L
Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>4L w równaniu logicznym:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P|=>4L
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P (pies)
q=4L (zbiór zwierząt mających cztery łapy)
       AB12:                      |      AB34:
       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
  p|=>q=~p*q     = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p  = ~q|=>~p=q*~p
  P|=>4L=~P*4L   = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P
Gdzie:
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P=>4L=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~4L=P*~4L=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~4L=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>4L =~P*4L=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej P||=>4L to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej P|=>4L i odwrotnej ~P|~>~4L na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
Definicja implikacji prostej P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L):
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?
A1: P=>4L =1 - bycie psem wystarcza => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest warunkiem koniecznym ~> by mieć cztery łapy (bo np. słoń)
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>4L=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

Analiza szczegółowa:
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?
Odpowiedź:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy, mówi o tym zdanie prawdziwe A1.
A1.
Jeśli zwierzą jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Wylosowanie ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWT) psa, daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

Komentarz:
I.
Warunek wystarczający => to zdanie A1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem wystarcza => by mieć cztery łapy

II.
Implikacja prosta P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to:
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?
Odpowiedź:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy, mówi o tym zdanie prawdziwe A1.
A1: P=>4L =1 - bycie psem wystarcza => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest warunkiem koniecznym ~> by mieć cztery łapy (bo np. słoń)
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>4L=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

III.
Operator implikacji prostej P||=>4L to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?
A1: P=>4L =1 - bycie psem wystarcza => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest warunkiem koniecznym ~> by mieć cztery łapy (bo np. słoń)
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>4L=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem?
A2: ~P~>~4L =1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2: ~P=>~4L =0 - bo ~P=słoń, kura..] nie jest (=0) podzbiorem => ~4L=[kura..]
~P~>~4L = (A2: ~P~>~4L)*~(~P=>~4L) =1*~(0) =1*1 =1
LUB
Uwaga:
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 musi być prawdą
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.

Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~4L to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~P|~>~4L i prostej P|=>4L na dwa pytania 2 i 1.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2.
Definicja implikacji odwrotnej ~P|~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L):
Implikacja odwrotna ~P|~>~4L to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem?
A2: ~P~>~4L =1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2: ~P=>~4L =0 - bo ~P=słoń, kura..] nie jest (=0) podzbiorem => ~4L=[kura..]
~P~>~4L = (A2: ~P~>~4L)*~(~P=>~4L) =1*~(0) =1*1 =1
LUB
Uwaga:
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 musi być prawdą
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.

Analiza szczegółowa:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem?
Odpowiedź:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
Zauważmy, że po udowodnieniu prawdziwości zdania A1: P=>4L nie musimy dowodzić wprost prawdziwości zdania A2 bo prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: P=>~4L=0 musi być prawdą
Prawdziwości zdania B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo kura
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
Doskonale widać że między zbiorami ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony:
~P=[słoń, kura ..] => 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest podzbiorem => zbioru 4L (bo kura)
~P=[słoń, kura ..] ~> 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L (bo kura)
cnd

Komentarz:
I.
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~4L) to zdanie A2: ~P~>~4L=1

II.
Implikacja odwrotna ~P|~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L) to:
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem?
A2: ~P~>~4L =1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2: ~P=>~4L =0 - bo ~P=słoń, kura..] nie jest (=0) podzbiorem => ~4L=[kura..]
~P~>~4L = (A2: ~P~>~4L)*~(~P=>~4L) =1*~(0) =1*1 =1
LUB
Uwaga:
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 musi być prawdą
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.

III.
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~4L to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem?
A2: ~P~>~4L =1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2: ~P=>~4L =0 - bo ~P=słoń, kura..] nie jest (=0) podzbiorem => ~4L=[kura..]
~P~>~4L = (A2: ~P~>~4L)*~(~P=>~4L) =1*~(0) =1*1 =1
LUB
Uwaga:
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 musi być prawdą
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?
A1: P=>4L =1 - bycie psem wystarcza => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest warunkiem koniecznym ~> by mieć cztery łapy (bo np. słoń)
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>4L=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa P=[pies] to mamy gwarancję matematyczną => iż ma on cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.
2.
Jeśli natomiast ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem ~P=[słoń, kura ..] to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1 bo kura
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń

4.4.2 Diagram operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q, ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Zadanie ze 100-milowego lasu:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Kodowanie w zapisie formalnym:
p=>q =1

Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=P=[pies] - pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Definicja implikacji prostej P|=>4L w zbiorach:
Zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..] i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L=[pies, słoń ..]
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów P+4L bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P, ~P, 4L i ~4L będą rozpoznawalne.
A1: P=>4L =1 - zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
B1: P~>4L =0 - zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..]
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Nanieśmy rozszyfrowaną relację między zbiorami p=P=[pies] i q=4L=[pies, słoń ..] na diagram zbiorów:
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

----------------------------------------------------------------------
|     p=P=[pies]            |         ~p=~P=[słoń, kura ..]          |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q=4L=[pies, słoń..]                    |  ~q=~4L=[kura..]      |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p*q =[słoń..]  | p*~q=[]               |
|                           |~P*4L=[słoń..]  | P*~4L=[]              |
----------------------------------------------------------------------
|                  ZWZ=[pies, słoń, kura ..]                         |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu odczytujemy:
Analiza p||=>q w zapisach      |Analiza podstawowa P||=>4L
formalnych (ogólnych)          |w zapisach aktualnych
Analiza        |Po zamianie    |
podstawowa     |p i q          |
-------------------------------|--------------------------------------
A1:  p=> q =1  |A3:  q~> p =1  |A1:  P=> 4L =1 - P jest podzbiorem => 4L 
A1’: p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: P~~>~4L=0 - P i ~4L zbiory rozłączne
A2: ~p~>~q =1  |A4: ~q=>~p =1  |A2: ~P~>~4L =1 - ~P jest nadzbiorem ~> ~4L
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’ ~P~~>4L =1 - ~P*4L=1 - np. słoń
|
B1:  p~> q =0  |B3:  q=> p =0  |B1:  P~> 4L =0 - P nie jest nadzbiorem~> 4L
A1’  p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: P~~>~4L=0 - P i ~4L zbiory rozłączne
B2: ~p=>~q =0  |B4: ~q~>~p =0  |B2: ~P=>~4L =0 - ~P nie jest podzbiorem ~4L
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’:~P~~>4L =1 - ~P*4L=1 - np. słoń
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Spójnik p~~>q=p*q jest przemienny


Operator implikacji prostej P||=>4L to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej P|=>4L i implikacji odwrotnej ~P|~>~4L na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?


Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy z q
Zapis formalny (ogólny):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
stąd:
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Zapis aktualny dla punktu odniesienia:
p=P
q=4L
A1: P=>4L =1 - zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
B1: P~>4L =0 - zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..]
stąd:
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający => A1:
A1: P=> 4L =1 - bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń ..]
wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie), sprawdzenie:
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
Doskonale to widać na diagramie D1

Stąd mamy dwa zdania warunkowe A1 i A1’ definiujące:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1)?
Odpowiedź:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy „psa” to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy, mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem, sprawdzenie:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L=[] =0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne

Całą powyższą analizę doskonale ilustruje diagram D1.

Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~4L to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej ~P|~>~4L i implikacji prostej P|=>4L na dwa pytania 2 i 1:

2.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?


Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy z ~q
Zapis formalny (ogólny):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q
stąd:
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1 =1
Zapis aktualny dla punktu odniesienia:
p=P
q=4L
A2: ~P~>~4L =1 - zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura..]
B2: ~P=>~4L =0 - zbiór ~P=[słoń, kura ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~4L=[kura..]
stąd:
~P|~>~4L =(A2:~P~>4L)*~(B2: ~P=>~4L)=1*~(0)=1*1=1
LUB
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający => B2:
B2: ~P=>~4L =0 - zbiór ~P=[słoń, kura ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~4L=[kura..]
wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie), sprawdzenie:
B2’: ~P~~>4L =1 - bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[słoń ..] mają element wspólny np. słoń

Stąd mamy dwa zdania warunkowe A2 i B2’ definiujące co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?
Odpowiedź:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę inne niż „pies” to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (4L=1)
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura..]
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń

Całą powyższą analizę doskonale ilustruje diagram D1.

4.4.3 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i będzie on miał cztery lapy (4L=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy. Nie trzeba tu badać, czy wszystkie psy mają cztery łapy jak to ma miejsce w warunku wystarczającym P=>4L=1.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i nie będzie on miał czterech lap (~4L=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę nie będzie miało czterech lap (~4L=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę będzie miało cztery lapy (4L=1)?
Jaś: TAK np. słoń
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A1:  P~~> 4L=1  0 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają el. wspólny
A1’: P~~>~4L=0  1 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1  0 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają el. wspólny
B2’:~P~~> 4L=1  0 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają el. wspólny

Dla celów dalszej analizy uprośćmy indeksowanie wierszy:
Kod:

T1         Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A: P~~> 4L=1  0 - Ya=1 P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają el. wspólny
B: P~~>~4L=0  1 - Yb=0 zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
C:~P~~>~4L=1  0 - Yc=1 ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają el. wspólny
D:~P~~> 4L=1  0 - Yd=1 ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają el. wspólny

Zauważmy, że 5-cio latek de facto podał nam definicję operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Funkcja logiczna Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yc i Yd:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: P*4L + C:~P*~4L + D: ~P*4L

Operator logiczny implikacji prostej P||=>4L w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:

1.
Które zbiory mają element wspólny (Y=1)?

Y = A: P*4L + C:~P*~4L + D: ~P*4L
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i 4L=1 lub C: ~P=1 i ~4L=1 lub D: ~P=1 i 4L=1
Czytamy:
Zbiory mające element wspólny (Yx=1) to:
Ya = P*4L=1*1=1 - pies (P=1) i ma cztery łapy (4L=1) np. pies
lub
Yc = ~P*~4L=1*1=1 - nie pies (~P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1) np. kura
lub
Yd = ~P*4L=1*1 =1 - nie pies (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1) np. słoń
Gdzie:
Dziedzina fizyczna Y to:
Y = Ya+Yc+Yd

2.
Które zbiory nie mają elementu wspólnego (~Y=1)?

B: ~Yb = P*~4L
co w logice jedynek oznacza:
~Yb=1 <=> P=1 i ~4L=1
Oznaczmy symbolicznie:
Yb - zbiory mają element wspólny ~~>
~Yb - zbiory nie mają (~) elementu wspólnego ~~>
Stąd równanie 2 odczytujemy jako:
~Yb=1 <=> P=1 i ~4L=1
~Yb=1 - prawdą jest (=1), że zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] nie mają (~) elementu wspólnego (Yb)
Prawo Prosiaczka:
(~Yb=1)=(Yb=0) - prawo Prosiaczka możemy stosować indywidualnie do dowolnej zmiennej binarnej.
Stąd odczyt matematycznie tożsamy:
Yb=0 - fałszem jest (=0), że zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] mają element wspólny Yb

W tabeli T1 jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (~Yb), stąd mamy:
~Y = ~Yb

Na mocy powyższej analizy mamy odpowiedź na pytanie 2 w logice dodatniej (Bo Y):
Które zbiory nie mają elementu wspólnego (Y=0)?
B: Y = P*~4L =0
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=> P=1 i ~4L=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] mają element wspólny (Y)

Dokładnie to samo w logice ujemnej (bo ~Y) zapiszemy:
B: ~Y = P*~4L =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> P=1 i ~4L=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] nie mają (~) elementu wspólnego Y

Przystępujemy do odtworzenia operatora implikacji prostej P||=>4L z tabeli T1.
Kod:

T1           Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A1:  P~~> 4L=1  0 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają el. wspólny
A1’: P~~>~4L=0  1 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1  0 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają el. wspólny
B2’:~P~~> 4L=1  0 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają el. wspólny

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza matematyczna tabeli T1 - część I:

W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2
A1:  P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny

Analiza matematyczna tabeli T1 - część II:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
Uwaga:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo np. słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~4L = B1: P~>4L
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1: P~>4L =0
Nanieśmy kompletną analizę do tabeli T3.
Kod:

T3
A1:  P=> 4L =1 |B1: P~> 4L =0
A1’: P~~>~4L=0
A2: ~P~> ~4L=1 |B2:~P=>~4L =0
B2’:~P~~>4L =1

Stąd mamy:
Operator implikacji prostej P||=>4L to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej P|=>4L i odwrotnej ~P|~>~4L na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1)?

Odpowiedź:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż to zwierzę będzie miało cztery łapy - mówi o tym zdanie A1
Linie: A1, A1’:
Definicja implikacji prostej P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L):[/b]
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bo zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => 4L=[pies, słoń ..]
B1: P~>4L =0 - bo zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> 4L=[pies, słoń ..]
stąd:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) =1*~(0)=1*1 =1
Uwaga:
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L = P*~4L =0 - bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne

2.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy nie psa (~P=1)?

Odpowiedź:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2 i B2’
Linie: A2, B2’
Definicja implikacji odwrotnej ~P|~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L):[/b]
Implikacja odwrotna ~P|~>~4L to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P~>~4L =1 - bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2: ~P=>~4L =0 - bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] nie jest podzbiorem => ~4L=[kura..]
stąd:
~P|~>~4L = (A2: ~P~>~4L)*~(B2: ~P=>~4L) =1*~(0) =1*1 =1
LUB
Uwaga:
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’
B2’: ~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)

Podsumowanie:
Doskonale widać, jak łatwo odtworzyć definicję operatora implikacji prostej P||=>4L z serii czterech zdań w zdarzeniach możliwych ~~> zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 16:47, 06 Sty 2021, w całości zmieniany 37 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 4:20, 03 Lis 2020    Temat postu:

5.0 Implikacja odwrotna p|~>q

Spis treści
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
5.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 4
5.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 6
5.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 9
5.2.1 Odtwarzanie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P z pojedynczych zań 13
5.2.2 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w języku potocznym 15
5.2.3 Alternatywne dojście do operatora CH||~>P w zdarzeniach 16
5.2.4 Twierdzenie o warunku koniecznym CH~>P w operatorze CH||~>P 19



5.0 Implikacja odwrotna p|~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator logiczny wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Przykład:
p= CH (chmury)
q=P (pada)
A1: CH=>P =0 - chmury (CH=1) nie są warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1)
bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia zbiorów do dziedziny:
~p=~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] - zbiór liczb nieparzystych
~q=~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór LN minus zbiór P8
Definicja dziedziny po stronie P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Zauważmy, że dla naszego przykładu wymóg iż przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów P2 i P8 jest spełniony
P2=[2,4,6,8..] + P8=[8,16,24..] => LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..]
P2+P8=P2 - bo P2 jest nadzbiorem ~> P8
Jak widzimy, suma zbiorów P2+P8=[2,4,6,8..] jest podzbiorem => dziedziny LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Wniosek:
Przyjęta dziedzina minimalna LN jest poprawna, bowiem żaden ze zbiorów P2, ~P2, P8 i ~P8 nie jest zbiorem pustym, co udowodniono ciut wyżej.

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy zbiór:
D = P2=[2,4,6,8..]
to zbiór ~P2 będzie zbiorem pustym:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Wniosek:
Przyjęta dziedzina D=[2,4,6,8..] jest matematycznie błędna bowiem zbiór ~P2 jest zbiorem pustym [] co oznacza że pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne.

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Warto zapamiętać różnicę::
p|~>q = p*~q - definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
##
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:          AB2:         |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


5.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:          AB2:         |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej p|~>q i prostej ~p|=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?

Kolumna AB1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q=0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q=1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1

Analiza szczegółowa:
B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zdarzenia: Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Zbiory: Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą
A1’:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q=1
Zdarzenia: możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory: istnieje wspólna część ~~> (=1) zbiorów p i ~q

Komentarz:
1.
Warunek konieczny ~> to zdanie B1: p~>q
2.
Implikacja odwrotna p|~>q to:
A1B1:
A1: p=>q=0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q=1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:
A1B1:
A1: p=>q=0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q=1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =~(0)*1 =1*1 =1

2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Kolumna AB2
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja prosta ~p|=>~q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =~(0)*1 =1*1 =1

Analiza szczegółowa:
B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zdarzenia: Zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia ~q
Zbiory: Zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>~q=p*~q=0
Zdarzenia: Nie jest (=0) możliwe równoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory: nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q (zbiory rozłączne)

Komentarz:
1.
Warunek wystarczający => to zdanie B2:~p=>~q
2.
Implikacja prosta ~p|=>~q to:
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =~(0)*1 =1*1 =1
3.
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =~(0)*1 =1*1 =1
A1B1:
A1: p=>q=0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q=1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1

Podsumowanie:
1.
Zauważmy, że jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’:
B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
LUB
A1’:
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q=1
2.
Jeśli natomiast zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => zajścia ~q - mówi o tym zdanie B2:
B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1

Zauważmy, że w świecie rzeczywistym może zajść zdarzenie p albo ~p, że nie jest możliwe jednoczesne zajście zdarzeń p i ~p, bowiem są to zdarzenia rozłączne.

Definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q
dla q:=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p =1
cnd

Gdyby możliwe było jednoczesne zajście zdarzeń p i ~p to wtedy prawdziwa byłaby równoważność:
p<=>q = p*q+~p*~q
Sprawdźmy iż dla q:=~p równoważność jest fałszywa:
p<=>~p = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p+~p*p =[] =0
cnd

5.1.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T4:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
Stąd:                                             |Co w logice
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1:p~>q)=~(0)*1=1*1=1          |jedynek oznacza
B1:  p~> q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla q |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1   |( p=1)~~>(~q=1)=1
A2B2:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q
A2:~p~>~q=0
B2:~p=>~q=1
stąd:
~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
B2: ~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q   |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0   |(~p=1)~~>( q=1)=0
     a   b  c                                        d        e    f

A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1:p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Zauważmy, że zdanie A1 jest tu fałszem:
A1: p=>q =0
zatem tabelę T4 możemy kodować zero-jedynkowo względem warunku koniecznego ~> B1:
B1: p~>q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |
              |                  |                  | p  q  p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1   =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0   =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1   =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zakodujmy teraz zero-jedynkowo definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej p||~>q z tabeli T4 względem warunku wystarczającego B2:
B2:~p=>~q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x) zgodnie z przyjętym punktem odniesienia:
B2: ~p=>~q
Kod:

T6:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p=>~q         |
              |                  |                  |~p ~q ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0   =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1   =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0   =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2: ~p=>~q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T5 i T6 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T5 i T6 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T5: p~>>q = T6: ~p=>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T5: 123) i wystarczającego => (T6: 123).
Oto on:
Kod:

T7
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1          1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1          1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1          1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0          1
     1  2   3    4  5    6          7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

5.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie aktualnym (język potoczny):
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
Podstawiamy:
U=p
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
p=~(~p)

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy, gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Rozważmy zdanie bazowe, punkt odniesienia:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Zdanie B1 przyjmujemy za punkt odniesienia.
Na mocy prawa punktu odniesienia podstawiamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Zajście p (chmury) jest konieczne ~> dla zajścia q (pada)

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Na początek musimy udowodnić iż zdanie A1 rzeczywiście jest częścią implikacji odwrotnej CH|~>P.
Dowód prawdziwości B1 mamy na wstępie.
Dowodzimy fałszywości zdania A1:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze, gdy są chmury, pada
cnd

Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż badane zdanie B1 wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej CH|~>P.
Podstawmy nasze zdanie do pełnej definicji implikacji odwrotnej CH|~>P z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~>:
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w CH|~>P:
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       AB12:                       |     AB34:
       AB1:          AB2:          |     AB3:           AB4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
---------------------------------------------------------------
  p|~>q=p*~q     = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p   = ~q|~>~p=~q*p
  CH|~>P=CH*~P   = ~CH|=>~P=CH*~P [=] P|=>CH=~P*CH  = ~P|~>~CH=~P*CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: CH~~>~P=CH*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~CH=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~CH~~>P =~CH*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej CH|~>P i prostej ~CH=>~P na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Kolumna AB1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P)
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0
B1: CH~>P =1
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
Kolumna AB1
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

2.
Co się stanie jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Kolumna AB2
Definicja implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~CH~>~P =0
B2: ~CH=>~P =1
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P)=~(0)*1=1*1=1
stąd:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1

2.
Jeśli natomiast jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% nie będzie padać - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1

Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P to wszystkie cztery zdania B1, A1’, B2, B2’ a nie jakiekolwiek jedno, wyróżnione.

5.2.1 Odtwarzanie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P z pojedynczych zań

Zauważmy że:
2.
Zauważmy, że po stronie ~CH (nie pada) w implikacji prostej ~CH|=>~P zdanie B2 z warunkiem wystarczającym => możemy wypowiedzieć w jeden, jedyny sposób:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - brak chmur wystarcza => dla braku opadów

1.
Natomiast w implikacji odwrotnej CH|~>P mamy dwa zdania prawdziwe B1 i A1’ połączone spójnikiem „lub”(+) o definicji:
p+q=1 <=> dowolny człon jest równy 1
p+q=1 <=> p=1 lub q=1

Możemy tu zatem wypowiedzieć trzy zdania prawdziwe:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
LUB
B1+A1’:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1) lub może ~~> nie padać (~P=1)
CH=>P+~P
Zdanie matematycznie tożsame:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1) lub nie będzie padać (~P=1)
CH=>P+~P
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
dla q=1 mamy:
p=>1 = ~p+1 =1
cnd

Zauważmy, że mając do dyspozycji dowolne z powyższych zdań prawdziwych z łatwością odtworzymy serię czterech zdań B1, A1’, B2, B2’ wchodzących w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P

Dowód dla zdania B1+A1’:
B1+A1’:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1) lub może ~~> nie padać (~P=1)
CH=>P+~P
Innymi słowy:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
LUB
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Jak widzimy, z dziecinną łatwością ze zdania B1+A1’ odtworzyliśmy serię czterech zdań warunkowych B1, A1’, B2, B2’ wchodzących w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P

Do samodzielnego rozwiązania.
Zadanie 1.
Odtwórz serię zdań B1, A1’, B2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> dla padania

Zadanie 2,
Odtwórz serię zdań B1, A1’, B2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe ~~> jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

Zadanie 3.
Odtwórz serię zdań B1, A1’, B2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur wystarcza => dla nie padania

Zadanie 4.
Odtwórz serię zdań B1, A1’, B2, B2’ mając do dyspozycji zdanie:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)


5.2.2 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w języku potocznym

Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej CH|~>P i prostej ~CH|=>~P na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Kolumna AB1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P)
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0
B1: CH~>P =1
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1

2.
Co się stanie jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Kolumna AB2
Definicja implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~CH~>~P =0
B2: ~CH=>~P =1
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P)=~(0)*1=1*1=1

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P) i implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P)
CH|~>P = ~CH|=>~P

Dowód:
Prawa Kubusia:
A1: CH=>P = A2: ~CH~>~P
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Stąd mamy:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) = ~CH|=>~P
cnd

Stąd mamy operator implikacji odwrotnej CH||~>P wypowiedziany w jednym zdaniu:
CH||~>P = (CH|~>P)*(~CH|=>~P) = CH|~>P
Stąd mamy:
CH||~>P = CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
Prawa Kubusia:
A1: CH=>P = A2:~CH~>~P =0
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P =1
Stąd operator implikacji odwrotnej CH||~>P opisuje równanie tożsame:
B1B2
CH||~>P = CH|~>P = ~(A1: CH=>P = A2:~CH~>~P)*(B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P) =~(0)*1=1*1 =1

Czytamy prawą stronę w warunkach koniecznych ~> i wystarczających =>:
B1B2:
B1: Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać a B2: Jeśli nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padać.
CH||~>P = CH|~>P = ~(A1: CH=>P = A2:~CH~>~P)*(B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P) =~(0)*1=1*1 =1

Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywy warunek wystarczający:
A1: CH=>P =0
Wymusza prawdziwość zdania kodowanego zdarzeniem możliwym ~~>:
A1’: CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka

Żaden 5-cio latek nie wypowie zdania B1B2 bez słówka „może ~>” w zdaniu B1 bo wtedy popełni czysto matematyczny fałsz który wyłapie mózg każdego 3-latka.

Zobaczmy na czym polega ten fałsz:
B1B2
B1: Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać a B2: Jeśli nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padać.
(B1: CH=>P)*(B2: ~CH=>~P) = CH<=>P =0
Otrzymana równoważność CH<=>P jest fałszem bo fałszywe jest zdanie B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Istnienie chmur (CH=1) nie jest warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada … o czym doskonale wie każdy 3-latek.

5.2.3 Alternatywne dojście do operatora CH||~>P w zdarzeniach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć ~~> że jutro będzie pochmurno i będzie padało?
Jaś (lat 5): TAK
Stąd:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~~>P = CH*P =1 - zdarzenie możliwe (=1)

Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało?
Jaś: TAK
Stąd:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1 - zdarzenie możliwe (=1)

Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie pochmurno i nie będzie padać?
Jaś: TAK
Stąd:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochumurno (~CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
~CH~~>~P = ~CH*~P =1 - zdarzenie możliwe (=1)

Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie pochmurno i będzie padać?
Jaś: NIE
stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Analiza dla Y:
B1:  CH~~> P=1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i pada
A1’: CH~~>~P=1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada
B2: ~CH~~>~P=1  0 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie ma chmur i nie pada
B2’:~CH~~> P=0  1 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur i pada

Zauważmy, że 5-cio latek de facto podał nam definicję operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?

Y = A: P*CH + B: CH*~P + C:~P*~CH
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub B: CH=1 i ~P=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1

Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya = P*CH=1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
lub
Yb = P*~CH =1*1=1 - możliwe jest (Yb=1) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
lub
Yc = ~P*CH =1*1=1 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia nie są możliwe (~Y=1)?

D: ~Y = ~CH*P
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~CH=1 i P=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka możemy stosować indywidualnie do dowolnej zmiennej binarnej

Zdarzenie niemożliwe (~Y=1) to:
~Yd=~CH*P=1*1 =1 - nie jest możliwe (~Yb=1) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Gdzie:
~Y=~Yd
Komentarz:
~Yd=1 - prawdą jest (=1) że zdarzenie D:~CH*P nie jest możliwe (~Yd)
Yd=0 - fałszem jest (=0) że zdarzenie D:~CH*P jest możliwe (Yd)
Prawo Prosiaczka:
(~Yb=1)=(Yd=0)

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza matematyczna - część I:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’:~CH~~>P =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2:
B2:~CH=>~P =1 - brak chmur jest warunkiem wystarczającym = dla nie padania
2.
Prawo Kubusia:
B2:~CH=>~P = B1: CH~>P
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2:~CH=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: CH~>P =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2           Y ~Y   Analiza dla Y
B1:  CH~> P =1 =0 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1’: CH~~>~P=1 =0 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada
B2: ~CH=> ~P=1 =0 - brak chmur jest (=1) wystarczający => dla nie padania
B2’:~CH~~> P=0 =1 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur i pada

Analiza matematyczna - część II:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zdarzeniach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: CH~~>~P =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1:
A1: CH=>P =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: CH=>P = A2:~CH~>~P =0
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1:
A1: CH=>P =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> A2:
A2:~CH~>~P =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2
B1:  CH~> P =1 | A1: CH=>P =0
A1’: CH~~>~P=1
B2: ~CH=> ~P=1 | A2:~CH~>~P=0
B2’:~CH~~> P=0

Stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej CH|~>P i prostej ~CH|=>~P na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Kolumna AB1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P)
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0
B1: CH~>P =1
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1

2.
Co się stanie jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Kolumna AB2
Definicja implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~CH~>~P =0
B2: ~CH=>~P =1
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P)=~(0)*1=1*1=1

Podsumowanie:
Doskonale widać, jak łatwo odtworzyć spójnik implikacji odwrotnej CH|~>P i prostej ~CH|=>~P z serii czterech zdań w zdarzeniach możliwych ~~> zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.

5.2.4 Twierdzenie o warunku koniecznym CH~>P w operatorze CH||~>P

Twierdzenie o warunku koniecznym w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q:
Warunek konieczny p~>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej p||~>q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja operatora OR(|+) w warunku koniecznym p~>q=p+~q

Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych 1: (p~>q) oraz 2: ~(p~>q)
1.
Kiedy warunek konieczny p~>q będzie spełniony (p~>q) =1?
p~>q = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
(p~>q)=1 <=> p=1 lub ~q=1

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q
Stąd mamy:
p~>q = p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Po dopasowaniu do definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
p~>q = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
(p~>q)=1 <=> B1: p=1 i q=1 lub A1’: p=1 i ~q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Warunek konieczny p~>q jest (=1) częścią implikacji odwrotnej p|~>q wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zajście każdego z trzech zdarzeń rozłącznych B1, A1’ i B2 oraz niemożliwe jest zajście zdarzenia B2’
Gdzie:
B2’: ~p*q =0

2.
Kiedy warunek konieczny p~>q nie będzie spełniony ~(p~>q) =1?
Negujemy równanie 1 stronami:
~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q - prawo De Morgana
stąd:
B2’: ~(p~>q)= ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
B2’: ~(p~>q)=1 <=> ~p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) <=> (p=0)
Nasz przykład:
B2’: [~(p~>q) =1] <=> B2’: [p~>q =0]
stąd mamy:
B2’: p~>q =0 <=> ~p=1 i q=1

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Istnienie chmur (CH=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego, by padało (P=1)

Warunek konieczny B1 wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to:
CH~>P = CH+~P

Na mocy twierdzenia o warunku koniecznym dla naszego przykładu mamy:
Warunek konieczny B1: CH~>P wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest zajście każdego z poniższych zdarzeń:
B1: CH~~>P = CH*P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie są chmury (CH=1) i pada (P=1)
LUB
A1’: CH~~>~P = CH*~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
LUB
B2: ~CH~~>~P = ~CH*~P =1 możliwe jest zdarzenie nie ma chmur (~CH=1) i nie pada (~P=1)

Kluczowa i decydująca jest tu fałszywość (=0) ostatniego zdarzenia możliwego:
B2’.
~CH~~>P = ~CH*P =[] =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Wniosek:
Warunek konieczny B1: CH~>P na 100% wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P.
Nic więcej nie musimy udowadniać.

Zauważmy, że z serii zdań kodowanych zdarzeniami możliwymi B1, A1’, B2, B2’ z łatwością można odtworzyć definicję operatora implikacji odwrotnej CH||~>P.
Jak to zrobić pokazano w punkcie 5.2.3


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 15:10, 13 Gru 2020, w całości zmieniany 18 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 6:11, 03 Lis 2020    Temat postu:

Spis treści
5.3 Implikacja odwrotna p||~>q w zbiorach 1
5.4 Przykład implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 4
5.4.1 Diagram operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 5
5.4.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 8
5.4.3 Alternatywne dojście do operatora 4L||~>P w zbiorach 10
5.5 Implikacja prosta P|=>4L vs implikacja odwrotna 4L|~>P 14
5.5.1 Prawo Kłapouchego 16
5.5.2 Logika matematyczna w języku potocznym 18




5.3 Implikacja odwrotna p||~>q w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

D2
Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p                                      |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           | p~~>~q = p*~q  | ~p~~>q = ~p*q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu w zbiorach odczytujemy:
Analiza operatora implikacji odwrotnej p||~>q
w zapisach formalnych (ogólnych)
A1:  p=> q =0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
----------------------------------------------------------------------
A1:  p=> q =0  |A3:  q~> p =0  |A1   p=> q =0 - p nie jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: p~~>~q=1 - p*~q zbiór niepusty
A2: ~p~>~q =0  |A4: ~q=>~p =0  |A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest nadzbiorem~> ~q
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’ ~p~~>q =0 - ~p i q zbiory rozłączne
|
B1:  p~> q =1  |B3:  q=> p =1  |B1:  p~> q =1 - p jest nadzbiorem~> q
A1’  p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: p~~>~q=1 - p*~q zbiór rozłączny
B2: ~p=>~q =1  |B4: ~q~>~p =1  |B2: ~p=>~q =1 - ~p jest podzbiorem => ~q
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’:~p~~>q =0 - ~p i q zbiory rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy z q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1

Analiza szczegółowa:
B1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to może ~> on należeć do zbioru q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Widać to na diagramie D2.
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: p=>q=0 musi być prawdą (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to może ~~> on należeć do zbioru ~q
p~~>~q=p*~q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) bo zbiory p i ~q mają część wspólną
Widać to na diagramie D2

Komentarz:
1.
Warunek konieczny to zdanie B1: p~>q
2.
Implikacja odwrotna p|~>q to:
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2:
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zbiór ~p nie jest podzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź na dwa pytania 2 i 1:
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i nie jest tożsamy z ~q
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zbiór ~p nie jest podzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Analiza szczegółowa:
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to na 100% => będzie on należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~p jest podzbiorem zbioru ~q
Widać to na diagramie D2
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to może ~~> on należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory ~p i q są rozłączne.
Widać to na diagramie D2

Komentarz:
1.
Warunek wystarczający => to zdanie B2:~p=>~q
2.
Implikacja prosta ~p|=>~q to:
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zbiór ~p nie jest podzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
3.
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1:
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zbiór ~p nie jest podzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że po stronie zbioru p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
B1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to może ~> on należeć do zbioru q
p~>q =1
LUB
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to może ~~> on należeć do zbioru ~q
p~~>~q=p*~q =1
2.
Po stronie ~p mamy tu gwarancję matematyczną =>, czyli warunek wystarczający =>
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to na 100% => będzie on należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~p jest podzbiorem zbioru ~q


5.4 Przykład implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru jedno elementowego P=[pies]

Zdanie B1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
stąd:
Kodowanie w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1

Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór „pies”

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~p=~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~q=~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: 4L~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to na 100% => jest psem (P=1)
4L=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jedno elementowego P=[pies]
W zapisie formalnym:
A1: p=>q =0

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż warunek konieczny B1: 4L~>P jest częścią implikacji odwrotnej 4L|~>P.

Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - posiadanie czterech łap nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => aby być psem
bo nie każde zwierzę mające cztery łapy jest psem
B1: 4L~>P =1 - cztery lapy (4L=1) są konieczne ~> do tego by być psem (P=1)
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P =1

Podstawmy nasze zdania B1: 4L~>P=1 i A1: 4L=>P=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej 4L|~>P
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w 4L|~>P
Punkt odniesienia:
p=4L (zbiór zwierząt mających cztery łapy)
q=P (pies)
       AB12:                       |     AB34:
       AB1:          AB2:          |     AB3:           AB4.
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=0    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0
---------------------------------------------------------------
  p|~>q=p*~q     = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p  = ~q|~>~p=~q*p
  4L|~>P=4L*~P   = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: 4L=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~4L=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~4L~~>P =~4L*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


5.4.1 Diagram operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q, ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Przykład:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies]

Zdanie B1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
stąd:
Kodowanie w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1

Zbiory 4L=[pies, słoń ..] i P=[pies] nie są tożsame, zatem spełniona jest definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P.

Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach:
Zbiór 4L=[pies, słoń..] jest nadzbiorem ~> zbioru P=[pies] i nie jest tożsamy ze zbiorem P=[pies]
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów 4L+P bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P, ~P, 4L i ~4L będą rozpoznawalne.
A1: 4L=>P =0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P =1 - zbiór 4L=[pies, słoń..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
Stąd mamy:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór „pies”

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~p=~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~q=~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy

Nanieśmy rozszyfrowaną relację między zbiorami p=4L=[pies, słoń ..] i q=P=[pies] na diagram zbiorów:
Kod:

D2
Diagram operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies

----------------------------------------------------------------------
|     q=P=[pies]            |         ~q=~P=[słoń, kura ..]          |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p=4L=[pies, słoń..]                    |  ~p=~4L=[kura..]      |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |p*~q=[słoń..]   | ~p*q=[]               |
----------------------------------------------------------------------
|                  ZWZ=[pies, słoń, kura ..]                         |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu odczytujemy:
Analiza p||~>q w zapisach      |Analiza 4L||~>P z zapisach
formalnych (ogólnych)          |aktualnych
A1:  p=> q =0                  |A1:  4L=> P =0
-------------------------------|--------------------------------------
A1:  p=> q =0  |A3:  q~> p =0  |A1:  4L=> P =0 - 4L nie jest podzbiorem=> P 
A1’: p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: 4L~~>~P=1 - np. słoń
A2: ~p~>~q =0  |A4: ~q=>~p =0  |A2: ~4L~>~P =0 - ~4L nie jest nadzbiorem ~P
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’ ~4L~~>P =0 - ~4L i P zbiory rozłączne
|
B1:  p~> q =1  |B3:  q=> p =1  |B1:  4L~> P =1 - 4L jest nadzbiorem ~> P
A1’  p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: 4L~~>~P=1 - np. słoń
B2: ~p=>~q =1  |B4: ~q~>~p =1  |B2: ~4L=>~P =1 - ~4L jest podzbiorem => ~P
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’:~4L~~>P =0 - ~4L i P zbiory rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy?

Zapis formalny (ogólny):
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1B1:
p|~>q = (~A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1=1
p|~>q =p*~q
Zapis aktualny:
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w logice dodatniej (bo P):
Zbiór 4L jest nadzbiorem ~> zbioru P i nie jest tożsamy ze zbiorem P
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1=1
4L|~>P =4L*~P
Punkt odniesienia:
p=4L
q=P
stąd:
B1: 4L~> P =1 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> P=[pies]
lub
A1’: 4L~~>~P=1 - 4L=[pies, słoń..] i ~P=[słoń, kura..] mają wspólny element

2.
Co się stanie jeśli z ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łapy?

Zapis formalny (ogólny):
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1 =1*1 =1
~p|=>~q = p*~q
Zapis aktualny:
Definicja implikacji prostej ~4L|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Zbiór ~4L jest podzbiorem zbioru ~P i nie jest tożsamy ze zbiorem ~P
~4L|=>~P = ~(A2: ~4L~>~P)*(B2: ~4L=>~P) = ~(0)*1 = 1*1 =1
~4L|=>~P = 4L*~P
Punkt odniesienia:
p=4L
q=P
stąd:
B2: ~4L=>~P =1 - zbiór ~4L=[kura..] jest podzbiorem => ~P=[słoń, kura..]
B2’:~4L~~>P =0 - ~4L=[kura..] i P=[pies] to zbiory rozłączne

5.4.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach

Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w 4L|~>P
Punkt odniesienia:
p=4L (zbiór zwierząt mających cztery łapy)
q=P (pies)
       AB12:                       |     AB34:
       AB1:          AB2:          |     AB3:           AB4.
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=0    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0
---------------------------------------------------------------
  p|~>q=p*~q     = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p  = ~q|~>~p=~q*p
  4L|~>P=4L*~P   = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: 4L=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~4L=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~4L~~>P =~4L*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w logice dodatniej (bo P) to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej 4L|~>P i implikacji prostej ~4L|=>~P na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1)?

Kolumna AB1
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P =0
B1: 4L~>P =1
stąd:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Analiza szczegółowa:
Kolumna AB1
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1) bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
LUB
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] jest spełniona (np. słoń)
Doskonale widać że między zbiorami 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń kura..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony:
4L=[pies, słoń ..] => ~P=[słoń, kura..] =0 - bo zbiór 4L nie jest podzbiorem => zbioru ~P (bo kura)
4L=[pies, słoń ..] ~> ~P=[słoń, kura..] =0 - bo zbiór 4L nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P (bo kura)
cnd

Operator implikacji prostej ~4L||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) to odpowiedź w spójnikach implikacji prostej ~4L|=>~P i odwrotnej 4L|=>P na dwa pytania 2 i 1.

2.
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?

Kolumna AB2
Definicja implikacji prostej ~4L|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~4L|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~4L~>~P =0
B2: ~4L=>~P =1
Stąd:
~4L|=>~P = ~(A2: ~4L~>~P)*(B2: ~4L=>~P) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Analiza szczegółowa:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór ~4L=[kura..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura ..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory ~4L=[kura..] i P=[pies] są rozłączne

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1 (bo pies)
LUB
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1 (bo słoń)
2.
Jeśli natomiast ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż wylosowane zwierzę na 100% nie jest psem - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1

5.4.3 Alternatywne dojście do operatora 4L||~>P w zbiorach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) i to zwierzę będzie psem (P=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
4L~~>P = 4L*P =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo pies.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) i to zwierzę nie będzie psem (~P=1)?
Jaś: TAK np. słoń
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 4L=[pies, słoń ..] i P=[pies] jest spełniona bo pies.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) i to zwierzę nie będzie psem (~P=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
~4L~~>~P = ~4L*~P =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) i to zwierzę będzie psem (P=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory ~4L=[kura..] i P=[pies] są rozłączne.

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Analiza dla Y
B1:  4L~~>P =1  0 - istnieje zwierzę które ma cztery łapy i jest psem
A1’: 4L~~>~P=1  0 - istnieje zwierzę które ma cztery łapy i nie jest psem
B2: ~4L~~>~P=1  0 - ist. zwierzę które nie ma czterech łap i nie jest psem
B2’:~4L~~>P =0  1 - nie ist. zwierzę które nie ma czterech łap i jest psem

Zauważmy, że 5-cio latek de facto podał nam definicję operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Które zbiory mają element wspólny (Y=1)?
Y = A: 4L*P + B: 4L*~P + C: ~4L*~P
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: 4L=1 i P=1 lub B: 4L=1 i ~P=1 lub C: ~4L=1 i ~P=1

Zbiory mające element wspólny (Y=1) to:
Ya = 4L*P =1*1=1 - zwierzę ma cztery lapy (4L=1) i jest psem (P=1) np. pies
lub
Yb = 4L*~P =1*1 =1 - zwierzę ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1) np. słoń
lub
Yc = ~4L*~P =1*1=1 - zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P) np. kura
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zbiory nie mają elementu wspólnego (~Y=1)?
B: ~Y = P*~4L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> P=1 i ~4L=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka możemy stosować indywidualnie do dowolnej zmiennej binarnej.

Zbiory nie mające elementu wspólnego (~Y=1) to:
~Yd = ~4L*P =1*1 =1 - zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) i jest psem (P=1), nie ma takiego zwierzaka
Gdzie:
~Y=~Yd
Komentarz:
~Yd=1 - prawdą jest (=1), że nie ma takiego zwierzaka ~Yd
Yd=0 - fałszem jest (=0) że jest taki zwierzak Yd
Prawo Prosiaczka:
(~Yd=1)=(Yd=0)

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza matematyczna - część I:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~4L~~>P =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie być psem.
2.
Prawo Kubusia:
B2: ~4L=>~P = B1: 4L~>P =1
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~4L=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: 4L~>P =1 - zbiór 4L=[pies, słoń..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies]

Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2           Y ~Y   Analiza dla Y
B1:  4L~> P =1 =0 - posiadanie czterech łap jest konieczne ~> by być psem
A1’: 4L~~>~P=1 =0 - istnieje zwierzę które ma cztery łapy i nie jest psem
B2: ~4L=>~P =1 =0 - brak czterech lap wystarcza => by nie być psem
B2’:~4L~~>P =0 =1 - nie istnieje zwierzę które nie ma czterech łap i jest psem


Analiza matematyczna - część II:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: 4L~~>P=1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1:
A1: 4L=>P =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: 4L=>P = A2: ~4L~>~P =0
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1:
A1: 4L=>P =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~4L~>~P =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2
B1:  4L~> P =1 | A1: 4L=>P =0
A1’: 4L~~>~P=1
B2: ~4L=>~P =1 | A2:~4L~>~P =0
B2’:~4L~~>P =0

Stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P to odpowiedź w spójnikach implikacji odwrotnej 4L|~>P i prostej ~4L|=>~P na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1)?

Kolumna AB1
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P =0
B1: 4L~>P =1
stąd:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1

2.
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?

Kolumna AB2
Definicja implikacji prostej ~4L|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~4L|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~4L~>~P =0
B2: ~4L=>~P =1
Stąd:
~4L|=>~P = ~(A2: ~4L~>~P)*(B2: ~4L=>~P) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Podsumowanie:
Doskonale widać, jak łatwo odtworzyć spójnik implikacji odwrotnej 4L|~>P i prostej ~4L|=>~P z serii czterech zdań w zdarzeniach możliwych ~~> zrozumiałych dla każdego 5-cio latka.

5.5 Implikacja prosta P|=>4L vs implikacja odwrotna 4L|~>P

Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=P=[pies]
q=4L=[pies, słoń..]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~p=~P=[ZWZ-P] = [słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~q=~4L=[ZWZ-4L]=[kura..] - zbiór wszystkich zwierząt nie mających czterech łap

Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie A1 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość/fałszywość tego samego zdania kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% ~> ma cztery łapy
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..]

I.
Definicja implikacji prostej P|=>4L

Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
bo każdy pies ma cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zadnie A1: P=>4L jest częścią implikacji prostej P|=>4L.

Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>4L.
Kod:

T2IP
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                       |     AB34:
       AB1:          AB2:          |     AB3:           AB4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
  p|=>q=~p*q     = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p  = ~q|=>~p=q*~p
  P|=>4L=~P*4L   = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>4L=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~4L=P*~4L=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~4L=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>4L =~P*4L=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


###

Rozważmy zdanie:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies]

Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń..]
q=P=[pies]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~p=~4L=[ZWZ-4L]=[kura..] - zbiór wszystkich zwierząt nie mających czterech łap
~q=~P=[ZWZ-P] = [słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa

Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1 potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość/fałszywość tego samego zdania kodowanego warunkiem wystarczającym =>.
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na 100% => jest psem
4L=>P =0
Posiadanie czterech łap nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby być psem, bo np. słoń ma cztery łapy i nie jest psem.

II.
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P

Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - posiadanie czterech łap nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => aby być psem
bo nie każde zwierzę mające cztery łapy jest psem
B1: 4L~>P =1 - cztery lapy (4L=1) są konieczne ~> do tego by być psem (P=1)
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P =1

Podstawmy nasze zdania B1: 4L~>P=1 i A1: 4L=>P=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej 4L|~>P
Kod:

T2IO
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w 4L|~>P
       AB12:                       |     AB34:
       AB1:          AB2:          |     AB3:           AB4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=0    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0
---------------------------------------------------------------
  p|~>q=p*~q     = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p  = ~q|~>~p=~q*p
  4L|~>P=4L*~P   = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: 4L=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~4L=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~4L~~>P =~4L*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych, p i q nie mają prawa być tymi samymi p i q

5.5.1 Prawo Kłapouchego

Definicja znaczka różne na mocy definicji operatorowych ###:
Dwa wyrażenia są różne na mocy definicji operatorowych ### wtedy i tylko wtedy gdy p i q po jednej stronie znaczka ### nie jest tożsame z p i q po drugiej stronie tegoż znaczka oraz dowolna strona znaczka ### nie jest zaprzeczeniem # drugiej strony.

Z tabeli T2IP na poziomie logiki formalnej (ogólnej) odczytujemy:
Kod:

T2IP:
AB1: p|=>q=~p*q = AB2:~p|~>~q=~p*q [=] AB3: q|~>p=q*~p = AB4:~q|=>~p=q*~p

###
Z tabeli T2IO na poziomie logiki formalnej (ogólnej) odczytujemy:
Kod:

T2IO:
AB1: p|~>q=p*~q = AB2:~p|=>~q=p*~q [=] AB3: q|=>p=~q*p = AB4:~q|~>~p=~q*p

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych, p i q nie mają prawa być tymi samymi p i q

Doskonale widać, że tożsamości logiczne w wierszach można przestawiać do woli, że nie mamy żadnych szans na wyeliminowanie znaczka różne na mocy definicji operatorowych ###.

W tabelach T2IP i T2IO mamy:
T2IP: AB1: p|=>q = ~p*q ### T2IO: AB1: p|~>q = p*~q
gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
cnd

Fundamentalnie inaczej mają się sprawy dla dokładnie tego samego związku zapisanego w zapisach aktualnych (nasz przykład):

Z tabeli T2IP na poziomie zapisów aktualnych odczytujemy:
Kod:

T2IP:
AB1:           AB2:               AB3:           AB4:
P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P

###
Z tabeli T2IO na poziomie zapisów aktualnych odczytujemy:
Kod:

T2IO:
AB1:           AB2:               AB3:           AB4:
4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Tożsamości logiczne można dowolnie przestawiać, zróbmy to dla tabeli T2IO
Kod:

T2IO’:
AB3:           AB4:               AB1:           AB2:
P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P

Doskonale widać, że uzyskaliśmy matematyczną tożsamość tabel:
T2IP: AB1: P|=>4L=~P*4L [=] T2IO’: AB3: P|=>4L = ~P*4L

Fundamentalne pytanie jest tu następujące:
Dlaczego logika w zapisach formalnych (ogólnych) działa wyśmienicie zachowując znaczek różne na mocy definicji operatorowych ###, natomiast w zapisach aktualnych dokładnie ta sama logika matematyczna leży i kwiczy?

Odpowiedź:
Nic tu nie leży i nic nie kwiczy, po prostu, kluczowe w logice matematycznej jest ustalenie wspólnego punktu odniesienia - dopiero wtedy możemy porównywać ze sobą wyrażenia logiczne.

Zapiszmy jeszcze raz tabele T2IP i T2IO z uwzględnieniem zarówno zapisów formalnych (ogólnych) jak i zapisów aktualnych z naszego przykładu.
Kod:

T2IP:
Punkt odniesienia:
p=P=[pies]
q=4L=[pies, słoń ..]
AB1:           AB2:               AB3:           AB4:
p|=>q =~p*q  = ~p|~>~q =~p*q  [=]  q|~>p= q*~p =  ~q|=>~p= q*~p
P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P

###
Kod:

T2IO:
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..]
q=P=[pies]
AB1:           AB2:               AB3:           AB4:
 p|~>q=p*~q  =  ~p|=>~q= p*~q [=] q|=>p =~q*p  = ~q|~>~p =~q*p
4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych, p i q nie maja prawa być tymi samymi p i q

Jak widzimy w tabeli T2IP mamy punkt odniesienia:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami

Natomiast w tabeli T2IO mamy punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń..] - zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”

Doskonale widać, że w tabelach T2IP i T2IO mamy niezgodność na poziomie punktu odniesienia, dokładnie dlatego obowiązuje tu znaczek różne na mocy definicji operatorowych ###.

Prawo Kłapouchego:
W logice matematycznej możemy porównywać ze sobą dwa wyrażenia X i Y wtedy i tylko wtedy gdy widziane są ze wspólnego punktu odniesienia.


5.5.2 Logika matematyczna w języku potocznym

W języku potocznym interesuje nas logika matematyczna wyłącznie na poziomie zapisów aktualnych, do których stosujemy prawa logiki matematycznej.
Prawa logiki matematycznej mamy podane na poziomie logiki formalnej (ogólnej), ale stosujemy je bezpośrednio w zapisach aktualnych - zupełnie nas tu nie interesuje w skład jakiego operatora logicznego wchodzą wypowiadane zdania.

Przykłady działania logiki matematycznej w języku potocznym na poziomie zapisów aktualnych.

Przykład 1.
Pani w przedszkolu:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Jasiu, a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?

Prawo kontrapozycji:
P=>4L = ~4L=>~P
Jaś:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na 100% => nie jest psem
~4L=>~P =1
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być psem.
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem zbioru zwierząt nie będących psami ~P=słoń, kura ..]
Zuzia:
Jasiu, a jeśli zwierzę ma cztery łapy?
Prawo Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P
Jaś:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
4L~>P = ~4L=>~P

Przykład 2.
Pani w przedszkolu:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na 100% => nie jest psem
~4L=>~P=1
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być psem.

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Jasiu, a jeśli zwierzę jest psem?
Prawo kontrapozycji:
~4L=>~P = P=>4L
Jaś:
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń..]

Zuzia:
Jasiu, a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jaś:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1
Nie bycie psem (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby nie mieć czterech łap (~4L=1) bo jak się jest psem (P=1) to na 100% => ma się cztery łapy (4L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
~P~>~4L = P=>4L

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.
Wtedy dla zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjęty punkt odniesienia to:
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „Jeśli …” = parametr formalny p (poprzednik)
Parametr aktualny z wypowiedzianego zdania po „to …”= parametr formalny q (następnik)

Zadanie 1 (poziom I klasy LO):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi seria zdań z przykładu 1.

Definicja punktu odniesienia w logice matematycznej:
Punktem odniesienia w logice matematycznej jest zdanie „Jeśli p to q” wypowiedziane jako pierwsze od którego generowane są dalsze zdania z wykorzystaniem praw logiki matematycznej.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Rozwiązanie dla przykładu 1
Na mocy powyższej definicji zdaniem bazowym, będącym punktem odniesienia w przykładzie 1 jest zdanie wypowiedziane jako pierwsze:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Dla narzuconego nam punktu odniesienia znaczenie parametrów formalnych jest następujące:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
Stąd zapis zdania w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1

Dalej mamy trywialną matematykę ścisłą:
Aby zbadać w skład jakiego operatora logicznego wchodzi nasz punkt odniesienia, zdanie A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% ~> ma cztery łapy
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór jednoelementowy P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

W tym momencie mamy rozstrzygnięcie iż nasz punkt odniesienia, zdanie A1, wchodzi w skład definicji implikacji prostej P|=>4L.
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bycie psem wystarcza => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest warunkiem koniecznym ~> by mieć cztery łapy, bo słoń nie jest psem i ma cztery łapy

Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>4L.
Kod:

T2IP
Przykład 1
Punkt odniesienia:
p=P=[pies]
q=4L=[pies, słoń ..]
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                       |     AB34:
       AB1:          AB2:          |     AB3:           AB4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
  p|=>q=~p*q     = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p  = ~q|=>~p=q*~p
  P|=>4L=~P*4L   = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>4L=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~4L=P*~4L=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~4L=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>4L =~P*4L=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy, że diagram T2IP zawiera w sobie wszystkie zdania wypowiedziane w przykładzie 1.
cnd

Zadanie 2 (poziom I klasy LO):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi seria zdań z przykładu 2.

Definicja punktu odniesienia w logice matematycznej:
Punktem odniesienia w logice matematycznej jest zdanie „Jeśli p to q” wypowiedziane jako pierwsze od którego generowane są dalsze zdania z wykorzystaniem praw logiki matematycznej.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Rozwiązanie dla przykładu 1
Na mocy powyższej definicji zdaniem bazowym, będącym punktem odniesienia w przykładzie 2 jest zdanie wypowiedziane jako pierwsze:

B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na 100% => nie jest psem
~4L=>~P=1
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być psem.

Dla narzuconego nam punktu odniesienia znaczenie parametrów formalnych jest następujące:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”

Stąd zapis zdania B1 w zapisach formalnych:
B1: ~p=>~q =1

W tym przypadku dla łatwiejszego zrozumienia korzystnie jest (co nie znaczy że obowiązkowo) pozbyć się przeczeń przy sygnałach korzystając z prawa Kubusia:
B2: ~4L=>~P = B1: 4L~>P
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Zauważmy, że wyżej udowodniliśmy prawdziwość zdania B2.
Na mocy prawa Kubusia musi być zatem prawdziwe zdanie B1 - tego faktu nie musimy dowodzić wprost, ale możemy:
Posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1) bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P

Dalej mamy trywialną matematykę ścisłą:
Aby zbadać w skład jakiego operatora logicznego wchodzi nasz punkt odniesienia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P
musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania B1 kodowanego warunkiem wystarczającym =>
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na 100% => jest psem
4L=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo słoń ma cztery łapy a nie jest psem.
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń..] nie jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies].

Stąd mamy dowód iż nasze zdania A1 i B1 są częścią implikacji odwrotnej 4L|~>P:
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P =0 - posiadanie czterech łap nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by być psem
B1: 4L~>P =1 - posiadanie czterech łap jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by być psem

Podstawmy nasze zdania B1: 4L~>P=1 i A1: 4L=>P=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej 4L|~>P
Kod:

T2IO
Przykład 2
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..]
q=P=[pies]
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w 4L|~>P
       AB12:                       |     AB34:
       AB1:          AB2:          |     AB3:           AB4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=0    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0
---------------------------------------------------------------
  p|~>q=p*~q     = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p  = ~q|~>~p=~q*p
  4L|~>P=4L*~P   = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: 4L=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~4L=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~4L~~>P =~4L*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że wszystkie zdania z przykładu 2 wchodzą w skład definicji implikacji odwrotnej 4L|~>P.
cnd

Podsumowanie:
O tym że seria zdań z przykładu 1 jest różna na mocy definicji operatorowych ### od serii zdań z przykładu 2 decydują zapisy formalne.
Kod:

T2IP:
Przykład 1
Punkt odniesienia:
p=P=[pies]
q=4L=[pies, słoń ..]
AB1:           AB2:               AB3:           AB4:
p|=>q =~p*q  = ~p|~>~q =~p*q  [=]  q|~>p= q*~p =  ~q|=>~p= q*~p
P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P

###
Kod:

T2IO:
Przykład 2
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..]
q=P=[pies]
AB1:           AB2:               AB3:           AB4:
 p|~>q=p*~q  =  ~p|=>~q= p*~q [=] q|=>p =~q*p  = ~q|~>~p =~q*p
4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P [=] P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych, p i q nie mają prawa być tymi samymi p i q

Doskonale widać, że p i q w tabelach T2IP oraz T2IO nie są tymi samymi p i q
cnd.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 10:12, 07 Gru 2020, w całości zmieniany 30 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 6:12, 03 Lis 2020    Temat postu:

6.0 Definicja chaosu p|~~>q

Spis treści
6.0 Definicja chaosu p|~~>q oraz ~p|~~>~q 1
6.1 Operatory chaosu p||~~>q oraz ~p||~~>~q 3
6.2 Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 4
6.2.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 6
6.2.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 7



6.0 Definicja chaosu p|~~>q

I.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna AB1
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1B1:
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
p|~~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w chaosie p|~~>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
      AB12:                   |      AB34:
      AB1:         AB2:       |      AB3:         AB4:
A: 1: p=>q=0  =  2:~p~>~q=0  [=]  3: q~>p=0  =  4:~q=>~p=0
##
B: 1: p~>q=0  =  2:~p=>~q=0  [=]  3: q=>p=0  =  4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A(x) i fałszywość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~~>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:         AB2:          |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwagi:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

II.
Definicja chaosu ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)

Kolumna AB2
Chaos ~p|~~>~q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1=1

6.1 Operatory chaosu p||~~>q oraz ~p||~~>~q

III.
Definicja operatora chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź w spójnikach chaosu p|~~>q i ~p|~~>~q na dwa pytania 1 i 2


1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?

Kolumna AB1.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej bo (q):
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście p i q
LUB
A’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście p i ~q

IV.
Definicja operatora chaosu ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź w spójnikach chaosu ~p|~~>~q i p|~~>q na dwa pytania 2 i 1


1.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Kolumna AB2.
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej bo (~q):
Chaos ~p|~~>~q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~~>~q = ~(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i ~q
LUB
B’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście ~p i q

Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Podsumowanie:
Definicja operatora chaosu p||~~>q w zbiorach to seria czterech zdań prawdziwych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>
Kod:

Zbiory:
Definicja operatora chaosu p||~~>q to wszystkie cztery zdania cząstkowe
                   Y ~Y   Analiza dla Y
A”:  p~~> q= p* q =1 =0 - istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i q
A’:  p~~>~q= p*~q =1 =0 - istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
B”: ~p~~>~q=~p*~q =1 =0 - istnieje wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q
B’: ~p~~> q=~p* q =1 =0 - istnieje wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

Definicja operatora chaosu p||~~>q w zdarzeniach to seria czterech zdań prawdziwych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Kod:

Zdarzenia:
Definicja operatora chaosu p||~~>q to wszystkie cztery zdania cząstkowe
                   Y ~Y   Analiza dla Y
A”:  p~~> q= p* q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A’:  p~~>~q= p*~q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
B”: ~p~~>~q=~p*~q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B’: ~p~~> q=~p* q =1 =0 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q


6.2 Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q:
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)

Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:

Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Rozważmy zdanie::
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9 ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P2 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
Kontrprzykład: 3

Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
Kontrprzykład: 3

Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do operatora chaosu P8|~~>P3.
Definicja operatora chaosu:
Operator chaosu P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w operatorze chaosu p|~~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> obowiązującej wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w P8|~~>P3:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:           AB2:        |     AB3:            AB4:
A:  1: P8=>P3  =0 = 2:~P8~>~P3=0  [=] 3: P3~>P8  =0 = 4:~P3=>~P8 =0
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1                 
       ##              ##          |     ##            ##
B:  1: P8~>P3  =0 = 2:~P8=>~P3 =0 [=] 3: P3=>P8  =0 = 4:~P3~>~P8 =0
B’:                 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1     3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P8=>P3=0 -fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P8=>~P3=0-fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)

Mamy nasze zdanie:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Zdanie A2’ definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[1,2..4.5..7,8..]

6.2.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach

Operator chaosu P8||~~>P3 odpowiada na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?

Kolumna AB1
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo element wspólny np. 24
Przyjmujemy zdanie A1’ za punkt odniesienia:
p=P8
q=P3
Zapis formalny:
p~~>q =1
Zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24
lub
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo element wspólny np. 8
Zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 8 (P8=1) to mamy tu „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła”
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo element wspólny np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo element wspólny np. 8
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

2.
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?

Kolumna AB2
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo element wspólny 2
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2
lub
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3

Podsumowanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy dowolną liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1) to mamy „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła”
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo element wspólny 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Wynikowe jedynki są tu miękkimi jedynkami tzn. w zależności od losowania mogą być miękkimi jedynkami albo miękkimi zerami.

Podsumowanie generalne:
Zauważmy, że w operatorze chaosu P8||~~>P3 zarówno po stronie zbioru P8 jak i zbioru ~P8 mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

6.2.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Dowód iż mamy tu do czynienia z legalnym, matematycznym spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~>
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=P8
q=P3
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
              |
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A1”:
A1”: p~~>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadanie jest nam konieczne i wystarczające prawo Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~x=1)=(x=0)
Bo wszystkie zmienne dla punktu A1” musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1”: p~~>q        |
              |                  |                  | p   q p~~>q
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1  =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0  =1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0  =1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1  =1
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=(p=0)      |
                                 |(~q=1)=(q=0)

W tabeli zero-jedynkowej 123 nagłówek w kolumnie wynikowej 3 wskazuje linię A1”: p~~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>.

W tabeli abc widać, że spełniona jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> dla wszelkich możliwych kombinacji zbiorów rozłącznych A”. A’, B’, B’ uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
D (dziedzina) = A1”: p*q + A1: p*~q + B2”:~p*~q + B2’:~p*q = p*(q+~q)+~p*(~q+q) = p+~p =1

Zauważmy że:
Operator chaosu p||~~>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: p~~>q =1
LUB
A1’: p~~>~q =1
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: ~p~~>~q =1
LUB
B2’: ~p~~> q =1

Operator chaosu p||~~>q to wszystkie cztery zdania: A1”, A1’, B2”,B2’, natomiast element wspólny zbiorów ~~> to dowolna linia w tabeli abc.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 5:04, 02 Gru 2020, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 6:16, 03 Lis 2020    Temat postu:

7.0 Definicja równoważności p<=>q


Spis treści
7.0 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 1
7.1 Równoważność p<=>q 3
7.1.1 Diagram operatora równoważności p|<=>q w zbiorach 5
7.2 Operatory równoważności p|<=>q i q|<=>p 6
7.2.1 Operator równoważności p|<=>q 7
7.2.2 Operator równoważności q|<=>p 8
7.3 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q 9
7.3.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 10
7.3.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q 11
7.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q 12
7.4.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 14
7.4.3 Operator równoważności p|<=>q vs operator implikacji p||=>q w technice 17
7.5 Prawo punktu odniesienia 18
7.6 Matematyczne związki spójników p<=>q, „albo($), „i”(*) oraz „lub”(+) 19
7.6.1 Matematyczne związki spójnika p<=>q z „i”(*), „lub”(+) oraz „albo”($) 20
7.6.2 Matematyczne związki spójnika „albo”($) z „i”(*), „lub”(+) oraz p<=>q 22
7.6.3 Operator równoważności p|<=>q vs operator „albo”(|$) 25



7.0 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów.

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

W zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Na mocy definicji tożsamości zbiorów p=q mamy definicję równoważności w zbiorach.

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
Równoważność tożsama:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1

Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
Dziedziną minimalną jest tu:
D=ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd dla TP=SK mamy:
Dziedzina ZWT=TP+~TP jest szersza do sumy zbiorów TP+SK = TP dzięki czemu rozpoznawalne są wszystkie zmienne TP, SK, ~TP, ~SK
~TP=[ZWT-TP]
~SK=[ZWT-SK]

Zauważmy, że gdybyśmy za dziedzinę przyjęli:
D=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
To pojęcie ~TP byłoby nierozpoznawalne.
Dowód:
~TP=[D-TP]=[TP-TP] =[] =0
cnd

7.1 Równoważność p<=>q

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:         AB2:          |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
      p<=>q     =  ~p<=>~q       [=]    q<=>p    =   ~q<=>~p
      =A1*B1       =A2*B2        [=]    =A3*B3       =A4*B4
        /\           /\                   /\           /\
        ||           ||                   ||           ||
        \/           \/                   \/           \/
        p=q     #   ~p=~q         #       q=p    #    ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


7.1.1 Diagram operatora równoważności p|<=>q w zbiorach

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy najczęściej używaną w języku potocznym definicję równoważności:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
innymi słowy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Dowolna równoważność definiuje tożsamość zbiorów p=q
Dowód:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
stąd mamy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

D3
Diagram operatora równoważności p|<=>q w zbiorach
Zbiory p i q są tożsame na mocy definicji równoważności p<=>q.
Wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste z definicji,
inaczej zbiór jest nierozpoznawalny

----------------------------------------------------------------------
|     p=q                   |                    ~p=~q               |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q=p                   |                    ~q=~p               |
|--------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)         |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu w zbiorach odczytujemy:
Analiza operatora równoważności p|<=>q w zapisach formalnych (ogólnych)
----------------------------------------------------------------------
A1:  p=> q =1  |A3:  q~> p =1  |A1   p=> q =1 - p jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=0  |A3’: q~~>~p=0  |A1’: p~~>~q=0 - p i ~q zbiory rozłączne
A2: ~p~>~q =1  |A4: ~q=>~p =1  |A2: ~p~>~q =1 - ~p jest nadzbiorem ~> ~q
A2’:~p~~>q =0  |A4’:~q~~>p =0  |A2’ ~p~~>q =0 - ~p*q zbiory rozłączne
|
B1:  p~> q =1  |B3:  q=> p =1  |B1:  p~> q =1 - p jest nadzbiorem ~> q
B1’  p~~>~q=0  |B3’: q~~>~p=0  |B1’: p~~>~q=0 - p i ~q zbiory rozłączne
B2: ~p=>~q =1  |B4: ~q~>~p =1  |B2: ~p=>~q =1 - ~p jest podzbiorem => ~q
B2’:~p~~>q =0  |B4’: q~~>~p=0  |B2’:~p~~>q =0 - ~p*q zbiory rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q i ~p<=>~q na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
p<=>q =p*q + ~p*~q
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1’: p~~>~q=0 - zbiory p i ~q są rozłączne

Operator równoważności ~p|<=>~q to odpowiedź w spójnikach równoważności ~p<=>~q i p<=>q na dwa pytania 2 i 1:
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q =(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1
~p<=>~q =p*q + ~p*~q
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
A2’:~p~~>q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne

Operator równoważności p|<=>q to wszystkie cztery zdania:
A1, A1’, A2, A2’
a nie jakiekolwiek jedno, wyróżnione

7.2 Operatory równoważności p|<=>q i q|<=>p

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów ~~> dotyczących wyłącznie warunku wystarczającego =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:         AB2:          |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
      p<=>q     =  ~p<=>~q       [=]    q<=>p    =   ~q<=>~p
      =A1*B1       =A2*B2        [=]    =A3*B3       =A4*B4
        /\           /\                   /\           /\
        ||           ||                   ||           ||
        \/           \/                   \/           \/
        p=q     #   ~p=~q         #       q=p    #    ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

7.2.1 Operator równoważności p|<=>q

Obszar AB12:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q oraz ~p<=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy zajdzie p (p=1)?

Kolumna AB1
Równoważność dla p:
Zajdzie p (p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) q
p=q
Stąd mamy:
A1: p=>q =1 - zbiór (pojęcie) p jest podzbiorem => q
B1: p~>q =1 - zbiór (pojęcie) p jest nadzbiorem ~> q
Oczywistość dla zbiorów tożsamych p=q bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q +~p*~q

Obszar AB12
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź w spójnikach równoważności ~p<=>~q i p<=>q na dwa pytania 2 i 1:

2.
Kiedy zajdzie ~p (~p=1)?

Kolumna AB2
Równoważność dla ~p:
Zajdzie ~p (~p=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~p jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~q
~p=~q
Stąd mamy:
A2: ~p~>~q =1 - zbiór (pojęcie) ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór (pojęcie) ~p jest podzbiorem => ~q
Oczywistość dla zbiorów tożsamych p=q

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q +~p*~q

7.2.2 Operator równoważności q|<=>p

Obszar AB34:
Operator równoważności q|<=>p w logice dodatniej (bo p) to odpowiedź w spójnikach równoważności q<=>p i ~q<=>~q na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy zajdzie q (q=1)?

Kolumna AB3
Równoważność dla q:
Zajdzie q (q=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1)
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) p
q=p
Stąd mamy:
A3: q~>p =1 - zbiór (pojęcie) q jest nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór (pojęcie) q jest podzbiorem => p
Oczywistość dla zbiorów tożsamych q=p bo:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
q<=>p = p*q +~p*~q

Obszar AB34:
Operator równoważności ~q|<=>~p w logice ujemnej (bo ~p) to odpowiedź w spójnikach równoważności ~q<=>~q i q<=>p na dwa pytania 2 i 1:
2.
Kiedy zajdzie ~q (~q=1)?

Kolumna AB4
Równoważność dla ~q:
Zajdzie ~q (~q=1) zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1)
~q<=>~p = (A4:~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
Zbiór (pojęcie) ~q jest tożsamy ze zbiorem (pojęciem) ~p
~q=~p
Stąd mamy:
A4: ~q=>~p =1 - zbiór (pojęcie) ~q jest podzbiorem => ~p
B4: ~q~>~p =1 - zbiór (pojęcie) ~q jest nadzbiorem ~> ~p
Oczywistość dla zbiorów tożsamych ~q=~p.

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~q<=>~p = p*q +~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna równoważności I, II, III i IV
I. p<=>q = II. ~p<=>~q = III. q<=>p = IV. ~q<=>~p = p*q + ~p*~q

7.3 Najważniejsze definicje równoważności p<=>q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Trzy najważniejsze definicje równoważności w logice matematycznej to:
1.
Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
2.
Matematyczna definicja równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności, generująca tabelę zero-jedynkową równoważności.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)

7.3.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q

Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różna na mocy definicji

Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q

Zauważmy, że argumenty w równoważności są przemienne:
p<=>q = p*q+~p*~q [=] q<=>p = q*p + ~q*~p
bowiem iloczyn logiczny „i”(*) jest przemienny

W logice matematycznej zachodzą tożsamości nazw:
p=>q - warunek wystarczający => zwany także dostatecznym =>
p~>q - warunek konieczny ~> zwany także warunkiem potrzebnym ~>

W praktyce języka potocznego najczęściej korzystamy z podstawowej definicji równoważności.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 9 910
„konieczny i wystarczający”
wyników: 8 700
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 140
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 12400
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 5 380
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 160

Przykład 1.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
Równoważność tożsama:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
Kolejna równoważność tożsama:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1

7.3.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

T1
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste prawdziwe
##
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne prawdziwe
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
W matematyce najczęściej korzystamy z matematycznej definicji równoważności co nie oznacza, że nie wolno nam skorzystać z dowolnej z 16 tożsamych definicji równoważności.

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, stąd ta równoważność jest prawdziwa

Definicja tożsamości zbiorów p=q w warunkach wystarczających =>:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i zbiór q jest podzbiorem => p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
stąd:
A1: p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
B3: q=>p =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.

Sprawdzenie czy dla zbiorów tożsamych p=q równoważność p<=>q jest prawdziwa.
Definicja podzbioru:
p=>q = ~p+q
Stąd dla p=q mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B3: p=>p) = (~p+p)*(~p+p) =1*1 =1
cnd


7.4 Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q

Aksjomatyczną definicję równoważności p<=>q z wykorzystaniem warunku wystarczającego => mamy w obszarze AB12. Musimy tu skompletować serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” zawierającą wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Jednoznaczne matematyczne rozwiązanie mamy w postaci poniższej definicji.

Aksjomatyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego A1: p=>q w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego B2: ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q

Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
p=q
Podstawmy:
q:=p - pod zmienną binarną q podstaw zmienną p
stąd mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
Jak widzimy tożsamość zbiorów wymusza równoważność prawdziwą (i odwrotnie)

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:         AB2:          |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
      p<=>q     =  ~p<=>~q       [=]    q<=>p    =   ~q<=>~p
      =A1*B1       =A2*B2        [=]    =A3*B3       =A4*B4
        /\           /\                   /\           /\
        ||           ||                   ||           ||
        \/           \/                   \/           \/
        p=q     #   ~p=~q         #       q=p    #    ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Obszar AB12
Definicja aksjomatyczna operatora równoważności p|<=>q:
Aksjomatyczny operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q i ~p<=>~q na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie p?

Kolumna AB1:
RA1:
Definicja spójnika równoważności p<=>q dla p:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
stąd mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory: zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia: zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q =p*~q =0
W zbiorach:
Zbiory: Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
Zdarzenia: Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

2.
Kiedy zajdzie ~p?

Kolumna AB2:
RB2:
Definicja spójnika równoważności ~p<=>~q dla ~p:
Zajdzie ~p (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q (~q=1)
~p<=>~q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q)
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zbiory: zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zdarzenia: zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory: Nie istnieje (=0) wspólny element zbioru ~p i q
Zdarzenia: Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Cecha charakterystyczna równoważności:
Równoważność p<=>q to jedyny spójnik logiczny gdzie mamy gwarancję matematyczną => (warunek wystarczający =>) zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

7.4.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T3
Definicja symboliczna              |Co w logice jedynek
                                   |oznacza
RA1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)  |
A1:  p=> q =1                      |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0                      |( p=1)~~>(~q=1)=0
RB2:~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q) |
B2: ~p=>~q =1                      |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0                      |(~p=1)~~>( q=1)=0


Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T3 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności RA1: p<=>q albo w odniesieniu do równoważności RB2:~p<=>~q
Dlaczego tabeli T3 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiadam:
RA1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA1: p<=>q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie RA1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2: AB12 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |RA1: p<=>q        |
RA1: p<=>q     |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0   =0
RB2:~p<=>~q    |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1   =0
  a    b  c       d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T2: AB12 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RB2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
RB2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T4.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |RB2: ~p<=>~q      |
RA1: p<=>q    |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1   =0
RB2:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0   =0
  a    b  c      d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością <=>

Zauważmy, że w tabelach T3 i T4 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T3: p<=>q = T4: ~p<=>~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
     p   q p<=>q
A1:  1<=>1  =1
A1’: 1<=>0  =0
B2:  0<=>0  =1
B2’: 0<=>1  =0

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1
B2’: 0<=>1  =0     0<=>1   =0
     1   2   3     4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q  p<=>q <=> ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1            1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0            1
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1            1
B2’: 0<=>1  =0     0<=>1   =0            1
     1   2   3     4   5    6            7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q


7.4.3 Operator równoważności p|<=>q vs operator implikacji p||=>q w technice

Operator równoważności p|<=>q to jedyny operator logiczny mający zastosowanie w świecie techniki. Tylko i wyłącznie dzięki niemu działają wszelkie urządzenia techniczne od lodówki poczynając na komputerach i promie kosmicznym kończąc.
Dlaczego?

Jak działa operator równoważności p|<=>q w świecie techniki?

Przykład:
Operator równoważności p|<=>q zaimplementowany w elektronicznym sterowaniu kierownicy w samochodzie będzie działał tak:
a)
Jeśli skręcamy kierownicą w prawo to samochód zawsze skręci w prawo
P<=>P
b)
Jeśli skręcamy kierownicą w lewo to samochód zawsze skręci w lewo
L<=>L
L=~P
Stąd:
~P<=>~P
Nie ma tu miejsca na wybryki komputera sterującego kierownicą w postaci „rzucania monetą” jak w implikacji czy operatorze chaosu.
Wniosek:
Równoważność to jedyny sensowny operator logiczny w świecie techniki.

Natomiast:
W operatorze implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q oraz w chaosie p||~~>q mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które wyklucza zastosowanie tych operatorów w świecie techniki.

Jak działa operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki?

Przykład:
Operator implikacji prostej p||=>q zaimplementowany w elektronicznym sterowaniu kierownicy w samochodzie będzie działał tak:
a)
Jeśli skręcamy kierownicą w prawo to samochód zawsze skręci w prawo
P=>P =1
ALE!
b)
Jeśli skręcamy kierownicą w lewo to komputer sterujący kierownicą wywołuje generator cyfr losowych G(x)={0,1} i w zależności od wyniku wykonuje:
1 - skręcam w lewo zgodnie z żądaniem kierowcy
0 - skręcam w prawo ignorując żądanie kierowcy
~P=L - skręcam w lewo
~P~>~P =1 - skręcam w lewo (~P=1) zgodnie z życzeniem kierowcy
lub
~P~~>P =1 - skręcam w prawo (P=1) ignorując życzenie kierowcy

Mam nadzieję, że wszyscy widzą, iż sterownie kierownicą samochodu za pośrednictwem operatora implikacji prostej p||=>q to samobójstwo - identycznie jest w implikacji odwrotnej p||~>q.
W operatorze chaosu p||~~>q to już tragedia bo tu komputer sterujący kierownicą za każdym razem będzie sobie wywoływał generator cyfr losowych G(x)={0,1} i skręcał tam gdzie mu się podoba totalnie ignorując wszelkie żądania kierowcy.


7.5 Prawo punktu odniesienia

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie aktualnym (język potoczny):
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
Podstawiamy:
U=p
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
p=~(~p)

Punkt odniesienia w logice matematycznej:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym punkt odniesienia ustalamy wtedy i tylko wtedy gdy zamierzamy rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane.

Prawo punktu odniesienia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli … to …” w zapisie aktualnym przyjętym za punkt odniesienia zawsze zapisujemy po „Jeśli …” poprzednik p, zaś po „to…” następnik q.
p=poprzednik
q=następnik

Przykład:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych to:
TP:=p - pod TP podstaw :=> p
SK:=q
Stąd w zapisie formalnym:
p=>q =1

Na mocy prawa punktu odniesienia w dalszej części podręcznika zajmijmy się wyłącznie pierwszą częścią definicji równoważności jak niżej.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
dla punktu odniesienia p=>q
       AB12:
       AB1:         AB2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
      p<=>q     =  ~p<=>~q
      =A1*B1       =A2*B2
        /\           /\
        ||           ||
        \/           \/
        p=q     #   ~p=~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


7.6 Matematyczne związki spójników p<=>q, „albo($), „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdefiniujmy zero-jedynkowo spójniki „i”(*), „lub”(+), p<=>q i „albo”($) wyprowadzając matematyczne związki miedzy nimi.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
   p   q  p*q
A: 1 * 1  =1
B: 1 * 0  =0
C: 0 * 0  =0
D: 0 * 1  =0
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p+q =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
   p   q  p+q
A: 1 + 1  =1
B: 1 + 0  =1
C: 0 + 0  =0
D: 0 + 1  =1
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Szybkie wypełnianie tabel zero-jedynkowych zapewnia:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1   
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0
p<=>q =1 <=> p=1 i q=1 lub p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
   p   q  p$q
A: 1 $ 1  =0   
B: 1 $ 0  =1
C: 0 $ 0  =0
D: 0 $ 1  =1
p$q =1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q =0


7.6.1 Matematyczne związki spójnika p<=>q z „i”(*), „lub”(+) oraz „albo”($)
Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) oraz spójnikiem „albo”($).
               Y=    a    b   Y=         c     d    ~Y=         ~Y=
   p  q ~p ~q p<=>q p*q ~p*~q p<=>q=a+b  p*~q ~p*q ~(p<=>q)=c+d  p$q=c+d
A: 1  1  0  0  =1    1    0     1         0     0      0          0
B: 1  0  0  1  =0    0    0     0         1     0      1          1
C: 0  0  1  1  =1    0    1     1         0     0      0          0
D: 0  1  1  0  =0    0    0     0         0     1      1          1
   1  2  3  4   5               6                      7          8

Stąd mamy prawa logiki matematycznej wyrażające spójnik p<=>q przy pomocy spójników „i”(*), „lub”(+) i „albo”($).

Operator równoważności p|<=>q wyrażony spójnikami „i”(*), „lub”(+) czy też „albo”($) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y = p<=>q = A: p*q+ C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
W rozpisce na funkcje cząstkowe Ya i Yc:
Ya =1 <=> A: p=1 i q=1 - doskonale to widać w tabeli 126
LUB
Yc =1 <=> C: ~p=1 i ~q=1 - doskonale to widać w tabeli 346
Funkcja matka Y to:
Y = Ya+Yc

2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Tu możliwe są dwie tożsame odpowiedzi 2a i 2b
2a.
~Y=~(p<=>q) = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
W rozpisce na funkcje cząstkowe Yb i Yc:
~Yb=1 <=> B: p=1 i ~q=1 - doskonale to widać w tabeli 147
LUB
~Yd=1 <=> D: ~p=1 i q=1 - doskonale to widać w tabeli 237
Funkcja matka ~Y to:
~Y = ~Yb+~Yd
2b.
~Y = ~(p<=>q) = p$q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> (p=1)$(q=1) - doskonale to widać w tabeli 128

Język potoczny to wyrażanie określonego spójnika logicznego przy pomocy innych spójników.
Spójnikiem głównym, który matematycznie obsługujemy w tabeli T1 jest spójnik równoważności p<=>q z równania 1.
Z tego powodu, w języku potocznym nie interesują nas matematyczne związki typu:
~Y = ~(p<=>q) = p<=>~q = ~p<=>q
Definiowanie spójnika <=> przy pomocy tego samego spójnika <=> to w języku potocznym błąd „idem per idem” - definiowanie tego samego przez to samo.

[link widoczny dla zalogowanych]
idem per idem «to samo przez to samo – definiowanie jakiejś rzeczy przez tę samą rzecz»

Przykład:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru

Operator równoważności p|<=>q wyrażony spójnikami „i”(*), „lub”(+) czy też „albo”($) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa Y (Y=1)?
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
C: Yc = ~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Ya, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y
Y = Ya+Yc
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa ~Y (~Y=1)?
Nie (~) dotrzyma słowa Y = skłamie (~Y)
Na to pytanie możemy odpowiedzieć dwoma tożsamymi sposobami 2a i 2b - przy pomocy innych spójników niż <=>.
Negujemy równanie 1 stronami:
2a.
Odpowiedź na pytanie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~Y = ~(K<=>T) = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Yb, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki ~Y
~Y=~Yb+~Yd

2b.
Odpowiedź matematycznie tożsama z użyciem spójnika „albo”($):
~Y = ~(K<=>T) = K$T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 $ T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) „albo”($) do teatru (T=1)
~Y = K$T

Znaczenie spójnika „albo”($) w języku potocznym:
Jeśli pójdziemy tylko i wyłącznie w jedno miejsce, albo do kina (K=1) albo do teatru (T=1) to na 100% => pani skłamie (~Y=1)
K$T => ~Y
W odwrotną stronę też zachodzi:
Jeśli pani skłamie (~Y=1) to na 100% => pójdziemy wyłącznie w jedno miejsce, albo do kina (K=1), albo do teatru (T=1)
~Y => K$T

Definicja równoważności matematyków:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający <=> zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Stąd mamy prawdziwą równoważność:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy wyłącznie w jedno miejsce, albo do kina (K=1) albo do teatru (T=1)
~Y<=>K$T = (~Y=>K$T)*(K$T => ~Y)
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) albo($) do teatru (T=1)

7.6.2 Matematyczne związki spójnika „albo”($) z „i”(*), „lub”(+) oraz p<=>q
Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) oraz spójnikiem p<=>q
               Y=    a    b   Y=       c     d   ~Y=         ~Y=
   p  q ~p ~q  p$q  p*~q ~p*q p$q=a+b p*q ~p*~q ~(p$q)=c+d  p<=>q=c+d
A: 1  1  0  0  =0    0    0     0      1     0      1         1
B: 1  0  0  1  =1    1    0     1      0     0      0         0
C: 0  0  1  1  =0    0    0     0      0     1      1         1
D: 0  1  1  0  =1    0    1     1      0     0      0         0
   1  2  3  4   5               6                   7         8

Stąd mamy prawa logiki matematycznej wyrażające spójnik „albo”($) przy pomocy spójników „i”(*), „lub”(+) i <=>

Operator „albo”(|$) wyrażony spójnikami „i”(*), „lub”(+) czy też <=> to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y = p$q = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
W rozpisce na funkcje cząstkowe Yb i Yd:
Yb =1 <=> B: p=1 i ~q=1 - doskonale to widać w tabeli 145
LUB
Yd =1 <=> D: ~p=1 i q=1 - doskonale to widać w tabeli 235
Funkcja matka Y to:
Y = Yb+Yd

2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Tu możliwe są dwie tożsame odpowiedzi 2a i 2b
2a.
~Y=~(p$q) = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
W rozpisce na funkcje cząstkowe Ya i Yc:
~Ya=1 <=> A: p=1 i q=1 - doskonale to widać w tabeli 127
LUB
~Yc=1 <=> C: ~p=1 i ~q=1 - doskonale to widać w tabeli 347
Funkcja matka ~Y to:
~Y = ~Ya+~Yc
2b.
~Y = ~(p$q) = p<=>q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> (p=1)<=>(q=1) - doskonale to widać w tabeli 128

Język potoczny to wyrażanie określonego spójnika logicznego przy pomocy innych spójników.
Spójnikiem głównym, który matematycznie obsługujemy w tabeli T2 jest spójnik „albo”($) z równania 1.
Z tego powodu, w języku potocznym nie interesują nas matematyczne związki typu:
~Y = ~(p$q) = p$~q = ~p$q
Definiowanie „albo”($) przy pomocy tego samego spójnika „albo”($) to w języku potocznym błąd „idem per idem” - definiowanie tego samego przez to samo.

[link widoczny dla zalogowanych]
idem per idem «to samo przez to samo – definiowanie jakiejś rzeczy przez tę samą rzecz»

Przykład:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina albo($) do teatru
Y=K$T

Operator „albo”(|$) wyrażony spójnikami „i”(*), „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa Y (Y=1)?
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdziemy do kina albo($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb = K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
D: Yd = ~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Yb, Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y
Y = Yb+Yb

2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa ~Y (~Y=1)?
Nie (~) dotrzyma słowa Y = skłamie (~Y)
Na to pytanie możemy odpowiedzieć dwoma tożsamymi sposobami 2a i 2b - przy pomocy innych spójników niż „albo”($).
Negujemy równanie 1 stronami:
2a.
Odpowiedź na pytanie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~Y = ~(K$T) = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
~Ya, ~Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki ~Y
~Y=~Ya+~Yc

2b.
Odpowiedź matematycznie tożsama z użyciem spójnika <=>:
~Y = ~(K$T) = K<=>T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 <=> T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
~Y = K<=>T

Znaczenie spójnika <=> w języku potocznym:
Pani skłamie (~Y=1) jeśli pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i do teatru (~T=1)
~Y = ~(K$T) = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1

7.6.3 Operator równoważności p|<=>q vs operator „albo”(|$)

Operator równoważności p|<=>q zdefiniowany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y

1.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Przykład:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru

1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~T=1 i ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
2.
Kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami.
~Y = ~(K<=>T) = K*~T + ~K*T
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~T=1 i K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Operator „albo”(|$) zdefiniowany spójnikami „i’(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania o Y i ~Y
3.
Kiedy zajdzie Y (Y=1)?
Y= p$q = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
4.
Kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(p$q) = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Przykład:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru

3.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1)?
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = K$T = K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
4.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami.
~Y = ~(K$T) = K*T + ~K*~T
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~T=1 i ~K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Doskonale widać iż matematycznie w zapisach formalnych zachodzi:
Kod:

T1
Operator równoważności p|<=>q  ### Operator „albo”(|$)
1:  Y=  p<=>q =p* q +~p*~q     ### 3:  Y=  p$q = p*~q +~p* q
    #                          ###     #
2: ~Y=~(p<=>q)=p*~q +~p* q     ### 4: ~Y=~(p$q)= p* q +~p*~q
Gdzie:
#   - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
      w tym przypadku p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q
### - różne na mocy definicji operatorowych
      p i q w spójniku p<=>q nie ma nic wspólnego z p i q w spójniku p$q


Dokładnie to samo w zapisach aktualnych tzn. na przykładzie rodem z przedszkola
Kod:

T2
Operator równoważności K|<=>T  ### Operator „albo”(|$)
1:  Y=  K<=>T =K* T +~K*~T     ### 3:  Y=  K$T = K*~T +~K* T
    #                          ###     #
2: ~Y=~(K<=>T)=K*~T +~K* T     ### 4: ~Y=~(K$T)= K* T +~K*~T
Gdzie:
#   - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
      w tym przypadku K i T musi być wszędzie tymi samymi K i T
### - różne na mocy definicji operatorowych
      K i T w spójniku K<=>T nie ma nic wspólnego z K i T w spójniku K$T


Ostatni gwóźdź do trumny z napisem „Logika matematyczna ziemian”:
I.
Zauważmy że w tabeli T2 zdania 1 i 3 znaczą fundamentalnie co innego:
1.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy <=> gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
###
3.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina albo ($) do teatru
Y = K$T = K*~T + ~K*T
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych
II.
Zauważmy, że jeśli z zapisu matematycznego w tabeli T2 usuniemy logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y)

To dostaniemy tożsamości czysto matematyczne:
1: Y (pani dotrzyma słowa: Y=K*T+~K*~T) = 4:~Y (pani nie dotrzyma słowa: ~Y=K*T+~K*~T)
3: Y (pani dotrzyma słowa: Y=K*~T+~K*T) = 2:~Y (pani nie dotrzyma słowa: ~Y= K*~T+~K*T)

Jak widzimy, bez uwzględnienia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) dostajemy czysto matematyczną bzdurę jakoby zmienna niezanegowana (bo Y) była tożsama ze zmienną zanegowaną (bo ~Y).

To jest oczywiście błąd fatalny dyskwalifikujący aktualną logikę „matematyczną” ziemian.

Podsumowanie:
Błąd fatalny w aktualnej logice matematycznej ziemian, dyskwalifikujący tą logikę, to uznanie logiki ujemnej (bo ~Y) za matematycznie zbędną, nieistniejącą.

Dokładnie ten sam błąd jest powielony w podręczniku akademickim dla studentów I roku akademickiego co opisałem w punkcie 11.4
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2020-11-22,17779.html#564449


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 15:13, 13 Gru 2020, w całości zmieniany 19 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 6:17, 03 Lis 2020    Temat postu:

Spis treści
7.7 Równoważności Pitagorasa TP<=>SK i SK<=>TP 1
7.7.1 Operator równoważności TP|<=>SK 7
7.7.2 Operator równoważności SK|<=>TP 9
7.8 Analiza równoważności Pitagorasa 10
7.9 Operator „albo”($) 13
7.9.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „albo”($) 14
7.9.2 Spójnik „albo”($) wyrażony warunkami wystarczającym => 15
7.9.3 Spójnik „albo”($) a równoważność <=> 16




7.7 Równoważności Pitagorasa TP<=>SK i SK<=>TP

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów ~~> dotyczących wyłącznie warunku wystarczającego =>
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:         AB2:          |     AB3:         AB4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                 
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0 =
      p<=>q     =  ~p<=>~q       [=]    q<=>p    =   ~q<=>~p
      =A1*B1       =A2*B2        [=]    =A3*B3       =A4*B4
        /\           /\                   /\           /\
        ||           ||                   ||           ||
        \/           \/                   \/           \/
        p=q     #   ~p=~q         #       q=p    #    ~q=~p
        I            II                   III          IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A(x) i prawdziwość dowolnego zdania serii B(x)

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q <=> ~p<=>~q
można też udowodnić korzystając z definicji równoważności p<=>q w spójnikach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Najprostszy dowód powyższego prawa to wykorzystanie definicji podstawowych p<=>q i ~p<=>~q.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Kolumna AB1
Równoważność p<=>q to jednoczesna zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności ~p<=>~q:
Kolumna AB2
Równoważność ~p<=>~q to jednoczesna zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1

Praw Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q)
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
cnd

Kolejny dowód to wykorzystanie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
RA1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) =~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
Dla ~p<=>~q mamy:
RB2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = p*q+~p*~q

Prawe strony RA1 i RB2 są tożsame, stąd mamy tożsamość logiczną:
RA1: p<=>q = RB1: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Każda równoważność p<=>q to tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód:
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
dla q:=p mamy:
p<=>p = p*(p)+~p*~(p) = p+~p =1
cnd

Mamy naszą tożsamość logiczną „=”:
RA1: p<=>q = RB1: ~p<=>~q
Która definiuje tożsamość odpowiednich zbiorów:
RA1: p=q # RB1: ~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
Między p i ~p spełniona jest definicja dziedziny:
p+~p = D =1 - zbiór (zdarzenie) ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru (zdarzenia) p
p*~p = [] =0 - zbiory (zdarzenia) p i ~p są rozłączne

Matematycznie zachodzi tożsamość znaczków:
# = „albo”($)
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
q:=~p - pod q podstaw := ~p
stąd mamy:
p#~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p =1
Definicja spójnika “albo”($) jest spełniona
cnd

Oczywistym jest że równoważność p<=>~p musi być fałszem.
Sprawdzenie:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
q:=~p - pod q podstaw ~p
stąd mamy:
p<=>~p = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p = []+[] =[] =0
cnd

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru

Przykład 1.
RA1B1:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Definicja równoważności podstawowej TP<=>SK:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego.
Stąd mamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B: TP~>SK) =1*1 =1

Definicje tożsame:
RA1B1’:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
RA1B1’’:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Przykład 2.
RA2B2:
Równoważność Pitagorasa ~TP<=>~SK dla trójkątów nieprostokątnych.
Definicja równoważności podstawowej ~TP<=>~SK:
Równoważność ~TP<=>~SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~TP~>~SK =1 - zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego.
B2: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Stąd mamy:
RA2B2:
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1

Definicje tożsame:
RA2B2’:
Do tego aby trójkąt nie był prostokątny (~TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
RA2B2’’:
Do tego aby w trójkącie nie zachodziła suma kwadratów (~SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1

Podsumowanie:
Co w praktyce oznacza tożsamość logiczna:
RA1B1: TP<=>SK = RA2B2: ~TP<=>~SK

W praktyce powyższa tożsamość logiczna oznacza, że po udowodnieniu prawdziwości równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
co ludzkość zrobiła wieki temu udowadniając twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa, nie musimy dowodzić dowodem wprost równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych ~TP<=>~SK bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
RA1B1: TP<=>SK = RA2B2: ~TP<=>~SK
Wystarczy tu udowodnić prawdziwość lewej strony RA1B1: TP<=>SK co wymusza prawdziwość drugiej strony RA2B2: ~TP<=>~SK.

Oczywistym jest, że zbiór trójkątów prostokątnych TP=SK to fundamentalnie co innego niż zbiór trójkątów nieprostokątnych ~TP=~SK
TP=SK # ~TP=~SK
Zatem równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych to nie to samo co równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
Matematycznie zachodzi tożsamość znaczków:
# = „albo”($)

Spełniona jest tu definicja dziedziny:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina)
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne

Zbiory TP i ~TP są w relacji spójnika „albo”($).
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p:=TP- pod p podstaw := TP
q:=~TP - pod q podstaw := ~TP
stąd:
TP$~TP = (TP)*~(~TP) + ~(TP)*(~TP) = TP*TP + ~TP*~TP = TP+~TP =1
cnd

Oczywistym jest że relacja równoważności TP<=>~TP musi tu być fałszem, bo zbiory TP i ~TP nie są tożsame.
Sprawdzenie:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Podstawmy:
p:= TP
q:= ~TP
stąd mamy:
TP<=>~TP = (A1: TP=>~TP)*( B1: TP~>~TP) = (~TP+~TP)*(TP+TP) = ~TP*TP =0
cnd

Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie proste Pitagorasa musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania B(x).

Wybieramy twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3.
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny
SK=>TP =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodniono wieki temu
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]

Stąd mamy dowód, iż oba twierdzenia Pitagorasa są częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Matematyczna definicja równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = TP<=>SK

Wniosek:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

7.7.1 Operator równoważności TP|<=>SK

Zapiszmy równoważności Pitagorasa w matematycznych związkach warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:           AB2:        |     AB3:           AB4:
A:  1: p=> q   =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~> p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP=1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p  =0                 
A’: 1: TP~~>~SK=0 =              [=]               = 4:~SK~~>TP=0                 
       ##              ##         |     ##            ##
B:  1: p~> q   =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=> p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0 =
B’:               = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0 =
      p<=>q       =  ~p<=>~q     [=]    q<=>p      =   ~q<=>~p
      TP<=>SK     =  ~TP<=>~SK   [=]    SK<=>TP    =   ~SK<=>~TP
      =A1*B1         =A2*B2      [=]    =A3*B3         =A4*B4
        /\              /\                /\              /\
        ||              ||                ||              ||
        \/              \/                \/              \/   
       TP=SK      #   ~TP=~SK     #     SK=TP      #   ~SK=~TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 -prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1-prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Obszar AB12:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź w spójnikach równoważności TP<=>SK i ~TP<=>~SK na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy trójkąt jest prostokątny (TP=1)?

Kolumna AB1
RA1:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP:

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1:~TP~>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Twierdzenie proste Pitagorasa przyjmujemy za punkt odniesienia, stąd w zapisach formalnych mamy:
p=TP
q=SK
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów p=q, stąd:
Zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem SK
TP=SK
Stąd mamy:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość dla zbiorów tożsamych TP=SK bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RA1: TP<=>SK = TP*SK + ~TP*~SK

2.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)?

Kolumna AB2
RB2:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1)

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów, stąd:
Zbiór ~TP jest tożsamy ze zbiorem ~SK
~TP=~SK
Stąd mamy:
A2: ~TP~>~SK =1 - zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Oczywistość dla zbiorów tożsamych ~TP=~SK bo:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RB2: ~TP<=>~SK = TP*SK + ~TP*~SK

7.7.2 Operator równoważności SK|<=>TP

Przypomnijmy że punkt odniesienia w równoważności Pitagorasa to:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
p=TP
q=SK

Obszar AB34:
Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź w spójnikach równoważności SK<=>TP i ~SK<=>~TP na dwa pytania 3 i 4:

3.
Kiedy w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1)?

Kolumna AB3
RB3:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów ze spełnioną suma kwadratów (SK=1):

W dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)
Każda równoważność q<=>p prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów q=p.
Stąd mamy:
A3: SK~>TP =1 - zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP
B3: SK=>TP =1 - zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Oczywistość dla zbiorów tożsamych SK=TP bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RB3: SK<=>TP = TP*SK + ~TP*~SK

4.
Kiedy w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)?

Kolumna AB4
RA4:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów z nie spełnioną sumą kwadratów (~SK=1)

W dowolnym trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p))
Każda równoważność ~q<=>~p prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p.
Stąd mamy:
A4: ~SK=>~TP =1 - zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP
B4: ~SK~>~TP =1 - zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP
Oczywistość dla zbiorów tożsamych ~SK=~TP bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
RA4: ~SK<=>~TP = TP*SK + ~TP*~SK

Podsumowanie:
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna równoważności:
RA1: TP<=>SK = RB2: ~TP<=>~SK [=] RB3: SK<=>TP = RA4: ~SK<=>~TP [=] TP*SK + ~TP*~SK
To samo w zapisach formalnych:
RA1 p<=>q = RB2: ~p<=>~q [=] RB3: q<=>p = RA4: ~q<=>~p [=] p*q + ~p*~q

7.8 Analiza równoważności Pitagorasa

Zapiszmy równoważności Pitagorasa w matematycznych związkach warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q:
       AB12:                      |     AB34:
       AB1:           AB2:        |     AB3:           AB4:
A:  1: p=> q   =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~> p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP  =1 = 4:~SK=>~TP=1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p  =0                 
A’: 1: TP~~>~SK=0 =              [=]               = 4:~SK~~>TP=0                 
       ##              ##         |     ##            ##
B:  1: p~> q   =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=> p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP  =1 = 4:~SK~>~TP=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0 =
B’:               = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0 =
      p<=>q       =  ~p<=>~q     [=]    q<=>p      =   ~q<=>~p
      TP<=>SK     =  ~TP<=>~SK   [=]    SK<=>TP    =   ~SK<=>~TP
      =A1*B1         =A2*B2      [=]    =A3*B3         =A4*B4
        /\              /\                /\              /\
        ||              ||                ||              ||
        \/              \/                \/              \/   
       TP=SK      #   ~TP=~SK     #     SK=TP      #   ~SK=~TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
A1: TP=>SK=1 -prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~TP=>~SK=1-prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Obszar AB12:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź w spójnikach równoważności TP<=>SK i ~TP<=>~SK na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy trójkąt jest prostokątny (TP=1)?

Kolumna AB1
RA1:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP:

Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Twierdzenie proste Pitagorasa przyjmujemy za punkt odniesienia, stąd w zapisach formalnych mamy:
p=TP
q=SK
Każda równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów p=q, stąd:
Zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem SK
TP=SK
Stąd mamy:
Kolumna AB1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Oczywistość na mocy tożsamości zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.

… a jeśli trójkąt nie jest prostokątny?
Kolumna AB2
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie była w nim spełniona suma kwadratów.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=>~SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> w nim być spełniona suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.

Operator równoważności ~TP|<=>~SK to odpowiedź w spójnikach równoważności ~TP<=>~SK i TP<=>SK na dwa pytania 2 i 1:

2.
Kiedy trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)?

Kolumna AB2
RB2:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1)

Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość zbiorów, stąd:
Zbiór ~TP jest tożsamy ze zbiorem ~SK
~TP=~SK
Stąd mamy:
Kolumna AB2
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie była w nim spełniona suma kwadratów.
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=>~SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> w nim być spełniona suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.

.. a jeśli trójkąt jest prostokątny?
Kolumna AB1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Oczywistość na mocy tożsamości zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.

Podsumowanie:
Doskonale widać, że analiza słowna operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK w warunkach wystarczających jest tożsama z analizą słowną równoważności Pitagorasa ~TP|<=>~SK w warunkach wystarczających.
W obu przypadkach mamy do czynienia z identyczną serią czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Kod:

Operator równoważności TP|<=>SK to złożenie zdań RA1 i RB2
w spójnikach równoważności TP<=>SK i ~TP<=>~SK
zwanych krótko „równoważnością”

Równoważność dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK:
RA1.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tyko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B2:~TP=>~SK)
Kolumna AB1:
A1:  TP=> SK =1
A1’: TP~~>~SK=0

Równoważność dla trójkątów nieprostokątnych ~TP<=>~SK:
RB2.
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~SK=(A1: TP=>SK)*(B2:~TP=>~SK)
Kolumna AB2:
B2: ~TP=>~SK =1
B2’:~TP~~>SK =0


7.9 Operator „albo”($)

Budowę operatora “albo”($) poznamy na przykładzie.

Rozważmy zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi

Równie dziedziny w zbiorach to:
C = M+K
Stąd mamy:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy:
Zbiór mężczyzn to zaprzeczony (~) zbiór kobiet w dziedzinie C
M=~K
Zbiór kobiet to zaprzeczony (~) zbiór mężczyzn w dziedzinie C
K=~M

Graficznie w zbiorach możemy to przestawić następująco:
Kod:

-------------------------------------------------
| M (zbiór mężczyzn)     | K (zbiór kobiet)     |
| M=~K                   | K=~M                 |
-------------------------------------------------
|                     Dziedzina:                |
|                     C=M+K                     |
-------------------------------------------------

Analiza powyższego układu zbiorów M i K w spójniku „albo”($) w naturalnej logice matematycznej człowieka:
A.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
M*~K =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
LUB
B.
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i jest kobietą (K=1)
~M*K =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Innych możliwości nie ma.
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
M$K = M*~K + ~M*K

Innych możliwości nie ma stąd dalsze możliwe przypadki będą fałszem:
C.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) i jest kobietą (K=1)
M*K =[] =0
bo zbiory M i K są rozłączne
D.
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~M*~K =[] =0
bo zbiory ~M i ~K są rozłączne

Zakodujmy powyższe zdania definicją elementu wspólnego zbiorów:
Kod:

T1
A: M~~>~K= M*~K=1 - człowiek będący mężczyzną może ~~> nie być kobietą
B:~M~~> K=~M* K=1 - człowiek nie będący mężczyzną może ~~> być kobietą
C: M~~> K= M* K=0 - bo zbiory M i K są rozłączne
D:~M~~>~K=~M*~K=0 - bo zbiory ~M i ~K są rozłączne

Wypowiadane zdania możemy dowolnie przestawiać.
Przestawmy je zatem tak aby wejściowa matryca przeczeń była zgodna ze standardem przyjętym w niniejszym podręczniku.
Kod:

T2.
A: M~~> K =0 - bo zbiory M i K są rozłączne
B: M~~>~K =1 - człowiek będący mężczyzną może ~~> nie być kobietą
C:~M~~>~K =0 - bo zbiory ~M i ~K są rozłączne
D:~M~~> K =1 - człowiek nie będący mężczyzną może ~~> być kobietą

Zauważmy, ze definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to linie B i D
M$K = B: M*~K + D: ~M*K

7.9.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „albo”($)

Przejdźmy na zapis formalny podstawiając:
M:=p
K:=q
Nasz diagram zbiorów z użyciem parametrów formalnych p i q:
Kod:

-------------------------------------------------
| p (zbiór mężczyzn)     | q (zbiór kobiet)     |
| p=~q                   | q=~p                 |
-------------------------------------------------
|                     Dziedzina:                |
|                     Y=p+q                     |
-------------------------------------------------

Stąd mamy tabelę T1 w zapisach formalnych (z użyciem p i q):
Kod:

T3
Analiza      |Co w logice
symboliczna  |jedynek oznacza
A: p~~> q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0
B: p~~>~q =1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
C:~p~~>~q =0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0
D:~p~~> q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

Definicja formalna spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = B: p*~q + D: ~p*q
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T3 dla punktu odniesienia:
p$q
Wszystkie zmienne z tabeli T3 musimy sprowadzić do jedynek bo w punkcie odniesienia mamy zmienne niezanegowane p$q.
Potrzebne prawo Prosiaczka to:
(~x=1) = (x=0)
Kodujemy!
Kod:

T4
Analiza      |Co w logice       |Dla punktu        |Zapis tożsamy
symboliczna  |jedynek oznacza   |p$q mamy          |
             |                  |                  | p   q  Y=p$q
A: p~~> q =0 |( p=1)~~>( q=1)=0 |( p=1)~~>( q=1)=0 | 1 $ 1   =0
B: p~~>~q =1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1 $ 0   =1
C:~p~~>~q =0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=0)~~>( q=0)=0 | 0 $ 0   =0
D:~p~~> q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0 $ 1   =1
   a    b  c    d        e    f    g        h    I   1   2    3
                                |Prawa Prosiaczka  |
                                |(~p=1)=( p=0)     |
                                |(~q=1)=( q=0)     |

Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji spójnika „albo”($) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

7.9.2 Spójnik „albo”($) wyrażony warunkami wystarczającym =>

Wróćmy do naszej tabeli T2 w zapisach aktualnych by łatwiej zrozumieć dalszą część wykładu:
Kod:

T2.
A: M~~> K =0 - bo zbiory M i K są rozłączne
B: M~~>~K =1 - człowiek będący mężczyzną może ~~> nie być kobietą
C:~M~~>~K =0 - bo zbiory ~M i ~K są rozłączne
D:~M~~> K =1 - człowiek nie będący mężczyzną może ~~> być kobietą


Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analizujemy tabelę T2 wykorzystując definicję warunku wystarczającego => w zbiorach.
Jedziemy:
1.
Fałszywość kontrprzykładu A:
A: M~~>K =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B.
B: M=>~K =1 - zbiór M jest podzbiorem => ~K, oczywistość z powodu tożsamości zbiorów M=~K
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
2.
Fałszywość kontrprzykładu C:
C: ~M~~>~K =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => D:
D: ~M=>K =1 - zbiór ~M jest podzbiorem => K, oczywistość z powodu tożsamości zbiorów ~M=K
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

Stąd mamy końcową tabelę naszej analizy w warunkach wystarczających.
Kod:

T5.
A: M~~> K =0 - bo zbiory M i K są rozłączne
B: M=> ~K =1 - zbiór M jest podzbiorem => ~K bo M=~K
C:~M~~>~K =0 - bo zbiory ~M i ~K są rozłączne
D:~M=>  K =1 - zbiór ~M jest podzbiorem => K bo ~M=K


7.9.3 Spójnik „albo”($) a równoważność <=>

Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności to:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Podstawiając nasz przykład mamy.

Równoważność M<=>~K dla mężczyzn:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Dla q:=~K mamy:
M<=>~K = (B: M=>~K)*(D: ~M=>~(~K))
M<=>~K = (B: M=>~K)*(D: ~M=>K)
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (B: M=>~K)*(D: ~M=>K) =1*1 =1
Każda równoważność prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów:
M=~K - zbiory tożsame
cnd

Równoważność ~M=>K dla nie mężczyzn:
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K = (B: M=>~K)*(D: ~M=>K) =1*1 =1

Podobnie będzie dla kobiet:

Równoważność K<=>~M dla kobiet:
Człowiek jest kobietą (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest mężczyzną (~M=1)
K<=>~M = (K=>~M)*(~K=>M) =1*1 =1

Równoważność ~K<=>M dla nie kobiet:
Człowiek nie jest kobietą (~K=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest mężczyzną (M=1)
~K<=>M = (K=>~M)*(~K=>M) =1*1 =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 11:42, 29 Lis 2020, w całości zmieniany 35 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:16, 03 Lis 2020    Temat postu:

8.0 Obietnice i groźby

Spis treści
8.0 Obietnice i groźby 1
8.1 Dlaczego pojęcie Boga jest w logice matematycznej bezcenne? 2
8.2 Obietnica 3
8.2.1 Definicja implikacji prostej p|=>q 4
8.2.2 Obietnica Chrystusa 6
8.2.3 Groźba Chrystusa 10
8.2.4 Historyczne zdanie Chrystusa 12
8.3 Obietnica Chrystusa W=>Z a świat martwy P=>CH 15
8.3.1 Matematyczna obsługa obietnicy Chrystusa W=>Z 19
8.3.2 Matematyczna obsługa warunku wystarczającego P=>CH w świecie martwym 22
8.3.3 Idea Apokatastazy w Biblii 24



8.0 Obietnice i groźby

Gdy 15 lat temu po raz pierwszy zapisałem prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
i zrozumiałem sens tych praw dzięki obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
nie mogłem odpuścić, musiałem drążyć logikę matematyczną do skutku tzn. do dnia dzisiejszego.
Od początku byłem pewien, że logika matematyczna obowiązująca w naszym Wszechświecie musi być na poziomie 5-cio letniego dziecka, bowiem wykluczone jest aby dzieciak szedł przez życie na bazie chaosu, czyli każda jego decyzja na TAK/NIE byłaby wynikiem „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Z punktu widzenia zrozumienia logiki matematycznej rządzącej naszym Wszechświatem definicja matematyczna Boga jest bezcenna.

Założenia jakie tu poczyniłem 15 lat temu były następujące:
1.
Logika matematyczna obowiązująca w naszym Wszechświecie musi być identyczna dla Boga i człowieka, inaczej nagroda i kara, niebo i piekło, nie mają sensu.
2.
Bóg nigdy nie kłamie.

Założenie 2 jest tu kluczowe, bowiem człowiek mając większą „wolną wolę” od Boga może kłamać do woli, czyli może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym i matematyce. Wzorzec postepowania, rozstrzyganie co jest dobrem a co złem, wyznacza człowiekowi Bóg który bezwzględnie musi spełniać założenie 2.

8.1 Dlaczego pojęcie Boga jest w logice matematycznej bezcenne?

Rozważmy obietnicę:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
A: Y = E=>K = ~E+K
Najprostsze rozstrzygnięcie czysto matematyczne kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1) jest następujące.

Punkt 1.
Rozstrzygamy kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
W tym celu negujemy tożsamość logiczną A dwustronnie:
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
B.
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1

Punkt 2.
W trzech pozostałych zdarzeniach rozłącznych ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia to:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = E*K =1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
C: Yc = ~E*~K =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostane komputera (~K=1)
lub
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Gdzie:
Ya, Yc, Yd to funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y:
Y = Ya + Yc + Yd
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1

Ostatnie zdanie D: ~E*K to powszechnie znany wśród istot żywych (nie tylko w świecie człowieka) „akt miłości” w stosunku do obietnicy A1: E=>K, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)

Załóżmy teraz że jest po egzaminie i zaszło zdarzenie:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
Jeśli znamy rozwiązanie D to nastąpi śmierć logiki matematycznej związanej z obietnicą A: E=>K.
Oczywiście pozostałe możliwe zdarzenia w przypadku znajomości rozwiązania będą fałszem tzn. po zajściu zdarzenia D mamy:
A: Ya = E*K =1*1 =0 - nie zaszło (=0) zdarzenie A
B: Yb = E*~K =1*1 =0 - nie zaszło (=0) zdarzenie B
C: Yc = ~E*~K = 1*1 =0 - nie zaszło (=0) zdarzenie C

Jak widzimy w dowolnej obietnicy przy znajomości rozwiązania logika matematyczne popełnia seppuku, czyli w temacie zdania A: E=>K logika nie jest nam potrzebna bo znamy prawdę absolutną:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
… a żadna logika nie ma prawa zmieniać zaistniałej prawdy absolutnej.

Oczywiście jeśli jest po egzaminie A: E=>K i nie znamy rozwiązania, to logika matematyczna dalej wyśmienicie działa, tylko w czasie przeszłym np. poszukiwanie nieznanego mordercy.

Weźmy teraz obietnicę Chrystusa:
A.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja warunku wystarczającego =>:
Y = W=>Z = ~W+Z
Identycznie jak w obietnicy wyżej rozstrzygamy kiedy Chrystus skłamie negując dwustronnie powyższe równanie:
~Y = ~(W=>Z) = ~(~W+Z) = W*~Z - prawo De Morgana
stąd mamy odpowiedź:
Chrystus skłamie wtedy i tylko wtedy gdy wierzącego w niego człowieka pośle do piekła (nie zbawi).

O tym co zrobi Bóg dowiemy się po śmierci, czyli żaden ziemianin nie zna rozwiązania i tu, na ziemi, nigdy znał nie będzie.
Wobec nieznajomości rozwiązania logika matematyczna związana z obietnicą Chrystusa A: W=>Z w naszym Wszechświecie nigdy nie umrze.
Dokładnie dlatego pojęcie Boga jest w logice matematycznej bezcenne.

Dygresja:
Zauważmy, że człowiek wypowiadając identyczną obietnicę jak Chrystus może tu kłamać do woli.
Przykład:
Oszust metodą na wnuczka:
Babciu, twój wnuczek został ciężko ranny w wypadku samochodowym.
Jeśli przyniesiesz z banku 10tys to zoperuje go najlepszy chirurg w Warszawie.

8.2 Obietnica

[link widoczny dla zalogowanych]
Biblia Tysiąclecia napisał:

Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony; a kto nie uwierzy, będzie potępiony
MK16

Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Kara:
potępiony = nie zbawiony = piekło
Nagroda:
zbawiony = niebo
stąd:

Zdanie logicznie tożsame:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony

Zajmijmy się pierwszą częścią zdania:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =?

Definicja obietnicy:
A1.
Jeśli dowolny warunek (W=1) to nagroda (N=1)
W=>N =1
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Na mocy definicji nic a nic nie musimy tu udowadniać, wszystko mamy rozstrzygnięte na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

8.2.1 Definicja implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.

Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
      AB12:                  AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Stąd mamy:
Na mocy definicji zachodzi tożsamość logiczna <=>:
Implikacja prosta p|=>q=~p*q <=> implikacja odwrotna ~p|~>~q = ~p*q

Zauważmy, że implikacja odwrotna ~p|~>~q zachodzi w kolumnie A2B2 w tabeli T2.
Dowód:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
A2: ~p~>~q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
B2: ~p=>~q =0 - warunek wystarczający => między tymi samymi punktami nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = 1*~(0) = 1*1 =1


8.2.2 Obietnica Chrystusa

Definicja obietnicy:
A1.
Jeśli dowolny warunek (W=1) to nagroda (N=1)
W=>N =1
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Chrystus wypowiada obietnicę:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Boga (W=1) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z=1)

Zdanie A1 to obietnica będąca częścią implikacji prostej W|=>Z na mocy definicji obietnicy.
Podstawmy w tabeli T2 pod parametry formalne p i q parametry aktualne W i Z z naszego zdania A1.
Podstawiamy:
p=W (wierzy)
q=Z (zbawiony)
Stąd mamy tabelę T3 matematycznych związków między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> z naniesionymi parametrami aktualnymi W i Z.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w W|=>Z
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 =                [=]             = 4:~Z~~>W =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~W~~>Z=1     [=] 3: Z~~>~W=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    W|=>Z=~W*Z  = ~W|~>~Z=~W*Z   [=]  Z|~>W=Z*~W = ~Z|=>~W=Z*~W
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: W~~>~Z=W*~Z=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~W~~>Z =~W*Z=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Obsługę obietnicy W=>Z w czasie przyszłym mamy tu wyłącznie w części AB12.
Część AB34 to obsługa obietnicy W=>Z w czasie przeszłym, tą częścią tabeli zajmiemy się za chwilę, po zrozumieniu części AB12.

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony dokładnie czterema zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” które uwzględniają wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Aksjomatyczną definicję implikacji prostej W|=>Z z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku wystarczającego => mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.

Definicja implikacji prostej W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2.
Odpowiedź na te pytania mamy w obszarze AB12.
1.
Co się stanie z człowiekiem który wierzy (W=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1, to zdania A1 i A1’
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Kto wierzy w Boga na 100% => zostanie zbawiony z powodu wiary w Boga.
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’
Kto wierzy we mnie może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: człowiek wierzy (W=1) i nie zostaje zbawiony (~Z=1).
Wykluczone jest (=0) aby Bóg, wierzącego w niego człowieka nie zbawił.
Zauważmy, że człowiek w swoich obietnicach typu A1 ma prawo do kłamstwa (oszuści z tego korzystają), czyli może ustawić jedynkę w zdaniu A1’. Bóg nie prawa do kłamstwa, czyli nie ma prawa ustawić w zdaniu A1’ logicznej jedynki, z czego wynika że ma mniejszą „wolną wolę” od człowieka.

2.
Co się stanie z człowiekiem który nie wierzy (~W=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2, to zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Człowiek do Chrystusa:
… a jak kto nie wierzy Panie?
Chrystus:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Boga (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
LUB
B2’
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: człowiek nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1)
Taką możliwość mamy na mocy definicji obietnicy W=>Z wchodzącej w skład implikacji prostej W|=>Z, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Zdanie B2’ to piękny akt miłości z punktu widzenia obietnicy A1: W=>Z.
Na mocy zdania B2’ Bóg ma możliwość zbawienia nie wierzącego w niego człowieka i matematycznym kłamcą nie jest.
To jest „akt miłości”, czyli prawo do wręczenia nagrody (zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie wierzył).
Zdanie B2’ to również „akt łaski” w stosunku do groźby A2: ~W~>~Z.:
Jeśli człowiek spełni warunek kary (nie wierzy: ~W=1) to Chrystus ma prawo darować karę zależną od niego, czyli mimo wszystko zbawić nieszczęśnika (Z=1).
„Akt miłości” i „akt łaski” to powszechnie znane prawa logiki matematycznej nie tylko wśród ludzi, ale także wśród zwierząt.
W groźbie nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego:

Przykład 1:
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

Przykład 2:
Jan Paweł II i Ali Agca
Zauważmy, że prywatnie JPII wybaczył Ali Agcy zamach na swoje życie, nie ma jednak prawa do zmiany ustawodawstwa które za taki czyn karze więzieniem, bez względu na to czy poszkodowany wybaczył zamachowcowi, czy nie wybaczył.

Podsumowanie:
Mamy obietnicę Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1

Przypadek 1.
Zauważmy, że wypowiadając obietnicę A1 Chrystus pozbawia się „wolnej woli” w sensie absolutnym (wszystko może się zdarzyć) bowiem wierzącego w niego człowieka musi wpuścić do nieba - nie może posłać do piekła.
Zauważmy jednak, że „wolnej woli” w sensie absolutnym (wszystko może się zdarzyć) Chrystus pozbawił się dobrowolnie wypowiadając obietnicę A1.
Nie ma tu zatem mowy o ograniczeniu rzeczywistej „wolnej woli” Chrystusa.

Przypadek 2.
… a jak kto nie wierzy Panie?
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Boga (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
LUB
B2’
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest zdarzenie: człowiek nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1).
Zauważmy, że w przypadku człowieka nie wierzącego (~W=1) Chrystus nie ma szans na matematyczne kłamstwo.
Cokolwiek nie zrobi to nie skłamie.
Innymi słowy:
Nie wierzącego w niego człowieka może posłać do piekła na mocy zdania A2 (wtedy prawdziwe będzie zdanie A2 i fałszywe B2’) albo posłać do nieba na mocy zdania B2’ (tu prawdziwe będzie zdanie B2’ i fałszywe A2)
W skrajnym przypadku Chrystus może zbawić wszystkich ludzi (nawet Hitlera) i nie będzie matematycznym kłamcą. W tym przypadku zdanie B2’ będzie prawdą absolutną (zbawieni wszyscy) natomiast zdanie A2 będzie fałszem absolutnym (nie ma nikogo w piekle)

Wiedzą o tym filozofowie, wystarczy kliknąć na googlach:
powszechne zbawienie
Wyników: 601 000
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]

Na zakończenie zauważmy, że groźba B2’ może być wypowiedziana w dowolnie ostrej formie na przykład tak:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) na 100% ~> nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Na mocy definicji dowolną groźbę musimy kodować warunkiem koniecznym ~> A2 z możliwością darowania kary w zdaniu B2’.
Nawet osławiony „grzech przeciwko Duchowi Świętemu” również musimy kodować warunkiem koniecznym A2: ~W~>~Z wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z, czyli z prawem Chrystusa do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Chrystus ma prawo wybaczyć niewierzącemu także grzech przeciwko Duchowi Świętemu, inaczej „wolna wola” Chrystusa, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego, leży w gruzach.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję groźby.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Tu nic a nic nie musimy udowadniać. W groźbie mamy zdeterminowaną serię czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.


8.2.3 Groźba Chrystusa

Ogólną definicję groźby wyprowadziliśmy ciut wyżej.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Załóżmy, że Chrystus wypowiada zdanie:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak zbawienia to kara, zatem zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym A2:~W~>~Z wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.
Brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia, ale nie wystarczającym => bo Chrystus, identycznie jak człowiek, ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego zdaniem B2’.
LUB
B2’
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Zauważmy, że w przypadku człowieka nie wierzącego (~W=1) Chrystus nie ma szans na matematyczne kłamstwo - może człowiek nie zbawić na mocy zdania A2 albo może go zbawić na mocy zdania B2’.
Cokolwiek nie zrobi to nie skłamie.

.. a jak kto wierzy Panie?
Prawo Kubusia:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>S
stąd:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Kto wierzy w Boga na 100% => zostanie zbawiony z powodu wiary w Boga.
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’
Kto wierzy we mnie może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: człowiek wierzy (W=1) i nie zostaje zbawiony (~Z=1)
Wykluczone jest (=0) aby Bóg, wierzącego w niego człowieka nie zbawił.

Podsumowanie:
Groźba Chrystusa:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Każda groźba, na mocy definicji jest częścią implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.

Definicja implikacji odwrotnej ~W|~>~Z:
Implikacja odwrotna ~W|~>~Z to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
B2: ~W=>~Z =0 - brak wiary nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia
bo zarówno Chrystus, jak i człowiek mają prawo do darowania dowolnej kary
zależnej od nadawcy - na mocy definicji groźby.
Stąd mamy implikację odwrotną ~W|~>~Z w równaniu logicznym:
~W|~>~Z = (A2: ~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z) = 1*~(0) = 1*1 =1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> implikacji:
Implikacja prosta W|=>Z =~W*Z <=> Implikacja odwrotna ~W|~>~Z = ~W*Z

Z powyższego wynika że implikacja odwrotna ~W|~>~Z będzie opisana identyczną tabelą związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> jak implikacja prosta W|=>Z.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w ~W|~>~Z
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 =                [=]             = 4:~Z~~>W =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~W~~>Z=1     [=] 3: Z~~>~W=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    W|=>Z=~W*Z  = ~W|~>~Z=~W*Z   [=]  Z|~>W=Z*~W = ~Z|=>~W=Z*~W
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: W~~>~Z=W*~Z=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~W~~>Z =~W*Z=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Podsumowanie:
Kod:

T4
AB12 - implikacja prosta W|=>Z
Implikacja prosta W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie z wierzącymi (W=1)?
A1:  W=>Z =1  - kto wierzy (W=1) ma gwarancję => zbawienia (Z=1)
A1’: W~~>~Z=0 - zakaz posyłania wierzących (W=1) do piekła (~Z=1)
2.
Co się stanie z niewierzącymi (~W=1)?
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
                Bóg może ~> umieścić niewierzącego w piekle
LUB
B2’:~W~~>Z =1 - prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy
                Bóg może ~~> wybaczyć brak wiary (~W=1) i wpuścić do nieba

Kod:

T5
AB12 - implikacja odwrotna ~W|~>~Z
Implikacja odwrotna to odpowiedź na dwa pytania 2 i 1:
2.
Co się stanie z niewierzącymi (~W=1)?
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
                Bóg może ~> umieścić niewierzącego w piekle
LUB
B2’:~W~~>Z =1 - prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy
                Bóg może ~~> wybaczyć brak wiary (~W=1) i wpuścić do nieba
1.
Co się stanie z wierzącymi (W=1)?
A1:  W=>Z =1  - kto wierzy (W=1) ma gwarancję => zbawienia (Z=1)
A1’: W~~>~Z=0 - zakaz posyłania wierzących (W=1) do piekła (~Z=1)

Doskonale widać, że zdania warunkowe A1, A1’, A2 i B2’ w tabelach T4 i T5 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Matematycznie, zdania w tabelach T4 i T5 możemy wypowiadać w dowolnej (losowej) kolejności, to bez znaczenia.
Wynika z tego że implikacja prosta W|=>Z jest tożsama z implikacją odwrotną ~W|~>~Z co potwierdzają prawa rachunku zero-jedynkowego:
Implikacja prosta W|=>Z=~W*Z <=> implikacja odwrotna ~W|~>~Z = ~W*Z
cnd

8.2.4 Historyczne zdanie Chrystusa

Historyczne zdanie Chrystusa to połącznie w jedynym zdaniu obietnicy W=>Z i groźby ~W~>~Z

Weźmy na tapetę to historyczne zdanie:
[link widoczny dla zalogowanych]
Biblia Tysiąclecia napisał:

Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony; a kto nie uwierzy, będzie potępiony
MK16

Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Kara:
potępiony = nie zbawiony = piekło
Nagroda:
zbawiony = niebo
stąd:

Zdanie logicznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1

Wyjaśnienie:
I.
Pierwsza część zdania to obietnica którą musimy kodować warunkiem wystarczającym =>:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
II.
Druga część zdania to groźba którą musimy kodować warunkiem koniecznym ~>:
A2.
Kto nie wierzy we mnie, nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1 - brak wiary (W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)
bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~W~>~Z = A1: W=>Z

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Na mocy definicji tożsamości logicznej Chrystus może wypowiedzieć dowolne zdanie wchodzące w skład prawa Kubusia, to wystarczy, bowiem prawdziwość jednego determinuje prawdziwość drugiego.
A1: W=>Z =1 - warunek wystarczający ~> wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z
A2: ~W~>~Z=1 - warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z

Nic też nie stoi na przeszkodzie, by wypowiedzieć oba zdania jednocześnie jak to zrobił Chrystus:
A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1

Zauważmy, że w prawie Kubusia po stronie A1: W=>Z mamy niebo (=zbawiony) natomiast po stronie A2: ~W~>~Z mamy piekło (nie zbawiony)

Relacja matematyczna wiążąca niebo (zbawiony: Z=1) i piekło (nie zbawiony: ~Z=1) to relacja spójnika logicznego „albo”($) z języka potocznego człowieka.
NAP:
Po śmierci dowolny człowiek może trafić do nieba albo do piekła (trzeciej możliwości brak)
N$P =1
Zdanie logicznie tożsame:
Po śmierci dowolny człowiek może zostać zbawiony (Z=1) albo nie zostać zbawiony (~Z=1)
Z$~Z =1
Sprawdźmy czy to zdanie spełnia definicję spójnika „albo”($).
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Z
q=~Z
Stąd mamy:
Z$~Z = Z*~(~Z) + ~(Z)*(~Z) = Z*Z + ~Z*~Z = Z+~Z =1
Oczywistym jest że relacja równoważności między niebem (Z=1) a piekłem (~Z=1) musi być fałszem.
Definicja równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Z
q=~Z
Stąd mamy:
Z<=>~Z = Z*~Z + ~(Z)*~(~Z) = Z*~Z + ~Z*Z = [] + [] =[] =0
gdzie:
[] - zbiór pusty, bo piekło i niebo są rozłączne

Analiza zdania złożonego A1A2:

A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1

Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Na mocy prawa Kubusia ze zdania A1A2 możemy wyrugować zdanie A2:~W~>~Z:
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A1: W=>Z)*(A1: W=>Z) = A1: W=>Z
Wynika z tego, że zdanie tożsame do zdania A1A2 brzmi:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia

Podobnie:
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Na mocy prawa Kubusia ze zdania A1A2 możemy wyrugować zdanie A1: W=>Z:
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A2:~W~>~Z)*(A2:~W~>~Z) = A2: ~W~>~Z
Wynika z tego, że zdanie tożsame do zdania A1A2 brzmi:
A2.
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1 - brak wiary jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość logiczna zdań:
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z) = A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
to samo w zapisie formalnym:
W=p
Z=q
A1A2: (A1: p=>q)*(A2:~p~>~q) = A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Dowód zachodzących tożsamości logicznych w rachunku zero-jedynkowym:

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
A2: ~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = A1: p=>q
A2: ~W~>~Z = ~W+~(~Z) = ~W+Z = A1: W=>Z
cnd
oraz:
A1A2: (A1: p=>q)*(A2:~p~>~q) = (A1: p=>q)*(A1: p=>q) = A1: p=>q = ~p+q

Historyczne wnioski:

Jest kompletnie bez znaczenia które ze zdań wypowie Chrystus A1A2, A1 czy też A2 bowiem te zdania są logicznie tożsame.
A1A2:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) =1*1 =1

A1A2 = A1
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia

A1A2=A1=A2
A2.
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1 - brak wiary jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia

Bez względu które ze zdań wypowie Chrystus to końcowy skutek w postaci czterech zdań warunkowych A1, A1’, A2 i B2’ wchodzących w skład implikacji prostej W|=>Z będzie identyczny.

Podsumowanie:
Kod:

T4
Obietnica Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Na mocy definicji:
Obietnica to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład
implikacji prostej W|=>Z
AB12:
Definicja implikacji prostej W|=>Z:
Implikacja prosta W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie z wierzącymi (W=1)?
A1:  W=>Z =1  - kto wierzy (W=1) ma gwarancję => zbawienia (Z=1)
A1’: W~~>~Z=0 - zakaz posyłania wierzących (W=1) do piekła (~Z=1)
2.
Co się stanie z niewierzącymi (~W=1)?
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia
                Bóg może ~> umieścić niewierzącego w piekle
LUB
B2’:~W~~>Z =1 - prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy
                Bóg może ~~> wybaczyć brak wiary (~W=1) i wpuścić do nieba


8.3 Obietnica Chrystusa W=>Z a świat martwy P=>CH

Definicja obietnicy:
A1.
Jeśli dowolny warunek (W=1) to nagroda (N=1)
W=>N =1
Na mocy definicji, obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Tu nic a nic nie musimy udowadniać.

Obietnica Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Boga (W=1) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z=1)
Na mocy definicji, obietnica Chrystusa to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z
Tu nic a nic nie musimy udowadniać.

Bardzo ciekawym będzie porównanie matematycznej obsługi obietnicy Chrystusa W=>Z z matematyczną obsługą warunku wystarczającego P=>CH wchodzącego w skład implikacji prostej P|=>CH rodem ze świata martwego.

Pani w przedszkolu:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Oczywistość dla każdego 5-cio latka

Zbadajmy warunek konieczny B1: P~>CH między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo chmury mogą istnieć, mimo że nie pada.
Oczywistość dla każdego 5-cio latka

Wniosek:
Warunek wystarczający A1: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH.

Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
bo zawsze gdy pada (P=1), są chmury (CH=1)
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
bo chmury mogą istnieć (CH=1) bez padania (~P=1)

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mim to są to zdania różne na mocy definicji ##. Różność tych zdań rozpoznajemy po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść zdania.

Matematycznie zachodzi:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Po raz n-ty mamy tu wyprowadzone prawo Kameleona

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Prawo Kameleona to uderzenie w fundament wszelkich logik matematycznych ziemskich matematyków gdzie na mocy dogmatu przyjmuje się, iż dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.
Zwykle tak jest, ale nie zawsze, co pokazuje znaleziony kontrprzykład.
Wniosek:
Miejsce wszelkich logik matematycznych ziemskich matematyków jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.

Zacznijmy od teorii ogólnej implikacji prostej p|=>q.

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia.

Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q:
      AB12:                  AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy:
Na mocy definicji zachodzi tożsamość logiczna <=>:
Implikacja prosta p|=>q=~p*q <=> implikacja odwrotna ~p|~>~q = ~p*q

Zauważmy, że implikacja odwrotna ~p|~>~q zachodzi w kolumnie A2B2 w tabeli T2.
Dowód:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
A2: ~p~>~q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
B2: ~p=>~q =0 - warunek wystarczający => między tymi samymi punktami nie jest (=0) spełniony
Stąd mamy:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = 1*~(0) = 1*1 =1


8.3.1 Matematyczna obsługa obietnicy Chrystusa W=>Z

Definicja obietnicy:
A1.
Jeśli dowolny warunek (W=1) to nagroda (N=1)
W=>N =1
Na mocy definicji, obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Tu nic a nic nie musimy udowadniać.

Chrystus wypowiada obietnicę:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Boga (W=1) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z=1)

Zdanie A1 to obietnica będąca częścią implikacji prostej W|=>Z na mocy definicji obietnicy.
Podstawmy w tabeli T2 pod parametry formalne p i q parametry aktualne W i Z z naszego zdania A1.
Podstawiamy:
p=W (wierzy)
q=Z (zbawiony)
Stąd mamy tabelę T3 matematycznych związków między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> w implikacji prostej W|=>Z z naniesionymi parametrami aktualnymi W i Z.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w W|=>Z
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 =                [=]             = 4:~Z~~>W =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~W~~>Z=1     [=] 3: Z~~>~W=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    W|=>Z=~W*Z  = ~W|~>~Z=~W*Z   [=]  Z|~>W=Z*~W = ~Z|=>~W=Z*~W
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: W~~>~Z=W*~Z=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~W~~>Z =~W*Z=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Obsługę obietnicy W=>Z w czasie przyszłym mamy tu wyłącznie w części AB12.

Operator implikacji prostej W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie z wierzącymi (W=1)?

Kolumna AB1
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia na mocy definicji obietnicy W|=>Z.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) może ~~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
W~~>~Z =W*~Z =0
Nie może się zdarzyć (=0), że Chrystus wierzącego w Niego człowieka nie zbawi (pośle do piekła).

2.
Co się stanie z niewierzącymi (~W=1)?

Kolumna AB2
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
stąd:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Zauważmy, że ostrość wypowiedzenia groźby jest tu kompletnie bez znaczenia.
Groźbę A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary w zdaniu B2’.
Gdybyśmy groźbę A2 zakodowali warunkiem wystarczającym B2: ~W=>~Z prawdziwym, jak to robią ziemscy matematycy, to zgwałcilibyśmy definicję obietnicy bowiem wtedy obietnica Chrystusa byłaby częścią równoważności:
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B2: ~W=>~Z) =1*1 =1
a nie częścią implikacji prostej W|=>Z:
W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B2: ~W=>~Z) = 1*~(0) =1*1 =1
W kolumnie AB2 widzimy, że warunek że warunek wystarczający B2 jest fałszem:
B2: ~W=>~Z =0 - brak wiary w Chrystusa nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia (pójścia do piekła) bo Chrystus ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od Niego:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Fałszywość warunku wystarczającego B2, wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = W*~Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: człowiek nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1)

Zdanie B2’ to akt miłości w stosunku do obietnicy A1: W=>Z, czyli prawo do wręczenia nagrody (Z = zbawienie = niebo) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (~W - nie wierzył)
Zdanie B2’ to również akt łaski w odniesieniu do groźby B2, czyli prawo do wręczenia nagrody (Z = zbawienie = niebo) mimo że odbiorca spełnił warunek groźby (~W = nie wierzył)
Matematycznie nadawca ma tu prawo darować dowolną karę zależną od niego.
Przykład:
JPII prywatnie wybaczył Ali Agcy zamach na swoje życie, ale nie mógł ingerować w prawo karne które za taki czyn przewiduje więzienie.

Podsumowanie:

Analizowany warunek wystarczający w świecie żywym:
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia.

Na mocy analizy matematycznej warunku wystarczającego A1: W=>Z przez wszystkie możliwe przeczenia W i Z możemy zapisać iż:
1.
Wszyscy wierzący w Chrystusa mają gwarancję matematyczną => zbawienia - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
2.
Natomiast w stosunku do niewierzących mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
A2.
Kto nie wierzy we mnie, ten nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1
Niewierzącego Chrystus może ~> posłać do piekła
LUB
B2’.
Kto nie wierzy we mnie może ~~> zostać zbawiony
~W~~>Z = ~W*Z =1
Niewierzącego Chrystus może posłać do nieba (zbawić)

Definicja implikacji prostej W|=>Z to wszystkie cztery zdania A1, A1’, A2, B2’.

Teoretycznie w przypadku niewierzącego Chrystus może sobie wyjąć monetę i rzucać:
reszka - niewierzący X do piekła
orzełek - niewierzący Y do nieba
.. i nie ma najmniejszych szans na zostanie matematycznym kłamcą.

Gdyby Chrystus rzeczywiście wyjął monetę i rzucał (co ma prawo zrobić), to wówczas niczym nie różniłby się od świata martwego gdzie w implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
Jednak zarówno Chrystus, jak i cały świat żywy ma „wolną wolę” co oznacza istnienie jakiegoś wewnętrznego kryterium nadawcy w myśl którego wypowiadając groźbę może przy spełnionym warunku groźby przez odbiorcę wykonać karę lub ją darować (akt łaski).
Wśród ludzi wszystko zależy od charakteru człowieka.
Jeden rodzic może wyznawać ideę wychowywania swojego potomka przez karanie, czyli wypowiadając groźbę z reguły wykona karę o ile odbiorca spełni warunek kary.
Inny rodzić może wyznawać ideę wychowywania potomka możliwie bez karania, czyli w większości przypadków wypowiadając groźbę daruje karę stosując akt łaski - oczywiście matematycznym kłamcą nie będzie.

8.3.2 Matematyczna obsługa warunku wystarczającego P=>CH w świecie martwym

Przenieśmy się teraz do świata martwego.

Pani w przedszkolu:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Oczywistość dla każdego 5-cio latka

Zbadajmy warunek konieczny B1: P~>CH między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo chmury mogą istnieć, mimo że nie pada.
Oczywistość dla każdego 5-cio latka

Wniosek:
Warunek wystarczający A1: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH.

Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
bo zawsze gdy pada (P=1), są chmury (CH=1)
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
bo chmury mogą istnieć (CH=1) bez padania (~P=1)

Nanieśmy zmienne aktualne z warunku wystarczającego A1: P=>CH do definicji implikacji prostej P|=>CH wyrażonej warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
       AB12:                       |     AB34:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1  = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]               = 4:~CH~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0  = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
  p|=>q=~p*q     = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p  = ~q|=>~p=q*~p
  P|=>CH=~P*CH   = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~CH=P*~CH=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~CH=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>CH =~P*CH=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aksjomatyczną definicję implikacji prostej P|=>CH z której wynika tabela zero-jedynkowa warunku wystarczającego => mamy w obszarze AB12.

Operator implikacji prostej P|=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Kolumna AB1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

2.
Co się stanie jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Kolumna AB2
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH
stąd:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH - mając udowodnione A1 nie musimy dowodzić A2
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH+1)

Podsumowanie analizy implikacji prostej P|=>CH ze świata martwego:

Analizowany warunek wystarczający => w świecie martwym:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

Na mocy analizy matematycznej warunku wystarczającego A1: P=>CH przez wszystkie możliwe przeczenia P i CH możemy zapisać iż:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1) - mówi o tym zdanie A1.
Natomiast:
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów jest konieczny ~> do tego aby jutro nie było pochmurno, bo jak pada to na 100% => są chmury
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Definicja implikacji prostej P|=>CH to wszystkie cztery zdania A1, A1’, A2, B2’.
Zdanie A1 to warunek wystarczający A1: P=>CH wchodzący w skład implikacji prostej P|=>CH.
Na mocy definicji zachodzi:
Warunek wystarczający A1: P=>CH = ~P+CH ## Implikacja prosta: P|=>CH = ~P*CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


8.3.3 Idea Apokatastazy w Biblii

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Groźba Chrystusa z Biblii:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) nie zostanie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak zbawienia to kara, zatem zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym A2:~W~>~Z wchodzącym w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.
Brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia, ale nie wystarczającym => bo Chrystus, identycznie jak człowiek, ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego zdaniem B2’.
LUB
B2’
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Zauważmy, że w przypadku człowieka niewierzącego (~W=1) Chrystus nie ma szans na matematyczne kłamstwo - może takiego człowieka nie zbawić na mocy zdania A2 albo może go zbawić na mocy zdania B2’.
Cokolwiek nie zrobi to nie skłamie.
W skrajnym przypadku piekło może być puste i Chrystus nie będzie kłamcą - może, nie oznacza musi.
Stąd:
Idea powszechnego zbawienia jest matematycznie możliwa:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Apokatastaza (od gr. apokatastasis) czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) - końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.


Uwaga:
Nadawca (tu Chrystus) ma prawo wypowiedzieć groźbę A2 w dowolnie ostrej formie. Matematycznie groźbę taką musimy kodować warunkiem koniecznym ~> nawet gdy będzie to osławiony grzech przeciwko Duchowi Św.

[link widoczny dla zalogowanych]
Biblia Tysiąclecia napisał:

Dlatego powiadam wam: Każdy grzech i bluźnierstwo będą odpuszczone ludziom, ale bluźnierstwo przeciwko Duchowi nie będzie odpuszczone. Jeśli ktoś powie słowo przeciw Synowi Człowieczemu, będzie mu odpuszczone, lecz jeśli powie przeciw Duchowi Świętemu, nie będzie mu odpuszczone ani w tym wieku, ani w przyszłym
Mt 12,31-32

Zauważmy, że pierwsza część cytowanego fragmentu Biblii to ewidentna obietnica:
A1.
Każdy grzech i bluźnierstwo będą odpuszczone ludziom
G*B => OL =1
Każdy grzech i bluźnierstwo na 100% => będą odpuszczone ludziom
Dobrowolnych obietnic Chrystus musi dotrzymywać, bo z definicji nie ma prawa do kłamstwa.
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Każdy grzech i bluźnierstwo może ~~> nie zostać odpuszczone ludziom
(G*B)~~>~OL = (G*B)*~OL =0
Zauważmy, że gdyby Chrystus ustawił tu jedynkę byłby kłamcą, co jest niemożliwe bo Chrystus z definicji nie ma prawa do kłamstwa.

Obietnica A1 to nic innego jak ogłoszenie przez Chrystusa Apokatastazy.
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Apokatastaza (od gr. apokatastasis) czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) - końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.


Matematycznie nic nie stoi na przeszkodzie, aby piekło było puste, bowiem Chrystus nie będzie w tym przypadku kłamcą.

Właściwy grzech przeciwko Duchowi Św. jest w drugiej części cytatu:
A2.
Jeśli człowiek powie przeciw Duchowi Świętemu, nie będzie mu odpuszczone ani w tym wieku, ani w przyszłym
p~>q =1
Gdzie:
Jeśli
p = człowiek powie przeciwko Duchowi Św
to
q = nie będzie mu odpuszczone ani w tym wieku, ani w przyszłym

Zdanie A2 to ewidentna groźba którą musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary przez Chrystusa, inaczej definicja groźby leży w gruzach.
Zauważmy, że „definicja groźby leży w gruzach” oznacza automatycznie iż definicja „wolnej woli” Chrystusa (prawo do darowania dowolnej kary) leży w gruzach.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 9:33, 26 Lis 2020, w całości zmieniany 19 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 22:36, 12 Lis 2020    Temat postu:

Spis treści
8.4 Definicje „wolnej woli” 1
8.5 Bóg mieszka w nas 2
8.5.1 Analiza implikacji prostej P|=>CH ze świata martwego 2
8.5.2 Analiza implikacji prostej W|=>Z ze świata żywego 3
8.6 Prawo transformacji 5
8.6.1 Prawo transformacji w obietnicy Chrystusa 7
8.7 Klasyka obietnicy 10
8.7.1 Rozstrzygnięcia w obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 13
8.7.2 Obietnica w równaniach logicznych 14
8.8 Klasyka groźby 17
8.8.1 Rozstrzygnięcia w groźbie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 20
8.8.2 Groźba w równaniach logicznych 22
8.9 Rodzaje obietnic 23





8.4 Definicje „wolnej woli”

Definicja „wolnej woli” w sensie absolutnym:
Wolna wola w sensie absolutnym to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej rodem ze świata martwego i matematyki.

1.
Wolną wolę w sensie absolutnym mają wszelkie istoty żywe - prawo do kłamstwa.
Przykład:
Oszust metodą na wnuczka:
Babciu, twój wnuczek uległ poważnemu wypadkowi samochodowemu
Jeśli dasz 10tys to zoperuje go najlepszy chirurg w mieście
D10=>NCH =1
Matematycznie mamy tak:
Wręczenie 10tys jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby wnuczek był operowany przez najlepszego chirurga w mieście.
Łatwowierna babcia da się oszukać, jeśli jej mózg bezkrytycznie przyjmie obietnicę oszusta za prawdę.
Każde udane oszustwo musi być tak skonstruowane, by odbiorca nie domyślił się że jest oszukiwany.
Przykładem jednego z największych oszustów jest Madoff, który przy pomocy piramidy Madoffa wyłudził od swoich klientów 35mld USD.
[link widoczny dla zalogowanych]

2.
Wolnej woli w sensie absolutnym nie ma Chrystus, bowiem z definicji nie ma prawa kłamać.
Dowód.
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Bóg z definicji nie ma prawa do kłamstwa.
Wynika z tego, że nie ma prawa być oszustem opisanym wyżej, czyli nie ma prawa wierzącego w niego człowieka posłać do piekła (nie zbawić)
Dokładnie dlatego pojęcie Boga jest w logice matematycznej bezcenne.
Zauważmy, że Chrystus dobrowolnie pozbył się „wolnej woli” w sensie absolutnym wypowiadając obietnicę A1, zatem nie ma tu mowy o ograniczeniu rzeczywistej wolnej woli Chrystusa.

Definicja matematycznej „wolnej woli” w świecie żywym:
Matematyczna „wolna wola” w świecie żywym to świadomy wybór (z uzasadnieniem) jednej z dwóch opcji matematycznie dostępnych.

Definicja matematycznego „rzucania monetą” w świecie martwym:
Matematyczne „rzucanie monetą” w świecie martwym to losowy wybór jednej z dwóch opcji, matematycznie dostępnych.
Świat martwy nie ma „wolnej woli”, bo nie wybiera świadomie (z uzasadnieniem) jednej z dwóch opcji, matematycznie dostępnych.


8.5 Bóg mieszka w nas

Bardzo ciekawe jest porównanie:
1.
Obsługi implikacji prostej P|=>CH w świecie martwym na przykładzie warunku wystarczającego:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
oraz:
2.
Obsługi implikacji prostej W|=>Z w świecie żywym na przykładzie obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie to na 100% => będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia

8.5.1 Analiza implikacji prostej P|=>CH ze świata martwego

Weźmy najprostszą implikację prostą P|=>CH rodem ze świata martwego pozbawionego „wolnej woli”.

Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur

Operator implikacji prostej P|=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
Podsumowanie:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1) - mówi o tym zdanie A1.

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” tzn. może być prawdziwe zdanie A2 albo B2’ (rzucanie monetą), trzeciej możliwości brak (tertium non datur)
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest konieczny ~> do tego aby jutro nie było pochmurno (~CH=1), bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Definicja implikacji prostej P|=>CH to wszystkie cztery, rozłączne zdarzenia A1, A1’, A2, B2’.
Zdanie A1 to warunek wystarczający A1: P=>CH wchodzący w skład implikacji prostej P|=>CH.
Na mocy definicji zachodzi:
Warunek wystarczający A1: P=>CH = ~P+CH ## Implikacja prosta: P|=>CH = ~P*CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

8.5.2 Analiza implikacji prostej W|=>Z ze świata żywego

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek (W=1) to nagroda (N=1)
W=>N =1
Spełnienie warunku nagrody (W=1) jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania nagrody (N=1)
Na mocy definicji, dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Weźmy obietnicę Chrystusa:
A1.
Kto wierzy (W=1) we mnie będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Na mocy definicji dowolna obietnica to warunek wystarczający A1: W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z.

Szablon obsługi implikacji prostej P|=>CH w świeci martwym mamy wyżej.
Jeśli powiedzie nam się akcja skopiowania implikacji prostej W|=>Z ze świata żywego do szablonu implikacji prostej ze świata martwego P|=>CH, to otrzymamy zaskakującą tożsamość czysto matematyczną.

Logika matematyczna Chrystusa = logika matematyczna rządząca światem martwym

Innymi słowy:
Bóg jest w każdym z nas, bo logikę matematyczną rządzącą światem martwym każdy 5-cio latek ma w małym paluszku, na przykładach odpowiednich dla niego, choćby ten o padaniu i chmurce omówiony wyżej.

Niniejszym kopiuję szablon implikacji prostej P|=>CH niżej zastępują zdania o chmurce i deszczu, zdaniami o wierze w Chrystusa i zbawieniu.

Rozważmy obietnicę Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia.
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Operator implikacji prostej W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się stać z wierzącymi (W=1)?
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia.
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Kto wierzy we mnie (W=1) może ~~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: człowiek wierzy (W=1) i nie zostaje zbawiony (~Z=1), bo Chrystus z definicji nie ma prawa kłamać.
Podsumowanie:
Wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną => zbawienia - mówi o tym zdanie A1.

2.
Co może się stać z niewierzącymi (~W=1)?

W przypadku niewierzących (~W=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” tzn. Chrystus może niewierzącego nie zbawić (na mocy zdania A2) albo zbawić (na mocy zdania B2’), trzeciej możliwości brak (tertium non datur)
Chrystus nie ma tu szans na zostanie matematycznym kłamcą, nawet jak wszyscy zostaniemy zbawieni (piekło będzie puste) - idea powszechnego zbawienia.
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie będzie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający jest tu fałszem:
B2:~W=>~Z =0
co wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ dający Chrystusowi wolną wolę, czyli prawo do darowania dowolnej kary zdefiniowanej zdaniem A2 zależnej od niego.
LUB
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1)
Jest taka możliwość na mocy definicji obietnicy gdzie warunek wystarczający A1: W=>Z musi być częścią implikacji prostej W|=>Z

Definicja implikacji prostej W|=>Z to wszystkie cztery, rozłączne zdarzenia A1, A1’, A2, B2’.
Zdanie A1 to warunek wystarczający A1: W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z.
Na mocy definicji zachodzi:
Warunek wystarczający A1: W=>Z = ~W+Z ## Implikacja prosta: W|=>Z = ~W*Z
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jak widzimy, nasza akcja skopiowania szablonu implikacji prostej W|=>Z ze świata żywego do szablonu implikacji prostej P|=>CH ze świata martwego zakończyła się sukcesem.

Możemy zatem powtórzyć:

Logika matematyczna Chrystusa = logika matematyczna rządząca światem martwym

Innymi słowy:
Bóg jest w każdym z nas, bo logikę matematyczną rządzącą światem martwym każdy 5-cio latek ma w małym paluszku, na przykładach odpowiednich dla niego, choćby ten o padaniu i chmurce omówiony wyżej.


8.6 Prawo transformacji

Definicja transformacji:
Transformacja to uwzględnienie zależności przyczynowo skutkowych z uwzględnieniem czasu w logice matematycznej

Zauważmy, że każda obietnica jest naturalnym zdarzeniem przyczynowo skutkowym dotyczącym tylko i wyłącznie w przyszłości, bowiem w obietnicy typu p=>q nie można zamienić przyczyny p ze skutkiem q w czasie przyszłym.

Przykład obietnicy w czasie przyszłym:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => otworzę parasolkę (P=1)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie przyczyna (będzie padało) to nastąpi skutek (otworzę parasolkę)
P=>OP =1
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego abym otworzył parasolkę

Dlaczego w obietnicy A1 nie wolno zamieniać poprzednika p z następnikiem q?
Prawo kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p

Nasz przykład:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Czytamy zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasolki (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P =?
Brak otwarcia parasolki w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby jutro nie padało

Mam nadzieję, że wszyscy już zrozumieli dlaczego w obietnicy nie wolno zamieniać poprzednika z następnikiem.

…ale, ale!
Czyżby to było równoznaczne z obaleniem matematycznej świętości, prawa kontrapozycji?

Oczywiście NIE!

Prawo transformacji:
Wszelkie zdania warunkowe przyczynowo skutkowe „Jeśli p to q” w czasie przyszłym, po zamianie p i q transformują się do czasu przeszłego.

Zróbmy restart naszej analizy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => otworzę parasolkę (P=1)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie przyczyna (będzie padało) to nastąpi skutek (otworzę parasolkę)
P=>OP =1
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego abym otworzył parasolkę

Prawo kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Nasz przykład:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Na mocy prawa transformacji zdanie A4 musimy czytać w czasie przeszłym:
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasolki to na 100% => nie padało
~OP=>~P =1

Jak widzimy teraz wszystko gra i buczy, logika matematyczna obowiązująca w naszym Wszechświecie została uratowana w banalnie prosty sposób.

8.6.1 Prawo transformacji w obietnicy Chrystusa

Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia

Spójrzmy na obietnicę Chrystusa z punktu widzenia prawa transformacji.
Przypomnijmy sobie definicję implikacji prostej W|=>Z w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w ~W|~>~Z
       AB12:                      |     AB34:
       Przyszłość/przeszłość      |     Przeszłość       
    ----------------------------------------------------------
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
A’: 1: W~~>~Z=0 =                [=]             = 4:~Z~~>W =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~W~~>Z=1     [=] 3: Z~~>~W=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    W|=>Z=~W*Z  = ~W|~>~Z=~W*Z   [=]  Z|~>W=Z*~W = ~Z|=>~W=Z*~W
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: W=>Z=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: W~~>~Z=W*~Z=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~W=>~Z=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~W~~>Z =~W*Z=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo transformacji:
Wszelkie zdania warunkowe przyczynowo skutkowe „Jeśli p to q” w czasie przyszłym, po zamianie p i q transformują się do czasu przeszłego (obszar AB34).
Wszelkie zdania warunkowe przyczynowo skutkowe „Jeśli p to q” bez zamiany p i q prawdziwe są zarówno w czasie przyszłym (obszar AB12) jak i w czasie przeszłym (obszar AB12).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie obietnicy Chrystusa.
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1 - wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia.
p=>q =1
Zdanie startowe, punkt odniesienia:
p=W
q=Z
W całej dalszej analizie nie wolno nam zmienić tego punktu odniesienia.

Doskonale widać, że obsługę obietnicy W=>Z w czasie przyszłym mamy tu wyłącznie w części AB12.
Obsługę obietnicy W=>Z w czasie przeszłym bez zamiany przyczyny (wierzy) ze skutkiem (zbawiony) również mamy w obszarze AB12.
Część AB34 to obsługa obietnicy po zamianie przyczyny (wierzy) ze skutkiem (zbawiony) prawdziwa wyłącznie w czasie przeszłym.

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony dokładnie czteroma zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” które uwzględniają wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Aksjomatyczną definicję implikacji prostej W|=>Z z której wynika tabela zero-jedynkowa spójnika warunku wystarczającego => mamy tu jak na dłoni w obszarze AB12.

Przypadek I
Obszar AB12:
Czas teraźniejszy, X jest żywy, wśród nas:


Definicja implikacji prostej W|=>Z to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2.
Odpowiedź na te pytania mamy w obszarze AB12.
1.
Co się stanie z X-sem który wierzy (W=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1, to zdania A1 i A1’
A1.
Jeśli X wierzy to na 100% => zostanie zbawiony
W=>Z =1
p=>q =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli X wierzy to może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: człowiek wierzy (W=1) i nie zostaje zbawiony (~Z=1) bowiem Bóg z definicji nie ma prawa do kłamstwa.

2.
Co się stanie z X-sem który nie wierzy (~W=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2, to zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
A2.
Jeśli X nie wierzy to może ~> nie zostać zbawiony
~W~>~Z =1
~p~>~q =1
Brak wiary w Boga (~W=1) jest warunkiem koniecznym dla nie zbawienia (~Z=1), bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
LUB
B2’
Jeśli X nie wierzy to może ~~> zostać zbawiony
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: człowiek nie wierzy (~W=1) i zostaje zbawiony (Z=1)
Taką możliwość mamy na mocy definicji obietnicy W=>Z wchodzącej w skład implikacji prostej W|=>Z, tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Zdanie B2’ to piękny akt miłości z punktu widzenia obietnicy A1: W=>Z tożsamy z aktem łaski z punktu widzenia groźby A2: ~W~>~Z.

Przypadek II
Czas przeszły, X umarł 10 lat temu:

Czas przeszły bez zamiany p (przyczyna) z q (skutek) opisuje identyczna seria zdań jak wyżej lecz wypowiadanych w czasie przeszłym - z tego powodu do zdań niżej dodajemy na końcu literkę P sygnalizującą czas przeszły.
A1P.
Jeśli X wierzył w Boga to na pewno => został zbawiony
W=>Z =1
p=>q =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Kontrprzykład A1P’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1P musi być fałszem.
A1P’.
Jeśli X wierzył w Boga to mógł ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Nie jest możliwe (=0), że wierzący X nie został zbawiony jeśli wierzył w Boga, na mocy gwarancji matematycznej A1: W=>Z =1

… a jeśli kto nie wierzył?
Prawo Kubusia działa zawsze, niezależnie od czasu:
A1P: W=>Z = A2P: ~W~>~Z
A2P.
Jeśli X nie wierzył w Boga to mógł ~> nie zostać zbawiony
~W~>~Z =1
~p~>~q =1
Brak wiary jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia, mogło się zatem zdarzyć że niewierzący X wylądował w piekle (nie został zbawiony: ~Z=1)
LUB
B2P’.
Jeśli X nie wierzył w Boga to mógł ~~> zostać zbawiony
~W~~>Z = ~W*Z =1
~p~~>q = ~p*q =1
Tu Bóg miał prawo do skorzystania z „aktu miłości” względem obietnicy A1P: W=>Z, czyli wręczył X-owi nagrodę (niebo), mimo że ten nie spełnił warunku nagrody (nie wierzył: ~W).

Przypadek III
Czas przeszły z zamianą p i q, X umarł 10 lat temu:


W obietnicy A1: W=>Z po zamianie p i q obowiązuje nas prawo transformacji, czyli zdanie A3: Z~>W prawdziwe jest wyłącznie w czasie przeszłym.

Idziemy do obszaru AB34:
A3.
Jeśli X został zbawiony (Z=1) to mógł ~> wierzyć (W=1)
Z~>W =1
q~>p =1
Wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną => zbawienia na mocy obietnicy A1: W=>Z, zatem jeśli X został zbawiony to mógł wierzyć.
LUB
B3’.
Jeśli X został zbawiony to mógł ~~> nie wierzyć
Z~~>~W =1
q~~>~p =1
Jest taka możliwość, tu Chrystus skorzystał z aktu łaski (zdanie B2’:~W~~>Z =1) w stosunku do X-a, czyli X nie wierzył (~W=1) a mimo wszystko został zbawiony (Z=1).

… a jeśli X nie został zbawiony?
Prawo Kubusia działające także w czasie przeszłym:
A3: q~>p = A4:~q=>~p
A3: Z~>W = A4: ~Z=>~W
A4.
Jeśli X nie został zbawiony to na 100% => nie wierzył
~Z=>~W =1
~q=>~p =1
Wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną zbawienia A1: W=>Z =1, zatem jeśli X nie został zbawiony to na 100% => nie wierzył
Kontrprzykład A4’ do prawdziwego warunku wystarczającego A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli X nie został zbawiony to mógł ~~> wierzyć
~Z~~>W = ~Z*W =0
Nie jest możliwe (=0), aby ktoś wierzył i nie został zbawiony, bo wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną=> zbawienia A1: W=>Z =1


8.7 Klasyka obietnicy

Definicja obietnicy =>:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodząca w skład implikacji prostej W|=>N:
W|=>N = (A1: W=>N)*~(B1: W~>N) =1*~(0) =1*1 =1

Rozważmy obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) dostaniesz komputer (K=1)
E=>K
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostanie komputera
Na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający A1: E=>K jest częścią implikacji prostej E|=>K.

Podstawmy tą obietnicę do diagramu warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej E|=>K.
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w E|=>K
       AB12:                      |     AB34:
       Przyszłość/przeszłość      |     Przeszłość       
    ----------------------------------------------------------
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
---------------------------------------------------------------
    p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
    E|=>K=~E*K  = ~E|~>~K=~E*K   [=]  K|~>E=K*~E = ~K|=>~E=K*~E
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: E=>K=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: E~~>~K=E*~K=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~E=>~K=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~E~~>K =~E*K=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Obsługę obietnicy w czasie przyszłym mamy w części AB12.

Operator implikacji prostej E|=>K to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) do na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera.
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K =E*~K =0 - zakaz złamania obietnicy A1, dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Świat martwy i matematyka nie jest fizycznie w stanie ustawić tu wynikowej jedynki, ale człowiek, mając „wolną wolę” wynikową jedynkę w zdaniu A1’ może ustawić, czyli ojciec po zdanym egzaminie może nie kupić synowi komputera. W tym przypadku ojciec będzie kłamcą (nie dotrzyma obietnicy) … o czym każdy 5-cio latek wie.

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2:~E~>~K
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1), bo jak syn zda egzamin (E=1) to na 100% => dostanie komputer (K=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~E~>~K = A1: E=>K
LUB
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1)
~E~~>K =1
To jest powszechnie znany w przyrodzie „akt miłości” w odniesieniu do obietnicy A1: E=>K, czyli prawo wręczenia nagrody (komputera: K=1) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1).
Zdanie B2’ to również powszechnie znany w przyrodzie „akt łaski” w odniesieniu do groźby A2: ~E~>K, czyli prawo do wręczenia nagrody (K=1), mimo że odbiorca spełnił warunek kary (nie zdał egzaminu: ~E=1)

Definicja matematycznej „wolnej woli”:
Matematyczna „wolna wola” w świecie żywym to warunek konieczny ~> w implikacji prostej p|=>q lub odwrotnej p|~>q.

Zauważmy, że o „wolnej woli” możemy mówić wyłącznie w stosunku do świata żywego, w świecie martwym możemy mówić tylko i wyłącznie o „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”

W przypadku nie zdania egzaminu, ojciec może nie dać komputera (~K) lub dać komputer (K) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka.
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Definicja „wolnej woli” człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
A2:~E~>~K =1
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
Domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości w stosunku obietnicy do A1= akt łaski w stosunku do groźby A2):
B2’: ~E~~>K = ~E*K =1
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cię kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u odbiorcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczną algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

8.7.1 Rozstrzygnięcia w obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Weźmy naszą obietnicę:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
A: E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = p+~q
Nasz przykład:
A: Y = E=>K = ~E+K
Najprostsze rozstrzygnięcie czysto matematyczne kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1) jest następujące.

Punkt 1.
Rozstrzygamy kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
W tym celu negujemy tożsamość logiczną A1 dwustronnie:
~Y = ~(~E+K) = E*~K
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
B.
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
B: ~Y = E*~K
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1

Punkt 2.
W trzech pozostałych zdarzeniach rozłącznych ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia to:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = E*K =1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
C: Yc = ~E*~K =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostane komputera (~K=1)
lub
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Gdzie:
Ya, Yc, Yd to funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y:
Y = Ya + Yc + Yd
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
Ostatnie zdanie D: ~E*K to powszechnie znany wśród istot żywych (nie tylko w świecie człowieka) „akt miłości” w stosunku do obietnicy A1: E=>K, czyli wręczenie nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)

Załóżmy teraz że jest po egzaminie i zaszło zdarzenie:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
Jeśli znamy rozwiązanie D to nastąpi śmierć logiki matematycznej związanej z obietnicą A: E=>K.
Oczywiście pozostałe możliwe zdarzenia w przypadku znajomości rozwiązania będą fałszem tzn. po zajściu zdarzenia D mamy:
A: Ya = E*K =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie A
B: Yb = E*~K =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie B
C: Yc = ~E*~K = 1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie C

Jak widzimy w dowolnej obietnicy przy znajomości rozwiązania logika matematyczne popełnia seppuku, czyli w temacie zdania A: E=>K logika nie jest nam potrzebna bo znamy prawdę absolutną:
D: Yd = ~E*K = 1*1 =1 - syn nie zdał egzaminu (~E=1) i dostał komputer (K=1)
… a żadna logika nie ma prawa zmieniać zaistniałej prawdy absolutnej.

Oczywiście jeśli jest po egzaminie A: E=>K i nie znamy rozwiązania, to logika matematyczna dalej wyśmienicie działa, tylko w czasie przeszłym np. poszukiwanie nieznanego mordercy.


8.7.2 Obietnica w równaniach logicznych

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody (U).

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

Przypadek A:
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

Przypadek B:
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę (N=1), bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka!

Przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany = warunek otrzymania nagrody spełniony (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany, warunek otrzymania komputera nie spełniony (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera (K=0) ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
K=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek otrzymania nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
K=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)
W tym przypadku, ojciec jest mimo wszystko kłamcą, bo wręczył komputer mimo iż miał matematyczny zakaz wręczenia o czym mówi wynikowe zero w powyższym równaniu.

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

8.8 Klasyka groźby

Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K:
W|~>K = ~(A1: W=>K)*(B1: W~>K) = ~(0)*1 =1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest (=0) spełniony
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q:
      AB12:                  AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5:~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|~>q
       AB12:                      |     AB34:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q

Weźmy klasykę groźby.
Ojciec do syna:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dostania lania A1: B~>L =1, ale nie wystarczającym B1: B=>L=0 bowiem nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Na mocy definicji groźby warunek konieczny A1: B~>L wchodzi w skład implikacji odwrotnej B|~>L.

Nanieśmy nasza groźbę do definicji implikacji odwrotnej B|~>L wyrażonej warunkami koniecznymi ~> i wystarczającymi =>
Kod:

T3
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w B|~>L
       AB12:                      |     AB34:
       Przyszłość/przeszłość      |     Przeszłość       
    ----------------------------------------------------------
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: B=>L  =0 = 2:~B~>~L=0     [=] 3: L~>B  =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: B~~>~L=1 =                [=]             = 4:~L~~>B =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: B~>L  =1 = 2:~B=>~L=1     [=] 3: L=>B  =1 = 4:~L~>~B =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~B~~>L=0     [=] 3: L~~>~B=0
---------------------------------------------------------------
    p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
    B|~>L=B*~L  = ~B|=>~L=B*~L   [=]  L|=>B=~L*B = ~L|~>~B=~L*B
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: B=>L=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: B~~>~L=B*~L=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~B=>~L=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~B~~>L =~B*L=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Obsługę groźby w czasie przyszłym mamy w części AB12.

Operator implikacji odwrotnej B|~>L to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli ubrudzę spodnie (B=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym B1: B~>L =1 dostania lania, ale nie wystarczającym A1: B=>L=0 bowiem nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
LUB
A1’.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
Zdanie A1’ to powszechnie znany w przyrodzie „akt łaski” czyli prawo do darowania kary (brak lania: ~L=1) zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary (ubrudził spodnie: B=1)

2.
Co może się wydarzyć jeśli nie ubrudzę spodni (B=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2
… a jeśli nie ubrudzę spodni?
Prawo Kubusia:
B1: B~>L = B2:~B=>~L
stąd:
B2.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na 100% => nie dostaniesz lania (z powodu czystych spodni)
~B=>~L =1
Czyste spodnie (~B=1) dają nam gwarancję matematyczną => braku lania (~L=1) z powodu czystych spodni. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje nam warunek wystarczający => w zdaniu B2.
Z dowolnego innego powodu ojciec może walić i nie będzie kłamcą, zatem jeśli jest sadystą i musi walić to kij zawsze znajdzie np.
Przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty.
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B~~>L = ~B*L =0 - zakaz karania z powodu czystych spodni (~B=1)

Zauważmy że:
Gwarancja B2 jest bardzo silną gwarancją matematyczną, aby ją złamać ojciec musi być idiotą, czyli powiedzieć słowo w słowo:
Przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1).

To jest uzasadnienie zależne, identyczne jak poprzednik i tu ojciec mimo wszystko jest kłamcą.
Fakt ten udowodniłem na samym początku mojej przygody z logiką matematyczną z 14 lat temu - to też była jedna z przyczyn, dla której z takim uporem walczyłem o 100% rozszyfrowanie logiki matematycznej obowiązującej w naszym Wszechświecie.

Prawo Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Zauważmy że:
1.
Po prawej stronie mamy 100% determinizm (B2: ~B=>~L), przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku lania (~L=1) z powodu czystych spodni.
2.
Po lewej stronie mamy matematyczną „wolną wolę” człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to ojciec może lać (zdanie B1) albo darować lanie (zdanie A1’) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą.

8.8.1 Rozstrzygnięcia w groźbie w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K:
W|~>K = ~(A1: W=>K)*(B1: W~>K) = ~(0)*1 =1*1 =1

Weźmy naszą groźbę:
A.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lania
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> lania na mocy definicji groźby

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Nasz przykład:
A: Y = B~>L = B+~L

Najprostsze rozstrzygnięcie czysto matematyczne kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1) jest następujące.

Punkt 1.
Rozstrzygamy kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
W tym celu negujemy tożsamość logiczną A dwustronnie:
~Y = ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~B=1 i L=1
Czytamy:
D.
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1) z powodu czystych spodni.
D: ~Y = ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~B=1 i L=1
Z dowolnego innego powodu ojciec może lać.

Punkt 2.
W trzech pozostałych zdarzeniach rozłącznych ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Te pozostałe rozłączne zdarzenia to:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = B*L = 1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
lub
B: Yb = B*~L = 1*1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (L=1)
Zdarzenie B to powszechnie znany w przyrodzie „akt łaski”,
czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
lub
C: Yc = ~B*~L =1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
Gdzie:
Ya, Yc, Yd to funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji matki Y:
Y = Ya + Yc + Yd
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1

Załóżmy teraz że jest po egzaminie i zaszło zdarzenie:
B: Yb = B*~L = 1*1 =1 - syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
Ojciec skorzystał ze swojego świętego prawa, „aktu łaski”
Jeśli znamy rozwiązanie B to następuje śmierć logiki matematycznej związanej z groźbą A: B~>L.
Pozostałe możliwe zdarzenia w przypadku znajomości rozwiązania będą fałszem tzn. po zajściu zdarzenia B mamy:
A: Ya = B*L =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie A
C: Yc = ~B*~L = 1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie C
D: Yd = ~B*L =1*1 =0 - nie zaszło zdarzenie D

Jak widzimy w dowolnej groźbie przy znajomości rozwiązania logika matematyczne popełnia seppuku, czyli w temacie zdania A: B~>L logika nie jest nam potrzebna bo znamy prawdę absolutną:
B: Yb = B*~L = 1*1 =1 - syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
… a żadna logika nie ma prawa zmieniać zaistniałej prawdy absolutnej.

Oczywiście jeśli nie znamy rozwiązania, to logika matematyczna dalej wyśmienicie działa, tylko w czasie przeszłym np. poszukiwanie nieznanego mordercy.

8.8.2 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek (W) to kara (K)

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić.
Przyjmijmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

Przypadek A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

Przypadek B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


8.9 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 9:35, 26 Lis 2020, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25842
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:11, 16 Lis 2020    Temat postu:

9.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Spis treści
9.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków 1
9.1 Definicje symboli 2
9.2 Operator AND(|*) 2
9.2 Operator OR(|+) 5



9.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

W niniejszym puncie prezentuję algebrę Boole’a dla humanistów (nie matematyków), czyli zero-jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych.

Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom naturalnymi ekspertami także algebry Boole’a używanej w języku potocznym są wszystkie 5-cio latki.
Dowód tego faktu jest tu:
9.0 Algebra Boole’a dla 5-cio latków

Początkowo chciałem napisać kompletną algebrę Kubusia dla 5-cio latków z omówieniem na przykładach wszystkich możliwych operatorów implikacyjnych:
1: Operator implikacji prostej p||=>q
2: Operator implikacji odwrotnej p||~>q
3: Operator równoważności p|<=>q
4: Operator chaosu p||~~>q
Wyszła z tego zamiaru cała masa kopiuj-wklejek z podstawowej części algebry Kubusia, dlatego z tego pomysłu zrezygnowałem.
Pozostawiam napisanie wersji algebry Kubusia dla 5-cio latków ziemskim matematykom, trzeba tu po prostu wybrać odpowiednie fragmenty z podstawowej wersji algebry Kubusia lub napisać własną wersję algebry Kubusia dla 5-cio latków.
Mam nadzieję, że klonów algebry Kubusia w różnych postaciach będzie dużo - nikt nie ma monopolu na napisanie najlepszej wersji AK, łącznie ze mną.

Moja maksyma sprzed 35 lat:
1.
Każdy duży program komputerowy, w tym teorię matematyczną zwaną algebrą Kubusia, można udoskonalać w nieskończoność. Chodzi tu oczywiście nie o błędy czysto matematyczne, bo tych na 100% nie ma, ale o formę przekazu AK dla wybranych grup ludzkości: 5-cio latki, uczniowie szkoły podstawowej, średniej, studenci, prawnicy, humaniści na zawodowych matematykach kończąc.
2.
Im dłużej się myśli tym lepszy program można napisać
3.
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu, tu trzeb tworzyć coraz doskonalsze wersje, dążąc do doskonałości absolutnej, której nie da się osiągnąć z definicji bo to co jest dobre dla 5-cio latka nie musi być wystarczające dla zawodowego matematyka.

Zaczynam zatem od napisanie algebry Boole’a dla 5-cio latków, napisanie pozostałej algebry Kubusia dla 5-cio latków pozostawiam ziemskim matematykom, życząc powodzenia.

9.1 Definicje symboli

Niezbędne definicje symboli to:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie „NIE” z języka potocznego człowieka
Gdzie:
Prawda to brak fałszu
1 = ~(0)
Fałsz to brak prawdy
0 = ~(1)
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnego języka potocznego
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka potocznego

9.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Przykład kodowania matematycznego zdań twierdzących symbolami powiązanymi z wypowiadanym zdaniem:
1.
Jestem uczciwy
U
2.
Jestem nieuczciwy
~U - wszelkie przeczenia w zdaniach muszą być uwzględnione w kodowaniu symbolicznym zdania
3.
Nieprawdą jest ~( … ) że jestem nieuczciwy ~U

Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia:
1: Jestem uczciwy = 3: nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
1: U = 3: ~(~U)
W matematyce tego typu prawa zapisujemy przy pomocy symboli formalnych Y, p, q … nie mających związku z wypowiedzianym zdaniem (symbole aktualne np. U wyżej)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
p = ~(~p)

9.2 Operator AND(|*)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator AND(|*) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Logika dodatnia (bo p) i ujemna (bo ~p)
Dowolny symbol (w tym funkcja logiczna Y) zapisany jest w logice dodatniej gdy nie ma przeczenia (~) przed symbolem, inaczej zapisany jest w logice ujemnej.

Aby odpowiedzieć na pytania które stawia przed nami definicja operatora AND(|*) musimy poznać algorytm Wuja Zbója przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) - albo odwrotnie.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy symbole wymieniając spójniki na przeciwne tzn. „i”(*) na „lub”(+), albo odwrotnie.

Przykład:
1: Y=K*T
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
2: ~Y = ~K+~T
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez ponowną negacje symboli i wymianę spójników:
3: ~(~Y) = ~(~K)*~(~T)
Po skorzystaniu z prawa podwójnego przeczenia:
~(~p)=p
lądujemy w równaniu 1:
1: Y=K*T

Dopiero w tym momencie jesteśmy w stanie odpowiedzieć w logice 5-cio latka, na pytania stawiane przez operator AND(|*):

Pani w przedszkolu mówi::
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy w oba miejsca, do kina (K) i do teatru (T).

2.
Kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
2: ~Y=~K+~T
Wystarczy, że nie pójdziemy w którekolwiek miejsce i już pani skłamie (~Y)

Jak rozpisać na zdarzenie rozłączne przypadek kiedy pani skłamie (~Y)?
Wróćmy do zdania wypowiedzianego:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T =1

inaczej pani skłamie!
Tu 5-cio latki będą miały niezłą zabawę jakie jeszcze zdarzenia mogą jutro zajść z wykluczeniem:
Y=K*T

Poprawna odpowiedź to:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yc =~K*~T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yd = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)

Zauważmy że funkcje cząstkowe ~Yb, ~Yc i ~Yd połączone są spójnikiem „lub”(+) z funkcją matką ~Y:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
2: ~Y = ~K+~T <=> 3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T

Z powyższej tożsamości logicznej wynika, że odpowiedzieć na pytanie kiedy pani skłamie (~Y) możemy dwoma tożsamymi sposobami. Obie odpowiedzi są zrozumiałe dla 5-cio latka.

Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość po drugiej stronie

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
Zdarzenie ~Yb, ~Yc, ~Yd oraz Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Yd = ~K*T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja cząstkowa jest zanegowana (~Yd)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Y = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
~Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
~Yc = ~K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, tyle że w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Stąd mamy:

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przyszłości - nie wiemy które z czterech możliwych zdarzeń Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
albo
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K*~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y=~K*~T
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z