Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia w definicjach

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:43, 05 Lut 2013    Temat postu: Algebra Kubusia w definicjach

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Pełny podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Logika człowieka
Skrócona wersja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w definicjach

Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macjan - prekursor Algebry Kubusia

[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza, Sogorsa i Quebaba - za długą i ciekawą dyskusję

[link widoczny dla zalogowanych]
Daggera, Ducha i Fiklita (szczególnie) - za najważniejszą, bo stawiającą kropkę nad „i” dyskusję
Na forum [link widoczny dla zalogowanych] zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>.
Finałowa dyskusja z Fiklitem dzięki której algebra Kubusia przybrała postać końcową:
[link widoczny dla zalogowanych]


Wstęp:

Algebra Kubusia fenomenalnie zgadza się z teorią bramek logicznych (tu Kubuś jest ekspertem), z nową teorią zbiorów oraz … z NATURALNĄ logiką człowieka!

Podejście do logiki w algebrze Kubusia jest fundamentalnie inne niż u Ziemian. W AK człowiek podlega pod matematykę ścisłą, natomiast w Klasycznym Rachunku Zdań (KRZ) człowiek tworzy matematykę ścisłą. Kubuś przez 7 lat dopasowywał matematykę ścisłą do naturalnej logiki człowieka co udało się z rewelacyjnym skutkiem, natomiast KRZ usiłuje zmusić człowieka do myślenia totalnie sprzecznego z naturalną logiką człowieka. Pranie mózgów z naturalnej logiki człowieka zaczyna się obecnie w I klasie LO. Mam nadzieję że ludzie zaakceptują kiedyś AK i powiedzą STOP, dla dobra naszych dzieci.

Zero jedynkowa definicja operatora w technicznej algebrze Boole’a jest następująca.

Operator logiczny
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek na wejściach układu.

Formalnie nie jest znana w technice symboliczna definicja operatora logicznego z AK.

Symboliczna definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układy na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Jednak wszyscy się tą definicją posługujemy w praktyce, od 5-cio latka po profesora. Definicja symboliczna to także bezpośredni wniosek z algorytmu przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a algorytmem [link widoczny dla zalogowanych].


Spis treści

1.0 Notacja
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Operacje na zbiorach
2.2 Właściwości zbiorów
2.3 Diagramy Kubusia

3.0 Operatory logiczne OR i AND
3.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
3.2 Definicja operatora OR
3.3 Definicja operatora AND
3.4 Podsumowanie

4.0 Operatory implikacji i równoważności
4.1 Warunek wystarczający => i implikacja prosta
4.2 Warunek konieczny ~> i implikacja odwrotna
4.3 Równoważność

5.0 Dowody błędności logiki matematycznej Ziemian
5.1 Dowód błędnej budowy operatora OR w logice matematycznej Ziemian
5.2 Przemienność argumentów w implikacji
5.3 Prawa kontrapozycji w implikacji
5.4 Porównanie nowych i starych praw kontrapozycji


1.0 Notacja

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnego języka mówionego


2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a. Algebra Kubusia to techniczna algebra Boole’a zgodna w 100% z teorią i praktyką bramek logicznych, wszelkie prawa algebry Kubusia można dowieść w laboratorium techniki cyfrowej. W algebrze Kubusia zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych potrzebne są wyłącznie po to, aby wygenerować z nich odpowiednie definicje w równaniach algebry Boole’a.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd jedno z najważniejszych praw algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

Kod:

p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ
1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0
1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1
0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0
0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1

gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)

Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe

Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.

Maszynowa definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q

Maszynowa definicja operatora logicznego to epoka kamienna, to zatrzymanie czasu na momencie wynalezienia bramek logicznych z zakazem dalszego rozwoju techniki cyfrowej. Oczywiście żaden inżynier nie projektuje czegokolwiek w zerach i jedynkach, żaden programista nie pisze programu komputerowego bezpośrednio w zerach i jedynkach.

Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.

Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.

Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia:
Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości.
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy
Matematyka:
Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych

Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:

Operator OR

Definicja operatora OR w zbiorach.

Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Operator AND

Definicja operatora AND w zbiorach:

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Implikacja prosta:

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q

Implikacja odwrotna:

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q

Ogólna definicja znaczka ~~>
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia
p~~>~q
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Zbiory p i ~q mają część wspólną [3,4,5,6], co wymusza w wyniku 1
Zbiór p nie jest konieczny ~> dla ~q bo zabieram p i nie znika mi ~q
Zostaje:
~q=[7->oo] - siedem do nieskończoności

Równoważność:

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2,3,4,5,6]

XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q
p=[1,2], q=[3,4]

Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach.


2.1 Operacje na zbiorach

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty


2.2 Właściwości zbiorów

Definicja zbioru niepustego
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element

W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe

Definicja zbioru pustego
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów

W logice zbiór pusty jest utożsamiany z logicznym zerem, zdanie fałszywe

W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.

od wartości logicznej zbioru!

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu

Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.

p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego

Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0

p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element

Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności

p+~p = 1*1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny zbioru liczb naturalnych

p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0

Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt

P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)

P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt, stąd w wyniku 1

P*~P=0
Iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne

Właściwości zbioru pustego
1.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Suma logiczna zbioru pustego z czymkolwiek jest tym czymkolwiek
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
[] - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p*[] = p*0 = 0
p+[] = p+0 = p
W algebrze Kubusia zbiór pusty [] to po prostu logiczne zero.
2.
Zbiór pusty to także brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum
Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Zbiory: P*~G = P
Zbiór zwierząt będących galaktyką jest zbiorem pustym
Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum, zatem „pies” mieści się w tym zbiorze.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być galaktyką
P~~>G=0
Zbiory: P*G = 1*0 =0

A i B to definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia, szczegóły wkrótce.

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.

Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe

Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach


2.3 Diagramy Kubusia

Diagramy Kubusia to zupełnie co innego niż znane matematykom, prymitywne diagramy Venna.
Zobaczmy to na przykładzie spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):

Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

W diagramie widzimy tożsamość obszarów:
W: Y = p+q
W1: Y = p*q + p*~q +~p*q
co jest dowodem tożsamości powyższych definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Jak powstały kolorowe obszary opisujące tak szczegółowo definicję spójnika „lub”(+)?



W pierwszej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów

W drugiej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*~q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i ~q, czyli wspólna część kolorowych obszarów

W trzeciej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
~p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów ~p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów


3.0 Operatory logiczne OR i AND

Decydująca o wszystkim dyskusja na temat algebry Kubusia zaczęła się od pewnego [link widoczny dla zalogowanych] i przyciągnięcia z forum [link widoczny dla zalogowanych] jednego z najlepszych autorytetów ziemskiej logiki z jakim zdarzyło się Kubusiowi dyskutować - Fiklita. Myślę, że jeśli ludzie zauważą AK to będzie to w decydującej części jego zasługą.

W czasie dyskusji Fiklit podał link do wykładów [link widoczny dla zalogowanych] dowodząc, że Ziemianie umieją tworzyć równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

W równaniach [link widoczny dla zalogowanych] wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek na mocy kluczowych praw algebry Boole’a.
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z naturalnej logiki człowieka (równania algebry Boole’a) do tabel zero-jedynkowych i odwrotnie, bez nich matematyczny opis logiki człowieka po prostu nie istnieje.
Dlaczego tych kluczowych praw algebry Boole’a nie ma w żadnym podręczniku ani w Wikipedii?
Oto jest pytanie.

Operatory OR i AND opisują właściwości dwóch zbiorów p i q które mają część wspólną i nie zawierają się jeden w drugim.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y


3.1 Tworzenie równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Fundamentem algorytmu [link widoczny dla zalogowanych] są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
Kod:

p ~p p*~p p+~p
1  0  =0   =1
0  1  =0   =1

Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Algorytm prof. Newelskiego poznamy na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:

1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.

Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.

Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!

Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
ABC123:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Postępujemy identycznie jak wyżej algorytmem prof. Newelskiego

1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=>~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.

Równanie opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 1 0  =1    / Y= p*~q
C: 0 1  =1    / Y=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
   1 2   3

Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Wniosek:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie!
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.

Definicja operatora OR:
1.
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y = ~p +~q = ~(p*q)
3.
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q

Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (1).

Zauważmy że równanie:
Y=p+q
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q

Sensacyjny wniosek!

W równaniu logicznym:
Y=p+q
Znaczek „+” nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej!
Znaczek „+” to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej matematyce Ziemian.
cnd

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator OR    ## Operator AND
Y=p+q=~(~p*~q) ## Y=p*q=~(~p+~q)

gdzie:
## - różne na mocy definicji

… bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników!

Czy ktoś czegoś nie rozumie?
Czy ktoś zamierza obalić genialny algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań algebry Boole’a autorstwa [link widoczny dla zalogowanych]


3.2 Definicja operatora OR

Zero-jedynkowa definicja operatora OR z komentarzem prof. Newelskiego:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 1 0  =1    / Y= p*~q
C: 0 1  =1    / Y=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
   1 2   3

Stąd:
Definicja operatora OR w układzie równań prof. Newelskiego:
I. Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
II. ~Y=~p*~q
Gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Spójnik „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli

Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Spójnik „i”(*) w logice ujemnej to wyłącznie linia D123 w powyższej tabeli.

Definicja operatora OR w zbiorach.

Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Definicja symboliczna |Kodowanie        |Kodowanie
Zbiory!               |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
W: Y=p+q              |def.symbolicznej |def.symbolicznej
W: Y= p*q+p*~q+~p*q   |p q Y=p+q        |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y            |1 1 =1 /Y= p* q  | 0  0   =0
B: p*~q= Y            |1 0 =1 /Y= p*~q  | 0  1   =0
C:~p* q= Y            |0 1 =1 /Y=~p* q  | 1  0   =0
U: ~Y=~p*~q           |
D:~p*~q=~Y            |0 0 =0           | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
   1  2  3            |4 5  6           | 7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                      |p=1, ~p=0        |~p=1, p=0
                      |q=1, ~q=0        |~q=1, q=0
                      |Y=1, ~Y=0        |~Y=1, Y=0

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


3.3 Definicja operatora AND

Definicja operatora AND z naniesionym komentarzem prof. Newelskiego:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
C: 0 1  =0    /~Y=~p* q
D: 1 0  =0    /~Y= p*~q
   1 2   3

Stąd:
Definicja operatora AND w układzie równań prof. Newelskiego:
III. Y=p*q
IV. ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)

Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Spójnik „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie linia A123 w powyższej tabeli

Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Spójnik „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie obszar BCD123 w powyższej tabeli

Definicja operatora AND w zbiorach:

Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A:  p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C: ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Definicja symboliczna |Kodowanie        |Kodowanie
Zbiory!               |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
                      |def.symbolicznej |def.symbolicznej
W: Y= p*q             |p q Y=p*q        |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y            |1 1 =1 /Y= p* q  | 0  0   =0
U:~Y=~p+~q            |
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q  |
B:~p*~q=~Y            |0 0 =0           | 1  1   =1 /~Y=~p*~q
C:~p* q=~Y            |0 1 =0           | 1  0   =1 /~Y=~p* q
D: p*~q=~Y            |1 0 =0           | 0  1   =1 /~Y= p*~q
   1  2  3            |4 5  6           | 7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
                      |p=1, ~p=0        |~p=1, p=0
                      |q=1, ~q=0        |~q=1, q=0
                      |Y=1, ~Y=0        |~Y=1, Y=0

Gdzie:
„*” - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A456 w powyższej tabeli
„+” - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar BCD789 w powyższej tabeli.
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Operator AND odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w linii A123, zaś zero-jedynkową w linii A456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze BCD123, zaś zero-jedynkową w obszarze BCD789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD789).

Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)


3.4 Podsumowanie

Definicja operatora OR w układzie równań prof. Newelskiego:
I. Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
II. ~Y=~p*~q
Gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)

Definicja operatora AND w układzie równań prof. Newelskiego:
III. Y=p*q
IV. ~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka w logice dodatniej (bo Y)
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka w logice ujemnej (bo ~Y)

Wnioski
1.
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
2.
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
3.
Spójnik logiczny z naturalnego języka mówionego nie jest operatorem logicznym.
Operator logiczny to zawsze złożenie dwóch niezależnych zdań, I i II w operatorze OR, oraz III i IV w operatorze AND.
4.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator OR ## Operator AND
 Y=p+q      ##  Y=p*q
~Y=~p*~q    ## ~Y=~p+~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Nic co spełnia definicję operatora OR nie ma prawa spełniać jednocześnie definicji operatora AND. Wynika to bezpośrednio z zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych przedstawionych na początku artykułu oraz z algorytmu tworzenia równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej metodą [link widoczny dla zalogowanych].

Dokładnie to samo mamy w operatorach implikacji prostej, implikacji odwrotnej i równoważności.


4.0 Operatory implikacji i równoważności

Kluczowe w algebrze Kubusia są ogólne definicje znaczków:
=> - warunek wystarczający (100% pewność), spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny (rzucanie monetą), w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji prostej wraz z komentarzem:
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1  =1   / p=>  q=1
B: 1 0  =0   / p~~>~q=0
C: 0 0  =1   /~p~> ~q=1
D: 0 1  =1   /~p~~> q=1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej wraz z komentarzem:
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1  =1   / p~>  q=1
B: 1 0  =1   / p~~>~q=1
C: 0 0  =1   /~p=> ~q=1
D: 0 1  =0   /~p~~> q=0

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja równoważności wraz z komentarzem:
Kod:

   p q p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: 1 1  =1    / p=>  q=1
B: 1 0  =0    / p~~>~q=0
C: 0 0  =1    /~p=> ~q=1
D: 0 1  =0    /~p~~>q =0

Definicja równoważności e równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w C i D

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Kod:

Warunek wystarczający => ## Implikacja prosta ## implikacja odwrotna ## równoważność
p=>q                     ## p=>q=~p~>~q       ## p~>q=~p=>~q         ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)

gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Na mocy definicji warunek wystarczający => to zupełnie co innego niż którykolwiek z wymienionych operatorów logicznych. Także żaden operator logiczny NIGDY nie może być w żadnym punkcie styczny z jakimkolwiek innym operatorem. Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznych definicji operatorów logicznych przedstawionych wyżej.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji:
Zdanie jest wypowiedziane w logice dodatniej jeśli q nie jest zaprzeczone.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
To jest definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej.
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja równoważna, uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)


4.1 Warunek wystarczający => i implikacja prosta

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

=> - warunek wystarczający
p=>q
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Wymuszam p i musi pojawić się q
gdzie:
p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B niżej

Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji prostej w oparciu o powyższy diagram:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p GWARANTUJE zajście q.
Wymuszam p i musi pojawić się q
Zbiory:
p=>q = p*q =p
p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q =0
p*~q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Zbiór p nie jest konieczny dla ~q, bo zabieramy p i nie znika nam ~q.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p~>~q = ~p*~q = ~q
~p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q co wymusza w wyniku 1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zabieramy ~p i znika nam ~q, co doskonale widać na diagramie.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = 1
~p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zajście ~p nie jest warunkiem koniecznym dla zajścia q, bo zabieramy ~p i nie znika nam q
Zostaje nam część wspólna zbiorów:
p*q=p

stąd:
Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji prostej:
Kod:

Definicja symboliczna   |Zbiory  |Kodowanie         |Kodowanie
Warunek wystarczający =>|        |zero-jedynkowe    |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q)  |        |p q p=>q          |~p ~q ~p~>~q
A: p=> q=1              | p* q=1 |1 1 =1 / p=> q =1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=0             | p*~q=0 |1 0 =0 / p~~>~q=0 | 0  1   =0
..a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1             |~p*~q=1 |0 0 =1            | 1  1   =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1             |~p* q=1 |0 1 =1            | 1  0   =1 /~p~~>q=1
    1   2 3               a  b c  4 5  6              7  8    9
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej:
                                 |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
                                 |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD789.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L


Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór pies (P) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L)
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń, .. miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd


4.2 Warunek konieczny ~> i implikacja odwrotna

Diagram implikacji odwrotnej w zbiorach:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

~> - warunek konieczny
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Zabieram p i musi zniknąć q

Wyprowadzenie symbolicznej definicji implikacji odwrotnej w oparciu o powyższy diagram:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
p~>q = p*q = q
p*q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera w sobie zbiór q, co wymusza w wyniku 1
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbioru q, bo zabieramy zbiór p i znika nam zbiór q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = 1
p*~q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Zbiór p nie jest konieczny dla zbioru ~q bo zabieramy zbiór p i nie znika nam zbiór ~q

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, zatem zajście ~p wystarcza => dla zajścia ~q
Wymuszamy ~p i musi pojawić się ~q
Zajście ~p GWARANTUJE => zajście ~q
Zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = ~p
~p*~q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q, co wymusza w wyniku 1
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = 0
~p*q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

stąd:
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.

Definicja warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q)
p~>q
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałką wektora ~>
Dodatkowo jeśli zbiory p i q są różne:
p#q
to mamy do czynienia z implikacją odwrotną.
Jeśli natomiast zbiory p i q są tożsame:
p=q
to mamy do czynienia z czymś fundamentalnie innym, równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Na naszym diagramie widzimy brak tożsamości zbiorów, zatem to jest diagram implikacji odwrotnej.

Definicja warunku koniecznego w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny p~>q możemy udowodnić łatwy w dowodzeniu warunek wystarczający ~p=>~q (bo kontrprzykład). Prawdziwość prawej strony tożsamości gwarantuje prawdziwość lewej strony tożsamości.

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji odwrotnej:
Kod:

Definicja symboliczna |        |Kodowanie        |Kodowanie
Warunek konieczny ~>  |Zbiory  |zero-jedynkowe   |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q)|        |p q p~>q         |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1             | p* q=1 |1 1 =1 / p~> q=1 | 0  0   =1
B: p~~>~q=1           | p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=1 | 0  1   =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający =>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1           |~p*~q=1 |0 0 =1           | 1  1   =1 /~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0           |~p* q=0 |0 1 =0           | 1  0   =0 /~p~~>q=0
    1   2 3             a  b c  4 5  6             7  8    9
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                               |p=1, ~p=0        | ~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0        | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD789.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie zbiór pies
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną
cnd


Analiza zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiory 4L i P są różne:
4L#P
Co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
Zbiory:
4L*P=P
4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)

… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne, co wymusza implikacje prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = ~4L~>P
Zbiory:
~4L*~P = ~4L
~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)

Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:00, 03 Mar 2013, w całości zmieniany 37 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:45, 05 Lut 2013    Temat postu:

4.3 Równoważność

Diagram równoważności:

Definicja równoważności w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego p=>q w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q), co jest możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q są tożsame.

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Z tożsamości zbiorów p i q wynika:
C.
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q

Wyprowadzenie symbolicznej definicji równoważności w oparciu o powyższy diagram:
W.
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
W.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p GWARANTUJE zajście q.
Wymuszam p i musi pojawić się q
Zbiory:
p=>q = p*q =p =q - bo zbiory p i q są tożsame.
p*q=1*1 =1
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), zbiór p zawiera się w zbiorze q, co wymusza w wyniku 1
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p~~>~q = p*~q =0
p*~q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Wszystko mamy wymalowane na diagramie!
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p GWARANTUJE zajście ~q.
Wymuszam ~p i musi pojawić się ~q
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = ~p =~q - bo zbiory ~p i ~q są tożsame
~p*~q =1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1), zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q co wymusza w wyniku 1
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q =0
~p*q=1*1 =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

stąd:
Definicja symboliczna równoważności:
Kod:

W.
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C

gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd

W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.

Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

Definicja        |Zbiory       |Definicja     |Definicja
symboliczna      |             |zero-jedynkowa|zero-jedynkowa
-------------------------------------------------------------
   p   q  p<=>q  | p  q  p<=>q | p  q  p<=>q  | ~p ~q ~p<=>~q
-------------------------------------------------------------
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q   =1    | p* q   =1   | 1  1   =1    |  0  0   =1
B: p~~>~q  =0    | p*~q   =0   | 1  0   =0    |  0  1   =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p=>~q   =1    |~p*~q   =1   | 0  0   =1    |  1  1   =1
D:~p~~> q  =0    |~p* q   =0   | 0  1   =0    |  1  0   =0
   1   2    3      a  b    c     4  5    6    |  7  8    9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
                               |p=1, ~p=0     |~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0     |~q=1, q=0

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q

Operator równoważności odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.

W równoważności z powodu tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q między dowolnymi dwoma punktami zachodzą równocześnie warunek wystarczający => i wirtualny warunek konieczny [~>].

Stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
gdzie:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności.
Istnieje, ale nie jest to „rzucanie monetą” charakterystyczne dla implikacji, bowiem nie może być o tym mowy z powodu tożsamości zbiorów p=q oraz ~p=~q.

Prawa Kubusia obowiązują także dla wirtualnego warunku koniecznego:
[p~>q] = ~p=>~q
p=>q = [~p~>~q]
W równoważności obowiązują też prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q
Podstawiając prawa Kubusia i prawa kontrapozycji do aksjomatycznej definicji równoważności w dowolnych konfiguracjach możemy wygenerować mnóstwo równoważnych definicji równoważności, tyle że mało przydatnych w praktyce. Wszystkie jednak są proste w stosowaniu przy znajomości ogólnych definicji znaczków => i ~> oraz nowej teorii zbiorów.

Aksjomatyczna definicja równoważności wynikająca z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

TP=>SK
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)

A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK=0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B spełniony

~TP=>~SK
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo (~SK)

C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0
Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D spełniony

Definicja równoważności:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) =1*1=1
Z prawej strony mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi o definicjach w A i B oraz w C i D. To nie są operatory logiczne.

Matematycznie zachodzi:
TP<=>SK ## TP=>SK ## ~TP=>~SK
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Spójnik wtedy i tylko wtedy <=> to jedyny spójnik w logice będący jednocześnie operatorem logicznym.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Z definicji wynika, że nie można go dowieść w sposób bezpośredni. Dowieść prawdziwości równoważności możemy wyłącznie w sposób pośredni dowodząc prawdziwości niezależnych twierdzeń p=>q i ~p=>~q.

Błędne są zatem wszystkie zadania matematyczne zaczynające się od frazy:
„Wiemy że równoważność p<=>q jest prawdziwa …”
Jeśli wiemy że jest prawdziwa to uprzednio musieliśmy dowieść dwóch warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q czyli wiemy wszystko i matematycznie nie mamy szans na cokolwiek więcej.

Podobnie bez sensu jest twierdzenie iż z prawdziwości równoważności wynika prawdziwość zdań p=>q i ~p=>~q, bowiem aby udowodnić prawdziwość równoważności musimy uprzednio udowodnić właśnie te warunki wystarczające p=>q i ~p=>~q.

Sensowne jest więc wyłącznie twierdzenie iż z prawdziwości warunków wystarczających p=>q i ~p=>~q wynika prawdziwość równoważności. Odwrotnie to bezsens, bowiem nie da się udowodnić równoważności w sposób bezpośredni.


5.0 Dowody błędności logiki matematycznej Ziemian

Algebra Kubusia jest fundamentalnie inna niż obecna logika matematyczna Ziemian. Totalnie nic tu nie pasuje. Dosłownie wszystko, każde pojęcie i każdą definicję trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny, czyli bez zdań „prawdziwych” w stylu:
Z fałszu na pewno => wynika wszystko
Jeśli krowa śpiewa to na pewno => świnie latają w kosmosie
Jeśli pies ma 8 łap to na pewno => Księżyc krąży dookoła Ziemi (autentyczny przykład z podręcznika do I klasy LO)
etc

[link widoczny dla zalogowanych]
Z fałszu wynika wszystko!!!
Z każdego zdania fałszywego wynika dowolne inne zdanie.... (niektórzy twierdzą, że tak powstała teologia). Poniższa anegdota pochodzi od znakomitego XX-wiecznego logika- Bertranda Russella
Bertland Russell napisał:

Udowodnijmy zatem, że ze zdania: "2+2=5" wynika zdanie: "Ja (tzn. Grzesiek Malinowski) jestem papieżem"
Argumentacja przebiega następująco:
-Jeśli 2+2=5, to w takim razie: 4=5
po odjęciu od obu stron "3" otrzymujemy: 1=2
Zatem:
-skoro ja i papież to razem dwie osoby, a 2=1
to
-ja i papież jesteśmy jedną osobą
Zatem:
-ja jestem papieżem

cnd

To jest wariatkowo totalne, większych bredni nasz Wszechświat nie widział
Kubuś


5.1 Dowód błędnej budowy operatora OR w logice matematycznej Ziemian

Ziemianie nie znają rzeczywistej budowy ani jednego operatora logicznego, co pokażemy na przykładzie operatora OR a następnie na przykładzie operatorów implikacji i równoważności.

We „Wstępie do matematyki” [link widoczny dla zalogowanych] znajduje się dowód iż matematycy znają algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań logicznych opisujących tą tabelę.

Fundamentem algorytmu [link widoczny dla zalogowanych] są definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

Definicje rodem z technicznej algebry Boole’a spójników „i”(*) i „lub”(+) są następujące.

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

W swoim algorytmie prof. Newelski musiał skorzystać i korzysta z najważniejszych praw algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0

Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Bo człowiek w swojej naturalnej logice operuje wyłącznie równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi. Bez tych praw niemożliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, bo niemożliwe jest przejście z tabeli zero-jedynkowej do równań logicznych ją opisujących i z powrotem.

Wszelkie prawa logiczne opisane są równaniami algebry Boole’a, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Wyłącznie w logice symbolicznej (równania algebry Boole’a) mamy dostęp do wszystkich praw logicznych i możemy z nich swobodnie korzystać np. prawo przejścia do logiki ujemnej i z powrotem.

Dlaczego nie ma tych praw w żadnym podręczniku matematyki i Wikipedii?
… oto jest pytanie.

Algorytm prof. Newelskiego poznamy na przykładzie operatora OR.

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:

1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=> ~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.

Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.

Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!

Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
ABC123:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
D123:
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.

Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:

Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Postępujemy identycznie jak wyżej algorytmem prof. Newelskiego

1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0

2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
p=0 <=>~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.

Równanie opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1    / Y= p* q
B: 1 0  =1    / Y= p*~q
C: 0 1  =1    / Y=~p* q
D: 0 0  =0    /~Y=~p*~q
   1 2   3

Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Wniosek:
Kompletną tabelę zero-jedynkową operatora OR (wszystkie cztery linie) opisuje układ równań logicznych:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (Y) i ujemnej (~Y):
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dopiero to równanie opisuje kompletny operator OR, wszystkie cztery linie!
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
Twierdzenie:
Jeśli w operatorze OR zanegujemy wszystkie zmienne to na podstawie prawa De Morgana musimy otrzymać definicję operatora AND.

Definicja operatora OR:
1.
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód:
2.
Negujemy zmienne wejściowe p i q:
y = ~p +~q = ~(p*q)
3.
Negujemy wyjście y:
~y = ~(~p+~q) = p*q

Równanie 3 to oczywiście pełna definicja operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy że operator AND (3) jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (1).

Zauważmy że równanie:
Y=p+q
nie jest kompletnym opisem operatora OR (opisującym wszystkie cztery linie) bo negujemy zmienne i nie otrzymujemy definicji operatora AND.
~Y=~p+~q

Sensacyjny wniosek!

W równaniu logicznym:
Y=p+q
Znaczek „+” nie jest operatorem logicznym opisującym wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej!
Znaczek „+” to tylko połówka operatora OR (obszar ABC123) a nie cały operator (ABCD123) jak to jest we współczesnej matematyce Ziemian.
cnd

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Kod:

Operator OR    ## Operator AND
Y=p+q=~(~p*~q) ## Y=p*q=~(~p+~q)

gdzie:
## - różne na mocy definicji

… bo w przejściu z operatora OR do operatora AND wyłącznie negowaliśmy zmienne bez zmiany spójników!

Czy ktoś czegoś nie rozumie?
Czy ktoś zamierza obalić genialny algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równoważnych równań algebry Boole’a autorstwa [link widoczny dla zalogowanych]

5.2 Przemienność argumentów w implikacji

Przykro to stwierdzić, ale Ziemianie nie rozumieją nawet banalnego prawa braku przemienności argumentów w implikacji. Wbrew formalnemu dowodowi matematycznemu niżej twierdzą, że w implikacji argumenty mogą być raz przemienne, a innym razem nieprzemienne, co jest oczywistym gwałtem dowodu, gdzie stoi jak wół, iż argumenty w implikacji są zawsze nieprzemienne.

Oczywiście to są katastrofalne skutki nie odróżniania definicji warunku wystarczającego =>:
p=>q
od definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q, z czego wynika ze zbiory p i ~q są rozłączne.
Zdanie A w zbiorach:
p*q =p
Stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=0
Zdanie B w zbiorach:
p*~q=0
p*~q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Wytłuszczonego zastrzeżenia nie ma w definicji warunku wystarczającego =>. Jeśli zbiory p i q są tożsame to mamy do czynienia z równoważnością, czymś fundamentalnie innym niż implikacja, gdzie nie ma miejsca na „rzucanie monetą”, charakterystyczny wyróżnik implikacji zarówno prostej, jak i odwrotnej.

Matematycznie zachodzi:
Kod:

Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## implikacja odwrotna
p=>q                  ## p=>q=~p~>~q       ## p~>q=~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
Kod:

Implikacja prosta    |Implikacja odwrotna
   p q p=>q q=>p     | p q p~>q q~>p
A: 1 1  =1   =1      | 1 1  =1   =1
B: 1 0  =0   =1      | 1 0  =1   =0
C: 0 0  =1   =1      | 0 0  =1   =1
D: 0 1  =1   =0      | 0 1  =0   =1
   1 2   3    4        5 6   7    8

1.
Brak tożsamości kolumn 3 i 4 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej:
A: p=>q # B: q=>p
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
A: P=>4L=1 # B: 4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń
Implikacja prosta prawdziwa po zamianie argumentów musi być fałszywa - patrz prawo wyżej.
Odwrotnie wszystko może się zdarzyć, czyli implikacja prosta fałszywa po zamianie argumentów może być prawdziwa albo fałszywa.
A: 4L=>P=0 bo kontrprzykład: koń # B: P=>4L=1
A: 4L=>~P =0 bo kontrprzykład: koń # B: ~P=>4L =0 bo kontrprzykład: kura

2.
Brak tożsamości kolumn 7 i 8 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
A: p~>q # B: q~>p
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
A: 4L~>P=1 = ~4L=>~P=1 # B: P~>4L = ~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: koń
Implikacja odwrotna prawdziwa po zamianie argumentów musi być fałszywa - patrz prawo wyżej.
Odwrotnie wszystko może się zdarzyć, czyli implikacja odwrotna fałszywa po zamianie argumentów może być prawdziwa albo fałszywa.
P~>4L = ~P=>~4L=0 bo kontrprzykład: koń # 4L~>P = ~4L=>~P=1
4L~>~P = ~4L=>P=0 # ~P~>4L = P=>~4L =0 - twardy fałsz


5.3 Prawa kontrapozycji w implikacji

Aksjomatyczna zero-jedynkowa definicja implikacji prostej z komentarzem:
Kod:

   p q p=>q
A: 1 1  =1  / p=> q =1
B: 1 0  =0  / p~~>~q=0
C: 0 0  =1  /~p~>~q =1
D: 0 1  =1  /~p~~>q =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Aksjomatyczna, zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej z komentarzem:
Kod:

   p q p~>q
A: 1 1  =1  / p~> q =1
B: 1 0  =1  / p~~>~q=1
C: 0 0  =1  /~p=>~q =1
D: 0 1  =0  /~p~~>q =0

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W algebrze Kubusia kluczowe są definicje znaczków => i ~>.
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
Zbiór na podstawie wektora => musi się zawierać w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>

Weźmy wzorcową implikację prostą:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Oczywiście zachodzi prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L

Weźmy wzorcową implikację odwrotną:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Oczywiście zachodzi prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P

Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość!), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji!

A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.

Wynika z tego że w równaniu ogólnym implikacji nie mamy ustalonego sztywnego punktu odniesienia.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.

Z naszego przykładu widać, że jeśli implikacja prosta p=>q jest prawdziwa:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L =1
to prawdziwą implikację odwrotną p~>q uzyskamy wtedy i tylko wtedy gdy zamienimy p i q
AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P =1

W równaniu ogólnym implikacji mamy prawo ustalić sztywny punkt odniesienia na zdaniu:
p=>q
albo na zdaniu:
p~>q

1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

A: p=> q ##  q~> p
B: p=> q ## ~q=>~p
C:~p~>~q ##  q~> p
D:~p~>~q ## ~q=>~p

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.

2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
p~>q
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
Kod:

E: q=> p ##  p~> q
F: q=> p ## ~p=>~q
G:~q~>~p ##  p~> q
H:~q~>~p ## ~p=>~q

gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje znak tożsamości.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q

Prawo kontrapozycji jest fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności co za chwilę zobaczymy.

Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?

Aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0

To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
~p=>~q
albo
q=>p
Jeśli udowodnimy którykolwiek z tych warunków to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1

Jeśli po udowodnieniu warunku wystarczającego p=>q obalimy warunek wystarczający w drugą stronę:
q=>p = ~p=>~q =0
To warunek wystarczający p=>q może wchodzić w skład definicji implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q

Dlaczego „może”?
Bo możliwy jest przypadek samodzielnego warunku wystarczającego =>.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym:
ML=0
Zaprzeczeniem zbioru pustego jest Uniwersum.
Uniwersum = wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka, w tym pies.
Stąd:
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P zawiera się w zbiorze ~ML
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć milion łap
P~~>ML=0 - nie ma takiego zwierzaka bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
ML=0
Zdanie B w zbiorach:
P*ML = 1*0 =0

Warunek wystarczający jest spełniony, zachodzi brak tożsamości zbiorów p i q:
P # ~ML
Zatem na mocy definicji to powinna być implikacja prosta.
W implikacji poprawne jest prawo Kubusia:
A: P=>~ML = ~P~>ML
czyli:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML = 0
bo:
Zbiór zwierząt które mają milion łap jest zbiorem pustym
ML=0
Zdanie C w zbiorach:
~P*ML = 1*0 =0 - zdanie C jest fałszywe

STOP!
Dalej nie musimy analizować, dowiedliśmy iż zdanie A ty tylko i wyłącznie warunek wystarczający => nie wchodzący w skład ani implikacji prostej:
P=>~ML = ~P~>ML=0
ani też w skład równoważności:
P<=>~ML = (P=>~ML)*(~P=>ML) = 1*0 =0

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy definicję samodzielnego warunku wystarczającego.
A: P=>~ML
P=1, ~P=0
~ML=1, ML=0
Kod:

Zapis         |Kodowanie
Symboliczny   |zero-jedynkowe
              | P ~ML P=>~ML
A: P=> ~ML=1  | 1  1   =1
B: P~~> ML=0  | 1  0   =0
C:~P~> ML =0  | 0  0   =0
D:~P~~>~ML=x  | 0  1   =x

Wobec sekwencji w linii C:
0 0 =0
której nie ma ani w operatorach implikacji, ani też w operatorze równoważności analiza zdania D jest bezcelowa.
Wszystko zostało rozstrzygnięte, zdanie A to samodzielny warunek wystarczający =>.


5.4 Porównanie nowych i starych praw kontrapozycji

Równanie ogólne implikacji w algebrze Kubusia z punktem odniesienia ustawionym na zdaniu:
p=>q

p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Odpowiednie równanie w starej logice Ziemian zwanej KRZ:
p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p

Nasz przykład w algebrze Kubusia wygląda tak:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P

Tata:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L

Synek:
.. a jak zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L

Tata:
Tu tata nie ma wyjścia i musi odpowiedzieć JEDNOZNACZNIE!
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
W algebrze Kubusia nie możemy odpowiedzieć ani zdaniem AO ani też zdaniem CO, bo mamy matematyczny ZAKAZ.
## - różne na mocy definicji.

Zobaczmy teraz co się dzieje w starej logice Klasyczny Rachunek Zdań.

Nasz przykład w KRZ wygląda tak:
A: P=>4L = C: ~P~>~4L = AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P

Tata:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L

Synek:
.. a jak zwierzę nie jest psem?
Jedyne prawo logiczne akceptowane w KRZ to „prawo” kontrapozycji (błędne w algebrze Kubusia!)
P=>4L = ~4L=>~P

Tata:
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna

Synek:
Mama!
Tata zwariował, nie potrafi sensownie odpowiedzieć na pytanie 5-cio latka!

Zauważmy, że z powodu czerwonego znaku tożsamości, na pytanie synka o nie psa, tata może odpowiedzieć aż trzema TOŻSAMYMI matematycznie zdaniami:
C, AO lub CO.
Matematycznie nie jest w stanie odróżnić która odpowiedź jest sensowna w świecie rzeczywistym.
Oczywiście odpowiedzią sensowną, czyli na temat jest wyłącznie zdanie C.

Wniosek:
Stara logika KRZ nie jest matematycznie jednoznaczna.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 17:45, 26 Lut 2013, w całości zmieniany 19 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:46, 05 Lut 2013    Temat postu:

..
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:47, 05 Lut 2013    Temat postu:

.......
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 19:48, 05 Lut 2013    Temat postu:

[link widoczny dla zalogowanych]



fiklit napisał:
Rafał, jak ułożysz wszystkie definicje w dobrej kolejności i będą zrozumiałe to mogę wrócić do dyskusji. Teraz dobra rada, nie rozumiesz KRZ, skup się na budowaniu AK od podstaw a nie jako opozycji do KRZ. Krytka KRZ Ci po prostu nie wychodzi, bo tego nie rozumiesz. Widać to praktycznie w każdym Twoim zdaniu krytykującym KRZ.


Fiklicie, Wuj Zbój, nauczyciel Kubusia, który nauczył go patrzeć poprawnie na implikację od strony czysto matematycznej zawsze powtarzał „Najgorsze co możesz robić to atakować KRZ”.

ok.
Nie chcę atakować, pokazuję tylko różnice między AK i KRZ, jeśli coś się nie zgadza to proszę o sygnał.


Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Zdanie zawsze prawdziwe

Spis treści:
1.0 Budowa i działanie operatora OR w KRZ
2.0 Operator OR w algebrze Kubusia
3.0 Uproszczona analiza prawa De Morgana
4.0 Zdanie zawsze prawdziwe

Notacja:
~ - przeczenie
* - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
+ - spójnik „lub” z naturalnej logiki człowieka
<=> - wtedy i tylko wtedy


1.0 Budowa i działanie operatora OR w KRZ

Definicja zero-jedynkowa operatora:
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

W KRZ zarówno po stronie wejścia p i q jak i po stronie wyjścia Y mamy identyczne znaczenie zer i jedynek:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe

Dygresja:
W algebrze Kubusia także mamy identyczne znaczenie zer i jedynek po stronie wejścia p i q oraz wyjścia Y ale jest ono fundamentalnie inne:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Przykład:
Księżyc jest z sera
Zbiór księżyców z sera jest zbiorem pustym - zdanie fałszywe
Księżyc nie jest z sera
Negacja zbioru pustego to Uniwersum, wszelkie możliwe pojęcia.
Zbiór księżyców które nie są z sera jest zbiorem niepustym (nasz Księżyc), zatem zdanie prawdziwe.

Rozpatrzmy teraz konkretne zdanie ze spójnikiem „lub”(+) na gruncie KRZ:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T

Zero-jedynkowa tabela prawdy dla tego zdania:
Kod:

   K T Y=K+T
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0

Analiza zdania W na gruncie KRZ:
A.
Jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
K=1 i T=1 =>Y=1 - zdanie prawdziwe (odczytane z tabelki)
B.
Jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (T=0)
K=1 i T=0 => Y=1 - zdanie prawdziwe (odczytane z tabelki)
C.
Jutro nie pójdę do kina (K=0) i pójdę do teatru (T=1)
K=0 i T=1 => Y=1 - zdanie prawdziwe (odczytane z tabelki)
D.
Jutro nie pójdę do kina (K=0) i nie pójdę to teatru (T=0)
K=0 i T=0 => Y=0 - zdanie fałszywe (odczytane z tabelki)

Oczywiście Y=K+T nie jest zdaniem zawsze prawdziwym na gruncie operatora OR, bo fałszywe jest zdanie D.

Nie jest też zawsze prawdziwe zdanie tożsame wynikające z prawa De Morgana:
Y=K+T = ~(~K*~T)
… co za chwilę wykażemy.

Zauważmy, że powyższa analiza przywiązana jest do bezwzględnych zer i jedynek, że nie da się opisać powyższych zdań równaniami algebry Boole’a (naturalna logika człowieka) bez skorzystania z praw Prosiaczka.

Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0

Korzystając z praw Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, czyli do naturalnej logiki człowieka.
Prawo Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1

W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T

Analiza zdania W na w algebrze Kubusia:
A.
Jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
B.
Jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y = K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
C.
Jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
D.
Jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę to teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Gdzie:
Y=1 - dotrzymam słowa
~Y=1 - skłamię
Szczegółowa analiza zdania A w algebrze Kubusia za chwilę.


2.0 Operator OR w algebrze Kubusia

Definicje spójników „i”(*) oraz „lub”(+)

Matematycznym fundamentem operatorów OR i AND są definicje spójników logicznych z naturalnej logiki człowieka „i”(*) oraz ‘lub”(+).

Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1

gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej

Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1

Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1

gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej

Ziemianie potrafią ułożyć poprawne równanie algebry Boole’a dla dowolnej linii w tabeli zero-jedynkowej czego dowód jest w tym poście:
[link widoczny dla zalogowanych]

Dla naszego przykładu tabela zero-jedynkowa wraz z równaniami [link widoczny dla zalogowanych] dla każdej linii wygląda następująco:

W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T

Zero-jedynkowa tabela prawdy dla tego zdania:
Kod:

   K T Y=K+T
A: 1 1  =1   /Y=K*T
B: 1 0  =1   /Y=K*~T
C: 0 1  =1   /Y=~K*T
D: 0 0  =0   /~Y=~K*~T
   1 2   3

W obszarze ABC123 mamy identyczną zmienna w wyniku (Y) możemy wiec sumować stronami:
Y+Y+Y = K*T + K*~T + ~K*T
stąd:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
Minimalizujemy tą funkcje logiczną:
Y = K*(T+~T)+~K*T = K+(~K*T)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
Uwaga!
Jeśli negujemy obszar ABC123 to musimy wylądować w linii D123!
~Y = ~K*(K+~T) = ~K*K + ~K*~T = ~K*~T
D: ~Y=~K*~T
Oczywiście to jest równanie opisujące wyłącznie linię D123 - patrz tabelka wyżej.

Negując linię D123 musimy uzyskać równanie opisujące obszar ABC123!
Mamy:
D: ~Y=~K*~T
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
W: Y=K+T
To jest równanie opisujące wyłącznie obszar ABC123!

Sensacyjny wniosek!
Znaczek „+” opisuje wyłącznie obszar ABC123 i nie ma nic wspólnego z linią D123 opisaną znaczkiem „*”!

Jak widzimy w algebrze Kubusia wszystko się genialnie zgadza.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając D i W mamy prawo De Morgana:
Y = K+T = ~(~K*~T)

Zobaczmy to wszystko w tabeli zero-jedynkowej.

Oczywiście zdanie W nie jest ZAWSZE prawdziwe, bo jest ono fałszywe dla:
K=0 i T=0
Y = K+T = 0+0=0

Prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
Jeśli p=0 to ~p=1

Stąd zdanie W jest fałszywe dla:
~K=1, ~T=1
Y =~(~K*~T) = ~(1*1)=~(1) =0

Zobaczmy to wszystko w tabeli zero-jedynkowej:

Pełna definicja operatora OR:
Kod:

Symboliczna  |Kodowanie              |Kodowanie
definicja    |zero-jedynkowe         |zero-jedynkowe
operatora OR |dla punktu             |dla punktu
W: Y=K+T     |odniesienia Y=K+T      |odniesienia ~Y=~K*~T
             | K T Y=K+T             | ~K ~T ~Y=~K*~T        | Y=~(~K*~T)
A: K* T= Y   | 1 1  =1    / Y= K* T  |  0  0   =0            | 1
B: K*~T= Y   | 1 0  =1    / Y= K*~T  |  0  1   =0            | 1
C:~K* T= Y   | 0 1  =1    / Y=~K* T  |  1  0   =0            | 1
D:~K*~T=~Y   | 0 0  =0               |  1  1   =1  /~Y=~K*~T | 0
   a  b  c   | 1 2   3      d  e  f  |  4  5    6    g  h  i   7
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek
             |K=1, ~K=0              |~K=1, K=0
             |T=1, ~T=0              |~T=1, T=0
             |Y=1, ~Y=1              |~Y=1, Y=0

Doskonale widać definicję zero-jedynkową spójnika „lub”(+) w obszarze ABC123 oraz definicję zero-jedynkową spójnika „i”(*) w linii D456

Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisany zero-jedynkowo wyłącznie obszarem ABC123 w powyższej tabeli (symbolicznie obszarem ABCabc).
* - symbol spójnika „i”(*) opisany zero-jedynkowo wyłącznie linią D456 w powyższej tabeli (symbolicznie linią Dabc).
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny

Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABCabc, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC123, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe (skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii Dabc, zaś zero-jedynkową w linii D456, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD123), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym D otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456).

Zastanówmy się teraz kiedy zdanie W jest prawdziwe:
W tabeli ABCD123 zdanie w jest prawdziwe dla zmiennych K i T wyłącznie w liniach z jedynkami w wyniku:
Y=1 - zdanie prawdziwe w logice dodatniej (bo Y)
Mamy W:
Y=K+T
Możliwe są trzy przypadki dla których zdanie W jest prawdziwe:
A.
K=1, T=1
Y=K+T = 1+1=1
B.
K=1, T=0
Y=K+T = 1+0 =1
C.
K=0, T=1
Y=K+T = 0+1=1

Dla przypadku D zdanie W jest fałszywe:
D.
Y=0, K=0
Y=K+T=0+0=0

W tabeli ABCD456 mamy odpowiedź na pytanie kiedy zdanie W będzie prawdziwe w logice ujemnej (~Y):
D456:
~Y=~K*~T - to jest wyłącznie linia D456 będąca równocześnie nagłówkiem tabeli ABCD456 (punkt odniesienia)

Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Oczywiście wyłącznie linia D456 spełnia to równanie:
~Y= ~K*~T= 1*1=1
~Y=1 - zdanie prawdziwe w logice ujemnej (czyli fałszywe w logice dodatniej Y=0)

Prawo Prosiaczka:
~Y=1 <=> Y=0
Stąd zdanie fałszywe w logice dodatniej (bo Y)
Y=0 - zdanie fałszywe w logice dodatniej (bo Y)

Zauważmy ze nie ma żadnego znaczenia czy do równania:
D456:
~Y=~K*~T
Podstawimy zmienne:
D45:
~K=1, ~T=1
czyli:
D456:
~Y=~K*~T = 1*1=1

czy też zmienne:
D12:
K=0, T=0
D126:
~Y = ~(K)*~(T) = ~(0)*~(0) = 1*1=1

Jak widać prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1
działają fenomenalnie

Bardzo ciekawa jest tu matematyczna obsługa prawa De Morgana, czyli kolumny ABCD7.
Doskonale widać że zdanie jest prawdziwe w logice dodatniej:
Y=~(~K*~T) =1
Wyłącznie w liniach ABC!

Tu również możemy podstawić dane z dwóch możliwych punktów odniesienia.

Podstawmy dane wejściowe z punktu odniesienia ABCD45 dla kolumny ABCD7:

Mamy trzy możliwości gdzie zdanie W jest prawdziwe:
A.
~K=0, ~T=0
Y = ~(~K*~T) = ~(0*0)=~(0) = 1
B.
~K=0, ~T=1
Y = ~(~K*~T) = ~(0*1)=~(0) = 1
C.
~K=1, ~T=0
Y = ~(~K*~T) = ~(1*0)=~(0) = 1

Oczywiście dla ostatniej kombinacji zdanie W będzie fałszywe:
D.
~K=1, ~T=1
Y = ~(~K*~T) = ~(1*1) = ~(1)=0

Użyjmy teraz danych wejściowych K i T z punktu odniesienia ABCD12 dla kolumny ABCD7:

Tu również mamy trzy możliwości zdania prawdziwego:
A.
K=1, T=1
Y = ~[~(K)*~(T)] = ~[~(1)*~(1)] = ~[0*0] = ~[0] =1
B.
K=1, T=0
Y = ~[~(K)*~(T)] = ~[~(1)*~(0)] = ~[0*1] = ~[0] = 1
C.
K=0, T=1
Y = ~[~(K)*~(T)] = ~[~(0)*~(1)] = ~[1*0] = ~[0] = 1

Dla ostatniej możliwej kombinacji zdanie W będzie fałszywe:
D.
K=0, T=0
Y = ~[~(K)*~(T)] = ~[~(0)*~(0)] = ~[1*1] = ~[1] = 0

Jak widzimy prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1
działają fenomenalnie

Zauważmy, że zdecydowanie prościej jest podstawiać wartości zmiennych użytych w równaniu logicznym.

Dla równania:
Y = ~(~K*~T)
Będą to oczywiście zmienne ~K i ~T zdefiniowane w obszarze ABCD45.

Podsumowanie

Prawo De Morgana:
W.
Y = K+T = ~(~K*~T)
Nie jest zdaniem zawsze prawdziwym bowiem matematycznie równanie powyższe oznacza.

Lewa strona:
Y = (K+T)
Dla wartościowania:
K=0, T=0
Y = K+T = 0+0=0
Zdanie W jest fałszywe.
Dla pozostałych wartościowań zdanie W będzie prawdziwe.

Prawo Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1

Prawa strona:
Y = ~(~K*~T)
Z prawa Prosiaczka wynika, że jedynym zdaniem fałszywym będzie zdanie dla wartościowania:
~K=1 i ~T=1
Y = ~(~K*~T) = ~(1*1) = ~(1)=0
Pozostałe zdania będą prawdziwe.

Zatem nie dla każdego wartościowania K i T (~K i ~T) zdanie W jest prawdziwe!
cnd

Pojecie zdania zawsze prawdziwego:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Można więc między bajki włożyć.

Czy są jakieś pytania?


3.0 Uproszczona analiza prawa De Morgana

Rozważmy zdanie z naszego przykładu:
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
A2.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i A2 mamy prawo De Morgana:
Y = K+T = ~(~K*~T)

stąd zdanie tożsame do A1:
A3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina ~K=1 i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=K+T = ~(~K*~T)

Rozważmy zdanie A1.
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Oczywiście możliwe są trzy przypadki dla których zdanie A1 jest prawdziwe:
1.
K=1, T=1
Y=K+T = 1+1=0
2.
K=1, T=0
Y=K+T=1+0=1
3.
K=0, T=1
Y = K+T = 0+1=1
Dla ostatniego możliwego przypadku K i T zdanie A1 będzie fałszywe:
4.
K=0, T=0
Y=K+T = 0+0=0

Prawo Prosiaczka:
p=0<=>~p=1

Stąd dla równania:
Y=~(~K*~T)
jedynym przypadkiem fałszywym będzie:
~K=1, ~T=1
Y = ~(~K*~T)=~(1*1)=~(1)=0

Dla pozostałych kombinacji ~K i ~T zdanie:
Y=~(~K*~T)
Musi być prawdziwe:
1.
~K=0, ~T=0
Y = ~(~K*~T)=~(0*0) = ~(0) =1
2.
~K=0, ~T=1
Y = ~(~K*~T) = ~(0*1)=~(0) =1
3.
~K=1, ~T=0
Y = ~(~K*~T)=~(1*0) = ~(0) =1

Znaczenie zmiennych w logice ujemnej i dodatniej:
~K=1 - jutro nie pójdziemy do kina w logice ujemnej (bo ~K)
~K=0 - jutro pójdziemy do kina w logice ujemnej (bo ~K)
~T=1 - jutro nie pójdziemy do teatru w logice ujemnej (bo ~T)
~T=0 - jutro pójdziemy do teatru w logice ujemnej (bo ~T)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) - skłamię w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=0 - fałszem jest (=0) że skłamię (~Y) = dotrzymam słowa - dotrzymam słowa w logice ujemnej (bo ~Y)

Prawa Prosiaczka:
~p=1 <=> p=0
~p=0 <=> p=1

Stąd seria zdań tożsamych:
K=0 - jutro nie pójdziemy do kina w logice dodatniej (bo K)
K=1 - jutro pójdziemy do kina w logice dodatniej (bo K)
T=0 - jutro nie pójdziemy do teatru w logice dodatniej (bo T)
T=1 - jutro pójdziemy do teatru w logice dodatniej (bo T)
Y=0 - skłamię w logice dodatniej (bo Y)
Y=1 - dotrzymam słowa w logice dodatniej (bo Y)


Rozważmy zdanie symetryczne, mające ZERO wspólnego ze zdaniem z naszego przykładu!

… bowiem matematycznie zachodzi:
Y = K+T = ~(~K*~T) ## Y = K*T = ~(~K+~T)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

B1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
B2.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając B1 i B2 mamy prawo De Morgana:
Y = K*T = ~(~K+~T)

stąd zdanie tożsame do B1:
B3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina ~K=1 lub nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=K*T = ~(~K+~T)

Rozważmy zdanie B1.
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1

Oczywiście jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie dla wartościowania:
K=1, T=1
Y=K*T = 1*1=1

Pozostałe trzy przypadki muszą być fałszywe:
1.
K=0, T=0
Y=K*T = 0*0=0
2.
K=0, T=1
Y=K*T=0*1=0
3.
K=1, T=0
Y = K*T = 1*0=0

Prawo Prosiaczka:
p=1<=>~p=0

Stąd dla równania:
Y=~(~K+~T)
jedynym przypadkiem prawdziwym będzie:
~K=0, ~T=0
Y = ~(~K+~T)=~(0+0)=~(0)=1

Dla pozostałych kombinacji ~K i ~T zdanie:
Y=~(~K+~T)
Musi być fałszywe:
1.
~K=1, ~T=1
Y = ~(~K+~T)=~(1+1) = ~(1) =0
2.
~K=1, ~T=0
Y = ~(~K+~T) = ~(1+0)=~(1) =0
3.
~K=0, ~T=1
Y = ~(~K+~T)=~(0+1) = ~(1) =0
cnd


Na zakończenie rozważmy takie zdanie

C1.
Jutro nie pójdę ani do kina ani do teatru
Zdanie tożsame:
Jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=~K*~T - logika dodatnia (bo Y)

Oczywiście to zdanie nie ma nic wspólnego z dwoma zdaniami analizowanymi wyżej bo matematycznie zachodzi:

Y = K+T = ~(~K*~T) ## Y = K*T = ~(~K+~T) ## Y=~K*~T = ~(K+T)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

C1.
Jutro nie pójdę ani do kina ani do teatru
Y=~K*~T
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=K+T
C2.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
~Y=K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając C1 i C2 mamy prawo De Morgana:
Y = ~K*~T = ~(K+T)

stąd zdanie tożsame do C1:
C3.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro pójdę do kina (K=1) lub pójdę do teatru (T=1)
Y=~K*~T = ~(K+T)

Rozważmy zdanie C1.
Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Oczywiście jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie dla wartościowania:
~K=1, ~T=1
Y=~K*~T = 1*1=1

Pozostałe trzy przypadki muszą być fałszywe:
1.
~K=0, ~T=0
Y=~K*~T = 0*0=0
2.
~K=0,~ T=1
Y=~K*~T=0*1=0
3.
~K=1, ~T=0
Y = ~K*~T = 1*0=0

Prawo Prosiaczka:
~p=1 <=> p=0
Jeśli ~p=1 to p=0

Stąd dla równania:
Y=~(K+T)
jedynym przypadkiem prawdziwym będzie:
K=0, T=0
Y = ~(K+T)=~(0+0)=~(0)=1

Dla pozostałych kombinacji K i T zdanie:
Y=~(K+T)
Musi być fałszywe:
1.
K=1, T=1
Y = ~(K+T)=~(1+1) = ~(1) =0
2.
K=1, T=0
Y = ~(K+T) = ~(1+0)=~(1) =0
3.
K=0, T=1
Y = ~(K+T)=~(0+1) = ~(1) =0
cnd


4.0 Zdanie zawsze prawdziwe

Zdaniem zawsze prawdziwym jest w logice wyłącznie zdanie wchodzące w skład operatora chaosu o definicji:
Kod:

   p q p~~>q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 0  =1
D: 0 1  =1

Gdzie:
~~> naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

Przykład zdania zawsze prawdziwego:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=1 bo 24
B.
P8~~>~P3 =1 bo 8
C.
~P8~~>~P3 =1 bo 2
D.
~P8~~>P3=1 bo 3

Oczywiście wartość matematyczna zdania zawsze prawdziwego jest równa ZERU ABSOLUTNEMU!
cnd

Czy są jakieś pytania?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 18:12, 05 Mar 2013, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 14:54, 26 Lut 2013    Temat postu:

...

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:22, 04 Mar 2013, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 23:29, 26 Lut 2013    Temat postu:

....

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:22, 04 Mar 2013, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25038
Przeczytał: 16 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 23:42, 26 Lut 2013    Temat postu:

....

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:22, 04 Mar 2013, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin