Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Posty z matematyki.pl

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 2:57, 15 Lut 2013    Temat postu: Posty z matematyki.pl

[link widoczny dla zalogowanych]

[link widoczny dla zalogowanych]
leszczu450 napisał:
Cześć : )

Zabrałem się za lekture prof. Urzyczyna z UW. Mianowicie ejst to skrypt dla studentów informatyki.

Pada tam taki przykład:
Zdanie: "A tylko (wtedy) gdy B" odpowiada implikacji A=>B, natomiast zdaniem: "A wtedy gdy B" stwierdzamy implikacje B => A.

Dla mnie nie am różnicy pomiędzy pierwszym, a drugim zdaniem. A dla Was? Wątpie, żeby to był bład w skrypcie.

Pozdrawiam : )


[link widoczny dla zalogowanych]
leszczu450 napisał:
"A tylko (wtedy) gdy B"
"A wtedy gdy B"

To tylko robi aż taką róznicę?!

A taki przykład: Zdam egzamin tylko wtedy gdy bede sie uczyl.
p - zdam egzamin
q - będe się uczył
Zadam to zdanie ma postać q => p.
A w pierwsyzm poscie jest na odwrót implikacje odnosnie tego zdania z 'tylko'.


Jan Kraszewski napisał:
leszczu450 napisał:
To tylko robi aż taką róznicę?!

Robi.

leszczu450 napisał:
A taki przykład: Zdam egzamin tylko wtedy gdy bede sie uczyl.
p - zdam egzamin
q - będe się uczył
Zadam to zdanie ma postać q => p

Nieprawda, nie ma takiej postaci. Zdanie q => p oznacza, że gdy się będziesz uczył, to zdasz. A możesz przecież zdać nie ucząc się...

JK

leszczu450 napisał:
Czyli jaką postać ma to zdanie? p=> q ?


Jan Kraszewski napisał:
Tak.

Jeżeli zdałeś, to musiałeś się uczyć, bo tylko wtedy mogłeś zdać egzamin.

JK


leszczu450 napisał:
Jak to? Mogłem nie zdać , a się uczyć.


Jan Kraszewski napisał:
I co z tego?

JK


leszczu450 napisał:
Jan Kraszewski, mógłby mi Pan to w końcu wyjaśnić normalnie. Definitywnie widzi Pan, że tego nie rozumiem.


Jan Kraszewski napisał:
Tyle, że nie jestem pewien, czego nie rozumiesz.

JK

leszczu450 napisał:
Nie rozumiem tego:
Zdanie: "A tylko (wtedy) gdy B" odpowiada implikacji A=>B.


Jan Kraszewski napisał:
A tylko wtedy, gdy B oznacza, że jeśli warunek B nie jest spełniony, to A nie może zajść, czyli ~B =>~A.

JK


leszczu450 napisał:
A z kontrapozycji to jest to samo co A => B tak? : )

-- 5 lut 2013, o 00:07 --

A drugie: A wtedy gdy B. Zatem mogę tak jak Pan postąpić i stwierdzić , że gdy nie zachodzi B to nie zachodzi A?


Jan Kraszewski napisał:
leszczu450 napisał:
A z kontrapozycji to jest to samo co A => B tak? : )

Tak.

leszczu450 napisał:
A drugie: A wtedy gdy B. Zatem mogę tak jak Pan postąpić i stwierdzić , że gdy nie zachodzi B to nie zachodzi A?

Ale po co? Przecież w tym sformułowaniu od razu widać, że B jest założeniem, a A tezą.

JK


Jak widzimy, leszczu450 przeszedł niezłe maglowanie mózgu … a i tak tego nie rozumie.

Przykład leszcza450:
[link widoczny dla zalogowanych]
leszczu450 napisał:
"A tylko (wtedy) gdy B"
"A wtedy gdy B"

To tylko robi aż taką róznicę?!

A taki przykład: Zdam egzamin tylko wtedy gdy bede sie uczyl.
p - zdam egzamin
q - będe się uczył
Zadam to zdanie ma postać q => p.
A w pierwsyzm poscie jest na odwrót implikacje odnosnie tego zdania z 'tylko'.

Na gruncie algebry Kubusia cały ten problem jest na poziomie 5-cio latka!
A.
Jeśli będę się uczył to mogę~> zdać egzamin
U~>E =1
Uczenie się jest warunkiem koniecznym abym zdał egzamin
lub
B.
Jeśli będę się uczył to mogę ~~> nie zdać egzaminu
U~~>~E =1 - oczywistość
.. a jeśli nie będę się uczył?
Prawo Kubusia:
U~>E = ~U=>~E
stąd:
C.
Jeśli nie będę się uczył to na pewno => nie zdam egzaminu
~U=>~K=1
stąd:
D.
Jeśli nie będę się uczył to mogę ~> zdać egzamin
~U~~>E=0

Prawo Tygryska:
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym (zdanie A) przechodzi w implikację prostą w czasie przeszłym

W tym przypadku zdanie odwrotne ma sens przy założeniu że nie wiemy czy egzamin został zdany

Stąd:
A.
Jeśli zdałeś egzamin to na pewno => się uczyłeś
E=>U=1
stąd:
B.
Jeśli zdałeś egzamin to mogłeś ~~> się nie uczyć
E~~>~U=0
… a jeśli nie zdałem egzaminu?
Prawo Kubusia:
E=>U = ~E~>~U
C.
Jeśli nie zdałeś egzaminu to mogłeś się nie uczyć
~E~>~U=1
lub
D.
Jeśli nie zdałeś egzaminu to mogłeś ~~> się uczyć
~E~~>U=1

Porównajmy to z wyjaśnieniem dr. Jana Kraszewskiego
Jan Kraszewski napisał:
Tak.

Jeżeli zdałeś, to musiałeś się uczyć, bo tylko wtedy mogłeś zdać egzamin.

JK

Patrz pierwsze zdanie w czasie przeszłym w analizach Kubusia:
A.
Jeśli zdałeś egzamin to na pewno => się uczyłeś
E=>U=1

Porównajmy to z czasem przyszłym w algebrze Kubusia:
A.
Jeśli będę się uczył to mogę~> zdać egzamin
U~>E

Oczywiście przyszłość (0% determinizmu) to fundamentalnie co innego niż przeszłość (100% determinizmu).

Stąd prawo kontrapozycji w implikacji w poprawnej matematyce ma postać:
U~>E = ~U=>~E ## E=>U = ~E~>~U
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy definicji implikacja odwrotna to fundamentalnie co innego niż implikacja prosta!

Implikacja odwrotna ## implikacja prosta
p~>q = ~p=>~q ## p=>q = ~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jak kto obali to natychmiast kasuję AK.

Do dzieła Panowie :)

P.S.
Wracając do pierwszego postu:
[link widoczny dla zalogowanych]
leszczu450 napisał:
Cześć : )

Zabrałem się za lekture prof. Urzyczyna z UW. Mianowicie ejst to skrypt dla studentów informatyki.

Pada tam taki przykład:
Zdanie: "A tylko (wtedy) gdy B" odpowiada implikacji A=>B, natomiast zdaniem: "A wtedy gdy B" stwierdzamy implikacje B => A[/tex].

Dla mnie nie am różnicy pomiędzy pierwszym, a drugim zdaniem. A dla Was? Wątpie, żeby to był bład w skrypcie.

Pozdrawiam : )

To jest totalnie chore!

Poprawne matematycznie w implikacji jest tak.
A=>B = ~A~>~B ## B~>A = ~B=>~A
Patrz przykład wyżej.

Czyli:
Implikacja prosta - definicja:
A=>B = ~A~>~B
A=>B
Jeśli A to na pewno => B
Zbiór A zawiera się w zbiorze B i nie jest tożsamy ze zbiorem B
A jest wystarczające dla B

Implikacja odwrotna - definicja:
B~>A = ~B=>~A
B~>A
Jeśli B to może ~> zajść A
Zbiór B zawiera w sobie zbiór A i nie jest tożsamy ze zbiorem A
B jest konieczne dla A

… a to z tym rozróżnianiem „tylko” i bez „tylko”, to nie jest naturalna logika człowieka, to nie jest matematyka!
Oczywiście można powiedzieć:
Zdam egzamin gdy będę się uczył
Zdam egzamin tylko wtedy gdy będę się uczył
… ale matematycznie te zdania są tożsame bo „tylko wtedy” jest tu spójnikiem domyślnym.
Identycznie jak spójnik „na pewno”=>:
p=>q

Rozróżnienia „wtedy” od „tylko wtedy” żaden normalny człowiek nie zrozumie co widać na przykładzie „Leszcza450”.

Biedni Ziemianie nie odróżniają implikacji (przykład wyżej) od warunku wystarczającego => występującego w równoważności. W równoważności przemienność argumentów zachodzi i tu prawdziwe będzie zarówno zdanie p=>q jak i q=>p.

A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno zachodzi suma kwadratów
TP=>SK

Oczywiście warunek wystarczający => w drugą stronę też zachodzi
B.
Jeśli SK to na pewno => TP
SK=>TP=1
Stąd:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)=1*1=1
Piękna równoważność!

Oczywiście matematycznie zachodzi:
TP=>SK ## SK=>TP ## TP<=>SK
gdzie:
## = różne na mocy definicji.

Oczywiście w równoważności poprawne jest prawo kontrapozycji w tej formie:
TP=>SK = ~SK=>~TP
… ale te zdania to nie są implikacje lecz wyłącznie warunki wystarczające o definicji:
p=>q=1
p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q

To jest nieprawdopodobnie proste!
Dlaczego nie uczy się tych banałów w matematyce Ziemian?
Jak długo Ziemianie będą sobie prać nawzajem mózgi badziewiem zwanym KRZ?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 20:54, 11 Mar 2013, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 2:58, 15 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]



Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
„tylko wtedy” i „wtedy” z logiki Ziemian

[link widoczny dla zalogowanych]
leszczu450 napisał:
Cześć : )

Zabrałem się za lekture prof. Urzyczyna z UW. Mianowicie ejst to skrypt dla studentów informatyki.

Pada tam taki przykład:
Zdanie: "A tylko (wtedy) gdy B" odpowiada implikacji A=>B, natomiast zdaniem: "A wtedy gdy B" stwierdzamy implikacje B => A.

Dla mnie nie am różnicy pomiędzy pierwszym, a drugim zdaniem. A dla Was? Wątpie, żeby to był bład w skrypcie.

Pozdrawiam : )

Leszczu ma rację gdy twierdzi że nie ma różnicy między zdaniami:
A tylko (wtedy) gdy B
A wtedy gdy B

Leszczu byłby w błędzie gdyby twierdził że nie ma różnicy między zdaniami A=>B i B=>A (ale tego nie twierdzi).
Różnica między A=> i B=>A jest zawsze, obojętnie czy mamy do czynienia z implikacją czy równoważnością.
Wniosek:
Biedny Leszczu jest tuż przed praniem mózgu ... niestety mózg musi być wyprany z naturalnej logiki człowieka, inaczej nie ma mowy o skończeniu studiów matematycznych. Szczęśliwcami są tu inżynierowie którzy nie mają bladego pojęcia co to jest pralnia mózgów zwana KRZ.

Implikacja prosta - definicja:
A=>B = ~A~>~B
A=>B
Zbiór A zawiera się w zbiorze B i nie jest tożsamy ze zbiorem B (jak tożsamy to mamy zupełnie inną bajkę - równoważność)
Zajście A jest wystarczające => dla zajścia B
Wymuszam A i musi pojawić się B

Implikacja odwrotna - definicja:
B~>A = ~B=>~A
B~>A
Zbiór B zawiera w sobie zbiór A i nie jest tożsamy ze zbiorem A (jak tożsamy to mamy zupełnie inną bajkę - równoważność)
Zajście B jest konieczne ~> dla zajścia A
Zabieram B i musi zniknąć A

Matematycznie zachodzi:
A=>B = ~A=>~B ## B~>A = ~B=>~A
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Równoważność:
A<=>B = (A=>B)*(B=>A)
Gdzie:
A<=>B ## A=>B ## B=>A
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywiście A=>B i B=>A to tylko warunki wystarczające => o definicji:
p=>q=1
p~~>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p zawiera się w zbiorze q
Z czego wynika że zajście p jest wystarczające dla zajścia q

W równoważności zachodzi:
A=>B
zbiór A zawiera w sobie zbiór B i jest tożsamy ze zbiorem B
z czego wynika iż:
Zbiór B zawiera w sobie zbiór A i jest tożsamy ze zbiorem A

Wobec tożsamości zbiorów A i B są spełnione także warunki konieczne wirtualne [~>].
[B~>A] - zbieram B i znika mi A
[A~>B] - zabieram A i znika mi B

Stąd popularna definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => rzeczywistego i wirtualnego koniecznego [~>] między A i B.
A<=>B = (A=>B)*[A~>B]

Dlaczego to się nazywa wirtualny warunek konieczny [~>] ... bo spełniona jest ogólna definicja warunku koniecznego, co widać wyżej, ale wobec tożsamości zbiorów A i B nie ma tu mowy o "rzucaniu monetą" - fundamencie implikacji.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
równoważność ## implikacja prosta ## implikacja odwrotna
p<=>q=(p=>q)*(q=>p) ## p=>q=~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Aksjomatyczna definicja równoważności wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Prawa Kubusia poprawne w równoważności:
p=>q = [~p~>~q]
[p~>q]= ~p=>~q

Prawa kontrapozycji poprawne w równoważności:
p=>q = ~q=>~q
~p=>~q = q=>p

Stąd mamy całą masę tożsamych definicji równoważności z których najważniejsze są trzy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Definicja uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Definicja popularna z języka mówionego:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Do zajścia q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p

SK<=>TP = (SK=>TP)*[SK~>TP]
Do tego aby trójkąt był prostokątny, potrzeba ~> i wystarcza =>, aby zachodziła suma kwadratów

Dlaczego nikt nie potrafi wyjaśnić tych banałów na poziomie 5-cio latka Leszczowi450?

rafal3006 napisał:

… a to z tym rozróżnianiem „tylko” i bez „tylko”, to nie jest naturalna logika człowieka, to nie jest matematyka!
Oczywiście można powiedzieć:
Zdam egzamin gdy będę się uczył
Zdam egzamin tylko wtedy gdy będę się uczył
… ale matematycznie te zdania są tożsame bo „tylko wtedy” jest tu spójnikiem domyślnym.
Identycznie jak spójnik „na pewno”=>:
p=>q


To jest oczywista forma równoważności, bo zdania tożsame to:
Zdam egzamin gdy będę się uczył
Zdam egzamin tylko wtedy gdy będę się uczył
Zdam egzamin wtedy i tylko wtedy gdy będę się uczył

Oczywiście możliwe jest że będę się uczył i nie zdam egzaminu, zatem mamy implikacje odwrotną:
A.
Jeśli będę się uczył to mogę ~> zdać egzamin
U~>E

Oczywiście zdanie odwrotne w czasie przyszłym jest tu bez sensu:
AO:
Jeśli zdam egzamin to na pewno => będę się uczył
E=>U
czy też równie bezsensowne zdanie:
AO1:
Jeśli zdam egzamin to może będę się uczył
E~>U

Oczywiście w implikacji nie zachodzi przemienność argumentów:
A # AO

Przemienność argumentów zachodzi w równoważności, ale to zupełnie inna bajka niż implikacja!
Wyjaśnienie w poprzednim poście.

Porównajmy to z tym:
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C
Dostaniesz czekoladę gdy powiesz wierszyk
Dostaniesz czekoladę wtedy gdy powiesz wierszyk
Dostaniesz czekoladę tylko wtedy gdy powiesz wierszyk
Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy gdy powiesz wierszyk

Oczywiście wszystkie te zdania są matematycznie tożsame, bo prawo wręczenia czekolady mimo iż dziecko nie powie wierszyka gwarantuje definicja obietnicy!

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

.. a człowiek może sobie pieprzyć co mu się podoba np.

Jeśli nie powiesz wierszyka to na 1000% nie dostaniesz czekolady

… to tylko pieprzenie kotka za pomocą młotka, kompletnie bez znaczenia wobec definicji obietnicy.

Wniosek:
Człowiek podlega pod matematykę ścisłą (AK) a nie ją tworzy (KRZ)

Różnica między AK a KRZ jest więc fundamentalna.

Człowiek nie jest autorem ani jednego prawa matematyczno-fizycznego w naszym Wszechświecie. Człowiek to tylko odkrywca.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 19:54, 15 Lut 2013, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 19:40, 15 Lut 2013    Temat postu:

norwimaj napisał:

rafal3006 napisał:

W świecie techniki bez problemu mogę wymusić, aby dowolna zmienna była równa [tex]1[/tex] albo [tex]0[/tex].

To prawda, ale nie tego dotyczyło zadanie. Jeśli już chcesz to rozwiązywać w oparciu o algebry L-T, to musi to być algebra [tex]B(\emptyset)[/tex], a nie [tex]B(\{\neg q\})[/tex], bo inaczej używasz nie tylko implikacji, ale też negacji.

Widzę że zupełnie nie rozumiesz rachunku zdań. Klocki, z których się buduje formuły rachunku zdań, to zmienne zdaniowe i spójniki. Nie ma żadnego "podłączania jakiejś zmiennej do zera".

Weźmy zadanie podobne:
Udowodnij że dysponując wyłącznie operatorem NOR albo NAND można zbudować dowolny operator logiczny.

Dowód:
Definicja operatora NAND:
[tex]Y= \neg (p*q) = \neg p+ \neg q[/tex]
Definicja operatora NOR:
[tex]Y= \neg (p+q) = \neg p* \neg q[/tex]
Fundamentem dowodu jest dowód, iż z tych definicji da się wyprowadzić definicję operatora negacji.

Zajmijmy się NAND (w NOR będzie analogicznie)
Definicja operatora NAND:
[tex]Y= \neg (p*q) = \neg p+ \neg q[/tex]

Jak wyprowadzić operator negacji?

Można to zrobić na wiele sposobów:
1.
[tex]Y= \neg (p*q)[/tex]
Zwieramy wejścia [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] i mamy operator negacji:
[tex]Y = \neg r[/tex]
2.
Wymuszamy [tex]q=1[/tex] i mamy operator negacji:
[tex]Y= \neg (p*q) = \neg (p*1) = \neg p[/tex]
3.
[tex]Y= \neg p+ \neg q[/tex]
Ustawiamy:
[tex]\neg q=0[/tex]
i mamy operator negacji:
[tex]Y= \neg p + 0 = \neg p[/tex]

Mając operator negacji plus definicję NAND (NOR) mamy wyżej wszystko, możemy zbudować dowolny operator logiczny.
Oczywiście nie może być tak że którykolwiek z dowodów w bramkach logicznych wyżej (to jest świat rzeczywisty!) obalisz jakimś tam rachunkiem zdań.

Twój zarzut że nie wolno mi tutaj używać operatora negacji jest chybiony, bo ten operator uzyskaliśmy z samej bramki NAND, której oczywiście wolno nam użyć w dowolnych ilościach.

Czy zgadzasz się z powyższym?

P.S.
norwimaj napisał:

W przypadku tak prostego zadania można chyba cały dowód przytoczyć?

Pełny dowód dla zadania A oczywiście mam, ale najpierw chcę się dowiedzieć czy rozumiesz i akceptujesz to co wyżej.

-- 17 lutego 2013, 14:30 --



[size=150]Wykłady z algebry Kubusia[/size]

Temat:
Rzeczywista budowa operatorów OR i AND
… jest fundamentalnie inna niż to się Ziemianom wydaje.

norwimaj napisał:

W przypadku tak prostego zadania można chyba cały dowód przytoczyć? Moim zdaniem nie wystarczy napisać, że dowód jest dziecinnie prosty i masz ten dowód gdzieś. Taka informacja jest bezużyteczna dla osoby chcącej zobaczyć rozwiązanie zadania. Chociaż link do dowodu wypada podać.

ok.

martin_bar napisał:
a)
Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji.


Wstęp teoretyczny:

We „Wstępie do matematyki” [link widoczny dla zalogowanych] znajduje się dowód iż matematycy znają algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań logicznych opisujących tą tabelę.

Fundamentem algorytmu [link widoczny dla zalogowanych] są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Definicje rodem z technicznej algebry Boole’a spójników „i”(*) i „lub”(+) są następujące.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
[tex]Y = (A1*A2*...An)=1 \Leftrightarrow A1=1 i A2=1 i ... An=1[/tex]

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
[tex]Y = (A1+A2+...An)=1 \Leftrightarrow A1=1 lub A2=1 lub ... An=1[/tex]

W swoim algorytmie prof. Newelski musiał skorzystać i korzysta z najważniejszych praw algebry Boole’a:
[tex]p=0 \Leftrightarrow \neg p=1[/tex]
[tex]p=1 \Leftrightarrow \neg p=0[/tex]

Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Bo człowiek w swojej naturalnej logice operuje wyłącznie równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Bez tych praw niemożliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, bo niemożliwe jest przejście z tabeli zero-jedynkowej do równań logicznych ja opisujących i z powrotem.

Wszelkie prawa logiczne opisane są równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Wyłącznie w logice symbolicznej (równania algebry Boole’a) mamy dostęp do wszystkich praw logicznych i możemy z nich swobodnie korzystać np. prawo przejścia do logiki ujemnej i z powrotem.

Dlaczego nie ma tych praw w żadnym podręczniku matematyki i Wikipedii?
… oto jest pytanie.

Algorytm prof. Newelskiego poznamy na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[tex]\begin{tabular}{rcl}
p & q & Y=p+q \\
A: 1 & 1 & 1 \\
B: 1 & 0 & 1 \\
C: 0 & 1 & 1 \\
D: 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3
\end{tabular}[/tex]
W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:
1.
Spis z natury:
[tex]A: Y=1 \Leftrightarrow p=1 i q=1[/tex]
lub
[tex]B: Y=1 \Leftrightarrow p=1 i q=0[/tex]
lub
[tex]C: Y=1 \Leftrightarrow p=0 i q=0[/tex]

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
[tex]p=0 \Leftrightarrow \neg p=1[/tex]
Jeśli [tex]p=0[/tex] to [tex]\neg p=1[/tex]

Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
[tex]A: Y=1 \Leftrightarrow p=1 i q=1[/tex]
lub
[tex]B: Y=1 \Leftrightarrow p=1 i \neg q=1[/tex]
lub
[tex]C: Y=1 \Leftrightarrow \neg p=1 i \neg q=1[/tex]

3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
[tex]Y = p*q + p* \neg q + \neg p* \neg q[/tex]

Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.
Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
[tex]Y=p+q[/tex]
na mocy definicji spójnika „lub”(+).

Stąd mamy tożsamość matematyczną:
[tex]Y = p+q[/tex]
[tex]Y = p*q + p* \neg q + \neg p* \neg q[/tex]
[tex]Y=Y[/tex]

stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
[tex]Y = p+q = p*q + p* \neg q + \neg p* \neg q[/tex]
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.

Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!

Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
[tex]Y = p+q = (p*q) + (p* \neg q) + ( \neg p* \neg q)[/tex]

2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
[tex]\neg Y = \neg p* \neg q = ( \neg p+ \neg q)*( \neg p+q)*(p+q)[/tex]
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.

W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia [tex]Y[/tex] i [tex]\neg Y[/tex] to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
[tex]\begin{tabular}{rcl}
p & q & Y=p+q \\
A: 1 & 1 & 1 \\
B: 1 & 0 & 1 \\
C: 0 & 1 & 1 \\
D: 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 3
\end{tabular}[/tex]
Postępujemy identycznie jak wyżej algorytmem prof. Newelskiego

1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
[tex]Y=0 \Leftrightarrow p=0 i q=0[/tex]

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
[tex]p=0 \Leftrightarrow \neg p=1[/tex]
Jeśli [tex]p=0[/tex] to [tex]\neg p=1[/tex]

Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
[tex]\neg Y=1 \Leftrightarrow \neg p=1 i \neg q=1[/tex]

3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
[tex]\neg Y= \neg p* \neg q[/tex]
co matematycznie oznacza:
[tex]\neg Y=1 \Leftrightarrow \neg p=1 i \neg q=1[/tex]

Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.

Równanie opisujące linię D123:
[tex]\neg Y= \neg p* \neg q[/tex]
co matematycznie oznacza:
[tex]\neg Y=1 \Leftrightarrow \neg p=1 i \neg q=1[/tex]

Przejście do logiki przeciwnej [tex](Y)[/tex] poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
[tex]Y=p+q[/tex]
co matematycznie oznacza:
[tex]Y=1 \Leftrightarrow p=1 lub q=1[/tex]

Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
[tex]\begin{tabular}{rcll}
p & q & Y=p+q \\
A: 1 & 1 & 1 & /Y=p*q \\
B: 1 & 0 & 1 & /Y=p* \neg q \\
C: 0 & 1 & 1 & /Y= \neg p * q\\
D: 0 & 0 & 0 & / \neg Y= \neg p * \neg q\\
1 & 2 & 3
\end{tabular}[/tex]
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Wniosek:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ rówań logicznych:
[tex]A: Y=p+q[/tex]
[tex]B: \neg Y= \neg p* \neg q[/tex]

Związek logiki dodatniej [tex](Y)[/tex] i ujemnej [tex]( \neg Y)[/tex]:
[tex]Y= \neg ( \neg Y)[/tex]

Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
[tex]Y = p+q = \neg ( \neg p* \neg q)[/tex]

Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie!
[tex]Y = p+q = \neg ( \neg p* \neg q)[/tex]

Dowód:
Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.

Definicja operatora OR:
1.
[tex]Y = p+q = \neg ( \neg p* \neg q)[/tex]

Dowód:
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
[tex]y = \neg p + \neg q = \neg (p*q)[/tex]

3.
Negujemy wyjście y:
[tex]\neg y = \neg ( \neg p+ \neg q) = p*q[/tex]

Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną [tex]( \neg y)[/tex] w stosunku do operatora OR (1).

Zauważmy że równanie:
[tex]Y=p+q[/tex]
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
[tex]\neg Y= \neg p+ \neg q[/tex]

[size=150]Sensacyjny wniosek![/size]

W równaniu logicznym:
[tex]Y=p+q[/tex]
Znaczek [tex]„+”[/tex] nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej!
Znaczek [tex]„+”[/tex] to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej matematyce.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

… bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników!

Czy ktoś czegoś nie rozumie?
Czy ktoś zamierza obalić genialny algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań algebry Boole’a autorstwa [link widoczny dla zalogowanych]


Wracając do naszego zadania

martin_bar napisał:
a)
Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji.


Pełna definicja operatora implikacji prostej:
[tex]p=>q = \neg p+q = \neg (p* \neg q)[/tex]

Doskonale widać, że bez operatora negacji i operatora OR (AND) fizyczna realizacja operatora implikacji nie jest możliwa.

Definicja negatora (operatora negacji):
[tex]Y= \neg p[/tex]

Pełna definicja operatora OR (alternatywy):
[tex]Y = p+q = \neg ( \neg p* \neg q)[/tex]

Pełna definicja operatora AND (koniunkcji):
[tex]Y = p*q = \neg ( \neg p+ \neg q)[/tex]

Zajmijmy się operatorem OR (dla AND będzie symetrycznie):
[tex]Y = p+q = \neg ( \neg p* \neg q)[/tex]
Z równania:
[tex]Y=p+q[/tex]
Nie da się utworzyć operatora negacji koniecznego do realizacji operatora implikacji.
Dowód:
Podstawmy:
[tex]q=0[/tex]
Mamy:
[tex]Y=p+q = p+0 = p[/tex]
W technice to jest definicja operatora transmisji [tex](Y=p)[/tex] a nie negacji [tex](Y= \neg p)[/tex].

Zajmijmy się tożsamym równaniem:
[tex]Y = \neg ( \neg p* \neg q)[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\neg q=1[/tex]
stąd:
[tex]Y = \neg ( \neg p*1) = \neg ( \neg p) = p[/tex]
To również jest operator transmisji.

Rozpatrzyliśmy wyżej KOMPLETNĄ tabelę zero-jedynkową operatora OR, nie uzyskując kluczowego dla naszego zadania operatora negacji [tex](Y= \neg p)[/tex]

Stąd:
Nie da się zrealizować operatora Implikacji z użyciem wyłącznie alternatywy (koniunkcji oczywiście też)
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 15:47, 19 Lut 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 19:42, 15 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

[link widoczny dla zalogowanych]
martin_bar napisał:
a)
Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji.

b)
Udowodnij, że za pomocą równoważności i negacji nie można zdefiniować alternatywy i koniunkcji.

To może pokażę jak to jest w technicznej algebrze Boole’a - przecież to też jest matematyka, zgadza się?
Stosuję notację z technicznej algebry Boole’a:
+ - alternatywa (bramka OR)
* - koniunkcja (bramka AND)

Definicja bramki logicznej implikacji prostej:
Y = p=>q = ~p+q
gdzie:
Y = p=>q - wyjście bramki logicznej

Wymuszając:
q=0
mamy definicję negacji:
Y =~p
Negując p mamy definicję bramki OR:
Y = p+q
Dysponując bramką OR i negatorem możemy zbudować dowolny operator.

Wniosek:
Bramka implikacji prostej jest wystarczająca na to, by zbudować dowolny operator logiczny.

Teraz zadania:
a/
Bramka OR:
Y=p+q
Bramka AND:
Y=p*q

Nie da się z tych bramek w żaden sposób uzyskać negatora, zatem z OR i AND nie zbudujemy żadnego operatora z wyjątkiem OR i AND.
cnd

b/
Równoważność + negator
Nie da się zbudować ani bramki AND, ani OR dysponując bramka równoważności i negatorem.
Y= p <=> q = p*q + ~p* ~q
stąd:
Y= p*q + ~p*~q
gdzie:
Y - wyjście bramki logicznej równoważności

Jeśli zanegujemy p to mamy:
Y= ~p*q + p* ~q
Jeśli wymusimy:
p=1 to mamy
Y = 0*q + 1* ~q = ~q
Nie da się w żaden sposób uzyskać z operatora równoważności ani bramki OR, ani AND, zatem nie da się zbudować z tego zestawu żadnego operatora z wyjątkiem równoważności
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 15:12, 17 Lut 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 5:28, 16 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]
fiklit napisał:
Przerabiasz tę listę podaną przez Słupka jakie dowody nie są dowodami?

Fiklit, zaprezentowałem dziecinne proste dowody ze świata techniki, zrozumiałe dla najgorszej klasy inżyniera, czy nawet dla każdego hobbysty-praktyka.
Nie możesz ich obalić matematyką.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 5:36, 16 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

[link widoczny dla zalogowanych]
norwimaj napisał:

rafal3006 napisał:

Wniosek:
Bramka implikacji prostej jest wystarczająca na to, by zbudować dowolny operator logiczny.

A to bzdura. Jest niewystarczająca z podobnych powodów, jak przedstawione przeze mnie jako rozwiązanie punktu a). Bierzesz wartościowanie przypisujące wszystkim zmiennym prawdę.

Nie możesz wymusić, żeby jakaś zmienna zdaniowa była fałszywa. (na tym się opiera Twój dowód)

Widzę, że zupełnie nie rozumiesz technicznej algebry Boole’a. W świecie techniki bez problemu mogę wymusić, aby dowolna zmienna była równa 1 albo 0.
Y=~p+q
W świecie rzeczywistym podłączasz wejście q powyższego układu do 0 i masz negator. W świecie rzeczywistym dysponując wyłącznie bramką implikacji prostej o definicji jak wyżej bez najmniejszego problemu zbudujesz wszystkie pozostałe operatory, a zatem i dowolny komputer - zapraszam do laboratorium techniki cyfrowej. Nie możesz obalić jakimś tam dowodem „matematycznym” iż nie da się zbudować z operatora implikacji każdego innego operatora, skoro bez problemu da się w świecie rzeczywistym. Jako ciekawostkę mogę dodać iż inżynierowie nie mają najmniejszego pojęcia co to jest prawda/fałsz, zdanie prawdziwe/fałszywe w algebrze Boole’a … a mimo to te komputery im doskonale działają.
norwimaj napisał:

rafal3006 napisał:

zatem z OR i AND nie zbudujemy żadnego operatora z wyjątkiem OR i AND.

W pewnym sensie jest to prawda. Ale na pewno nie w takim, że ze zmiennych [tex]p[/tex] i [tex]q[/tex] oraz spójników [tex]\land[/tex] i [tex]\lor[/tex] możemy zbudować tylko [tex]p\land q[/tex] i [tex]p\lor q[/tex]. Możemy zbudować też [tex]p\lor (p\land q)[/tex].

Nawet jest to jakiś sposób na rozwiązanie zadania, ale musiałbyś go dopracować.

Dowolny operator można zbudować na nieskończenie wiele sposobów, z jedną, jedyną, postacią minimalną.
Prawo algebry Boole’a:
p=p+(p*q)
Dowód:
Y=p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y = ~p*(~p+~q)
~Y = ~p*~p+~p*~q = ~p +~p*~q = ~p*(1+~q) = ~p*1 = ~p
Powrót do logiki dodatniej:
Y=p
cnd
Jak widzisz, nie uzyskałeś swoim równaniem definicji ŻADNEGO operatora logicznego poza Y=p.
Co więcej!
p=p+(p*x)
Za x możesz sobie podstawić dowolnie długą funkcję logiczną z dowolną ilością zmiennych, co nie oznacza że zbudowałeś jakikolwiek inny operator poza poniższym:
Y=p
W technice to się nazywa operator transmisji.
norwimaj napisał:

rafal3006 napisał:

Nie da się w żaden sposób uzyskać z operatora równoważności ani bramki OR, ani AND,

To stwierdzenie, podobnie poprzednie, nieudowodnione.

W świecie techniki to jest dziecinnie prosty dowód, zrozumiały dla każdego inżyniera.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 10:31, 16 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]
fiklit napisał:
"Nie potrafię, więc się nie da" do tego sprowadza się Twój dowód.

martin_bar napisał:
a)
Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji.


Równanie logiczne operatora implikacji prostej jest takie:
Y=~p+q
Zatem aby zbudować operator implikacji muszę mieć dostępny operator negacji o definicji:
Y=~A

Teraz zadania:
a/
A.
Bramka OR:
Y=p+q
B.
Bramka AND:
Y=p*q

Nie da się z tych bramek w żaden sposób uzyskać negatora, zatem z OR i AND nie zbudujemy żadnego operatora z wyjątkiem OR i AND.

Dowód.
W definicjach A i B nie jest dostępny operator negacji przy jakiejkolwiek zmiennej, zatem nie da się uzyskać z nich definicji operatora negacji.
Y=p+q
Podstawiamy:
p=1
Y=p+q=1+q=1
Podstawiamy:
p=0
Y=p+q=0+q=q
Identycznie dla zmiennej q.
cnd

Pełny układ równań logicznych opisujący operator OR jest taki:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Nie wychodziłem z tymi równaniami na matematyce.pl bo raczej pewne jest że nikt tego tam by nie zrozumiał.
Który Ziemianin rozumie logikę dodatnią i ujemną w algebrze Boole'a?
... a bez tego nie istnieje poprawna logika matematyczna!
Powyższe równania to automatyczny dowód iż spójnik logiczny "lub"(+) z naturalnego języka mówionego NIE JEST kompletnym operatorem logicznym!
Leży w gruzach aktualna definicja spójnika logicznego "lub"(+) jako kompletnego operatora logicznego opisanego wszystkimi czterema liniami zero-jedynkowymi.
Dowód:
Y=p+q
Negujesz wszystkie sygnały i nie otrzymujesz, zgodnie z prawem De Morgana definicji ooperatora AND.
~Y=~p+~q
Natomiast negując wszystkie sygnały w układzie równań wyżej bez problemu masz definicję operatora AND.
cnd

Wracając do tematu:
Y=~(~p*~q) = p+q
Także z równania B nigdy nie uzyskasz operatora negacji o definicji:
Y=~A

Y=~(~p*~q)
Podstawiamy:
~p=1
Y=~(1*~q) = q
~p=0
Y=~(0*~q)=1
Wniosek:
Nie da się uzyskać symbolicznej definicji operatora negacji z bramki OR zatem nie da się zbudować z bramki OR jakiegokolwiek operatora logicznego w wyjątkiem samej bramki OR.
cnd

P.S.
norwimaj napisał:

rafal3006 napisał:

Wniosek:
Bramka implikacji prostej jest wystarczająca na to, by zbudować dowolny operator logiczny.

A to bzdura. Jest niewystarczająca z podobnych powodów, jak przedstawione przeze mnie jako rozwiązanie punktu a). Bierzesz wartościowanie przypisujące wszystkim zmiennym prawdę.

Nie możesz wymusić, żeby jakaś zmienna zdaniowa była fałszywa. (na tym się opiera Twój dowód)

Fiklit, a co to za bzdury wypisuje norwimaj iż w definicji operatora implikacji prostej:
Y=~p+q
nie wolno mi podstawić:
q=0?
i mam definicję operatora negacji:
Y=~p
Czy naprawdę matematyka ziemian jest aż tak beznadziejna iż nie potrafi udowodnić iż z operatora implikacji prostej o definicji wyżej można w świecie rzeczywistym zbudować każdy operator?!

Pytanie co tu jest złe?
1.
Rzeczywistość w której bez problemu każdy, nawet początkujący potrafi z bramki implikacji prostej zbudować dowolny operator logiczny.
2.
Czy też matematyka norwimaja twierdząca iż nie jest to możliwe


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:53, 16 Lut 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:13, 16 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

Tłumaczenie na nasza notację:

[link widoczny dla zalogowanych]
norwimaj napisał:

rafal3006 napisał:

W świecie techniki bez problemu mogę wymusić, aby dowolna zmienna była równa [tex]1[/tex] albo [tex]0[/tex].

To prawda, ale nie tego dotyczyło zadanie. Jeśli już chcesz to rozwiązywać w oparciu o algebry L-T, to musi to być algebra [tex]B(\emptyset)[/tex], a nie [tex]B(\{\neg q\})[/tex], bo inaczej używasz nie tylko implikacji, ale też negacji.

Widzę że zupełnie nie rozumiesz rachunku zdań. Klocki, z których się buduje formuły rachunku zdań, to zmienne zdaniowe i spójniki. Nie ma żadnego "podłączania jakiejś zmiennej do zera".

Weźmy zadanie podobne:
Udowodnij że dysponując wyłącznie operatorem NOR albo NAND można zbudować dowolny operator logiczny.

Dowód:
Definicja operatora NAND:
Y=~(p*q) = ~p+~q
Definicja operatora NOR:
Y=~(p+q) = ~p*~q
Fundamentem dowodu jest dowód, iż z tych definicji da się wyprowadzić definicję operatora negacji.

Zajmijmy się NAND (w NOR będzie analogicznie)
Definicja operatora NAND:
Y=~(p*q) = ~p+~q

Jak wyprowadzić operator negacji?

Można to zrobić na wiele sposobów:
1.
Y=~(p*q)
Zwieramy wejścia p i q i mamy operator negacji:
Y = ~r
2.
Wymuszamy q=1 i mamy operator negacji:
Y=~(p*q) = ~(p*1) = ~p
3.
Y=~p+~q
Ustawiamy:
~q=0
i mamy operator negacji:
Y=~p + 0 = ~p

Mając operator negacji plus definicję NAND (NOR) mamy wyżej wszystko, możemy zbudować dowolny operator logiczny.
Oczywiście nie może być tak że którykolwiek z dowodów w bramkach logicznych wyżej (to jest świat rzeczywisty!) obalisz jakimś tam rachunkiem zdań.

Twój zarzut że nie wolno mi tutaj używać operatora negacji jest chybiony, bo ten operator uzyskaliśmy z samej bramki NAND, której oczywiście wolno nam użyć w dowolnych ilościach.

Czy zgadzasz się z powyższym?

P.S.
Pełny dowód dla zadania A oczywiście mam, ale najpierw chcę się dowiedzieć czy rozumiesz i akceptujesz to co wyżej.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 14:47, 17 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]



Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Rzeczywista budowa operatorów OR i AND
… jest fundamentalnie inna niż to się Ziemianom wydaje.

[link widoczny dla zalogowanych]
norwimaj napisał:

W przypadku tak prostego zadania można chyba cały dowód przytoczyć? Moim zdaniem nie wystarczy napisać, że dowód jest dziecinnie prosty i masz ten dowód gdzieś. Taka informacja jest bezużyteczna dla osoby chcącej zobaczyć rozwiązanie zadania. Chociaż link do dowodu wypada podać.

ok.

martin_bar napisał:
a)
Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji.


Wstęp teoretyczny:

We „Wstępie do matematyki” [link widoczny dla zalogowanych] znajduje się dowód iż matematycy znają algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań logicznych opisujących tą tabelę.

Fundamentem algorytmu [link widoczny dla zalogowanych] są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Definicje rodem z technicznej algebry Boole’a spójników „i”(*) i „lub”(+) są następujące.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

W swoim algorytmie prof. Newelski musiał skorzystać i korzysta z najważniejszych praw algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0

Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Bo człowiek w swojej naturalnej logice operuje wyłącznie równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Bez tych praw niemożliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, bo niemożliwe jest przejście z tabeli zero-jedynkowej do równań logicznych ją opisujących i z powrotem.

Wszelkie prawa logiczne opisane są równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Wyłącznie w logice symbolicznej (równania algebry Boole’a) mamy dostęp do wszystkich praw logicznych i możemy z nich swobodnie korzystać np. prawo przejścia do logiki ujemnej i z powrotem.

Dlaczego nie ma tych praw w żadnym podręczniku matematyki i Wikipedii?
… oto jest pytanie.

Algorytm prof. Newelskiego poznamy na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:

1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.

Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.

Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!

Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Postępujemy identycznie jak wyżej algorytmem prof. Newelskiego

1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=>~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.

Równanie opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 1 0  =1    / Y= p*~q
C: 0 1  =1    / Y=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
   1 2   3

Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Wniosek:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ rówań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie!
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.

Definicja operatora OR:
1.
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y = ~p +~q = ~(p*q)
3.
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q

Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (1).

Zauważmy że równanie:
Y=p+q
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q

Sensacyjny wniosek!

W równaniu logicznym:
Y=p+q
Znaczek „+” nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej!
Znaczek „+” to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej matematyce.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

… bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników!

Czy ktoś czegoś nie rozumie?
Czy ktoś zamierza obalić genialny algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań algebry Boole’a autorstwa [link widoczny dla zalogowanych]


Wracając do naszego zadania

martin_bar napisał:
a)
Udowodnij, że za pomocą alternatywy i koniunkcji nie można zdefiniować implikacji.


Pełna definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)

Doskonale widać, że bez operatora negacji i operatora OR (AND) fizyczna realizacja operatora implikacji nie jest możliwa.

Definicja negatora (operatora negacji):
Y=~p

Pełna definicja operatora OR (alternatywy):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Pełna definicja operatora AND (koniunkcji):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Zajmijmy się operatorem OR (dla AND będzie symetrycznie):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Z równania:
Y=p+q
Nie da się utworzyć operatora negacji koniecznego do realizacji operatora implikacji.

Dowód:
Podstawmy:
q=0
Mamy:
Y=p+q = p+0 = p
W technice to jest definicja operatora transmisji (Y=p) a nie negacji (Y=~p).

Zajmijmy się tożsamym równaniem:
Y = ~(~p*~q)
Podstawiamy:
~q=1
stąd:
Y = ~(~p*1) = ~(~p) = p
To również jest operator transmisji.

Rozpatrzyliśmy wyżej KOMPLETNĄ tabelę zero-jedynkową operatora OR, nie uzyskując kluczowego dla naszego zadania operatora negacji (Y=~p)

Stąd:
Nie da się zrealizować operatora Implikacji z użyciem wyłącznie alternatywy (koniunkcji oczywiście też)
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 14:55, 25 Lut 2013, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 23:13, 18 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]



Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Spójniki „tylko wtedy” i „wtedy” z logiki Ziemian raz jeszcze

[link widoczny dla zalogowanych]
leszczu450 napisał:
Cześć : )

Zabrałem się za lekture prof. Urzyczyna z UW. Mianowicie ejst to skrypt dla studentów informatyki.

Pada tam taki przykład:
Zdanie: "A tylko (wtedy) gdy B" odpowiada implikacji A=>B, natomiast zdaniem: "A wtedy gdy B" stwierdzamy implikacje B => A.

Dla mnie nie am różnicy pomiędzy pierwszym, a drugim zdaniem. A dla Was? Wątpie, żeby to był bład w skrypcie.

Pozdrawiam : )


[link widoczny dla zalogowanych]
leszczu450 napisał:
"A tylko (wtedy) gdy B"
"A wtedy gdy B"

To tylko robi aż taką róznicę?!

A taki przykład: Zdam egzamin tylko wtedy gdy bede sie uczyl.
p - zdam egzamin
q - będe się uczył
Zadam to zdanie ma postać q => p.
A w pierwsyzm poscie jest na odwrót implikacje odnosnie tego zdania z 'tylko'.


Do problemu „tylko wtedy” i „wtedy” można podejść w inny sposób.

Leszczu podał świetny przykład na którym się skupimy.

W logice zdanie:
„Jeśli p to q”
Jest tożsame ze zdaniem:
„Jeśli p to na pewno => q”
Zajście p gwarantuje zajście q
Spójnik „na pewno” => jest w logice domyślny

Minimalna teoria:

Poprawne matematycznie w implikacji jest tak.
A=>B = ~A~>~B ## B~>A = ~B=>~A
Wyjaśnienie na przykładzie jest w pierwszym poście tego tematu

Czyli:
Implikacja prosta - definicja:
A=>B = ~A~>~B
A=>B
Jeśli A to na pewno => B
Zbiór A zawiera się w zbiorze B i nie jest tożsamy ze zbiorem B
A jest wystarczające dla B

Implikacja odwrotna - definicja:
B~>A = ~B=>~A
B~>A
Jeśli B to może ~> zajść A
Zbiór B zawiera w sobie zbiór A i nie jest tożsamy ze zbiorem A
B jest konieczne dla A

Nasz przykład:
Zdanie „Jeśli p to q” w tym kierunku:
Jeśli zdam egzamin to na pewno => będę się uczył
E=>U
Jest kompletnie bez sensu.

Także to zdanie nie jest dobre:
Jeśli będę się uczył to na pewno => zdam egzamin
U=>E
Uczenie się nie gwarantuje zdania egzaminu.

Zauważmy że:
Uczenie się jest warunkiem koniecznym ~> zdania egzaminu.
Mamy tu zatem ewidentną implikacje odwrotną w brzmieniu:
A.
Jeśli będę się uczył to może ~> zdam egzamin
U~>E =1
Uczenie się jest warunkiem koniecznym zdania egzaminu, stąd:
B.
Jeśli będę się uczył to mogę ~~> nie zdać egzaminu
U~~>~E=1
Jest taka możliwość.
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy sama możliwość zajścia

Związek warunku koniecznego ~> i wystarczającego => opisują prawa Kubusia:
U~>E = ~U=>~E
stąd:
C.
Jeśli nie będę się uczył to na pewno => nie zdam egzaminu
~U=>~E=1 - gwarancja matematyczna
Brak uczenia się gwarantuje nie zdanie egzaminu
Oczywiście, jeśli ktoś chodził na wykłady i uczył się w semestrze to nie musi się uczyć na 5 min przed egzaminem. Może też zaistnieć przypadek jak mój na elektronice, gdzie wykładowcę przedmiotu zobaczyłem po raz pierwszy na egzaminie i zdałem.
Dlaczego?
Bo przekartkowałem podręcznik dotyczący układów cyfrowych, który to temat był moją pasją w praktyce, jako hobby. Jakieś tam prawdopodobieństwo, bliskie zeru jest, że ktoś z ulicy zda egzamin z przedmiotu o którym nie ma bladego pojęcia - nawet jak się uda to nie obala to logiki. Koty z trzema łapami też istnieją a mimo to wywalamy je z logiki, inaczej nie ma żadnej logiki.
Stąd:
D.
Jeśli nie będę się uczył to mogę ~~> zdać egzamin
~U~~>E =0
Nie jest to możliwe, patrz wyjaśnienie wyżej.

Oczywiście dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A mamy tu definicje implikacji odwrotnej.
A: U~>E =1
U=1, ~U=0
E=1, ~E=0
Jeśli natomiast przyjmiemy za punkt odniesienia zdanie wypowiedziane C to otrzymamy definicję implikacji prostej.
C: ~U=>~E =1
~U=1, U=0
~E=1, E=0

Kod:

Analiza     |Punkt odniesienia  |Punkt odniesienia
symboliczna |A: U~>E            | C: ~U=>~E
            | U E U~>E          |~U ~E ~U=>~E
A: U~> E =1 | 1 1  =1 /U~>  E=1 | 0  0   =1
B: U~~>~E=1 | 1 0  =1 /U~~>~E=1 | 0  1   =1
C:~U=>~E =1 | 0 0  =1           | 1  1   =1 /~U=>~E=1
D:~U~~>E =0 | 0 1  =0           | 1  0   =0 /~U~~>E=0
   a   b  c   1 2   3  d    e f   4  5    6   g   h i

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
U~>E = ~U=>~E

Odpowiedź na pytanie co się stanie gdy będę się uczył mamy symbolicznie w obszarze ABabc bo tylko tu widzimy U (bez negacji). Zero-jedynkowo ten warunek konieczny ~> opisany jest obszarem AB123 bo tylko tu widzimy U=1.

Podobnie:
Odpowiedź na pytanie co się stanie gdy nie będę się uczył mamy symbolicznie w obszarze CDabc bo tylko tu widzimy ~U (z negacją). Zero-jedynkowo ten warunek wystarczający => opisany jest obszarem CD456 bo tylko tu widzimy ~U=1.

Zamiast wypowiadać zdanie A możemy wypowiedzieć zdanie tożsame C:
C.
Jeśli nie będę się uczył to na pewno => nie zdam egzaminu
~U=>~E=1 - gwarancja matematyczna

Zauważmy, że tu nawet dr. Jan Kraszewski się pomylił:
Jan Kraszewski napisał:

leszczu450 napisał:
A taki przykład: Zdam egzamin tylko wtedy gdy bede sie uczyl.
p - zdam egzamin
q - będe się uczył
Zadam to zdanie ma postać q => p

Nieprawda, nie ma takiej postaci. Zdanie q => p oznacza, że gdy się będziesz uczył, to zdasz. A możesz przecież zdać nie ucząc się...

JK

To wytłuszczone nie jest prawdą bo wtedy w naszej analizie zdanie D byłoby prawdziwe:
D.
Jeśli nie będę się uczył to mogę ~~> zdać egzamin
~U~~>E =1
… a to oznacza koniec jakiejkolwiek logiki matematycznej, mamy wówczas zdanie zawsze prawdziwe, czyli matematycznego „śmiecia”.

Współczesna logika matematyczna nie ma pojęcia i nie akceptuje analizy matematycznej implikacji odwrotnej jak wyżej.

Zauważmy że dr. Jan Kraszewski poprawnie skorzystał z „prawa” kontrapozycji w naszym przykładzie:
~U=>~E = E=>U ?!
czyli:
Jeśli zdałem egzamin to na pewno => się uczyłem
E=>U=1
To jest przeszłość, 100% determinizm

Prawo Tygryska:
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym:
U~>E = ~U=>~E
Po zamianie argumentów przechodzi w implikacje prostą w czasie przeszłym:
E=>U = ~E~>~U
Jan Kraszewski napisał:
Tak.
Jeżeli zdałeś, to musiałeś się uczyć, bo tylko wtedy mogłeś zdać egzamin.
JK

Sęk w tym że zdanie C z naszej analizy brzmi tak:
C.
Jeśli nie będę się uczył to na pewno => nie zdam egzaminu
~U=>~E=1 - gwarancja matematyczna
To jest przyszłość, 0% determinizmu, wszystko może się zdarzyć.

Oczywiście przyszłość to fundamentalnie co innego niż przeszłość, zatem poprawne prawo kontrapozycji (AK) brzmi tak:
Przyszłość ## Przeszłość
~U=>~E ## E=>U
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oczywiście przeszłość nas tu kompletnie nie interesuje, bo tu znamy rozwiązanie i zdania-implikacje nie mają tu sensu.
Jeśli wszyscy wiedzą że się nie uczyłem i nie zdałem egzaminu to jaki sens ma wówczas zdanie C - musztarda po obiedzie i tyle.

Jedynym warunkiem wystarczającym w czasie przyszłym jest tu zdanie C i nim się zajmijmy.
C.
Jeśli nie będę się uczył to na pewno => nie zdam egzaminu
~U=>~E=1 - gwarancja matematyczna

Uwaga!
Zdanie tożsame to:
C1.
Nie zdam egzaminu Jeśli nie będę się uczył
~E<=~U =1

Oczywiście matematycznie zachodzi:
~U=>~E = ~E<=~U
Poprzednik w zdaniu C jest po „Jeśli”, jego pozycja w zdaniu C1 nie uległa zmianie. Fakt trochę innego zapisu jest tu bez znaczenia, nadal to jest implikacja prosta w logice ujemnej bo ~E.

Weźmy teraz takie zdania:
C2.
Gdy nie będę się uczył to na pewno nie zdam egzaminu
~U=>~E =1
C3.
Nie zdam egzaminu gdy nie będę się uczył
~E<=~U =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~U=>~E = ~E<=~U
Rolę spójnika „jeśli” przejął tu spójnik „gdy”.

Weźmy kolejne zdanie:
C4.
Nie zdam egzaminu wtedy, gdy nie będę się uczył
~E<=~U =1
Zdanie C3 i C4 można uznać za tożsame.

Natomiast to co niżej już nie!
C5.
Nie zdam egzaminu wtedy i tylko wtedy gdy nie będę się uczył
~E<=>~U =0
Zdanie tożsame:
C5A:
Nie zdam egzaminu tylko wtedy gdy nie będę się uczył
~E<=>~U =0
To jest pseudo równoważność czyli wynikanie w dwie strony, które w rzeczywistości nie zachodzi.
Dlaczego pseudo?
bo!
W równoważności poprawne jest prawo algebry Boole’a:
~p<=>~q = p<=>q
co w przełożeniu na nasz przykład przyjmie brzmienie:
C5B.
Zdam egzamin wtedy i tylko wtedy gdy będę się uczył
E<=>U
czyli:
Uczenie się gwarantuje zdanie egzaminu, co nie jest prawdą.

C6.
Gdy (w przyszłości) nie zdam egzaminu to nie będę się uczył
~E=>~U =0
To zdanie jest bez sensu, zatem równoważność jest tu wykluczona.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Nasze zdanie:
~E<=>~U = (~E=>~U)*(~U=>~E) = 0*1 =0

Prawo algebry Boole’a obowiązujące w implikacji:
p=>q # q=>p
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów zatem jeśli zdanie p=>q jest prawdziwe to fałszywe musi być zdanie q=>p, co widać na naszym przykładzie.
~U=>~E =1 # ~E=>~U=0

Matematycznie:
Jeśli zdanie:
~U=>~E
spełnia definicję implikacji prostej tzn. spełnia prawo Kubusia:
~U=>~E = U~>E
czyli po stronie U mamy najzwyklejsze rzucanie monetą co widać w naszej pierwotnej analizie to nie ma tu szansy na równoważność, czyli:
U=>E=0
~E=>~U =0

Jak widzimy różnica między zdaniem C4 i C5A jest subtelna, to są straszliwe łamańce - efekt kompletnego nie rozumienia rzeczywistej budowy operatorów logicznych plus błędne wywalenie z logiki implikacji odwrotnej, jako matematycznie zbędnej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 14:11, 19 Lut 2013, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25018
Przeczytał: 23 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 20:50, 16 Kwi 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]

loggerpro napisał:

Bardzo proszę, o pomoc w wykazaniu tych własności. Domyślam się, że należy to zrobić metodą kontrapozycji, jednak nie mam żadnego pomysłu jak się za to zabrać.

a) Wykazać, że przy pomocy implikacji nie można zdefiniować negacji.
b) Wykazać, że przy pomocy negacji i równoważności nie można zdefiniować implikacji.


Jeśli przyjmiemy prawdziwe równanie:

Bramka logiczna = operator logiczny

... co w świecie techniki jest oczywistością.

To bez problemu dysponując bramką implikacji możemy zbudować negator ... i wszystkie inne operatory logiczne także.

... no chyba że ktoś twierdzi iż matematyka ścisła ma się nijak do świata fizycznego, jakim jest laboratorium techniki cyfrowej.

Wtedy się nie da ....

Kubuś

P.S.
Mogę to bez problemu udowodnić na gruncie czystej matematyki, jak i pokazać w laboratorium techniki cyfrowej.
Wątpię jednak, aby matematycy byli tym zainteresowani ...

Twierdzenia matematyczne uważane są za prawdziwe, ponieważ w niczyim interesie nie leży, by uważać je za fałszywe.
Autor: Monteskiusz


Oczywiście z punktu widzenia dzisiejszej „matematyki” post Kubusia został uznany za „spam” i na matematyce.pl wylądował w koszu!

Technika jest jednak dla matematyków okrutna i tu przytaczam odpowiednie dowody z laboratorium techniki cyfrowej.

loggerpro napisał:

a) Wykazać, że przy pomocy implikacji nie można zdefiniować negacji.

Oczywiście to jest czysto matematyczna brednia, chyba że uznamy, iż laboratorium techniki cyfrowej, fizyczna rzeczywistość, ma się nijak do „prawdziwej” matematyki :)

Dowód:

Definicja implikacji prostej:
A.
Y = (p=>q) = ~p+q
Wymuszając na wejściu bramki A.
q=0
Mam negator:
B.
Y = (p=>q) = ~p+0 = ~p
Negując wejście p w bramce A mam operator OR:
C.
Y = (p=>q) = ~(~p)+q = p+q
Mając operator OR i negator mam wszystko co potrzeba aby zbudować dowolny operator logiczny.

loggerpro napisał:

b) Wykazać, że przy pomocy negacji i równoważności nie można zdefiniować implikacji.

W tym przypadku rzeczywiście się nie da.

Definicja równoważności:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
W bramce równoważności mamy do dyspozycji wyłącznie wejścia p i q oraz wyjście Y.

Jeśli zanegujemy wejście p to otrzymamy:
Y = p<=>q = ~p*q + p*~q
Podłączenie sygnału q do 0 lub 1 nic nie daje bo otrzymamy co najwyżej definicję negatora.
Dla q=1 mamy:
Y = p<=>q = ~p*q + p*~q = ~p*1 + p*0 = ~p
Nie mamy szans ani na operator OR, ani też na operator AND.

Nie można zatem przy pomocy negatora i równoważności zbudować implikacji.
cnd

To są dowody na poziomie MATEMATYCZNEGO przedszkola!

… ciekawe kiedy Ziemianie załapią te banały.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:02, 17 Kwi 2013, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin