Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia w definicjach

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 18399
Przeczytał: 33 tematy

Pomógł: 134 razy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 20:23, 01 Kwi 2018    Temat postu: Algebra Kubusia w definicjach

Algebra Kubusia w definicjach

Autor: Kubuś

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, WLR i inni.


Wstęp:
Algebra Kubusia to wynik 12-letniej dyskusji przede wszystkim na forum śfinia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2018
Szczególne podziękowania dla Wuja Zbója za początkową dyskusję oraz za stworzenie forum śfinia bez banów, dzięki któremu algebra Kubusia w ogóle mogła zaistnieć, bowiem z wszelkich innych forów Rafał3006 był natychmiast banowany z uzasadnieniem „Algebra Kubusia jest sprzeczna z Wikipedią”. Szczególne podziękowania także dla Fiklita za kluczową, 6-cio letnią dyskusję z Rafałem3006. Bez Wuja i Fiklita algebra Kubusia nigdy by się nie narodziła.

Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w definicjach 2
2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia 3
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 5
2.2 Relacje między zbiorami 6
3.0 Algebra Kubusia w definicjach zero-jedynkowych 7
3.1 Definicja spójnika „i”(*) 7
3.2 Definicja spójnika „lub”(+) 8
3.3 Definicja warunku wystarczającego => 8
3.4 Definicja warunku koniecznego ~> 8
3.5 Definicja kwantyfikatora małego ~~> 9
3.6 Definicja równoważności <=> 9
3.7 Definicja spójnika „albo”($) 10
4.0 Podstawowe definicje w algebrze Kubusia 10
4.1 Definicja warunku wystarczającego => 10
4.2 Definicja warunku koniecznego ~> 11
4.3 Definicja kwantyfikatora małego ~~> 11
4.3.1 Definicja kontrprzykładu 11
4.3.2 Prawo Kobry 12
4.4 Definicja równoważności <=> 12
4.5 Definicja spójnika „albo”($) 12
5.0 Podstawowe prawa w algebrze Kubusia 13
5.1 Prawa Prosiaczka 13
5.2 Prawa Kubusia 13
5.3 Prawa Tygryska 14
5.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 14
5.5 Interpretacja dowolnego prawa logicznego 14
5.6 Prawo Przedszkolaka 14
6.0 Operatory implikacyjne 15
6.1 Operator implikacji prostej p|=>q 16
6.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 20
6.3 Operator równoważności <=> 23
6.4 Operator chaosu p|~~>q 27



1.0 Algebra Kubusia w definicjach

Kompletną algebrę Kubusia precyzyjnie opisuje zaledwie 10 znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - negacja
(*) - spójnik „i”(*)
(+) - spójnik „lub”(+)
($) - spójnik „albo”($), ziemski XOR
(=>) - warunek wystarczający =>
(~>) - warunek konieczny ~>
(~~>) - kwantyfikator mały
(<=>) - równoważność

Zauważmy, że znaczki te są w powszechnym użyciu w logice matematycznej ziemian (z wyjątkiem dwóch: ~> i ~~>)
Co więcej:
Poprawne definicje matematyczne absolutnie wszystkich wyżej wymienionych znaczków można znaleźć w Wikipedii, niestety między wierszami, co wielokrotnie udowadniałem.

Znaczenie znaczków 0 i 1:
W algebrze Kubusia znaczki 0 i 1 działają identycznie jak w algorytmie komputerowym czyli:
W bloku funkcjonalnym robimy przekształcenia matematyczne prowadzące do zadania pytania binarnego w bloku decyzyjnym.
W bloku decyzyjnym logika matematyczna daje nam odpowiedź:
1 = TAK, prawda
0 = NIE, fałsz

Przykład:
Weźmy pojęcie:
Człowiek
Pytamy nasz mały rozumek:
Czy istnieje obiekt zwany człowiekiem?
Nasz rozumek musi odpowiedzieć:
TAK (=1) = Prawda (=1)
Stąd mamy wartość logiczną pojęcia człowiek:
Człowiek =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że istnieje obiekt zwany człowiekiem.
Jeśli ktokolwiek nie uzyska odpowiedzi jak wyżej to musi udać się ze swoim rozumkiem do serwisu tzn. do szpitala psychiatrycznego.

2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Rozróżniamy dwa rodzaje Uniwersum.

Uniwersum lokalne:
Uniwersum lokalne związane z konkretnym człowiekiem

Uniwersum ogólne:
Uniwersum ogólne to Uniwersum ludzkości

Każdy człowiek ma swoje indywidualne Uniwersum.
Fundament Uniwersum przeciętnego człowieka to zaledwie kilkanaście tysięcy pojęć plus gramatyka języka którym operuje. Uniwersum jest pojęciem dynamicznym, rozszerza się gdy się uczymy i zawęża gdy zapominamy. Z definicji żaden człowiek nie może wyjść poza swoje Uniwersum.
W obszarze Uniwersum lokalnego mieszczą się wszelkie marzenia indywidualne człowieka np. wyobrażam sobie że jestem Johnem Lennonem - dokładnie taki człowiek, chory psychicznie, zabił Lennona.

W Uniwersum ogólnym mieszczą się wszelkie pojęcia akceptowane przez wszystkich ludzi (np. pies, rower, krasnoludek, miłość …) jak również pojęcia znane wyłącznie specjalistom w określonej dziedzinie np. ramipryl - pojęcie z dziedziny medycyny, substancja aktywna leku na nadciśnienie.

Definicja Absolutu
Absolut to zbiór wszystkich pojęć dostępnych w naszym Wszechświecie.

Do absolutu zaliczamy nie tylko pojęcia z obszaru Uniwersum znane obecnie ludzkości, ale też wszelkie pojęcia które człowiek jest w stanie poznać (zdefiniować) w przyszłości.
Oczywistym jest, że nigdy nie poznamy absolutu w 100% choćby dlatego, że fantazja człowieka jest nieskończona (pojęcia abstrakcyjne). W swojej historii człowiek non-stop wyrywa nie znane mu pojęcia z obszaru Absolutu i dołącza je do swojego Uniwersum. Człowiek nie jest w stanie myśleć na poziomie absolutu, bo nie jest Bogiem.

Fakty z algebry Kubusia:
1.
Algebra Kubusia nie zajmuje się Absolutem
Absolut = Bóg filozofów
Bóg filozofów to Bóg który zna historię naszego Wszechświata od momentu jego powstania do momentu jego śmierci z dokładnością do położenia każdego atomu w naszym Wszechświecie z dokładnością do znajomości wszelkich myśli i poczynań istot żywych z wyprzedzeniem.
Wnioski:
a).
Bóg filozofów nie ma wolnej woli bo niczego nie może zmienić z tego co wie
b).
Istoty żywe też nie mają wolnej woli bo istnieje osoba trzecia (Bóg filozofów) która zna poczynania wszelkich istot żywych z wyprzedzeniem, co oznacza że je determinuje.
2.
Algebra Kubusia operuje wyłącznie w Uniwersum
Uniwersum to wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Pojęcia w Uniwersum istnieją (=1) dlatego mają wartość logiczną JEDEN:
pies =1 - istnieje (=1) pies
miłość =1 - istnieje (=1) miłość
krasnoludek =1 - istnieje (=1) krasnoludek

Bez znaczenie jest czy pojęcie jest obiektem fizycznym (pies), czy nie fizycznym (miłość) czy też pojęciem abstrakcyjnym (krasnoludek)
Wszystkie te pojęcia istnieją (=1) dlatego maja wartość logiczną jeden.

Jeśli mówię:
Istnieje pies =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt fizyczny

Jeśli mówię:
Istnieje miłość =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt nie fizyczny

Jeśli mówię:
Istnieje krasnoludek =1
To oczywistym jest, że mam na myśli obiekt abstrakcyjny

Nie wolno nam zapisać:
Istnieje miłość =0
bo to jest czysto matematyczny fałsz

Nie wolno nam również zapisać:
Istnieje krasnoludek =0
Bo to jest czysto matematyczny fałsz

Rozróżnianie kategorii pojęć (fizyczne, nie fizyczne, abstrakcyjne) leży w fundamentach logiki matematycznej, jest jasne dla każdego człowieka tzn. każdy człowiek rozróżnia te pojęcia.

Innymi słowy, jeśli mówię:
Istnieje krasnoludek =1
To nie musze dodawać komentarza, że krasnoludek to obiekt abstrakcyjny.

Prawo Jastrzębia:
Dziedzina: Uniwersum
A.
Jeśli dowolne pojęcie (P=1) istnieje w Uniwersum to na 100% znana jest jego definicja (D=1)
P=>D =1
Istnienie pojęcia w Uniwersum jest warunkiem wystarczającym => do znajomości jego definicji
Kontrprzykład B jest tu fałszem:
B.
Jeśli dowolne pojęcie (P=1) istnieje w Uniwersum to może ~~> nie być znana jego definicja (~D=1)
P~~>~D = P*~D =1*1 =0 - nie ma takiej możliwości

Prawdziwe jest twierdzenie odwrotne:
AO.
Jeśli znana jest definicja pojęcia w Uniwersum, to na 100% => pojęcie to istnieje w Uniwersum
D=>P =1
Istnienie definicji pojęcia w obszarze Uniwersum jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby to pojęcie istniało (w Uniwersum)
Kontrprzykład jest tu fałszem:
BO.
Jeśli znana jest definicja pojęcia z Uniwersum, to pojęcie to może ~~> nie istnieć (w Uniwersum)
D~~>~P = D*~P = 1*1 =0 - nie ma takiej możliwości
cnd

W obszarze Uniwersum mamy tu do czynienia z równoważnością:
Pojęcie P istnieje w obszarze Uniwersum wtedy i tylko wtedy gdy znana jest jego definicja.
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) = 1*1 =1

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Budowa zbioru:
C = [M, K]
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała rzez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy.

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji. Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):

Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Definicja przecinka w zapisie elementów zbioru:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Przykład działania na zbiorach w algebrze Kubusia
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru rozdzielone przecinkiem:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek (zbiór wszystkich ludzi)

Matematycznie zachodzi:
C=M+K
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru człowiek wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% będzie to kobieta (K=1)
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% będzie to mężczyzna (M=1)


2.2 Relacje między zbiorami

W algebrze Kubusia występują następujące relacje między zbiorami:
p=>q - relacja podzbioru =>, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p~~>q=p*q - relacja elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q
p=q - relacja tożsamości zbiorów

Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest spełniona
Inaczej:
p=>q =0

Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest spełniona
Inaczej:
p~>q =0

Definicja elementu wspólnego ~~> zbioru:
Zbiór p ma element wspólny ~~> ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów nie jest zbiorem pustym
p~~>q =p*q =1 - gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne
[] - zbiór pusty

Tożsamość zbiorów:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest elementem zbioru q i na odwrót
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Prawa strona to definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Stąd mamy:
Każda tożsamość matematyczna to automatycznie równoważność
(p=q) = (p<=>q)


3.0 Algebra Kubusia w definicjach zero-jedynkowych

Pojęcia elementarne:
1 = prawda
0 = fałsz
(~) - przedrostek NIE przed dowolnym symbolem

3.1 Definicja spójnika „i”(*)
Kod:

Definicja spójnika „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Aby zaszło Y=1 muszą zajść jednocześnie oba zdarzenia p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej


3.2 Definicja spójnika „lub”(+)
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej


3.3 Definicja warunku wystarczającego =>

Kod:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =1
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0


3.4 Definicja warunku koniecznego ~>

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q Y=(p~>q)=p+~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =0
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0


3.5 Definicja kwantyfikatora małego ~~>

Kod:

Definicja warunku kwantyfikatora małego ~~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
w tabeli zero-jedynkowej
   p  q Y=(p~~>q)=1
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=1
bez względu na stan wejść p i q


3.6 Definicja równoważności <=>

Kod:

Definicja warunku równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =1
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1
Wystarczy, że zajdzie którekolwiek zdarzenie po prawej stronie i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0



3.7 Definicja spójnika „albo”($)

Definicja spójnika „albo”($) jest tożsama z definicją równoważności p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)
~(p<=>q) = p<=>~q = p*~q + ~p*q

Kod:

Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
   p  q  Y=(p$q)=p*~q+~p*q
A: 1  1  =0
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja słowna:
Y=p*~q+~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Inaczej:
Y=0



4.0 Podstawowe definicje w algebrze Kubusia

Podstawowe definicje w algebrze Kubusia to:
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
p~~>q - definicja kwantyfikatora małego
p~~>~q=p*~q - definicja kontrprzykładu
p~~>q = p*q - prawo Kobry
Definicja równoważności:
p<=>q =(p=>q)*(p~>q) = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika „albo”($):
p$q =p*~q+~p*q

4.1 Definicja warunku wystarczającego =>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej: p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia zdarzenia q
Inaczej: p=>q =0

4.2 Definicja warunku koniecznego ~>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej: p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej: p~>q =0

4.3 Definicja kwantyfikatora małego ~~>

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja kwantyfikatora jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.
Inaczej: p~~>q = p*q =[] =0

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja kwantyfikatora jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej: p~~>q = p*q =[] =0

4.3.1 Definicja kontrprzykładu

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

4.3.2 Prawo Kobry

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~>.

4.4 Definicja równoważności <=>

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami.
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Inaczej:
p<=>q =0
Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
Y = (p<=>q) = (~p+q)*(p+~q)
Przejście do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla człowieka:
Y = (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
p<=>q = p*q+~p*~q

Definicja równoważności p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami.
Do tego aby zaszło ~q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
~(p<=>q) = p<=>~q = (p=>~q)*(p~>~q) =1*1 =1
Inaczej:
p<=>~q =0
Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p<=>~q) = (~p+~q)*(p+q)
Przejście do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla człowieka:
Y = (~p+~q)*(p+q)
Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
p<=>~q = p*~q+~p*q

4.5 Definicja spójnika „albo”($)

Zajdzie wyłącznie p albo q
Y = p$q = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <= (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już ustawi Y=1
Inaczej: Y=0

Definicja spójnika „albo”($) jest tożsama z równoważnością w logice ujemnej (bo ~q)
~(p<=>q) = p<=>~q = (p=>~q)*(p~>~q) = p*~q + ~p*q


5.0 Podstawowe prawa w algebrze Kubusia

Podstawowe prawa w algebrze Kubusia to:
- prawa Prosiaczka
- prawa Kubusia
- prawa Tygryska

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

Jeśli p to q
p=>q =1
Warunek wystarczający => jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej p=>q=0
2.
Warunek konieczny ~>:

Jeśli p to q
p~>q =1
Warunek konieczny ~> jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej p~>q=0
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q
Inaczej p~~>q=0

Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.

5.1 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)

II Prawo Prosiaczka
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=1) = (Y=0)

5.2 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

5.3 Prawa Tygryska

Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> z zamianą p i q
I Prawo Tygryska
p=>q = q~>p
II Prawo Tygryska
p~>q = q=>p

Prawa Kubusia i prawa Tygryska można dowolnie mieszać.
Przykład:
Prawo Tygryska:
1: p=>q = q~>p
Dla prawej strony korzystamy z prawa Kubusia:
2: q~>p = ~q=>~p
Podstawiając 2 do 1 mamy znane ziemianom prawo kontrapozycji:
3: p=>q = ~q=>~p

5.4 Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
~p - zaprzeczenie pojęcia p do dziedziny D

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) są dla nas nierozpoznawalne bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur

5.5 Interpretacja dowolnego prawa logicznego

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

5.6 Prawo Przedszkolaka

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia


6.0 Operatory implikacyjne

Operatory implikacyjne zapewniają matematyczną obsługę wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q”. Zdania warunkowe „Jeśli p to q” to fundament logiki matematycznej.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
1.
Warunek wystarczający =>:

Jeśli p to q
p=>q =1
Warunek wystarczający => jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej p=>q=0
2.
Warunek konieczny ~>:

Jeśli p to q
p~>q =1
Warunek konieczny ~> jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej p~>q=0
3.
Kwantyfikator mały ~~>:

Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*~q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q
Inaczej p~~>q=0

Uwaga!
Żadne inne znaczki w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” nie są używane.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Prawo Kobry wynika bezpośrednio z definicji znaczków =>, ~> i ~~> podanych wyżej.

Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego z czterech operatorów implikacyjnych;
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

III.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach => i ~>:

Operator chaosu p|~~>q to brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =0
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1


6.1 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]


I.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Kod:

T1
Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=1 - bo zbiór ~p ma część wspólną ze zbiorem q
   1   2    3  4  5  6

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q spełnia definicję operatora logicznego

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Z diagramy wyżej odczytujemy także symboliczną definicję implikacji odwrotnej q|~>p
Kod:

T2
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej q|~>p
A: q~> p =[ q* p= p]=1 - bo zbiór q jest nadzbiorem ~> p
B:~q~~>p =[~q* p   ]=0 - bo zbiór ~q jest rozłączny ze zbiorem p
C:~q=>~p =[~q*~p=~q]=1 - bo zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p
D: q~~>~p=[ q*~p   ]=1 - bo zbiór  q ma część wspólną ze zbiorem p
   1   2    3  4  5  6

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej q|~>p również spełnia definicję operatora logicznego.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|=>q = q|~>p
bo kolumny 6 w tabelach T1 i T2 są tożsame.

Stąd mamy wszystkie związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q.
p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p

Stąd mamy:

I Prawo Kubusia:
Związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q

I Prawo Tygryska:
Związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p

Powyższe prawa teorii zbiorów wyprowadzone z diagramu implikacji prostej p|=>q możemy potwierdzić w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

T3
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Rozważmy symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q zakodowaną kwantyfikatorem małym ~~>:
Kod:

T4
Definicja symboliczna implikacji prostej w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q
B: p~~>~q =0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~~>~q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem ~q
D:~p~~> q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem q
   1   2   3

1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =0
4.
Na mocy prawa Kubusia:
~p=>~q = p~>q
fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0
Nanieśmy to wszystko do tabeli prawdy w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

T5
Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q
A: p=>  q =1 | p~>  q =0
B: p~~>~q =0 | p~~>~q =0
C:~p~>~q  =1 |~p=> ~q =0
D:~p~~> q =1 |~p~~> q =1
   1   2   3   4    5  6

Z linii A odczytujemy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>.
I.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1


6.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]


II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Kod:

T1
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q
A: p~> q =[ p* q= q]=1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=1 - bo zbiór p ma część wspólną ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~q]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q
   1   2    3  4  5  6

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q spełnia definicję operatora logicznego

Z diagramy wyżej odczytujemy także symboliczną definicję implikacji prostej q|=>p
Kod:

T2
Definicja symboliczna implikacji prostej q|=>p
A: q=> p =[ q* p= q]=1 - bo zbiór q jest podzbiorem => p
B:~q~~>p =[~q* p   ]=1 - bo zbiór ~q ma część wspólną ze zbiorem p
C:~q~>~p =[~q*~p=~q]=1 - bo zbiór ~q jest nadzbiorem ~> zbioru ~p
D: q~~>~p=[ q*~p   ]=0 - bo zbiór  q jest rozłączny ze zbiorem p
   1   2    3  4  5  6

Definicja symboliczna implikacji prostej q|=>p również spełnia definicję operatora logicznego.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p|~>q = q|=>p
bo kolumny 6 w tabelach T4 i T5 są tożsame.

Stąd mamy wszystkie związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q.
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p

Stąd mamy:

II Prawo Kubusia:
Związek warunku koniecznego ~> i wystarczającego => bez zamiany p i q
p~>q = ~p=>~q

II Prawo Tygryska:
Związek warunku koniecznego ~> i wystarczającego => z zamianą p i q
p~>q = q=>p

Powyższe prawa teorii zbiorów wyprowadzone z diagramu implikacji odwrotnej p|~>q możemy potwierdzić w rachunku zero-jedynkowym.
Kod:

T3
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Rozważmy symboliczną definicję implikacji odwrotnej zakodowaną kwantyfikatorem małym ~~>:
Kod:

T4
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej w kwantyfikatorze małym ~~>
A: p~~> q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q
B: p~~>~q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem ~q
C:~p~~>~q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem ~q
D:~p~~> q =0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q
   1   2   3

1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Na mocy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0
Nanieśmy to wszystko do tabeli prawdy w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

T5
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q:
A: p~>  q =1 | p=>  q =0
B: p~~>~q =0 | p~~>~q =0
C:~p=>~q  =1 |~p~> ~q =0
D:~p~~> q =1 |~p~~> q =1
   1   2   3   4    5  6

Z linii A odczytujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>.
II.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~> i =>:

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p~>q =1
p=>q =0
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach koniecznym ~> i wystarczającym =>:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

6.3 Operator równoważności <=>

Definicja operatora równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*[p=q]


III.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Kod:

T1
Definicja symboliczna równoważności p<=>q
A: p=> q =[ p* q= p]=1 - bo zbiór p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=[ p*~q   ]=0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~p]=1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
D:~p~~>q =[~p* q   ]=0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja równoważności p<=>q spełnia definicję operatora logicznego

Z diagramy wyżej odczytujemy także symboliczną definicję równoważności odwrotnej q<=>p
Kod:

T2
Definicja symboliczna równoważności odwrotnej q<=>p
A: q=> p =[ q* p= q]=1 - bo zbiór q jest podzbiorem => p
B:~q~~>p =[~q* p   ]=0 - bo zbiór ~q jest rozłączny ze zbiorem p
C:~q=>~p =[~q*~p=~q]=1 - bo zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p
D: q~~>~p=[ q*~p   ]=0 - bo zbiór  q jest rozłączny ze zbiorem p
   1   2    3  4  5  6

Definicja symboliczna równoważności odwrotnej q<=>p również spełnia definicję operatora logicznego.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
p<=>q = q<=>p
bo kolumny 6 w tabelach T1 i T2 są tożsame.

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym są następujące.
Kod:

T3
Matematyczne związki definicji warunku wystarczającego =>
z warunkiem koniecznym ~> oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p p=>q=~p+q q~>p=q+~p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0    =0    =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p [=] ~p+q
Kod:

T4
Matematyczne związki definicji warunku koniecznego ~>
z warunkiem wystarczającym => oraz spójnikami „lub”(+) i „i”(*)
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p p~>q=p+~q q=>p=~q+p
A: 1  1  0  0  =1    =1    =1    =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1    =1    =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0    =0    =0    =0        =0
   1  2  3  4   5     6     7     8     9         0

Tożsamość kolumn wynikowych 5=6=7=8=9=0 jest dowodem formalnym tożsamości matematycznej:
p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p [=] p+~q

Matematycznie mamy:
TABELA 3 ## TABELA 4
T3: p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p ## T4: p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka ## różne na mocy definicji:
Dwie kolumny wynikowe X i Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame ((X=Y)=0) oraz żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej ((X=~Y)=0)
X ## Y = ~(X=Y)*~(X=~Y) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że tabela 3 i tabela 4 spełnia definicję znaczka ## różne na mocy definicji.

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (p~>q)

Podstawiając zachodzące tożsamości w T3 i T4 mamy 16 tożsamych definicji równoważności w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
p<=>q = T3: (p=>q = ~p~>~q [=] q~>p = ~q=>~p) * T4: (p~>q = ~p=>~q [=] q=>p = ~q~>~p)

Najważniejsze definicji równoważności to:
1.
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (q=>p) = 1*1 =1
2.
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami:
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (p~>q) = 1*1 =1
3.
Definicja aksjomatyczna, wynikająca bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = T3: (p=>q)* T4: (~p=>~q)

Prawo Przedszkolaka:
Dowolne zdanie dwuargumentowe z języka potocznego człowieka możemy przeanalizować przez wszystkie możliwe przeczenia p i q spójnikiem kwantyfikatora małego ~~>.

W analizie kwantyfikatorem małym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyskoczą nam wszystkie zdania fałszywe.
Mając analizę symboliczną zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> bez problemu zbudujemy pełną definicję operatora implikacyjnego w skład którego wchodzi zdanie analizowane.
Niezbędne środki do tego celu to zaledwie:
- definicja kontrprzykładu
- prawa Kubusia

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Rozważmy symboliczną definicję implikacji równoważności p<=>q zakodowaną kwantyfikatorem małym ~~>:
Kod:

T5
Definicja symboliczna równoważności p<=>q w kwantyfikatorze małym ~~>:
A: p~~> q =1 - bo zbiór p ma element wspólny ze zbiorem q
B: p~~>~q =0 - bo zbiór p jest rozłączny ze zbiorem ~q
C:~p~~>~q =1 - bo zbiór ~p ma element wspólny ze zbiorem ~q
D:~p~~> q =0 - bo zbiór ~p jest rozłączny ze zbiorem q

1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
4.
Na mocy prawa Kubusia:
~p=>~q = p~>q
prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Nanieśmy to wszystko do tabeli prawdy w kwantyfikatorze małym ~~>:
Kod:

T6
Definicja symboliczna równoważności p<=>q
A: p=>  q =1 | p~>  q =1
B: p~~>~q =0 | p~~>~q =0
C:~p~>~q  =1 |~p=> ~q =1
D:~p~~> q =0 |~p~~> q =0
   1   2   3   4    5  6

Z linii A odczytujemy definicję równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>.
III.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach => i ~>:

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =1
p~>q =1
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1


6.4 Operator chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu |~~> w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p~~>q = p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p



IV.
Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach => i ~>:

Operator chaosu p|~~>q to brak zachodzenia zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami
p=>q =0
p~>q =0
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q w warunku wystarczającym => i koniecznym ~>
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1 =1

Kod:

Definicja symboliczna operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
A: p~~> q =[ p* q] =1 - zbiory p i q mają część wspólną
B: p~~>~q =[ p*~q] =1 - zbiory p i ~q mają część wspólną
C:~p~~> q =[~p* q] =1 - zbiory ~p i q mają część wspólną
D:~p~~>~q =[~p*~q] =1 - zbiory ~p i ~q mają część wspólną

Definicja operatora logicznego:
Dowolny operator logiczny w zbiorach musi opisywać wszystkie pola diagramu w zbiorach
Zauważmy, że symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q spełnia definicję operatora logicznego


Post został pochwalony 0 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin