Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia: logika matematyczna człowieka (c.d.n)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 19:36, 12 Sie 2015    Temat postu: Algebra Kubusia: logika matematyczna człowieka (c.d.n)

Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl.
Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem.
Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia. Życie Kubusia na innych forach było krótkie, zawsze kończyło się banem na zawsze z komentarzem moderatora „algebra Kubusia jest sprzeczna z Wikipedią, zamykam temat”.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie i inni.
Kubuś

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu 1
2.1 Program komputerowy 2
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków 4
2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej? 5
3.0 Nowa teoria zbiorów 6
3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów 6
3.2 Definicja definicji 8
3.3 Definicja minimalna 9
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach 10
3.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 11
3.7 Prawa Prosiaczka 13
3.8 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 18
4.0 Operatory jednoargumentowe 20
4.1 Operator transmisji 20
4.2 Operator negacji 22
4.3 Równanie ogólne operatorów transmisji i negacji 23
4.4 Operator chaosu 24
4.5 Operator śmierci 25


1.0 Notacja

W tym podręczniku nie będzie klasycznej notacji, ponieważ z założenia jest to publikacja dla licealistów, którzy z pojęciem „Logika matematyczna” spotykają się po raz pierwszy w życiu. Pisząc „Algebrę Kubusia” starałem się, aby każde nowe pojęcie było poprawnie zdefiniowane, aby czytelnik nigdzie nie napotkał betonowej ściany nie do przeskoczenia.

Jak czytać algebrę Kubusia?
Oczywiście krok po kroku starając się wszystko zrozumieć. Jeśli w trakcie czytania napotkamy na pojęcie niezrozumiałe, to zajrzymy do skorowidzu na końcu podręcznika, gdzie znajdziemy odsyłacz do odpowiedniego wyjaśnienia.


2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu

Naturalna logika człowieka musi podlegać pod matematykę ścisłą. Nie jest bowiem możliwe wzajemne porozumienie się dowolnych istot żywych (w tym człowieka) na bazie chaosu, bez jakiejkolwiek matematyki. Także w naszym Wszechświatem musi rządzić matematyka ścisła, inaczej by się po prostu zawalił. Poczynania wszelkich istot żywych (człowiek nie jest tu wyjątkiem) muszą podlegać pod matematykę ścisłą, z czego wniosek iż najbardziej odpowiednim miejscem do jej poznawania będzie przedszkole. Pewne jest bowiem, że 5-cio latki muszą być naturalnymi ekspertami logiki matematycznej, nazwijmy ją algebrą Kubusia.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to naturalna logika matematyczna wszystkich 5-cio latków i humanistów.


2.1 Program komputerowy

Program komputerowy, to napisany przez człowieka ciąg rozkazów dla komputera.
Komputer wykonuje te rozkazy (rozkaz po rozkazie) realizując ściśle określony algorytm działania wymyślony przez człowieka.

Zobaczmy na przykładzie czym jest algorytm działania.
Załóżmy, że nagle zapragnęliśmy pójść do kina na film pt. „Seksmisja”. Z gazety codziennej dowiadujemy się, że film wyświetlany jest tylko w dwóch kinach „Relax” i „Skarpa”.
Masz ogólny algorytm działania może być następujący.


Rys. 2.1 Algorytm działania człowieka

Blok funkcjonalny to blok w którym żadnych istotnych decyzji nie podejmujemy, to „program tła”, czyli zwyczajne czynności prowadzące nas do celu jakim jest obejrzenie filmu.
Wykonując powyższy algorytm stajemy się podobni do komputera. Różnica jest zasadnicza. Człowiek może modyfikować powyższy algorytm w trakcie jego wykonywania (np. w przypadku braku biletów pójść do teatru), komputer natomiast wykonuje program ściśle wg algorytmu który wymyślił człowiek. Przeciętny człowiek obserwując dzisiejsze komputery jest zafascynowany ich możliwościami. Widzi że potrafią one pisać, malować, rysować … sterować fabryką bez ludzi itp.

Nie wie natomiast że …



Rys. 2.2 Podstawowe prawo komputerowe

Co to są liczby binarne?

Gdyby nasi przodkowie nie wymyślali cyfr [2,3,4,5,6,7,8,9] a znali tylko cyfry [0,1] to z pewnością znakomicie posługiwalibyśmy się liczbami binarnymi i mielibyśmy naturalny, wspólny z komputerami język. Zapis ogólny liczby binarnej przedstawiono na rysunku.
Przejście z binarnego systemu liczenia na dziesiętny jest banalne.
Z zapisu ogólnego wynika, że istotna jest tu kolejność [b2,b1,b0] cyfr binarnych [0,1] oraz wagi (W) tych cyfr na poszczególnych pozycjach.
b2*W2=b2*4
b1*W1=b1*2
b0*W0=b0*1
Dla b2=1 mamy: b2*4 = 1*4 =4
Dla b2=0 mamy: b2*4 = 0*4 =0
Dla b1=1 mamy: b1*2 = 1*2 =2
Dla b1=0 mamy: b1*2 = 0*2 =0
Dla b0=1 mamy: b0*1 = 1*1 =1
Dla b0=0 mamy: b0*1 = 0*1 =0
Przeliczmy pierwsze osiem liczb binarnych [000-111] na system dziesiętny.
Kod:

000 = 0+0+0 =0
001 = 0+0+1 =1
010 = 0+2+0 =2
011 = 0+2+1 =3
100 = 4+0+0 =4
101 = 4+0+1 =5
110 = 4+2+0 =6
111 = 4+2+1 =7
itd

Prawda że proste?

W logice matematycznej ani liczby binarne, ani też liczby dziesiętne kompletnie nas nie interesują.
Co nas interesuje w logice?
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …


2.2 Logika matematyczna przedszkolaków

Spójrzmy na nasz pierwszy w życiu, samodzielnie napisany program komputerowy „Pójście na film Seksmisja”. Logika matematyczna w tym algorytmie to wyłącznie bloki warunkowe w których rozstrzygamy na TAK albo NIE i w zależności od wyniku podejmujemy dalsze działania.

Przykłady logiki matematycznej z przedszkola:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
TAK
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
TAK
C.
Czy kura ma cztery łapy?
NIE
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
TAK
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
NIE
KONIEC!
Dokładnie tym jest logika matematyczna, nie ma w niej nic ponad: TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
Prawda, że ładna melodia?
https://www.youtube.com/watch?v=Czujclci6uA

W matematyce zachodzi tożsamość:
TAK = prawda (=1)
NIE = fałsz (=0)
Cyferki 1 i 0 znaczą w logice matematycznej:
1 - prawda
0 - fałsz
Uwaga:
Znaczków 0 i 1 nie należy mylić ani z cyframi binarnymi, ani też z cyframi dziesiętnymi, to zupełnie co innego, to prawda (=1) i fałsz (=0).

Wprowadźmy dwa nowe symbole matematyczne:
„~” - symbol przeczenia, słówko NIE w naturalnej logice 5-cio latka
„i”(*) - spójnik „i” w naturalnej logice 5-cio latka

Zakodujmy matematycznie zadania wyżej przy pomocy tych symboli:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
K*M =1
Prawdą jest (=1), że Kubuś jest misiem
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
P*S =1
Prawdą jest (=1), że Prosiaczek jest świnką
C.
Czy kura ma cztery łapy?
K*4L =0
Fałszem jest (=0), że kura ma cztery łapy
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
CH*~P =1
Prawdą jest (=1), że może się zdarzyć iż są chmury i nie pada
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
~CH*P =0
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie nie ma chmur i pada

W ten oto sposób zaliczyliśmy pierwsze w życiu poprawne kodowanie matematycznie zdań z naturalnego języka mówionego.


2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej?

Najprostsza odpowiedź: wszystkim

Algebra klasyczna zajmuje się liczeniem np.
2+2+2 =6
„+” - suma algebraiczna

Logika matematyczna zajmuje się rozpoznawaniem pojęć:
[2]+[2]+[2] =[2]
Bo pojęcia [2] po lewej stronie są tożsame
„+” - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka

Algebra klasyczna zajmuje się mnożeniem:
1*2*3 = 6
„*” - iloczyn algebraiczny

Logika klasyczna zajmuje się definiowaniem pojęć np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
To samo zdanie tożsame ujęte w spójnik „Jeśli p to q”:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
Co matematycznie oznacza:
(P=1) => (PC=1) i (S=1) i (~K=1)
„*” - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Wystarczy że do iloczynu logicznego definiującego psa dodamy jeden fałsz i już pracowicie budowana definicja psa jest fałszem np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1), nie jest kotem (~K=1) i ma skrzydła (SK=0)
P=>PC*S*~K *SK= 1*1*1*0 =0

Ewidentna kolizja znaczków „+” i „*” w algebrze klasycznej i logice matematycznej niczemu nie przeszkadza bo to są dwa, totalnie izolowane działy matematyki, jeden z drugim nie ma nic wspólnego. Nie wolno tych działów porównywać i wyciągać z tych porównań jakichkolwiek wniosków, co jest często spotykanym błędem matematyków.

Znaczki używane w algebrze Kubusia są legalnym systemem znaczków, stosowanym powszechnie w technice cyfrowej.
„lub”(+) - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka


3.0 Nowa teoria zbiorów

Nowa teoria zbiorów to wszystkie możliwe wzajemne położenia dwóch zbiorów p i q opisane zero-jedynkową tabelą operatorów logicznych oraz prawa logiczne z tego faktu wynikające.

3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych przez człowieka

Przykłady zbiorów:
p =[LN (zbiór liczb naturalnych), krasnoludek, egzamin, komputer, miłość, galaktyka, marzenia …]

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L

W logice matematycznej chodzi o rozpoznawalność pojęć, a nie o algebraiczne liczenie pojęć.

Redukcja zbioru:
Pojęcia powtarzające się w obrębie zbioru można zredukować do jednego pojęcia.
Oczywiście nie musimy tego robić.

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

LN - zbiór liczb naturalnych
LN=[1,2,3,4,5,6..]

p=[krowa, krowa, krowa, 2, 5, 5, LN]
q=[krowa, 2, 5, LN]
q=[krowa, LN]
Zachodzi matematyczna tożsamość zbiorów:
p=q=r

Wciągnięcie liczb 2,5 do zbioru LN jest dozwolone na mocy definicji liczby naturalnej.

Zbiór może być uporządkowany lub nie uporządkowany, to bez znaczenia.
p=[1,2,3,4,5]
q=[4,3,2,5,1]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q

Dowolny element zbioru to także samodzielny zbiór jednoelementowy lub wieloelementowy.
W algebrze Kubusia istnieje nie tylko definicja zbioru jak wyżej ale również definicja zbioru wszystkich zbiorów, to Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Na mocy definicji żaden człowiek nie ma szans wyskoczyć poza Uniwersum, które jest dynamiczne, zmienia się w czasie.

Definicja dziedziny
Dziedzina to dowolny podzbiór Uniwersum na którym operujemy

Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy, dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera ani jednego elementu)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L

Wartość logiczną zbioru (=1) zapisujemy bez nawiasów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1

Znaczenie tożsamości „=” w NTZ:
Pierwsza tożsamość to tożsamość definicyjna (4L=), natomiast druga tożsamość (4L=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi 4L konkretną wartość logiczną (tu 1)

Znaczenie tożsamości "=" wynika tu z kontekstu, nie ma potrzeby wprowadzania dwóch różnych znaczków.


3.2 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając.
Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


3.3 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest kurą?
NIE (K =0)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1
etc


3.4 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p+~p=1
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory te są rozłączne na mocy definicji
p*~p=0

Dowód na naszym przykładzie:
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)

Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Boole’a i Kubusia:
I. ~0=1
II. ~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum. W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.

Twierdzenie o wartości logicznej „pojęcia”:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego Uniwersum ma wartość logiczną jeden.

Przykłady:
[pies] =1
[rower]=1
[miłość] =1
Te pojęcia są jednoznaczne i zrozumiałe w zbiorze Uniwersum każdego człowieka.


3.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Wyobraźmy sobie, że urodziliśmy się i żyjemy w inkubatorze trzymającym idealną temperaturę:
t = const = 36,6 stopnia
Jest oczywistym, że dla nas pojecie ciepło/zimno nie istnieje bo nie jesteśmy w stanie zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur, co więcej, nawet na poziomie abstrakcyjnym nie jesteśmy w stanie zrozumieć (zdefiniować) pojęć ciepło/zimno - to są pojęcia nie z naszego Wszechświata (inkubatora).
Tak wiec aby zrozumieć pojęcie „ciepło” musimy rozumieć co to jest „zimno = nie ciepło”.
Dokładnie o tym jest prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p w naszym Wszechświecie.

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~p)
p<==>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Twierdzenie proste:
A.
Jeśli rozpoznawalne jest pojęcie p to na pewno => rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p=>~p =1
Rozpoznawalność pojęcia p jest warunkiem wystarczającym => dla rozpoznawalności pojęcia ~p

Twierdzenie odwrotne:
C.
Jeśli rozpoznawalne jest pojęcie ~p to na pewno => rozpoznawalne jest pojęcie p
~p=>p =1
Rozpoznawalność pojęcia ~p jest warunkiem wystarczającym => dla rozpoznawalności pojęcia p

Zachodzący warunek wystarczający => w dwie strony oznacza równoważność:
p<==>~p = (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1
Nie jest to klasyczna równoważność <=> w której chodzi o tożsamość zbiorów np. twierdzenie Pitagorasa. Z tego powodu tożsamość wiedzy (równoważność wiedzy) oznaczamy innym symbolem <==>.

Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia „pies” jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w Uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie nie pies (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies (~P) to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.

Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0

Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym Uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego Uniwersum i od tej pory należy ono do naszego Uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom. Przykładowo ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.

Definicja wnioskowania:
Wnioskowanie to wyciągnięcie wniosków ze znanych faktów.

Zuzia (lat 5) do Jasia (lat 5).
Jasiu, czy masz pieska?
Jaś:
Tak
Zuzia:
Z faktu że masz pieska wnioskuję, iż twój piesek ma cztery łapy.
Jaś:
Nie ma czterech łap bo wilk mu odgryzł jedną łapkę

W tym momencie matematyczne wnioskowanie Zuzi szlag trafił. Oczywiście wiemy, że pies kaleki to też pies, ale z logiki musimy go usunąć z przyczyn podanych w dialogu.
Z tego samego powodu w logice zakładamy iż wszyscy ludzie mówią prawdę. Oczywiście wiemy że człowiek może kłamać do woli, logika jest po to by wykryć wszelkie kłamstwa.


3.7 Prawa Prosiaczka

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
p - logika dodatnia bo brak przeczenia „~”
~p - logika ujemna bo jest przeczenie „~”

Prawa Prosiaczka to matematyczny związek między logiką dodatnią (bo p) i logiką ujemną (bo ~p).

Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)

Zauważmy, że niezależnie czy jesteśmy w logice dodatniej (p), czy ujemnej (~p) znaczenie zera i jedynki jest identyczne:
1 = prawda
0 = fałsz
W algebrze Kubusia logika zaszyta jest w symbolach (p, ~p) a nie w zerach i jedynkach.

Dowód praw Prosiaczka:
Udajmy się w tym celu do przedszkola, to jest właściwe miejsce dla dowodu poprawności matematycznej praw Prosiaczka (początki nauki języka).

Oznaczmy symbolicznie:
P = [pies] =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję pojęcia ~P, jako zbioru będącego uzupełnieniem pojęcia „pies” do dziedziny.
~P=[ZWZ-pies] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
W szczególności:
~P = [koza] =1

Scenka:
Tata w ZOO na spacerze ze swoim 3-letnim synkiem, Jasiem.

Jaś pokazuje paluszkiem psa i mówi:
A1.
To jest pies
P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)

Tata:
… a może to nie pies?
Jaś:
A2.
Fałszem jest że to nie jest pies.
~P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (~P)

Doskonale widać że zdania A1 i A2 są tożsame:
A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)

Następnie Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
Patrz tata!
B1.
To nie jest pies
~P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (~P)

Tata:
… a może to jednak pies?

B2.
Tata!
Fałszem jest że to jest pies!
P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)

Doskonale widać że zdania B1 i B2 są tożsame:
B1=B2

Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)

Doskonale widać, że prawo Prosiaczka działa w świecie zdeterminowanym, gdzie wszystko jest w 100% wiadome. W świecie zdeterminowanym jeśli Jaś pokazuje psa to nie ma wyboru, musi ustawić symbol P na wartość logiczną 1.
P=1 - prawdą jest (=1) że widzę psa
Jaś nie może tu ustawić:
P=0 - fałszem jest (=0) że widzę psa
W logice symbol P jest stałą symboliczną, której wartości logicznej nie możemy zmienić.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol (np. P - pies) którego wartość logiczna jest znana z góry i której to wartości logicznej nie jesteśmy w stanie zmienić.

Sprawdźmy czy prawa Prosiaczka działają także w świecie niezdeterminowanym gdzie nic nie jest z góry przesądzone, czyli nie znamy z góry wartości logicznych zmiennych binarnych. Oczywisty brak determinizmu to zdania w czasie przyszłym.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol (np. K - jutro pójdę do kina) którego wartość logiczna jest nieznana w chwili wypowiadania zdania.

Oznaczmy symbolicznie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A1.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie matematycznie tożsame:
A2.
Fałszem będzie (=0) że skłamię (~Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=0 <=> K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B: ~Y=~K
stąd mamy:
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B1.
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1

Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)

Matematycznie zachodzi:
A=A1=A2 # B=B1=B2
A: Y=K
B: ~Y=~K
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y = K = ~(~K)

Mamy tu sytuację fundamentalnie różną niż w przypadku Jasia w ZOO, bo operujemy zmiennymi binarnymi a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.

Doskonale widać że prawa Prosiaczka działają w świecie niezdeterminowanym, gdzie wszystko może się zdarzyć.
I.
W świecie niezdeterminowanym, jeśli wypowiemy zdanie:
W1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
To wartość logiczna zmiennych Y i K nie jest nam znana z góry.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol (np. Y - jutro pójdę do kina) którego wartość logiczna jest nieznana w chwili wypowiadania zdania.

Pojutrze może zajść cokolwiek scenariusz A albo scenariusz B.

Scenariusz A:
A.
Wczoraj byłem w kinie
Y=K
co matematycznie oznacza:
A1.
Prawdą jest (=1) że dotrzymałem słowa bo wczoraj byłem w kinie (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
A2.
Fałszem jest (=0) że skłamałem, bo wczoraj byłem w kinie:
Y=0 <=> K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)

albo
Pojutrze możemy stwierdzić coś fundamentalnie innego.

Scenariusz B:
B.
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
B1.
Prawdą jest (=1) że skłamałem (~Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem jest (=0) że dotrzymałem słowa (Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)

II.
W świecie niezdeterminowanym równie dobrze możemy wypowiedzieć zdanie:
W2.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Zadanie domowe:
Wzorując się na zdaniu W1 rozpisać wszystkie możliwe scenariusze przyszłości, scenariusz A albo scenariusz B.

Prawa Prosiaczka działają genialnie zarówno w świecie zdeterminowanym, jak i niezdeterminowanym, możemy je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń, działają wszędzie.

Definicja aksjomatu:
Aksjomat to definicja powszechnie rozumiana i stosowana, nie budząca niczyich wątpliwości

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszystkie 5-cio latki.
Czy jest lepszy argument dla uznania ich poprawności matematycznej?


3.8 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Rozważmy zbiór jednoelementowy p:
p=[1,2]

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~p)

Na mocy tego prawa dziedzina musi być zbiorem szerszym od zbioru p.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4] =1 (zbiór pełny)
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

I.
Prawo redukcji elementów zbioru

Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.

II.
Zero jedynkowy fundament algebry Kubusia:

~D=[] - zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []
~[]=D - zaprzeczeniem zbioru pustego [] jest dziedzina D
D=1 - dziedzina
[] =0 - zbiór pusty
stąd mamy:
1=~0
0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] = [1,2,3,4] =1 - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

III.
Prawo podwójnego przeczenia

p=~(~p)
Dowód:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
stąd:
p=~(~p)
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

II.
Fundament algebry Kubusia:

p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)

III.
Zero to element neutralny w alternatywie (sumie logicznej)

p+0 =p
p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p
Stąd: 0 - element neutralny dla sumy logicznej
p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

IV.
Jeden to element neutralny w koniunkcji (iloczynie logicznym)

p*1=p
p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p
Stąd: 1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
p*0 = [1,2]*[] =0

V.
Prawa pochłaniania:

p+p =p
p*p =p
Dowód na naszym przykładzie:
p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p
p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p

Prawa maszynowe (zero-jedynkowe) w zbiorach.

VI
Suma logiczna (alternatywa) zbiorów:

1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

VII
Iloczyn logiczny (koniunkcja) zbiorów:

1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)


4.0 Operatory jednoargumentowe

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu układu

W operatorze jednoargumentowym mamy jedno wejście p na którym możemy wymuszać wyłącznie dwa stany 0 i 1, zapisując odpowiedź układu na wyjściu Y
Wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych jest cztery.
Kod:

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe
   p  Y=p  Y=~p  Y=1  Y=0
A: 1   =1   =0    =1   =0
B: 0   =0   =1    =1   =0
        1    2     3    4


4.1 Operator transmisji

Kod:

Operator transmisji
Zero-jedynkowa definicja |Symboliczna definicja |Co matematycznie oznacza
operatora transmisji     |operatora transmisji  |
   p ~p  Y=p ~Y=~p       |                      |
W: 1  0  =1   =0         | Y= p                 | Y=1 <=> p=1
U: 0  1  =0   =1         |~Y=~p                 |~Y=1 <=>~p=1
   1  2   3    4           5  6                   7       8

Prawa Prosiaczka widać w liniach W i U:
W: (Y=1) = (~Y=0)
W: (p=1) = (~p=0)
U: (~Y=1) = (Y=0)
U: (~p=1) = (p=0)
W logice matematycznej (tzn. w naturalnej logice człowieka) prawda (=1) jest domyślna, stąd jedynki z prawej strony tożsamości Prosiaczka możemy pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Nie możemy tego zrobić z zerami widocznymi po prawej stronie tożsamości, stąd prawe strony tożsamości Prosiaczka nie są używane w logice matematycznej.

Prawo Prosiaczka:
W1: (p=1) <=> W2: (~p=0)
Równoważność bo w linii W1234 mamy wyłącznie dwie wartości p i ~p.
Prawo Prosiaczka:
(~p=0) = (p=1)
Podstawiając do W2 mamy:
W1: (p=1) = W2: (p=1)
cnd
Interpretacja w zbiorach:
W1: (p=1)
Prawdą jest (=1) że element należy do zbioru p.
W2: (~p=0)
Fałszem jest (=0) że element należy do zbioru ~p.
Element zbioru musi należeć albo do zbioru p albo do ~p, stąd:
W1=W2

Z kolumny 3 odczytujemy:
Y=1 <=> Y=0
Równoważność, bo w kolumnie 3 mamy wyłącznie dwie wartości 0 i 1.
Dla prawej strony korzystamy z prawa Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
stąd:
(Y=1) = (~Y=1)
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy prawo rozpoznawalności pojęcia Y:
Znamy funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znamy funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)(~Y=>Y)
Dowód:
Twierdzenie proste:
Jeśli znam funkcję logiczną Y=p to na pewno => znam funkcję logiczną ~Y=~p (dwustronna negacja)
Y=p => ~Y=~p
Twierdzenie odwrotne:
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y=~p to na pewno => znam funkcję logiczną Y=p (dwustronna negacja)
~Y=~p => Y=p

Definicję symboliczną operatora transmisji odczytujemy bezpośrednio z definicji zerojedynkowej.
Operator transmisji to układ równań logicznych W i U:
W.
Logika dodatnia (bo Y)
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie W dwustronnie:
U.
Logika ujemna (bo ~Y):
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo podwójnego przeczenia w logice dodatniej (bo Y):
Y = p = ~(~p)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy:
~Y = ~p = ~(p) = ~p

Udajmy się do przedszkola, to jest właściwe miejsce poznawania naturalnej logiki matematycznej człowieka.
Pani:
W.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1).

Zuzia do Jasia (oboje 5 lat):
… a kiedy Pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zdania W
U: ~Y=~K
Jaś:
U.
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że Pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1


4.2 Operator negacji

Kod:

Operator negacji
Zero-jedynkowa definicja |Symboliczna definicja |Co matematycznie oznacza
operatora negacji        |operatora transmisji  |
   p ~p  Y=~p ~Y=p       |                      |
W: 0  1  =1   =0         | Y=~p                 | Y=1 <=>~p=1
U: 1  0  =0   =1         |~Y= p                 |~Y=1 <=> p=1

Definicję symboliczną operatora negacji odczytujemy bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej.
Operator negacji to układ równań logicznych:
W.
Y=~p - logika dodatnia (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie W dwustronnie:
U.
~Y=p - logika ujemna (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy:
Y = ~p = ~(p) = ~p
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo podwójnego przeczenia w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)

Udajmy się do przedszkola.
Pani:
W.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K - logika dodatnia (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).

Zuzia do Jasia:
… a kiedy Pani skłamie?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma):
U: ~Y=K
Jaś:
U.
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że Pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=1 <=> ~K=1


4.3 Równanie ogólne operatorów transmisji i negacji

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Operator transmisji:  ## Operator negacji:
W1: Y= p              ## W2: Y=~p
U1:~Y=~p              ## U2:~Y= p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Uwaga:
Znaczek różne na mocy definicji (##) oznacza, że parametry formalne p i Y z jednej strony znaku ## nie mają nic wspólnego z parametrami formalnymi p i Y z drugiej strony znaku ##.

Szczegółowa budowa równania ogólnego operatorów transmisji i negacji:
Kod:

Definicja operatora transmisji      ## Definicja operatora negacji
W1: Y=p                             ## W2: Y=~p
co matematycznie oznacza:           ## co matematycznie oznacza:
W1: Y=1 <=> p=1                     ## W2: Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?               ## a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie                ## Negujemy dwustronnie
U1: ~Y=~p                           ## U2: ~Y=p
co matematycznie oznacza:           ## co matematycznie oznacza:
U1: ~Y=1 <=> ~p=1                   ## U2: ~Y=1 <=> p=1
 Y - logika dodatnia (bo Y)         ##  Y - logika dodatnia (bo Y)
~Y - logika ujemna (bo ~Y)          ## ~Y - logika ujemna (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej: ## Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)                             ## Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:            ## Podstawiając C i D mamy:
Y=p = ~(~p)                         ## Y=~p = ~(p) = ~p
Związek logiki ujemnej i dodatniej  ## Związek logiki ujemnej i dodatniej:
~Y = ~(Y)                           ## ~Y=~(Y)
Podstawiając A i B mamy:            ## Podstawiając C i D mamy:
~Y=~p = ~(p) = ~p                   ## ~Y=p = ~(~p) =p
gdzie:
## - różne na mocy definicji



4.4 Operator chaosu
Kod:

Operator chaosu
Zero-jedynkowa definicja |Symboliczna definicja |Co matematycznie oznacza
operatora chaosu         |operatora chaosu      |
   p ~p  Y=1 ~Y=~[1]=0   |        Y             |
A: 1  0  =1   =0         | Ya= p =1             | Ya=1<=> p=1
B: 0  1  =1   =0         | Yb=~p =1             | Yb=1<=>~p=1

Kidy zajdzie Y?
Y=Ya+Yb
W.
Y = p+~p =1
Kiedy zajdzie ~Y?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*p
~Y=p*~p =0

Pani w przedszkolu:
Jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do kina
Y=~K+K =1 - logika dodatnia (bo Y)
Spójnik „lub”(+) jest przemienny tzn. możemy zamieniać K i ~K miejscami nie tracąc na jednoznaczności.
Zauważmy, że cokolwiek jutro Pani nie zrobi to dotrzyma słowa, nie ma tu żadnych szans na kłamstwo, bo!
Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
~Y = ~K*K =0
Jak widzisz Zuzia, pani nie ma najmniejszych szans na kłamstwo bo nie może ustawić:
~Y=1 - jutro skłamię

Zauważmy, że wszystko jest tu genialnie zgodne z prawem Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
Pani mówi prawdę zarówno w logice dodatniej (Y=1) jak i w logice ujemnej (~Y=0)

Podsumowując:
Operator chaosu = zdanie zawsze prawdziwe


4.5 Operator śmierci

Kod:

Operator śmierci
Zero-jedynkowa definicja |Negacja               |Symboliczna definicja
operatora śmierci        |operatora śmierci     |operatora śmierci
   p ~p  Y=0 ~Y=~[0]=1   |      ~Y=~Ya+~Yb=p+~p |
A: 1  0  =0   =1         |~Ya= p=1              |Y=~(p+~p)=~p*p =0
B: 0  1  =0   =1         |~Yb=~p=1              |

Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~Ya+~Yb
~Y = p+~p =1
… a kiedy zajdzie Y?
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = ~p*p =0
Y = p*~p =0

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
Zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina i pójdziemy do kina
Y=~K*K =0
Spójnik „i”(*) jest przemienny tzn. możemy zamieniać K i ~K miejscami nie tracąc na jednoznaczności.
Zauważmy, że to zdanie jest wewnętrznie sprzeczne, zatem jest fałszywe, stąd w wyniku 0 (fałsz).
Nadawca jest tu ewidentnym kłamcą (Y=0)
Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani dotrzyma słowa?
Jaś:
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójnika:
~Y=K+~K =1
B.
Pani skłamie, jeśli jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
~Y=K+~K =1
Jak widzisz Zuzia pani dalej jest kłamcą bo mamy wymuszenie matematyczne:
~Y=1 - pani skłamie
W zdaniu A pani jest kłamczuchą, w zdaniu B także, nie ma tu miejsca na dotrzymanie słowa.

Zauważmy, że wszystko jest tu genialnie zgodne z prawem Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Pani jest tu kłamcą zarówno w logice dodatniej (Y=0) jak i w logice ujemnej (~Y=1)

Podsumowując:
Operator śmierci = zdanie zawsze fałszywe


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 15:16, 30 Paź 2015, w całości zmieniany 14 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 7:21, 15 Wrz 2015    Temat postu:

Spis treści
5.0 Operatory logiczne dwuargumentowe 1
5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*) 2
5.2 Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 5
5.3 Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 7
5.4 Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*) 9
5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 10
6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 12
6.1 Prawa De Morgana 14
6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 15
6.3 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym 19
6.4 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej 20
6.5 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych 23
6.6 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 28
6.7 Zastosowanie definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) w praktyce 30

5.0 Operatory logiczne dwuargumentowe

Algebra Boole’a to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, rachunek zero-jedynkowy oraz równania algebry Boole’a wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Człowiek w swojej naturalnej logice matematycznej posługuje się wyłącznie równaniami algebry Boole’a, zgodnymi z naturalną logiką każdego 5-cio latka.
Poprawność dowolnego równania logicznego najprościej sprawdzić rachunkiem zero-jedynkowym.

Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu cyfrowego (binarnego)
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa (|+, |*, <=>, |=> etc)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q tego układu

Wszystkie możliwe definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a (dwuargumentowe):
Kod:

     OR ~(OR)  AND ~(AND)
p q  |+ ~(|+)  |*   ~(|*)
1 1   1    0    1     0
1 0   1    0    0     1
0 0   0    1    0     1
0 1   1    0    0     1

Kod:

p q <=> ~(<=>)  |=> ~(|=>) |~> ~(|~>)  |~~>  ~(|~~>) P ~P   Q ~Q
1 1  1     0     1     0    1     0     1       0    1  0   1  0
1 0  0     1     0     1    1     0     1       0    1  0   0  1
0 0  1     0     1     0    1     0     1       0    0  1   0  1
0 1  0     1     1     0    0     1     1       0    0  1   1  0


5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*)

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
-----------
D: 0  0  =0
   1  2   3

Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123, co doskonale widać w tabeli.

Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
-----------
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   3

Definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie linia A123, co doskonale widać w tabeli.

Definicja zero-jedynkowa operatora OR(|+):
Kod:

   p  q  Y=p+q | ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1  1  =1    |  0  0  =0
B: 1  0  =1    |  0  1  =0
C: 0  1  =1    |  1  0  =0
---------------|----------
D: 0  0  =0    |  1  1  =1
   1  2   3       4  5   6

I Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Tabela ABCD123:
Na mocy I prawa Sowy definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie obszar ABC123:
W: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Pozostałe linie definicji spójnika „lub”(+) uzupełniamy zerami do pełnego operatora logicznego ABCD123.

Tabela ABCD456:
Na mocy I prawa Sowy definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie linia D456.
U: ~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja operatora logicznego OR(|+):
Operator logiczny OR(|+) to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q

Wniosek:
Operator OR(|+) to wszystkie cztery linie ABCD123, natomiast spójnik „lub”(+) to na mocy I prawa Sowy tylko i wyłącznie obszar ABC123.

Zauważmy, że zależność między tabelami ABCD123 i ABCD456 ma charakter równoważnościowy.

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to pewne wynikanie => w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

II Prawo Sowy:
Znam dowolną funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)

Dowód:
Twierdzenie Sowy proste (TSP):
Jeśli znam funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisującą dowolną tabelę zero-jedynkową to na pewno => znam funkcję logiczną ~Y
Y=>~Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: Y=p+q
Teza: ~Y=~p*~q

Prawdziwe jest też twierdzenie Sowy odwrotne (TSO):
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y w spójniach „lub”(+) i „i”(*) to na pewno znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: ~Y=~p*~q
Teza: Y=p+q
Prawdziwość TSP i TSO wymusza równoważność.

Podsumowując:
Na mocy II prawa Sowy poprawny jest opis wszelkich tabel zero-jedynkowych wyłącznie spójnikami „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka, bo jest matematycznie jednoznaczny.

Definicja zero-jedynkowa operatora AND(|*):
Kod:

   p  q  Y=p*q | ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1  1  =1    |  0  0  =0
---------------|----------
B: 1  0  =0    |  0  1  =1
C: 0  1  =0    |  1  0  =1
D: 0  0  =0    |  1  1  =1
   1  2   3       4  5   6

I Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Tabela ABCD123:
Na mocy I prawa Sowy definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie linia A123:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Pozostałe linie definicji operatora AND (BCD123) uzupełniamy zerami do pełnego operatora logicznego.

Tabela ABCD456:
Na mocy I prawa Sowy definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie obszar BCD456.
~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Wniosek:
Operator AND(|*) to wszystkie cztery linie ABCD123, natomiast spójnik „i”(*) to na mocy I prawa Sowy tylko i wyłącznie linia A123.

Zauważmy, że zależność między tabelami ABCD123 i ABCD456 ma charakter równoważnościowy.

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to pewne wynikanie => w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

II Prawo Sowy:
Znam dowolną funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)

Dowód:
Twierdzenie Sowy proste (TSP):
Jeśli znam funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisującą dowolną tabelę zero-jedynkową to na pewno => znam funkcję logiczną ~Y
Y=>~Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: Y=p*q
Teza: ~Y=~p+~q

Prawdziwe jest też twierdzenie Sowy odwrotne (TSO):
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y w spójniach „lub”(+) i „i”(*) to na pewno znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: ~Y=~p+~q
Teza: Y=p*q
Prawdziwość TSP i TSO wymusza równoważność.

Podsumowując:
Na mocy II prawa Sowy poprawny jest opis wszelkich tabel zero-jedynkowych wyłącznie spójnikami „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka, bo jest matematycznie jednoznaczny.


5.2 Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Zero-jedynkowa definicja operatora OR(|+):
Kod:

Definicja zero-jedynkowa        |Definicja        |Co matematycznie
operatora OR(|+)                |w spójnikach     |oznacza
                                |”lub”(+) i „i”(*)|
   p  q ~p ~q  Y=p+q  ~Y=~p*~q  |                 |
A: 1  1  0  0  =1      =0       | p* q= Ya        | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1  =1      =0       | p*~q= Yb        | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0  =1      =0       |~p* q= Yc        | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
----------------------------------------------------------------------
D: 0  0  1  1  =0      =1       |~p*~q=~Yd        |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
   1  2  3  4   5       6         7  8  9           a       b      c

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Prawo Sowy jest tu spełnione bo:
Nagłówek Y=p+q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD125
Nagłówek ~Y=~p*~q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD346

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

W1.
Bezpośrednio z tabeli ABC125 odczytujemy:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Funkcję matematycznie tożsamą opisuje obszar ABC789:
W1A.
Y=Ya+Yb+Yc
Y= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Dowód: bezpośredni odczyt z tabeli ABC12345

… a kiedy zajdzie ~Y?
Bezpośrednio z tabeli ABCD12346 odczytujemy:
U1.
~Y=~Yb
~Y= D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1

Dowód matematycznie tożsamy:
Przejście z funkcją W1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1.
~Y= D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1

Definicja operatora OR w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to układ równań logicznych:
W1: Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
U1: ~Y= ~p*~q

Ważne:
Zauważmy, że tabelę ABCDabc możemy interpretować jako sprowadzenie zmiennych z nagłówka tabeli zero-jedynkowej ABC123456 do jedynek.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając W1 i U1 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając U1 i W1 mamy prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Właściwym miejscem do poznawania logiki matematycznej w praktyce jest przedszkole.
Pani:
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)

Zuzia do Jasia (lat 5):
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1).


5.3 Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Zero-jedynkowa definicja operatora AND(|*):
Kod:

Definicja zero-jedynkowa        |Definicja        |Co matematycznie
operatora AND(|*)               |w spójnikach     |oznacza
                                |”lub”(+) i „i”(*)|
   p  q ~p ~q  Y=p*q  ~Y=~p+~q  |                 |
A: 1  1  0  0  =1      =0       | p* q= Ya        | Ya=1<=> p=1 i  q=1
----------------------------------------------------------------------
B: 0  0  1  1  =0      =1       |~p*~q=~Yb        |~Yb=1<=>~p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0  =0      =1       |~p* q=~Yc        |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 1  0  0  1  =0      =1       | p*~q=~Yd        |~Yd=1<=> p=1 i ~q=1
   1  2  3  4   5       6         7  8  9           a       b      c

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.

Prawo Sowy jest tu spełnione bo:
Nagłówek Y=p*q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD125
Nagłówek ~Y=~p+~q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD346

Kolejność linii w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest bez znaczenia, przestawiliśmy je w stosunku do omówionego już operatora OR tylko i wyłącznie dlatego by mieć ładniejsze (co nie znaczy lepsze) równania algebry Boole’a.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

W2.
Bezpośrednio z tabeli ABC125 odczytujemy:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Funkcję matematycznie tożsamą opisuje linia A789:
W2A.
Y=Ya
Y= A: p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
Dowód: bezpośredni odczyt z tabeli ABC12345

… a kiedy zajdzie ~Y?
Bezpośrednio z tabeli ABCD346 odczytujemy:
U2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w obszarze BCD346.

Zauważmy, że bezpośrednio z funkcji U2 możemy otrzymać funkcję W2:
Mamy:
U2: ~Y=~p+~q
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
stąd:
W2: Y=p*q

Funkcję matematycznie tożsamą widać w tabeli symbolicznej ABCD789:
U2A.
~Y=~Ya+~Yb+~Yc
stąd:
~Y= B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Dowód:
Bezpośredni odczyt z tabeli BCD12345 uwidoczniony w zapisie symbolicznym BCD789.

Definicja operatora AND w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to układ równań logicznych:
W2: Y = p*q
U2: ~Y= ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Ważne:
Zauważmy, że tabelę ABCDabc możemy interpretować jako sprowadzenie zmiennych z nagłówka tabeli zero-jedynkowej ABC123456 do jedynek.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając W2 i U2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając U2 i W2 mamy prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Właściwym miejscem do poznawania logiki matematycznej w praktyce jest przedszkole.
Pani:
W.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)

Zuzia do Jasia (lat 5):
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1).


5.4 Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*)

Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*):
Kod:

Operator OR(|+)                      ## Operator AND(|*)
Definicja symboliczna operatora OR   ## Definicja symboliczna operatora AND
W1: Y=p+q                            ## W2: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)  ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
U1: ~Y=~p*~q                         ## U2: ~Y=~p+~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.

Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr


5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków

Poprawna logika matematyczna to naturalna logika każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając. Wynika z tego że dowolne logiczne myślenie człowieka musi mieć przełożenie 1:1 na matematykę, co można łatwo udowodnić udając się do przedszkola gdzie 5-cio latki bez problemu zaprojektują nam najprawdziwsze sterowanie windą dwoma równoważnymi metodami, posługując się logiką dodatnią i ujemną.

Zacznijmy zatem od wizyty w przedszkolu, w 100-milowym lesie:
Pani:
Powiedzcie mi dzieci co trzeba zrobić aby, jechać windą?
Jaś:
A.
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
J = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Pani:
Brawo Jasiu!
Zatem winda pojedzie (J=1) tylko wtedy, gdy zamkniemy drzwi (D=1) i wciśniemy przycisk piętro (P=1)

Powiedzcie mi teraz dzieci kiedy winda na pewno nie pojedzie?
Zuzia:
B.
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1

Zauważmy, że między rozumowaniem Jasia i Zuzi zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
Jaś:
J=D*P
Zuzia:
~J=~D+~P

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
J = ~(~J)
Podstawiając A i B mamy tożsamość matematyczną, prawo de Morgana:
J = D*P = ~(~D+~P)
Fizyczna realizacja sterowania Jasia to banalna bramka AND(*) o definicji:
Y = p*q
Tożsama, fizyczna realizacja sterowania Zuzi to trzy negatory „~” plus bramka OR(+):
Y = ~(~p+~q)

Jak widzimy, Jaś zaprojektował sterowanie windą w logice dodatniej (bo J), natomiast Zuzia zaprojektowała sterowania windą w logice ujemnej (bo ~J).

Dokładnie w tak banalny sposób elektronicy praktycy projektują wszelkie sterowania w naturalnej logice człowieka, w logice bramek logicznych:
1.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „i”(*) używamy bramki AND(*)
2.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „lub”(+) używamy bramki OR(+)

To jest cała filozofia projektowania układów logicznych w naturalnej logice człowieka.
Zauważmy, że Jasia kompletnie nie interesuje sytuacja ~J, natomiast Zuzi nie interesuje sytuacja J.

Zobaczmy to wszystko w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

   D  P J=D*P  ~D ~P ~J=~D+~P
A: 1  1  =1     0  0   =0
B: 1  0  =0     0  1   =1
C: 0  1  =0     1  0   =1
D: 0  0  =0     1  1   =1
   1  2   3     4  5    6

Jaś:
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
J = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Zuzia:
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1

Doskonale widać, że:
1.
Jasia interesuje tylko i wyłącznie spójnik „i”(*) w tabeli zero-jedynkowej ABCD123, czyli wynikowa jedynka w tabeli operatora AND (linia A123).
2.
Zuzię interesuje tylko i wyłącznie spójnik „lub”(+) w tabeli zero-jedynkowej ABCD456, czyli wynikowe jedynki w tabeli operatora OR (obszar BCD456).

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Jak widzimy prawem Sowy perfekcyjnie posługuje się każdy 5-cio latek:
Symboliczna definicja spójnika „i”(*) to zaledwie jedna linia w tabeli zero-jedynkowej operatora AND (A123):
J=D*P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> J=1 i P=1

Symboliczna definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie trzy linie w tabeli zero-jedynkowej operatora OR (BCD456):
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej Jasia i Zuzi.

Definicje symboliczne spójników „i”(*) i „lub”(+) są tu kluczowe.
Definicje maszynowe tych spójników to kompletne tabele zero-jedynkowe jak w tabelach wyżej (operatory logiczne). Linie z zerami w wyniku są martwe i nie biorą udziału w logice, potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.


6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - spójniki logiczne

Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Kod:

Definicja operatora OR dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p+q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =1
C: 0  1   =1
D: 0  0   =0
   1  2    3

Kod:

Definicja operatora AND dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p*q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =0
C: 0  1   =0
D: 0  0   =0
   1  2    3

Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa

W klasycznym rachunku zero-jedynkowym nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego, czyli nie interesują nas cząstkowe równania logiczne opisujące poszczególne linie operatora, które do tej pory poznaliśmy.
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy to komputerowe (czyli bezmyślne) przemiatanie zer i jedynek na wszelkie możliwe sposoby, gdzie tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzącego prawa logicznego. To przemiatanie jest poprawne i ma sens wtedy i tylko wtedy gdy poprawnie matematycznie opisujemy wynikające z tego równania matematyczne, czego ziemscy matematycy niestety nie potrafią, bowiem nie znają absolutnie kluczowych pojęć w logice matematycznej, logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y).

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.


6.1 Prawa De Morgana

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =1     =0       0  1   =0      =1
C: 0 1  =1     =0       1  0   =0      =1
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe 3 i 8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe 4 i 7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Bezpośrednio z A1 i A2 wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

A1: Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
A2: ~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1  =1     =0       0  0   =0      =1
B: 1 0  =0     =1       0  1   =1      =0
C: 0 1  =0     =1       1  0   =1      =0
D: 0 0  =0     =1       1  1   =1      =0
   1 2   3      4       5  6    7       8

Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Bezpośrednio z powyższego wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B2: ~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)


6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3


Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1  0 1 0  1   1   1
B: 0  1 1 0  1   0   1
   1  2 3 4  5   6   7


Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1  0 1 0  1   0   0
B: 0  1 1 0  0   0   0
   1  2 3 4  5   6   7

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd

Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.


6.3 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji prostej |=>:
Kod:

   p q p|=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =1


Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji odwrotnej |~>:
Kod:

   p q p|~>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0


I prawo Kubusia:
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q)
p|=>q = ~p|~>~q

Dowód formalny I prawa Kubusia:
Kod:

   p q p|=>q  ~p ~q ~p|~>~q
A: 1 1  =1     0  0   =1
B: 1 0  =0     0  1   =0
C: 0 0  =1     1  1   =1
D: 0 1  =1     1  0   =1
   1 2   3     4  5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p|=>q = ~p|~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 to definicja implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Na wyjściu p|=>q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0, inaczej p|=>q=1
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 to definicja implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~q):
Na wyjściu ~p|~>~q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy ~p=0 i ~q=1, inaczej ~p|~>~q=1

II prawo Kubusia:
Implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą |=> w logice ujemnej (bo ~q)
p|~>q = ~p|=>~q

Dowód formalny II prawa Kubusia:
Kod:

   p q p|~>q  ~p ~q ~p|=>~q
A: 1 1  =1     0  0   =1
B: 1 0  =1     0  1   =1
C: 0 0  =1     1  1   =1
D: 0 1  =0     1  0   =0
   1 2   3     4  5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p|~>q = ~p|=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 to definicja implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo q):
Na wyjściu p|~>q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1, inaczej p|~>q=1
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 to definicja implikacji prostej |=> w logice ujemnej (bo ~q):
Na wyjściu ~p|=>~q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy ~p=1 i ~q=0, inaczej ~p=>~q=1

Matematycznie zachodzi równanie ogólne implikacji:
L: p|=>q = ~p|~>~q ## P: p|~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tu sprawa jest bezdyskusyjna bowiem w definicjach implikacji prostej |=> i odwrotnej |~> na wejściach p i q mamy identyczną matrycę zero-jedynkowych wymuszeń i inne kolumny wynikowe, zatem znaku tożsamości matematycznej [=] absolutnie tu nie możemy postawić.

W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.
Dowód formalny:
Kod:

   p q p|=>q   q p  q|=>p
A: 1 1  =1     1 1   =1
B: 1 0  =0     0 1   =1
C: 0 0  =1     0 0   =1
D: 0 1  =1     1 0   =0
   1 2   3     4 5    6

Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p|=>q # q|=>p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p|=>q jest prawdziwe to zdanie q|=>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).

Praca domowa:
Udowodnij, że nie zachodzi przemienność argumentów w implikacji odwrotnej p|~>q.


6.4 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej

Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możliwe jest utworzenie dwóch równań logicznych:
Y=? - równanie w logice dodatniej (bo Y) opisujące wynikowe jedynki
~Y=? - równanie w logice ujemnej (bo ~Y) opisujące wynikowe zera

Zobaczmy to na przykładzie operatora równoważności:
Kod:

Definicja      |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
               |jedynek
   p  q   Y    |
A: 1  1  =1    | p* q = Ya
B: 1  0  =0    | p*~q =~Yb
C: 0  0  =1    |~p*~q = Yc
D: 0  1  =0    |~p* q =~Yd
   1  2   3      4  5   6

I.
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

II.
Równanie opisujące wynikowe zera w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 również tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=0 <=> B: p=1 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Wniosek:
Tabelę zero-jedynkową równoważności opisuje układ równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
I. Y = p*q + ~p*~q
II. ~Y = p*~q + ~p*q

Przechodzimy z równaniem II do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
II. ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Negacja zmiennych i wymiana spójników:
III. Y = (~p+q)*(p+~q)

Przechodzimy z równaniem I do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
I. Y = (p*q) + (~p*~q)
Negacja zmiennych i wymiana spójników:
IV. ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Matematycznie zachodzi:
I. Y = III. Y
stąd:
I. Y = p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi również:
II. ~Y = IV. ~Y
stąd:
II. ~Y = p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna typu I nosi nazwę funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
I. Y = p*q + ~p*~q - alternatywa koniunkcji

Definicja funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
Funkcja logiczna typu III nosi nazwę funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
III. Y = (~p+q)*(p+~q) - koniunkcja alternatyw

Stąd mamy znane w matematyce twierdzenie:
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy więcej niż jedną wynikową jedynkę i więcej niż jedno wynikowe zero to dla tej tabeli możemy zapisać dwie funkcje alternatywno-koniunkcyjne (I i II) oraz tożsame z nimi dwie funkcje koniunkcyjno-alternatywna (I=III i II=IV).

Dowód tożsamości I=III:
I. Y = p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Mnożymy wielomian z prawej strony:
Y = (~p*q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
;p*~p=0
;p+x=0
stąd:
Y = ~p*q + q*p
Y = p*q + ~p*~q
cnd
Dowód tożsamości II=IV pozostawiam czytelnikowi.


6.5 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

W dowolnej tabeli zero-jedynkowej zmienne z nagłówka tabeli możemy sprowadzać do jedynek otrzymując równania alternatywno-koniunkcyjne, albo do zera otrzymując równania koniunkcyjno-alternatywne.

Zobaczmy to na przykładzie tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Kod:

Definicja      |Sprowadzenie |Sprowadzenie |Sprawdzenie poprzez
zero-jedynkowa |zmiennych do |zmiennych do |przejście z tabelą ABCD456
równoważności  |jedynek      |zera         |do logiki przeciwnej: Negujemy
               |             |             |zmienne i wymieniamy spójniki
   p  q   Y    |             |             |
A: 1  1  =1    | p* q = Ya   |~p+~q =~Ya   | p* q = Ya
B: 1  0  =0    | p*~q =~Yb   |~p+ q = Yb   | p*~q =~Yb
C: 0  0  =1    |~p*~q = Yc   | p+ q =~Yc   |~p*~q = Yc
D: 0  1  =0    |~p* q =~Yd   | p+~q = Yd   |~p* q =~Yd
   a  b   c      1  2   3      4  5   6      7  8   9

Twierdzenie o tworzeniu równań algebry Boole’a z dowolnych tabel zero-jedynkowych:
1.
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzać wszystkie zmienne do jedynek stosując spójnik „i”(*) w wierszach i spójnik „lub”(+) w kolumnach, co pokazano w tabeli ABCD123:
I.
Y=Ya+Yc
Y= A: p*q + C: ~p*~q
II.
~Y= ~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Alternatywnie:
2.
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzać wszystkie zmienne do zera stosując spójnik „lub”(+) w wierszach i spójnik „i”(+) w kolumnach, co pokazano w tabeli ABCD456
III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
IV.
~Y=~Ya*~Yc
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)

Przy tworzeniu równań cząstkowych dla każdej linii korzystamy z praw Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)

Przykład dla ABCD123 (sprowadzanie zmiennych do jedynek):
W tabeli ABCDabc mamy:
Ba: p=1
stąd w tabeli ABCD123 tylko przepisujemy zmienną p:
B1: p=1
W tabeli ABCDabc mamy:
Bb: q=0
stąd w tabeli ABCD123 korzystamy z prawa Prosiaczka:
B2: ~q=1

Przykład dla ABCD456 (sprowadzanie zmiennych do zera):
W tabeli ABCDabc mamy:
Ba: p=1
stąd w tabeli ABCD456 korzystamy z prawa Prosiaczka:
B4: ~p=0
W tabeli ABCDabc mamy:
Bb: q=0
stąd w tabeli ABCD456 tylko przepisujemy zmienną q:
B5: q=0

Tożsamość tabel ABCD123 i ABCD789 jest dowodem, iż nie ma znaczenia czy zmienne będziemy sprowadzać do jedynek (tabela ABCD123) czy też do zera (tabela ABCD456).

Tabelę ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
I.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
II.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q

Tabelę ABCD456 opisuje układ równań logicznych:
III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
IV.
~Y=~Ya*~Yc
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
Matematycznie zachodzi:
I. Y = III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzi:
II. ~Y = IV. ~Y
~Y= II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym tożsamości:
I. Y =III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Ad I.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
Y= A: p*q+ C: ~p*~q
Kod:

   p  q  ~p ~q  A:Ya=p*q C:Yc=~p*~q  Y=Ya+Yc | p  q  Y=Ya+Yc
A: 1  1   0  0    =1       =0        =1      | 1  1  =1
B: 1  0   0  1    =0       =0        =0      | 1  0  =0
C: 0  0   1  1    =0       =1        =1      | 0  0  =1
D: 0  1   1  0    =0       =0        =0      | 0  1  =0
   1  2   3  4     5        6         7      | 1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Ad III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
Kod:

   p  q  ~p ~q  B:Ya=~p+q D:Yc= p+~q  Y=Yb*Yd | p  q  Y=Yb*Yd
A: 1  1   0  0    =1        =1        =1      | 1  1  =1
B: 1  0   0  1    =0        =1        =0      | 1  0  =0
C: 0  0   1  1    =1        =1        =1      | 0  0  =1
D: 0  1   1  0    =1        =0        =0      | 0  1  =0
   1  2   3  4     5         6         7        1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
Y = (~p+q)*(p+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~p=1 lub q=1) i (p=1 lub ~q=1)
Tożsamość kolumn wynikowych 7 w funkcjach logicznych I i III jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości:
I. Y = III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)

Przejdźmy z funkcją III na postać alternatywno-koniunkcyjną poprzez wymnożenie wielomianów.
Y = (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + p*q + q*~q
Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale widać, że funkcja III jest identyczna jak funkcja I wyżej.
cnd

Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym tożsamości:
II. ~Y = IV. ~Y
~Y=II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Ad II.
Sprawdzenie rachunkiem zero-jedynkowym:
~Y = ~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Kod:

   p  q  ~p ~q  B:~Yb=p*~q  D:~Yd=~p*q  ~Y=~Yb+~Yd | p  q ~Y=~Yb+~Yd
A: 1  1   0  0     =0          =0        =0        | 1  1  =0
B: 1  0   0  1     =1          =0        =1        | 1  0  =1
C: 0  0   1  1     =0          =0        =0        | 0  0  =0
D: 0  1   1  0     =0          =1        =1        | 0  1  =1
   1  2   3  4      5           6         7          1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Ad IV.
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
Kod:

   p  q  ~p ~q  A:~Ya=~p+~q  C:~Yc=p+q  ~Y=~Ya*~Yc | p  q ~Y=~Ya*~Yc
A: 1  1   0  0     =0           =1       =0        | 1  1  =0
B: 1  0   0  1     =1           =1       =1        | 1  0  =1
C: 0  0   1  1     =1           =0       =0        | 0  0  =0
D: 0  1   1  0     =1           =1       =1        | 0  1  =1
   1  2   3  4      5            6        7          1  2   7

Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (p=1 lub q=1)
Tożsamość kolumn wynikowych 7 w funkcjach logicznych II i IV jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości:
II. ~Y = IV. ~Y
stąd:
~Y=II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)

Przejdźmy z funkcją logiczną IV do postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q
Doskonale widać, że funkcja IV jest identyczna jak funkcja II.
cnd

Tożsamości matematyczne I=III oraz II=IV oznaczają, że w logice istotna jest jedna tabela zero-jedynkowa i dwie funkcje postaci alternatywno-koniunkcyjne.
Kod:

Definicja      |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
równoważności  |jedynek
   p  q   Y    |
A: 1  1  =1    | p* q = Ya
B: 1  0  =0    | p*~q =~Yb
C: 0  0  =1    |~p*~q = Yc
D: 0  1  =0    |~p* q =~Yd
   a  b   c      1  2   3

Tabelę zero-jedynkową ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
W.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
U.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Zapiszmy funkcję logiczną W w tabeli zero-jedynkowej:
W: Y = A: p*q + C: ~p*~q
Kod:

   p q ~p ~q A:Ya=p*q C:Yc=~p*~q Y=Ya+Yc | ~Y=~(Y)=~(p*q+~p*~q)
A: 1 1  0  0   =1       =0       =1      |  =0 
B: 1 0  0  1   =0       =0       =0      |  =1
C: 0 0  1  1   =0       =1       =1      |  =0
D: 0 1  1  0   =0       =0       =0      |  =1
   1 2  3  4    5        6        7      |   8

Doskonale widać, że w równaniu W mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
W. Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
W. Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y).
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
U: ~Y = ~(Y)
Podstawiając W mamy:
W. ~Y = ~(Y) = ~(p*q+~p*~q)
Z równania widać, że zmienne w nawiasie sprowadzone są do jedynek względem Y a nie względem ~Y.
Czyli najpierw budujemy funkcję logiczną:
Y=p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
.. a dopiero na końcu negujemy funkcję Y co pokazano w kolumnie 8

Zauważmy, że w funkcji logicznej opisanej kolumną 8 nie mamy wszystkich zmiennych sprowadzonych do jedynek:
~Y = ~(p*q+~p*~q)

Jak poradzić sobie z tym problemem?

Sposób 1.
Najprościej przekształcić prawą stronę korzystając z prawa De Morgana:
IV. ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
IV. ~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (p=1 lub q=1)
Dowód:
Tabela zero-jedynkowa IV wyżej.

Sposób 2.
Mnożymy wielomian IV otrzymując postać alternatywno-koniunkcyjną II:
~Y= (p+q)*(~p+~q)
~Y=p*~p+p*~q + q*~p + q*~q
;p*~p=0
;0+x=x
II. ~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
II. ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Dowód:
Tabela zero-jedynkowa II wyżej.


6.6 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna

Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1

Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1

Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)

Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.

Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1

Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej (logiki człowieka) to po prostu wymnożenie wielomianów.

Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
;q*~q=0
;0+x=x
Y = p*r + p*~q + q*r

Dowód sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka poprzez znalezienie kontrprzykładu.

Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując postać koniunkcyjno-alternatywną:
U1.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjna, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już skłamałem (~Y=1), drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać

Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)

Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)

W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd

Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.

Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.


6.7 Zastosowanie definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) w praktyce

Przykład 6.5.1

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
W.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
Y=A+B+C
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U.
~Y=~A*~B*~C
Stąd mamy odpowiedź:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę ani do Asi (~A=1), ani do Basi (~B=1), ani też do Czesi (~C=1)
~Y=~A*~B*~C
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i ~B=1 i ~C=1
Ze zdania U wynika, że skłamię w jednym jedynym przypadku, gdy jutro nie pójdę do żadnej z dziewczyn. W przeciwnym razie dotrzymam słowa.
Dla trzech zmiennych binarnych możliwych jest osiem różnych przypadków (2^3=8), wynika z tego że dotrzymać słowa mogę aż na 7 możliwych sposobów, natomiast skłamać wyłącznie na jeden sposób. W ogólnym przypadku dotrzymanie słowa (Y=1) i skłamanie (~Y=1) możliwe jest na wiele różnych sposobów, matematycznie to bez znaczenia, logika matematyczna superprecyzyjnie i w 100% pewnie odpowiada na pytanie w jakich przypadkach jutro dotrzymam słowa, a w jakich skłamię.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol którego wartość logiczna nie jest znana

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest znana

W dniu dzisiejszym nasze symbole A, B i C na pewno nie są stałymi binarnymi, bowiem nie znamy ich wartości logicznej (nikt nie zna przyszłości). Skoro nie są stałymi binarnymi to muszą być zmiennymi binarnymi, innej możliwości matematycznej nie ma. Oczywiście możemy się abstrakcyjnie przenieść do pojutrze i symulować różne warianty, co nie zmienia faktu że w dniu dzisiejszym mamy do czynienia ze zmiennymi binarnymi A, B i C o nieznanej wartości logicznej.

Zauważmy, że istotna jest tu informacja kiedy jutro skłamię natychmiast po wypowiedzeniu zdania:
A.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
… by tego kłamstwa uniknąć!

Informacja „kiedy skłamałem”, czyli pojutrze, jest musztardą po obiedzie.
Wynika z tego że istotna jest logika operująca na zmiennych binarnych, których wartości logicznej nie znamy.

Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego

Załóżmy że jest jutro i w naszym przykładzie przed południem byliśmy już u Asi, ale nie byliśmy jeszcze u Basi i Czesi.

Nasze równanie przyjmuje postać:
Y = A+B+C = 1+B+C =1
Oczywiście w tym momencie dotrzymaliśmy słowa, dalsze nasze działania są kompletnie bez znaczenia. Nieistotne są nasze nocne wycieczki do Basi, czy też Czesi.
Tuz po wizycie u Asi rozkład zmiennych i stałych w naszym równaniu jest następujący:
A=1 - byliśmy u Asi, to jest stała symboliczna o wartości logicznej jeden
B=x, C=x - to są zmienne binarne o jeszcze nie znanej wartości logicznej.
Załóżmy że nigdzie więcej nie poszliśmy.
Zauważmy że równo z północą zmienne binarne A i C automatycznie przyjmują wartość logiczną zero.
B=0 - wczoraj nie byliśmy u Basi
C=0 - wczoraj nie byliśmy u Czesi
Po jutrze wszystko jest zdeterminowane, wiemy wszystko:
Y = A+B+C = 1+0+0 =1 - dotrzymaliśmy słowa
W powyższym przykładzie logika matematyczna operuje wyłącznie na nieznanych zmiennych binarnych.

Rozważmy kolejny ciekawy przykład.


Przykład 6.5.2

Poszukujemy mordercę, morderstwa dokonano w Warszawie, mamy 5 podejrzanych, w śledztwie ustalamy że tylko A i B byli w dniu morderstwa w Warszawie.
W tym momencie mamy następujący rozkład zmiennych i stałych binarnych.
A=1, B=1, C=0, D=0, E=0
Oczywiście zmienne A i B dalej są zmiennymi binarnym, bo zarówno A jak i B może być mordercą.
Natomiast C, D i E są stałymi binarnymi na które nie mamy wpływu, czasu nie da się cofnąć i zmusić C do bycia w Warszawie w dniu morderstwa.
W tym momencie wykopujemy stałe binarne C=0, D=0 i E=0 w kosmos. Kontynuujemy śledztwo w trakcie którego ustalamy iż to A jest mordercą, pod ciężarem dowodów A przyznaje się do morderstwa i tłumaczy na wizji lokalnej jak to zrobił.

KONIEC śledztwa!
Wszystkie zmienne binarne przeszły nam w stałe binarne:
A=1, B=0, C=0, D=0, E=0

Fundamentalne pytanie:
Po co komu tu dalsza logika?
Czy jest sens zastanawiać się że wszyscy początkowi podejrzani A, B, C, D i E mogli być mordercami, zatem dlaczego zabił A?

Wniosek:
W tym przypadku logika operująca na stałych binarnych jest kompletnie bez sensu

… ale uwaga!
Algebra Kubusia operuje na stałych, o ile te stałe służą do rozwiązania problemu.


Przykład 6.5.3

Weźmy katastrofę samolotu rządowego RP w Smoleńsku.

Najważniejsze przyczyny tej katastrofy to:
Czy była mgła?
Tak, M=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna M=x przechodzi w stałą binarną M=1
Czy samolot leciał zbyt nisko?
Tak, N=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna N=x przechodzi w stalą binarną N=1
To są stałe binarne które nie znikną po zakończeniu śledztwa, będą w związku z katastrofą na zawsze.

Oczywistym jest że wyłącznie idiota będzie tu rozważał przypadki co by było gdyby:
Gdyby nie było mgły?
M=0
Gdyby samolot nie leciał zbyt nisko?
N=0
etc
To po prostu nie ma sensu, podobnie jak nie mają sensu rozważania co by było gdyby Hitler zginął w zamachu w 1933r, czy też pisanie historii naszego świata przy założeniu iż nie było Aleksandra Wielkiego, Kopernika, Newtona etc.

Definicja logiki w algebrze Kubusia.
Logika to matematyczny opis nieznanego

Wnioski:
Z logiki usuwamy wszelkie zmienne które w trakcie rozwiązywania nieznanego przeszły w stałe binarne o wartości logicznej fałsz (=0) np. szukanie mordercy wyżej.
AK zajmuje się stałymi binarnymi o wartości logicznej prawda (=1) o ile mają one związek z rozwiązywaniem nieznanego np. katastrofa Smoleńska


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 5:57, 18 Wrz 2015, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin