Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Boole'a, której ziemianie nie rozumieją

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 21807
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 0:09, 13 Lip 2018    Temat postu: Algebra Boole'a, której ziemianie nie rozumieją

Algebra Boole’a, której ziemianie nie rozumieją!

Część I
Zero-jedynkowa algebra Boole’a


Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Definicja algebry Boole’a 1
2.1 Fundamenty algebry Boole’a 2
2.1.1 Prawo Lwa 3
2.1.2 Prawa Prosiaczka 3
2.1.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a 3
3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a 4
3.1 Rachunek zero-jedynkowy 6
3.2 Podstawowe prawa algebry Boole’a 6
2.3 Minimalizacja równań logicznych w algebrze Boole’a 9
3.4 Operatory logiczne AND(|*) i OR(|+) 12
3.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych dla zadanych funkcji logicznych 13
3.6 Podsumowanie algebry Boole’a w rachunku zero-jedynkowym 14


1.0 Notacja

Legalne symbole podstawowe używane w algebrze Boole’a to:
{0,1} - dwa wyróżnione elementy, zwykle 0 i 1
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie
1=~0 - prawda to zaprzeczenia fałszu
0=~1 - fałsz to zaprzeczenia prawdy
(*) - spójnik logiczny „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka zwany też koniunkcją
(+) - spójnik logiczny „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka zwany też alternatywą

2.0 Definicja algebry Boole’a

Algebra Boole’a to matematyka ścisła której niepotrzebne są jakiekolwiek odnośniki do świata rzeczywistego - jest ponad naszym Wszechświatem.
W szczególności, jeśli mówimy o algebrze Boole’a jako matematyce to musimy wykopać w kosmos Klasyczny Rachunek Zdań bowiem jego fundamentem jest język mówiony człowieka, a to już jest fizyka a nie matematyka.

Definicja algebry Boole’a
Algebra Boole’a to zaledwie pięć znaczków {0, 1}, (~), (*), (+) plus rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa algebry Boole’a.
1.
{0,1} - dwa wyróżnione elementy (np. 0 i 1)
2.
Definicja negacji (~):
1=~0
0=~1
3.
Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
   1  2  3

4.
Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
   1  2  3



2.1 Fundamenty algebry Boole’a

Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest nam znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić

Przykład:
Pies ma cztery łapy
P4L=1
Czytamy: prawdą jest (=1), że pies ma cztery łapy (P4L)
Tego faktu nie jesteśmy w stanie zmienić

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować w funkcji czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0
p=[1,0]
Notacja:
p=1 - w chwili t1 zmienna p ma wartość logiczną 1
p=0 - w chwili t2 zmienna p ma wartość logiczną 0
Oczywiście nie może być, że w tej samej chwili czasowej zmienna binarna p ma równocześnie wartość logiczną 1 i 0.

Zmienną binarną p możemy zapisać w tabeli prawdy uwzględniającej wszystkie możliwe wartości logiczne p
Kod:

   p
A: 1
B: 0


2.1.1 Prawo Lwa

Prawo Lwa:
Dowolna zmienna binarna p wymusza istnienie zmiennej ~p i odwrotnie
Kod:

   p ~p
A: 1  0
B: 0  1

Z powyższej tabeli możemy odczytać prawa Prosiaczka.

2.1.2 Prawa Prosiaczka

I prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Wartość logiczna zmiennej p równa 1 (p=1) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 0 (~p=0) i odwrotnie

II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Wartość logiczna zmiennej p równa 0 (p=0) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 1 (~p=1) i odwrotnie

Interpretacja praw Prosiaczka w świecie fizycznym.

I prawo Prosiaczka:
Prawdą jest (=1) że widzę kotka (K) = fałszem jest (=0) że nie widzę kotka (~K)
(K=1)=(~K=0)
Kod:

   K ~K
A: 1  0

II prawo Prosiaczka:
Fałszem jest (=0) że widzę kotka (K) = prawdą jest (=1) że nie widzę kotka (~K)
(K=0)=(~K=1)
Kod:

   K ~K
B: 0  1

Połączone I i II prawa Prosiaczka to tabela prawdy dla zmiennej K:
Kod:

   K ~K
A: 1  0
B: 0  1


2.1.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a

Z praw Prosiaczka wynika:
I.
Zero-jedynkowa algebra Boole’a - rachunek zero-jedynkowy

Logikę matematyczną możemy uprawiać w zerach i jedynkach (rachunek zero-jedynkowy) gdzie o logice matematycznej decydują poprawnie zapisane nagłówki kolumn zero-jedynkowych.
I. (p=1)=(~p=0)
II. (p=0)=(~p=1)
p=1 - prawdą (=1) jest że zajdzie p
p=0 - fałszem jest (=0) że zajdzie p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu I i II prawo Prosiaczka.

II.
Symboliczna algebra Boole’a - logika równań algebry Boole’a

Logikę matematyczną możemy uprawiać w symbolach p i ~p (równania algebry Boole’a) gdzie o logice matematycznej decydują sygnały p i ~p, żadnych tabel zero-jedynkowych tu nie ma!
I. (p=1)=(~p=0)
II. (~p=1)=(p=0)
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu I i II prawo Prosiaczka.

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a

Algebra Boole’a operuje wyłącznie pięcioma znaczkami:
{0,1} - dwa element wyróżnione np. 0 i 1
(~) - negacja
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, zwany też koniunkcją
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, zwany też alternatywą

Wszelkie prawa zero-jedynkowej algebry Boole’a wyznacza rachunek zero-jedynkowy operujący tylko i wyłącznie powyższymi znaczkami.

Najpopularniejszą interpretacją 0 i 1 w świecie rzeczywistym jest technika TTL:
1=H - wysoki poziom logiczny (napięcie 2,4-5,0V)
0=L - niski poziom logiczny (napięcie 0,0-0,4V)
Przykład rzeczywistej bramki logicznej realizującej definicję spójnika „i”(*):
[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja bramki logicznej 2-wejściowej:
Bramka logiczna tu układ scalony o dwóch wejściach cyfrowych (p, q) i tylko jednym wyjściu Y.

W algebrze Boole’a wszystkie sygnały są binarne (dwuwartościowe). Dotyczy to zarówno sygnałów wejściowych (p, q) jak i sygnału wyjściowego Y.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
   p  q Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
to kompletna tabela ABCD123.

Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie opisać biorąc pod uwagę wyłącznie jedynki (logika jedynek) albo wyłącznie zera (logika zer).

Logika jedynek:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagą wyłącznie jedynki.

Definicja słowna spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Wyłącznie linia A123
Inaczej:
Y=p*q=0
Obszar BCD123

Logika zer:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagę wyłącznie zera

Definicja słowna spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Obszar BCD123
Inaczej:
Y=1
Wyłącznie linia A123

Logika jedynek i logika zer to tożsame opisy matematyczne dowolnej tabeli zero-jedynkowej, jednak wyłącznie logika jedynek jest dla człowieka zrozumiała i ma przełożenie 1:1 na jego język potoczny, udowodnimy to niebawem w praktyce.
Powód niezrozumienia logiki zer widać jak na dłoni. W logice zer definiujemy spójnik „i”(*) wypowiadając de facto spójnik „lub”(+), różny na mocy definicji od spójnika „i”(*)
Dokładnie z tego powodu w algebrze Boole’a logikę zer będziemy dość konsekwentnie ignorować, jako matematycznie zbędną.
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
   p  q Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
to kompletna tabela ABCD123

Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie opisać biorąc pod uwagę wyłącznie jedynki (logika jedynek) albo wyłącznie zera (logika zer).

Logika jedynek:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagą wyłącznie jedynki.

Definicja słowna spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Obszar ABC123
Inaczej:
Y=p+q=0
Wyłącznie linia D123

Logika zer:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagę wyłącznie zera

Definicja słowna spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Wyłącznie linia D123
Inaczej:
Y=1
Obszar ABC123

Logika jedynek i logika zer to tożsame opisy matematyczne dowolnej tabeli zero-jedynkowej, jednak wyłącznie logika jedynek jest dla człowieka zrozumiała i ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka, udowodnimy to niebawem w praktyce.
Powód niezrozumienia logiki zer widać jak na dłoni. W logice zer definiujemy spójnik „lub”(+) wypowiadając de facto spójnik „i”(*), różny na mocy definicji od spójnika „lub”(+)
Dokładnie z tego powodu w algebrze Boole’a logikę zer będziemy dość konsekwentnie ignorować, jako matematycznie zbędną.


3.1 Rachunek zero-jedynkowy

W zero-jedynkowej algebrze Boole’a (rachunek zero-jedynkowy) nie ma znaczenia czy korzystamy z logiki jedynek, czy też z logiki zer, możemy te logiki dowolnie mieszać, bowiem w rachunku zero-jedynkowym interesują nas wyłącznie poprawnie opisane nagłówki kolumn zero-jedynkowych. Tożsamość kompletnych kolumn zero-jedynkowych jest dowodem zachodzenia prawa algebry Boole’a zapisanego w nagłówkach kolumn.

W rachunku zero-jedynkowym interesuje nas nie bezmyślne i trywialne maglowanie zer i jedynek przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+) w kolejnych liniach, ale poprawne matematycznie nagłówki kolumn gdzie tożsamość kolumn generuje nam podstawowe prawa algebry Boole’a.

Uwaga!
Alfą i omegą logiki matematycznej zwanej algebrą Boole’a jest technika bramek logicznych.
Wszelkie dowody w rachunku zero-jedynkowym można fizycznie zweryfikować w laboratorium techniki cyfrowej, zatem jest to matematyka ścisła pewna, bez najmniejszej skazy.


3.2 Podstawowe prawa algebry Boole’a

Zobaczmy na przykładach zasady posługiwania się rachunkiem zero-jedynkowym, udowadniając podstawowe prawa algebry Boole’a

1.
Prawo przemienności argumentów w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p*q=q*p
p+q=q+p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q  p*q q*p p+q q+p
A: 1  1   1   1   1   1
B: 1  0   0   0   1   1
C: 0  1   0   0   1   1
D: 0  0   0   0   0   0
   1  2   3   4   5   6

Tożsamość kolumn 3-4 jest dowodem przemienności argumentów w spójniku „i”(*):
p*q = q*p
Tożsamość kolumn 5=6 jest dowodem przemienności argumentów w spójniku „lub”(+):
p+q=q+p

2.
Prawa o elemencie neutralnym w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest 1
p*1=p
p*0=0
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
p+0=p
p+1=1
Dowód:
Kod:

Dla q=1 mamy:
   p  q p*q p+q
A: 1  1  1   1
B: 1  1  1   1
C: 0  1  0   1
D: 0  1  0   1
   1  2  3   4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=3
p*q = p*1 =p
2=4
p+q = p+1 =1
cnd
Kod:

Dla q=0 mamy:
   p  q  p*q p+q
A: 1  0   0   1
B: 1  0   0   1
C: 0  0   0   0
D: 0  0   0   0
   1  2   3   4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=4
p+q = p+1 =p
2=3
p*q = p*0 =0
cnd

3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:
p*p=p
p+p=p

Dowód:
Rozważamy tu przypadek szczególny:
q=p
Kod:

Dla q=p mamy:
   p  p  p*p p+p
A: 1  1   1   1
B: 1  1   1   1
C: 0  0   0   0
D: 0  0   0   0
   1  2   3   4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=3
p*p =p
1=4
p+p =p
cnd

4.
Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a jest równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe kombinacje zmiennych użytych w równaniu.
Dla dwóch zmiennych p i q dziedziną będzie równanie:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1 (dziedzina)
To samo w równaniach cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Dowód:
Minimalizujemy:
Y=p*(q+~q)+~p*(q+~q)
Y = p+~p=1
cnd
4A:
Właściwości dziedziny równania algebry Boole’a:
Równania cząstkowe Ya, Yb, Yc i Yd są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny (=1).
Wzajemną rozłączność równań cząstkowych bardzo łatwo udowodnić:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =0
Ya*Yc=(p*q)*(~p*q) =0
itd.
Uwaga:
We wszelkich prawach algebry Boole’a jedynkę możemy zastąpić dziedziną równania algebry Boole’a.
Przykład:
Udowodnij iż 1 jest elementem neutralnym dla spójnika „i”(*)
Dowód:
p*1 =p
Dziedzina dla jednej zmiennej to:
p+~p=1
p*~p=0
Podstawiamy:
p*1=p*(p+~p) = p*p + p*~p = p*p =p
cnd

5.
Prawo uzupełnienia do dziedziny równania algebry Boole’a:
Zmienna ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zmiennej p
p+~p =1
Zmienne p i ~p są rozłączne
p*~p =0
W tym przypadku podstawiamy:
q=~p
Kod:

dla q=~p mamy:
   p ~p  p*~p p+~p
A: 1  0   0    1
B: 1  0   0    1
C: 0  1   0    1
D: 0  1   0    1
   1  2   3    4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
p+~p =1

6.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, (*), (+)

7.
Zasady mnożenia wielomianów są identyczne jak w matematyce klasycznej.

Przykład:
Udowodnij tożsamość logiczną:
L: p*q+~p*~q = P: (p+~q)*(~p+q)
Przekształcamy prawą stronę:
P: (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q + ~q*~p+~q*q = 0+p*p + ~p*~q +0 = p*q+~p*~q
cnd


2.3 Minimalizacja równań logicznych w algebrze Boole’a

Prawa logiki matematycznej udowodnione wyżej to:
1.
Prawo przemienności argumentów w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p*q=q*p
p+q=q+p
2.
Prawa o elemencie neutralnym w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest 1
p*1=p
p*0=0
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
p+0=p
p+1=1
3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:
p*p=p
p+p=p
4.
Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a jest równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe kombinacje zmiennych użytych w równaniu.
Dla dwóch zmiennych p i q dziedziną będzie równanie:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1 (dziedzina)
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
4A:
Właściwości dziedziny równania algebry Boole’a:
Równania cząstkowe Ya, Yb, Yc i Yd są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny (=1).
5.
Prawo uzupełnienia do dziedziny równania algebry Boole’a:
Zmienna ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla p
p+~p =1
Zmienne p i ~p są rozłączne
p*~p =0
6.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, (*), (+)
7.
Zasady mnożenia wielomianów są identyczne jak w matematyce klasycznej.

Definicja bramki logicznej n-wejściowej:
Bramka logiczna to układ scalony o n wejściach cyfrowych (p, q, r, s..) i tylko jednym wyjściu Y.

W algebrze Boole’a wszystkie sygnały są binarne (dwuwartościowe). Dotyczy to zarówno sygnałów wejściowych (p, q, r, s..) jak i sygnału wyjściowego Y.

Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y) to dowolne zmienne binarne połączone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
Y= p*q+~p*~q

Dowolną funkcję logiczną Y możemy tylko i wyłącznie negować stronami, zabronione jest tu jakikolwiek przenoszenie elementów z jednej strony na drugą charakterystyczne dla funkcji z matematyki klasycznej.

Definicja funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
Funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y) to dowolne zmienne binarne połączone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
~Y = (p+~q)*(~p+q)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą Wuja Zbója:
1. Uzupełniamy nawiasy
2. Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Niech będzie dana funkcja alternatywno-koniunkcyjna:
Y=p*q+~p*~q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
Y = (p*q)+(~p*~q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Prawo przejścia z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
Przejście z dowolnej postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej uzyskujemy wymnażając wielomiany w sposób identyczny jak w matematyce klasycznej.
To jedyny wspólny punkt z matematyką klasyczną, cała reszta jest fundamentalnie różna.

Obowiązują tu następujące reguły gry:
Argumenty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, (*), (+)

Przejdźmy z naszą funkcją 2 do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianu.
3.
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q

Przejdźmy z funkcją 3 z powrotem do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
Uzupełniamy nawiasy:
3: ~Y=(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)

W naszym przykładzie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y=(~p+q)*(p+~q)
oraz:
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q) [=] 3: ~Y=p*~q + ~p*q

Stąd mamy.
Prawo logiki matematycznej znane ziemianom:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.
Dowód na przykładzie: wyżej

Podsumowanie:
Niniejszy punkt jest absolutnie wystarczający do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych - nic a nic nie jest więcej konieczne.


3.4 Operatory logiczne AND(|*) i OR(|+)

Prawo Lwa:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej sygnały niezanegowane wymuszają sygnały zanegowane i odwrotnie.

Wniosek z prawa Lwa:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej musimy zapisać wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane.
Po stronie wejścia p i q mamy sygnały:
p. ~p, q, ~q
Po stronie wyjścia Y mamy sygnały:
Y, ~Y
Wszystkie te sygnały muszą być uwidocznione w dowolnej tabeli zero-jedynkowej, inaczej gwałcimy prawo Lwa, czyli popełniamy błąd czysto matematyczny.
Aktualna logika matematyczna ziemian nie zna pojęcia logii dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), gwałci zatem prawo Lwa.
Innymi słowy:
Jest matematycznie fałszywa.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
1.
Y = f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Matematyczne związki spójnika „i”(*) ze spójnikiem „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

                    ~Y=~(Y)             Y=~(~Y)
   p  q ~p ~q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q  Y=~(~p+~q)
A: 1  1  0  0  1      0         0        1
B: 1  0  0  1  0      1         1        0
C: 0  1  1  0  0      1         1        0
D: 0  0  1  1  0      1         1        0
   1  2  3  4  5      6         7        8

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) to układ równań logicznych Y i ~Y z powyższej tabeli
1.
Y=p*q
2.
~Y=~p+~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Prawa De Morgana widać bezpośrednio w tabeli zero-jedynkowej w postaci tożsamości kolumn 5=8 i 6=7.

Matematyczne związki spójnika “lub”(+) ze spójnikiem „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

                    ~Y=~(Y)             Y=~(~Y)
   p  q ~p ~q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q  Y=~(~p*~q)
A: 1  1  0  0  1      0         0        1
B: 1  0  0  1  1      0         0        1
C: 0  1  1  0  1      0         0        1
D: 0  0  1  1  0      1         1        0
   1  2  3  4  5      6         7        8

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y z powyższej tabeli
1.
Y=p+q
2.
~Y=~p*~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Prawa De Morgana widać bezpośrednio w tabeli zero-jedynkowej w postaci tożsamości kolumn 5=8 i 6=7.

3.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych dla zadanych funkcji logicznych

Zadanie:
Dana jest funkcja logiczna:
Y=p*~q + ~p*q
Zapisz funkcję logiczną ~Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oraz zapisz obie funkcje w rachunku zero-jedynkowym.

Rozwiązanie:
1.
Y = (p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+q)*(p+~q)
Przejście do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
3.
~Y=~p*p+~p*~q + q*p + q*~q
~Y = p*q + ~p*~q
~Y=~Ya+~Yb

Zapisujemy w tabeli zero-jedynkowej funkcję logiczną 3 (bo taką mamy zachciankę):
Kod:

                                ~Y=~Ya+~Yb    Y=~(~Y)=~(p*q+~p*~q)
   p  q ~p ~q ~Ya=p*q ~Yb=~p*~q ~Y=p*q+~p*~q  Y=p*~q+~p*q
A: 1  1  0  0    1       0        1            0
B: 1  0  0  1    0       0        0            1
C: 0  1  1  0    0       0        0            1
D: 0  0  1  1    0       1        1            0
   1  2  3  4    5       6        7            8



3.6 Podsumowanie algebry Boole’a w rachunku zero-jedynkowym

W rachunku zero-jedynkowym mamy zakaz interesowania się zerami i jedynkami wewnątrz tabeli zero-jedynkowej. W rachunku zero-jedynkowym ważne są wyłącznie prawidłowo opisane nagłówki kolumn wynikowych w postaci funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y).

W symbolicznej algebrze Boole’a gdzie operujemy symbolami p i ~p jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe kompletnie nas nie interesują bo ich po prostu tu nie ma!
Symboliczna algebra Boole’a (równania algebry Boole’a) jest nieporównywalnie precyzyjniejsza od zero-jedynkowej algebry Boole’a, o czym w następnym rozdziale.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 19:10, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin