Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - Biblia logiki matematycznej '2017-1

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22445
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 22:54, 15 Cze 2017    Temat postu: Algebra Kubusia - Biblia logiki matematycznej '2017-1

Algebra Kubusia
Biblia logiki matematycznej ‘2017-1

Autor: Kubuś, stwórca naszego Wszechświata

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006(medium) przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński i inni.
Szczególne podziękowania dla Fiklita za 5-cio letnią dyskusję, bez niego zalążki algebry Kubusia umarłyby w mrokach historii.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2017

Wstęp:
Warunkiem koniecznym zrozumienia poprawnej logiki matematycznej opisującej nasz Wszechświat jest zrozumienie budowy i działania operatorów jednoargumentowych. Kto zrozumie poprawną budowę i działanie operatorów jednoargumentowych automatycznie zrozumie budowę i działanie operatorów dwuargumentowych.

Słaby matematyk będzie czytał algebrę Kubusia do pierwszej sprzecznej definicji z logiką matematyczną, której wyuczono go w ziemskich szkółkach, dobry matematyk może przebrnie przez kilka sprzecznych definicji ... ale wszystkie definicje sprzeczne?
... jak napisał kiedyś Fiklit, tego żaden normalny człowiek nie wytrzyma.
... a może jednak, jest szansa?
Nowe, nieznane matematykom definicje czworokątów to najbardziej spektakularne zastosowanie algebry Kubusia, wyjaśniające matematyczne podstawy tworzenia poprawnych definicji w całym naszym Wszechświecie, to dowód, iż ziemianie nie znają poprawnej definicji definicji.

Definicja definicji:
Matematyczna definicja dowolnego pojęcia musi być jednoznaczna w całym Uniwersum
Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
To jest pierwsze i ostatnie kryterium rozstrzygania o poprawności definicji czegokolwiek.

Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki „matematycznej” ziemian wywraca do góry nogami, bowiem wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy - Algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To zdanie najlepiej ilustruje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi. Dzięki Fiklicie za 5 letnią dyskusję, bez Ciebie AK nigdy by nie powstała, znaczy jej zalążki umarłyby w mrokach historii, nie zauważone przez matematyków. Mleko się rozlało, nie jest możliwe aby ziemscy matematycy koniec końców nie załapali algebry Kubusia, logiki matematycznej 5-cio latków, logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy.

Dla kogo ma być algebra Kubusia?
Odpowiedź jest jednoznaczna:
Dla ziemskich matematyków - oni tu są kluczowi i najważniejsi.

Nie ma sensu dedykowanie algebry Kubusia 5-cio latkom i humanistom bo oni są jej naturalnymi ekspertami, nie potrzebują teorii matematycznej którą w praktyce i tak biegle się posługują, bo podlegają pod algebrę Kubusia … cały nasz Wszechświat żywy i martwy także podlega pod algebrę Kubusia.

Algebra Kubusia to zbiór w miarę krótkich artykułów (rozdziałów), gdzie każdy artykuł w zasadzie jest samodzielny tzn. dla jego zrozumienia nie jest potrzebna jakakolwiek wiedza wstępna.



Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w pigułce 2
1.1 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~> 4
1.2 Prawa Kubusia i prawa Tygryska 6


2.0 Algebra zbiorów
2.1 Definicja definicji 2
2.2 Podstawowe operacje na zbiorach 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 4
2.4 Prawa Prosiaczka 5
2.4.1 Prawa Prosiaczka w technice cyfrowej 6
2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 8
2.5.1 Prawo rozpoznawalności pojęcia w technice cyfrowej 8
2.6 Aksjomatyka zbioru dwuelementowego 14
2.7 Właściwości algebry zbiorów 16
2.8 Relacje zbiorów 19
2.8.1 Zapis relacji podzbioru kwantyfikatorem dużym 20
2.9 Właściwości relacji zbiorów 22


3.0 Algebra zbiorów w przykładach
3.1 Elementy zbioru czworokątów 2
3.2 Wyznaczanie definicji minimalnej 5
3.2 Logika symboliczna 8
3.2.1 Kwadrat, figura geometryczna czy zbiór? 11
3.3 Dowodzenie twierdzeń w algebrze Kubusia 11
3.4 Definicja prostokąta w tabeli zero-jedynkowej 12
3.5 Twierdzenie Pitagorasa 14
3.6 Wnioskowanie w algebrze zbiorów 15


4.0 Operatory jednoargumentowe w technice cyfrowej
4.1 Definicje operatorów jednoargumentowych w technice cyfrowej 2
4.1.1 Operator transmisji Y|=p 5
4.1.2 Operator negacji Y|=~p 8
4.1.3 Operator chaosu Y|=p+~p 11
4.1.4 Operator śmierci Y|=p*~p 13
4.2 Genialna logika matematyczna 5-cio latków 15
4.2.1 Operatory transmisji Y|=p i negacji Y|=~p w przedszkolu 17
4.2.2 Operatory chaosu Y|=p+~p i śmierci Y|=p*~p w przedszkolu 21
4.3 Algebra Kubusia vs logika „matematyczna” ziemian 24


5.0 Operatory jednoargumentowe w zbiorach
5.1 Definicje operatorów jednoargumentowych w zbiorach 1
5.1.1 Operator transmisji Y|=p 4
5.1.2 Operator negacji Y|=~p 8
5.1.3 Operator chaosu Y|=p+~p 12
5.1.4 Operator śmierci Y|=p+~p 16
5.2 Tabela prawdy operatorów jednoargumentowych 19
5.3 Prawo Rekina 21



1.0 Algebra Kubusia w pigułce

Najważniejsze prawa logiki matematycznej dotyczą operatorów implikacyjnych zapewniających matematyczną obsługę wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”. Zdania warunkowe „Jeśli p to q” to fundament logiki matematycznej.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

Jeśli p to q
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony gdy zbiór p jest podzbiorem => q (inaczej p=>q=0)
2.
Warunek konieczny ~>:

Jeśli p to q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q (inaczej p~>q=0)
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

Jeśli p to może ~~> q
p~~>q = p*~q =1 - definicja kwantyfikatora małego spełniona gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (inaczej p~~>q=0)

Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.

Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego z czterech operatorów implikacyjnych;
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

III.
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:

Operator chaosu p|~~>q to co najmniej jeden punkt wspólny zbiorów p i q oraz brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =1
p=>q =0
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1


1.1 Definicje spójników implikacyjnych =>, ~> i ~~>

Definicja podzbioru =>:
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q to mówimy iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zapisujemy
p=>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => jest tożsamy z definicją podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   3

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Wymuszam dowolnego psa ze zbioru wszystkich psów i ten pies na 100% jest w zbiorze 4L.

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q to mówimy iż zbiór p jest nadzbiorem zbioru q i zapisujemy
p~>q

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> jest tożsamy z definicją nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Kod:

Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   3

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies]

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P=1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń ..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..]

Tożsamość zbiorów:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest elementem zbioru q i na odwrót
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Prawa strona to definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Stąd mamy:
Każda tożsamość matematyczna to automatycznie równoważność
(p=q) = (p<=>q)

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>

Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~> podanych wyżej.

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń ..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura, wąż ..] są rozłączne.


1.2 Prawa Kubusia i prawa Tygryska

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

Tabela 1
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p=>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
Kod:

Tabela 2
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Matematycznie mamy:
TABELA 1 ## TABELA 2
T1: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T2: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 1 i tabela 2 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Z tabel T1 i T2 odczytujemy:

Definicje spójników implikacyjnych => i ~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q

I prawo Kubusia
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

II Prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Dowód:
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
cnd

Interpretacja praw Kubusia:
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza fałszywość drugiej strony

Interpretacja praw Kubusia to tożsamość logiczna, mająca wszelkie cechy tożsamości klasycznej.
Prawa Kubusia to zdecydowanie najważniejsze prawa logiki matematycznej warunkujące jej istnienie.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku obietnicy daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania nagrody
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Przykład zastosowania prawa Kubusia:
A.
Jeśli zdasz test dostaniesz cukierka
T=>C =1
Zdanie testu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania cukierka z powodu zdanego testu
Zdanie testu daje nam gwarancje matematyczną => dostania cukierka z powodu zdanego testu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania cukierka z dowolnego innego powodu.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% etc
B.
Jeśli zdasz test to możesz ~~> nie dostać cukierka
T~~>~C = T*~C =0
Tu ojciec jest kłamcą!
… a jeśli nie zdam testu?
Prawo Kubusia:
T=>C = ~T~>~C
stąd:
C.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
lub
D.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~~> dostać cukierka
~T~~>C = ~T*C =1
Akt miłości - prawo nadawcy do wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (nie zdał testu)

Implikacja prosta T|=>C to wszystkie cztery zdania A,B,C i D a nie jakiekolwiek jedno, wyróżnione.
Wynika z tego że nie da się wypowiedzieć implikacji prostej T|=>C w formie zdania warunkowego „Jeśli p to q”. W formie zdania „Jeśli p to q” możemy wypowiedzieć jedynie warunek wystarczający T=>C wchodzący w skład implikacji prostej T|=>C.

I prawo Tygryska:
Warunek wystarczający w czasie przyszłym p=>q po zamianie p i q wymusza warunek konieczny q~>p w czasie przeszłym.
p=>q = q~>p
Dowód:
q~>p = q+~p = ~p+q = p=>q

II prawo Tygryska:
Warunek konieczny ~> w czasie przyszłym p~>q po zamianie p i q wymusza warunek wystarczający => w czasie przeszłym
p~>q = q=>p
Dowód:
q=>p = ~q+p = p+~q = p~>q
cnd


Przykład zastosowania praw Tygryska:

Rozważmy zdanie A:
A.
Jeśli zdasz test dostaniesz cukierka
T=>C =1
I prawo Tygryska:
p=>q = q~>p
stąd:
A1.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~> zdać test
C~>T =1
lub
B1.
Jeśli dostałeś cukierka to mogłeś ~~> nie zdać testu
C~~>~T = C*~T =1
Prawa Tygryska mówią o związkach czasowych w operatorach implikacyjnych.

Rozważmy zdanie C:
C.
Jeśli nie zdasz testu to możesz ~> nie dostać cukierka
~T~>~C =1
II prawo Tygryska:
~T~>~C = ~C=>~T
Stąd:
C1.
Jeśli nie dostałeś cukierka to na 100% nie zdałeś testu
~C=>~T =1

Prawo Tygryska wiąże matematycznie przyszłość C: ~T~>~C z przeszłością C1: ~C=>~T.
Prawo Tygryska nie wiąże przyszłości C: ~T~>~C z przyszłością C1’: ~C=>~T
Zauważmy, że jeśli człowiek wypowie zdanie C1’ to wyjdzie na głupka w oczach innych ludzi.
C1’
Jeśli nie dostaniesz cukierka to na 100% nie zdasz testu
~C=>~T
Uwaga:
Matematyka ścisła nie zmusza człowieka do wypowiedzenia zdania C1’


1.3 Ciekawe zdania analizowane przez 5-cio latków

Zdanie do analizy:
Jeśli ktoś jest mordercą to nie ma rodziców

Relacje klasyczne między zbiorami:

1.
Definicja kwantyfikatora małego ~~>:

p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona wtedy i tylko wtedy gdy istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
p~~>q = p*q =[x] =1 - gdy zbiór wynikowy niepusty
p~~>q = p*q =[] =0 - gdy zbiór wynikowy pusty

2.
Definicja podzbioru p=>q (warunku wystarczającego =>):

p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Definicja warunku wystarczającego =>:
Definicja warunku wystarczającego => spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Podzbiór => = Warunek wystarczający =>
Rozstrzygnięcia logiczne:
p=>q =1 - gdy p jest podzbiorem =>q
p=>q =0 - gdy p nie jest podzbiorem => q

3.
Definicja nadzbioru p~>q (warunku koniecznego ~>):

p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Definicja warunku koniecznego ~>:
Definicja warunku koniecznego spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nadzbiór ~> = Warunek konieczny ~>
Rozstrzygnięcia:
p~>q =1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
p~>q =0 - gdy p nie jest nadzbiorem ~> q

4.
Definicja tożsamości zbiorów A=B:

Dwa zbiory A i B są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru A należy do zbioru B i odwrotnie.
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

Udajmy się do przedszkola!

A.
Jeśli ktoś jest mordercą to na 100% ma rodziców
M=>R =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy człowiek ma rodziców
Kontrprzykład:
B.
Jeśli ktoś jest mordercą to może ~~> nie mieć rodziców
M~~>~R = M*~R =M*[] =[] =0
Zbiór ludzi którzy nie mają rodziców jest zbiorem pustym []:
~R=[]
… a jeśli ktoś nie jest mordercą?
Prawo Kubusia:
(M=>R) = ~M~>~R
C.
Jeśli ktoś nie jest mordercą to może ~> nie mieć rodziców
~M~>~R =1
Nie bycie mordercą jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć rodziców bo jak się jest mordercą to na 100% ma się rodziców
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
~M~>~R = M=>R
lub
D.
Jeśli ktoś nie jest mordercą to może ~~> mieć rodziców
~M~~>R = ~M*R =1 - przypadek możliwy

Zdanie odwrotne:
A.
Jeśli ktoś ma rodziców to może być mordercą
R~>M =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo posiadanie rodziców jest warunkiem koniecznym ~> aby zostać mordercą
LUB
B.
Jeśli ktoś ma rodziców to może ~~> nie być mordercą
R~~>~M = R*~M =1 - przypadek możliwy

Prawo Kubusia:
R~>M = ~R=>~M
C.
Jeśli kto nie ma rodziców to na 100% nie jest mordercą
~R=>~M =1
Jak nie ma rodziców to nie istnieje zatem zdanie prawdziwe
Tu pozornie nie jest spełnione prawa Kobry.
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym
~R~~>~M = ~R*~M = []*~M =0
Jak ktoś nie ma rodziców to jest poza naszym Wszechświatem i oczywistym jest że nie może zamordować, dlatego zdanie C jest prawdziwe.

Kontrprzykład:
D.
Jeśli kto nie ma rodziców to może ~~> być mordercą
~R~~>M = ~R*M = []*M =[] =0
Człowiek nie mający rodziców jest zbiorem pustym:
~R=[]


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 19:05, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 39 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22445
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:08, 15 Cze 2017    Temat postu:

Algebra Zbiorów

Spis treści
2.0 Algebra zbiorów 1
2.1 Definicja definicji 2
2.2 Podstawowe operacje na zbiorach 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 4
2.4 Prawa Prosiaczka 5
2.4.1 Prawa Prosiaczka w technice cyfrowej 6
2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 8
2.5.1 Prawo rozpoznawalności pojęcia w technice cyfrowej 8
2.6 Aksjomatyka zbioru dwuelementowego 14
2.7 Właściwości algebry zbiorów 16
2.8 Relacje zbiorów 19
2.8.1 Zapis relacji podzbioru kwantyfikatorem dużym 20
2.9 Właściwości relacji zbiorów 22


2.0 Algebra zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza swoje Uniwersum, bo definiując nowe pojęcie automatycznie wprowadza je do Uniwersum a jak zapomina, to usuwa.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Budowa zbioru:
C = [M, K]
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała przez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów


2.1 Definicja definicji

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza swoje Uniwersum, bo definiując nowe pojęcie automatycznie wprowadza je do Uniwersum a jak zapomina, to usuwa.

Definicja definicji:
Definicja to zbiór cech jednoznacznie opisujących obiekt w skali Uniwersum

Definicja minimalna:
Definicja jest definicją minimalną wtedy i tylko wtedy gdy usuwając dowolną cechę z definicji powodujemy jej niejednoznaczność w obszarze Uniwersum

Matematycznie, dopisywanie do dowolnej definicji cech wspólnych z innymi obiektami jest dozwolone ale nic nie wnosi do definiowanego pojęcia, taka definicja traci status definicji minimalnej
Do definicji można też dodać dowolną ilość zanegowanych śmieci, czyli cech nie mających nic wspólnego z definiowanym pojęciem

Definicja minimalna psa:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = SZ*P
To jest definicja minimalna bo usuwając dowolną jej cechę powodujemy jej niejednoznaczność w skali Uniwersum

Definicja nieminimalna psa to:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, mające ogon, cztery łapy, nie będące samochodem, nie będące krasnoludkiem …
P=CZ*P*OG*4L*~S*~K ….

Prawo Koguta:
Dla każdego pojęcia które człowiek rozumie istnieje definicja minimalna, czyli jednoznaczna w skali Uniwersum z której usunięcie dowolnego członu powoduje niejednoznaczność tego pojęcia w skali Uniwersum.
Przykład wyżej.

Podstawowa cecha definicji:
Dowolna definicja musi być równoważnościowa, czyli jednoznaczna w całym Uniwersum

Definicja najmniejszej możliwej dziedziny:
Najmniejsza możliwa dziedzina = dziedzina minimalna

Dowód:
U*Pies = Pies


2.2 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy pod warunkiem że wybrany zbiór ma swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka.
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):

Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
~p - zaprzeczenie pojęcia p do dziedziny D

Przykład 1.
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
C - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru człowiek wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% będzie to kobieta (K=1)
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% będzie to mężczyzna (M=1)

Przykład 2
Zdefiniujmy zbiór p
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7..] - zbiór liczb naturalnych
Nie ma definicji pojęcia p w żadnym języku mówionym świata.
Jest natomiast to:
R=[LN+~LN] - zbiór liczb rzeczywistych
ZWZ=[pies+~pies] - zbiór wszystkich zwierząt
ZU=[miłość+~miłość] - zbiór uczuć
ZT=[krasnoludek+~krasnoludek] - zbiór trolli typu krasnoludki, gumisie, smerfy …

Wniosek:
Pojęcie p nie należy do Uniwersum człowieka mimo iż poszczególne elementy zbioru p są dla niego zrozumiałe.


2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.4 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

2.4.1 Prawa Prosiaczka w technice cyfrowej

Prawa Prosiaczka w technice cyfrowej definiuje układ negatora.
Definicja negatora:
Negator to układ cyfrowy o jednym wejściu p i jednym wyjściu ~p
Na wejściu p mogą pojawiać się wyłącznie dwa stany logiczne p=[0,1], to samo na wyjściu ~p=[0,1]



W ogólnym przypadku sygnał p jest przebiegiem cyfrowym (tylko 0 i 1) w funkcji czasu. Na poziomie abstrakcyjnym możemy zatrzymywać czas i tworzyć tabelę prawdy (definicję) dla układu negatora. Tabela prawdy (definicja) dowolnego układu cyfrowego to badanie odpowiedzi na jego wyjściu ~p=[0,1] na wszystkie możliwe kombinacje sygnałów cyfrowych na jego wejściu p=[0,1].
Innymi słowy na wejściu p musimy wymusić wszystkie możliwe stany p=[0,1] badając odpowiedź układu na wyjściu ~p=[0,1]
Kod:

Definicja układu negatora:
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka:
Linia A12:
Jeśli wiemy że p=1 to wiemy że ~p=0
(p=1)=>(~p=0)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli wiemy że ~p=0 to wiemy że p=1
(~p=0) => (p=1)
Stąd mamy równoważność:
(p=1)<=>(~p=0) = [(p=1)=>(~p=0)]*[(~p=0)=>(p=1)]
Prawo Prosiaczka ma wszelkie cechy tożsamości logicznej, stąd:

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
Interpretacja ogólna I prawa Prosiaczka:
Prawdą jest (=1) że zajdzie p [=] fałszem jest (=0) że zajdzie ~p
Przykład:
Prawdą jest (=1) że wczoraj byliśmy w kinie (K) [=] Fałszem jest (=0) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K)
(K=1) = (~K=0)

Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka:
Linia B12:
Jeśli wiemy że ~p=1 to wiemy że p=0
(~p=1)=>(p=0)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli wiemy że p=0 to wiemy że ~p=1
(p=0) => (~p=1)
Stąd mamy równoważność:
(~p=1)<=>(~p=0) = [(~p=1)=>(p=0)]*[(p=0)=>(~p=1)]
Prawo Prosiaczka ma wszelkie cechy tożsamości logicznej, stąd:

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Interpretacja ogólna II prawa Prosiaczka:
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~p [=] fałszem jest (=0) że zajdzie p
Przykład:
Prawdą jest (=1) że wczoraj nie byliśmy w kinie (~K) [=] fałszem jest (=0) że wczoraj byliśmy w kinie (K)
(~K=1) [=] (K=0)


2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
Zbiory p i ~p są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
p+~p = D =1
p*~p = [] =0

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Gdzie:
Zbiory Y i ~Y są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = D =1
Y*~Y = [] =0


2.5.1 Prawo rozpoznawalności pojęcia w technice cyfrowej

Prawo rozpoznawalności pojęcia zilustrujemy na przykładzie operatora Y|=p:



Kod:

Definicja operatora transmisji: Y|=p
                                                  |Równania | Co
                                                  |cząstkowe| matematycznie
                                                  |         | oznacza
   p ~p  Y=p ~Y=~p Y=~(~Y)=~(~p)=p ~Y=~(Y)=~(p)=~p|         |
A: 1  0   =1   =0   =1               =0           | Ya= p   | Ya=1<=> p=1
B: 0  1   =0   =1   =0               =1           |~Yb=~p   |~Yb=1<=>~p=1
   1  2    3    4    5                6             a   b     c       d

W ogólnym przypadku równań cząstkowych dla poszczególnych linii tabeli zero-jedynkowej może być więcej, tu mamy wyłącznie po jednym równaniu cząstkowym Y i ~Y stąd tabela tożsama.
Kod:

Definicja operatora transmisji: Y|=p
                                                  |Równania | Co
                                                  |cząstkowe| matematycznie
                                                  |         | oznacza
   p ~p  Y=p ~Y=~p Y=~(~Y)=~(~p)=p ~Y=~(Y)=~(p)=~p|         |
A: 1  0   =1   =0   =1               =0           | Y= p    | Y=1<=> p=1
B: 0  1   =0   =1   =0               =1           |~Y=~p    |~Y=1<=>~p=1
   1  2    3    4    5                6             a  b      c      d

Kolumny 1 i 2 muszą istnieć na mocy prawa Prosiaczka:
A12: (p=1) = (~p=0)
B12: (p=0) = (~p=1)
Podobnie kolumny 3 i 4 muszą istnieć na mocy prawa Prosiaczka:
A34: (Y=1)=(~Y=0)
B34: (Y=0)=(~Y=1)
Kolumna 5 to negacja kolumny 4, natomiast kolumna 6 to negacja kolumny 3.

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3=5 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy U = nie jest prawdą ~(…) że jestem nieuczciwy ~U
U = ~(~U)

Prawo rozpoznawalności funkcji logicznej Y dla operatora transmisji:
Znam funkcję logiczną Y=p wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y=~p
(Y<=>~Y) = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)

Prawo rozpoznawalności pojęcia Y jest tu oczywistością, bo nie jest możliwe abyśmy znając Y=p nie znali ~Y=~p i odwrotnie.

Operator transmisji Y|=p to układ równań funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy stronami:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
A.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p = ~(~Y) = ~(~p)
Dokładnie to samo widać w definicji zero-jedynkowej operatora transmisji Y|=p
B.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p = ~(Y) = ~(p) =~p
Dokładnie to samo widać w tabeli zero-jedynkowej operatora transmisji Y|=p.

Ogólnie:
Prawa De Morgana mówią o związkach logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y).

Przykład:
Funkcja logiczna Y jest tu bez znaczenia, może być dowolna np.
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
Y = p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
1.
Y = p<=>q = (~p+q)*(p+~q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y = ~(p<=>q) = (p*~q) + (~p*q)
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q = pXORq
A.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = p<=>q = (~p+q)*(p+~q) = ~(p*~q+~p*q) = ~(pXORq)
B.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q = ~[(~p+q)*(p+~q)] = p*~q + ~p*q = pXORq

Doskonale widać, że w poprawnej logice matematycznej wszystko gra i buczy.
Operator pXORq to zanegowany operator równoważności p<=>q i odwrotnie, a nie jakiś tam exclusive OR jak to ziemianom się zdaje.

Przykład działania operatora XOR:
Kod:

A:    p     = 1 0 1 0
B:    q     = 1 0 0 1
---------------------
C: Y= pXORq = 0 0 1 1
              a b c d

Definicja XOR w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
pXORq = p*~q + ~p*q
Dla kolumny ABa mamy:
(p=1)=(~p=0) - na mocy prawa Prosiaczka
(q=1)=(~q=0) - na mocy prawa Prosiaczka
Podstawiając do definicji XOR mamy:
Y = pXORq = p*~q + ~p*q = 1*0+0*1 = 0+0 =0
cnd
Dla kolumny ABb mamy:
(p=0) = (~p=1) - na mocy prawa Prosiaczka
(q=0) = (~q=1) - na mocy prawa Prosiaczka
Podstawiając do definicji XOR mamy:
Y = pXORq = p*~q + ~p*q = 0*1 + 1*0 = 0+0 =0
cnd
Dla kolumny ABc mamy:
(p=1)=(~p=0) - na mocy prawa Prosiaczka
(q=0)=(~q=1) - na mocy prawa Prosiaczka
Podstawiając do definicji XOR mamy:
Y = pXORq = p*~q + ~p*q = 1*1+0*0 = 1+0 =1
cnd
Dla kolumny ABd mamy:
(p=0) = (~p=1) - na mocy prawa Prosiaczka
(q=1) = (~q=0) - na mocy prawa Prosiaczka
Podstawiając do definicji XOR mamy:
Y = pXORq = p*~q + ~p*q = 0*0 + 1*1 = 0+1 =1
cnd
Doskonale widać, że gdzie się nie dotknąć to logika „matematyczna” ziemian leży i kwiczy. Rozwinięcie tego tematu wraz z dowodem iż operator pXORq nie ma nic wspólnego z operatorem OR(|+) będzie przy okazji omawiania operatorów dwuargumentowych.

Przykład ilustrujący działanie operatora transmisji:
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (nie dotrzyma słowa ~Y)
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina

Pani w przedszkolu:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Szczegółowy odczyt ostatniego równania:
A2.
Prawdą będzie (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1) że jutro pójdziemy do kina (K)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

Prawo Prosiaczka zastosowane do symbolu Y:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd zdanie tożsame A3:
A3.
Fałszem będzie (=0) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1) że jutro pójdziemy do kina (K)
(~Y=0)<=>(K=1)
Prawo Prosiaczka dla symbolu K:
(K=1) = (~K=0)
Stąd zdanie tożsame A4:
A4.
Fałszem będzie (=0) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie (=0) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
(~Y=0)<=>(K=0)

Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
A1=A2=A3=A4
Zauważmy jednak, że zdania A3 (także A4) nie możemy zapisać w postaci równia logicznego z pominięciem wartościowania zero-jedynkowego bo otrzymamy:
A3’: ~Y=K
Porównajmy teraz równania A2 i A3’, doskonale widać że matematycznie zachodzi:
A2: Y=K ## A3’: ~Y=K
gdzie:
## - równania logiczne różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby zapisać dowolne zdanie w postaci równania logicznego musimy korzystając z prawa Prosiaczka wszystkie symbole sprowadzić do jedynek.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol którego wartości logicznej nie znamy
A1=A2: Y=K
Nie wiemy co się zdarzy jutro, pani może zarówno dotrzymać słowa (Y=1), jak i skłamać (~Y=1).

Definicja symbolu w logice matematycznej:
Symbol to zmienna binarna której wartość logiczna jest nam znana
A2: (Y=1) <=> (K=1)
A3: (~Y=0)<=>(K=1)
A4: (~Y=0)<=>(~K=0)

Innymi słowy:
Jeśli ktokolwiek wypowie zdanie A3 to korzystając z prawa Prosiaczka musimy zapisać to zdanie w postaci A2 bowiem dopiero wtedy możemy zapisać to zdanie w postaci równania logicznego:
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie logiczne A1 stronami otrzymując równanie B1
B1.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
stąd:
B1.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Odczytujemy ostatnie równanie szczegółowo:
B2.
Prawdą będzie (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Prawo Prosiaczka zastosowane do symbolu ~Y:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd zdanie tożsame:
B3.
Fałszem będzie (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
(Y=0)<=>(~K=1)
Prawo Prosiaczka dla symbolu ~K:
(~K=1) = (K=0)
stąd zdanie tożsame:
B4.
Fałszem będzie (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy do kina (K)
(Y=0)<=>(K=0)
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
B1=B2=B3=B4
Tu również nie mamy szans na zapisanie zdania B3 (także B4) w postaci równania logicznego z pominięciem zer i jedynek bo otrzymamy sprzeczność ze zdaniem B2
B3’: Y=~K ## B2: ~Y=K
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek (identyczny jak wyżej):
Aby zapisać dowolne zdanie w postaci równania logicznego musimy korzystając z prawa Prosiaczka wszystkie symbole sprowadzić do jedynek.
Innymi słowy:
Jeśli ktokolwiek wypowie zdanie B3 to korzystając z prawa Prosiaczka musimy zapisać to zdanie w postaci B2 bowiem dopiero wtedy możemy zapisać to zdanie w postaci równania logicznego:
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Zauważmy że spełniona jest tu definicja dziedziny zarówno po stronie wyjścia Y, jak i po stronie wejścia K:
Y+~Y = K+~K =1
Y*~Y = K*~K =0

Podsumowanie:
Doskonale tu widać że znając funkcję Y znamy funkcję ~Y i odwrotnie na mocy negacji stronami równań Y i ~Y.

Prawo rozpoznawalności pojęcia w rachunku zero-jedynkowym (poznamy niebawem):
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Kod:

Prawo rozpoznawalności pojęcia p
   p  q ~p ~q  p=>~q ~p=>q p<=>~q=(p=>~q)*(~p=>q) ~(p<=>~q)
A: 1  1  0  0   =0    =1     =0                       =1
B: 1  0  0  1   =1    =1     =1                       =0
C: 0  1  1  0   =1    =1     =1                       =0
D: 0  0  1  1   =1    =0     =0                       =1
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
p<=>~q=(p=>~q)*(~p=>q)

Uwaga:
Na wejściu układu sygnały [p,~p,q,~q] muszą istnieć na mocy prawa Prosiaczka.
Także na wyjściu p<=>~p musi istnieć sygnał zanegowany ~(p<=>~q), również na mocy prawa Prosiaczka.


2.6 Aksjomatyka zbioru dwuelementowego

Definicja zbioru dwuelementowego:
Zbiór dwuelementowy to dwa zbiory niepuste p i ~p uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Rozważmy zbiór dwuelementowy p i ~p



Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy pod warunkiem że wybrany zbiór ma swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.

Aksjomatyka zbioru dwuelementowego:

I.
Zbiór dwuelementowy p i ~p

1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0


2.7 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Prawo powielania/redukcji dowolnego elementu w zbiorze

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów

5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+ p*q =q
Dowód:
p+ p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
bo:
D+ q=D
p*D=p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p* (p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.8 Relacje zbiorów

Zdanie warunkowe to zdanie ujęte w spójnik „Jeśli .. to...”:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w teorii zbiorów:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może opisywać trzy i tylko trzy relacje między zbiorami zdefiniowanymi w poprzedniku p i następniku q
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (= warunek wystarczający =>)
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (= warunek konieczny ~>)
p~~>q=p*q =1 - zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (= kwantyfikator mały ~~>)

Definicja podzbioru =>:
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q to mówimy iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zapisujemy
p=>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = definicja podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q

Przykład 1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń..]
Wymuszam dowolnego psa i ten pies na 100% będzie w zbiorze zwierząt z czterema łapami

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q to mówimy iż zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zapisujemy
p~>q

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> = definicja nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q

Przykład 2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies].
Zabieram zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] i znika mi zbiór P=[pies]

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Przykład 3.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń…] i ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..] mają co najmniej jeden element wspólny.

Podstawowa definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Prawa strona to definicja równoważności, stąd:
Każda tożsamość zbiorów (pojęć) to równoważność
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Rozszerzona definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame jeśli istnieją przekształcenia czysto matematyczne zbiorów prowadzące do spełnienia definicji podstawowej tożsamości zbiorów.

Przykład 4.
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
LN-2 - zbiór LN pomniejszony o element 2
LN=[LN-2, 2]
Prawa strona:
[LN-2+2]=LN
cnd


2.8.1 Zapis relacji podzbioru kwantyfikatorem dużym

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p jest podzbiorem => zbioru q
p=>q <=> /\x p(x) => q
Czytamy:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element x zbioru p(x) jest podzbiorem => zbioru q
p=>q <=> /\x p(x) => q

Zapis tożsamy:
p=>q <=> (/\x p(x)) => q
W tym q na końcu już nie może być q(x).

Tożsama definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q

Obie te definicje są tożsame bo zdanie:
… każdy element zbioru p jest podzbiorem => zbioru q
jest tożsame ze zdaniem:
… każdy element zbioru p należy => do zbioru q

Zobaczmy to na paluszkach, jak w pierwszej klasie szkoły podstawowej:
p=[1,2]
q=[1,2,3]
Biorę pierwszy element zbioru p:
P(1)
Sprawdzam czy ten element jest podzbiorem => zbioru q
p(1)=>q=[1,2,3] =1 - TAK

Biorę 2 element zbioru p:
p(2)
Sprawdzam czy ten element jest podzbiorem zbioru q
p(2) => q=1,2,3] =1 - TAK
Koniec!

Przykład:
A
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
LN*P8 => P2
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór wszystkich liczb naturalnych

LN jest nadzbiorem ~> zbioru P8, stąd:
LN*P8= P8
Stąd zapis tożsamy zdania A:
P8=[8,16,24..] => P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Tu trzeba udowodnić że zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Zdanie A zapisane z użyciem kwantyfikatora dużego:
Dla każdego x należącego do zbioru P8(x), x jest podzbiorem => P2
/\x P8(x) => P2=[2,4,6,8..]

Na mocy powyższego możemy zapisać.

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q
p=>q
Mówimy że p jest wystarczające => dla q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Warunek wystarczający p=>q = definicja podzbioru p=>q
Innymi słowy:
Spełniony warunek wystarczający p=>q wymusza definicję podzbioru p=>q
zachodzi też odwrotnie:
Spełniona definicja podzbioru p=>q wymusza spełniony warunek wystarczający p=>q


2.9 Właściwości relacji zbiorów

I Prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q =[p*q=p]
Wynika z tego że tożsamy zapis następnika q to:
q=[p+ reszta]
Podstawiając do warunku wystraczającego mamy:
p=>q
p=>(p+ reszta)
p=>[p, reszta]
Wynika z tego iż zbiór p jest zarówno podzbiorem => zbioru q jak i elementem zbioru q
q=[p+ reszta] = [p, reszta]

Wnioski z I prawa Smoka:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>[p, reszta]
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja prosta p|=>q o definicji:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

II prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q = [p*q=q]
Wynika z tego że tożsamy zapis poprzednika p to:
p=[q+ reszta]
Podstawiając do warunku koniecznego ~> mamy:
p~>q
[q+ reszta]~>q
[q, reszta] ~> q
Wynika z tego że zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p=[q+ reszta] = [q, reszta]

Wnioski z II prawa Smoka:
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
[q, reszta] ~> q
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja odwrotna p|~>q o definicji:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 17:56, 30 Lip 2017, w całości zmieniany 26 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22445
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:17, 19 Cze 2017    Temat postu:

Algebra zbiorów w przykładach

Spis treści
3.0 Algebra zbiorów w przykładach 1
3.1 Elementy zbioru czworokątów 3
3.2 Wyznaczanie definicji minimalnej 6
3.2 Logika symboliczna 9
3.2.1 Kwadrat, figura geometryczna czy zbiór? 12
3.3 Dowodzenie twierdzeń w algebrze Kubusia 12
3.4 Definicja prostokąta w tabeli zero-jedynkowej 13
3.5 Twierdzenie Pitagorasa 15
3.6 Wnioskowanie w algebrze zbiorów 16


3.0 Algebra zbiorów w przykładach

Nowe, nieznane matematykom definicje czworokątów to najbardziej spektakularne zastosowanie algebry Kubusia, wyjaśniające matematyczne podstawy tworzenia poprawnych definicji w całym naszym Wszechświecie, to dowód, iż ziemianie nie znają poprawnej definicji definicji.

Pani matematyczka w 6 klasie szkoły podstawowej:
Jasiu narysuj trapez
- Jaś narysował kwadrat
Pani:
Nie o taki trapez mi chodziło, narysuj inny
- Jaś namalował prostokąt
Pani:
… no i nie trafiłeś, narysuj inny
- Jaś namalował romb
Pani:
Nie to miałam na myśli.
Jaś:
.. ale skąd ja mam wiedzieć co Pani ma na myśli?
Ja myślałem że chodzi Pani o kwadrat, później myślałem ze chodzi Pani o prostokąt …
Pani:
Jasiu dlaczego bawisz się ze mną w ciu-ciu babkę?
Jaś:
Czy to moja wina, że matematycy nie rozumieją algebry Kubusia, logiki matematycznej 5-cio latków?
Ziemscy matematycy powinni udać się do przedszkola na szkolenie z definicji definicji

Definicja definicji:
Matematyczna definicja dowolnego pojęcia musi być jednoznaczna w całym Uniwersum
Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
To jest pierwsze i ostatnie kryterium rozstrzygania o poprawności definicji czegokolwiek.

Z dialogu przytoczonego wyżej wynika, że aktualna definicja trapezu w 6 klasie szkoły podstawowej nie spełnia definicji definicji. Z chwilą załapania algebry Kubusia przez ziemskich matematyków skończą się jaja na lekcji matematyki, czyli sprytny uczeń 6-klasy szkoły podstawowej nie będzie miał żadnej szansy na zabawę z panią matematyczką w ciu-ciu babkę.
Pamięć człowieka jest pamięcią obrazkową. Każdy 5-cio latek poproszony o zdefiniowanie psa przywoła sobie do pamięci obrazek dowolnego psa i na podstawie tego obrazka zacznie owego psa definiować (opisywać). Oczywiście pojęć abstrakcyjnych typu miłość, nienawiść nie da się zdefiniować obrazkiem - tu definicje są opisowe, ale wcale nietrudne dla 5-cio latka.

Idealnym poletkiem do zaprezentowania działania algebry Kubusia w praktyce są definicje czworokątów, poprawne matematycznie definicje czworokątów, a nie to badziewie prezentowane w podręczniku matematyki do 6 klasy szkoły podstawowej.
Wystarczą nam tu zaledwie cztery definicje: czworokąta, prostokąta, kwadratu, prostokąta nie będącego kwadratem PNK i Rombu

Definicja pojęcia:
Definicja dowolnego pojęcia to iloczyn logiczny cech tego pojęcia jednoznacznie wyróżniający je w skali Uniwersum
Przykład:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
KW = CZ*BR*KP

Definicja definicji:
Matematyczna definicja dowolnego pojęcia musi być jednoznaczna w całym Uniwersum.
Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
To jest pierwsze i ostatnie kryterium rozstrzygania o poprawności definicji czegokolwiek.

Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ - czworokąt, zbiór wszystkich czworokątów

Zbiór czworokątów jest nadzbiorem wszystkich możliwych czworokątów. Wynika z tego że dla dowolnego czworokąta x zachodzi:
CZ*x = x
CZ*Kwadrat = kwadrat

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że jeśli wiemy co to jest zbiór czworokątów CZ to musimy znać zaprzeczenie tego zbioru
Przyjmijmy dziedzinę:
Uniwersum - wszelkie pojęcia rozpoznawalne przez człowieka
Dla dziedziny U mamy:
~CZ = [U-CZ] - wszelkie pojęcia nie będące czworokątami
~CZ = [trójkąt, pięciokąt, koło, pies, kura …]

Zauważmy, że jeśli operujemy w dziedzinie:
Dziedzina: CZ - zbiór wszystkich czworokątów
To wszelkie pojęcia spoza tego zbioru będą zbiorem pustym
Dowód:
CZ*~CZ = CZ*[U-CZ] =[] =0 - zbiór pusty

Najogólniej czworokąty dzielimy na regularne (mające cechy ułatwiające obliczenia np. równoległość boków) i nieregularne (nie mające wspomnianych cech)

Prawo Krokodyla:
Warunkiem koniecznym tworzenia dowolnych zbiorów w naszym Wszechświecie są precyzyjne, czyli jednoznaczne w całym Uniwersum, definicje elementów wchodzących w skład zbioru

Prawo Krokodyla jest oczywistością bo nie możemy tworzyć zbioru z elementów niezdefiniowanych
Przykład:
p = [wjshs, gdkau, agstej ..] - taki zbiór jest nonsensem


3.1 Elementy zbioru czworokątów

Elementy zbioru wszystkich czworokątów to:
1.
Czworokąt nieregularny:


Czworokąt nieregularny (CZN) to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych nie będący którymkolwiek czworokątem regularnym
CZN = CZ*~(Kwadrat +Prostokąt +Romb +Równoległobok +Trapez +Deltoid)
Po zastosowaniu prawa De Morgana mamy:
CZN = CZ*~Kwadrat*~Prostokąt*~Romb*~Równoległobok*~trapez*~Deltoid
Definicja czworokąta nieregularnego jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

Wszystkie następne czworokąty są czworokątami regularnymi tzn. mają pewne cechy ułatwiające wszelkie obliczenia np. równoległość boków.

2.
Definicja kwadratu:



Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR
gdzie:
KW - kwadrat
CZ - zbiór wszystkich czworokątów
KP - wszystkie kąty proste
BR - wszystkie boki równe
Definicja kwadratu jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

3.
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:


Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem PNK to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK = CZ*KP*~BR
gdzie:
PNK - prostokąt nie będący kwadratem
CZ - zbiór wszystkich czworokątów
KP - wszystkie kąty proste
~BR - nie wszystkie boki równe
Definicja prostokąta jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

4.
Definicja rombu:


Definicja rombu:
Romb to czworokąt mający wszystkie boki równe i nie wszystkie kąty proste
ROMB = CZ*BR*~KP
gdzie:
ROMB - romb
CZ - zbiór wszystkich czworokątów
BR - wszystkie boki równe
~KP - nie wszystkie kąty proste
Definicja rombu jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

Definicja prostokąta
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP

W całym Uniwersum mamy zaledwie dwa czworokąty spełniające tą definicję, to kwadrat i prostokąt nie będący kwadratem PNK





Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK = CZ*KP*~BR

Zbiór wszystkich możliwych prostokątów PR to suma logiczna kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PNK
PR = KW+PNK
Po podstawieniu definicji szczegółowych mamy:
PR = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
PR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP*CZ = CZ*KP
bo:
CZ - dziedzina, zbiór wszystkich czworokątów
CZ = BR+~BR

Drabinkę zależności wszystkich poznanych wyżej pojęć doskonale opisuje diagram prostokątów.



W zbiorze prostokątów mamy dwa czworokąty KW i PNK o precyzyjnych definicjach.
Zbiór wszystkich prostokątów opisuje równanie:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP
Jednak definicje KW i PNK w zbiorze prostokątów muszą pozostać niezmienione, bowiem matematyka nie ma prawa zmieniać zastanej rzeczywistości, może wyłącznie ją opisywać.

Zbiory KW i PNK są rozłączne co łatwo udowodnić badając iloczyn logiczny tych zbiorów:
KW*PNK = (CZ*KP*BR)*(CZ*KP*~BR) = [] =0
bo: BR*~BR = [] =0
cnd


3.2 Wyznaczanie definicji minimalnej

Prawo Koguta:
Dla każdego pojęcia które człowiek rozumie istnieje definicja minimalna, czyli jednoznaczna w skali Uniwersum z której usunięcie dowolnego członu powoduje niejednoznaczność tego pojęcia w skali Uniwersum.

Prawo Kury:
Nie istnieje minimalna dziedzina w sensie absolutnym.

Dziedzina minimalna jest nierozerwalnie związana z definiowanym pojęciem, czyli nie istnieje dziedzina minimalna nie związana z definiowanym pojęciem.

Algorytm wyznaczania dziedziny minimalnej:
1.
Definiujemy pojęcie x dochodząc do definicji minimalnej i jednoznacznej w skali Uniwersum
2.
Maksymalną dziedzinę dla pojęcia x zdefiniowanego jednoznacznie w Uniwersum określa równanie algebry Boole’a:
U = x+~x
stąd:
~x = [U-x]
3.
Dziedzina minimalna D to najmniejszy możliwy podzbiór Uniwersum w którym ~x da się jednoznacznie wyznaczyć przy pomocy x-a z równania:
~x = [D-x]

Koronny przykład.

Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR
mamy tu nasze x=KW jednoznacznie zdefiniowane w obszarze Uniwersum

Pewne jest że matematycznie zachodzi:
~x = ~KW = [U-KW]
Innymi słowy:
Nie kwadrat ~KW to wszelkie możliwe pojęcia z obszaru Uniwersum z wykluczeniem kwadratu, czyli: prostokąt nie będący kwadratem, romb, koło, krasnoludek, miłość etc

Oczywistym jest że dziedzina Uniwersum nas tu nie zadowala.
Próbujemy zawęzić dziedzinę.
Samo nasuwającą się dziedziną jest zbiór wszystkich czworokątów, przecież kwadrat jakby nie patrzeć to czworokąt.
Ale Uwaga!
W rozumieniu że kwadrat jest podzbiorem => wszystkich czworokątów
KW=>CZ =1
a nie że:
KW=CZ - to jest czysto matematyczny błąd

Przyjmujemy zatem:
D (dziedzina) = CZ - zbiór wszystkich czworokątów

Obliczamy pojęcie ~x=~KW w naszej nowej dziedzinie:
~x = ~KW = [CZ-KW]
Wszystko co nie jest kwadratem w naszej dziedzinie czworokątów CZ to: prostokąt nie będący kwadratem PNK, romb, równoległobok, deltoid, trapez etc

Zatem dupa z króla.
Nie uzyskaliśmy jednoznaczności pojęcia ~x = ~KW, zatem na 100% zbiór wszystkich czworokątów nie jest dziedziną minimalną dla naszego kwadratu x=KW=CZ*KP*BR

Idziemy do kolejnego etapu poszukiwania dziedziny minimalnej.
Eureka!
Przecież każdy kwadrat ma wszystkie kąty proste, zatem dziedziną dla kwadratu może być zbiór wszystkich prostokątów
PR = CZ*KP
Obliczamy pojęcie ~x dla nowej dziedziny:
~x=~KW = [PR-KW] = [CZ*KP - CZ*KP*BR]
1. ~KW = CZ*KP - CZ*KP*BR
Zauważmy że dowolny zbiór możemy pomnożyć logicznie przez dziedzinę D i ten zbiór się nie zmieni:
D*x=x
Dziedzinę możemy rozpisać jako sumę logiczną dowolnego pojęcia plus tego samego pojęcia zanegowanego.
Ponieważ w definicji kwadratu KW=CZ*KP*BR mamy BR a dokładnie tego pojęcia brakuje nam w naszej aktualnej dziedzinie PR=CZ*KP to pomnóżmy logicznie zbiór CZ*KP przez taką dziedzinę:
D=BR+~BR
Stąd mamy
CZ*KP = CZ*KP*D = CZ*KP*(BR+~BR)
CZ*KP = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
podstawiając do 1 mamy:
~KW = CZ*KP*BR+CZ*KP*~BR - CZ*KP*BR
~KW = CZ*KP*~BR
Doskonale widać, że na placu boju pozostało nam jedno pojęcie o definicji CZ*KP*~BR
EUREKA!
Oczywistym jest, że jest do definicja doskonale znanego wszystkim prostokąta, który ojciec logiki matematycznej ziemian nazwał dla niepoznaki prostokątem nie będącym kwadratem PNK.

Matematycznie zachodzi zatem:
PNK = ~KW = CZ*KP*~BR

Uwaga!
Bezdyskusyjnie doszliśmy tu do jednoznaczności pojęć zarówno x=KW jak i ~x=PNK

Stąd mamy jak na dłoni dziedzinę minimalną:
D = PR = KW+~KW = CZ*KP*BR+CZ*KP*~BR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP
Dziedzina minimalna dla pojęcia x=KW to zbiór wszystkich prostokątów o definicji PR=CZ*KP

Zapiszmy precyzyjnie wszystkie wyprowadzone definicje.

Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem PNK to czworokąt mający wszystkie katy proste i nie wszystkie boki równe
PNK=CZ*KP*~BR

Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP

Matematycznie zachodzi:
PR = KW+PNK
podstawiając definicje szczegółowe mamy:
PR = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP

Jak widzimy,
Wszystko gra i buczy


3.2 Logika symboliczna

Algebra Kubusia jest logiką symboliczną, izolowaną od wszelkich liczb znanych człowiekowi.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza swoje Uniwersum, bo definiując nowe pojęcie automatycznie wprowadza je do Uniwersum a jak zapomina, to usuwa.

Definicja definicji:
Definicja to zbiór cech jednoznacznie opisujących obiekt w skali Uniwersum

Definicja kwadratu:
kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równa
KW=CZ*KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK = CZ*KP*~BR

Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP

W całym naszym Wszechświecie są zaledwie dwa takie czworokąty stąd:
PR = KW+PNK
PR = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
PR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP*CZ = CZ*KP
bo:
CZ = BR+~BR - dziedzina, zbiór wszystkich czworokątów

Drabinkę zależności wszystkich poznanych wyżej pojęć doskonale opisuje diagram prostokątów.




W zbiorze prostokątów mamy dwa czworokąty KW i PNK o precyzyjnych definicjach.
Zbiór wszystkich prostokątów opisuje równanie:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP
Jednak definicje KW i PNK w zbiorze prostokątów muszą pozostać niezmienione, bowiem matematyka nie ma prawa zmieniać zastanej rzeczywistości, może wyłącznie ją opisywać.

Zbiory KW i PNK są rozłączne co łatwo udowodnić badając iloczyn logiczny tych zbiorów:
KW*PNK = (CZ*KP*BR)*(CZ*KP*~BR) = [] =0
bo: BR*~BR = [] =0
cnd

Wyobraźmy sobie że mamy w koszyku dwa kwadraty:
[2,2], [3,3]
oraz dwa prostokąty PNK:
[2,3], [2,4]
Zauważmy że:
Konkretne długości boków tych czworokątów nie mają nic do definicji kwadratu KW i prostokąta PNK

Nie ma w całym naszym Wszechświecie ani jednej definicji która brudziła by sobie ręce cyferkami, duperelkami.

Na podstawie naszego diagramu mamy tak:
kwadrat [2,2] jest podzbiorem => wszystkich kwadratów KW=CZ*KP*BR
kwadrat [3,3] jest podzbiorem => wszystkich kwadratów KW=CZ*KP*BR
Kwadrat KW=CZ*KP*BR jest podzbiorem => grupy prostokątów PR=CZ*KP*BR+CZ*KP*~BR

Prostokąt PNK [2,3] jest podzbiorem => wszystkich PNK=CZ*KP*~BR
Prostokąt PNK [2,4] jest podzbiorem => wszystkich PNK = CZ*KP*~BR
Prostokąt PNK=CZ*KP*~BR jest podzbiorem => grupy prostokątów PR=CZ*KP*BR + PR*KP*~BR

Pytanie 1.
Ile jest kwadratów: KW=CZ*KP*BR w grupie prostokątów PR=CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
Poprawna odpowiedź: na poziomie symbolicznym JEDEN!

Pytanie 2.
Ile jest prostokątów PNK: PNK=CZ*KP*~BR w grupie prostokątów PR=CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
Poprawna odpowiedź: na poziomie symbolicznym JEDEN!

Matematycznie zachodzi:
[2,2] ## [3,3]
## - różne na mocy definicji
Nie ma jednak na świecie żadnej definicji która by się zajmowała cyferkami, duperelkami.

Kolejne pytanie:
Czy twierdzenie Pitagorasa mamy podane w cyferkach czy w symbolach.
W cyferkach TP będzie takie:
[3,4,5] => trójkąt prostokątny
[5,12,13] => trójkąt prostokątny
itd.
Co z tego ze zachodzi:
[3,4,5] ## [5,12,13]
## - różne na mocy definicji
Skoro to jest ewidentna gówno-matematyka.

Zajrzyjmy do Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Trójka pitagorejska (albo liczby pitagorejskie) – trzy liczby całkowite dodatnie a, b, c spełniające tzw. równanie Pitagorasa

Jak jest uprawiana matematyka, na cyferkach, czy na symbolach?
Odpowiedź mamy w linku wyżej, wyłącznie na symbolach - widzimy tu całą masę pięknych wzorków (zapisów symbolicznych) i ani jednej tabeli która by przedstawiła konkretny wzorek w postaci nieskończonego ciągu liczb.
Można podać definicję twierdzenia Pitagorasa w postaci tabeli zawierającej nieskończoną sekwencję trzech liczb definiujących wszystkie możliwe boki trójkąta prostokątnego spełniających twierdzenie Pitagorasa.
Taka definicja będzie poprawna matematycznie, tyle że bez sensu bo fizycznie niemożliwa do zapisania w najpotężniejszym ziemskim komputerze.


3.2.1 Kwadrat, figura geometryczna czy zbiór?

Co definiuje definicja kwadratu, figurę geometryczną czy zbiór?
To bardzo ciekawe pytanie, domagające się odpowiedzi.

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja kwadratu:


Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR
gdzie:
KW - kwadrat
CZ - zbiór wszystkich czworokątów
KP - wszystkie kąty proste
BR - wszystkie boki równe
Definicja kwadratu jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

Akurat definicję kwadratu mamy identyczną!

Postawmy pytanie:
Jaki kwadrat definiuje ziemska definicja?

Taki o bokach [2,2] czy też może taki o bokach [3,3]

Poprawna odpowiedź:
Ziemska definicja definiuje absolutnie wszystkie kwadraty, czyli zbiór wszystkich kwadratów.
Identycznie jak u ziemian jest w algebrze Kubusia.

Podobnie:
Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
a^2 + b^2 = c^2
Ta definicja definiuje absolutnie wszystkie trzyliczbowe zbiory tożsame z bokami odpowiednich trójkątów prostokątnych.

Podsumowując:
Poprawna logika matematyczna, algebra Kubusia, to logika symboliczna izolowana od jakichkolwiek liczb znanych człowiekowi.


3.3 Dowodzenie twierdzeń w algebrze Kubusia

Rozważmy przykładowe twierdzenie.

Twierdzenie:
Jeśli czworokąt jest kwadratem KW=CZ*KP*BR to jest prostokątem PR=CZ*KP
1. CZ*(KW=CZ*KP*BR) => PR=CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR

Dowód:
Zauważmy, że zbiór czworokątów CZ jest dziedziną dla wszystkich możliwych rodzajów czworokątów
Stąd mamy:
2. CZ*(KW=CZ*KP*BR) = KW=CZ*KP*BR

Podstawiając 2 do 1 mamy:
(KW=CZ*KP*BR) => (PR=CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR)
cnd
Dowodem naszego twierdzenia jest to wytłuszczone.


3.4 Definicja prostokąta w tabeli zero-jedynkowej

Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP
To jest wynikanie w dwie strony zatem ta tożsamość bezdyskusyjnie zachodzi

Obliczmy ~PR negując stronami:
~PR = ~CZ+~KP
co matematycznie oznacza:
~PR=1 <=> ~CZ=1 lub ~KP=1
Innymi słowy:
nie jest prostokątem ~PR=1 cokolwiek co jest poza definicją CZ (np. trójkąt)
lub
Nie jest prostokątem ~PR=1 cokolwiek co jest poza definicją KP (wszystkie kąty proste)

Ograniczenie ~KP jest tu silniejsze zatem po minimalizacji możemy napisać:
Nie jest prostokątem cokolwiek co jest poza definicją:
KP=1 - wszystkie kąty proste.

Sprawdzamy przykładowo ROMB:
Czy romb ma wszystkie kąty proste?
NIE MA
zatem romb należy do zbioru ~PR=1

Równanie prostokąta:
PR=CZ*KP
co matematycznie oznacza:
PR =1 <=> CZ=1 i KP=1
W każdym innym przypadku będzie PR=0

Zapiszmy wszystkie możliwe przypadki w tabeli zero-jedynkowej
Kod:

  CZ KP  PR=CZ*KP
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0

To samo z rozwinięciem dla ~PR:
Kod:

Definicje zero-jedynkowe              |Równania
                                      |cząstkowe
  CZ KP ~CZ ~KP  PR=CZ*KP ~PR=~CZ+~KP |
A: 1  1   0   0  =1        =0         | PRa= CZ* KP ;wyłącznie PR=CZ*KP
B: 1  0   0   1  =0        =1         |~PRb= CZ*~KP ;np. romb
C: 0  1   1   0  =0        =1         |~PRc=~CZ* KP ;np. trójkąt prostokąt.
D: 0  0   1   1  =0        =1         |~PRd=~CZ*~KP ;np. trójkąt nieprost.
   1  2   3   4   5         6           7     8   9

Matematycznie zachodzi:
CZ ## KP ## ~CZ ## ~KP ## PR ## ~PR
## - różne na mocy definicji
bo kolumny zero-jedynkowe są różne.
cnd

Matematycznie zachodzi:
1.
PR = PRa bo jest tylko jeden PR
PR = CZ*KP
co matematycznie oznacza:
PR=1 <=> CZ=1 i KP=1
Doskonale to widać w tabeli ABCD125
2.
~PR = ~PRa + ~PRb + ~PRc = ~CZ+ ~KP
~PR = ~CZ + ~KP
co matematycznie oznacza:
~PR=1 <=> ~CZ=1 lub ~KP=1
Doskonale to widać w tabeli ABCD346

Dowód równania 2.
Podstawmy:
Y = PR
p=CZ
q=KP
Na mocy równań cząstkowych ABCD789 zapisujemy:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p + (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = p*(~p+q) = p*~q + p*q
Y = p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Widać to doskonale w tabeli ABCD346


3.5 Twierdzenie Pitagorasa

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenie tego pojęcia
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Prawo rozpoznawalności pojęcie p nie jest znane w matematyce, a to jest kluczowe prawo!

Pokażę to na przykładzie twierdzenia Pitagorasa.
Co ziemski matematyk wie?
1.
Wie że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe w dwie strony
2.
Wie że twierdzenie Pitagorasa definiuje tożsamość zbiorów TP=SK

Czego matematyk nie wie?
Nie wie że każda matematyczna tożsamość to automatycznie równoważność

Teoretycznie niby wie czego dowód tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
mathedu napisał:

Równość zbiorów
Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót.
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

… ale w praktyce nie wie co sam wie.

Dowodem jest tu paniczny strach matematyków przed wypowiadaniem twierdzenia Pitagorasa w postaci równoważności z zaciekłym zwalczaniem każdego kto ośmieli się powiedzieć TP<=>SK.

TPR+
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK =(TP=>SK)*(SK=>TP) = 1*1 =1

Matematycy niesłusznie twierdzą że to nie jest twierdzenie Pitagorasa, bo skoro wszyscy wiedzą iż TP jest prawdziwe w dwie strony co definiuje tożsamość zbiorów TP=SK - to dlaczego kategorycznie zabrania się wypowiedzenia definicji tożsamości tych zbiorów TP=SK w formie twierdzenia wyżej?
Powyższe twierdzenie mówi to trójkątach prostokątnych, daje nam gwarancję matematyczną iż w każdym trójkącie prostokątnym będzie zachodziła suma kwadratów

Każdy dzieciak zada tu pytanie:
… a co z trójkątami nieprostokątnymi?

Gdyby matematycy znali prawo rozpoznawalności pojęcia p to by wiedzieli że tożsamość TP=SK wymusza tożsamość ~TP=~SK … i już mamy odpowiedź co z trójkątami nieprostokątnymi.

Wypowiadamy tożsamość zbiorów ~TP=~SK w formie równoważności:

TPR-
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi suma kwadratów
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(~SK=>~TP)
To twierdzenie mówi o trójkątach nieprostokątnych, daje nam gwarancję matematyczną iż w żadnym trójkącie nieprostokątnym nie będzie zachodziła suma kwadratów

Dokładnie to samo co w zbiorach mamy w prawie algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
bo algebra Boole’a jest podzbiorem teorii zbiorów, o czym ziemianie nie mają bladego pojęcia, ale wkrótce to się zmieni … za sprawą algebry Kubusia oczywiście.

Upór matematyków że twierdzenie Pitagorasa to tylko i wyłącznie zdania „Jeśli p to q” jest bez sensu bo dwa identyczne pod względem matematycznym twierdzenia ze spełnionym warunkiem wystarczającym to …

Twierdzenie Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK

Twierdzenie-badziew:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem P2=[2,4,6,8..]

Czy wszyscy widzą różnicę między TP a badziewiem?
Wypowiadając TP w formie „Jeśli p to q” matematycznie zrównujemy TP z badziewiem - czy to się godzi?


3.6 Wnioskowanie w algebrze zbiorów

Prawo Gołębia:
Każda tożsamość matematyczna to równoważność
p=p <=> (p=>p)*(~p=>~p)
bez względu na wybraną dziedzinę, bez względu czy mamy do czynienie ze zbiorem (np. KW) czy też z dowolnym pojęciem (np. miłość)

Dowód:
To są definicje równoważności które ziemianie znają:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Prawo algebry Boole’a:
q=>p = p~>q
stąd mamy:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Prawo algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
stąd mamy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
dla p=q mamy:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)
z założenia mamy p=q, stąd mamy prawo Gołębia:
p=p <=> (p=>p)*(~p=>~p)
Prawe strony są tożsame, stąd:
(p=p) = (p<=>p)

Dowód istnienia prawa Gołębia w matematyce ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
matedu napisał:

Równość zbiorów:
Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót.
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

Ten znaczek “=” to bezdyskusyjna tożsamość zbiorów A=B.
Prawo Gołębia rozszerza znaną matematykom tożsamość zbiorów A=B na tożsamość dowolnych pojęć np. miłość = miłość
Pojęcie „miłość” to po prostu zbiór jednoelementowy niepusty w obszarze Uniwersum i nie może być traktowany inaczej jak dowolny inny zbiór niepusty np. KW=CZ*KP*BR

Prawo Gołębia jest zdaniem zawsze prawdziwym, ale to jest równoważność która ma w definicji zero-jedynkowej dwa zera i dwie jedynki a nie same jedynki jak operator chaosu p|~~>q. Różnica między równoważnością p<=>q a operatorem chaosu jest więc fundamentalna.

Weźmy twierdzenie Pitagorasa:
TP=SK <=> (TP=>SK)*(SK=>TP)
Twierdzenie Pitagorasa mamy udowodnione w dwie strony co wymusza tożsamość zbiorów TP=SK.

Dowolna dziedzina z definicji musi być szersza od pojęcia definiowanego - tu od TP.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
TR - zbiór wszystkich trójkątów
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
SK - zbiór trójkątów ze spełniona sumą kwadratów
Matematyczni zachodzi:
1. TR=TP+~TP
2. TR=SK+~SK
Twierdzenie Pitagorasa w dwie strony mamy udowodnione, zatem zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK - na mocy definicji tożsamości zbiorów oczywiście
skoro tak, to z równań 1 i 2 wynika że musi zachodzić tożsamość zbiorów:
~TP=~SK

Oczywistym jest, że wolno nam skorzystać z definicji tożsamości zbiorów i zapisać obie tożsamości w formie równoważności.
1. TP=SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
2. ~TP=~SK = (~TP=>~SK)*(~SK=>~TP)

Skoro wolno nam zapisać te tożsamości w ziemskiej logice to oczywistym jest że wolno nam wypowiedzieć definicje tych tożsamości.
3.
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów SK
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Jeśli ze zbioru wszystkich prostokątów wylosujemy trójkąt prostokątny TP to mamy gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów SK
Prawe strony w równaniach 1 i 3 są tożsame, stąd mamy:
1: (TP=SK) = 3: (TP<=>SK)
cnd

… każdy 12-cio latek zapyta.
… a co z trójkątami nieprostokątnymi?
Tu wypowiadamy słownie definicję 2 w postaci zdania niżej:
4.
Trójkąt nie jest prostokątny ~TP wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(~SK=>~TP)
Jeśli ze zbioru wszystkich prostokątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP to mamy gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK
Prawe strony równań 2 i 4 są tożsame, stąd mamy:
2: (~TP=~SK) = 4: (~TP<=>~SK)
cnd

Algebra Kubusia zajmuje się wnioskowaniem popartym matematykę ścisłą co widać w tym punkcie.
Algebra Kubusia nie zajmuje się wnioskowaniem którego nie można opisać równaniami algebry Boole’a, czyli widzi mi się jakiegoś człowieka.
Widzi mi się człowieka doprowadziło do największej tragedii matematyki w dziejach ludzkości - ziemscy matematycy ugrzęźli w bagnie dosadnie opisanym w cytacie niżej i nie mogą z niego wyjść o własnych siłach - Kubuś zstąpił na ziemię po to, by ich z tego bagna wyciągnąć.

[link widoczny dla zalogowanych]
dr. Marek Kordas w powyższym linku napisał:

Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?

Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.

Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
.. .. ..
Powstają dwa pytania.
Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
.. .. ..
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 13:36, 30 Lip 2017, w całości zmieniany 13 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22445
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 8:23, 03 Lip 2017    Temat postu:

Operatory jednoargumentowe w technice cyfrowej

Spis treści
4.0 Operatory jednoargumentowe w technice cyfrowej 1
4.1 Definicje operatorów jednoargumentowych w technice cyfrowej 2
4.1.1 Operator transmisji Y|=p 5
4.1.2 Operator negacji Y|=~p 8
4.1.3 Operator chaosu Y|=p+~p 11
4.1.4 Operator śmierci Y|=p*~p 13
4.2 Genialna logika matematyczna 5-cio latków 15
4.2.1 Operatory transmisji Y|=p i negacji Y|=~p w przedszkolu 17
4.2.2 Operatory chaosu Y|=p+~p i śmierci Y|=p*~p w przedszkolu 21
4.3 Algebra Kubusia vs logika „matematyczna” ziemian 24


4.0 Operatory jednoargumentowe w technice cyfrowej

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmienna binarna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości:
1 - prawda
0 - fałsz

Zero-jedynkowa definicja negacji:
Kod:

   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

p - sygnał w logice dodatniej (bo p)
~p - sygnał w logice ujemnej (bo ~p)

W tabeli AB12 mamy zapisane prawa Prosiaczka, będące w istocie prawem rozpoznawalności pojęcia p
I prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Jeśli wiem że p=1 to na pewno => wiem że ~p=0 (i odwrotnie)
(p=1) <=> (~p=0) = [(p=1) => (~p=0)]*[(~p=0)=>(p=1)]
Równoważność <=> w logice ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej „=” stąd:
I prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)

II prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Jeśli wiem że p=0 to na pewno => wiem że ~p=1 (i odwrotnie)
(p=0) <=> (~p=1) = [(p=0) => (~p=1)]*[(~p=1)=>(p=0)]
Równoważność <=> w logice ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej „=” stąd:
II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Związek logiki dodatnie (bo p) i ujemnej (bo ~p):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
p = ~(~p)
Dowód:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0   1
B: 0  1   0
   1  2   3

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Z tabeli prawdy z linii A12 odczytujemy:
p=1, ~p=0
stąd:
1 = ~(0) - prawo podwójnego przeczenia zero-jedynkowo
Z tabeli prawdy z linii B12 odczytujemy:
p=0, ~p=1
stąd:
0 = ~(1) - prawo podwójnego przeczenia zero-jedynkowo

Związek logiki ujemnej (bo ~p) i dodatniej (bo p):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~p = ~(p)
Dowód:
Kod:

   p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1  0   1     0
B: 0  1   0     1
   1  2   3     4

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 2=4 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole’a:
~p = ~(p)


4.1 Definicje operatorów jednoargumentowych w technice cyfrowej

Funkcja logiczna Y w technice cyfrowej to układ o n wejściach cyfrowych (p,q,r..) i tylko jednym wyjściu Y

Definicja funkcji logicznej n-argumentowej:
Funkcja logiczna n-argumentowa Y to jednoznaczna odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu (p,q,r..)

Definicja operatora logicznego n-argumentowego:
Operator logiczny n-argumentowy Y|=f(p,q,r..) to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y)
Y = f(p,q,r..)
~Y = ~f(p,q,r..)

Przykład:
Definicja funkcji logicznej równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q = (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = ~p*q + p*~q
stąd mamy:
Definicja operatora równoważności p|<=>q w układzie równań logicznych:
1: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
2: ~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
Gdzie:
p<=>q - funkcja logiczna równoważności, pojedyńcze równanie Y=(p<=>q) albo ~Y=~(p<=>q)
p|<=>q - operator równoważności definiowany układem równań funkcji logicznych:
1: Y=(p<=>q)
2: ~Y= ~(p<=>q)

Notacja:
Dla odróżnienia operatora równoważności p|<=>q od funkcji logicznej równoważności p<=>q stawiamy pionową kreskę przed znaczkiem funkcji logicznej jeśli mówimy o operatorze.

Na mocy definicji zachodzi:
Funkcja logiczna (pojedyńcze równanie Y albo ~Y) ## Operator logiczny (układ równań Y oraz ~Y)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Układ logiczny o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y nazywamy funkcją logiczną jednoargumentową

Funkcja logiczna jednoargumentowa:
Funkcja logiczna jednoargumentowa Y to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p

Dla jednego wejścia p wszystkich możliwych funkcji logicznych Y (logika dodatnia bo Y) jest cztery:
Y=p - funkcja transmisji
Y=~p - funkcja negacji
Y=p+~p =1 - funkcja chaosu
Y=p*~p =0 - funkcja śmierci
Kod:

TF - tabela funkcji logicznych jednoargumentowych
Jednoargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
Wejście ||Funkcja    |Funkcja    |Funkcja   |Funkcja
        ||Transmisji |Negacji    |Chaosu    |Śmierci
   p    || Y=p       | Y=~p      | Y=p+~p   | Y=p*~p
A: 1    ||  1        |  0        |  1       |  0
B: 0    ||  0        |  1        |  1       |  0
   1        3           5           7          9

W tabeli funkcji logicznych Y zapisanych wyłącznie w logice dodatniej (bo Y) mamy matematyczną jednoznaczność zarówno zero-jedynkową jak i w równaniach logicznych.
Na mocy definicji zachodzi w równaniach logicznych:
Y=p ## Y=~p ## Y=p+~p =1 ## Y=p*~p =0
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Także zero-jedynkowo zachodzi:
AB3 ## AB5 ## AB7 ## AB9
gdzie:
## - różne na mocy definicji bo kolumny zero-jedynkowe są różne

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że tabelę funkcji TF musimy uzupełnić o sygnał wejściowy ~p oraz sygnały wyjściowe o ~Y.
Kod:

TO - tabela operatorów jednoargumentowych
Jednoargumentowe operatory logiczne
Wejście ||Operator   |Operator   |Operator        |Operator
        ||Transmisji |Negacji    |Chaosu          |Śmierci
        ||Y|=p       |Y|=~p      |Y|=p+~p =1      |Y|=p*~p =0
   p ~p || Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 ||  1    0   |  0     1  |  1       0     |  0       1
B: 0  1 ||  0    1   |  1     0  |  1       0     |  0       1
   1  2     3    4      5     6     7       8        9       0

Zauważmy, że w tabeli operatorów TO załamuje się klasyczny rachunek zero-jedynkowy.
Przykładowo tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
AB3 = AB6
w klasycznym rachunku zero-jedynkowym jest dowodem tożsamości matematycznej funkcji logicznej z nagłówków kolumn, czyli:
AB3: Y=p [=] AB6: ~Y=p
Matematycznie zachodzi oczywiście:
AB3: Y=p ## AB6: ~Y=p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwaga:
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy działa pięknie tylko i wyłącznie w obrębie każdej z funkcji ## różnej na mocy definicji.

stąd mamy:
Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie funkcje logiczne Ya i Yb są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
(Ya [=] Yb) =0
(Ya [=] ~Yb) =0
Stąd mamy równanie logiczne definiujące znaczek ## różne na mocy definicji:
Ya ## Yb = ~(Ya[=]Yb)*~(Ya[=]~Yb) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Sprawdzamy nasze funkcje AB3 i AB6:
Y=p ## ~Y=p = ~(Y=p[=]~Y=p)*~(Y=p [=] Y=~p) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1
Wniosek:
Funkcje logiczne AB3 i AB6 są różne na mocy definicji
cnd

Sprawdźmy kontrolnie funkcje logiczne AB3 i AB4:
Y=p ## ~Y=~p = ~(Y=p [=] ~Y=~p)*~(Y=p [=] Y=p) = ~(0)*~(1) = 1*0 =0
cnd
Wniosek:
Funkcje logiczne Y=p i ~Y=~p nie są różne na mocy definicji - jedna jest zaprzeczeniem drugiej
Y = ~(~Y) = ~(~p) = p
~Y = ~(Y) = ~(p) = ~p

Z powyższego wynika, że w tabeli operatorów TO zachodzi różność na mocy definicji wyłącznie w równaniach logicznych:
AB3: Y=p # AB4: ~Y=~p ## AB5: Y=~p # AB6=~Y=p ## AB7: Y=1 # AB8: ~Y=0 ## AB9: Y=0 # AB0: ~Y=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
oraz:
# - różne w znaczeniu iż funkcja ~Y jest negacją funkcji Y

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y)

Na mocy tabeli operatorów TO mamy.
Definicja operatora transmisji Y|=q:
AB3: Y=p
AB4: ~Y=~p
Definicja operatora negacji Y|=~p:
AB5: Y=~p
AB6: ~Y=p
Definicja operatora chaosu Y|=p+~p:
AB7: Y=p+~p =1
AB8:~Y=p*~p =0
Definicja operatora śmierci Y|=p*~p:
AB9: Y=p*~p =0
AB0: ~Y=p+~p =1

Na mocy definicji zachodzi:
Funkcja logiczna Y=f(x) ## Operator logiczny Y|=f(x)
gdzie:
## - różne na mocy definicji


4.1.1 Operator transmisji Y|=p

Pełna definicja operatora transmisji uwzględniająca wszystkie możliwe funkcje logiczne.
Kod:

T1
Definicja operatora transmisji Y|=p w funkcjach logicznych Y i ~Y
Wejście ||Definicja symboliczna           |Funkcje   |Co matematycznie
        ||                                |cząstkowe |oznacza
        ||           Y=~(~Y)   ~Y=~(Y)    |          |
   p ~p || Y=p ~Y=~p Y=~(~p)=p ~Y=~(p)=~p |          |
A: 1  0 ||  1    0    1          0        | Y= p     | Y=1<=> p=1
B: 0  1 ||  0    1    0          1        |~Y=~p     |~Y=1<=>~p=1
   1  2     3    4    5          6          a  b       c      d

Tożsamość zero-jedynkowa kolumn AB3 i AB5 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Stąd mamy:
Definicja operatora transmisji Y|=p w układzie równań funkcji logicznych:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Definicja praw De Morgana:
Prawa De Morgana mówią o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y)
I prawo De Morgana:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
II prawo De Morgana:
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
~Y = ~(Y)

Prawa De Morgana dla operatora transmisji Y|=p.

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana:
Y = p = ~(~p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana:
~Y = ~p = ~(p)

Prawa De Morgana dla operatora jednoargumentowego odczytane bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
3=5
Y=p [=] Y=~(~p)
Y = p = ~(~p)
4=6
~Y=~p [=] ~Y=~(p)
~Y=~p = ~(p)

Kompletna definicja operatora transmisji Y|=p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
Prawa De Morgana;
3.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = p = ~(~p)
4.
II prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=~p = ~(p)

Pani w przedszkolu:
11.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
11.
Prawdą jest (=1), ze pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

…a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 11 dwustronnie:
12.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
12.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani skłamie, nie dotrzyma słowa (~Y=1)

…a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)?
13.
I Prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 11 i 12 mamy:
Y = K = ~(~K)
13.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K = ~(~K)
Prawo Prosiaczka:
(K=1) = (~K=0)
Stąd wartościowanie:
Y = 1 = ~(0) =1

14.
II Prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
Podstawiając 11 i 12 mamy:
~Y=~K = ~(K)
stąd:
14.
Pani skłamie (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K).
~Y=~K = ~(K)
Prawo Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
Stąd wartościowanie:
~Y = 1 = ~(0) = 1

Seria zdań 11, 12, 13, i 14 jest ze sobą w matematycznym związku


4.1.2 Operator negacji Y|=~p

Definicję operatora negacji Y|=~p najłatwiej utworzyć negując Y w tabeli operatora transmisji T1.
Tabel zero-jedynkowych nie musimy wówczas ruszać.
Pełna definicja operatora negacji Y|=~p uwzględniająca wszystkie możliwe funkcje logiczne Y.
Kod:

T2
Definicja operatora negacji Y|=~p w funkcjach logicznych Y i ~Y
Wejście ||Definicja symboliczna          |Funkcje   |Co matematycznie
        ||                               |cząstkowe |oznacza
        ||          ~Y=~(Y)    Y=~(~Y)   |          |
   p ~p ||~Y=p Y=~p ~Y=~(~p)=p Y=~(p)=~p |          |
A: 1  0 ||  1   0     1         0        |~Y= p     |~Y=1<=> p=1
B: 0  1 ||  0   1     0         1        | Y=~p     | Y=1<=>~p=1
   1  2     3   4     5         6          a  b       c      d

Stąd mamy:
Definicja operatora negacji Y|=~p w układzie równań funkcji logicznych:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Definicja praw De Morgana:
Prawa De Morgana mówią o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y)
I prawo De Morgana:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
II prawo De Morgana:
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
~Y = ~(Y)

Prawa De Morgana dla operatora negacji Y|=~p.

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana:
Y = ~p = ~(p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana:
~Y = p = ~(~p)

Prawa De Morgana dla operatora jednoargumentowego odczytane bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
4=6
Y=~p [=] Y=~(p)
Y = ~p = ~(p)
3=5
~Y=p [=] ~Y=~(~p)
~Y= p = ~(~p)

Kompletna definicja operatora negacji Y|=~p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
3.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = ~p = ~(p)
4.
II prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=p = ~(~p)


Pani w przedszkolu:
21.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
21.
Prawdą jest (=1), ze pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1

…a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 21 dwustronnie:
22.
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
22.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani skłamie, nie dotrzyma słowa (~Y=1)

…a czy może się zdarzyć że jutro pójdziemy do kina (K)?
23.
I Prawo De Morgana:
Y=~(~Y)
podstawiając 21 i 22 mamy:
Y = ~K = ~(K)
23.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K)
Y = ~K = ~(K)
Prawo Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
stąd wartościowanie:
Y = 1 = ~(0) =1

24.
II Prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
Podstawiając 21 i 22 mamy:
~Y= K = ~(~K)
stąd:
24.
Pani skłamie (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina (~K).
~Y=K = ~(~K)
Prawo Prosiaczka:
(K=1) = (~K=0)
Stąd wartościowanie:
~Y = 1 = ~(0) =1

Seria zdań 21, 22, 23, i 24 jest ze sobą w matematycznym związku


4.1.3 Operator chaosu Y|=p+~p

Pełna definicja operatora chaosu Y|=p+~p uwzględniająca wszystkie możliwe funkcje logiczne.
Kod:

T3
Definicja operatora chaosu Y|=p+~p w funkcjach logicznych Y i ~Y
Wejście ||Definicja symboliczna               |Funkcje   |Co matematycznie
        ||                                    |cząstkowe |oznacza
        ||                Y=~(~Y)   ~Y=~(Y)   |          |
   p ~p || Y=p+~p ~Y=p*~p Y=~(p*~p) ~Y=~(p+~p)|          |
A: 1  0 ||  1      0       1          0       |Ya= p     |Ya=1<=> p=1
B: 0  1 ||  1      0       1          0       |Yb=~p     |Yb=1<=>~p=1
   1  2     3      4       5          6        a   b      c       d

Stąd mamy:
Y = Ya+Yb
po podstawieniu funkcji cząstkowych:
Y = p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)

Definicja operatora chaosu Y|=p+~p w układzie równań funkcji logicznych:
1.
Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0) = (Y=1)
Y = p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
Stąd mamy:
Zdanie zawsze fałszywe (~Y=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)
~Y = p*~p =0 [=] Y=p+~p =1

Definicja praw De Morgana:
Prawa De Morgana mówią o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y)
I prawo De Morgana:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
II prawo De Morgana:
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
~Y = ~(Y)

Prawa De Morgana dla operatora chaosu Y|=p+~p.

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana:
Y = p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana:
~Y = p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
Y = p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)

Prawa De Morgana dla operatora jednoargumentowego odczytane bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
3=5
Y=p+~p [=] Y=~(p*~p)
stąd:
Y = p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
4=6
~Y=p*~p [=] ~Y=~(p+~p)
stąd:
~Y=p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
~Y=p*~p =0 [=] Y=p+~p =1

Kompletna definicja operatora chaosu Y|=p+~p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y
Przejście do logiki ujemnej (bo ~) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)

Prawa De Morgana;
3.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
4.
II prawo De Morgana:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
Stąd:
Zdanie zawsze fałszywe (~Y=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)
~Y = p*~p =0 [=] Y=p+~p =1


4.1.4 Operator śmierci Y|=p*~p

Pełna definicja operatora śmierci Y|=p*~p uwzględniająca wszystkie możliwe funkcje logiczne Y.
Definicję operatora śmierci Y|=p*~p najłatwiej utworzyć negując Y w tabeli operatora chaosu T3.
Tabel zero-jedynkowych nie musimy wówczas ruszać.
Kod:

T4
Definicja operatora śmierci Y|=p*~p w funkcjach logicznych Y i ~Y
Wejście ||Definicja symboliczna               |Funkcje   |Co matematycznie
        ||                                    |cząstkowe |oznacza
        ||               ~Y=~(Y)     Y=~(~Y)  |          |
   p ~p ||~Y=p+~p Y=p*~p ~Y=~(p*~p)  Y=~(p+~p)|          |
A: 1  0 ||  1      0       1          0       |~Ya= p    |~Ya=1<=> p=1
B: 0  1 ||  1      0       1          0       |~Yb=~p    |~Yb=1<=>~p=1
   1  2     3      4       5          6         a   b      c       d

Stąd mamy:
~Y = ~Ya+~Yb
po podstawieniu funkcji cząstkowych:
~Y = p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
… a kiedy zajdzie Y?
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice dodatniej (bo Y)

Definicja operatora śmierci Y|=p*~p w układzie równań funkcji logicznych:
1.
Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe (Y=0) w logice dodatniej (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy:
Zdanie zawsze prawdziwe (~Y=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze fałszywym (Y=0) w logice dodatniej (bo Y)
~Y=p+~p =1 [=] Y = p*~p =0
Y=p*~p =0 - nie ma szans na prawdę (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)

Definicja praw De Morgana:
Prawa De Morgana mówią o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y)
I prawo De Morgana:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
II prawo De Morgana:
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y)
~Y = ~(Y)

Prawa De Morgana dla operatora śmierci Y|=p*~p.

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana:
Y = p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice dodatniej (bo Y)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana:
~Y = p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
stąd mamy:
Zdanie zawsze prawdziwe (~Y=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze fałszywym (Y=0) w logice dodatniej (bo Y)
~Y=p+~p =1 [=] Y = p*~p =0
Y=p*~p =0 - nie ma szans na prawdę (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)

Prawa De Morgana dla operatora jednoargumentowego odczytane bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
4=6
Y=p*~p [=] Y=~(p+~p)
stąd:
Y = p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice dodatniej (bo Y)
3=5
~Y=p+~p [=] ~Y=~(p*~p)
stąd:
~Y=p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Y=p*~p =0 - nie ma szans na prawdę w logice dodatniej (bo Y)

Kompletna definicja operatora śmierci Y|=p*~p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe (Y=0) w logice dodatniej (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Y=p*~p =0 - nie ma szans na prawdę w logice dodatniej (bo Y)
Prawa De Morgana:
3.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice dodatniej (bo Y)
4.
II prawo De Morgana:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Y=p*~p =0 - nie ma szans na prawdę w logice dodatniej (bo Y)


4.2 Genialna logika matematyczna 5-cio latków

Ziemscy matematycy potrafią ułożyć równania logiczne z dowolnej tabeli zero-jedynkowej, zarówno alternatywno-koniunkcyjne jak i koniunkcyjno-alternatywne wyłącznie w logice dodatniej (bo Y).
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]

Ziemscy matematycy nie widzą równań logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową, czego dowód w linku wyżej. Autor opracowania nie zna praw matematycznych z których ewidentnie korzysta, praw Prosiaczka, umożliwiających przejście z tabeli zero-jedynkowej do równania logicznego opisującego tą tabelę i odwrotnie.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0)

Zastanówmy się jakiego typu przykłady są najbardziej odpowiednie dla zrozumienia logiki matematycznej rządzącej naszym Wszechświatem - algebry Kubusia.

Prawo Jeża:
Dla zrozumienia logiki matematycznej rządzącej naszym Wszechświatem najodpowiedniejsza jest naturalna logika matematyczna człowieka dzięki temu, iż mając „wolną wolę” człowiek może łamać wszelkie prawa logiczne.

Dowód prawa Jeża na przykładzie:
Wiemy że:
Dowolny operator logiczny to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Suma logiczna funkcji logicznych Y i ~Y da nam zawsze operator chaosu - zdanie zawsze prawdziwe:
Y+~Y =1
Y*~Y =0

I.
Rozważmy operator równoważności p|<=>q wyrażony funkcjami logicznym Y i ~Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Y = p*q + ~p*~q
~Y = ~p*q + p*~q
Chaos = Y+~Y
stąd:
Chaos = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Chaos = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
Chaos = p+~p =1
Mamy same jedynki w wyniku, mamy, zatem wszystko jest dobrze?

STOP - po raz pierwszy!
Nie jest wszystko dobrze bo na przykład twierdzenie Pitagorasa:
Chaos = A: TP*SK =1 lub B: TP*~SK=0 lub C: ~TP*~SK=1 lub D: ~TP*SK =0
Tabela prawdy:
Kod:

         TP<=>SK=TP*SK+~TP*~SK
A: TP* SK =1
B: TP*~SK =0
C:~TP*~SK =1
D:~TP* SK =0

Rzeczywistość zastana jest jak wyżej, w tabeli zero-jedynkowej będziemy mieli w wyniku dwa zera i dwie jedynki.
Matematyka nie ma prawa zmieniać zastanej rzeczywistości, zatem przekształcenia matematyczne w punkcie I z pozoru poprawne są matematycznie błędne.

STOP - po raz drugi!
Matematyka jest jedna!
Jest jednak przypadek w świecie rzeczywistym, do którego przekształcenia I pasują idealnie.
To człowiek, ze swoją „wolną wolą” mogący łamać wszelkie prawa logiczne.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1

… a kiedy pani skłamie?
B.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y = K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Odczytujemy:
Prawda jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru lub nie pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru

Zauważmy, że w tym przypadku, w przeciwieństwie do twierdzenia Pitagorasa prawdziwe jest równanie:
Chaos = Y+~Y
Bo pani może zdania A i B połączyć spójnikiem „lub”(+) i bez problemu otrzyma zdanie zawsze prawdziwe.
Zatem równanie:
Chaos = Y+~Y
jest w tym przypadku poprawne!

Pani może bowiem powiedzieć:
Chaos = Y+~Y
Chaos = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*~T + D: ~K*T
Czytamy:
Drogie dzieci:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Ya=K*T
lub
Pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Yb=K*~T
lub
Nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Yc=~K*~T
lub
Nie pójdziemy do kina i pójdziemy do teatru
Yd=~K*T
To jest zdanie zawsze prawdziwe, cokolwiek pani jutro nie zrobi, to dotrzyma słowa. Jutro na 100% zajdzie jedna z sytuacji Ya, Yb, Yc albo Yd, zatem pani na 100% dotrzyma słowa … tyle że to jest bełkot bez żadnej gwarancji matematycznej.

Wróćmy do tematu.


4.2.1 Operatory transmisji Y|=p i negacji Y|=~p w przedszkolu

Kompletna definicja operatora transmisji Y|=p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
Prawa De Morgana;
3.
I prawo De Morgana:
Y = p = ~(~p)
4.
II prawo De Morgana:
~Y=~p = ~(p)


Pani w przedszkolu:
11.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
11.
Prawdą jest (=1), ze pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

…a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 11 dwustronnie:
12.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
12.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani skłamie, nie dotrzyma słowa (~Y=1)

…a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)?
13.
I Prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 11 i 12 mamy:
Y = K = ~(~K)
13.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K = ~(~K)
Prawo Prosiaczka:
(K=1) = (~K=0)
Stąd wartościowanie:
Y = 1 = ~(0) =1

14.
II Prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
Podstawiając 11 i 12 mamy:
~Y=~K = ~(K)
stąd:
14.
Pani skłamie (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K).
~Y=~K = ~(K)
Prawo Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
Stąd wartościowanie:
~Y = 1 = ~(0) = 1

Seria zdań 11, 12, 13, i 14 jest ze sobą w matematycznym związku

Kompletna definicja operatora negacji Y|=~p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Prawa De Morgana:
3.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = ~p = ~(p)
4.
II prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y= p = ~(~p)

Pani w przedszkolu:
21.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
21.
Prawdą jest (=1), ze pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1

…a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 21 dwustronnie:
22.
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
22.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani skłamie, nie dotrzyma słowa (~Y=1)

…a czy może się zdarzyć że jutro pójdziemy do kina (K)?
23.
I Prawo De Morgana:
Y=~(~Y)
podstawiając 21 i 22 mamy:
Y = ~K = ~(K)
23.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K)
Y = ~K = ~(K)
Prawo Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
stąd wartościowanie:
Y = 1 = ~(0) =1

24.
II Prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
Podstawiając 21 i 22 mamy:
~Y= K = ~(~K)
stąd:
24.
Pani skłamie (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina (~K).
~Y=K = ~(~K)
Prawo Prosiaczka:
(K=1) = (~K=0)
Stąd wartościowanie:
~Y = 1 = ~(0) =1

Seria zdań 21, 22, 23, i 24 jest ze sobą w matematycznym związku

Uwaga:
Brak jest matematycznego związku między serią zdań 11,12,13,14 a serią zdań 21,22,23,24 - te serie zdań są totalnie rozłączne, innymi słowy: są różne na mocy definicji ##
11,12,13,14 ## 21,22,23,14
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Innymi słowy:
Zdania serii 11,12,13,14 są totalnie rozłączne ze zdaniami serii 21,22,23,24
Innymi słowy:
Którekolwiek zdanie z serii 11,12,13,14 nie ma nic wspólnego z którymkolwiek ze zdań 21,22,23,24
Innymi słowy:
Zmienne binarne Y, ~Y, K, ~K z serii zdań 11,12,13,14 nie mają nic wspólnego ze zmiennymi Y, ~Y, K i ~K z serii zdań 21,22,23,24
… mimo identycznych symboli!


4.2.2 Operatory chaosu Y|=p+~p i śmierci Y|=p*~p w przedszkolu

Kompletna definicja operatora chaosu Y|=p+~p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y
Przejście do logiki ujemnej (bo ~) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)

Prawa De Morgana;
3.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
4.
II prawo De Morgana:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
Stąd:
Zdanie zawsze fałszywe (~Y=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)
~Y = p*~p =0 [=] Y=p+~p =1

Pani w przedszkolu:
11.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
11.
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=K+~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Jutro może zajść wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.

.. a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
12.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe (~Y=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0) = (Y=1)
Zdanie zawsze fałszywe (~Y=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)
~Y = K*~K =0 [=] Y=K+~K =1
Zdanie:
Prawdą jest (Y=1) że pani dotrzyma słowa (Y) gdy jutro pójdziemy do lika (K=1) lub nie pójdziemy do kima (~K=1)
Y=K+~K =1
Jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (0) że pani skłamie (~Y) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y = K*~K=0

… a czy może się zdarzyć, że jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru?
13.
I Prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Y = K+~K = ~(K*~K) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = ~(K*~K) = ~(0) =1
14.
II prawo De Morgana:
~Y=~(Y)
~Y=K*~K = ~(K+~K) =0
Pani skłamie (~Y) gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
~Y = ~(K+~K) = ~(1) =0 - nie ma szans na kłamstwo ~Y=1

Zdania 11,12,13,14 są ze sobą w związku matematycznym


Kompletna definicja operatora śmierci Y|=p*~p z uwzględnieniem praw De Morgana:
1.
Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe (Y=0) w logice dodatniej (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Y=p*~p =0 - nie ma szans na prawdę w logice dodatniej (bo Y)
Prawa De Morgana:
3.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = p*~p = ~(p+~p) =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice dodatniej (bo Y)
4.
II prawo De Morgana:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y=p+~p = ~(p*~p) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Y=p*~p =0 - nie ma szans na prawdę w logice dodatniej (bo Y)


Pani w przedszkolu:
21.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0 - zdanie fałszywe w logice dodatniej (bp Y)
Nie ma tu szans na prawdziwość zdania (Y=1)

… a kiedy pani skłamie?
Przejście ze zdaniem 21 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
22.
~Y=K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Nie ma szans na prawdziwość zdania (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)
Czytamy:
22.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Jutro może zajść wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń.
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Nie ma szans na prawdę (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)
23.
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Y = K*~K = ~(K+~K) = ~(1) =0 - nie ma szans na prawdziwość zdania w logice dodatniej (bo Y)

II prawo De Morgana:
24.
~Y=K+~K = ~(K*~K) = ~(0) =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Nie ma szans na prawdę (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)

Seria zdań 21,22,23,24 jest ze sobą w związku matematycznym

Matematycznie zachodzi:
Zdania 11,12,13,14 ## zdania 21,22,23,24
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Innymi słowy:
Zdania serii 11,12,13,14 są totalnie rozłączne ze zdaniami serii 21,22,23,24
Innymi słowy:
Którekolwiek zdanie z serii 11,12,13,14 nie ma nic wspólnego z którymkolwiek ze zdań 21,22,23,24
Innymi słowy:
Zmienne binarne Y, ~Y, K, ~K z serii zdań 11,12,13,14 nie mają nic wspólnego ze zmiennymi Y, ~Y, K i ~K z serii zdań 21,22,23,24
… mimo identycznych symboli!


4.3 Algebra Kubusia vs logika „matematyczna” ziemian

Wstęp do matematyki B, Jan Kraszewski napisał:
Wykład ten jest najprawdopodobniej najtrudniejszym wykładem na pierwszym roku studiów matematycznych, ponieważ treścią zdecydowanie różni się od tego, do czego jego słuchacze przyzwyczaili się podczas lekcji matematyki w szkole średniej

Dlaczego jak słusznie pisze dr. Jan Kraszewski wykłady ze wstępu do matematyki są najtrudniejszym wykładem na pierwszym roku studiów matematycznych?
Bo na tym wykładzie dochodzi do potwornego prania mózgów studentów matematyki z naturalnej logiki matematycznej człowieka, niestety.
Doskonale wyjaśnia to artykuł dr. Marka Kordasa.
[link widoczny dla zalogowanych]
dr. Marek Kordas w powyższym linku napisał:

Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?

Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.

Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
.. .. ..
Powstają dwa pytania.
Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
.. .. ..
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.

Algebra Kubusia jest fundamentalnie inna od logiki „matematycznej” znanej ziemianom. Algebra Kubusia to naturalna logika matematyczna 5-cio latków wyssana z mlekiem matki, nie ma tu zatem mowy o okaleczaniu pojęciowego świata, o czym słusznie pisze dr. Marek Kordas.

Wstęp do algebry Kubsia napisał:

Warunkiem koniecznym zrozumienia poprawnej logiki matematycznej opisującej nasz Wszechświat jest zrozumienie budowy i działania operatorów jednoargumentowych. Kto zrozumie poprawną budowę i działanie operatorów jednoargumentowych automatycznie zrozumie budowę i działanie operatorów dwuargumentowych.

Kluczową w logice matematycznej logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) najłatwiej wytłumaczyć na przykładzie jednoargumentowego operatora transmisji.
Matematyk który nie zrozumie języka matematycznego 5-cio latków na poziomie banalnego operatora transmisji Y|=p nigdy nie zrozumie poprawnej logiki matematycznej - algebry Kubusia.

Operator transmisji, to układ logiczny o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y.
W świecie techniki rzeczywista realizacja operatora transmisji realizowana jest tak:
[link widoczny dla zalogowanych]

Texas Instruments to pionier techniki TTL, od niego wszystko się zaczęło.
Na stronie 7 katalogu mamy podaną funkcję logiczną realizowaną przez bramkę transmisji:

Y=p

Pod tą funkcją widnieje tabela prawdy układu, czyli definicja operatora transmisji.
Kod:

wejście p |Wyjście Y
   p      |  Y
A: 1      | =1
B: 0      | =0

W katalogu zamiast Y=1 jest Y=Hi-z bo to jest wyjście typu otwarty kolektor, po dodaniu zewnętrznego rezystora do Vcc otrzymamy Y=1.
Układ transmitera z rezystorem w środku nie jest produkowany w serii 74LSXX.

Notacja:
1 = prawda
0 = fałsz
„NIE”(~) - symbol przeczenia w naturalnej logice matematycznej człowieka, przedrostek „NIE”

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Tabela prawdy dla tego zdania:
Kod:

wejście K |Wyjście Y
   K      |  Y
A: 1      | =1
B: 0      | =0

Z tabeli zero-jedynkowej odczytujemy:
1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
1A.
Prawdą będzie (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

… a kiedy pani skłamie?
Odczytujemy to dokładnie z tej samej tabeli zero-jedynkowej!
2.
Pani skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (K=0)
Y=0 <=> K=0
Zdanie tożsame:
2A.
Fałszem będzie (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (K=0)
Kolejne zdanie tożsame:
2B.
Prawdą będzie (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (K=0)
(~Y=1) <=> K=0

Znaczenie symboli w logice 5-cio latków:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)

Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
2A = 2B
… o czym wie każdy 5-cio latek z wykluczeniem ziemskich matematyków, niestety.

Stąd mamy jedno z najważniejszych praw matematycznych w algebrze Kubusia.
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)

Oczywiście poprawne jest symetryczne prawo Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)

Wróćmy do naszego zdania 2B.
2B.
Prawdą będzie (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (K=0)
(~Y=1) <=> K=0

Po skorzystaniu z II prawa Prosiaczka dla symbolu K mamy kolejne zdanie tożsame:
2C.
Prawdą będzie (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1) iż jutro nie pójdziemy do kina (~K)
(~Y=1) <=> (~K=1)

Matematyk który nie rozumie tożsamości matematycznej zdań:
2A=2B=2C
powinien skreślić sobie słówko „matematyk” przed swoim nazwiskiem.

Wróćmy do naszej zero-jedynkowej definicji operatora transmisji:
Kod:

Wejście |Wyjście
   K ~K |  Y
A: 1  0 | =1
B: 0  1 | =0
   1  2    3

Tabela AB12 odzwierciedla poznane przed chwilą prawa Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A12: (K=1) = (~K=0)
II prawo Prosiaczka:
B12: (K=0) = (~K=1)
Oczywistym jest, że prawo Prosiaczka obowiązuje nie tylko po stronie wejścia p, ale również po stronie wyjścia Y.
Stąd mamy kolejną wersję tabeli zero-jedynkowej operatora transmisji.
Kod:

Wejście | Wyjście
   K ~K |  Y   ~Y
A: 1  0 | =1   =0
B: 0  1 | =0   =1
   1  2    3    4

W rachunku zero-jedynkowym, o czym wie każdy matematyk, tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
1=3
jest dowodem formalnym tożsamości logicznej:
Y=K
Podobnie, tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
2=4
jest dowodem formalnym tożsamości logicznej:
~Y=~K

Stąd mamy prawie końcową wersję zero-jedynkowej definicji operatora transmisji:
Kod:

Wejście | Wyjście
   K ~K | Y=K  ~Y=~K
A: 1  0 | =1    =0
B: 0  1 | =0    =1
   1  2    3     4

Zauważmy teraz że zdanie 1A dotyczy wyłącznie linii A1234.
1A.
Prawdą będzie (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Nanieśmy to na naszą tabelę prawdy operatora transmisji:
Kod:

Wejście | Wyjście    |Co matematycznie oznacza
   K ~K | Y=K  ~Y=~K |
A: 1  0 | =1    =0   | Y=1<=> K=1
B: 0  1 | =0    =1
   1  2    3     4

Podobnie zdanie 2C dotyczy wyłącznie linii B1234:
2C.
Prawdą będzie (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy prawdą będzie (=1) iż jutro nie pójdziemy do kina (~K)
(~Y=1) <=> (~K=1)
Kod:

Wejście | Wyjście    |Co matematycznie oznacza
   K ~K | Y=K  ~Y=~K |
A: 1  0 | =1    =0   | Y=1<=> K=1
B: 0  1 | =0    =1   |~Y=1<=>~K=1
   1  2    3     4

Wróćmy do naszej pani przedszkolanki i przeanalizujmy jej dialog z ekspertami matematyki, 5-cio latkami, z wykorzystaniem praw Prosiaczka.

Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą będzie (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a kiedy pani skłamie?
Jaś:
Oj ty goopia babo, takich banałów matematycznych nie wiesz?
Negujemy równanie logiczne 1 stronami i po bólu!
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
stąd mamy:
2.
Prawdą będzie (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Przedstawmy dialog pani przedszkolanki z 5-cio latkami w formie tabeli prawdy.
Kod:

Definicja            |Definicja symboliczna     |Co matematycznie oznacza
zero-jedynkowa       |operatora transmisji Y|=K |
operatora transmisji |w równaniach logicznych   |
Y|=K                 |Y=K i ~Y=~K               |           
Wejście | Wyjście    |                          |
   K ~K | Y=K  ~Y=~K |                          |
A: 1  0 | =1    =0   | Y= K                     | Y=1<=> K=1
B: 0  1 | =0    =1   |~Y=~K                     |~Y=1<=>~K=1
   1  2    3     4

Wnioski:
I.
Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y|=K to tabela zero-jedynkowa AB13
II.
Symboliczna definicja operatora transmisji Y|=K to układ równań logicznych, zwanych funkcjami logicznymi Y i ~Y:
1.
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
2.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
III.
„Funkcja logiczna transmisji” i „operator transmisji” to dwa różne pojęcia, dlatego muszą tu istnieć dwa różne znaczki „=” i „|=”.
Zauważmy, że argument ma wyłącznie „funkcja logiczna transmisji”:
Y=K
natomiast operator transmisji Y|=p nie ma argumentu, bowiem operator transmisji to układ równań funkcji logicznych Y i ~Y.

Język mówiony człowieka ma te piękną cechę że przekłada się na algebrę Kubusia w przełożeniu 1:1 czyli, jak mówimy tak matematycznie zapisujemy - bez żadnych wyjątków.
W dialogu pani przedszkolanki z 5-cio latkami wystarczy zatem zamienić parametr aktualny:
K=kino
na parametr formalny p (zwyczajowo) i już mamy piękny, formalny opis matematyczny operatora transmisji Y|=p.
Ciekawe ile wody w Wiśle upłynie, zanim ziemscy matematycy załapią te nieprawdopodobne banały matematyczne na poziomie 5-cio latka wyłożone w tym wstępie?

Podsumowanie:
Matematyk który nie zrozumie pani przedszkolanki na poziomie banalnego operatora transmisji Y|=p nigdy nie zrozumie poprawnej logiki matematycznej pod która podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy - algebry Kubusia.

Co myślą współcześni matematycy o algebrze Kubusia?
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/agent-tomek,9907.html#332489
idiota - matematyk, absolwent filozofii napisał:
Wszyscy co zetknęli się kiedykolwiek z twoją chorobą wiedzą, że to nie jest ani teoria, ani algebra, ani nic z logiką wspólnego nie ma...
Uproszczone sudoku stworzyłeś.


Cytat:
Błędy nauki
Autor: Luc Bürgin

Ludzie mają widocznie skłonność do przedwczesnego i negatywnego oceniania perspektyw rozwojowych pewnych dziedzin nauki. Niektóre rewolucyjne odkrycia lub idee przez lata bojkotowano i zwalczano tylko dlatego, że dogmatycznie nastawieni luminarze nauki nie umieli odrzucić swych ulubionych, choć przestarzałych i skostniałych idei i przekonań. Jednym słowem: „Niemożliwe!" hamowali postęp nauki, a przykładami można dosłownie sypać jak z rękawa:

• Gdy w XVIII wieku Antoine-Laurem de Lavoisier zaprzeczył istnieniu „flogistonu" – nieważkiej substancji, która wydziela się w trakcie procesu spalania i w którą wierzyli wszyscy ówcześni chemicy – i po raz pierwszy sformułował teorię utleniania, świat nauki zatrząsł się z oburzenia. „Observations sur la Physique", czołowy francuski magazyn naukowy, wytoczył przeciwko Lavoisierowi najcięższe działa, a poglądy uczonego upowszechniły się dopiero po zażartych walkach.

Odkrycie Lavoisera to mały pikuś w stosunku do odkrycia logiki matematycznej rządzącej naszym Wszechświatem.

Pewne jest jedno:
Jeśli ziemscy matematycy zrozumieją i zaakceptują logikę matematyczną 5-cio latków, algebrę Kubusia, to po wsze czasy będzie to największe odkrycie w dziejach ludzkości.
W przypadku algebry Kubusia nie ma szans na żadne zażarte i wiekowe walki między matematykami, wystarczy że kilku znaczących autorytetów logiki matematycznej zrozumie algebrę Kubusia i po bólu.
Rewolucja będzie straszna, a śmierć starej logiki "matematycznej" ziemian nagła i bezbolesna - w ciągu dosłownie kilku miesięcy wszelkie matematyczne podręczniki do gównianej logiki "matematycznej" ziemian spłoną na stosie - na nic więcej nie zasługują.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 7:30, 27 Lip 2017, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22445
Przeczytał: 34 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 8:31, 03 Lip 2017    Temat postu:

Operatory jednoargumentowe w zbiorach

Spis treści
5.0 Operatory jednoargumentowe w zbiorach 1
5.1 Definicje operatorów jednoargumentowych w zbiorach 1
5.1.1 Operator transmisji Y|=p 4
5.1.2 Operator negacji Y|=~p 8
5.1.3 Operator chaosu Y|=p+~p 12
5.1.4 Operator śmierci Y|=p+~p 16
5.2 Tabela prawdy operatorów jednoargumentowych 19
5.3 Prawo Rekina 21


5.0 Operatory jednoargumentowe w zbiorach

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Definicja dziedziny
Dziedzina to dowolnie zadeklarowany zbiór na którym pracujemy, wszystko co jest poza dziedziną jest zbiorem pustym z definicji

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=[1,2] =1 - zbiór niepusty, istnieje - możemy pokazać co najmniej jeden element zbioru
p=[] =0 - zbiór pusty, nie istnieje - nie możemy pokazać choćby jednego elementu zbioru


5.1 Definicje operatorów jednoargumentowych w zbiorach

Definicja funkcji logicznej w zbiorach:
Funkcja logiczna Y to przypisanie zmiennej Y do dowolnego zbioru lub do sumy zbiorów rozłącznych dostępnych w dziedzinie.
Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p znajomość funkcji logicznej Y determinuje znajomość funkcji logicznej ~Y (i odwrotnie)

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to układ równań funkcji logicznych Y i ~Y opisujący wszystkie możliwe podzbiory rozłączne w obrębie dziedziny.
Y = f(p,q,r..)
~Y= ~f(p,q,r..)
Matematycznie zachodzi:
Y+~Y = D =1
Y*~Y =[] =0

Przykład:
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy stronami:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Sprawdzenie dziedziny:
D = Y+~Y = (p+q)+~(p+q) =1
[] = Y*~Y = (p+q)*~(p+q) =0
cnd

Matematycznie zachodzi:
Funkcja logiczna to dowolne z równań Y albo ~Y ## Operator logiczny to układ równań Y i ~Y

Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenie tego pojęcia ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p) = 1*1 =1

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że każdy zbiór x w obrębie rozpatrywanej dziedziny musi mieć swoje niepuste zaprzeczenie ~x będące uzupełnieniem do dziedziny.
Stąd mamy:
x+~x = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)
x*~x = [] =0 - zbiór pusty, bo zbiory x i ~x są rozłączne

Definicja zbioru jednoargumentowego p:
Zbiór jednoargumentowy p to jeden i tylko jeden zbiór p w obrębie wybranej dziedziny, który na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p musi mieć swoje niepuste zaprzeczenie ~p.




Definicja funkcji logicznej w zbiorach:
Funkcja logiczna Y to przypisanie zmiennej Y do dowolnego zbioru lub do sumy zbiorów rozłącznych dostępnych w dziedzinie.
Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p znajomość funkcji logicznej Y determinuje znajomość funkcji logicznej ~Y (i odwrotnie)

W zbiorach zachodzi tu:
p+~p =D =1 - zbiór pełny, zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Z powyższego wynika że:
I.
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
II.
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)

Definicja operatora logicznego w zbiorach:
Operator logiczny to układ równań logicznych Y i ~Y opisujący wszystkie możliwe podzbiory rozłączne w obrębie dziedziny.

Dla operatora jednoargumentowego możliwości mamy cztery i tylko cztery.
I.
Operator transmisji Y|=p:

1: Y=p
2: ~Y=~p
II.
Operator negacji Y|=~p:

1: Y=~p
2: ~Y=p
III.
Operator chaosu Y|=p+~p:

1: Y=p+~p
2: ~Y=p*~p
IV.
Operator śmierci Y|=p*~p:

1: Y=p*~p
2: ~Y=p+~p

Notacja:
Pojęcie „funkcja logiczna transmisji” oznaczamy znakiem tożsamości „=”:
Funkcja logiczna to dowolne z równań Y albo ~Y
1. Y=p
2. ~Y=~p
Pojęcie „operator transmisji” oznaczamy znakiem „|=”:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych:
1. Y=p
2. ~Y=~p

„Funkcja logiczna transmisji” i „operator transmisji” to dwa różne pojęcia, dlatego muszą tu istnieć dwa różne znaczki „=” i „|=”.
Zauważmy, że argument ma wyłącznie „funkcja logiczna transmisji”:
Y=p
natomiast operator transmisji Y|=p nie ma argumentu, bowiem operator transmisji to układ równań funkcji logicznych Y i ~Y.


5.1.1 Operator transmisji Y|=p




W operatorze transmisji Y|=p funkcję logiczną Y przypisujemy zbiorowi p.
Determinuje to przypisanie funkcji logicznej ~Y zbiorowi ~p bowiem jest on dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p.
p+~p = D =1 - bo zbiór wynikowy jest niepusty
p*~p = [] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Operator transmisji Y|=p definiuje układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1. Y=p
2. ~Y=~p
Natomiast funkcja logiczna transmisji Y=p lub ~Y=~p definiuje pojedyńcze równanie wchodzące w skład operatora transmisji Y|=p.
Musimy tu zatem wprowadzić dwa różne znaczki „|=” i „=”:
a)
Jeśli chcemy zapisać operator transmisji Y|=p (układ równań Y i ~Y) to przed znakiem tożsamości stawiamy pionową kreskę „|=”.
Y|=p
Co determinuje układ równań:
1. Y=p
2. ~Y=~p
b)
Jeśli chcemy zapisać funkcję logiczną Y albo ~Y wchodzącą w skład operatora transmisji Y|=p to sygnalizujemy to gołym znakiem tożsamości „=”.
Y=p lub ~Y=~p

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator transmisji Y|=p  ## Funkcja logiczna transmisji Y=p albo ~Y=~p
układ równań Y=p i ~Y=~p  ## pojedyńcze równanie logiczne Y=p albo ~Y=~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

I.
Operator transmisji Y|=p:

Operator transmisji Y|=p to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1.
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo zbiór p istnieje i jest niepusty.
… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy stronami:
2.
~Y = ~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo zbiór ~p istnieje i jest niepusty

Stąd mamy:
Kod:

T1 - transmisja
Symboliczna definicja operatora transmisji Y|=p
Definicja   |Co matematycznie oznacza
symboliczna |
A: Y= p     | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p     |~Y=1<=>~p=1
   a  b       c      d

Kod:

T2 - transmisja
Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y|=p
Definicja   |Co matematycznie |Definicja zero-jedynkowa operatora Y|=p           
symboliczna |oznacza          |Wejście| Wyjście [Y,~Y]
            |                 |[p,~p] |             Y=~(~Y) ~Y=~(Y)
            |                 | p ~p  | Y=p  ~Y=~p  Y=~(~p) ~Y=~(p)
A: Y= p     | Y=1<=> p=1      | 1  0  | =1     =0    =1       =0
B:~Y=~p     |~Y=1<=>~p=1      | 0  1  | =0     =1    =0       =1
   a  b       c      d          1  2     3      4     5        6
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)

W tabeli AB12 mamy zapisane prawa Prosiaczka, będące w istocie prawem rozpoznawalności pojęcia p
I prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Jeśli wiem że p=1 to na pewno => wiem że ~p=0 (i odwrotnie)
(p=1) <=> (~p=0) = [(p=1) => (~p=0)]*[(~p=0)=>(p=1)]
Równoważność <=> w logice ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej „=” stąd:
I prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)

II prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Jeśli wiem że p=0 to na pewno => wiem że ~p=1 (i odwrotnie)
(p=0) <=> (~p=1) = [(p=0) => (~p=1)]*[(~p=1)=>(p=0)]
Równoważność <=> w logice ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej „=” stąd:
II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)

Tożsamość zero-jedynkowa kolumn AB3 i AB5 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y|=p to kompletna tabela zero-jedynkowa AB123456 opisana układem równań logicznych:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Legenda:
Y=p
Y - logika dodatnia (bo Y)
Y=p - symbolicznie: linia Aab, zero-jedynkowo: linia A123, znaczenie: linia Acd
Wniosek:
Nagłówek kolumny 3:
Y=p
Dotyczy wyłącznie jednej linii z definicji symbolicznej:
Aab: Y=p

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1
Legenda:
~Y=~p
~Y - logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p - symbolicznie: linia Bab, zero-jedynkowo: linia B124, znaczenie: linia Bcd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 4:
~Y=~p
Dotyczy wyłącznie jednej linii definicji symbolicznej:
Bab: ~Y=~p

I Prawo De Morgana dla operatora transmisji:
1: Y=p
2: ~Y=~p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p zwane prawem podwójnego przeczenia.
Y = p = ~(~p)
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB3=AB5.

II Prawo De Morgana dla operatora transmisji:
1: Y=p
2: ~Y=~p
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla jednej zmiennej p
~Y= p= ~(p)
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB4=AB6.

Kluczowym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na poprawny matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Podsumowanie:
1.
Symboliczna definicja operatora transmisji to tabela symboliczna ABab o znaczeniu przedstawionym w obszarze ABcd.
Innymi słowy:
Symboliczna definicja operatora transmisji Y|=p to układ równań logicznych:
Aab: Y=p
co matematycznie oznacza:
Acd: Y=1 <=> p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie stronami:
Bab: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
Bcd: ~Y=1 <=> ~p=1
2.
Zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora transmisji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB123456, uwzględniająca sygnały wejściowe p i ~p, oraz sygnały wyjściowe Y i ~Y.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1
czytamy:
1.
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
2.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa ~Y)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina

… a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy:
Y = K = ~(~K)
stąd:
3.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K = ~(~K)
Poprawne iterowanie wynika tu z prawa Prosiaczka:
(K=1) = (~K=0)
Stąd:
Y = 1 = ~(0) = 1

II prawo De Morgana umożliwia nam alternatywną odpowiedź na pytanie kiedy pani skłamie (~Y=1)
~Y=~(Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy:
~Y = ~K = ~(K)
stąd:
4.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina K
~Y = ~K = ~(K)
Prawo Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
stąd poprawne iterowanie:
~Y = 1 = ~(0) =1


5.1.2 Operator negacji Y|=~p




W operatorze negacji Y|=~p funkcję logiczną Y przypisujemy zbiorowi ~p.
Determinuje to przypisanie funkcji logicznej ~Y zbiorowi p bowiem jest on dopełnieniem do dziedziny dla zbioru ~p.
p+~p = D =1 - bo zbiór wynikowy jest niepusty
p*~p = [] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Operator negacji Y|=~p definiuje układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1. Y=~p
2. ~Y=p
Natomiast funkcja logiczna negacji Y=p lub ~Y=~p definiuje pojedyńcze równanie wchodzące w skład operatora negacji Y|=~p.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator negacji Y|=~p    ## Funkcja logiczna negacji Y=~p albo ~Y=p
układ równań Y=p i ~Y=~p  ## pojedyńcze równanie logiczne Y=p albo ~Y=~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

II.
Operator negacji Y|=~p:

Operator negacji Y|=~p to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1.
Y = ~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo zbiór ~p istnieje i jest niepusty.
… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy stronami:
2.
~Y = p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo zbiór p istnieje i jest niepusty

Stąd mamy:
Kod:

T1 - negacja
Symboliczna definicja operatora negacji Y|=~p
Definicja   |Co matematycznie oznacza
symboliczna |
A:~Y= p     |~Y=1<=> p=1
B: Y=~p     | Y=1<=>~p=1
   a  b       c      d

Kod:

T2 - negacja
Zero-jedynkowa definicja operatora negacji Y|=~p
Definicja   |Co matematycznie |Definicja zero-jedynkowa operatora Y|=~p           
symboliczna |oznacza          |Wejście| Wyjście [Y,~Y]
            |                 |[p,~p] |            ~Y=~(Y)   Y=~(~Y)
            |                 | p ~p  |~Y=p   Y=~p ~Y=~(~p)  Y=~(p)
A:~Y= p     |~Y=1<=> p=1      | 1  0  | =1     =0    =1       =0
B: Y=~p     | Y=1<=>~p=1      | 0  1  | =0     =1    =0       =1
   a  b       c      d          1  2     3      4     5        6
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)

Najprościej utworzyć tabelę prawdy operatora negacji Y|=~p negując w tabeli transmisji Y|=p wyłącznie symbol Y, co właśnie zrobiono.

Tożsamość zero-jedynkowa kolumn AB3 i AB5 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Zero-jedynkowa definicja operatora negacji Y|=~p to kompletna tabela zero-jedynkowa AB123456 opisana układem równań logicznych:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Legenda:
Y=~p
Y - logika dodatnia (bo Y)
Y=~p - symbolicznie: linia Bab, zero-jedynkowo: linia A124, znaczenie: linia Bcd
Wniosek:
Nagłówek kolumny 4:
Y=~p
Dotyczy wyłącznie jednej linii z definicji symbolicznej:
Bab: Y=~p

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>p=1
Legenda:
~Y=p
~Y - logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p - symbolicznie: linia Aab, zero-jedynkowo: linia A123, znaczenie: linia Acd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 3:
~Y=p
Dotyczy wyłącznie jednej linii definicji symbolicznej:
Aab: ~Y=p

I Prawo De Morgana dla operatora negacji Y|=~p:
1: Y=~p
2: ~Y=p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p:
Y = ~p = ~(p)
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB4=AB6.

II Prawo De Morgana dla operatora negacji Y|=~p:
1: Y=~p
2: ~Y=p
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla jednej zmiennej p będące w istocie prawem podwójnego przeczenia:
~Y=p = ~(~p)
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB3=AB5.

Kluczowym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na poprawny matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~K=1
czytamy:
1.
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~K=1

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
2.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1

Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa ~Y)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina

… a czy może się zdarzyć że jutro pójdziemy do kina?
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy:
Y = ~K = ~(K)
stąd:
3.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K)
Y = ~K = ~(K)
Poprawne iterowanie wynika tu z prawa Prosiaczka:
(~K=1) = (K=0)
Stąd:
Y = 1 = ~(0) = 1

II prawo De Morgana umożliwia nam alternatywną odpowiedź na pytanie kiedy pani skłamie (~Y=1)
~Y = ~(Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy:
~Y = K = ~(~K)
stąd:
4.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y = K = ~(~K)
Poprawne iterowanie wynika tu z prawa Prosiaczka:
(K=1) = (~K=0)
stąd:
~Y = 1 = ~(0) =1


5.1.3 Operator chaosu Y|=p+~p




W operatorze chaosu Y|=p+~p funkcję logiczną Y przypisujemy dziedzinie p+~p.
Determinuje to przypisanie funkcji logicznej ~Y zbiorowi pustemu bo:
Y=p+~p =D =1 - bo zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*~p =[] =0 - o zbiory p i ~p są rozłączne

Operator chaosu Y|=p+~p definiuje układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1. Y=p+~p
2. ~Y=p*~p
Natomiast funkcja logiczna chaosu Y=p+~p lub ~Y=p*~p definiuje pojedyńcze równanie wchodzące w skład operatora chaosu Y|=p+~p.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator chaosu Y|=p+~p       ## Funkcja chaosu Y=p+~p albo ~Y=p*~p
układ równań Y=p+~p i ~Y=p*~p ## jedno z równań Y=p+~p albo ~Y=p*~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

III.
Operator chaosu Y|=p+~p:

Operator chaosu Y|=p+~p to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1.
Y = p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy stronami:
2.
~Y = p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze fałszywym (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)

Stąd mamy:
Kod:

T1 - chaos
Symboliczna definicja operatora chaosu Y|=p+~p
Definicja         |Co matematycznie oznacza
symboliczna       |
A: Y= p+~p =D =1  | Y=1<=> p=1 lub ~p=1
B:~Y= p*~p =[]=0  |~Y=0<=> p=1 i ~p=1 - oba zbiory p i ~p istnieją (=1)
                  |                     ale są rozłączne, stąd ~Y=0
   a  b             c      d
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)

Kod:

T2 - chaos
Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu Y|=p+~p
Definicja   |Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu Y|=p+~p           
symboliczna |Wejście| Wyjście [Y,~Y]
            |[p,~p] |                 Y=~(~Y)   ~Y=~(Y)
            | p ~p  | Y=p+~p ~Y=p*~p  Y=~(p*~p) ~Y=~(p+~p)
A: Y=p+~p =1| 1  0  |  =1      =0      =1         =0
B:~Y=p*~p =0| 0  1  |  =1      =0      =1         =0
   a  b       1  2      3       4       5          6

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu Y|=p+~p to kompletna tabela zero-jedynkowa AB123456 opisana układem równań logicznych:
1.
Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze fałszywym (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)

I Prawo De Morgana dla operatora chaosu Y|=p+~p:
1: Y=p+~p
2: ~Y=p*~p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p:
Y = p+~p = ~(p*~p) =1
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB3=AB5.

II Prawo De Morgana dla operatora negacji Y|=p+~p:
1: Y=p+~p
2: ~Y=p*~p
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla p+~p:
~Y=p*~p = ~(p+~p) =0
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB4=AB6.

Kluczowym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na poprawny matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1 lub ~K=1
czytamy:
1.
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1 lub ~K=1

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
2.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice ujemnej bo ~Y
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze fałszywym (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)

… a czy może się zdarzyć że jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina?
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy:
Y =K+~K = ~(K*~K)
stąd:
3.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K = ~(K*~K) =1 - zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y)
Nie ma tu szans na kłamstwo (Y=0)
Prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
Y = K+~K =1 [=] ~Y=K*~K =0
Zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze fałszywym (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)

Jutro zdarzenie K+~K na 100% zajdzie, czyli:
K+~K=1
Stąd iterowanie:
~Y = K+~K = ~(K*~K)
~Y = 1 = ~(0) =1

II prawo De Morgana umożliwia nam alternatywną odpowiedź na pytanie kiedy pani skłamie (~Y=1)
~Y = ~(Y)
po podstawieniu 1 i 2 mamy:
~Y = K*~K = ~(K+~K)
stąd:
4.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
~Y = K*~K = ~(K+~K) =0 - zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
~Y=K*~K=0 [=] Y=K+~K =1
Zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (=1) w logice dodatniej (bo Y)

Jutro zdarzenie K+~K na 100% zajdzie, czyli:
K+~K=1
Stąd iterowanie:
~Y = K*~K = ~(K+~K)
~Y = 0 = ~(1) =0


5.1.4 Operator śmierci Y|=p+~p




W operatorze śmierci Y|=p*~p funkcję logiczną Y przypisujemy zbiorowi pustemu p*~p.
Y = p*~p =[] =0 - o zbiory p i ~p są rozłączne
Determinuje to przypisanie funkcji logicznej ~Y dziedzinie bo:
~Y=p+~p =D =1 - bo zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p

Operator śmierci Y|=p*~p definiuje układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1.~Y=p+~p
2. Y=p*~p
Natomiast funkcja logiczna śmierci Y=p*~p lub ~Y=p+~p definiuje pojedyńcze równanie wchodzące w skład operatora śmierci Y|=p*~p.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator śmierci Y|=p*~p      ## Funkcja śmierci Y=p*~p albo ~Y=p+~p
układ równań Y=p*~p i ~Y=p+~p ## jedno z równań Y=p*~p albo ~Y=p+~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

IV.
Operator śmierci Y|=p*~p:

Operator śmierci Y|=p*~p to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
1.
Y = p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice dodatniej (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy stronami:
2.
~Y = p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)

Stąd mamy:
Kod:

T1 - śmierć
Symboliczna definicja operatora śmierci Y|=p*~p
Definicja         |Co matematycznie oznacza
symboliczna       |
A:~Y= p+~p =D =1  |~Y=1<=> p=1 lub ~p=1
B: Y= p*~p =[]=0  | Y=0<=> p=1 i ~p=1
   a  b             c      d

Kod:

T2 - śmierć
Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci Y|=p*~p
Definicja   |Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci Y|=p*~p           
symboliczna |Wejście| Wyjście [Y,~Y]
            |[p,~p] |                ~Y=~(Y)     Y=~(~Y)
            | p ~p  |~Y=p+~p  Y=p*~p ~Y=~(p*~p)  Y=~(p+~p)
A:~Y=p+~p =1| 1  0  |  =1      =0      =1         =0
B: Y=p*~p =0| 0  1  |  =1      =0      =1         =0
   a  b       1  2      3       4       5          6

Najprostszą metodą utworzenia poprawnej tabeli prawdy dla operatora śmierci Y|=p*~p jest zanegowanie symbolu Y w operatorze chaosu Y|=p+~p, co właśnie zrobiono.

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci Y|=p*~p to kompletna tabela zero-jedynkowa AB123456 opisana układem równań logicznych:
1.
Y=p*~p =0 - zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice dodatniej (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p+~p =1 - zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo Prosiaczka:
(Y=0)=(~Y=1)
Zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)

I Prawo De Morgana dla operatora śmierci Y|=p*~p:
1: ~Y=p+~p
2: Y=p*~p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy I prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p:
Y = p*~p = ~(p+~p) =0
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB4=AB6.

II Prawo De Morgana dla operatora śmierci Y|=p*~p:
1: ~Y=p+~p
2: Y=p*~p
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy II prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla p+~p:
~Y=p+~p = ~(p*~p) =1
Zero-jedynkowym dowodem formalnym jest tu tożsamość kolumn AB3=AB5.

Kluczowym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na poprawny matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe =0 w logice dodatniej (bo Y)
Nie ma tu szans na prawdę (Y=1) w logice dodatniej (bo Y)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 dwustronnie:
2.
~Y=K+~K =1
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=K+~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Jutro jedno ze zdarzeń K=1 lub ~K=1 musi zajść, zatem pani jest tu kłamcą absolutnym, bez szans na to by była osobą prawdomówną.
Prawo Prosiaczka:
(Y=0)=(~Y=1)
Zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)

3.
… a czy może się zdarzyć że jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina?
I prawo De Morgana:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y =K*~K = ~(K+~K) =0
Fałszem jest (=0) że nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Sytuacja K+~K na 100% się zdarzy (=1)
stąd poprawne iterowanie:
Y = 0 = ~(1) =0

Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Y = K*~K=0 [=] ~Y=K+~K =1
Zdanie zawsze fałszywe (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze prawdziwym (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)

4.
II prawo De Morgana umożliwia nam alternatywną odpowiedź na pytanie kiedy pani skłamie (~Y=1)
~Y = ~(Y)
Po podstawieniu 1 i 2 mamy:
~Y = K+~K = ~(K*~K) =1
stąd:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…) że jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
~Y = K+~K = ~(K*~K) =1 - zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
Sytuacja K*~K na 100% się nie zdarzy (=0)
stąd poprawne iterowanie:
~Y = 1 = ~(0) =1

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1)=(Y=0)
~Y=K+~K =1 [=] Y = K*~K =0
Zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsame ze zdaniem zawsze fałszywym (=0) w logice dodatniej (bo Y)


5.2 Tabela prawdy operatorów jednoargumentowych

Zapiszmy nasze rozważania na temat operatorów jednoargumentowych w zbiorach w postaci tabeli prawdy, czyli zestawienia wszystkich możliwych operatorów.
Kod:

TO - tabela operatorów jednoargumentowych
Jednoargumentowe operatory logiczne
Wejście ||Operator   |Operator   |Operator        |Operator
        ||Transmisji |Negacji    |Chaosu          |Śmierci
        ||Y|=p       |Y|=~p      |Y|=p+~p =1      |Y|=p*~p =0
   p ~p || Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 ||  1    0   |  0     1  |  1       0     |  0       1
B: 0  1 ||  0    1   |  1     0  |  1       0     |  0       1
   1  2     3    4      5     6     7       8        9       0

Zauważmy, że w tabeli operatorów TO załamuje się klasyczny rachunek zero-jedynkowy.
Przykładowo tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
AB3 = AB6
w klasycznym rachunku zero-jedynkowym jest dowodem tożsamości matematycznej funkcji logicznej z nagłówków kolumn, czyli:
AB3: Y=p [=] AB6: ~Y=p
Matematycznie zachodzi oczywiście:
AB3: Y=p ## AB6: ~Y=p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwaga:
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy działa pięknie tylko i wyłącznie w obrębie każdej z funkcji ## różnej na mocy definicji.

stąd mamy:
Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie funkcje logiczne Ya i Yb są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
(Ya [=] Yb) =0
(Ya [=] ~Yb) =0
Stąd mamy równanie logiczne definiujące znaczek ## różne na mocy definicji:
Ya ## Yb = ~(Ya[=]Yb)*~(Ya[=]~Yb) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Sprawdzamy nasze funkcje AB3 i AB6:
Y=p ## ~Y=p = ~(Y=p[=]~Y=p)*~(Y=p [=] Y=~p) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1
Wniosek:
Funkcje logiczne AB3 i AB6 są różne na mocy definicji
cnd

Sprawdźmy kontrolnie funkcje logiczne AB3 i AB4:
Y=p ## ~Y=~p = ~(Y=p [=] ~Y=~p)*~(Y=p [=] Y=p) = ~(0)*~(1) = 1*0 =0
cnd
Wniosek:
Funkcje logiczne Y=p i ~Y=~p nie są różne na mocy definicji - jedna jest zaprzeczeniem drugiej
Y = ~(~Y) = ~(~p) = p
~Y = ~(Y) = ~(p) = ~p

Z powyższego wynika, że w tabeli operatorów TO zachodzi różność na mocy definicji wyłącznie w równaniach logicznych:
AB3: Y=p # AB4: ~Y=~p ## AB5: Y=~p # AB6=~Y=p ## AB7: Y=1 # AB8: ~Y=0 ## AB9: Y=0 # AB0: ~Y=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
oraz:
# - różne w znaczeniu iż funkcja ~Y jest negacją funkcji Y

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y)

Na mocy tabeli operatorów TO mamy.
Definicja operatora transmisji Y|=q:
AB3: Y=p
AB4: ~Y=~p
Definicja operatora negacji Y|=~p:
AB5: Y=~p
AB6: ~Y=p
Definicja operatora chaosu Y|=p+~p:
AB7: Y=p+~p =1
AB8:~Y=p*~p =0
Definicja operatora śmierci Y|=p*~p:
AB9: Y=p*~p =0
AB0: ~Y=p+~p =1

Na mocy definicji zachodzi:
Funkcja logiczna Y=f(x) ## Operator logiczny Y|=f(x)
gdzie:
## - różne na mocy definicji


5.3 Prawo Rekina

Podsumujmy nasze rozważania na temat operatorów jednoargumentowych w zbiorach.



I.
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi ~p to mamy układ równań opisujący operator negacji Y|=~p:
Y=~p
~Y=p
D=Y+~Y = p+~p
II.
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi ~p to mamy układ równań opisujący operator negacji Y|=~p:
Y=~p
~Y=p
D=Y+~Y = p+~p
III.
Jeśli funkcji logicznej Y przypiszemy dziedzinę (zbiór pełny) to mamy operator chaosu Y|=p+~p opisany układem równań:
Y=p+~p
~Y=p*~p
D = Y+~Y = p+~p + p*~p = p+~p+[] = p+~p
IV.
Jeśli funkcję logiczną Y przypiszemy zaprzeczeniu dziedziny (zbiór pusty) to mamy operator śmierci Y|=p*~p opisany równaniem:
Y=p*~p
~Y=p+~p
D = Y+~Y = p*~p + p+~p = [] +p+~p = p+~p

Zauważmy, że niezależnie od operatora jednoargumentowego dziedzina dla wszystkich operatorów logicznych jest stała i niezmienna opisana równaniem:
D = Y+~Y
D= p+~q =1

Przykład 1.
Zajmijmy się teraz najprostszą algebrą zbiorów:
Y1 = p + p*p
Minimalizujemy to równanie w sposób trochę nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*p
Y3 = p*(D + p)
Y4 = p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 2.
Zapiszmy teraz takie równanie:
Y1 = p + p*~p
To równanie minimalizujemy również w sposób nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*~p
Y3 = p*(D+~p)
Y4= p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia.

Podsumowanie:
Doskonale widać, że wspólną dziedziną dla wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych, stałą i niezmienną, jest funkcja logiczna opisująca operator chaosu mająca same jedynki w kolumnie wynikowej Y:
Y = D = p+~p
Nasz wniosek można uogólnić.

Prawo wspólnej dziedziny:
Wspólną dziedziną dla operatora n-argumentowego będzie funkcja logiczna opisująca n-argumentowy operator chaosu, czyli z samymi jedynkami w wyniku.

Dwuargumentowy operator chaosu |~~> w zbiorach:


Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p~~>q = p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Dziedzina w operatorach dwuargumentowych to suma logiczna zbiorów rozłącznych A,B,C i D uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q

Zapiszmy wspólną dziedzinę dla absolutnie wszystkich operatorów dwuargumentowych:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja |Funkcje cząstkowe |Co matematycznie oznacza
operatora chaosu p|~~>q  |operatora chaosu  |
   p  q ~p ~q  Y=?       |                  |
A: 1  1  0  0   =1       | Ya= p* q         | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1   =1       | Yb= p*~q         | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0   =1       | Yc=~p* q         | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1   =1       | Yd=~p*~q         | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1

Stąd mamy dziedzinę identyczną dla wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych będącą na mocy definicji 2-argumentowym operatorem chaosu p|~~>q.
D = Y = Ya+Yb+Yc+~Yd
Po podstawieniu funkcji cząstkowych mamy:
D = Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*q

Dowód iż matematycznie jest tu wszystko w porządku:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~q =1
cnd

Rozważmy teraz przykłady analogiczne do przykładów z operatora jednoargumentowego.

Przykład 3.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 4.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*~q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*~q
Y3 = p*(D+~q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Podsumowanie:
Weźmy jeszcze raz przykład 3 (dwuargumentowy).
Y1 = p + p*q
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)

STOP!
Doskonale widać, że w tym momencie nie ma znaczenia co podstawimy pod q.
Może być to dowolna funkcja logiczna, nawet nieskończona typu:
q = r*s+~s*t + u*w*~v … itd. do nieskończoności.

Prawo Rekina:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności algebry zbiorów (czyli logiki matematycznej) jest przynależność wszystkich zmiennych w dowolnym równaniu zbiorów (= równaniu logicznym) do tej samej dziedziny D.

Z prawa Rekina wynika, że nie może być tak, iż jakakolwiek zmienna w równaniu algebry zbiorów (=w równaniu logicznym) wychodzi poza dziedzinę obowiązującą dla tego równania.
Gdyby taki przypadek zaistniał to algebra zbiorów (=równanie logiczne) leży w gruzach - co oczywiście być nie może.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 7:32, 27 Lip 2017, w całości zmieniany 36 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin