Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Biblia: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego B4.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23116
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:45, 25 Maj 2012    Temat postu: Biblia: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego B4.0

Wersja końcowa algebry Kubusia:
BIBLIA: Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata


… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji.

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Podręcznik w oryginale:
BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego
Podręcznik dla liceum:
Algebra Kubusia dla liceum

Szczególne podziękowania dla:
www.sfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Wstęp

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.
Algebra Kubusia obowiązuje w całym naszym Wszechświecie, zarówno martwym, jak i żywym, dlatego to jest matematyka naszego Wszechświata.
Nie ma żadnych wyjątków, algebra Kubusia opisuje naturalny język mówiony człowieka i jego logikę, działa doskonale także w obszarze matematyki.
W wersji dla liceum zrezygnowano z zaawansowanej algebry Boole’a np. minimalizacji funkcji logicznych.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest pełna, zero-jedynkowa lista operatorów logicznych zapisana w formie równań algebry Kubusia (Boole’a!). Równania te wyprowadzone zostały z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, oraz niezależnie z nowej teorii zbiorów. Nowa teoria zbiorów jest w 100% zgodna z aksjomatycznymi, zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Nowa teoria zbiorów to fundamentalnie inne diagramy graficzne niż obowiązujące diagramy Venna.

Algebra Kubusia jest zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie.


Spis treści:


Część I
Algebra Kubusia dla liceum


1.0 Notacja
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia

3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
3.2 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych

4.0 Warunki wystarczający i konieczny
5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
5.1 Równoważność
5.2 Implikacja prosta
5.3 Implikacja odwrotna
5.4 Operator chaosu
5.5 Operator śmierci
5.6 Wszystkie możliwe definicje równoważności i implikacji

6.0 Operatory OR i AND
6.1 Operator OR
6.2 Operator AND

7.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych
7.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych
7.2 Dowodzenie warunku wystarczającego
7.3 Dowodzenie warunku koniecznego

8.0 Świat zdeterminowany

9.0 Obietnice i groźby
9.1 Obietnica
9.2 Groźba


Część II
Algebra Kubusia - wersja rozszerzona


10.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
10.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
10.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej
10.3 Równania logiczne dla operatora OR
10.3.1 Osiem równań opisujących operator OR
10.4 Równania logiczne dla operatora AND
10.4.1 Osiem równań opisujących operator AND
10.5 Logika zero

11.0 Operatory OR i AND
11.1 Właściwości operatorów OR i AND
11.2 Operator OR w zbiorach
11.3 Operator AND w zbiorach

12.0 Operatory implikacji i równoważności
12.1 Właściwości implikacji
12.2 Operator implikacji prostej w zbiorach
12.3 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
12.4 Równoważność w zbiorach
12.5 Warunek konieczny i wystarczający w równoważności
12.6 Kwadrat logiczny równoważności
12.7 Kwadrat logiczny implikacji
12.8 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
12.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
12.10 Licealne definicje implikacji i równoważności
12.11 Definicje równoważności i implikacji w zbiorach
12.12 Prawa kontrapozycji
12.12.1 Prawo kontrapozycji w równoważności
12.12.2 Prawo kontrapozycji w implikacji
12.13 Implikacja, matematyczny opis nieznanego

13.0 Implikacja i równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
13.1 Implikacja prosta
13.2 Implikacja odwrotna
13.3 Równoważność

14.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
14.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
14.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
14.3 Operatory transmisji P i Q
14.4 Operatory negacji NP i NQ

15.0 Algebra zbiorów rozłącznych
15.1 Operator XOR
15.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności


Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki


16.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
16.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
16.2 Złożona implikacja prosta
16.3 Złożona implikacja odwrotna
16.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
16.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

17.0 Obietnice i groźby
17.1 Obietnica
17.2 Groźba
17.3 Obietnica w równaniach logicznych
17.4 Groźba w równaniach logicznych
17.5 Analiza złożonej obietnicy
17.6 Analiza złożonej groźby
17.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
17.8 Rodzaje obietnic


1.0 Notacja

~ - symbol przeczenia NIE

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

# - różne
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać wartość fałsz lub prawda, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Inaczej zdanie jest fałszywe.

W BIBLII: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego w pkt.12.12.2 jest obalenie prawa KRZ:
p=>q ## q~>p
co jest równoważne obaleniu prawa kontrapozycji w implikacji:
p=>q ## ~q=>~p
bo prawo Kubusia:
~q=>~p = q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
To samo jest w pkt. 12.1, 12.6, 12.7 i 12.11
Znane matematykom prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności (pkt.12.12)


2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.

2.0.1
Fundament matematyczny:
Iloczyn kartezjański dla dwóch zmiennych binarnych p i q
[p,q] = (1,1), (1,0), (0,1), (0,0)

Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie wyjścia Y dla wejścia p i q
Kod:

p q Y=pOPRATORq
1 1  =x
1 0  =x
0 1  =x
0 0  =x

Dla czterech wartości x w pionie możliwe jest zdefiniowanie 16 różnych funkcji logicznych (operatorów logicznych).

2.0.2
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1  1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0  0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

Równania algebry Boole’a to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Boole’a i odwrotnie.

2.0.3
Techniczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

2.0.4
Fizyczny model operatora logicznego:
Operator logiczny to czarna skrzynka z dwoma kabelkami wejściowymi p i q i jednym kabelkiem wyjściowym Y. Na wejścia p i q podajemy wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1. Czarna skrzynka odpowiada nam jednoznaczną sekwencją na wyjściu Y.

Definicja operatora OR:
Kod:

p q Y=pORq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

W technice cyfrowej TTL odpowiednikiem 0 i 1 są poziomy napięć:
0 = 0-0.4V
1 = 2.4-5.0V

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

2.0.5
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

2.0.6
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
zamieniamy wejścia p i q na postać symboliczną.

2.0.7
Kod:

p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

2.0.8
Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

2.0.9
Świętość algebry Boole’a:
Wszelkie przekształcenia tabel zero-jedynkowych muszą mieć swoje 100% odbicie w równaniach algebry Boole’a.

2.0.10
Definicja logiki w algebrze Kubusia
Logika to narzędzia do rozwiązywania problemów a nie rozwiązywanie konkretnego problemu.

Przykładowo w dzisiejszej matematyce istnieje tylko jedna definicja równoważności:
1.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Podczas gdy w algebrze Kubusia mamy dodatkowe, równoważne definicje:
2.
Definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Definicja 1 to odprysk definicji aksjomatycznej 2 na mocy prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p - obowiązuje wyłącznie w równoważności
3.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
4.
Równoważność to dwie gwarancje matematyczne:
p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)]
5.
Równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
p<=>q = p*q + ~p*~q
6.
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne:
p<=>q = p*q + ~p*~q
A: p*q=1
C: ~p*~q=1
Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji równoważności

Uwaga:
W dzisiejszej Teorii Mnogości jest błąd czysto matematyczny bo wedle TM:
Równoważność to jeden zbiór


2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia

2.1.1
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

2.1.2
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK =1

Definicja operatora równoważności.
Kod:

Definicja           |Definicja               |Przykład
zero-jedynkowa      |symboliczna             |
równoważności       |operatora równoważności | TP<=>SK
   p q Y=p<=>q      |                        |
A: 1 1  =1          | p* q =1                | TP* SK =1
B: 1 0  =0          | p*~q =0                | TP*~SK =0
C: 0 0  =1          |~p*~q =1                |~TP*~SK =1
D: 0 1  =0          |~p* q =0                |~TP* SK =0
 

gdzie:
* - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
Definicję symboliczną utworzono korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
Kolumny wynikowe są identycznie zatem twierdzenie Pitagorasa jest bezdyskusyjną równoważnością.

Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
p<=>q=1 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1)
Nasz przykład:
TP<=>SK = (TP=1 i SK=1) lub (~TP=1 i ~SK=1)
Oczywiście wszystkie te zbiory istnieją (nie są puste), dlatego ich wartość logiczna jest równa 1
TP = SK =1 - zbiory tożsame
~TP=~SK=1 - zbiory tożsame

Oczywiście to jest algebra Boole’a, zatem w pozostałych możliwych przeczeniach musimy uzyskać 0.
p*~q=0
i
~p*q=0
co doskonale widać w powyższej tabeli.

2.1.3
Analiza matematyczna:
Linia A
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
A: TP*SK
Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym zachodzi suma kwadratów (SK)?
Oczywista odpowiedź: TAK
co wymusza w wyniku 1

Interpretacja w zbiorach:
A: TP*SK = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1

Linia B
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
B: TP*~SK=0
Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym suma kwadratów nie jest spełniona (~SK)?
Oczywista odpowiedź: NIE
co wymusza w wyniku 0

Interpretacja w zbiorach:
B: TP*~SK=1*1=0
Oba zbiory istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Linia C
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
C: ~TP*~SK
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK)?
Oczywista odpowiedź: TAK
co wymusza w wyniku 1

Interpretacja w zbiorach:
C: ~TP*~SK = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1

Linia D
Interpretacja w naturalnej logice człowieka:
Zadajemy sobie pytanie:
D: ~TP*SK=0
Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym suma kwadratów jest spełniona (SK)?
Oczywista odpowiedź: NIE
co wymusza w wyniku 0

Interpretacja w zbiorach:
D: ~TP*SK=1*1=0
Oba zbiory istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Z powyższego wynika, że aby stwierdzić z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy sprawdzić odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

2.1.4
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

2.1.5
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych zgodna z techniczną algebrą Boole’a o definicji operatora jak wyżej.

2.1.6
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

2.1.7
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

2.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład 1.
Y=p+q
~Y=~p*~q

Przykład 2.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

2.1.9
Fundament algebry Boole’a:
p+~p=1
p*~p=0

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=p+~p=1
Zdanie zawsze prawdziwe (=1), cokolwiek nie zrobię to nie zostanę kłamcą
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K=0
Sytuacja niemożliwa, zdanie fałszywe (=0)

2.1.10
Prawo algebry Boole’a z którego będziemy korzystać przy przechodzeniu z tabel zero-jedynkowych na postać symboliczną.
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1


3.0 Nowa teoria zbiorów

Podstawowe działania na zbiorach są identyczne jak w klasycznej algebrze zbiorów.

3.0.1
Różnice w stosunku do klasycznej algebry zbiorów:
1.
W algebrze Kubusia zbiór pusty nie jest częścią każdego zbioru.
2.
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną!

Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe

3.0.2
Definicja zbioru:
Zbiór w sensie matematycznym musi spełniać fundament algebry Boole’a:
p+~p=1 - definicja dziedziny
Zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny
p*~p=0
Żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L

Dziedzina po stronie p:
P +~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory ulokowane są w tej samej dziedzinie.

3.0.3
Zbiór aktualny (bieżący):
Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”

Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych zbiory p i q nie są rozłączne i należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej.

3.0.4
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie zdania:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
P*~K = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
P*~S = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.
W tym przypadku zbiór:
~S - to uniwersum, wszelkie możliwe pojęcia


3.1 Podstawowe działania na zbiorach

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

3.1.1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach

3.1.2
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p*q=[1,2]

3.1.3
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.1.4
Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o część wspólną zbiorów p i q
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = [5,6]

3.1.5
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów
Stąd:
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym

Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

3.1.6
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
@ - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p+@ = p+0 = p
p*@ = p*0 = 0

W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero.
Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @.

3.1.7
Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce jest czarne
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońce czarne”, zdanie fałszywe

3.1.8
Przykład:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
B.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę.

Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe


3.2 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora operuje na zbiorach opisywalnych aksjomatycznymi operatorami logicznymi.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

3.2.1
1.
Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):


Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):

D: ~Y=~p*~q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR.
Kod:

Definicja symboliczna    |Definicja zero-jedynkowa
W: Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q   |p q Y=p+q
A: p* q= Y               |1 1 =1
B: p*~q= Y               |1 0 =1
C:~p* q= Y               |0 1 =1
~Y=~p*~q                 |
D:~p*~q=~Y               |0 0 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                         |p=1, ~p=0
                         |q=1, ~q=0
                         |Y=1, ~Y=0

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru:
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub pójdę do teatru (T)
Zdanie matematycznie równoważne:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)

3.2.2
2.
Definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia:

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):

W: Y=p*q

Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):


Zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~p*~q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND.
Kod:

Definicja symboliczna       |Definicja zero-jedynkowa
W: Y=p*q                    |p q Y=p*q
A: p* q= Y                  |1 1 =1
U: ~Y =~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q|
B:~p*~q=~Y                  |0 0 =0
C:~p* q=~Y                  |0 1 =0
D: p*~q=~Y                  |1 0 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                            |p=1, ~p=0
                            |q=1, ~q=0
                            |Y=1, ~Y=0

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru:
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)

... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Zdanie matematycznie równoważne:
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

3.2.3
3.
Definicja operatora XOR w równaniu algebry Kubusia:

p XOR q = p*~q + ~p*q

Zbiory rozłączne.

p XOR q = p*~q + ~p*q
Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
p XOR q = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów

Definicja zero-jedynkowa:
Kod:

Definicja     |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna   |p q pXORq
A: p*~q=1     |1 0 =1
B:~p* q=1     |0 1 =1
C:~p*~q=0     |0 0 =0
D: p* q=0     |1 1 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
              |p=1, ~p=0
              |q=1, ~q=0

Przykład:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M XOR K = M*~K + ~M*K

3.2.4
4.
Definicja operatora implikacji prostej:

Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):


Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
p* q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=0
p* ~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zobaczmy ten przypadek na diagramie.


Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicję zero-jedynkową operatora implikacji prostej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
Kod:

Definicja     |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna   |p q p=>q
A: p=> q=1    |1 1 =1
B: p=>~q=0    |1 0 =0
C:~p~>~q=1    |0 0 =1
D:~p~~>q=1    |0 1 =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
              |p=1, ~p=0
              |q=1, ~q=0

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie deszczu jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
... a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym aby jutro nie było pochmurno
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1

3.2.5
5.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:

Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D niżej

Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:

p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Zobaczmy to na diagramie logicznym:

~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q
W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p* ~q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
~p* q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi.

Definicję zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
Kod:

Definicja     |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna   |p q p~>q
A: p~> q =1   |1 1 =1
B: p~~>~q=1   |1 0 =1
C:~p=>~q =1   |0 0 =1
D:~p=> q =1   |0 1 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
              |p=1, ~p=0
              |q=1, ~q=0

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
... a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
Stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0

3.2.6
6.
Definicja równoważności:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)


W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
.. albo odwrotnie.
W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q.

Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q o definicji wyłącznie w B i C
~p=>~q
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~p*q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności.
Kod:

W: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q                    |p  q  p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=>q  =1             |1  1  =1
B: p=>~q =0             |1  0  =0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
C: ~p=>~q=1             |0  0  =1
D: ~p=>q =0             |0  1  =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                        |p=1, ~p=0
                        |q=1, ~q=0

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
stąd w równoważności (nigdy w implikacji):
p=>q = ~p=>~q
W równoważności (i tylko tu!) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Analiza matematyczna:
W: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
TP=>SK - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
TP*SK=1*1=1
Zbiory TP i SK istnieją (TP=1 i SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
TP*~SK=1*1=0
Zbiory TP i ~SK istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
TP*~SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru TP w zbiorze SK.

… a jeśli zajdzie ~TP?
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~SK
~TP=>~SK - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~TP*~SK=1*1=1
Zbiory ~TP i ~SK istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~TP*SK=1*1=0
Zbiory ~TP i SK istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~TP*SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~TP w zbiorze ~SK.


4.0 Warunki wystarczający i konieczny

4.0.1
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A: p=>q=1
B: p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
z czego wynika że zdanie B musi być fałszem
z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>CH=0
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
cnd

4.0.2
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0

p=>q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
bo zdanie B jest fałszem i nie ma prawa wystąpić
z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0
Brak chmur wystarcza aby nie padało
cnd

4.0.3
Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzenika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

Przykład 1:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8 - wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Na mocy definicji warunku koniecznego mamy:
A: P2~>P8 = B: ~P2=>~P8
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zdanie B jest prawdziwe, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>.
P2~>P8=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> aby była ona podzielna przez 8

Przykład 2:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Warunek konieczny tu nie zachodzi bo:
P3~>P8 = ~P3=>~P8 =0 bo 8
Prawa strona definicji jest fałszem, zatem w zdaniu P3~>P8 nie zachodzi warunek konieczny:
P3~>P8=0


5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.

Na początku było:
Kod:

1=1

i stał się cud:
Kod:

(p+~p)=(q+~q)

p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
Kod:

A: p=>(q+~q)
C: ~p=>(~q+q)

stąd mamy …


5.1 Równoważność

Operatorowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q p<=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p=> q =0    /o definicji w C i D

Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej
W równoważności (i tylko tu) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1

Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0



5.2 Implikacja prosta

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. Możliwe jest rozczepienie linii A i B albo linii C i D.

Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności.

5.2.1
Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

5.2.2
Pełna definicja implikacji prostej (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy definicję implikacji odwrotnej:
~p=>~q = p~>q
... o której za chwilę.

5.2.3
Zauważmy że znaczek „=>” nie jest operatorem logicznym, tzn nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej.
Dowód:
p=>q
Negujemy zmienne wejściowe p i q i nie otrzymujemy definicji operatora implikacji odwrotnej:
~p=>~q
To jest błąd czysto matematyczny współczesnej logiki matematycznej która błędnie myśli, iż znaczek „=>” opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

5.2.4
Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunek wystarczający (linie A i B) oraz dodatkowo udowodnimy prawdziwość zdań C i D, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający C i jeden przypadek spełniający D.

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Podzielność liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym, aby była ona podzielna przez 2
Definicja implikacji prostej spełniona bo:
P8=>P2= ~P8~>~P2=1
C: ~P8~>~P2=1 bo 3
D: ~P8~~>P2=1 bo 2

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1



5.3 Implikacja odwrotna

Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności.

5.3.1
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q p~>q
A: p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p=>  q =0    /o definicji w C i D

p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, plus musi być spełniona definicja warunku koniecznego ~>.
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

5.3.2
Pełna definicja implikacji odwrotnej (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy definicję implikacji prostej:
~p~>~q = p=>q
... o której wyżej.

5.3.3
Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunek wystarczający (linie C i D) oraz dodatkowo udowodnimy prawdziwość zdań A i B, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający A i jeden przypadek spełniający B.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8
P2~~>~P8=1 bo 2
P2 jest konieczne dla P8 bo:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1

Definicja implikacji odwrotnej spełniona:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0



5.4 Operator chaosu

Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p.
Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy pełną przypadkowość.

Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
B: p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
C:~p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
D:~p~~> q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
W każdym przypadku (A,B,C,D) wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
P3~~>~P8=1 bo 3
~P3~~>~P8=1 bo 2
~P3~~>P8=1 bo 8

Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1



5.5 Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.
Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0



5.6 Wszystkie możliwe definicje równoważności i implikacji

Komplet definicji równoważności i implikacji, wyprowadzony w dalszej części podręcznika.

Równoważność

W dzisiejszej matematyce mamy zaledwie jedną definicję równoważności:
1.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Podczas gdy w algebrze Kubusia mamy dodatkowe, równoważne definicje:
2.
Definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Definicja 1 to odprysk definicji aksjomatycznej 2 na mocy prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p - obowiązuje wyłącznie w równoważności
3.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
4.
Równoważność to dwie gwarancje matematyczne:
p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)]
5.
Równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
p<=>q = p*q + ~p*~q
6.
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne:
p<=>q = p*q + ~p*~q
A: p*q=1
C: ~p*~q=1
Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji równoważności

Uwaga:
W dzisiejszej Teorii Mnogości jest błąd czysto matematyczny bo wedle TM:
Równoważność to jeden zbiór


Implikacja prosta
1.
Definicja podstawowa implikacji prostej
p=>q = ~p~>~q
2.
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego w kierunku p=>q
p=>q=1
p~>q=0
Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
3.
Implikacja prosta to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna
p=>q = ~(p*~q)
4.
Implikacja prosta w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
5.
Implikacja prosta to trzy rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej:
p=>q = ~p~>~q = p*q + ~p*~q + ~p*q
A: p*q=1
C: ~p*~q=1
D: ~p*q=1
Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.


Implikacja odwrotna
1.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej
p~>q = ~p=>~q
2.
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego w kierunku p~>q:
p~>q=1
p=>q=0
Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
3.
Implikacja odwrotna to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
4.
Implikacja odwrotna w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)
5.
Implikacja odwrotna to trzy rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej
p~>q = ~p=>~q = p*q + p*~q + ~p*~q
A: p*q=1
C: p*~q=1
D: ~p*~q=1
Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 16:56, 07 Cze 2012, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23116
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:49, 25 Maj 2012    Temat postu:

6.0 Operatory OR i AND

Definicje zero-jedynkowe operatorów OR i AND najłatwiej zapamiętać odwracając kota ogonem, czyli zaczynamy od definicji zero-jedynkowych.

Na pamięć trzeba znać definicje zaledwie dwóch spójników z naturalnej logiki człowieka „lub”(+) oraz „i”(*). Reszta to logiczne myślenie.

6.0.1
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
A1+A2+...An=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych binarnych p i q:
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

6.0.2
Definicja spójnika „i”(*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) n zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
A1*A2*...An=1 <=> A1=1 i A2=1 i ... An=1
Dla dwóch zmiennych binarnych p I q:
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

To jest algebra Boole’a, zatem pozostałe przypadki musimy uzupełnić zerami w wyniku.


6.1 Operator OR

6.1.1
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0

Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1

6.1.2
Zamieniamy tabelę zero-jedynkowa na postać symboliczną:
Kod:

   p q Y=p+q | p  q= Y=p+q
W:           |Y=p+q
             |Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
A: 1 1  =1   | p* q= Y
B: 1 0  =1   | p*~q= Y
C: 0 1  =1   |~p* q= Y
X:           |~Y=~p*~q
D: 0 0  =0   |~p*~q=~Y
   1 2   3   | 4  5  6


6.1.3
Elementarne równania logiczne opisujące powyższą tabelę są następujące.

Obszar ABC123:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q+p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 lub q=1) = [(p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek!

Linia D123:
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek!

6.1.4
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Dla definicji operatora OR mamy:
W: Y=p+q - logika dodatnia bo Y, obszar ABC123
negujemy zmienne i wymieniamy spójnik „lub”(+) na spójnik „i”(*):
X: ~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y, linia D123

6.1.5
Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej, ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej.
W: Y=p+q
X: ~Y=~p*~q
Wniosek:
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny.

6.1.6
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Po podstawieniu W i X mamy prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

6.1.7
Z prawa de’Morgana wynika, że negując wszystkie zmienne p, q, Y musimy otrzymać definicję operatora AND.
Prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Negujemy wejścia p i q
y = ~p+~q = ~(p*q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
Ostatnie równanie to piękna definicja operatora AND, o którym za chwilę.

stąd:
6.1.8
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = p*q = ~(~p+~q)
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

6.1.9
Zauważmy, że układ równań w definicji operatora OR również jest poprawnym matematycznie, pełnym opisem tego operatora, bo negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy operator AND

Definicja operatora OR:
Y = p+q
~Y=~p*~q
Negujemy wszystkie zmienne i mamy:

Definicja operatora AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q

6.1.10
Zauważmy że samo równanie:
Y=p+q
nie jest pełnym opisem operatora OR bo negujemy zmienne:
~Y=~p+~q
i nie otrzymujemy operatora OR!

6.1.11
Wnioski:
1.
Znaczek alternatywy „+” nie jest kompletnym operatorem OR tzn. nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej,
2.
We współczesnej logice alternatywa „+” to kompletny operator logiczny, wszystkie cztery linie.
To jest oczywiście błąd czysto matematyczny, to jest fizycznie niemożliwe!

Opis tabeli zero jedynkowej operatora OR równaniem:
Y=p+q
Jest poprawny, bo jest jednoznaczny.
Trzeba jednak rozumieć że znaczek „+” w tym zapisie to nie kompletny operator OR (wszystkie cztery linie) a wyłącznie spójnik logiczny „lub”(+), czyli zaledwie połówka operatora OR (trzy linie tabeli zero-jedynkowej).
Dysponując wyłącznie powyższym równaniem łatwo odtworzymy tabele zero-jedynkową i wygenerujemy wszystkie możliwe równania logiczne dla operatora OR w ilości sztuk 8.
Każde z tych równań jest jednoznacznym opisem operatora OR, ale równanie minimalne to:
Y=p+q

6.1.12
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Dotrzymam słowa (Y=1) , wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y=~K*~T
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y), gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Zdanie równoważne do A otrzymujemy korzystając z pełnej definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T = 1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
K*~T=1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
~K*T=1*1=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)


6.2 Operator AND

6.2.1
Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 0 0  =0
C: 0 1  =0
D: 1 0  =0

Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1

6.2.2
Zamieniamy tabelę zero-jedynkowa na postać symboliczną:
Kod:

   p q Y=p*q | p  q= Y=p*q
W:           |Y=p*q
A: 1 1  =1   | p* q= Y
X:           |~Y=~p+~q
Y:           |~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
B: 0 0  =0   |~p*~q=~Y
C: 0 1  =0   |~p* q=~Y
D: 1 0  =0   | p*~q=~Y
   1 2   3   | 4  5  6

6.2.3
Elementarne równania logiczne opisujące powyższą tabelę są następujące.

Linia D123:
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek!

Obszar BCD123:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y= ~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) = [(~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek!

6.2.4
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Dla definicji operatora AND mamy:
W: Y=p*q - logika dodatnia bo Y, linia A123
negujemy zmienne i wymieniamy spójnik „i”(*) na spójnik „lub”(+):
X: ~Y=~p+~q - logika ujemna bo ~Y, obszar BCD123

6.2.5
Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej, ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej.
W: Y=p*q
X: ~Y=~p+~q
Wniosek:
Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny.

6.2.6
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Po podstawieniu W i X mamy prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)

6.2.7
Z prawa de’Morgana wynika, że negując wszystkie zmienne p, q, Y musimy otrzymać definicję operatora AND.
Prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Negujemy wejścia p i q
y = ~p*~q = ~(p+q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p*~q) = p+q
Ostatnie równanie to piękna definicja operatora OR, który już znamy

stąd:
6.2.8
Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
Y = p*q = ~(~p+~q) ## ~y = p+q = ~(~p*~q)
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

6.2.9
Zauważmy, że układ równań w definicji operatora AND również jest poprawnym matematycznie, pełnym opisem tego operatora, bo negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy operator OR.

Definicja operatora AND:
Y = p*q
~Y=~p+~q
Negujemy wszystkie zmienne i mamy:

Definicja operatora OR:
~Y=~p*~q
Y=p+q

6.2.10
Zauważmy że samo równanie:
Y=p*q
nie jest pełnym opisem operatora AND bo negujemy zmienne:
~Y=~p*~q
i nie otrzymujemy operatora OR!

6.2.11
Wnioski:
1.
Znaczek koniunkcji „*” nie jest kompletnym operatorem AND tzn. nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej,
2.
We współczesnej logice koniunkcja „*” to kompletny operator logiczny, wszystkie cztery linie.
To jest oczywiście błąd czysto matematyczny, to jest fizycznie niemożliwe!

Opis tabeli zero jedynkowej operatora AND równaniem:
Y=p*q
Jest poprawny, bo jest jednoznaczny.
Trzeba jednak rozumieć że znaczek „*” w tym zapisie to nie kompletny operator OR (wszystkie cztery linie) a wyłącznie spójnik logiczny „i”(*), czyli zaledwie połówka operatora OR (A123 - jedna linia tabeli zero-jedynkowej).
Dysponując wyłącznie powyższym równaniem łatwo odtworzymy tabelę zero-jedynkową i wygenerujemy wszystkie możliwe równania logiczne dla operatora AND w ilości sztuk 8.
Każde z tych równań jest jednoznacznym opisem operatora AND, ale równanie minimalne to:
Y=p*q

6.2.12
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Dotrzymam słowa (Y=1) , wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y=~K+~T
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y), gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Zdanie równoważne do B otrzymujemy korzystając z pełnej definicji spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Nasz przykład:
~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T = 1*1=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
~K*T=1*1=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
K*~T=1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


7.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych

7.0.1
Operatorowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q p<=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p=> q =0    /o definicji w C i D

Definicja operatorowe równoważności:
I.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej

Stąd definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


7.0.2
II.
W równoważności (i tylko tu) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

7.0.3
Inna równoważna definicja równoważności:
III.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w kierunku p=>q
A: p=>q =1
B: p~>q = ~p=>~q =1
Dla zajścia q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, (niedostępny w świecie rzeczywistym) o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q
Jak widzimy koniec końców i tak wszystko sprowadza się do badania warunku wystarczającego =>.
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Do tego aby trójkąt był równoboczny potrzeba ~> i wystarcza => aby miał kąty równe.

7.0.4
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
TR=>~KR=0
stąd w zdaniu A zachodzi warunek wystarczający:
Bycie trójkątem równobocznym wystarcza, aby miał kąty równe
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR) spełniony.

Z definicji równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*? =?
Badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0
stąd w zdaniu C zachodzi warunek wystarczający:
Bycie trójkątem nierównobocznym wystarcza, aby nie miał on katów równych.
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR) spełniony.

Na mocy powyższego spełniona jest definicja równoważności:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = 1*1 =1

Nasza analiza w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

  TR KR TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR)
A: 1  1   =1  | TR=> KR =1
B: 1  0   =0  | TR=>~KR =0
C: 0  0   =1  |~TR=>~KR =1
D: 0  1   =0  |~TR=> KR =0

Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli.
TR<=>KR
Stąd:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1

Oczywiście zdania po prawej stronie to tylko i wyłącznie warunki wystarczające:
TR=>KR=1 - warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B
~TR=>~KR=1 - warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach C i D
To nie są implikacje proste!

7.0.5
Twierdzenie:
Jeśli cokolwiek jest równoważnością prawdziwą to nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
Dowód:
Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji równoważności i implikacji.

7.0.6
Alternatywnie w punktach C i D możemy skorzystać z równoważnej definicji równoważności i badać prawdziwość twierdzenia odwrotnego q=>p:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)=1*1=1

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności.

7.0.7
Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q

Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo udowodnimy zachodzenie C i D, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający C i jeden przypadek spełniający D.


7.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych

Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych:
I.
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q
II.
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Jeśli oba warunki są spełnione to mamy do czynienia z równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
Jeśli jeden warunek (dowolny) jest spełniony a drugi nie jest spełniony to mamy do czynienia z implikacją.
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
~p=>~q = p~>q - definicja implikacji odwrotnej

Jeśli oba warunki wystarczające => są niespełnione to mamy do czynienia z operatorem chaosu ~~>, gdzie wszystkie zdania z dowolnymi przeczeniami p i q są prawdziwe.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3=1 bo 1
~P8~~>P3=1 bo 3
gdzie:
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy


7.2 Dowodzenie warunku wystarczającego

7.2.1
Twierdzenie:
Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone w spójniku „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie warunek wystarczający.

Dla rozstrzygnięcia czy dane twierdzenie jest równoważnością czy też czymś fundamentalnie innym, implikacją, konieczny jest dodatkowy dowód, o czym za chwilę.

7.2.2
W całym obszarze logiki zdanie:
Jeśli p to q
Jest równoważne zdaniu:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q

Wynika z tego że w logice spójnik „na pewno” => jest domyślny i nie musi być wypowiadany
Przykład zdań tożsamych:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=1

7.2.3
Sposób I
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p=>~q =0    /o definicji w A i B

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
z czego wynika że linia B musi być twardym fałszem
czyli:
Bierzemy kolejno wszystkie obiekty spełniające warunek p i badamy czy dla każdego z nich zachodzi q
Obiektów spełniających warunek ~p nie rozpatrujemy, bowiem w poprzedniku warunku wystarczającego mamy filtr „Jeśli zajdzie p”

7.2.4
Twierdzenie:
Prawdziwość dowolnego zdania:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
dowodzimy rozpatrując wyłącznie obiekty precyzyjnie zdefiniowane w poprzedniku p.
Dowód wyżej.

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR
Rozpatrujemy wyłącznie trójkąty równoboczne badając czy każdy z nich ma kąty równe.
Trójkątów nierównobocznych nie rozpatrujemy, bowiem w poprzedniku warunku wystarczającego mamy filtr „Jeśli trójkąt jest równoboczny”

7.2.5
Sposób II
Drugi, bardzo ważny sposób dowodzenia warunku wystarczającego => to szukanie kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu:
Kod:

A: p~~> q=1
B: p~~>~q=1

p~~>q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
gdzie:
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy

Jeśli zdania A i B są prawdziwe, to warunek wystarczający nie zachodzi:
p=>q =0
Jeśli zdanie A jest prawdziwe i wykluczymy B to warunek wystarczający zachodzi:
p=>q =1

Nasz przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
A: TR~~>KR=1 - wystarczy pokazać jeden taki trójkąt
B: TR~~>~KR=0
Oczywiście tu kontrprzykładu B nie znajdziemy, co jest dowodem iż zdanie A spełnia definicję warunku wystarczającego =>.
TR=>KR=1

7.2.6
... ale weźmy takie zdanie.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3
P8=>P3=0 bo kontrprzykład: 8

Na mocy definicji kontrprzykładu:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3=1 bo 8
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy
Wniosek:
Zdanie A nie spełnia definicji warunku wystarczającego =>.
P8=>P3=0 bo 8

7.2.7
Warunek wystarczający w zapisie kwantyfikatorowym:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)

W definicji kwantyfikatora wyrażenie „Jeśli zajdzie p(x)” jest filtrem na mocy którego rozpatrujemy wyłącznie obiekty zgodne z p(x)

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe
TR=>KR
Zdanie A w zapisie kwantyfikatorowym:
/\TR TR(x)=>KR(x)
czyli:
Dla każdego wylosowanego trójkąta x, jeśli trójkąt x jest równoboczny, to na pewno => trójkąt x ma kąty równe.
Wytłuszczono filtr na mocy którego mamy zakaz rozpatrywania trójkątów nierównobocznych.


7.3 Dowodzenie warunku koniecznego

7.3.1
Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji wyżej

7.3.2
Zdanie:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
może być:
1.
Zdaniem prawdziwym, jeśli istnieje część wspólna zbiorów p i q
2.
Zdaniem fałszywym, gdy zbiory p i q są rozłączne

7.3.3
Przykład 1.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Prawa strona jest prawdą zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>
B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, mrówka, wąż

7.3.4
Przykład 2.
A.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4l=1 bo kura, mrówka, wąż
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L=1
Prawa strona jest prawdą zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies

7.3.5
Przykład 3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
Prawo Kubusia:
P8~>P3 = ~P8=>~P3=0 bo 2
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu A nie zachodzi warunek konieczny ~>
Zdanie A jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

7.3.6
Przykład 4.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Zbiory P8 i P2 mają cześć wspólną, zatem to zdanie jest prawdziwe
Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden przypadek.

To zdanie jest zaczynem szukania czegoś większego, czyli implikacji lub równoważności.
Zauważamy bowiem, że powyższe zdanie jest prawdziwe także dla liczb: 16, 24 ...
W tym momencie zadajemy sobie pytanie czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla dowolnej liczby podzielnej przez 8.

7.3.7
Formułujemy twierdzenie matematyczne:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Pozostaje „drobiazg”, udowodnić to twierdzenie.

7.3.8
Przykład 5.
Jeśli pies ma cztery łapy to kura ma dwie nogi
P4L=>K2N =0
Zbiór psów jest rozłączny ze zbiorem kur, zatem to zdanie jest fałszywe


8.0 Świat zdeterminowany

8.0.1
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

8.0.2
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

8.0.3
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

8.0.4
Przykład 1:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
B.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę.

Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

Mamy zatem 100% determinizm:
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0

Tabela prawdy dla naszego przykładu:
Kod:

 MP* PT =1*1=1
 MP*~PT =1*0=0
~MP*~PT =0*0=0
~MP* PT =0*1=0

Doskonale widać definicję operatora AND

8.0.4
Przykład 2.
Morderstwa dokonano w Warszawie.
Podejrzany: Kowalski

Śledczy:
A.
Jeśli Kowalski był w Warszawie to mógł zabić
KW~>KZ
... a jeśli nie był w Warszawie?
Prawo Kubusia:
KW~>KZ = ~KW=>~KZ
B.
Jeśli Kowalski nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~KW=>~KZ
Zauważmy, że taka analiza ma sens gdy nie wiemy czy Kowalski jest mordercą.

Śledczy:
Sprawdziłem, Kowalski nie był w Warszawie zatem nie mógł zamordować
Y = ~KW*~KZ =1*1=1
Oczywiście:
zatem = spójnik „i”(*).

Zauważmy że w tym momencie implikacje A i B wyżej są bez sensu, bo robią ze śledczego idiotę.
Idiota śledczy:
Sprawdziłem, jeśli Kowalski nie był w warszawie to na pewno => nie zabił
~KW=>~KZ

W przypadku znajomości rozwiązania mamy determinizm:
KW=0, ~KW=1
KZ=0, ~KZ=1

Budujemy tabelę prawdy:
Kod:

 KW* KZ =0*0=0
 KW*~KZ =0*1=0
~KW*~KZ =1*1=1
~KW* KZ =1*0=0

Doskonale widać definicję operatora AND.

Oczywiście:
Przeszłość = 100% determinizm
Jeśli jednak nie wiemy co się stało w przeszłości to możemy używać implikacji, aby dojść do prawdy (nie zawsze to jest możliwe)

8.0.5
Przykład 3:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
Zbiory:
P8=[8,16…]
P2=[2,4,8,16..]
P8*P2=1*1=1 bo 8,16…
Zbiory P8 i P2 istnieją (P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
P8=[8,16..]
~P2=[1,3,5…]
P8*~P2=1*1=0
Zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
Zbiory:
~P8=[2,3,5…]
~P2=[3,5,7…]
~P8*~P2=1 bo 3,5…
Zbiory ~P8 i ~P2 istnieją (~P8=1 i ~P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~P8=[2,4,5…]
P2=[2,4,6…]
~P8*P2=1 bo 2,4…
Zbiory ~P8 i P2 istnieją (~P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Kod:

                   |P8 P2 P8=>P2
A: P8=>P2=1 bo 8   | 1  1  =1
B: P8=>~P2=0       | 1  0  =0
C: ~P8~>~P2=1 bo 3 | 0  0  =1
D: ~P8~~>P2=1 bo 2 | 0  1  =1
Punktem odniesienia jest zawsze nagłówek tabeli zero-jedynkowej
                   |P8=1, ~P8=0
                   |P2=1, ~P2=0

8.0.6
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

8.0.7
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

8.0.8
Definicja implikacji w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2
B: P8=>~P2    | P8*~P2
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2

8.0.9
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L3=>P8*P2
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P8=1 i P2=1
stąd dla liczby 8 mamy:
~P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2 =1*1=1
B: P8=>~P2    | P8*~P2 =1*0=0
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =0*0=0
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =0*1=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

8.0.10
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
L3=>~P8*~P2
Co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
stąd dla liczby 3 mamy:
P8=0, P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2 =0*0=0
B: P8=>~P2    | P8*~P2 =0*1=0
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =1*1=1
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =1*0=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

8.0.11
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L2=>~P8*P2
co matematycznie oznacza:
L2=1 => ~P8=1 i P2=1
Stąd dla liczby 2 mamy:
P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2 =0*1=0
B: P8=>~P2    | P8*~P2 =0*0=0
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =1*0=0
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =1*1=1

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.


9.0 Obietnice i groźby

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q)
To jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że:
Groźba = implikacji odwrotna (p~>q = ~p=>~q)
Dowód na przykładzie …


9.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania czekolady.
Obietnica, zatem implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q), tu wszyscy się zgadzamy
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki
Skoro to warunek wystarczający => to na mocy definicji:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości!
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary, oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować!
gdzie:
~> - warunek konieczny
~~> - naturalny spójnik "może", jest taka możliwość.

Z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną!

Jedyne możliwe definicje obietnicy i groźby są zatem takie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


9.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!)
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni


Raj 2012-05-08
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23116
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:50, 25 Maj 2012    Temat postu:



10.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Każdy człowiek w swoim naturalnym języku mówionym posługuje się równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Kubusia.
Z dowolnego równania algebry Kubusia można wygenerować odpowiadającą mu, jednoznaczną tabelę zero-jedynkową.
Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Kubusia w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej.
W tym rozdziale poznamy banalną technikę tworzenia tych równań.


10.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)

10.1.1
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

10.1.2
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

10.1.3
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p = 1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

10.1.4
Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

10.1.5
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

10.1.6
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.

Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

10.1.7
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

10.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przykład:
Y=p+q(r*s)
Uzupełniamy nawiasy i operatory:
Y=p+[q*(r+s)] - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p*[~q+(~r*~s)] - logika ujemna bo ~Y

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.


10.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej

W tym rozdziale udowodnimy, iż nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.

Absorpcja:
p*(p+q)=p

10.2.1
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

10.2.2
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
Kod:

p q p+q p*(p+q)
1 1 =1   =1
1 0 =1   =1
0 1 =1   =0
0 0 =0   =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p

10.2.3
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd


10.3 Równania logiczne dla operatora OR

Matematyczne fundamenty tworzenia równań algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

10..3.1
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.

10.3.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii D123 bowiem mamy tu samotne zero.
D.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
D.
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie:
D.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar D123.

10.3.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne

Przechodzimy z równaniem D do logiki przeciwnej otrzymując:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar ABC123.

Zauważmy, że mamy tu 100% zgodność z definicją spójnika „lub”(+), opisującego wyłącznie obszar ABC123.

Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

10..3.4
Równoważną definicję spójnika „lub”(+) otrzymamy opisując same jedynki w definicji zero-jedynkowej.
Mamy spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Stąd mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli.

10.3.5
Oczywiście zachodzi tożsamość matematyczna:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Stąd:
10.3.6
Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mam prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)


10.3.1 Osiem równań opisujących operator OR

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR wyprowadzonej w poprzednim punkcie.

Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1          |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q                      |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q)                 |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)      |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja    |                |
Symboliczna  |                |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q     |Y=p*q+p*~q+~p*q |                       |
             |p q Y=p+q       | ~p ~q ~Y=~p*~q        |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 /p*q =Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 /p*~q=Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p*q=Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0         |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3            4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |Y=p+q           |~Y=~p*~q
             |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0       | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


10.4 Równania logiczne dla operatora AND

10.4.1
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3


Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.

10.4.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii A bowiem mamy tu samotną jedynkę.
A.
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Jak widzimy, na mocy definicji spójnika „i”(*) w równaniu A możemy usunąć bezwzględne jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową.
Mamy zatem:
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
To równanie opisuje wyłącznie linię A123 w powyższej tabeli

10.4.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+).

Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej otrzymując:
B1.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
To równanie opisuje obszar BCD123 w powyższej tabeli

10.4.4
Równanie równoważne do B1 otrzymamy z linii BCD123 gdzie mamy zera w wyniku:
Mamy spis z natury:
1.
B: Y=0 <=> p=0 i q=0
lub
C: Y=0 <=> p=0 i q=1
lub
D: Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
2.
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*)
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy tej definicji w liniach możemy zapisać równania Kubusia:
3.
B:
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C:
~Y = ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D:
~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Na mocy tej definicji linie BCD123 możemy zapisać w jednym równaniu logicznym:
4.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)

10.4.5
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
To równanie opisuje wyłącznie obszar BCD123 w tabeli zero-jedynkowej

Stąd:
10.4.6
Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i U mam prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)


10.4.1 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND wyprowadzonej w poprzednim punkcie.

Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1            |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q                        |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q)                   |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q)        |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]   |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
-------------------------------------------------------------
Definicja    |
Symboliczna  |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
             |
Dotrzymam    |
slowa: Y=1   |p q Y=p*q         | ~p ~q 2:~Y=~p+~q      | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
Sklamie: ~Y=1|                  |  ~Y=~p+~q             |
U: ~Y=~p+~q  |                  |  ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
C: ~p* q=~Y  |0 1  =0           |  1  0   =1 /~p* q=~Y  | =0
D:  p*~q=~Y  |1 0  =0           |  0  1   =1 / p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.


10.5 Logika zero

10.5.1
Logika zero jest logiką totalnie przeciwną do naturalnej logiki człowieka.
Logika zero i logika człowieka to logiki tożsame.

10.5.2
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q  Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
   1 2  3

10.5.3
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Obszar działania: ABC123

10.5.4
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Obszar działania: D123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logika człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „lub”(+), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „i”.

10.5.6
Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q  Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
   1 2  3


10.5.7
Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Obszar działania: A123

10.5.8
Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 0.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=>p=0 lub q=0
Obszar działania: BCD123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logiką człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „i”(*), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „lub”.

10.5.9
Ułożymy wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla zero-jedynkowej definicji operatora OR.
Kod:

                |Logika człowieka  |Logika zero
   p q  Y=p+q   |Y=p*q+p*~q+~p*q   |~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
A: 1 1 =1       | Y= p* q          |~Y=~p+~q
B: 1 0 =1       | Y= p*~q          |~Y=~p+ q
C: 0 1 =1       | Y=~p* q          |~Y= p+~q
D: 0 0 =0       |~Y=~p*~q          | Y= p+ q
   1 2  3

W logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionach.
LC: Y = p*q + p*~q + ~p*q

W logice zero wszystkie zmienne sprowadzamy do zera korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=1 to ~p=0
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „lub”(+) w poziomach i spójnika „i”(*) w pionach:
LZ: ~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Dowód tożsamości tych logik.
Przechodzimy z równaniem LZ do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
LZ: Y= (p*q) + (p*~q) + (~p*q)

Doskonale widać:
LC=LZ
cnd

Oczywiście logikę zero wywalamy w kosmos, bowiem naturalną logiką dla każdego człowieka jest logika człowieka.


11.0 Operatory OR i AND

11.0.1
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja operatora OR z podkładem symbolicznym:
Kod:

p q Y=p+q   |Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
1 1  =1     | p* q= Y
1 0  =1     | p*~q= Y
0 1  =1     |~p* q= Y
            |~Y=~p*~q
0 0  =0     |~p*~q=~Y

Podkład symboliczny na mocy prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1

11.0.2
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja operatora AND z podkładem symbolicznym:
Kod:

p q Y=p*q   |Y=p*q
1 1  =1     | p* q= Y
            |~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
0 0  =0     |~p*~q=~Y
0 1  =0     |~p* q=~Y
1 0  =0     | p*~q=~Y

Podkład symboliczny na mocy prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1


11.1 Operator OR w zbiorach

11.1.1
Operator OR w zbiorach

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).



Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
A1.
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Wszystkie zbiory istnieją (=1) i mają części wspólne.
Zbiory p i q nie są rozłączne, żaden ze zbiorów nie zawiera się w drugim.
stąd:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q



Definicja spójnika “i”(*) w zbiorach w logice ujemnej (bo ~Y)
B.
~Y=~p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p+q w kompletnej dziedzinie, czyli mamy odpowiedź zarówno na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y), jak również odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y).

11.1.2
Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mam prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)

11.1.3
Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

Definicja
symboliczna
Dotrzymam słowa: Y=1
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
             |p q Y=p+q         | ~p ~q ~Y=~(p+q)=~p*~q |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0 @ p* q= Y  | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 / p*~q= Y |  0  1   =0 @ p*~q= Y  | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p* q= Y |  1  0   =0 @~p* q= Y  | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0 @~p*~q=~Y |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y=p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. W komentarzu po znaku „@” uwidoczniono linie symboliczna które nie biorą udziału w obsłudze logiki człowieka. Jak widzimy, definicja symboliczna jest niezmienna, niezależna od przyjętego punktu odniesienia, niezależna od zer i jedynek.

Definicje zero-jedynkowe zależą od przyjętego punktu odniesienia.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.

Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatorów OR i AND:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
W operatorach OR i AND linie z zerami w wyniku są nieistotne, gdyż interesuje nas wyłącznie odpowiedź na dwa pytania:
Kiedy dotrzymam słowa (Y)?
Y=1 /obszar ABC123
Kiedy skłamię (~Y)?
~Y=1 /linia D456

11.1.4
Operator OR w bramkach logicznych.
Prawo de’Morgana
Y=p+q = ~(~p*~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki OR w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki AND, otrzymując bramkę OR.

Doświadczenie
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora OR przedstawionymi wyżej.



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy, po lewej i prawej stronie, dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora OR.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p+q = ~(~p*~q)

Zero-jedynkowa definicja bramki OR (operatora OR):
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /obszar ABC123
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p+q

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /linia D456
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p*~q

W laboratorium techniki cyfrowej wymuszamy na wejściach p i q dowolne zera i jedynki przełącznikami. Próbnikiem stanów logicznych sprawdzamy zgodność rzeczywistości z tabelami zero-jedynkowymi wyżej.
Znaczenie światełek w próbniku stanów logicznych:
0 - zielona dioda świecąca LED
1 - czerwona dioda świecąca LED
Pewne jest, że algebra Kubusia ma 100% pokrycie w teorii i praktyce bramek logicznych.

11.1.5
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
~K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: Jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

11.1.6
Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q

Załóżmy że jest już pojutrze i nie byliśmy w kinie (~K=1) oraz byliśmy w teatrze (T=1), czyli dotrzymaliśmy słowa (Y=1):
Y=~K*T
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0

11.1.7
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

 K* T= 0*1=0
 K*~T= 0*0=0
~K* T= 1*1=1
~K*~T= 1*0=0

11.1.8
Doskonale widać działanie prawa Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego:
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.


11.2 Operator AND w zbiorach

11.2.1
Operator AND w zbiorach

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).



Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1



Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
B.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
B1.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją (=1) i mają części wspólne.
Zbiory ~p i ~q nie są rozłączne, żaden ze zbiorów nie zawiera się w drugim.
stąd:
~Y=~p+~q =~p*~q + ~p*q + p*~q

Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p*q w kompletnej dziedzinie, czyli mamy odpowiedź zarówno na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y), jak również odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y).

11.2.2
Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
E: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i E mam prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)

11.2.3
Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji operatora AND:
Kod:

Definicja
symboliczna
Dotrzymam słowa: Y=p*q
                   |p q Y=p*q          |~p ~q ~Y=~(p*q)=~p+~q | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y        |1 1  =1 / p* q= Y  | 0  0  =0  @ p* q= Y  |  =1
Skłamię: ~Y
E: ~Y=~p+~q
E: ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y        |0 0  =0 @~p*~q=~Y  | 1  1   =1 /~p*~q=~Y  |  =0
C. ~p* q=~Y        |0 1  =0 @~p* q=~Y  | 1  0   =1 /~p* q=~Y  |  =0
D:  p*~q=~Y        |1 0  =0 @ p*~q=~Y  | 0  1   =1 / p*~q=~Y  |  =0
                    1 2   3             4  5    6                 7
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej.
                   |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
                   |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
                   |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)

W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. Po znaku „@” uwidoczniono linie w zapisie symbolicznym nie biorące udziału w obsłudze logiki człowieka. Jak widzimy, definicja symboliczna jest niezmienna, niezależna od przyjętego punktu odniesienia, niezależna od zer i jedynek.

Definicje zero-jedynkowe zależą od przyjętego punktu odniesienia.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.

Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatorów OR i AND:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera w tabeli zero-jedynkowej oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
W operatorach OR i AND linie z zerami w wyniku są nieistotne, gdyż interesuje nas wyłącznie odpowiedź na dwa pytania:
Kiedy dotrzymam słowa (Y):
Y=1 /linia A123
Kiedy skłamię (~Y):
~Y=1 /obszar BCD456

11.2.4
Operator AND w bramkach logicznych.
Prawo de’Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki AND w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki OR otrzymując bramkę AND.

11.2.5
Doświadczenie
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora AND przedstawionymi wyżej.



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora AND.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p*q = ~(~p+~q)

Zero-jedynkowa definicja bramki AND (operatora AND):
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Kompletna definicję operatora AND możemy obejrzeć w punkcie:
Y = p*q = ~(~p+~q)

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /linia A123
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p*q

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /obszar BCD456
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p+~q

11.2.6
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Y=1 <=> K=1 i T=1
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
E.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
~K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q + ~p*q + q*~p
Dla naszego zdania E mamy:
E.
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
B: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
C: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

11.2.7
Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym wartości logiczne p i q są z góry znane.

Załóżmy że jest już pojutrze i nie byliśmy w kinie (~K=1) oraz byliśmy w teatrze (T=1), czyli skłamaliśmy (~Y=1):
~Y=~K*T
Mamy teraz świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
~Y=1, Y=0

11.2.8
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

 K* T= 0*1=0
~K*~T= 1*0=0
~K* T= 1*1=1
 K*~T= 0*0=0

11.2.9
Doskonale widać działanie prawa Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego:
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
~Y=~K*T=1*1=1
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.


11.3 Właściwości operatorów OR i AND

11.3.1
Świętość algebry Boole’a:
Wszelkie przekształcenia tabel zero-jedynkowych muszą mieć swój odpowiednik w równaniach algebry Boole’a.

Wyobraźmy sobie, że trzymamy w ręku fizyczną bramkę OR (np. 7432) o wejściach p i q i wyjściu Y. Dokładamy negatory na wszystkie sygnały i otrzymujemy bramkę AND, co łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.

Wnioski:
1.
Operator OR (bramka OR) musi zawierać w sobie operator AND w logice ujemnej, inaczej powyższa sztuczka nie byłaby możliwa.
2.
Spotykane w katalogach równanie algebry Boole’a opisujące bramkę OR:
Y=p+q
nie jest pełne, bowiem w powyższym równaniu negujemy wszystkie zmienne:
~Y=~p+~q
i nie otrzymujemy definicji operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
3.
Z powyższego wynika że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR!

... o co tu chodzi?

11.3.2
Aksjomatyczna definicja operatora OR
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~q ~Y=~(p+q)=~p*~q Y=~(~p*~q) |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1    0  0   =0             =1        | p* q= Y  /Y=p+q
B: 1 0  =1    0  1   =0             =1        | p*~q= Y
C: 0 1  =1    1  0   =0             =1        |~p* q= Y
D: 0 0  =0    1  1   =1             =0        |~p*~q=~Y  /~Y=~p*~q
   1 2   3    4  5    6              7        | 8  9 10

11.3.3
Operator OR to tabela zero-jedynkowa ABCD123 opisana nagłówkiem:
Y=p+q
Kolumny ABCD3 i ABCD7 są dowodem prawa de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Z prawa de’Morgana wynika, iż aby z bramki OR zrobić bramkę AND wystarczy zanegować sygnały wejściowe p i q oraz wyjście Y.
Dowód:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
Negujemy wejścia p i q:
y = ~p+~q = ~(p*q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
W tabeli zero-jedynkowej wyżej doskonale widać, że w obszarze ABCD456 mamy zero-jedynkową definicję operatora AND.
Wniosek:
Prawo de’Morgana jest poprawnym, pełnym opisem operatora OR (opisuje wszystkie cztery linie).

11.3.4
Zastanówmy się teraz czym jest znaczek „+” w równaniu:
Y=p+q
Znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR o definicji w liniach ABCD123, bo negując wszystkie zmienne w powyższym równaniu nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q
Oczywiście śladu operatora AND w tym równaniu nie widać.
Wniosek:
Znaczek „+” w równaniu:
Y=p+q
na pewno nie jest kompletnym operatorem OR - to jest błąd czysto matematyczny w dzisiejszej logice!

11.3.5
Znaczek „+” to tylko i wyłącznie spójnik logiczny „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) o definicji w liniach ABC123:
Y = p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
To jest ostatnia linia (D123) definicji operatora OR w zapisie symbolicznym, definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q

11.3.6
Pełna i kompletna definicja operatora OR to układ równań logicznych:
A: Y=p+q - definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y), linie ABC123
B: ~Y=~p*~q - definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y), linia D123
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać definicję operatora AND:
A: ~Y=~p+~q - definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
B: Y=p*q - definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
cnd
Oczywiście to jest piękna definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a.

11.3.7
Matematycznie opis operatora OR w postaci równania:
Y=p+q (linie ABC123)
jest wystarczający bo jednoznacznie opisuje tabelę zero-jedynkową.

Mając tylko i wyłącznie to równanie łatwo wygenerujemy wszystkie możliwe równania dla operatora OR w ilości sztuk 8 (pkt. 10.3).

Oczywiście, dowolne z ośmiu możliwych równań jest wystarczającym opisem kompletnego operatora OR.
Równanie minimalne to:
Y=p+q
Żadne z ośmiu równań nie opisuje kompletnego operatora AND (wszystkie cztery linie), co jest dowodem błędu czysto matematycznego w dzisiejszej logice, zarówno KRZ jak i KRZiP.

11.3.8
Aksjomatyczna definicja operatora AND
Kod:

   p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~(p*q)=~p+~q Y=~(~p+~q) |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1    0  0   =0             =1        | p* q= Y   /Y=p*q
B: 0 0  =0    1  1   =1             =0        |~p*~q=~Y   /~Y=~p+~q
C: 0 1  =0    1  0   =1             =0        |~p* q=~Y
D: 1 0  =0    0  1   =1             =0        | p*~q=~Y
   1 2   3    4  5    6              7        | 8  9 10

11.3.9
Operator AND to tabela zero-jedynkowa ABCD123 opisana nagłówkiem:
Y=p*q
Kolumny ABCD3 i ABCD7 są dowodem prawa de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Z prawa de’Morgana wynika, iż aby z bramki AND zrobić bramkę OR wystarczy zanegować sygnały wejściowe p i q oraz wyjście Y.
Dowód:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
Negujemy wejścia p i q:
y = ~p*~q = ~(p+q)
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p*~q) = p+q - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
W tabeli zero-jedynkowej wyżej doskonale widać, że w obszarze ABCD456 mamy zero-jedynkową definicję operatora OR.
Wniosek:
Prawo de’Morgana jest poprawnym, pełnym opisem operatora OR (opisuje wszystkie cztery linie).

11.3.10
Zastanówmy się teraz czym jest znaczek „*” w równaniu:
Y=p*q
Znaczek „*” nie może być kompletnym operatorem AND o definicji w liniach ABCD123, bo negując wszystkie zmienne w powyższym równaniu nie otrzymujemy definicji operatora OR.
~Y=~p*~q
Oczywiście śladu operatora OR w tym równaniu nie widać.
Wniosek:
Znaczek „*” w równaniu:
Y=p*q
na pewno nie jest kompletnym operatorem AND - to jest błąd czysto matematyczny w dzisiejszej logice!

11.3.11
Znaczek „*” to tylko i wyłącznie spójnik logiczny „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) o definicji w linii A123:
Y = p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
Linie BCD123 to spójnik „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q - obszar BCD123, logika ujemna (bo ~Y)

11.3.12
Pełna i kompletna definicja operatora AND to układ równań logicznych:
A: Y=p*q - definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
B: ~Y=~p+~q - definicja spójnika „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać definicję operatora OR:
A: ~Y=~p*~q - definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
B: Y=p+q - definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
cnd
Oczywiście to jest piękna definicja operatora OR.

11.3.13
Matematycznie opis operatora AND w postaci równania:
Y=p*q (linia A123)
jest wystarczający bo jednoznacznie opisuje tabelę zero-jedynkową.

Mając tylko i wyłącznie to równanie łatwo wygenerujemy wszystkie możliwe równania operatora AND w ilości sztuk 8 (pkt. 10.4).

Oczywiście, dowolne z ośmiu możliwych równań jest wystarczającym opisem kompletnego operatora AND.
Równanie minimalne to:
Y=p*q
Żadne z ośmiu równań nie opisuje kompletnego operatora AND (wszystkie cztery linie), co jest dowodem błędu czysto matematycznego w dzisiejszej logice, zarówno KRZ jak i KRZiP.

11.3.14
Kompletna definicja operatora OR (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y=~p+~q = ~(p*q)
Oczywiście Y ## y bo tylko zanegowaliśmy zmienne (bez wymiany spójników)
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
Ostatnie równanie to definicja operatora AND
Oczywiście Y ## ~y

11.3.15
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
OR: Y= p+q = ~(~p*~q) ## AND: ~y= p*q = ~(~p+~q)
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

11.3.16
Oczywiście:
Jeśli p+q=1 => p*q=0
Jeśli p*q=1 => p+q=0
Przykład:
Zdanie:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Nie jest równoważne zdaniu:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Jeśli K+T=1 (to zdanie powiedzieliśmy) to K*T=0
Jeśli K*T=1 (to zdanie powiedzieliśmy) to K+T=0

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - definicja operatora AND
p+q = ~(~p*~q) - definicja operatora OR

W operatorach AND i OR zachodzi przemienność argumentów:
p*q = q*p
p+q = p*q


12.0 Operatory implikacji i równoważności

12.0.1
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja operatora implikacji prostej z zapisem symbolicznym:
Kod:

   p q p=>q    |Warunek wystarczający => w logice dodatniej bo q
A: 1 1  =1     | p=> q=1
B: 1 0  =0     | p=>~q=0
               |Prawo Kubusia:
               |p=>q = ~p~>~q
               |Warunek konieczny ~> w logice ujemnej bo ~q
C: 0 0  =1     |~p~>~q=1
D: 0 1  =1     |~p~~>q=1

Definicję symboliczną utworzono w oparciu o prawo algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1

Warunek wystarczający (linia A):
Z linii A i B widzimy, że:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q, bowiem linia B jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.

Warunek konieczny (linia C):
W liniach C i D widzimy, że:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
lub
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
W liniach C i D mamy więc najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Pewność 100% mamy wyłącznie w liniach A i B.

12.0.2
Kompletna definicja implikacji prostej, opisująca wszystkie cztery linie, to po prostu prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

12.0.3
Najprostszą definicję implikacji prostej w spójnikach „i” i „lub” tworzymy na podstawie linii B, bo w tej linii mamy samotne zero.
Sprowadzamy wszystkie zmienne w linii B do jedynek:
~(p=>q) = p*~q - to równanie opisuje wyłącznie linię B123
Negujemy dwustronnie:
p=>q = ~(p*~q) = p+~q - na mocy prawa de’Morgana
Oczywiście teraz równanie to opisuje jedynki w powyższej definicji czyli A123 oraz CD123.

12.0.4
Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja operatora implikacji odwrotnej z zapisem symbolicznym:
Kod:

   p q p~>q    |Warunek konieczny ~> w logice dodatniej bo q
A: 1 1  =1     | p~> q=1
B: 1 0  =1     | p~~>~q=1
               |Prawo Kubusia:
               |p~>q = ~p=>~q
               |Warunek wystarczający => w logice ujemnej bo ~q
C: 0 0  =1     |~p=>~q=1
D: 0 1  =0     |~p=> q=0

Definicję symboliczną utworzono w oparciu o prawo algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1

Warunek konieczny (linia A):
W liniach A i B widzimy, że:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
lub
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
W liniach A i B mamy więc najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Pewność 100% mamy wyłącznie w liniach C i D.

Warunek wystarczający (linia C):
Z linii C i D widzimy, że:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q, bowiem linia D jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.

12.0.5
Kompletna definicja implikacji odwrotnej, opisująca wszystkie cztery linie, to po prostu prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

12.0.6
Najprostszą definicję implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) tworzymy na podstawie linii D, bo w tej linii mamy samotne zero.
Sprowadzamy wszystkie zmienne w linii D do jedynek:
~(p~>q) = ~p*q - to równanie opisuje wyłącznie linię D123
Negujemy dwustronnie:
p~>q = ~(~p*q) = ~p+q - na mocy prawa de’Morgana
Oczywiście teraz równanie to opisuje jedynki w powyższej definicji czyli obszar ABC123.

12.0.7
Definicje implikacji w równaniach algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji (i tylko tu!) spójnik „może” między p i q o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

12.0.8
Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji:
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej
Zdanie wypowiedziane jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowana (q)
Zdanie wypowiedziane jest w logice ujemnej gdy q jest zanegowane (~q)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23116
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:53, 25 Maj 2012    Temat postu:

12.1 Operator implikacji prostej w zbiorach

12.1.1
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q

12.1.2
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):


Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q.
Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
p* q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=0
p* ~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

12.1.3
Zobaczmy ten przypadek na diagramie.


Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

12.1.4
Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1       /Twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p=>~q=0      /Twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p~>~q=1     /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
D: ~p~~>q=1     /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C

p=>q = ~p~>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

12.1.5
Definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Warunek wystarczający
w logice dodatniej (q)
                     |Zbiory  |p q p=>q         |~p ~q ~p~>~q
A: p=> q=1           | p* q=1 |1 1 =1 / p=> q=1 | 0  0   =1 @ p=> q=1
B: p=>~q=0           | p*~q=0 |1 0 =0 / p=>~q=0 | 0  1   =0 @ p=>~q=0
.a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1          |~p*~q=1 |0 0 =1 @~p~>~q=1 | 1  1   =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1          |~p* q=1 |0 1 =1 @~p~~>q=1 | 1  0   =1 /~p~~>q=1
                               1 2  3            4  5    6
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej:
                              |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
                              |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. Po znaku „@” uwidoczniono linie w zapisie symbolicznym nie biorące udziału w obsłudze logiki człowieka. Jak widzimy, definicja symboliczna jest niezmienna, niezależna od przyjętego punktu odniesienia, niezależna od zer i jedynek.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.

12.1.6
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji prostej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym AB123:
Kod:

A: p=>q=1    /1 1 =1
B: p=>~q=0   /1 0 =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym CD456:
Kod:

C: ~p~>~q=1  /1 1 =1
D: ~p~~>q=1  /1 0 =1

~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia

12.1.7
Wnioski:
1.
Mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
2.
Matematycznie, z punktu widzenia świata zewnętrznego widzimy zero-jedynkową definicje operatora implikacji prostej (ABCD123) albo implikacji odwrotnej (ABCD456) w zależności od przyjętego punktu odniesienia.
3.
Sposób kodowania zero-jedynkowego nie wpływa na treść samych zdań, stąd oba kodowania zero-jedynkowe są równoważne.

12.1.8
Narysujmy schemat ideowy implikacji prostej w bramkach logicznych:
Definicja bramki „musi” =>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi” to bramka OR z zanegowaną w środku linią p
Definicja bramki „może”~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może” to bramka OR z zanegowaną w środku linią q



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p=>q = ~p~>~q

Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście p (~p).

12.1.9
Doświadczenie
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji prostej wyżej.

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
Kod:

A: p=>q=1    /1 1 =1
B: p=>~q=0   /1 0 =0

Bramki „musi” =>

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
Kod:

C: ~p~>~q=1  /1 1 =1
D: ~p~~>q=1  /1 0 =1

Bramki „może” ~>

12.1.10
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
Zbiory:
P8=[8,16…]
P2=[2,4,8,16..]
P8*P2=1*1=1 bo 8,16…
Zbiory P8 i P2 istnieją (P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
P8=[8,16..]
~P2=[1,3,5…]
P8*~P2=1*1=0
Zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
Zbiory:
~P8=[2,3,5…]
~P2=[3,5,7…]
~P8*~P2=1 bo 3,5…
Zbiory ~P8 i ~P2 istnieją (~P8=1 i ~P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~P8=[2,4,5…]
P2=[2,4,6…]
~P8*P2=1 bo 2,4…
Zbiory ~P8 i P2 istnieją (~P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Kod:

                   |P8 P2 P8=>P2
A: P8=>P2=1 bo 8   | 1  1  =1
B: P8=>~P2=0       | 1  0  =0
C: ~P8~>~P2=1 bo 3 | 0  0  =1
D: ~P8~~>P2=1 bo 2 | 0  1  =1
Punktem odniesienia jest zawsze nagłówek tabeli zero-jedynkowej
                   |P8=1, ~P8=0
                   |P2=1, ~P2=0

12.1.11
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

12.1.12
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

12.1.13
Definicja implikacji w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2
B: P8=>~P2    | P8*~P2
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2

12.1.14
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L3=>P8*P2
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P8=1 i P2=1
stąd dla liczby 8 mamy:
~P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2 =1*1=1
B: P8=>~P2    | P8*~P2 =1*0=0
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =0*0=0
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =0*1=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

12.1.15
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
L3=>~P8*~P2
Co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
stąd dla liczby 3 mamy:
P8=0, P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2 =0*0=0
B: P8=>~P2    | P8*~P2 =0*1=0
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =1*1=1
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =1*0=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

12.1.16
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L2=>~P8*P2
co matematycznie oznacza:
L2=1 => ~P8=1 i P2=1
Stąd dla liczby 2 mamy:
P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     | P8* P2 =0*1=0
B: P8=>~P2    | P8*~P2 =0*0=0
C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =1*0=0
D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =1*1=1

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.


12.2 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach

12.2.1
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D niżej

12.2.2
Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:

p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

12.2.3
Zobaczmy to na diagramie logicznym:

~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q
W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q.
Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

12.2.4
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo q):
Kod:

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p* ~q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
~p* q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi.

12.2.5
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~>q  =1   - miękka prawda, może zajść ale nie musi
B: p~~>~q=1   - miękka prawda, może zajść ale nie musi
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1   - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D: ~p=>q =0   - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C

p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
bo druga linia p~~>~q też ma prawo wystąpić
Gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D

12.2.6
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Warunek konieczny
w logice dodatniej (q)
                      |Zbiory  |p q p~>q         |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1             | p* q=1 |1 1 =1 / p~> q=1 | 0  0   =1 @ p~> q=1
B: p~~>~q=1           | p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=0 | 0  1   =1 @p~~>~q=1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1           |~p*~q=1 |0 0 =1 @~p=>~q=1 | 1  1   =1 /~p=>~q=1
D: ~p=>q =0           |~p* q=0 |0 1 =0 @~p=> q=0 | 1  0   =0 /~p=> q=0
                                1 2  3             4  5    6
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                               |p=1, ~p=0        | ~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0        | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane. Po znaku „@” uwidoczniono linie w zapisie symbolicznym nie biorące udziału w obsłudze logiki człowieka. Jak widzimy, definicja symboliczna jest niezmienna, niezależna od przyjętego punktu odniesienia, niezależna od zer i jedynek.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.

12.2.7
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym AB123:
Kod:

C: p~>q=1   /1 1 =1
D: p~~>~q=1 /1 0 =1

p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym CD456:
Kod:

A: ~p=>~q=1    /1 1 =1
B: ~p=>q=0     /1 0 =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q

Jak widzimy, mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.

12.2.8
Narysujmy schemat ideowy implikacji odwrotnej w bramkach logicznych:
Definicja bramki „może”~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może” to bramka OR z zanegowaną w środku linią q
Definicja bramki „musi” =>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi” to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

12.2.9


Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p~>q = ~p=>~q

Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście p (~p).

12.2.10
Doświadczenie
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji odwrotnej wyżej.

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
Kod:

A: p~> q =1   /1 1 =1
B: p~~>~q=1   /1 0 =1

Bramki „może” ~>

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
Kod:

C: ~p=>~q=1  /1 1 =1
D: ~p=> q=0  /1 0 =0

Bramki „musi” =>

12.2.11
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
P2=[2,4,8,16..]
P8=[8,16…]
P2*P8=1*1=1 bo 8,16…
Zbiory P2 i P8 istnieją (P2=1 i P8=1) i maja cześć wspólną co wymusza w wyniku jeden
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
P2=[2,4,6…]
~P8=[2,4,5…]
P2*~P8=1*1=1 bo 2,4…
Zbiory P2 i ~P8 istnieją (P2=1 i ~P8=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden

… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~P2=[3,5,7…]
~P8=[2,3,5…]
~P2*~P8=1*1=1 bo 3,5…
Zbiory ~P2 i ~P8 istnieją (~P2=1 i ~P8=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden
stad:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~P2=[1,3,5…]
P8=[8,16..]
~P2*P8=1*1=0
Zbiory ~P2 i P8 istnieją (~P2=1 i P8=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: ~P2~>P8 = D: P2=>~P8=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu B nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

12.2.12
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Kod:

A: P2~>P8=1 bo 8   |1 1 =1
B: P2~~>~P8=1 bo 2 |1 0 =1
C: ~P2=>~P8=1 bo 3 |0 0 =1
D: ~P2=>P8=0       |0 1 =0

12.2.13
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

12.2.14
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

12.2.15
Definicja implikacji w zbiorach:
Kod:

A: P2~>P8     | P2* P8
B: P2~~>~P8   | P2*~P8
C: ~P2=>~P8   |~P2*~P8
D: ~P2=>P8    |~P2* P8


12.2.16
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i jest podzielna przez 8 (P8=1)
L8=>P2*P8
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P2=1 i P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
P8=1. ~P8=0
Kod:

A: P2~>P8     | P2* P8 =1*1=1
B: P2~~>~P8   | P2*~P8 =1*0=0
C: ~P2=>~P8   |~P2*~P8 =0*0=0
D: ~P2=>P8    |~P2* P8 =0*1=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

12.2.17
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie B będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L2=>P2*~P8
Co matematycznie oznacza:
L2=1 => P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
~P8=1. P8=0
Kod:

A: P2~>P8     | P2* P8 =1*0=0
B: P2~~>~P8   | P2*~P8 =1*1=1
C: ~P2=>~P8   |~P2*~P8 =0*1=0
D: ~P2=>P8    |~P2* P8 =0*0=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

12.2.18
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 2 (~P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L3=>~P2*~P8
co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P2=1, P2=0
~P8=1. P8=0
Kod:

A: P2~>P8     | P2* P8 =0*0=0
B: P2~~>~P8   | P2*~P8 =0*1=0
C: ~P2=>~P8   |~P2*~P8 =1*1=1
D: ~P2=>P8    |~P2* P8 =1*0=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

12.2.19
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.


12.3 Właściwości implikacji

12.3.1
Implikacja prosta:
Formalny dowód prawa Kubusia z komentarzem symbolicznym:
p=>q = ~p~>~q
Kod:

   p q p=>q ~p ~q ~p~>~q  |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1   0  0   =1    | p=> q=1
B: 1 0  =0   0  1   =0    | p=>~q=0
C: 0 0  =1   1  1   =1    |~p~>~q=1
D: 0 1  =1   1  0   =1    |~p~~>q=1

Doskonale widać poprawność prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

12.3.2
Implikacja odwrotna:
Formalny dowód prawa Kubusia z komentarzem symbolicznym:
p~>q = ~p=>~q
Kod:

   p q p~>q ~p ~q ~p=>~q  |Definicja symboliczna
A: 1 1  =1   0  0   =1    | p~> q=1
B: 1 0  =1   0  1   =1    | p~>~q=1
C: 0 0  =1   1  1   =1    |~p=>~q=1
D: 0 1  =0   1  0   =0    |~p=> q=0

Doskonale widać poprawność prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

12.3.3
Świętość algebry Boole’a:
Wszelkie przekształcenia tabel zero-jedynkowych muszą mieć swój odpowiednik w równaniach algebry Boole’a.

12.3.4
Zauważmy, że prawa Kubusia są totalnie symetryczne do praw de’Morgana z operatorów OR i AND.
W przypadku implikacji jeśli chcemy z bramki implikacji prostej zrobić bramkę implikacji odwrotnej, wystarczy zanegować sygnały wejściowe p i q. Nie trzeba dodatkowo negować wyjścia Y jak to było w operatorach OR i AND.

Dowód:
Implikacja prosta:
Y = p=>q = ~p~>~q - kompletna definicja implikacji prostej
Negujemy wyłącznie wejścia p i q:
y = ~p=>~q = p~>q - kompletna definicja implikacji odwrotnej

implikacja odwrotna:
Y = p~>q = ~p=>~q - kompletna definicja implikacji odwrotnej
Negujemy wyłącznie wejścia p i q:
y = ~p~>~q = p=>q - kompletna definicja implikacji prostej

Oczywiście wyłącznie zanegowaliśmy sygnały wejściowe p i q, zatem matematycznie zachodzi:
Y = p=>q = ~p~>~q ## y = p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

12.3.5
Wyobraźmy sobie teraz, że dostajemy od producenta układ implikacji prostej o wejściach p i q i wyjściu Y oznaczony:
Y = p=>q
Uwaga!
Jeśli znaczek „=>” jest kompletnym operatorem implikacji prostej (jak to jest w dzisiejszej logice), to negując p i q musimy otrzymać bramkę implikacji odwrotnej:
Y = ~p=>~q
oczywiście to jest figa z makiem a nie definicja implikacji odwrotnej, to wyłącznie połówka definicji implikacji odwrotnej.

12.3.6
Kompletna definicja implikacji odwrotnej opisująca wszystkie cztery linie to po prostu prawo Kubusia!
p=>q = ~p~>~q - to jest kompletna definicja implikacji prostej!
Tylko i wyłącznie w tym przypadku negujemy wejścia p i q i otrzymujemy definicje implikacji odwrotnej:
~p=>~q = p~>q - to jest kompletna definicja implikacji odwrotnej!

12.3.7
Sensacyjne wnioski:
1.
Budowa operatorów implikacji prostej i odwrotnej nie jest jednorodna.
Implikacja prosta:
p=>q = ~p~>~q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q).
Implikacja odwrotna:
p~>q = ~p=>~q
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
2.
Znaczek „=>” nie jest kompletnym operatorem implikacji prostej (nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej), jak to jest w dzisiejszej logice - to jest błąd czysto matematyczny!
3.
Miejsce całej dzisiejszej logiki matematycznej człowieka jest w koszu na śmieci z powodu błędu czysto matematycznego w dosłownie każdym operatorze logicznym!
Co dowiedziono wyżej.

Operatory logiczne zbudowane są totalnie inaczej, niż się to największym Ziemskim matematykom zdaje!

12.3.8
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej

12.3.9
Na mocy definicji zachodzi:
Y = p=>q = ~p~>~q ## y = p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

12.3.10
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
gdzie:
# - różne
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Jeśli P8=>P2=1 to P2=>P8=0
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
Jeśli P2~>P8=1 to P8~>P2=0
Dowód:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
P8~>P2 = ~P8=>~P2 =0 bo 2

Odwrotnie nie zachodzi, czyli:
Jeśli p=>q=0 to q=>p=1
Jeśli P2=>P8=0 to P8=>P2=1
lub
Jeśli p=>q=0 to q=>p=0
Jeśli P3=>P8=0 to P8=>P3=0

12.3.11
Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
Kod:

Implikacja prosta:                  |Implikacja odwrotna:
Y=p=>q=~p~>~q                       |y=p~>q=~p=>~q
   p q ~p ~q Y=p=>q Y=q=>p Y=~p~>~q |  y=p~>q  y=q~>p  y=~p=>~q
A: 1 1  0  0  =1     =1     =1      |   =1      =1      =1
B: 1 0  0  1  =0     =1     =0      |   =1      =0      =1
C: 0 0  1  1  =1     =1     =1      |   =1      =1      =1
D: 0 1  1  0  =1     =0     =1      |   =0      =1      =0
   1 2  3  4   5      6      7      |    8       9      10   

12.3.12
Prawa Kubusia
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD7 jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia:
Y=p=>q=~p~>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia zachodzi tu w tej samej logice operatorowej Y

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD10 jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia:
y=p~>q=~p=>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia zachodzi tu w tej samej logice operatorowej y

12.3.13
Brak przemienności argumentów:
Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD6 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
Y=p=>q # Y=q=>p
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Odwrotnie nie zachodzi.
Zauważmy, że brak przemienności argumentów zachodzi w tej samej logice operatorowej Y

Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD9 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
y=p~>q # y=q~>p
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
Odwrotnie nie zachodzi.
Zauważmy, że brak przemienności argumentów zachodzi w tej samej logice operatorowej y

12.3.14
Zauważmy, że mimo tożsamości kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD9 zachodzi:
Y=p=>q ## y=q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podobnie, mimo tożsamości kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD6 zachodzi:
y=p~>q ## Y=q=>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
bowiem implikacje Y i y to dwie niezależne logiki pomiędzy którymi nie zachodzą żadne prawa tożsamościowe.

12.3.15
W obrębie dowolnej z logik zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(Y)
y=~(~y)
Między niezależnymi logikami Y i y nie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y ## ~(~y)

12.3.16
Na mocy prawa Kubusia zachodzi:
Y = p=>q = ~p~>~q ## y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oznacza to że znane matematykom prawo kontrapozycji w implikacji jest błędne matematycznie:
p=>q ## ~q=>p
Prawo kontrapozycji w tej postaci:
p=>q = ~q=>~p
Jest poprawne wyłącznie w równoważności, o czym będzie za chwilę.


12.4 Równoważność w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

   p q  p<=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0
   1 2   3

Gdzie:
<=> - operator równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” w naturalnej logice człowieka

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy zmienne po stronie p i q do postaci symbolicznej (do jedynek).
Kod:

                 |Zbiory      |Zbiory         |Zdania
Definicja        |Definicja   |Definicja      |Definicja
zero-jedynkowa   |symboliczna |zero-jedynkowa |symboliczna
   p q Y=(p<=>q) |            | p*q=p<=>q     |
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w A i B
A: 1 1  =1       | p* q =1    | 1*1=1         |p=> q =1
B: 1 0  =0       | p*~q =0    | 1*1=0         |p=>~q =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w C i D
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    | 1*1=1         |~p=>~q =1
D: 0 1  =0       |~p* q =0    | 1*1=0         |~p=> q =0
   1 2   3         4  5  6

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Linia A456:
p*q=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1.
Linia B456:
p*~q=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
Ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q (linia A456).

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) w zbiorach:
Linia C456:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1.
Linia D456:
~p*q=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
Ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q (linia C456).

Jedyna możliwość spełnienia powyższej relacji wzajemnego położenia zbiorów to:
p = q =1 - zbiory tożsame
~p = ~q =1 - zbiory tożsame

Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)


W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
.. albo odwrotnie.
W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q.

Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=0
Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~p*q=0
Ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.

Tożsamość zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame, wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q (p=>q) i każdy element zbioru q należy do zbioru p (q=>p).
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Oczywiście tożsamość zbiorów po stronie p i q wymusza tożsamość zbiorów po stronie ~p i ~q (i odwrotnie):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q (~p=>~q) i każdy element zbioru ~q należy do zbioru ~p (~q=>~p).

Stąd pełna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (~p=>~q)*(~q=>~p)

W równoważności (nie w implikacji!) zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
gdzie:
p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji:
Kod:

A: p=> q=1    |p* q=1*1=1 - zbiory p i q są tożsame
B: p=>~q=0    |p*~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją ale są rozłączne

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q

~p=>~q - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji:
Kod:

C: ~p=>~q=1    |~p*~q=1 - zbiory ~p i ~q są tożsame
D: ~p=> q=0    |~p* q=0 - zbiory ~p i q istnieją ale są rozłączne

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q

W równoważności argumenty p i q są przemienne i nie ma znaczenia co nazwiemy p a co q.

Na podstawie powyższego mamy.

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wynikły z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
D: ~p=> q=0 - twardy fałsz wynikły z C
    1   2 3

Definicja:
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego w logice dodatniej (AB123 - bo Y) oraz warunku wystarczającego w logice ujemnej (CD123 - bo ~Y)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo Y - obszar AB123)
~p=>~q - definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~Y - obszar CD123)

Kodowanie zero-jedynkowe definicji równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej bo q
p=>q                    |p  q  p<=>q        |~p ~q ~p<=>~q
A: p=>q  =1             |1  1  =1 / p=> q=1 | 0  0  =1 @ p=> q=1
B: p=>~q =0             |1  0  =0 / p=>~q=0 | 0  1  =0 @ p=>~q=0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q
C: ~p=>~q=1             |0  0  =1 @~p=>~q=1 | 1  1  =1 /~p=>~q=1
D: ~p=>q =0             |0  1  =0 @~p=> q=0 | 1  0  =0 /~p=> q=0
                         1  2   3           4  5   6
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej.
                        |p=1, ~p=0          |~p=1, p=0
                        |q=1, ~q=0          |~p=1, q=0

W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka. Po znaku „@” uwidoczniono linie w zapisie symbolicznym nie biorące udziału w obsłudze logiki człowieka. Jak widzimy, definicja symboliczna jest niezmienna, niezależna od przyjętego punktu odniesienia, niezależna od zer i jedynek.

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1=1

W równoważności, i tylko tu zachodzi:
p=>q = ~p=>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno”=> z naturalnego języka mówionego

Doświadczenie
Schemat ideowy operatora równoważności w bramkach logicznych jest następujący.



Zbudować powyższy układ i sprawdzić poprawność tabel zero-jedynkowych w punktach:
p=>q
p<=>q
~p=>~q
~p<=>~q
w zależności od wszystkich możliwych sygnałów wejściowych p i q

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Dowód poprzez analizę wszystkich możliwych przeczeń TR i KR.
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
TR=>KR - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A

… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR=>KR = ~TR=>~KR
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
~TR=>~KR - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno =>ma kąty równe
~TR=>KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C

Kodowanie zero-jedynkowe dla naszego przykładu:
Kod:

TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Warunek wystarczający
TR=>KR                    |TR  KR  TR<=>KR    |~TR ~KR ~TR<=>~KR
A: TR=>KR  =1             |1  1  =1 /TR=> KR=1| 0  0  =1
B: TR=>~KR =0             |1  0  =0 /TR=>~KR=0| 0  1  =0
~TR<=>~KR=(~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający
~TR=>~KR
C: ~TR=>~KR=1             |0  0  =1           | 1  1  =1 /~TR=>~KR=1
D: ~TR=>KR =0             |0  1  =0           | 1  0  =0 /~TR=> KR=0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z nagłówkiem tabeli
                          |TR=1, ~TR=0        |~TR=1, TR=0
                          |KR=1, ~KR=0        |~TR=1, KR=0

W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Jak widzimy, zarówno w logice dodatniej:
p<=>q - logika dodatnia bo q
jak i ujemnej:
~p<=>~q - logika ujemna bo ~q
mamy identyczną tabelę zero jedynkową operatora równoważności.
Zauważmy, że kodowanie zero-jedynkowe nie wpływa na treść zdań A,B,C,D.


12.5 Warunek konieczny i wystarczający w równoważności

Równoważność często definiuje się słowami:
p<=>q = [p~>q]*(p=>q)=1*1=1
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
gdzie:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny między p i q o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q
(p=>q) - warunek wystarczający między p i q, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki

W równoważności, i tylko tu, mamy do czynienia z wirtualnym warunkiem koniecznym [~>] o definicji jak wyżej, czyli koniec końców i tak badamy warunek wystarczający =>:
~p=>~q=1

W równoważności nie ma mowy o „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji. W równoważności mamy do czynienia z wirtualnym warunkiem koniecznym [~>] który nie ma swojego odpowiednika w języku mówionym.

Przykład:
Trójkąt ma kąty równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
KR<=>TR = [KR~>TR]*(KR=>TR)=1*1=1
Do zbudowania trójkąta równobocznego potrzeba ~> i wystarcza => aby miał kąty równe.

Popatrzmy teraz na szczegóły matematyczne.

Ogólna definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia

Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających =>.

1.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>  q=1
B: p=> ~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padło to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
P=>~CH=0

2.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
Kod:

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=1
~CH=>P=0

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnych definicji implikacji prostej i odwrotnej.
Kod:

Implikacja      Implikacja
prosta          Odwrotna
p=>q=[~p~>~q]   [p~>q]=~p=>~q    p<=>q=(p=>q)*[p~>q]=(p=>q)*(~p=>~q)
A:  p=> q=1      [p~>  q=1]        =1
B:  p=>~q=0      [p~~>~q=1]        =0
C:[~p~>~q=1]     ~p=> ~q=1         =1
D:[~p~~>q=1]     ~p=>  q=0         =0
    1   2 3       4    5 6          7

gdzie:
[…] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym

Uwaga:
W iloczynie logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
mnożone są wynikowe zera i jedynki w odpowiednich liniach.
A: 1*1=1
B: 0*1=0
C: 1*1=1
D: 1*0=0

Warunek konieczny w implikacji odwrotnej (linie AB456):
[p~>q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji prostej (AB123) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach A i B widzimy wyłącznie warunek wystarczający AB123:
p=>q = 1 - gwarancja matematyczna w wirtualnej implikacji prostej

Analogicznie:

Warunek konieczny w implikacji prostej (linie CD123):
[~p~>~q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji odwrotnej (CD456) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach C i D widzimy wyłącznie warunek wystarczający CD456.
~p=>~q = 1 - gwarancja matematyczna w wirtualnej implikacji odwrotnej

Stąd mamy:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w kierunku p=>q:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q=1
[p~>q] = ~p=>~q =1

Definicja równoważności w postaci gwarancji matematycznych:
Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A123: p=>q=1
C456: ~p=>~q=1

Na podstawie powyższego mamy.

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wynikły z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
D: ~p=> q=0 - twardy fałsz wynikły z C
    1   2 3

Definicja równoważności:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:

Możliwe są dwie równoważne interpretacje słowne prawej strony równania:
A.
p=>q - warunek wystarczający o definicji w liniach A i B
~p=>~q - warunek wystarczający o definicji w liniach C i D
B.
p=>q - wirtualna implikacja prosta w logice dodatniej (bo q), gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie C i D powyższej definicji i niedostępne w świecie rzeczywistym.
~p=>~q - wirtualna implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q), gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie A i B powyższej definicji i niedostępne w świecie rzeczywistym.

Definicja równoważności w postaci gwarancji matematycznych wyrażonych w spójniku „i”(*):
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)
stąd:
p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] =1*1=1
W równoważności muszą zachodzić dwie gwarancje matematyczne!
Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.


12.6 Kwadrat logiczny równoważności

Kod:

A: p=>q  =1        A1. q=>p=1


C: ~p=>~q=1        C1: ~q=>~p=1


Wszystkie możliwe definicje równoważności to dowolny bok kwadratu:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (q=>p)*(~q=>~p) = (p=>q)*(q=>p) = (~p=>~q)*(~q=>~p)

W równoważności między dowolnymi dwoma wierzchołkami zachodzą jednocześnie warunki wystarczający rzeczywisty => i warunek konieczny wirtualny ~>.
Wirtualny warunek konieczny ~> (rzucanie monetą) nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające => o definicjach jak wyżej.

Oczywiście w równoważności zachodzą też warunki wystarczający => i konieczny wirtualny ~> po przekątnych kwadratu:
p???q = (p=>q)*(~q=>~p) = (~p=>~q)*(q=>p)
Dlaczego to nie są definicje równoważności?
Odpowiedź:
Bo operator ??? nie jest jednoznaczny.
??? - to może być operator zarówno równoważności jak i czegoś fundamentalnie innego, implikacji.

Oczywiście równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja.
Nic co jest równoważnością prawdziwą nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.

Przykład:
Kod:

A: TR=>KR         A1  KR=>TR


C: ~TR=>~KR       C1:~KR=>~TR

Definicje równoważności wynikające z pionów:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = ~TR<=>~KR
KR<=>TR = (KR=>TR)*(~KR=>~TR) = ~KR<=>~TR


12.7 Kwadrat logiczny implikacji

Definicja implikacji prostej:
Y = p=>q = ~p~>~q
Negujemy wejścia p i q i otrzymujemy definicję implikacji odwrotnej:
y = ~p=>~q = p~>q
czyli:
Definicja implikacji odwrotnej:
y = p~>q = ~p=>~q

Oczywiście:
Y ## y
bo tylko zanegowaliśmy wejścia p i q (bez zmiany spójników)
stąd:
Równanie ogólne implikacji:
Y = p=>q = ~p~>~q ## y = p~>q = ~p=>~q
Operator implikacji prostej ## Operator implikacji odwrotnej
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Po obu stronach znaku ## mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne prawa tożsamościowe.
Kod:

Kwadrat logiczny implikacji
Y                  | y
A: p=>q  =1        | A1. p~>q=1
                   |
                   |
C: ~p~>~q=1        | C1: ~p=>~q=1

W kwadracie logicznym implikacji zachodzą tożsamościowe prawa matematyczne wyłącznie w pionach.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q=1 - prawo Kubusia
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q=1 - prawo Kubusia

Oczywiście na mocy definicji mamy:
Y = p=>q = ~p>~q ## y = p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji.
stąd:
W pionach mamy do czynienia z dwom izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, ani w poziomie, ani po przekątnych!

Pod p i q w obu pionach możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.
Przykładowo:
Jeśli stwierdzimy warunek wystarczający w punkcie C1:
~p=>~q=1
oraz brak warunku wystarczającego w punkcie A1:
p=>q=0
To możemy być pewni iż nasze analizowane zdanie to piękna implikacja odwrotna, czyli coś fundamentalnie innego niż implikacja prosta czy też równoważność.

Przykład:
Kod:

Y                | y
A: P=>CH         |  A1: CH~>P
                 |
P=>CH=~P~>~CH    |  CH~>P=~CH=>~P
                 |
C: ~P~>~CH       |  C1:~CH=>~P

A.
Jeśli jutro będzie padło to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
... a jak nie będzie padło?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~CH~>P
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~CH~>~P=1

A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1

To są jedyne tożsamości matematyczne zachodzące w kwadracie logicznym implikacji.

Na mocy definicji zachodzi:
Y = P=>CH =~P~>~CH ## y = CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
W implikacji obowiązuje prawo kontrapozycji wyłącznie w tej formie:
P=>CH ## ~CH=>~P
czyli:
p=>q ## ~q=>~p

Znane matematykom prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
obowiązuje i świetnie działa ... wyłącznie w równoważności.

Prawo kontrapozycji jest w matematyce bezużyteczne bo niczego nie dowodzi.
Na mocy powyższego kwadratu logicznego możemy udowodnić warunek wystarczający w dowolnym rogu kwadratu.
Czyli:
Jeśli uznamy za zbyt trudny dowód w punkcie:
C1: ~CH=>~P=1
to możemy się przenieść do punktu:
A1: P=>CH=1
udowodnienie A1 jest automatycznym dowodem C1, bez żadnego bzdetu o nazwie „prawo kontrapozycji”.

Prawem kontrapozycji nie rozstrzygniemy kluczowego problemu:
Równoważność to czy implikacja
... dlatego prawo kontrapozycji jest w matematyce zbędne.

12.8 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
gdzie wyłącznie w równoważności:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny ~> niedostępny w świecie rzeczywistym

Uwaga!
W dalszej części podręcznika będziemy pomijać nawiasy kwadratowe z dwóch powodów:
1.
Uproszczenie zapisów
2.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający:
p=>q
to mamy sytuację „wiem że nic nie wiem”, czyli totalnie nie wiemy czym jest to zdanie rozumiane jako operator logiczny.
Zdanie z udowodnionym warunkiem wystarczającym w jedną stronę p=>q może być już tylko i wyłącznie implikacją albo równoważnością, pod warunkiem że mamy do czynienia z totalnym brakiem determinizmu, czyli nie znamy z góry wartości logicznych p i q.

Jeśli udowodnimy równoważność to zapis:
p~>q
będzie oznaczał wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym.

Natomiast jeśli udowodnimy implikację to zapis:
p~>q
Będzie oznaczał rzeczywisty warunek konieczny, spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą), dostępny w świecie rzeczywistym.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]czyli:
p=>q - p jest wystarczające dla q
i
[p~>q] - p jest konieczne dla q

Stąd mamy śfińską definicję równoważności niżej.

Śfińska definicja Implikacji prostej
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => w kierunku p=>q
p=>q=1
p~>q= ~p=>~q =0
Oczywiście w logice dowodzimy warunek konieczny ~> w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0

Przykład:
A.
Warunek wystarczający:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
P=>~CH=0
Warunek wystarczający spełniony

Badamy warunek konieczny:
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH = ~P=>~CH=0
Warunek konieczny niespełniony bo:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą


Śfińska definicja implikacji odwrotnej
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0

Oczywiście warunek konieczny dowodzimy w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1
czyli:
B.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny CH~>P=1.

Badamy warunek wystarczający:
C.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Warunek wystarczający niespełniony
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji odwrotnej, w skrócie, jest implikacją odwrotną


Śfińska definicja równoważności
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego i koniecznego
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1=1
p=>q=1
p~>q=1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> to prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q =1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q)

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
TR=>~KR=0
Warunek wystarczający spełniony.

Badamy warunek konieczny:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1 - prawo Kubusia
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
~TR=>KR=0
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny:
TR~>KR=1
Oczywiście symbol ~> to warunek konieczny na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji, bowiem w równoważności wykluczone jest „rzucanie monetą”.

Zdanie A spełnia śfińską definicję równoważności, w skrócie możemy powiedzieć iż jest równoważnością.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23116
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:54, 25 Maj 2012    Temat postu:

12.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności

Podstawa matematyczna

Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
Kod:

p q p=>q q=>p
1 1  =1   =1
1 0  =0   =1
0 0  =1   =1
0 1  =1   =0

Brak tożsamości dwóch ostatnich kolumn jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej.

Dowód formalny przemienności argumentów w równoważności:
Kod:

p q p<=>q q<=>p
1 1   =1    =1
1 0   =0    =0
0 0   =1    =1
0 1   =0    =0

Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem przemienności argumentów w równoważności.

Na podstawie powyższego mamy.

Gimnazjalna definicja implikacji prostej:
Implikacja to wynikanie => (warunek wystarczający) wyłącznie w jedna stronę
A: p=>q=1
B: q=>p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*0 =0

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja prosta.

Gimnazjalna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=1
B: ~q=>~p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)=1*0 =0

Przykład:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
~P2<=>~P8 = (~P2=>~P8)*(~P8=>~P2)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja odwrotna

Gimnazjalna definicja równoważności:
Równoważność to wynikanie => (warunek wystarczający) w dwie strony
A: p=>q=1
B: q=>p=1
Twierdzenie:
Jeśli zdanie jest równoważnością prawdziwą to na mocy definicji nie może być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli trójkąt ma kąty równe to na pewno => jest równoboczny
KR=>TR=1
Na mocy gimnazjalnej definicji równoważności zdanie A to piękna równoważność:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1

Zauważmy, że warunki wystarczające => w zdaniach A są identyczne w implikacji i równoważności.
Definicja warunku wystarczającego:
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q

Zatem po udowodnieniu p=>q o zdaniu A możemy powiedzieć tylko i wyłącznie iż jest to warunek wystarczający =>, żadna tam implikacja czy też równoważność bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!

Precyzyjnie na temat zdania A możemy się wypowiedzieć wyłącznie po udowodnieniu B, co pokazano w definicjach równoważności wyżej.


12.10 Licealne definicje implikacji i równoważności

Licealna definicja implikacji
Implikacja to jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna

Licealna definicja implikacji prostej:
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH)=1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie padło i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)=1
Sprawdzamy B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padło to na pewno nie będzie pochmurno
~P=>~CH=~(~P*CH)=0 - bo może nie padać i być pochmurno
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie padać i będzie pochmurno
~(~P*CH)=0 - oczywiście może się zdarzyć że nie będzie padać i będzie pochmurno

Licealna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=~(~p*q)=1
B: p=>q= ~(p*~q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=~(~CH*P) =1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~(~CH*P)=1
Sprawdzamy B:
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padało
CH=>P=~(CH*~P)=0 - bo może być pochmurno i może nie padać
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
~(CH*~P)=0 - oczywiście może się zdarzyć, że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
Wniosek:
Zdanie A to piękna implikacja odwrotna

Licealna definicja równoważności

Równoważność to dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=1
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR = ~(TR*~KR)=1
AG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt jest równoboczny i nie ma kątów równych
~(TR*~KR)=1
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych
~TR=>~KR=~(~TR*KR)=1
BG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt nie jest równoboczny i ma kąty równe
~(~TR*KR)=1
Wniosek:
Na mocy licealnej definicji równoważności zachodzi równoważność:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1


12.11 Definicje równoważności i implikacji w zbiorach

Definicja równoważności:
Kod:

               |Definicja
               |symboliczna 
   p q p<=>q   |w zbiorach  |Zdania
A: 1 1  =1     | p* q=1     | p=> q=1
B: 1 0  =0     | p*~p=0     | p=>~q=0
C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p=>~q=1
D: 0 1  =0     |~p* q=0     |~p=> q=0

Równanie algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) opisujące powyższą tabelę tworzymy dla samych jedynek w wyniku.
p<=>q = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
(p<=>q=1)<=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.

Definicja równoważności w zbiorach
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne:
A: p*q=1
C: ~p*~q=1

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
p=TR
q=KR
A: TR=>KR=1 - gwarancja matematyczna I w równoważności
C: ~TR=>~KR=1 - gwarancja matematyczna II w równoważności
Dziedzina: zbiór wszystkich trójkątów

To samo w zbiorach:
TR<=>KR = TR*KR + ~TR*~KR
Równoważność to dwa zbiory:
TR=KR=1 - zbiory tożsame, oba zbiory istnieją TR=1 i KR=1
~TR=~KR=1 - zbiory tożsame, oba zbiory istnieją ~TR=1 i ~KR=1

W równoważności zbiór ~TR=~KR jest dopełnieniem do dziedziny zbioru TR=KR!

Stąd w równoważności zachodzi:
TR=>KR = ~TR=>~KR=1
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd:
TR=>KR = ~KR=>~TR=1
stąd w równoważności poprawne jest prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
... ale tylko i wyłącznie w równoważności, nigdy w implikacji!

Definicja implikacji prostej:
Kod:

               |Definicja
               |symboliczna 
   p q p=>q    |w zbiorach  |Zdania
A: 1 1  =1     | p* q=1     | p=> q=1
B: 1 0  =0     | p*~p=0     | p=>~q=0
C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p~>~q=1
D: 0 1  =1     |~p* q=1     |~p~~>q=1

Tworzymy równanie algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) dla samych jedynek w wyniku:
p=>q = p*q+~p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
(p=>q=1) <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Implikacja prosta to trzy zbiory rozłączne, ani jednego mniej, ani jednego więcej:
A: p*q=1
C: ~p*~q=1
D: ~p*q=1

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1 - gwarancja matematyczna
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Zbiory:
A: P8*P2=1 bo [8,16,24...] - gwarancja matematyczna w implikacji prostej: P8=>P2=~P8~>~P2)
C: ~P8*~P2=1 bo [1,3,5,7...] - (gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej: P2~>P8=~P2=>~P8)
D: ~P8*P2=1 bo [2,4,6,10...]

Zauważmy, że zbiór gwarantowany przez implikację odwrotną:
~P8*~P2 = ~P2*~P8 = [1,3,5,7 ..]
nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru gwarantowanego przez implikacje prostą:
P8*P2 = P2*P8 = [8,16,24...].

bo istnieje zbiór poza tymi gwarancjami:
~P8*P2 = P2*~P8 = [2,4,6,10...]

Stąd matematycznie zachodzi równanie ogólne dla implikacji:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Z powyższego wynika, że znane matematykom prawo kontrapozycji dla implikacji w postaci:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
p=>q = ~q=>~p
jest błędne matematycznie!
cnd
Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności, co dowiedziono wyżej.

Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

               |Definicja
               |symboliczna 
   p q p~>q    |w zbiorach  |Zdania
A: 1 1  =1     | p* q=1     | p~> q=1
B: 1 0  =1     | p*~p=1     | p~~>~q=1
C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p=>~q=1
D: 0 1  =0     |~p* q=0     |~p=>q =0

Tworzymy równanie algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) dla samych jedynek w wyniku:
p~>q = p*q+p*~q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
(p=>q=1) <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i ~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.

Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
Implikacja odwrotna to trzy zbiory rozłączne, ani jednego mniej, ani jednego więcej:
A: p*q=1
B: p*~q=1
C: ~p*~q=1

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p=P2
q=P8
P2~>P8 = ~P2=>~P8=1 - gwarancja matematyczna
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Zbiory:
A: P2*P8=1 bo [8,16,24...] - (gwarancja matematyczna w implikacji prostej: P8=>P2 = ~P8~>~P2)
B: P2*~P8=1 bo [2,4,6,10...]
C: ~P2*~P8=1 bo [1,3,5,7...] - gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej: P2~>P8 = ~P2=>~P8

Zauważmy, że zbiór gwarantowany przez implikację prostą:
P8*P2 = P2*P8=[8,16,24 ...]
nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru gwarantowanego przez implikacje odwrotną:
~P2*~P8 = ~P8*~P2 = [1,3,5,7 ...].

Stąd matematycznie zachodzi równanie ogólne dla implikacji:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 ## P8=>P2 = ~P8~>~P2
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Z powyższego wynika, że znane matematykom prawo kontrapozycji dla implikacji w postaci:
~P2=>~P8 = P8=>P2
~p=>~q = q=>p
jest błędne matematycznie!
cnd
Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności, co dowiedziono wyżej.


12.12 Prawa kontrapozycji

Znane ludziom prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Jest poprawne w równoważności i błędne w implikacji.

12.12.1 Prawo kontrapozycji w równoważności

Prawo kontrapozycji w równoważności:
p=>q = ~q=>~p

Definicja równoważności w zbiorach:
Kod:

               |Definicja   |         ||Po        |Definicja   |
               |symboliczna |         ||zamianie  |symboliczna |
               |w zbiorach  |Zdania   ||p i q     |w zbiorach  |Zdania
   p q p<=>q   |    p<=>q   |    p<=>q||q p q<=>p |     q<=>p  |    q<=>p
A: 1 1  =1     | p* q=1     | p=> q=1 ||1 1   =1  | q* p =1    | q=> p=1
B: 1 0  =0     | p*~q=0     | p=>~q=0 ||0 1   =0  |~q* p =0    |~q=> p=0
C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p=>~q=1 ||0 0   =1  |~q*~p =1    |~q=>~p=1
D: 0 1  =0     |~p* q=0     |~p=> q=0 ||1 0   =0  | q*~p =0    | q=>~p=0
   1 2   3     | 4  5 6     | 7   8 9 ||a b    c  | d  e  f    | g   h i

Przejście z definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej na podstawie prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1

Zauważmy, że aby porównywać tabele po obu stronach znaku || musimy przestawić linie B i D po prawej stronie znaku ||.
Wtedy i tylko wtedy w liniach A i B po lewej stronie || będziemy mieli warunek wystarczający => dla p, natomiast po prawej stronie || w liniach A i B będzie warunek wystarczający => dla q, i nastąpi poprawne porównanie tabel zero-jedynkowych p<=>q i q<=>p.
Kod:

               |Definicja   |         ||Po        |Definicja   |
               |symboliczna |         ||zamianie  |symboliczna |
               |w zbiorach  |Zdania   ||p i q     |w zbiorach  |Zdania
   p q p<=>q   |    p<=>q   |    p<=>q||q p q<=>p |     q<=>p  |    q<=>p
A: 1 1  =1     | p* q=1     | p=> q=1 ||1 1   =1  | q* p =1    | q=> p=1
B: 1 0  =0     | p*~p=0     | p=>~q=0 ||1 0   =0  | q*~p =0    | q=>~p=0
C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p=>~q=1 ||0 0   =1  |~q*~p =1    |~q=>~p=1
D: 0 1  =0     |~p* q=0     |~p=> q=0 ||0 1   =0  |~q* p =0    |~q=> p=0
   1 2   3     | 4  5 6     | 7   8 9 ||a b    c  | d  e  f    | g   h i

Uwaga
W algebrze Boole’a kolejność wierszy w dowolnym bloku (po obu stronach znaku ||) jest bez znaczenia, o prawdziwości poszczególnych zdań możemy rozstrzygać w dowolnej kolejności.

Dowód I
Jak widzimy, przy poprawnie matematycznie porównywanych tabelach zachodzi:
p<=>q = q<=>p - argumenty w równoważności są przemienne.
ABCD9 = ABCDi
Definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
q<=>p = (q=>p)*(~q=>~p)
Z czego wynika tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q
Tożsamość tych zbiorów wynika też z porównań w poziomach:
Linia A:
Jeśli p=>q=1 i q=>p=1 to zbiór p=q
Linia C:
Jeśli ~p=>~q=1 i ~q=>~p=1 to zbiór ~p=~q

Definicja tożsamości zbiorów:
1.
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q (p=>q) i każdy element zbioru q należy do zbioru p (q=>p) to zbiory te są tożsame:
p=q
2.
Jeśli każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q (~p=>~q) i każdy element zbioru ~q należy do zbioru ~p (~q=>~p) to zbiory te są tożsame:
~p=~q
3.
Udowodnienie 1 wymusza udowodnienie 2 i odwrotnie
4.
Stąd definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (~p=>~q)*(~q=>~p) = ~p<=>~q

Z powyższej tabeli wynika tożsamość warunków wystarczających:
p=>q = q=>p = ~p=>~q = ~q=>~p=1
Z czego wynika prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p

Dowód II
Zbiory gwarantowane po lewej stronie znaku ||:
p=q
~p=~q
są identyczne jak zbiory gwarantowane po prawej stronie znaku ||:
q=p
~q=~p
Zbiór ~p=~q jest dopełnieniem do dziedziny zbioru p=q i odwrotnie.
Wynika z tego iż w równoważności zachodzi tożsamość warunków wystarczających:
p=>q = q=>p = ~p=>~q = ~q=>~p=1

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = (~TR=>~KR)*(~KR=>~TR) = ~TR<=>~KR
Dziedzina: zbiór wszystkich trójkątów
Zbiory tożsame:
TR=KR
~TR=~KR
Zbiór ~TR=~KR jest dopełnieniem do dziedziny zbioru TR=KR


12.12.2 Prawo kontrapozycji w implikacji

Weźmy na początek prawo Kubusia obowiązujące w implikacji:
p=>q = ~p~>~q
Kod:

Definicja  |Definicja   |         ||Po          |Definicja  |
zero       |symboliczna |         ||negacji     |symboliczna|
jedynkowa  |w zbiorach  |Zdania   ||p i q       |w zbiorach |Zdania
   p q p=>q|            |         ||~p ~q ~p~>~q|           |
A: 1 1  =1 | p* q=1     | p=> q=1 || 0  0   =1  | p* q =1   | p=> q=1
B: 1 0  =0 | p*~q=0     | p=>~q=0 || 0  1   =0  | p*~q =0   | p=>~q=0
C: 0 0  =1 |~p*~q=1     |~p~>~q=1 || 1  1   =1  |~p*~q =1   |~p~>~q=1
D: 0 1  =1 |~p* q=1     |~p~~>q=1 || 1  0   =1  |~p* q =1   |~p~~>q=1
   1 2   3 | 4  5 6     | 7   8 9 || a  b    c  | d  e  f   | g   h i

Przejście z definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej na podstawie prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1

Jak widzimy, po obu stronach znaku || mamy identyczne:
1.
Tabele zbiorów:
ABCD456=ABCDdef
2.
Symboliczne tabele implikacji prostej:
ABCD789=ABCDghi

Tabela zero-jedynkowa zależna jest od przyjętego punktu odniesienia widocznego w nagłówku tabeli. Tożsamość kolumn wynikowych ABCD9 i ABCDi jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Prawo kontrapozycji w implikacji prostej
p=>q ## ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód formalny:
Kod:

Definicja   |Definicja   |         ||Po        |Definicja 
zero        |symboliczna |         ||zamianie  |symboliczna|
jedynkowa   |w zbiorach  |Zdania   ||p i q     |w zbiorach |Zdania
   p q p=>q | p  q p=>q  |         || q p q~>p | q  p q~>p |
A: 1 1  =1  | p* q=1     | p=> q=1 || 1 1  =1  | q* p=1    | q~> p =1
B: 1 0  =0  | p*~q=0     | p=>~q=0 || 0 1  =0  |~q* p=0    |~q=> p =0
C: 0 0  =1  |~p*~q=1     |~p~>~q=1 || 0 0  =1  |~q*~p=1    |~q=>~p =1
D: 0 1  =1  |~p* q=1     |~p~~>q=1 || 1 0  =1  | q*~p=1    | q~~>~p=1
   1 2   3  | 4  5 6     | 7   8 9 || a b   c  | d  e f    | g   h  i

Przejście z definicji zero-jedynkowej do definicji symbolicznej na podstawie prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1

Zauważmy, że aby porównywać tabele po obu stronach znaku || musimy przestawić linie B i D po prawej stronie znaku ||.
Wtedy i tylko wtedy w liniach A i B po lewej stronie będziemy mieli warunek wystarczający => dla p, natomiast po prawej stronie w liniach A i B będzie warunek konieczny ~> dla q, i nastąpi poprawne porównanie tabel zero-jedynkowych p=>q i q~>p.
Kod:

Implikacja prosta p=>q = ~p=>~q    ||Implikacja odwrotna q~>p = ~q=>~p
Definicja   |Definicja   |         ||Po        |Definicja 
zero        |symboliczna |         ||zamianie  |symboliczna|
jedynkowa   |w zbiorach  |Zdania   ||p i q     |w zbiorach |Zdania
   p q p=>q | p  q p=>q  |     p=>q|| q p q~>p | q  p q~>p |      q~>p
A: 1 1  =1  | p* q=1     | p=> q=1 || 1 1  =1  | q* p=1    | q~> p =1
B: 1 0  =0  | p*~q=0     | p=>~q=0 || 1 0  =1  | q*~p=1    | q~~>~p=1
C: 0 0  =1  |~p*~q=1     |~p~>~q=1 || 0 0  =1  |~q*~p=1    |~q=>~p =1
D: 0 1  =1  |~p* q=1     |~p~~>q=1 || 0 1  =0  |~q* p=0    |~q=> p =0
   1 2   3  | 4  5 6     | 7   8 9 || a b   c  | d  e f    | g   h  i

Dowód I
Jak widzimy, przy poprawnie matematycznie porównywanych tabelach zachodzi:
p=>q ## q~>p
ABCD9 ## ABCDi
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Z powyższej tabeli można też odczytać „prawa” kontrapozycji obowiązujące w implikacji:
p=>q ## ~q=>~p - warunki wystarczające =>
~p~>~q ## q~>p - warunki konieczne ~>
bo prawa Kubusia:
Lewa strona ||:
p=>q = ~p~>~q
Prawa strona ||:
q~>p = ~q=>~p

Na mocy definicji mamy:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód II
1.
Gwarancja matematyczna w implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
po lewej stronie znaku || to warunek wystarczający zdefiniowany w liniach AB123.
Gwarantowany zbiór A z tego obszaru to:
p*q = q*p =1 - iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny
2.
Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej:
q~>p = ~q=>~p
po prawej stronie znaku || to warunek wystarczający zdefiniowany w liniach CDghi.
Gwarantowany zbiór C z tego obszaru to:
~q*~p = ~p*~q =1 - iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny
3.
W przeciwieństwie do równoważności, zbiór C nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru A, bowiem poza tymi gwarancjami znajduje się zbiór:
~p*q (D45) = q*~p (Bde) =1 - iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
p=P8
q=P2
1.
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1
Gwarantowany zbiór A:
P8*P2 = P2*P8 =1 bo [8,16,24...]
2.
Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej:
P2~>P8 = ~P2=>~P8=1
Gwarantowany zbiór C:
~P2*~P8 = ~P8*~P2 =1 bo [3,5,7...]
3.
Zbiór poza gwarancjami A i C:
~P8*P2 (D45) = P2*~P8 (Bde) =1 bo [2,4,6...]

Zbiór 2 nie jest dopełnieniem zbioru 1 do dziedziny liczb naturalnych, bowiem poza gwarancjami znajduje się zbiór 3.

Z powyższego wynika że:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
p=>q ## ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji


12.13 Implikacja, matematyczny opis nieznanego

Operatory logiczne algebry Boole’a opisują świat niezdeterminowany, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Jeśli znamy z góry wartości logiczne p i q to obowiązuje ..

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W języku potocznym implikacja prosta kojarzona jest z obietnicą.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta na mocy definicji

Przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K=1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym na to abym dostał komputer z powodu że zdałem egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć
Proszę zwrócić uwagę na to wytłuszczone.
B.
Jeśli zdasz egzamin to nie dostaniesz komputera
E=>~K=0
Złamanie obietnicy A, nadawca będzie kłamcą.
... a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
stąd:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E~>~K=1
Zauważmy, że spójnik „może” ~> jest tu wymuszany przez definicję obietnicy i nie musi być wypowiadany, jest domyślny.
lub
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K=1
Akt miłości w obietnicy A = akt łaski w groźbie C

W tym przypadku nadawca może powiedzieć:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham (dowolne uzasadnienie niezależne, różne od poprzednika w C)

Twierdzenie:
Implikacja prosta opisująca przyszłość przechodzi w implikację odwrotną opisującą przeszłość.
Implikacja odwrotna opisująca przyszłość przechodzi w implikację prostą opisującą przeszłość.

Oczywiście:
Znana przeszłość, to 100% determinizm gdzie dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Przykładowo, jeśli znamy rozwiązanie naszego przykładu wyżej to powiemy:
Jaś nie zdał egzaminu i nie dostał komputera
~E*~K
Dla tego zdania mamy pełny determinizm:
~E=1, E=0
~K=1, K=0
tabela zero-jedynkowa wszystkich możliwych przeczeń:
Kod:

~E*~K=1   |1*1=1
~E* K=0   |1*0=0
 E* K=0   |0*0=0
 E*~K=0   |0*1=0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora AND

... ale przeszłości nie musimy znać.
Mamy wtedy do czynienia z nieznaną przeszłością którą opisuje implikacja.

To jest przyszłość:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K=1
.. a to jest przeszłość gdzie implikacja prosta wyżej przechodzi w implikację odwrotną.

A.
Jeśli dostałeś komputer to mogłeś zdać egzamin
K~>E=1
lub
B.
Jeśli dostałeś komputer to mogłeś nie zdać egzaminu
K~~>~E=1 - akt miłości
... a jeśli nie dostałem komputera?
Prawo Kubusia:
K~>E = ~K=>~K
stąd:
C.
Jeśli nie dostałeś komputera to na pewno => nie zdałeś egzaminu
~K=>~E=1
D.
Jeśli nie dostałeś komputera to na pewno => zdałeś egzamin
~K=>E=0


13.0 Implikacja i równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)

W implikacji i równoważności sensowne są wyłącznie gwarancje matematyczne wyrażone w spójniku „i”(*).

W ogólnym przypadku wyrażanie implikacji i równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) jest błędem czysto matematycznym, co za chwilę udowodnimy.


13.1 Implikacja prosta

Definicja operatora implikacji prostej:[/b]
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):


Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
p* q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=0
p* ~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zobaczmy ten przypadek na diagramie.


Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku jeden

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie deszczu jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
... a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym aby jutro nie było pochmurno
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1

Definicję zero-jedynkową operatora implikacji prostej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
Kod:

Definicja     |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna   |p q p=>q
A: p=> q=1    |1 1 =1    /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
B: p=>~q=0    |1 0 =0    /Twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
C:~p~>~q=1    |0 0 =1    /Miękka prawda, może zajść ale nie musi
D:~p~~>q=1    |0 1 =1    /Miękka prawda, może zajść ale nie musi
   1   2 3    |4 5  6
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
              |p=1, ~p=0
              |q=1, ~q=0

Najprostsze równanie w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) uzyskamy z linii B456 bowiem mamy tu w wyniku samotne zero.
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
B456:
~(p=>q) = p*~q
To równanie opisuje wyłącznie linie B456

Negujemy powyższe równanie stronami:
A456+CD456:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q - prawo de’Morgana
Oczywiście to równanie opisuje linie z jedynkami w wyniku A456+CD456

Wypowiedzmy zdanie A:
p=>q =1
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
gdzie:
=> - warunek wystarczający

Zdanie A jest równoważne gwarancji matematycznej wyrażonej w spójniku „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(...), że zajdzie p i nie zajdzie q

Nasz przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Zdanie równoważne:
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH)=1

Gwarancja ta jest poprawna i dla każdego zrozumiała bo wynikła ona z negacji równania opisującego twardy fałsz (linia B456).
Oczywiście negując twardy fałsz musimy otrzymać twardą prawdę, czyli wyłącznie linię A456 w powyższej definicji implikacji prostej.

Zauważmy teraz coś bardzo ważnego.
A456+CD456:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q - prawo de’Morgana
Oczywiście to równanie opisuje linie z jedynkami w wyniku A456+CD456

Kodując implikację spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) nie mamy szans na odróżnienie bezcennej twardej prawdy z linii A456 od bezwartościowych prawd miękkich (rzucania monetą) opisywanych liniami CD456.

W tym kodowaniu wszystkie jedynki w wyniku musimy kodować identycznym symbolem:
=> - warunek wystarczający

Przerysujmy naszą tabele symboliczną:
Kod:

Definicja     |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna   |p q p=>q
A: p=> q=1    |1 1 =1    /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
B: p=>~q=0    |1 0 =0    /Twardy fałsz
C:~p=>~q=1    |0 0 =1    /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
D:~p=> q=1    |0 1 =1    /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
   1   2 3    |4 5  6
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
              |p=1, ~p=0
              |q=1, ~q=0

Powyższa tabela to największa tragedia matematyczna w historii ludzkości.
To totalnie fałszywa matematycznie definicja implikacji prostej!

Nie istnieją tu prawa Kubusia mówiące o matematycznym związku warunku wystarczającego => z warunkiem koniecznym ~>:
p=>q = ~p~>~q

Powyższa tabela to źródło największej matematycznej głupoty jakoby z fałszu ZAWSZE powstawała prawda - linia D456.

Oczywiście w poprawnej definicji implikacji w liniach CD456 chodzi o coś fundamentalnie innego!
C.
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
lub
D.
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

Nasz przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie deszczu jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
P=>~CH=0
... a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1

W poprawnej definicji implikacji nie ma mowy aby z fałszu powstała prawda, jak również nie ma mowy aby z prawdy powstał fałsz, co doskonale widać na naszym przykładzie.

Z powyższego wynika, że znane matematykom prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
to po prostu matematyczny bezsens, bowiem błędem czysto matematycznym jest zapisywanie implikacji spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) co dowiedziono wyżej.

Powyższe równanie poprawnie opisuje sposób budowy najprostszej bramki logicznej implikacji prostej, ale jest bezużyteczne w analizie logicznej implikacji.


13.2 Implikacja odwrotna

5.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:

Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D niżej

Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:

p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Zobaczmy to na diagramie logicznym:

~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q
W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p* ~q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
~p* q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
... a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
Stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0

Definicję zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
Kod:

Definicja     |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna   |p q p~>q
A: p~> q =1   |1 1 =1   /Miękka prawda, może zajść ale nie musi
B: p~~>~q=1   |1 0 =1   /Miękka prawda, może zajść ale nie musi
C:~p=>~q =1   |0 0 =1   /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
D:~p=> q =1   |0 1 =0   /Twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania C
   1   2  3   |4 5  6
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
              |p=1, ~p=0
              |q=1, ~q=0

Najprostsze równanie w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) uzyskamy z linii D456 bowiem mamy tu w wyniku samotne zero.
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
D456:
~(p~>q) = ~p*q
To równanie opisuje wyłącznie linie D456

Negujemy powyższe równanie stronami:
ABC456:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q - prawo de’Morgana
Oczywiście to równanie opisuje linie z jedynkami w wyniku ABC456

Wypowiedzmy zdanie C:
~p=>~q =1
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający

Zdanie C jest równoważne gwarancji matematycznej wyrażonej w spójniku „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć ~(...), że zajdzie nie p i zajdzie q

Nasz przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
CG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~CH=>~P = ~(~CH*P)=1

Gwarancja ta jest poprawna i dla każdego zrozumiała bo wynikła ona z negacji równania opisującego twardy fałsz (linia D456).
Oczywiście negując twardy fałsz musimy otrzymać twardą prawdę, czyli wyłącznie linię C456 w powyższej definicji implikacji prostej.

Zauważmy teraz coś bardzo ważnego.
ABC456:
p~>q = ~(p*~q) = ~p+q - prawo de’Morgana
Oczywiście to równanie opisuje linie z jedynkami w wyniku ABC456

Kodując implikację spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) nie mamy szans na odróżnienie bezcennej twardej prawdy z linii C456 od bezwartościowych prawd miękkich (rzucania monetą) opisywanych liniami AB456.

W tym kodowaniu wszystkie jedynki w wyniku musimy kodować identycznym symbolem:
=> - warunek wystarczający

Przerysujmy naszą tabele symboliczną:
Kod:

Definicja     |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna   |p q p~>q
A: p=> q =1   |1 1 =1   /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
B: p=>~q =1   |1 0 =1   /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
C:~p=>~q =1   |0 0 =1   /Twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
D:~p=> q =1   |0 1 =0   /Twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania C
   1   2  3   |4 5  6
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
              |p=1, ~p=0
              |q=1, ~q=0

Powyższa tabela to największa tragedia matematyczna w historii ludzkości.
To totalnie fałszywa matematycznie definicja implikacji odwrotnej!

Nie istnieją tu prawa Kubusia mówiące o matematycznym związku warunku wystarczającego => z warunkiem koniecznym ~>:
~p=>~q = p~>q

Zauważmy, że poprzez analogię do implikacji prostej, w tym przypadku z prawdy ZAWSZE powstaje fałsz - linia B456.

Ziemscy matematycy tego nie widzą bo uznali implikację odwrotną za ... matematycznie zbędną.

Oczywiście w poprawnej definicji implikacji w liniach AB456 chodzi o coś fundamentalnie innego!
A.
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
lub
B.
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q

Nasz przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
D.
~CH=>P=0
... a jeśli będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1

W poprawnej definicji implikacji nie ma mowy aby z prawdy powstał fałsz, jak również nie ma mowy aby z fałszu powstała prawda, co doskonale widać na naszym przykładzie.


13.3 Równoważność

Definicja równoważności:[/b]
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)


W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
.. albo odwrotnie.
W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q.

Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q o definicji wyłącznie w B i C
~p=>~q
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~p*q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Analiza matematyczna:
W: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
TP=>SK - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
TP*SK=1*1=1
Zbiory TP i SK istnieją (TP=1 i SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
TP*~SK=1*1=0
Zbiory TP i ~SK istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
TP*~SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru TP w zbiorze SK.

… a jeśli zajdzie ~TP?
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~SK
~TP=>~SK - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~TP*~SK=1*1=1
Zbiory ~TP i ~SK istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~TP*SK=1*1=0
Zbiory ~TP i SK istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~TP*SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~TP w zbiorze ~SK.

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

W: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q                    |p  q  p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=>q  =1             |1  1  =1 /Twarda prawda
B: p=>~q =0             |1  0  =0 /Twardy fałsz wynikły ze zdania A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
C: ~p=>~q=1             |0  0  =1 /Twarda prawda
D: ~p=> q=0             |0  1  =0 /Twardy fałsz wynikły ze zdania C
    1   2 3             |4  5   6
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
                        |p=1, ~p=0
                        |q=1, ~q=0

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
stąd w równoważności (nigdy w implikacji):
p=>q = ~p=>~q
W równoważności (i tylko tu!) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1

Jak widzimy, w równoważności prawidłowo kodujemy wszystkie linie znaczkiem:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q

Równoważność często definiuje się słowami (pkt.6.5):
p<=>q = [p~>q]*(p=>q)=1*1=1
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
gdzie:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny między p i q o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q
(p=>q) - warunek wystarczający między p i q, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki

W równoważności, i tylko tu, mamy do czynienia z wirtualnym warunkiem koniecznym [~>] o definicji jak wyżej, czyli koniec końców i tak badamy warunek wystarczający => o definicji:
~p=>~q=1
~p=>q=0

W równoważności nie ma mowy o „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji. W równoważności mamy do czynienia z wirtualnym warunkiem koniecznym [~>] który nie ma swojego odpowiednika w języku mówionym.

Równoważna definicja implikacji to iloczyn logiczny gwarancji matematycznych.
Gwarancja matematyczna w linii A456:
p=>q = ~(p*~q)
Gwarancja matematyczna w linii C456:
~p=>~q = ~(~p*q)

Stąd definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = [~(p*~q)*~(~p*q)]

Ta definicja równoważności wyrażona wyłącznie spójnikami „i”(*) jest poprawna i zrozumiała.

Kolejną równoważną definicję równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) otrzymujemy z linii A456 i C456 po sprowadzeniu wszystkich zmiennych do jedynek.

p<=>q = p*q + ~p*~q
To równanie opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

Z diagramu równoważności widzimy, że zbiory p i q są tożsame.
Podobnie zbiory ~p i ~q są tożsame.
W równaniu wyżej tego niestety nie widać.
Z tego względu to równanie można wykorzystać do zbudowania układu scalonego równoważności i to jest jedyne zastosowanie tego wzoru.


14.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1

Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.

Dowolny operator logiczny jest jednoznacznie zdefiniowany tabelą zero-jedynkową i nie ma tu miejsca na jego niejednoznaczną interpretację. Argumenty w dowolnym operatorze logicznym mogą być albo przemienne (AND, OR, <=>), albo nieprzemienne (implikacja prosta i implikacja odwrotna).


14.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego

Zajmijmy się operatorami dotychczas nie omówionymi.

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 - lampka zaświecona
Y=0 - lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
Fizyczna realizacja takiej czarnej skrzynki w technice TTL jest banalna. W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem że … krasnoludki są na świecie.


14.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)

Definicje ~~> i N(~~>)
Kod:

p q Y=p~~>q Y=~(p~~>q)
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Jak widzimy po wybraniu operatora ~~> krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też ten człowieczek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator N(~~>) to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).

Zdanie zawsze prawdziwe
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W operatorze ~~> możemy sobie długo i namiętnie zaprzeczać p i q, wartość funkcji będzie niewzruszona Y=1.
Kod:

p q Y=p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Dokładnie to samo w równaniu algebry Boole’a opisującym powyższą tabelę
Y = p~~>q = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
p+~p=1
p*1=1

Oczywiście operator:
Y=1 ma zero argumentów
cnd

Operator ~~> to naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, to ścisły odpowiednik kwantyfikatora małego „istnieje takie x że:”
Znaczek ~~> jest jednocześnie spójnikiem i operatorem, bo równanie algebry Boole’a opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Analiza przez wszystkie możliwe przeczenia:
Kod:

 P8~~> P3=1 bo 24
 P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3=1 bo 5
~P8~~> P3=1 bo 3


Weźmy na zakończenie operator N(~~>q) w równaniach algebry Boole’a:
Kod:

p q Y=N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0

Sprowadzamy wszystkie pozycje do jedynek generując równanie algebry Boole’a w naturalnej logice człowieka:
~Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
mamy:
~Y=1
Negujemy stronami:
Y=0
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=0
cnd


14.3 Operatory transmisji P i Q

Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

Operator transmisji w zbiorach:



Y=p

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1


14.4 operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1


Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q

Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia (Boole’a)
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Dowód formalny:
Kod:

~Y=p  Y=~p  ~Y=~(~p)
  1    =0     =1
  0    =1     =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.

Operator negacji w zbiorach:



Y=~p

Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1


15.0 Algebra zbiorów rozłącznych

W tym rozdziale omówimy mało ważne i rzadkie zastosowanie algebry Kubusia.
Są to zdania prawdziwe typu:
Pies to nie kot
Pies to nie samochód
itd.
Poza tym zajmiemy się „matematyką” życzeniową.
Nad tą częścią matematyki nie będziemy się rozczulać, podamy po prostu po jednym przykładzie z naturalnego języka mówionego.


15.1 Operator XOR

Operator XOR opisuje zbiory rozłączne.

Definicja:
Kod:

p q pXORq
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0
1 1  =0

p XOR q = p*~q + ~p*q


Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
C.
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
D.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
pXORq = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji na mocy teorii zbiorów

Tabela XOR dla dwóch zbiorów:
Kod:

           |Definicja symboliczna |Definicja symboliczna
p q pXORq  |Teoria zbiorów        |Warunki wystarczające
1 0  =1    | p*~q =1              | p=>~q=1
1 1  =0    | p* q =0              | p=> q=0
0 1  =1    |~p* q =1              |~p=> q=1
0 0  =0    |~p*~q =0              |~p=>~q=0

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Warunki wystarczające opisane są prawidłowo wyłącznie dla przypadku gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q jest zbiorem pustym.
~p*~q=0
Zachodzi wówczas równoważność jak niżej.

Nietypowa równoważność dla zbiorów rozłącznych:

p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)=1*1=1

Przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)=1*1=1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej
Dziedzina: człowiek
Możliwe zbiory: mężczyzna, kobieta
Stąd poprawność powyższej równoważności

Nietypowa implikacja prosta dla zbiorów rozłącznych:


Definicja warunku wystarczającego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

p=>~q=1
Zbiory:
p*~q=1*1=1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku jeden
p=> q=0
Zbiory:
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne,
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

p=>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
Zajście p wystarcza dla zajścia ~q


Definicja warunku koniecznego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

~p~> q=1
Zbiory:
~p*q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną,
co wymusza w wyniku jeden
~p~~>~q=1
Zbiory:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną,
co wymusza w wyniku jeden

~p~>q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p jest warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
~> - warunek koniczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
~p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Bycie psem wystarcza aby nie być kotem
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest kotem
P=>K=0 - zbiory rozłączne
... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Kod:

               |P ~K P=>~K
A: P=>~K=1     |1  1  =1
B: P=> K=0     |1  0  =0
C:~P~> K=1     |0  0  =1
D:~P~~>~K=1    |0  1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
               |P=1, ~P=0
               |~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23116
Przeczytał: 43 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 15:56, 25 Maj 2012    Temat postu:

Ciekawy jest wyjątek gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma milion łap
P=>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML p=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P=> ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.

Identyczną analizę otrzymamy gdy zbiór q należy do innej dziedziny niż zbiór p

A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
Bycie psem wystarcza aby nie być samochodem
Dziedzina po stronie p: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q: zbiór wszystkich maszyn jeżdżących
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest samochodem
P=>S=0
Zbiory:
P*S=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym (S=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

.. a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może być samochodem
~P~>S=0
Zbiory:
~P*S = 1*0=0
Zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym, stąd w wyniku zero.
W linii C będziemy mieli sekwencję (0 0 =0) co wyklucza zarówno implikację, jak i równoważność.
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym o definicji w liniach A i B.


15.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności

Implikacja

Rozważmy dwa zbiory p i q...
Wspólna dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Zbiór p:
p=[2]
~p = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2
Dla poprzednika p musi być spełniony fundament algebry Boole’a
p+~p=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
p*~p=0 - zbiory rozłączne
ok.

Zbiór q:
q=[2,3]
~q = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2,3
Także dla następnika q musi być spełniony fundament algebry Boole’a:
q+~q=1 - ~q jest uzupełnieniem q do dziedziny
q*~q=0 - zbiory rozłączne
ok.

Twierdzenie:
W implikacji i równoważności po stronie p i q musi być spełniony fundament algebry Boole’a!
p+~p=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
p*~p=0 - zbiory rozłączne

Wnioski:
1.
Dla wyżej wymienionych zbiorów spełniony jest warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
2.
Zbiory p i q nie są tożsame, zatem na pewno to jest implikacja prosta (równoważność wykluczona).



A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 bo 2
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną (2), co wymusza w wyniku jeden.
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=0
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q



C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 bo 4,5,6....
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> aby zaszło ~q (bo 3)
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną (4,5,6...), co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 bo 3
Zbiory:
~p*q=3
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną (3), co wymusza w wyniku jeden.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową implikacji prostej.
Kod:

             |p q p=>q
A: p=> q=1   |1 1 =1
B: p=>~q=0   |1 0 =0
C:~p~>~q=1   |0 0 =1
D:~p~~>q=1   |0 1 =1


Zauważmy że spełniona jest wyżej definicja implikacji w zbiorach:
Implikacja to trzy rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej!
A=[2]
C=[3]
D=[4,5,6..]


Równoważność



Rozważmy dwa zbiory p i q...

Wspólna dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Zbiór p:
p=[2]
~p = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2
Dla poprzednika p musi być spełniony fundament algebry Boole’a
p+~p=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
p*~p=0 - zbiory rozłączne
ok.

Zbiór q:
q=[2]
~q = zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem 2
Dla poprzednika p musi być spełniony fundament algebry Boole’a
q+~q=1 - ~p jest uzupełnieniem p do dziedziny
q*~q=0 - zbiory rozłączne
ok.

Wnioski:
1.
Dla wyżej wymienionych zbiorów spełniony jest warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
2.
Zbiory p i q są tożsame, zatem na pewno jest to równoważność.

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 bo 2
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają cześć wspólną (2), co wymusza w wyniku jeden.
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
p=>~q=0
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

.. a jeśli zajdzie ~p?
W równoważności zachodzi:
p=>q = ~p=>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 bo 1, 3,4,5...
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => aby zaszło ~q
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną (1, 3,4,5,6...), co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
Zbiory:
~p*q=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ) lecz są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
otrzymujemy tabele zero-jedynkową równoważności.
Kod:

             |p q p=>q
A: p=> q=1   |1 1 =1
B: p=>~q=0   |1 0 =0
C:~p=>~q=1   |0 0 =1
D:~p=> q=0   |0 1 =0


Zauważmy że spełniona jest wyżej definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej.
A=[2]
C=[1, 3,4,5,6...]
p<=>q = ~p<=>~q
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q
p=[2], q=[2]

Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q
~p=[1,3,4,5...]
~p=[1,3,4,5...]

Podsumowanie:
Sztuczne ograniczanie dziedziny w zbiorze liczb naturalnych jak wyżej pozbawione jest sensu, bowiem będziemy wówczas mieli „matematykę” życzeniową.

Odpowiednikiem takich działań w świecie rzeczywistym są:
1.
Wybijam wszystkie zwierzątka mające cztery łapy z wyłączeniem psów.
Wtedy mam taką równoważność:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy ma cztery łapy
P<=>4L = (P=>4L)*(~P=>~4L)=1*1=1
2.
Wybijam wszystkie zwierzątka zostawiając psa, kurę, i kota.
Dziedzina: pies, kura, kot
Na tym 3-elementowym zbiorze zachodzi oczywiście implikacja prosta:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies
B.
P=>~4L=0
... a nie pies?
Prawo Kubusia:
P=>4L=~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P~~>4L=1 bo kot

Jest oczywistym, że tego typu poczynania to „matematyka” życzeniowa, mająca zero wspólnego z otaczającą nas rzeczywistością.




16.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


16.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


16.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno nie ma czterech łap lub ćwierka
P+K => ~4L+C =0
p=>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty.
stąd:

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja następnika.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w następniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

P+K=> 4L*~C=1*1=1
P+K=> 4L* C=1*0=0
P+K=>~4L*~C=0*1=0
P+K=>~4L* C=0*0=0

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy następnika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


16.3 Złożona implikacja odwrotna

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu, możemy to robić wyłącznie w implikacjach bezczasowych. Oba zdania będą prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie (pkt. 6.1).
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K
Po stronie poprzednika mamy tu prawdę powstałą z negacji fałszu (~C=1) którą możemy sunąć ale nie musimy tego robić.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
p~>q=1
Posiadanie czterech łap i brak umiejętności ćwierkania jest warunkiem koniecznym aby być psem lub kotem.
Zbiory:
(4L*~C)*(P+K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (P+K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
Obliczanie ~q:
q=P+K
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~q = ~P*~K
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~~> nie być psem i nie być kotem
4L*~C ~~> ~P*~K =1 bo słoń, koń, hipopotam ...
p~~>~q=1
Zbiór zwierząt mających cztery łapy i nie ćwierkających ma część wspólną ze zbiorem zwierząt nie będących psami i nie będących kotami (słoń, koń, hipopotam...).
Zbiory:
(4L*~C)*(~P*~K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (~P*~K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

... a jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
4L*~C ~> P+K
stąd:
~4L+C => ~P*~K

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => nie jest psem i nie jest kotem
~4L+C => ~P*~K =1 bo wąż, mrówka, wróbelek ...
~p=>~q=1
Brak czterech łap lub ćwierkanie jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem i nie być kotem.
Zbiory:
(~4L+C)*(~P*~K)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (~P*~K)=1)]i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => jest psem lub kotem
~4L+C => P+K =0
~p=>q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap lub ćwierkających jest rozłączny ze zbiorem psów lub kotów, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(~4L+C)*(P+K)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (P+K)=1)] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
B: (4L*~C) ~> (~P*~K) = D: (~4L+C) => (P+K) =0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
Kod:

Definicja       |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna     |p q p~>q
A: p~> q =1     |1 1  =1
B: p~~>~q=1     |1 0  =1
C:~p=>~q =1     |0 0  =1
D:~p=> q =0     |0 1  =0
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w skrócie jest implikacją odwrotną

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja poprzednika.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w poprzedniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

 4L*~C=1*1=1 ~>P+K
 4L* C=1*0=0 ~>P+K
~4L*~C=0*1=0 ~>P+K
~4L* C=0*0=0 ~>P+K

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy poprzednika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


16.4 Zdania złożone typu p+(q*r)

Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.

Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...

Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  0   1         0  0  1   1     0            1
1 0 1  0   1         0  1  0   1     0            1
1 0 0  0   1         0  1  1   1     0            1
0 1 1  1   1         1  0  0   0     0            1
0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
B: 0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
C: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


16.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).

Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  1   1         0  0  1   0     0            1
1 0 1  1   1         0  1  0   0     0            1
1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)]

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
B: 0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
C: 0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
D: 0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
E: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


17.0 Obietnice i groźby

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q)
To jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że:
Groźba = implikacji odwrotna (p~>q = ~p=>~q)
Dowód na przykładzie …


17.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania czekolady.
Obietnica, zatem implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q), tu wszyscy się zgadzamy
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki
Skoro to warunek wystarczający => to na mocy definicji:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości!
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary, oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować!
gdzie:
~> - warunek konieczny
~~> - naturalny spójnik "może", jest taka możliwość.

Z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną!

Jedyne możliwe definicje obietnicy i groźby są zatem takie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


17.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!)
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do AND i OR to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


17.3 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych.

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


17.4 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


17.5 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
B.
p=>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to nie dostaniesz czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B=>~C+~D =0
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary
C: C*~D=0 - tu również jest kara
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą i definicją groźby.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranocki
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


17.6 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W~>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać kare w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


17.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 17.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


17.8 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

Raj, 2012-05-09
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin