Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka Beta 1.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 11:06, 03 Sie 2012    Temat postu: Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka Beta 1.0

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Kim jest Kubuś?

Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po sześciu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane. Elementarz logiki człowieka to podręcznik matematyki do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.

Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna matematyka nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q=~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty).
Podręcznik składa się z trzech części. Humanistom i przedszkolakom wystarczy „Elementarz” plus "Algebra Kubusia w służbie lingwistyki", ale tylko ta najprostsza, bez zdań złożonych. Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.
To jedyny dział matematyki, którego nie musimy się uczyć!
Czyż nie jest to piękne?

Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.

Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita


Spis treści:

Część I
Algebra Kubusia: Elementarz logiki człowieka


1.0 Notacja

2.0 Algebra Kubusia w pigułce
2.1 Operatory OR i AND
2.1.1 Operator OR
2.1.2 Operator AND
2.2 Operatory implikacji i równoważności
2.2.1 Operator implikacji prostej
2.2.2 Operator implikacji odwrotnej
2.2.3 Równoważność

3.0 Zdania zdeterminowane i niezdeterminowane
3.1 Zdania proste

4.0 Kubusiowa teoria zbiorów
4.1 Operacje na zbiorach
4.2 Właściwości zbiorów

5.0 Operatory AND i OR w zbiorach
5.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
5.2 Operator OR w zbiorach
5.3 Operator AND w zbiorach

6.0 Implikacja i równoważność w zbiorach
6.1 Implikacja prosta w zbiorach
6.2 Kwantyfikatory
6.3 Implikacja odwrotna w zbiorach
6.4 Prawa kontrapozycji w implikacji
6.5 Równoważność
6.6 Niezależny warunek wystarczający
6.7 Prawo eliminacji implikacji
6.8 Gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności
6.9 Operator chaosu
6.10 Operator śmierci

Część II
Algebra Kubusia: Nie tylko dla Orłów


7.0 Równania algebry Kubusia
7.1 Tworzenie równań algebry Kubusia
7.2 Minimalizacja funkcji logicznych
7.3 Osiem równań opisujących operator OR
7.4 Osiem równań opisujących operator AND
7.5 Logika zero

8.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
8.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
8.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
8.3 Operatory transmisji P i Q
8.4 Operatory negacji NP i NQ

9.0 Algebra zbiorów rozłącznych
9.1 Operator XOR
9.2 Nietypowe warunki wystarczające

10.0 Definicje operatorów w bramkach logicznych
10.1 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki


11.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
11.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
11.2 Złożona implikacja prosta
11.3 Złożona implikacja odwrotna
11.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
11.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

12.0 Obietnice i groźby
12.1 Obietnica
12.2 Groźba
12.3 Obietnica w równaniach logicznych
12.4 Groźba w równaniach logicznych
12.5 Analiza złożonej obietnicy
12.6 Analiza złożonej groźby
12.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
12.8 Rodzaje obietnic


1.0 Notacja

Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
~1=0
~0=1
Wnioski:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli p=1 to ~p=0

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład:
Jutro będzie padało
Matematycznie powyższe zdanie jest równoważne zdaniu:
Jutro na pewno => będzie padało
J=>P =?
To nie jest zdanie w sensie matematycznym, bo nie da się określić jego prawdziwości.
Zbiór „będzie padło” może okazać się zbiorem pustym (gdy nie będzie padać), albo zbiorem niepustym (gdy będzie padać).
To zdanie może więc być albo prawdziwe, albo fałszywe.

ale!

Jutro może padać
J~~>P=1
To jest zdanie prawdziwe w sensie matematycznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

= - znak tożsamości

Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B

Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Inaczej zdanie jest fałszywe.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to matematyczny opis otaczającej nas rzeczywistości, w tym nieznanej przyszłości.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y
W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
p=>~q - logika ujemna bo ~q

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład 1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład 2
p=>q
~p~>~q
Przykład 3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

Kubusiowa teoria zbiorów:

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element

Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności

p+~p = 1+1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny zbioru liczb naturalnych, stąd w wyniku 1
p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0

Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt

P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)
P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt
P*~P=0 - iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne


2.0 Algebra Kubusia w pigułce

Algebra Kubusia w pigułce to streszczenie podręcznika, gołe definicje formalne.
Algebra Kubusia to algebra zbiorów dla potrzeb logiki.
Algebra Kubusia nie bada właściwości zbiorów, interesuje nas wyłącznie czy:
1 - zbiór istnieje, jest niepusty (zdanie prawdziwe)
0 - zbiór nie istnieje, jest pusty (zdanie fałszywe)

Operacje na zbiorach

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty


2.1 Operatory OR i AND

Fundamentem operatorów OR i AND są zaledwie dwie definicje spójników logicznych “lub”(+) i “i”(*).

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
* - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
+ - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne w powyższej tabeli do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
Kod:

 p  q Y=p+q
 p* q =Y
 p*~q =Y
~p* q =Y

Stąd mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+)
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q


2.1.1 Operator OR

Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Y = p+q
~Y= ~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Budowa operatora OR w zbiorach.


Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p+q
W: Y = p*q + p*~q +~p*q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy Y, zatem są to definicje tożsame:
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.

Kompletny operator OR opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar ~Y to otrzymamy obszar Y i odwrotnie.

Wynika z tego że w diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR odpowiada na pytania:
W.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, bowiem tylko tu widzimy niezanegowane Y.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
U.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, bowiem tylko tu widzimy zanegowane Y.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR, natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem D otrzymujemy tabele zero-jedynkową operatora AND.

Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

W: Y=p+q     | p q Y=p+q | ~p ~q ~Y=~p*~q |Y=~(~p*~q)
A: p* q = Y  | 1 1  =1   |  0  0   =0     | =1
B: p*~q = Y  | 1 0  =1   |  0  1   =0     | =1
C:~p* q = Y  | 0 1  =1   |  1  0   =0     | =1
U:~Y=~p*~q
D:~p*~q =~Y  | 0 0  =0   |  1  1   =1     | =0

Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
             |p=1, ~p=0  |~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0  |~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0  |~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

2.1.2 Operator AND

Definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia:
Y = p*q
~Y= ~p+~q
Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Operator AND w zbiorach:


Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y = ~p+~q
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q +p*~q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy ~Y, zatem są to definicje tożsame:
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q +p*~q

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.

Kompletny operator AND opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar ~Y to otrzymamy obszar Y i odwrotnie.
W diagramie zachodzi zatem prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C: ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Operator AND odpowiada na pytania:
W.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii A123 bowiem tylko tu widzimy niezanegowane Y.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
U.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze BCD123, bowiem tylko tu widzimy zanegowane Y.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND, natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy tabele zero-jedynkową operatora OR.

Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

W: Y=p*q     | p q Y=p*q | ~p ~q ~Y=~p+~q |Y=~(~p+~q)
A: p* q = Y  | 1 1  =1   |  0  0   =0     | =1
U:~Y=~p+~q
B:~p*~q =~Y  | 0 0  =0   |  1  1   =1     | =0
C:~p* q =~Y  | 0 1  =0   |  1  0   =1     | =0
D: p*~q =~Y  | 1 0  =0   |  0  1   =1     | =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
             |p=1, ~p=0  |~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0  |~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0  |~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)


2.2 Operatory implikacji i równoważności

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie dwa znaczki => i ~>.

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w całości zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q

Fundament algebry Kubusia nigdy nie może być gwałcony!

Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest również definicja warunku koniecznego [~>]:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame.
Gdzie:
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji.

Definicja znaczka [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
Stąd aksjomatyczna definicja równoważności wynikająca z tabeli zero-jedynkowej tego operatora:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).
Bezpośrednio z tej definicji wynika tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q


2.2.1 Operator implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q

Diagram 1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Definicja symboliczna operatora implikacji prostej:
Kod:

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1 - zbiór p zawiera się w zbiorze q
B: p~~>~q=0 - zbiory p i ~q są rozłączne, stąd p*~q=0 (zbiór pusty)
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p~>~q =1 - zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
D: ~p~~>q =1 - istnieje zbiór ~p*q, stąd ~p*q=1 (zbiór niepusty)
    1   2  3

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, bo tylko tu widzimy niezanegowane p.
C.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, bo tylko tu widzimy ~p.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.

Kodowanie zero-jedynkowe implikacji prostej:
Kod:

             | p  q  p=>q | ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1  | 1  1   =1  |  0  0   =1
B: p~~>~q=0  | 1  0   =0  |  0  1   =0
C:~p~>~q =1  | 0  0   =1  |  1  1   =1
D:~p~~>q =1  | 0  1   =1  |  1  0   =1
Puntem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
             |p=1, ~p=0   |~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0   |~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Analiza ogólna implikacji prostej:
A.
p=>q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q, zatem zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q. Zajście p GWARANTUJE zajście q.
Zbiory:
p*q=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
B.
p~~>~q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Zbiory:
p*~q=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zabieramy ~p i znika nam ~q, co doskonale widać na diagramie.
Zbiory:
~p*~q =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zajście ~p nie jest warunkiem koniecznym dla zajścia q, bo zabieramy ~p i nie znika nam q
Zbiory:
~p*q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Na podstawie powyższej analizy mamy definicje.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
1.
A: p=>q=1
Sprawdzamy czy zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Definicja równoważna to kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x)
2.
Szukamy jednego kontrprzykładu, czyli zdania:
B: p~~>~q=1

Definicja implikacji prostej użyteczna w praktyce:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => miedzy p i q:
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q=0

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8~>P2 = ~P8=>~P2=0 bo 2 (kontrprzykład)
Definicja kontrprzykładu:
~P8~~>P2=1 bo 2
Wniosek:
Zdanie A to implikacja prosta prawdziwa.
cnd


2.2.2 Operator implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w całości w zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

Diagram 2

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Definicja symboliczna operatora implikacji odwrotnej:
Kod:

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
A: p~> q =1 - zbiór p zawiera w całości zbiór q
B: p~~>~q=1 - istniej zbiór p*~q, stąd p*~q=1 (zbiór niepusty)
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q =1 - zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
D: ~p~~>q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne, stąd ~p*q=0 (zbiór pusty)
    1   2  3

Gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, bo tylko tu widzimy niezanegowane p.
C.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, bo tylko tu widzimy ~p.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.

Kodowanie zero-jedynkowe implikacji odwrotnej:
Kod:

             | p  q  p~>q | ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1  | 1  1   =1  |  0  0   =1
B: p~~>~q=1  | 1  0   =1  |  0  1   =1
C:~p=>~q =1  | 0  0   =1  |  1  1   =1
D:~p~~>q =0  | 0  1   =0  |  1  0   =0
Puntem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
             |p=1, ~p=0   |~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0   |~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Analiza ogólna implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbioru q, bo zabieramy zbiór p i znika nam zbiór q
Zbiory:
p*q =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera w całości zbiór q, co wymusza w wyniku 1
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiór p nie jest konieczny dla zbioru ~q bo zabieramy zbiór p i nie znika nam zbiór ~q
Zbiory:
p*~q=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, zatem zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
Zajście ~p GWARANTUJE => zajście ~q.
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
Zbiory:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
D.
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
Zbiory:
~p*q=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Na podstawie powyższego mamy:

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi się zawierać w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q=1
Sprawdzamy czy zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Definicja równoważna to kwantyfikator duży:
/\x ~p(x) => ~q(x)
2.
Szukamy jednego kontrprzykładu, czyli zdania:
D: ~p~~>q=1

Definicja implikacji odwrotnej użyteczna w praktyce:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy p i q:
p~>q = ~p=>~q=1
p=>q=0

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
P2=>P8 =0 bo 2 (kontrprzykład)
Definicja kontrprzykładu:
P2~~>~P8=1 bo 2
Wniosek:
Zdanie A to implikacja odwrotna prawdziwa.
cnd


2.2.3 Równoważność

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest również definicja warunku koniecznego [~>]:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame.
Gdzie:
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji.

Definicja znaczka [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
Stąd aksjomatyczna definicja równoważności wynikająca z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).
Bezpośrednio z tej definicji wynika tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1 - zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
B: p~~>~q=0 - zbiory p i ~q są rozłączne, stąd p*~q=0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q =1 - zbiór ~p zawiera w całości zbiór ~q
D: ~p~~>q =0 = zbiory ~p i q są rozłączne, stąd ~p*q=0
    1   2  3

Gdzie:
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Operator równoważności odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123 bo tylko tu widzimy p.
C.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123 bo tylko tu widzimy ~p.

W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.

Kodowanie zero-jedynkowe równoważności:
Kod:

            | p  q  p<=>q  |~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1 | 1  1   =1    | 0  0   =1
B: p~~>~q=0 | 1  0   =0    | 0  1   =0
C:~p=>~q =1 | 0  0   =1    | 1  1   =1
D:~p~~>q =0 | 0  1   =0    | 1  0   =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0     |~p=1, p=0
            |q=1, ~q=0     |~q=1, q=0

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem prawa Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód równoważny:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame zatem zachodzi prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd


Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, zachodzi zatem warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[p~>q]
bo zabieramy p i znika q.
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” znany z implikacji

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, zachodzi zatem warunek wystarczający =>:
~p=>~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q

Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[~p~>~q]
bo zabieramy ~p i znika ~q.

D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

Spełnienie warunku A i C wymusza tożsamość zbiorów:
p = q
~p = ~q
Zastanówmy się jakie jeszcze równania opisują powyższą tożsamość.

Definicja podstawowa:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd:
Definicja symetryczna:
B.
p<=>q = q<=>p = (q=>p)*(~q=>~p)

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p.

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
C.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
D.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i C mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
C: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
To jest tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q
Z A i D mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
D: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
stąd:
p=>q = ~q=>~p

Wszystkie możliwe definicje równoważności wynikłe z powyższych rozważań można ładnie ująć w kwadracie logicznym równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

A1: p=> q =1         A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0         B2: q~~>~p=0



C1:~p=>~q =1         C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0         D2:~q~~>p =0

Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)

Możliwe są dwa algorytmy dowodzenia warunku wystarczającego => w dowolnym rogu kwadratu:
1.
Dowód przez iterowanie po wszystkich możliwych elementach zbioru p:
A1: p =>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru zdefiniowany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora
2.
Obalenie warunku wystarczającego => przez podanie kontrprzykładu:
B1: p~~>~q =1
Wystarczy znaleźć jeden element należący do zbioru p który należy do zbioru ~q

Porównajmy to z kwadratem logicznym implikacji.
Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
Kod:

A1: p=> q =1      ##   A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0      ##   B2: q~~>~p=1


Prawo Kubusia:    ##   Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q       ##   q~>p = ~q=>~p


C1:~p~>~q =1      ##   C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1      ##   D2:~q~~>p =0

W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
Różne na mocy definicji.

Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.
Oczywiście nie wykryjemy tożsamości zbiorów udowadniając dowolny w warunków wystarczających:
A1: p=> q =1
B1: p~~>~q=0
czy też:
C2: ~q=>~q =1
D3: ~q~~>p=0
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.

Dodatkowo musimy udowodnić C1 albo A2:
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.

Spójrzmy na definicje implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.

Definicja równoważności użyteczna w praktyce:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q:
p=>q =1
[p~>q] = ~p=>~q =1

p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
gdzie:
[~>] – wirtualny warunek konieczny, występujący wyłącznie w równoważności.
Nie jest to spójnik „może” ~> między p i q („rzucanie monetą”), istota implikacji, o którym będzie za chwilę.
Dlaczego istota?
Nie ma rzucania monetą - nie ma implikacji!
… jest równoważność!

Definicja warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
Stąd aksjomatyczna definicja równoważności gdzie nie ma śladu „rzucania monetą”:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

W równoważności zachodzi prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1 =1
Do tego aby trójkąt miał kąty równe potrzeba [~>] i wystarcza =>, aby był równoboczny.

Definicja warunku koniecznego [~>]:
[TR~>KR] = ~TR=>~KR =1
Stąd definicja równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*1 =1
Wniosek:
Zdanie A to równoważność prawdziwa

Dowód równoważny wykorzystujący przemienność argumentów w równoważności (w implikacji nie zachodzi przemienność argumentów):
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) =1*1 =1
Wniosek:
Zdanie A to równoważność prawdziwa


3.0 Zdania zdeterminowane i niezdeterminowane

Rozważmy zdanie:
A.
Pies jest różowy

Zdanie oczywiście fałszywe.
… czy to zdanie może być kiedykolwiek prawdziwe?
Nigdy, bo nie ma różowych psów

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty, to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

Zbiór psów różowych jest zbiorem pustym, dlatego zdanie A jest fałszywe.

Weźmy teraz inne zdanie:
B.
Pies nie jest różowy

Zdanie oczywiście prawdziwe.
… czy to zdanie może być kiedykolwiek fałszywe?
Nigdy, bo zbiór psów które nie są różowe nie jest pusty.

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty, to zbiór który zawiera przynajmniej jeden element.

Zdania A i B są zdeterminowane, bowiem możemy określić z góry ich prawdziwość/fałszywość.

Zdaniu które jest prawdziwe (zbiór niepusty) przypisujemy cyferkę 1, natomiast zdaniu które jest fałszywe (zbiór pusty) przypisujemy cyferkę 0.

Weźmy kolejne zdanie:
C.
To jest pies

To zdanie może być albo prawdziwe (gdy będę pokazywał psa), albo fałszywe (gdy będę pokazywał zwierzę inne niż pies).

Nie jesteśmy w stanie powiedzieć z góry czy to zdanie jest prawdziwe/fałszywe. Takie zdania nazywamy zdaniami niezdeterminowanymi.

Podsumowanie:
1.
Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
2.
Zdania zdeterminowane i niezdeterminowane
Zdanie jest zdeterminowane wtedy i tylko wtedy gdy znamy z góry jego wartość logiczną.
Zdanie jest niezdeterminowane gdy nie znamy z góry jego wartości logicznej.


3.1 Zdania proste

Zacznijmy od zdania prostego, bez spójnika logicznego.
A.
Jutro pójdę do kina
Y = K
To zdanie nie jest zdeterminowane bo jutro wszystko może się zdarzyć:
K=1 - jutro pójdę do kina
~K=1 - jutro nie pójdę do kina
Oczywiście skłamię jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Oba te zdarzenia (zbiory) mogą wystąpić, zatem ich wartość logiczna może być równa 1 (zbiór niepusty).

Zdanie A matematycznie oznacza:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y = K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej poprzez dwustronną negację równania A:
B.
~Y =~K
Co matematycznie oznacza:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1).

Podsumowanie:
Y=1 - dotrzymam słowa
~Y=1 - skłamię
K=1 - jutro pójdę do kina
~K=1 - jutro nie pójdę do kina

Wszystkie te zdarzenia mają szansę jutro wystąpić, dzisiaj nie wiemy co się stanie jutro, jednak już dzisiaj możemy odpowiedzieć na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) a kiedy skłamię (~Y=1).


4.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

Kod:

p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.

Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q

Implikacja prosta:
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być z nim tożsamym
p=>q = ~p=>~q

Implikacja odwrotna:
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być z nim tożsamym
p~>q = ~p=>~q

Równoważność:
Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q

Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach.


4.1 Operacje na zbiorach

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty


4.2 Właściwości zbiorów

Definicja zbioru niepustego
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe

Definicja zbioru pustego
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany z logicznym zerem, zdanie fałszywe

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element

Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności

p+~p = 1*1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny zbioru liczb naturalnych

p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0

Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt

P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)

P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt, stąd w wyniku 1

P*~P=0
Iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne

Właściwości zbioru pustego
1.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Suma logiczna zbioru pustego z czymkolwiek jest tym czymkolwiek
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
[] - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p*[] = p*0 = 0
p+[] = p+0 = p
W algebrze Kubusia zbiór pusty [] to po prostu logiczne zero.
2.
Zbiór pusty to także brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe

Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach


5.0 Operatory AND i OR w zbiorach

Operatory AND i OR opisują właściwości dwóch zbiorów p i q które mają część wspólną i nie zawierają się jeden w drugim.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y

W przykładach będziemy operować na dwóch zbiorach:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Dopełnienia powyższych zbiorów do dziedziny:
~p=[5->oo] - pięć do nieskończoności
~q=[1,2]+[7->oo]


5.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
* - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):

W: Y=p*q
W: Y=1 <=> p=1 i q=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Przykład:
p=[1,2,3,4] =1, wartość logiczna zbioru: p=1 - zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1, wartość logiczna zbioru: q=1 - zbiór niepusty
Y=p*q = [3,4] =1, wartość logiczna zbioru wynikowego: Y=1 - zbiór niepusty
Y = 1*1=1

Musimy tu odróżnić pojęcie zbioru od wartości logicznej zbioru.
Notacja jak wyżej jest jednoznaczna:
Elementy zbioru umieszczamy w nawiasie kwadratowym […]

Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów kwadratowych:
p = 1 - zbiór niepusty
p = 0 - zbiór pusty

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
Kod:

p ~p p*~p p+~p
1  0  =0   =1
0  1  =0   =1

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
+ - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Prawo algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Stąd mamy tabelę symboliczną spójnika „lub”(+):
Kod:

 p  q Y=p+q
 p* q  =Y
 p*~q  =Y
~p* q  =Y

W powyższej tabeli wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) wyżej, mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):

Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
Y=p*~q=1
Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku Y=1.

W diagramie widzimy tożsamość obszarów:
W: Y = p+q
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1
i
W1: Y = p*q + p*~q +~p*q
W1: Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
co jest dowodem tożsamości powyższych definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Przykład:
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q = [1,2] + [7->oo]
Operacje rzeczywiste na zbiorach:
W.
Y = p+q = [1,2,3,4] + [3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Sprawdzenie równoważnej definicji spójnika „lub”(+):
W1.
Y = p*q + p*~q +~p*q
Operacje na wartościach rzeczywistych zbiorów:
A: Y=p*q = [1,2,3,4] * [3,4,5,6] = [3,4]
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub(+)
B: Y = p*~q = [1,2,3,4] * ([1,2] + [7->oo]) = [1,2]
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub(+)
C: Y = ~p*q = [5->oo]* [3,4,5,6] = [5,6]
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
stąd:
W1.
Y = p*q + p*~q +~p*q = [3,4] + [1,2] + [5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y = p*q + p*~q +~p*q
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna przyjmuje wartość 1 (Y=1).

Jak widzimy, zbiory wynikowe W i W1 są tożsame co jest dowodem tożsamości definicji spójnika „lub”(+)
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 16:10, 09 Sie 2012, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 11:09, 03 Sie 2012    Temat postu:

5.2 Operator OR w zbiorach

Wyprowadzenie definicji operatora OR w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja     |Definicja
zero-jedynkowa|Symboliczna
p q Y=p+q     | p  q Y=p+q
1 1  =1       | p* q  = Y
1 0  =1       | p*~q  = Y
0 1  =1       |~p*~q  = Y
0 0  =0       |~p*~q  =~Y

Definicja symboliczna powstała na podstawie prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Widać z niej, że wszystkie zbiory muszą istnieć bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek, a to jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q

Budowa operatora OR w zbiorach.

Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
~Y=~p*~q=1
~Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p+q
W: Y = p*q + p*~q +~p*q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy Y, zatem są to definicje tożsame:
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.

Kompletny operator OR opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar ~Y to otrzymamy obszar Y i odwrotnie.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie.

Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
to najważniejsze prawo w logice z którego będziemy non-stop korzystać.

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora AND.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p+~q = ~[~(~p)*~(~q)] = ~(p*q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p+~q) = p*q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*).
Przy okazji doskonale widać, że operator AND jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (albo odwrotnie)
Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator OR.
Definicja operatora OR w układzie równań Kubusia:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Na mocy prawa de’Morgana negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator AND:
C: ~y=~p+~q
D: y=p*q
To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D!

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki          |Bramki
Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika
W: Y=p+q             |czlowieka |                |
W: Y= p*q+p*~q+~p*q  |          |p q Y=p+q       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0
B: p*~q= Y           |1*1=1     |1 0 =1 /Y= p*~q | 0  1   =0
C:~p* q= Y           |1*1=1     |0 1 =1 /Y=~p* q | 1  0   =0
U: ~Y=~p*~q          |
D:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
   1  2  3            a b c     |4 5  6          | 7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0
                                |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0
                                |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+):
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*):
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem D otrzymujemy tabele zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).

Symbol „+” (spójnik „lub”) jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Nasz przykład:
W.
Y = p+q = [1,2,3,4] + [3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
W.
Y = p*q + p*~q +~p*q = [3,4] + [1,2] + [5,6] = [1,2,3,4,5,6]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
Y = p*q + p*~q +~p*q
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna przyjmuje wartość 1 (Y=1).

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q
Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q = [1,2] + [7->oo]
~Y = ~p*~q = [5->oo]*([1,2]+[7->oo]) = [7->oo]
To samo na wartościach logicznych zbioru:
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Wszystkie zbiory istnieją, zatem wszystkie muszą mieć wartość logiczną 1.

Jak widzimy, funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy wylosowana liczba będzie mniejsza od 7.

Wylosowana liczba mniejsza od 7 może należeć do jednego z trzech zbiorów:
W: Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
A: Y = p*q = [3,4] = 1*1 =1 - zbiór niepusty
lub
B: Y = p*~q = [1,2] =1*1=1 - zbiór niepusty
lub
C: Y = ~p*q = [5,6] =1*1=1 - zbiór niepusty

Funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy wylosowana liczba będzie większa lub równa 7.
U: ~Y = ~p*~q = [7->oo] = 1*1 =1

Zdania wyżej generują tabelę zero-jedynkowe operatora OR albo AND w zależności od przyjętego punktu odniesienia.

Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie W:
W: Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice dodatniej (bo Y).
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie U:
U: ~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że tabela zero-jedynkowa operatora OR zbudowana jest dla świata totalnie niezdeterminowanego gdzie nie wiemy jaka liczba zostanie wylosowana.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Bezpośrednio z definicji operatora logicznego wynika prawo Sowy.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

W naszym przykładzie mamy do czynienia z czterema zbiorami:
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q = [1,2] + [7->oo]

Doskonale widać że dla konkretnej wylosowanej liczby może być prawdziwy wyłącznie jeden zbiór po stronie p i jeden zbiór po stronie q.

Załóżmy, że wylosowaliśmy liczbę: 6

Obliczamy wartości funkcji logicznych Y i ~Y dla wylosowanej liczby:
A: Y = (p*q)*[6] = [3,4]*[6] = [] = 1*1 =0 - zbiór pusty
B: Y = (p*~q)*[6] = [1,2]*[6]=[] = 1*1 =0 - zbiór pusty
C: Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=(~p*~q)*[6] = [7->oo]*[6]=[] =1*1 =0 - zbiór pusty
Przykładowa interpretacja:
D: Oba zbiory istnieją ([7->oo]=1 i [6]=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla wylosowanej liczby 6 jedyne prawdziwe zdanie brzmi:
Liczba 6 należy do zbioru ~p i należy do zbioru q
C: Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty

Nie może być tu mowy o jakimkolwiek spójniku „lub”(+).
Prawo Sowy działa więc doskonale.

Dla liczby 6 mamy zdeterminowane wartości logiczne zbiorów:
p=[1,2,3,4] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6
~p=[5->oo] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
q=[3,4,5,6] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
~q = [1,2] + [7->oo] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6

Dla wylosowanej liczby 6 mamy zatem:
~p=1, p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Kod:

                 Y=~p*q
A: Y= p* q = 0*1 =0
B: Y= p*~q = 0*0 =0
C: Y=~p* q = 1*1 =1
D:~Y=~p*~q = 1*0 =0

Doskonale widać definicje operatora AND co jest zgodne z prawem Sowy.

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli dotrzymałem słowa (Y=1):
Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

            Y=~K*T
 K* T= 0*1 =0
 K*~T= 0*0 =0
~K* T= 1*1 =1
~K*~T= 1*0 =0
Dotrzymałem słowa (Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
Y=1 <=> ~K=1 i T=1

Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
czy też:
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B lub C!

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.


5.3 Operator AND w zbiorach

Wyprowadzenie definicji operatora AND w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja     |Definicja
zero-jedynkowa|Symboliczna
p q Y=p*q     | p  q Y=p*q
1 1  =1       | p* q  = Y
1 0  =0       | p*~q  =~Y
0 1  =0       |~p*~q  =~Y
0 0  =0       |~p*~q  =~Y

Definicja symboliczna powstała na podstawie prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Widać z niej, że wszystkie zbiory muszą istnieć bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek, a to jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Definicja spójnika „i”(+) w logice dodatniej (bo Y):

Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
~Y=~p*~q=1
~Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y = ~p+~q
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q +p*~q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy ~Y, zatem są to definicje tożsame:
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q +p*~q

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.

Kompletny operator AND opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar ~Y to otrzymamy obszar Y i odwrotnie.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie.

Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora OR.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p*~q = ~[~(~p)+~(~q)] = ~(p+q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p*~q) = p+q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+).
Przy okazji doskonale widać, że operator OR jest logiką ujemną w stosunku do operatora AND (albo odwrotnie)
Y = p*q = ~(~p+~q) ## ~y = ~(~p*~q) = p+q
Operator AND ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator AND.
Definicja operatora AND w układzie równań Kubusia:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Na mocy prawa de’Morgana negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator OR:
C: ~y=~p*~q
D: y=p+q
To jest poprawna definicja operatora OR w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „*” nie może być kompletnym operatorem OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D!

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C: ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki          |Bramki
Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika
                     |czlowieka |                |
W: Y= p*q            |          |p q Y=p*q       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0
U:~Y=~p+~q           |
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q |
B:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
C:~p* q=~Y           |1*1=1     |0 1 =0          | 1  0   =1 /~Y=~p* q
D: p*~q=~Y           |1*1=1     |1 0 =0          | 0  1   =1 /~Y= p*~q
   1  2  3           |a b c     |4 5  6          | 7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0
                                |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0
                                |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0

Gdzie:
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A456 w powyższej tabeli
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar BCD789 w powyższej tabeli.

Operator AND odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii A123, zaś zero-jedynkową w linii A456, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze BCD123, zaś zero-jedynkową w obszarze BCD789, bowiem tylko tu widzimy zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+):
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymujemy tabele zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD789).

Symbol „*” (spójnik „i”) jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwszą linię. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
W: Y=1 <=> p=1 i q=1
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p+~q
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
U: ~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.

Nasz przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
~p=[5->oo]
~q = [1,2] + [7->oo]

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4]
To samo w wartościach logicznych zbioru:
W: Y = p*q =1*1 =1

Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y = ~p + ~q = [5->oo] + ([1,2]+[7->oo]) = [1,2]+[5->oo]
To samo w wartościach logicznych zbioru:
U: ~Y=~p+~q
U: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
stąd mamy:
B: ~Y = ~p*~q = [5->oo]*([1,2]+[7->oo]) = [7->oo]
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub(+)
C:~Y = ~p*q = [5->oo]*[3,4,5,6] = [5,6]
C:~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub(+)
D:~Y=p*~q = [1,2,3,4]*([1,2]*[7->oo] = [1,2]
D:~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Wszystkie zbiory istnieją, dlatego wartość logiczna wszystkich zbiorów jest równa 1.

Podsumujmy:
W.
Y=p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4]
Y=1 <=> p=1 i q=1
U.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
U1: ~Y = ~p+~q = [5->oo] + ([1,2]+[7->oo] = [1,2]+[5->oo]
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równa 1
~Y=1 <=> ~p=1 + ~q=1

Definicja równoważna:
U2: ~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q = [7->oo]+[5,6]+[1,2] = [1,2]+[5->oo]
Wszystkie zbiory istnieją, zatem ich wartość logiczna jest równa 1
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q)=1

Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość logiczna 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1

Ułóżmy nasze zdania w tabeli:
W: Y=p*q
A: Y=p*q = [3,4] = 1*1 =1
Poza tym przedziałem obowiązuje funkcja logiczna ~Y.
U: ~Y= ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
czyli:
B: ~Y=~p*~q = [7->oo] =1*1 =1
lub(+)
C:~Y=~p*q = [5,6] =1*1 =1
lub(+)
D:~Y=p*~q = [1,2] =1*1 =1
Komentarz dla D:
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Zdania wyżej generują tabele zero-jedynkowe operatora OR albo AND w zależności od przyjętego punktu odniesienia.

Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie W:
W: Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND w logice dodatniej (bo Y).
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie U:
U: ~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y)

Doskonale widać, że tabela zero-jedynkowa operatora AND zbudowana jest dla świata totalnie niezdeterminowanego gdzie nie wiemy jaka liczba zostanie wylosowana.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Bezpośrednio z definicji operatora logicznego wynika prawo Sowy.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

W naszym przykładzie mamy do czynienia z czterema zbiorami:
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q = [1,2] + [7->oo]

Doskonale widać, że dla konkretnej wylosowanej liczby może być prawdziwy wyłącznie jeden zbiór po stronie p i jeden zbiór po stronie q.

Załóżmy, że wylosowaliśmy liczbę: 6

Obliczamy wartości funkcji logicznych Y i ~Y dla wylosowanej liczby:
A: Y = (p*q)*[6] = [3,4]*[6] = [] = 1*1 =0 - zbiór pusty
B: ~Y = (~p*~q)*[6] = [7->oo]*[6]=[] = 1*1 =0 - zbiór pusty
C: ~Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty
D: ~Y= (p*~q)*[6] = [1,2]*[6]=[] =1*1 =0 - zbiór pusty
Przykładowa interpretacja:
D: Oba zbiory istnieją ([1,2]=1 i [6]=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla wylosowanej liczby 6 jedyne prawdziwe zdanie brzmi:
Liczba 6 należy do zbioru ~p i należy do zbioru q
C: ~Y = (~p*q)*[6] = [5,6]*[6] = [6] =1*1 =1 - zbiór niepusty

Nie może być tu mowy o jakimkolwiek spójniku „lub”(+).
Prawo Sowy działa więc doskonale.

Dla liczby 6 mamy zdeterminowane wartości logiczne zbiorów:
p=[1,2,3,4] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6
~p=[5->oo] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
q=[3,4,5,6] =1 - w tym zbiorze jest liczba 6
~q = [1,2] + [7->oo] =0 - w tym zbiorze nie ma liczby 6

Dla wylosowanej liczby 6 mamy zatem:
~p=1, p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Kod:

                 ~Y=~p*q
A: Y= p* q = 0*1 =0
B:~Y= p*~q = 0*0 =0
C:~Y=~p* q = 1*1 =1
D:~Y=~p*~q = 1*0 =0

Doskonale widać definicje operatora AND co jest zgodne z prawem Sowy.

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
A: K*T =1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli skłamałem (~Y=1):
~Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

           ~Y=~K*T
 K* T= 0*1 =0
 K*~T= 0*0 =0
~K* T= 1*1 =1
~K*~T= 1*0 =0
Skłamałem (~Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1

Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
~Y=~K*T=1*1=1
Oczywiście skłamałem (~Y).
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
czy też:
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B lub C!

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.


6.0 Implikacja i równoważność w zbiorach

Definicja implikacji prostej w zbiorach
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja równoważności w zbiorach
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
P=Q

Definicja równoważności wymusza tożsamość zbiorów ~P i ~Q:
~P=~Q
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)

Oczywiście zbiory:
P=Q # ~P=~Q
gdzie:
# - różne

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q


6.1 Implikacja prosta w zbiorach

Definicja implikacji prostej w zbiorach
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p=>q = ~p~>~q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja        |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa   |Symboliczna |Operatorowa
   p q p=>q      |
A: 1 1  =1       | p* q =1    | p=> q =1
B: 1 0  =0       | p*~q =0    | p~~>~q=0
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    |~p~>~q =1
D: 0 1  =1       |~p* q =1    |~p~~>q =1
   1 2   3         4  5  6      7   8  9

=> - spójnik „na pewno” między p i q
~>, ~~> - spójnik „może” miedzy p i q

Z definicji zero-jedynkowej widać, że nie może to być ani operator OR bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach B123 i C123, ani też operator AND bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach C123 i D123.

W tabeli symbolicznej zakodowano zatem symbolicznie tylko wejścia p i q operatora implikacji prostej korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Doskonale tu widać, że jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q bo druga linia jest fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Relacja w zbiorach:
B: p*~q=0
Wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zbiory p i ~q będą rozłączne, co wymusi w wyniku 0. Jeśli zajdzie ~p to może się zdarzyć cokolwiek („rzucanie monetą”), może zajść ~q lub q co oznacza, że zbiór p nie może być tożsamy ze zbiorem q.

Przykład zbiorów spełniających definicję implikacji prostej:
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Diagram 1


Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej w oparciu o powyższy diagram:
A.
p=>q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q, zatem zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q. Zajście p GWARANTUJE zajście q.
Zbiory:
p*q=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
Nasz przykład:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6]=[1,2]
W zapisie logicznym zbiorów:
p=>q = p*q = 1*1=1

B.
p~~>~q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Zbiory:
p*~q=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Nasz przykład:
p~~>~q = p*~q = [1,2]*[7->oo] =0
W zapisie logicznym zbiorów:
p~~>~q = p*~q = 1*1=0

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zabieramy ~p i znika nam ~q, co doskonale widać na diagramie.
Nasz przykład:
~P=[3->oo]
~Q=[7->oo]
~p~>~q
~Q - ~P = [7->oo] - [3->oo] = [] - zbiór pusty
Warunek konieczny ~> zachodzi!
cnd
Zbiory:
~p*~q =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Nasz przykład:
~p~>~q = ~p*~q = [3->oo]*[7->oo] = [7->oo]
W zapisie logicznym zbiorów:
~p~>~q = ~p*~q = 1*1=1

lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zajście ~p nie jest warunkiem koniecznym dla zajścia q, bo zabieramy ~p i nie znika nam q
~P=[3->oo]
Q=[1,2,3,4,5,6]
~p~~>q
Q - ~P = [1,2,3,4,5,6] - [3->oo] = [1,2] - zbiór niepusty
Warunek konieczny ~> nie zachodzi!
cnd
Zbiory:
~p*q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Nasz przykład:
~p~~>q = ~p*q = [3->oo]*[1,2,3,4,5,6] = [3,4,5,6]
W zapisie logicznym zbiorów:
~p~~>q = ~p*q =1*1=1

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Warunek wystarczający =>
w logice dodatniej (q)
                     |Zbiory  |p q p=>q          |~p ~q ~p~>~q
A: p=> q=1           | p* q=1 |1 1 =1 / p=> q =1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=0          | p*~q=0 |1 0 =0 / p~~>~q=0 | 0  1   =0
.a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1          |~p*~q=1 |0 0 =1            | 1  1   =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1          |~p* q=1 |0 1 =1            | 1  0   =1 /~p~~>q=1
                               1 2  3              4  5    6
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej:
                              |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
                              |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.

Na podstawie powyższej analizy mamy definicje.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
A.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi się zawierać w zbiorze q
Zbiory:
p*q=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

Bezpośrednio z definicji warunku wystarczającego => wynika.

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
W przypadku implikacji prostej w linii B nie ma takiej możliwości bo zbiory p i ~q są rozłączne.

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
czyli:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających, co za chwilę zobaczymy.

W implikacji prostej zachodzi warunek wystarczający o definicji w A.
A.
p=>q=1
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q.

Zbadajmy czy w implikacji prostej między p i q zachodzi warunek konieczny ~>:
p~>q = ~p=>~q

Na naszym diagramie po stronie ~p mamy.

Komentarz do linii C:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Zauważmy, że zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> zajścia ~q bo zabieramy ~p i znika nam ~q, co doskonale widać na diagramie.
Zajście ~p nie jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q bowiem istnieje takie ~p (np. q=6) które nie wchodzi w skład ~q, to również doskonale widać na diagramie.
Stąd mamy:
~p=>~q=0
Nasz przykład:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
p~>q = ~p=>~q =0 bo 6 (kontrprzykład)
Warunek wystarczający => wymaga, aby zbiór ~p zawierał się w zbiorze ~q, z diagramu wyżej widzimy, że jest dokładnie odwrotnie, stąd:
~p=>~q=0

Wyprowadziliśmy najważniejszą, bo łatwą do stosowania w praktyce, definicję implikacji prostej.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q=0

Powyższą super definicję musimy zapamiętać.

Na podstawie powyższych rozważań mamy ogólne definicje znaczków => i ~>.

Definicja znaczka =>:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Warunek wystarczający =>:
Wszystkie elementy zbioru p muszą należeć do zbioru q
=> - zbiór zdefiniowany w podstawie wektora (p) musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora (q).

Definicja znaczka ~>:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q
Warunek konieczny ~>:
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q
~> - zbiór zdefiniowany w podstawie wektora (p) musi zawierać cały zbiór wskazywany przez strzałkę wektora (q)

Nasz przykład:
A.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiory:
P=[1,2]
Q=[1,2,3,4,5,6]
Oczywiście każdy element zbioru P zawiera się w zbiorze Q, zatem:
p=>q=1
cnd

Sprawdzamy warunek konieczny między p i q:
B.
p~>q = ~p=>~q
~P=[3->oo] - liczby naturalne 3 do nieskończoności
~Q=[7->oo] - liczby naturalne 7 do nieskończoności
stąd:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =0 bo 6 (kontrprzykład)
Zatem:
p~>q = ~p=>~q =0
Prawa strona tożsamości jest fałszem zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą.

Oczywiście samo zdanie A jest również samodzielnym warunkiem wystarczającym => który może istnieć samodzielnie. Nie musimy dowodzić czy całość jest implikacją prostą, czy też czymś fundamentalnie innym, równoważnością. W równoważności po stronie ~p spełniony jest kolejny warunek wystarczający:
~p=>~q=1
… ale o tym będzie za chwilę.

Na zakończenie udowodnimy matematycznie brak warunku koniecznego ~> w linii D.
Dowód nie wprost:
Zakładamy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~> i stosujemy prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Oczywiście jeśli:
B: p~~>~q=0
to tym bardziej:
B: p=>~q=0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies
Twarda prawda, gwarancja matematyczna
Bycie psem wystarcza => aby mieć cztery łapy
Zbiór psów zawiera się w całości z zbiorze zwierząt z czterema łapami
Zbiory:
P=>4L = P*4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1), zbiór P=1 zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=1), co wymusza w wyniku 1
Sprawdzamy czy zdanie A spełnia warunek konieczny:
P~>4L=~P=>~4L=0 bo słoń
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą.
cnd

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Kontynuujmy zetem pełną analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L=0
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i ~4L=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Wykluczamy równoważność, czyli wykluczamy warunek wystarczający po stronie ~P:
~P=>~4L = 0 bo słoń
Teraz mamy pewność, że to implikacja i stosujemy prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Zauważmy, że dokładnie to samo zrobiliśmy wyżej na mocy definicji implikacji prostej.

C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura, mrówka …
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap
Zbiory:
~P~>~4L = ~P*~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1), zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co wymusza w wyniku 1
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, koń, hipopotam …
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Zdanie D nie spełnia warunku koniecznego ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0 bo pies
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie zero-jedynkowe
                  | P 4L P=>4L
A: P=> 4L =1      | 1  1  =1
B: P~~>~4L=0      | 1  0  =0
C:~P~>~4L =1      | 0  0  =1
D:~P~~>4L =1      | 0  1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                  | P=1, ~P=0
                  |4L=1, ~4L=0


Zastanówmy się teraz jak będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

Załóżmy że wylosowaliśmy: kurę
Dla kury mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kurę to na pewno => kura nie jest psem i nie ma czterech łap
K=>~P*~4L = 1*1=1
Dla kury nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

A: K=> P* 4L = 0*0=0
B: K=> P*~4L = 0*1=0
C: K=>~P*~4L = 1*1=1
D: K=>~P* 4L = 1*0=0

Jak widzimy, dla kury wyłącznie zdanie C jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND

Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej. Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.


6.2 Kwantyfikatory

Operujemy cały czas na definicji implikacji prostej i przykładzie wyżej.

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
KONIEC

Definicja kwantyfikatora dużego
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

Zauważmy, że kwantyfikator duży to bezsensowne dublowanie informacji którą zawiera znaczek =>, informujący precyzyjnie o tym że zbiór zdefiniowany przez podstawę wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora.

W naszym przykładzie bierzemy po kolej każdy element zbioru:
P=[1,2]
i sprawdzamy czy zawiera się w zbiorze:
Q=[1,2,3,4,5,6]
Tu oczywiście tak zatem warunek wystarczający => jest spełniony:
p=>q =1
/\x p(x)=>q(x) =1
cnd
Powyższe zapisy matematyczne są totalnie równoważne. Z tego powodu w naturalnym języku mówionym kwantyfikatory nie są używane. Co więcej, 35 lat temu można było skończyć szkołę średnią i studia techniczne nie słysząc słowa kwantyfikator. Wynika z tego, że w matematyce pojęcie kwantyfikatora jest również zbędne, bo to jest po prostu naturalne rozumienie znaczka =>.

Definicja ogólna kwantyfikatora małego
\/x p(x) ~~> q(x)
Istnieje takie x że jeśli zajdzie p(x) ~~> q(x)

Zapis matematycznie równoważny:
p~~>q
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia

Z tej definicji również wynika zbędność kwantyfikatora małego, bowiem to nic innego jak spójnik „może” ~~> między p i q (wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy).

Co więcej!
W implikacji warunek konieczny ~> to również spójnik „może” między p i q.
Zapis kwantyfikatorowy warunku koniecznego musi zatem wyglądać tak:
\/x p(x)~>q(x)
Tu już mamy sprzeczność czysto matematyczną, bo nie wystarczy znaleźć jeden przypadek, trzeba sprawdzić całą serię przypadków, trzeba sprawdzić czy zbiór p zawiera w sobie zbiór q!

Nasz przykład:
~p~>~q=1
Sprawdzamy czy zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
~P=[3,4,5,6]+[7->oo]
~Q=[7->oo]
czyli:
Zabieramy zbiór ~p i musi zniknąć zbiór ~q
~Q-~P = [7->oo] - ([3,4,5,6]+[7->oo]) = [] - zbiór pusty
cnd
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q, czyli warunek konieczny ~> jest spełniony!
… ale nie da się tego zapisać przy pomocy kwantyfikatora małego, w dzisiejszym jego znaczeniu.


6.3 Implikacja odwrotna w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja        |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa   |Symboliczna |Operatorowa
   p q p~>q      |
A: 1 1  =1       | p* q =1    | p~> q =1
B: 1 0  =1       | p*~q =1    | p~~>~q=1
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    |~p=>~q =1
D: 0 1  =0       |~p* q =0    |~p~~>q =0
   1 2   3         4  5  6      7   8  9

~>, ~~> - spójnik „może” miedzy p i q
=> - spójnik „na pewno” między p i q

Z definicji zero-jedynkowej widać, że nie może to być ani operator OR bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach C123 i D123, ani też operator AND bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach B123 i C123.

W tabeli symbolicznej zakodowano zatem symbolicznie tylko wejścia p i q operatora implikacji odwrotnej korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Doskonale tu widać, że jeśli zajdzie p to może ~> zajść q bo druga linia też może wystąpić.
Zauważmy, że zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q.
Wtedy i tylko wtedy zajdzie relacja w zbiorach:
D456: ~p*q=0
Ta relacja wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q:
C789: ~p=>~q=1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zbiory ~p i q są rozłączne stąd:
D789: ~p~~>q=0
Nie istnieje choćby jeden wspólny element zbiorów ~p i q.

Przykład zbiorów spełniających definicję implikacji odwrotnej:
p=[1,2,3,4,5,6]
~p=[7->oo]
q=[1,2]
~q=[3->oo]

Diagram 2


Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji odwrotnej w oparciu o powyższy diagram:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbioru q, bo zabieramy zbiór p i znika nam zbiór q
Nasz przykład:
P=[1,2,3,4,5,6]
Q=[1,2]
Q - P = [1,2] - [1,2,3,4,5,6] = [] - zbiór pusty
Warunek konieczny ~> zachodzi!
cnd
Zbiory:
p*q =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera w całości zbiór q, co wymusza w wyniku 1
Nasz przykład:
p~>q = p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2]=[1,2]
W zapisie logicznym zbiorów:
p~>q = p*q = 1*1=1
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiór p nie jest konieczny dla zbioru ~q bo zabieramy zbiór p i nie znika nam zbiór ~q
Nasz przykład:
P=[1,2,3,4,5,6]
~Q = [3->oo]
p~~>~q
~Q - P = [3->oo] - [1,2,3,4,5,6] = [7->oo] - zbiór niepusty
Warunek konieczny ~> nie zachodzi!
cnd
Zbiory:
p*~q=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Nasz przykład:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[3->oo] = [3,4,5,6]
W zapisie logicznym zbiorów:
p~~>~q = p*~q =1*1=1
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, zatem zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
Zajście ~p GWARANTUJE => zajście ~q.
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
Różnica zbiorów:
Nasz przykład.
~P=[7->oo]
~Q=[3->oo]
~p=>~q
Jeśli zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q to różnica zbiorów ~p-~q musi być zbiorem pustym.
~P - ~Q = [7->oo] - [3->oo] = [] - zbiór pusty
cnd
Iloczyn logiczny zbiorów:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
Nasz przykład:
~p=>~q = ~p*~q = [7->oo]*[3->oo]=[7->oo]
W zapisie logicznym zbiorów:
~p=>~q = ~p*~q = 1*1=1
cnd
D.
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
Zbiory:
~p*q=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Nasz przykład:
~p~~>q = ~p*q = [7->oo]*[1,2] =0
W zapisie logicznym zbiorów:
~p~~>q = ~p*q = 1*1=0

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Warunek konieczny ~>
w logice dodatniej (q)
                      |Zbiory  |p q p~>q         |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1             | p* q=1 |1 1 =1 / p~> q=1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=1           | p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=1 | 0  1   =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający =>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1           |~p*~q=1 |0 0 =1           | 1  1   =1 /~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0           |~p* q=0 |0 1 =0           | 1  0   =0 /~p~~>q=0
                                1 2  3             4  5    6
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                               |p=1, ~p=0        | ~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0        | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.

W implikacji odwrotnej zachodzi warunek konieczny o definicji w A.
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zauważmy, że zajście p jest warunkiem koniecznym ~> zajścia q bo zabieramy p i znika nam q, co doskonale widać na diagramie.
Zajście p nie jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q bowiem istnieje takie p (np. q=6) które nie wchodzi w skład q, to również doskonale widać na diagramie.
Stąd mamy:
p=>q=0
cnd

Nasz przykład:
P=[1,2,3,4,5,6]
Q=[1,2]
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =0 bo 6 (kontrprzykład)
Warunek wystarczający => wymaga, aby zbiór p zawierał się w zbiorze q, z diagramu wyżej widzimy, że jest dokładnie odwrotnie, stąd:
p=>q=0
cnd
Dowód przy pomocy różnicy zbiorów:
Jeśli zbiór p zawiera się z zbiorze q, to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym:
P - Q = [1,2,3,4,5,6] - [1,2] = [3,4,5,6]
Różnica zbiorów nie jest zbiorem pustym, zatem zbiór p nie zawiera się w zbiorze q, czyli:
p=>q =0
cnd

Wniosek:
W implikacji odwrotnej p~>q zachodzi:
p=>q=0

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
czyli:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej.

Na mocy tej definicji sprawdzamy warunek konieczny:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
Z diagramu widzimy, że zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
cnd

Nasz przykład:
~P=[7->oo]
~Q=[3->oo]
~p=>~q=1
Jeśli zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q to różnica tych zbiorów musi być zbiorem pustym:
~P - ~Q = [7->oo] - [3->oo] = [] - zbiór pusty
cnd

Wyprowadziliśmy najważniejszą, bo łatwą do stosowania w praktyce, definicję implikacji odwrotnej.

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
p~>q = ~p=>~q =1
p=>q=0

Powyższą super definicję musimy pamiętać w dzień i w nocy, jak amen w pacierzu.

Nasz przykład:
P=[1,2,3,4,5,6]
~P=[7->oo]
Q=[1,2]
~Q=[3->oo]
Zdanie analizowane:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1
Dowód:
Sprawdzenie warunku koniecznego ~> między p i q:
Oczywiście wszystkie elementy zbioru ~p zawierają się w zbiorze ~q, stąd:
p~>q = ~p=>~q=1
Sprawdzenie warunku wystarczającego między p i q:
p=>q=0 bo 6 (kontrprzykład)
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w skrócie, jest implikacją odwrotną.

Powyższy diagram i analiza potwierdza poprawność kluczowych definicji w logice.
Na podstawie powyższych rozważań mamy ogólne definicje znaczków => i ~>.

Definicja znaczka =>:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Warunek wystarczający =>:
Wszystkie elementy zbioru p muszą należeć do zbioru q
=> - zbiór zdefiniowany w podstawie wektora (p) musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora (q).

Definicja znaczka ~>:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q
Warunek konieczny ~>:
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q
~> - zbiór zdefiniowany w podstawie wektora (p) musi zawierać cały zbiór wskazywany przez strzałkę wektora (q)

Na podstawie powyższej analizy mamy definicje.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo~ q)
C.
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi się zawierać w zbiorze ~q
Zbiory:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

Bezpośrednio z definicji warunku wystarczającego => wynika.

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
W przypadku implikacji odwrotnej w linii D nie ma takiej możliwości bo zbiory p i ~q są rozłączne.

Oczywiście samo zdanie C jest również samodzielnym warunkiem wystarczającym => który może istnieć samodzielnie. Nie musimy dowodzić czy całość jest implikacją odwrotną, czy też czymś fundamentalnie innym, równoważnością. W równoważności po stronie p spełniony jest kolejny warunek wystarczający:
p=>q=1
… ale o tym będzie za chwilę.

Na zakończenie udowodnimy matematycznie brak warunku koniecznego ~> w linii B.
Dowód nie wprost:
Zakładamy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny ~> i stosujemy prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q =0
Oczywiście jeśli:
D: ~p~~>q=0
to tym bardziej:
D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.


Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Twarda prawda, gwarancja matematyczna
Posiadanie czterech łap jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie zbiór psów
Zbiory:
4L~>P = 4L*P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1), zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń, hipopotam …
Zbiory:
4L~~>~P = 4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, mrówka …
Twarda prawda, gwarancja matematyczna.
Brak czterech łap wystarcza aby nie być psem.
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap zawiera się w całości z zbiorze nie pies.
Zbiory:
~4L=>~P = ~4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1), zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L=1) zawiera się w zbiorze nie pies (~P=1), co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0
Twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej.
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie zero-jedynkowe
                  | 4L P 4L=>P
A: 4L~> P =1      |  1 1  =1
B: 4L~~>~P=1      |  1 0  =1
C:~4L=> ~P=1      |  0 0  =1
D:~4L~~> P=0      |  0 1  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |4L=1, ~4L=0
                  | P=1, ~P=0

cnd

Zastanówmy się teraz jak będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

Załóżmy że wylosowaliśmy: kota
Dla kury mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kota to na pewno => kot ma cztery łapy i nie jest psem
K=>4L*~P = 1*1=1
Dla kota nasz świat jest zdeterminowany:
4L=1, ~4L=0
~P=1, P=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

A: K=> 4L* P = 1*0=0
B: K=> 4L*~P = 1*1=1
C: K=>~4L*~P = 0*1=0
D: K=>~4L* P = 0*0=0

Jak widzimy, dla kota wyłącznie zdanie B jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND

Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej. Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 0:08, 07 Sie 2012, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 11:11, 03 Sie 2012    Temat postu:

6.4 Prawa kontrapozycji w implikacji

Implikację prostą i odwrotną traktowaliśmy wyżej jako dwa oddzielne zdania gdzie pod p i q możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba. To są dwa niezależne układy logiczne i mamy prawo tak robić.

Diagram 1.
Punkt odniesienia:
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Implikacja prosta w zbiorach.

Diagram 2.
p=[1,2,3,4,5,6]
~p=[7->oo]
q=[1,2]
~q=[3->oo]

Implikacja odwrotna w zbiorach.

To są dwa totalnie niezależne układy logiczne gdzie parametry p i q są totalnie niezależne. Pozorna kolizja zbiorów p i q nie ma tu żadnego znaczenia.

Oczywiście możemy ustalić sztywny punkt odniesienia na diagramie 1, to bez znaczenia.
Nasz diagram 2 przejdzie wówczas w diagram 3.

Diagram 3.
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Implikacja odwrotna w zbiorach ze sztywnym punktem odniesienia ustawionym na diagramie 1.
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

A.
Jeśli zajdzie q to może ~> zajść p
q~>p=1
q~>p = q*p = [1,2,3,4,5,6]*[1,2]=[1,2]
q~>p = q*p = 1*1=1
B.
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p=1
q~~>~p = q*~p = [1,2,3,4,5,6]*[3->oo] = [3,4,5,6]
q~~>~p = 1*1=1
… a jeśli zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
q~>p = ~q=>~p
C.
Jeśli zajdzie ~q to na pewno => zajdzie ~p
~q=>~p=1
~q=>~p = ~q*~p = [7->oo]*[3->oo] = [7->oo]
~q=>~p = ~q*~p = 1*1=1
D.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść q
~q~~>p=0
~q~~>p = ~q*p = [7->oo]*[1,2] =0
~q~~>p=1*1=0

Zauważmy że analiza matematyczna diagramu 2 i diagramu 3 niczym się nie różni, poza zamianą nazw p i q co jest bez znaczenia. W obu przypadkach warunkiem zachodzenia prawa Kubusia jest zachowanie ciągłości dziedziny, którą w naszym przypadku jest zbiór liczb naturalnych.

Na diagramach 2 i 3 mamy wyłącznie kolorowe obszary bez białych plam!

Fałszywość prawa kontrapozycji w implikacji

Prawo kontrapozycji w implikacji:
p=>q = ~q=>~p

W prawie kontrapozycji mamy ustalony sztywny punkt odniesienia na diagramie 1.
Diagram 1
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]

Narysujmy diagram dla prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p


Obalenie prawa kontrapozycji w implikacji

Doskonale widać białą plamę!

Prawo kontrapozycji nie obejmuje obszaru:
q~~>~p = q*~p = [1,2,3,4,5,6]*[3->oo] = [3,4,5,6]

Nie mamy zatem prawa postawić znaku tożsamości w prawie kontrapozycji dla implikacji.
cnd

Poprawny matematyczny zapis jest tu następujący.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
zachodzi:
p=>q ## ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Śmieszność prawa kontrapozycji w implikacji widać szczególnie w implikacjach czasowych.
A.
Jeśli będzie padało to na pewno => otworzę parasol
P=>O=1
Prawo kontrapozycji:
P=>O = ~O=>~P
B.
Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padało
~O=>~P=1

Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności, co zostanie udowodnione w następnym punkcie.

W identyczny sposób można udowodnić fałszywość innego prawa z logiki Ziemian:
p=>q = q~>p



Błąd polega na tym, że brany jest poprawny warunek wystarczający z implikacji prostej:
p=>q=1

Natomiast w warunku koniecznym ~> zamieniane są nazwy p i q.
Zbiór:
q~>p=1
Jest wówczas dokładnie tym samym obszarem co:
p=>q=1

Dowód:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2]
q~>p = q*p = [1,2,3,4,5,6]*[1,2] = [1,2]

„Prawo” logiczne dotyczy więc wyłącznie obszaru zielonego, olbrzymia biała plama jest dowodem fałszywości prawa:
p=>q = q~>p
cnd

Poprawny matematyczny zapis jest tu następujący.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
zachodzi:
p=>q ## q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji


6.5 Równoważność

Definicja równoważności w zbiorach
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Wyprowadzenie definicji równoważności w zbiorach z aksjomatycznej definicji zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja        |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa   |Symboliczna |Operatorowa
   p q p<=>q     |
A: 1 1  =1       | p* q =1    | p=> q =1
B: 1 0  =0       | p*~q =0    | p~~>~q=0
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    |~p=>~q =1
D: 0 1  =0       |~p* q =0    |~p~~>q =0
   1 2   3         4  5  6      7   8  9

=> - spójnik „na pewno” między p i q

Z definicji zero-jedynkowej widać, że nie może to być ani operator OR bo gwałcona jest definicja tego operatora w liniach B123 i D123, ani też operator AND bo gwałcona jest definicja tego operatora w linii C123.

W tabeli symbolicznej zakodowano zatem symbolicznie tylko wejścia p i q operatora równoważności korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Doskonale tu widać, że jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q bo druga linia jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Relacja w zbiorach:
B: p*~q=0
Wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q, bowiem wtedy i tylko wtedy zbiory p i ~q będą rozłączne co wymusi w wyniku 0.
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q bo linia D jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Relacja w zbiorach:
D: ~p*q=0
Wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q, bowiem wtedy i tylko wtedy zbiory ~p i q będą rozłączne, co wymusi w wyniku 0.

Te dwie relacje razem wymuszają tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q

Definicja równoważności:
Równoważność to iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Diagram równoważności:


Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, zachodzi zatem warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[p~>q]
bo zabieramy p i znika q.
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” znany z implikacji
Nasz przykład:
p=>q = p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
p=>q = 1*1=1

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
Nasz przykład:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7->oo] =0
p~~>~q =1*1=0

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, zachodzi zatem warunek wystarczający =>:
~p=>~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[~p~>~q]
bo zabieramy ~p i znika ~q.
Nasz przykład:
~p=>~q = ~p*~q = [7->oo]*[7->oo] = [7->oo]
~p=>~q = 1*1=1

D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
Nasz przykład:
~p~~>q = ~p*q = [7->oo]*[1,2,3,4,5,6]=0
~p~~>q = 1*1 =0

Spełnienie warunku A i C wymusza tożsamość zbiorów:
p = q
~p = ~q

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0

W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Definicja        |Zbiory       |Definicja     |Definicja
symboliczna      |             |zero-jedynkowa|zero-jedynkowa
-------------------------------------------------------------
   p   q  p<=>q  | p  q  p<=>q | p  q  p<=>q  | ~p ~q ~p<=>~q
-------------------------------------------------------------
A: p=> q   =1    | p* q   =1   | 1  1   =1    |  0  0   =1
B: p~~>~q  =0    | p*~q   =0   | 1  0   =0    |  0  1   =0
C:~p=>~q   =1    |~p*~q   =1   | 0  0   =1    |  1  1   =1
D:~p~~> q  =0    |~p* q   =0   | 0  1   =0    |  1  0   =0
   1   2    3      a  b    c     4  5    6    |  7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                               |p=1, ~p=0     |~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0     |~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD9 i ABCDc jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q

Operator równoważności odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Definicja aksjomatyczna, wynikła z zero-jedynkowej definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame zatem zachodzi prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
Dokładnie to samo mamy w tabeli zero-jedynkowej wyżej.

Zastanówmy się jakie jeszcze równania opisują tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q

Definicja podstawowa:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd:
Definicja symetryczna:
B.
p<=>q = q<=>p = (q=>p)*(~q=>~p)

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p.

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
C.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
D.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i C mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
C: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
To jest tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q
Z A i D mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
D: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
stąd:
p=>q = ~q=>~p

Zauważmy, że definicja:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
opisuje w naszym przykładzie całą dziedzinę liczb naturalnych, bo prawo kontrapozycji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q = [1,2,3,4,5,6]
~p=>~q = [7->oo]
Prawo kontrapozycji jest wiec poprawne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q

Wszystkie możliwe definicje równoważności wynikłe z powyższych rozważań można ładnie ująć w kwadracie logicznym równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

A1: p=> q =1         A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0         B2: q~~>~p=0



C1:~p=>~q =1         C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0         D2:~q~~>p =0

Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)

Możliwe są dwa algorytmy dowodzenia warunku wystarczającego => w dowolnym rogu kwadratu:
1.
Dowód przez iterowanie po wszystkich możliwych elementach zbioru p:
A1: p =>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru zdefiniowany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora
2.
Obalenie warunku wystarczającego => przez podanie kontrprzykładu:
B1: p~~>~q =1
Wystarczy znaleźć jeden element należący do zbioru p który należy do zbioru ~q

Porównajmy to z kwadratem logicznym implikacji.
Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
Kod:

A1: p=> q =1      ##   A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0      ##   B2: q~~>~p=1


Prawo Kubusia:    ##   Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q       ##   q~>p = ~q=>~p


C1:~p~>~q =1      ##   C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1      ##   D2:~q~~>p =0

W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
Różne na mocy definicji.

Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.
Oczywiście nie wykryjemy tożsamości zbiorów udowadniając dowolny w warunków wystarczających:
A1: p=> q =1
B1: p~~>~q=0
czy też:
C2: ~q=>~q =1
D3: ~q~~>p=0
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.

Dodatkowo musimy udowodnić C1 albo A2:
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.

Spójrzmy na definicje implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.

Przykład równoważności:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Udowadniamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby zachodziła suma kwadratów

… aby stwierdzić równoważność musimy udowodnić C1 lub A2.
C1.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby nie zachodziła suma kwadratów

Wniosek:
Zdanie A1 to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności, nie jest to implikacja prosta bo zdanie A nie spełnia definicji implikacji prostej.

Przykład implikacji:
Pada wtedy i tylko wtedy gdy są chmury
P<=>CH = (P=>CH)*(~P=>~CH)

Pozornie to zdanie jest sensowne.
Sprawdzamy warunek wystarczający w punkcie:
A1.
Jeśli pada to na pewno => są chmury
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur

Sprawdzamy warunek wystarczający w punkcie:
C1.
Jeśli nie pada to na pewno => nie ma chmur
~P=>~CH=0
bo kontrprzykład:
~P~~>CH=1
Jeśli nie pada to mogą ~~> być chmury - sytuacja możliwa.

Dopiero w tym momencie udowodniliśmy, że zdanie A1 to warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej.
P=>CH = ~P~>~CH

Zauważmy, że w równoważności spełnione są ogólne definicje znaczków warunku wystarczającego => i warunku koniecznego [~>].

p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora (p) zawiera się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora (q).
Wobec tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q w równoważności definicja znaczka => jest spełniona

[~p~>~q]
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora (~p) musi zawierać w sobie cały zbiór wskazywany przez strzałkę wektora (~q).
Wobec tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q w równoważności definicja znaczka [~>] jest spełniona.

Oczywiście nie jest to znany z implikacji spójnik „może”!
Z tego powodu warunek konieczny w równoważności ujęto w nawias kwadratowy [~>].
Nazwijmy go wirtualnym warunkiem koniecznym, czyli istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q. W równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q

W implikacji na mocy definicji zbiory p i q nie mogą być tożsame, natomiast w równoważności na mocy definicji zbiory p i q muszą być tożsame.

Zauważmy, że w równoważności warunki wystarczający rzeczywisty => i konieczny wirtualny [~>] zachodzą w dowolnym punkcie kwadratu równoważności, właśnie z powodu tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q!

Stąd mamy kolejną definicję równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego i koniecznego między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Dla zajścia q potrzeba [~>] i wystarcza => aby zaszło p
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji.

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*[TP~>SK]
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba [~>] i wystarcza => aby był prostokątny.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Ogólna definicja warunku koniecznego [~>]:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q

Stąd mam pełną definicję równoważności w warunkach wystarczających rzeczywistych => i koniecznych wirtualnych ~>.
p<=>q = {p=>q = [~p~>~q]}*{[p~>q]=~p=>~q}
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny

Dlaczego naturalny spójnik „może” ~> nie jest dostępny w równoważności?

Dowód nie wprost:
Załóżmy że jest dostępny i ułóżmy prawą stronę w tabeli symbolicznej:
Kod:

Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta           |odwrotna        |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
           p=>q            [p~>q]          p<=>q=(p=>q)*[~p~>~q]
A:   p=> q  =1   *  [p~> q] =1    =  p=> q  =1
B:   p~~>~q =0   *  [p~~>~q]=1    =  p~~>~q =0
C: [~p~> ~q]=1   *  ~p=> ~q =1    = ~p=> ~q =1
D: [~p~~>q ]=1   *  ~p~~>q  =0    = ~p~~>q  =0
     1   2   3       4   5   6       7   8   9

To samo co wyżej zero-jedynkowo dla punktu odniesienia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta           |odwrotna        |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
     p   q p=>q      p   q  p~>q           p<=>q=(p=>q)*[p~>q]
A:   1   1  =1   *  [1   1  =1]   =  1   1  =1
B:   1   0  =0   *  [1   0  =1]   =  1   0  =0
C:  [0   0  =1]  *   0   0  =1    =  0   0  =1
D:  [0   1  =1]  *   0   1  =0    =  0   1  =0
     1   2   3       4   5   6       7   8   9

Stąd mamy definicję równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego między p i q:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]

Na mocy definicji zachodzi:
p=>q ## p~>q
W technice cyfrowej realizacja bramek logicznych p=>q i p~>q to banał. Gdybyśmy wyjścia takich bramek połączyli bezpośrednio to w punktach:
B3 # B6
D3 # D6
byłoby dużo dymu i smrodu z powodu niezgodności sygnałów logicznych.

Na mocy definicji równoważności wyjścia bramek p=>q i p~>q wpuszczane są na bramkę AND realizującą definicję spójnika „i”(*).
Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Oczywiście bramka AND działa wyłącznie na kolumny ABCD3 i ABCD6 zerując wyniki w punktach B9 i D9. Na wyjściu bramki AND obszary AB456 i CD123 są maskowane i niedostępne w świecie rzeczywistym. W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające AB123 i CD456, gdzie nie ma śladu spójnika „może”, czyli „rzucania monetą”.

Przykład przedszkolaka:
W.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dowód poprzez analizę wszystkich możliwych przeczeń TR i KR.
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
TR=>KR - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to może ~~> nie mieć kątów równych
TR~~>~KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A

… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
~TR=>~KR - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to może ~~> mieć kąty równe
~TR~~>KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W mamy zero-jedynkową definicje równoważności.
Kod:

Definicja
symboliczna
               | TR KR TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR)
A: TR => KR =1 |  1  1   =1
B: TR~~>~KR =0 |  1  0   =0
C:~TR=> ~KR =1 |  0  0   =1
D:~TR~~> KR =0 |  0  1   =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
               | TR=1, ~TR=0
               | KR=1, ~KR=0

cnd


6.6 Niezależny warunek wystarczający

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym:
p=>q = ~p~>~q

Definicja symboliczna implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Absolutny fundament algebry Kubusia w implikacji i równoważności to definicje ogólne znaczków => i ~>.
1.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Ogólnie:
=> - warunek wystarczający
Zbiór zdefiniowany w podstawie wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

2.
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Ogólnie:
~> - warunek konieczny
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q
Zabieramy p i musi zniknąć q
Zbiór p jest warunkiem koniecznym ~> dla q

Na podstawie powyższego diagramu prawdziwe jest zdanie:
~p=>~p+~q
Spełniona jest tu ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~p+~q.

Zauważmy, że spełniona jest także definicja ogólna znaczka [~>]:
[~p~>~p+~q]
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~p+~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~p+~q

Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i warunku koniecznego wirtualnego [~>]
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
[~>] - warunek konieczny wirtualny występujący wyłącznie w równoważności, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q.

Czyżby więc powyższy diagram pasował do równoważności?
Oczywiście że nie!
Nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością!

Zauważmy że zbiór ~p zawiera w całości zbiór ~q
Zachodzi zatem:
~p+~q = ~p

Nasz przykład:
~p=[3->oo]
~q=[7->oo]
~p+ ~q=[3->oo] + [7->oo] = [3->oo]

Jak widzimy zbiór ~q dla tego punktu odniesienia „wyparował”, na powyższym rysunku mamy wyłącznie dwa zbiory p i ~p, a to na mocy definicji równoważności w zbiorach jest bezdyskusyjna równoważność, ale bardzo ciekawa.

p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)

Nasz przykład:
p=[1,2]
~p=[3->oo]

Analiza matematyczna:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)
p=>p
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo p)
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie p
p=>p =1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze p
Warunek wystarczający spełniony
Zbiory:
p*p=[1,2]*[1,2] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
Zbiór p istnieje (p=1), co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~p
p~~>~p =0
Zbiory:
p*~p = [1,2]*[3->oo] = [] =0 - zbiór pusty
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~p = (~p=>~p)*(p=>p)
~p=>~p
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~p)
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~p
~p=>~p=1
Zbiory:
~p*~p = [3->oo]*[3->oo] = [3->oo] =1 - zbiór niepusty
Zbiór ~p istnieje (~p=1) co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść p
~p~~>p=0
Zbiory:
~p*p = [3->oo]*[1,2] = [] =0 - zbiór pusty
Zbiory ~p i p istnieją (~p=1 i p=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem A albo C otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności.
Kod:

Tabela      |Kodowanie zero-jedynkowe
symboliczna | p p p<=>p| ~p ~p ~p<=>~p
A: p=> p =1 | 1 1  =1  |  0  0   =1
B: p~~>~p=0 | 1 0  =0  |  0  1   =0
C:~p=> ~p=1 | 0 0  =1  |  1  1   =1
D:~p~~>p =0 | 0 1  =0  |  1  0   =0
   1   2  3   4 5   6     7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p<=>p = ~p<=>~p
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy symbolicznie w obszarze AB123 i zero-jedynkowo w obszarze AB456, bowiem tylko tu widzimy p=1.
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy symbolicznie w obszarze CD123 i zero-jedynkowo w obszarze CD789, bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Inne przykłady:
Jeśli kocha to kocha
K=>K
Jeśli nie kocha to nie kocha
~K=>~K
Dolar to dolar
D=>D
Znacznie rzadziej mówimy:
Dolar wtedy i tylko wtedy gdy dolar
D<=>D

Jeśli pies to pies
P=>P
… a jeśli nie pies?
Jeśli nie pies to nie pies
~P=>~P
Całość jest równoważnością bo:
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
stąd prawdziwe jest również zdanie:
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P

Finał tematu:
1A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
P~~>~CH=0
Warunek wystarczający spełniony

… a jeśli nie będzie padało?
2A.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno lub będzie pochmurno
~P=>~CH+CH =1
p=>q =1
2B.
Jeśli jutro nie będzie padało to może~~> nie być pochmurno i być pochmurno
~P~~>~(~CH+CH) = CH*~CH =0
p~~>~q=0
Prawo de’Morgana plus:
p*~p=0

W obu zdaniach warunek wystarczający => jest spełniony.
Zdanie 1A to warunek wystarczający wchodzący w skład implikacji prostej:
1A: P=>CH = ~P~>~CH

Natomiast zdanie 2A to samodzielny warunek wystarczający nie wchodzący w skład żadnego operatora logicznego!

Dowód:
Zbadajmy odpowiedź zdania 2A na zanegowane wejścia ~p i ~q, czyli na p i q.
~p=>~q ## p=>q
2A: ~P=>~CH+CH ## P=>CH*~CH =0
bo prawo algebry Kubusia:
p*~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Następnik w warunku wystarczającym z prawej strony jest twardym fałszem, z tego powodu to zdanie jest fałszywe nawet dla naturalnego spójnika „może” ~~>.

2C.
Jeśli jutro będzie padało to może~~> być pochmurno i nie być pochmurno
P~~>CH*~CH =0
~p~~>~q=0
bo:
p*~p=0
Zbiory:
CH*~CH=1*1=0
Oba zbiory istnieją (CH=1 i ~CH=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
2D.
Jeśli jutro będzie padło to może ~~> być pochmurno lub nie być pochmurno
P~~>CH+~CH =1
~p~~>q=1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu 2A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową:
Kod:

Zapis
symboliczny | p q p=>q
2A: p=> q =1 | 1 1  =1
2B: p~~>~q=0 | 1 0  =0
2C:~p~~>~q=0 | 0 0  =0 !?
2D:~p~~> q=1 | 0 1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             |p=1, ~p=0
             |q=1, ~q=0

Linia 2C jest dowodem, że zdanie 2A nie spełnia zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.
Zdanie 2A jest zatem:
Implikacją prostą fałszywą!

Oczywiście warunek wystarczający p=>q (zdanie 2A) nie może też wchodzić w skład równoważności bo także w tej definicji nie ma sekwencji 0 0 =0.

Zdanie 2A jest zatem samodzielnym warunkiem wystarczającym który może istnieć niezależnie od jakiegokolwiek operatora logicznego.

Matematycznie na mocy definicji zachodzi:
p=>q ## p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający ## definicji implikacji prostej
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q =0

Nasz przykład:
2A.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno lub będzie pochmurno
~P=>~CH+CH =1
~P~~>CH*~CH=0
Warunek wystarczający spełniony

Badamy warunek konieczny ~>:
~P~>~CH+CH = P=>CH*~CH=0
Warunek konieczny nie zachodzi.

Czyżby zatem zdanie 2A było na mocy powyższej definicji implikacja prostą?
Oczywiście NIE!

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naszym przykładzie:
2A: ~P=>~CH+CH
Zdanie 2A jest częściowo zdeterminowane, bo znamy z góry wartość logiczną następnika:
~CH+CH=1
Z tego powodu prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
tu nie obowiązuje!

Konieczna jest pełna analiza zdania zgodna z definicją operatora logicznego, aby rozstrzygnąć z jakim zwierzęciem mamy do czynienia, jak to zrobiono wyżej.

Podsumowanie:
Zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane są dla:
1.
Świata totalnie niezdeterminowanego gdzie nie znamy wartości logicznej p i q
2.
Wszelkie prawa logiczne działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym gdzie nie znamy z góry wartości logicznej p i q.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.


6.7 Prawo eliminacji implikacji

Znane ziemskim matematykom prawo eliminacji implikacji.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
… można między bajki włożyć.

Błąd podstawowy jest tu taki, że spójniki zdaniowe w naturalnej logice człowieka to nie są kompletne operatory logiczne, co bez przerwy tu pokazuję!
Operator logiczny to złożenie spójnika x w logice dodatniej ze spójnikiem przeciwnym do x w logice ujemnej.
Spójniki wzajemnie przeciwne to:
„i”(*) - „lub”(+)
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) - warunek konieczny ~> (w implikacji spójnik „może”)

Definicja operatora OR:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Definicja operatora AND:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie znaczki:
*, +, =>, ~>
To spójniki zdaniowe, nigdy kompletne operatory logiczne!

Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Tego typu praw, działających na kompletnych operatorach można sobie można generować w nieskończoność. Z punktu odniesienia sprzętu powyższe prawo jest dobre. Ziemianie nie odróżniają jednak sprzętowej budowy operatora od jego rzeczywistego działania w naturalnej logice człowieka. Z punktu widzenia sprzętu wszystkie operatory logiczne są zbędne, wystarczy jedna bramka NAND (albo NOR, => lub ~>) bowiem z jej pomocą można w trywialny sposób zbudować pozostałe operatory logiczne.
Sprzęt do naturalnej logiki człowieka ma się tak jak hardware do software. Sprzęt bez software to tylko kupa złomu, ani grama więcej.

W powyższym prawie negujemy dwustronnie sygnał p i otrzymujemy prawo eliminacji operatora OR:
p+q = ~p=>q
Prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Stąd mamy prawo eliminacji operatora AND:
p*q = ~(p=>~q)
itd.
W ten oto banalny sposób wszystkie operatory logiczne da się sprzętowo zredukować do operatora implikacji prostej => plus negacja.
Sam jednoargumentowy operator negacji także można w banalny sposób uzyskać z operatora implikacji prostej:
Y = ~p = (p=>0)
Wystarczy wejście q bramki „musi” => (operator implikacji prostej) podpiąć do logicznego zera.

Zobaczmy do jakich bzdur to prowadzi:
p*q = ~(p=>~q) - prawo eliminacji operatora AND
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Zdanie równoważne wedle prawa eliminacji operatora AND:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jeśli jutro pójdę do kina to na pewno => nie pójdę do teatru
~(K=>~T)
Pokażcie mi człowieka który zrozumie iż zdania wyżej są matematycznie równoważne.
… a kiedy skłamię?
Na to pytanie współczesna matematyka nie potrafi odpowiedzieć równaniem logicznym, czyli zgodnie z naturalną logiką człowieka.

Jakim prawem mamy redukować logikę do jakiegokolwiek operatora logicznego (np. NAND) skoro każdy 5-cio latek biegle posługuje się wszystkimi 16 operatorami logicznymi?
Jakim prawem mamy redukować całą logikę do świętej krowy, operatora X? … i dlaczego do X a nie do Y?

Co taka zredukowana logika będzie miała wspólnego z naturalną logiką człowieka?
Oczywiście: NIC!

Poprawna matematyka (algebra Kubusia) bez problemu radzi sobie z pytaniem o kłamstwo w równaniu logicznym.
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdą do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

To jest oczywiście logika w równaniach algebry Kubusia w 100% zgodna z naturalną logiką 5-cio latka!

Matematyka Ziemian nie ma bladego pojęcia o logice dodatniej (Y) i ujemnej (~Y) w algebrze Boole’a, a tym samym nie potrafi opisać matematycznie naturalnej logiki człowieka. W Wikipedii można znaleźć wzmiankę o logice dodatniej i ujemnej w odniesieniu do sprzętu. Jest oczywistym, że jeśli istnieje logika dodatnia i ujemna na poziomie sprzętu, to musi istnieć na poziomie matematyki.

Co oznacza prawo?:
p=>q = ~p+q
Kod:

   p q Y=p+q  | ~p q p=>q
A: 0 1  =1    |  1 1  =1
B: 0 0  =0    |  1 0  =0
C: 1 0  =1    |  0 0  =1
D: 1 1  =1    |  0 1  =1
   1 2   3       4 5   6

Prawo to oznacza, że bierzemy do ręki bramkę logiczną OR (operator OR) o definicji w obszarze ABCD123, negujemy jej wejście p i otrzymujemy bramkę „musi” =>, czyli zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej w obszarze ABCD456. Oczywiście znaczenie zer i jedynek w tym przekształceniu jest ŻADNE, to w czystej postaci rachunek zero-jedynkowy, nie nadający jakiegokolwiek znaczenia „przemiatanym” zerom i jedynkom.

Prawa rachunku zero-jedynkowego jak wyżej, umożliwiają sprzętową budowę dowolnego operatora logicznego na nieskończoną ilość sposobów.
Przykład:
p+q = p+ q*(~q + p*q+p+~r…)
bo prawo algebry Kubusia:
q*(~q+x) =q
gdzie:
x - dowolne długa funkcja logiczna z dowolną ilością zmiennych

Dowody błędności prawa eliminacji implikacji z punktu odniesienia logiki człowieka.

Dowód 1
Nie wolno zastępować operatora logicznego w którym przemienność argumentów nie występuje (implikacja), operatorem w którym przemienność argumentów występuje (OR, AND).

Najprostszy dowód błędności prawa eliminacji implikacji.

W operatorze OR zachodzi przemienność argumentów:
Y=p+q = ~(~p*~q) = q+p = ~(~q*~p)
W operatorze implikacji nie zachodzi przemienność argumentów:
p=>q = ~p~>~q # q=>p = ~q~>~p

Dowód formalny:
Kod:

   p q Y=p+q p=>q q p Y=q+p q=>p
A: 1 1  =1    =1  1 1  =1    =1
B: 1 0  =1    =0  0 1  =1    =1
C: 0 1  =1    =1  1 0  =1    =0
D: 0 0  =0    =1  0 0  =0    =1
   1 2   3     4  5 6   7     8

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR.
Brak tożsamości kolumn ABCD4 i ABCD8 jest dowodem braku przemienności argumentów w operatorze implikacji prostej.

Przykład:
Operator OR:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
B.
Jutro pójdę do teatru lub do kina
Y =T+K
Oczywiście matematycznie zachodzi:
K+T = T+K

Operator implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Matematycznie zachodzi:
P8=>P2=1 # P2=>P8=0


Dowód 2
W operatorze OR zbiory p i q mają część wspólną ale żaden z nich nie zawiera się w drugim.


Symboliczna i zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
Y=p+q
Y=p*q+p*~q+~p*q
Y - dotrzymam slowa   | p q Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q = Y           | 1 1  =1    | 0  0   =0
B: p*~q = Y           | 1 0  =1    | 0  1   =0
C:~p* q = Y           | 0 1  =1    | 1  0   =0
~Y - skłamię
D:~p*~q =~Y           | 0 0  =0    | 1  1   =1
   1  2   3             4 5   6      7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                      |p=1, ~p=0
                      |q=1, ~q=0
                      |Y=1, ~Y=0

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456 (spójnik „lub”(+))
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789 (spójnik „i”(*)).

Definicja spójnika „lub”(+) uzyskana z definicji symbolicznej ABC123:
Y=p*q+p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y=1.
Jedynki w operatorze OR są równoprawne, żadna z nich nie jest wyróżniona. Nie ma tu mowy o jakiejkolwiek gwarancji matematycznej.

Fundamentalnie inaczej jest w implikacji!

W operatorze implikacji prostej zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

Definicja symboliczna    |Definicja zero-jedynkowa
Warunek wystarczający => | p  q p=>q  | ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1              | 1  1  =1   |  0  0  =1
B: p~~>~q=0              | 1  0  =0   |  0  1  =0
Warunek konieczny ~>
… a jeśli nie zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1              | 0  0  =1   |  1  1  =1
D:~p~~>q =1              | 0  1  =1   |  1  0  =1
   1   2  3                4  5   6      7  8   9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                         |p=1, ~p=0   |~p=1, p=0
                         |q=1, ~q=0   |~q=1, q=0

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest z nim tożsamy
Z czego wynika że p jest wystarczające => dla q
Wymuszamy p i musi pojawić się q
2.
~> - warunek konieczny
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q i nie jest z nim tożsamy
Z czego wynika że ~p jest konieczne ~> dla ~q
Zabieramy ~p i znika ~q
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Jak widzimy, idea działania operatora OR jest fundamentalnie inna niż operatora implikacji prostej i nie da się zastąpić jednego drugim.


Dowód 3

Fundamenty logiki człowieka

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Prawo Sowy wynika bezpośredni z definicji operatora logicznego. Tabele zero-jedynkowe wszystkich operatorów logicznych zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.

Operator OR
Jeśli wypowiemy zdanie niezdeterminowane ze spójnikiem „lub”(+) to mamy 100% pewność iż jest to połówka operatora OR.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
D.
Skłamię (~Y=1), wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


Operator implikacji
Jeśli udowodnimy twierdzenie ujęte w spójnik „Jeśli p to q” to nie ma żadnej gwarancji iż jest to implikacja prosta, a powód tego jest niżej.

A.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q =1
p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q

B.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być z nim tożsamym

C.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i być tożsamym ze zbiorem q

Zauważmy, że we wszystkich trzech definicjach mamy identyczny warunek wystarczający =>, konkretne zdanie prawdziwe. Bez dalszego dowodu o takim zdaniu możemy powiedzieć wyłącznie iż jest to warunek wystarczający prawdziwy:
p=>q =1
Póki co ani to implikacja, ani równoważność, bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!

Przykład 1:
Samodzielny warunek wystarczający:
p=>q =1
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
P=>~S=1
Zbiór pies zawiera się w zbiorze „nie samochód”, definicja warunku wystarczającego spełniona.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być samochodem
P~~>S=0
bo zbiór psów będących samochodami jest zbiorem pustym:
P*S = 1*0=0
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być samochodem
~P~>S=0
Bo zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym:
~P*S = 1*0=0 - zdanie fałszywe
Kodowanie zero-jedynkowe zdania A:
Kod:

Definicja symboliczna |Kodowanie zero-jedynkowe
                      | P ~S P=>~S
A: P=>~S =1           | 1  1  =1
B: P~~>S =0           | 1  0  =0
C:~P~> S =0           | 0  0  =0
D:~P~~>~S=1           | x  x   x
   1   2  3             4  5   6
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                      | P=1, ~P=0
                      |~S=1, S=0

Jak widzimy, warunek wystarczający => o definicji symbolicznej AB123 i zero-jedynkowej AB456 jest tu spełniony.
W linii C456 mamy jednak sekwencję 0 0 =0, co jest dowodem iż jest to samodzielny warunek wystarczający, nie wchodzący w skład ani implikacji, ani równoważności, bowiem w tych operatorach występuje sekwencja 0 0 =1.

Przykład 2.
Implikacja prosta
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
A: P8=>P2=1
B: P8~~>~P2=0
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C: ~P8~>~P2 =1 bo 3
D:~P8~~>P2=1 bo 2

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

Zapis symboliczny | Kodowanie zero-jedynkowe
                  | P8 P2 P8=>P2
A: P8=> P2 =1     |  1  1  =1
B: P8~~>~P2=0     |  1  0  =0
C:~P8~> ~P2=1     |  0  0  =1
D:~P8~~>P2 =1     |  0  1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |P8=1, ~P8=0
                  |P2=1, ~P2=0

Tabela zero-jedynkowa jest dowodem iż warunek wystarczający =>:
P8=>P2=1
wchodzi w skład definicji implikacji prostej

Przykład 3.
Równoważność
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Analiza przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wraz z tabelą zero jedynkową:
Kod:

Zapis symboliczny | Kodowanie zero-jedynkowe
                  | TP SK TP<=>SK |~TP ~SK ~TP<=>~SK
A: TP=> SK =1     |  1  1  =1     |  0   0   =1
B: TP~~>~SK=0     |  1  0  =0     |  0   1   =0
C:~TP=> ~SK=1     |  0  0  =1     |  1   1   =1
D:~TP~~>SK =0     |  0  1  =0     |  1   0   =0
    1    2  3        4  5   6        7   8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |TP=1, ~TP=0
                  |SK=1, ~SK=0

Tabela zero-jedynkowa jest dowodem iż warunek wystarczający =>:
TP=>SK=1
wchodzi w skład definicji równoważności.

Podsumowanie:
Typowe twierdzenie matematyczne zapisanie w formie „Jeśli p to q” jest tylko i wyłącznie warunkiem wystarczającym =>. Rozstrzygnięcie czy warunek ten jest częścią implikacji prostej, czy też równoważności wymaga dodatkowego dowodu.
Mówienie a priori o udowodnionym twierdzeniu „Jeśli p to q” iż jest to implikacja prosta jest błędem czysto matematycznym.


6.8 Gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności

Diagram 1

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Kod:

Definicja    |Warunek      |Warunek     |
symboliczna  |wystarczający|konieczny   |Zbiory
             |=> = AB456   |~> = CD789  |
             | p  q p=>q   |~p ~q ~p~>~q| p  q
A: p=> q =1  | 1  1  =1    | 0  0   =1  | p* q =1 /Twarda prawda
B: p~~>~q=0  | 1  0  =0    | 0  1   =0  | p*~q =0 /Twardy fałsz wynikły z A
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1  | 0  0  =1    | 1  1   =1  |~p*~q =1 /Miękka prawda
D:~p~~>q =1  | 0  1  =1    | 1  0   =1  |~p* q =1 /Miękka prawda
   1   2  3    4  5   6      7  8    9    a  b c

Gwarancja matematyczna:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające => dla q

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W implikacji prostej jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q lub może zajść q (rzucanie monetą), nie mamy pojęcia co się stanie, zero gwarancji matematycznej.

Zauważmy, że w implikacji twardy fałsz wynika tylko i wyłącznie z linii A i nie ma nic wspólnego z prawdami miękkimi po stronie ~p.

Zauważmy, że gwarancję twardego fałszu opisaną spójnikiem „i”(*) mamy w linii B456 (symbolicznie B123):
Spis z natury:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~(p=>q)=1 <=> p=1 i ~q=1
Korzystamy z definicji spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Otrzymując równanie:
~(p=>q) = p*~q
Wystąpi fałsz [~(p=>q)=1] wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
stąd gwarancja GW1 wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie p i zajdzie ~q

Obie strony tożsamości mówią nam co się stanie jeśli zajdzie p.
W implikacji prawdę twardą mamy precyzyjnie ulokowaną w linii A i zdanie wyżej dotyczy tej właśnie linii. W implikacji nie interesuje nas kiedy zdanie będzie prawdziwe/fałszywe, to sprawa drugorzędna, wynikła z zachodzącego warunku wystarczającego => albo koniecznego ~>.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH) - gwarancja matematyczna
Zdanie równoważne:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)

Diagram 2

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Kod:

Definicja    |Warunek      |Warunek       |
symboliczna  |konieczny  |wystarczający |Zbiory
             |~> = AB456 |=> = CD789    |
             | p  q p~>q |~p ~q ~p=>~q  |
A: p~> q =1  | 1  1  =1  | 0  0   =1    | p* q=1 /Miękka prawda
B: p~~>~q=1  | 1  0  =1  | 0  1   =1    | p*~q=1 /Miękka prawda
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =1  | 0  0  =1  | 1  1   =1    |~p*~q=1 /Twarda prawda
D:~p~~>q =0  | 0  1  =0  | 1  0   =0    |~p* q=0 /Twardy fałsz wynikły z C
   1   2  3    4  5   6    7  8    9

Gwarancja matematyczna:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i nie jest z nim tożsamy
Z czego wynika że ~p jest wystarczające => dla ~q

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W implikacji prostej jeśli zajdzie p to może zajść q lub może zajść ~q (rzucanie monetą), nie mamy pojęcia co się stanie, zero gwarancji matematycznej.

Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający => zdefiniowany w obszarze CD123 (symbolicznie) i CD789 (zero-jedynkowo).

W linii D789 (symbolicznie D123) mamy opisany twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z linii C789 (symbolicznie C123):
~(~p=>~q) = ~p*q
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
stąd gwarancja GW2 wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć, że zajdzie ~p i zajdzie q
Obie strony tożsamości opisują przypadek co się stanie jeśli zajdzie ~p, po stronie p mamy miękkie prawdy, czyli zero gwarancji matematycznej.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Zbiór „chmury” zawiera w sobie zbiór „pada”.
Chmury są konieczne ~> dla deszczu.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => aby jutro nie padało

Ta sama gwarancja wyrażona spójnikiem „i”(*):
~CH=>~P = ~(~CH*P)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~CH=>~P = ~(~CH*P)

Diagram 3:

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i jest tożsamy ze zbiorem q

Kod:

Definicja   |Warunek      |Warunek       |
symboliczna |wystarczający|wystarczający |Zbiory
            |=> = AB456   |=> = CD789    |
            | p  q p<=>q  |~p ~q ~p<=>~q |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q =1 | 1  1  =1    | 0  0   =1    | p* q=1 /Twarda prawda
B: p~~>~q=1 | 1  0  =0    | 0  1   =0    | p*~q=0 /Twardy fałsz wynikły z A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =1 | 0  0  =1    | 1  1   =1    |~p*~q=1 /Twarda prawda
D:~p~~>q =0 | 0  1  =0    | 1  0   =0    |~p* q=0 /Twardy fałsz wynikły z C
   1   2  3   4  5   6      7  8    9

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Operator równoważności odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W równoważności mamy do czynienia z dwoma warunkami wystarczającymi, dwoma gwarancjami.

Gwarancja GW1 po stronie p:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q, co jest oczywistością z powodu tożsamości zbiorów:
p=q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Twardy fałsz w linii B456 (symbolicznie B123) opisuje równanie:
~(p=>q) = p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd gwarancja GW1 wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii A, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii B.


Gwarancja GW2 po stronie ~p:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co jest oczywistością z powodu tożsamości zbiorów:
~p=~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające => dla ~q

Twardy fałsz w linii D789 (symbolicznie D123) opisuje równanie:
~(~p=>~q) = ~p*q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd gwarancja GW2 wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii C, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii D.

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

GW1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK = ~(TP*~SK)
Zdanie równoważne:
GW1:
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny i nie zachodzi suma kwadratów

GW2:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
Zdanie równoważne:
GW2.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
~(~TP*SK)

Na mocy powyższego mamy kolejne definicje implikacji i równoważności.

Definicja implikacji:
Implikacja to jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna.

Definicja równoważności:
Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne


6.9 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Kod:

Definicja   |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna | p q p~~>q
 p~~> q=1   | 1 1  =1
 p~~>~q=1   | 1 0  =1
~p~~>~q=1   | 0 0  =1
~p~~> q=1   | 0 1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0
            |q=1, ~q=0

gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Przykład zdania spełniającego definicję operatora chaosu.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Kod:

 P3~~> P8=1 bo 24
 P3~~>~P8=1 bo 3
~P3~~>~P8=1 bo 5
~P3~~> P8=1 bo 8

Zauważmy że legalny operator chaosu to jednocześnie oficjalna definicja znaczka ~~>.


6.10 Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.

Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 0:06, 07 Sie 2012, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 11:12, 03 Sie 2012    Temat postu:



7.0 Równania algebry Kubusia

Równania algebry Kubusia to naturalna logika człowieka.


7.1 Tworzenie równań algebry Kubusia

Poznamy teraz banalną technikę tworzenia równań algebry Kubusia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej, na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

Tabela 1
   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
B: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej uzyskujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością w wyniku.

Najprostsze równanie algebry Kubusia uzyskamy dla linii D123, bo mamy tu samotne zero w wyniku.

Algorytm:
1.
Spis z natury:
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Stąd dla 2 mamy najprostsze równanie algebry Kubusia opisujące tabelę 1.
3.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Oczywiście to równanie opisuje wyłącznie linię D123!

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.
Mamy:
~Y=~p*~q
stąd:
Y=p+q

4.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Oczywiście to równanie opisuje teraz wyłącznie obszar ABC123 w tabeli 1!

Wnioski:
1.
Nagłówek w tabeli 1 to tylko matematyczny opis spójnika „lub”(+) zdefiniowanego w obszarze ABC123.
Y=p+q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
2.
Kompletny operator OR, czyli wszystkie cztery linie opisuje układ równań logicznych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q
To jest oczywiście operator AND w układzie równań logicznych.
cnd

Z twierdzenia Prosiaczka wynika, ze równoważny opis tabeli 1 uzyskamy opisując obszar ABC123, czyli linie z jedynkami w wyniku.

Algorytm:
Spis z natury:
1.
A: Y=1 <=> p=1 I q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
2.
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Stąd mamy równanie algebry Kubusia opisujące obszar ABC123, definicję spójnika „lub”(+):

Definicja spójnika lub w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q
bo oba te równania opisują identyczny obszar tabeli 1 (ABC123)

Stąd kompletna definicja operatora OR w wersji maksymalnej tu układ równań:
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q - obszar ABC123
~Y=~p*~q - linia D123

Z prawa de’Morgana wynika że negując wszystkie zmienne musimy otrzymać operator AND:
~y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
y=p*q
To jest oczywiście pełna i maksymalna definicja operatora AND
cnd

Zauważmy że wyłącznie zanegowaliśmy zmienne zatem matematycznie zachodzi:
Kod:

Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND
Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q    ##  ~y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=~p*~q               ##   y=p*q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Funkcja logiczna Y (duże) to zupełnie co innego niż funkcja logiczna y (małe).

Przykład:
Kod:

A.                                ## B.
Jutro pójdę do kina lub do teatru ## Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K+T=1                           ## y=K*T=1

## - różne na mocy definicji
Wynika z tego że jeśli powiem zdanie A to nie mogę go zastąpić zdaniem B i odwrotnie.

Stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
co matematycznie oznacza:
~y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
~y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)

Oraz definicje spójnika „i”(*) w logice dodatniej
y=p*q
y=1 <=> p=1 i q=1
cnd

Doskonale widać zgodność czystej matematyki z nową teoria zbiorów i naturalną logika człowieka!


7.2 Minimalizacja funkcji logicznych

Geniuszem w minimalizacji funkcji logicznych jest nasz mózg, który w praktyce zawsze operuje funkcjami minimalnymi. Minimalizacja jest przydatna przy projektowaniu złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych, tyle że w dobie mikroprocesorów to epoka kamienna. Można zatem ten rozdział traktować jako ciekawostkę, lub pominąć.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.

Metody minimalizacji funkcji logicznej

Nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.

Absorpcja:
p*(p+q)=p

1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
Kod:

p q p+q p*(p+q)
1 1 =1   =1
1 0 =1   =1
0 1 =1   =0
0 0 =0   =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p

3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd


7.3 Osiem równań opisujących operator OR

Kolejne trzy punkty można traktować jako matematyczną ciekawostkę. Osobom nie zainteresowanym na serio matematyką doradzam pominiecie tych punktów.

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=p*q

Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1          |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q                      |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q)                 |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)      |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja    |                |
Symboliczna  |                |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q     |Y=p*q+p*~q+~p*q |                       |
             |p q Y=p+q       | ~p ~q ~Y=~p*~q        |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 /p*q =Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 /p*~q=Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p*q=Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0         |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3            4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |Y=p+q           |~Y=~p*~q
             |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0       | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


7.4 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1            |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q                        |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q)                   |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q)        |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]   |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
-------------------------------------------------------------
Definicja    |
Symboliczna  |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
             |
Dotrzymam    |
slowa: Y=1   |p q Y=p*q         | ~p ~q 2:~Y=~p+~q      | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
Sklamie: ~Y=1|                  |  ~Y=~p+~q             |
U: ~Y=~p+~q  |                  |  ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
C: ~p* q=~Y  |0 1  =0           |  1  0   =1 /~p* q=~Y  | =0
D:  p*~q=~Y  |1 0  =0           |  0  1   =1 / p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.


7.5 Logika zero

Logika zero jest logiką totalnie przeciwną do naturalnej logiki człowieka.
Logika zero i logika człowieka to logiki tożsame.

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q  Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
   1 2  3

Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Obszar działania: ABC123

Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Obszar działania: D123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logika człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „lub”(+), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „i”.

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q  Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
   1 2  3


Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Obszar działania: A123

Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 0.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=>p=0 lub q=0
Obszar działania: BCD123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logiką człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „i”(*), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „lub”.

Ułożymy wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla zero-jedynkowej definicji operatora OR.
Kod:

                |Logika człowieka  |Logika zero
   p q  Y=p+q   |Y=p*q+p*~q+~p*q   |~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
A: 1 1 =1       | Y= p* q          |~Y=~p+~q
B: 1 0 =1       | Y= p*~q          |~Y=~p+ q
C: 0 1 =1       | Y=~p* q          |~Y= p+~q
D: 0 0 =0       |~Y=~p*~q          | Y= p+ q
   1 2  3

W logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionach.
LC: Y = p*q + p*~q + ~p*q

W logice zero wszystkie zmienne sprowadzamy do zera korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=1 to ~p=0
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „lub”(+) w poziomach i spójnika „i”(*) w pionach:
LZ: ~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Dowód tożsamości tych logik.
Przechodzimy z równaniem LZ do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
LZ: Y= (p*q) + (p*~q) + (~p*q)

Doskonale widać:
LC=LZ
cnd

Oczywiście logikę zero wywalamy w kosmos, bowiem naturalną logiką dla każdego człowieka jest logika człowieka.


8.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


8.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego

Zajmijmy się operatorami dotychczas nie omówionymi.

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 - lampka zaświecona
Y=0 - lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem że … krasnoludki są na świecie.


8.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)

Definicje ~~> i N(~~>)
Kod:

p q Y=p~~>q Y=~(p~~>q)
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Jak widzimy po wybraniu operatora ~~> krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też ten człowieczek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator N(~~>) to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).

Zdanie zawsze prawdziwe to operator chaosu ~~>, gdzie prawdziwe są wszelkie możliwe przeczenia p i q
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W operatorze ~~> możemy sobie długo i namiętnie zaprzeczać p i q, wartość funkcji będzie niewzruszona Y=1.
Kod:

p q Y=p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Dokładnie to samo w równaniu algebry Boole’a opisującym powyższą tabelę
Y = p~~>q = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
p+~p=1
p*1=1

Oczywiście operator:
Y=1 ma zero argumentów
cnd

Gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Znaczek ~~> jest jednocześnie spójnikiem i operatorem, bo równanie algebry Kubusia opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Weźmy na zakończenie operator śmierci N(~~>q) w równaniach algebry Boole’a.
Operator śmierci to stan naszego wszechświata przed jego stworzeniem, żadne pojęcie nie jest zdefiniowane, stąd wartość logiczna dowolnych przeczeń p i q jest równa zeru.
Kod:

p q Y=N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0

Operator śmierci w tabeli symbolicznej:
Kod:

 p  q  Y=N(p~~>q)
 p  q  =0
 p ~q  =0
~p*~q  =0
~p* q  =0

Stąd równanie w algebrze Kubusia (w naturalnej logice człowieka):
~Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
mamy:
~Y=1
Negujemy stronami:
Y=0
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=0
cnd


8.3 Operatory transmisji P i Q

Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

Operator transmisji w zbiorach:

Y=p

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1


8.4 operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1

Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q

Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia (Boole’a)
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Dowód formalny:
Kod:

~Y=p  Y=~p  ~Y=~(~p)
  1    =0     =1
  0    =1     =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.

Operator negacji w zbiorach:

Y=~p

Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1


9.0 Algebra zbiorów rozłącznych

W tym rozdziale omówimy mało ważne i rzadkie zastosowanie algebry Kubusia.
Są to zdania prawdziwe typu:
Pies to nie kot
Pies to nie samochód
itd.

9.1 Operator XOR

Operator XOR opisuje zbiory rozłączne.

Definicja:
Kod:

p q pXORq
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0
1 1  =0

p XOR q = p*~q + ~p*q



Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
C.
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
D.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
pXORq = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji na mocy teorii zbiorów

Tabela XOR dla dwóch zbiorów:
Kod:

           |Definicja symboliczna |Definicja symboliczna
p q pXORq  |Teoria zbiorów        |Warunki wystarczające
1 0  =1    | p*~q =1              | p=>~q =1
1 1  =0    | p* q =0              | p~~>q =0
0 1  =1    |~p* q =1              |~p=> q =1
0 0  =0    |~p*~q =0              |~p~~>~q=0

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Warunki wystarczające opisane są prawidłowo wyłącznie dla przypadku gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q jest zbiorem pustym.
~p*~q=0
Zachodzi wówczas równoważność jak niżej.

Nietypowa równoważność dla zbiorów rozłącznych:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)=1*1=1

Przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)=1*1=1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej
Dziedzina: człowiek
Możliwe zbiory: mężczyzna, kobieta
Stąd poprawność powyższej równoważności

Nietypowa implikacja prosta dla zbiorów rozłącznych:

Definicja warunku wystarczającego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

p=>~q=1
Zbiory:
p*~q=1*1=1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku jeden
p~~>q=0
Zbiory:
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne,
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

p=>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
Zajście p wystarcza dla zajścia ~q


Definicja warunku koniecznego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

~p~> q=1
Zbiory:
~p*q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną,
co wymusza w wyniku jeden
~p~~>~q=1
Zbiory:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną,
co wymusza w wyniku jeden

~p~>q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p jest warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
~> - warunek koniczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
~p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Bycie psem wystarcza aby nie być kotem
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> jest kotem
P~~>K=0 - zbiory rozłączne
... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Kod:

               |P ~K P=>~K
A: P=>~K=1     |1  1  =1
B: P~~>K=0     |1  0  =0
C:~P~> K=1     |0  0  =1
D:~P~~>~K=1    |0  1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
               |P=1, ~P=0
               |~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”

Ciekawy jest wyjątek gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML P=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P~~>ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.

Identyczną analizę otrzymamy gdy zbiór q należy do innej dziedziny niż zbiór p

A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
Bycie psem wystarcza aby nie być samochodem
Dziedzina po stronie p: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q: zbiór wszystkich maszyn jeżdżących
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być samochodem
P~~>S=0
Zbiory:
P*S=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym (S=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

.. a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może być samochodem
~P~>S=0
Zbiory:
~P*S = 1*0=0
Zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym, stąd w wyniku zero.
W linii C będziemy mieli sekwencję (0 0 =0) co wyklucza zarówno implikację, jak i równoważność.
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym o definicji w liniach A i B.

9.2 Nietypowe warunki wystarczające

Rozważmy typową implikację odwrotną:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Zbiór „chmury” zawiera w sobie zbiór „pada” bo zabieramy „chmury” i znika nam zbiór „pada”
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.

Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1

Definicja warunku wystarczającego w algebrze Kubusia:
Kod:

A.
p=>q=1
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w q, stąd w wyniku 1
B.
p~~>~q=0
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne, stad w wyniku 0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w q

Zdanie podobne do A to:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać lub nie będzie padać
CH=>(P+~P)=1
p+~p=1 - prawo algebry Kubusia
To jest warunek wystarczający =>, 100% pewność.
czyli:
Jak będzie pochmurno to nie mamy pojęcia czy będzie padać czy nie.

To zdanie jest warunkiem wystarczającym bo:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać lub nie będzie padać
CH=>P+~P =1
p=>q=1
1 1 =1
Zbiory:
CH*(P+~P) = 1*1=1
P+~P=1 - prawo algebry Boole’a
Obliczenie ~q:
P+~P = ~P*P - prawo de’Morgana
stąd:

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> będzie padać i nie będzie padać
CH~~>~(P+~P)=~P*P=0
p=>~q=0
1 0 =0
~P*P=0 - prawo de’Morgana
Zbiory:
CH*(~P*P) = 1*0 =0
Oczywiście zbiór: P*~P jest zbiorem pustym o wartości logicznej równej 0.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym.
Definicja warunku wystarczającego spełniona (A1 plus B1).

Zdanie A1 nie jest jednak ani implikacją, ani równoważnością, bo nie spełnia definicji zero-jedynkowej ani jednego, ani drugiego.



10.0 Definicje operatorów w bramkach logicznych

Definicja operatora OR:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p*~q
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =1    0  1   =0
C: 0 1  =1    1  0   =0
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to tabela prawdy ABC123 (bramka OR)
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to linia D456 (bramka AND)

Próbnik stanów logicznych to probówka z dwoma diodami świecącymi:
Zielona - logiczne „0”
Czerwona - logiczne „1”

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p+q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze ABC123, cały czas dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po dojściu do linii D zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w linii D456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p*~q
Musi być:
~p=1
~q=1
~Y=~p*~q=1


Definicja operatora AND:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q


Kod:

   p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =0    0  1   =1
C: 0 1  =0    1  0   =1
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to linia A123 (bramka AND)
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to tabela prawdy BCD456 (bramka OR)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p*q
Na wejściach p i q wymuszamy stan logiczny pokazany w linii A123, dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po przejściu do linii B zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w obszarze BCD456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p+~q
Musi być dokładnie to co w tabeli.
Przykładowo dla linii B musi być:
~p=0
~q=1
~Y=~p+~q=1


Definicja bramki „musi”=>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi”=> to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Definicja bramki „może” ~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może”~> to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Definicja operatora implikacji prostej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „musi”=>:
p=>q =1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „może”~>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0   0  1   =0
C:~p~> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =1   1  0   =1
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji prostej to obszar ABCD123:
p=>q = ~p~>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii B456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p=>q) = p*~q
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q
Fizyczna budowa operatora implikacji prostej to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=>)
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „może”~>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p=>q = ~p~>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B musi zaświecić się dioda zielona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek konieczny ~>).
Przykładowo dla linii D789 musi być:
~p=1
~q=0
~p~>~q =1


Definicja operatora implikacji odwrotnej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „może” ~>:
p~>q =1
p~~>~q=1
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „musi”=>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =1   0  1   =1
C:~p=> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =0   1  0   =0
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej to obszar ABCD123:
p~>q = ~p=>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii D456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p~>q) = ~p*q
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q
Fizyczna budowa operatora implikacji odwrotnej to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „może”~>)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek konieczny ~>). Oczywiście cały czas musi zaświecić się dioda czerwona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0


Definicja równoważności:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) mamy w bramce „musi”=> po lewej stronie:
p=>q=1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) mamy w bramce „musi”=> po prawej stronie:
~p=>~q=1
~p~~>q=0
Kod:

             p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1  1 1  =1    0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0    0  1   =0
C:~p=> ~q=1  0 0  =1    1  1   =1
D:~p~~> q=0  0 1  =0    1  0   =0
   1    2 3  4 5   6    7  8    9

Symboliczna definicja operatora równoważności to obszar ABCD123:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=> po lewej stronie)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=> po prawej stronie)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p<=>q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B dioda musi zaświecić się na zielono.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0

Bardzo ważne doświadczenie:
Sprawdzić w laboratorium układów logicznych rzeczywiste działanie wszystkich operatorów logicznych.


10.1 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

Największą tragedią współczesnej matematyki jest nieznajomość pojęć z zakresu FUNDAMENTÓW matematyki naszego Wszechświata.

Te fundamentalne pojęcia w zdaniach „Jeśli p to q” to:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Definicja podstawowa:
Kod:

A: p=> q =1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q

2.
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji o definicji
p~>q = ~p=>~q

3.
~~> naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Znajomość tych trzech fundamentów generuje nową, kompletnie nieznaną człowiekowi, PRAWDZIWĄ matematykę naszego Wszechświata, z zupełnie nowymi zadaniami matematycznymi.

Zobaczmy to na przykładzie.

Zadanie:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
1. Udowodnij, czym jest to zdanie w sensie matematycznym.
2. Definicję jakiego operatora logicznego to zdanie spełnia.

Rozwiązanie:
Zakładamy że zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
~P8~>~P4+~P2

Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
Nasz przykład:
A.
~P8~>~P4+~P2
=
C.
P8=>~(~P4+~P2) = P4*P2 - prawo de’Morgana
czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 4 i jest podzielna przez 2

Aby udowodnić zachodzenie warunku koniecznego w zdaniu A wystarczy udowodnić warunek wystarczający => w zdaniu C, co jest oczywistością.
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>!
cnd

Definicję jakiego operatora logicznego zdanie A spełnia?
Dowiedliśmy iż zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zatem analizujemy:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
~P8~>~P4+~P2 =1 bo 3
p~>q =1
LUB
B.
Obliczamy ~q
~(~P4+~P2) = P4*P2
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 4 i przez 2
~P8~~>P4*P2 =1 bo 4
p~~>~q=1
… a jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Nasze zdanie A:
~P8~>~P4+~P2
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje argumentów i wymianę spójników:
P8=>P4*P2
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
stąd:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 4 i przez 2
P8=>P4*P2 =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
~p=>~q =1
Obliczenie q:
~q = P4*P2
q=~(~q) = ~(P4*P2) = ~P4+~P2 - prawo de’Morgana
stąd:
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
P8~~>~P4+~P2 =0 - oczywiście przypadek niemożliwy
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C!

Jaką definicje spełnia zdanie A?
Zdanie wypowiedziane:
p~>q
Ustalamy punkt odniesienia na zdaniu wypowiedzianym czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tworzymy tabelę prawdy dla tego zdania:
Kod:

Zdanie symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
                    | p q p~>q
A: p~> q =1         | 1 1  =1
B: p~~>~q=1         | 1 0  =1
C:~p=>~q =1         | 0 0  =1
D:~p=> q =0         | 0 1  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                    | p=1, ~p=0
                    | q=1, ~q=0

Odpowiedź:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) dla punktu odniesienia:
p=~P8
q=~P4+~P2

Oczywiście inny uczeń może to zadanie rozwiązać w logice przeciwnej do ucznia wyżej!

Rozwiązanie alternatywne:
A: ~P8~>~P4+~P2 =1 bo 3
A: ~p~>~q =1
Obliczenie q:
q=~(~q) = ~(~P4+~P2) = P4*P2 - prawo de’Morgana
stąd:
lub
B:~P8~~>P4*P2=1 bo 4
B:~p~~>q=1
… a jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Mamy A:
~P8~>~P4+~P2
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
P8=>P4*P2
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty.
stąd:
C: P8=>P4*P2 =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
C: p=>q=1
Obliczenie ~q:
~(P4*P2) = ~P4+~P2 - prawo de’Morgana
stąd:
D: P8~~>~P4+~P2 =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C!
D: p~~>~q=0

Budujemy tabelę prawdy dla zdania A!

Zdanie wypowiedziane A:
~p~>~q =1
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A mamy:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Zdanie A symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
                      | ~p ~q ~p~>~q
A: ~p~>~q=1           |  1  1   =1
B: ~p~~>q=1           |  1  0   =1
C:  p=> q=1           |  0  0   =1
D:  p=>~q=0           |  0  1   =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                      |~p=1, q=0
                      |~q=1, q=0

Odpowiedź:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q) dla punktu odniesienia:
~p = ~P8
~q= ~P4+~P2
cnd

Oczywiście oba rozwiązanie są genialne i poprawne matematycznie!

Zauważmy, że oba te rozwiązania są identyczne jeśli chodzi o rozwiązania rzeczywiste dla parametrów aktualnych:
~P8
~P4+~P2
Te rozwiązania nie różnią się nawet przecinkiem.

Reszta zależy od przyjętych punktów odniesienia!
Zauważmy, że choćby przyszło tysiąc atletów, zjadło tysiąc kotletów, to nie mają najmniejszych szans aby ze zdania A zrobić implikację prostą! … taki to ciężar!

Wniosek:
Nie da się wyeliminować z logiki implikacji odwrotnej. Dogmat Ziemskich matematyków o zbędności implikacji odwrotnej jest błędem czysto matematycznym, bo nie istnieje ani implikacji prosta, ani też implikacja odwrotna bez warunku koniecznego ~>, czyli bez najzwyklejszego „rzucania monetą”.


Mamy tu sytuację podobną jak w rozwiązywaniu sieci elektrycznych o prądu stałego o n-gałeziach. W dowolnej z gałęzi może być źródło napięcia i rezystor, albo sam rezystor.

Sieci elektryczne rozwiązujemy układając układ równań liniowych na mocy dwóch praw Kirchhoffa.

I prawo Kirchhoffa:
Suma prądów w węźle jest równa zeru

II prawo Kirchhoffa:
Suma napięć w obwodzie zamkniętym jest równa zeru

Zasady:
1
Dla obwodu elektrycznego o n-punktach węzłowych można ułożyć n-1 równań na mocy I prawa Kirchhoffa
2.
Dla obwodu elektrycznego o n gałęziach niezależnych można ułożyć n równań na podstawie II prawa Kirchhoffa.
Oczko jest oczkiem niezależnym jeśli przynajmniej jedna jego gałąź nie wchodzi w skład pozostałych oczek, dla których ułożono równania Kirchhoffa.

Weźmy gałąź ze źródłem napięcia i rezystorem!
W którą stronę płynie prąd elektryczny?
Co wskazują wektory napięć na źródle i rezystorze?

Wszystkich możliwych punktów odniesienia mamy cztery!

Kod:

1. Polacy i Anglosasi:
             Ue                   Ur
          -------->           <--------
               |+              --------
A-------------||------->-------|      |--------B
               |       I       --------
                  ---------->
2. Węgrzy i Niemcy:
             Ue                   Ur
          <--------            -------->
               |+              --------
A-------------||------->-------|      |--------B
               |       I       --------
                  ---------->
3. Kosmita 1
             Ue                   Ur
          -------->           <--------
               |+              --------
A-------------||-------<-------|      |--------B
               |       I       --------
                  <----------
4. Kosmita 2
             Ue                   Ur
          <--------            -------->
               |+              --------
A-------------||-------<-------|      |--------B
               |       I       --------
                  <----------


Dla prawidłowego rozwiązania sieci jest totalnie nieistotne który z powyższych układów odniesienia przyjmiemy.

Możemy przyjąć dowolny, to kompletnie bez znaczenia!

Przyjecie konkretnego punktu odniesienia rzutuje na strzałkowanie całej sieci elektrycznej. Kierunek prądu w gałęzi w której nie ma źródła napięcia jest TOTALNIE nieistotny, możemy sobie rzucać monetą, ale jakiś kierunek musimy arbitralnie ustalić.
Oczywiście po rozwiązaniu takiego układu w gałęziach będą nam wychodzić prądy ze znakiem PLUS albo MINUS i kluczowa jest tu interpretacja tego faktu w odniesieniu do przyjętego punktu odniesienia.

Z powyższego wynikają niezwykłe wnioski:
1.
Jest totalnie nieważne co przyjmiemy za prąd elektryczny w sensie fizycznym i w którą stronę prąd w rzeczywistości płynie, w moim podręczniku do nauki elektroniki funkcjonuje taka oto, niezwykła definicja prądu elektrycznego.

Z punktu widzenia elektronika (nie technologa) doskonała jest taka definicja prądu elektrycznego.

Punkt odniesienia:
Polacy i Anglosasi:
Prąd elektryczny (poza źródłem napięcia) to pchły biegnące od wyższego do niższego potencjału. Rezystor stanowi dla nich przewężnie, które starają się zlikwidować uderzając młotkiem w jego ścianki.

Skądinąd wiemy że jak się coś czymś uderza to zwykle wydziela się ciepło.
stąd:
Pojecie mocy traconej w elemencie elektronicznym:
P=U*I
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 11:14, 03 Sie 2012    Temat postu:



11.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


11.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
11. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


11.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to może ~~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
P+K ~~> ~4L+C =0
p~~>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty:
Mamy:
p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
~p~>~q = ~P*~K ~> ~4L+C
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja następnika.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w następniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

P+K=> 4L*~C=1*1=1
P+K=> 4L* C=1*0=0
P+K=>~4L*~C=0*1=0
P+K=>~4L* C=0*0=0

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy następnika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


11.3 Złożona implikacja odwrotna

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu, możemy to robić wyłącznie w implikacjach bezczasowych. Oba zdania będą prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie (pkt. 6.1).
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K
Po stronie poprzednika mamy tu prawdę powstałą z negacji fałszu (~C=1) którą możemy sunąć ale nie musimy tego robić.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
p~>q=1
Posiadanie czterech łap i brak umiejętności ćwierkania jest warunkiem koniecznym aby być psem lub kotem.
Zbiory:
(4L*~C)*(P+K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (P+K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
Obliczanie ~q:
q=P+K
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~q = ~P*~K
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~~> nie być psem i nie być kotem
4L*~C ~~> ~P*~K =1 bo słoń, koń, hipopotam ...
p~~>~q=1
Zbiór zwierząt mających cztery łapy i nie ćwierkających ma część wspólną ze zbiorem zwierząt nie będących psami i nie będących kotami (słoń, koń, hipopotam...).
Zbiory:
(4L*~C)*(~P*~K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (~P*~K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

... a jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
4L*~C ~> P+K
stąd:
~4L+C => ~P*~K
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Dowód:
p~>q = ~p=>~q
mamy:
p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
Stąd:
~p=>~q
~4L+C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => nie jest psem i nie jest kotem
~4L+C => ~P*~K =1 bo wąż, mrówka, wróbelek ...
~p=>~q=1
Brak czterech łap lub ćwierkanie jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem i nie być kotem.
Zbiory:
(~4L+C)*(~P*~K)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (~P*~K)=1)]i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to może ~~> być psem lub kotem
~4L+C ~~> P+K =0
~p~~>q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap lub ćwierkających jest rozłączny ze zbiorem psów lub kotów, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(~4L+C)*(P+K)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (P+K)=1)] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
B: (4L*~C) ~> (~P*~K) = D: (~4L+C) => (P+K) =0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
Kod:

Definicja       |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna     |p q p~>q
A: p~> q =1     |1 1  =1
B: p~~>~q=1     |1 0  =1
C:~p=>~q =1     |0 0  =1
D:~p~~>q =0     |0 1  =0
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w skrócie jest implikacją odwrotną

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja poprzednika.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w poprzedniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

 4L*~C=1*1=1 ~~>P+K
 4L* C=1*0=0 ~~>P+K
~4L*~C=0*1=0 ~~>P+K
~4L* C=0*0=0 ~~>P+K

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy poprzednika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


11.4 Zdania złożone typu p+(q*r)

Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.

Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...

Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  0   1         0  0  1   1     0            1
1 0 1  0   1         0  1  0   1     0            1
1 0 0  0   1         0  1  1   1     0            1
0 1 1  1   1         1  0  0   0     0            1
0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
B: 0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
C: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


11.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).

Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  1   1         0  0  1   0     0            1
1 0 1  1   1         0  1  0   0     0            1
1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)]

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
B: 0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
C: 0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
D: 0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
E: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


12.0 Obietnice i groźby

We wszystkich podręcznikach mamy prawidłową definicję obietnicy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Na mocy definicji spójnikiem domyślnym w obietnicy jest spójnik „na pewno” =>:
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę

To jest poprawna definicja obietnicy!

Zauważmy teraz że NIE nagroda jest karą!

Prawa Kubusia to 100% MATEMATYKA !:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Dokładnie stąd mamy definicję groźby.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Na mocy definicji spójnikiem domyślnym w groźbie jest spójnik „może” ~>:
Jeśli spełnisz warunek kary to mogę ~> cie ukarać, ale nie muszę, gwarantuje mi to matematyka ścisła, algebra Kubusia. W praktyce spójnik „może” prawie nigdy nie jest wypowiadany bowiem intencja nadawcy jest, aby odbiorca nie spełnił warunku kary.

Nadawca może tu sobie mówić co mu się podoba np.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L
Na mocy definicji groźby to zdanie musimy kodować implikacją odwrotną. Zauważmy że w groźbie nadawca ma możliwość blefowania i nie jest kłamcą!

Zauważmy że w groźbie NIE kara jest nagrodą

To co wyżej to matematyczne banały, znane każdemu 5-cio latkowi … z wyjątkiem największych nawet, ziemskich matematyków.

Jeśli chcemy matematycznie opisać logikę człowieka (i nie tylko) to musimy rozróżniać obietnice od gróźb inaczej zginiemy, i to błyskawicznie!

Przykładowo, nie będziemy wiedzieli co to jest skok z wieżowca na główkę, i jak niemowlaki będziemy chcieli to wypróbować. Niemowlaki uczą się odróżniać nagrodę od kary (mleko od kupki) tuż po urodzeniu - zmusza je do tego fizjologia.


12.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania czekolady.
Obietnica, zatem implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q), tu wszyscy się zgadzamy
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki
Skoro to warunek wystarczający => to na mocy definicji:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości!
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary, oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować!
gdzie:
~> - warunek konieczny
~~> - naturalny spójnik "może", jest taka możliwość.

Z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną!

Jedyne możliwe definicje obietnicy i groźby są zatem takie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


12.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!)
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


12.3 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych.

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


12.4 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


12.5 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary
C: C*~D=0 - tu również jest kara
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą i definicją groźby.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranocki
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


12.6 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W~>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać kare w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


12.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 12.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


12.8 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

Raj, 2012-07-24
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 11:15, 03 Sie 2012    Temat postu:

2012-08-15

5.6 Gwarancje matematyczne w implikacji i równoważności

Zacznijmy od równoważności.

Diagram równoważności:

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i jest tożsamy ze zbiorem q

Kod:

Definicja   |Warunek      |Warunek       |
symboliczna |wystarczający|wystarczający |Zbiory
            |=> = AB456   |=> = CD789    |
            | p  q p<=>q  |~p ~q ~p<=>~q |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1 | 1  1  =1    | 0  0   =1    | p* q=1 /Twarda prawda, gwarancja
B: p~~>~q=1 | 1  0  =0    | 0  1   =0    | p*~q=0 /Twardy fałsz wynikły z A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p=>~q =1 | 0  0  =1    | 1  1   =1    |~p*~q=1 /Twarda prawda, gwarancja
D:~p~~>q =0 | 0  1  =0    | 1  0   =0    |~p* q=0 /Twardy fałsz wynikły z C
   1   2  3   4  5   6      7  8    9

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Operator równoważności odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W równoważności mamy do czynienia z dwoma warunkami wystarczającymi, dwoma gwarancjami.

Gwarancja GW1 po stronie p:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q, co jest oczywistością z powodu tożsamości zbiorów:
p=q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Twardy fałsz w linii B456 (symbolicznie B123) opisuje równanie:
~(p=>q) = p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd gwarancja GW1 wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii A, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii B.
Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Oczywiście spójnik „i”(*) to zupełnie co innego niż operator AND, to tylko jedna linijka w operatorze AND.


Gwarancja GW2 po stronie ~p:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co jest oczywistością z powodu tożsamości zbiorów:
~p=~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające => dla ~q

Twardy fałsz w linii D789 (symbolicznie D123) opisuje równanie:
~(~p=>~q) = ~p*q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd gwarancja GW2 wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
Obie strony tożsamości dotyczą wyłącznie twardej prawdy w linii C, bowiem tylko i wyłącznie z tej linii wynika twardy fałsz w linii D.

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

GW1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK = ~(TP*~SK)
Zdanie równoważne:
GW1:
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny i nie zachodzi suma kwadratów

GW2:
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
Zdanie równoważne:
GW2.
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
~(~TP*SK)


Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Kod:

Definicja    |Warunek      |Warunek     |
symboliczna  |wystarczający|konieczny   |Zbiory
             |=> = AB456   |~> = CD789  |
             | p  q p=>q   |~p ~q ~p~>~q| p  q
A: p=> q =1  | 1  1  =1    | 0  0   =1  | p* q =1 /Twarda prawda
B: p~~>~q=0  | 1  0  =0    | 0  1   =0  | p*~q =0 /Twardy fałsz wynikły z A
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1  | 0  0  =1    | 1  1   =1  |~p*~q =1 /Miękka prawda
D:~p~~>q =1  | 0  1  =1    | 1  0   =1  |~p* q =1 /Miękka prawda
   1   2  3    4  5   6      7  8    9    a  b c

Gwarancja matematyczna:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające => dla q

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W implikacji prostej jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q lub może zajść q („rzucanie monetą”), nie mamy pojęcia co się stanie, zero gwarancji matematycznej.

Zauważmy, że w implikacji twardy fałsz wynika tylko i wyłącznie z linii A i nie ma nic wspólnego z prawdami miękkimi po stronie ~p.

Zauważmy, że gwarancję twardego fałszu opisaną spójnikiem „i”(*) mamy w linii B456 (symbolicznie B123):
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1 sprowadzamy zmienne w linii B456 do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
~(p=>q) = p*~q
Wystąpi fałsz [~(p=>q)=1] wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
stąd gwarancja GW1 wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie p i zajdzie ~q

Obie strony tożsamości mówią nam co się stanie jeśli zajdzie p.
W implikacji prawdę twardą mamy precyzyjnie ulokowaną w linii A i zdanie wyżej dotyczy tej właśnie linii. W implikacji nie interesuje nas kiedy zdanie będzie prawdziwe/fałszywe, to sprawa drugorzędna, wynikła z zachodzącego warunku wystarczającego => albo koniecznego ~>.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH) - gwarancja matematyczna
Zdanie równoważne:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Kod:

Definicja    |Warunek      |Warunek       |
symboliczna  |konieczny  |wystarczający |Zbiory
             |~> = AB456 |=> = CD789    |
             | p  q p~>q |~p ~q ~p=>~q  |
A: p~> q =1  | 1  1  =1  | 0  0   =1    | p* q=1 /Miękka prawda
B: p~~>~q=1  | 1  0  =1  | 0  1   =1    | p*~q=1 /Miękka prawda
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =1  | 0  0  =1  | 1  1   =1    |~p*~q=1 /Twarda prawda
D:~p~~>q =0  | 0  1  =0  | 1  0   =0    |~p* q=0 /Twardy fałsz wynikły z C
   1   2  3    4  5   6    7  8    9

Gwarancja matematyczna:
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i nie jest z nim tożsamy
Z czego wynika że ~p jest wystarczające => dla ~q

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W implikacji prostej jeśli zajdzie p to może zajść q lub może zajść ~q (rzucanie monetą), nie mamy pojęcia co się stanie, zero gwarancji matematycznej.

Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający => zdefiniowany w obszarze CD123 (symbolicznie) i CD789 (zero-jedynkowo).

W linii D789 (symbolicznie D123) mamy opisany twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z linii C789 (symbolicznie C123):
~(~p=>~q) = ~p*q
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
stąd gwarancja GW2 wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć, że zajdzie ~p i zajdzie q
Obie strony tożsamości opisują przypadek co się stanie jeśli zajdzie ~p, po stronie p mamy miękkie prawdy, czyli zero gwarancji matematycznej.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Zbiór „chmury” zawiera w sobie zbiór „pada”.
Chmury są konieczne ~> dla deszczu.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => aby jutro nie padało

Ta sama gwarancja wyrażona spójnikiem „i”(*):
~CH=>~P = ~(~CH*P)
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~CH=>~P = ~(~CH*P)

Na mocy powyższego mamy kolejne definicje implikacji i równoważności.

Definicja implikacji:
Implikacja to jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna.

Definicja równoważności:
Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne


5.7 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Kod:

Definicja   |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna | p q p~~>q
 p~~> q=1   | 1 1  =1
 p~~>~q=1   | 1 0  =1
~p~~>~q=1   | 0 0  =1
~p~~> q=1   | 0 1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0
            |q=1, ~q=0

gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Przykład zdania spełniającego definicję operatora chaosu.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Kod:

 P3~~> P8=1 bo 24
 P3~~>~P8=1 bo 3
~P3~~>~P8=1 bo 5
~P3~~> P8=1 bo 8

Zauważmy że legalny operator chaosu to jednocześnie oficjalna definicja znaczka ~~>.


5.8 Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.

Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0



5.9 Operatory logiczne w świecie zdeterminowanym

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Rozważmy zdanie:
W.
Mickiewicz był Polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y = MP+PT =0!

Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie znamy wartości logiczne wszystkich zmiennych:
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0

Zgodnie z definicją operatora logicznego badamy odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Kod:

A: MP* PT =1*1=1
B: MP*~PT =1*0=0
C:~MP*~PT =0*0=0
D:~MP* PT= 0*1=0

Jak widzimy, jedynym zdaniem prawdziwym w świecie zdeterminowanym jest zdanie:
A.
Mickiewicz był Polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT

Wszelkie inne formy zdaniowe na mocy prawa Sowy będą tu fałszywe np.
Mickiewicz był Polakiem lub nie napisał Pana Tadeusza
Y=MP+~PT=0

Jeśli Mickiewicz był Polakiem to napisał Pana Tadeusza
MP=>PT=0!
Mamy tu świat zdeterminowany gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
W informatyce to są stałe symboliczne, wartości logiczne tych stałych nie mogą ulec zmianie.

Badamy odpowiedź układu w świecie zdeterminowanym:
Kod:

A: MP=> PT =1*1 =1
B: MP~~>~PT=1*0 =0
C:~MP~~>PT =0*1 =0
D:~MP~>~PT =0*0 =0
 


Jak widzimy w świecie zdeterminowanym zdanie:
W.
Mickiewicz był Polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y = MP+PT =0!
Jest zdaniem fałszywym, bo nie mamy żadnych szans, aby wymusić wynikowe jedynki w liniach C i D. Spójnik „lub”(+) jest tu zatem nieosiągalny.

W świecie zdeterminowanym jedynym prawdziwym zdaniem zgodnie z tabelą wyżej jest zdanie:
A.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT =1
Wszelkie inne formy zdaniowe w świecie zdeterminowanym są fałszywe.

Z tego powodu ekspert algebry Kubusia, ten straszny Polonista, za zdanie:
Mickiewicz był Polakiem lub napisał Pana Tadeusza
… walnie pałę i nie ma przeproś.

Implikacja to matematyczny opis nieznanego.
Implikacja ma sens również w przypadku nieznanej przeszłości np.

Dokonano morderstwa w Warszawie.
Podejrzany: Kowalski

A.
Jeśli Kowalski był w Warszawie to mógł ~> zamordować
W~>Z
… a jeśli Kowalskiego nie było w Warszawie?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
C.
Jeśli Kowalskiego nie było w Warszawie to na pewno => nie zamordował
~W=>~Z
Wniosek:
Sprawdzamy alibi Kowalskiego.

Jeśli sprawa jest już rozwiązana i okazało się że Kowalski jest mordercą, to wtedy jedynym zdaniem prawdziwym będzie zdanie:
Kowalski był w Warszawie i zamordował
Y=W*Z

Informacja o Warszawie jest tu informacją nadmiarową, bo istotą jest morderstwo.
Końcowe zdanie:
Kowalski jest mordercą
Y=KM

Zauważmy, że wymówienie w tym przypadku zdania:
Jeśli Kowalski był w Warszawie to mógł ~> zamordować
W~>Z
jest robieniem z siebie idioty.

Prawo Sowy działa wiec doskonale.


6.0 Nietypowe problemy logiki

Mało ciekawscy mogą spokojnie darować sobie nietypowe problemy logiki.

6.1 Nietypowa równoważność

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym:
p=>q = ~p~>~q

Definicja symboliczna implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Absolutny fundament algebry Kubusia w implikacji i równoważności to definicje ogólne znaczków => i ~>.
1.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Ogólnie:
=> - warunek wystarczający
Zbiór zdefiniowany w podstawie wektora => musi zawierać się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

2.
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Ogólnie:
~> - warunek konieczny
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q
Zabieramy p i musi zniknąć q
Zbiór p jest warunkiem koniecznym ~> dla q

Na podstawie powyższego diagramu prawdziwe jest zdanie:
~p=>~p+~q
Spełniona jest tu ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~p+~q.

Zauważmy, że spełniona jest także definicja ogólna znaczka [~>]:
[~p~>~p+~q]
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~p+~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~p+~q

Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i warunku koniecznego wirtualnego [~>]
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
[~>] - warunek konieczny wirtualny występujący wyłącznie w równoważności, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q.

Czyżby więc powyższy diagram pasował do równoważności?
Oczywiście że nie!
Nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością!

Zauważmy że zbiór ~p zawiera w całości zbiór ~q
Zachodzi zatem:
~p+~q = ~p

Nasz przykład:
~p=[3->oo]
~q=[7->oo]
~p+ ~q=[3->oo] + [7->oo] = [3->oo]

Jak widzimy zbiór ~q dla tego punktu odniesienia „wyparował”, na powyższym rysunku mamy wyłącznie dwa zbiory p i ~p, a to na mocy definicji równoważności w zbiorach jest bezdyskusyjna równoważność, ale bardzo ciekawa.

p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)

Nasz przykład:
p=[1,2]
~p=[3->oo]

Analiza matematyczna:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)
p=>p
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo p)
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie p
p=>p =1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze p
Warunek wystarczający spełniony
Zbiory:
p*p=[1,2]*[1,2] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
Zbiór p istnieje (p=1), co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~p
p~~>~p =0
Zbiory:
p*~p = [1,2]*[3->oo] = [] =0 - zbiór pusty
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~p = (~p=>~p)*(p=>p)
~p=>~p
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~p)
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~p
~p=>~p=1
Zbiory:
~p*~p = [3->oo]*[3->oo] = [3->oo] =1 - zbiór niepusty
Zbiór ~p istnieje (~p=1) co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść p
~p~~>p=0
Zbiory:
~p*p = [3->oo]*[1,2] = [] =0 - zbiór pusty
Zbiory ~p i p istnieją (~p=1 i p=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem A albo C otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności.
Kod:

Tabela      |Kodowanie zero-jedynkowe
symboliczna | p p p<=>p| ~p ~p ~p<=>~p
A: p=> p =1 | 1 1  =1  |  0  0   =1
B: p~~>~p=0 | 1 0  =0  |  0  1   =0
C:~p=> ~p=1 | 0 0  =1  |  1  1   =1
D:~p~~>p =0 | 0 1  =0  |  1  0   =0
   1   2  3   4 5   6     7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p<=>p = ~p<=>~p
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy symbolicznie w obszarze AB123 i zero-jedynkowo w obszarze AB456, bowiem tylko tu widzimy p=1.
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy symbolicznie w obszarze CD123 i zero-jedynkowo w obszarze CD789, bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Inne przykłady:
Jeśli kocha to kocha
K=>K
Jeśli nie kocha to nie kocha
~K=>~K
Dolar to dolar
D=>D
Znacznie rzadziej mówimy:
Dolar wtedy i tylko wtedy gdy dolar
D<=>D

Jeśli pies to pies
P=>P
… a jeśli nie pies?
Jeśli nie pies to nie pies
~P=>~P
Całość jest równoważnością bo:
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
stąd prawdziwe jest również zdanie:
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P


6.2 Wynikanie równoważnościowe |-

|- - symbol wynikania równoważnościowego

p |- q
Definicja znaczka |-:
|- - prawda po lewej stronie wymusza prawdziwość całego zdania
|- - fałsz po lewej stronie wymusza fałszywość całego zdania

W wynikaniu równoważnościowym |- mnożymy wartości logiczne zdań po obu stronach znaku |-.
1 |- 1 = 1*1 =1
0 |- 1 = 0*1 =0
0 |- 0 = 0*0 =0
1 |- 0 = 1*0 =0

W wynikaniu równoważnościowym prawdziwość/fałszywość zdań p i q musimy znać z góry.
Mamy zatem do czynienia ze światem totalnie zdeterminowanym, gdzie obowiązuje prawo Sowy, stąd tabela zero-jedynkowa wyżej.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W wynikaniu równoważnościowym |- musimy znać z góry prawdziwość zdań p i q aby określić prawdziwość całego zdania. Dokładnie ta informacja wymusza operator AND między p i q.

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p wystarcza dla zajścia q

Prawo przechodniości implikacji prostej:
(p=>q)*(q=>r) |- (p=>r)
1*1 |- 1 = 1*1 =1
W wynikaniu równoważnościowym |- mnożymy wartości logiczne zdań po obu stronach znaku |-.
Z faktu że:
zbiór p zawiera się w zbiorze q
„i”(*)
zbiór q zawiera się w zbiorze r
Wynika: |-
że zbiór p zawiera się w zbiorze r

Przykład:
(p=>q)*(q=>r) |- (p=>r)
p.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 4
P8=>P4
Definicja znaczka =>:
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P4

Prawo przechodniości implikacji prostej:
(P8=>P4)*(P4=>P2) |- (P8=>P2)
1*1 |- 1 = 1*1 =1
Z faktu że:
zbiór P8 zawiera się w całości w zbiorze P4
„i”(*)
zbiór P4 zawiera się w całości w zbiorze P2
wynika |-
że zbiór P8 zawiera się w całości w zbiorze P2

Definicja znaczka warunku koniecznego ~>:
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zajście p jest konieczne dla zajścia q, bo zabieram p i znika q

Prawo przechodniości implikacji odwrotnej:
(p~>q)*(q~>r) |- (p~>r)
1*1 |-1 = 1*1 =1
Z faktu że:
zbiór p zawiera w sobie zbiór q
„i”(*)
zbiór q zawiera w sobie zbiór r
Wynika: |-
że zbiór p zawiera w sobie zbiór r

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Dowód zachodzenia warunku koniecznego.
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
cnd

Prawo przechodniości implikacji odwrotnej:
(P2~>P4)*(P4~>P8) |- P2~>P8
1*1 |-1 =1*1 =1
Z faktu że:
zbiór P2 zawiera w całości zbiór P4
i
zbiór P4 zawiera w całości zbiór P8
wynika: |-
że zbiór P2 zawiera w całości zbiór P8

Przykład fałszywego wynikania równoważnościowego:
(P8=>P3)*(P3=>P2) |- (P8=>P2)
Oczywiście:
P8=>P3 =0 bo 8
P3=>P2 =0 bo 3
P8=>P2 =1
stąd:
0*0 |- 1 =0*1 =0
Fałsz po lewej stronie wymusza fałszywość całego zdania.
cnd


6.3 Samodzielny warunek wystarczający

Diagram implikacji prostej:


Prawo Kubusia, jak wszystkie prawa logiczne działa wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym.
Jak zdeterminujemy cokolwiek, p albo q, to prawo Kubusia nie działa.
Jedyną poprawną forma analizy matematycznej jest wówczas analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Z diagramu wyżej widzimy że:
(p=>q) |- [~p=>(~q+q)]
czyli:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający p=>q to z tego faktu wynika |- prawdziwość zdania:
~p=>(~q+q).
Oczywiście zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q+q, bowiem zbiór ~q+q to kompletna dziedzina zarówno dla poprzednika jak i następnika.
~q+q =1

Przykład:
W.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy
Zbiór psów zawiera się w zbiorze zwierząt mających cztery łapy

Z tego faktu wynika:
(P=>4L) |- [~P=>(~4L+4L)]
1 |- 1 = 1*1 =1

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
A.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap lub ma cztery łapy
~P=>(~4L+4L)
p=>q
Dziedzina:
~4L+4L - zbiór wszystkich zwierząt
Zwierzęta nie będące psami zawierają się w zbiorze ~4L+4L
Warunek wystarczający spełniony.
Zbiory:
~P*(~4L+4L) = ~P*1 = ~P - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
bo:
~4L+4L=1 - prawo algebry Kubusia
~P*1 =~P - prawo algebry kubusia
Obliczenie ~q dla potrzeb zdania B:
~(~4L+4L) = 4L*~4L - prawo de’Morgana
stąd:
B.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy i nie mieć czterech łap
~P~~>4L*~4L
p=>~q
Zbiory:
~P*(4L*~4L) = ~P*0 =0 - zdanie fałszywe
bo:
4L*~4L =0 - prawo algebry Kubusia
~P*0 =0 - prawo algebry Kubusia

W zdaniu A mamy zdeterminowany następnik:
~4L+4L =1
Sprawdzamy czy zdanie A jest równoważnością, czyli badamy warunek wystarczający w logice przeciwnej:
A: ~P=>(~4L+4L)
Negujemy stronami:
C: P=>~(~4L+4L) = 4L*~4L - prawo de’Morgana
Stąd:
C.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy i nie ma czterech łap
P=>4L*~4L = 0
~p=>~q =0
Zbiory:
P*(4L*~4L) = P*0 =0 - zdanie fałszywe bo następnik jest zbiorem pustym
bo:
4L*~4L =0 - prawo algebry Kubusia
P*0 =0 - prawo algebry Kubusia

STOP!
Dalej nie musimy analizować bo w zdaniu C otrzymaliśmy w wyniku fałsz!

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

               p q p=>q
A: p=> q =1  | 1 1  =1
B: p~~>~q=0  | 1 0  =0
C:~p=> ~q=0  | 0 0  =0
D: -------   | x x  =x
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             |p=1, ~p=0
             |q=1, ~q=0

W linii C mamy sekwencję 0 0 =0 której nie ma ani w implikacji, ani też w równoważności!

Wniosek:
Zdanie A nie wchodzi w skład definicji ani implikacji, ani równoważności.
Zdanie A jest samodzielnym warunkiem wystarczającym który może istnieć samodzielnie o definicji wyłącznie w liniach A i B.
W przypadku implikacji prostej eliminacja warunku koniecznego ~> w pytaniu o nie psa jest sensowna i zrozumiała.

Zobaczmy jak to będzie wyglądać w przypadku implikacji odwrotnej.

Diagram implikacji odwrotnej:

p~>q = ~p=>~q

W tym przypadku warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą”, mamy po stronie p.
Wyeliminować warunek konieczny ~> możemy tylko w jeden sposób.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
A: 4L=>P+~P
Zbiory:
4L*(P+~P) = 4L*1 =1
B.
4L~~>~(P+~P) = (~P*P) =0
Zbiory:
4L*0 = 0
Warunek wystarczający w zdaniu A spełniony

Zdanie A to masło maślane, którego w praktyce nikt normalny nie wypowie, ale matematycznie poprawne.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => w kierunku p=>q
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0

Warunek wystarczający p=>q mamy udowodniony wyżej.

Dowodzimy warunku wystarczającego => w logice ujemnej:
~p=>~q

Nasz przykład:
A: 4L=>P+~P
A: p=>q
stąd:
C: ~4L=>~(P+~P) = ~P*P =0
C: ~p=>~q
Zbiory:
~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Stąd:
~p=>~q=0

Zatem na mocy definicji implikacji prostej zdanie:
A: 4L=>P+~P
jest implikacją prostą?

NIE!

W zdaniu A mamy zdeterminowany następnik:
P+~P=1
W świecie zdeterminowanym żadne prawa logiczne nie obowiązują!

Jedyną poprawną matematycznie metoda rozstrzygnięcia z czym mamy do czynienia jest skorzystanie z definicji operatora logicznego.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Mamy:
A: p=>q =1
A: 4L=>P+~P =1 bo zbiory: 4L*(P+~P) = 4L*1 =1
B: p~~>~q =1
B: 4L~~>~P*P = 0 bo zbiory: 4L*(~P*P) = 4L*0=0
C: ~p=>~q =0
C: ~4L=>~P*P =0 bo zbiory: ~4L*(~P*P)=~4L*0 =0
STOP!
Dalej nie musimy analizować!
Tabela prawdy:
Kod:

             | p q  p=>q
A: p=> q =1  | 1 1  =1
B: p~~>~q=0  | 1 0  =0
C:~p=>~q =0  | 0 0  =0
D: ------      x x   x
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             | p=1, ~p=0
             | q=1, ~q=0

Nie ma sekwencji 0 0 =0 ani w implikacji, ani w równoważności.
Zdanie A nie wchodzi więc do definicji żadnego operatora logicznego.

Zdanie A:
4L=>P+~P
to samodzielny warunek wystarczający mogący istnieć samodzielnie
cnd


6.4 Prawo eliminacji implikacji

Znane ziemskim matematykom prawo eliminacji implikacji.
[link widoczny dla zalogowanych]
Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
… można między bajki włożyć.

Błąd podstawowy jest tu taki, że spójniki zdaniowe w naturalnej logice człowieka to nie są kompletne operatory logiczne, co bez przerwy tu pokazuję!
Operator logiczny to złożenie spójnika x w logice dodatniej ze spójnikiem przeciwnym do x w logice ujemnej.
Spójniki wzajemnie przeciwne to:
„i”(*) - „lub”(+)
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) - warunek konieczny ~> (w implikacji spójnik „może”)

Definicja operatora OR:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Definicja operatora AND:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie znaczki:
*, +, =>, ~>
To spójniki zdaniowe, nigdy kompletne operatory logiczne!

Prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q

Tego typu praw, działających na kompletnych operatorach można sobie można generować w nieskończoność. Z punktu odniesienia sprzętu powyższe prawo jest dobre. Ziemianie nie odróżniają jednak sprzętowej budowy operatora od jego rzeczywistego działania w naturalnej logice człowieka. Z punktu widzenia sprzętu wszystkie operatory logiczne są zbędne, wystarczy jedna bramka NAND (albo NOR, => lub ~>) bowiem z jej pomocą można w trywialny sposób zbudować pozostałe operatory logiczne.
Sprzęt do naturalnej logiki człowieka ma się tak jak hardware do software. Sprzęt bez software to tylko kupa złomu, ani grama więcej.

W powyższym prawie negujemy dwustronnie sygnał p i otrzymujemy prawo eliminacji operatora OR:
p+q = ~p=>q
Prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Stąd mamy prawo eliminacji operatora AND:
p*q = ~(p=>~q)
itd.
W ten oto banalny sposób wszystkie operatory logiczne da się sprzętowo zredukować do operatora implikacji prostej => plus negacja.
Sam jednoargumentowy operator negacji także można w banalny sposób uzyskać z operatora implikacji prostej:
Y = ~p = (p=>0)
Wystarczy wejście q bramki „musi” => (operator implikacji prostej) podpiąć do logicznego zera.

Zobaczmy do jakich bzdur to prowadzi:
p*q = ~(p=>~q) - prawo eliminacji operatora AND
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Zdanie równoważne wedle prawa eliminacji operatora AND:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jeśli jutro pójdę do kina to na pewno => nie pójdę do teatru
~(K=>~T)
Pokażcie mi człowieka który zrozumie iż zdania wyżej są matematycznie równoważne.
… a kiedy skłamię?
Na to pytanie współczesna matematyka nie potrafi odpowiedzieć równaniem logicznym, czyli zgodnie z naturalną logiką człowieka.

Jakim prawem mamy redukować logikę do jakiegokolwiek operatora logicznego (np. NAND) skoro każdy 5-cio latek biegle posługuje się wszystkimi 16 operatorami logicznymi?
Jakim prawem mamy redukować całą logikę do świętej krowy, operatora X? … i dlaczego do X a nie do Y?

Co taka zredukowana logika będzie miała wspólnego z naturalną logiką człowieka?
Oczywiście: NIC!

Poprawna matematyka (algebra Kubusia) bez problemu radzi sobie z pytaniem o kłamstwo w równaniu logicznym.
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdą do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

To jest oczywiście logika w równaniach algebry Kubusia w 100% zgodna z naturalną logiką 5-cio latka!

Matematyka Ziemian nie ma bladego pojęcia o logice dodatniej (Y) i ujemnej (~Y) w algebrze Boole’a, a tym samym nie potrafi opisać matematycznie naturalnej logiki człowieka. W Wikipedii można znaleźć wzmiankę o logice dodatniej i ujemnej w odniesieniu do sprzętu. Jest oczywistym, że jeśli istnieje logika dodatnia i ujemna na poziomie sprzętu, to musi istnieć na poziomie matematyki.

Co oznacza prawo?:
p=>q = ~p+q
Kod:

   p q Y=p+q  | ~p q p=>q
A: 0 1  =1    |  1 1  =1
B: 0 0  =0    |  1 0  =0
C: 1 0  =1    |  0 0  =1
D: 1 1  =1    |  0 1  =1
   1 2   3       4 5   6

Prawo to oznacza, że bierzemy do ręki bramkę logiczną OR (operator OR) o definicji w obszarze ABCD123, negujemy jej wejście p i otrzymujemy bramkę „musi” =>, czyli zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej w obszarze ABCD456. Oczywiście znaczenie zer i jedynek w tym przekształceniu jest ŻADNE, to w czystej postaci rachunek zero-jedynkowy, nie nadający jakiegokolwiek znaczenia „przemiatanym” zerom i jedynkom.

Prawa rachunku zero-jedynkowego jak wyżej, umożliwiają sprzętową budowę dowolnego operatora logicznego na nieskończoną ilość sposobów.
Przykład:
p+q = p+ q*(~q + p*q+p+~r…)
bo prawo algebry Kubusia:
q*(~q+x) =q
gdzie:
x - dowolne długa funkcja logiczna z dowolną ilością zmiennych

Dowody błędności prawa eliminacji implikacji z punktu odniesienia logiki człowieka.

Dowód 1
Nie wolno zastępować operatora logicznego w którym przemienność argumentów nie występuje (implikacja), operatorem w którym przemienność argumentów występuje (OR, AND).

Najprostszy dowód błędności prawa eliminacji implikacji.

W operatorze OR zachodzi przemienność argumentów:
Y=p+q = ~(~p*~q) = q+p = ~(~q*~p)
W operatorze implikacji nie zachodzi przemienność argumentów:
p=>q = ~p~>~q # q=>p = ~q~>~p

Dowód formalny:
Kod:

   p q Y=p+q p=>q q p Y=q+p q=>p
A: 1 1  =1    =1  1 1  =1    =1
B: 1 0  =1    =0  0 1  =1    =1
C: 0 1  =1    =1  1 0  =1    =0
D: 0 0  =0    =1  0 0  =0    =1
   1 2   3     4  5 6   7     8

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR.
Brak tożsamości kolumn ABCD4 i ABCD8 jest dowodem braku przemienności argumentów w operatorze implikacji prostej.

Przykład:
Operator OR:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
B.
Jutro pójdę do teatru lub do kina
Y =T+K
Oczywiście matematycznie zachodzi:
K+T = T+K

Operator implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Matematycznie zachodzi:
P8=>P2=1 # P2=>P8=0


Dowód 2
W operatorze OR zbiory p i q mają część wspólną ale żaden z nich nie zawiera się w drugim.


Symboliczna i zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
Y=p+q
Y=p*q+p*~q+~p*q
Y - dotrzymam slowa   | p q Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q = Y           | 1 1  =1    | 0  0   =0
B: p*~q = Y           | 1 0  =1    | 0  1   =0
C:~p* q = Y           | 0 1  =1    | 1  0   =0
~Y - skłamię
D:~p*~q =~Y           | 0 0  =0    | 1  1   =1
   1  2   3             4 5   6      7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                      |p=1, ~p=0
                      |q=1, ~q=0
                      |Y=1, ~Y=0

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456 (spójnik „lub”(+))
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789 (spójnik „i”(*)).

Definicja spójnika „lub”(+) uzyskana z definicji symbolicznej ABC123:
Y=p*q+p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y=1.
Jedynki w operatorze OR są równoprawne, żadna z nich nie jest wyróżniona. Nie ma tu mowy o jakiejkolwiek gwarancji matematycznej.

Fundamentalnie inaczej jest w implikacji!

W operatorze implikacji prostej zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

Definicja symboliczna    |Definicja zero-jedynkowa
Warunek wystarczający => | p  q p=>q  | ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1              | 1  1  =1   |  0  0  =1
B: p~~>~q=0              | 1  0  =0   |  0  1  =0
Warunek konieczny ~>
… a jeśli nie zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1              | 0  0  =1   |  1  1  =1
D:~p~~>q =1              | 0  1  =1   |  1  0  =1
   1   2  3                4  5   6      7  8   9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                         |p=1, ~p=0   |~p=1, p=0
                         |q=1, ~q=0   |~q=1, q=0

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest z nim tożsamy
Z czego wynika że p jest wystarczające => dla q
Wymuszamy p i musi pojawić się q
2.
~> - warunek konieczny
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q i nie jest z nim tożsamy
Z czego wynika że ~p jest konieczne ~> dla ~q
Zabieramy ~p i znika ~q
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Jak widzimy, idea działania operatora OR jest fundamentalnie inna niż operatora implikacji prostej i nie da się zastąpić jednego drugim.


Dowód 3

Fundamenty logiki człowieka

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Prawo Sowy wynika bezpośredni z definicji operatora logicznego. Tabele zero-jedynkowe wszystkich operatorów logicznych zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.

Operator OR
Jeśli wypowiemy zdanie niezdeterminowane ze spójnikiem „lub”(+) to mamy 100% pewność iż jest to połówka operatora OR.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
D.
Skłamię (~Y=1), wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


Operator implikacji
Jeśli udowodnimy twierdzenie ujęte w spójnik „Jeśli p to q” to nie ma żadnej gwarancji iż jest to implikacja prosta, a powód tego jest niżej.

A.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q =1
p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q

B.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być z nim tożsamym

C.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i być tożsamym ze zbiorem q

Zauważmy, że we wszystkich trzech definicjach mamy identyczny warunek wystarczający =>, konkretne zdanie prawdziwe. Bez dalszego dowodu o takim zdaniu możemy powiedzieć wyłącznie iż jest to warunek wystarczający prawdziwy:
p=>q =1
Póki co ani to implikacja, ani równoważność, bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!

Przykład 1:
Samodzielny warunek wystarczający:
p=>q =1
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
P=>~S=1
Zbiór pies zawiera się w zbiorze „nie samochód”, definicja warunku wystarczającego spełniona.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być samochodem
P~~>S=0
bo zbiór psów będących samochodami jest zbiorem pustym:
P*S = 1*0=0
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być samochodem
~P~>S=0
Bo zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym:
~P*S = 1*0=0 - zdanie fałszywe
Kodowanie zero-jedynkowe zdania A:
Kod:

Definicja symboliczna |Kodowanie zero-jedynkowe
                      | P ~S P=>~S
A: P=>~S =1           | 1  1  =1
B: P~~>S =0           | 1  0  =0
C:~P~> S =0           | 0  0  =0
D:~P~~>~S=1           | x  x   x
   1   2  3             4  5   6
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                      | P=1, ~P=0
                      |~S=1, S=0

Jak widzimy, warunek wystarczający => o definicji symbolicznej AB123 i zero-jedynkowej AB456 jest tu spełniony.
W linii C456 mamy jednak sekwencję 0 0 =0, co jest dowodem iż jest to samodzielny warunek wystarczający, nie wchodzący w skład ani implikacji, ani równoważności, bowiem w tych operatorach występuje sekwencja 0 0 =1.

Przykład 2.
Implikacja prosta
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
A: P8=>P2=1
B: P8~~>~P2=0
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C: ~P8~>~P2 =1 bo 3
D:~P8~~>P2=1 bo 2

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

Zapis symboliczny | Kodowanie zero-jedynkowe
                  | P8 P2 P8=>P2
A: P8=> P2 =1     |  1  1  =1
B: P8~~>~P2=0     |  1  0  =0
C:~P8~> ~P2=1     |  0  0  =1
D:~P8~~>P2 =1     |  0  1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |P8=1, ~P8=0
                  |P2=1, ~P2=0

Tabela zero-jedynkowa jest dowodem iż warunek wystarczający =>:
P8=>P2=1
wchodzi w skład definicji implikacji prostej

Przykład 3.
Równoważność
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Analiza przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wraz z tabelą zero jedynkową:
Kod:

Zapis symboliczny | Kodowanie zero-jedynkowe
                  | TP SK TP<=>SK |~TP ~SK ~TP<=>~SK
A: TP=> SK =1     |  1  1  =1     |  0   0   =1
B: TP~~>~SK=0     |  1  0  =0     |  0   1   =0
C:~TP=> ~SK=1     |  0  0  =1     |  1   1   =1
D:~TP~~>SK =0     |  0  1  =0     |  1   0   =0
    1    2  3        4  5   6        7   8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |TP=1, ~TP=0
                  |SK=1, ~SK=0

Tabela zero-jedynkowa jest dowodem iż warunek wystarczający =>:
TP=>SK=1
wchodzi w skład definicji równoważności.

Podsumowanie:
Typowe twierdzenie matematyczne zapisanie w formie „Jeśli p to q” jest tylko i wyłącznie warunkiem wystarczającym =>. Rozstrzygnięcie czy warunek ten jest częścią implikacji prostej, czy też równoważności wymaga dodatkowego dowodu.
Mówienie a priori o udowodnionym twierdzeniu „Jeśli p to q” iż jest to implikacja prosta jest błędem czysto matematycznym.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:20, 16 Sie 2012, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin