Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Implikacja i równowaznośc w jezyku potocznym

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 23099
Przeczytał: 45 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 1:51, 17 Sty 2011    Temat postu: Implikacja i równowaznośc w jezyku potocznym

Końcowa wersja podręcznika logiki:
BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego

Cytat z:
http://www.sfinia.fora.pl/kawiarnia,17/barycki-i-godel,5376-100.html#131087

zbigniewmiller napisał:
PARA-LOGICZNY KUBUSIU, pisałem ci juz, że logika jest za głupia ….

Głupia jest KRZ, logika Boga, NTI, jest genialna !
Kubuś

barycki napisał:
Tak, to jest prawda, ja rzeczywiście ciągnę karocę ku świetlanej przyszłości, że też nikt mi tego wcześniej nie powiedział, ja jednak czułem to przez cały czas. Miller wychodzi z gułagu ...
Kubuś za opóźnianie ciągnięcia ku przyszłości świetlanej i dziwaczne próby fraternizacji ze mną, przechodzi do kuchni na stanowisko pomocnika kuchcika, będzie wynosił obierki i rąbał drewno.
Miller natychmiast poprawi NTI, tak żeby była mnie godna, a Kubuś ma zakaz przez dwa tygodnie umieszczania złotego jaja.

Adam Barycki


Kubusiowa szkoła logiki

Temat:
Implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> i równoważność <=> w języku potocznym

Z dedykacją dla Zbyszkamillera i naszego wodza, Baryckiego, ciągnącego wraz z Kubusiem złotą karetę ku świetlanej przyszłości.

Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Implikacja i równoważność w języku potocznym
2.1 Warunki wystarczające i konieczne
2.2 Implikacja odwrotna w języku potocznym
2.3 Implikacja prosta w języku potocznym
2.4 Równoważność w języku potocznym
2.5 Podsumowanie

3.0 Alternatywne, matematyczne definicje implikacji i równoważności


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
=> - spójnik „musi” między p i q
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi
<=> - symbol równoważności

2.0 Implikacja i równoważność w języku potocznym

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
M.
Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p

To jedno-jedyne zdanie, zaczerpnięte z podręcznika matematyki do I klasy LO, posłuży nam … do obalenia Klasycznego Rachunku Zdań i zbudowania na gruzach zupełnie nowej logiki:
„Nowej teorii implikacji = algebry Kubusia”

Tezy:
1.
Zdanie M jest bez wątpienia prawdziwe czemu żaden matematyk nie ma prawa zaprzeczyć
2.
Skoro jest prawdziwe w matematyce musi być prawdziwe w całej logice, czyli także poza matematyką, inaczej będziemy mieli dwie konkurencyjne definicje implikacji, co jest nonsensem


2.1 Warunki wystarczające i konieczne

Co to są te warunki wystarczające i konieczne ?

Od razu weźmiemy przykład spoza matematyki, bo jest prostszy.

Klasyczna implikacja prosta:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
Jeśli jutro będzie padać to musi => być pochmurno
P=>CH=1
p=>q=1
Oczywiście padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur.
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” => między p i q, warunek wystarczający

W stronę q~>p musi zachodzić warunek konieczny na mocy podręcznika matematyki do I klasy LO.

Zamieniamy teraz p i q w zdaniu wypowiedzianym A, traktując je jako zupełnie nowe zdanie ?
Dlaczego ?
Bo warunek konieczny, spójnik „może” ~> to fundamentalnie co innego niż warunek wystarczający, spójnik „musi” =>


2.2 Implikacja odwrotna w języku potocznym

C.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
p~>q=1

Każdy 5-cio latek bez problemu powie to co niżej:
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać.
CH~>P = ~CH=>~P
W sposób naturalny odkryliśmy tu jedno z najważniejszych praw logiki, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym, czyli spełnionym prawem Kubusia !

Definicja implikacji odwrotnej to nic innego jak prawo Kubusia !
p~>q = ~p=>~q
Dowód formalny w podpisie, tu nie będziemy się bawić w zera i jedynki.

Z powyższego mamy definicję warunku koniecznego w języku potocznym:
Zabieramy poprzednik p i musi zniknąć następnik q

Dla naszego przykładu:
Zabieramy chmury (CH=0) i znika nam możliwość padania deszczu (P=0) – oczywista oczywistość.

W zdaniu C nie zachodzi warunek wystarczający => miedzy p i q bowiem fałszywe jest poniższe zdanie.
D.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Zdanie fałszywe, bowiem jutro może być pochmurno i nie musi padać
gdzie:
=> - warunek wystarczający

Na podstawie C i D mamy definicję implikacji odwrotnej w języku potocznym:

Implikacja odwrotna – to zachodzenie warunku koniecznego w stronę p~>q (CH~>P=1) i nie zachodzenie warunku wystarczającego w stronę p=>q (CH=>P=0)

Przykład implikacji odwrotnej ~> fałszywej:
E.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to „może” ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
P3 – zbiór liczb podzielnych przez 3 (3,9,12,15,18,21,24 …)
P8 – zbiór liczb podzielnych przez 8 (8,16,24 …)
Zabieramy zbiór liczb podzielnych przez 3 (poprzednik p), lecz w następniku została nam przynajmniej jedna liczba 8.
To wystarczy, P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8 czyli:
P3~>P8=0 bo 8 – implikacja odwrotna p~>q fałszywa
Zdanie E jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi.


2.3 Implikacja prosta w języku potocznym

Wracamy do zdania A …

A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
p=>q=1
Oczywiście padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur.
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” => między p i q, warunek wystarczający

Definicja implikacji prostej to nic innego jak prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Dowód formalny w zerach i jedynkach w podpisie.

Dla naszego przykładu:
P=>CH = ~P~>~CH
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
LUB
Jeśli jutro nie będzie padać to „może” ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1

W ostatnim zdaniu nie zachodzi warunek konieczny.
Dowód:
Załóżmy że zachodzi i zastosujmy wyrocznię implikacji, prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH =0
Prawa strona:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
jest fałszem, zatem lewa strona powyższej tożsamości nie może być warunkiem koniecznym
CND

Wróćmy do zdania A i potocznej definicji implikacji prostej.
Sprawdzamy czy między p i q w zdaniu A zachodzi warunek konieczny czyli:
B.
Jeśli jutro będzie padać to może ~> być pochmurno
P~>CH=0
Wykluczamy padnie deszczu, oczywiście nie daje to gwarancji zniknięcia chmur, czyli p nie jest warunkiem koniecznym dla q, stąd ta implikacja odwrotna ~> jest fałszywa.

Z powyższego mamy definicje implikacji prostej w języku potocznym:

Implikacja prosta – to zachodzenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q (P=>CH=1) i nie zachodzenie warunku koniecznego w kierunku p~>q (P~>CH=0)


2.4 Równoważność w języku potocznym

Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny
BR=>TR=1

Oczywiście trzy odcinki o równych długościach są wystarczające dla zbudowania trójkąta równobocznego
Wniosek:
Warunek wystarczający spełniony

Jeśli zamienimy jeden z trzech odcinków na odcinek o innej długości to zbudowania trójkąta równobocznego nie będzie możliwe.
Wniosek:
Trzy równe odcinki są warunkiem koniecznym dla trójkąta równobocznego

Między zbiorami BR i TR zachodzi jednocześnie warunek wystarczający BR=>TR=1 i konieczny BR~>TR=1
co jest dowodem równoważności:
BR<=>TR = (BR=>TR)* (BR~>TR)
p<=>q = (p=>q)*(p=>q)

Oczywiście powyższą równoważność można wyrazić słownie w taki sposób:

Trójkąt ma boki rowów wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>TR

Stąd definicja równoważności w języku potocznym:

Równoważność – to zachodzące jednocześnie warunki wystarczający w kierunku p=>q (BR=>TR=1) i konieczny w kierunku p~>q (BR~>TR=1).


2.5 Podsumowanie

Definicje implikacji i równoważności w języku potocznym
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.


3.0 Alternatywne, matematyczne definicje implikacji i równoważności

Wszelkie kodowania zero-jedynkowe tabel symbolicznych w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Potoczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
Definicja symboliczna warunku wystarczającego:
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0

Warunek wystarczający definiowany jest zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej zatem:
Warunek wystarczający # operator implikacji prostej

Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

p=>q =1
1 1 =1
p=~>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
czyli:
~p~>~q=1
0 0 =1
lub
~p~~>q=1
0 1 =1

2.
~> - warunek konieczny między p i q
Definicja symboliczna warunku koniecznego = definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p~>q=1
1 1 =1
lub
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
stąd:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

Dla kompletu definicja symboliczna naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy jedna prawda:
Kod:

p~~>q=1
1 1 =1
Dalsza cześć tabeli zero-jedynkowej bez znaczenia.
Może być cokolwiek.


Korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Potoczną definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Można zapisać w postaci:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) – dziewicza definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej (szczegóły w podpisie)

gdzie:
p=>q, ~p=>~q to tylko i wyłącznie warunki wystarczające między p i q o definicji jak wyżej.

W równoważności (i tylko tu) poprawne jest prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q = q=>p
stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność, to warunki wystarczające zachodzące w dwie strony, w stronę p=>q i q=>p

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1
p=>q=1

Po zamianie poprzednika z następnikiem mamy:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
KR=>TR=1
q=>p=1

Zatem na mocy definicji równoważności mamy:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1 =1
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności o zdaniu:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR

Możemy powiedzieć że:
1.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający o definicji jak wyżej (tu nie wiemy lub nie deklarujemy co zachodzi w kierunku q=>p)
2.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności (precyzyjnie)
3.
TR=>KR – to równoważność
W tym przypadku deklarujemy domyślną pewność zachodzenia warunku wystarczającego w kierunku q=>p (KR=>TR=1)

O zdaniu A absolutnie nie możemy powiedzieć, ze jest to implikacja prosta, bo to zdanie nie spełnia prawa Kubusia – definicji implikacji prostej.

Na zakończenie definicja symboliczna równoważności, na podstawie tabeli zero-jedynkowej równoważności (szczegóły w podpisie):
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w kierunku p=>q
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)
stąd:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0


Raj, 2011-01-11


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 5:37, 11 Kwi 2012, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin