Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2022-06-20)
Idź do strony Poprzedni  1, 2
 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:44, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0


Spis treści
10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0 1
10.1 Chaos p|~~>q 3
10.1.1 Operator chaosu p||~~>q 4
10.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 6
10.1.3 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach 7
10.1.4 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q 9
10.2 Śmierć p|~~>q=0 10
10.2.1 Matematyczny związek śmierci p|~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1 11


10.0 Definicja chaosu p|~~>q=1 i śmierci p|~~>q=0

W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2.
Kod:

TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II       |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $       | Wejścia
        |oraz „lub”(+)  ||=>, |~>       ||~~>, ~(|~~>q)        | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y   Y  |  Y    Y   Y      Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> |=> |~> | <=>   $  |~~> ~(|~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   0   0  |  1    0   1      0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0   1  |  0    1   1      0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   1   0  |  0    1   1      0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   0   0  |  1    0   1      0   | 0  0  1  1
          A  A    A  A    A  A   A   A     A    A   A      A     A  A  A  A
          0  1    2  3    4  5   6   7     8    9  10     11    12 13 14 15

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.

Chaos i śmierć to funkcje logiczne 10 i 11
Kod:

TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1    # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
     ##                                   ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: Y =~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0    # B11:~Y= (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Gdzie:
#  - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia

Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk to funkcje różne na mocy definicji ##.

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że w tabeli TF0-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

10.1 Chaos p|~~>q

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod:

CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q=1
Dodatkowo musi być spełnione:
A1’’: p~~>q =1
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zachodzi:
A1’’: p~~>q=p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
A1’’’: p=>~q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym mowy być nie może.
cnd

Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi być spełnione:
B2’’: ~p~~>~q=1
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - zbiory ~p i ~q są rozłączne
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający:
B2’’’: ~p=>q=1
co to sprzeczne z definicją chaosu ~p|~~>~q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd

10.1.1 Operator chaosu p||~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’

Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
A1”: Ya=p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q

LUB

A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1: Yb=p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’

A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
B2”: Yc=~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q

LUB

B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: Yd=~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Podsumowanie:
Kod:

T1
Dziedziną Y są tu wszystkie możliwe zbiory/zdarzenia niepuste i prawdziwe:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd -dziedzina Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya+Yb+Yc+Yd

Operator chaosu p||~~>q odpowiada na dwa pytania A1B1 oraz A2B2:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: Ya= p~~>q = p* q =1
LUB
A1’: Yb= p~~>~q= p*~q =1
LUB
Kolumna A2B2:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: Yc=~p~~>~q=~p*~q =1
LUB
B2’: Yd=~p~~> q=~p* q =1

Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Wniosek:
Z tabeli chaosu CH doskonale widać najprostszy algorytm rozstrzygający czy mamy do czynienie z chaosem p|~~>q. Należy po prostu udowodnić prawdziwość wszystkich możliwych podzbiorów/zdarzeń Ya, Yb, Yc i Yd, co jest bardzo łatwe, o ile rzeczywiście mamy do czynienia z chaosem p|~~>q

10.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Zapiszmy naszą analizę operatora chaosu p||~~>q w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza           |Co w logice
symboliczna       |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
                Y                  Y
A1”: Ya= p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
A1’: Yb= p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
                Y                  Y
B2”: Yc=~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
B2’: Yd=~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

Zauważmy, że w kolumnie wynikowej Y mamy same jedynki.
Tabelę symboliczną T1 możemy zatem kodować zero-jedynkowo względem dowolnej z linii A1’’, A1’, B2’’, B2’ - zawsze dostaniemy zero-jedynkową definicję zdarzenia możliwego (~)p~~>(~)q dla zdarzeń, lub elementu wspólnego zbiorów (~)p~~>(~)q dla zbiorów.

Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A1”:
A1”: Ya=p~~>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające prawo Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~x=1)=(x=0)
Bo wszystkie zmienne dla punktu A1” musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2
Analiza           |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna       |jedynek oznacza   |A1”: p~~>q        |
                Y |                Y |                Y | p   q   Y=p~~>q
A1”: Ya= p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1  =1
A1’: Yb= p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0  =1
B2”: Yc=~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0  =1
B2’: Yd=~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1  =1
         a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                     |Prawa Prosiaczka: |
                                     |(~p=1)=(p=0)      |
                                     |(~q=1)=(q=0)      |

W tabeli zero-jedynkowej 123 nagłówek w kolumnie wynikowej 3 wskazuje linię A1”: p~~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenia możliwego ~~>)

W tabeli abc widać, że spełniona jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> dla wszelkich możliwych kombinacji zbiorów rozłącznych A”. A’, B’’, B’ uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
D (dziedzina) = A1”: p*q + A1: p*~q + B2”:~p*~q + B2’:~p*q = p*(q+~q)+~p*(~q+q) = p+~p =1

10.1.3 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dziedzina D musi być szersza od sumy logiczne zbiorów/zdarzeń p+q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod:

CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy prawa Słonia zapisujemy tożsamą definicję chaosu p|~~>q w zbiorach:
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach to dwa zbiory niepuste p i q mające co najmniej jeden element wspólny z których żaden nie zawiera się w drugim, a dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
D>p+q

Stąd mamy diagram chaosu p|~~>q w zbiorach:
Kod:

DCH
Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=Ya+Yb+Yc+Yd=1 - dziedzina, suma logiczna zbiorów rozłącznych         |
| D=A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q =p*(q+~q)+~~p*(~q+q)=p+~p=1    |
--------------------------------------------------------------------------
| p                               |
------------------------------------------------------
                  | q                                |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q      | A: Ya=p*q     | D: Yd=~p*q       | C: Yc=~p*~q       |
--------------------------------------------------------------------------
Podsumowując:
Chaos p|~~>q to cztery zbiory niepuste i rozłączne Ya, Yb, Yc i Yd
uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D

Doskonale widać, dlaczego dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Dla dziedziny D=p+q zbiór Yc=~p*~q byłby zbiorem pustym (=0), zatem matematyczna definicja chaosu p|~~>q nie mogłaby być spełniona, bowiem na mocy definicji kontrprzykładu w układzie istniałby warunek wystarczający => (relacja podzbioru)
cnd

Wniosek:
Z diagramu DCH doskonale widać najprostszy algorytm rozstrzygający czy mamy do czynienie z chaosem p|~~>q. Należy po prostu udowodnić prawdziwość wszystkich możliwych podzbiorów/zdarzeń Ya, Yb, Yc i Yd, co jest bardzo łatwe, o ile rzeczywiście mamy do czynienia z chaosem p|~~>q

10.1.4 Zaprzeczenie chaosu p|~~>q

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy:
Kod:

CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Zapiszmy skróconą definicje chaosu p|~~>q:
Kod:

CH
Skrócona definicja chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
                  Y
A: p~~> q = p* q =1 - istnieje (Ya=1) wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje (Yb=1) wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje (Yc=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q =~p* q =1 - istnieje (Yd=1) wspólny element zbiorów ~p i q

Chaos p|~~>q definiowany spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to definicja dziedziny D.
Dowód:
Y = p|~~>q = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
Negacja chaosu p|~~>q to:
~Y = ~(p|~~>q) = ~(p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q) = ~(1)=0
Stąd mamy:
Kod:

Zaprzeczenie chaosu p|~~>q=1 opisuje poniższa tabela prawdy
                      ~Y
A: ~( p~~> q)=~( p* q)=0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Ya) p i q
B: ~( p~~>~q)=~( p*~q)=0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yb) p i ~q
C: ~(~p~~>~q)=~(~p*~q)=0 - fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yc) ~p i ~q
D: ~(~p~~> q)=~(~p* q)=0 - Fałszem jest (=0), że nie istnieje (~Yd) ~p i q

Wniosek:
Jeśli zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest prawdziwe przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Y=(p|~~>q)=1
to nie ma możliwości aby którekolwiek ze zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> było fałszywe.

10.2 Śmierć p|~~>q=0

Definicja śmierci:
Y=p|~~>q=0
Śmierć bo brak elementu wspólnego zbiorów ~~> dla każdej z czterech możliwych kombinacji zbiorów

Stąd mamy tabelę prawdy śmierci:
Kod:

SM
Tabela prawdy śmierci p|~~>q=0:
Y=(p|~~>q)=0
                Y
A: p~~> q= p* q=0 - brak (Ya=0) elementu wspólnego zbiorów ~~> p i q
B: p~~>~q= p*~q=0 - brak (Yb=0) elementu wspólnego zbiorów ~~> p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=0 - brak (Yc=0) elementu wspólnego zbiorów ~~> ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - brak (Yd=0) elementu wspólnego zbiorów ~~> ~p i q

Zobaczmy jak będzie wyglądało zaprzeczenie śmierci ~Y:
~Y = ~(p|~~>q)=1
Stąd mamy tabelę prawdy zaprzeczenia śmierci:
Kod:

~SM
Tabela prawdy zaprzeczonej śmierci ~(p|~~>q)=1:
~Y=~(p|~~>q)=1
                     ~Y
A: ~(p~~> q)=~( p* q)=1 - nie istnieje (~Ya=1) element wspólny ~~> p i q
                          Musi być p*q=0 aby ~(p*q)=1
B: ~(p~~>~q)=~( p*~q)=1 - nie istnieje (~Yb=1) element wspólny ~~> p i ~q
                          Musi być p*~q=0 aby ~(p*~q)=1
C:~(~p~~>~q)=~(~p*~q)=1 - nie istnieje (~Yc=1) element wspólny ~~> ~p i ~q
                          Musi być ~p*~q=0 aby ~(~p*~q)=1
D:~(~p~~> q)=~(~p* q)=1 - nie istnieje (~Yd=1) element wspólny ~~> ~p i q
                          Musi być ~p*q=0 aby ~(~p*q)=1

Wniosek:
Jeśli zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q jest zawsze fałszywe:
Y = (p|~~>q)=~(A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D:~p*q) =0
to nie ma możliwości aby którekolwiek ze zdań kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> składowych było prawdziwe.

10.2.1 Matematyczny związek śmierci p|~~>q=0 z chaosem p|~~>q=1

Interpretacja śmierci p|~~>q=0:
Śmierć to stan naszego Wszechświata przed jego narodzinami, gdzie żadne z pojęć p, q, ~p, ~q jeszcze nie istnieje.

Nie istnieje matematyczne przejście ze śmierci p|~~>q=0 do życia p|~~>q=1, bo zachodzi tu związek różne na mocy definicji ##.

Dowód:
Kod:

TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q (Y=1):
A10: Y =(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1    # B7: ~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
     ##                                   ##
Definicja śmierci (Y=0):
A11: Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0    # B11:~Y= (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Gdzie:
#  - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p,q,Y muszą być wszędzie tymi samymi p,q,Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.

Doskonale widać, że w tabeli TF10-11 oba znaczki # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Podsumowanie:
1.
Przed narodzinami naszego Wszechświata obowiązywała wyłącznie śmierć:
A11: Y=(p|~~>q)=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
##
2.
Nie ma matematycznej możliwości stworzenia naszego Wszechświata, czyli przejścia ze śmierci Y=0 do chaosu Y=1:
A10: Y=(p|~~>q)=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=1
Bo obowiązuje tu znaczek różne na mocy definicji ##.

Wniosek:
Powołać do życia nasz Wszechświat mógł wyłącznie Bóg.

STARY TESTAMENT
Księga Rodzaju

1 Na początku Bóg stworzył niebo i ziemię. 2 Ziemia zaś była bezładem i pustkowiem: ciemność była nad powierzchnią bezmiaru wód, a Duch2 Boży unosił się nad wodami.
3 Wtedy Bóg rzekł: «Niechaj się stanie światłość!» I stała się światłość. 4 Bóg widząc, że światłość jest dobra, oddzielił ją od ciemności. 5 I nazwał Bóg światłość dniem, a ciemność nazwał nocą.
I tak upłynął wieczór i poranek - dzień pierwszy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 18:07, 20 Cze 2022, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 17:57, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
10.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q


Spis treści
10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
10.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 3
10.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 5
10.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 9


10.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"

Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.

Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
cnd
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P3
stąd zdanie A1’’ w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1

Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..6,7..]

Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd

Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd

Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu P8|~~>P3.

10.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach

Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3:
Chaos P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
Stąd:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Podstawmy to do tabeli prawdy chaosu p|~~>q.
Kod:

CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =0   = 2:~p~>~q   =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p   =0
A’: 1: p~~>~q=1   =               [=]               = 4:~q~~>p   =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1                   [=]                 4:~q~~>~p  =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q   =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B’:               = 2:~p~~>q   =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~p~~>~q  =1 [=] 3: q~~>p   =1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

W tabeli chaosu CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.

Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.

Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?

Kolumna A1B1:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24

LUB

A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?

Kolumna A2B2:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2

LUB

B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3

Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8||~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytania o ~P8 i P8:
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) będzie identyczna jak operatora chaosu P8||~~>P3 w logice dodatniej (bo P3) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

10.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Rozważmy następujący schemat elektryczny:
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        B
                                      ______
                                   ---o    o------
                                   |             |
             S               C     |    A        |
       -------------       ______  |  ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----|
  |    -------------                             |
  |                                              |
______                                           |
 ___    U (źródło napięcia)                      |
  |                                              |
  |                                              |
  ------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: C, B
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennych wolnych B i C:
Wyobraźmy sobie trzy pokoje 1, 2 i 3.
W pokoju 1 siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A widzący żarówkę S, w pokoju 2 siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk C widząca duplikat żarówki S, zaś w pokoju 3 siedzi Małgosia mając do dyspozycji wyłącznie przycisk B oraz duplikat żarówki S. Jaś, Zuzia i Małgosia nie wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu ani też nie znają schematu ideowego S4.
Zadaniem każdego członka z grupy jest rozszyfrowanie rzeczywistego schematu ideowego sterującego żarówką.

Przyjmijmy za punkt odniesienia Jasia i pokój 1.
Z punktu odniesienia Jasia mamy dwie zmienne wolne B i C do których Jaś nie ma dostępu, są poza jego kontrolą.

Definicja zmiennej wolnej B:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna B będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(b) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(b) =1
oraz
f(b)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(b) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku B, gdzie daje się ustawić zarówno B=1 jak i B=0.
Przykład:
f(b) = G*(~H+I)
Gdzie:
G, I - przyciski normalnie rozwarte
~H - przycisk normalnie zwarty

Definicja zmiennej wolnej C:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna C będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(c) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(c) =1
oraz
f(c)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(c) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku C, gdzie daje się ustawić zarówno C=1 jak i C=0.
Przykład:
f(c) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Definicja zmiennej związanej A:
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S.

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.

Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo zmienna wolna C może być ustawiona na C=0 - wtedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1).

Na mocy prawa Kłapouchego przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p = A (przycisk A)
q = S (żarówka S)
Stąd mamy zapis zdania A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =?
To samo w zapisie formalnym:
p~>q=?

W takim przypadku zawsze najprościej jest skorzystać z prawa Tygryska prowadzącego do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => B3.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo żarówka S może się świecić (S=1) gdy C=1 i B=1 zaś przycisk A wcale nie musi być wciśnięty.
Stąd, na mocy prawa Tygryska warunek konieczny ~> B1 jest fałszem:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S.
cnd

Wniosek:
Schemat S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S

10.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach

Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        W
                                      ______
                                   ---o    o------
                                   |             |
             S               Z     |    A        |
       -------------       ______  |  ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----|
  |    -------------                             |
  |                                              |
______                                           |
 ___    U (źródło napięcia)                      |
  |                                              |
  |                                              |
  ------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: W, Z
Istotą chaosu A|~~>S są zmienne wolne W i Z.

Dowód iż schemat S4 jest fizyczną realizacją operatora chaosu przedstawiliśmy wyżej.

Dopiero w tym momencie możemy skorzystać z szablonu chaosu p|~~>q wyrażonego warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Kod:

CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S =0    [=] 3: S~>A  =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]             = 4:~S~~>A =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
A”: 1: A~~>S =1                  [=]               4:~S~~>~A=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S =0    [=] 3: S=>A  =0 = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~A~~>S =1    [=] 3: S~~>~A=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
B”:               2:~A~~>~S=1    [=] 3: S~~>A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

W tabeli CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.

Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.

Operator chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o A i ~A:
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S)- co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Kolumna A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A||~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1

Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1”.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1) gdy dodatkowo zmienna wolna Z będzie ustawiona na Z=1

LUB

A’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Kolumna A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => nie dla świecenia S (~S=1)
~A|~~>~S = ~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B”.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0 (albo W=0)

LUB

B’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> świecić się (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=1 i zmienna wolna W ustawiona jest na W=1

Podsumowanie:
Operator chaosu A||~~>S to „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie wciśniętego klawisza A (A=1 - zdania A1’’ i A1’), jak i po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1 - zdania B2’’ i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~A i A:
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:44, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
11.0 Obietnice i groźby

Spis treści
11.0 Obietnice i groźby 1
11.1 Implikacja prosta p|=>q 2
11.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 3
11.2 Implikacja odwrotna p|~>q 5
11.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 7
11.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie 8
11.3.1 Prawo transformacji w obietnicy 8
11.3.2 Prawo transformacji w groźbie 10


11.0 Obietnice i groźby

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych matematycznie definicji obietnicy i groźby niżej zapisanych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem warunek konieczny B1: B~>L z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale nie jest to warunek wystarczający => bowiem na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L każdy człowiek ma prawo do odstąpienia wykonania kary zależnej od niego.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);


Przypomnijmy sobie teorię implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.

11.1 Implikacja prosta p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


11.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1)
Mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

11.2 Implikacja odwrotna p|~>q

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


11.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania B1 i A1’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1).
Mówi o tym zdanie B2

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję logicznie tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

11.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

11.3.1 Prawo transformacji w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy, bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …

Zdanie A4 w czasie przeszłym:
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1

Z definicji wszelkie obietnice zapisane są w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


11.3.2 Prawo transformacji w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.

Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.

Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o „nie dostaniu lania” które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K

Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B

Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak jutro dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są dla dziecka ani karą, ani też nagrodą, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.

Na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość:
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu, iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1

Z definicji wszelkie groźby zapisane są w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:52, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
11.4 Przykłady obietnicy


Spis treści
11.4 Obietnica E=>K 1
11.4.1 Operator implikacji prostej E||=>K 2
11.4.2 Kluczowe dialogi ojca z synem 5
11.5 Obietnica W=>Z 5
11.5.1 Operator implikacji prostej W||=>Z 7
11.5.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem 10



11.4 Obietnica E=>K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.

A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla otrzymania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = 1*~(0) =1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


11.4.1 Operator implikacji prostej E||=>K

Operator implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o E i ~E:
A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1)jest (=1) wystarczające => dla dostania komputera (K=1)
B1: p~>q =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla dostania komputera (K=1)
A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
Stąd:
Jeśli zdam egzamin (E=1) to mam gwarancję matematyczną => iż dostanę komputer (K=1) - mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym, mającym „wolną wolę” ojciec może kłamać do woli, czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera
B2: ~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla nie dostania komputera
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Stąd:
Jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q 1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1) bo jak zdam egzamin (E=1) to na 100% => dostanę komputer (K=1)
A2: ~E~>~K = A1: E=>K
Zauważmy, że zdanie A2 ojciec może wypowiedzieć w dowolnie ostry sposób, jednak na mocy definicji obietnicy A1: E=>K będącej częścią implikacji prostej E|=>K zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością wręczenia komputera mimo że syn nie zdał egzaminu, o czym mówi zdanie B2’.

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1)
~E~~>K = ~E*K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że syn nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)


Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej E||=>K jest gwarancja matematyczna => po stronie E (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~E (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~E||~>~K to układ równań logicznych:
A2B2:~E|~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~E||~>~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Komentarz do zdania A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)

Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)

Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą groźbę wykonać.

11.4.2 Kluczowe dialogi ojca z synem

Tata do syna:
A1:
Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K)
A1: E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera

Syn:
… a jeśli nie zdam egzaminu?
Tata:
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
stąd:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E) to nie dostaniesz komputera (~K)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera.

Syn:
Tata, czy możesz powtórzyć co się stanie jeśli zdam egzamin (E), oraz co się stanie jeśli nie zdam egzamin (~E)

Tata:
Bardzo proszę synku:
Jeśli zdasz egzamin (E) to dostaniesz komputer (K) (zdanie A1) a jeśli nie zdasz egzaminu (~E) to nie dostaniesz komputera (~K) (zdanie A2)
A1A2: (A1: E=>K)* (A2: ~E~>~K)=1*1=1

Jak widzimy, tata ma prawo wypowiedzieć zdania A1 i A2 w jednym zdaniu, gdyby nie mógł tego zrobić to logika matematyczna ległaby w gruzach.

11.5 Obietnica W=>Z

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się teraz kluczową obietnicą Chrystusa dzięki której już 15 lat temu zrozumiałem algebrę Kubusia. Oczywiście droga do poprawnego rozszyfrowania kompletnej algebry Kubusia była jeszcze bardzo daleka, wymagała 15 lat zaciętych dyskusji z ziemskimi matematykami.

Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z=1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdanie A1 to ewidentna obietnica, bowiem w następniku mamy tu nagrodę, musimy ją zatem kodować warunkiem wystarczającym A1: W=>Z wchodzącym w skład implikacji prostej W|=>Z.

Dlaczego ta obietnica była dla mnie kluczowa w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia?
Odpowiedź jest prosta:
W naszym Wszechświecie Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła.

Natomiast człowiek w obietnicy może kłamać do woli, to woda na młyn wszelkiej maści oszustów np. wyłudzanie pieniędzy od emerytów metodą na wnuczka.

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1

Podstawmy obietnicę Chrystusa do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W,Z}:
A1: Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=W (wierzy)
q=Z (zbawiony)
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
             dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
             dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: W~~>~Z=0 =                [=]             = 4:~Z~~>W =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~W~~>Z=1     [=] 3: Z~~>~W=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


11.5.1 Operator implikacji prostej W||=>Z

Operator implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o wierzących (W) i niewierzących (~W):
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)?
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?

A1B1.
Co może spotkać człowieka wierzącego (W=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)?
Stąd:
Jeśli wierzę w Boga (W=1) to mam gwarancję matematyczną => zbawienia (Z) - mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Kto wierzy (W) we mnie będzie zbawiony (Z)
W=>Z=1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Kto wierzy we mnie (W) ten może ~~> nie zostać zbawiony (~Z)
W~~>~Z = W*~Z=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że wierzę w Chrystusa i nie zostanę zbawiony.
To jedyne miejsce w całej analizie obietnicy A1 Chrystusa gdzie mógłby skłamać, czyli posłać wierzącego w niego człowieka do piekła.
Oczywistym jest, że w naszym Wszechświecie Chrystus z definicji nie ma prawa do kłamstwa (w przeciwieństwie do człowieka).

A2B2.
Co może spotkać człowieka niewierzącego (~W=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary w Boga (~W) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z)
B2: ~W=>~Z =0 - brak wiary w Boga nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
Stąd:
W przypadku niewierzących (~W=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z)
~W~>~Z =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) bo jak kto wierzy (W=1) to na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Zauważmy, ze Chrystus, podobnie jak człowiek może groźbę A2 wypowiedzieć w dowolnie ostrej formie, jednak na mocy definicji obietnicy A1: W=>Z będącej częścią implikacji prostej W|=>Z zdanie A2 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością zbawienia, mimo że człowiek nie wierzył (nie spełnił warunku nagrody) o czym mówi zdanie B2’

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (~Z)
~W~~>Z = ~W*Z =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie wierzę w Chrystusa (~W) i zostanę zbawiony (Z)
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu zbawienie) mimo że człowiek nie spełnił warunku nagrody (tu nie wierzył)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)


Zauważmy, że na mocy zdań A2 i B2’ Chrystus może umieścić w niebie wszystkich ludzi (z Hitlerem na czele) i nie zostanie kłamcą.
Oczywiście „może’ nie oznacza „musi”!

Wynika z tego, że zanana filozofom idea powszechnego zbawienia, zwana także ideą pustego piekła (Apokatastaza) matematycznie jest możliwa.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej W||=>Z jest gwarancja matematyczna => po stronie W (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~W (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~W||~>~Z to układ równań logicznych:
A2B2: ~W|~>~Z =(A2:~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z) - co się stanie z niewierzącym (~W=1)?
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = 1*~(0) =1*1 =1 - co się stanie z wierzącym (W)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~W||~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Komentarz do zdania A2:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
A2: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)

Zdanie tożsame:
A21.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
A21: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)

Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą, zaś wszelkie groźby na mocy definicji musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi matematyczna tożsamość zdań?
A2: ~W~>~Z = A21: ~W~>~Z?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób. Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może zmienić zdania i zapowiedzianą groźbę wykonać.

Wniosek:
Z punktu widzenia logiki matematycznej, najostrzejszą groźbę Chrystusa, grzech przeciwko Duchowi Św. musimy uznać za blef Chrystusa.

Ewangelia Mateusza: Dlatego powiadam wam: Każdy grzech i bluźnierstwo będą odpuszczone ludziom, ale bluźnierstwo przeciwko Duchowi nie będzie odpuszczone. Jeśli ktoś powie słowo przeciw Synowi Człowieczemu, będzie mu odpuszczone, lecz jeśli powie przeciw Duchowi Świętemu, nie będzie mu odpuszczone ani w tym wieku, ani w przyszłym

Zauważmy, że gdyby Chrystus nie miał prawa do darowania dowolnego grzechu, w tym grzechu przeciwko Duchowi Św. to jego wolna wola, prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego, ległaby w gruzach.
Dowodów iż Chrystus ma prawo darować dowolny grzech jest w Biblii mnóstwo np.
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

11.5.2 Kluczowe dialogi Chrystusa z człowiekiem

Chrystus:
A1:
Kto wierzy we mnie (W), będzie zbawiony (Z)
A1: W=>Z =1
Wiara w Chrystusa (W) jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)

Człowiek:
… a jeśli kto nie wierzy, Panie?
Chrystus:
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
stąd:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W), nie będzie zbawiony (~Z)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z)

Człowiek:
Panie, czy możesz powtórzyć co się stanie z wierzącymi (W), oraz co się stanie z niewierzącymi (~W)?

Chrystus:
Bardzo proszę:
A1A2:
Kto wierzy we mnie (W) zostanie zbawiony (Z) (zdanie A1) a kto nie wierzy we mnie (~W) nie zostanie zbawiony (~Z) (zdanie A2)
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1

Jak widzimy, Chrystus ma prawo wypowiedzieć zdania A1 i A2 w jednym zdaniu, gdyby nie mógł tego zrobić to logika matematyczna, algebra Kubusia, której sam jest autorem, ległaby w gruzach.

Zdanie A1A2 znajdziemy w Biblii:
A1A2:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, będzie potępiony
Św. Marek, Mk 16


Wiara w Chrystusa zawiera w sobie obowiązek Chrztu, zatem poprzednik możemy zredukować do słowa „uwierzy”.
Zachodzi także tożsamość matematyczna pojęć:
potępiony = nie zbawiony

Stąd zdanie tożsame Chrystusa przyjmuje postać:
A1A2:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony, a kto nie uwierzy, będzie potępiony
A1A2: (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)=1*1=1
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:56, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
11.6 Właściwości obietnic


Spis treści
11.6 Właściwości obietnic 1
11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy 1
11.6.2 Definicja „wolnej woli” 5
11.6.3 Obietnica w równaniach logicznych 7
11.6.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11
11.6.5 Rodzaje obietnic 17


11.6 Właściwości obietnic

W rozdziale tym zajmiemy się głównie właściwościami obietnic oraz ich alternatywną obsługą w praktyce nieużywaną, dlatego ten punkt należy traktować jako ciekawostkę.

11.6.1 Prawo transformacji w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
„Dostanie komputera” to nagroda, stąd na mocy definicji obietnicy mamy rozstrzygnięcie iż warunek wystarczający A1: E=>K jest częścią implikacji prostej E|=>K, poza tym faktem nic a nic nie musimy udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane.

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Weźmy naszą sztandarową obietnicę.

Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Zastosujmy do zdania A1 prawo kontrapozycji.

Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: E=>K = A4: ~K=>~E

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu

Jak widzimy, zdanie A4 to paradoks w stosunku do zdania A1.
Dlaczego?
W zdaniu A1 ojciec obiecuje synowi komputer z powodu zdanego egzaminu (po egzaminie), natomiast zdanie A4 wymusza na ojcu danie komputera przed egzaminem, bowiem inaczej syn na 100% => nie zda egzaminu.

Inne zdania uwypuklające zachodzący tu paradoks.

Przykład 2
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz cukierka
E=>C =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania cukierka
Prawo kontrapozycji:
A1: E=>C = A4: ~C=>~E
stąd:
Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli nie dostaniesz cukierka (~C=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~C=>~E =1
Brak cukierka (~C=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zdamy egzaminu (~E=1)

Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)

Jak widzimy, logika matematyczna która działa wyśmienicie w świecie martwym i w matematyce prowadzi do paradoksów w świecie żywym, gdzie poprzednik lub następnik zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Jak uniknąć opisanego wyżej paradoksu?

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszych przykładach.

Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera

Prawo kontrapozycji:
A1: E=>K = A4: ~K=>~E

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przeszłym na mocy prawa transformacji.
Załóżmy iż jest po egzaminie.
Zaistniały fakt: Jaś nie ma komputera
Jaś do Zuzi która zna obietnicę ojca, ale nie zna zaistniałego faktu:
Zgadnij Zuzia czy zdałem egzamin jeśli nie mam komputera?
Zuzia:
A4.
Jeśli nie dostałeś komputera (~K=1) to na 100% => nie zdałeś egzaminu (~E=1)
~K=>~E =1
Brak komputera (~K=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż Jaś nie zdał egzaminu (~E=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera to będzie to oznaczało iż (wcześniej) nie zdałeś egzaminu
~K=>~E=1

Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)

Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1

11.6.2 Definicja „wolnej woli”

Obietnica rodem ze świata żywego:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera

Zauważmy, że w świecie martwym (w tym w matematyce) zdanie A1 ze spełnionym warunkiem wystarczającym => jest gwarancją absolutną której świat martwy nie jest w stanie złamać.

Zobaczmy to przez analogię:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
W naszym Wszechświecie niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Stąd mamy wyprowadzoną definicję „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka).

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji widać, że pojęcia „wolna wola” możemy używać tylko i wyłącznie w stosunku do świata żywego, bowiem wyłącznie świat żywy może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

„Wolna wola” istot żywych może być wykorzystana także w niecnych celach, czyli nadawca wypowiada obietnicę której nie zamierza spełnić, której celem jest oszukanie odbiorcy.
„Wolna wola” istot żywych jest wodą na młyn dla oszustów wszelkiej maści np. wyłudzenia metodą na wnuczka. Ofiary dają się oszukiwać tylko dlatego iż oszust działa tak, by ofiara nie domyślała się że jest oszukiwana.

Zauważmy, że ojciec wypowiadając obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Zdanie tożsame:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Tylko teoretycznie musi dać synowi komputer, bowiem w praktyce tak może się nie stać z różnych powodów, na przykład:
1.
Syn zdaje egzamin ale w drodze do domu ginie w wypadku samochodowym - oczywiście wyłącznie idiota będzie wkładał do trumny obiecany komputer.
2.
Syn zdaje egzamin, ale jednocześnie u mamy stwierdzono raka i wspólnie z ojcem postanawiają wydać pieniądze przeznaczone na komputer, na leczenie mamy.
3.
Ojciec jest sadystą i nie dotrzymuje danego słowa z premedytacją.

Oczywistym jest, że wyłącznie w przypadku 3 ojciec jest kłamcą, bo nie dotrzymał danego słowa z premedytacją.
Przypadek 1 to automatyczne zwolnienie z obietnicy wynikłe z przypadku losowego, natomiast w przypadku 2 syn dobrowolnie zwalnia ojca z danej obietnicy.

Prawo zwolnienia z obietnicy:
Zwolnić nadawcę z wypowiedzianej obietnicy może wyłącznie odbiorca.

Zauważmy że:
Jeśli rodzic cokolwiek obiecuje dziecku to z reguły dotrzymuje danej obietnicy. Nie ma tu mowy o ograniczeniu „wolnej woli” rodzica bowiem składa obietnicę dobrowolnie oczekując spełnienia warunku dostania nagrody.
Jeśli dziecko spełni warunek nagrody to rodzic wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.
Problem dla ojca zaczyna się, gdy syn nie spełni warunku nagrody.
Tu ojciec ma 100% wolnej woli, może nagrody nie wręczyć argumentując tak:
A2:~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), zatem nie dostaniesz komputera (~K=1)
W tym przypadku ojciec nie musi uzasadniać swojej negatywnej decyzji, ale może mówiąc tak:
A2: ~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), nie dostajesz komputera (~K=1) bo widziałem, że w ogóle się nie uczyłeś.

W przypadku nie zdanego egzaminu, na mocy zdania B2’ ojciec równie dobrze może wręczyć synowi komputer
B2’: ~E~~>K = ~E*K =1
uzasadniając to tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo cię kocham … bo widziałem że się uczyłeś, ale miałeś pecha itp.
Uwaga:
Uzasadnienie wręczenia komputera musi być w tym przypadku niezależne tzn. różne od poprzednika.

Ojciec nie może wręczyć komputera z uzasadnieniem zależnym bo będzie mimo wszystko kłamcą.
Uzasadnienie zależne brzmi tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)

W przypadku uzasadnienia zależnego ojciec mimo wszystko jest kłamcą, co udowodniłem na samym początku mojej przygody na serio z logiką matematyczną około 14 lat temu.

11.6.3 Obietnica w równaniach logicznych

A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Warunek wystarczający => A1 jest częścią implikacji prostej E|=>K na mocy definicji obietnicy

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozważmy sztandarową obietnicę:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K =0
Jeśli syn zda egzamin (E=1) i ojciec nie wręczy komputera (~K=1) to ojciec będzie kłamcą (=0).

… a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
Stąd:
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera.
Nie jest to jednocześnie warunek wystarczający => bo na mocy definicji implikacji prostej E|=>K zdanie B2’ jest prawdziwe, czyli ojciec ma matematyczne prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K i kłamcą nie będzie.

Sposób wypowiedzenia groźby A2 nie ma tu znaczenia.
Zdanie A2 to ewidentna groźba, zatem im ostrzej wypowiedziana tym teoretycznie będzie skuteczniejsza - stąd w zdaniu A2 mamy „na 100% ~>”
Można wypowiedzieć groźbę „lichą”:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
W praktyce jednak nadawca rzadko używa spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę, bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca na 100% ~> nie spełnił warunku groźby (tu zdał egzamin)

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~K =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K = ~E*K =1
Zdanie B2’ to akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K.
Zauważmy, ze akt miłości jest tożsamy z aktem łaski, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy groźbę A2: A2: ~E~>~K.

Uwaga:
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec może wręczyć nagrodę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym, czyli różnym od poprzednika.
Po nie zdanym egzaminie może powiedzieć:
1.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo cię kocham
lub
2.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha
etc
Ojciec będzie kłamcą jeśli powie słowo w słowo:
3.
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)
W zdaniu 3 mamy do czynienia z uzasadnieniem zależnym, gdzie uzasadnienie jest identyczne jak poprzednik.

Czysto matematyczny dowód iż wypowiadając zdanie 3 ojciec będzie kłamcą:

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim inżynierom elektronikom, ci od cyfrowych układów logicznych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (zdanie A1) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody (zdanie B2’)

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

Przypadek A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

Przypadek B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić!

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę (N=1), bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy U jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem dać ci komputer itp.
Gdzie:
U=1 - dowolne uzasadnienie niezależne.
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Podsumowując:
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody N z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

11.6.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
         Y=    ~Y=
   p  q  p=>q ~(p=>q)
A: 1  1  =1     =0
B: 1  0  =0     =1
C: 0  0  =1     =0
D: 0  1  =1     =0

Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy w „Nowej algebrze Boole’a” (punkt 3.1)

Przypomnijmy:

Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku wystarczającego Y = p=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  1 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji obietnicy.

Rozważmy naszą sztandarową obietnicę.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1. Kiedy zajdzie Y (ojciec dotrzyma słowa)
2. Kiedy zajdzie ~Y (ojciec nie dotrzyma słowa)

Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

Nasz przykład:
1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Gdzie:
Y = Ya+Yc+Yd - suma logiczna funkcji cząstkowych w logice dodatniej (bo Yx)

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

Nasz przykład:
2.
~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Gdzie:
~Y =~Yb - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yb)

Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: E*K=1*1=1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)

Zdanie D to oczywiście piękny akt miłości w odniesieniu do obietnicy A1, czyli prawo nadawcy do wręczenia nagrody (syn dostaje komputer), mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu syn nie zdał egzaminu)

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) = ojciec skłamie (S)
~Y=S
Czytamy:
2.
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = B: E*~K = 1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Zapis tożsamy powyższego równania to:
(~Y=1) <=> B: E*~K
co a logice jedynek oznacza:
(~Y=1) <=> B: E=1 i ~K=1

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
2a.
(Y=0) <=> B: E=1 i ~K=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy do powyższego to:
2b.
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (K=1)

Uwaga na notację w algebrze Kubusia gdzie tożsame są zapisy równań logicznych:
2a=2b

Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (E*K)*(E*~K) = [] =0
A*C = (E*K)*(~E*~K) =[] =0
A*D = (E*K)*(~E*K) =[] =0
B*C = (E*~K)*(~E*~K)=[] =0
B*D = (E*~K)*(~E*K) = [] =0
C*D = (~E*~K)*(~E*K) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienna do końca naszego Wszechświata.

Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie B:
~Y = B: E*~K =1*1 =1 - syn zdał egzamin (E=1) i nie dostał komputera (~K=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
Innymi słowy:
~Y=1 - prawdą absolutną (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).

Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: E*K = 1*1 =0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn zdał egzamin (E=1) i ma komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~E=1) i nie ma komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =0 - nie zaszło (Yd=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~K=1) i ma komputer (K=1)

Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = E*K + E*~K + ~E*~K + ~E*K = E*(K+~K) + ~E*(~K+K) = E+~E =1
cnd

Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
E (egzamin) =p
K (komputer) =q

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):

1.
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):

2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p+ (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Odtwarzając nasz przykład mamy:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Dokładnie to samo zdanie A1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając obietnicę A1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = ~E+K =1+1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)

Wnioski:
1..
Obietnica A1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka.
2..
Przejście z obietnicą A1 do tożsamego minimalnego równania 1’:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
3.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
4.
Zauważmy, że przechodząc z obietnicą A1 do równania 3 zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu 3 nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> bowiem z definicji spójniki „i”(*) i „lub”(+) są w stanie opisać co najwyżej istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów ~~>, ale nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też relacji nadzbioru ~>.
cnd

11.6.5 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 19:59, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
11.7 Groźba B~>L


Spis treści
11.7 Groźba B~>L 1
11.7.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L 2
11.8 Właściwości groźby 5
11.8.1 Prawo transformacji w groźbie 6
11.8.2 Groźba w równaniach logicznych 7
11.8.3 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 9



11.7 Groźba B~>L

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych definicji obietnicy i groźby tu przedstawionych.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {B,L}
B1: Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: B=>L  =0 = 2:~B~>~L=0     [=] 3: L~>B  =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: B~~>~L=1 =                [=]             = 4:~L~~>B =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: B~>L  =1 = 2:~B=>~L=1     [=] 3: L=>B  =1 = 4:~L~>~B =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~B~~>L=0     [=] 3: L~~>~B=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


11.7.1 Operator implikacji odwrotnej B||~>L

Operator implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o brudne spodnie (B=1) i czyste spodnie (~B=1):
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L=1)
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(B=1)~>(L=1) =1
Czytamy:
B=1 - prawdą jest (=1) że mam brudne spodnie (B)
L=1 - prawdą jest (=1) dostaję lanie (L)
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) bo jak przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostanę lania (~L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
To samo w zapisie aktualnym:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L

Komentarz:
Zdania tożsame do B1 to:
B11.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
B12.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~> dostać lanie (L=1)
B~>L =1
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Uwaga:
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykładu A1’. Ostrość wypowiedzianej groźby nie ma tu znaczenia, czyli zachodzi tożsamość matematyczna zdań:
B1 = B11 = B12
W groźbach nadawca z reguły nie wypowiada spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę (B12) bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca nie spełnił warunku groźby, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba, tym teoretycznie lepiej.
Zauważmy, że algebra Kubusia pozwala nadawcy na blefowanie tzn. nadawca może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostrej formie (np. B11) nie mając zamiaru wykonać kary w niej zawartej.
Z faktu, że nadawca w chwili wypowiadania groźby blefuje (o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie zawartej w groźbie kary nie może wykonać.
Innymi słowy:
Finalnie nadawca może wykonać karę w groźbie która w chwili wypowiedzenia groźby była jego blefem.

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
Na mocy definicji groźby możliwe jest (=1) zdarzenie:
przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1)
Zdanie A1’ to powszechny w świecie żywym (nie tylko u człowieka) akt łaski, czyli możliwość darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)


A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?


Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Czyste spodnie = nie brudne spodnie (~B=1)

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B=1) nie są (=0) konieczne ~> dla nie dostania lania (~L=1)
B2: ~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B=1) są (=1) wystarczające => dla nie dostania lania (~L=1)
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to mam gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje mi gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z innego powodu jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zerowy związek z wypowiedzianą groźbą B1.

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1) … z powodu czystych spodni (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja groźby.

Zauważmy, że gwarancja B2: ~B=>~L braku lania w groźbie B1 jest niesłychanie silna.
Aby ją złamać ojciec musi powiedzieć słowo w słowo:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) (z powodu czystych spodni (~B=1)).
W tym momencie mama synka dzwoni po pogotowie - ojciec zwariował i należy go umieścić w szpitalu psychiatrycznym.

Zauważmy, że ojciec-sadysta, jeśli musi walić bez trudu znajdzie sobie pretekst do walenia bez powoływania się na czyste spodnie.
Ojciec-sadysta może powiedzieć tak:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty (BB=1).
… i sadysta już może walić, bez narażania się na umieszczenie w szpitalu psychiatrycznym.

Zauważmy że:
W świecie martwym (i matematyce) zdanie B2’ to twarda prawda której świat martwy nie jest w stanie złamać.
Przykład:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

To co nie jest możliwe w świecie martwym jest możliwe w świecie żywym, mającym „wolną wolę” co udowodniliśmy wyżej.

Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji pojęcie „wolnej woli” dotyczy wyłącznie świata żywego.

Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej B||~>L jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie B (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~B (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to układ równań logicznych:
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

11.8 Właściwości groźby

W rozdziale tym zajmiemy się głównie właściwościami obietnic oraz ich alternatywną obsługą w praktyce nieużywaną, dlatego ten punkt należy traktować jako ciekawostkę.

11.8.1 Prawo transformacji w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.

B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B

Stąd mamy:
B3.
Jeśli dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => ubrudzisz spodnie (B=1)
L=>B=1
Dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż syn ubrudzi spodnie (B=1)
Innymi słowy:
Jeśli syn dostanie jakiekolwiek lanie (bo w zdaniu B3 nie ma przyczyny lania) to mamy gwarancję matematyczną => iż ubrudzi spodnie.

Zauważmy, że już samo dostanie lania bez podania przyczyny lania kwalifikuje się do szpitala psychiatrycznego.
Jak wybrnąć z tego paradoksu?

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszym przykładzie.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B
stąd na mocy prawa transformacji zdanie B3 wypowiadamy w czasie przeszłym:
B3.
Jeśli dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Na mocy groźby B1 dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż wcześniej syn ubrudził spodnie (B=1) i dostał to lanie z powodu brudnych spodni - w tym przypadku ojciec nie skorzystał z prawa łaski i nie darował synowi lania.

Jak widzimy, dzięki prawu transformacji obowiązującemu wyłącznie w obietnicach i groźbach nadawca skutecznie broni się przed umieszczeniem go w szpitalu psychiatrycznym.

11.8.2 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: W~>K = B2: ~W=>~K
stąd:
B2.
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na 100% => nie zostaniesz ukarany (~K=1)
~W=>~K =1
… z powodu iż nie spełniłeś warunku kary (~W=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna B|~>L.

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Opiszmy groźbę w naturalnej logice matematycznej człowieka.

Obowiązuje tu zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić.
Przyjmijmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary ustawiając swoją zmienną wolną U na wartość:
U=0 - akt łaski (nie karać)

Analiza równania groźby.
K=W*U

Przypadek A.
W=0 - warunek kary nie jest spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karania jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną wolną U długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

Przypadek B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Akt łaski:
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania (~L=1) ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp.
Gdzie:
U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne jak wyżej.

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski (U=0)

Uzasadnienie zależne:
Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania (~L=1), bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).
Gdzie:
W=1 - warunek kary spełniony
U=W=1 - uzasadnienie darowania kary identyczne jak poprzednik

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

11.8.3 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
         Y=    ~Y=
   p  q  p~>q ~(p~>q)
A: 1  1  =1     =0
B: 1  0  =1     =0
C: 0  0  =1     =0
D: 0  1  =0     =1

Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy w punkcie 2.5.1

Przypomnijmy:
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku koniecznego Y = p~>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc - suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa ~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji groźby.

Rozważmy naszą sztandarową groźbę.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dla lania (L=1)

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1. Kiedy zajdzie Y (ojciec dotrzyma słowa)
2. Kiedy zajdzie ~Y (ojciec nie dotrzyma słowa):

Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

Nasz przykład:
1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc - suma logiczna funkcji cząstkowych w logice dodatniej (bo Yx)

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

Nasz przykład:
2.
~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1
Gdzie:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Yd)

Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: B*L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)

Zdanie B to oczywiście piękny akt łaski w odniesieniu do groźby B1: B~>L, czyli prawo nadawcy do darowania kary zależnej od nadawcy (syn nie dostaje lania ~L=1), mimo że odbiorca spełnił warunek kary (tu syn przyszedł w brudnych spodniach B=1).

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)
Zapis tożsamy powyższego zdania to:
(~Y=1) <=> D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
(~Y=1) <=> D: ~B=1 i L=1

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
2a.
(Y=0) <=> D: ~B=1 i L=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie

W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy do powyższego to
2b.
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = D: ~B*L =1*1 =0 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)

Uwaga na notację w algebrze Kubusia gdzie tożsame są zapisy równań logicznych:
2a=2b

Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (B*L)*(B*~L) = [] =0
A*C = (B*L)*(~B*~L) =[] =0
A*D = (B*L)*(~B*L) =[] =0
B*C = (B*~L)*(~B*~L)=[] =0
B*D = (B*~L)*(~B*L) = [] =0
C*D = (~B*~L)*(~B*L) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienna do końca naszego Wszechświata.

Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie D:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i dostał lanie (L=1) z powodu czystych spodni (~B=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
~Y=1 - prawdą absolutna (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).

Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: B*L=1*1=0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i dostał lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yb=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i nie dostał lania (~L=1)

Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = B*L + B*~L + ~B*~L + ~B*L = B*(L+~L) + ~B*(~L+L) = B+~B =1
cnd

Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
B (brudne spodnie) =p
L (lanie) =q

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):

1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):

2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y= ~p*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Odtwarzając nasz przykład mamy:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% ~> dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dostania lania.

Dokładnie to samo zdanie B1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając groźbę B1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B+~L =1+1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) lub nie dostanie lania (~L=1)

Wnioski:
1.
Groźba B1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka tzn. każdy 5-cio latek wie iż może przyjść w brudnych spodniach i nie musi dostać lania, bo ojciec może mu to lanie darować.
2.
Przejście z groźbą B1 do tożsamego minimalnego równania 1’ w spójniku „lub”(+):
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
3.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
4.
Zauważmy, że przechodząc z groźbą B1 do równania 3 zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu 3 nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> bowiem z definicji spójniki „i”(*) i „lub”(+) są w stanie opisać co najwyżej istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów ~~>, ale nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też relacji nadzbioru ~>.
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 20:01, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
12.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki

Spis treści
12.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki 1
12.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki 1
12.2 Operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki 6
12.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w świecie techniki 11



12.0 Zastosowanie algebry Kubusia w świecie techniki

Jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.
W świecie techniki operatory implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q nie mają prawa bytu bowiem definiują one „wolną wolę” istot żywych.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Najłatwiej pokazać o to tu chodzi prezentując komputerowe algorytmy działania operatorów równoważności p|<=>q, implikacji prostej p||=>q i implikacji odwrotnej p||~>q.

Prawo programisty:
Operator równoważności p|<=>q gdzie nie ma miejsca na „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jest jedynym operatorem logicznym przydatnym w świecie techniki (np. w programowaniu komputerów).
Operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q, których cechą charakterystyczną jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” są idiotyzmem w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania (np. w świecie programowania komputerów)

To tłumaczy dlaczego ziemscy matematycy, mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) do tej pory nie znają takich kluczowych pojęć z logiki matematycznej, jak implikacja prosta p|=>q czy też implikacja odwrotna p|~>q.

12.1 Operator równoważności p|<=>q w świecie techniki

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q.
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

       A1B1:        A2B2:     |     A3B3:        A4B4:
A:  1: p=>q=1   = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1   = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0                                4:~q~~>p=0
       ##            ##             ##            ##
B:  1: p~>q=1   = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1   = 4:~q~>~p=1
B’:               2:~p~~>q=0     3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx

Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)

W powyższej tabeli prawdy uwzględniono definicję kontrprzykładu, działającą wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Jak działa operator równoważności p|<=>q w programowaniu komputerów?

Rozważmy fragment programu komputerowego wykonującego dodawanie dwóch 8-bitowych liczb binarnych A i B działający w oparciu o definicję operatora równoważności p|<=>q

Potrzebne definicje:
A, B - ośmiobitowe liczby binarne (zakładamy mikroprocesor 8 bitowy np. Z80)
A:=A+B - do rejestru A wpisz „:=”sumę algebraiczną rejestrów A+B.
c - jednobitowy wskaźnik przeniesienia w dodawaniu dwóch liczb A i B o znaczeniu:
c - przeniesienie wystąpiło (c=1), jednobitowa zmienna binarna
~c - przeniesienie nie wystąpiło (~c=1), jednobitowa zmienna binarna
q - procedura obsługująca przeniesienie „c”, gdy wystąpiło przeniesienie w operacji dodawania A+B
~q - procedura obsługująca brak przeniesienia „~c” w operacji dodawania A+B

Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy równoważności p<=>q:
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności c<=>q
       A1B1:        A2B2:     |     A3B3:        A4B4:
Zapis formalny:
A:  1: p=>q=1   = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1   = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0                                4:~q~~>p=0
       ##            ##             ##            ##
B:  1: p~>q=1   = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1   = 4:~q~>~p=1
B’:               2:~p~~>q=0     3: q~~>~p=0
Nasz przykład:
A:  1: c=>q=1   = 2:~c~>~q=1 [=] 3: q~>c=1   = 4:~q=>~c=1
A’: 1: c~~>~q=0                                4:~q~~>c=0
       ##            ##             ##            ##
B:  1: c~>q=1   = 2:~c=>~q=1 [=] 3: q=>c=1   = 4:~q~>~c=1
B’:               2:~c~~>q=0     3: q~~>~c=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx

Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)

Narysujmy schemat blokowy interesującego nas fragmentu programu:
Kod:

                          ---------
                          | START |
                          ---------
                              |
                      c  ------------  ~c
              -----------|  A:=A+B  |----------------
              |          ------------               |
              |                                     |
       ---------------                       ----------------
       | Procedura q |                       | Procedura ~q |
       ---------------                       ----------------
              |                                     |
           -------                               -------
           | END |                               | END |
           -------                               -------

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasz przykład:
A1B1:
Co się stanie jeśli wystąpi przeniesienia „c”?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: c=>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) wystarczające => dla wykonania procedury q
B1: c~>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury q
Stąd:
A1B1: c<=>q = (A1: c=>q)*(B1: c~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli wystąpi przeniesienie „c”?
Czytamy:
Równoważność c<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wystąpienie przeniesienia „c” (c=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla wykonania procedury q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.

Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => nastąpi wykonanie procedury q
c=>q =1
Zajście „c” jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla wykonania procedury q
Zajście „c” daje nam (=1) gwarancję matematyczną => dla wykonania procedury q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli wystąpi przeniesienia „c” to może ~~> zostać wykonana procedura ~q
c~~>~q = c*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wystąpi przeniesienie „c” i wykonana zostanie procedura ~q
Wniosek:
Z kolumny A1B1 wynika, że jeśli wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => zostanie wykonana procedura „q” obsługująca to przeniesienie, bowiem zakazane jest (=0) wówczas wykonanie procedury „~q”

… a jeśli przeniesienie „c” nie wystąpi (~c=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.

A2B2:
Co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~c~>~q =1 - brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury ~q
B2: ~c=>~q =1 - brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) wystarczające => dla wykonania procedury ~q
Stąd:
A2B2: ~c<=>~q = (A2:~c~>~q)*(B2:~c=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli nie zajdzie „c” (~c=1)?
Czytamy:
Równoważność ~c<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy brak przeniesienia „c” (~c=1) jest konieczny ~> (A2) i wystarczający => (B2) dla wykonania procedury ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to na 100% => wykonana zostanie procedura ~q
~c=>~q =1
Brak przeniesienia „c” (~c=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla wykonania procedury ~q
Brak przeniesienia „c” (~c=1) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~c=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to może ~~> zostać wykonana procedura q
~c~~>q = ~c*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) i wykonana zostanie procedura q

Podsumowanie:
Na mocy definicji operatora równoważności c|<=>q mamy gwarancję matematyczną zarówno po stronie „c” jak i „~c”
1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” (c=1) to mamy gwarancję matematyczną => wykonania procedury q, o czym mówi zdanie A1
Natomiast:
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to mamy gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q, o czym mówi zdanie B2.
Trzeciej możliwości brak (tertium non datur).
2.
W świecie techniki jedynym przydatnym operatorem logicznym jest operator równoważności p|<=>q gdzie nie ma miejsca na „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” charakterystycznym w implikacji: zarówno prostej p|=>q, jak i odwrotnej p|~>q, co za chwilkę zobaczmy.

Zauważmy, że po zamianie c i q w operatorze równoważności A3B3: q|<=>c również mamy gwarancje matematyczne zarówno po stronie q, jak i ~q o czym mówią kolumny A3B3 oraz A4B4.

A3B3:
Z kolumny A3B3 odczytujemy:

Co się stało jeśli wykonano procedurę „q”?
B3: q=>c =1 - jeśli wykonano procedurę „q” to mamy gwarancję matematyczną iż zaszło „c”
B3’: q~~>~c=0 - zakaz wykonania (=0) procedury „q” gdy zaszło „~c”
Czytamy:
Jeśli wykonana została procedura „q” to mamy gwarancję matematyczną => iż wystąpiło przeniesienie „c”, bowiem istnieje zakaz wykonania procedury q dla „~c”

Zauważmy, ze w czasie przyszłym powyższe zdanie traci sens, bowiem procedura „q” nie ustawia wskaźnika przeniesienia „c” na jakąkolwiek wartość logiczną - to jest matematyczno-fizyczny nonsens.
Dowód to zdanie B3 w czasie przyszłym:
B3.
Jeśli wykonana zostanie procedura „q” to spowoduje to ustawienia wskaźnika przeniesienia na „c”
q=>c =1

… a jeśli nie wykonano procedury q?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A4B4

A4b4:
Z kolumny A4B4 odczytujemy:

Co się stało jeśli wykonano procedurę „~q”?
A4: ~q=>~c =1 - jeśli wykonano procedurę „~q” to mamy gwarancję matematyczną => iż zaszło „~c”
A4’: ~q~~>c =0 - zakaz wykonania (=0) procedury „~q” gdyż zaszło „c”
Czytamy:
Jeśli wykonana została procedura „~q” to mamy gwarancję matematyczną => iż wystąpiło „~c”, bowiem istnieje zakaz wykonania procedury ~q dla „c”

Zauważmy, ze w czasie przyszłym powyższe zdanie traci sens, bowiem procedura „~q” nie ustawia wskaźnika przeniesienia „~c” na jakąkolwiek wartość logiczną - to jest matematyczno-fizyczny nonsens.
Dowód to zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli wykonana zostanie procedura „~q” to spowoduje to ustawienia wskaźnika przeniesienia na „~c”
~q=>c =1

Wniosek:
W językach programowania operator równoważności c|<=>q ma charakter jednokierunkowy, bowiem może być ustawiany wyłącznie wskaźnik przeniesienia „c” na wartość logiczną „c=1” albo „~c=1” powodujący wykonanie procedury „q” albo „~q”.
Odwrotnie się nie da, odwrotnie to matematyczno-fizyczny nonsens.
Prawo Prosiaczka:
(~c=1)=(c=0)

Stąd mamy wyprowadzone prawo transformacji.

Prawo transformacji:
W programowaniu komputerów z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ulega transformacji do czasu przeszłego.
Dowód na przykładzie, wyżej.

12.2 Operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
       A1B1:        A2B2:     |     A3B3:        A4B4:
A:  1: p=>q=1   = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1   = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0                                4:~q~~>p=0
       ##            ##             ##            ##
B:  1: p~>q=0   = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0   = 4:~q~>~p=0
B’:               2:~p~~>q=1     3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx

Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q (albo odwrotnie)

W powyższej tabeli prawdy uwzględniono definicję kontrprzykładu, działającą wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Jak działa operator implikacji prostej p||=>q w programowaniu komputerów?

Rozważmy fragment programu komputerowego wykonującego dodawanie dwóch 8-bitowych liczb binarnych A i B działającego w oparciu o definicję operatora implikacji prostej p||=>q

Potrzebne definicje:
A, B - ośmiobitowe liczby binarne (zakładamy mikroprocesor 8 bitowy np. Z80)
A:=A+B - do rejestru A wpisz „:=”sumę algebraiczną rejestrów A+B.
c - jednobitowy wskaźnik przeniesienia w dodawaniu dwóch liczb A i B o znaczeniu:
c - przeniesienie wystąpiło (c=1), jednobitowa zmienna binarna
~c - przeniesienie nie wystąpiło (~c=1), jednobitowa zmienna binarna
q - procedura obsługująca przeniesienie „c”, gdy wystąpiło przeniesienie w operacji dodawania A+B
~q - procedura obsługująca brak przeniesienia „~c” w operacji dodawania A+B

Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

TR
Tabela prawdy implikacji prostej c|=>q
       A1B1:        A2B2:     |     A3B3:        A4B4:
Zapis formalny:
A:  1: p=>q=1   = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1   = 4:~q=>~p=1
A’: 1: p~~>~q=0                                4:~q~~>p=0
       ##            ##             ##            ##
B:  1: p~>q=0   = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0   = 4:~q~>~p=0
B’:               2:~p~~>q=1     3: q~~>~p=1
Nasz przykład:
A:  1: c=>q=1   = 2:~c~>~q=1 [=] 3: q~>c=1   = 4:~q=>~c=1
A’: 1: c~~>~q=0                                4:~q~~>c=0
       ##            ##             ##            ##
B:  1: c~>q=0   = 2:~c=>~q=0 [=] 3: q=>c=0   = 4:~q~>~c=0
B’:               2:~c~~>q=1     3: q~~>~c=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx

Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta c|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej c||=>q (albo odwrotnie)

Narysujmy schemat blokowy interesującego nas fragmentu programu:
Kod:

                          ---------
                          | START |
                          ---------
                              |
                      c  ------------  ~c
              -----------|  A:=A+B  |-------
              |          ------------      |
              |                            |
              |                            |
              |             reszka  ---------------- orzełek
              |<--------------------|reszka/orzełek|-------
              |                     ----------------      |
              |                                           |
       ---------------                            ----------------
       | Procedura q |                            | Procedura ~q |
       ---------------                            ----------------
              |                                           |
           -------                                     -------
           | END |                                     | END |
           -------                                     -------

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasz przykład:
A1B1:
Co się stanie jeśli wystąpi przeniesienie „c” (c=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: c=>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) wystarczające => dla wykonania procedury q
B1: c~>q =0 - wystąpienie przeniesienia „c” nie jest (=0) konieczne ~> dla wykonania procedury q
Stąd:
c|=>q = (A1: c=>q)*~(B1: c~>q) =1*~(0)=1*1 =1

A1B1:
Co się stanie jeśli wystąpi przeniesienie „c” (c=1)?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => wykonana zostanie procedura q
c=>q =1
Zajście „c” jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście „c” daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to może ~~> zostać wykonana procedura ~q
c~~>~q = c*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie przeniesienie c (c=1) i zostanie wykonana procedura ~q

Wniosek:
Z kolumny A1B1 wynika, że jeśli zajdzie przeniesienie „c” to na 100% => zostanie wykonana procedura „q” obsługująca to przeniesienie, bowiem zakazane jest (=0) wówczas wykonanie procedury „~q”

… a jeśli przeniesienie „c” nie wystąpi (~c=1)?
Prawo Prosiaczka:
(~c=1) = (c=0)
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2.

A2B2:
Co się stanie jeśli przeniesienie „c” nie wystąpi (~c=1)?

A2: ~c~>~q =1 - brak przeniesienia „c” (~c=1) jest konieczny ~> dla wykonania procedury ~q
B2: ~c=>~q =0 - brak przeniesienia „c” (~c=1) nie jest (=0) wystarczający => dla wykonania ~q
Stąd:
~c|~>~q = (A2:~c~>~q)*~(B2:~c=>~q) =1*~(0)=1*1=1

A2B2:
Co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1)?
Prawo Kubusia:
A1: c=>q = A2: ~c~>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to może ~> zostać wykonana procedura ~q
~c~>~q =1
Brak przeniesienia „c” (~c=1) jest konieczny ~> dla wykonania procedury ~q bo jak wystąpi przeniesienie „c” to na 100% => wykonana zostanie procedura q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~c~>~q = A1: c=>q

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~c=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to może ~~> zostać wykonana procedura q
~c~~>q = ~c*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) i zostanie wykonana procedura q

Wniosek:
Z kolumny A2B2 wynika, że jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” bo wówczas może ~> być wykonana procedura „~q” na mocy zdania B2 albo może zostać wykonana procedura „q” na mocy zdania B2’
Innymi słowy:
Jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1) to w programie zostanie wywołany generator cyfr losowych dający binarną odpowiedź:
orzełek - wykonaj procedurę ~q
reszka - wykonaj procedurę q
co pokazano na schemacie blokowym

Podsumowując:
1.
Implikacja prosta c|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie „c” (c=1), o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~c (~c=1) o czym mówią zdania A2 i B2’.
2.
Wnioek:
W dowolnym programie komputerowym sterowanie rozgałęzieniem c i ~c przy pomocy operatora implikacji prostej c||=>q nie ma sensu, bowiem po stronie ~c dajemy programowi „wolną wolę” w postaci „rzucania monetą”.
Innymi słowy:
W przypadku braku przeniesienia „c” (~c=1) obsługa dodawania dowolnie długich liczb binarnych An+Bn będzie działała czasami dobrze, gdy program wylosuje „orzełka” (~q), a czasami źle, gdy program wylosuje „reszkę” (q).
Innymi słowy:
Sterowanie rozgałęzieniem w dowolnym programie przy pomocy operatora implikacji prostej p||=>q jest matematycznie błędne (jest idiotyzmem).
cnd

12.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w świecie techniki

A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q)
to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
       A1B1:        A2B2:     |     A3B3:        A4B4:
A:  1: p=>q=0   = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0   = 4:~q=>~p=0
A’: 1: p~~>~q=1                                4:~q~~>p=1
       ##            ##             ##            ##
B:  1: p~>q=1   = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1   = 4:~q~>~p=1
B’:               2:~p~~>q=0     3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx

Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)

W powyższej tabeli prawdy uwzględniono definicję kontrprzykładu, działającą wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Jak działa operator implikacji odwrotnej p||~>q w programowaniu komputerów?

Rozważmy fragment programu komputerowego wykonującego dodawanie dwóch 8-bitowych liczb binarnych A i B działającego w oparciu o definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Potrzebne definicje:
A, B - ośmiobitowe liczby binarne (zakładamy mikroprocesor 8 bitowy np. Z80)
A:=A+B - do rejestru A wpisz „:=”sumę algebraiczną rejestrów A+B.
c - jednobitowy wskaźnik przeniesienia w dodawaniu dwóch liczb A i B o znaczeniu:
c - przeniesienie wystąpiło (c=1), jednobitowa zmienna binarna
~c - przeniesienie nie wystąpiło (~c=1), jednobitowa zmienna binarna
q - procedura obsługująca przeniesienie „c”, gdy wystąpiło przeniesienie w operacji dodawania A+B
~q - procedura obsługująca brak przeniesienia „~c” w operacji dodawania A+B

Nanieśmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

TR
Tabela prawdy implikacji odwrotnej c|~>q
       A1B1:        A2B2:     |     A3B3:        A4B4:
Zapis formalny:
A:  1: p=>q=0   = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0   = 4:~q=>~p=0
A’: 1: p~~>~q=1                                4:~q~~>p=1
       ##            ##             ##            ##
B:  1: p~>q=1   = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1   = 4:~q~>~p=1
B’:               2:~p~~>q=0     3: q~~>~p=0
Nasz przykład:
A:  1: c=>q=0   = 2:~c~>~q=0 [=] 3: q~>c=0   = 4:~q=>~c=0
A’: 1: c~~>~q=1                                4:~q~~>c=1
       ##            ##             ##            ##
B:  1: c~>q=1   = 2:~c=>~q=1 [=] 3: q=>c=1   = 4:~q~>~c=1
B’:               2:~c~~>q=0     3: q~~>~c=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx

Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)

Narysujmy schemat blokowy interesującego nas fragmentu programu:
Kod:

                          ---------
                          | START |
                          ---------
                              |
                     ~c  ------------  c
              -----------|  A:=A+B  |-------
              |          ------------      |
              |                            |
              |                            |
              |             reszka  ----------------  orzełek
              |<--------------------|reszka/orzełek|-------
              |                     ----------------      |
              |                                           |
       ----------------                            ----------------
       | Procedura ~q |                            | Procedura q  |
       ----------------                            ----------------
              |                                           |
           -------                                     -------
           | END |                                     | END |
           -------                                     -------

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Nasz przykład:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie przeniesienie „c”?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: c=>q =0 - wystąpienie przeniesienia „c” nie jest (=0) wystarczające => dla wykonania procedury q
B1: c~>q =1 - wystąpienie przeniesienia „c” jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury q
Stąd:
c|~>q = ~(A1: c=>q)*(B1: c~>q) = ~(0)*1=1*1 =1

A1B1:
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to może ~> zostać wykonana procedura q
c~>q =1
Wystąpienie przeniesienia „c” (c=1) jest (=1) konieczne ~> dla wykonania procedury q

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1: c=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli wystąpi przeniesienie „c” to może ~~> zostać wykonana procedura ~q
c~~>~q=c*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: wystąpi przeniesienie „c” i zostanie wykonana procedura ~q

Wniosek:
Z kolumny A1B1 wynika, że jeśli zajdzie przeniesienia „c” to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” bo wówczas może ~> być wykonana procedura „q” na mocy zdania B1 albo może zostać wykonana procedura „~q” na mocy zdania A1’
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie „c” to w programie zostanie wywołany generator cyfr losowych dający binarną odpowiedź:
orzełek - wykonaj procedurę q
reszka - wykonaj procedurę ~q
co pokazano na schemacie blokowym

… co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie „c” (~c=1)
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie nie wystąpi przeniesienie c (~c=1)?

Prawo Prosiaczka:
(~c=1)=(c=0)
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~c~>~q =0 - brak przeniesienia c (~c=1) nie jest (=0) konieczny ~> dla wykonania procedury ~q
B2: ~c=>~q =1 - brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) wystarczający => dla wykonania procedury ~q
Stąd:
~c|=>~q =~(A2:~c~>~q)*(B2: ~c=>~q) = ~(0)*1=1

A2B2:
Co się stanie jeśli nie wystąpi przeniesienie c (~c=1)?
Prawo Kubusia:
B1: c~>q = B2: ~c=>~q
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie c (~c=1) to na 100% => wykonana zostanie procedura ~q
~c=>~q =1
Brak przeniesienia c (~c=1) jest (=1) wystarczający => dla wykonania procedury ~q
Zajście ~c daje nam gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli nie wystąpi przeniesienie c (~c=1) to może ~~> zostać wykonana procedura q
~c~~>q = ~c*q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie wystąpi przeniesienia c (~c) i wykonana zostanie procedura q

Wniosek:
W przypadku braku przeniesienia „c” (~c=1) mamy gwarancję matematyczną => wykonania procedury ~q, o czym mówi zdanie B2.

Podsumowując:
1.
Operator implikacji odwrotnej c||~>q to po stronie „c” najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania B1 i A1’, natomiast po stronie „~c” mamy gwarancję matematyczną => w postaci zdania B2.
2.
W dowolnym programie komputerowym sterowanie rozgałęzieniem c i ~c przy pomocy operatora implikacji odwrotnej c||~>q nie ma sensu, bowiem po stronie c dajemy programowi „wolną wolę” w postaci „rzucania monetą”.
Innymi słowy:
W przypadku wystąpienia przeniesienia „c” (c=1) obsługa dodawania dowolnie długich liczb binarnych An+Bn będzie działała czasami dobrze, gdy program wylosuje „orzełka” (wykonania q), a czasami źle, gdy program wylosuje „reszkę” (wykonanie ~q).
Innymi słowy:
Sterowanie rozgałęzieniem w dowolnym programie przy pomocy operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest matematycznie błędne (jest idiotyzmem).
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 16:47, 22 Cze 2022, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 20:03, 20 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
13.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki

Spis treści
13.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki 1
13.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego? 3
13.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale 4
13.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale 6
13.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y 12
13.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y 15



13.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki

Niniejszy punkt nawiązuje do prawa Małpki omówionego w punkcie 2.6.1

Przepraszam prof. Ludomira Newelskiego za znalezienie błędu czysto matematycznego w jego dowodzie prawa Małpki w podręczniku akademickim dla studentów I roku matematyki "Wstęp do matematyki".

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dowód prawa Małpki (Uwaga 2.7) w podręczniku „Wstęp do matematyki” autorstwa prof. L. Newelskiego.
[link widoczny dla zalogowanych]

Cytuję słowo w słowo dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z dwoma zmiennymi wejściowymi {p,q} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q)
Kod:

   p  q  Y
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  0

2.
Z tabeli odczytujemy, że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
3.
Zatem funkcja logiczna Y opisująca tą tabelę to:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
która jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej

Uwagi Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. L. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Gdzie:
## różne na mocy definicji

b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy do jedynek.
Alternatywnie, na mocy I prawa Prosiaczka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zera otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.

Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:

4.
Przypuśćmy dla przykładu, że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q

Uwaga Rafała3006:
W przejściu z punktu 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny bo:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo w funkcji 4 brakuje negacji prawej strony!

Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:
5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(p*q+~p*~q)
Na mocy prawa De Morgana mamy:
Y = ~(p*q)*~(~p*~q)
Kolejny raz stosujemy prawo De Morgana
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Ostatnia funkcja jest już postaci koniunkcyjno-alternatywnej.

Funkcja logiczna 5 u prof. L. Newelskiego jest błędna bo:
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y= (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
5’: ~Y = (~p+~q)*(p+q)

Tymczasem prof. L. Newelski zapisuje tu:
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni:
Funkcja logiczna 5 nie jest negacją funkcji logicznej 3
cnd

Geneza błędu prof. L. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. L. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5’ w logice ujemnej (bo ~Y)

13.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego?

Funkcja wejściowa prof. L. Newelskiego to:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
Zdaniem prof. L. Newelskiego funkcja logicznie tożsama to:
5.
Y = (~p+~q)*(p+q)

W celu wykazania błędu fatalnego w dowodzie prof. L. Newelskiego udajmy się do laboratorium bramek logicznych na I roku studiów elektronicznych.

Ćwiczenie 1.
Udowodnij przy pomocy bramek logicznych tożsamość lub brak tożsamości poniższych wyrażeń algebry Boole’a:
3: Y=p*q+~p*~q ??? 5: Y=(~p+~q)*(p+q)

Poprawne rozwiązanie tego ćwiczenia przez Jasia to:
L: 3: Y=p*q + ~p*~q # P: 5: Y=(~p+~q)*(p+q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prowadzący:
Jak to udowodniłeś Jasiu?
Jaś:
Złożyłem układ z lewej strony:
L = p*q+~p*~q
oraz układ z prawej strony:
P = (~p+~q)*(p+q)
Zmienne p i q muszą tu być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia.
Na oscyloskopie stwierdziłem, że w każdej chwili czasowej sygnał L jest negacją sygnału P (albo odwrotnie)

Stąd stwierdzam że:
3: Y = p*q + ~p*~q # 5’: ~Y=(~p+~q)*(p+q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prowadzący:
Czy próbowałeś zewrzeć galwanicznie sygnały Y i ~Y?
Jaś:
Nie, bowiem na 100% zobaczyłbym kupę dymu i smrodu tzn. oba wyjścia układów Y i ~Y uległyby uszkodzeniu

Prowadzący:
Współczesne bramki logiczne są idioto odporne tzn. nawet jak zewrzesz sygnały będące w przeciw fazie Y i ~Y to badany układ nie ulegnie uszkodzeniu. Zewrzyj zatem sygnały Y i ~Y i zobacz na oscyloskopie co z tego wyniknie.

Jaś:
Właśnie to zrobiłem i nie widzę już poprawnych sygnałów cyfrowych {0,1}, są jakieś śmieci na poziomie 1,5V które nie spełniają standardu TTL.
Standard TTL to:
1 = 2,4-5.0V
0 = 0,0-0,4V
cnd

Podsumowanie:
W podręczniku akademickim „Wstęp do matematyki” jest błąd czysto matematyczny bowiem zapisano w nim tożsamość logiczną:
p*q+~p*~q = (~p+~q)*(p+q)
W świecie rzeczywistym powyższa tożsamość nie zachodzi co Jaś, student I roku elektroniki udowodnił w bramkach logicznych.
Innymi słowy:
Miejsce dowodu z podręcznika akademickiego jest w koszu na śmieci.


13.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego (Uwaga 2.7)
[link widoczny dla zalogowanych]

Weźmy dowód prof. L. Newelskiego w oryginale cytowany słowo w słowo:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
Kod:

   p  q  r  Y=?
A: 0  0  0  0
B: 0  0  1  1
C: 0  1  0  1
D: 0  1  1  0
E: 1  0  0  0
F: 1  0  1  1
G: 1  1  0  0
H: 1  1  1  0

2.
Z tabelki odczytujemy że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
Y=1 <=> B: p=0 i q=0 i r=1 lub C: p=0 i q=1 i r=0 lub F: p=1 i q=0 i r=1
3.
Zatem funkcja logiczna Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej to:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 i r=1 lub C: ~p=1 i q=1 i ~r=1 lub F: p=1 i ~q=1 i r=1

Uwagi Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. L. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy na mocy I prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy do jedynek.
Alternatywnie, na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zera otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.

Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:

4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r

Uwaga Rafała3006:
W przejściu z punktu 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny bo:
Funkcja wejściowa w logice dodatniej (bo Y) jest taka:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Natomiast punkt 4 u prof. L. Newelskiego to błąd czysto matematyczny bo:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo nie zanegowano dodatkowo prawej strony!

5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r)
Stosując serię praw De Morgana dla prawej strony otrzymujemy:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)

Oczywistym jest, że w przejściu z 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny.
Dowód:
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y = (~p*~q*r) + (~p*q*~r) + (p*~q*r)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
5’. ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)

Tymczasem prof. Nwewelski pisze tu:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni bowiem w punkcie 5 prof. L. Newelski powinien zapisać funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y), czego nie robi … bo nie zna definicji funkcji logicznej Y w logice ujemnej (bo ~Y), co jest tożsame z faktem, iż nie wie że dowolną funkcję logiczną Y=f(x) możemy tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.

Innymi słowy:
To jest poprawny zapis prof. Newelskiego:
3.
Zatem funkcja logiczna Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej to
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r

… a to jest błąd fatalny prof. Newelskiego:
4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
cnd

Geneza błędu prof. L. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. L. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5’ w logice ujemnej (bo ~Y)
5’. ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)

13.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale

I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka

Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

   p  q  Y=p*q
A: 1* 1  =1
B: 1* 0  =0
C: 0* 1  =0
D: 0* 0  =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka

Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

   p  q  Y=p+q
A: 1+ 1  =1
B: 1+ 0  =1
C: 0+ 1  =1
D: 0+ 0  =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1

Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.

Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)

Poprawny dowód prof. L. Newelskiego powinien wyglądać tak:

Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
Kod:

T1
   p  q  r  Y=?
A: 0  0  0  0
B: 0  0  1  1
C: 0  1  0  1
D: 0  1  1  0
E: 1  0  0  0
F: 1  0  1  1
G: 1  1  0  0
H: 1  1  1  0

Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.

1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:

Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p,q,r w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.

2.
SD - standard dodatni w języku potocznym człowieka = logika jedynek

W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer

W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

Przykładowy, poprawny dowód prof. L. Newelskiego jest następujący:
1.
Zapiszmy pełną tabelę zero-jedynkową dla czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y):
Kod:

T2
                              | I.             | II.
                              | Logika jedynek | Logika zer
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? |                |
A: 0  0  0  0    1  1  1  1   | ~Ya=~p*~q*~r   |  Ya= p+ q+ r
B: 0  0  1  1    1  1  0  0   |  Yb=~p*~q* r   | ~Yb= p+ q+~r
C: 0  1  0  1    1  0  1  0   |  Yc=~p* q*~r   | ~Yc= p+~q+ r
D: 0  1  1  0    1  0  0  1   | ~Yd=~p* q* r   |  Yd= p+~q+~r
E: 1  0  0  0    0  1  1  1   | ~Ye= p*~q*~r   |  Ye=~p+ q+ r
F: 1  0  1  1    0  1  0  0   |  Yf= p*~q* r   | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1  1  0  0    0  0  1  1   | ~Yg= p* q*~r   |  Yg=~p+~q+ r
H: 1  1  1  0    0  0  0  1   | ~Yh= p* q* r   |  Yh=~p+~q+~r
   1  2  3  4    5  6  7  8

I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek:

1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r

Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 2: ~(~Y)
1: ~(Y) = 2: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.

II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer:

3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
3: Y = 4: ~(~Y)
3: ~(Y) = 4: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.

Zadanie dla masochistów:
Udowodnij, iż w tabeli T1 (a tym samym w T2) zachodzą prawa Małpki:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)

Oraz:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza [=] fałszywość drugiej strony

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
<=>, „=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej

Jako że nigdy nie byłem masochistą udowodnię tylko matematyczne związki między funkcjami minimalnymi w logice jedynek i w logice zer - resztę pozostawiam masochistom albo komputerowi (łatwy do napisania program).

Zauważmy, że w logice jedynek najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 1:
1.
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + p*~q*r

Natomiast w logice zer najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 4:
4.
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)

Jeśli odpowiednie funkcje w logice jedynek i w logice zer są tożsame tzn.
Y (logika jedynek) = Y (logika zer)
~Y (logika jedynek) =~Y (logika zer)
to musi zachodzić:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # 4: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
stąd:
Matematycznie musi zachodzić tożsamość logiczna [=]:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) [=] 4’: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer))

Zbadajmy w rachunku zero-jedynkowym czy powyższa tożsamość zachodzi:
I.
LJ = Logika jedynek:

1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Kod:

T1
Logika jedynek dla Y
                              | Yb=       Yc=      Yf       Y=
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | ~p*~q* r ~p* q*~r  p*~q* r  Yb+Yc+Yf
A: 0  0  0  0    1  1  1  1   |  0        0        0        0
B: 0  0  1  1    1  1  0  0   |  1        0        0        1
C: 0  1  0  1    1  0  1  0   |  0        1        0        1
D: 0  1  1  0    1  0  0  1   |  0        0        0        0
E: 1  0  0  0    0  1  1  1   |  0        0        0        0
F: 1  0  1  1    0  1  0  0   |  0        0        1        1
G: 1  1  0  0    0  0  1  1   |  0        0        0        0
H: 1  1  1  0    0  0  0  1   |  0        0        0        0
   1  2  3  4    5  6  7  8      9       10       11       12

Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Yb szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie r która jest w linii B, stąd w linii Yb mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yc i Yf

II.
LZ = Logika zer

4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Kod:

T4
Logika zer dla ~Y
                              | ~Yb=     ~Yc=     ~Yf     ~Y=          Y=
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? |  p+q+~r   p+~q+r  ~p+q+~r ~Yb*~Yc*~Yf ~(~Y)
A: 0  0  0  0    1  1  1  1   |  1        1        1       1           0
B: 0  0  1  1    1  1  0  0   |  0        1        1       0           1
C: 0  1  0  1    1  0  1  0   |  1        0        1       0           1
D: 0  1  1  0    1  0  0  1   |  1        1        1       1           0
E: 1  0  0  0    0  1  1  1   |  1        1        1       1           0
F: 1  0  1  1    0  1  0  0   |  1        1        0       0           1
G: 1  1  0  0    0  0  1  1   |  1        1        1       1           0
H: 1  1  1  0    0  0  0  1   |  1        1        1       1           0
   1  2  3  4    5  6  7  8      9       10       11      12          13

Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Yb szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie ~r które jest w linii B, stąd w linii ~Yb mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yc i ~Yf.

Z powyższego rachunku zero-jedynkowego wynika, że matematycznie zachodzi:
T1_12: Y =Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # T4_12: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Stąd mamy:
T1_12: Y=Yb+Yc+Yf (logika jedynek) [=] T4_13: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer))

Tożsamość kolumn wynikowych:
T1_12: Y [=] T4_13: Y
Jest dowodem formalnym poprawności powyższej tożsamości logicznej [=]
cnd

13.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y

W poprzednim punkcie padało zadanie dla masochistów.

Przykładowy, poprawny dowód prof. L. Newelskiego jest następujący:
1.
Zapiszmy pełną tabelę zero-jedynkową dla czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y):
Kod:

T2
                              | I.             | II.
                              | Logika jedynek | Logika zer
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? |                |
A: 0  0  0  0    1  1  1  1   | ~Ya=~p*~q*~r   |  Ya= p+ q+ r
B: 0  0  1  1    1  1  0  0   |  Yb=~p*~q* r   | ~Yb= p+ q+~r
C: 0  1  0  1    1  0  1  0   |  Yc=~p* q*~r   | ~Yc= p+~q+ r
D: 0  1  1  0    1  0  0  1   | ~Yd=~p* q* r   |  Yd= p+~q+~r
E: 1  0  0  0    0  1  1  1   | ~Ye= p*~q*~r   |  Ye=~p+ q+ r
F: 1  0  1  1    0  1  0  0   |  Yf= p*~q* r   | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1  1  0  0    0  0  1  1   | ~Yg= p* q*~r   |  Yg=~p+~q+ r
H: 1  1  1  0    0  0  0  1   | ~Yh= p* q* r   |  Yh=~p+~q+~r
   1  2  3  4    5  6  7  8

I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek:

1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r

Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 2: ~(~Y)
1: ~(Y) = 2: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.

II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer:

3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
3: Y = 4: ~(~Y)
3: ~(Y) = 4: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.

Zadanie dla masochistów:
Udowodnij, iż w tabeli T1 (a tym samym w T2) zachodzą prawa Małpki:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)

Oraz:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej

Spróbujmy udowodnić w sposób bezpośredni tożsamość logiczną:
1: Y [=] 3: Y

Z minimalizacją równania 3: Y w celu dojścia to tożsamego równania 1: Y będzie miał potężny problem zarówno człowiek, jak i komputer. W równaniu 3: Y trzeba bowiem wymnożyć wszystkie wielomiany przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej po czym zminimalizować otrzymaną funkcję logiczną dochodząc do postaci 1: Y.
Nieporównywalnie lepsze zarówno dla człowieka jak i dla komputera (szczególnie) jest tu zastosowanie rachunku zero-jedynkowego w stosunku do oryginalnej postaci koniunkcyjno-alternatywnej 3: Y, co niżej pokażemy.

I.
Funkcję logiczną 1: Y obliczyliśmy w tabeli zero-jedynkowej w poprzednim punkcie, zatem wystarczy ją przepisać.

LJ = Logika jedynek dla Y
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Kod:

T1
Logika jedynek dla Y
                              | Yb=       Yc=      Yf       Y=
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | ~p*~q* r ~p* q*~r  p*~q* r  Yb+Yc+Yf
A: 0  0  0  0    1  1  1  1   |  0        0        0        0
B: 0  0  1  1    1  1  0  0   |  1        0        0        1
C: 0  1  0  1    1  0  1  0   |  0        1        0        1
D: 0  1  1  0    1  0  0  1   |  0        0        0        0
E: 1  0  0  0    0  1  1  1   |  0        0        0        0
F: 1  0  1  1    0  1  0  0   |  0        0        1        1
G: 1  1  0  0    0  0  1  1   |  0        0        0        0
H: 1  1  1  0    0  0  0  1   |  0        0        0        0
   1  2  3  4    5  6  7  8      9       10       11       12

Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Yb szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie r która jest w linii B, stąd w linii Yb mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yc i Yf

II.
Obliczmy w rachunku zero-jedynkowym funkcję logiczną 3:Y w logice zer.

LZ = logika zer dla Y
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
po rozwinięciu mamy:
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Kod:

T3
Logika zer dla Y                                                     Y=
                              Ya=    Yd=      Ye=    Yg=     Yh=     A*D*E*
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? p+q+r  p+~q+~r ~p+q+r ~p+~q+r ~p+~q+~r *G*H
A: 0  0  0  0    1  1  1  1    0      1        1      1       1       0
B: 0  0  1  1    1  1  0  0    1      1        1      1       1       1
C: 0  1  0  1    1  0  1  0    1      1        1      1       1       1
D: 0  1  1  0    1  0  0  1    1      0        1      1       1       0
E: 1  0  0  0    0  1  1  1    1      1        0      1       1       0
F: 1  0  1  1    0  1  0  0    1      1        1      1       1       1
G: 1  1  0  0    0  0  1  1    1      1        1      0       1       0
H: 1  1  1  0    0  0  0  1    1      1        1      1       0       0
   1  2  3  4    5  6  7  8    9     10       11     12      13      14

Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Ya szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie r które jest w linii A, stąd w linii Ya mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yd, Ye, Yg i Yh

Jak widzimy wypełnienie tabeli T3 nie jest tak straszne, jak się początkowo wydawało, szczególnie dla komputera to po prostu pikuś.

Podsumowanie:
Tożsamość kolumn wynikowych:
T1_12: Y = T3_14: Y
jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości logicznej [=]:

1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)

Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej

Jak widzimy, nie taki diabeł straszny, jak się początkowo wydawał
c.n.d

Zadanie domowe dla czytelnika:
Wzorując się na przykładzie wyżej udowodnij w rachunku zero-jedynkowym w sposób bezpośredni zachodzącą tożsamość logiczną [=].

2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej

Poprawne rozwiązanie w kolejnym punkcie.

13.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y

Weźmy tożsamość logiczną dla funkcji ~Y:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

Funkcję 4:~Y zapisaliśmy w tabeli zero-jedynkowej wyżej.

Przypomnijmy:
I.
LZ = Logika zer dla ~Y

4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Kod:

T4
                              | II.
                              | Logika zer
                              | ~Yb=     ~Yc=     ~Yf     ~Y=
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? |  p+q+~r   p+~q+r  ~p+q+~r ~Yb*~Yc*~Yf
A: 0  0  0  0    1  1  1  1   |  1        1        1       1
B: 0  0  1  1    1  1  0  0   |  0        1        1       0
C: 0  1  0  1    1  0  1  0   |  1        0        1       0
D: 0  1  1  0    1  0  0  1   |  1        1        1       1
E: 1  0  0  0    0  1  1  1   |  1        1        1       1
F: 1  0  1  1    0  1  0  0   |  1        1        0       0
G: 1  1  0  0    0  0  1  1   |  1        1        1       1
H: 1  1  1  0    0  0  0  1   |  1        1        1       1
   1  2  3  4    5  6  7  8      9       10       11      12

Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Yb szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie ~r które jest w linii B, stąd w linii ~Yb mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yc i ~Yf.

Zapiszmy tabelę zero-jedynkową dla funkcji 2:~Y:
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Kod:

T2
Logika jedynek dla ~Y                                              ~Y=
                             ~Ya=      ~Yd=   ~Ye=    ~Yg=   ~Yh=   A+D+E
   p  q  r  Y=? ~p ~q ~r ~Y=? ~p*~q*~r ~p*q*r p*~q*~r p*q*~r p*q*r +G+H
A: 0  0  0  0    1  1  1  1     1        0     0       0      0     1
B: 0  0  1  1    1  1  0  0     0        0     0       0      0     0
C: 0  1  0  1    1  0  1  0     0        0     0       0      0     0
D: 0  1  1  0    1  0  0  1     0        1     0       0      0     1
E: 1  0  0  0    0  1  1  1     0        0     1       0      0     1
F: 1  0  1  1    0  1  0  0     0        0     0       0      0     0
G: 1  1  0  0    0  0  1  1     0        0     0       1      0     1
H: 1  1  1  0    0  0  0  1     0        0     0       0      1     1
   1  2  3  4    5  6  7  8     9       10    11      12     13    14

Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Ya szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie ~r która jest w linii A, stąd w linii ~Ya mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yd, ~Ye, ~Yg, ~Yh

Podsumowanie:
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
T4_12: ~Y = T2_14:~Y

Jest dowodem formalnym poniższej tożsamości logicznej [=]:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
cnd

Porównując dowody w niniejszym punkcie i poprzednim możemy zapisać:

2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

#

1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)

Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 16:54, 22 Cze 2022, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 22:44, 22 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Spis treści
14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x) 1
14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych 4
14.2.1 Definicja spójnika „i”(*) w bramkach logicznych 6
14.2.2 Definicja spójnika „lub”(+) w bramkach logicznych 7
14.2.3 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 8
14.2.4 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 9
14.3 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q) 10
14.3.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 11
14.3.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 13
14.3.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 14
14.3.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 15
14.3.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych 18
14.4 Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych 19


14.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Nie ma na ziemi matematyka, który by twierdził, iż funkcja logiczna algebry Boole’a Y=f(x) to nie jest algebra Boole’a, a tym samym, że nie jest to Klasyczny Rachunek Zdań.
Jeśli taki jest, to zdecydowanie powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

14.1 Opis bramek logicznych w postaci funkcji algebry Boole’a Y=f(x)

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy w pkt. 14.5

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
Stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

W świecie techniki opis bramek logicznych podawany jest zawsze i wszędzie w postaci funkcji logicznej Y.
Y=f(x)

Dowody:
1.
SN7404
[link widoczny dla zalogowanych]
Negator – strona 3
Y=~p
2.
SN7408
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka AND(*) – strona 1
Y=p*q = ~(~p+~q) – prawo De Morgana
3.
SN7432
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka OR(+) – strona 1
Y=p+q = ~(~p*~q) – prawo De Morgana

Nie ma potrzeby produkowania pozostałych bramek logicznych bowiem wszystkie można łatwo zbudować przy pomocy trzech, wyżej wymienionych znaczków {~, *, +)
Nie ma potrzeby nie oznacza, że się nie produkuje np. popularne w świecie techniki bramki NAND i NOR. W tym przypadku produkcja jest uzasadniona bowiem istnienie tych bramek upraszcza rzeczywistą realizację bardziej złożonych funkcji logicznych Y=f(x) algebry Boole’a.
4.
SN7400
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NAND – strona 1
Y = ~(p*q)=~p+~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NAND otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p*q)=~(p*p)=~(p)=~p
cnd
5.
SN7402
[link widoczny dla zalogowanych]
Bramka NOR – strona 1
Y=~(p+q)=~p*~q – prawo De Morgana
Zauważmy, że zwierając wejścia bramki NOR otrzymujemy często pożądany w praktyce negator.
Dla p=q mamy:
Y==~(p+q)=~(p+p)=~(p)=~p
cnd

14.2 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
stąd:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
Kod:

T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x
Gdzie:
x={0,1}

Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.

Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

T2
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
wymuszające wszystkie możliwe stany binarne na wejściach ~p i ~q
dla funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
   p  q  Y  #  ~p ~q  ~Y
A: 1  1  x      0  0 ~(x)
B: 1  0  x      0  1 ~(x)
C: 0  1  x      1  0 ~(x)
D: 0  0  x      1  1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
Y=f(p,q) # ~Y=f(~p,~q)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka #
    jest negacją drugiej strony


14.2.1 Definicja spójnika „i”(*) w bramkach logicznych

1.
Definicja bramki „i”(*):

Realizacja fizyczna (SN7408):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka AND = bramka „i”(*) = spójnik „i”(*) z języka potocznego
Kod:

Fizyczna realizacja:
        ------------
p ------| “i”(*)   |
        |          |----------> Y=p*q
q ------| SN7408   |
        ------------
Definicja bramki “i”(*):
Y=p*q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
Y=1<=>p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Definicja operatora “i”(|*):
Operator “i”(|*) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~p+~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
   p  q  Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q
A: 1  1   1      0        0  0   0
B: 1  0   0      1        0  1   1
C: 0  1   0      1        1  0   1
D: 0  0   0      1        1  1   1
   1  2   3      4        5  6   7
Operator „i”(|*) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 (patrz: ABCD123)
2.
Kiedy zajdzie ~Y:
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1 (patrz: ABCD567)


14.2.2 Definicja spójnika „lub”(+) w bramkach logicznych

2.
Definicja bramki „lub”(+):

Realizacja fizyczna (SN7432):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka OR = bramka „lub”(*) = spójnik „lub”(+) z języka potocznego
Kod:

Fizyczna realizacja:
        ------------
p ------| “lub”(+) |
        |          |----------> Y=p+q
q ------| SN7432   |
        ------------
Definicja bramki “lub”(+):
Y=p+q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
   p  q  Y=p+q
A: 1  1   1
B: 1  0   1
C: 0  1   1
D: 0  0   0
Y=1<=>p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Definicja operatora “lub”(|+):
Operator “lub”(|+) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1: Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
2: ~Y=~p*~q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
   p  q  Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q
A: 1  1   1      0        0  0   0
B: 1  0   1      0        0  1   0
C: 0  1   1      0        1  0   0
D: 0  0   0      1        1  1   1
   1  2   3      4        5  6   7
Operator „lub”(|+) to układ równań logicznych
dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
1.
Kiedy zajdzie Y:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1 (patrz: ABCD123)
2.
Kiedy zajdzie ~Y:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 (patrz: ABCD567)


14.2.3 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych

3.
Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych:

Bramka warunku wystarczającego => nie jest produkowana bo to jest banalna bramka „lub”(+) z zanegowanym wejściem p:
p=>q = ~p+q
Realizacja fizyczna:
Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
To samo w tabeli zero-jedynkowej:
   p  q  p=>q=~p+q
A: 1  1   1
B: 1  0   0
C: 0  1   1
D: 0  0   1
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
inaczej:
p=>q=1

Fizyczna realizacja:
        ------------
p ------|o   =>    |
        |          |----------> Y=(p=>q)=~p+q
q ------|          |
        ------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Symbol negatora wstawiony jest do środka bramki „lub”(+)
gdyż jest integralną częścią definicji warunku wystarczającego =>.

Definicja warunku wystarczającego => przy pomocy bramki „lub”(+):
Definicja =>  | Fizyczna realizacja w bramkach logicznych
   p  q  p=>q | ~p  p=>q=~p+q
A: 1  1   1   |  0   1
B: 1  0   0   |  0   0
C: 0  1   1   |  1   1
D: 0  0   1   |  1   1
   1  2   3      4   5


14.2.4 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych

4.
Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych:

Bramka warunku koniecznego ~> nie jest produkowana bo to jest banalna bramka „lub”(+) z zanegowanym wejściem q:
p~>q = p+~q
Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>:
   p  q  p~>q=p+~q
A: 1  1   1
B: 1  0   1
C: 0  1   0
D: 0  0   1
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
inaczej:
p~>q=1
 
Fizyczna realizacja:
        ------------
p ------|   ~>     |
        |          |----------> Y=(p~>q)=p+~q
q ------|o         |
        ------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Symbol negatora wstawiony jest do środka bramki „lub”(+)
gdyż jest integralną częścią definicji warunku koniecznego ~>.

Definicja warunku koniecznego ~> zrealizowana przy pomocy bramki „lub”(+):
Definicja ~>  |Fizyczna realizacja w bramkach logicznych
   p  q  p~>q | ~q   p~>q=p+~q
A: 1  1   1   |  0    1
B: 1  0   1   |  1    1
C: 0  1   0   |  0    0
D: 0  0   1   |  1    1
   1  2   3      4    5


14.3 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q)

Przypomnijmy sobie definicje elementarne algebry Kubusia dotyczące zdań warunkowych „Jeśli p to q”

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0

Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p

W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p.
1.
Implikacja prosta p|=>q:

A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
A1B1: Y=p|=>q=~p*q
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:

A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
A1B1: Y=p|~>q=p*~q
##
3.
Równoważność p<=>q:

A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: Y=p<=>q=p*q+~p*~q
##
4.
Spójnik „albo”($) p$q:

A1: p=>~q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: Y=p$q=p*~q+~p*q
##
5.
Chaos p|~~>q:

A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
A1B1: Y=1

Gdzie:
## - bramki logiczne różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

14.3.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych

Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q)= (~p+q)*(~p*q)=~p*~p*q+q*~p*q=~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q

Realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1 =1

Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
        ------------                   -----------
p ------|o  =>     | Y=(p=>q)=~p+q     |         |
        |          |-------------------|         |
q ------|          |                   | Bramka: | p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)
        ------------                   | „i”(*)  |------------------------>
        ------------                   |         | p|=>q=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
p ------|   ~>     | Y=(p~>q)=p+~q  ~Y |         |
        |          |---------------o---|         |
q ------|o         |                   |         |
        ------------                   -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~>    | Dowód zero-jedynkowy
   p  q  p=>q | p~>q | ~(p~>q) (p|=>q)=(p=>q)*~(p~>q) | ~p  p|=>q=~p*q
A: 1  1   1   |  1   |    0      0                    |  0    0
B: 1  0   0   |  1   |    0      0                    |  0    0
C: 0  1   1   |  0   |    1      1                    |  1    1
D: 0  0   1   |  1   |    0      0                    |  1    0
   1  2   3      4        5      6                       7    8
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
6: p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) [=] 8: p|=>q =~p*q
cnd


14.3.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych

2.
Implikacja odwrotna p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Implikacja odwrotne p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q*p+p*~q*~q=p*~q
Do zapamiętania:
p|~>q = p*~q

Realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1

Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach logicznych:
        ------------                   -----------
p ------|o  =>     | Y=(p=>q)=~p+q  ~Y |         |
        |          |---------------o---|         |
q ------|          |                   | Bramka: | p|~>q=~(p=>q)*(p~>q)
        ------------                   | „i”(*)  |---------------------->
        ------------                   |         | p|~>q=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
p ------|   ~>     | Y=(p~>q)=p+~q     |         |
        |          |-------------------|         |
q ------|o         |                   |         |
        ------------                   -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja implikacji odwrotnej p|~>q w bramkach logicznych:
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~>    | Dowód zero-jedynkowy
   p  q  p=>q | p~>q | ~(p=>q) (p|~>q)=~(p=>q)*(p~>q) | ~q  p|~>q=p*~q
A: 1  1   1   |  1   |    0      0                    |  0    0
B: 1  0   0   |  1   |    1      1                    |  1    1
C: 0  1   1   |  0   |    0      0                    |  0    0
D: 0  0   1   |  1   |    0      0                    |  1    0
   1  2   3      4        5      6                       7    8
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
6: p|~>q =~(p=>q)*(p~>q) [=] 8: p|~>q =p*~q
cnd


14.3.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych

3.
Równoważność p<=>q:

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Powyższa definicja równoważności znana jest każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 890
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 58 700
cnd

Definicja tożsamości pojęć/zbiorów p=q:
Dwa pojęcia/zbiory (w tym liczby binarne) są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=(~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p* ~q+q* p+q*~q =p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q

Realizacja równoważności p<=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1

Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
        ------------                   -----------
p ------|o  =>     | Y=(p=>q)=~p+q     |         |
        |          |-------------------|         |
q ------|          |                   | Bramka: | p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
        ------------                   | „i”(*   |---------------------->
        ------------                   |         | p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
p ------|   ~>     | Y=(p~>q)=p+~q     |         | p<=>q=p*q+~p*~q
        |          |-------------------|         |
q ------|o         |                   |         |
        ------------                   -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)

Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~>    | Dowód zero-jedynkowy
   p  q  p=>q | p~>q | p<=>q=(p=>q)*(p~>q) ~p ~q  p*q ~p*~q p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1  1   1   |  1   |   1                  0  0   1    0     1
B: 1  0   0   |  1   |   0                  0  1   0    0     0
C: 0  1   1   |  0   |   0                  1  0   0    0     0
D: 0  0   1   |  1   |   1                  1  1   0    1     1
   1  2   3      4       5                  6  7   8    9    10
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q) [=] 10: p<=>q = p*q+~p*~q
cnd


Uwaga:
Za chwilkę poznamy:
Definicja bramki „albo”($):
Y= p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Realizacja fizyczna (SN7486):
[link widoczny dla zalogowanych]
##
Najprostsza fizyczna realizacja równoważności p<=>q to bramka „albo”($) produkowana pod symbolem SN7486 gdzie negujemy zmienną wejściową q
Y = p$~q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji bo zanegowaliśmy wyłącznie zmienną q

14.3.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych

Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: p<=>~q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego

Ostatnie zdanie to definicja równoważności p<=>~q znana każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 890
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 58 700
cnd

Definicja tożsamości pojęć/zbiorów p=~q:
Dwa pojęcia/zbiory są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q = p$q

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd:
Definicja spójnika „albo”($) p$q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=(~p+~q)*(p+q)=~p*p+~p*q+~q*p+~q*q= p*~q+~p*q
Do zapamiętania:
p$q = p*~q+~p*q

Zapiszmy jeszcze raz definicję spójnika „albo”($) p$q wyrażoną warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1=1

Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) aby nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1=1

Ostatni zapis to znana nam (patrz wyżej) definicja równoważności p<=>~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q

Ostatni człon czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q

Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M$K

Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną jest (=1) wystarczające => do tego, by nie być kobietą (~K)

Jak udowodnić prawdziwość warunku koniecznego ~> B1?
Najprościej skorzystać z prawa Kubusia bowiem warunek wystarczający => zawsze dowodzi się prościej niż konieczny ~> ze względu na obowiązującą tu definicję kontrprzykładu.
Prawo Kubusia:
B1: M~>~K [=] B2: ~M=>K
stąd mamy:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% jest (=1) kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego by być kobietą (K).

Definicja tożsamości logicznej:
Prawo Kubusia:
B1: M~>~K [=] B2: ~M=>K
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Wniosek:
Udowadniając prawdziwość zdania B2:~M=>K automatycznie udowodniliśmy prawdziwość zdania B1: M~>~K wchodzącego w skład definicji spójnika „albo”($).
To jest banalny dowód „nie wprost”.

Definicja bramki „albo”($):
Y= p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Realizacja fizyczna (SN7486):
[link widoczny dla zalogowanych]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Bramka XOR = bramka „albo”($) = spójnik „albo”($) z języka potocznego

Realizacja spójnika „albo”($) w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q

Fizyczna spójnika „albo”($) p$q w bramkach logicznych:
        ------------                   -------------
p ------|o  =>     | Y=(p=>~q)=~p+~q   |           |
     ~q |          |-------------------|           |
q --o---|          |                   | Bramka:   | p$q=(p=>~q)*(p~>~q)
        ------------                   | „i”(*)    |---------------------->
        ------------                   |           | p$q=(p=>~q)*(p~>~q)
p ------|   ~>     | Y=(p~>~q)=p+q     |           | p$q=p*~q+~p*q
     ~q |          |-------------------|           |
q --o---|o         |                   |           |
        ------------                   -------------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja spójnika „albo”($) w bramkach logicznych:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1

Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~>  | Dowód zero-jedynkowy
                   |        A:    B:
   p  q  p=>q p~>q | ~p ~q  p=>~q p~>~q p$q=A*B  p*~q ~p*q  p$q=p*~q+~p*q
A: 1  1   1    1   |  0  0   0     1     0        0     0    0
B: 1  0   0    1   |  0  1   1     1     1        1     0    1
C: 0  1   1    0   |  1  0   1     1     1        0     1    1
D: 0  0   1    1   |  1  1   1     0     0        0     0    0
   1  2   3    4      5  6   7     8     9       10    11   12
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
9: p$q = (p=>~q)*(p~>~q) [=] 12: p$q = p*~q+~p*q
cnd


14.3.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych

5
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q

Z teorii chaosu (punkt 10.1) wiemy, że kodowania elementem wspólnym zbiorów ~~> w zbiorach, lub zdarzeniem możliwym ~~> w zdarzeniach przez wszystkie możliwe przeczenia p i q muszą dać wszędzie wynikowe jedynki, inaczej gwałcimy definicję kontrprzykładu.
Stąd mamy:
Y = p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q= p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1
Innymi słowy:
W tabeli prawdy spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nie ma żadnego warunku wystarczającego =>, co pociąga za sobą brak warunku koniecznego ~>

Fizyczna realizacja chaosu p|~~>q w bramkach „i”(*) i „lub”(+) będzie zatem następująca:
Kod:

Fizyczna realizacja chaosu p|~~>q w bramkach logicznych:
        ----------        ------------
p ------| Bramka | p*q    | Bramka   |
        | „i”(*) |--------| „lub”(+) |
q ------|   A    |        |          |      ------------
        ----------        |          | p    | Bramka   |
        ----------        |  A+B     |------| „lub”(+) |
p ------| Bramka | p*~q   |          |      |          |
     ~q | „i”(*) |--------|          |      |          |
q -o----|   B    |        |          |      |          |
        ----------        ------------      |          | Y= p|~~>q=p+~p=1
                                            | A+B+C+D  |------------------>
     ~p ----------        ------------      |          |
p -o----| Bramka | ~p*q   | Bramka   |      |          |
        | „i”(*) |--------| „lub”(+) |      |          |
q ------|   C    |        |          | ~p   |          |
        ----------        |   C+D    |------|          |
     ~p ----------        |          |      |          |
p -o----| Bramka |~p*~q   |          |      ------------
     ~q | „i”(*) |--------|          |
q -o----|   D    |        |          |
        ----------        ------------

Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym.

Definicje „*” oraz „+” | Dowód zero-jedynkowy dla chaosu p|~~>q:
   p  q ~p ~q  p*q p+q | p*q p*~q ~p*q ~p*~q p*q+p*~q ~p*q+~p*~q p|~~>q
A: 1  1  0  0   1   1  |  1   1     0    0      1         0        1
B: 1  0  0  1   0   1  |  0   1     0    0      1         0        1
C: 0  1  1  0   0   1  |  0   0     1    0      0         1        1
D: 0  0  1  1   0   0  |  0   0     0    1      0         1        1
   1  2  3  4   5   6  |  a   b     c    d      e         f        g
Doskonale widać same jedynki w kolumnie wynikowej p|~~>q, czyli:
Y = p|~~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q= p*(q+~q)+~p*(q+~q)=p+~p=1
cnd


14.4 Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych

Zapiszmy utworzone wyżej schematy ideowe spójników logicznych w bramkach logicznych w postaci uproszczonej z uwzględnienie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Kod:

TA
1.  --------------
p –-| Spójnik    |
    | „i”(*)     |--------------------------o----------------------------->
q –-| SN7408     | 1A: Y=p*q                # 1B: ~Y=~p+~q
    --------------
##
2.  --------------
p –-| Spójnik    |
    | „lub”(+)   |--------------------------o----------------------------->
q –-| SN7432     | 2A: Y= p+q               # 2B: ~Y=~p*~q
    --------------
##
3.  ----------------
p –-|Warunek       |
    |wystarczający |------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p=>q)     |3A: Y=(p=>q)=~p+q       # 3B: ~Y=~(p=>q)= p*~q
    ----------------
##
4.  --------------
p –-|Warunek     |
    |konieczny   |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p~>q)   | 4A: Y=(p~>q)= p+~q       # 4B: ~Y=~(p~>q)=~p* q
    --------------
##
5.  --------------
p –-|Implikacja  | Y=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) # ~Y=~((A1: p=>q)*~(B1: p~>q))
    |prosta      |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|=>q)  | 5A: Y=(p|=>q)=~p* q      # 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
    --------------
##
6.  --------------
p –-|Implikacja  | Y=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) # ~Y=~(~(A1: p=>q)*(B1: p~>q))
    |odwrotna    |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|~>q)  | 6A: Y=(p|~>q)= p*~q      # 6B: ~Y=~(p|~>q)= ~p+q
    --------------
##
7.  --------------
p –-|Równoważność| Y=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  # ~Y=~((A1: p=>q)*(B1: p~>q))
    |Y=(p<=>q)   |--------------------------o----------------------------->
q –-|            | 7A: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p*q
    --------------
##
8.  --------------
p –-| Spójnik    | Y=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)# ~Y=~((A1: p=>~q)*(B1: p~>~q))
    | „albo”($)  |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p$q)    | 8A: Y=(p$q)= p*~q+~p*q   # 8B: ~Y=~(p$q)= p*q+~p*~q
    --------------
##
9.  --------------
p –-| Spójnik    | Y=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)# ~Y=~(~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q))
    | chaosu     |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=(p|~~>q) | 9A: Y=(p|~~>q)=1         # 9B: ~Y=~(p|~~>q)=0
    --------------
Gdzie:
o – symbol negatora (~), tożsamy ze znaczkiem #
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji bramek logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że w tabeli TA definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Przykładowo mamy:
Kod:

TB
3A:  Y=(p=>q) =~p+ q        ##  6B: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
4A:  Y=(p~>q) = p+~q        ##  5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
5A:  Y=(p|=>q)=~p* q        ##  4B: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
6A:  Y=(p|~>q)= p*~q        ##  3B: ~Y=~(p=>q) = p*~q
7A:  Y=(p<=>q)= p* q+~p*~q  ##  8B: ~Y=~(p$q)  = p* q+~p*~q
8A:  Y=(p$q)  = p*~q+~p* q  ##  7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p* q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy w tabeli TB definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona bowiem funkcje łączone tym znaczkiem nie są tożsame, ani żadna z nich nie jest negacją drugiej.

Postawmy tu kropkę nad „i”(*) negując dwustronnie funkcje logiczne po prawej stronie znaczka ##.
Kod:

TC
3A:  Y=(p=>q) =~p+ q        ##  6B:  Y= (p|~>q)= p*~q
4A:  Y=(p~>q) = p+~q        ##  5B:  Y= (p|=>q)=~p* q
5A:  Y=(p|=>q)=~p* q        ##  4B:  Y= (p|~>q)= p*~q
6A:  Y=(p|~>q)= p*~q        ##  3B:  Y= (p=>q) =~p+ q
7A:  Y=(p<=>q)= p* q+~p*~q  ##  8B:  Y= (p$q)  = p*~q+~p* q
8A:  Y=(p$q)  = p*~q+~p* q  ##  7B:  Y= (p<=>q)= p* q+~p*~q
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy po zanegowaniu prawych stron znaczka ## w żadnej z linii nie zachodzi tożsamość funkcji logicznej Y, zatem w liniach mamy do czynienia z funkcjami logicznymi różnymi na mocy definicji.
Zauważmy, że zanegowaliśmy wyłącznie prawe strony w tabeli TB zatem zachodzi tu relacja:
TB ## TC
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jak sprawdzić powyższą teorię w laboratorium bramek logicznych?
Zapiszmy tabelę TA w wersji skróconej, zawierającej wyłącznie funkcje logiczne
Kod:

TA1
Punkt odniesienia:
p, q, ~p, ~q
--------------------------------------------------------------------------
1:                 1A: Y=p*q                # 1B: ~Y=~p+~q
##
2:                 2A: Y= p+q               # 2B: ~Y=~p*~q
##
3:                 3A: Y=(p=>q)=~p+q        # 3B: ~Y=~(p=>q)= p*~q
##
4:                 4A: Y=(p~>q)= p+~q       # 4B: ~Y=~(p~>q)=~p* q
##
5:                 5A: Y=(p|=>q)=~p* q      # 5B: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
##
6:                 6A: Y=(p|~>q)= p*~q      # 6B: ~Y=~(p|~>q)= ~p+q
##
7:                 7A: Y=(p<=>q)= p*q+~p*~q # 7B: ~Y=~(p<=>q)= p*~q+~p*q
##
8:                 8A: Y=(p$q)= p*~q+~p*q   # 8B: ~Y=~(p$q)= p*q+~p*~q
##
9:                 9A: Y=(p|~~>q)=1         # 9B: ~Y=~(p|~~>q)=0
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - układy w bramkach logicznych różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Jak sprawdzić poprawność tabeli TA1 w laboratorium techniki cyfrowej?
Do sprawdzenia potrzebny nam będzie przyrząd pomiarowy zwany analizatorem stanów logicznych.
Analizator stanów logicznych to przyrząd do obserwacji zmiennych sygnałów cyfrowych np. na ekranie laptopa za pośrednictwem specjalnego adaptera.

Przykładowy analizator stanów logicznych dla 16 kanałów:
[link widoczny dla zalogowanych]

Dowód poprawności algebry Kubusia w laboratorium bramek logicznych jest następujący.

I.
Sprawdzenie zgodności algebry Kubusia z rzeczywistością dla funkcji logicznych Y=f(xA):

1.
W pierwszych 4 liniach analizatora wyświetlamy wszystkie możliwe sygnały odniesienia tzn:
{p, q, ~p, ~q}
2.
Sprawdzamy zgodność funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) w liniach xA w odniesieniu do sygnałów odniesienia {p, q, ~p, ~q}
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza
3.
Sprawdzamy czy wszystkie funkcje logiczne Y=f(xA) w poszczególnych liniach są różne na mocy definicji ## (mają różne wykresy czasowe).
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza

Dokładnie to samo robimy dla funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
II.
Sprawdzenie zgodności algebry Kubusia z rzeczywistością dla funkcji logicznych ~Y=f(xB):

1.
W pierwszych 4 liniach analizatora wyświetlamy wszystkie możliwe sygnały odniesienia tzn:
{p, q, ~p, ~q}
2.
Sprawdzamy zgodność funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w liniach xB w odniesieniu do sygnałów odniesienia {p, q, ~p, ~q}
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza
3.
Sprawdzamy czy wszystkie funkcje logiczne ~Y=f(xB) w poszczególnych liniach są różne na mocy definicji ## (mają różne wykresy czasowe).
Wynik sprawdzenia: wszystko się genialnie zgadza

W ten oto sposób udowodniliśmy w laboratorium bramek logicznych 100% zgodność algebry Kubusia z teorią bramek logicznych.

Uwaga:
W tabeli TA1 nie wolno nam porównywać funkcji logicznych po jakichkolwiek przekątnych, bowiem każda z linii tabeli TA1 opisuje różny na mocy definicji ## układ w bramkach logicznych - zobacz punkt 14.2 i 14.3


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:28, 29 Cze 2022, w całości zmieniany 16 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 33 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:42, 26 Cze 2022    Temat postu:

Algebra Kubusia
14.5 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji Y=f(x)

Spis treści
14.5 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji Y=f(x) 1
14.5.1 Fundamentalne definicje i prawa algebry Boole’a 1
14.5.2 Wewnętrzna sprzeczność rachunku zero-jedynkowego na poziomie Y=f(x) 3


14.5 Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji Y=f(x)

Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a Y=f(x) zostanie udowodniony w laboratorium bramek logicznych, np. na I roku elektroniki Politechniki Warszawskiej w którym kiedyś osobiście byłem.

14.5.1 Fundamentalne definicje i prawa algebry Boole’a

Nie ma na ziemi matematyka, który by twierdził, iż funkcja logiczna algebry Boole’a Y=f(x) to nie jest algebra Boole’a, a tym samym, że nie jest to Klasyczny Rachunek Zdań.
Jeśli taki jest, to zdecydowanie powinien skreślić sobie słówko matematyk sprzed swego nazwiska.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja logiczna algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

14.5.2 Wewnętrzna sprzeczność rachunku zero-jedynkowego na poziomie Y=f(x)

Ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a Y=f(x), co niniejszym udowodnimy na przykładzie.

Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną algebry Boole’a Y=f(x) mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
1.
Y=f(x)
#
2.
~Y=~f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugie strony

Przykład 1.
1.
Niech będzie dana funkcja logiczna równoważności p<=>q algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

1.
Y=(p*q)+(~p*~q)

.. a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
2.
~Y = (~p+~q)*(p+q) – postać koniunkcyjno-alternatywna
W przełożeniu na język potoczny postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.
Wymnażamy zatem wielomian przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej rozumianej przez każdego 5-cio latka (dowód w pkt. 2.3).
~Y=(~p+~q)*(p+q)=~p*p + ~p*q + ~q*p+ ~q*q = p*~q+~p*q
stąd mamy tożsamą postać alternatywno-koniunkcyjną:
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Przykład 2.
1.
Niech będzie dana funkcja logiczna spójnika „albo”($) w algebrze Boole’a:
Y = p$q = p*~q+~p*q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

1.
Y=(p*~q)+(~p*q)

.. a kiedy zajdzie ~Y (~Y=1)?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
2.
~Y = (~p+q)*(p+~q) – postać koniunkcyjno-alternatywna
W przełożeniu na język potoczny postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.
Wymnażamy zatem wielomian przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej rozumianej przez każdego 5-cio latka (dowód w pkt. 2.3).
~Y=(~p+q)*(p+~q)=~p*p + ~p*~q + q*p+ q*~q = p*q+~p*~q
stąd mamy tożsamą postać alternatywno-koniunkcyjną:
~Y=p*q + ~p*~q
co w logice jedynek (naturalnej logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Zapiszmy przykłady 1 i 2 w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Przykład 1
Definicja równoważności p<=>q  | Po dwustronnej negacji mamy:
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
Y=p<=>q                        # ~Y=~(p<=>q)
Y= p*q+~p*~q                   # ~Y=p*~q+~p*q
##                                ##
Przykład 2
Definicja spójnika „albo”($)   | Po dwustronnej negacji mamy:
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
Y=p$q                          # ~Y=~(p$q)
Y=p*~q+~p*q                    # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że w tabeli T1 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Na czym polega dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego?
Ziemski rachunek zero-jedynkowy nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) oraz nie ma pojęcia o prawie negacji dowolnej funkcji algebry Boole’a.

Prawo negacji dowolnej funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną algebry Boole’a Y=f(x) mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
1.
Y=f(x)
#
2.
~Y=~f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W przełożeniu na układ Kartezjański odpowiada to usunięciu osi ~Y z tego układu.
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę bez osi ~Y układu Kartezjańskiego?

We wszelkich dowodach zero-jedynkowych w aktualnym ziemskim rachunku zero-jedynkowym operuje się wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a z totalnym pominięciem zarówno funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) jak i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y).
Dowód:
Nikt nie znajdzie choćby jednego dowodu w ziemskim rachunku zero-jedynkowym który by w kolumnach wynikowych uwzględniał funkcje logiczne w logice dodatnie (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
cnd

Ignorancja ziemskich matematyków w temacie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) generuje fatalny błąd czysto matematyczny, co łatwo udowodnić usuwając z tabeli T1 wszelkie funkcje Y i ~Y pozostawiając gołe wyrażenia algebry Boole’a, czyli prawe strony funkcji logicznych Y i ~Y.

Zróbmy to!
Kod:

T2
Przykłady 1 i 2 ze zlikwidowanymi funkcjami Y i ~Y
Dokładnie ten błąd fatalny popełnia ziemski rachunek zero-jedynkowy.
Przykład 1
Definicja równoważności p<=>q  | Negacja wyrażenia 1 to:
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
1: p*q+~p*~q                   # 2: p*~q+~p*q
[=]                                 [=]
Przykład 2
Definicja spójnika „albo”($)   | Negacja wyrażenia 3 to:
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
3: p*~q+~p*q                   # 4: p*q+~p*~q
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne po przekątnych:
1: p*q+~p*~q [=] 4: p*q+~p*~q
2: p*~q+~p*q [=] 3: p*~q+~p*q
bo znaczek # jest przemienny
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji (bez funkcji Y i ~Y znaczek ## nie istnieje!)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

W laboratorium bramek logicznych łatwo pokazać, że definicja znaczka # dalej jest spełniona
ALE!
Po usunięciu funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w miejsce znaczka różne na mocy definicji ## musimy zapisać znak tożsamości logicznej [=] bowiem znaczek # jest przemienny.
p#q [=] q#p

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

W tym momencie totalnie cała logika matematyczne ziemskich matematyków leży w gruzach, bo w gruzach leży jej fundament „stary rachunek zero-jedynkowy” który nie uwzględnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y), co dokładnie widać porównując tabele T1 i T2.

Na czym polega Armagedon starego rachunku zero-jedynkowego ziemskich matematyków?
Widać go doskonale w tabeli T2 gdzie mamy tożsamość logiczną:
Przykład 1 = Przykład 2
Bo po przekątnych zachodzi:
Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne po przekątnych:
1: p*q+~p*~q [=] 4: p*q+~p*~q
2: p*~q+~p*q [=] 3: p*~q+~p*q
Co bezdyskusyjnie oznacza, że wedle starego rachunku zero-jedynkowego ziemskich matematyków tzn. bez uwzględnienia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) mamy absolutny idiotyzm czysto matematyczny jakoby w logice matematycznej zachodziła tożsamość logiczna [=] w tabeli T3.
Kod:

T3.
Przykład 1                |  Przykład 2
Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q      [=] Y=(p$q)=p*~q+~p*q
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Tożsamość logiczna [=] w tabeli T3 to bezdyskusyjny dowód wewnętrznej sprzeczności starego rachunku zero-jedynkowego ziemian na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a Y=f(x). bowiem tabela T3 jest po prostu idiotyzmem, co łatwo udowodnić w laboratorium techniki bramek logicznych, co każdy matematyk przy zdrowych zmysłach doskonale widzi.

Prawidłowe relacje między funkcjami algebry Boole’a Y=p<=>q i Y=p$q w algebrze Kubusia łatwe do udowodnienia w laboratorium techniki cyfrowej są następujące.
Fragment tabeli TA z punktu 14.4
Kod:

T4
7.  --------------
p –-|Równoważność| Y=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  # ~Y=~((A1: p=>q)*(B1: p~>q))
    |Y=p<=>q     |--------------------------o----------------------------->
q –-|            | 7A: Y=p*q+~p*~q          # 7B: ~Y=p*~q+~p*q
    --------------
##
8.  --------------
p –-| Spójnik    | Y=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)# ~Y=~((A1: p=>~q)*(B1: p~>~q))
    | „albo”($)  |--------------------------o----------------------------->
q –-| Y=p$q      | 8A: Y=p*~q+~p*q          # 8B: ~Y=p*q+~p*~q
    --------------
Gdzie:
o – symbol negatora (~), tożsamy ze znaczkiem #
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że w tym przypadku po przekątnych zachodzi:
Kod:

T5
7A: Y=p*q+~p*~q ## 8B: ~Y=p*q+~p*~q
8A: Y=p*~q+~p*q ## 7B: ~Y=p*~q+~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że w tabeli T5 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione bowiem funkcje związane znaczkiem ## nie są tożsame.
Dla świętego spokoju, dla tych co tego nie widzą, możemy dodatkowo sprawdzić czy zajdzie tożsamość funkcji Y negując wyłącznie prawe strony znaczka ##.
Zróbmy to:
Kod:

T6
7A: Y=p*q+~p*~q ## 8B: Y=p*~q+~p*q
8A: Y=p*~q+~p*q ## 7B: Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Jak widzimy w tabeli T6 funkcje logiczne Y w każdej z linii również nie są tożsame, z czego wynika, że definicja znaczka różne na mocy definicji ## w tabeli T5 jest perfekcyjnie spełniona.
cnd

Uwaga:
W tabeli T6 zanegowaliśmy wyłącznie prawe strony znaczka ## z tabeli T5.
Matematycznie zachodzi tu zatem:
T5 ## T6
Gdzie:
## - różne na mocy definicji


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 20:32, 27 Cze 2022, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony Poprzedni  1, 2
Strona 2 z 2

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin