Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia, to logika matematyczna 5-cio latków!

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:24, 18 Sie 2019    Temat postu: Algebra Kubusia, to logika matematyczna 5-cio latków!

Algebra Kubusia - logika matematyczna 5-cio latków!

Ten post powstał w dniu 18-08-2019 w chwili natchnienia w Cichem (koło Zakopanego) w godzinach 10:00 - 12:00

Teoria potrzebna dla zrozumienia niniejszego postu wyłożona jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/ak-v-algebra-kubusia-w-pigulce,13583.html#458575

Pani w przedszkolu:
A1.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to to na 100% => nie jest psem
~4L=>~P =?
Czy to zdanie jest prawdziwe?
Jaś (lat 5):
Jeśli pominiemy psy kalekie to tak, o czym każdy 5-cio latek wie i nie potrzebuje do tego żadnego dowodu.
Pani:
Jasiu, może byś jednak spróbował udowodnić prawdziwość tego zdania.
Jaś:
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
W poprzedniku mamy zdefiniowany zbiór:
~4L=[kura …] - zbiór zwierząt nie mających czterech łap
W następniku mamy zdefiniowany zbiór:
~P=[ZWZ-pies] = [słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Od razu widać, że zbiór ~4L=[kura ..] jest podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura ..]
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura ..]
Dokładnie dlatego zdanie A1 jest prawdziwe prose pani.
Zauważmy dodatkowo prose pani, że zbiory ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura..] nie są tożsame, stąd spełniona jest definicja implikacji prostej.

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p=>q =1
p~>q =0
Definicja implikacji prostej w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Nasz przykład:
A1.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to to na 100% => nie jest psem
~4L=>~P =1 - bo zbiór ~4L=[kura..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura..]

Ponieważ zbiory ~4L i ~P nie są tożsame to musi zachodzić:
C1.
~4L~>~P =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór ~4L nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P

Dowód alternatywny:
C1.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~> nie być psem
~4L~>~P=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~4L=[kura..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P=[słoń, kura ..]
cnd
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej ~4L|=>~P:
~4L|=>~P = A1: (~4L=>~P)* C1: ~(~4L~>~P) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

Pani:
Brawo Jasiu, a czy potrafisz zapisać równanie ogólne dla tej implikacji w wykorzystaniem praw Kubusia i praw Tygryska?
Jaś:
To pestka prose pani:
Kod:

Równanie ogólne implikacji prostej ~4L|=>~P:
A: 1: ~4L=> ~P=1 = 2: 4L~>  P=1 [=] 3:~P~>~4L=1 = 4: P=>  4L=1
B: 1: ~4L~~> P=0   2: 4L~~>~P=1 [=] 3:~P~~>4L=1   4: P~~>~4L=0
##
C: 1: ~4L~> ~P=0 = 2: 4L=>  P=0 [=] 3:~P=>~4L=0 = 4: P~>  4L=0
D: 1: ~4L~~> P=0   3: 4L~~>~P=1 [=] 4:~P~~>4L=1   4: P~~>~4L=0
## - różne na mocy definicji

Pani:
Poproszę o komentarz.

Jaś (lat 5):
Prawa Kubusia:
A1[=]A2
C1[=]C2
Kod:

A1: ~4L=>~P=1 [=] A2: 4L~>P  =1
B1: ~4L~~>P=0     B2: 4L~~>~P=1
##
C1: ~4L~>~P=0 [=] C2: 4L=>  P=0
D1: ~4L~~>P=0     D2: 4L~~>~P=1

1.
Warunek wystarczający A1 jest prawdą z czego wynika że musi być fałszem kontrprzykład B1 dla warunku A1
2.
Warunek konieczny ~> A2 jest prawdą na mocy prawa Kubusia.
Dodatkowo wiemy, że zbiory ~4L i ~P nie są tożsame z czego wynika że kontrprzykład B2 jest prawdą.
Prawdziwy kontrprzykład B2:
B2: 4L~~>~P=1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C2:
C2: 4L=>P =0
cnd

Dowód alternatywny:
C2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na 100% => jest psem
4L=>P =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie jest podzbiorem => zbioru P=[pies]
cnd
Stąd spełniona jest definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1
p=>q=0
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Nasz przykład:
IA2:
4L|~>P = A2: (4L~>P)* C2: ~(4L=>P) = 1*~(0)=1*1 =1

Dalsza część tabeli prawdy dla implikacji prostej ~4L|=>~P wynika prose pani z praw Tygryska:
p=>q [=] q~>p
p~>q [=] q=>p

Nasz przykład.
Prawa Tygryska:
A1: ~4L=>~P=1 [=] A3: ~P~>~4L=1
C1: ~4L~>~P=0 [=] C3: ~P=>~4L=0

Dla A3 I C3 stosujemy prawa Kubusia:
A3: ~P~>~4L=1 [=] P=>4L=1
C3: ~P=>~4L=0 [=] P~>4L=0

Stąd mamy drugą część tabeli prawdy dla implikacji prostej ~4L|=>~P:
Kod:

Równanie ogólne implikacji prostej ~4L|=>~P (część 2):
A: 3:~P~>~4L=1 = 4: P=>  4L=1
B: 3:~P~~>4L=1   4: P~~>~4L=0
##
C: 3:~P=>~4L=0 = 4: P~>  4L=0
D: 4:~P~~>4L=1   4: P~~>~4L=0
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że tu nic a nic nie musimy udowadniać, bowiem dowód prawdziwości implikacji prostej:
~4L|=>~P = A1: (~4L=>~P)* C1: ~(~4L~>~P) = 1*~(0) =1*1 =1
Wymusza prawdziwość/fałszywość pozostałych zdań serii Ax, Bx, Cx i Dx.

Nie musimy udowadniać nie oznacza, iż nie możemy udowodnić prawdziwości powyższych zdań w sposób alternatywny.
Oczywistym jest, że dla dowodu alternatywnego wybieramy najprostsze zdania czyli A4 i C4.

A4.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery lapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń..]
Zauważmy dodatkowo iż zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń..] nie są tożsame co wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
C4: P~>4L =0

Dowód alternatywny:
C4.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~> mieć cztery łapy
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona (=0), bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń..]
cnd
Zauważmy, że prawdziwy warunek wystarczający A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu B4.

Stąd spełniona jest definicja implikacji prostej P|=>4L:
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
P=>4L=1
P~>4L=0
Stąd:
IA4:
P|=>4L = A4: (P=>4L)* C4: (P~>4L) = 1*~(0) =1*1 =1

Zauważmy, że zdanie A4 definiuje nam dwa zbiory:
P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies (poprzednik)
4L=[pies, słoń..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy (następnik)
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ=[pies, słoń, kura..] - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd obliczmy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienie do dziedziny ZWZ
~P=[ZWZ-pies] = [słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[kura..] - zbiór zwierząt nie mających czterech łap

Dla zdania A4 korzystamy teraz z prawa Kubusia:
A4: P=>4L=1 [=] A3: ~P~>~4L=1
Z prawa Kubusia wynika, iż z faktu iż zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń..] wynika iż zbiór ~P musi być nadzbiorem ~> zbioru ~4L.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wynika on z prawa Kubusia.
… ale możemy udowodnić!

A3.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..]

Z faktu że zbiory ~P i ~4L nie są tożsame wynika prawdziwość kontrprzykładu B3 dla warunku wystarczającego C3.

Prawdziwość kontrprzykładu B3:
B3: ~P~~>4L =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego C3:
C3: ~P=>~4L =0
Tu nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, ale możemy udowodnić:

B3.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery lapy
~P~~>4L = ~P*4L = [słoń, kura..]*[pies, słoń ..] =1 bo słoń
Dla prawdziwości zdania kodowanego elementem wspólnym ~~> zbiorów ~P i 4L wystarczy pokazać jeden element wspólny tych zbiorów.

Prawdziwość kontrprzykładu B3:
B3: ~P~~>4L=1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C3:
C3: ~P=>~4L =0

Dowód alternatywny:
C3.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na 100% => nie ma czterech łap
~P=>~4L =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura..] nie jest podzbiorem => zbioru ~4L=[kura..]
cnd

Podsumowanie:
Kod:

Równanie ogólne implikacji prostej ~4L|=>~P:
A: 1: ~4L=> ~P=1 = 2: 4L~>  P=1 [=] 3:~P~>~4L=1 = 4: P=>  4L=1
B: 1: ~4L~~> P=0   2: 4L~~>~P=1 [=] 3:~P~~>4L=1   4: P~~>~4L=0
##
C: 1: ~4L~> ~P=0 = 2: 4L=>  P=0 [=] 3:~P=>~4L=0 = 4: P~>  4L=0
D: 1: ~4L~~> P=0   3: 4L~~>~P=1 [=] 4:~P~~>4L=1   4: P~~>~4L=0
## - różne na mocy definicji

Na mocy powyższej tabeli prawdy możemy zapisać wszystkie możliwe implikacje tożsame z naszą implikacją wejściową.

Implikacja wejściowa:
IA1:
Implikacja prosta |=>:
~4L|=>~P = A1: (~4L=>~P)* C1: ~(~4L~>~P) = 1*~(0) =1*1 =1

Definicja symboliczna IA1:
Kod:

A1:~4L=> ~P=1 - bo zbiór ~4L=[kura..] jest podzbiorem => ~P=[słoń, kura..]
B1:~4L~~> P=0 - bo zbiory ~4L=[kura..] i P=[pies] są rozłączne
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy?
Prawo Kubusia:
A1:~4L=>~P = A2: 4L~>P
A2: 4L~> P =1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń..] jest nadzbiorem ~> P=[pies]
B2: 4L~~>~P=1 - 4L=[pies, słoń..] i ~P=[słoń, kura..] mają element wspólny

Implikacja prosta ~4L|=>~P to wszystkie cztery linie A1, B1, A2, B2 a nie jakakolwiek jedna, wyróżniona.

Pozostałe implikacje tożsame z implikacją wejściową:
IA2:
Implikacja odwrotna |~>:
4L|~>P = A2: (4L~>P)* C2: ~(4L=>P) =1*~(0) =1*1 =1

Definicja symboliczna IA2:
Kod:

A2: 4L~> P =1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń..] jest nadzbiorem ~> P=[pies]
B2: 4L~~>~P=1 - 4L=[pies, słoń..] i ~P=[słoń, kura..] mają element wspólny
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>P = A1:~4L=>~P
A1:~4L=> ~P=1 - bo zbiór ~4L=[kura..] jest podzbiorem => ~P=[słoń, kura..]
B1:~4L~~> P=0 - bo zbiory ~4L=[kura..] i P=[pies] są rozłączne

Implikacja odwrotna 4L|~>P to wszystkie cztery linie A1, B1, A2, B2 a nie jakakolwiek jedna, wyróżniona.

Doskonale widać, że zdania wchodzące w skład implikacji prostej IA1: ~4L|=>~P i odwrotnej IA2: 4L|~>P są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Różnią się wyłącznie kolejnością ułożenia w tabeli prawdy co w algebrze Kubusia jest bez znaczenia.

IA4:
Implikacja prosta |=>:
P|=>4L = A4: (P=>4L)* C4: ~(P~>4L) =1*~(0) =1*1 =1

Definicja symboliczna IA4:
Kod:

A4: P=> 4L =1 - bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
B4: P~~>~4L=0 - bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
A4: P=>4L = A3:~P~>~4L
A3:~P~>~4L =1 - bo zbiór ~P=[pies, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B3:~P~~>4L =1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=pies, słoń..] mają element wspólny

Implikacja prosta P|=>4L to wszystkie cztery linie A4, B4, A3, B3 a nie jakakolwiek jedna, wyróżniona.

IA3:
Implikacja odwrotna |~>:
~P|~>~4L = A3: (~P~>~4L)* C3: ~(~P=>~4L) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja symboliczna IA3:
Kod:

A3:~P~>~4L =1 - bo zbiór ~P=[pies, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B3:~P~~>4L =1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=pies, słoń..] mają element wspólny
… a jeśli zwierzę jest psem?
Prawo Kubusia:
A3:~P~>~4L = A4: P=>4L
A4: P=> 4L =1 - bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
B4: P~~>~4L=0 - bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne

Implikacja odwrotna ~P|~>~4L to wszystkie cztery linie A4, B4, A3, B3 a nie jakakolwiek jedna, wyróżniona.

Doskonale widać, że zdania wchodzące w skład implikacji prostej IA4: P|=>4L i odwrotnej IA3: ~P|~>~4L są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka. Różnią się wyłącznie kolejnością ułożenia w tabeli prawdy co w algebrze Kubusia jest bez znaczenia.

Zachodzi matematyczna tożsamość implikacji:
IA1: ~4L|=>~P=1 [=] IA2: 4L~>P=1 [=] IA3: ~P|~>~4L=1 [=] IA4: P|=>4L =1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 18:56, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:46, 18 Sie 2019    Temat postu:

...
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:58, 18 Sie 2019    Temat postu:

.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22160
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:58, 18 Sie 2019    Temat postu:

.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin