Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - koncepcje porzucone

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24574
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 10:31, 02 Lis 2013    Temat postu: Algebra Kubusia - koncepcje porzucone

2.0 Algebra Kubusia dla początkujących

Algebra Kubusia to naturalna logika człowieka, doskonale znana w praktyce każdemu człowiekowi. Naturalnymi ekspertami tej algebry są humaniści.

Do naturalnej logiki człowieka można dotrzeć z dwóch stron:
1.
Idąc od zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych do naturalnej logiki człowieka.
2.
Przekładając logiczne myślenie człowieka na matematykę w przełożeniu 1:1 udowadniając, iż to myślenie jest zgodne w 100% z tabelami zero-jedynkowymi operatorów logicznych.

Pierwszy sposób jest dużo trudniejszy, szczególnie dla początkujących w logice, przyzwyczajonych do matematyki klasycznej, gdzie ze zrozumiałych względów zapisy typu:
p+p=p
1+p =1
będą budzić matematyczny sprzeciw.

Naturalna logika człowieka to fundamentalnie co innego niż matematyka klasyczna, zatem używane tu znaczki:
„+” - spójnik „lub” z naturalnej logiki człowieka
„*” - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
nie kolidują ze znanymi każdemu człowiekowi symbolami sumy i mnożenia algebraicznego.

W algebrze Kubusia dla początkujących posłużymy się drugim sposobem.


2.1 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Algebra Kubusia to logika matematyczna w 100% zgodna z naturalną logiką człowieka, doskonale znana w praktyce jej ekspertom, humanistom.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Podstawowe definicje algebry Kubusia:
1 = prawda
0 = fałsz

~ - symbol przeczenia NIE

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
Dobro to brak zła
Zło to brak dobra

Prawda to brak fałszu
Prawda = NIE fałsz
1 = ~0
Fałsz to brak prawdy
Fałsz = NIE Prawda
0=~1
etc

Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, ~r

Funkcja logiczna w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y


2.2 Podstawowe prawa algebry Kubusia

Dobry matematyk nie zna na pamięć miliona różnych wzorków matematycznych. Posługuje się bazą minimalną z której można szybko dotrzeć do dowolnego wzoru. Przykładowo do wszelkich wzorków opisujących figury płaskie i klasyczne figury przestrzenne można błyskawicznie dotrzeć znając na pamięć wyłącznie twierdzenie Pitagorasa.
Dokładnie ta sama zasada obowiązuje w logice, nie jest potrzebna znajomość nieskończonej ilości praw logicznych, wystarczy baza minimalna z której można dotrzeć wszędzie, co za chwilę pokażemy.

Inną ważną cechą dobrego, początkującego matematyka, jest umiejętność sprawdzenia poprawności wzoru matematycznego którym się posługuje na banalnym przykładzie.
Przykład:
a^m*a^n = a^m+n
gdzie:
^ - znaczek potęgowania

Ostatni sposób jest kluczowy w logice matematycznej, algebrze Kubusia. Logika ma to do siebie że dowolny przykład logicznego myślenia w naturalnej logice człowieka jest automatycznie prawem matematycznym.

Poznajmy pierwsze dwa prawa algebry Kubusia:
1. p=p+p
2. p=p*p

Dowód:
Prawo algebry Kubusia:
1. p=p+p
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub pójdę do kina
K+K
Zdanie tożsame:
Jutro pójdę do kina
K
Stąd mamy prawo algebry Kubusia:
p=p+p
które można uogólnić:
p = p+p+p…+p

Prawo algebry Kubusia:
2. p=p*p
Przykład:
Jutro pójdę do kina i pójdę do kina
K*K
Oczywiste zdanie tożsame:
Jutro pójdę do kina
K
Stąd mamy prawo algebry Kubusia:
p=p*p
które można uogólnić:
p = p*p*p…*p

Dowód formalny w algebrze Kubusia:
Kod:

   p  p p=p+p  p=p*p
A: 1  1  =1     =1
B: 0  0  =0     =0
   1  2   3      4

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki zmiennej binarnej p.
Tożsamość kolumn wynikowych 1 i 3 jest dowodem prawa algebry Kubusia:
p=p+p
Tożsamość kolumn wynikowych 1 i 4 jest dowodem prawa algebry Kubusia:
p=p*p
Rozumowanie wyżej wymusiło nam prawa zero-jedynkowe algebry Kubusia:
Kolumna 3:
1+1 =1
0+0 =0
Kolumna 4:
1*1 =1
0*0 =0

Kolejne dwa prawa to fundament algebry Kubusia:
3. p+~p=1
4. p*~p=0

Dowód:
3. p+~p=1
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
K+~K=1
Oczywiście cokolwiek jutro nie zrobię do dotrzymam słowa, stąd w wyniku twarda jedynka.

4. p*~p=0
Przykład:
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
K*~K =0
Ta deklaracja jest wewnętrznie sprzeczna, nie można jednocześnie iść do kina i nie iść do kina, stąd wartość logiczna całego zdania to twardy fałsz (=0).

Dowód formalny w algebrze Kubusia:
Kod:

   p ~p p+~p p*~p
A: 1  0  =1   =0
B: 0  1  =1   =0
   1  2   3    4

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki zmiennej binarnej p, same jedynki w kolumnie 3 są dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p+~p=1
natomiast zera w kolumnie 4 są dowodem formalnym prawa:
p*~p=0

Rozumowanie wyżej wymusiło nam prawa zero-jedynkowe algebry Kubusia:
Kolumna 3:
1+0 =1
0+1 =1
Kolumna 4:
1*0 =0
0*1 =0

Stąd mamy:
5.
Prawa zero-jedynkowe dla spójnika „lub”(+).
1+1 =1
0+0 =0
1+0 =1
0+1 =1
6.
Prawa zero-jedynkowe dla spójnika „i”(*):
1*1 =1
0*0 =0
1*0 =0
0*1 =0

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Definicję spójnika „lub”(*) możemy uogólnić na n-zmiennych binarnych.

Definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
W.
Y = A1+A2 + … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1 (Y=1), stan pozostałych zmiennych jest nieistotny.

Definicja spójnika „lub”(+) w kodzie maszynowym (w zerach i jedynkach):
Y=1 <=> 1+0+…1 =1
Jak widzimy różnica między spójnikiem „lub”(+) a dodawaniem algebraicznym jest tu fundamentalna.

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) mamy kolejne prawa algebry Kubusia:
7. p+1 =1
8. p+0 =p

Dowód:
Rozważmy równanie logiczne:
7. Y = p+q+~q
co na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub ~q=1
Na mocy prawa 3 zapisujemy:
q+~q=1
Powyższe równanie przybiera więc postać:
Y=p+1
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub 1=1
Z prawej strony mamy twardą jedynkę, zatem stan zmiennej p na mocy definicji spójnika „lub”(+) jest nieistotny.
Stąd mamy prawo algebry Kubusia:
p+1 =1

Rozumując analogicznie łatwo dojdziemy do kolejnego prawa algebry Kubusia:
8. p+0 =p
Dowód:
Rozważmy równanie logiczne:
Y = p+q*~q
co na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q*~q =0
Na mocy prawa 4 mamy:
q*~q=0
Człon q*~q jest twardym fałszem. Na mocy definicji spójnika „lub”(+), nie ma zatem żadnego wpływu na wartość funkcji logicznej Y, bo nie może być ustawiony na wartość logiczną 1.
stąd:
Y = p+ q*~q = p+0 =p
Wniosek:
Zero w sumie logicznej jest elementem neutralnym, możemy je pominąć
p+0 =p

Dowód formalny praw 7 i 8:
Kod:

   p  0 1  p+1=1 p+0=p
A: 1  0 1   =1    =1
B: 0  0 1   =1    =0
   1  2 3    4     5

Z tabeli otrzymujemy:
p+1 =1 - kolumna 4
p+0 =p - tożsamość kolumn 1 i 5
Dokładnie taki sam dowód formalny otrzymamy korzystając z praw rachunku zero-jedynkowego 5 i 6.


Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicję spójnika „i”(*) możemy uogólnić na n-zmiennych binarnych.

Definicja spójnika „i”(*) w naturalnej logice człowieka:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy każda zmienna jest równa 1
W.
Y = A1*A2 * … An
co matematycznie oznacza:
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ... An=1
Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne przyjmą wartość 1.

Definicja spójnika „i”(*) w kodzie maszynowym (w zerach i jedynkach):
Y=1 <=> 1*1*…1 =1
Ostatni zapis uzasadnia alternatywną nazwę spójnika „i”(*) - iloczyn logiczny n zmiennych binarnych.
Analogia do matematyki klasycznej nasuwa się sama, ale spójnik logiczny „i”(*) to fundamentalnie co innego niż mnożenie algebraiczne dwóch liczb.

Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy kolejne prawa algebry Kubusia:
9. p*0 =0
10. p*1 =p

Dowód:
9. p*0 =0
Dowód:
Rozważmy równanie logiczne:
Y = p*(q*~q)
co na mocy definicji spójnika „i”(*) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i (q*~q) =0
Na mocy prawa 4 mamy:
q*~q=0
Człon q*~q jest twardym fałszem. Na mocy definicji spójnika „i”(*) nie ma zatem żadnych szans na ustawienie funkcji logicznej na wartość logiczną równą 1.
stąd:
Y = p*( q*~q) = p*0 =0

10. p*1=p
Dowód:
Rozważmy równanie logiczne:
Y = p*(q+~q)
co na mocy definicji spójnika „i”(*) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i (q+~q)=1
Na mocy prawa 3 zapisujemy:
q+~q=1
Powyższe równanie przybiera więc postać:
Y=p*1
co na mocy definicji spójnika „i”(*) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i 1=1
Człon q+~q jest twardą jedynką. Na mocy definicji spójnika „i”(*), nie ma zatem żadnego wpływu na wartość logiczną funkcji logicznej Y, bo nie może być ustawiony na wartość logiczną 0.
stąd:
Y = p*(q+~q) = p*1 =p
Wniosek:
Jedynka w iloczynie logicznym jest elementem neutralnym, możemy ją pominąć
p*1 =p

Dowód formalny praw 9 i 10:
Kod:

   p  0 1  p*0=0 p*1=p
A: 1  0 1   =0    =1
B: 0  0 1   =0    =0
   1  2 3    4     5

Z tabeli otrzymujemy:
p*0 =0 - kolumna 4
p*1 =p - tożsamość kolumn 1 i 5
Dokładnie taki sam dowód formalny otrzymamy korzystając z praw rachunku zero-jedynkowego 5 i 6.








Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce (np. T=1) i już dotrzymałem słowa (Y=1), drugiego członu sumy logicznej nie musimy sprawdzać.

Wypiszmy wszystkie możliwe przypadki które mogą





Jedne z najważniejszych praw Kubusia:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin