Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Część V Fundamenty logiki człowieka v.BETA 5.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:33, 02 Lip 2008    Temat postu: Część V Fundamenty logiki człowieka v.BETA 5.0

Istota implikacji:
Jest gwarancja - jest implikacja
Nie ma żadnej gwarancji - nie ma implikacji
Gwarancja = warunek wystarczający w implikacji



Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej 1
Część III Teoria implikacji prostej i odwrotnej 2
Część IV Wojna o implikację
Część V Matematyczne fundamenty logiki człowieka
Część VI Tajemnice implikacji


Część V
Matematyczne fundamenty logiki człowieka



Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Notacja
2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a
2.1 Logika dodatnia i ujemna
2.2 Matematyczne operatory logiczne
2.3 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach
2.4 Katastrofalne skutki nie odróżniania logiki dodatniej od logiki ujemnej
2.5 Mechanizm tworzenia idiotyzmów w algebrze Boole'a

3.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia
3.4 Rodzaje implikacji
3.5 Implikacje poprawne i niepoprawne
3.6 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.7 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.8 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

4.0 Analiza matematyczna implikacji prostej metodą zero-jedynkową
4.1 Warunek p spełniony (p=1)
4.2 Warunek p niespełniony (p=0)

5.0 Analiza matematyczna implikacji odwrotnej metodą zero-jedynkową
5.1 Warunek p spełniony (p=1)
5.2 Warunek p niespełniony (p=0)

6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
6.1 Implikacja prosta
6.2 Implikacja odwrotna
6.2.1 Przekształcanie praw w algebrze Boole'a

7.0 Powrót do przeszłości
7.1 Powrót do przeszłości dla operatora "musi"
7.2 Powrót do przeszłości dla operatora "może"

Wstęp

Istotą publikacji jest odkrycie dwóch nowych, matematycznych operatorów w naturalnym języku mówionym "musi" => (implikacja prosta) i "może" ~> (implikacja odwrotna). Operatorami tymi, podobnie jak AND(i) i OR(lub) człowiek posługuje się doskonale od czasów Adama i Ewy. Operatory te działają fenomenalnie w całej algebrze Boole'a, w szczególności obsługują obietnice (implikacja prosta) i groźby (implikacja odwrotna). Są to zatem operatory znane wszystkim żywym istotom na naszej planecie bowiem fundamentem wszelkiego życia jest odróżnianie nagrody (obietnica) od kary (groźba). Zwierzątka które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.

W matematycznych fundamentach logiki człowieka, poruszane są zagadnienia czysto matematyczne, niezbędne do zrozumienia implikacji takie jak: logika dodatnia i ujemna, rozszyfrowanie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych (człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu) i przede wszystkim szczegółowe omówienie implikacji prostej (operator "musi" =>) i implikacji odwrotnej (operator "może" ~>) od strony matematycznej. Matematycy znają co prawda implikację prostą, przeciwną, i przeciwstawną, ale nie wiedzą nic o logice ujemnej i implikacji odwrotnej (operator „może” ~>).

Człowiek używa implikacji odwrotnej równie często jak implikacji prostej. Bez akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacja prostą niemożliwe jest rozszyfrowanie logiki człowieka.

Jeśli zaakceptujemy implikację odwrotną to wszystko stanie się bajecznie proste:

Logika człowieka = algebra Boole’a

Najwyższy czas, aby znany wszystkim logikom slogan „logika człowieka nie istnieje” wylądował w koszu na śmieci.


1.0 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a

Nieznane fundamenty algebry Boole’a to logika dodatnia i ujemna. Bez wprowadzenia tych pojęć nie da się zrozumieć implikacji. Najbardziej zaskakujące wnioski w trzyletniej walce z implikacją wyniknęły po rozszyfrowaniu i nazwaniu wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole’a, matematycy znają znaczenie i nazwy tylko części tych operatorów.


2.1 Logika dodatnia i ujemna

W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.

Logika ujemna to lustrzane odbicie logiki dodatniej.

Fizycznie, dowolna funkcja logiczna Y:
Y=A+B(C*D) .....
Może przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Po przepuszczeniu jej przez prościutki negator otrzymamy funkcję ~Y będącą lustrzanym odbiciem funkcji Y.

Oczywiście zachodzi:
Y = ~(~Y)

O tym, że logika ujemna istnieje można się łatwo przekonać w technice cyfrowej obserwując wszystko na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Twardym dowodem istnienia logiki ujemnej jest także 16 matematycznych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej o czym będzie za chwilę. Logicy praktycy, ci od cyfrowych układów logicznych doskonale wiedzą, że istnieją sygnały cyfrowe w logice ujemnej i ten fakt zaznaczają kółkiem na schematach ideowych oraz sygnały cyfrowe w logice dodatniej (na schematach bez kółka). Fizycznie łączyć można wyłącznie logiki zgodne, inaczej nic nie działa !

Spójrzmy na prawa de’Morgana od tej właśnie strony.

Definicja iloczynu logicznego.
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

Definicja sumy logicznej.
Y=A1+A2 ….+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru

Jeśli:
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
to:
~Y= ~A1+~A2…+~An = 0 - bo wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0.

Oczywistym jest że:
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli A1=1 to ~A1=0 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y= ~(~A1+~A2…+~An) = ~(0) = 1 czyli:
A1*A2 ….*An = ~(~A1+~A2…+~An) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla sumy logicznej.
Jeśli:
Y = A1+A2…+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równa zeru
to:
~Y = ~A1*~A2…*~An =1 - bo wszystkie składniki iloczynu logicznego są równe 1

W tym przypadku mamy;
Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli A1=0 to ~A1=1 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y = ~(~A1*~A2…*~An) = ~(1) = 0
czyli:
A1+A2…+An = ~(~A1*~A2…*~An) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

Definicja.
Logika ujemna - jeśli funkcja logiczna jest zanegowana (~Y) to mamy do czynienia z logiką ujemną.

Prawa de’Morgana mówią o związkach między logiką dodatnią a ujemną na dowolnie długiej funkcji logicznej z dowolnie pomieszanymi operatorami.

Y=A+(B*C)
przejście do logiki ujemnej
~Y = ~A * (~B + ~C) - totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów na przeciwne tzn. OR(+) na AND(*) i odwrotnie.

Powrót do logiki dodatniej
Y=A+(B*C) - ponowna totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów

Twierdzenie 2.1
Przejście z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y) polega na zamianie wszystkich zmiennych na przeciwne oraz wszystkich operatorów na przeciwne czyli AND(*) na OR(+) i OR na AND. Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej zmieni się na: nawiasy, OR, AND.

Logika dodatnia:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
A.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Przejście do logiki ujemnej:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej: nawiasy, OR(+), AND(*)
B.
~Y=~A*~B+(~C*D)*~E+F – logika ujemna (~Y)

Przejścia powrotnego do logiki dodatniej dokonujemy w identyczny sposób.

Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
C.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Zmiana kolejności wykonywania działań w logice ujemnej jest oczywista bowiem przy przejściu z logiki dodatniej do ujemnej AND zamienia się w OR.

Dowód twierdzenia:
I.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – funkcja zapisana w logice dodatniej (Y)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory.
II.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
III.
~Y=~A*(~B+(~C*D))*(~E+~F) – logika ujemna (~Y)
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy domyślną kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (~Y): nawiasy, OR, AND to zbędne stanie się dokładanie nawiasów. Przejście powrotne do logiki dodatniej wykonujemy w identyczny sposób tj. zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.
IV.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
Aby powrócić do funkcji pierwotnej I usuwamy dołożone nawiasy.

Y=A+B(C+~D)+E*~F – oryginał, logika dodatnia (Y)
Zauważmy, że w tej metodzie uzupełniamy nawiasy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną oraz usuwamy je przy przejściu powrotnym by dojść do oryginału. W sumie niepotrzebna syzyfowa praca bowiem o fakcie zapisania funkcji w logice ujemnej informuje precyzyjnie przeczenie przy jej nazwie (~Y).

Zauważmy, że prawo de’Morgana pozwala w prosty sposób zamienić operatory na przeciwne w dowolnym fragmencie nawet nieskończonej funkcji logicznej. Wystarczy dowolny fragment ciągu ująć w nawiasy, postawić przed nimi znak przeczenia ~, zaś w środku tych nawiasów zamienić wszystkie zmienne i operatory na przeciwne. W tym przypadku bezpieczniej będzie uzupełnić brakujące nawiasy domyślne, aby nie pogubić się w kolejności wykonywania działań.


2.2 Matematyczne operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją jest odkrycie i nazwanie wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole'a.

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>(musi)           -> ~(musi)
~>(może)           <- ~(może)
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ

Jak widać, połowa z 16 operatorów działa w logice dodatniej, zaś druga połowa w logice ujemnej. Za operatory dodatnie przyjęto te które człowiek używa w języku mówionym. Najważniejsze w porozumiewaniu się człowieka z człowiekiem są cztery operatory dodatnie o fundamentalnym znaczeniu: OR(+), AND(*), implikacja prosta (operator „musi” =>) i implikacja odwrotna (operator „może” ~>)

Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.

Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL).

Jest to zgodne z fundamentem algebry Boole’a:
A*~A=0
A+~A=1

Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB.

Operatory logiczne w równaniach matematycznych:

OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~OR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~AND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)

<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~(<=>) = ~p*q + p*~q (logika ujemna)

Operator implikacji prostej (spójnik "musi" => między p i q):
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
p->q = ~(p=>q) = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

Operator implikacji odwrotnej (spójnik "może" ~> między p i q):
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
p<-q = ~(p~>q) = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q = 1
NOP = ~FILL = ~(1) = 0 (logika ujemna)

P = p
NP = ~P = ~p (logika ujemna)

Q = q
NQ = ~Q = ~q (logika ujemna)


2.3 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach

W zdaniach twierdzących człowiek zawsze jako pierwsze wypowiada zdanie proste w logice dodatniej, bo za taką logikę przyjmujemy pierwsze wypowiedziane zdanie. Logika ujemna to zaprzeczenie zdaniu wypowiedzianemu w logice dodatniej.

Y = Jutro pójdę do kina – logika dodatnia bo Y

Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y = Jutro nie pójdę do kina – logika ujemna bo ~Y

W zdaniu twierdzącym wyjście Y występuje wyłącznie na poziomie abstrakcyjnym, nie jest dostępne w wypowiadanym zdaniu w przeciwieństwie do implikacji.

Y- funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.

Oczywiście nigdy nie będzie:
Y = ~Y – bo algebra Boole’a leży w gruzach

Ze zdania w logice ujemnej można wrócić do logiki dodatniej na dwa sposoby.

I.
Wypowiadamy ponownie zdanie w logice dodatniej
Y=~(~Y)=Y
Jutro pójdę do kina

II.
Zaprzeczamy zdaniu w logice ujemnej
Y= ~(~Y)
Czyli:
Y = ~( Jutro nie pójdę do kina) – logika dodatnia bo Y.
Zaprzeczam, że jutro nie pójdę do kina
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina ...itp.

Matematycznie każde wypowiedziane zdanie twierdzące traktujemy jako prawdziwe i przypisujemy mu wartość PRAWDA czyli Y=1.

Y = Jutro nie pójdę do kina, logika dodatnia bo Y
Zdanie w logice przeciwnej:
~Y = Jutro pójdę do kina, logika ujemna bo ~Y

W zdaniu prostym nie mamy dostępnego wyjścia Y i w tym przypadku która logika jest ujemna a która dodatnia to rzecz umowna. Pewne jest, że istnieją dwie przeciwstawne logiki. Zdanie proste w logice dodatniej (Y) nigdy nie będzie równoważne zdaniu prostemu w logice ujemnej (~Y)

Jutro pójdę do kina # Jutro nie pójdę do kina

... w przeciwieństwie do implikacji.

W implikacji wyjście Y jest dostępne w wypowiadanym zdaniu.

Kubuś do Zuzi:
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C – wierszyk to czekolada, logika dodatnia bo C (wyjście Y=czekolada)

Zuzia:
... a jak nie powiem wierszyka

Kubuś:
B.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~> ~C – nie wierszyk to nie czekolada, logika ujemna bo ~C (z negacją).

Zdania A i B są równoważne, mimo że wypowiedziane w przeciwnych logikach, bo w zdaniach tych dostępne jest wyjście Y=czekolada.

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej (=>) na implikację odwrotną (~>).
W=>C = ~W ~> ~C – negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Zdania A i B skutkują identyczną przyszłością w której Zuzia nawet jak nie powie wierszyka to i tak może dostać czekoladę (pkt.3.8)


2.4 Katastrofalne skutki nie odróżniania logiki dodatniej od logiki ujemnej

Skutki nie odróżniania w dzisiejszej algebrze Boole’a logiki dodatniej od logiki ujemnej oraz operatorów dodatnich od operatorów ujemnych są katastrofalne.

Wielu logików twierdzi, że poprawne jest poniższe równanie w algebrze Boole’a.

Zawsze tak = Nigdy nie
czyli:
Nigdy nie chodzę do kina = zawsze chodzę do kina

To oczywisty matematyczny IDIOTYZM a nie algebra Boole’a.

W algebrze Boole’a jest tak:
Y = Nigdy nie chodzę do kina (logika dodatnia bo Y)
negujemy równanie dwustronnie:
~Y = Zawsze chodzę do kina (logika ujemna bo ~Y)
Gdzie:
Y - to funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) niedostępna w wypowiadanym zdaniu.

Zapis:
Nigdy nie = Zawsze tak
jest zatem równoważny zapisowi:
Y = ~Y

Powyższe równanie jest bezpośrednim uderzeniem w fundament algebry Boole’a.

Aksjomat, na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a jest taki:
Y # ~Y - żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia.

Powyższe nieporozumienie to skutek uznania języka angielskiego za „świętą krowę” czyli uznanie poniższego fałszu za prawdę:

ang. NEVER = pol. NIGDY - to jest fałsz w algebrze Boole’a !

Prawidłowe w algebrze Boole'a równania są takie:

ang. NEVER # ang. NEVER_NOT - Anglicy używają wyłącznie NEVER
pol. NIGDY # pol. NIGDY_NIE - Polacy używają wyłącznie NIGDY_NIE

Matematyczny związek języka polskiego z angielskim jest taki:
ang. NEVER = pol. NIGDY_NIE
czyli:
Jeśli mówimy po angielsku to używamy operatora NEVER, zaś jeśli po polsku to używamy operatora NIGDY_NIE - oba znaczą to samo, to nierozdzielna NAZWA tego samego operatora !

Podobnie mamy w kiwaniu głową na TAK i NIE.

Jak nazywa się operator kiwania głową z góry na dół ?
TAK - po Polsku
NIE - po Bułgarsku

Zapis matematyczny:
Polskie TAK = Bułgarskie NIE

I już mamy wszystko, wiemy co robić po wjeździe do Bułgarii, tak samo jak Bułgarzy wiedzą co robić po wjeździe do Polski.

.... i bardzo dużo innych podobnych przykładów.


2.5 Mechanizm tworzenia idiotyzmów w algebrze Boole'a

Twierdzenie 2.5
Jeśli w dowolnym języku świata będziemy posługiwać się poprawnie tym językiem to nigdy nie wypadniemy z algebry Boole'a do śmietnika.

Twierdzenie 2.6
Błędne jest twierdzenie, że j. angielski jest logiczniejszy od j. polskiego czy jakiegokolwiek innego, bo algebra Boole'a jest jedna.

Przykład z języka polskiego.

Rozpatrujemy dwie skrajności:
nie mam nic
mam wszystko
Interesuje nas wyłącznie wszystko albo nic, nie interesują nas jakiekolwiek stany pośrednie.

Mamy wówczas:
Y = nie mam nic
zaprzeczenie powyższego:
~Y = mam wszystko
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=~(~Y) = ~(mam wszystko)
czyli:
nie mam nic = nie mam wszystkiego

To jest poprawne równanie w algebrze Boole'a:
A.
nie mam nic = nie mam wszystkiego

Negujemy równanie dwustronnie i otrzymujemy:
B.
mam nic = mam wszystko
Lewa strona powyższego równania to idiotyzm, bo w języku polskim wyrażenie "mam nic" nie występuje.

Pytanie do dowolnego dzisiejszego logika:
Co oznacza po polsku: mam nic

Oczywista odpowiedź:
mam nic = nie mam nic

Podstawiamy to do równania B i otrzymujemy idiotyzm:
nie mam nic = mam wszystko

Oczywisty wniosek:
NIE_MAM_NIC - to nazwa operatora w którym NIE jest jego integralną częścią, tego NIE nie wolno dotykać bo wylądujemy w śmietniku algebry Boole'a jak wyżej.

Poprawna negacja równania A.
Nieprawdą jest, że NIE_MAM_NIC = mam wszystko
negujemy ponownie:
nie mam nic = nie mam wszystkiego

Oczywiście "nie mam nic" i "mam wszystko" to dwie skrajności podobnie jek "światło" i "ciemność".


3.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka

Algebra Boole’a to matematyka ścisła. Implikacja to jeden z fundamentalnych operatorów w tej algebrze. Problem w tym, że ludzie znają wyłącznie jedynie słuszną implikację prostą (obsługującą obietnice), zaś nie mają pojęcia czym w rzeczywistości jest równie ważna implikacja odwrotna (obsługująca groźby). Definicje implikacji prostej i odwrotnej działają fenomenalnie w całej algebrze Boole’a. Groźby i obietnice to tylko maleńki fragment, ale kluczowy z punktu widzenia logiki człowieka bo dzięki niemu pewne jest że:

Logika człowieka = algebra Boole’a

Powyższe równanie to herezja dla dzisiejszych logików, którym wychodzi że „logika człowieka nie istnieje”. Wychodzi im prawidłowo, bo bez akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą tak właśnie musi wyjść.

Implikacja to zdanie złożone połączone spójnikiem „Jeśli...to...”. W całej logice istnieją tylko dwa rodzaje implikacji opisywane przez matematyczne operatory logiczne. Jeden z nich to operator implikacji prostej, zaś drugi to operator implikacji odwrotnej.

Od strony matematycznej, definicja implikacji odwrotnej jest tak samo zbędna jak zbędna jest definicja sumy logicznej (bo prawa de’Morgana)

Zobaczmy to w tabeli:

Kod:

p q p*q p+q=~(~p*~q) p=>q p~>q=q=>p
1 1  1   1            1    1
1 0  0   1            0    1
0 0  0   0            1    1
0 1  0   1            1    0


Jak widać, matematycznie zbędne jest zarówno wprowadzanie nowego symbolu sumy logicznej jak i nowego symbolu implikacji odwrotnej ~>. Zauważmy, że matematycznie nigdy nie będzie p=>q = p~>q bo to różny zestaw zer i jedynek, tak samo jak nigdy nie będzie OR(+)=AND(*). Zarówno operator sumy logicznej (+) jak i operator implikacji odwrotnej (~>) są niezbędne w opisie matematycznym naturalnego języka mówionego człowieka. W języku mówionym implikacji odwrotnej używa się równie często jak implikacji prostej.


3.1 Definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q)
Implikacja prosta jest poprawna jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q.
p=>q
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q (z p „musi” wynikać q”)
Jeśli zajdzie przyczyna p to „musi” zajść skutek q
Warunek wystarczający = gwarancja
Zajście p gwarantuje zajście q

gdzie:
p=>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1


Przykład 3.1.
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
p=>q = P=>4L
Implikacja prosta poprawna, bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy. Bycie psem gwarantuje 4 łapy

Jeśli p jest warunkiem wystarczającym zajścia q to q musi być warunkiem koniecznym zajścia p. W implikacji przeciwnej q=>p zajście q może spowodować zajście p ale nie gwarantuje tego.

Wyprowadzenie wzoru implikacji przeciwnej jest łatwe.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej

Zamieniamy wszędzie p i q otrzymując wzór implikacji przeciwnej:
q=>p = ~q + p - matematyczny wzór implikacji przeciwnej

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
q=>p = 4L ??? P

Jeśli zwierzę ma cztery łapy (q) to „może” zajść p (pies) lub „może” zajść ~p (nie pies = lis, zając, słoń…). Nie ma innych możliwości. Zauważmy, że w miejsce ??? nie możemy wstawić operatora implikacji prostej, spójnika "musi" => między p i q, bo 4 łapy u zwierzęcia nie są warunkiem wystarczającym bycia psem, zatem nie jest to implikacja prosta.

Konieczne jest wprowadzenie nowego operatora w logice klasycznej, spójnika "może" ~> między p i q jak w powyższym zdaniu.


3.2 Definicja implikacji odwrotnej

W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym zajścia q. W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym zajścia q, to dwie różne definicje.

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q = ~(~p*q)
Implikacja odwrotna jest poprawna jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q
p~>q
Jeśli p to może wystąpić q
Jeśli zajdzie p to „może ” zajść q (z p „może” wynikać q)
Jeśli zajdzie przyczyna p to „może” zajść skutek q

gdzie:
p~>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”)
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
Kod:
p q p~>q
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0

Gwarancja w implikacji odwrotnej leży po stronie ~p.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
W implikacji prostej zajście ~p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia ~q
~p => ~q
Jeśli zajdzie ~p to "na pewno" zajdzie ~q
Zajście ~p gwarantuje zajście ~q
Jeśli nie zajdzie p to nie ma prawa zajść q

W implikacji odwrotnej między p i q musi zachodzić warunek konieczności. Zajście p jest warunkiem koniecznym aby zaszło q, ale nie gwarantuje tego. Jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie q lub ~q, nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a czyli:
p=>q + ~q = 1
Powyższe równanie to tautologia (zdanie zawsze prawdziwe) czyli "jeśli zajdzie p to wszystko może się zdarzyć".
Inne logiczne rozumowanie jest takie.
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q lub jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q. Nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a czyli:
(p~>q)+(p~> ~q) = q+~q = 1 - również tautologia.

Dowód powyższych logicznych rozważań:
Kod:

p q ~q  q+~q  p~>q  p~>~q  (p~>q)+(p~>~q)
1 1  0   1     1     1       1
1 0  1   1     1     1       1
0 0  1   1     1     0       1
0 1  0   1     0     1       1

Ten sam dowód w równaniach algebry Boole’a:
(p~>q)+(p~> ~q) = (p+~q)+[p+~(~q)] = p+ ~q + p + q = p+p + ~q + q = p + 1 = 1
bo:
p+p=p
~q+q=1
p+1=1

Przykład 3.2
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna poprawna, bo cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby zwierzę było psem.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem lub „może” nie być psem (lis, zając, słoń…)
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważna implikację prostą
~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem (gwarancja)
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym by nie być psem
Oczywiście mamy tu na myśli psa zdrowego, bez ułomności.


3.3 Prawa Kubusia

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny, identycznie jak w prawach de’Morgana.

W powyższych równaniach q jest funkcją logiczną (wyjściem cyfrowym) która może być zapisana w logice dodatniej q (q bez negacji) lub logice ujemnej ~q (q z negacją). Prawa Kubusia, identycznie jak prawa de'Morgana, mówią o związku logiki dodatniej z logiką ujemną. Prawa te umożliwiają przejście z logiki dodatniej na równoważną logikę ujemną i z powrotem.

Twierdzenie:
Jeśli między p jest warunkiem wystarczającym dla q, to implikacja jest implikacją prostą i obowiązują prawa Kubusia.
Jeśli między p jest warunkiem koniecznym dla q, to implikacja jest implikacją odwrotną i obowiązują prawa Kubusia.
W pozostałych przypadkach prawa Kubusia nie obowiązują !

Dowód 3.3.1
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej

Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q

Dowód 3.3.2
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej

Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q


3.4 Rodzaje implikacji

Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej

Ze względu na rodzaj implikacje możemy podzielić na implikacje proste, odwrotne, przeciwne i przeciwstawne.

p=>q - implikacja prosta
q=>p = p~>q - implikacja przeciwna do implikacji prostej przechodzi w implikację odwrotną
p~>q - implikacja odwrotna
q~>p = p=>q - implikacja przeciwna do implikacji odwrotnej przechodzi w implikację prostą

Twierdzenie 3.4
Implikacja prosta po zamianie p i q przechodzi w implikację odwrotną. Implikacja odwrotna po zamianie p i q przechodzi w implikację prostą.

Dowód wyżej.

Implikacje przeciwstawne to po prostu prawe strony w równaniach Kubusia:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


3.5 Implikacje poprawne i niepoprawne

Definicje:
Implikacja poprawna - implikacja podlegająca pod definicję implikacji prostej lub implikacji odwrotnej
Implikacja niepoprawna - implikacja nie podlegająca ani pod definicję implikacji prostej, ani pod definicję implikacji odwrotnej.

Odróżnienie implikacji poprawnej od niepoprawnej ma kluczowe znaczenie bo wyłącznie implikacja poprawna podlega pod matematyczną definicję implikacji prostej lub odwrotnej, oraz tylko wtedy obowiązują prawa Kubusia.

W implikacji odwrotnej może się zdarzyć, że implikacja jest prawdziwa ale niepoprawna, czyli nie podlegająca pod definicję implikacji odwrotnej.

Przykład 3.5.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 5
P2~>P5 - implikacja niepoprawna
Implikacja odwrotna prawdziwa bo 10,20,30… ale nie podlegająca pod definicję implikacji odwrotnej bo podzielność liczby przez 2 nie jest warunkiem koniecznym podzielności liczby przez 5 np. 5,15,25… Stąd konieczność wprowadzenia pojęć implikacji poprawnej i niepoprawnej.

Zauważmy, że implikacja prosta może być wyłącznie prawdziwa lub fałszywa. Wprowadzenie nowych pojęć jest konieczne, jeśli za legalną uznamy implikację odwrotną. W języku mówionym implikacja odwrotna „może” ~> używana jest równie często jak implikacja prosta „musi” =>. Bez akceptacji tych operatorów na równych prawach nigdy nie zrozumiemy logiki człowieka.

Przykład 3.5.2
Jeśli księżyc świeci to pies ma cztery łapy
S ??? 4L - księżyc świeci to 4 łapy

Implikacja fałszywa (niepoprawna) bo brak związku między p i q. Nie może tu być mowy o jakimkolwiek wynikaniu matematycznym. Świecenie księżyca nie jest ani warunkiem wystarczającym aby pies miał cztery łapy (implikacja prosta), ani też nie jest warunkiem koniecznym aby pies miał cztery łapy (implikacja odwrotna)


3.6 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Implikacja prosta jest poprawna, jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
Jeśli zajdzie przyczyna p to „na pewno” zajdzie skutek q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Implikacja odwrotna jest poprawna, jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q lub „może” ~q

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
Prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną

Analiza ogólna implikacji prostej:

p=>q = 1 (prawda)
Implikacja prosta jest poprawna, jeśli p jest warunkiem wystarczającym zajścia q
Zdanie zawsze prawdziwe
Jeśli zajdzie p (przyczyna) to musi zajść q (skutek)
Zajście p gwarantuje zajście q

Jeśli powyższe zdanie jest zdaniem zawsze prawdziwym to poniższe musi być zdaniem zawsze fałszywym.

p=>~q = 0 (fałsz)
Jeśli zajdzie p to zajdzie ~q
Zdanie zawsze fałszywe

Co będzie jeśli p nie zajdzie ?

Mówi o tym prawa strona równania Kubusia.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważna implikacje odwrotną
~p ~> ~q
Jeśli ~p to „może” zajść ~q
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q lub jeśli zajdzie ~p to może zajść q. Nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a czyli:
(~p~> ~q)+(~p~>q) = 1
Inne rozumowanie.
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie q lub ~q. Nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a:
~p => ~q + q = 1
Powyższe równania to tautologie czyli zdania zawsze prawdziwe z których wynika że „wiem że nic nie wiem”. Jeśli zajdzie ~p to może zajść cokolwiek q lub ~q.

Przykład 3.6.1

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 = 1 (prawda)
Implikacja prosta poprawna bo podzielność liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym dla jej podzielności przez 2.
Podzielność liczby przez 8 gwarantuje jej podzielność przez 2
Zdanie zawsze prawdziwe, bez żadnych wyjątków

Jeśli powyższe zdanie jest zawsze prawdziwe to poniższe musi być zawsze fałszywe:
P8=>~P2 = 0 (fałsz)
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to nie jest podzielna przez 2
Fałsz - matematyczna oczywistość.

Zbadajmy co może się zdarzyć, gdy liczba nie będzie podzielna przez 8.

Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8 ~> ~P2 - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
~P8 ~> ~P2
Jeśli liczba jest niepodzielna przez 8 to może być niepodzielna przez 2 (1,3,5…) lub może być podzielna przez 2 (4,6,10…). Nie ma innych możliwości.


Przykład 3.6.2

Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć cztery łapy
P=>4L = 1 (prawda)
Implikacja prosta poprawna, bo bycie psem jest warunkiem wystarczającym dla czterech łap.
Jeśli pies to gwarantowane cztery łapy
Zdanie zawsze prawdziwe, bez żadnych wyjątków

Jeśli powyższe równanie jest zawsze prawdziwe to poniższe musi być zawsze fałszywe.
P=>~4L = 0 (fałsz)
Jeśli zwierze jest psem to nie ma czterech łap.

… a jeśli zwierzę nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L
~P ~> ~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap (wąż, kura…) lub może mieć cztery łapy (kot, lis, słoń…). Nie ma innych możliwości.


Przykład 3.6.3

Jeśli będzie padało to gleba będzie mokra
P=>M = 1 (prawda)
Implikacja prosta poprawna, bo deszcz jest warunkiem wystarczającym dla mokrej gleby
Jeśli pada to gwarantowana mokra gleba
Zdanie zawsze prawdziwe, bez żadnych wyjątków

Jeśli powyższe zdanie jest zawsze prawdziwe to poniższe musi być zawsze fałszywe:
P=>~M = 0 (fałsz)
Jeśli pada to gleba sucha (~M). Oczywisty fałsz.

Zbadajmy przypadek, gdy deszcz nie pada.

Prawo Kubusia:
P=>M = ~P ~> ~M
~P ~> ~M
Jeśli nie będzie padało to gleba może być sucha (~M) lub może być mokra (M), bo np. sztuczne nawadnianie pól. Zauważmy, że sensowne jest sztuczne nawadnianie pól, zaś nonsensem jest obrona pól przed deszczem.


Przykład 3.6.4

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K = 1 (prawda)
Jeśli zdam to "na pewno" dostanę komputer, inaczej ojciec jest kłamcą.
"na pewno" w naturalnej logice człowieka wymusza implikacje prostą
Implikacja prosta poprawna, bo zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania komputera. Jeśli zdam egzamin to mam gwarantowany komputer. Zdanie zawsze prawdziwe, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać.

Jeśli powyższe zdanie jest zawsze prawdziwe to poniższe jest zawsze fałszywe, bo to algebra Boole’a:
E=>~K = 0 (fałsz)
Zdany egzamin i brak komputera to fałsz (kłamstwo).

Zauważmy, że w tym przypadku gwarancja zależy od człowieka który może ją złamać, bo ma wolna wolę, będzie wtedy matematycznym kłamcą. O kłamstwie możemy mówić wyłącznie w stosunku do człowieka.

Prawo Kubusia:
E=>K = ~E ~> ~K
~E ~> ~K
Jeśli nie zdam egzaminu to mogę nie dostać komputera (~K) lub mogę dostać komputer.


3.7 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Implikacja odwrotna jest poprawna, jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q lub „może zajść” ~q

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Implikacja prosta jest poprawna, jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
Jeśli zajdzie przyczyna p to „na pewno” zajdzie skutek q

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q
Prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą

Analiza ogólna implikacji odwrotnej:

p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q

Jeśli zajdzie p to „może” zajść q lub jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q, bo to algebra Bole’a - nie ma innych możliwości czyli:
(p~>q)+(p~> ~q) = 1
Inne rozumowanie.
Jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie q lub ~q
p~>q = q + ~q = 1
Powyższe zdania to tautologie, zatem jeśli zajdzie p to może zajść cokolwiek q lub ~q, czyli jeśli zajdzie p to „wiem że nic nie wiem”.

Skorzystajmy z prawa Kubusia by dowiedzieć się co może się stać jeśli warunek p jest niespełniony.

p~>q = ~p => ~q
~p => ~q = 1 (prawda)
W implikacji prostej zajście ~p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia ~q
Zajście ~p gwarantuje zajście ~q
Jeśli nie zajdzie p to „na pewno” nie zajdzie q

Jeśli powyższe zdanie jest zdaniem zawsze prawdziwym to poniższe musi być zdaniem zawsze fałszywym.
~p=>q = 0 (fałsz)
Jeśli zajdzie ~p to zajdzie q
Zdanie zawsze fałszywe

Przykład 3.7.1

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
P2~>P8
Implikacja odwrotna poprawna, bo podzielność liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym jej podzielności przez 8.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8 (8,16,24…) lub jeśli jest podzielna przez 2 to „może” nie być podzielna przez 8 (2,4,6…) czyli:

(P2~>P8) +(P2~> ~P8) = 1
Powyższe równanie jest tautologią (zawsze prawdziwe) czyli jeśli zajdzie P2 to wszystko może się zdarzyć, może zajść P8 lub ~P8.

Zbadajmy co może się zdarzyć, gdy liczba nie będzie podzielna przez 2.

Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2 => ~P8
~P2 => ~P8 = 1 (prawda)
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” nie jest podzielna przez 8
Twarda prawda wymuszona przez symbol implikacji prostej =>.

Jeśli powyżej mamy twardą prawdę to poniżej musimy mieć twardy fałsz, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach.

~P2 => P8 = 0 (fałsz)
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8 (fałsz)
Matematyczna oczywistość.


Przykład 3.7.2

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna poprawna, bo cztery łapy są warunkiem koniecznym psa

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem (pies) lub jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” nie być psem (kot, lis, słoń …) czyli:

(4L~>P)+(4L~> ~P) = 1
Powyższe równanie to tautologia. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem ale nie musi czyli „wiem, że nic nie wiem”.

… a jeśli zwierzę nie jest psem ?

Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P
~4L => ~P = 1 (prawda)
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to jesteśmy pewni (bo implikacja prosta =>), że nie jest psem. Powyższe zdanie jest zawsze prawdziwe.

Jeśli powyższe jest zawsze prawdziwe to poniższe musi być zawsze fałszywe:
~4L => P = 0 (fałsz)
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to jest psem (oczywisty fałsz)


Przykład 3.7.3

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH~>P
Implikacja odwrotna poprawna, bo chmury są warunkiem koniecznym deszczu

Jeśli będzie pochmurno to „może” padać lub jeśli będzie pochmurno to „może” nie padać czyli:
(CH~> P)+(CH~> ~P) = 1
Oczywista tautologia czyli „wszystko może się zdarzyć”

Zbadajmy przypadek gdy nie ma chmur.

Prawo Kubusia:
CJ~>P = ~CH => ~P
~CH => ~P = 1 (prawda)
Jeśli nie ma chmur to „na pewno” (bo implikacja prosta) nie będzie padało

Oczywistym jest, że poniższy przypadek musi być fałszem.

~CH => P = 0 (fałsz)
Jeśli nie będzie chmur to będzie padało (fałsz)


Przykład 3.7.4

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Jeśli ubrudzę spodnie to "mogę" dostać lanie, ale nie muszę bo ojciec może to lanie darować.
"mogę" w naturalnej logice człowieka wymusza implikację odwrotną
Implikacja odwrotna poprawna, bo brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania

Jeśli brudne spodnie to „mogę” dostać lanie lub jeśli brudne spodnie to „mogę” nie dostać lania, nie ma innych możliwości matematycznych czyli:
(B~>L) +(B~> ~L) = 1
Oczywista tautologia czyli w przypadku brudnych spodni „wiem, że nic nie wiem”. Oznacza to, że nadawca ma prawo darować dowolną karę i nie ma prawa zostać kłamcą.
Przykłady:
Chrystus i zbrodniarz na Krzyżu
JPII i Ali Aga

Skorzystajmy z prawa Kubusia i zobaczmy jakie mamy możliwości w przypadku czystych spodni (~B).
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L = 1 (prawda)
Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B) to „na pewno” (bo implikacja prosta) nie dostanę lania.

Oczywiście chodzi tu o lanie z powodu czystych spodni bo niewątpliwie do końca swego żywota mogę jeszcze nie raz i nie dwa dostać lanie.

Jeśli powyższe równanie jest twardą prawdą, to poniższe musi być twardym fałszem.
~B = > L = 0 (fałsz)
Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę z tego powodu lanie to implikacja jest fałszywa, nadawca jest kłamcą. Zauważmy, że to jest bardzo silna gwarancja, praktycznie nie do złamania, bo aby ją złamać nadawca musiałby powiedzieć tak.

Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach (z powodu czystych spodni).

Człowiek ma wolną wolę i może wszystko, nikt nie zabroni mu zostać idiotą jak wyżej. W praktyce nikt tak nie powie bo z własnej woli nie można zostać idiotą. Sadysta znajdzie dowolny inny pretekst by walić i formalnie nie jest kłamcą bo nie bije z powodu czystych spodni. Oczywistym jest, że w logice pomijamy sadystów, podobnie jak psa z trzema łapami itp.


3.8 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

Logikę dodatnią i ujemną w zdaniach twierdzących omówiono w pkt. 2.3.

Obietnica w logice dodatniej:

Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - obietnica w logice dodatniej (bo C bez negacji)

Prawo Kubusia:
W=>C = ~W ~> ~C - prawo zamiany obietnicy na równoważną groźbę

~W ~> ~C - równoważna groźba w logice ujemnej (bo ~C)
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady

Jak widać obietnica w logice dodatniej przechodzi w równoważną groźbę w logice ujemnej. Oczywiście zachodzi też odwrotnie, czyli groźbę wypowiedzianą w logice ujemnej możemy łatwo zamienić na równoważną obietnicę w logice dodatniej (prawa Kubusia).

Groźba w logice dodatniej:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B ~> L - groźba w logice dodatniej (bo L bez negacji)

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany groźby na równoważną obietnicę

~B => ~L - równoważna obietnica w logice ujemnej (bo ~L)
Jeśli nie ubrudzisz spodni to "na pewno" (=>) nie dostaniesz lania

Jak widać groźba w logice dodatniej przechodzi w równoważną obietnicę w logice ujemnej. Oczywiście zachodzi też odwrotnie, czyli obietnicę wypowiedzianą w logice ujemnej możemy łatwo zamienić na równoważną groźbę w logice dodatniej (prawa Kubusia).


4.0 Analiza matematyczna implikacji prostej metodą zero-jedynkową

Przeprowadzone wyżej analizy implikacji przy pomocy praw Kubusia to odpowiednik języka asemblera w mikroprocesorach. Język asemblera to fundament wszelkich innych języków programowania. Analiza zero-jedynkowa implikacji to średniowiecze, to grzebanie się bezpośrednio w kodach maszynowych procesora. Przedstawiam to raczej z obowiązku, niż z przyjemności.

Definicja implikacji umożliwia szczegółową analizę dowolnej implikacji poprawnej.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi” być podzielna przez 2
P8=>P2
Implikacja prosta poprawna, bo podzielność liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym dla jej podzielności przez 2


4.1 Warunek p spełniony (p=1)

r = p=>q

p q r
1 1 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
p=P8
q=P2
PRAWDA bez żadnych wyjątków

Jeśli zajdzie warunek p w implikacji prostej to wszystko jest z góry wiadome. Poprzednik implikacji w powyższym przykładzie (p=P8) ogranicza zbiór rozważanych liczb wyłącznie do liczb podzielnych przez 8. W worku z napisem p=1 mamy zatem nieskończoną ilość liczb, wszystkie podzielne przez 8. Możemy wsadzać rękę do tego worka nieskończenie wiele razy i nie mamy żadnych szans na wylosowanie choćby jednej liczby niepodzielnej przez q=P2.

Zdanie P8=>P2 jest zawsze zdaniem prawdziwym.

p q r
1 0 0
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to nie jest podzielna przez 2
FAŁSZ bez żadnych wyjątków


4.2 Warunek p niespełniony (p=0)

W worku z napisem p=0 mamy zbiór liczb niepodzielnych przez 8. Tu wszystko może się zdarzyć. Zdanie może być prawdziwe albo fałszywe w zależności od wylosowanej liczby.

p q r
0 0 1
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to nie jest podzielna przez 2
PRAWDA dla 3,5,7…
FAŁSZ dla 4,6,10…

0 1 1
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
PRAWDA dla 4,6,10…
FAŁSZ dla 3,5,7…

Zauważmy, że prawda i fałsz w powyższym przykładzie są zbiorami rozłącznymi. Niemożliwe jest, aby oba powyższe zdania A i B były prawdziwe jednocześnie, bo wtedy:

prawda=fałsz - algebra Boole’a leży w gruzach

Jeśli zdanie A jest prawdziwe to B na pewno jest fałszywe i odwrotnie w zależności od danej wejściowej, czyli liczby niepodzielnej przez 8.


5.0 Analiza matematyczna implikacji odwrotnej metodą zero-jedynkową

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może” być podzielna przez 8
P2~>P8
Implikacja odwrotna poprawna, bo podzielność liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym, aby była ona podzielna przez 8


5.1 Warunek p spełniony (p=1)

W implikacji odwrotnej po stronie p nie mamy żadnej gwarancji zajścia q. Jeśli zajdzie p to wszystko może się zdarzyć.

W worku z napisem p=1 mamy wyłącznie liczby podzielne przez p=P2. Nigdy nie wiemy jaką kolejną liczbę wylosujemy z tego worka, możemy wylosować cokolwiek, czyli liczbę podzielną przez q=P8 (np. 8,16,24…) albo liczbę niepodzielną przez q=P8 (np. 2,4,6,10…).

W implikacji odwrotnej po stronie p mamy warunek konieczny zajścia q. Warunek ten może okazać się wystarczającym dla prawdziwości całego zdania, ale nie musi.

Warunek ten będzie wystarczającym dla prawdziwości całego zdania. Jeśli wylosujemy z worka liczbę podzielną przez 8 (8,16,24…) to zdanie wypowiedziane będzie prawdziwe, zaś jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (2,4,6,10…) to zdanie będzie fałszywe.

p q r
1 1 1
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
PRAWDA dla 8,16,24…
FAŁSZ dla 2,4,6,10…

1 0 1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” nie być podzielna przez 8
PRAWDA dla 2,4,6,10…
FAŁSZ dla 8,16,24…

Zauważmy, że prawda i fałsz w powyższym przykładzie są zbiorami rozłącznymi. Niemożliwe jest, aby oba powyższe zdania A i B były prawdziwe jednocześnie, bo wtedy:

prawda=fałsz - algebra Boole’a leży w gruzach

Jeśli zdanie A jest prawdziwe to B na pewno jest fałszywe i odwrotnie w zależności od danej wejściowej, czyli liczby podzielnej przez 2.


5.2 Warunek p niespełniony (p=0)

W implikacji odwrotnej warunek wystarczający leży po stronie ~p.

Warunek wystarczający uzyskujemy korzystając z prawa Kubusia.
P2~>P8 = ~P2 => ~P8 - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~P2 => ~P8 = 1 (prawda)
Jeśli zajdzie ~P2 to „na pewno” zajdzie ~P8 (prawda)
Niepodzielność liczby przez 2 jest warunkiem wystarczającym niepodzielności przez 8

Dokładnie to samo co wyżej mamy w analizie zero-jedynkowej:
p q r
0 0 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” nie jest podzielna przez 8
PRAWDA - bez żadnych wyjątków

0 1 0
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
FAŁSZ - bez żadnych wyjątków


6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a

W języku mówionym każdy człowiek posługuje się biegle zarówno implikacją prostą jak i odwrotną, w szczególności w obietnicach (implikacja prosta) oraz w groźbach (implikacja odwrotna). Uznanie implikacji odwrotnej za legalną i na równych prawach z implikacją prostą z całą pewnością wygeneruje cały szereg sensownych praw matematycznych, nieznanych człowiekowi. Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.

Najważniejsze prawa w algebrze Boole'a można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]


6.1 Implikacja prosta

Prawo sylogizmu, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)

y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q

Dowód zero-jedynkowy
Kod:

a b c (a=>b)  (b=>c)    (a=>b)*(b=>c)   (a=>c)  y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
0 0 0   1       1             1           1     1
0 0 1   1       1             1           1     1
0 1 0   1       0             0           1     1
0 1 1   1       1             1           1     1
1 0 0   0       1             0           0     1
1 0 1   0       1             0           1     1
1 1 0   1       0             0           0     1
1 1 1   1       1             1           1     1


W ostatniej kolumnie y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.

Przykład 6.1

[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość

P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi być" podzielna przez 4
i (*)
P4=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to "musi być" podzielna przez 2
to na pewno (=>)
P8=>P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 "musi być" podzielna przez 2

Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !


6.2 Implikacja odwrotna

Prawo sylogizmu, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)

[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q

Dowód zero-jedynkowy
Kod:

a b c (a~>b)  (b~>c)    (a~>b)*(b~>c)   (a~>c)  y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0   1       1             1           1     1
0 0 1   1       0             0           0     1
0 1 0   0       1             0           1     1
0 1 1   0       1             0           0     1
1 0 0   1       1             1           1     1
1 0 1   1       0             0           1     1
1 1 0   1       1             1           1     1
1 1 1   1       1             1           1     1

W ostatniej kolumnie y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.

Przykład 6.2

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość

P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8

Zauważmy coś bardzo ważnego:

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t

Spójnik "na pewno" ("musi") użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !

To kolejny dowód że:
Logika człowieka = algebra Boole'a


6.2.1 Przekształcanie praw w algebrze Boole'a

y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi", "na pewno"... między p i q

Korzystając z powyższego generujemy prawo matematycznie równoważne:

y = [(~a=>~b)*(~b=>~c)] => (~a=>~c)


Przykład 6.2.1

[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość z przykładu 7.2

Korzystając z prawa Kubusia generujemy prawo matematycznie równoważne:
[(~P2=>~P4)*(~P4=>~P8)] => (~P2=>~P8)
~P2=>~P4
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to "na pewno" nie jest podzielna przez 4
i (*)
~P4=>~P8
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to "na pewno" nie jest podzielna przez 8
to na pewno (=>)
~P2=>~P8
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to "na pewno" nie jest podzielna przez 8


7.0 Powrót do przeszłości

W dzisiejszej logice operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q nie jest używany. Spróbujmy wrócić do przeszłości i zobaczyć jak wygląda logika bez operatora implikacji odwrotnej.

Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Implikacja prosta jest poprawna jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q

p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Implikacja odwrotna jest poprawna jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


7.1 Powrót do przeszłości dla operatora "musi"

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L

Analiza:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1 (prawda)
Prawda dla psa
B
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0 (fałsz)
Fałsz dla psa
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L = ~P + 4L = 1 (prawda)
Prawda dla kury, węża ...
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P ~> 4L = ~P + ~4L = 1 (prawda)
Prawda dla kota, słonia ...

Zauważmy, że mamy 100% zgodność analizy matematycznej z językiem mówionym !

Oczywiście w algebrze Boole’a zachodzi:
A=C
B=D
bo prawe strony równań są identyczne (prawa Kubusia).

Mamy tu coś absolutnie zaskakującego dla każdego matematyka. Skoro zachodzi równanie B=D to dlaczego linia D jest prawdą (1) a nie fałszem (0) ?

Wyjaśnienie tego faktu jest proste. W pierwszych dwóch liniach A i B obowiązuje definicja implikacji prostej, zaś w liniach C i D obowiązuje definicja implikacji odwrotnej. Nie można kopiować bezwzględnego zera z linii B do linii D, bo to dwie różne definicje.

Równanie Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q
jest analogiczne do poniższego równania z obszaru językowego.
Ang. NEVER = Pol. NIGDY_NIE
To równanie oznacza, że jeśli mówimy po angielsku to musimy używać operatora „NEVER” zaś jeśli po polsku to operatora „NIGDY_NIE”. Operatora „NIGDY_NIE” nie wolno rozrywać bo powyższe, poprawne równanie w algebrze Boole’a zostanie zgwałcone.

Inny przykład.
Jeśli jeździmy samochodem po Polsce to musimy jeździć prawą stroną (operator =>), zaś jeśli po Anglii to musimy jeździć lewą stroną (operator ~>). Brak operatora implikacji odwrotnej ~> oznacza, że Polacy jeżdżą po Anglii prawą stroną, masakra gwarantowana.
=> - samochód Polski z kierownicą po lewej stronie
~> - samochód Angielski z kierownicą po prawej stronie
Mózg człowieka obietnice obsługuje operatorem implikacji prostej =>, zaś groźby operatorem implikacji odwrotnej ~>, zatem "przesiada się" z jednego operatora na drugi niezwykle często. Matematyka bez operatora implikacji odwrotnej ~>, to jeżdżenie po Anglii jedynie słuszną, prawą stroną.

Zamieńmy operatory w równaniach C i D, aby powrócić do przeszłości:

Mamy:
p~>q = q=>p
czyli:
C.
~P ~> ~4L = ~4L => ~P
D.
~P ~> 4L = 4L => ~P

Przepiszmy przykład zamieniając dwie ostatnie linie zgodnie z powyższymi równaniami:

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q

A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L = ~P + 4L = 1 (prawda)
B
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=> ~4L = ~P + ~4L = 0 (fałsz)
C
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = ~P + 4L = 1 (prawda)
D
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno nie jest psem
4L => ~P = ~4L + ~P = ~P + ~4L = 0 (fałsz)

Jak widać, tu również mamy 100% zgodność analizy matematycznej z językiem mówionym !

Jak widać również zachodzi:
A=C
B=D
bo prawe strony równań są identyczne.

Teraz jednak jesteśmy w tej samej logice (identyczny operator =>), gdzie we wszystkich równaniach obowiązuje identyczna definicja implikacji prostej !

Oczywiście teraz zera i jedynki możemy przenosić z linii A,B do linii C,D bo jesteśmy w tej samej logice.


7.2 Powrót do przeszłości dla operatora „może”

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P

p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej

Implikacja odwrotna poprawna bo 4 łapy są warunkiem koniecznym dla psa.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P = 4L + ~P = 1(prawda)
Prawda dla psa.
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” nie być psem
4L~> ~P = 4L + P = 1(prawda)
Prawda dla kota, słonia…
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = 1(prawda)
Prawda absolutna
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” jest psem
~4L => P = 4L + P = 0(fałsz)
Fałsz absolutny

Zauważmy, że mamy 100% zgodność analizy matematycznej z językiem mówionym !

Oczywiście tu również zachodzi:
A=C
B=D
bo prawe strony równań są równe

Również tu mamy pozorny nonsens matematyczny bo w linii B mamy 1(prawda) zaś w linii D jest 0(fałsz). Zamieńmy teraz dwie pierwsze linie na operator implikacji prostej „musi” =>, aby we wszystkich liniach być w tej samej logice.

p~>q = q=>p
A.
4L~>P = P=>4L = ~P+4L = 4L+~p
B.
4L~> ~P = ~P=>4L = P+4L = 4L+ P

Przepiszmy przykład wymieniając dwie pierwsze linie.

A.
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć cztery łapy
P=>4L = 4L + ~P = 1(prawda)
B.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „musi” mieć cztery łapy
~P=>4L = 4L+P = 0(fałsz)
Fałsz bo kura, wąż ...
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem
~4L => ~P = 4L + ~P = 1(prawda)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” jest psem
~4L => P = 4L + P = 0(fałsz)

Jak widać, tu również mamy 100% zgodność analizy matematycznej z językiem mówionym !

Jak widać również tu zachodzą równania:
A=C
B=D
bo prawe strony równań są identyczne.

Tym razem jesteśmy w tej samej logice, dlatego 1(prawda) i 0(fałsz) zgadzają się we wszystkich czterech zdaniach.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 17:38, 02 Lip 2008, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin