Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia v beta 3.2

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 11:00, 01 Lis 2011    Temat postu: Algebra Kubusia v beta 3.2

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia
Matematyka przedszkolaków

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia
Zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad podręcznikiem nowej matematyki bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barah (sfinia), Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Incognito (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Jeremiasz Szary (sfinia), Krowa (śfinia), Krystkon (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Marcin Kotasiński (śfinia), Michał Dyszyński (śfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Paloma (ateista.pl), Quebaab (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni

Szczególne podziękowania dla:
Wuja Zbója – znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha – za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna – za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
Fizyka, Windziarza i Sogorsa – za fantastyczną dyskusję na ateiście.pl
Idioty – za zdopingowanie Kubusia do zapisania całej algebry Kubusia na zaledwie dwóch stronach A4
Incognito – za podsunięcie pomysłu zapisania całej algebry Kubusia w zbiorach
Palomy i Quebaaba – za finałową dyskusję


Wstęp:

Pięć lat temu Kubuś, przybysz z innego Wszechświata zauważył na forum śfinia Wuja Zbója iż ziemscy matematycy, eksperci Klasycznego Rachunku Zdań, robią z człowieka idiotę każąc mu uznawać za prawdziwe zdania typu:
Jeśli kura jest psem to człowiek ma dwie nogi
KP=>2N
Najśmieszniejszy dowód prawdziwości tego zdania z jakim Kubuś się spotkał jest taki.
Udowodnij że to zdanie jest fałszywe w innym Wszechświecie!
… a widzisz ?
Nie potrafisz, dlatego to zdanie jest prawdziwe.

W tym momencie dla Kubusia stało się jasne, że Klasyczny Rachunek Zdań to matematyka Szatana, którego wkrótce zlokalizował w postaci definicji „implikacji materialnej”. „Implikacja materialna”, to stara znajoma Kubusia którą ściga od nieskończoności po wszystkich możliwych Wszechświatach.

Wojna Kubusia z Klasycznym Rachunkiem Zdań trwała pięć lat zanim ta bestia, „implikacja materialna”, zgodziła się w ciągu kilku lat opuścić nasz Wszechświat.

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest teoria zbiorów i wynikające z niej definicje spójników logicznych.
Z algebry zbiorów wynikają definicje operatorów logicznych i bramek logicznych, to sprzętowy fundament komputerów.

Algebra naturalnego języka mówionego to zaledwie pięć spójników logicznych, będących fundamentem najważniejszych operatorów logicznych.

Algebra Kubusia jest w 100% zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie!


1.0 Notacja

1 - prawda
0 -fałsz
~ - symbol przeczenia NIE
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest ~(…), że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Spójniki logiczne
W całej matematyce mamy zaledwie pięć spójników logicznych:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q, natomiast w równoważności brak odpowiednika z naturalnego języka mówionego (~> = spójnik wirtualny).
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest teoria zbiorów i wynikające z niej definicje spójników logicznych.
Z algebry zbiorów wynikają definicje operatorów logicznych i bramek logicznych, to sprzętowy fundament komputerów.

Algebra naturalnego języka mówionego to zaledwie pięć spójników logicznych, będących fundamentem najważniejszych operatorów logicznych.

Spójniki logiczne
„i”(*)
„lub”(+)
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - naturalny spójnik „może”

Operator logiczny to zawsze złożenie spójnika w logice dodatniej ze spójnikiem przeciwnym w logice ujemnej. Oczywiście matematycznie operator logiczny to fundamentalnie co innego niż spójnik logiczny.

Poprawne definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Boole’a są takie.

Definicja transmitera:
Y = p = ~(~p) – w dowolną linię sygnałową można wstawić dwie negacje, prawo podwójnego przeczenia
Stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~p – skłamię (bo ~Y)

Definicja negatora:
Y=~p = ~[~(~p)] - – w dowolną linię sygnałową można wstawić dwie negacje, prawo podwójnego przeczenia
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=~p – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~(~p) = p – skłamię (bo ~Y)

Na mocy definicji transmitera i negatora zachodzi równanie ogólne:
Y=p = ~(~p) ## Y=~p = ~[~(~p)]
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q) – prawo de’Morgana
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)

Definicja operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q) – prawo de’Morgana
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~p+~q – skłamię (bo ~Y)

Oczywiście na mocy definicji zachodzi równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
Y = p+q = ~(~p*~q) ## Y = p*q = ~(~p+~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia

Definicja operatora implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Oczywiście na mocy definicji zachodzi równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Operator implikacji prostej wyrażony w spójniku „i”:
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(…) że zajdzie p i nie zajdzie q

Operator implikacji odwrotnej wyrażony w spójniku „i”:
p~>q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie ~p i zajdzie q

KONIEC !
To co wyżej to kompletna algebra Kubusia zapisana w równaniach algebry Boole’a.

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zajścia. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek, Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 1 albo 0

Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, A, B … 4L, PIES, …

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+).
Y=p*q + p*~q + ~p*q – funkcja logiczna wielu zmiennych
Y=~p – funkcja logiczna jednej zmiennej

W zdaniach wypowiedzianych mamy do czynienia wyłącznie ze spójnikami logicznymi, nigdy z operatorami logicznymi.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1), gdy którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1, stan drugiej zmiennej jest nieistotny.

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
czyli:
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne zostaną ustawione na 1 czyli:
~K=1 – nie pójdę do kina
„i”(*)
~T=1 – nie pójdę do teatru

Ogólnie:
Logika dodatnia (bo Y):
Y=1
Prawdą jest (=1) że dotrzymałem słowa (bo Y) bo byłem w kinie (przykład wyżej)
Logika ujemna (bo ~Y):
~Y=1
Prawdą jest (=1) że skłamałem (bo ~Y) bo nie byłem w kinie (~K-1) i nie byłem w teatrze (~T=1).


2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia

Wszelkie prawa logiczne w algebrze Kubusia są zgodne z rachunkiem zero-jedynkowym w algebrze Boole’a. Fundamentalna różnica polega na tym, że algebra Kubusia poprawnie te zera i jedynki interpretuje oraz rozpoznaje logikę dodatnią i ujemną sprowadzając całą logikę matematyczną do poziomu 5-cio latka, naturalnego jej eksperta.


2.1 Równoważność czy implikacja

Definicja warunku wystarczającego to jedna z najważniejszych definicji w matematyce bowiem precyzyjnie, wszelkie twierdzenia matematyczne wyrażone w formie zdania warunkowego:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, absolutnie nic więcej.

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający to twierdzenie matematyczne może dodatkowo spełniać albo definicję równoważności (twierdzenie jest równoważnością), albo też definicję implikacji prostej (twierdzenie jest implikacją), ale to trzeba dopiero matematycznie udowodnić, sam warunek wystarczający nic o tym nie mówi.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

Gdzie:
=> - symbol warunku wystarczającego, spójnik „na pewno” między p i q
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
z czego wynika że druga linia musi być fałszem
z czego wynika że p musi być wystarczające dla q

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
Kod:

~p=>~q=1
~p=>q=0

Gdzie:
=> - symbol warunku wystarczającego, spójnik „na pewno” między p i q
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
z czego wynika ze druga linia musi być twardym fałszem
z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla q

Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej i ujemnej.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Definicja implikacji:
Implikacja to wyłącznie zachodzenie jednego z powyższych warunków.

Przykład 1
Równoważność
A.
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):

Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to może ~~> nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 – fałsz wynikły z powyższego
1 0 =0
Wniosek:
Warunek wystarczający => w stronę TR=>KR zachodzi
CND
C.
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)

Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR=0 – fałsz wynikły z powyższego
0 1 =0
Wniosek:
Warunek wystarczający w logice ujemnej zachodzi.
CND
Tabelę zero-jedynkową równoważności uzyskano dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0

Stąd !
Dowodzone twierdzenie jest równoważnością bo spełnia zero-jedynkową definicję równoważności.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = 1*1 =1

Weźmy teraz typową implikację.

Przykład 2
Implikacja prosta
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0 – twardy fałsz wynikły z powyższego
1 0 =0
Wniosek:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo 4L) zachodzi

Sprawdzamy czy zachodzi warunek wystarczający w logice ujemnej:
~P=>~4L
B.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L=0 bo kontrprzykład: słoń
Zdanie A spełnia wyłącznie definicje warunku wystarczającego w logice dodatniej, zatem zdanie A jest implikacją prostą.
W tym momencie możemy już pisać z automatu.
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
stad:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
0 1 =1
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Zdanie D nie może być warunkiem koniecznym bo prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L=0
Prawa strona jest fałszem zatem z lewej strony wykluczony jest warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q – I prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q = II prawo Kubusia
Przykład:
A.
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):

Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
… a jeśli nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawa strona tożsamości jest twardą prawdą, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny
Interpretacja potoczna:
Zabieramy poprzednik i musi zniknąć następnik
Zabieramy chmury i musi zniknąć możliwość padania

B.
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q):

Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies
… a jeśli nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L=~P~>~4L
Jeśli zwierze nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L
Prawa strona tożsamości jest prawdą, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny.
Interpretacja potoczna:
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik
Wymuszamy psa i muszą pojawić się cztery łapy

Czemu służy tak długi wstęp ?

Twierdzenie Kłapouchego:
Dowolne zdanie twierdzące wyrażające pewność można zapisać w formie warunku wystarczającego
p=>q

Przykłady:
A.
Trójkąt równoboczny ma kąty równe
Zdanie matematycznie równoważne:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
B.
Pies ma cztery łapy
Zdanie matematycznie równoważne:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
C.
Pies nie ćwierka
Zdanie matematycznie równoważne:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ćwierka
P=>~C=1

Matematycznie zdanie z udowodnionym warunkiem wystarczającym może już być tylko i wyłącznie implikacją albo równoważnością, co należy udowodnić w sposób wyżej opisany.

Do ilustracji działania spójników „i”(*) oraz „lub”(+) wybieramy zdanie będące równoważnością.
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
matematycznie oznacza to:
Jeśli jutro pójdę do kina (K=1) to dotrzymam słowa (Y=1)
K=>Y
Badamy czy zachodzą warunki wystarczające w logice dodatniej i ujemnej.

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo Y):
A.
Jeśli jutro pójdę do kina (K=1) to dotrzymam słowa (Y=1)
K=>Y=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
B.
Jeśli jutro pójdę do kina (K=1) to nie dotrzymam słowa (~Y=1)
K=>~Y=0 – fałsz wynikły z powyższego
0 1 =0
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo Y) spełniony.

… a jeśli jutro nie pójdę do kina ?
Badamy czy spełniony jest warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~Y):
C.
Jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) to nie dotrzymam słowa (~Y=1)
~K=>~Y=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
D.
Jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) to dotrzymam słowa (Y=1)
K=>~Y=0 – fałsz wynikły z powyższego
1 0 =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~Y) spełniony.

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
K=1, ~K=0
Y=1, ~Y=0

Wniosek:
Badane zdanie jest równoważnością
A.
Dotrzymam (Y=1) słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1
Prawo algebry Boole’a dla równoważności:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd w równoważności mamy prostą odpowiedź na pytanie.
… a kiedy skłamię ?
Negujemy równanie A stronami:
~Y=~K
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Interpretacja:
~K=1 – prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że skłamałem (~Y)
Zauważmy, że jedynki w logice ujemnej (bo ~Y) nie możemy interpretować jako fałsz bowiem wówczas mielibyśmy:
~Y=1 – fałszem jest (=1), że skłamałem (~Y)
… czyli powiedziałem prawdę, co ma znaczenie totalnie odwrotne niż w rzeczywistości występuje.

Zauważmy, że negując argumenty dalej jesteśmy w operatorze równoważności. Z tego powodu równoważność A świetnie nadaje się do ilustracji diagramów spójników „lub” oraz „i”.

Nie nadaje się do tego celu zdanie będące implikacją, bowiem w tym przypadku negacja argumentów wymusza zmianę spójnika zgodnie z prawem Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W implikacji obowiązują fundamentalnie inne diagramy, niż w równoważności.

Definicja:
Diagram w logice to ilustracja w zbiorach definicji logicznych


2.2 Podstawowe operacje na zbiorach

Definicje podstawowe
1.
Zbiory tożsame = identyczne
A.
TR = zbiór trójkątów równobocznych
KR = zbiór trójkątów o równych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
Zbiór TR = Zbiór KR
B.
~TR = zbiór trójkątów nierównobocznych
~KR = zbiór trójkątów o różnych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
~TR = ~KR
zbiór trójkątów nierównobocznych = zbiór trójkątów o nie równych kątach
C.
Zauważmy że zachodzi:
TR # ~TR
Zbiór trójkątów równobocznych # zbiór trójkątów nierównobocznych
gdzie:
# - różne

2.
Iloczyn logiczny zbiorów = wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń (operacja AND)
Y=A*B
p=[1,2,5], q=[1,2,3,4]
Y=p*q=[1,2]

3.
Suma logiczna zbiorów = wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń (operacja OR)
Y=p+q
p=[1,2,5], q=[1,2,3,4]
Y=p+q = [1,2,3,4,5]

4.
Różnica zbiorów A-B = elementy zbioru A pomniejszone o cześć wspólna zbiorów A i B
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = 5
ale !
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = 0 – zbiór pusty !

5.
Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji AND, albo różnica zbiorów pusta jak wyżej
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=0 – brak części wspólnej, zbiór pusty !

Definicja dziedziny:
Dziedzina to kompletny zbiór (stan) na którym operuje zdanie wypowiedziane gdzie zachodzi:
p+~p=1 – dla dowolnego zbioru p musi istnieć jego dopełnienie ~p
p*~p=0 – zbiory p i ~p muszą być rozłączne czyli żaden element zbioru p nie może należeć do zbioru ~p

Zbiór aktualny (bieżący):
Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym operuje zdanie wypowiedziane.

Przykład 1.
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina
Y=1 <=> K=1 – logika dodatnia bo Y

To zdanie operuje na zbiorze (stanie) aktualnym K
Interpretacja zdania A w zbiorach (stanach):

Y=p

… a kiedy skłamię ?
Negacja równania A stronami:
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1 – logika ujemna bo ~Y
~K=1 – prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że skłamałem (~Y)

To zdanie operuje na zbiorze (stanie) aktualnym ~K
Interpretacja zdania B w zbiorach (stanach):

~Y=~p

Oczywiście, zdanie A to fundamentalnie co innego niż zdanie B.
A = dotrzymam słowa # B = skłamię

Zdania A i B spełniają definicję dziedziny bo:
K+~K=1 – dziedzina, jeden z tych dwóch stanów musi zajść
K*~K=0 – nie można jednocześnie być w kinie i nie być w kinie

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając B mamy zdanie równoważne do A:
Y=~(~K)
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina
Y=~(~K)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
A=C

Przykład 2
P – zbiór wszystkich psów
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
Dopełnienie ~P:
~P = wszystkie inne zwierzęta za wyjątkiem psów

Oczywiście matematycznie zachodzi:
ZWZ=P+~P
oraz:
P+~P=1
P*~P=0

Przykład 3
P2 – zbiór liczb podzielnych przez 2
Dziedzina:
LN = zbiór liczb naturalnych
Dopełnienie ~P2:
~P2 – zbiór liczb naturalnych niepodzielnych przez 2

Oczywiście matematycznie zachodzi:
LN=P2+~P2
P2+~P2=1
P2*~P2=0


2.3 Operator transmisji w zbiorach

Operator transmisji to operator jednoargumentowy.

Definicja zero-jedynkowa operatora transmisji:
Kod:

p Y=p
1 =1
0 =0

Operator transmisji transmituje sygnał z wejścia p na wyjście Y=p w niezmienionej postaci

Operator transmisji w zbiorach (stanach):

Y=p

~Y=~p
Operator transmisji to złożenie przypadków:
Y – dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
~Y – skłamię (wystąpi fałsz), logika ujemna bo ~Y

Na podstawie powyższego diagramu zapisujemy:
Kod:

p Y=p ~p ~Y=~p ~(~p) Y=~(~p)
1 =1   0  =0     1    =1
0 =0   1  =1     0    =0

Tożsamość kolumn drugiej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko.
Interpretacja powyższej tabeli w technice cyfrowej:
Kod:

  p Y=p    N1 ~p ~Y=~p  N2  ~(~p) Y=~(~p)
>----------O------------O---------------->

Na wejściu negatora N1 mamy sygnały:
A: p Y=p
Po minięciu negatora N1 wszystkie sygnały są totalnie zanegowane:
B: ~p ~Y=~p
zaś po minięciu negatora N2 sygnały będą identyczne jak w przypadku A co łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.

Twierdzenie Prosiaczka:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej punktem odniesienia jest linia z samymi jedynkami, będąca po prostu zdaniem z nagłówka tabeli.

Mamy wyżej złożenie dwóch tabel zero-jedynkowych dwukolumnowych: Y=p i ~Y=~p.

Symboliczna definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=p ~p ~Y=~p
p Y=p
1 =1   0  =0
      ~p ~Y=~p
0 =0   1  =1


Gdzie:
Y – operator transmisji w logice dodatniej (bo Y)
~Y – operator transmisji w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=1 – dotrzymam słowa (wystąpi prawda), logika dodatnia bo Y
~Y=1 – skłamię (wystąpi fałsz), logika ujemna bo ~Y
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1)
Y=p
Y=1 <=> p=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami:
~Y=~p
Odpowiedź na to pytanie mamy w dwóch ostatnich kolumnach powyższej tabeli
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1)
~Y=~p
~Y=1 <=> ~p=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) jeśli zajdzie ~p=1.
Oczywiście zdanie B to fundamentalnie co innego niż zdanie A.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając B mamy:
Y=~(~p)
czyli zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
znaczy dokładnie to samo co zdanie:
Nieprawdą jest ~(…), że jutro nie pójdę do kina
Y=~(~K)

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
K=1 – byłem w kinie (K=1), dotrzymałem słowa
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje stronami:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Prawda jest (=1), że skłamię (~Y) gdy jutro nie pójdę do kina ~K=1.


2.4 Operator negacji w zbiorach

Definicja operatora negacji:
Kod:

p ~p Y=~p
0  1  =1
1  0  =0

Operator negacji neguje sygnał wejściowy p.
Jeśli p=1 to Y=~p=0
Jeśli p=0 to Y=~p=1

Operator negacji w zbiorach (stanach):

Y=~p

~Y=p
gdzie:
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y – skłamię (wystąpi fałsz)

Na podstawie powyższego diagramu zapisujemy:
Kod:

p  ~Y=p ~p Y=~p ~(~p) ~Y=~(~p)
0   =0   1  =1    0    =0
1   =1   0  =0    1    =1

Przy okazji udowodniliśmy formalnie prawo podwójnego przeczenia.
Tożsamość kolumny drugiej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko.
Interpretacja powyższej tabeli w technice cyfrowej:
Kod:

  p ~Y=p   N1 ~p Y=~p   N2  ~(~p) ~Y=~(~p)
>----------O------------O---------------->

Punktem odniesienia jest tu wyjście negatora N1:
A: ~p Y=~p
Cofając się do tyłu na wejściu negatora N1 mamy sygnały totalnie zanegowane:
B: p ~Y=p
Idąc do przodu, na wyjściu negatora N2 również mamy sygnały totalnie zanegowane:
C: ~(~p) ~Y=~(~p)
Na wyjściu negatora N2 sygnały będą identyczne jak w przypadku A (A=C) co łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.

Twierdzenie Prosiaczka:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej punktem odniesienia jest linia z samymi jedynkami, będąca po prostu zdaniem z nagłówka tabeli.

Mamy wyżej złożenie dwóch tabel zero-jedynkowych dwukolumnowych: ~Y=p i Y=~p.

Symboliczna definicja operatora negacji:
Kod:

p  ~Y=p ~p Y=~p
        ~p Y=~p
0   =0   1  =1
p  ~Y=p
1   =1   0  =0

Gdzie:
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda), logika dodatnia bo Y
~Y – skłamię (wystąpi fałsz), logika ujemna bo ~Y
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p (~p=1)
Y=~p
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację stronami:
~Y=p
Odpowiedź na to pytanie mamy w dwóch pierwszych kolumnach powyższej tabeli
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1)
~Y=p
~Y=1 <=> p=1
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) gdy zajdzie p=1
Oczywiście zdanie B to fundamentalnie co innego niż zdanie A.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając B mamy:
Y=~(p)
czyli zdanie:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
znaczy dokładnie to samo co zdanie:
Nieprawdą jest ~(…), że jutro pójdę do kina
Y=~(K)

Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=1 <=> ~K=1
~K=1 – prawdą jest (=1) nie byłem w kinie (~K=1), dotrzymałem słowa
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje stronami:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1), że skłamałem (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy byłem w kinie (K=1).


2.5 Operator transmisji w technice cyfrowej

Symboliczna definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=p ~p ~Y=~p
p Y=p
1 =1   0  =0
      ~p ~Y=~p
0 =0   1  =1

Twierdzenie Prosiaczka:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej punktem odniesienia jest linia z samymi jedynkami, będąca po prostu zdaniem z nagłówka tabeli.

Mamy wyżej złożenie dwóch tabel zero-jedynkowych dwukolumnowych: Y=p i ~Y=~p.

Odpowiedź na pytanie „kiedy dotrzymam słowa (Y)” znajdujemy w tabeli Y=p:
Y=p
Y=1 <=> p=1
Natomiast odpowiedź na pytanie „kiedy skłamię (~Y)” mamy w tabeli ~Y=~p:
~Y=~p
~Y=1 <=> ~p=1

Jak działa mózg człowieka ?

Mało kto wie, iż w mózgu człowieka pracują najprawdziwsze krasnoludki: Transmiterek, Negatorek, Orandek, Andorek, Księżniczka implikacji prostej, Księżniczka implikacji odwrotnej, oraz Książę równoważności.

Zobaczmy jak pracuje Transmiterek !

Układ zastępczy operatora transmisji:
Kod:

O – symbol negatora (~)
  ---------
  | p Y=p |
  | 1  =1 | CZŁOWIEK
  | 0  =0 |
  ---------
    V
    |
    x-----------x
    |           |
    |           O
 -------     -------
 |     |     |     |
 | TR  |     | TRn |
 -------     -------
    |           O
    |           |
    x-----------x
    |
    V
  ---------
  | p Y=p |
  | 1  =1 | CZŁOWIEK
  | 0  =0 |
  ---------

Układ transmitera TR realizuje proste przesłanie sygnałów z wejścia na wyjście.
Układ zastępczy transmitera TRn to transmiter TR z zanegowanym wejściem i zanegowanym wyjściem.

W świecie zewnętrznym układ zastępczy TRn jest niemożliwy do rozpoznania bo:
p=~(~p) – prawo podwójnego przeczenia
Jeśli mamy czarną skrzynkę z kabelkiem wejściowymi p oraz kabelkiem wyjściowym Y, to niemożliwe jest stwierdzenie który układ TR albo TRn jest realizowany w rzeczywistości.

Zajrzyjmy do środka naszego mózgu !
Kod:

Rysunek A.
      p
      |
      |
      x--------------------------x
      |                          |
 --------------             ---------------
|     p  Y=p   |           |     p   Y=p   |
|     1   =1   |           |     0    =0   | CZŁOWIEK
 --------------             ---------------
      |                          |
      |                          O NEGATOR
      p                         ~p
      |                          |
------------------        ------------------
|                 |       |                 |
|     p  Y=p      |       |     ~p ~Y=~p    |
|     1   =1      |       |      1   =1     |
|                     O                     | KRASNOLUDEK
|                    /|\                    | TRANSMITEREK
|                     A                     |
|            Y=p           ~Y=~p            |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| PRAWDY          |       | FAŁSZU          |
|       TR        |       |       TRn       |
-------------------       ------------------
         |Y=p                      |~Y=~p
         |                         O
         |                         | Y=~(~p)
         x-------------------------x
         |Y
         V
       Y= p =~(~p)
 --------------             ---------------
|     p  Y=p   |           |     p  Y=p    |KOMNATA
|     1   =1   |           |     1   =1    |PRAWDY
|              |           |               |
|              |           |    ~p ~Y=~p   |KOMNATA
|     0   =0   |           |     1   =1    |FAŁSZU
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KRASNOLUDEK
                              TRANSMITERK

GRÓD KRASNOLUDKA TRANSMITEKA
Punkt odniesienia:
Y=p

Zapewne wielu czytelników, na widok powyższego schematu ideowego przeżyje szok.
W naszym mózgu pracują najprawdziwsze krasnoludki ?
Tak !
Dlaczego krasnoludek ?
Mózg człowieka zbudowany jest z około 100mld neuronów połączonych …
Dla zrozumienia matematycznego fundamentu działania mózgu nie jest nam potrzebna szczegółowa analiza jego budowy.

Jak widzimy na schemacie, z naszego abstrakcyjnego mózgu wystaje kabelek wejściowy p oraz kabelek wyjściowy Y. Z zewnętrznego punktu odniesienia nie sposób rozszyfrować jak nasz mózg obsługuje operator transmitera. W świecie zewnętrznym jedyne co możemy stwierdzić to tabela prawdy operatora transmisji, nic więcej.

Definicja transmitera:
Kod:

p Y=p
1  =1
0  =0


Jak pracuje krasnoludek Transmiterek ?

Wewnątrz naszego mózgu znajdują się luksusowo urządzone dwie komnaty, prawdy i fałszu, pomiędzy którymi Transmiterek przenosi się z szybkością światła znajdując odpowiedzi na kluczowe pytania:
Kiedy dotrzymam słowa ?
Kiedy skłamię ?
Transmiterek rozpoznaje komnatę prawdy po braku przeczenia przy funkcji Y, natomiast w komnacie fałszu funkcja jest zaprzeczona ~Y (kółko na wyjściu transmitera).

W świecie zewnętrznym, na wejście p podajemy tabelę zero-jedynkową operatora transmisji. Zauważmy, że w komnacie fałszu, po negatorze, mamy zanegowaną zarówno nazwę sygnału wejściowego jak też zanegowane wejściowe zero (=1). W laboratorium techniki cyfrowej łatwo sprawdzić, że tak właśnie jest.

Zadajemy krasnoludkowi pytanie.
Kiedy dotrzymam słowa ?

Transmiterek biegnie do komnaty prawdy i ma gotową odpowiedź:
Y=p
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1
Y=1 <=> p=1

… a kiedy skłamię ?
Transmiterek biegnie do komnaty fałszu gdzie czeka na niego odpowiedź:
~Y=~p
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1
~Y=1 <=> ~p=1


2.6 Operator negacji w technice cyfrowej

Symboliczna definicja operatora negacji:
Kod:

p  ~Y=p ~p Y=~p
        ~p Y=~p
0   =0   1  =1
p  ~Y=p
1   =1   0  =0

Twierdzenie Prosiaczka:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej punktem odniesienia jest linia z samymi jedynkami, będąca po prostu zdaniem z nagłówka tabeli.

Mamy wyżej złożenie dwóch tabel zero-jedynkowych dwukolumnowych: Y=~p i ~Y=p.

Odpowiedź na pytanie „kiedy dotrzymam słowa (Y)” znajdujemy w tabeli Y=~p:
Y=~p
Y=1 <=> ~p=1
Natomiast odpowiedź na pytanie „kiedy skłamię (~Y)” mamy w tabeli ~Y=p:
~Y=p
~Y=1 <=> p=1

Układ zastępczy operatora negacji:
Kod:

O – symbol negatora (~)
  ---------
  |~p ~Y=p|
  | 1  =0 | CZŁOWIEK
  | 0  =1 |
  ---------
    V
    |
    x-----------x-----------x
    |           O           |
    O           O           |
 -------     -------     -------
 |     |     |     |     |     |
 | TR  |  =  | TRx |  =  | TRn |
 -------     -------     -------
    |           O           O
    |           |           |
    x-----------x-----------x
    |
    V
  ---------
  | p Y=~p|
  | 0  =1 | CZŁOWIEK
  | 1  =0 |
  ---------

Jak widzimy na schemacie układ negatora to transmiter TR z zanegowanym wejściem (kółko).
Układ zastępczy negatora otrzymujemy wprowadzając dwie dodatkowe negacje, na wejściu i na wyjściu.
Z punktu widzenia świata zewnętrznego taki układ nie ulegnie zmianie bo:
p=~(~p) – prawo podwójnego przeczenia
Zauważmy, że na wejściu transmitera TRx pojawiły nam się dwie negacje które się znoszą na mocy prawa podwójnego przeczenia:
~p(~p) = p
stąd poprawny układ zastępczy TRn
W świecie zewnętrznym jedyne co możemy stwierdzić to tabela prawdy operatora negacji, nic więcej.

Punktem odniesienia dla powyższego schematu jest wyjście negatora o definicji:
Kod:

p Y=~p
0  =1
1  =0


Na wejściu negatora powyższa tabela będzie totalnie zanegowana, bowiem po drodze do wejścia mamy pojedynczy negator, stąd tabela wejściowa:
Kod:

~p ~Y=p
 1  =0
 0  =1


Zajrzyjmy do środka naszego mózgu !
Kod:

     ~p
      |
-----------
| ~p ~Y=p |
|  1  =0  | CZŁOWIEK
|  0  =1  |
-----------
      |
      x--------------------------x
      |                          |
 --------------             ---------------
|    ~p  ~Y=p  |           |    ~p   ~Y=p  |
|     1   =0   |           |     0    =1   | CZŁOWIEK
 --------------             ---------------
      |                          |
      O NEGATOR                  |
      p                          |
      |                          |
------------------        ------------------
|                 |       |                 |
|     p  Y=~p ~p  |       |    ~p  ~Y=p  p  |
|     0   =1   1  |       |     0    =1  1  |
|                     O                     | KRASNOLUDEK
|                    /|\                    | NEGATOREK
|                     A                     |
|            Y=~p           ~Y=p            |
| KOMNATA         |       | KOMNATA         |
| PRAWDY          |       | FAŁSZU          |
|       TR        |       |       TRn       |
-------------------       ------------------
         |Y=~p                     |~p ~Y=p
         |                         | 0  =1
         |                         O
         |p Y=~p                   | p Y=~p
         |0  =1                    | 1  =0
         x-------------------------x
         |Y
         V
        Y=~p
----------
| p Y=~p |
| 0  =1  | CZŁOWIEK
| 1  =0  |
----------
 --------------             ---------------
|     p   Y=~p |           |    ~p  Y=~p   |KOMNATA
|     0   =1   |           |     1   =1    |PRAWDY
|              |           |               |
|              |           |     p  ~Y=p   |KOMNATA
|     1   =0   |           |     1   =1    |FAŁSZU
 --------------             ---------------
    CZŁOWIEK                  KRASNOLUDEK
                              NEGATOREK

GRÓD KRASNOLUDKA NEGATORKA
Punkt odniesienia:
Y=~p

Jak pracuje krasnoludek Negatorek ?

Kiedy dotrzymam słowa ?
Krasnoludek biegnie do komnaty prawdy (Y) i odpowiada:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1
Y=1 <=> ~p=1

Kiedy skłamię ?
Gotową odpowiedź na to pytanie mamy w komnacie fałszu (~Y):
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1
~Y=1 <=> p=1


3.0 Operatory AND i OR w zbiorach

Cała filozofia operatorów OR i AND to zaledwie dwa spójniki logiczne z naturalnego języka mówionego „i”(*) oraz „lub”(+) plus prawo przejścia do logiki przeciwnej !

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 1 albo 0

Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, A, B … 4L, PIES, …

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+).
Y=p*q + p*~q + ~p*q - funkcja logiczna wielu zmiennych
Y=~p - funkcja logiczna jednej zmiennej

Zwyczajowo funkcję logiczną oznaczamy literą Y, ale nie ma tu żadnego dogmatu.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą Wuja Zbója:
Dana jest funkcja logiczna Y:
Y = A+B(~C+D)
Kolejność wykonywania działań w logice dodatniej (bo Y):
nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)

Krok 1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
A.
Y=A+[B*(~C+D)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub [B=1 i (~C=1 lub D=1)

Krok 2.
Przejście do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
B.
~Y = ~A * [~B+(C*~D)]
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i [~B=1 lub (C=1 i ~D=1)]
Kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (bo ~Y):
nawiasy, spójnik „lub”(+), spójnik „i”(*)
Doskonale widać powód dla którego musieliśmy wykonać krok 1, w logice ujemnej zmienia się kolejność wykonywania działań. Pamiętając o tym fakcie możemy sobie darować krok1, bowiem o kolejności wykonywania działań informuje precyzyjnie funkcja logiczna:
Y – logika dodatnia (bo Y), kolejność wykonywania działań: nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
~Y – logika ujemna (bo ~Y), kolejność wykonywania działań: nawiasy, „lub”(+), „i”(*)
Uwaga:
Przy długich funkcjach lepiej jest uzupełnić nawiasy, inaczej łatwo o pomyłkę.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y=A+[B*(~C+D)] = ~{~A * [~B+(C*~D)}

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej gdy brak przeczenia (Y), w logice ujemnej gdy jest przeczenie (~Y).


3.1 Definicja spójnika „i”(*)

Definicja spójnika „i” (*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=1
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „i” w teorii zbiorów:

Spójnik “I” w logice dodatniej bo Y
Y=p*q

Stąd definicja symboliczna spójnika „i”:
Kod:

Definicja symboliczna spójnika „i”
Y=p*q
Y= dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
p*q=Y

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”
Kod:

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”
Y=p*q
Y= dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
p q Y=p*q
1 1  =1    /p*q=Y

Definicje zero-jedynkową spójnika „i” otrzymujemy kodując definicję symboliczną w odniesieniu do zdania wypowiedzianego:
Y=p*q
stąd:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (K=1)
Y=1 <=> K=1 i T=1
Definicja zero-jedynkowa:
Kod:

K T Y=K*T
1 1 =1   /Y=K*T

Koniec, o niczym innym to zdanie nie mówi.

Zbiorem aktualnym na którym operuje to zdanie jest zbiór (stan) K i T.


3.2 Definicja spójnika „lub(+)

Definicja spójnika „lub” (+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) lub zajdzie q (q=1)
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Definicja spójnika „lub” w teorii zbiorów:

Na podstawie powyższego rysunku mamy dwie równoważne definicje spójnika “lub”(+) w logice dodatniej (bo Y).
A.
Y=p+q
B
Y= p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście:
Y=Y
stąd definicja równoważna spójnika „lub”
C.
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Doskonale widać poprawność powyższej tożsamości w zbiorach.
Oczywiście wszystkie te zbiory realnie istnieją czyli ich wartość logiczna wynosi 1=prawda.

Stąd matematycznie powyższe równanie możemy rozpisać jako:
D.
Y=1 <=> (p=1 lub q=1) = (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Definicję zero-jedynkową spójnika „lub” otrzymujemy kodując zdanie B w odniesieniu do zdania wypowiedzianego A.

Na mocy definicji spójnika „lub” możemy symbolicznie zapisać:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
p*q – dotrzymam słowa jeśli zajdzie p=1 i q=1
lub
p*~q – dotrzymam słowa jeśli zajdzie p=1 i ~q=1
lub
~p*q – dotrzymam słowa jeśli zajdzie ~p=1 i q=1

Stąd definicja symboliczna spójnika „lub”:
Kod:

Definicja symboliczna spójnika „lub”
Y – dotrzymam słowa
Y=p+q =p*q + p*~q + ~p*q
 p* q =Y
 p*~q =Y
~p* q =Y

Tabelę zero-jedynkową spójnika „lub”(+) otrzymamy kodując całość w odniesieniu do zdania wypowiedzianego:
Y=p+q
stąd:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”
Y – dotrzymam słowa
Y=p+q =p*q + p*~q + ~p*q
p q Y=p+q
1 1 =1    / p* q =Y
1 0 =1    / p*~q =Y
0 1 =1    /~p* q =Y

Oczywiście w przyszłości tylko i wyłącznie jeden z powyższych przypadków ma szansę stać się prawdą, pozostałe będą fałszywe, co wynika z przedstawionej wyżej teorii zbiorów.

Przykładowo, jeśli założymy że zaszło p*q czyli:
p=1 i q=1
czyli:
p=0, ~q=0
to tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku (w świecie zdeterminowanym) będzie taka:
Kod:

Y – dotrzymam słowa
Y=p+q =p*q + p*~q + ~p*q
p q Y=p+q
1 1 =1  /Y=p*q – wynik 1 bo p=1 i q=1
1 0 =0  /Y=p*~q – wynik 0 bo p=1 i ~q=0
0 1 =0  /Y=~p*q – wynik 0 bo ~p=0 i q=1


Definicja świata zdeterminowanego:
Świat zdeterminowany to świat w którym wartości logiczne zmiennych są znane.

stąd:
Definicja miękkiej i twardej prawdy w logice:
Miękka prawda, może zajść ale nie musi - przykładem jest tu spójnik „lub”
Twarda prawda, tylko jedno zdanie może być prawdziwe - przykładem jest tu spójnik „i”

W przypadku spójnika „lub” tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n – dwa do potęgi n
n – ilość zmiennych
Dla dwóch zmiennych mamy:
2^n-1 = 3
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Na mocy definicji spójnika „lub” możemy symbolicznie zapisać:
Y=K+T = K*T + K*~T + ~K*T
Co matematycznie oznacza:
K*T – dotrzymam słowa jeśli pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
K*~T – dotrzymam słowa jeśli pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
~K*T – dotrzymam słowa jeśli nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)

Koniec, tylko tyle mówi zdanie wypowiedziane A !

Zdanie wypowiedziane A w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Y – dotrzymam słowa
Y=K+T =K*T + K*~T + ~K*T
K T Y=K+T
1 1 =1  /Y=K*T
1 0 =1  /Y=K*~T
0 1 =1  /Y=~K*T

Doskonale widać tabele zero-jedynkową spójnika „lub” dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym Y=K+T:
Y=1, ~Y=0
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Zbiorem aktualnym na którym operuje to zdanie jest zbiór K+T.

Ciekawostka:
Czy wiesz drogi czytelniku dlaczego Pani Przedszkolanka koryguje trzylatków którzy mówią:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>(4L+S)
żądając jedynie słusznej formy:
B.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S

Oczywiście nie wynika to z chciejstwa Pani Przedszkolanki, lecz z matematyki ścisłej, algebry Kubusia, pod którą wszyscy podlegamy.

Zdanie A jest matematycznie równoważne zdaniu:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy lub szczeka
P=>(4L+S)

Rozpiszmy następnik zgodnie z definicją szczegółową spójnika ‘lub”:
C.
4L+S = 4L*S=1 + 4L*~S=0 + S*~4L=0

… i wszystko jasne, dwa ostatnie człony są fałszywe, zatem możemy je wywalić w kosmos.

Stąd po minimalizacji funkcji C otrzymujemy zdanie:
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S

Zdanie równoważne w języku potocznym:
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S

Stąd znana każdemu poloniście reguła lingwistyczna:
Jeśli definiujemy cokolwiek to powinniśmy używać spójnika „i”.

Zastosowaniem algebry Kubusia w lingwistyce zajmiemy się w odrębnym podręczniku.


3.2 Operator logiczny OR w zbiorach

Operator OR(+) to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y):

Na podstawie powyższego rysunku mamy dwie równoważne definicje spójnika “lub” w logice dodatniej (bo Y).
A.
Y=p+q
B.
Y= p*q + p*~q + ~p*q
gdzie:
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda), logika dodatnia bo Y
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 lub zajdzie q=1
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

To samo w szczegółowym rozwinięciu:
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
p*q – zajdzie p=1 i q=1
LUB
p*~q – zajdzie p=1 i ~q=1
LUB
~p*q – zajdzie ~p=1 i q=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej (bo ~Y)

Na podstawie powyższego rysunku zapisujemy:
B.
~Y=~p*~q
gdzie:
~Y – skłamię (wystąpi fałsz), logika ujemna bo ~Y
co matematycznie oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 i zajdzie ~q=1
~Y = ~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~p=1
Zbiory ~p i ~q to precyzyjnie zdefiniowane, istniejące zbiory, dlatego ich wartość logiczna wynosi 1=prawda (istnieje taki zbiór).
Obszar ~Y to fundamentalnie co innego niż obszar Y.

Stąd:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
W dowolnym równaniu algebry Kubusia ze spójnikami „i” oraz „lub” przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.

Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i” w logice ujemnej (bo ~Y)

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
A: Y=p+q
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
 p* q = Y
 p*~q = Y
~p* q = Y
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki przeciwnej
B: ~Y=~p*~q
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~p*~q =~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy.
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)

Zero-jedynkowo operator OR można zakodować z trzech różnych punktów odniesienia.

1.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym A.

Y=p+q
Kod:

Tabela 1
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
A: Y=p+q
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
 p* q = Y   /1 1 =1
 p*~q = Y   /1 0 =1
~p* q = Y   /0 1 =1
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki przeciwnej
B: ~Y=~p*~q
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~p*~q =~Y   /0 0 =0

W tym przypadku całą tabelę symboliczną kodujemy zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym A czyli:
Y=p+q
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Doskonale tu widać aksjomatyczną, zero-jedynkową definicje operatora OR zgodnie z użytym spójnikiem „lub”(+) w zdaniu Y=p+q.

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

p q Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
1 1 =1  /Y=p*q
1 0 =1  /Y=p*~q
0 1 =1  /Y=~p*q
~Y=~p*~q
0 0 =0  /~Y=~p*~q

Jak widzimy symbol „+” w nagłówku tabeli operatora OR to tylko i wyłącznie spójnik logiczny „lub”(+) opisujący wyłącznie trzy pierwsze linie tabeli zero-jedynkowej.
Ostatnia linia to zupełnie inny operator logiczny AND w logice ujemnej o czym niżej.

2.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym B.

~Y=~p*~q
Kod:

Tabela 2
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
A: Y=p+q
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
 p* q = Y   /0 0 =0
 p*~q = Y   /0 1 =0
~p* q = Y   /1 0 =0
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki przeciwnej
B: ~Y=~p*~q
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~p*~q =~Y   /1 1 =1

W tym przypadku całą tabelę symboliczną kodujemy zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym B czyli:
~Y=~p*~q
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Doskonale tu widać aksjomatyczną, zero-jedynkową definicję operatora AND zgodnie z użytym spójnikiem „i”(*) w zdaniu ~Y=~p*~q.
W tym przypadku nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej jest zdanie:
~Y=~p*~q
gdzie symbol „*” dotyczy wyłącznie ostatniej linii tabeli i jest spójnikiem „i”(*), nigdy operatorem AND.

Oczywiście na mocy definicji:
Spójnik ## operator logiczny

Spójnik to zawsze tylko i wyłącznie fragment operatora logicznego.

Wniosek:
We wszelkich zdaniach wypowiedzianych zawsze mamy do czynienia ze spójnikami logicznymi, nigdy z operatorami logicznymi.

Twierdzenie Prosiaczka:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej punktem odniesienia jest linia z samymi jedynkami, będąca po prostu zdaniem z nagłówka tabeli.

W tabeli 1 zdaniem z nagłówka tabeli jest zdanie:
p+q = Y
1 1 =1
Definicja spójnika „lub”:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

W tabeli 2 zdaniem z nagłówka tabeli jest zdanie:
~p*~q = ~Y
1 1 =1
Definicja spójnika „i”:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Mamy wyżej dwa niezależne zdania:
A: Y=p+q - tabela 1
B: ~Y=~p*~q - tabela 2
Mózg człowieka obsługuje zdanie A korzystając z definicji spójnika „lub”(+), natomiast w obsłudze zdania B korzysta z definicji spójnika „i”(*).

Oczywiście:
spójnik „lub” ## spójnik „i”
gdzie:
## - różne na mocy definicji

3.
Punkt odniesienia naszego mózgu.


W tym przypadku zdania A i B kodujemy w jednej tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Tabela 3
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
Definicja spójnika „lub”
A: Y=p+q
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
 p* q = Y   /1 1 =1
 p*~q = Y   /1 0 =1
~p* q = Y   /0 1 =1
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki przeciwnej
B: ~Y=~p*~q
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
Definicja spójnika „i”
~p*~q =~Y   /1 1 =1

Zdanie A zakodowano zero-jedynkowo dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu wypowiedzianym:
Y=p+q - spójnik logiczny „lub”(+)
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
W zdaniu B same jedynki oznaczają, że mamy tu do czynienia z innym zdaniem:
~Y=~p*~q - spójnik logiczny „i”(*)

Podsumowanie:
1.
We wszystkich trzech kodowaniach zero-jedynkowych treść wypowiedzianych zdań jest identyczna z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co oznacza, że wszystkie trzy kodowania są matematycznie równoważne.
2.
Świat zero-jedynkowy wygląda różnie w zależności od przyjętego punktu odniesienia
3.
Wyłącznie z punktu odniesienia naszego mózgu świat zero-jedynkowy jest stały i niezmienny, zgodny z zero-jedynkowymi definicjami spójników „lub” i „i”

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
~Y=~K*~T
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=>~K=1 i ~T=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
K+T = ~(~K*~T)
czyli:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=~(~K*~T)
Zdania A i C są matematycznie równoważne:
A = C
Każdy 5-cio latek mając do wyboru zdanie A albo C wybierze A bo jest zdecydowanie prostsze. Z tego powodu w naturalnym języku mówionym prawo de’Morgana jest praktycznie nie używane.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej jest najczęściej domyślne, bowiem wszyscy podlegamy pod banalną algebrę Kubusia i wszyscy doskonale wiemy kiedy skłamiemy, nie musimy tego wypowiadać słownie.


3.3 Operator logiczny AND w zbiorach

Operator AND(*) to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y):

Na podstawie powyższego rysunku zapisujemy:
A.
Y=p*q
gdzie:
Y – dotrzymam słowa (wystąpi prawda), logika dodatnia bo Y
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p=1 i zajdzie q=1
Y = p*q
Y=1 <=> p=1 i p=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje argumentów i wymianę spójników na przeciwne:
~Y=~p+~q

Na podstawie powyższego rysunku mamy dwie równoważne definicje spójnika “lub” w logice ujemnej (bo ~Y).
A.
~Y=~p+~q
B.
~Y= ~p*~q + ~p*q + p*~q
oczywiście:
~Y=~Y
stąd:
~Y= ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
gdzie:
~Y – skłamię (wystąpi fałsz), logika ujemna bo ~Y
Co matematycznie oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 lub zajdzie ~q=1
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zbiory ~p i ~q to precyzyjnie zdefiniowane, istniejące zbiory, dlatego ich wartość logiczna wynosi 1=prawda (istnieje taki zbiór).

To samo w szczegółowym rozwinięciu:
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~p*~q – zajdzie ~p=1 i ~q=1
LUB
~p*q – zajdzie ~p=1 i q=1
LUB
p*~q – zajdzie p=1 i ~q=1

Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
A: Y=p*q
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
 p* q = Y
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej
B: ~Y=~p+~q
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~p*~q =~Y
~p* q =~Y
 p*~q =~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y) – prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy.
Prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)

Zero-jedynkowo operator AND można zakodować z trzech różnych punktów odniesienia.

1.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym A.

Y=p*q
Kod:

Tabela 1
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
A: Y=p*q
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
 p* q = Y   /1 1 =1
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej
B: ~Y=~p+~q
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~p*~q =~Y   /0 0 =0
~p* q =~Y   /0 1 =0
 p*~q =~Y   /1 0 =0

W tym przypadku całą tabelę symboliczną kodujemy zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym A czyli:
Y=p*q
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Doskonale tu widać aksjomatyczną, zero-jedynkową definicje operatora AND zgodnie z użytym spójnikiem „lub”(+) w zdaniu Y=p*q.

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja operatora AND:
Kod:

p q Y=p*q
1 1 =1    / p* q =Y
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
0 0 =0    /~p*~q =~Y
0 1 =0    /~p* q =~Y
1 0 =0    / p*~q =~Y

Jak widzimy symbol „*” w nagłówku tabeli operatora AND to tylko i wyłącznie spójnik logiczny „i”(*) opisany wyłącznie pierwszą linią tabeli zero-jedynkowej.
Trzy ostatnie linie to zupełnie inny operator logiczny OR w logice ujemnej o czym niżej.

2.
Punkt odniesienia ustawiony na zdaniu wypowiedzianym B.

~Y=~p*~q
Kod:

Tabela 2
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
A: Y=p*q
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
 p* q = Y   /0 0 =0
… a kiedy skłamię ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej
B: ~Y=~p+~q
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~p*~q =~Y   /1 1 =1
~p* q =~Y   /1 0 =1
 p*~q =~Y   /0 1 =1

W tym przypadku całą tabelę symboliczną kodujemy zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym B czyli:
~Y=~p+~q
~Y=1, Y=0
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Doskonale tu widać aksjomatyczną, zero-jedynkową definicję operatora OR zgodnie z użytym spójnikiem „lub”(+) w zdaniu ~Y=~p+~q.

Oczywiście na mocy definicji:
Spójnik ## operator logiczny

Spójnik to zawsze tylko i wyłącznie fragment operatora logicznego.

Wniosek:
We wszelkich zdaniach wypowiedzianych zawsze mamy do czynienia ze spójnikami logicznymi, nigdy z operatorami logicznymi.

Twierdzenie Prosiaczka:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej punktem odniesienia jest linia z samymi jedynkami, będąca po prostu zdaniem z nagłówka tabeli.

W tabeli 1 zdan


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 11:09, 01 Lis 2011, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin