Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

BIBLIA - Algebra Kubusia Beta.1.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23745
Przeczytał: 46 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 15:31, 22 Mar 2012    Temat postu: BIBLIA - Algebra Kubusia Beta.1.0

2012-03-18 Przed premierą ...

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji.

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Podręcznik w oryginale:
BIBLIA - Algebra Kubusia

Szczególne podziękowania dla:
www.sfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Wstęp

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest pełna, zero-jedynkowa lista operatorów logicznych zapisana w formie równań algebry Kubusia (Boole’a!). Równania te wyprowadzone zostały z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, oraz niezależnie z nowej teorii zbiorów. Nowa teoria zbiorów jest w 100% zgodna z aksjomatycznymi, zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Nowa teoria zbiorów to fundamentalnie inne diagramy graficzne niż obowiązujące diagramy Venna.

Algebra Kubusia jest zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Podsumowanie 6-letniej wojny Algebra Kubusia vs KRZiP

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
3.2 Dziedzina i zbiór aktualny

4.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej
4.3 Równania logiczne dla operatora OR
4.3.1 Osiem równań opisujących operator OR
4.4 Równania logiczne dla operatora AND
4.4.1 Osiem równań opisujących operator AND
4.5 Logika zero

5.0 Operatory OR i AND
5.1 Właściwości operatorów OR i AND
5.2 Operator OR w zbiorach
5.3 Operator AND w zbiorach

6.0 Operatory implikacji i równoważności
6.1 Właściwości implikacji
6.2 Operator implikacji prostej w zbiorach
6.3 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
6.4 Równoważność w zbiorach
6.5 Warunek konieczny i wystarczający w równoważności
6.6 Kwadrat logiczny równoważności
6.7 Kwadrat logiczny implikacji
6.8 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
6.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
6.10 Licealne definicja implikacji i równoważności

7.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
7.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
7.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
7.3 Operatory transmisji P i Q
7.4 Operatory negacji NP i NQ
7.5 Operator XOR

8.0 Obietnice i groźby
8.1 Obietnica
8.2 Groźba
8.3 Obietnica w równaniach logicznych
8.4 Groźba w równaniach logicznych
8.5 Analiza złożonej obietnicy
8.6 Analiza złożonej groźby
8.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
8.8 Rodzaje obietnic

9.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
9.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
9.2 Świat częściowo zdeterminowany
9.3 Złożona implikacja prosta w świecie zdeterminowanym
9.4 Złożona implikacja odwrotna w świecie zdeterminowanym
9.5 Zdania złożone typu p+(q*r)
9.6 Zdania złożone typu p*(q+r)

10.0 Nieznane prawa logiki


1.0 Notacja

Ogólnie:
1 - prawda
0 - fałsz

Fundamentem algebry Kubusia jest Nowa Teoria Zbiorów gdzie:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

~ - symbol przeczenia NIE

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

# - różne
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji
Prawa de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek.


1.1 Podsumowanie 6-letniej wojny algebra Kubusia vs KRZiP

Wojna o ostateczny kształt algebry Kubusia trwała 6 lat, przede wszystkim na forach śfinia.pl i [link widoczny dla zalogowanych]

Klasyczny Rachunek Zdań (ściślej mówiąc rachunek zero-jedynkowy) to fundament zarówno technicznej algebry Boole’a jak i algebry Kubusia. Nie ma tu takich pojęć jak prawda/fałsz, prawdziwość/fałszywość zdania. Pojęcia te wprowadza dopiero Klasyczny Rachunek Zdań i Predykatów (KRZiP), oraz konkurencyjna algebra Kubusia.

W dzisiejszej „matematyce” (KRZiP) panuje dogmat o niemożliwości opisu matematycznego logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego.

[link widoczny dla zalogowanych] napisał:

4.002 Człowiek posiada zdolność budowania języków, które pozwalają wyrazić każdy sens - nie mając przy tym pojęcia, co i jak każde słowo oznacza. - Podobnie też mówimy, nie wiedząc, jak wytwarzane są poszczególne głoski.
Język potoczny stanowi część organizmu ludzkiego i jest nie mniej niż on skomplikowany.
Wydobycie logiki języka wprost z języka potocznego jest niepodobieństwem.
Język przesłania myśl. Tak mianowicie, że z zewnętrznej formy szaty nie można wnosić o formie przybranej w nią myśli. Kształtowaniu szaty przyświecają bowiem zgoła inne cele, niż ujawnianie formy ciała.
Ciche umowy co do rozumienia języka potocznego są niebywale skomplikowane.

Język potoczny musi mieć kręgosłup matematyczny inaczej człowiek z człowiekiem nigdy by się nie dogadał. Ten kręgosłup to Algebra Kubusia.
Algebra Kubusia to matematyka każdego 5-cio latka, więc gdzie tu jest to „niebywałe skomplikowanie”?

Ziemscy matematycy nie znają poprawnej interpretacji równań algebry Boole’a.

Zrozumienie elementarnego banału matematycznego iż z dowolnej tabeli zero-jedynkowej można wygenerować tylko i wyłącznie 8 różnych równań algebry Boole’a w spójnikach „lub(+)” i „i(*)”, cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej, to masakra całej współczesnej logiki matematycznej zwanej KRZiP.

Dlaczego?
Te równania są dowodem, iż spójniki logiczne z naturalnej logiki człowieka nie są kompletnymi operatorami logicznymi!

Operator logiczny to zawsze złożenie spójnika w logice dodatniej ze spójnikiem przeciwnym w logice ujemnej.

Przykład:
Definicja operatora OR
Kod:

p q Y=p+q
Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y
           |Definicja symboliczna spójnika „lub” w logice dodatniej
1 1  =1    | p* q= Y
1 0  =1    | p*~q= Y
0 1  =1    |~p* q= Y
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y
           |Definicja symboliczna spójnika „i” w logice ujemnej
0 0  =0    |~p*~q=~Y

Definicję symboliczną otrzymujemy korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1

Kompletny operator OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q
To co wyżej to operator AND w równaniach algebry Boole’a

Sam znaczek „+” nigdy nie będzie operatorem OR jak to się ziemskim matematykom zdaje!

Dowód:
Y=p+q
neguję wszystkie zmienne:
~Y=~p+~q
... i zapytuję ziemskich matematyków:
Czy to jest definicja operatora AND?

Panowie ziemscy matematycy, dopóki nie zrozumiecie iż znaczek „+” nie jest kompletnym operatorem OR, dopóty możecie sobie szukać matematyki opisującej logikę człowieka do końca świata - nigdy jej znajdziecie!


2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

2.0.1
Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1

Równania algebry Boole’a to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Boole’a i odwrotnie.

2.0.2
Techniczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

2.0.3
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

2.0.4
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio z prawa Sowy.

2.0.5
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych zgodna z techniczną algebrą Boole’a o definicji operatora logicznego jak wyżej, totalnie sprzeczna z KRZiP.


3.0 Nowa teoria zbiorów

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

3.0.1
1.
Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Definicja operatora OR:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q

3.0.2
2.
Zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~p*~q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim

Definicja operatora AND:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

3.0.3
3.
Zbiory rozłączne.

Definicja operatora XOR:
p XOR q = p*~q + ~p*q
Podstawowe właściwości:
p*~q = p
q*~p = ~p*q = q
stąd:
p XOR q = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów

3.0.4
4.
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q, ale nie jest tożsamy ze zbiorem q

Implikacja prosta:
p=>q = ~p~>~q

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
p* q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=0
p* ~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
p*~q=0 - relacja wymuszająca zawieranie się zbioru p w zbiorze q

3.0.5
5.
Zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q, ale nie jest tożsamy ze zbiorem ~q

Implikacja odwrotna:
p~>q = ~p=>~q
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Kod:

A.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p* ~q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
B.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
~p* q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne,
              stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
~p*q=0 - relacja wymuszająca zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q

3.0.6
6.
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Gdzie:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej bo q, o definicji w A i B
A.
p=>q=1
p*q=1*1=1 - zbiory p i q istnieją i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
p=>~q=0
p*~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero

Warunek wystarczający => w logice ujemnej bo ~q, o definicji w C i D
C.
~p=>~q=1
~p*~q=1*1=1 - zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
~p=>q=0
~p*q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero

3.0.7
Definicja zbioru:
Zbiór w sensie matematycznym to zbiór opisywalny aksjomatycznymi definicjami operatorów logicznych jak wyżej


3.1 Podstawowe działania na zbiorach

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

3.1.1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach

3.1.2
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p*q=[1,2]

3.1.3
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]
Dla dziedzina: zbiór liczb naturalnych
p+q = p*q + p*~q +~p*q = [1,2]+[3,4]+[5,6] = [1,2,3,4,5,6]
Objaśnienia:
p*~q
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,5,6]
~q - zbiór wszystkich liczb naturalnych z wykluczeniem q
stąd:
p*~q = [3,4]

3.1.4
Różnica zbiorów:
Zbiory mające część wspólną:
Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o cześć wspólna zbiorów p i q
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = [5,6]
Dla dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Y = p-q = p*~q = [3,4]
Y= q-p = q*~p = ~p*q = [5,6]

3.1.5
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów
Stąd:
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym

Zbiór pusty = brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
Y=p*q=0 - zbiory rozłączne
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q =0 - brak części wspólnej, zbiór pusty
Dla dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Y= p-q = p*~q = p = [1,2]
Y = q-p = q*~p = ~p*q = q = [3,4]
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q= p
Nie jest tu wymagana przynależność p i q do tej samej dziedziny.

3.1.6
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
@ - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p+@ = p+0 = p
p*@ = p*0 = 0

W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero.
Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @.

Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

Przykład:
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Stąd każdy polonista, ekspert algebry Kubusia, zaakceptuje tylko i wyłącznie takie zdanie prawdziwe:
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT

Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe


3.2 Dziedzina i zbiór aktualny

Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu.

3.2.1
Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie

Oznacza to, że nie wolno do jednego zbioru wkładać psa, krzesła, samochodu, wąsów dziadka itp

Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik

Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q

3.2.2
Definicja dziedziny:
Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność

W algebrze Kubusia musi być spełnione:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
q+~q=1 - zbiór ~q jest dopełnieniem zbioru q do wspólnej dziedziny D
q*~q=0 - żaden element zbioru ~q nie należy do zbioru q

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L

Dziedzina po stronie p:
P +~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt

Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory operują w tej samej dziedzinie.

3.2.3
Zbiór bieżący (aktualny):
Zbiór bieżący (aktualny) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”

Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych oba zbiory p i q należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej nie są rozłączne.

3.2.4
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie implikacje:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
P*~K=P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
P*~S=P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.


4.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Każdy człowiek w swoim naturalnym języku mówionym posługuje się równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Kubusia.
Z dowolnego równania algebry Kubusia można wygenerować odpowiadającą mu, jednoznaczną tabelę zero-jedynkową.
Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Kubusia w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej.
W tym rozdziale poznamy banalną technikę tworzenia tych równań.


4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)

4.1.1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

4.1.2
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

4.1.3
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p=p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p=p
p+~p = 1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

4.1.4
Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

4.1.5
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

4.1.6
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.

Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

4.1.7
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

4.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przykład:
Y=p+[q*(r+s)] - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*[~q+(~r*~s)] - logika ujemna bo ~Y

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=1
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spojników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy:
~Y=~p*~q
Przejście do logiki przeciwnej:
Y = p+q
cnd


4.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej

W tym rozdziale udowodnimy, iż nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji, wszelkich innych praw logicznych także!

Absorpcja:
p*(p+q)=p

4.2.1
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*1=p
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

4.2.2
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
Kod:

p q p+q p*(p+q)
1 1 =1   =1
1 0 =1   =1
0 1 =1   =0
0 0 =0   =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p

4.2.3
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd


4.3 Równania logiczne dla operatora OR

Matematyczne fundamenty tworzenia równań algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

4..3.1
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3

Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.

4.3.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii D123 bowiem mamy tu samotne zero.
D.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
D.
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie:
D.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar D123.

4.3.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+) i odwrotnie.

Przechodzimy z równaniem D do logiki przeciwnej otrzymując:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar ABC123

Zauważmy, że mamy tu 100% zgodność z definicją spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

4..3.4
Równoważną definicję spójnika „lub”(+) otrzymamy opisując same jedynki w definicji zero-jedynkowej.
Mamy spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Stąd mamy równoważną definicję spójnika ‘lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli.

4.3.5
Oczywiście zachodzi tożsamość matematyczna:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

Stąd:
4.3.6
Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
E: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
    1  2  3

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając E i D mam prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)


4.3.1 Osiem równań opisujących operator OR

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR wyprowadzonej w poprzednim punkcie.

Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1          |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q                      |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q)                 |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)      |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja    |                |
Symboliczna  |                |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q     |Y=p*q+p*~q+~p*q |                       |
             |p q Y=p+q       | ~p ~q ~Y=~p*~q        |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 /p*q =Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 /p*~q=Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p*q=Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0         |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3            4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |Y=p+q           |~Y=~p*~q
             |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0       | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.


4.4 Równania logiczne dla operatora AND

4.4.1
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3


Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.

4.4.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii A bowiem mamy tu samotną jedynkę.
A.
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Jak widzimy, na mocy definicji spójnika „i”(*) w równaniu A możemy usunąć bezwzględne jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową.
Mamy zatem:
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
To równanie opisuje wyłącznie linię A123 w powyższej tabeli

4.4.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+) i odwrotnie.

Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej otrzymując:
B1.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
To równanie opisuje obszar BCD123 w powyższej tabeli

4.4.4
Równanie równoważne do B1 otrzymamy z linii BCD123 gdzie mamy zera w wyniku:
Mamy spis z natury:
1.
B: Y=0 <=> p=0 i q=0
lub
C: Y=0 <=> p=0 i q=1
lub
D: Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
2.
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „i”(*)
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Na mocy tej definicji w liniach możemy zapisać równania Kubusia:
3.
B:
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C:
~Y = ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D:
~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Na mocy tej definicji linie BCD123 możemy zapisać w jednym równaniu logicznym:
4.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)

4.4.5
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
To równanie opisuje wyłącznie obszar BCD123 w tabeli zero-jedynkowej

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR I AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
Stąd:
4.4.6
Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y
S: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i S mam prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)


4.4.1 Osiem równań opisujących operator AND

Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND wyprowadzonej w poprzednim punkcie.

Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q

Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)

Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)

Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]

Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
Kod:

Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1            |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q                        |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q)                   |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q)        |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]   |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
------------------------------------------------------------
Definicja    |                  |
Symboliczna  |                  |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
             |
Dotrzymam    |
slowa: Y=1   |p q Y=p*q         | ~p ~q 2:~Y=~p+~q      | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
Sklamie: ~Y=1|                  |  ~Y=~p+~q             |
W: ~Y=~p+~q  |                  |  ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q   |
B: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
C: ~p* q=~Y  |0 1  =0           |  1  0   =1 /~p* q=~Y  | =0
D:  p*~q=~Y  |1 0  =0           |  0  1   =1 / p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.

Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.

Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?

Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)

Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.

Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)

Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.


4.5 Logika zero

Logika zero jest logiką totalnie przeciwną do naturalnej logiki człowieka.
Logika zero i logika człowieka to logiki tożsame.

Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
Kod:

   p q  Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
   1 2  3


Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Obszar działania: ABC123

Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Obszar działania: D123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logika człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „lub”(+), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „i”.

Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
Kod:

   p q  Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
   1 2  3


Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Obszar działania: A123

Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 0.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=>p=0 lub q=0

Obszar działania: BCD123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logiką człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „i”(*), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „lub”.

Ułożymy wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla zero-jedynkowej definicji operatora OR.
Kod:

                |Logika człowieka  |Logika zero
   p q  Y=p+q   |Y=p*q+p*~q+~p*q   |~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
A: 1 1 =1       | Y= p* q          |~Y=~p+~q
B: 1 0 =1       | Y= p*~q          |~Y=~p+ q
C: 0 1 =1       | Y=~p* q          |~Y= p+~q
D: 0 0 =0       |~Y=~p*~q          | Y= p+q
   1 2  3

W logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionach.
LC: Y = p*q + p*~q + ~p*q

W logice zero wszystkie zmienne sprowadzamy do zera korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=1 to ~p=0
W tabeli symbolicznej używamy spójnika „lub”(+) w poziomach i spójnika „i”(*) w pionach:
LZ: ~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

Dowód tożsamości tych logik.
Przechodzimy z równaniem LZ do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
LZ: Y= (p*q) + (p*~q) + (~p*q)

Doskonale widać:
LC=LZ
cnd

Oczywiście logikę zero wywalamy w kosmos, bowiem naturalną logiką dla każdego człowieka jest logika człowieka.


5.0 Operatory OR i AND

5.0.1
Aksjomatyczna definicja operatora OR:
Kod:

Definicja     |Definicja symboliczna
zero-jedynkwa |Teoria zbiorów
p q Y=p+q     |Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q
1 1  =1       | p* q= Y
1 0  =1       | p*~q= Y
0 1  =1       |~p* q= Y
              |~Y=~p*~q
0 0  =0       |~p*~q=~Y

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej na mocy prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Stąd
Kompletna definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Y = p+q =p*q + p*~q + ~p*q
~Y=~p*~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd:
Definicja operatora OR w jednym równaniu algebry Kubusia:
Y= p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana

5.0.2
Aksjomatyczna definicja operatora AND:
Kod:

Definicja      |Definicja symboliczna
zero-jedynkowa |Teoria zbiorów
p q Y=p*q      |Y=p*q
1 1  =1        | p* q= Y
               |~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
0 0  =0        |~p*~q=~Y
0 1  =0        |~p* q=~Y
1 0  =0        | p*~q=~Y

Definicja symboliczna powstała z tabeli zero-jedynkowej na mocy prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Stąd
Kompletna definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia:
Y = p*q
~Y=~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd:
Definicja operatora AND w jednym równaniu algebry Kubusia:
Y= p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana

5.0.3
Dowód poprawności definicji AND i OR:
Negując wszystkie sygnały w definicji operatora AND musimy otrzymać operator OR.
Operator AND:
Y= p*q = ~(~p+~q)
Negujemy sygnały wejściowe p i q:
y=~p*~q = ~(p+q)
Negujemy wyjście y otrzymując:
Definicja operatora OR w jednym równaniu algebry Kubusia:
~y = ~(~p*~q) = p+q

Wniosek:
Operator OR jest logiką ujemną (~y) w stosunku do AND (albo odwrotnie).

5.0.4
Oczywiście matematycznie zachodzi:
AND: Y= p*q = ~(~p+~q) ## OR: ~y= p+q = ~(~p*~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

5.0.5
Definicja:
Operatorowa logika ujemna:
~y - operator OR jest logiką ujemną w stosunku do operatora AND (duże Y)
albo symetrycznie:
~y - operator AND jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (duże Y)

Uwaga:
Między Y a ~y nie zachodzi prawo przejście do logiki przeciwnej. To dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne prawa tożsamościowe.


5.1 Właściwości operatorów OR i AND

Definicje operatorów AND i OR w równaniach algebry Kubusia:
AND: Y= p*q = ~(~p+~q) ## OR: ~y= p+q = ~(~p*~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - definicja operatora AND
p+q = ~(~p*~q) - definicja operatora OR

W operatorach AND i OR zachodzi przemienność argumentów:
p*q = q*p
p+q = p*q

Dowód formalny:
Kod:

Operator AND:                         |Operator OR:
Y=p*q=~(~p+~q)                        |~y=p+q=~(~p*~q)
Y - operatorowa logika dodatnia       |~y - operatorowa logika ujemna
             Y=q*p                    |~y=q+p
   p q ~p ~q Y=p*q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)|~y=p+q y=~p*~q ~y=~(~p*~q)
A: 1 1  0  0  =1     =0      =1       |  =1    =0       =1
B: 1 0  0  1  =0     =1      =0       |  =1    =0       =1
C: 0 1  1  0  =0     =1      =0       |  =1    =0       =1
D: 0 0  1  1  =0     =1      =0       |  =0    =1       =0
   1 2  3  4   5      6       7       |   8     9       10   

W kolumnie ABCD5 widać przemienność argumentów w operatorze AND:
p*q=q*p
W kolumnie ABCD8 widać przemienność argumentów w operatorze OR:
p+q=q+p

Prawa de’Morgana
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD7 jest dowodem zachodzenia prawa de’Morgana:
Y=p*q=~(~p+~q)
Zauważmy, że prawo de’Morgana zachodzi tu w tej samej logice Y

Tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD10 jest dowodem zachodzenia prawa de’Morgana:
~y=p+q=~(~p*~q)
Zauważmy, że prawo de’Morgana zachodzi tu w tej samej logice ~y


5.2 Operator OR w zbiorach

5.2.1
Operator OR w zbiorach

Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y).



Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
A1.
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
stąd:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q



Definicja spójnika “i”(*) w zbiorach w logice ujemnej (bo ~Y)
B.
~Y=~p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

W teorii zbiorów zera i jedynki oznaczają

Po stronie wejścia p i q:
1 - zbiór niepusty, istnieje
0 - zbiór pusty, nie istnieje

Po stronie wyjścia Y:
1 - iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem niepustym
0 - iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym

Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p+q w kompletnej dziedzinie, czyli mamy odpowiedź zarówno na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y), jak również odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y).

5.2.2
Symboliczna definicja operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
E: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A:  p* q= Y
B:  p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y
~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y

Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając E i D mam prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)

5.2.3
Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji operatora OR:
Kod:

Dotrzymam słowa: Y=1
E: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
             |p q Y=p+q         | ~p ~q ~Y=~(p+q)=~p*~q |Y=~(~p*~q)
A:  p* q= Y  |1 1  =1 / p* q= Y |  0  0   =0            | =1
B:  p*~q= Y  |1 0  =1 / p*~q= Y |  0  1   =0            | =1
C: ~p* q= Y  |0 1  =1 /~p* q= Y |  1  0   =0            | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y  |0 0  =0           |  1  1   =1 /~p*~q=~Y  | =0
              1 2   3              4  5    6               7
Punkt odniesienia to zawsze zdanie z nagłówka tabeli:
             |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
             |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
             |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y=p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.

Definicje zero-jedynkowe zależą od przyjętego punktu odniesienia.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.

Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatorów OR i AND:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
W operatorach OR i AND linie z zerami w wyniku są nieistotne, gdyż interesuje nas wyłącznie odpowiedź na dwa pytania:
Kiedy dotrzymam słowa (Y)?
Y=1 /obszar ABC123
Kiedy skłamię (~Y)?
~Y=1 /linia D456

5.2.4
Operator OR w bramkach logicznych.
Prawo de’Morgana
Y=p+q = ~(~p*~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki OR w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki AND, otrzymując bramkę OR.

Doświadczenie
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora OR przedstawionymi wyżej.



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy, po lewej i prawej stronie, dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora OR.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p+q = ~(~p*~q)

Zero-jedynkowa definicja bramki OR (operatora OR):
Kod:

p q Y=p+q
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /obszar ABC123
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p+q

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /linia D456
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p*~q

W laboratorium techniki cyfrowej wymuszamy na wejściach p i q dowolne zera i jedynki przełącznikami. Próbnikiem stanów logicznych sprawdzamy zgodność rzeczywistości z tabelami zero-jedynkowymi wyżej.
Znaczenie światełek w próbniku stanów logicznych:
0 - zielona dioda świecąca LED
1 - czerwona dioda świecąca LED
Pewne jest, że algebra Kubusia ma 100% pokrycie w teorii i praktyce bramek logicznych.

5.2.5
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
~K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: Jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu W otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu D otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Kod:

Definicja
Symboliczna
W: Y=K+T       | K T Y=K+T    |~K ~T ~Y=~K*~T |Y=~(~K*~T)
A: K* T= Y     | 1 1  =1      | 0  0   =0     | =1
B: K*~T= Y     | 1 0  =1      | 0  1   =0     | =1
C:~K* T= Y     | 0 1  =1      | 1  0   =0     | =1
D:~K*~T=~Y     | 0 0  =0      | 1  1   =1     | =0
               | 1 2   3      | 4  5    6     |  7
Punktem odniesienia w tabelach zero-jedynkowych jest nagłówek tabeli
               |K=1, ~K=0     |~K=1, K=0
               |T=1, ~T=0     |~T=1, T=0
               |Y=1, ~Y=0     |~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana.
Y=K+T = ~(~K*~T)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y)
Podstawiając W i D mamy prawo de’Morgana:
Y=K+T = ~(~K*~T)

5.2.6
Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q

Załóżmy że jest już pojutrze i nie byliśmy w kinie (~K=1) oraz byliśmy w teatrze (T=1), czyli dotrzymaliśmy słowa (Y=1):
Y=~K*T
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0

5.2.7
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

 K* T= 0*1=0
 K*~T= 0*0=0
~K* T= 1*1=1
~K*~T= 1*0=0

5.2.8
Doskonale widać działanie prawa Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego:
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.

5.3 Operator AND w zbiorach

5.3.1
Operator AND w zbiorach

Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y).



Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1



Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
B.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
B1.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
stąd:
~Y=~p+~q =~p*~q + ~p*q + p*~q

Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p*q w kompletnej dziedzinie.

W teorii zbiorów zera i jedynki oznaczają.
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty

Zauważmy, że oba diagramy razem opisują zdanie Y=p*q w kompletnej dziedzinie, czyli mamy odpowiedź zarówno na pytanie kiedy dotrzymam słowa (Y), jak również odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (~Y).

5.3.2
Symboliczna definicja operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa Y
Y=p*q
A:  p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y
S: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D:  p*~q=~Y

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i S mam prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)

5.3.3
Kodowanie zero-jedynkowe symbolicznej definicji operatora AND:
Kod:

Dotrzymam słowa: Y=p*q
                   |p q Y=p*q          |~p ~q ~Y=~(p*q)=~p+~q | Y=~(~p+~q)
A:  p* q= Y        |1 1  =1 / p* q= Y  | 0  0  =0             |  =1
Skłamię: ~Y
E: ~Y=~p+~q
E: ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y        |0 0  =0           | 1  1   =1 /~p*~q=~Y   |  =0
C. ~p* q=~Y        |0 1  =0           | 1  0   =1 /~p* q=~Y   |  =0
D:  p*~q=~Y        |1 0  =0           | 0  1   =1 / p*~q=~Y   |  =0
                    1 2   3             4  5    6                 7
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                   |p=1, ~p=0         | ~p=1, p=0
                   |q=1, ~q=0         | ~q=1, q=0
                   |Y=1, ~Y=0         | ~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)

W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.

Definicje zero-jedynkowe zależą od przyjętego punktu odniesienia.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.

Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatorów OR i AND:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera w tabeli zero-jedynkowej oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
W operatorach OR i AND linie z zerami w wyniku są nieistotne, gdyż interesuje nas wyłącznie odpowiedź na dwa pytania:
Kiedy dotrzymam słowa (Y):
Y=1 /linia A123
Kiedy skłamię (~Y):
~Y=1 /obszar BCD456

5.3.4
Operator AND w bramkach logicznych.
Prawo de’Morgana:
Y=p*q = ~(~p+~q)
Z prawa de’Morgana wynika układ zastępczy bramki AND w technice cyfrowych układów logicznych:
Negujemy wejścia p i q oraz wyjście Y bramki OR otrzymując bramkę AND.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 21:59, 29 Mar 2012, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23745
Przeczytał: 46 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 22:00, 29 Mar 2012    Temat postu:

5.3.5
Doświadczenie
Zbudować poniższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora AND przedstawionymi wyżej.



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabele zero-jedynkową operatora AND.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
Y=p*q = ~(~p+~q)

Zero-jedynkowa definicja bramki AND (operatora AND):
Kod:

p q Y=p*q
1 1  =1
1 0  =0
0 1  =0
0 0  =0

Kompletna definicję operatora AND możemy obejrzeć w punkcie:
Y = p*q = ~(~p+~q)

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Kiedy dotrzymam słowa?
Y=1 /linia A123
Mamy w punkcie odniesienia: Y=p*q

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Kiedy skłamię?
~Y=1 /obszar BCD456
Mamy w punkcie odniesienia: ~Y=~p+~q

5.3.6
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Y=1 <=> K=1 i T=1
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
E.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że skłamię (~Y)
~K=1 - prawdą jest (=1), że wczoraj nie byłem w kinie (~K)

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q + ~p*q + q*~p
Dla naszego zdania E mamy:
E.
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
B: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
C: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu E otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Kod:

Definicja
Symboliczna
A: Y=K*T       | K T Y=K*T    |~K ~T ~Y=~K+~T |Y=~(~K*~T)
A: K* T= Y     | 1 1  =1      | 0  0   =0     | =1
B:~K*~T=~Y     | 0 0  =0      | 1  1   =1     | =0
C:~K* T=~Y     | 0 1  =0      | 1  0   =1     | =0
D: K*~T=~Y     | 1 0  =0      | 0  1   =1     | =0
               | 1 2   3      | 4  5    6     |  7
Punktem odniesienia w tabelach zero-jedynkowych jest nagłówek tabeli
               |K=1, ~K=0     |~K=1, K=0
               |T=1, ~T=0     |~T=1, T=0
               |Y=1, ~Y=0     |~Y=1, Y=0

Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana.
Y=K*T = ~(~K+~T)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y)
Podstawiając W i D mamy prawo de’Morgana:
Y=K*T = ~(~K+~T)

5.3.7
Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym wartości logiczne p i q są z góry znane.

Załóżmy że jest już pojutrze i nie byliśmy w kinie (~K=1) oraz byliśmy w teatrze (T=1), czyli skłamaliśmy (~Y=1):
~Y=~K*T
Mamy teraz świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
~Y=1, Y=0

5.3.8
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
Kod:

 K* T= 0*1=0
~K*~T= 1*0=0
~K* T= 1*1=1
 K*~T= 0*0=0

5.3.9
Doskonale widać działanie prawa Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego:
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
~Y=~K*T=1*1=1
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.


6.0 Operatory implikacji i równoważności

6.0.1
Aksjomatyczna definicja implikacji prostej:
Kod:

               |Zbiory       |Zdania
Definicja      |Definicja    |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna  |symboliczna
   p q p=>q    | p  q p=>q   | p   q p=>q
A: 1 1  =1     | p* q=1      | p=> q=1
B: 1 0  =0     | p*~q=0      | p=>~q=0
                             |p=>q=~p~>~q
C: 0 0  =1     |~p*~q=1      |~p~>~q=1
D: 0 1  =1     |~p* q=1      |~p~~>q=1
   1 2   3       4  5 6        7   8 9

Definicję symboliczną w zbiorach uzyskano z tabeli zero-jedynkowej na mocy prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1

6.0.2
Definicja implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~(p=>q) =p*~q - linia B456 po sprowadzeniu p=>q do jedynki
Po dwustronnej negacji:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Na mocy prawa de’Morgana:
p=>q = ~p+q
stąd:
Bramka implikacji prostej to bramka OR z zanegowaną w środku linią p.

6.0.3
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
Y = p=>q = ~p~>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny między p i q, spójnik „może” z naturalnej logiki człowieka
=> - warunek wystarczający między p i q, spójnik „na pewno” z naturalnej logiki człowieka
q - zdanie w logice dodatniej
~q - zdanie w logice ujemnej

Przykład:
Gwarancja w implikacji prostej:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Gwarancja:
P=>CH = ~(P*~CH)
Nie może się zdarzyć ~(...) że jutro będzie padało i nie będzie pochmurno
(P*~CH)

6.0.4
Aksjomatyczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

               |Zbiory       |Zdania
Definicja      |Definicja    |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna  |symboliczna
   p q p~>q    | p  q p~>q   | p    q p~>q
A: 1 1  =1     | p* q=1      | p~>  q=1
B: 1 0  =1     | p*~q=1      | p~~>~q=1
                             |p~>q=~p=>~q
C: 0 0  =1     |~p*~q=1      |~p=> ~q=1
D: 0 1  =0     |~p* q=0      |~p=>  q=0
   1 2   3       4  5 6        7    8 9

Definicję symboliczną w zbiorach uzyskano z tabeli zero-jedynkowej na mocy prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1

6.0.5
Definicja implikacji odwrotnej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
~(p~>q) =~p*q - linia D456 po sprowadzeniu p~>q do jedynki
Po dwustronnej negacji:
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Na mocy prawa de’Morgana:
p~>q = p+~q
stąd:
Bramka implikacji odwrotnej to bramka OR z zanegowaną w środku linią q.

6.0.6
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
Y = p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny między p i q, spójnik „może” z naturalnej logiki człowieka
=> - warunek wystarczający między p i q, spójnik „na pewno” z naturalnej logiki człowieka
q - zdanie w logice dodatniej
~q - zdanie w logice ujemnej

Przykład:
Gwarancja w implikacji odwrotnej:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padało
CH~>P
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P
Gwarancja:
CH~>P = ~CH=>~P = ~(~CH*P)
Nie może się zdarzyć ~(...) że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
(~P*CH)

6.0.7
Przypomnijmy definicję implikacji prostej:
Y = p=>q = ~p~>~q
Doskonale widać, iż po negacji wszystkich sygnałów otrzymamy operator implikacji odwrotnej:
~y = ~p=>~q = p~>q
stąd:
~y = p~>q = ~p=>~q
Jak widzimy operator implikacji odwrotnej jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora implikacji prostej (albo odwrotnie).

6.0.8
Na mocy definicji zachodzi:
IP: Y = p=>q = ~p~>~q ## IO: ~y = p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po lewej i prawej stronie mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

6.0.9
Definicja:
Operatorowa logika ujemna:
~y - operator implikacji odwrotnej IO jest logiką ujemną w stosunku do operatora implikacji prostej IP (duże Y)
IP: Y = p=>q = ~p~>~q ## IO: ~y = p~>q = ~p=>~q

albo symetrycznie:
~y - operator implikacji prostej IP jest logiką ujemną w stosunku do operatora implikacji odwrotnej IO (duże Y)
IO: Y = p~>q = ~p=>~q ## IP: ~y = p=>q = ~p~>~q

Uwaga:
Między Y a ~y nie zachodzi prawo przejście do logiki przeciwnej. To dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne prawa tożsamościowe.


6.1 Właściwości implikacji

6.1.1
Na mocy definicji zachodzi:
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

6.1.2
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej

6.1.3
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
gdzie:
# - różne
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0

6.1.4
Dowód formalny:
Kod:

Implikacja prosta:                  |Implikacja odwrotna:
Y=p=>q=~p~>~q                       |~y=p~>q=~p=>~q
Y - logika dodatnia                 |~y - logika ujemna
   p q ~p ~q Y=p=>q Y=q=>p Y=~p~>~q | ~y=p~>q ~y=q~>p ~y=~p=>~q
A: 1 1  0  0  =1     =1     =1      |   =1      =1      =1
B: 1 0  0  1  =0     =1     =0      |   =1      =0      =1
C: 0 0  1  1  =1     =1     =1      |   =1      =1      =1
D: 0 1  1  0  =1     =0     =1      |   =0      =1      =0
   1 2  3  4   5      6      7      |    8       9      10   

6.1.5
Prawa Kubusia
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD7 jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia:
Y=p=>q=~p~>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia zachodzi tu w tej samej logice Y
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD10 jest dowodem zachodzenia prawa Kubusia:
~y=p~>q=~p=>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia zachodzi tu w tej samej logice ~y

6.1.6
Brak przemienności argumentów:
Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD6 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
Y=p=>q # Y=q=>p
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Zauważmy, że brak przemienności argumentów zachodzi w tej samej logice Y
Brak tożsamości kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD9 jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
~y=p~>q # ~y=q~>p
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
Zauważmy, że brak przemienności argumentów zachodzi w tej samej logice ~y

6.1.7
Zauważmy, że mimo tożsamości kolumn wynikowych ABCD5 i ABCD9 zachodzi:
Y=p=>q ## ~y=q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
bowiem implikacja odwrotna to logika ujemna (~y) w stosunku do implikacji prostej (Y)
Podobnie, mimo tożsamości kolumn wynikowych ABCD8 i ABCD6 zachodzi:
~y=p~>q ## Y=q=>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
bowiem implikacja odwrotna to logika ujemna (~y) w stosunku do implikacji prostej (Y)


6.2 Operator implikacji prostej w zbiorach

6.2.1
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q

6.2.2
Definicja:
p*~q=0
Ta relacja między zbiorami wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q

6.2.3
Definicja warunku wystarczającego w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

               |Zbiory      |Zdania
Definicja      |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa |symboliczna |symboliczna
p q Y=p=>q     |            |Warunek wystarczający =>
1 1  =1        | p* q=1     |p=> q=1
1 0  =0        | p*~q=0     |p=>~q=1

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej na mocy prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że p musi być wystarczające dla q.
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q

6.2.4


Z wykresu odczytujemy definicję symboliczną warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1 - zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=0
Zbiory p i ~q są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.

6.2.5
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

p=> q=1
p*q  =1 - istnieje cześć wspólna zbiorów p i q
p=>~q=0
p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne, wynik: 0=zbiór pusty

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów p*q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów p*~q jest zbiorem pustym.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zobaczmy ten przypadek na diagramie.
6.2.6


Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1 - istnieje cześć wspólna
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1 - istnieje część wspólna
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

6.2.7
Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1       /Twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p=>~q=0      /Twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p~>~q=1     /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
D: ~p~~>q=1     /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C

p=>q = ~p~>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (nie w równoważności!)
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

6.2.8
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.

6.2.9
Definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Warunek wystarczający
w logice dodatniej (q)
                       Zbiory |p q p=>q        |~p ~q ~p~>~q
A: p=>q=1              p* q=1 |1 1 =1 /p=>q=1  | 0  0   =1
B: p=>~q=0             p*~q=0 |1 0 =0 /p=>~q=0 | 0  1   =0
.a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1           ~p*~q=1 |0 0 =1          | 1  1   =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1           ~p* q=1 |0 1 =1          | 1  0   =1 /~p~~>q=1
                               1 2  3            4  5    6
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                              |p=1, ~p=0       | ~p=1, p=0
                              |q=1, ~q=0       | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.

6.2.10
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji prostej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym AB123:
Kod:

A: p=>q=1    /1 1 =1
B: p=>~q=0   /1 0 =0

p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym CD456:
Kod:

C: ~p~>~q=1  /1 1 =1
D: ~p~~>q=1  /1 0 =1

~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia

6.2.11
Wnioski:
1.
Mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
2.
Matematycznie, z punktu widzenia świata zewnętrznego widzimy zero-jedynkową definicje operatora implikacji prostej (ABCD123) albo implikacji odwrotnej (ABCD456) w zależności od przyjętego punktu odniesienia.
3.
Sposób kodowania zero-jedynkowego nie wpływa na treść samych zdań, stąd oba kodowania zero-jedynkowe są równoważne.

6.2.12
Narysujmy schemat ideowy implikacji prostej w bramkach logicznych:
Definicja bramki „musi” =>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi” to bramka OR z zanegowaną w środku linią p
Definicja bramki „może”~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może” to bramka OR z zanegowaną w środku linią q



Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p=>q = ~p~>~q

Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście (~p).

6.2.13
Doświadczenie
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji prostej wyżej

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
Kod:

A: p=>q=1    /1 1 =1
B: p=>~q=0   /1 0 =0

Bramki „musi” =>

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
Kod:

C: ~p~>~q=1  /1 1 =1
D: ~p~~>q=1  /1 0 =1

Bramki „może” ~>

6.2.14
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
Zbiory:
P8=[8,16…]
P2=[2,4,8,16..]
P8*P2=1 bo 8,16…
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
P8=[8,16..]
~P2=[1,3,5…]
P8*~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, stąd 0 w wyniku
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
Zbiory:
~P8=[2,3,5…]
~P2=[3,5,7…]
~P8*~P2=1 bo 3,5…
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~P8=[2,4,5…]
P2=[2,4,6…]
~P8*P2=1 bo 2,4…
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Kod:

                   /P8 P2 P8=>P2
A: P8=>P2=1 bo 8   / 1  1  =1
B: P8=>~P2=0       / 1  0  =0
C: ~P8~>~P2=1 bo 3 / 0  0  =1
D: ~P8~~>P2=1 bo 2 / 0  1  =1
Punktem odniesienia jest zawsze nagłówek tabeli zero-jedynkowej
                   /P8=1, ~P8=0
                   /P2=1, ~P2=0

6.2.15
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

6.2.16
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*).

6.2.17
Definicja implikacji w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     / P8* P2
B: P8=>~P2    / P8*~P2
C: ~P8~>~P2   /~P8*~P2
D: ~P8~~>P2   /~P8* P2

6.2.18
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L3=>P8*P2
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P8=1 i P2=1
stąd dla liczby 8 mamy:
~P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     / P8* P2 =1*1=1
B: P8=>~P2    / P8*~P2 =1*0=0
C: ~P8~>~P2   /~P8*~P2 =0*0=0
D: ~P8~~>P2   /~P8* P2 =0*1=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.2.19
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
L3=>~P8*~P2
Co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
stąd dla liczby 3 mamy:
P8=0, P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     / P8* P2 =0*0=0
B: P8=>~P2    / P8*~P2 =0*1=0
C: ~P8~>~P2   /~P8*~P2 =1*1=1
D: ~P8~~>P2   /~P8* P2 =1*0=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.2.20
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L2=>~P8*P2
co matematycznie oznacza:
L2=1 => ~P8=1 i P2=1
Stąd dla liczby 2 mamy:
P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
Kod:

A: P8=>P2     / P8* P2 =0*1=0
B: P8=>~P2    / P8*~P2 =0*0=0
C: ~P8~>~P2   /~P8*~P2 =1*0=0
D: ~P8~~>P2   /~P8* P2 =1*1=1

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.


6.3 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach

6.3.1
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q
=> - warunek wystarczający, w implikacji spójnik „musi” między p i q

6.3.2
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.

Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:



p~>q

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1 - istnieje cześć wspólna zbiorów p i q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i ~q

6.3.3
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Zobaczmy to na diagramie logicznym:



~p=>~q

Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1 - zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q!
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=0
Zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.

Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

6.3.4
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo q):
Kod:

~p=>~q=1
~p*~q =1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
~p=>q =0
~p*q  =0 - zbiory ~p i q są rozłączne, stąd wynik: 0=zbiór pusty

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów ~p*q jest zbiorem pustym.

6.3.5
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~>q  =1   - miękka prawda, może zajść ale nie musi
B: p~~>~q=1   - miękka prawda, może zajść ale nie musi
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1   - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D: ~p=>q =0   - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C

p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
bo druga linia p~~>~q też ma prawo wystąpić
Gdzie:
~> - warunek konieczny
=> - warunek wystarczający
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy

6.3.6
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.

6.3.7
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia

Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
Kod:

Warunek konieczny
w logice dodatniej (q)
                       Zbiory  |p q p~>q         |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1               p* q=1 |1 1 =1 /p~>q=1   | 0  0   =1
B: p~~>~q=1             p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=0 | 0  1   =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1            ~p*~q=1 |0 0 =1           | 1  1   =1 /~p=>~q=1
D: ~p=>q =0            ~p* q=0 |0 1 =0           | 1  0   =0 /~p=> q=0
                                1 2  3             4  5    6
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
                               |p=1, ~p=0        | ~p=1, p=0
                               |q=1, ~q=0        | ~q=1, q=0

Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.

6.3.8
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym AB123:
Kod:

C: p~>q=1   /1 1 =1
D: p~~>~q=1 /1 0 =1

p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym CD456:
Kod:

A: ~p=>~q=1    /1 1 =1
B: ~p=>q=0     /1 0 =0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q

Jak widzimy, mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.

6.3.9
Narysujmy schemat ideowy implikacji odwrotnej w bramkach logicznych:
Definicja bramki „może”~>:
p~>q = p+~q
Bramka „może” to bramka OR z zanegowaną w środku linią q
Definicja bramki „musi” =>:
p=>q = ~p+q
Bramka „musi” to bramka OR z zanegowaną w środku linią p

6.3.10


Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p~>q = ~p=>~q

Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście (~p).

6..3.11
Doświadczenie
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji odwrotnej wyżej.

Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
Kod:

A: p~> q =1   /1 1 =1
B: p~~>~q=1   /1 0 =1

Bramki „może” ~>

Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
Kod:

C: ~p=>~q=1  /1 1 =1
D: ~p=> q=0  /1 0 =0

Bramki „musi” =>

6.3.12
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
P2=[2,4,8,16..]
P8=[8,16…]
P2*P8=1 bo 8,16…
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
P2=[2,4,6…]
~P8=[2,4,5…]
P2*~P8=1 bo 2,4…
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~P2=[3,5,7…]
~P8=[2,3,5…]
~P2*~P8=1 bo 3,5…
stad:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~P2=[1,3,5…]
P8=[8,16..]
~P2*P8=0 - zbiory rozłączne, wynik =0

W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: ~P2~>P8 = D: P2=>~P8=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu B nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.

6.3.13
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Kod:

A: P2~>P8=1 bo 8   /1 1 =1
B: P2~~>~P8=1 bo 2 /1 0 =1
C: ~P2=>~P8=1 bo 3 /0 0 =1
D: ~P2=>P8=0       /0 1 =0

6.3.14
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.

6.3.15
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*),

6.3.16
Definicja implikacji w zbiorach:
Kod:

A: P2~>P8     / P2* P8
B: P2~~>~P8   / P2*~P8
C: ~P2=>~P8   /~P2*~P8
D: ~P2=>P8    /~P2* P8


6.3.17
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i jest podzielna przez 8 (P8=1)
L8=>P2*P8
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P2=1 i P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
P8=1. ~P8=0
Kod:

A: P2~>P8     / P2* P8 =1*1=1
B: P2~~>~P8   / P2*~P8 =1*0=0
C: ~P2=>~P8   /~P2*~P8 =0*0=0
D: ~P2=>P8    /~P2* P8 =0*1=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.3.18
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie B będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L2=>P2*~P8
Co matematycznie oznacza:
L2=1 => P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
~P8=1. P8=0
Kod:

A: P2~>P8     / P2* P8 =1*0=0
B: P2~~>~P8   / P2*~P8 =1*1=1
C: ~P2=>~P8   /~P2*~P8 =0*1=0
D: ~P2=>P8    /~P2* P8 =0*0=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.3.19
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 2 (~P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L3=>~P2*~P8
co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P2=1, P2=0
~P8=1. P8=0
Kod:

A: P2~>P8     / P2* P8 =0*0=0
B: P2~~>~P8   / P2*~P8 =0*1=0
C: ~P2=>~P8   /~P2*~P8 =1*1=1
D: ~P2=>P8    /~P2* P8 =1*0=0

Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND

6.3.20
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.


6.4 Równoważność w zbiorach

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
Kod:

   p q  Y=(p<=>q)
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 0  =1
D: 0 1  =0
   1 2   3

Gdzie:
<=> - operator równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” w naturalnej logice człowieka

Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy zmienne po stronie p i q do postaci symbolicznej.
Kod:

                 |Zbiory      |Zdania
Definicja        |Definicja   |Definicja
zero-jedynkowa   |symboliczna |symboliczna
   p q Y=(p<=>q) |            |
A: 1 1  =1       | p* q =1    | p=> q =1
B: 1 0  =0       | p*~q =0    | p=>~q =0
C: 0 0  =1       |~p*~q =1    |~p=>~q =1
D: 0 1  =0       |~p* q =0    |~p=> q =0
   1 2   3         4  5  6      7   8  9

Definicję symboliczną w zbiorach utworzono korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1

Linia B456:
p*~q=0
wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q (linia A456).
Linia D456:
~p*q=0
wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q (linia C456).

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)

Zobaczmy to w zbiorach:


Warunek wystarczający w logice dodatniej:
Kod:

p=>q =1
p*q  =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>~q=0
p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne, wynik:0=zbiór pusty

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p jest warunkiem wystarczającym dla q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q

Z diagram widzimy, że zbiory p i q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
p=q
co wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q

Warunek wystarczający w logice ujemnej:
Kod:

~p=>~q=1
~p*~q =1 - istnieje cześć wspólna zbiorów ~p i ~q
~p=>q =0
~p*q  =0 - zbiory ~p i q są rozłączne, wynik: 0-zbiór pusty

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że ~p jest wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q

Z diagramu widzimy, że zbiory ~p i ~q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
~p=~q
co wymusza tożsamość zbiorów:
p=q

Z powyższego mamy operatorową definicję równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Analiza ogólna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1 - zbiory p i q są tymi samymi zbiorami
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=0 - zbiory rozłączne

… a jeśli nie zajdzie p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1 - zbiory ~p i ~q są tymi samymi zbiorami
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=0 - zbiory rozłączne

Z diagramu równoważności wynika, że:
p i q muszą być tymi samymi zbiorami
co wymusza iż:
~p i ~q muszą być tymi samymi zbiorami
albo odwrotnie.

Zauważmy że jeśli zbiór p jest tożsamy z q to zachodzi tożsamość zbiorów którą możemy zdefiniować jako:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Każdy element zbioru p należy do zbioru q (p=>q) i każdy element zbioru q należy do zbioru p (q=>p).

Oczywiście tożsamość zbiorów po stronie p i q wymusza tożsamość zbiorów po stronie ~p i ~q (i odwrotnie):
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
Każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q (~p=>~q) i każdy element zbioru ~q należy do zbioru ~p (~q=>~p).

Stąd pełna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (~p=>~q)*(~q=>~p)

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
gdzie:
p=>q - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji:
Kod:

p=> q=1    /p* q=1 - zbiory
p=>~q=0    /p*~q=0 - zbiory

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q

~p=>~q - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji:
Kod:

~p=>~q=1    /~p*~q=1 - zbiory
~p=> q=0    /~p* q=0 - zbiory

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q

W równoważności argumenty p i q są przemienne i nie ma znaczenia co nazwiemy p a co q.

Na podstawie powyższego mamy.

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wynikły z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
D: ~p=> q=0 - twardy fałsz wynikły z C
    1   2 3

Definicja:
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego w logice dodatniej (AB123 - bo Y) oraz warunku wystarczającego w logice ujemnej (CD123 - bo ~Y)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo Y - obszar AB123)
~p=>~q - definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~Y - obszar CD123)

Kodowanie zero-jedynkowe definicji równoważności:
Kod:

p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający
p=>q                    |p  q  p<=>q      |~p ~q ~p<=>~q
A: p=>q  =1             |1  1  =1 /p=> q=1| 0  0  =1
B: p=>~q =0             |1  0  =0 /p=>~q=0| 0  1  =0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający
~p=>~q
C: ~p=>~q=1             |0  0  =1         | 1  1  =1 /~p=>~q=1
D: ~p=>q =0             |0  1  =0         | 1  0  =0 /~p=> q=0
                         1  2   3           4  5   6
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z nagłówkiem tabeli
                        |p=1, ~p=0        |~p=1, p=0
                        |q=1, ~q=0        |~p=1, q=0

W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1=1

W równoważności, i tylko tu zachodzi:
p=>q = ~p=>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno”=> z naturalnego języka mówionego

Doświadczenie
Schemat ideowy operatora równoważności w bramkach logicznych jest następujący.



Zbudować powyższy układ i sprawdzić poprawność tabel zero-jedynkowych w punktach:
p=>q
p<=>q
~p=>~q
~p<=>~q
w zależności od wszystkich możliwych sygnałów wejściowych p i q

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)

Dowód poprzez analizę wszystkich możliwych przeczeń TR i KR.
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
TR=>KR - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A

… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
TR=>KR = ~TR=>~KR
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
~TR=>~KR - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno =>ma kąty równe
~TR=>KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C

Kodowanie zero-jedynkowe dla naszego przykładu:
Kod:

TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Warunek wystarczający
TR=>KR                    |TR  KR  TR<=>KR    |~TR ~KR ~TR<=>~KR
A: TR=>KR  =1             |1  1  =1 /TR=> KR=1| 0  0  =1
B: TR=>~KR =0             |1  0  =0 /TR=>~KR=0| 0  1  =0
~TR<=>~KR=(~TR=>~KR)*(TR=>KR)
Warunek wystarczający
~TR=>~KR
C: ~TR=>~KR=1             |0  0  =1           | 1  1  =1 /~TR=>~KR=1
D: ~TR=>KR =0             |0  1  =0           | 1  0  =0 /~TR=> KR=0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z nagłówkiem tabeli
                          |TR=1, ~TR=0        |~TR=1, TR=0
                          |KR=1, ~KR=0        |~TR=1, KR=0

W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
Jak widzimy, zarówno w logice dodatniej:
p<=>q - logika dodatnia bo q
jak i ujemnej:
~p<=>~q - logika ujemna bo ~q
mamy identyczną tabelę zero jedynkową operatora równoważności.
Zauważmy, że kodowanie zero-jedynkowe nie wpływa na treść zdań A,B,C,D.


6.5 Warunek konieczny i wystarczający w równoważności

Równoważność często definiuje się słowami:
p<=>q = [p~>q]*(p=>q)=1*1=1
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
gdzie:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny między p i q o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q
(p=>q) - warunek wystarczający między p i q, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki

W równoważności, i tylko tu, mamy do czynienia z wirtualnym warunkiem koniecznym [~>] o definicji jak wyżej, czyli koniec końców i tak badamy warunek wystarczający => o definicji:
~p=>~q=1
~p=>q=0

W równoważności nie ma mowy o „rzucaniu monetą” charakterystycznym w implikacji. W równoważności mamy do czynienia z wirtualnym warunkiem koniecznym [~>] który nie ma swojego odpowiednika w języku mówionym.

Przykład:
Trójkąt ma kąty równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
KR<=>TR = [KR~>TR]*(KR=>TR)=1*1=1
Do zbudowania trójkąta równobocznego potrzeba ~> i wystarcza => aby miał kąty równe.

Popatrzmy teraz na szczegóły matematyczne.
Przypomnijmy sobie definicje implikacji prostej i odwrotnej.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
=> - gwarancja matematyczna
A: p=>  q=1 - gwarancja matematyczna
B: p=> ~q=0
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~> - rzucanie monetą
C: ~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” miedzy p i q, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B
~> - spójnik „może” miedzy p i q, warunek konieczny o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
W implikacji prostej mamy gwarancję po stronie p i totalny brak gwarancji po stronie ~p.
Po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd:
Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Gwarancja:
P=>CH = ~(P*~CH)
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH)

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
~> - rzucanie monetą
A: p~>  q=1
B: p~~>~q=1
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q=~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
=> - gwarancja matematyczna
C: ~p=>~q=1 - gwarancja matematyczna
D: ~p=> q=0

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno”, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D
~> - spójnik „może”, warunek konieczny o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
W implikacji odwrotnej mamy gwarancję po stronie ~p i totalny brak gwarancji po stronie p.
Po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd:
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Gwarancja:
CH~>P = ~CH=>~P = ~(~CH*P)
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie pochmurno (~CH) i będzie padało.

Na mocy powyższych definicji mamy najważniejsze definicje w całej logice matematycznej!
To definicje warunku wystarczającego w logice dodatniej i ujemnej.

1.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Kod:

Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>  q=1
B: p=> ~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padło to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
P=>~CH=0

2.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
Kod:

Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=1
~CH=>P=0

Ogólna definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia

Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających o definicjach jak wyżej.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnych definicji implikacji prostej i odwrotnej.
Kod:

Implikacja      Implikacja
prosta          Odwrotna
p=>q=[~p~>~q]   [p~>q]=~p=>~q    p<=>q=(p=>q)*[p~>q]=(p=>q)*(~p=>~q)
A:  p=> q=1      [p~>  q=1]        =1
B:  p=>~q=0      [p~~>~q=1]        =0
C:[~p~>~q=1]     ~p=> ~q=1         =1
D:[~p~~>q=1]     ~p=>  q=0         =0
    1   2 3       4    5 6          7

gdzie:
[…] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym

Warunek konieczny w implikacji prostej (linie CD123):
[~p~>~q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji odwrotnej (CD456) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach C i D widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
~p=>~q = ~(~p*q) - gwarancja matematyczna A

Analogicznie:
Warunek konieczny w implikacji odwrotnej (linie AB456):
[p~>q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji prostej (AB123) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach A i B widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja matematyczna B

Stąd mamy
Definicja równoważności:
Równoważność = dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne

Na podstawie powyższego mamy.

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wynikły z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
D: ~p=> q=0 - twardy fałsz wynikły z C
    1   2 3

Definicja równoważności:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:

Możliwe są dwie równoważne interpretacje słowne prawej strony równania:
A.
p=>q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach A i B
~p=>~q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach C i D
B.
p=>q - implikacja prosta wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie C i D powyższej definicji.
~p=>~q - implikacja prosta wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie A i B powyższej definicji

To samo równanie w postaci gwarancji matematycznych:
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)
stąd:
p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] =1*1=1
W równoważności muszą zachodzić dwie gwarancje matematyczne!
Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.


6.6 Kwadrat logiczny równoważności

Kod:

A: p=>q  =1        A1. q=>p=1


C: ~p=>~q=1        C1: ~q=>~p=1


Wszystkie możliwe definicje równoważności to dowolny bok kwadratu:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (q=>p)*(~q=>~p) = (p=>q)*(q=>p) = (~p=>~q)*(~q=>~p)

W równoważności między dowolnymi dwoma wierzchołkami zachodzą jednocześnie warunki wystarczający rzeczywisty => i warunek konieczny wirtualny ~>.
Wirtualny warunek konieczny ~> (rzucanie monetą) nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające => o definicjach jak wyżej.

Oczywiście w równoważności zachodzą też warunki wystarczający => i konieczny wirtualny ~> po przekątnych kwadratu:
p???q = (p=>q)*(~q=>~p) = (~p=>~q)*(q=>p)
Dlaczego to nie są definicje równoważności?
Odpowiedź:
Bo operator ??? nie jest jednoznaczny.
??? - to może być operator zarówno równoważności jak i czegoś fundamentalnie innego, implikacji.

Oczywiście równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja.
Nic co jest równoważnością prawdziwą nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.

Przykład:
Kod:

A: TR=>KR         A1  KR=>TR


C: ~TR=>~KR       C1:~KR=>~TR

Definicje równoważności wynikające z pionów:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = ~TR<=>~KR
KR<=>TR = (KR=>TR)*(~KR=>~TR) = ~KR<=>~TR


6.7 Kwadrat logiczny implikacji

Kod:

A: p=>q  =1        A1. p~>q=1


C: ~p~>~q=1        C1: ~p=>~q=1

W kwadracie logicznym implikacji zachodzą tożsamościowe prawa matematyczne wyłącznie w pionach.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q=1 - prawo Kubusia
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q=1 - prawo Kubusia

Oczywiście na mocy definicji mamy:
p=>q = ~p>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji.

W pionach mamy do czynienia z dwom izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, ani w poziomie, ani po przekątnych!

Pod p i q w obu pionach możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.
Przykładowo:
Jeśli stwierdzimy warunek wystarczający w punkcie C1:
~p=>~q=1
oraz brak warunku wystarczającego w punkcie A1:
p=>q=0
To możemy być pewni iż nasze analizowane zdanie to piękna implikacja odwrotna, czyli coś fundamentalnie innego niż implikacja prosta czy też równoważność.

Przykład:
Kod:

A: P=>CH         A1: CH~>P

P=>CH=~P~>~CH    CH~>P=~CH=>~P

C: ~P~>~CH       C1:~CH=>~P

A.
Jeśli jutro będzie padło to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
... a jak nie będzie padło?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~CH~>P
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~CH~>~P=1

A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=1

To są jedyne tożsamości matematyczne zachodzące w kwadracie logicznym implikacji.

Na mocy definicji zachodzi:
P=>CH =~P~>~CH ## CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
W implikacji obowiązuje prawo kontrapozycji wyłącznie w tej formie:
P=>CH ## ~CH=>~P
czyli:
p=>q ## ~q=>~p

Znane matematykom prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q = ~q=>~p
obowiązuje i świetnie działa ... wyłącznie w równoważności.

Prawo kontrapozycji jest w matematyce bezużyteczne bo niczego nie dowodzi.
Na mocy powyższego kwadratu logicznego możemy udowodnić warunek wystarczający w dowolnym rogu kwadratu.
Czyli jeśli uznamy za zbyt trudny dowód w punkcie:
C1: ~CH=>~P=1
to możemy się przenieść do punktu:
A1: P=>CH=1
udowodnienie A1 jest automatycznym dowodem C1, bez żadnego bzdetu o nazwie „prawo kontrapozycji”.

Prawem kontrapozycji nie rozstrzygniemy kluczowego problemu:
Równoważność to czy implikacja
... dlatego prawo kontrapozycji jest w matematyce zbędne.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23745
Przeczytał: 46 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 22:01, 29 Mar 2012    Temat postu:

6.8 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
gdzie wyłącznie w równoważności:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny ~> niedostępny w świecie rzeczywistym

Uwaga!
W dalszej części podręcznika będziemy pomijać nawiasy kwadratowe z dwóch powodów:
1.
Uproszczenie zapisów
2.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający:
p=>q
to mamy sytuację „wiem że nic nie wiem”, czyli totalnie nie wiemy czym jest to zdanie rozumiane jako operator logiczny.
Zdanie z udowodnionym warunkiem wystarczającym w jedną stronę p=>q może być już tylko i wyłącznie implikacją albo równoważnością, pod warunkiem że mamy do czynienia z totalnym brakiem determinizmu, czyli nie znamy z góry wartości logicznych p i q.

Jest oczywiste że jeśli udowodnimy równoważność to zapis:
p~>q
będzie oznaczał wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym.

Natomiast jeśli udowodnimy implikację to zapis:
p~>q
Będzie oznaczał rzeczywisty warunek konieczny, spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą), dostępny w świecie rzeczywistym.

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]czyli:
p=>q - p jest wystarczające dla q
i
[p~>q] - p jest konieczne dla q

Stąd mamy śfińską definicję równoważności niżej.

Śfińska definicja Implikacji prostej
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => w kierunku p=>q
p=>q=1
p~>q= ~p=>~q =0
Oczywiście w logice dowodzimy warunek konieczny ~> w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0

Przykład:
A.
Warunek wystarczający:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
P=>~CH=0
Warunek wystarczający spełniony

Badamy warunek konieczny:
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH = ~P=>~CH=0
Warunek konieczny niespełniony bo:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą


Śfińska definicja implikacji odwrotnej
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0

Oczywiście warunek konieczny dowodzimy w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1
czyli:
B.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny CH~>P=1.

Badamy warunek wystarczający:
C.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Warunek wystarczający niespełniony
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji odwrotnej, w skrócie, jest implikacją odwrotną


Śfińska definicja równoważności
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego i koniecznego
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1=1
p=>q=1
p~>q=1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> to prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q =1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q)

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
TR=>~KR=0
Warunek wystarczający spełniony.

Badamy warunek konieczny:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1 - prawo Kubusia
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
~TR=>KR=0
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny:
TR~>KR=1
Oczywiście symbol ~> to warunek konieczny na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji , bowiem w równoważności wykluczone jest „rzucanie monetą”.

Zdanie A spełnia śfińską definicję równoważności, w skrócie możemy powiedzieć iż jest równoważnością.


6.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności

Podstawa matematyczna

Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
Kod:

p q p=>q q=>p
1 1  =1   =1
1 0  =0   =1
0 0  =1   =1
0 1  =1   =0

Brak tożsamości dwóch ostatnich kolumn jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej.

Dowód formalny przemienności argumentów w równoważności:
Kod:

p q p<=>q q<=>p
1 1   =1    =1
1 0   =0    =0
0 0   =1    =1
0 1   =0    =0

Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem przemienności argumentów w równoważności.

Na podstawie powyższego mamy.

Gimnazjalna definicja implikacji prostej:
Implikacja to wynikanie => (warunek wystarczający) wyłącznie w jedna stronę
A: p=>q=1
B: q=>p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*0 =0

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja prosta.

Gimnazjalna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=1
B: ~q=>~p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)=1*0 =0

Przykład:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
~P2<=>~P8 = (~P2=>~P8)*(~P8=>~P2)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja odwrotna

Gimnazjalna definicja równoważności:
Równoważność to wynikanie => (warunek wystarczający) w dwie strony
A: p=>q=1
B: q=>p=1
Twierdzenie:
Jeśli zdanie jest równoważnością prawdziwą to na mocy definicji nie może być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1

Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli trójkąt ma kąty równe to na pewno => jest równoboczny
KR=>TR=1
Na mocy gimnazjalnej definicji równoważności zdanie A to piękna równoważność:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1

Zauważmy, że warunki wystarczające => w zdaniach A są identyczne w implikacji i równoważności.
Definicja warunku wystarczającego:
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q

Zatem po udowodnieniu p=>q o zdaniu A możemy powiedzieć tylko i wyłącznie iż jest to warunek wystarczający =>, żadna tam implikacja czy też równoważność bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!

Precyzyjnie na temat zdania A możemy się wypowiedzieć wyłącznie po udowodnieniu B, co pokazano w definicjach równoważności wyżej.


6.10 Licealne definicja implikacji i równoważności

Implikacja = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna

Licealna definicja implikacji prostej:
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH)=1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie padło i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)=1
Sprawdzamy B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padło to na pewno nie będzie pochmurno
~P=>~CH=~(~P*CH)=0 - bo może nie padać i być pochmurno
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie padać i będzie pochmurno
~(~P*CH)=0 - oczywiście może się zdarzyć że nie będzie padać i będzie pochmurno

Licealna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=~(~p*q)=1
B: p=>q= ~(p*~q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=~(~CH*P) =1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~(~CH*P)=1
Sprawdzamy B:
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padało
CH=>P=~(CH*~P)=0 - bo może być pochmurno i może nie padać
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
~(CH*~P)=0 - oczywiście może się zdarzyć, że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
Wniosek:
Zdanie A to piękna implikacja odwrotna

Licealna definicja równoważności

Równoważność = dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=1
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR = ~(TR*~KR)=1
AG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt jest równoboczny i nie ma kątów równych
~(TR*~KR)=1
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych
~TR=>~KR=~(~TR*KR)=1
BG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt nie jest równoboczny i ma kąty równe
~(~TR*KR)=1
Wniosek:
Na mocy licealnej definicji równoważności zachodzi równoważność:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1


7.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  ~~>  N(~~>)  P NP  Q NQ
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0      1 0   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0      1 0   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0      0 1   1 0
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0      0 1   0 1

Kod:

Logika dodatnia    Logika ujemna
OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 N(=>)
~>                 N(~>)
~~>                N(~~>)
P                  NP
Q                  NQ

Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
Kod:

Definicje operatorów ujemnych:
pNORq       =     ~(p+q)
pNANDq      =     ~(p*q)
pXORq       =     ~(p<=>q)
pN(=>)q     =     ~(p=>q)
pN(~>)q     =     ~(p~>q)   
p~~>q       =     ~(p~~>q)
pNPq        =     ~(pPq)
pNQq        =     ~(pQq)

W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.

Dowolny operator logiczny jest jednoznacznie zdefiniowany tabelą zero-jedynkową i nie ma tu miejsca na jego niejednoznaczną interpretację. Argumenty w dowolnym operatorze logicznym mogą być albo przemienne (AND, OR, <=>), albo nieprzemienne (implikacja prosta i implikacja odwrotna).


7.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego

Zajmijmy się operatorami dotychczas nie omówionymi.

Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 - lampka zaświecona
Y=0 - lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
Fizyczna realizacja takiej czarnej skrzynki w technice TTL jest banalna. W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem że … krasnoludki są na świecie.


7.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)

Definicje ~~> i N(~~>)
Kod:

p q Y=p~~>q Y=~(p~~>q)
1 1  =1       =0
1 0  =1       =0
0 1  =1       =0
0 0  =1       =0

Jak widzimy po wybraniu operatora ~~> krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też człowiek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator N(~~>) to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).

Zdanie zawsze prawdziwe
Kod:

p q p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Definicja operatora logicznego
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q.

W operatorze ~~> możemy sobie długo i namiętnie zaprzeczać p i q, wartość funkcji będzie niewzruszona Y=1, czyli zero argumentów.
Kod:

p q Y=p~~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =1


Dokładnie to samo w równaniu algebry Boole’a opisującym powyższą tabelę
Y = p~~>q = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
Wykorzystane prawa algebry Kubusia:
p+~p=1
p*1=1

Oczywiście operator:
Y=1 ma zero argumentów
cnd

Operator ~~> to naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, to ścisły odpowiednik kwantyfikatora małego „istnieje takie x że:”
Znaczek ~~> jest jednocześnie spójnikiem i operatorem, bo równanie algebry Boole’a opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3

Analiza przez wszystkie możliwe przeczenia:
Kod:

 P8~~> P3=1 bo 24
 P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3=1 bo 5
~P8~~> P3=1 bo 3


Weźmy na zakończenie operator N(~~>q) w równaniach algebry Boole’a:
Kod:

p q Y=N(p~~>q)
1 1  =0
1 0  =0
0 0  =0
0 1  =0

Sprowadzamy wszystkie pozycje do jedynek generując równanie algebry Boole’a w naturalnej logice człowieka:
~Y = p*q+p*~q+~p*~q+~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1 + ~p*1 = p+~p =1
mamy:
~Y=1
Negujemy stronami:
Y=0
Cokolwiek byśmy nie ustawili na wejściach p i q to wyjście będzie niewzruszone Y=0
cnd


7.3 Operatory transmisji P i Q

Definicje operatorów transmisji P i Q:
Kod:

p q Y=pPq Y=pQq
1 1  =1    =1
1 0  =1    =0
0 1  =0    =1
0 0  =0    =0


Definicja operatora transmisji Y=pPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pPq
1 1  =1
1 0  =1
0 1  =0
0 0  =0

Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.

Definicja operatora transmisji:
Kod:

p Y=pP=p
1  =1
0  =0


Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q

Operator transmisji w zbiorach:



Y=p

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1


7.4 operatory negacji NP i NQ

Definicje operatorów negacji NP i NQ
Kod:

p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1  =0     =0
1 0  =0     =1
0 1  =1     =0
0 0  =1     =1


Definicja operatora negacji Y=pNPq:
Kod:

Tabela A
p q Y=pNPq
1 1  =0
1 0  =0
0 1  =1
0 0  =1


Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.

Definicja negatora:
Kod:

p Y=pNP=~p
1  =0
0  =1

Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE

Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Tabelę A opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.

Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q

Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia (Boole’a)
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Dowód formalny:
Kod:

~Y=p  Y=~p  ~Y=~(~p)
  1    =0     =1
  0    =1     =0

Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.

Operator negacji w zbiorach:



Y=~p

Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1


7.5 Operator XOR

Operator XOR opisuje zbiory rozłączne.

Definicja:
Kod:

p q pXORq
1 0  =1
0 1  =1
0 0  =0
1 1  =0

p XOR q = p*~q + ~p*q

Podstawowe właściwości
p*q=0
p*~q=p



Operator XOR przyjmuje wartość 1 wtedy i tylko wtedy gdy wyłącznie na jednym z wejść jest 1
pXORq = p*~q + ~p*q

Tabela XOR dla dwóch zbiorów:
Kod:

           |Definicja symboliczna
p q pXORq  |Teoria zbiorów
1 0  =1    | p*~q =pXORq
0 1  =1    |~p* q =pXORq

Definicję symboliczną utworzono z tabeli zero-jedynkowej korzystając z prawa Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1

W mowie potocznej XOR jest odpowiednikiem spójnika „albo”.
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą


8.0 Obietnice i groźby

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że:
Groźba = implikacji odwrotna ~>

Dowód na przykładzie …


8.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 – gwarancja matematyczna
Obietnica, zatem implikacja prosta, tu wszyscy się zgadzamy
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki
Skoro to warunek wystarczający => to:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0
… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 – akt miłości!
gdzie:
~> - warunek konieczny
~~> - naturalne "może", wystarczy jedna prawda.

Oczywiście z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

Z powyższego mamy definicję obietnicy i groźby …

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


8.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!)
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do AND i OR to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.


8.3 Obietnica w równaniach logicznych

Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych.

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 – mam nagrodę
N=0 – nie mam nagrody
W=1 – warunek nagrody spełniony
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 – muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 – mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


8.4 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 – zostanę ukarany
K=0 – nie zostanę ukarany
W=1 – warunek kary spełniony
W=0 – warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 – ukarać
U=0 – nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).

Analiza równania groźby.
K=W*U

A.
W=0 – warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 – zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

B.
W=1 – warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 – karać
U=0 – nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 – kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


8.5 Analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K

A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę
p=>q
P*~B=>C*B=1
B.
p=>~q
~q=~(C*B)=~C+~B
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to nie dostaniesz czekolady lub nie obejrzysz bajki
P*~B=>~C+~B =0
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”:
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~B
Możliwe kary
A: ~C*~B=0 - to jest 100% kary
B: ~C*B =0 - tu też jest element kary
C: C*~B=0 - tu również jest kara
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 – zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
~P+B~>~C+~B
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą i definicją groźby.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć bajki
~p~>~q
~P+B~>~C+~B=1
Warunki ukarania:
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D kara może być darowana w 100% !
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*B=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%


8.6 Analiza złożonej groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W~>~K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N

A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz bajki
p~>q
~P+B~>~C*~B
Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+B
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz bajkę
p~~>~q
~P+B~~>C+B
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”
p+q = p*q+~p*q+p*~q
C+B:
C*B=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę, 100% darowanie kary
~C*B=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz bajkę, częściowe darowanie kary
C*~B=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz bajki, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
p~>q
~P+B~>~C*~B
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
~p=>~q
P*~B=>C+B
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz bajkę
~P=>~q
P*~B=>C+B
Rozwinięcie sumy logicznej C+B mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C*B=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę, 100% darowanie kary
~C*B=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz bajkę, bo zakaz karania
C*~B=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz bajki, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz bajki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~B=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony


8.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.

Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości

Zdanie C to ewidentna groźba. Intencją wypowiadającego jest, aby groźba była groźbą, dlatego praktycznie zawsze pomijany jest spójnik „może”.

Zdanie C przybierze postać.
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym nie dostania komputera, zatem implikacja odwrotna. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Oczywiście na mocy definicji groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
zatem powyższą groźbę musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej ~>:
~E~>~K

Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to operator implikacji odwrotnej.

W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.

Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.

Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.

Decyzja pozytywna:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.

Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 8.3

Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.

Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.

Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.

Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.

Weźmy na koniec typowa groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.

Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.

Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.

Determinizm filozoficzny i fizyczny

Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.

Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)

Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.


8.8 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


9.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego

Człowiek w swoim naturalnym języku mówionym z reguły używa zdań prostych, łatwych w analizie matematycznej.

Co więcej, już 5-cio latki operują wyłącznie funkcjami minimalnymi.

Żaden 5-cio latek nie wypowiada zdań jak niżej:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S =0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.
B.
Pies ma cztery łapy lub nie szczeka
P=>4L+~S=0 - zdanie fałszywe na mocy prawa Sowy.

Dlaczego?
Oba powyższe zdania to błąd czysto matematyczny na mocy prawa Sowy.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.

W naturalnym języku mówionym odpowiada to redukcji spójnika „lub”(+) do spójnika „i”(*).

Pełna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q +p*~q + ~p*q

Podstawiamy nasz przykład:
4L+S = (4L*S=1*1=1) + (4L*~S=1*0=0) + (~4L*S=0*1=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej na mocy definicji spójnika „lub”(+)

Jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
C.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S=1*1=1

Wszelkie inne formy tego zdania będą matematycznie fałszywe.

Twierdzenie:
Dowolne zdanie z naturalnego języka mówionego musimy sprowadzić do zdania logicznie prawdziwego jak to zrobiono ze zdaniami A i B wyżej. Wtedy i tylko wtedy wolno nam stosować jakiekolwiek prawa logiczne.

Prawo Sowy jest tu brzytwą Ockhama, bezlitośnie obcinającą wszelkie zdaniowe śmiecie z naturalnego języka mówionego.
Oczywiście wszyscy ludzie znają banalna algebrę Kubusia, dlatego możliwe są językowe niedomówienia, dowcip, porównania, przenośnie itd.

Twierdzenie Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”

Zdanie:
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z
… a jeśli Jan był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
~W=>~Z = W~>Z
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z

Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.

Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z

Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem zdanie 5-cio latka po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M


9.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)

Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty

Prawo ogólne dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y – wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki musza być w równaniu B uwzględnione!

Wróćmy do naszego przykładu.

Zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y

Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju

Losujemy kraj: Polska

Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0

Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0 1 1 =0

Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.

Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, spójnik logiczny „lub”(+) ulega redukcji do spójnika „i”(*)

Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n – dwa do potęgi n
n – ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.

Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.

Losujemy kraj: Rosja

Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.

Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af

Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.

Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)

… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.

W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:

Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1

Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.

Polska leży w Europie
P=E

Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich prawd jest nieskończenie wiele.

Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~W …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.


9.2 Świat częściowo zdeterminowany

Rozważmy zdanie:
A.
Każdy człowiek jest mężczyzną lub kobietą
C=>M+K =1

Matematycznie zdanie to oznacza:
Jeśli ktoś jest człowiekiem to na pewno => jest mężczyzną lub kobietą
C=>K+M
Zauważmy, że zdanie odwrotne też zachodzi:
Jeśli ktoś jest mężczyzną lub kobietą to na pewno jest człowiekiem
K+M =>C
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
C<=>M+K
Wniosek:
Zdanie A to równoważność wypowiedziana w formie zdania twierdzącego, czyli zdanie A możemy matematycznie kodować tak:
C=K+M
C=1 <=> K=1 lub M=1

Zdanie A jest prawdziwe (C=1) wtedy i tylko wtedy gdy powiemy:
Każdy człowiek (C=1) jest mężczyzną (M=1) lub kobietą (K=1)
C=1 <=> M=1 lub K=1
Definicja sumy logicznej w rozpisce szczegółowej:
C=M+K = M*K+M*~K+~M*K
co matematycznie oznacza:
C=1 = (M*K=0) + (M*~K=1) +(~M*K=1) :=M*~K
gdzie:
:= - symbol redukcji
Zdanie:
Człowiek jest mężczyzną i kobietą
C=M*K=0
Jest oczywiście fałszywe, zatem nasz mózg minimalizuje funkcję logiczną do postaci:
C=M*~K+~M*K
Każdy człowiek (C=1) jest mężczyzną i nie jest kobietą (M*~K=1) lub nie jest mężczyzną i jest kobietą (~M*K=1)
… a czy istnieje człowiek który nie jest mężczyzną i nie jest kobietą ?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
~C=~M*~K
Co matematycznie oznacza:
D.
Nie istnieje człowiek (~C=1), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~C=~M*~K
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Precyzyjny odczyt może być też taki:
D.
Prawdą jest (=1) że nie istnieje człowiek (~C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~C=~M*~K
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Zauważmy, że po lewej stronie możemy zapisać:
Jeśli ~C=1 to C=0
czyli zdanie D przybierze postać:
D1.
Fałszem jest (=0) że istnieje człowiek (C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
C=0 <=> ~M=1 i ~K=1
Problem w tym, że z takiego zapisu nie da się wyeliminować bezwzględnych zer i jedynek, czyli nie da się zapisać zdania w postaci równania logicznego.
Dlatego taki zapis jest do bani !

Aby wyrugować ze zdania D1 bezwzględne zera i jedynki musimy wszystkie zmienne sprowadzić do tej samej wartości logicznej.

W logice dodatniej (zgodnej z naturalna logiką człowieka) wszystko sprowadzamy do jedynek i korzystamy z definicji spójnika „i”.

Definicja spójnika „i”:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Mamy:
D1
Fałszem jest (=0) że istnieje człowiek (C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
C=0 <=> ~M=1 i ~K=1
Jeśli C=0 to ~C=1
stąd:
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Dopiero teraz możemy wywalić jedynki i zapisać zdanie w formie równania logicznego:
D.
Prawdą jest (=1) że nie istnieje człowiek (~C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~C=~M*~K
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Czyli w efekcie otrzymaliśmy zdanie D a nie zdanie D1.

Poprawna logika matematyczna to logika symboliczna w równaniach algebry Kubusia izolowana od bezwzględnych zer i jedynek.

Twierdzenie:
Z praw matematycznych możemy korzystać tylko i wyłącznie po wyeliminowaniu bezwzględnych zer i jedynek z dowolnego zapisu logicznego.

Przykłady praw matematycznych:
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Twierdzenie:
Nie istnieje ani jedno prawo logiczne w którym prawda byłaby pomieszana z fałszem.

Oznacza to zakaz opuszczania bezwzględnych zer i jedynek w przypadku gdy wszystkie zmienne nie są sprowadzone do tej samej wartości logicznej.

Nasz przykład:
D1.
C=0 <=> ~M=1 i ~K=1
Dla powyższego zapisu nie wolno robić takich rzeczy:
C<=>~M*~K
bo to jest błąd czysto matematyczny !

Oczywiście dla dowolnego wylosowanego człowieka będziemy mieli 100% determinizm.

Losujemy: Kobieta
Ten człowiek jest kobietą i nie jest mężczyzną
C=K*~M
Po odrzuceniu prawdy powstałej z negacji fałszu otrzymamy końcową odpowiedź 5-cio latka:
To jest kobieta


9.3 Złożona implikacja prosta w świecie zdeterminowanym

Drodzy czytelnicy, czy zastanawialiście się kiedyś dlaczego w świecie zdeterminowanym wszyscy ludzie na ziemi używają jedynie słusznej formy np.

A.
Jeśli zwierze jest psem lub koniem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Przecież to zdanie możemy wyrazić aż w 32 różnych formach uwzględniając spójniki „i” oraz „lub” po każdej stronie znaku => !

Przykład formy wybranej losowo:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest koniem to na pewno ma cztery łapy lub ćwierka
P+~K=>4L+C

Dlaczego nawet dziecko 5-cio letnie nigdy nie wymówi B (lub podobnych) a zawsze wypowie to zdanie w jedynie słusznej formie A !

Matematyczną odpowiedź na to banalne pytanie daje algebra Kubusia.

Rozważmy to jedynie słuszne zdanie:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub koniem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C

Definicja sumy logicznej:
p+q=p*q+p*~q+~p*q

Na mocy tej definicji rozpisujemy poprzednik:
Y=P+K = P*K+P*~K+~P*K

Oczywiście mamy tu człony:
A.
Zwierze jest psem i koniem = fałsz
P*K=0
B.
Zwierze jest psem i nie koniem
P*~K=P
Część wspólna zbiorów P i ~K w dziedzinie wszystkich zwierząt
C.
Zwierze nie jest psem i jest koniem
~P*K=K
Część wspólna zbiorów ~P i K w dziedzinie wszystkich zwierząt

Czyli mamy:
Y= P*K=0 +P*~K=P + ~P*K=K := P+K
gdzie:
:= - symbol redukcji
Stąd jedynie słuszna wersja poprzednika (funkcja minimalna):
Jeśli zwierzę jest psem lub koniem to ….
Y=P+K
cnd

Z następnikiem nie mamy tu żadnych problemów bo spójnik „i” jest jednoznacznie określony jedną linią tabeli zero-jedynkowej.

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

Następnik w naszym jedynie słusznym zdaniu jest taki:
Zwierze ma cztery łapy i nie ćwierka
Y=4L*~C = 1*1=1
Oczywiście tu dowolne inne przeczenia będą fałszem:
4L*~C=1
4L*C=0
~4L*~C=0
~4L*C=0
Członów fałszywych dziecko 5-cio letnie nie wypowiada stąd jedynie słuszna forma następnika.

Rozważmy dwa przykładowe zdania z rozstrzygnięciem „dlaczego nikt tak nie mówi”.

1.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest koniem to na pewno ma cztery łapy lub ćwierka
P+~K=>4L+C
Poprzednik:
P+~K = ~K – suma logiczna zbiorów P lub ~K w dziedzinie zwierząt
zatem równoważny i prawdziwy poprzednik brzmi:
Jeśli zwierzę nie jest koniem …
~K
Dokładnie to samo otrzymamy z równoważnej definicji sumy logicznej:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
Y=P+~K
Mamy:
P+~K:
P*~K=P – część wspólna zbiorów P i ~K to zbiór P
P*K=0 – zbiory rozłączne
~P*~K – iloczyn logiczny zbiorów nie jest pusty
Czyli po minimalizacji mamy:
Y=P+~K = P+~P*~K = ~K
Dowód:
Y=P+~P*~K
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y = ~P*(P+K) = ~P*P + K = 0 + K = K
Prawa algebry Kubusia:
~P*P =0
0+K =K
Mamy:
~Y=K
Przechodzimy powrotem do logiki dodatniej poprzez negacje stronami:
Y = ~K
cnd

Następnik:
4L+C = 4L*C=0 lub 4L*~C=1 lub ~4L*C=0 := 4L*~C
:= - symbol redukcji
Jak widzimy jedyny prawdziwy następnik w tym przypadku brzmi jak w zdaniu wzorcowym !

2A.
Jeśli zwierzę jest psem i nie jest koniem to ma cztery łapy i nie ćwierka
P*~K=>4L*~C
Poprzednik:
P*~K = P – wspólna cześć zbiorów P i ~K w dziedzinie zwierząt

Zatem zdanie równoważne:
2B.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy i nie ćwierka
P=>4L*~C
Oczywiście wszyscy normalni mając do wyboru 2A albo 2B wybiorą 2B. Zdanie 2A to zapewne nawet 5-cio latkowi do głowy nie przyjdzie.

Jak widzimy, zdefiniowaliśmy zdanie „jedynie słuszne” w obszarze lingwistyki.

Czas teraz na jego analizę zero-jedynkową, czyli rozpatrzenie wszystkich możliwych przeczeń po stronie poprzednika i następnika.

Zdanie do analizy zero-jedynkowej:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub koniem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
p=>q =1
P+K=>4L*~C =1 bo pies lub koń – gwarancja matematyczna, istota implikacji !
Przekształcenie pomocnicze ~q dla p=>~q:
q=4L*~C
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory:
~q=~4L+C
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub koniem to na pewno nie ma czterech łap lub ćwierka
p=>~q =0
P+K => ~4L+C =0
Dowód 1.
Dla psa lub konia mamy:
~4L=0 - oba zwierzaki mają 4 nogi
C=0 - oba zwierzaki nie ćwierkają
Następnik jest twardym fałszem, zatem całe zdanie jest fałszem bo:
p=>~q=0
p*~q = p*0=0 - zbiór ~q jest zbiorem pustym
Iloczyn logiczny zbioru pustego i czegokolwiek jest zbiorem pustym
Dowód 2.
Zbiór psów i zbiór koni jest zbiorem rozłącznym w stosunku do zwierząt które nie maja czterech łap i zwierząt ćwierkających.
Zatem:
p=>~q=0
bo:
p*~q=0 - zbiory rozłączne, zdanie fałszywe

Jaś (lat 5):
… a jeśli zwierze nie jest psem i nie jest koniem ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~P*~K~>~4L+C
Oczywiście to jest prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metoda na skróty.
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem i nie jest koniem to może nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~p~>~q
~P*~K ~>~4L+C =1 bo kura, wąż, wróbelek
p+q=p*q+p*~q+~p*q – definicja
p+q=~4L+C
p*q=~4L*C=wróbelek
p*~q=~4L*~C=kura, wąż …
~p*q=4L*C=0
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem i nie jest koniem to może mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~p~~>q
~P*~K~~>4L*~C =1 bo słoń, hipopotam …


9.4 Złożona implikacja odwrotna w świecie zdeterminowanym

Uwaga:
Dla ułatwienia analizy wszędzie korzystamy z poniższej definicji sumy logicznej:
p+q = p*q+p*~q+~p*q

Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu zmieniając parametr nie ćwierka (nie wróbelek) na nie miauczy (nie kot).
A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy i nie miauczy to może być psem lub koniem
p~>q
4L*~M~>P+K =1 bo pies, koń (kot wykluczony !)
p+q=p*q+p*~q+~p*q - definicja
p+q=P+K
p*q=P*K=0
p*~q=P*~K=P – Pies =wspólna cześć zbiorów
~p*q=~P*K=K – Koń=wspólna cześć zbiorów

Przekształcenie pomocnicze ~q dla p~~>~q:
q=P+K
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~q=~P*~K
czyli:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie miauczy to może nie być psem i nie być koniem
p~~>~q
4L*~M~~>~P*~K =1 bo słoń, hipopotam… (kot wykluczony !)
1 0 =1

… a jeśli zwierze nie ma czterech łap lub miauczy ?
Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej uzyskując prawo Kubusia metodą na skróty:
A.
4L*~M~>P+K
C.
~4L+M => ~P*~K
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap lub miauczy to na pewno => nie jest psem i nie jest koniem
~p=>~q
~4L+M=>~P*~K =1 bo kura, mrówka, kot (tu jest kot !) – gwarancja matematyczna
p+q=p*q+p*~q+~p*q - definicja
p+q=~4L+M
p*q=~4L*M=0
p*~q=~4L*~M=kura,mrowka …
~p*q=4L*M=kot
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap lub miauczy to na pewno jest psem lub koniem
~p=>q
~4L+M=>P+K =0 bo pies lub koń wykluczony
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23745
Przeczytał: 46 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 22:03, 29 Mar 2012    Temat postu:

9.5 Zdania złożone typu p+(q*r)

Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.

Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...

Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  0   1         0  0  1   1     0            1
1 0 1  0   1         0  1  0   1     0            1
1 0 0  0   1         0  1  1   1     0            1
0 1 1  1   1         1  0  0   0     0            1
0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0  0   0         1  0  1   1     1            0
B: 0 0 1  0   0         1  1  0   1     1            0
C: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


9.6 Zdania złożone typu p*(q+r)

Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię

Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).

Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
Kod:

K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1  1   1         0  0  0   0     0            1
1 1 0  1   1         0  0  1   0     0            1
1 0 1  1   1         0  1  0   0     0            1
1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]

Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)

.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne

B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)]

D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)

Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!

Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).

Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
Kod:

   K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0  0   0         0  1  1   1     1            0
B: 0 1 1  1   0         1  0  0   0     1            0
C: 0 1 0  1   0         1  0  1   0     1            0
D: 0 0 1  1   0         1  1  0   0     1            0
E: 0 0 0  0   0         1  1  1   1     1            0
   1 2 3  4   5         6  7  8   9    10           11

Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P


10.0 Nieznane prawa logiki

I nieznane prawo logiki
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
(p+q=>r) = [(p=>r)*(q=>r)]
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
(P+K=>4L) = [(P=>4L)*(K=>4L)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to na pewno prawdziwe są zdania B i C (odwrotnie także zachodzi):
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
i
C.
Jeśli zwierzę jest kotem to na pewno ma cztery łapy
K=>4L=1

Zbiory rozłączne można zdefiniować korzystając z definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Jeśli z założenia zbiory p i q są rozłączne to ich iloczyn logiczny jest równy zeru:
p*q=0
stąd dla zbiorów rozłącznych:
p+q := p*~q + ~p*q = pXORq
oczywiście dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q :=p
~p*q :=q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej
Zauważmy że wszystkie redukcje (:=) osiągnęliśmy na bazie teorii zbiorów rozłącznych, nie da się ich wyprowadzić z klasycznych operatorów algebry Kubusia.

Prawo którego dowodzimy przyjmuje zatem postać:
[(p*~q + ~p*q)=>r] = [(p*~q=>r) * (~p*q=>r)]

Dowód formalny:

Operator implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1  =1
1 0  =0
0 0  =1
0 1  =1


[(p*~q + ~p*q)=>r] = [(p*~q=>r) * (~p*q=>r)]
Kod:

             A     B           
p q r ~p ~q p*~q ~p*q A+B A+B=>r A=>r B=>r (A=>r)*(B=>r)
1 1 1  0  0  0     0   0    1     1    1    1
1 1 0  0  0  0     0   0    1     1    1    1
1 0 1  0  1  1     0   1    1     1    1    1
1 0 0  0  1  1     0   1    0     0    1    0
0 1 1  1  0  0     1   1    1     1    1    1
0 1 0  1  0  0     1   1    0     1    0    0
0 0 1  1  1  0     0   0    1     1    1    1
0 0 0  1  1  0     0   0    1     1    1    1
                            X               Y

Tożsamość kolumn wynikowych X i Y jest dowodem zachodzenia powyższego prawa.

Po fakcie okazało się że poniższe prawo nie potrzebuje żadnych zastrzeżeń typu zbiory rozłączne, działa zawsze. Pozostawiam powyższy dowód bo jest ciekawy merytorycznie.
(p=>r)*(q=>r) = (p+q=>r)
Kod:
         
p+q p q r p=>r q=>r (p=>r)*(q=>r) (p+q)=>r
 1  1 1 1  1    1         1         1
 1  1 1 0  0    0         0         0
 1  1 0 1  1    1         1         1
 1  1 0 0  0    1         0         0 
 1  0 1 1  1    1         1         1
 1  0 1 0  1    0         0         0
 0  0 0 1  1    1         1         1
 0  0 0 0  1    1         1         1


Ten sam dowód w równaniach algebry Kubusia:
(p=>r)*(q=>r) = (p+q)=>r
Prawa strona:
(p=>r)*(q=>r) = (~p+r)*(~q+r) = ~p*~q + ~p*r + ~q*r + r = ~p*~q + r(~p+~q+1) = ~p*~q + r
Lewa strona:
(p+q)=>r = ~(p+q)+r = ~p*~q+r
cnd

II nieznane prawo logiki
(r=>p*q) = [(r=>p)*(r=>q)
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy i szczeka
(P=>4L*S) = [(P=>4L)*(P=>S)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to prawdziwe są zdania B i C (odwrotnie także zachodzi):
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
i
C.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno szczeka
P=>S=1

Dowód formalny:
(r=>p*q) = [(r=>p)*(r=>q)
Kod:

r p q p*q r=>p*q r=>p r=>q (r=>p)*(r=>q)
1 1 1  1   1      1    1     1
1 1 0  0   0      1    0     0
1 0 1  0   0      0    1     0
1 0 0  0   0      0    0     0
0 1 1  1   1      1    1     1
0 1 0  0   1      1    1     1
0 0 1  0   1      1    1     1
0 0 0  0   1      1    1     1

Zachodzi tożsamość kolumn wynikowych:
r=>p*q = (r=>p)*(r=>q)

Ten sam dowód w równaniach algebry Kubusia:
~r + p*q = (~r+p)*(~r+q) = ~r + ~r*q + ~r*p + p*q = ~r*(1+q+p) + p*q = ~r + p*q
cnd

Prawa symetryczne dla implikacji odwrotnej!

III nieznane prawo logiki
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
(r~>p+q) = [(r~>p)*(r~>q)]
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem lub kotem
(4L~>P+K) = [(4L~>P)*(4L~>K)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to na pewno prawdziwe są zdania B i C (odwrotnie także zachodzi):
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
i
C.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być kotem
4L~>K=1
Prawo Kubusia:
4L~>K = ~4L=>~K=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest kotem
~4L=>~K=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd

Zbiory rozłączne można zdefiniować korzystając z definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Jeśli z założenia zbiory p i q są rozłączne to ich iloczyn logiczny jest równy zeru:
p*q=0
stąd dla zbiorów rozłącznych:
p+q := p*~q + ~p*q = pXORq
oczywiście dla zbiorów p i q rozłącznych zachodzi:
p*~q :=p
~p*q :=q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej

Prawo którego dowodzimy przyjmuje zatem postać:
r~>(p*~q + ~p*q) = [(r~>p*~q)*(r~>~p*q)

Dowód formalny

Operator implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0


r~>(p*~q + ~p*q) = [(r~>p*~q)*(r~>~p*q)
Kod:

             A     B           
p q r ~p ~q p*~q ~p*q A+B r~>A+B r~>A r~>B (r~>A)*(r~>B)
1 1 1  0  0  0     0   0    1     1    1    1
1 1 0  0  0  0     0   0    1     1    1    1
1 0 1  0  1  1     0   1    1     1    1    1
1 0 0  0  1  1     0   1    0     0    1    0
0 1 1  1  0  0     1   1    1     1    1    1
0 1 0  1  0  0     1   1    0     1    0    0
0 0 1  1  1  0     0   0    1     1    1    1
0 0 0  1  1  0     0   0    1     1    1    1
                            X               Y

Tożsamość kolumn wynikowych X i Y jest dowodem zachodzenia powyższego prawa.

Po fakcie okazało się że powyższe prawo działa bez żadnych zastrzeżeń typu zbiory rozłączne.
Dla dowolnych zbiorów zachodzi:
(r~>p+q) = [(r~>p)*(r~>q)]
Lewa strona:
(r~>p+q) = r+~(p+q) = r+~p*~q
Prawa strona:
(r~>p)*(r~>q) = (r+~p)*(r+~q) = r*r + r*~q + r*~p + ~p*~q = r+ r*~q + r*~p + ~p*~q
(r~>p)*(r~>q) = r*1 + r*~q + r*~p + ~p*~q = r(1+~q+~p) + ~p*~q = r*1 + ~p*~q = r + ~p*~q
L=P
cnd
Wykorzystane prawa:
1. Mnożenie wielomianów
2. r*r=r
3. r=r*1
4. Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
5. 1+x = 1
gdzie:
x - dowolnie długa funkcja logiczna

IV nieznane prawo logiki
(p*q~>r) = [(p~>r)*(q~>r)]

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i szczeka to może ~> być psem
(4L*S~>P) = [(4L~>P)*(S~>P)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to prawdziwe są zdania B i C (odwrotnie także zachodzi):
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>S=1
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd
i
C.
Jeśli zwierzę szczeka to może ~> być psem
S~>P=1
Prawo Kubusia:
S~>P = ~S=>~P=1
Jeśli zwierzę nie szczeka to na pewno => nie jest psem
~S=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd

Dowód formalny:

Operator implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1  =1
1 0  =1
0 0  =1
0 1  =0


(p*q~>r) = [(p~>r)*(q~>r)]
Kod:

p*q p q r p*q~>r p~>r q~>r (p~>r)*(q~>r)
 1  1 1 1  1      1    1     1
 1  1 1 0  1      1    1     1
 0  1 0 1  0      1    0     0
 0  1 0 0  1      1    1     1
 0  0 1 1  0      0    1     0
 0  0 1 0  1      1    1     1
 0  0 0 1  0      0    0     0
 0  0 0 0  1      1    1     1

Zachodzi tożsamość kolumn wynikowych:
p*q~>r = (p~>r)*(q~>r)


Koniec 2012-03-18
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin