Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Część A Matematyczne faundamenty logiki człowieka v.Beta 1.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:17, 20 Lip 2008    Temat postu: Część A Matematyczne faundamenty logiki człowieka v.Beta 1.0

Proste jest piękne


Elementarz algebry Boole’a

Część A
Matematyczne fundamenty logiki człowieka


Część B Tajemnice implikacji


Polecana literatura dla nie znających algebry Boole’a:
Fundamenty algebry Boole'a


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Notacja
2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a
2.1 Logika dodatnia i ujemna
2.2 Matematyczne operatory logiczne
2.3 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach
2.4 Katastrofalne skutki nie odróżniania logiki dodatniej od logiki ujemnej
2.5 Katastrofalne skutki mieszania logiki dodatniej i ujemnej

3.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
3.1 Zdania poprawne i niepoprawne, prawdziwe i fałszywe
3.2 Definicja implikacji, definicja implikacji właściwej
3.3 Definicja implikacji prostej
3.4 Definicja implikacji odwrotnej
3.5 Rodzaje implikacji
3.6 Prawa Kubusia
3.7 Lekcja logiki w przedszkolu
3.8 Największa tajemnica implikacji
3.9 Tajemnica zer i jedynek w implikacji prostej
3.9.1 Algorytm analizy implikacji prostej
3.10 Tajemnica zer i jedynek w implikacji odwrotnej
3.10.1 Algorytm analizy implikacji odwrotnej

4.0 Błędy czysto matematyczne w fundamencie logiki klasycznej

5.0 Prawa Kubusia w implikacji
5.1 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
5.2 Warunek wystarczający w implikacji prostej
5.3 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
5.4 Prawa Kubusia w obsłudze równoważności
5.5 Gwarancje w obietnicach i groźbach

6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
6.1 Implikacja prosta
6.2 Implikacja odwrotna

7.0 Nie ma implikacji bez implikacji odwrotnej p~>q

Wstęp

Istotą publikacji jest odkrycie dwóch nowych, matematycznych operatorów w naturalnym języku mówionym "musi" => (implikacja prosta) i "może" ~> (implikacja odwrotna). Operatorami tymi, podobnie jak AND(i) i OR(lub) człowiek posługuje się doskonale od czasów Adama i Ewy. Operatory te działają fenomenalnie w całej algebrze Boole'a, w szczególności obsługują obietnice (implikacja prosta) i groźby (implikacja odwrotna). Są to zatem operatory znane wszystkim żywym istotom na naszej planecie bowiem fundamentem wszelkiego życia jest odróżnianie nagrody (obietnica) od kary (groźba). Zwierzątka które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.

W matematycznych fundamentach logiki człowieka, poruszane są zagadnienia czysto matematyczne, niezbędne do zrozumienia implikacji takie jak: logika dodatnia i ujemna, rozszyfrowanie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych (człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu) i przede wszystkim szczegółowe omówienie implikacji prostej (operator "musi" =>) i implikacji odwrotnej (operator "może" ~>) od strony matematycznej.

Najśmieszniejszy w tym wszystkim jest fakt, że po trzech latach walki z implikacją okazało się, iż cały problem jest na poziomie Licealisty, dosłownie !


1.0 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a

Nieznane fundamenty algebry Boole’a to logika dodatnia i ujemna. Bez wprowadzenia tych pojęć nie da się zrozumieć implikacji. Najbardziej zaskakujące wnioski w trzyletniej walce z implikacją wyniknęły po rozszyfrowaniu i nazwaniu wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole’a, matematycy znają poprawne znaczenie zaledwie sześciu …


2.1 Logika dodatnia i ujemna

W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.

Dowolne wyrażenie w algebrze Boole’a może przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1
A+B(C*D) .....
gdzie:
A,B,C,D… - zmienne binarne przyjmujące w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1

Wyrażeniu jak wyżej możemy przypisać abstrakcyjną funkcję logiczną Y (wyjście cyfrowe) która w osi czasu zmienia się w zależności od zmian zmiennych wejściowych (A,B,C,D…).

Fizycznie, dowolna funkcja logiczna Y:
Y=A+B(C*D) .....
Może przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Po przepuszczeniu jej przez prościutki negator otrzymamy funkcję ~Y będącą lustrzanym odbiciem funkcji Y.
Logika ujemna (~Y) to lustrzane odbicie logiki dodatniej.

Oczywiście zachodzi:
Y = ~(~Y)

O tym, że logika ujemna istnieje można się łatwo przekonać w technice cyfrowej obserwując wszystko na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Twardym dowodem istnienia logiki ujemnej jest także 16 matematycznych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej o czym będzie za chwilę. Logicy praktycy, ci od cyfrowych układów logicznych doskonale wiedzą, że istnieją sygnały cyfrowe w logice ujemnej i ten fakt zaznaczają kółkiem na schematach ideowych oraz sygnały cyfrowe w logice dodatniej (na schematach bez kółka). Fizycznie łączyć można wyłącznie logiki zgodne, inaczej nic nie działa !

Spójrzmy na prawa de’Morgana od tej właśnie strony.

Definicja iloczynu logicznego.
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

Definicja sumy logicznej.
Y=A1+A2 ….+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru

Jeśli:
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
to:
~Y= ~A1+~A2…+~An = 0 - bo wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0.

Oczywistym jest że:
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli A1=1 to ~A1=0 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y= ~(~A1+~A2…+~An) = ~(0) = 1 czyli:
A1*A2 ….*An = ~(~A1+~A2…+~An) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla sumy logicznej.
Jeśli:
Y = A1+A2…+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równa zeru
to:
~Y = ~A1*~A2…*~An =1 - bo wszystkie składniki iloczynu logicznego są równe 1

W tym przypadku mamy;
Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli A1=0 to ~A1=1 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y = ~(~Y) = ~(~A1*~A2…*~An) = ~(1) = 0
czyli:
A1+A2…+An = ~(~A1*~A2…*~An) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

Definicja.
Dowolnemu wyrażeniu w algebrze Boole’a możemy przypisać abstrakcyjną funkcję logiczną Y przyjmującą w osi czasu wartości binarne w zależności od zmiennych wejściowych.
Logika dodatnia - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) jest niezanegowana (Y)
Logika ujemna - funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) jest zanegowana (~Y)

Prawa de’Morgana mówią o związkach między logiką dodatnią a ujemną na dowolnie długiej funkcji logicznej z dowolnie pomieszanymi operatorami.

Y=A+(B*C)
przejście do logiki ujemnej
~Y = ~A * (~B + ~C) - totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów na przeciwne tzn. OR(+) na AND(*) i odwrotnie.

Powrót do logiki dodatniej
Y=A+(B*C) - ponowna totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów

Twierdzenie 2.1
Przejście z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y) polega na zamianie wszystkich zmiennych na przeciwne oraz wszystkich operatorów na przeciwne czyli AND(*) na OR(+) i OR na AND. Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej zmieni się na: nawiasy, OR, AND.

Logika dodatnia:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
A.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Przejście do logiki ujemnej:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej: nawiasy, OR(+), AND(*)
B.
~Y=~A*~B+(~C*D)*~E+F – logika ujemna (~Y)

Przejścia powrotnego do logiki dodatniej dokonujemy w identyczny sposób.

Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
C.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Zmiana kolejności wykonywania działań w logice ujemnej jest oczywista bowiem przy przejściu z logiki dodatniej do ujemnej AND zamienia się w OR.

Dowód twierdzenia:
I.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – funkcja zapisana w logice dodatniej (Y)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory.
II.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
III.
~Y=~A*(~B+(~C*D))*(~E+~F) – logika ujemna (~Y)
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy domyślną kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (~Y): nawiasy, OR, AND to zbędne stanie się dokładanie nawiasów. Przejście powrotne do logiki dodatniej wykonujemy w identyczny sposób tj. zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.
IV.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
Aby powrócić do funkcji pierwotnej I usuwamy dołożone nawiasy.

Y=A+B(C+~D)+E*~F – oryginał, logika dodatnia (Y)
Zauważmy, że w tej metodzie uzupełniamy nawiasy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną oraz usuwamy je przy przejściu powrotnym by dojść do oryginału. W sumie niepotrzebna syzyfowa praca bowiem o fakcie zapisania funkcji w logice ujemnej informuje precyzyjnie przeczenie przy jej nazwie (~Y).

Zauważmy, że prawo de’Morgana pozwala w prosty sposób zamienić operatory na przeciwne w dowolnym fragmencie nawet nieskończonej funkcji logicznej. Wystarczy dowolny fragment ciągu ująć w nawiasy, postawić przed nimi znak przeczenia ~, zaś w środku tych nawiasów zamienić wszystkie zmienne i operatory na przeciwne. W tym przypadku bezpieczniej będzie uzupełnić brakujące nawiasy domyślne, aby nie pogubić się w kolejności wykonywania działań.


2.2 Matematyczne operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją jest odkrycie i nazwanie wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole'a.

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>(musi)           -> ~(musi)
~>(może)           <- ~(może)
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ

Jak widać, połowa z 16 operatorów działa w logice dodatniej, zaś druga połowa w logice ujemnej. Za operatory dodatnie przyjęto te które człowiek używa w języku mówionym. Najważniejsze w porozumiewaniu się człowieka z człowiekiem są cztery operatory dodatnie o fundamentalnym znaczeniu: OR(+), AND(*), implikacja prosta (operator „musi” =>) i implikacja odwrotna (operator „może” ~>)

Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.

Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL).

Jest to zgodne z fundamentem algebry Boole’a:
A*~A=0
A+~A=1

Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB.

Operatory logiczne w równaniach matematycznych:

OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~OR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~AND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)

<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~(<=>) = ~p*q + p*~q (logika ujemna)

Operator implikacji prostej (spójnik "musi" => między p i q):
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
p->q = ~(p=>q) = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

Operator implikacji odwrotnej (spójnik "może" ~> między p i q):
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
p<-q = ~(p~>q) = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q = 1
NOP = ~FILL = ~(1) = 0 (logika ujemna)

P = p
NP = ~P = ~p (logika ujemna)

Q = q
NQ = ~Q = ~q (logika ujemna)


2.3 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach

W zdaniach twierdzących człowiek zawsze jako pierwsze wypowiada zdanie proste w logice dodatniej, bo za taką logikę przyjmujemy pierwsze wypowiedziane zdanie. Logika ujemna to zaprzeczenie zdaniu wypowiedzianemu w logice dodatniej.

Y = Jutro pójdę do kina – logika dodatnia bo Y

Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y = Jutro nie pójdę do kina – logika ujemna bo ~Y

W zdaniu twierdzącym wyjście Y występuje wyłącznie na poziomie abstrakcyjnym, nie jest dostępne w wypowiadanym zdaniu w przeciwieństwie do implikacji.

Y- funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.

Oczywiście nigdy nie będzie:
Y = ~Y – bo algebra Boole’a leży w gruzach

Ze zdania w logice ujemnej można wrócić do logiki dodatniej na dwa sposoby.

I.
Wypowiadamy ponownie zdanie w logice dodatniej
Y=~(~Y)=Y
Jutro pójdę do kina

II.
Zaprzeczamy zdaniu w logice ujemnej
Y= ~(~Y)
Czyli:
Y = ~( Jutro nie pójdę do kina) – logika dodatnia bo Y.
Zaprzeczam, że jutro nie pójdę do kina
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina ...itp.

Matematycznie każde wypowiedziane zdanie twierdzące traktujemy jako prawdziwe i przypisujemy mu wartość PRAWDA czyli Y=1.

Y = Jutro nie pójdę do kina, logika dodatnia bo Y
Zdanie w logice przeciwnej:
~Y = Jutro pójdę do kina, logika ujemna bo ~Y

W zdaniu prostym nie mamy dostępnego wyjścia Y i w tym przypadku która logika jest ujemna a która dodatnia to rzecz umowna. Pewne jest, że istnieją dwie przeciwstawne logiki. Zdanie proste w logice dodatniej (Y) nigdy nie będzie równoważne zdaniu prostemu w logice ujemnej (~Y)

Jutro pójdę do kina # Jutro nie pójdę do kina


2.4 Katastrofalne skutki nie odróżniania logiki dodatniej od logiki ujemnej

Skutki nie odróżniania w dzisiejszej algebrze Boole’a logiki dodatniej od logiki ujemnej oraz operatorów dodatnich od operatorów ujemnych są katastrofalne.

To jest poprawne rozumowanie w algebrze Boole’a.

Y = jutro nie pójdę do kina
Negujemy równanie dwustronnie.
~Y = jutro pójdę do kina

Gdzie Y jest abstrakcyjną funkcją logiczną, niedostępną w wypowiedzianym zdaniu, dlatego nie ma znaczenie czy w pierwszym zdaniu zapiszemy ~Y czy Y.

Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y

Wielu logików twierdzi, że poprawne jest poniższe równanie w algebrze Boole’a.

Zawsze tak = Nigdy nie
czyli:
Nigdy nie chodzę do kina = zawsze chodzę do kina

To oczywisty matematyczny idiotyzm, czyli czysto matematyczny błąd.

W algebrze Boole’a jest tak:
Y = Nigdy nie chodzę do kina (logika dodatnia bo Y)
negujemy równanie dwustronnie:
~Y = Zawsze chodzę do kina (logika ujemna bo ~Y)
Gdzie:
Y - to funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) niedostępna w wypowiadanym zdaniu.

Zapis:
Nigdy nie = Zawsze tak
jest zatem równoważny zapisowi:
Y = ~Y

Powyższe równanie jest bezpośrednim uderzeniem w fundament algebry Boole’a.

Aksjomat, na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a jest taki:
Y # ~Y - żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia.

Powyższe nieporozumienie to skutek uznania języka angielskiego za „świętą krowę” czyli uznanie poniższego fałszu za prawdę:

ang. NEVER = pol. NIGDY - to jest fałsz w algebrze Boole’a !

Prawidłowe w algebrze Boole'a równania są takie:

ang. NEVER # ang. NEVER_NOT - Anglicy używają wyłącznie NEVER
pol. NIGDY # pol. NIGDY_NIE - Polacy używają wyłącznie NIGDY_NIE

Matematyczny związek języka polskiego z angielskim jest taki:
ang. NEVER = pol. NIGDY_NIE
czyli:
Jeśli mówimy po angielsku to używamy operatora NEVER, zaś jeśli po polsku to używamy operatora NIGDY_NIE - oba znaczą to samo, to nierozdzielna NAZWA tego samego operatora !

Podobnie mamy w kiwaniu głową na TAK i NIE.

Jak nazywa się operator kiwania głową z góry na dół ?
TAK - po Polsku
NIE - po Bułgarsku

Zapis matematyczny:
Polskie TAK = Bułgarskie NIE

I już mamy wszystko, wiemy co robić po wjeździe do Bułgarii, tak samo jak Bułgarzy wiedzą co robić po wjeździe do Polski.

.... i bardzo dużo innych podobnych przykładów.


2.5 Katastrofalne skutki mieszania logiki dodatniej i ujemnej

Zderzenie dwóch logik:
W dzisiejszej logice jedynym legalnym operatorem jest operator implikacji prostej =>, operator implikacji odwrotnej ~> nie jest używany.
Jeśli jeździmy samochodem po Polsce to musimy jeździć prawą stroną (operator =>), zaś jeśli po Anglii to musimy jeździć lewą stroną (operator ~>). Brak operatora implikacji odwrotnej ~> oznacza, że Polacy jeżdżą po Anglii prawą stroną, masakra gwarantowana.
=> - samochód Polski z kierownicą po lewej stronie
~> - samochód Angielski z kierownicą po prawej stronie
Mózg człowieka obietnice obsługuje operatorem implikacji prostej =>, zaś groźby operatorem implikacji odwrotnej ~>, zatem "przesiada się" z jednego operatora na drugi niezwykle często. Matematyka bez operatora implikacji odwrotnej ~>, to jeżdżenie po Anglii jedynie słuszną, prawą stroną.

Mieszanie dwóch logik:
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Zapis matematyczny naturalny, zgodny z wypowiedzianym zdaniem:
K*~T – kino i nie teatr

Logika dodatnia:
K = kino
~K = nie kino
T = teatr
~T = nie teatr

Logika ujemna:
K = nie kino
~K = kino
T = nie teatr
~T = teatr

Zapis powyższego zdania w logice ujemnej:
~K*T = ~(nie kino)*(nie teatr) = kino i nie teatr
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru

Jak widać po podstawieniu konkretnych parametrów w logice ujemnej otrzymaliśmy zdanie zgodne z wypowiedzianym. Ogólnie, zdanie o dowolnej ilości zmiennych kodować możemy w logice dodatniej (jazda prawą stroną - Polak) zgodnej z naturalnym językiem, albo logice ujemnej (jazda lewą stroną - Anglik) będącej w totalnej niezgodności z językiem mówionym. Załóżmy, że wypowiedzieliśmy zdanie z 16-toma zmiennymi. Jeśli do matematycznego wzoru opisującego zdanie dodamy dopisek „logika dodatnia” albo „logika ujemna” to z łatwością odtworzymy wypowiedziane zdanie.

Załóżmy teraz, że poszczególne zmienne zapisujemy w logice dodatniej albo ujemnej rzucając monetą. Wszystkich możliwości zakodowania takiego zdania jest 2 do potęgi 15 czyli 65536. Konia z rzędem temu kto tak zapisane zdanie odczyta. Teoretycznie do każdej zmiennej możemy załączyć dopisek o zastosowanej logice i wtedy będzie to zapis matematycznie poprawny, groch z kapustą i głupota jednak pozostanie.

Prawo Kubusia:
Wypowiedziane zdania zawsze kodujemy w logice dodatniej, zgodnej z naturalnym językiem mówionym. W uzasadnionych przypadkach dopuszczalne są odstępstwa.


3.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka

Algebra Boole’a to matematyka ścisła. Implikacja to jeden z fundamentalnych operatorów w tej algebrze. Problem w tym, że ludzie znają wyłącznie jedynie słuszną implikację prostą (obsługującą obietnice), zaś nie mają pojęcia czym w rzeczywistości jest równie ważna implikacja odwrotna (obsługująca groźby). Definicje implikacji prostej i odwrotnej działają fenomenalnie w całej algebrze Boole’a. Groźby i obietnice to tylko maleńki fragment, ale kluczowy z punktu widzenia logiki człowieka bo dzięki niemu pewne jest że:

Logika człowieka = algebra Boole’a

Powyższe równanie to herezja dla dzisiejszych logików, którym wychodzi że „logika człowieka nie istnieje”. Wychodzi im prawidłowo, bo bez akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą tak właśnie musi wyjść.

Implikacja to zdanie złożone połączone spójnikiem „Jeśli...to...”. W całej logice istnieją tylko dwa rodzaje implikacji opisywane przez matematyczne operatory logiczne. Jeden z nich to operator implikacji prostej „musi” =>, zaś drugi to operator implikacji odwrotnej „może” ~>.

Od strony matematycznej, definicja implikacji odwrotnej jest tak samo zbędna jak zbędna jest definicja sumy logicznej (bo prawa de’Morgana)

Zobaczmy to w tabeli:

Kod:

p q p*q p+q=~(~p*~q) p=>q p~>q=q=>p
1 1  1   1            1    1
1 0  0   1            0    1
0 0  0   0            1    1
0 1  0   1            1    0


Jak widać, matematycznie zbędne jest zarówno wprowadzanie nowego symbolu sumy logicznej jak i nowego symbolu implikacji odwrotnej ~>. Zauważmy, że matematycznie nigdy nie będzie p=>q = p~>q bo to różny zestaw zer i jedynek, tak samo jak nigdy nie będzie OR(+)=AND(*). Zarówno operator sumy logicznej (+) jak i operator implikacji odwrotnej (~>) są niezbędne w opisie matematycznym naturalnego języka mówionego człowieka. W języku mówionym implikacji odwrotnej używa się równie często jak implikacji prostej.


3.1 Zdania poprawne i niepoprawne, prawdziwe i fałszywe

Definicja:
Zdanie jest zdaniem poprawnym jeśli da się określić jego prawdziwość lub fałszywość.

Jeśli zdanie jest prawdziwe to przypisujemy mu wartość 1 = „prawda”, zaś jeśłi fałszywe to przypisujemy mu wartość 0 = ”fałsz”.

Zdania poprawne:
Pies ma cztery łapy - prawda, zdanie poprawne
Pies ma trąbę - fałsz, zdanie poprawne

Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to „na pewno” jest podzielna przez 8 - implikacja fałszywa.
P3=>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to „może” być podzielna przez 8 - implikacja prawdziwa bo 24.
P3~>P8

Zdanie niepoprawne:
Jeśli księżyc świeci to pies ma cztery łapy
S ??? 4L - księżyc świeci to 4 łapy
Zdanie niepoprawne bo brak związku między p i q. Oczywiście, jeśli ktoś kiedyś udowodni że świecenie księżyca ma związek z czterema łapami u psa to wtedy implikacja może być poprawna.


3.2 Definicja implikacji, definicja implikacji właściwej

Definicja implikacji:
Implikacją jest dowolne zdanie ujęte w spójnik „Jeśli… to…”

Mówiąc o implikacji, będziemy mieli na myśli implikację w najszerszym tego słowa znaczeniu jak w definicji wyżej. Jeśli w czasie analizy implikacji okaże się, że implikacja spełnia definicję implikacji prostej lub odwrotnej, to taką implikację nazwiemy implikacją właściwą.

Definicja implikacji właściwej:
Implikacja właściwa to implikacja spełniająca definicję implikacji prostej lub definicję implikacji odwrotnej. W przeciwnym przypadku implikacja jest niewłaściwa.

Nie każde zdanie ujęte w spójnik „jeśli…to…” jest implikacją właściwą. W matematyce spójnik „Jeśli…to…” używany jest często także do wyrażenia równoważności. W implikacji prostej prawdziwej zawsze obowiązuje definicja implikacji prostej, to jest gwarantowane. W implikacji odwrotnej implikacja może być prawdziwa a mimo to może nie spełniać definicji implikacji odwrotnej (implikacja niewłaściwa).

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 5
P2~>P5
Implikacja prawdziwa bo 10 ..., ale nie podlegająca pod definicję implikacji odwrotnej, gdyż zajście P2 nie jest konieczne dla zajścia P5.

Implikacja może też być fałszywa, czyli nie spełniająca definicji implikacji. Każda implikacja fałszywa jest oczywiście implikacją niewłaściwą.


3.3 Definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q)

p=>q
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q (z p „musi” wynikać q”)
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej właściwej zajście p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia q
Warunek wystarczający = gwarancja
gdzie:
p=>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1


Przykład 3.3
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
p=>q = P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy. Bycie psem gwarantuje 4 łapy

Jeśli p jest warunkiem wystarczającym zajścia q to q musi być warunkiem koniecznym zajścia p. W implikacji przeciwnej q=>p zajście q może spowodować zajście p ale nie gwarantuje tego.

Wyprowadzenie wzoru implikacji przeciwnej jest łatwe.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej

Zamieniamy wszędzie p i q otrzymując wzór implikacji przeciwnej:
q=>p = ~q + p - matematyczny wzór implikacji przeciwnej

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
q=>p = 4L ??? P

Jeśli zwierzę ma cztery łapy (q) to „może” zajść p (pies) lub „może” zajść ~p (nie pies = lis, zając, słoń…). Nie ma innych możliwości. Zauważmy, że w miejsce ??? nie możemy wstawić operatora implikacji prostej, spójnika "musi" => między p i q, bo 4 łapy u zwierzęcia nie są warunkiem wystarczającym bycia psem.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L<=P - to jedyna poprawna możliwość zapisania implikacji odwrotnej przy pomocy symbolu <=
<= - symbol operatora implikacji przeciwnej, spójnik „może” między p i q, czytamy przeciwnie do strzałki

Porównajmy to co wyżej z implikacja prostą.
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
P=>4L
=> - symbol operatora implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q, czytamy zgodnie ze strzałką

Zauważmy, że w implikacji prostej zdanie czytamy zgodnie ze strzałką (P=>4L) zaś w implikacji przeciwnej przeciwnie do strzałki (4L<=P). Nie ulega wątpliwości że „musi” i „może” to dwa fundamentalnie różne spójniki i powinny mieć różne symbole identycznie jak AND(+) i OR (+).

Dowolny z powyższych powodów wystarcza, by wprowadzić nowy operator implikacji odwrotnej.
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka

Oczywiście matematycznie zachodzi:
4L<=P = 4L~>P
czyli:
p<=q = p~>q
Zauważmy:
p=>q - implikacja prosta, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
p~>q - implikacja odwrotna, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
Jak widać w obu przypadkach zdanie czytamy zgodnie ze strzałką. To jest kapitalne uproszczenie problemu implikacji jeśli weźmiemy pod uwagę poniższe matematyczne tożsamości.
p=>q = q<=p
p~>q = q<~p
Oraz prawa Kubusia o których w dalszej części.


3.4 Definicja implikacji odwrotnej

W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym zajścia q. W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym zajścia q, to dwie różne definicje.

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q = ~(~p*q)

p~>q
Jeśli zajdzie p to „może ” zajść q (z p „może” wynikać q)
W implikacji odwrotnej właściwej p musi być warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
p~>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”)
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
Kod:
p q p~>q = p<=q
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0

W implikacji odwrotnej właściwej między p i q musi zachodzić warunek konieczności. Zajście p jest warunkiem koniecznym aby zaszło q, ale nie gwarantuje tego.
Jeśli zajdzie p to może zajść q (p~>q)
lub
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q (p~> ~q)
Nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a.

Zapiszmy matematycznie to co wyżej:
(p~>q)+(p~> ~q) = (p+~q)+[p+~(~q)] = p+ ~q + p + q = p+p + ~q + q = p + 1 = 1
bo:
p+p=p, ~q+q=1, p+1=1
Powyższe równanie to tautologia (zdanie zawsze prawdziwe) czyli "jeśli zajdzie p to wszystko może się zdarzyć".

Przykład 3.4
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna właściwa, bo cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby zwierzę było psem.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem lub „może” nie być psem (lis, zając, słoń…)

Gwarancja w implikacji odwrotnej występuje po stronie ~p.
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważna implikację prostą
~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem (gwarancja)
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym by nie być psem
Oczywiście mamy tu na myśli psa zdrowego, bez ułomności.


3.5 Rodzaje implikacji

Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej

Ze względu na rodzaj implikacje możemy podzielić na implikacje proste, odwrotne i przeciwne.

p=>q - implikacja prosta
q=>p = p<=q = p~>q - implikacja przeciwna do implikacji prostej przechodzi w implikację odwrotną
p~>q - implikacja odwrotna
q~>p = p<~q = p=>q - implikacja przeciwna do implikacji odwrotnej przechodzi w implikację prostą

Twierdzenie 3.5
Implikacja prosta po zamianie p i q przechodzi w implikację odwrotną. Implikacja odwrotna po zamianie p i q przechodzi w implikację prostą.

Dowód wyżej.


3.6 Prawa Kubusia

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny, identycznie jak w prawach de’Morgana.

Dowód 3.6.1
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej

Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

Dowód 3.6.2
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej

Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q


3.7 Lekcja logiki w przedszkolu

Kubusiowe zagadki dla 5-letnich dzieci.

Zgadnijcie czy mówię prawdę czy kłamię.
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Prawda czy kłamstwo ?
Dzieci: Prawda
B.
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
Prawda czy kłamstwo ?
Dzieci: Kłamstwo
C.
Jakie to zwierzę, nie jest psem i nie ma czterech łap
Dzieci: Kura nie jest psem i nie ma czterech łap ! … i bocian … i stonoga …
D.
Jakie to zwierzę, nie jest psem i ma cztery łapy
Dzieci: Słoń nie jest psem i ma cztery łapy ! … i kot … i zając …

Powyższa lekcja logiki w przedszkolu to dowód, że 5-cio letnie dzieciaki doskonale posługują się w praktyce matematyką ścisłą, algebrą Boole’a. Odpowiednie równania matematyczne dopiszą jak trochę podrosną.


3.8 Największa tajemnica implikacji

W stumilowym lesie, w I klasie LO dla leśnych zwierzątek, wykładowca logiki Kubuś po zaledwie kilku wykładach zadał taki test.

Przeanalizować matematycznie zdania:
TEST 1
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
TEST 2
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem

Proszę o zaznaczenie zdań prawdziwych i zdań fałszywych wraz z odpowiednimi wzorami matematycznymi

Rozwiązanie Kłapouchego.
Definicje:
Implikacja właściwa - implikacja spełniająca definicję implikacji prostej lub definicję implikacji odwrotnej

p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Implikacja prosta jest właściwa jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q

p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Implikacja odwrotna jest właściwa jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zdanie analizowane:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Implikacja prosta właściwa bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć 4 łapy


TEST 1 - rozwiązanie

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 1
1 0 0

A.
p q p=>q
1 1 1
Jeśli zwierze jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
Prawda, bo wszystkie psy mają cztery łapy
B.
1 0 0
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => nie ma czterech łap
P=>~4L = ~P + ~4L = 0
Fałsz, bo wszystkie psy mają cztery łapy

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Odpowiedź na pytanie co może się zdarzyć gdy zwierzę nie jest psem otrzymujemy w równoważnej implikacji odwrotnej. Implikacja prosta i odwrotna to dwie różne definicje których nie wolno mieszać. Zdanie ~P ~> ~4L traktujemy zatem jako zupełnie nowe zdanie (1 1 1) analizowane przy pomocy implikacji odwrotnej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
p q p~>q
1 1 1
1 0 1

C.
p q p~>q
1 1 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L = ~P + 4L = 1
Prawda bo kura, wąż …
lub
D.
1 0 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P ~> 4L = ~P + ~4L = 1
Prawda bo słoń, zając …

Jak widać, w analizie wypowiedzianego zdania mamy w wyniku trzy jedynki i jedno zero czyli piękną implikację właściwą podlegającą pod implikację prostą.


TEST 2 - rozwiązanie

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna właściwa bo cztery łapy są warunkiem koniecznym bycia psem

Analiza:

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej.
p q p~>q
1 1 1
1 0 1

A.
p q p~>q
1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P = 4L + ~P = 1
Prawda
lub
B.
1 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L ~> ~P = 4L + P = 1
Prawda bo słoń, zając …

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Prawo Kubusia daje odpowiedź, co będzie jeśli zwierzę nie ma czterech łap. Jak widać w tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą, spójnik „musi” =>. Oczywiście implikację ~4L => ~P traktujemy jako zupełnie nowe zdanie (1 1 1) podlegające pod definicję implikacji prostej, bo nie wolno mieszać ze sobą implikacji odwrotnej i prostej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 1
1 0 0

C.
p q p=>q
1 1 1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = 1
Prawda bez żadnych wyjątków
D.
1 0 0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => jest psem
~4L => P = 4L + P = 0
Fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy

To co wyżej to piękna matematyka ścisła, prosta do bólu i nie do obalenia.


3.9 Tajemnica zer i jedynek w implikacji prostej

Rozwiązując testy Kłapouchy zdradził ludziom największą tajemnicę implikacji. Kubusiowi pozostaje rozszyfrować tajemnicę zer i jedynek w definicjach implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Definicja implikacji prostej w postaci symbolicznej.
p q p=>q
p q =1
p ~q =0
~p ~q =1
~p q =1

Oczywiście logika dodatnia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Wstawiamy teraz do dwóch pierwszych linii symbol implikacji prostej =>, zaś do dwóch ostatnich symbol implikacji odwrotnej ~>.

Definicja implikacji prostej rozpisana na operatory logiczne:

p=>q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
~p ~> ~q =1
~p ~> q =1

To jest cała trywialna tajemnica zero-jedynkowej definicji implikacji prostej. Zauważmy, że jedynka w definicji zero-jedynkowej implikacji zakazuje przeczenia p lub q w zdaniu wypowiedzianym p=>q, zaś zero wymusza przeczenie. Jest to fundamentalnie różna interpretacja zer i jedynek niż w komunistycznej implikacji materialnej.


3.9.1 Algorytm analizy implikacji prostej

=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” (musi) między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Metoda Kłapouchego:

A.
1 1 =1
p=>q =1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
B.
1 0 =0
p=>~q =0 - po zanegowaniu q musimy otrzymać zdanie fałszywe

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Implikacji prostej i odwrotnej nie wolno ze sobą mieszać, zatem traktujemy zdanie ~p ~> ~q jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1.

C.
1 1 =1
~p ~> ~q = 1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
D.
1 0 =1
~p ~> q = 1 - po zanegowaniu q w implikacji odwrotnej musimy otrzymać zdanie prawdziwe

Jeśli w którymkolwiek punkcie A,B,C,D otrzymamy niezgodność z powyższym wzorem, to zdanie wypowiedziane nie jest implikacją prostą.


3.10 Tajemnica zer i jedynek w implikacji odwrotnej

Identycznie postępujemy z implikacją odwrotną.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Definicja implikacji odwrotnej w postaci symbolicznej:

p q p~>q
p q =1
p ~q =1
~p ~q =1
~p q =0

Oczywiście logika dodatnia:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Do dwóch pierwszych linijek wstawiamy symbol implikacji odwrotnej ~>, zaś do dwóch ostatnich symbol implikacji prostej =>

Definicja implikacji odwrotnej rozpisana na operatory logiczne:

p~>q =1
p ~> ~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q =1
~p=>q =0


3.10.1 Algorytm analizy implikacji odwrotnej

~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” (musi) między p i q

Metoda Kłapouchego:

A.
1 1 =1
p~>q =1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
B.
1 0 =1
p~>~q =0 - po zanegowaniu q w implikacji odwrotnej także musimy otrzymać zdanie prawdziwe

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą

Implikacji odwrotnej i prostej nie wolno ze sobą mieszać. Traktujemy zatem zdanie ~p => ~q jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1.
C.
1 1 =1
~p => ~q = 1 - zdanie wypowiedziane (1 1 1), musi być prawdziwe z definicji
lub
D.
1 0 =0
~p => q = 0 - po zanegowaniu q w implikacji prostej musimy otrzymać zdanie fałszywe

Jeśli w którymkolwiek punkcie A,B,C,D otrzymamy niezgodność z powyższym wzorem, to zdanie wypowiedziane nie jest implikacją odwrotną.


4.0 Błędy czysto matematyczne w fundamencie logiki klasycznej

Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ) - dział logiki opartej na algebrze Boole'a

Istota błędu:
Prawa de'Morgana dla AND(*) i OR(+)
a+b = ~(~a*~b)
a*b = ~(~a+~b)
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

Prawa de'Morgana (=prawa Kubusia) dla operatorów "musi"=> (implikacja prosta) i "może"~> (implikacja odwrotna)
a=>b = ~a ~> ~b - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
a~>b = ~a => ~b - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

Prawo Tygryska:
Jeżeli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi parametrami p i q, to muszą zostać zapisane z przeciwnymi operatorami jak wyżej, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach !

Klasyczny Rachunek Zdań nie zna operatora implikacji odwrotnej, spójnika "może" ~> między p i q i popełnia fundamentalny błąd jak niżej.
p=>q = ~p => ~q - zanegowane zmienne, ale operator => nie wymieniony na ~>

Odpowiednik tego co wyżej dla operatorów OR i AND:
p+q = ~(~p+~q) - zanegowane zmienne, ale operator OR(+) nie wymieniony na AND(*)

Przykład 4.1
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - tu Kubuś i KRZ są zgodni

KRZ:
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W => ~C - to jest błąd czysto matematyczny, to zgwałcenie prawa de'Morgana jak wyżej (=prawa Kubusia)

Poprawny zapis matematyczny powyższego zdania jest tylko i wyłącznie taki:

Prawo de'Morgana dla operatorów "musi" => i "może" ~> (=prawo Kubusia)
W=>C = ~W ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Kubuś:
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W ~> ~C =1
Po odkryciu operatora "może" ~> mamy:
Jeśli nie powiesz wierszyka to "możesz" ~> nie dostać czekolady
~W ~> ~C = 1 - zdanie prawdziwe
lub
Jeśli nie powiesz wierszyka to możesz dostać czekoladę
~W ~> C = 1 - zdanie prawdziwe

W groźbach prawie nigdy nie używa się operatora "możesz" w sposób jawny bo po pierwsze osłabiałby groźbę, a po drugie operator ten jest gwarantowany z definicji (~> = "możesz") i nie ma sensu go powtarzać.

Wniosek z powyższego:
Wszelkie groźby podlegają pod definicję implikacji odwrotnej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawa matematyczne są identyczne w całej algebrze Boole'a.

Przyroda martwa:
Kubuś i KRZ
Jeśli będzie słońce to nie będzie padało
S => ~P =1 - tu Kubuś i KRZ są zgodni

Kubuś:
Słońce jest warunkiem wystarczającym dla braku deszczu
S=>~P = ~S ~> P - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli nie będzie słońca to może padać
~S ~> P =1
lub
Jeśli nie będzie słońca to może nie padać
~S ~> ~P =1

KRZ:
Jeśli nie będzie słońca to będzie padało
~S=>P =0 !
Brak słońca nie jest warunkiem wystarczającym dla deszczu, nie jest to zatem implikacja prosta właściwa. To jest matematyczny śmieć nie podlegający pod żadną definicję implikacji, ani prostej, ani odwrotnej.

Przyroda żywa:
KRZ i Kubuś
Jeśli zwierzę jest psem to ma 4 łapy
P=>4L =1 - pies to "na pewno"=> cztery łapy

Kubuś
P=>4L = ~P~>~4L - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Jeśli zwierzę nie jest psem to "może"~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 - prawda bo kura, stonoga … piękna implikacja odwrotna

KRZ
Jeśli zwierzę nie jest psem to "na pewno" nie ma czterech łap
~P=>~4L =0 ! - fałsz bo słoń, kot... matematyczny śmieć !


Matematyka:
KRZ i Kubuś
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 - P8 to "na pewno" => P2

Kubuś
P8=>P2 = ~P8 ~> ~P2 - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to "może" ~> być niepodzielna przez 2
~P8 ~> ~P2 =1 - prawda bo 3,5,7... piękna implikacja odwrotna.

KRZ
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to "na pewno"=> nie jest podzielna przez 2
~P8 => ~P2 =0 ! - fałsz bo 4,6 ... matematyczny śmieć !

Wniosek:
Jeśli przy pomocy implikacji chcemy opisać język mówiony to wkraczamy w obszar fizyki, gdzie obowiązują określone reguły gry.

Określone reguły gry = spójnik "Jeśli...to..." może być implikacją prostą, implikacją odwrotną albo równoważnością (częste w matematyce) w zależności od p i q ! To musi być rozróżniane, jeśli chcemy matematycznie opisywać język mówiony.


5.0 Prawa Kubusia w implikacji

Ogólnie implikacją można nazwać cokolwiek ujęte w spójnik „Jeśli…to…”. Implikacja jest implikacją właściwą jeśli podlega pod definicję implikacji prostej lub odwrotnej. W matematyce bardzo często przy pomocy „Jeśli…to…” wyrażana jest równoważność. Spójnik „Jeśli…to…” jest więc najbardziej uniwersalnym spójnikiem w logice. Zdanie ujęte w ten spójnik może być implikacją prostą, implikacją odwrotną, równoważnością lub matematycznym śmieciem (będącym czymkolwiek innym).


5.1 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to masz gwarantowany komputer. Wszystko inne może się zdarzyć.

… a jak nie zdam egzaminu

Prawo Kubusia:
E=>K = ~E ~>~K
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E ~> ~K
czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz nie dostać komputera
~E ~> ~K
LUB
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz dostać komputer
~E ~> K

To bardzo często spotykany dialog w języku mówionym. Oczywiście na mocy prawa Kubusia zdania te są równoważne.

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Logika dodatnia - wyjście q nie zanegowane (q)
Logika ujemna - wyjście q zanegowane (~q)

W powyższych równaniach q jest funkcją logiczną (wyjściem cyfrowym) która może być zapisana w logice dodatniej q (q bez negacji) lub logice ujemnej ~q (q z negacją). Prawa Kubusia, identycznie jak prawa de'Morgana, mówią o związku logiki dodatniej z logiką ujemną. Prawa te umożliwiają przejście z logiki dodatniej na równoważną logikę ujemną lub odwrotnie.


5.2 Warunek wystarczający w implikacji prostej

Implikacja prosta:
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p=>q
Zajście p wystarcza, aby zaszło q
Implikacja prosta jest implikacją właściwą (spełnia definicję) jeśli między p i q zachodzi warunek wystarczalności. Jeśli warunek wystarczający nie zachodzi to implikacja jest fałszywa (matematyczny śmieć).

Metody badania warunku wystarczającego w implikacji prostej:
A.
Dla każdego przypadku spełniającego warunek p musi zachodzić warunek q
B.
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zachodzi warunek p i nie zachodzi warunek q, aby wykazać, że warunek wystarczalności nie zachodzi (zdanie jest matematycznym śmieciem).
C.
Można skorzystać z definicji implikacji prostej.
p=>q = p + ~q = ~(p*~q) - definicje implikacji prostej
~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie warunek p i nie zajdzie q

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
A - prawda
Dla każdej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
C - prawda
~(p*~q) = ~(P8*~P2) - gwarancja spełniona
Nie istnieje liczba podzielna przez 8 i niepodzielna przez 2

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 2
P5=>P2
B - implikacja fałszywa bo 5 jest podzielne przez 5 i nie jest podzielne przez 2
C - implikacja fałszywa
~(p*~q) = ~(P5*~P2) - gwarancja
Nie istnieje liczba podzielna przez 5 i niepodzielna przez 2
Gwarancja złamana bo 5 jest podzielne przez 5 i niepodzielne przez 2


5.3 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej

Implikacja odwrotna:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym dla q
Implikacja odwrotna jest implikacją właściwą (spełnia definicję) jeśli między p i q zachodzi warunek konieczności.

Jeśli implikacja odwrotna jest właściwa to między p i q zachodzi warunek konieczności, zaś w drugą stronę warunek wystarczalności.

Twierdzenie 5.3
Badanie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej p~>q jest równoważne z badaniem warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej q=>p.

Zamiast szukać warunku koniecznego w implikacji P2~>P8 możemy szukać warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej P8=>P2. Ta metoda jest często najprostsza i najszybsza. Do dyspozycji mamy tu wszystkie metody badań opisane w punkcie wyżej.

W implikacji odwrotnej mamy dodatkową możliwość wynikającą z prawa Kubusia.
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
CH~>P = ~CH => ~P - prawo Kubusia
~CH => ~P
Nie ma chmur to "na pewno" => nie będzie padać
Brak chmur jest oczywistym warunkiem wystarczającym braku deszczu. Badana implikacja odwrotna CH~>P jest właściwa.

Twierdzenie 5.4
Matematyczne gwarancje dla wszystkich czterech możliwych przypadków implikacji, wynikające z definicji implikacji, są identyczne.

Możliwe cztery przypadki implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
Gwarancja dla powyższej implikacji wynikająca z definicji.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) = ~(~CH*P) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, implikacja właściwa.

Implikacja odwrotna do powyższej:
Jeśli będzie padać to „na pewno” => będą chmury
P=>CH
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH*P) - gwarancja identyczna jak wyżej
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, implikacja właściwa.


5.4 Prawa Kubusia w obsłudze równoważności

Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to jest równoboczny
K60=>R = 1 - jeśli kąty równe to „na pewno” => równoboczny
K60=>~R = 0 – fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R – prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
~K60 ~> ~R
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” nie być równoboczny
~K60 ~> ~R = 1 – prawda
lub
Jeśli nie ma wszystkich kątów równych to „może” być równoboczny
~K60 ~> R = 0 – oczywisty fałsz

Jak widać w analizie pionowej implikacji (prawa Kubusia) wykazaliśmy zachodzącą równoważność. To jest alternatywny sposób do analizy poziomej.
K60=>R i R=>K60
(Jeśli kąty równe to na pewno trójkąt jest równoboczny) i (Jeśli równoboczny to na pewno kąty równe)

5.5 Gwarancje w obietnicach i groźbach

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać

Gwarancja w implikacji prostej:
Spełnienie warunku nagrody W gwarantuje nagrodę N z powodu spełnienia warunku W. Poza tym wszystko może cie zdarzyć.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer z powodu zdanego egzaminu

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary.

Gwarancja w implikacji odwrotnej.

W~>K = ~W => ~K – prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Wszystko inne może się zdarzyć.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdę w czystych spodniach, to nie mam prawa dostać lania z powodu czystych spodni.

Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć.

Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.


6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

W języku mówionym każdy człowiek posługuje się biegle zarówno implikacją prostą jak i odwrotną, w szczególności w obietnicach (implikacja prosta) oraz w groźbach (implikacja odwrotna). Uznanie implikacji odwrotnej za legalną i na równych prawach z implikacją prostą z całą pewnością wygeneruje cały szereg sensownych praw matematycznych, nieznanych człowiekowi. Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.


6.1 Implikacja prosta

Prawo sylogizmu, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q

Przykład 6.1

[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość

P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi być" podzielna przez 4
i (*)
P4=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to "musi być" podzielna przez 2
to na pewno (=>)
P8=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 "musi być" podzielna przez 2

Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !


6.2 Implikacja odwrotna

Prawo sylogizmu, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)

[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q

Dowód zero-jedynkowy
Kod:

a b c (a~>b)  (b~>c)    (a~>b)*(b~>c)   (a~>c)  y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0   1       1             1           1     1
0 0 1   1       0             0           0     1
0 1 0   0       1             0           1     1
0 1 1   0       1             0           0     1
1 0 0   1       1             1           1     1
1 0 1   1       0             0           1     1
1 1 0   1       1             1           1     1
1 1 1   1       1             1           1     1

W ostatniej kolumnie y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.

Przykład 6.2

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość

P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8

Zauważmy coś bardzo ważnego:

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t

Spójnik "na pewno" ("musi") użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !

To kolejny dowód że:
Logika człowieka = algebra Boole'a


7.0 Nie ma implikacji bez implikacji odwrotnej i praw Kubusia … koniec wariatkowa !

W dzisiejszej logice operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q nie jest używany. Spróbujmy wrócić do przeszłości i zobaczyć jak wyglądała logika człowieka bez operatora implikacji odwrotnej i praw Kubusia.

Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zdanie analizowane:
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L

Tabela 7.1:
Analiza naturalna w 100% zgodna z logiką człowieka, algebrą Boole’a.
A.
1 1 1
Jeśli zwierze jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla psa
B
1 0 0
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0
Fałsz dla psa

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Implikacji odwrotnej nie wolno mieszać z implikacją prostą, dlatego traktujemy poniższe zdanie jako nowo wypowiedziane przypisując mu wartość startową 1 1 1
C.
1 1 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla kury, węża ...
lub
D.
1 0 1
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> mieć cztery łapy
~P ~> 4L = ~P + ~4L = 1
Prawda dla kota, słonia ...

Zauważmy, że mamy 100% zgodność analizy matematycznej z językiem mówionym !
To jest piękna matematyczna implikacja, gdyż w wyniku mamy trzy jedynki i jedno zero.

Matematycznie zachodzi:
p~>p = p<=q – operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q.

Przepiszmy tabelę 7.1 korzystając z tej równości.

Tabela 7.2
Analiza naturalna w 100% zgodna z logiką człowieka, pozornie bez użycia symbolu implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> między p i q.
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla psa
B
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0
Fałsz dla psa
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P <= ~4L = ~P + 4L = 1
Prawda dla kury, węża ...
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P <= 4L = ~P + ~4L = 1
Prawda dla kota, słonia ...

Zauważmy, że totalnie nic nie zmieniliśmy w stosunku to tabeli 7.1. W liniach A i B obowiązuje definicja implikacji prostej zaś w liniach C i D obowiązuje definicja implikacji odwrotnej. Zdania A i B czytamy zgodnie ze strzałką (implikacja prosta) zaś zdania C i D czytamy przeciwnie do strzałki (implikacja odwrotna) ! Jeśli chcemy wyeliminować implikacje odwrotną z powyższej analizy to musimy odwrócić zdania C i D jak niżej.

Tabela 7.3
Analiza zdania A przy totalnym wyeliminowaniu implikacji odwrotnej !
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1
B
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0
C
Przedpotopowa postać prawa Kubusia, związek ze zdaniem A:
p=>q = ~q=>~p - jedynie słuszna, komunistyczna implikacja prosta :shock:
P=>4L = ~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = ~P + 4L = 1
D
Przedpotopowa postać prawa Kubusia, związek ze zdaniem B:
P=>~4L = 4L=>~P
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno nie jest psem
4L => ~P = ~4L + ~P = ~P + ~4L = 0

Oczywiście powyższa tabela to algebra Boole’a, również w 100% zgodna z naturalną logiką człowieka.
To co wyżej, to stan dzisiejszej logiki, która nie uznaje definicji implikacji odwrotnej (operator „może” ~>) na równych prawach z implikacją prostą (operator „musi”=>).

Tabela 7.3 nie jest definicją implikacji gdyż mamy tu w wyniku dwie jedynki i dwa zera !
Nie jest to też równoważność !

Zdania A i B to poprawny początek analizy implikacji A.

Zdanie C to totalnie inna implikacja, której pełną poprawną analizę przytaczam poniżej.

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L => ~P

Tabela 7.4
Analiza powyższego zdania w 100% zgodna z naturalną logiką człowieka, algebrą Boole’a.
A
1 1 1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = 1
B.
1 0 0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” => jest psem
~4L => P = 4L + P = 0

Prawo Kubusia:
~4L => ~P = 4L ~> P – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Oczywiście implikację odwrotną traktujemy jako nowo wypowiedziane zdanie 1 1 1, bo nie wolno jej mieszać z implikacją prostą.

C.
1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P = 4L + ~P = 1
Prawda dla psa
lub
D.
1 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L ~> ~P = 4L + P = 1
Prawda dla słonia, kota, lisa …

Jak widać mamy piękną implikację czego dowodem są trzy jedynki i jedno zero w wyniku. Oczywiście wszystko jest w pełnej zgodności z naturalną logiką człowieka, algebrą Boole’a. Myślę, że to koniec pewnej epoki w logice. Koniec komunizmu z jedynie słuszną definicją implikacji materialnej.

Logika człowieka nie istnieje - Klasyczny Rachunek Zdań, wniosek z definicji implikacji materialnej
Logika człowieka = algebra Boole’a - proste jest piękne, nowa era w logice klasycznej
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin