ŚFiNiA

rafal3006

Twardy dowód wewnętrznej sprzeczności matematyki ziemian!
Część I

MaluśnaOwieczka

W I. napisałeś, że zdanie nie może być fałszem.
W II. napisałeś, że to samo zdanie jest prawdziwe.

To czym się różni I. od II. ?

MaluśnaOwieczka

KRZ jest narzędziem używanym do dowodzenia twierdzeń matematycznych, a nie do ścisłego zapisu języka potocznego. Języka potocznego nie da się zapisać w sposób ścisły. Nadal nie odniosłeś się do mojego przykładu zdania:

"Motocykl wyprzedził samochód."

rafal3006

MaluśnaOwieczka

Nie chodziło mi o tę literówkę. Nawet jeśli ją poprawimy, to i tak piszesz raz jedno, a raz drugie:

rafal3006

MaluśnaOwieczka

2+2 = 4

Dodajemy 1 do obu stron równania

2+2+1 = 4+1

2+(2+1) = 4+1

2+3 = 5

Wyszło, czy nie wyszło?

A teraz w drugą stronę:

2+3 = 5

Odejmujemy 1 od obu stron równania

2+3-1 = 5-1

2+(3-1) = 5-1

2+2 = 4

Znowu wyszło.
Co byś nie zrobił, to zawsze wynika jedno z drugiego.

rafal3006

Równoważność do udowodnienia to:
2+2=4 wtedy i tylko wtedy 2+3=5
Dowód prawdziwości tej równoważności w wykonaniu MaluśnejOwieczki jest taki:

MaluśnaOwieczka

rafal3006

Czy MaluśnaOwieczka zdoła udowodnić prawdziwość ewidentnej bzdury?

Semele

Edytowany

MaluśnaOwieczka

W poprzednim przykładzie wykazałem Ci, że podana równoważność jest tautologią, na podstawie aksjomatów teorii liczb rzeczywistych.
Zaś równoważność, którą zaprezentowałeś w ostatnim poście, tautologią nie jest. To nie oznacza jednak, że jest fałszem.

Równoważność nie jest tym samym co tautologia.

Równoważność:

2+2=4 <=> 2*9=18

jest tautologią, ponieważ ta równoważność jest prawdziwa w każdym modelu. Nie istnieje model, w którym ta równoważność jest fałszywa.

Natomiast równoważność:

2+2=4 <=> Płock leży nad Wisłą

nie jest tautologią, ponieważ jej prawdziwość jest zależna od przyjętego modelu.

Jeśli tym modelem jest aktualna rzeczywistość wraz z funkcjonującymi w niej nazwami geograficznymi, to wtedy taka równoważność jest prawdziwa.
Gdyby tym modelem była jakaś inna rzeczywistość (na przykład z filmu), wtedy taka równoważność mogłaby być nieprawdziwa (bo reżyser umieścił Płock nad Odrą).

A więc, żebyś miał rację, to musisz nakłonić burmistrza Płocka, by zmienił nazwę miasta. Wtedy ta równoważność przestanie być prawdziwa i to, co o niej mówisz, będzie prawdą.

W podanej równoważności "Płock leży nad Wisłą" jest w istocie zmienną, która może przyjmować wartość "prawda" lub "fałsz". W zależności od wartości tej zmiennej zmienia się wartość podanej równoważności.

Na przykład:

2+2=4 <=> a*9=18

Ta równoważność nie jest tautologią.
Jest ona prawdziwa, gdy wartością zmiennej "a" jest 2, zaś fałszywa, gdy wartość zmiennej "a" jest różna od 2.

Wracając do Płocka, podstawmy:

X := Płock leży nad Wisłą

Uzyskujemy wtedy:

2+2=4 <=> X

Równoważność ta jest prawdziwa, gdy X ma wartość "prawda", a fałszywa, gdy X ma wartość "fałsz". A więc równoważność jest prawdziwa, gdy Płock leży nad Wisłą, a fałszywa, gdy nad nią nie leży.

Bóg ŁP JWPB · Gość

No i ku wielkiej radości naszego ukochanego Wuja, nareszcie zrobiło się miło i sympatycznie, żadnych przykrości, tak jak lubi nasz Wuj ukochany.

rafal3006

Napisane przed chwilą:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-01-22,18263.html#574093

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Definicje podstawowe w ziemskiej teorii zbiorów 1
4.1.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 2
4.1.2 Definicja równoważności p<=>q 3
4.1.3 Definicja tożsamości zbiorów p=q, prawo Słonia 4
4.1.4 Równoważności Pitagorasa 5

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

4.1 Definicje podstawowe w ziemskiej teorii zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

Matematycznie zachodzą tożsamości pojęć dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.

Bóg ŁP JWPB · Gość

Ja bym proponował, aby nasz drogi Wuj dokładnie przyjrzał się jeszcze temu i po głębokiej analizie zapoznał nas ze swoimi przemyślanymi dogłębnie uwagami.

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Definicje podstawowe w ziemskiej teorii zbiorów 1
4.1.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 2
4.1.2 Definicja równoważności p<=>q 3
4.1.3 Definicja tożsamości zbiorów p=q, prawo Słonia 5
4.1.4 Równoważności Pitagorasa 5
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 8
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 9
4.2.2 Prawa Kobry dla zbiorów 9
4.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 10
4.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 11
4.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 11
4.4 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 11
4.4.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 14

4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

4.1 Definicje podstawowe w ziemskiej teorii zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>

Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1

Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q

Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>

Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1

Matematycznie zachodzą tożsamości pojęć dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
AB12: | AB34:
AB1: AB2: | AB3: AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

4.1.2 Definicja równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
##
p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

Podstawową definicję równoważności znają wszyscy ludzie, nie tylko matematycy.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 830
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 260
etc

Nanieśmy definicję równoważności do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
AB12: | AB34:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawowa definicja równoważności p<=>q to kolumna A1B1.

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1B1:
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

4.1.3 Definicja tożsamości zbiorów p=q, prawo Słonia

Matematycznie zachodzą tożsamości pojęć dla zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Ziemska definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1

Dla B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
stąd mamy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1

Stąd mamy.
Podstawowa definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Stąd mamy:

Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Powyższa definicja jest doskonale znana wszystkim ludziom, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 830
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 260
etc

4.1.4 Równoważności Pitagorasa

Definicja równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, zatem równoważność Pitagorasa jest prawdziwa.

Jest oczywistym dla każdego matematyka (póki co w 10-milowym lesie) iż równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK

Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem SK (TP=SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => SK, bo równoważność TP<=>SK mamy udowodnioną
B1: SK=>TP =1 - zbiór SK jest podzbiorem => TP, bo równoważność TP<=>SK mamy udowodnioną
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Skorzystajmy z prawa Tygryska dla B3:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
stąd mamy:

Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów
A1: TP=>SK =1 - twierdzenie
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Skorzystajmy teraz z następujących praw logiki matematycznej:
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego => A1:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~> B1:
B1: TP~>SK = B4: ~SK~>~TP

Stąd mamy:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = ~TP<=>~SK

Zauważmy że:
Równoważność prawdziwa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
wymusza równoważność prawdziwą dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = ~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
bo równoważność jest przemienna.

Wniosek:
Wystarczy udowodnić równoważność dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK co ludzkość zrobiła wieki temu, aby mieć pewność zachodzącej równoważności dla trójkątów nieprostokątnych ~TP<=>~SK.
Gwarantuje nam to prawo rachunku zero-jedynkowego:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK

Znaczenie tożsamości logicznej:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Na mocy prawa Słonia mamy:
Kod:

TP<=>SK=(A1:TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A4:~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP)
Równoważność TP<=>SK | Równoważność ~TP<=>~SK
definiuje tożsamość zbiorów: |definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaku # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
TP=~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP w dziedzinie ZWT
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP w dziedzinie ZWT
ZWT = TP+~TP

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Definicja dziedziny dla TP:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP = [] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP]
Dowód:
~TP = [ZWT-TP] = [TP+~TP - TP] = ~TP
cnd
Prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) = ~[ZWT-TP] = ~[TP+~TP-TP] = ~[~TP]
cnd
~TP = ~[TP] = ~[ZWT-~TP] = ~[TP+~TP-~TP] = ~[TP] = ~TP
cnd

Definicja dziedziny dla SK:
SK+~SK = ZWT =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~SK=[ZWT-SK]
Dowód:
~SK = [ZWT-SK] = [SK+~SK - SK] = ~SK
cnd
Prawo podwójnego przeczenia:
SK = ~(~SK) = ~[ZWT-SK] = ~[SK+~SK-SK] = ~[~SK]
cnd
~SK = ~[SK] = ~[ZWT-~SK] = ~[SK+~SK-~SK] = ~[SK] = ~SK
cnd

Podstawowa definicja równoważności ~TP<=>~SK dla trójkątów nieprostokątnych:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~SK=>~TP=1 - zbiór ~SK jest (=1) podzbiorem => ~TP, oczywistość wobec tożsamości ~TP=~SK
B4: ~SK~>~TP=1 - zbiór ~SK jest (=1) nadzbiorem ~> ~TP, oczywistość wobec tożsamości ~TP=~SK

4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.2.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie.
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Definicja dziedziny D i zbioru pustego []:
D+~D = D+[] =D =1 - zbiór pusty [] jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dziedziny D
D*~D = D*[] =[] =0 - iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych D i [] jest zbiorem pustym []

Matematycznie zachodzą tożsamości:
D = ~(~D) = ~[]
[] = ~(~[]) = ~D

Tabela prawdy wiążąca dziedzinę D ze zbiorem pustym []:
Kod:

A: D=>D =1 - dziedzina D jest (=1) podzbiorem dziedziny D
B: D~~>[]=D*[] =0 - dziedzina D i zbiór pusty [] to zbiory rozłączne
C: []=>[] =1 - zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem zbioru pustego []
D: []~~>D=[]*D =0 - zbiór pusty [] i dziedzina D to zbiory rozłączne

Dla D=1 i []=0 mamy tabelę prawdy równoważności D<=>D:
Kod:

D D D<=>D
A: 1=> 1 =1
B: 1~~>0 =0
C: 0=> 0 =1
D: 0~~>1 =0

4.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

4.4 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Funkcja logiczna p=>q = ~p+q nie jest tożsama z funkcją logiczną p~>q = p+~q
oraz nie jest zaprzeczeniem funkcji logicznej p~>q = p+~q:
B1: ~(p~>q) = ~(p+~q) = ~p*q ## A1: p=>q=~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
cnd

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p=>q=~p+q ## p~>q=p+~q ## p+q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale to widać w kolumnach wynikowych tabel T1, T2 i T3. Warunek konieczny jaki musi tu być spełniony to identyczna matryca zero-jedynkowa po stronie wejść p i q bowiem wtedy i tylko wtedy możemy wnioskować o tożsamości lub braku tożsamości kolumn zero-jedynkowych. Warunek wspólnej matrycy zero-jedynkowej tabelach T1, T2 i T3 jest spełniony.

Uwaga:
Powyższa definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest definicją uproszczoną, w zdecydowanej większości wystarczającą - mogą jednak zajść przypadki których powyższa definicja poprawnie nie definiuje. Pełna definicja znaczka różne na mocy definicji ##, dla wszystkich możliwych przypadków, omówiona jest w punkcie 3.12.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

4.4.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
AB12: | AB34:
AB1: AB2: | AB3: AB4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
_________________

rafal3006

Barycki - jesteś skurwielem, bo tu toczy się poważna naukowa debata.
... gościnnie u Wuja.

rafal3006

KRZ jest gównem a nie logiką matematyczną bo działa na stałych zamiast na zmiennych!
Dlaczego?
Wyjaśnienie w niniejszy poście.

Równoważność której prawdziwości tym razem „dowodzi” MalluśnaOwieczka to:
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą

rafal3006

Rozwiązanie problemów MalusnejOwieczki!
Część I

Zajmijmy się poniższym zdaniem MaluśnejOwieczki:
2+2 = 4 wtedy i tylko wtedy gdy 2*2 = 4
2+2=4 <=> 2*2=4

Po obu stronach powyższej równoważności występuje stała, tu liczba 4 identyczna po stronie p i q.
Cyfrę 4 w twoim zdaniu mamy prawo potraktować jako zbiór jednoelementowy 4.
Stąd mamy:
4<=>4 = (A1: 4=>4)*(B1: 4~>4) =1*1 =1
Dowody:
Każdy zbiór (pojęcie) jest podzbiorem => siebie samego, stąd:
A1: 4=>4 =1
##
Każdy zbiór (pojęcie) jest nadzbiorem ~> siebie samego, stąd:
B1: 4~>4 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dokładnie dlatego twoje drugie zdanie jest prawdziwe:
4<=>4 = (A1: 4=>4)*(B1: 4~>4) =1*1 =1
cnd

Można to uogólnić na dowolne pojęcie X np.
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (A1: P=>P)*(B1: P~>P)=1*1=1
Dowody:
P=>P =1 - pojęcie pies jest (=1) podzbiorem => pojęcia pies, bo każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
##
P~>P =1 - pojęcie pies jest nadzbiorem ~> pojęcia pies, bo każde pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Jest oczywistym dla każdego jełopa że dowolna równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q!

Definicja tożsamości zbiorów (pojęć) p=q:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór (pojęcie) p jest podzbiorem => zbioru (pojęcia) q i zbiór (pojęcie) q jest podzbiorem => zbioru (pojęcia) p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Udowodniliśmy wyżej iż prawdziwa jest równoważność:
4<=>4

Prawo Rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Innymi słowy:
Nasza prawdziwa równoważność:
4<=>4
wymusza prawdziwą równoważność:
~4<=>~4
Oczywiście tej równoważności nie musimy dowodzić na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego, ale możemy dowodzić.
Jak udowodnić prawdziwość równoważności:
~4<=>~4 =1

Bardzo prosto:
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN = [1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy na mocy definicji:
~4 = [LN-4] - zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem jednej cyfry 4

Dalszy dowód jest banalny:
~4<=>~4 = [LN-4] <=> [LN-4]
Równoważność prawdziwe bo po obu stronach równoważności mamy zbiory tożsame [LN-4]

Pytanie do MaluślnejOwieczki:
Czy zaprezentowany tu dowód prawdziwości równoważności 4<=>4 jest dla ciebie jasny?

rafal3006

Rozwiązanie problemów MalusnejOwieczki!
Część II

Weźmy teraz równoważność której prawdziwości dowodziłeś w ostatnim poście:
http://www.sfinia.fora.pl/blog-wujzboj,67/jakby-kto-chcial-o-cos-mnie-zapytac,18149-200.html#574641

2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy 2*9=18
2+2=4<=> 2*9=18

Po obu stronach tej równoważności występują stałe:
p<=>q
p=4
q=18

Stąd mamy:
4<=>18 = (A1: 4=>18)*(B1: 4~>18) =0*0 =0
Dowody:
A1: 4=>18 =0 - zbiór jednoelementowy 4 nie jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego 18
##
B1: 4~>18 =0 - zbiór jednoelementowy 4 nie jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego 18
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dokładnie dlatego twoje zdanie jest FAŁSZYWE:
4<=>18 = (A1: 4=>18)*(B1: 4~>18) =0*0 =0
cnd

Identyczny jest dowód FAŁSZYWOŚCI poniższej równoważności:
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
2+2=4 <=> Płock leży nad Wisłą

Po lewej stronie mamy STAŁĄ, cyfrę 4
stąd zdanie tożsame:
4<=> Płock leży nad Wisłą

Prawo Słonia (Boskie prawo):
Dowolna równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q.

Równoważność:
p=4 <=> q=Płock leży nad Wisłą
Jest fałszem bo nie zachodzi tożsamość:
p=q

Pytanie do MaluśnejOwieczki:
Czy zaprezentowany tu dowód fałszywości powyższej równoważności jest dla ciebie jasny?

Bóg ŁP JWPB · Gość

Bóg ŁP JWPB · Gość

Na mocy powyższego otrzymujemy poniższe, aby po poniższym otrzymać jeszcze poniższejsze.

2.0 Nieznana algebra Boole’a

Spis treści
2.0 Nieznana algebra Boole’a 1
2.1 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych 2
2.1.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y) 3
2.2 Zmienna binarna i stała binarna 4
2.2.1 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 7
2.3 Prawa Prosiaczka 8
2.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 8
2.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 9
2.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej 10
2.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 12
2.5 Algorytm Wuja Zbója 16
2.5.1 Prawo Małpki 16
2.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 18

2.0 Nieznana algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

2.1 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
p q Y
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

TS - tabela wszystkich możliwych spójników logicznych
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki typu |Spójniki przeciwne | Wejścia
|oraz „lub”(+) |Jeśli p to q |do grupy II | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>) $ ~(~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 1 1 | 0 0 0 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 1 0 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 0 1 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 1 1 | 0 0 0 0 | 0 0 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Znaczenie najważniejszych znaczków w logice matematycznej które sukcesywnie będziemy poznawać w algebrze Kubusia:
Y=p*q - spójnik „i”(*) w języku potocznym
Y=p+q - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Y = p=>q =~p+q - definicja warunku wystarczającego => w języku potocznym
Y = p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w języku potocznym
Y = p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” <=> w języku potocznym
Y = p$q = p*~q+~p*q - definicja spójnika „albo”($) w języku potocznym
Y = p~~>q =p*q - definicja zdarzenia możliwego ~~> w teorii zdarzeń w języku potocznym
lub
Y = p~~>q =p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> w teorii zbiorów w języku potocznym

2.1.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Przykład zdań z języka potocznego rodem z przedszkola ilustrujące o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y)
Pani w przedszkolu mówi:
Y1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y1 = K+T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y1) wtedy i tyko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y1 = K+T
Wystarczy że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y0)?
Jaś:
Negujemy stronami Y1.
~Y1=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
stąd:
~Y1 = ~K*~T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Innym razem pani w przedszkolu mówi:
Y2:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y2=~K*~T
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y2) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Kiedy pani skłamie (~Y0)?
Jaś:
Negujemy stronami Y2.
~Y2=~(~K*~T) = K+T - prawo De Morgana
stąd:
~Y2 = K+T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y2) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)

W analogiczny sposób można przejść przez całą tabelę TS.

Doskonale widać, dlaczego w definicji znaczka różne na mocy definicji ## istotne jest zastrzeżenie „w logice dodatniej (bo Y)”

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

W naszym przykładzie funkcja logiczna Y1 nie ma żadnego związku matematycznego z funkcją logiczną Y2 poza związkiem „różne na mocy definicji ##”.
Matematycznie, powyższe dwa dialogi w przedszkolu możemy opisać tak:
Kod:

Y1=K+T # ~Y1=~K*~T ## Y2=~K*~T # ~Y2=K+T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji w logice dodatniej (bo Y)
Dowolna strona znaczka ## nie ma żadnego związku z drugą stroną
poza związkiem różne na mocy definicji ##

2.2 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:
Kod:

1: A:=A+B ;Wykonaj operację dodawania.
2: JP C,ET2 ;Jeśli CY=1 skocz do ET2, inaczej wykonaj rozkazy niżej
- - - - - - -

Co oznacza rozkaz 2?
Jeśli CY=1 (przepełnienie wystąpiło) to skocz do procedury ET2 obsługującej przepełnienie
Inaczej wykonaj ciąg instrukcji umieszczonych bezpośrednio pod rozkazem 2
Koniec najprostszego, sensownego programu.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład:
Zdefiniujmy na początku programu symbol CY jako stałą binarną przypisując mu wartość logiczną 1.
CY=1
Stała binarna CY nie może być w żaden sposób zmieniona przez program, bo to jest z definicji stała binarna której program nie jest w stanie zmienić.
W tym momencie nasz „program dodawania” przestaje działać poprawnie bowiem przy absolutnie każdym wykonaniu rozkazu 2 wykonany zostanie skok do etykiety E2.

Wniosek 1.
Sensowny program komputerowy można napisać tylko i wyłącznie z użyciem zmiennych binarnych

Wniosek 2.
Żadna logia, w tym logika matematyczna, nie ma prawa działać na stałych binarnych, bo po prostu wtedy nie ma żadnej logiki matematycznej.

Przykład:
Pani w I klasie SP mówi:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Dopóki nie minie cały jutrzejszy dzień zmienne binarna Y może przyjąć dwie wartości logiczne:
Y=1 - gdy pani dotrzyma jutro słowa
Y=0 - gdy pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)
Załóżmy teraz, że jest pojutrze i dzieci nie były wczoraj w kinie (nieistotne z jakiego powodu - kwestię zwolnienia z danej obietnicy pomijamy).
Pojutrze przychodzi do klasy Jaś który wczoraj nie był w szkole bo był z mamą na badaniach lekarskich i pyta Zuzię:
Jaś:
Czy byliście wczoraj w kinie?
Zuzia:
Nie byliśmy.
Jaś:
To znaczy że nasza pani jest kłamczucha
Zuzia:
Tak

Doskonale tu widać, że logika matematyczna działa także w zdeterminowanej przeszłości, ale wtedy i tylko wtedy, gdy tej przeszłości nie znamy.
Pani oczywiście nie ma najmniejszych szans by cofnąć czas i spowodować by jednak dzieci były wczoraj w kinie, co nie zmienia faktu, że logika matematyczna wśród osób które tego nie wiedzą dalej działa, czyli sensowne jest pytanie:
Czy dzieci wczoraj były w kinie?

Z chwilą gdy Jaś poznał prawdę jego ponowne pytanie:
Czy byliście wczoraj w kinie?
nie ma już sensu, bo Jaś poznał prawdę absolutną, pani skłamała.

Stąd mamy wyprowadzoną definicję logiki matematycznej.

Definicja logiki matematycznej w AK:
Logika matematyczna to przewidywanie przyszłości na podstawie znanych faktów.
Logika matematyczna to również dochodzenie do prawdy na podstawie znanych faktów w nieznanej przeszłości (np. poszukiwanie mordercy)

1.
Opis nieznanej przyszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Przewidywanie nieznanego: wiemy kiedy jutro pani dotrzyma słowa (Y) a kiedy skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)
2.
Opis nieznanej przeszłości:
Znany fakt: obietnica Pani w temacie pójścia do kina
Opis nieznanego: Jaś nie wie czy dzieci były wczoraj w kinie, dlatego wszczyna prywatne śledztwo by ustalić zaistniały fakt.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolny symbol binarny zapisany jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowany (bo p) inaczej jest symbolem binarnym w logice ujemnej (bo ~p)

W logice dodatniej i ujemnej mogą być zapisane zarówno zmienne binarne jak i stałe binarne.

Przykład:
Stała binarna TP zapisana jest w logice dodatniej (bo TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
TP=1 - trójkąt prostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt jest prostokątny

Stała binarna TP zapisana jest w logice ujemnej (bo ~TP) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~TP=1 - trójkąt nieprostokątny
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że ten trójkąt nie jest prostokątny

2.2.1 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej

Definicja zmiennej formalnej:
Zmienna formalna to zwyczajowa zmienna binarna nie mająca związku ze zmienną aktualną.
Zwyczajowo w logice matematycznej zmienne formalne oznaczane są symbolami Y, p, q, r ..

Definicja zmiennej aktualnej:
Zmienna aktualna to zmienna mająca ścisły związek z językiem potocznym człowieka

Przykład:
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie aktualnym (język potoczny):
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
Podstawiamy:
U=p
Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia w zapisie formalnym:
p=~(~p)

Definicja zapisu formalnego:
Zapis formalny w logice matematycznej to zapis praw logiki matematycznej z użyciem zmiennych formalnych (zwyczajowo Y, p, q, r ..) nie związany bezpośrednio z językiem potocznym człowieka.

Definicja zapisu aktualnego:
Zapis aktualny w logice matematycznej to operowanie symbolami mającymi ścisły związek ze zdaniami w języku potocznym.
Wszelkie prawa logiki matematycznej stosujemy tu bezpośrednio w zapisach aktualnych.

Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1 - zapis aktualny
p=>q =1 - zapis formalny
Przyjęty punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodniono wieki temu, stąd wartość logiczna tego zdania to 1.

Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym:
p=>q = ~q=>~p

Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A1:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
To samo w zapisie formalnym:
TP=p
SK=q
A1: p=>q = A4: ~q=>~p

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

stąd:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK=>~TP =1
Po udowodnieniu twierdzenia prostego Pitagorasa A1, co ludzkość zrobiła wieki temu, nie musimy udowadniać twierdzenia A4, bowiem jego prawdziwość gwarantuje nam prawo logiki matematycznej, prawo kontrapozycji.

2.3 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

2.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

2.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej

Definicja logiki symbolicznej:
Logika symboliczna to logika izolowana od wszelkich tabel zero-jedynkowych gdzie posługujemy się symbolami niezaprzeczonymi i zaprzeczonymi zamiast bezwzględnymi zerami i jedynkami

Przykład logiki symbolicznej, gdzie nie ma ani zer, ani jedynek:
TP - trójkąt prostokątny
~TP - trójkąt nieprostokątny

Przykład logiki zero-jedynkowej operującej na zerach i jedynkach:
TP=1 - trójkąt prostokątny
TP=0 - trójkąt nieprostokątny

Zadanie rodem ze 100-milowego lasu:
Dana jest dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich prostokątów
Polecenie:
Opisz kolejne losowania trójkątów prostokątnych TP z worka zawierającego wszystkie trójkąty ZWT,

Rozwiązanie:
Ze zbioru wszystkich trójkątów ZWT losujemy kolejne trójkąty.
To losowanie możemy opisać w logice dodatniej (bo TP) albo w logice ujemnej (bo ~TP).
1.
Obsługa losowania w logice dodatniej (bo TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo TP):
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP
TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest prostokątny TP - czyli jest nieprostokątny
2.
Obsługa losowania w logice ujemnej (bo ~TP)
Znaczenie zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~TP):
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP
~TP=0 - fałszem jest (=0), że wylosowany trójkąt jest nieprostokątny ~TP - czyli jest prostokątny

Z 1 i 2 można tu wyczytać prawa Prosiaczka:
I prawo Prosiaczka:
1: TP=1 = 2: ~TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt prostokątny
II prawo Prosiaczka:
2: ~TP=1 = 1: TP=0 - po obu stronach mamy ten sam trójkąt, trójkąt nieprostokątny

Z praw Prosiaczka wynika logika symboliczna w której nie ma ani jednego zera.
3.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:
TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt prostokątny TP
~TP=1 - prawdą jest (=1), że wylosowano trójkąt nieprostokątny (~TP)

W logice symbolicznej, a także w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (o których za chwilę) jedynki są domyślne co oznacza, że możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
4.
Obsługa losowania w logice symbolicznej:
TP - wylosowano trójkąt prostokątny
~TP - wylosowano trójkąt nieprostokątny

Jak widzimy, dopiero w tym momencie mamy naturalny, matematyczny język potoczny zgodny z logiką w pełni symboliczną, mającą w głębokim poważaniu wszelkie zera i jedynki.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd mamy:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP] = ~TP

To samo w zapisach formalnych dla punktu odniesienia:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych
D = ZWT (wspólna dziedzina)
Formalna definicja dziedziny:
p+~p =D =1
p*~p=0
Stąd mamy:
~p=[D-p] =~p

2.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a, której w języku potocznym praktycznie nie ma bo nasz mózg to naturalny ekspert algebry Kubusia tzn. z reguły operuje na funkcjach minimalnych które nie wymagają zewnętrznej minimalizacji.

Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.

Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0

II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0

Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to 0
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy:
Kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.

Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd

Każde z praw logiki matematycznej można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym.

Przykład 1.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
Mamy tu:
p=p - zmienna algebry Boole’a mogąca przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1.
q=1 - wartość logiczna stała, niezmienna

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=1 mamy:
p 1 p+1
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 1 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+1 =1
cnd

Przykład 2.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo algebry Boole’a:
p+~p =1

Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+).
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0

Stąd mamy:
Kod:

Dla p=p i q=~p mamy:
p ~p p+~p
A: 1+ 0 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 1 =1

Stąd mamy dowód prawdziwości prawa rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
cnd

Przykład 3.
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla sumy logicznej „lub”(+):
p+q = ~(~p*~q)
Zaczynamy od definicji spójnika „lub”(+)
Kod:

p q p+q ~p ~q ~p*~q ~(~p*~q)
A: 1+ 1 =1 0* 0 0 1
B: 1+ 0 =1 0* 1 0 1
C: 0+ 1 =1 1* 0 0 1
D: 0+ 0 =0 1* 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7

Tożsamość kolumn wynikowych 3=7 jest dowodem poprawności prawa algebry Boole’a:
p+q = ~(~p*~q)
cnd

Praca domowa:
Udowodnij w rachunku zero-jedynkowym prawo De Morgana dla iloczynu logicznego „i”(*):
p*q = ~(~p+~q)

2.5 Algorytm Wuja Zbója

Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Co w logice jedynek, będącej naturalną logiką matematyczną człowieka oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
W każdej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej jedynki są domyślne.

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

2.5.1 Prawo Małpki

Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.

Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q
W technice cyfrowej spójnik „i”(*) jest domyślny i często jest pomijany.

Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója

Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)

Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki.

Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.

Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała w języku potocznym.
Dowód:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)

Jak widzimy stało się coś strasznego.
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.

2.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej

Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.

Trudne - dla ambitnych:
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r

W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd
_________________

Bóg ŁP JWPB · Gość

Nie obawiaj sie Wuju drogi, ciąg nastąpi dalszy.

rafal3006

Problem milenijny, czyli najprostszy sposób obalenia logiki matematycznej ziemian!

Problem milenijny to próba obalenia przez ziemskich matematyków prawa Słonia, poprzez podanie kontrprzykładu.
Równoważności w Wikipedii opisanych zwrotem „koniecznym i wystarczającym” jest cała masa i chodzi tu o znalezienie wśród tych równoważności jednej, jedynej, która nie spełnia prawa Słonia (kontrprzykład).

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony
##
p~>q =1 - warunek konieczny ~> jest (=1) spełniony
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

Podstawową definicję równoważności znają wszyscy ludzie, nie tylko matematycy.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6 830
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 260
etc

Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (p=>q)*(p~>q) = p<=>q

Przykład potwierdzający poprawność prawa Słonia:
[link widoczny dla zalogowanych]
Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym podzielności tej liczby przez 6.
P2*P3 <=>P6 = (P2*P3=>P6)*(P2*P3~>P6) =1*1 =1

Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość zbiorów:
P2*P3 = P6

Dowód:
P2*P3 = P(2*3) = P6
cnd

Definicje:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
P6=[6,12,18..] - zbiór liczb podzielnych przez 6
P2*P3 - iloczyn logiczny zbiorów P2 i P3

Bóg ŁP JWPB · Gość

Kubusiu mój drogi, a gdyby tak jaka kanalia zrzuciła na Płock bombę wodorową i zamiast Płocka nad Wisła mielibyśmy zalew wiślany, to czy wtedy 2+2=4 byłoby prawdą, czy kanciarstwem?

rafal3006