Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia: Logika człowieka Beta 4

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 6:06, 11 Kwi 2012    Temat postu: Algebra Kubusia: Logika człowieka Beta 4

Link do wersji końcowej - wreszcie!
Algebra Kubusia: Logika człowieka

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Logika człowieka

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macjan - prekursor Algebry Kubusia

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza, Sogorsa i Quebaba - za długą i ciekawą dyskusję

[link widoczny dla zalogowanych]
Daggera, Ducha i Fiklita (szczególnie) - za najważniejszą, bo stawiającą kropkę nad „i” dyskusję
Na forum [link widoczny dla zalogowanych] zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>.
Finałowa dyskusja z Fiklitem dzięki której algebra Kubusia przybrała postać końcową:
[link widoczny dla zalogowanych]


Kim jest Kubuś?

Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po siedmiu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane.

Algebra Kubusia to podręcznik logiki matematycznej do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.

Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna logika matematyczna Ziemian nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q = ~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty). Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.

Najważniejszymi prawami w logice matematycznej są prawa Kubusia i prawa Prosiaczka.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego najważniejsze?
Bo tylko i wyłącznie dzięki nim możliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego. Ludzkość wreszcie poznała to, o czym marzy od 2500 lat.

Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.

Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita


Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.1 Operacje na zbiorach
2.2 Właściwości zbiorów
2.3 Diagramy Kubusia

3.0 Operatory logiczne OR i AND
3.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
3.2 Tworzenie równań logicznych w logice zero
3.3 Operator OR w zbiorach
3.4 Operator AND w zbiorach
3.5 Minimalizacja funkcji logicznych
3.6 Osiem równań opisujących operator OR
3.7 Osiem równań opisujących operator AND

4.0 Operatory implikacji i równoważności
4.1 Definicja warunku wystarczającego i implikacja prosta
4.2 Definicja warunku koniecznego i implikacja odwrotna
4.3 Przemienność argumentów w implikacji
4.4 Prawa kontrapozycji w implikacji
4.5 Porównanie nowych i starych praw kontrapozycji
4.6 Równoważność
4.7 Implikacja i równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
4.8 Implikacja i równoważność w pigułce
4.9 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

5.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
5.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
5.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
5.3 Operatory transmisji P i Q
5.4 Operatory negacji NP i NQ
5.5 Operator XOR
5.6 Spójnik „albo”($), prawo Hipcia

6.0 Nietypowe problemy logiki
6.1 Nietypowa równoważność
6.2 Wynikanie równoważnościowe |-
6.3 Samodzielny warunek wystarczający

7.0 Definicje operatorów w bramkach logicznych
7.1 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

8.0 Obietnice i groźby
8.1 Definicje obietnicy i groźby
8.2 Obietnica
8.3 Groźba
8.4 Obietnica w równaniach logicznych
8.5 Groźba w równaniach logicznych
8.6 Analiza złożonej obietnicy
8.7 Analiza złożonej groźby

9.0 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
9.1 Rodzaje obietnic

10.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
10.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
10.2 Złożona implikacja prosta
10.3 Złożona implikacja odwrotna
10.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
10.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia


1.0 Notacja

Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd kluczowe prawa algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
Na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

”=” - znak tożsamości

Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B

Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy teorii zbiorów
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnego języka mówionego

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym =>, warunkiem koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y
W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

Kubusiowa teoria zbiorów:

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0


2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd jedno z najważniejszych praw algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

Kod:

p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.

Maszynowa definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

Maszynowa definicja operatora logicznego to epoka kamienna, to zatrzymanie czasu na momencie wynalezienia bramek logicznych z zakazem dalszego rozwoju techniki cyfrowej. Oczywiście żaden inżynier nie projektuje czegokolwiek w zerach i jedynkach, żaden programista nie pisze programu komputerowego bezpośrednio w zerach i jedynkach.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia:
Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości.
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy
Matematyka:
Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych

Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:

OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]

AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q

Implikacja prosta:
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p=>q = ~p=>~q
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]

Implikacja odwrotna:
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p~>q = ~p=>~q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]

Równoważność:
Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2,3,4,5,6]

XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q
p=[1,2], q=[3,4]

Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach.


2.1 Operacje na zbiorach

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty


2.2 Właściwości zbiorów

Definicja zbioru niepustego
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe

Definicja zbioru pustego
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany z logicznym zerem, zdanie fałszywe

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element

Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności

p+~p = 1*1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny zbioru liczb naturalnych

p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0

Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt

P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)

P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt, stąd w wyniku 1

P*~P=0
Iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne

Właściwości zbioru pustego
1.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Suma logiczna zbioru pustego z czymkolwiek jest tym czymkolwiek
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
[] - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p*[] = p*0 = 0
p+[] = p+0 = p
W algebrze Kubusia zbiór pusty [] to po prostu logiczne zero.
2.
Zbiór pusty to także brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum
Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Zbiory: P*~G = P
Zbiór zwierząt będących galaktyką jest zbiorem pustym
Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum, zatem „pies” mieści się w tym zbiorze.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być galaktyką
P~~>G=0
Zbiory: P*G = 1*0 =0

A i B to definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia, szczegóły wkrótce.

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe

Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach


2.3 Diagramy Kubusia

Diagramy Kubusia to zupełnie co innego niż znane matematykom, prymitywne diagramy Venna.
Zobaczmy to na przykładzie spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):

Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

W diagramie widzimy tożsamość obszarów:
W: Y = p+q
W1: Y = p*q + p*~q +~p*q
co jest dowodem tożsamości powyższych definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Jak powstały kolorowe obszary opisujące tak szczegółowo definicję spójnika „lub”(+)?



W pierwszej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów

W drugiej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*~q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i ~q, czyli wspólna część kolorowych obszarów

W trzeciej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
~p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów ~p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów


3.0 Operatory logiczne OR i AND

Decydująca o wszystkim dyskusja na temat algebry Kubusia zaczęła się od pewnego [link widoczny dla zalogowanych] i przyciągnięcia z forum [link widoczny dla zalogowanych] jednego z najlepszych autorytetów ziemskiej logiki z jakim zdarzyło się Kubusiowi dyskutować - Fiklita. Myślę, że jeśli ludzie zauważą AK to będzie to w decydującej części jego zasługą.

W czasie dyskusji Fiklit podał link do wykładów [link widoczny dla zalogowanych] dowodząc, że Ziemianie umieją tworzyć równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Owszem, umieją, tylko dlaczego nie ma tych banałów w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO?
Przecież to równania algebry Boole’a, a nie tabele zero-jedynkowe są naturalną logiką każdego człowieka!
Tak więc nieoczekiwanie Kubuś znalazł popierający go autorytet w temacie tworzenia równań algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

W równaniach [link widoczny dla zalogowanych] wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek na mocy kluczowych praw algebry Boole’a.
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z naturalnej logiki człowieka (równania algebry Boole’a) do tabel zero-jedynkowych i odwrotnie, bez nich matematyczny opis logiki człowieka po prostu nie istnieje.
Dlaczego tych kluczowych praw algebry Boole’a nie ma w żadnym podręczniku ani w Wikipedii?
Oto jest pytanie.

Operatory OR i AND opisują właściwości dwóch zbiorów p i q które mają część wspólną i nie zawierają się jeden w drugim.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, r

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y


3.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Fundamentem algorytmu [link widoczny dla zalogowanych] są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
Kod:

p ~p p*~p p+~p
1  0  =0   =1
0  1  =0   =1

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Algorytm prof. Newelskiego poznamy na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:
1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.
Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*~q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.

Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!
Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*~q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Postępujemy identycznie jak wyżej algorytmem prof. Newelskiego
1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.

Równanie opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 1 0  =1    / Y= p*~q
C: 0 1  =1    / Y=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
   1 2   3

Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Ostatnią tabelę możemy też zapisać w ten sposób …

Pełna definicja operatora OR:
Kod:

Symboliczna  |Kodowanie              |Kodowanie
definicja    |zero-jedynkowe         |zero-jedynkowe
operatora OR |dla punktu             |dla punktu
W: Y=p+q     |odniesienia Y=p+q      |odniesienia ~Y=~p*~q
             | p q Y=p+q             | ~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y   | 1 1  =1    / Y= p* q  |  0  0   =0
B: p*~q= Y   | 1 0  =1    / Y= p*~q  |  0  1   =0
C:~p* q= Y   | 0 1  =1    / Y=~p* q  |  1  0   =0
D:~p*~q=~Y   | 0 0  =0               |  1  1   =1  /~Y=~p*~q
   1 2   3   | 4 5   6               |  7  8    9
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             |p=1, ~p=0              |~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0              |~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=1              |~Y=1, Y=0

Doskonale widać definicję zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w obszarze ABC456 oraz definicję zero-jedynkową spójnika „i”(*) w linii D789

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).

Równanie logiczne:
Y=p+q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

W punkcie 3.3 poznamy działanie dokładnie odwrotne, czyli wygenerowanie symbolicznej definicji operatora OR z nowej teorii zbiorów po czym przejście do tabeli zero-jedynkowej w sposób dokładnie odwrotny do algorytmu [link widoczny dla zalogowanych].
Całość zilustruje konkretny przykład z naturalnego języka mówionego.


3.2 Tworzenie równań logicznych w logice zero

Podstawą matematyczną są tu definicje spójników „lub”(+) oraz „i”(*) w logice zero.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR w logice zero:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3


Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Y=p+q
Y=0 <=> p=0 i q=0
Jak widzimy w zapisie symbolicznym mamy znaczek „+” natomiast w spisie z natury mamy znaczek „*”, co jest sprzeczne z naturalną logiką człowieka.

Zero-jedynkowa definicja operatora AND w logice zero:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 0 0  =0
B: 0 1  =0
C: 1 0  =0
D: 1 1  =1
   1 2   3

Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy zeru wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru
Y=p*q
Y=0 <=> p=0 lub q=0
W zapisie symbolicznym mamy znaczek „*” natomiast w spisie z natury mamy znaczek „+”, co jest sprzeczne z naturalną logiką człowieka.

Wniosek:
Logika zero jest sprzeczna z naturalną logiką człowieka, tak więc ten sposób tworzenia równań logicznych traktujmy jako matematyczną ciekawostkę.

Pełna definicja spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka, wyprowadzona w poprzednim punkcie.
Obszar ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*~q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Linia D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+q)

Ostatni zapis pokazuje alternatywny sposób tworzenia równań algebry Boole’a.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+q)

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

1.
Spis z natury dla wynikowych jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=1 to ~p=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera:
A: ~Y=0 <=> ~p=0 i ~q=0
lub
B: ~Y=0 <=> ~p=0 i q=0
lub
C: ~Y=0 <=> p=0 i q=0
3.
Na mocy definicji spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice zero opuszczamy zera w powyższym spisie z natury stosując spójnik „lub”(+) w poziomach i spójnik „i”(*) w pionach. Otrzymane równanie opisuje linię D123, bowiem zapis ~Y w naturalnej logice człowieka to matematyczny zapis linii D123.
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+q)

Równanie algebry Boole’a dla linii D123 wyprowadzone w logice zero:
Dla linii D123 mamy:
1.
Spis z natury:
D: Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Wszystkie zmienne mamy sprowadzone do zera, więc nic nie musimy robić
3.
Równanie w logice zero:
Y=p+q
Oczywiście w logice człowieka równanie to opisuje obszar ABC123 a nie linię D123
Tak więc zdecydowanie logikę zero należy traktować jako matematyczną ciekawostkę.

Logika zero i logika człowieka są równoważne bowiem posługując się dowolną z nich dojdziemy do tych samych równań logicznych opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową.

Dowód:
Równanie wyprowadzone ciut wyżej:
Y=p+q
to definicja spójnika „lub”(+) w logice człowieka i opisuje obszar ABC123

Inne równanie wyprowadzone wyżej w logice zero:
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+q)
Przechodzimy do logiki dodatniej poprze negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
To jest alternatywna definicja spójnika „lub”(+) opisująca obszar ABC123 z naturalnej logiki człowieka
etc


3.3 Operator OR w zbiorach

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Definicja operatora OR z naniesionymi równaniami algebry Boole’a opisującymi poszczególne linie:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 1 0  =1    / Y= p*~q
C: 0 1  =1    / Y=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
   1 2   3

Technikę tworzenia równań w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) poznaliśmy wyżej.
Zauważmy, że linia D nie jest opisana precyzyjnie bowiem w równaniach algebry Bool’a mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, co wynika z techniki tworzenia równań którą niedawno poznaliśmy.

D123.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Zauważmy, że w nagłówku tabeli mamy Y=0 a nie ~Y=1.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=0 <=> ~Y=1

Definicja:
Punktem odniesienia w naturalnej logice człowieka są zmienne binarne sprowadzone do jedynek, czyli do równań algebry Boole’a.
Logika człowieka to równania algebry Boole’a a nie tabele zero-jedynkowe.

Jak uwidocznić logikę w pełni symboliczną w tabeli zero-jedynkowej?

Pełna definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q            |~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1  =1    / Y= p* q | 0  0   =0
B: 1 0  =1    / Y= p*~q | 0  1   =0
C: 0 1  =1    / Y=~p* q | 1  0   =0
D: 0 0  =0              | 1  1   =1  /~Y=~p*~q
   1 2   3      a  b  c   4  5    6    d  e  f

Zauważmy, że dopiero teraz mamy logikę symboliczną w 100% zgodną z naturalną logiką człowieka.
W obszarze ABC123 mamy zero-jedynkową definicje spójnika „lub”(+) opisaną symbolicznie równaniem w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Pozostałe linie w tabeli ABCD123 uzupełniamy zerami w wyniku (tu linia D123).

W linii D456 mamy zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) opisaną symbolicznie równaniem w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1 i ~q=1
Pozostałe linie w tabeli ABCD456 uzupełniamy zerami w wyniku (tu obszar ABC456).
Zero-jedynkowo tabela ABCD456 to definicja operatora AND.

Stąd mamy:

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q

Definicja operatora OR w zbiorach.

Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
~Y=~p*~q=1
~Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1

W: Y = p*q + p*~q +~p*q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
W funkcji Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1.

Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy Y, zatem są to definicje tożsame:
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę.

Kompletny operator OR opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar Y to otrzymamy obszar ~Y i odwrotnie.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie.

Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
będące najważniejszym prawem w logice, z którego będziemy korzystać non-stop.

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora AND.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p+~q = ~[~(~p)*~(~q)] = ~(p*q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p+~q) = p*q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*).
Przy okazji doskonale widać, że operator AND jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (albo odwrotnie)
Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator OR.
Definicja operatora OR w układzie równań Kubusia:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Na mocy prawa de’Morgana negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator AND:
C: ~y=~p+~q
D: y=p*q
To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki logiczne |Bramkilogiczne
Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika
W: Y=p+q             |czlowieka |                |
W: Y= p*q+p*~q+~p*q  |          |p q Y=p+q       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0
B: p*~q= Y           |1*1=1     |1 0 =1 /Y= p*~q | 0  1   =0
C:~p* q= Y           |1*1=1     |0 1 =1 /Y=~p* q | 1  0   =0
U: ~Y=~p*~q          |
D:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
   1  2  3            a b c     |4 5  6          | 7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0
                                |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0
                                |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).

Równanie logiczne:
Y=p+q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q
W informatyce takie zmienne nazywane są stałymi zapisanymi symbolicznie.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli dotrzymałem słowa (Y=1):
Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

            Y=~K*T
A: K* T= 0*1 =0
B: K*~T= 0*0 =0
C:~K* T= 1*1 =1
D:~K*~T= 1*0 =0

Dotrzymałem słowa (Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
Y=1 <=> ~K=1 i T=1

Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Y=1 - dotrzymałem słowa
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
D.
Jeśli wczoraj nie byłem w kinie to byłem w teatrze
~K=>T =0
E.
Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze
~K<=>T =0
etc

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.


3.4 Operator AND w zbiorach

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 0 0  =0
C: 0 1  =0
D: 1 0  =0
   1 2   3

Przypomnijmy sobie technikę tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Równanie logiczne dla wynikowych jedynek (tu tylko linia A123)
1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
Wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek zatem nic nie musimy robić
3.
Równanie algebry Boole’a opisujące wyłącznie linię A123:
A: Y=p*q

Równanie logiczne dla wynikowych zer (obszar BCD123)
1.
Spis z natury:
B: Y=0 <=> p=0 i q=0
lub
C: Y=0 <=> p=0 i q=1
lub
D: Y=0 <=> p=1 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
3.
Stąd na mocy definicji spójnika „i”(*) oraz „lub”(+) mamy równanie końcowe:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
To równanie opisuje wyłącznie obszar BCD123 w powyższej tabeli.

Stąd:
Definicja operatora AND z naniesionymi równaniami algebry Boole’a opisującymi poszczególne linie:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
C: 0 1  =0    /~Y=~p* q
D: 1 0  =0    /~Y= p*~q
   1 2   3

Zauważmy, że w obszarze BCD123 mamy wszędzie Y=0, natomiast w opisie symbolicznym mamy zmienne sprowadzone do jedynek, czyli ~Y=1.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=0 <=> ~Y=1

Definicja:
Punktem odniesienia w naturalnej logice człowieka są zmienne binarne sprowadzone do jedynek, czyli do równań algebry Boole’a.
Logika człowieka to równania algebry Boole’a a nie tabele zero-jedynkowe.

Jak to uwidocznić logikę w pełni symboliczną w tabeli zero-jedynkowej?

Pełna definicja operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q            |~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1  =1    / Y= p* q | 0  0   =0
B: 0 0  =0              | 1  1   =1  /~Y=~p*~q
C: 0 1  =0              | 1  0   =1  /~Y=~p* q
D: 1 0  =0              | 0  1   =1  /~Y= p*~q
   1 2   3      a  b  c   4  5    6    d  e  f

Zauważmy, że dopiero teraz mamy logikę symboliczną w 100% zgodną z naturalną logiką człowieka.
W linii A123 mamy zero-jedynkową definicję spójnika „i”(*) opisaną symbolicznie równaniem w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1

W obszarze BCD456 mamy zero-jedynkową definicje spójnika „lub”(+) opisaną symbolicznie równaniem w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Zauważmy że obszar BCD456 spełnia zero-jedynkową definicję spójnika „lub”(+) w sposób bezpośredni:
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Pełna definicja spójnika „lub”(+) opisująca obszar BCD456 jest zatem następująca:
~Y = ~p+~q =~p*~q + ~p*q + p*~q

Pozostałe linie w tabeli ABCD123 uzupełniamy zerami w wyniku (tu obszar BCD123).
Pozostałe linie w tabeli ABCD456 uzupełniamy zerami w wyniku (tu linia A456).
Zero-jedynkowo tabela ABCD456 to definicja operatora OR.

Stąd mamy:

Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Definicja operatora AND w zbiorach:

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Legenda:
~Y=~p*~q=1
~Y=1*1=1
Zapis ten oznacza, że zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, stąd w wyniku ~Y=1.

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y = ~p+~q
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q +p*~q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy ~Y, zatem są to definicje tożsame:
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q +p*~q
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
W funkcji ~Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1.

Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.

Kompletny operator AND opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q

Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar Y to otrzymamy obszar ~Y i odwrotnie.
Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora OR.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p*~q = ~[~(~p)+~(~q)] = ~(p+q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p*~q) = p+q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+).
Przy okazji doskonale widać, że operator OR jest logiką ujemną w stosunku do operatora AND (albo odwrotnie)
Y = p*q = ~(~p+~q) ## ~y = ~(~p*~q) = p+q
Operator AND ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator AND.
Definicja operatora AND:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator OR:
C: ~y=~p*~q
D: y=p+q
To jest poprawna definicja operatora OR w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „*” nie może być kompletnym operatorem AND bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C: ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory    |Bramki logiczne |Bramki logiczne
Zbiory!              |Logika    |Technika        |Technika
                     |czlowieka |                |
W: Y= p*q            |          |p q Y=p*q       |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y           |1*1=1     |1 1 =1 /Y= p* q | 0  0   =0
U:~Y=~p+~q           |
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q |
B:~p*~q=~Y           |1*1=1     |0 0 =0          | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
C:~p* q=~Y           |1*1=1     |0 1 =0          | 1  0   =1 /~Y=~p* q
D: p*~q=~Y           |1*1=1     |1 0 =0          | 0  1   =1 /~Y= p*~q
   1  2  3           |a b c     |4 5  6          | 7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                                |p=1, ~p=0       |~p=1, p=0
                                |q=1, ~q=0       |~q=1, q=0
                                |Y=1, ~Y=0       |~Y=1, Y=0

Gdzie:
„*” - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A456 w powyższej tabeli
„+” - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar BCD789 w powyższej tabeli.
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Operator AND odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w linii A123, zaś zero-jedynkową w linii A456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze BCD123, zaś zero-jedynkową w obszarze BCD789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD789).

Równanie logiczne:
Y=p*q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwszą linię. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 13:18, 07 Lut 2013, w całości zmieniany 225 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 11:12, 05 Maj 2012    Temat postu:

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Załóżmy, że jest już pojutrze i zaszło:
Nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1), czyli skłamałem (~Y=1):
~Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

             ~Y=~K*T
A: K* T= 0*1 =0
B: K*~T= 0*0 =0
C:~K* T= 1*1 =1
D:~K*~T= 1*0 =0

Skłamałem (~Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1

Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
~Y=~K*T=1*1=1
Oczywiście skłamałem (~Y=1).
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
D.
Jeśli nie byłem w kinie to byłem w teatrze
~K=>T =0
E.
Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze
~K<=>T =0
etc

Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E

Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.


3.5 Minimalizacja funkcji logicznych

Geniuszem w minimalizacji funkcji logicznych jest nasz mózg, który w praktyce zawsze operuje funkcjami minimalnymi. Minimalizacja jest przydatna przy projektowaniu złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych, tyle że w dobie mikroprocesorów to epoka kamienna. Można zatem ten rozdział traktować jako ciekawostkę, lub pominąć.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.

Metody minimalizacji funkcji logicznej

Nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.

Absorpcja:
p*(p+q)=p

1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
Kod:

p q p+q p*(p+q)
1 1 =1   =1
1 0 =1   =1
0 1 =1   =0
0 0 =0   =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p

3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd


3.6 Osiem równań opisujących operator OR

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Definicja operatora OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=p*q

Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1          |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q                      |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q)                 |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)      |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja    |                |
Symboliczna  |                |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q     |Y=p*q+p*~q+~p*q |                       |
             |p q Y=p+q       | ~p ~q ~Y=~p*~q        |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 /p*q =Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 /p*~q=Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p*q=Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0         |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3            4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |Y=p+q           |~Y=~p*~q
             |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0       | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


3.7 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y, logika ujemna bo ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Definicja operatora AND w równaniach algebry Boole’a:
Y=p*q
~Y=~p+~q

Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1            |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q                        |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q)                   |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q)        |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]   |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
-------------------------------------------------------------
Definicja    |
Symboliczna  |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
             |
Dotrzymam    |
slowa: Y=1   |p q Y=p*q         | ~p ~q 2:~Y=~p+~q      | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
Sklamie: ~Y=1|                  |  ~Y=~p+~q             |
U: ~Y=~p+~q  |                  |  ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
C: ~p* q=~Y  |0 1  =0           |  1  0   =1 /~p* q=~Y  | =0
D:  p*~q=~Y  |1 0  =0           |  0  1   =1 / p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.


4.0 Operatory implikacji i równoważności

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =1

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0

Oczywiście matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p<=>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


4.1 Definicja warunku wystarczającego i implikacja prosta

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
Kod:

Definicja      |Definicja w równaniu|Spis z natury  |Definicja w równaniu
zero-jedynkowa |prof. Newelskiego   |               |prof. Newelskiego
   p q p=>q    |spójniki „i” i „lub”|               |Spójnik =>
A: 1 1  =1     |(p=>q)= p* q =1     |(p=1)=>(q=1)=1 | p=> q =1
B: 1 0  =0     |(p=>q)= p*~q =0     |(p=1)=>(q=0)=0 | p=>~q =0
C: 0 0  =x
D: 0 1  =x 

Gdzie:
x=[1,1] - implikacja prosta
x=[1,0] - równoważność
x=[0,x] - samodzielny warunek wystarczający

„*” - spójnik „i”(*) z naturalnego języka mówionego
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego
=> - spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Spójnik „na pewno” => jest w logice człowieka domyślny i nie musi być wypowiadany

Wyjaśnienia do powyższej definicji:
W równaniach [link widoczny dla zalogowanych] wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek na mocy prawa algebry Boole’a.
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=>~p=1
p=1<=>~p=0
Spis z natury:
A: (p=1)=>(q=1) =1
B: (p=1)=>(q=0)=0
Po sprowadzeniu zmiennych do jedynek mamy:
A: (p=1)=>(q=1) =1
B: (p=1)=>(~q=1)=0

Definicja:
Punktem odniesienia w algebrze Kubusia są wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek, czyli równania algebry Boole’a.

Stąd definicja warunku wystarczającego:
p=>q =1
p=>~q=0

Zapis:
A: p=>q = p*q =1
oznacza, że zbiory p i q muszą mieć co najmniej jeden wspólny element
Zapis:
B: p=>q = p*~q =0
oznacza że zbiory p i ~q muszą być rozłączne

A i B może być spełnione wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się w zbiorze q.

Możliwe są dwa przypadki:
1.
Implikacja prosta.
Zbiory p i q są różne:
p#q
2.
Równoważność.
Zbiory p i q są tożsame
p=q
Równoważność to na mocy definicji coś fundamentalnie innego niż implikacja prosta

Definicja implikacji prostej:

Definicja warunku wystarczającego:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Jeśli zajdzie p to q też musi zajść

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Stąd:
p*q=p
p*q = 1*1=1
Oba zbiory istnieją i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Definicja implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej to warunek wystarczający =>, gdzie zbiory p i q są różne.
p#q
~p#~q
Powyższy rysunek to zatem diagram implikacji prostej

Definicja równoważności <=>
Definicja równoważności to warunek wystarczający =>, gdzie zbiory p i q są tożsame.
p=q
~p=~q
Poznamy wkrótce.

Doskonale widać że:
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt mających cztery łapy
Dodatkowo spełnione jest:
P#4L
co wymusza:
~P#~4L
Zatem całość, na mocy definicji to implikacja prosta.

Kompletną definicję implikacji prostej mamy tu jak na dłoni:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
Definicja implikacji prostej spełniona bo:
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami i nie jest z nim tożsamy
P#4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Zajście P jest warunkiem wystarczającym dla zajścia 4L
Jeśli wymusimy P to na pewno pojawi się 4L
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Zauważmy, że zapis:
P=>~4L=0
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
P~~>~4L
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
Nasz przykład:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Znaczek ~> to w matematyce warunek konieczny:
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap, bowiem każdy pies ma cztery łapy
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L

LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

Zauważmy, że słownie użyliśmy tu „identycznego” spójnika „może” jak w zdaniu C.
W zdaniu D definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór ~P nie zawiera w sobie całego zbioru 4L, poza tym zbiorem jest zbiór P, czyli pies z czterema łapami. Stąd w zdaniu D nie wolno nam użyć znaczka ~>.

Oczywistym antidotum jest tu znaczek ~~> o definicji:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd

Gdzie tu są jakiekolwiek tabele zero jedynkowe?
1.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A:
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
To otrzymamy tabelę zero jedynkową implikacji prostej.
2
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C:
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
To otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.

Przejdźmy z powyższego przykładu na zapis formalny.

Definicja:
Zapis formalny to zapis matematyczny z powszechnie przyjętymi symbolami formalnymi.

W logice symbole formalne to p i q. Dla konkretnego przykładu pod symbole p i q podstawiamy parametry aktualne z tego przykładu. Na podstawie naszego przykładu możemy zapisać definicję ogólną implikacji prostej w parametrach formalnych p i q.
Oczywiście będzie:
p=P
q=4L

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji prostej:
Kod:

Definicja symboliczna   |Zbiory  |Kodowanie         |Kodowanie
Warunek wystarczający =>|        |zero-jedynkowe    |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q)  |        |p q p=>q          |~p ~q ~p~>~q
A: p=> q=1              | p* q=1 |1 1 =1 / p=> q =1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=0             | p*~q=0 |1 0 =0 / p~~>~q=0 | 0  1   =0
..a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1             |~p*~q=1 |0 0 =1            | 1  1   =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1             |~p* q=1 |0 1 =1            | 1  0   =1 /~p~~>q=1
    1   2 3               a  b c  4 5  6              7  8    9
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej:
                                 |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
                                 |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD789.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji:
Zdanie „Jeśli p to q” jest wypowiedziane w logice dodatniej jeśli q nie jest zaprzeczone.
Zdanie „Jeśli p to q” jest wypowiedziane w logice ujemnej jeśli q jest zaprzeczone.

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia (poznamy za chwilę):
p~>q = ~p=>~q

Oczywiście mamy tu do czynienie z czteroma niezależnymi zdaniami:
Implikacja prosta:
1. p=>q=1 - przykład: P=>4L=1 bo pies
2. ~p~>~q=1 - przykład: ~P~>~4L=1 bo kura, wąż
Implikacja odwrotna:
3. p~>q=1 - przykład: 4L~>P=1 bo pies
4. ~p=>~q=1 - przykład: ~4L=>~P=1 bo kura, wąż ..

Na podstawie powyższej analizy mamy definicje.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q =1
B: p~~>~q =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego na naszym przykładzie:
1.
A: P=>4L =1
Sprawdzamy, czy dla każdego P zachodzi 4L
Oczywiście tu zbiór P zawiera się w zbiorze 4L, zatem:
A: P=>4L =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu, czyli jednego przypadku spełniającego:
B: P~~>~4L=1
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =0 - bo zbiory P i ~4L są rozłączne
Brak kontrprzykładu zatem:
A: P=>4L=1
cnd

W zdaniu C warunek konieczny ~> zachodzi na mocy prawa Kubusia:
C: ~P~>~4L = A: P=>4L
Warunek wystarczający => w zdaniu A wymusza warunek konieczny ~> w zdaniu C.

Z diagramu implikacji prostej widzimy, że nie zachodzi warunek konieczny miedzy p i q:
p~>q = ~p=>~q
P~>4L = ~P=>~4L
bowiem na mocy definicji znaczka => zbiór ~P musi zawierać się w zbiorze ~4L, natomiast w diagramie jest dokładnie odwrotnie zatem:
P~>4L = ~P=>~4L =0

Stąd mamy definicję implikacji prostej niezwykle użyteczną w praktyce.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q=0
Powyższą definicję implikacji prostej powinniśmy zapamiętać.

Wnioski
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
1.
Udowadniając warunek wystarczający => w zdaniu A automatycznie udowodnimy warunek konieczny ~> w zdaniu C
Udowadniając warunek konieczny ~> w zdaniu C automatycznie udowodnimy warunek wystarczający => w zdaniu A
2.
Z powyższego wynika że całą logikę matematyczną można sprowadzić do badania łatwych w analizie warunków wystarczających =>
Dlaczego łatwych?
Bo tu, aby obalić warunek wystarczający => wystarczy pokazać jeden kontrprzykład.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
Warunek wystarczający => spełniony

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego miedzy p i q:
p=>q=1
p~>q = ~p=>~q=0

Na mocy tej definicji badamy warunek konieczny ~> między P i 4L
P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Matematyczne szczegóły.
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy:
~P~~>4L=1 bo koń
Zbiory:
~P~~>4L = ~P*4L=1*1=1
Istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów:
~P*4L np. koń
stąd:
~P=>~4L=0
cnd

Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A możemy nazwać implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to tylko i wyłącznie warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej:
P=>4L = ~P~>~4L
Definicja warunku wystarczającego:
A: P=>4L=1
B: P~~>~4L=0
cnd

Weźmy na koniec nasz przykład zakodowany zero-jedynkowo dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A.
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie zero-jedynkowe
                  | P 4L P=>4L
A: P=> 4L =1      | 1  1  =1
B: P~~>~4L=0      | 1  0  =0
C:~P~>~4L =1      | 0  0  =1
D:~P~~>4L =1      | 0  1  =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
                  | P=1, ~P=0
                  |4L=1, ~4L=0


Zastanówmy się jaka będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

Załóżmy, że wylosowaliśmy: kurę
Dla kury mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kurę to na pewno => kura nie jest psem i nie ma czterech łap
K=>~P*~4L = 1*1=1
Dla kury nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

                    K=>~P*~4L
A: K=> P* 4L = 0*0 =0
B: K=> P*~4L = 0*1 =0
C: K=>~P*~4L = 1*1 =1
D: K=>~P* 4L = 1*0 =0

Jak widzimy, dla kury wyłącznie zdanie C jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej.

Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.


4.2 Definicja warunku koniecznego i implikacja odwrotna

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Kod:

Definicja      |Definicja implikacji odwrotnej
zero-jedynkowa |w równaniach prof. Newelskiego
   p q p~>q    |w spójnikach „i” i „lub”
A: 1 1  =1     |(p~>q)  = p* q =1
B: 1 0  =1     |(p~~>~q)= p*~q =1
C: 0 0  =1     |(~p=>~q)=~p*~q =1
D: 0 1  =0     |(~p~~>q)=~p* q =0


Zero-jedynkowa definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
Kod:

Definicja      |Definicja naturalnego spójnika „może”~~>
zero-jedynkowa |w równaniach prof. Newelskiego
   p q p~~>q   |w spójnikach „i” i „lub”
A: 1 1  =1     |(p~~>q)  = p* q =1
B: 1 0  =1     |(p~~>~q) = p*~q =1
C: 0 0  =1     |(~p~~>~q)=~p*~q =1
D: 0 1  =1     |(~p~~>q) =~p* q =1

Oczywiście obie przedstawione wyżej definicje zero-jedynkowe to legalne operatory algebry Boole’a.

Załóżmy że sformułowaliśmy pewne twierdzenie:
Jeśli zajdzie p to na pewno => q
p=>q
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia q
Jeśli zajdzie p to q też musi zajść
Definicja warunku wystarczającego w zbiorach:
p=>q = p*q =p
p=>q = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

Na mocy definicji dowolne twierdzenie jest to warunek wystarczający => o definicji:
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

Aby obalić dowolne świeżo sformułowane twierdzenie wystarczy znaleźć kontrprzykład, czyli wykazać prawdziwość twierdzenia B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1
Definicja naturalnego spójnika „może” w zbiorach:
p~~>~q = p*~q =1

Załóżmy teraz, że wykazaliśmy fałszywość sformułowanego twierdzenia p=>q poprzez pokazanie kontrprzykładu B.
stąd:
p=>q=0
W tym momencie straciliśmy szansę na najcenniejszą matematycznie równoważność.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 0*x =0
Koniec marzeń o równoważności.

… ale uwaga!
Nie straciliśmy szansy na implikację odwrotną!
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

W tym przypadku musimy po pierwsze pokazać jeden przypadek prawdziwy:
p~~>q=1
Dlaczego?
Bo sformułowane twierdzenie może zawierać zbiory rozłączne.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest koniem
P=>K=0 bo kontrprzykład: pies
Oczywiście to zdanie jest fałszywe bo zbiory pies i koń są rozłączne:
P=>K = P*K=1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1 i K=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Kontrprzykład w równaniu logicznym:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie być koniem
P~~>~K =1
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~K=P*~K =P

Na tym przykładzie doskonale widać dlaczego mimo obalenia twierdzenia p=>q poprzez pokazanie kontrprzykładu:
p~~>~q=1
musimy pokazać przynajmniej jeden przypadek prawdziwy w zdaniu analizowanym A:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q=1
Zdanie A w zbiorach:
p~~>q = p*q =1 - wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

W ten sposób eliminujemy z dalszej analizy matematycznego śmiecia jakim jest zdanie:
A:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być koniem
P~~>K =P*K =0 - bo zbiory rozłączne
Nie ma tu szans na nic, nawet na zdanie zawsze prawdziwe spełniające definicję operatora „może” ~~>.

Wniosek:
Po udowodnieniu fałszywości zdania p=>q poprzez pokazanie kontrprzykładu:
p~~>~q=1
musimy pokazać jeden przypadek prawdziwy:
p~~>q=1

W tym przypadku nasze zdanie może być już tylko i wyłącznie:
1.
Implikacją odwrotną o definicji:
p~>q = ~p=>~q
2.
Zdaniem zawsze prawdziwym (operatorem chaosu) o definicji:
Kod:

Definicja   |Definicja
Symboliczna |zero-jedynkowa
            | p q p~~>q
A: p~~> q=1 | 1 1  =1
B: p~~>~q=1 | 1 0  =1
C:~p~~>~q=1 | 0 0  =1
D:~p~~> q=1 | 0 1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest nagówek tabeli
            |p=1, ~p=0
            |q=1, ~q=0

Oczywiście wartość matematyczna zdania zawsze prawdziwego jest równa zeru, czyli zero jakiegokolwiek pożytku. Zdanie zawsze prawdziwe to operator chaosu, wszystko może się zdarzyć.

Po wykazaniu prawdziwości zdań A i B rozsądnym jest próba pokazania jednego przypadku spełniającego C i jednego przypadku spełniającego D.
Jeśli nam się to uda to zdanie A jest zdaniem zawsze prawdziwym spełniającym definicję operatora chaosu.
Koniec analizy!

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
A: P8~~>P3=1 bo 24
B: P8~~>~P3=1 bo 8
C: ~P8~~>~P3=1 bo 5
D: ~P8~~>P3=1 bo 3

Równie dobrze możemy sformułować twierdzenie matematyczne wynikłe z definicji operatora implikacji odwrotnej.
p~>q = ~p=>~q

Twierdzenie do udowodnienia:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q
Definicja znaczka =>:
Zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q

Co więcej!
Możemy na poziomie abstrakcji założyć że nasze twierdzenie:
~p=>~q
Wchodzi w skład definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Dlaczego takie założenie jest sensowne?
… bo w równoważności obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Wniosek:
Zamiast dowodzić prawdziwość twierdzenia:
~p=>~q
Równie dobrze możemy badać prawdziwość twierdzenia:
q=>p

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P =0 bo kontrprzykład: koń
Kontrprzykład w równaniu logicznym:
4L~~>~P=1 bo koń

Zgodnie z naszym algorytmem wykazujemy jeden przypadek prawdziwy:
4L~~>P =1 bo pies

Na równoważność nie mamy już szans:
4L<=>P = (4L=>P)*(~4L=>~P) = 0*x=0

… ale mamy szansę na implikację odwrotną!

Formułujemy pierwsze zdanie implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies

Aby udowodnić że zdanie A jest implikacją odwrotną badamy prawdziwość twierdzenia:
~4L=>~P=1 - oczywistość
albo twierdzenia:
P=>4L=1 - oczywistość

Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w matematycznym żargonie jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
Bo samo zdanie A to tylko warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P =1

Operator implikacji odwrotnej w diagramie logicznym:

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Przykład:
4L~>P = ~4L=>~P

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Matematyczna, uporządkowana analiza zdania A jest następująca:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiory 4L i P są różne:
4L#P
Zbiory:
4L*P=P
4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Zbiory:
~4L*~P = ~4L
~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia

Dwa dowody nie wprost iż w zdaniu B nie jest spełniony warunek konieczny ~>:
1.
Załóżmy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny:
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>
2.
Dokładnie to samo wynika z definicji znaczka ~>:
4L~>~P
Zbiór 4L musi zawierać w sobie zbiór ~P
Z diagramu widać, że zbiór ~P to także zbiór ~4L.
Definicja znaczka ~> nie jest wiec spełniona, warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Gdzie tu są jakiekolwiek tabele zero jedynkowe?
1.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
To otrzymamy tabelę zero jedynkową implikacji odwrotnej.
2
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
C: ~4L=>~P
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
To otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej.

Przejdźmy z powyższego przykładu na zapis formalny.
Definicja:
Zapis formalny to zapis matematyczny z powszechnie przyjętymi symbolami formalnymi.

W logice symbole formalne to p i q. Dla konkretnego przykładu pod symbole p i q podstawiamy parametry aktualne z tego przykładu. Na podstawie naszego przykładu możemy zapisać definicję ogólną implikacji odwrotnej w parametrach formalnych p i q.
Oczywiście będzie:
p=4L
q=P

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji odwrotnej:
Kod:

Definicja symboliczna |        |Kodowanie        |Kodowanie
Warunek konieczny ~>  |Zbiory  |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q)|        |p q p~>q         |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1             | p* q=1 |1 1 =1 / p~> q=1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=1           | p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=1 | 0  1   =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający =>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1           |~p*~q=1 |0 0 =1           | 1  1   =1 /~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0           |~p* q=0 |0 1 =0           | 1  0   =0 /~p~~>q=0
    1   2 3             a  b c  4 5  6             7  8    9
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                               |p=1, ~p=0        | ~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0        | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD789.

Na podstawie powyższej analizy mamy definicje.

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika, że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego na naszym przykładzie:
1.
C: ~4L=>~P =1
Sprawdzamy, czy dla każdego ~4L zachodzi ~P
Oczywiście tu zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P, zatem:
C: ~4L=>~P =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu, czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~4L~~>P=1
Zbiory:
~4L~~>P = ~4L*P =0 - bo zbiory ~4L i P są rozłączne
Brak kontrprzykładu zatem:
C: ~4L=>~P=1
cnd

W zdaniu A warunek konieczny ~> zachodzi na mocy prawa Kubusia:
A: 4L~>P = C: ~4L=>~P =1
Warunek wystarczający => w zdaniu C wymusza warunek konieczny ~> w zdaniu A.

Z diagramu implikacji odwrotnej widzimy, że nie zachodzi warunek wystarczający => miedzy p i q:
p=>q =0
Dowód 1.
4L=>P =0 bo kontrprzykład dla: koń
Dowód 2.
Na mocy definicji znaczka => zbiór 4L musi zawierać się w zbiorze P, natomiast w diagramie jest dokładnie odwrotnie zatem:
4L=>P =0

Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej niezwykle użyteczną w praktyce.

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
p~>q = ~p=>~q =1
p=>q=0
Powyższą definicję implikacji prostej powinniśmy zapamiętać.

Wnioski
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
1.
Udowadniając warunek wystarczający => w zdaniu C automatycznie udowodnimy warunek konieczny ~> w zdaniu A
Udowadniając warunek konieczny ~> w zdaniu A automatycznie udowodnimy warunek wystarczający => w zdaniu C
2.
Z powyższego wynika, że całą logikę matematyczną można sprowadzić do badania łatwych w analizie warunków wystarczających =>
Dlaczego łatwych?
Bo tu, aby obalić warunek wystarczający => wystarczy pokazać jeden kontrprzykład.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1

C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q:
p~>q = ~p=>~q =1
p=>q=0

Warunek konieczny ~> w zdaniu A udowodniliśmy dowodząc prawdziwości zdania C:
A: 4L~>P = C: ~4L=>~P =1

Badamy warunek wystarczający między p i q w zdaniu A:
4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń

Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w matematycznym żargonie zdanie A możemy nazwać implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
… bo samo zdanie A bez dowodu jak wyżej to tylko i wyłącznie warunek konieczny ~> wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P=1
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe dla naszego przykładu dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A.
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie zero-jedynkowe
                  | 4L P 4L~>P
A: 4L~> P =1      |  1 1  =1
B: 4L~~>~P=1      |  1 0  =1
C:~4L=> ~P=1      |  0 0  =1
D:~4L~~> P=0      |  0 1  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                  |4L=1, ~4L=0
                  | P=1, ~P=0

Doskonale widać tabele implikacji odwrotnej.
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w żargonie możemy powiedzieć iż zdania A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
Precyzyjnie zdanie A to tylko i wyłącznie warunek konieczny ~> wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P
Dopóki nie udowodnimy prawej strony nie mamy prawa mówić iż zdanie A jest implikacją odwrotną.

Zastanówmy się teraz jak będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.

Załóżmy że wylosowaliśmy: kota
Dla kota mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kota to na pewno => kot ma cztery łapy i nie jest psem
K=>4L*~P = 1*1=1
Dla kota nasz świat jest zdeterminowany:
4L=1, ~4L=0
~P=1, P=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
Kod:

                    K=>4L*~P
A: K=> 4L* P = 1*0 =0
B: K=> 4L*~P = 1*1 =1
C: K=>~4L*~P = 0*1 =0
D: K=>~4L* P = 0*0 =0

Jak widzimy, dla kota wyłącznie zdanie B jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej.

Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.


4.3 Przemienność argumentów w implikacji

Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
Kod:

Implikacja prosta    |Implikacja odwrotna
   p q p=>q q=>p     | p q p~>q q~>p
A: 1 1  =1   =1      | 1 1  =1   =1
B: 1 0  =0   =1      | 1 0  =1   =0
C: 0 0  =1   =1      | 0 0  =1   =1
D: 0 1  =1   =0      | 0 1  =0   =1
   1 2   3    4        5 6   7    8

1.
Brak tożsamości kolumn 3 i 4 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej:
A: p=>q # B: q=>p
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
A: P=>4L=1 # B: 4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń
Implikacja prosta prawdziwa po zamianie argumentów musi być fałszywa - patrz prawo wyżej.
Odwrotnie wszystko może się zdarzyć, czyli implikacja prosta fałszywa po zamianie argumentów może być prawdziwa albo fałszywa.
A: 4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń # B: P=>4L=1
A: 4L=>~P =0 bo kontrprzykład: koń # B: ~P=>4L =0 bo kontrprzykład: kura

2.
Brak tożsamości kolumn 7 i 8 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
A: p~>q # B: q~>p
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
A: 4L~>P=1 = ~4L=>~P=1 # B: P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Implikacja odwrotna prawdziwa po zamianie argumentów musi być fałszywa - patrz prawo wyżej.
Odwrotnie wszystko może się zdarzyć, czyli implikacja odwrotna fałszywa po zamianie argumentów może być prawdziwa albo fałszywa.
P~>4L = ~P=>~4L=0 bo kontrprzykład: koń # 4L~>P = ~4L=>~P=1
4L~>~P = ~4L=>P=0 # ~P~>4L = P=>~4L =0 - twardy fałsz


4.4 Prawa kontrapozycji w implikacji

Aksjomatyczna zero-jedynkowa definicja implikacji prostej z komentarzem:
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1  =1  / p=> q =1
B: 1 0  =0  / p~~>~q=0
C: 0 0  =1  /~p~>~q =1
D: 0 1  =1  /~p~~>q =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej z komentarzem:
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1  =1  / p~> q =1
B: 1 0  =1  / p~~>~q=1
C: 0 0  =1  /~p=>~q =1
D: 0 1  =0  /~p~~>q =0

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W algebrze Kubusia kluczowe są definicje znaczków => i ~>.
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
Zbiór na podstawie wektora => musi się zawierać w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Weźmy wzorcową implikację prostą:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Oczywiście zachodzi prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L

Weźmy wzorcową implikację odwrotną:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Oczywiście zachodzi prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P

Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość!), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji!

A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.

Wynika z tego że w równaniu ogólnym implikacji nie mamy ustalonego sztywnego punktu odniesienia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.

Z naszego przykładu widać, że jeśli implikacja prosta p=>q jest prawdziwa:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L =1
to prawdziwą implikację odwrotną p~>q uzyskamy wtedy i tylko wtedy gdy zamienimy p i q
AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P =1

W równaniu ogólnym implikacji mamy prawo ustalić sztywny punkt odniesienia na zdaniu:
p=>q
albo na zdaniu:
p~>q

1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

A: p=> q ##  q~> p
B: p=> q ## ~q=>~p
C:~p~>~q ##  q~> p
D:~p~>~q ## ~q=>~p

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.

2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p~>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

E: q=> p ##  p~> q
F: q=> p ## ~p=>~q
G:~q~>~p ##  p~> q
H:~q~>~p ## ~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q

Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności co za chwilę zobaczymy.

Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?

Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0

To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
~p=>~q
albo
q=>p
Jeśli udowodnimy którykolwiek z tych warunków to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1

Jeśli po udowodnieniu warunku wystarczającego p=>q obalimy warunek wystarczający w drugą stronę:
q=>p = ~p=>~q =0
To warunek wystarczający p=>q może wchodzić w skład definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Dlaczego „może”?
Bo możliwy jest przypadek samodzielnego warunku wystarczającego =>.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym:
ML=0
Zaprzeczeniem zbioru pustego jest Uniwersum.
Uniwersum = wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka, w tym pies.
Stąd:
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P zawiera się w zbiorze ~ML
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0 - nie ma takiego zwierzaka bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
ML=0
Zdanie B w zbiorach:
P*ML = 1*0 =0

Warunek wystarczający jest spełniony, zachodzi brak tożsamości zbiorów p i q:
P # ~ML
Zatem na mocy definicji to powinna być implikacja prosta.
W implikacji poprawne jest prawo Kubusia:
A: P=>~ML = ~P~>ML
czyli:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML = 0
bo:
Zbiór zwierząt które mają milion łap jest zbiorem pustym
ML=0
Zdanie C w zbiorach:
~P*ML = 1*0 =0 - zdanie C jest fałszywe

STOP!
Dalej nie musimy analizować, dowiedliśmy iż zdanie A ty tylko i wyłącznie warunek wystarczający => nie wchodzący w skład ani implikacji prostej:
P=>~ML = ~P~>ML=0
ani też w skład równoważności:
P<=>~ML = (P=>~ML)*(~P=>ML) = 1*0 =0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy definicję samodzielnego warunku wystarczającego.
A: P=>~ML
P=1, ~P=0
~ML=1, ML=0
Kod:

Zapis         |Kodowanie
Symboliczny   |zero-jedynkowe
              | P ~ML P=>~ML
A: P=> ~ML=1  | 1  1   =1
B: P~~> ML=0  | 1  0   =0
C:~P~> ML =0  | 0  0   =0
D:~P~~>~ML=x  | 0  1   =x

Wobec sekwencji w linii C:
0 0 =0
której nie ma ani w operatorach implikacji, ani też w operatorze równoważności analiza zdania D jest bezcelowa.
Wszystko zostało rozstrzygnięte, zdanie A to samodzielny warunek wystarczający =>.


4.5 Porównanie nowych i starych praw kontrapozycji

Równanie ogólne implikacji w algebrze Kubusia z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu:
p=>q

p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Odpowiednie równanie w starej logice Ziemian zwanej KRZ:
p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p

Nasz przykład w algebrze Kubusia wygląda tak:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P

Tata:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L

Synek:
.. a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L

Tata:
Tu tata nie ma wyjścia i musi odpowiedzieć JEDNOZNACZNIE!
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
W algebrze Kubusia nie możemy odpowiedzieć ani zdaniem AO ani też zdaniem CO, bo mamy matematyczny ZAKAZ.
## - różne na mocy definicji.


Zobaczmy teraz co się dzieje w starej logice KRZ:

Nasz przykład w KRZ wygląda tak:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L = AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P

Tata:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L

Synek:
.. a jak zwierzę nie jest psem?
Jedyne prawo logiczne akceptowane w KRZ to „prawo” kontrapozycji (błędne w algebrze Kubusia!)
P=>4L = ~4L=>~P

Tata:
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna

Synek:
Mama!
Tata zwariował, nie potrafi sensownie odpowiedzieć na pytanie 5-cio latka!

Zauważmy, że z powodu czerwonego znaku tożsamości, na pytanie synka o nie psa, tata może odpowiedzieć aż trzema TOŻSAMYMI matematycznie zdaniami:
C, AO lub CO.
Matematycznie nie jest w stanie odróżnić która odpowiedź jest sensowna w świecie rzeczywistym.
Oczywiście odpowiedzią sensowną, czyli na temat jest wyłącznie zdanie C.

Wniosek:
Stara logika KRZ nie jest matematycznie jednoznaczna.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:34, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 35 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 11:14, 05 Maj 2012    Temat postu:

4.6 Równoważność

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja równoważności z komentarzem:
Kod:

Definicja      |Definicja operatorowa
zero-jedynkowa |wraz z równaniami prof. Newelskiegp
   p q p<=>q   |
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q
A: 1 1  =1     | p=> q = p* q =1
B: 1 0  =0     | p~~>~q= p*~q =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
C: 0 0  =1     |~p=>~q =~p*~q =1
D: 0 1  =0     |~p~~>q =~p* q =0
   1 2   3       4   5   6  7  8

Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Z linii A i B wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
A: p*q=1
B: p*~q=0
Podobnie z linii C i D wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
C: ~p*~q=1
D: ~p*q =0
W całej tabeli mamy zaledwie dwa zbiory niepuste w liniach A i C.
Wynika z tego że zbiory p i q oraz ~p i ~q musza być tożsame:
p=q
~p=~q

Diagram równoważności:


Stara i sprawdzona metoda początkującego (i nie tylko) matematyka to rozwianie wątpliwości na wzorcowym przykładzie. Logika ma to do siebie, że bardzo łatwo przejść z dowolnego przykładu do formalnych zapisów matematycznych. Złożoność dowodu jest tu bez znaczenia, bowiem poprawna logika matematyczna to algorytmy dowodzenia prawdziwości twierdzeń (zdań) a nie konkretny dowód. Algorytmy dowodzenia nie zależą od złożoności (trudności) konkretnego dowodu.

Najbardziej znanym i bezdyskusyjnym twierdzeniem będącym równoważnością jest twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
W równoważności mamy do czynienia z dwoma warunkami wystarczającymi co widać w aksjomatycznej definicji wyżej.

Zanegujmy wszystkie zmienne w równaniu RA:
RC.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*[~(~TP)=>~(~SK)] = (~TP=>~SK)*(TP=>SK) = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Wykorzystane prawa:
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Prawo przemienności argumentów w spójniku ‘i”(*):
p*q = q*p
Tożsamość prawych stron w równaniach RA i RC jest dowodem prawa algebry Boole’a:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Co oznacza ta tożsamość?
Jeśli udowodnimy równoważność po dowolnej stronie znaku tożsamości „=” to automatycznie udowodnimy równoważność po stronie przeciwnej.
C.
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi suma kwadratów
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo SK)
TP=>SK
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
Oczywiście zbiory TP i SK są tu tożsame:
TP=SK
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór TP zawiera się w zbiorze SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP i SK
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikający tylko i wyłącznie z linii A

… a jeśli trójkąt nie jest prostokątny?
RC:
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~SK)
~TP=>~SK
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
Także zbiory ~TP i ~SK są tożsame:
~TP=~SK
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP i ~SK
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z linii C.

Weźmy teraz to samo w zapisach ogólnych gdzie:
p=TP
q=SK

Analiza ogólna równoważności:
RA: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p=>q = p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden (zdanie prawdziwe)
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, zachodzi zatem warunek wystarczający:
p=>q
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[p~>q]
bo zabieramy p i znika q.
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” znany z implikacji

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty = zdanie fałszywe)

… a jeśli zajdzie ~p?
RC:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie <=>

C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden (zdanie prawdziwe)
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, zachodzi zatem warunek wystarczający =>:
~p=>~q
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zauważmy, że zachodzi również wirtualny warunek konieczny [~>]:
[~p~>~q]
bo zabieramy ~p i znika ~q.

D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty = zdanie fałszywe)

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Definicja        |Zbiory       |Definicja     |Definicja
symboliczna      |             |zero-jedynkowa|zero-jedynkowa
-------------------------------------------------------------
   p   q  p<=>q  | p  q  p<=>q | p  q  p<=>q  | ~p ~q ~p<=>~q
-------------------------------------------------------------
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q   =1    | p* q   =1   | 1  1   =1    |  0  0   =1
B: p~~>~q  =0    | p*~q   =0   | 1  0   =0    |  0  1   =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p=>~q   =1    |~p*~q   =1   | 0  0   =1    |  1  1   =1
D:~p~~> q  =0    |~p* q   =0   | 0  1   =0    |  1  0   =0
   1   2    3      a  b    c     4  5    6    |  7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                               |p=1, ~p=0     |~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0     |~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q

Dowód równoważny:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame zatem zachodzi prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

Operator równoważności odpowiada na pytania:

A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.

B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Zastanówmy się jakie jeszcze równania opisują tożsamość zbiorów:
p=q
~p=~q

Definicja aksjomatyczna wynikająca z tabeli zero-jedynkowej:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zachodzi przemienność argumentów.
Dowód formalny:
Kod:

   p q p<=>q q p q<=>p
A: 1 1   =1  1 1   =1
B: 1 0   =0  0 1   =0
C: 0 0   =1  1 1   =1
D: 0 1   =0  1 0   =0
   1 2    3  4 5    6

Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym przemienności argumentów w równoważności.
Stąd:
Definicja symetryczna:
B.
p<=>q = q<=>p = (q=>p)*(~q=>~p)

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q, jeśli każdy element zbioru p zawiera się => w zbiorze q i każdy element zbioru q zawiera się => w zbiorze p.
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q, jeśli każdy element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q i każdy element zbioru ~q zawiera się => w zbiorze ~p.

Stąd dwie równoważne definicje równoważności:
C.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
D.
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Wyżej mamy udowodnioną tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd podstawiając w miejsce D: ~p<=>~q zdanie C: p<=>q mamy:
E.
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Z A i C mamy pierwsze prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
C: p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
A i C to tożsamość, zatem musi zachodzić:
q=>p = ~p=>~q

Z A i E mamy drugie prawo kontrapozycji:
A: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
E: p<=>q = (~q=>~p)* (~p=>~q)
A i E to tożsamość, zatem musi zachodzić:
p=>q = ~q=>~p

Wszystkie możliwe definicje równoważności wynikłe z powyższych rozważań można ładnie ująć w kwadracie logicznym równoważności.

Kwadrat logiczny równoważności:
Kod:

A1: p=> q =1         A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0         B2: q~~>~p=0



C1:~p=>~q =1         C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0         D2:~q~~>p =0

Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)
Definicje najczęściej wykorzystywane w praktyce to:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - definicja aksjomatyczna wynikająca z tabeli zero-jedynkowej
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) - definicja najpopularniejsza, uwielbiana przez matematyków

Możliwe są dwa algorytmy dowodzenia warunku wystarczającego => w dowolnym rogu kwadratu:
1.
Dowód przez iterowanie po wszystkich możliwych elementach zbioru p:
A1: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru zdefiniowany przez podstawę wektora => zawiera się w zbiorze zdefiniowanym przez strzałkę wektora
2.
Obalenie warunku wystarczającego => przez podanie kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu dla A1:
B1: p~~>~q =1
Zbiory: p*~q =?
Wystarczy znaleźć jeden element należący do zbioru p który należy do zbioru ~q.
Kontrprzykład znaleziony to:
A1: p=>q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
A1: p=>q =1

Porównanie kwadratów logicznych równoważności i implikacji.
Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
Kod:

A1: p=> q =1      ##   A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0      ##   B2: q~~>~p=1


Prawo Kubusia:    ##   Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q       ##   q~>p = ~q=>~p


C1:~p~>~q =1      ##   C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1      ##   D2:~q~~>p =0

W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
Różne na mocy definicji.

Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.
Oczywiście nie wykryjemy tożsamości zbiorów udowadniając dowolny w warunków wystarczających:
A1: p=> q =1
B1: p~~>~q=0
czy też:
C2: ~q=>~p =1
D3: ~q~~>p=0
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.

Aby dowieść iż zdanie A1: p=>q jest implikacją prostą musimy dodatkowo udowodnić C1:D1 albo A2:B2
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.

Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.

Spójrzmy na definicję implikacji i równoważności w równaniach Kubusia.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Doskonale widać, że warunki wystarczające => w implikacji i równoważności są identyczne.
Zatem jeśli udowodnimy dowolny warunek wystarczający np.
p=>q=1
to wiem ze nic nie wiem, bo nie wiem czy to jest warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji, czy też to jest warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności.

Przykład równoważności:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Udowadniamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby zachodziła suma kwadratów

… aby stwierdzić równoważność musimy udowodnić C1 lub A2.
C1.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK
Nie bycie trójkątem prostokątnym wystarcza => aby nie zachodziła suma kwadratów

Wniosek:
Zdanie A1 to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład równoważności, nie jest to implikacja prosta bo zdanie A nie spełnia definicji implikacji prostej.

Przykład implikacji:
Pada wtedy i tylko wtedy gdy są chmury
P<=>CH = (P=>CH)*(~P=>~CH)

Pozornie to zdanie jest sensowne.
Sprawdzamy warunek wystarczający w punkcie:
A1.
Jeśli pada to na pewno => są chmury
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur

Sprawdzamy warunek wystarczający w punkcie:
C1.
Jeśli nie pada to na pewno => nie ma chmur
~P=>~CH=0
bo kontrprzykład:
~P~~>CH=1
Jeśli nie pada to mogą ~~> być chmury - sytuacja możliwa.

Dopiero w tym momencie udowodniliśmy, że zdanie A1 to warunek wystarczający => wchodzący w skład definicji implikacji prostej.
P=>CH = ~P~>~CH

Zauważmy, że w równoważności spełnione są ogólne definicje znaczków warunku wystarczającego => i warunku koniecznego [~>].

p=>q
Definicja znaczka =>:
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora (p) zawiera się w całości w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora (q).
W równoważności definicja znaczka => jest spełniona bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q oraz ~p=~q.

[~p~>~q]
Definicja znaczka ~>:
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora (~p) musi zawierać w sobie cały zbiór wskazywany przez strzałkę wektora (~q).
W równoważności definicja znaczka [~>] jest spełniona bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q oraz ~p=~q.
Oczywiście nie jest to znany z implikacji spójnik „może”!
Z tego powodu warunek konieczny w równoważności ujęto w nawias kwadratowy [~>].
Nazwijmy go wirtualnym warunkiem koniecznym, czyli istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q. W równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q

W implikacji na mocy definicji zbiory p i q nie mogą być tożsame, natomiast w równoważności na mocy definicji zbiory p i q muszą być tożsame.

Zauważmy, że w równoważności warunki wystarczający rzeczywisty => i konieczny wirtualny [~>] zachodzą w dowolnym punkcie kwadratu równoważności, właśnie z powodu tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q!

Stąd mamy kolejną definicję równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego wirtualnego [~>] między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Dla zajścia q potrzeba [~>] i wystarcza => aby zaszło p
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji.

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*[TR~>KR] =1*1=1
Do tego aby w trójkącie kąty były równe potrzeba [~>] i wystarcza => aby był on równoboczny.
Dowód na mocy definicji znaczków [~>] i =>:
TR=>KR=1
Wymuszam dowolny TR i pojawia mi się KR
[TR~>KR]=1
Zabieram (wszystkie) TR i znika mi zbiór KR

Dla porównania implikacja:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P8~>P2) =1*0 =0
P8=>P2 =1
Wymuszam dowolne P8 i pojawia się P2
P8~>P2 =0 bo 2
Zabieram (wszystkie) P8 i nie znika mi P2

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Ogólna definicja warunku koniecznego [~>]:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q

Stąd mamy pełną definicję równoważności w warunkach wystarczających rzeczywistych => i koniecznych wirtualnych [~>].
p<=>q = {p=>q = [~p~>~q]}*{[p~>q]=~p=>~q}
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny

Z powyższego wynika że prawdziwa jest nawet taka definicja równoważności:
p<=>q = [~p~>~q]*[p~>q]

Oczywiście w równoważności zachodzi także prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego wirtualnego, czyli dla znaczka [~>]
[~p~>~q] = [q~>p]
[p~>q] = [~q~>~p]

Stąd kolejna definicja równoważności:
p<=>q = [p~>q]*[q~>p]

Dowód równoważności w tej definicji:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = [TR~>KR]*[KR~>TR] = 1*1 =1

[TR~>KR]=1
Zabieram TR i znika mi KR
Definicja znaczka [~>] spełniona

[KR~>TR]=1
Zabieram KR i znika mi TR
Definicja znaczka [~>] spełniona
cnd

Dlaczego naturalny spójnik „może” ~> nie jest dostępny w równoważności?

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]

Tabela prawdy dla tej definicji:
Kod:

Tabela 1
Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta           |odwrotna        |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
           p=>q            [p~>q]          p<=>q=(p=>q)*[p~>q]
A:   p=> q  =1   *  [p~> q] =1    =  p=> q  =1
B:   p~~>~q =0   *  [p~~>~q]=1    =  p~~>~q =0
C: [~p~> ~q]=1   *  ~p=> ~q =1    = ~p=> ~q =1
D: [~p~~>q ]=1   *  ~p~~>q  =0    = ~p~~>q  =0
     1   2   3       4   5   6       7   8   9

To samo co wyżej zero-jedynkowo dla punktu odniesienia:
p=>q, p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

Tabela 2
Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta p=>q      |odwrotna [p~>q] |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
     p   q p=>q      p   q [p~>q]    p   q  p<=>q=(p=>q)*[p~>q]
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)     |Definicja symboliczna
A:   1   1  =1   *  [1   1  =1]   =  1   1   =1     | p=> q =1
B:   1   0  =0   *  [1   0  =1]   =  1   0   =0     | p~~>~q=0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:  [0   0  =1]  *   0   0  =1    =  0   0   =1     |~p=>~q =1
D:  [0   1  =1]  *   0   1  =0    =  0   1   =0     |~p~~>q =0
     1   2   3       4   5   6       7   8    9     | a   b  c
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd mamy definicję równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego między p i q:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]

Na mocy definicji zachodzi:
p=>q ## p~>q
W technice cyfrowej realizacja bramek logicznych p=>q i p~>q to banał. Gdybyśmy wyjścia takich bramek połączyli bezpośrednio to w punktach:
B3 # B6
D3 # D6
byłoby dużo dymu i smrodu z powodu niezgodności sygnałów logicznych.

Na mocy definicji równoważności wyjścia bramek p=>q i p~>q wpuszczane są na bramkę AND realizującą definicję spójnika „i”(*).
Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
Y=1 <=>p=1 i q=1

Oczywiście bramka AND działa wyłącznie na kolumny ABCD3 i ABCD6 zerując wyniki w punktach B9 i D9. Na wyjściu bramki AND obszary AB456 i CD123 są maskowane i niedostępne w świecie rzeczywistym. W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające AB123 i CD456, gdzie nie ma śladu spójnika „może”, czyli „rzucania monetą”.

Zauważmy, że w tabeli 2 mamy pozorną sprzeczność w definicji symbolicznej.
W nagłówku definicji symbolicznej widzimy:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]

Natomiast z samej tabeli symbolicznej równoważności odczytujemy:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Matematycznie wszystko jest w porządku na mocy definicji warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest dostępny w świecie rzeczywistym jako spójnik „może” ~>, z powodu tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q.

Zmieńmy punkt odniesienia w tabeli 2 w obszarze ABCD456 korzystając z definicji warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
Dla ~p=>~q mamy:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Kod:

Tabela 3
Implikacja       |Implikacja      |Równoważność
prosta p=>q      |prosta ~p=>~q   |rzeczywista
wirtualna        |wirtualna       |
     p   q p=>q     ~p  ~q ~p=>~q    p   q  p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)     |Definicja symboliczna
A:   1   1  =1   *  [0   0  =1]   =  1   1   =1     | p=> q =1
B:   1   0  =0   *  [0   1  =1]   =  1   0   =0     | p~~>~q=0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:  [0   0  =1]  *   1   1  =1    =  0   0   =1     |~p=>~q =1
D:  [0   1  =1]  *   1   0  =0    =  0   1   =0     |~p~~>q =0
     1   2   3       4   5   6       7   8    9     | a   b  c
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
     p=1, ~p=0   |  ~p=1, p=0     |  p=1, ~p=0
     q=1, ~q=0   |  ~q=1, q=0     |  q=1, ~q=0

Definicja równoważności na podstawie powyższej tabeli:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q). Dopiero w tej tabeli widzimy w definicji symbolicznej zgodność nagłówka tabeli symbolicznej z zawartością tabeli symbolicznej.

Równoważność odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?:
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze ABabc, natomiast zero-jedynkową w obszarze AB123 bowiem tylko tu widzimy p=1
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?:
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CDabc, natomiast zero-jedynkową w obszarze CD456 bowiem tylko tu widzimy ~p=1

Podsumowanie:
Wszystkie możliwe definicje równoważności:
1.
Definicja aksjomatyczna wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2.
W równoważności prawdziwe są prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
~p=>~q = q=>p
Stąd pierwsza seria definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q = ~q=>~p)*(~p=>~q = q=>p)
Mnożymy wielomianowo prawą stronę:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = (~q=>~p)*(~p=>~q) = (~q=>~p)*(q=>p)
3.
Wirtualne definicje warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
Stąd druga seria definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q = [~p~>~q])*(~p=>~q = [p~>q])
Mnożymy wielomianowo prawą stronę:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*[p~>q] = [~p~>~q]*(~p=>~q) = [~p~>~q]*[p~>q]
4.
W równoważności prawdziwe są prawa kontrapozycji dla wirtualnego warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = [~q~>~p]
[~p~>~q] = [q~>p]
Stąd cała masa równoważnych definicji równoważności mało przydatna w praktyce.

Najważniejsze są dwie definicje równoważności.

Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd definicja uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)


4.7 Implikacja i równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)

Czym różni się operator OR od implikacji i równoważności?

Definicja operatora OR w zbiorach.

Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Doskonale widać, że w operatorze OR wszystkie możliwe kombinacje zbiorów istnieją i mają część wspólną:
Y=p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że dowolny człon po prawej stronie przyjmie wartość jeden i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość jeden.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Wszystkie zbiory po prawej stronie są rozłączne, zatem dowolny, wylosowany element może należeć wyłącznie do jednego ze zbiorów, wartość logiczna pozostałych zbiorów dla tego elementu będzie równa zeru. Jeśli wylosowany element będzie należał do funkcji ~Y to dla tego przypadku wartość funkcji Y będzie równa zeru, bowiem wszystkie możliwe zbiory (wszystkie możliwe kombinacje p i q) w definicji operatora OR są rozłączne.

Przykład:
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p=[5->oo]
q=[3,4,5,6]
~q=[1,2 + 7->oo]
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów to:
p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4]
p*~q=[1,2,3,4]*[1,2 + 7->oo] = [1,2]
~p*q = [5->oo]*[3,4,5,6] = [5,6]
~p*~q = [5->oo]*[1,2 + 7->oo] = [7->oo]
Dla dowolnej wylosowanej liczby wyłącznie jeden zbiór będzie niepusty (zdanie prawdziwe), pozostałe zbiory dla tego losowania będą zbiorami pustymi (zdania fałszywe).
Dlaczego?
Losujemy liczbę: 2
p*q = [3,4]*[2] = [] - zbiór pusty
p*~q = [1,2]*[2] = [2] - jedyny zbiór niepusty
~p*q = [5,6]*[2] = []
~p*~q = [7->oo]*[2] =[]
Dla nieskończonej ilości losowań wszystkie zbiory będą niepuste, ale dla konkretnego losowania wyłącznie jeden zbiór jest niepusty.
Z powyższego wynika, że równania logiczne opisujące tabelę zero-jedynkową operatora OR pokazują co może zajść, co jest możliwe, czyli mamy tu do czynienia ze światem totalnie niezdeterminowanym.

Definicja implikacji prostej:

Definicja warunku wystarczającego:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej to warunek wystarczający =>, gdzie zbiory p i q są różne.
p#q
~p#~q
Powyższy rysunek to zatem diagram implikacji prostej.

Przykład zbiorów spełniających definicję implikacji prostej.
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
p=[1,2]
~p=[3->oo]
q=[1,2,3,4,5,6]
~q=[7->oo]
p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2]
p*~q = [1,2]*[7->oo] = [] - zbiór pusty
~p*~q = [3->oo]*[7->oo] = [7->oo]
~p*q = [3->oo]*[1,2,3,4,5,6] = [3,4,5,6]
Jak widzimy wszystkie zbiory (wszystkie możliwe kombinacje p i q) są rozłączne, wyłącznie zbiór p*~q jest zbiorem pustym na wieki, czyli nie istnieje liczba naturalna należąca do tego zbioru.
Dla dowolnej wylosowanej liczby wyłącznie jeden zbiór będzie niepusty (zdanie prawdziwe), pozostałe zbiory dla tego losowania będą zbiorami pustymi (zdania fałszywe).
Z powyższego wynika, że równania logiczne opisujące tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej pokazują co może zajść, co jest możliwe, czyli mamy tu do czynienia ze światem totalnie niezdeterminowanym.

Definicja równoważności <=>

Definicja równoważności to warunek wystarczający =>:
p=>q=1
p~~>~q=0
gdzie zbiory p i q są tożsame.
p=q
~p=~q

Przykład równoważności w zbiorach:
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4,5,6]
q=[1,2,3,4,5,6]
~p=[7->oo]
~q=[7->oo]
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów są następujące:
p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7->oo] = [] - zbiór pusty
~p*~q = [7->oo]*[7->oo] = [7->oo]
~p*q = [7->oo]*[1,2,3,4,5,6] = []
Zbiory tożsame to:
p=q
~p=~q
Jak widzimy wszystkie zbiory (wszystkie możliwe kombinacje p i q) są rozłączne, zbiory puste to p*~q i ~p*q, natomiast zbiory niepuste to p*q i ~p*~q.
Dla dowolnej wylosowanej liczby wyłącznie jeden zbiór będzie niepusty (zdanie prawdziwe), pozostałe zbiory dla tego losowania będą zbiorami pustymi (zdania fałszywe).
Z powyższego wynika, że równania logiczne opisujące tabelę zero-jedynkową operatora równoważności pokazują co może zajść, co jest możliwe, czyli mamy tu do czynienia ze światem totalnie niezdeterminowanym.

W implikacji i równoważności mamy sytuację fundamentalnie inną niż w operatorze OR (czy też AND) co widać w ich definicjach wyżej.

Fundamentalną różnicę między operatorami OR (AND), implikacji prostej (także odwrotnej) i równoważności widać tu jak na dłoni:
Operator OR (AND) to cztery zbiory rozłączne i niepuste
Operator implikacji prostej (odwrotnej) to trzy zbiory rozłączne i niepuste
Operator równoważności to dwa zbiory rozłączne i niepuste

Z powyższego wynika, że na mocy definicji w zbiorach zachodzi:
OR (AND) ## implikacja prosta (odwrotna) ## równoważność
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Gwarancja w implikacji prostej wyrażona spójnikiem „i”(*):

Implikacja prosta w zbiorach:


Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Kod:

Definicja      |Definicja symboliczna implikacji prostej
zero-jedynkowa |w równaniach prof. Newelskiego,
   p q p=>q    |czyli w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A: 1 1  =1     |(p=>q)  = p* q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: 1 0  =0     |(p~~>~q)= p*~q =0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
C: 0 0  =1     |(~p~>~q)=~p*~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
D: 0 1  =1     |(~p~~>q)=~p* q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
   1 2   3        4   5   6  7  8

Definicja implikacji w równaniu prof. Newelskiego:
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
Matematycznie oznacza to:
(p=>q)=1 <=> A: (p*q)=1 lub C: (~p*~q)=1 lub D: (~p*q)=1
Powyższe równanie będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy pokażemy po jednym przypadku prawdziwym po prawej stronie tożsamości. Jeśli nie będziemy w stanie podać po jednym przykładzie spełniającym A, C i D to będzie to oznaczało, że równanie jest błędne, że opisuje jakąś inną tabelę zero-jedynkową niż powyższa. Wynika to bezpośrednio z techniki tworzenia równań prof. Newelskiego, gdzie opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki!
Zauważmy, że po stronie jedynek nic nas nie zmusza do kwantyfikowania po wszystkich obiektach zdefiniowanych w poprzedniku zdania p=>q.
To co wyżej to teoria spójnika „lub”(+), do kitu w przypadku implikacji, gdzie istotą jest gwarancja matematyczna po stronie jedynek.
Do kwantyfikowania po wszystkich obiektach zdefiniowanych w poprzedniku zmusza nas ZERO w powyższej tabeli.
B: p~~>~q = p*~q=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Tu musimy udowodnić, że nie istnieje obiekt spełniający p i ~q, czyli mamy kwantyfikowanie po wszystkich obiektach p.
W sumie oznacza to konieczność przeanalizowania zdania p=>q przez kompletny zbiór zdefiniowany w poprzedniku p.

Definicja warunku wystarczającego =>:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0
Oczywiście jest wszystko jedno czy będziemy badać A czy też B:

Zdanie wypowiedziane A:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Tu sprawdzamy czy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Jeśli tak to:
p=>q =1
Zbiory:
p*q=p
cnd

Kontrprzykład dla zdania wypowiedzianego A:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p*~q=1
Tu wystarczy znaleźć jeden element należący do zbioru p i nie należący do zbioru q.
Jeśli taki element znajdziemy to:
p=>q=0
cnd
Jeśli nie znajdziemy kontrprzykładu to:
p=>q=1
cnd

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Nasze zdanie w równaniu prof. Newelskiego:
P=>4L = P*4L + ~P*~4L + ~P*4L
Badamy prawdziwość każdego z członów po prawej stronie:
A: P*4L =1 bo pies
C: ~P*~4L= 1 bo kura
D: ~P*4L =1 bo koń
Sprawdzamy fałszywość zdania B:
B: P~~>~4L = P*~4L =0 - nie ma takiego psa
Tylko i wyłącznie w tym przypadku jesteśmy zmuszeni do kwantyfikowania po wszystkich psach aby udowodnić że nie istnieje pies który nie ma czterech łap, czyli aby udowodnić że każdy pies ma cztery łapy, czyli wykazać prawdziwość zdania A:
A: P=>4L =1

Jak widzimy wystarczy znaleźć po jednym przedstawicielu z poszczególnych zbiorów (A, C, D), oraz udowodnić fałszywość zdania D, aby udowodnić że zdanie P=>4L spełnia definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie, jest implikacją prostą.

Wnioski:
1.
Implikacja wyrażona spójnikami „lub”(+) oraz „i”(*) jest matematycznie błędna bo:
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
(p=>q)=1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Po stronie jedynek wszystkie jedynki są jednakowo ważne, żadna z nich nie jest wyróżniona, nie ma tu mowy o jakiejkolwiek gwarancji matematycznej, istocie implikacji. Po stronie jedynek nic nas nie zmusza do kwantyfikowania po wszystkich obiektach zdefiniowanych w poprzedniku.
2.
W operatorach implikacji i równoważności chodzi o gwarancje matematyczne, prawdziwość/fałszywość poszczególnych zdań jest tu ważna ale ma drugorzędne znaczenie, to nie jest istota implikacji i równoważności.

Gwarancja matematyczna w implikacji wyrażona spójnikiem „i”(*):

W symbolicznej definicji implikacji prostej widzimy, że negując równanie B otrzymamy twardą prawdę w linii A, bowiem twardy fałsz w linii B wynika tylko i wyłącznie z twardej prawdy w linii A.
~[B: (p~~>~q)] = A: ~(p~~>~q)

Stąd gwarancja matematyczna =>:
1.
A: ~(p~~>~q) = A: p=>q
Twardy fałsz w linii B opisuje równanie:
2.
B: p~~>~q = p*~q =0
Negując dwustronnie otrzymujemy:
3.
A: ~(p~~>~q) = ~(p*~q) =1
Korzystając z 1 mamy:
A: p=>q = ~(p*~q)

Zdanie równoważne do p=>q brzmi zatem:
Nie może się zdarzyć ~(..), że zajdzie p i nie zajdzie q
p=>q = ~(p*~q)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji.

Przykład:
Tata do Jasia (lat 5)
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz rower
W=>R
Jaś:
… a jak nie powiem wierszyka?
Ponieważ na mocy definicji zdanie A jest implikacją prostą, korzystamy z prawa Kubusia:
W=>R = ~W~>~R
Tata:
C.
Jeśli nie powiesz wierszyka to nie dostaniesz roweru
~W~>~R
Nie powiedzenie wierszyka jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania roweru. Na mocy definicji warunku koniecznego ~> (rzucanie monetą) tata może dać ten rower mimo że syn nie powiedział wierszyka i nie będzie kłamcą (akt miłości)
Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć że powiem wierszyk i nie dostanę roweru?
Tata:
Prawo algebry Kubusia poznane wyżej:
W=>R = ~(W*~R)
Synku, nie może się zdarzyć ~(..), że powiesz wierszyk i nie dostaniesz roweru
W=>R = ~(W*~R)

Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej wyrażona spójnikiem „i”(*):

Implikacja odwrotna w zbiorach:

Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Definicja      |Definicja symboliczna implikacji odwrotnej
zero-jedynkowa |w równaniach prof. Newelskiego,
   p q p~>q    |czyli w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A: 1 1  =1     |(p~>q)  = p* q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
B: 1 0  =1     |(p~~>~q)= p*~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
C: 0 0  =1     |(~p=>~q)=~p*~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D: 0 1  =0     |(~p~~>q)=~p* q =0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
   1 2   3        4   5   6  7  8

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu prof. Newelskiego:
p~>q = p*q + p*~q + ~p*~q
Matematycznie oznacza to:
(p~>q)=1 <=> A: (p*q)=1 lub B: (p*~q)=1 lub C: (~p*~q)=1

W symbolicznej definicji implikacji odwrotnej widzimy, że negując równanie D otrzymamy twardą prawdę w linii C, bowiem twardy fałsz w linii D wynika tylko i wyłącznie z twardej prawdy w linii C.
~[D: (~p~~>q)] = C: ~(~p~~>q)

Stąd gwarancja matematyczna =>:
1.
C: ~(~p~~>q) = C: ~p=>~q
Twardy fałsz w linii D opisuje równanie:
2.
D: ~p~~>q = ~p*q =0
Negując dwustronnie otrzymujemy:
3.
C: ~(~p~~>q) = ~(~p*q) =1
Korzystając z 1 mamy:
C: ~p=>~q = ~(~p*q)

Zdanie równoważne do ~p=>~q brzmi zatem:
Nie może się zdarzyć ~(..), że nie zajdzie p i zajdzie q
~p=>~q = ~(~p*q)

Zauważmy ze zdanie wypowiedziane A brzmi:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q
Stąd gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej wyrażona spójnikiem „i”(*):
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)

Przykład:
Tata:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym ~> aby padało
Jaś (lat 5)
Tata, a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Tata:
Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć że nie będzie pochmurno i będzie padało?
Tata:
Synku, nie może się zdarzyć że nie będzie pochmurno i będzie padało
~CH=>~P = ~(~CH*P)


Równoważność w gwarancjach matematycznych wyrażonych spójnikiem „i”(*)


Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Definicja      |Definicja symboliczna równoważności
zero-jedynkowa |w równaniach prof. Newelskiego
   p q p<=>q   |w spójnikach „i” i „lub”
A: 1 1  =1     |(p=>q)  = p* q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: 1 0  =0     |(p~~>~q)= p*~q =0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
C: 0 0  =1     |(~p=>~q)=~p*~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: 0 1  =0     |(~p~~>q)=~p* q =0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
   1 2   3        4   5   6  7  8

Definicja równoważności w równaniu prof. Newelskiego:
p<=>q = p*q + ~p*~q

W symbolicznej definicji równoważności widzimy, że negując równanie B otrzymamy twardą prawdę w linii A, bowiem twardy fałsz w linii B wynika tylko i wyłącznie z twardej prawdy w linii A.
~[B: (p~~>~q)] = A: ~(p~~>~q)

Stąd gwarancja matematyczna A w równoważności:
1.
A: ~(p~~>~q) = A: p=>q
Twardy fałsz w linii B opisuje równanie:
2.
B: p~~>~q = p*~q =0
Negując dwustronnie otrzymujemy:
3.
A: ~(p~~>~q) = ~(p*~q) =1
Korzystając z 1 mamy:
A: p=>q = ~(p*~q)

Dokładnie ten sam schemat powtarzamy dla zera w linii D.
W symbolicznej definicji równoważności widzimy, że negując równanie D otrzymamy twardą prawdę w linii C, bowiem twardy fałsz w linii D wynika tylko i wyłącznie z twardej prawdy w linii C.
~[D: (~p~~>q)] = C: ~(~p~~>q)

Stąd gwarancja matematyczna C w równoważności:
1.
C: ~(~p~~>q) = C: ~p=>~q
Twardy fałsz w linii D opisuje równanie:
2.
D: ~p~~>q = ~p*q =0
Negując dwustronnie otrzymujemy:
3.
C: ~(~p~~>q) = ~(~p*q) =1
Korzystając z 1 mamy:
C: ~p=>~q = ~(~p*q)

Na podstawie powyższego zapisujemy prawa algebry Kubusia:
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)

Przykład 1:
A.
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1

… a czy może się zdarzyć że trójkąt jest prostokątny i nie zachodzi suma kwadratów
Prawo algebry Kubusia:
TP=>SK = ~(TP*~SK)
stąd:
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt jest prostokątny (TP=1) i nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)
TP=>SK = ~(TP*~SK)

Przykład 2:
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

… a czy może się zdarzyć że trójkąt nie jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów
Prawo algebry Kubusia:
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)
stąd:
Nie może się zdarzyć ~(…), że trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) i zachodzi suma kwadratów (SK=1)
~TP=>~SK = ~(~TP*SK)

Podsumowanie:
Gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q =1
B: p~~>~q =0
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

Implikacja to zawsze jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna =>:
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)

Równoważność to zawsze dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne =>:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)


4.8 Implikacja i równoważność w pigułce

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.
W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q.

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q

Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd


Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz wynikający wyłącznie z A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
D:~p~~>q =1 = miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między p i q
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0


Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C

Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0


Definicja równoważności:

Diagram równoważności:


Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).

Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Wymuszam p i musi pojawić się q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Dodatkowo zbiory p i q są tożsame co wymusza równoważność:
p=q
Tożsamość p i q wymusza tożsamość ~p i ~q:
~p=~q

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Wymuszam ~p i musi pojawić się ~q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame co wymusza równoważność:
~p=~q
Tożsamość ~p i ~q wymusza tożsamość p i q:
p=q

W równoważności, i tylko tu, obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest definicja wirtualnego warunku koniecznego [~>]:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame.
Zabieram p i musi zniknąć q

W równoważności spełnione są ogólne definicje warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

stąd:
Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Gdzie:
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy

Alternatywna definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego koniecznego [~>] między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p=>q =1
[p~>q] = ~p=>~q =1

Definicje implikacji i równoważności w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
Zbiory tożsame w równoważności:
p=q
~p=~q

Definicje implikacji i równoważności w gwarancjach matematycznych:
Gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q =1
B: p~~>~q =0
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

Implikacja to zawsze jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna =>:
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)

Równoważność to zawsze dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne =>:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)


4.9 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.

Na początku było:
Kod:

1=1

i stał się cud:
Kod:

(p+~p)=(q+~q)

p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
Kod:

A: p=>(q+~q)
C: ~p=>(~q+q)

stąd mamy …

Równoważność

Operatorowa definicja równoważności:
Kod:

   p   q p<=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q=0    /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =0    /o definicji w C i D

Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


Implikacja prosta

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. Możliwe jest rozczepienie linii A i B albo linii C i D.

Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

   p   q p=>q
A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~>~q =0    /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


Implikacja odwrotna

Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

   p    q p~>q
A: p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~> q =0    /o definicji w C i D

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0


Operator chaosu

Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p.
Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy tu zdanie ZAWSZE PRAWDZIWE, pełną przypadkowość

Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
B: p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
C:~p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
D:~p~~> q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q

p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q

Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1


Operator śmierci

Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.
Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.

Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
Kod:

   p    q p~~>q
A: p~~> q =0    /zbiór pusty
B: p~~>~q =0    /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty
D:~p~~> q =0    /zbiór pusty


Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:36, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 17:07, 05 Maj 2012    Temat postu:

5.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1


Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.


5.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego

Zajmijmy się operatorami dotychczas nie omówionymi.

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 - lampka zaświecona
Y=0 - lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem że … krasnoludki są na świecie.


5.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)

Definicje ~~> i N(~~>)
Kod:

p q Y=p~~>q Y=~(p~~>q)
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Jak widzimy po wybraniu operatora ~~> krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też ten człowieczek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator N(~~>) to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).

Zdanie zawsze prawdziwe to operator chaosu ~~>, gdzie prawdziwe są wszelkie możliwe przeczenia p i q
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W operatorze ~~> możemy sobie długo i namiętnie zaprzeczać p i q, wartość funkcji będzie niewzruszona Y=1.
Kod:

p q Y=p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Dokładnie to samo w równaniu algebry Boole’a opisującym powyższą tabelę
Y = p~~>q = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
p+~p=1
p*1=1

Oczywiście operator:
Y=1 ma zero argumentów
cnd

Gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Znaczek ~~> jest jednocześnie spójnikiem i operatorem, bo równanie algebry Kubusia opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Weźmy na zakończenie operator śmierci N(~~>q) w równaniach algebry Boole’a.
Operator śmierci to stan naszego wszechświata przed jego stworzeniem, żadne pojęcie nie jest zdefiniowane, stąd wartość logiczna dowolnych przeczeń p i q jest równa zeru.
Kod:

p q Y=N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0

Operator śmierci w tabeli symbolicznej:
Kod:

 p  q  Y=N(p~~>q)
 p  q  =0
 p ~q  =0
~p*~q  =0
~p* q  =0

Stąd równanie w algebrze Kubusia (w naturalnej logice człowieka):
~Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
mamy:
~Y=1
Negujemy stronami:
Y=0
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=0
cnd


5.3 Operatory transmisji P i Q

Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

Operator transmisji w zbiorach:

Y=p

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1


5.4 operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1

Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q

Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia (Boole’a)
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Dowód formalny:
Kod:

~Y=p  Y=~p  ~Y=~(~p)
  1    =0     =1
  0    =1     =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.

Operator negacji w zbiorach:

Y=~p

Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1


5.5 Operator XOR

Operator XOR opisuje zbiory rozłączne.

Definicja:
Kod:

p q pXORq
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0
1 1  =0

p XOR q = p*~q + ~p*q



Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
C.
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
D.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
pXORq = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji na mocy teorii zbiorów

Tabela XOR dla dwóch zbiorów:
Kod:

           |Definicja symboliczna |Definicja symboliczna
p q pXORq  |Teoria zbiorów        |Warunki wystarczające
1 0  =1    | p*~q =1              | p=>~q =1
1 1  =0    | p* q =0              | p~~>q =0
0 1  =1    |~p* q =1              |~p=> q =1
0 0  =0    |~p*~q =0              |~p~~>~q=0

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Warunki wystarczające opisane są prawidłowo wyłącznie dla przypadku gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p i ~q jest zbiorem pustym.
~p*~q=0
Zachodzi wówczas równoważność jak niżej.

Nietypowa równoważność dla zbiorów rozłącznych:
p<=>~q = (p=>~q)*(~p=>q)=1*1=1

Przykład:
Człowiek jest mężczyzną wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą
M<=>~K = (M=>~K)*(~M=>K)=1*1=1

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to dwa zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej
Dziedzina: człowiek
Możliwe zbiory: mężczyzna, kobieta
Stąd poprawność powyższej równoważności

Nietypowa implikacja prosta dla zbiorów rozłącznych:

Definicja warunku wystarczającego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

p=>~q=1
Zbiory:
p*~q=1*1=1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku jeden
p~~>q=0
Zbiory:
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne,
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)

p=>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie ~q
Zajście p wystarcza dla zajścia ~q


Definicja warunku koniecznego dla zbiorów rozłącznych:
Kod:

~p~> q=1
Zbiory:
~p*q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną,
co wymusza w wyniku jeden
~p~~>~q=1
Zbiory:
~p*~q=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają cześć wspólną,
co wymusza w wyniku jeden

~p~>q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść q
~p jest warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
~> - warunek koniczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik:
~p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1 bo pies
Bycie psem wystarcza aby nie być kotem
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> jest kotem
P~~>K=0 - zbiory rozłączne
... a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> być kotem
~P~>K=1 bo kot
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> nie być kotem
~P~~>~K=1 bo koń, mrówka, wąż..

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Kod:

               |P ~K P=>~K
A: P=>~K=1     |1  1  =1
B: P~~>K=0     |1  0  =0
C:~P~> K=1     |0  0  =1
D:~P~~>~K=1    |0  1  =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
               |P=1, ~P=0
               |~K=1, K=0

Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej, w skrócie „jest implikacją prostą”

Ciekawy jest wyjątek gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek:
Kod:

                   |P ~ML P=>~ML
A: P=>~ML=1        |1  1   =1
B: P~~>ML=0        |1  0   =0
C:~P~> ML=0        |0  0   =0
D: bez znaczenia
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli
                   |P=1, ~P=0
                   |~ML=1, ML=0

Zdanie A nie może być ani implikacją, ani równoważnością, bo nie ma sekwencji C: (0 0 =0) ani w implikacji, ani w równoważności.
Czym jest zatem zdanie A?
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym prawdziwym o definicji w liniach A i B.
Warunek wystarczający, w przeciwieństwie do warunku koniecznego, może istnieć samodzielnie.

Identyczną analizę otrzymamy gdy zbiór q należy do innej dziedziny niż zbiór p

A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
Bycie psem wystarcza aby nie być samochodem
Dziedzina po stronie p: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q: zbiór wszystkich maszyn jeżdżących
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być samochodem
P~~>S=0
Zbiory:
P*S=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym (S=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

.. a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może być samochodem
~P~>S=0
Zbiory:
~P*S = 1*0=0
Zbiór zwierząt będących samochodami jest zbiorem pustym, stąd w wyniku zero.
W linii C będziemy mieli sekwencję (0 0 =0) co wyklucza zarówno implikację, jak i równoważność.
Zdanie A jest wyłącznie warunkiem wystarczającym o definicji w liniach A i B.


5.6 Spójnik „albo”($), prawo Hipcia

Spójnik „albo”($) opisuje algebrę zbiorów rozłącznych.

Definicja spójnika „albo’($):
(A1$A2$...An) = A1$A2$...An
co matematycznie oznacza:
(A1$A2$...An)=1 <=> A1=1 albo A2=1 albo … An=1
czyli:
(A1$A2$...An)=1 wtedy i tylko wtedy gdy wyłącznie jedna ze zmiennych A1, A2…An jest równa 1
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)

Definicja spójnika „albo”($):
Kod:

   p q Y=p$q          | ~p ~q  Y=~p$~q            | q$p
A: 1 1  =0            |  0  0    =0               |  =0
B: 1 0  =1  /p$q=p*~q |  0  1    =1  /~p$~q=p*~q  |  =1
C: 0 1  =1  /p$q=~p*q |  1  0    =1  /~p$~q=~p*q  |  =1


Definicja dwuargumentowego operatora XOR:
Kod:

   p q Y=p$q          | ~p ~q  Y=~p$~q            | q$p
A: 1 1  =0            |  0  0    =0               |  =0
B: 1 0  =1  /p$q=p*~q |  0  1    =1  /~p$~q=p*~q  |  =1
C: 0 1  =1  /p$q=~p*q |  1  0    =1  /~p$~q=~p*q  |  =1
D: 0 0  =0            |  1  1    =0               |  =0

Definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p$q = p*~q + ~p*q

Właściwości spójnika „albo”($):
1.
Argumenty są przemienne
p$q = q$p
2.
Zachodzi tożsamość matematyczna
p$q = ~p$~q
Oznacza to, że wszystko jedno czy zbiory rozłączne nazwiemy p i q, czy też ~p i ~q
gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Definicje:
U - Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] - Zbiór pusty - zbiór zawierający zero elementów

Właściwości zbioru pustego i Uniwersum:
~[] = U - zaprzeczenie zbioru pustego [] to Uniwersum
~U = [] - zaprzeczenie Uniwersum to zbiór pusty []

Dla zbiorów rozłącznych spójnik „albo”($) opisany jest wyłącznie liniami A, B, C powyższej tabeli
bo:
Na mocy definicji spójnika „albo” zbiory p i q muszą być rozłączne.
Wartość logiczna zbiorów p i q to:
p=1 - istnieją elementy zbioru p
~p = U-p =1 - Uniwersum minus elementy zbioru p (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)
q=1 - istnieją elementy zbioru q
~q = U-q =1 - Uniwersum minus elementy zbioru q (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)

Komentarz:
Zauważmy, że zbiory ~p i ~q mają część wspólną, zatem nie podlegają pod definicję spójnika „albo”($).
W definicji operatora XOR spójnik „albo” opisany jest zatem wyłącznie liniami A, B i C.
Dla n argumentów w definicji spójnika „albo” wykluczamy linię z samymi zerami po stronie wejścia operatora XOR (bramki XOR).

Definicja dwuargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
Kod:

   p q Y=p$q
A: 1 1 =0  /~Y= p* q=1*1=0 - zbiory rozłączne
B: 1 0 =1  / Y= p*~q=1*1=1 (=p)
C: 0 1 =1  / Y=~p* q=1*1=1 (=q)


Definicja trzyargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
Kod:

   p q r Y=p$q$r
A: 1 1 1  =0   /Y= p* q* r=1*1*x=0
B: 1 1 0  =0   /Y= p* q*~r=1*1*x=0
C: 1 0 1  =0   /Y= p*~q* r=1*x*1=0
D: 1 0 0  =1   /Y= p*~q*~r=1*x*x=1 (=p)
E: 0 1 1  =0   /Y=~p* q* r=x*1*1=0
F: 0 1 0  =1   /Y=~p* q*~r=x*1*x=1 (=q)
G: 0 0 1  =1   /Y=~p*~q* r=x*x*1=1 (=r)

Legenda:
x - znaczek oznaczający, że na tej pozycji nie ma jedynki lub jest jedynka trzecia i dalsza
W dowolnej linii szukamy dwóch jedynek.
Jeśli takie istnieją to w wyniku zapisujemy 0, inaczej 1.
Uzasadnienie:
p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty).
Iloczyn logiczny zbioru pustego z dowolną ilością zbiorów niepustych daje w wyniku 0 (zbiór pusty).
Zauważmy, że żaden ze zbiorów zanegowanych nie jest równy Uniwersum bo:
Zbiór p istnieje i jest niepusty:
p=1
Zaprzeczenie zbioru niepustego to Uniwersum pomniejszone o elementy tego zbioru:
~p = U-p =1 - zbiór niepusty, nie będący Uniwersum

Diagram działania spójnika „albo” dla dwóch argumentów:


Diagram działania spójnika „albo” dla trzech argumentów


Prawo Hipcia:
Jeśli zbiory są rozłączne to jedynym poprawnym spójnikiem łączącym te zbiory jest spójnik „albo”($).
Y=A1$A2$...An
Nie ma tu fizycznej możliwości aby obiekt Ax mógł być jednocześnie którymkolwiek obiektem Ay.

Przykład zastosowania prawa Hipcia

Definicja kwadratu:
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe.
KW=KR*BR

Definicja prostokąta:
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste i nie wszystkie boki są równe
PR=KR*~BR

Powyższe definicje to wszystkie możliwe prostokąty w zbiorze czworokątów.
Jak widzimy, zbiory KW i PR są rozłączne bo równania logiczne opisujące te zbiory są różne.
Jedynym poprawnym spójnikiem przy opisie zbiorów rozłącznych jest spójnik „albo”($).

Grupę wszystkich prostokątów opisuje zatem równanie algebry Boole’a:
GP = KW $ PR = (KR*BR) $ (KR*~BR)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) nie jest możliwe narysowanie czworokąta który byłby jednocześnie prostokątem i kwadratem.

Sztandarowym przykładem zastosowania algebry Kubusia mogą być nowe definicje czworokątów, czyli modyfikacja matematyki na poziomie szkoły podstawowej.

Stara definicja trapezu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Nie da się na mocy tej definicji opisać trapezu jaki człowiek widzi oczyma wyobraźni bo:
Trapez może ~> być kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem

Jeśli figura jest kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem albo trapezem to na pewno =>jest trapezem

Jeśli figura jest trapezem to może ~> być kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem albo trapezem.

To jest super nieprecyzyjne, to jest błąd idem per idem w czystej formie bo:
Jeśli czworokąt jest trapezem to na pewno => jest trapezem
gdzie:
Błąd idem per idem - pojecie które samo siebie definiuje
Jeśli p to p
p=>p

Nie ma tu precyzyjnej definicji trapezu!

To jest to samo jakbyśmy zrobili podział samochodów na:
Samochód może ~> być ciężarówką, tirem, samochodem osobowym, samochodem
Jeśli pojazd mechaniczny jest ciężarówką, tirem, samochodem osobowym albo samochodem to na pewno => jest samochodem

To jest błąd idem per idem, samochód definiuje sam siebie.
Jeśli pojazd mechaniczny jest samochodem to na pewno => jest samochodem.

Algebra Kubusia opisuje precyzyjnie wszystkie czworokąty w równaniach algebry Boole’a.

Nowe definicje czworokątów przedstawiono w dodatku A.


6.0 Nietypowe problemy logiki

Nietypowe problemy logiki to sytuacje wyjątkowe, rzadko spotykane w naturalnym jezyku mówionym.

6.1 Nietypowa równoważność

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym:
p=>q = ~p~>~q

Definicja symboliczna implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1
D:~p~~>q =1

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Absolutny fundament algebry Kubusia w implikacji i równoważności to definicje ogólne znaczków => i ~>.
1.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Ogólnie:
=> - warunek wystarczający
Zbiór zdefiniowany w podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

2.
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Ogólnie:
~> - warunek konieczny
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q
Zbiór p jest warunkiem koniecznym ~> dla q

Na podstawie powyższego diagramu prawdziwe jest zdanie:
~p=>~p+~q
Spełniona jest tu ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~p+~q.

Zauważmy, że spełniona jest także definicja ogólna znaczka [~>]:
[~p~>~p+~q]
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~p+~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~p+~q

Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i warunku koniecznego wirtualnego [~>]
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
[~>] - warunek konieczny wirtualny występujący wyłącznie w równoważności, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q.

Czyżby więc powyższy diagram pasował do równoważności?
Oczywiście że nie!
Nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością!

Zauważmy że zbiór ~p zawiera w całości zbiór ~q
Zachodzi zatem:
~p+~q = ~p

Nasz przykład:
~p=[3->oo]
~q=[7->oo]
~p+ ~q=[3->oo] + [7->oo] = [3->oo]

Jak widzimy zbiór ~q dla tego punktu odniesienia „wyparował”, na powyższym rysunku mamy wyłącznie dwa zbiory p i ~p, a to na mocy definicji równoważności w zbiorach jest bezdyskusyjna równoważność, ale bardzo ciekawa.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to na mocy definicji dwa i tylko dwa zbiory rozłączne
p=q
~p=~q
Nasz przykład:
p=[1,2]
~p=[3->oo]
Aby spełnić definicje równoważności która na mocy definicji musi mieć dwa argumenty p i q zapisujemy te zbiory pod nazwą q:
q=[1,2]
~q=[3->oo]

Analiza matematyczna:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo p)
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Warunek wystarczający spełniony
Zbiory:
p*q=[1,2]*[1,2] = [1,2] - zbiór niepusty
p*q = 1*1 =1
Zbiory p i q istnieją (p=1, q=1), i są tożsameco wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory:
p*~q = [1,2]*[3->oo] = [] =0 - zbiór pusty
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
Zbiory:
~p*~q = [3->oo]*[3->oo] = [3->oo] - zbiór niepusty
~p*~q = 1*1 =1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1, ~q=1), i są tożsame co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=0
Zbiory:
~p*q = [3->oo]*[1,2] = []- zbiór pusty
~p*q = 1*1 =1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem A albo C otrzymujemy tabelę zero-jedynkową równoważności.
Kod:

Tabela      |Kodowanie zero-jedynkowe
symboliczna | p q p<=>q| ~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1 | 1 1  =1  |  0  0   =1
B: p~~>~q=0 | 1 0  =0  |  0  1   =0
C:~p=> ~q=1 | 0 0  =1  |  1  1   =1
D:~p~~>q =0 | 0 1  =0  |  1  0   =0
   1   2  3   4 5   6     7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
            |p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
            |q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p (p=1) mamy symbolicznie w obszarze AB123 i zero-jedynkowo w obszarze AB456, bowiem tylko tu widzimy p=1.
Odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1) mamy symbolicznie w obszarze CD123 i zero-jedynkowo w obszarze CD789, bowiem tylko tu widzimy ~p=1.

Zdania sporadycznie wypowiadane:
Dolar to dolar
D=>D

Jeśli kocha to kocha
K=>K
Jeśli nie kocha to nie kocha
~K=>~K
Miłość to miłość, jest ślepa
M=>M


6.2 Wynikanie równoważnościowe ->

-> - symbol wynikania równoważnościowego

p -> q
Definicja znaczka ->:
Wartość logiczna zdania p->q to iloczyn logiczny wartości logicznych p i q znanych z góry

W wynikaniu równoważnościowym -> mnożymy wartości logiczne zdań po obu stronach znaku ->.
1 -> 1 = 1*1 =1
0 -> 1 = 0*1 =0
0 -> 0 = 0*0 =0
1 -> 0 = 1*0 =0

W wynikaniu równoważnościowym prawdziwość/fałszywość zdań p i q musimy znać z góry.
Mamy zatem do czynienia ze światem totalnie zdeterminowanym, gdzie obowiązuje prawo Sowy, stąd tabela zero-jedynkowa wyżej.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W wynikaniu równoważnościowym -> musimy znać z góry prawdziwość/fałszywość zdań p i q aby określić prawdziwość całego zdania. Dokładnie ta informacja wymusza operator AND między p i q.

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p wystarcza dla zajścia q

Prawo przechodniości implikacji prostej:
(p=>q)*(q=>r) -> (p=>r)
(1*1) -> 1 = (1)*1 =1
W wynikaniu równoważnościowym -> mnożymy wartości logiczne zdań po obu stronach znaku ->.
Z faktu że:
zbiór p zawiera się w zbiorze q
„i”(*)
zbiór q zawiera się w zbiorze r
Wynika: ->
że zbiór p zawiera się w zbiorze r

Przykład:
(p=>q)*(q=>r) -> (p=>r)

p=>q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 4
P8=>P4
Definicja znaczka =>:
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P4

Prawo przechodniości implikacji prostej:
(P8=>P4)*(P4=>P2) -> (P8=>P2)
(1*1) -> 1 = (1)*1 =1
Z faktu że:
zbiór P8 zawiera się w całości w zbiorze P4
„i”(*)
zbiór P4 zawiera się w całości w zbiorze P2
wynika ->
że zbiór P8 zawiera się w całości w zbiorze P2

Ten sam przykład w działaniach na zbiorach:
(P8=>P4)*(P4=>P2) -> P8=>P2
Zbiory:
P8=>P4 = P8*P4 = [8,16,24…]
P4=>P2 = P4*P2 = [4,8,12,16…]
(P8=>P4)*(P4=>P2) = [8,16,24…]*[4,8,12,16,20,24..] = [8,16,24 …]

Oczywiście to jest to samo co z prawej strony!
P8=>P2 = P8*P2 = [8,16,24…]
Dlatego ten symbol -> nazywa się wynikaniem równoważnościowym.

Definicja znaczka warunku koniecznego ~>:
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zajście p jest konieczne dla zajścia q, bo zabieram p i znika q

Prawo przechodniości implikacji odwrotnej:
(p~>q)*(q~>r) -> (p~>r)
(1*1) ->1 = (1)*1 =1
Z faktu że:
zbiór p zawiera w sobie zbiór q
„i”(*)
zbiór q zawiera w sobie zbiór r
Wynika: ->
że zbiór p zawiera w sobie zbiór r

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Dowód zachodzenia warunku koniecznego.
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1
cnd

Prawo przechodniości implikacji odwrotnej:
(P2~>P4)*(P4~>P8) -> P2~>P8
(1*1) ->1 =(1)*1 =1
Z faktu że:
zbiór P2 zawiera w całości zbiór P4
i
zbiór P4 zawiera w całości zbiór P8
wynika: ->
że zbiór P2 zawiera w całości zbiór P8

Przykład fałszywego wynikania równoważnościowego:
(P8=>P3)*(P3=>P2) -> (P8=>P2)
Oczywiście:
P8=>P3 =0 bo 8
P3=>P2 =0 bo 3
P8=>P2 =1
stąd:
0*0 -> 1 =0*1 =0
Fałsz po lewej stronie wymusza fałszywość całego zdania.
cnd


6.3 Samodzielny warunek wystarczający

Diagram implikacji prostej:


Prawo Kubusia, jak wszystkie prawa logiczne działa wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym.
Jak zdeterminujemy cokolwiek, p albo q, to prawo Kubusia nie działa.
Jedyną poprawną formą analizy matematycznej jest wówczas analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Z diagramu wyżej widzimy że:
(p=>q) -> [~p=>(~q+q)]
czyli:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający p=>q to z tego faktu wynika -> prawdziwość zdania:
~p=>(~q+q).
Oczywiście zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q+q, bowiem zbiór ~q+q to kompletna dziedzina zarówno dla poprzednika jak i następnika.
~q+q =1

Przykład:
W.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy
Zbiór psów zawiera się w zbiorze zwierząt mających cztery łapy

Z tego faktu wynika:
(P=>4L) -> [~P=>(~4L+4L)]
1 -> 1 = 1*1 =1

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
A.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap lub ma cztery łapy
~P=>(~4L+4L) =1
Zdanie A w zbiorach:
~P*1 =~p
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera się w zbiorze ~4L+4L
B.
Obliczenie ~q:
~(~4L+4L) = 4L*~4L = 0 -zbiory rozłączne
stąd:
~P~~>4L*~4L =0
Warunek wystarczający o definicji w A i B spełniony, zbiory p i q są różne zatem na mocy definicji powinna to być implikacja prosta.
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
P~>~(~4L+4L) =0
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy i nie mieć czterech łap
P~>4L*~4L =0
Zdanie C w zbiorach:
P*0 =0
Zbiór w następniku jest zbiorem pustym, co wymusza fałszywość zdania C

STOP!
Dalej nie musimy analizować bo w zdaniu C otrzymaliśmy w wyniku fałsz!

Tabela zero-jedynkowa:
Kod:

               p q p=>q
A: p=> q =1  | 1 1  =1
B: p~~>~q=0  | 1 0  =0
C:~p=> ~q=0  | 0 0  =0
D: -------   | x x  =x
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             |p=1, ~p=0
             |q=1, ~q=0

W linii C mamy sekwencję 0 0 =0 której nie ma ani w implikacji, ani też w równoważności!

Wniosek:
Zdanie A nie wchodzi w skład definicji ani implikacji, ani równoważności.
Zdanie A jest samodzielnym warunkiem wystarczającym który może istnieć samodzielnie o definicji wyłącznie w liniach A i B.
W przypadku implikacji prostej eliminacja warunku koniecznego ~> w pytaniu o nie psa jest sensowna i zrozumiała.

Zobaczmy jak to będzie wyglądać w przypadku implikacji odwrotnej.

Diagram implikacji odwrotnej:

p~>q = ~p=>~q

W tym przypadku warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą”, mamy po stronie p.
Wyeliminować warunek konieczny ~> możemy tylko w jeden sposób.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
A: 4L=>P+~P
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera się w zbiorze P+~P
Zbiory:
4L*(P+~P) = 4L*1 =1
B.
4L~~>~(P+~P) = (~P*P) =0
Zbiory:
4L*0 = 0
Warunek wystarczający w zdaniu A spełniony, zbiory 4L i P+~P są różne zatem na mocy definicji powinna to być implikacja prosta.

Przechodzimy ze zdaniem A do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~4L~>~(P+~P)
C.
~4L~>~P*P =0
Zdanie C w zbiorach:
~4L*0 =0

STOP!
Dalej nie musimy analizować!
Tabela prawdy:
Kod:

             | p q  p=>q
A: p=> q =1  | 1 1  =1
B: p~~>~q=0  | 1 0  =0
C:~p=>~q =0  | 0 0  =0
D: ------      x x   x
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             | p=1, ~p=0
             | q=1, ~q=0

Nie ma sekwencji 0 0 =0 ani w implikacji, ani w równoważności.
Zdanie A nie wchodzi więc do definicji ani implikacji prostej ani tez do definicji równoważności.

Zdanie A:
4L=>P+~P
to samodzielny warunek wystarczający mogący istnieć samodzielnie
cnd


7.0 Definicje operatorów w bramkach logicznych

Definicja operatora OR:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p*~q
Kod:

   p q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =1    0  1   =0
C: 0 1  =1    1  0   =0
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to tabela prawdy ABC123 (bramka OR)
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to linia D456 (bramka AND)

Próbnik stanów logicznych to probówka z dwoma diodami świecącymi:
Zielona - logiczne „0”
Czerwona - logiczne „1”

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p+q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze ABC123, cały czas dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po dojściu do linii D zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w linii D456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p*~q
Musi być:
~p=1
~q=1
~Y=~p*~q=1


Definicja operatora AND:

Odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y=1) mamy w punkcie:
Y=p*q
Odpowiedź na pytanie kiedy skłamię ( ~Y=1) mamy w punkcie:
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q


Kod:

   p q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1 1  =1    0  0   =0
B: 1 0  =0    0  1   =1
C: 0 1  =0    1  0   =1
D: 0 0  =0    1  1   =1
   1 2   3    4  5    6

Spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to linia A123 (bramka AND)
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to tabela prawdy BCD456 (bramka OR)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
Y=p*q
Na wejściach p i q wymuszamy stan logiczny pokazany w linii A123, dioda czerwona musi być zaświecona, zgodnie z tabelą prawdy.
Po przejściu do linii B zaświeci nam się dioda zielona.
Sprawdzamy wówczas próbnikiem sygnały w obszarze BCD456 w punkcie pomiarowym:
~Y=~p+~q
Musi być dokładnie to co w tabeli.
Przykładowo dla linii B musi być:
~p=0
~q=1
~Y=~p+~q=1


Definicja bramki „musi”=>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi”=> to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Definicja bramki „może” ~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może”~> to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Definicja operatora implikacji prostej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „musi”=>:
p=>q =1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „może”~>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: p=> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0   0  1   =0
C:~p~> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =1   1  0   =1
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji prostej to obszar ABCD123:
p=>q = ~p~>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii B456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p=>q) = p*~q
stąd:
p=>q = ~(p*~q) = ~p+q
Fizyczna budowa operatora implikacji prostej to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=>)
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „może”~>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p=>q = ~p~>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B musi zaświecić się dioda zielona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek konieczny ~>).
Przykładowo dla linii D789 musi być:
~p=1
~q=0
~p~>~q =1


Definicja operatora implikacji odwrotnej:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) daje nam bramka „może” ~>:
p~>q =1
p~~>~q=1
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) daje nam bramka „musi”=>:
~p~>~q =1
~p~~>q =1
Kod:

             p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: p~> q =1  1 1  =1   0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =1   0  1   =1
C:~p=> ~q=1  0 0  =1   1  1   =1
D:~p~~> q=1  0 1  =0   1  0   =0
   1    2 3  4 5   6   7  8    9

Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej to obszar ABCD123:
p~>q = ~p=>~q
Najprostsze równanie logiczne dla obszaru ABCD456 uzyskamy z linii D456 bo mamy tu samotne zero w wyniku:
~(p~>q) = ~p*q
stąd:
p~>q = ~(~p*q) = p+~q
Fizyczna budowa operatora implikacji odwrotnej to bramka OR z zanegowaną w środku linią q

Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „może”~>)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=>)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek konieczny ~>). Oczywiście cały czas musi zaświecić się dioda czerwona.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0


Definicja równoważności:

Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie p (p=1) mamy w bramce „musi”=> po lewej stronie:
p=>q=1
p~~>~q=0
Odpowiedź na pytanie co będzie jak zajdzie ~p (~p=1) mamy w bramce „musi”=> po prawej stronie:
~p=>~q=1
~p~~>q=0
Kod:

             p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A: p=> q =1  1 1  =1    0  0   =1
B: p~~>~q=0  1 0  =0    0  1   =0
C:~p=> ~q=1  0 0  =1    1  1   =1
D:~p~~> q=0  0 1  =0    1  0   =0
   1    2 3  4 5   6    7  8    9

Symboliczna definicja operatora równoważności to obszar ABCD123:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) mamy w obszarze AB456 (bramka „musi”=> po lewej stronie)
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q) mamy w obszarze CD789 (bramka „musi”=> po prawej stronie)

Algorytm pomiarów:
Podłączmy próbnik stanów logicznych do wyjścia:
p<=>q
Na wejściach p i q wymuszamy stany logiczne pokazane w obszarze AB456 (warunek wystarczający =>). Oczywiście w linii B dioda musi zaświecić się na zielono.
Przechodzimy do linii C.
Od tego momentu sprawdzamy zgodność sygnałów cyfrowych z obszarem CD789 (warunek wystarczający =>).
Dioda musi zaświecić się na zielono wyłącznie w linii D789:
~p=1
~q=0
~p=>~q =0

Bardzo ważne doświadczenie:
Sprawdzić w laboratorium układów logicznych rzeczywiste działanie wszystkich operatorów logicznych.


7.1 Algebra Kubusia - czyż nie jest piękna?

Największą tragedią współczesnej matematyki jest nieznajomość pojęć z zakresu FUNDAMENTÓW matematyki naszego Wszechświata.

Te fundamentalne pojęcia w zdaniach „Jeśli p to q” to:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Definicja podstawowa:
Kod:

A: p=> q =1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q

2.
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji o definicji
p~>q = ~p=>~q

3.
~~> naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Znajomość tych trzech fundamentów generuje nową, kompletnie nieznaną człowiekowi, PRAWDZIWĄ matematykę naszego Wszechświata, z zupełnie nowymi zadaniami matematycznymi.

Zobaczmy to na przykładzie.

Zadanie:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
1. Udowodnij, czym jest to zdanie w sensie matematycznym.
2. Definicję jakiego operatora logicznego to zdanie spełnia.

Rozwiązanie:
Zakładamy że zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
~P8~>~P4+~P2

Definicja warunku koniecznego:
p~>q = ~p=>~q
Nasz przykład:
A.
~P8~>~P4+~P2
=
C.
P8=>~(~P4+~P2) = P4*P2 - prawo de’Morgana
czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 4 i jest podzielna przez 2

Aby udowodnić zachodzenie warunku koniecznego w zdaniu A wystarczy udowodnić warunek wystarczający => w zdaniu C, co jest oczywistością.
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>!
cnd

Definicję jakiego operatora logicznego zdanie A spełnia?
Dowiedliśmy iż zdanie A spełnia definicję warunku koniecznego ~>.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Zatem analizujemy:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
~P8~>~P4+~P2 =1 bo 3
p~>q =1
LUB
B.
Obliczamy ~q
~(~P4+~P2) = P4*P2
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 4 i przez 2
~P8~~>P4*P2 =1 bo 4
p~~>~q=1
… a jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Nasze zdanie A:
~P8~>~P4+~P2
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje argumentów i wymianę spójników:
P8=>P4*P2
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
stąd:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 4 i przez 2
P8=>P4*P2 =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
~p=>~q =1
Obliczenie q:
~q = P4*P2
q=~(~q) = ~(P4*P2) = ~P4+~P2 - prawo de’Morgana
stąd:
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 4 lub nie być podzielna przez 2
P8~~>~P4+~P2 =0 - oczywiście przypadek niemożliwy
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C!

Jaką definicje spełnia zdanie A?
Zdanie wypowiedziane:
p~>q
Ustalamy punkt odniesienia na zdaniu wypowiedzianym czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tworzymy tabelę prawdy dla tego zdania:
Kod:

Zdanie symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
                    | p q p~>q
A: p~> q =1         | 1 1  =1
B: p~~>~q=1         | 1 0  =1
C:~p=>~q =1         | 0 0  =1
D:~p=> q =0         | 0 1  =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                    | p=1, ~p=0
                    | q=1, ~q=0

Odpowiedź:
Zdanie A spełnia definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) dla punktu odniesienia:
p=~P8
q=~P4+~P2


Oczywiście inny uczeń może to zadanie rozwiązać w logice przeciwnej do ucznia wyżej!

Rozwiązanie alternatywne:
A: ~P8~>~P4+~P2 =1 bo 3
A: ~p~>~q =1
Obliczenie q:
q=~(~q) = ~(~P4+~P2) = P4*P2 - prawo de’Morgana
stąd:
lub
B:~P8~~>P4*P2=1 bo 4
B:~p~~>q=1
… a jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Mamy A:
~P8~>~P4+~P2
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
P8=>P4*P2
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty.
stąd:
C: P8=>P4*P2 =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
C: p=>q=1
Obliczenie ~q:
~(P4*P2) = ~P4+~P2 - prawo de’Morgana
stąd:
D: P8~~>~P4+~P2 =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C!
D: p~~>~q=0

Budujemy tabelę prawdy dla zdania A!

Zdanie wypowiedziane A:
~p~>~q =1
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A mamy:
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Kod:

Zdanie A symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
                      | ~p ~q ~p~>~q
A: ~p~>~q=1           |  1  1   =1
B: ~p~~>q=1           |  1  0   =1
C:  p=> q=1           |  0  0   =1
D:  p=>~q=0           |  0  1   =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                      |~p=1, q=0
                      |~q=1, q=0

Odpowiedź:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q) dla punktu odniesienia:
~p = ~P8
~q= ~P4+~P2
cnd

Oczywiście oba rozwiązanie są genialne i poprawne matematycznie!

Zauważmy, że oba te rozwiązania są identyczne jeśli chodzi o rozwiązania rzeczywiste dla parametrów aktualnych:
~P8
~P4+~P2
Te rozwiązania nie różnią się nawet przecinkiem.

Reszta zależy od przyjętych punktów odniesienia!
Zauważmy, że choćby przyszło tysiąc atletów, zjadło tysiąc kotletów, to nie mają najmniejszych szans aby ze zdania A zrobić implikację prostą! … taki to ciężar!

Wniosek:
Nie da się wyeliminować z logiki implikacji odwrotnej. Dogmat Ziemskich matematyków o zbędności implikacji odwrotnej jest błędem czysto matematycznym, bo nie istnieje ani implikacji prosta, ani też implikacja odwrotna bez warunku koniecznego ~>, czyli bez najzwyklejszego „rzucania monetą”.


Mamy tu sytuację podobną jak w rozwiązywaniu sieci elektrycznych o prądu stałego o n-gałeziach. W dowolnej z gałęzi może być źródło napięcia i rezystor, albo sam rezystor.

Sieci elektryczne rozwiązujemy układając układ równań liniowych na mocy dwóch praw Kirchhoffa.

I prawo Kirchhoffa:
Suma prądów w węźle jest równa zeru

II prawo Kirchhoffa:
Suma napięć w obwodzie zamkniętym jest równa zeru

Zasady:
1
Dla obwodu elektrycznego o n-punktach węzłowych można ułożyć n-1 równań na mocy I prawa Kirchhoffa
2.
Dla obwodu elektrycznego o n gałęziach niezależnych można ułożyć n równań na podstawie II prawa Kirchhoffa.
Oczko jest oczkiem niezależnym jeśli przynajmniej jedna jego gałąź nie wchodzi w skład pozostałych oczek, dla których ułożono równania Kirchhoffa.

Weźmy gałąź ze źródłem napięcia i rezystorem!
W którą stronę płynie prąd elektryczny?
Co wskazują wektory napięć na źródle i rezystorze?

Wszystkich możliwych punktów odniesienia mamy cztery!

Kod:

1. Polacy i Anglosasi:
             Ue                   Ur
          -------->           <--------
               |+              --------
A-------------||------->-------|      |--------B
               |       I       --------
                  ---------->
2. Węgrzy i Niemcy:
             Ue                   Ur
          <--------            -------->
               |+              --------
A-------------||------->-------|      |--------B
               |       I       --------
                  ---------->
3. Kosmita 1
             Ue                   Ur
          -------->           <--------
               |+              --------
A-------------||-------<-------|      |--------B
               |       I       --------
                  <----------
4. Kosmita 2
             Ue                   Ur
          <--------            -------->
               |+              --------
A-------------||-------<-------|      |--------B
               |       I       --------
                  <----------


Dla prawidłowego rozwiązania sieci jest totalnie nieistotne który z powyższych układów odniesienia przyjmiemy.

Możemy przyjąć dowolny, to kompletnie bez znaczenia!

Przyjecie konkretnego punktu odniesienia rzutuje na strzałkowanie całej sieci elektrycznej. Kierunek prądu w gałęzi w której nie ma źródła napięcia jest TOTALNIE nieistotny, możemy sobie rzucać monetą, ale jakiś kierunek musimy arbitralnie ustalić.
Oczywiście po rozwiązaniu takiego układu w gałęziach będą nam wychodzić prądy ze znakiem PLUS albo MINUS i kluczowa jest tu interpretacja tego faktu w odniesieniu do przyjętego punktu odniesienia.

Z powyższego wynikają niezwykłe wnioski:
1.
Jest totalnie nieważne co przyjmiemy za prąd elektryczny w sensie fizycznym i w którą stronę prąd w rzeczywistości płynie, w moim podręczniku do nauki elektroniki funkcjonuje taka oto, niezwykła definicja prądu elektrycznego.

Z punktu widzenia elektronika (nie technologa) doskonała jest taka definicja prądu elektrycznego.

Punkt odniesienia:
Polacy i Anglosasi:
Prąd elektryczny (poza źródłem napięcia) to pchły biegnące od wyższego do niższego potencjału. Rezystor stanowi dla nich przewężenie, które starają się zlikwidować uderzając młotkiem w jego ścianki.

Skądinąd wiemy że jak się coś czymś uderza to zwykle wydziela się ciepło.
stąd:
Pojecie mocy traconej w elemencie elektronicznym:
P=U*I


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:37, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 17:27, 05 Maj 2012    Temat postu:




8.0 Obietnice i groźby

Najważniejszymi definicjami w świecie istot żywych są definicje obsługujące obietnice i groźby.
Podlegają pod nie wszystkie stworzenia żywe od bakterii poczynając.
Zwierzątka które nie posługują się w praktyce tymi definicjami dawno wyginęły.


8.1 Definicje obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Znaczenie znaczków => i ~>:
W=>N - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli spełnisz warunek nagrody to na pewno => dostaniesz nagrodę, z powodu że spełniłeś warunek nagrody
~W~>~N - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to możesz ~> nie dostać nagrody lub możesz ~~> dostać nagrodę
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)
Jak widzimy znaczenie znaczka => jest identyczne w obu definicjach.

Znaczenie znaczków ~> i =>:
W~>K - groźba ~>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „może” ~>
Jeśli spełnisz warunek kary to możesz ~> zostać ukarany, lub możesz ~~> nie zostać ukarany.
~W=>~K - obietnica =>, spójnikiem domyślnym jest tu spójnik „na pewno” =>
Jeśli nie spełnisz warunku kary to na pewno => nie zostaniesz ukarany, z powodu że nie spełniłeś warunku kary
Spójniki domyślne nie muszą być wypowiadane.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Wyprowadzenie definicji groźby

Definicja obietnicy jest we współczesnej logice poprawna i bezdyskusyjna:
Obietnica = implikacja prosta
To jest nasz pierwszy aksjomat.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:
1.
Nagroda to brak kary
N=>~K
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~K=>N
stąd:
N<=>~K = (N=>~K)*(~K=>N)=1*1=1 - równoważność

2.
Kara to brak nagrody
K=>~N
Oczywiście w odwrotną stronę tez zachodzi:
~N=>K
stąd:
K<=>~N = (K=>~N)*(~N=>K)=1*1=1 - równoważność

Z powyższego mamy:
N=~K
K=~N

Definicja obietnicy:
W=>N = ~W~>~N

Transformujemy definicję obietnicy do definicji groźby:
1.
Zamieniamy w następniku nagrodę na karę
N=~K
~N=K
stąd:
1: W=>~K = ~W~>K

2.
Zamieniamy w poprzedniku warunek dostania nagrody na warunek wykonania kary.
W obietnicy odbiorca pragnie spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => dla otrzymania nagrody.
W groźbie odbiorca pragnie NIE spełnienia warunku W, bo to jest warunek wystarczający => uniknięcia kary.
Stąd mamy:
W (obietnicy) = ~W (groźby)
Wynika z tego że w naszej niedokończonej definicji 1 musimy zanegować W.
~W=>~K = ~(~W)~>K
~W=>~K = W~>K

Stąd:
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~N
Implikacja odwrotna na mocy definicji


8.2 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Gwarancja w obietnicy:
W=>N
Jeśli spełnisz warunek nagrody (W=1) to na pewno => dostaniesz nagrodę (N=1) z powodu że spełniłeś warunek nagrody (W=1)

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - gwarancja matematyczna
Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania czekolady.
stąd:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to możesz ~~> nie dostać czekolady
G~~>~C =0 - złamanie obietnicy

… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C

C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach spójnik „może” ~> jest domyślny i z reguły jest pomijany.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym ~>, aby nie dostać czekolady.
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 - akt miłości = akt łaski
To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary zależnej od niego.
Oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować.


8.3 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Gwarancja w groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na pewno => nie zostaniesz ukarany (~K=1) z powodu że nie spełniłeś warunku kary (~W=1)

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni!
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~~> nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje warunek wystarczający =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to możesz ~~> dostać lanie
~B ~~> L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


8.4 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych. Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


8.5 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 - warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


8.6 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
p=>q
P*~B=>C*D=1
Posprzątanie pokoju i nie bicie siostry jest warunkiem wystarczającym dla dostania czekolady i obejrzenia dobranocki.
B.
p~~>~q
~q=~(C*B)=~C+~D
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady lub nie obejrzysz dobranocki
P*~B~~>~C+~D =0
Zakaz karania z powodu spełnienia warunku nagrody.
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=0 - to jest 100% kary
B: ~C*D =0 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=0 - tu również jest kara (~D)
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 - zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody

… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
Mamy zdanie A:
P*~B=>C*D
stąd:
~P+B~>~C+~D
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~>.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć dobranocki
~p~>~q
~P+B~>~C+~D=1
Warunki ukarania, analiza poprzednika:
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B+~P*~B+P*B
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D (niżej) kara może być darowana w 100% !
Jeśli warunek ukarania jest spełniony to mama może wybrać dowolny z poniższych przypadków:
~C+~D
Możliwe kary
A: ~C*~D=1 - to jest 100% kary
B: ~C*D =1 - tu też jest element kary (~C)
C: C*~D=1 - tu również jest kara (~D)
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*D=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


8.7 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Analiza poprzednika na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
~P+B = ~P*B + ~P*~B + P*B
stąd:
1: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony
lub
2: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
3: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony
Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać karę w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie A), wykonać karę częściową (zdanie B), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie B).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+D
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
1: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
2: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
3: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
~P+B~>~C*~D
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
P*~B=>C+D
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~P=>~q
P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C+D = C*D+C*~D+~C*D
C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


9.0 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji

Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera.
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym dla nie dostania komputera. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Prawo nadawcy do wręczenia nagrody, mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu).

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to warunek konieczny ~>.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna (akt miłości):
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 9.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go nawet zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


9.1 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


10.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).
Zdania A i B to świat totalnie zdeterminowany bo znamy z góry wartości logiczne p i q.
Dla psa mamy:
4L=1, ~4L=0
S=1, ~S=0

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q
Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1
Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego. Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Prawo Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”.

Zdanie:
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
… a jeśli Jan nie był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
W~>Z = ~W=>~Z
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


10.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af

Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
11. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0*1*1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


10.2 Złożona implikacja prosta

A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
To jest oczywiście zdanie intuicyjnie sensowne.
Zastanówmy się dlaczego!

Zajmijmy się na początek poprzednikiem.
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K
A: P*K = 1*1= 0
Zbiory P i K istnieją (P=1 i K=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
B: P*~K = P
Wspólną częścią zbiorów P i ~K jest zbiór psów
C: ~P*K = K
Wspólną częścią zbiorów ~P i K jest zbiór kotów
stąd:
P+K = P*K + P*~K + ~P*K = P+K
Poprzednika nie da się zminimalizować, ta funkcja jest minimalna.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Następnik jest oczywiście prawdziwy, ale w iloczynie logicznym zawiera bezwartościową dla psa i kota prawdę powstałą z negacji fałszu. Ćwierkanie nie jest cechą ani psa, ani kota. Taką prawdę możemy usunąć, ale nie musimy tego robić.

Przeanalizujmy to zdanie w oryginale, bez minimalizacji następnika.

p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C=1 bo pies, kot
p=>q=1
Bycie psem lub kotem wystarcza aby mieć cztery łapy i nie ćwierkać
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P+K zawiera się w zbiorze 4L*~C
Zbiory:
(P+K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (4L*~C)=1) i mają cześć wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

Obliczenie ~q:
q=4L*~C
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację sygnałów i wymianę spójników na przeciwne
~q = ~4L+C
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to może ~~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
P+K ~~> ~4L+C =0
p~~>~q=0
Dla psa lub kota mamy tu determinizm:
~4L=0 i C=0
co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(P+K)*(~4L+C)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(P+K)=1 i (~4L+C)=1] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

... a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
P+K => 4L*~C
stąd:
~P*~K~>~4L+C
To jest oczywiście prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metodą na skróty:
Mamy:
p=(P+K), q=(4L*~C), ~p=(~P*~K), ~q=(~4L+C)
~p~>~q = ~P*~K ~> ~4L+C
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~> nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~P*~K~>~4L+C =1 bo kura, wąż (~4L=1), wróbelek (C=1)
~p~>~q=1
Nie bycie psem i nie bycie kotem jest warunkiem koniecznym aby nie mieć czterech łap lub ćwierkać
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P*~K zawiera w sobie zbiór ~4L+C
Zauważmy że jak wylosujemy zwierzaka i stwierdzimy iż nie ma czterech łap:
~4L=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy ćwierka nie musimy
Podobnie, jeśli wylosowany zwierzak ćwierka:
C=1
to już mamy pewność że to ani pies, ani kot, sprawdzać czy nie ma czterech łap nie musimy.
Dokładnie tak musi działać suma logiczna, spójnik „lub”(+)!
Zbiory:
(~P*~K)*(~4L+C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (~4L+C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to może ~~> mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~P*~K~~>4L*~C=1 bo słoń, koń, hipopotam...
~p~~>q=1
Zbiory:
(~P*~K)*(4L*~C)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~P*~K)=1 i (4L*~C)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: (~P*~K)~>(4L*~C) = B: (P+K) => (~4L+C) =0
Zdanie B jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji prostej.
Kod:

Definicja
Symboliczna    |p q p=>q
A: p=> q=1     |1 1  =1
B: p=>~q=0     |1 0  =0
C:~p~>~q=1     |0 0  =1
D:~p~~>q=1     |0 1  =1
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja następnika.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w następniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

P+K=> 4L*~C=1*1=1
P+K=> 4L* C=1*0=0
P+K=>~4L*~C=0*1=0
P+K=>~4L* C=0*0=0

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy następnika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd

Rozważmy na koniec prawdziwość takiego zdania:
W.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem lub wróbelkiem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K+W=>4L*~C =0 bo kontrprzykład: wróbelek
Definicja znaczka => nie spełniona bo zbiór P+K+W nie zawiera się w zbiorze 4L*~C.
Poza zbiór 4L*~C wystaje wróbelek - kontrprzykład.


10.3 Złożona implikacja odwrotna

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu, możemy to robić wyłącznie w implikacjach bezczasowych. Oba zdania będą prawdziwe, ale nie równoważne matematycznie (pkt. 6.1).
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K
Po stronie poprzednika mamy tu prawdę powstałą z negacji fałszu (~C=1) którą możemy sunąć ale nie musimy tego robić.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza matematyczna:

p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
p~>q=1
Posiadanie czterech łap i brak umiejętności ćwierkania jest warunkiem koniecznym aby być psem lub kotem.
Zbiory:
(4L*~C)*(P+K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (P+K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
lub
Obliczanie ~q:
q=P+K
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników
~q = ~P*~K
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~~> nie być psem i nie być kotem
4L*~C ~~> ~P*~K =1 bo słoń, koń, hipopotam ...
p~~>~q=1
Zbiór zwierząt mających cztery łapy i nie ćwierkających ma część wspólną ze zbiorem zwierząt nie będących psami i nie będących kotami (słoń, koń, hipopotam...).
Zbiory:
(4L*~C)*(~P*~K) = 1*1=1
Oba zbiory istnieją [(4L*~C)=1 i (~P*~K)=1] i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.

... a jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Mamy A:
4L*~C ~> P+K
stąd:
~4L+C => ~P*~K
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Dowód:
p~>q = ~p=>~q
mamy:
p=(4L*~C), q=(P+K), ~p=(~4L+C), ~q=(~P*~K)
Stąd:
~p=>~q
~4L+C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to na pewno => nie jest psem i nie jest kotem
~4L+C => ~P*~K =1 bo wąż, mrówka, wróbelek ...
~p=>~q=1
Brak czterech łap lub ćwierkanie jest warunkiem wystarczającym => aby nie być psem i nie być kotem.
Zbiory:
(~4L+C)*(~P*~K)=1*1=1
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (~P*~K)=1)]i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub ćwierka to może ~~> być psem lub kotem
~4L+C ~~> P+K =0
~p~~>q=0
Zbiór zwierząt nie mających czterech łap lub ćwierkających jest rozłączny ze zbiorem psów lub kotów, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zbiory:
(~4L+C)*(P+K)=1*1=0
Oba zbiory istnieją [(~4L+C)=1 i (P+K)=1)] ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
B: (4L*~C) ~> (~P*~K) = D: (~4L+C) => (P+K) =0
Zdanie D jest fałszem zatem w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
mamy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej.
Kod:

Definicja       |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna     |p q p~>q
A: p~> q =1     |1 1  =1
B: p~~>~q=1     |1 0  =1
C:~p=>~q =1     |0 0  =1
D:~p~~>q =0     |0 1  =0
Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli.

Nasze zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w skrócie jest implikacją odwrotną

Zastanówmy się na koniec czy możliwa jest inna wersja poprzednika.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*~C ~> P+K =1 bo pies, kot
Dla psa lub kota mamy pełny determinizm:
4L=1, ~4L=0
~C=1, C=0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Dla psa lub kota mamy w poprzedniku świat totalnie zdeterminowany:
Kod:

 4L*~C=1*1=1 ~~>P+K
 4L* C=1*0=0 ~~>P+K
~4L*~C=0*1=0 ~~>P+K
~4L* C=0*0=0 ~~>P+K

Na mocy prawa Sowy jakiekolwiek inne formy poprzednika będą tu matematycznie fałszywe.
cnd


10.4 Zdania złożone typu p+(q*r)

Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.

Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...

Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  0   1         0  0  1   1     0            1
1 0 1  0   1         0  1  0   1     0            1
1 0 0  0   1         0  1  1   1     0            1
0 1 1  1   1         1  0  0   0     0            1
0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
B: 0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
C: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


10.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).

Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  1   1         0  0  1   0     0            1
1 0 1  1   1         0  1  0   0     0            1
1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)]

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
B: 0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
C: 0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
D: 0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
E: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


Raj, 2012-12-25


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:41, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 14:08, 05 Cze 2012    Temat postu:

Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia


Każda nowa idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania. Z algebrą Kubusia jest ten kłopot że nie jest w stanie nikogo zaskoczyć, bowiem algebrę Kubusia doskonale znają wszyscy ludzie na Ziemi od 5-cio latka po profesora. Myślę, że nowe definicje czworokątów w algebrze Kubusia w 100% jednoznaczne, oraz prawa matematyczne zachodzące pomiędzy tymi definicjami to piękny przykład realnego zastosowania algebry Kubusia, który mam nadzieję przekona wielu matematyków.

Dla zrozumienia artykułu konieczne jest zapoznanie się z algebrą Kubusia w pigułce, odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z zakresu logiki wykładanej w Ziemskich uczelniach oraz włączenie na czas czytania naturalnej logiki człowieka, algebry Kubusia, którą wszyscy doskonale znamy.

Aktualnie ludzkość zna wyłącznie logiki formalne z definicji totalnie sprzeczne z naturalną logiką człowieka.
Przykład:
Jeśli kura ma trąbę to świnie latają w kosmosie
Zdanie prawdziwe w logice formalnej zwanej Klasyczny Rachunek Zdań.

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów
3.1 Grupa trapezów
3.2 Grupa równoległoboków
3.3 Grupa prostokątów
3.4 Grupa rombów

4.0 Grupa deltoidów
5.0 Twierdzenie prostokątów
6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów


1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Komentarz:
Logika matematyczna naszego Wszechświata jest jedna. Nie może być tak że do obsługi matematycznej zbiorów w matematyce obowiązuje logika X, a poza matematyką zbiory obsługiwane są logiką Y.

Podejrzyjmy zatem jak zbiory obsługują eksperci algebry Kubusia, humaniści i 5-cio latki … bo nie ma nic prostszego pod słońcem.

Dziedzina: Zbiór zwierząt
Kryterium tworzenia zbiorów: Ilość nóg

Zwierzęta dzielimy na zwierzęta bez nóg (wąż..), z dwiema nogami (kura ..), z czterema nogami (pies, kot ..) i pozostałe (np. mrówka)

Zwierzęta z czterema łapami to:
pies, kot, słoń i pozostałe
Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S =>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Każdy kot zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy kot ma cztery łapy

Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).

Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem, kotem lub słoniem
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie ~> zbiór P+K+L
4L~>P+K+S

Zbiór psów, zbiór kotów i zbiór słoni to zbiory rozłączne.
Pies nie jest podzbiorem kota, ani odwrotnie.
Pies nie jest szczególnym przypadkiem kota ani odwrotnie.
Nie istnieje zwierzę pieso-kot, które by było jednocześnie psem i kotem.

Identycznie mamy w matematyce, co za chwilę zobaczymy.


2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia



Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR
W logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany kwadrat którego nie sposób pomylić z innym czworokątem. Możemy go zatem łatwo użyć do utworzenia ścisłej definicji prostokąta i rombu.

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR


3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów

Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Ziemska definicja równoległoboku to definicja GRUPY równoległoboków a nie konkretnego, tego jedynego w swoim rodzaju równoległoboku o definicji INNEJ niż pozostałych równoległoboków.

Powinno być!
GRUPA równoległoboków
Grupa równoległoboków to czworokąty w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe.

Definicja GRUPY równoległoboków w równaniu algebry Boole’a:
GR = ROWNOLEGŁOBOK + kwadrat + prostokąt + romb
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Definicja równoległoboku (tego jedynego o definicji INNEJ niż pozostałe czworokąty):
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR

Oczywiście równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków mamy prawo zminimalizować.

Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zminimalizować funkcję logiczną opisującą grupę równoległoboków

GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Podstawmy:
r = PBPRiR
p=KR
q=BR
stąd nasze równanie przybiera postać:
GR = r*~p*~q + p*q +p*~q +~p*q
GR = r*~p*~q + p*(q+~q) + ~p*q
Zastosowane prawo algebry Boole’a: wyciągnięcie zmiennej przed nawias
GR = r*~p*~q + p + ~p*q
Użyte prawa:
q+~q=1
p*1=p
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników. Oczywiście możemy to prawo stosować lokalnie, co wyjaśni dalsze działanie Kubusia o bardzo małym rozumku.
W powyższym równaniu zajmiemy się na razie dwoma ostatnimi wyrażeniami.
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*(p+~q)]
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*p+~p*~q]
Prawo: mnożenie zmiennej przez wielomian
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*~q]
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
p+0=p
… a teraz to sobie ruszymy ten pierwszy człon.
~GR = [~r+p+q]*[~p*~q]
… i mnożymy zmienną ~p*~q przez wielomian.
~GR = ~r*~p*~q + p*~p*~q + q*~p*~q
~GR = ~r*~p*~q
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
0*p=0
0+x=x
Przechodzimy do logiki przeciwnej:
GR = r + p + q

Przywracając znaczenie zmiennych:
GR = PPBRiR + KR + BR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
GR = PBPRiR + KR + BR
Matematycznie to równanie oznacza:
GR=1 <=> PBPRiR=1 lub KR=1 lub BR=1
1.
Losujemy dowolny czworokąt: równoległobok
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Stwierdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Dalszych zmiennych nie musimy sprawdzać!
Równoległobok (ten konkretny, jedyny w swoim rodzaju!) należy do grupy równoległoboków
2.
Losujemy: kwadrat lub prostokąt
Stwierdzamy:
KR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i prostokąt należy do grupy równoległoboków!
3.
Losujemy: romb lub kwadrat
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i romb należy do grupy równoległoboków!
4.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=1
Trapez należy do grupy równoległoboków?!
Czy trapez ma przeciwległe boki parami równe i równoległe?

W ostatnim przypadku od razu wyszła tragiczna definicja trapezu w logice Ziemian.
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Poprawna definicja trapezu rozumiana jako ten JEDYNY w swoim rodzaju czworokąt różny od innych czworokątów musi być taka.

Algebra Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma DOKŁADNIE jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych

Dopiero przy tej definicji nasza matematyczna definicja grupy równoległoboków jest GENIALNA!

Powtórzmy punkt 4.
4A.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=0
Czyli:
Wszystkie boki równe = 0

Ziemska definicja trapezu tego nie wyklucza, czyli wedle Ziemian trapez może być:
kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem

Ziemska definicja trapezu:

[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Jak widzimy, jak bumerang wraca tu koszmar ziemskich matematyków.

Trapez to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Czyli:
Trapez to trapez

Oczywiście chodzi tu o grupę trapezów!

Grupa trapezów to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez

Zapis grupy trapezów w równaniu algebry Boole’a:
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
czyli:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBRiNR*~KR*~BR

Do definicji trapezu z AK dokładamy człon: ~KR*~BR
oczywiście to jest człon nieszkodliwy bo dla trapezu zachodzi:
~KR=1
~BR=1
Wolno nam!
stąd końcowe równanie grupy trapezów jest takie:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + (PBPRiR + JPBRiNR)*~KR*~BR

Jest oczywistością że po minimalizacji równanie logiczne dla GRUPY trapezów przyjmie postać!
GT = PBPRiR + KR + BR + JPBRiNR
czyli:
GT = GRUPA równoległoboków + trapez (ten konkretny trapez= JPBRiNR!)

5.
Losujemy: równoległobok
Sprawdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Równoległobok należy do grupy trapezów!
6.
Losujemy: trapez
Sprawdzamy:
JPBRiNR=1
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Trapez (ten konkretny trapez!) należy do grupy trapezów!

Czyż algebra Kubusia nie jest genialna?

Oczywiście nie Kubuś jest jej autorem bo … algebra Kubusia działała już w chwili Wielkiego Wybuchu!

Twierdzenie:
Autorem żadnego z praw fizyczno- matematycznych nie jest człowiek, człowiek to tylko odkrywca.

Czy człowiek mógłby odkryć jakiekolwiek prawo fizyczno-matematyczne gdyby nie działało ono od zawsze?
… czyli od wystarczająco długiego okresu.

Czy możliwy byłby Internet bez praw fizycznych działających od zawsze?


3.1 Grupa trapezów

I.
Grupa trapezów:

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Definicja grupy trapezów: JPBR
JPBR - jedna para boków równoległych
Grupa trapezów to:
GT = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące trapezami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest trapezem ( w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy trapez (ten konkretny: JPBR*~KR*~BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
itd.

Równanie logiczne dla grupy trapezów po minimalizacji przyjmuje postać:
GT = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Trapez (grupa trapezów):
JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez)

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy trapezów użyliśmy liczby pojedynczej (trapez) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę trapezów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Podobnie mamy z prostokątem, rombem i równoległobokiem.

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Prostokąt jest trapezem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
2.
Trapez jest trapezem
Trapez (ten jednoznacznie zdefiniowany: JPBR*~KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
itd
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych to wszystko jest w porządku.

Mamy tu przypadek identyczny jak w implikacji:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
To też jest powszechnie używany skrót myślowy który matematycznie oznacza:
B.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla dowolnej liczby naturalnej x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2
Matematycznie zdania A i B są tożsame.


3.2 Grupa równoległoboków

II.
Grupa równoległoboków:

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Grupa równoległoboków to:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
itd

Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)

Matematycznie zachodzi.
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR

Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)

Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR)

Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne:
Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok
KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta:
Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR)
Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne.
Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków.

Wynika z tego że:
Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR)
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie.
itd.


3.3 Grupa prostokątów

III.
Grupa prostokątów

Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Definicja alternatywna:
Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach równych
Cechy charakterystyczne:
Wszystkie kąty proste
Definicja grupy prostokątów:
GP=KR
Grupa prostokątów to:
GP = kwadrat + prostokąt
GP = KR*BR + KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące prostokątami (należące do grupy prostokątów).
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt to czworokąt o kątach równych i nie równych bokach
Prostokąt = KR*~BR

Równanie logiczne opisujące grupę prostokątów po minimalizacji to:
GP=KR
Dowód:
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy prostokątów użyliśmy liczby pojedynczej (prostokąt) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę prostokątów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Każdy prostokąt (ten ściśle zdefiniowany: KR*~BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)

Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Każdy kwadrat jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
2.
Każdy prostokąt jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
3.
Dopuszczalne jest także stwierdzenie (choć to jest bardzo naciągane):
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)

Nigdy nie może być!
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) jest podzbiorem prostokąta (tego jednoznacznie zdefiniowanego: KR*~BR)
bo to są zbiory rozłączne!
Dowód:
badamy czy istnieje część wspólna tych zbiorów:
Kwadrat* prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
bo prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej jest dowodem rozłączności ściśle zdefiniowanych czworokątów: kwadratu i prostokąta

Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych jak wyżej to wszystko jest w porządku.


3.4 Grupa rombów

IV.
Grupa rombów

Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Cechy charakterystyczne:
Boki równe, przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja grupy rombów:
GR=BR
Grupa rombów to:
GR = kwadrat, romb
GR = KR*BR + ~KR*BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty należące do grupy rombów.
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Romb to czworokąt o kątach nie równych i równych bokach
Romb = ~KR*BR

Równanie logiczne opisujące grupę rombów po minimalizacji to:
GR=BR
Dowód:
GR = kwadrat + romb = KR*BR + ~KR*BR = BR*(KR+~KR) = BR*1 = BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy rombów użyliśmy liczby pojedynczej (romb) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę rombów (więcej niż jeden czworokąt), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.

Każdy kwadrat (KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Każdy romb (ten ściśle zdefiniowany: ~KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)

Oczywiście zbiory kwadratów (KR*BR) i rombów (~KR*BR) są rozłączne
czyli:
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być rombem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR).
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) nie jest też szczególnym przypadkiem równoległoboku ściśle zdefiniowanego (PBPRiR*~KR*~BR)
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Dowód:
Badamy czy istnieje cześć wspólna:
ROMB*równoległobok = (~KR*BR)*(PBPRiR*~KR*~BR) = 0
bo prawo algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0
cnd

Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) zawiera się w grupie równoległoboków o definicji.
Grupa równoległoboków:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Po minimalizacji:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)

Możemy zatem powiedzieć że:
Każdy romb (~KR*BR) zawiera się w grupie (zbiorze) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W skrócie:
Każdy romb (~KR*BR) jest równoległobokiem (o definicji: KR+BR+PBPRiR)

Zauważmy także że:
1.
Grupa rombów (o definicji: BR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy romb (BR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
2.
Grupa prostokątów (o definicji: KR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy prostokąt (KR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)


4.0 Grupa deltoidów

[link widoczny dla zalogowanych]
Cytat:

Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”.
Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3].
W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych

[link widoczny dla zalogowanych]
Cytat:
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.

Jak widać wyżej minęło 2500 lat a Ziemianie nie mogą ustalić jednoznacznych definicji banalnych czworokątów …
Jest absolutną oczywistością że czerwone definicje przedstawione wyżej to są dwie różne definicje. Definicja z Wikipedii dotyczy grupy czworokątów zwanych deltoidami (więcej niż jeden), natomiast definicja z math.edu.pl to hiper precyzyjna definicja deltoidu (definicja ścisła) którego nie można pomylić ani z kwadratem, ani z rombem (czy też dowolnym innym czworokątem!).
Czyli:
1.
Jaś poproszony o narysowanie deltoidu o definicji z Wikpedii może sobie rzucać kostką i narysować cokolwiek: kwadrat, romb albo deltoid w ścisłym tego słowa znaczeniu jak w definicji z math.edu.pl.
Ta matematyka nie jest jednoznaczna!
2.
W myśl definicji z math.edu.pl Jaś poproszony o narysowanie deltoidu musi narysować deltoid zdefiniowany ściśle w tej definicji, czyli czworokąt różny od kwadratu, różny od rombu, różny od jakiegokolwiek innego czworokąta zdefiniowanego ściśle.
Ta matematyka jest jednoznaczna!

Definicja z math.edu.pl genialna!
To jedyna definicja ścisła (obok kwadratu) definiująca pewien czworokąt (deltoid) pozwalająca go odróżnić od jakichkolwiek innych czworokątów.

Zauważmy że:
„Żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe” eliminuje wszelkie trapezy czyli eliminuje:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Dwie sąsiednie pary boków równych wymuszają przecięcie się przekątnych pod kątem prostym!

Zdefiniujmy grupę deltoidów.

Definicja grupy deltoidów:
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym.
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja tożsama grupy deltoidów to definicja z Wikipedii:
Deltoid to czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.
Definicja tożsama grupy deltoidów z math.edu.pl:
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych

Oczywiście do tak zdefiniowanej grupy czworokątów należeć będą ściśle (czyli jednoznacznie) zdefiniowane czworokąty:
kwadrat (KR*BR), romb (~KR*BR) i deltoid (PKP*~KR*~BR)

Ścisłe definicje czworokątów:
1.
Kwadrat to czworokąt mający kąty równe i boki równe
Kwadrat=KR*BR
2.
Romb to czworokąt nie mający kątów równych ale mający boki równe
Romb=~KR*BR
3.
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR
gdzie:
KR - wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boi równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym

Grupa deltoidów:
GD = kwadrat + romb + deltoid (o definicji ścisłej!)
GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR
Podstawiamy:
p=KR
q=BR
r=PKP
GD = p*q + ~p*q + r*~p*~q
GD = q*(p+~p) + r*~p*~q
Prawo algebry Boole’a:
Wyciągnięcie zmiennej q przed nawias
GD = q +( r*~p*~q)
Prawa algebry Boole’a:
p+~p=1
q*1=q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~GD = ~q*(~r+p+q)
~GD = ~q*~r + ~q*p + ~q*q
Mnożenie zmiennej ~q przez wielomian
~GD = ~q*~r + ~q*p
Prawo algebry Boole’a:
~q*q =0
0+x = x
~GD = ~q*(~r+p)
Wyciągnięcie zmiennej ~q przed wielomian
Przechodzimy do logiki przeciwnej
GD = q+(r*~p) = r*~p + q
Przywracamy znaczenie zmiennych w oryginale
GD = PKP*~KR + BR

stąd:
Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1

Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
A.
Losujemy:
kwadrat lub romb
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać.
Kwadrat (KR*BR) i romb (~KR*BR) należą do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
B.
Losujemy:
Deltoid
Stwierdzamy:
(PKP*~KR)=1*1=1
STOP!
Deltoid w ścisłym (PKP*~KR*~BR) znaczeniu należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)

Wszelkie inne czworokąty ściśle zdefiniowane nie mają prawa należeć do grupy deltoidów i nie należą do grupy deltoidów.

Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1
C.
Losujemy:
Prostokąt (KR*~BR)
Stwierdzamy:
PKP*~KR = 0*0=0
Drugi człon definicji grupy deltoidów:
BR=0 - prostokąt nie ma wszystkich boków równych

Wniosek:
Prostokąt (KR*~BR) nie należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
GD = (PKP*~KR)=(0*0)=0 lub BR=0
GD=0
itd.

Podsumowanie:
Poprawne matematycznie są stwierdzenia:
Kwadrat (KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!

Podobnie:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!

Logika naszego Wszechświata jest jedna czyli identyczna logika musi obowiązywać zarówno w świecie humanistów i 5-cio Latków jak i w matematyce.

Weźmy zbiory obsługiwane logiką 5-cio Latków:
A.
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S => 4L
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałką wektora =>.
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami

Sensowne jest mówienie że:
Pies należy do zbioru zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy

Bezsensem jest twierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem czterech łap
Pies jest szczególnym przypadkiem grupy zwierząt z czterema łapami
itp.

IDENTYCZNIE mamy w matematyce!
Sensowne jest mówienie że:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
deltoid = grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (deltoid=PKP*~KR*~BR)!

Bezsensem jest twierdzenie iż:
1.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem deltoidu (tego zdefiniowanego ściśle: PKP*~KR*~BR)
Ten przypadek w świecie zwierzaków wyżej to stwierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem słonia!
… czyli bezsens absolutny.
2.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
itp.


5.0 Twierdzenie prostokątów

Twierdzenie prostokątów:
Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
PR=>GP
Implikacja prosta:
PR=>GP = ~PR~>~GP

Twierdzenie odwrotne prostokątów:
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR
Implikacja odwrotna:
GP~>PR = ~GP=>~PR

Dowód:

Ścisłe definicje kwadratu i prostokąta:

Kwadrat to czworokąt o równych kątach i równych bokach
KW=KR*BR
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=KR*~BR - kąty równe i boki nie równe

Zauważmy, że dopiero z precyzyjnych definicji kwadratu i prostokąta możemy wyprowadzić równanie opisujące grupę prostokątów.

GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Prawa algebry Boole’a:
wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p

Grupa prostokątów o definicji:
GP=KR
to dwa ściśle zdefiniowane czworokąty:
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt = KR*~BR

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje zatem żadnego konkretnego czworokąta!
cnd

Zobaczmy to wszystko na diagramie:


Twierdzenie:
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
KW+PR=>GP =1 bo kwadrat + prostokąt
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zarówno kwadrat jak i prostokąt zawiera się grupie prostokątów
Zbiory:
KW+PR=GD
(KW+PR)*GD =1*1=1
Oba zbiory istnieją (KW+PR=1 i GD=1) i mają część wspólną (są tożsame), co wymusza w wyniku 1
Tożsamość zbiorów (KW+PR) i GP wymusza równoważność, ale załóżmy, że o tym nie wiemy.
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to może ~~> nie należeć do grupy prostokątów
KW+PR~~>~GP=0
Zbiory:
(KW+PR)*~GP =1*1=0
Oba zbiory istnieją (KW+PR=1 i ~GP=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem?
Negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy spójniki
~KW*~PR ~>~GP
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
stąd mamy:
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR ~>~GP=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0

STOP!
Zdanie D jest dowodem iż zdanie C spełnia warunek wystarczający =>, nie ma tu miejsca na warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą” charakterystyczne dla implikacji.
Zdania C i D muszą zatem brzmieć.
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to na pewno => nie należy do grupy prostokątów
~KW*~PR =>~GP=1 bo deltoid, romb, równoległobok, trapez
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~KW*~PR zawiera się w zbiorze ~GP, co jest oczywistością z powodu tożsamości tych zbiorów
Zbiory:
(~KW*~PR)*~GP = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~KW*~PR)=1 i ~GP=1) i mają część wspólną (są tożsame), co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0
Zbiory:
(~KW*~PR)*GP = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~KW*~PR=1 i GP=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Całość to oczywiście równoważność.
AR.
Grupa prostokątów wtedy i tylko wtedy gdy czworokąt jest kwadratem lub prostokątem
GP<=>KW+PR
Na tej podstawie możemy użyć tu znaku tożsamości:
GP=KW+PR

Rozważmy teraz zdanie:
A.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to należy do grupy prostokątów
PR=>GP=1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Prostokąt zawiera się w grupie prostokątów
Dodatkowo zbiór PR nie jest tożsamy ze zbiorem GP co wymusza implikację prostą o definicji:
PR=>GP = ~PR~>~GP - definicja implikacji prostej
Zbiory:
PR*GP =PR
PR*GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (PR=1 i GP=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie zawierać się w grupie prostokątów
PR~~>~GP=0
Zbiory:
PR*GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (PR=1 i ~GP=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
… a jeśli czworokąt nie jest prostokątem?
Prawo Kubusia na skróty, czyli w równaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~PR~>~GP
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~PR~>~GP=1 bo deltoid
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~PR zawiera w sobie zbiór ~GP
Dodatkowo zbiór ~PR nie jest tożsamy ze zbiorem ~GP co wymusza implikację odwrotną:
~PR~>~GP = PR=>GP - definicja implikacji odwrotnej
Zbiory:
~PR*~GP=~GP
~PR*~GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~PR=1 i ~GP=1) i mają cześć wspólną (~GP), co wymusza w wyniku 1
lub
D.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~~> należeć do grupy prostokątów
~PR~~>GP=1 bo kwadrat
Zbiory:
~PR*GP=KW
~PR*GP=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~PR=1 i GP=1) i mają część wspólną (KW), co wymusza w wyniku 1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy dero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: PR=>GP
PR=1, ~PR=0
GP=1, ~GP=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~PR~>~GP
~PR=1, PR=0
~GP=1, GP=0
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie
                  |zero-jedynkowe
                  | PR GP PR=>GP  |~PR ~GP ~PR~>~GP
A: PR=> GP =1     |  1  1   =1    |  0   0   =1
B: PR~~>~GP=0     |  1  0   =0    |  0   1   =0
C:~PR~>~GP =1     |  0  0   =1    |  1   1   =1
D:~PR~~>GP =1     |  0  1   =1    |  1   0   =1
    1    2  3        4  5    6       7   8    9

Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający => o definicji wyłącznie w A i B.
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
PR=>GP = ~PR~>~GP
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q


Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).

Rozważmy implikacje odwrotną do zdania A wyżej.

Implikacja odwrotna:
A.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR =1 bo prostokąt
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór GP zawiera w sobie zbiór PR
Dodatkowo zbiór GP nie jest tożsamy ze zbiorem PR co wymusza implikacje odwrotną o definicji:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Zbiory:
GP*PR = PR
GP*PR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (GP=1 i PR=1) i mają część wspólną (PR), co wymusza w wyniku 1
lub
B.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~~> nie być prostokątem
GP~~>~PR=1 bo kwadrat
Zbiory:
GP*~PR=KW
GP*~PR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (GP=1 i ~PR=1) i mają część wspólną (KW), co wymusza w wyniku 1

… a jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów?
Prawo Kubusia:
GP~>PR = ~GP=>~PR
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to na pewno => nie jest prostokątem
~GP=>~PR=1 bo romb, równoległobok, trapez, deltoid
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~GP zawiera się w zbiorze ~PR
Dodatkowo zbiór ~GP nie jest tożsamy ze zbiorem ~PR co wymusza implikację prostą o definicji:
~GP=>~PR = GP~>PR
Zbiory:
~GP*~PR = ~GP
~GP*~PR=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~GP=1 i ~PR=1) i mają część wspólną (~GP) co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to może ~~> być prostokątem
~GP~~>PR =0
Zbiory:
~GP*PR = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~GP=1 i PR=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej:
A: GP~>PR
GP=1, ~GP=0
PR=1, ~PR=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~GP=>~PR
~GP=1, GP=0
~PR=1, PR=0
Kod:

Zapis symboliczny |Kodowanie
                  |zero-jedynkowe
                  | GP PR GP~>PR  |~GP ~PR ~GP=>~PR
A: GP~> PR =1     |  1  1   =1    |  0   0    =1
B: GP~~>~PR=1     |  1  0   =1    |  0   1    =1
C:~GP=>~PR =1     |  0  0   =1    |  1   1    =1
D:~GP~~>PR =0     |  0  1   =0    |  1   0    =0
    1    2  3        4  5    6       7   8     9

Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek konieczny ~> o definicji :
GP~>PR = ~GP=>~PR
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q


6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów

Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)

Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia

Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR

Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR

Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR

Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe

Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1

Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR

W poprzednim punkcie omówiliśmy równoważnościową definicję grupy prostokątów.

I.
Grupa prostokątów
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
GP = KW + PR
GP = KR*BR+ KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub PR to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Otrzymamy wówczas.
Implikację prostą:
KW=>GP = ~KW~>~GP
albo
Implikację odwrotną:
GP~>KW = ~GP=>~KW
Szczegółowe omówienie problemu przedstawione zostało w poprzednim punkcie.

Identycznie mamy z pozostałymi grupami czworokątów.

II.
Grupa rombów
Grupa rombów = kwadrat + romb
GRombów = KR*BR + ~KR*BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub ROMB to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Otrzymamy wówczas.
Implikację prostą:
KW=>GRombów = ~KW~>~Grombów
albo
Implikację odwrotną:
GRombów~>KW = ~GRombów=>~KW

III.
Grupa równoległoboków
GR = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+PR => GR = ~KW*~PR~>~GR
Definicja implikacji odwrotnej:
GR~>KW+PR = ~GR=>~KW*~PR

IV.
Grupa trapezów
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + PKP*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+TRAPEZ => GT = ~KW*~TRAPEZ~>~GR
Definicja implikacji odwrotnej:
GT~>KW+TRAPEZ = ~GT=>~KW*~TRAPEZ

V.
Grupa deltoidów
GD = kwadrat + romb + deltoid
GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+DELTOID => GD = ~KW*~DELTOID~>~GD
Definicja implikacji odwrotnej:
GD~>KW+DELTOID = ~GD=>~KW*~DELTOID

Czyż algebra Kubusia nie jest bajecznie prosta i piękna?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:42, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 15 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 22:54, 17 Lip 2012    Temat postu:

.........
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 22:57, 17 Lip 2012    Temat postu:

http://www.youtube.com/watch?v=1c4i-8i0pCw&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=g2yFtyo2jME
http://www.youtube.com/watch?v=dj2KQu3X574&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=n7YCR2xHNGM
http://www.youtube.com/watch?v=yrL1bhanhXY&feature=watch-vrec
http://www.youtube.com/watch?v=Bdn3FNBG9y0&feature=related

http://youtu.be/hnrcCSiADfM


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 21:49, 07 Gru 2012, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 21:20, 31 Sty 2013    Temat postu:

....

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 20:27, 05 Lut 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin