Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Próby

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 16:12, 09 Lip 2016    Temat postu: Próby

Algebra Kubusia w definicjach

Autor: Kubuś

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, WLR i inni.


Wstęp:
Algebra Kubusia to wynik 12-letniej dyskusji przede wszystkim na forum śfinia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2018
Szczególne podziękowania dla Wuja Zbója za początkową dyskusję oraz za stworzenie forum śfinia bez banów, dzięki któremu algebra Kubusia w ogóle mogła zaistnieć, bowiem z wszelkich innych forów Rafał3006 był natychmiast banowany z uzasadnieniem „Algebra Kubusia jest sprzeczna z Wikipedią”. Szczególne podziękowania także dla Fiklita za kluczową, 6-cio letnią dyskusję z Rafałem3006. Bez Wuja i Fiklita algebra Kubusia nigdy by się nie narodziła.

Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w definicjach 2
2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia 2
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 5
2.2 Relacje między zbiorami 6
3.0 Algebra Kubusia w definicjach zero-jedynkowych 7
3.1 Definicja spójnika „i”(*) 7
3.2 Definicja spójnika „lub”(+) 7
3.3 Definicja warunku wystarczającego => 8
3.4 Definicja warunku koniecznego ~> 8
3.5 Definicja kwantyfikatora małego ~~> 8
3.6 Definicja równoważności <=> 9
3.7 Definicja spójnika „albo”($) 9
4.0 Podstawowe definicje w algebrze Kubusia 10
4.1 Definicja warunku wystarczającego => 10
4.2 Definicja warunku koniecznego ~> 10
4.3 Definicja kwantyfikatora małego ~~> 10
4.3.1 Definicja kontrprzykładu 11
4.3.2 Prawo Kobry 11
4.4 Definicja równoważności <=> 11
4.5 Definicja spójnika „albo”($) 12
5.0 Podstawowe prawa w algebrze Kubusia 12
5.1 Prawa Prosiaczka 13
5.2 Prawa Kubusia 13
5.3 Prawa Tygryska 13
5.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 14
5.5 Interpretacja dowolnego prawa logicznego 14
5.6 Prawo Przedszkolaka 14
6.0 Operatory implikacyjne 14
6.1 Operator implikacji prostej p|=>q 16
6.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 20
6.3 Operator równoważności <=> 23
6.4 Operator chaosu p|~~>q 27



1.0 Algebra Kubusia w definicjach

Kompletną algebrę Kubusia precyzyjnie opisuje zaledwie 10 znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
(*) - spójnik „i”(*)
(+) - spójnik „lub”(+)
($) - spójnik „albo”($), ziemski XOR
(=>) - warunek wystarczający =>
(~>) - warunek konieczny ~>
(~~>) - kwantyfikator mały
(<=>) - równoważność

Zauważmy, że znaczki te są w powszechnym użyciu w logice matematycznej ziemian (z wyjątkiem dwóch: ~> i ~~>)
Co więcej:
Poprawne definicje matematyczne absolutnie wszystkich wyżej wymienionych znaczków można znaleźć w Wikipedii, niestety między wierszami, co wielokrotnie udowadniałem.


2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Rozróżniamy dwa rodzaje Uniwersum.

Uniwersum lokalne:
Uniwersum lokalne związane z konkretnym człowiekiem

Uniwersum ogólne:
Uniwersum ogólne to Uniwersum ludzkości

Każdy człowiek ma swoje indywidualne Uniwersum.
Fundament Uniwersum przeciętnego człowieka to zaledwie kilkanaście tysięcy pojęć plus gramatyka języka którym operuje. Uniwersum jest pojęciem dynamicznym, rozszerza się gdy się uczymy i zawęża gdy zapominamy. Z definicji żaden człowiek nie może wyjść poza swoje Uniwersum.
W obszarze Uniwersum lokalnego mieszczą się wszelkie marzenia indywidualne człowieka np. wyobrażam sobie że jestem Johnem Lennonem - dokładnie taki człowiek, chory psychicznie, zabił Lennona.

W Uniwersum ogólnym mieszczą się wszelkie pojęcia akceptowane przez wszystkich ludzi (np. pies, rower, krasnoludek, miłość …) jak również pojęcia znane wyłącznie specjalistom w określonej dziedzinie np. ramipryl - pojęcie z dziedziny medycyny, substancja aktywna leku na nadciśnienie.

Definicja Absolutu
Absolut to zbiór wszystkich pojęć dostępnych w naszym Wszechświecie.

Do absolutu zaliczamy nie tylko pojęcia z obszaru Uniwersum znane obecnie ludzkości, ale też wszelkie pojęcia które człowiek jest w stanie poznać (zdefiniować) w przyszłości.
Oczywistym jest, że nigdy nie poznamy absolutu w 100% choćby dlatego, że fantazja człowieka jest nieskończona (pojęcia abstrakcyjne). W swojej historii człowiek non-stop wyrywa nie znane mu pojęcia z obszaru Absolutu i dołącza je do swojego Uniwersum. Człowiek nie jest w stanie myśleć na poziomie absolutu, bo nie jest Bogiem.

Fakty z algebry Kubusia:
1.
Algebra Kubusia nie zajmuje się Absolutem
Absolut = Bóg filozofów
Bóg filozofów to Bóg który zna historię naszego Wszechświata od momentu jego powstania do momentu jego śmierci z dokładnością do położenia każdego atomu w naszym Wszechświecie z dokładnością do znajomości wszelkich myśli i poczynań istot żywych z wyprzedzeniem.
Wnioski:
a).
Bóg filozofów nie ma wolnej woli bo niczego nie może zmienić z tego co wie
b).
Istoty żywe też nie mają wolnej woli bo istnieje osoba trzecia (Bóg filozofów) która zna poczynania wszelkich istot żywych z wyprzedzeniem, co oznacza że je determinuje.
2.
Algebra Kubusia operuje wyłącznie w Uniwersum
Uniwersum to wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Pojęcia w Uniwersum istnieją (=1) dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
pies =1 - istnieje (=1) pies
miłość =1 - istnieje (=1) miłość
krasnoludek =1 - istnieje (=1) krasnoludek

Bez znaczenie jest czy pojęcie jest obiektem fizycznym (pies), czy nie fizycznym (miłość) czy też pojęciem abstrakcyjnym (krasnoludek)
Wszystkie te pojęcia istnieją (=1) dlatego maja wartość logiczną jeden.

Jeśli mówię:
Istnieje pies =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt fizyczny

Jeśli mówię:
Istnieje miłość =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt nie fizyczny

Jeśli mówię:
Istnieje krasnoludek =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt abstrakcyjny

Nie wolno nam zapisać:
Istnieje miłość =0
bo to jest czysto matematyczny fałsz

Nie wolno nam również zapisać:
Istnieje krasnoludek =0
Bo to jest czysto matematyczny fałsz

Rozróżnianie kategorii pojęć (fizyczne, nie fizyczne, abstrakcyjne) leży w fundamentach logiki matematycznej, jest jasne dla każdego człowieka tzn. każdy człowiek rozróżnia te pojęcia.

Innymi słowy, jeśli mówię:
Istnieje krasnoludek =1
To nie musze dodawać komentarza, że krasnoludek to obiekt abstrakcyjny.

Prawo Jastrzębia:
Dziedzina: Uniwersum
A.
Jeśli dowolne pojęcie (P=1) istnieje w Uniwersum to na 100% znana jest jego definicja (D=1)
P=>D =1
Istnienie pojęcia w Uniwersum jest warunkiem wystarczającym => do znajomości jego definicji
Kontrprzykład B jest tu fałszem:
B.
Jeśli dowolne pojęcie (P=1) istnieje w Uniwersum to może ~~> nie być znana jego definicja (~D=1)
P~~>~D = P*~D =1*1 =0 - nie ma takiej możliwości

Prawdziwe jest twierdzenie odwrotne:
AO.
Jeśli znana jest definicja pojęcia w Uniwersum, to na 100% => pojęcie to istnieje w Uniwersum
D=>P =1
Istnienie definicji pojęcia w obszarze Uniwersum jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby to pojęcie istniało (w Uniwersum)
Kontrprzykład jest tu fałszem:
BO.
Jeśli znana jest definicja pojęcia z Uniwersum, to pojęcie to może ~~> nie istnieć (w Uniwersum)
D~~>~P = D*~P = 1*1 =0 - nie ma takiej możliwości
cnd

W obszarze Uniwersum mamy tu do czynienia z równoważnością:
Pojęcie P istnieje w obszarze Uniwersum wtedy i tylko wtedy gdy znana jest jego definicja.
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) = 1*1 =1

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Budowa zbioru:
C = [M, K]
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała rzez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy.

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji. Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):

Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Definicja przecinka w zapisie elementów zbioru:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Przykład działania na zbiorach w algebrze Kubusia
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru rozdzielone przecinkiem:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek (zbiór wszystkich ludzi)

Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru człowiek wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% będzie to kobieta (K=1)
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% będzie to mężczyzna (M=1)


2.2 Relacje między zbiorami

W algebrze Kubusia występują następujące relacje między zbiorami:
p=>q - relacja podzbioru =>, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~~>q=p*q - relacja elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q
p=q - relacja tożsamości zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest spełniona
Inaczej:
p=>q =0

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest spełniona
Inaczej:
p~>q =0

Definicja elementu wspólnego ~~> zbioru:
Zbiór p ma element wspólny ~~> ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów nie jest zbiorem pustym
p~~>q =p*q =1 - gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne
[] - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest elementem zbioru q i na odwrót
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Prawa strona to definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Stąd mamy:
Każda tożsamość matematyczna to automatycznie równoważność
(p=q) = (p<=>q)


3.0 Algebra Kubusia w definicjach zero-jedynkowych

Pojęcia elementarne:
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - przedrostek NIE przed dowolnym symbolem

3.1 Definicja spójnika „i”(*)
Kod:

Definicja spójnika „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Aby zaszło Y=1 muszą zajść jednocześnie oba zdarzenia p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej


3.2 Definicja spójnika „lub”(+)
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej


3.3 Definicja warunku wystarczającego =>

Kod:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =1
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0


3.4 Definicja warunku koniecznego ~>

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q Y=(p~>q)=p+~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =0
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0


3.5 Definicja kwantyfikatora małego ~~>

Kod:

Definicja warunku kwantyfikatora małego ~~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
w tabeli zero-jedynkowej
   p  q Y=(p~~>q)=1
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=1
bez względu na stan wejść p i q


3.6 Definicja równoważności <=>

Kod:

Definicja warunku równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0



3.7 Definicja spójnika „albo”($)

Definicja spójnika „albo”($) jest tożsama z definicją równoważności p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
~(p<=>q) = p<=>~q = p*~q + ~p*q

Kod:

Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
   p  q  Y=(p$q)=p*~q+~p*q
A: 1  1  =0
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0



4.0 Podstawowe definicje w algebrze Kubusia

Podstawowe definicje w algebrze Kubusia to:
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
p~~>q - definicja kwantyfikatora małego
p~~>~q=p*~q - definicja kontrprzykładu
p~~>q = p*q - prawo Kobry
Definicja równoważności:
p<=>q =(p=>q)*(p~>q) = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika „albo”($):
p$q =p*~q+~p*q

4.1 Definicja warunku wystarczającego =>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej: p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia zdarzenia q
Inaczej: p=>q =0

4.2 Definicja warunku koniecznego ~>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej: p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej: p~>q =0

4.3 Definicja kwantyfikatora małego ~~>

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja kwantyfikatora jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.
Inaczej: p~~>q = p*q =[] =0

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja kwantyfikatora jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej: p~~>q = p*q =[] =0

4.3.1 Definicja kontrprzykładu

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

4.3.2 Prawo Kobry

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~>.

4.4 Definicja równoważności <=>

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami.
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Inaczej:
p<=>q =0
Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
Y = (p<=>q) = (~p+q)*(p+~q)
Przejście do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla człowieka:
Y = (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q

Definicja równoważności p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami.
Do tego aby zaszło ~q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
~(p<=>q) = p<=>~q = (p=>~q)*(p~>~q) =1*1 =1
Inaczej:
p<=>~q =0
Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p<=>~q) = (~p+~q)*(p+q)
Przejście do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla człowieka:
Y = (~p+~q)*(p+q)
Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
p<=>~q = p*~q+~p*q

4.5 Definicja spójnika „albo”($)

Zajdzie wyłącznie p albo q
Y = p$q = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <= (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już ustawi Y=1
Inaczej: Y=0

Definicja spójnika „albo”($) jest tożsama z równoważnością w logice ujemnej (bo ~q)
~(p<=>q) = p<=>~q = (p=>~q)*(p~>~q) = p*~q + ~p*q


5.0 Podstawowe prawa w algebrze Kubusia

Podstawowe prawa w algebrze Kubusia to:
- prawa Prosiaczka
- prawa Kubusia
- prawa Tygryska

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

Jeśli p to q
p=>q =1
Warunek wystarczający => jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej p=>q=0
2.
Warunek konieczny ~>:

Jeśli p to q
p~>q =1
Warunek konieczny ~> jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej p~>q=0
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q
Inaczej p~~>q=0

Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.

5.1 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)

II Prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=1) = (Y=0)

5.2 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

5.3 Prawa Tygryska

Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> z zamianą p i q
I Prawo Tygryska
p=>q = q~>p
II Prawo Tygryska
p~>q = q=>p

Prawa Kubusia i prawa Tygryska można dowolnie mieszać.
Przykład:
Prawo Tygryska:
1: p=>q = q~>p
Dla prawej strony korzystamy z prawa Kubusia:
2: q~>p = ~q=>~p
Podstawiając 2 do 1 mamy znane ziemianom prawo kontrapozycji:
3: p=>q = ~q=>~p

5.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
~p - zaprzeczenie pojęcia p do dziedziny D

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) są dla nas nierozpoznawalne bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur

5.5 Interpretacja dowolnego prawa logicznego

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

5.6 Prawo Przedszkolaka

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia


6.0 Operatory implikacyjne

Operatory implikacyjne zapewniają matematyczną obsługę wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”. Zdania warunkowe „Jeśli p to q” to fundament logiki matematycznej.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

Jeśli p to q
p=>q =1
Warunek wystarczający => jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej p=>q=0
2.
Warunek konieczny ~>:

Jeśli p to q
p~>q =1
Warunek konieczny ~> jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej p~>q=0
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q
Inaczej p~~>q=0

Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~> podanych wyżej.

Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego z czterech operatorów implikacyjnych;
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

III.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach => i ~>:

Operator chaosu p|~~>q to brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =0
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1


6.1 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]


I.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Kod:

T1
Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=1 - bo zbiór ~p ma część wspólną ze zbiorem q
   1   2    3  4  5  6

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q spełnia definicję operatora logicznego

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Z diagramy wyżej odczytujemy także symboliczną definicję implikacji odwrotnej q|~>p
Kod:

T2
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej q|~>p
A: q~> p =[ q* p= p]=1 - bo zbiór q jest nadzbiorem ~> p
B:~q~~>p =[~q* p   ]=0 - bo zbiór ~q jest rozłączny ze zbiorem p
C:~q=>~p =[~q*~p=~q]=1 - bo zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p
D: q~~>~p=[ q*~p   ]=1 - bo zbiór  q ma część wspólną ze zbiorem p
   1   2    3  4  5  6

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej q|~>p również spełnia definicję operatora logicznego.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = q|~>p
bo kolumny 6 w tabelach T1 i T2 są tożsame.

Stąd mamy wszystkie związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q.
p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p

Stąd mamy:

I Prawo Kubusia:
Związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q

I Prawo Tygryska:
Związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p

Powyższe prawa teorii zbiorów wyprowadzone z diagramu implikacji prostej p|=>q możemy potwierdzić w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

T3
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Rozważmy symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q zakodowaną kwantyfikatorem małym ~~>:
Kod:

T4
Definicja symboliczna implikacji prostej w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q
B: p~~>~q =0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~~>~q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem ~q
D:~p~~> q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem q
   1   2   3

1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =0
4.
Na mocy prawa Kubusia:
~p=>~q = p~>q
fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0
Nanieśmy to wszystko do tabeli prawdy w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

T5
Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q
A: p=>  q =1 | p~>  q =0
B: p~~>~q =0 | p~~>~q =0
C:~p~>~q  =1 |~p=> ~q =0
D:~p~~> q =1 |~p~~> q =1
   1   2   3   4    5  6

Z linii A odczytujemy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>.
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1


6.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]


II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Kod:

T1
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q
A: p~> q =[ p* q= q]=1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=1 - bo zbiór p ma część wspólną ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q
   1   2    3  4  5  6

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q spełnia definicję operatora logicznego

Z diagramy wyżej odczytujemy także symboliczną definicję implikacji prostej q|=>p
Kod:

T2
Definicja symboliczna implikacji prostej q|=>p
A: q=> p =[ q* p= q]=1 - bo zbiór q jest podzbiorem => p
B:~q~~>p =[~q* p   ]=1 - bo zbiór ~q ma część wspólną ze zbiorem p
C:~q~>~p =[~q*~p=~q]=1 - bo zbiór ~q jest nadzbiorem ~> zbioru ~p
D: q~~>~p=[ q*~p   ]=0 - bo zbiór  q jest rozłączny ze zbiorem p
   1   2    3  4  5  6

Definicja symboliczna implikacji prostej q|=>p również spełnia definicję operatora logicznego.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = q|=>p
bo kolumny 6 w tabelach T4 i T5 są tożsame.

Stąd mamy wszystkie związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q.
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p

Stąd mamy:

II Prawo Kubusia:
Związek warunku koniecznego ~> i wystarczającego => bez zamiany p i q
p~>q = ~p=>~q

II Prawo Tygryska:
Związek warunku koniecznego ~> i wystarczającego => z zamianą p i q
p~>q = q=>p

Powyższe prawa teorii zbiorów wyprowadzone z diagramu implikacji odwrotnej p|~>q możemy potwierdzić w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

T3
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Rozważmy symboliczną definicję implikacji odwrotnej zakodowaną kwantyfikatorem małym ~~>:
Kod:

T4
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q
B: p~~>~q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem ~q
C:~p~~>~q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem ~q
D:~p~~> q =0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q
   1   2   3

1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Na mocy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0
Nanieśmy to wszystko do tabeli prawdy w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

T5
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q:
A: p~>  q =1 | p=>  q =0
B: p~~>~q =0 | p~~>~q =0
C:~p=>~q  =1 |~p~> ~q =0
D:~p~~> q =1 |~p~~> q =1
   1   2   3   4    5  6

Z linii A odczytujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>.
II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

6.3 Operator równoważności <=>

Definicja operatora równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*[p=q]


III.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Kod:

T1
Definicja symboliczna równoważności p<=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~p]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja równoważności p<=>q spełnia definicję operatora logicznego

Z diagramy wyżej odczytujemy także symboliczną definicję równoważności odwrotnej q<=>p
Kod:

T2
Definicja symboliczna równoważności odwrotnej q<=>p
A: q=> p =[ q* p= q]=1 - bo zbiór q jest podzbiorem => p
B:~q~~>p =[~q* p   ]=0 - bo zbiór ~q jest rozłączny ze zbiorem p
C:~q=>~p =[~q*~p=~q]=1 - bo zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p
D: q~~>~p=[ q*~p   ]=0 - bo zbiór  q jest rozłączny ze zbiorem p
   1   2    3  4  5  6

Definicja symboliczna równoważności odwrotnej q<=>p również spełnia definicję operatora logicznego.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = q<=>p
bo kolumny 6 w tabelach T1 i T2 są tożsame.

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

T3
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
Kod:

T4
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Matematycznie mamy:
TABELA 3 ## TABELA 4
T3: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T4: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 3 i tabela 4 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (p~>q)

Podstawiając zachodzące tożsamości w T3 i T4 mamy 16 tożsamych definicji równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
p<=>q = T3: (p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p) * T4: (p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p)

Najważniejsze definicji równoważności to:
1.
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (q=>p) = 1*1 =1
2.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami:
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (p~>q) = 1*1 =1
3.
Definicja aksjomatyczna, wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (~p=>~q)

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Rozważmy symboliczną definicję implikacji równoważności p<=>q zakodowaną kwantyfikatorem małym ~~>:
Kod:

T5
Definicja symboliczna równoważności p<=>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
A: p~~> q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q
B: p~~>~q =0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~~>~q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem ~q
D:~p~~> q =0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q

1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
4.
Na mocy prawa Kubusia:
~p=>~q = p~>q
prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Nanieśmy to wszystko do tabeli prawdy w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

T6
Definicja symboliczna równoważności p<=>q
A: p=>  q =1 | p~>  q =1
B: p~~>~q =0 | p~~>~q =0
C:~p~>~q  =1 |~p=> ~q =1
D:~p~~> q =0 |~p~~> q =0
   1   2   3   4    5  6

Z linii A odczytujemy definicję równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>.
III.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1


6.4 Operator chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p~~>q = p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p



IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach => i ~>:

Operator chaosu p|~~>q to brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =0
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Kod:

Definicja symboliczna operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
A: p~~> q =[ p* q] =1 - zbiory p i q mają część wspólną
B: p~~>~q =[ p*~q] =1 - zbiory p i ~q mają część wspólną
C:~p~~> q =[~p* q] =1 - zbiory ~p i q mają część wspólną
D:~p~~>~q =[~p*~q] =1 - zbiory ~p i ~q mają część wspólną

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q spełnia definicję operatora logicznego


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:30, 25 Mar 2018, w całości zmieniany 133 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 22:06, 09 Lip 2016    Temat postu:

Algebra Kubusia - bramy Raju

Część II
Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>,|~~>

Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne 1
6.1 Słownik Chińsko-Polski 2
6.2 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~> 7
6.3 Prawa Kubusia 8
6.4 Prawo Kobry 10
6.5 Wspólna dziedzina w zdaniach warunkowych 10
7.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~> 11
8.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w zbiorach 16
8.1 Operator implikacji prostej p|=>q 16
8.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 20
8.3 Operator równoważności p<=>q 25
8.4 Operator chaosu p|~~>q 30


6.0 Operatory implikacyjne

Definicje zero-jedynkowe operatorów implikacyjnych:
Kod:

Najważniejsze, dwuargumentowe operatory logiczne
       |Implikacja   |Implikacja    |Równoważność  |Operator chaosu: Y+~Y
       |prosta p|=>q |odwrotna p|~>q| p<=>q        |Definicja dziedziny D
       |             |              |              |dla dowolnego operatora
       |Y=   ~Y=     |Y=   ~Y=      |Y=    ~Y=     |Y+~Y  Y*~Y
   p q |p=>q ~(p=>q) |p~>q ~(p~>q)  |p<=>q ~(p<=>q)| =1    =0
A: 1 1 | =1     =0   | =1     =0    |  =1      =0  | =1    =0
B: 1 0 | =0     =1   | =1     =0    |  =0      =1  | =1    =0
C: 0 1 | =1     =0   | =0     =1    |  =0      =1  | =1    =0
D: 0 0 | =1     =0   | =1     =0    |  =1      =0  | =1    =0
   1 2    a      b      c      d        e       f     g     h

Najważniejsze prawa logiki matematycznej to prawa Kubusia:
I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Dowód formalny praw Kubusia:
Kod:

   p  q ~p ~q  p=>q  ~p~>~q  p~>q  ~p=>~q
A: 1  1  1  1   =1     =1     =1     =1
B: 1  0  0  1   =0     =0     =1     =1
C: 0  0  1  1   =1     =1     =1     =1
D: 0  1  1  0   =1     =1     =0     =0
   1  2  3  4    5      6      7      8

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Tożsamość kolumn wynikowych 7=8 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q


6.1 Słownik Chińsko-Polski

Oznaczmy:
Język Polski - naturalna logika człowieka (algebra Kubusia)
Język Chiński - logika formalna (Rachunek Predykatów)
AK - algebra Kubusia
LZ - logika Ziemian

Nadszedł czas, by po 10 latach wojny Kubuś vs reszta świata zbudować słownik Chińsko-Polski pozwalający Ziemskim matematykom, operującym językiem Chińskim, zrozumieć niezrozumiałe, algebrę Kubusia, operującą w języku polskim.
Oczywistym jest, że należy zacząć od języka Chińskiego, tłumacząc RP na AK.
fiklit napisał:
Jeszcze uwaga co to tego, że matematycy nie rozumieją tabelek. To nie jest tak, że punktem wyjścia jest tabelka, którą się interpretuje. Punktem wyjścia jest pewna idea operatora logicznego (w znaczeniu LZ, które jest inne niż twoje), tę ideę można zapisać w formie tabelki. Zatem zarzuty, że matematycy nie rozumieją tabeli jest zupełnie bez sensu. To ty nie rozumiesz co matematycy zapisali za pomocą tabeli. Natomiast twoja interpretacja w formie "tabelki" może być zapisana w LZ i wygląda tak:
Kod:
\/x:  P(x)*  Q(x) = ...
\/x:  P(x)* ~Q(x) = ...
\/x: ~P(x)* ~Q(x) = ...
\/x: ~P(x)*  Q(x) = ...

I teraz jeśli wartości w kolejnych wierszach będą 1,0,1,1 to jest to twoja implikacja prosta |=>. Ale tymi zagadnieniami nie zajmują działy logiki typu rachunek zdań, rachunek kwantyfikatorów.

To jest implikacja prosta p|=>q także Ziemian, bowiem Ziemianie potrafią zakodować tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w postaci symbolicznej, jak ty to zapisałeś, uzupełnioną o kolumnę wynikową.
Zauważ, że gdyby Ziemianie nie potrafili uzupełnić twojej tabeli o kolumnę wynikową to nie umieli by opisać dowolnej tabeli zero-jedynkowej funkcją logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), co jest nonsensem - bo akurat to Ziemianie potrafią robić (nie wszyscy ale potrafią np. prof. L. Newelski)
Patrz Uwaga 2.7 w tym linku:
[link widoczny dla zalogowanych]

Dowód iż Ziemianie potrafią opisać implikację prostą p|=>q przy pomocy kwantyfikatorów małych \/:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69416
Wykładowca logiki Volrath napisał:

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
/\x P(x)=>4L(x)
Kod:

Wiemy, że:
 P i 4L = 1 (pies)
 P i~4L = 0 (brak psów bez 4 łap)
~P i 4L = 1 (słoń)
~P i~4L = 1 (mrówka)


Zauważ, że Volrath podał po jednym zwierzątku w każdej linii tabeli symbolicznej implikacji prostej.
Zatem zapis Voratha jest tożsamy z twoją tabelką uzupełnioną o kolumnę wynikową.

Zacznijmy od początku.

Myślenie w RP.
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja podzbioru:
p=>q
Jeżeli każdy element zbioru p jest elementem zbioru q, to mówimy, że p jest podzbiorem => q i zapisujemy p=>q.

Zapis definicji podzbioru na gruncie RP.
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to x należy do zbioru q(x)

Weźmy przykład:
AK i LZ:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

LZ.
Zapis zdania A przy pomocy kwantyfikatora dużego o definicji z LZ.
A.
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru P8(x) to x należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x)=>P2(x)

Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Wyznaczmy wszystkie możliwe zbiory:
P8(x)=[8,16,24..]
P2(x)=[2,4,6,8..]
~P8(x) = [LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2(x)=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej.
Kod:

  P8 P2   Y
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1

Zapis tabeli zero-jedynkowej implikacji prostej Y w kwantyfikatorach małych zgodny z zapisem Fiklita i Volratha, czyli zgodny z logiką Ziemian!
Kod:

                     Y
A: \/x P8(x)* P2(x) =1
B: \/x P8(x)*~P2(x) =0
C: \/x~P8(x)*~P2(x) =1
D: \/x~P8(x)* P2(x) =1

Dalej myślimy naturalną logiką matematyczną człowieka, zgodnie z jego podstawową znajomością matematyki klasycznej.

[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja podzbioru:
p=>q
Jeżeli każdy element zbioru p jest elementem zbioru q, to mówimy, że p jest podzbiorem => q i zapisujemy p=>q.

Zapis definicji podzbioru na gruncie RP.
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to x należy do zbioru q(x)

Nasz przykład:
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru P8(x) to x należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x)=>P2(x)

Zauważmy że w naszej tabeli linię A możemy zapisać w postaci definicji podzbioru, bo to jest zgodne z podstawową wiedzą matematyczną każdego człowieka.
Kod:

                      Y
A: /\x P8(x)=> P2(x) =1
B: \/x P8(x)* ~P2(x) =0
C: \/x~P8(x)* ~P2(x) =1
D: \/x~P8(x)*  P2(x) =1

Definicja nadzbioru:
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
~> - symbol nadzbioru
Przyjrzyjmy się linii C.
~P8(x) = [LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2(x)=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]
Łatwo zauważyć, że zbiór ~P8(x)=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2(x)=[1,3,5,7,9..]
Stąd linię C możemy zapisać tak:
~P8(x)~>~P2(x)
Zauważmy, że definicji nadzbioru ~> nie da się opisać w aktualnej logice matematycznej człowieka tzn. nie da się jej opisać ani kwantyfikatorem małym \/ ani też dużym /\.
To jest podstawowy znaczek logiki matematycznej którego brakuje w logice matematycznej Ziemian.
Nasza końcowa tabela implikacji prostej wygląda tak.
Kod:

                      Y
A: /\x P8(x)=> P2(x) =1
B: \/x P8(x)* ~P2(x) =0
C:    ~P8(x)~>~P2(x) =1
D: \/x~P8(x)*  P2(x) =1

Zapiszmy teraz równanie prawdziwości funkcji logicznej Y
Y=1<=> A: /\x P8(x)=>P2(x) =1 lub C: ~P8(x)~>~P2(x) =1 lub D: \/x~P8(x)*P2(x) =1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie algebry Boole’a implikacji prostej Y:
Y= A: /\x P8(x)=>P2(x) + C: ~P8(x)~>~P2(x) + D: \/x~P8(x)*P2(x)
Kiedy implikacja prosta Y będzie prawdziwa?
Wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwy będzie dowolny człon w powyższym równaniu.
Zauważmy, że symbolem implikacji prostej nie może to być znaczek podzbioru „=>” bo wylądujemy w niejednoznaczności matematycznej.
Musimy zatem wprowadzić do logiki kolejny znaczek, znaczek implikacji prostej.
Zróbmy to:
P8(x)|=>P2(x)
|=> - znaczek implikacji prostej
Stąd nasza końcowa tabela przyjmuje postać:
Kod:

                     P8(x)|=>P2(x)
A: /\x P8(x)=> P2(x) =1 - warunek wystarczający => znany ziemianom
B: \/x P8(x)* ~P2(x) =0 - kwantyfikator mały znany ziemianom
C:    ~P8(x)~>~P2(x) =1 - warunek konieczny ~> znany ziemianom
D: \/x~P8(x)*  P2(x) =1 - kwantyfikator mały znany ziemianom

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A:
A: /\x P8(x)=>P2(x)
Nazywamy zdanie B zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym \/
Nasz przykład:
B: \/x P8(x)*~P2(x) =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A=1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A=0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że linia D jest kontrprzykładem prawdziwym:
D: \/x ~P8(x)*P2(x) =1
Definicja kontrprzykładu spełniona bo zbiór ~P8(x)=[1,2,3,4,5,6,7..9..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P2(x)=[2,4,6,8..]
Prawdziwość kontrprzykładu w linii D wyklucza warunek wystarczający => w linii C.
~P8(x)=>~P2(x) =0
Sprawdźmy na piechotę poprawność definicji kontrprzykładu, nie wiedzieć czemu … nieznanej Ziemianom!
~P8(x)=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2(x)=[1,3,5,7,9..]
Doskonale widać, że zbiór ~P8(x) nie jest podzbiorem => zbioru ~P2(x)

Definicje kluczowych znaczków w algebrze Kubusia, będących jej fundamentem, są identyczne jak w logice matematycznej Ziemian
Te znaczki to:
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały, istnieje wspólny element zbiorów p i q
p=>q - warunek wystarczający =>, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q - warunek konieczny ~>, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Dowód.
Definicja kwantyfikatora małego \/:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-1575.html#287095
rafal3006 napisał:
fiklit napisał:
rafal3006 napisał:
Zdanie pod kwantyfikatorem małym wygląda tak:
\/x P8(x)*P2(x) =1 dla x=8

Prawie. Jeśli już ma być z tym "=1"
(\/x P8(x)*P2(x) )=1 bo dla x=8 (P8(x)*P2(x))=1
Czyli czytając normalnie
Istnieje liczba podzielna i przez 8 i przez 2, bo taką liczbą jest 8 podzielne i przez 8 i przez 2

Dzięki, to jest to czego mi brakowało bo pozostałe znaczki => i ~> mam, czyli łatwo znaleźć ich definicje w Wikipedii.


[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) – każdy warunek, z którego dany fakt wynika.
Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.
Na przykład,
A.
Jeżeli liczba jest podzielna przez 8, to jest podzielna przez 2

P8=>P2 =1
Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla podzielności przez 2

Czyli:
Fakt przynależności dowolnej liczby do zbioru P8=[8,16,24..] jest warunkiem wystarczającym => aby ta liczba należała do zbioru P2=[2,4,6,8..] bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Fakt przynależności dowolnej liczby do zbioru P8=[8,16,24..] daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie należała do zbioru P2=[2,4,6,8..] bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2

To wytłuszczone jest w powyższej definicji kluczowe i najważniejsze.
Zauważmy, że na mocy definicji podzbioru mamy 100% pewność, że jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2

Zauważmy, że warunek konieczny ~> (definicja nadzbioru ~>) to relacja P8 i P2 zapisana w kierunku odwrotnym:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zauważmy, że zbiory P2 i P8 są różne stąd relacja warunku koniecznego ~> opisuje tu najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Czyli:
Jeśli liczba będzie podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 (np. 8) lub może ~~> nie być podzielna przez 8 (np.2)

Pytanie:
Dlaczego LZ uznaje za matematykę relację warunku wystarczającego:
P8=>P2 =1
gdzie mamy 100% pewność, że jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
Natomiast nie uznaje relacji warunku koniecznego ~>:
P2~>P8 =1
Gdzie mamy „rzucanie monetą”.
Przecież to są dokładnie te same zbiory!
Nie może być tak że jak patrzymy na dowolny przedmiot np. krzesło, to od frontu jest to krzesło bo ma nogi siedlisko i oparcie, natomiast jak patrzymy od góry na to samo krzesło już krzesłem nie jest bo nóg nie widać.


6.2 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>

Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=P8*P2 =1 bo 8
Zdanie A pod kwantyfikatorem małym prawdziwe, bo istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]. Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 i już zdanie A jest prawdziwe, dalsze działania są nieistotne.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Zdanie B pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.

2.
p=>q - warunek wystarczający =>

Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada (P=1), są chmury (CH=1)
Wymuszam stan „pada” (P=1) i na 100% muszą być „chmury” (CH=1)
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P =0
Zdanie fałszywe bo wymuszam „chmury” i wcale nie musi „padać”

3.
p~>q - warunek konieczny ~>

Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram „chmury” wykluczając „padanie”.
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na pewno => nie pada (~P=1)
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym =>:
CH~>P = ~CH=>~P
co matematycznie oznacza:
(CH=1)~>(P=1) = (~CH=1) => (~P=1)

Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q
co matematycznie oznacza:
(p=1)~>(q=1) = (~p=1) => (~q=1)

Znaczenie prawa Kubusia (tożsamości logicznej <=>):
CH~>P <=> ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość drugiej strony.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość drugiej strony

Matematycznie zachodzi:
Tożsamość logiczna <=> = Tożsamość klasyczna „=”
Stąd znaczki <=> i „=” można używać zamiennie i zwykle tak się robi dla poprawienia czytelności zapisu.


6.3 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Prawej strony tożsamości nie musimy sprawdzać, bo jest pewna na mocy prawa Kubusia.
Nie musimy, ale możemy.
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
lub
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 =1 bo 2
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..]
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D1: ~P8~>P2 = P8=>~P2

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdanie „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe

Sprawdzamy prawą stronę tożsamości D1 prawem Kobry:
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
W zdaniu D na 100% nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy kwantyfikatora małego ~~>.

Prawa Kubusia w obsłudze zdań fałszywych:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Kubusia:
P2=>P8 = ~P2~>~P8
Lewa strona tożsamości Kubusia jest fałszem, zatem prawa strona musi być fałszem.
Nie musimy tego dowodzić, ale możemy.
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
~P2~>~P8 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest nadzbiorem zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Wniosek:
P2=>P8 = ~P2~>~P8 =0
Prawa Kubusia działają fantastycznie!


6.4 Prawo Kobry

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe.

Przykład zdania niespełniającego prawa Kobry:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Kwantyfikator mały ~~> nie jest tu spełniony, bo zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] są rozłączne.

Przykład zdania spełniającego prawo Kobry:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Warunek wystarczający => spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Oczywistym jest że warunek wystarczający A1 spełnia prawo Kobry:
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A2 pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]


6.5 Wspólna dziedzina w zdaniach warunkowych

Przypomnijmy sobie definicje spójników implikacyjnych.

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>

Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>

Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>

Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

O co chodzi w pierwszym zdaniu?

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące na wspólnej dziedzinie

„We wspólnej dziedzinie” chodzi o to, że dziedziną poprzednika nie może być mydło, a dziedziną następnika powidło.
Przykład takiego bełkotu.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to kwadrat ma wszystkie kąty proste i boki równe
TP=>KWKPBR

Tu dziedziną poprzednika jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
… a dziedziną następnika jest:
ZWC - zbiór wszystkich czworokątów

Te dziedziny są rozłączne, zatem zdanie B1 jest też fałszywe na mocy prawa Kobry.

Dla naszego zdania B1 mamy:
Jeśli ZWT to ZWC
ZWT~~>ZWC = ZWT*ZWC =0
bo te dziedziny są rozłączne.

Wniosek:
Skoro dziedzina poprzednika jest rozłączna z dziedziną następnika to jest oczywistym, że poprzednik nie może mieć nic wspólnego z następnikiem, zatem zdanie B1 jest matematycznie fałszywe.
Czyli:
Dowolny trójkąt nie ma nic wspólnego z dowolnym czworokątem


7.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>

Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>

Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>

Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z prawa Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

Definicje operatorów implikacyjnych |=>, |~>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>:

p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q o definicji:
P8=>P2 =1
P8~>P2 =0
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)

Przykład 2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zauważmy, że wszystkie operatory logiczne mamy zdefiniowane dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej (bo q).
Dla naszego zdania A musimy skorzystać z prawa Kubusia, aby uzyskać zdanie tożsame w logice dodatniej (bez zanegowanego następnika).

Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
~P2=>~P8 = P2~>P8

Stąd zdanie tożsame do A.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Badamy warunek wystarczający => zachodzący między punktami P2 i P8:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1
p=>q =0
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek konieczny B: P2~>P8 (wraz z tożsamym zdaniem A:~P2=>~P8) jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2~>P8 =1
P2=>P8 =0
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) = 1*1 =1

Przykład 3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa.
TP.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Stąd mamy odpowiedź:
Twierdzenie Pitagorasa jest częścią operatora równoważności:
TP=>SK =1
TP~>SK =1
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) = 1*1 =1

Przykład 4.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek wystarczający => między punktami P8 i P3:
P8=>P3 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P3:
P8~>P3 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24 ..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..24..]

Definicja operatora chaosu p|~~>q:
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q=1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Wniosek:
Nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3:
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Podsumowując nasze cztery przykłady mamy:
1: P8|=>P2 ## 2: P2|~>P8 ## 3: TP<=>SK ## 4: P8|~~>P3
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Najbardziej interesujące są tu dwa pierwsze człony:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8)

Prawa Kubusia zachodzące zawsze i wszędzie:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Stąd mamy:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2 = ~P8~>~P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8 = ~P2=>~P8)*~(P2=>P8)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
jest fałszywe w implikacji.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji obowiązuje wyłącznie w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prosty dowód, na gruncie banalnej teorii zbiorów poznamy wkrótce.


8.0 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w zbiorach

8.1 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co jest dowodem iż zdanie A jest częścią operatora implikacji prostej:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Wymuszam stan „pada” i na 100” pojawi się stan „chmury”
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1* ~(0) = 1*1 =1

Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:


Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny:
A: p=>q =p*q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
C: ~p~>~q = ~p*~q =1 - bo zbiór niepusty (warunek konieczny ~> nas tu nie interesuje)
D: ~p~~>q = ~p*q =1 - bo zbiór niepusty (zbiory ~p i q mają część wspólną)
W dowolnej implikacji jeden i tylko jeden ze zbiorów musi być zbiorem pustym:
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiór pusty (zbiory p i ~q są rozłączne)

Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem zbioru q
p=>q = [p*q=p] =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q
Warunek konieczny ~p~>q tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q =p*q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = P*CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)=>(q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i na pewno pojawią się chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
co matematycznie oznacza:
(p=1) ~~> (~q=1) =0
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH = ~P*~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~>(~q=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są opady to na pewno => są chmury
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH = P*~CH =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Logika matematyczna człowieka ma tą piękną cechę, że przekłada się w stosunku 1:1 na zapisy formalne (zwyczajowo p, q i Y) niezależne od konkretnego zdania.
Dla naszego przykładu wystarczy podstawić:
p=P
q=CH
i lądujemy w zapisach formalnych.

Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q
                 Y ~Y  p  q ~p ~q  p=>q ~p~>~q |Co matematycznie oznacza
A: p=> q = p* q =1  0  1  1  0  0   =1    =1   |( p=1)=> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =0  1  1  0  0  1   =0    =0   |( p=1)~~>(~q=1) =0
C:~p~>~q =~p*~q =1  0  0  0  1  1   =1    =1   |(~p=1)~> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =1  0  0  1  1  0   =1    =1   |(~p=1)~~>( q=1) =1
   1   2   a  b  3  c  4  5  6  7    8     9      d        e     f
Y=(p|=>q)

Definicję symboliczną operatora implikacji prostej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.

1.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)


Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.

Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1) lub D: (~p=1 i q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(p|=>q) = B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (p=1 i ~q=1)

Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)

2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>


Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.

Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123

Ustalmy punkt odniesienia na warunku wystarczającym =>:
A: p=>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) => (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p=>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458

Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
C: ~p~>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)~>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p~>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679

Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)

Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna (równoważność) o znaczeniu:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Logika dodatnia i ujemna w implikacji:
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice dodatniej p=>q wtedy i tylko wtedy gdy następnik nie jest zanegowany (q)
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice ujemnej ~p~>~q wtedy i tylko wtedy gdy następnik jest zanegowany (~q)

Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.


8.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza przynależność warunku wystarczającego A do operatora implikacji odwrotnej:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8] = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie
Dodatkowo pojęcie „chmury” nie jest tożsame z pojęciem „pada” bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Stąd mamy dowód, iż warunek wystarczający => A jest częścią operatora implikacji odwrotnej |~>:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P] = 1*~(0) = 1*1 =1

Diagram implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:


Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny:
A: p~>q =p*q =1 - bo zbiór niepusty (warunek konieczny ~> nas tu nie interesuje)
B: p~~>~q = p*~q =1 - bo zbiór niepusty
C: ~p=>~q = ~p*~q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
W dowolnej implikacji jeden i tylko jeden ze zbiorów musi być zbiorem pustym:
D: ~p~~>q = ~p*q =0 - bo zbiór pusty (zbiory ~p i q są rozłączne)

Symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =[p*q=q] =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i ~q.
Zajście p nie jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo prawo Kubusia:
p~>~q = ~p=>q = ~p*q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q = [~p*~q=~p] =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Wymuszam dowolny element ze zbioru ~p i ten element na 100% będzie w zbiorze ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Bo zbiory ~p i q są rozłączne

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C: ~p=>~q nazywamy zdanie D: ~p~~>q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
C: ~p=>~q
D: ~p~~>q =~p*q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu D: ~p~~>q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu D: ~p~~>q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie A) lub może ~~> zajść ~q (zdanie B)
Natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną =>:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1

Zauważmy, że w implikacji prostej było dokładnie odwrotnie i to jest ta fundamentalna różnica między implikacją prostą p|=>q i odwrotną p|~>q.
Gdzie ta różnica znajduje zastosowanie?
Obsługa wszelkich obietnic to na mocy definicji implikacja prosta p|=>q
Obsługa wszelkich gróźb to na mocy definicji implikacja odwrotna p|~>q
Szczegóły poznamy niebawem.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P = CH*P =1
W zapisie formalnym:
p~>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~>(q=1) =1
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać
W naturalny sposób odkryliśmy tu prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~~>(~q=1) =1
Kwantyfikator mały ~~> spełniony bo możliwa ~~> jest sytuacja są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmuro (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P = ~CH*~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)=>(~q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => bo brak chmur wymusza => brak opadów
Spełniony warunek wystarczający => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1

Przechodzimy na zapis formalny podstawiając:
p=CH
q=P

Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
                 Y ~Y  p  q ~p ~q  p~>q ~p=>~q |Co matematycznie oznacza
A: p~> q = p* q =1  0  1  1  0  0   =1    =1   |( p=1)~> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =1  0  1  0  0  1   =1    =1   |( p=1)~~>(~q=1) =1
C:~p=>~q =~p*~q =1  0  0  0  1  1   =1    =1   |(~p=1)=> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =0  1  0  1  1  0   =0    =0   |(~p=1)~~>( q=1) =0
   1   2   a  b  3  c  4  5  6  7    8     9      d        e     f
Y=(p|~>q)

Definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.

1.
Kodowanie implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)


Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.

Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(~p|~>q) = D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: (~p=1 i q=1)

Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)

2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>


Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.

Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123

Ustalmy punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
A: p~>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) ~> (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p~>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458

Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku wystarczającym ~>:
C: ~p=>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)=>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p=>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679

Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)

Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.


8.3 Operator równoważności p<=>q

Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q:


Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
p|=>q =(p=>q)*~[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q

Z definicji równoważności wynika, że powyższy diagram będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.

Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość zbiorów p=q
która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q.


Stąd mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny
Zbiory niepuste to:
A: p=>q = p*q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
C: ~p=>~q = ~p*~q =1 - bo zbiór niepusty (warunek wystarczający => nas tu nie interesuje)
Zbiory puste to:
B: p~~>~q = p*~q =0 - bo zbiór pusty (zbiory p i ~q są rozłączne)
D: ~p~~>q = ~p*q =0 - bo zbiór pusty (zbiory ~p i q są rozłączne)

Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.

Przykładowa, fizyczna realizacja zlikwidowania obszaru niebieskiego, jedna z wielu możliwych, jest następująca.

Obszar niebieski zlikwidujemy gdy:
p=>q - zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q
i jednocześnie:
~p=>~q - zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q

Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.

Aksjomatyczna definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Symetryczna definicja w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Doskonale widać, że w tej definicji obszar niebieski znika.

Zapiszmy symbolicznie definicję równoważności w zbiorach odczytaną z powyższego diagramu.
Kod:

RA:                 p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q= p*~q     =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC:                ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
D:~p~~>q =~p* q     =0 - zbiory ~p i q są rozłączne

Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A: p=>q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Punkt odniesienia:
A: p=>q
Kodowanie definicji symbolicznej dla p
(p=1) = (p=1)
(~p=1) = (p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka

Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu C: ~p=>~q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Punkt odniesienia:
C: ~p=>~q
Kodowanie definicji symbolicznej dla ~p
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(~q=1) = (~q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Kod:

Definicja symboliczna |Matryca     |Kodowanie        |Kodowanie
równoważności p<=>q   |wejściowa   |dla A: p=>q      |dal C: ~p=>~q
                      |            | p<=>q           |~p<=>~q
                p<=>q | p  q ~p ~q | =(p=>q*(~p=>~q) | =(~p=>~q)*(p=>q)
A: p=> q = p* q =1    | 1  1  0  0 |  =1             |  =1
B: p~~>~q= p*~q =0    | 1  0  0  1 |  =0             |  =0
C:~p=>~q =~p*~q =1    | 0  0  1  1 |  =1             |  =1
D:~p~~>q =~p* q =0    | 0  1  1  0 |  =0             |  =0
   a   b   c  d  e      1  2  3  4     5                 6

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q

Zauważmy, że obszaru niebieskiego w implikacji prostej p|=>q pozbędziemy się również w ten sposób.
Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy gdy:
zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
i
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
RA1: p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
Definicja symetryczna:
RC1: ~p<=>~q = (~p~>~q)*(p~>q)
Definicja symboliczna równoważności przyjmie tu postać:
Kod:

RA1:                p<=>q=(p~>q)*(~p~>~q)
A: p~> q = p* q = p =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q= p*~q     =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC1:               ~p<=>~q=(~p~>~q)*(p~>q)
C:~p~>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
D:~p~~>q =~p* q     =0 - zbiory ~p i q są rozłączne

Zauważmy, że w równoważności p<=>q warunek konieczny ~> oznacza identyczną pewność matematyczną jaką mamy w warunku wystarczającym =>, bo linie B i D są twardym fałszem

Warunek konieczny ~> wchodzący w skład równoważności możemy zapisać tak:
AK.
Jeśli zajdzie p to na pewno ~> zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q

Warunek wystarczający => wchodzący w skład równoważności zapisujemy tak:
AW.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q

Zauważmy, że w zapisie słownym zdania AK i AW brzmią identycznie oznaczając co innego jeśli chodzi o matematykę ścisłą.

Matematycznie zachodzi bowiem:
Warunek wystarczający => ## warunek konieczny ~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Popularna definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między dowolnymi dwoma punktami
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Wyprowadziliśmy wyżej prawo algebry Boole’a:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
Inne trywialne zapisy umożliwiające pozbycie się obszaru niebieskiego w implikacji są następujące:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R1 i R5 wynika R6:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z R2 i R6 wynika I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
p=>q = ~q=>~p

Z R2 i R4 wynika II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
q=>p = ~p=>~q

Kolejne definicje równoważności:
R7.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p będzie nadzbiorem ~> zbioru q
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Definicja symetryczna.
R8.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p nadzbiorem ~> zbioru ~q
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)

Z R2 i R8 mamy I prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
p=>q = ~p~>~q

Z R2 i R7 mamy II prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p~>q = ~p=>~q

Twierdzenie Pitagorasa.



Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.
RA.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) to wyłącznie linia A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = [TP*SK = TP] =[TP=TP] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK .
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A jest zdanie B.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = [TP*~SK] =[]=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK) to wyłącznie linia C:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = [~TP*~SK = ~TP] =[~TP=~TP] =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C jest zdanie D.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = [~TP*SK] =[]=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i C.
To nie są operatory logiczne, to zaledwie „połówki” operatora równoważności.


8.4 Operator chaosu p|~~>q


Definicja operatorów chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)

Operator chaosu |~~> jest mało ciekawy bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej =>, omówimy go zatem wyłącznie na przykładzie.

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
p~~>q=p*q =1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
p~~>~q =p*~q =1
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
~p~~>~q = ~p*~q =1
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
~p~~>q = ~p*q =1

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć, bez żadnej gwarancji matematycznej =>.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:28, 14 Sie 2016, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 7:26, 14 Sie 2016    Temat postu:

Algebra Kubusia - bramy Raju

Część III
Operatory implikacyjne w praktyce

Spis treści
9.0 Operatory implikacyjne w praktyce 1
9.1 Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 1
9.2 Operator równoważności p<=>q 7
9.3 Operatory implikacyjne - przypadki szczególne 8
9.3.1 Tożsamość logiczna 8
9.3.2 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna 9
10.0 Obietnice i groźby 11
10.1 Klasyka obietnicy 13
10.2 Klasyka groźby 13
10.3 Obietnica w równaniach logicznych 14
10.4 Groźba w równaniach logicznych 16
10.5 Analiza złożonej obietnicy 18
10.6 Analiza złożonej groźby 19
10.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym 21
10.8 Rodzaje obietnic 23


9.0 Operatory implikacyjne w praktyce

9.1 Operatory implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
Kod:

IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach implikacyjnych: =>,~>,~~>
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |spójników => i ~> w IP   |w spójnikach =>, ~> i ~~>
   p  q ~p ~q | p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p |              Y                 Y
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  0     0     0     0    | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  1     1     1     1    |~p~~>q =~p* q=1 | q~~>~p= q*~p =1
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d e    f  g   h  i  j
Matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p

Symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q (ABCDabcde) poznaliśmy wyżej.
Tabela ABCDfghij pokazuje sytuację po zamianie argumentów p i q.
Zauważmy, że kontrprzykład przed zamianą argumentów B: p~~>~q =0 (Babcde) przechodzi w kontrprzykład B: ~q~~>p =0 (Bfghij) po zamianie argumentów.
To jest kluczowe spostrzeżenie, bowiem fałszywy kontrprzykład B: ~q~~>p =0 wymusza prawdziwy warunek wystarczający C: ~q=>~p =1.
Z kolei prawdziwy warunek wystarczający C: ~q=>~p =1 wymusza prawdziwy warunek konieczny A: q~>p =1 na mocy prawa Kubusia:
C: ~q=>~p = A: q~>p
Ostatnia linia D: q~~>~p =1 to zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>.
Prawdziwość linii D decyduje o tym iż mamy do czynienia z operatorem implikacji odwrotnej q|~>p:
- „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>) po stronie q (realizują zdania A: q~>p =1 i D: q~~>~p =1)
- gwarancja matematyczna (warunek wystarczający =>) po stronie ~q (realizują zdania C: ~q=>~p=1 i B: ~q~~>p =0)

Wniosek:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) opisana tabelą symboliczną ABCDabcde po zamianie argumentów przeszła w implikację odwrotną q|~>p w logice dodatniej (bo p) opisaną tabelą symboliczną ABCDfghij.

Nasza analiza jest dowodem prawdziwości równania w spójnikach implikacyjnych => i ~> dla implikacji prostej p|=>q:
IP: p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
Dowodem formalnym tej tożsamości w rachunku zero-jedynkowym jest tożsamość kolumn 5678.

Definicja zdania warunkowego p=>q:
Jeśli zajdzie przyczyna p to na pewno => zajdzie skutek q
IP: p=>q = ~p~>~q
Po zamianie argumentów implikacja prosta transformuje się do czasu przeszłego:
Jeśli zaszedł skutek q to mogła ~> zajść przyczyna p
IO: q~>p = ~q=>~p
Stąd mamy:
IP: p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p
gdzie:
== - znak transformacji

Prawo transformacji dla implikacji prostej p|=>q:
Niezdeterminowana przyszłość:
p=>q = ~p~>~q
przechodzi w zdeterminowaną, lecz nieznaną przeszłość:
q~>p = ~q=>~p
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy.
Jeśli przeszłość jest znana to logika nie jest nam do niczego potrzebna.
Przykładowo, jeśli złapaliśmy mordercę to po co komu logika prowadząca do jego złapania?
Wiemy wszystko i matematycznie nic więcej nie jesteśmy w stanie się dowiedzieć.

Przyszłość to fundamentalnie co innego niż przeszłość.
Istoty żywe na przyszłość mają wpływ, mogą ją abstrakcyjnie kształtować wedle swych marzeń.
Realizując marzenia tworzymy zdeterminowaną przeszłość.
Na przeszłość nie mamy żadnego wpływu, co się stało to się nie odstanie.

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie krótki odcinek czasowy oddzielający niezdeterminowaną przyszłość od zdeterminowanej przeszłości.

Zróbmy to samo dla implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

IO:
Definicja implikacji odwrotne p|~>q w spójnikach implikacyjnych: ~>,=>
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |spójników ~> i => w IO   |w spójnikach ~>, => i ~~>
   p  q ~p ~q | p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p |
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p~> q = p* q=1 | q=> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  1     1     1     1    | p~~>~q= p*~q=1 |~q~~>p =~q* p =1
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p=>~q =~p*~q=1 |~q~>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  0     0     0     0    |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d e   f   g   h  i  j
Matematycznie zachodzi:
p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>~p

Tu także zaczynamy analizę od fałszywego kontrprzykładu D: q~~>~p =0 w tabeli symbolicznej ABCDfghij.
Fałszywy kontrprzykład D: q~~>~p =0 wymusza prawdziwy warunek wystarczający A: q=>p =1
Na mocy prawa Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~p
w linii C zachodzi warunek konieczny C: ~q~>~p =1
Linia B: ~q~~>p =1 to zdanie prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>.
Prawdziwość linii B decyduje o tym iż mamy do czynienia z operatorem implikacji prostej q|=>p w logice dodatniej (bo p):
- gwarancja matematyczna (warunek wystarczający =>) po stronie q (realizują zdania A: q=>p=1 i D: q~~>~p =0)
- „rzucanie monetą” (warunek konieczny ~>) po stronie ~q (realizują zdania C: ~q~>~p =1 i B: ~q~~>p =1)

Wniosek:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) opisana tabelą symboliczną ABCDabcde po zamianie argumentów przeszła w implikację prostą q|=>p w logice dodatniej (bo p) opisaną tabelą symboliczną ABCDfghij.

Nasza analiza jest dowodem prawdziwości równania w spójnikach implikacyjnych => i ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
IO: p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>p
Dowodem formalnym tej tożsamości w rachunku zero-jedynkowym jest tożsamość kolumn 5678.

Definicja zdania warunkowego:
Jeśli zajdzie przyczyna p to może ~> zajść zajdzie skutek q
IO: p~>q = ~p=>~q
Po zamianie argumentów implikacja odwrotna transformuje się do czasu przeszłego:
Jeśli zaszedł skutek q to na pewno => zaszła przyczyna p
IP: q=>p = ~q~>~p
Stąd mamy:
IO: p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q=>~p
gdzie:
== - znak transformacji

Prawo transformacji dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Niezdeterminowana przyszłość:
p~>q = ~p=>~q
przechodzi w zdeterminowaną, lecz nieznaną przeszłość:
q=>p = ~q~>~p
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy.
Jeśli przeszłość jest znana to logika nie jest nam do niczego potrzebna.
Przykładowo, jeśli złapaliśmy mordercę to po co komu logika prowadząca do jego złapania?
Wiemy wszystko i matematycznie nic więcej nie jesteśmy w stanie się dowiedzieć.

Przyszłość to fundamentalnie co innego niż przeszłość.
Istoty żywe na przyszłość mają wpływ, mogą ją abstrakcyjnie kształtować wedle swych marzeń.
Realizując marzenia tworzymy zdeterminowaną przeszłość.
Na przeszłość nie mamy żadnego wpływu, co się stało to się nie odstanie.

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie krótki odcinek czasowy oddzielający niezdeterminowaną przyszłość od zdeterminowanej przeszłości.

Zauważmy, że na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Implikacja prosta p|=>q      ## Implikacja odwrotna p|~>q
p|=>q=(p=>q)*~[p=q]          ## p|~>q=(p~>q)*~[p=q]
Prawa w spójnikach => i ~>   ## Prawa w spójnikach ~> i =>
IP: p=>q=~p~>~q==q~>p=~q=>~p ## IO: p~>q=~p=>~q==q=>p=~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
== - znak transformacji przyszłości (lewa strona) do przeszłości (prawa strona)


Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie (P=1) i na 100% pojawią się chmury
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Zdarzenie p wymusza => zdarzenie q i nie jest tożsame z q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Dla naszego przykładu ta definicja jest spełniona:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1*~(0) = 1*1 =1
Stąd mamy pewność, że warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej p|=>q.
Dalsza analiza to formalność dla byle komputera.

… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
stąd:
C1.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur bo jak są chmury to na pewno => pada
~P~>~CH = P=>CH
lub
D1.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
Prawdziwość zdania D1 jest dowodem, iż mamy do czynienie z implikacją prostą p|=>q opisaną równaniem w spójnikach implikacyjnych => i ~>:
IP: p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p

Po zamianie argumentów mamy zdeterminowaną przeszłość:
AO1:
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd:
CO1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na pewno => nie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów

Zauważmy, że po udowodnieniu iż zdanie A1: P=>CH jest częścią operatora implikacji prostej P|=>CH nie musimy dowodzić prawdziwości jakiegokolwiek innego zdania wchodzącego w skład definicji implikacji prostej p|=>q, mówi o tym równanie implikacji prostej.
IP: P=>CH = ~P~>~CH == CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
== - znak transformacji przyszłości do przeszłości

Po wypowiedzeniu zdania A1 człowiek może zapytać o przyszłość zamieniając p i q.
… a jeśli jutro będzie pochmurno?
Odpowiedź:
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu

Zdanie A2 traktujemy jako zdanie nowo wypowiedziane p~>q wchodzące w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q opisanej równaniem.
IO: p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>~p
Wynika z tego, że warunek konieczny ~> musimy tu udowodnić od nowa.
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Zdarzenie p jest konieczne ~> dla q i nie jest tożsame z q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Dla naszego przykładu ta definicja jest spełniona:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P] = 1*~(0) = 1*1 =1
Stąd mamy pewność, że warunek konieczny ~> A2 wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q.
Dalsza analiza to formalność dla byle komputera.

… a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd:
C2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów

Równanie implikacji odwrotnej p|~>q:
IO: CH~>P = ~CH=>~P == P=>CH = ~P~>~CH
Stąd mamy matematyczny opis przeszłości:
AO2.
Jeśli wczoraj padło to na pewno => było pochmurno
P=>CH =1
Padanie wystarcza => dla istnienia chmur
CO2.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było chmur bo jak pada to na pewno => są chmury
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
~P~>~CH = P=>CH

Zauważmy, że algebra Kubusia eliminuje głupoty z aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Przykład:
A3.
Jeśli jutro będzie padało to otworzę parasol
P=>OP =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => abym otworzył parasol

… a jeśli nie otworzysz parasola?
Prawo kontrapozycji w logice Ziemian:
A3: P=>OP = C3: ~OP=>~P
Stąd:
C3.
Jeśli nie otworzę parasola to na pewno => nie będzie padało
~OP => ~P =1

W algebrze Kubusia takich głupot nie ma bo po zamianie argumentów w zdaniu A3, w pytaniu o przyszłość mamy do czynienia z nowo wypowiedzianym zdaniem A4: p~>q=~p=>~q gdzie na nowo musimy udowodnić warunek konieczny p~>q albo wystarczający ~p=>~q.
A4.
Jeśli jutro otworzę parasol to może ~> padać
OP~>P =0
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zabieram parasol nie wykluczając możliwości padania
Prawo Kubusia:
OP~>P = ~OP=>~P
p~>q = ~p=>~q
Lewa strona prawa Kubusia jest fałszem zatem prawa strona również musi być fałszem
~OP=>~P =0

Podsumowując:
Algebra Kubusia nie pozwala na robienie z człowieka Idioty - i tak musi być!


9.2 Operator równoważności p<=>q

Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Kod:

IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach implikacyjnych: =>,~>,~~>
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |spójników => i ~> w IP   |w spójnikach =>, ~> i ~~>
   p  q ~p ~q | p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p |              Y                 Y
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  0     0     0     0    | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  1     1     1     1    |~p~~>q =~p* q=1 | q~~>~p= q*~p =1
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d e    f  g   h  i  j
Matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p

Kod:

IO:
Definicja implikacji odwrotne p|~>q w spójnikach implikacyjnych: ~>,=>
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |spójników ~> i => w IO   |w spójnikach ~>, => i ~~>
   p  q ~p ~q | p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p |
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p~> q = p* q=1 | q=> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  1     1     1     1    | p~~>~q= p*~q=1 |~q~~>p =~q* p =1
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p=>~q =~p*~q=1 |~q~>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  0     0     0     0    |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d e   f   g   h  i  j
Matematycznie zachodzi:
p~>q = ~p=>~q == q=>p = ~q~>~p

W technice cyfrowej jak dwie bramki p=>q i p~>q wpuścimy na wejścia bramki „i”(*) (AND) to na wyjściu otrzymamy bramkę równoważności p<=>q gdzie wycięte zostaną wszystkie pozycje o różnych stanach.
Zróbmy to:
Kod:

RR:
Definicja implikacji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych: =>,~>,~~>
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |równoważności p<=>q      |w spójnikach => i ~>
   p  q ~p ~q |  Y     Y     Y     Y    |              Y                 Y
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  0     0     0     0    | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  0     0     0     0    |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d e    f  g   h  i  j
Matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q == q~>p = ~q=>~p

W technice bramek logicznych zrobiliśmy to:
p<=>q = IP: (p=>q = ~p=>~q = q~>p = ~q=>~p) * IO: (p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p)

Stąd mamy 16 tożsamych definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~q~>~p)
p<=>q = (~p~>~q)*(p~>q) = (~p~>~q)*(~p=>~q) = (~p~>~q)*(q=>p) = (~p~>~q)*(~q~>~p)
p<=>q = (q~>p)*(p~>q) = (q~>p)*(~p=>~q) = (q~>p)*(q=>p) = (q~>p)*(~q~>~p)
p<=>q = (~q=>~p)*(p~>q) = (~q=>~p)*(~p=>~q) = (~q=>~p)*(q=>p) = (~q=>~p)*(~q~>~p)

Najważniejsze definicje równoważności to:
1.
Popularna definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
2.
Definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności (wynikała z tabeli zero-jedynkowej):
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego p=>q i ~p=>~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Zauważmy, że w tabeli symboliczne ABCDabcdefghij wycięte zostały jedynki odpowiedzialne za rzucanie monetą. Wynika z tego że fundament każdej implikacji, „rzucanie monetą” w jednej połówce implikacji, leży w gruzach.
W świecie rzeczywistym nie da się zlikwidować „rzucania monetą” w implikacji chciejstwem człowieka np.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy są chmury
P<=>CH = (P=>CH)*(CH=>P) = 1*0 =0

Wynika z tego, że implikacja ma zero wspólnego z równoważnością.
Jeśli równoważność jest prawdziwa p<=>q =1 to na 100% fałszywa jest implikacja p|=>q =0.
Jeśli implikacja jest prawdziwa p|=>q =1 to na 100% fałszywa jest równoważność p<=>q =0

Nic co jest implikacją prawdziwą p|=>q =1 nie będzie jednocześnie równoważnością prawdziwą p<=>q =1 (i odwrotnie).

Wszystkie 16 definicji równoważności w spójnikach implikacyjnych => i ~> są matematycznie poprawne, ale chodzi w nich o warunki wystarczające => i konieczne ~> wchodzące w skład operatorów implikacyjnych.


9.3 Operatory implikacyjne - przypadki szczególne

9.3.1 Tożsamość logiczna

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)

Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.

Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”

Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q


9.3.2 Tożsamość logiczna vs tożsamość klasyczna

Prawo Słonia:
Każda tożsamość klasyczna jest tożsamością logiczną (i odwrotnie).

Dowód:
Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Dla p=q otrzymujemy:
p<=>p = (p=>p)*(~p=>~p) =1*1 =1
gdzie:
p - dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum

Matematycznie zachodzi:
Tożsamość klasyczna p=p jest dokładnie tym samym co tożsamość logiczna p<=>p
Kod:

Tożsamość klasyczna   =  Tożsamość logiczna
p=p                   =  p<=>p


Przykład:
Rozważmy tożsamość klasyczną:
pies=pies
Przyjmijmy dziedzinę:
U = Uniwersum (dowolne pojęcie zrozumiałe dla człowieka)
Wyznaczenie zbioru „nie pies” (~P=1)
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć z obszaru Uniwersum z wykluczeniem „psa”

Warunek wystarczający prosty p=>p:
A.
Jeśli coś jest psem to na pewno => jest psem
P=>P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie

Warunek wystarczający odwrotny ~p=>~p:
C.
Jeśli coś nie jest psem to na pewno => nie jest psem
~P=>~P =1
Po podstawieniu zbioru ~P mamy:
[U-P] => [U-P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => samego siebie

Stąd prawdziwa jest równoważność:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest psem
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P) =1*1 =1
Zauważmy, że dziedzina jest tu nieistotna, byleby zawierała w sobie zbiór wszystkich psów.

W naszym przykładzie przyjęliśmy najszerszą możliwą dziedzinę:
D=Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Równie dobrze moglibyśmy przyjąć dziedzinę:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Doskonale widać, że matematycznie to bez znaczenia.

Na mocy powyższego przykładu prawdziwe są zdania z logiki matematycznej, używane czasami przez człowieka dla podkreślenia „istoty rzeczy”:
pies to pies
koń to koń, jaki jest każdy widzi
dolar to dolar
Jeśli kocha to kocha, nie ucieknie
etc


10.0 Obietnice i groźby

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta W|=>N
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji


10.1 Klasyka obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji

Przykład:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
Na mocy definicji obietnicy (implikacja prosta G|=>C) nie ma znaczenia w jak ostrej formie wypowiemy groźbę C. Zdanie C musimy kodować warunkiem koniecznym ~>, inaczej gwałcimy matematykę ścisłą, definicję implikacji prostej G|=>C!
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
Prawdziwość zdania C gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja prosta) która nie zależy od widzi mi się człowieka.
To jest matematyczne prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.
Ojciec może tu darować karę mówiąc:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo cię kocham.
Uzasadnienie nie może być zależne, czyli identyczne jak poprzednik:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo byłeś niegrzeczny
Tu ojciec jest kłamcą - dowód w punkcie 10.3


10.2 Klasyka groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji

Przykład:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby (implikacja odwrotna B|~>L) brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
Zdania A nie wolno nam kodować warunkiem wystarczającym => bo zgwałcimy definicję implikacji odwrotnej B|~>L którą na mocy definicji jest dowolna groźba.
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Prawdziwość zdania B gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja odwrotna B|~>L), która nie zależy od chciejstwa człowieka.
Nadawca ma matematyczne prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego:
I rzekł mu: "Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze mną w raju". (Łk 23, 43)

Nadawca może darować karę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania bo cię kocham
Nadawca będzie kłamcą, jeśli wypowie uzasadnienie zależne, identyczne jak poprzednik:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (dowód pkt. 10.4)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego tzn. z powodu czystych spodni!


10.3 Obietnica w równaniach logicznych

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Ideę obietnicy możemy zapisać tak:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


10.4 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

W naturalnej logice człowieka ideę groźby możemy zapisać tak:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


10.5 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki.
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Zakaz karania z powodu spełnienia warunku nagrody.
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=0 - tu również jest kara (~D)
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody

… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
Mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~>.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
Jeśli warunek ukarania jest spełniony to mama może wybrać dowolny z poniższych przypadków:
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=1 - to jest 100% kary
B: ~C*D =1 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=1 - tu również jest kara (~D)
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


10.6 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać karę w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


10.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola:
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 8.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L

Po prawej stronie mamy 100% determinizm.
Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny:

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


10.8 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

… właśnie przed chwilą na ekranie mojego komputera pojawił się napis:
2016-08-15
Koniec matematycznego wariatkowa - żyjecie w Raju.
Kubuś


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:42, 14 Sie 2016, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 9:29, 14 Sie 2016    Temat postu:

Algebra Kubusia - bramy Raju

Część IV
Dodatek A
Kompendium algebry Kubusia


Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Kompendium algebry Kubusia 4
2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*) 4
2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*) 4
2.3 Prawa Prosiaczka 5
2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~> 5
2.5 Prawa Kubusia 6
2.6 Prawo Kobry 7
2.7 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~> 7
3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach 11
3.1 Operator implikacji prostej p|=>q 11
3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 16
8.3 Operator równoważności p<=>q 20
8.4 Operator chaosu p|~~>q 26
4.0 Obietnice i groźby 27
4.1 Klasyka obietnicy 27
4.2 Klasyka groźby 28



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz

Operatory OR(|+) i AND(|*)
(~) - symbol negacji, przeczenia (~p=NIE p)
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)
(|+) - operator OR(|+)
(|*) - operator AND(|*)

Operatory implikacyjne:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - kwantyfikator mały
|=> - operator implikacji prostej
|~> - operator implikacji odwrotnej
|~~> - operator chaosu
<=> - równoważność

Spójniki „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka:
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)

Definicje operatorów OR(|+) i AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):

(|+) - operator OR
Y=p+q
~Y=~p*~q

(|*) - operator AND
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>

Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>

Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>

Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

Definicje operatorów implikacyjnych w spójnikach implikacyjnych:

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z praw Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


2.0 Kompendium algebry Kubusia

1 = prawda
0 = fałsz

„~” - symbol przeczenia np. ~p (nie p)


2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*)

Spójniki „i” i „lub”:
1.
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1


2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*)

1.
„|+” - operatora OR(|+) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

A.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Uwaga:
Przejście do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z matematyki klasycznej.
Zapis tożsamy takiego przejścia to po prostu negacja dwustronna tożsamości logicznej:
Y=p+q
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

2.
„|*” - operator AND(|*) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y)
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

2.3 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)


2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>

Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>

Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>

Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

O co chodzi w pierwszym zdaniu?

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące na wspólnej dziedzinie

„We wspólnej dziedzinie” chodzi o to, że dziedziną poprzednika nie może być mydło, a dziedziną następnika powidło.
Przykład takiego bełkotu.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to kwadrat ma wszystkie kąty proste i boki równe
TP=>KWKPBR

Tu dziedziną poprzednika jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
… a dziedziną następnika jest:
ZWC - zbiór wszystkich czworokątów

Te dziedziny są rozłączne, zatem zdanie B1 jest też fałszywe na mocy prawa Kobry.

Dla naszego zdania B1 mamy:
Jeśli ZWT to ZWC
ZWT~~>ZWC = ZWT*ZWC =0
bo te dziedziny są rozłączne.

Wniosek:
Skoro dziedzina poprzednika jest rozłączna z dziedziną następnika to jest oczywistym, że poprzednik nie może mieć nic wspólnego z następnikiem, zatem zdanie B1 jest matematycznie fałszywe.
Czyli:
Dowolny trójkąt nie ma nic wspólnego z dowolnym czworokątem


2.5 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

2.6 Prawo Kobry

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe.
Wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q i już zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest prawdziwe.


2.7 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>

Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>

Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>

Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z prawa Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

Definicje operatorów implikacyjnych |=>, |~>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>:

p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q o definicji:
P8=>P2 =1
P8~>P2 =0
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)

Przykład 2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zauważmy, że wszystkie operatory logiczne mamy zdefiniowane dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej (bo q).
Dla naszego zdania A musimy skorzystać z prawa Kubusia, aby uzyskać zdanie tożsame w logice dodatniej (bez zanegowanego następnika).

Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
~P2=>~P8 = P2~>P8

Stąd zdanie tożsame do A.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Badamy warunek wystarczający => zachodzący między punktami P2 i P8:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1
p=>q =0
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek konieczny B: P2~>P8 (wraz z tożsamym zdaniem A:~P2=>~P8) jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2~>P8 =1
P2=>P8 =0
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) = 1*1 =1

Przykład 3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa.
TP.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Stąd mamy odpowiedź:
Twierdzenie Pitagorasa jest częścią operatora równoważności:
TP=>SK =1
TP~>SK =1
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) = 1*1 =1

Przykład 4.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek wystarczający => między punktami P8 i P3:
P8=>P3 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P3:
P8~>P3 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24 ..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..24..]

Definicja operatora chaosu p|~~>q:
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q=1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Wniosek:
Nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3:
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Podsumowując nasze cztery przykłady mamy:
1: P8|=>P2 ## 2: P2|~>P8 ## 3: TP<=>SK ## 4: P8|~~>P3
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Najbardziej interesujące są tu dwa pierwsze człony:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8)

Prawa Kubusia zachodzące zawsze i wszędzie:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Stąd mamy:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2 = ~P8~>~P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8 = ~P2=>~P8)*~(P2=>P8)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
jest fałszywe w implikacji.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji obowiązuje wyłącznie w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prosty dowód, na gruncie banalnej teorii zbiorów za chwilę


3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach

3.1 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja tożsama implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy między punktami p i q zachodzi:
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy tożsamą definicję implikacji prostej |=> wyrażoną spójnikami implikacyjnymi => i ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co oznacza, że musi być fałszywy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P2.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 jest częścią operatora implikacji prostej |=>:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Wymuszam stan „pada” i na 100” pojawi się stan „chmury”
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1* ~(0) = 1*1 =1

Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:


Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem zbioru q
p=>q = [p*q=p] =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q
Warunek konieczny ~p~>q tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = P*CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)=>(q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i na pewno pojawią się chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
co matematycznie oznacza:
(p=1) ~~> (~q=1) =0
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH = ~P*~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~>(~q=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są opady to na pewno => są chmury
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH = P*~CH =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Logika matematyczna człowieka ma tą piękną cechę, że przekłada się w stosunku 1:1 na zapisy formalne (zwyczajowo p, q i Y) niezależne od konkretnego zdania.
Dla naszego przykładu wystarczy podstawić:
p=P
q=CH
i lądujemy w zapisach formalnych.

Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q
                 Y ~Y  p  q ~p ~q  p=>q ~p~>~q |Co matematycznie oznacza
A: p=> q = p* q =1  0  1  1  0  0   =1    =1   |( p=1)=> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =0  1  1  0  0  1   =0    =0   |( p=1)~~>(~q=1) =0
C:~p~>~q =~p*~q =1  0  0  0  1  1   =1    =1   |(~p=1)~> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =1  0  0  1  1  0   =1    =1   |(~p=1)~~>( q=1) =1
   1   2   a  b  3  c  4  5  6  7    8     9      d        e     f
Y=(p|=>q)

Definicję symboliczną operatora implikacji prostej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.

1.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)


Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.

Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1) lub D: (~p=1 i q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(~p|=>q) = B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (p=1 i ~q=1)

Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)

2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>


Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.

Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123

Ustalmy punkt odniesienia na warunku wystarczającym =>:
A: p=>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) => (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p=>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458

Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
C: ~p~>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)~>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p~>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679

Operator logiczny implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja prosta będzie prawdziwa p|=>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, C lub D
Inaczej implikacja prosta będzie fałszywa p|=>q =0 (zdanie B)

Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna (równoważność) o znaczeniu:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Logika dodatnia i ujemna w implikacji:
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice dodatniej p=>q wtedy i tylko wtedy gdy następnik nie jest zanegowany (q)
Warunek wystarczający => lub konieczny ~> wyrażony jest w logice ujemnej ~p~>~q wtedy i tylko wtedy gdy następnik jest zanegowany (~q)

Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.


3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8

Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza przynależność warunku wystarczającego A do operatora implikacji odwrotnej:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8] = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie
Dodatkowo pojęcie „chmury” nie jest tożsame z pojęciem „pada” bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Stąd mamy dowód, iż warunek wystarczający => A jest częścią operatora implikacji odwrotnej |~>:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P] = 1*~(0) = 1*1 =1

Diagram implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:


Symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =[p*q=q] =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i ~q.
Zajście p nie jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo prawo Kubusia:
p~>~q = ~p=>q = ~p*q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q = [~p*~q=~p] =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Wymuszam dowolny element ze zbioru ~p i ten element na 100% będzie w zbiorze ~q
Prawdziwość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Bo zbiory ~p i q są rozłączne

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C: ~p=>~q nazywamy zdanie D: ~p~~>q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
C: ~p=>~q
D: ~p~~>q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu D: ~p~~>q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu D: ~p~~>q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego C: ~p=>~q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie A) lub może ~~> zajść ~q (zdanie B)
Natomiast po stronie ~p mamy gwarancję matematyczną =>:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1

Zauważmy, że w implikacji prostej było dokładnie odwrotnie i to jest ta fundamentalna różnica między implikacją prostą p|=>q i odwrotną p|~>q.
Gdzie ta różnica znajduje zastosowanie?
Obsługa wszelkich obietnic to na mocy definicji implikacja prosta p|=>q
Obsługa wszelkich gróźb to na mocy definicji implikacja odwrotna p|~>q
Szczegóły poznamy niebawem.

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P = CH*P =1
W zapisie formalnym:
p~>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~>(q=1) =1
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać
W naturalny sposób odkryliśmy tu prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)~~>(~q=1) =1
Kwantyfikator mały ~~> spełniony bo możliwa ~~> jest sytuacja są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmuro (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P = ~CH*~P =1
W zapisie formalnym:
~p=>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)=>(~q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => bo brak chmur wymusza => brak opadów
Spełniony warunek wystarczający => C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1

Przechodzimy na zapis formalny podstawiając:
p=CH
q=P

Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO: Implikacja odwrotna p|~>q
                 Y ~Y  p  q ~p ~q  p~>q ~p=>~q |Co matematycznie oznacza
A: p~> q = p* q =1  0  1  1  0  0   =1    =1   |( p=1)~> ( q=1) =1
B: p~~>~q= p*~q =1  0  1  0  0  1   =1    =1   |( p=1)~~>(~q=1) =1
C:~p=>~q =~p*~q =1  0  0  0  1  1   =1    =1   |(~p=1)=> (~q=1) =1
D:~p~~>q =~p* q =0  1  0  1  1  0   =0    =0   |(~p=1)~~>( q=1) =0
   1   2   a  b  3  c  4  5  6  7    8     9      d        e     f
Y=(p|~>q)

Definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej ABCD123 możemy zakodować z dwóch różnych punktów odniesienia.

1.
Kodowanie implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)


Prawo Sowy:
Nagłówek kolumny wynikowej w dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej kolumnie.

Z tabeli symbolicznej ABCDab3c odczytujemy:
Tabela ABCDab3:
Y=(p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p=1 i q=1) lub B: (p=1 i ~q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1)
Tabela ABCDabc:
~Y=(~p|~>q) = D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: (~p=1 i q=1)

Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)

2.
Kodowanie implikacji prostej p|=>q wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~>, ~~>


Prawo Puchacza:
Nagłówek kolumny wynikowej w operatorze implikacyjnym opisuje wybrany punkt odniesienia względem którego kodujemy tabelę symboliczną.

Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznej ABCD123

Ustalmy punkt odniesienia na warunku koniecznym ~>:
A: p~>q =1
co matematycznie oznacza:
A: (p=1) ~> (q=1)
Kodowanie poprzednika:
(p=1) = (p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia A: p~>q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD458

Ustalmy kolejny punkt odniesienia na warunku wystarczającym ~>:
C: ~p=>~q =1
co matematycznie oznacza:
C: (~p=1)=>(~q=1)
Kodowanie poprzednika:
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie następnika:
(~q=1) = (~q=1)
(q=1) = (~q=0) - prawo Prosiaczka
Efekty kodowania dla punktu odniesienia C: ~p=>~q widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD679

Operator logiczny implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie A, B, C, D a nie jedna, wybrana.
Implikacja odwrotna będzie prawdziwa p|~>q =1 gdy prawdziwe będzie jedno ze zdań A, B lub C
Inaczej implikacja odwrotna będzie fałszywa p|~>q =0 (zdanie D)

Tożsamość kolumn wynikowych 8=9 jest dowodem formalnym prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Zauważmy, że w tabeli symbolicznej ABCDdef występujące tu jedynki możemy odczytać z wejściowej matrycy zero-jedynkowej ABCD4567.


8.3 Operator równoważności p<=>q

Zacznijmy od definicji implikacji prostej p|=>q:


Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
p|=>q =(p=>q)*~[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q

Z definicji równoważności wynika, że powyższy diagram będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.

Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość zbiorów p=q
która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q.


Stąd mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny

Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.

Przykładowa, fizyczna realizacja zlikwidowania obszaru niebieskiego, jedna z wielu możliwych, jest następująca.

Obszar niebieski zlikwidujemy wtedy i tylko wtedy gdy:
p=>q - zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q
i jednocześnie:
~p=>~q - zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q

Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.

Aksjomatyczna definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Symetryczna definicja w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Doskonale widać, że w tej definicji obszar niebieski znika.

Zapiszmy symbolicznie definicję równoważności w zbiorach odczytaną z powyższego diagramu.
Kod:

RA:                 p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q= p*~q     =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC:                ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q
D:~p~~>q =~p* q     =0 - zbiory ~p i q są rozłączne

Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu A: p=>q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice dodatniej (bo q):
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Punkt odniesienia:
A: p=>q
Kodowanie definicji symbolicznej dla p
(p=1) = (p=1)
(~p=1) = (p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(q=1) = (q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka

Dla kodowania definicji symbolicznej z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu C: ~p=>~q otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Punkt odniesienia:
C: ~p=>~q
Kodowanie definicji symbolicznej dla ~p
(~p=1) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0) - prawo Prosiaczka
Kodowanie definicji symbolicznej dla q
(~q=1) = (~q=1)
(~q=1) = (q=0) - prawo Prosiaczka
Kod:

Definicja symboliczna |Matryca     |Kodowanie        |Kodowanie
równoważności p<=>q   |wejściowa   |dla A: p=>q      |dal C: ~p=>~q
                      |            | p<=>q           |~p<=>~q
                p<=>q | p  q ~p ~q | =(p=>q*(~p=>~q) | =(~p=>~q)*(p=>q)
A: p=> q = p* q =1    | 1  1  0  0 |  =1             |  =1
B: p~~>~q= p*~q =0    | 1  0  0  1 |  =0             |  =0
C:~p=>~q =~p*~q =1    | 0  0  1  1 |  =1             |  =1
D:~p~~>q =~p* q =0    | 0  1  1  0 |  =0             |  =0
   a   b   c  d  e      1  2  3  4     5                 6

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6 jest dowodem formalnym prawa algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q

Zauważmy, że obszaru niebieskiego w implikacji prostej p|=>q pozbędziemy się również w ten sposób.
Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy gdy:
zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
i
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)

Definicja symboliczna równoważności przyjmie tu postać:
Kod:

RA:                 p<=>q=(p~>q)*(~p~>~q)
A: p~> q = p* q = p =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q= p*~q     =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC:                ~p<=>~q=(~p~>~q)*(p~>q)
C:~p~>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
D:~p~~>q =~p* q     =0 - zbiory ~p i q są rozłączne

Zauważmy, że w równoważności p<=>q warunek konieczny ~> oznacza identyczną pewność matematyczną jaką mamy w warunku wystarczającym =>, bo linie B i D są twardym fałszem

Warunek konieczny ~> wchodzący w skład równoważności możemy zapisać tak:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno ~> zajdzie q
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q

Warunek wystarczający => wchodzący w skład równoważności zapisujemy tak:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów p=q

Zauważmy, że w zapisie słownym zdania A i B brzmią identycznie oznaczając co innego jeśli chodzi o matematykę ścisłą.

Matematycznie zachodzi bowiem:
Warunek wystarczający => ## warunek konieczny ~>
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Popularna definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między dowolnymi dwoma punktami
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Wyprowadziliśmy wyżej prawo algebry Boole’a:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
Inne trywialne zapisy umożliwiające pozbycie się obszaru niebieskiego w implikacji są następujące:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R1 i R5 wynika R6:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z R2 i R6 wynika I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
p=>q = ~q=>~p

Z R2 i R4 wynika II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
q=>p = ~p=>~q

Kolejne definicje równoważności:
R7.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór p będzie podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p będzie nadzbiorem ~> zbioru q
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Definicja symetryczna.
R8.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór ~p będzie podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p nadzbiorem ~> zbioru ~q
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)

Z R2 i R8 mamy I prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
p=>q = ~p~>~q

Z R2 i R7 mamy II prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p~>q = ~p=>~q

Twierdzenie Pitagorasa.



Twierdzenie Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Zbiory TP i SK są tożsame co wymusza definicję równoważności.
RA.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) to wyłącznie linia A:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
TP=>SK = [TP*SK = TP] =[TP=TP] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK .
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A jest zdanie B.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
Zbiory:
TP~~>~SK = [TP*~SK] =[]=0
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK) to wyłącznie linia C:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => do tego, aby nie zachodziła suma kwadratów.
Zbiory:
~TP=>~SK = [~TP*~SK = ~TP] =[~TP=~TP] =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego C jest zdanie D.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Zbiory:
~TP~~>SK = [~TP*SK] =[]=0
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i C.
To nie są operatory logiczne, to zaledwie „połówki” operatora równoważności.


8.4 Operator chaosu p|~~>q


Definicja operatorów chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)

Operator chaosu |~~> jest mało ciekawy bo nie ma tu żadnej gwarancji matematycznej =>, omówimy go zatem wyłącznie na przykładzie.

Przykład z matematycznego przedszkola:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
p~~>q=p*q =1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
p~~>~q =p*~q =1
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 bo 5
~p~~>~q = ~p*~q =1
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
~p~~>q = ~p*q =1

Wystarczy znaleźć po jednym elemencie wspólnym dla A, B, C, D i mamy rozstrzygnięcie.
Zdanie A jest zawsze prawdziwe, niezależnie od przeczeń p i q, zatem jest to matematyczny śmieć, bez żadnej gwarancji matematycznej.


4.0 Obietnice i groźby

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.


4.1 Klasyka obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta W|=>N na mocy definicji

Przykład:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
Na mocy definicji obietnicy (implikacja prosta G|=>C) nie ma znaczenia w jak ostrej formie wypowiemy groźbę C. Zdanie C musimy kodować warunkiem koniecznym ~>, inaczej gwałcimy matematykę ścisłą, definicję implikacji prostej G|=>C!
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
Prawdziwość zdania C gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja prosta) która nie zależy od widzi mi się człowieka.
To jest matematyczne prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.
Ojciec może tu darować karę mówiąc:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo cię kocham.
Uzasadnienie nie może być zależne, czyli identyczne jak poprzednik:
Synku, byłeś niegrzeczny, dostajesz czekoladę bo byłeś niegrzeczny
Tu ojciec jest kłamcą.


4.2 Klasyka groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna W|~>K na mocy definicji

Przykład:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby (implikacja odwrotna B|~>L) brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
Zdania A nie wolno nam kodować warunkiem wystarczającym => bo zgwałcimy definicję implikacji odwrotnej B|~>L którą na mocy definicji jest dowolna groźba.
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Prawdziwość zdania B gwarantuje nam matematyka ścisła (implikacja odwrotna B|~>L), która nie zależy od chciejstwa człowieka.
Nadawca ma matematyczne prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego:
I rzekł mu: "Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze mną w raju". (Łk 23, 43)

Nadawca może darować karę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania bo cię kocham
Nadawca będzie kłamcą, jeśli wypowie uzasadnienie zależne, identyczne jak poprzednik:
Synku, ubrudziłeś spodnie, nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego tzn. z powodu czystych spodni!
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 10:37, 05 Mar 2017    Temat postu:

Algebra Kubusia - algebra zbiorów

Wstęp:
Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki matematycznej ziemian wywraca do góry nogami - wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy, logice matematycznej wszystkich 5-cio latków i humanistów - algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To pokazuje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi bo nie wierzę, iż na ziemi nie znajdzie się grupka matematyków która nie stanie murem za AK - dalej wszystko potoczy się lawinowo.

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Właściwości algebry zbiorów 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 6
2.4 Relacje zbiorów 7
2.5 O co chodzi w logice matematycznej 8
2.6 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> 10
2.7 Prawa Prosiaczka 12
2.8 Prawo rozpoznawalności pojęcia 13
3.0 Zbiory jednoargumentowe 13
3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów 13
3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach 15
3.2.1 Operator transmisji 16
3.2.2 Operator negacji 17
3.2.3 Operator chaosu 18
3.2.4 Operator śmierci 19
3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 19
3.4 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa 20
3.5 Prawo Rekina 20



1.0 Notacja


2.0 Algebra zbiorów

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zwrot „dowolnych pojęć” oznacza, że przy doborze elementów zbioru człowiek ma 100% wolnej woli, może do zbioru wrzucać mydło i powidło jak niżej:
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Właściwości elementów Uniwersum:
Elementem zbioru może być dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum zrozumiałe dla człowieka.
Pojęcie zrozumiałe dla człowieka to niepusty element ze zbioru Uniwersum.
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia.
Właściwości dziedziny:
D+~D = D+[] =D =1 - bo zbiór pełny, dziedzina
D*~D = D*[] =[] =0 - bo zbiór pusty

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):

Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]


2.2 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Zdecydowanie NIE!
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny!

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.
Logika matematyczna która liczy algebraicznie elementy w zbiorze (np. Teoria Mnogości - moce zbiorów), jest fałszywą logiką matematyczną.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Tożsamość zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów tożsamych (pojęć tożsamych) p=p zachodzi:
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów

5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+p*q =q
Dowód:
p+p*a = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p*(p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.4 Relacje zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy
A=>B

Przykład:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=>P2 =1
Definicja podzbioru => spełniona (=1) bo każdy element zbioru P8=[8,16,24..] należy do zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór A zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru B to mówimy, że zbiór A jest nadzbiorem ~> zbioru B i zapisujemy
A~>B

Przykład:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2~>P8 =1
Definicja nadzbioru ~> spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera wszystkie elementy zbioru P8=[8,16,24..]

Tożsamość zbiorów
Zbiory A i B nazywamy są tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

Przykład:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
TP=SK <=> (TP=>SK)*(SK=>TP)


2.5 O co chodzi w logice matematycznej

Logika matematyczna ziemian rozróżnia w zbiorze elementy podstawowe które nie są podzbiorami oraz elementy podzbiorowe które są podzbiorami.
Rozróżnianie elementów zbioru na podstawowe i podzbiorowe jest z punktu widzenia logiki bez sensu bo w logice matematycznej chodzi podział dziedziny na cztery różne podzbiory rozłączne wzajemnie uzupełniające się do dziedziny.

Definicja dziedziny dla operatorów logicznych dwuargumentowych jest stała i niezmienna, nie zależy od operatora, to definicja operatora chaosu p|~~>q
D = p*q + p*~q + ~p*q +~p*~q
Mamy tu cztery zbiory rozłączne, uzupełniające się do dziedziny.
Sprawdzenie poprawności dziedziny:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
ok

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)

Definicje operatorów OR(|+) i AND(|*) w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)

Na mocy powyższych definicji operatorów logicznych zawartość zbiorów jest kompletnie bez znaczenia może to być zbiór typu mydło i powidło i logika matematyczna doskonale działa.
Przykład:
p=[LN, K, M, P]
LN - zbiór liczb naturalnych
K - krasnoludek
M - miłość
P - pies

Definicja równoważności:
p=[LN+K]
q=[M+P]
p<=>q =1!

Definicja implikacji prostej:
p=[LN]
q=[LN+K+M]
p|=>q =1!

Definicja implikacji odwrotnej:
p=[LN+K+M]
q=[LN]
p|~>q =1!

Definicja operatora chaosu p|~~>q
p=[LN+K+M]
q=[K+M+P]
p|~~>q =1!

Podsumowując:
Teoria Mnogości idzie do piachu, bo z punktu widzenia logiki matematycznej jest bez sensu.

Dlaczego?
TM działa tak!
Definiuję zbiór:
p=[1+2]
Dodaję jeden element:
q=[1+2+3]
[link widoczny dla zalogowanych]
math.edu napisał:

Równość zbiorów (tożsamość zbiorów):
Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

Na mocy tej definicji zachodzi:
p##q
gdzie:
różne na mocy definicji
Wszystko co różne musi mieć różne nazwy, zatem musi być p i q

Uwaga!
W logice matematycznej totalnie nie o to chodzi.

W logice matematycznej sytuacja jest identyczna jak ze zmienną w programowaniu komputerowym.

Przykład:
Debilna Teoria Mnogości:
Definiuję sobie zbiór
ZWP - zbiór wszystkich psów
Taki zbiór można zapisać na przeogromną liczbę sposobów np.
ZWP1=[psy myśliwskie, pozostałe]
ZWP2=[psy obronne, pozostałe]
etc
Bezdennie głupia TM zapisuje tu:
ZWP1 ## ZWP2
gdzie:
## - różne na mocy definicji bo zachodzi różność elementów
psy myśliwskie ## psy obronne
Zauważmy że:
Jeśli przyjmiemy że ZWP1 jest zbiorem wszystkich psów to ZWP2 nie jest zbiorem wszystkich psów.
Bo te zbiory są różne z definicji na gruncie TM.
Totalne wariatkowo mamy tu gwarantowane.

Wspaniała algebra Kubusia!
ZWP=[psy myśliwskie, pozostałe]
ZWP=[psy obronne, pozostałe]
Bo w AK ZWP to zmienna komputerowa która może się zmieniać.

Podsumowanie:
Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki matematycznej ziemian wywraca do góry nogami - wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy, logice matematycznej wszystkich 5-cio latków i humanistów - algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To pokazuje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi bo nie wierzę, iż na ziemi nie znajdzie się grupka matematyków która nie stanie murem za AK - dalej wszystko potoczy się lawinowo.


2.6 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~>

I prawo Smoka
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q <=> p*q=p

Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3]
p=[1,2]=>q=[1,2,3] <=> [1,2]*[1,2,3] = [1,2] =p

Zauważmy, że I prawo Smoka to w istocie tożsama definicja podzbioru =>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to zbiór p jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w I prawie Smoka.
Zbiór q można wówczas zapisać w postaci:
q=[p, reszta]
Stąd mamy:
p=>q
p=>[p, reszta]
Nasz przykład:
p=>q
[1,2] => [1,2,3]
p=[1,2]
stąd:
p=>[p,3]
[reszta]=[3] =1 - zbiór niepusty

II prawo Smoka
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q <=> p*q=q

Przykład:
p=[1,2,3]
q=[1,2]
p=[1,2,3]~>q=[1,2] <=> [1,2,3]*[1,2] =[1,2] =q

Zauważmy, że II prawo Smoka to w istocie tożsama definicja nadzbioru ~>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to zbiór q jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w II prawie Smoka.
Zbiór p można wówczas zapisać w postaci:
p=[q, reszta]
Stąd:
p~>q
[q, reszta] ~> q
Nasz przykład:
p~>q
[1,2,3] => [1,2]
q=[1,2]
stąd:
[q,3] ~>q
[reszta] = [3] =1 - bo zbiór niepusty

I prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z I prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z I prawo Smoka:
p=>[p, reszta]
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że I prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.

II prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z II prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z II prawo Smoka:
[q, reszta] ~>q
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że II prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.


2.7 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.8 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
Zbiory p i ~p są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
p+~p = D =1
p*~p = [] =0

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Gdzie:
Zbiory Y i ~Y są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = D =1
Y*~Y = [] =0

Przykład:
1: Y=p+q
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2: ~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y = p+q + ~p*~q = (p+q)+~(p+q) =1 (skorzystano z prawa De Morgana dla ~p*~q)
cnd


3.0 Zbiory jednoargumentowe

Definicja zbioru jednoargumentowego:
Zbiór jednoargumentowy po pojedynczy zbiór niepusty o dowolnej nazwie
p=[1,2]

3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów

Rozważmy zbiór jednoargumentowy p


Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny ustalony przez człowieka zbiór niepusty
Wszystko co jest poza zdefiniowaną dziedziną jest zbiorem pustym z definicji
Najszerszą możliwą dziedziną jest Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

I.
Zbiór jednoargumentowy p

1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0


3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach


Definicja funkcji logicznej Y:
Przypisanie dowolnej części dziedziny do symbolu Y nazywamy funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y).
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Właściwości funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
[] = Y*~Y =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań logicznych opisujących funkcje logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

W zbiorach jednoargumentowych możemy utworzyć cztery różne operatory logiczne:
- operator transmisji
- operator negacji
- operator chaosu
- operator śmierci


3.2.1 Operator transmisji


Definicja operatora transmisji:
Transmisja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi p
Y=p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego transmisji to układ równań logicznych:
Y=p
~Y=~p
Kod:

Symboliczna definicja operatora transmisji Y=p
          |Co matematycznie oznacza
A: Y= p   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   |~Y=1<=>~p=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y=p
          | p ~p  Y=p   ~Y=~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p   | 1  0  =1     =0   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   | 0  1  =0     =1   |~Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3      4     c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina


3.2.2 Operator negacji


Definicja operatora negacji:
Negacja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi ~p
Y=~p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego negacji to układ równań logicznych:
Y=~p
~Y=p
Kod:

Symboliczna definicja operatora negacji Y=~p
          |Co matematycznie oznacza
A: Y=~p   | Y=1<=>~p=1
B:~Y= p   |~Y=1<=> p=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora negacji Y=~p
          | p ~p  Y=~p  ~Y=p |Co matematycznie oznacza
A: Y=~p   | 1  0  =0     =1  |~Y=1<=> p=1
B:~Y= p   | 0  1  =1     =0  | Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3      4    c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina


3.2.3 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Operator chaosu to przypisanie funkcji logicznej Y dziedzinie D
Y=D =1

Kod:

Symboliczna definicja operatora chaosu Y=1
             |Co matematycznie oznacza
A: Y= p+~p   | Y=1
B:~Y= p*~p   |~Y=0


Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu Y=1
           | p ~p  Y=p+~p  ~Y=p*~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p+~p | 1  0  =1       =0     | Y=1
B:~Y= p*~p | 0  1  =1       =0     |~Y=0


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu żadnych szans na kłamstwo.


3.2.4 Operator śmierci

Definicja operatora śmierci:
Operator śmierci to przypisanie funkcji logicznej Y zbiorowi pustemu []
Y=[] =0

Kod:

Symboliczna definicja operatora śmierci Y=0
             |Co matematycznie oznacza
A: Y= p*~p   | Y=0
B:~Y= p+~p   |~Y=1


Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci Y=0
           | p ~p  Y=p*~p  ~Y=p+~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p*~p | 1  0  =0       =1     | Y=0
B:~Y= p+~p | 0  1  =0       =1     |~Y=1

Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0
Wypowiadając to zdanie pani jest kłamcą.
Nieistotne jest, co pani zrobi jutro


3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych

Zero-jedynkowe definicje operatorów jednoargumentowych.
Kod:

        |Transmisja |Negator    |Chaos           |Śmierć
        | Y=p       | Y=~p      | Y=(p+~p)=1     | Y=(p*~p)=0
   p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 | =1   =0   | =0    =1  | =1      =0     | =0      =1
B: 0  1 | =0   =1   | =1    =0  | =1      =0     | =0      =1



3.4 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y.
Odpowiedź bramki logicznej Y na te same wymuszenia na wejściach (p,q,r,s..) jest zawsze identyczna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny Y to kompletna odpowiedź bramki logicznej na wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na jej wejściach.
Y = f(p,q,r,s..)

Operator jednoargumentowy to bramka logiczna o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y

Po stronie wejścia operatora jednoargumentowego mamy sygnał p. Sygnał ten musi mieć swoje zaprzeczenie ~p na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p.
Zapiszmy wszystkie możliwe odpowiedzi operatora jednoargumentowego.
Kod:

Operatory jednoargumentowe
   p ~p
A: 1  0 | 1  0 | 1  0
B: 0  1 | 0  1 | 1  0
   1  2   3  4   5  6

Wszystkie możliwe odpowiedzi bramki logicznej jednoargumentowej pokazuje tabela AB3456.
Odpowiedzi te grupujemy w postaci par kolumn, gdzie jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Takie kolumny są ze sobą w związku matematycznym, jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Każdą parę takich kolumn możemy opisać sekwencją [Y, ~Y], albo odwrotnie [~Y, Y]

Na mocy powyższego wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe są następujące:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0| Y=p*~p=0 ~Y=p+~p=1
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =0        =1
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =0        =1

Doskonale widać, że technika cyfrowa jest w 100% zgodna z teorią zbiorów wyłożoną wyżej.


3.5 Prawo Rekina

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0| Y=p*~p=0 ~Y=p+~p=1
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =0        =1
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =0        =1

Jak wygląda powyższa tabela w zbiorach?


Doskonale tu widać, interpretację tabeli wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach.
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi p to mamy układ równań opisujący operator transmisji:
Y=p
~Y=~p
D = Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi ~p to mamy układ równań opisujący operator negacji:
Y=~p
~Y=p
D=Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcji logicznej Y przypiszemy dziedzinę (zbiór pełny) to mamy operator chaosu opisany układem równań:
Y=p+~p
~Y=p*~p
D = Y+~Y = p+~p + p*~p = p+~p+[] = p+~p
Jeśli funkcję logiczną Y przypiszemy zaprzeczeniu dziedziny (zbiór pusty) to mamy operator śmierci opisany równaniem:
Y=p*~p
~Y=p+~p
D = Y+~Y = p*~p + p+~p = [] +p+~p = p+~p

Zauważmy, że niezależnie od operatora jednoargumentowego dziedzina dla wszystkich operatorów logicznych jest stała i niezmienna opisana równaniem:
D = Y+~Y
D= p+~q =1

Przykład 1
Zajmijmy się teraz najprostszą algebrą zbiorów:
Y1 = p + p*p
Minimalizujemy to równanie w sposób trochę nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*p
Y3 = p*(D + p)
Y4 = p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 2
Zapiszmy teraz takie równanie:
Y1 = p + p*~p
To równanie minimalizujemy również w sposób nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*~p
Y3 = p*(D+~p)
Y4= p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Podsumowanie:
Doskonale widać, że wspólną dziedziną dla wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych, stałą i niezmienną, jest funkcja logiczna opisująca operator chaosu mająca same jedynki w kolumnie wynikowej Y:
Y = D = p+~p
Nasz wniosek można uogólnić.

Prawo wspólnej dziedziny:
Wspólną dziedziną dla operatora n-argumentowego będzie funkcja logiczna opisująca n-argumentowy operator chaosu, czyli z samymi jedynkami w wyniku.

Dwuargumentowy operator chaosu |~~> w zbiorach:


Dziedzina w operatorach dwuargumentowych to suma logiczna zbiorów rozłącznych A,B,C i D uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q

Zapiszmy wspólną dziedzinę dla absolutnie wszystkich operatorów dwuargumentowych:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja |Funkcje cząstkowe |Co matematycznie oznacza
operatora chaosu p|~~>q  |operatora chaosu  |
   p  q ~p ~q  Y=?       |                  |
A: 1  1  0  0   =1       | Ya= p* q         | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1   =1       | Yb= p*~q         | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0   =1       | Yc=~p* q         | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1   =1       | Yd=~p*~q         | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1

Stąd mamy dziedzinę identyczną dla wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych będącą na mocy definicji 2-argumentowym operatorem chaosu p|~~>q.
D = Y = Ya+Yb+Yc+~Yd
Po podstawieniu funkcji cząstkowych mamy:
D = Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*q

Dowód iż matematycznie jest tu wszystko w porządku:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~q =1
cnd

Rozważmy teraz przykłady analogiczne do przykładów z operatora jednoargumentowego.

Przykład 3.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 4.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*~q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*~q
Y3 = p*(D+~q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Podsumowanie:
Weźmy jeszcze raz przykład 3 (dwuargumentowy).
Y1 = p + p*q
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)

STOP!
Doskonale widać, że w tym momencie nie ma znaczenia co podstawimy pod q.
Może być to dowolna funkcja logiczna, nawet nieskończona typu:
q = r*s+~s*t + u*w*~v … itd. do nieskończoności.

Prawo Rekina:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności algebry zbiorów (czyli logiki matematycznej) jest przynależność wszystkich zmiennych w dowolnym równaniu zbiorów (= równaniu logicznym) do tej samej dziedziny D.

Z prawa Rekina wynika, że nie może być tak, iż jakakolwiek zmienna w równaniu algebry zbiorów (=w równaniu logicznym) wychodzi poza dziedzinę obowiązującą dla tego równania.
Gdyby taki przypadek zaistniał to algebra zbiorów (=równanie logiczne) leży w gruzach - co oczywiście być nie może!
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 21:13, 12 Mar 2017    Temat postu:

Algebra Kubusia

Wstęp:
Od 11 lat Kubuś każde pojęcie z zakresu logiki matematycznej ziemian wywraca do góry nogami - wtedy i tylko wtedy lądujemy w poprawnej logice matematycznej opisującej nasz Wszechświat żywy i martwy, logice matematycznej wszystkich 5-cio latków i humanistów - algebrze Kubusia.
Fiklit: „Wszystko czego Kubuś dotknie zamienia w absurd”
To pokazuje skalę rewolucji w logice matematycznej jaka wkrótce nastąpi bo nie wierzę, iż na ziemi nie znajdzie się grupka matematyków która nie stanie murem za AK - dalej wszystko potoczy się lawinowo.

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Właściwości algebry zbiorów 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 6
2.4 Relacje zbiorów 7
2.5 Teoria zbiorów a technika podstawień 8
2.6 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> 11
2.7 Logika matematyczna zbiorów 12
2.8 Prawa Prosiaczka 16
2.9 Prawo rozpoznawalności pojęcia 18
3.0 Zbiory jednoargumentowe 18
3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów 18
3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach 20
3.2.1 Operator transmisji 21
3.2.2 Operator negacji 22
3.2.3 Operator chaosu 23
3.2.4 Operator śmierci 24
3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 24
3.4 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa 25
3.5 Prawo Rekina 25



1.0 Notacja


2.0 Algebra zbiorów

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zwrot „dowolnych pojęć” oznacza, że przy doborze elementów zbioru człowiek ma 100% wolnej woli, może do zbioru wrzucać mydło i powidło jak niżej:
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Właściwości elementów Uniwersum:
Elementem zbioru może być dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum zrozumiałe dla człowieka.
Pojęcie zrozumiałe dla człowieka to niepusty element ze zbioru Uniwersum.
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia.
Właściwości dziedziny:
D+~D = D+[] =D =1 - bo zbiór pełny, dziedzina
D*~D = D*[] =[] =0 - bo zbiór pusty
Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):

Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]


2.2 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Tożsamość zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów tożsamych (pojęć tożsamych) p=p zachodzi:
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów

Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów

5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów

Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+p*q =q
Dowód:
p+p*a = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p*(p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]

Zdefiniujmy zbiór typu mydło i powidło:
A = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P - pies
M - miłość
K - krasnoludek
A=[LN, P, M, K]
Elementy zbioru rozdzielamy przecinkami.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) przecinek = suma logiczna zbiorów (elementów zbiorów), spójnik „lub”(+).
Stąd zapis tożsamy:
A=[LN+P+M+K]
Elementy dowolnego zbioru można powielać w nieskończoność na mocy prawa powielania/redukcji dowolnego elementu w zbiorze:
p=p+p
Stąd:
[LN+P+M+K] = [LN+LN+P+M+K+K+K]
Logika matematyczna to rozróżnianie nazw elementów a nie fizyczne liczenie elementów, stąd zbiory po obu stronach tożsamości są tożsame i zawierają po cztery różne nazwy elementów.


2.4 Relacje zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy
A=>B

Przykład:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Relacja podzbioru => spełniona (=1):
P8=>P2 =1
Relacja podzbioru => spełniona (=1) bo każdy element zbioru P8=[8,16,24..] należy do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relacja podzbioru => niespełniona (=0):
P2=>P8 =0
Relacja podzbioru => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór A zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru B to mówimy, że zbiór A jest nadzbiorem ~> zbioru B i zapisujemy
A~>B

Przykład:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Relacja nadzbioru ~> spełniona (=1):
P2~>P8 =1
Relacja nadzbioru spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera wszystkie elementy zbioru P8=[8,16,24..]
Relacja nadzbioru ~> niespełniona (=0):
P8~>P2 =0
Relacja nadzbioru nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Tożsamość zbiorów
Zbiory A i B są tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót
A=B <=> (A=>B)*(B=>A)

Przykład:
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
TP=SK <=> (TP=>SK)*(SK=>TP)

Kwantyfikator mały ~~>
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q.
p~~>q = p*q
Rozstrzygnięcia:
Jeśli zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny to definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1):
p~~>q = p*q =1 - bo zbiory p i q mają element wspólny
Dla zbiorów rozłącznych definicja kwantyfikatora małego nie jest spełniona (=0):
p~~>q = p*q =0 - bo zbiory p i q są rozłączne


2.5 Teoria zbiorów a technika podstawień

Zacznijmy od analogii do matematyki klasycznej:
Przykład:
1. 2x+4y-1 =0
Podstawiamy:
2. z=4y-1
stąd:
3. 2x+z =0

Zauważmy że:
Jeśli pokażemy dowolnemu matematykowi równania 1 i 3 z pytaniem czy te równania są tożsame to odpowiedź może być tylko jedna:
Nie są tożsame.
ALE!
Jeśli dowolnemu matematykowi, nawet uczniowi szkoły podstawowej pokażemy komplet równań 1,2,3 z pytaniem czy równania 1 i 3 są tożsame to odpowiedź może być tylko jedna:
Tak, równania 1 i 3 są tożsame bo widzę podstawienie:
z=4y-1

Identycznie jest w teorii zbiorów:
1. A=[1+2+3]
Podstawmy:
2. B=[1+2]
stąd:
3. C=[B+3]
Sytuacja jest tu identyczna jak w matematyce klasycznej:
Jeśli pokażemy wyłącznie 1 i 3 to matematycznie zachodzi:
A ## C
## - różne na mocy definicji
ALE!
Jeśli pokażemy komplet równań 1,2,3 to matematycznie zachodzi:
A = C
Oczywistym jest że przed porównywaniem A=C należy odtworzyć podstawienie w zbiorze C, czyli:
C = [B+3] = [[1+2]+3] = [1+2+3]
Teraz doskonale widać zachodzącą tożsamość:
(A=[1+2+3]) = (C=[1+2+3])

Inny przykład:
1. [1+2+3] = [1+2+3]
1. [1+2+3] = [1+2+3+1+2]
bo prawo powielania/redukcji dowolnych elementów w zbiorze:
p=p+p
W kolejnym kroku dokonujemy podstawienia:
2. C=[1+2]
Stąd:
3. [1+2+3] = [1+2+3+C]
bo znane jest podstawienie C.

Jeśli pokażemy wyłącznie 1 i 3 to będzie:
1. [1+2+3] ## 3. [1+2+3+C]
## - różne na mocy definicji
bo nie wiem co się pod tym C kryje tzn. nie mogę odtworzyć podstawienia C!

Można też zapisać tak:
1. [1+2+3] = [1+2+3]
1. [1+2+3] = [1+2+3+1+2]

2. [1+2+3] = [1+2+3+[1+2]]
Zapisując jak wyżej gramy w otwarte karty. W tym przypadku podstawienie [1+2] możemy zredukować do:
1. [1+2+3] = [1+2+3+1+2] =[1+2+3]
Żeby porównywać lewą i prawą stronę równania 2 podstawienie [1+2] musimy zredukować!

Identycznie jest tu:
P2=[2,4,6,8,10,12,16 ...] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16 …] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9,10,11,12,13,14,15.. 17..]
~P8*P2 = [2,4,6..10,12,14…]

Oczywista oczywistość jest taka:
P2=P2
Czyli:
1. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…]) = (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…])

Zbiór P2 z prawej strony porządkujemy do takiej postaci:
1. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…])=( P2=[8+16… +2+4+6..10+12+14..])
Z prawej strony tożsamości dokonujemy jawnego podstawienia (gramy w otwarte karty identycznie jak wyżej):
2. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…]) = (P2=[[8+16…]+ [2+4+6..10+12+14..]]
stąd:
2. P2=[P8+~P8*P2]

Pytanie jest tu bardzo proste:
P2=[P8+~P8*P2]
Czy zachodzi powyższa tożsamość w zbiorach?

Dowód czysto matematyczny iż zachodzi jest następujący:
P2=P8+(~P8*P2)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~P2=~P8*(P8+~P2)
~P2=~P8*P8 + ~P8*~P2
~P2=~P8*~P2
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
P2=P8+P2
stąd:
P2=P2
bo P8 jest podzbiorem => P2

Uwaga!
Z powyższego wynika że teoria zbiorów jest pojęciem szerszym niż algebra Boole’a bowiem ostatni szach-mat nie jest możliwy na gruncie algebry Boole’a
Historyczny wniosek:
Algebra Boole’a jest podzbiorem właściwym teorii zbiorów!

Dokładnie to samo w algebrze Boole’a:
P2 = P8+~P8*P2
p=P2
q=P8
stąd:
p=q+(~q*p)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~p=~q*(q+~p)
~p=~q*q+~p*~q
~p=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej:
p=p+q
W algebrze Boole’a mamy tu sprzeczność czysto matematyczną!
Oczywiście jeśli wiemy ze q jest podzbiorem p to matematyczna sprzeczność w teorii zbiorów znika:
p=p
bo q jest podzbiorem p

Kluczowy i historyczny wniosek!
Zapiszmy dziewiczą tożsamość matematyczną P2=P2:
1. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…])=( P2=[8+16… +2+4+6..10+12+14..])
Z prawej strony tożsamości dokonujemy jawnego podstawienia (- gramy w otwarte karty!):
2. (P2=[2+4+6+8+10+12+14+16…]) = (P2=[[8+16…]+ [2+4+6..10+12+14..]]
stąd:
2. P2=[P8+~P8*P2]

Teraz pytanie do ziemskich matematyków!
Czy z faktu że dokonaliśmy banalnego podstawienia w równaniu 1 generując równanie 2 wynika, że tożsamość matematyczna w równaniu 2 nam się zawali?

Oczywiście NIE!
Gdyby tak się stało to cała matematyka ległaby w gruzach bo żadnych podstawień nie wolno by nam było wykonać.
Przykład:
1. 2x+4y-1 =0
Podstawiamy:
2. z=4y-1
stąd:
3. 2x+z =0

W algebrze Kubusia wolno dowolny zbiór zapisywać w postaci tożsamej z użyciem podstawień byleby te podstawienia były znane.
Przykład:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
ZWS1=[pies+pozostałe] - tu człowiek zbiór wszystkich ssaków zdefiniował tak
ZWS2=[człowiek+pozostałe] - tu człowiek zbiór wszystkich ssaków zdefiniował tak
Oba zbiory zawierają zbiór wszystkich ssaków, zatem są tożsame:
ZWS1=ZWS2
[pies+pozostałe] = [człowiek+pozostałe]
W tym przypadku podstawienia, czyli rozbicie ZWS na dwa podzbiory są oczywiste.
Aby tą tożsamość udowodnić musimy udowodnić że człowiek należy do zbioru wszystkich ssaków i pies należy do zbioru wszystkich ssaków, to wystarczy.


2.6 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~>

I prawo Smoka
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q <=> p*q=p
Zauważmy, że I prawo Smoka to w istocie tożsama definicja podzbioru =>

Przykład:
p=[1+2]
q=[1+2+3]
p=[1+2]=>q=[1+2+3] <=> [1+2]*[1+2+3] = [1+2] =p

Wniosek
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to zbiór p jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Dowód na przykładzie:
p=[1+2] => q=[1+2+3]
W prawej stronie znaku => podstawiamy:
p=[1+2]
Stąd:
p=[1+2] => q=[p+3]

II prawo Smoka
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q <=> p*q=q
Zauważmy, że II prawo Smoka to w istocie tożsama definicja nadzbioru ~>

Przykład:
p=[1+2+3]
q=[1+2]
p=[1+2+3]~>q=[1+2] <=> [1+2+3]*[1+2] =[1,2] =q

Wniosek
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to zbiór q jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Dowód na przykładzie:
p=[1+2+3] ~> q=[1+2]
W lewej stronie znaku ~> podstawiamy:
q=[1+2]
Stąd:
p=[q+3] ~> q=[1+2]


2.7 Logika matematyczna zbiorów

Z punktu widzenia logiki matematycznej teoria zbiorów naszego Wszechświata to poziom 5-cio letniego dziecka, działa fenomenalnie nawet na zbiorach typu mydło i powidło

Zdefiniujmy zbiór typu mydło i powidło:
A = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P - pies
M - miłość
K - krasnoludek
A=[LN, P, M, K]
Elementy zbioru rozdzielamy przecinkami.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) przecinek = suma logiczna zbiorów (elementów zbiorów), spójnik „lub”(+).
Stąd zapis tożsamy:
A=[LN+P+M+K]

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie przyjęty zbiór z obszaru Uniwersum na którym pracujemy.

Wszystko co jest poza dziedziną jest zbiorem pustym z definicji, czyli nie znamy definicji żadnego pojęcia spoza dziedziny. Dziedzinę możemy dowolnie poszerzać lub zawężać. Ograniczeniem dolnym jest tu zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

Definicja logiki matematycznej zbiorów:
Logika matematyczna zbiorów opisuje wszystkie możliwe relacje między dwoma zbiorami p i q z uwzględnieniem przeczeń tych zbiorów ~p i ~q w obrębie wybranej dziedziny.

Przyjmijmy za dziedzinę zbiór typu mydło i powidło:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN+P+M+K]
Na mocy definicji wszelkie pojęcia spoza tej dziedziny są dla nas zbiorem pustym, nie znamy definicji tych pojęć. Z elementów tego zbioru możemy budować dowolne podzbiory.


Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przyjmijmy dziedzinę:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN, P, M, K]
Przykładowa relacja zbiorów spełniająca definicję implikacji prostej |=> w zbiorach to:
p=[LN+P]
q=[LN+P+M]
Obliczenia zaprzeczeń zbiorów:
~p=[D-p] = [[LN+P+M+K]-[LN+P]] =[M+K]
~q=[D-q] = [[LN+P+M+K]-[LN+P+M]] =[K]
Kod:

Tabela 1
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach
        p|=>q
A: p=> q =1 - bo zbiór p=[LN+P] jest podzbiorem => zbioru q=[LN+P+M]
B: p~~>~q=0 - bo zbiór p=[LN+P] jest rozłączny ze zbiorem ~q=[K]
C:~p~>~q =1 - bo zbiór ~p=[M+K] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[K]
D:~p~~>q =1 - bo zbiór ~p=[M+K] ma część wspólną ze zbiorem q=[LN+P+M]
   1   2  3

Operator implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jakaś tam jedna, wybrana.
Przykładowo, relacja podzbioru => to wyłącznie linia A w powyższej tabeli. Relacja podzbioru p=>q nie jest zatem tożsama z definicją implikacji prostej p|=>q.

Definicja tożsama operatora implikacji prostej p|=>q:
Definicja operatora implikacji prostej |=> to taki a nie inny rozkład zer i jedynek w kolumnie wynikowej 3 będącej odpowiedzią na identyczną dla wszystkich operatorów matrycę wymuszeń ABCD12.


Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przyjmijmy dziedzinę:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN, P, M, K]
Przykładowa relacja zbiorów spełniająca definicję implikacji odwrotnej |~> w zbiorach to:
p=[LN+P+M]
q=[LN+P]
Obliczenia zaprzeczeń zbiorów:
~p=[D-p] = [[LN+P+M+K]-[LN+P+M]] =[K]
~q=[D-q] = [[LN+P+M+K]-[LN+P]] =[M+K]
Kod:

Tabela 2
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej |~> w zbiorach
        p|~>q
A: p~> q =1 - bo zbiór p=[LN+P+M] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[LN+P]
B: p~~>~q=1 - bo zbiór p=[LN+P+M] ma część wspólną ze zbiorem ~q=[M+K]
C:~p=>~q =1 - bo zbiór ~p=[K] jest podzbiorem => zbioru ~q=[M+K]
D:~p~~>q =0 - bo zbiór ~p=[K] jest rozłączny ze zbiorem q=[LN+P]
   1   2  3

Operator implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jakaś tam jedna, wybrana.
Przykładowo, relacja nadzbioru ~> to wyłącznie linia A w powyższej tabeli. Relacja nadzbioru p~>q nie jest zatem tożsama z definicją implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja tożsama operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> to taki a nie inny rozkład zer i jedynek w kolumnie wynikowej 3 będącej odpowiedzią na identyczną dla wszystkich operatorów matrycę wymuszeń ABCD12.


Definicja równoważności <=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*[p=q]
Przyjmijmy dziedzinę:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN, P, M, K]
Przykładowa relacja zbiorów spełniająca definicję równoważności <=> w zbiorach to:
p=q =[LN]
W tym przypadku zbiór p jest tym samym zbiorem co q
Obliczenie zaprzeczenia:
~p=~q =[D-LN] = [[LN+P+M+K]-[LN]=[P+M+K]
Kod:

Tabela 3
Symboliczna definicja równoważności <=> w zbiorach
        p<=>q
A: p=> q =1 - bo zbiór p=[LN] jest podzbiorem => zbioru q=[LN]
B: p~~>~q=0 - bo zbiór p=[LN] jest rozłączny ze zbiorem ~q=[P+M+K]
C:~p=>~q =1 - bo zbiór ~p=[P+M+K] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+M+K]
D:~p~~>q =0 - bo zbiór ~p=[P+M+K] jest rozłączny ze zbiorem q=[LN]

Operator równoważności p<=>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jakaś tam jedna, wybrana.

Definicja tożsama operatora równoważności <=>:
Definicja operatora równoważności <=> to taki a nie inny rozkład zer i jedynek w kolumnie wynikowej 3 będącej odpowiedzią na identyczną dla wszystkich operatorów matrycę wymuszeń ABCD12.


Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Przyjmijmy dziedzinę:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN, P, M, K]
Przykładowa relacja zbiorów spełniająca definicję operatora chaosu |~~> w zbiorach to:
p=[LN+P]
q=[P+M]
Obliczenia zaprzeczeń zbiorów:
~p=[D-p] = [[LN+P+M+K]-[LN+P]] =[M+K]
~q=[D-q] =[[LN+P+M+K]-[P+M]] =[LN+K]
Kod:

Tabela 4
Symboliczna definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach
       p|~~>q
A: p~~>q =1 - bo zbiór p=[LN+P] ma część wspólną ~~> ze zbiorem q=[P+M]
B: p~~>~q=1 - bo zbiór p=[LN+P] ma część wspólną ~~> ze zbiorem ~q=[LN+K]
C:~p~~>~q=1 - bo zbiór ~p=[M+K] ma część wspólną ~~> ze zbiorem ~q=[LN+K]
D:~p~~>q =1 - bo zbiór ~p=[M+K] ma część wspólną ~~> ze zbiorem q=[P+M]
   1   2  3

Operator chaosu |~~> to wszystkie cztery linie ABCD a nie jakaś tam jedna, wybrana.

Definicja tożsama operatora chaosu |~~>:
Definicja operatora chaosu |~~> to taki a nie inny rozkład zer i jedynek w kolumnie wynikowej 3 będącej odpowiedzią na identyczną dla wszystkich operatorów matrycę wymuszeń ABCD12.


Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnej relacji w zbiorach jest prawdziwość tej samej relacji zapisanej kwantyfikatorem małym ~~>.

To jest oczywistość bowiem:
Jeśli relacja p=>q jest prawdą to musi być prawdą relacja p~~>q
Jeśli relacja p~>q jest prawdą to musi być prawdą relacja p~~>q

Wniosek z prawa Kobry dla zbiorów:
Zbiory p i q nie mogą być puste.
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zbiór p jest pusty p=[]
Stąd mamy:
p~~>q = p*q = []*q =0
Fałszywość relacji p~~>q=0 wymusza fałszywość relacji p=>q=0 i p~>q=0

Prawo Kruka dla zbiorów:
Dowolna relacja między zbiorami (=>, ~>, ~~>, <=>) należy do jednego z czterech operatorów logicznych w zbiorach wtedy i tylko wtedy oba zbiory p i q nie są zbiorami pustymi (dowód wyżej) a ich suma logiczna p+q jest mniejsza od dziedziny.

Sprawdźmy jak będzie wyglądała tabela 3 jeśli zbiory p i q zdefiniujemy w taki sposób by suma zbiorów p+q stanowiła dziedzinę.

Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Przyjmijmy dziedzinę:
D = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
D = [LN, P, M, K]
Przykładowa relacja zbiorów spełniająca definicję operatora chaosu |~~> w zbiorach to:
p=[LN+P+M]
q=[P+M+K]
Obliczenia zaprzeczeń zbiorów:
~p=[D-p] = [[LN+P+M+K]-[LN+P+M]=[K]
~q=[D-q]=[[LN+P+M+K]-[P+M+K] =[LN]

Kod:

Tabela 5
Symboliczna definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach
       p|~~>q
A: p~~>q =1 - bo zbiór p=[LN+P+M] ma część wspólną ~~> ze zbiorem q=[P+M+K]
B: p~~>~q=1 - bo zbiór p=[LN+P+M] ma część wspólną ~~> ze zbiorem ~q=[LN]
C:~p~~>~q=0 - bo zbiór ~p=[K] jest rozłączny ze zbiorem ~q=[LN]
D:~p~~>q =1 - bo zbiór ~p=[K] ma część wspólną ~~> ze zbiorem q=[P+M+K]

Fałsz w linii C jest dowodem iż nie jest spełniona definicja operatora chaosu |~~> mimo iż matematycznie powinna być spełniona.

Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiór p ma część wspólną ~~> ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Niespełnienie definicji chaosu |~~> wynika z faktu, iż suma logiczna zbiorów p+q jest tożsama z dziedziną.
Dowód:
D=[LN+P+K+M]
p+q = [[LN+P+M]+[P+M+K]] = [LN+P+M+K] =D
cnd


2.8 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.9 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
Zbiory p i ~p są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
p+~p = D =1
p*~p = [] =0

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Gdzie:
Zbiory Y i ~Y są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = D =1
Y*~Y = [] =0

Przykład:
1: Y=p+q
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2: ~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
Sprawdzenie dziedziny:
Y+~Y = p+q + ~p*~q = (p+q)+~(p+q) =1 (skorzystano z prawa De Morgana dla ~p*~q)
cnd


3.0 Zbiory jednoargumentowe

Definicja zbioru jednoargumentowego:
Zbiór jednoargumentowy po pojedynczy zbiór niepusty o dowolnej nazwie
p=[1,2]

3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów

Rozważmy zbiór jednoargumentowy p


Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny ustalony przez człowieka zbiór niepusty
Wszystko co jest poza zdefiniowaną dziedziną jest zbiorem pustym z definicji
Najszerszą możliwą dziedziną jest Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

I.
Zbiór jednoargumentowy p

1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0


3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach


Definicja funkcji logicznej Y:
Przypisanie dowolnej części dziedziny do symbolu Y nazywamy funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y).
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Właściwości funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
[] = Y*~Y =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań logicznych opisujących funkcje logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

W zbiorach jednoargumentowych możemy utworzyć cztery różne operatory logiczne:
- operator transmisji
- operator negacji
- operator chaosu
- operator śmierci


3.2.1 Operator transmisji


Definicja operatora transmisji:
Transmisja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi p
Y=p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego transmisji to układ równań logicznych:
Y=p
~Y=~p
Kod:

Symboliczna definicja operatora transmisji Y=p
          |Co matematycznie oznacza
A: Y= p   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   |~Y=1<=>~p=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji Y=p
          | p ~p  Y=p   ~Y=~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p   | 1  0  =1     =0   | Y=1<=> p=1
B:~Y=~p   | 0  1  =0     =1   |~Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3      4     c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina


3.2.2 Operator negacji


Definicja operatora negacji:
Negacja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi ~p
Y=~p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
Spełniona jest definicja dziedziny dla funkcji logicznej Y:
Y+~Y = D =1 - zbiór ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru Y
Y*~Y = [] =0 - zbiory Y i ~Y są rozłączne

Stąd definicja operatora logicznego negacji to układ równań logicznych:
Y=~p
~Y=p
Kod:

Symboliczna definicja operatora negacji Y=~p
          |Co matematycznie oznacza
A: Y=~p   | Y=1<=>~p=1
B:~Y= p   |~Y=1<=> p=1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora negacji Y=~p
          | p ~p  Y=~p  ~Y=p |Co matematycznie oznacza
A: Y=~p   | 1  0  =0     =1  |~Y=1<=> p=1
B:~Y= p   | 0  1  =1     =0  | Y=1<=>~p=1
   a  b     1  2   3      4    c      d
Kodowanie zero-jedynkowe na mocy praw Prosiaczka:
(~p=1)=( p=0)
( p=1)=(~p=0)


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

.. a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie A dwustronnie:
B.
Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (=nie dotrzyma słowa)
K - pójdziemy do kina
~K - nie pójdziemy do kina


3.2.3 Operator chaosu

Definicja operatora chaosu:
Operator chaosu to przypisanie funkcji logicznej Y dziedzinie D
Y=D =1

Kod:

Symboliczna definicja operatora chaosu Y=1
             |Co matematycznie oznacza
A: Y= p+~p   | Y=1
B:~Y= p*~p   |~Y=0


Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu Y=1
           | p ~p  Y=p+~p  ~Y=p*~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p+~p | 1  0  =1       =0     | Y=1
B:~Y= p*~p | 0  1  =1       =0     |~Y=0


Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu żadnych szans na kłamstwo.


3.2.4 Operator śmierci

Definicja operatora śmierci:
Operator śmierci to przypisanie funkcji logicznej Y zbiorowi pustemu []
Y=[] =0

Kod:

Symboliczna definicja operatora śmierci Y=0
             |Co matematycznie oznacza
A: Y= p*~p   | Y=0
B:~Y= p+~p   |~Y=1


Kod:

Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci Y=0
           | p ~p  Y=p*~p  ~Y=p+~p |Co matematycznie oznacza
A: Y= p*~p | 1  0  =0       =1     | Y=0
B:~Y= p+~p | 0  1  =0       =1     |~Y=1

Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0
Wypowiadając to zdanie pani jest kłamcą.
Nieistotne jest, co pani zrobi jutro


3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych

Zero-jedynkowe definicje operatorów jednoargumentowych.
Kod:

        |Transmisja |Negator    |Chaos           |Śmierć
        | Y=p       | Y=~p      | Y=(p+~p)=1     | Y=(p*~p)=0
   p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 | =1   =0   | =0    =1  | =1      =0     | =0      =1
B: 0  1 | =0   =1   | =1    =0  | =1      =0     | =0      =1



3.4 Operatory jednoargumentowe a technika cyfrowa

Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y.
Odpowiedź bramki logicznej Y na te same wymuszenia na wejściach (p,q,r,s..) jest zawsze identyczna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny Y to kompletna odpowiedź bramki logicznej na wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe na jej wejściach.
Y = f(p,q,r,s..)

Operator jednoargumentowy to bramka logiczna o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y

Po stronie wejścia operatora jednoargumentowego mamy sygnał p. Sygnał ten musi mieć swoje zaprzeczenie ~p na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p.
Zapiszmy wszystkie możliwe odpowiedzi operatora jednoargumentowego.
Kod:

Operatory jednoargumentowe
   p ~p
A: 1  0 | 1  0 | 1  0
B: 0  1 | 0  1 | 1  0
   1  2   3  4   5  6

Wszystkie możliwe odpowiedzi bramki logicznej jednoargumentowej pokazuje tabela AB3456.
Odpowiedzi te grupujemy w postaci par kolumn, gdzie jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Takie kolumny są ze sobą w związku matematycznym, jedna jest zaprzeczeniem drugiej.
Każdą parę takich kolumn możemy opisać sekwencją [Y, ~Y], albo odwrotnie [~Y, Y]

Na mocy powyższego wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe są następujące:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0| Y=p*~p=0 ~Y=p+~p=1
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =0        =1
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =0        =1

Doskonale widać, że technika cyfrowa jest w 100% zgodna z teorią zbiorów wyłożoną wyżej.


3.5 Prawo Rekina

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

        |Operator   |Operator   |Operator           |Operator
        |transmisji |negacji    |chaosu             |śmierci
   p ~p | Y=p ~Y=~p | ~Y=p Y=~p | Y=p+~p=1 ~Y=p*~q=0| Y=p*~p=0 ~Y=p+~p=1
A: 1  0 |  =1   =0  |   =1  =0  |  =1        =0     |  =0        =1
B: 0  1 |  =0   =1  |   =0  =1  |  =1        =0     |  =0        =1

Jak wygląda powyższa tabela w zbiorach?


Doskonale tu widać, interpretację tabeli wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach.
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi p to mamy układ równań opisujący operator transmisji:
Y=p
~Y=~p
D = Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcję Y (logika dodatnia bo Y) przypiszemy zbiorowi ~p to mamy układ równań opisujący operator negacji:
Y=~p
~Y=p
D=Y+~Y = p+~p
Jeśli funkcji logicznej Y przypiszemy dziedzinę (zbiór pełny) to mamy operator chaosu opisany układem równań:
Y=p+~p
~Y=p*~p
D = Y+~Y = p+~p + p*~p = p+~p+[] = p+~p
Jeśli funkcję logiczną Y przypiszemy zaprzeczeniu dziedziny (zbiór pusty) to mamy operator śmierci opisany równaniem:
Y=p*~p
~Y=p+~p
D = Y+~Y = p*~p + p+~p = [] +p+~p = p+~p

Zauważmy, że niezależnie od operatora jednoargumentowego dziedzina dla wszystkich operatorów logicznych jest stała i niezmienna opisana równaniem:
D = Y+~Y
D= p+~q =1

Przykład 1
Zajmijmy się teraz najprostszą algebrą zbiorów:
Y1 = p + p*p
Minimalizujemy to równanie w sposób trochę nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*p
Y3 = p*(D + p)
Y4 = p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 2
Zapiszmy teraz takie równanie:
Y1 = p + p*~p
To równanie minimalizujemy również w sposób nietypowy, ale matematycznie równoważny:
Y2 = p*D + p*~p
Y3 = p*(D+~p)
Y4= p*D
Y5=p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Podsumowanie:
Doskonale widać, że wspólną dziedziną dla wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych, stałą i niezmienną, jest funkcja logiczna opisująca operator chaosu mająca same jedynki w kolumnie wynikowej Y:
Y = D = p+~p
Nasz wniosek można uogólnić.

Prawo wspólnej dziedziny:
Wspólną dziedziną dla operatora n-argumentowego będzie funkcja logiczna opisująca n-argumentowy operator chaosu, czyli z samymi jedynkami w wyniku.

Dwuargumentowy operator chaosu |~~> w zbiorach:


Dziedzina w operatorach dwuargumentowych to suma logiczna zbiorów rozłącznych A,B,C i D uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.
D=p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q

Zapiszmy wspólną dziedzinę dla absolutnie wszystkich operatorów dwuargumentowych:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja |Funkcje cząstkowe |Co matematycznie oznacza
operatora chaosu p|~~>q  |operatora chaosu  |
   p  q ~p ~q  Y=?       |                  |
A: 1  1  0  0   =1       | Ya= p* q         | Ya=1<=> p=1 i  q=1
B: 1  0  0  1   =1       | Yb= p*~q         | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0  1  1  0   =1       | Yc=~p* q         | Yc=1<=>~p=1 i  q=1
D: 0  0  1  1   =1       | Yd=~p*~q         | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1

Stąd mamy dziedzinę identyczną dla wszystkich możliwych operatorów dwuargumentowych będącą na mocy definicji 2-argumentowym operatorem chaosu p|~~>q.
D = Y = Ya+Yb+Yc+~Yd
Po podstawieniu funkcji cząstkowych mamy:
D = Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*q

Dowód iż matematycznie jest tu wszystko w porządku:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~q =1
cnd

Rozważmy teraz przykłady analogiczne do przykładów z operatora jednoargumentowego.

Przykład 3.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Przykład 4.
Dana jest funkcja algebry zbiorów (funkcja logiczna):
Y1 = p + p*~q
Minimalizujemy dokładnie tym samym algorytmem co w operatorze jednoargumentowym.
Y2 = p*D + p*~q
Y3 = p*(D+~q)
Y4 = p*D
Y5 = p
Matematycznie zachodzi:
Y1=Y2=Y3=Y4=Y5
Dlaczego wszystkie powyższe równania algebry zbiorów są tożsame?
Odpowiedź:
Bo wszystkie od początku do końca opisują jeden i ten sam zbiór:
Y5=p
Oczywistym jest że mamy prawo pójść w odwrotną stronę, czyli od równania Y5 dojść do równania Y1 - matematycznie to kompletnie bez znaczenia!

Podsumowanie:
Weźmy jeszcze raz przykład 3 (dwuargumentowy).
Y1 = p + p*q
Y2 = p*D + p*q
Y3 = p*(D + q)

STOP!
Doskonale widać, że w tym momencie nie ma znaczenia co podstawimy pod q.
Może być to dowolna funkcja logiczna, nawet nieskończona typu:
q = r*s+~s*t + u*w*~v … itd. do nieskończoności.

Prawo Rekina:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności algebry zbiorów (czyli logiki matematycznej) jest przynależność wszystkich zmiennych w dowolnym równaniu zbiorów (= równaniu logicznym) do tej samej dziedziny D.

Z prawa Rekina wynika, że nie może być tak, iż jakakolwiek zmienna w równaniu algebry zbiorów (=w równaniu logicznym) wychodzi poza dziedzinę obowiązującą dla tego równania.
Gdyby taki przypadek zaistniał to algebra zbiorów (=równanie logiczne) leży w gruzach - co oczywiście być nie może!
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin