Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - opratory OR(|+) i AND(|*)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 4:18, 17 Maj 2016    Temat postu: Algebra Kubusia - opratory OR(|+) i AND(|*)

Algebra Kubusia - operatory OR(|+) i AND(|*)

Wstęp:
Wewnętrzną budowę wszystkich operatorów logicznych najłatwiej zrozumieć na bazie diagramów podstawowej teorii zbiorów. Operatory logiczne opisują właściwości dwóch zbiorów p i q we wszelkich możliwych, wzajemnych położeniach.
Alternatywnie można skorzystać z naturalnej logiki matematycznej człowieka, bo wszyscy, od 5-cio latka po prof. matematyki podlegamy pod symboliczną algebrę Boole’a, czyli algebrę równań logicznych.
Związek równań logicznych z tabelami zero-jedynkowymi i odwrotnie opisują prawa Prosiaczka, które doskonale zna każdy 5-cio latek. Zaczniemy zatem od praw Prosiaczka, a następnie skorzystamy z naturalnej logiki matematycznej człowieka. Zbiory, póki co, sobie darujemy.

Spis treści
1.0 Prawa Prosiaczka 1
2.0 Operatory OR(|+) i AND(|*) 2
2.1 Operator OR(|+) 3
2.2 Operator AND(|*) 5
3.0 Prawa spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*): 6
3.1 Spójnik „lub”(+): 6
3.2 Spójnik „i”(*) 7
3.3 Prawa Prosiaczka w tabeli zero-jedynkowej 8
3.4 Prawo Bociana 10
3.5 Twierdzenie Pitagorasa 13


1.0 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszy praw logicznych, bez nich komputery nigdy by nie zaistniały. Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z logiki zero-jedynkowej (rachunku zero-jedynkowego) to logiki równań algebry Boole’a i odwrotnie.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.0 Operatory OR(|+) i AND(|*)

Wiedzę na temat operatorów logicznych możemy podzielić na:
- wiedzę prymitywną, gdzie nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego
- wiedzę zaawansowaną, gdzie znamy wewnętrzną budowę każdego operatora logicznego

Póki co ludzkość dysponuje wyłącznie wiedzą prymitywną, nie potrafi opisać poprawnie w równaniach algebry Boole’a przekształceń zero-jedynkowych, bo nie zna kluczowej tu logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y). Zadaniem Kubusia na ziemi jest przekazanie ziemianom zaawansowanej wiedzy w temacie wewnętrznej budowy operatorów logicznych.

Definicja operatora logicznego w wersji prymitywnej:
Operator logiczny to odpowiedź układu (Y) na wszystkie możliwe wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach p i q układu

Prymitywna definicja operatora OR(|+):
Kod:

   p  q  Y=p|+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0

Jeśli na wyjściu Y dostaniemy kolumnę wynikową Y jak wyżej, to jest to operator OR(|+) o definicji:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0

Prymitywna definicja operatora AND(|*):
Kod:

   p  q  Y=p|*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0

Jeśli na wyjściu Y dostaniemy kolumnę wynikową Y jak wyżej, to jest to operator AND(|*) o definicji:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0

2.1 Operator OR(|+)

Pełna definicja operatora OR(|+):
Kod:

Definicja operatora     |Definicja spójnika |Symboliczna definicja
OR(|+)                  |„lub”(+)           |operatora OR(|+)
   p  q ~p ~q Y=p|+q ~Y | p  q  Y=p+q       |           | Y=Ya+Yb+Yc
A: 1  1  0  0  =1    =0 | 1  1  =1          | Ya= p* q  | Y=p*q+p*~q+~p*q
B: 1  0  0  1  =1    =0 | 1  0  =1          | Yb= p*~q  | Y=p+q
C: 0  1  1  0  =1    =0 | 0  1  =1          | Yc=~p* q  |
D: 0  0  1  1  =0    =1 |                   |~Yd=~p*~q  |~Y=~p*~q
   1  2  3  4   5     6   7   8  9            a   b  c       

Spójniki „lub”(+) i „i”(*) mamy wyłącznie w funkcjach cząstkowych, czyli wszędzie z wyjątkiem nagłówka kolumny 5.
Spójnik „lub”(+) w logice matematycznej to co innego niż operator logiczny OR(|+).
Matematycznie zachodzi:
p|+q ## p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ziemscy matematycy doskonale o tym wiedzą (tylko nie są tego świadomi) bo umieją przejść z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w równaniu algebry Boole’a.

Symboliczna definicja operatora OR to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
Y = p+q = p*q+p*~q+~p*q (zobacz obszar ABC125)
~Y=~p*~q (zobacz linia D346)
Fakt sprowadzenia wszystkich zmiennych do jedynek doskonale widać w definicji symbolicznej operatora OR(|+) - obszar ABCDabc

Podstawowa definicja operatora OR(|+) w układzie równań logicznych Y i ~Y:
A: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
B: ~Y=1<=>~p=1 i ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Przykład:
Pani przedszkolanka:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Zdanie matematycznie tożsame:
A.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

… a kiedy Pani skłamie?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
stąd:
B.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru.


2.2 Operator AND(|*)

Pełna definicja operatora AND(|*):
Kod:

Definicja operatora     |Definicja spójnika |Symboliczna definicja
AND(|*)                 |„i”(*)             |operatora AND(|*)
   p  q ~p ~q Y=p|*q ~Y | p  q  Y=p*q       |           | Y=p*q
A: 1  1  0  0  =1    =0 | 1  1  =1          | Ya= p* q  | Y=p*q
B: 1  0  0  1  =0    =1 |                   |~Yb= p*~q  |~Y=~Yb+~Yc+~Yd
C: 0  1  1  0  =0    =1 |                   |~Yc=~p* q  |~Y=p*~q+~p*q+~p*~q
D: 0  0  1  1  =0    =1 |                   |~Yd=~p*~q  |~Y=~p+~q
   1  2  3  4   5     6   7   8  9            a   b  c       

Spójniki „i”(*) i „lub”(+) mamy wyłącznie w funkcjach cząstkowych, czyli wszędzie z wyjątkiem nagłówka kolumny 5.
Spójnik „i”(*) w logice matematycznej to co innego niż operator logiczny AND(|*).
Matematycznie zachodzi:
p|*q ## p*q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ziemscy matematycy doskonale o tym wiedzą (tylko nie są tego świadomi) bo umieją przejść z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w równaniu algebry Boole’a.

Symboliczna definicja operatora AND to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
Y = p*q (linia A125)
~Y = ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*~q
~Y=~p+~q (zobacz obszar BCD346)
Fakt sprowadzenia wszystkich zmiennych do jedynek doskonale widać w definicji symbolicznej operatora AND(|*) - obszar ABCDabc

Podstawowa definicja operatora AND(|*) w układzie równań logicznych Y i ~Y:
Y = p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Przykład:
Pani przedszkolanka:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Musimy iść w oba miejsca, aby dotrzymać słowa (Y=1)

… a kiedy Pani skłamie?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
stąd:
B.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Wystarczy że nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie.


3.0 Prawa spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*):

3.1 Spójnik „lub”(+):

Pełna definicja operator OR(|+):
Kod:

Tabela 1
                                |Funkcje
   p  q ~p ~q  Y=p|+q ~Y=~p|*~q |cząstkowe  |co matematycznie oznacza
A: 1  1  0  0  =1     =0        | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1  0  0  1  =1     =0        | p*~q = Yb |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0  1  1  0  =1     =0        |~p* q = Yc |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0  0  1  1  =0     =1        |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
   1  2  3  4   6      7          8  9   0

Y=Ya+Yb+Yc
Po podstawieniu funkcji cząstkowych mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

~Y=~Yd
Stąd:
~Y = D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) mamy wyłącznie w funkcjach cząstkowych.

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki

Prawo Sowy obowiązuje w naturalnej logice matematycznej człowieka, w logice totalnie przeciwnej do naturalnej logiki człowieka nagłówek tabeli opisuje wynikowe zera. Żaden człowiek nie potrafi myśleć w logice przeciwnej do swojej logiki wyssanej z mlekiem matki, możemy więc zapomnieć o tym badziewiu, mimo że matematycznie są to logiki tożsame.
Bezmyślne, mechaniczne zakodowanie dowolnej tabeli zero-jedynkowej w logice przeciwnej do naturalnej logiki człowieka jest łatwe, ale nie ma związku z naturalną logiką matematyczną człowieka.
Na mocy prawa Sowy powyższą tabelę możemy zapisać w ten sposób.

Tabela prawdy dla spójnika „lub”(+):
Kod:

Tabela 2
                              |Funkcje
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=~p*~q |cząstkowe  |co matematycznie oznacza
A: 1  1  0  0  =1     =0      | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1  0  0  1  =1     =0      | p*~q = Yb |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0  1  1  0  =1     =0      |~p* q = Yc |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0  0  1  1  =0     =1      |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
   1  2  3  4   6      7        8  9   0

Jedyna różnica w tabeli 2 to spójniki logiczne „lub”(+) i „i’(*) w nagłówkach kolumn 6 i 7 zamiast operatorów logicznych OR(|+) i AND(|*).
Na mocy prawa Sowy spójnik „lub”(+) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD126 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami ABC126.
Podobnie:
Na mocy prawa Sowy spójnik „i”(*) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD347 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami D347.

Wniosek:
Na mocy prawa Sowy mamy prawo używać w rachunku zero-jedynkowym w nagłówkach tabel zero-jedynkowych spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*), pamiętając o tym, iż spójniki te dotyczą wyłącznie wynikowych jedynek.

W przypadku klasycznego rachunku zero-jedynkowego interesują nas wyłącznie nagłówki tabel zero-jedynkowych, znaczenie prymitywnie przemiatanych zer i jedynek kompletnie nas nie interesuje.


3.2 Spójnik „i”(*)

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki

Sytuacja jest tu identyczna jak w spójniku „lub”(+), zatem od razu narysujmy tabelę prawdy dla spójnika „i”(*).

Tabela prawdy dla spójnika „i”(*):
Kod:

Tabela 3
                              |Funkcje
   p  q ~p ~q  Y=p*q ~Y=~p+~q |cząstkowe  |co matematycznie oznacza
A: 1  1  0  0  =1     =0      | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1  0  0  1  =0     =1      | p*~q =~Yb |(~Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0  1  1  0  =0     =1      |~p* q =~Yc |(~Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0  0  1  1  =0     =1      |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
   1  2  3  4   6      7        8  9   0

Na mocy prawa Sowy spójnik „i”(*) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD126 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami A126.
Podobnie:
Na mocy prawa Sowy spójnik „lub”(+) nie opisuje kompletnej tabeli zero-jedynkowej ABCD347 lecz wyłącznie fragment tej tabeli z wynikowymi jedynkami BCD347.

Wniosek:
Na mocy prawa Sowy mamy prawo używać w rachunku zero-jedynkowym w nagłówkach tabel zero-jedynkowych spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*), pamiętając o tym, iż spójniki te dotyczą wyłącznie wynikowych jedynek.


3.3 Prawa Prosiaczka w tabeli zero-jedynkowej

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Przyjrzyjmy się tabeli 2:
Tabela prawdy dla spójnika „lub”(+):
Kod:

Tabela 2
                              |Funkcje
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=~p*~q |cząstkowe  |co matematycznie oznacza
A: 1  1  0  0  =1     =0      | p* q = Ya |( Ya=1)<=>( p=1)*( q=1)
B: 1  0  0  1  =1     =0      | p*~q = Yb |( Yb=1)<=>( p=1)*(~q=1)
C: 0  1  1  0  =1     =0      |~p* q = Yc |( Yc=1)<=>(~p=1)*( q=1)
D: 0  0  1  1  =0     =1      |~p*~q =~Yd |(~Yd=1)<=>(~p=1)*(~q=1)
   1  2  3  4   6      7        8  9   0     a  b      c d    e f

Zauważmy, że symbolicznej definicji spójnika „lub”(+), widocznej w obszarze ABCD890 wszystkie zmienne z tabeli ABCD126 sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka.
Przykłady:
B1: (p=1) = B8 (p=1) - tu prawo Prosiaczka nie ma nic do roboty bo w pkunkcie B1 mamy p=1
B2: (q=0) = B9: (~q=1)
D6: (Y=0) = D0: (~Yd=1)
etc

Prawa Prosiaczka to tożsamości matematyczne.
Korzystając z tej tożsamości możemy w tabeli symbolicznej ABCDabcdef zrobić potworą sieczkę zer i jedynek nic nie tracąc na matematycznej jednoznaczności.
Ciekawym będzie sprowadzenie wszystkich zmiennych do zera, oraz zamiana w tabeli symbolicznej ABCDabcdef spójników „i”(*) na spójniki „lub”(+).
Zróbmy to:
Kod:

Tabela 2A
                              |Funkcje
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=~p*~q |cząstkowe  |co matematycznie oznacza
A: 1  1  0  0  =1     =0      | p* q = Ya |(~Ya=0)<=>(~p=0)+(~q=0)
B: 1  0  0  1  =1     =0      | p*~q = Yb |(~Yb=0)<=>(~p=0)+( q=0)
C: 0  1  1  0  =1     =0      |~p* q = Yc |(~Yc=0)<=>( p=0)+(~q=0)
D: 0  0  1  1  =0     =1      |~p*~q =~Yd |( Yd=0)<=>( p=0)+( q=0)
   1  2  3  4   6      7        8  9   0     a  b      c d    e f

Z tabeli symbolicznej ABCDabcdef zapisujemy:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc
Zauważmy, że to równanie opisuje wynikowe zera w kolumnie ~Y, operujemy zatem w logice totalnie sprzecznej z naturalną logiką człowieka.

Podstawiamy równania cząstkowe z tabeli ABCDabcdef:
1: ~Y = A: (~p+~q)* B: (~p+q)* C: (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy, że to równanie opisuje jedynki w kolumnie 6, wróciliśmy zatem do świata normalnych, gdzie wszystko jest zgodne z naturalną logiką człowieka.

Dokładnie to samo dla ostatniej linii w tabeli ABCDabcdef:
Y=Yd
3: Y= D: (p+q)
Zauważmy, że to równanie opisuje wynikowe zero w kolumnie 6.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: ~Y = ~p*~q

Matematycznie zachodzi:
3: Y = 2: Y
Stąd otrzymujemy:
R1: Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Matematycznie zachodzi:
4: ~Y = 1: ~Y
Stąd otrzymujemy:
R2: ~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Równanie typu:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Nosi nazwę równania alternatywno koniunkcyjnego i jest doskonale rozumiane przez każdego człowieka, to jest jego naturalna logika matematyczna.

Równanie typu:
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Nosi nazwę równania koniunkcyjno-alternatywnego i jest kompletnie niezrozumiałe przez człowieka, dlatego trzeba tu wymnożyć wielomiany otrzymując funkcję minimalną:
~Y=~p*~q
To równania zrozumie już każdy 5-cio latek.

Przykład:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Zdanie tożsame:
A1.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=q

Z równania R1 mamy zdanie tożsame:
Y= A: K*T + B: K*~T + C: ~T*K
Czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Czyli:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzymała słowa.
Doskonale widać, że postać alternatywno-koniunkcyjna jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka.

… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
stąd:
B1.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
To zdanie w logice ujemnej (postać alternatywno-koniunkcyjna) zrozumie każdy 5-cio latek.
Sprawdźmy tożsamą postać koniunkcyjno-alternatywną z równania R2.
R2: ~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Stąd zdanie tożsame:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K+~T =1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
i
~K+T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
i
K+~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Doskonale widać, że tego zdania żaden normalny człowiek nie jest w stanie zrozumieć w przeciwieństwie do banalnego zdania B1.


3.4 Prawo Bociana

Prawo Bociana:
W dowolnym operatorze logicznym prawa na poziomie operatorów przenoszą się na prawa spójników logicznych wewnątrz operatora.

Prawo Bociana dotyczy wszystkich operatorów:
Oznaczmy:
## - różne na mocy definicji
1.
p|+q - operator OR
p+q - spójnik logiczny „lub”(+)
Na mocy definicji zachodzi:
p|+q ## p+q
2.
p|*q - operator AND
p*q - spójnik logiczny „i”(*)
Na mocy definicji zachodzi:
p|*q ## p*q
3.
p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q - warunek wystarczający
Na mocy definicji zachodzi:
p|=>q ## p=>q
4.
p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p~>q - warunek konieczny
Na mocy definicji zachodzi:
p|~>q ## p~>q
5.
p|~~>q - operator chaosu
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>
Na mocy definicji zachodzi:
p|~~>q ## p~~>q
6.
Definicja równoważności:
p<=|=>q = (p|=>q)*(q|=>p) - równoważność na poziomie operatorów logicznych
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) - równoważność na poziomie warunków wystarczających
Na mocy definicji zachodzi:
p<=|=>q ## p<=>q

Aktualnie jesteśmy przy operatorach OR(|+) i AND(|*).
Prawo Bociana dotyczy absolutnie wszystkich tabel zero-jedynkowych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Czyli:
W dowolnej funkcji logicznej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) z dowolną ilością zmiennych w nagłówkach tabel zero-jedynkowych mamy prawo używać spójników „lub”(+) i „i”(*) pamiętając o tym iż dowolny nagłówek nie opisuje w tym przypadku całej tabeli zero-jedynkowej a jedynie jej fragment, z jedynkami w wyniku.

Zobaczmy to na przykładzie operatora równoważności w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Kod:

                                                    Y=
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?  |          |              p<=>q
A: 1  1  0  0  =1   =0   | Ya= p* q |( p=1)*( q=1)  =1
B: 1  0  0  1  =0   =1   |~Yb= p*~q |( p=1)*(~q=1)  =0
C: 0  0  1  1  =1   =0   | Yc=~p*~q |(~p=1)*(~q=1)  =1
D: 0  1  1  0  =0   =1   |~Yd=~p* q |(~p=1)*( q=1)  =0
   1  2  3  4   5    6     7   8  9    a b    c d    e

Zauważmy, że algorytm tworzenia funkcji logicznej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) jest nieprawdopodobnie trywialny, nie musimy tu nawet korzystać z praw Prosiaczka!
Zapisujemy tu po prostu dokładnie to co widzimy na rysunku, czyli opisujemy w równaniach cząstkowych ABCD789 wyłącznie jedynki w tabeli zero-jedynkowej.

Matematycznie mamy:
Y = Ya+Yc
1. Y = p*q + ~p*~q
Matematycznie mamy:
~Y = ~Yb+~Yc
3. ~Y = p*~q + ~p*q

Matematyczne przekształcenia:

1: Y=(p*q)+(~p*~q) - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q)

3: ~Y=(p*~q) + (~p*q) - logika ujemna (bo ~Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
4: Y = (~p+q) * (p+~q)

Matematycznie zachodzi:
1: Y = 4: Y
Stąd:
14: Y = p*q + ~p*~q = (~p+q)*(p+~q)
gdzie:
p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna doskonale rozumiana przez człowieka
(~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna kompletnie niezrozumiała dla człowieka

Matematycznie zachodzi także:
3: ~Y = 2: ~Y
stąd:
32: ~Y = p*~q + ~p*q = (~p+~q)*(p+q)
Gdzie:
p*~q + ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna zrozumiała dla człowieka
(~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna niezrozumiała dla człowieka

Przykład:
Pani w przedszkolu:
RA.
Pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatr
K<=>T = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
K<=>T=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1
W zdaniu RA uznajemy pojęcia K i T za logicznie tożsame, co oznacza, że jest nam wszystko jedno czy pójdziemy do kina czy do teatru.

… kiedy pani skłamie?
K<=>T = (K*T) + (~K*~T)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~(K<=>T) = (~K+~T)*(K+T)
Prawa strona tu funkcja koniunkcyjno-alternatywna kompletnie niezrozumiała dla człowieka
Co zatem robić?
Wymnożyć wielomiany lub prościej, skorzystać z prawa 32 wyprowadzonego wyżej.

Korzystając z prawa 32 wyprowadzonego wyżej mamy:
~(K<=>T) = K*~T + ~T*K
co matematycznie oznacza:
~(K<=>~T)=1 <=> (K*~T)=1 lub (~T*K)=1
Pani skłamie ~(K<=>T)=1 wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy że odpowiedzi na pytanie kiedy pani w przyszłości dotrzyma słowa a kiedy skłamie są tu bajecznie proste, na poziomie 5-cio latka


3.5 Twierdzenie Pitagorasa

Weźmy definicję operatora równoważności w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):

Kod:

                                                    Y=
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?  |          |              p<=>q
A: 1  1  0  0  =1   =0   | Ya= p* q |( p=1)*( q=1)  =1
B: 1  0  0  1  =0   =1   |~Yb= p*~q |( p=1)*(~q=1)  =0
C: 0  0  1  1  =1   =0   | Yc=~p*~q |(~p=1)*(~q=1)  =1
D: 0  1  1  0  =0   =1   |~Yd=~p* q |(~p=1)*( q=1)  =0
   1  2  3  4   5    6     7   8  9

Zauważmy, że algorytm tworzenia funkcji logicznej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) jest nieprawdopodobnie trywialny, nie musimy tu nawet korzystać z praw Prosiaczka!
Zapisujemy tu po prostu dokładnie to co widzimy na rysunku, czyli opisujemy w równaniach cząstkowych ABCD789 wyłącznie jedynki w tabeli zero-jedynkowej.

Twierdzenie Pitagorasa w formie równoważności:
AR.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1 =1

Podstawmy:
p=TP
q=SK
i przepiszmy powyższa tabelę prawdy:
Kod:

                                                           Y=
  TP SK ~TP ~SK  Y=? ~Y=?  |            |                TP<=>SK
A: 1  1   0   0  =1   =0   | Ya= TP* SK |( TP=1)*( SK=1)  =1
B: 1  0   0   1  =0   =1   |~Yb= TP*~SK |( TP=1)*(~SK=1)  =0
C: 0  0   1   1  =1   =0   | Yc=~TP*~SK |(~TP=1)*(~SK=1)  =1
D: 0  1   1   0  =0   =1   |~Yd=~TP* SK |(~TP=1)*( SK=1)  =0
   1  2   3   4   5    6     7   8   9      a b     c d    e

Zauważmy, że definicja równoważności mówi tu o zbiorach TP i SK!
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP i SK to są zbiory!
Matematycznie zachodzi tu:
TP=SK # ~TP=~SK
gdzie:
# - zbiory rozłączna

Zatem wolno nam do definicji formalnej równoważności podstawić:
p=TP
q=SK
co właśnie wyżej zrobiliśmy.

Weźmy te dwie pierwsze linie:
A: ( TP=1)*( SK=1) =1 - zbiór niepusty
B:( TP=1)*(~SK=1) = [] =0 - zbiór pusty

Wniosek:
Definicje formalne wszelkich operatorów logicznych są dowodem iż zbiory mają wartości logiczne!
[]=0 - bo zbiór pusty
[x]=1 - bo zbiór niepusty

Ostatnia, wytłuszczona linia jest dowodem, iż w logice matematycznej może zaistnieć przypadek:
B: TP*~SK = 1*1 =0
oraz przypadek:
A: TP*SK = 1*1 =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:21, 26 Maj 2016, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin