Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia cdn

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20113
Przeczytał: 18 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:52, 08 Sty 2017    Temat postu: Algebra Kubusia cdn

Algebra Kubusia

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Nowa Teoria Zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Fundamenty Nowej Teorii Zbiorów 3
2.3 Relacje między zbiorami 7
2.3.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> 7
2.4 Prawa Prosiaczka 9
2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 10
3.0 Zbiory jednoargumentowe 10
3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów 10
3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach 12
3.2.1 Operator transmisji 13
3.2.2 Operator negacji 14
3.2.3 Operator chaosu 15
3.2.4 Operator śmierci 16
3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 16
4.0 Operatory dwuargumentowe 17
4.1 Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q” 17



1.0 Notacja


2.0 Nowa Teoria Zbiorów

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych przez człowieka

Zwrot „dowolnych pojęć” oznacza, że przy doborze elementów zbioru człowiek ma 100% wolnej woli, może do zbioru wrzucać mydło i powidło jak niżej:
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Szczególne przypadki zbioru to:
- uniwersum
- podzbiór
- nadzbiór

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Definicja podzbioru =>:
Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy
A=>B

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór A zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru B to mówimy, że zbiór A jest nadzbiorem ~> zbioru B i zapisujemy
A~>B

Pojęcia podstawowe Nowej Teorii Zbiorów:
Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych przez człowieka
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Wnioski:
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia.
Właściwości dziedziny:
D+~D = D+[] =D =1 - bo zbiór niepusty
D*~D = D*[] =[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja elementu podstawowego zbioru:
Elementami podstawowymi zbioru są wszystkie elementy wchodzące w skład zadeklarowanej dziedziny.

Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty


2.2 Fundamenty Nowej Teorii Zbiorów

Przyjmijmy do naszych rozważań dziedzinę:
D=[1,2,3]
Legenda:
D - nazwa zbioru (dziedzina)
[1,2,3] - elementy dziedziny umieszczamy w nawiasach i rozdzielamy je przecinkami

W NTZ zachodzi tożsamość:
(,) przecinek = (+) suma logiczna zbiorów

Używamy przecinków tylko i wyłącznie po to, by zapis był czytelniejszy.
Stąd zapisy tożsame:
B=[1,2,3] = [1+2+3]
gdzie:
1,2,3 - elementy podstawowe zbioru B

Definicja elementu podstawowego zbioru:
Element podstawowy zbioru to pojedynczy element bez powtórzeń należący do zadeklarowanej dziedziny.

Definicja:
Logika matematyczna zajmuje się rozpoznawalnością elementów w zbiorze a nie liczeniem elementów w zbiorze.
Stąd:
p=[2] - zbiór jednoelementowy zawierający liczbę 2
q=[2+2+2..] - zbiór z nieskończenie wieloma elementami 2
Zbiory p i q są tożsame bo zawierają ten sam element podstawowy zbioru, liczbę 2
p=q

Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze:
p=p+p
Na mocy tego prawa elementy zbioru możemy dowolnie powielać/redukować i dalej będzie to ten sam zbiór.
Przykład:
B=[1+2+3] = [1+1+…2+2+…3+3+…]
W szczególnym przypadku w zbiorze B=[1+2+3] może być nieskończenie wiele elementów i dalej będzie on tym samym zbiorem.

Z elementów podstawowych zbioru (należących do dziedziny) możemy budować dowolne podzbiory:
B =[1+2+3] = [1+2+1+3+2+3+1+2+3]
B =[[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]]
To są wszystkie możliwe, różne podzbiory jakie możemy zbudować z elementów podstawowych 1,2,3 zbioru B.
Wyróżnionym podzbiorom możemy nadać dowolne nazwy symboliczne je opisujące.
B =[[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]] = [C+D+E+F]
Kompletny zbiór B zawierający elementy podstawowe i wszystkie możliwe podzbiory wygląda tak.
B = [1+2+3] = [1+2+3+[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]]
B = [1+2+3+C+D+E+F]
Zapis tożsamy:
B = [1,2,3,C,D,E,F]
Legenda:
1,2,3 - elementy podstawowe zbioru
Podzbiory zbudowane z elementów podstawowych zbioru B to:
C=[1+2]
D=[1+3]
E=[2+3]
F=[1+2+3]
Zauważmy, że podzbiór F jest elementem zbioru B i jednocześnie jest tożsamy ze zbiorem podstawowym B:
F=B
stąd mamy prawo NTZ:
Każdy zbiór jest elementem dla samego siebie

Na mocy definicji zachodzi:
1 ## 2 ## 3 ## C ## D ## E ## F
gdzie:
## - różne na mocy definicji
B = [1,2,3,C,D,E,F]
Zbiór B zawiera wszystkie elementy podstawowe [1,2,3] plus wszystkie możliwe podzbiory [C,D,E,F] zbudowane z elementów podstawowych

Definicja podzbioru:
Jeśli każdy element zbioru A należy do zbioru B to mówimy, iż zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy:
A=>B

Zdefiniujmy zbiór A:
A=[1+2]
Zapiszmy relację podzbioru => zachodzącą między zbiorami A i B:
A=[1+2] => B= [1+2+3+C+D+E+F]
Zauważmy że:
A = C = [1+2]
stąd naszą relację możemy zapisać w postaci:
A=[1+2] => B= [1+2+3+A+D+E+F]
Elementy zbioru B to:
1,2,3,A,D,E,F
Doskonale widać, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B zarówno w elementach podstawowych [1,2] jak również w podzbiorach bo A=A.

Zauważmy że jeśli po naszych przekształceniach będziemy badać czy dalej zbiór A jest elementem zbioru B:
A=[1+2] => B= [1+2+3+A+D+E+F]
to mamy dwie możliwości:
1.
Odtworzyć podstawienie które zrobiliśmy, stąd:
A=[1+2] => B= [1+2+3+[1+2]+D+E+F]
2.
Powtórzyć całe rozumowanie od początku korzystając wyłącznie z elementów podstawowych dostępnych w oryginalnej dziedzinie.

Prawo Baranka:
Jeśli zbiór A jest podzbiorem => B to zbiór A jest częścią zbioru B, jak również zbiór A jest elementem zbioru B

Zapiszmy jeszcze raz dziedzinę D wraz ze wszystkimi możliwymi podzbiorami:
D=[1+2+3+[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]]
Przyjętą dziedzinę [1+2+3] mamy prawo modyfikować, rozszerzać lub zawężać.
Usunięcie dowolnego elementu z dziedziny sprawia iż ten element staje się dla nas nierozpoznawalny, bowiem wszystko co jest poza dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Wniosek:
Usuwając dowolny element z dziedziny, musimy go także usunąć ze wszystkich podzbiorów.
Usuńmy z naszej dziedziny element 3.
D=[1+2] - nowa dziedzina
Konieczna modyfikacja starej dziedziny [1+2+3]:
D=[1+2+[]+[1+2]+[1+[]]+[2+[]]+[1+2+[]]
stąd:
D=[1+2+[1]+[2]+[1+2]]
D=[1+2+[1+2]]
W naszej nowej dziedzinie dostępny jest tylko jeden możliwy podzbiór [1+2]

Przykład 1.
Dziedzinę możemy definiować dowolnie.
Zdefiniujmy dziedzinę.
ZS - zbiór wszystkich ssaków
ZS=[K+M+PS]
K - kobieta
M - mężczyzna
PS - pozostałe ssaki
W naszej dziedzinie sensowny podzbiór to:
C=[K+M] - człowiek
Elementy dziedziny możemy powielać do woli tworząc z nich podzbiory.
ZS=[K+M+PS+[K+M]]
ZS=[K+M+PS+C]
Zbadajmy przykładową relację podzbioru =>:
C=[K+M]=>ZS=[K+M+PS+C]
Doskonale widać, że prawo Baranka działa tu znakomicie.
Zbiór C jest podzbiorem => zbioru ZS.
Zbiór C jest częścią zbioru ZS, jak również zbiór C jest elementem zbioru ZS.

Przykład 2.
Dziedzinę możemy definiować dowolnie.
Dla celów edukacyjnych przyjmijmy zaledwie trzy elementy podstawowe zbioru czworokątów.
TP - trapez prostokątny
TR - trapez równoramienny
KW - kwadrat
Zapiszmy naszą dziedzinę, zbiór czworokątów:
CZW = [TP+TR+KW]
Elementy podstawowe zbioru CZW to:
TP, TR, KW
Utwórzmy sensowny podzbiór w zbiorze CZW:
CZW = [[TP+TR]+KW]
Nadajmy utworzonemu podzbiorowi nazwę:
TRAPEZ
TRAPEZ=[TP+TR]
Stąd zapis tożsamy zbioru CZW:
CZW = [TRAPEZ+KW]
Elementy zbioru CZW to:
TRAPEZ, KW
Matematycznie zachodzi tu relacja podzbioru:
TRAPEZ=[TP+TR] => CZW=[[TP+TR]+KW] = [TRAPEZ+KW]
Zauważmy że elementami zbioru CZW są zarówno elementy podstawowe:
TP, TR, KW
jak również elementem zbioru CZW jest podzbiór TRAPEZ!

Matematycznie zachodzi:
TP ## TR ## KW ## TRAPEZ
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Doskonale tu widać poprawność prawa Baranka w naszym Wszechświecie.


2.3 Relacje między zbiorami

Definicja podzbioru =>
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Definicja nadzbioru ~>
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
p~>q =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru p
q~>p =0 - bo zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p

Tożsamość zbiorów p=q
Zbiory p i q są tożsame gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i odwrotnie
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2]
[1,2]=[1,2] <=> ([1,2]=>[1,2])*([1,2]=>[1,2]) = 1*1 =1 - zbiory p i q są tożsame


2.3.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~>

I prawo Smoka
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q <=> p*q=p

Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3]
p=[1,2]=>q=[1,2,3] <=> [1,2]*[1,2,3] = [1,2] =p

Zauważmy, że I prawo Smoka to w istocie tożsama definicja podzbioru =>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to zbiór p jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w I prawie Smoka.
Zbiór q można wówczas zapisać w postaci:
q=[p, reszta]
Stąd mamy:
p=>q
p=>[p, reszta]
Nasz przykład:
p=>q
[1,2] => [1,2,3]
p=[1,2]
stąd:
p=>[p,3]
[reszta]=[3] =1 - zbiór niepusty

II prawo Smoka
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q <=> p*q=q

Przykład:
p=[1,2,3]
q=[1,2]
p=[1,2,3]~>q=[1,2] <=> [1,2,3]*[1,2] =[1,2] =q

Zauważmy, że II prawo Smoka to w istocie tożsama definicja nadzbioru ~>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to zbiór q jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w II prawie Smoka.
Zbiór p można wówczas zapisać w postaci:
p=[q, reszta]
Stąd:
p~>q
[q, reszta] ~> q
Nasz przykład:
p~>q
[1,2,3] => [1,2]
q=[1,2]
stąd:
[q,3] ~>q
[reszta] = [3] =1 - bo zbiór niepusty

I prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z I prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z I prawo Smoka:
p=>[p, reszta]
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że I prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.

II prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z II prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z II prawo Smoka:
[q, reszta] ~>q
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że II prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.


2.4 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Przykład:
1: Y=p+q
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2: ~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana


3.0 Zbiory jednoargumentowe

Definicja zbioru jednoargumentowego:
Zbiór jednoargumentowy po pojedynczy zbiór niepusty o dowolnej nazwie
p=[1,2]

3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów

Rozważmy zbiór jednoargumentowy p


Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny ustalony przez człowieka zbiór niepusty
Wszystko co jest poza zdefiniowaną dziedziną jest zbiorem pustym z definicji
Najszerszą możliwą dziedziną jest Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

I.
Zbiór jednoargumentowy p

1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0


3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach


Definicja funkcji logicznej Y:
Przypisanie dowolnej części dziedziny do symbolu Y nazywamy funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y).
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Właściwości funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1
[] = Y*~Y =0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań logicznych opisujących funkcje logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

W zbiorach jednoargumentowych możemy utworzyć cztery różne operatory logiczne:
- operator transmisji
- operator negacji
- operator chaosu
- operator śmierci


3.2.1 Operator transmisji


Definicja operatora transmisji:
Transmisja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi p
Y=p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
Stąd definicja operatora logicznego transmisji to układ równań logicznych:
Y=p
~Y=~p

Kod:

Symboliczna definicja operatora transmisji Y=p
          |Co matematycznie oznacza
A: Y= p   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   |~Y=1<=>~p=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y=p
          | p ~p  Y=p   ~Y=~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p   | 1  0  =1     =0   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   | 0  1  =0     =1   |~Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3      4     c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina


3.2.2 Operator negacji


Definicja operatora negacji:
Negacja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi ~p
Y=~p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
Stąd definicja operatora logicznego negacji to układ równań logicznych:
Y=~p
~Y=p
Kod:

Symboliczna definicja operatora negacji Y=~p
          |Co matematycznie oznacza
A: Y=~p   | Y=1<=>~p=1
B:~Y= p   |~Y=1<=> p=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora negacji Y=~p
          | p ~p  Y=~p  ~Y=p |Co matematycznie oznacza
A: Y=~p   | 1  0  =0     =1  |~Y=1<=> p=1
B:~Y= p   | 0  1  =1     =0  | Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3      4    c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina


3.2.3 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Operator chaosu to przypisanie funkcji logicznej Y dziedzinie D
Y=D =1

Kod:

Symboliczna definicja operatora chaosu Y=1
             |Co matematycznie oznacza
A: Y= p+~p   | Y=1
B:~Y= p*~p   |~Y=0


Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu Y=1
           | p ~p  Y=p+~p  ~Y=p*~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p+~p | 1  0  =1       =0     | Y=1
B:~Y= p*~p | 0  1  =1       =0     |~Y=0


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu żadnych szans na kłamstwo.


3.2.4 Operator śmierci

Definicja operatora śmierci:
Operator śmierci to przypisanie funkcji logicznej Y zbiorowi pustemu []
Y=[] =0

Kod:

Symboliczna definicja operatora śmierci Y=0
             |Co matematycznie oznacza
A: Y= p*~p   | Y=0
B:~Y= p+~p   |~Y=1


Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci Y=0
           | p ~p  Y=p*~p  ~Y=p+~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p*~p | 1  0  =0       =1     | Y=0
B:~Y= p+~p | 0  1  =0       =1     |~Y=1

Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0
Wypowiadając to zdanie pani jest kłamcą.
Nieistotne jest, co pani zrobi jutro


3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych

Zero-jedynkowe definicje operatorów jednoargumentowych.
Kod:

        |Transmisja |Negator    |Chaos           |Śmierć
        | Y=p       | Y=~p      | Y=(p+~p)=1     | Y=(p*~p)=0
   p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 | =1   =0   | =0    =1  | =1      =0     | =0      =1
B: 0  1 | =0   =1   | =1    =0  | =1      =0     | =0      =1



4.0 Operatory dwuargumentowe

4.1 Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q”

I zasada logiki matematycznej
Fundamentem logiki matematycznej są zdania warunkowe „Jeśli p to q” operujące na zbiorach.
Wniosek:
Nie ma sensu mówienie o zbiorach w kontekście logiki matematycznej bez zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
gdzie:
p - poprzednik w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”, część zdania po „Jeśli…”
q - następnik w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”, część zdania po „to..”

Zdania warunkowe mogą operować tylko i wyłącznie na zbiorach:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
lub na zdarzeniach:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmuro

Najłatwiejszym do zrozumienia fundamentem logiki matematycznej są zbiory. Zdania warunkowe operujące na zdarzeniach zachowują się identycznie jak zdania na zbiorach.


Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
I.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” operuje na dziedzinie zdefiniowanej w poprzedniku.
W poprawnym zdaniu warunkowym dziedzina w następniku musi być identyczna jak w poprzedniku.
II.
Między zbiorami występującymi w poprzedniku p i następniku q mogą zachodzić tylko i wyłącznie trzy (słownie trzy) relacje zbiorów, zwane spójnikami logicznymi.

Definicje spójników logicznych =>, ~> i ~~>

1.
Definicja relacji podzbioru => = warunek wystarczający =>:

p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Rozstrzygnięcia prawdziwości zdania warunkowego p=>q:
1 - gdy warunek wystarczający => spełniony (zdanie prawdziwe)
0 - gdy warunek wystarczający => niespełniony (zdanie fałszywe)

Przykład pozytywny:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Przykład negatywny:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
P2=>P8=0
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

2.
Definicja relacji nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>:

p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Rozstrzygnięcia prawdziwości zdania warunkowego p~>q:
1 - gdy warunek konieczny ~> spełniony (zdanie prawdziwe)
0 - gdy warunek konieczny ~> niespełniony (zdanie fałszywe)

Przykład pozytywny:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[2,4,6,8 …]

Przykład negatywny:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

3.
Definicja relacji kwantyfikatora małego ~~>:

p~~>q = p*q
Istnieje co najmniej jeden wspólny element zbioru q
Rozstrzygnięcia prawdziwości zdania warunkowego p~~>q:
1 - gdy zbiory p i q mają element wspólny (zdanie prawdziwe)
0 - gdy zbiory p i q nie mają elementu wspólnego, są rozłączne (zdanie fałszywe)

Przykład pozytywny:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]

Przykład negatywny:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7..]


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:52, 01 Mar 2017, w całości zmieniany 29 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20113
Przeczytał: 18 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 0:46, 12 Sty 2017    Temat postu:

Irbisorze, coraz bardziej zaciekawia mnie twoja osobowość, czyli twoja wersja logiki matematycznej, bo mój post wyżej skomentowałeś tak...

http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/biblia-kubusia-nowa-teoria-zbiorow,9013.html#306979
Irbisol napisał:
Może wykażesz najistotniejsze różnice pomiędzy twoją - nową teorią zbiorów - a starą?


Czyżbyś uważał że:
Nowa teoria zbiorów wyżej = teoria zbiorów znana ziemianom?
Czyżbyś zrozumiał mój post wyżej?
Czyżbyś zrozumiał definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach?
Operatory transmisji i negacji chociażby.
:shock: :shock: :shock:


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 1:01, 12 Sty 2017, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
idiota




Dołączył: 10 Lut 2006
Posty: 3122
Przeczytał: 2 tematy

Pomógł: 15 razy
Skąd: stolnica

PostWysłany: Czw 3:20, 12 Sty 2017    Temat postu:

Czyli nie stworzyłeś niczego, tak?

Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20113
Przeczytał: 18 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 7:38, 12 Sty 2017    Temat postu:

idiota napisał:
Czyli nie stworzyłeś niczego, tak?

Jeśli rozumiesz i akceptujesz moją Biblię, NTZ, to tak?
Ty na prawdę Idioto rozumiesz moją Biblię?
Proszę o potwierdzenie bo oczom nie wierzę.


Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Michał Dyszyński




Dołączył: 04 Gru 2005
Posty: 11157
Przeczytał: 62 tematy

Pomógł: 793 razy
Skąd: Warszawa
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 15:21, 16 Sty 2017    Temat postu:

A teraz moja (Michała Dyszyńskiego) PODSTAWOWA WĄTPLIWOŚĆ LOGIKI.
(gnębi mnie to od dłuższego czasu).

Czy poprawna w pełni logika tak na pewno jest w stanie oprzeć się na teorii zbiorów?

Pytanie wydaje się "od czapy", tym bardziej, że jak mantrę od lat wpaja nam się ścisłe powiązanie logiki i teorii zbiorów. Jednak na tej linii coś ciągle się nie dopina, ciągle powstają niejednoznaczności.
Logika w moim przekonaniu jest znacznie bardziej "dynamiczna", niż teoria zbiorów. Paradoksy znane z teorii zbiorów generują się właśnie na styku - teoria zbiorów - myślenie proceduralne, rekurencyjne, oparte o mechanizm rozpoznania.
Obawiam się, że to na czym operuje logika W CAŁOŚCIOWYM, NIESPRZECZNYM ZNACZENIU po prostu NIE JEST ZBIOREM, ani nie jest elementem zbioru. Teoria zbiorów tylko nieudolnie próbuje stać się podstawą logiki, choć nie posiada tu "pełnych uprawnień".


Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20113
Przeczytał: 18 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:47, 16 Sty 2017    Temat postu:

Michał Dyszyński napisał:

Czy poprawna w pełni logika tak na pewno jest w stanie oprzeć się na teorii zbiorów?

Zdecydowanie TAK!
Śledź watek "Prawo subalternacji"


Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
idiota




Dołączył: 10 Lut 2006
Posty: 3122
Przeczytał: 2 tematy

Pomógł: 15 razy
Skąd: stolnica

PostWysłany: Wto 0:25, 17 Sty 2017    Temat postu:

"Czy poprawna w pełni logika tak na pewno jest w stanie oprzeć się na teorii zbiorów? "

Nie, bo to teoria zbiorów opiera się na logice.
Mając wyłącznie język TZ możemy głosić zdania prawdziwe i nimi operować, ale nie umiemy stwierdzić ich prawdziwości.
Do tego potrzebna jest nam syntaktyka KRZiP, z niej da się wyprowadzić wzorzec prawdziwości i fałszywości (tautologie i kontrtautologie) i w ten sposób mówić o zdaniach TZ i określać ich prawdziwość logiczną.


Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20113
Przeczytał: 18 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 0:37, 17 Sty 2017    Temat postu:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2475.html#308257

2.1 Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q”

I zasada logiki matematycznej
Fundamentem logiki matematycznej są zdania warunkowe „Jeśli p to q” operujące na zbiorach.
Wniosek:
Nie ma sensu mówienie o zbiorach w kontekście logiki matematycznej bez zdań warunkowych „Jeśli p to q”


Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin