Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia (cdn)

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 20113
Przeczytał: 18 tematów

Pomógł: 138 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 7:07, 28 Lut 2017    Temat postu: Algebra Kubusia (cdn)

Algebra Kubusia

Autor: Kubuś, stwórca naszego Wszechświata

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006(medium) przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72 i inni.
Szczególnie dziękuję Fiklitowi za 5 letnią dyskusję z Rafałem3006 (bez jego pomocy AK nie zostałaby odkryta), oraz Wujowi Zbójowi, nauczycielowi małego Rafała3006 za nauczenie go poprawnego patrzenia na logikę od strony czysto matematycznej (Rafal3006 nie jest matematykiem).
Rafal3006

Wstęp:
Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki matematycznej ziemian wywraca do góry nogami, bowiem wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy, logice matematycznej wszystkich 5-cio latków i humanistów - Algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To pokazuje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi bo nie wierzę, iż na ziemi nie znajdzie się grupka matematyków która nie stanie murem za Algebrą Kubusia - dalej wszystko potoczy się lawinowo.

Spis treści
1.0 Notacja 2
2.0 Algebra zbiorów 2
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 4
2.3 Prawa Prosiaczka 5
2.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia 6
2.5 Aksjomatyka zbioru dwuelementowego 7
2.6 Właściwości algebry zbiorów 9
2.7 Relacje zbiorów 12
2.8 Właściwości relacji zbiorów 14
3.0 Operatory jednoargumentowe 15
3.1 Operator transmisji 16
3.2 Operator negacji 19
3.3 Operator chaosu 23
3.4 Operator śmierci 24
3.5 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 25
3.6 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa 25
3.7 Prawo Rekina 26



1.0 Notacja


2.0 Algebra zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Budowa zbioru:
C = [M, K]
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała rzez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy pod warunkiem że wybrany zbiór ma swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka.
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):

Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
~p - zaprzeczenie pojęcia p do dziedziny D

Przykład 1.
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
C - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć m i k tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru człowiek wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% będzie to kobieta (K=1)
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% będzie to mężczyzna (M=1)

Przykład 2
Zdefiniujmy zbiór p
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7..] - zbiór liczb naturalnych
Nie ma definicji pojęcia p w żadnym języku mówionym świata.
Jest natomiast to:
R=[LN+~LN] - zbiór liczb rzeczywistych
ZWZ=[pies+~pies] - zbiór wszystkich zwierząt
ZU=[miłość+~miłość] - zbiór uczuć
ZT=[krasnoludek+~krasnoludek] - zbiór trolli typu krasnoludki, gumisie, smerfy …

Wniosek:
Pojęcie p nie należy do Uniwersum człowieka mimo iż poszczególne elementy zbioru p są dla niego zrozumiałe.


2.2 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.3 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
Zbiory p i ~p są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
p+~p = D =1
p*~p = [] =0

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Gdzie:
Zbiory Y i ~Y są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = D =1
Y*~Y = [] =0

Przykład 1.
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
stąd:
B.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Znaczenie symboli:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli po prostu skłamie.

Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y = K+T + ~K*~T = (K+T)+~(K+T) =1
Bo prawo De Morgana:
~K*~T=~(K+T)
oraz:
p=K+T
p+~p=1
Y*~Y = (K+T)*(~K*~T) = (K+T)*~(K+T] =[] =0
cnd
Doskonale tu widać że znając funkcję Y znamy funkcję ~Y i odwrotnie na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo rozpoznawalności pojęcia w rachunku zero-jedynkowym (poznamy niebawem):
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  p=>q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Kod:

Prawo rozpoznawalności pojęcia p
   p  q ~p ~q  p=>~q ~p=>q p<=>~q=(p=>~q)*(~p=>q) ~(p<=>~q)
A: 1  1  0  0   =0    =1     =0                       =1
B: 1  0  0  1   =1    =1     =1                       =0
C: 0  1  1  0   =1    =1     =1                       =0
D: 0  0  1  1   =1    =0     =0                       =1
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
p<=>~q=(p=>~q)*(~p=>q)



2.5 Aksjomatyka zbioru dwuelementowego

Definicja zbioru dwuelementowego:
Zbiór dwuelementowy to dwa zbiory niepuste p i ~p uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Rozważmy zbiór dwuelementowy p i ~p



Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy pod warunkiem że wybrany zbiór ma swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.

Aksjomatyka zbioru dwuelementowego:

I.
Zbiór dwuelementowy p i ~p

1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0


2.6 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Prawo powielania/redukcji dowolnego elementu w zbiorze

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów

5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+ p*q =q
Dowód:
p+ p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
bo:
D+ q=D
p*D=p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p* (p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.7 Relacje zbiorów

Zdanie warunkowe to zdanie ujęte w spójnik „Jeśli .. to...”:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w teorii zbiorów:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może opisywać trzy i tylko trzy relacje między zbiorami zdefiniowanymi w poprzedniku p i następniku q
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (= warunek wystarczający =>)
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (= warunek konieczny ~>)
p~~>q=p*q =1 - zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (= kwantyfikator mały ~~>)

Definicja podzbioru =>:
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q to mówimy iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zapisujemy
p=>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = definicja podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q

Przykład 1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń..]
Wymuszam dowolnego psa i ten pies na 100% będzie w zbiorze zwierząt z czterema łapami

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q to mówimy iż zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zapisujemy
p~>q

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> = definicja nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q

Przykład 2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies].
Zabieram zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] i znika mi zbiór P=[pies]

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Przykład 3.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń…] i ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..] mają co najmniej jeden element wspólny.

Podstawowa definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Prawa strona to definicja równoważności, stąd:
Każda tożsamość zbiorów (pojęć) to równoważność
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Rozszerzona definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame jeśli istnieją przekształcenia czysto matematyczne zbiorów prowadzące do spełnienia definicji podstawowej tożsamości zbiorów.

Przykład 4.
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
LN-2 - zbiór LN pomniejszony o element 2
LN=[LN-2, 2]
Prawa strona:
[LN-2+2]=LN
cnd


2.8 Właściwości relacji zbiorów

I Prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q =[p*q=p]
Wynika z tego że tożsamy zapis następnika q to:
q=[p+ reszta]
Podstawiając do warunku wystraczającego mamy:
p=>q
p=>(p+ reszta)
p=>[p, reszta]
Wynika z tego iż zbiór p jest zarówno podzbiorem => zbioru q jak i elementem zbioru q
q=[p+ reszta] = [p, reszta]

Wnioski z I prawa Smoka:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>[p, reszta]
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja prosta p|=>q o definicji:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

II prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q = [p*q=q]
Wynika z tego że tożsamy zapis poprzednika p to:
p=[q+ reszta]
Podstawiając do warunku koniecznego ~> mamy:
p~>q
[q+ reszta]~>q
[q, reszta] ~> q
Wynika z tego ze zbiór q jest zarówno podzbiorem => zbioru p jak i elementem zbioru p
p=[q+ reszta] = [q, reszta]

Wnioski z II prawa Smoka:
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
[q, reszta] ~> q
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja odwrotna p|~>q o definicji:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]


3.0 Operatory jednoargumentowe

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmienna binarna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości:
1 - prawda
0 - fałsz

Definicja operatora logicznego w technice cyfrowej:
Operator logiczny to układ o n wejściach cyfrowych (p,q,r..) i tylko jednym wyjściu Y

Definicja operatora logicznego jednoargumentowy:
Operator logiczny jednoargumentowy to układ o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika że na wejściu operatora jednoargumentowego muszą być dwa sygnały cyfrowe p i ~p, zaś na wyjściu sygnały Y i ~Y.

Definicja dziedziny operatora logicznego jednoargumentowego w zbiorach:
Dziedzina operatora logicznego jednoargumentowego to dwa zbiory niepuste p i ~p uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
p+~p =D =1
p*~p =[] =0

Dziedzina operatora jednoargumentowego w zbiorach:


Definicja funkcji logicznej Y:
Przypisanie dowolnej części dziedziny do symbolu Y nazywamy funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y).
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Właściwości funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
[] = Y*~Y =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Definicja operatora logicznego w układzie równań logicznych:
Operator logiczny to układ równań logicznych opisujących funkcje logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

W zbiorach dwuelementowych p i ~p możemy utworzyć cztery różne operatory logiczne:
3.1
Operator transmisji
Y=p
~Y=~p
3.2
Operator negacji
Y=~p
~Y=p
3.3
Operator chaosu
Y=p+~p =1
~Y=~(p+~p) = p*~p =0
3.4
Operator śmierci
Y=p*~p =0
~Y=~(p*~p) = p+~p =1


3.1 Operator transmisji


Definicja operatora transmisji:
Transmisja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi p
Y=p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego transmisji to układ równań logicznych:
A.
Y=p
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo zbiory Y i p istnieją i nie są puste.
B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo zbiory ~Y i ~p istnieją i nie są puste
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja operatora transmisji Y=p
Definicja   |Co matematycznie oznacza
symboliczna |
A: Y= p     | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p     |~Y=1<=>~p=1
   a  b       c      d

Kod:

Tabela 2
Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y=p
Definicja   |Definicja          |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa     |
            | p ~p  Y=p   ~Y=~p |
A: Y= p     | 1  0  =1     =0   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p     | 0  1  =0     =1   |~Y=1<=>~p=1
   a  b       1  2   3      4     c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)

Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234 opisana układem równań logicznych:
A.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Legenda:
Y=p
Y - logika dodatnia (bo Y)
Y=p - symbolicznie: linia Aab, zero-jedynkowo: linia A123, znaczenie: linia Acd
Wniosek:
Nagłówek kolumny 3:
Y=p
Dotyczy wyłącznie jednej linii z definicji symbolicznej:
Aab: Y=p

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1
Legenda:
~Y=~p
~Y - logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p - symbolicznie: linia Bab, zero-jedynkowo: linia B124, znaczenie: linia Bcd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 4:
~Y=~p
Dotyczy wyłącznie jednej linii definicji symbolicznej:
Bab: ~Y=~p

Prawa De Morgana dla operatora transmisji:
A: Y=p
B: ~Y=~p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p zwane prawem podwójnego przeczenia.
Y = p = ~(~p)
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla jednej zmiennej p
~Y= p= ~(p)

Dowód praw De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 3
Prawa De Morgana dla jednej zmiennej p
Definicja |Definicja        |Prawa De Morgana           |Co matematycznie
symbol.   |zero-jedynkowa   |                           |oznacza
          | p ~p  Y=p ~Y=~p | Y=~(~Y)=~(~p) ~Y=~(Y)=~(p)|
A: Y= p   | 1  0  =1    =0  |  =1             =0        | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   | 0  1  =0    =1  |  =0             =1        |~Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3     4      5              6          c       d

Z tożsamości kolumn 3=5 wynika I prawo De Morgana zwane prawem podwójnego przeczenia w logice dodatniej (bo Y):
Y = p = ~(~p)
Z tożsamości kolumn 4=6 wynika II prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p = ~(p)

Kluczowym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na kluczowy matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Podsumowanie:
1.
Symboliczna definicja operatora transmisji to tabela symboliczna ABab o znaczeniu przedstawionym w obszarze ABcd.
Innymi słowy:
Symboliczna definicja operatora transmisji to układ równań logicznych:
Aab: Y=p
co matematycznie oznacza:
Acd: Y=1 <=> p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie stronami:
Bab: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
Bcd: ~Y=1 <=> ~p=1
2.
Zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora transmisji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234, uwzględniająca sygnały wejściowe p i ~p, oraz sygnały wyjściowe Y i ~Y.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziemy do kina?
Jaś:
Negujemy równanie B stronami:
Y=~(~K)
stąd:
A’.
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = ~(~K)


3.2 Operator negacji

0
Definicja operatora negacji:
Negacja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi ~p
Y=~p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego negacji to układ równań logicznych:
A.
Y=~p
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo zbiory Y i ~p istnieją i nie są puste.
B.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo zbiory ~Y i p istnieją i nie są puste
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja operatora negacji Y=~p
Definicja   |Co matematycznie oznacza
symboliczna |
A: Y=~p     | Y=1<=>~p=1
B:~Y= p     |~Y=1<=> p=1
   a  b       c      d

Kod:

Tabela 2
Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y=p
Definicja   |Definicja         |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa    |
            | p ~p ~Y=p   Y=~p |
B:~Y= p     | 1  0  =1     =0  |~Y=1<=> p=1
A: Y=~p     | 0  1  =0     =1  | Y=1<=>~p=1
   a  b       1  2   3      4    c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)

Jedyną różnicą w stosunku do operatora transmisji jest tu odwrotne przyporządkowanie funkcji Y i ~Y nad kolumnami 3 i 4, co pociąga za sobą zmianę polaryzacji sygnałów Y i ~Y w całej tabeli.
Także symboliczny opis linii A i B zamieniamy miejscami by linia A odpowiadała funkcji Y (z punktu widzenie logiki zamiana A i B jest nieistotna)

Zero-jedynkowa definicja operatora negacji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234 opisana układem równań logicznych:
A.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Legenda:
Y=~p
Y - logika dodatnia (bo Y)
Y=~p - symbolicznie: linia Aab, zero-jedynkowo: linia A124, znaczenie: linia Acd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 4:
Y=~p
Dotyczy wyłącznie jednej linii z definicji symbolicznej:
Aab: Y=~p

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A stronami:
B.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>p=1
Legenda:
~Y=p
~Y - logika ujemna (bo ~Y)
~Y=~p - symbolicznie: linia Bab, zero-jedynkowo: linia B123, znaczenie: linia Bcd

Wniosek:
Nagłówek kolumny 3:
~Y=p
Dotyczy wyłącznie jednej linii definicji symbolicznej:
Bab: ~Y=p

Prawa De Morgana dla operatora negacji:
A: Y=~p
B:~Y= p
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y =~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y) dla jednej zmiennej p zwane prawem podwójnego przeczenia.
Y = ~p = ~(p)
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y) dla jednej zmiennej p
~Y= ~p= ~(~p)

Dowód praw De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 3
Prawa De Morgana dla jednej zmiennej p
Definicja |Definicja        |Prawa De Morgana           |Co matematycznie
symbol.   |zero-jedynkowa   |                           |oznacza
          | p ~p ~Y=p  Y=~p |~Y=~(Y)=~(~p) Y=~(~Y)=~(p) |
B:~Y= p   | 1  0  =1    =0  |  =1             =0        |~Y=1<=> p=1
A: Y=~p   | 0  1  =0    =1  |  =0             =1        | Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3     4      5              6          c       d

Z tożsamości kolumn 3=5 wynika prawo De Morgana zwane prawem podwójnego przeczenia w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)
Z tożsamości kolumn 4=6 wynika prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~p = ~(p)

Najważniejszym w rachunku zero-jedynkowym jest poprawny opis nagłówków kolumn wynikowych w równaniach algebry Boole’a. Należy zwrócić uwagę na kluczowy matematycznie opis nagłówków w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Podsumowanie:
1.
Symboliczna definicja operatora negacji to tabela symboliczna ABab o znaczeniu przedstawionym w obszarze ABcd.
Innymi słowy:
Symboliczna definicja operatora negacji to układ równań logicznych:
Aab: Y=~p
co matematycznie oznacza:
Acd: Y=1 <=> ~p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy powyższe równanie stronami:
Bab: ~Y= p
co matematycznie oznacza:
Bcd: ~Y=1 <=> p=1
2.
Zero-jedynkowe kodowanie definicji symbolicznej operatora transmisji to kompletna tabela zero-jedynkowa AB1234, uwzględniająca sygnały wejściowe p i ~p, oraz sygnały wyjściowe Y i ~Y.

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a czy może się zdarzyć że jutro pójdziemy do kina?
Jaś:
Negujemy równanie B stronami:
Y = ~(K)
stąd:
A’.
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y = ~(K)


3.3 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Operator chaosu to przypisanie funkcji logicznej Y dziedzinie D co wymusza zbiór pusty [] dla funkcji ~Y
Y=p+~p =D =1
Obliczenie ~Y:
Przejście logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne („+” na „*”)
~Y = p*~p =[] =0
Kod:

Symboliczna definicja operatora chaosu Y=1
Definicja    | Co matematycznie oznacza
symboliczna  |
A: Y= p+~p   | Y=1
B:~Y= p*~p   |~Y=0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu Y=1
Definicja   |Definicja              |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa         |
            | p ~p  Y=p+~p  ~Y=p*~p |
A: Y= p+~p  | 1  0  =1       =0     | Y=1
B:~Y= p*~p  | 0  1  =1       =0     |~Y=0
   a  b  c    1  2   3        4       d

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =D =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa.
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników
~Y=~K*K =[] =0
Zbiór pusty oznacza że nie ma tu żadnych szans na kłamstwo bo nie jest możliwe ustawienie:
~Y =1 - pani jutro skłamie (nie dotrzyma słowa ~Y)

Definicja zdania zawsze prawdziwego:
Zdanie zawsze prawdziwe jest tożsame z operatorem chaosu, czyli z funkcją logiczną Y mającą w kolumnie wynikowej same jedynki.

UWAGA:
Ilość argumentów nie ma żadnego znaczenia dla definicji zdania zawsze prawdziwego.
W operatorze jednoargumentowym zdaniem zawsze prawdziwym jest funkcja logiczna Y=p+~p będąca nagłówkiem kolumny 3.
W operatorze n-argumentowym zdaniem zawsze prawdziwym jest funkcja logiczna zawierająca same jedynki w kolumnie wynikowej będące odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu układu.


3.4 Operator śmierci

Definicja operatora śmierci:
Operator śmierci to przypisanie funkcji logicznej Y zbiorowi pustemu [] co wymusza zbiór pełny (dziedzinę) w funkcji ~Y
Y=p*~p =[] =0
Obliczenie ~Y:
Przejście logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne („*” na „+”)
~Y = p+~p =D =1
Kod:

Symboliczna definicja operatora śmierci Y=0
Definicja    | Co matematycznie oznacza
symboliczna  |
             |
A: Y= p*~p   | Y=0
B:~Y= p+~p   |~Y=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci Y=0
Definicja   |Definicja              |Co matematycznie oznacza
symboliczna |zero-jedynkowa         |
            | p ~p ~Y=p+~p   Y=p*~p |
B:~Y= p+~p  | 1  0  =1       =0     |~Y=1
A: Y= p*~p  | 0  1  =1       =0     | Y=0
   a  b  c    1  2   3        4       d

Operator śmierci różni się od operatora chaosu odwrotnym przyporządkowaniem funkcji Y i ~Y nad kolumnami 3 i 6. Pociąga to za sobą zmianę polaryzacji sygnałów Y w całej tabeli, jak również zmianę opisu linii A i B (to ostatnie jest bez znaczenia dla logiki)

Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0
Wypowiadając to zdanie pani jest kłamcą.
Nieistotne jest, co pani zrobi jutro


3.5 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych

Zero-jedynkowe definicje operatorów jednoargumentowych.
Kod:

        |Transmisja |Negator    |Chaos           |Śmierć
        | Y=p       | Y=~p      | Y=(p+~p)=1     | Y=(p*~p)=0
   p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p |~Y=p+~p Y=p*~p
A: 1  0 | =1   =0   | =0    =1  | =1      =0     | =1      =0
B: 0  1 | =0   =1   | =1    =0  | =1      =0     | =1      =0



3.6 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa

Definicja sygnału cyfrowego:
Sygnał cyfrowy to zmiany zmiennej binarnej w funkcji czasu

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna która może przyjmować w osi czasu wyłącznie dwa stany logiczne 1 i 0.
Zmienna binarna = zmienna dwustanowa (0 i 1)

W technice cyfrowej (TTL) są to stany:
H - wysoki poziom logiczny, napięcie 2,4 do 5,0V
L - niski poziom logiczny, napięcie 0,0 do 0,4V
W logice dodatniej przyporządkowanie tych stanów do logicznego zera i logicznej jedynki jest następujące:
H = 1
L = 0

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y.
Odpowiedź bramki logicznej Y na te same wymuszenia na wejściach (p,q,r,s..) jest zawsze identyczna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny Y to kompletna odpowiedź bramki logicznej na wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na jej wejściach.
Y = f(p,q,r,s..)

Operator jednoargumentowy to bramka logiczna o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y

Po stronie wejścia operatora jednoargumentowego mamy sygnał p. Sygnał ten musi mieć swoje zaprzeczenie ~p na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p.
Zapiszmy wszystkie możliwe odpowiedzi operatora jednoargumentowego.
Kod:

Operatory jednoargumentowe
   p ~p
A: 1  0 | 1  0 | 1  0
B: 0  1 | 0  1 | 1  0
   1  2   3  4   5  6

Wszystkie możliwe odpowiedzi bramki logicznej jednoargumentowej pokazuje tabela AB3456.
Odpowiedzi te grupujemy w postaci par kolumn, gdzie jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Takie kolumny są ze sobą w związku matematycznym, jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Każdą parę takich kolumn możemy opisać sekwencją [Y, ~Y], albo odwrotnie [~Y, Y]

Na mocy powyższego wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe są następujące:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
        | Y= p      |~Y= p      | Y= p+~p=1         | Y= p*~p=0
        |~Y=~p      | Y=~p      |~Y=~p* p=0         |~Y=~p+ p=1
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0|~Y=p+~p=1 Y=p*~p=0
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =1        =0
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =1        =0

Doskonale widać, że technika cyfrowa jest w 100% zgodna z teorią zbiorów wyłożoną wyżej.


3.7 Prawo Rekina

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
        | Y= p      |~Y= p      | Y= p+~p=1         | Y= p*~p=0
        |~Y=~p      | Y=~p      |~Y=~p* p=0         |~Y=~p+ p=1
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0|~Y=p+~p=1 Y=p*~p=0
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =1        =0
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =1        =0

Jak wygląda powyższa tabela w zbiorach?


Doskonale tu widać, interpretację tabeli wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach.
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi p to mamy układ równań opisujący operator transmisji:
Y=p
~Y=~p
D = Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi ~p to mamy układ równań opisujący operator negacji:
Y=~p
~Y=p
D=Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcji logicznej Y przypiszemy dziedzinę (zbiór pełny) to mamy operator chaosu opisany układem równań:
Y=p+~p
~Y=p*~p
D = Y+~Y = p+~p + p*~p = p+~p+[] = p+~p
Jeśli funkcję logiczną Y przypiszemy zaprzeczeniu dziedziny (zbiór pusty) to mamy operator śmierci opisany równaniem:
Y=p*~p
~Y=p+~p
D = Y+~Y = p*~p + p+~p = [] +p+~p = p+~p

Zauważmy, że niezależnie od operatora jednoargumentowego dziedzina dla wszystkich operatorów logicznych jest stała i niezmienna opisana równaniem:
D = Y+~Y
D= p+~q =1

Przykład 1.
Zajmijmy się teraz najprostszą algebrą zbiorów:
Y1 = p + p*p
Minimalizujemy to równanie w sposób trochę nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*p
Y3 = p*(D + p)
Y4 = p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 2.
Zapiszmy teraz takie równanie:
Y1 = p + p*~p
To równanie minimalizujemy również w sposób nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*~p
Y3 = p*(D+~p)
Y4= p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia.

Podsumowanie:
Doskonale widać, że wspólną dziedziną dla wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych, stałą i niezmienną, jest funkcja logiczna opisująca operator chaosu mająca same jedynki w kolumnie wynikowej Y:
Y = D = p+~p
Nasz wniosek można uogólnić.

Prawo wspólnej dziedziny:
Wspólną dziedziną dla operatora n-argumentowego będzie funkcja logiczna opisująca n-argumentowy operator chaosu, czyli z samymi jedynkami w wyniku.

Dwuargumentowy operator chaosu |~~> w zbiorach:


Dziedzina w operatorach dwuargumentowych to suma logiczna zbiorów rozłącznych A,B,C i D uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q

Zapiszmy wspólną dziedzinę dla absolutnie wszystkich operatorów dwuargumentowych:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja |Funkcje cząstkowe |Co matematycznie oznacza
operatora chaosu p|~~>q  |operatora chaosu  |
   p  q ~p ~q  Y=?       |                  |
A: 1  1  0  0   =1       | Ya= p* q         | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1   =1       | Yb= p*~q         | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0   =1       | Yc=~p* q         | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1   =1       | Yd=~p*~q         | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1

Stąd mamy dziedzinę identyczną dla wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych będącą na mocy definicji 2-argumentowym operatorem chaosu p|~~>q.
D = Y = Ya+Yb+Yc+~Yd
Po podstawieniu funkcji cząstkowych mamy:
D = Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*q

Dowód iż matematycznie jest tu wszystko w porządku:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~q =1
cnd

Rozważmy teraz przykłady analogiczne do przykładów z operatora jednoargumentowego.

Przykład 3.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 4.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*~q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*~q
Y3 = p*(D+~q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Podsumowanie:
Weźmy jeszcze raz przykład 3 (dwuargumentowy).
Y1 = p + p*q
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)

STOP!
Doskonale widać, że w tym momencie nie ma znaczenia co podstawimy pod q.
Może być to dowolna funkcja logiczna, nawet nieskończona typu:
q = r*s+~s*t + u*w*~v … itd. do nieskończoności.

Prawo Rekina:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności algebry zbiorów (czyli logiki matematycznej) jest przynależność wszystkich zmiennych w dowolnym równaniu zbiorów (= równaniu logicznym) do tej samej dziedziny D.

Z prawa Rekina wynika, że nie może być tak, iż jakakolwiek zmienna w równaniu algebry zbiorów (=w równaniu logicznym) wychodzi poza dziedzinę obowiązującą dla tego równania.
Gdyby taki przypadek zaistniał to algebra zbiorów (=równanie logiczne) leży w gruzach - co oczywiście być nie może.


Post został pochwalony 0 razy

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 22:05, 04 Kwi 2017, w całości zmieniany 54 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin