Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2021-02-10)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:18, 22 Sty 2021    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2021-02-10)

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-02-10
Pisana na żywo od początku nie dlatego że starsze wersje były złe, ale dlatego, że można to samo napisać lepiej tzn. w sposób bardziej zrozumiały dla ziemskich matematyków.

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

„Algebrę Kubusia” dedykuję moim wnukom mając nadzieję, że zdążą uczyć się logiki matematycznej z AK w I klasie LO

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein


Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Części:
1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków
2.0 Nieznana algebra Boole’a
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Wykład podstawowy:
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
4.5 Operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q

Teoria implikacji prostej p|=>q:
5.0 Implikacja prosta p|=>q
5.5 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

Przykłady:
5.6 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach w przedszkolu
5.9 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach w przedszkolu
5.10 Operator implikacji prostej p||=>q w I klasie LO

Teoria implikacji odwrotnej p|~>q:
6.0 Implikacja odwrotna p|~>q
6.5 Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

Przykłady:
6.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach w przedszkolu
6.9 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach w przedszkolu
6.10 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w I klasie LO



Wstęp

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki na Politechnice Warszawskiej (1980r) - specjalność automatyka.
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 15 lat temu od Wuja Zbója.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
a) Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
b) Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
c) Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości tego zdania na gruncie KRZ jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… i tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Bertrand Russell napisał:

Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."


3.
Dlaczego z takim uporem drążyłem algebrę Kubusia?
Po zapisaniu przeze mnie praw Kubusia 15 lat temu:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Zrozumiałem ich sens w obsłudze obietnicy Chrystusa:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Tylko i wyłącznie dlatego ciągnę temat „Logika matematyczna” od 15 lat

4.
Z algebrą Kubusia jest identycznie jak z gramatyką języka mówionego.
Czy trzeba znać gramatykę by posługiwać się językiem ojczystym?
Czy 5-cio latek musi znać gramatykę języka by posługiwać się językiem ojczystym?
Odpowiedź jest jednoznaczna:
NIE!
Fundamentem języka mówionego jest algebra Kubusia, nigdy jakaś tam gramatyka, której osobiście nigdy nie znałem tzn. do dzisiaj nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
Algebra Kubusia to logika matematyczna rządząca naszym Wszechświatem, zarówno żywym, jak i martwym z matematyką włącznie. Wszyscy perfekcyjnie znamy algebrę Kubusia od momentu narodzin, do śmierci, nie mamy żadnych szans, aby się od niej uwolnić.
Dowód tego faktu będzie w punkcie 5.4.2

5.
Fundamenty algebry Kubusia to w 100% logika formalna (ogólna) powstała na bazie praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym tzn. z fundamentów algebry Kubusia wywalamy wszelkie zdania w których możemy zarzucić człowiekowi kłamstwo.

Definicja wolnej woli w świecie żywym:
Wolna wola (prawo do kłamstwa) to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej rodem ze świata martwego.

Z powyższej definicji wynika, że warunkiem koniecznym do opisania języka potocznego człowieka jest poznanie praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym (w tym w matematyce).

Świat martwy nie ma prawa gwałcić (i nie gwałci!) swoich własnych praw logiki matematycznej pod które podlega.

W algebrze Kubusia język potoczny człowieka ma przełożenie 1:1 na logikę formalną (ogólną).
Definicje w algebrze Kubusia i KRZ są totalnie sprzeczne, sprzeczne mamy nawet pojęcia podstawowe: podzbiór, nadzbiór, logika formalna.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

6.
Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom, naturalnymi ekspertami algebry Boole’a są wszystkie 5-cio latki bowiem w języku potocznym, w komunikacji człowieka z człowiekiem, nasz mózg operuje minimalnymi równaniami algebry Boole’a, których nie da się dalej minimalizować - nie jest tu zatem potrzebna jakakolwiek teoria minimalizacji równań logicznych.
Dowód tego faktu jest w punkcie:
1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Moja maksyma sprzed 35 lat:
1.
Każdy duży program komputerowy, w tym teorię matematyczną zwaną algebrą Kubusia, można udoskonalać w nieskończoność. Chodzi tu oczywiście nie o błędy czysto matematyczne, bo tych na 100% nie ma, ale o formę przekazu AK dla wybranych grup ludzkości: przedszkolaki, uczniowie szkoły podstawowej, średniej, studenci, prawnicy, humaniści na zawodowych matematykach kończąc.
2.
Im dłużej się myśli tym lepszy program można napisać, tym doskonalszą wersję algebry Kubusia można zapisać.
3.
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu, tu trzeba tworzyć coraz doskonalsze wersje, dążąc do doskonałości absolutnej, której nie da się osiągnąć z definicji bo to co jest dobre dla 5-cio latka nie musi być wystarczające dla zawodowego matematyka.

Kluczowa uwaga:
W algebrze Kubusia 100% definicji z obszaru logiki matematycznej jest sprzecznych z definicjami obowiązującymi w Klasycznym Rachunku Zdań. Nie ma więc najmniejszego sensu czytanie algebry Kubusia i porównywanie tutejszych definicji z definicjami obowiązującymi w KRZ.
Jestem pewien, że nie ma wewnętrznej sprzeczności w algebrze Kubusia, bo wszystko jest tu w 100% zgodne z teorią bramek logicznych, której ekspertem jestem od czasu zaliczenia laboratorium techniki cyfrowej na I roku Politechniki Warszawskiej (1975r), gdzie budowaliśmy złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych - wtedy mikroprocesorów praktycznie jeszcze nie było, bowiem pierwszy przyzwoity mikroprocesor Intel i8080 narodził się w roku 1974.
Ciekawostka:
W 1974r Intel i8080 kosztował 360USD przy średniej płacy w Polsce 15USD.
[link widoczny dla zalogowanych]
Ile trzeba było pracować, by kupić ten szczyt techniki wymagający trzech napięć zasilania (+12V, +5V i -5V)?
W 1971r ukazała się pierwsza pamięć EPROM Intela i1702 o kosmicznej pojemności 256 bajtów wymagająca trzech napięć zasilania jak wyżej - w takiej pamięci można zapisać co najwyżej 256 liter.
[link widoczny dla zalogowanych]
… a dzisiaj (2020r)?
[link widoczny dla zalogowanych]
Na karcie pamięci microSD (wymiary: 11*15*1mm) z telefonu komórkowego mieści się 1024GB (1024GB=1024 miliardów bajtów-liter)


Prawo Owieczki - najbardziej zaskakujące twierdzenie w historii matematyki!

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodna z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3150.html#575901
MaluśnaOwieczka napisał:

rafal3006 napisał:
Czy zgadzasz się z fundamentem wszelkich ziemskich logik mówiącym iż:
„z fałszu wynika wszystko”

Tak, zgadzam się.


MaluśnaOwieczko:
Nie zamierzam udowadniać fałszywości poniższych dogmatów ziemskich matematyków:
1: z fałszu wynika wszystko
2: ze zbioru pustego wynika wszystko
3: ze zdania fałszywego wynika wszystko
bowiem zdanie „ze zbioru pustego wynika wszystko” jest prawdziwe pod warunkiem przyjęcia definicji zbioru pustego [] i Uniwersum U z algebry Kubusia.

Dowód prawdziwości prawa Owieczki:
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów


Wprowadzenie do algebry Kubusia

Fragment dyskusji ze śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3200.html#576115

Lekcja logiki matematycznej 100-milowego lasu![

Z dedykacją dla wszystkich czytelników śfinii, ze specjalną dedykację dla Lucka.

Wykładowcy:
Pani przedszkolanka i Jaś (lat 5) ze 100-milowego lasu

Wstęp:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3175.html#576077
rafal3006 napisał:
lucek napisał:
rafal3006 napisał:
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

.. niech naszym dowolnie wybranym zbiorem, dziedziną będzie zbiór zdań.

Matematycznie możesz sobie wybierać dowolne zbiory skończone.

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ta definicja to taka tabliczka mnożenia do 100, do wytłumaczenia pięciolatkowi wszystkich niuansów implikacji prostej p|=>q absolutnie wystarczająca.

Przyjmijmy zbiory;
p=[Prosiaczek]
q=[Prosiaczek, Tygrysek]
D=[Prosiaczek, Tygrysek, Kubuś] - dziedzina

Pewne jest że wkrótce w każdym przedszkolu, każda pani przedszkolanka, będzie uczyć 5-cio latków o co chodzi w implikacji prostej p|=>q o której najwięksi ziemscy matematycy nie mają bladego pojęcia.

Wierzysz mi Lucku, czy mam pokazać jak w 100-milowym lesie robi to każda pani przedszkolanka?


Pani przedszkolanka z wizytą na sfinii:
Pozwólcie ziemianie że zrobię wam wykład formalny (ogólny) w temacie implikacja prosta p|=>q oderwany od jakichkolwiek zbiorów aktualnych tzn. nie definiujemy tu konkretnych zbiorów p i q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Na mocy definicji dziedzina D dla poprzednika p i następnika q musi być wspólna.

Definicja dziedziny dla poprzednika:
D=p+~p - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Definicja dziedziny dla następnika:
D=q+~q - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne

Operator implikacji prostej w zbiorach p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się może wydarzyć jeśli z dziedziny D wylosujemy dowolny element ze zbioru p?

Odpowiedź mamy w implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~>q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1

A1.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% => musi być w zbiorze q
p=>q =1
Innymi słowy:
Zbiór p musi być podzbiorem => zbioru q

Kontrprzykład A1’ dla relacji podzbioru A1 musi być fałszem:
A1’.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to ten element może ~~> być w zbiorze ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i ~q nie ma prawa (=0) być spełniona

2.
Co może się wydarzyć jeśli z dziedziny D wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p?

Odpowiedź mamy w tożsamej implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) nadzbiorem ~> ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
A2B2:
~p|~>~q = (A1: ~p~>~q)*~(~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1

Prawo Kubusia wiążące relację podzbioru => z relacją nadzbioru ~>:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Z definicji mamy udowodnioną prawdziwość zdania A1.
Wynika z tego że zdanie B1 też musi być prawdziwe inaczej prawo Kubusia, matematyka ścisła, leży w gruzach.
Zapiszmy zdanie A2 które musi być prawdziwe.
A2.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to ten element może ~> należeć do zbioru ~q
~p~>~q =1
Na mocy prawa Kubusia zbiór ~p musi być nadzbiorem ~> zbioru ~q
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywej relacji podzbioru => B2 musi być prawdą.
B2’
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to ten element może ~~> być w zbiorze q
~p~~>q = ~p*q =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q istnieje wspólny element zbiorów ~p i q
~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q

W zdaniu B2’ niema prawa zachodzić ani relacja podzbioru =>:
~p=>q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

ani też relacja nadzbioru ~>:
~p~>q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Pani przedszkolanka:
Jasiu zademonstruj ziemianom, jak działa powyższa teoria na zbiorach aktualnych.

Jaś:
Robi się proszę Pani.
Po pierwsze:
Musi być spełniona definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach.

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Na mocy definicji do zaprezentowania istoty implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza trzy elementy.

Zapiszmy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach z użyciem trzech elementów:
Oznaczmy literowo:
P = Prosiaczek
T = Tygrysek
K = Kubuś
Przyjmijmy zbiory
p=[P]
q=[P, T]
D=[P, T, K] - dziedzina
Obliczamy zbiory zaprzeczone rozumiane jako uzupełnienie zbioru do dziedziny D.
~p = D-p = [P,T,K]-[P] = [T,K]
~q = D-q = [P, T, K]-[P,T] =[K]

Zestaw wszystkich potrzebnych zbiorów na których operuje operator implikacji prostej p||=>q jest zatem następujący.
p=[P]
q=[P,T]
~p=[T,K]
~q=[K]

Pozostaje nam podstawić do teorii ogólnej powyższe zbiory by sprawdzić, czy wyłożona przez panią przedszkolankę teoria ogólna implikacji prostej p|=>q działa poprawnie.

SPRAWDZAMY!

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja dziedziny dla poprzednika:
D=p+~p - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne

Operator implikacji prostej w zbiorach p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się może wydarzyć jeśli z dziedziny D wylosujemy dowolny element ze zbioru p?
Odpowiedź mamy w implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~>q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1

A1.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% => musi być w zbiorze q
p=>q =1
Innymi słowy:
Zbiór p musi być podzbiorem => zbioru q
p=[P] => q=[P,T] =1 - definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
cnd

Kontrprzykład A1’ dla relacji podzbioru A1 musi być fałszem:
A1’.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to ten element może ~~> być w zbiorze ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> p i ~q nie ma prawa (=0) być spełniona
p=[P] * ~q=[K] = [] =0 - nie ma (=0) elementu wspólnego zbiorów p i ~q
cnd

2.
Co może się wydarzyć jeśli z dziedziny D wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p?
Odpowiedź mamy w tożsamej implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest (=1) nadzbiorem ~> ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) podzbiorem ~q
A2B2:
~p|~>~q = (A1: ~p~>~q)*~(~p=>~q) = 1*~(0) =1*1 =1

Prawo Kubusia wiążące relację podzbioru => z relacją nadzbioru ~>:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Z definicji mamy udowodnioną prawdziwość zdania A1.
Wynika z tego że zdanie B1 też musi być prawdziwe inaczej prawo Kubusia, matematyka ścisła, leży w gruzach.
Zapiszmy zdanie A2 które musi być prawdziwe.
A2.
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to ten element może ~> należeć do zbioru ~q
~p~>~q =1
Na mocy prawa Kubusia zbiór ~p musi być nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=[T,K] ~> ~q=[K] =1 - definicja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywej relacji podzbioru => B2 musi być prawdą.
B2’
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to ten element może ~~> być w zbiorze q
~p~~>q = ~p*q =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q istnieje wspólny element zbiorów ~p i q
~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q
~p=[T,K] * q=[P,T] =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q, to Tygrysek

W zdaniu B2’ niema prawa zachodzić ani relacja podzbioru =>:
~p=>q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
~p=[T,K] => q=[P,T] =0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

ani też relacja nadzbioru ~>:
~p~>q =0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
~p=[T,K] ~> q=[P,T] =0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

KONIEC!

Jak wszyscy widzą teoria ogólna implikacji prostej p|=>q działa perfekcyjnie na zbiorze minimalnym złożonym z 3 elementów D=[P,T,K]

Matematyka to matematyka!
Teoria implikacji prostej p|=>q wyłożona na zbiorze minimalnym D=[P,T,K] musi działać IDENTYCZNIE na dowolnych zbiorach zarówno skończonych (jak wyżej) jak i nieskończonych spełniających definicję implikacji prostej p|=>q

Przykład implikacji prostej p|=>q na zbiorach nieskończonych:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] i nie jest tożsamy ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]

Zadanie dla ziemian:
1.
Przyjmij dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
2.
Oblicz przeczenia zbiorów ~P2 i ~P8:
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
3.
Podstaw obliczone zbiory:
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
do gotowego algorytmu implikacji prostej P8|=>P2

Uwaga ziemianie:
Jeśli gotowy algorytm pani przedszkolanki dla implikacji prostej P8|=>P2 załamie się choćby w jednym, wytłuszczonym miejscu to ja Rafal3006 skasuję na śfinii wszystkie swoje posty.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 18:24, 07 Mar 2021, w całości zmieniany 57 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:29, 22 Sty 2021    Temat postu:

1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

Spis treści
1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków 1
1.1 Definicje symboli 1
1.2 Operator AND(|*) 2
1.3 Operator OR(|+) 5



1.0 Algebra Boole’a dla przedszkolaków

W niniejszym puncie prezentuję algebrę Boole’a dla humanistów (nie matematyków), czyli zero jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych.

Algebra Boole’a to najtrudniejsza część algebry Kubusia. Chodzi tu o matematyczną minimalizację złożonych równań algebry Boole’a które układa się i minimalizuje w projektowaniu automatów sterujących w bramkach logicznych na I roku elektroniki studiów wyższych.
Wbrew pozorom naturalnymi ekspertami także algebry Boole’a używanej w języku potocznym są wszystkie 5-cio latki, czego dowód w niniejszym punkcie.

1.1 Definicje symboli

Niezbędne definicje symboli to:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie „NIE” z języka potocznego człowieka
Gdzie:
Prawda to brak fałszu
1 = ~(0)
Fałsz to brak prawdy
0 = ~(1)
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnego języka potocznego
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka potocznego

1.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Przykład kodowania matematycznego zdań twierdzących symbolami powiązanymi z wypowiadanym zdaniem:
1.
Jestem uczciwy
U
2.
Jestem nieuczciwy
~U - wszelkie przeczenia w zdaniach muszą być uwzględnione w kodowaniu symbolicznym zdania
3.
Nieprawdą jest ~( … ) że jestem nieuczciwy ~U

Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia:
1: Jestem uczciwy = 3: nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
1: U = 3: ~(~U)
W matematyce tego typu prawa zapisujemy przy pomocy symboli formalnych Y, p, q … nie mających związku z wypowiedzianym zdaniem (symbole aktualne np. U wyżej)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym (ogólnym):
p = ~(~p)

1.2 Operator AND(|*)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator AND(|*) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Logika dodatnia (bo p) i ujemna (bo ~p)
Dowolny symbol (w tym funkcja logiczna Y) zapisany jest w logice dodatniej gdy nie ma przeczenia (~) przed symbolem, inaczej zapisany jest w logice ujemnej.

Aby odpowiedzieć na pytania które stawia przed nami definicja operatora AND(|*) musimy poznać algorytm Wuja Zbója przejścia z logiki dodatniej (bo Y) do logiki ujemnej (bo ~Y) - albo odwrotnie.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy symbole wymieniając spójniki na przeciwne tzn. „i”(*) na „lub”(+), albo odwrotnie.

Przykład:
1: Y=K*T
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
2: ~Y = ~K+~T
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez ponowną negacje symboli i wymianę spójników:
3: ~(~Y) = ~(~K)*~(~T)
Po skorzystaniu z prawa podwójnego przeczenia:
~(~p)=p
lądujemy w równaniu 1:
1: Y=K*T

Dopiero w tym momencie jesteśmy w stanie odpowiedzieć w logice 5-cio latka, na pytania stawiane przez operator AND(|*):

Pani w przedszkolu mówi::
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy w oba miejsca, do kina (K) i do teatru (T).

2.
Kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
2: ~Y=~K+~T
Wystarczy, że nie pójdziemy w którekolwiek miejsce i już pani skłamie (~Y)

Jak rozpisać na zdarzenie rozłączne przypadek kiedy pani skłamie (~Y)?
Wróćmy do zdania wypowiedzianego:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y = K*T
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T =1

inaczej pani skłamie!
Tu 5-cio latki będą miały niezłą zabawę jakie jeszcze zdarzenia mogą jutro zajść z wykluczeniem:
Y=K*T

Poprawna odpowiedź to:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yc =~K*~T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
~Yd = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)

Zauważmy że funkcje cząstkowe ~Yb, ~Yc i ~Yd połączone są spójnikiem „lub”(+) z funkcją matką ~Y:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
2: ~Y = ~K+~T <=> 3: ~Y = B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T

Z powyższej tożsamości logicznej wynika, że odpowiedzieć na pytanie kiedy pani skłamie (~Y) możemy dwoma tożsamymi sposobami. Obie odpowiedzi są zrozumiałe dla 5-cio latka.

Definicja tożsamości logicznej <=>:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość po drugiej stronie

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
Zdarzenie ~Yb, ~Yc, ~Yd oraz Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Yd = ~K*T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja cząstkowa jest zanegowana (~Yd)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Y = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
~Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
~Yc = ~K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, tyle że w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Stąd mamy:

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przyszłości - nie wiemy które z czterech możliwych zdarzeń Y, ~Yb, ~Yc, ~Yd zajdzie jutro.
albo
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K*~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y=~K*~T
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcja logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
~Y=K+T
Innymi słowy:
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y).

1.3 Operator OR(|+)

Pani wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Gdzie:
Y - funkcja logiczna opisująca powyższe zdanie w znaczeniu:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie (~) dotrzyma słowa Y (= pani skłamie)

Operator OR(|+) to odpowiedź w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na dwa pytania:
1
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
2.
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Pani przedszkolanka mówi:
Jutro pójdziemy do kina kub do teatru
1.
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y)?
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
1: Y = K+T =1
co matematycznie oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T =1
Innymi słowy:
Wystarczy że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa.

Co to znaczy „w dowolne miejsce” od strony czysto matematycznej?
Jak do tego podejść najprościej?

Tu na pierwszy ogień możemy sobie odpowiedzieć na pytanie 2:
2.
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej poprzez negację symboli i wymianę spójników:
~Y=~K*~T =1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
w pozostałych przypadkach pani dotrzyma słowa!

Te pozostałe przypadki to:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (Yb)
LUB
Yb = K*~T =1 - jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
LUB
Yc = ~K*T =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcje cząstkowe w logice dodatniej Ya, Yb, Yc są częścią funkcji matki w logice dodatniej Y:
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
3: Y = K*T + K*~T +~K*T
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna <=> funkcji logicznych:
1: Y=K+T <=> 3: Y = K*T + K*~T +~K*T

Oznacza to, że odpowiedzieć na pytanie kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) możemy na dwa tożsame sposoby. Oba są zrozumiałe przez 5-cio latka

Wszystkie prawdy (=1) w powyższej analizie to prawdy miękkie mogą zajść ale nie muszą, od pani przedszkolanki zależy które z możliwych czterech zdarzeń rozłącznych Ya, Yb, Yc ~Y zajdzie jutro.
Zdarzenia Ya, Yb, Yc oraz ~Y są wzajemnie rozłącznie co oznacza, że pojutrze wyłącznie jedno z tych zdarzeń może zajść, pozostałe będą fałszem (nie zaszły)

Przykład:
Załóżmy że wczoraj zaszło zdarzenie:
~Y = ~K*~T =1 - prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Pani oczywiście skłamała bo funkcja jest zanegowana (~Y)

… a co z pozostałymi zdarzeniami, jak je matematycznie opisać w czasie przeszłym?
Tak!
Ya = K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K) i byliśmy w teatrze (T)
Yb=K*~T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie i (K) i nie byliśmy w teatrze (~T)
Yc = ~K*T =0 - fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) i byliśmy w teatrze (T)

Zauważmy, że w czasie przeszłym, gdy znamy rozwiązanie mamy do czynienia z prawdą i fałszem absolutnym. Żadna logika nie ma prawa zmienić zaistniałej rzeczywistości.

…ale!
Jeśli nie znamy rozwiązania (prawdy i fałszów absolutnych) to logika matematyczna dalej świetnie działa, także w stosunku do nieznanej przeszłości np. poszukiwanie mordercy.

Weźmy bliźniacze zdanie pani przedszkolanki:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Y=~K+~T
Czytamy:
Pan dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (T)
Y=~K+~T
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa
2.
.. a kiedy pani skłamie (~Y)?
Przejście z funkcją logiczną 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = K*T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
~Y=K*T

W tym momencie kończę omówienie algebry Boole’a w wersji dla 5-cio latków.
Kluczową i najważniejszą część algebry Kubusia tzn. obsługę zdań warunkowych w algebrze Kubusia w wersji dla 5-cio latków pozostawiam ziemskim matematykom.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 14:40, 12 Lut 2021, w całości zmieniany 23 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:30, 22 Sty 2021    Temat postu:

2.0 Nieznana algebra Boole’a


Spis treści
2.0 Nieznana algebra Boole’a 1
2.1 Zmienna binarna i stała binarna 2
2.2 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 4
2.3 Prawa Prosiaczka 5
2.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 6
2.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 7
2.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej 8
2.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 9
2.5 Algorytm Wuja Zbója 13
2.5.1 Prawo Małpki 14
2.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 16




2.0 Nieznana algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

2.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:
Kod:

1: A:=A+B    ;Wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2  ;Jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
- - - - - - -

Co oznacza rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład:
Zdefiniujmy na początku programu symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
W tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.

Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych

Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.

Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak

Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?

Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
nie ma już sensu, bo Jaś poznał prawdę absolutną, pani skłamała.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.

Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)

1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) a kiedy skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)

W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.

Przykład:
Stała binarna TP zapisana jest w logice dodatniej (bo TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
TP=1 - trójkąt prostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt jest prostokątny

Stała binarna TP zapisana jest w logice ujemnej (bo ~TP) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~TP=1 - trójkąt nieprostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt nie jest prostokątny

2.2 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie aktualnym (język potoczny):
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
Podstawiamy:
U=p
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
p=~(~p)

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1 - zapis aktualny
p=>q =1 - zapis formalny
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu, stąd wartość logiczna tego zdania to 1.

Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym:
p=>q = ~q=>~p

Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A1:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
To samo w zapisie formalnym:
TP=p
SK=q
A1: p=>q = A4: ~q=>~p

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

stąd:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK=>~TP =1
Po udowodnieniu twierdzenia prostego Pitagorasa A1, co ludzkość zrobiła wieki temu, nie musimy udowadniać twierdzenia A4, bowiem jego prawdziwość gwarantuje nam prawo logiki matematycznej, prawo kontrapozycji.

2.3 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

2.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

2.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej

Definicja logiki symbolicznej:
Logika symboliczna to logika izolowana od wszelkich tabel zero-jedynkowych gdzie posługujemy się symbolami niezaprzeczonymi i zaprzeczonymi zamiast bezwzględnymi zerami i jedynkami

Przykład logiki symbolicznej, gdzie nie ma ani zer, ani jedynek:
TP - trójkąt prostokątny
~TP - trójkąt nieprostokątny

Przykład logiki zero-jedynkowej operującej na zerach i jedynkach:
TP=1 - trójkąt prostokątny
TP=0 - trójkąt nieprostokątny

Zadanie rodem ze 100-milowego lasu:
Dana jest dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich prostokątów
Polecenie:
Opisz kolejne losowania trójkątów prostokątnych TP z worka zawierającego wszystkie trójkąty ZWT,

Rozwiązanie:
Ze zbioru wszystkich trójkątów ZWT losujemy kolejne trójkąty.
To losowanie możemy opisać w logice dodatniej (bo TP) albo w logice ujemnej (bo ~TP).
1.
Obsługa losowania w logice dodatniej (bo TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo TP):
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP
TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP - czyli jest nieprostokątny
2.
Obsługa losowania w logice ujemnej (bo ~TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~TP):
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP
~TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP - czyli jest prostokątny

Z 1 i 2 można tu wyczytać prawa Prosiaczka:
I prawo Prosiaczka:
1: TP=1 = 2: ~TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt prostokątny
II prawo Prosiaczka:
2: ~TP=1 = 1: TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt nieprostokątny

Z praw Prosiaczka wynika logika symboliczna w której nie ma ani jednego zera.
3.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt prostokątny TP
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt nieprostokątny (~TP)

W logice symbolicznej, a także w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (o których za chwilę) jedynki są domyślne co oznacza, że możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
4.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:

TP - wylosowano trójkąt prostokątny
~TP - wylosowano trójkąt nieprostokątny

Jak widzimy, dopiero w tym momencie mamy naturalny, matematyczny język potoczny zgodny z logiką w pełni symboliczną, mającą w głębokim poważaniu wszelkie zera i jedynki.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd mamy:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP] = ~TP

To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p] =~p

2.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.

Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka


Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0


II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka


Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd

Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.

Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p=p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=1 mamy:
   p  1  p+1
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 1  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd

Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=~p mamy:
   p ~p  p+~p
A: 1+ 0  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 1  =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd

Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod:

   p  q  p+q ~p ~q ~p*~q ~(~p*~q)
A: 1+ 1  =1   0* 0   0      1
B: 1+ 0  =1   0* 1   0      1
C: 0+ 1  =1   1* 0   0      1
D: 0+ 0  =0   1* 1   1      0
   1  2   3   4  5   6      7

Tożsamość kolumn wynikowych 3=7 jest dowodem poprawności prawa algebry Boole’a:
p+q = ~(~p*~q)
cnd

Praca domowa:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)

2.5 Algorytm Wuja Zbója

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Co w logice jedynek, będącej naturalną logiką matematyczną człowieka oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
W każdej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne.

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

2.5.1 Prawo Małpki

Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q
W technice cyfrowej spójnik „i”(*) jest domyślny i często jest pomijany.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki.

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała w języku potocznym.
Dowód:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego.
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

2.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej

Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Trudne - dla ambitnych:
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 6:06, 29 Sty 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:31, 22 Sty 2021    Temat postu:

Spis treści
2.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej 1
2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 3
2.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+) 5
2.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej 7
2.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 9
2.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*) 12
2.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*) 14
2.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym 15
2.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 15
2.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 16
2.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu 17
2.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
2.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 19
2.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
2.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer 21
2.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 22
2.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych 22
2.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 24


2.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie ABC (Y) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

2.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
ABC: Y=p+q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0) - sprowadzenie wszystkich zmiennych binarnych do logiki dodatniej (bez przeczeń)
Kod:

T1: Y=p+q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia ABC: Y=p+q |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p+q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1+ 1  =1
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=1)  | 1+ 0  =1
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=1)  | 0+ 1  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0+ 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=1 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCDabc są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
Yb*Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0

cnd

Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+Yb+Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p+q opisuje wyłącznie obszar ABCabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p+q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem linii D gdzie mamy:
D: ~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yd).
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
Zróbmy to:
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x) bo w aktualnie przyjętym punkcie odniesienia mamy do czynienia wyłącznie ze zmiennymi w logice ujemnej (bo ~p):
D: ~Y=~p*~q

Kod:

T2: ~Y=~p*~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia D:~Y=~p*~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0* 0  =0
B: p*~q = Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)  | 0* 1  =0
C:~p* q = Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)  | 1* 0  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1* 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p*~q wskazuje wyłącznie linię D w obszarze ABCDabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
~Y=~Yd = ~p*~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p*~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p+q # T2: ~Y=~p*~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
2..
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p*~q = ~(p+q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)


2.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+)

Operator logiczny OR(|+) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator OR(|+):
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
##
spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p+q
#
spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q, inaczej błąd podstawienia.
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Kod:

Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q         ##
2:~Y=~p*~q       ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

T3
Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

T4.
Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora OR{|+):
1: Y=p+q
2:~Y=~p*~q
   p  q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1+ 1   1     0        0* 0   0
B: 1+ 0   1     0        0* 1   0
C: 0+ 1   1     0        1* 0   0
D: 0+ 0   0     1        1* 1   1
   1  2   3     4        5  6   7

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p*~q # 3: Y=p+q
cnd

W tabeli T5 widzimy że:
Kod:

Operator OR(|+): ## 1: Y=p+q # 2: ~Y=~p*~q
1: Y=p+q         ##
2:~Y=~p*~q       ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Do zapamiętania:

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna p lub q zostanie ustawiona na jeden i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość logiczną jeden (Y=1)
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 * ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD567
cnd

2.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie A (Y) dwustronnie:
BCD:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
BCD:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie oznacza to, że jutro nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1), czyli:
~Y=B: K*~T + C: ~K*T + D:~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
LUB
D: ~Yd = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji ~Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych (nie związanych z konkretnym zdaniem).
Podstawmy:
K=p
T=q
stąd:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
minimalizujemy funkcję logiczną ~Y:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
cnd

2.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
K=p
T=q
A.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q - prawo De Morgana
stąd mamy:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Skorzystajmy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając p:=~p i q:=~q do ~Y mamy opis funkcji logicznej ~Y w zdarzeniach rozłącznych.
Gdzie:
p:=~p - w miejsce zmiennej binarnej p podstaw (:=) zmienną ~p
q:=~q - w miejsce zmiennej binarnej q podstaw (:=) zmienną ~q
Jedziemy:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*~(~q) + ~(~p)*~q
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Stąd w przełożeniu 1:1 na przykład 5-cio latka mamy:
BCD:
~Y = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Gdzie:
~Yb, ~Yc, ~Yd - funkcje cząstkowe (zdarzenia rozłączne) wchodzące w skład funkcji ~Y

Jak to udowodniliśmy wyżej zapis matematycznie tożsamy to:
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Mamy:
~Y=~p+~q
~Y = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych BCD dla naszego przykładu:
~Y = ~p+~q = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
A: Y=p*q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki dodatniej (bo x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice dodatniej (bo x):
A: Y=p*q
Kod:

T1: A: Y=p*q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesienia A: Y=p*q   |tożsamy
             |                      |                       | p  q Y=p*q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)  | 1* 1  =1
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |( p=1)*( q=0)=( Yb=0)  | 1* 0  =0
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |( p=0)*( q=1)=( Yc=0)  | 0* 1  =0
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |( p=0)*( q=0)=( Yd=0)  | 0* 0  =0
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |(~p=1 )=( p=0 )        |
                                    |(~q=1 )=( q=0 )        |
                                    |(~Yx=1)=( Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Zauważmy, że zdarzenia ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód rozłączności zdarzeń ABCDabc:
Ya*~Yb = (p*q)*(p*~q) =[] =0
Ya*~Yc = (p*q)*(~p*q) =[] =0
Ya*~Yd = (p*q)*(~p*~q) =[] =0
~Yb*~Yc=(p*~q)*(~p*q) =[] =0

cnd

Dowód iż zdarzenia rozłączne ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y=Ya+~Yb+~Yc+~Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D:~p*~q = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
cnd

Podsumowanie:
1.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3: Y=p*q opisuje wyłącznie linię Aabc w której zapisana jest funkcja logiczna:
Y=p*q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: Y=p*q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „i”(*). Tabela zero-jedynkowa ABCD123 jest wówczas zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.

2.
Alternatywne kodowanie serii zdań z języka potocznego ABCDabc możemy wykonać wzglądem obszaru BCDabc gdzie mamy:
BCD:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = B: p*~q + C: p*~q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C:~p=1 i q=1 lub D:~p=1 i ~q=1
Zapis matematycznie tożsamy (co wyżej udowodniliśmy):
BCD:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zakodujmy naszą analizę w języku potocznym względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(x=1) = (~x=0)
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do logiki ujemnej (bo ~x), bo w punkcie odniesienia wszystkie zmienne mamy zapisane w logice ujemnej (bo ~x):
BCD: ~Y=~p+~q
Kod:

T2: ~Y=~p+~q
Analiza w    |Co w logice           |Kodowanie dla punktu   |zapis
j. potocznym |jedynek oznacza       |odniesien BCD:~Y=~p+~q |tożsamy
             |                      |                       |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q = Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1) |(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)  | 0+ 0  =0
B: p*~q =~Yb |( p=1)*(~q=1)=(~Yb=1) |(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=1)  | 0+ 1  =1
C:~p* q =~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1) |(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)  | 1+ 0  =1
D:~p*~q =~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1) |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)  | 1+ 1  =1
   a  b   c     d      e      f     |  g      h      i      | 1  2   3
                                    |Prawa Prosiaczka       |
                                    |( p=1 )=(~p=0 )        |
                                    |( q=1 )=(~q=0 )        |
                                    |( Yx=1)=(~Yx=0)        |
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej

Tabela zero-jedynkowa ABCD123 nosi nazwę definicji spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.

Zauważmy, że nagłówek w kolumnie wynikowej 3:~Y=~p+~q wskazuje obszar BCDabc w którym zapisana jest funkcja logiczna:
BCD: ~Y = ~p+~q
Na mocy wynikowego nagłówka 3: ~Y=~p+~q w tabeli zero-jedynkowej we wszystkich liniach zapisujemy znaczek „lub”(+).

W tabelach T1 i T2 mamy do czynienia wszędzie z tymi samymi zmiennymi p, q i Y o czym świadczy identyczność zdań cząstkowych w języku potocznym ABCDabc.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne # w odniesieniu do funkcji logicznych.

Definicja znaczka różne #:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Nasz przykład:
T1: Y=p*q # T2: ~Y=~p+~q

Stąd mamy związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
1.
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
2..
~Y=~(Y)
Po podstawieniu T1 i T2 mamy:
~Y = ~p+~q = ~(p*q) - prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)


2.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*)

Operator logiczny AND(|*) to odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie 1: Y a kiedy zajdzie 2: ~Y?
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(p*q) = ~p+~q
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Operator AND(|*):
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
##
spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
1: Y = p*q
#
spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
2: ~Y=~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q musi być wszędzie tym samym p i q
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Powyższą sytuację w równaniu logicznym możemy opisać następująco:
Kod:

Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q          ##
2:~Y=~p+~q        ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Zobaczmy dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

T3
Definicja spójnika „i”(*)
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

T4.
Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0


Jedziemy:
Kod:

T5
Definicja operatora AND(|*):
1: Y=p*q
2:~Y=~p+~q
   p  q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1* 1   1     0        0+ 0   0
B: 1* 0   0     1        0+ 1   1
C: 0* 1   0     1        1+ 0   1
D: 0* 0   0     1        1+ 1   1
   1  2   3     4        5  6   7

Doskonale widać, że kolumna 7 jest negacją kolumny 3 (i odwrotnie):
7: ~Y=~p+~q # 3: Y=p*q
cnd

W tabeli T5 widzimy że:
Kod:

Operator AND(|*): ## 1: Y=p*q # 2: ~Y=~p+~q
1: Y=p*q          ##
2:~Y=~p+~q        ##
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (p i q muszą być tymi samymi p i q)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Do zapamiętania:

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD123
cnd
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej T5: ABCD567
cnd


2.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*)

Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Pani w przedszkolu:
1: Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T)
Y=K+T

###

Operator AND(|*) to układ równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Pani w przedszkolu:
1: Jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T

Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych

Definicja znaczka różne na mocy definicji operatorowych ###:
Znaczek różne na mocy definicji operatorowych ### oznacza, że między układami związanymi tym znaczkiem nie zachodzą absolutnie żadne związki matematyczne tzn. wykluczone są jakiekolwiek tożsamości logiczne jak również wykluczone jest aby jedna strona znaczka ### była negacją drugiej strony #.

Doskonale to widać w powyższych definicjach operatora OR(|+) i AND(|*), w szczególności na zdaniach pani przedszkolanki.

2.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym

Logika dodatnia i ujemna w języku potocznym jest odpowiednikiem sprzętowej logiki dodatniej i ujemnej w teorii układów cyfrowych.
Chodzi tu o przyporządkowanie symboli 1 i 0 na których operuje rachunek zero-jedynkowy do symboli aktualnych wynikłych z języka potocznego. Matematycznie to przyporządkowanie może być dowolne pod warunkiem, że znamy startową tabelę przyporządkowań (punkt odniesienia).
O co tu chodzi dowiemy się za chwilkę.

2.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

2.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym

Definicja logiki ujemnej w języku potocznym:
W logice ujemnej w języku potocznym kodowanie wszelkich zmiennych binarnych jest przeciwne do kodowania w logice dodatniej.

Przykład kodowania zdania pani przedszkolanki w logice ujemnej.

Przykład kodowania w logice ujemnej:
K=1 - nie idziemy do kina
~K=1 - idziemy do kina
T=1 - nie idziemy do teatru
~T=1 - idziemy do teatru
Y=1 - pani nie dotrzyma słowa
~Y=1 - pani dotrzyma słowa (~Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC’:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (~K=1) lub do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Matematycznie wszystko jest tu jak najbardziej w porządku jednak ktoś kto nie wie iż zdanie ABC’ kodowane jest w logice ujemnej nie zrozumie tego kodowania.

W sumie dla trzech zmiennych binarnych Y, K, T możemy ustalić osiem różnych punktów odniesienia.
Łatwo wyobrazić sobie dyskusję ośmiu ludzi z których każdy patrzy na to samo zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
???
… z innego punktu odniesienia.

Przykłady:
Człowiek A zakoduje zdanie ABC w logice dodatniej:
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Człowiek B zakoduje zdanie ABC w logice ujemnej:
~Y = ~K+~T
co w logice ujemnej oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Pozostałe 6 osób za punkt odniesienia przyjmie pozostałe możliwości.
Przykładowo człowiek C zakoduje zdanie ABC w ten sposób:
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1

Matematycznie wszystkie te kodowania są dobre pod warunkiem, że znamy punkt odniesienia przyjęty przez nadawcę.
Ten fakt opisałem już 35 lat temu w moich podręcznikach do nauki techniki mikroprocesorowej podając twierdzenie ogólne.

Twierdzenie o ilości możliwych punktów odniesienia:
W równaniu logicznym n-zmiennych binarnych możliwych jest 2^n różnych punktów odniesienia
Gdzie:
2^n = 2 do potęgi n

Dla trzech zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^3 =8
Dla 8 zmiennych binarnych możliwych różnych punktów odniesienia jest:
2^8 = 256

Przedstawiony wyżej problem prosi się o ustalenie domyślnego punktu odniesienia w logice matematycznej. Za domyślny punkt odniesienia przyjmijmy definicję logiki dodatniej w języku potocznym bez problemu zrozumiałą przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

2.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu

Przykład z techniki cyfrowej:
Definicja operatora OR(|+) w logice dodatniej (bramka SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]

1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana:
Y = ~(~p+~q)
Gdzie w technice TTL 1 i 0 to poziomy napięć:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Zauważmy że nieprzypadkowo pionier układów TTL firma Texas Instruments obok wzorku:
Y=A+B
Y= ~(~A*~B) - na mocy prawa De Morgana
pisze:
pisitive logic = logika dodatnia.

UWAGA!
Przyjęcie logiki ujemnej dla dokładnie tej samej bramki logicznej OR(|+) typu SN7432 to przypisanie do symboli logicznych 1 i 0 napięć odwrotnych:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Wtedy mamy:
Bramka logiczna OR(|+) SN7432 w logice dodatniej:
1: Y=p+q
2: ~Y=~p*~q

Dokładnie ta sama, fizyczna bramka SN7432 widziana w logice ujemnej to:
1: ~Y=~p+~q
2: Y = p*q
bowiem w logice ujemnej wszystkie poziomy napięć są odwrotne.

Wniosek:
Dokładnie ta sama bramka logiczna OR(|+) typu SN7432 w logice ujemnej jest fizyczną realizacją bramki AND(|*)!
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Tu Texas Instruments w opisie bramki SN7432 musiałby napisać:
Y=p*q
Y = ~(~p+~q) - na mocy prawa De Morgana
negative logic = logika ujemna
Gdzie:
Logika ujemna oznacza tu odwrotne przypisanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
0 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V

Doskonale tu widać, dlaczego w jednym rozumowaniu logicznym nie wolno mieszać logiki dodatniej i ujemnej.
Zauważmy bowiem że bramka AND(|*) SN7408 w logice dodatniej opisana jest układem równań logicznych:
1: Y=p*q
2: ~Y=~p+~q
Karta katalogowa fizycznej bramki AND(|*) SN7408 jest tu taka:
[link widoczny dla zalogowanych]

Opis bramki AND(|*) w katalogu TI jest następujący:
Y=p*q
Y=~(~p+~q) - prawo De Morgana
Tu obok powyższych wzorków firma Texas Instruments pisze:
Positive logic = logika dodatnia
co oznacza następujące przyporządkowanie napięć symbolom logicznym 1 i 0:
1 = H (high) - napięcie 2,4-5,0V
0 = L (low) - napięcie 0,0-0,4V
Jest oczywistym, że jeśli w jednym rozumowaniu logicznym będziemy mieszać logikę dodatnią z logiką ujemną to wyjdą nam potworne głupoty, czyli że zaprojektowany układ nie ma prawa działać poprawnie.

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Przedziały napięć w układzie logicznym
W układach logicznych, gdzie są zdefiniowane tylko dwie wartości liczbowe, rozróżnia się dwa przedziały napięć: wysoki (ozn. H, z ang. high) i niski (ozn. L, z ang. low); pomiędzy nimi jest przerwa, dla której nie określa się wartości liczbowej – jeśli napięcie przyjmie wartość z tego przedziału, to stan logiczny układu jest nieokreślony.
Jeśli do napięć wysokich zostanie przyporządkowana logiczna jedynka, a do niskich logiczne zero, wówczas mówi się, że układ pracuje w logice dodatniej (inaczej zwanej pozytywną), w przeciwnym razie mamy do czynienia z logiką ujemną (lub negatywną).


2.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q:
Kod:

T1
          Y=
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

2.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
1: Y= p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

2.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer

2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

Zastosujmy logikę zer do naszej tabeli równoważności Y = p<=>q:
Kod:

T3
Pełna definicja     |Co w logice zer       |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza               |cząstkowe
                    |                      |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                      |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
3: Y = (~p+q)*(p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice ujemnej
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)

Jak widzimy, logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których w języku potocznym żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc.

2.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer

Zapiszmy otrzymane wyżej funkcje logiczne dla tej samej tabeli zero-jedynkowej równoważności:
Y = p<=>q

Tabela T2
Logika jedynek:
1: Y= p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2: ~Y = p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Tabela T3
Logika zer:
3: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
4: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Y i ~Y w tabelach T2 i T3 to te same funkcje logiczne.
Stąd mamy.

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dla tabel T2 i T3 zapisujemy:
1: Y = p*q + ~p*~q <=> 3: Y = (~p+q)*(p+~q)
2: ~Y = p*~q + ~p*q <=> 4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
cnd

W języku potocznym każdy człowiek, od 5-cio latka poczynając doskonale rozumie wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne.
Równanie koniunkcyjno-alternatywne, których nikt w języku potocznym nie rozumie należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.

2.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

Dowód tego prawa na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Zaczynamy od definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą tożsamości logiczne <=>:
1: Y = p*q + ~p*~q <=> 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
3: ~Y = p*~q + ~p*q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki.


2.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

2.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##

Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Funkcje logiczne Y (16 sztuk) to funkcje różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y).

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Wyjaśnienie o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y) na bazie legalnych spójników logicznych widniejących w tabeli TS.

Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) to funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y):
0: Y=p*q
1: Y=p+q
2: Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
3: Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Rozważmy następujący przykład w zapisach formalnych (ogólnych):
Kod:

T1.
1:  Y=p+q            ## 3:  Y=~(p+q)=~p*~q
    #                ##     #
3: ~Y=~(p+q)=~p*~q   ## 1: ~Y=p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli z tabeli T1 usuniemy funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Kod:

T2.
1:   p+q          ## 3: ~(p+q)=~p*~q
     #            ##      #
3: ~(p+q)=~p*~q   ## 1:   p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że bez rozróżnienia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) logika matematyczna leży w gruzach bo w tabeli T2 ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych tabeli.
Kod:

1: p+q  [=] 1:  p+q
3:~p*~q [=] 3: ~p*~q

Podsumowując:
Logika matematyczna która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna.

Historyczny wniosek:
Logika matematyczna ziemian zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W Klasycznym Rachunku Zdań wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.

Puenta:
Miejsce gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.

Zobaczmy na przykładzie rodem z przedszkola o co tu chodzi.

Pani A w przedszkolu mówi:
Y:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tyko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Jaś:
Negujemy stronami Y.
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
stąd:
~Y = ~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Pani B w przedszkolu mówi:
Y:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y=~K*~T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y)?
Jaś:
Negujemy stronami Y.
~Y=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
stąd:
~Y = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)

Zapiszmy obietnice pani A i pani B w tabeli prawdy:
Kod:

T3.
Pani A               ## Pani B
1:  Y=K+T            ## 3:  Y=~(K+T)=~K*~T
    #                ##     #
3: ~Y=~(K+T)=~K*~T   ## 1: ~Y=K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Wnioski:
A.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest tożsama z którąkolwiek funkcją logiczną po drugiej stronie znaczka ##
B.
Żadna funkcja logiczna Y z dowolnej strony znaczka ## nie jest zaprzeczeniem którejkolwiek funkcji logicznej po drugiej stronie znaczka ##

Spełniona jest zatem definicja znaczka różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zobaczmy teraz co się stanie jeśli z tabeli T1 usuniemy funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Kod:

T4.
1:   K+T          ## 3: ~(K+T)=~K*~T
     #            ##      #
3: ~(K+T)=~K*~T   ## 1:   K+T
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
#  - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że bez rozróżnienia logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) logika matematyczna leży w gruzach bo w tabeli T2 ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych tabeli.
Kod:

1: K+T  [=] 1:  K+T
3:~K*~T [=] 3: ~K*~T

Podsumowując:
Logika matematyczna która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna.

Historyczny wniosek:
Logika matematyczna ziemian zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań jest wewnętrznie sprzeczna bo nie odróżnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) od funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y)
W Klasycznym Rachunku Zdań wszelkie funkcje logiczne zapisywana są tylko i wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) co jest dowodem jej wewnętrznej sprzeczności czysto matematycznej.

Puenta:
Miejsce gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.

Uwaga:
Zauważmy, że de facto udowodniliśmy tu wewnętrzną sprzeczność starej algebry Boole’a która nie odróżnia logiki dodatniej (bo Y) od logiki ujemnej (bo ~Y)
cnd

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 6:06, 29 Sty 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:39, 22 Sty 2021    Temat postu:

3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
3.1 Prawa Owcy i Owieczki 4
3.2 Podstawowe operacje na zbiorach 8
3.2.1 Suma logiczna zbiorów 9
3.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów 10
3.2.3 Różnica (-) zbiorów 10
3.3 Dziedzina 11
3.3.1 Zaprzeczenie zbioru 12
3.3.2 Zbiór wszystkich zbiorów 12
3.3.3 Nazwa własna zbioru 13
3.3.4 Dziedzina minimalna 13
3.4 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~> 14
3.4.1 Definicja warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 15
3.4.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 15
3.4.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 17
3.5 Definicja definicji 19
3.5.1 Definicyjny błąd idem per idem 21
3.5.2 Relacje w logice matematycznej 23
3.5.3 Logika świata martwego i żywego 24


3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ) - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]=1 bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór liczb naturalnych”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zauważmy, że w zbiorze pustym [] z definicji nie ma prawa być pojęcia które znajduje się w Uniwersum bo pojęcie „zbiór pusty” oznacza zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka.
Innymi słowy:
Pojęcia „zbioru pustego” leżą na zewnątrz Uniwersum, są to pojęcia jeszcze niezdefiniowane przez człowieka które w przyszłości mogą być zdefiniowane.

Co się stanie jak pojęcie nieznane dzisiaj zostanie zdefiniowane?
Odpowiedź:
Takie pojęcie automatycznie przeskoczy do Uniwersum.

Przykładem pojęcia które kilkadziesiąt lat temu przeskoczyło ze zbioru pustego do Uniwersum jest np. pojęcie Internet. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.

Uniwersum U i zbiór pusty [] to zbiory rozłączne, z tym że Uniwersum jest zbiorem skończonym o przeliczalnej liczbie elementów, bo chodzi tu wyłącznie o człowieka który definiuje pojęcia.
Natomiast zbiór pusty [] zawiera nieskończoną ilość elementów, bo chodzi tu o pojęcia które człowiek jeszcze nie zdefiniował a których jest nieskończenie wiele.

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja zbiorów rozłącznych:
Dwa zbiory p i q są rozłączne wtedy i tylko wtedy gdy nie mają elementu wspólnego

Podsumowanie:
Na mocy wyłożonej wyżej teorii możemy zapisać:
1.
Zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem => zbioru pustego []
[] => [] =1
Na mocy definicji podzbioru:
Każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
cnd
2.
Zbiór pusty nie jest (=0) podzbiorem => Uniwersum U
[]=>U =0
Zbiór pusty [] nie ma ani jednego elementu wspólnego ze zbiorem Uniwersum U, zatem zbiory te są rozłączne.
Innymi słowy:
Nie istnieje (=0) element zbioru pustego [], który należałby do zbioru Uniwersum U
cnd

Powyższe relacje zbioru pustego [] i Uniwersum U obowiązują między dowolnymi zbiorami, inaczej matematyka jest wewnętrznie sprzeczna.
Innymi słowy:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q z założenia
Wtedy:
p~~>~q = p*~q =0 - iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory p i ~q są rozłączne.
Gdzie:
~q - zbiór zewnętrzny względem zbioru q.

Na deser wisienka na torcie, czyli najbardziej zaskakujące twierdzenie w całej historii logiki matematycznej.

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

Problem zbioru pustego [] i Uniwersum U możemy przedstawić graficznie:
Kod:

-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------

W AK zbiór pusty [] jest rozłączny ze zbiorem Uniwersum U w każdym momencie czasowym tzn. nie istnieje chwila czasowa w której zbiory [] i U miałyby choć jeden element wspólny.
Jeśli człowiek zdefiniuje dowolne nieznane mu pojęcie to to pojęcie przeskoczy ze zbioru pustego [] do Uniwersum U w czasie nieskończenie krótkim.


3.1 Prawa Owcy i Owieczki

Niniejszy rozdział wyjaśniający o co chodzi w definicjach zbioru pustego [] i Uniwersum U na gruncie algebry Kubusia zawiera wiele pojęć których jeszcze nie znamy, a które za chwilkę poznamy.
Rozdział ten to wyjaśnienia dla ziemskich matematyków o co chodzi w definicjach zbioru pustego [] i Uniwersum U w algebrze Kubusia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3250.html#576965
MaluśnaOwieczka napisał:

rafal3006 napisał:
Zauważ MaluśnaOwieczko, że w AK zbiór pusty [] jest rozłączny ze zbiorem Uniwersum U w każdym momencie czasowym tzn. nie istnieje chwila czasowa w której zbiory [] i U miałyby choć jeden element wspólny.

Zauważ Kubusiu, że dokładnie tak samo jest w teorii zbiorów Ziemian.
Uniwersum i zbiór pusty nie mają żadnego elementu wspólnego, ale ich częścią wspólną jest zbiór (nie element) pusty.
W teorii zbiorów Ziemian zbiory rozłączne to takie zbiory, których częścią wspólną jest zbiór pusty.
Częścią wspólną Uniwersum i zbioru pustego jest w ziemskiej teorii zbiorów zbiór pusty. A więc w ziemskiej teorii zbiorów Uniwersum i zbiór pusty również są rozłączne.
Są rozłączne i mają część wspólną, którą jest zbiór pusty. Może to nie brzmi zbyt intuicyjnie..

Zdanie wytłuszczone jest wewnętrznie sprzeczne, bowiem jeśli zbiory są rozłączne to żadnej wspólnej części nie mogą mieć z definicji.
Ja doskonale wiem jak jest u ziemian - dokładnie tak jak mówisz, ale to jest katastrofa, wykluczająca poprawne relacje zbioru pustego [] i Uniwersum U.

Fundamentalne definicje pojęcia, elementu zbioru i zbioru przypominam niżej.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Nie jest zatem prawdą, jak twierdzą ziemianie iż zbiór to pojęcie pierwotne, niedefiniowalne.

Prawo Owcy:
Dowolna logika matematyczne w której element lub zbiór x należy jednocześnie do zbioru niezaprzeczonego (bo A) i zaprzeczonego (bo ~A) jest matematycznie fałszywa.

Dowód:
Dla powyższego x dojdzie do gwałtu na fundamencie logiki matematycznej:
A*~A =x
Gdzie:
x - wspólny dla A i ~A element lub zbiór.
cnd

Zastrzeżenie w ziemskiej teorii zbiorów jakoby elementami zbiorów nie mogłyby być zbiory (podzbiory) jest nie do obrony, o czym będzie w kolejnym punkcie.

Poprawne relacje matematyczne w AK:

W algebrze Kubusia relacje między zbiorem pustym [] i Uniwersum w są takie:
Kod:

T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------
Dziedzina:
D=U+[] =1 - to jest suma logiczna pojęć zdefiniowanych (U)
i jeszcze niezdefiniowanych []
czyli zbiór wszystkich możliwych pojęć w naszym Wszechświecie.
U*[] =0 - bo zbiory U i [] są rozłączne

W algebrze Kubusia zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty to zaprzeczenie Uniwersum
U = ~[] - zbiór U to zaprzeczenie zbioru pustego
Doskonale to widać na diagramie T1.

To samo można udowodnić inaczej.

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p rozumiany jako uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Dziedzina:
D=U+[] =1 - suma logiczna pojęć zdefiniowanych (U) i jeszcze niezdefiniowanych []

Na mocy definicji zaprzeczenia zbioru mamy:
~U = [D-U]=[U+[]-U] =[]
~[] = [D-[]] =[U+[]-[]] =U
cnd

Popatrzmy teraz jak to jest w ziemskiej teorii zbiorów!
Kod:

T3
Teoria zbiorów ziemian:
-------------------------------------------------------------------
| A                                | B                            |
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
|                                  | Zbiór pusty []               |
-------------------------------------------------------------------

Tabela T3 to katastrofa logiki matematycznej.
Dlaczego?
Bo ten sam zbiór [] należy zarówno do zbioru A jak i do zbioru zaprzeczonego ~A (B=~A).

W AK niemożliwym jest aby ten sam zbiór x należał do zbioru A i ~A
Dokładnie dlatego algebra zbiorów ziemian jest fałszem.

Owszem, jeśli przyjmiemy że zbiór pusty [] ma zero elementów w sensie ABSOLUTNYM, to wtedy u Ziemian zachodzi.
A=~B
[] = ~([]+U) = ~(0+U) = ~U

Problem w tym, że w AK zbiór pusty [] to nieskończona ilość elementów jeszcze niezdefiniowanych a nie zbiór pusty w sensie ABSOLUTNYM jak to jest u ziemian.

Tak więc sprawa rozbija się o poprawne definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U w AK i logice ziemian.

Zauważmy że w logice ziemian zdanie:
„ze zbioru pustego wynika wszystko”
jest zdaniem FAŁSZYWYM, bo u ziemian zbiór pusty nie ma ani jednego elementu w sensie ABSOLUTNYM - z tak zdefiniowanego zbioru pustego nic nie może wynikać.

Natomiast w algebrze Kubusia zdanie:
„ze zbioru pustego wynika wszystko”
jest zdaniem PRAWDZIWYM.

Dowód:
Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie ABSOLUTNYM, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
Kod:

T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty []                   | Uniwersum U                  |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka  | Pojęcia przez człowieka już  |
| niezdefiniowane                  | zdefiniowane                 |
| Niezrozumiałe dla człowieka      | Zrozumiałe dla człowieka     |
|                                  |                              |
-------------------------------------------------------------------
Dziedzina:
U+[] =1 - to jest suma logiczna pojęć zdefiniowanych (U)
i jeszcze niezdefiniowanych []
czyli zbiór wszystkich możliwych pojęć w naszym Wszechświecie.
U*[] =0 - bo zbiory U i [] są rozłączne

W AK zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty to zaprzeczenie Uniwersum
U = ~[] - zbiór U to zaprzeczenie zbioru pustego


Podsumowanie:
Dlaczego teoria zbiorów ziemian jest do kitu?
Odpowiadam:
Bo w teorii ziemian fałszywy jest ich własny fundament logiki matematycznej:
„ze zbioru pustego wynika wszystko”
To jest fałsz - co udowodniłem wyżej.

… a jak to jest w AK?

Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3150.html#575901
MaluśnaOwieczka napisał:

rafal3006 napisał:
Czy zgadzasz się z fundamentem wszelkich ziemskich logik mówiącym iż:
„z fałszu wynika wszystko”

Tak, zgadzam się.


MaluśnaOwieczko:
Nie zamierzam udowadniać fałszywości poniższych dogmatów ziemskich matematyków:
1: z fałszu wynika wszystko
2: ze zbioru pustego wynika wszystko
3: ze zdania fałszywego wynika wszystko
bowiem zdanie „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” jest prawdziwe pod warunkiem przyjęcia definicji zbioru pustego [] i Uniwersum U z algebry Kubusia.

Dowód prawdziwości prawa Owieczki mamy w poprzednim punkcie.

3.2 Podstawowe operacje na zbiorach

Zastrzeżenie ziemskiej teorii zbiorów jakoby elementami zbiorów nie mogłyby być zbiory (podzbiory) jest nie do obrony.

Dowód:
Budowa zbioru ssaków na podstawie Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Podział ssaków z 2018 roku:
afrosorkowce (Afrosoricida) 51 gat.
brzegowce (Sirenia) 5 gat.
drapieżne (Carnivora) 288 gat.
dwuprzodozębowce (Diprotodontia) 143 gat.
dydelfokształtne (Didelphimorphia) 87 gat.
góralkowce (Hyracoidea) 4 gat.
gryzonie (Rodentia) 2368 gat.
jamrajokształtne (Peramelemorphia) 21 gat.
jeżokształtne (Erinaceomorpha) 24 gat.
kretoworokształtne (Notoryctemorphia) 2 gat.
łuskowce (Pholidota) 8 gat.
naczelne (Primates) 501 gat.
niełazokształtne (Dasyuromorphia) 75 gat.
nieparzystokopytne (Perissodactyla) 24 gat.
nietoperze (Chiroptera) 1308 gat.
pancernikowce (Cingulata) 21 gat.
parzystokopytne (Artiodactyla) 248 gat.
rurkozębne (Tubulidentata) 1 gat.
ryjkonosowe (Macroscelidea) 15 gat.
ryjówkokształtne (Soricomorpha) 428 gat.
skąpoguzkowce (Paucituberculata) 6 gat.
skóroskrzydłe (Dermoptera) 2 gat.
stekowce (Monotremata) 5 gat.
torbikowce (Microbiotheria) 1 gat.
trąbowce (Proboscidea) 3 gat.
walenie (Cetacea) 91 gat.
wiewióreczniki (Scandentia) 20 gat.
włochacze (Pilosa) 10 gat.
zajęczaki (Lagomorpha) 92 gat.

Jak widzimy zbiór ssaków to suma logiczna podzbiorów pojęcia ssak, a nie pojedyncze elementy np. krowa, nietoperz, hipopotam, delfin etc.
Oczywiście można by nie używać podzbiorów wyliczając wszystkie elementy jak wyżej, ale wtedy zgubimy podział ssaków na kluczowe tu podzbiory i co najważniejsze, taka wyliczanka zajęłaby pewnie klika stron. Gdybyśmy poszli dalej rozbijając przykładowe pojęcie „pies” na rasy psów to definicja pojęcia „ssak” znów by się znacząco wydłużyła, natomiast gdybyśmy w przykładowej rasie psów „jamnik” zaczęli odróżniać jamnika Jasia od Jamnika Zuzi to prędzej wylądowalibyśmy w zakładzie zamkniętym bez klamek, niż wyliczyli wszystkie ssaki żyjące na ziemi.

Zauważmy, że wytłuszczony podzbiór to jeden gatunek, czyli pojedynczy element zbioru ssaki, ale ten element również należy do zbioru wszystkich ssaków.
Wniosek:
Definicja zbioru ziemian nie dopuszczająca podzbiorów jako elementów zbioru jest nie do obrony, to jest fałszywa definicja nie mająca związku z otaczającą nas rzeczywistością.

Przy okazji mamy tu dowód iż powszechnie używany przecinek rozdzielający elementy zbioru to znaczek sumy logicznej „lub”(+)
SSAKI = [torbikowce, walenie, zajęczaki ..]
Zapis matematycznie tożsamy:
SSAKI = [torbikowce+ walenie + zajęczaki …]
Znak tożsamości logicznej „=” możemy postawić wtedy i tylko wtedy gdy w tabeli w cytacie wyliczono wszystkie elementy i podzbiory definiujące SSAKI, inaczej koniec wyliczanki musimy zakropkować „…” w znaczeniu „i inne”, jak to zrobiono w zapisie wyżej.

Różnica między zbiorem „ssaki” a zbiorem pustym [] jest następująca:
SSAKI = [torbikowce + walenie + zajęczaki + ...] = [1+1+1+..] =1
Wszystkie pojęcia wyżej są znane człowiekowi więc ich wartość logiczna to 1
torbikowce =1 - bo wiem (=1) co to są torbikowce
walenie=1 - bo wiem (=1) co to są walenie
zajęczaki=1 - bo wiem (=1) co to są zajęczaki

Prawo algebry Boole’a:
1+1+1 =1

ALE!
Weźmy przykładowe element zbioru pustego [], czyli zbioru pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] = [ashdgte + jhcdrwyabsk + ..] =[0+0+..] =0
W zbiorze pustym [] nie rozumiemy żadnego pojęcia zatem wartość logiczna zbioru pustego to 0
ashdgte=0 - nie wiem (=0) co znaczy pojęcie „ashdgte”
jhcdrwyabsk=0 - nie wiem (=0) co znaczy pojęcie „jhcdrwyabsk”

Prawo Algebry Boole’a:
0+0 =0

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
p=[x] =1 - gdy zbiór p jest niepusty, zawiera co najmniej jeden element zrozumiały dla człowieka
Bo prawo algebry Boole’a:
0+1 =1
p=[] =0 - gdy zbiór p jest pusty, zawiera zero elementów zrozumiałych dla człowieka
Bo prawo algebry Boole’a:
0+0 =0

3.2.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p

3.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń

Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego

Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =1
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p

3.2.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty


3.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.

Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

Przyjmijmy za dziedzinę w której operujemy Uniwersum.
D=U
Zbiór poza Uniwersum jest dla nas pusty z definicji. Nie oznacza to jednak, że poza naszym aktualnym Uniwersum nie ma już pojęć które człowiek pozna w przyszłości. Przykładowo, zaledwie 40 lat temu słówko Internet było dla ludzkości zbiorem pustym, jeszcze nie zdefiniowanym. W dniu dzisiejszym słówko Internet jest zdefiniowane i znane praktycznie każdemu człowiekowi.

Definicja dziedziny D i zbioru pustego []:
D+~D = D+[] =D =1 - zbiór pusty [] jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dziedziny D
D*~D = D*[] =[] =0 - iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych D i [] jest zbiorem pustym []

Na mocy powyższego mamy:
[] = ~D
D=~[]

Matematycznie zachodzi tu prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Stąd:
D = ~(~D) = ~([]) = ~[]
[] = ~(~[]) = ~(D) = ~D

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Każdy zbiór jest podzbiorem samego siebie z definicji:
D=>D =1 - dziedzina jest (=1) podzbiorem => siebie samej
[]=>[] =1 - zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem siebie samego

Tabela prawdy wiążąca dziedzinę D ze zbiorem pustym []:
Kod:

A: D=>D        =1 - dziedzina D jest (=1) podzbiorem dziedziny D
B: D~~>[]=D*[] =0 - dziedzina D i zbiór pusty [] to zbiory rozłączne
C: []=>[]      =1 - zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem zbioru pustego []
D: []~~>D=[]*D =0 - zbiór pusty [] i dziedzina D to zbiory rozłączne


Dla D=1 i []=0 mamy tabelę prawdy równoważności D<=>D:
Kod:

   D   D D<=>D
A: 1=> 1  =1
B: 1~~>0  =0
C: 0=> 0  =1
D: 0~~>1  =0


3.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[T]

3.3.2 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne

3.3.3 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

3.3.4 Dziedzina minimalna

Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla „psa” P=[pies] to zbiór wszystkich zwierząt - przypadek A.
3.
Zauważmy, że dla zbioru P=[pies] nie możemy przyjąć dziedziny:
D=P=[pies]
bo pojęcie nie pies ~P będzie nierozpoznawalne.
Dowód:
~P=[D-P]=[P-P]=[] =0
cnd

3.4 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja równoważności p<=>q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Stąd mamy bardzo ważne w logice matematycznej prawo Słonia:

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

3.4.1 Definicja warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

W teorii zbiorów zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

3.4.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      AB12:            |     AB34:
      AB1:     AB2:    |     AB3:     AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

3.4.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q

Równoważność to jedyny sensowny spójnik logiczny używany w technice bowiem nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które występuje w spójnikach implikacji prostej p|=>q, implikacji odwrotnej p|~>q i w chaosie p|~~>q.
Szczegóły poznamy niebawem, póki co zapoznajmy się z definicją równoważności p<=>q.

W teorii zbiorów zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest wystarczające => dla q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest konieczne ~> dla q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy podstawową definicję równoważności:
RA1B1:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1

Ta definicja znana jest wszystkim ludziom, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 000
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 120

Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd mamy definicje matematyczną równoważności (używaną w matematyce):
RA1B3:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
Definicja tożsama w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych matematycy udowodnili wieki temu.

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Dowód prawdziwości zdań składowych równoważności Pitagorasa:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa:

Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Ten dowód oznacza iż:
Bycie trójkątem prostokątnym jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów, bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Bycie trójkątem prostokątnym daje nam gwarancję matematyczną => spełnionej sumy kwadratów, bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny
SK=>TP =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Ten dowód oznacza iż:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów jest warunkiem wystarczającym => aby ten trójkąt był prostokątny, bo zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny, bo zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Stąd mamy:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

3.5 Definicja definicji

Jedyną poprawną definicją czegokolwiek w naszym Wszechświecie jest definicja równoważnościowa, gdzie musi być prawdziwe zarówno twierdzenie proste p=>q =1 jak i twierdzenie odwrotna q=>p =1.

Definicję definicji precyzują prawo Słonia i prawo Słoniątka.

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd tożsama wersja prawa Słonia.

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Gdzie:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne

Na mocy prawa Słonia zapisujemy równoważność prawdziwą z użyciem zdania „Płock leży nad Wisłą”:
Płock leży nad Wisłą wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
PNW <=> PNW = (A1: PNW=>PNW)*(B1: PNW~>PNW] =1*1 =1
Dowód:
A1: PNW=>PNW =1
Dowolne pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
B1: PNW~>PNW=1
Dowolne pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Na mocy prawa Słonia ta równoważność jest prawdziwa ale jej użyteczność jest zerowa bo niczego nie definiuje.

Prawo Słoniątka:
Dowolna definicja czegokolwiek w naszym Wszechświecie musi być definicją równoważnościową, czyli matematycznie jednoznaczną w całym obszarze Uniwersum.
Gdzie:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych przez człowieka.

Definicja definicji:
Definicja, to wypowiedź o określonej budowie, w której informuje się o znaczeniu pewnego wyrażenia przez wskazanie innego wyrażenia oddającego sens sformułowania.

Zastanówmy się, czy poprawna definicja Płocka może być na przykład taka:

Twierdzenie proste:
Płock leży nad Wisłą
Twierdzenie tożsame:
Płock to miasto leżące nad Wisłą
Twierdzenie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny:
A1.
Płock na 100% => leży nad Wisłą
P=>MNW =1
Bycie miastem Płock jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby miasto to leżało nad Wisłą bo zbiór jednoelementowy P=[Płock] jest podzbiorem => zbioru miast leżących nad Wisłą MNW=[Płock, Kraków ..]

Twierdzenie odwrotne jest tu fałszem:
B3.
Miasto leżące nad Wisłą to na 100% => Płock
MNW=>P =0
Bycie miastem leżącym nad Wisłą nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia iż jest to Płock bo zbiór miast leżących nad Wisłą MNW=[Płock, Kraków ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[Płock]

Wniosek:
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>MNW o definicji:
A1: P=>MNW =1 - twierdzenie proste P=>MNW jest prawdziwe (=1)
B1: MNW=>P =0 - twierdzenie odwrotne MNW=>P jest fałszywe (=0)
stąd mamy:
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>MNW o definicji:
P|=>MNW = (A1: P=>MNW)*~(B3: MNW=>P) = 1*~(0)=1*1 =1
cnd

Weźmy nasze zdanie A1:
A1.
Płock to miasto nad Wisłą
Pojęciem definiowanym jest tu miasto p=Płock w poprzedniku.
Właściwa definicja Płocka zawarta jest w następniku po słowie „to”: q=MNW

Zapiszmy właściwą definicję Płocka:
q=miasto nad Wisłą
Ta definicja nie definiuje nam jednoznacznie miasta Płock bo miast nad Wisłą jest wiele: Płock, Kraków, Warszawa, Gdańsk etc
To jest definicja implikacyjna (niejednoznaczna) bo Płock jest jednym z wielu miast leżących nad Wisłą.

Klasyka definicji niejednoznacznej zawarta jest w filmie „Rejs”:
https://www.youtube.com/watch?v=0hqfL69w4Qs
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą - podać jego odgłos.

Definicja równoważnościowa miasta Płock może być na przykład taka:
Płock to miasto nad Wisłą z siedzibą Orlenu
Dopiero tu możemy zapisać tożsamość (równoważność):
Płock = miasto nad Wisłą z siedzibą Orlenu
Płock <=> miasto nad Wisłą z siedzibą Orlenu
P<=> MNW*O

To jest definicja matematycznie poprawna, a nawet nadmiarowa, bo minimalna definicja Płocka jest taka:
Płock to miasto z siedzibą Orlenu
P<=>O = (A1: P=>O)*(B3: O=>P) =1*1 =1
A1:
Jeśli miasto jest Płockiem to na 100% => znajduje się w nim Orlen
P=>O =1
Bycie Płockiem wystarcza => by znajdowała się tu siedziba Orlenu
B3:
Jeśli budynek jest siedzibą Orlenu to na 100% => jest w Płocku
O=>P =1
Bycie budynkiem Orlenu daje nam gwarancję matematyczną => iż znajduje się on w Płocku

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Miasto Płock = Siedziba Orlenu
P=O
O co chodzi w tej tożsamości?

Tu kłaniają się popularne krzyżówki:
1.
Miasto w którym znajduje się Orlen
Odpowiedź: Płock
2.
Koncern naftowy z siedzibą w Płocku:
Odpowiedź: Orlen

3.5.1 Definicyjny błąd idem per idem

Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest wystarczające => dla q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest konieczne ~> dla q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy podstawową definicję równoważności:
RA1B1:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Ta definicja znana jest wszystkim ludziom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 000
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 120

Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd mamy definicje matematyczną równoważności (używaną w matematyce):
RA1B3:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
Definicja tożsama w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

W teorii zbiorów zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W algebrze Kubusia równoważność p<=>q służy wyłącznie definiowaniu tożsamości zbiorów (pojęć) p=q na mocy prawa Słonia.

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd mamy tożsamą wersję prawa Słonia.

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

W AK prawdziwe są równoważności typu:
p<=>p
gdzie pod p można sobie podstawić cokolwiek.

Podstawmy:
p=trójkąt jest prostokątny
Stąd mamy
RA1B1:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny
TP<=>TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1 =1
Dowód zdań składowych:
A1: TP=>TP =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Zbiór trójkątów prostokątnych TP jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych TP
B1: TP~>TP =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Zbiór trójkątów prostokątnych TP jest nadzbiorem ~> zbioru trójkątów prostokątnych TP

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
TP=TP
Czytamy:
Zbiór trójkątów prostokątnych jest tożsamy ze zbiorem trójkątów prostokątnych

Zauważmy że równoważność RA1B1 nie definiuje trójkąta prostokątnego bowiem jest to definiowanie przez siebie samego - błąd idem per idem
To jest znany matematykom błąd definicyjny.

Identyczny błąd idem per idem to na przykład taka równoważność:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest psem
Innymi słowy:
pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (A1: P=>P)*(B1: P~>P) =1*1 =1

W języku potocznym błąd idem per idem jest niekiedy popełniany celowo dla podkreślenia wagi czegoś np.
Dolar to dolar, silna waluta.
Koń to koń, jaki jest każdy widzi
Jak mówię że kocham to kocham
etc


3.5.2 Relacje w logice matematycznej

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3100.html#575497
MaluśnaOwieczka napisał:
Pójdę do kina wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie padać.

Czy "Nie będzie padać" stanowi definicję "Pójdę do kina"?

Oczywiście - nie stanowi.

W tym momencie wkroczyłeś w relację:
Świat żywy vs Świat martwy

Jeśli jutro będzie padało to na 100% => otworzę parasol
P=>OP =1
Prawo kontrapozycji:
P=>OP = ~OP =>~P
stąd mamy:
Jeśli jutro nie otworzę parasola to na 100% =>nie będzie padało
~OP=>~P =1 - na mocy prawa kontrapozycji

Fundamenty algebry Kubusia to w 100% logika formalna (ogólna) powstała na bazie praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym tzn. z fundamentów algebry Kubusia usuwamy wszelkie zdania w których ustawienie wartości logicznej poprzednika lub następnika zależy od wolnej woli człowieka.
W przykładzie wyżej otworzenie parasola zależy od wolnej woli człowieka (świat żywy) ale o tym czy jutro będzie padło człowiek już nie decyduje (świat martwy).

Możliwe relacje w logice matematycznej to:
Świat martwy vs Świat martwy
Świat żywy vs świat martwy (przykłady wyżej)
Świat żywy vs świat żywy (przykłady: obietnice i groźby)

Od strony czysto matematycznej kluczowe i najważniejsze są relacje:
Świat martwy (w tym matematyka) vs Świat martwy (w tym matematyka)

Dlaczego są najważniejsze?
Bo świat martwy z definicji nie ma prawa do kłamstwa, natomiast świat żywy może kłamać do woli.

To dzięki prawom że świata martwego (w tym matematyki) możemy rozstrzygać kiedy człowiek mówi prawdę, a kiedy kłamie bo:

Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
„Wolna wola” (prawo do kłamstwa) to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej rodem ze świata martwego.

Z powyższej definicji wynika, że warunkiem koniecznym do opisania języka potocznego człowieka jest poznanie praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym (w tym w matematyce).

Świat martwy nie ma prawa gwałcić (i nie gwałci!) swoich własnych praw logiki matematycznej pod które podlega.

Logika formalna (ogólna) w algebrze Kubusia ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka,

Przykład:

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Aby odpowiedzieć na pytanie kiedy człowiek wypowiadając dowolną obietnicę ją dotrzyma a kiedy nie (w przyszłości oczywiście!), musimy znać definicję implikacji prostej p|=>q którą wyznacza matematyka i świat martwy.

Innymi słowy:
Sensowne jest mówienie o relacjach:
świat żywy vs Świat martwy
świat żywy vs Świat żywy
wtedy i tylko wtedy gdy uprzednio poznamy prawa logiki matematycznej obowiązujące w świecie martwym (w tym w matematyce).

Podsumowanie:
Zauważmy, że teoria logiki matematycznej może być wykładana tylko i wyłącznie na bazie świata martwego (w tym matematyki), który nie ma prawa do kłamstwa - dokładnie tak jest to zrobione w algebrze Kubusia.

3.5.3 Logika świata martwego i żywego

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3125.html#575667
MaluśnaOwieczka napisał:
Kubuś, a gdzie Algebra Kubusia definiuje świat martwy?
Poza tym, jeśli AK zajmuje się tylko światem martwym, który, jak stwierdziłeś, nie kłamie, to znaczy, że wszystkie równoważności w rozumieniu AK są prawdziwe. Po co więc się nimi w ogóle zajmować, skoro i tak wiadomo, że mówią prawdę?

Algebra Kubusia zajmuje się wszystkimi możliwymi, trzema światami:
1: Świat martwy (w tym matematyka) vs Świat martwy (w tym matematyka)
2: Świat martwy vs świat żywy
3: świat żywy vs świat żywy (np. obietnice i groźby)

Ziemska logika matematyczna nie widzi tych trzech światów i to jest jej tragedia.
Można to porównać do następującego przypadku:
Jaś (lat 7) idzie do I klasy szkoły podstawowej gdzie w programie nauczania ma:
tabliczka mnożenia do 100, twierdzenie Pitagorasa, planimetria, bryły i inne „całki”
… taki kogel mogel Jaś dostaje w I klasie SP - tak właśnie działa KRZ.

Kolejność w nauczaniu logiki matematycznej musi być taka.
Po pierwsze i najważniejsze:
Uczeń I klasy LO musi opanować fundamenty logiki matematycznej w postaci logiki świata martwego (w tym matematyki), dopiero na bazie tych fundamentów wolno mu sią zająć innymi dziedzinami logiki matematycznej np. obietnicami i groźbami czyli światem żywym.

Wyjaśnienie o co tu chodzi na przykładzie.

Definicja świata martwego w logice matematycznej:
Świat martwy w logice matematycznej to świat gdzie wartości logiczne zdań są zdeterminowane przez przyrodę i matematykę.

Oczywiście wypowiadający zdanie mając wolną wolę (prawo do kłamstwa) może kłamać do woli ale to kłamstwo zostanie mu udowodnione równo z chwilą wypowiedzenia zdania - natychmiast!

Różnica jest tu fundamentalna.

Przykład zdania z obszaru świat martwy-świat żywy.
MaluśnaOwieczka:
RMO:
Jutro pójdę do kina wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie padało
K<=>~P =?
Decyzja „Jutro pójdę do kina” zależy od MaluśnejOwieczki, ale zdarzenie „jutro nie będzie padało” nie zależy od MaluśnejOwieczki.
Temu zdaniu nie możemy przypisać wartości logicznej tu i teraz, natychmiast, bo nie wiadomo co jutro zrobi MaluśnaOwieczka.
W tym przypadku zadaniem logiki matematycznej jest rozstrzygnięcie kiedy w przyszłości MaluśnaOwieczka zostanie kłamcą a kiedy nie zostanie - tylko tyle i aż tyle rozstrzyga tu logika matematyczna!
Innymi słowy:
Logika matematyczna pozwala posiąść wiedzę tu i teraz kiedy w przyszłości MaluśnaOwieczka będzie kłamcą a kiedy nie będzie, ale nigdy nie rozstrzygnie czy pojutrze MaluśnaOwieczka będzie kłamcą czy nie będzie. Gdyby to było matematycznie możliwe to wolna wola MalusnejOwieczki (prawo do kłamstwa) ległaby w gruzach - na szczęście dla MaluśnejOwieczki to nie jest matematycznie możliwe.

Przykład zdania z obszaru świata martwego:
Jaś (lat 5):
RJ.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno
P<=>CH =?
Tu zarówno poprzednik „zdarzenie pada” jak i następnik „zdarzenie jest pochmurno” nie zależą od Jasia tzn. Jaś nie ma czarodziejskiej różdżki podobnej do laski Mojżesza którą opuszczając spowoduje padanie zaś podnosząc spowoduje brak padania.
Zauważmy, że czasami zdarza się (przykład wyżej) iż wypowiadamy zdanie fałszywe w przekonaniu iż wypowiedzieliśmy zdanie prawdziwe, tu logika matematyczna działa natychmiast z dziecinną łatwością udowadniając iż Jaś wypowiedział zdanie fałszywe.

Niekoniecznie musi zachodzić tożsamość:
Zdanie fałszywe = kłamstwo
bo:
Definicja kłamstwa:
Kłamstwo to świadome powiedzenie nieprawdy.

Dowód iż równoważność Jasia jest fałszywa jest trywialny.

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Korzystając z prawa Słonia sprawdzamy, czy w równoważności Jasia:
P<=>CH =?
zachodzi tożsamość „padania” i „chmur”

P=CH <=> (A1: P=>CH)*(B3: CH=>P) = P<=>CH

Sprawdzamy prawdziwość/fałszywość zdań składowych A1 i B3.
A1.
Jeśli pada to na 100% => są chmury
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
B3.
Jeśli są chmury to na 100% => pada
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Wniosek:
Równoważność Jasia jest fałszywa:
Pada wtedy i tylko wtedy gdy są chmury
P<=>CH = (A1: P=>CH)*(B3: CH=>P) =1*0 =0

Rozważmy taką sytuację:
MaluśkaOwieczka i Jaś (synek) widzą że za oknem pada.
Jaś mówi do taty:
1.
Teraz pada i jest pochmurno

Innymi słowy tata:
2.
Tu i teraz pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno

Pytanie do MluśnejOwieczki:
Czy ze stwierdzenia prawdziwości zdania 1 (oczywistość) wynika prawdziwość zdania 2?

Poprawna odpowiedź:
Nie wynika - zdanie 2 jest fałszem.

Dowód:
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Aby udowodnić że cokolwiek jest równoważnością nie wystarczy sprawdzić pojedynczy przypadek „teraz pada i jest pochmurno” - trzeba sprawdzić wszystkie, dostępne matematycznie przypadki.
DM = P*CH+ P*~CH + ~P*~CH + ~P*CH
Gdzie:
DM - dziedzina matematyczna, o której będzie za chwilkę.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 22:38, 07 Lut 2021, w całości zmieniany 53 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 7:40, 22 Sty 2021    Temat postu:

Spis treści
3.6 Teoria zbiorów Dziedziny D, Uniwersum U i pustego [] 1
3.7 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny 4
3.7.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q 5
3.7.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($) 6
3.8 Dziedzina matematyczna i fizyczna 10
3.8.1 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zdarzeń 11
3.8.2 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zbiorów 13



3.6 Teoria zbiorów Dziedziny D, Uniwersum U i pustego []

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.

Definicja dziedziny wymaga wyjaśnienia.
Dlaczego wszystko co jest poza dziedziną jest dla nas zbiorem pustym z definicji?

Rozważmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych przyjmując za dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
A1:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Twierdzenie to ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza iż:
Zbiór trójkątów prostokątnych jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów.
Oznacza to, że jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny to na 100% => będzie zachodziła w nim suma kwadratów.
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK), bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK).
Z powyższego wynika że:
W AK zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Dla twierdzenia Pitagorasa przyjmijmy teraz dziedzinę najszerszą z możliwych Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum, to wszelkie pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Dowód twierdzenia Pitagorasa przez iterowanie polega na tym, że bierzemy kolejne elementy ze zbioru U i na mocy definicji zawartej w poprzedniku (ZWT=TP+~TP) sprawdzamy czy wylosowany element należy do zbioru ZWT.
Jeśli nie należy to wywalmy element x w kosmos bez żadnej dalszej analizy tzn. do zbioru pustego mówiąc:
Definicja elementu x=[miłość] totalnie mnie nie interesuje bo to pojęcie jest rozłączne ze zbiorem ZWT.

W tym przypadku twierdzenie Pitagorasa przyjmuje brzmienie:
A1.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to na 100% => w tym czymś zachodzi suma kwadratów
x*TP =>SK
x=coś
Dziedzina: Uniwersum
Zapiszmy istotny tu fragment poprzednika twierdzenia Pitagorasa:
Jeśli coś jest trójkątem … (ZWT=TP+~TP)
x*T

Ze zbioru Uniwersum losujemy kolejne pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Losowanie 1
x=kwadrat
Jeśli kwadrat (KW) jest trójkątem (T) …
x*T = KW*T = [] - zbiór pusty
bo pojęcia KW i T są rozłączne
cnd
Losowanie 2
x=miłość
Jeśli miłość (M) jest trójkątem (T) …
x*TP = M*T = [] - zbiór pusty
bo pojęcia M i T są rozłączne
cnd
W twierdzeniu Pitagorasa możemy sobie za dziedzinę przyjąć Uniwersum, mamy do tego prawo, ale jak widzimy wyżej wszelkie pojęcia spoza dziedziny minimalnej ZWT wylądują w zbiorze pustym [], czyli w zbiorze zewnętrznym w stosunku do ZWP.
Wniosek:
Takie pojęcia jak:
x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło...]
są pojęciami pustymi [] z punktu widzenia dziedziny ZWT tzn. o definicji z założenia nieznanej.
Zwrot "z założenia nieznanej" oznacza tu, że definicje tych pojęć z punktu widzenia obsługi twierdzenia Pitagorasa są dla nas zbiorem pustym z założenia (nie interesują nas).
Zauważmy, że z punktu odniesienia twierdzenia Pitagorasa pojęcia puste typu x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło ..] są zbiorem zewnętrznym w stosunku dziedziny minimalnej ZWT.

Powyższy komentarz możemy przedstawić w prosty sposób graficznie:
Kod:

T1.
---------------------------------------------------------------------------
|Relacja dziedziny ZWT i zbioru pustego [] w twierdzeniu Pitagorasa       |
---------------------------------------------------------------------------
|ZWT                              |Zbiór pusty [] z punktu odniesienia    |
|Zbiór wszystkich trójkątów       |dziedziny ZWT                          |
|Zbiór przyjęty za dziedzinę      |[] = [U-ZWT]                           |
|                                 |Uniwersum (U) - zbiór wszystkich pojęć |
|                                 |zrozumiałych dla człowieka             |
|                                 |Elementy x ze zbioru pustego []:       |
|                                 |x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło ..] |
---------------------------------------------------------------------------

Jak otrzymać ogólną definicję dziedziny?
Zapiszmy dokładnie to samo co w twierdzeniu Pitagorasa w zapisach formalnych (ogólnych) podstawiając:
Dziedzina ZWT := dziedzina D
W miejsce „dziedzina ZWT” zapisz := „dziedzina D”
Kod:

T2.
---------------------------------------------------------------------------
|Relacja dziedziny D i zbioru pustego [] (definicja ogólna)               |
---------------------------------------------------------------------------
|D                                |Zbiór pusty [] z punktu odniesienia    |
|Zbiór przyjęty za dziedzinę      |dziedziny D                            |
|                                 |[] = [U-D]                             |
|                                 |Uniwersum (U) - zbiór wszystkich pojęć |
|                                 |zrozumiałych dla człowieka             |
|                                 |Elementy x ze zbioru pustego []:       |
|                                 |x=[U-D]                                |
---------------------------------------------------------------------------


Rozważmy przypadki szczególne z tabeli T2.

1.
Przyjmijmy za dziedzinę Uniwersum:
D=U
stąd mamy:
[] = [U-D] = [U-U] =[] - elementy zewnętrzne w stosunku do dziedziny U
Elementy zbioru pustego []:
x=[U-U] =[] - wszelkie elementy których definicji aktualnie nie znamy (nie należą do U), które możemy poznać w przyszłości
Tu wszystko jest w porządku, w szczególności możemy za dziedzinę D przyjąć Uniwersum.

ALE!
2.
Przyjmijmy za dziedzinę zbiór pusty:
D=[]
Stąd mamy:
[] = [U-D] = [U-[]] = U - z definicji zbiór pusty [] jest rozłączny z U, zatem ta tożsamość nie zachodzi.
Elementy zbioru pustego []:
x=[U-D] = [U-[]] =U - tu do zbioru pustego należy 100% elementów z Uniwersum.

Wniosek:
Nie wolno za dziedzinę przyjąć zbioru pustego [], bowiem taka dziedzina będzie zbiorem nierozpoznawalnym, ponieważ z założenia nie znamy definicji choćby jednego pojęcia ze zbioru pustego [].
Kolejnym argumentem iż nie wolno za dziedzinę przyjąć zbioru pustego [] jest sprzeczność czysto matematyczna zapisana w punkcie 2:
2: []=U - zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym (rozłącznym) w stosunku do zbioru U, zatem tożsamość zbiorów nie ma prawa tu zachodzić.
Ten przypadek to odpowiednik dzielenia przez 0 w matematyce klasycznej:
„Pamiętaj cholero nie dziel przez 0”

Uwagi:
1.
Zbiór pusty [] jest zbiorem zewnętrznym (rozłącznym) w stosunku do zbioru Uniwersum
2.
Zbiór pusty [] zawiera elementy spoza zbioru Uniwersum których jeszcze nie znamy, a które możemy poznać w przyszłości
3.
Matematycznie zachodzi:
U=~[] - Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego []
[]=~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U


3.7 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny

Rozważmy zdanie:
MLK
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
Zbiór człowiek (C) to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
Kod:

S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C = M+K

Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie nie mężczyzna (~M) byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd

3.7.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q
Kod:

S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

W zbiorach zachodzi:
M = ~(K)=~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczony zbiór kobiet w dziedzinie C
K = ~(M)=~M - zbiór kobiet za zaprzeczony zbiór mężczyzn w dziedzinie C

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja => podzbioru:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Na mocy powyższej definicji mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Masz przykład:
RA1:
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy <=> gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =1*1 =1
Każda równoważność prawdziwa w zbiorach definiuje tożsamość zbiorów:
M = ~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczenie zbioru kobiet w dziedzinie C (człowiek)
Z diagramu widać, iż tak jest w istocie.
cnd

Sprawdzenie równoważności RA1:
A1:
Twierdzenie proste:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy mężczyznę (M=1) to na 100% => nie będzie to kobieta (~K=1)
M=>~K =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
M=>M =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

B3:
Twierdzenie odwrotne:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
~K=>~K =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego


3.7.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($)

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych na przykładzie ze świata fizyki.
Kod:

S2
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1
                             q
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      p       |
       -------------  |    ______    |
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1

Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q jest wciśnięty i już żarówka świeci się.

Zapiszmy wszystkie zdarzenia rozłączne których efektem jest świecenie się żarówki.

Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy:
A: Sa = p*q =1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
lub
B: Sb=p*~q =1*1 =1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
C: Sc= ~p*q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i jest wciśnięty przycisk q (q=1)

Gdzie:
S = Sa+Sb+Sc - zdarzenie S=1 (żarówka świeci) jest sumą logiczną zdarzeń cząstkowych Sa, Sb i Sc

Po podstawieniu zdarzeń cząstkowych mamy:
S = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Zauważmy, że wszystkie trzy zdarzenia rozłączne A, B i C są tu możliwe, zatem nie możemy usunąć żadnego ze zdarzeń cząstkowych A, B, C z uzasadnieniem iż zdarzenie X jest niemożliwe w świecie rzeczywistym.

Warto zapamiętać definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych A,B, C.
S = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Fundamentalnie inaczej ma się sprawa ze spójnikiem „albo”($)

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
Kod:

S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn  | K - zbiór kobiet |
| M=~K                | K=~M             |
|                     |                  |
------------------------------------------
|         Dziedzina: C (człowiek)        |
|         Zbiór wszystkich ludzi         |
|                   C=M+K                |
------------------------------------------

Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K

Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Definicja spójnika „albo”($):
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są różne w znaczeniu spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona tego spójnika jest zaprzeczeniem drugiej strony.

Sprawdzamy na naszym przykładzie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M $ K = M $ ~M =1
Definicja spójnika „albo”($) jest spełniona.
cnd

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:

Y=p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Podstawmy na mocy schematu S1:
p=M
q=K
Y = C(człowiek)
Stąd mamy:
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := A: [] + B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne M*K=0.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję spójnika „albo”($) w spójnikach „i’(*) i „lub”(+) w zapisach ogólnych (formalnych):
p$q = p*~q + ~p*q

W języku potocznym często zamiast wypowiedzi matematycznie wzorcowej:
M$K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K
często stosujemy spójnik „lub”(+):
M+K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne A: M*K=0

To jest dowód, iż nasz mózg to zdecydowanie nie komputer, przy pomocy odpowiedniej procedury (istniejącej w mózgu) zapisze wytłuszczone równanie M+K dochodząc podświadomie do poprawnej tu definicji spójnika „albo”($) wyrażonej równaniem M$K
M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K

Dowód:
Załóżmy że Jaś (lat 5) wypowiada zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
Zbiór C to suma logiczna zbiorów M+K
Uzasadnienie znaczka sumy logicznej (+) jest tu jak najbardziej poprawne.

Pani:
Jasiu, czy dowolny człowiek może być jednocześnie mężczyzną i kobietą:
A: M*K=?
Jaś:
NIE
A: M*K =0
stąd mamy:
M$K
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = M*~K +~M*K
Innymi słowy:
Dowolny człowiek może być albo mężczyzną, albo kobietą
Dowolny człowiek nie może być równocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K):
A: M*K =0

Stąd mamy wyprowadzoną definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
M$K.
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C:~M*K

Definicja spójnika „albo”($) w zapisie formalnym (ogólnym):
p$q = p*~q + ~p*q

Zauważmy teraz, że w dziedzinie C (człowiek) w zbiorach zachodzi:
M=~K
K=~M
Stąd mamy:
M$K = B: M*~K + C: ~M*K := B: M*M + C: K*K = B: M + C: K = M+K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów

Wniosek:
M+A.
Zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
można uznać za matematycznie poprawne bo:
1.
C=M+K - zbiór człowiek to suma logiczna (+) zbiorów M+K (w zbiorach to jest prawda)
2.
Każdy 5-cio latek wie, że zbiory M i K są rozłączne zatem w zbiorach zachodzi:
M*K =[] =0
Wniosek:
Mózg każdego człowieka (także poza jego świadomością) bez problemu poradzi sobie z wszystkimi przekształceniami w zbiorach wyżej zapisanymi.


3.8 Dziedzina matematyczna i fizyczna

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM w teorii zdarzeń to zbiór wszystkich zdarzeń rozłącznych, jakie matematycznie mogą wystąpić.
Dziedzina matematyczna DM w teorii zbiorów to zbiór wszystkich zbiorów rozłącznych, jakie matematycznie mogą wystąpić.
W dziedzinie matematycznej z definicji nie interesują nas rzeczywiste relacje między zdarzeniami/zbiorami.

Definicyjna dziedzina fizyczna DDF:
Definicyjna dziedzina fizyczna DDF to część dziedziny matematycznej DM definiująca dowolny spójnik z obszaru języka potocznego.
W tym przypadku również nie interesują nas rzeczywiste relacje między zdarzeniami/zbiorami

Rzeczywista dziedzina fizyczna RDF:
Rzeczywista dziedzina fizyczna RDF w teorii zdarzeń to część dziedziny matematycznej DM mająca szansę wystąpić w świecie rzeczywistym.
Rzeczywista dziedzina fizyczna RDF w teorii zbiorów to część dziedziny matematycznej DM opisująca wyłącznie zbiory niepuste.

Definicja prawdziwości dowolnego spójnika wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie z dowolnym spójnikiem logicznym wyrażonym spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy jego rzeczywista dziedzina fizyczna RDF pokrywa się z definicyjną dziedziną fizyczną DDF użytego spójnika.
Innymi słowy:
Badane zdanie jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy RDF=DDF
Inaczej
badane zdanie jest fałszywe (=0).

3.8.1 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zdarzeń

Przykład z obszaru teorii zdarzeń.
RAC.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno
P<=>CH =?

Algorytm rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości tego zdania bezpośrednio w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest następujący.

1.
Zapiszmy dziedzinę matematyczną DM dla spójnika równoważności P<=>CH:

Zgodnie z definicją dla zdania RAC zapisujemy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny DM
DM = P<=>CH = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Łatwo udowodnić, że powyższe cztery zdarzenia ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej.

Dowód iż zdarzenia są rozłączne:
A*B = (P*CH)*(P*~CH) =0
A*C = (P*CH)*(~P*~CH) =0
A*D = (P*CH)*(~P*CH) =0
etc
Bo prawo algebry Boole’a:
p*~p =0

Dowód iż powyższe zdarzenia rozłączne uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM.
Zapiszmy równanie DM w zapisach formalnych:
DM = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd

2.
Zapiszmy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF wynikłą z definicji spójnika „wtedy i tylko wtedy <=>” wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):


Formalna definicja równoważności <=> wyrażona spójnikami “I”(*) i „lub”(+):
p<=>q = A: p*q + C:~p*~q
Podstawmy nasz przykład:
p=P
q=CH
stąd mamy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF dla naszego przykładu:
DDF: P<=>CH = A: P*CH + C:~P*~CH

3.
Zapiszmy rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF na podstawie dziedziny matematycznej DM.


DM = P<=>CH = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH

Badamy możliwość zajścia poszczególnych zdarzeń w świecie rzeczywistym przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~>:
A: P~~>CH = P*CH =1*1 =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
B: P~~>~CH = P*~CH=1*1 =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
C:~P~~>~CH=~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
D:~P~~>CH=~P*CH =1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)

Stąd mamy wyznaczoną rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF:
RDF = P<=>CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
To samo w zapisie formalnym:
RDF: p<=>q = A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q
##
Porównujemy to z definicyjną definicją fizyczną równoważności P<=>CH:
DDF: P<=>CH = A: P*CH + C:~P*~CH
To samo w zapisie formalnym:
DDF: p<=>q = A: p*q + C: ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q

Stąd mamy wniosek:
Badana równoważność RAC jest fałszem bo nie zachodzi tożsamość RDF=DDF.
RAC.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno
P<=>CH = A: P*CH + C:~P*~CH =0
cnd

3.8.2 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zbiorów

Przykład z obszaru teorii zbiorów.
RAC.
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2
P8<=>P2 =?

Poprzednik p w zdaniu RAC to zbiór liczb podzielnych przez 8:
P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Następnik q w zdaniu RAC to zbiór liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmijmy wspólną dla p i q dziedzinę minimalną LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów definiowane jaku ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2

Algorytm rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości zdania RAC bezpośrednio w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest następujący.

1.
Zapiszmy dziedzinę matematyczną DM dla spójnika równoważności P8<=>P2:

Zgodnie z definicją dla zdania RAC zapisujemy wszystkie możliwe zbiory rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny DM
DM = P8<=>P2 = A: P8*P2 + B: P8*~P2 + C: ~P8*~P2 + D: ~P8*P2
Łatwo udowodnić, że powyższe cztery zbiory ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej.

Dowód iż zdarzenia są rozłączne:
A*B = (P8*P2)*(P8*~P2) =0
A*C = (P8*P2)*(~P8*~P2) =0
A*D = (P8*P2)*(~P8*P2) =0
etc
Bo prawo algebry Boole’a:
p*~p =0

Dowód iż powyższe zbiory rozłączne uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM.
Zapiszmy równanie DM w zapisach formalnych:
DM = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd

2.
Zapiszmy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF wynikłą z definicji spójnika „wtedy i tylko wtedy <=>” wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):


Formalna definicja równoważności <=> wyrażona spójnikami “I”(*) i „lub”(+):
p<=>q = A: p*q + C:~p*~q
Podstawmy nasz przykład:
p=P8
q=P2
stąd mamy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF dla naszego przykładu:
DDF: P8<=>P2 = A: P8*P2 + C:~P8*~P2

3.
Wyprowadźmy rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF na podstawie dziedziny matematycznej DM.


DM = P8<=>P2 = A: P8*P2 + B: P8*~P2 + C: ~P8*~P2 + D: ~P8*P2

Badamy możliwość wystąpienia elementu wspólnego zbiorów ~~> w świecie rzeczywistym:
A: P8~~>P2 = P8*P2 =1*1 =1 - istnieje (=1) wspólna część zbiorów ~~> P8 i P2 np. 8
B: P8~~>~P2 = P8*~P2=1*1 =0 - nie istnieje (=0) wspólna część zbiorów P8 i ~P2 bo zbiory rozłączne
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2=1*1=1 - istnieje (=1) wspólna część zbiorów ~P8 i ~P2 np. 3
D:~P8~~>P2=~P8*P2 =1*1=1 - istnieje (=1) wspólna część zbiorów ~P8 i P2 np. 2

Znalezienie elementu wspólnego zbiorów A, C i D to pikuś.

Rozłączność zbiorów nieskończonych w przypadku B trzeba jednak udowodnić np. tak:
P8=[8,16,224..] to jest nieskończony zbiór liczb parzystych
~P2=[1,3,5,7,9..] - to jest nieskończony zbiór liczb nieparzystych
Na mocy definicji dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Stąd mamy:
P8*~P2 = [] =0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
cnd

Stąd mamy wyznaczoną rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF:
RDF = P8<=>P2 = A: P8*P2 + C: ~P8*~P2 + D: ~P8*P2
To samo w zapisie formalnym:
RDF: p<=>q = A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q
##
Porównujemy to z definicyjną definicją fizyczną równoważności P8<=>P2:
DDF: P8<=>P2 = A: P8*P2 + C:~P8*~P2
To samo w zapisie formalnym:
DDF: p<=>q = A: p*q + C: ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q

Stąd mamy wniosek:
Badana równoważność RAC jest fałszem bo nie zachodzi tożsamość RDF=DDF.
RAC.
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2
P8<=>P2 = A: P8*P2 + C:~P8*~P2 =0
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 22:47, 10 Lut 2021, w całości zmieniany 23 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:58, 04 Lut 2021    Temat postu:

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Wstęp:
Czy dojdzie do nokautu ziemskich matematyków?
Na 100% TAK!
... a jeśli nie dojdzie to stracę wszelki szacunek dla ziemskich matematyków opętanych przez Szatana zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań i umrę sobie w spokoju.

2021-03-06
Właśnie zrobiłem restart!
Kluczowy punkt 4.0 postanowiłem napisać na nowo.
Dlaczego?
Doszedłem do wniosku iż algebra Kubusia wychodzi mi zbyt szczegółowa, bo wyjaśniam wszystkie aspekty matematyczne np. skąd biorą się tabele zero-jedynkowe warunku wystarczającego => i koniecznego ~> - tymczasem dla matematycznego opisu języka potocznego są to sprawy drugorzędne, którymi nie wolno zaśmiecać mózgów humanistów z definicji mających kłopoty z matematyką.
Piszę właśnie na nowo punkt 4.0 z myślą o humanistach i 5-cio latkach, zawierający kompletną algebrę Kubusia na przykładach zrozumiałych przez 5-cio latków ... o deszczu i chmurce oczywiście.

Zamiarem punktu 4.0 jest również nokaut ziemskich matematyków tzn. nie danie im szansy na wygibasy iż nie są w stanie zrozumieć algebry Kubusia.

Te wygibasy!

Cytaty ze śfinii:

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
idiota napisał:
Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
idiota napisał:
Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
Irbisol napisał:
Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
Irbisol napisał:

Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
Irbisol napisał:
Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać.

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
Irbisol napisał:
Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz.


Cytaty z matematyki.pl:

[link widoczny dla zalogowanych]
silicium2002 napisał:
To nie ma sensu. Czy ktoś czytał co za brednie powypisywał na tym forum do którego podał linki. Równie dobrze możemy założyć że 2 # 2 i zacząć pisać nową matematykę. Jestem przeciwny takiemu zaśmiecaniu forum.

[link widoczny dla zalogowanych]
autor: miodzio1988 » 4 sie 2009, o 11:45
miodzio1988 napisał:
Znowu te brednie? Realne zastosowania poprosimy. Postaw problem i rozwiąż go za pomocą tego co napisałeś tutaj. Tylko konkrety poproszę.

[link widoczny dla zalogowanych]
miodzio1988 napisał:
No i na żadne pytanie nie odpowiedziałeś. Żadnego problemu nie postawiłeś . Żadnego problemu nie rozwiązałeś. Wniosek? Nic ta Twoja teoria nie jest warta. Musiałeś trafiić na mnie żeby się do tego przekonać :D No, ale uświadomiłem Cie. Zajmij się czymś pożytecznym . Ekstrema umiesz liczyć? Całki?
Jeśli następny Twój post nie będzie odpowiedzią na poprzednie pytania to stworzymy algebrę Miodzia. I ta algebra będzie równie absurdalna i równie nieprzydatna jak Twoja algebra.

[link widoczny dla zalogowanych]
Moderator matematyki.pl, Rogal, w ostatnim poście napisał:
Powtórzę się po raz ostatni - w matematyce niczego nie zmienisz, więc możesz nam przestać zawracać tym głowę - wszyscy już zrozumieli, o co chodzi - widzisz jaki entuzjazm? Nie jest potrzebny matematykom nowy operator do codziennego stosowania, bo te które są wystarczają.
Jeśli ktoś będzie miał tutaj coś bardzo istotnego do dodania do tej dyskusji, co nie zostało powiedziane, niech napisze do mnie PW, to temat odblokuję.

Algebra Kubusia od zawsze była wściekle zwalczana przez ziemskich matematyków, czego dowód wyżej. Za głoszenie algebry Kubusia na matematyce.pl, Rafal3006 po kilkudziesięciu postach został zbanowany. Małym usprawiedliwieniem dla matematyków jest fakt, iż to był rok 2009 kiedy to algebra Kubusia była jeszcze w wieku niemowlęcym.

Cytaty z ateisty.pl

[link widoczny dla zalogowanych]
26.03.2012, 21:09
Windziarz napisał:
Wracając do tematu: Kubuś nadal nie wie, że zbiory to nie zdania.
Poza tym, teza iż "nie wolno w jednym zbiorze trzymać rzeczy zupełnie różnych" nie dość, że zaczyna zahaczać o teorię typów, to jeszcze w dodatku w żadnej teorii typów nie jest prawdziwe.
Kubusiu: bredzisz i zapętlasz się w swoich bredniach coraz bardziej. Zapomnij wszystkiego, co w ogóle wydaje Ci się o logice i zacznij czytać jakieś podręczniki.

[link widoczny dla zalogowanych]
Admin Fizyk napisał:

Miało się to stać na 140 stronie, stanie się na 144 (przynajmniej ładna liczba, 12^2) - zamykam wątek.
Na koniec chciałbym jeszcze podziękować wszystkim walczącym z Kubusiem za wsparcie, a nieraz i nauczenie mnie czegoś nowego o logice - w szczególności Idiocie, Windziarzowi i Quebabowi.
Samemu Rafałowi3006 też w sumie należą się podziękowania - za stworzenie okazji dla innych do nauki logiki. Dzięki temu ten wątek miał jednak jakąś wartość edukacyjną


Wściekłe ataki na konkurencyjną logikę matematyczną, algebrę Kubusia, która burzy stary porządek rzeczy przewidział Kuhn:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Paradygmat a rewolucja naukowa
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.

Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających go dowodów. Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki „nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem”. I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie – jak Newton, Lavoisier lub Einstein – mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.

Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć”. Zresztą kryzys zawsze niejawnie tai się w badaniach, ponieważ każdy problem, który nauka instytucjonalna postrzega jako łamigłówkę, może być ujrzany z innej perspektywy, jako sprzeczność (wyłom), a zatem źródło kryzysu – jest to „istotne obciążenie” badań naukowych...

Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”. Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.


Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 2
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.2.3 Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
4.4 Prawo śfinii 11



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:

Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:

Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Dowód tego faktu znajdziemy w punkcie 3.3

4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

4.2.3 Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia

Notacja stosowana w przykładach w algebrze Kubusia jest następująca.

Zapis pełny:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH=1
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)=>(CH=1) =1
Padanie (P=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby istniały chmury (CH=1), bo zawsze gdy pada (P=1) są chmury (CH=1)
Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
co w logice jedynek oznacza:
(P=1)~~>(~CH=1) = (P=1)*(~CH=1) =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)

Prawa Prosiaczka (omówiono w punkcie 2.3):
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Na przykładzie zdania A1’ pełne zapisy czytamy następująco:
A1’: (1: P=1)~~>(3: ~CH=1)

Poprzednik w zdaniu A1’:
1: (P=1)
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(1: P=1) = (2: ~P=0)
stąd mamy zapis symboliczny tożsamy:
2.
~P=0 - fałszem jest (=0), że nie pada (~P)
Stąd mamy dowód poprawności prawa Prosiaczka:
(1: P=1) = (2: ~P=0)
cnd

Następnik w zdaniu A1’:
3: (~CH=1)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(3: ~CH=1) = (4: CH=0)
stąd mamy zapis symboliczny tożsamy:
4.
CH=0 - fałszem jest (=0), że jest pochmurno (CH)
Stąd mamy dowód poprawności prawa Prosiaczka:
(3: ~CH=1) = (4: CH=0)
cnd

W logice matematycznej jedynki są domyślne i możemy je pominąć, stąd matematycznie tożsamy zapis zdań A1 i A1’ jest następujący.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby istniały chmury (CH), bo zawsze gdy pada (P) są chmury (CH)
Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’.
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)

Podsumowanie:
1.
Prosty manewr z pominięciem domyślnych jedynek zredukował nam logikę matematyczną dosłownie do poziomu 5-cio latka, gdzie wszelkie przeczenia muszą być uwidocznione w kodowaniu symbolicznym zdań.
P - pada (zapis pełny: P=1)
~P - nie pada (zapis pełny: ~P=1)
CH - są chmury (zapis pełny: CH=1)
~CH - nie ma chmur (zapis pełny: ~CH=1)
2.
Porównajmy:
P - pada (zapis pełny: p=1)
~P - nie pada (zapis pełny: ~P=1)
Tożsamy zapis ostatniego zdania jest następujący:
~P - nie pada (zapis pełny matematycznie tożsamy: P=0)
Sęk w tym, że w ostatnim zapisie mamy po lewej stronie zmienną zaprzeczoną ~P, natomiast w zapisie pełnym matematycznie tożsamym mamy zmienną P niezaprzeczoną (P=0).
Sprowadzenie wszystkich zmiennych użytych w zdaniu do jedynek na mocy praw Prosiaczka powoduje rzecz bezcenną tzn. dostajemy przełożenie języka potocznego na matematykę w przełożeniu 1:1, co widać chociażby w ostatnich dwóch zdaniach A1 i A1’.
Prawa Prosiaczka (omówiono w punkcie 2.3):
(~p=0)=(p=1)
(p=0)=(~p=1)

4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B1:  Y =(p~>q)= p+~q
      #                        #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 T1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  T2: Y=(p~>q) =p+~q ## T3: Y= p+q  ## T4: Y=p*q
      #                       #                     #              #
~T1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~T2:~Y=~(p~>q)=~p*q ##~T3:~Y=~p*~q ##~T4:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
albo odwrotnie.

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

4.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

4.4 Prawo śfinii

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p=>q =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):[/b]
p~>q =p+~q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q

Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IP: p|=>q =~p*q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
IO: p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne p|=>q i p|~>q spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 IP: Y =(p|=>q)=~p*q  ##  IO: Y =(p|~>q) =p*~q
     #                        #
~IP:~Y=~(p|=>q)=p+~q  ## ~IO:~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym.
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q

Rozróżniamy dwa podstawowe twierdzenia matematyczne różne na mocy definicji ##:
A1: p=>q = ~p+q - twierdzenie proste
##
B3: q=>p = ~q+p - twierdzenie odwrotne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dowód iż funkcje logiczne A1 i B3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  B3:  Y= (q=>p)=~q+p
      #                        #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~B3: ~Y=~(q=>p)=q*~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Twierdzenie matematyczne => = warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:

[link widoczny dla zalogowanych]

Dlaczego Jaś i Kuba tak zaciekle się bija?
Odpowiedź:
Obaj w swoich stwierdzeniach mają racją, a biją się dlatego, gdyż nie ustalili wspólnego punktu odniesienia.

Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Gdzie:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczba podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8

I.
Zdanie bazowe Jasia, punkt odniesienia:


Twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt odniesienia dla twierdzenia prostego Jasia p=>q to:
p=P8
q=P2

Badamy prawdziwość/fałszywość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q.

Twierdzenie odwrotne B3: q=>p:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Punkt odniesienia dla zdania B3: q=>p to:
q=P2
p=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P8, q=P2) dla zdania A1: p=>q (A1: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania B3: q=>p (B3: P2=>P8), dlatego porównywania A1 z B3 jest matematycznie poprawne (ma sens).

II.
Zdanie bazowe Kuby, punkt odniesienia:

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
B1: P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p~>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Punkt odniesienia Kuby dla zdania bazowego B1: p~>q to:
p=P2
q=P8

Kuba ma prawo skorzystać z dowolnego prawa logiki matematycznej.
Zastosujmy dla zdania bazowego B1 prawo Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
stąd mamy w zapisach aktualnych:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Gdzie:
p=P2
q=P8
stąd Kuba wypowiada:

Twierdzenie odwrotne prawdziwe B3: q=>p:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B3: q=>p =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Punkt odniesienia Kuby dla zdania B3: q=>p to:
q=P8
p=P2

Mamy prawdziwe twierdzenie odwrotne Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2).
Badamy prawdziwość/fałszywość twierdzenie prostego A1: p=>q w stosunku do znanego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p (B3: P8=>P2):

Twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Punkt odniesienia dla zdania A1 to:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Zauważmy, ze punkt odniesienia (p=P2 i q=P8) dla zdania B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest identyczny jak dla zdania A1: p=>q (A1: P2=>P8), dlatego porównywanie B3 z A1 jest matematycznie poprawne (ma sens).

Wróćmy do bijatyki Jasia z Kubą:



[link widoczny dla zalogowanych]

Doskonale widać, że Jaś i Kuba patrzą na identyczne zdanie P8=>P2 z różnych punktów odniesienia.

Jaś:
P8=>P2 - to jest twierdzenie proste p=>q!
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
A1: p=>q =1
A1: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2

Kuba:
P8=>P2 - to jest twierdzenie odwrotne q=>p!
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
B3: q=>p =1
B3: P8=>P2 =1
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8

Podsumowanie:
Porównanie zdania Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) ze zdaniem Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) jest matematycznie błędne bowiem są to zdania widziane z różnych punktów odniesienia.
Punkt odniesienia Jasia:
p=P8
q=P2
Punkt odniesienia Kuby:
q=P8
p=P2

Zauważmy, że zdanie prawdziwe Jasia A1: p=>q (A1: P8=>P2) i zdanie prawdziwe Kuby B3: q=>p (B3: P8=>P2) brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, również kodowanie tych zdań warunkiem wystarczającym => jest identyczne - a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ## z powodu trywialnego błędu podstawienia.

Jak zapobiec tego typu nieporozumieniom?

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Jaś wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Kuba wypowiada zdanie:
X.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Na mocy prawa śfinii kodowanie formalne zdania X jest tylko jedno:
A1: p=>q =1
Stąd:
p=P8
q=P2

Jak widzimy, prawo śfinii wymusza na uczestnikach matematycznej dyskusji identyczny punkt odniesienia czyniąc dyskusję sensowną, bez wzajemnej bijatyki.

Prawo naszego Wszechświata:
Otaczająca nas rzeczywistość zależy od punktu odniesienia.
Z „czarnego” zawsze można zrobić „białe” i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.

Wniosek:
Zanim zaczniemy się kłócić o cokolwiek ustalmy wspólny punkt odniesienia.

W logice matematycznej wspólny punkt odniesienia zapewnia prawo śfinii.

W świecie rzeczywistym nie ma jednak lekko.
Przykład:
Z punktu odniesienia Żyda dobro to brak Nazistów
ale:
Z punktu odniesienia Nazisty dobro to brak Żydów
etc


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:25, 08 Mar 2021, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:15, 10 Lut 2021    Temat postu:

4.5 Operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q

Wstęp:
2021-03-07
Dopisałem kolejną część AK z dedykacją dla humanistów (punkty 4.5 i 4.6).
Oczywiście od humanistów wymagamy umiejętności poprawnej analizy matematycznej konkretnych przykładów bez szczegółowej teorii matematycznej, która może im sprawiać trudności.
Dla humanistów praktyczna znajomość definicji znaczków =>, ~> i ~~> plus znajomość banalnych praw Kubusia, Tygryska i kontrapozycji jest całkowicie wystarczająca.

Podobnie:
5-cio latek nie zna gramatyki języka polskiego (tak jak ja nigdy nie znałem i nie znam), a mimo to bez problemu porozumiewa się potocznym językiem ojczystym ... algebrą Kubusia!

Spis treści
4.5 Operator implikacji prostej p||=>q 1
4.5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 1
4.5.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 5
4.5.3 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH 6
4.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 10
4.6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 10
4.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 13
4.6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 15




4.5 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny, to spójnik definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery spójniki implikacyjne:
p|=>q - implikacja prosta
p|~>q - implikacja odwrotna
p<=>q - równoważność
p|~~>q - chaos

Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.5.1 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p|=>q = ~p|~>~q = ~p*q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) … (albo odwrotnie)

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i A1B1:
Kod:

 A1:  Y= (p=>q)=~p+q  ##  A1B1:  Y=(p|=>q)=~p*q  ##  B1:  Y=(p~>q) =p+~q
      #                          #                         #
~A1: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~A1B1: ~Y=~(p|=>q)=p+~q ## ~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Zauważmy ciekawostkę:
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y, mielibyśmy fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: ~p*q [=] ~B1: ~p*q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## ~B1: ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

4.5.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q to złożenie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p (p) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p (p) to na 100% => zajdzie q (q)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajęcie p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p) to może ~~> zajść ~q (~q)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Po udowodnieniu prawdziwości A1 nie musimy dowodzić prawdziwości A2, gwarantuje nam to prawo Kubusia.
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to może ~> zajść ~q (~q)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to może ~~> zajść q (q)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.5.3 Przykład operatora implikacji prostej P||=>CH

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Definicja punktu odniesienia:
Punkt odniesienia w logice matematycznej to zdanie bazowe, od którego rozpoczynamy analizę matematyczną zdania.

W naszym przypadku punktem odniesienia jest zdanie bazowe A1.

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Na mocy prawa śfinii to samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx z tabeli T2.
Najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej ze względu na definicję kontrprzykładu związaną wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Wybieramy zatem zdanie B3 gdyż jest to najprostszy warunek wystarczający.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym dla punktu odniesienia ustalonego zdaniem A1:
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - zapis formalny
B3: CH=>P = B1: P~>CH - zapis aktualny
Na mocy prawa Tygryska mając udowodnioną fałszywość zdania B3 nie musimy dowodzić fałszywości zdania B1 - gwarantuje nam to prawo Tygryska.
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
##
Przypomnijmy zdanie wypowiedziane A1 (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q - zapis formalny
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH = P+~CH - zapis aktualny

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli T2.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P=>~CH=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’(i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Zapis formalny dla punktu odniesienia A1:
p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie ma chmur (~CH)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q - zapis formalny
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH - zapis aktualny
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH - zapis aktualny
A2: ~p~>~q = A1: p=>q - zapis formalny

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmurno (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada).

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie padało (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% => będzie pochmurno (CH) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1


4.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny, to spójnik definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery spójniki implikacyjne:
p|=>q - implikacja prosta
p|~>q - implikacja odwrotna
p<=>q - równoważność
p|~~>q - chaos

Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2:~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
~p~>~q = ~p*q

Stąd mamy logiczną tożsamość:
p|~>q = ~p|=>~q = p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) … (albo odwrotnie)

Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne B1 i A1B1:
Kod:

 B1:  Y= (p~>q)=p+~q ##  A1B1:  Y=(p|~>q) =p*~q  ##  A1:  Y=(p=>q) =~p+q
      #                         #                         #
~B1: ~Y=~(p~>q)=~p*q ## ~A1B1: ~Y=~(p|~>q)=~p+q  ## ~A1: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.

Zauważmy ciekawostkę:
Bez wprowadzenia do logiki matematycznej funkcji logicznej Y, mielibyśmy fałszywą tożsamość logiczną [=]:
A1B1: p*~q [=] ~A1: p*~q
Po wprowadzeniu do logiki matematycznej funkcji logicznej Y powyższa, fałszywa tożsamość logiczna [=] jest zabijana:
A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q ## ~A1: ~Y=~(p=>q) =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

4.6.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q to złożenie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli zajdzie p (p) to może ~> zajść q (q)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie p (p) to może ~~> zajść ~q (~q)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: zajdzie p i zajdzie ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p (~p) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q) - mówi o tym zdanie B2
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to na 100% => zajdzie ~q (~q)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajęcie ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p) to może ~~> zajść q (q)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

4.6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Definicja punktu odniesienia:
Punkt odniesienia w logice matematycznej to zdanie bazowe, od którego rozpoczynamy analizę matematyczną zdania.

W naszym przypadku punktem odniesienia jest zdanie bazowe B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> padać (P)
CH~~>P = CH*P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: są chmury (CH) i pada (P).
Jak widzimy zdanie B1 kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest prawdziwe.

Jak udowodnić iż chmury są/nie są warunkiem koniecznym ~> dla padania?
W ogólnym przypadku najprościej założyć że w zdaniu B1 zachodzi warunek konieczny ~> i skorzystać z prawa Tygryska:
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym
B1: CH~>P = B3: P=>CH - nasz przykład
Udowodnienie prawdziwości zdania B3 jest już trywialne.
B3.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.

Stąd dowodem nie wprost udowodniliśmy prawdziwość zdania B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P), co udowodniliśmy wyżej dowodem nie wprost, dowodząc prawdziwości zdania B3.
Tu mamy sytuację na tyle prostą, iż możemy udowodnić, że chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania w sposób bezpośredni:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Innymi słowy:
Chmury (CH) są warunkiem koniecznym ~> aby padało (P), bo zabieram chmury (~CH) wykluczając => padanie (~P)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Na mocy prawa śfinii naszym punktem odniesienia dla dalszej analizy matematycznej jest zdanie B1.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa śfinii:
p~>q =1
Nasz punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Ax z tabeli T2.
Najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej ze względu na definicję kontrprzykładu związaną wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Wybieramy zatem zdanie A1 gdyż jest to najprostszy warunek wystarczający.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym dla punktu odniesienia ustalonego zdaniem B1:
p=>q =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli T2.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=CH (pada)
q=P (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P=0    [=] 3: P~>CH  =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]              = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]              = 4:~P~~>CH =1                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P=1    [=] 3: P=>CH  =1 = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P=0    [=] 3: P~~>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~CH=>~P=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’(i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
stąd nasz punkt odniesienia to:
p=CH
q=P
Chmury (CH) są konieczne ~> by jutro padało (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P - prawo Kubusia w zapisie aktualnym
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia w zapisie formalnym

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 musi być prawdą.
Sprawdzenie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie padało (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to może ~~> padać (P)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH) i pada (P)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (chmury) i gwarancja matematyczna => po stronie ~CH (brak chmur)

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P = CH*~P =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P) - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:56, 08 Mar 2021, w całości zmieniany 33 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:17, 10 Lut 2021    Temat postu:

5.0 Implikacja prosta p|=>q


Spis treści
5.0 Implikacja prosta p|=>q 1
5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 1
5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 3
5.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|=>q 5
5.3 Operator implikacji prostej p||=>q 7
5.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 11
5.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 14
5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 15
5.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 16
5.4.3 Świat martwy vs „wolna wola” 18
5.4.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~> 18
5.4.5 Operator implikacji prostej p||=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> 20



5.0 Implikacja prosta p|=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

5.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po stronie przeciwnej
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość zdania po stronie przeciwnej

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

5.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|=>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Ax.
W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Bx.

Zachodzi tożsamość znaczków:
„=” = „[=]”
Znaczek [=] sygnalizuje tylko zamianę p i q w A3B3 i A4B4 względem A1B1 i A2B2.

Znaczenie tożsamości logicznej [=]:
Przykładowe prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
1.
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Ax w tabeli T2
2.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Bx w tabeli T2

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

W tabeli T2 możemy wyróżnić następujące implikacje:

A1B1:
Punkt odniesienia:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Poniższe nazwy implikacji tożsamych odnoszą się do punktu odniesienia A1B1: p|=>q:

[=]

A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q)=~p*q
~p|~>~q = ~p*q

[=]

A3B3:
Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p w logice dodatniej (bo p) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna przeciwna q|~>p w logice dodatniej (bo p) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =0 - zajście q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(q=>p) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
q|~>p = q*~p

[=]

A4B4:
Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p w logice ujemnej (bo ~p) w stosunku do A1B1:

Implikacja prosta przeciwna ~q|=>~p w logice ujemnej (bo ~p) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~q=>~p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: ~q~>~q =0 - zajście ~q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) =1*~(0) =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
~q|=>~p = (A4: ~q=>~p)*~(B4: ~q~>~p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p
~q|=>~p = q*~p

Na mocy tożsamości logicznych w wierszach w tabeli T2 zachodzą tożsamości logiczne [=] implikacji:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q [=] A3B3: q|~>p [=] A4B4: ~q|=>~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Dokładnie to samo można udowodnić korzystając z definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wyrażonych spójnikami „i’(*) i „lub”(+) co wyżej zrobiono:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q [=] A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q

Warto zapamiętać różnicę między warunkiem wystarczającym p=>q:
A: p=>q = ~p+q
##
a implikacją prostą p|=>q:
A1B1: p|=>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego p=>q i implikacji prostej p|=>q
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q.

5.3 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w implikacjach p|=>q i ~p|~>~q:
Operator implikacji prostej p||=>q to złożenie implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) i logicznie tożsamej z nią implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)

1.
Definicja implikacji prostej p|=>q prostej w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Z tabeli T2 widać, że implikacja prosta p|=>q odpowiada za zdarzenia po stronie niezanegowanego poprzednika p (p=1)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Implikacja prosta p|=>q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1):
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem (i odwrotnie).
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q=p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Zbiory p i ~q nie mają (=0) elementu wspólnego: p*~q =[] =0 - zbiory rozłączne

2.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2 ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q = (A1: ~p~>~q)*~(B1: ~p=>~q)=1*~(0)=1*1 =1
Z tabeli T2 widać, że implikacja odwrotna odpowiada za zdarzenia po stronie zanegowanego poprzednika p (~p=1).
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’ ~p~~>q =1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wynikający z fałszywości warunku wystarczającego B2

Zauważmy że:
Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q =1

Stąd mamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1):
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Zajście ~p (~p=1) jest konieczne ~> dla zajścia ~q (~q=1) bo jak zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q

Zauważmy, że implikacja prosta p|=>q definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania A1 i A1’), zaś implikacja odwrotna ~p|~>~q również definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania A2 i B2’).
W logice matematycznej zdania możemy dowolnie przestawiać co oznacza, że istotne są tu zdania składowe A1, A1’, A2, B2’, a nie implikacja prosta p|=>q, czy też odwrotna ~p|~>~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
p|=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego fałszywość po drugiej stronie

Oznacza to, że po udowodnieniu prawdziwości implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) nie musimy dowodzić prawdziwości implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), bowiem prawdziwość implikacji odwrotnej ~p|~>~q gwarantuje nam prawo rachunku zero-jedynkowego:
p|=>q = ~p~>~q = ~p*q

Na mocy powyższych rozważań definicję operatora implikacji prostej p||=>q możemy uprościć do definicji poniższej, interesując się wyłącznie prawdziwością/fałszywością zdań warunkowych A1, A1’, A2 i B2’.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

5.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T4:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T4 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T4 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T6:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q ~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1   =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0   =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T5 i T6 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T5 i T6 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T5: p=>q = T6: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T5: 123) i koniecznego ~> (T6: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

5.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy wyprowadzoną wyżej zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q
Kod:

T1
        Y=
   p  q p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego Y = p=>q:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń możliwych i rozłącznych:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

5.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna

Weźmy naszą tabelę T2.
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna to suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych
DM = Y+~Y
Gdzie:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = A: p*q + C:~p*~q + D:~p*q
Zaś:
~Y=~Yb
~Y = B: p*~q
Stąd suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych to:
DM = Y+~Y = Ya+~Yb+Yc+Yd
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1

Zauważmy, że jeśli znamy dowolną funkcję logiczną Y to automatycznie znamy zaprzeczenie tej funkcji ~Y (albo odwrotnie).
W każdym przypadku otrzymamy równanie dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1

W ogólnym przypadku w definicji dziedziny matematycznej DM nie interesuje nas która część dziedziny matematycznej należy do funkcji logicznej Y a która do ~Y.
Matematycznie dla dwóch zmiennych p i q otrzymamy 16 różnych funkcji logicznych Y, definiujących 16 różnych definicji spójników logicznych.
Definicje tych spójników i ich szczegółowy zapis znajdziemy w punkcie 2.11.

Właściwości dziedziny matematycznej:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Wszystkie funkcje cząstkowe A, B, C i D dziedziny matematycznej DM są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny
1.
Wszystkie funkcje logiczne cząstkowe A, B, C i D są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C= (p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
B*C=(p*~q)*(~p*~q) =[] =0
B*D = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0
cnd
2.
Funkcje cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to część dziedziny matematycznej DM opisana funkcją logiczną Y.

Nasz przykład:
Y = (p=>q)
Y = Ya+Yc+Yd
Y= A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Po minimalizacji mamy:
Y = ~p+q

Oczywiście znając funkcję logiczną Y znamy też funkcję logiczną ~Y która powstaje przez dwustronną negację funkcji Y:
~Y=~(p=>q)
~Y = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zdarzeń:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zdarzenia możliwe ~~> uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zbiorów:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

5.4.3 Świat martwy vs „wolna wola”

Definicja świata martwego:
Świat martwy to świat w którym rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania x nie zależy od „wolnej woli” człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka):
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Świat martwy z definicji nie może gwałcić (i nie gwałci!) praw logiki matematycznej pod które sam podlega.

5.4.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku wystarczającego => w zdarzeniach możliwych ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p=>q) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną możliwych zdarzeń rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
LUB
Yd = D: ~p*q =1*1=1 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p=>q) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = B: p*~q =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe

5.4.5 Operator implikacji prostej p||=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku wystarczającego => w elementach wspólnych zbiorów ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zbiorów niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zbiór pusty (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd zapis tożsamy:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Operator implikacji prostej p||=>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są mają element wspólny ~~> (Y=1)?

Odpowiedź:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zbiory mające element wspólny ~~> (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - istnieje (Ya=1) element wspólny ~~> zbiorów: p (p=1) i q (q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - istnieje (Yc=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (p=1) i ~q (~q=1)
LUB
Yd = D: ~p*q =1*1=1 - Istnieje (Yd=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (~p=1) i q (q=1)

Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są nie mają elementu wspólnego ~~> (~Y=1)?

Odpowiedź:
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zbiory nie mające elementu wspólnego ~~> (~Y=1) to:
~Y = B: p*~q =1*1 =1 - nie mają elementu wspólnego ~~> (~Yb=1) zbiory: p (p=1) i ~q (~q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie mają elementu wspólnego (~Y) zbiory: p (p=1) i ~q (~q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że mają element wspólny (Y) zbiory: p (p=1) i ~q (~q=1)

Znaczenie symboli:
Y - zbiory mają element wspólny ~~>
~Y - zbiory nie mają (~) elementu wspólnego ~~>


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:49, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 14 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:41, 10 Lut 2021    Temat postu:

5.5 Diagram implikacji prostej p||=>q w zbiorach

Spis treści
5.5 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach 1
5.5.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> 3



5.5 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Zobaczmy to na przykładzie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8=[8,16,24..] to podzbiór => zbioru wszystkich liczb parzystych P2=[2,4,6,8..], stąd prawdziwość zdania A1.
W zdaniu A1 poprzednik p mówi o zbiorze P8, zaś następnik q o zbiorze P2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb parzystych
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd wyznaczamy zbiory zaprzeczone rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór wszystkich liczb nieparzystych)
Definicja dziedziny dla P8 i ~P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8
P8*~P8=[] =0 - zbiory rozłączne
Definicja dziedziny dla P2 i ~P2:
P2+~P2=LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory rozłączne

Wnioski:
1.
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” dziedzina musi być wspólna dla p i q
2.
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Nasz przykład:
p+q = P8+P2 = P2 - bo P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjęta dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Jest szersza od sumy logicznej zbiorów:
P8+P2=P2=[2,4,6,8..]
zatem przyjęta dziedzina jest matematycznie poprawna.
3.
Zobaczmy co się stanie jak dla naszego zdania A1 przyjmiemy za dziedzinę zbiór tożsamy z sumą zbiorów P8+P2=P2:
D=P2=[2,4,6,8..]
Wyznaczamy zbiór ~P2:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Jak widzimy pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne, dlatego dla zdania A1 musimy przyjąć dziedzinę szerszą od sumy zbiorów P8+P2=P2, inaczej popełniamy błąd nierozpoznawalności analizowanego pojęcia (tu ~P2)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Analiza implikacji prostej p||=>q w zapisach formalnych (ogólnych)
----------------------------------------------------------------------
Analiza        |Po zamianie    |Komentarz do analizy podstawowej
podstawowa     |p i q          |na podstawie diagramu D1
A1:  p=> q =1  |A3:  q~> p =1  |A1   p=> q =1 - p jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
A2: ~p~>~q =1  |A4: ~q=>~p =1  |A2: ~p~>~q =1 - ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’ ~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
|
B1:  p~> q =0  |B3:  q=> p =0  |B1:  p~> q =0 - p nie jest nadzbiorem ~> q
A1’  p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: p~~>~q=0 - p*~q=[]=0 zbiory rozłączne
B2: ~p=>~q =0  |B4: ~q~>~p =0  |B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest podzbiorem ~q
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’:~p~~>q =1 - ~p*q=1 zbiór niepusty
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Spójnik p~~>q=p*q jest przemienny.

Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?

Odpowiedź:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie.

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Odpowiedź:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie.
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie.

5.5.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~>

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p||=>q wyżej zapisany.
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     p                     |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p~~>q = ~p*q   | p~~>~q = p*~q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p||=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)             |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Operator p||=>q       |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T1.
Operator implikacji prostej p||=>q
definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q

Znaczenie tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

Analiza tabeli prawdy T1 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2
Kod:

T3.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1:  p=> q  =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q  =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1

Stąd mamy:
Linia A1B1:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1

Uwaga:
W implikacji prostej p|=>q zbiory p i q nie mogą być tożsame bo …

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> dla zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dowód:
Dla zbiorów tożsamych p=q mamy:
A1: p=>q =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Czyli:
Dla zbiorów tożsamych p=q jest:
B1: p~>q =1
co jest sprzeczne z definicją implikacji prostej p|=>q gdzie musi być spełnione:
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
cnd

Stąd mamy:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (prawdziwe dla p##q)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Gdzie:
p##q - zbiory p i q różne ## na mocy definicji

Dodatkowy warunek jaki musi tu być spełniony brzmi:
Dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Dowód:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Przyjmijmy za dziedzinę zbiór q
D=q
Obliczamy zbiór ~q rozumiany jako uzupełnienie do dziedziny D dla zbiory q:
~q=[D-q] = [q-q} =[] =0
Wniosek:
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q inaczej zbiór wejściowy ~q jest nierozpoznawalny, jest zbiorem pustym. Nie możemy operować na czymkolwiek czego definicji nie znamy.
cnd

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - punkt 3.0:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach jako:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
możemy ją podstawić matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~q=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tym momencie możemy tylko powtórzyć to co już znamy.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 23:01, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 9:23, 12 Lut 2021    Temat postu:

5.6 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach w przedszkolu

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję paniom przedszkolankom, jako podstawowy podręcznik logiki matematycznej dla 5-cio latków. Oczywiście przykłady mogą być inne, ale idea musi pozostać niezmienna, czyli mają to być przykłady zrozumiałe dla 5-cio latka.

Spis treści
5.6 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach w przedszkolu 1
5.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego P=>CH 6
5.7 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 10
5.7.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 10
5.7.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 12
5.7.3 Świat martwy vs „wolna wola” 13
5.7.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~> 14
5.7.5 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach możliwych ~~> 16
5.8 Matematyczne fundamenty teorii zdarzeń dla 5-cio latków 18
5.8.1 Od teorii zdarzeń do operatora implikacji prostej P||=>CH 20
5.8.2 Czarodziejska siła definicji kontrprzykładu i praw Kubusia 21



5.6 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach w przedszkolu

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Zauważmy, że de facto teorię zdarzeń możemy sprowadzić to teorii zbiorów.
Jak?
Tak!
W zdaniu A1 po stronie poprzednika p mamy tylko jedno zdarzenie możliwe ~~>:
P~~>CH = P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
Natomiast po stronie następnika q mamy dwa możliwe zdarzenia:
CH~~>P = CH*P =1 - możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
LUB
CH~~>~P =CH*~P =1 - możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Stąd mamy:
A1: (P*CH) => (CH*P + CH*~P)
Iloczyn logiczny jest przemienny stąd:
A1: (P*CH) => (P*CH + ~P*CH) =1
Stąd:
Definicja warunku wystarczającego => w zdaniu A1 jest spełniona bo zdarzenie:
(P*CH)
jest podzbiorem => zdarzenia:
(P*CH + ~P*CH)
cnd

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=P
q=CH
A1: P=>CH =1

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> są następujące:
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:    |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  =1  [=] 5: ~p+q
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =1  [=] 5: ~P+CH
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  =?  [=] 5: p+~q
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P =?  [=] 5: P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Udowodniliśmy wyżej prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
co pociąga za sobą prawdziwość wszystkich zdań serii Ax.

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Najprostszy warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej ze względu na definicję kontrprzykładu związaną wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Wybieramy zatem zdanie B3 gdyż jest to najprostszy warunek wystarczający.
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
B3: CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
B3: q=>p = B1: p~>q - prawo Tygryska w zapisie formalnym
B3: CH=>P = B1: P~>CH - prawo Tygryska w zapisie aktualnym
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
##
Przypomnijmy zdanie wypowiedziane A1 (punkt odniesienia):
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
To samo w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH = P+~CH

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd cała seria zdań Bx jest fałszywa (=0), nanieśmy to do tabeli T0.
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1:      A2B2:   |     A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  =1  [=] 5: ~p+q
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =1  [=] 5: ~P+CH
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  =0  [=] 5: p+~q
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P =0  [=] 5: P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd:
W kolumnie A1B1 spełniona jest podstawowa definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1 =1

Dla precyzyjnej wizualizacji w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 skorzystajmy dla tabeli T1 z definicji kontrprzykładu dla zdarzeń, obowiązującej wyłącznie w warunkach wystarczających =>

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=P (pada)
q=CH (chmury)
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0                   
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q =~p*q  = ~p|~>~q =~p*q  [=] q|~>p =q*~p  = ~q|=>~p =q*~p
IP: P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH [=] CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P=>CH=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~CH=P*~CH=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~CH=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’
B2’:~P~~>CH =~P*CH=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia bowiem wszystkie następne zdania odnoszą się do zdania A1.
Punkt odniesienia dla dalszej analizy:
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada).

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% => będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1

5.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego P=>CH

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej P||=>CH przedstawioną wyżej:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej P||=>CH             |jedynek oznacza
A1:  P=> CH =1 - zajście P wystarcza => dla CH   |( P=1)=> ( CH=1)=1
A1’: P~~>~CH=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( P=1)~~>(~CH=1)=0
A2: ~P~>~CH =1 - ~P jest konieczne ~> dla ~CH    |(~P=1)~> (~CH=1)=1
B2’:~P~~>CH =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~P=1)~~>( CH=1)=1
     a   b   c                                      d         e    f

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
przyjmie postać:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T3 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T4:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T3 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q ~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1   =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1   =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0   =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2    3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T4 i T5 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T4 i T5 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T4: p=>q = T5: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T4: 123) i koniecznego ~> (T5: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

5.7 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy wyprowadzoną wyżej zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q
Kod:

T1
        Y=
   p  q p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

5.7.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego Y = p=>q:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń możliwych i rozłącznych:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

5.7.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna

Weźmy naszą tabelę T2.
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna to suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych
DM = Y+~Y
Gdzie:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = A: p*q + C:~p*~q + D:~p*q
Zaś:
~Y=~Yb
~Y = B: p*~q
Stąd suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych to:
DM = Y+~Y = Ya+~Yb+Yc+Yd
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1

Zauważmy, że jeśli znamy dowolną funkcję logiczną Y to automatycznie znamy zaprzeczenie tej funkcji ~Y (albo odwrotnie).
W każdym przypadku otrzymamy równanie dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1

W ogólnym przypadku w definicji dziedziny matematycznej DM nie interesuje nas która część dziedziny matematycznej należy do funkcji logicznej Y a która do ~Y.
Matematycznie dla dwóch zmiennych p i q otrzymamy 16 różnych funkcji logicznych Y, definiujących 16 różnych definicji spójników logicznych.
Definicje tych spójników i ich szczegółowy zapis znajdziemy w punkcie 2.11.

Właściwości dziedziny matematycznej:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Wszystkie funkcje cząstkowe A, B, C i D dziedziny matematycznej DM są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny
1.
Wszystkie funkcje logiczne cząstkowe A, B, C i D są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C= (p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
B*C=(p*~q)*(~p*~q) =[] =0
B*D = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0
cnd
2.
Funkcje cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to część dziedziny matematycznej DM opisana funkcją logiczną Y.

Nasz przykład:
Y = (p=>q)
Y = Ya+Yc+Yd
Y= A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Po minimalizacji mamy:
Y = ~p+q

Oczywiście znając funkcję logiczną Y znamy też funkcję logiczną ~Y która powstaje przez dwustronną negację funkcji Y:
~Y=~(p=>q)
~Y = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zdarzeń:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zdarzenia możliwe ~~> uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zbiorów:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

5.7.3 Świat martwy vs „wolna wola”

Definicja świata martwego:
Świat martwy to świat w którym rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania x nie zależy od „wolnej woli” człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka):
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Świat martwy z definicji nie może gwałcić (i nie gwałci!) praw logiki matematycznej pod które sam podlega.

5.7.4 Operator implikacji prostej p||=>q w zdarzeniach możliwych ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku wystarczającego => w zdarzeniach możliwych ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p=>q - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p=>q) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną możliwych zdarzeń rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
LUB
Yd = D: ~p*q =1*1=1 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p=>q) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = B: p*~q =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe

5.7.5 Operator implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach możliwych ~~>

Zdanie bazowe - punkt odniesienia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury

Twardym dowodem iż przedstawiona wyżej teoria ogólna (formalna) ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka jest odtworzenie podstawień:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
stąd mamy:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = P=>CH - zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   P  CH ~P ~CH  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> P=1 i  CH=1 | Ya= P~~> CH= P* CH
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> P=1 i ~CH=1 |~Yb= P~~>~CH= P*~CH
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~P=1 i ~CH=1 | Yc=~P~~>~CH=~P*~CH
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=1<=>~P=1 i  CH=1 | Yd=~P~~> CH=~P* CH
   1  2  3  4  5  6   a       b      c      d   e    f   g  h

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
P~~>CH=P*CH =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń P i CH
Inaczej:
P~~>CH=P*CH=0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: P*~CH
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: P=1 i ~CH=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(P=>CH) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną możliwych zdarzeń rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: P*CH =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: pada P (P=1) i są chmury CH (CH=1)
LUB
Yc=C: ~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: nie pada ~P (~P=1) i nie ma chmur ~CH (~CH=1)
LUB
Yd = D: ~P*CH =1*1=1 - możliwe jest (Yd=1) zdarzenie: nie pada ~P (~P=1) i są chmury CH (CH=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(P=>CH) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = B: P*~CH
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: P=1 i ~CH=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = B: P*~CH =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: pada P (P=1) i nie ma chmur CH (~CH=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: pada P (P=1) i nie ma chmur CH (~CH=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> B: P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): pada P (P=1) i nie ma chmur CH (~CH=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe


5.8 Matematyczne fundamenty teorii zdarzeń dla 5-cio latków

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q

5.8.1 Od teorii zdarzeń do operatora implikacji prostej P||=>CH

Z algebrą Kubusia jest identycznie jak z gramatyką języka mówionego.
Czy trzeba znać gramatykę by posługiwać się językiem ojczystym?
Czy 5-cio latek musi znać gramatykę języka by posługiwać się językiem ojczystym?
Odpowiedź jest jednoznaczna:
NIE!
Fundamentem języka mówionego jest algebra Kubusia, nigdy jakaś tam gramatyka, której osobiście nigdy nie znałem tzn. do dzisiaj nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
Algebra Kubusia to logika matematyczna rządząca naszym Wszechświatem, zarówno żywym, jak i martwym z matematyką włącznie. Wszyscy perfekcyjnie znamy algebrę Kubusia od momentu narodzin do śmierci i nie mamy żadnych szans, aby się od niej uwolnić.
Dowód tego faktu będzie w niniejszym punkcie.

Udajmy się do przedszkola.
A1.
Pani:
Powiedźcie mi dzieci:
Czy może się jutro zdarzyć, że będzie padało i będzie pochmurno?
Jaś (lat 5)
TAK - zdarzenie możliwe (=1)
Stąd mamy prawdziwe zdanie warunkowe:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> interesuje nas jeden taki przypadek, nie badamy tu czy zawsze gdy pada, jest pochmurno.

A1’
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno?
Jaś (lat 5).
NIE - zdarzenie niemożliwe (=0)
Stąd mamy fałszywe zdanie warunkowe:
A1’
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Nie może się zdarzyć (=0), że juro będzie padało (P=1) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.

A2.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie padało i nie będzie pochmurno?
Jaś (lat 5).
TAK - zdarzenie możliwe (=1)
Stąd mamy prawdziwe zdanie warunkowe:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~~>~CH =~P*~CH=1
Może się zdarzyć (=1), że jutro nie będzie padało (~P=1) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.

B2’
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie padało (~P=1) i będzie pochmurno (CH=1)?
Jaś (lat 5):
TAK - zdarzenie możliwe (=1)
Stąd mamy prawdziwe zdanie warunkowe:
B2’
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie (=1): nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.

5.8.2 Czarodziejska siła definicji kontrprzykładu i praw Kubusia

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q

Zapiszmy dialog pani przedszkolanki z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1.
                    Y  Analiza z punktu odniesienia funkcji logicznej Y
A1:  P~~> CH= P* CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: pada i są chmury
A1’: P~~>~CH= P*~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada i nie ma chmur
A2: ~P~~>~CH=~P*~CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada i nie ma chmur
B2’:~P~~> CH=~P* CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenia: nie pada i są chmury

W zdarzeniach możliwych kluczowy jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>.
Uprośćmy zatem tabelę wyżej:
Kod:

T1.
             Y  Analiza z punktu odniesienia funkcji logicznej Y
A1:  P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: pada i są chmury
A1’: P~~>~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada i nie ma chmur
A2: ~P~~>~CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada i nie ma chmur
B2’:~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenia: nie pada i są chmury

W czym tkwi czarodziejska siła kontrprzykładu w zdarzeniach możliwych ~~>?
Analizujemy tabelę T1 korzystając wyłącznie z definicji kontrprzykładu i praw Kubusia.

Analiza tabeli T1 - część I
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~CH=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: P=>CH =1 -padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
O czym każdy 5-cio latek wie
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH =1
Stąd mamy:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>CH=1
wynika prawdziwość warunku koniecznego A2 (i odwrotnie):
A2: ~P~>~CH=1 - brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH=1)
bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T1.
Kod:

T2.
A1:  P=> CH =1 -padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
A1’: P~~>~CH=0 -kontrprzykład A1’ dla prawdziwego A1 musi być fałszem
A2: ~P~> ~CH=1 -brak opadów (~P=1) jest konieczny~> dla braku chmur (~CH=1)
B2’:~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenia: nie pada i są chmury

Analiza tabeli T1 - część II
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>CH =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~P=>~CH =0 - nie jest prawdą (=0), że zawsze gdy nie pada (~P=1), nie ma chmur (~CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~CH = B1: P~>CH =0
stąd mamy:
Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2:~P=>~CH=0
wymusza fałszywy warunek Konieczny ~> B1 (i odwrotnie):
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla istnienia chmur bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
O czym każdy 5-cio latek wie.

Nanieśmy część II analizy do tabeli prawdy T2.
Kod:

T3.
A1:  P=> CH =1 | B1: P~>CH =0
A1’: P~~>~CH=0
A2: ~P~> ~CH=1 | B2:~P=>~CH =0
B2’:~P~~> CH=1

Uwaga 1:
Zauważmy, że w linii A1 zapisaną mamy implikację prostą P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego = między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH=0 - padnie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo chmury mogą istnieć i nie musi padać.
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0) =1*1 =1

Uwaga 2:
Zauważmy, że w linii A2 mamy zapisaną implikację odwrotną ~P|~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH):
Implikacja odwrotna ~P|~>~CH to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P~>~CH =1 - brak padania (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie istnienia chmur (~CH=1), bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
B2: ~P=>~CH =0 - brak padania (~P=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie istnienia chmur, bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmur
~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) =1*~(0) =1*1 =1

Uwagi 1 i 2 możemy zapisać w tożsamej tabeli prawdy:
Kod:

T4.
Definicja implikacji prostej P|=>CH dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1            A2B2
Zapis formalny:
A: 1: p=> q =1 [=] 2: ~p~>~q =1 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
A: 1: P=>CH =1 [=] 2: ~P~>~CH=1
      ##               ##
Zapis formalny:
B: 1: p~> q =0 [=] 2: ~p=>~q =0 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
B: 1: P~>CH =0 [=] 2: ~P=>~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla tabeli T4 skorzystajmy po raz kolejny z definicji kontrprzykładu, działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Stąd mamy tożsamą tabelę T5:
Kod:

T5.
Definicja implikacji prostej P|=>CH dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>CH=(A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
      A1B1               A2B2
Zapis formalny:
A:  1: p=> q =1  [=] 2: ~p~>~q =1 - prawo Kubusia
A’: 1: p~~>~q=0
Zapis aktualny:
A:  1: P=>CH =1  [=] 2: ~P~>~CH=1
A’: 1: P~~>~CH=0
      ##               ##
Zapis formalny:
B:  1: p~> q =0  [=] 2: ~p=>~q =0 - prawo Kubusia
B’:                  2: ~p~~>q =1
Zapis aktualny:
B:  1: P~>CH =0  [=] 2: ~P=>~CH=0
B’:                  2: ~P~~>CH=1
Komentarz:
A1: P=>CH=1 - prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy A1’
B2:~P=>~CH=0 - fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwy B2’
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że w kolumnie A1B1 mamy opis tego co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1), natomiast w kolumnie A2B2 opis wszystkich możliwych przypadków gdy nie będzie padało (~P=1).

W tym momencie możemy tylko powtórzyć to co już poznaliśmy wcześniej, do czego doszliśmy na bazie teorii algebry Kubusia od strony przeciwnej tzn. nie od zdarzeń możliwych ~~> jak w tym przypadku, lecz od strony definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 musimy przyjąć za punkt odniesienia bowiem wszystkie następne zdania odnoszą się do zdania A1.
Punkt odniesienia dla dalszej analizy:
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=CH (chmury)

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P

Dowód:
Zauważmy, że jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% => będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1

Natomiast jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 23:04, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 1:53, 22 Lut 2021    Temat postu:

5.9 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu
Spis treści
5.9 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu 1
5.9.1 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 5
5.9.2 Diagram operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 11



5.9 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Każdy pies ma cztery łapy
Dokonaj analizy matematycznej tego operatora

Zdanie matematycznie tożsame brzmi:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => posiadania czterech łap
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Pies z trzema łapami to też pies, jednak z logiki matematycznej musimy usunąć psy kalekie bowiem wówczas warunek wystarczający A1 leży w gruzach, gdyż będzie tu istniał kontrprzykład w postaci psa z trzema łapami. Jeśli uwzględnimy psy kalekie to wylądujemy w operatorze chaosu P|~~>4L bez żadnej gwarancji matematycznej =>.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
A1: P=>4L =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>4L między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek konieczny P~>4L=?
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
W zapisie formalnym:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
… o czym każdy 5-cio latek wie.

Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania tożsame:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
##
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Podsumowując:
W zapisie aktualnym mamy:
A1: P=>4L=~P+4L ## B1: P~>4L = P+~4L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie A1: P=>4L jest częścią implikacji prostej P|=>4L.

Definicja implikacji prostej P|=>4L
Implikacja prosta P=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
bo każdy pies ma cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
Stąd:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1

Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>4L.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1
---------------------------------------------------------------
  p|=>q=~p*q     = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p  = ~q|=>~p=q*~p
  P|=>4L=~P*4L   = ~P|~>~4L=~P*4L [=] 4L|~>P=4L*~P = ~4L|=>~P=4L*~P
Gdzie:
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P=>4L=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: P~~>~4L=P*~4L=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P=>~4L=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~P~~>4L =~P*4L=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej P||=>4L to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.

A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Wylosowanie ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWT) psa, daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?

Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2:~P~>~4L
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
Zauważmy, że po udowodnieniu prawdziwości zdania A1: P=>4L nie musimy dowodzić wprost prawdziwości zdania A2 bo prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: P=>~4L=0 musi być prawdą
Prawdziwości zdania B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
Zauważmy, że między zbiorami ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony:
~P=[słoń, kura ..] => 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest podzbiorem => zbioru 4L (bo kura)
~P=[słoń, kura ..] ~> 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L (bo kura)
cnd

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa P=[pies] to mamy gwarancję matematyczną => iż ma on cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
2.
Jeśli natomiast ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem ~P=[słoń, kura ..] to w temacie ilości łap mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1 bo kura
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo słoń


5.9.1 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i będzie on miał cztery lapy (4L=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy. Nie trzeba tu badać, czy wszystkie psy mają cztery łapy jak to ma miejsce w warunku wystarczającym P=>4L=1.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i nie będzie on miał czterech lap (~4L=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę nie będzie miało czterech lap (~4L=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę będzie miało cztery lapy (4L=1)?
Jaś: TAK np. słoń
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A1:  P~~> 4L=1  0 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają el. wspólny
A1’: P~~>~4L=0  1 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1  0 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają el. wspólny
B2’:~P~~> 4L=1  0 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają el. wspólny

Kluczową definicją umożliwiającą przejście z dialogu pani przedszkolanki do definicji operatora implikacji prostej P||=>4L jest definicja kontrprzykładu w zbiorach.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza matematyczna tabeli T1 - część I:

W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2
A1:  P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny


Analiza matematyczna tabeli T1 - część II:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~P=>~4L =0
Uwaga:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo np. słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~4L = B1: P~>4L
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: P~>4L =0
Nanieśmy kompletną analizę do tabeli T3.
Kod:

T3
A1:  P=> 4L =1 |B1: P~> 4L =0
A1’: P~~>~4L=0
A2: ~P~>~4L =1 |B2:~P=>~4L =0
B2’:~P~~>4L =1

Uwaga 1:
Zauważmy, że w linii A1 zapisaną mamy implikację prostą P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L):
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> aby mieć cztery łapy
bo. np. słoń ma cztery łapy, a nie jest psem
Stąd mamy:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1

Uwaga 2:
Zauważmy, że w linii A2 mamy zapisaną implikację odwrotną ~P|~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L):
Implikacja odwrotna ~P|~>~4L to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P~>~4L =1 - nie bycie psem (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie posiadania czterech łap (~4L=1), bo jak się jest psem (P=1) to na 100% => ma się cztery łapy (4L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~4L~>~P = A1: 4L=>P
B2: ~P=>~4L =0 - nie bycie psem (~P=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie posiadania czterech łap (~4L=1) bo zbiór ~P=[słoń, kura..] nie jest podzbiorem => zbioru ~4L=[kura..]
stąd:
~P|~>~4L = (A2: ~P~>~4L)*~(B2: ~P=>~4L) =1*~(0) =1*1 =1

Uwagi 1 i 2 możemy zapisać w tożsamej tabeli prawdy:
Kod:

T4.
Definicja implikacji prostej P|=>4L dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) =1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P (pies)
q=4L (cztery łapy)
      A1B1            A2B2
Zapis formalny:
A: 1: p=> q =1 [=] 2: ~p~>~q =1 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
A: 1: P=>4L =1 [=] 2: ~P~>~4L=1
      ##               ##
Zapis formalny:
B: 1: p~> q =0 [=] 2: ~p=>~q =0 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
B: 1: P~>4L =0 [=] 2: ~P=>~4L=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla tabeli T4 skorzystajmy po raz kolejny z definicji kontrprzykładu, działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>: p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Stąd mamy tożsamą tabelę T5:
Kod:

T5.
Definicja implikacji prostej P|=>4L dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) =1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P (pies)
q=4L (cztery łapy)
      A1B1               A2B2
Zapis formalny:
A:  1: p=> q =1  [=] 2: ~p~>~q =1 - prawo Kubusia
A’: 1: p~~>~q=0
Zapis aktualny:
A:  1: P=>4L =1  [=] 2: ~P~>~4L=1
A’: 1: P~~>~4L=0
      ##               ##
Zapis formalny:
B:  1: p~> q =0  [=] 2: ~p=>~q =0 - prawo Kubusia
B’:                  2: ~p~~>q =1
Zapis aktualny:
B:  1: P~>4L =0  [=] 2: ~P=>~4L=0
B’:                  2: ~P~~>4L=1
Komentarz:
A1: P=>4L=1 - prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy A1’
B2:~P=>~4L=0 - fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwy B2’
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że w kolumnie A1B1 mamy opis tego co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1), natomiast w kolumnie A2B2 opis wszystkich możliwych przypadków gdy ze zbioru ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1).

W tym momencie możemy tylko powtórzyć to co już poznaliśmy wcześniej, do czego doszliśmy na bazie teorii algebry Kubusia od strony przeciwnej tzn. nie od zdarzeń możliwych ~~> jak w tym przypadku, lecz od strony definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Operator implikacji prostej P||=>4L to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.

A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Wylosowanie ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWT) psa, daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?

Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2:~P~>~4L
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
Zauważmy, że po udowodnieniu prawdziwości zdania A1: P=>4L nie musimy dowodzić wprost prawdziwości zdania A2 bo prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: P=>~4L=0 musi być prawdą
Prawdziwości zdania B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
Zauważmy, że między zbiorami ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony:
~P=[słoń, kura ..] => 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest podzbiorem => zbioru 4L (bo kura)
~P=[słoń, kura ..] ~> 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L (bo kura)
cnd

5.9.2 Diagram operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q, ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Zadanie ze 100-milowego lasu:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjęlibyśmy zbiór zwierząt mających cztery łapy:
D=4L=[pies, słoń …]
To zbiór zwierząt nie mających czterech łap (~4L) byłby zbiorem nierozpoznawalnym.
Dowód:
~4L = [D-4L] = [4L-4L] =[] =0
Wniosek:
Dla dowolnej implikacji prostej p|=>q w definiowanej w zbiorach musimy zastrzec, iż dziedzina musi być szersza do sumy zbiorów p+q, bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q, ~q będą rozpoznawalne.

Definicja implikacji prostej P|=>4L w zbiorach:
Zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..] i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L=[pies, słoń ..]
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów P+4L bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P, ~P, 4L i ~4L będą rozpoznawalne.
A1: P=>4L =1 - zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
B1: P~>4L =0 - zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..]
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) =1*~(0) = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Nanieśmy rozszyfrowaną relację między zbiorami p=P=[pies] i q=4L=[pies, słoń ..] na diagram zbiorów:
Kod:

D1
Diagram operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

----------------------------------------------------------------------
|     p=P=[pies]            |         ~p=~P=[słoń, kura ..]          |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q=4L=[pies, słoń..]                    |  ~q=~4L=[kura..]      |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |~p*q =[słoń..]  | p*~q=[]               |
|                           |~P*4L=[słoń..]  | P*~4L=[]              |
----------------------------------------------------------------------
|                  ZWZ=[pies, słoń, kura ..]                         |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu odczytujemy:
Analiza p||=>q w zapisach      |Analiza podstawowa P||=>4L
formalnych (ogólnych)          |w zapisach aktualnych
Analiza        |Po zamianie    |
podstawowa     |p i q          |
-------------------------------|--------------------------------------
A1:  p=> q =1  |A3:  q~> p =1  |A1:  P=> 4L =1 - P jest podzbiorem => 4L 
A1’: p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: P~~>~4L=0 - P i ~4L zbiory rozłączne
A2: ~p~>~q =1  |A4: ~q=>~p =1  |A2: ~P~>~4L =1 - ~P jest nadzbiorem ~> ~4L
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’ ~P~~>4L =1 - ~P*4L=1 - np. słoń
|
B1:  p~> q =0  |B3:  q=> p =0  |B1:  P~> 4L =0 - P nie jest nadzbiorem~> 4L
A1’  p~~>~q=0  |A1’:~q~~>p =0  |A1’: P~~>~4L=0 - P i ~4L zbiory rozłączne
B2: ~p=>~q =0  |B4: ~q~>~p =0  |B2: ~P=>~4L =0 - ~P nie jest podzbiorem ~4L
B2’:~p~~>q =1  |B2’: q~~>~p=1  |B2’:~P~~>4L =1 - ~P*4L=1 - np. słoń
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Spójnik p~~>q=p*q jest przemienny

Operator implikacji prostej P||=>4L to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?

A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Doskonale to widać na diagramie.

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.
To również bez problemu odczytujemy z diagramu.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?


A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
Wyśmienicie to widać na diagramie.

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: P=>~4L=0 musi być prawdą
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
… co widać na diagramie.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 23:05, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:52, 25 Lut 2021    Temat postu:

5.10 Operator implikacji prostej p||=>q w I klasie LO

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję tym nauczycielom matematyki w I klasie LO dla których ujmą na honorze byłby wykładanie logiki matematycznej na poziomie zrozumiałym dla każdego 5-cio latka co miało miejsce wyżej.
Bardzo proszę, oto algebra Kubusia niezrozumiała dla 5-cio latków … choć w przypadku przycisków sterujących żarówką nie byłbym tego taki pewien, bowiem moim zdaniem, przy odpowiednim tłumaczeniu popartym doświadczeniem dałoby się to 5-cio latkom wytłumaczyć. Szczególnie ciekawe może tu być doświadczenie z dwoma pokojami Jasia i Zuzi tłumaczące co to jest zmienna wolna w logice matematycznej.
Natomiast zbiory nieskończone typu P8, ~P8, P2, ~P2 z oczywistych względów są poza zasięgiem 5-cio latków.


Spis treści
5.10 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach dla I klasy LO 1
5.11 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach dla I klasy LO 8



5.10 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach dla I klasy LO

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S1 Schemat 1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd

Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Popatrzmy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, są to zdania różne ## na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>. Różność tych zdań, a tym samym ich prawdziwość/fałszywość rozpoznajemy po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść zdań.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Doskonale widać, że układ ze schematu S1 spełnia definicję implikacji prostej.

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
##
B1: A~>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy to do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1 [=] 5: ~A+S
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0 [=] 5: A+~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy, w tabeli T1 mamy matematyczny opis układu S1 widzianego z punktu odniesienia implikacji prostej A|=>S.
Cechą charakterystyczną układu S1 jest występowanie przycisku W którego nie ma w opisie matematycznym prezentowanym w tabeli T1. W układzie S1 opisanym tabelą T1 przycisk W jest zmienną wolną która może być ustawiana poza świadomością człowieka.

Stąd mamy:
Podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu pełnej, symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1 = 2:~A~>~S=1     [=] 3: S~>A  =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 =                [=]             = 4:~S~~>A =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S=0     [=] 3: S=>A  =0 = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~A~~>S=1     [=] 3: S~~>~A=1
---------------------------------------------------------------
IP: p|=>q=~p*q  = ~p|~>~q=~p*q   [=]  q|~>p=q*~p = ~q|=>~p=q*~p
IP: A|=>S=~A*S  = ~A|~>~S=~A*S   [=]  S|~>A=S*~A = ~S|=>~A=S*~A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: A~~>~S=A*~S=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~A=>~S=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~A~~>S =~A*S=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja operatora implikacji prostej A||=>S:
Operator implikacji prostej A||=>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
A1: A=>S =1
Dalsza analiza matematyczna związana będzie z przyjętym na mocy prawa śfinii punktem odniesienia, zdaniem A1.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2:~A~>~S
Prawdziwość zdania A1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania A2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A

Dowód:
Zauważmy, że jeśli klawisz A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1

Natomiast jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
LUB
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1

5.11 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach dla I klasy LO

Zadanie matematyczne w I klasie LO:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Dokonaj szczegółowej analizy tego operatora

Rozwiązanie:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Na wejściu naszych rozważań mamy dane twierdzenie proste p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód:
Oba zbiory to zbiory liczb parzystych.
Zbiór P2 zawiera wszystkie możliwe liczby parzyste, to jest definicja liczby parzystej opisana elementami zbioru.
Zbiór P8 nie zawiera wszystkich możliwych liczb parzystych, z czego wnioskujemy iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
cnd

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=P8
q=P2
A1: P8=>P2 =1
Dalsza analiza matematyczna związana będzie z przyjętym na mocy prawa śfinii punktem odniesienia, zdaniem A1.

Wyznaczmy wszystkie możliwe zbiory i ich zaprzeczenia dla twierdzenia A1.
W poprzedniku p mamy zbiór liczb podzielnych przez 8:
p = P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
W następniku q mamy zbiór liczb podzielnych przez 2:
q = P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedziną minimalną wspólną dla p i q:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów definiowane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2 = [LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór wszystkich liczb niepodzielnych przez 2

Zapiszmy to w skrócie:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2 = [LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Badamy prawdziwość/fałszywość twierdzenia odwrotnego q=>p.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8=1)
P2=>P8 =0
to samo w zapisach formalnych:
q=>p =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dla udowodnienia fałszywości twierdzenia odwrotnego q=>p wystarczy pokazać jeden element należący do zbioru P2 i nie należący do zbioru P8 (np. 2), co kończy dowód.
cnd

Dla twierdzenia B3 skorzystajmy z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q =0
Nasz przykład:
B3: P2=>P8 = B1: P8~>P2 =0

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego fałszywość po drugiej stronie

Stąd mamy zdanie B1 logicznie tożsame z twierdzeniem odwrotnym B3.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Fałszywości tego twierdzenia nie musimy dowodzić, bowiem jest ono fałszywe na mocy prawa Tygryska.

Zauważmy, że po raz n-ty kłania nam się prawo Kameleona w postaci zdań A1 i B1.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Prawdziwość/fałszywość zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy dowód iż badane zdanie A1 jest częścią podstawowej definicji implikacji prostej P8|=>P2.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja podstawowa implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8
##
B1: P8~>P2=0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) konieczna ~> dla jej podzielności przez 2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1 - zapis formalny

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
Punkt odniesienia:
p=P8
q=P2
      A1B1:      A2B2:     |     A3B3:       A4B4:
A: 1: p=>q   = 2:~p~>~q   [=] 3: q~>p   = 4:~q=>~p   =1 [=] 5: ~p+q
A: 1: P8=>P2 = 2:~P8~>~P2 [=] 3: P2~>P8 = 4:~P2=>~P8 =1 [=] 5: ~P8+P2
##
B: 1: p~>q   = 2:~p=>~q   [=] 3: q=>p   = 4:~q~>~p   =0 [=] 5: p+~q
B: 1: P8~>P2 = 2:~P8=>~P2 [=] 3: P2=>P8 = 4:~P2~>~P8 =0 [=] 5: P8+~P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Wyżej udowodniliśmy prawdziwość twierdzenia prostego A1: P8=>P2=1 z linii Ax oraz fałszywość twierdzenie odwrotnego B3: P2=>P8=0 z linii Bx, zatem nic więcej nie musimy udowadniać, obowiązuje nas tabela prawdy T1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
Punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
       A1B1:          A2B2:          |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1    [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1    [=] 3: P2~>P8  =1  = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =                 [=]                = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =                 [=]                = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##            ##              |     ##             ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0    [=] 3: q=>p    =0   = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0    [=] 3: P2=>P8  =0   = 4:~P2~>~P8=0
B’:               = 2:~p~~>q  =1    [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1    [=] 3: P2~~>~P8=1
---------------------------------------------------------------
IP p|=>q=~p*q     = ~p|~>~q=~p*q     [=]  q|~>p=q*~p    = ~q|=>~p=q*~p
IP P8|=>P2=~P8*P2 = ~P8|~>~P2=~P8*P2 [=] P2|~>P8=P2*~P8 = ~P2|=>~P8=P2*~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P8=>P2=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~P8=>~P2=0 -fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’
B2’:~P8~~>P2 =~P8*P2=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji prostej P8||=>P2 to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 jest punktem odniesienia:
p=P8
q=P2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wyznaczamy wszystkie możliwe zbiory P8, ~P8, P2 i ~P2 które będą potrzebne w dalszej analizie.
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedziną minimalną wspólną dla p i q:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów definiowane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2 = [LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór wszystkich liczb niepodzielnych przez 2

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?

Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2 =0 musi być prawdą
Prawdziwości kontrprzykładu B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
2.
Jeśli natomiast ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’.
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:43, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:54, 25 Lut 2021    Temat postu:

6.0 Implikacja odwrotna p|~>q


Spis treści
6.0 Implikacja odwrotna p|~>q 1
6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 1
6.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 3
6.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|~>q 5
6.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 7
6.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 11
6.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 14
5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 14
6.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 16
6.4.3 Świat martwy vs „wolna wola” 18
6.4.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~> 18
6.4.5 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> 20




6.0 Implikacja odwrotna p|~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to operator wyrażony zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

Fundamentem wszystkich operatorów implikacyjnych są matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym

6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w rachunku zero-jedynkowym:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

6.2 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po stronie przeciwnej
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość zdania po stronie przeciwnej

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
IP: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

6.2.1 Implikacje tożsame dla punktu odniesienia p|~>q

Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
IP: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Ax.
W tabeli T2 zachodzi tożsamość logiczna „=” warunków wystarczających => i koniecznych ~> w linii Bx.

Zachodzi tożsamość znaczków:
„=” = „[=]”
Znaczek [=] sygnalizuje tylko zamianę p i q w A3B3 i A4B4 względem A1B1 i A2B2.

Znaczenie tożsamości logicznej [=]:
Przykładowe prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
1.
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Bx w tabeli T2
2.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Ten przypadek mamy w linii Ax w tabeli T2

Definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

W tabeli T2 możemy wyróżnić następujące implikacje:

A1B1:
Punkt odniesienia:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q
Poniższe nazwy implikacji odnoszą się do punktu odniesienia A1B1: p|~>q:

[=]

A2B2:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) w stosunku do A1B1:

Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1=1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
A2B2: ~p|=>~q = p*~q

[=]

A3B3:
Implikacja prosta przeciwna q|=>p w logice dodatniej (bo p) w stosunku do A1B1:

Implikacja prosta przeciwna q|=>p w logice dodatniej (bo p) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: q~>p =0 - zajście q nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
A3B3: q|=>p = ~(A3: q~>p)*(q=>p) = ~(0)*1 =1*1 =1
Definicje znaczków => i ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
A3B3: q|=>p = ~(A3: q~>p)*(q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p)=(~q*p)*(~q+p) = ~q*p
A3B3: q|=>p = ~q*p
[=]

A4B4:
Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p w logice ujemnej (bo ~p) w stosunku do A1B1:

Implikacja odwrotna przeciwna ~q|~>~p w logice ujemnej (bo ~p) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~q=>~p =0 - zajście ~q nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: ~q~>~p =1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
A4B4: ~q|~>~p = ~(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =~(0)*1 =1*1 =1
Definicje znaczków => I ~>:
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
stąd:
A4B4: ~q|~>~p = ~(A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) = ~(q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p)=~q*p
A4B4: ~q|~>~p = ~q*p

Na mocy tożsamości logicznych w wierszach w tabeli T2 zachodzą tożsamości logiczne [=] implikacji:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q [=] A3B3: q|=>p [=] A4B4: ~q|~>~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Dokładnie to samo można udowodnić korzystając z definicji podstawowych implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q wyrażonych spójnikami „i’(*) i „lub”(+), co pokazano wyżej.
A1B1: p|~>q=p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q=p*~q [=] A3B3: q|=>p=~q*p [=] A4B4: ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna, bo prawe strony są identyczne (iloczyn logiczny „*” jest przemienny)
cnd

Warto zapamiętać różnicę między warunkiem koniecznym p~>q:
A: p~>q = p+~q
##
a implikacją odwrotną p|~>q:
A1B1: p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i implikacji odwrotnej p|~>q
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q.


6.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
IP: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w implikacjach p|~>q i ~p|=>~q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to złożenie implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) i logicznie tożsamej z nią implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q)

1.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne => dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =(0)*1=1*1 =1
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą (i odwrotnie).
A1’: p~~>~q =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Implikacja odwrotna p|~>q mówi nam co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1):
Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Zajście p (p=1) jest (=1) konieczne dla zajścia q (q=1) bo jak nie zajdzie p (~p=1) to na 100% => nie zajdzie q (~q=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q

2.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|=>~q = ~(A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1 =1
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q =0

Implikacja prosta ~p|=>~q mówi nam co może się wydarzyć po stronie ~p (~p=1):
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q =0

Zauważmy, że implikacja odwrotna p|~>q definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania B1 i A1’), zaś implikacja prosta ~p|=>~q również definiuje dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” (zdania B2 i B2’).
W logice matematycznej zdania możemy dowolnie przestawiać co oznacza, że istotne są tu zdania składowe B1, A1’, B2, B2’, a nie implikacja odwrotna p|~>q, czy też prosta ~p|=>~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
p|~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego prawdziwość po drugiej stronie
Fałszywość wyrażenia po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza jego fałszywość po drugiej stronie

Oznacza to, że po udowodnieniu prawdziwości implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) nie musimy dowodzić prawdziwości implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q), bowiem prawdziwość implikacji prostej ~p|=>~q gwarantuje nam prawo rachunku zero-jedynkowego:
p|~>q = ~p=>~q = p*~q

Na mocy powyższych rozważań definicję operatora implikacji odwrotnej p|~>q możemy uprościć do definicji poniższej, interesując się wyłącznie prawdziwością/fałszywością zdań warunkowych B1, A1’, B2 i B2’.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy prawa śfinii zdanie B1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą, stąd:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q - mówi o tym zdanie B2

B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q

6.3.1 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q            |jedynek oznacza
B1:  p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q        |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1  |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q   |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0  |(~p=1)~~>( q=1)=0
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T3 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T4:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |definicja ~>
              |                  |                  | p  q  B1: p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T3 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p=>~q         |definicja =>
              |                  |                  |~p ~q B2: ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T4 i T5 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T4 i T5 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T4: p~>q = T5: ~p=>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T4: 123) i wystarczającego => (T5: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Stąd mamy:
Kod:

T6
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1          1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1          1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1          1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0          1
     1  2   3    4  5    6          7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q


6.4 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy wyprowadzoną wyżej zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~>:
Kod:

T1
        Y=
   p  q p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

5.4.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego Y = p~>q:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń możliwych i rozłącznych:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

6.4.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna

Weźmy naszą tabelę T2.
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna to suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych
DM = Y+~Y
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*~q
Zaś:
~Y=~Yd
~Y = D: ~p*q
Stąd suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych to:
DM = Y+~Y = Ya+~Yb+Yc+Yd
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1

Zauważmy, że jeśli znamy dowolną funkcję logiczną Y to automatycznie znamy zaprzeczenie tej funkcji ~Y (albo odwrotnie).
W każdym przypadku otrzymamy równanie dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1

W ogólnym przypadku w definicji dziedziny matematycznej DM nie interesuje nas która część dziedziny matematycznej należy do funkcji logicznej Y a która do ~Y.
Matematycznie dla dwóch zmiennych p i q otrzymamy 16 różnych funkcji logicznych Y, definiujących 16 różnych definicji spójników logicznych.
Definicje tych spójników i ich szczegółowy zapis znajdziemy w punkcie 2.11.

Właściwości dziedziny matematycznej:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Wszystkie funkcje cząstkowe A, B, C i D dziedziny matematycznej DM są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny
1.
Wszystkie funkcje logiczne cząstkowe A, B, C i D są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C= (p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
B*C=(p*~q)*(~p*~q) =[] =0
B*D = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0
cnd
2.
Funkcje cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to część dziedziny matematycznej DM opisana funkcją logiczną Y.

Nasz przykład:
Y = (p~>q)
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Po minimalizacji mamy:
Y = (p~>q) = p+~q

Oczywiście znając funkcję logiczną Y znamy też funkcję logiczną ~Y która powstaje przez dwustronną negację funkcji Y:
~Y=~(p~>q)
~Y = ~(p+~q) = ~p*q - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zdarzeń:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zdarzenia możliwe ~~> uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zbiorów:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

6.4.3 Świat martwy vs „wolna wola”

Definicja świata martwego:
Świat martwy to świat w którym rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania x nie zależy od „wolnej woli” człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka):
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Świat martwy z definicji nie może gwałcić (i nie gwałci!) praw logiki matematycznej pod które sam podlega.

6.4.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku koniecznego p~>q w zdarzeniach możliwych ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p~>q) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
LUB
Yb=B: p*~q =1*1 =1 - możliwe jest (Yb=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p~>q) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = D: ~p*q =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe

6.4.5 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku wystarczającego => w elementach wspólnych zbiorów ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zbiorów niepustych i rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd zapis tożsamy:
Y=0 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w elementach wspólnych zbiorów ~~> to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są mają element wspólny ~~> (Y=1)?

Odpowiedź:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Zbiory mające element wspólny ~~> (Y=1) to:
Ya = A: p*q =1*1=1 - istnieje (Ya=1) element wspólny ~~> zbiorów: p (p=1) i q (q=1)
LUB
Yb = B: p*~q =1*1 =1 - istnieje (Yb=1) element wspólny ~~> zbiorów: p (p=1) i ~q (~q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - istnieje (Yc=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (p=1) i ~q (~q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zbiory w funkcji logicznej Y=(p=>q) są nie mają elementu wspólnego ~~> (~Y=1)?

Odpowiedź:
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Zbiory nie mające elementu wspólnego ~~> (~Y=1) to:
~Y = D: ~p*q =1*1=1 - nie Istnieje (~Y=1) element wspólny ~~> zbiorów: ~p (~p=1) i q (q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie mają elementu wspólnego (~Y) zbiory: ~p (~p=1) i q (q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że mają element wspólny (Y) zbiory: ~p (~p=1) i q (q=1)

Znaczenie symboli:
Y - zbiory mają element wspólny ~~>
~Y - zbiory nie mają (~) elementu wspólnego ~~>


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:42, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 14:12, 27 Lut 2021    Temat postu:

6.5 Diagram implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

Spis treści
6.5 Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach 1
6.5.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q z definicji ~~> 3



6.5 Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Zobaczmy to na przykładzie:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zbiór wszystkich liczb parzystych P2=[2,4,6,8..] to nadzbiór ~> zbioru P8=[8,16,24], stąd prawdziwość zdania B1.
W zdaniu B1 poprzednik p mówi o zbiorze P2, zaś następnik q o zbiorze P8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb parzystych
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd wyznaczamy zbiory zaprzeczone rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór wszystkich liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Definicja dziedziny dla P2 i ~P2:
P2+~P2=LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory rozłączne
Definicja dziedziny dla P8 i ~P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8
P8*~P8=[] =0 - zbiory rozłączne

Wnioski:
1.
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” dziedzina musi być wspólna dla p i q
2.
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Nasz przykład:
p+q = P2+P8 = P2 - bo P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Przyjęta dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Jest szersza od sumy logicznej zbiorów:
P2+P8=P2=[2,4,6,8..]
zatem przyjęta dziedzina jest matematycznie poprawna.
3.
Zobaczmy co się stanie jak dla naszego zdania B1 przyjmiemy za dziedzinę zbiór tożsamy z sumą zbiorów P2+P8=P2:
D=P2=[2,4,6,8..]
Wyznaczamy zbiór ~P2:
~P2 = [D-P2] = P2-P2]=[] =0
Jak widzimy pojęcie ~P2 jest nierozpoznawalne, dlatego dla zdania B1 musimy przyjąć dziedzinę szerszą od sumy zbiorów P2+P8=P2, inaczej popełniamy błąd nierozpoznawalności analizowanego pojęcia (tu ~P2)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

D2
Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p                                      |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           | p~~>~q = p*~q  | ~p~~>q = ~p*q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu w zbiorach odczytujemy:
Analiza operatora implikacji odwrotnej p||~>q
w zapisach formalnych (ogólnych)
A1:  p=> q =0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
----------------------------------------------------------------------
A1:  p=> q =0  |A3:  q~> p =0  |A1   p=> q =0 - p nie jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: p~~>~q=1 - p*~q zbiór niepusty
A2: ~p~>~q =0  |A4: ~q=>~p =0  |A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest nadzbiorem~> ~q
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’ ~p~~>q =0 - ~p i q zbiory rozłączne
|
B1:  p~> q =1  |B3:  q=> p =1  |B1:  p~> q =1 - p jest nadzbiorem~> q
A1’  p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: p~~>~q=1 - p*~q zbiór rozłączny
B2: ~p=>~q =1  |B4: ~q~>~p =1  |B2: ~p=>~q =1 - ~p jest podzbiorem => ~q
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’:~p~~>q =0 - ~p i q zbiory rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Z diagramu D2 odczytujemy::
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, co widać na diagramie D2.

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą, stąd:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Widać to doskonale na diagramie D2

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Z diagramu D2 odczytujemy:
Jeśli zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q - mówi o tym zdanie B2

B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q, co widać na diagramie D2

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Potwierdza to diagram D2.


6.5.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q z definicji ~~>

Weźmy diagram implikacji prostej w odwrotnej p||~>q w zbiorach wyżej zapisany.
Kod:

D2
Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p                                      |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           | p~~>~q = p*~q  | ~p~~>q = ~p*q =[]     |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu w zbiorach odczytujemy:
Analiza operatora implikacji odwrotnej p||~>q
w zapisach formalnych (ogólnych)
A1:  p=> q =0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
----------------------------------------------------------------------
A1:  p=> q =0  |A3:  q~> p =0  |A1   p=> q =0 - p nie jest podzbiorem => q 
A1’: p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: p~~>~q=1 - p*~q zbiór niepusty
A2: ~p~>~q =0  |A4: ~q=>~p =0  |A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest nadzbiorem~> ~q
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’ ~p~~>q =0 - ~p i q zbiory rozłączne
|
B1:  p~> q =1  |B3:  q=> p =1  |B1:  p~> q =1 - p jest nadzbiorem~> q
A1’  p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: p~~>~q=1 - p*~q zbiór rozłączny
B2: ~p=>~q =1  |B4: ~q~>~p =1  |B2: ~p=>~q =1 - ~p jest podzbiorem => ~q
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’:~p~~>q =0 - ~p i q zbiory rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Operator p||~>q       |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =1  0 |( p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0  1 |(~p=1)~~>( q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T1.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
B1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji odwrotnej p||~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
##
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q

Znaczenie tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => B1:
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
2.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
B1:  p~>q   =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p=>~q  =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2’:~p~~> q =0 - kontrprzykład dla B2’ musi być fałszem

Analiza tabeli prawdy T1 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2
Kod:

T3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
B1:  p~>q   =1 | A1: p=>q =0
A1’: p~~>~q =1
B2: ~p=>~q  =1 | A2:~p~>~q =0
B2’:~p~~> q =0

Stąd mamy:
Linia B1A1:
Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia w
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Uwaga:
W implikacji odwrotnej p|~>q zbiory p i q nie mogą być tożsame bo …

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> dla zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Dowód:
Dla zbiorów tożsamych p=q mamy:
A1: p=>q =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Czyli:
Dla zbiorów tożsamych p=q jest:
A1: p=>q =1
co jest sprzeczne z definicją implikacji odwrotnej p|~>q gdzie musi być spełnione:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
cnd

Stąd mamy:
Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p jest nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (prawdziwe dla p##q)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Gdzie:
p##q - zbiory p i q różne ## na mocy definicji

Dodatkowy warunek jaki musi tu być spełniony brzmi:
Dziedzina D musi być szersza od sumy zbiorów p+q
Dowód:
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q

Przyjmijmy za dziedzinę zbiór p
D=p
Obliczamy zbiór ~p rozumiany jako uzupełnienie do dziedziny D dla zbioru p:
~p=[D-p] = [p-p} =[] =0
Wniosek:
Dziedzina musi być szersza od sumy zbiorów p+q inaczej zbiór wejściowy ~p jest nierozpoznawalny, jest zbiorem pustym. Nie możemy operować na czymkolwiek czego definicji nie znamy.
cnd

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - punkt 3.0:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Zdefiniowawszy implikację odwrotną p|~>q w zbiorach jako:
A1: p=>q =0 - zbiór p jest nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (prawdziwe dla p##q)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
możemy ją podstawić matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|=>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
---------------------------------------------------------------
IP: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~q=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy to, co już doskonale znamy.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli zajdzie p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zdarzenia:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy prawa śfinii zdanie B1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bo do tego zdania odnoszą się wszystkie dalsze rozważania.

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą, stąd:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q

2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli zajdzie ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q - mówi o tym zdanie B2

B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zdarzenia:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne ~~> zajście zdarzeń ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:41, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:17, 28 Lut 2021    Temat postu:

6.6 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach w przedszkolu

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję paniom przedszkolankom, jako podstawowy podręcznik logiki matematycznej dla 5-cio latków. Oczywiście przykłady mogą być inne, ale idea musi pozostać niezmienna, czyli mają to być przykłady zrozumiałe dla 5-cio latka.

Spis treści
6.6 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach w przedszkolu 1
6.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego CH~>P 6
6.7 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 10
6.7.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 10
6.7.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna 11
6.7.3 Świat martwy vs „wolna wola” 13
6.7.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~> 14
6.7.5 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach możliwych ~~> 16
6.8 Matematyczne fundamenty teorii zdarzeń dla 5-cio latków 18
6.8.1 Od teorii zdarzeń do operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 20
6.8.2 Czarodziejska siła definicji kontrprzykładu i praw Kubusia 21



6.6 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach w przedszkolu

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie (poziom przedszkola):
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Analiza wstępna:
1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P =CH*P =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest (=1) tu spełniona bo możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
2.
Zbadajmy czy warunek wystarczający => jest tu spełniony
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo nie zawsze, gdy są chmury (CH=1), pada (P=1)
3.
Ostatnia możliwość jaka nam pozostała to zbadanie czy w naszym zdaniu zachodzi warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania prawdziwego B1 to:
B1: p~>q =1
p=CH (chmury)
q=P (pada)
B1: CH~>P =1

Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego => są tu następujące:
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:    |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  =?  [=] 5: ~p+q
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =?  [=] 5: ~P+CH
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  =1  [=] 5: p+~q
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P =1  [=] 5: P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Rozstrzygającym dowodem w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie B1: CH~>P jest zbadanie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Stąd:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Dopiero w tym momencie mamy pewność, że badane zdanie B1 należy do operatora implikacji odwrotnej CH||~>P.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Nasz przykład:
Implikacja odwrotna CH||~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> (=1) dla padania, bo jak nie ma chmur, to nie pada.

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 -formalny punkt odniesienia
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1 -aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1:      A2B2:  |      A3B3:      A4B4:
A: 1: p=>q  = 2:~p~>~q  [=] 3: q~>p  = 4:~q=>~p  =0 [=] 5: ~p+q
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH =0 [=] 5: ~CH+P
##
B: 1: p~>q  = 2:~p=>~q  [=] 3: q=>p  = 4:~q~>~p  =1 [=] 5: p+~q
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P~>~CH =1 [=] 5: CH+~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość zdania po stronie przeciwnej
Fałszywość zdania po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość zdania po stronie przeciwnej

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 -formalny punkt odniesienia
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1 -aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q  =0   [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P =0   [=] 3: P~~>~CH=0
---------------------------------------------------------------
IO: p|~>q=p*~q   = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p   = ~q|~>~p=~q*p
IO: CH|~>P=CH*~P = ~CH|=>~P=CH*~P [=]  P|=>CH=~P*CH = ~P|~>~CH=~P*CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: CH=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: CH~~>~P=p*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~CH=>~P=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
B2’:~CH~~>P =~CH*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji odwrotnej CH|~>P:
Operator implikacji odwrotnej CH|~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Zdanie B1 to zdanie bazowe do którego odnoszą się pozostałe zdania w analizie niżej, zatem na mocy prawa śfinii musimy tu przyjąć punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

LUB

A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
Prawdziwość zdania B1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania B2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH i gwarancja matematyczna po stronie ~CH

Dowód:
1,
Zauważmy, że jeśli jutro będzie pochmurno to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1

2.
Natomiast jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1

6.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego CH~>P

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej CH||~>P przedstawioną wyżej:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                                 |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej CH||~>P              |jedynek oznacza
B1:  CH~>P  =1 - chmury są konieczne ~> dla padania |( CH=1)~> ( P=1)=1
A1’: CH~~>~P=1 - możliwe jest: są chmury i nie pada |( CH=1)~~>(~P=1)=1
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur wystarcza by nie padało |(~CH=1)=> (~P=1)=1
B2’:~CH~~>P =0 - niemożliwe jest: brak chmur i pada |(~CH=1)~~>( P=0)=0
     a   b   c                                         d         e    f

Dokładnie ta sama tabela w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
przyjmie postać:
Kod:

T3:
Analiza symboliczna                                |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q              |jedynek oznacza
B1:  p~>q  =1 - chmury są konieczne ~> dla padania |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - możliwe jest: są chmury i nie pada |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2: ~p=>~q =1 - brak chmur wystarcza by nie padało |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - niemożliwe jest: brak chmur i pada |(~p=1)~~>( q=0)=0
     a   b  c                                         d        e    f


Z tabeli T3 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T4:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |definicja ~>
              |                  |                  | p  q  B1: p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T3 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T5:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p=>~q         |definicja =>
              |                  |                  |~p ~q B2: ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T4 i T5 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T4 i T5 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T4: p~>q = T5: ~p=>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T4: 123) i wystarczającego => (T5: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Stąd mamy:
Kod:

T6
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1          1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1          1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1          1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0          1
     1  2   3    4  5    6          7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

6.7 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie pięć znaczków: {0, 1, „nie”(~), „i”(*), „lub”(+)}

Weźmy wyprowadzoną wyżej zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~>:
Kod:

T1
        Y=
   p  q p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.

6.7.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek

2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego Y = p~>q:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń możliwych i rozłącznych:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

6.7.2 Dziedzina matematyczna i fizyczna

Weźmy naszą tabelę T2.
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna to suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych
DM = Y+~Y
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*~q
Zaś:
~Y=~Yd
~Y = D: ~p*q
Stąd suma logiczna wszystkich możliwych funkcji cząstkowych to:
DM = Y+~Y = Ya+~Yb+Yc+Yd
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1

Zauważmy, że jeśli znamy dowolną funkcję logiczną Y to automatycznie znamy zaprzeczenie tej funkcji ~Y (albo odwrotnie).
W każdym przypadku otrzymamy równanie dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1

W ogólnym przypadku w definicji dziedziny matematycznej DM nie interesuje nas która część dziedziny matematycznej należy do funkcji logicznej Y a która do ~Y.
Matematycznie dla dwóch zmiennych p i q otrzymamy 16 różnych funkcji logicznych Y, definiujących 16 różnych definicji spójników logicznych.
Definicje tych spójników i ich szczegółowy zapis znajdziemy w punkcie 2.11.

Właściwości dziedziny matematycznej:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Wszystkie funkcje cząstkowe A, B, C i D dziedziny matematycznej DM są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny
1.
Wszystkie funkcje logiczne cząstkowe A, B, C i D są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C= (p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
B*C=(p*~q)*(~p*~q) =[] =0
B*D = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0
cnd
2.
Funkcje cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM:
DM = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q)+~p*(~q+q)
Y = p+~p=1
cnd

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to część dziedziny matematycznej DM opisana funkcją logiczną Y.

Nasz przykład:
Y = (p~>q)
Y = Ya+Yb+Yc
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Po minimalizacji mamy:
Y = (p~>q) = p+~q

Oczywiście znając funkcję logiczną Y znamy też funkcję logiczną ~Y która powstaje przez dwustronną negację funkcji Y:
~Y=~(p~>q)
~Y = ~(p+~q) = ~p*q - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zdarzeń:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zdarzenia możliwe ~~> uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

Domyślny punkt odniesienia w dziedzinie fizycznej D w teorii zbiorów:
W logice matematycznej w świecie martwym, domyślnym punktem odniesienia jest funkcja logiczna Y definiująca zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny fizycznej D.

6.7.3 Świat martwy vs „wolna wola”

Definicja świata martwego:
Świat martwy to świat w którym rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania x nie zależy od „wolnej woli” człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka):
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Świat martwy z definicji nie może gwałcić (i nie gwałci!) praw logiki matematycznej pod które sam podlega.

6.7.4 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zdarzeniach możliwych ~~>

Weźmy wyprowadzoną wyżej definicję warunku koniecznego p~>q w zdarzeniach możliwych ~~>
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = p~>q - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p~~> q= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p~~>~q= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p~~>~q=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p~~> q=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e    f  g  h

Uwaga:
Spójniki logiczne „i”(*) i „lub”(+) z definicji nie są w stanie definiować takich pojęć jak podzbiór => czy nadzbiór ~>.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
zaś w teorii zbiorów spójnik „i”(*) definiuje element wspólny zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p~>q) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: p*q =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
LUB
Yb=B: p*~q =1*1 =1 - możliwe jest (Yb=1) zdarzenie: zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
LUB
Yc=C: ~p*~q=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(p~>q) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = D: ~p*q =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> D: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): zajdzie ~p (~p=1) i zajdzie q (q=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe


6.7.5 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach możliwych ~~>

Zdanie bazowe - punkt odniesienia:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

Twardym dowodem iż przedstawiona wyżej teoria ogólna (formalna) ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka jest odtworzenie podstawień:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
stąd mamy:
Kod:

T2
Wyprowadzenie równań algebry Boole’a dla funkcji logicznych Y i ~Y
Gdzie:
Y = CH~>P - zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Pełna definicja       |Co w logice jedynek   |Równania
zero-jedynkowa Y      |oznacza               |cząstkowe
                      |                      |
   CH  P ~CH ~P  Y ~Y |                      |
A: 1   1  0   0 =1 =0 | Ya=1<=> CH=1 i  P=1  | Ya= CH~~> P= CH* P
B: 1   0  0   1 =1 =0 | Yb=1<=> CH=1 i ~P=1  | Yb= CH~~>~P= CH*~P
C: 0   0  1   1 =1 =0 | Yc=1<=>~CH=1 i ~P=1  | Yc=~CH~~>~P=~CH*~P
D: 0   1  1   0 =0 =1 |~Yd=1<=>~CH=1 i  P=1  |~Yd=~CH~~> P=~CH* P
   1   2  3   4  5  6   a       b       c      d   e     f  g   h

W teorii zdarzeń spójnik „i”(*) definiuje zdarzenia możliwe ~~>:
p~~>q=p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
Nic więcej spójnik „i”(*) nie może definiować na mocy jego definicji, jak wyżej.

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: CH*P + B: CH*~P + C: ~CH*~P
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: CH=1 i P=1 lub B: CH=1 i ~P=1 lub C: ~CH=1 i ~P=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~CH*P
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~CH=1 i P=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (tu Y) lub postaci koniunkcyjnej (tu ~Y) doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.

Definicja operatora implikacji odwrotnej CH||~>P wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(CH~>P) są możliwe ~~> (Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną Y definiującą sumę logiczną zdarzeń rozłącznych uzupełniających się do dziedziny fizycznej D:
Y = A: CH*P + B: CH*~P + C: ~CH*~P
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: CH=1 i P=1 lub B: CH=1 i ~P=1 lub C: ~CH=1 i ~P=1

Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) to:
Ya=A: CH*P =1*1=1 - możliwe jest (Ya=1) zdarzenie: są chmury CH (CH=1) i pada P (P=1)
LUB
Yb=B: CH*~P =1*1 =1 - możliwe jest (Yb=1) zdarzenie: są chmury CH (CH=1) i nie pada ~P (~P=1)
LUB
Yc=C: ~CH*~P=1*1=1 - możliwe jest (Yc=1) zdarzenie: nie ma chmur ~CH (~CH=1) i nie pada ~P (~P=1)
Gdzie:
Funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc

2.
Które zdarzenia w funkcji logicznej Y=(CH~>P) nie są możliwe ~~> (~Y=1)?


Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
~Y=~Yd
Po rozwinięciu mamy funkcję logiczną ~Y definiującą zdarzenie niemożliwe (~Y=1):
~Y = D: ~CH*P
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~CH=1 i P=1

Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
~Y = D: ~CH*P =1*1 =1 - niemożliwe jest (~Y=1) zdarzenie: nie ma chmur ~CH (~CH=1) i pada P (P=1)
Innymi słowy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe (~Y) zdarzenie: nie ma chmur ~CH (~CH=1) i pada P (P=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy zdanie tożsame:
Y=0 <=> D: ~CH=1 i P=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że możliwe jest zdarzenie (Y): nie ma chmur ~CH (~CH=1) i pada P (P=1)

Znaczenie symboli:
Y - jest możliwe
~Y - nie jest (~) możliwe

6.8 Matematyczne fundamenty teorii zdarzeń dla 5-cio latków

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q

6.8.1 Od teorii zdarzeń do operatora implikacji odwrotnej CH||~>P

Z algebrą Kubusia jest identycznie jak z gramatyką języka mówionego.
Czy trzeba znać gramatykę by posługiwać się językiem ojczystym?
Czy 5-cio latek musi znać gramatykę języka by posługiwać się językiem ojczystym?
Odpowiedź jest jednoznaczna:
NIE!
Fundamentem języka mówionego jest algebra Kubusia, nigdy jakaś tam gramatyka, której osobiście nigdy nie znałem tzn. do dzisiaj nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
Algebra Kubusia to logika matematyczna rządząca naszym Wszechświatem, zarówno żywym, jak i martwym z matematyką włącznie. Wszyscy perfekcyjnie znamy algebrę Kubusia od momentu narodzin do śmierci i nie mamy żadnych szans, aby się od niej uwolnić.
Dowód tego faktu będzie w niniejszym punkcie.

Udajmy się do przedszkola.
B1.
Pani:
Powiedźcie mi dzieci:
Czy może się jutro zdarzyć, że będzie pochmurno i będzie padało?
Jaś (lat 5)
TAK - zdarzenie możliwe (=1)
Stąd mamy prawdziwe zdanie warunkowe:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~~>P = CH*~=1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> interesuje nas jeden taki przypadek, nie badamy tu czy chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania.

B1’
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
Jaś (lat 5).
TAK - zdarzenie możliwe (=1)
Stąd mamy prawdziwe zdanie warunkowe:
B1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka.

B2.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie pochmurno i nie będzie padało?
Jaś (lat 5).
TAK - zdarzenie możliwe (=1)
Stąd mamy prawdziwe zdanie warunkowe:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH~~>~P = ~CH*~P =1
Może się zdarzyć (=1), że jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) i nie będzie padało (~P=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.

B2’
Pani:
Czy może się zdarzyć, że jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) i będzie padało (P=1)?
Jaś (lat 5):
TAK - zdarzenie niemożliwe (=0)
Stąd mamy prawdziwe zdanie warunkowe:
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest zdarzenie (=0): nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.

6.8.2 Czarodziejska siła definicji kontrprzykładu i praw Kubusia

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q

Zapiszmy dialog pani przedszkolanki z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1.
                    Y  Analiza z punktu odniesienia funkcji logicznej Y
B1:  CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i pada
A1’: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada
B2: ~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur i nie pada
B2’:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur i pada

W zdarzeniach możliwych kluczowy jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>.
Uprośćmy zatem tabelę wyżej:
Kod:

T1.
             Y  Analiza z punktu odniesienia funkcji logicznej Y
B1:  CH~~> P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i pada
A1’: CH~~>~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada
B2: ~CH~~>~P=1 - możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur i nie pada
B2’:~CH~~> P=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur i pada

W czym tkwi czarodziejska siła kontrprzykładu w zdarzeniach możliwych ~~>?
Analizujemy tabelę T1 korzystając wyłącznie z definicji kontrprzykładu i praw Kubusia.

Analiza tabeli T1 - część I
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’:~CH~~>P=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) wystarczający => dla nie padania, bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
O czym każdy 5-cio latek wie.
2.
Prawo Kubusia:
B2:~CH=>~P = B1: CH~>P =1
Stąd mamy:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~CH=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: CH~>P =1 - chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1),
bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P

Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T1.
Kod:

T2.
B1:  CH~> P =1 - chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1)
A1’: CH~~>~P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury i nie pada
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH=1) jest wystarczający => dla nie padania
B2’:~CH~~> P=0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem

Analiza tabeli T1 - część II
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: CH~~>~P =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: CH=>P =0 - nie jest prawdą (=0), że zawsze gdy są chmury (CH=1), pada (P=1)
O czym każdy 5-cio latek wie
4.
Prawo Kubusia:
A1: CH=>P = A2:~CH~>~P
stąd mamy:
Fałszywy warunek wystarczający A1:
A1: CH=>P =0
wymusza fałszywy warunek Konieczny ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P=0)
Na mocy prawa Kubusia nie musimy dowodzić fałszywości zdania A2 w sposób bezpośredni, wystarczy że mamy dowód fałszywości zdania A1.

Nanieśmy część II analizy do tabeli prawdy T2.
Kod:

T3.
B1:  CH~> P =1 | A1: CH=>P =0
A1’: CH~~>~P=1
B2: ~CH=>~P =1 | A2:~CH~>~P =0
B2’:~CH~~> P=0

Uwaga 1:
Zauważmy, że w linii B1 zapisaną mamy implikację odwrotną CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury (CH=1) są (=1) konieczne ~> dla padania (P=1)
Stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1 =1*1 =1

Uwaga 2:
Zauważmy, że w linii B2 mamy zapisaną implikację prostą ~CH|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~CH|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur (~CH=1) nie jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania (~P=1)
B2:~CH=>~P =1 - brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1)
bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
stąd:
~CH|=>~P = ~(A2:~CH~>~P)*(B2: ~CH=>~P) = ~(0)*1 =1*1 =1

Uwagi 1 i 2 możemy zapisać w tożsamej tabeli prawdy:
Kod:

T4.
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1            A2B2
Zapis formalny:
A: 1: p=> q =0 [=] 2: ~p~>~q =0 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
A: 1: CH=>P =0 [=] 2: ~CH~>~P=0
      ##               ##
Zapis formalny:
B: 1: p~> q =1 [=] 2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
B: 1: CH~>P =1 [=] 2: ~CH=>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla tabeli T4 skorzystajmy po raz kolejny z definicji kontrprzykładu, działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Stąd mamy tożsamą tabelę T5:
Kod:

T5.
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
      A1B1            A2B2
Zapis formalny:
A:  1: p=> q  =0 [=] 2: ~p~>~q =0 - prawo Kubusia
A’: 1: p~~>~q =1
Zapis aktualny:
A:  1: CH=>P  =0 [=] 2: ~CH~>~P=0
A’: 1: CH~~>~P=0
      ##               ##
Zapis formalny:
B:  1: p~> q  =1 [=] 2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia
B’:                  2: ~p~~>q =0
Zapis aktualny:
B:  1: CH~>P  =1 [=] 2: ~CH=>~P=1
B’:                  2: ~CH~~>P=0
Komentarz:
A1: CH=>P=0 - fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy A1’
B2:~CH=>~P=1 - prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy B2’
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że w kolumnie A1B1 mamy opis tego co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1), natomiast w kolumnie A2B2 opis wszystkich możliwych przypadków gdy nie będzie pochmurno (~CH=1).

W tym momencie możemy tylko powtórzyć to co już poznaliśmy wcześniej, do czego doszliśmy na bazie teorii algebry Kubusia od strony przeciwnej tzn. nie od zdarzeń możliwych ~~> jak w tym przypadku, lecz od strony definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji odwrotnej CH|~>P:
Operator implikacji odwrotnej CH|~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Zdanie B1 to zdanie bazowe do którego odnoszą się pozostałe zdania w analizie niżej, zatem na mocy prawa śfinii musimy tu przyjąć punkt odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

LUB

A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)

2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
Prawdziwość zdania B1 mamy udowodnioną, zatem na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania B2 mamy gwarantowaną.

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH i gwarancja matematyczna po stronie ~CH

Dowód:
1,
Zauważmy, że jeśli jutro będzie pochmurno to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> padać (P=1)
CH~>P =1
LUB
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1

2.
Natomiast jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:40, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:18, 28 Lut 2021    Temat postu:

6.9 Operator implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu


Spis treści
6.9 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach w przedszkolu 1
6.9.1 Alternatywne dojście do operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 5
6.9.2 Diagram operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 12



6.9 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Zapisz szczegółową analizę tego operatora

Rozwiązanie:

Dane jest zdanie wejściowe:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania B1 to:
B1: p~>q =1
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
B1: 4L~>P =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: 4L~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek wystarczający A1: 4L=>P=?
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to na 100% => jest psem (P=1)
4L=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby być psem (P=1) bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies].

Dopiero w tym momencie, po udowodnieniu prawdziwości zdania B1: 4L~>P=1 i fałszywości A1: 4L=>P=0 mamy rozstrzygnięcie iż oba te zdania należą do implikacji odwrotnej 4L|~>P

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - bycie zwierzęciem z czterema łapami nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
do tego by być psem, bo nie wszystkie zwierzęta mające cztery łapy, są psami
B1: 4L~>P =1 - bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego,
aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% =>
nie jest się psem (~P=1).
Stąd:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1

Podstawmy nasze zdania A1: 4L=>P=0 i B1: 4L~>P=1 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
4L|~>P=~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=1    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0
---------------------------------------------------------------
  p|~>q=p*~q     = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p   = ~q|~>~p=~q*p
  4L|~>P=4L*~P   = ~4L|=>~P=4L*~P [=]  P|=>4L=~P*4L = ~P|~>~4L=~P*4L
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: 4L=>P=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: 4L~~>~P=4L*~P=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~4L=>~P=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~4L~~>P =~4L*P=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe B1 i A1’

B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Na mocy prawa śfinii zdanie B1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bowiem cała dalsza analiza odnosi się do tego zdania.
Punkt odniesienia:
p=4L
q=P
Posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1) bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P

Warunek konieczny ~> B1 definiuje nam dwa zbiory:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

LUB

Kontrprzykład A1’: 4L~~>~P dla fałszywego warunku wystarczającego A1: 4L=>P musi być prawdą.
Sprawdzamy:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] np. słoń

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?

Prawo Kubusia:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż wylosowane zwierzę nie będzie psem (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż nie jest to pies (~P=1), bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem zbioru „nie pies” ~P=[słoń, kura..]
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jest to pies (~P=1)
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że prawdziwości zdania B2 nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~4L=[kura..] i P=[pies], bo zbiory te są rozłączne.

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1 - posiadanie czterech łap (4L=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1)
LUB
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] np. słoń

2.
Jeśli natomiast ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż to zwierzę nie będzie psem (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Brak czterech łap (~4L=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być psem (~P=1)


6.9.1 Alternatywne dojście do operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i będzie to pies (P=1)?
Jaś (lat 5): TAK, bo pies
Stąd:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
4L~~>P = 4L*P =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 4L=[pies, słoń ..] i P=[pies] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie będzie to pies (~P=1)?
Jaś: TAK, np. słoń
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Dla udowodnienia prawdziwości zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jedno dowolne zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1) np. słoń

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie będzie to pies (~P=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
~4L~~>~P = ~4L*~P =1
Istnieje zwierzę (=1) które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A2 wystarczy pokazać jedno zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1) np. kurę
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura ..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i będzie to pies (P=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy
stąd:
A2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory ~4L=[kura ..] i zbiór jednoelementowy P=[pies] są rozłączne, zatem nie mają elementu wspólnego.

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
B1:  4L~~>P =1  0 - zbiory 4L=[pies, słoń.] i P=[pies] mają el. wspólny
A1’: 4L~~>~P=1  0 - 4L=[pies, słoń.] i ~P=[słoń, kura.] mają el. wspólny
B2: ~4L~~>~P=1  0 - ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura..] mają el. wspólny
B2’:~4L~~>P =0  1 - ~4L=[kura..] i P=[pies] nie mają (=0) el. wspólnego

Kluczową definicją umożliwiającą przejście z dialogu pani przedszkolanki do definicji operatora implikacji odwrotnej 4L|~>P jest definicja kontrprzykładu w zbiorach.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Analiza tabeli T1 - część I
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’:~4L~~>P=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest (=1) warunkiem wystarczającym => by nie być psem, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
O czym każdy 5-cio latek wie.
2.
Prawo Kubusia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P =1
Stąd mamy:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~4L=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: 4L~>P =1 - posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P=1)
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P

Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T1.
Kod:

T2.
B1:  4L~> P =1 - cztery łapy (4L=1) są konieczne ~> by być psem (P=1)
A1’: 4L~~>~P=1 - 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] mają el. wspólny
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest wystarczający => by nie być psem
B2’:~4L~~> P=0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem

Analiza tabeli T1 - część II
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: 4L~~>~P =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: 4L=>P =0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
O czym każdy 5-cio latek wie
4.
Prawo Kubusia:
A1: 4L=>P = A2:~4L~>~P
stąd mamy:
Fałszywy warunek wystarczający A1:
A1: 4L=>P =0
wymusza fałszywy warunek konieczny ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~4L~>~P =0 - brak czterech łap nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie bycia psem
bo zbiór ~4L=[kura..] nie jest nadzbiorem ~> ~P=[słoń, kura..]
Na mocy prawa Kubusia nie musimy dowodzić fałszywości zdania A2 w sposób bezpośredni, wystarczy że mamy dowód fałszywości zdania A1.

Nanieśmy część II analizy do tabeli prawdy T2.
Kod:

T3.
B1:  4L~> P =1 | A1: 4L=>P =0
A1’: 4L~~>~P=1
B2: ~4L=>~P =1 | A2:~4L~>~P =0
B2’:~4L~~> P=0

Uwaga 1:
Zauważmy, że w linii B1 zapisaną mamy implikację odwrotną 4L|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P =0 - cztery łapy nie są (=0) wystarczające => by być psem,
bo można mieć cztery łapy i nie być psem np. słoń
B1: 4L~>P =1 - cztery łapy (4L=1) są (=1) konieczne ~> by być psem (P=1),
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Stąd:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1

Uwaga 2:
Zauważmy, że w linii B2 mamy zapisaną implikację prostą ~4L|=>~P w logice ujemnej (bo ~P):
Implikacja prosta ~4L|=>~P to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~4L~>~P =0 - brak czterech łap (~4L=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie bycia psem (~P=1)
B2:~4L=>~P =1 - brak czterech łap (~4L=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie bycia psem (~P=1)
stąd:
~4L|=>~P = ~(A2:~4L~>~P)*(B2: ~4L=>~P) = ~(0)*1 =1*1 =1

Uwagi 1 i 2 możemy zapisać w tożsamej tabeli prawdy:
Kod:

T4.
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: 4L|~>P=~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=4L (chmury)
q=P (pada)
      A1B1            A2B2
Zapis formalny:
A: 1: p=> q =0 [=] 2: ~p~>~q =0 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
A: 1: 4L=>P =0 [=] 2: ~4L~>~P=0
      ##               ##
Zapis formalny:
B: 1: p~> q =1 [=] 2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia
Zapis aktualny:
B: 1: 4L~>P =1 [=] 2: ~4L=>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla tabeli T4 skorzystajmy po raz kolejny z definicji kontrprzykładu, działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Stąd mamy tożsamą tabelę T5:
Kod:

T5.
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P dla punktu odniesienia w kolumnie A1B1:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: 4L|~>P=~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=4L (chmury)
q=P (pada)
      A1B1            A2B2
Zapis formalny:
A:  1: p=> q  =0 [=] 2: ~p~>~q =0 - prawo Kubusia
A’: 1: p~~>~q =1
Zapis aktualny:
A:  1: 4L=>P  =0 [=] 2: ~4L~>~P=0
A’: 1: 4L~~>~P=0
      ##               ##
Zapis formalny:
B:  1: p~> q  =1 [=] 2: ~p=>~q =1 - prawo Kubusia
B’:                  2: ~p~~>q =0
Zapis aktualny:
B:  1: 4L~>P  =1 [=] 2: ~4L=>~P=1
B’:                  2: ~4L~~>P=0
Komentarz:
A1: 4L=>P=0 - fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy A1’
B2:~4L=>~P=1 - prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy B2’
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że w kolumnie A1B1 mamy opis tego co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę mające cztery łapy, natomiast w kolumnie A2B2 opis wszystkich możliwych przypadków gdy wylosowane zwierzę nie będzie miało czterech łap (~4L=1).

W tym momencie możemy tylko powtórzyć to co już poznaliśmy wcześniej, do czego doszliśmy na bazie teorii algebry Kubusia od strony przeciwnej tzn. nie od zdarzeń możliwych ~~> jak w tym przypadku, lecz od strony definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe B1 i A1’

B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Na mocy prawa śfinii zdanie B1 musimy przyjąć za punkt odniesienia, bowiem cała dalsza analiza odnosi się do tego zdania.
Punkt odniesienia:
p=4L
q=P
Posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1) bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P

Warunek konieczny ~> B1 definiuje nam dwa zbiory:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

LUB

Kontrprzykład A1’: 4L~~>~P dla fałszywego warunku wystarczającego A1: 4L=>P musi być prawdą.
Sprawdzamy:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] np. słoń

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?

Prawo Kubusia:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż wylosowane zwierzę nie będzie psem (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż nie jest to pies (~P=1), bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem zbioru „nie pies” ~P=[słoń, kura..]
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jest to pies (~P=1)
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że prawdziwości zdania B2 nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
Sprawdzenie:
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~4L=[kura..] i P=[pies], bo zbiory te są rozłączne.

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1 - posiadanie czterech łap (4L=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1)
LUB
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] np. słoń

2.
Jeśli natomiast ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż to zwierzę nie będzie psem (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
Brak czterech łap (~4L=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być psem (~P=1)

6.9.2 Diagram operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q, ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Przykład:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery (4L=1) łapy to może ~> być psem (P=1)
4L~>P=1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies]

Na mocy prawa śfinii, zdanie B1 przyjmujemy za punkt odniesienia dla dalszej analizy matematycznej:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
stąd:
Kodowanie w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1

Zbiory 4L=[pies, słoń ..] i P=[pies] nie są tożsame, zatem spełniona jest definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P.

Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach:
Zbiór 4L=[pies, słoń..] jest nadzbiorem ~> zbioru P=[pies] i nie jest tożsamy ze zbiorem P=[pies]
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów 4L+P bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia P, ~P, 4L i ~4L będą rozpoznawalne.
A1: 4L=>P =0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P =1 - zbiór 4L=[pies, słoń..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
Stąd mamy:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór „pies”

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~p=~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~q=~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy

Nanieśmy rozszyfrowaną relację między zbiorami p=4L=[pies, słoń ..] i q=P=[pies] na diagram zbiorów:
Kod:

D2
Diagram operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies

----------------------------------------------------------------------
|     q=P=[pies]            |         ~q=~P=[słoń, kura ..]          |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p=4L=[pies, słoń..]                    |  ~p=~4L=[kura..]      |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|                           |p*~q=[słoń..]   | ~p*q=[]               |
----------------------------------------------------------------------
|                  ZWZ=[pies, słoń, kura ..]                         |
|--------------------------------------------------------------------|

Z powyższego diagramu odczytujemy:
Analiza p||~>q w zapisach      |Analiza 4L||~>P z zapisach
formalnych (ogólnych)          |aktualnych
A1:  p=> q =0                  |A1:  4L=> P =0
-------------------------------|--------------------------------------
A1:  p=> q =0  |A3:  q~> p =0  |A1:  4L=> P =0 - 4L nie jest podzbiorem=> P 
A1’: p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: 4L~~>~P=1 - np. słoń
A2: ~p~>~q =0  |A4: ~q=>~p =0  |A2: ~4L~>~P =0 - ~4L nie jest nadzbiorem ~P
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’ ~4L~~>P =0 - ~4L i P zbiory rozłączne
|
B1:  p~> q =1  |B3:  q=> p =1  |B1:  4L~> P =1 - 4L jest nadzbiorem ~> P
A1’  p~~>~q=1  |A1’:~q~~>p =1  |A1’: 4L~~>~P=1 - np. słoń
B2: ~p=>~q =1  |B4: ~q~>~p =1  |B2: ~4L=>~P =1 - ~4L jest podzbiorem => ~P
B2’:~p~~>q =0  |B2’: q~~>~p=0  |B2’:~4L~~>P =0 - ~4L i P zbiory rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1)?

Odpowiedź mamy w diagramie D2.

B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1) bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P
Doskonale to widać w diagramie D2
LUB
Kontrprzykład A1’: 4L~~>~P dla fałszywego warunku wystarczającego A1: 4L=>P= musi być prawdą.
Sprawdzamy:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] np. słoń
Co widać w diagramie D2

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?

Odpowiedź mamy w diagramie D2.
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż nie jest to pies (~P=1), bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zbioru „nie pies” ~P=[słoń, kura..]
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło, co widać w diagramie D2:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~4L=[kura..] i P=[pies], bo zbiory te są rozłączne.
Wyśmienicie to widać na diagramie D2


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:39, 01 Mar 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25625
Przeczytał: 20 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:37, 01 Mar 2021    Temat postu:

6.10 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w I klasie LO

Niniejszą część algebry Kubusia dedykuję tym nauczycielom matematyki w I klasie LO dla których ujmą na honorze byłby wykładanie logiki matematycznej na poziomie zrozumiałym dla każdego 5-cio latka co miało miejsce wyżej.
Bardzo proszę, oto algebra Kubusia niezrozumiała dla 5-cio latków … choć w przypadku przycisków sterujących żarówką nie byłbym tego taki pewien, bowiem moim zdaniem, przy odpowiednim tłumaczeniu popartym doświadczeniem dałoby się to 5-cio latkom wytłumaczyć. Szczególnie ciekawe może tu być doświadczenie z dwoma pokojami Jasia i Zuzi tłumaczące co to jest zmienna wolna w logice matematycznej.
Natomiast zbiory nieskończone typu P8, ~P8, P2, ~P2 z oczywistych względów są poza zasięgiem 5-cio latków.


Spis treści
6.10 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach dla I klasy LO 1
6.11 Operator implikacji odwrotnej P2||=>P8 w zbiorach dla I klasy LO 8



6.10 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach dla I klasy LO

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S2 Schemat 2
             S               W            A
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------


Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Doskonale widać, że układ ze schematu S2 spełnia definicję implikacji odwrotnej A|~>S.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
##
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy to do matematycznych związków warunku wystarczającego i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0 [=] 5: ~A+S
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1 [=] 5: A+~S
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy, w tabeli T1 mamy matematyczny opis układu S2 widzianego z punktu odniesienia implikacji odwrotnej A|~>S.
Cechą charakterystyczną układu S2 jest występowanie przycisku W którego nie ma w opisie matematycznym prezentowanym w tabeli T1. W układzie S2 opisanym tabelą T1 przycisk W jest zmienną wolną która może być ustawiana poza świadomością człowieka.

Stąd mamy:
Podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą odwrotną A|~>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S
Warunkiem koniecznym, aby układ S2 był fizyczną, minimalną realizacją implikacji odwrotnej A|~>S jest przyjęcie punktu odniesienia ustawionego na przycisku A.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu pełnej, symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1 - aktualny punkt odniesienia
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S=0     [=] 3: S~>A  =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]             = 4:~S~~>A =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1 = 2:~A=>~S=1     [=] 3: S=>A  =1 = 4:~S~>~A =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~A~~>S=0     [=] 3: S~~>~A=0
---------------------------------------------------------------
IO: p|~>q=p*~q  = ~p|=>~q=p*~q   [=]  q|=>p=~q*p = ~q|~>~p=~q*p
IO: A|~>S=A*~S  = ~A|=>~S=A*~S   [=]  S|=>A=~S*A = ~S|~>~A=~S*A
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: A=>S=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~A=>~S=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Komentarz:
1.
Zdania serii Ax są różne na mocy definicji ## od zdań serii Bx:
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Wiersze IO wypełniono na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Definicja operatora implikacji odwrotnej A||~>S:
Operator implikacji odwrotnej A||~>S to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania B1 to:
B1: p~>q =1
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
B1: A~>S =1
Dalsza analiza matematyczna związana będzie z przyjętym na mocy prawa śfinii punktem odniesienia, zdaniem B1.

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą, stąd:
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

2.
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).

B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1), oraz gwarancja matematyczna po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1).

Dowód:
Zauważmy, że jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
LUB
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)

Natomiast:
Jeśli klawisz A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie nie będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1)

6.11 Operator implikacji odwrotnej P2||=>P8 w zbiorach dla I klasy LO

Zadanie matematyczne w I klasie LO:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Dokonaj szczegółowej analizy tego operatora

Rozwiązanie:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zdanie do analizy:
B0:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =?
Na początek zbadajmy czy zbiory P2 i P8 mają element wspólny ~~>.

Poprzednik p definiuje nam tu zbiór liczb podzielnych przez 2:
p = P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
##
Następnik q definiuje nam zbiór liczb podzielnych przez 8:
q = P8 =[8,16,24..]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji.

Z faktu iż zbiory P2 i P8 są różne na mocy definicji wynika, że wykluczona jest tu równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Podstawmy:
p = P2
q = P8
Stąd nasze zdanie B0:
P2<=>P8 = (A1: P2=>P8)*(B3: P8=>P2) = 0*1 =0

Dowód prawdziwości/fałszywości zdań składowych:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] - oczywistość
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód prawdziwości B3:
Zbiór P2 to zbiór wszystkich liczb parzystych.
Zbiór P8 to zbiór liczb parzystych podzielnych przez 8, czyli zbiór będący częścią zbioru P2.
Wynika z tego że zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
cnd

Dla zdania B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P8=>P2 = B1: P2~>P8 =1
Na mocy prawa Tygryska prawdziwość warunku wystarczającego => B3 wymusza prawdziwość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie)

Stąd mamy:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Oczywistość na mocy dowodu prawdziwości zdania B3 i prawa Tygryska.
cnd

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 wchodzą w skład podstawowej definicji implikacji odwrotnej P2|~>P8.
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności
przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 8, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1 =1*1 =1

Podstawmy wyprowadzoną wyżej definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
P2|~>P8=~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1 -aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
      A1B1:      A2B2:     |     A3B3:       A4B4:
A: 1: p=>q   = 2:~p~>~q   [=] 3: q~>p   = 4:~q=>~p   =0 [=] 5: ~p+q
A: 1: P2=>P8 = 2:~P2~>~P8 [=] 3: P8~>P2 = 4:~P8=>~P2 =0 [=] 5: ~P2+P8
      ##          ##             ##          ##                 ##
B: 1: p~>q   = 2:~p=>~q   [=] 3: q=>p   = 4:~q~>~p   =1 [=] 5:  p+~q
B: 1: P2~>P8 = 2:~P2=>~P8 [=] 3: P8=>P2 = 4:~P8~>~P2 =1 [=] 5:  P2+~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Wyżej udowodniliśmy prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p z linii Bx:
B3: q=>p =1
B3: P8=>P2=1
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q =1
B3: P8=>P2 = B1: P2~>~P* =1
oraz fałszywość twierdzenie prostego A1: P8=>P2=0 z linii Ax, zatem nic więcej nie musimy udowadniać, obowiązuje nas tabela prawdy T1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - formalny punkt odniesienia
P2|~>P8=~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1 -aktualny punkt odniesienia
Punkt odniesienia:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
       A1B1:          A2B2:          |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q    =0 = 2:~p~>~q  =0    [=] 3: q~>p    =0  = 4:~q=>~p   =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0    [=] 3: P8~>P2  =0  = 4:~P8=>~P2 =0
A’: 1: p~~>~q  =1 =                 [=]                = 4:~q~~>p   =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =                 [=]                = 4:~P8~~>P2 =1                   
       ##            ##              |     ##             ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1    [=] 3: q=>p    =1   = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1    [=] 3: P8=>P2  =1   = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0    [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0    [=] 3: P8~~>~P2=0
---------------------------------------------------------------
IO p|~>q=p*~q     = ~p|=>~q=p*~q     [=]  q|=>p=~q*p    = ~q|~>~p=~q*p
IO P2|~>P8=P2*~P8 = ~P2|=>~P8=P2*~P8 [=] P8|=>P2=~P8*P2 = ~P8|~>~P2=~P8*P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: P2=>P8=0 -fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
B2:~P2=>~P8=1 -prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’(i odwrotnie)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Komentarz:
1.
Zdania serii Ax są różne na mocy definicji ## od zdań serii Bx:
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Wiersze IO wypełniono na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo śfinii:
Domyślny punkt odniesienia w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:

W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli a to b” zapisanym w zmiennych aktualnych a i b (mających związek z językiem potocznym człowieka), zawsze po „Jeśli..” zapisujemy formalny poprzednik p zaś po „to” zapisujemy formalny następnik q.
Zamieniać p i q w dowolnym zdaniu warunkowym z ustalonym wyżej domyślnym punktem odniesienia wolno nam tylko i wyłącznie na podstawie prawa Tygryska lub prawa kontrapozycji.

Zdanie analizowane - punkt odniesienia:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Wyznaczamy wszystkie możliwe zbiory P2, ~P2, P8 i ~P8 które będą potrzebne w dalszej analizie.
P2=[2,4,6,8..] - zbiór wszystkich liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmijmy dziedziną minimalną wspólną dla p i q:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów definiowane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P2 = [LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór wszystkich liczb niepodzielnych przez 2
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8

Definicja operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:

1.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe B1 i A1’

B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Na mocy prawa śfinii zdanie B1 jest punktem odniesienia:
p=P2
q=P8
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

LUB

Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: P2=>P8 =0 musi być prawdą
Prawdziwości kontrprzykładu A1’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest spełniona bo np. 2

2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?

Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8

Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą niepodzielną przez 2 (~P2=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.

B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak podzielności dowolnej liczby przez 2 (~P2=1) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8=1), bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać wprost bowiem wynika on z udowodnionego wyżej warunku koniecznego ~>:
B1: P2~>P8 =1
oraz z prawa Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
Matematyka to matematyka, tu nie ma dyskusji.
Jeśli prawdziwe jest zdanie B1 to musi być prawdziwe zdanie B2.
cnd

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie mają elementu wspólnego zbiorów.
Tego faktu nie musimy udowadniać wprost, bo wynika on z prawdziwości warunku wystarczającego => B2.
Dowód wprost jest tu prosty:
Zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] to zbiór wszystkich liczb nieparzystych.
Zbiór P8=[8,16,24..] - to zbiór liczb parzystych.
Na mocy definicji dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd

Podsumowanie:
1.
Doskonale widać, że:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest spełniona bo np. 2

2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż liczba ta nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Brak podzielności dowolnej liczby przez 2 (~P2=1) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8=1), bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin