Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

AK I Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy

 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25045
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:37, 21 Cze 2019    Temat postu: AK I Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy

Algebra Kubusia

Część I
Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy


Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata = algebra Kubusia pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

W skład algebry Kubusia wchodzi pięć części:
Część I
Algebra Kubusia - Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy
Część II
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów
Część III
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zdarzeń
Część IV
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego człowieka
Część V
Algebra Kubusia w pigułce

Podręczniki I-V napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość pozostałych, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to I, II, III, IV, V

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej, której nie ma na studiach technicznych (elektronika na PW-wa).
Prawa Kubusia to efekt dyskusji w Wujem Zbójem:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj jako pierwszy ziemianin potwierdził matematyczną poprawność tych praw
3.
Fiklit - który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - kluczowy tester wypracowanej w dyskusji z Fiklitem końcowej wersji algebry Kubusia


Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019


Część I
Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy


[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]



Rozdziały części I algebry Kubusia:

1.0 Notacja
2.0 Rachunek zero-jedynkowy
3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe
4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe

Spis treści
1.0 Notacja 3
1.1 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach 5
1.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 5
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 5
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 6
1.2 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach 6
1.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 6
1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => zdarzeniach 6
1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 7
1.3 Prawo Lwa = Armagedon logiki matematycznej ziemian 7



Wstęp:

Prawo Lwa:
Niemożliwe jest wyrugowanie z logiki matematycznej któregokolwiek z 16 zero-jedynkowych operatorów logicznych, znanych ziemianom.

Ziemscy matematycy doskonale znają zero-jedynkowe definicje znaczków:
=> - warunek wystarczający (u ziemian znaczek ten nosi nazwę implikacji)
~> - warunek konieczny (brak nazwy tego znaczka u ziemian, co nie oznacza że u ziemian go nie ma!)
a mimo to doszli do wniosku że znaczek ~> jest matematycznie zbędny co oznacza, że matematycznie bredzą.
Dowód w punkcie 1.3

Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy w sposób istotny różni się od znanego ziemianom rachunku zero-jedynkowego.
Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy to w istocie operowanie prawami i równaniami logicznymi mającymi przełożenie 1:1 na rachunek zero-jedynkowy.

Kluczowe, nieznane pojęcia w ziemskim rachunku zero-jedynkowym to:
1.
Wprowadzenie logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
2.
Wprowadzenie znaczka różne na mocy definicji ##
Y=p*q ## Y=p+q
Znaczenie ogólne znaczka ##:
Nie istnieją prawa logiki matematycznej pozwalające w miejsce znaczka ## wstawić znak tożsamości logicznej „=”
3.
Wprowadzenie znaczka różne # w znaczeniu:
p#~p
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Przykład:
Y=p+q = ~(~p*~q) # ~Y=~p*~q = ~(p+q)

Aktualna logika matematyczna ziemian jest do bani co trafnie zauważył dr. Marek Kordos w miesięczniku „Delta”:
„Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?”
[link widoczny dla zalogowanych]


1.0 Notacja

Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.

Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość w obrębie danej teorii. Przykładowo, studentowi informatyki nie są potrzebne wiadomości w temacie „technologia wykonania mikroprocesora” mimo że programy pisze na komputerze którego sercem jest mikroprocesor. Co więcej, aksjomatyka może być na poziomie abstrakcyjnym jeśli takie podejście ułatwia zrozumienie teorii. Przykładowo w „Teorii zdarzeń” sięgnąłem po krasnoludki znakomicie ułatwiające zrozumienie teorii młodemu człowiekowi. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym (wszystko ma swoją przyczynę) niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to teoria zbiorów wyłożona w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”
Za aksjomatykę algebry Kubusia można też uznać zero-jedynkową tabelę szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.
Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)

Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - przedrostek „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q lub zdarzenie możliwe p~~>q
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q

KONIEC!
W algebrze Kubusia elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.

1.1 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

1.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zborów ~~> spełniona (=1) bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] mają element wspólny

1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna prze 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24…] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]


1.2 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach

1.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) bo możliwy jest przypadek „są chmury” (CH=1) i „pada” (P=1)

1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, są chmury

1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada
Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P


1.3 Prawo Lwa = Armagedon logiki matematycznej ziemian

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock

Prawo Lwa:
Niemożliwe jest wyrugowanie z logiki matematycznej któregokolwiek z 16 zero-jedynkowych operatorów logicznych, znanych ziemianom.

Dowód prawa Lwa:

Zacytujmy fragment niniejszego podręcznika

4.4.2 Operatory logiczne grupy II

Kod:

T0
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy II bazują na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”
Kod:

T2
Operatory logiczna grupy II wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
              |T21         |T22        |T23           |T24
              | =>         | ~>        |<=>           |~~>
              | OR(~p,q)   | OR(p,~q)  | Y=    ~Y=    |
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=  | p*q+   p*~q+ | Y=1)  ~Y=2)
   p  q ~p ~q |~p+q   p*~q | p+~q ~p*q |~p*~q  ~p*q   |   
A: 1  1  0  0 |  1     0   |  1     0  |   1     0    |  1      0
B: 1  0  0  1 |  0     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
C: 0  1  1  0 |  1     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
D: 0  0  1  1 |  1     1   |  0     1  |   1     0    |  1      0
                 1     2      3     4       5    6       7      8
1)
Y=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2)
~Y = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

Tabela T2
T21       ## T22       ## T23            ## T24
=>        ## ~>        ## <=>            ## ~~>
OR(~p,q)  ## OR(p,~q)  ##                ##
1: Y=~p+q ## 1: Y=p+~q ## 1: Y=p*q+~p*~q ## 1: Y=  p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2:~Y=p*~q ## 2:~Y=~p*q ## 2:~Y=p*~q+~p*q ## 2:~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różne na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.

Uwaga!
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny T2x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od T2x
Powyższą tabelę można rozszerzyć na wszystkie 16 operatorów logicznych znanych ziemianom, co oczywiście niczego nie zmieni, prawo Lwa będzie obowiązywało dalej.
W ten oto bajecznie prosty sposób prawo Lwa zostało udowodnione!

Prawo Lwa:
Niemożliwe jest wyrugowanie z logiki matematycznej któregokolwiek z 16 zero-jedynkowych operatorów logicznych, znanych ziemianom.

Dowód ekstra na konkretnym przykładzie:

T21:
Rozważmy tabelę zero-jedynkową T21
Kod:

Ziemska definicja znaczka =>
   p  q  Y=(p=>q)=~p+q ~Y=~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  1               0
B: 1  0  0               1
C: 0  1  1               0
D: 0  0  1               0

Stąd mamy definicję operatora T21 wyrażoną znaczkami „i”(*) oraz „lub”(+):
Y=~p+q
~Y=p*~q
co jest w 100% zgodności z tabelą T2!

T22:
Rozważmy tabelę zero-jedynkową T22
Kod:

Ziemska definicja znaczka ~>
   p  q  Y=(p~>q)=p+~q ~Y=~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  1               0
B: 1  0  1               1
C: 0  1  0               0
D: 0  0  1               0

Stąd mamy definicję operatora T22 wyrażoną znaczkami „i”(*) oraz „lub”(+):
Y=p+~q
~Y=~p*q
co jest w 100% zgodności z tabelą T2!

Podsumowując:
Największy ziemski matematyk, choćby zjadł 1000 kotletów i nie wiem jak się naprężał to nigdy nie udowodni związku matematycznego dowolnej funkcji logicznej w poziomie, zatem nigdy nie udowodni zbędności matematycznej choćby jednego z 16 operatorów logicznych

Na czym polega katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków?

Odpowiadam na konkretnym, z życia wziętym przykładzie:
Na uznaniu znanego im znaczka ~> (definicja zero-jedynkowa wyżej) za matematycznie zbędnego bowiem ich zdaniem znaczek ten można zastąpić znaczkiem => zwanym u ziemian implikacją.
Zdanie wyżej to czysto matematyczna bzdura co dowiedziono ciut wyżej.

Kwadratura koła dla ziemskich matematyków:
Poproszę o znalezienie matematycznego związku funkcjami logicznymi logicznym T21: => i T22: ~> w poziomie.

Moje rozwiązanie:
Doskonale widać, że nie jest możliwy jakikolwiek związek matematyczny między funkcjami T21 i T22

Dowód:
T21: =>
Y=~p+q = (p=>q)
~Y=p*~q = ~(p=>q)
##
T22: ~>
Y=p+~q = (p~>q)
~Y=~p*q = ~(p~>q)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy, że nawet jak rozszerzymy tabelę T2 na wszystkie 16 operatorów logicznych to nic się nie zmieni, czyli dalej będzie fizycznie niemożliwym wykazanie jakiegokolwiek związku matematycznego między dowolnymi dwoma funkcjami logicznymi w poziomie.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:48, 01 Kwi 2020, w całości zmieniany 34 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25045
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:40, 21 Cze 2019    Temat postu:

2.0 Rachunek zero-jedynkowy

Spis treści
2.0 Rachunek zero-jedynkowy 1
2.1 Definicja negacji 1
2.1.1 Prawo podwójnego przeczenia 2
2.2 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 2
2.2.1 Wykresy czasowe w logice matematycznej 3
2.2.2 Konwersja liczby binarnej na liczbę dziesiętną i odwrotnie 5
2.3 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego 8
2.4 Minimalizacja funkcji logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 15
2.4.1 Prawo przejścia do logiki przeciwnej 16
2.4.2 Mnożenie wielomianów logicznych 17
2.4.3 Kluczowe znacznie postaci alternatywno-koniunkcyjnej 18
2.4.4 Analiza zdania złożonego z języka potocznego 19
2.4.5 Przykłady minimalizacji funkcji logicznych 20
2.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych z równań logicznych 20
2.6 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych 23



2.0 Rachunek zero-jedynkowy

Rachunek zero-jedynkowy dzielimy na:
1.
Rachunek zero-jedynkowy spójników „i”(*) i „lub”(+)
2.
Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Zostanie przedstawiony w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”

W niniejszej części algebry Kubusia zajmować się będziemy wyłącznie spójnikami „i”(*) i „lub”(+).

2.1 Definicja negacji
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negacji
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B


2.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)

2.2 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej (dwuwartościowej):
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmienna binarna mogąca w osi czasu przyjmować dwie wartości logiczne 1 albo 0

Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Sygnał cyfrowy = zmienna binarna
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


Oś czasu w powyższych definicjach spójników „i”(*) i „lub”(+) to dla danej zmiennej kompletna kolumna wynikowa.


2.2.1 Wykresy czasowe w logice matematycznej

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ cyfrowy o n wejściach binarnych (p,q,r,s..) i tylko jedynym wyjściu binarnym Y
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuwartościowy

Prawo Kruka:
Każdą tabelę zero-jedynkową możemy przedstawić w postaci wykresu czasowego pokazującego w osi czasu wszystkie możliwe stany na wejściach bramki logicznej oraz odpowiedzi na wyjściu Y.

Najpopularniejszą reprezentacją cyfr binarnych 1 i 0 w świecie techniki jest technika TTL gdzie cyfrom 1 i 0 odpowiadają napięcia:
1 = H (high) = 2,4-5,0V - wysoki poziom logiczny
0 = L (low) = 0,0-0,4V - niski poziom logiczny

Wykresy czasowe definiujące działanie bramki „i”(*) i bramki „lub”(+) w technice cyfrowej (logice matematycznej) są następujące.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3

[link widoczny dla zalogowanych]


Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3

[link widoczny dla zalogowanych]

Wykresy czasowe w technice cyfrowej są tym, czym w matematyce klasycznej układ kartezjański. W katalogach układów cyfrowych powszechnie stosowany jest system wykresów czasowych gdzie doskonale widać zarówno znaczenie poszczególnych sygnałów cyfrowych, jak i działanie opisywanego układu.

2.2.2 Konwersja liczby binarnej na liczbę dziesiętną i odwrotnie

Uwaga!
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy załamuje się już na układach cyfrowych średniej skali integracji: przerzutniki, liczniki, rejestry, dekodery, multipleksery, demultipleksery etc
Niniejszy rozdział należy zatem traktować jako ciekawostkę, której zadaniem jest pokazanie iż technika cyfrowa bez wykresów czasowych jest tym, czym matematyka klasyczna bez układu Kartezjańskiego.

Konwersję dowolnie długiej liczby binarnej na liczbę dziesiętną opisuje równanie:
bn… b3,b2,b1,b0 = Bn*2^n+ … + b3*2^3 + b2*2^2 + b1*2^1 + b0*2^0
Gdzie:
bn.. b3,b2,b1,b0 - uporządkowany ciąg cyfr binarnych [0,1]
bn - cyfra najstarsza
b0 - cyfra najmłodsza

Konwersję czterocyfrowej liczby binarnej DCBA na liczbę dziesiętną opisuje równanie:
DCBA = D: x*2^3 + C: x*2^2 + B: x*2^1 + A: x*2^0
Innymi słowy:
DCBA = D: x*8 + C: x*4 + B: x*2 + A: x*1
gdzie:
DCBA - cyfry binarne [0,1]

Przykład:
Zamień liczbę binarną DCBA=1001 na liczbę dziesiętną.
Rozwiązanie:
DCBA = D: 1*8 + C: 0*4 + B: 0*2 + A: 1*1 = D: 8 + C: 0 + B: 0 + A: 1 = 9 (dziesiętnie)

Równie banalna jest konwersja dowolnej liczby dziesiętnej na liczbę binarną.
Algorytm konwersji:
Liczbą dziesiętną należy stale dzielić przez 2 zapisując wartość reszty z dzielenia

Zadanie:
Zamień liczbę dziesiętną 10 na liczbę binarną
Rozwiązanie:
Kod:

10/2=5 - b0=0 - brak reszty z dzielenia
5/2 =2 - b1=1 - jest reszta z dzielenia
2/2 =1 - b2=0 - brak reszty z dzielenia
1/2 =0 - b3=1 - jest reszta z dzielenia

Stąd mamy::
10 (dziesiętnie) = b3b2b1b0 = 1010 (binarnie)

Przykład wykresu czasowego z katalogu (strona 5):
[link widoczny dla zalogowanych]

[link widoczny dla zalogowanych]
Rys. 2.3 Czterobitowy licznik dziesiętny liczący do przodu albo do tyłu z ładowaniem równoległym

Jak czytać ten wykres czasowy?
1.
Wejścia binarne do czterobitowego licznika dziesiętnego to:
DATA(DCBA)
Wyjście binarne z czterobitowego licznika dziesiętnego to:
OUTPUTS (Qd, Qc, Qb, Qa)
2.
Sygnałem CLR licznik jest zerowany
Aktywny wysoki poziom logiczny sygnalizowany jest brakiem kreski nad nazwą sygnału.
Qd=Qc=Qb=Qa =0
3.
Sygnał ~LOAD przepisuje stan wejść DCBA do licznika dziesiętnego, co widać na wyjściach Qdcba
Aktywny niski poziom logiczny sygnalizowany jest kreską nad nazwą sygnału.
Kod:

Sytuacja pokazana na wykresie:
Wejścia     |Dziesiętnie
binarnie    |
D  C  B  A  |
0  1  1  1  | 0*8+1*4+1*2+1*1 =0+4+2+1 =7
            |
Wyjścia     |
Binarnie    |
Qd Qc Qb Qa |
0  1  1  1  |  7

4.
Wraz z narastającym zboczem sygnału UP zwiększana jest zawartość licznika co widać na wykresie czasowym.
5.
Przy stanie licznika dziesiętnego 9 = 1001B generowany jest sygnał ~CO (aktywny niski poziom logiczny sygnalizowany kreską nad nazwą sygnału) trwający tyle co niski poziom sygnału UP.
Przy kolejnym narastającym zboczu sygnału UP licznik jest zerowany i kontynuowane jest liczenie do przodu od stanu 0000.
W sumie na wyjściach licznika dziesiętnego pojawiają się kolejno liczby:
Kod:

Binarnie:   |Dziesiętnie
Qd Qc Qb Qa |
0  0  0  0  |  0
0  0  0  1  |  1
0  0  1  0  |  2
0  0  1  1  |  3
0  1  0  0  |  4
0  1  0  1  |  5
0  1  1  0  |  6
0  1  1  1  |  7
1  0  0  0  |  8
1  0  0  1  |  9
0  0  0  0  |  0
0  0  0  1  |  1
itd

6.
Dalsza część wykresu pokazuje że wejściem DOWN można zmniejszać zawartość licznika (liczenie do tyłu).

Posumowanie:
Inżynier elektronik bez wykresu czasowego to matematyk klasyczny bez układu kartezjańskiego - obaj są ślepi.


2.3 Elementarne prawa rachunku zero-jedynkowego

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


1.
Elementy neutralne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):

Elementem neutralnym w spójniku „”i”(*) jest 1
A: p*1 =p
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
B: p+0 =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 1A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=1 mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  q  p*q
A: 1* 1  1         | 1* 1   1
B: 1* 0  0         | 1* 1   1
C: 0* 1  0         | 0* 1   0
D: 0* 0  0         | 0* 1   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym iż 1 jest elementem neutralnym w spójniku „i”(*):
p*1 =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 1B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=0 mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  q  p+q
A: 1+ 1  1         | 1+ 0   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 0   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 0   0
D: 0+ 0  0         | 0+ 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym iż 0 jest elementem neutralnym w spójniku „lub”(+):
p*0 =p

2.
Prawa redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*) oraz do 1 w spójniku „lub”(+)

Prawo redukcji zmiennych binarnych do 0 w spójniku „i”(*)
A: p*0 =0
Prawo redukcji zmiennych binarnych do 1 w spójniku „lub”(+)
B: p+1 =1
W ogólnym przypadku zmiennych może być dowolnie dużo i nie muszą to być te same zmienne:
p*q*r*0 =0
p+q+r+1 =1

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 2A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=0 mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  q  p*q
A: 1* 1  1         | 1* 0   0
B: 1* 0  0         | 1* 0   0
C: 0* 1  0         | 0* 0   0
D: 0* 0  0         | 0* 0   0
   1  2  3           4  5   6

Same zera w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa redukcji do 0 w spójniku „i”(*)
p*0 =0

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 2B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=1 mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  q  p+q
A: 1+ 1  1         | 1+ 1   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 1   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 1   1
D: 0+ 0  0         | 0+ 1   1
   1  2  3           4  5   6

Same jedynki w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa redukcji do 1 w spójniku „lub”(+)
p+1 =1

3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:

A: p*p = p
B: p+p = p
Powyższe prawa działają dla dowolnej ilości zmiennych binarnych:
p*p*p*…*p =p
p+p+p+…+p =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 3A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla p=q mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p  p  p*p
A: 1* 1  1         | 1* 1   1
B: 1* 0  0         | 1* 1   1
C: 0* 1  0         | 0* 0   0
D: 0* 0  0         | 0* 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym prawa powielania/redukcji zmiennych binarnych połączonych spójnikiem „i”(*):
p*p =p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 3B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla p=q mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p  p  p+p
A: 1+ 1  1         | 1+ 1   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 1   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 0   0
D: 0+ 0  0         | 0+ 0   0
   1  2  3           4  5   6

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 4=6 jest dowodem formalnym prawa powielania/redukcji zmiennych binarnych połączonych spójnikiem „lub”(+)
p+p =p

4.
Prawa definiujące dziedzinę dowolnego równania logicznego:

Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
A: D=p+~p =1
Zbiory p i ~p są rozłączne
Iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych jest zbiorem pustym []
B: ~D=p*~p=[] =0

Z 4A mamy:
Definicję zaprzeczenia zbioru (~p):
Zbiór ~p to uzupełnienie do dziedziny D dla zbioru p
~p=[D-p]

Przykład:
Zdefiniujmy pojęcia znane każdemu 5-cio latkowi:
C = człowiek
M = mężczyzna
K = kobieta
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C = M+K
Obliczamy zaprzeczenie zbioru K:
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Czyli:
nie kobieta = mężczyzna
Jeśli człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Stąd mamy spełnioną definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Nasz przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~K=>M) =1*1 =1
Powyższa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów:
M (zbiór mężczyzn) = ~K (zbiór nie kobiet)

Jak widzimy wszystko co wyżej jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 4A:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=~p mamy:
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | p ~p  p+~p
A: 1+ 1  1         | 1+ 0   1
B: 1+ 0  1         | 1+ 0   1
C: 0+ 1  1         | 0+ 1   1
D: 0+ 0  0         | 0+ 1   1
   1  2  3           4  5   6

Same jedynki w kolumnie 6 są dowodem formalnym prawa uzupełnienia do dziedziny D dla zbioru p
D = p+~p =1

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 4B:
Kod:

Definicja spójnika |Dla q=~p mamy:
„i”(*)             |
   p  q p*q        | p ~p  p*~p
A: 1* 1  1         | 1* 0   0
B: 1* 0  0         | 1* 0   0
C: 0* 1  0         | 0* 1   0
D: 0* 0  0         | 0* 1   0
   1  2  3           4  5   6

Same zera w kolumnie 6 są dowodem formalnym rozłączności zbiorów p i ~p
~D=p*~p =[] =0

5.
Przemienność
Argumenty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne:

A: p*q = q*p
B: p+q = q+p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 5A:
Kod:

Definicja spójnika |
„i”(*)             |
   p  q p*q        | q  p q*p
A: 1* 1  1         | 1* 1  1
B: 1* 0  0         | 0* 1  0
C: 0* 1  0         | 1* 0  0
D: 0* 0  0         | 0* 0  0
   1  2  3           4  5  6

Tożsamość kolumn 3=6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w spójniku „i”(*)
p*q = q*p

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 5B:
Kod:

Definicja spójnika |
„lub”(+)           |
   p  q p+q        | q  p q+p
A: 1  1  1         | 1+ 1  1
B: 1  0  1         | 0+ 1  1
C: 0  1  1         | 1+ 0  1
D: 0  0  0         | 0+ 0  0
   1  2  3           4  5  6

Tożsamość kolumn 3=6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w spójniku „lub”(+)
p+q = q+p

6.
Łączność
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) spełniają relację łączności

A: p*(q*r) = (p*q)*r
B: p+(q+r) = (p+q)+r

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 6A:
Kod:

   p  q  r | (q*r) p*(q*r) | (p*q) (p*q)*r
A: 1  1  1 |   1    1      |   1     1
B: 1  1  0 |   0    0      |   1     0
C: 1  0  1 |   0    0      |   0     0
D: 1  0  0 |   0    0      |   0     0
E: 0  1  1 |   1    0      |   0     0
F: 0  1  0 |   0    0      |   0     0
G: 0  0  1 |   0    0      |   0     0
H: 0  0  0 |   0    0      |   0     0
   1  2  3     4    5          6     7

Tożsamość kolumn 5=7 jest dowodem formalnym prawa łączności w spójniku „i”(*):
A: p*(q*r) = (p*q)*r

Dowód w rachunku zero-jedynkowym dla 6B:
Kod:

   p  q  r | (q+r) p+(q+r) | (p+q) (p+q)+r
A: 1  1  1 |   1    1      |   1     1
B: 1  1  0 |   1    1      |   1     1
C: 1  0  1 |   1    1      |   1     1
D: 1  0  0 |   0    1      |   1     1
E: 0  1  1 |   1    1      |   1     1
F: 0  1  0 |   1    1      |   1     1
G: 0  0  1 |   1    1      |   0     1
H: 0  0  0 |   0    0      |   0     0
   1  2  3     4    5          6     7

Tożsamość kolumn 5=7 jest dowodem formalnym prawa łączności w spójniku „lub”(+):
B: p+(q+r) = (p+q)+r

7.
Prawa De Morgana:

I Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)
A: p*q = ~(~p+~q)
II Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)
B: p+q = ~(~p*~q)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 7A:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0

Kod:

Dowód I prawa De Morgana:
p*q=~(~p+~q)
Definicja spójnika |            |
„i”(*)             |            |
   p  q p*q        |~p ~q ~p+~q | ~(~p+~q)
A: 1* 1  1         | 0  0   0   |    1
B: 1* 0  0         | 0  1   1   |    0
C: 0* 1  0         | 1  0   1   |    0
D: 0* 0  0         | 1  1   1   |    0
   1  2  3           4  5   6        7

Tożsamość kolumn 3=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Uwaga:
Nazwy zmiennych wejściowych nad kolumnami 1 i 2 mogą być w dowolnych przeczeniach.
Stąd wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „i”(*) to:
p*q = ~(~p+~q)
p*~q = ~(~p+q)
~p*q = ~(p+~q)
~p*~q = ~(p+q)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym 7B:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0

Kod:

Dowód II prawa De Morgana:
p+q=~(~p*~q)
Definicja spójnika |            |
„lub”(+)           |            |
   p  q p+q        |~p ~q ~p*~q | ~(~p*~q)
A: 1  1  1         | 0  0   0   |    1
B: 1  0  1         | 0  1   0   |    1
C: 0  1  1         | 1  0   0   |    1
D: 0  0  0         | 1  1   1   |    0
   1  2  3           4  5   6        7

Tożsamość kolumn 3=7 jest dowodem formalnym prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Uwaga:
Nazwy zmiennych wejściowych nad kolumnami 1 i 2 mogą być w dowolnych przeczeniach.
Stąd wszystkie możliwe mutacje prawa De Morgana dla spójnika „lub”(+) to:
p+q = ~(~p*~q)
p+~q = ~(~p*q)
~p+q = ~(p*~q)
~p+~q = ~(p*q)

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków:
Błędne jest twierdzenie ziemskich matematyków jakoby na mocy prawa De Morgana zbędny był jeden ze spójników „i”(*) albo „lub”(+) bowiem do dowodu czysto matematycznego prawa De Morgana potrzebujemy zarówno zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) jak i zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+).
Innymi słowy:
Prawo De Morgana nie istnieje bez znajomości zero-jedynkowych definicji obu spójników „i’(*) i „lub”(+)


2.4 Minimalizacja funkcji logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja funkcji logicznej Y wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y wyrażona spójnikami „i”(+) i „lub”(+) to przyporządkowanie symbolowi Y dowolnej ilości zmiennych zanegowanych lub nie zanegowanych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Funkcja logiczna może być zapisana w logice dodatniej (bo Y):
Przykład: Y=p+q*(r+s)
albo w logice ujemnej (bo ~Y)
Przykład: ~Y=a+~b*(c+~d)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Matematyczne tożsamości:
Spójnik „i”(*) = koniunkcja
Spójnik „lub”(+) = alternatywa

Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną możemy tylko i wyłącznie dwustronnie negować:
Y=f(x)
~Y=~f(x)

Przykład:
Postać alternatywno-koniunkcyjna funkcji logicznej (alternatywa koniunkcji)
Y = p*q + ~p*~q - logika dodatnia (bo Y)
Domyślne wykonywanie działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Dowolną funkcję logiczną możemy tylko i wyłącznie negować stronami:
Nasz przykład:
~Y = ~(p*q+~p*~q) - logika ujemna (bo ~Y)

Podstawmy:
a=p*q
b=~p*~q
Stąd mamy:
~Y = ~(a+b)
Dla prawej strony korzystamy z prawa De Morgana:
~Y = ~a*~b
Odtwarzamy podstawienia:
~Y = ~(p*q)*~(~p*~q)
Znów korzystamy z prawa de Morgana dla poszczególnych członów:
~(p*q) = ~p+~q
~(~p*~q) = p+q
Stąd mamy::
~Y = (~p+~q)*(p+q)
Nasza funkcja ~Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną (koniunkcja alternatyw)

2.4.1 Prawo przejścia do logiki przeciwnej

Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną możemy wyłącznie dwustronnie negować
Y=f(x)
~Y=~f(x)
Algorytm skróconego przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Dokładnie to samo co wyżej możemy zrobić nieporównywalnie prościej korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej.

Nasz przykład:
Y = p*q + ~p*~q
Domyślna kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Krok 1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy
Y = (p*q)+(~p*~q)
Krok 2.
Negujemy zmienne wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
Domyślna kolejność wykonywania działań nie zmienia się:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Doskonale widać, że postać koniunkcyjno-alternatywną otrzymaliśmy tu bardzo prosto i błyskawicznie.

Weźmy bardziej skomplikowaną funkcję logiczną:
~Y = p+~p*q*r + ~(p*q+~r) - logika ujemna (bo ~Y)
Krok 1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
~Y = p+(~p*q*r) + ~(p*q+~r)
Krok 2.
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p*(p+~q+~r)*(p*q+~r)
Zauważmy, że jeśli mamy zanegowane wyrażenie w nawiasie:
1: ~(p*q+~r)
to w algorytmie przejścia do logiki przeciwnej wyłącznie likwidujemy przeczenie przed nawiasem - nie negujemy zmiennych w tym nawiasie.

2.4.2 Mnożenie wielomianów logicznych

Algorytm mnożenia wielomianów logicznych jest identyczny jak algorytm mnożenia wielomianów w matematyce klasycznej.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) traktujemy tu analogicznie jak znaczki mnożenia (*) i dodawania (+) z wielomianów algebraicznych, czyli mnożymy każdy człon wielomianu z każdym.
Domyślna kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy to na naszym przykładzie:
1.
Dana jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna:
Y = (p*q)+(~p*~q)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q)

Prawo Wróbelka:
Z dowolnej funkcji koniunkcyjno-alternatywnej może przejść do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów.

Przechodzimy do postaci alternatywno-koniunkcyjnej z naszą funkcją logiczną 2.
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p+ ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q +0 = p*~q + ~p*q
bo prawa algebry Kubusia:
~p*p =0
x+0 =x
Stąd mamy funkcję alternatywno-koniunkcyjną po minimalizacji:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)

Przejdźmy z równaniem 3 do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)

We wszystkich czterech równaniach 1234 zmienne p, q, Y są tymi samymi zmiennymi.
Stąd mamy tożsamości matematyczne [=]:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Ziemscy matematycy znają to co wyżej w postaci prawa Skowronka.

Prawo Skowronka:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

2.4.3 Kluczowe znacznie postaci alternatywno-koniunkcyjnej

W obsłudze języka potocznego człowieka kluczowe znaczenia ma postać alternatywno-koniunkcyjna zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
Postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie zrozumie.
Udowodnimy to na przykładzie równoważności wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) którą rozpracowaliśmy w poprzednim punkcie.

Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T

Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisuje układ równań Y i ~Y:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Podstawmy zdanie pani przedszkolanki:
p=K
q=T
Stąd mamy:
1: Y=K*T+~K*~T [=] 4: Y = (~K+T)*(K+~T)
oraz:
3: ~Y=K*~T + ~K*T [=] 2: ~Y = (~K+~T)*(K+T)

Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)

Odpowiedź na pytanie kiedy pani dotrzyma słowa (Y) w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka:
1: Y=K*T + ~K*~T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Odpowiedź na pytanie kiedy pani skłamie (~Y) w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym również jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
3: ~Y=K*~T + ~K*T
Czytamy:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zobaczmy teraz matematycznie tożsame odpowiedzi w równaniach koniunkcyjno-alternatywnych.
Kiedy pani dotrzyma słowa?
4: Y = (~K+T)*(K+~T)
Jak to przeczytać by nie zwariować?
Próbujmy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru i pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru

Horror widać jak na dłoni.
Przede wszystkim w języku potocznym nie istnieje coś takiego jak istotne tu nawiasy, a bez nich powyższe zdanie znaczy zupełnie co innego, znaczy to co niżej:
Y = ~K+T*K + ~T
Nawet gdybyśmy w języku potocznym krzyczeli że tu i tu jest nawias to i tak nie zrozumiemy kiedy pani dotrzyma jutro słowa - czarna dziura i tyle.
Dokładnie z tego powodu minimalizując zdania złożone wypowiadane przez człowieka musimy na końcu zapisać funkcję minimalną tylko i wyłącznie w postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

2.4.4 Analiza zdania złożonego z języka potocznego

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy na basen lub do kina i do teatru
Y=B+(K*T)
… a kiedy pani skłamie?
Przejście z 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprze negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~B*(~K+~T)
Przechodzimy do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla 5-cio latka poprzez wymnożenie wielomianu
~Y = ~B*~K + ~B*~T
Stąd mamy odpowiedź:
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~B*~K =1*1 =1 - nie pójdziemy na basen (~B=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
lub
~B*~T =1*1 =1 - nie pójdziemy na basen (~B=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)


2.4.5 Przykłady minimalizacji funkcji logicznych

1.
Prawo absorpcji

A: p+(p*q) =p
B: p*(p+q) =p

Jak to udowodnić bez tabeli zero-jedynkowej?

Dowód dla 1A:
Zapisujemy lewą stronę w postaci funkcji logicznej:
Y = p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(~p+~q)
Minimalizujemy:
~Y = ~p*~p + ~p*~q
~Y = ~p+~p*~q
~Y = ~p*1 + ~p*~q
~Y = ~p*(1+~q)
~Y=~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p
Stad mamy:
Y = p+(p*q) =p
cnd

Dowód dla 1B:
Zapisujemy lewa stronę w postaci funkcji logicznej:
Y = p*(p+q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+(~p*~q)
~Y = ~p*1 +~p*~q
~Y = ~p*(1+~q)
~Y=~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p
Stad mamy:
Y = p*(p+q) =p
cnd


2.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych z równań logicznych

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1


Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1


Weźmy układ równań logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisujący równoważność p<=>q który niedawno wyprowadziliśmy:

Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) opisuje układ równań Y i ~Y:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 2: Y = (~p+q)*(p+~q)
oraz:
3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

W tabeli zero jedynkowej musimy uwzględnić wszystkie sygnały widniejące w równaniu logicznym.
W naszym równaniu mamy dwa sygnały wejściowe p i q, zatem tabela prawdy wszystkich możliwych zdarzeń będzie czterowierszowa.

I.
Rozważmy na początek funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y):

1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y = (~p+q)*(p+~q)

Kod:

T1
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
1: Y=p*q+~p*~q
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q | p*q ~p*~q Y=p*q+~p*~q
A: 1  1  0  0 |  1    0    1
B: 1  0  0  1 |  0    0    0
C: 0  1  1  0 |  0    0    0
D: 0  0  1  1 |  0    1    1
   1  2  3  4    5    6    7

Otrzymana finalnie tabela zero-jedynkowa ABCD127 to zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
   p  q  Y=p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1  1      1
B: 1  0      0
C: 0  1      0
D: 0  0      1


Kod:

T2
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
2: Y=(~p+q)*(p+~q)
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q |~p+q  p+~q Y=(~p+q)*(p+~q)
A: 1  1  0  0 |  1    1    1
B: 1  0  0  1 |  0    1    0
C: 0  1  1  0 |  1    0    0
D: 0  0  1  1 |  1    1    1
   1  2  3  4    5    6    7

Otrzymana finalnie tabela zero-jedynkowa ABCD127 to zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
   p   q  Y=p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
A: 1<=>1      1
B: 1<=>0      0
C: 0<=>1      0
D: 0<=>0      1


Tożsamość kolumn zero-jedynkowych w tabelach:
T1: 7 = T2: 7
Jest dowodem formalnym w rachunku zero-jedynkowym poprawności naszej tożsamości:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 2: Y = (~p+q)*(p+~q)

II.
Rozważmy naszą funkcję w logice ujemnej (bo ~Y):

3: ~Y=p*~q + ~p*q [=] 4: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

W powyższej tożsamości nie ma nigdzie sygnału Y zatem nie musimy tego sygnału uwzględniać w tabeli zero-jedynkowej, co nie oznacza że nie możemy uwzględnić.
Kod:

T3
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
3: ~Y=p*~q+~p*q
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q | p*~q ~p*q ~Y=p*~q+~p*q
A: 1  1  0  0 |  0     0    0
B: 1  0  0  1 |  1     0    1
C: 0  1  1  0 |  0     1    1
D: 0  0  1  1 |  0     0    0
   1  2  3  4    5     6    7

Otrzymana finalnie tabela zero-jedynkowa ABCD127 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) w logice ujemnej (bo ~Y):
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) w logice ujemnej (bo ~Y)
   p  q  ~Y=p$q=(~p+q)*(p+~q)
A: 1$ 1      0
B: 1$ 0      1
C: 0$ 1      1
D: 0$ 0      0

Kod:

T4
Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla równania:
4: ~Y=(~p+~q)*(p+q)
Sygnały       |Sygnały
wejściowe     |wyjściowe
   p  q ~p ~q |~p+~q  p+q ~Y=(~p+~q)*(p+q)
A: 1  1  0  0 |  0     1    0
B: 1  0  0  1 |  1     1    1
C: 0  1  1  0 |  1     1    1
D: 0  0  1  1 |  1     0    0
   1  2  3  4    5     6    7



2.6 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<==>~p= (p==>~p)*(~p==>p) =1*1 =1
Uzasadnienie matematyczne powyższego równania poznamy w części II algebry Kubusia, jednak w naszym przypadku wystarczającym jest dowód abstrakcyjny, zrozumiały przez każdego człowieka.

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

Rozważmy zero-jedynkową definicję równoważności:
Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Y=p<=>q
   p  q  Y
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  1

Z prawa rozpoznawalności pojęcia p wynika, że powyższą tabelę musimy uzupełnić o sygnały zanegowane.
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności Y=p<=>q
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?
A: 1  1  0  0   1    0
B: 1  0  0  1   0    1
C: 0  1  1  0   0    1
D: 0  0  1  1   1    0


Prawo Wiewiórki:
Dowolną, pełną tabelę zero-jedynkową zawierającą wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane możemy opisać w logice jedynek albo w logice zer.

Logika jedynek:
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki w pełnej tabeli zero-jedynkowej stosując w poziomie spójnik „i”(*) zaś w pionie spójnik „lub”(+).

Logika zer:
W logice zer opisujemy wyłącznie zera w pełnej tabeli zero-jedynkowej stosując w poziomie spójnik „lub”(+) zaś w pionie spójnik „i”(*).

Zobaczmy to na przykładzie pełnej tabeli równoważności:

I.
Logika jedynek

Kod:

T3
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności Y=p<=>q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki w tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela           |Co w logice         |Równania
równoważności Y=p<=>q  |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?|                    |
A: 1  1  0  0   1    0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   0    1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   0    1 |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   1    0 | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5    6   a       b      c     d   e  f

Definicja operatora równoważności opisanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator równoważności opisany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) tu układ równań logicznych Y i ~Y

W tabeli równań cząstkowych ABCDdef w pionie stosujemy spójnik „lub”(+).
1.
Y=Ya+Yd
Po rozwinięciu mamy:
1: Y = A: p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> A: p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
2: ~Y= B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

II.
Logika zer

Kod:

T3
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności Y=p<=>q w logice zer
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice zer opisujemy wyłącznie zera w tabeli zero-jedynkowej.
W poziomie stosujemy spójnik „lub”(+), zaś w pionie spójnik „i”(*)
Pełna tabela           |Co w logice           |Równania
równoważności Y=p<=>q  |jedynek oznacza       |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?|                      |
A: 1  1  0  0   1    0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1   0    1 | Yb=0<=>~p=0 lub  q=0 | Yb=~p+ q
C: 0  1  1  0   0    1 | Yc=0<=> p=0 lub ~q=0 | Yc= p+~q
D: 0  0  1  1   1    0 |~Yd=0<=> p=0 lub  q=0 |~Yd= p+ q
   1  2  3  4   5    6   a       b        c     d   e  f

Definicja operatora równoważności opisanego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator równoważności opisany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) tu układ równań logicznych Y i ~Y

W tabeli równań cząstkowych ABCDdef w pionie stosujemy spójnik „i”(*).
3.
Y=Yb*Yc
Po rozwinięciu mamy:
3: Y = B: (~p+q)* C: (p+~q)
co w logice zer oznacza:
Y=0 <=> B: (~p=0 lub ~q=0) i C: (p=0 lub ~q=0)
4.
~Y=~Ya*~Yd
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = A: (~p+~q) * D: (p+q)
co w logice zer oznacza:
~Y=0 <=> A: (~p=0 lub ~q=0) i D: (p=0 lub q=0)

Wniosek:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek uzyskujemy równania alternatywno-koniunkcyjne, natomiast w logice zer otrzymujemy równania koniunkcyjno-alternatywne.

W logice jedynek i w logice zer mamy do czynienia z tymi samymi zmiennymi [p, q, Y].

Stąd zapisujemy tożsamości matematyczne:
1: Y = A: p*q + D: ~p*~q [=] 3: Y = B: (~p+q)* C: (p+~q)
2: ~Y= B: p*~q + C: ~p*q [=] 4: ~Y = A: (~p+~q) * D: (p+q)

Doskonale tu widać, dlaczego w przełożeniu na język potoczny wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne są zrozumiałe dla każdego człowieka.

Zauważmy że w logice zer w linii A mamy:
Kod:

   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?|                      |
A: 1  1  0  0   1    0 |~Ya=0<=>~p=0 lub ~q=0 |~Ya=~p+~q
   1  2  3  4   5    6   a       b        c     d   e  f

W naturalnej logice matematycznej człowieka widzimy że:
~Ya=0 <=> ~p=0 i ~q=0
Tymczasem w Aabc mamy spójnik „lub”(+) a nie spójnik „i”(*) jakby to wynikało z naturalnej logiki matematycznej człowieka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 8:54, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25045
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:42, 21 Cze 2019    Temat postu:

3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe


Spis treści
3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe 1
3.1 Definicja negatora 2
3.1.1 Prawo podwójnego przeczenia 2
3.2 Prawa Prosiaczka 2
3.2.1 Symboliczna definicja negatora 4
3.2.2 Definicja znaczka różne # 4
3.2.3 Prawo Prosiaczka w praktyce 5
3.3 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 6
3.3.1 Ogólna definicja równoważności 6
3.3.2 Równoważność w prawie rozpoznawalności pojęcia p 6
3.3.3 Klasyczna definicja równoważności 7
3.3.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia p w praktyce 8
3.3.5 Równoważność klasyczna w praktyce 9
3.3.6 Spójnik „albo”($) a prawo rozpoznawalności pojęcia p 10
3.3.7 Spójnik „albo” w języku potocznym 11
3.3.8 Największa rewolucja w historii odkrywania algebry Kubusia! 15
3.4 Operatory logiczne jednoargumentowe 19
3.4.1 Operator transmisji 20
3.4.2 Operator negacji 21
3.4.3 Operator chaosu 22
3.4.4 Operator śmierci 24



3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Interpretacja 1 i 0 w algebrze Kubusia:
1 = prawda (tak)
0 = fałsz (nie)

Matematyczny związek prawdy i fałszu:
1=~(0) - prawda nie może (~) istnieć bez fałszu
0=~(1) - fałsz nie może istnieć (~) bez prawdy
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Podobne aksjomaty binarne obowiązujące w naszym Wszechświecie:
D=~(Z) - dobro nie może (~) istnieć bez zła
Z=~(D) - zło nie może (~) istnieć bez dobra
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Z = ~(S) - Życie nie może (~) istnieć bez śmierci
S = ~(Z) - Śmierć nie może (~) istnieć bez życia
Bo zabraknie punktu odniesienia.
etc


3.1 Definicja negatora
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B

3.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)


3.2 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wynikają z definicji negatora (~):
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2


I Prawo Prosiaczka:
Linia A12
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K) = Fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie (~K)

II Prawo Prosiaczka:
Linia B12
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K) = Fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a Y i ~Y opisujących tą tabelę (i odwrotnie)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO:

I prawo Prosiaczka:

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

II prawo Prosiaczka:

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

3.2.1 Symboliczna definicja negatora
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

Wyprowadźmy symboliczną definicję negatora:
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   p ~p            |                    |                |         |
A: 1  0            |( p=1)*(~p=0)       |( p=1)*( p=1)   |( p=1)   | p
B: 0  1            |( p=0)*(~p=1)       |(~p=1)*(~p=1)   |(~p=1)   |~p
   1  2               3      4             5      6         7        8

Przejścia z tabeli AB34 do AB56 dokonano na mocy praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=0)=(p=1)
(p=0)=(~p=1)
W AB7 skorzystano z prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*p=p
Z AB78 mamy w pionie prawo rozpoznawalności pojęcia p o którym za chwilę

Symboliczną definicje negatora widać w kolumnie AB7.

Symboliczna definicja negatora:
Pojęcie ~p jest negacją pojęcia p

Stąd mamy wyprowadzoną definicję znaczka różne #

3.2.2 Definicja znaczka różne #

Definicję znaczka różne # mamy w symbolicznej definicji negatora w kolumnie AB78

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Matematycznie zachodzą tu tożsamości:
1: p=~(~p) - pojęcie p to zanegowane (~) pojęcie ~p (prawo podwójnego przeczenia)
2: ~(p)=~p - pojęcie ~p to zanegowane (~) pojęcie p

3.2.3 Prawo Prosiaczka w praktyce

Przejdźmy z symboliczną definicją negatora na przykład rodem z przedszkola.
Każdy 5-cio latek wie, jakie zwierzątka należą do zbioru zwierząt z czterema łapami (4L=1) a jakie należą do zbioru zwierzą nie mających czterech łap (~4L=1).
4L=[pies, słoń, hipopotam…]
~4L=[kura, wąż, stonoga …]
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Definicja dziedziny:
4L+~4L= ZWZ =1 - zbiór ~4L jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru 4L (albo odwrotnie)
4L*~4L =[] =0 - zbiory 4L i ~4L są rozłączne, nie mają elementu wspólnego (także zbioru pustego)

Podstawmy to do symbolicznej definicji negatora:
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   4L ~4L          |                    |                |         |
A: 1   0           |( 4L=1)*(~4L=0)     |( 4L=1)*( 4L=1) |( 4L=1)  | 4L
B: 0   1           |( 4L=0)*(~4L=1)     |(~4L=1)*(~4L=1) |(~4L=1)  |~4L
   1   2              3       4            5       6        7        8

Przejścia z tabeli AB34 do tabeli AB56 dokonano na mocy prawa Prosiaczka:
1.
Uzasadnienie przejścia z A4 do B6:
A4: (~4L=0) = B6: (4L=1)
Zdanie:
A4: (~4L=0)
Fałszem (=0) jest że wylosowane zwierzę (np. pies) należy do zbioru ~4L
jest tożsame (=) ze zdaniem:
B6: (4L=1)
Prawdą (=1) jest że to samo wylosowane zwierzę (np. pies) należy do zbioru 4L

2.
Uzasadnienie przejścia z B3 do B5:
B3: (4L=0) = B5: (~4L=1)
Zdanie:
Fałszem (=0) jest że wylosowane zwierzę (np. kura) należy do zbioru 4L
jest tożsame (=) ze zdaniem:
B5: (~4L=1)
Prawdą (=1) jest że to samo wylosowane zwierzę (np. kura) należy do zbioru ~4L


3.3 Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Ten rozdział ciut wyprzedza teorię która poznamy niebawem, ale matematycznie jest na poziomie 5-cio latka, tak wiec myślę, że mimo wszystko będzie zrozumiały.

Zapiszmy symboliczną definicję negatora:
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   p ~p            |                    |                |         |
A: 1  0            |( p=1)*(~p=0)       |( p=1)*( p=1)   |( p=1)   | p
B: 0  1            |( p=0)*(~p=1)       |(~p=1)*(~p=1)   |(~p=1)   |~p
   1  2               3      4             5      6         7        8

W AB7 skorzystano z prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*p=p
Z AB78 mamy w pionie prawo rozpoznawalności pojęcia p

3.3.1 Ogólna definicja równoważności

Ogólna definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*1 =1

3.3.2 Równoważność w prawie rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<==>~p= (p==>~p)*(~p==>p) =1*1 =1
A78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie p (p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1)
p==>~p=1
Warunek wystarczający p==>~p zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego pojęć p i ~p.
B78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie p (p=1)
~p==>p=1
Warunek wystarczający p==>~p zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego pojęć p i ~p.

Doskonale widać że równoważność rozumiana jako spełniony warunek wystarczający ==> w dwie strony tu zachodzi, ale nie ma tu mowy o tożsamości pojęć!
p=~p - FAŁSZ (0)

Dokładnie z tego powodu zarówno równoważność <==> dotycząca prawa rozpoznawalności pojęcia p jak i warunek wystarczający ==> wchodzący w skład tej równoważności muszą mieć inne znaczki niż równoważność klasyczna mówiąca o tożsamości zbiorów p=q.

Znaczenie znaczków w równoważności opisującej prawo rozpoznawalności pojęcia p:
<==> - równoważność w prawie rozpoznawalności pojęcia p
==> - warunek wystarczający w prawie rozpoznawalności pojęcia p

Uzasadnienie matematyczne:
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy definicję warunku wystarczającego ==> identyczną jak klasyczną definicję warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
To otrzymamy:
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
p<=>~p = (~(p)+~p)*(p+p) = ~p*p =0
Natomiast w klasycznej równoważności <=> mówiącej o tożsamości zbiorów p=q w wyniku dostaniemy tu 1.
p<=>q <=> (p=>q)*(q=>p)
Dla p=q mamy:
p<=>p = (p=>p)*(p=>p) = (p=>p) = ~p+p =1
cnd
To jest czysto matematyczne uzasadnienie wprowadzenia specjalnych znaczków do prawa rozpoznawalności pojęcia p.

W codziennym użytkowaniu wystarczający jest dowód abstrakcyjny, zrozumiały dla każdego człowieka.

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

3.3.3 Klasyczna definicja równoważności

Klasyczna definicja równoważności definiuje zbiory tożsame p=q.

Klasyczna definicja równoważności:
Równoważność <=> to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A: p<=>q = 1: (p=>q)* 2: (q=>p) =1*1 =1
W klasycznej definicji równoważności badamy relację między dwoma zbiorami p i q.
Jeśli zbiory są tożsame p=q to warunek wystarczający => w dwie strony jest spełniony (=1)
Prawo kontrapozycji dla A2:
A2: q=>p = ~p=>~q
Stąd tożsama definicja równoważności:
B: p<=>q = 1: (p=>q)* 2: (~p=>~q)
Ta definicja jest szczególnie przydatna w definiowaniu zbiorów tożsamych p=q
Dla p=q mamy:
C: p<=>p = 1: (p=>p)* 2: (~p=>~p)
Dlaczego jest przydatna?
Bo widać tu czarno na białym że zbiór p=p to nie to samo co zbiór ~p=~p
Spełniona jest tu definicja znaczka #.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Matematycznie zachodzą tu tożsamości zbiorów:
1: p=~(~p) - zbiór p to negacja (~) zbioru ~p
2: ~(p)=~p - zbiór ~p to negacja (~) zbioru p

W przypadku C1 badamy czy zbiór p jest podzbiorem => p
W przypadku C2 badamy czy zbiór ~p jest podzbiorem => ~p


3.3.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia p w praktyce

Zapiszmy prawo rozpoznawalności pojęcia p na przykładzie rodem z przedszkola.
Każdy 5-cio latek wie, jakie zwierzątka należą do zbioru zwierząt z czterema łapami (4L=1) a jakie należą do zbioru zwierzą nie mających czterech łap (~4L=1).
4L=[pies, słoń, hipopotam…]
~4L=[kura, wąż, stonoga …]
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Definicja dziedziny:
4L+~4L= ZWZ =1 - zbiór ~4L jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru 4L (albo odwrotnie)
4L*~4L =[] =0 - zbiory 4L i ~4L są rozłączne, nie mają elementu wspólnego (także zbioru pustego)

Podstawmy to do symbolicznej definicji negatora:
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   4L ~4L          |                    |                |         |
A: 1   0           |( 4L=1)*(~4L=0)     |( 4L=1)*( 4L=1) |( 4L=1)  | 4L
B: 0   1           |( 4L=0)*(~4L=1)     |(~4L=1)*(~4L=1) |(~4L=1)  |~4L
   1   2              3       4            5       6        7        8

Prawo rozpoznawalności pojęcia p ilustruje kolumna AB8:
Znam budowę zbioru 4L wtedy i tylko wtedy gdy znam budowę zbioru ~4L
4L<==>~4L = A78: (4L==>~4L)* B78: (~4L==>4L)

A78:
Jeśli znam budowę zbioru 4L (4L=1) to na 100% ==> znam budowę zbioru ~4L (~4L=1)
4L==>~4L=1
Warunek wystarczający 4L==>~4L zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego zbiorów 4L i ~4L.
B78:
Jeśli znam budowę zbioru ~4L (~4L=1) to na 100% ==> znam budowę zbioru 4L (4L=1)
~4L==>4L=1
Warunek wystarczający 4L==>~4L zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego zbiorów 4L i ~4L.

Doskonale widać że równoważność rozumiana jako spełniony warunek wystarczający ==> w dwie strony tu zachodzi, ale nie ma tu mowy o tożsamości zbiorów p=q
4L=~4L - FAŁSZ (0)

Przyjmijmy dla naszego zdania dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję dziedziny:
4L+~4L =ZWZ =1 - zbiór ~4L jest uzupełnieniem do dziedziny ZWZ dla zbioru 4L (albo odwrotnie)
4L*~4L =[] =0 - zbiory 4L i ~4L są rozłączne

ZWZ=4L+~4L
Stąd na mocy definicji przeczenia (~) zbioru rozumianego jako uzupełnienie do dziedziny mamy:
1: ~4L = [ZWZ-4L] = [4L+~4L- 4L]=~4L
2: ~(~4L) = [ZWZ-(~4L)] = [4L+~4L -(~4L)] = 4L
stąd:
1: ~4L=~4L
2: 4L=4L
Wniosek:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów 4L=4L to na 100% => zachodzi tożsamość zbiorów ~4L=~4L w dziedzinie ZWZ (i odwrotnie)
Innymi słowy:
Zachodzi tożsamość zbiorów 4L=4L wtedy i tylko wtedy <==> gdy zachodzi tożsamość zbiorów ~4L=~4L
(4L=4L)<==>(~4L=~4L)

Zauważmy, że definicja równoważności <==> definiującej rozpoznawalność pojęcia p w algebrze Kubusia jest tożsama z definicją znaczka #.
<==> = #

Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Nasz przykład:
4L # ~4L

Na mocy definicji znaczka # zachodzi tożsamość zbiorów:
1: 4L = ~(~4L) - W dziedzinie ZWZ zbiór 4L jest zaprzeczeniem (~) zbioru ~4L (i odwrotnie)
2: ~(4L) = ~4L - W dziedzinie ZWZ zaprzeczeniem (~) zbioru 4L jest zbiór ~4L (i odwrotnie)
Tożsamość zbiorów jest tu oczywistością:
1: 4L=4L
2: ~4L=~4L

3.3.5 Równoważność klasyczna w praktyce

Równoważność klasyczna mówi o tożsamości zbiorów p=q np.
4L=4L
Zbiór zwierząt z czterema lapami jest tożsamy ze zbiorem zwierząt z czterema łapami, co każdy 5-cio latek doskonale wie.

Oczywistym jest, że każda tożsamość pojęć (w tym zbiorów) to równoważność o klasycznej definicji równoważności <=>:
Równoważność <=> to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1

Prawo kontrapozycji:
q=>p = ~p=>~q
stąd tożsama, klasyczna definicja równoważności <=> szczególnie przydatna w opisie zbiorów tożsamych p=q to:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Dla zbiorów tożsamych p=q mamy:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p)

Weźmy tożsamość 5-cio latka:
4L=4L - tożsamość dwóch zbiorów z których każdy zawiera wszystkie zwierzęta z czterema łapami

Twierdzenie 5-cio latka:
Każda tożsamość pojęć (w tym zbiorów) to równoważność klasyczna mówiąca o tożsamości pojęć (zbiorów)

Dowód na przykładzie:
4L<=>4L = A: (4L=>4L)* C: (~4L=>~4L) =1*1 =1
bo:
Przyjmijmy za dziedzinę:
Uniwersum (U) - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Na mocy definicji mamy:
~4L=[U-4L]
Oczywistym jest że zachodzi tożsamość zbiorów:
~4L=~4L

A.
Jeśli coś należy do zbioru 4L to na 100% => należy do zbioru 4L
4L=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego na mocy definicji
cnd

C.
Jeśli coś należy do zbioru ~4L to na 100% => należy do zbioru ~4L
~4L=>~4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego na mocy definicji
cnd

Zadanie dla czytelnika:

Przyjmij w przykładzie wyżej dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Udowodnij prawdziwość równoważności:
4L<=>4L = A: (4L=>4L)* C: (~4L=>~4L) =1*1 =1

3.3.6 Spójnik „albo”($) a prawo rozpoznawalności pojęcia p

Zauważmy, że mutacja prawa rozpoznawalności pojęcia p może zachodzić także w spójniku „albo”($).

Przykład:
RA.
Każdy człowiek jest mężczyzną (M=1) albo ($) kobietą (K=1)
M$K = M*~K + ~M*K
W normalnym znaczeniu zapis:
M$K
Oznacza, że człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą, czyli nie może być jednocześnie mężczyzną i kobietą (M*K=[] =0).
M$K = M*~K + ~M*K
Innymi słowy:
Dowolny człowiek może być mężczyzną i nie być kobietą (M*~K) lub nie być mężczyzną i być kobietą (~M*K)

Zauważmy, że między M i K również zachodzi prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Znam pojęcie mężczyzna wtedy i tylko wtedy <==> gdy znam pojęcie kobieta
M<==>K = A: (M==>K)*(K==>M) =1*1 =1

A.
Jeśli znam pojęcie mężczyzna to na 100% ==> znam pojęcie kobieta
M==>K =1
Warunek wystarczający ==> zachodzi ale nie zachodzi tożsamość zbiorów
M=K - FAŁSZ (=0)

B.
Jeśli znam pojęcie kobieta (K=1) to na 100% ==> znam pojęcie mężczyzna (M=1)
K==>M =1
Warunek wystarczający ==> zachodzi ale nie zachodzi tożsamość zbiorów
K=M - FAŁSZ (=0)

Dziedzina:
C (człowiek) zbiór wszystkich ludzi
Matematycznie zachodzi:
M+K =C =1 - zbiór kobiet jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru mężczyzn (albo odwrotnie)
M*K =[] =0 - zbiory mężczyzn i zbiór kobiet są rozłączne

Zachodzi oczywiście matematyczna tożsamość znaczków:
<==> = #

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
M#K
Na mocy definicji znaczka # w dziedzinie C (człowiek) mamy:
C = M+K
stąd na mocy definicji przeczenia (~) zbioru rozumianego jako uzupełnienie do dziedziny:
~M=[C-M] =[M+K -M] = K
~K = [C-K] = {M+K -K] =M
Zachodzi oczywiście tożsamość zbiorów:
~M=K - zaprzeczeniem (~) zbioru mężczyzn jest zbiór kobiet
~K=M - zaprzeczeniem (~) zbioru kobiet jest zbiór mężczyzn
cnd


3.3.7 Spójnik „albo” w języku potocznym

Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

Wyprowadźmy symboliczną definicję negatora:
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   p ~p            |                    |                |         |
A: 1  0            |( p=1)*(~p=0)       |( p=1)*( p=1)   |( p=1)   | p
B: 0  1            |( p=0)*(~p=1)       |(~p=1)*(~p=1)   |(~p=1)   |~p
   1  2               3      4             5      6         7        8

Przejścia z tabeli AB34 do AB56 dokonano na mocy praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=0)=(p=1)
(p=0)=(~p=1)
W AB7 skorzystano z prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*p=p

Symboliczną definicje negatora widać w kolumnie AB7.

Definicja negatora:
Definicja negatora to definicja znaczka różne #

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem (~) drugiej strony
p#~p
Matematycznie zachodzi tu definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - pojęcie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla pojęcia p (albo odwrotnie)
p*~p =[] =0 - pojęcia p i ~p są rozłączne

Taką relację zbiorów definiuje spójnik „albo”($).

Dla uproszczenia wykładu ograniczymy się do zbiorów, ale wykład będzie oczywiście pasował do dowolnych pojęć (nie tylko zbiorów)

Ogólna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) definiuje dwa zbiory rozłączne p i q
p$q = p*~q + ~p*q

Możliwe są tu dwa przypadki:

Przypadek I.
Istnieje minimalna definicja dziedziny w skład której wchodzą wyłącznie zbiory p i q


To jest przypadek trywialny:
Definicja spójnika „albo”($):
1: p$q = p*~q + ~p*q

Z założenia mamy:
2: p+q =D =1 - zbiory p i q uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
3: p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne

Obliczamy zaprzeczenie (~) zbioru q rozumiane jako uzupełnienie do dziedziny D
~p=[D-p] = [p+q-p] = q
Stąd mamy tożsamość zbiorów:
4: q=~p
Po podstawieniu 4 do 1 mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*(~p) = p*p+~p*~p= p+~p =1
Stąd mamy:
p$~p =1

Innymi słowy dla tego przypadku zachodzi tożsamość znaczków:
spójnik „albo”($) = definicja znaczka #

Przypomnijmy definicję negatora #:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
p#~p

Przykład:
A.
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
1: M$K = M*~K + ~M*K

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Matematycznie w zbiorach zachodzi:
2: M+K =C =1 - zbiór kobiet jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru mężczyzn (albo odwrotnie)
3: M*K=[] =0 - zbiór mężczyzn i zbiór kobiet to zbiory rozłączne
Zauważmy, że definicja znaczka # jest tu spełniona:
M#K
Na mocy definicji przeczenia zbioru (~) rozumianego jako uzupełnienie do dziedziny mamy:
4: ~M=[C-M]=[M+K-M]=K
5: ~K=[C-K]=[M+K-K]=M
podstawiając 4 do 2 i 3 mamy:
2’: M+~M = C =1
3’: M*~M =[] =0
Podstawiając 4 do 1 mamy:
1’: M$~M = M*~(~M) + ~M*(~M)
1’: M$~M = M+~M =1
Oznacza to że zdanie tożsame do A jest następujące:
B.
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) nie jest mężczyzną (= jest kobietą)
M$~M

A=B
Stąd mamy tożsamość znaczków:
spójnik „albo”($) = różne #
M$K = M$~M = M#~M


Przypadek II.
Nie istnieje minimalna definicja dziedziny w skład której wchodzą wyłącznie zbiory p i q


Ten przypadek jest bardziej złożony:
Definicja spójnika „albo”($):
1: p$q = p*~q + ~p*q

W tym przypadku dziedzina nie jest sumą logiczną zbiorów rozłącznych p i q, jest szersza od tej sumy.

Oznaczmy:
D - dziedzina minimalna nie będąca sumą logiczną zbiorów rozłącznych p i q

Bez względu na przyjętą dziedzinę możemy wyliczyć przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny
2: ~p=[D-p]
3: ~q=[D-q]
Podstawmy to do definicji spójnika „albo”($):
p$q = p*[D-q] + [D-p]*q
Z założenia mamy iż zbiory p i q są rozłączne.
Stąd mamy:
p*[D-q] =p
[D-p]*q =q
Innymi słowy mamy prawa teorii zbiorów dla zbiorów p i q rozłącznych:
p*~q=p
~p*q =q
Stąd równanie 1 mówiące o zbiorach rozłącznych p i q na mocy teorii zbiorów minimalizujemy do postaci:
1: p$q = p*~q+~p*q := p+q

W przypadku zbiorów rozłącznych p i q możemy zamiast spójnika „albo”($) użyć spójnika „lub”(+)
Przykład:
Zamiast powiedzieć:
A.
Jeśli zwierzę jest psem albo kotem to ma cztery łapy
(P$K) =>4L =1
Możemy powiedzieć:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to ma cztery łapy
(P+K) => 4L =1

Zobaczmy jak nasz mózg obsługuje zdanie B.

Równanie alternatywno-koniunkcyjne spójnika „lub”(+) wynikłe z zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla zbiorów rozłącznych p i q (p*q=0) nasz mózg i tak wyląduje w spójniku „albo”($)
p$q = p*~q+~p*q
Wszystko tu zatem jedno czy wypowiemy zdanie A czy B, bowiem matematycznie, przy uwzględnieniu teorii zbiorów w której nasz mózg jest mistrzem zachodzi tożsamość zdań:
A=B

Inaczej jest jeśli możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q na przykład w takim zdaniu:
C.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y = K*T + K*~T + ~K*T
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Tu chwilą czasową jest cały jutrzejszy dzień, zetem możliwe jest że jutro pójdziemy do kina i do teatru.
Powyższe zdarzenia są rozłączne i każde z nich może jutro zajść.

Zatem tu w zdaniu C nie możemy w miejsce „lub”(+) użyć „albo”($)
D.
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y=K$T
Y = K*~T+~K*T

Tu zdania C i D nie są tożsame, czyli w miejsce C nie możemy wypowiedzieć D i odwrotnie.


3.3.8 Największa rewolucja w historii odkrywania algebry Kubusia!

To jest relacja na żywo ze śfinii z dnia 2019-07-01:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-logika-naszego-wszechswiata-w-definicjach,13067-300.html#459549

Istota rewolucji:
Odkrycie operatora równoważności <==> definiującego prawo rozpoznawalności pojęcia p.

Dlaczego ta rewolucja jest największa?
Bo jest ostatnia, podobnych rewolucji było w historii odkrywania algebry Kubusia bez liku.

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<===>~p = (p==>~p)*(~p==>p) =1*1 =1

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

Zauważmy, że dowód abstrakcyjny prawa rozpoznawalności pojęcia p jest w 100% pewny, z czym każdy ziemianin się zgodzi, od 5-cio latka poczynając.

Pozostaje problem powiązania tego prawa z zero-jedynkową definicją równoważności:
Kod:

   p  q p<=>q
A: 1  1   1
B: 1  0   0
C: 0  0   1
D: 0  1   0


Rozważmy ten problem na prostym przykładzie funkcji logicznych:
1.
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Matematycznie negujemy 1 stronami, o czym każdy ziemski matematyk wie.
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
Stąd mamy:
2.
~Y=~p*~q

Stąd mamy:

Prawo rozpoznawalności funkcji logicznej Y:
Funkcja logiczna Y=p+q jest rozpoznawalna wtedy i tylko wtedy <==> gdy rozpoznawalne jest jej zaprzeczenie ~Y=~p*~q
Y<==>~Y = A: (Y==>~Y)* C: (~Y==>Y) =1*1 =1

Zauważmy, że równoważność definiująca prawo rozpoznawalności funkcji logicznej Y nie definiuje tożsamości funkcji logicznych:
Y=~Y - to jest FAŁSZ(=0)
Z tego powodu zarówno znaczek równoważności <==> definiującej rozpoznawalność funkcji logicznej Y, jak i warunek wystarczający ==> w opisie tej równoważności musi mieć inne znaczki niż w równoważności klasycznej <=> definiującej po prostu tożsamość zbiorów.

Weźmy znaną każdemu matematykowi (sic!) równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych.
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy <=> gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem równoważność Pitagorasa jest prawdziwa.

Prawo kontrapozycji:
SK=>TP = ~TP=>~SK

stąd mamy tożsamą równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RA,
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy <=> gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1 =1

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
o czym każdy ziemski matematyk wie (sic!).

Dokładnie z tego powodu w równoważności opisującej prawo tożsamości wiedzy musimy użyć innych znaczków, bo tu nie ma mowy o tożsamości funkcji logicznych Y=p+q i ~Y=~p*~q

Dla równoważności opisującej tożsamość wiedzy przyjmijmy standard znaczków:
(Y=p+q)<==>(~Y=~p*~q) - równoważność <==> tożsamości wiedzy
(Y=p+q)==>(~Y=~p*~q) - warunek wystarczający ==> w opisie równoważności tożsamości wiedzy
~~~> - jest (=1) taka możliwość

Standard w równoważności klasycznej definiującej tożsamość zbiorów TP=SK pozostaje bez zmian:
TP<=>SK - równoważność klasyczna <=> definiująca tożsamość zbiorów TP=SK
TP=>SK - warunek wystarczający => w tej równoważności
~~> - istnieje (=1) element wspólny zbiorów

Cóż nam pozostaje?
Pozostaje nam przeanalizować funkcje logiczne Y=p+q i ~Y=~p*~q przez wszystkie możliwe przeczenia i zobaczyć, czy rzeczywiście dostaniemy tabelę zero-jedynkową równoważności znaną każdemu matematykowi.

START!
A.
Jeśli znam funkcję logiczną Y=p+q to na 100% ==> znam funkcję logiczna ~Y=~p*~q
(Y=p+q) ==> (~Y=~p*~q) =1
Znajomość funkcji logicznej Y=p+q jest warunkiem wystarczającym ==> do tego abym znał funkcję logiczną ~Y=~p*~q
Prawdziwość warunku wystarczającego ==> A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli znam funkcję logiczną Y=p+q to mogę ~~~> nie znać funkcji logicznej ~(~Y=~p*~q)
(Y=p+q) ~~~> ~(~Y=~p*~q) =0
Nie ma takiej możliwości (=0)

… a jeśli nie znam funkcji logicznej A: (Y=p+q)?
C.
Jeśli nie znam funkcji logicznej (Y=p+q) to na 100% ==> nie znam funkcji logicznej (~Y=~p*~q)
~(Y=p+q) ==> ~(~Y=~p*~q) =1
Prawdziwość warunku wystarczającego ==> C wymusza fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
C.
Jeśli nie znam funkcji logicznej (Y=p+q) to mogę ~~~> znać funkcję logiczną ~Y=~p*~q
~(Y=p+q) ~~~> (~Y=~p*~q) =0
Wykluczone (=0)

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1.
A: (Y=p+q)==>   (~Y=~p*~q) =1
B: (Y=p+q)~~~> ~(~Y=~p*~q) =0
C:~(Y=p+q)==>  ~(~Y=~p*~q) =1
D:~(Y=p+q)~~~>  (~Y=~p*~q) =0

Zostawmy w naszej tabeli wyłącznie funkcje logiczne Y i ~Y
Stąd nasza tabela przybierze postać:
Kod:

T2.
A: (Y)==>   (~Y) =1
B: (Y)~~~> ~(~Y) =0
C:~(Y)==>  ~(~Y) =1
D:~(Y)~~~>  (~Y) =0

Po likwidacji podwójnych przeczeń mamy:
Kod:

T3.
A:( Y)==> (~Y)=1
B:( Y)~~~>( Y)=0
C:(~Y)==> ( Y)=1
D:(~Y)~~~>(~Y)=0

Stąd mamy prawo tożsamości wiedzy

Równoważność tożsamości wiedzy <==>:
RA.
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<==>~Y = A: (Y==>~Y)* C: (~Y==>Y) =1*1 =1
co w logice jedynek oznacza:
(Y=1)<=>(~Y=1) = A: ((Y=1)==>(~Y=1))* C: ((~Y=1)==>(Y=1)) =1*1 =1

Nanieśmy to do tabeli T3, po czym zakodujmy zero-jedynkowe tabelę T3 wzglądem równoważności RA.
RA:
(Y=1) <==>(~Y=1)
Prawo Prosiaczka dla lewej strony:
(~Y=1)=(Y=0)
Prawo Prosiaczka dla prawej strony:
(Y=1)=(~Y=0)
Kod:

Analiza          |Co w logice        |Punkt odniesienia  |Tabela
symboliczna      |jedynek oznacza    |RA: Y<==>~Y        |tożsama
T3               |T4                 |T5                 |T6
                 |                   |                   | Y   ~Y  Y<==>~Y
A:( Y)==> (~Y)=1 |( Y=1)==> (~Y=1)=1 |( Y=1)==> (~Y=1)=1 | 1==> 1    =1
B:( Y)~~~>( Y)=0 |( Y=1)~~~>( Y=1)=0 |( Y=1)~~~>(~Y=0)=0 | 1~~~>0    =0
C:(~Y)==> ( Y)=1 |(~Y=1)==> ( Y=1)=1 |( Y=0)==> (~Y=0)=1 | 0==> 0    =1
D:(~Y)~~~>(~Y)=0 |(~Y=1)~~~>(~Y=1)=0 |( Y=0)~~~>(~Y=1)=0 | 0~~~>1    =0


Stąd mamy:
Prawo rozpoznawalności funkcji logicznej Y:
Funkcja logiczna Y=p+q jest rozpoznawalna wtedy i tylko wtedy <==> gdy rozpoznawalne jest jej zaprzeczenie ~Y=~p*~q
Y<==>~Y = A: (Y==>~Y)* C: (~Y==>Y) =1*1 =1

Powyższe mamy prawo uogólnić na dowolne pojęcie p

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<===>~p = (p==>~p)*(~p==>p) =1*1 =1

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

Zauważmy, że dowód abstrakcyjny prawa rozpoznawalności pojęcia p jest w 100% pewny, z czym każdy ziemianin się zgodzi, od 5-cio latka poczynając.


3.4 Funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja funkcji logicznej jednej zmiennej binarnej:
Funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p
Kod:

   p  Y
A: 1  x
B: 0  x

Z definicji funkcji logiczne jednej zmiennej binarnej p wynika, że możliwe są cztery i tylko cztery różne odpowiedzi na wyjściu Y.
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe funkcje logiczne jednoargumentowe
w logice dodatniej (bo Y)
   p   Y  Y  Y  Y
A: 1   1  0  1  0
B: 0   0  1  1  0
   p   1  2  3  4

W powyższej tabeli prawdy mamy jedną zmienną binarną p na wejściu układu cyfrowego i jedną zmienną binarną Y na wyjściu tego układu.

3.4 Operatory logiczne jednoargumentowe

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w tabeli T1 były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T2
Tabela prawdy wszystkich możliwych funkcji logicznych jednoargumentowych
z uwzględnieniem zmiennych w logice ujemnej (bo ~p)
        |Operator   |Operator  |Operator        |Operator
        |transmisji |negacji   |chaosu          |śmierci
   p ~p |Y=p ~Y=~p  |Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 | 1    0    | 0     1  |  1       0     |  0       1
B: 0  1 | 0    1    | 1     0  |  1       0     |  0       1
   1  2   3    4      5     6     7       8        9       0


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p)
2.
~Y=~f(p)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Funkcje logiczne różne na mocy definicji w tabeli operatorów jednoargumentowych to:
Kod:

   Operator   ## Operator ## Operator ## Operator
   transmisji ## negacji  ## chaosu   ## śmierci
A:  Y= p      ## Y=~p     ## Y=p+~p   ## Y=p*~p
B: ~Y=~p      ##~Y= p     ##~Y=p*~p   ##~Y=p+~p
    1            2           3           4

Jedną legalną operacją na dowolnej funkcji logicznej jest jej negacja stronami.
Doskonale widać, że jeśli wybierzemy dowolną funkcję logiczną z kolumny x to nie da się poprzez jej dwustronną negację uzyskać funkcji tożsamej z jakąkolwiek inną kolumną.
Przykład:
Wybieram funkcję logiczną B3:
B3: ~Y=p*~p
Poprzez dwustronną negację tej funkcji uzyskujemy funkcję logiczną A3:
A3: Y = ~(p*~p) = ~p+p = p+~p (prawo De Morgana)
Nie jest możliwe poprzez dwustronną negację funkcji B3 uzysknie funkcji tożsamej z którąkolwiek inna kolumną: 1, 2 czy też 4.

3.4.1 Operator transmisji

Kod:

Tabela prawdy operatora transmisji w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |            |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia    |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p  ~Y=~p |                |
A: 1  0 |  1     0   | Ya=1<=> p=1    | Ya= p
B: 0  1 |  0     1   |~Yb=1<=>~p=1    |~Yb=~p
   1  2    3     4   | 5       6        7   8

W operatorze transmisji zmienna wejściowa p transmitowana jest na wyjście Y bez żadnych modyfikacji co widać w tabeli prawdy - dokładnie dlatego jest to operator transmisji.

Definicja operatora transmisji to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Ya=Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice dodatniej (bo Y)
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Yb=~Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

… a kiedy pani nie dotrzyma skłamie (~Y)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.4.2 Operator negacji

Kod:

Tabela prawdy operatora negacji w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |            |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia    |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=~p ~Y=p  |                |
A: 1  0 |  0     1   |~Ya=1<=> p=1    |~Ya= p
B: 0  1 |  1     0   | Yb=1<=>~p=1    | Yb=~p
   1  2    3     4   | 5       6        7   8

W operatorze negacji na wyjście Y transmitowana jest zanegowana zmienna wejściowa p - dlatego jest to operator negacji.

Definicja operatora negacji to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Yb=Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice dodatniej (bo Y)
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2.
~Ya=~Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy pani nie dotrzyma skłamie (~Y)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.4.3 Operator chaosu

Kod:

Tabela prawdy operatora chaosu w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |                 |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia         |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p+~p  ~Y=p*~p |                |
A: 1  0 |  1        0     | Ya=1<=> p=1    | Ya= p
B: 0  1 |  1        0     | Yb=1<=>~p=1    | Yb=~p
   1  2    3        4     | 5       6        7   8

W logice jedynek w pinie (kolumna 7) stosujemy spójnik „lub”(+)

Definicja operatora chaosu to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z kolumny 7 odczytujemy:
Y=Ya+Yb
Po rozwinięciu mamy:
Y=p+~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
Wniosek:
Funkcja logiczna Y to twarda prawda:
Y=p+~p =1
której nie da się zamienić na twardy fałsz (Y=0) jakimikolwiek działaniami dostępnymi w naszym Wszechświecie.
2.
Funkcję ~Y otrzymujemy poprzez dwustronną negację funkcji 1.
~Y = ~(p+~p) = p*~p - prawo De Morgana
~Y=p*~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
Wniosek:
Funkcja logiczna ~Y to twardy fałsz:
~Y=p*~p =0
którego nie da się zamienić na twardą prawdę, czyli ustawić ~Y=1.

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) kub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi względem naszego kina, to dotrzyma słowa.
Oczywistym jest że pani zdrowa na umyśle nigdy takiego zdania nie wypowie bo to jest po prostu bełkot, żadna konkretna deklaracja.

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(K+~K) = K*~K - prawo De Morgana
Prawo Rachunku zero-jedynkowego:
K*~K =0
Wniosek:
Funkcja logiczna ~Y to twardy fałsz:
~Y=K*~K =0
którego nie da się ustawić na twardą prawdę, czyli ustawić na ~Y=1
Wynika z tego że cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na kłamstwo (~Y=1)

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.4.4 Operator śmierci

Kod:

Tabela prawdy operatora śmierci w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |                 |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia         |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p*~p  ~Y=p+~p |                |
A: 1  0 |  0        1     |~Ya=1<=> p=1    |~Ya= p
B: 0  1 |  0        1     |~Yb=1<=>~p=1    |~Yb=~p
   1  2    3        4     | 5       6        7   8

W logice jedynek w pinie (kolumna 7) stosujemy spójnik „lub”(+).

Definicja operatora śmierci to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z kolumny 7 odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yb
Po rozwinięciu mamy:
~Y=p+~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
Stąd mamy:
~Y = p+~p =1
Mamy tu do czynienia z twardą prawdą (=1):
~Y=p+~p=1
której nie da się ustawić na twardy fałsz (=0):
~Y=0
środkami dostępnymi w naszym Wszechświecie.

… a kiedy zajdzie Y?
Funkcję Y otrzymujemy poprzez dwustronną negację funkcji ~Y
2.
Y = ~(p+~p) = p*~p - prawo De Morgana
Y=p*~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
Stąd mamy:
Y=p*~p =0
Mamy tu do czynienia z twardym fałszem (=0):
Y=p*~p=0
którego nie da się ustawić na twardą jedynkę (=1):
Y=1
środkami dostępnymi w naszym Wszechświecie.

Związek operatora śmierci z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
K*~K =0
Stąd:
Y=K*~K =0
Wypowiadając zdanie to pani jest kłamczuchą w trybie natychmiastowym (Y=0), bowiem niemożliwe jest aby jutro dzieci jednocześnie poszły do kina (K=1) i nie poszły do kina (~K=1).
Chwilą czasową (jednocześnie) jest tu cały jutrzejszy dzień.

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(K*~K) = (K+~K) - prawo de Morgana
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
K+~K =1
stąd:
~Y = K+~K =1
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi tzn. pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) to skłamie (~Y=1).

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:43, 02 Lip 2019, w całości zmieniany 25 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25045
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 6:53, 21 Cze 2019    Temat postu:

4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe


Spis treści
4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Definicja operatora AND(p,q) 3
4.1.1 Operatory logiczne typu AND 5
4.1.2 Prawo Jastrzębia 6
4.2 Definicja operatora OR(p,q) 9
4.2.1 Definicja spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych 11
4.2.2 Operatory logiczne typu OR 14
4.2.3 Definicja obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub” 15
4.3 Aksjomatyka algebry Kubusia 18
4.3.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> zdarzeniach 22
4.3.2 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach 22
4.3.3 Definicje znaczków złożonych |~~>, |=> i |~> 23
4.4 Operatory logiczne dwuargumentowe wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 24
4.4.1 Operatory logiczne grupy I 25
4.4.2 Operatory logiczne grupy II 26
4.4.3 Operatory logiczne grupy III 27
4.4.4 Operatory logiczne grupy IV 29
4.5 Operatory logiczne wyrażone spójnikami NAND i NOR 29
4.5.1 Spójnik NAND 29
4.5.2 Spójnik NOR 30
4.5.3 Prawa De Morgana dla spójników NAND i NOR 30
4.5.4 Dlaczego żaden człowiek nie używa spójników NAND i NOR? 32



4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Definicja negatora
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B

Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wynikają z definicji negatora (~):
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2


I Prawo Prosiaczka:
Linia A12
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K) = Fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie (~K)

II Prawo Prosiaczka:
Linia B12
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K) = Fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)

Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności pojęcia p omówiono w pkt. 3.3

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<==>~p= (p==>~p)*(~p==>p) =1*1 =1
Szczegółowe uzasadnienie matematyczne tego prawa (znaczenie znaczków ==> i <==>) poznamy w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”
Uzasadnienie to jest mało istotne w codziennym stosowaniu, gdzie najważniejszym jest dowód tego prawa na poziomie abstrakcyjnym.

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

4.1 Definicja operatora AND(p,q)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1<=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1<=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Operator AND(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Matematyczne związki logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*q = ~(~p+~q)
Matematyczne związki logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y=~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Dokładnie to samo w tabeli zero-jedynkowej:
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w funkcji logicznej Y=p*q były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T1
Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+)
w funkcji logicznej Y=p*q
   p  q ~p ~q  Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q)
A: 1  1  0  0   1      0         0       1
B: 1  0  0  1   0      1         1       0
C: 0  1  1  0   0      1         1       0
D: 0  0  1  1   0      1         1       0
   1  2  3  4   5      6         7       8

Tożsamość kolumn 5=8 to dowód formalny prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn 7=6 to dowód formalny prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Definicja operatora AND(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w powyższej tabeli prawdy.

Rozważmy wewnętrzną budowę funkcji Y=p*q
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa funkcji logicznej Y=p*q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki pełnej tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela              |Co w logice         |Równania
funkcji Y=p*q             |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=p*q ~Y=? |                    |
A: 1  1  0  0   1     0   | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   0     1   |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   0     1   |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   0     1   |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5     6     a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych ABCDdef odczytujemy definicję operatora AND(p,q):
1.
Y=Ya - bo jest tylko jedna funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Po rozwinięciu mamy:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> A: p=1 i q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 2:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q

4.1.1 Operatory logiczne typu AND

W logice matematycznej istnieją cztery i tylko cztery operatory logiczne typu AND o definicjach:

I.
AND(p,q)

1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

II.
AND(p,~q)

1.
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
2.
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

III.
AND(~p,q)

1.
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1
2.
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

III.
AND(~p,~q)

1.
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1
2.
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1


4.1.2 Prawo Jastrzębia

Prawo Jastrzębia:
W dowolnym operatorze logicznym suma logiczna funkcji Y+~Y stanowi dziedzinę matematyczną którą jest zbiór zdarzeń rozłącznych (zbiorów rozłącznych) uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.

Dowód na przykładzie operatora AND(p,q) odczytujemy z równań cząstkowych w tabeli T2:
Y=A: p*q
~Y=B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Dowód iż zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne:
Iloczyn logiczny zdarzenia każdego z każdym jest zbiorem pustym o wartości logicznej równej 0
Przykład:
A: (p*q)* B: (p*~q) = [] =0
bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
q*~q =0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y+~Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p=1
cnd

Wnioski z prawa Jastrzębia:

Załóżmy że mamy operator logiczny AND(p,~q):
1.
Y=A: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p*~q) = ~p+q - prawo De Morgana

Jak wygenerować funkcję logiczną ~Y w postaci sumy zdarzeń rozłącznych bez użycia tabeli zero-jedynkowej?
Z prawa Jastrzębia wynika że funkcja logiczna ~Y to wszystkie pozostałe zdarzenia rozłączne nie występujące w funkcji logicznej Y, czyli:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q

Weźmy dwa przykłady z przedszkola

Przykład 1
Weźmy operator AND(p,q).
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawda jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Innymi słowy:
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)
Znaczenie zmiennych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)

Zauważmy, że zarówno zdanie 1 jak i zdanie 2 bez problemu zrozumie każdy 5-cio latek.
… ale weźmy przykład 2.

Przykład 2
Weźmy operator AND(p,~q)
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) ale nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K*~T) = ~K+T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1

W tym momencie mamy schody bowiem zdania 2 nie rozumie nie tylko 5-cio latek …
Jak wytłumaczyć 5-cio latkowi kiedy pani skłamie?
Oczywiście korzystając z prawa Jastrzębia.
Pani do Jasia (lat 5):
Czy wiesz kiedy jutro skłamię?
Jaś:
Nie wiem
Pani:
Skłamię wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych poza zdarzeniem Y=K*~T
Czy możesz wymienić wszystkie zdarzenia możliwe związane z moją obietnicą 1?
Jaś:
Jutro możemy:
A: K*T =1*1 =1 - iść do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - iść do kina (K=1) i nie iść do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie iść do kina (~K=1) i iść do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1 =1 - nie iść do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Hura!
Teraz rozumiem kiedy pani skłamie (`Y):
~Y= A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Innymi słowy::
Zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń i już pani skłamie (~Y=1)


4.2 Definicja operatora OR(p,q)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1<=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1<=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q =0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Operator OR(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 i ~q=1

Matematyczne związki logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(~p*~q)
Matematyczne związki logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y=~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Dokładnie to samo w tabeli zero-jedynkowej:
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w funkcji logicznej Y=p+q były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T1
Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+)
w funkcji logicznej Y=p*q
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1  1  0  0   1      0         0       1
B: 1  0  0  1   1      0         0       1
C: 0  1  1  0   1      0         0       1
D: 0  0  1  1   0      1         1       0
   1  2  3  4   5      6         7       8

Tożsamość kolumn 5=8 to dowód formalny prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn 7=6 to dowód formalny prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Definicja operatora OR(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w powyższej tabeli prawdy.

Rozważmy wewnętrzną budowę funkcji Y=p+q
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa funkcji logicznej Y=p+q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki pełnej tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela              |Co w logice         |Równania
funkcji Y=p+q             |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=? |                    |
A: 1  1  0  0   1     0   | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   1     0   | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   1     0   | Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   0     1   |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5     6     a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych ABCDdef odczytujemy definicję operatora OR(p,q):
1.
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
2.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
Po rozwinięciu mamy:
~Y= D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q

Zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q


4.2.1 Definicja spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych

Zapiszmy jeszcze raz powyższą tożsamość logiczną:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Stąd mamy:
Definicja ogólna spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Co w logice jedynek oznacza:
(p+q)=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

To jest bardzo ważna definicja którą każdy uczeń LO musi po prostu znać na pamięć:
Dlaczego?

Wszystkich możliwych operatorów logicznych typu OR jest cztery:
I. OR(p,q)
II. OR(p,~q)
III. OR(~p,q)
IV. OR(~p,~q)

Rozpiszmy dwa pierwsze:
I.
OR(p,q)

1.
Y=p+q
Definicja tożsama spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych którą musimy znać na pamięć.
p+q = p*q+p*~q+~p*q
Stąd funkcja tożsama:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
2.
~Y=~p*~q

II.
OR(p*~q)

1.
Y=p+~q
2.
~Y=~p+q

Jak wygenerować funkcję logiczną w równaniach cząstkowych tożsamą do funkcji:
1: Y=p+~q

Sposób 1.
Pamiętana definicja ogólna w spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiamy:
q=(~q)
stąd mamy:
p+(~q) = p*(~q) + p*~(~q) + ~p*(~q)
Po zdjęciu nawiasów mamy:
p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Stąd:
Y =p+~q = p*q + p*~q + ~p*~q

Sposób 2.
Dużo prostszy.
Przyjrzyjmy się definicji ogólnej spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
p i q po lewej stronie mogą być w dowolnych przeczeniach.

Algorytm generowania spójnika „lub”(+) przy dowolnie zaprzeczonych argumentach:
1.
Przepisujemy argumenty w oryginale połączone spójnikiem „i”(+):
ARG1*ARG2
2.
Dołączamy do zapisu sumę logiczną:
ARG1*~(ARG2) + ~(ARG1)*(ARG2)
Innymi słowy:
ARG1+ARG2 = ARG1*ARG2 + ARG1*~(ARG2) + ~(ARG1)*ARG2

Zobaczmy na przykładach jak to działa:
Y=p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Y=~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p+q = ~p*q + ~p*~q + p*q

Wniosek:
Pamiętanie algorytmu generowania definicji spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych jest zdecydowanie bardziej uniwersalne i prostsze niż sposób 1 czy też generowanie tabeli T2.

Przykład 1

Weźmy operator OR(p,q).
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawda jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

Uwaga:
Jeśli chcemy rozpisać wszystkie możliwe sytuacje w których pani dotrzyma słowa (Y=1) to musimy skorzystać z definicji spójnika „lub” w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Nasz przykład:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Znaczenie zmiennych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)


4.2.2 Operatory logiczne typu OR

W logice matematycznej istnieją cztery i tylko cztery operatory logiczne typu AND o definicjach:

I.
OR(p,q)

1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

II.
OR(p,~q)

1.
Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
2.
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1

III.
OR(~p,q)

1.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

III.
OR(~p,~q)

1.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1


4.2.3 Definicja obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub”

Rozważmy operator OR(~p,q):
1.
Y=~p+q
2.
~Y=p*~q

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru
Y=~K+T
Kiedy pani dotrzyma słowa?
Matematyk sobie z tym poradzi korzystając z definicji spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
Y = ~K*T + K*T + ~K*~T
Po uporządkowaniu do naszego standardu (nie musimy tego robić):
Y = A: K*T + C: ~K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1

Zauważmy, że normalnemu człowiekowi (nie matematykowi) na dźwięk zdania 1 włosy staną na głowie, czyli najchętniej posłałby panią do diabła za taki stosunek do maluchów.
Co ta pani wyprawia, przecież żaden człowiek nie wypowiada tak „bezsensownego” zdania.

Dlaczego nie wypowiada?
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Stąd zdanie tożsame do 1 brzmi:
1’
Jeśli jutro pójdziemy do kina to na 100% => pójdziemy do teatru
K=>T =1
Pójście do kina jest warunkiem wystarczającym => do tego aby dzieci poszły także do teatru.
Na mocy definicji:
Y = (K=>T) = ~K+T
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1’ stronami:
2’
~Y = ~(K=>T) = K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1).
W każdym innym przypadku pani nie (~) skłamie (~Y), czyli dotrzyma słowa (Y) bo prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania nagrody
Dowolna obietnica to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przykład:
1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera.
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona na mocy definicji.
Tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Innymi słowy:
Ojciec daje dziecku gwarancję matematyczną => że jak zda egzamin to dostanie komputera.
Jedyny przypadek kiedy ojciec skłamie (~Y=1) to sytuacja że syn zdaje egzamin i nie dostaje komputera. W każdym innym przypadku ojciec nie (~) skłamie (~Y).
~(~Y) = Y - ojciec dotrzyma słowa.
Zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (K=1) bowiem syn może dostać komputer mimo nie zdanego egzaminu
E~>K =0
Po egzaminie ojciec może powiedzieć:
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że bardzo się uczyłeś ale miałeś pecha (dostałeś trudne zadanie)
Ten przypadek to powszechnie znany w przyrodzie (także wśród zwierząt) matematyczny akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody, mimo nie spełnienia warunku nagrody (syn nie zdał egzaminu).

Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Nasz przykład:
E=>K =~E+K
… i już wiadomo dlaczego nikt przy zdrowych zmysłach nie wypowiada obietnicy w formie definicji spójnika „lub”(+).

Obietnica matematycznie tożsama do 1 wyrażona spójnikiem „lub”(+) brzmiałaby:
1’
Synku, nie zdasz egzaminu lub dostaniesz komputer
Y=~E + K
Pewne jest, że tej obietnicy żaden normalny człowiek nie zrozumie, bowiem nie ma tu w sposób jawny warunku wystarczającego =>, czyli gwarancji matematycznej => iż jeśli syn zda egzamin to na 100% => dostanie komputer - poza tym wszystko może się zdarzyć.

Znając definicję spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
z dziecinną łatwością odpowiemy na pytanie:
Kiedy ojciec dotrzyma słowa Y, czyli kiedy ojciec nie (~) skłamie ~Y
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Nasz przykład:
~E+K = ~E*K + ~E*~K + E*K
Nasza funkcja logiczna:
Y = (E=>K) = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> E=1 i K=1 lub ~E=1 i ~K=1 lub ~E=1 i K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), ze ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K=1*1 =1 - jutro dam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
lub
C: ~E*~K = 1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
lub
Matematyczny akt miłości:
D: ~E*K =1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)

Oczywistym jest, że ojciec może skorzystać z aktu miłości (przypadek D) ale nie musi tego robić.
Równie dobrze może zaistnieć sytuacja C, czyli ojciec tak może uzasadnić nie zajście przypadku D.
C.
Synku, nie zdałeś egzaminu, nie dostajesz komputera bo widziałem że kompletnie się nie uczyłeś - biegałeś za spódniczkami zamiast się uczyć.
W przypadku C syn nie dostaje komputera i kropka.

Oczywiście w jakiejś tam przyszłości syn może dostać komputer, ale ten komputer będzie miał zero wspólnego z obietnicą wypowiedziana przez ojca (E=>K).

… a kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1’ stronami:
1’.
Y=~E+K
Negujemy stronami:
~Y = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2’
~Y=E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) ze ojciec skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1

Znaczenie zmiennych binarnych:
Y = (E=>K) - ojciec dotrzyma słowa
~Y = ~(E=>K) - ojciec skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)

Doskonale widać, że wszystko jest tu zgodne z logiką matematyczną 5-cio latka z tym że:
Póki co w ziemskich przedszkolach uczą „aktu miłości”, czyli wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody w pięknych opowiadaniach i bajkach dla dzieci.
Niestety, póki co żaden ziemian nie zna matematycznego podkładu pod kwint esencję wielu bajek dla dzieci.
… ale to się wkrótce zmieni!


4.3 Aksjomatyka algebry Kubusia

Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.

Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość w obrębie danej teorii. Przykładowo, studentowi informatyki nie są potrzebne wiadomości w temacie „technologia wykonania mikroprocesora” mimo że programy pisze na komputerze którego sercem jest mikroprocesor. Co więcej, aksjomatyka może być na poziomie abstrakcyjnym jeśli takie podejście ułatwia zrozumienie teorii. Przykładowo w „Teorii zdarzeń” sięgnąłem po krasnoludki znakomicie ułatwiające zrozumienie teorii młodemu człowiekowi. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym (wszystko ma swoją przyczynę) niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to teoria zbiorów wyłożona w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”
Za aksjomatykę algebry Kubusia można też uznać zero-jedynkową tabelę szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x=[0,1]

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.

Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)

Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - spójnik „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q lub zdarzenie możliwe ~~>
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q

Definicje elementarnych znaczków w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja negacji (~) na mocy tabeli T1
   p ~p
A: 1  0
B: 1  0
C: 0  1
D: 0  1

Po minimalizacji mamy:
Kod:

1.
Zero-jedynkowa definicja negacji (~)
   p ~p
A: 1  0
C: 0  1

Kod:

2.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

3.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1

Kod:

4.
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

Kod:

5.
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Kod:

6.
Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
lub zdarzenia możliwego ~~>
   p   q p~~>q
A: 1~~>1  1
B: 1~~>0  1
C: 0~~>0  1
D: 0~~>1  1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~~>q = p*q+p*~q+~p*q+~p*~q
Dowód:
p~~>q = p*(q+~q)+~p(q+~q)=p+~p=1

Kod:

7.
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1   1
B: 1<=>0   0
C: 0<=>1   0
D: 0<=>0   1
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> p=1 i q=1 lub p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q

Kod:

8.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
   p  q p$q
A: 1$ 1  0
B: 1$ 0  1
C: 0$ 1  1
D: 0$ 0  0
Do łatwego zapamiętania:
p$q=1 <=> p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
Inaczej:
p$q=0
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q =p*q+~p*~q


KONIEC!
W algebrze Kubusia elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.

4.3.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

4.3.2 Definicje znaczków =>, ~> i ~~> w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny


4.3.3 Definicje znaczków złożonych |~~>, |=> i |~>

Wszystkie możliwe znaczki złożone zbudowane ze znaczków elementarnych ~~>, => i ~> to:
9.
Operator chaosu p|~~>q:

Operator chaosu p|~~>q to spełniona definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe) oraz nie spełnione (=0) definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p~~>q = p*q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów p i q
p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) =1*1 =1
10.
Operator implikacji prostej p|=>q:

Operator implikacji prostej p|=>q to spełniona wyłącznie definicja warunku wystarczającego => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
11.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:

Operator implikacji odwrotnej p|~>q to spełniona wyłącznie definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
12.
Operator równoważności p<=>q:

Operator równoważności p<=>q to spełniona zarówno definicja warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
Stąd definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q =(p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
Definicja równoważności p<=>q uzasadnia zaliczenie jej do grupy zdaniowej „Jeśli p to q”, bowiem znaczki => i ~> są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”


4.4 Operatory logiczne dwuargumentowe wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<==>~p= (p==>~p)*(~p==>p) =1*1 =1
Znaczenie znaczków ==> i <==> poznamy w części II algebry Kubusia.

W praktyce najważniejszy jest tu dowód na poziomie abstrakcyjnym:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie i idealnej temperaturze:
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia „ciepło” (C=1) i „nie ciepło” (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

W tabeli T1 elementarne znaczki logiczne podzielono na cztery grupy I do IV.
Celem tego podziału jest przejrzystość klasyfikacji.

Dowolny operator logiczny dwuargumentowy można wyrazić spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1



4.4.1 Operatory logiczne grupy I

Kod:

T0
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w tabeli T1 były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T1
Operatory logiczna grupy I
              | T11        | T12        | T13        | T14
              | AND(p,q)   | OR(p,q)    | AND(~p,~q) | OR(~p,~q)
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=   |  Y=   ~Y=  |  Y     ~Y
   p  q ~p ~q | p*q  ~p+~q | p+q  ~p*~q | ~p*~q  p+q | ~p+~q  p*q
A: 1  1  0  0 |  1     0   |  1     0   |   0     1  |   0     1
B: 1  0  0  1 |  0     1   |  1     0   |   0     1  |   1     0
C: 0  1  1  0 |  0     1   |  1     0   |   0     1  |   1     0
D: 0  0  1  1 |  0     1   |  0     1   |   1     0  |   1     0
                 1     2      3     4       5     6      7     8


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T1 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T1
T11        ## T12        ## T13        ## T14
AND(p,q)   ## OR(p,q)    ## AND(~p,~q) ## OR(~q,~q)
1: Y=p*q   ## 1: Y=p+q   ## 1: Y=~p*~q ## 1: Y=~p+~q
2:~Y=~p+~q ## 2:~Y=~p*~q ## 2:~Y=p+q   ## 2: ~Y=p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różne na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.

4.4.2 Operatory logiczne grupy II

Kod:

T0
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy II bazują na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”
Kod:

T2
Operatory logiczna grupy II wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
              | T21        | T22       | T23          | T24
              | =>         | ~>        | <=>          | ~~>
              | OR(~p,q)   | OR(p,~q)  | Y=    ~Y=    |
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=  | p*q+   p*~q+ | Y=1)  ~Y=2)
   p  q ~p ~q |~p+q   p*~q | p+~q ~p*q |~p*~q  ~p*q   |   
A: 1  1  0  0 |  1     0   |  1     0  |   1     0    |  1      0
B: 1  0  0  1 |  0     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
C: 0  1  1  0 |  1     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
D: 0  0  1  1 |  1     1   |  0     1  |   1     0    |  1      0
                 1     2      3     4       5    6       7      8
1)
Y=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2)
~Y = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T2
T21       ## T22       ## T23            ## T24
=>        ## ~>        ## <=>            ## ~~>
OR(~p,q)  ## OR(p,~q)  ##                ##
1: Y=~p+q ## 1: Y=p+~q ## 1: Y=p*q+~p*~q ## 1: Y=  p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2:~Y=p*~q ## 2:~Y=~p*q ## 2:~Y=p*~q+~p*q ## 2:~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różne na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.


4.4.3 Operatory logiczne grupy III

Kod:

T0
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy III to zanegowane spójniki grupy II, jednak opisane funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y), nie zaś funkcja logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) - dlatego są to funkcje różne na mocy definicji ##.
Kod:

T3
Operatory logiczna grupy III wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
              | T31        | T32       | T33         | T34     
              |~(=>)       |~(~>)      | „albo”($)   |~(~~>)
              | AND(p,~q)  | AND(~p,q) | Y=    ~Y=   |
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=  | p*~q+  p*q+ | Y=1)  ~Y=2)
   p  q ~p ~q | p*~q ~p+q  |~p*q  p+~q |~p*q   ~p*~q |   
A: 1  1  0  0 |  0     1   |  1    0   |  0      0   |  0      1
B: 1  0  0  1 |  1     0   |  1    0   |  1      1   |  0      1
C: 0  1  1  0 |  0     1   |  1    0   |  1      1   |  0      1
D: 0  0  1  1 |  0     1   |  0    1   |  0      0   |  0      1
                 1     2      3    4      5      6      7      8
1)
 Y = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
2)
~Y=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T3
T31       ## T32       ## T33            ## T34
~(=>)     ## ~(~>)     ## ~(<=>)         ## ~(~~>)
AND(p,~q) ## AND(~p,q) ## „albo”($)      ##
1: Y=p*~q ## 1: Y=~p*q ## 1: Y=p*~q+~p*q ## 1: Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
2:~Y=~p+q ## 2:~Y=p+~q ## 2:~Y=p*q+~p*~q ## 2:~Y=  p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różna na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.

4.4.4 Operatory logiczne grupy IV

Kod:

T0
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy IV to operatory jednoargumentowe omówione w części II algebry Kubusia.

I.
Operator transmisji

1.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

I.
Operator negacji

1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

4.5 Operatory logiczne wyrażone spójnikami NAND i NOR

Spójniki NAND i NOR to matematycznie konkurencyjne spójniki logiczne w stosunku do spójników „i”(*) i „lub”(+) totalnie nieużywane w języku potocznym człowieka, więc bez znaczenia dla logiki matematycznej.

4.5.1 Spójnik NAND

Spójnik NAND to zanegowany spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, którego w języku potocznym absolutnie nikt nie używa.
Y = pNANDq = ~(p*q) - definicja NAND w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q =~(pNANDq) - definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q p*q pNANDq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  0    1
C: 0  1  0    1
D: 0  0  0    1


4.5.2 Spójnik NOR

Spójnik NOR to zanegowany spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, którego w języku potocznym absolutnie nikt nie używa.
Y = pNORq = ~(p+q) - definicja NOR w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(pNORq) - definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Kod:

Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q p+q pNORq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  1    0
C: 0  1  1    0
D: 0  0  0    1


4.5.3 Prawa De Morgana dla spójników NAND i NOR

Między spójnikami NAND i NOR obowiązują analogiczne prawa De Morgana jak w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

I prawo De Morgana dla spójnika NAND:
pNANDq = ~(~pNOR~q)

Definicja operatora NAND(p,q) to złożenie funkcji logicznej wyrażonej spójnikami NAND i NOR w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Y = pNANDq
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~pNOR~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = pNANDq = ~(~pNOR~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~pNOR~q = ~(pNANDq)

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q p+q pNORq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  1    0
C: 0  1  1    0
D: 0  0  0    1

Kod:

Dowód prawa I De Morgana:
pNANDq = ~(~pNOR~q)
Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q ~p ~q p*q pNANDq ~(pNANDq) ~pNOR~q ~(~pNOR~q)
A: 1  1  0  0  1    0        1        1         0     
B: 1  0  0  1  0    1        0        0         1
C: 0  1  1  0  0    1        0        0         1
D: 0  0  1  1  0    1        0        0         1
   1  2  3  4  5    6        7        8         9

6=9 Prawo De Morgana:
pNANDq =~(~pNOR~q)
7=8 Prawo De Morgana:
~(pNANDq)=~pNOR~q
cnd

II Prawo De Morgana dla spójnika NOR:
pNORq = ~(~pNAND~q)

Definicja operatora NOR(p,q) to złożenie funkcji logicznej wyrażonej spójnikami NAND i NOR w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Y=pNORq
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~pNAND~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = pNORq = ~(~pNAND~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~pNAND~q = ~(pNORq)

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Definicje spójników „i”(*) i NAND
   p  q p*q pNANDq
A: 1  1  1    0
B: 1  0  0    1
C: 0  1  0    1
D: 0  0  0    1

Kod:

Dowód prawa De Morgana:
pNORq=~(~pNAND~q)
Definicje spójników „lub”(*) i NOR
   p  q ~p ~q p+q pNORq ~(pNORq) ~pNAND~q ~(~pNAND~q)
A: 1  1  0  0  1    0      1        1          0
B: 1  0  0  1  1    0      1        1          0
C: 0  1  1  0  1    0      1        1          0
D: 0  0  1  1  0    1      0        0          1
   1  2  3  4  5    6      7        8          9

6=9 Prawo De Morgana:
pNORq = ~(~pNAND~q)
7=8 Prawo De Morgana:
~(pNORq) = ~pNAND~q
cnd

Mamy tu sytuację identyczną jak w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemskich matematyków:
Błędne jest twierdzenie ziemskich matematyków jakoby na mocy prawa De Morgana zbędny był jeden ze spójników NAND albo NOR bowiem do dowodu czysto matematycznego prawa De Morgana potrzebujemy zarówno zero-jedynkowej definicji spójnika NAND jak i zero-jedynkowej definicji spójnika NOR.
Innymi słowy:
Prawo De Morgana nie istnieje bez znajomości zero-jedynkowych definicji obu spójników NAND i NOR

4.5.4 Dlaczego żaden człowiek nie używa spójników NAND i NOR?

Powód jest oczywisty:
Który normalny człowiek, nie matematyk, zrozumie matematyczną tożsamość:
Y=p*q = ~p NOR ~q
Innymi słowy:
Kto zamiast powiedzieć prościutkie zdanie:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
wypowie zdanie matematycznie tożsame:
2.
Jutro nie pójdziemy do kina NOR nie pójdziemy do teatru
Y = ~K NOR ~T

Prawo czarnej mamby:
W całym obszarze języka mówionego człowieka (środki masowego przekazu, literatura, matematyka klasyczna) nie istnieje ani jedno zdanie ze spójnikiem „i”(*) wyrażone spójnikiem NOR zgodnie z bezdyskusyjną matematyczną tożsamością:
Y=p*q = ~p NOR ~q

Dokładnie z tego powodu spójniki NAND i NOR należy traktować jako ciekawostkę matematyczną, z zerowym znaczeniem dla obsługi języka potocznego człowieka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:44, 23 Cze 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25045
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 20:46, 23 Cze 2019    Temat postu:

...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin