Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń (beta 3.0)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:11, 30 Mar 2020    Temat postu: AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń (beta 3.0)

AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń
2020-03-28

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

AK2
Algebra Kubusia - teoria zdarzeń


W skład algebry Kubusia wchodzą części:
AK1 Algebra Kubusia - rachunek zero-jedynkowy
AK2 Algebra Kubusia - teoria zdarzeń

Podręczniki AK1 i AK2 napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość drugiego, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to AK1, AK2.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej, której nie ma na studiach technicznych (elektronika na PW-wa).
Prawa Kubusia to efekt dyskusji w Wujem Zbójem:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj jako pierwszy ziemianin potwierdził matematyczną poprawność tych praw
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020



2.0 Operator równoważności <=> w zdarzeniach
3.0 Operator implikacji prostej A|=>S
4.0 Operator implikacji odwrotnej A|~>S




Spis treści
1.0 Fundamenty algebry Kubusia 2
1.1 Fundamenty algebry Boole’a 2
1.2 Definicja tożsamości matematycznej 4
1.2.1 Wyprowadzenie definicji tożsamości matematycznej 5
1.2.2 Historyczne wnioski z definicji tożsamości matematycznej 9
1.2.3 Definicja poprawności matematycznej definicji 11
1.3 Prawa Prosiaczka 12
1.3.3 Dowody praw Prosiaczka w przykładach 13
1.4 Kubusiowa teoria zbiorów 15
1.4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 16
1.4.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 16
1.4.3 Prawo Kobry dla zbiorów 17
1.5 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 17
1.5.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 17
1.5.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 18
1.6 Rachunek zero-jedynkowy dla znaczków => i ~> 18
1.6.1 Najważniejsze prawa logiki matematycznej dla zdań warunkowych 20
1.7 Definicja implikacyjnego operatora logicznego 21



1.0 Fundamenty algebry Kubusia

Fundamenty algebry Kubusia w obszarze zdań warunkowych „Jeśli p to q” dla zdarzeń to:
1. Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => I ~~> w teorii zdarzeń
2. Definicja kontrprzykładu
3. Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
4. Wyprowadzenie definicji znaczków |~~>, |=>, |~> i <=> w teorii zdarzeń

1.1 Fundamenty algebry Boole’a

W algebrze Boole’a mamy tylko 5 wyróżnionych znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - przeczenie, słówko NIE w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego
„lub”(+) - spójnik „lub” z języka potocznego

Definicja przeczenia nie (~) dla zer i jedynek
1=~0
0=~1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Gdzie:
p - zmienna binarna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne [0,1]

Prawo podwójnego przeczenia dla zer i jedynek:
~(~1) =~(0) =1
~(~0)=~(1) =0

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p*q =1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
   p  q  p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0


Definicja spójnika „lub”(+) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla zer i jedynek:
p+q =1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q =0
Tabela zero-jedynkowa z tej definicji wynikająca jest następująca:
   p  q  p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, ~, „i”(*), „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości 1 albo 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej:
Zmienna binarna jest zmienną binarną w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana (bo p) inaczej jest zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)


1.2 Definicja tożsamości matematycznej

Definicja równoważności <=>:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego

Definicja 100% => pewności matematycznej:
p=>q =1 - gdy z p wynika 100% => pewność q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.

Zauważmy że:
Definicja tożsamości matematycznej w AK jest rozszerzeniem znanej matematykom tożsamości klasycznej typu 2=2.
Definicja tożsamości w AK rozszerza to pojęcie o na przykład takie pojęcie:
Żarówka świeci się wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty
A<=>S
W AK każda równoważność to tożsamość matematyczna i odwrotnie, stąd:
A=S

Wniosek:
Pojęcie tożsamości matematycznej w algebrze Kubusia to logice matematycznej odpowiednik teorii względności.
Dowód:
Tożsamość matematyczna w AK nie burzy starego pojęcia tożsamości 2=2, tylko rozszerza to pojęcie w sposób, o jaki największym ziemskim filozofom się nie śniło np. A=S.

1.2.1 Wyprowadzenie definicji tożsamości matematycznej

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.

Nie mogę zrozumieć i nigdy tego nie zrozumiem jak matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poniższych banałów.

Definicja relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej
p=>q =0

Definicja relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0

Weźmy dwa zbiory:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Dlaczego nikt nie zadał sobie tu dwóch banalnych pytań?
1.
Opiszmy słownie relacje w kierunku P8=>P2:
A1.
Jeśli liczba należy do zbioru P8 to na 100% => należy co zbioru P2
P8=>P2 =1 - relacja podzbioru spełniona
Relacja podzbioru => spełniona bo każda liczba należąca do P8 należy także do P2
cnd
2.
Opiszmy relację w kierunku P2~>P8:
A3.
Jeśli liczba należy do zbioru P2 to może ~> należeć do zbioru P8
P2~>P8 =1
Relacja nadzbioru ~> jest tu spełniona i nie musimy tego udowadniać bo wynika ona z prawdziwości A1

W matematyce ziemian zabronione jest wypowiadania zdania A3 w oryginale.
Powód:
W zdaniu A3 musimy użyć spójnika „może” ~> by było ono prawdziwe

Matematycznie jednak, o czym matematycy wiedzą zachodzi:
A1: P8=>P2 = A3: P2~>P8
Dowód iż matematycy to wiedzą jest w Wikipedii powielony w nieskończonych ilościach.
Na zdrową logikę biorąc, jeśli ktoś zakazuje wypowiadania zdania A3: P2~>P8 w oryginale to powinien zakazać wypowiadania zdania A1: P8=>P2 w oryginale - wynika to z definicji tożsamości logicznej.

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Spełniona relacja podzbioru =>:
A1: P8=>P2 =1
Wymusza spełnienie relacji nadzbioru ~> w stronę przeciwną:
A3: P2~>P8 =1
(i odwrotnie)

Teraz robię STOP!
Będzie o banale który matematycy mając 2500 lat czasu nie zauważyli.

Weźmy relację podzbioru => którą matematycy akceptują:
p=>q =1
P8=>P2 =1
Jeśli relacja podzbioru => jest spełniona to zachodzi:
P8+P2 = P2 - oczywistość dla każdego matematyka
Ogólnie:
p+q =q
Dla dziedziny LN istnieją elementy poza zbiorem P2, to wszystkie elementy należące do zbioru:
~P2=[1,3,5,7,9…]
Ogólnie:
Zbiór ~q nie ma prawa być zbiorem pustym.

Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => q i zbiory te nie są tożsame.
Zastrzeżenie:
Musi istnieć co najmniej jeden element należący do zbioru ~q
Innymi słowy:
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q

Po co nam ta definicja i po co to zastrzeżenie?
Po to, byśmy mieli 100% przełożenie wzajemnych relacji zbiorów nieskończonych P8 i P2 na zbiór minimalny w którym zachodzą identyczne relacje.
Wniosek:
Minimalna dziedzina na której możemy zasymulować to co się dzieje w zbiorach nieskończonych P8 i P2 to zaledwie trzy elementy!

Przyjmijmy zatem dziedzinę minimalną będącą zbiorem 3 elementowym:
D = [1,2,3]
Symulacja podzbioru p=>q, odpowiednika P8=>P2 jest tu następująca:
p=[1]
q=[1,2]
D=[1,2,3]
Stąd mamy:
~p=[D-p]=[2,3]
~q=[D-q]=[3]
Wszystkie możliwe relacja w kierunku od p do q są następujące:
A: p=[1]=>q=[1,2] =1
B: p=[1]~~>~q=[3] =0
C: ~p=[2,3]~>~q=[3] =1
D: ~p=[2,3]~~>q=[1,2] =1

Zauważmy, że aby opisać matematycznie zachodzące tu relacje wszystkie trzy znaczki są nam koniecznie potrzebne (=>, ~> i ~~>), brak któregokolwiek z tych znaczków uniemożliwia opis jak wyżej.

Smutny wniosek:
Matematycy nie potrafią symulować relacji miedzy zbiorami nieskończonym P8 i P2 przy pomocy trzech koniecznych i wystarczających tu elementów.

Zauważmy że linie ABCD opisują tu co następuje:
1.
Po stronie zbioru p mamy:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
2.
Po stronie zbioru ~p mamy tu „rzucanie monetą”:
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p=[2,3] to może ~> on należeć do zbioru ~q=[3] lub może ~~> należeć do zbioru q=[1,2]
KONIEC!

Pytanie retoryczne do ziemskich matematyków?
Dlaczego mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszliście do powyższych banałów?

… ale to nie koniec!

Ograniczmy naszą dziedzinę do dwóch elementów:
D=[1,2]
I zastosujmy tu identyczną zasadę przenoszenia właściwości zbioru nieskończonego na zbiór minimalny.

Zasada ta brzmi:
Przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q

Od razu widać, że nie możemy tu przyjąć zbioru:
p=[1,2]
bo w dziedzinie D nie istniej zbiór niepusty ~p.

Jedyna możliwość jaką mamy to takie definicje zbiorów p i q:
p=[1]
q=[1]
Teraz jest wszystko w porządku bo istnieje co najmniej jeden element poza sumą logiczna zbiorów:
p+q=[1]+[1] =1
Obliczamy ~p i ~q
D=[1.2]
stąd:
~p=[D-p] =[1,2]-[1] = 2
~q=[D-q] = [1,2]-[1] =2

Zauważmy, że do zbiorów p i q możemy sobie dodawać dowolne elementy (nawet nieskończenie wiele), ale pod ściśle określonym rygorem!

Wymagany rygor:
Jeśli do zbioru p=q dodamy liczby [3,4,5] to te liczby musimy też dodać do dziedziny D.
Sprawdźmy to:
p=q = [1,3,4,5]
D =[1,2,3,4,5]
~p=[D-p]=[2]
~q=[D-q]=[2]

Innymi słowy:
Doskonale tu widać że tożsamość zbiorów:
p=q
wmusza tożsamość zbiorów:
~p=~q

Wróćmy do dziedziny minimalnej:
p=[1]
q=[1]
Obliczamy ~p i ~q
D=[1.2]
stąd:
~p=[D-p] =[1,2]-[1] = 2
~q=[D-q] = [1,2]-[1] =2

Zbadajmy wszystkie możliwe relacje w zbiorach w kierunku od p do q:
A: p=[1]=>q=[1] =1
B: p=[1]~~>~q=[2] =0
C: ~p=[2]=>~q=[2] =1
D: ~p=[2]~~>q=[1] =0

1.
Odczytajmy co może się wydarzyć gdy ze zbioru p wylosujemy dowolny element?
Odpowiedź:
Jeśli ze zboru p=[1] wylosujemy dowolny element to mamy 100% => pewność, że będzie on należał do q=[1]
p=>q =1
Dowód:
p=q
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie
cnd
2.
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru ~p wylosujemy dowolny element?
Jeśli ze zboru ~p=[2] wylosujemy dowolny element to mamy 100% => pewność. że będzie on należał do ~q=[2]
~p=>~q =1

Doskonale widać, iż zachodzi tu znana ziemskim matematykom równoważność:
Element należy do zbioru p wtedy i tylko gdy wtedy gdy należy do zbioru q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Dla tych którzy tego nie widzą wyciągam z kapelusza prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Stąd równoważność tożsama:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Sprawdźmy zdanie B3:
q=[1] =>p=[1] =1
cnd

Oczywistym jest że równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
p=[1]=q=[1] <=>(A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q

Historyczny wniosek:
Prawdziwa jest definicja tożsamości matematycznej z algebry Kubusia.

1.2.2 Historyczne wnioski z definicji tożsamości matematycznej

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.

Definicję tożsamości matematycznej daje się udowodnić na gruncie rachunku zero-jedynkowego:

Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
Dla p=q mamy:
p<=>q = p*p+~p*~p=p+~p =1
cnd

Najważniejsze zastosowanie tożsamości matematycznej w matematyce klasycznej doskonale widać na przykładzie równoważności Pitagorasa

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Równoważność Pitagorasa jest prawdziwa bo twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP udowodniono wieki temu.

Definicja relacji podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej
p=>q =0

Definicja relacji nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0

Matematyczne związki relacji podzbioru => i nadzbioru ~> w równoważności Pitagorasa:
Kod:

A: 1: TP=>SK = 2:~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4:~SK=>~TP =1
##
B: 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4:~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zastosujmy do B3 prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy równoważność tożsamą:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Na mocy definicji tożsamości matematycznej zapisujemy tożsamość zbiorów:
TP=SK

Wypowiadam zdanie A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Zdanie prawdziwe bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość na mocy tożsamości zbiorów:
TP=SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

Wypowiadam zdanie B1:
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% zachodzi w nim suma kwadratów
TP~>SK =1
Zdanie prawdziwe bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość na mocy tożsamości zbiorów:
TP=SK
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Zauważmy, że zdanie A1 jest słownie identyczne ze zdaniem B1 z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.
A1: TP=>SK ## B1: TP~>SK
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowodzimy prawdziwości zdania B3 z oryginalnej równoważności Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =1
Zauważmy, że zdania B3 i B1 są matematycznie tożsame ale nie da się ich zapisać w sposób identyczny z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK

Podsumowanie:
1.
Nie jest prawdą, że dwa twierdzenia matematyczne identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
A1: TP=>SK ## B1: TP~>SK
2.
Możliwe jest też istnienie dwóch tożsamych twierdzeń matematycznych których nie da się zapisać w sposób identyczny z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Dowód:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP

1.2.3 Definicja poprawności matematycznej definicji

Definicja poprawności matematycznej definicji:
Definicja jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ją relacja równoważności

Definicja równoważności <=>:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego

Definicja 100% => pewności matematycznej:
p=>q =1 - gdy z p wynika 100% => pewność q
Inaczej:
p=>q =0

Przykład:
Pies to na 100% => zwierzę domowe
P=>D =1 - pies na 100% => jest zwierzęciem domowym
Jednak w drugą stronę z faktu, że jakieś zwierzę jest zwierzęciem domowym nie wynika => iż to musi być pies
D=>P =0
Stąd równoważność jest tu fałszywa:
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) =1*0 =0

Poprawna definicja minimalna psa jest na przykład taka:
Pies to na 100% => zwierzę domowe, szczekające
P=>D*S =1
Relacja pewności matematycznej => w drugą stronę też tu zachodzi.
Zwierzę domowe, szczekające to na 100% => pies
D*S => P =1

Stąd mamy spełnioną relację równoważności:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest zwierzęciem domowym i szczeka
P<=>D*S = (P=>D*S)*(D*S=>P) =1*1 =1

Ponieważ każda równoważność to z definicji tożsamość matematyczna możemy zapisać:
P=D*S

1.3 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód iż prawa Prosiaczka to tożsamości matematyczne:
I. (p=1)=(~p=0)
II. (~p=1)=(p=0)

Definicja podstawowa równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)

Podstawiamy do definicji równoważności wyżej:
(p=1)<=>(~p=0) = ((p=1)=>(~p=0))*((~p=0)=>(p=1))
Korzystając z tożsamości Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
mamy:
(p=1)<=>(p=1) = ((p=1)=>(p=1))*((p=1)=>(p=1)) = 1*1 =1
bo definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
dla p=q mamy:
p<=>p = (~p+p)*(~p+p) =1*1 =1
cnd
II prawo Prosiaczka dowodzimy analogicznie.

1.3.3 Dowody praw Prosiaczka w przykładach

Dowód 1
Rozważmy sterowanie żarówką (diodą LED) jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----| dioda LED |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej.

Dowód 2

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


1.4 Kubusiowa teoria zbiorów

Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Innymi słowy:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja podzbioru => = warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

Przykład:
p=[pies, kot] => q=[pies, kot, kura] =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Losuję dowolny element ze zbioru p i mam 100% pewność =>, że ten element będzie w zbiorze q

Definicja nadzbioru ~>
p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zajście p jest konieczne ~> do tego aby zaszło q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>

Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q

Przykład:
p~>q =1
p=[pies, kot, kura] ~> q=[pies, kot] =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru q

Właściwości podzbioru i nadzbioru
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji

1.4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.4.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.4.3 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

1.5 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.5.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.5.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane darzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


1.6 Rachunek zero-jedynkowy dla znaczków => i ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q=~p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q=p+~q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Doskonale widać, że w definicjach znaczków => i ~> w kolumnach wynikowych 3 zachodzi:
p=>q = ~p+q ## p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie sa matematycznie tożsame.

Zauważmy, że kluczową sprawą w definicjach T1 i T2 jest identyczna tabela wymuszeń po stronie wejścia p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy możemy wnioskować o braku tożsamości kolumn 3 w obu tabelach.

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Znaczek [=] wyróżnia zmianę punktu odniesienia (zamiana p i q w zdaniu warunkowym) w patrzeniu na dokładnie to samo.

1.6.1 Najważniejsze prawa logiki matematycznej dla zdań warunkowych

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
##
B12: p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
##
B13: p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
##
B14: p~>q = ~q~>~p
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji


1.7 Definicja implikacyjnego operatora logicznego

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Definicja implikacyjnego operatora logiczny:
Implikacyjny operator logiczny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, dająca odpowiedź na następujący zestaw pytań:

Dla zdania „Jeśli p to q” zadajemy dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (A1-B1)?
2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (A2-B2)?

W zdaniu „Jeśli p to q” zamieniamy p i q.
Dla zdania „Jeśli q to p” zadajemy kolejne dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
3. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q (A3-B3)?
4. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q (A4-B4)?

Komentarz:
Wystarczająca jest odpowiedź na pytania 1 i 2 bowiem z prawdziwości 1 i 2 wynika prawdziwość 3 i 4 (i odwrotnie).


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 17:11, 30 Mar 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:13, 30 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
2.0 Operator równoważności <=> w zdarzeniach 1
2.1 Analiza matematyczne równoważności <=> 4
2.1.2 Czym różni się operator równoważności od spójnika równoważności? 7
2.2 Definicja równoważności A<=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 9
2.3 Pełny opis układu równoważności <=> 9
2.3.1 Równoważność dla przycisku A 11
2.3.2 Równoważność dla żarówki S 11



2.0 Operator równoważności <=> w zdarzeniach

Prawo Delfina:
Dla wytłumaczenia kompletnej logiki matematycznej są potrzebne ~> i wystarczające => zaledwie cztery elementy.

W teorii zdarzeń o której rozmawiamy w niniejszym podręczniku minimalna ilość elementów to cztery:
Jedna żarówka S sterowana trzema przyciskami A, B i C w różnych konfiguracjach

W teorii zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej minimalna ilość elementów potrzebna ~> i wystarczająca => do wytłumaczenia kompletnej logiki matematycznej to także cztery elementy.
Wszelkie niuanse logiki matematycznej, które w sposób trywialny można pokazać na tak ubogiej liczby elementów będą obowiązywały także dla matematycznych zbiorów nieskończonych.

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo!

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności <=>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q

Przykład układu fizycznego spełniającego definicję równoważności:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Dowód iż układ S1 spełnia definicję równoważności A<=>S:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% żarówka świeci się (S)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
cnd
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona bo w układzie nie istnieje zmienna wolna C (przycisk C połączony szeregowo z A) która by mogła zgasić żarówkę niezależnie od A.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to na 100% żarówka świeci się (S)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S bo nie istnieje zmienna wolna B (przycisk B podłączony równolegle do A) która by mogła zaświecić żarówkę niezależnie od przycisku A.
cnd

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p##q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie sa matematycznie tożsame.

Układ S1 spełnia definicję równoważności A<=>S:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Na mocy definicji tożsamości matematycznej zachodzi tożsamość pojęć:
Klawisz A wciśnięty = Żarówka S świeci
A=S

Natomiast na mocy definicji znaczka różne na mocy definicji ## zachodzi:
A1: A=>S =~A+S ## B1: A~>S = A+~S

Wniosek:
W algebrze Kubusia może się zdarzyć, że dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie są matematycznie tożsame
Dowód:
Zdania A1 i B1 nie są matematycznie tożsame, a brzmią identycznie.

Skorzystajmy dla B1 z prawa Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A

Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli żarówka świeci (S) się to na 100% przycisk A jest wciśnięty
S=>A =1
Świecenie się żarówki jest warunkiem wystarczającym aby wyciągnąć wniosek iż klawisz A jest wciśnięty.

Zauważmy że:
Zachodzi tożsamość matematyczna zdań B1 i B3:
B1: A~>S = B3: S=>A
mimo że zdania te są różne i nie ma fizycznej możliwości by wypowiedzieć je identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

Podsumowanie:
Nie jest prawdą, że dwa twierdzenia matematyczne identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka muszą być matematycznie tożsame.
Możliwe jest też, że dwóch tożsamych twierdzeń matematycznych nie da się zapisać w sposób identyczny z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.


2.1 Analiza matematyczne równoważności <=>

Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1
B1: A~>S =1
stąd definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla naszej równoważności:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne A i S muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Definicja implikacyjnego operatora logicznego:
Implikacyjny operator logiczny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, dająca odpowiedź na następujący zestaw pytań:

Dla zdania „Jeśli A to S” zadajemy dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie A (A1-B1)?
2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~A (A2-B2)?

W zdaniu „Jeśli A to S” zamieniamy A i S.
Dla zdania „Jeśli S to A” zadajemy kolejne dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
3. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie S (A3-B3)?
4. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~S (A4-B4)?

Komentarz:
Wystarczająca jest odpowiedź na pytania 1 i 2 bowiem z prawdziwości 1 i 2 wynika prawdziwość 3 i 4 (i odwrotnie).

Sprawdźmy, czy nasz układ spełnia definicję operatora implikacyjnego równoważności.
Definicja podstawowa naszej równoważności S1:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Dla B1 korzystamy z prawa Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd mamy definicję tożsamą równoważności:
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =1
Stąd:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1

Stąd mamy pełną analizę matematyczną w postaci czterech zdań warunkowych „Jeśli A to S” przez wszystkie możliwe przeczenia A i S definiującą równoważność:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1

A1.
Jeśli przycisk (A=1) jest wciśnięty to na 100% żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
cnd
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
Sprawdzamy:
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = S*~S =0 - zdarzenie niemożliwe
cnd
Analiza warunku wystarczającego => B2:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => się nie świeci (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~S=1)
cnd
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
Sprawdzamy:
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe
cnd

Cechy charakterystyczne równoważności:
Zauważmy, że w równoważności po stronie wciśniętego klawisza A mamy 100% pewność świecenia się żarówki S (zdanie A1), zaś po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy 100% pewność nie świecenia się żarówki S (zdanie B2),
Nie ma tu zatem miejsca ma „rzucanie monetą” zarówno po stronie wciśniętego A jak i po stronie nie wciśniętego A

Zapiszmy naszą analizę w postaci tabeli prawdy:
Kod:

Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
A1:  A=> S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1
A1’: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0
B2: ~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1
B2’:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=0)=0
     a   b  c    d        e    f


Usiądźmy teraz wygodnie w fotelach, byśmy mogli lepiej zrozumieć co za chwilę się wydarzy, a dojdzie do historycznego odkrycia.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla naszej równoważności:
Kod:

A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Nasza definicja równoważności:
I
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Prawo Kubusia:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
stąd:
Definicja matematycznie tożsama w warunkach wystarczających =>:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1

Powyższą tabelę możemy zakodować zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na naszej równoważności:
A<=>S
Dla tego punktu odniesienia wszystkie sygnały zanegowane w naszej tabeli musimy sprowadzić do sygnałów niezanegowanych korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Kod:

Analiza       |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela tożsama
symboliczna   |jedynek oznacza   |odniesienia A<=>S | 
              |                  |                  | A   S A<=>S
A1:  A=> S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1 |( A=1)=> ( S=1)=1 | 1=> 1  =1
A1’: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0 |( A=1)~~>( S=0)=0 | 1~~>0  =0
B2: ~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1 |( A=0)=> ( S=0)=1 | 0=> 0  =1
B2’:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=1)=0 |( A=0)~~>( S=1)=0 | 0~~>1  =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~A=1)=(A=0)      |
                                 |(~S=1)=(S=0)      |

Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji spójnika równoważności w logice dodatniej (bo S).

2.1.2 Czym różni się operator równoważności od spójnika równoważności?

Zakodujmy naszą tabelę symboliczną równoważności względem równoważności w logice ujemnej (bo ~q)
II
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Prawo Kubusia:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
stąd:
Definicja matematycznie tożsama w warunkach wystarczających =>:
~A<=>~S=(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Kod:

Analiza       |Co w logice       |Dla punktu         |Tabela tożsama
symboliczna   |jedynek oznacza   |odniesienia ~A<=>~S|
              |                  |                   | A   S ~A<=>~S
A1:  A=> S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1 |(~A=0)=> (~S=0)=1  | 0=> 0   =1
A1’: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0 |(~A=0)~~>(~S=1)=0  | 0~~>1   =0
B2: ~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1 |(~A=1)=> (~S=1)=1  | 1=> 1   =1
B2’:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=1)=0 |(~A=1)~~>(~S=0)=0  | 1~~>0   =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i    1   2    3
                                 |Prawa Prosiaczka   |
                                 |(~A=1)=(A=0)       |
                                 |(~S=1)=(S=0)       |

Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji spójnika równoważności w logice ujemnej (bo ~S)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny musi dawać odpowiedź na dwa kluczowe pytania:
1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty?
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S=(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Równoważność w logice dodatniej (bo S) definiuje tożsamość pojęć:
A=S
2.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty?
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S=(A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
Równoważność w logice ujemnej (bo ~S) definiuje tożsamość pojęć:
~A=~S

Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny po obu stronach znaku tożsamości.
Po stronie A mamy:
A+~A =1 - klawisz A może być wciśnięty (A=1) lub nie wciśnięty (~A=1), trzeciej możliwości brak
A*~A =0 - zdarzenia: klawisz wciśnięty (A=1) i nie wciśnięty (~A=1) są rozłączne
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)

Historyczne odkrycie:
Identyczna tabela zero-jedynkowa 123 jest jednocześnie zero-jedynkową definicją spójnika równoważności A<=>S, jak również zero-jedynkową definicją operatora równoważności A|<=>S
cnd

Zauważmy, że dla odróżnienie czy mówimy o spójniku równoważności, czy też o definicji równoważności musimy wprowadzić do logiki matematycznej dodatkowy znaczek
A|<=>S = A<=>S + ~A<=>~S
Gzie:
|<=> - operator równoważności
<=> - spójnik zdaniowy równoważności, tylko ten spójnik używamy w języku potocznym
Dlaczego?
By wypowiedzieć operator równoważności musielibyśmy wypowiedzieć oba zdania 1 i 2 jednocześnie.
Zróbmy to:
Definicja operatora równoważności A|<=>S jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy:
1.
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
LUB
2.
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)

Oczywistym jest, że takiego połamańca nikt w języku potocznym nie wypowiada
cnd

Ogólna definicja operatora równoważności:
Operator równoważności to złożenie spójnika równoważności w logie dodatniej (bo q) i ujemnej (bo ~q)
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
Definiuje tożsamość:
p=q
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
Definiuje tożsamość:
~p=~q

Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny po obu stronach znaku tożsamości.
Po stronie p mamy:
p+~p =1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zdarzenia p
p*~p =0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne
Dziedzina dla naszego przykładu:
A+~A =1 - klawisz może być wciśnięty (A=1) lub nie wciśnięty (~A=1), trzeciej możliwości brak.
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)


2.2 Definicja równoważności A<=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja operatora równoważności A<=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) = (~A+S)*(A+~S) = ~A*A + ~A*~S + S*A + S*~S = A*S + ~A*~S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) = (~A+S)*(A+~S) = A*S + ~A*~S
Wniosek:
Operator równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje warunki wystarczające =>:
A*S - wskazuje warunek wystarczający:
A1: A=>S - wciśnięcie A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia S (S=1)
~A*~S - wskazuje warunek wystarczający:
B2: ~A=>~S - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)


2.3 Pełny opis układu równoważności <=>

Pobawmy się właściwościami równoważności.
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
Kod:

A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Definiowana tożsamość matematyczna:
A=S
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Definiowana tożsamość matematyczna:
~A=~S
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Definiowana tożsamość matematyczna:
S=A
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Definiowana tożsamość matematyczna:
~S=~A
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV

2.3.1 Równoważność dla przycisku A

Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Do wygenerowania symbolicznej definicji dowolnej równoważności mającej przełożenie na tabelę zero-jedynkową zawsze musimy przejść na definicję wyrażoną warunkami wystarczającymi w tym samym kierunku.

Dla naszej definicji stosujemy prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd definicja tożsama:
I.
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S) =1*1 =1
A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =1
Stąd definicja symboliczna jest tu prosta:
A1: A=>S =1
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: A~~>~S =0
Identycznie będzie dla B2:
B2: ~A=>~S =1
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego B2 musi być fałszem:
B2’: ~A~~>S =0

Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Dla A2 korzystamy z prawa Kubusia:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S
stąd mam definicje tożsamą:
II.
~A<=>~S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Zauważmy, że prawe strony I i II są identyczne zatem definicja symboliczna będzie identyczna.

2.3.2 Równoważność dla żarówki S

Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Dla A3 stosujemy prawo Kubusia:
A3: S~>A = A4: ~S=>~A
stąd mamy równoważność tożsamą:
III
S<=>A = (A4: ~S=>~A)*(B3: S=>A) =1*1 =1

Budujemy definicję symboliczną z której można wygenerować tabele zero-jedynkową:
B3: S=>A =1
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego B3 musi być fałszem:
B3’: S~~>~A =0
Identycznie będzie dla A4:
A4: ~S=>~A =1
Kontrprzykład A4’ dla warunku wystarczającego A4 musi być fałszem:
A4’: ~S~~>A =0

Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Dla B4 stosujemy prawo Kubusia:
B4:~S~>~A = B3: S=>A
Stąd definicja tożsama:
IV.
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B3: S=>A) = 1*1 =1
Zauważmy, że prawe strony III i IV są identyczne zatem definicja symboliczna będzie identyczna.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:15, 30 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
3.0 Operator implikacji prostej A|=>S 1
3.1 Fizyczna realizacja implikacji prostej A|=>S 1
3.2 Analiza układu implikacji prostej A|=>S 3
3.3 Definicja implikacji prostej A|=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
3.4 Pełny opis operatora implikacji prostej 5
3.4.1 Implikacja prosta |=> dla wciśniętego przycisku A 7
3.4.2 Implikacja odwrotna |~> dla nie wciśniętego przycisku A 7
3.4.3 Implikacja odwrotna |~> dla świecącej się żarówki S 8
3.4.4 Implikacja prosta |=> dla nie świecącej się żarówki (~S) 9



3.0 Operator implikacji prostej A|=>S

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo!

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności <=>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej A|=>S potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji prostej A|=>S


3.1 Fizyczna realizacja implikacji prostej A|=>S

Przykład układu fizycznego spełniającego definicję implikacji prostej A|=>S:
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji prostej dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Z faktu że podpasowaliśmy jakiś układ pod definicję implikacji prostej nie wynika że to musi być prawdą, zatem musimy to dopasowanie udowodnić.’

Zawsze najprościej jest wybrać z matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> najprostsze wersje warunków wystarczających ze względu na kontrprzykład związany wyłącznie z warunkiem wystarczającym.
Stąd definicja implikacji prostej A|=>S która nas interesuje to:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B3: S=>A)
Dowodzimy:
A1.
Jeśli przycisk a jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka się świeci (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenie się żarówki S
W obwodzie przycisk A żarówka S nie ma szeregowo połączonego innego przycisku zatem warunek wystarczający => jest tu spełniony
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Nie jest to prawdą, bo żarówkę może zaświecić zmienna wolna B (B=1), gdy przycisk A nie jest wciśnięty (A=0).

Stąd mamy dowód iż nasz schemat S2 realizuje definicję implikacji prostej A|=>S:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B3: S=>A) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

3.2 Analiza układu implikacji prostej A|=>S
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji prostej dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja podstawowa:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
stąd mamy:
A1: A=>S =1
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =0
Kluczowy wniosek:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S =1 - zdarzenie możliwe (łatwo sprawdzić)

Dalsza analiza przez wszystkie możliwe przeczenia A i S w kierunku od A do S to pikuś:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśniecie A daje nam gwarancję matematyczną => świecenie się żarówki S
Matematycznie zachodzi tożsamość:
warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
A~~>~S =A*~S =0 - zdarzenie niemożliwe

.. a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
stad:
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S)
~A~>~S =1
Nie wciśniecie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S, bo jak przycisk A jest wciśnięty to żarówka na 100% => świeci się
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S
LUB
B2’
Jeśli klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe bo żarówkę może ~~> zaświecić zmienna wolna B (B=1).

Cechy charakterystyczne Implikacji prostej A|=>S:
Zauważmy, że w implikacji prostej A|=>S po stronie wciśniętego klawisza A mamy 100% pewność świecenia się żarówki S (zdanie A1), zaś po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”, czyli:
Jeśli klawisz A nie jest wciśnięty (~A) to żarówka może ~> się nie świecić (zdanie A2) lub może ~~> się świecić (zdanie B2’)

Zapiszmy naszą analizę w postaci tabeli prawdy:
Kod:

Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
A1:  A=> S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1
A1’: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0
A2: ~A~>~S =1 |(~A=1)~> (~S=1)=1
B2’:~A~~>S =1 |(~A=1)~~>( S=0)=1
     a   b  c    d        e    f

Zakodujmy powyższą tabelę z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A1:
A1: A=>S
Dla tego punktu odniesienia wszystkie sygnały zanegowane w naszej tabeli musimy sprowadzić do sygnałów niezanegowanych korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Kod:

Analiza       |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela tożsama
symboliczna   |jedynek oznacza   |odniesienia A=>S  |
              |                  |                  | A  S  A=>S
A1:  A=> S =1 |( A=1)=> ( S=1)=1 |( A=1)=> ( S=1)=1 | 1=> 1  =1
A1’: A~~>~S=0 |( A=1)~~>(~S=1)=0 |( A=1)~~>( S=0)=0 | 1~~>0  =0
A2: ~A~>~S =1 |(~A=1~>> (~S=1)=1 |( A=0)~> ( S=0)=1 | 0~> 0  =1
B2’:~A~~>S =1 |(~A=1)~~>( S=1)=1 |( A=0)~~>( S=1)=1 | 0~~>1  =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~A=1)=(A=0)
                                 |(~S=1)=(S=0)     

Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego A=>S.
Zauważmy, że sam warunek wystarczający => występuje wyłącznie w linii A1, natomiast tabela zero-jedynkowa 123 to definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
W tym przypadku nie analizujemy wnętrza tabeli zero-jedynkowej 123, służy ona wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

3.3 Definicja implikacji prostej A|=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja operatora implikacji prostej A|=>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) = (~A+S)*~(A+~S) = (~A+S)*(~A*S) = ~A*S
Wniosek:
Operator implikacji prostej A|=>S wskazuje prawdziwy kontrprzykład B2’:
B2’: ~A~~>S = ~A*S =1 - sytuacja możliwa (=1)


3.4 Pełny opis operatora implikacji prostej
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
                             B
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S dla naszego układu:
A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =1
B1: A~>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje implikacji (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

I.
Implikacja prosta |=> dla wciśniętego przycisku A (A=1):
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0) =1*1=1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A|=>S = ~A*S

II.
Implikacja odwrotna |~> dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) =1*~(0) =1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~A|~>~S = ~A*S

III.
Implikacja odwrotna |~> dla świecącej się żarówki (S=1):
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A) =1*~(0)=1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
S|~>A = S*~A

IV.
Implikacja prosta |=> dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
~S|=>~A = (A4: ~S=>~A)*~(B4: ~S~>~A) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~S|=>~A = S*~A

Doskonale widać, że matematycznie zachodzi tożsamość implikacji:
I = II = III = IV

Dla każdej implikacji możemy utworzyć jej definicję symboliczną przekładalną na tabelę zero-jedynkową.
Zróbmy to!

3.4.1 Implikacja prosta |=> dla wciśniętego przycisku A

Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja prosta |=> dla wciśniętego przycisku A (A=1):
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0) =1*1=1
Stąd mamy:
A1: A=>S =1
B1: A~>S = B2: ~A=>~S =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’
B2’: ~A~~>S =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji prostej A|=>S:
A1: A=>S =1
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: A~~>~S =0
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
stąd:
A2: ~A~>~S =1
Ostatnia linię B2’ wyprowadziliśmy wyżej:
B2’: ~A~~>S =1


3.4.2 Implikacja odwrotna |~> dla nie wciśniętego przycisku A

Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja odwrotna |~> dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
~A|~>~S = (A2: ~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) =1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
A2: ~A~>~S =1
Prawo Kubusia:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S =1
B2: ~A=>~S =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’
B2’: ~A~~>S =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej ~A|~>~S:
A1: A=>S =1
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: A~~>~S =0
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
stąd:
A2: ~A~>~S =1
Ostatnia linię B2’ wyprowadziliśmy wyżej:
B2’: ~A~~>S =1

3.4.3 Implikacja odwrotna |~> dla świecącej się żarówki S

Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja odwrotna |~> dla świecącej się żarówki S:
S|~>A = (A3: S~>A)*~(B3: S=>A) =1*~(0)=1*1 =1
Stąd mamy:
A3: S~>A =1
B3: S=>A =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający B3 wymusza prawdziwy kontrprzykład B3’
B3’: S~~>~A =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej S|~>A:
A3: S~>A =1
Linię B3’ wyprowadziliśmy wyżej:
B3’: S~~>~A =1
… a jeśli żarówka nie świeci?
Prawo Kubusia:
A3: S~>A = A4:~S=>~A
stąd:
A4: ~S=>~A =1
Kontrprzykład A4’ dla warunku wystarczającego A4 musi być fałszem:
A4’: ~S~~>A =0

3.4.4 Implikacja prosta |=> dla nie świecącej się żarówki (~S)
Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =0
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja prosta |=> dla nie świecącej się żarówki (~S):
~S|=>~A = (A4: ~S=>~A)*~(B4: ~S~>~A) = 1*~(0) =1*1 =1
A4: ~S=>~A =1
Prawo Kubusia:
A4: ~S=>~A = A3: S~>A
B4: ~S~>~A = B3: S=>A =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający B3 wymusza prawdziwy kontrprzykład B3’
B3’: S~~>~A =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji prostej ~S|=>~A:
A3: S~>A =1
Linię B3’ wyprowadziliśmy wyżej:
B3’: S~~>~A =1
… a jeśli żarówka nie świeci?
Prawo Kubusia:
A3: S~>A = A4:~S=>~A
stąd:
A4: ~S=>~A =1
Kontrprzykład A4’ dla warunku wystarczającego A4 musi być fałszem:
A4’: ~S~~>A =0
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24978
Przeczytał: 30 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:17, 30 Mar 2020    Temat postu:

Spis treści
4.0 Operator implikacji odwrotnej A|~>S 1
4.1 Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S 2
4.2 Analiza układu implikacji odwrotnej A|~>S 3
4.3 Definicja implikacji odwrotnej |~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
4.4 Pełny opis operatora implikacji prostej 5
4.4.1 Implikacja odwrotna |~> dla wciśniętego przycisku A 7
4.4.2 Implikacja prosta |=> dla nie wciśniętego przycisku A 7
4.4.3 Implikacja prosta |=> dla świecącej się żarówki 8
4.4.4 Implikacja odwrotna |~> dla nie świecącej się żarówki 9



4.0 Operator implikacji odwrotnej A|~>S

Fundamentalna uwaga:
Logika matematyczna działa tylko i wyłącznie na zmiennych binarnych, nigdy na stałych binarnych. o wartości logicznej znanej z góry.
Nie wolno nam zatem osobiście wciskać żadnego przycisku bo będziemy mieli do czynienia ze stałą binarną a nie ze zmienną binarną.

Wynika z tego, że wszelkie przyciski w układzie żarówka-przyciski musi na wciskać człowiek w czapce niewidce mający wolną wolę.
My, jako obserwator, widzimy tyko efekty jego działań, czyli wciskające się same klawisze i świecenie bądź nie świecenie się żarówki.
Jako obserwator mamy prawo zadeklarować które przyciski w układzie uznajemy za zmienne związane a które za zmienne wolne - to jedyne nasze prawo!

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
##
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności <=>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q.


4.1 Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej A|~>S
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej |~> dla naszego układu:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
B1: A~>S =1
A1: A=>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Z faktu że podpasowaliśmy jakiś układ pod definicję implikacji prostej nie wynika że to musi być
prawdą, zatem musimy to dopasowanie udowodnić.
Tym razem nie będziemy przechodzić do łatwiejszych warunków wystarczających ale udowodnimy definicję podstawową pokazując, ze to też nie jest trudne.
Definicja podstawowa implikacji prostej dla naszego układu:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1

Dowodzimy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśniecie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego by żarówka świeciła się (S=1), bo jak przycisk A nie jest wciśnięty to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka się świeci (S=1)
A=>S =0
Wciśniecie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki S bowiem zmienne wolna B może być ustawiona na B=0.

Stąd mamy dowód iż nasz schemat S3 realizuje definicję implikacji odwrotnej A|~>S:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
cnd

4.2 Analiza układu implikacji odwrotnej A|~>S
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.


Definicja podstawowa implikacji odwrotnej |~> dla naszego układu:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
B1: A~>S =1
A1: A=>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4: ~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2: ~A=>~S [=] 3: S=>A = 4: ~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja podstawowa:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
B1: A~>S =1
A1: A=>S =0
Kluczowy wniosek:
Z fałszywości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (łatwo sprawdzić)

Dalsza analiza przez wszystkie możliwe przeczenia A i S w kierunku od A do S:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśniecie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
A1’
Jeśli klawisz A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Zdarzenie możliwe bo żarówkę może ~~> zgasić zmienna wolna B (B=0).

.. a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stad:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100%=> nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka nie świeciła się
Brak wciśnięcia przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem.
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - zdarzenie niemożliwe

Cechy charakterystyczne Implikacji odwrotnej A|~>S:
Zauważmy, że w implikacji odwrotnej A|~>S po stronie wciśniętego klawisza A (A=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”, czyli:
Jeśli klawisz A jest wciśnięty (A) to żarówka może ~> się świecić (zdanie B1) lub może ~~> się nie świecić (zdanie A1’)
Natomiast po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy 100% pewność nie świecenia się żarówki S (zdanie B2),


Zapiszmy naszą analizę w postaci tabeli prawdy:
Kod:

Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
B1:  A~> S =1 |( A=1)~> ( S=1)=1
A1’: A~~>~S=1 |( A=1)~~>(~S=1)=1
B2: ~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1
B2’:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=0)=0
     a   b  c    d        e    f

Zakodujmy powyższą tabelę z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu B1:
B1: A~>S
Dla tego punktu odniesienia wszystkie sygnały zanegowane w naszej tabeli musimy sprowadzić do sygnałów niezanegowanych korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Kod:

Analiza       |Co w logice       |Dla punktu        |Tabela tożsama
symboliczna   |jedynek oznacza   |odniesienia A~>S  |
              |                  |                  | A  S  A~>S
B1:  A~> S =1 |( A=1)~> ( S=1)=1 |( A=1)~> ( S=1)=1 | 1~> 1  =1
A1’: A~~>~S=1 |( A=1)~~>(~S=1)=1 |( A=1)~~>( S=0)=1 | 1~~>0  =1
B2: ~A=>~S =1 |(~A=1)=> (~S=1)=1 |( A=0)=> ( S=0)=1 | 0=> 0  =1
B2’:~A~~>S =0 |(~A=1)~~>( S=1)=0 |( A=0)~~>( S=1)=0 | 0~~>1  =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~A=1)=(A=0)
                                 |(~S=1)=(S=0)     

Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>.
Zauważmy, że sam warunek konieczny ~> występuje wyłącznie w linii A1, natomiast tabela zero-jedynkowa 123 to definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
W tym przypadku nie analizujemy wnętrza tabeli zero-jedynkowej 123, służy ona wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.


4.3 Definicja implikacji odwrotnej |~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
A=>S = ~A+S
Definicja warunku koniecznego ~>:
A~>S = A+~S
Stąd:
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = (A+~S)*~(~A+S) = (A+~S)*(A*~S) = A*~S
Wniosek:
Definicja operatora chaosu wskazuje prawdziwy kontrprzykład A1’:
A1’: A~~>~S = A*~S =1 - zdarzenie możliwe (=1)

4.4 Pełny opis operatora implikacji prostej
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
             S               B          A       
       -------------       ______     ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o----
  |    -------------                           |
  |                                            |
______                                         |
 ___    U (źródło napięcia)                    |
  |                                            |
  |                                            |
  ----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej |~> dla naszego układu:
A|~>S=(B1: A~>S)*~(A1: A=>S)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
B1: A~>S =1
A1: A=>S =0
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że cztery rodzaje implikacji (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.

I.
Implikacja odwrotna |~> dla wciśniętego przycisku A (A=1):
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A|~>S = A*~S

II.
Implikacja prosta |=> dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
~A|=>~S = (B2:~A=>~S)*~(A2:~A~>~S) =1*~(0) =1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~A|=>~S = A*~S

III.
Implikacja prosta |=> dla świecącej się żarówki (S=1):
S|=>A = (B3: S=>A)*~(A3:~S~>~A) =1*~(0) =1*1=1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
S|=>A = ~S*A

IV.
Implikacja odwrotna |~> dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
~S|~>~A = (B4: ~S~>~A)*~(A4: ~S=>~A) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~S|~>~A = ~S*A

Doskonale widać, że matematycznie zachodzi tożsamość implikacji:
I = II = III = IV

Dla każdej implikacji możemy utworzyć jej definicję symboliczną przekładalną na tabelę zero-jedynkową.
Zróbmy to!

4.4.1 Implikacja odwrotna |~> dla wciśniętego przycisku A

Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja odwrotna |~> dla wciśniętego przycisku A (A=1):
A|~>S = (B1: A~>S)*~(A1: A=>S) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
B1: A~>S =1
A1: A=>S =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
A1’: A~~>~S =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej A|~>S:
B1: A~>S =1
Linię A1’ wyprowadziliśmy wyżej:
A1’: A~~>~S =1
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
stąd:
B2: ~A=>~S =1
Kontrprzykład B2’ dla B2 musi być fałszem
B2’: ~A~~>S =0

4.4.2 Implikacja prosta |=> dla nie wciśniętego przycisku A

Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja prosta |=> dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
~A|=>~S = (B2:~A=>~S)*~(A2:~A~>~S) =1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
B2: ~A=>~S =1
Prawo Kubusia:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S =1
A1: A=>S =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
A’: A~~>~S =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji prostej ~A|=>~S:
A1: A=>S =1
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: A~~>~S =0
… a jeśli przycisk A nie jest wciśnięty?
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
stąd:
A2: ~A~>~S =1
Ostatnia linię A1’ wyprowadziliśmy wyżej:
A1’: ~A~~>S =1

4.4.3 Implikacja prosta |=> dla świecącej się żarówki

Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja prosta |=> dla świecącej się żarówki (S=1):
S|=>A = (B3: S=>A)*~(A3:~S~>~A) =1*~(0) =1*1=1
Stąd mamy:
B3: S=>A =1
A3: ~S~>~A = A4:~S=>~A =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający A4 wymusza prawdziwy kontrprzykład A4’
A4’: ~S~~>A =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji prostej S|=>A:
B3: S=>A =1
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego B3 musi być fałszem:
B3’: S~~>~A =0
… a jeśli żarówka nie świeci?
Prawo Kubusia:
B3: S=>A = B4:~S~>~A
stąd:
B4: ~S~>~A =1
Linię B3’ wyprowadziliśmy wyżej:
A4’: ~S~~>A =1

4.4.4 Implikacja odwrotna |~> dla nie świecącej się żarówki
Kod:

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
        I        II          III        IV   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Implikacja odwrotna |~> dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
~S|~>~A = (B4: ~S~>~A)*~(A4: ~S=>~A) = 1*~(0) =1*1 =1
B4: ~S~>~A =1
Prawo Kubusia:
B4: ~S~>~A = B3: S=>A
A4: ~S=>~A =0
Kluczowy wniosek:
Fałszywy warunek wystarczający A4 wymusza prawdziwy kontrprzykład A4’
A4’: ~S~~>A =1

Budujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej ~S|~>~A:
B3: S=>A =1
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego B3 musi być fałszem:
B3’: S~~>~A =0
… a jeśli żarówka nie świeci?
Prawo Kubusia:
B3: S=>A = B4:~S~>~A
stąd:
B4: ~S~>~A =1
Linię A4’ wyprowadziliśmy wyżej:
A4’: ~S~~>A =1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin