Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (Brudnopis)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:18, 22 Sty 2021    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (Brudnopis)

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-04-05
Brudnopis

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Z dedykacją dla naszych wnuków, aby nikt, nigdy więcej, nie prał im mózgów gównem zwanym „implikacja materialna”

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Części:

Wstęp do algebry Kubusia:
1.0 Algebra Boole’a
2.0 Nieznana algebra Boole’a
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Algebra Kubusia - wykład podstawowy:
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q
5.2 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
6.2 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q
7.0 Operator równoważności p|<=>q
7.2 Przykłady operatorów równoważności p|<=>q
8.0 Operator albo p|$q
8.2 Przykłady operatorów albo p|$q
9.0 Operator chaosu p||~~>q
9.2 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q

Obietnice i groźby:
10.0 Obietnice i groźby
10.1 Obietnica
10.2 Groźba
10.3 Analiza obietnicy E=>K z różnych punktów odniesienia
10.4 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony


Wstęp

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki (instytut automatyki) na Politechnice Warszawskiej (1980r).
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 26 lat po skończeniu studiów (2006r) od Wuja Zbója na forum śfinia.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
Gżdacz napisał:

Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem

Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.

Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)

Przepisałem wiernie, pozostawiając niepoprawną interpunkcję oraz nadużycie leksykalne polegające na tłumaczeniu angielskiego proposition jako propozycja, zamiast stwierdzenie.

Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!

W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30


3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat


Krótka historia mojego życia.

W roku 1984 przytrafiła mi się taka historia.
Będąc świeżo po studiach elektronicznych (Politechnika Warszawska) zrobiłem na mikroprocesorze Z80 bardzo prosty i fajny sterownik edukacyjny gdzie samemu można było pisać programy z klawiatury szesnastkowej w kodzie maszynowym.
Wbrew pozorom nie było to trudne bo było sporo procedur systemowych możliwych do użycia we własnym programie. Poza tym sterownik posiadał prosty debugger (odpluskwiacz) pozwalający łatwo znajdować i usuwać popełnione błędy. Ten tani sterownik edukacyjny (miał to w nazwie) okazał się wielka ścianą dla elektroników hobbystów których wiedza elektroniczna była w zdecydowanej większości mizerna.
Co zatem miałem robić by to moje dziecko było sprzedawalne?

Idea która zawładnęła mną całkowicie przez następne dwa lata była następująca.
Dopisać do sterownika instrukcję zakładając, że wiedza wstępna w zakresie elektryki i elektroniki potencjalnego czytelnika jest równa zeru - czyli z założenia miała to być instrukcja-podręcznik dla ucznia I klasy LO który nie zna jeszcze prawa Ohma, nie ma pojęcia co to jest prąd, napięcie etc.

… i ta idea została z powodzeniem zrealizowana.
Kosztowało mnie to dwa lata ciężkiej harówy bo cały czas musiałem pamiętać że odbiorca nie wie nic a nic w temacie elektryki i elektroniki prowadząc go po łagodnej równi pochyłej od prawa Ohma poprzez podstawy elektryki, podstawy elektroniki, podstawy techniki cyfrowej (bramki logiczne), podstawy sprzętowego działania mikroprocesora, na podstawach programowania mikroprocesorów kończąc gdzie musiałem wytłumaczyć czytelnikowi język asemblera i zasady pisania programów w tym języku.

Niestety, albo na szczęście dla ludzkości, w roku 2006r Wuj Zbój, właściciel forum śfinia, zaraził mnie kolejną ideą - rozszyfrować logikę matematyczną pod którą podlega język potoczny człowieka od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszych ziemskich matematykach kończąc.

Tu nie było tak „lekko” jak w przypadku sterownika edukacyjnego - rozszyfrowanie poprawnej logiki matematycznej pod którą podlega język potoczny kosztowało mnie 15 lat ciężkiej harówy .. ale warto było.
Całe szczęście, że dzięki dobrym ludziom (także dzięki zagorzałym oponentom typu Irbisol) którzy ze mną dyskutowali cel swój osiągnąłem - efekt końcowy to:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 5:30, 16 Maj 2021, w całości zmieniany 194 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:29, 22 Sty 2021    Temat postu:

Wstęp do algebry Kubusia
1.0 Algebra Boole’a

Część I

Spis treści
1.0 Algebra Boole’a 1
1.1 Zmienna binarna i stała binarna 2
1.2 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 4
1.3 Prawa Prosiaczka 5
1.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 6
1.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 7
1.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej 8
1.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 9
1.5 Algorytm Wuja Zbója 13
1.5.1 Prawo Małpki 14
1.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 16


1.0 Algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

1.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:
Kod:

1: A:=A+B    ;Wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2  ;Jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
- - - - - - -

Co oznacza rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład:
Zdefiniujmy na początku programu symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
W tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.

Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych

Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.

Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak

Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?

Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
nie ma już sensu, bo Jaś poznał prawdę absolutną, pani skłamała.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.

Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)

1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) a kiedy skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)

W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.

Przykład:
Stała binarna TP zapisana jest w logice dodatniej (bo TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
TP=1 - trójkąt prostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt jest prostokątny

Stała binarna TP zapisana jest w logice ujemnej (bo ~TP) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~TP=1 - trójkąt nieprostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt nie jest prostokątny

1.2 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie aktualnym (język potoczny):
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
Podstawiamy:
U=p
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
p=~(~p)

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1 - zapis aktualny
p=>q =1 - zapis formalny
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu, stąd wartość logiczna tego zdania to 1.

Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym:
p=>q = ~q=>~p

Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A1:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
To samo w zapisie formalnym:
TP=p
SK=q
A1: p=>q = A4: ~q=>~p

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

stąd:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK=>~TP =1
Po udowodnieniu twierdzenia prostego Pitagorasa A1, co ludzkość zrobiła wieki temu, nie musimy udowadniać twierdzenia A4, bowiem jego prawdziwość gwarantuje nam prawo logiki matematycznej, prawo kontrapozycji.

1.3 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

1.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

1.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej

Definicja logiki symbolicznej:
Logika symboliczna to logika izolowana od wszelkich tabel zero-jedynkowych gdzie posługujemy się symbolami niezaprzeczonymi i zaprzeczonymi zamiast bezwzględnymi zerami i jedynkami

Przykład logiki symbolicznej, gdzie nie ma ani zer, ani jedynek:
TP - trójkąt prostokątny
~TP - trójkąt nieprostokątny

Przykład logiki zero-jedynkowej operującej na zerach i jedynkach:
TP=1 - trójkąt prostokątny
TP=0 - trójkąt nieprostokątny

Zadanie rodem ze 100-milowego lasu:
Dana jest dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich prostokątów
Polecenie:
Opisz kolejne losowania trójkątów prostokątnych TP z worka zawierającego wszystkie trójkąty ZWT,

Rozwiązanie:
Ze zbioru wszystkich trójkątów ZWT losujemy kolejne trójkąty.
To losowanie możemy opisać w logice dodatniej (bo TP) albo w logice ujemnej (bo ~TP).
1.
Obsługa losowania w logice dodatniej (bo TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo TP):
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP
TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP - czyli jest nieprostokątny
2.
Obsługa losowania w logice ujemnej (bo ~TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~TP):
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP
~TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP - czyli jest prostokątny

Z 1 i 2 można tu wyczytać prawa Prosiaczka:
I prawo Prosiaczka:
1: TP=1 = 2: ~TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt prostokątny
II prawo Prosiaczka:
2: ~TP=1 = 1: TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt nieprostokątny

Z praw Prosiaczka wynika logika symboliczna w której nie ma ani jednego zera.
3.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt prostokątny TP
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt nieprostokątny (~TP)

W logice symbolicznej, a także w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (o których za chwilę) jedynki są domyślne co oznacza, że możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
4.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:

TP - wylosowano trójkąt prostokątny
~TP - wylosowano trójkąt nieprostokątny

Jak widzimy, dopiero w tym momencie mamy naturalny, matematyczny język potoczny zgodny z logiką w pełni symboliczną, mającą w głębokim poważaniu wszelkie zera i jedynki.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd mamy:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP] = ~TP

To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p] =~p

1.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.

Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka


Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0


II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka


Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd

Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.

Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p=p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=1 mamy:
   p  1  p+1
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 1  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd

Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=~p mamy:
   p ~p  p+~p
A: 1+ 0  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd

Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod:

   p  q  p+q ~p ~q ~p*~q ~(~p*~q)
A: 1+ 1  =1   0* 0   0      1
B: 1+ 0  =1   0* 1   0      1
C: 0+ 1  =1   1* 0   0      1
D: 0+ 0  =0   1* 1   1      0
   1  2   3   4  5   6      7

Tożsamość kolumn wynikowych 3=7 jest dowodem poprawności prawa algebry Boole’a:
p+q = ~(~p*~q)
cnd

Praca domowa:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)

1.5 Algorytm Wuja Zbója

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Co w logice jedynek, będącej naturalną logiką matematyczną człowieka oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
W każdej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne.

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

1.5.1 Prawo Małpki

Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q
W technice cyfrowej spójnik „i”(*) jest domyślny i często jest pomijany.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki.

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała w języku potocznym.
Dowód:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego.
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

1.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej

Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Trudne - dla ambitnych:
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:06, 05 Kwi 2021, w całości zmieniany 28 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:30, 22 Sty 2021    Temat postu:

Wstęp do algebry Kubusia
1.6 Algebra Boole’a

Część II


Spis treści
1.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej 1
1.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 3
1.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+) 5
1.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej 7
1.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 9
1.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*) 12
1.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*) 14
1.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym 15
1.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 15
1.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 16
1.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu 17
1.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
1.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 20
1.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
1.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer 21
1.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 22
1.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych 23
1.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 24
1.12.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie 25


1.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie ABC (Y) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

1.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
ABC: Y=p+q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0) - sprowadzenie wszystkich zmiennych binarnych do logiki dodatniej (bez przeczeń)
Kod:

T1: Y=p+q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia ABC: Y=p+q |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p+q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1+ 1  =1
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=1)  | 1+ 0  =1
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=1)  | 0+ 1  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0+ 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=1 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCDabc są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
Yb*Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0

cnd

Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+Yb+Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p+q opisuje wyłącznie obszar ABCabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p+q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem linii D gdzie mamy:
D: ~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yd).
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
Zróbmy to:
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x) bo w aktualnie przyjętym punkcie odniesienia mamy do czynienia wyłącznie ze zmiennymi w logice ujemnej (bo ~p):
D: ~Y=~p*~q

Kod:

T2: ~Y=~p*~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia D:~Y=~p*~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0* 0  =0
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)  | 0* 1  =0
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)  | 1* 0  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1* 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p*~q wskazuje wyłącznie linię D w obszarze ABCDabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
~Y=~Yd = ~p*~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p*~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p+q # T2: ~Y=~p*~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
2..
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p*~q = ~(p+q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)


1.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+)

Operator logiczny OR(|+) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator OR(|+):
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
##
spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p+q
#
spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q, inaczej błąd podstawienia.
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Kod:

Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q         ##
2:~Y=~p*~q       ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

T3
Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

T4.
Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora OR{|+):
1: Y=p+q
2:~Y=~p*~q
   p  q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1+ 1   1     0        0* 0   0
B: 1+ 0   1     0        0* 1   0
C: 0+ 1   1     0        1* 0   0
D: 0+ 0   0     1        1* 1   1
   1  2   3     4        5  6   7

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p*~q # 3: Y=p+q
cnd

W tabeli T5 widzimy że:
Kod:

Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q         ##
2:~Y=~p*~q       ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Do zapamiętania:

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna p lub q zostanie ustawiona na jeden i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość logiczną jeden (Y=1)
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 * ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD567
cnd

1.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie A (Y) dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych (nie związanych z konkretnym zdaniem).
Podstawmy:
K=p
T=q
stąd:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
minimalizujemy funkcję logiczną ~Y:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
cnd

1.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
K=p
T=q
A.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
stąd mamy:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Skorzystajmy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając p:=~p i q:=~q do ~Y mamy opis funkcji logicznej ~Y w zdarzeniach rozłącznych.
Gdzie:
p:=~p - w miejsce zmiennej binarnej p podstaw (:=) zmienną ~p
q:=~q - w miejsce zmiennej binarnej q podstaw (:=) zmienną ~q
Jedziemy:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*~(~q) + ~(~p)*~q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Stąd w przełożeniu 1:1 na przykład 5-cio latka mamy:
BCD:
~Y = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe (zdarzenia rozłączne) wchodzące w skład funkcji ~Y

Jak to udowodniliśmy wyżej zapis matematycznie tożsamy to:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Mamy:
~Y=~p+~q
~Y = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych BCD dla naszego przykładu:
~Y = ~p+~q = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
A: Y=p*q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki dodatniej (bo x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice dodatniej (bo x):
A: Y=p*q
Kod:

T1: A: Y=p*q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia A: Y=p*q   |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p*q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1* 1  =1
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=0)  | 1* 0  =0
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=0)  | 0* 1  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0* 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=0 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*~Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*~Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
~Yb*~Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0

cnd

Dowód iż zdarzenia rozłączne ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+~Yb+~Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p*q opisuje wyłącznie linię Aabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
Y=p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p*q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem obszaru BCDabc gdzie mamy:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Zapis matematycznie tożsamy (co wyżej udowodniliśmy):
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zakodujmy naszą analizę w języku potocznym względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice ujemnej (bo ~x):
BCD: ~Y=~p+~q
Kod:

T2: ~Y=~p+~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesien BCD:~Y=~p+~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0+ 0  =0
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=1)  | 0+ 1  =1
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)  | 1+ 0  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1+ 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p+~q wskazuje obszar BCDabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
BCD: ~Y = ~p+~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p+~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+).

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p*q # T2: ~Y=~p+~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
2.
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p+~q = ~(p*q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)


1.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*)

Operator logiczny AND(|*) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator AND(|*):
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
##
spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p*q
#
spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Kod:

Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q          ##
2:~Y=~p+~q        ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

T3
Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

T4.
Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora AND(|*):
1: Y=p*q
2:~Y=~p+~q
   p  q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1* 1   1     0        0+ 0   0
B: 1* 0   0     1        0+ 1   1
C: 0* 1   0     1        1+ 0   1
D: 0* 0   0     1        1+ 1   1
   1  2   3     4        5  6   7

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p+~q # 3: Y=p*q
cnd

W tabeli T5 widzimy że:
Kod:

Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q          ##
2:~Y=~p+~q        ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Do zapamiętania:

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD567
cnd


1.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*)

Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Pani w przedszkolu:
1: Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T)
Y=K+T

###

Operator AND(|*) to układ równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Pani w przedszkolu:
1: Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Definicja znaczka różne na mocy definicji operatorowych ###:
Znaczek różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że między układami związanymi tym znaczkiem nie zachodzą absolutnie żadne związki matematyczne tzn. wykluczone są jakiekolwiek tożsamości logiczne jak również wykluczone jest aby jedna strona znaczka ### była negacją drugiej strony #.

Doskonale to widać w powyższych definicjach operatora OR(|+) i AND(|*), w szczególności na zdaniach pani przedszkolanki.

1.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym

Logika dodatnia i ujemna w języku potocznym jest odpowiednikiem sprzętowej logiki dodatniej i ujemnej w teorii układów cyfrowych.
Chodzi tu o przyporządkowanie symboli 1 i 0 na których operuje rachunek zero-jedynkowy do symboli aktualnych wynikłych z języka potocznego. Matematycznie to przyporządkowanie może być dowolne pod warunkiem, że znamy startową tabelę przyporządkowań (punkt odniesienia).
O co tu chodzi dowiemy się za chwilkę.

1.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

1.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym

Definicja logiki ujemnej w języku potocznym:
W logice ujemnej w języku potocznym kodowanie wszelkich zmiennych binarnych jest przeciwne do kodowania w logice dodatniej.

Przykład kodowania zdania pani przedszkolanki w logice ujemnej.

Przykład kodowania w logice ujemnej:
K=1 - nie idziemy do kina
~K=1 - idziemy do kina
T=1 - nie idziemy do teatru
~T=1 - idziemy do teatru
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC’:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (~K=1) lub do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie wszystko jest tu jak najbardziej w porządku jednak ktoś kto nie wie iż zdanie ABC’ kodowane jest w logice ujemnej nie zrozumie tego kodowania.

W sumie dla trzech zmiennych binarnych Y, K, T możemy ustalić osiem różnych punktów odniesienia.
Łatwo wyobrazić sobie dyskusję ośmiu ludzi z których każdy patrzy na to samo zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
???
… z innego punktu odniesienia.

Przykłady:
Człowiek A zakoduje zdanie ABC w logice dodatniej:
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Człowiek B zakoduje zdanie ABC w logice ujemnej:
~Y = ~K+~T
co w logice ujemnej oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Pozostałe 6 osób za punkt odniesienia przyjmie pozostałe możliwości.
Przykładowo człowiek C zakoduje zdanie ABC w ten sposób:
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1

Matematycznie wszystkie te kodowania są dobre pod warunkiem, że znamy punkt odniesienia przyjęty przez nadawcę.
Ten fakt opisałem już 35 lat temu w moich podręcznikach do nauki techniki mikroprocesorowej podając twierdzenie ogólne.

Twierdzenie o ilości możliwych punktów odniesienia:
W równaniu logicznym n-zmiennych binarnych możliwych jest 2^n różnych punktów odniesienia
Gdzie:
2^n = 2 do potęgi n

Dla trzech zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^3 =8
Dla 8 zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^8 = 256

Przedstawiony wyżej problem prosi się o ustalenie domyślnego punktu odniesienia w logice matematycznej. Za domyślny punkt odniesienia przyjmijmy definicję logiki dodatniej w języku potocznym bez problemu zrozumiałą przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

1.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu

Przykład z techniki cyfrowej:
Definicja operatora OR(|+) w logice dodatniej (bramka SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]

1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana:
Y = ~(~p+~q)
Gdzie w technice TTL 1 i 0 to poziomy napięć:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Zauważmy że nieprzypadkowo pionier układów TTL firma Texas Instruments obok wzorku:
Y=A+B
Y= ~(~A*~B) - na mocy prawa De Morgana
pisze:
pisitive logic = logika dodatnia.

UWAGA!
Przyjęcie logiki ujemnej dla dokładnie tej samej bramki logicznej OR(|+) typu SN7432 to przypisanie do symboli logicznych 1 i 0 napięć odwrotnych:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Wtedy mamy:
Bramka logiczna OR(|+) SN7432 w logice dodatniej:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q

Dokładnie ta sama, fizyczna bramka SN7432 widziana w logice ujemnej to:
1: ~Y=~p+~q
2: Y = p*q
bowiem w logice ujemnej wszystkie poziomy napięć są odwrotne.

Wniosek:
Dokładnie ta sama bramka logiczna OR(|+) typu SN7432 w logice ujemnej jest fizyczną realizacją bramki AND(|*)!
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Tu Texas Instruments w opisie bramki SN7432 musiałby napisać:
Y=p*q
Y = ~(~p+~q) - na mocy prawa De Morgana
negative logic = logika ujemna
Gdzie:
Logika ujemna oznacza tu odwrotne przypisanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Doskonale tu widać, dlaczego w jednym rozumowaniu logicznym nie wolno mieszać logiki dodatniej i ujemnej.
Zauważmy bowiem że bramka AND(|*) SN7408 w logice dodatniej opisana jest układem równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Karta katalogowa fizycznej bramki AND(|*) SN7408 jest tu taka:
[link widoczny dla zalogowanych]

Opis bramki AND(|*) w katalogu TI jest następujący:
Y=p*q
Y=~(~p+~q) - prawo De Morgana
Tu obok powyższych wzorków firma Texas Instruments pisze:
Positive logic = logika dodatnia
co oznacza następujące przyporządkowanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Jest oczywistym, że jeśli w jednym rozumowaniu logicznym będziemy mieszać logikę dodatnią z logiką ujemną to wyjdą nam potworne głupoty, czyli że zaprojektowany układ nie ma prawa działać poprawnie.

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Przedziały napięć w układzie logicznym
W układach logicznych, gdzie są zdefiniowane tylko dwie wartości liczbowe, rozróżnia się dwa przedziały napięć: wysoki (ozn. H, z ang. high) i niski (ozn. L, z ang. low); pomiędzy nimi jest przerwa, dla której nie określa się wartości liczbowej – jeśli napięcie przyjmie wartość z tego przedziału, to stan logiczny układu jest nieokreślony.
Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwanej pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (lub negatywną).


1.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
Kod:

T1
          Y=
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0


Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

1.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

1.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer

2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

Zastosujmy logikę zer do naszej tabeli równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T3
Pełna definicja     |Co w logice zer       |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza               |cząstkowe
                    |                      |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                      |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)

Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc.

1.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer

Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q

Tabela T2
Logika jedynek:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Tabela T3
Logika zer:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Y i ~Y w tabelach T2 i T3 to te same funkcje logiczne.
Stąd mamy.

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dla tabel T2 i T3 zapisujemy:
1: Y = p*q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+q)*(p+~q)
2: ~Y = p*~q + ~p*q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
cnd

W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równanie koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.

1.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Zaczynamy od definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą tożsamości logiczne <=>:
1: Y = p*q + ~p*~q <=> 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
3: ~Y = p*~q + ~p*q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki.

1.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

1.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Wyjaśnienie o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## na bazie legalnych funkcji logicznych widniejących w tabeli TS.

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
0: Y=p*q
1: Y=p+q
2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Dla jasności dalszego opisu zmieńmy indeksowanie, co jest bez znaczenia:
1: = A1: Y=p+q
3: = B1: Y=~(p+q)*~p*~q

Rozważmy następujący przykład w zapisach formalnych (ogólnych):
Kod:

T1.
A1:  Y=p+q            ## B1:  Y=~(p+q)=~p*~q
     #                ##      #
A2: ~Y=~(p+q)=~p*~q   ## B2: ~Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T2.
A1:  Y=p+q            ## B1:  Y=~(p+q)=~p*~q
     #                ##      #
A2:  Y=~(p+q)=~p*~q   ## B2:  Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=p+q # A2: Y=~p*~q - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=p+q ## B2: Y=p+q - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd

1.12.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

O co chodzi w znaczkach # i ## najłatwiej zilustrować przykładem z języka potocznego.

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub to teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1.
A1: Y=K+T # A2: ~Y=~K*~T
Stąd mamy:
A2:
~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro pójdziemy ani do kina (~K=1), ani do teatru (~T=1)
zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie # funkcję logiczną B1.
B1: Y=~K*~T # B2: ~Y=K+T
Stąd mamy:
B2:
~Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

Zapiszmy zdania z przedszkola A i B w tabeli prawdy:
Kod:

T1
A1:  Y= K+ T  ## B1:  Y=~K*~T
     #                #
A2: ~Y=~K*~T  ## B2: ~Y= K+ T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T2.
A1:  Y=K+T            ## B1:  Y=~(K+T)=~K*~T
     #                ##      #
A2:  Y=~(K+T)=~K*~T   ## B2:  Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=K+T # A2: Y=~K*~T - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=K+T ## B2: Y=K+T - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 14:12, 04 Kwi 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:31, 22 Sty 2021    Temat postu:

Wstęp do algebry Kubusia
2.0 Nieznana algebra Boole’a

Spis treści
2.0 Nieznana algebra Boole’a 1
2.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 2
2.1.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie 4
2.2 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych 7
2.2.1 Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) 7
2.2.2 Grupa spójników implikacyjnych 13
2.2.3 Grupa spójników jednoargumentowych 21
2.3 Jak uczyć algebry Boole’a? 24
2.3.1 Operator AND(|*) 25
2.3.2 Operator OR(|+) 28



2.0 Nieznana algebra Boole’a

Dlaczego nieznana?
W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

2.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Wyjaśnienie o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## na bazie legalnych funkcji logicznych widniejących w tabeli TS.

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
A0: Y=p*q
A1: Y=p+q
A2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
A3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Rozważmy następujący przykład w zapisach formalnych (ogólnych):
Kod:

T1.
A1:  Y=p+q          # B1: ~Y=~(p+q)=~p*~q
##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q # B3: ~Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y)

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T1.
A1:  Y=p+q          # B1: Y=~(p+q)=~p*~q
##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q # B3: Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=p+q # B1: Y=~p*~q - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=p+q ## B3: Y=p+q - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd

2.1.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

O co chodzi w znaczkach # i ## najłatwiej zilustrować przykładem z języka potocznego.

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub to teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1.
A1: Y=K+T # B1: ~Y=~K*~T
Stąd mamy:
B1:
~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Pani w przedszkolu B:
A3.
Jutro pójdziemy ani do kina (~K=1), ani do teatru (~T=1)
zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie # funkcję logiczną A3.
A3: Y=~K*~T # B3: ~Y=K+T
Stąd mamy:
B3:
~Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

Zapiszmy zdania z przedszkola A i B w tabeli prawdy:
Kod:

T1.
A1:  Y=K+T          # B1: ~Y=~(K+T)=~K*~T
##
A3:  Y=~(K+T)=~p*~q # B3: ~Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Problem w tym, że ziemska algebra Boole’a nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Wszelkie funkcje logiczne ziemianie zapisują tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli w tabeli T1 wszystkie funkcje logiczne zapiszemy wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) - tylko tyle potrafią ziemscy matematycy!
Kod:

T2.
A1:  Y=K+T          # B1: Y=~(K+T)=~K*~T
##
A3:  Y=~(K+T)=~p*~q # B3: Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tym momencie definicje znaczków # i ## szlag trafił.
Dowód:
1.
Nie jest spełniona definicja negacji # funkcji logicznej:
A1: Y=K+T # B1: Y=~K*~T - tu definicja negacji # funkcji logicznej Y leży i kwiczy
Funkcja logiczna po dowolnej stronie znaczka # nie jest zaprzeczeniem drugiej strony
2.
Nie jest spełniona definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
A1: Y=K+T ## B3: Y=K+T - tu definicja znaczka ## leży i kwiczy bo funkcje Y są tożsame.

Historyczny wniosek:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd

2.2 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy, że w definicji znaczka różne na mocy definicji ## mowa jest o funkcjach logicznych Y dla dowolnej z kolumn, a nie o gołych zerach i jedynkach w dowolnej z kolumn!

2.2.1 Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+)

Grupa I
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+):
Kod:

T1
A0:  Y= p* q          #  B0: ~Y=~p+~q
##
A1:  Y= p+q           #  B1: ~Y=~p*~q
##
A2:  Y=~(p*q)=~p*+~q  #  B2: ~Y=~(~p+~q)=p*q
##
A3:  Y=~(p+q)=~p*~q   #  B3: ~Y=~(~p*~q)=p+q

Zauważmy, że między dowolnymi dwoma wierszami spełniona jest definicja znaczka różna na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.
Przykładowo:
A1: Y=p+q ## B3: ~Y=~(~p*~q) = p+q - definicja znaczka ## dla funkcji logicznych jest spełniona

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy, że w fałszywej algebrze Boole’a ziemian tożsamość kolumn zero-jedynkowych w kolumnach A1 i B3 jest dowodem tożsamości funkcji logicznych opisujących te kolumny.
U algebrze Boole’a ziemian zachodzi zatem bzdura jakoby zachodziła tożsamość:
A1: Y=p+q = B3: ~Y=p+q
To jest czysto matematyczna bzdura bowiem wolno nam tylko i wyłącznie negować obie strony funkcji logicznej. Negowanie tylko Y jak w zapisie wyżej to błąd czysto matematyczny.
Jeśli założymy że poprawna jest funkcja logiczna A1 to jej negacja # będzie następująca:
A1: Y=p+q # B1: ~Y=~p*~q
Jeśli natomiast założymy że poprawna jest funkcja logiczna B3 to jej negacja # będzie taka:
B3: ~Y=p+q # A3: Y = ~p*~q

Wniosek:
Fałszywe jest wnioskowanie ziemian z tożsamości zero-jedynkowych kolumn A1 i B3 jakoby zachodziło:
A1: Y=p+q = B3: ~Y=p+q
To jest czysto matematyczny bezsens, czyli Y=~Y

Całe szczęście, że jestem elektronikiem i właśnie wpadłem na pomysł jak przedstawić schematy elektryczne wszystkie 16 różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych, w sposób na 100% zrozumiały dla każdego ucznia I klasy LO, zatem mam nadzieję także dla każdego twardogłowego matematyka.
Schematy elektryczne które będą nas interesowały to sterownie żarówką przez różne układy przycisków. W algebrze Kubusia rozwiązanie dowolnie skomplikowanego układu, tzn. odpowiedzenie kiedy żarówka będzie się świecić a kiedy nie świecić jest trywialne, nawet gdy będziemy mieszać przyciski normalnie rozwarte z przyciskami normalnie zwartymi. To rozwiązanie znalazłem wiele lat temu w dyskusji z Fiklitem. Prezentowane schematy z definicji mają zero wspólnego z warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> bowiem w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie da się opisać tych relacji.

W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) możemy co najwyżej opisać istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów~~>:
p~~>q=p*q=1 - gdy istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
albo:
Rozstrzygnąć czy zdarzenie ~~> jest możliwe/nie jest możliwe.
p~~>q=p*q=1 - gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0

Ziemskie prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
to największa tragedia ziemskich matematyków bowiem w ten sposób pozbywają się jakiejkolwiek możliwości poprawnego opisu zdań warunkowych „Jeśli p to q” przy pomocy warunków wystarczających => i koniecznych ~>

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Wspomniane wyżej prawo eliminacji warunku wystarczającego => oślepiło ziemskich matematyków i nie są oni w stanie opisać poprawnie matematycznie ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~>

Matematyk to ślepiec w ciemnym pokoju szukający czarnego kota, którego tam w ogóle nie ma.
Autor: Karol Darwin

Podsumowując:
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) ziemscy matematycy moją sobie szukać warunku wystarczającego => i koniecznego ~> do końca świata i jeden dzień dłużej, bowiem fizycznie niemożliwy jest opis tych warunków przy pomocy spójników „i”(*) oraz „lub”(+).

Prezentowane niżej przykłady opisane spójnikami „i”(*) i „lub”(+) z definicji mają zero wspólnego z warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Wszystkie prezentowane niżej przykłady to matematyczny opis prostych obwodów elektrycznych, matematyka musi sobie z tym poradzić inaczej jest do bani.
Zauważmy, że ziemianie nie mają żadnych szans na poprawny, matematyczny opis poniższych układów bo nie znają kluczowego tu pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).

Zapiszmy tabelę T1 w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

T2
Schemat: A0B0
   p  q ~p ~q  A0: Y=p*q          # B0:~Y=~(p*q)=~p+~q
A: 1  1  0  0       1                    1
B: 1  0  0  1       0                    1
C: 0  1  1  0       0                    1
D: 0  0  1  1       0                    0
##
Schemat: A1B1:
   p  q ~p ~q  A1: Y=p+q           # B1:~Y=~(p+q)=~p*~q
A: 1  1  0  0       1                     0
B: 1  0  0  1       1                     0
C: 0  1  1  0       1                     0
D: 0  0  1  1       0                     1
##
Schemat: A2B2:
   p  q ~p ~q  A2: Y=~(p*q)=~p+~q   # B2:~Y=~(~p+~q)=p*q
A: 1  1  0  0       0                      1
B: 1  0  0  1       1                      0
C: 0  1  1  0       1                      0
D: 0  0  1  1       1                      0
##
Schemat: A3B3:
   p  q ~p ~q  A3: Y=~(p+q)=~p*~q   # B3:~Y=~(~p*~q)=p+q
A: 1  1  0  0       0                      1
B: 1  0  0  1       0                      1
C: 0  1  1  0       0                      1
D: 0  0  1  1       1                      0

Doskonale widać, że w pionie spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Przyjmijmy konieczną dla zrozumienia przykładów notację:
Kod:

1.
Przycisk normalnie rozwarty (trzeba go wcisnąć aby zewrzeć styki):
         p
      ======
------o    0-----

2.
Przycisk normalnie zwarty (trzeba go wcisnąć, aby rozewrzeć styki)

         q
------o  |  o-----
      =======

W świecie techniki oba rodzaje przycisków są popularne i produkowane.


Fizyczne realizacje układów A0B0, A1B1, A2B2, A3B3 są następujące:

A0B0
Fizyczna realizacja układu A0B0:

A0: Y=p*q # B0: ~Y=~p+~q
Kod:

Schemat: A0B0
           Y                        p               q
     --------------              =======         =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o     o----
   |  -------------                                        |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A0B0:
A0:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska (normalnie rozwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A0 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B0:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p nie będzie wciśnięty (~p=1) lub przycisk q nie będzie wciśnięty (~q=1).
Innymi słowy:
Którykolwiek z przycisków p lub q nie będzie wciśnięty i już żarówka nie świeci się

Zrozumienie poniższej notacji jest konieczne dla zrozumienia niniejszego wykładu.

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - żarówka świeci się
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci się (~Y)
Innymi słowy:
Żarówka świeci się
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - żarówka nie świeci się (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci się (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci się (Y)
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci się

A1B1
Fizyczna realizacja układu A1B1

A0: Y=p+q # B0: ~Y=~p*~q
Kod:

Schemat: A1B1                       q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A1B1:
A1:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska (normalnie rozwarty) p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek z przycisków jest wciśnięty i już żarówka świeci się

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)

A2B2
Fizyczna realizacja układu A2B2

A2: Y=~p+~q # B2:~Y=p*q
Kod:

 Schemat: A2B2                      q

                           ------o  |  o------
                           |     =======     |
           Y               |        p        |
     --------------        |                 |
   --|  żarówka   |--------|-----o  |  o-----|-------
   |  -------------              =======            |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie zwarte (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A2B2:
A2:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Innymi słowy:
Wystarczy, że dowolny przycisk nie jest wciśnięty i już żarówka świeci się (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A2 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B2:
~Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A3B3
Fizyczna realizacja układu A3B3:

A3:
A3: Y=~p*~q # B3: ~Y=p+q
Kod:

Schemat: A3B3
           Y                        p               q
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o---------o  |  o----
   |  -------------              =======         =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie zwarte (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A3B3:
A3:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) i nie jest wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A3 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B3:
~Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1).
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q będzie wciśnięty i już żarówka nie świeci się (~Y=1)

2.2.2 Grupa spójników implikacyjnych

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik wyrażony szczegółowo zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q (szczegóły poznamy w punkcie 4.0).

Do grupy spójników implikacyjnych należą spójniki (~~>, =>, ~~>, <=>, „albo”($) potrzebne ~> i wystarczające => do obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
W algebrze Boole’a z definicji znającej wyłącznie 5 znaczków {0, 1, (~), „i”(*), „lub”(+)} interesują nas definicje znaczków ~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($) wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Prawo Skorpiona:
Ziemscy matematycy, którzy korzystają z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q =~p+q
jak również z prawa eliminacji warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q (bez znaczenia jest że tego akurat ziemianie nie znają)
nie mają żadnych szans na poprawny, matematyczny opis tych warunków.

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A  A     A    A     A    A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9     10   11    12 13 14 15

Funkcje logiczne Y i ~Y w obszarze spójników implikacyjnych (zdania Jeśli p to q”) są następujące.
Kod:

Zdania warunkowe „Jeśli p to q” wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
A4:  Y=(p=>q)=~p+q            # B4: ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
A5:  Y=(p~>q)=p+~q            # B5: ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
A6:  Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q      # B6: ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
A7: Y=(p~~>q)=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q=p*(q+~q)+~p*(q+~q) = p+~p=1
stąd:
A7:  Y=(p~~>q)=1              # B7: ~Y=~(p~~>q)=~(1)=0
##
Spójniki przeciwne do w/w:
A8:  Y=~(p=>q)=p*~q           # B8: ~Y=(p=>q)=~p+q
##
A9:  Y=~(p~>q)=~p*q           # B9: ~Y=(p~>q)=p+~q
##
A10: Y=p$q=~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B10: ~Y=~(p$q)=(p<=>q)=p*q+~p*~q
##
A11: Y=~(p~~>q)=0             # B11: ~Y=(p~~>q)=~(0)=1

Doskonale widać, że między wierszami spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

A4B4:
Fizyczna realizacja układu A4B4

A4: Y=~p+q # B4: ~Y=p*~q
Kod:

Schemat: A4B4                       q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |                 |
   --|  żarówka   |--------|-----o  |  o-----|-------
   |  -------------              =======            |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A4B4:
A4:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) lub wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A4 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B4:
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) q (~q=1)

A5B5:
Fizyczna realizacja układu A5B5

A5: Y=p+~q # B5: ~Y=~p*q
Kod:

Schemat: A5B5                       q
                           ------o  |  o------
                           |     =======     |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A5B5:
A5:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A5 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
BB:
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A6B6:
Fizyczna realizacja układu A6B6

A6: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # B6: ~Y= ~(p<=>q) = p*~q+~p*q
Kod:

Schemat: A6B6                     
           q                        p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o----------
   |  -------------                              |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - żarówka

Opis układu A6B6 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A6.
Y=p*q+~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A6B6 to:
Ya=1 <=> p=1 i q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Ya=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q świeci się (q=1)
lub
Yc=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Yc=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)

Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
Y=p*q+~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Pozostałe zdarzenia na schemacie A6B6 nie są możliwe (~Y=1).
B6.
~Y=p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 to:
~Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yb=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)
lub
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yd=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q świeci się (q=1)

Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y=p*~q +~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Uwaga:
W logice matematycznej każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć (zbiorów) p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q znana ziemskim matematykom:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem =>zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Stąd łatwo udowodnić że równanie:
Y= p<=>q = p*q+~p*~q
opisuje równoważność prawdziwą.
Dowód:
dla p=q mamy:
p<=>p = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd

Oczywistym jest że definicja spójnika „albo”($) musi tu być fałszem.
Definicja spójnika „albo”($) w równaniu algebry Boole’a:
p$q = p*~q + ~p*q
W równoważności zachodzi tożsamość zdarzeń (zbiorów):
p=q
stąd mamy:
p$p = p*~p + ~p*p = [] +[] =[] =0
Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy.
cnd

A7B7:
Fizyczna realizacja układu A7B7

A7: Y=(p~~>q)=1 # B7: ~Y=~(p~~>q)=~(1)=0
Kod:

Schemat: A7B7                     
           Y                        p           q
     --------------              =======     =======
   --|  żarówka   |---------   --o     o-----o     o---
   |  -------------        |
   |                       |
-------                    |
  ---   U (zasilanie)      |
   |                       |
   -------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Myślę, że tu wszystkich zaskoczę:
Najprostszy układ elektryczny chaosu Y=(p~~>q)=1 gdzie wszystko może się zdarzyć to żarówka na stałe podłączona do zasilania i dwie atrapy przycisków p i q - w jakimkolwiek nie byłyby stanie to żarówka musi się świecić.

A8B8:
Fizyczna realizacja układu A8B8

A8: Y=p*~q # B8: ~Y=~p+q
Kod:

Schemat: A8B8
           Y                        p               q
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o  |  o----
   |  -------------                              =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
q - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)

Opis układu A8B8:
A8:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (~q=1)
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A8 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B8:
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) p (~p=1) lub jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) q (q=1)

A9B9:
Fizyczna realizacja układu A9B9

A9: Y=~p*q # B9: ~Y=p+~q
Kod:

Schemat: A9B9
           Y                        q               p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o---------o  |  o----
   |  -------------                              =======   |
   |                                                       |
-------                                                    |
  ---   U (zasilanie)                                      |
   |                                                       |
   ---------------------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Opis układu A9B9:
A9:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1) i wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) q (q=1)
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A9 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B9:
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie zwarty) p (p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk (normalnie rozwarty) q (~q=1)

A10B10:
Fizyczna realizacja układu A10B10

A10: Y=p$q=~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B10: ~Y=~(p$q)=(p<=>q)=p*q+~p*~q
Kod:

Schemat: A10B10                     
           q                        p
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o----------
   |  -------------              =======         |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
q - żarówka

Opis układu A10B10 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A10.
Y=(p$q) = p*~q+~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A10B10 to:
Ya=1 <=> p=1 i ~q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Ya=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)
lub
Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
Możliwe jest zdarzenie cząstkowe (Yc=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q świeci się (q=1)

Zdarzenia możliwe (Y=1) na schemacie A10B10 opisuje równanie algebry Boole’a:
Y= (p$q) = p*~q+~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Pozostałe zdarzenia na schemacie A10B10 nie są możliwe (~Y=1).
B10.
~Y=~(p$q) = p<=>q = p*q +~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A10B10 to:
~Yb=1 <=> p=1 i q=1
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yb=1): przycisk p jest wciśnięty (p=1) i żarówka q świeci się (q=1)
lub
Niemożliwe jest zdarzenie cząstkowe (~Yd=1): przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) i żarówka q nie świeci się (~q=1)

Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) na schemacie A6B6 opisuje równanie algebry Boole’a:
~Y=p*q +~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Uwaga:
W logice matematycznej spójnik „albo”($) definiuje tożsamość p=~q
p=~q <=> p$q = p*~q+~p*q
Zachodzi także:
q=~p <=> q$p = q*~p + ~q*p = p*~q + ~p*q
cnd

Stąd łatwo udowodnić że równanie:
Y= p$q = p*~q+~p*q
opisuje prawdziwość zdania ze spójnikiem „albo”($):
Dowód:
dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p)+~p*~(p) = p*p + ~p*~q = p+~p=1
cnd

Oczywistym jest że definicja spójnika równoważności p<=>q musi tu być fałszem.
Definicja spójnika równoważności p<=>q w równaniu algebry Boole’a:
p<=>q = p*q + ~p*~q
W spójniku „albo”($) zachodzi tożsamość zdarzeń (zbiorów):
q=~p
stąd mamy:
p<=>~p = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p = [] +[] =[] =0
Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy.
cnd

A11B11:
Fizyczna realizacja układu A11B11

A11: Y=~(p~~>q)=0 # B11: ~Y=(p~~>q)=~(0)=1
Kod:

Schemat: A11B11                     
           Y                        p           q
     --------------              =======     =======
   --|  żarówka   |-------   ----o     o-----o     o---
   |  -------------
   |
-------
  ---   U (zasilanie)
   |
   -----------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Myślę, że tu także wszystkich zaskoczę:
Najprostszy układ elektryczny śmierci Y=~(p~~>q)=0 to żarówka nigdzie nie podłączona, czyli na stałe jest wygaszona plus dwie atrapy przycisków p i q - w jakimkolwiek nie byłyby stanie to żarówka nie będzie się świecić.

2.2.3 Grupa spójników jednoargumentowych

Kod:

TS’ - fragment z tabeli wszystkich możliwych spójników logicznych TS
        | Y  Y  Y  Y
   p  q | p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1  0  0
B: 1  0 | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0  1  1
          A  A  A  A
          12 13 14 15

Grupa spójników jednoargumentowych to:
A12: Y=p # B12: ~Y=~p
##
A14: Y=~p # B14: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

A12B12:
Fizyczna realizacja układu A12B12

A12: Y=p # B12: ~Y=~p
Układ A12B12 to operator transmisji, transmituje cyfrowy sygnał z wejścia p na wyjście Y w przełożeniu 1:1, bez żadnych zniekształceń
Kod:

Schemat: A12B12                     
           Y                        p
     --------------              =======
   --|  żarówka   |--------------o     o----------
   |  -------------                              |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie rozwarty (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)
Y - żarówka (wyjście sygnału)

Opis układu A12B12:
A12:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk (normalnie rozwarty) p (p=1)
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczna jedynka z wejścia p (p=1) jest transmitowana na wyjście Y (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A12 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B12:
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=>~p=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
(~p=1) = (p=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
(Y=0) <=> (p=0)
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczne zero z wejścia p (p=0) transmitowane jest na wyjście Y (Y=0)

Podsumowując:
Równanie operatora transmisji:
Y=p
oznacza, że zero-jedynkowy sygnał na wejściu p przesyłany jest na wyjście Y bez żadnych zniekształceń w skali 1:1.

A14B14:
Fizyczna realizacja układu A14B14

A14: Y=~p # B14: ~Y=p
Układ A14B14 to operator negacji, transmituje zawsze zanegowany sygnał z wejścia p na wyjście Y
Kod:

Schemat: A14B14                     
           Y                        p
     --------------
   --|  żarówka   |--------------o  |  o----------
   |  -------------              =======         |
   |                                             |
-------                                          |
  ---   U (zasilanie)                            |
   |                                             |
   -----------------------------------------------
p - przycisk normalnie zwarty (wciśnięcie przycisku powoduje rozwarcie)
Y - żarówka

Opis układu A14B14:
A14:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk (normalnie zwarty) p (~p=1)
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> p=0
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczne zero na wejściu p (p=0) wymusza logiczną jedynkę na wyjściu Y (Y=1)

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem A14 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B14:
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy przycisk p jest wciśnięty (p=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Zapis matematycznie tożsamy:
(Y=0) <=> (p=1)
W laboratorium techniki cyfrowej chodzi o to, że logiczna jedynka na wejściu p (p=1) wymusza logiczne zero na wyjściu Y (Y=0)

Podsumowując:
Równanie operatora negacji:
Y=~p
oznacza, że na wyjście Y transmitowany jest zawsze zanegowany sygnał z wejścia p.


2.3 Jak uczyć algebry Boole’a?

Jak uczyć algebry Boole’a?
Niniejszy rozdział to wskazówki dla nauczycieli matematyki co powinni wymagać od uczniów uzdolnionych humanistycznie (nie matematycznie) w temacie algebra Boole’a.

W niniejszym puncie prezentuję algebrę Boole’a dla humanistów (nie matematyków), czyli zero jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych.

Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom naturalnymi ekspertami także algebry Boole’a używanej w języku potocznym są wszystkie 5-cio latki, czego dowód w niniejszym punkcie.

Definicje symboli

Niezbędne definicje symboli to:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie „NIE” z języka potocznego człowieka
Gdzie:
Prawda to brak fałszu
1 = ~(0)
Fałsz to brak prawdy
0 = ~(1)
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnego języka potocznego
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka potocznego

2.3.1 Prawo podwójnego przeczenia

Przykład kodowania matematycznego zdań twierdzących symbolami powiązanymi z wypowiadanym zdaniem:
1.
Jestem uczciwy
U
2.
Jestem nieuczciwy
~U - wszelkie przeczenia w zdaniach muszą być uwzględnione w kodowaniu symbolicznym zdania
3.
Nieprawdą jest ~( … ) że jestem nieuczciwy ~U

Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia:
1: Jestem uczciwy = 3: nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
1: U = 3: ~(~U)
W matematyce tego typu prawa zapisujemy przy pomocy symboli formalnych Y, p, q … nie mających związku z wypowiedzianym zdaniem (symbole aktualne np. U wyżej)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym (ogólnym):
p = ~(~p)

2.3.1 Operator AND(|*)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator AND(|*) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Logika dodatnia (bo p) i ujemna (bo ~p)
Dowolny symbol (w tym funkcja logiczna Y) zapisany jest w logice dodatniej gdy nie ma przeczenia (~) przed symbolem, inaczej zapisany jest w logice ujemnej.

Aby odpowiedzieć na pytania które stawia przed nami definicja operatora AND(|*) musimy poznać algorytm Wuja Zbója przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) - albo odwrotnie.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy symbole wymieniając spójniki na przeciwne tzn. „i”(*) na „lub”(+), albo odwrotnie.

Przykład:
1: Y=K*T
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
2: ~Y = ~K+~T
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez ponowną negacje symboli i wymianę spójników:
3: ~(~Y) = ~(~K)*~(~T)
Po skorzystaniu z prawa podwójnego przeczenia:
~(~p)=p
lądujemy w równaniu 1:
1: Y=K*T

Dopiero w tym momencie jesteśmy w stanie odpowiedzieć w logice 5-cio latka, na pytania stawiane przez operator AND(|*):

Pani w przedszkolu mówi::
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy w oba miejsca, do kina (K) i do teatru (T).

2.
Kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
2: ~Y=~K+~T
Wystarczy, że nie pójdziemy w którekolwiek miejsce i już pani skłamie (~Y)

Jak rozpisać na zdarzenie rozłączne przypadek kiedy pani skłamie (~Y)?
Wróćmy do zdania wypowiedzianego:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T =1

inaczej pani skłamie!
Tu 5-cio latki będą miały niezłą zabawę jakie jeszcze zdarzenia mogą jutro zajść z wykluczeniem:
Y=K*T

Poprawna odpowiedź to:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yc =~K*~T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yd = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)

Zauważmy że funkcje cząstkowe ~Yb, ~Yc i ~Yd połączone są spójnikiem „lub”(+) z funkcją matką ~Y:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
2: ~Y = ~K+~T <=> 3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T

Z powyższej tożsamości logicznej wynika, że odpowiedzieć na pytanie kiedy pani skłamie (~Y) możemy dwoma tożsamymi sposobami. Obie odpowiedzi są zrozumiałe dla 5-cio latka.

Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość po drugiej stronie

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
Zdarzenie ~Yb, ~Yc, ~Yd oraz Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Yd = ~K*T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja cząstkowa jest zanegowana (~Yd)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Y = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
~Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
~Yc = ~K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, tyle że w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Stąd mamy:

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przyszłości - nie wiemy które z czterech możliwych zdarzeń Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
albo
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K*~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y=~K*~T
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcja logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
~Y=K+T
Innymi słowy:
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y).

2.3.2 Operator OR(|+)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator OR(|+) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Pani przedszkolanka mówi:
Jutro pójdziemy do kina kub do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
1: Y = K+T =1
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T =1
Innymi słowy:
Wystarczy że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa.

Co to znaczy „w dowolne miejsce” od strony czysto matematycznej?
Jak do tego podejść najprościej?

Tu na pierwszy ogień możemy sobie odpowiedzieć na pytanie 2:
2.
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K*~T =1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
w pozostałych przypadkach pani dotrzyma słowa!

Te pozostałe przypadki to:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (Yb)
LUB
Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
Yc = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcje cząstkowe w logice dodatniej Ya, Yb, Yc są częścią funkcji matki w logice dodatniej Y:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
3: Y = K*T + K*~T +~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
1: Y=K+T <=> 3: Y = K*T + K*~T +~K*T

Oznacza to, że odpowiedzieć na pytanie kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) możemy na dwa tożsame sposoby. Oba są zrozumiałe przez 5-cio latka

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Ya, Yb, Yc ~Y zajdzie jutro.
Zdarzenia Ya, Yb, Yc oraz ~Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Y = ~K*~T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja jest zanegowana (~Y)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Ya = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Yc = ~K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, także w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K+~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (T)
Y=~K+~T
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcją logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K*T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
~Y=K*T

W tym momencie kończę omówienie algebry Boole’a w wersji dla 5-cio latków.
Kluczową i najważniejszą część algebry Kubusia tzn. obsługę zdań warunkowych w algebrze Kubusia w wersji dla 5-cio latków pozostawiam ziemskim matematykom.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 5:36, 03 Kwi 2021, w całości zmieniany 20 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:39, 22 Sty 2021    Temat postu:

Wstęp do algebry Kubusia
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Część I

Spis treści
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
3.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
3.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
3.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 2
3.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
3.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 3
3.3 Dziedzina 5
3.3.1 Zaprzeczenie zbioru 6
3.3.2 Nazwa własna zbioru 6
3.3.3 Dziedzina użyteczna 7
3.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną? 7
3.4 Algebra Kubusia dla przedszkolaków 9
3.4.1 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~> 9
3.5 Teoria algebry Kubusia w zbiorach dla 5-cio latków 10
3.5.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 12
3.5.2 Prawa Kubusia 12
3.5.3 Prawo przedszkolaka 12
3.6 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
3.6.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 17


3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

3.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

3.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

3.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego

Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =1
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

3.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

3.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór liczb naturalnych”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze nie zdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod:

T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------
|                         DA - dziedzina absolutna                |
-------------------------------------------------------------------

Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA

Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie elementy ze zbioru ~U=[] musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

3.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Innymi słowy:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.

3.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[T]

3.3.2 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

W praktycznej logice matematycznej z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.


3.3.3 Dziedzina użyteczna

Definicja dziedziny użytecznej:
Dziedzina użyteczna do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Przyjęte dziedziny A i B mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
Dziedzina A (ZWZ) wskazuje nam że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
Dziedzina B (ZWS) mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.

Dowód na przykładzie:
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Nie interesują nas to żadne pojęcia spoza dziedziny minimalnej, o czym w praktyce każdy matematyk intuicyjnie wie.

3.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną?

Definicja dziedziny użytecznej:
Dziedzina użyteczna do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Dlaczego za dziedzinę użyteczną nie możemy przyjąć Uniwersum?

Odpowiedź:
Jeśli za dziedzinę przyjmiemy U(Uniwersum) to jedyną równoważnością jaką będziemy w stanie rozpoznać będzie równoważność:
U<=>U = (A1: U=>U)*(B1: U~>U) =1*1 =1
Definiująca tożsamość zbiorów U=U.

Żadnej innej równoważności w naszym Wszechświecie nie rozpoznamy!

Dowód na przykładzie:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Dziedzina minimalna w twierdzeniu Pitagorasa to:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

To jest najpopularniejsza definicja równoważności znana wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6740
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 17 200
Zachodzi tożsamość pojęć:
Konieczne ~> = potrzebne ~>

Dowód iż równoważność Pitagorasa definiuje tożsamość zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =p<=>q - definicja formalna (ogólna)
Dla twierdzenie Pitagorasa mamy:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3:SK=>TP) = 1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK =1 - twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
B3: SK=>TP =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione wieki temu

Powyższą definicję tożsamości zbiorów zna każdy ziemski matematyk.
Zastosujmy do B3 prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - zapis formalny (ogólny)
Dla twierdzenia Pitagorasa:
B3: SK=>TP - B1: TP~>SK - zapis aktualny dla twierdzenia Pitagorasa

Stąd mamy tożsamą definicję zbiorów TP=SK o której mówiliśmy w twierdzeniu Pitagorasa:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =TP<=>SK

Zobaczmy co się stanie jak dla twierdzenia Pitagorasa przyjmiemy dziedzinę U(Uniwersum):

Dla dziedziny U(Uniwersum) twierdzenie proste Pitagorasa nie będzie częścią równoważności:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: TP~>SK) =1*1 =1
lecz częścią implikacji prostej TP|=>U o definicji:
A1: TP=>U =1 - zbiór TP jest podzbiorem U(Uniwersum)
B1: TP~>U =0 - zbiór TP nie jest (=0) nadzbiorem ~> U (Uniwersum)
stąd:
TP|=>U = (A1: TP=>U)*~(B1: TP~>U) = 1*~(0) =1*1 =1

Innymi słowy:
Jeśli za dziedzinę przyjmiemy U(Uniwersum) to żegnajcie absolutnie wszystkie równoważności udowodnione przez ziemskich matematyków np. równoważność Pitagorasa.
cnd

3.4 Algebra Kubusia dla przedszkolaków

Wykład algebry Kubusia dla przedszkolaków dedykowany jest paniom przedszkolankom na całym świecie - na jego podstawie pani przedszkolanka nie będzie miała żadnego problemu z nauką algebry Kubusia w przedszkolu.

Na podstawie historycznych doświadczeń (15 lat wojny o algebrę Kubusia) mogę stwierdzić z całą mocą:
„Łatwiej jest wielbłądowi przejść przez ucho igielne, niż bogatemu wejść do królestwa niebieskiego” (Mt 19,24; por. Łk 18,25)
Innymi słowy:
Łatwiej 5-cio latkowi i pani przedszkolance wytłumaczyć o co chodzi w algebrze Kubusia, niż twardogłowemu matematykowi z mózgiem wypranym gównem zwanym „implikacja materialna”.

Prawo przedszkolaka:
Dla zrozumienia kompletnej algebry Kubusia na poziomie 5-cio latka wystarczający jest zbiór czteroelementowy.

Zacznijmy, tytułem wstępu, od zdefiniowania relacji podzbioru => i nadzbioru ~>

3.4.1 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja równoważności p<=>q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Stąd mamy bardzo ważne w logice matematycznej prawo Słonia:

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

3.5 Teoria algebry Kubusia w zbiorach dla 5-cio latków

Fundamentem algebry Kubusia są zaledwie trzy elementarne znaczki:
~~> - element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Zauważmy, że na mocy definicji wykonujemy tu procedurę wyznaczającą kompletny iloczyn logiczny zbiorów p*q, lecz przerywamy ją z rozstrzygnięciem „prawda” po napotkaniu pierwszego elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Do zapamiętania:

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

3.5.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

3.5.2 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia mówią o związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” bez zamiany p i q.

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
Dowód prawa Kubusia A1A2:
A2: ~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = A1: p=>q
cnd
Dowód prawa Kubusia B1B2:
B2: ~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = B1: p~>q
cnd

3.5.3 Prawo przedszkolaka

Prawo przedszkolaka:
Dla zrozumienia kompletnej algebry Kubusia na poziomie 5-cio latka wystarczający jest zbiór czteroelementowy.

Algebrę Kubusia dla przedszkolaków zilustrujemy przykładami na poziomie 5-cio latka definiując potrzebne nam elementy zbiorów
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
S - Słoń


3.6 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach

Przypomnijmy sobie kluczowe pojęcia podstawowe:

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
bowiem logika matematyczna nie zajmuje się liczeniem elementów w zbiorach, lecz tylko i wyłącznie badaniem czy relacja podzbioru => czy też nadzbioru ~> jest spełniona (=1), czy też niespełniona (=0).

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Implikacja prosta p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wynika z tego, że po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q =1 nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego A2: ~p~>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).

Zapiszmy definicję implikacji prostej p|=>q w tabeli prawdy z uwzględnieniem praw Kubusia.
Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
    A1B1           A2B2
A1: p=>q =1 [=] A2:~p~>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =0 [=] B2:~p=>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy kolumny A2B2 zapisujemy:
Definicja implikacji odwrotnej ~p~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q=1)*~(B2:~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Kolumna A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy, że:
Zdanie A1: p=>q =1 mówi nam, iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdanie B1: p~>q =0 wyklucza tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy definicja warunku koniecznego p~>q byłaby spełniona (p~>q=1) i mielibyśmy do czynienia z równoważnością:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wniosek:
W implikacji prostej p|=>q zbiór p musi być podzbiorem => zbioru q i nie być tożsamy ze zbiorem q

Stąd mamy wyprowadzoną definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach.

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Definicja implikacji prostej p|=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne oba zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbudujmy minimalne zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej p|=>q:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
Budujemy:
p=[K] - Kubuś
q=[K+P] - Kubuś plus Prosiaczek
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej p i q:
p+q = [(K)+(K+P)] = [K+K+P] = [K+P]
bo prawo algebry Boole’a:
p+p = p
K+K = K
Przyjmujemy zatem dziedzinę:
D = [K+P+T] - Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q rozumiane jako uzupełnienie zbioru do wspólnej dziedziny D.

Obliczamy ~p:
~p = [D-p] = [(K+P+T)-(K)] = [K+P+T-K] = [P+T]
bo:
K-K=[] - zbiór pusty
Gdzie:
Zbiór pusty to z definicji zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, na którym nie możemy operować. Wszelkie zbiory na których operujemy muszą być niepuste i zrozumiałe dla człowieka na mocy definicji zbioru.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zbiór dwuelementowy P(Prosiaczek) + T(Tygrysek) jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Do zbioru ~p=[P+T] nie wolno nam dodać jakiegokolwiek elementu ze zbioru pustego [] zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka bo cały zbiór ~p=[P+T] stanie się niezrozumiały.
Dowód:
~p=[P+T+jadsyerg]
Pojęcia „jadsyerg” nikt nie rozumie, dlatego na mocy definicji zbioru nie wolno nam rozszerzać zbioru ~p to pojęcie.

Obliczamy ~q:
~q = [D-q] = [(K+T+P)-(K+T)] = [K+T+P-K-T] = [K-K+T-T +P] = [P]
bo:
K-K =[] - zbiór pusty
T-T =[] - zbiór pusty

Wypiszmy wszystkie zbiory potrzebne do dalszej analizy spełniające definicję implikacji prostej p|=>q:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K+P] - zbiór q (Kubuś plus Prosiaczek)
~p=[D-p]=[P+T] - zbiór ~p (Prosiaczek plus Tygrysek)
~q=[D-q]=[T] - zbiór ~q (Tygrysek)

Dlaczego w definicji implikacji prostej p|=>q jest zastrzeżenie iż dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q?
Obliczmy sumę logiczną naszych zbiorów p+q:
p+q = [K]+[K+P] = [K+P]
Przyjmijmy dziedzinę tożsamą z suma logiczną zbiorów p+q:
D=[K+P]
Obliczamy ~q:
~q=[D-q] = [(K+P)-(K+P)] = []
Doskonale widać, że zbiór ~q jest w tym przypadku zbiorem pustym [] zawierającym zero elementów zrozumiałych dla człowieka.
Na zbiorze pustym [] będący zbiorem pojęć niezrozumiałych dla człowieka nie jesteśmy w stanie operować, stąd w definicji implikacji prostej p|=>q zastrzeżenie iż:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.
cnd

3.6.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dający odpowiedź na dwa fundamentalne pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbiory spełniające definicję implikacji prostej p|=>q zdefiniowaliśmy wyżej:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K+P] - zbiór q (Kubuś plus Prosiaczek)
~p=[D-p]=[P+T] - zbiór ~p (Prosiaczek plus Tygrysek)
~q=[D-q]=[T] - zbiór ~q (Tygrysek)

Nasz przykład:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?

Odpowiedzi szczegółowe:

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?


Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K+P] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+P]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+P]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =0
Szczegóły:
p=[K]~~>~q=[T] = [K]*[T] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe p i ~q są rozłączne.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?


Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Zauważmy że:
W zdaniu A1 udowodniliśmy zachodzący warunek wystarczający A1: p=>q =1
Wniosek:
Na mocy prawa Kubusia w zdaniu A2 musi być spełniona definicja warunku koniecznego ~> inaczej matematyka ścisła, rachunek zero-jedynkowy, leży w gruzach.

Dla formalności pozostaje nam sprawdzić.
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to to ten element może ~> należeć do zbioru ~q
~p~>~q =1
Szczegóły:
~p=[P+T] ~>~q=[T] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby ten element znajdował się w zbiorze ~q, bo zbiór ~p=[P+T] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[T]

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Szczegóły:
B2: ~p=[P+T] => ~q=[T] =0
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p nie jest (=0) wystarczające => do tego aby ten element znajdował się w zbiorze ~q, bo zbiór ~p=[P+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q=[T]
cnd
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą.
B2’: ~p~~>q =~p*q =1
Sprawdzamy:
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze q
~p~~>q =~p*q =1
Szczegóły:
~p=[P+T]~~>q=[K+T] = [P+T]*[K+T] = [T] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory ~p=[P+T] i q=[K+T] mają co najmniej jeden element wspólny, to T (Tygrysek)
cnd

Zauważmy, że w zdaniu B2’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> co łatwo udowodnić metodą na piechotę, bo zbiory są prymitywnie małe i proste w interpretacji.
Dowód:
1.
B2’: ~p=[P+T]=>q=[K+T] =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0), bo zbiór ~p=[P+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K+T] tzn. nie wszystkie elementy zbioru ~p należą do zbioru q
cnd
2.
B2’: ~p=[P+T]~>q=[K+T] =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0), bo zbiór ~p=[P+T] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+T] tzn. zbiór ~p nie zawiera co najmniej wszystkich elementów zbioru q.
cnd

Podsumowanie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0

Zauważmy, że istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (A2:~p~>~q =1)

Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru p (p=[K]) wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q=[K+P] - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K+P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

ALE

2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, taki element może należeć do zbioru ~q albo do zbioru q - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to to ten element może ~> należeć do zbioru ~q
~p~>~q =1
Szczegóły:
~p=[P+T] ~>~q=[T] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
LUB
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze q
~p~~>q =~p*q =1
Szczegóły:
~p=[P+T]~~>q=[K+T] = [P+T]*[K+T] = [T] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona, bo zbiory ~p i q mają element wspólny (Tygrysek)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 7:30, 05 Kwi 2021, w całości zmieniany 65 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:40, 22 Sty 2021    Temat postu:

Wstęp do algebry Kubusia
3.7 Kubusiowa teoria zbiorów

Część II

Spis treści
3.7 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 1
3.7.1 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
3.8 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 9
3.8.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q 13
3.9 Chaos p|~~>q w zbiorach 17
3.9.1 Operator chaosu p||~~>q 21
3.10 Relacje matematyczne między operatorami implikacyjnymi 23
3.11 Logika symboliczna 26
3.11.1 Przykład kodowania zgodnego z logiką człowieka 26
3.11.1 Przykład kodowania niezgodnego z logiką człowieka 27
3.11.2 Kodowanie mieszane 27


3.7 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Przypomnijmy sobie najważniejsze definicje dotyczące zbiorów:

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
bowiem logika matematyczna nie zajmuje się liczeniem elementów w zbiorach, lecz tylko i wyłącznie badaniem czy relacja podzbioru => czy też nadzbioru ~> jest spełniona (=1), czy też niespełniona (=0).

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzący wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Implikacja odwrotna p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wynika z tego, że po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego koniecznego B1: p~>q =1 nie musimy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego B2:~p=>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).

Zapiszmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w tabeli prawdy z uwzględnieniem praw Kubusia.
Kod:

T1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
    A1B1            A2B2
A1: p=>q =0 [=] A2:~p~>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =1 [=] B2:~p=>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy kolumny A2B2 zapisujemy:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q=1)*(B2:~p=>~q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Kolumna A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1
cnd

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Zauważmy, że:
Zdanie B1: p~>q =1 mówi nam, iż zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zdanie A1: p=>q =0 wyklucza tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy definicja warunku wystarczającego p=>q byłaby spełniona (p=>q=1) i mielibyśmy do czynienia z równoważnością:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wniosek:
W implikacji odwrotnej p|~>q zbiór p musi być nadzbiorem ~> zbioru q i nie być tożsamy ze zbiorem q

Stąd mamy wyprowadzoną definicję implikacji odwrotnej ~> w zbiorach.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbudujmy minimalne zbiory p i q spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
Budujemy:
p=[K+P] - Kubuś plus Prosiaczek
q=[K] - Kubuś
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej p i q:
p+q = [(K+P)+(K)] = [K+P+K] = [K+P]
bo prawo algebry Boole’a:
p+p = p
K+K = K
Przyjmujemy zatem dziedzinę:
D = [K+P+T] - Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q rozumiane jako uzupełnienie zbioru do wspólnej dziedziny D.

Obliczamy ~p:
~p = [D-p] = [(K+P+T)-(K+T)] = [K+P+T-K-T] = [P]
bo:
K-K=[] - zbiór pusty
T-T=[] - zbiór pusty
Gdzie:
Zbiór pusty to z definicji zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, na którym nie możemy operować. Wszelkie zbiory na których operujemy muszą być niepuste i zrozumiałe dla człowieka na mocy definicji zbioru.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zbiór jednoelementowy P(Prosiaczek) jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Do zbioru ~p=[P] nie wolno nam dodać jakiegokolwiek elementu ze zbioru pustego [] zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka bo cały zbiór P stanie się niezrozumiały.
Dowód:
~p=[P+jadsyerg]
Pojęcia „jadsyerg” nikt nie rozumie, dlatego na mocy definicji zbioru nie wolno nam rozszerzać zbioru ~p to pojęcie.

Obliczamy ~q:
~q = [D-q] = [(K+T+P)-(K)] = [K+T+P-K] = [K-K+P] = [P]
bo:
K-K =[] - zbiór pusty

Wypiszmy wszystkie zbiory potrzebne do dalszej analizy spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K+P] - zbiór p (Kubuś plus Prosiaczek)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[T] - zbiór ~p (Tygrysek)
~q=[D-q]=[P+T] - zbiór ~q (Prosiaczek plus Tygrysek)

Dlaczego w definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest zastrzeżenie iż dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q?
Obliczmy sumę logiczną naszych zbiorów p+q:
p+q = [K+P]+[K] = [K+P]
Przyjmijmy dziedzinę tożsamą z suma logiczną zbiorów p+q:
D=[K+P]
Obliczamy ~p:
~p=[D-p] = [(K+P)-(K+P)] = []
Doskonale widać, że zbiór ~p jest w tym przypadku zbiorem pustym [] zawierającym zero elementów zrozumiałych dla człowieka.
Na zbiorze pustym [] nie jesteśmy w stanie operować, stąd w definicji implikacji odwrotnej p|~>q zastrzeżenie iż:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.
cnd

3.7.1 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dający odpowiedź na dwa fundamentalne pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbiory spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q zdefiniowaliśmy wyżej:
D = [K+P+T] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek plus Tygrysek)
p=[K+P] - zbiór p (Kubuś plus Prosiaczek)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[T] - zbiór ~p (Tygrysek)
~q=[D-q]=[P+T] - zbiór ~q (Prosiaczek plus Tygrysek)

Nasz przykład:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?

Odpowiedzi szczegółowe:

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?


Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~> należeć do zbioru q
p~>q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~>q=[K]
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby ten element należał do zbioru q, bo zbiór p=[K+P] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K]

Zauważmy, że:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Szczegóły:
A1: p=[K+P] => q=[K] =0
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p nie jest (=0) wystarczające => do tego aby ten element znajdował się w zbiorze q, bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
cnd
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
A1’: p~~>~q =p*~q =1
Sprawdzamy:

LUB

A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze ~q
p~~>~q =p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[P+T] = [K+P]*[P+T] = [P] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory p=[K+P] i ~q=[P+T] mają co najmniej jeden element wspólny, to P (Prosiaczek)
cnd

Zauważmy, że w zdaniu A1’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> co łatwo udowodnić metodą na piechotę, bo zbiory są prymitywnie małe i proste w interpretacji.
Dowód:
1.
A1’: p=[K+P]=>~q=[P+T] =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0), bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q=[P+T] tzn. nie wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru ~q
cnd
2.
A1’: p=[K+P]~>~q=[P+T] =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0), bo zbiór p=[K+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q=[P+T] tzn. zbiór p nie zawiera co najmniej wszystkich elementów zbioru ~q.
cnd

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?


Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym =>
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Zauważmy że:
W zdaniu B1 udowodniliśmy zachodzący warunek konieczny B1: p~>q =1
Wniosek:
Na mocy prawa Kubusia w zdaniu B2 musi być spełniona definicja warunku wystarczającego => inaczej matematyka ścisła, rachunek zero-jedynkowy, leży w gruzach.
Pozostaje nam sprawdzić dla ciekawości:

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q, bo zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q, bo zbiór p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Szczegóły:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe ~p i q są rozłączne.
cnd

Podsumowanie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (B1: p~>q=1) oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (B2:~p=>~q =1)

Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, iż taki element może należeć do zbioru q albo do zbioru ~q - mówią o tym zdania B1 i A1’.
B1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~> należeć do zbioru q
p~>q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~>q=[K]
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
LUB
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element, to ten element może ~~> znajdować się w zbiorze ~q
p~~>~q =p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[P+T] = [K+P]*[P+T] = [P] =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona, bo zbiory p i ~q maja element wspólny P(Prosiaczek)

2.
Jeśli ze zbioru ~p=[T] wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q=[K+P] - mówi o tym zdanie A1.
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element, to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q

3.8 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach

Przypomnijmy sobie kluczowe pojęcia podstawowe:

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
bowiem logika matematyczna nie zajmuje się liczeniem elementów w zbiorach, lecz tylko i wyłącznie badaniem czy relacja podzbioru => czy też nadzbioru ~> jest spełniona (=1), czy też niespełniona (=0).

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Powyższa, podstawowa definicja równoważności p<=>q znana jest wszystkim ludziom, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 600
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 16 400

Prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wynika z tego, że po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q =1 nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego A2: ~p~>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).
Podobnie:
Po udowodnieniu prawdziwości warunku koniecznego B1: p~>q =1 nie musimy dowodzić warunku wystarczającego B2: ~p=>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).

Zapiszmy definicję równoważności w tabeli prawdy z uwzględnieniem praw Kubusia.
Kod:

T1
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
    A1B1           A2B2
A1: p=>q =1 [=] A2:~p~>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =1 [=] B2:~p=>~q =1 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy kolumny A2B2 zapisujemy:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p<=>~q = (A2:~p~>~q=1)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Kolumna A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1
cnd

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0   =
       ##              ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1
B’:               = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący jednocześnie warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Zauważmy, że:
Zdanie A1: p=>q =1 mówi nam, iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdanie B1: p~>q =1 mówi nam iż jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
Determinuje to tożsamość zbiorów p=q.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję równoważności p<=>q w zbiorach.

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbudujmy minimalne zbiory p i q spełniające definicję równoważności:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
Budujemy:
p=[K] - Kubuś
q=[K] - Kubuś
Bo równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q

Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej p i q:
p+q = [(K)+(K)] = [K+K] =K
bo prawo algebry Boole’a:
p+p = p
K+K = K
Przyjmujemy dziedzinę minimalnie szerszą:
D = [K+P] - Kubuś plus Prosiaczek
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q rozumiane jako uzupełnienie zbioru do wspólnej dziedziny D.

Obliczamy ~p:
~p = [D-p] = [(K+P)-(K)] = [K+P-K] = [P]
bo:
K-K=[] - zbiór pusty
Gdzie:
Zbiór pusty to z definicji zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, na którym nie możemy operować. Wszelkie zbiory na których operujemy muszą być niepuste i zrozumiałe dla człowieka na mocy definicji zbioru.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zbiór jednoelementowy P(Prosiaczek) jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Do zbioru ~p=[P] nie wolno nam dodać jakiegokolwiek elementu ze zbioru pustego [] zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka bo cały zbiór ~p=[P] stanie się niezrozumiały.
Dowód:
~p=[P+jadsyerg]
Pojęcia „jadsyerg” nikt nie rozumie, dlatego na mocy definicji zbioru nie wolno nam rozszerzać zbioru ~p to pojęcie.

Obliczamy ~q:
~q = [D-q] = [(K+P)-(K)] = [K+P-K] = [P]
bo:
K-K =[] - zbiór pusty

Wypiszmy wszystkie zbiory potrzebne do dalszej analizy spełniające definicję równoważności p<=>q:
D = [K+P] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[P] - zbiór ~p (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[P] - zbiór ~q (Prosiaczek)

Doskonale tu widać, że tożsamość zbiorów p=q (Kubuś) wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (Prosiaczek).
Tożsamość zbiorów ~p=~q wymusza oczywiście prawdziwość równoważności ~p<=>~q

Dowód formalny:
Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1
cnd

3.8.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0   =
       ##              ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1
B’:               = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dający odpowiedź na dwa fundamentalne pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy będą rozpoznawalne zbiory zaprzeczone ~p i ~q.

Zbiory spełniające definicję równoważności p<=>q zdefiniowaliśmy wyżej:
D = [K+P] - dziedzina (Kubuś plus Prosiaczek)
p=[K] - zbiór p (Kubuś)
q=[K] - zbiór q (Kubuś)
~p=[D-p]=[P] - zbiór ~p (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[P] - zbiór ~q (Prosiaczek)

Nasz przykład:
Definicja operatora równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?

Odpowiedzi szczegółowe:

Definicja operatora równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element?


Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q, bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =0
Szczegóły:
p=[K]~~>~q=[P] = [K]*[P] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe p i ~q są rozłączne.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?


Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym =>
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Na mocy prawa Kubusia możemy dowodzić prawdziwości dowolnej ze stron, warunek wystarczający => dowodzi się zawsze prościej ze względu na występującą wyłącznie tu definicję kontrprzykładu.

Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => B2.
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[P] => ~q=[P] =1
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q, bo zbiór ~p=[P] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q, bo zbiór ~p=[P] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P]
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Spełniony warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Szczegóły:
~p=[P]~~>q=[K] = [P]*[K] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiory jednoelementowe ~p i q są rozłączne.

Podsumowanie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p (B2:~p=>~q =1).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to miało miejsce zarówno w operatorze implikacji prostej p||=>q, jak i w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Dowód:
1.
Jeśli ze zbioru p (p=[K]) wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q (q=[K]) - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q
p=>q =1
Szczegóły:
p=[K] => q=[K] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

2.
Jeśli ze zbioru ~p (~p=[P]) wylosujemy dowolny element to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru ~q (~q=[P]) - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q
~p=>~q =1
Szczegóły:
~p=[P] => ~q=[P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Uwaga:
Operator równoważności p|<=>q to jedyny sensowny operator w świecie techniki.
Dlaczego?

Operator równoważności p|<=>q w świeci techniki działa tak:
Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo:
1.
Jeśli kręcimy kierownicą w prawo (p-prawo) to samochód na 100% => skręca kierownicą w prawo (p-prawo)
p=>p =1
2.
Jeśli kręcimy kierownicą w lewo (~p - nie w prawo) to samochód na 100% => skręca kierownicą w lewo (~p- nie w prawo)
~p=>~p =1

Natomiast:
Operator implikacji prostej p||=>q działa w świecie techniki tak:
Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo:
1.
Jeśli kręcimy kierownicą w prawo (p-prawo) to samochód na 100% => skręca kierownicą w prawo (p-prawo)
p=>p =1
ALE!
2.
Jeśli kręcimy kierownicą w lewo (~p - nie w prawo) to komputer sterujący kierownicą wywołuje generator cyfr losowych (G) i w zależności od wyniku skręca:
G=1 - skręcam zgodnie życzeniem kierowcy w lewo (~p - nie w prawo)
G=0 - skręcam w prawo (p - w prawo) … ignorują życzenie kierowcy!

Mam nadzieję, że wszyscy już widzą bezsens zastosowania operatora implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q w świecie techniki.
Dokładnie z tego powodu ziemscy matematycy nie byli w stanie zrozumieć zarówno operatora implikacji prostej p||=>q jak i operatora implikacji odwrotnej p||~>q … bo oba te operatory z definicji są kompletnie nieprzydatne w świecie techniki, przy konstruowaniu jakiegokolwiek urządzenia technicznego od zapalniczki poczynając na promie kosmicznym kończąc.

3.9 Chaos p|~~>q w zbiorach

Od strony czysto matematycznej operator chaosu p||~~>q to matematyczny „śmieć” bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej => (warunku wystarczającego =>) - wszystko może się zdarzyć.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q=~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy powyższych definicji łatwo obliczamy definicję chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
stąd mamy:
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q =0

Zastosujmy do A1 i B1 prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Stąd mamy definicję chaosu p|~~>q w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1: p=>q =0 [=] A2:~p~>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
##
B1: p~>q =0 [=] B2:~p=>~q =0 - na mocy prawa Kubusia
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relacje elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikające z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0
A’: 1: p~~>~q=1
A”: 1: p~~>q =1
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0
B’:             = 2:~p~~>q =1
B”:               2:~p~~>~q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2”.

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Definicja chaosu ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)
Kolumna A2B2:
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1=1


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q =0
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Zadajmy sobie pytanie:
Jaka jest minimalna dziedzina D na której możemy zbudować chaos p|~~>q?

Odpowiedź mamy w tabeli T2.
Widać z niej, że zbiory p, q, ~p, i ~q w relacji każdy z każdym muszą mieć element wspólny ~~> zatem poprawna odpowiedź to cztery elementy.

Zapiszmy dziedzinę czteroelementową konieczną dla zbudowania chaosu p|~~>q.
D=[K, P, T, S]
Gdzie:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)
S (słoń)
Teraz trzeba wykombinować cztery różne na mocy definicji ## zbiory zbudowane na bazie definicji D aby każdy z każdym miał co najmniej jeden element wspólny.
Zajmijmy się tym problemem:
Krok 1
1: [K,P]
2: [P,T]
3: [T,S]
4: [S,K]
Jak widzimy sąsiednie linie mają element wspólny, jednak aby ten element istniał w kombinacji każdy zbiór z każdym musimy nanieść poprawki.
Końcowe rozwiązanie:
Krok 2
1: [K,P]
2: [P,T]
3: [K,P,S]
4: [P,T,S]
Jak widzimy powieliliśmy zbiory 1 i 2 do 3 i 4 dokładając jedną zmienną wolną S.
Ta zmienna wolna S gwarantuje nam cztery zbiory różne na mocy definicji ## gdzie każdy z każdym ma co najmniej jeden element wspólny.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna istniejąca w układzie jednak nie biorąca udziału w definicji podstawowej układu przy pomocy zbiorów p i q.

Na mocy definicji zmiennej wolnej za p i q możemy przyjąć wyłącznie zbiory 1 i 2 - oczywiście jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q,

Zaczynamy:
Przyjmijmy następujący punkt odniesienia p i q:
1:
p=[K+P]
2:
q=[P+T]
Dziedzina:
D=[K+P+T+S]
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D
3:
Obliczamy ~p:
~p=[D-p] = (K+P+T+S)-(K+P) = (K+P)+T+S -(K+P) = T+S
bo:
x=[K+P]
x+~x =[] =0
Na mocy algebry Boole’a.
4:
Obliczamy ~q:
~q=[D-q] = (K+P+T+S)-(P+T) = K+S+(P+T)-(P+T) = K+S
bo:
x=[P+T]
x+~x =[] =0
Na mocy algebry Boole’a.

Jak widzimy, dzięki zmiennej wolnej S (Słoń) nasz cel został osiągnięty, otrzymaliśmy cztery zbiory p, q, ~p, ~q gdzie każdy z każdym ma co najmniej jeden element wspólny

Zdanie dla czytelnika:
Udowodnij, że nie da się utworzyć czterech zbiorów różnych na mocy definicji ## gdzie każdy zbiór z każdym ma element wspólny przy pomocy trzech elementów w dziedzinie.
D=[K, P, T]

3.9.1 Operator chaosu p||~~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0
A’: 1: p~~>~q=1
A”: 1: p~~>q =1
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0
B’:             = 2:~p~~>q =1
B”:               2:~p~~>~q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Nasz przykład:
Zapiszmy nasze zbiory spełniające definicję chaosu p|~~>q:
D=[K+P+T+S] - dziedzina
Gdzie:
K (Kubuś)
P (Prosiaczek)
T (Tygrysek)
S (słoń)
Punkt odniesienia to:
p=[K+P] - K(Kubuś)+P(Prosiaczek)
q=[P+T] - P(Prosiaczek)+T(Tygrysek)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[T+S) - T(Tygrysek) plus S(Słoń)
~q=[K+S) - K(Kubuś) plus S(Słoń)

Definicja operatora chaosu p||~~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2

1.
Co się stanie jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element (p=1)?

Kolumna A1B1:
A’’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
p~~>q = p*q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>q=[P+T] = [K+P]*[P+T] =[P] =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q, to P(Prosiaczek)

LUB

A’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[K+S] = [K+P]*[K+S] =[K]=1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q, to K(Kubuś)

LUB

2.
Co się stanie jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element (~p=1)?

Kolumna A2B2:
B’’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>~q=[K+S] = [T+S]*[K+S] = [S] =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q, to S(Słoń)

LUB

B’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>q=[P+T] = [T+S]*[P+T] = [T] =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q, to T(Tygrysek)

Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Podsumowanie chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q =0
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Istotą operatora chaosu p||~~~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

Dowód:
1.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, taki element może należeć do zbioru q albo do zbioru ~q - mówią o tym zdania A’’ i A1’.
A’’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
p~~>q = p*q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>q=[P+T] = [K+P]*[P+T] =[P] =1
LUB
A’.
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q = p*~q =1
Szczegóły:
p=[K+P]~~>~q=[K+S] = [K+P]*[K+S] =[K]=1

2.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to również mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, taki element może należeć do zbioru ~q albo do zbioru q - mówią o tym zdania B’’ i B’.
B’’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>~q=[K+S] = [T+S]*[K+S] = [S] =1
LUB
B’.
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =1
Szczegóły:
~p=[T+S]~~>q=[P+T] = [T+S]*[P+T] = [T] =1

3.10 Relacje matematyczne między operatorami implikacyjnymi

Zapiszmy wszystkie podsumowania operatorów implikacyjnych:

3.6.1
Podsumowanie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0

Zauważmy, że istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (A2:~p~>~q =1)

##

3.7.1
Podsumowanie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (B1: p~>q=1) oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (B2:~p=>~q =1)

##

3.8.1
Podsumowanie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Zauważmy, że istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (A1: p=>q =1) oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p (B2:~p=>~q =1).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to miało miejsce zarówno w operatorze implikacji prostej p||=>q, jak i w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

##

3.9.1
Podsumowanie chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):


Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q =1
bo prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =0
cnd

Istotą operatora chaosu p||~~~>q jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p.

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Dowód skrócony iż miedzy w/w operatorami implikacyjnymi zachodzi relacja matematyczna:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

3.6.1
Y = p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q = ~p*q
##
3.7.1
Y = p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q = p*~q
##
3.8.1
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
##
3.9.1
Y = p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=~p|~~>~q = 1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych Y
Definicje znaczka:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych Y omówiono szczegółowo w punkcie 2.1

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zapiszmy nasze funkcje logiczne w tabeli prawdy:
Kod:

T1
3.6.1
Y = ~p* q        # ~Y= p+~q
##
3.7.1
Y = p*~q         # ~Y=~p+ q
##
3.8.1
Y = p*q + ~p*~q  # ~Y=p*~q+~p*q
##
3.9.1
Y                # ~Y
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że w tabeli T1 spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##

Uwaga!
Zauważmy, że punkcie 3.9.1 musieliśmy pominąć wartościowanie bezwzględne w postaci twardej jedynki (Y=1) i twardego zera (~Y=0), bowiem w przeciwnym razie wychodzi bzdura:
Kod:

3.9.1
(Y=1)=(~Y=0) prawo Prosiaczka # (~Y=0)=(Y=1) prawo Prosiaczka
Jak widzimy bez pominięcia bezwzględnego wartościowania
definicja znaczka różne # leży i kwiczy
cnd


Algebra Kubusia jest algebrą symboliczną izolowaną od wszelkich zer i jedynek.
W algebrze symbolicznej negacją zmiennej binarnej Y jest zmienna binarna ~Y.

Uwaga
W algebrze Kubusia, w rachunku zero-jedynkowym każda kolumna wyjściowa musi być opisana funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y).
Logika matematyczna która nie widzi funkcji logicznych Y logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrze sprzeczna - to logika „matematyczna” ziemskich matematyków, niestety.

Innymi słowy:
Algebra Boole’a ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczna!
… bo jest ślepa i nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)

Matematyk to ślepiec w ciemnym pokoju szukający czarnego kota, którego tam w ogóle nie ma.
Autor: Karol Darwin

Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a zaprezentowano w punkcie 2.1 w zapisie formalnym (ogólnym) i na przykładzie w punkcie 2.1.1.

Historyczny wniosek podsumowujący punkty 2.1 i 2.1.1:
Ziemska algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W ziemskiej algebrze Boole’a wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.
cnd

3.11 Logika symboliczna

Nawiązując do poprzedniego punktu udajmy się do przedszkola.

Definicja kodowania w naturalnej logice matematycznej człowieka:
Zdania kodowane są w naturalnej logice matematycznej człowieka wtedy i tylko wtedy gdy w kodowaniu uwzględnimy wszelkie przeczenia „nie” w zdaniach.
To jest kodowanie domyślne, gdzie nie musimy dołączać tabeli zmiennych.

Inaczej:
Zdania nie są kodowane w naturalnej logice matematycznej człowieka.
Matematycznie to kodowanie też jest dobre, ale wtedy i tylko wtedy gdy do kodowania dołączymy mapę zmiennych

3.11.1 Przykład kodowania zgodnego z logiką człowieka

Przykład kodowania w naturalnej logice matematycznej człowieka.

Mapa zmiennej Y:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Ta mapa jest domyślna co oznacza, że nie musimy jej zapisywać przed przystąpieniem do kodowania matematycznego zdań.

Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Co w logice jedynek oznacza
Y=1 <=>K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma (Y) słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)

.. a kiedy pani skłamie?
2.
Negujemy stronami równanie 1
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)

3.11.1 Przykład kodowania niezgodnego z logiką człowieka

Mapa zmiennej Y:
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa (Y)
Ta mapa nie jest domyślna co oznacza, że musimy ją zapisywać przed przystąpieniem do kodowania matematycznego zdań.

Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina
~Y=K
Co w logice jedynek oznacza
~Y=1 <=>K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma (~Y) słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)

.. a kiedy pani skłamie?
2.
Negujemy stronami równanie 1
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani skłamie (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)

Matematycznie to kodowanie jest dobre bo przed przystąpieniem do kodowania zapisaliśmy mapę zmiennej Y.

3.11.2 Kodowanie mieszane

Zauważmy że:
Przed przystąpieniem do kodowania zdania złożonego z wielu zmiennych możemy sobie rzucać monetą i zapisywać.
orzełek - tą zmienną zapiszę w logice zgodnej z logiką człowieka
reszka - tą zmienną zapiszę w logice niezgodnej z logiką człowieka

Jeśli po zakończeniu losowania, przed kodowaniem zdania załączmy mapę zmiennych zapisanych w logice niezgodnej z logiką człowieka, to od strony czysto matematycznej takie kodowanie będzie poprawne.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 7:29, 05 Kwi 2021, w całości zmieniany 29 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:58, 04 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 3
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
4.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 10
4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a 13
4.6 Prawo śfinii 15
4.7 Skrócone definicje operatorów implikacyjnych 15



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 3.0)


4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p*q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p+~q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej (szczegóły w pkt. 2.1)

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
Kod:

A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B1:  Y= (p~>q)=p+~q 
     #                        #
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q  ##  B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
A1:  Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna A1 w logice dodatniej (bo Y)
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna A1 w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T1:  Y= (p=>q)=~p+q  ## T2:  Y =(p~>q)=p+~q ## T3:  Y= p+q  ## T4:  Y=p*q
     #                       #                      #               #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
T1:  Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna T1 w logice dodatniej (bo Y)
T1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna T1 w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q

##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

4.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Poznajmy kluczowe definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Porównajmy.

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
Y = (p~>q) =p+~q
stąd mamy:

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Porównajmy:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

W tabelach IP (implikacja prosta) i IO (implikacja odwrotna) p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Na mocy powyższego zapisujemy:

IP: Implikacja prosta p|=>q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) =~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Y = (p|=>q) = ~p*q

IO Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
Y = (p~>q) =p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Y = (p|~>q) = p*~q

Doskonale widać, że między implikacją prostą IP a implikacją odwrotną IO zachodzi relacja matematyczna:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Dowód formalny:
Kod:

IPIO:
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
~Y=~(p=>q)=p*~q ##~Y=~(p|=>q)=p+~q ##~Y=~(p~>q)=~p*q ##~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Doskonale widać, że definicja znaczka różna na mocy definicji ## dla funkcji logicznych w tabeli IPIO spełniona jest perfekcyjnie.

4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a

Biedni ziemscy matematycy nie odróżniają funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
W algebra Boole’a ziemian wszystkie funkcje logiczne zapisywane są wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem w tabeli IPIO wszystkie funkcje w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

IPIOZ: - matematyczna głupota ziemskich matematyków
 WW:               IP:                WK:               IO:
 Y=(p=>q)=~p+q  ## Y=(p|=>q)=~p*q  ## Y=(p~>q)=p+~q  ## Y=(p|~>q)=p*~q
 #                 #                  #                 #
 WWN:              IPN:               WKN:              ION:
 Y=~(p=>q)=p*~q ## Y=~(p|=>q)=p+~q ## Y=~(p~>q)=~p*q ## Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
WW - warunek wystarczający (WWN - negacja WW)
IP - implikacja prosta (IPN - negacja IP)
WK - warunek konieczny (WKN - negacja WK)
IO - implikacja odwrotna (ION - negacja IO)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy, w tym momencie algebra Boole’a ziemskich matematyków leży, kwiczy i błaga o litość - jest wewnętrznie sprzeczna.

Dowód:
Bez logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest spełniona definicja znaczka:
## - różne na mocy definicji dla funkcji logicznych

Przykład z tabeli IPIOZ:
WW: Y=(p=>q)=~p+q [=] ION: Y=~(p|~>q) =~p+q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Funkcja logiczna WW jest (=1) tożsama [=] z funkcją logiczną ION

Gdy tymczasem w poprawnej algebrze Boole’a według tabeli IPIO powinno być:
WW: Y=(p=>q)=~p+q ## ION: ~Y=~(p|~>q) = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Funkcja logiczna WW nie jest (=0) tożsama z funkcją logiczną ION

Twierdzenie masakrujące ziemską algebrę Boole’a:
Poprawna algebra Boole’a musi widzieć funkcje logiczne zarówno w logice dodatniej (bo Y) jak i w logice ujemnej (bo ~Y), inaczej jest wewnętrznie sprzeczna.
Wniosek:
Ziemska algebra Boole’a, która nie widzi funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna
cnd

Uwagi:

I.
Ziemski matematyk który będzie twierdził iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien spalić się ze wstydu … i wziąć zimny prysznic.
1: Y=p+q

II.
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż dowolnej funkcji logicznej nie wolno dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu … albo wziąć zimny prysznic (do wyboru)
1: Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~(p+q)
2: ~Y=~p*~q - na mocy prawa De Morgana
To jest niewyobrażalne, jak ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) zdołali uniknąć odkrycia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jak na powyższym przykładzie znanym każdemu 5-cio latkowi, ekspertowi algebry Kubusia ( i Boole’a oczywiście).

Dowód:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy pani jutro skłamie?
Jaś:
Oczywiście że wiem, przechodzę do logiki ujemnej (bo ~Y) i mam odpowiedź:
~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (= pani skłamie)

Niestety, o powyższych banałach, czyli logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w banalnym zastosowaniu jak wyżej najwięksi ziemscy matematycy nie mają najmniejszego pojęcia.
Dowód:
Nie ma tego typu przykładów zastosowania logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w żadnym podręczniku matematyki, ani nawet w żadnym miejscu w Internecie … z wyjątkiem forum śfinia oczywiście.

4.6 Prawo śfinii

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

4.7 Skrócone definicje operatorów implikacyjnych

1.
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznyego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



3.
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


4.
Definicja chaosu p|~~>q:

Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystraczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Kod:

CH: Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(B1:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[/code]


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 10:58, 09 Kwi 2021, w całości zmieniany 47 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:15, 10 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q


Spis treści
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q 1
5.1 Elementarz algebry Kubusia 2
5.1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
5.1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
5.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 6
5.2.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a 10
5.2.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 11
5.2.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 13
5.2.4 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q 17
5.3 Algorytm analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” 17
5.4 Sprawdzanie algorytmu analizy zdań w operatorze implikacji prostej P||=>CH 19
5.4.1 Zdanie bazowe P~~>CH 20
5.4.2 Zdanie bazowe P~~>~CH 22
5.4.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH 23
5.4.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH 24
5.5 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH 25
5.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 25



5.0 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

5.1 Elementarz algebry Kubusia

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

5.1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

5.1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

5.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Kod:

   p  q p=>q
A: 1  1 =1
B: 1  0 =0
C: 0  0 =1
D: 0  1 =1

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Kod:

   p  q p~>q
A: 1  1 =1
B: 1  0 =1
C: 0  0 =1
D: 0  1 =0

Stąd w rachunku zero-jedynkowym mamy:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na mocy tabeli T1 zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

T1.
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A2B2:~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1:
Kod:

TA1B1:
A1:   Y= (p=>q)=~p+q  ## A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ## B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                         #                       #
A1N: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## A1B1N:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

5.2.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).

Zapiszmy zatem tabelę TA1B1 tylko i wyłącznie w funkcjach logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

TA1B1:
A1:   Y= (p=>q)=~p+q  ## A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ## B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                         #                       #
A1N:  Y= (p=>q)= p*~q ## A1B1N: Y= (p|=>q)=p+~q ## B1N: Y= (p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## bowiem zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q [=] B1N: Y=(p~>q)=~p*q

Wniosek:
Nie do obrony jest algebra Boole’a bez pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y) - taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna!
cnd

5.2.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Po udowodnieniu prawdziwości A1 nie musimy dowodzić prawdziwości A2, gwarantuje nam to prawo Kubusia.
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2 musi być prawdą:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


5.2.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

5.2.4 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q

Podsumujmy poznaną wyżej teorię.

IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)

Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia



5.3 Algorytm analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”

START
1.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

2.
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

3.
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe lub zbiór pusty idź do 5

Inaczej:
4.
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego lub zbioru pustego
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

5.
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

6.
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

7.
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

8.
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowany spójnik logiczny p|?q będący częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.

Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w algorytmie podstawowym.

5.4 Sprawdzanie algorytmu analizy zdań w operatorze implikacji prostej P||=>CH

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q:
Kod:

A1B1:
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - zdarzenia p i ~q są rozłączne (kontrprzykład dla A1)
A2B2:
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
B2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A2’:~p~~>q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście ~p i q


Weźmy przykładowy wzorzec którym będziemy sprawdzać powyższy algorytm.
Wx.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - bo możliwe jest (=1) zdarzenie pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Oczywistym jest, że przy sprawdzaniu algorytmu z założenia nie mamy pojęcia w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie Wx.

Wiemy tylko i wyłącznie to, iż badane zdanie może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności:
5. p|$q - operator „albo”($)

Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.

Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne:
1: (p||=>q) = (p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
2: (p||~>q) = (p|~>q) = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
##
3: (p|<=>q) = p<=>q = (A1:p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
##
4: (p||~~>q) = (p|~~>q) = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0
##
5: (p|$q) = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

5.4.1 Zdanie bazowe P~~>CH

Zadanie 541
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
P~~>CH = P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
2: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN

Łatwo sprawdzić, że zdanie W1 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 pod postacią warunku wystarczającego =>:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Tu jest wejście także z punktów 5.4.2, 5.4.3 i 5.4.4

3.
Punkt trzeci algorytmu:

Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5

5.
Punkt piąty algorytmu:

Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

6.
Punkt szósty algorytmu:

Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem nic nie musimy robić.
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

7.
Punkt siódmy algorytmu:

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.

8.
Punkt ósmy algorytmu:


Zdania 6 i 7 lokalizują nam spójnik implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1

Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH, czyli:
Idź do punktu 5.5

5.4.2 Zdanie bazowe P~~>~CH

Zadanie 542
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Łatwo sprawdzić, że zdanie W2 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 pod postacią fałszywego kontrprzykładu A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: p=>CH=1:
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Idź do punktu 3 w punkcie 5.4.1

5.4.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH

Zadanie 543
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
2: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
3. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
4: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Łatwo sprawdzić, że zdanie W3 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 pod postacią warunku koniecznego ~>:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak padania (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie istnienia chmur (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

Idź do punktu 3 w punkcie 5.4.1

5.4.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH

Zadanie 544
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Rozwiązanie według algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q”:

START
1.
Punkt pierwszy algorytmu:


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

2.
Punkt drugi algorytmu:

Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
Nasz przykład:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
2. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
3: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN

Łatwo sprawdzić, że zdanie W4 występuje w analizie operatora implikacji prostej P||=>CH zaprezentowanej w punkcie 5.5 pod postacią zdarzenia możliwego ~~> B2’.
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Idź do punktu 3 w punkcie 5.4.1

5.5 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH

Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla istnienia chmur
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

5.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)=>(CH=1)=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1)=(P=1)*(~CH=1)=0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Co w logice jedynek oznacza:
A2: (~P=1)~>(~CH=1) = A1: (P=1)=>(CH=1) =1
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P=1)~~>(CH=1) = (~P=1)*(CH=1) =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:11, 29 Kwi 2021, w całości zmieniany 72 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:17, 10 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.6 Przykłady analizy operatorów implikacji prostej p||=>q

Spis treści
5.6 Przykład operatora implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 1
5.6.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 5
5.7 Przykład operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 7
5.8 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach 11
5.8.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> 14
5.8.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q 20


5.6 Przykład operatora implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S1 Schemat 1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x=[1,0]
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka świeci się)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd

Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.

Popatrzmy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
Kod:

A1: p=>q = ~p+q   ## B1: p~>q = p+~q - zapis formalny
A1: A=>S = ~A+S   ## B1: A~>S = A+~S - zapis aktualny

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.

Definicja implikacji prostej A|=>S:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna W
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP: Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka S świeci się)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1

       A1B1:          A2B2:       |    A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1  [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S   =1 = 2:~A~>~S =1  [=] 3: S~>A   =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q =0 =              [=]              = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: A~~>~S =0 =              [=]              = 4:~S~~>A =0                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0  [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S   =0 = 2:~A=>~S =0  [=] 3: S=>A   =0 = 4:~S~>~A =0
B’:              = 2:~p~~>q =1  [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~A~~>S =1  [=] 3: S~~>~A =1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli prawdy implikacji prostej A|=>S, dla poprawienia czytelności zapisu zmienne aktualne (A, S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o brzmieniu zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Definicja operatora implikacji prostej A||=>S:
Operator implikacji prostej A||=>S to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

Analizę zaczynamy od zdania A1 zatem na mocy prawa śfinii zapis formalny to:
A1: p=>q =1
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
A1: A=>S =1
Dalsza analiza matematyczna związana będzie z przyjętym na mocy prawa śfinii punktem odniesienia, zdaniem A1.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A , co widać w analizie matematycznej wyżej.

5.6.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S

Wisienką na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.

5.7 Przykład operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.
Koniec i kropka, nie ma żadnych innych twierdzeń matematycznych.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Weźmy następujące twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Zapis formalny na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[2,4,6,8..] - zbiór liczb naturalnych
Poprzednik mówi o zbirze P8, zaś następnik o P2:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnienie do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd

Zauważmy, że znów kłania się nam prawo Kameleona.

Porównajmy zdania A1 i B1 wyżej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
zapis formalny:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
zapis formalny:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
Kod:

A1: p=> q  = ~p+q    ## B1: p~> q  = p+~q  - zapis formalny
A1: P8=>P2 = ~P8+P2  ## B1: P8~>P2 = P8+~P2 - zapis aktualny

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej P8|=>P2.

Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =              [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:               = 2:~p~~>q  =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2, dla poprawienia czytelności zapisu zmienne aktualne (P8, P2) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o brzmieniu zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Weźmy nasz punkt odniesienia, zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
zapis formalny:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
W poprzedniku mamy tu zbiór liczb podzielnych przez 8:
P8=[8,16,24..]
W następniku mamy zbiór liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmijmy wspólną dziedzinę:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór wszystkich liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

To samo w zmiennych aktualnych:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8=1)?
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - zapis aktualny

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 jest punktem odniesienia:
p=P8
q=P2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?

Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2 =0 musi być prawdą
Prawdziwości kontrprzykładu B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
2.
Jeśli natomiast ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’.

Innymi słowy:
W operatorze implikacji prostej P8||=>P2 mamy do czynienia z gwarancję matematyczną => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejszym „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’).


5.8 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Zobaczmy to na przykładzie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8=[8,16,24..] to podzbiór => zbioru wszystkich liczb parzystych P2=[2,4,6,8..], stąd prawdziwość zdania A1.
W zdaniu A1 poprzednik p mówi o zbiorze P8, zaś następnik q o zbiorze P2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór wszystkich liczb parzystych)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd wyznaczamy zbiory zaprzeczone rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór wszystkich liczb nieparzystych)

Definicja dziedziny dla P8 i ~P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8
P8*~P8=[] =0 - zbiory rozłączne
Definicja dziedziny dla P2 i ~P2:
P2+~P2=LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory rozłączne

Wnioski:
1.
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” dziedzina musi być wspólna dla p i q
2.
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Nasz przykład:
p+q = P8+P2 = P2 - bo P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjęta dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Jest szersza od sumy logicznej zbiorów:
P8+P2=P2=[2,4,6,8..]
zatem przyjęta dziedzina jest matematycznie poprawna.
3.
Zobaczmy co się stanie jak dla naszego zdania A1 przyjmiemy za dziedzinę zbiór tożsamy z sumą zbiorów P8+P2=P2:
D=P2=[2,4,6,8..]
Wyznaczamy zbiór ~P2:
~P2 = [D-P2] = [P2-P2]=[] =0
Jak widzimy pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne, dlatego dla zdania A1 musimy przyjąć dziedzinę szerszą od sumy zbiorów P8+P2=P2, inaczej popełniamy błąd nierozpoznawalności analizowanego pojęcia (tu ~P2)

Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Operator implikacji prostej p||=>q w zapisach formalnych (ogólnych)
----------------------------------------------------------------------
Analiza        |Po zamianie    |Komentarz do analizy podstawowej
podstawowa     |p i q          |na podstawie diagramu D1
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1:  p=> q =1  |A3:  q~> p =1  |A1   p=> q =1 - p jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
A2: ~p~>~q =1  |A4: ~q=>~p =1  |A2: ~p~>~q =1 - ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’ ~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
|
B1:  p~> q =0  |B3:  q=> p =0  |B1:  p~> q =0 - p nie jest nadzbiorem ~> q
A1’  p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
B2: ~p=>~q =0  |B4: ~q~>~p =0  |B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest podzbiorem ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’:~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Spójnik p~~>q=p*q jest przemienny.

stąd mamy:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q na podstawie diagramu D1.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Kod:

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q na podstawie diagramu D1.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1:  p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1:  p~> q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1

A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2: ~p~>~q=1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest podzbiorem => zbioru q
Stąd:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1


Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie D1
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Z diagramu D1 odczytujemy:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie D1

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1.

5.8.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~>

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p||=>q wyżej zapisany.
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Operator implikacji prostej p||=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)   |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Operator p||=>q       |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T1.
Operator implikacji prostej p||=>q
definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q

Znaczenie tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

Analiza tabeli prawdy T1 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2
Kod:

T3.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1:  p=> q  =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q  =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1

Stąd mamy:
Linia A1B1:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1

Uwaga:
W implikacji prostej p|=>q zbiory p i q nie mogą być tożsame bo …

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> dla zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dowód:
Dla zbiorów tożsamych p=q mamy:
A1: p=>q =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Czyli:
Dla zbiorów tożsamych p=q jest:
B1: p~>q =1
co jest sprzeczne z definicją implikacji prostej p|=>q gdzie musi być spełnione:
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
cnd

Stąd mamy:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (prawdziwe dla p##q)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Gdzie:
p##q - zbiory p i q różne ## na mocy definicji

Dodatkowy warunek jaki musi tu być spełniony brzmi:
Dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Dowód:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Przyjmijmy za dziedzinę zbiór q
D=q
Obliczamy zbiór ~q rozumiany jako uzupełnienie do dziedziny D dla zbiory q:
~q=[D-q] = [q-q] =[] =0
Wniosek:
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q inaczej zbiór wejściowy ~q jest nierozpoznawalny, jest zbiorem pustym. Nie możemy operować na czymkolwiek czego definicji nie znamy.
cnd

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach jako:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
możemy ją podstawić matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy to, co już doskonale znamy.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q


5.8.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Z definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do zbudowania operatora implikacji prostej p||=>q to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej w zbiorach:
p=[K]
q=[K,T]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-K]=[T+P]
~q=[D-q]=[K+T+P-[K+T]=[P]
Podsumujmy:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K,T], ~q=[P]
Zapiszmy diagram operatora implikacji p||=>q dla powyższych elementów.
Kod:

D2
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach
-----------------------------------------------------------------------
|  p=[K],   ~p=[T+P]                                                  |
|  q=[K,T], ~q=[P]                                                    |
-----------------------------------------------------------------------
|     p=[K]                 |                     ~p=[T+P]            |
|---------------------------|-----------------------------------------|
|     q=[K+T]                                -|   ~q=[P]              |
|---------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q=~p*q=[T]  | p~~>~q = p*~q =[]     |
-----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina fizyczna: DF =p*q+~p*~q+~p*q (suma zbiorów niepustych)    |
-----------------------------------------------------------------------

Doskonale widać, że w diagramie D2 spełniona jest definicji implikacji prostej p|=>q, a tym samym definicja operatora implikacji prostej p||=>q.

Zapiszmy pełny diagram implikacji prostej p|=>q:
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Nasze zbiory na których operujemy to:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K,T], ~q=[P]

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Sprawdzamy:
p=[K] => q=[K+T]
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T}
cnd

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Sprawdzamy:
p=[K] ~~> ~q=[P] = [K]*[P] =[] =0
Zbiory jednoelementowe Kubuś (K) i Prosiaczek (P) są rozłączne
cnd

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Sprawdzenie:
~p=[T+P] ~> ~q=[P] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~p=[T+P] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[P]

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Sprawdzenie:
~p=[T+P]~~>q=[K+T] = [T+K]*[K+T] =[T] =1
Istnieje element wspólny zbiorów ~p=[T+P] i q=[K+T] - to Tygrysek (T)

Doskonale tu widać, że w zdaniu B2’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~>.
Dowód:
~p=[T+P] => q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) podzbiorem => q=[K+T]
~p=[T+P} ~> q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> q=[K+T]

Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy, a zabawę z implikacją prostą p|=>q można zacząć w przedszkolu dysponując trzema pluszowymi zabawkami:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 7:38, 29 Kwi 2021, w całości zmieniany 34 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:41, 10 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 1
6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 1
6.1.1 Pogrom ziemskiej algebry Boole’a 4
6.1.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
6.1.2 Skrócona definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 7


6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Kod:

T1
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q


Dlaczego to jest równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna implikacji
A1B1: p|~>q = A2B2:~p|=>~q
co udowodniono w tabeli T1

Dowód matematycznie tożsamy.

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q

A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>~q =0 - - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) - (albo odwrotnie)

6.1.1 Pogrom ziemskiej algebry Boole’a

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne B1, A1B1 i A1:
Kod:

TA1B1:
B1:   Y= (p~>q)=p+~q ## A1B1:   Y=(p|~>q) =p*~q  ## A1:  Y=(p=>q) =~p+q
      #                         #                        #
B1N: ~Y=~(p~>q)=~p*q ## A1B1N: ~Y=~(p|~>q)=~p+q  ## A1N: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Pogrom ziemskiej algebry Boole’a:
Zauważmy, że bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), będziemy mieli fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p*~q [=] A1N: p*~q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q ## A1N: ~Y=~(p=>q) =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
cnd

Uwaga:
Mamy tu do czynienia z wewnętrzną sprzecznością ziemskiej algebry Boole’a która nie widzi funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y), bez której tabela prawdy TA1B1 jest wewnętrznie sprzeczna.
cnd

6.1.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

A1: p=>q =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p(zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

6.1.2 Skrócona definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Podsumujmy poznaną wyżej teorię:

IO:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznyego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Kod:

IO: Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 20:50, 09 Kwi 2021, w całości zmieniany 27 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 9:23, 12 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
6.2 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
6.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 1
6.2.1 Perła w koronie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 5
6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 12
6.3.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 16
6.4 Przykład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 17




6.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na początek sprawdzamy prawo Kobry:
WK.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~~>P = CH*P =1
Tożsamy zapis formalny:
p~~>q = p*q =1 - punkt odniesienia na mocy prawa śfinii
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i pada (P=1).
Jak widzimy zdanie B1 kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest prawdziwe.

Załóżmy, że zdanie WK spełnia definicję warunku wystarczającego =>, wtedy mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Indeksowanie B1 wymusza tu tabela T1.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa śfinii) warunek wystarczający p=>q mamy wyłącznie na pozycji A1.
cnd

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego aby jutro padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Sprawdźmy iż dowód prawdziwości/fałszywości zdania B2 jest prostszy.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Wszelkie opady biorą się z chmur, zatem jeśli ich zabraknie to na 100% nie będzie padało
cnd

Kolejny trywialny dowód tożsamy to skorzystanie dla zdania B1 z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: CH~>P = B3: P=>CH - zapis aktualny
Zdanie B3 jest już absolutnie trywialne.
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury

Na mocy prawa Tygryska prawdziwość warunku wystarczającego B3: P=>CH =1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B1: CH~>P =1
cnd

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy T3.
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo deszcz bierze się z chmur
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
Gdzie:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]              = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]              = 4:~P~~>CH =1                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)* (B1: CH~>P) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by jutro padało (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P - prawo Kubusia w zapisie aktualnym
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia w zapisie formalnym

LUB

A1: CH=>P =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
Sprawdzenie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (chmury) i gwarancja matematyczna => po stronie ~CH (brak chmur), co widać w powyższej analizie.

6.2.1 Perła w koronie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P

Perłą w koronie operatora implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P) jest tożsamy logicznie operator implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P).

Definicja tożsamości logicznej:
CH||~>P = ~CH|=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony

Wniosek:
Jeśli udowodnimy iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do operatora implikacji odwrotnej CH||~>P to tym samym udowodnimy, iż zdanie to jest częścią składową implikacji prostej ~CH||=>~P (albo odwrotnie)

Sprawdźmy, czy tak jest w istocie.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Lokalizacji do którego operatora logicznego należy zdanie wypowiedziane W dokonujemy w dwóch krokach.

Krok 1

Na początek badamy prawem Kobry czy zdanie W ma szansę być prawdziwym.
WK.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
To jest zdane od którego zaczynamy analizę matematyczną, zatem na mocy prawa śfinii zapisujemy:
~p~~>q = ~p*q =0
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p= CH (chmury)
q = P (pada)
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Zdanie WK jest ewidentnie fałszywe, jednak każdy 5-cio latek wie, że istnieje związek między chmurką a deszczem.
Wniosek:
Zdanie WK na 100% jest fałszywym kontrprzykładem dla prawdziwego warunku wystarczającego B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmuro (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
to samo w zapisie formalnym na mocy prawa śfinii:
~p=>~q =1
Brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla braku opadów (~P=1) bo zawsze gdy nie a chmur, nie pada.
Uwaga:
Indeksowanie B2 wynika z tabeli T1

Dlaczego?
W kolumnach A1B1 i A2B2 (na mocy prawa śfinii tylko te kolumny nas interesują) warunek wystarczający ~p=>~q występuje wyłącznie na pozycji B2.
cnd

Zauważmy, że jeśli skorzystamy z prawa kontrapozycji to dowód prawdziwości zdania B2 będzie prostszy

Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~CH=>~P = B3: P=>CH

Dowodzimy warunku wystarczającego B3.
B3:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zawsze gdy spada, są chmury.
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B2: ~CH=>~P = B3: P=>CH
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Na mocy definicji tożsamości logicznej jest wszystko jedno którą stronę weźmiemy na cel i będziemy dowodzić jej prawdziwości/fałszywości.
W przypadku prostej teorii zdarzeń (nasz przykład) dowód fałszywości którejkolwiek ze stron jest banalny, ale w operacjach na zbiorach nieskończonych, gdzie obowiązuje identyczna logika matematyczna jak w teorii zdarzeń, już tak nie jest - tu zdania z najprostszym warunkiem wystarczającym => zawsze dowodzi się najprościej, czego wkrótce doświadczymy.

Krok 2

Badamy prawdziwość/fałszywość zdania B2 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
A2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
~CH~>~P =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q=1
Brak chmur (~CH=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie padało (~P=1) bo mogą być chmury i może nie padać.
Indeksowanie A2 wynika tu z tabeli T1.

Jak sprawdzić czy zdanie A2 jest prawdziwe/fałszywe w najprostszy możliwy sposób?
Odpowiedź:
Trzeba skorzystać z prawa Kubusia sprowadzając zdanie A2 do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Kubusia na mocy tabeli T1:
A2: ~CH~>~P = A1: CH=>P
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania A1:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona, bo nie zawsze, gdy jest pochmuro, pada.
cnd
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego A2:~CH~>~P =0
cnd

Zdanie które przeanalizowaliśmy logicznie brzmi:
W.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Nie jest możliwe (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
na mocy prawa śfinii to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Gdzie:
p=CH(chmury)
q=P(pada)

Rozstrzygnięcie:
Jak to wyżej udowodniliśmy zdanie W jest fałszywym kontrprzykładem:
B2’: ~CH~~>P = ~CH*P =0
dla prawdziwego warunku wystarczającego B2:
B2: ~CH=>~P =1

Udowodniliśmy także fałszywość zdania B2 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
A2: ~CH~>~P =0

Te dwa dowody, B2 i A2 dają nam pewność, że mamy tu do czynienia z implikacją prostą ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P).

Definicja implikacji prostej ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH||=>~P to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) konieczny ~> dla braku opadów
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) wystarczający => dla braku opadów
stąd:
~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy implikacji odwrotnej ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH):
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
~p~~>q = ~p*q =0
Gdzie:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]              = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]              = 4:~P~~>CH =1                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)* (B1: CH~>P) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - zapis aktualny

Układ równań logicznych jest przemienny.
Stąd mamy tożsame logicznie równanie operatora implikacji prostej ~p||=>~q.
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - zapis aktualny
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)* (B1: CH~>P) - zapis aktualny

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q zdefiniowanego tabelą T3.

Operator logiczny implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to odpowiedź na dwa pytania A2B2 i A1B1:

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by jutro padało (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P - prawo Kubusia w zapisie aktualnym
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia w zapisie formalnym

LUB

A1: CH=>P =0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
Sprawdzenie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

Jak łatwo zauważyć zostałem leniwcem, czyli skopiowałem analizę matematyczną tabeli T3 zamieszczoną w punkcie 4.8.2 w odwrotnej kolejności, najpierw odpowiedź na pytanie A2B2 a następnie odpowiedź na pytanie A1B1.

To jest praktycznym dowodem zachodzącej to tożsamości logicznej:
A2B2: ~CH|=>~P = A1B1: CH|~>P

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej ~CH||=>~P jest gwarancja matematyczna po stronie ~CH (brak chmur) oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (są chmury).

Doskonale widać, że szczegółowa analiza operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) poczyniona w poprzednim punkcie jest w 100% tożsama ze szczegółową analizą implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) przedstawioną w niniejszym punkcie, bowiem zdania z obu tych analiz możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.

Potwierdza to udowodnioną wyżej tożsamość operatorów logicznych:
CH||~>P = ~CH||=>~P
to samo w zapisie formalnym:
p||~>q = ~p||=>~q

6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S2 Schemat 2
             S               W            A
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------


Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka świeci się)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
##
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy to do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić
A~>S=1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
Gdzie:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
       A1B1:          A2B2:      |     A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0  [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S   =0 = 2:~A~>~S =0  [=] 3: S~>A   =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q =1 =              [=]              = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: A~~>~S =1 =              [=]              = 4:~S~~>A =1                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1  [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S   =1 = 2:~A=>~S =1  [=] 3: S=>A   =1 = 4:~S~>~A =1
B’:              = 2:~p~~>q =0  [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~A~~>S =0  [=] 3: S~~>~A =0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
p|~>q = ~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - zapis formalny
A|~>S = ~(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~A|=>~S = ~(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - zapis aktualny

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
A|~>S = ~(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
~A|=>~S = ~(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - zapis aktualny

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej A||~>S to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

Analizę matematyczną zaczynamy od zdania B1 zatem na mocy prawa śfinii zapis formalny to:
B1: p~>q =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą, stąd:
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).

B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (zdania B1 i A1”), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.


6.3.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S

Wisienką na torcie w implikacji odwrotnej A||~>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S

6.4 Przykład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.
Koniec i kropka, nie ma żadnych innych twierdzeń matematycznych.

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia dla zbiorów.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach to:
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i q (zbiory rozłączne)
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony, gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony, gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie:
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
      ##        ##           ##        ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Tabelę T1 każdy matematyk musi znać na pamięć jak tabliczkę mnożenia do 100, bez tej znajomości może zapomnieć o jakiejkolwiek, poprawnej logice matematycznej.

Na początek sprawdzamy prawo Kobry:
WK.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 8.
cnd
To samo zdanie w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1 - na mocy prawa śfinii
Punkt odniesienia na mocy praw śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8

Sprawdźmy czy w zdaniu WK spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8=1)
P2=>P8 =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8…]
Indeksowanie A1 wymusza tu tabela T1.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa śfinii) warunek wystarczający p=>q mamy wyłącznie na pozycji A1.
cnd

Aby stwierdzić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi nasze zdanie W musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie B1 wynika tu z tabeli T1,

Najprostszy warunek wystarczający zawsze łatwiej się dowodzi.
Zastosujmy zatem prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Dowodzimy prawdziwości B3.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…]
Dowód przez pokazanie 😊
cnd

Definicja tożsamości logicznej:
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Oczywistym jest że w prawie Tygryska łatwiej dowodzi się warunek wystarczający B3:
B3: P8=>P2 =1
Po udowodnieniu, na mocy prawa Tygryska, mamy gwarancję matematyczną prawdziwości warunku koniecznego B1.
B1: P2~>P8 =1

Mamy nasze zdanie W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8

Udowodniliśmy wyżej, że zdanie to jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - podzielność liczby przez 2 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8
B1: P2~>P8=1 - podzielność liczby przez 2 jest (=1) konieczna ~> dla jej podzielności przez 8
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: ~P2=>~P8) = ~(0)*1 =1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy T3.
Kod:

T3
Analiza matematyczna zdania:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8=P2*P8=1 bo 8
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p~~>q = p*q =1
Gdzie:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   = 0 = 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2  =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q  =1 =              [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =              [=]               = 4:~P8~~>P2=1                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p    =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2  =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q  = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)* (B1: P2~>P8) - zapis aktualny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q  = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny
~P2|=>~P8 = ~(A2:~P2~>~P8)*(B2:~P2=>~P8) - zapis aktualny
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Weźmy zdanie B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
zapis formalny:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W poprzedniku tu mamy zbiór liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8..]
W następniku mamy zbiór liczb podzielnych przez 8:
P8=[8,16,24..]
Przyjmijmy wspólną dziedzinę:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór wszystkich liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p|~>q = ~(A1: p=>q) * (B1: p~>q) - zapis formalny
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - zapis formalny

Innymi słowy w zapisach aktualnych:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
zapis formalny:
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

LUB

A1: P2=>P8=0
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 mus być prawdą.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani tez konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Oczywiście ten fakt dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p - zapis formalny
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Udowodnienie prawdziwości B3: P8=>P2 =1 na mocy prawa kontrapozycji gwarantuje prawdziwość zdania B2:~P2=>~P8 =1

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych,
cnd

Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 14:12, 09 Kwi 2021, w całości zmieniany 15 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 1:53, 22 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
7.0 Operator równoważności p|<=>q


Spis treści
7.0 Operator równoważności p|<=>q 1
7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
7.1.1 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q 3
7.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 6
7.2.1 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć p=q 8
7.2.2 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q 10
7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 12
7.3.1 Skrócona definicja operatora równoważności p|<=>q 16


7.0 Operator równoważności p|<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p$q - spójnik „albo”($) to nietypowa równoważność p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

7.1.1 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 400
„potrzebne i wystarczające”
wyników: 1 850
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 15 500
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
Kod:

T1.
Równanie operatora implikacji równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                      A2B2
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna równoważności:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1 prawami Kubusia.

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+ q*p+q*~q = p*q + ~P*~q
p<=>q = p*q + ~p*~q

A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
stąd:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+ q*p+ q*~q = p*q + ~P*~q
~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = p*q + ~p*~q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Przechodząc na wyższy poziom operatorów |<=> mamy tak:
Udowodnienie iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż to samo zdanie jest częścią operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.


7.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Z tabeli TR odczytujemy matematyczną definicję równoważności.

Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Analogicznie mamy:

Definicja tożsamości dwóch zdarzeń p i q (p=q):
Dwa zdarzenia p i q są logicznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

7.2.1 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć p=q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podzbioru => (warunku wystarczającego =>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> (warunku koniecznego ~>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Z tabeli równoważności TR odczytujemy:

A1B1:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:

Z kolumny A1B1 odczytujemy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Sprawdzenie poprawności definicji.

Dowód 1
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
Uzasadnienie:
p=>p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Dowód 2
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dowód tożsamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = (~p+p)*(p+~p) = (p+~p)*(p+~p)= 1*1 =1
cnd

Kolejny dowód tożsamy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdefiniujmy równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q

Dowód 3
Definicja tożsamości zbiorów wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p=q <=> p*q + ~p*~q = p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd

Definicja dziedziny dla zbiorów p i ~p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Z powyższego wynika, że równoważność typu p<=>~p musi być fałszem bo nie zachodzi tożsamość zbiorów p=~p.

Sprawdzamy:
Dowód 1A
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = (p=>~p)*(p~>~p)= 0*0 =0
Uzasadnienie:
p=>~p =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => ~p bo zbiory p i ~p są rozłączne
p~>~p =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p bo zbiory p i ~p są rozłączne
cnd

Dowód 2A
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = (~p+~p)*(p+p) = ~p*p =0
cnd

Dowód 3A
Definicja tożsamości zbiorów w spójnikach „i” i „lub”(+):
p=q <=> p*q + ~p*~q = p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> p*~p + ~p*~(~p) = p*~p+~p*p = []+[] =0
cnd

7.2.2 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podzbioru => (warunku wystarczającego =>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> (warunku koniecznego ~>) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja dziedziny dla zbiorów/zdarzeń p i ~p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Definicja dziedziny dla zbiorów/zdarzeń q i ~q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne

Z tabeli równoważności TR odczytujemy:

A2B2:
Definicja tożsamości zbiorów/zdarzeń ~p=~q:

Z kolumny A2B2 odczytujemy:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q

Dowód 1
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
dla ~q=~p mamy:
~p=~p <=> (A2: ~p~>~p)*(B2: ~p=>~p) = 1*1 =1
Uzasadnienie:
~p=>~p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
~p~>~p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Dowód 2
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Dowód tożsamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Dla ~q=~p mamy:
~p=~p <=> (A2: ~p~>~p)*(B2: ~p=>~p) = (~p+p)*(p+~p) = 1*1 =1
cnd

Kolejny dowód tożsamy:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdefiniujmy równoważność ~p<=>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Dowód 3
Definicja tożsamości zbiorów wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p=~q <=> p*q + ~p*~q = ~p<=>~q
Innymi słowy:
~p=~q <=> p*~(~q) + ~p*(~q)
dla ~q=~p mamy:
~p=~p = p*~(~p) + ~p*~p = p*p +~p*~p = p+~p =1
cnd

Z powyższego wynika, że równoważność typu p<=>~p musi być fałszem bo nie zachodzi tożsamość zbiorów p=~p.

Sprawdzamy:
Dowód 1A
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
dla ~q=p mamy:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2: ~p=>p) = 0*0 =0
Uzasadnienie:
~p~>p =0 - zbiór ~p nie jest nadzbiorem ~> zbioru p bo zbiory ~p i p są rozłączne
~p=>p =0 - zbiór ~p nie jest podzbiorem => zbioru p bo zbiory ~p i p są rozłączne
cnd

Dowód 2A
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Dowód tożsamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
Dla ~q=p mamy:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2: ~p=>p) = (~p+~p)*(p+p) = ~p*p =0
cnd

Kolejny dowód tożsamy:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdefiniujmy równoważność ~p<=>~q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
Stąd mamy równoważność wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p<=>~q = p*q + ~p*~q

Dowód 3A
Definicja tożsamości zbiorów wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
~p=~q <=> p*q + ~p*~q = ~p<=>~q
Innymi słowy:
~p=~q <=> p*~(~q) + ~p*(~q)
dla ~q=p mamy:
~p=p = p*~(p) + ~p*(p) = p*~p +~p*p = []+[] =0
cnd

7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Punkt odniesienia:
p - poprzednik w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
q - następnik w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)

A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q (~q=1)
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)

A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Graficznie równoważności p<=>q i ~p<=>~q możemy przedstawić tak:
Kod:

T1:
Zbiór/pojęcie: p=q                  |  Zbiór/pojęcie: ~p=~q
Równoważność A1B1 dla p:            |  Równoważność A2B2 dla ~p:                               
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)      [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
Definiuje tożsamość zbiorów/pojęć   |  Definiuje tożsamość zbiorów/pojęć
p=q                                 #  ~p=~q
p=~(~p)                             |  ~p=~(p)
q=~(~q)                             |  ~q=~(q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Przyjmijmy wspólną dziedzinę D dla wszystkich rozpatrywanych zbiorów/pojęć tzn. p, q, ~p, ~q
Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór/pojęcie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny/pojęcia p
p*~p =[] =0 - zbiory/pojęcia p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór/pojęcie ~q jest uzupełnieniem do dziedziny/pojęcia q
q*~q =[] =0 - zbiory/pojęcia q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] = [p+~p -p] =~p
~q=[D-q] = [q+~q -q] =~q
Zachodzi również:
~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q
p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia)
q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia)

Definicja znaczka różne #:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy jeden jest zaprzeczeniem drugiego
Stąd w tabeli T1 mamy:
p=q # ~p=~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Objaśnienia:
A1B1:
Równoważność p<=>q dla zbioru/pojęcia p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q
A2B2:
Równoważność ~p<=>~q dla zbioru/pojęcia ~p:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Równoważność A2B2: definiuje tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Udowodnienie tożsamości zbiorów p=q jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)

7.3.1 Skrócona definicja operatora równoważności p|<=>q

Podsumowanie:

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 18:22, 13 Kwi 2021, w całości zmieniany 17 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:52, 25 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
7.4 Przykłady operatorów równoważności p<=>q

Spis treści
7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 1
7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 2
7.4.2 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP 7
7.5 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 9
7.5.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 13
7.5.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach 18



7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadnia w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym
A1: p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Twierdzenie proste TP=>SK Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)

W świecie matematyki domyślnym twierdzeniem Pitagorasa jest twierdzenie proste Pitagorasa (A1: p=>q), zatem możemy mówić „twierdzenie Pitagorasa” bez słówka „proste”.
Oczywiście jeśli chcemy zaznaczyć, ż chodzi nam o twierdzenie odwrotne Pitagorasa to musimy to jawnie zapisać jako „twierdzenie odwrotne Pitagorasa” (B3: q=>p)

Badamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP =1
to samo w zapisie formalnym
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne q=>p Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest (=1) suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1) bo zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)

Wniosek:
Twierdzenie proste Pitagorasa i twierdzenie odwrotne Pitagorasa są częścią definicji równoważności dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK.

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Równoważność matematyczna Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

stąd mamy:
Definicja równoważności podstawowej p<=>q:
Równoważność podstawowa p<=>q to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność podstawowa Pitagorasa (TP<=>SK) to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Innymi słowy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy (tożsama wersja twierdzenia Pitagorasa):
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1

7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK

Nanieśmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q )= 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)

Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak
Kod:

T1:
Zbiór trójkątów prostokątnych:       |Zbiór trójkątów nieprostokątnych:
TP=SK                                |~TP=~SK
Równoważność Pitagorasa              | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP)     | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów:         |  Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK                                #  ~TP=~SK
TP=~(~TP)                            | ~TP=~(TP)
SK=~(~SK)                            | ~SK=~(SK)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK:
SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP
~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK
Zachodzi również:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP
~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia)
SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia)

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Nasz przykład:
Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK
Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)

Objaśnienia:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym
B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym

7.4.2 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP

Zapiszmy ponownie równoważności Pitagorasa w tabeli prawdy:
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Definicja operatora równoważności q|<=>p:
Operator równoważności q|<=>p to złożenie równoważności q<=>p w logice dodatniej (bo p) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~q<=>~p w logice ujemnej (bo ~p) zdefiniowanej w kolumnie A4B4.

Innymi słowy:
Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź na dwa pytania A3B3 i A4B4:

A3B3:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3.
A3B3:
Bycie trójkątem w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
SK=TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = SK<=>TP
Tożsamość zbiorów SK=TP wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
SK=TP # ~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
to samo w zapisach formalnych:
q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B3 musi być fałszem.
B3’.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to ten trójkąt może ~~> nie być prostokątny (~TP=1)
SK~~>~TP = SK*~TP =[] =0
to samo w zapisach formalnych:
q~~>~p = q*~p =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> SK i ~TP nie jest spełniona bo zbiory SK i ~TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów SK=TP która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP

A4B4:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4:
A4B4:
Bycie trójkątem w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~SK=~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = ~SK<=>~TP
Tożsamość zbiorów ~SK=~TP wymusza tożsamość zbiorów SK=TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~SK=~TP # SK=TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to na 100% => ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK=>~TP =1
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to ten trójkąt może ~~> być prostokątny (TP=1)
~SK~~>TP = ~SK*TP =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~SK i TP nie jest spełniona bo zbiory ~SK i TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~SK=~TP która wymusza tożsamość zbiorów SK=TP

7.5 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S3 Schemat 3
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
A1: A=>S =1
Tak, bo zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Zauważmy, że gdyby szeregowo z przyciskiem A występował przycisk zmiennej wolnej W to odpowiedź na powyższe pytanie byłaby negatywna (=0).
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka S świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam (=1) gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
B1: A~>S =1
Tak
Konieczne ~> dlatego, że nie ma przycisku zmiennej wolnej W podłączonego równolegle do przycisku A, który by zaświecił żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
cnd

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Wisienką na torcie naszych dotychczasowych rozważań jest odkrycie fizycznej realizacji definicji równoważności A<=>S w zdarzeniach
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S.

Jak udowodnić, iż schemat S3 to fizyczna realizacja równoważności?

Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach:
Równoważność p<=>q to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Załóżmy, że nasz schemat S3 spełnia definicję równoważności.
Wtedy mamy:
Definicja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
Równoważność A<=>S to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
stąd:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia żarówki S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
cnd

Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję równoważności.

Podstawowa definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Innymi słowy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.

Innymi słowy:
Wszystko zależy tu od tego, którym znaczkiem (=> albo ~>) zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S3:
S3:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)

Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny (ogólny) zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dopiero po udowodnieniu iż układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

7.5.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach

Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności A<=>S do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Innymi słowy:
Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

Kolumna A1B1
RA1B1:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A1B1 w warunku wystarczającym => jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na czym polega błąd ziemskich matematyków w podejściu do logiki matematycznej?
Ziemski matematyk buduje układ S3 po czym wykonuje nieskończoną ilość prób potwierdzających prawdziwość zdania A. Oczywistym jest, że w układzie S3 po skończonej liczbie wciśnięć przepali się żarówka - ziemski matematyk dochodzi wówczas do wniosku że obalona została definicja warunku wystarczającego => w zdaniu A.
W poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia, postępujemy inaczej.
Po pierwsze poznajemy teorię elektryczności którą możemy sprawdzić raz (słownie raz) dla potwierdzenia jej słuszności.
Dalsza analiza prawdziwości zdania A jest już czysto teoretyczna na bazie poznanej teorii elektryczności, tak więc w AK dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 nie budujemy żadnych układów - algebra Kubusia jest tu w pełni teoretyczna.

Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dowód:
Zdarzenia A=S i ~A=~S są rozłączne uzupełniając się wzajemnie do dziedziny:
a)
A+~A = D =1
Dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w stosunku do przycisku A
Przycisk A może być wciśnięty A=1 albo nie wciśnięty ~A=1, trzeciej możliwości brak.
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
b)
A*~A =0
Zdarzenia A i ~A są rozłączne tzn. przycisk A nie może być jednocześnie wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~A=1
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)

A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

Kolumna A2B2
RA2B2:
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A2B2 w warunku wystarczającym => to:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w implikacji prostej p||=>q jak i w implikacji odwrotnej p||~>q.
3.
Punkt 2 jest odpowiedzią na pytanie:
Dlaczego ziemscy matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować ani implikacji prostej p||=>q, ani też implikacji odwrotnej p||~>q.
Po prostu, oba operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q to absolutny idiotyzm w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania, co za chwilkę zobaczymy na przykładzie komputerowego sterowania kierownicą.
4.
Wniosek:
Jedynym operatorem implikacyjnym mającym zastosowanie w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.

Dowód prawdziwości punktu 4 zademonstruję na dwóch przykładach.

Przykład 1
Sterowanie kierownicą zgodnie z algorytmem równoważności p|<=>q.


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to na 100% => skręcaj koła w lewo (L=1)
L=>L =1
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Przykład 2
Sterowanie kierownicą zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to wywołaj generator cyfr losowych postępując zgodnie z poniższym algorytmem:
„orzełek” - skręcaj kierownicą w lewo zgodnie z rozkazem kierowcy
„reszka” - skręcaj kierownicą w prawo ignorując rozkaz kierowcy
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Mam nadzieję, że nikogo nie muszę przekonywać, iż implikacji prosta p||=>q w świecie techniki to idiotyzm absolutny i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.


7.5.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach

Weźmy tabelę prawdy dla naszej równoważności A|<=>S.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Zauważmy, że punktem odniesienia w tabeli prawdy TR jest równoważność A<=>S definiowana kolumną A1B1.
A1B1:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Innymi słowy:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
to samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Stąd mamy punkt odniesienia obowiązujący w całej tabeli TR:
p = A (przycisk A)
q = S (żarówka S)

Definicja operatora równoważności S|<=>A:
Operator równoważności S|<=>A to złożenie równoważności S<=>A w logice dodatniej (bo A) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~S<=>~A w logice ujemnej (bo ~A) zdefiniowanej w kolumnie A4B4

Zauważmy, że definicja równoważności S<=>A opisana kolumną A3B3 przyjmie brzmienie:
A3B3:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Innymi słowy:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by wciśnięty był przycisk A (A=1)
Zauważmy, że precyzyjnie powyższe zdanie brzmi następująco:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Dlaczego ta precyzja jest tu konieczna?
Wypowiedzmy warunek wystarczający => B3:
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Świecenie się żarówki S (S=1) jest wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)

Zauważmy, że w zdaniu B3 „świecenie się żarówki S” nie jest przyczyną dla skutku „przycisk A jest wciśnięty”
Dowód:
W laboratorium fizyki możemy łatwo zbudować układ S3 i stwierdzić iż rzeczywiście:
Wkręcenie żarówki (świeci) i wykręcenie żarówki (nie świeci) nie powoduje jakiejkolwiek zmiany stanu przycisku A.

Stąd mamy:
Definicja układu jednokierunkowego:
Układ jednokierunkowy to układ, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie możemy zamienić przyczyny p ze skutkiem q.
Oznacza to, że skutku q nie możemy traktować jako przyczyny dla zajścia p w zdaniu warunkowym „Jeśli q to p”
Dowód:
Nasz schemat S3

Wniosek:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście p na podstawie obserwacji wyjścia q.

Nasz schemat S3:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście A (przycisk A) na podstawie obserwacji wyjścia S (żarówka S).
W praktyce logiki matematycznej to wnioskowanie jest oczywistością, dlatego frazę „o wnioskowaniu” możemy niekiedy pominąć uznając ją jako domyślną w logice matematycznej.

Uwaga:
Zauważmy, że w teorii zbiorów (np. w równoważnościach Pitagorasa) układy jednokierunkowe nie występują, bo zawsze dochodzi tu do losowania elementów z kompletnej, wspólnej dziedziny D zawierającej wszystkie możliwe zbiory p, q, ~p, ~q.
cnd

Po tych wyjaśnieniach wracamy do definicji operatora równoważności S|<=>A

Na mocy tabeli prawdy TR mamy:
Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania A3B3 oraz A4B4:

A3B3:
W jakim stanie może być przycisk A jeśli żarówka będzie się świecić (S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3
A3B3:
Do tego aby żarówka S świeciła się (S=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A był wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Odpowiedź na pytanie A3B3 w warunku wystarczającym => to:
B3.
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o wciśniętym klawiszu A (A=1)
Mniej precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wciśnięcia klawisza A (A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że każdy nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” powinien uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’:
B3’
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to przycisk A może ~~> nie być wciśnięty (~A=1)
S~~>~A = S*~A =0
to samo w zapisie formalnym:
q~~>~p = q*~p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)

A4B4:
W jakim stanie może być przycisk A jeśli żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4
A4B4:
Do tego aby żarówka S nie świeciła się (~S=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A nie był wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1

Odpowiedź na pytanie A4B4 w warunku wystarczającym => to:
A4.
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o nie wciśniętym klawiszu A (~A=1)
Mniej precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) nie jest warunkiem wystarczającym => dla nie wciśnięcia klawisza A (~A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że każdy nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” powinien uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’:
A4’
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
S~~>~A = S*~A =0
to samo w zapisie formalnym:
q~~>~p = q*~p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności S|<=>A jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie świecącej się żarówki (zdanie B3) jak i po stronie nie święcącej się żarówki (zdanie A4).
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w implikacji prostej p||=>q jak i w implikacji odwrotnej p||~>q.
3.
Punkt 2 jest odpowiedzią na pytanie:
Dlaczego ziemscy matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować ani implikacji prostej p||=>q, ani też implikacji odwrotnej p||~>q.
Po prostu, oba operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q to absolutny idiotyzm w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania, co za chwilkę zobaczymy na przykładzie komputerowego sterowania kierownicą.
4.
Wniosek:
Jedynym operatorem implikacyjnym mającym zastosowanie w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.

Dowód prawdziwości punktu 4 zademonstruję na dwóch przykładach.

Przykład 1
Sterowanie kierownicą zgodnie z algorytmem równoważności p|<=>q.


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to na 100% => skręcaj koła w lewo (L=1)
L=>L =1
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Przykład 2
Sterowanie kierownicą zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to wywołaj generator cyfr losowych postępując zgodnie z poniższym algorytmem:
„orzełek” - skręcaj kierownicą w lewo zgodnie z rozkazem kierowcy
„reszka” - skręcaj kierownicą w prawo ignorując rozkaz kierowcy
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Mam nadzieję, że nikogo nie muszę przekonywać, iż implikacji prosta p||=>q w świecie techniki to idiotyzm absolutny i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 17:10, 13 Kwi 2021, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:54, 25 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q


Spis treści
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q 1
8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q 5
8.2 Spójnik „albo” p$q 7
8.2.1 Spójnik „albo”($) w logice dodatniej p$q i ujemnej ~p$~q 9
8.2.2 Spójnik „albo” p$q jako negacja zbiorów/pojęć 14
8.3 Operator „albo” p|$q 18
8.4 Operator „albo” q|$p 21
8.5 Skąd bierze się zero-jedynkowa definicja spójnika „albo” p$q? 23


8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q

Spójnik „albo”($) to spójnik kompletnie przez ziemskich matematyków nierozumiany.

Dowód:
Który z ziemskich matematyków wie, że spójnik „albo”($) to szczególny rodzaj równoważności o definicji:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (p=q), natomiast przedstawiona niżej definicja spójnika „albo”($) definiuje negację zbiorów (p=~q) - różnica jest więc fundamentalna.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja negacji zbiorów p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” p$q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p$q

Lewą stronę spójnika „albo”($) czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Natomiast matematycznie tożsamą:
Prawą stronę definicji spójnika „albo”($) czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 2:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Oczywistym jest, że powyższe przykłady 1 i 2 są poprawne w dziedzinie:
C (człowiek) = M (mężczyzna) + K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór wszystkich ludzi C (człowiek) jest sumą logiczną (+) zbiorów mężczyzn M i kobiet K.
C = M+K
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnień do dziedziny
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy następujące tożsamości zbiorów:
M=~(K) - zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie (~) zbioru kobiet (K) w dziedzinie C
K = ~(M) - zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie (~) zbioru mężczyzn (M) w dziedzinie C

Graficzne związki matematyczne między zbiorami M (mężczyzna) i K (kobieta) można przedstawić następująco:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------

Zauważmy, że spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Dowód:
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Podstawmy do definicji spójnika „albo”($) tożsamość:
q=~p
stąd mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p)) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia, iż w logice matematycznej w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Gdzie:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy tożsamy dowód iż spójnik „albo”($) to w istocie definicja negacji pojęć/zbiorów p=~q.
Definicja spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q
Dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p+~p=1
cnd

Podsumujmy nasze rozważania wyżej.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Tożsama definicja szersza:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Spójnik „albo”($) definiuje negację zbiorów/pojęć p=~q.

Definicja negacji zbiorów/pojęć p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
p=~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Definicja spójnika równoważności p<=>q jest inna i definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q a nie jak to jest w spójniku „albo”($) negację zbiorów/pojęć p=~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Rozważmy najszerszą definicję spójnika „albo”($):
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Z powyższej tożsamości wynika, że jeśli prawdziwa jest relacja negacji zbiorów p=~q definiowana spójnikiem „albo”($) to dla tej relacji równoważność p<=>q definiująca tożsamość zbiorów p=q musi być fałszem.

Dowód:
Dla relacji negacji zbiorów q=~p definiowanej spójnikiem „albo”($) mamy:
p$~p = ~(p<=>~p) = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Sprawdźmy iż w istocie, dla relacji q=~p równoważność p<=>q jest fałszem.
p<=>~p = (A1: p=>~p)*B1: p~>~p) = (A1: ~p)*(B1: p) =~p*p =0
bo:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q
Stąd mamy:
A1: p=>~p = ~p+~p =~p
B1: p~>~p = p+p =p
cnd

8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock


Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Ziemska algebra Boole’a akceptuje wyłącznie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y):
Y=f(x)
Przykład:
Y=p+q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż funkcje logiczne algebry Boole’a to nie jest algebra Boole’a powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

W algebrze Boole’a dowolną funkcję logiczną Y wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
~Y=~f(x)
Nasz przykład:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
~Y=~p*~q
Co w logice jedynek (funkcje alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Ziemski matematyk który będzie twierdził, iż nie wolno dowolnej funkcji logicznej Y dwustronnie negować powinien spalić się ze wstydu i wziąć zimny prysznic.

W celu obalenia ziemskiej algebry Boole’a tzn. wykazania jej wewnętrznej sprzeczności, wyprowadźmy na początek definicje spójników „albo”($) p$q i równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q =p+~q

Definicja spójnika „albo”($):
Y = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)=~p*p + ~p*q ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
Y = p$q = p*~q+~p*q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p$q) = p*q+~p*~q

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p +~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Negujemy powyższą funkcję logiczną dwustronnie:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q

Zapiszmy te dwie definicje w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q          ## ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych


Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji funkcji logicznych ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.

W naszej tabeli T1 doskonale widać, że spójnik równoważności p<=>q jest różny na mocy definicji funkcji logicznych ## od spójnika „albo”($).

Ziemscy matematycy potrafią zapisywać dowolne funkcje logiczne algebry Boole’a tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Zapiszmy zatem tabelę T1 tylko i wyłącznie w funkcjach logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Kod:

T2
Definicja równoważności p<=>q: ## Definicja spójnika „albo”($):
 Y= (p<=>q)=p*q+~p*~q          ##  Y= (p$q)=p*~q+~p*q
 #                             ##  #
 Y= (p<=>q)=p*~q+~p*q          ##  Y= (p$q)=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, że wszędzie dostaliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej algebry Boole’a:
Po pierwsze:
Znaczek negacji funkcji logicznej # leży w gruzach.
Po drugie:
Leży i kwiczy definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##


8.2 Spójnik „albo” p$q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p$q - spójnik „albo”($) to nietypowa równoważność p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
      A1B1:      A2B2:  |      A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~> q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
      ##         ##            ##        ##               ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=> q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5:  p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji spójnika „albo”($) jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>q=p*q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


8.2.1 Spójnik „albo”($) w logice dodatniej p$q i ujemnej ~p$~q

W dalszej części wykładu, dla lepszego zrozumienia, będziemy się wspomagać prostym przykładem.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie od którego zaczynamy analizę matematyczną wyznacza punkt odniesienia, czyli jednoznacznie definiuje parametry formalne p i q.

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Na mocy prawa śfinii przyjmujemy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Przyjmujemy dziedzinę:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
C (człowiek) = M (mężczyzna) „lub”(+) K (kobieta)
Stąd:
~M=[C-M] = [M+K -M] =K
~K = [C-K] = [M+K -K] =M
Innymi słowy:
K=~M - zbiór K to zaprzeczenie (~) zbioru M w dziedzinie C
M=~K - zbiór M to zaprzeczenie (~) zbioru K w dziedzinie C

Zapis formalny naszego przykładu to:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

To samo w zapisie formalnym zgodnie z przyjętym punktem odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Jak widzimy, logika matematyczna obsługująca spójnik „albo” M$K jest dla wszystkich zrozumiała.

Tabela prawdy naszego przykładu rozpisana na zbiory to:
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych (oderwanych od przykładu) dla punktu odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
wygląda następująco.
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------


Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy spójnika „albo”($)
Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Przykład:
Bycie mężczyzną jest konieczne ~> i wystarczające => by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym poprzedniku p
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Przykład:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) „albo”($) nie jest kobietą (~K=1)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Trzeciej możliwości brak.
Zauważmy, że lewa strona spójnika „albo” ~p$~q jest zrozumiała, ale to zrozumienie nie jest trywialne.

Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => aby być kobietą (K=1)
A2B2: ~M$K = (A2: ~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Zauważmy, że tą wersję spójnika „albo”($) bez problemu rozumie każdy 5-cio latek.

Równanie operatora „albo” p|$q:
Kod:

T1.
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                    A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd

Dlaczego to jest równanie operatora „albo” p|$q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p

Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Zachodzi tożsamość logiczna spójnika „albo”($):
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
co udowodniono wyżej w tabeli T1 prawami Kubusia.

Dowód matematycznie tożsamy:

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):

A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = p*~q + ~p*q

A2B2:
Spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):

A2:~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)= (~p+~q)*(p+q) = ~p*p+~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
~p$~q = p*~q + ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = p*~q + ~p*q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika „albo”($) mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję spójnika „albo” A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję spójnika „albo” A2B2:~p$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Przechodząc na wyższy poziom operatorów p|$q mamy tak:
Udowodnienie iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora „albo” A1B1: p|$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż to samo zdanie jest częścią operatora „albo” A2B2: ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

8.2.2 Spójnik „albo” p$q jako negacja zbiorów/pojęć

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Z tabeli TA odczytujemy matematyczną definicję spójnika „albo”($).

Matematyczna definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B3: ~q=>p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Zajdzie p „albo”($) q
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p)=1*1=1

Prawo Albatrosa:
W spójniku „albo” p$q relacja warunku wystarczającego => w obie strony zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
q=~p
Dowód:
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p)=1*1=1
dla q=~p mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B3: ~(~p)=>p)
p$~p = (A1: p=>p)*(B3: p=>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Stąd mamy:
Definicja negacji zbiorów p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” p$q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p$q

Dla B3 Zastosujmy prawo Tygryska:
B3: ~q=>p = B1: p~>~q
stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($).

Podstawowa definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p “albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Przykład:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1

Prawo Albatrosa:
Spójnik „albo” p$q będzie spełniony wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
q=~p

Dowód:
Podstawowa definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo” p$q to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
dla q=~p mamy:
p$~p = (A1: p=>~(~p))*(B1: p~>~(~p))
p$~p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
p=>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Zauważmy że:
W całej tabeli TA obowiązuje ten sam punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Zastosujmy do definicji A1B1 prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1: p=>~q = A4: q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
B1: p~>~q = B4: q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>

stąd mamy:
Definicja spójnika „albo” q$p:
Spójnik „albo” q$p to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego p
A4: q=>~p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: q~>~p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd:
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Łatwo to widzieć w tabeli TA.

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie q „albo”($) zajdzie p
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest kobietą (K=1) albo mężczyzną (M=1)
A4B4: K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)

Prawą stronę czytamy:
q jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło ~p
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Nasz przykład:
Bycie kobietą (K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być mężczyzną (~M=1)
A4B4: K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)

Prawo Albatrosa:
Spójnik „albo” q$p będzie spełniony wtedy i tylko wtedy gdy spełniona będzie tożsamość:
p=~q

Dowód:
Definicja spójnika „albo” q$p:
Spójnik „albo” q$p to jednocześnie zachodzący zarówno warunek wystarczający => jak i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego p
A4: q=>~p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: q~>~p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd:
A4B4: q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)
Łatwo to widzieć w tabeli TA.

Dla p=~q mamy:
q$~q = (A4: q=>~(~q))*(B4: q~>~(~q))
q$~q = (A4: q=>q)*(B4: q~>q) =1*1 =1
bo:
q=>q =1 - każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
q~>q =1 - każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Stąd mamy:
Definicja negacji zbiorów q=~p:
Zbiór q jest negacją zbioru p (q=~p) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” q$p:
q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = q$p

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
# = $
Definicja znaczka #:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
Kod:

Graficzna interpretacja spójnika „albo” p$q
-------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” p$q w zbiorach              |
| Dziedzina minimalna:                                            |
| D=p+q - dziedzina minimalna to suma logiczna zbiorów p+q        |
-------------------------------------------------------------------
| p - zbiór p                   | q - zbiór q                     |
|p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  | q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p)   |
|p$q definiuje:                 | q$p definiuje:                  |
|p=~(q)- zbiór p jest negacją q | q=~(p) - zbiór q jest negacją p |
|p=~q - zapis tożsamy           | q=~p - zapis tożsamy            |
|W zbiorach zachodzi również:   |W zbiorach zachodzi również:     |
|p=~(~p) bo q=~p                | q=~(~q) bo p=~q                 |
-------------------------------------------------------------------
[code]
Przykład interpretacji spójnika „albo”($) dla zdania:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
[/code]
Graficzna interpretacja spójnika „albo” M(mężczyzna) $ K(kobieta)
--------------------------------------------------------------------
| TAZ - tabela prawdy spójnika „albo” M$K w zbiorach               |
| Dziedzina minimalna:                                             |
| C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna zbiorów M+K       |
--------------------------------------------------------------------
| M - zbiór M(mężczyzn)          | K - zbiór K(kobiet)             |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  | K$M = (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M)   |
| M$K definiuje:                 | K$M definiuje:                  |
| M=~(K)- zbiór M jest negacją K | K=~(M) - zbiór K jest negacją M |
| M=~K - zapis tożsamy           | K=~M - zapis tożsamy            |
| W zbiorach zachodzi również:   | W zbiorach zachodzi również:    |
| M=~(K)=~(~M) - bo K=~M         | K=~(M)=~(~K) - bo M=~K          |
--------------------------------------------------------------------


8.3 Operator „albo” p|$q

Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy dla spójnika „albo”($) wraz z przykładem.
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B2 p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2
dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p (A1B1) i ~p (A2B2):

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q)
Nasz przykład:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu A1.
A1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie być kobietą
Bycie mężczyzną daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
A1’
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2.
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
Nasz przykład:
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby być kobietą (K=1)
A2B2:~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu B2.
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być kobietą
Nie bycie mężczyzną daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B2’
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Dowód:
zachodzi tożsamość zbiorów:
K=~M - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C (człowiek)
stąd mamy
K~~>~K = K*~K =[] =0
bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem nie kobiet (~K)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd:
K~~>M = K*M =[] =0 - bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem mężczyzn (M)
cnd

Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A2B2) i p (A1B1):
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Doskonale widać, że operator „albo” ~p|$~q to identyczna seria zdań jak wyżej, tylko analizę rozpoczynamy od A2B2 a kończymy na A1B1.

8.4 Operator „albo” q|$p

Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy dla spójnika „albo”($) wraz z przykładem.
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Kod:

TA: Tabela prawdy spójnika „albo” p$q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis formalny):
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia (zapis aktualny):
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną wystarcza => by nie być kobietą
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: m~>~K) =1*1=1
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:      |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1  [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K =1 = 2:~M~>K  =1  [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q =0 =              [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K =0 =              [=]              = 4: K~~>M =0
       ##            ##         |      ##            ##
B:  1: p~>~q =1 = 2:~p=>q  =1  [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K =1 = 2:~M=>K  =1  [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:             = 2:~p~~>~q=0  [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:             = 2:~M~~>~K=0  [=] 3: ~K~~>~M=0

Równanie operatora „albo” q|$p:
A4B4:                                                    A3B3:
q$p = (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = (A3:~q~>p)*(B3:~q=>p) = ~q$~p
Stąd mamy:
Operator „albo” q|$p to układ równań logicznych A4B4 i A3B3
dający odpowiedź na dwa pytania o q (A4B4) i ~q (A3B3):
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~q|$~p to układ równań logicznych A3B3 i A4B4
dający odpowiedź na dwa pytania o ~p (A3B3) i p (A4B4):
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W powyższej tabeli, dla poprawienia czytelności, uwidoczniono zmienne aktualne (związane z przykładem) w nagłówku tabeli oraz części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q.

Operator „albo” q|$p to układ równań logicznych A4B4 i A3B3 dający odpowiedź na dwa pytania o q (A4B4) i ~q (A3B3):

A4B4:
Co się stanie jeśli zajdzie q?

Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4.
Zajście q jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~p
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p)
Nasz przykład:
Bycie kobietą (K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by nie być mężczyzną (~M=1)
A4B4: K$M =(A4: K=>~M)*(B4 K~>~M)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu A4.
A4.
Jeśli człowiek jest kobietą (K=1) to na 100% => nie jest mężczyzną (~M=1)
K=>~M =1
Bycie kobietą jest warunkiem wystarczającym => do tego, by nie być mężczyzną
Bycie kobietą daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy mężczyzną
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A4 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
A4’
Jeśli człowiek jest kobietą (K=1) to może ~~> być mężczyzną (M=1)
K~~>K = K*M =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór kobiet (K) jest rozłączny ze zbiorem mężczyzn (M)

A3B3:
Co się stanie jeśli zajdzie ~q?

Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3.
Zajście ~q jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia p
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p)
Nasz przykład:
Nie bycie kobietą (~K=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby być mężczyzną (M=1)
A3B3:~K$~M=(A3:~K~> M)*(B3:~K=>M)

Odpowiedź w warunku wystarczającym => mamy w zdaniu B3.
B3.
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% => jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
Nie bycie kobietą jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być mężczyzną
Nie bycie kobietą daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy mężczyzną
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B3 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B3’
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to może ~~> nie być mężczyzną (~M=1)
~K~~>~M = ~K*~M =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
stąd mamy
M~~>~M = M*~M =[] =0
bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem nie mężczyzn (~M)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd:
M~~>K = M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
cnd

Operator „albo” ~q|$~p to układ równań logicznych A3B3 i A4B4 dający odpowiedź na dwa pytania o ~q (A3B3) i q (A4B4):
A3B3:~q$~p=(A3:~q~> p)*(B3:~q=>p) - co się stanie jeśli zajdzie ~q
A4B4: q$p =(A4: q=>~p)*(B4 q~>~p) - co się stanie jeśli zajdzie q

Doskonale widać, że operator „albo” ~q|$~p to identyczna seria zdań jak wyżej, tylko analizę rozpoczynamy od A3B3 a kończymy na A4B4.

8.5 Skąd bierze się zero-jedynkowa definicja spójnika „albo” p$q?

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

T2
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p=>q=1


Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) p$q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym następniku q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Stąd mamy:
Kod:

T3
               A1:    B1:     p$q=
   p  q ~p ~q  p=>~q  p~>~q   (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A: 1  1  0  0   0      1       0
B: 1  0  0  1   1      1       1
C: 0  0  1  1   1      0       0
D: 0  1  1  0   1      1       1

Stąd mamy zero-jedynkową definicję spójnika „albo”($):
Kod:

T4
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($):
   p  q  p$q
A: 1$ 1  =0
B: 1$ 0  =1
C: 0$ 0  =0
D: 0$ 1  =1
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0


Zadanie domowe dla czytelnika:
Wyprowadź definicję spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dwoma sposobami.

Sposób 1
Skorzystaj z definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q

Sposób 2
Wyprowadź definicję spójnika „albo”($) bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej (T4) definiującej ten spójnik.

Wskazówka:
Patrz punkt 1.10.1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 16:05, 21 Kwi 2021, w całości zmieniany 23 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 14:12, 27 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
5.6 Analiza operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Spis treści
5.6 Algorytm analizy zdań warunkowych w implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 1
5.6.1 Zdanie bazowe P2~~>P8 2
5.6.2 Zdanie bazowe P2~~>~P8 6
5.6.3 Zdanie bazowe ~P2~~>~P8 8
5.6.4 Zdanie bazowe ~P2~~>P8 10
5.7 Tabela prawdy implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8 12
5.7.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 13


5.6 Algorytm analizy zdań warunkowych w implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Algorytm analizy zdań warunkowych “Jeśli p to q” w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach:
(Algorytm ogólny - patrz punkt 2.5)

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN

Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5

Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?

Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q

Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja symboliczna operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Kod:

A1B1:
A1:  p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające dla zajścia q
B1:  p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1:  p~>q  =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
A2B2:
A2: ~p~>~q=0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2’:~p~~>q=1 - fałszywy A2 wymusza prawdziwy kontrprzykład A2’



5.6.1 Zdanie bazowe P2~~>P8

Zadanie 561
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Poprzednik p mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 2, natomiast następnik q o zbiorze liczb podzielnych przez 8.

Na potrzeby analizy musimy obliczyć wszystkie możliwe przeczenia zbiorów.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P8 jak i dla P2.
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P2~~>P8 =1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P2=[2,4,6,8..24..] i P8=[8,16,24..] np.24
2: P2~~>~P8 =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~>: P2=[2,4,6,8..24..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.2
3: ~P2~~>~P8=1 - Istnieje (=1) wspólny element ~~>: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1
4: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN

Niezbędny komentarz:
Fałszywość punktu 4 musimy udowodnić
Najprostszy dowód to:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych (tu ~P2) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych (tu P8)
Nie zawsze w tak prosty sposób daje się udowodnić rozłączność zbiorów nieskończonych.
Co robić gdy nie jest tak prosto?
Prawami logiki matematycznej należy poszukać najprostszego warunku wystarczającego => bo taki warunek zawsze dowodzi się najprościej.
a)
Na początek zakładamy fałszywość kontrprzykładu 4 z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego który musimy udowodnić tu:
4a: ~P2=>~P8 =?
4a.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
4a: ~P2=>~P8 =?
To samo w zapisie formalnym:
4a: ~p=>~q =?
Jak widzimy nie jest to najprostszy warunek wystarczający =>, najprostszy dostaniemy po skorzystaniu z prawa kontrapozycji:
4a: ~p=>~q = 4b: q=>p
Zdanie 4b brzmi:
4b.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Z dowodem prawdziwości zdania 4b matematyk klasyczny nie będzie już miał problemów.
Nasze prawo kontrapozycji:
4b: P8=>P2 = 4a: ~P2=>~P8
To samo w zapisie formalnym:
4b: q=>p = 4a: ~p=>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego 4a wymusza fałszywość kontrprzykładu 4a’ a dokładnie o dowód fałszywości 4a’ nam chodziło.
4a’: ~P2~~>P8 = [] =0 - bo zbiory ~P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
cnd

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Prawdziwość zdania 5 udowodniliśmy w punkcie 2 dowodząc pośrednio w fałszywości kontrprzykładu:
~P2~~>P8=~P2*P8 =[] =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]

W punkcie 5.7.1 lokalizujemy zdanie W1 jako zdanie B1 będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego B1: P2~>P8 będącego częścią operatora implikacji prostej odwrotnej P2||~>P8
cnd

5.6.2 Zdanie bazowe P2~~>~P8

Zadanie 562
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P2~~>~P8 =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~>: P2=[2,4,6,8..24..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.2
2: ~P2~~>~P8=1 - Istnieje (=1) wspólny element ~~>: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1
3: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 - bo P2=[2,4,6,8..] ma element wspólny ~~> z ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.2

W punkcie 5.7.1 zlokalizowane zdanie W2 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
cnd

5.6.3 Zdanie bazowe ~P2~~>~P8

Zadanie 563
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
~P2~~>~P8 = ~P2*~P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P2~~>~P8=1 - Istnieje (=1) wspólny element ~~>: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1
2: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2~~>~P8 = ~P2*~P8 =1 - bo ~P2=[1,3,5,7..] ma element wspólny ~~> z ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1

W punkcie 5.7.1 lokalizujemy zdanie W3 jako zdanie B2 będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8 będącego częścią operatora implikacji prostej odwrotnej P2||~>P8
cnd

5.6.4 Zdanie bazowe ~P2~~>P8

Zadanie 564
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora

Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:

START

Punkt 1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?

Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN

Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]

Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd

Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1

Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.7

Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0 - bo ~P2=[1,3,5,7..] i P8=[8,16,24..] to zbiory rozłączne.

W punkcie 5.7.1 lokalizujemy zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
cnd

5.7 Tabela prawdy implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8

Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   = 0 = 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2  =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q  =1 =              [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =              [=]               = 4:~P8~~>P2=1                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p    =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2  =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

5.7.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 mus być prawdą.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P2~>~P8 =0 - bo ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8 =1 - bo ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2:~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1
stąd:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd

Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 również jest bez znaczenia, tak więc zdania B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 11:07, 08 Maj 2021, w całości zmieniany 46 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25851
Przeczytał: 18 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:17, 28 Lut 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
5.8 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
5.8 Przykład operatora implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 1
5.8.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S 3
5.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 5
5.9 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach 6
5.9.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 10
5.10 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 12
5.10.1 Operator implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 14
5.11 Alternatywne dojście do operatora implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 16
5.11.1 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach 19
5.11.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 19



5.8 Przykład operatora implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S2 Schemat 2
             S               W            A
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd

Zauważmy, że zdania A1 i B1 lokalizują nam implikację odwrotną A|~>S.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
bo dodatkowo musi być wciśnięty przycisk W (W=1)
stąd mamy:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S= ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:      |     A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0  [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S   =0 = 2:~A~>~S =0  [=] 3: S~>A   =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q =1 =              [=]              = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: A~~>~S =1 =              [=]              = 4:~S~~>A =1                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1  [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S   =1 = 2:~A=>~S =1  [=] 3: S=>A   =1 = 4:~S~>~A =1
B’:              = 2:~p~~>q =0  [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~A~~>S =0  [=] 3: S~~>~A =0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

5.8.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej A||~>S to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dlających odpowiedzi na pytania o A i ~A:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0.

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1), bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby, jak to robią ziemscy matematycy, wykonywać nieskończonej ilości wciśnięć przycisku A sprawdzając czy za każdym wciśnięciem, żarówka świeci się.
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>

Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

5.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S

Wisienką na torcie w implikacji odwrotnej A||~>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S

5.9 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Weźmy do analizy następujące zdanie:
WK.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 8.
cnd
To samo zdanie w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1 - na mocy prawa śfinii
Punkt odniesienia na mocy praw śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
Poprzednik p mówi tu o zbiorze P2=[2,4,6,8..], zaś następnik q o zbiorze P8=[8,16,24..]
Dla potrzeb dalszej analizy musimy obliczyć przeczenia zabiorów P2 i P8, rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny.
Przyjmijmy wspólną dziedzinę minimalną LN:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zdanie WK definiuje zbiory:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P2 jak i dla P8.
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne

Sprawdźmy czy w zdaniu WK spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8=1)
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie A1 wymusza tu tabela T0.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa śfinii) warunek wystarczający p=>q mamy wyłącznie na pozycji A1.
cnd

Aby stwierdzić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi nasze zdanie WK musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie B1 wynika tu z tabeli T0.

Najprostszy warunek wystarczający zawsze łatwiej się dowodzi.
Zastosujmy zatem prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Dowodzimy prawdziwości B3.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…]
Z dowodem prawdziwości zdania B3 ziemski matematyk bez problemu sobie poradzi.
Prawdziwość B3, na mocy prawa Kubusia wymusza prawdziwość B1:
B1: P2~>P8 =1 - podzielność dowolnej liczny przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8
cnd

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry, nasze zdanie wejściowe WK kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest częścią warunku koniecznego ~> B1.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8.

IO.
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8:

Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - podzielność liczby przez 2 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8
B1: P2~>P8 =1 - podzielność liczby przez 2 jest (=1) konieczna ~> dla jej podzielności przez 8
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: ~P2=>~P8) = ~(0)*1 =1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   = 0 = 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2  =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q  =1 =              [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =              [=]               = 4:~P8~~>P2=1                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p    =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2  =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Z tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO odczytujemy:

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

stąd mamy:

5.9.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych:
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=>P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)*(B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P2 i ~P2:

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) =~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.
Uwaga:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli P2 to P8” jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 nic więcej nie musimy udowadniać - mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO.
Nie musimy, nie oznacza że nie możemy, dlatego przedstawiamy dowody indywidualne dla każdego ze zdań widniejących w IO.

B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Oczywiście ten fakt dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p - zapis formalny
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Udowodnienie prawdziwości B3: P8=>P2 =1 na mocy prawa kontrapozycji gwarantuje prawdziwość zdania B2:~P2=>~P8 =1

Z prawdziwości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd

Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2 - zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P8 - zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


5.10 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Zapisz szczegółową analizę tego operatora

Rozwiązanie:

Dane jest zdanie wejściowe:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania B1 to:
B1: p~>q =1
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
B1: 4L~>P =1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies]

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: 4L~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek wystarczający A1: 4L=>P=?
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to na 100% => jest psem (P=1)
4L=>P =0
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby być psem (P=1) bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies].

Dopiero w tym momencie, po udowodnieniu prawdziwości zdania B1: 4L~>P=1 i fałszywości zdania A1: 4L=>P=0 mamy rozstrzygnięcie iż oba te zdania należą do operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - bycie zwierzęciem z czterema łapami nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
do tego by być psem, bo nie wszystkie zwierzęta mające cztery łapy, są psami
B1: 4L~>P =1 - bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego,
aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% =>
nie jest się psem (~P=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P
Stąd:
A1B1: 4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1

Podstawmy nasze zdania A1: 4L=>P=0 i B1: 4L~>P=1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej 4L|~>P
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zapisie aktualnym:
A1: 4L=>P =0 - posiadanie 4 łap nie jest (=0) wystarczające => by być psem
B1: 4L~>P =1 - posiadanie 4 łap jest  (=1) konieczne ~> by być psem
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=1    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0

Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1:                                                        A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Z tabeli IO odczytujemy:

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?