Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Top secret

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25248
Przeczytał: 25 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:51, 04 Cze 2011    Temat postu: Top secret

1.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Wikipedia:
Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej.
We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat,

Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


Operatory te są poprawnie rozszyfrowane z punktu odniesienia banalnych bramek logicznych będących sprzętowym fundamentem każdego komputera (algebra Boole’a).

Trzeba tu jednak zdecydowanie odróżnić sprzęt od oprogramowania. Sprzęt komputerowy to fundamentalnie co innego niż program komputerowy napisany przez człowieka. Pisząc program komputerowy posługujemy się naturalną logiką człowieka, jak do tej pory totalnie nierozszyfrowaną od strony matematycznej.

Zadaniem tego podręcznika jest pokazanie jak nieprawdopodobnie banalna jest od strony matematycznej naturalna logika człowieka, algebra Kubusia, którą doskonale znają i posługują się w praktyce wszyscy od 5-cio latka po profesora.

W „Algebrze Kubusia dla gimnazjum” za aksjomaty przyjmiemy naturalny język 5-cio latka, pokazując iż podlega on pod aksjomatyczne definicje operatorów wyżej.

W „Algebrze Kubusia dla liceum” za aksjomaty przyjmiemy nową teorie zbiorów udowadniając, że teoria ta również podlega pod aksjomatyczne definicje operatorów wyżej i jest w 100% zgodna z naturalną logika człowieka.

Aksjomaty Kubusia

I aksjomat Kubusia to po prostu operator AND w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
II aksjomat Kubusia to operator OR w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
III aksjomat Kubusia to operator implikacji prostej w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
IV aksjomat Kubusia to operator implikacji odwrotnej w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
V aksjomat Kubusia to operator równoważności w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
VI aksjomat Kubusia to naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy


2.0 Operatory AND i OR

1 – prawda, zawsze i wszędzie, niezależna od logiki dodatniej i ujemnej
0 – fałsz, zawsze i wszędzie, niezależny od logiki dodatniej i ujemnej
~ - symbol przeczenia NIE

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest ~(…), że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Prawda # Fałsz
1 # 0
# - różne
Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
Prawda to NIE fałsz
1 = ~0
Fałsz to NIE prawda
0 = ~1

Spójniki logiczne
W całej matematyce mamy zaledwie pięć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji (nie w równoważności !)
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości:
1 – prawda
0 – fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
gdzie:
n – dowolna ilość zmiennych binarnych
Y – funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „lub” z naturalnego języka mówionego.

Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Równoważna definicja spójnika „lub”:
Y=p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> = (p=1i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Najważniejsze prawa algebry Kubusia (i Boole’a) wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+ 1 =1
p+~p = 1
Fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
p*~p =0
p+~p =1
Przykłady:
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K=0 – zdanie sprzeczne wewnętrznie
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y = K+~K=1
Cokolwiek nie zrobię to dotrzymam słowa, nie ma tu szans na kłamstwo.

Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne

Definicja logiki dodatniej I ujemnej w operatorach OR I AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y – logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y – logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

Operator AND:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Y=1 – prawdą (=1) jest, że dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 i q=1
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne
~Y=~p+~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
~Y=1 – prawdą (=1) jest, że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 lub ~q=1

Operator OR:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Y=1 – prawdą (=1) jest, że dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 lub q=1
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
~Y=1 – prawdą (=1) jest, że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 i ~q=1

Bardzo ważna notacja algebry Kubusia (i Boole’a):
Zapis symboliczny dowolnego zdania musi uwidoczniać wszelkie przeczenia użyte w zdaniu.
Stąd przy odtwarzaniu zdania z zapisu symbolicznego interesują nas wyłącznie przeczenia przy zmiennych.
Przykład:
Jutro pójde do kina i do teatru
Y=K*T
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=~K*~T


2.1 Definicja operatora AND
Definicja operatora AND
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej.
W algebrze Kubusia operatory logiczne nie maja swoich znaczków, gdyż nie jest możliwe aby w jakimkolwiek zdaniu wypowiedzianym występował operator logiczny. W zdaniach wypowiedzianych zawsze mamy do czynienia ze spójnikami, nigdy z operatorami.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
A: K*T =Y
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy skłamię ?
Skłamię we wszystkich pozostałych kombinacjach K i T czyli:
B: ~K*~T=~Y - skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =~Y– skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T = ~Y – skłamię (~Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

To samo w równaniu algebry Kubusia (i Boole’a):
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1)

… zacznijmy od początku:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
,, a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
czyli:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) jeśli nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

oczywiście matematycznie zachodzi:
~Y = ~Y
czyli:
~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T

Ustawmy zdania A,B,C,D w tabeli symbolicznej:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K*T
A: K*T =Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
B: ~K*~T=~Y
C. ~K*T =~Y
D: K*~T =~Y

I.
Punkt odniesienia: zdanie Y=K*T

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie Y=K*T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora AND.
Y=K*T
czyli:
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K*T
A: K*T =Y
A: 1 1 =1
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
B: ~K*~T=~Y
B: 0 0 =0
C. ~K*T =~Y
C: 0 1 =0
D: K*~T =~Y
D: 1 0 =0

O zdaniu Y=K*T możemy powiedzieć że spełnia definicję operatora AND.

II.
Punkt odniesienia: zdanie ~Y=~K*~T

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie ~Y=~K+~T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora OR.
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1, Y=0
~K=1, K=0
~T=1, T=0
Kod:

Skłamię ~Y
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
B: ~K*~T=~Y
B: 1 1 =1
C. ~K*T =~Y
C: 1 0 =1
D: K*~T =~Y
D: 0 1 =1
.. a kiedy dotrzymam słowa?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Dotrzymam słowa Y
Y=K*T
A: K*T =Y
A: 0 0 =0

O zdaniu ~Y=~K+~T możemy powiedzieć, że spełnia definicję operatora OR.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=p*q
A: p*q =Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p*q =~Y
D: p*~q =~Y


Wnioski:
1.
W tabeli zero-jedynkowej dowolnego operatora logicznego zera i jedynki po stronie wejścia p i q oznaczają:
1 – brak przeczenia względem punktu odniesienia (zdania wypowiedzianego)
0 – jest przeczenie względem punktu odniesienia (zdania wypowiedzianego)
Nie są to zatem prawdy i fałsze bezwzględne, jak to jest w Klasycznym Rachunku Zdań
Po stronie wyjścia Y mamy:
1 – prawda
0 – fałsz
2.
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia. Z czarnego zawsze można zrobić białe i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.
Zanim zaczniemy się kłócić z kimkolwiek i o cokolwiek ustalmy najpierw wspólny punkt odniesienia.
W wielu przypadkach ustalenie wspólnego punktu odniesienia jest praktycznie niemożliwe np. Chrześcijanin – Muzułmanin


2.2 Definicja operatora OR

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1

.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
D: ~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Oczywiście w pozostałych przypadkach dotrzymam słowa, czyli:
A: K*T =Y – dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=Y – dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =Y – dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)

To samo w równaniu algebry Kubusia (i Boole’a):
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1)

Oczywiście:
Y=Y
zatem:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T

Ułóżmy A,B,C,D w tabeli symbolicznej:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
A: K*T =y
B: K*~T=Y
C: ~K*T=Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K*~T
D: ~K*~T=~Y

I.
Punkt odniesienia: Zdanie Y=K+T

jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie Y=K+T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora OR.
Y=K+T
czyli:
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
A: K*T =y
A: 1 1 =1
B: K*~T=Y
B: 1 0 =1
C: ~K*T=Y
C: 0 1 =1
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K*~T
D: ~K*~T=~Y
D: 0 0 =0

O zdaniu Y=K+T możemy powiedzieć, że spełnia definicje operatora OR.

II.
Punkt odniesienia: Zdanie ~~=Y=~K*~T

jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~K*~T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora AND.
~Y=~K*~T
czyli:
~Y=1, Y=0
~K=1, K=0
~T=1, T=0
Kod:

Skłamię ~Y
~Y=~K*~T
D: ~K*~T=~Y
D: 1 1 =1
.. a kiedy dotrzymam słowa?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę operatorów
Dotrzymam słowa Y
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
A: K*T =y
A: 0 0 =0
B: K*~T=Y
B: 0 1 =0
C: ~K*T=Y
C: 1 0 =0

O zdaniu ~Y=~K*~T możemy powiedzieć, że spełnia definicje operatora AND.


3.0 Operatory implikacji i równoważności

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek. Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q – definicja operatora implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia (i Boole’a!)
p~>q = ~p=>~q – definicja operatora implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia (iBoole’a)
Zdanie „Jeśli p to q” zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q =1
p=>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze matematyki

Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH =1
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
Wniosek:
Warunek wystarczający w zdaniu P=>CH spełniony
Logika dodatnia bo CH.

[b]Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

~p=>~q =1
~p=>q =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p jest wystarczające dla ~q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze matematyki

Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P =0
Wniosek:
Warunek wystarczający w zdaniu ~CH=>~P spełniony
Logika ujemna bo ~P.

[b]Definicja warunku koniecznego ~> w algebrze Kubusia (i Boole’a)

Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q (nie w równoważności! )

Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji możemy sprowadzić do badania łatwych w analizie warunków wystarczających.

Definicja implikacji prostej
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym w logice ujemnej (bo ~q)

Przykład:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
.. a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi

W zdaniu C zachodzi warunek konieczny na mocy prawa Kubusia.
C: ~P~>~CH = A: P=>CH =1
Prawa strona jest prawdą, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny
Interpretacja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
Wymuszając padanie deszczu, wymuszamy istnienie chmur
cnd
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH =0
Prawa strona (zdanie B) jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny
cnd
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Zapiszmy powyższa analizę w wersji skróconej:
Kod:

A: P=>CH=1
B: P=>~CH=0
.. a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C: ~P~>~CH=1
D: ~P~~>CH=1

I.
Punkt odniesienia: zdanie A

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
A: P=>CH
czyli:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0
Kod:

A: P=>CH=1
A: 1 1 =1
B: P=>~CH=0
B: 1 0 =0
.. a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C: ~P~>~CH=1
C: 0 0 =1
D: ~P~~>CH=1
D: 0 1 =1

O zdaniu A możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji prostej, w skrócie:
Zdanie A jest implikacją prostą w logice dodatniej (bo q)

II.
Punkt odniesienia: zdanie C

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
A: ~P~~>~CH
czyli:
~P=1, P=0
~CH=1, CH=0
Kod:

C: ~P~>~CH=1
C: 1 1 =1
D: ~P~~>CH=1
D: 1 0 =1
.. a jeśli będzie padało?
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
A: P=>CH=1
A: 0 0 =1
B: P=>~CH=0
B: 0 1 =0

O zdaniu C możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji odwrotnej, w skrócie:
Zdanie C jest implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q)


Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym w logice ujemnej (bo ~q)

Przykład:
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~>padać
CH~>P =1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
B.
Jeśli będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C

Zauważmy że:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P =1
Zdanie C jest prawdziwe, zatem w zdaniu A musi zachodzić warunek konieczny ~>.
Znaczenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo P)
Zabieramy chmury wykluczając możliwość padania.

Zauważmy, że jak jutro będzie pochmurno to mamy rzucanie monetą, może padać (zdanie A) albo może nie padać (zdanie B).
stąd:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q, w implikacji to po prostu „rzucanie monetą”

Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo nie zachodzi tu prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D: ~CH=>~P=0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>
cnd

Zapiszmy powyższą analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w postaci skróconej.
Kod:

A: CH~>P =1
B: CH~~>~P=1
.. a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C: ~CH=>~P=1
D: ~CH=>P =0

I.
Punkt odniesienia: zdanie A

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
A: CH~>P
czyli:
CH=1, ~CH=0
P=1, ~P=0
stąd mamy:
Kod:

A: CH~>P =1
A: 1 1 =1
B: CH~~>~P=1
B: 1 0 =1
.. a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C: ~CH=>~P=1
C: 0 0 =1
D: ~CH=>P =0
D: 0 1 =0

O zdaniu A możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji odwrotnej, w skrócie:
Zdanie A jest implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q)

II.
Punkt odniesienia: zdanie C

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
C: ~CH=>~P
czyli:
~CH=1, CH=0
~P=1, P=0
stąd mamy:
Kod:

C: ~CH=>~P=1
C: 1 1 =1
D: ~CH=>P =0
D: 1 0 =0
.. a jeśli będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P
A: CH~>P =1
A: 0 0 =1
B: CH~~>~P=1
B: 0 1 =1

O zdaniu C możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji prostej, w skrócie:
Zdanie C jest implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q)


Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~>q =1
B: p~~>~q =1
… a jeśli nie zajdzie p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
~p=>q=0

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek koniczny, w implikacji spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą)



Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego p=>q i koniecznego p~>q
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
<=> - równoważność, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q

W równoważności nie ma miejsca na spójnik „może” ~> znany z implikacji (rzucanie monetą).
Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
stąd definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W tej definicji nie ma już śladu spójnika „może” ~> (rzucania monetą).


ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności:

ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający =>.
p=>q=1
p~>q=0
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q =0
Badamy czy: ~p=>~q=0

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – warunek wystarczający spełniony
Badamy warunek konieczny:
P~>CH = ~P=>~CH=0 – bo może nie padać, a chmury mogą być
Wniosek:
Zdanie P=>CH spełnia ŚFIŃSkĄ definicje implikacji prostej

ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny ~>.
p~>q=1
p=>q=0
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q =1
Badamy czy: ~p=>~q=1

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – sytuacja możliwa
Badamy warunek konieczny:
CH~>P = ~CH=>~P=1
Prawa strona jest prawdą, zatem warunek konieczny ~> spełniony
CH=>P =0 – bo mogą być chmury, a nie musi padać
Wniosek:
Zdanie CH~>P spełnia ŚFIŃSKĄ definicję implikacji odwrotnej

ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli p to q” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy miedzy p i q zachodzą jednocześnie warunki wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q =1
Badamy czy: ~p=>~q=1

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR

TR=>KR=1 – warunek wystarczający => spełniony
TR~>KR=~TR=>~KR=1 – warunek konieczny ~> spełniony
Wniosek:
Zdanie TR=>KR spełnia ŚFIŃSKĄ definicję równoważności

Oczywiście dopiero po udowodnieniu tego faktu możemy powiedzieć:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)


Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” => między p i q (identyczny jak w implikacji)
~> - warunek konieczny, w równoważności nie jest to spójnik „może” (rzucanie monetą) znany z implikacji !

Na mocy definicji warunku koniecznego ~> zapisujemy:
p<=>q = = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
bo:
p~>q = ~p=>~q – definicja warunku koniecznego

Zauważmy, że de facto w równoważności badamy zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
p=>q=1
oraz warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q=1
Precyzyjnie:
=> - warunek wystarczający , identyczny w implikacji i równoważności
Mniej precyzyjnie ale również dobrze:
=> - symbol równoważności w zdaniu „Jeśli p to q” o ile spełnia powyższą definicję

Uwaga:
W równoważności, i tylko tu, poprawne jest prawo kontrapozycji w tej postaci:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
gdzie:
=> - warunek wystarczający (nigdy implikacja! )

Po udowodnieniu warunku wystarczającego w kierunku p=>q, możemy zatem badać warunek wystarczający w kierunku q=>p.

ŚFIŃSKA definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> jeśli znajdziemy przynajmniej jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24


Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności

Definicje gimnazjalne:
Implikacja to wynikanie => w jedną stronę
Równoważność to wynikanie => w dwie strony
czyli:
Implikacja to warunek wystarczający => zachodzący w jedną stronę
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0 albo odwrotnie
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1

Przykład implikacji:
Warunek wystarczający:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
p=>q=1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur
Warunek wystarczający po zamianie p i q:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Wniosek:
Zdanie P=>CH jest implikacją prostą
Zdanie P=>CH nie jest równoważnością bo:
P<=>CH = (P=>CH)*(CH=>P) = 1*0 =0

Przykład równoważności:
Warunek wystarczający:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
TR=>~KR=0
Warunek wystarczający po zamianie p i q:
B.
Jeśli trójkąt ma kąty równe to na pewno => jest równoboczny
KR=>TR=1
KR=>~TR=0
Wniosek:
Zdanie TR=>KR jest równoważnością bo zachodzi wynikanie w dwie strony:
TR=>KR=1
KR=>TR=1
stąd:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1

Oczywiście zdanie to możemy wypowiedzieć w formie równoważności, ale dopiero po udowodnieniu tego faktu jak wyżej!

Zauważmy, że w implikacji i równoważności mamy identyczny warunek wystarczający => w zdaniu A, zatem po udowodnieniu prawdziwości tego zdania możemy powiedzieć tylko i wyłącznie iż zdanie A spełnia definicje warunku wystarczającego. Póki co nie jest to ani implikacja, ani równoważność bo jeszcze tego nie udowodniliśmy. Jednoznaczne rozstrzygnięcie mamy dopiero w punkcie B!

Twierdzenie:
Jeśli cokolwiek jest równoważnością prawdziwą to nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie

Przykład analizy matematycznej implikacji:

Definicja równoważności
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej i warunku wystarczającego w logice ujemnej.

Korzystając z definicji warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
mamy taka definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego p=>q i koniecznego p~>q.

Oczywiście w równoważności nie ma mowy o spójniku „może” znanym z implikacji

Przykład:
Warunek wystarczający w logice dodatniej
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
B.
Jeśli trójkąt






Przykłady:
1.
Pies ma cztery łapy
Zdanie równoważne:
Jeśli to pies to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
p=>q
Zdanie prawdziwe w logice dodatniej bo q niezanegowane (q)
2.
Pies nie ma trzech łap
Jeśli to pies to na pewno => ma cztery łapy
P=>~3L=1
p=>~q
3.
Pies to nie samochód
Jeśli to pies to na pewno => nie samochód
P=>~S =1
p=>~q
Zdania prawdziwe w logice ujemnej bo q zanegowane (~q)







Równania algebry Kubusia = równania algebry Boole’a z rozróżnieniem logiki dodatniej i ujemnej

* - spójnik „i” z naturalnego języka mówionego
+ - spójnik „lub” z naturalnego języka mówionego

Udajmy się do przedszkola, do ekspertów algebry Kubusia.
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>

… a kiedy skłamię ?
Przejście z równaniem A do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T

stąd:
B.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Gdzie
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda), logika dodatnia bo Y
~Y – skłamię (wystąpi fałsz), logika ujemne bo ~Y

Zacznijmy od początku:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i do teatru (T)
Y=K*T

… a kiedy skłamię ?
Oczywiście skłamie we wszystkich pozostałych kombinacjach zmiennych K i T.
Skłamię gdy:
~K*~T – nie pójdę do kina



Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy:
Y = K*T = ~(~K+~T)
stąd zdanie równoważne do A!
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = K*T= ~(~K+~T)

Zauważmy, że logika człowieka jest totalnie symboliczna, nie ma tu jeszcze żadnych zer ani jedynek!
… te poznamy w odpowiednim czasie!

Pytanie do Quebaaba i innych chętnych:

Czy to jest poprawny aksjomat z naturalnego języka mówionego?
TAK/NIE

Jako przykład pomocniczy przeanalizuj to zdanie według powyższego schematu.
A1.
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=~K*~T
matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Y=~K*~T

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA

1.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Wikipedia:
Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej.
We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat,

Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


Operatory te są poprawnie rozszyfrowane z punktu odniesienia banalnych bramek logicznych będących sprzętowym fundamentem każdego komputera (algebra Boole’a).

Trzeba tu jednak zdecydowanie odróżnić sprzęt od oprogramowania. Sprzęt komputerowy to fundamentalnie co innego niż program komputerowy napisany przez człowieka. Pisząc program komputerowy posługujemy się naturalną logiką człowieka, jak do tej pory totalnie nierozszyfrowaną od strony matematycznej.

Zadaniem tego podręcznika jest pokazanie jak nieprawdopodobnie banalna jest od strony matematycznej naturalna logika człowieka, algebra Kubusia, którą doskonale znają i posługują się w praktyce wszyscy od 5-cio latka po profesora.

W „Algebrze Kubusia dla gimnazjum” za aksjomaty przyjmiemy naturalny język 5-cio latka, pokazując iż podlega on pod aksjomatyczne definicje operatorów wyżej.

W „Algebrze Kubusia dla liceum” za aksjomaty przyjmiemy nową teorie zbiorów udowadniając, że teoria ta również podlega pod aksjomatyczne definicje operatorów wyżej i jest w 100% zgodna z naturalną logika człowieka.

Aksjomaty Kubusia

I aksjomat Kubusia to po prostu operator AND w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
II aksjomat Kubusia to operator OR w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
III aksjomat Kubusia to operator implikacji prostej w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
IV aksjomat Kubusia to operator implikacji odwrotnej w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
V aksjomat Kubusia to operator równoważności w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a!)
VI aksjomat Kubusia to naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy


2.0 Operatory AND i OR

1 – prawda, zawsze i wszędzie, niezależna od logiki dodatniej i ujemnej
0 – fałsz, zawsze i wszędzie, niezależny od logiki dodatniej i ujemnej
~ - symbol przeczenia NIE

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest ~(…), że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Prawda # Fałsz
1 # 0
# - różne
Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
Prawda to NIE fałsz
1 = ~0
Fałsz to NIE prawda
0 = ~1

Spójniki logiczne
W całej matematyce mamy zaledwie pięć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji (nie w równoważności !)
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości:
1 – prawda
0 – fałsz
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
gdzie:
n – dowolna ilość zmiennych binarnych
Y – funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „lub” z naturalnego języka mówionego.

Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Równoważna definicja spójnika „lub”:
Y=p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> = (p=1i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Najważniejsze prawa algebry Kubusia (i Boole’a) wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+ 1 =1
p+~p = 1
Fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
p*~p =0
p+~p =1
Przykłady:
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K=0 – zdanie sprzeczne wewnętrznie
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y = K+~K=1
Cokolwiek nie zrobię to dotrzymam słowa, nie ma tu szans na kłamstwo.

Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne

Definicja logiki dodatniej I ujemnej w operatorach OR I AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y – logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y – logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

Operator AND:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Y=1 – prawdą (=1) jest, że dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 i q=1
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne
~Y=~p+~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
~Y=1 – prawdą (=1) jest, że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 lub ~q=1

Operator OR:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Y=1 – prawdą (=1) jest, że dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 lub q=1
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
~Y=1 – prawdą (=1) jest, że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 i ~q=1

Bardzo ważna notacja algebry Kubusia (i Boole’a):
Zapis symboliczny dowolnego zdania musi uwidoczniać wszelkie przeczenia użyte w zdaniu.
Stąd przy odtwarzaniu zdania z zapisu symbolicznego interesują nas wyłącznie przeczenia przy zmiennych.
Przykład:
Jutro pójde do kina i do teatru
Y=K*T
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=~K*~T


2.1 Definicja operatora AND
Definicja operatora AND
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej.
W algebrze Kubusia operatory logiczne nie maja swoich znaczków, gdyż nie jest możliwe aby w jakimkolwiek zdaniu wypowiedzianym występował operator logiczny. W zdaniach wypowiedzianych zawsze mamy do czynienia ze spójnikami, nigdy z operatorami.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
A: K*T =Y
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy skłamię ?
Skłamię we wszystkich pozostałych kombinacjach K i T czyli:
B: ~K*~T=~Y - skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =~Y– skłamię (~Y=1) gdy nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T = ~Y – skłamię (~Y=1) gdy pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

To samo w równaniu algebry Kubusia (i Boole’a):
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1)

… zacznijmy od początku:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
,, a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
czyli:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) jeśli nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

oczywiście matematycznie zachodzi:
~Y = ~Y
czyli:
~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T

Ustawmy zdania A,B,C,D w tabeli symbolicznej:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K*T
A: K*T =Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
B: ~K*~T=~Y
C. ~K*T =~Y
D: K*~T =~Y

I.
Punkt odniesienia: zdanie Y=K*T

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie Y=K*T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora AND.
Y=K*T
czyli:
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K*T
A: K*T =Y
A: 1 1 =1
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
B: ~K*~T=~Y
B: 0 0 =0
C. ~K*T =~Y
C: 0 1 =0
D: K*~T =~Y
D: 1 0 =0

O zdaniu Y=K*T możemy powiedzieć że spełnia definicję operatora AND.

II.
Punkt odniesienia: zdanie ~Y=~K*~T

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie ~Y=~K+~T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora OR.
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1, Y=0
~K=1, K=0
~T=1, T=0
Kod:

Skłamię ~Y
~Y=~K+~T = ~K*~T+~K*T+K*~T
B: ~K*~T=~Y
B: 1 1 =1
C. ~K*T =~Y
C: 1 0 =1
D: K*~T =~Y
D: 0 1 =1
.. a kiedy dotrzymam słowa?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Dotrzymam słowa Y
Y=K*T
A: K*T =Y
A: 0 0 =0

O zdaniu ~Y=~K+~T możemy powiedzieć, że spełnia definicję operatora OR.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=p*q
A: p*q =Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p*q =~Y
D: p*~q =~Y


Wnioski:
1.
W tabeli zero-jedynkowej dowolnego operatora logicznego zera i jedynki po stronie wejścia p i q oznaczają:
1 – brak przeczenia względem punktu odniesienia (zdania wypowiedzianego)
0 – jest przeczenie względem punktu odniesienia (zdania wypowiedzianego)
Nie są to zatem prawdy i fałsze bezwzględne, jak to jest w Klasycznym Rachunku Zdań
Po stronie wyjścia Y mamy:
1 – prawda
0 – fałsz
2.
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia. Z czarnego zawsze można zrobić białe i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.
Zanim zaczniemy się kłócić z kimkolwiek i o cokolwiek ustalmy najpierw wspólny punkt odniesienia.
W wielu przypadkach ustalenie wspólnego punktu odniesienia jest praktycznie niemożliwe np. Chrześcijanin – Muzułmanin


2.2 Definicja operatora OR

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1

.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
D: ~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Oczywiście w pozostałych przypadkach dotrzymam słowa, czyli:
A: K*T =Y – dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=Y – dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =Y – dotrzymam słowa (Y=1) gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)

To samo w równaniu algebry Kubusia (i Boole’a):
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K=1 i T=1) lub (K=1 i ~T=1) lub (~K=1 i T=1)

Oczywiście:
Y=Y
zatem:
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T

Ułóżmy A,B,C,D w tabeli symbolicznej:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
A: K*T =y
B: K*~T=Y
C: ~K*T=Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K*~T
D: ~K*~T=~Y

I.
Punkt odniesienia: Zdanie Y=K+T

jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie Y=K+T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora OR.
Y=K+T
czyli:
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
A: K*T =y
A: 1 1 =1
B: K*~T=Y
B: 1 0 =1
C: ~K*T=Y
C: 0 1 =1
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę operatorów
Skłamię ~Y
~Y=~K*~T
D: ~K*~T=~Y
D: 0 0 =0

O zdaniu Y=K+T możemy powiedzieć, że spełnia definicje operatora OR.

II.
Punkt odniesienia: Zdanie ~~=Y=~K*~T

jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie ~Y=~K*~T to otrzymamy zero-jedynkową definicje operatora AND.
~Y=~K*~T
czyli:
~Y=1, Y=0
~K=1, K=0
~T=1, T=0
Kod:

Skłamię ~Y
~Y=~K*~T
D: ~K*~T=~Y
D: 1 1 =1
.. a kiedy dotrzymam słowa?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę operatorów
Dotrzymam słowa Y
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
A: K*T =y
A: 0 0 =0
B: K*~T=Y
B: 0 1 =0
C: ~K*T=Y
C: 1 0 =0

O zdaniu ~Y=~K*~T możemy powiedzieć, że spełnia definicje operatora AND.


3.0 Operatory implikacji i równoważności

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym lub koniecznym albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek. Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q – definicja operatora implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia (i Boole’a!)
p~>q = ~p=>~q – definicja operatora implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia (iBoole’a)
Zdanie „Jeśli p to q” zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=>q =1
p=>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze matematyki

Przykład:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH =1
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
Wniosek:
Warunek wystarczający w zdaniu P=>CH spełniony
Logika dodatnia bo CH.

[b]Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

~p=>~q =1
~p=>q =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p jest wystarczające dla ~q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze matematyki

Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P =0
Wniosek:
Warunek wystarczający w zdaniu ~CH=>~P spełniony
Logika ujemna bo ~P.

[b]Definicja warunku koniecznego ~> w algebrze Kubusia (i Boole’a)

Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” („na pewno”) miedzy p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q (nie w równoważności! )

Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji możemy sprowadzić do badania łatwych w analizie warunków wystarczających.

Definicja implikacji prostej
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym w logice ujemnej (bo ~q)

Przykład:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
.. a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi

W zdaniu C zachodzi warunek konieczny na mocy prawa Kubusia.
C: ~P~>~CH = A: P=>CH =1
Prawa strona jest prawdą, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny
Interpretacja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q):
Wymuszając padanie deszczu, wymuszamy istnienie chmur
cnd
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P~>CH = B: P=>~CH =0
Prawa strona (zdanie B) jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny
cnd
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Zapiszmy powyższa analizę w wersji skróconej:
Kod:

A: P=>CH=1
B: P=>~CH=0
.. a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C: ~P~>~CH=1
D: ~P~~>CH=1

I.
Punkt odniesienia: zdanie A

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
A: P=>CH
czyli:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0
Kod:

A: P=>CH=1
A: 1 1 =1
B: P=>~CH=0
B: 1 0 =0
.. a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C: ~P~>~CH=1
C: 0 0 =1
D: ~P~~>CH=1
D: 0 1 =1

O zdaniu A możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji prostej, w skrócie:
Zdanie A jest implikacją prostą w logice dodatniej (bo q)

II.
Punkt odniesienia: zdanie C

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
A: ~P~~>~CH
czyli:
~P=1, P=0
~CH=1, CH=0
Kod:

C: ~P~>~CH=1
C: 1 1 =1
D: ~P~~>CH=1
D: 1 0 =1
.. a jeśli będzie padało?
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
A: P=>CH=1
A: 0 0 =1
B: P=>~CH=0
B: 0 1 =0

O zdaniu C możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji odwrotnej, w skrócie:
Zdanie C jest implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q)


Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym w logice ujemnej (bo ~q)

Przykład:
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~>padać
CH~>P =1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
B.
Jeśli będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C

Zauważmy że:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P =1
Zdanie C jest prawdziwe, zatem w zdaniu A musi zachodzić warunek konieczny ~>.
Znaczenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo P)
Zabieramy chmury wykluczając możliwość padania.

Zauważmy, że jak jutro będzie pochmurno to mamy rzucanie monetą, może padać (zdanie A) albo może nie padać (zdanie B).
stąd:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q, w implikacji to po prostu „rzucanie monetą”

Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo nie zachodzi tu prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D: ~CH=>~P=0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>
cnd

Zapiszmy powyższą analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w postaci skróconej.
Kod:

A: CH~>P =1
B: CH~~>~P=1
.. a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C: ~CH=>~P=1
D: ~CH=>P =0

I.
Punkt odniesienia: zdanie A

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
A: CH~>P
czyli:
CH=1, ~CH=0
P=1, ~P=0
stąd mamy:
Kod:

A: CH~>P =1
A: 1 1 =1
B: CH~~>~P=1
B: 1 0 =1
.. a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C: ~CH=>~P=1
C: 0 0 =1
D: ~CH=>P =0
D: 0 1 =0

O zdaniu A możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji odwrotnej, w skrócie:
Zdanie A jest implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q)

II.
Punkt odniesienia: zdanie C

Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
C: ~CH=>~P
czyli:
~CH=1, CH=0
~P=1, P=0
stąd mamy:
Kod:

C: ~CH=>~P=1
C: 1 1 =1
D: ~CH=>P =0
D: 1 0 =0
.. a jeśli będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P
A: CH~>P =1
A: 0 0 =1
B: CH~~>~P=1
B: 0 1 =1

O zdaniu C możemy powiedzieć, że spełnia zero-jedynkowa definicję operatora implikacji prostej, w skrócie:
Zdanie C jest implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q)


Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~>q =1
B: p~~>~q =1
… a jeśli nie zajdzie p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
~p=>q=0

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek koniczny, w implikacji spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą)



Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego p=>q i koniecznego p~>q
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
<=> - równoważność, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q

W równoważności nie ma miejsca na spójnik „może” ~> znany z implikacji (rzucanie monetą).
Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
stąd definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W tej definicji nie ma już śladu spójnika „może” ~> (rzucania monetą).


ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności:

ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacją prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający =>.
p=>q=1
p~>q=0
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q =0
Badamy czy: ~p=>~q=0

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – warunek wystarczający spełniony
Badamy warunek konieczny:
P~>CH = ~P=>~CH=0 – bo może nie padać, a chmury mogą być
Wniosek:
Zdanie P=>CH spełnia ŚFIŃSkĄ definicje implikacji prostej

ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacją odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny ~>.
p~>q=1
p=>q=0
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q =1
Badamy czy: ~p=>~q=1

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – sytuacja możliwa
Badamy warunek konieczny:
CH~>P = ~CH=>~P=1
Prawa strona jest prawdą, zatem warunek konieczny ~> spełniony
CH=>P =0 – bo mogą być chmury, a nie musi padać
Wniosek:
Zdanie CH~>P spełnia ŚFIŃSKĄ definicję implikacji odwrotnej

[


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 23:50, 28 Lis 2011, w całości zmieniany 88 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25248
Przeczytał: 25 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:54, 04 Cze 2011    Temat postu:

6.0 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności

Cała algebra Kubusia w zakresie implikacji i równoważności to jedna jedyna definicja warunku wystarczającego => plus prawa Kubusia z których wszystko wynika.

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) w zapisie symbolicznym:
Kod:

A: p=>q=1
B: p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2 =0 – twardy fałsz wynikły z powyższego

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) w zapisie symbolicznym:
Kod:

A: ~p=>~q=1
B: ~p=>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q

Przykład:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego

Definicja kontrprzykładu
Wynika bezpośrednio z definicji warunku wystarczającego w algebrze Kubusia
Kod:

A.
Jeśli zajdzie p to „może”~~> zajść q
p~~>q=1
B.
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść ~q
p~~>~q=1

Gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy

Algorytm postępowania:
A.
Znajdujemy jeden przypadek prawdziwy p~~>q=1
B.
Znajdujemy jeden przypadek prawdziwy p~~>~q=1

Wnioski:
1.
Zajście A i B wyklucza warunek wystarczający między p i q
p=>q=0
2.
Zajście A i brak możliwości wystąpienia B jest dowodem zachodzenia warunku wystarczającego miedzy p i q
p=>q=1

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 = ?
Na mocy definicji kontrprzykładu szukamy:
P2~~>P8=1 bo 8
P2~~>~P8=1 bo 2
Wniosek:
P2=>P8=0
CND

Definicja warunku koniecznego obowiązująca w całej algebrze Kubusia:
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.

Najważniejsza interpretacja praw Kubusia:
Udowodnienie warunku wystarczającego => z prawej strony równania Kubusia jest dowodem zachodzenia warunku koniecznego ~> z lewej strony równania Kubusia.
Wynika z tego, że całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających.

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
I Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zabieramy p wymuszając zniknięcie q
~p=>~q
Wtedy i tylko wtedy spełniony jest warunek konieczny ~> w zdaniu p~>q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Zabieramy chmury wykluczając możliwość padania: ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1

Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bp ~q)
II Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Wymuszamy p z czego musi wyniknąć q
p=>q
Wtedy i tylko wtedy spełniony jest warunek konieczny ~> w zdaniu ~p~>~q

Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
Wymuszając padanie deszczu wymuszamy istnienie chmur: P=>CH
C.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
Zdanie „jeśli p to q” wyrażone jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q nie jest zanegowane.


ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności wynikające bezpośrednio z praw Kubusia.

ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacja prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający =>.
p=>q=1
p~>q=0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający => zachodzi
P8~>P2 = ~P8=>~P2 =0 bo 2 – warunek konieczny ~> nie zachodzi
Zdanie P8=>P2 jest implikacja prostą bo spełnia ŚFIŃSKĄ definicje implikacji prostej
CND

ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny ~>.
p~>q=1
p=>q=0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1 – gwarancja matematyczna, warunek konieczny ~> zachodzi
P2=>P8 = 0 bo 2 – warunek wystarczający => nie zachodzi
Zdanie P2~>P8 jest implikacją odwrotną bo spełnia ŚFIŃSKĄ definicje implikacji odwrotnej
CND

Spójniki zdaniowe w równoważności:
<=> - wtedy i tylko wtedy
=> - symbol równoważności w zdaniu „Jeśli p to q” o ile spełnia poniższą definicję

ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli p to q” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy miedzy p i q zachodzą jednocześnie warunki wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q (identyczny jak w implikacji)
~> - warunek konieczny, w równoważności nie jest to spójnik „może” (rzucanie monetą) znany z implikacji !

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający zachodzi
Sprawdzamy warunek konieczny miedzy TR i KR:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek konieczny ~> zachodzi
Wniosek:
Zdanie TR=>KR jest ewidentną równoważnością, bo spełnia ŚFIŃSKĄ definicję równoważności
CND

ŚFIŃSKA definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> jeśli znajdziemy przynajmniej jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
CND


7.0 Zdania twierdzące

Twierdzenie:
Dowolne zdanie twierdzące można zapisać w postaci warunku wystarczającego =>, w formie warunku koniecznego ~>, oraz w formie naturalnego spójnika „może” ~~>.

Dodatkowo zdanie twierdzące może spełniać definicję implikacji prostej, implikacji odwrotnej, albo równoważności.

Zobaczmy to na przykładach.


7.1 Implikacja prosta a zdania twierdzące

Definicja warunku wystarczającego:
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Definicja warunku wystarczającego w zbiorach:



Przykład implikacji prostej wzorcowej:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
p=>q=1
To samo w zbiorach:
P*4L=1
p*q=1
Zbiór psów zawiera się w całości w zbiorze zwierząt mających 4 łapy, stąd iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy 1
Bycie psem wystarcza aby mieć 4 łapy.
W logice pomijamy psy kalekie, inaczej mamy zero logiki.
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
p=>~q=0
To samo w zbiorach:
P*~4L=0
p*~q=0
Zbiór psów i zbiór zwierząt nie mających 4 łap to zbiory rozłączne, stąd iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy 1.

… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~P~>~4L = P=>4L
Warunek wystarczający w zdaniu A udowodniliśmy wyżej.
Stąd na mocy definicji wynika iż nie bycie psem (~P) jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie mieć czterech łap (~4L).
CND

Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q) w zbiorach:



Z powyższego diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura, wąż …
~p~>~q=1
To samo w zbiorach:
~P*~4L=1
~P*~q=1
Zbiór zwierząt nie będących psami i zbiór zwierząt nie mających czterech łap ma cześć wspólną np. kura, wąż …
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, koń …
~p~~>q=1
To samo w zbiorach:
~P*4L=1
~p*q=1
Zbiór zwierząt nie będących psami i zbiór zwierząt mających cztery łapy ma cześć wspólną np. słoń, koń …
W zdaniu D nie jest spełniony warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L=0
Zdanie B jest twardym fałszem, zatem w zdaniu D wykluczony jest warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy.

Zdania z naturalnego języka mówionego równoważne do zdania A:
A1. Jeśli dowolne zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
A2. Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Uwaga;
W logice spójnik „na pewno =>” jest domyślny i nie musi być wypowiadany
A3. Jeśli to pies to ma cztery łapy
A4. Pies ma cztery łapy

W ostatnim przypadku warunek wystarczający A zredukowaliśmy do zdania twierdzącego.
Dowód iż zdanie A4 jest w rzeczywistości warunkiem wystarczającym jest banalny i wychodzi w pytaniu o „nie psa”.

A4.
Pies ma cztery łapy
P=>4L=1
1 1 =1
B4.
Pies nie ma czterech łap
P=>~4L=0
1 0 =0
… a jeśli to nie pies ?
Prawo Kubusia:
P=>4L= ~P~>~4L
Stąd poprawna odpowiedź:
C4.
Nie pies może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
0 0 =1
LUB
D5.
Nie pies może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
0 1 =1
Uwaga:
W logice spójnik „może” nie jest domyślny i musi być wypowiedziany (wyjątkiem są tu groźby o których w dalszej części).
Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0

Zauważmy, iż dopiero całkowita analiza zdania A4 upoważnia nas do stwierdzenia iż zdanie A4 to w rzeczywistości piękna implikacja prosta.

Zauważmy że traktowanie zdania A4 jako typowego zdania twierdzącego jest matematycznie błędne bo:
A41.
Pies ma cztery łapy
P=4L=1
B41.
Pies nie ma czterech łap
P=~4L=0
… a nie pies ?
W kodowaniu A41 mamy tożsamość matematyczną, stad po dwustronnej negacji otrzymujemy:
~P=~4L
czyli:
Nie pies nie ma czterech łap
~P=~4L=0 bo słoń
Wniosek:
Nie wolno zdania A41 kodować znakiem tożsamości, bowiem nie otrzymujemy poprawnej matematycznie odpowiedzi na pytanie o „nie psa”.


7.2 Implikacja odwrotna a zdania twierdzące

Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q

Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Wynika z tego, że cała logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających.

Warunek konieczny w diagramie logiki wygląda następująco:



p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q).

Wzorcowa implikacja odwrotna:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
p~>q=1
To samo w zbiorach:
4L*P=1
p*q=1
Istnieje część wspólna zbiorów 4L i P, to pies
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń …
p~~>q=1
To samo w zbiorach:
4L*~P=1
Istnieje cześć wspólna zbiorów 4L i P, to słoń, koń …
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Zobaczmy to na diagramie logicznym:



~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, wąż ..
~p=>~q=1
To samo w zbiorach:
~4L*~P=1
~p*~q=1
Istnieje cześć wspólna zbiorów ~4L i ~P, to kura, wąż …
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
~p=>q=0
To samo w zbiorach:
~4L*P=0
~p*q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap i zbiór zwierząt będących psami to zbiory rozłączne, stąd fałsz w wyniku.

Budowa zdań twierdzących na bazie implikacji odwrotnej to opuszczenie spójnika „Jeśli…to…”.

Ta sama analiza w formie zdań twierdzących.
A.
Zwierzę które ma cztery łapy może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
1 1 =1
B.
Zwierzę które ma cztery łapy może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń …
1 0 =1
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Zwierzę które nie ma czterech łap na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
0 0 =1
D.
Zwierzę które nie ma czterech łap na pewno => jest psem
~4L=>P=0
0 1 =0
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.


7.3 Równoważność a zdania twierdzące

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)

Zobaczmy to na diagramach logiki:



Warunek wystarczający w logice dodatniej:
p=>q=1
p=>~q=0
Z diagram widzimy, że zbiory p I q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
p=q
co wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q



Warunek wystarczający w logice ujemnej:
~p=>~q=1
~p=>q=0
Z diagram widzimy, że zbiory ~p I ~q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
~p=~q
co wymusza tożsamość zbiorów:
p=q

Z powyższego mamy operatorową definicję równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Wzorcowa równoważność:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna
p=>q=1
To samo w zbiorach:
TR*KR=1
p*q=1
Istnieje cześć wspólna zbioru trójkątów o równych bokach i trójkątów o równych kątach, to dokładnie te same zbiory
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno=> nie ma kątów równych
TR=>~KR=0
p=>~q=0
To samo w zbiorach:
TR*~KR=0
p*~q=0
Zbiór trójkątów o równych bokach i zbiór trójkątów o nie równych kątach to zbiory rozłączne, stąd zero w wyniku (fałsz).

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna
~p*~q=1
To samo w zbiorach:
~TR*~KR==1
~p*~q=1
Zbiory ~TR i ~KR są dokładnie tymi samymi zbiorami, stąd jedynka w wyniku (prawda)
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0
~p=>q=0
To samo w zbiorach:
~TR*KR=0
~p*q=0
Zbiory ~TR i KR są rozłączne, stąd zero w wyniku (fałsz).

Oczywiście zdanie A możemy wypowiedzieć w formie równoważności.
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Ta sama analiza po redukcji spójnika „Jeśli…to…”, czyli w formie zdań twierdzących.
A.
Trójkąt równoboczny ma kąty równe
(TR=KR) =1
1 1 =1
B.
Trójkąt równoboczny nie ma kątów równych
(TR=~KR) =0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie ma katów równych ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
(TR=KR) = (~TR=~KR)
C.
Trójkąt nierównoboczny nie ma kątów równych
(~TR = ~KR) =1
0 0 =1
D.
Trójkąt nierównoboczny ma kąty równe
(~TR=KR) =0
0 1 =0
Doskonale widać, tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
TR=>KR=1
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0

Zauważmy że w tym przypadku możemy używać znaku tożsamości, bowiem otrzymujemy poprawną odpowiedź na pytanie o trójkąty nierównoboczne


8.0 Nietypowe implikacje i równoważności

Dotychczas rozważaliśmy implikacje i równoważności w których p i q należały do tej samej dziedziny oraz zbiory p i q nie były zbiorami rozłącznymi.

W praktyce naturalnego języka mówionego praktycznie wszystkie zdania spełniają powyższy warunek.

Matematycznie, prawdziwe są tez zdania w których p i q należy do tej samej dziedziny, gdzie p i q to zbiory rozłączne.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie jest kurą
P=>~K=1
To samo w formie zdania twierdzącego:
Pies to nie kura

Matematycznie, prawdziwe są również zdania w których p i q należą do różnych dziedzin. Oczywiście wymusza to rozłączność zbiorów p i q.

Przykład:
Jeśli coś jest psem to na pewno => nie jest samochodem
P=>~S=1
To samo w formie zdania twierdzącego:
Pies to nie samochód

… i wszystko jasne !
Czyż trzeba kogokolwiek przekonywać dlaczego zdania jak wyżej nie są używane w praktyce języka mówionego ?

Oczywiście takie zdania mają sens w fazie nauki języka mówionego niemowlaka, albo w kabarecie.

Jak widzimy zdania te mają formę:
p=>~q

Zobaczmy to na diagramie:



p=>~q

Na mocy powyższego diagramu, ogólna analiza tego typu implikacji jest następująca.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
p*~q=1
1*1=1
Zbiory p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste.
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
p*q=0
1*1=0
Zbiory p=1 i q=1 istnieją i są niepuste, ale są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru (fałsz)
Zdania A i B spełniają definicje warunku wystarczającego:
Kod:

p=>~q=1
p=>q=0

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p~>q=1
0 0 =1
To samo w zbiorach:
~p*q=1
1*1=1
Zbiory ~p=1 i q=1 istnieją i są niepuste, oraz mają część wspólną, stąd w wyniku mamy jeden (prawda)
LUB
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q=1
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~p*~q=1
1*1=1
Zbiory ~p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste, oraz mają część wspólną, stąd w wyniku mamy jeden (prawda).

Uwagi:
1.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym p=>~q czyli:
p=1, ~p=0
~q=1, q=1
2.
Nie ma tu szans na równoważność bowiem zbiory p i q są rozłączne, natomiast w równoważności zbiory p i q musza być dokładnie tymi samymi zbiorami.
3.
W szczególny przypadku, gdy zbiór q jest zbiorem pustym, zdanie wypowiedziane A będzie spełniać wyłącznie definicję warunku wystarczającego.

Analiza ogólna zdania A dla przypadku, gdy zbiór q jest zbiorem pustym.
Oczywiście iloczyn logiczny zbioru pustego i dowolnego innego zbioru jest zbiorem pustym.

Założenie:
q=0 – zbiór pusty o wartości logicznej zero (fałsz)

Dla tego przypadku będziemy mieli:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
p*~q=1
1*1=1
Zbiory p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste.
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
p*q=0
1*0=0
Zbiór q=0 jest zbiorem pustym, stąd iloczyn logiczny jest równy zeru, niezależnie od wzajemnego położenia zbiorów p i q.
Zdania A i B spełniają definicje warunku wystarczającego:
Kod:

p=>~q=1
p=>q=0

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p~>q=0
0 0 =0
To samo w zbiorach:
~p*q=1
1*0=0
Zero w wyniku wymusza zbiór pusty q=0 o wartości logicznej zero (fałsz)
LUB
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q=1
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~p*~q=1
1*1=1
Zbiory ~p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste, oraz mają część wspólną, stąd w wyniku mamy jeden (prawda).

Doskonale widać, że zdanie A nie spełnia definicji zero-jedynkowej implikacji prostej dla kodowania zgodnego z tym zdaniem p=>~q czyli:
p=1, ~p=0
~q=1, q=0

tabela zero-jedynkowa jaka tu otrzymujemy wygląda następująco:
Kod:

   p ~q p=>~q
Warunek wystarczający
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
Dalsza część nie ma nic wspólnego ani z implikacją ani z równoważnością
C: 0  0  =0
D: 0  1  =1

Uwagi:
1.
Warunek wystarczający => może istnieć samodzielnie, przykład: zdanie A wyżej
2.
Warunek konieczny ~> nie może istnieć samodzielnie bowiem nie pozwala na to jego definicja.

Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.

Przykład zdania p=>~q gdzie q nie jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma dwóch nóg
P=>~2N=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
P*~2N=1
1*1=1
Zbiór zwierząt będących psami (P=1) i zbiór zwierząt nie mających 2 nóg (~2N=1) jest zbiorem niepustym bo pies, stąd iloczyn logiczny jest równy 1 (prawda).
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma dwie nogi
P=>2N=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
P*2N=0
1*1=0
Zbiór psów (P=1) i zbiór zwierząt mających dwie nogi (2N=1) to zbiory rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny jest równy zero (fałsz)
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>~2N = ~P~>2N
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może > mieć dwie nogi
~P~>2N=1 bo kura
0 0 =1
To samo w zbiorach:
~P*2N=1
1*1=1
Istnieje zbiór zwierząt nie będących psami (~P=1) oraz zbiór zwierząt mających dwie nogi (2N=1).
Zbiory te maja część wspólną (kura), stad wynik iloczynu logicznego równy 1 (prawda)
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> nie mieć dwóch nóg
~P~~>~2N=1 bo słoń
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~P*~2N=1
1*1=1
Istnieje zbiór zwierząt nie będących psami (~P=1) oraz zbiór zwierząt nie mających dwóch nóg (~2N=1).
Zbiory te maja część wspólną (słoń), stad wynik iloczynu logicznego równy 1 (prawda)

Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem P=>~2N czyli:
P=1, ~P=0
~2N=1, 2N=0

Przykład zdania p=>~q gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno nie ma miliona nóg
P=>~MN=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
P*~MN=1
1*1=1
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma milion nóg
P=>NM=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
P*MN=1
1*0=0
Bo zbiór zwierząt mających milion nóg jest zbiorem pustym czyli: MN=0
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>~MN = ~P~>MN
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może mieć milion nóg
~P~>MN=0
0 0 =0
To samo w zbiorach:
~P*MN=0
1*0=0
Bo zbiór zwierząt mających milion nóg jest zbiorem pustym czyli: MN=0
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może nie mieć miliona nóg
~P~~>~MN=1
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~P*~MN=1
1*1=1
Istnieje zbiór nie psów (~P=1) i zbiór zwierząt nie mających miliona nóg (~MN=1).
Zbiory te maja cześć wspólną (kura, sloń…), stad wynik iloczynu logicznego równy 1 (prawda).

Doskonale widać że zdanie A spełnia wyłącznie definicję warunku wystarczającego:
Kod:

   P ~MN P=>~MN
Definicja warunku wystarczającego
A: 1  1   =1
B: 1  0   =0
To co niżej nie jest ani warunkiem wystarczającym ani koniecznym
C: 0  0   =0
D: 0  1   =1


KONIEC

6.0 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności

Cała algebra Kubusia w zakresie implikacji i równoważności to jedna jedyna definicja warunku wystarczającego => plus prawa Kubusia z których wszystko wynika.

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) w zapisie symbolicznym:
Kod:

A: p=>q=1
B: p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2 =0 – twardy fałsz wynikły z powyższego

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) w zapisie symbolicznym:
Kod:

A: ~p=>~q=1
B: ~p=>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q

Przykład:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego

Definicja kontrprzykładu
Wynika bezpośrednio z definicji warunku wystarczającego w algebrze Kubusia
Kod:

A.
Jeśli zajdzie p to „może”~~> zajść q
p~~>q=1
B.
Jeśli zajdzie p to „może” ~~> zajść ~q
p~~>~q=1

Gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy

Algorytm postępowania:
A.
Znajdujemy jeden przypadek prawdziwy p~~>q=1
B.
Znajdujemy jeden przypadek prawdziwy p~~>~q=1

Wnioski:
1.
Zajście A i B wyklucza warunek wystarczający między p i q
p=>q=0
2.
Zajście A i brak możliwości wystąpienia B jest dowodem zachodzenia warunku wystarczającego miedzy p i q
p=>q=1

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 = ?
Na mocy definicji kontrprzykładu szukamy:
P2~~>P8=1 bo 8
P2~~>~P8=1 bo 2
Wniosek:
P2=>P8=0
CND

Definicja warunku koniecznego obowiązująca w całej algebrze Kubusia:
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Warunek konieczny między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.

Najważniejsza interpretacja praw Kubusia:
Udowodnienie warunku wystarczającego => z prawej strony równania Kubusia jest dowodem zachodzenia warunku koniecznego ~> z lewej strony równania Kubusia.
Wynika z tego, że całą logikę możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających.

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
I Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zabieramy p wymuszając zniknięcie q
~p=>~q
Wtedy i tylko wtedy spełniony jest warunek konieczny ~> w zdaniu p~>q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Zabieramy chmury wykluczając możliwość padania: ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1

Definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bp ~q)
II Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Wymuszamy p z czego musi wyniknąć q
p=>q
Wtedy i tylko wtedy spełniony jest warunek konieczny ~> w zdaniu ~p~>~q

Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
Wymuszając padanie deszczu wymuszamy istnienie chmur: P=>CH
C.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
Zdanie „jeśli p to q” wyrażone jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q nie jest zanegowane.


ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności wynikające bezpośrednio z praw Kubusia.

ŚFIŃSKA definicja implikacji prostej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacja prostą wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek wystarczający =>.
p=>q=1
p~>q=0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający => zachodzi
P8~>P2 = ~P8=>~P2 =0 bo 2 – warunek konieczny ~> nie zachodzi
Zdanie P8=>P2 jest implikacja prostą bo spełnia ŚFIŃSKĄ definicje implikacji prostej
CND

ŚFIŃSKA definicja implikacji odwrotnej:
Zdanie „Jeśli p to q” jest implikacja odwrotną wtedy i tylko wtedy gdy między p i q zachodzi wyłącznie warunek konieczny ~>.
p~>q=1
p=>q=0

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1 – gwarancja matematyczna, warunek konieczny ~> zachodzi
P2=>P8 = 0 bo 2 – warunek wystarczający => nie zachodzi
Zdanie P2~>P8 jest implikacją odwrotną bo spełnia ŚFIŃSKĄ definicje implikacji odwrotnej
CND

Spójniki zdaniowe w równoważności:
<=> - wtedy i tylko wtedy
=> - symbol równoważności w zdaniu „Jeśli p to q” o ile spełnia poniższą definicję

ŚFIŃSKA definicja równoważności:
Zdanie „Jeśli p to q” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy miedzy p i q zachodzą jednocześnie warunki wystarczający i konieczny
p=>q=1
p~>q=1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q (identyczny jak w implikacji)
~> - warunek konieczny, w równoważności nie jest to spójnik „może” (rzucanie monetą) znany z implikacji !

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek wystarczający zachodzi
Sprawdzamy warunek konieczny miedzy TR i KR:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna, warunek konieczny ~> zachodzi
Wniosek:
Zdanie TR=>KR jest ewidentną równoważnością, bo spełnia ŚFIŃSKĄ definicję równoważności
CND

ŚFIŃSKA definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> jeśli znajdziemy przynajmniej jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
CND


7.0 Zdania twierdzące

Twierdzenie:
Dowolne zdanie twierdzące można zapisać w postaci warunku wystarczającego =>, w formie warunku koniecznego ~>, oraz w formie naturalnego spójnika „może” ~~>.

Dodatkowo zdanie twierdzące może spełniać definicję implikacji prostej, implikacji odwrotnej, albo równoważności.

Zobaczmy to na przykładach.


7.1 Implikacja prosta a zdania twierdzące

Definicja warunku wystarczającego:
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Definicja warunku wystarczającego w zbiorach:



Przykład implikacji prostej wzorcowej:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
p=>q=1
To samo w zbiorach:
P*4L=1
p*q=1
Zbiór psów zawiera się w całości w zbiorze zwierząt mających 4 łapy, stąd iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy 1
Bycie psem wystarcza aby mieć 4 łapy.
W logice pomijamy psy kalekie, inaczej mamy zero logiki.
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
p=>~q=0
To samo w zbiorach:
P*~4L=0
p*~q=0
Zbiór psów i zbiór zwierząt nie mających 4 łap to zbiory rozłączne, stąd iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy 1.

… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~P~>~4L = P=>4L
Warunek wystarczający w zdaniu A udowodniliśmy wyżej.
Stąd na mocy definicji wynika iż nie bycie psem (~P) jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie mieć czterech łap (~4L).
CND

Definicja warunku koniecznego w logice ujemnej (bo ~q) w zbiorach:



Z powyższego diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura, wąż …
~p~>~q=1
To samo w zbiorach:
~P*~4L=1
~P*~q=1
Zbiór zwierząt nie będących psami i zbiór zwierząt nie mających czterech łap ma cześć wspólną np. kura, wąż …
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, koń …
~p~~>q=1
To samo w zbiorach:
~P*4L=1
~p*q=1
Zbiór zwierząt nie będących psami i zbiór zwierząt mających cztery łapy ma cześć wspólną np. słoń, koń …
W zdaniu D nie jest spełniony warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L=0
Zdanie B jest twardym fałszem, zatem w zdaniu D wykluczony jest warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy.

Zdania z naturalnego języka mówionego równoważne do zdania A:
A1. Jeśli dowolne zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
A2. Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Uwaga;
W logice spójnik „na pewno =>” jest domyślny i nie musi być wypowiadany
A3. Jeśli to pies to ma cztery łapy
A4. Pies ma cztery łapy

W ostatnim przypadku warunek wystarczający A zredukowaliśmy do zdania twierdzącego.
Dowód iż zdanie A4 jest w rzeczywistości warunkiem wystarczającym jest banalny i wychodzi w pytaniu o „nie psa”.

A4.
Pies ma cztery łapy
P=>4L=1
1 1 =1
B4.
Pies nie ma czterech łap
P=>~4L=0
1 0 =0
… a jeśli to nie pies ?
Prawo Kubusia:
P=>4L= ~P~>~4L
Stąd poprawna odpowiedź:
C4.
Nie pies może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
0 0 =1
LUB
D5.
Nie pies może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
0 1 =1
Uwaga:
W logice spójnik „może” nie jest domyślny i musi być wypowiedziany (wyjątkiem są tu groźby o których w dalszej części).
Doskonale widać definicje implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0

Zauważmy, iż dopiero całkowita analiza zdania A4 upoważnia nas do stwierdzenia iż zdanie A4 to w rzeczywistości piękna implikacja prosta.

Zauważmy że traktowanie zdania A4 jako typowego zdania twierdzącego jest matematycznie błędne bo:
A41.
Pies ma cztery łapy
P=4L=1
B41.
Pies nie ma czterech łap
P=~4L=0
… a nie pies ?
W kodowaniu A41 mamy tożsamość matematyczną, stad po dwustronnej negacji otrzymujemy:
~P=~4L
czyli:
Nie pies nie ma czterech łap
~P=~4L=0 bo słoń
Wniosek:
Nie wolno zdania A41 kodować znakiem tożsamości, bowiem nie otrzymujemy poprawnej matematycznie odpowiedzi na pytanie o „nie psa”.


7.2 Implikacja odwrotna a zdania twierdzące

Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q

Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Wynika z tego, że cała logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających.

Warunek konieczny w diagramie logiki wygląda następująco:



p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q).

Wzorcowa implikacja odwrotna:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
p~>q=1
To samo w zbiorach:
4L*P=1
p*q=1
Istnieje część wspólna zbiorów 4L i P, to pies
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń …
p~~>q=1
To samo w zbiorach:
4L*~P=1
Istnieje cześć wspólna zbiorów 4L i P, to słoń, koń …
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Zobaczmy to na diagramie logicznym:



~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura, wąż ..
~p=>~q=1
To samo w zbiorach:
~4L*~P=1
~p*~q=1
Istnieje cześć wspólna zbiorów ~4L i ~P, to kura, wąż …
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
~p=>q=0
To samo w zbiorach:
~4L*P=0
~p*q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap i zbiór zwierząt będących psami to zbiory rozłączne, stąd fałsz w wyniku.

Budowa zdań twierdzących na bazie implikacji odwrotnej to opuszczenie spójnika „Jeśli…to…”.

Ta sama analiza w formie zdań twierdzących.
A.
Zwierzę które ma cztery łapy może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
1 1 =1
B.
Zwierzę które ma cztery łapy może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, koń …
1 0 =1
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Zwierzę które nie ma czterech łap na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
0 0 =1
D.
Zwierzę które nie ma czterech łap na pewno => jest psem
~4L=>P=0
0 1 =0
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.


7.3 Równoważność a zdania twierdzące

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)

Zobaczmy to na diagramach logiki:



Warunek wystarczający w logice dodatniej:
p=>q=1
p=>~q=0
Z diagram widzimy, że zbiory p I q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
p=q
co wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q



Warunek wystarczający w logice ujemnej:
~p=>~q=1
~p=>q=0
Z diagram widzimy, że zbiory ~p I ~q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
~p=~q
co wymusza tożsamość zbiorów:
p=q

Z powyższego mamy operatorową definicję równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Wzorcowa równoważność:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – gwarancja matematyczna
p=>q=1
To samo w zbiorach:
TR*KR=1
p*q=1
Istnieje cześć wspólna zbioru trójkątów o równych bokach i trójkątów o równych kątach, to dokładnie te same zbiory
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno=> nie ma kątów równych
TR=>~KR=0
p=>~q=0
To samo w zbiorach:
TR*~KR=0
p*~q=0
Zbiór trójkątów o równych bokach i zbiór trójkątów o nie równych kątach to zbiory rozłączne, stąd zero w wyniku (fałsz).

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
~TR=>~KR=1 – gwarancja matematyczna
~p*~q=1
To samo w zbiorach:
~TR*~KR==1
~p*~q=1
Zbiory ~TR i ~KR są dokładnie tymi samymi zbiorami, stąd jedynka w wyniku (prawda)
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0
~p=>q=0
To samo w zbiorach:
~TR*KR=0
~p*q=0
Zbiory ~TR i KR są rozłączne, stąd zero w wyniku (fałsz).

Oczywiście zdanie A możemy wypowiedzieć w formie równoważności.
A.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Ta sama analiza po redukcji spójnika „Jeśli…to…”, czyli w formie zdań twierdzących.
A.
Trójkąt równoboczny ma kąty równe
(TR=KR) =1
1 1 =1
B.
Trójkąt równoboczny nie ma kątów równych
(TR=~KR) =0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie ma katów równych ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
(TR=KR) = (~TR=~KR)
C.
Trójkąt nierównoboczny nie ma kątów równych
(~TR = ~KR) =1
0 0 =1
D.
Trójkąt nierównoboczny ma kąty równe
(~TR=KR) =0
0 1 =0
Doskonale widać, tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
TR=>KR=1
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0

Zauważmy że w tym przypadku możemy używać znaku tożsamości, bowiem otrzymujemy poprawną odpowiedź na pytanie o trójkąty nierównoboczne


8.0 Nietypowe implikacje i równoważności

Dotychczas rozważaliśmy implikacje i równoważności w których p i q należały do tej samej dziedziny oraz zbiory p i q nie były zbiorami rozłącznymi.

W praktyce naturalnego języka mówionego praktycznie wszystkie zdania spełniają powyższy warunek.

Matematycznie, prawdziwe są tez zdania w których p i q należy do tej samej dziedziny, gdzie p i q to zbiory rozłączne.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie jest kurą
P=>~K=1
To samo w formie zdania twierdzącego:
Pies to nie kura

Matematycznie, prawdziwe są również zdania w których p i q należą do różnych dziedzin. Oczywiście wymusza to rozłączność zbiorów p i q.

Przykład:
Jeśli coś jest psem to na pewno => nie jest samochodem
P=>~S=1
To samo w formie zdania twierdzącego:
Pies to nie samochód

… i wszystko jasne !
Czyż trzeba kogokolwiek przekonywać dlaczego zdania jak wyżej nie są używane w praktyce języka mówionego ?

Oczywiście takie zdania mają sens w fazie nauki języka mówionego niemowlaka, albo w kabarecie.

Jak widzimy zdania te mają formę:
p=>~q

Zobaczmy to na diagramie:



p=>~q

Na mocy powyższego diagramu, ogólna analiza tego typu implikacji jest następująca.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
p*~q=1
1*1=1
Zbiory p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste.
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
p*q=0
1*1=0
Zbiory p=1 i q=1 istnieją i są niepuste, ale są rozłączne, stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru (fałsz)
Zdania A i B spełniają definicje warunku wystarczającego:
Kod:

p=>~q=1
p=>q=0

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p~>q=1
0 0 =1
To samo w zbiorach:
~p*q=1
1*1=1
Zbiory ~p=1 i q=1 istnieją i są niepuste, oraz mają część wspólną, stąd w wyniku mamy jeden (prawda)
LUB
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q=1
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~p*~q=1
1*1=1
Zbiory ~p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste, oraz mają część wspólną, stąd w wyniku mamy jeden (prawda).

Uwagi:
1.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym p=>~q czyli:
p=1, ~p=0
~q=1, q=1
2.
Nie ma tu szans na równoważność bowiem zbiory p i q są rozłączne, natomiast w równoważności zbiory p i q musza być dokładnie tymi samymi zbiorami.
3.
W szczególny przypadku, gdy zbiór q jest zbiorem pustym, zdanie wypowiedziane A będzie spełniać wyłącznie definicję warunku wystarczającego.

Analiza ogólna zdania A dla przypadku, gdy zbiór q jest zbiorem pustym.
Oczywiście iloczyn logiczny zbioru pustego i dowolnego innego zbioru jest zbiorem pustym.

Założenie:
q=0 – zbiór pusty o wartości logicznej zero (fałsz)

Dla tego przypadku będziemy mieli:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
p*~q=1
1*1=1
Zbiory p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste.
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
p*q=0
1*0=0
Zbiór q=0 jest zbiorem pustym, stąd iloczyn logiczny jest równy zeru, niezależnie od wzajemnego położenia zbiorów p i q.
Zdania A i B spełniają definicje warunku wystarczającego:
Kod:

p=>~q=1
p=>q=0

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p~>q=0
0 0 =0
To samo w zbiorach:
~p*q=1
1*0=0
Zero w wyniku wymusza zbiór pusty q=0 o wartości logicznej zero (fałsz)
LUB
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q=1
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~p*~q=1
1*1=1
Zbiory ~p=1 i ~q=1 istnieją i są niepuste, oraz mają część wspólną, stąd w wyniku mamy jeden (prawda).

Doskonale widać, że zdanie A nie spełnia definicji zero-jedynkowej implikacji prostej dla kodowania zgodnego z tym zdaniem p=>~q czyli:
p=1, ~p=0
~q=1, q=0

tabela zero-jedynkowa jaka tu otrzymujemy wygląda następująco:
Kod:

   p ~q p=>~q
Warunek wystarczający
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
Dalsza część nie ma nic wspólnego ani z implikacją ani z równoważnością
C: 0  0  =0
D: 0  1  =1

Uwagi:
1.
Warunek wystarczający => może istnieć samodzielnie, przykład: zdanie A wyżej
2.
Warunek konieczny ~> nie może istnieć samodzielnie bowiem nie pozwala na to jego definicja.

Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q – II prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.

Przykład zdania p=>~q gdzie q nie jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma dwóch nóg
P=>~2N=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
P*~2N=1
1*1=1
Zbiór zwierząt będących psami (P=1) i zbiór zwierząt nie mających 2 nóg (~2N=1) jest zbiorem niepustym bo pies, stąd iloczyn logiczny jest równy 1 (prawda).
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma dwie nogi
P=>2N=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
P*2N=0
1*1=0
Zbiór psów (P=1) i zbiór zwierząt mających dwie nogi (2N=1) to zbiory rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny jest równy zero (fałsz)
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>~2N = ~P~>2N
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może > mieć dwie nogi
~P~>2N=1 bo kura
0 0 =1
To samo w zbiorach:
~P*2N=1
1*1=1
Istnieje zbiór zwierząt nie będących psami (~P=1) oraz zbiór zwierząt mających dwie nogi (2N=1).
Zbiory te maja część wspólną (kura), stad wynik iloczynu logicznego równy 1 (prawda)
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> nie mieć dwóch nóg
~P~~>~2N=1 bo słoń
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~P*~2N=1
1*1=1
Istnieje zbiór zwierząt nie będących psami (~P=1) oraz zbiór zwierząt nie mających dwóch nóg (~2N=1).
Zbiory te maja część wspólną (słoń), stad wynik iloczynu logicznego równy 1 (prawda)

Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem P=>~2N czyli:
P=1, ~P=0
~2N=1, 2N=0

Przykład zdania p=>~q gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno nie ma miliona nóg
P=>~MN=1
1 1 =1
To samo w zbiorach:
P*~MN=1
1*1=1
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma milion nóg
P=>NM=0
1 0 =0
To samo w zbiorach:
P*MN=1
1*0=0
Bo zbiór zwierząt mających milion nóg jest zbiorem pustym czyli: MN=0
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>~MN = ~P~>MN
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może mieć milion nóg
~P~>MN=0
0 0 =0
To samo w zbiorach:
~P*MN=0
1*0=0
Bo zbiór zwierząt mających milion nóg jest zbiorem pustym czyli: MN=0
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może nie mieć miliona nóg
~P~~>~MN=1
0 1 =1
To samo w zbiorach:
~P*~MN=1
1*1=1
Istnieje zbiór nie psów (~P=1) i zbiór zwierząt nie mających miliona nóg (~MN=1).
Zbiory te maja cześć wspólną (kura, sloń…), stad wynik iloczynu logicznego równy 1 (prawda).

Doskonale widać że zdanie A spełnia wyłącznie definicję warunku wystarczającego:
Kod:

   P ~MN P=>~MN
Definicja warunku wystarczającego
A: 1  1   =1
B: 1  0   =0
To co niżej nie jest ani warunkiem wystarczającym ani koniecznym
C: 0  0   =0
D: 0  1   =1


KONIEC


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:12, 30 Paź 2011, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25248
Przeczytał: 25 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:54, 04 Cze 2011    Temat postu:

aa
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25248
Przeczytał: 25 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:55, 04 Cze 2011    Temat postu:

aaa
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25248
Przeczytał: 25 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 18:56, 04 Cze 2011    Temat postu:



Y=p+q



~Y=~p*~q



Y=p*q



~Y=~p+~q



p~~>q



p=>q



~p~>~q



p~>q



~p=>~q



p=>q



~p=>~q


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 7:27, 09 Paź 2011, w całości zmieniany 14 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin