 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39777
Przeczytał: 11 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 10:39, 20 Lut 2023 Temat postu: Smieci |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
12.0 Algebra Boole’a w świecie martwym - teoria zbiorów
Spis treści
12.0 Algebra Boole’a w świecie martwym - teoria zbiorów 1
12.1 Podstawowe spójniki implikacyjne 3
12.1.1 Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q 4
12.1.2 Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q 5
12.1.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 5
12.1.4 Podstawowa definicja chaosu p|~~>q 5
12.1.5 Prawo Puchacza 5
12.1.6 Wyjątkowość spójnika „albo”($) 5
12.1.7 Definicja zdania startowego 6
12.1.8 Prawo Kłapouchego 6
12.2 Definicja zdjęcia układu w zbiorach 6
12.2.1 Algorytm zdjęciowy w zbiorach 8
12.3 Prawo Orła 8
12.4 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 9
12.4.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 15
12.4.2 Algorytm zdjęciowy definiujący operator implikacji prostej P8||=>P2 17
12.4.3 Prawo Orła definiujące operator implikacji prostej P8||=>P2 20
12.4.4 Prawo Kubusia zastosowane do relacji podzbioru p=>q 20
12.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 21
12.5.1 Zdanie W1: P8~~>P2 21
12.5.2 Zdanie W2: P8=>P2 22
12.5.3 Zdanie W3: P8~~>~P2 23
12.5.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2 23
12.5.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2 24
12.5.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2 25
12.5.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2 26
12.0 Algebra Boole’a w świecie martwym - teoria zbiorów
Typowe zadanie z logiki matematycznej w algebrze Kubusia brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego p|?q wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
W logice matematycznej istnieją co najmniej trzy tożsame sposoby rozwiązywania tego typu zadań:
- algorytm Puchacza, dotychczas przez nas stosowany (2.11)
- algorytm zdjęciowy (12.2.1)
- algorytm Orła, zbudowany na bazie prawa Orła (12.3)
Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Wniosek:
Algebra Boole’a z definicji nie widzi ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~>, to jest niezaprzeczalny fakt.
ALE!
W aktualnej logice matematycznej istnieje pojęcie kwantyfikatora małego \/x potrzebne ~> i wystarczające => do wszelkich rozstrzygnięć w temacie poprawnej, matematycznej obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (2.2.1) lub elementu wspólnego zbiorów ~~> (2.3.1) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech zdań składowych.
Za zrobienie zdjęcia układu zarówno w zdarzeniach jak i w zbiorach odpowiada znany każdemu matematykowi kwantyfikator mały
\/x = p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)=1
Czytamy:
Istnieje (=1) x wspólne dla p(x) i q(x)
Na gruncie algebry Kubusia odpowiednikiem kwantyfikatora małego \/x w zbiorach jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów 2.3.1), oraz definicja zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń 2.2.1)
Teoria zbiorów:
\/x - istnieje element x, który jest wspólnym elementem zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to jest podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) element x (liczba 8) wspólna dla zbiorów P8 i P2
Nie więcej nie musimy tu udowadniać
Nie interesuje nas tu czy zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 (warunek wystarczający =>), szukamy wyłącznie jednego wspólnego elementu.
2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna prze 8 (P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Nie istnieje (=0) element x będący wspólnym elementem zbiorów P8 i ~P2
To trzeba udowodnić - najprościej korzystając z definicji kontrprzykładu w AK
Teoria zdarzeń:
\/x - istnieje zdarzenie x, będące prawdziwym iloczynem logicznym zdarzeń p(x) i q(x)
Przykład:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to będzie pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń: pada (P) i są chmury (CH)
p(x) =P (pada)
q(x) = CH (chmury)
Nic więcej nie musimy tu udowadniać
Nie interesuje nas tu dowód iż padanie P jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur CH
2.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń:
p(x) =P (pada)
q(x) = ~CH (brak chmur)
To trzeba udowodnić - najprościej korzystając z definicji kontrprzykładu w AK
Prawo Borsuka:
Znając elementarne definicje warunku wystarczającego =>, warunku koniecznego ~> oraz definicję kontrprzykładu z algebry Kubusia w trywialny sposób można przejść ze zdjęcia układu do 100% rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q”
Możliwe są tu dwa tożsame algorytmy:
Algorytm zdjęciowy będący algorytmem Puchacza ze zmodyfikowanymi, kluczowymi punktami 6 i 7.
Algorytm Orła będący algorytm Puchacza ze zmodyfikowanymi, kluczowymi punktami 6 i 7.
Kluczowa zaleta zrobienia zdjęcia układu:
Zrobienie kompletnego zdjęcia układu w zdarzeniach to poziom 5-cio letniego dziecka, zaś w zbiorach nieskończonych to poziom ucznia I klasy LO, co za chwilkę udowodnimy.
12.1 Podstawowe spójniki implikacyjne
Przypomnijmy sobie definicje podstawowych spójników implikacyjnych (2.9)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawowe prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p
3.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
4.
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie o p:
Co może się wydarzyć, jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p|?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
|? - symbol podstawowego spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej zdań A1 i B1
Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne.
12.1.1 Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q
1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
12.1.2 Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
12.1.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
12.1.4 Podstawowa definicja chaosu p|~~>q
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
12.1.5 Prawo Puchacza
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” zdefiniowane warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> może wchodzić w skład jednego i tylko jednego podstawowego spójnika implikacyjnego.
Dowód w punkcie 2.10
12.1.6 Wyjątkowość spójnika „albo”($)
Wyjątkowość spójnika „albo”($) omówiono w punkcie 7.0
W szczególności istotne jest tu prawo Dzięcioła.
Przykład jednoargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) nie jest mężczyzną (~M)
M$~M=1
Trzeciej możliwości brak
Prawo Dzięcioła (7.2.1):
Algorytm Puchacza (2.11) działa poprawnie w podstawowych spójnikach implikacyjnych (2.9).
Niemożliwe jest jednoznaczne odtworzenie jednoargumentowego spójnika „albo”($) M$~M od strony warunków wystarczających =>, bowiem tu zawsze otrzymamy definicję spójnika równoważności:
RA1B2:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy jest mężczyzną (M)
M<=>M = (A1: M=>M)*(B2:~M=>~M)=1*1=1
Oczywiście równoważność M<=>M ma zero wspólnego z definicją spójnika „albo”($) M$~M
Wnioski
1.
Spójnik „albo”($) musi być rozpatrzony oddzielną procedurą poza algorytmem Puchacza.
2.
W zdaniu warunkowym spójnik „albo”($) musi być wypowiedziany jawnie z czego wynika, że obsługę spójnika „albo”($) łatwo jest zapisać oddzielną procedurą wywoływaną przed wejściem do algorytmu Puchacza, ignorując algorytm Puchacza w przypadku stwierdzenia spójnika „albo”($).
12.1.7 Definicja zdania startowego
Formalna budowa zdania warunkowego:
Jeśli p to q
p – poprzednik, część zdania po „Jeśli …”
q – następnik, część zdania po „to…”
Definicja zdania startowego (2.7.1):
Zdanie startowe to zdanie od którego zaczynamy analizę matematyczną.
W zdaniu startowym warunkowym „Jeśli p to q” po „Jeśli …” mamy zawsze przyczynę p, zaś po „to…” mamy zawsze skutek q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Zdanie startowe = Zdanie wypowiedziane (przeznaczone do analizy)
Zdanie startowe to kluczowe prawo logiki matematycznej zapewniające jej jednoznaczność (2.7.5)
12.1.8 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy (zdanie startowe) lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń oraz bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Mamy wówczas gwarancję matematyczną, że rozmawiamy o kolumnie A1B1 gdzie mamy odpowiedź na pytanie o p.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2.
12.2 Definicja zdjęcia układu w zbiorach
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów (2.3.1):
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Gdzie:
p i q może być w dowolnych przeczeniach, co wynika z definicji zero-jedynkowej znaczka ~~>
Nie interesuje nas tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający =>, czy też konieczny ~>
Zdanie startowe:
B1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8
Co kończy dowód prawdziwości zdania B1”.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach (2.3.2)
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć (2.8.1):
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q = p*~q.
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
T01
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~>
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? [=] 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? [=] 4:~q=>~p=?
A’: 1: p~~>~q=? [=] 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? [=] 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? [=] 4:~q~>~p=?
B’: 2:~p~~>q=? [=] 3: q~~>~p=?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja zdjęcia układu w zbiorach:
Zdjęcie układu w zbiorach to analiza zdania startowego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Uwaga:
Zdanie startowe musi spełniać punkty 1,2,3 algorytmu Puchacza
| Kod: |
T1
Zdanie startowe musi spełniać punkty 1,2,3 algorytmu Puchacza
Zdjęcie układu w zapisie formalnym w teorii zbiorów to
to odpowiedź TAK=1/NIE=0 na cztery pytania
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli wylosujemy element ze zbioru p?
A1: p~~> q= p* q=? Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
A1’: p~~>~q= p*~q=? Czy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli wylosujemy element ze zbioru ~p?
B2: ~p~~>~q=~p*~q=? Czy istnieje element wspólny zbiorów ~p i ~q?
B2’:~p~~> q=~p* q=? Czy istnieje element wspólny zbiorów ~p i q?
|
Przykład w punkcie 12.4.2
12.2.1 Algorytm zdjęciowy w zbiorach
Algorytm zdjęciowy w zbiorach to algorytm Puchacza (2.11) ze zmodyfikowanymi kluczowymi punktami 6 i 7 gdzie badamy zdjęcie układu w zbiorach, jak wyżej.
12.3 Prawo Orła
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to relację między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
dzn - dowolny ze znaczków:
1: ~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
2: => - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
3: ~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
4: <=> - równoważność
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna (dotyczy 2 i 3)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Zauważmy, że prawo Orła korzysta ze zdjęcia układu, zatem dla wszelkich rozstrzygnięć jest potrzebny i wystarczający kwantyfikator mały \/x. Przed zastosowaniem prawa Orła musimy sprawdzić spełnienie punktów 1,2,3 z algorytmu Puchacza (2.11)
Wyprowadzenie prawa Orła:
1.
p dzn q
2.
Prawo algebry Boole'a:
x=x*1
stąd:
p*1 dzn q*1
3.
1=D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy:
p+~p=D=1
q+~q=D=1
Podstawiając do 2 mamy nasze prawo Orła:
4.
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn q*(p+~p)
cnd
12.4 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
q=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Nasze zdanie startowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Na mocy punktów 1,2,3 z algorytmu Puchacza zapisujemy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8 ..] potrafi każdy matematyk.
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład np. 2
cnd
Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P2=>P8 = B1: P8~>P2 =0
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając fałszywość warunku wystarczającego B3: P2=>P8=0 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0
Wypowiedzmy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
B1: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Fałszywości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem fałszywość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.
Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Podsumowanie:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 i fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 wymusza definicję implikacji prostej P8|=>P2.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach (nasz przykład):
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Stąd mamy diagram implikacji prostej w zapisie formalnym p|=>q i aktualnym P8|=>P2:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
---------------------------------------------------------------------------
| p=P8 | ~p=~P8 |
|------------------------|------------------------------------------------|
| q=P2 | ~q=~P2 |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P8=>P2=1 (P8*P2=1) |B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1 |A2:~P8~>~P2=1 (~P8*~P2=1)|
---------------------------------------------------------------------------
|Dziedzina: |
|D=A1: P8*P2+ A2:~P8*~P2+ B2’:~P8*P2=1 -istnieją elementy wspólne zbiorów |
| A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P8*~P2=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P8*P2=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P8*P2=P8=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Z diagramu DIP odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D= A1: P8*P2 + B2’:~P8*P2 + A2: ~P8*~P2
Zauważmy, że:
1.
Zbiór (~P8) jest sumą logiczną zbiorów B2' i A2:
~P8 = B2': ~P8*P2 + A2: ~P8*~P2 = ~P8*(P2+~P2) = ~P8*1 =~P8
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
b) P2+~P2=1
c) ~P8*1=~P8
2.
Natomiast zbiór P8 to zbiór P2 pomniejszony o część wspólną zbiorów ~P8 i P2:
P8 = P2 - B2’: ~P8*P2
Czyli:
P8 = P2*1 - ~P8*P2 - bo prawo algebry Boole’a: P2=P2*1
P8 = P2*(1-~P8) - wyciagnięcie zmiennej P2 przed nawias
P8 = P2*((P8+~P8) -~P8) - skorzystanie z definicji jedynki (dziedziny): 1=P8+~P8
P8 = P2*(P8+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: ~P8 -~P8=[]=0
P8 = P2*P8 - bo prawo algebry Boole’a: P8+0=P8
P8=P8*P2=P8 - bo P8 jest podzbiorem => P2 (patrz diagram implikacji prostej DIP)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji prostej P8|=>P2 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
| Kod: |
IP
Implikacja prostej p|=>q w zapisie formalnym:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P8
q=P2
Implikacja prosta P8|=>P2 w zapisie aktualnym:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku
wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - P8 jest (=1) wystarczające => dla P8
bo P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 -P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P2
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6..]
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~>~q =0 4:~p~~> q =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: P8=> P2 =1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8 =1
A': 1: P8~~>~P2=0 4:~P2~~>P8 =0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0
B': 2:~p~~> q =1 3: q~~> ~p =1
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: P8~> P2 =0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8 =0 4:~P2~>~P8=0
B': 2:~P8~~>P2=1 3: P2~~>~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Definicję implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 – zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p= P8
q= P2
12.4.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P8 (A1B1) i ~P8 (A2B2):
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Gdzie:
p= P8
q= P2
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P8:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
Czytamy:
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie A1) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie B1)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
P8 ## P2 - zbiory P8 i P2 są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2 (P2)
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8)?
Idziemy do kolumny A2B2
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P8:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)?
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2 (A2) i jednocześnie nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2 (B2)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
~P8 ## ~P2 - zbiory ~P8 i ~P2 są różne na mocy definicji (nie są tożsame)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu trudniejszy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód wprost widzimy także na diagramie DIP
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 8 (P8) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> być niepodzielna przez 2 (~P2) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być podzielna przez 2 na mocy zdania B2’
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 to układ równań logicznych:
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2: ~P8=>~P2) - co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) - co będzie jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
12.4.2 Algorytm zdjęciowy definiujący operator implikacji prostej P8||=>P2
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
W algorytmie Puchacza (12.4) o decydujących relacjach w punktach 6 i 7 rozstrzygaliśmy w sposób w sposób standardowy na podstawie tabeli T0.
Możliwe jest alternatywne rozstrzygnięcie o racjach w kluczowych punktach 6 i 7 z wykorzystaniem zdjęcia układu. Oczywiście na wstępie trzeba sprawdzić spełnialność punktów 1,2,3 w algorytmie Puchacza (12.4)
Nasze zdanie do analizy:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
q=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
| Kod: |
W1 - zdjęcie zdania startowego w teorii zbiorów
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę należącą do P8?
A1: P8~~> P2= P8* P2=1 - istnieje (=1) wspólny element P8 i P2 (np. 8)
A1’: P8~~>~P2= P8*~P2=0 - nie istnieje (=0) wspólny element P8 i ~P2
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę należącą do ~P8?
B2: ~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 - istnieje (=1) wspólny element ~P8 i ~P2 (np. 1)
B2’:~P8~~> P2=~P8* P2=1 - istnieje (=1) wspólny element ~P8 i P2 (np. 2)
|
W powyższym zdjęciu wynikowe jedynki są pewne, na poziomie ucznia I klasy LO.
W ogólnym przypadku możemy nie być pewni twardego zera w linii A1’.
Dowód twardego zera w linii A1’ metodą „nie wprost”:
1.
Zakładamy twarde zero w linii A1’:
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2= P8*~P2=0
2.
Wtedy na mocy definicji kontrprzykładu musi być prawdziwy warunek wystarczający A1
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru A1: P8=>P2 każdy matematyk potrafi.
Oczywiście prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
Analiza zdjęcia W1:
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2= P8*~P2=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie).
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Dowód „nie wprost” prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika z fałszywości kontrprzykładu
Dowód wprost:
Dowolny zbiór liczb parzystych P8 jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych ~P2
2.
Teraz będzie coś, o czym największym ziemskim filozofom się nie śniło.
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 oraz z prawdziwości zdań B2 i B2’ kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1
B1: P8~>P2 =0
Nic a nic nie musimy więcej udowadniać - mamy kluczowe, interesujące nas rozstrzygnięcie.
A1: P8=>P2 =1 - podzielność dowolnej liczby przez 8 jest wystarczająca dla jej podzielności przez 2
B1: P8~>P2 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest konieczna dla jej podzielności przez 2
Co lokuje nas w operatorze implikacji prostej P8||=>P2
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P8||=>P2 znajdziemy w punkcie 12.4.1
Fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 można też udowodnić alternatywnym sposobem:
1.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P8~~>P2 =1 (bo np. 2)
wynika fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie)
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to na 100% => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2
2.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Nasz przykład:
B2: ~P8=>~P2 = B1: P8~>P2 =0
Stąd mamy:
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2
Fałszywość warunku koniecznego B1 wynika z punktu 1 oraz a prawa Kubusia (pkt. 2)
12.4.3 Prawo Orła definiujące operator implikacji prostej P8||=>P2
Prawo Orła:
p*(q+~q) dzn q*(p+~p)
Nasz przykład:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
p=P8
q=P2
Po sprawdzeniu iż zdanie W1 spełnia punkty 1,2,3 algorytmu Puchacza możemy zastosować prawo Orła.
Prawo Orła przyjmuje postać:
P8*(P2+~P2) dzn P2*(P8+~P8)
po wymnożeniu wielomianów mamy:
P8*P2 + P8*~P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2
Gdzie:
dzn - to jeden ze znaczków: =>, ~> lub <=>
P8*P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8 i P2 (np. 8)
P8*~P2 =0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
~P8*P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i P2 (np. 2)
Prawo algebry Boole’a:
x+0 =0
Stąd badana relacja jest relacją podzbioru =>:
(P8*P2) => (P8*P2 + ~P8*P2) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Czytamy:
Zbiór p=(P8*P2) jest podzbiorem => zbioru q=(P8*P2+~P8*P2) oraz zbiory p i q nie są tożsame, stąd mamy rozstrzygnięcie iż badane zdanie W1 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P8|=>P2 mamy wyżej (12.4.1)
12.4.4 Prawo Kubusia zastosowane do relacji podzbioru p=>q
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Mamy naszą relację podzbioru:
(P8*P2) => (P8*P2) + (~P8*P2)
To samo w zapisie formalnym:
p=>q
Na mocy algorytmu Wuja Zbója (1.12) po negacji wszystkich zmiennych i wymianie spójników na przeciwne musimy dostać relację nadzbioru ~>
Na mocy praw algebry Boole’a mamy definicję negacji zmiennych binarnych:
~(p) = ~p
~(~p)=p
Zamiana znaczków:
(*) na (+)
(+) na (*)
oraz:
(=>) na (~>)
Sprawdzenie:
~P8+~P2~> (~P8+~P2)*(P8+~P2)
Wymnożenie wielomianu z prawej strony:
~P8+~P2 ~> ~P8*P8 + ~P8*~P2 + P8*~P2 + ~P2*~P2
Minimalizacja prawej strony znaczka ~>:
Prawo algebry Boole’a:
p*p=p -> ~P2*~P2=~P2
p*1=p -> ~P2=~P2*1
Stąd:
~P8+~P2 ~> ~P8*~P2 + P8*~P2 + ~P2*1
Wyciągnięcie zmiennej ~P2 przed nawias:
~P8+~P2 ~> ~P2*(~P8+P8+1)
Prawa algebry Boole’a:
1+x =1
p*1=p
Stąd po minimalizacji mamy:
(~P8+~P2) ~> (~P2)
To samo w zapisach formalnych na mocy prawa Kubusia:
~p~>~q
Relację nadzbioru ~> każdy widzi
12.5 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
12.5.1 Zdanie W1: P8~~>P2
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np. 24
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 (np. 8) . Nie analizujemy tu, czy podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 12.4 i 12.4.1.
Badając punkt 12.4.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający => A1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..], co każdy matematyk udowodni.
Jest oczywistym, że skoro zbiór P8 jest podzbiorem => P2 to musi istnieć element wspólny tych zbiorów ~~>
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest częścią warunku wystarczającego => A1: P8=>P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: P8~~>P2=P8*P2 =1 bo 8 ## A1: P8=>P2 =1 - P8 jest podzbiorem => P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: P8=>P2.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: P8=>P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
12.5.2 Zdanie W2: P8=>P2
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 12.4 i 12.4.1.
W punkcie 12.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Podsumowanie:
Zdanie wypowiedziane W2 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
12.5.3 Zdanie W3: P8~~>~P2
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2=P8*~P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 12.4 i 12.4.1.
W punkcie 12.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': P8~~>~P2=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W2=A1' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
12.5.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =~p*~q =1
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i ~P2, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest konieczna ~> czy też wystarczająca => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 12.4 i 12.4.1.
W punkcie 12.4.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
Badając punkt 12.4.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek konieczny A2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Dowód "nie wprost":
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie)
Prawdziwość warunku koniecznego A2 oznacza, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W3: ## Warunek konieczny ~> A2:
W3:~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1 - bo 3 ## A2:~P8~>~P2=1 bo ~P8 jest nadzbiorem ~P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A2: ~P8~>~P2 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
12.5.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
Powyższe zdanie można zakodować elementem wspólnym zbiorów ~~> co zrobiliśmy wyżej:
~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 bo wspólny element np. 1
Równie dobrze zdanie W5 możemy zakodować warunkiem koniecznym ~>, czym zajmiemy się teraz.
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 12.4 i 12.4.1.
W punkcie 12.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań:
W5=A2
Zdanie A2 brzmi:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Stąd mamy dowód "nie wprost":
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Dowód wprost prawdziwości A1: P8=>P2:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie).
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
A2: ~P8~>~P2=1
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości A2: ~P8~>~P2 =1
Zauważmy, że dowód wprost jest tu zdecydowanie trudniejszy (jeśli w ogóle możliwy), przez iterowanie na pewno niewykonalny bowiem zbiory ~P8 i ~P2 to zbiory nieskończone.
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek konieczny A2:~P8~>~P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
12.5.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2=~P8*P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 12.4 i 12.4.1.
W punkcie 12.4.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z diagramu DIP widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2': ~P8~~>P2=1 jest prawdziwym kontrprzykładem B2' dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2=0
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
12.5.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2
Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.
Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to nie jest podzielna przez 2
Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny.
W7".
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to na 100% => nie jest podzielna przez 2
B2: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =0
Brak podzielności dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => wystarczającym dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)
Dowód "nie wprost":
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Nasz przykład:
B2: ~P8=>~P2 = B1: P8~>P2 =0
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Pytanie fundamentalne to:
Jak należy wypowiedzieć zdanie W7, by było ono zdaniem prawdziwym?
Odpowiedź na to pytanie daje nam algorytm Puchacza.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 12.4 i 12.4.1.
W punkcie 12.4.1 widzimy, że dokładny odpowiednik zdania W7 nie istnieje, ale istnieje zdanie A2 analogiczne do zdania W7
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
A2: ~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Nasz przykład:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2 =1
Wniosek:
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2: ~P8~>~P2=1 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Podsumowanie:
1.
Jeśli zdanie fałszywe W7 zakodujemy warunkiem koniecznym ~> wypowiadając je w formie A2 to zdanie to ulegnie transformacji do zdania prawdziwego.
Korekta została znaleziona.
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie A2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:23, 28 Paź 2025, w całości zmieniany 3849 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39777
Przeczytał: 11 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:02, 28 Paź 2024 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:06, 28 Paź 2024, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
