Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia dla liceum v. Beta 1.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25117
Przeczytał: 12 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 11:21, 19 Sty 2011    Temat postu: Algebra Kubusia dla liceum v. Beta 1.0

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia
Podręcznik dla liceum


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Najważniejsze zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Krowa (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.


Spis treści:

1.0 Notacja

2.0 Twierdzenie ŚFINII
2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej
2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej
2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności

3.0 Operatory logiczne
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
3.4 Równanie ogólne implikacji
3.5 Równoważność
4.0 Podsumowanie operatorów implikacji i równoważności

5.0 Algebra Kubusia - operatory OR i AND

6.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
6.1 Obietnica
6.2 Groźba


Wstęp.

Algebra Kubusia jest jednocześnie trywialna, bo posługują się nią w praktyce wszyscy od 5-cio latka po starca i trudno zrozumiała jeśli patrzy się na nią poprzez pryzmat zer i jedynek.

W algebrze Kubusia występują zaledwie dwie cyferki o znaczeniu jak niżej:
1 = prawda
0 = fałsz
nie mające nic wspólnego z liczbami całkowitymi 0 i 1 które wszyscy doskonale znamy.

Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, a nie ja tworzy. Gdyby mózg człowieka nie podlegał pod algebrę Kubusia, nie byłoby komputerów ... nie byłoby nas, nie byłoby naszego Wszechświata.

Wbrew powszechnemu wśród matematyków przekonaniu, to naturalna logika człowieka generuje tabele zero-jedynkowe odpowiednich operatorów logicznych. Z tego powodu podejdziemy do logiki z zupełnie innej strony, pokażemy jak naturalny język człowieka generuje tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, zapisując je na końcu w postaci tabel zero-jedynkowych.

Wykład algebry Kubusia zaczynamy od implikacji i równoważności. Dla ułatwienia pominiemy tu operatory AND(*) i OR(+) jako zbędne, mogące jedynie zaciemnić obraz trywialnej logiki 5-cio latka.

W praktyce języka mówionego człowiek miesza wszystkie operatory, jednak w 95% w implikacji i równoważności nikt nie używa operatorów AND(*) i OR(+).

W końcowej części podręcznika zajmiemy się operatorami OR(+) i AND(*) oraz zastosowaniem algebry Kubusia w obsłudze gróźb i obietnic.

W tej publikacji będziemy używać zamiennie:
Algebra Kubusia = Nowa teoria implikacji


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
~ - symbol przeczenia NIE(~)
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

=> - spójnik „musi” między p i q, warunek wystarczający
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi

# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda

A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U

Definicja ogólna spójnika „Jeśli … to …”
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik

O tym czym jest wypowiedziane zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” decyduje zarówno użyty spójnik, jak i treść zawarta w spójniku.

Alternatywne definicje implikacji i równoważności w NTI
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Na mocy powyższych definicji mamy:
p=>q=1 ## p~>q=1
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.


2.0 Twierdzenie ŚFINII

Twierdzenie ŚFINII to najważniejsze twierdzenie w logice, fundament NTI.
ŚFINIA, forum dyskusyjne Wuja Zbója, Ojczyzna Kubusia, to Hlefik w którym się urodził i gdzie od 5-ciu lat dokumentuje historię powstawania NTI krok po kroku.

Gdyby nie ŚFINIA algebra Kubusia nigdy by nie powstała, stąd najważniejsze twierdzenie nosi nazwę twierdzenia ŚFINII.

Pani do dzieci w przedszkolu:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
p~>q=1
Czy chmury są konieczne aby jutro padało ?

Jas (lat 5):
Tak proszę Pani.
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać.
CH~>P = ~CH=>~P
W sposób naturalny odkryliśmy tu jedno z najważniejszych praw logiki, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym, czyli spełnionym prawem Kubusia !
=> - spójnik „na pewno” => miedzy p i q

Stąd definicja warunku koniecznego każdego 5-cio latka:
Zabieramy p i musi zniknąć q, wtedy i tylko wtedy zachodzi warunek konieczny między p i q

Matematycznie oznacza to …

Twierdzenie ŚFINII:

W zdaniu:
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik.
Czyli:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Dowód:
Dowód twierdzenie SFINII to banalny dowód formalny prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Patrz podpis.

Działanie twierdzenia ŚFINII pokażemy na przykładach:

A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1 – sytuacja możliwa
Warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Oczywista prawda, zatem w zdani A zachodzi warunek konieczny.

B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno będzie padać
~CH=>P=0
Oczywisty fałsz, stąd w zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi

C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16,24…
Z zanegowanego poprzednika musi wynikać zanegowany następnik, wtedy i tylko wtedy w zdaniu C zachodzi warunek konieczny, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5,7…
Oczywista prawda, zatem w zdaniu C zachodzi warunek konieczny

D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 bo 3
Wniosek:
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny między p i q, zdanie to jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

E.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4,6…
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 bo 8
Wniosek:
W zdaniu E nie zachodzi warunek konieczny

F.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5,7…
Warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16,24…
Wniosek:
W zdaniu F zachodzi warunek konieczny miedzy p i q

G.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Wniosek:
W zdaniu G nie zachodzi warunek konieczny

H.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Warunek konieczny zachodzi, gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 3 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P3=>~P8=0 bo 8

Jak widzimy, twierdzenie ŚFINII, fundament NTI, jest absolutnie genialne i nie do obalenia w świecie rzeczywistym.


2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy twierdzenia swingi warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Wniosek, w zdaniu A warunek konieczny zachodzi

Sprawdzamy teraz zachodzenie warunku p=>q dla zdania A:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej bo:
P2~>P8=1
P2=>P8=0
CND


2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi

A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Dla dowolnej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
Zatem P8 wystarcza dla P2
CND
Sprawdzamy czy zachodzi warunek konieczny w kierunku P8~>P2:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
P8~>P2
Na mocy twierdzenia śfinii warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
~P8=>~P2 =0 bo 2
zatem w zdaniu A1 nie zachodzi warunek konieczny:
P8~>P2=0
Zdanie A1 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda
P8~~>P2=1 bo 8

Dla zdania A mamy zatem:
P8=>P2=1
P8~>P2=0
Wniosek:
Zdanie a spełnia definicje implikacji prostej.

2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)

A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe
TR=>KR=1
Oczywiście dla dowolnego trójkąta równobocznego na pewno zachodzą równe kąty
Zatem TR wystarcza dla KR
CND
Sprawdzamy teraz czy zachodzi warunek konieczny w kierunku TR~>KR:
A1
Jeśli trójkąt jest równoboczny to może mieć kąty równe
TR~>KR
Na mocy twierdzenia swingi warunek konieczny zachodzi gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
Twarda prawda zatem warunek konieczny w kierunku TR~>KR zachodzi

Zatem dla zdania A mamy:
TR=>KR=1
TR~>KR=1
Wniosek:
Zdanie A spełnia definicję równoważności

Oczywiście zdanie A możemy tez wypowiedzieć w następujący sposób:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = 1*1=1
gdzie:
TR=>KR – spełniony warunek wystarczający w kierunku p=>q
TR~>KR – spełniony warunek konieczny w kierunku p~>q


3.0 Operatory logiczne

Matematycy od około 150 lat znają zero-jedynkowo definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych. Niestety, aktualna interpretacja tych operatorów jest błędna z punktu odniesienia człowieka.

Człowiek to nie komputer

Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych.
Kod:

p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>)  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1    0   1    0     1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1    0   0    1     1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0    1   1    0     1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1    0   1    0     1    0   1 0   1 0

Powyższą tabelę należy traktować jako ciekawostkę. bowiem to człowiek w swojej naturalnej logice generuje powyższe tabele zero-jedynkowe, nie będąc tego świadomym. Nigdy odwrotnie, czyli nie jest tak, że człowiek wypowiada dowolne śmieci dopasowując do nich tabele zero-jedynkowe.


3.1 Definicja implikacji prostej

Twierdzenie ŚFINII pozwala łatwo rozstrzygnąć czy dowolne zdanie jest implikacja prostą, odwrotną, czy tez równoważnością.

Definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi

Równoważne definicje zero-jedynkowe uzyskamy analizując w sposób uporządkowany dowolną implikacje prostą lub odwrotną znalezioną na mocy twierdzenia ŚFINII, przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda
Padanie deszczu wystarcza dla istnienia chmur, warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi.

Sprawdzamy zachodzenie warunku koniecznego w kierunku p~>q:
WK:
Jeśli jutro będzie padać to może będzie pochmurno
P~~>CH=1 – sytuacja możliwa
Na mocy twierdzenia ŚFINII warunek konieczny zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
Brak deszczu nie wymusza braku chmur, zatem warunek konieczny w zdaniu WK nie zachodzi:
P~>CH=0
Zdanie WK jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jeden przypadek prawdziwy.

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane A jest implikacja prostą na mocy definicji:
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi

Uporządkowana analiza zdania wypowiedzianego A wygląda następująco.

Analiza I
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
1 0 =0
… a jeśli nie będzie padaać ?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – sytuacja możliwa
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – sytuacja możliwa
0 1 =1
Doskonale widać zero-jedynkowa definicje implikacji prostej => dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
CH=1, ~CH=0

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1


Na bazie powyższego przykładu za[pisujemy symboliczną definicję implikacji prostej:
Kod:

p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
czyli:
~p~>~q =1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1

Wnioski:
1.
Prawo Kubusia to zero-jedynkowa definicja implikacji prostej =>, zapisana w równaniu algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q
2.
Operator implikacji prostej => (kompletna tabela wyżej) to fundamentalnie co innego niż spójnik „musi” => definiowany wyłącznie dwoma pierwszymi liniami powyższej tabeli.

Definicja spójnika „musi” =>, warunku wystarczającego:
Kod:

p=>q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0


W wypowiedzianym zdaniu mamy bezpośredni dostęp tylko do spójnika „musi” =>. Aby rozstrzygnąć czym od strony matematycznej jest wypowiedziane zdanie konieczna jest dalsza analiza matematyczna.
Przy spełnionym warunku wystarczającym => zdanie może być wyłącznie implikacja prostą (jak wyże), albo równoważnością, gdy po stronie ~p występuje kolejny warunek wystarczający.

Z prawa Kubusia wynika że zdania:
P=>CH = ~P~>~CH
są matematycznie tożsame.

O co tu chodzi, jak udowodnić tą tożsamość ?

Bardzo prosto …

Zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – sytuacja możliwa
Sprawdzamy czy zdanie wypowiedziane jest implikacja odwrotną.
Na mocy twierdzenia ŚFINII zdanie jest implikacja odwrotna wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik, czyli:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Oczywista twarda prawda, zatem zdanie wypowiedziane jest implikacja odwrotną.

Szczegółowa analiza matematyczna.

Analiza II
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 – sytuacja możliwa
1 1 =1
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1 – sytuacja możliwa
1 0 =1
… a jeśli będzie padało ?
Prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
czyli:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
stąd:
B.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
0 1 =0
Doskonale widać definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~P=1, P=0
~CH=1, CH=0

Doskonale widać, że zdania w analizie I i II są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co jest dowodem tożsamości Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
Przestawieniu uległy wyłącznie linie A-B i C-D co w algebrze Kubusia jest bez znaczenia. Analizowane linie możemy dowolnie przestawiać. Co więcej, możemy wymówić dowolną linię i na podstawie twierdzenia ŚFINII łatwo rozstrzygnąć czym jest wypowiedziane zdanie.

Zauważmy, że symbol => nie jest 100% jednoznaczny, oznacza albo spójnik „musi” p=>q (pierwsze dwie linie z analizy), albo też operator implikacji prostej p=>q (wszystkie cztery linie).
Nie ma tu problemu ponieważ w naturalnym języku mówionym symbol => oznacza zawsze spójnik „musi” p=>q, warunek wystarczający.
O tym czy wypowiedziane zdanie jest dodatkowo operatorem implikacji prostej decyduje dopiero analiza matematyczna. Jeśli udowodnimy że zdanie spełnia definicje implikacji prostej => to możemy dodatkowo powiedzieć, że zdanie p=>q jest implikacją prostą =>.


3.2 Definicja implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Równoważną definicję zero-jedynkową implikacji odwrotnej uzyskamy analizując zdanie przez wszystkie możliwe przeczenia.

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P =1
Na mocy twierdzenie ŚFINII powyższe zdanie jest implikacją odwrotna wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany następnik czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać
~CH=>~P =1
Oczywiście warunek wystarczający => jest tu spełniony, zatem zdanie CH~>P jest implikacja odwrotną.

Równoważną odpowiedź daje tu analiza zdania CH~>P przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Analiza matematyczna I:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – sytuacja możliwa
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
1 0 =1
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – sytuacja niemożliwa
0 1 =0
Doskonale widać tabele ze4ro-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ~> dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
CH=1, ~CH=0
P=1, ~P=0

Dodatkowe znaczenie symboli => i ~> widać tu jak na dłoni.

Spójnik „może” ~> ze spełnionym warunkiem koniecznym:
~> - miękka prawda, może zajść ale nie musi
Jeśli jutro będzie pochmurno to możemy sobie rzucać monetą:
orzełek – będzie padało
reszka = nie będzie padało
czyli „wiem że nic nie wiem”, 100% losowość, matematyczna „wolna wola” człowieka we wszelkich obietnicach i groźbach, co zobaczymy w przyszłości.

Spójnik „musi” =>:
=> - twarda prawda, zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków, 100% matematyczna pewność
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=1 – twarda prawda, zachodzi zawsze bez żadnych wyjątków

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0


Na podstawie powyższego przykładu możemy zapisac symboliczna definicje implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym.
Kod:

p~>q =1
1 1 =1
LUB
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
czyli:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

Wnioski:
1.
Prawo Kubusia to zero-jedynkowa definicja implikacji prostej =>, zapisana w równaniu algebry Kubusia.
p=>q = ~p~>~q
2.
Proste rozumowanie logiczne:
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p wymusza zajście ~q czyli:
p~>q = ~p=>~q
Zatem na mocy definicji spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym to wszystkie cztery linie z powyższej tabeli czyli:
Spójnik „może” p~>q = operator implikacji odwrotnej p~>q

Dla kompletu definicja symboliczna naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy jedna prawda:
Kod:

p~~>q=1
1 1 =1
Dalsza cześć tabeli zero-jedynkowej bez znaczenia.
Może być cokolwiek.


Na mocy prawa Kubusia dla zdania wypowiedzianego A mamy:
CH~>P = ~CH=>~P
Udowodnijmy powyższą tożsamość matematyczną, analizując zdanie z prawej strony tożsamości.

Zdanie wypowiedziane:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
Warunek wystarczający ~CH=>~P spełniony
Na mocy definicji zdanie p=>q jest implikacją prosta wtedy i tylko wtedy gdy zdanie p~>q jest implikacją odwrotną fałszywą czyli:
WK:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie będzie padać
~CH~>~P=0
Na mocy twierdzenia SFINII zdanie ze spójnikiem „może” ~> jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika zanegowany poprzednik czyli:
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
oczywisty fałsz, zatem w zdaniu WK nie zachodzi warunek konieczny, zatem zdanie wypowiedziane C jest implikacją prosta prawdziwą.

To samo musimy uzyskać analizując zdanie wypowiedziane C przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Analiza matematyczna II:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – sytuacja niemożliwa
1 0 =0
… a jeśli jutro będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
~CH=>~P = CH~>P
czyli:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – sytuacja możliwa
0 0 =1
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – sytuacja możliwa
0 1 =1
Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~CH=1, CH=0
~P=1, P=0

Zauważmy, że analizy matematyczne I i II generują identyczne zdania A,B,C i D z dokładnościa do każdej literki i każdego przecinka co dowodzi poprawności prawa Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P


3.3 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q – prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikacje odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na równoważną implikacje prosta =>

Definicja:
Implikacja wyrażona jest w logice dodatniej, jeśli następnik q nie jest zanegowany. (q)
Implikacja wyrażona jest w logice ujemnej, jeśli następnik q jest zanegowany (~q)

Z prawa Kubusia wynika, że implikacja prosta w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej w logice ujemnej
p=>q = ~p~>~q
oraz:
Implikacja odwrotna w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej w logice ujemnej
p~>q = p=>~q


3.4 Równanie ogólne implikacji

Definicje implikacji prostej i odwrotnej:
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
Na mocy prawa Kubusia dla implikacji prostej możemy zapisać:
p=>q = ~p~>~q =1
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi
Na mocy prawa Kubusia dla implikacji odwrotnej możemy zapisać:
p~>q = ~p=>~q =1

Na mocy definicji otrzymujemy równanie ogólne dla implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q

Dla naszego przykładu równanie ogólne implikacji przyjmie postać:
P=>CH = ~P~>~CH =1 ## CH~>P = ~CH=>~P

Po lewej i prawej stronie symbolu ## mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać cokolwiek, w szczególności nasz przykład jak wyżej.

Oczywiście na mocy definicji dla naszego przykładu mamy.
Implikacja prosta:
P=>CH=1
P~>CH=0
Implikacja odwrotna:
CH~>P=1
CH=>P=0
stąd:
P=>CH=1 ## CH~>P=1


3.5 Równoważność

Definicja równoważności:
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)

Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny
BR=>TR=1

Oczywiście trzy odcinki o równych długościach są wystarczające dla zbudowania trójkąta równobocznego
Wniosek:
Warunek wystarczający spełniony

Jeśli zamienimy jeden z trzech odcinków na odcinek o innej długości to zbudowania trójkąta równobocznego nie będzie możliwe.
Wniosek:
Trzy równe odcinki są warunkiem koniecznym dla trójkąta równobocznego

Między zbiorami BR i TR zachodzi jednocześnie warunek wystarczający BR=>TR=1 i konieczny BR~>TR=1
co jest dowodem równoważności:
BR<=>TR = (BR=>TR)* (BR~>TR)
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Oczywiście powyższą równoważność można wyrazić słownie w taki sposób:

Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>TR

Na mocy prawa Kubusia możemy zapisać:
p~>q = ~p=>~q

Stąd otrzymujemy dziewicza definicje równoważności wynikającą bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q, ~p=>~q to tylko i wyłącznie warunki wystarczające między p i q o definicji:
Kod:

p=>q=1
p=>~q=0


W równoważności (i tylko tu) poprawne jest prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q = q=>p
stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność, to warunki wystarczające zachodzące w dwie strony, w stronę p=>q i q=>p

Twierdzenie Rexerexa:
Jeśli równoważność p<=>q jest udowodniona to zachodzi wszystko co tylko możliwe:
p=>q = p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = ~p<=>~q = ~p=>~q = (p=>q)*(q=>p) = q=>p itd

Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1
p=>q=1

Po zamianie poprzednika z następnikiem mamy:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
KR=>TR=1
q=>p=1

Zatem na mocy definicji równoważności mamy:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1 =1
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności o zdaniu:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR

Możemy powiedzieć że:
1.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający o definicji jak wyżej (tu nie wiemy lub nie deklarujemy co zachodzi w kierunku q=>p)
2.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności (precyzyjnie)
3.
TR=>KR – to równoważność
W tym przypadku deklarujemy domyślną pewność zachodzenia warunku wystarczającego w kierunku q=>p (KR=>TR=1)

O zdaniu A absolutnie nie możemy powiedzieć, ze jest to implikacja prosta, bo to zdanie nie spełnia prawa Kubusia – definicji implikacji prostej.

Na zakończenie definicja symboliczna równoważności, na podstawie tabeli zero-jedynkowej równoważności (szczegóły w podpisie):
Kod:

p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w kierunku p=>q
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)
stąd:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0



4.0 Podsumowanie operatorów implikacji i równoważności

Definicje implikacji i równoważności:
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi

Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.

Wszelkie kodowania zero-jedynkowe tabel symbolicznych w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
Definicja symboliczna warunku wystarczającego:
Kod:

p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0

Warunek wystarczający definiowany jest zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej zatem:
Warunek wystarczający # operator implikacji prostej

Definicja operatora implikacji prostej:
Kod:

p=>q =1
1 1 =1
p=~>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
czyli:
~p~>~q=1
0 0 =1
lub
~p~~>q=1
0 1 =1

2.
~> - warunek konieczny między p i q
Definicja symboliczna warunku koniecznego = definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p~>q=1
1 1 =1
lub
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
stąd:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0

Dla kompletu definicja symboliczna naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy jedna prawda:
Kod:

p~~>q=1
1 1 =1
Dalsza cześć tabeli zero-jedynkowej bez znaczenia.
Może być cokolwiek.



5.0 Algebra Kubusia - operatory OR i AND

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej
Kod:

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
 Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
 p* q= Y
 p*~q= Y
~p* q= Y

Definicje spójnika „lub” w logice ujemnej otrzymujemy poprzez totalną negacją wszystkich sygnałów bez zmiany operatorów.

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej
Kod:

Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
~p*~q=~Y
~p* q=~Y
 p*~q=~Y


Definicja spójnika „i” w logice dodatniej
Kod:

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
Y=p*q
 p* q= Y


Definicję spójnika „i” w logice ujemnej otrzymujemy poprzez totalną negację sygnałów bez wymiany operatorów.

Definicja spójnika „i” w logice ujemnej
Kod:

Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p*~q
~p*~q=~Y


Definicje operatorów OR i AND
Definicję operatorów w logice dodatniej otrzymamy przyjmując dodatni punkt odniesienia czyli:
Y=1, ~Y=0
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Operator OR(+)
Operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej ze spójnikiem „i” w logice ujemnej.

Definicja operatora OR(+)
Kod:

Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
 Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
 p* q= Y
1 1 =1
 p*~q= Y
1 0 =1
~p* q= Y
0 1 =1
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p*~q
~p*~q=~Y
0 0 =0

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając z powyższej definicji mamy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
p+q = ~(~p*~q)

Zaskoczenie dla wszystkich ziemskich matematyków jest z pewnością totalne !
1.
Prawo de’Morgana obowiązuje w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej
2.
Wynika z tego że operator OR(+) nie może istnieć bez operatora AND(*) !

Oczywiście spójnik „lub(+)” to zupełnie co innego niż operator OR(+) mimo że oznaczane identycznie:
OR = „+” w tej publikacji.
Wprowadzanie odrębnych symboli jest tu jednak zbyteczne bowiem wypowiadając dowolne zdanie mamy do czynienie wyłącznie ze spójnikami „lub” albo „i”.

Z definicji operatora AND(*) albo OR(+) korzystamy wyłącznie w celu uzyskania odpowiedzi na pytanie „Kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1), jeśli jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

…. a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K*~T
B.
Skłamię (~Y=1), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Korzystając z prawa de’Morgana mamy zdanie równoważne do A:
Y=K+T = ~(~k*~T)
czyli:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=~(~K*~T)
czyli:
Y=1 <=> ~[(~K=1) * (~T=1)]

Zdanie równoważne do zdania A uzyskamy tez bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej spójnika „lub”:
Y=K+T = K*T + k*~T+~K*T
czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) gdy zdarzy się którykolwiek z powyższych przypadków:
K*T – pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
K*~T – pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~K*T – nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Oczywiście w przyszłości może zajść wyłącznie jedno z powyższych zdarzeń, nic innego nie jest możliwe.

Zupełnie inaczej jest w świecie zdeterminowanym gdzie wartości logiczne wszystkich parametrów są z góry znane. W tym przypadku już w momencie wypowiedzenia zdania znamy końcowe rozwiązanie.

Przykład:
A.
Zdanie prawdziwe (Y=1) gdy powiemy:
Dowolny kraj leży w Europie lub Azji lub Afryce lub Ameryce Pd. lub Ameryce Pn. lub Australii lub Antarktydzie
Y=E+Az+Af+APd+APn+Au+An =1
… kiedy zdanie będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych I wymianę operatorów na przeciwne.
~Y=~E*~Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An
czyli zdanie fałszywe w języku polskim:
B.
Zdanie fałszywe (~Y=1) gdy powiemy:
Dowolny kraj nie leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce i nie leży Ameryce Pd. i nie leży w Australii i nie leży w Antarktydzie.
~Y=~E*~Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An

Nauczyciel geografii:
Na jakim kontynencie leży Rosja

Na mocy definicji spójnika „lub” rozwijamy zdanie A w postaci sumy logicznej wszystkich możliwych kombinacji kontynentów. Dla siedmiu krajów takich członów będzie 128, ale tylko jeden z nich będzie prawdziwy.

R= E*Az*Af*APd*APn*Au*An + … + E*Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An + ….

Oczywiście wszystkie człony sumy logicznej będą fałszem z wyjątkiem wytłuszczonego, czyli mamy końcowe rozwiązanie:

R= E*Az*~Af*~APd*~APn*~Au*~An
co matematycznie oznacza:
R=1 <=> E=1 i Az=1 i ~Af=1 i ~APd i ~APn=1 i ~Au=1 i ~An=1

Prawdy powstałe z zaprzeczenia fałszu typu:
~Af=1 - Rosja nie leży w Afryce
usuwamy z końcowego rozwiązania bo są nadmiarowe i zbędne.

Stąd mamy końcowe rozwiązanie:
R=E*A`
czyli:
Rosja leży w Europie i Azji

Operator AND(*)
Operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej i spójnika „lub” w logice ujemnej.

Kod:

Definicja spójnika „i” w logice dodatniej bo Y
Y – dotrzymam słowa, wystąpi prawda
Y=p*q
 p* q= Y
1 1 =1
Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej bo ~Y
~Y – skłamię, wystąpi fałsz
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
~p*~q=~Y
0 0 =0
~p* q=~Y
0 1 =0
 p*~q=~Y
1 0 =0

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y= ~(~Y)
Podstawiając z powyższej definicji mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q)

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Matematycznie:
Dotrzymam słowa (Y=1), jeśli jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1

…. a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

KONIEC, to jest cała, banalna algebra Kubusia w operatorach AND(*) i OR(+), naturalna logika 5-cio latka


6.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki – obietnice i groźby

Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO

To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że:
Groźba = implikacji odwrotna ~>

Dowód na przykładzie …

6.1 Obietnica

Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1
1 1 =1 - zdanie wypowiedziane
Obietnica, zatem implikacja prosta, tu wszyscy się zgadzamy.
Skoro to implikacja prosta to:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0
1 0 =0
… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.

Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Boole’a leży w gruzach.

Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1
0 1 =1 - akt miłości
gdzie:
~~> - naturalne "może", wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej ~>, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.

Doskonale tu widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
G=1, ~G=0
C=1, ~C=0

Oczywiście z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

Z powyższego mamy definicję obietnicy i groźby …

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancja w implikacji jest zawsze operator implikacji prostej:
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.

W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.


6.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni, zatem implikacja odwrotna prawdziwa. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
1 1 =1
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
1 0 =1
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski)

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
0 0 =1
Na mocy definicji operatora implikacji prostej => mamy:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej =>.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
B=1, ~B=0
L=1, ~L=0

Dlaczego zdanie B nie może być implikacja odwrotną ?
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zdanie B: B~>~L jest implikacja odwrotną.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
B: B~>~L = D: ~B=>L
Zdanie D: jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawdziwość zdania B: określa wzór:
(B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik może, wystarczy jedna prawda, nie jest to operator implikacji odwrotnej zatem warunek koniczny tu nie zachodzi.

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.

W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)

Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
Kod:

p q p~>q p<=q
1 1  =1   =1
1 0  =1   =1
0 0  =1   =1
0 1  =0   =0

gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)

Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym

Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.

W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.

Raj, 2011-01-17
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin