Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

AK II Kubusiowa teoria zbiorów

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:35, 23 Cze 2019    Temat postu: AK II Kubusiowa teoria zbiorów


Algebra Kubusia


Część II
Kubusiowa teoria zbiorów


Autor:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

W skład algebry Kubusia wchodzi pięć części:
Część I
Algebra Kubusia - Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy
Część II
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów
Część III
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zdarzeń
Część IV
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego człowieka
Część V
Algebra Kubusia w pigułce

Podręczniki I-V napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość pozostałych, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to I, II, III, IV i V

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Szczególnie dziękuję cierpliwemu Fiklitowi za 7 letnią dyskusję, bez niego o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019


Część II
Kubusiowa teoria zbiorów


[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]


Rozdziały części II algebry Kubusia:

1.0 Notacja
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
5.0 Teoria zdań warunkowych w zbiorach
8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach
8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q
8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q
8.4 Rodzaje równoważności
9.0 Zakamarki Kubusiowej teorii zbiorów


Spis treści
1.0 Notacja 3
1.1 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach 4
1.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 5
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 5
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 5
1.2 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach 6
1.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 6
1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => zdarzeniach 6
1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 7


Wstęp:

Kubusiowa Teoria Zbiorów (KTZ) jest wspólna z teorią zbiorów ziemian w zakresie zaledwie kilku definicji: definicji iloczynu logicznego zbiorów p*q, sumy logicznej zbiorów p+q, różnicy zbiorów p-q oraz definicji podzbioru => i nadzbioru ~>, poza tym wszystko jest różne, poczynając od kluczowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które u ziemian są inne, zatem są sprzeczne z KTZ.
Definicje z Kubusiowej Teorii Zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Życzę wszystkim przyjemnej lektury, mam nadzieję, że będzie to uczta dla ludzkiego rozumowania.

Uwaga:
Nie jest wykluczone, iż w Kubusiowej Teorii Zbiorów są jakieś drobne pluskwy (błędy) identycznie jak w dużym programie komputerowym. Przykładowo w WIN10 pełno jest drobnych pluskiew (każda aktualizacja to potencjalne źródło nowych pluskiew) co nie oznacza, że WIN10 nadaje się do kosza na śmieci - z małymi pluskwami można żyć. Usuwajmy je razem, póki żyw jestem.

Aktualna logika matematyczna ziemian jest do bani co trafnie zauważył dr. Marek Kordos w miesięczniku „Delta”:
„Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?”
[link widoczny dla zalogowanych]


1.0 Notacja

Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.

Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość w obrębie danej teorii. Przykładowo, studentowi informatyki nie są potrzebne wiadomości w temacie „technologia wykonania mikroprocesora” mimo że programy pisze na komputerze którego sercem jest mikroprocesor. Co więcej, aksjomatyka może być na poziomie abstrakcyjnym jeśli takie podejście ułatwia zrozumienie teorii. Przykładowo w „Teorii zdarzeń” sięgnąłem po krasnoludki znakomicie ułatwiające zrozumienie teorii młodemu człowiekowi. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym (wszystko ma swoją przyczynę) niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to teoria zbiorów wyłożona w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”
Za aksjomatykę algebry Kubusia można też uznać zero-jedynkową tabelę szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.
Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)

Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - przedrostek „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q lub zdarzenie możliwe p~~>q
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q

KONIEC!
W algebrze Kubusia elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.

1.1 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

1.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zborów ~~> spełniona (=1) bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] mają element wspólny

1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna prze 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24…] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]


1.2 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach

1.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) bo możliwy jest przypadek „są chmury” (CH=1) i „pada” (P=1)


1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, są chmury

1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada
Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 8:48, 01 Kwi 2020, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:36, 23 Cze 2019    Temat postu:

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
2.1 Zabawa definicjami z Kubusiowej Teorii Zbiorów 2
2.2 Podstawowe operacje na zbiorach 3
2.3 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 4
2.4 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru 5
2.5 Zbiór wszystkich zbiorów 6
2.6 Zbiory właściwe i niewłaściwe 6
2.7 Definicja logiki matematycznej i twierdzenia matematycznego 7
2.8 Twierdzenie minimalne i nieminimalne 7
2.9 Prawo Jeża 8
2.9.1 Prawo Jeżozwierza 9



2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane dosłownie każdemu człowiekowi na ziemi.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.


2.1 Zabawa definicjami z Kubusiowej Teorii Zbiorów

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie pojęcia zbioru p należą do zbioru q
Rozstrzygnięcia:
p=>q =1 - gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Na mocy definicji zbioru pustego zbiorem pustym jest zbiór:
[] = [asdkyw, ksgdtald, idtahcker]
Dlaczego jest zbiorem pustym?
Bo żaden człowiek nie rozumie znaczenia pojęć zawartych w tym zbiorze, to są śmieci z kosmosu, poza Uniwersum ludzkości.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Na mocy tej definicji mamy przykładowy zbiór:
p=[pies, krasnoludek, miłość, 5, LN]
Gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Na mocy tej definicji nasz zbiór:
p=[pies, krasnoludek, miłość, 5, LN]
jest zbiorem 5-elementowym
Elementy zbioru p to pojęcia zrozumiałe dla człowieka rozdzielone przecinkami.

Poprawne są następujące stwierdzenia:
1.
Element „5” jest podzbiorem => zbioru p
Innymi słowy:
Element zbioru p o nazwie „5” jest podzbiorem => zbioru p
Pojęcie „5” jest podzbiorem => zbioru p
„5” jest podzbiorem => zbioru p
„5” zawarte jest => w zbiorze p
Dowód:
[5] => p=[pies, krasnoludek, miłość, 5, LN] =1
cnd
2.
Element zbioru p o nazwie LN jest podzbiorem => zbioru p
Innymi słowy:
LN jest podzbiorem => zbioru p
LN zawiera się => w zbiorze p
Dowód:
[LN] => p=[zbiór pusty, pies, krasnoludek, 5, LN] =1
cnd
3.
Elementy 5 i LN są podzbiorem => zbioru p
Innymi słowy:
5 i LN są częścią => zbioru p
Elementy 5 i LN są podzbiorem => zbioru p
Fragment zbioru p [5,LN] jest podzbiorem => zbioru p
Dowód:
[5,LN] => p=[zbiór pusty, pies, krasnoludek, 5, LN] =1
cnd

Synonimy:
„jest podzbiorem” => = „zawiera się w” => = „jest częścią” =>
itp.

2.2 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty


2.3 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów (+).

Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.4 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Przykład 1
p=[1,2] - definiujemy zbiór p
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Przykład 2
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1


2.5 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne


2.6 Zbiory właściwe i niewłaściwe

Definicja zbioru właściwego:
Zbiór właściwy to zbiór mający nazwę własną należącą do Uniwersum (zrozumiałą dla człowieka)

Przykład:
C = [M, K] - zbiór C jest zbiorem 2-elementowym
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała przez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

Definicja zbioru niewłaściwego:
Zbiór niewłaściwy to zbiór którego nazwa własna nie należy do Uniwersum.

Przykłady zbiorów niewłaściwych p i q (typu mydło i powidło):
p=[pies, samochód, LN] - zbiór 3-elemetowy
q = [pies, samochód, LN, miłość] - zbiór 4-elementowy
Gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

W Kubusiowej Teorii Zbiorów zbiór p to zbiór niewłaściwy 3-elementowy, zaś zbiór q to zbiór niewłaściwy 4-elementowy. Matematycznie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q jednak oba te zbiory nie mają nazw własnych zrozumiałych dla człowieka, zatem oba te zbiory to zbiory niewłaściwe.
Żadne rozumowanie człowieka nie opiera się na zbiorach niewłaściwych (typu mydło i powidło) co nie oznacza, że zbiory te nie mogą być użyteczne w tłumaczeniu logiki matematycznej na poziomie matematycznego przedszkola.
Dowód:
p=>q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
;
q~>p =1 - bo zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Gdzie:
p ## q
## - różne na mocy definicji
To są oczywiście cenne wyjaśnienia, zrozumiałe dla każdego 5-cio latka

2.7 Definicja logiki matematycznej i twierdzenia matematycznego

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to dowolne zdanie którego prawdziwości/fałszywości dowodzimy

2.8 Twierdzenie minimalne i nieminimalne

Rozważmy twierdzenie matematyczne.

Twierdzenie 1.
Zbiór wszystkich zwierząt jest sumą logiczną zbioru zwierząt z czterema łapami 4L oraz zbioru zwierząt nie mających czterech łap ~4L
ZWZ=[4L,~4L]
Zapis matematycznie tożsamy:
ZWZ=4L+~4L
Gdzie:
ZWZ=[pies, słoń, kura, wąż …] - zbiór wszystkich zwierząt (dziedzina)
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
~4L=[ZWZ-4L]=[kura, wąż …] - zbiór zwierząt nie mających czterech łap
Stąd:
ZWZ=4L+~4L
Twierdzenie 1 to twierdzenie minimalne.

Jednak 5-cio latek Jaś może powiedzieć tak:
Twierdzenie 2.
Zbiór wszystkich zwierząt to:
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
oraz:
~4L=[ZWZ-4L]=[kura, wąż …] - zbiór zwierząt nie mających czterech łap
jak również mój piesek Reksio oraz moja papuga Ara.
ZWZ=[4L+~4L + Reksio + Ara]

Oba twierdzenia 1 i 2 są prawdziwe i tożsame, jednak twierdzenie 2 nie jest minimalne.
Zauważmy, że Reksio jest już w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L), zaś papuga Ara w zbiorze zwierząt nie mających czterech łap (~4L).
Jaś podświadomie skorzystał tu z prawa powielania elementów w dowolnym zbiorze:
p=p+p
oraz prawa wyciągnięcia Reksia i Arę poza podzbiory 4L i ~4L.
Matematycznie zachodzą tu tożsamości:
4L=4L+Reksio
~4L=~4L+Ara
Stąd mamy:
ZWZ = [4L+~4L] = [4L+Reksio + ~4L+Ara] =[ 4L+~4L+Reksio+Ara]

Definicja twierdzenia minimalnego:
Twierdzenie minimalne to twierdzenie operujące na zbiorach właściwych bez wyciągania poszczególnych elementów z tych zbiorów na zewnątrz.
Przykład wyżej doskonale to obrazuje.
W matematyce operujemy wyłącznie twierdzeniami minimalnymi, na dodatek nieskończonymi.


2.9 Prawo Jeża

Przypomnijmy sobie podstawowe definicje Kubusiowej Teorii Zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Prawo Jeża:
Dowolne pojęcie które człowiek rozumie należy do Uniwersum, ale nie należy do zbioru pustego na mocy definicji Uniwersum i definicji zbioru pustego []

Prawo Jeża wynika bezpośrednio z definicji Uniwersum i definicji zbioru pustego:

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Stąd pojęcie które człowiek rozumie musi należeć do zbioru Uniwersum.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W tej definicji wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty” a nie o sam worek.
Stąd pojęcie które człowiek rozumie nie może należeć do zbioru pustego
cnd

Komentarz:
Każdy zbiór jest tożsamy z samym sobą zatem zbiór pusty [] też jest tożsamy z samym sobą.
Dla nas, ziemian, zbiór pusty to wszelkie pojęcia których na dzień dzisiejszy nie znamy.
W dowolnych rozważaniach mamy prawo, a nawet obowiązek, zawęzić dziedzinę do konkretnego zbioru na którym pracujemy.
Przykładowo, dowodząc twierdzenia Pitagorasa świadomie zawężamy dziedzinę do zbioru wszystkich trójkątów traktując wszystko co jest poza tą dziedziną jako zbiór pusty, zupełnie nas nie interesujący.

W badaniach naukowych takie świadome zawężenie dziedziny poszukiwań może być niekiedy błędne.
Przykładowo z czterdzieści lat temu największe laboratoria świata pracowały nad wynalezieniem niebieskiej diody LED, kluczowej dla sygnału RGB (TV kolorowa). Wszyscy świadomie operowali w grupie pierwiastków X gdzie co prawda odkryto niebieską LED, ale żywotność i jasność świecenia liche były.
… no i zjawił się nikomu nieznany Japończyk Nakamura, specjalista od świetlówek, który zaczął szukać niebieskiej diody LED w grupie pierwiastków Y.
[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:
Komitet Noblowski rozpoczął już przyznawanie tegorocznych nagród. Tę w dziedzinie fizyki otrzymali trzej twórcy niebieskiej diody LED, która to pozwoliła na zastąpienie żarówek i świetlówek. Nazwiska laureatów – Isamu Akasaki, Hiroshi Amano i Shuji Nakamura.
Wprawdzie pierwsze (czerwone i zielone) diody LED pojawiły się jeszcze w latach 50. ubiegłego wieku. Stworzenie niebieskiej diody było jednak ogromnym wyzwaniem, z którym naukowcy nie potrafili sobie poradzić przez dekady.
Akasaki i Amano współpracowali na uniwersytecie w Nagoi, Ich pierwszym sukcesem było uzyskanie dobrych jakościowo kryształów azotku galu na szafirowym podłożu. Po kilku latach udało im się wytworzyć w tym materiale warstwy półprzewodnika typu p. To z kolei przyczyniło się do stworzenia pierwszej niebieskiej diody w 1992 roku.
Nakamura pracował oddzielnie i niezależnie od wyżej wspomnianej dwójki, w firmie Nichia Chemicals w Tokushimie. Doszedł jednak do bardzo zbliżonych rezultatów. Wyjaśnił także teoretyczne podstawy procesu technologicznego.

Jako student elektroniki pamiętam dokładnie jakie diody LED były w 1975r - były, ale jasność była mizerna, pierwsze diody niebieskie LED też były (cholernie drogie) na długo przed 1992r ale to samo co wyżej, jasność i żywotność pozostawiała wiele do życzenia.

2.9.1 Prawo Jeżozwierza

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock

Prawo Jeżozwierza:
Zbiór pusty [] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru niepustego
[]=>[zbiór niepusty] =0
Znaczenie symbolu []:
[] - zawartość zbioru pustego jest pusta, worek z napisem „zbiór pusty” jest pusty, nie ma w nim ani jednego pojęcia zrozumiałego dla człowieka.
Znaczenie symbolu [] to zawartość worka z napisem „zbiór pusty” a nie worek z napisem „zbiór pusty”.

Dowód prawa Jeżozwierza na gruncie Kubusiowej Teorii Zbiorów:

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie pojęcia zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Wprowadźmy znaczki [.] i [] o następującym znaczeniu.

I.
Definicja znaczka [.]:

[.] - w zbiorze „pustym” jest co najmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
Taki zbiór „pusty” [,] nie jest w rzeczywistości zbiorem pustym [] na mocy definicji zbioru pustego, ale takie abstrakcyjne założenie mamy prawo przyjąć

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W tej definicji wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty” a nie o sam worek.

Przykładowe zawartości zbioru pustego w którym coś jest [.]:
[.] = [definicja zbioru pustego, słówko „zbiór pusty”, słówko „NIC, słówko „pusty”]

Dla znaczka [.] zachodzi (=1) relacja podzbioru =>:
Przykład:
[.]=[słówko „zbiór pusty”] => U=[słówko „zbiór pusty”, pies, krasnoludek, 5, LN..] =1
Gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

II.
Definicja znaczka []:

[] - zawartość zbioru pustego jest pusta, nie ma w nim choćby jednego pojęcia zrozumiałego dla człowieka
W tym przypadku istotna jest zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, sam worek jest tu kompletnie bez znaczenia, bowiem nie o worek tu chodzi, lecz o jego zawartość.

Dowód iż zbiór pusty [] nie jest podzbiorem każdego zbioru:
1.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W tej definicji wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty” [], który jest po prostu pusty, czyli nie ma w nim choćby jednego pojęcia zrozumiałego dla człowieka.
2.
Skoro worek z napisem „zbiór pusty” jest pusty [], to nie możemy z tego worka wyciągnąć czegoś co będzie zrozumiałe dla człowieka, czyli czegoś co będzie należało do Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
3.
Stąd błędny matematycznie jest zapis typu:
U=[[], słówko „zbiór pusty”, pies, krasnoludek, 5, LN..]

Błędny dlatego, że zawiera znaczek [] o definicji:
[] - zawartość zboru pustego jest pusta, nie ma w nim choćby jednego pojęcia zrozumiałego dla człowieka, co jest sprzeczne z definicją Uniwersum

Wniosek:
Symbol [] nie ma prawa należeć do Uniwersum bo jest sprzeczny z definicją Uniwersum, dlatego musimy usunąć ten znaczek z definicji Uniwersum.

Stąd poprawny matematycznie zapis to:
U=[słówko „zbiór pusty”, pies, krasnoludek, 5, LN..]

W tym momencie interesująca nas relacja przyjmuje postać:
[] => U=[słówko „zbiór pusty”, pies, krasnoludek, 5, LN..] =0
Relacja podzbioru => nie jest spełniona bo zbiory [] i U są rozłączne.

Stąd mamy:
Prawo Jeżozwierza:
Zbiór pusty nie jest podzbiorem => zbioru niepustego Uniwersum
[]=>U =0

Uogólniając mamy:
Prawo Jeżozwierza:
Zbiór pusty [] nie jest podzbiorem zbioru niepustego
[]=>[zbiór niepusty] =0
Definicja symbolu []:
[] - zawartość zbioru pustego jest pusta, zawartość worka z napisem „zbiór pusty” jest pusta
cnd
4.
Zauważmy, że zbiór pusty jest podzbiorem samego siebie, bo każdy zbiór jest podzbiorem samego siebie (oczywistość na mocy definicji bez dowodu)
[]=>[] =1
5.
Zbiory U i ~U są rozłączne i uzupełniają się do dziedziny co matematycznie zapisujemy:
U+~U =D =1 - zbiory U i ~U uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
U*~U =[] =0 - zbiory U i ~U są rozłączne

Przyjmujemy jedyną możliwą tu dziedzinę:
U = Uniwersum
Stąd zaprzeczenia (~) zbioru rozumiane jako uzupełnienie do dziedziny to:
A: ~U=[U-U]=[]
B: ~[]=[U-[]]=U
Stąd mamy:
U+[] =1 - zbiory U i [] uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
U*[] =0 - zbiory U i [] są rozłączne
W tożsamości B mamy bezpośredni dowód, iż zbiór pusty nie należy do zbioru U, bowiem nawet gdyby należał to tożsamością B zostałby z niego usunięty.
6.
Tożsamość zbiorów:
U=U
na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p (poznamy za chwilę) wymusza tożsamość zbiorów:
(~U=[])=(~U=[])
[]=[]
Podstawmy:
U=1 - zbiór niepusty (dziedzina)
[] =0 - zbiór pusty (zaprzeczenie dziedziny)

Stąd mamy:
Związek definicji spójników „i”(*) i „lub”(+) z teorią zbiorów
Kod:

T1
Definicja spójnika | Dokładnie ta sama
„i”(*) w rachunku  | definicja
zero-jedynkowym    | w rachunku zbiorów
   p  q  p*q       | p  q  p*q
A: 1  1   =1       | U* U  =U  -iloczyn logiczny zbiorów tożsamych U=U
B: 1  0   =0       | U* [] =[] -iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych U i []
C: 0  1   =0       |[]* U  =[] -iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych [] i U
D: 0  0   =0       |[]* [] =[] -iloczyn logiczny zbiorów tożsamych []=[]
Matematycznie zachodzi:
U =1
[]=0

Kod:

T2
Definicja spójnika | Dokładnie ta sama
„lub”(+) w rachunku| definicja
zero-jedynkowym    | w rachunku zbiorów
   p  q  p+q       | p  q  p+q
A: 1  1   =1       | U+ U  =U -suma logiczna zbiorów tożsamych U=U
B: 1  0   =1       | U+ [] =U -suma logiczna zbiorów rozłącznych U i []
C: 0  1   =1       |[]+ U  =U -suma logiczna zbiorów rozłącznych [] i U
D: 0  0   =0       |[]+ [] =[]-suma logiczna zbiorów tożsamych []=[]
Matematycznie zachodzi na mocy definicji:
U =1
[]=0

Tabele zero-jedynkowe w rachunku zero-jedynkowym są dowodem ekstra, że zbiory U i [] są rozłączne, inaczej między 1 a 0 w tabeli zero-jedynkowej musiałby istnieć zbiór pusty (część wspólna U i []) o wartości logicznej 0, co jest nonsensem.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 16:41, 29 Cze 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:37, 23 Cze 2019    Temat postu:

5.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach

Spis treści
5.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach 1
5.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 1
5.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 1
5.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 1
5.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
5.5 Zdjęcie układu w zbiorach 2
6.0 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym 3
6.1 Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 3
6.2 Brak przemienności argumentów w => i ~> 4
7.0 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
7.1 Prawa Kubusia 6
7.2 Prawa Tygryska 7
7.3 Prawa kontrapozycji 7




5.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

5.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

5.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

5.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>


5.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli p to q
p=>q =1 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0

Uproszczona definicja kontrprzykładu w zbiorach:
p~~>~q=p*~q =1
Kontrprzykład istnieje (=1) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p*~q
Inaczej:
p~~>q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia jak wyżej.

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo kontrprzykład 2
Uproszczona definicja kontrprzykładu:
Istnieje liczba podzielna przez 2 i niepodzielna przez 8
P2*~P8 =1 bo 2
Prawdziwość kontrprzykładu wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A.


5.5 Zdjęcie układu w zbiorach

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Definicja negacji zbioru:
Negacją (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Zachodzi tożsamość pojęć:
Negacja zbioru (~) p = Zaprzeczenie (~) zbioru p

Przyjmujemy dziedzinę D.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
~q=[D-q]

Zdjęcie układu opisywanego zdaniem „Jeśli p to q” definiuje tabela prawdy zdjęcia:
Kod:

Zdjęcie układu w zbiorach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q=p*q=0



6.0 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikają z rachunku zero-jedynkowego gdzie warunki te zdefiniowane są następująco.

6.1 Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

W obu definicjach p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Kolumny wynikowe są różne, z czego wynika różność powyższych tabel na mocy definicji:
p=>q ## p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie kolumny zero-jedynkowe są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej


6.2 Brak przemienności argumentów w => i ~>

Zbadajmy przemienność argumentów w warunku wystarczającym => i koniecznym ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego.
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q q  p q=>p
A: 1  1  1   1  1  1
B: 1  0  0   0  1  1
C: 0  0  1   0  0  1
D: 0  1  1   1  0  0
   1  2  3   4  5  6
Brak tożsamości kolumn 3##6 jest dowodem formalnym
braku przemienności argumentów w warunku wystarczającym =>
## - różne na mocy definicji

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q q  p q~>p
A: 1  1  1   1  1  1
B: 1  0  1   0  1  0
C: 0  0  1   0  0  1
D: 0  1  0   1  0  1
   1  2  3   4  5  6
Brak tożsamości kolumn 3##6 jest dowodem formalnym
braku przemienności argumentów w warunku koniecznym ~>
## - różne na mocy definicji


7.0 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Definicje znaczków => i ~> w równaniu logicznym:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład wykorzystania:
Udowodnij prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozpisujemy prawą stronę:
~q=>~p = ~(~q)+~p = ~p+q = p=>q
cnd

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie kolumny zero-jedynkowe są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Znaczenie znaczka różne na mocy definicji ##:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A12345 stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B12345. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.

7.1 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

7.2 Prawa Tygryska

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

7.3 Prawa kontrapozycji

Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Spójnik logiczny (=> lub ~>) pozostaje bez zmian.

Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:38, 23 Cze 2019    Temat postu:

8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

Spis treści
8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach 1
8.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q 2
8.1.2 Operator chaosu p|~~>q w praktyce 6
8.1.3 Właściwości operatora chaosu p|~~>q 7
8.1.4 Kodowanie zero-jedynkowe operatora chaosu p|~~>q 8


8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to dowolne zdanie którego prawdziwości/fałszywości dowodzimy

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE


8.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q=p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i q
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)* ~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) =1*1*1 =1
Gdzie:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przy omawianiu definicji operatora chaosu p|~~>q posłużymy się zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” wchodzącym w skład definicji operatora chaosu.

Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 24)

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8=>P3 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..]

Rozstrzygnięcie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3 =1
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) =1*1*1 =1

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiory p i q mają element wspólny i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Powyższa definicja w zbiorach wynika z definicji ogólnej definicji operatora chaosu p|~~>q w zbiorach bowiem tylko i wyłącznie w takim układzie zbiorów zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q i nie jest jednocześnie nadzbiorem ~> zbioru q.

Stąd mamy diagram operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
[link widoczny dla zalogowanych]




Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q=p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i q
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)* ~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) =1*1*1 =1
Gdzie:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawa rachunku zero-jedynkowego wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Powyższe prawa wyprowadzono w punkcie 6.0

Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Symboliczną definicję operatora chaosu p|~~>q odczytujemy z diagramu R1.
Kod:

T1
Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q:
A1:  p~~> q= p* q =1 - zbiór  p* q niepusty (=1)
A11: p~~>~q= p*~q =1 - zbiór  p*~q niepusty (=1)
A2: ~p~~>~q=~p*~q =1 - zbiór ~p*~q niepusty (=1)
A21:~p~~> q=~p* q =1 - zbiór ~p* q niepusty (=1)

W codziennym użytkowaniu możemy uprościć numerację linii, co jest bez znaczenia.
Kod:

T2
Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q:
A: p~~> q= p* q =1 - zbiór  p* q niepusty (=1)
B: p~~>~q= p*~q =1 - zbiór  p*~q niepusty (=1)
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - zbiór ~p*~q niepusty (=1)
D:~p~~> q=~p* q =1 - zbiór ~p* q niepusty (=1)

Z definicji symbolicznej operatora chaosu p|~~>q widzimy że:
1.
Linie AB:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to ten element może należeć do zbioru q (linia A) albo do zbioru ~q (linia B).
W liniach AB mamy zatem najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
2.
Linie CD:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to ten element może należeć do zbioru ~q (linia C) albo do zbioru q (linia D).
W liniach CD również mamy do czynienia z „rzucaniem monetą”.

W całej definicji operatora chaosu p|~~>q nie mamy żadnego warunku wystarczającego => (=gwarancji matematycznej =>) tzn. nie możemy powiedzieć niczego pewnego o przyszłych losowaniach elementów z dziedziny D, mamy tu non-stop „rzucanie monetą”

Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jakakolwiek jedna, wybrana.
Matematyczna definicja dziedziny:
Matematyczna definicja dziedziny to równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q.
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p=1

W operatorze chaosu p|~~>q wszystkie zbiory ABCD są niepuste stąd dziedzina matematyczna pokrywa się to z dziedziną fizyczną

Fizyczna definicja dziedziny w operatorze chaosu p|~~>q:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Z definicji fizycznej operatora chaosu p|~~>q widzimy że:
Operator chaosu p|~~>q dzieli dziedzinę D na cztery zbiory rozłączne i niepuste A,B,C,D uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D

Definicje operatorów logicznych w zbiorach:
1.
Operator chaosu p|~~>q to cztery i tylko cztery zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Operatory p|=>q, p~>q i p<=>q poznamy za chwilę.
2.
Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory rozłączne i niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
3.
Operator równoważności p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.

8.1.2 Operator chaosu p|~~>q w praktyce

Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 24)

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8=>P3 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..]

Rozstrzygnięcie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3 =1
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) =1*1*1 =1

Dalszą analizę potrafi wykonać najgłupszy komputer bowiem z powyższego dowodu w sposób bezpośredni wynika treść zdań BCD w analizie niżej. Póki co nie istnieje banalny program który to robi, ale wkrótce, po zaakceptowaniu przez ziemian Kubusiowej Teorii Zbiorów, takich programów będzie na pęczki.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3=P8*~P3=1 bo 8
Oba zbiory istnieją (P8=1) i (~P3=1) i mają element wspólny, stąd w wyniku 1 (zbiór niepusty)
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3=~P8*~P3=1 bo 2
Oba zbiory istnieją (~P8=1) i (~P3=1) i mają element wspólny, stąd w wyniku 1 (zbiór niepusty)
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3=~P8*P3=1 bo 3
Oba zbiory istnieją (~P8=1) i (P3=1) i mają element wspólny, stąd w wyniku 1 (zbiór niepusty)

Kod:

T3
Symboliczna tabela prawdy operatora chaosu P8|~~>P3:
A: P8~~> P3= P8* P3=[24..]       =1 - zbiór  P8* P3 niepusty (=1)
B: P8~~>~P3= P8*~P3=[8,16..]     =1 - zbiór  P8*~P3 niepusty (=1)
C:~P8~~>~P3=~P8*~P3=[1,2..4,5..] =1 - zbiór ~P8*~P3 niepusty (=1)
D:~P8~~> P3=~P8* P3=[3,6,9..]    =1 - zbiór ~P8* P3 niepusty (=1)

Zauważmy, że zbiory ABCD są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny.
Przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=P8
q=P3
stąd mamy ogólną tabelę prawdy operatora chaosu p|~~>q:
Kod:

T4
Symboliczna tabela prawdy operatora chaosu p|~~>q:
A: p~~> q= p* q =1 - zbiór  p* q niepusty (=1)
B: p~~>~q= p*~q =1 - zbiór  p*~q niepusty (=1)
C:~p~~>~q=~p*~q =1 - zbiór ~p*~q niepusty (=1)
D:~p~~> q=~p* q =1 - zbiór ~p* q niepusty (=1)



8.1.3 Właściwości operatora chaosu p|~~>q

Właściwości operatora chaosu p|~~>q:
1.
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład operatora chaosu p|~~>q wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe są wszystkie cztery zdania ABCD (wszystkie możliwe przeczenia zbiorów) kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów p i q
2.
Element wspólny zbiorów ~~> jest przemienny co wynika z przemienności iloczynu logicznego zbiorów.
3.
Operator chaosu p|~~>q dzieli dziedzinę (tu zbiór liczb naturalnych) na cztery zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zbiory ABCD są wzajemnie rozłączne:
[x,y]=[A,B,C,D]
Nie istnieje iloczyn logiczny zbiorów x*y który nie byłby zbiorem pustym.
Przykład:
A*B = (p*q)*(p*~q) = [] =0
bo q*~q=[] =0
cnd
Dowód iż suma logiczna zbiorów ABCD stanowi dziedzinę:
A+B+C+D = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q)+~p*(~q+q)=p+~p=1
cnd
4.
Operator chaosu p|~~>q to seria czterech zdań ABCD a nie jakiekolwiek jedno wyróżnione zdanie.


8.1.4 Kodowanie zero-jedynkowe operatora chaosu p|~~>q

Zakodujmy symboliczną tabelę prawdy operatora chaosu p|~~>q w postaci zero-jedynkowej przyjmując za punkt odniesienia zdanie A:
A: p~~>q=p*q
Kod:

T5
Symboliczna   |Co w logice       |Dla punktu      |Tabela
tabela prawdy |jedynek oznacza   |odniesienia     |tożsama
              |                  |A: p~~>q        |
              |                  |                | p   q p~~>q
A: p~~> q=1   |( p=1)~~>( q=1)=1 |(p=1)~~>(q=1)=1 | 1~~>1  =1
B: p~~>~q=1   |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(p=1)~~>(q=0)=1 | 1~~>0  =1
C:~p~~>~q=1   |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |(p=0)~~>(q=0)=1 | 0~~>0  =1
D:~p~~> q=1   |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(p=0)~~>(q=1)=1 | 0~~>1  =1
   a    b c      d        e    f   g       h    i   1   2   3
                                  Prawa Prosiaczka
                                  (~p=1)=(p=0)
                                  (~q=1)=(q=0)

Zauważmy, że wynikowy nagłówek tabeli zero-jedynkowej ABCD123 (p~~>q) wskazuje wyłącznie zdanie A, czyli zdanie względem którego zakodowano tabelę symboliczną ABCDabc.
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja spójnika elementu wspólnego zbiorów ~~> - to nie jest operator chaosu p|~~>q bowiem operator chaosu to wszystkie cztery linie ABCD a nie jedna linia.
Zauważmy, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” z obszaru operatora chaosu p|~~>q to mało ciekawe (delikatnie mówiąc) twierdzenie matematyczne, bowiem w takim twierdzeniu nie ma warunku wystarczającego => (gwarancji matematycznej =>), jest natomiast najzwyklejsze „rzucanie monetą” zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru p wylosujemy dowolny element to ten element może należeć do zbioru q (zdanie A) lub do zbioru ~q (zdanie B). Rzucanie monetą po stronie zbioru p jest ewidentne.
Podobnie:
Jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element to ten element może należeć do zbioru ~q (zdanie C) lub do zbioru q (zdanie D). Tu również rzucanie monetą jest ewidentne.

Porównajmy dwa twierdzenia matematyczne:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=P8*P3 =1 bo 24
2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Każda liczba podzielna przez 8 na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zauważmy, że twierdzenie 2 umożliwia matematyczne wnioskowanie:
Z faktu, że każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2 wnioskuję, że nie istnieje liczba podzielna przez 8 i niepodzielna przez 2
P8~~>~P2=P8*~P2 =0
Ze zdania zawsze prawdziwego 1 nic podobnego nie jesteśmy w stanie wnioskować.

W języku potocznym zdanie zawsze prawdziwe to bełkot którego w praktyce nikt nie wypowiada.
Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru lub nie pójdziemy ani do kina ani do teatru
Y=K+T+~K*~T
Minimalizujemy:
Y = (K+T)+(~K*~T)
Y = ~(~K*~T)+(~K*~T) - prawo De Morgana
Y = ~(~K*~T)+(~K*~T) =1
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p+p =1
Zdanie pani przedszkolanki jest zawsze prawdziwe, czyli cokolwiek jutro nie zrobi to nie ma szans na zostanie matematycznym kłamcą.
Podobne zdania zawsze prawdziwe:
B.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
C.
Jutro pójdziemy piechotą na Księżyc lub nie pójdziemy piechotą na Księżyc
etc
Wniosek:
Zdanie zawsze prawdziwe to matematyczny bełkot przez nikogo w praktyce nie używany.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:18, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:39, 23 Cze 2019    Temat postu:

8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q

Spis treści
8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q 1
8.2.1 Operator implikacji prostej p|=>q w praktyce 6
8.2.2 Implikacja prosta p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 9
8.2.3 Zdjęcie układu implikacji prostej p|=>q 10
8.2.4 Wnioskowanie ze zdjęcia układu implikacji prostej p|=>q 12



8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przy omawianiu definicji implikacji prostej p|=>q posłużymy się zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” wchodzącym w skład definicji implikacji prostej p|=>q.

Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2.
Wymuszam dowolną liczbą podzielną przez 8 i mam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>

Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P8 i P2 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8…]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Rozstrzygniecie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Powyższa definicja w zbiorach wynika z definicji ogólnej implikacji prostej p|=>q bowiem tylko i wyłącznie w takim układzie zbiorów zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest jednocześnie nadzbiorem ~> zbioru q.

Stąd mamy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
[link widoczny dla zalogowanych]



Zauważmy, że definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest w 100% zgodna z prawami rachunku zero-jedynkowego wiążącymi warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>.

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa te wyprowadzono w punkcie 7.0

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach (rys. R2) mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
Stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q odczytujemy z diagramu R2.
Kod:

T1
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
A1:  p=> q        =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A11: p~~>~q= p*~q =0 - bo zbioru p i ~q są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
A2: ~p~>~q        =1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
A21:~p~~>q =~p* q =1 - bo zbiory ~p i q mają element wspólny ~~>


W codziennym użytkowaniu możemy uprościć numerację linii, co jest bez znaczenia:
Kod:

T2
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
A: p=> q        =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B: p~~>~q= p*~q =0 - bo zbioru p i ~q są rozłączne
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
C:~p~>~q        =1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
D:~p~~>q =~p* q =1 - bo zbiory ~p i q mają element wspólny ~~>

Definicja implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jakakolwiek jedna, wybrana.

Z definicji symbolicznej operatora implikacji prostej p|=>q widzimy że:
1.
Linie AB:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q
A: p=>q =1
bowiem wykluczone jest (=0) aby wylosowany element ze zbioru p należał do zbioru ~q (linia B)
B: p*~q =[]
Matematycznie:
Gwarancja matematyczna => = warunek wystarczający =>
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten element należał do zbioru q (zdanie A).
2.
Linie CD:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to ten element może należeć do zbioru ~q (linia C) albo do zbioru q (linia D).
W liniach CD mamy do czynienia z „rzucaniem monetą”.

Innymi słowy:
W operatorze implikacji prostej p|=>q mamy do czynienie z gwarancją matematyczną => po stronie p i najzwyklejszym „rzucaniem monetą” po stronie ~p

Matematyczna definicja dziedziny:
Matematyczna definicja dziedziny to równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q.
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p=1

W operatorze implikacji prostej p|=>q zbiór B jest zbiorem pustym:
B: p*~q =[] =0
Stąd:
Fizyczna definicja dziedziny w operatorze implikacji prostej p|=>q:
D = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Z definicji fizycznej operatora implikacji prostej p|=>q widzimy że:
Operator implikacji prostej p|=>q dzieli dziedzinę D na trzy zbiory rozłączne i niepuste A,C,D uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D

Definicje operatorów logicznych w zbiorach:
1.
Operator chaosu p|~~>q to cztery i tylko cztery zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory rozłączne i niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
3.
Operator równoważności p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.


8.2.1 Operator implikacji prostej p|=>q w praktyce

Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Zapis tożsamy:
(P8=1)=>(P2=1) =1
Oba zbiory istnieją (=1) P8=1 i P2=1 i zbiór P8 jest podzbiorem => P2, stąd wynikowa jedynka.
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2.
Wymuszam dowolną liczbą podzielną przez 8 i mam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>

Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P8 i P2 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8…]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Rozstrzygniecie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

Dalszą analiza to prymitywny program komputerowy który bez problemu wydrukuje treść zdań BCD jak również wszelkie prawa wiążące warunek wystarczający => i konieczny ~>.

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie).
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Zapis tożsamy:
(P8=1)~~>(~P2=1) =0
Oba zbiory istnieją (P8=1) oraz (~P2=1) ale są rozłączne, stąd w wyniku mamy 0 (zdanie fałszywe)
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Dowód:
Dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych na mocy definicji.

… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Ogólne prawo Kubusia:
W warunku wystarczającym => negujemy zmienne wymieniając spójnik na przeciwny
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2
stąd mamy:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Zapis matematycznie tożsamy:
(~P8=1) ~>(~P2=1) =1
Oba zbiory istnieją (~P8=1) oraz (~P2=1) i zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2 stąd wynikowa jedynka (zdanie prawdziwe)
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1) na mocy prawa Kubusia, tu nic a nic nie musimy udowadniać … ale możemy udowodnić „przez pokazanie”:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] ~>~P2=[1,3,5,7,9..]
Gołym okiem widać, że zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
LUB
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=~P8*P2=1 bo 2
Zapis matematycznie tożsamy:
(~P8=1) =>(~P2=1) =1
Oba zbiory istnieją (~P8=1) oraz (P2=1) i mają element wspólny ~~>, stąd wynikowa jedynka (zdanie prawdziwe).
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] spełniona (=1) bo na przykład 2.
Zauważmy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> P2:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] ~> P2=[2,4,6,8..]=0
Jak również zbiór ~P8 nie jest podzbiorem => P2:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] => P2=[2,4,6,8..]=0
Stąd jedne możliwe kodowanie zdania prawdziwego D to element wspólny zbiorów ~~>.

Zapiszmy naszą analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia w tabeli prawdy przechodząc na zapis ogólny poprzez podstawienia:
p=P8
q=P2
stąd mamy
Kod:

T3
Analiza
symboliczna
A: p=> q        =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B: p~~>~q= p*~q =0 - bo zbioru p i ~q są rozłączne
C:~p~>~q        =1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
D:~p~~>q =~p* q =1 - bo zbiory ~p i q mają element wspólny ~~>

Zakodujmy powyższą analizę symboliczną w tabeli zero-jedynkowej przyjmując za punkt odniesienia zdanie:
A: p=>q

Kod:

T4
Kodowanie analizy symbolicznej względem zdania A: p=>q
Analiza     |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela
symboliczna |jedynek oznacza   |odniesienia       |tożsama
            |                  |A: p=>q           |
            |                  |                  | p   q  p=>q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
C:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0~> 0   =1
D:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1   =1
   a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                Prawa Prosiaczka
                                (~p=1)=(p=0)
                                (~q=1)=(q=0)

Zauważmy, że nagłówek w tabeli zero-jedynkowej „123” p=>q wskazuje zdanie A w tabeli symbolicznej „abc” względem którego dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Wniosek:
Tabela zero-jedynkowa „123” to definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q).

Zakodujmy naszą tabelę symboliczną „abc” względem zdania:
C: ~p~>~q
Kod:

T5
Kodowanie analizy symbolicznej względem zdania C:~p~>~q
Analiza     |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela
symboliczna |jedynek oznacza   |odniesienia       |tożsama
            |                  |C:~p~>~q          |
            |                  |                  |~p  ~q ~p~>~q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0   =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1   =0
C:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~> 1   =1
D:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~~>0   =1
   a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                Prawa Prosiaczka
                                (p=1)=(~p=0)
                                (q=1)=(~q=0)

Zauważmy, że tym razem nagłówek w tabeli zero-jedynkowej „123” ~p~>~q wskazuje zdanie C w tabeli symbolicznej „abc” względem którego dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Wniosek:
Tabela zero-jedynkowa „123” to definicja warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q).

Tożsamość kolumn wynikowych:
T4-3: p=>q = T5-3: ~p~>~q
Jest dowodem formalnym prawa Kubusia łączącego warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q.

8.2.2 Implikacja prosta p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2.
Wymuszam dowolną liczbą podzielną przez 8 i mam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>

Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P8 i P2 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8…]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Rozstrzygniecie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

W implikacji prostej P8|=>P2 mamy:
A1: P8=>P2 =1
B1: P8~>P2 =0

Stąd na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym zapisujemy.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=> q  = 2: ~p~> ~q  [=] 3: q~> p  = 4: ~q=> ~p  =1
A: 1: P8=>P2 = 2: ~P8~>~P2 [=] 3: P2~>P8 = 4: ~P2=>~P8 =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~> q  = 2: ~p=> ~q  [=] 3: q=> p  = 4: ~q~> ~p  =0
B: 1: P8~>P2 = 2: ~P8=>~P2 [=] 3: P2=>P8 = 4: ~P2~>~P8 =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli P8 to P2” jest częścią implikacji prostej P8|=>P2 potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234.

Zauważmy że naszym dowodem „przez pokazanie” udowodniliśmy:
A1: P8=>P2 =1
B1: P8~>P2 =0
Z linii B wynika, że zamiast dowodzić fałszywości B1: P8~>P2=0 możemy dowodzić fałszywość B3: P2=>P8 bo zachodzi prawo Tygryska.
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy poprzednik z następnikiem wymieniając spójnik na przeciwny
B1: P8~>P2 = B3: P2=>P8 =0
Dowód fałszywości B3 jest łatwiejszy:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo kontrprzykład: 2

Uproszczona definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Istnieje liczba podzielna przez 2 i niepodzielna przez 8.
Jak widzimy warunek wystarczający => dowodzi się prościej przez pokazanie kontrprzykładu, którego nie ma w warunku koniecznym ~>.


8.2.3 Zdjęcie układu implikacji prostej p|=>q

Zdjęcie układu w zbiorach to rozstrzygnięcie nie wprost w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Definicja negacji zbioru:
Negacją (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Negacja (~) zbioru = zaprzeczenie (~) zbioru

Przyjmujemy dziedzinę D.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
~q=[D-q]

Zdjęcie układu opisywanego zdaniem „Jeśli p to q” definiuje tabela prawdy zdjęcia:
Kod:

Zdjęcie układu w zbiorach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q=p*q=0


Rozważmy nasz sztandarowy przykład:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8=[8,16,24…] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo zbiory te mają co najmniej jeden element wspólny (np. 8)
Póki co mamy gołe twierdzenie jak wyżej udowodnione dla jednego przypadku.

Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P8 i P2 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8…]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Robimy zdjęcie zdania A, czyli jego analizę przez wszystkie możliwe przeczenia P8 i P2 elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Pozostałe możliwe przeczenia p i q to:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2=P8*~P2=[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Dowód:
Dowolny zbiór liczb parzystych (P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (~P2) na mocy definicji
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2=1 bo 1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny (np. 1)
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,8..9.] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny (np.2)


8.2.4 Wnioskowanie ze zdjęcia układu implikacji prostej p|=>q

Do akcji wprowadzamy teraz kluczową definicję kontrprzykładu oraz prawa Kubusia i prawa Tygryska.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Zapiszmy naszą analizę symboliczną w tabeli prawdy.
Kod:

T1
Zdjęcie zdania A
A: P8~~> P2=1
B: P8~~>~P2=0
C:~P8~~>~P2=1
D:~P8~~> P2=1

Matematyczne wnioskowanie na mocy definicji kontrprzykładu, praw Kubusia i praw Prosiaczka jest następujące.
Wnioskowanie na podstawie tabeli T1:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: P8~~>~P2 =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24 ..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
2.
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1.
Kod:

T1               |T2
Zdjęcie zdania A |Analiza w
                 |=>,~> i ~~>
A: P8~~> P2=1    | P8=> P2 =1
B: P8~~>~P2=0    | P8~~>~P2=0
C:~P8~~>~P2=1    |~P8~>~P2 =1
D:~P8~~> P2=1    |~P8~~>P2 =1

Dalsze wnioskowanie na podstawie T1:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:
D: ~P8~~>P2 =1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
4.
Prawo Kubusia:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego C: ~P8=>~P2 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24 ..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1-T2.
Kod:

T1               |T2          |T3
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w
                 |=>,~> i ~~> |=>,~> i ~~>
A: P8~~> P2=1    | P8=> P2 =1 | P8~> P2 =0
B: P8~~>~P2=0    | P8~~>~P2=0 | P8~~>~P2=0
C:~P8~~>~P2=1    |~P8~>~P2 =1 |~P8=>~P2 =0
D:~P8~~> P2=1    |~P8~~>P2 =1 |~P8~~>P2 =1

Dalsze wnioskowanie na podstawie T2.
5.
Prawo Tygryska:
A: P8=>P2 = A: P2~>P8 =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~>:
A: P2~>P8 =1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
6.
Prawo Kubusia:
A: P2~>P8 = C: ~P2=>~P8
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku koniecznego A: P2~>P8 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Element wspólny zbiorów ~~> jest przemienny, stąd wartość logiczna zdań B i C nie zmieni się.
Nanieśmy to do tabeli T1-T3.
Kod:

T1               |T2          |T3          |T4
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w   |Analiza w
                 |=>,~> i ~~> |=>,~> i ~~> |=>, ~> i ~~>
A: P8~~> P2=1    | P8=> P2 =1 | P8~> P2 =0 | P2~> P8 =1
B: P8~~>~P2=0    | P8~~>~P2=0 | P8~~>~P2=0 |~P2~~>P8 =0
C:~P8~~>~P2=1    |~P8~>~P2 =1 |~P8=>~P2 =0 |~P2=>~P8 =1
D:~P8~~> P2=1    |~P8~~>P2 =1 |~P8~~>P2 =1 | P2~~>~P8=1

Dalsze wnioskowanie możemy przeprowadzić na podstawie T4 i praw Kubusia albo na podstawie T3 i praw Tygryska.
Wybieramy tabelę T4.
7.
Prawdziwość kontrprzykładu D: P2~~>~P8=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: P2=>P8 =0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
8.
Prawo Kubusia:
A: P2=>P8 = C: ~P2~>~P8 =0
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego => A: P2=>P8 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1-T4.
Kod:

T1               |T2          |T3          |T4           |T5
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w   |Analiza w    |Analiza w
                 |=>,~> i ~~> |=>,~> i ~~> |=>, ~> i ~~> |=>,~> i ~~>
A: P8~~> P2=1    | P8=> P2 =1 | P8~> P2 =0 | P2~> P8 =1  | P2=> P8 =0
B: P8~~>~P2=0    | P8~~>~P2=0 | P8~~>~P2=0 |~P2~~>P8 =0  |~P2~~>P8 =0
C:~P8~~>~P2=1    |~P8~>~P2 =1 |~P8=>~P2 =0 |~P2=>~P8 =1  |~P2~>~P8 =0
D:~P8~~> P2=1    |~P8~~>P2 =1 |~P8~~>P2 =1 | P2~~>~P8=1  | P2~~>~P8=1

Na mocy powyższej tabeli zapisujemy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Kod:

T6
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
      T2A          T2C            T4A          T4C     
A: 1: P8=>P2 = 2: ~P8~>~P2 [=] 3: P2~>P8 = 4: ~P2=>~P8 =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
      T3A          T3C            T5A          T5C
B: 1: P8~>P2 = 2: ~P8=>~P2 [=] 3: P2=>P8 = 4: ~P2~>~P8 =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli P8 to P2” jest częścią implikacji prostej P8|=>P2 potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234.

W matematyce z serii zdań A możemy wybrać zdanie najprostsze do dowodu:
A1: P8=>P2 =1
Tu trzeba udowodnić że zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

W matematyce z serii zdań B również możemy wybrać zdanie najprostsze do dowodu:
B3: P2=>P8 =0 bo kontrprzykład 2
Definicja kontrprzykładu dla zdania B3
B31: P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] spełniona bo na przykład liczba 2 należy do obu zbiorów.
Prawdziwy kontrprzykład B31 wymusza fałszywość warunku wystarczającego B3 ( i odwrotnie).

Uwaga:
„Możemy” nie oznacza oczywiście że „musimy”. Łatwość dowodu to rzecz względna, zależy co kto lubi. W języku potocznym używanym przez nie matematyków wszystkie zdania serii A i B dowodzi się w sposób absolutnie trywialny. Udowodnimy to w części IV: „Algebra Kubusia - Matematyka języka potocznego”


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:19, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:41, 23 Cze 2019    Temat postu:

8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Spis treści
8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q 1
8.3.1 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w praktyce 5
8.3.2 Implikacja odwrotne p|~>q w warunkach koniecznych ~> i wystarczających => 8
8.3.3 Zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q 9
8.3.4 Wnioskowanie ze zdjęcia układu implikacji odwrotnej p|~>q 11



8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Przy omawianiu definicji implikacji odwrotnej p|~>q posłużymy się zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” wchodzącym w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P2 i P8 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P2=[2,4,6,8…]
P8=[8,16,24..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Rozstrzygnięcie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Powyższa definicja w zbiorach wynika z definicji ogólnej implikacji odwrotnej p|~>q bowiem tylko i wyłącznie w takim układzie zbiorów zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest jednocześnie podzbiorem => zbioru q.

Stąd mamy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
[link widoczny dla zalogowanych]



Zauważmy, że definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest w 100% zgodna z prawami rachunku zero-jedynkowego wiążących warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa te wyprowadzono w punkcie 7.0

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
Stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A123.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q odczytujemy z diagramu R3
Kod:

T1
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
B1:  p~> q        =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
B11: p~~>~q= p*~q =1 - bo zbiory p i ~q mają element wspólny ~~>
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
B2: ~p=>~q        =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B21:~p~~>q =~p* q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne


W codziennym użytkowaniu możemy uprościć numerację linii, co jest bez znaczenia.
Kod:

T2
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
A: p~> q        =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
B: p~~>~q= p*~q =1 - bo zbiory p i ~q mają element wspólny ~~>
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
C:~p=>~q        =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne

Operator implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery zdania ABCD a nie jakiekolwiek jedno, wybrane.

Z definicji symbolicznej operatora implikacji odwrotnej p|~>q widzimy że:
1.
Linie AB:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to ten element może należeć do zbioru q (linia A) albo do zbioru ~q (linia B).
W liniach AB mamy do czynienia z „rzucaniem monetą”.
2.
Linie CD:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q
C: ~p=>~q =1
bowiem wykluczone jest (=0) aby wylosowany element ze zbioru ~p należał do zbioru q (linia D)
D: ~p~~>q = ~p*q =[] =0
Matematycznie:
Gwarancja matematyczna => = warunek wystarczający =>
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten element należał do zbioru ~q (zdanie C).

Zauważmy że:
W operatorze implikacji odwrotnej p|~>q mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” po stronie p oraz z gwarancją matematyczną => po stronie ~p.

Matematyczna definicja dziedziny:
Matematyczna definicja dziedziny to równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q.
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p=1
W operatorze implikacji odwrotnej p|~>q zbiór D jest zbiorem pustym:
D: ~p*q =[] =0
Stąd:
Fizyczna definicja dziedziny w operatorze implikacji prostej p|=>q:
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q

Z definicji fizycznej operatora implikacji odwrotnej p|~>q widzimy że:
Operator implikacji odwrotnej p|~>q dzieli dziedzinę D na trzy zbiory rozłączne i niepuste A,B,C uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D

Definicje operatorów logicznych w zbiorach:
1.
Operator chaosu p|~~>q to cztery i tylko cztery zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory rozłączne i niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
3.
Operator równoważności p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny (poznamy za chwilę)


8.3.1 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w praktyce

Twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zapis tożsamy:
(P2=1)~>(P8=1) =1
Oba zbiory istnieją (P2=1) oraz (P8=1) i zbiór P2 jest nadzbiorem ~> P8, stąd jedynka w wyniku.
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8

Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P2 i P8 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P2=[2,4,6,8…]
P8=[8,16,24..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Rozstrzygnięcie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd
Dalszą analizę, czyli treść zdań BCD potrafi wydrukować najgłupszy nawet komputer.

LUB
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8=1 bo 2
Zapis tożsamy:
(P2=1)~~>(~P8=1) =1
Oba zbiory istnieją (P2=1) oraz (~P8=1) i mają element wspólny ~~>, stąd jedynka w wyniku.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny (np. 2)
Zauważmy że zbiór P2 nie jest podzbiorem => ~P8:
P2=[2,4,6,8..] => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] =0
Jak również zbiór P2 nie jest nadzbiorem ~> ~P8:
P2=[2,4,6,8..] ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] =0
Stąd jedne możliwe kodowanie zdania prawdziwego B to element wspólny zbiorów ~~>.

… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Ogólne prawo Kubusia:
W warunku koniecznym ~> negujemy zmienne wymieniając spójnik na przeciwny
A: P2~>P8 = C: ~P2=>~P8
stąd mamy:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zapis tożsamy:
(~P2=1) =>(~P8=1) =1
Oba zbiory istnieją (~P2=1) oraz (~P8=1) i zbiór ~P2 jest podzbiorem => ~P8, stąd jedynka w wyniku.
Prawdziwości warunku wystarczającego C nie musimy dowodzić bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia - ale możemy dowodzić.
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,8..9..]
Z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D ( i odwrotnie)
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[] =0
Zapis tożsamy:
Oba zbiory istnieją (~P2=1) oraz (P8=1), ale nie mają elementu wspólnego ~~>, stąd wynikowe zero.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie jest spełniona bo zbiory te są rozłączne.
Dowód:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych (~P2) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych (P8) na mocy definicji.

Zapiszmy naszą analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia w tabeli prawdy przechodząc na zapis ogólny poprzez podstawienia:
p=P8
q=P2
stąd mamy
Kod:

T3
Analiza
symboliczna
A: p~> q        =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
B: p~~>~q= p*~q =1 - bo zbiory p i ~q mają element wspólny ~~>
C:~p=>~q        =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne

Zakodujmy powyższą analizę symboliczną w tabeli zero-jedynkowej przyjmując za punkt odniesienia zdanie:
A: p~>q





Kod:

T4
Kodowanie analizy symbolicznej względem zdania A: p~>q
Analiza     |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela
symboliczna |jedynek oznacza   |odniesienia       |tożsama
            |                  |A: p~>q           |
            |                  |                  | p   q  p~>q
A: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1   =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0   =1
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
   a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                Prawa Prosiaczka
                                (~p=1)=(p=0)
                                (~q=1)=(q=0)

Zauważmy, że nagłówek w tabeli zero-jedynkowej „123” p~>q wskazuje zdanie A w tabeli symbolicznej „abc” względem którego dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Wniosek:
Tabela zero-jedynkowa „123” to definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q).

Zakodujmy naszą tabelę symboliczną „abc” względem zdania:
C: ~p=>~q
Kod:

T5
Kodowanie analizy symbolicznej względem zdania C: ~p=>~q
Analiza     |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela
symboliczna |jedynek oznacza   |odniesienia       |tożsama
            |                  |C:~p=>~q          |
            |                  |                  |~p  ~q ~p=>~q
A: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0~> 0   =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0~~>1   =1
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1   =1
D:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0   =0
   a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                Prawa Prosiaczka
                                (p=1)=(~p=0)
                                (q=1)=(~q=0)

Zauważmy, że tym razem nagłówek w tabeli zero-jedynkowej „123” ~p=>~q wskazuje zdanie C w tabeli symbolicznej „abc” względem którego dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Wniosek:
Tabela zero-jedynkowa „123” to definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).

Tożsamość kolumn wynikowych:
T4-3: p~>q = T5-3: ~p=>~q
Jest dowodem formalnym prawa Kubusia łączącego warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany p i q.


8.3.2 Implikacja odwrotne p|~>q w warunkach koniecznych ~> i wystarczających =>

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zapis tożsamy:
(P2=1)~>(P8=1) =1
Oba zbiory istnieją (P2=1) oraz (P8=1) i zbiór P2 jest nadzbiorem ~> P8, stąd jedynka w wyniku.
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8

Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P2 i P8 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P2=[2,4,6,8…]
P8=[8,16,24..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Rozstrzygnięcie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

W implikacji odwrotnej P2|~>P8 mamy:
A1: P2=>P8 =0
B1: P2~>P8 =1

Stąd na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym zapisujemy.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=> q  = 2: ~p~> ~q  [=] 3: q~> p  = 4: ~q=> ~p  =0
A: 1: P2=>P8 = 2: ~P2~>~P8 [=] 3: P8~>P2 = 4: ~P8=>~P2 =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~> q  = 2: ~p=> ~q  [=] 3: q=> p  = 4: ~q~> ~p  =1
B: 1: P2~>P8 = 2: ~P2=>~P8 [=] 3: P8=>P2 = 4: ~P8~>~P2 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A123.

Zauważmy że naszym dowodem „przez pokazanie” udowodniliśmy:
B1: P2~>P8 =1
A1: P2=>P8 =0
Z linii B wynika, że zamiast dowodzić prawdziwości B1: P2~>P8=1 możemy dowodzić prawdziwości B3: P8=>P2 bo zachodzi prawo Tygryska.
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy poprzednik z następnikiem wymieniając spójnik na przeciwny
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 =1
Dowód fałszywości B3 jest łatwiejszy bo mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>, gdzie obowiązuje kontrprzykład.

B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1

Uproszczona definicja kontrprzykładu:
Badamy czy istnieje ~~> element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego B3 nie istnieje bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne, zatem w zdaniu B3 spełniony jest warunek wystarczający =>:
B3: P8=>P2 =1
Powyższy fakt możemy też dowieść wprost:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd


8.3.3 Zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q

Zdjęcie układu w zbiorach to rozstrzygnięcie nie wprost w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Definicja negacji zbioru:
Negacją (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Zachodzi tożsamość pojęć:
Negacja (~) zbioru = zaprzeczenie (~) zbioru (do dziedziny)

Przyjmujemy dziedzinę D.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
~q=[D-q]

Zdjęcie układu opisywanego zdaniem „Jeśli p to q” definiuje tabela prawdy zdjęcia:
Kod:

Zdjęcie układu w zbiorach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q=p*q=0


Rozważmy nasz sztandarowy przykład:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 =1 bo 8
Póki co mamy twierdzenie prawdziwe dla jednego przypadku jak wyżej.
Wiemy że zbiory P2=[2,,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] maja co najmniej jeden element wspólny (np. 8) stąd zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest prawdziwe.
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P2 i P8 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P2=[2,4,6,8…]
P8=[8,16,24..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]

Robimy zdjęcie zdania A, czyli jego analizę przez wszystkie możliwe przeczenia P2 i P8 elementem wspólnym zbiorów ~~>.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P28~P8 =1 bo 2
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów spełniona (=1) bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny (np. 2).
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
~P2~~>~P8=~P2*~P8 =1 bo 3
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów spełniona (=1) bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny (np. 3).
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne.
Dowód:
Dowolny zbiór liczb parzystych (P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (~P2) na mocy definicji


8.3.4 Wnioskowanie ze zdjęcia układu implikacji odwrotnej p|~>q

Do akcji wprowadzamy teraz kluczową definicję kontrprzykładu oraz prawa Kubusia i prawa Tygryska.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Zapiszmy naszą analizę symboliczną w tabeli prawdy.
Kod:

A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8=P2*P8 =1 bo istnieje element wspólny zbiorów P2 i P8 (np.8)
T1
Zdjęcie zdania A
A: P2~~> P8=1 - bo istnieje element wspólny zbiorów P2 i P8 (np.8)
B: P2~~>~P8=1 - bo istnieje element wspólny zbiorów P2 i ~P8 (np. 2)
C:~P2~~>~P8=1 - bo istnieje element wspólny zbiorów ~P2 i ~P8 (np. 3)
D:~P2~~> P8=0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne


Matematyczne wnioskowanie na mocy definicji kontrprzykładu, praw Kubusia i praw Prosiaczka jest następujące.
Wnioskowanie na podstawie tabeli T1:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~P2~~>P8 =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
2.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego C: ~P2=>~P8 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: P2~~>P8 =1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1.
Kod:

T1               |T2
Zdjęcie zdania A |Analiza w
                 |~>,=> i ~~>
A: P2~~> P8=1    | P2~> P8 =1
B: P2~~>~P8=1    | P2~~>~P8=1
C:~P2~~>~P8=1    |~P2=>~P8 =1
D:~P2~~> P8=0    |~P2~~>P8 =0

Dalsze wnioskowanie na podstawie T1:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B:
B: P2~~>~P8 =1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
4.
Prawo Kubusia:
A: P2=>P8 = C: ~P2~>~P8 =0
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego A: P2=>P8 =0 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1-T2.
Kod:

T1               |T2          |T3
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w
                 |~>,=> i ~~> |~>,=> i ~~>
A: P2~~> P8=1    | P2~> P8 =1 | P2=> P8 =0
B: P2~~>~P8=1    | P2~~>~P8=1 | P2~~>~P8=1
C:~P2~~>~P8=1    |~P2=>~P8 =1 |~P2~>~P8 =0
D:~P2~~> P8=0    |~P2~~>P8 =0 |~P2~~>P8 =0

Dalsze wnioskowanie na podstawie T2.
5.
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: P2~>P8 = A: P8=>P2 =1
Prawdziwość warunku koniecznego A: P2~>P8 =1 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A: P8=>P2 =1
A: P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
6.
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C: ~P8~>~P2 =1
C: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Element wspólny zbiorów ~~> jest przemienny, stąd wartość logiczna zdań B i D nie zmieni się.
Nanieśmy to do tabeli T1-T3.
Kod:

T1               |T2          |T3          |T4
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w   |Analiza w
                 |~>,=> i ~~> |~>,=> i ~~> |~>,=> i ~~>
A: P2~~> P8=1    | P2~> P8 =1 | P2=> P8 =0 | P8=> P2 =1
B: P2~~>~P8=1    | P2~~>~P8=1 | P2~~>~P8=1 |~P8~~>P2 =1
C:~P2~~>~P8=1    |~P2=>~P8 =1 |~P2~>~P8 =0 |~P8~>~P2 =1
D:~P2~~> P8=0    |~P2~~>P8 =0 |~P2~~>P8 =0 | P8~~>~P2=0

Dalsze wnioskowanie możemy przeprowadzić na podstawie T4 i praw Kubusia albo na podstawie T3 i praw Tygryska.
Wybieramy tabelę T4.
7.
Prawdziwość kontrprzykładu : ~P8~~>P2=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C: ~P8=>~P2 =0 (i odwrotnie):
C: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
8.
Prawo Kubusia:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego C: ~P8=>~P2=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się

Nanieśmy to do tabeli T1-T4.
Kod:

T1               |T2          |T3          |T4          |T5
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w   |Analiza w   |Analiza w
                 |~>,=> i ~~> |~>,=> i ~~> |~>,=> i ~~> |~>,=> i ~~>
A: P2~~> P8=1    | P2~> P8 =1 | P2=> P8 =0 | P8=> P2 =1 | P8~> P2 =0
B: P2~~>~P8=1    | P2~~>~P8=1 | P2~~>~P8=1 |~P8~~>P2 =1 |~P8~~>P2 =1
C:~P2~~>~P8=1    |~P2=>~P8 =1 |~P2~>~P8 =0 |~P8~>~P2 =1 |~P8=>~P2 =0
D:~P2~~> P8=0    |~P2~~>P8 =0 |~P2~~>P8 =0 | P8~~>~P2=0 | P8~~>~P2=0

Na mocy powyższej tabeli zapisujemy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Kod:

T6
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
      T3A          T3C            T5A          T5C     
A: 1: P2=>P8 = 2: ~P2~>~P8 [=] 3: P8~>P2 = 4: ~P8=>~P2 =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
      T2A          T2C            T4A          T4C
B: 1: P2~>P8 = 2: ~P2=>~P8 [=] 3: P8=>P2 = 4: ~P8~>~P2 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli P2 to P8” jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8 potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234.

W matematyce z serii zdań B możemy wybrać zdanie najprostsze do dowodu:
B3: P8=>P2 =1
Tu trzeba udowodnić że zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

W matematyce z serii zdań A również możemy wybrać zdanie najprostsze do dowodu:
A1: P2=>P8 =0 bo kontrprzykład 2
Definicja kontrprzykładu dla zdania A1
A11: P2~~>~P8 = P2*~P8=1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] spełniona (=1) bo na przykład liczba 2 należy do obu zbiorów.
Prawdziwy kontrprzykład A11 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 ( i odwrotnie).

Uwaga:
„Możemy” nie oznacza oczywiście że „musimy”. Łatwość dowodu to rzecz względna, zależy co kto lubi. W języku potocznym używanym przez nie matematyków wszystkie zdania serii A i B dowodzi się w sposób absolutnie trywialny. Udowodnimy to w rozdziale „Algebra Kubusia w języku potocznym”


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:20, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:43, 23 Cze 2019    Temat postu:

8.4 Rodzaje równoważności

Spis treści
8.4 Rodzaje równoważności 1
8.4.1 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q 1
8.4.2 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 1
8.5 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów (pojęć) p=q 3
8.5.1 Równoważność p<=>q w praktyce 10
8.5.2 Równoważność w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 14
8.5.3 Zdjęcie układu równoważności p<=>q 15
8.5.4 Wnioskowanie ze zdjęcia równoważności p<=>q 17



8.4 Rodzaje równoważności

Rozróżniamy dwa rodzaje równoważności:

8.4.1 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q

1.
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów (pojęć) p=q


Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (p=>q)*(p~>q)

Twierdzenie proste sfinii:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów (pojęć) p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q = (p=>q)*p~>q)
Każda tożsamość pojęć (zbiorów) to równoważność p<=>q
Twierdzenie odwrotne śfinii jest fałszem bo równoważność definiująca tożsamość wiedzy p<==>~p

8.4.2 Prawo rozpoznawalności pojęcia p

2.
Równoważność definiująca tożsamość wiedzy p<==>~p


Równoważność definiująca tożsamość wiedzy p<==>~p to prawo rozpoznawalności pojęcia p.

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
Wiem co znaczy pojęcie p wtedy i tylko wtedy <==> gdy wiem co znaczy pojęcie ~p
p<==>~p = (A: p==>~p)*(B: p~~>~p) =1*1 =1
Prawo rozpoznawalności pojęcia p definiuje tożsamość wiedzy.
A.
Jeśli znam pojęcie p to na 100% ==> znam pojęcie ~p
p==>~p =1
Znajomość p jest wystarczająca ==> dla znajomości ~p
B.
Jeśli znam pojęcie ~p to na 100% ==> znam pojęcie p
~p==>p =1
Znajomość ~p jest wystarczająca ==> dla znajomości p

Stąd mamy równoważność wiedzy:
p<==>~p = (p==>~p)*(~p==>p)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia w przełożeniu na znaczki ==> i ~~>:
~p==>p = p~~>~p
Stąd tożsama definicja równoważność wiedzy:
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~p) =1*1 =1

Dowód prawa rozpoznawalności pojęcia p na poziomie abstrakcyjnym:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Zauważmy że tożsamość wiedzy p<==>~p:
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~q)
to fundamentalnie co innego niż tożsamość zbiorów (pojęć) p=p:
p=p <=> (p=>p)*(p~>p)
Z tego powodu znaczki definiujące tożsamość wiedzy p<==>~p muszą być różne od znaczków definiujących tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q => p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Proponowana notacja to podwojenie znaczków (=) i (~)

Znaczek tożsamości wiedzy <==> jest tożsamy ze znaczkiem różne #.
p<==>~p = p#~p
Z tego powodu równoważność wiedzy p<==>~p różna od klasycznej tożsamości zbiorów p=p nie jest w praktyce logiki matematycznej używana, co nie oznacza iż nie wolno jej używać.

Definicja znaczka #:
p#~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
Dowolna strona znaku # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Matematycznie zachodzi:
Pojęcie p to zaprzeczone (~) pojęcie ~p
p=~(~p)
Pojęcie ~p to zaprzeczone (~) pojęcie p
~p = ~(p)

Zadanie matematyczne ze 100-miloego lasu:

Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q
Wyznacz funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) oraz zapisz matematyczne związki miedzy tymi funkcjami.

Rozwiązanie:
1.
Mamy:
Y=p+q
Negujemy stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q
2.
~Y=~p*~q
Matematyczne związki między Y i ~Y to:
A.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
B.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logia dodatnia (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Matematyczne związki Y i ~Y to:
A: Y=p+q = ~(~p*~q) # B: ~Y=~p*~q = ~(p+q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Podsumowanie:
Doskonale tu widać dlaczego w praktyce logiki matematycznej prawo tożsamości wiedzy p<==>~p nie jest używane.
Zachodzi po prostu tożsamość znaczków:
p<==>~p = p # ~p

8.5 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów (pojęć) p=q

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest podzbiorem => q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (p=>q)*(p~>q)

Twierdzenie proste sfinii:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów (pojęć) p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q = (p=>q)*p~>q)
Każda tożsamość zbiorów (pojęć) to równoważność
Twierdzenie odwrotne śfinii jest fałszem bo prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy <==> gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
Wiem co znaczy pojęcie p wtedy i tylko wtedy <==> gdy wiem co znaczy pojęcie ~p
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~p)
Prawo rozpoznawalności pojęcia p definiuje tożsamość wiedzy.

Twierdzenie śfinii:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów (pojęć) p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Stąd:
Definicja równoważności związana z tożsamością pojęć p=q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wyprowadzono w punkcie 7.0
Aby udowodnić iż dowolne zdanie „Jeśli p to q” wchodzi w skład definicji równoważności potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Podstawowa definicja równoważności:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => by zaszło p
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy <==> gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
Wiem co znaczy pojęcie p wtedy i tylko wtedy <==> gdy wiem co znaczy pojęcie ~p
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~p)

Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p tożsamość zbiorów p=q wymusza ==> tożsamość zbiorów ~p=~q i odwrotnie:
p=q <==> ~p=~q = (p=q ==> ~p=~q)*(~p=~q ==> p=q)
Zapis matematycznie tożsamy:
p=q # ~p=~q

Definicja znaczka #:
Pojęcie po dowolnej stronie znaczka # jest zaprzeczeniem pojęcia po drugiej stronie
p=q # ~p=~q
Matematycznie zachodzą tożsamości zbiorów (pojęć):
(p=q) =~(~p=~q)
(~p=~q) = ~(p=q)

Stąd mamy:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
#
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (B2: ~p=>~q)*(A2: ~p~>~q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
p=q # ~p=~q
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Stąd mamy:
A.
Definicja równoważności dla zbiorów tożsamych p=q:

Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
#
B.
Definicja równoważności dla zbiorów tożsamych ~p=~q:

Równoważność ~p<=>~q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
~p=>~q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
~p~>~q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) = 1*1 =1
Gdzie:
p=q => p<=>q # ~p=~q => ~p<=>~q
Znaczenie znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Wniosek:
Równoważność definiująca zbiory tożsame p=q nie jest tożsama z równoważnością definiującą zbiory tożsame ~p=~q

Przy omawianiu równoważności, dla lepszego zrozumienia, posiłkować się będziemy równoważnością Pitagorasa.
Diagram równoważności na mocy równań A i B jest następujący.
[link widoczny dla zalogowanych]



Definicja równoważności p<=>q dla zbiorów tożsamych p=q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawa rachunku zero-jedynkowego wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa te wyprowadzono w punkcie 7.0

Stąd na mocy definicji równoważności p<=>q w zbiorach (Rys. R4) mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Z powyższego wynika 16 tożsamych definicji równoważności bo:

Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = A1: (p=>q)* B1: (p~>q)
Rozwijając A1 i B1 mamy:
p<=>q = A: (p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p)* B: (p~>q = ~p=>~q + q=>p = ~q~>~p) =1*1 =1

Najważniejsze z 16 tożsamych definicji równoważności to:

1.
Podstawowa definicja równoważności:

Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)=1*1=1

Zastosujmy do 1 ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
p~>q = q=>p
Stad mamy:
2.
Klasyczna definicja równoważności:

Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1

Zastosujmy do 1 ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
p~>q = ~p=>~q
Stąd mamy:
3.
Definicja równoważności wynikająca z tabeli zero-jedynkowej:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1

Symboliczna definicja równoważności p<=>q odczytana z diagramu R4 to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyłącznie w warunkach wystarczających =>:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Kod:

T1
Symboliczna definicja równoważności:
RA: p=q => p<=>q # RB: ~p=~q => ~p<=>~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
(p=q) # (~p=~q)
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
RA:
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q
p=q => p<=>q= A1: (p=>q) * B2: (~p=>~q)
A1:  p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
A11: p~~>q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
RB:
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów ~p=~q
~p=~q => ~p<=>~q= B2: (~p=>~q) * A1: (p=>q)
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B21:~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne

W codziennym użytkowaniu numerację linii możemy uprościć, co jest bez znaczenia.
Kod:

T2
Symboliczna definicja równoważności p<=>q:
RA: p=q => p<=>q # RC: ~p=~q => ~p<=>~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
(p=q) # (~p=~q)
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
RA:
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q
p=q => p<=>q= A: (p=>q) * C: (~p=>~q)
A: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
RC:
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów ~p=~q
~p=~q => ~p<=>~q= C: (~p=>~q) * A: (p=>q)
C:~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne

Definicja równoważności p<=>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jakakolwiek jedna, wybrana.

Z definicji symbolicznej operatora równoważności p<=>q widzimy że:
1.
Linie AB:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru p to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru q
A: p=>q =1
bowiem wykluczone jest (=0) aby wylosowany element ze zbioru p należał do zbioru ~q (linia B)
B: p*~q =[] =0
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten element należał do zbioru q (zdanie A).
Matematycznie:
Gwarancja matematyczna => = warunek wystarczający =>
2.
Linie CD:
Jeśli wylosujemy dowolny element ze zbioru ~p to mamy gwarancję matematyczną => iż ten element będzie należał do zbioru ~q
C: ~p=>~q =1
bowiem wykluczone jest (=0) aby wylosowany element ze zbioru ~p należał do zbioru q (linia D)
D: ~p*q =[] =0
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten element należał do zbioru ~q (zdanie C).
Matematycznie:
Gwarancja matematyczna => = warunek wystarczający =>

Innymi słowy:
W operatorze równoważności p<=>q mamy do czynienie z gwarancją matematyczną => zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
O żadnym „rzucaniu monetą” nie może tu być mowy, ani po stronie p, ani też po stronie ~p.

Matematyczna definicja dziedziny:
Matematyczna definicja dziedziny to równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe przeczenia zbiorów p i q.
D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p=1
W operatorze równoważności p<=>q zbiory B i D są zbiorami pustymi:
B: p*~q =[] =0
D: ~p*q =[] =0
Stąd:
Fizyczna definicja dziedziny w operatorze równoważności p<=>q:
D = A: p*q + C: ~p*~q

Z definicji fizycznej operatora równoważności p<=>q widzimy że:
Operator równoważności p<=>q dzieli dziedzinę D na dwa zbiory rozłączne i niepuste A i C uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D

Definicje operatorów logicznych w zbiorach:
1.
Operator chaosu p|~~>q to cztery i tylko cztery zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2
Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory rozłączne i niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
3.
Operator równoważności p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.


8.5.1 Równoważność p<=>q w praktyce

Rozważmy twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Zapis tożsamy:
(TP=1) => (SK=1) =1
Istnieją (=1) zbiory TP=1 i SK=1 między którymi zachodzi relacja podzbioru TP=>SK =1
W każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów.
Bycie prostokątem (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Twierdzenie proste Pitagorasa zostało udowodnione wieki temu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oznacza to, że zbiór trójkątów prostokątnych jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów.

Rozważmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
C.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Zapis tożsamy:
(SK=1)=>(TP=1) =1
Istnieją (=1) zbiory SK=1 i TP=1 miedzy którymi zachodzi relacja podzbioru SK=>TP =1
Każdy trójkąt w którym spełniona jest suma kwadratów jest trójkątem prostokątnym
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa również zostało udowodnione wieki temu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oznacza to, że zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych.

Sąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa i twierdzenie odwrotne Pitagorasa wchodzą w skład równoważności Pitagorasa definiującej tożsamość zbiorów:
TP=SK
Która to tożsamość na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p wymusza tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
albo odwrotnie.

Matematycznie zachodzi:
TP=SK => TP<=>SK # ~TP=~SK => ~TP<=>~SK
Znaczenie znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Matematycznie dla TP zachodzi definicja dziedziny:
D = ZWZ - zbiór wszystkich trójkątów
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla TP (albo odwrotnie)
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
To samo dla SK:
SK+~SK =D =1
SK*~SK =[] =0

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP=SK:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = A: (TP=>SK)* C: (SK=>TP)=1*1=1

Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Dla twierdzenia Pitagorasa:
A: SK=>TP = C: ~TP=>~SK
stąd tożsama równoważność Pitagorasa:

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP=SK:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = A: (TP=>SK)* C: (~TP=>~SK)=1*1=1

Analiza szczegółowa równoważności Pitagorasa przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
RA.
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP<=>SK = A: (TP=>SK)* C: (~TP=>~SK)
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK.
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie na mocy definicji podzbioru =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
stąd:
TP*~SK = SK*~SK = [] =0
cnd
RC.
Trójkąt jest nieprostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = C: (~TP=>~SK)* A: (TP=>SK)
C.
Jeśli trójkąt jest nieprostokątny to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zachodzi tożsamość zbiorów ~TP=~SK.
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego na mocy definicji podzbioru.
Z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
stąd:
~TP*SK = ~TP*TP = [] =0
cnd

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza symboliczna
równoważności
RA:
TP<=>SK= A: (TP=>SK)* C: (~TP=>~SK)
A: TP=> SK =1 - bo zbiór TP jest podzbiorem => SK
B: TP~~>SK =0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
RC:
~TP<=>~SK= C: (~TP=>~SK)* A: (TP=>SK)
C:~TP=>~SK =1 - bo zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
D:~TP~~>SK =0 - bo zbiory ~TP i SK są rozłączne

Przejdźmy na zapis ogólny podstawiając:
p=TP
q=SK
Kod:

T2
Analiza symboliczna
równoważności
RA:
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q
p<=>q= A: (p=>q) * C: (~p=>~q)
A: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
RC:
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów ~p=~q
~p<=>~q= C: (~p=>~q) * A: (p=>q)
C:~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q
D:~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne

Zakodujmy tabelę T2 zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia:
RA: p<=>q
Kod:

T3
Analiza symboliczna    |Co w logice       |Dla punktu:      |Tabela
równoważności          |jedynek oznacza   |RA: p<=>q        |tożsama
RA:                    |                  |                 |
       A:      C:      |                  |                 |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)  |                  |                 | p   q  p<=>q
A: p=> q =1            |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1| 1=> 1   =1
B: p~~>~q=0            |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0| 1~~>0   =0
RC:                    |                  |                 |
          C:      A:   |                  |                 |
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)|                  |                 |
C:~p=>~q =1            |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1| 0=> 0   =1
D:~p~~>q =0            |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0| 0~~>1   =0
   a   b  c               d        e    f    g        h    i  1   2    3
                                           Prawa Prosiaczka
                                           (~p=1)=(p=0)
                                           (~q=1)=(q=0)

Zakodujmy tabelę T3 zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia:
RC: ~p<=>~q
Kod:

T4
Analiza symboliczna    |Co w logice       |Dla punktu:      |Tabela
równoważności          |jedynek oznacza   |RB:~p<=>~q       |tożsama
RA:                    |                  |                 |
       A:      C:      |                  |                 |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)  |                  |                 |~p  ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1            |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1| 0=> 0   =1
B: p~~>~q=0            |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0| 0~~>1   =0
RC:                    |                  |                 |
          C:      A:   |                  |                 |
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)|                  |                 |
C:~p=>~q =1            |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1| 1=> 1   =1
D:~p~~>q =0            |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0| 1~~>0   =0
   a   b  c               d        e    f    g        h    i  1   2    3
                                           Prawa Prosiaczka
                                           (~p=1)=(p=0)
                                           (~q=1)=(q=0)

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
T2-3: p<=>q <==> T3-3: ~p<=>~q
Jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q <==> ~p<=>~q
Gdzie:
<==> - równoważność wynikająca z prawa rozpoznawalności pojęcia p

W miejsce znaku równoważności <==> nie możemy podstawić tożsamości „=” bowiem w zbiorach zachodzi.
Prawo śfinii:
Każda tożsamość matematyczna to równoważność
p=q => p<=>q = A: (p=>q)* C: (~p=>~q)
#
~p=~q => ~p<=>~q = C: (~p=>~q)* A: (p=>q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
p#~p
Prawdziwość dowolnej strony znaczka # wymusza fałszywość drugiej strony i odwrotnie.

Podsumowując:
Równoważność dotycząca trójkątów prostokątnych:
TP=SK => TP<=>SK
#
To co innego (#) niż równoważność dotycząca trójkątów nieprostokątnych:
~TP=~SK => ~TP<=>~SK

8.5.2 Równoważność w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja równoważności p<=>q dla zbiorów tożsamych p=q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Dla twierdzenia Pitagorasa mamy:
A1: TP=>SK =1
B1: TP~>SK =1

Stąd na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym zapisujemy.
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=> q  = 2: ~p~> ~q  [=] 3: q~> p  = 4: ~q=> ~p  =1
A: 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~> q  = 2: ~p=> ~q  [=] 3: q=> p  = 4: ~q~> ~p  =1
B: 1: TP~>SK = 2: ~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności TP<=>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP=SK:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = A1: (TP=>SK)* B3: (SK=>TP)=1*1=1

Wypowiedzmy zdanie prawdziwe A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzie w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Wypowiedzmy zdanie prawdziwe B1:
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP~>SK =1

Zauważmy, że dwa zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, nie są to zdania tożsame.

Dowód iż nie mogą to być zdania tożsame:
1.
TP<=>SK = A1: (TP=>SK)* B1: (TP~>SK) =1*1 =1
Zauważmy, że gdyby zachodziła tożsamość zdań:
2.
A1: TP=>SK = B1: TP~>SK
To matematyka ścisła leży w gruzach bowiem podstawiając 2 do 1 dostajemy sprzeczność czysto matematyczną:
TP<=>SK = TP=>SK
Innymi słowy dostajemy bzdurę iż:
Równoważność TP<=>SK jest tożsama z warunkiem wystarczającym TP=>SK
cnd


8.5.3 Zdjęcie układu równoważności p<=>q

Zdjęcie układu w zbiorach to rozstrzygnięcie nie wprost w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Definicja negacji zbioru:
Negacją (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Zachodzi tożsamość pojęć:
negacja (~) zbioru = zaprzeczenie (~) zbioru

Przyjmujemy dziedzinę D.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
~q=[D-q]

Zdjęcie układu opisywanego zdaniem „Jeśli p to q” definiuje tabela prawdy zdjęcia:
Kod:

Zdjęcie układu w zbiorach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q=p*q=0


Rozważmy twierdzenie Pitagorasa:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa zostało udowodnione wieki temu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oznacza to, że zbiór trójkątów prostokątnych jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów.

Rozważmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
C.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa również zostało udowodnione wieki temu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oznacza to, że zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych.

Sąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa i twierdzenie odwrotne Pitagorasa wchodzą w skład równoważności Pitagorasa definiującej tożsamość zbiorów:
TP=SK
która to tożsamość na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p wymusza tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
albo odwrotnie.

Matematycznie zachodzi:
TP=SK => TP<=>SK # ~TP=~SK => ~TP<=>~SK

Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Twierdzenie Pitagorasa
Przyjmijmy dziedzinę:
D = ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dla zbiorów TP i ~TP zachodzi:
TP+~TP =D =ZWZ =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP (albo odwrotnie)
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
TP#~TP
Zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP (albo odwrotnie)
Matematycznie zachodzą tożsamości zbiorów:
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP
~TP = ~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP

Dla twierdzenia Pitagorasa mamy:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: TP~>SK = 2: ~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli TP to SK” jest częścią równoważności TP<=>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Uwaga:
Tworząc zdjęcie twierdzenia Pitagorasa musimy założyć naszą wiedzę na temat prawdziwości twierdzenie prostego Pitagorasa A1: TP=>SK=1 i prawdziwości twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP =1.
Takie założenie nie jest potrzebne w „Teorii zdarzeń” którą niebawem poznamy.

Przeanalizujmy twierdzenie Pitagorasa przez wszystkie możliwe przeczenia TP i SK definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1 bo [3,4,5]
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> spełniona bo [3,4,5]
Pokazanie jednego trójkąta [3,4,5] wystarcza do udowodnienia prawdziwości zdania A
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>~SK =TP*~SK =0
Bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~SK=~TP
stąd:
TP*~SK=TP*~TP =[] =0
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1 bo [3,4,6]
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> spełniona bo [3,4,6]
Pokazanie jednego trójkąta [3,4,6] wystarcza do udowodnienia prawdziwości zdania B2
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów
~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Bo zbiory ~TP i SK są rozłączne
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
SK=TP
stąd:
~TP*SK=~TP*TP =[] =0

8.5.4 Wnioskowanie ze zdjęcia równoważności p<=>q

Do akcji wprowadzamy teraz kluczową definicję kontrprzykładu oraz prawa Kubusia i prawa Tygryska.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~2q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Zapiszmy naszą analizę symboliczną w tabeli prawdy.
Kod:

T1
Zdjęcie zdania A
A: TP~~> SK=1
B: TP~~>~SK=0
C:~TP~~>~SK=1
D:~TP~~> SK=0

Matematyczne wnioskowanie na mocy definicji kontrprzykładu, praw Kubusia i praw Prosiaczka jest następujące.
Wnioskowanie na podstawie tabeli T1:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: TP~~>~SK =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => SK
2.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: TP=>SK = C: ~TP~>~SK =1
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A: TP=>SK wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~TP~>~SK =1
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1.
Kod:

T1               |T2
Zdjęcie zdania A |Analiza w
                 |=>,~> i ~~>
A: TP~~> SK=1    | TP=> SK =1
B: TP~~>~SK=0    | TP~~>~SK=0
C:~TP~~>~SK=1    |~TP~>~SK =1
D:~TP~~> SK=0    |~TP~~>SK =0

Dalsze wnioskowanie na podstawie T1:
3.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~TP~~>SK =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~TP=>~SK =1
4.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
C: ~TP=>~SK = A: TP~>SK =1
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: TP~>SK =1
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1-T2.
Kod:

T1               |T2          |T3
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w
                 |=>,~> i ~~> |=>,~> i ~~>
A: TP~~> SK=1    | TP=> SK =1 | TP~> SK =1
B: TP~~>~SK=0    | TP~~>~SK=0 | TP~~>~SK=0
C:~TP~~>~SK=1    |~TP~>~SK =1 |~TP=>~SK =1
D:~TP~~> SK=0    |~TP~~>SK =0 |~TP~~>SK =0

Dalsze wnioskowanie na podstawie T2.
5.
Prawo Tygryska:
p=>q = q~>p
Zamieniamy zmienne miejscami i wymieniamy spójnik na przeciwny
A: TP=>SK = A: SK~>TP =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A: TP=>SK wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~>:
A: SK~>TP =1
6.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójnik na przeciwny
A: SK~>TP = C: ~SK=>~TP
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku koniecznego A: SK~>TP wymusza prawdziwość warunku wystarczającego ~> C:
C: ~SK=>~TP =1
Element wspólny zbiorów ~~> jest przemienny, stąd wartość logiczna zdań A11 i B21 nie zmieni się.
Nanieśmy to do tabeli T1-T3.
Kod:

T1               |T2          |T3          |T4
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w   |Analiza w
                 |=>,~> i ~~> |=>,~> i ~~> |=>, ~> i ~~>
A: TP~~> SK=1    | TP=> SK =1 | TP~> SK =1 | SK~> TP =1
B: TP~~>~SK=0    | TP~~>~SK=0 | TP~~>~SK=0 |~SK~~>TP =0
C:~TP~~>~SK=1    |~TP~>~SK =1 |~TP=>~SK =1 |~SK=>~TP =1
D:~TP~~> SK=1    |~TP~~>SK =0 |~TP~~>SK =0 | SK~~>~TP=0

Dalsze wnioskowanie możemy przeprowadzić na podstawie T4 i praw Kubusia albo na podstawie T3 i praw Tygryska.
Wybieramy tabelę T4.
7.
Fałszywość kontrprzykładu D: SK~~>~TP=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: SK=>TP =1
8.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójnik na przeciwny
A: SK=>TP = C: ~SK~>~TP =1
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A: SK=>TP=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~SK~>~TP =1
Zdania kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> nie zmienią się
Nanieśmy to do tabeli T1-T4.
Kod:

T1               |T2          |T3          |T4           |T5
Zdjęcie zdania A |Analiza w   |Analiza w   |Analiza w    |Analiza w
                 |=>,~> i ~~> |=>,~> i ~~> |=>, ~> i ~~> |=>, ~> i ~~>
A: TP~~> SK=1    | TP=> SK =1 | TP~> SK =1 | SK~> TP =1  | SK=> TP =1
B: TP~~>~SK=0    | TP~~>~SK=0 | TP~~>~SK=0 |~SK~~>TP =0  |~SK~~>TP =0
C:~TP~~>~SK=1    |~TP~>~SK =1 |~TP=>~SK =1 |~SK=>~TP =1  |~SK=>~TP =1
D:~TP~~> SK=1    |~TP~~>SK =0 |~TP~~>SK =0 | SK~~>~TP=0  | SK~~>~TP=0

Na mocy powyższej tabeli zapisujemy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Kod:

T6
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
      T2A          T2C            T4A          T4C     
A: 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
      T3A          T3C            T5A          T5C
B: 1: TP~>SK = 2: ~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli TP to SK” jest częścią równoważności TP<=>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:21, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:44, 23 Cze 2019    Temat postu:

9.0 Zakamarki Kubusiowej Teorii Zbiorów

Spis treści
9.0 Zakamarki Kubusiowej Teorii Zbiorów 1
9.1 Prawa przechodniości 1
9.1.1 Dowód prawa przechodniości na przykładzie 1
9.1.2 Dowód formalny prawa przechodniości 3
9.2 Spójniki „lub”(+), „albo($) oraz „i”(*) w poprzedniku warunku wystarczającego 5
9.2.1 Spójnik „lub”(+) i „albo($) w poprzedniku warunku wystarczającego 5
9.2.2 Spójnik „i”(*) w poprzedniku warunku wystarczającego 7
10.0 Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań 8
10.1 Algebra Kubusia w akcji 10
10.2 Klasyczny Rachunek Zdań w akcji 12



9.0 Zakamarki Kubusiowej Teorii Zbiorów

9.1 Prawa przechodniości

Matematyczne tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Prawo przechodniości warunku koniecznego ~>
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru r to na 100% => zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru r
(p~>q)*(q~>r) => (p~>r)

9.1.1 Dowód prawa przechodniości na przykładzie

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Dowód poprawności prawa przechodniości na zbiorach minimalnych.
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające prawo przechodniości:
p=[1]
q=[1,2]
r=[1,2,3]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną szerszą od sumy zbiorów p+q+r
D=[1,2,3,4]
Obliczenia przeceń zbiorów:
~p=[D-p] =[2,3,4]
~q=[D-q]=[3,4]
~r=[D-r]=[4]
Podsumowując:
~p=[2,3,4]
~q=[3,4]
~r=[4]

Prawo przechodniości jest tu spełnione w sposób oczywisty:
1.
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zastosujmy prawo Kubusia do 1.
(~p~>~q)*(~q~>~r) => (~p~>~r)
Czytamy:
Z faktu iż:
A: zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
„i”(*)
B: Zbiór ~q jest nadzbiorem ~> zbioru ~r
WYNIKA => iż:
C: zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~r

Uwaga:
Sprawdzamy czy tak jest w istocie - jeśli nie jest to matematyka ścisła, Algebra Kubusia, leży w gruzach.
Mamy:
~p=[2,3,4]
~q=[3,4]
~r=[4]

A.
~p~>~q
[2,3,4] ~> [3,4] =1 - bo definicja nadzbioru ~> spełniona (=1)
ok
B.
~q~>~r
[3,4]~>[4] =1 - bo definicja nadzbioru ~> spełniona (=1)
ok

Z A*B =1*1 wynika =>:
C.
~p~>~r
[2,3,4]~>[4] =1 - bo definicja nadzbioru ~> spełniona (=1)
ok

Jak widzimy, w Kubusiowej Teorii Zbiorów prawo przechodniości działa doskonale respektując fundamentalne prawa logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji.

9.1.2 Dowód formalny prawa przechodniości

Matematyczne tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
1.
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Dowód:
Zastosujmy prawo De Morgana:
a*b = ~(~a+~b)
dla lewej strony prawa przechodniości:
2.
~[~(p=>q) + ~(q=>r)] => (p=>r)

Zastosujmy ogólne prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki => i ~> na przeciwne
3.
~(p=>q) + ~(q=>r) ~> ~(p=>r)
Uwaga:
Z lewej strony 2 likwidujemy tylko negację sprzed nawiasu kwadratowego nie dotykając zawartości nawiasu kwadratowego.

Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Po zastosowaniu definicji znaczka => mamy:
4.
~(~p+q) + ~(~q+r) ~> ~(~p+r)

Prawo De Morgana:
~p+q = ~(p*~q)
stąd mamy:
5.
p*~q + q*~r ~> ~(~p+r)
Domyślna kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), => albo ~>

Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q

stąd:
6.
p*~q + q*~r + ~p+r
Uporządkujmy to wyrażenie logiczne grupując wspólne symbole (p i r):
7.
(p*~q + ~p) + (q*~r+r)

Podstawmy:
w=(p*~q)+~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~w) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~w = (~p+q)*p = p*~p + p*q
~w=p*q
Powrót do logiki dodatniej:
w=~p+~q

Podobnie podstawmy:
z=(q*~r) + r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~z = (~q+r)*~r = ~q*~r + r*~r
~z = ~q*~r
Powrót do logiki dodatniej:
z = q+r

Stąd:
8.
(p*~q + ~p) + (q*~r+r) = ~p+~q+q+r = ~p+1+r =1
bo:
~q+q=1
1+x =1
cnd

Dowód tożsamy otrzymamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego, gdzie zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są następujące.

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q


Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q  r |(p=>q) (q=>r) (p=>q)*(q=>r) (p=>r) (p=>q)*(q=>r)=>(p=>r)
A: 1  1  1 |  1      1          1         1                 1
B: 1  1  0 |  1      0          0         0                 1
C: 1  0  1 |  0      1          0         1                 1
D: 1  0  0 |  0      1          0         0                 1
E: 0  1  1 |  1      1          1         1                 1
F: 0  1  0 |  1      0          0         1                 1
G: 0  0  1 |  1      1          1         1                 1
H: 0  0  0 |  1      1          1         1                 1
   1  2  3    4      5          6         7                 8

Same jedynki w kolumnie 8 są dowodem poprawności prawa przechodniości warunku wystarczającego =>:
(p=>q)*(q=>r)=>(p=>r)


9.2 Spójniki „lub”(+), „albo($) oraz „i”(*) w poprzedniku warunku wystarczającego


9.2.1 Spójnik „lub”(+) i „albo($) w poprzedniku warunku wystarczającego

Rozpatrzmy na przykładach następujące związki w rachunku zero-jedynkowym:
(p+q)=>r = (p=>r)*(q=>r)
(p$q)=>r = (p=>r)$(q=>r)

Definicje spójników:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0

Kod:

Definicja spójnika „albo”($)
   p  q p$q
A: 1  1  0
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  1
D: 0  0  1


Dowody zero-jedynkowe:
Kod:

(p+q)=>r = (p=>r)*(q=>r)
   p  q  r p+q p+q=>r (p=>r) (q=>r) (p=>r)*(q=>r)
A: 1  1  1  1   1       1      1          1
B: 1  1  0  1   0       0      0          0
C: 1  0  1  1   1       1      1          1
D: 1  0  0  1   0       0      1          0
E: 0  1  1  1   1       1      1          1
F: 0  1  0  1   0       1      0          0
G: 0  0  1  0   1       1      1          1
H: 0  0  0  0   1       1      1          1

Przykład 1.
Kobieta lub (+) mężczyzna na 100% => jest człowiekiem = kobieta na 100% => jest człowiekiem i (*) mężczyzna na 100% => jest człowiekiem
(K+M)=>C = (K=>C)*(M=>C) =1*1=1
To jest zgodne z logiką człowieka

Kod:

(p$q)=>r = (p=>r)$(q=>r)
   p  q  r p$q p$q=>r (p=>r) (q=>r) (p=>r)$(q=>r)
A: 1  1  1  0   1       1      1          1
B: 1  1  0  0   1       0      0          1
C: 1  0  1  1   1       1      1          1
D: 1  0  0  1   0       0      1          0
E: 0  1  1  1   1       1      1          1
F: 0  1  0  1   0       1      0          0
G: 0  0  1  0   1       1      1          1
H: 0  0  0  0   1       1      1          1

Przykład 2.
Kobieta albo ($) mężczyzna na 100% => jest człowiekiem = kobieta na 100% => jest człowiekiem albo ($) mężczyzna na 100% => jest człowiekiem
(K$M)=>C = (K=>C)$(M=>C) =1$1 =0
Innymi słowy:
Jedno z dwóch, kobieta albo ($) mężczyzna na 100% => jest człowiekiem
To również jest zgodne z logiką człowieka
Innymi słowy:
Spójnik albo $ to spójnik wzajemnego wykluczenia:
Jeśli kobieta jest człowiekiem to nie może być, by mężczyzna był człowiekiem
Jeśli mężczyzna jest człowiekiem to nie może być by kobieta była człowiekiem
Oba te zdania są fałszywe w oczywisty sposób.

Zauważmy że matematycznie zachodzi:
p+q = p*q+p*~q+~p*q
Dla zbiorów p i q rozłącznych mamy:
p*q=[] =0
Stąd:
p+q =: p*~q + ~p*q =p$q
Dla zbiorów p i q rozłącznych mamy również:
p*~q =p
~p*q =q
Stąd:
p+q =: p*~q + ~p*q = p$q =: p+q
Gdzie:
=: - minimalizacja funkcji logicznej na gruncie teorii zbiorów

Jak widać w dla zbiorów rozłącznych p i q:
(p+q)=>r = (p=>r)*(q=>r) =1*1 =1
na gruncie teorii zbiorów (=: )doszliśmy do fałszu:
(p$q)=>r = (p=>r)$(q=>r) =1$1 =0
by ponownie na gruncie teorii zbiorów powrócić do prawdy:
(p+q)=>r = (p=>r)*(q=>r) =1*1 =1

Zauważmy, że dla zbiorów rozłącznych p i q rachunek zero-jedynkowy załamuje się tzn. nie da się udowodnić zero-jedynkowo poniższych praw teorii zbiorów.
1.
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p+q =: p*~q + ~p*q =p$q
2.
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q =p
~p*q =q

W technice załamanie się rachunku zero-jedynkowego nie jest niczym niezwykłym.
Studenci elektroniki doskonale wiedzą, że rachunek zero-jedynkowy obowiązujący w bramkach logicznych załamuje się już na banalnych układach średniej skali integracji: przerzutniki, rejestry, liczniki, multipleksery.

9.2.2 Spójnik „i”(*) w poprzedniku warunku wystarczającego

Rozważmy teraz następujące prawo rachunku zero-jedynkowego:
(p*q) =>r = (p=>r)+(q=>r)

Dowód:
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q

Lewa strona:
(p*q)=>r = ~(p*q)+r = ~p+~q+r+r = (~p+r)+(~q+r) = (p=>r) + (q=>r)
bo:
r=r+r - prawo powielania elementu zbioru r lub prawo powielania dowolnego podzbioru r
cnd

Weźmy przykład zdania dla zbiorów rozłącznych p i q:
Mężczyzna i kobieta na 100% => jest człowiekiem = mężczyzna na 100% => jest człowiekiem lub kobieta na 100% => jest człowiekiem
(M*K)=>C = (M=>C)+(K=>C)
Pozornie wszystko jest dobrze, więc dlaczego jest źle?
Zbiór:
M*K =[] - jest zbiorem pustym, bo zbiory M i K są rozłączne
Skąd lewą stronę zapisujemy:
L = ((M*K) =>C) = ([]=>C)

Prawo Kobry:
Dla zbiorów w tej samej fazie (oba niezaprzeczone lub oba zaprzeczone) warunkiem koniecznym prawdziwości relacji podzbioru p=>q jest jego prawdziwość relacji kodowanej elementem wspólnym zbiorów ~~>.
p=>q =1 - relacja podzbioru spełniona (=1)
p=>q =0 - relacja podzbioru niespełniona (=0)
Stąd mamy:
L’ = ((M*K)~~>C) = ([]~~>C) = []*C = [] =0
Bowiem iloczyn logiczny dowolnego zbioru (tu C) ze zbiorem pustym [] jest zbiorem pustym.

Stąd na mocy prawa Kobry lewa strona jest fałszem:
L = ((M*K)=>C) =[] =0

Co zatem oznacza udowodnione prawo?
(M*K)=>C = (M=>C)+(K=>C)

Prawo matematycznie jest dobre, ale na wejściu (lewa strona) wpuściliśmy śmiecia (zbiór pusty)
Zadziałało zatem prawo GIGO „Garbage In, Garbage Out”
[link widoczny dla zalogowanych]


10.0 Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań

Algebra Kubusia - póki co, wyłącznie logika matematyczna 100-milowego lasu
vs
Klasyczny Rachunek Zdań - aktualna logika matematyczna ziemian

Na czym polega fundamentalna różnica między Algebrą Kubusia a Klasycznym Rachunkiem Zdań?

I.
Algebra Kubusia:

„Jeśli p to q”
W algebrze Kubusia bada się relację między zbiorami zdefiniowanymi w poprzedniku i następniku.
Rozstrzygnięcia:
Zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy dana relacja jest spełniona
Inaczej:
Zdanie jest fałszywe

Cała Kubusiowa Teoria Zbiorów to zaledwie trzy relacje możliwe w zdaniach „Jeśli p to q”:
p~~>q=p*q - relacja elementu wspólnego zbiorów p i q
p=>q - relacja podzbioru =>, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Przykład:

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Rozpatrzmy twierdzenie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18.21.24..] jest spełniona bo istnieje element wspólny zbiorów P8 i P3 (np. 24)
Stąd twierdzenie A w algebrze Kubusia jest prawdziwe.
cnd

II.
Klasyczny Rachunek Zdań

„Jeśli p to q”
W KRZ bada się oddzielną prawdziwość/fałszywość poprzenika i następnika po czym z zero-jedynkowej definicji ziemskiej implikacji odczytuje się prawdziwość/fałszywość zdania.

Takie działania wymuszone są przez warunek niesprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.

[link widoczny dla zalogowanych]
Gżdacz w artykule wynurzenia z szamba napisał:

Jeśli 2*2=5, to jestem papieżem

Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości?
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".

Kod:

Zero-jedynkowa tabela ziemskiej implikacji
   p  q  Y=(p=>q)
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1


U ziemian jest wszystko bajecznie „proste”!
A.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
225=>224 =1
bo:
Poprzednik jest fałszem:
225=0
Następnik jest prawdą:
224=1
Zaglądamy do zero-jedynkowej tabelki ziemskiej implikacji i wychodzi nam:
0=>1 =1
Zdanie A jest prawdziwe.
cnd

10.1 Algebra Kubusia w akcji

Zobaczmy jak w praktyce działaj dwie konkurencyjne logiki matematyczne:
Algebra Kubusia - póki co, wyłącznie logika matematyczna 100-milowego lasu
vs
Klasyczny Rachunek Zdań - aktualna logika matematyczna ziemian

W aktualnie obowiązującej matematyce ziemian wszystko wydaje się być w porządku za wyjątkiem logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.

Przykład poprawnego fragmentu ziemskiej matematyki:
Matematycy rozumieją układ równań liniowych bardzo dobrze.
Teoria układu równań liniowych znalazła swoje zastosowanie w bardzo wielu dziedzinach techniki. Ostateczną weryfikacją teorii równań liniowych jest więc jej zastosowanie w świecie techniki.
Oczywistym jest że tu nie pojawi się Kubuś, stwórca naszego Wszechświata i nie będzie obalał teorii równań liniowych mającej potwierdzenie poprawności w świecie techniki w bardzo wielu różnych zastosowaniach.

Przykładem błędnego fragmentu ziemskiej matematyki jest logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań (KRZ)

Zauważmy, że KRZ rości sobie prawo do matematycznego opisu języka człowieka na mocy definicji.
Przecież fundament KRZ jest taki:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe

Weźmy najprostsze zdanie:
A.
Pies ma cztery łapy

Na jakiej podstawie ziemscy matematycy uznają to zdanie za prawdziwe bez żadnego dowodu matematycznego?
Zauważmy, że nie wolno zakodować tego zdania w następujący sposób:
A.
Pies ma cztery łapy
P=4L
To kodowanie jest idiotyzmem bo nie tylko pies ma cztery łapy.

Jak zatem poprawnie matematycznie zakodować zdanie twierdzące A?
Tylko i wyłącznie tak:
A.
Pies ma cztery łapy
P=>4L =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
Warunek wystarczający => jest tu spełniony bo zbiór jednoelementowy pies P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń …]
Powyższy dowód jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka.

Kluczowe pytanie jest tu takie:
Jaki zbiór przyjąć za dziedzinę dla zdania A?
Każdy 5-cio latek wie, że dziedziną minimalną będzie tu:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Pojęcie P=[pies] nie występuje wyłącznie w zdaniu A. Pojęcie P=[pies] występuje w opisie czterech zbiorów rozłącznych uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
D=A: P*4L + B: P*~4L + C: ~P*~4L + D: ~P*4L
Dowód iż to są zbiory rozłączne:
Iloczyn logiczny dowolnego zbioru z dowolnym innym jest zbiorem pustym
Przykład:
A*D = (P*4L)*(~P*4L) =[] =0
bo:
P*~P=[]=0
Dowód iż zbiory te uzupełniają się do dziedziny:
D = P*4L + P*~4L + ~P*~4L + ~P*4L
D = P*(4L+~4L) + ~P*(~4L+4L) = P+~P =1
cnd

Musimy zatem wygenerować dla zdania A wszystkie cztery, możliwe tu podzbiory rozłączne i uzupełniające się do dziedziny.
Uzyskamy to analizując cztery zdania ze zmiennymi P i 4L we wszystkich możliwych przeczeniach.
Wyznaczamy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów (uzupełnienia do dziedziny) dla dziedziny ZWZ.
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt (dziedzina)
P=[pies]
4L=[pies, słoń ..]
Obliczamy zaprzeczenia (~) zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..]
~4L=[ZWZ-4L]=[kura..]
Wszystkie możliwe przeczenia zbiorów to:
D = A: P*4L + B: P*~4L + C: ~P*~4L + D: ~P*4L =1

Z powyższego wynika, że pojęcia P i 4L mamy nie tylko w zdaniu A, ale również w zdaniach związanych dziedziną ZWZ, czyli w zdaniach BCD
… i musimy wszystkie te zdania rozpatrzyć!
Stąd:
B.
Pies może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L=P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów P=[pies] i ~4L=[kura..] nie jest spełniona (=0) bo zbiory te są rozłączne.
cnd
To jest dowód zrozumiały dla każdego 5-cio latka o którym KRZ nie ma pojęcia
C.
Nie pies może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura..]
cnd
To jest dowód zrozumiały dla każdego 5-cio latka o którym KRZ nie ma pojęcia
LUB
D.
Nie pies może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń …] spełniona bo istnieje wspólny element zbiorów ~P i 4L, na przykład: słoń
To jest dowód zrozumiały dla każdego 5-cio latka o którym KRZ nie ma pojęcia.
Warunek konieczny ~> w zdaniu D nie jest spełniony (=0) bo zbiór ~P=[słoń, kura..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..] (z zbiorze ~P brakuje psa).
Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można udowodnić w tożsamy sposób.
Prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B’: P=>~4L =0
B’.
Pies na 100% => nie ma czterech łap
P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>
cnd

Porównajmy matematyczne analizy wyżej, zrozumiałe dla każdego 5-cio latka z aktualną logika matematyczną ziemian zwaną Klasycznym Rachunkiem Zdań

10.2 Klasyczny Rachunek Zdań w akcji

Zajęcia z logiki matematycznej w zakładzie zamkniętym bez klamek, czyli w I klasie ziemskiego LO.

1.
Pani matematyczka:
Jeśli pies ma cztery łapy to pies może nie mieć czterech łap
Jasiu określi prawdziwość/fałszywość tego zdania?
Jaś:
to zdanie jest fałszywe bo:
p=1, q=0
Stąd z tabeli implikacji odczytujemy:
Y=0
Pani:
Brawo, ocena 5
2.
Pani matematyczka:
Jeśli pies ma cztery łapy to nie pies może nie mieć czterech łap
Zuzia, określ prawdziwość/fałszywość tego zdania.
Zuzia:
p=1, q=1
Z tabeli implikacji otrzymujemy:
Y=1 - zdanie prawdziwe
Pani:
Brawo, ocena 5
3.
Pani matematyczka:
Jeśli pies może nie mieć czterech łap to nie pies może mieć cztery łapy
Karol, określ prawdziwość/fałszywość tego zdania:
p=0, q=1
Z tabeli implikacji otrzymujemy:
Y=1
Pani:
Brawo, ocena 5
4.
Pani matematyczka:
Jeśli pies może nie mieć czterech łap to pies ma cztery łapy
Michał, określ prawdziwość/fałszywość tego zdania:
p=0, q=1
Z tabeli implikacji otrzymujemy:
Y=1
Pani:
Brawo, ocena 5
etc

Podsumowując:
Czy wszyscy widzą, jakim nonsensem jest KRZ?
Jeśli nie, to poproszę o wypowiedź na temat zajęć z logiki matematycznej w I klasie ziemskiego LO:
Czy pani matematyczka słusznie postawiła wszystkim ocenę 5?
Jaki jest sens takiej logiki matematycznej w I klasie LO?

Dokładnie taki jest ziemski Klasyczny Rachunek Zdań!


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 20:41, 01 Lip 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin