Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - koniec świata

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 0:58, 25 Gru 2014    Temat postu: Algebra Kubusia - koniec świata


… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …

Ewangelia Mateusza 7:12

Nie da się pojąć poprawnej logiki matematycznej bez zrozumienia genialnej logiki matematycznej przez Boga stworzonej (algebry Kubusia), którą doskonale posługują się wszystkie 5-cio latki.

Kubuś

Algebra Kubusia - koniec świata
… matematycznego.

Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt ośmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania.

Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Volratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa i Fiklita.
Specjalne podziękowania dla dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie od których Kubuś nauczył się logiki matematycznej. Zawsze, gdy nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.



Wstęp do wstępu:

Algebra Kubusia - koniec świata, to otwarta wojna z logiką matematyczną ziemian której celem jest zniszczenie logiki matematycznej ziemian, logiki Szatana, ośmieszającej matematyków w oczach wszystkich 5-cio latków i humanistów, ekspertów algebry Kubusia. W docelowej wersji zniknie zarówno przyrostek „koniec świata” jak i wszelkie ataki na ziemskich matematyków, bowiem po wojnie, w czasie pokoju, nikt nie będzie pamiętał jakie bzdury tworzyli w przeszłości matematycy, tak jak nikt nie pamięta skomplikowanych obliczeń ruchu ciał niebieskich w czasach średniowiecza, przy założeniu że ziemia jest płaska.
Algebra Kubusia to matematyczny opis naturalnej logiki człowieka pod którą podlega absolutnie wszystko, z matematyką ziemian na czele.
Podoba się wam, panowie ziemscy matematycy wasza logika matematyczna?
Jeśli tak, to ją używajcie.
W matematyce jest to logika wystarczająca tylko i wyłącznie dlatego, że kwantyfikatory duże w obu systemach są matematycznie tożsame.

Nie jest możliwe aby średnio zdolny ziemski matematyk nie wiedział dlaczego kwantyfikatory duże w algebrze Kubusia i logice matematycznej ziemian są tożsame bowiem sami matematycy de facto stosują definicję kwantyfikatora dużego z algebry Kubusia, olewając wszelkie obiekty niezgodne z poprzednikiem.

Definicja kwantyfikatora dużego:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x)=1 to zajdzie q(x)=1
Trzeba być matematycznym żółtodziobem aby iterować tu po obiektach ~p(x), jak tego wymaga ziemski rachunek predykatów.
Trzeba być matematycznym żółtodziobem, aby w dowodzeniu twierdzenia Pitagorasa zapisanego kwantyfikatorem dużym rozpatrywać trójkąty nie prostokątne ~TP(x)=1 jak tego wymaga ziemski rachunek predykatów.
Twierdzenie Pitagorasa:
/\x TP(x)=>SK(x)
Dla dowolnego trójkąta x, jeśli trójkąt x jest prostokątny TP(x)=1, to zachodzi w nim suma kwadratów SK(x)=1
Zauważcie panowie matematycy, że w żadnym dowodzie twierdzenia Pitagorasa nie znajdziecie matematycznego żółtodzioba, który dowodząc to twierdzenie będzie rozpatrywał trójkąty nie prostokątne. Wasz rachunek predykatów który wymaga od was rozpatrywania trójkątów nie prostokątnych leży zatem i kwiczy, jest bez sensu.

O trójkątach nie prostokątnych jest twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:
/\x ~TP(x) => ~SK(x)
Dla dowolnego trójkąta x, jeśli trójkąt x nie jest prostokątny ~TP(x)=1 to nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK(x)=1.
Z kolei w dowodzeniu tego twierdzenia wyłącznie matematyk żółtodziób będzie rozpatrywał trójkąty prostokątne, jak tego wymaga ziemski rachunek predykatów.

Definicje operatorów logicznych to wyłącznie tabele zero-jedynkowe tych operatorów, plus równania algebry Boole’a wyprowadzone na podstawie tych definicji.
Klasyczny Rachunek Zdań wprowadzający pojęcia:
1 - zdanie twierdzące z naturalnej logiki człowieka prawdziwe
0 - zdanie twierdzące z naturalnej logiki człowieka fałszywe
to interpretacja tych definicji, fałszywa w przypadku zdań „Jeśli p to q” gdzie p jest niezależne od q, a nie definicje.

Czy można napisać algebrę Kubusia nie atakując aktualnej logiki ziemian?
Odpowiedź:
Nie, bo każde zdanie na temat algebry Kubusia to automatycznie atak na współczesną logikę matematyczną ziemian. Wszystko mamy totalnie sprzeczne, każdą definicję i każde pojęcie, wyjątkiem jest kwantyfikator mały - jedynie to mamy w 100% wspólne.

Zauważcie panowie matematycy że najbardziej ogólna definicja zdania "Jeśli p to q" w świecie ludzi normalnych, 5-cio latków i humanistów jest taka:
Jeśli przyczyna p to skutek q

Możemy tu rozróżnić 3 przypadki:

1.
Jeśli zajdzie przyczyna p to na pewno => zajdzie skutek q
gdzie:
=> - warunek wystarczający
Przykład:
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera.
Zdanie egzaminu gwarantuje komputer.
Warunek wystarczający => to 100% wiedza kiedy w przyszłości na pewno => dostanę komputer, wiedza o tym, że jak zdam egzamin i nie dostanę komputera to ojciec jest kłamcą, czyli ojciec daje mi gwarancję matematyczną dostania komputera jak zdam egzamin.
Bez znaczenia jest tu rozstrzygnięcie w przyszłości. W chałupę tuż po wypowiedzeniu tej obietnicy może uderzyć piorun i wszystkich zabić, ojciec może okazać się kłamcą, wszystko to ma zerowe znaczenie dla warunku wystarczającego =>.
Warunek wystarczający => to 100% wiedza o tym kiedy w przyszłości muszę dostać komputer, natomiast rzeczywiste spełnienie tej obietnicy to rachunek prawdopodobieństwa, akurat w tym przypadku prawdopodobieństwo rzeczywistego spełnienia tej obietnicy jest bardzo wysokie np.99%.

2.
Jeśli zajdzie przyczyna p to może ~> zajść skutek q
gdzie:
~> - warunek konieczny
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
CH~>P = ~CH=>~P =1
Prawa strona jest prawdą:
C.
Jeśli nie ma chmur to na pewno => nie pada
~CH=>~P
.. zatem w zdaniu z lewej strony zachodzi warunek konieczny ~>
cnd
Leży tu w gruzach błędne przekonanie ziemskich matematyków, że zdania ze spójnikiem implikacyjnym „może” ~> nie mają wartości logicznej.
Prawo Kubusia to prawo matematyczne:
p~>q = ~p=>~q - proszę sobie sprawdzić rachunkiem zero-jedynkowym
Nasz przykład:
CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
Tożsamość logiczna „=” oznacza iż:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie tożsamości wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Podobnie:
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie tożsamości wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

Wynika z tego że jeśli zdanie C jest dla wszystkich bezdyskusyjnie prawdziwe, to prawdziwe musi być zdanie A ze spójnikiem implikacyjnym „może” ~>, inaczej cała matematyka leży i kwiczy, jest fałszywa!
Podsumowując:
Twierdzenie ziemskich matematyków że zdanie „Jeśli p to q” ze spójnikiem implikacyjnym „może” ~> (warunek konieczny) nie ma wartości logicznej typu prawda/fałsz to po prostu czysto matematyczne brednie.

3.
Jeśli zajdzie przyczyna p to może ~~> zajść skutek q
gdzie:
~~> - naturalny spójnik "może"
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
To zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika "może" ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia

Zdanie 3 zakodowane warunkiem koniecznym ~> jest fałszywe:
CH~>~P=0 !
bo prawo Kubusia:
CH~>~P = ~CH=>P =0
Prawa strona jest fałszem bo stan nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1) nie ma prawa wystąpić.
~CH*P = (~CH=1)*(P=1) =0
Stąd zdanie 3 zakodowane warunkiem koniecznym ~> jest fałszywe

Koniec!
To jest cała algebra Kubusia dla zdań typu "Jeśli p to q"

Jak można do jasnej cholery uznać za prawdziwe jakiekolwiek zdanie "Jeśli p to q" w którym p jest bez związku z q?

Podstawowa definicja zdania "Jeśli p to q" wśród ludzi uczciwych i przyzwoitych, 5-cio latków i humanistów, jest taka:
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy iż w zdaniu "Jeśli p to q" poprzednik p jest TOTALNIE niezależny od następnika q (taka jest współczesna „matematyka” ziemian!) to zrobimy z tego zdania wychodek, gdzie wrzucać można dosłownie wszystko:
Jeśli 2+2=5 to kura jest psem
Jeśli kura jest psem to 2+2=4
Jeśli 2+2=4 to pies ma cztery łapy

Przecież to jest znana w schizofrenii sałatka słowna gdzie chory pieprzy sobie bez sensu co mu ślina na język przyniesie.
Sałatka słowna = schizofazja:
[link widoczny dla zalogowanych]

Tak więc choroba współczesnej logiki matematycznej ziemian została zdiagnozowana:
... to schizofrenia.
Na szczęście w przeciwieństwie do schizofrenii istnieje skuteczny lek, który wyprowadzi współczesną logikę matematyczną do 100% zdrowia ... to algebra Kubusia.

Problem w tym, czy chory zechce poddać się leczeniu?
W schizofrenii wielu pacjentów leczonych jest przymusowo, bo wielu uważa się za zupełnie normalnych.

Uwagi dla matematyków:
1.
Można ustawić się wrogo do algebry Kubusia dosłownie w każdym zdaniu, bo przecież wszystko tu jest fundamentalnie inne niż to czego uczono was w ziemskich szkółkach, wszystko jest sprzeczne z waszą ugruntowaną, matematyczną wiedzą.
2.
Zauważcie jednak panowie ile wysiłku wkładacie w zrozumienie wszelkiej maści logik formalnych: rachunek predykatów, logiki modalne, intuicyjne, teoria strun etc.
3.
Algebra Kubusia wymaga logicznego myślenia w naturalnej logice człowieka dosłownie na poziomie 5-cio latka.
4.
Wierzę, że jesteście w stanie na poziomie abstrakcyjnym wyzerować sobie mózg z wszelkiej wiedzy na temat logiki matematycznej której uczono was w szkółkach i zacząć wszystko od zera.
5.
Tylko i wyłącznie pod tym warunkiem dostrzeżecie genialność i piękno logiki matematycznej przez Boga stworzonej (algebry Kubusia) którą doskonale znają i posługują się w praktyce absolutnie wszyscy ludzie od 5-cio latka począwszy, na najbardziej zacietrzewionych matematykach kończąc, ślepo wierzących iż to czego ich uczono w ziemskiej szkółce to jedyna możliwa logika matematyczna.

Przyjemnej lektury AK,
Kubuś


Wstęp:

Algebra Boole’a jest poprawna i jest podzbiorem algebry Kubusia.
Algebra Boole’a poprawnie opisuje sprzęt, czyli wszelkie bramki logiczne.
Algebra Kubusia, będąca naturalną logiką człowieka to fundamentalnie co innego niż algebra Boole’a.

W odniesieniu do komputerów możemy zapisać tożsamości:
Algebra Boole’a = sprzęt
Algebra Kubusia = programowanie komputerów = naturalna logika człowieka

Jest oczywistym, że program zaszyty w komputerze to fundamentalnie co innego niż tranzystory, czy bramki logiczne z których ten komputer jest zbudowany.
Nikt przy zdrowych zmysłach nie będzie analizował pod mikroskopem mięsa z którego zbudowany jest mózg człowieka w nadziei że zrozumie logikę matematyczną człowieka.

Człowiek od zawsze programuje komputery w swoje naturalnej logice, algebrze Kubusia.
Nie jest możliwe pisanie programów komputerowych w jakiejkolwiek logice formalnej znanej Ziemianom, z definicji sprzecznej z naturalną logiką człowieka.

W algebrze Kubusia zrezygnowano z klasycznej algebry Boole’a, jako bezużytecznej przy matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka.
Logika człowieka to logika równań logicznych których istoty współczesny człowiek nie rozumie, tzn. nie potrafi poprawnie matematycznie opisać banalnych przekształceń tabel zero-jedynkowych.

Chodzi tu przede wszystkim o zrozumienie definicji operatorów logicznych w równaniach logicznych.
Przykładowo:
1.
To jest poprawna definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p*~q
2.
To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p+~q

Z powyższego wynika że nie da się wyrugować z naturalnej logiki człowieka ani spójnika „lub”(+), ani też spójnika „i”(*), bo spójniki „lub”(+) i „i”(*) są częścią składową zarówno operatora OR, jak i operatora AND.

Na mocy definicji zachodzi:
OR ## AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jak czytać algebrę Kubusia?
Podstawowa algebra Kubusia zalecana dla liceum to punkty 1.0 do 4.0 (około 40 stron!), gdzie nie ma śladu jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych. Wszystkie potrzebne definicje podane są w wersji symbolicznej (równania algebry Boole’a). Pozostała część podręcznika może być wykładana na matematyce o rozszerzonym poziomie.


Spis treści
1.0 Notacja 4

Część I Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów 6
2.0 Nowa teoria zbiorów - definicje podstawowe 6
2.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów 7
2.2 Definicja definicji 9
2.3 Definicja minimalna 10
2.4 Podstawowe operacje na zbiorach 10
2.5 Pojęcie rozpoznawalne 12
2.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 13
2.7 Prawa Prosiaczka 16

3.0 Operatory OR i AND 20
3.1 Operator OR 20
3.2 Operator AND 22
3.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND 24

4.0 Operatory implikacji i równoważności 25
4.1 Definicje spójników implikacyjnych 26
4.2 Implikacja prosta 30
4.3 Implikacja odwrotna 34
4.4 Równoważność dla początkujących 37
4.5 Równoważność dla zaawansowanych 37
4.6 Matematyczne analizy przedszkolaków 48

5.0 Operatory logiczne w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 1
5.1 Operator OR w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 3
5.2 Operator AND w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 10
5.3 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 16
5.4 Operatory chaosu i śmierci w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 18
5.5 Implikacja prosta w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 20
5.6 Implikacja odwrotna w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 27
5.7 Równoważność w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 29

6.0 Rachunek zero-jedynkowy 1
6.1 Operatory jednoargumentowe 2
6.2 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego 4
6.3 Operatory dwuargumentowe 6
6.4 Maszynowe definicje operatorów logicznych 8
6.5 Prawa przemienności argumentów w operatorach OR i AND 12
6.6 Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+) 13
6.7 Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*) 15
6.8 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 19
6.9 Operatory logiczne w spójnikach „lub(+) i „i”(*)

7.0 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 24
7.1 Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla zadanej funkcji logicznej 27
7.2 Tworzenie równań algebry Boole’a opisujących tabelę zero-jedynkową 28
7.3 Twierdzenie śfinii 30
7.4 Prawo Sowy 32


1.0 Notacja

Znaczenie ogólne 0 i 1:
=1 - prawda
=0 - fałsz

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), spójniki implikacyjne (=>, ~>, ~~>)

Inne symbole używane w algebrze Kubusia:

~ - negacja
Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Spójniki przeciwne:
1.
Spójnik „i”(*) jest spójnikiem przeciwnym do spójnika „lub”(+)
2.
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) jest spójnikiem przeciwnym do warunku koniecznego ~> (w implikacji spójnik „może”)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Symboliczna definicja operatora OR w równaniu algebry Boole’a:
Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Symboliczna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a:
Y=p*q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q - logika ujemna (bo ~Y)

Na mocy definicji zachodzi:
OR ## AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:
I.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna!):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
II.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
III.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

I Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Powyższe tożsamości to tożsamości logiczne o znaczeniu:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie.

Definicje operatorów logicznych:

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to spełnione I prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame.
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to spełnione II prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame
p~>q = ~p=>~q

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Implikacja prosta           ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q               ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:                      ## gdzie:
Zbiory (pojęcia) p i q      ## Zbiory (pojęcia) p i q
nie są tożsame              ## nie są tożsame
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Definicja równoważności:
Równoważność to tożsamość zbiorów (pojęć) p i q
p=q

Najpopularniejsza definicja równoważności = definicja tożsamości zbiorów p i q:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy => do zbioru p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Definicja równoważności      | Definicja równoważności
dla punktu odniesienia p<=>q | Dla punktu odniesienia ~p<=>~q
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)  | RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Na mocy definicji zachodzi:
RA: p<=>q = RC: ~p<=>~q

Powyższa tożsamość oznacza:
Jeśli udowodnimy prawdziwość równoważności:
p<=>q =1
to automatycznie udowodnimy prawdziwość równoważności:
~p<=>~q =1
… i odwrotnie.

Oczywiście nie oznacza to że zbiór p=q definiowany przez równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q
jest tożsamy ze zbiorem ~p=~q definiowanym przez równoważność:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Zbiory p=q i ~p=~q są fundamentalnie różne i rozłączne.



Część I Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów

2.0 Nowa teoria zbiorów - definicje podstawowe

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:
I.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
II.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
III.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>


2.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Definicja zbioru w algebrze Kubusia:
Zbiór to dowolne pojęcie (pojęcia) z palety uniwersum zrozumiałe dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to Uniwersum lub dowolny podzbiór Uniwersum.

Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy) ale dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów zbiory mają wartość logiczną:
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera żadnych elementów)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów: 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[pies, kura]
p - nazwa zbioru
[pies, kura] - zawartość zbioru o nazwie p
„=” - tożsamość definiująca
Przy tak zdefiniowanym zbiorze we wszelkich opisach możemy używać przemiennie „p” albo [pies, kura], to bez znaczenia.
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[pies, kura]=1
Druga tożsamość to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi o nazwie p konkretną wartość logiczną (=1)

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty
Pierwsza tożsamość to tożsamość definicyjna, natomiast druga tożsamość to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi o nazwie p konkretną wartość logiczną (=0)

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

A=[pies, kura]
B=[pies, kura]
stąd:
A=B
Trzecie, podstawowe znaczenie znaczka „=” to tożsamość zbiorów (A=B).

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> zbiór na podstawie wektora ma ~~> co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1 - zbiór niepusty (istnieje, zawiera co najmniej jeden element)
p~~>q = p*q =0 - zbiór pusty (nie istnieje, nie zawiera żadnych elementów)

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> być psem
4L~~>P = 4L*P =1 bo pies
Istnieje zwierzę które ma cztery łapy i jest psem
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> być kurą
4L~~>K = 4L*K =[] =0
Bo zbiór zwierząt z czterema łapami i kura to zbiory rozłączne
Nie istnieje zwierzę które ma cztery łapy i jest kurą

Zbiory wieloelementowe i jednoelementowe:
W algebrze Kubusia mamy do czynienia wyłącznie ze zbiorami wieloelementowymi lub jednoelementowymi.

Oznaczmy:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Budowa zbioru ZWZ:
ZWZ=[pies, kura, wąż ..]
LN - zbiór liczb naturalnych
Budowa zbioru LN:
LN=[0,1,2,3,4..]

Przykładowa budowa zbioru o nazwie A:
A = [ZWZ, pies, LN, 2, 5, -4, miłość]
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie ze zbiorami wieloelementowymi:
ZWZ, LN
lub zbiorami jednoelementowymi:
pies, 2, 5, -4, miłość
pies=[pies]
Zbiór o nazwie „pies” zawiera jeden element [pies]
Elementy zbioru A to:
[ZWZ, pies, LN, 2, 5, -4, miłość]

Definicja zbioru minimalnego:
Zbiór minimalny to zbiór elementów bez powtórzeń

Zbiór:
A = [ZWZ, pies, LN, 2, 5, -4, miłość]
jest zbiorem minimalnym.

Przykład zbioru nie minimalnego tożsamego do A:
A=[ZWZ,ZWZ,LN,LN,2,5,5,5,5,-4, miłość, miłość]
W logice matematycznej chodzi o rozpoznawalność elementów (pojęć) a nie o liczenie algebraiczne elementów.

Definicja zbioru absolutnie minimalnego:
Zbiór absolutnie minimalny to zbiór którego w żaden sposób nie da się dalej minimalizować

Weźmy nasz zbiór minimalny:
A = [ZWZ, pies, LN, 2, 5, -4, miłość]

Łatwo zauważyć że liczby [2,5] należą do zbioru liczb naturalnych (LN) oraz że pies należy do zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ).

Stąd otrzymujemy zbiór absolutnie minimalny:
Am = [ZWZ, LN, -5, miłość]
Tego zbioru nie jesteśmy w stanie dalej minimalizować.

Twierdzenie:
Nie da się dowodzić czegokolwiek czego nie rozumiemy na poziomie pojęć

Przykład:
Nikt nie udowodni prawdziwości/fałszywości takiego zdania
bebe klst kysa zjgd kokdokos


2.2 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw

Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.


2.3 Definicja minimalna

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym zmiennych binarnych.

Definicja definicji minimalnej w naszym Wszechświecie:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego jej członu powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Przykład:
Zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka

Oczywiście nikt tu nie ma wątpliwości że chodzi o psa.

Można nawet przyjąć taką definicję minimalną:
Zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będący słoniem, nie będący drzewem, nie będący galaktyką … etc
P=>ZS*PC*~S*~D*~G …
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie słoń
Pies to nie drzewo
Pies to nie galaktyka
etc


2.4 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)

Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
I. ~0=1
II. ~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum.

W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.

Definicja:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego uniwersum ma wartość logiczną jeden.


2.5 Pojęcie rozpoznawalne

Notacja:
[x] - zbiór niepusty, mający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnych elementów

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
[x] =1
[] =0

W algebrze Kubusia zbiór pusty [] może zaistnieć wyłącznie jako wynik operacji na zbiorach, co wynika z definicji pojęcia rozpoznawalnego.

Definicja pojęcia rozpoznawalnego:
Pojęcie x jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~x)

Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia pies jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=>S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie nie pies (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.

Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0

Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego uniwersum i od tej pory należy ono do naszego uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom … na przykład ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.


2.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)

Fundament algebry Kubusia.
p+~p=1
p*~p=0

Zero-jedynkowy fundament algebry Boole’a
1=~0
0=~1

Zero to element neutralny w alternatywie (sumie logicznej)
p+0 =p
p+1 =1

Jeden to element neutralny w koniunkcji (iloczynie logicznym)
p*1 =p
p*0 =0

Prawa pochłaniania w algebrze Boole’a:
p+p =p
p*p =p

W algebrze Boole’a nie chodzi o dodawanie czy mnożenie obiektów lecz o ich rozpoznawalność.
Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach

Alternatywa:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Koniunkcja:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Dowody:
Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Dowód na naszym przykładzie:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
1. p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
2. p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.1. p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
Ad.2. p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
stąd mamy fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
0=~1 - zbiór pusty to zaprzeczenie dziedziny
1= ~0 - zbiór pełny (dziedzina) to zaprzeczenia zbioru pustego
Wynika z tego że:
W dowolnym równaniu logicznym jedynka oznacza zbiór pełny (dziedzinę), natomiast zero oznacza zbiór pusty.

Dowód na przykładach mamy w kolejnych punktach:
3. p+0 =p
4. p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.3. p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
0 -element neutralny dla sumy logicznej
Ad.4. p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

4. p*1=p
5. p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.4. p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
Ad.5. p*0 = [1,2]*[] = [] =0 (zbiór pusty)

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach.
Suma logiczna zbiorów:
6.
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.6.
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

Iloczyn logiczny zbiorów:
7.
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.7.
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)

8. 1=~0
9. 0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.8.
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
Ad.9.
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

Prawa pochłaniania:
10. p+p =p
11. p*p=p
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.10. p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
Ad.11. p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)


2.7 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)

Zauważmy, że niezależnie czy jesteśmy w logice dodatniej (p), czy ujemnej (~p) znaczenie zera i jedynki jest identyczne:
1 = prawda
0 = fałsz
W algebrze Kubusia logika zaszyta jest w symbolach (p, ~p) a nie w zerach i jedynkach.

Dowód praw Prosiaczka:
Udajmy się w tym celu do przedszkola, to jest właściwe miejsce dla dowodu poprawności matematycznej praw Prosiaczka (początki nauki języka).

Oznaczmy symbolicznie:
P = [pies] =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję pojęcia ~P, jako zbioru będącego uzupełnieniem pojęcia „pies” do dziedziny.
~P=[ZWZ-pies] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
W szczególności:
~P = [koza] =1

Scenka:
Tata w ZOO na spacerze ze swoim 3-letnim synkiem, Jasiem.

Jaś pokazuje paluszkiem psa i mówi:
A1.
To jest pies
P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)

Tata:
… a może to nie pies?
Jaś:
A2.
Fałszem jest że to nie jest pies!
~P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (~P)

Doskonale widać że zdania A1 i A2 są tożsame:
A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)

Następnie Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
Patrz tata i ucz się!
B1.
To nie jest pies
~P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (~P)

Tata:
… a może to jednak pies?

Jaś:
Tata, aleś ty głupi.
B2.
Fałszem jest że to jest pies!
P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)

Doskonale widać że zdania B1 i B2 są tożsame:
B1=B2

Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)

Matematycznie zachodzi:
A1=A2 # B1=B2
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo P) i ujemnej (bo ~P):
P = ~(~P)
Dowód:
Prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Stąd:
1 = ~(0) =1
cnd

Doskonale widać że prawo Prosiaczka działa w świecie zdeterminowanym, gdzie wszystko jest w 100% wiadome.
W świecie zdeterminowanym jeśli Jaś pokazuje psa to nie ma wyboru, musi ustawić symbol P na wartość logiczną 1.
P=1 - prawdą jest (=1) że widzę psa
Jaś nie może tu ustawić:
P=0 - fałszem jest (=0) że widzę psa
W logice symbol P jest stałą symboliczną, której wartości logicznej nie możemy zmienić.

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa (np. pies) której wartość logiczna jest znana z góry i której to wartości logicznej nie jesteśmy w stanie zmienić.

Oczywistym jest, że jeśli nie jesteśmy w stanie zmienić wartości logicznej stałej symbolicznej to nie ma tu żadnej logiki matematycznej … ta po prostu leży i kwiczy.

Sprawdźmy czy prawa Prosiaczka działają także w świecie totalnie niezdeterminowanym gdzie nic nie jest z góry przesądzone, czyli nie znamy z góry wartości logicznych zmiennych binarnych. Oczywisty brak determinizmu to zdania w czasie przyszłym.

Oznaczmy symbolicznie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Rozważmy zdanie:
A1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
A2.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie matematycznie tożsame:
A3.
Fałszem będzie (=0) że skłamię (~Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=0 <=> K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
A1=A2=A3
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B1: ~Y=~K
stąd:
B1.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B2.
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B3.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1

Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
B1=B2=B3
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)

Matematycznie zachodzi:
A1=A2=A3 # B1=B2=B3
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i B1 mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y = K = ~(~K)

Mamy tu sytuację fundamentalnie różną niż w przypadku Jasia w ZOO, bo operujemy zmiennymi binarnymi a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.

W przyszłości może zajść:
A1.
Jutro pójdę do kina
(K=1)=(~K=0)
stąd:
(Y = 1) = (~Y=0)
Y=1 - dotrzymam słowa w logice dodatniej (bo Y)
~Y=0 - dotrzymam słowa w logice ujemnej (bo ~Y)
… ale równie dobrze może zajść:
Jutro nie pójdę do kina
(~K=1) = (K=0)
Stąd:
(~Y = 1) = ( Y=0)
~Y=1 - skłamię w logice ujemnej (bo ~Y
Y=0 - skłamię w logice dodatniej (bo Y)

W zdaniu A1 nic nie jest zdeterminowane, wszystko może się zdarzyć.

Doskonale widać że prawo Prosiaczka działa w świecie niezdeterminowanym, gdzie wszystko może się zdarzyć.
W świecie niezdeterminowanym, jeśli wypowiemy zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
To wartość logiczna zmiennych Y i K nie jest nam znana z góry.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to nazwa (np. Y) której wartości logicznej nie znamy z góry

Pojutrze może zajść cokolwiek:
Wczoraj byłem w kinie
(K=1) = (~K=0) - prawo Prosiaczka w świecie zdeterminowanym
lub
Wczoraj nie byłem w kinie
(~K=1) = (K=0) - prawo Prosiaczka w świecie zdeterminowanym

Podsumowując:
Prawa Prosiaczka działają genialnie zarówno w świecie zdeterminowanym, jak i niezdeterminowanym, możemy je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń, działają wszędzie.


3.0 Operatory OR i AND

Symboliczna definicja operatora OR w równaniu algebry Boole’a:
Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Symboliczna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a:
Y=p*q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q - logika ujemna (bo ~Y)

Na mocy definicji zachodzi:
OR ## AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji


3.1 Operator OR

Symboliczna definicja operatora OR w równaniu algebry Boole’a:
Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Przykład:
Tata:
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
W: Y=K+T
W: Y=p+q - zapis formalny
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Jaś (lat 5):
Tata a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~K*~T
U: ~Y=~p*~q - zapis formalny
stąd:
U.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Zauważmy, że tata skłamie (~Y=1) wyłącznie w jednym przypadku, w pozostałych przypadkach dotrzyma słowa.
Zapiszmy wszystkie możliwe „pozostałe przypadki”:
Tata dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
A: Ya = p*q =1 - zapis formalny
lub
B: Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
B: Yb=p*~q =1 - zapis formalny
lub
C: Yc=~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
C: Yc = ~p*q =1 - zapis formalny

Kompletny operator OR opisany jest równaniem logicznym:
W: Y=p+q - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y)
U: ~Y=~p*~q - zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y)
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) i spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).
Uwaga!
Nie istnieje operator OR bez dwóch spójników „lub”(+) i „i”(*).
Operator OR nie jest monolitem, to nie tylko spójnik „lub”(+) ale także spójnik „i”(*).
Kojarzenie operatora OR wyłącznie ze spójnikiem „lub”(+) jest błędem czysto matematycznym.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

W: Y=p+q, Y=Ya+Yb+Yc=p*q+~p*q+p*~q
A: p* q = Ya
B:~p* q = Yb
C: p*~q = Yc
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
U: ~Y=~Yd=~p*~q
D:~p*~q =~Yd


Podsumowując mamy:
W: Y=p+q
ABC: Y=p*q + p*~q + ~p*q
U: ~Y=~p*~q
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd tożsama definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej i dodatniej:
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając U i W mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)


3.2 Operator AND

Symboliczna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a:
Y=p*q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q - logika ujemna (bo ~Y)

Kompletny operator AND opisany jest równaniem logicznym:
W: Y=p*q - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo Y)
U: ~Y=~p+~q - zdanie wypowiedziane w logice ujemnej (bo ~Y)
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) i spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).
Uwaga!
Nie istnieje operator AND bez dwóch spójników „i”(*) i „lub”(+).
Operator AND nie jest monolitem, to nie tylko spójnik „i”(*) ale także spójnik „lub”(+).
Kojarzenie operatora AND wyłącznie ze spójnikiem „i”(*) jest błędem czysto matematycznym.

Przykład:
Tata:
W.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
A: Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Jaś (lat 5):
Tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U: ~Y=~K+~T
stąd:
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Zauważmy, że tu tata dotrzyma słowa (Y=1) w jednym jedynym przypadku:
W:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
A: Ya=K*T =1*1 =1 - tata dotrzyma słowa gdy pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
A: Ya=p*q =1 - zapis formalny

W pozostałych przypadkach tata skłamie (~Y=1).
Rozpiszmy wszystkie możliwe, pozostałe przypadki.
Tata skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb = ~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
B: Yb = ~p*q =1 - zapis formalny
lub
C: Yc = ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
C: Yc = ~p*q =1 - zapis formalny
lub
D: Yd = K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru
D: Yd = p*~q =1 - zapis formalny

Stąd mamy:
Definicja symboliczna operatora AND.
Kod:

W. Y=Ya=p*q
A: p* q = Ya
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem W do logiki ujemnej
poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
U. ~Y=~p+~q, ~Y=~Yb+~Yc+~Yd=~p*q+p*~q+~p*~q
B:~p* q =~Yb
C: p*~q =~Yc
D:~p*~q =~Yd


Podsumowując mamy:
W: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q
BCD: ~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd tożsama definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q =~p*~q + ~p*q + p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej i dodatniej:
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając U i W mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)


3.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Kod:

Operator OR                         ## Operator AND

Definicja symboliczna operatora OR  ## Definicja symboliczna operatora AND
A1: Y=p+q                           ## B1: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
A2: ~Y=~p*~q                        ## B2: ~Y=~p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Operator OR:

Z symbolicznej definicji operatora OR wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p+q = ~(~p*~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Operator AND:

Z symbolicznej definicji operatora AND wynikają następujące związki matematyczne:
1.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do B1:
B3: Y = p*q = ~(~p+~q)
2.
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Zauważmy, że miedzy operatorem OR a operatorem AND nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej między dowolnymi dwoma punktami.
Dowód:
W powyższej tabeli prawo przejścia do logiki przeciwnej może zachodzić wyłącznie po przekątnej A1-B2:
A1: Y=p+q
B2: ~Y=~p+~q
albo po przekątnej B1-A2:
B1: Y=p*q
A2: ~Y=~p*~q
Doskonale widać, że w obu przypadkach nie zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Wniosek:
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.

Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 2:23, 13 Lut 2015, w całości zmieniany 13 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 0:59, 25 Gru 2014    Temat postu:

4.0 Operatory implikacji i równoważności

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:
I.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna!):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
II.
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
III.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

I Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Powyższe tożsamości to tożsamości logiczne o znaczeniu:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie.

Definicje operatorów logicznych:

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to spełnione I prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame.
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to spełnione II prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
Równoważność to tożsamość zbiorów (pojęć) p i q
p=q

Najpopularniejsza definicja równoważności to definicja tożsamości zbiorów p i q:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy => do zbioru p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

To co wyżej to kompletna algebra Kubusia dla zdań „Jeśli p to q”


4.1 Definicje spójników implikacyjnych

I.
Definicja warunku wystarczającego => (spójnik „na pewno”):

A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to zajdzie skutek q
p=>q
Spójnik implikacyjny „na pewno” => jest w logice domyślny, stąd zdanie tożsame:
A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to na pewno => zajdzie skutek q
p=>q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam przyczynę p i musi pojawić się skutek q

Zdanie tożsame do A zapisane kwantyfikatorem dużym:
A.
Dla dowolnej przyczyny x, jeśli zajdzie przyczyna p(x)=1 to na pewno => zajdzie skutek q(x)=1
/\x p(x)=>q(x)
Na mocy wytłuszczonego sytuacji ~p(x) w ogóle nie rozpatrujemy!

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Zdanie tożsame:
/\x P(x)=>CH(x)
Dla każdej sytuacji x, jeśli pada P(x)=1 to na pewno => są chmury CH(x)=1
Na mocy wytłuszczonego interesują nas wyłącznie przypadki w których „pada”, sytuacji w których „nie pada” w ogóle tu nie rozpatrujemy.

Definicja warunku wystarczającego => dla zdań operujących na zbiorach:

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się w zbiorze q

Zdanie tożsame do A wyrażone kwantyfikatorem dużym:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbioru p(x) to na pewno => element x należy do zbioru q(x)
Na mocy wytłuszczonego fragmentu rozpatrujemy wyłącznie elementy zbioru p(x) sprawdzając czy każdy element zbioru p(x) zawiera się w zbiorze q(x). Zajście p(x) daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q(x). Elementów spoza zbioru p(x) w ogóle nie bierzemy pod uwagę, czyli nie rozpatrujemy elementów ~p(x).

Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = zdanie pod kwantyfikatorem dużym = gwarancja matematyczna =>

Przykład:
A
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] zawiera się w zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Sprawdzamy tu, czy każdy element zbioru P8 zawiera się w zbiorze P2, jeśli tak to mamy gwarancję matematyczną => iż każdy element zbioru P8 zawiera się w zbiorze P2.
Zauważmy, że gdybyśmy sprawdzali całą dziedzinę LN=[P8+~P8], co jest sprzeczne z wytłuszczonym poprzednikiem, to automatycznie żegnamy się z istotą implikacji, gwarancją matematyczną!
Wniosek:
W zdaniu A nie wolno nam rozpatrywać elementów spoza zbioru P8 czyli: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10,11..]
bo zabijemy istotę implikacji, gwarancję matematyczną =>.


II.
Definicja warunku koniecznego ~> (spójnik „może”):

A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to może ~> zajść skutek q
p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
Czyli:
Zabranie przyczyny p uniemożliwia zajście skutku q
Jeśli zdanie dotyczy zbiorów to należy sprawdzić czy zbiór p zawiera w sobie zbiór q
czyli:
Zabieramy zbiór p i znika nam zbiór q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby padało.
Pani w przedszkolu:
Powiedzcie mi dzieci,
Czy chmury są konieczne ~> aby jutro padało?
Jaś (lat 5):
Tak prose Pani,
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
… no i skąd ten Jaś (lat 5) zna prawo Kubusia?

Zauważmy, że warunku koniecznego nie da się wyrazić ani kwantyfikatorem dużym, ani też kwantyfikatorem małym. Warunek konieczny ~> to spójnik logiczny którego brakuje w aktualnej logice matematycznej Ziemian, bez niego możemy zapomnieć o matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka.

Definicja warunku koniecznego ~> dla zdań operujących na zbiorach:

Jeśli zajdzie p to może~> zajść q
p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera w sobie zbiór q.
Zabranie zbioru p czyni zbiór q zbiorem pustym

Przykład:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Warunek konieczny ~> jest tu spełniony bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera w sobie ~> zbiór P8=[8,16,24..]
Gwarancja matematyczna dla zdania A wynika tu z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
stąd:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~P2=[0,1,3,5,7,9,11..] zawiera się w zbiorze ~P8=[0,1,2,3,4,5,6,7..9,10,11..]
Przynależność dowolnej liczby do zbioru ~P2 daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie należała również do zbioru ~P8.
Zauważmy, że wytłuszczony poprzednik zakazuje nam rozpatrywania liczb spoza zbioru ~P2!
Jeśli w zdaniu A będziemy rozpatrywać wszystkie liczby naturalne LN=[~P2+P2], jak to jest w beznadziejnej logice Ziemian, to automatycznie żegnamy się z istotą implikacji, gwarancją matematyczną =>, bowiem przykładowa liczba 8 nie należy do zbioru ~P8.

III.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
A.
Jeśli zajdzie przyczyna p to może ~~> zajść skutek q
p~~>q
W przypadku naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy sama możliwość zajścia q i już zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> jest zdaniem prawdziwym

naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje taka sytuacja x że, jeśli zajdzie przyczyna p(x)=1 to zajdzie skutek q(x)=1

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwa jest sytuacja:
CH*~P =1*1 =1 - są chmury i nie pada
co wymusza prawdziwość zdania A.

Zauważmy, że tu prawo Kubusia nie zachodzi:
CH~>~P = ~CH=>P
czyli:
A1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P =0
Prawa strona prawa Kubusia jest fałszem zatem w zdaniu A nie zachodzi warunek konieczny ~>, mimo że takie zdanie brzmi identycznie jak zdanie A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> nie padać
CH~>~P =0


Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> dla zdań operujących na zbiorach

A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Dla dowodu prawdziwości zdania zapisanego naturalnym spójnikiem „może”~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q co kończy dowód.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x że, jeśli x należy do zbioru p(x)=1 to x należy do zbioru q(x)=1

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
W tym przypadku poszukujemy jednego elementu wspólnego zbiorów:
P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10,11..]
Znalezienie jednego takiego elementu kończy dowód prawdziwości zdania A

Zauważmy ze zdanie A zakodowane warunkiem koniecznym ~> brzmi identycznie ale jest fałszywe bo prawo Kubusia:
P2~>~P8 = ~P2=>P8 =0
Prawa strona brzmi:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8 =0 bo kontrprzykład 3
Prawa strona prawa Kubusia jest fałszem zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Alternatywny dowód fałszywości zdania A zakodowanego warunkiem koniecznym ~>:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> nie być podzielna przez 8
P2~>~P8 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie zawiera w sobie zbioru ~P8=[0,1,2,3,4,5,6,7..9,10,11..]
cnd

To jest KONIEC nieznanej matematykom teorii w obszarze obsługi wszelkich zdań „Jeśli p to q”, (algebra Kubusia) pod którą wszyscy podlegamy.
Pozostaje tylko sprawdzić jak ta genialna teoria przez Boga stworzona (nie Kubusia!) działa w otaczającym nas świecie.


4.2 Implikacja prosta

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to spełnione I prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame

I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q



Powyższa definicja odnosząca się do zbiorów przyjmuje brzmienie:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
gdzie:
|=> - symbol implikacji prostej, warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę

Podstawowe właściwości zbiorów odczytane z diagramu:
1.
Jeśli zbiór p zawiera się => w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest zbiorem p
p=>q = [p*q=p]
2.
Jeśli zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest zbiorem ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q]


Przykład 1

Przykład zdania prawdziwego po lewej stronie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
p=>q =1
Zdanie tożsame zapisane kwantyfikatorem dużym:
/\x P8(x) => P2(x)
Czyli:
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę ze zbioru P8=[8,16,24..] to mamy GWARANCJĘ MATEMATYCZNĄ iż ta liczba należy do zbioru P2=[2,4,6,8..] (jest podzielna przez 2)!
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej:
P8=>P2 = ~P8~>~P2

Z prawdziwości zdania A wynika fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
p~~>~q=0
bo zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem ~P2=[1,3,5,7..]
Zauważmy że zachodzi również odwrotnie czyli:
Z fałszywości kontrprzykładu B wynika prawdziwość warunku wystarczającego A.

Poza tym wszystko może się zdarzyć, czyli dla liczb ze zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10..] ta gwarancja nie obowiązuje, czyli może się zdarzyć że liczba należąca do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10..] nie należy do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Taką liczbą jest np.
x=3

Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
p=>q = ~p~>~q

Prawa strona równania Kubusia opisuje przypadek gdy zajdzie ~p, czyli:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
~p~>~q =1
Zauważmy, że tu zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10,11..] zawiera w sobie zbiór ~P2=[1,3,5,7,9,11..].
Czyli że:
Zbiór ~P8 jest warunkiem koniecznym ~> dla zaistnienia zbioru ~P2 bo zabieram ~P8 i znika mi zbiór ~P2.
Dodatkowo zbiory ~P8 i ~P2 nie są tożsame, co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~P2):
~P8~>~P2 = P8=>P2
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2
~p~~>q =1
Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,,4,5,6,7..9,10,11] i P2=[2,4,6,8..] np. 2, co kończy dowód.
W zdaniu D warunek konieczny ~> nie zachodzi bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2 =0
Prawa strona jest fałszem, zatem wykluczony jest warunek konieczny w zdaniu D

Popatrzmy na prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Jak widzimy nie jest prawdą, że zdanie z warunkiem koniecznym ~> (spójnik „może”) jest bezwartościowe i nie może być prawdziwe.

To jest fałsz na fałszu fałszem poganiający!

Dowód:
Udowadniając prawdziwość zdania C z warunkiem koniecznym ~> w sposób jak wyżej (spójnik „może”!) automatycznie udowadniamy prawdziwość zdania A!
C: ~P8~>~P2 = A: P8=>P2
czyli że:
Zdania P8=>P2 możemy dowodem nawet nie tyknąć!
… udowadniając jego prawdziwość w sposób pośredni, poprzez dowód prawdziwości zdania C ze spójnikiem „może”!

Zauważmy, że matematycy którzy twierdzą iż zdania ze spójnikiem „może” nie może być zdaniem prawdziwym, ewidentnie gwałcą matematykę ścisłą, algebrę Boole’a!

… bowiem prawo algebry Boole’a jest tu bezlitosne:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2

Prawdziwość zdania A po lewej stronie tożsamości logicznej wymusza prawdziwość zdania C po prawej stronie (i odwrotnie).

Zdania A, B, C i D wyżej to symboliczna definicja implikacji prostej w zapisie formalnym:
Kod:

A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1


Analizy dodatkowe:

Zauważmy, że w zdaniu A nie zachodzi warunek konieczny ~>:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
bowiem nie jest spełniona definicja warunku koniecznego ~>
Zbiór P8=[8,18,24..] nie jest konieczny dla zbioru P2=[2,4,6,8..]
bo zabieram zbiór P8 i nie znika mi zbiór P2

Zauważmy, że zdanie A zakodowane z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~> jest zdaniem prawdziwym.
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =1
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~> spełniona do:
Istnieje takie x, należące jednocześnie do poprzednika p i następnika q
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Taką liczbą jest na przykład liczba 8, wystarczy pokazać jeden wspólny element p i q i już zdanie z naturalnym spójnikiem „może” ~~> jest prawdziwe.

Rozważmy teraz zdanie odwrotne do A z tym samym spójnikiem („na pewno” =>):
A3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo:
Zbiór:
P2=[2,4,6,8..]
nie zawiera się w zbiorze:
P8=[8,16,24..]
Czyli:
Nie każda liczba należąca do zbioru P2 należy do zbioru P8
Kontrprzykładem jest tu np. 2
Wymuszam liczbę 2 należącą do zbioru P2 i stwierdzam, że tej liczby nie ma w zbiorze liczb P8
stąd:
P2=>P8 =0
cnd

Sprawdźmy na koniec, że w zdaniu C nie zachodzi warunek wystarczający =>:
C1.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo:
Zbiór:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7…9,10,11]
Nie zawiera się w zbiorze:
~P2=[1,3,5,7,9,11..]
Czyli:
Nie każda liczba zawarta w zbiorze ~P8 występuje w zbiorze ~P2
Kontrprzykładem jest np. 2

Zauważmy, że zdanie C z naturalnym spójnikiem „może” ~~> także jest prawdziwe:
C2.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
~P8~~>~P2 =1
Tu wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów:
~P8=[1,2,3,4,5,6,7…9,10,11]
i
~P2=[1,3,5,7,9,11..]
co kończy dowód prawdziwości zdania C2.
Elementem wspólnym jest tu np. 1

Zauważmy, że w implikacji prostej A która przeanalizowaliśmy zachodzi:
A: P8=>P2 =1
A1: P8~>P2 =0
oraz:
A: P8=>P2 =1
A3: P2=>P8=0

Stąd mamy dwie tożsame definicje implikacji prostej:
1.
Implikacja prosta to wyłącznie warunek wystarczający => między p i q
p=>q =1 - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna)
p~>q =0 - warunek konieczny ~>
2.
Implikacja prosta to wynikanie => (gwarancja matematyczna) wyłącznie w jedną stronę
p=>q =1 - warunek wystarczający w kierunku p do q (gwarancja matematyczna)
q=>p =0 - warunek wystarczający w kierunku q do p


4.3 Implikacja odwrotna

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja prosta to spełnione II prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame

II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q



Powyższa definicja odnosząca się do zbiorów przyjmuje brzmienie:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
gdzie:
|~> - symbol implikacji odwrotnej, warunek konieczny ~> zachodzący wyłącznie w jedną stronę

Podstawowe właściwości zbiorów odczytane z diagramu:
1.
Jeśli zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest zbiorem q
p~>q = [p*q=q]
2.
Jeśli zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest zbiorem ~p
~p=>~q = [~p*~q=~p]


Przykład 2

Przykład zdania prawdziwego po lewej stronie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera w sobie zbiór P8=[8,16,24..]
Zbiór P2 jest warunkiem koniecznym ~> dla zaistnienia zbioru P8 bo zabieram P2 i znika mi zbiór P8.
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P8):
P2~>P8 = ~P2=>~P8
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
p~~>~q =1
Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10,11..] i już zdanie B jest prawdziwe. Niczego więcej nie musimy dowodzić.
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: P2~>~P8 = D: ~P2=>P8 =0
Prawa strona tożsamości jest fałszem co wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> w zdaniu B.

… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
stąd:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
~p=>~q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona bo:
Zbiór ~P2=[1,3,5,7,9,11..] zawiera się w zbiorze ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9,10,11..]
Wymuszamy dowolną liczbę ze zbioru ~P2 i mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest w zbiorze ~P8
Dodatkowo zbiory ~P2 i ~P8 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P8):
~P2=>~P8 = P2~>P8
Prawdziwość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
~p~~>q =0
Zbiory ~P2=[1,3,5,7,9 ..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne, co wymusza fałszywość kontrprzykładu D.
Zauważmy że zachodzi również odwrotnie czyli:
Z fałszywości kontrprzykładu D wynika prawdziwość warunku wystarczającego C.

Zdania A, B, C i D wyżej to symboliczna definicja implikacji odwrotnej w zapisie formalnym:
Kod:

A: p~> q =1
B: p~~>~q=1
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =1
D:~p~~>q =0


Analizy dodatkowe:

1.
Zdanie A z warunkiem wystarczającym => (spójnik „na pewno”) jest zdaniem fałszywym:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => tu nie zachodzi bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie zawiera się w zbiorze P8=[8,16,24..]
Wylosowanie dowolnej liczby należącej do zbioru P2=[2,4,6,8..] nie gwarantuje => iż będzie ona należała do zbioru P8=[8,16,24..], bo kontrprzykład 2
Stąd mamy tu fałszywy warunek wystarczający =>:
P2=>P8 =0
2.
Zauważmy, że zdanie A z naturalnym spójnikiem „może” ~~> jest prawdziwe:
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 =1
Dla dowodu prawdziwości tego zdania wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..]
Taką liczbą jest np. 2, co kończy dowód prawdziwości zdania A2
3.
Zdanie odwrotne do A z tym samym spójnikiem „może” ~> (warunek konieczny) jest zdaniem fałszywym:
A3.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> tu nie zachodzi bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] nie zawiera w sobie zbioru P2=[2,4,6,8..] (jest odwrotnie)
Zabieram zbiór P8 i nie znika mi zbiór P2 (zostaje chociażby 2), stąd mamy:
P8~>P2 =0
cnd

Sprawdźmy na koniec, że w zdaniu C nie zachodzi warunek konieczny ~>:
C1.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~> nie być podzielna przez 8
~P2~>~P8 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo:
Zbiór ~P2=[1,3,5,7,9,11..] nie zawiera w sobie zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,..9,10,11..] (jest odwrotnie)
Zabieram zbiór ~P2 i nie znika mi zbiór ~P8 (zostaje chociażby liczba 2), stąd fałszywość zdania C1:
~P2~>~P8 =0
cnd

Zauważmy, że zdanie C z naturalnym spójnikiem „może” ~~> jest prawdziwe:
C2.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
~P2~~>~P8 =1
Tu wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów:
~P2=[1,3,5,7,9,11..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7…9,10,11]
co kończy dowód prawdziwości zdania C2.
Elementem wspólnym jest tu np. 1

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej A którą przeanalizowaliśmy zachodzi:
A: P2~>P8 =1
A1: P2=>P8 =0
oraz:
A: P2~>P8 =1
A3: P8~>P2=0

Stąd mamy dwie tożsame definicje implikacji odwrotnej:
1.
Implikacja odwrotna to wyłącznie warunek konieczny => między p i q
p~>q =1 - warunek konieczny ~> (rzucanie monetą, brak gwarancji matematycznej)
p=>q =0 - warunek wystarczający => (brak gwarancji matematycznej)
2.
Implikacja odwrotna to warunek konieczny ~> zachodzący wyłącznie w jedną stronę
p~>q =1 - warunek konieczny w kierunku p do q
q~>p =0 - warunek konieczny w kierunku q do p


4.4 Równoważność dla początkujących

Definicja równoważności:
Równoważność to tożsamość zbiorów (pojęć) p i q
p=q

Najpopularniejsza definicja równoważności = definicja tożsamości zbiorów p i q:
Zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy => do zbioru p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Najpopularniejsza definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie warunku wystarczającego => wyłącznie w jedną stronę:
p=>q =1
q=>p =0

Zastanówmy się, czy jest fizycznie możliwe jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => w dwie strony.
Czyli …
Czy jest możliwe aby:
p=>q =1
q=>p=1
Odpowiedź na to pytanie jest twierdząca, to jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy pojęcia p i q będą tożsame.

Dowód na przykładzie:
A.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to na pewno => jest psem
P=>P
Zapis formalny:
p=>q
gdzie:
p=”pies”
q=”pies”
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Wymuszam po stronie poprzednika pojęcie p=„pies” i stwierdzam, że to pojęcie jest tożsame z następnikiem q=„pies”.
Innych możliwości po stronie poprzednika nie ma, zatem warunek wystarczający => jest tu spełniony.

Jest oczywistym, że w zdanie odwrotne do A z tym samym spójnikiem „na pewno”=> też będzie prawdziwe.
AO.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to na pewno => jest psem
P=>P
q=>p
gdzie:
q=”pies”
p=”pies”
… bo to jest identyczne zdanie.

Oczywistym jest, że operator logiczny w którym spełniony jest warunek wystarczający w dwie strony jest różny od definicji implikacji prostej o definicji:
p=>q=1
q=>p=0

Nazwijmy go operatorem równoważności.

Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
gdzie:
<=> - symbol operatora równoważności

Nasz przykład spełnia definicję równoważności bo zachodzi tu wynikanie => (warunek wystarczający =>) w dwie strony.
RA.
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (P=>P)*(P<=P) =1*1=1
p<=>q = (p=>q)*(p<=q) =1*1 =1
gdzie w zapisie formalnym:
p=”pies”
q=”pies”

Rozważmy teraz użyteczną równoważność jaką jest twierdzenie Pitagorasa.

RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP) =1*1 =1



Równoważność jest tu oczywistością bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP) i zbiór trójkątów w których zachodzi suma kwadratów (SK) to zbiory tożsame.

Twierdzenie Pitagorasa wszyscy doskonale znamy.
W ogólnym przypadku nie wiemy nic, ale korzystając z definicji warunku wystarczającego => łatwo możemy rozstrzygnąć iż twierdzenie Pitagorasa to równoważność.

Udowodnimy znane nam wszystkim twierdzenie Pitagorasa wypowiedziane w formie równoważności RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP) =1*1 =1

Jest oczywistym, że aby udowodnić to twierdzenie musimy udowodnić prawdziwość zdań składowych:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
TP=>SK =1
i
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
SK=>TP=1

Twierdzenie proste Pitagorasa.
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
p=>q =1
Fragment wytłuszczony zawęża nasze zainteresowania wyłącznie do trójkątów prostokątnych. Trójkątów nie prostokątnych w ogóle nie rozpatrujemy!

Zdanie tożsame do A zapisane kwantyfikatorem dużym:
A1.
/\x TP(x) => SK(x)
Dla dowolnego trójkąta x, jeśli trójkąt x jest prostokątny to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów.
Wytłuszczony fragment zawęża nasze poszukiwania wyłącznie do trójkątów prostokątnych. Trójkątów nie prostokątnych na mocy definicji kwantyfikatora dużego nie rozpatrujemy!
Z powyższego wynika tożsamość:
Kwantyfikator duży w algebrze Kubusia = definicja warunku wystarczającego => = GWARANCJA MATEMATYCZNA =>

Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór trójkątów prostokątnych TP zawiera się => w zbiorze trójkątów w których zachodzi suma kwadratów SK.
Czyli:
Wylosowanie dowolnego trójkąta prostokątnego (TP=1) daje nam GWARAMCJĘ MATEMATYCZNĄ =>, iż w trójkącie tym będzie zachodziła suma kwadratów (SK=1)

Z powyższej GWARANCJI MATEMATYCZNEJ wynika kontrprzykład dla zdania A.
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK =0
p~~>~q =0
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) i zbiór trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to zbiory rozłączne, co wymusza w wyniku 0.
Nie znajdziemy choćby jednego trójkąta prostokątnego w którym nie zachodzi suma kwadratów.
Brak kontrprzykładu B wymusza prawdziwość zdania C.
To jest alternatywny dowód prawdziwości zdania A, inny niż dowód tego zdania zapisanego kwantyfikatorem dużym. Wielu matematyków preferuje ten dowód pośredni np. niezapomniany partner w dwuletniej dyskusji z Kubusiem na temat logiki matematycznej, Fiklit, z matematyki.pl

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
C.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi:
Suma kwadratów dwóch boków krótszych jest równa kwadratowi boku najdłuższego

to na pewno => ten trójkąt jest prostokątny.
SK=>TP =1
q=>p =1
Tu również na mocy wytłuszczonego fragmentu ograniczamy nasze zainteresowania wyłącznie do trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów. Innych trójkątów w ogóle nie rozpatrujemy!

Zdanie tożsame do C zapisane kwantyfikatorem dużym:
C1.
/\x SK(x) => TP(x)
Dla dowolnego trójkąta x, jeśli w trójkącie x zachodzi suma kwadratów to na pewno => ten trójkąt jest prostokątny.
Wytłuszczony fragment zawęża nasze poszukiwania wyłącznie do trójkątów w których zachodzi suma kwadratów. Trójkątów nie prostokątnych na mocy definicji kwantyfikatora dużego nie rozpatrujemy.
Z powyższego wynika tożsamość:
Kwantyfikator duży w algebrze Kubusia = definicja warunku wystarczającego => = GWARANCJA MATEMATYCZNA =>

Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór trójkątów w których zachodzi suma kwadratów (SK) zawiera się => w zbiorze trójkątów prostokątnych (TP).
Czyli:
Wylosowanie dowolnego trójkąta w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) daje nam GWARAMCJĘ MATEMATYCZNĄ =>, iż trójkąt ten będzie się zawierał w zbiorze trójkątów prostokątnych (TP=1)

Z powyższej GWARANCJI MATEMATYCZNEJ wynika kontrprzykład dla zdania C.
D.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi:
Suma kwadratów dwóch boków krótszych jest równa kwadratowi boku najdłuższego

to ten trójkąt może ~~> nie być trójkątem prostokątnym
SK~~>~TP = SK*~TP =0
Zbiór trójkątów w których zachodzi suma kwadratów (SK=1) i zbiór trójkątów nie prostokątnych (~TP=1) to zbiory rozłączne, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego C.

Nie znajdziemy ani jednego trójkąta w którym zachodzi suma kwadratów i ten trójkąt nie jest prostokątny. Brak kontrprzykładu D wymusza prawdziwość zdania C. To jest alternatywny dowód prawdziwości zdania C, inny niż dowód tego zdania zapisanego kwantyfikatorem dużym.

Z dowodów A i C wynika że twierdzenie Pitagorasa spełnia definicję równoważności:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP) =1*1 =1
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
cnd

Zdania A, B, C i D to jedna z wielu możliwych, formalnych definicji równoważności:
Kod:

Warunek wystarczający => w stronę p=>q:
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
Warunek wystarczający w stronę q=>p:
C: q=> p =1
D:~q~~>p =0


Zapiszmy jeszcze raz wszystkie znane nam definicje implikacji:

Tożsame definicje implikacji prostej:
1
Implikacja prosta to zachodzenie warunku wystarczającego => wyłącznie w jedną stronę:
p=>q =1
q=>p =0
2.
Implikacja prosta to zachodzenie warunku wystarczającego => i nie zachodzenie warunku koniecznego ~> między p i q
p=>q =1
p~>q =0

Tożsame definicje implikacji odwrotnej:
3.
Implikacja odwrotna to zachodzenie warunku koniecznego ~> wyłącznie w jedną stronę
p~>q =1
q~>p =0
4.
Implikacja odwrotna to zachodzenie warunku koniecznego ~> i nie zachodzenie warunku wystarczającego => między p i q
p~>q =1
p=>q =0

Dla pojęć tożsamych (zbiorów tożsamych) wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~> będą oczywiście prawdziwe.

Stąd mamy cztery tożsame definicje równoważności:
1
Definicja najpopularniejsza:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
p=>q =1
q=>p =1
2.
Definicja równie popularna:
Równoważność to jednoczesne zachodzenia warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w tą samą stronę:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
p=>q =1
p~>q =1

3.
Definicja mniej popularna:
Równoważność to warunek konieczny ~> zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p~>q)*(q~>p) =1*1 =1
p~>q =1
q~>p =1
4.
Definicja tożsama do 2:
Równoważność to jednoczesne zachodzenia warunku koniecznego ~> i wystarczającego => w tą samą stronę:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
p~>q =1
p=>q =1

Z powyższego wynika, że trzeba być matematycznym ignorantem, aby twierdzić że z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość jakiejkolwiek implikacji.

Twierdzenie:
Jeśli dwa zbiory (pojęcia) są tożsame, a tego wymaga definicja równoważności, to choćbyśmy pękli nie zrobimy z tego zbiorów (pojęć) nie tożsamych.
Dowód:
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (P=>P)*(P<=P) = 1*1 =1
Pies będzie zawsze psem, niezależnie od tego w jakim języku go nazwiemy, może być w j. polskim, chińskim czy buszmeńskim
cnd

Z powyższego twierdzenia wynika że:
Matematyka Ziemian która twierdzi że z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość implikacji prostej jest do bani, jej miejsce jest w śmietniku historii.

To są wszystkie najpopularniejsze definicje równoważności.
Dla potrzeb matematyki klasycznej, przedstawione wyżej definicje implikacji prostej i odwrotnej oraz równoważności są wystarczające.

Niczego więcej do dowodzenia twierdzeń matematycznych nie potrzebujemy!

Wniosek:
Dowody twierdzeń matematycznych to tylko maleńki fragmencik naturalnej logiki człowieka, algebry Kubusia.

Uwaga!
W ogólnym przypadku warunek wystarczający p=>q może wchodzić w skład implikacji prostej albo równoważności, matematyka jest po to aby to rozstrzygnąć.
Możliwości są tu tylko i wyłącznie dwie:
1.
Jeśli zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame to warunek wystarczający => wchodzi w skład definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
2.
Jeśli zbiory (pojęcia) p i q są tożsame to warunek wystarczający wchodzi w skład równoważności o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Wykluczone jest aby warunek wystarczający prawdziwy p=>q wchodzący w skład równoważności mógł kiedykolwiek wejść w skład definicji implikacji, bowiem matematycznie zbiory (pojęcia) albo są tożsame, albo nie są tożsame, innych możliwości matematycznych nie ma, czyli dowolny warunek wystarczający nie może należeć jednocześnie i tu i tu, tym bardziej nie może sobie przeskakiwać wedle widzi mi się człowieka jakby tego chcieli Ziemscy matematycy.
Brednie Ziemskich matematyków to:
Równoważność prawdziwa wymusza implikację prostą prawdziwą
Panowie matematycy:
Nic co jest równoważnością prawdziwą nie ma prawa być implikacją prostą prawdziwą i odwrotnie
… wierzę, że kiedyś to zrozumiecie.
Nie jest tak, że jak ujmę twierdzenie Pitagorasa w spójnik „Jeśli p to q” to będzie to implikacja prawdziwa, natomiast jeśli twierdzenie Pitagorasa ujmę w spójnik „wtedy i tylko wtedy” to będzie to równoważność prawdziwa - to są najzwyklejsze brednie.
cnd


4.5 Równoważność dla zaawansowanych

Zacznijmy od definicji implikacji prostej.



Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q =(p=>q = ~p~>~q)
Definicja tożsama:
p|=>q =(p=>q)*~[p=q]

Dziedzina (zbiory istniejące) w implikacji prostej:
A: p*q =p =1 - zbiór brązowy
C: ~p*~q = ~q =1 - zbiór żółty
D: ~p*q =1 - zbiór niebieski

Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Z definicji równoważności wynika, że powyższy diagram będzie pasował do równoważności wtedy i tylko wtedy gdy zlikwidujemy obszar niebieski.

Obszar niebieski zniknie wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła tożsamość zbiorów:
p=q
która wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q



Dziedzina (zbiory istniejące) w równoważności:
A: p=>q = [p*q =p=q] - zbiór brązowy
C: ~p=>~q = [~p*~q = ~p = ~q] - zbiór żółty

Stąd mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste w obrębie dowolnej dziedziny

Doskonale widać, że przy tożsamości zbiorów p=q znika obszar niebieski. Niebieską obwódkę, ślad po zbiorze występującym w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.

Przykładowa, fizyczna realizacja zlikwidowania obszaru niebieskiego, jedna z wielu możliwych, jest następująca.

Obszar niebieski zlikwidujemy wtedy i tylko wtedy gdy:
p=>q - zbiór p będzie zawierał się => w zbiorze q
i jednocześnie:
~p=>~q - zbiór ~p będzie zawierał się => w zbiorze ~q

Stąd mamy aksjomatyczną definicję równoważności dającą w wyniku tabelę zero-jedynkową równoważności w sposób bezpośredni.

Aksjomatyczna definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Symetryczna definicja w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Doskonale widać, że w tej definicji obszar niebieski znika.
Niebieski szlaczek dookoła zbioru P (brązowego), pozostałość po niebieskim zbiorze istniejącym wyłącznie w implikacji, pozostawiono dla celów edukacyjnych.

Zapiszmy symbolicznie definicję równoważności w zbiorach:

RA: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q = p* q = p =1 - zbiór p zawiera się => w zbiorze q
B: p~~>~q= p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne
RC: ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
C:~p=>~q =~p*~q =~p =1 - zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q
D:~p~~>q =~p* q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne

Zdanie A:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p wymusza zajście q
Zajście p jest gwarancją matematyczną => zajścia q

Zdanie A w kwantyfikatorze dużym:
A.
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)

Zdanie C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q
Zajście ~p wymusza => zajście q
Zajście ~p jest gwarancją matematyczną => zajścia ~q

Zdanie C w kwantyfikatorze dużym:
C.
/\x ~p(x)=>~q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie ~p(x) to na pewno => zajdzie ~q(x)

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Definicja równoważności      | Definicja równoważności
dla punktu odniesienia p<=>q | Dla punktu odniesienia ~p<=>~q
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)  | RC: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Na mocy definicji zachodzi:
RA: p<=>q = RC: ~p<=>~q

Powyższa tożsamość oznacza:
Jeśli udowodnimy prawdziwość równoważności:
p<=>q =1
to automatycznie udowodnimy prawdziwość równoważności:
~p<=>~q =1
… i odwrotnie.

Oczywiście nie oznacza to że zbiór p=q definiowany przez równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q
jest tożsamy ze zbiorem ~p=~q definiowanym przez równoważność:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Zbiory p=q i ~p=~q są fundamentalnie różne i rozłączne.

Zapiszmy poznaną wyżej tożsamość logiczną:
R1: p<=>q = ~p<=>~q

Spójnik „i”(*) łączący zdania A i C jest tu gwarancją zniknięcia obszaru niebieskiego, zatem jest gwarancją równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Zbiór niebieski zniknie jeśli zajdzie tożsamość zbiorów p=q albo tożsamość zbiorów ~p=~q.
Oczywiście tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q i odwrotnie.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Doskonale widać że klasyczna definicja równoważności matematycznej to nic innego jak definicja tożsamości zbiorów p=q wymuszająca tożsamość zbiorów ~p=~q
Oczywiście wszystkie zbiory po stronie wejścia:
p, q ~p, ~q
muszą istnieć co wynika z prawa rozpoznawalności pojęcia.

Prawo rozpoznawalności pojęcia w naszym wszechświecie:
Pojęcie x jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy znamy jego zaprzeczenie ~x (nie x)

Definicja symetryczna to.

Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Zbiory ~p i ~q są tożsame jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Zapiszmy wszystkie równania:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R3: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Z R1 i R5 wynika R6:
R1: p<=>q = ~p<=>~q
R5: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z R2 i R6 wynika I prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R6: p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
p=>q = ~q=>~p

Z R2 i R4 wynika II prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R4: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
q=>p = ~p=>~q

Kolejne definicje równoważności:
R7.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór p będzie zawierał się => w zbiorze q i jednocześnie zbiór p będzie zawierał w sobie ~> zbiór q
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Definicja symetryczna.
R8.
Obszar niebieski zniknie jeśli zbiór ~p będzie zawierał się => w zbiorze ~q i jednocześnie zbiór ~p będzie zawierał w sobie ~> zbiór ~q
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)

Z R2 i R8 mamy I prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R8: p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
p=>q = ~p~>~q

Z R2 i R7 mamy II prawo Kubusia w równoważności:
R2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
R7: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p~>q = ~p=>~q

Definicja warunku wystarczającego =>:
=>
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~>
Zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Prawa Kubusia w równoważności:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
W równoważności ogólna definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona, ale wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q nie ma tu miejsca na „rzucanie monetą” charakterystyczne w implikacji.

Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Podstawiając prawa Kubusia mamy:
p<=>q = (p=>q = ~p~>~q)* (~p=>~q = p~>q)

Doskonale widać, że korzystając z praw Kubusia i praw kontrapozycji poprawnych w równoważności można wygenerować wiele tożsamych definicji równoważności z który najważniejsze to:
1.
Definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q = [p*q =p] =1
Kontrprzykład:
B: p~~>~q = [p*~q] =0
i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q = [~p*~q = ~p] =1
Kontrprzykład:
D: ~p~~>q = [~p*q] =0

2.
Popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q

3.
Definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego p=>q i odwrotnego q=>p


4.6 Matematyczne analizy przedszkolaków

Przykład 1
Implikacja prosta w przedszkolu

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to spełnione I prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame.
p=>q = ~p~>~q

Zdanie prawdziwe dla lewej strony prawa Kubusia:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Warunek wystarczający => spełniony bo:
Deszcz jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Padanie deszczu gwarantuje istnienie chmur
Deszcz jest GWARACJĄ MATEMATYCZNĄ dla istnienia chmur.
Każde zajście przyczyny „pada” wymusza skutek „jest pochmurno”:
/\x P(x)=> CH(x) =1
Dla każdej sytuacji x, jeśli zajdzie „pada” P(x)=1 to na pewno zajdzie „są chmury” CH(x)=1
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze kiedy jest pochmurno, pada deszcz.
Wymusza to definicję implikacji prostej:
P=>CH = ~P~>~CH

Stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH
Pani w szkole:
Powiedzcie mi dzieci, czy brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno?
Jaś (lat 5):
Tak prose Pani:
Brak deszczu jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są pada to na pewno => są chmury
~P~>~CH = P=>CH
Skąd ten Jaś (lat 5), tak doskonale włada matematyką ścisłą, algebrą Kubusia?
Gdzie się tego nauczył!
Odpowiedź:
Wyssał z mlekiem matki.
Algebra Kubusia to matematyka ścisła pod którą podlega cały nasz Wszechświat, zarówno martwy, jak i żywy, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.


Przykład 2
Implikacja odwrotna w przedszkolu

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to spełnione II prawo Kubusia gdzie zbiory (pojęcia) p i q nie są tożsame
p~>q = ~p=>~q

Zdanie prawdziwe dla lewej strony:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Warunek konieczny ~> spełniony bo:
Zabieram chmury i znika mi możliwość padania
Wykluczenie przyczyny (jest pochmurno) wyklucza skutek (pada)
Pani w przedszkolu:
Powiedzcie mi dzieci, czy chmury są warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało?
Jaś (lat 5):
Tak prose Pani:
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
CH~>P = ~CH=>~P
Skąd ten Jaś (lat 5), tak doskonale włada matematyką ścisłą, algebrą Kubusia?
Gdzie się tego nauczył!
Odpowiedź:
Wyssał z mlekiem matki.
Algebra Kubusia to matematyka ścisła pod którą podlega cały nasz Wszechświat, zarówno martwy, jak i żywy, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo:
Brak chmur gwarantuje => brak opadów
Brak chmur jest GWARANCJĄ MATEMATYCZNĄ => dla braku opadów.
Zajście przyczyny „brak chmur” wymusza => skutek „brak opadów”
/\x ~CH=>~P
Dla każdej sytuacji x, jeśli nie ma chmur ~CH(x)=1 to na pewno „nie pada” ~P(x)=1

Dodatkowo pojęcia „brak chmur” i „nie pada” są różne bo jest możliwa sytuacja:
~CH*P - brak chmur i pada

Wymusza to definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P):
~CH=>~P = CH~>P


Przykład 3
Gramy w totolotka!

Weźmy taką banalną implikację odwrotną:
A.
Jeśli puścisz kupon totolotka to możesz wygrać milion
KT~>M =1
Puszczenie kuponu totolotka jest warunkiem koniecznym ~> aby wygrać milion w totolotka
Zabieram możliwość puszczenia kuponu totolotka i znika mi możliwość wygrania miliona w totolotka

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej:
KT~>M = ~KP=>~M
Stąd mamy matematyczną pewność 100%!
C.
Jeśli nie puścisz kuponu totolotka to na pewno => nie wygrasz miliona w totolotka
~KP=>~M =1
Nie puszczenie kuponu totolotka jest warunkiem wystarczającym => aby tego miliona nie wygrać
Nie puszczenie kuponu totolotka GWARANTUJE brak wygranej w totolotka
Nie puszczenie kuponu totolotka jest GWARANCJĄ MATEMATYCZNĄ braku wygranej w totolotka
Wymuszam brak możliwości puszczenia kuponu w totolotka gwarantując tym samym brak wygranego miliona w tegoż totolotka

Implikacja to zawsze w jednej połówce 100% pewność matematyczna (tu zdanie C = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna!).
Natomiast w drugiej połówce to najzwyklejsze rzucanie monetą (tu zdanie A = warunek konieczny ~> = brak 100% pewności = brak gwarancji matematycznej!)


Przykład 4

Weźmy na zakończenie słynne zdanie:
A1.
Jeśli będzie padało to na pewno => otworzę parasolkę
P=>OP =1
Zajście przyczyny „pada” jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia skutku „otworzę parasolkę”
Wymuszam „padanie” i pojawia mi się skutek ”otwarta parasolka”
Prawo Kubusia:
P=>OP = ~P~>~OP
stąd:
C1.
Jeśli jutro nie będzie padało to mogę ~> nie otworzyć parasolki
~P~>~OP =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nadawca nie otworzył parasolki.
Po stronie ~P nadawca ma 100% wolnej woli, może tą parasolkę otworzyć lub nie otworzyć i nie ma najmniejszych szans aby zostać kłamcą.

Matematycznie zachodzi prawo Kubusia:
P=>OP = ~P~>~OP =1
p=>q = ~p~>~q

Weźmy teraz „równanie” Ziemskich matematyków:
p=>q = q~>p
W przełożeniu na nasz przykład:
P=>OP = OP~>P =?
Zauważmy, że w zdaniu po lewej stronie mamy:
Jeśli zajdzie przyczyna:
P=pada
to zajdzie skutek:
OP = otworzę parasolkę

Natomiast w zdaniu po prawej stronie mamy:
Jeśli zajdzie przyczyna:
OP = otworzę parasolkę
to może ~> zajść skutek:
P=pada

Stąd mamy zdanie „prawdziwe” zdaniem Ziemskich matematyków:
A2.
Jeśli otworzę parasolkę to może ~> padać
OP~>P =0
p~>q =0
Oczywiście to zdanie jest fałszywe bo otwarcie parasolki nie jest warunkiem koniecznym ~> dla zaistnienia deszczu. Zabieram parasolkę i wcale nie wykluczam możliwości padania.
Zauważmy ze zdanie:
A1: P=>OP =1 (jest prawdziwe)
natomiast zdanie:
A2: OP~>P =0 (jest fałszywe)
Zachodzi zatem:
A1: P=>OP=1 ## A2: OP~>P
gdzie:
## - różne na mocy definicji
To zdanie A2 musimy zatem kodować jako niezależne zdanie:
Jeśli p to q
inaczej matematyka ścisła leży w gruzach

Prawo Kubusia:
OP~>P = ~OP=>~P
p~>q = ~p=>~q

Lewa strona jest fałszem, co udowodniliśmy wyżej, zatem prawa strona też musi być fałszem.
Sprawdzamy:
C2.
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało
~OP=>~P =0
Brak „otwarcia parasolki” nie jest warunkiem wystarczającym => dla „nie padania”
… bo wymuszam brak otwarcia parasolki, co wcale nie oznacza że na pewno => nie będzie padać.
cnd

Matematycznie zachodzi:
OP~>P = ~OP=>~P

Doskonale widać że dla naszego przykładu zachodzi:
P=>OP = ~P~>~OP =1 ## OP~>P = ~OP=>~P =0
czyli w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q =1 ## p~>q = ~p=>~q =0
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Oznacza to że po obu stronach znaku ## pod parametry formalne (p i q) możemy podstawiać do nam dusza zagra , w szczególności parametry aktualne (P, OP) mogą być zamienione jak w powyższym przykładzie i znaczka ## nie jesteśmy w stanie stąd ruszyć.

O prawdziwości zdań po obu stronach znaczka ## decydują definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> a nie debilne równanie ziemskich matematyków!

p=>q = q~>p

To równanie jest poprawne z tym, że ziemscy matematycy nie wiedzą w którym kościele dzwony biją.
To równanie, z którego wynika zbędność implikacji odwrotnej jest poprawne wyłącznie dla operatorów implikacji wyrażonych spójnikami „lub”(+) i „i”(*).
Oczywiście, spójniki „lub”(+) i „i”(*) są przemienne, żegnamy się zatem z kierunkowością implikacji, żegnamy się z istotą implikacji GWRANCJĄ MATEMATYCZĄ.

Lądujemy w wariatkowie, czyli aktualnej logice Ziemian z takimi zdaniami „prawdziwymi”:
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
Jeśli kura jest słoniem to Mickiewicz był Polakiem
etc
Wariatkowie, z którego śmieją się ludzie uczciwi i przyzwoici, 5-cio latki i humaniści.

Ja Kubuś, zupełnie nie rozumiem, dlaczego Ziemscy matematycy tak kurczowo trzymają się tego gówna (aktualnej logiki „matematycznej”) będąc głuchym i ślepym na nauki Kubusia.

Dlaczego chociażby nie dopuszczą na początek algebry Kubusia jako jeszcze jednej logiki formalnej typu: „logika modalna”, „logika intuicyjna”, „teoria strun” etc

Przecież zdaniem Ziemskich matematyków definicji się nie obala, wiec co wam szkodzi Panowie Ziemscy matematycy przyjąć trzy trywialne definicje znaczków =>, ~> i ~~> i zobaczyć jak wspaniale działa logika matematyczna, zwana algebrą Kubusia!

Obawiacie się że wasza w pocie czoła tworzona przez 2500 lat logika matematyczna się zawali?
Słusznie się obawiacie!
… ale czyż nagroda:
Przejście z matematycznego Piekła (dzisiejsza logika matematyczna) do matematycznego Raju (logika 5-cio latków i humanistów) nie jest wspaniała?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:49, 28 Gru 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 1:01, 25 Gru 2014    Temat postu:

5.0 Operatory logiczne w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Aksjomatyka technicznej algebry Boole’a to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q, nigdy jakieś tam wybrane linie z definicji operatora.

Na mocy definicji zachodzi:
OR ## NOR ## AND ## NAND ## <=> ## XOR ## => ## N(=>) ## ~> ## N(~>) ## ~~> ## N(~~>) ## P ## NP ## Q ## NQ
gdzie:
## - różne na mocy definicji
… bo kolumny wynikowe są różne

Nie wolno rozstrzygać, jak robi „logika” matematyczna Ziemian iż zdanie jest implikacją prostą fałszywą (kolumna wynikowa => jest równa zeru) wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik fałszywy, bowiem ten warunek występuje także w innych operatorach jak chociażby:
NOR ## AND ## <=> ## => ## N(~>) ## N(~~>) ## NP ## Q.
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Każdy człowiek w swojej naturalnej logice decyduje jaki spójnik logiczny ma być użyty.
Jeśli mówimy o zdaniach typu "Jeśli p to q" to nie wolno tego zdania zamieniać na zdanie typu "lub"(+) i "i"(*).
Zauważmy jednak, że dokładnie to robi durna logika ziemian.
Dowód:
"Prawo" eliminacji implikacji z logiki ziemian:
p=>q = ~p+q
Durna logika ziemian robi to:
Kod:

  ~p  q Y=~p+q | q ~p Y=q+~p
A: 1+ 1  =1    | 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1    | 0+ 1  =1
C: 0+ 1  =1    | 1+ 0  =1
D: 0+ 0  =0    | 0+ 0  =0
   1  2   3      4  5   6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym prawa przemienności argumentów w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Doskonale widać że po przejściu z implikacji (gdzie argumenty nie są przemienne) do spójników „lub”(+) i „i”(*) matematyka leży i kwiczy, bo gwałcone jest najważniejsze prawo logiczne obowiązujące w implikacji - brak przemienności argumentów.
p=>q # q=>p

Nawet jeśli ograniczymy definicję wyłącznie do zdań typu „Jeśli p to q” to dalej pozostaniemy w niejednoznaczności bo:
=> ## <=> ## N(~>) ## N(~~>)
We wszystkich tych funkcjach mamy sekwencję:
p=1 i q=0 => Y=0
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
Oczywiście równoważność to iloczyn logiczny dwóch zdań ze spójnikami =>:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że definicja implikacji prostej nie jest w matematyce Ziemian jednoznaczna, jest zatem matematycznie błędna.

Aksjomatyka algebry Boole’a ogranicza się wyłącznie do trzech znaczków:
+ - spójnik logiczny „lub” z naturalnej logiki człowieka
* - spójnik logiczny „i” z naturalnej logiki człowieka
~ - operator negacji

Uwaga!
W świecie rzeczywistym spójnik logiczny „lub”(+) nie jest tożsamy z operatorem OR jak również spójnik logiczny „i”(*) nie jest tożsamy z operatorem AND jak to błędnie zakłada logika matematyczna Ziemian.

Oczywiście dowolny operator logiczny możemy zapisać równaniem logicznym w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) z wykorzystaniem operatora negacji, co nie oznacza, że w logice matematycznej wszystkie powyższe operatory są zbędne, bo wystarczą trzy znaczki: „lub”(+), „i”(*) oraz negacja (~).

Dowolna tabela zero-jedynkowa widziana spójnikami „lub”(+) i „i”(*) poprawnie odpowiada na pytania.
1.
Kiedy w przyszłości zdanie Y będzie prawdziwe
czyli:
Kiedy w przyszłości funkcja wyjściowa Y przyjmie wartość Y=1
LUB
2.
Kiedy w przyszłości zdanie Y będzie fałszywe
czyli:
Kiedy w przyszłości funkcja wyjściowa Y przyjmie wartość Y=0


5.1 Operator OR w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja operatora OR w równaniach prof. Newelskiego:
Kod:

Definicja          |Definicja operatora OR
zero-jedynkowa     |w równaniach
operatora OR       |prof. Newelskiego
   p  q  Y=p+q     |
A: 1+ 1   =1       | p* q= Ya
B: 1+ 0   =1       | p*~q= Yb
C: 0+ 1   =1       |~p* q= Yc
D: 0+ 0   =0       |~p*~q=~Yd
   1  2    3         4  5  6

Algorytm tworzenia równania logicznego w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest Ziemianom znany, opisany chociażby w uwadze 2.7 w tym linku:
[link widoczny dla zalogowanych]

Twierdzenie:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa i tylko dwa różne równania algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera.

I.
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD123
Obszar ABC123
Krok 1.
Spisujemy z tabeli dokładnie to co widzimy dla Y=1
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne w powyższym równaniu do jedynek
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Krok 3
Jedynki (prawda) są w logice domyślne, zatem w powyższym równaniu możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
Notacja:
+ = „lub”
* = „i”
stąd:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Stąd mamy równania cząstkowe:
W1: Y = Ya+Yc+Yd = p*q + p*~q + ~p*q
które naniesiono na tabelę zero-jedynkową.
Oczywiście równanie W opisuje wyłącznie obszar ABC123 tabeli zero-jedynkowej.
Ostatnią linię D123 opisuje zupełnie inne równanie logiczne.

II.
Linie opisujące wynikowe zera w tabeli ABCD123
Linia D123
Krok 1
Spisujemy z tabeli dokładnie to co widzimy dla Y=0
Y=0 <=> D: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne w powyższym równaniu do jedynek
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki (prawda) są w logice domyślne, zatem w powyższym równaniu możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
Notacja:
+ = „lub”
* = „i”
stąd:
U: ~Y = D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
Stąd mamy równanie cząstkowe:
U: ~Y =~Yd =~p*~q
które naniesiono na tabelę zero-jedynkową.
Równanie to opisuje wyłącznie linię D123

Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne

Negując dwustronnie równanie U opisujące linię D123 otrzymamy równanie opisujące obszar ABC123:
Linia D123
U: ~Y=~p*~q - logika ujemna bo (~Y)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Obszar ABC123
W: Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)

Uwaga!
Dopiero układ równań W i U jest kompletnym układem równań logicznych opisujących operator OR, bowiem opisuje matematycznie wszystkie linie definicji operatora OR.

Wynika z tego że utożsamiane spójnika „lub”(+) z operatorem logicznym OR jest błędem czysto matematycznym.
Związek logiki dodatniej i ujemnej.
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla sumy logicznej:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej i dodatniej.
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej:
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Matematycznie zachodzi:
WW1:
(W: Y=p+q) = (W1: Y=p*q + p*~q + ~p*q)
bo równania te opisują ten sam obszar tabeli zero-jedynkowej ABC123

Rozważmy równanie W1 opisujące obszar ABC123:
W1: Y=(p*q) + (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U1: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Oczywiście równanie U1 opisuje linię D123
Matematycznie zachodzi:
UU1:
(U: ~Y=~p*~q) = (U1: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
bo równania opisują tą samą linię D123

Z równania WW1 wynika iż dla naszej tabeli suma logiczna:
Y=p+q
ma postać tożsamą alternatywno koniunkcyjną:
Y = p*q + p*~q + ~p*q

Z równania UU1 wynika iż dla naszej tabeli iloczyn logiczny:
~Y = ~p*~q
ma postać tożsamą koniunkcyjno-alternatywną
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ciekawostka - dygresja.

Twierdzenie Ziemian:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej

To twierdzenie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy tabela zero-jedynkowa opisująca funkcję logiczną posiada w wyniku więcej niż jedną jedynkę i więcej niż jedno zero. Bez tego zastrzeżenia twierdzenie Ziemian jest fałszywe (kontrprzykład to np. definicja operatora OR).

Najprostszym przykładem podlegającym pod to twierdzenie może być tabela zero-jedynkowa równoważności.

Definicja zero-jedynkowa równoważności wraz z równaniami prof. Newelskiego
Kod:

Definicja           |Definicja równoważności
zero-jedynkowa      |w równaniach
równoważności       |prof. Newelskiego
   p   q  Y=(p<=>q) |
A: 1<=>1   =1       | p* q= Ya
B: 1<=>0   =0       | p*~q=~Yb
C: 0<=>0   =1       |~p*~q= Yc
D: 0<=>1   =0       |~p* q=~Yd

Stąd mamy:
I.
Równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki (Y=1), obszar AC:
W: Y=Ya+Yc = A: p*q + C: ~p*~q
Równanie logiczne opisujące wynikowe zera (Y=0), obszar BD:
U: ~Y = ~Yb + ~Yd = B: p*~q + D: ~p*q

Negując równanie opisujące obszar AC otrzymamy równie opisujące obszar BD.
Obszar AC:
W: Y = (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Obszar BD:
U1: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Matematycznie zachodzi:
(U: ~Y = p*~q + ~p*q) = (U1=~Y = (~p+~q)*(p+q))
Czyli:
Funkcja alternatywno-koniunkcyjna:
U: ~Y=p*~q + ~p*q
jest tożsama z funkcją koniunkcyjno- alternatywną:
U1: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Podobnie:
Negując równanie opisujące obszar BD otrzymamy równie opisujące obszar AC.
Obszar BD:
U: ~Y=(p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Obszar AC
W1: Y=(~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzi:
(W: Y=p*q+~p*~q) = (W1: Y=(~p+q)*(p+~q))
Czyli:
Funkcja alternatywno-koniunkcyjna:
W: Y=p*q + ~p*~q
jest tożsama z funkcją koniunkcyjno- alternatywną:
W1: Y=(~p+q)*(p+~q)

Podsumowanie:
Na mocy naszych rozważań możemy zapisać symboliczną definicję operatora OR.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Ya
B:  p*~q= Yb
C: ~p* q= Yc
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y


Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie linie A, B i C
ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W.
Y=p+q
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(q=1) = ( ~q=0)
(Y=1) = (~Y=0)
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y)
U.
~Y=~p*~q
Prawa Prosiaczka:
(~p=1) = (p=1)
(~q=1) = (q=0)
(~Y=1) = (Y=0)

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

                   |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                   |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej OR (Y)
                   |W: Y=p+q       |U: ~Y=~p*~q   |bez wyróżnionego
Definicja          |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna OR (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p+q    | p  q   Y=p+q  |~p ~q ~Y=~p*~q|
---------------------------------------------------------------
W: Y=p*q+p*~q+~p*q |               |              | p q  Y=p+q
A: p* q = Ya       | 1+ 1  =1      | 0* 0   =0    | 1*1 =1 / Ya
B: p*~q = Yb       | 1+ 0  =1      | 0* 1   =0    | 1*1 =1 / Yb
C:~p* q = Yc       | 0+ 1  =1      | 1* 0   =0    | 1*1 =1 / Yc
U: ~Y=~p*~q
D:~p*~q =~Y        | 0+ 0  =0      | 1* 1   =1    | 1*1 =1 /~Y
   1  2   3          4  5   6        7  8    9      a b  c


Zauważmy, ze zero-jedynkowe kolumny wejściowe 4 i 5 oraz wyjście ~Y (kolumna 9) to operator NOR, nie używany w naturalnej logice człowieka bo zastępujemy go funkcją ~Y=~(p+q) = ~p*~q.

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q - wyłącznie obszar ABC123
ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q - wyłącznie linia D123

Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y (kiedy dotrzymam słowa) otrzymujemy w obszarze ABC123 bo tylko tu widzimy niezanegowane:
Y=Ya+Yb+Yc = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie ~Y (kiedy skłamię) widzimy w linii D123 bowiem tylko tu widzimy zanegowane Y (~Y):
~Y = ~p*~q

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek (tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p+q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD456.
Definicja maszynowa spójnika „lub”(+) w zdaniu W to wyłącznie obszar ABC456, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD456 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linie te zaznaczone na czerwono (tu tylko D456) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p*~q
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD789
Definicja maszynowa spójnika „i”(*) w zdaniu U to wyłącznie linia D789, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD789 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „*”). Linie te zaznaczone na czerwono (ABC789) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Doskonale widać, że twierdzenie śfinii działa tu doskonale.

Definicja symboliczna operatora OR (obszar ABCD123):
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej bo Y (obszar ABC123) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej bo ~Y (linia D123):

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika „lub”(+) bierze udział wyłącznie obszar ABC456, bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “lub”(+) w obsłudze zdania wypowiedzianego : W: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Linia D nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), jest „martwa”.

Linia D jest aktywna wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Zauważmy że w linii D poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) mamy wyłącznie w linii D789 i tylko ta część całej powyższej tabeli zero-jedynkowej jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Zauważmy że w dowolnej funkcji logicznej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) zachodzi tożsamość wiedzy.

Nasz operator OR:
(Y<=>~Y) = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)

Odczytujemy:
A.
Jeśli wiemy kiedy dowolna funkcja logiczna wyrażona spójnikami „lub”(+) i „i”(*) przyjmie wartość Y (Y=1) to na pewno => wiemy kiedy przyjmie wartość ~Y (~Y=1).
Y=>~Y
co matematycznie oznacza:
Y=1=>~Y=1
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej
Nasz operator OR:
Y = p+q
przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p*~q
Kontrprzykład dla zdania A brzmi:
B.
Jeśli wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość Y=1 to możemy ~~> nie widzieć kiedy przyjmie Y Y=1
Y~~>Y =0
bo z założenia wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość Y (Y=1)

Twierdzenie odwrotne:
C.
Jeśli wiemy kiedy funkcja logiczna wyrażona spójnikami „lub”(+) i „i”(*) przyjmuje wartość ~Y (~Y=1) to na pewno => wiemy kiedy przyjmie wartość Y (Y=1)
~Y=>Y
co matematycznie oznacza:
~Y=1 => Y=1
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej
Nasz operator OR:
~Y=~p*~q
powrót do logiki dodatniej:
Y=p+q
Kontrprzykład dla zdania C brzmi:
D.
Jeśli wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość ~Y (~Y=1) to możemy ~~> nie wiedzieć kiedy przyjmie wartość ~Y (~Y=1)
~Y~~>~Y =0
bo z założenia wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość ~Y

Przykład przedszkolaka:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


5.2 Operator AND w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja operatora OR w równaniach prof. Newelskiego:
Kod:

Definicja          |Definicja operatora AND
zero-jedynkowa     |w równaniach
operatora AND      |prof. Newelskiego
   p  q  Y=p*q     |
A: 1* 1   =1       | p* q= Ya
B: 0* 0   =0       |~p*~q=~Yb
C: 0* 1   =0       |~p* q=~Yc
D: 1* 0   =0       | p*~q=~Yd
   1  2    3         4  5  6

Twierdzenie:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa i tylko dwa różne równania algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera.

I.
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli ABCD123
Linia A123
Krok 1.
Spisujemy z tabeli dokładnie to co widzimy dla Y=1
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
Krok 2
Wszystkie zmienne mamy w równaniu wyżej sprowadzone do jedynek, tak więc nic nie musimy tu robić.
Krok 3
Jedynki (prawda) są w logice domyślne, zatem w powyższym równaniu możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
Notacja:
+ = „lub”
* = „i”
stąd:
W: Y = A: p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
Oczywiście równanie W opisuje wyłącznie linię A123 tabeli zero-jedynkowej.
Obszar BCD123 opisuje zupełnie inne równanie logiczne.

II.
Linie opisujące wynikowe zera w tabeli ABCD123
Obszar ABCD123
Krok 1
Spisujemy z tabeli dokładnie to co widzimy dla Y=0
Y=0 <=> B: p=0 i q=0 lub C: p=0 i q=1 lub D: p=1 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne w powyższym równaniu do jedynek
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki (prawda) są w logice domyślne, zatem w powyższym równaniu możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
Notacja:
+ = „lub”
* = „i”
stąd:
U: ~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Stąd mamy równania cząstkowe:
U: ~Y =~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q
które naniesiono na tabelę zero-jedynkową.
Równanie to opisuje wyłącznie obszar BCD123

Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne

Negując dwustronnie równanie W opisujące linię A123 otrzymamy równanie opisujące obszar BCD123:
Linia A123
W: Y=p*q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Obszar BCD123
U: ~Y=~p+~q - logika ujemna (bo ~Y)

Uwaga!
Dopiero układ równań W i U jest kompletnym układem równań logicznych opisujących operator AND, bowiem opisuje matematycznie wszystkie linie definicji operatora OR.

Wynika z tego że utożsamiane spójnika „i”(*) z operatorem logicznym AND jest błędem czysto matematycznym.
Związek logiki dodatniej i ujemnej.
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana dla sumy logicznej:
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej i dodatniej.
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej:
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Podsumowanie:

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Yb
C: ~p* q=~Yc
D:  p*~q=~Yd


Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A
ze spójnikiem „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie linie B, C i D.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice dodatniej bo Y:
W: Y=p*q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)= ( ~p=0)
(q=1) = ( ~q=0)
(Y=1) = (~Y=0)

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu U otrzymujemy zero-jedynkową definicje operatora OR w logice ujemnej bo ~Y:
U. ~Y=~p+~q
Prawa prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
(~q=1) = (q=0)
(~Y=1) = (Y=0)

Kompletne, zero-jedynkowe kodowanie symbolicznej definicji operatora AND:
Kod:

                    |Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
                    |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej AND
                    |Y=p*q          |~Y=~p+~q      |bez wyróżnionego
Definicja           |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
symboliczna AND (Y) |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
   p  q   Y=p*q     | p  q   Y=p*q  |~p ~q ~Y=~p+~q|
-----------------------------------------------------------------------
W: Y=p*q            |               |              | p q Y=p*q
A: p* q = Y         | 1* 1  =1      | 0+ 0   =0    | 1*1  =1
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q|               |              |
B:~p*~q =~Yb        | 0* 0  =0      | 1+ 1   =1    | 1*1  =1
C:~p* q =~Yc        | 0* 1  =0      | 1+ 0   =1    | 1*1  =1
D: p*~q =~Yd        | 1* 0  =0      | 0+ 1   =1    | 1*1  =1
   1  2   3           4  5   6        7  8    9      a b   c


Zauważmy, ze zero-jedynkowe kolumny wejściowe 4 i 5 oraz wyjście ~Y (kolumna 9) to operator NAND, nie używany w naturalnej logice człowieka bo zastępujemy go funkcją ~Y=~(p*q) = ~p+~q.

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q - wyłącznie linia A123
ze spójnikiem „lub”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q - wyłącznie obszar BCD123

Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie Y (kiedy dotrzymam słowa) otrzymujemy w linii A bo tylko tu widzimy niezanegowane Y:
Y=p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie ~Y (kiedy skłamię) widzimy w obszarze BCD123 bowiem tylko tu widzimy zanegowane Y (~Y):
~Y = ~p+~q = ~Yb+~Yc+~Yd = ~p*~q + ~p*q + p*~q

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek (tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Dla punktu odniesienia:
W: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora AND w obszarze ABCD456.
Definicja maszynowa spójnika „i”(*) w zdaniu W to wyłącznie linia A456, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD456 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linie te zaznaczone na czerwono (BCD456) nie biorą udziału w obsłudze spójnika „i”(*), potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Dla punktu odniesienia:
U: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
otrzymujemy maszynową (zero-jedynkową) definicję operatora OR w obszarze ABCD789.
Definicja maszynowa spójnika „lub”(+) w zdaniu U to obszar BCD789, pozostałe linie tabeli zero-jedynkowej ABCD789 kodujemy zgodnie z definicją maszynową widoczną w nagłówku tabeli (tu „+”). Linia zaznaczona na czerwono (A789) nie bierze udziału w obsłudze spójnika „lub”(+), potrzebna jest wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Doskonale widać fundamentalną różnicę między definicją symboliczną ABCD123 a definicjami maszynowymi ABCD456 i ABCD789.

W definicji maszynowej dowolnego operatora logicznego wykorzystywanej w rachunku zero-jedynkowym zera i jedynki znaczymy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej od góry do dołu.

Twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Twierdzenie świnii działa tu doskonale.

Definicja symboliczna operatora AND (obszar ABCD123):
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej bo Y (linia A123) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej bo ~Y (obszar BCD123):

Doskonale widać, iż w obsłudze spójnika “i”(*) w logice dodatniej (bo Y) bierze udział wyłącznie linia A456 bo tylko i wyłącznie tu mamy zero-jedynkową definicję spójnika “i”(*).
W obsłudze zdania wypowiedzianego W:
W: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Linie B, C i D nie biorą w ogóle udziału, są „martwe”.

Linie B, C i D są aktywne wyłącznie wtedy gdy wypowiemy zdanie U:
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy, że poprawną, zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) mamy wyłącznie w obszarze BCD789 i tylko ta część całej powyższej tabeli jest aktywna w obsłudze zdania U, reszta jest „martwa”

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


5.3 Operatory chaosu i śmierci w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu wraz z równaniami cząstkowymi:
Kod:

Definicja           |Definicja operatora chaosu
zero-jedynkowa      |w równaniach
operatora chaosu    |prof. Newelskiego
   p   q  Y=(p~~>q) |
A: 1~~>1   =1       | p* q= Ya
B: 1~~>0   =1       | p*~q= Yb
C: 0~~>0   =1       |~p*~q= Yc
D: 0~~>1   =1       |~p* q= Yd
   1   2    3         4  5  6

Stąd mamy:
I.
Równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki (Y=1), obszar ABCD123:
W: Y=Ya+Yc+Yc+Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Stąd:
W: Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q) =1

Przykład zdania spełniającego definicję operatora chaosu:
A.
Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
Y = (P8~~>P3) =1
Na mocy definicji operatora chaosu w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) zapisujemy:
Y = (P8~~>P3) = P8*P3 + P8*~P3 + ~P8*~P3 + ~P8*P3
Przyjmujemy dziedzinę:
D = LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10..] - zbiór liczb naturalnych

Zdanie tożsame do A wyrażone spójnikami „lub”(+) i „i”(*) brzmi:
A1.
Dowolna liczba naturalna należy do jednego ze zbiorów:
Y=P8*P3 + P8*~P3 + ~P8*~P3 + ~P8*P3

Zdanie A jest częścią operatora chaosu wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zbiory zdefiniowane po prawej stronie są niepuste.

Sprawdzamy:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
A: P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Liczba 24 należy do zbioru P8=[8,16,24..] i należy do zbioru P3=[3,6,9..24..]
lub
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
A: P8~~>~P3 =(P8=1)*(~P3=1) =1 bo 8
Liczba 8 należy do zbioru P8=[8,16,24..] i należy do zbioru ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
lub
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
C: ~P8*~P3 = (~P8=1)*(~P3=1) =1 bo 2
Liczba 2 należy do zbioru ~P8=[1,2,3,4..] i należy do zbioru ~P3=[1,2..4,5..]
lub
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
D: ~P8*P3 = (~P8=1)*(P3=1) = 1 bo 3
Liczba 3 należy do zbioru ~P8=[1,2,3,4..] i należy do zbioru P3=[3,6,9,12..]
cnd

Bez problemu można udowodnić że wszystkie składniki sumy logicznej to zbiory rozłączne:
P8~~>P3 = P8*P3 + P8*~P3 + ~P8*~P3 + ~P8*P3
P8*P3 ## P8*~P3 ## ~P8*~P# ## ~P8*P3
gdzie:
## - zbiory rozłączne

Oraz że suma tych zbiorów to dziedzina = zbiór liczb naturalnych:
Y = (P8~~>P3) = P8*P3 + P8*~P3 + ~P8*~P3 + ~P8*P3 = LN - zbiór liczb naturalnych
Dowód szczegółowy pozostawiam matematykom

Zauważmy, że aby udowodnić iż zdanie P8~~>P3 wchodzi w skład operatora chaosu musimy udowodnić niepustość wszystkich czterech zbiorów A, B, C i D, co wyżej uczyniliśmy.

Wszystkie cztery zdania razem opisują kompletną dziedzinę jaką w tym przypadku jest dziedzina liczb naturalnych:
D = LN =[1,2,3,4,5,6,7,8,9.10…] =1 - zbiór pełny

Zaprzeczeniem zbioru pełnego jest zbiór pusty opisany tu operatorem śmierci.
Kod:

Definicja            |Definicja operatora śmierci
zero-jedynkowa       |w równaniach
operatora śmierci    |prof. Newelskiego
   p   q  Y=N(p~~>q) |
A: 1~~>1   =0        | p* q=~Ya
B: 1~~>0   =0        | p*~q=~Yb
C: 0~~>0   =0        |~p*~q=~Yc
D: 0~~>1   =0        |~p* q=~Yd
   1   2    3          4  5  6

Równanie logiczne opisujące operator śmierci:
~Y = N(p~~>q) = ~Ya + ~Yb+~Yc + ~Yd = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
~Y = N(p~~>q) = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Nasz przykład:
Nie może się zdarzyć ~(…) że jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~Y = ~(P8~~>P3) = P8*P3 + P8*~P3 + ~P8*~P3 + ~P8*P3
Wyżej udowodniliśmy że prawa strona (dziedzina) to po prostu zbiór liczb naturalnych:
D=LN = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10..] =1
stąd:
~Y = ~(P8~~>P3) = LN =1
negując dwustronnie mamy zbiór pusty:
Y = (P8~~>P3) = ~LN =0
jesteśmy poza dziedziną, czyli poza zbiorem liczb naturalnych.

Wniosek:
Zbiór pusty na pewno nie zawiera się w zbiorze liczb naturalnych

Oczywiście jest to sprzeczne z dogmatem wiary Ziemian, jakoby zbiór pusty wchodził w skład dowolnego zbioru, czyli także w skład zbioru liczb naturalnych.
cnd


5.4 Implikacja prosta w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja implikacji prostej w równaniach cząstkowych prof. Newelskiego.
Kod:

Definicja          |Definicja implikacji
zero-jedynkowa     |w równaniach
implikacji prostej |prof. Newelskiego
   p  q  Y=(p=>q)  |
A: 1=>1   =1       | p* q= Ya
B: 1=>0   =0       | p*~q=~Yb
C: 0=>0   =1       |~p*~q= Yc
D: 0=>1   =1       |~p* q= Yd
   1  2    3         4  5  6

Geneza tworzenia równań prof. Newelskiego.
I.
Obszar ACD123
Równania prof. Newelskiego opisujące wynikowe jedynki (linie ACD123):
Krok 1.
Spisujemy z tabeli dokładnie to co widzimy dla Y=1
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne w powyższym równaniu do jedynek
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Jedynki (prawda) są w logice domyślne, zatem w powyższym równaniu możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
Notacja:
+ = „lub”
* = „i”
stąd równanie opisujące obszar ACD123:
W1: Y = A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Stąd mamy równania cząstkowe:
W1: Y = Ya+Yc+Yd = p*q + ~p*~q + ~p*q
które naniesiono na tabelę zero-jedynkową.

II.
Linia B123
Równania prof. Newelskiego opisujące wynikowe zera (linia B123):
W tabeli implikacji prostej mamy wyłącznie jedną taką linię.
W ogólnym przypadku może być wiele linii opisanych wynikowymi jedynkami (Y=1) i wiele linii opisanych wynikowymi zerami (Y=0) np. operator równoważności.
Krok 1.
Spisujemy z tabeli dokładnie to co widzimy dla Y=0:
Y=0 <=> B: p=1 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne w powyższym równaniu do jedynek
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Krok 3
Jedynki (prawda) są w logice domyślne, zatem w powyższym równaniu możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności
Notacja:
+ = „lub”
* = „i”
U: ~Y=B: p*~q
co matematyczni e oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Negując linię B123 otrzymamy równanie logiczne opisujące obszar ACD123
Równanie dla linii B123:
U: ~Y=p*~q
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
stąd:
Równanie opisujące obszar ACD123:
W: Y = ~p+q
Oczywiście matematycznie zachodzi tożsamość obszarów ACD123:
(W: Y=~p+q) = (W1: Y=p*q + ~p*~q + ~p*q)
czyli:
Funkcja alternatywna:
Y=~p+q
jest tożsama z funkcją alternatywno-koniunkcyjną:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q

Podobnie:
Negując obszar ACD123 dostaniemy równanie opisujące linię B123
Równanie dla obszaru ACD123:
W: Y = ~p+q
W1: Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
stąd:
Równanie opisujące obszar linię B123:
U: ~Y = p*~q

Stąd mamy definicję symboliczną operatora implikacji prostej wyrażonego spójnikami „lub”(+) i „i”(*):
Kod:

Definicja symboliczna
operatora implikacji
prostej w spójnikach
„lub”(+) i „i”(*)
A: p* q= Ya     
B: p*~q=~Yb
C:~p*~q= Yc
D:~p* q= Yd
W1:Y=(p=>q)=Ya+Yc+Yd
W1: Y=(p=>q)=p*q+~p*~q+~p*q
W: Y=(p=>q)=~p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
U: ~Y=p*~q

Dla punktu odniesienia W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR
W: Y=~p+q
Prawa Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
(~p=1) = (p=0)
(q=1) = (~q=0)
Dla punktu odniesienia U otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND:
U: ~Y=p*~q
Prawa Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
(p=1) = (~p=0)
(~q=1) = (q=0)
Kod:

Definicja symboliczna|Punkt          |Punkt         |Kodowanie definicji
operatora implikacji |odniesienia    |odniesienia   |symbolicznej Y=~p+q
prostej w spójnikach |Y=~p+q         |~Y=p*~q       |bez wyróżnionego
„lub”(+) i „i”(*)    |Definicja      |Definicja     |punktu odniesienia
Y=(p=>q)=~p+q        |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa|
------------------------------------------------------------------------
                     |~p  q  Y=~p+q  | p ~q ~Y=p*~q |~p  q Y=~p+q
A: p* q= Ya          | 0+ 1   =1     | 1* 0   =0    | 1* 1  =1
B: p*~q=~Yb          | 0+ 0   =0     | 1* 1   =1    | 1* 1  =1
C:~p*~q= Yc          | 1+ 0   =1     | 0* 1   =0    | 1* 1  =1
D:~p* q= Yd          | 1+ 1   =1     | 0* 0   =0    | 1* 1  =1
   1  2  3           | 4  5    6       7  8    9      a  b   c
W: Y=(p=>q)=~p+q     |
… a kiedy zajdzie ~Y?|
U: ~Y=p*~q           |

Funkcja logiczna Y=~p+q to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y=~p+q - wyłącznie obszar ACD456
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p*~q - wyłącznie linia B789
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

W definicji symbolicznej nie ma wyróżnionego punktu odniesienia, wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek (tabela ABCDabc), w zerach i jedynkach nie ma tu zatem żadnej logiki.

W definicji maszynowej (zero-jedynkowej) wszystkie linie kodujemy spójnikiem widocznym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej. Dotyczy to wszystkich operatorów logicznych.

Zauważmy że w dowolnej funkcji logicznej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) zachodzi tożsamość wiedzy.

Nasza funkcja logiczna Y=~p+q:
(Y<=>~Y) = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)

Odczytujemy:
A.
Jeśli wiemy kiedy dowolna funkcja logiczna wyrażona spójnikami „lub”(+) i „i”(*) przyjmie wartość Y (Y=1) to na pewno => wiemy kiedy przyjmie wartość ~Y (~Y=1).
Y=>~Y
co matematycznie oznacza:
Y=1=>~Y=1
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej
Nasza funkcja logiczna:
Y = ~p+q
przejście do logiki ujemnej:
~Y=p*~q
Kontrprzykład dla zdania A brzmi:
B.
Jeśli wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość Y=1 to możemy ~~> nie widzieć kiedy przyjmie Y Y=1
Y~~>Y =0
bo z założenia wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość Y (Y=1)

Twierdzenie odwrotne:
C.
Jeśli wiemy kiedy funkcja logiczna wyrażona spójnikami „lub”(+) i „i”(*) przyjmuje wartość ~Y (~Y=1) to na pewno => wiemy kiedy przyjmie wartość Y (Y=1)
~Y=>Y
co matematycznie oznacza:
~Y=1 => Y=1
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej
Nasza funkcja logiczna ~Y=p*~q
~Y=p*~q
powrót do logiki dodatniej:
Y=~p+q
Kontrprzykład dla zdania C brzmi:
D.
Jeśli wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość ~Y (~Y=1) to możemy ~~> nie wiedzieć kiedy przyjmie wartość ~Y (~Y=1)
~Y~~>~Y =0
bo z założenia wiemy kiedy funkcja logiczna przyjmie wartość ~Y

Przykład przedszkolaka:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2

Zdanie tożsame do A opisujące wszystkie możliwe przypadki jakie mogą zajść w przyszłości w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) brzmi.
A.
W przyszłości mogą wystąpić następujące przypadki
Y = (P8=>P2) = A: P8*P2 + C: ~P8*~P2 + D: ~P8*P2

Przypadek który w przyszłości nie ma szans wystąpić to:
~Y=~(P8=>P2) = B: P8*~P2 =1
Odczytujemy:
B.
Zdanie będzie fałszywe (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie P8*~P2 =1
~Y = ~(P8=>P2) = P8*~P2 =1
W rzeczywistości nie jesteśmy w stanie ustawić wartości logicznej tego zdania na wartość logiczną 1 bo zbiory P8=[8,12,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] to zbiory rozłączne, czyli:
~Y = ~(P8=>P2) = P8*~P2 =0
stąd po negacji dwustronnej otrzymujemy:
Y = (P8=>P2) = ~(P8*~P2) =1
czytamy:
Nie może się zdarzyć ~(…) że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
Y = ~(P8*~P2) =1
Poza tym wszystko może się zdarzyć, czyli brak jakiejkolwiek gwarancji matematycznej po stronie jedynek, co rozpisano niżej.

Pozostaje tylko rozpisać przypadki co w przyszłości ma szansę się wydarzyć:
A.
W przyszłości możemy ~~> wylosować liczbę która będzie podzielna przez 8 i podzielna przez 2
Y = (P8~~>P2) = P8*P2 =1 bo 24
C.
W przyszłości możemy ~~> wylosować liczbę która będzie należała do zbioru ~P8 i do zbioru ~P2
Y = (~P8~~>~P2) = ~P8*~P2 =1 bo 3
D.
W przyszłości możemy ~~> wylosować liczbę która będzie należała do zbioru ~P8 i P2
Y = (~P8~~>P2) = ~P8*P2 =1 bo 2

Z powyższego wynika, że aby udowodnić prawdziwość zdania A wyrażonego spójnikami „lub”(+) i „i”(*):
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P8*P2 + ~P8*~P2 + ~P8*P2
trzeba pokazać po jednym elemencie zbiorów uwidocznionych z prawej strony plus wykazać prawdziwość zdania B w logice ujemnej (bo ~Y).

Bez problemu można udowodnić co następuje:
1.
Zbiory po prawej stronie są rozłączne:
P8*P2 ## ~P8*~P2 ## ~P8*P2
gdzie:
## - zbiory rozłączne
2.
Suma logiczna tych zbiorów to dziedzina = zbiór liczb naturalnych
D = LN = P8*P2 + ~P8*~P2 + ~P8*P2
Dowody pozostawiam matematykom.

Dowód tożsamy prawdziwości zdania A1 to przeiterowanie po całej dziedzinie liczb naturalnych z wykazaniem że nie wystąpi przypadek B, czyli zajdzie:
B: ~Y = ~(P8~~>~P2) = P8*~P2 =0

Stąd mamy definicję kwantyfikatora dużego w logice Ziemian:
A1.
/\x p(x)=> q(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to zajdzie q(x)
gdzie po stronie p(x) iterujemy po całej dziedzinie, czyli p(x) i ~p(x).

Brak przypadku B jest dowodem formalnym prawdziwości zdania A1 wyrażonego spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
B.
Jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść ~q(x)
p(x)~~>~q(x) =0
To samo zapisanie kwantyfikatorem małym
\/x p(x)~~>~q(x) = p(x)*~q(x) =0
Zdanie tożsame po negacji powyższego równania:
~\/x p(x)~~>~q(x) = ~(p(x)*~q(x)) =1
Nie istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może zajść ~q(x).
Zdanie tożsame:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jakikolwiek element zbioru p(x) będzie należał do zbioru ~q(x).
~(p(x)*~q(x))

Oczywiście w przypadku tak zdefiniowanego kwantyfikatora wszystkie wynikowe jedynki są tak samo prawdopodobne, nie ma tu mowy o jakiejkolwiek gwarancji matematycznej => (spójnik „na pewno”) po stronie wynikowych jedynek (zdania A, C i D).
Nasz przykład:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P8*P2 + ~P8*~P2 + ~P8*P2

Zdanie A1 wyrażone kwantyfikatorem dużym o definicji w logice Ziemian:
/\x P8(x)=> P2(x)
Dla każdego x jeśli zajdzie P8(x) to zajdzie P2(x)
Jest oczywistością że ponieważ po stronie poprzednika w logice Ziemian iterujemy po całej dziedzinie liczb naturalnych, czyli po zbiorze:
D = LN = P8(x)+~P8(x)
to nie wolno nam w tej definicji interpretować znaczka => jako:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w naturalnej logice człowieka
Bowiem liczba ze zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] może należeć do zbioru P2=[2,4,6,8..] (np. 2) ale równie dobrze może nie należeć do zbioru P2 (np. 3).
Nie ma więc ŻADNEJ gwarancji matematycznej że przy iterowaniu po całej dziedzinie:
D = LN =[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Każda liczba ze zbioru liczb naturalnych będzie należała do zbioru P2=[2,4,5,6,8..]

Kwantyfikator duży w algebrze Kubusia ma fundamentalnie inną definicję niż w logice Ziemian.

W algebrze Kubusia spójnik „na pewno” w zdaniach „jeśli p to q” jest spójnikiem domyślnym.
Nasz przykład:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Zdanie tożsame do A1 brzmi:
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna = spójnik „na pewno”) spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] zawiera się => w zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby, ale tylko i wyłącznie ze zbioru P8=[8,16,24..] gwarantuje przynależność tej liczby do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby, ale tylko i wyłącznie ze zbioru P8=[8,16,24..] daje gwarancję matematyczną przynależności tej liczby do zbioru P2=[2,4,6,8..].

Oczywistym jest że w logice normalnych, 5-cio latków i humanistów zdania A1 i A2 są matematycznie tożsame.
Także w matematyce normalnych zawsze i wszędzie w dowolnym zdaniu „jeśli p to q” wolno nam wstawić spójnik implikacyjny „na pewno” => (gwarancję matematyczną)

Stąd mamy FUNDAMENTALNIE inną definicję kwantyfikatora dużego w algebrze Kubusia niż w aktualnej logice Ziemian.
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
To wytłuszczone w definicji kwantyfikatora dużego w algebrze Kubusia jest naturalnym filtrem zakazującym nam iterowanie po obiektach ~p(x), czyli wolno nam tu iterować wyłącznie po obiektach p(x).

Nasz przykład:
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Zdanie tożsame do A2 wyrażone kwantyfikatorem dużym o definicji w algebrze Kubusia:
/\x P8(x) => P2(x)
Dla każdego x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 (P8(x)=1) to na pewno => jest podzielna przez 2 (P2(x)=1).
Wytłuszczony fragment dopuszcza iterowanie w algebrze Kubusia wyłącznie po zbiorze P8=[8,16,24..]
Tylko i wyłącznie dla zbioru P8 mamy do czynienia z gwarancją matematyczną w zdaniu A2=A1.
Czyli:
Wylosowanie dowolnej liczby, ale tylko i wyłącznie ze zbioru P8=[8,16,24..] daje gwarancję matematyczną przynależności tej liczby do zbioru P2=[2,4,6,8..].

Zauważmy, na mocy kwantyfikatora dużego w logice matematycznej Ziemian gdzie po stronie poprzednika iterujemy po kompletnej dziedzinie:
D=LN = P8(x) + ~P8(x)
O gwarancji matematycznej w zdaniu A1 możemy zapomnieć!
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Tu znaczek => oznacza wyłącznie słówko „to” (a nie „na pewno”) bowiem nie ma żadnej gwarancji że każda liczba ze zbioru:
D=LN = P8+~P8 = [1,2,3,4,5,6,7,8..]
Będzie należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]

Dowodem fałszywości definicji kwantyfikatora dużego w logice ziemian jest identyczny kontrprzykład dla zdania A1 w algebrze Kubusia i logice Ziemian.

Kontrprzykład dla zdania A1 brzmi:
B1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne

Fałszywość kontrprzykładu B (o czym matematycy doskonale wiedzą) wymusza prawdziwość zarówno zdania A1 jak i zdania A2.
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1

Prawdziwość zdania A2 jest dowodem fałszywości definicji kwantyfikatora dużego z logiki matematycznej Ziemian, gdzie nie ma mowy o jakimkolwiek spójniku „na pewno” =>, gwarancji matematycznej.

Kolejny dogmat matematyków:
Definicji się nie obala można miedzy bajki włożyć

Definicja kwantyfikatora dużego z logiki matematycznej Ziemian właśnie została obalona, jest fałszywa!


5.5 Implikacja odwrotna w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja implikacji odwrotna w równaniach cząstkowych prof. Newelskiego.
Kod:

Definicja            |Definicja implikacji
zero-jedynkowa       |w równaniach
implikacji odwrotnej |prof. Newelskiego
   p  q  Y=(p~>q)    |
A: 1~>1   =1         | p* q= Ya
B: 1~>0   =1         | p*~q= Yb
C: 0~>0   =1         |~p*~q= Yc
D: 0~>1   =0         |~p* q=~Yd
   1  2    3           4  5  6

Stąd mamy implikację odwrotną wyrażoną spójnikami „lub”(+) i „i”(*):
Y=(p~>q) = Ya+Yb+Yc = p*q + p*~q + ~p*~q
To równanie pokazuje wszystkie możliwe przypadki jakie w przyszłości mogą wystąpić.

Linia D, na mocy definicji implikacji odwrotnej musi być fałszywa:
(Y=0) = (~Y=~Yd =1) - na mocy prawa Prosiaczka

Przykład implikacji odwrotnej w interpretacji z algebry Kubusia:
A.
Jeśli liczba jest podzielna 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] zawiera w sobie ~> zbiór P8=[8,16,24..]
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~>:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P8=P2] = 1*1 =1

W implikacji odwrotnej spełnione jest prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8

Dla naszego przykładu definicja implikacji odwrotnej wyrażona spójnikami „lub”(+) i „i”(*) przyjmie brzmienie.
A1.
Jeśli liczba jest podzielna 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = P2*P8 + P2*~P8 + ~P2*~P8

Porównajmy to zdanie z implikacją prostą analizowaną w poprzednim punkcie wyrażoną spójnikami „lub”(+) i „i”(*):
A2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P8*P2 + ~P8*~P2 + ~P8*P2

Jest oczywistym że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) zachodzi przemienność argumentów.
Stąd zdanie tożsame do A2:
A21: P8=>P2 = P2*P8 + P2*~P8 + ~P2*~P8

Zauważmy, że prawe strony w równiach A1 i A21 są identyczne co jest dowodem zbędności dowolnej z implikacji, prostej, albo odwrotnej.

Dlaczego Ziemianie zdecydowali się na wywalenie w kosmos implikacji odwrotnej?
Oto jest pytanie … godne Hamleta
bowiem matematycznie jest TOTALNIE obojętne którą definicję wyrażoną spójnikami „lub”(+) i „i”(*) wykopiemy w kosmos, implikację prostą, czy też odwrotną.

Zero-jedynowa definicja implikacji odwrotnej jest taka:
Kod:

Definicja
zero-jedynkowa
implikacji odwrotnej
   p  q  Y=(p~>q)
A: 1~>1   =1
B: 1~>0   =1
C: 0~>0   =1
D: 0~>1   =0
   1  2    3

Doskonale widać że przy interpretacji identycznej w algebrze Kubusia i logice Ziemian:
1 = prawda
0 = fałsz
W tej definicji wynika że z fałszu może powstać wyłącznie fałsz (linie C i D) natomiast z prawdy może powstać cokolwiek (linie A i B), co jest sprzeczne z definicją implikacji w logice Ziemian.

Jak widzimy, logika Ziemian zawaliła się totalnie, czyli fałszywy jest jej absolutny fundament.

Zawalił się kolejny dogmat w logice matematycznej Ziemian:
Definicji się nie obala

5.6 Równoważność w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja zero-jedynkowa równoważności wraz z równaniami prof. Newelskiego
Kod:

Definicja           |Definicja równoważności
zero-jedynkowa      |w równaniach
równoważności       |prof. Newelskiego
   p   q  Y=(p<=>q) |
A: 1<=>1   =1       | p* q= Ya
B: 1<=>0   =0       | p*~q=~Yb
C: 0<=>0   =1       |~p*~q= Yc
D: 0<=>1   =0       |~p* q=~Yd

Stąd mamy:
I.
Równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki (Y=1), obszar AC:
W: Y=Ya+Yc = A: p*q + C: ~p*~q
Równanie logiczne opisujące wynikowe zera (Y=0), obszar BD:
U: ~Y = ~Yb + ~Yd = B: p*~q + D: ~p*q

Przykład równoważności wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*):
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
Y = TP<=>SK = TP*SK + ~TP*~SK
Dla dowodu iż zachodzi równoważność nie wystarczy udowodnić prawdziwości członów po prawej stronie, czyli:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1
Pokazuję jeden trójkąt prostokątny w którym stwierdzam zachodzenie sumy kwadratów … i koniec dowodu prawdziwości zdania A
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Pokazanie jednego trójkąta nie prostokątnego w którym nie zachodzi suma kwadratów kończy dowd prawdziwości zdania C.

Aby udowodnić prawdziwość twierdzenia Pitagoras zapisanego spójnikiem „wtedy i tylko wtedy”, musimy dowieść fałszywości zdania U.
U: ~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Na mocy prawa Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
zapis tożsamy brzmi:
Y=0 <=> (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Zdanie RA będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy będzie zachodziła zgodność poziomów logiczny w powyższym równaniu, czyli:
(p*~q) =0
i
(~p*q) =0

Nasz przykład:
B: TP*~SK =0 - bo zbiory TP i ~SK są rozłączne
D: ~TP*SK =0 - bo zbiory ~TP i SK są rozłączne

Stąd:
Twierdzenie Pitagorasa to bezdyskusyjna równoważność prawdziwa
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 10:39, 01 Sty 2015, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 1:02, 25 Gru 2014    Temat postu:

6.0 Rachunek zero-jedynkowy

W tym rozdziale pokażemy związek algebry Kubusia z rachunkiem zero-jedynkowym.

Algebra Boole’a jest poprawna i jest podzbiorem algebry Kubusia.
Algebra Boole’a poprawnie opisuje sprzęt, czyli wszelkie bramki logiczne.
Algebra Kubusia, będąca naturalną logiką człowieka to fundamentalnie co innego niż algebra Boole’a.

W odniesieniu do komputerów możemy zapisać tożsamości:
Algebra Boole’a = sprzęt
Algebra Kubusia = programowanie komputerów = naturalna logika człowieka

Jest oczywistym, że program zaszyty w komputerze to fundamentalnie co innego niż tranzystory, czy bramki logiczne z których ten komputer jest zbudowany.
Nikt przy zdrowych zmysłach nie będzie analizował pod mikroskopem mięsa z którego zbudowany jest mózg człowieka w nadziei że zrozumie logikę matematyczną człowieka.

Człowiek od zawsze programuje komputery w swoje naturalnej logice, algebrze Kubusia.
Nie jest możliwe pisanie programów komputerowych w jakiejkolwiek logice formalnej znanej Ziemianom, z definicji sprzecznej z naturalną logiką człowieka.

Logika człowieka to logika równań logicznych których istoty współczesny człowiek nie rozumie, tzn. nie potrafi poprawnie matematycznie opisać banalnych przekształceń tabel zero-jedynkowych.

Chodzi tu przede wszystkim o zrozumienie definicji operatorów logicznych w równaniach logicznych.
Przykładowo:
1.
To jest poprawna definicja operatora OR w układzie równań logicznych:
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p*~q
2.
To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p+~q

Z powyższego wynika że nie da się wyrugować z naturalnej logiki człowieka ani spójnika „lub”(+), ani też spójnika „i”(*).

Na mocy definicji zachodzi:
OR ## AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dopóki człowiek nie nauczy się poprawnie opisywać banalnych tabel zero-jedynkowych, chodzi tu o rozróżnianie logiki dodatniej i ujemnej w równaniach algebry Boole’a, dopóty będzie żył w swoim matematycznym wariatkowie w stylu:
Jeśli pies jest różowy to krowa śpiewa w operze
Jeśli kura jest psem to Kopernik był Polakiem
etc


6.1 Operatory jednoargumentowe

Zero-jedynkowy fundament algebry Boole’a
1 =prawda
0 = fałsz

Prawda (=1) to zaprzeczenia fałszu (=0)
1=~0
prawda = NIE fałsz

Fałsz (=0) to zaprzeczenie prawdy (=1)
0 =~1
fałsz = NIE prawda
gdzie:
~ - symbol przeczenia, słówko „NIE” z naturalnej logiki człowieka

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.

Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, ~r

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna (Y) jednej zmiennej binarnej

Możliwe są dwa użyteczne operatory jednoargumentowe:
Y=p - operator transmisji
Y=~p - operator negacji
Zwyczajowo w logice funkcję logiczną oznaczamy dużą literą Y.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana:
A. Y=p - logika dodatnia bo Y
B. ~Y=~p - logika ujemna bo ~Y

Związki logiki dodatniej i ujemnej:
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y= ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
C.
Y =p = ~(~p)

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że jutro pójdę do kina
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację równania A stronami:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B otrzymujemy zdanie tożsame do A.
Y=~(~K)
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina.
Y=~(~K)

Stąd mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y =K = ~(~K)
A: Jutro pójdę do kina = C: Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro nie pójdę do kina

Inny przykład:
Jestem uczciwy
U
Nie jestem uczciwy
~U
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Jak widzimy, algebra Boole’a nie jest taka straszna, w części symbolicznej (równania algebry Boole’a) to po prostu naturalna logika człowieka, algebra Kubusia.


6.2 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego

Abstrakcyjna budowa operatorów logicznych rodem z technicznej algebry Boole’a.
Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę w której pracuje dwóch krasnoludków, Transmiterek i Negatorek.
Na przedniej ściance skrzynki zamontowany jest najzwyklejszy wyłącznik światła sterujący lampką człowieka typu zaświeć/zgaś. Po przeciwnej stronie skrzynki znajduje się lampka sterowana wyłącznie przez krasnoludka pracującego w środku skrzynki.

Po stronie człowieka dostępne są jeszcze dwa tajemnicze przyciski z opisem:
A - zezwalaj na pracę Transmiterka
A=1 - zezwalaj
A=0 - zabroń
B - zezwalaj na pracę Negatorka
B=1 - zezwalaj
B=0 - zabroń

Ustawmy na początek krasnoludkowe przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
1.
Jak widzimy lampką człowieka możemy sterować zaświecając ją i gasząc przełącznikiem, jednak lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona.
2.
Pozwólmy na pracę wyłącznie Transmiterka ustawiając przełączniki:
A=1 i B=0
Jak widzimy, jeśli zaświecimy lampkę człowieka to automatycznie zapali się lampka krasnoludka, jeśli ją zgasimy to lampka krasnoludka również zgaśnie.
3.
Ustawmy teraz przełączniki w pozycję:
A=0 i B=1
pozwalając pracować wyłącznie Negatorkowi
Tym razem każde zaświecenie lampki człowieka skutkuje wygaszeniem lampki krasnoludka i odwrotnie.
4.
Ostatnia możliwość to zezwolenie na jednoczesną pracę obu krasnoludków poprzez ustawienie przełączników w pozycję:
A=1 i B=1
Ajajaj!
Jak widzimy możemy bez problemów zapalać i gasić lampkę człowieka jednak żarówka krasnoludka ledwie się pali, na dodatek z pudła wydobywa się czarny dym co jest dowodem walki na śmierć i życie między Tansmiterkiem a Negatorkiem. Jeden za wszelką cenę chce zaświecić lampkę, a drugi za wszelką cenę ją zgasić.
Ustawmy szybko przełączniki w pozycję:
A=0 i B=0
Nie możemy przecież dopuścić do zagłady krasnoludków, bo co powiedzą nasze dzieci?

W naszym abstrakcyjnym modelu wejściową zmienną binarną p jest lampka człowieka.
Wyjściem w tym modelu jest lampka krasnoludka którą oznaczamy Y.

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego:
Jednoargumentowy operator logiczny to funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja operatora transmisji:
Y=p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka też się świeci (Y=1)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to również lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)

Stąd mamy zero-jedynkową definicje operatora transmisji:
Y=p
Kod:

p  Y=p
1 =1
0 =0


Stąd mamy:
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1

Definicja operatora negacji:
Y=~p
Jeśli lampka człowieka się świeci (p=1) to lampka krasnoludka jest zgaszona (Y=0)
Jeśli lampka człowieka jest zgaszona (p=0) to lampka krasnoludka się świeci (Y=1)

Stąd mamy zero-jedynkową definicję operatora negacji:
Y=~p
Kod:

p ~p Y=~p
1  0  =0
0  1  =1


Stąd mamy:
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1

… a jeśli nie wiemy który krasnoludek aktualnie pracuje, to czy możemy rozszyfrować który?
Oczywiście że tak.
Na wejściu p wymuszamy wszystkie możliwe stany. Odpowiedź na wyjściu Y jednoznacznie definiuje nam operator. Najważniejsze operatory jednoargumentowe właśnie poznaliśmy.

Definicja maszynowa (zero-jedynkowa) operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.
Nie jest prawdą, że możemy zdefiniować wyłącznie dwa operatory jednoargumentowe jak wyżej.

Dwa kolejne operatory jednoargumentowe to:
1.
Jednoargumentowy operator chaosu o definicji:
Kod:

p  Y=1
1  =1
0  =1

Jak widzimy, tu lampka krasnoludka pali się cały czas, bez względu na stan wejściowej lampki człowieka p.
2.
Jednoargumentowy operator śmierci:
Kod:

p  Y=0
1  =0
0  =0

Tu lampka krasnoludka jest cały czas zgaszona, bez wzglądu na to co też ten człowiek na wejściu p sobie wyprawia.

W logice wyróżniamy:
1.
Operatory jednoargumentowe o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
2.
Operatory dwuargumentowe o dwóch wejściach p i q i jednym wyjściu Y.
Przy dwóch wejściach p i q możliwe są cztery różne wymuszenia na wejściach p i q.


6.3 Operatory dwuargumentowe

Maszynowa definicja operatora logicznego (hardware):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu.

Abstrakcyjna definicja operatora dwuargumentowego:
Operator dwuargumentowy to czarna skrzynka o dwóch wejściach p i q oraz tylko jednym wyjściu Y.

Na wejściach p i q wymuszamy wszystkie możliwe stany 0 i 1 zapisując odpowiedzi na wyjściu Y.

Ogólna definicja operatora dwuargumentowego:
Kod:

p q  Y=?
1 1  =x
1 0  =x
0 1  =x
0 0  =x


Jak widzimy przy dwóch wejściach p i q możemy zdefiniować 16 (2^4) różnych stanów na wyjściu Y, czyli 16 różnych na mocy definicji operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka technicznej algebry Boole’a to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Operatory logiczne możemy podzielić na operatory w logice dodatniej i operatory w logice ujemnej:
Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ


Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym, w swojej naturalnej logice.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)


Komentarz:
Kolumna pNORq to zanegowana kolumna OR:
Y=p+q
Stąd:
~Y = ~(p+q)
pNORq = ~(p+q)
itd
W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


6.4 Maszynowe definicje operatorów logicznych

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja dowolnego operatora jest tożsama ze spójnikiem użytym w nagłówku tej definicji. Oznacza to, że w tabeli zero-jedynkowej używamy identycznego znaczka z nagłówka tabeli we wszystkich kombinacjach zer i jedynek na wejściach p i q operatora logicznego.

Zauważmy, że dzięki definicji operatora maszynowego jak wyżej, dysponując zaledwie jedną linią dowolnego operatora z łatwością odtworzymy kompletny operator logiczny.

Przykład:
1+1 =1
Jest oczywistym, że jest to linia kodu maszynowego operatora OR. Powyższy zapis to fragment operatora OR a nie jego kompletny zapis, kompletny zapis musi zawierać wszystkie cztery linie jak niżej.

Maszynowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3


Abstrakcyjnie, maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.

Przykłady maszynowych definicji operatorów logicznych.

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora OR:
Kod:

Tabela 1
   p q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3

Maszynowa definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0 <=> p=0 i q=0

Wersja najprostsza do zapamiętania:
Y=p+q
Y=0 <=> p=0 i q=0
inaczej:
Y=1
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja spójnika „lub”(+) który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora OR.

Podstawowe prawa zero-jedynkowe algebry Boole’a wynikłe z definicji operatora OR, konieczne i wystarczające dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

1+1=1
1+0=1
0+1=1
0+0=0


Symboliczna definicja operatora OR którą niebawem poznamy:
Y=p+q
~Y=~p*~q

Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja operatora AND:
Kod:

Tabela 2
   p q Y=p*q
A: 1*1  =1
B: 1*0  =0
C: 0*1  =0
D: 0*0  =0
   1 2   3


Maszynowa definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Maszynowa definicja spójnika „i”(*) jest jednocześnie najprostszą definicją do zapamiętania.
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja spójnika „i”(*) który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora AND.

Podstawowe prawa zero-jedynkowe algebry Boole’a wynikłe z definicji operatora AND, konieczne i wystarczające dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

1*1=1
1*0=0
0*1=0
0*0=0


Symboliczna definicja operatora AND, którą wkrótce poznamy:
Y=p*q
~Y=~p+~q


Maszynowa definicja implikacji prostej =>:
Kod:

Tabela 3
p   q   p=>q
1=> 1   =1
1=> 0   =0
0=> 0   =1
0=> 1   =1


Najprostsza definicja znaczka => do zapamiętania to:
p=>q =0 <=> p=1 i q=0
inaczej:
p=>q =1
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja warunku wystarczającego =>, który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora implikacji prostej.

Symboliczna definicja implikacji prostej, którą niebawem poznamy:
p=>q = ~p~>~q

Maszynowa definicja implikacji odwrotnej ~>:
Kod:

Tabela 4
p   q  p~>q
1~> 1   =1
1~> 0   =1
0~> 0   =1
0~> 1   =0


Najprostsza definicja znaczka ~> do zapamiętania:
p~>q =0 <=> p=0 i q=1
inaczej:
p~>q=1
W rachunku zero-jedynkowym obowiązuje maszynowa definicja warunku koniecznego ~>, który jest tożsamy z definicją zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.

Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej, którą wkrótce poznamy:
p~>q = ~p=>~q

Maszynowa definicja równoważności <=>:
Kod:

Tabela 5
p   q  Y=p<=>q
1<=> 1   =1
1<=> 0   =0
0<=> 0   =1
0<=> 1   =0


Najprostsza definicja maszynowa do zapamiętania:
p<=>q =1 <=> p=1 i q=1
lub
p<=>q =1 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q =0
Symboliczna definicja równoważności, którą niebawem poznamy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)

Maszynowa definicja operatora NP:
Kod:

Tabela 6
p    q  pNPq
1 NP 1   =0
1 NP 0   =0
0 NP 0   =1
0 NP 1   =1


Najprostsza definicja znaczka NP do zapamiętania:
pNPq = ~p
Matematycznie wejście q jest bez żadnego znaczenia, kabelek q w środku „czarnej skrzynki” nigdzie nie jest podłączony (wisi w powietrzu).

Zauważmy, że funkcja logiczna:
pNPq =~p
To nic innego jak definicja negatora zapisana w tabeli zero-jedynkowej dwuargumentowych operatorów logicznych.
Podstawmy:
pNPq =Y
stąd mamy definicję negatora:
Y = ~p


6.5 Prawa przemienności argumentów w operatorach OR i AND

Maszynowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3


Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0
W rachunku zero-jedynkowym spójnik „lub”(+) jest tożsamy z definicją operatora logicznego OR.
Dowód przemienności argumentów w spójniku „lub”(+):
Kod:

   p q Y=p+q   q p Y=q+p
A: 1+1  =1     1+1  =1
B: 1+0  =1     0+1  =1
C. 0+1  =1     1+0  =1
D: 0+0  =0     0+0  =0
   1 2   3     4 5   6


Definicją jest tu obszar ABCD123:
Każdej, uporządkowanej parze cyfr (0,1) odpowiada jednoznaczna i zawsze ta sama wartość funkcji Y.
Tożsamość kompletnych kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR.

Przykład:
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
2.
Jutro pójdę do teatru lub do kina
Y=T+K
Zdania 1 i 2 są matematycznie tożsame, zachodzi przemienność argumentów.
K+T = T+K

Maszynowa definicja operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1*1  =1
B: 1*0  =0
C: 0*1  =0
D: 0*0  =0


Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
W rachunku zero-jedynkowym spójnik „i”(*) jest tożsamy z definicją operatora logicznego AND.

Dowód przemienności argumentów w spójniku „i”(*):
Kod:

   p*q Y=p*q  q*p Y=q*p
A: 1*1  =1    1*1  =1
B: 1*0  =0    0*1  =0
C. 0*1  =0    1*0  =0
D: 0*0  =0    0*0  =0
   1 2   3    4 5   6


Definicją jest tu obszar ABCD123:
Każdej, uporządkowanej parze cyfr (0,1) odpowiada jednoznaczna i zawsze ta sama wartość funkcji Y.
Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem przemienności argumentów w operatorze OR

Przykład:
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
2.
Jutro pójdę do teatru i do kina
Y=T*K
Zdania 1 i 2 są tożsame, zachodzi przemienność argumentów
K*T = T*K


6.6 Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+)

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 1
   p+q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p*~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q) Y+~Y  Y*~Y
A: 1+1  =1     =0       0* 0   =0      =1         =1    =0
B: 1+0  =1     =0       0* 1   =0      =1         =1    =0
C: 0+1  =1     =0       1* 0   =0      =1         =1    =0
D: 0+0  =0     =1       1* 1   =1      =0         =1    =0
   1 2   3      4       5  6    7       8          9     0


Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe 3 i 8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe 4 i 7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
A1: Y = p+q = ~(~p*~q) # A2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe są różne

Bezpośrednio z A1 i A2 wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

A1: Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A2: ~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Równania A1 i A2 to symboliczna definicja operatora OR:
A1: Y=p+q
A2: ~Y=~p*~q
Dowód formalny wynika z algorytmu tworzenia równań algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej, który wkrótce poznamy.

Twierdzenie:
Prawo De Morgana zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo De Morgana mówi o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y).
Logika dodatnia Y to zanegowana logika ujemna ~Y
Y = ~(~Y)
Logika ujemna ~Y to zanegowana logika dodatnia Y
~Y = ~(Y)

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do A1:
A3: Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych 3 i 8

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając A2 i A1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do A2:
A4: ~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych 4 i 7.

Zauważmy, że prawa De Morgana zachodzą zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej, można je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń. Nieistotne jest, czy aktualnie jesteśmy w logice dodatniej (bo Y), czy w ujemnej (bo ~Y).

Prawo przejścia do logiki przeciwnej wymusza spełnienie definicji dziedziny zarówno po stronie wejścia p i q jak i wyjścia Y.

Definicja dziedziny:
Kolumna wynikowa ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla kolumny Y
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Doskonale widać, że nasze funkcje logiczne spełniają definicję dziedziny po stronie wyjścia Y, czego dowód mamy w dwóch ostatnich kolumnach 9 i 0.

Po stronie wejścia p i q także spełniona jest definicja dziedziny.
Kolumny 1 i 5:
p+~p=1
p*~p=0
Kolumny 2 i 6:
q+~q =1
q*~q =0


Zauważmy, ze kolumna 4 to de facto definicja operatora NOR w odniesieniu do sygnałów p i q:
pNORq = ~(p+q)

Czyli zamiast wymawiać zdanie:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie p lub zajdzie q
~(p+q)
Możemy powiedzieć:
Zajdzie p NOR q
pNORq

Natomiast kolumna 8 to de facto definicja operatora NAND w odniesieniu do sygnałów ~p i ~q:
~pNAND~q = ~(~p*~q)
Zamiast wymawiać zdanie:
Nie może się zdarzyć ~(…) że zajdzie ~p i zajdzie ~q
~(~p*~q)
Możemy powiedzieć:
Zajdzie ~p NAND ~q
~pNAND~q
W naturalnej logice człowieka operatory ujemne, NOR i NAND nie są używane bo można je w trywialny sposób zastąpić spójnikami „lub”(+) i „i”(*) zrozumiałymi dla każdego 5-cio latka, co pokazano wyżej. Żaden normalny człowiek nie zrozumie zdania typu pNORq, czy pNANDq.


6.7 Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*)

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Tabela 2
   p*q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p+~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q) Y+~Y  Y*~Y
A: 1*1  =1     =0       0+ 0   =0      =1         =1    =0
B: 1*0  =0     =1       0+ 1   =1      =0         =1    =0
C: 0*1  =0     =1       1+ 0   =1      =0         =1    =0
D: 0*0  =0     =1       1+ 1   =1      =0         =1    =0
   1 2   3      4       5  6    7       8          9     0


Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=Y
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe 3 i 8
cnd

Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~Y
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe 4 i 7
cnd

Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
B1: Y = p*q = ~(~p+~q) # B2: ~Y = ~(p*q) = ~p+~q
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe są różne

Bezpośrednio z powyższego wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B2: ~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Równania B1 i B2 to symboliczna definicja operatora AND:
B1: Y=p*q
B2: ~Y=~p+~q
Dowód formalny wynika z algorytmu tworzenia równań algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej, który wkrótce poznamy.

Twierdzenie:
Prawo De Morgana zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo De Morgana mówi o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y).
Logika dodatnia Y to zanegowana logika ujemna ~Y
Y = ~(~Y)
Logika ujemna ~Y to zanegowana logika dodatnia Y
~Y = ~(Y)

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 otrzymujemy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y), czyli zdanie tożsame do B1:
B3: Y = p*q = ~(~p+~q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych 3 i 8

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając B2 i B1 otrzymujemy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y), czyli zdanie tożsame do B2:
B4: ~Y = ~p+~q = ~(p*q)
Dowodem formalnym w tabeli zero-jedynkowej jest tu tożsamość kolumn wynikowych 4 i 7.

Zauważmy, że prawa De Morgana zachodzą zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej, można je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń. Nieistotne jest, czy aktualnie jesteśmy w logice dodatniej (bo Y), czy ujemnej (bo ~Y).

Prawo przejścia do logiki przeciwnej wymusza spełnienie definicji dziedziny zarówno po stronie wejścia p i q jak i wyjścia Y.

Definicja dziedziny:
Kolumna wynikowa ~Y jest dopełnieniem do dziedziny dla kolumny Y
Y+~Y=1
Y*~Y=0
Doskonale widać, że nasze funkcje logiczne spełniają definicję dziedziny po stronie wyjścia Y, czego dowód mamy w dwóch ostatnich kolumnach 9 i 0.

Po stronie wejścia p i q także spełniona jest definicja dziedziny.
Kolumny 1 i 5:
p+~p=1
p*~p=0
Kolumny 2 i 6:
q+~q =1
q*~q =0


6.8 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
Kod:

   p+q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3


Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1  0 1 0  1   1   1
B: 0  1 1 0  1   0   1
   1  2 3 4  5   6   7


Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
Kod:

   p*q Y=p*q
A: 1*1  =1
B: 1*0  =0
C: 0*1  =0
D: 0*0  =0
   1 2   3


Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1  0 1 0  1   0   0
B: 0  1 1 0  0   0   0
   1  2 3 4  5   6   7


Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd

Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r)
;wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
;r+~r=1
;~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p*q*~r + ~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q)
;wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z)
;Podstawienie: z=q*~r+~q
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q
;mnożenie wielomianu
~z = r*q
;~q*q=0
;0+x =x
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r - funkcja logiczna „z” po minimalizacji
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) - przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) - podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.

Na zakończenie ciekawostka w postaci wyprowadzenia prawa De Morgana bez użycia rachunku zero-jedynkowego.

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie przyjmie wartość 1 i już funkcja logiczna Y=1

Algorytm wyprowadzenia prawa De Morgana bez użycia rachunku zero-jedynkowego:
A.
Y=p+q
Wprowadzenie podwójnych negacji w dowolną linię operatora OR niczego nie zmieni na mocy prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Negujemy podwójnie wszystkie sygnały w powyższej definicji A:
~(~Y)=~(~p)+~(~q)
Podstawmy:
Z=~Y
r=~p
s=~q
Stąd mamy:
~Z = ~r+~s
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
Z=r*s
Przywracamy oryginalne zmienne:
B.
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
Y=p+q = ~(~p*~q)

Twierdzenie:
W algebrze Kubusia nie są potrzebne ani zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, ani rachunek zero-jedynkowy, bowiem wszystko można udowodnić w równaniach algebry Boole’a, izolowanych od definicji zero-jedynkowych i rachunku zero-jedynkowego.


6.9 Operatory logiczne w spójnikach „lub(+) i „i”(*)

W tym rozdziale pokażemy związek zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych z równaniami algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) je opisującymi.

Twierdzenie:
Dowolna tabela zero-jedynkowa opisana spójnikami „lub”(+) i „i”(*) odpowiada na pytania:
W: Kiedy w przyszłości zajdzie Y (np. kiedy dotrzymam słowa)
albo
U: Kiedy w przyszłości zajdzie ~Y (np. kiedy skłamię)

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1+1  =1
B: 1+0  =1
C: 0+1  =1
D: 0+0  =0
   1 2   3

Twierdzenie:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możliwe są dwa i tylko dwa różne równania logiczne w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisujące tą tabelę, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera.

Algorytm tworzenia tych równań poznamy na przykładzie definicji operatora OR.

I.
Równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki (obszar ABC123)
1.
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i q=0 lub p=0 i q=1
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne binarne do jedynek
Y=1 <=>p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
3.
Prawda (=1) jest w logice matematycznej domyślna, możemy zatem w powyższym równaniu pominąć jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Równanie opisujące obszar ABC123:
W1: Y=p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

II.
Równanie logiczne opisujące wynikowe zera (linia D123):
1.
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne binarne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Prawda (=1) jest w logice matematycznej domyślna, pomijamy zetem jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności.
Równanie opisujące linię D123:
U1: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy nasze równanie opisujące obszar ABC123:
W1: Y = p*q + p*~q + ~p*q
;Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias
Y= p*(q+~q) + ~p*q
;q+~q=1
;x*1 =x
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~p*(p+~q)
;Wymnożenie wielomianu
~Y=~p*p + ~p*~q
;~p*p =0
;0+x =x
U1: ~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
W2: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Zauważmy, że wszystko jest t u zgodne z zero-jedynkową definicją operatora OR.
Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd podstawiając W1 i W2 mamy:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Stąd:
Definicja symboliczna operatora OR w układzie równań logicznych:
W2: Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1: ~Y=~p*~q

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna (~Y)
Y=~(~Y)
Podstawiając W2 i U1 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej i dodatniej:
Logika ujemna (~Y) to zanegowana logika dodatnia (Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając U1 i W2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej:
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Jak widzimy prawo De Morgana działa poprawnie zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej, można je zatem stosować bez żadnych ograniczeń.

Nanieśmy nasze analizy na tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1+1  =1   | Ya= p* q
B: 1+0  =1   | Yb= p*~q
C: 0+1  =1   | Yc=~p* q
D: 0+0  =0   |~Yd=~p*~q
   1 2   3

Matematycznie zachodzi.
Obszar ABC123 opisuje równanie logiczne:
Y = Ya+Yd + Yc
W1: Y = p*q + p*~q + ~p*q
Równanie tożsame po minimalizacji:
W2: Y=p+q
Linię D123 opisuje równanie:
~Y=~Yd
U1: ~Y =~p*~q

Zauważmy, że dla opisu dowolnej tabeli zero-jedynkowej naturalną postacią jest postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji) W1.
Zauważmy, że matematycznie negując obszar ABC123 dostaniemy poprawne równanie logiczne opisujące linię D123.
Obszar ABC123 opisuje równanie alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji):
W1: Y = (p*q)+(p*~q) + (~p*q)
Linię D123 opisuje zatem równanie:
Przejście z równaniem W1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U2: ~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Równanie oryginalne opisujące linię D123:
U1: ~Y = ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
U2: ~Y= U1: ~Y
stąd mamy tożsamość:
U2: (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q) = U1: ~p*~q
Czyli:
Postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw) z lewej strony jest tożsama z postacią koniunkcyjną z prawej strony.

Podobnie:
Negując linię D123 dostaniemy matematyczny opis obszaru ABC123.
Równanie opisujące linię D123:
U1: ~Y=~p*~q
Negując to równanie dostaniemy równanie logiczne opisujące obszar ABC123.
Negujemy wszystkie zmienne wymieniając spójniki na przeciwne
W2: Y=p+q
Równanie oryginalne powstałe z opisu obszaru ABC123 ma postać:
W1: Y = p*q+p*~q + ~p*q
Oczywiście matematycznie zachodzi:
W1: Y= W2: Y
stąd:
p*q + p*~q + ~p*q = p+q
czyli:
Postać alternatywo-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji) z lewej strony jest tożsama z postacią alternatywną z prawej strony.

Błędne jest zatem twierdzenie Ziemian iż każda funkcja zapisana w postaci alternatywno-koniunkcyjnej posiada tożsamą postać koniunkcyjno-alternatywną i odwrotnie. Kontrprzykładem jest tu banalna definicja operatora OR wyżej omówiona.

Twierdzenie poprawne matematycznie:
Jeśli tabela zero-jedynkowa utworzona dla dowolnej funkcji logicznej ma w wyniku więcej niż jedną jedynkę i więcej niż jedno zero to równanie alternatywno-koniunkcyjne dla takiej tabeli ma swój odpowiednik w równaniu koniunkcyjno-alternatywnym.

Najprostszą możliwą tabelą zero-jedynkową podlegającą pod tą definicję jest np. zero-jedynkowa definicja równoważności.

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q  Y=p<=>q
A: 1<=>1   =1
B: 0<=>0   =1
C: 1<=>0   =0
D: 0<=>1   =0
   1   2    3

Utworzenie kompletu równań logicznych opisujących tą tabelę jest absolutnie trywialne, szczegóły omówiono wyżej na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja równoważności wraz z równaniami cząstkowymi w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisującymi każdą linię:
Kod:

   p   q  Y=p<=>q
A: 1<=>1   =1      | Ya= p* q
B: 0<=>0   =1      | Yb=~p*~q
C: 1<=>0   =0      |~Yc= p*~q
D: 0<=>1   =0      |~Yd=~p* q
   1   2    3        4   5  6

I.
Równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki (obszar AB123):
Y = Ya+Yd
W1: Y = p*q + ~p*~q
II.
Równanie logiczne opisujące wynikowe zera (obszar CD123):
~Y=~Yc+~Yd
U1: ~Y = p*~q + ~p*q

Negując obszar AB123 dostaniemy równanie logiczne opisujące obszar CD123.
AB123:
W1: Y=(p*q)+(~p*~q) - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
U2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Równanie oryginalne opisujące obszar CD123 to:
U1: ~Y = p*~q+~p*q
Matematycznie zachodzi:
U1: ~Y= U2: ~Y
Podstawiając U1 i U2 otrzymujemy:
U1: p*~q + ~p*q = U2: (~p+~q)*(p+q)
czyli:
Postać alternatywno-koniunkcyjna z lewej strony ma swój odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej z prawej strony.

Podobnie:
Negując obszar CD123 dostaniemy równanie logiczne opisujące obszar AB123.
CD123:
U1: ~Y = (p*~q) + (~p*q) - logika ujemna (bo ~Y)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
W2: Y = (~p+q)*(p+~q)
Równanie oryginalne opisujące obszar AB123 to:
W1: Y=p*q + ~p*~q
Matematycznie zachodzi:
W1: Y= W2: Y
Podstawiając W1 i W2 otrzymujemy:
W1: p*q + ~p*~q = W2: (~p+q)*(p+~q)
czyli:
Postać alternatywno-koniunkcyjna z lewej strony ma swój odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej z prawej strony.

Na mocy powyższego możemy sformułować.
Ogólny algorytm wyznaczania funkcji koniunkcyjno-alternatywnej dla postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Zminimalizować zadaną funkcję logiczną
2.
Utworzyć tabelę zero-jedynkową dla tej funkcji
3.
Wyznaczyć szukane funkcje jak w naszym przykładzie dla operatora równoważności.

Przykładem równoważności poprawnie opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) jest obietnica bezwarunkowa.

Pójdę do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdę do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1

To równanie opisuje poprawnie wszystkie przypadki w których jutro dotrzymam słowa (Y=1):
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T = (K=1) i (T=1) =1 - pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
B: ~K*~T = (~K=1) i (~T=1) =1 - nie pójdę do kina (~K=10 i nie pójdę do teatru (~T=1)

Przypadki w których skłamię opisuje równanie w logice ujemnej (~Y):
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
C: K*~T = (K=1) i (~T=1) =1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
D: ~K*T = (~K=1) i (T=1) =1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)

Zauważmy, że jeśli wyrazimy równoważność w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to zdanie tożsame do powyższej obietnicy bezwarunkowej będzie brzmiało;
K<=>T = K*T + ~K*~T
czyli:
Jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1) lub nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1
Wystarczy że spełnię jeden z warunków i już zdanie jest prawdziwe.
Jak widzimy, w równoważności jest wszystko jedno czy wypowiem równoważność w spójniku „wtedy i tylko wtedy” czy też za pomocą funkcji logicznej Y zapisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*), ale wyłącznie wtedy gdy wiemy iż mamy do czynienia z równoważnością.
Porównajmy:
Definicja równoważności w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja implikacji prostej (o czym za chwilę) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
jak widzimy w obu przypadkach występują człony p*q i ~p*~q.
W obu przypadkach wystarczy udowodnić prawdziwość członu:
p*q =1
i już funkcja logiczna po lewej stronie jest prawdziwa, tylko która to funkcja?
p<=>q czy też może p=>q?
Wniosek:
Definicje operatorów równoważności i implikacji opisane spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nie nadają się do rozstrzygnięcia czy badane zdanie jest równoważnością (brak rzucania monetą) czy też implikacją prostą (jest „rzucanie monetą”).

Rozważmy na koniec operator implikacji prostej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p  q  Y=p=>q
A: 1=>1   =1
B: 0=>0   =1
C: 0=>1   =1
D: 1=>0   =0
   1  2    3

Równania cząstkowe dla poszczególnych linii przybiorą tu postać:
Kod:

   p  q  Y=p=>q
A: 1=>1   =1    | Ya= p* q
B: 0=>0   =1    | Yb=~p*~q
C: 0=>1   =1    | Yc=~p* q
D: 1=>0   =0    |~Yd= p*~q
   1  2    3

Wynikowe jedynki (obszar ABC123) opisuje tu równanie logiczne:
Y = Ya+Yb+Yc
W1: Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = (p*q) + ~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*p
~Y = ~p*p + ~q*p
U1: ~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
W2: Y=~p+q

Wynikowe zero (linia D123) opisuje równanie logiczne:
~Y=~Yd
U1: ~Y=p*~q

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Na mocy definicji dowolna obietnica to operator implikacji prostej

Przykład:
Ojciec do syna:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Jeśli wyrazimy tą obietnicę w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to dostaniemy poprawną odpowiedź kiedy w przyszłości ojciec dotrzyma słowa a kiedy skłamie.

A.
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K = (E=1) i (K=1) =1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
B: ~E*~K = (~E=1) i (~K=1) =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
lub
C: ~E*K = (~E=1) i (K=1) =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)

Ostatni przypadek to opisany matematycznie piękny akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody nawet w przypadku nie spełnienia warunku nagrody.
Ojciec może tu wręczyć komputer z dowolnym uzasadnieniem niezależnym mówiąc:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo cię kocham

… a kiedy ojciec skłamie?
Ojciec skłamie wyłącznie w jednym przypadku, mówi o tym funkcja w logice ujemnej (~Y).
Ojciec zostanie kłamcą (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: E*~K = (E=1) i (~K=1) =1 - syn zda egzamin i nie dostanie komputera

Implementacja operatora implikacji w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) pozwala nam przewidzieć kiedy w przyszłości ojciec dotrzyma słowa a kiedy skłamie. Nie ma tu jednak mowy o istocie implikacji, gwarancji matematycznej po stronie wynikowych jedynek. W przypadku wyrażenia implikacji spójnikami „lub”(+) i „i”(*) wszystkie wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej definicji implikacji są równoprawne, żadna z nich nie jest wyróżniona, żadna z nich nie mówi niczego o gwarancji matematycznej, istocie implikacji.

Jeśli wyrażamy implikację w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to zdanie tożsame do obietnicy ojca będzie brzmieć:
Y = p=>q = ~p+q
stąd:
Ojciec do syna:
A.
Jutro nie zdasz egzaminu lub dostaniesz komputer
Y=~E+K
… czy trzeba kogokolwiek przekonywać, że wyrażanie implikacji w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) jest kompletnie bez sensu, bo żaden człowiek tak nie mówi, żaden człowiek tego nie zrozumie.

Zauważmy, że przedstawiając implikację w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy poprawną gwarancję matematyczną po stronie fałszu.
Przejście z równaniem A do logiki przeciwnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
D.
~Y=E*~K
czyli:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K)
Y=E*~K
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że ojciec skłamie (~Y) gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K)
~Y=E*~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Poza tym wszystko może się zdarzyć, czyli mogą wystąpić trzy równoprawne jedynki po stronie wynikowych jedynek opisane wyżej, bez absolutnie żadnej gwarancji matematycznej.
Dokładnie z tego powodu ziemscy matematycy wściekle zwalczają pojęcie „gwarancji matematycznej”.
Klikamy na googlach:
„gwarancja matematyczna”
Wyników: 1960
… tyle że praktycznie wszystkie prowadzą do algebry Kubusia.

Matematycy walczą tu z wiatrakami …
Jeśli ojciec mówi do syna:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
To zarówno syn, jak i ojciec doskonale tu widzą GWARANCJĘ matematyczną, czyli w już w momencie wypowiedzenia tej obietnicy posiedli 100% wiedzę (gwarancję matematyczną) kiedy w przyszłości ojciec musi dać synowi komputer (jak zda egzamin). Dokładnie tym jest gwarancja matematyczna, to jest wiedza o tym kiedy na 100% ojciec musi dać synowi komputer.
Kompletnie bez znaczenia jest rzeczywiste rozstrzygnięcie tego faktu w przyszłości, w chałupę gdzie doszło do obietnicy, może uderzyć samolot tuż po wypowiedzeniu tej obietnicy i wszystkich zabić. Zauważmy, że gwarancji matematycznej, czyli wiedzy o tym kiedy syn musi dostać komputer nic nie jest w stanie zabić - ona jest niezależna od tego, co ojciec zrobi w przyszłości, może być kłamcą i nie dać komputera jak syn zda egzamin (mimo że jest w stanie) ale gwarancji matematycznej, czyli wiedzy o tym kiedy w przyszłości syn musi dostać komputer nic nie zabije.

Istotą implikacji są spójniki implikacyjne (=>, ~> i ~~>) które poznaliśmy na początku wykładów z algebry Kubusia. To jest banalna logika matematyczna zrozumiała dla każdego 5-cio latka i humanisty.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:53, 28 Gru 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 1:03, 25 Gru 2014    Temat postu:

7.0 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)

Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna

Pojęcia tożsame:
Alternatywa = suma logiczna
Koniunkcja = iloczyn logiczny

Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1

Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1

Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)


Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.

Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1

Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej (logiki człowieka) to po prostu wymnożenie wielomianów.

Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
Y = p*r + p*~q + q*r
Prawa algebry Boole’a:
q*~q=0
x+0 =x

Dowód sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka poprzez znalezienie kontrprzykładu.

Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując postać koniunkcyjno-alternatywną:
U1.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjna, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już skłamałem (~Y=1), drugiego składnika nie musimy sprawdzać.

Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać

Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)

Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)

W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd

Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.

Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.

Rozważmy problem postaci alternatywno-koniunkcyjnej i koniunkcyjno-alternatywnej na przykładzie ogólnym, gdzie w tabeli zero-jedynkowej występuje więcej niż jedna linia z jedynkami w wyniku i więcej niż jedna linia z zerami w wyniku.

Zadanie:
Znaleźć wszystkie możliwe postaci funkcji logicznej:
A: Y=p+q*r

Wszystkie możliwe funkcje minimalne to:
A: Y=p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice dodatniej (bo Y)
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
D: ~Y=~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno-alternatywna w logice ujemnej (bo ~Y)
Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymujemy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno-koniunkcyjna w logice ujemnej (bo ~Y)

Wyłącznie postaci alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiana przez każdego człowieka.
Z równaniem C przechodzimy z powrotem do logiki dodatniej otrzymując minimalną postać koniunkcyjno-alternatywną, oczywiście sprzeczną z logiką człowieka.
B: Y = (p+q)*(p+r)

Matematycznie zachodzą tożsamości w postaciach minimalnych:
Y = Y
A: Y = p+q*r = B: Y = (p+q)*(p+r)
~Y = ~Y
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r = D: ~Y = ~p*(~q+~r)

A i C to postaci alternatywno-koniunkcyjne.
B i D to postaci koniunkcyjno-alternatywne

Dowód sprzeczności równania B z naturalną logiką człowieka:
A.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i do parku
Y = K+B*P
To rozumie każdy 5-cio latek.

Zdanie matematycznie tożsame:
B.
Y = (K+B)*(K+P)
Wypowiedzmy zdanie B w naturalnej logice człowieka:
B1.
Jutro pójdę do kina lub pójdę na basen i pójdę do kina lub pójdę do parku

Kolejność spójników w naturalnej logice człowieka to:
„i”(*), „lub”(+)
Stąd każdy normalny człowiek zrozumie i zapisze zdanie jako:
B1: Y = K + B*K + P

Oczywiście funkcja logiczna B1 to zupełnie co innego niż funkcja B co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka
cnd

Podsumowując, postaci minimalne dla naszej funkcji logicznej A to:
A: Y = p+q*r - postać alternatywno-koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
B: Y = (p+q)*(p+r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)

Postaci minimalne dla naszej funkcji A w logice ujemnej (bo ~Y) to:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r - postać alternatywno koniunkcyjna (naturalna logika człowieka)
D: ~Y = ~p*(~q+~r) - postać koniunkcyjno- alternatywna (funkcja sprzeczna z naturalną logiką człowieka)


7.1 Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla zadanej funkcji logicznej

Dana jest funkcja logiczny Y (patrz nasz przykład wyżej):
W: Y = p+q*r
… a kiedy zajdzie ~Y?
W: Y = p+(q*r)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y = ~p*(~q+~r)
Zadanie:
Utworzyć tabelę zero-jedynkową opisującą funkcję W i U.
Kod:

   p q r q*r Y=p+q*r  |~p ~q ~r ~q+~r ~Y=~p*(~q+~r)
A: 1 1 1  1  1        | 0  0  0   0     =0
B: 1 1 0  0  1        | 0  0  1   1     =0
C: 1 0 1  0  1        | 0  1  0   1     =0
D: 1 0 0  0  1        | 0  1  1   1     =0
E: 0 1 1  1  1        | 1  0  0   0     =0
F: 0 1 0  0  0        | 1  0  1   1     =1
G: 0 0 1  0  0        | 1  1  0   1     =1
H: 0 0 0  0  0        | 1  1  1   1     =1
   1 2 3  4  5          6  7  8   9      0


Rozwiązanie:
Budowa tabeli zero-jedynkowej dla funkcji logicznej:
W: Y = p*q*r
W tabeli ABCDEFGH123 zapisujemy wszystkie możliwe kombinacje zmiennych p, q i r.
Dalsze postępowanie:
1. Wypełniamy kolumnę: q+r
2. Wypełniamy kolumnę wynikową: Y=p+q*r
Budowa tabeli zero-jedynkowej dla funkcji logicznej:
U: ~Y = ~p*(~p+~r)
Budujemy kolumny wejściowe ~p, ~q i ~r potrzebne w tym równaniu w obszarze ABCDEFGH678
Dalsze postępowanie:
1. Budujemy funkcję cząstkową ~q+~r występującą w równaniu U.
2. Wypełniamy kolumnę wynikową: ~Y=~p*(*~q+~r)


7.2 Tworzenie równań algebry Boole’a opisujących tabelę zero-jedynkową

Weźmy nasze tabele zero-jedynkowe funkcji logicznych:
W: Y = p+q*r
U: ~Y=~p*(~q+~r)
Zadanie:
Zbudować funkcje cząstkowe opisujące wszystkie linie w naszej tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

   p q r q*r Y=p+q*r          |~p ~q ~r ~q+~r ~Y=~p*(~q+~r)
A: 1 1 1  1  1  / Ya= p* q* r | 0  0  0   0     =0  / Ya= p* q* r
B: 1 1 0  0  1  / Yb= p* q*~r | 0  0  1   1     =0  / Yb= p* q*~r
C: 1 0 1  0  1  / Yc= p*~q* r | 0  1  0   1     =0  / Yc= p*~q* r
D: 1 0 0  0  1  / Yd= p*~q*~r | 0  1  1   1     =0  / Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1  1  1  / Ye=~p* q* r | 1  0  0   0     =0  / Ye=~p* q* r
F: 0 1 0  0  0  /~Yf=~p* q*~r | 1  0  1   1     =1  /~Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1  0  0  /~Yg=~p*~q* r | 1  1  0   1     =1  /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0  0  0  /~Yh=~p*~q*~r | 1  1  1   1     =1  /~Yh=~p*~q*~r
   1 2 3  4  5    a   b  c  d   6  7  8   9      0    e   f  g  h


I.
Algorytm tworzenia równań cząstkowych abcd w naturalnej logice człowieka (dwa przykłady):
1.
Linia C1235:
Spisujemy dokładnie to co widzimy (spis z natury):
Yc=1 <=> p=1 i q=0 i r=1
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Yc=1 <=> p=1 i ~q=1 i r=1
Prawda (=1) jest w logice domyślna, stąd możemy pominąć wszystkie jedynki nic nie tracąc na jednoznaczności, otrzymując poprawne matematycznie równanie cząstkowe opisujące linię C1235.
Yc = p*~q*r
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> p=1 i ~q=1 i r=1
2.
Linia G1235:
Spisujemy dokładnie to co widzimy (spis z natury):
Yg=0 <=> p=0 i q=0 i r=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Yg=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i r=1
Prawda (=1) jest w logice domyślna, możemy ja pominąć otrzymując równanie cząstkowe opisujące linię Yg.
~Yg = ~p*~q*r
co matematycznie oznacza:
~Yg=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i r=1
Zauważmy, że powyższe równanie opisuje linię G6780 (a nie linię G1235) bo tylko tu widzimy ~Yg=1
etc

II.
Algorytm tworzenia równań cząstkowych efgh w naturalnej logice człowieka (dwa przykłady):
1.
Linia G6780:
Spisujemy dokładnie to co widzimy (spis z natury):
~Yg=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i ~r=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Yg=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i r=1
Prawda (=1) jest w logice domyślna, możemy ja pominąć otrzymując równanie cząstkowe opisujące linię Yg.
~Yg = ~p*~q*r
co matematycznie oznacza:
~Yg=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i r=1
2.
Linia C6780:
Spisujemy dokładnie to co widzimy (spis z natury):
~Yc=0 <=> ~p=0 i ~q=1 i ~r=0
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Yc=1 <=> p=1 i ~q=1 i r=1
Prawda (=1) jest w logice domyślna, możemy ja pominąć otrzymując równanie cząstkowe opisujące linię Yc.
Yc = p*~q*r
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> p=1 i ~q=1 i r=1
Zauważmy, że powyższe równanie opisuje linię C1235 (a nie linię C6780) bo tylko tu widzimy Yc=1.
etc.

Doskonale widać identyczność definicji symbolicznych (źródłowych) abcd i efgh niezależnie od przyjętego punktu odniesienia:
Y=p+q*r - dla tabeli 12345
lub
~Y=~p*(~q+~r) - dla tabeli 67890

III.
Wynikowe jedynki w tabeli ABCDEFGH1235 opisuje równanie:
Y=1
Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye

IV.
Wynikowe jedynki w tabeli ABCDEFGH6780 opisuje równanie:
~Y=1
~Y=~Yf+~Yg+~Yh


7.3 Twierdzenie śfinii

Twierdzenie śfinii dla spójników „lub”(+) i „i”(*):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku

Wróćmy do naszego przykładu.
Naszą tabelę ABCDE1235 opisuje układ równań logicznych utworzonych dla jedynek w wyniku:
ABCDE1235:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
FGH123:
~Y = ~Yf + ~Yg+~Yh
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Z twierdzenia śfinii wynika, że równania w logice dodatniej (bo Y) opisują wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli ABCDEFGH123:
A: Y = p+q*r
B: Y = (p+q)*(p+r)

Dowód:
ABCDE123:
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
Y=p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r
Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*q*r
~Y = ~p*(p+~q+~r)
~Y = ~p*p+~p*~q + ~p*~r
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y = ~p*(~q+~r)
Przejście z równaniem D do logiki przeciwnej:
A: Y = p+q*r
Przejście z równaniem C do logiki przeciwnej:
B: Y = (p+q)*(p+r)
cnd
Jak widzimy, wszystko nam się bombowo zgadza, równania A i B wyprowadziliśmy wcześniej nie potrzebując tabeli zero-jedynkowej.

Z twierdzenia śfinii wynika, że równania w logice ujemnej (bo ~Y) opisują wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli ABCDEFGH6780:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y=~p*(~q+~r)
Dowód:
FGH6780:
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r)
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q
~Y = ~p(q*~r+~q)
~Y = ~p*(z)
z=(q*~r) + ~q
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q
~z = r*q
~z = q*r
z = ~q + ~r
~Y = ~p*(z)
D: ~Y = ~p*(~q + ~r)
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
cnd
Tu również wszystko genialnie się zgadza, równania C i D wyprowadziliśmy wcześniej bez pomocy tabeli zero-jedynkowej.

Nasz przykład:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+B*P
Zauważmy, że w zdaniu tym mamy totalny brak determinizmu, nie mamy pojęcia jakie wartości logiczne przyjmą w tym zdaniu zmienne K, B i P w dniu jutrzejszym, dlatego są to zmienne logiczne a nie stałe symboliczne.

Definicje:
1.
Zmienna logiczna (binarna):
Zmienna logiczna to zmienna która w funkcji czasu może przyjmować dowolne wartości 0 albo 1
Przykłady: K, B, P
2.
Stała symboliczna:
Stała symboliczna to symboliczna nazwa konkretnej wartości logicznej znanej z góry która nigdy nie może być zmieniona.

Załóżmy, że jest pojutrze i znamy już wartości logiczne wszystkich zmiennych np.
A.
K=0 - wczoraj nie byłem w kinie
B=0 - wczoraj nie byłem na basenie
P=1 - wczoraj byłem w parku
Czasu nie można cofnąć, zmienne K, B, i P z przedwczoraj przeszły w stałe symboliczne dzisiaj.
Niemożliwa jest jakakolwiek zmiana stałej symbolicznej.

Najprostsze rozstrzygnięcie czy wczoraj dotrzymałem słowa/skłamałem otrzymamy bezpośrednio ze zdania wypowiedzianego (nagłówek tabeli):
Y = K + B*P = 0 + 0*1 = 0+0 =0
Y=0 - skłamałem w logice dodatniej (bo Y)

Alternatywnym rozwiązaniem jest sprowadzenie wszystkich zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
~K=1 - wczoraj nie byłem w kinie
~B=1 - wczoraj nie byłem na basenie
P=1 - wczoraj byłem w parku

Dopiero teraz możemy wypowiedzieć zdanie w naturalnej logice człowieka izolowanej od jakichkolwiek zer i jedynek.
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i nie byłem na basenie, ale byłem w parku
Y? = ~K*~B*P
Aby uzyskać odpowiedź czy dotrzymałem słowa wymawiając obietnicę przedwczoraj musimy znaleźć funkcję logiczną zapisaną z prawej strony w tabeli zero-jedynkowej wyżej.

Łatwo znajdujemy rozwiązanie w linii G:
Gabcd = Gefgh:
~Yg = ~p*~q*r
W przełożeniu na nasz przykład mamy:
~Yg = ~K*~B*P
Oczywiście ~Yg oznacza że nie dotrzymałem przedwczorajszej obietnicy, skłamałem.

Ogólne twierdzenie śfinii - fundamentalne prawo logiki:
W dowolnym równaniu algebry Boole'a mamy do czynienia ze zmiennymi sprowadzonymi do jedynek
Dotyczy to wszystkich spójników (także =>, ~> i ~~>) a nie tylko spójników „lub”(+) i „i”(*).

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
co matematycznie oznacza:
(P=1) => (CH=1) =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur.
czyli:
Jeśli pada (P=1) to na pewno => są chmury (CH=1)
P=>CH =1
Z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwronie).
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =0 - zdarzenie niemożliwe
co matematycznie oznacza:
(~P=1)~~>(~CH=1) = (~P=1)*(CH=1) =0

… a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
stąd:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
co matematycznie oznacza:
(~P=1) ~>(~CH=1) =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Jaś (lat 5):
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było chmur bo jak są chmury to na pewno => pada
~P~>~CH = P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH =1
co matematycznie oznacza:
(~P=1) ~~> (CH=1) =1
Brak opadów nie jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH =0
Zdanie B jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość wystąpienia przypadku:
D: ~P*CH = 1*1 =1 - są chmury (CH=1) i pada (P=1)

Doskonale widać, że we wszystkich zdaniach wyżej (A, B, C i D) mamy do czynienia ze zmiennymi sprowadzonymi do jedynek.

Ziemianie doskonale wiedzą, choć nie są tego świadomi, że w dowolnym równaniu logicznym w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.

Dowód:
Uwaga 2.7 z "Wstępu do matematyki" prof. Newelskiego z UWr
[link widoczny dla zalogowanych]

Zadanie:
Dana jest przykładowa tabela zero-jedynkowa:
Kod:

p q r Y=?
0 0 0  0
0 0 1  1
0 1 0  1
0 1 1  0
1 0 0  0
1 0 1  1
1 1 0  0
1 1 1  0

Zapisać funkcję logiczną opisującą tą tabelę

Prof. Newelski zapisał dokładnie to co widać w powyższej tabeli:
A.
Y=1 <=> (p=0 i q=0 i r=1) lub (p=0 i q=1 i r=0) lub (p=1 i q=0 i r=1)

Po czym od razu zapisał końcowe równanie algebry Boole’a opisujące analizowaną przez niego tabelę zero-jedynkową:
B.
Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + p*~q*r
co matematycznie oznacza:
C.
Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1 i r=1) lub (~p=1 i q=1 i ~r=1) lub (p=1 i ~q=1 i r=1)

Żaden Ziemski matematyk nie może mieć wątpliwości, że w równaniu B mamy po prawej stronie do czynienia ze zmiennymi binarnymi.
Straszna prawda dla Ziemskich matematyków to prawa Prosiaczka, których nie znają.
Doskonale widać, że w równaniu B wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka, w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(p=1) = (~p=0)
cnd
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych.
Przykładowo, tożsamy do C będzie zapis:
D.
~Y=0 <=> (p=0 i ~q=1 i r=1) lub (~p=1 i q=1 i ~r=1) lub (p=1 i ~q=1 i ~r=0)
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A=C=D
Prawda jest w logice domyślna, to jest wspólny punkt odniesienia dla równań algebry Boole’a. Po sprowadzeniu dowolnej zmiennej do jedynki na mocy praw Prosiaczka, możemy tą jedynkę pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.


7.4 Prawo Sowy

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Doskonale to widać na naszym przykładzie.
Jest pojutrze i zaszło:
Wczoraj nie byłem w kinie i nie byłem na basenie, ale byłem w parku
~Y = ~K*~B*P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~B=1 i P=1
W równaniu wyżej nie mamy już do czynienia ze zmiennymi binarnymi (tu wartości logiczne mogą być zmieniane), lecz ze stałymi symbolicznymi gdzie nie mamy najmniejszych szans na zmianę ich wartości logicznych - czasu nie można cofnąć, klamka zapadła.

Wartości logiczne stałych symbolicznych mamy tu następujące:
~K=1 stąd K=0
~B=1 stąd B=0
P=1 stąd ~P=0

Nasza tabela zero-jedynkowa w świecie zdeterminowanym (pojutrze) przybiera postać:
Kod:

  ~p ~q  r ~Y=~p*~q*r
A: 1  1  1   1        /~Ya=~p*~q* r
B: 1  1  0   0        / Yb=~p*~q*~r
C: 1  0  1   0        / Yc=~p* q* r
D: 1  0  0   0        / Yd=~p* q*~r
E: 0  1  1   0        / Ye= p*~q* r
F: 0  1  0   0        / Yf= p*~q*~r
G: 0  0  1   0        / Yg= p* q* r
H: 0  0  0   0        / Yh= p* q*~r
   1  2  3   4          a   b  c  d


Doskonale widać definicję operatora logicznego AND co oznacza że prawo Sowy działa doskonale.
~Y = ~p*~q*r
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i r=1

Nasza tabela spełnia również twierdzenie śfinii:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku.

W świecie zdeterminowanym, na mocy prawa Sowy i twierdzenia śfinii spójnik „i”(*) to wyłącznie pierwsza linia naszej tabeli zero-jedynkowej.

Udajmy się do przedszkola gdzie trwa konkurs „zgadywanka”.
Pani:
Co to jest: ma cztery nogi?
Jaś:
Czy to jest stół?
Pani:
To nie jest stół
Y=>~S
Zuzia:
Czy to jest zwierzę?
Pani:
Tak, to jest zwierzę.
Y=>~S*Z
Jaś:
Czy to zwierzę miauczy?
Pani:
Nie miauczy.
Y => ~S*Z*~M
Jaś:
Czy to jest pies?
Pani:
Tak, to jest pies.
Y=> ~S*Z*~M
co matematycznie oznacza:
Y=1 => ~S=1 i Z=1 i ~M=1
Rozwiązanie zagadki to:
Y=P (pies)
Zauważmy, że zanegowane wyżej zmienne są w iloczynie logicznym neutralne, bo ich wartość logiczna jest równa 1. Tego typu zmienne mają sens wyłącznie w zagadkach jak wyżej.

Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci, opiszcie proszę psa.
Dowcipny Jaś:
Pies nie jest stołem, nie ćwierka, nie jest księżycem…
P=>~S*~C*~K ...
co matematycznie oznacza:
P=1 => ~S=1 i ~C=1 i ~K=1
Pani:
Jaaasiu, dość!
Prawdą jest to co mówisz, ale jeśli opisujemy znanego nam doskonale psa to musimy wymieniać cechy psa, a nie zanegowane cechy dowolnych innych pojęć których jest nieskończenie wiele.
Jaś:
Pies ma cztery łapy, ogon i szczeka
P=>4L*O*S
co matematycznie oznacza:
P=1 => 4L=1 i O=1 i S=1
Pani:
Brawo Jasiu, dokładnie o to chodzi w definiowaniu znanego wszystkim pojęcia.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:54, 28 Gru 2014, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25115
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 1:06, 25 Gru 2014    Temat postu:

.....
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Andy72




Dołączył: 30 Sie 2010
Posty: 3332
Przeczytał: 0 tematów


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 15:33, 27 Gru 2014    Temat postu:

Logika Kubusia jest całkiem jałowa, bo albo opisuje oczywistości zgodne z "ziemską logiką" albo mówi bzdury.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin