Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Idź do strony Poprzedni  1, 2
 
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:17, 01 Mar 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach

Spis treści
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach 1
14.1 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 4
14.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach 6
14.2 Algorytm Puchacza 8
14.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 10
14.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 16
14.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 19
14.4.1 Zdanie W1: P~~>CH 19
14.4.2 Zdanie W2: P8=>P2 20
14.4.3 Zdanie W3: P8~~>~P2 20
14.4.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2 21
14.4.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2 22
14.4.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2 23
14.4.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2 24


14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod:

IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
       A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1  =  4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0                [=]                 4:~q~~>p =0
       ##             ##              ##              ##
B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p  =0  =  4:~q~>~p =0
B':                2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1   

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.

Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.

2.
Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.

A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q):

Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja implikacji odwrotnej A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q (pkt.2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji odwrotnej A1B2: ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd
Analizę ogólną implikacji prostej p|=>q znajdziemy w punkcie 2.12.

14.1 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach

Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:

Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)

Wniosek:
p ## q - zbiór p musi być różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie mogą to być zbiory tożsame)

Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
Kod:

DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     p                  |                       ~p                  |
|------------------------|-------------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1   (p*q=1)  |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1  (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina:                                                         |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
|   A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                                |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach                        |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kluczowe tu zbiory p, ~p, q i ~q muszą być niepuste, bowiem w analizie zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym.

Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Wniosek:
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIP wyżej.

Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod:

IP:
Implikacja prosta p|=>q w zbiorach (DIP):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
       A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1  =  4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0                [=]                 4:~q~~>p =0
       ##             ##              ##              ##
B:  1: p~>q  =0  = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p  =0  =  4:~q~>~p =0
B':                2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>


14.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę A1B1 czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)

Na mocy prawa Słonia prawą stronę A1B1 czytamy:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=0)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIP

A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do q
p=>q =1
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) wystarczająca => by należał on do zbioru q

Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DIP

Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DIP

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę A2B2 czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=0).

Na mocy prawa Słonia prawą stronę A2B2 czytamy:
Zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q (B2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q (A1: ~p=>~q=0)
Wniosek:
~p ## ~q - zbiór ~p jest różny na mocy definicji ## od zbioru ~q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIP

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~> należeć do ~q
~p~>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jego przynależności do zbioru ~q

Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Dowód: diagram DIP

lub

B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'
Dowód wprost: diagram DIP

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

14.2 Algorytm Puchacza

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod:

T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
       A1B1:          A2B2:    |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=> q =?  = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =?  = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=?                                  4:~q~~>p=?
       ##             ##             ##             ##
B:  1: p~> q =?  = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =?  = 4:~q~>~p=?
B':                2:~p~~>q=?     3: q~~>~p=?

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.

Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.

5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia

Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.

14.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach

Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.

Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2

Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
q=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)

Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza

Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8 ..] potrafi każdy matematyk.

7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.

Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład np. 2
cnd

Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P2=>P8 = B1: P8~>P2 =0
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając fałszywość warunku wystarczającego B3: P2=>P8=0 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0

Wypowiedzmy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
B1: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Fałszywości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem fałszywość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.

Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:[b]
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.

[b]Prawo Kameleona:

Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.

Alternatywny dowód prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 i fałszywości warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła znajdziemy w punkcie 13.8.1.

Podsumowanie:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 i fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 wymusza definicję implikacji prostej P8|=>P2.

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1

Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach (nasz przykład):

Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p=P8
q=P2

Stąd mamy diagram implikacji prostej w zapisie formalnym p|=>q i aktualnym P8|=>P2:
Kod:

DIP
Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
---------------------------------------------------------------------------
|   p=P8                 |                 ~p=~P8                         |
|------------------------|------------------------------------------------|
|   q=P2                                        | ~q=~P2                  |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P8=>P2=1 (P8*P2=1) |B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1 |A2:~P8~>~P2=1 (~P8*~P2=1)|
---------------------------------------------------------------------------
|Dziedzina:                                                               |
|D=A1: P8*P2+ A2:~P8*~P2+ B2’:~P8*P2=1 -istnieją elementy wspólne zbiorów |
|    A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P8*~P2=[]=0        |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach                           |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P8*P2=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P8*P2=P8=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Z diagramu DIP odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D= A1: P8*P2 + B2’:~P8*P2 + A2: ~P8*~P2

Zauważmy, że:
1.
Zbiór (~P8) jest sumą logiczną zbiorów B2' i A2:
~P8 = B2': ~P8*P2 + A2: ~P8*~P2 = ~P8*(P2+~P2) = ~P8*1 =~P8
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
b) P2+~P2=1
c) ~P8*1=~P8

2.
Natomiast zbiór P8 to zbiór P2 pomniejszony o część wspólną zbiorów ~P8 i P2:
P8 = P2 - B2’: ~P8*P2
Czyli:
P8 = P2*1 - ~P8*P2 - bo prawo algebry Boole’a: P2=P2*1
P8 = P2*(1-~P8) - wyciagnięcie zmiennej P2 przed nawias
P8 = P2*((P8+~P8) -~P8) - skorzystanie z definicji jedynki (dziedziny): 1=P8+~P8
P8 = P2*(P8+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: ~P8 -~P8=[]=0
P8 = P2*P8 - bo prawo algebry Boole’a: P8+0=P8
P8=P8*P2=P8 - bo P8 jest podzbiorem => P2 (patrz diagram implikacji prostej DIP)

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji prostej P8|=>P2 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
Kod:

IP
Implikacja prostej p|=>q w zapisie formalnym:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P8
q=P2
Implikacja prosta P8|=>P2 w zapisie aktualnym:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku
wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - P8 jest (=1) wystarczające => dla P8
               bo P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 -P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P2
              bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6..]
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
       A1B1:         A2B2:       |     A3B3:        A4B4:
A:  1: p=>  q  =1  2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~>  p =1  4:~q=> ~p  =1
A': 1: p~~>~q  =0                                 4:~p~~> q  =0
To samo w zapisie aktualnym:
A:  1: P8=> P2 =1  2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1  4:~P2=>~P8 =1
A': 1: P8~~>~P2=0                                 4:~P2~~>P8 =0
       ##             ##               ##            ##
B:  1: p~>  q  =0  2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p   =0  4:~q~> ~p =0
B':                2:~p~~> q =1     3: q~~> ~p =1
To samo w zapisie aktualnym:
B:  1: P8~> P2 =0  2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8 =0  4:~P2~>~P8=0
B':                2:~P8~~>P2=1     3: P2~~>~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Definicję implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 – zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p= P8
q= P2

14.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P8 (A1B1) i ~P8 (A2B2):
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Gdzie:
p= P8
q= P2

A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P8:

Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
Czytamy:
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie A1) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie B1)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
P8 ## P2 - zbiory P8 i P2 są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2 (P2)
Graficzny dowód wprost: diagram DIP

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Graficzny dowód wprost: diagram DIP

… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8)?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2

A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P8:

Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)?
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2 (A2) i jednocześnie nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2 (B2)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
~P8 ## ~P2 - zbiory ~P8 i ~P2 są różne na mocy definicji (nie są tożsame)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8)?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu trudniejszy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Graficzny dowód wprost: diagram DIP

LUB

Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód wprost widzimy także na diagramie DIP
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’

Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 8 (P8) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) o czym mówią zdania A2 i B2’

Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> być niepodzielna przez 2 (~P2) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być podzielna przez 2 na mocy zdania B2’

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 to układ równań logicznych:
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2: ~P8=>~P2) - co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) - co będzie jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

14.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza

Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.

14.4.1 Zdanie W1: P~~>CH

Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.

Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np. 24
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 (np. 8) . Nie analizujemy tu, czy podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2.

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
Badając punkt 14.3.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający => A1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..], co każdy matematyk udowodni.
Jest oczywistym, że skoro zbiór P8 jest podzbiorem => P2 to musi istnieć element wspólny tych zbiorów ~~>

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest częścią warunku wystarczającego => A1: P8=>P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: P8~~>P2=P8*P2 =1 bo 8       ## A1: P8=>P2 =1 - P8 jest podzbiorem => P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: P8=>P2.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: P8=>P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

14.4.2 Zdanie W2: P8=>P2

Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.

Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.

Podsumowanie:
Zdanie wypowiedziane W2 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

14.4.3 Zdanie W3: P8~~>~P2

Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2=P8*~P2=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’

Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': P8~~>~P2=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W2=A1' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

14.4.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2

Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =~p*~q =1
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i ~P2, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest konieczna ~> czy też wystarczająca => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.

Badając punkt 14.3.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek konieczny A2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

Dowód "nie wprost":
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie)
Prawdziwość warunku koniecznego A2 oznacza, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny ~~> zbiorów W3: ## Warunek konieczny ~> A2:
W3:~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1 - bo 3  ## A2:~P8~>~P2=1 bo ~P8 jest nadzbiorem ~P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A2: ~P8~>~P2 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

14.4.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2

Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)

Powyższe zdanie można zakodować elementem wspólnym zbiorów ~~> co zrobiliśmy wyżej:
~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 bo wspólny element np. 1

Równie dobrze zdanie W5 możemy zakodować warunkiem koniecznym ~>, czym zajmiemy się teraz.
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań:
W5=A2
Zdanie A2 brzmi:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

Stąd mamy dowód "nie wprost":
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Dowód wprost prawdziwości A1: P8=>P2:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.

Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie).
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
A2: ~P8~>~P2=1
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości A2: ~P8~>~P2 =1
Zauważmy, że dowód wprost jest tu zdecydowanie trudniejszy (jeśli w ogóle możliwy), przez iterowanie na pewno niewykonalny bowiem zbiory ~P8 i ~P2 to zbiory nieskończone.

Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek konieczny A2:~P8~>~P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

14.4.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2

Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2=~P8*P2=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'

B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z diagramu DIP widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’

Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2': ~P8~~>P2=1 jest prawdziwym kontrprzykładem B2' dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2=0
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

14.4.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2

Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.

Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to nie jest podzielna przez 2

Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny.
W7".
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to na 100% => nie jest podzielna przez 2
B2: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =0
Brak podzielności dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => wystarczającym dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)

Dowód "nie wprost":
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Nasz przykład:
B2: ~P8=>~P2 = B1: P8~>P2 =0
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd

Pytanie fundamentalne to:
Jak należy wypowiedzieć zdanie W7, by było ono zdaniem prawdziwym?
Odpowiedź na to pytanie daje nam algorytm Puchacza.

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że dokładny odpowiednik zdania W7 nie istnieje, ale istnieje zdanie A2 analogiczne do zdania W7
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
A2: ~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Nasz przykład:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2 =1

Wniosek:
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2: ~P8~>~P2=1 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]

Podsumowanie:
1.
Jeśli zdanie fałszywe W7 zakodujemy warunkiem koniecznym ~> wypowiadając je w formie A2 to zdanie to ulegnie transformacji do zdania prawdziwego.
Korekta została znaleziona.
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie A2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:38, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 28 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:22, 01 Mar 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach

Spis treści
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach 1
15.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 4
15.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach 6
15.2 Algorytm Puchacza 8
15.3 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 10
15.3.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 16
15.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 19
15.4.1 Zdanie W1: P2~~>P8 19
15.4.2 Zdanie W2: P2~>P8 20
15.4.3 Zdanie W3: P2~~>~P8 20
15.4.4 Zdanie W4: ~P2~~>~P8 21
15.4.5 Zdanie W5: ~P2=>~P8 22
15.4.6 Zdanie W6: ~P2~~>P8 23
15.4.7 Zdanie W7: P2=>P8 23
15.5 Alternatywny dowód prawdziwości implikacji odwrotnej P2|~>P8 24



15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)

Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod:

IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
       A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =0  = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p  =0  =  4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1                [=]                 4:~q~~>p =1
       ##             ##              ##              ##
B:  1: p~>q  =1  = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1  =  4:~q~>~p =1
B':                2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0   

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'.

Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1:

A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.

2.
Definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2:

A2B2:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q):

Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej

Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja implikacji prostej A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji prostej p|=>q:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd

15.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:

A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:

Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)

Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie mogą to być zbiory tożsame)

Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
Kod:

DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q               |                         ~q                   |
|---------------------|----------------------------------------------|
|     p                                     |   ~p                   |
|-------------------------------------------|------------------------|
|  B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1  | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1)  |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina:                                                         |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
|    B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                               |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach                       |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kluczowe tu zbiory p, ~p, q i ~q muszą być niepuste, bowiem w analizie zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym.

Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Wniosek:
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIO wyżej.

Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod:

IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach (DIO):
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
       A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =0  = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p  =0  =  4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1                [=]                 4:~q~~>p =1
       ##             ##              ##              ##
B:  1: p~>q  =1  = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1  =  4:~q~>~p =1
B':                2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0   
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>


15.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=0)

Na mocy prawa Słonia prawą stronę A1B1 czytamy:
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=0)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DI0

A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do q
p~>q =1
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) konieczna ~> by należał on do zbioru q

Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Dowód: diagram DIO

lub

Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1’
Dowód wprost: diagram DIO

.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=0).

Na mocy prawa Słonia prawą stronę A2B2 czytamy:
Zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=0)
Wniosek:
~p ## ~q - zbiór ~p jest różny na mocy definicji ## od zbioru ~q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIO

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q

Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód wprost: diagram DIO

Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DIO

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

15.2 Algorytm Puchacza

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod:

T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
       A1B1:          A2B2:    |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=> q =?  = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =?  = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=?                                  4:~q~~>p=?
       ##             ##             ##             ##
B:  1: p~> q =?  = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =?  = 4:~q~>~p=?
B':                2:~p~~>q=?     3: q~~>~p=?

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.

Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.

5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia

Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.

15.3 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach

Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.

Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
q=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)

Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza

Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
A1: P2=>P8=0
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład np. 2
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8 (P8) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład: 2
cnd

7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.

Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.

Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska.
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P8=>P2 = B1: P2~>P8 =1
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego B3: P8=>P2=1 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1

Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
B1: P2~>P8=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Prawdziwości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem prawdziwość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.

Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:[b]
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

[b]Alternatywny dowód
fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwości warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła znajdziemy w punkcie 15.5

Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 wymusza definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8..

A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1

Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):

Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p=P2
q=P8

Stąd mamy diagram implikacji odwrotnej w zapisie formalnym p|~>q i aktualnym P2|~>P8:
Kod:

DIO
Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
---------------------------------------------------------------------------
|     q=P8              |                      ~q=~P8                     |
|-------------------------------------------------------------------------|
|     p=P2                                      |   ~p=~P2      -         |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: P2~>P8=1 (P2*P8=1) |A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 |B2:~P2=>~P8=1 (~P2*~P8=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina:                                                              |
| D=B1: P2*P8+A1’: P2*~P8+B2: ~P2*~P8 (suma logiczna zbiorów niepustych)  |
|    B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~P2*P8=[]=0        |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach                          |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P2*P8=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P2*P8=P8=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Z diagramu DIO odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = B1: P2*P8 + A1': P2*~P8 + B2: ~P2*~P8

Zauważmy, że:
1.
Zbiór P2 jest sumą logiczną zbioru B1: P2*P8 oraz A1': P2*~P8
Dowód:
P2 = B1:P2*P8 + A1': P2*~P8 = P2*(P8+~P8) = P2*1 =P2
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej P2 przed nawias
b) P8+~P8=1
c) P2*1=P2

2.
Natomiast zbiór ~P2 to zbiór ~P8 minus zbiór wspólny A1’: P2*~P8:
~P2 = ~P8 - A1': P2*~P8
Czyli:
~P2 = ~P8*1 - P2*~P8 - bo prawo algebry Boole’a: ~P8=~P8*1
~P2 = ~P8*(1-P2) - wyciagnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
~P2 = ~P8*((P2+~P2) -P2) - skorzystanie z definicji jedynki (dziedziny): 1=P2+~P2
~P2 = ~P8*(~P2+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: P2 -P2=[]=0
~P2 = ~P8*~P2 - bo prawo algebry Boole’a: ~P2+0=~P2
~P2=~P2*~P8 - bo ~P2 jest podzbiorem => ~P8 (patrz diagram implikacji odwrotnej DIO)

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
Kod:

IO
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P2
q=P8
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 – P2 nie jest (=0) wystarczające => dla P8
               bo P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 – P2 jest (=1) konieczne ~> dla P8
               bo P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
       A1B1:         A2B2:       |     A3B3:        A4B4:
A:  1: p=>  q  =0  2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~>  p =0  4:~q=> ~p  =0
A': 1: p~~>~q  =1                                 4:~p~~> q  =1
To samo w zapisie aktualnym:
A:  1: P2=> P8 =0  2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0  4:~P8=>~P2 =0
A': 1: P2~~>~P8=1                                 4:~P8~~>P8
       ##             ##               ##            ##
B:  1: p~>  q  =1  2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p   =1  4:~q~> ~p =1
B':                2:~p~~> q =0     3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B:  1: P2~> P8 =1  2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2 =1  4:~P8~>~P2=1
B':                2:~P2~~>P8=0     3: P8~~>~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii A

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p= P8
q= P2

15.3.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P2 (A1B1) i ~P2 (A2B2):
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
Gdzie:
p= P2
q= P8

A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P2:

Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
A1: P2=>P8=0 - P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie B1) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie A1)
Patrz diagram DIO
Wniosek:
P2 ## P8 - zbiory P2 i P8 są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
1.
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
Dowód: Diagram DIO
2.
Dowód "nie wprost":
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (np. 2)
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów P2 i ~P8, co kończy dowód prawdziwości zdania A1'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór P2 nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8, jak również nie jest podzbiorem => zbioru ~P8.
Dowód wprost widzimy także w diagramie DIO
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’

… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2)?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8 =1
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2

A2B2
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P2:

Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 2 (~P2)?
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (B2) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (A2)
Patrz diagram DIP
Wniosek:
~P2 ## ~P8 - zbiory ~P2 i ~P8 są różne na mocy definicji (nie są tożsame)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2)?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
1.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
2.
Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
cnd

Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 (dowód nie wprost)

Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) - mówi o tym zdanie B2

Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8) o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8) - mówi o tym zdanie B2

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~P2||=>~P8 to układ równań logicznych:
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadania zdań tworzących operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest matematycznie bez znaczenia, co oznacza że linie B1, A1’ B2, B2’ można dowolnie przestawiać.

15.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza

Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze implikacji odwrotnej P2||=>P8 mogą być następujące.

15.4.1 Zdanie W1: P2~~>P8

Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Widzimy tożsamość zdań: W1=B1
Ale!
Na zdanie W1 można spojrzeć z punktu widzenia elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Rozwiązanie zadania W1 z punktu widzenia elementu wspólnego zbiorów ~~>:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Dla udowodnienie prawdziwości zdania W1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8, co kończy dowód prawdziwości zdania W1. Nie wnikamy tu czy podzielności dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> czy też wystarczającym => dla jej podzielności przez 8.

W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi warunek konieczny B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
cnd

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P2~~>P8 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku koniecznego B1: P2~>P8, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek konieczny ~> B1:
W1:P2~~>P8=P2*P8 =1 - bo 8      ## B1: P2~>P8=1 bo P2 jest nadzbiorem ~> P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P2~~>P8 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego B1: P2~>P8
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B1: P2~>P8 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

15.4.2 Zdanie W2: P2~>P8

Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.

Widzimy tożsamość zdań: W2=B1
Wynika z tego, że na zdanie W2 możemy spojrzeć nie tylko z punktu odniesienia elementu wspólnego zbiorów ~~> co zrobiliśmy wyżej, ale również z punktu widzenia warunku koniecznego ~> o czym mówi zdanie B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
cnd

Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza zdanie B1: P2~>P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

15.4.3 Zdanie W3: P2~~>~P8

Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (np. 2)
Dowód "nie wprost":
Formalnie tego faktu nie musimy dowodzić wprost jak wyżej, bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0

Podsumowanie:
1.
Prawdziwe zdanie wypowiedziane A1': P2~~>~P8=1 to kontrprzykład A1' dla fałszywego warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

15.4.4 Zdanie W4: ~P2~~>~P8

Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P8*~P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W4 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 (np. 1) . Nie analizujemy tu, czy niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla jej nie podzielności przez 8 (~P8)

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
Jak widzimy, nie ma 100% odpowiednika zdania W4, ale …

Mamy spełniony warunek wystarczający B2.
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO

Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.

Oczywistym jest, że zdanie wypowiedziane W4: ~P2~~>~P8 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny zbiorów ~~> W4:  ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~P2~~>~P8=~P2*~P8=1 bo 1      ## B2:~P2=>~P8=1 - ~P2 jest podzbiorem ~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P2~~>~P8 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2: ~P2=>~P8 ze spełnionym warunkiem wystarczającym => wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

15.4.5 Zdanie W5: ~P2=>~P8

Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.

Stwierdzamy 100% tożsamość zdań:
W5=B2
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO

Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.

Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~P2=>~P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

15.4.6 Zdanie W6: ~P2~~>P8

Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost widzimy w diagramie DIO - rozłączność zbiorów ~P2=[1,3,5,7..] i P8=[8,16,14..]
Dowód "nie wprost":
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’: ~P2~~>P8=0 (i odwrotnie)

Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2' jest fałszywym kontrprzykładem B2': ~P2~~>P8=0 dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

15.4.7 Zdanie W7: P2=>P8

Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.

Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8

Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny
W7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
cnd

Pytanie fundamentalne to:
Jak należy wypowiedzieć zdanie W7, by było ono zdaniem prawdziwym?
Odpowiedź na to pytanie daje nam algorytm Puchacza.

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że dokładny odpowiednik zdania W7 nie istnieje, ale istnieje zdanie B1 analogiczne do zdania W7
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].

Podsumowanie:
1.
Jeśli zdanie fałszywe W7 zakodujemy warunkiem koniecznym ~> ze spójnikiem „może” to zdanie to ulegnie transformacji do zdania prawdziwego.
Korekta została znaleziona.
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie B1: P2~>P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

15.5 Alternatywny dowód prawdziwości implikacji odwrotnej P2|~>P8

Zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Alternatywny dowód fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwości warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła
Kod:

T1
Zdjęcie układu dla zdania W1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: P2~~> P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i P8 np. 8
B: P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np. 2
C:~P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np. 1
D:~P2~~> P8=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~P2 i P8

Kluczowy jest dowód rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2 i P8:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny (=0) z dowolnym zbiorem liczb parzystych P8=[8,16,24..] - na mocy definicji liczby nieparzystej.
Akurat w tym przypadku to jest poziom I klasy LO, ale na pewno nie 5-cio latka.
Zauważmy, że w teorii zdarzeń rozstrzygnięcie o fałszywości dowolnego zdania ze zdjęcia układu to poziom 5-cio latka, czego dowód mamy w punkcie 9.0.

Korzystając z prawa Orła możemy łatwo dowieść iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
1.
Prawo Orła dla B1:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
p=P2
q=P8
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P2*(P8+~P8) ~> P8*(P2+~P2)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 + D: ~P2*P8 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd:
3.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8
Doskonale widać, że zbiór (P2*P8 + P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
cnd

Można łatwo udowodnić iż równanie 3 jest tożsame z warunkiem koniecznym ~>:
P2~>P8 =1
Dowód:
3.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8
Z tabeli T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8=[]=0
Do prawej strony wolno nam dopisać zbiór pusty D bo (x+0=x)
Stąd mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 + D: ~P2*P8
P2*(P8+~P8) ~> P8*(P2+~P2) - wyciągnięcie zmiennych P2 i P8 przed nawias
P2*1 ~> P8*1 - prawo algebry Boole'a (x+~x=1)
P2~>P8 - prawo algebry Boole’a (x*1=x)
Stąd mamy:
P2~>P8 =1
Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 [=] B1: P2~>P8 =1

Stąd mamy rozwiązanie pierwszej części naszego zadania:
B1: P2~>P8=1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Dla rozwiązania zadania pozostaje nam udowodnić relację:
A1: P2=>P8 =?

4.
Prawo Orła dla A1:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=P2
q=P8
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P2*(P8+~P8) => P8*(P2+~P2)
5.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 + D: ~P2*P8 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd:
6.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 =0
Doskonale widać, że zbiór (P2*P8 + P2*~P8) nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2*P8

Można łatwo udowodnić iż równanie 6 jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>, czyli z relacją podzbioru =>:
P2=>P8 =0
Dowód:
6.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 =0
Z tabeli T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8=[]=0
Do prawej strony wolno nam dodać logiczne zero (x+0=x):
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 + D: ~P2*P8
P2*(P8+~P8) => P8*(P2+~P2) - wyciągnięcie zmiennych P2 i P8 przed nawias
P2*1 => P8*1 - prawo algebry Boole'a (p+~p=1)
P2=>P8 - prawo algebry Boole’a (x*1=x)

Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 [=] P2=>P8 =0

Stąd mamy rozwiązanie drugiej części naszego zadania:
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 wymusza definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8.
Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:42, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 17 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:24, 01 Mar 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach

Spis treści
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach 1
16.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach 1
16.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów 2
16.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach 3
16.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach 3
16.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach 4
16.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q 4
16.2.2 Relacje między równoważnością A3B3: q<=>p a A4B4: ~q<=>~p 5
16.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 6
16.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 7
16.4.1 Operator równoważności p|<=>q 9


16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach

Bezdyskusyjnie najcenniejszą definicją w całym obszarze matematyki dla potrzeb matematyki klasycznej i programowania komputerów jest definicja równoważności p<=>q której istoty póki co ziemscy matematycy nie rozumieją, mimo że poprawnie matematycznie ją udowadniają.
Nie rozumieją dlatego, że nie znają kluczowych tu zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>, praw Słonia, prawa Irbisa, oraz definicji kontrprzykładu dla zbiorów w interpretacji z algebry Kubusia.
Mówiąc dosadnie: 100% definicji rodem z Klasycznego Rachunku Zdań jest do bani.
Przykładowo:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie) o czym matematycy nie wiedzą.

Podstawową teorię wszystkich spójników implikacyjnych w zbiorach mamy w punkcie 13.0.

16.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => by zaszło p

Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 11 600
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 600
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 3 530

16.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów

I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy

Stąd korzystając z prawa Słonia dla zbiorów możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.

16.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach

1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):

Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>

Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Stąd mamy wprowadzone kluczowe w równoważności prawo Irbisa.

16.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach

Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Tą definicję tożsamości zbiorów zna każdy matematyk.

Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)

Na mocy prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.

Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Tożsamy dowód bezpośredni:
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego (pkt. 16.1.2 i 16.1.3)

Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).

Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>

Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.

16.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

       A1B1:       A2B2:      |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=>q=1  = 2:~p~>~q=1  [=] 3: q~>p=1  = 4:~q=>~p=1  [=] 5: ~p+q =1
       ##           ##              ##           ##               ##
B:  1: p~>q=1  = 2:~p=>~q=1  [=] 3: q=>p=1  = 4:~q~>~p=1  [=] 5:  p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>:             |     Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów:  |     definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q     # 2:~p=~q      |  3: q=p     # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej

I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd łatwo odczytujemy serię czterech tożsamych logicznie definicji równoważności p<=>q.

16.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mam:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q

[=]

A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> ~p=~q

Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Wzajemne relacje między A1B1 i A2B2 są następujące:
Kod:

Równoważność A1B1:               |  Równoważność A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)   [=] ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definiuje tożsamość zbiorów:     |  Definiuje tożsamość zbiorów:
           p=q                   #               ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód:
Diagram DR (pkt. 16.3)


16.2.2 Relacje między równoważnością A3B3: q<=>p a A4B4: ~q<=>~p

A3B3:
Definicja równoważności q<=>p w logice dodatniej (bo p):

Równoważność q<=>p w logice dodatniej (bo p) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Stąd mamy:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1=1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) <=> q=p

[=]
A4B4:
Definicja równoważności ~q<=>~p w logice dodatniej (bo ~p):

Równoważność q<=>p w logice dodatniej (bo p) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~p=>~p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: ~q~>~p =1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd mamy:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)=1*1=1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) <=> ~q=~p

Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Wzajemne relacje między A3B3 i A4B4 są następujące:
Kod:

Równoważność A3B3:               |  Równoważność A4B4:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)   [=] ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Definiuje tożsamość zbiorów:     |  Definiuje tożsamość zbiorów:
           q=p                   #               ~q=~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód:
Diagram DR (pkt. 16.3)


16.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego

Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
|         p                       |               ~p                      |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|         q                       |               ~q                      |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności:         |  Definicja równoważności:             |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów      |  Definiuje tożsamość zbiorów:         |
|        p=q                      #              ~p=~q                    |
---------------------------------------------------------------------------
|  A1: p=>q=1   (p*q=1)           |  B2:~p=>~q=1  (~p*~q=1)               |
| Dziedzina:                                                              |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych  A1 i B2         |     
|   A1’:  p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty                                  |
|   B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty                                  |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q


16.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'

Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
       A1B1:         A2B2:      |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =1  = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p  =1  =  4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0                [=]                 4:~q~~>p =0
       ##             ##              ##              ##
B:  1: p~>q  =1  = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p  =1  =  4:~q~>~p =1
B':                2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0   
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>:               |     Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1   [=] 3: q<=>p=1   =  4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów:    |     definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q     # 2:~p=~q        |  3: q=p       #  4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej

Zauważmy że:
1.
Definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wnioski:
a) Równoważność A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
b) Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)

2.
Definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Wnioski:
a) Równoważność A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
b) Równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej

Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q (pkt. 2.10)

Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją równoważności p<=>q:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) = ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
stąd mamy:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

16.4.1 Operator równoważności p|<=>q

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1) i jednocześnie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wniosek:
Zbiory p i q są tożsame p=q
Dowód: diagram DR

A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DR

Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR

… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q

Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> (A2) i podzbiorem => (B2) zbioru ~q
Wniosek:
Zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q
Dowód: diagram DR

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q

Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód: diagram DR

Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)
W operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła", jak to miało miejsce w operatorze implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:43, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 39 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:26, 01 Mar 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza

Spis treści
16.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza 1
16.5.1 Algorytm Puchacza 2
16.6 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK 3
16.7 Tabela prawdy równoważności TP<=>SK 9
16.7.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) 10
16.8 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 13
16.8.1 Zadanie W1: TP~~>SK 13
16.8.2 Zdanie W2: TP=>SK 14
16.8.3 Zdanie W3: TP~~>~SK 15
16.8.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK 15
16.8.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK 16
16.8.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK 17
16.9 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK 17
16.9.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 20
16.9.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach 22


16.5 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod:

T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
       A1B1:          A2B2:    |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=> q =?  = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =?  = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=?                                  4:~q~~>p=?
       ##             ##             ##             ##
B:  1: p~> q =?  = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =?  = 4:~q~>~p=?
B':                2:~p~~>q=?     3: q~~>~p=?

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.

16.5.1 Algorytm Puchacza

Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.

5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia

Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.

16.6 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK

Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.

Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
cnd
W przypadku zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> TP i SK potrzeba i wystarcza pokazać jeden wspólny element np. [3,4,5] co kończy dowód prawdziwości zdania W1

Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza w postaci punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla TP i SK dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=TP
TP+~TP = ZWT - wspólna dziedzina
TP*~TP=[] - zbiór pusty
q=SK
SK+~SK=ZWT - wspólna dziedzina
SK*~SK=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych (zbiór niepusty)
~p=~TP=[ZWT-TP] - zbiór ZWT pomniejszony o TP (zbiór niepusty)
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zbiór niepusty)
~q=~SK = [ZWT-SK] - zbiór ZWT pomniejszony o SK (zbiór niepusty)

Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza

Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Zdanie A1 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie proste Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia prostego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oczywiście dowody te mają zero wspólnego z wykazywaniem element po elemencie (których jest nieskończenie wiele) iż zbiór TP jest podzbiorem => SK.
Fakt iż zbiór TP jest podzbiorem => SK wymusza teoria matematyczna, tu prawo Słonia.

7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający => bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.

B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:

Jeśli w dowolnym trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia dla warunku wystarczającego => dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Zdanie B3 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia odwrotnego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]

Zgodnie z algorytmem Puchacza (pkt. 6 i 7) interesuje nas prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q a nie zdania B3: q=>p którego prawdziwość udowodniliśmy wyżej.
Jak udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q?
Bardzo prosto, wystarczy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK =1
Z prawa Tygryska wynika, że udowodnienie prawdziwości warunku wystarczającego B3: q=>p jest tożsame z udowodnieniem warunku koniecznego ~> B1: p~>q.
To jest dowód „nie wprost”

Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia dla warunku koniecznego ~> zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywiście tu również powyższy dowód "nie wprost" ma zero wspólnego z wykazywaniem element po elemencie (których jest nieskończenie wiele) iż zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
Fakt iż zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK wymusza teoria matematyczna, tu prawo Słonia dla warunku koniecznego ~>.

Przypomnijmy zdanie A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1: p=>q=~p+q

##

Przypomnijmy zdanie B1
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
B1: p~>q = p+~q
;
Gdzie:
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
## - różne na mocy definicji

Stąd po raz n-ty wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy dowód iż mamy tu do czynienia z równoważnością.

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełniona sumą kwadratów)

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK:
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla bycia SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla bycia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: SK<=>TP
Prawa strona to powszechnie znana definicja równoważności TP<=>SK:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1), aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1

Dowód iż to jest powszechnie znana definicja równoważności p<=>q.
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 12 600
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 800
"potrzeba i wystarcza:
Wyników: 3 370
cnd

Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B1: p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)

Dowód 1.
Na mocy definicji każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Nasz przykład:
A1B1: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)

Dowód 2.
Dla B1 korzystamy z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd mamy tożsamą wersję prawa Irbisa.

Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Całość czytamy:
Dwa zbiory p i q są tożsame A1B3: p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i równocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Ta definicja tożsamości zbiorów p=q jest doskonale znana każdemu matematykowi.

Nasz przykład:
Prawo Irbisa:
Prawdziwa równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych A1B3: TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: SK<=>TP
Całość czytamy:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame A1B3: TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1) i równocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Gdzie:
A1: TP=>SK =1 - twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
B3: SK=>TP =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione wieki temu

16.7 Tabela prawdy równoważności TP<=>SK

Powtórzmy najważniejszą tu definicję:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów

Równoważność TP<=>SK to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny TP

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

TR
Równoważność p<=>q w zbiorach w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=TP
q=SK
Równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym:
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia SK
                zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenia SK
                zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
       A1B1:           A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=> q   =1  = 2:~p~> ~q =1  [=] 3: q~> p   =1  = 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~> ~q =0                  [=]                  4:~q~~> p =0
To samo w zapisie aktualnym:
A:  1: TP=>SK  =1  = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP=1
A': 1: TP~~>~SK=0                  [=]                  4:~SK~~>TP=0
       ##               ##               ##               ##
B:  1: p~> q   =1  = 2:~p=> ~q =1  [=] 3: q=> p   =1  = 4:~q~> ~p =1
B':                  2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B:  1: TP~>SK  =1  = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=> TP =1  = 4:~SK~>~TP=1
B':                  2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>:                   |     Równoważność <=>:
AB: 1: p<=> q  =1  = 2:~p<=>~q =1  [=] 3: q<=> p = 1   = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów:        |     definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q         # 2:~p=~q        |  3: q=p          # 4:~q=~p
To samo w zapisie aktualnym:
Równoważność <=>:                   |     Równoważność <=>:
AB: 1: TP<=>SK =1  = 2:~TP<=>~SK=1 [=] 3: SK<=>TP =1   = 4:~SK<=>~TP=1
definiuje tożsamość zbiorów:        |     definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK       # 2:~TP=~SK      |  3: SK=TP        # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej

16.7.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK)

Na mocy prawa Sowy prawdziwość równoważności TP<=>SK wymusza prawdziwość operatora równoważności TP|<=>SK o definicji jak niżej.

Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP (A1B1) i ~TP (A2B2):
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?

A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (w tym matematykom).

Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest nadzbiorem ~> (B1) i jednocześnie podzbiorem => (A1) zbioru trójkątów w których zachodzi suma kwadratów (SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?

Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem koniecznym ~>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
B2: ~TP=>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym =>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest nieprostokątny (~TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Całość czytamy:
Równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) to tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)

Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest nadzbiorem ~> (A2) i jednocześnie podzbiorem => (B2) zbioru trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów (~SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~TP=~SK

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Zdanie B3: SK=>TP to twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Prawo kontrapozycji gwarantuje nam prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK

Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)

Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.

Podsumowując:
Równoważność TP<=>SK to gwarancja matematyczna => po stronie TP, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.

Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny (TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK) - mówi o tym zdanie A1
2.
oraz:
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) - mówi o tym zdanie B2

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~TP|<=>~SK to układ równań logicznych:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

16.8 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza

Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze równoważności TP|<=>SK mogą być następujące.

16.8.1 Zadanie W1: TP~~>SK

Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]

Na mocy analizy w punkcie 16.7 i 16.7.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest częścią warunku wystarczającego => A1: TP=>SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: TP~~>SK=TP*SK=1 bo [3,4,5]  ## A1: TP=>SK =1 - TP jest podzbiorem => SK
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: TP=>SK.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

16.8.2 Zdanie W2: TP=>SK

Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.7 i 16.7.1.
W punkcie 16.7.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.

Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)

Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane A1: TP=>SK to twierdzenie proste Pitagorasa.
2.
Na mocy prawa Puchacza twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

16.8.3 Zdanie W3: TP~~>~SK

Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.7 i 16.7.1.
W punkcie 16.7.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’

Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': TP~~>~SK=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1, czyli twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

16.8.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK

Zadanie W4:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~TP i ~SK, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> czy też wystarczające => do tego aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.7 i 16.7.1.
Badając punkt 16.7.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest częścią warunku wystarczającego => B2: ~TP=>~SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny ~~> zbiorów W4:   ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~TP~~>~SK=~TP*~SK=1 bo [3,4,6] ## B2:~TP=>~SK =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

16.8.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK

Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.7 i 16.7.1.
W punkcie 16.7.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Jak widzimy:
W5=B2
Stąd mamy zdanie tożsame B2.
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)

Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający ~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

16.8.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK

Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W6.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.7 i 16.7.1.
W punkcie 16.7.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)

Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane B2': ~TP~~>SK=0 to kontrprzykład B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

16.9 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.

Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: TP=>SK=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1

Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest wystarczające => dla zajście SK (twierdzenie proste Pitagorasa)
B3: SK=>TP=1 - zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest wystarczające => dla zajścia SK (A1) i jednocześnie zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (B3)

Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1

Zauważmy że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów TP=SK
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1:p=>q)*(B3: q=>p)
Nasz przykład:
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)

Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów TP=SK.

Tożsama definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
Dowód bezpośredni wynikający z definicji podzbioru => i nadzbioru ~> to:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
cnd
Kod:

TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa
Gdzie w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
A1: TP=>SK=1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK=1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1

      A1B1:         A2B2:      |     A3B3:         A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A: 1: TP=>SK=1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP=1 = 4:~SK=>~TP=1
      ##            ##               ##            ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B: 1: TP~>SK=1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP=1 = 4:~SK~>~TP=1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>:     |  Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: TP<=>SK = 2:~TP<=>~SK  [=] 3: SK<=>TP  = 4:~SK<=>~TP
Definiuje tożsamość zbiorów:   |  Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK   # 2:~TP=~SK     |  3: SK=TP    # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:

Dwa zbiory TP i SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK:

Dwa zbiory ~TP i ~SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK (A2: ~TP~>~SK=1) i jednocześnie zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK (B2: ~TP=>~SK=1)
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)= A2B2: ~TP<=>~SK
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów SK=TP:

Dwa zbiory SK i TP są tożsame SK=TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP (A3: SK~>TP=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
SK=TP <=> (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = A3B3: SK<=>TP
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~SK=~TP:

Dwa zbiory ~SK i ~TP są tożsame ~SK=>~TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP (A4: ~SK=>~TP=1) i jednocześnie zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP (B4: ~SK~>~TP=1)
~SK=~TP <=> (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = A4B4: ~SK<=>~TP

Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista:
A1B1: TP=SK [=] A3B3: SK=TP
A2B2: ~TP=~SK [=] A4B4: ~SK=~TP
Stąd w dalszych rozważaniach wystarczy skupić się na zbiorach A1B1: TP=SK oraz A2B2: ~TP=~SK.

16.9.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach

Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (z definicji)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK (z definicji)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy punkt odniesienia:
p= TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q= SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK

Stąd mamy:
Kod:

DR
Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
|     p=TP                        |            ~p=~TP                    |
|---------------------------------|--------------------------------------|
|     q=SK                        |            ~q=~SK                    |
|---------------------------------|--------------------------------------|
|Równoważność A1B1:               | Równoważność A2B2:                   |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)| A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
|------------------------------------------------------------------------|
|definiuje tożsamość zbiorów:     | definiuje tożsamość zbiorów:         |
|      p=q   (TP=SK)              |      ~p=~q   (~TP=~SK)               |
-------------------------------------------------------------------------|
|  A1: TP=>SK=1   (TP*SK=1)       |  B2:~TP=>~SK=1  (~TP*~SK=1)          |
|------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina:                                                             |
| D=A1: TP*SK+ B2:~TP*~SK - suma logiczna zbiorów niepustych  A1 i B2    |     
|   A1’:  TP~~>~SK=TP*~SK=[]=0 - zbiór pusty                             |
|   B2’: ~TP~~>SK =~TP*SK=[]=0 - zbiór pusty                             |
|------------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach definiujący                   |
| tożsamości zbiorów TP=SK i ~TP=~SK                                     |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie)
2.
Równoważność TP<=>SK to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności TP<=>SK nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q

Komentarz:
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: TP~~>~SK=TP*~SK =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów TP i ~SK (zbiory rozłączne)
Dowód: Diagram DR

Kolumna A2B2:
A2:~TP~>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2:~TP=>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) podzbiorem => zbioru ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem:
B2’:~TP~~>SK=~TP*SK=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~TP i SK (zbiory rozłączne)
Dowód: diagram DR

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Plus definicja równoważności A2B2.
cnd

Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
Kod:

DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność TP<=>SK:             [=] Równoważność ~TP<=>~SK
A1B1:                              |   A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiująca tożsamość zbiorów      |  Definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK                              #  ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
Dziedzina D=ZWT (zbiór wszystkich trójkątów)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
    w obrębie tej samej dziedziny ZWT

Komentarz:
Dziedzina ZWT w równoważności to dwa zbiory niepuste i rozłączne:
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D=ZWT (patrz diagram DR).
Stąd:
ZWT=TP+~TP =1
Zapis tożsamy:
ZWT=SK+~SK=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK wymuszająca tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Na mocy powyższego zapisujemy:
~TP=[ZWT-TP]=[TP+~TP-TP]=~TP
~SK=[ZWT-SK]=[SK+~SK-SK]=~SK
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.

Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) - zbiór TP to zaprzeczenie zbioru ~TP w obrębie dziedziny D
SK = ~(~SK) - zbiór SK to zaprzeczenie zbioru ~SK w obrębie dziedziny D
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP to zaprzeczenie zbioru TP w obrębie dziedziny D
~SK=~(SK) - zbiór ~SK to zaprzeczenie zbioru SK w obrębie dziedziny D

Oczywistym jest, że z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać TP z SK albo ~TP z ~SK.

16.9.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach

Definicja równoważności p<=>q dwukierunkowej:
Równoważność p<=>q jest dwukierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy możliwa jest fizyczna zamiana przyczyny p ze skutkiem q.

Uwaga:
W logice matematycznej możliwa jest też równoważność jednokierunkowa o czym było w punkcie 6.6.3.

Przykładem równoważności dwukierunkowej jest równoważność Pitagorasa, gdzie prawdziwe fizycznie jest zarówno twierdzenie proste Pitagorasa (A1: TP=>SK) jak i twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)

A1:
Twierdzenie proste Pitagorasa:

Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka p sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku q.
Prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka p będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku q.

Oczywiście po zamianie p i q mamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa.

B3:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka q sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku p.
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka q będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku p.

Stąd mamy klasyczną definicję równoważności Pitagorasa:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK to spełnienie relacji podzbioru => w dwie strony:
A1: TP=>SK =1 - prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru TP=>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
B3: SK=>TP =1 - prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru SK=>TP
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy prawdziwą równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)

Na mocy prawa Irbisa równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:44, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 17 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:28, 01 Mar 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>

Spis treści
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=> 1
17.1 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem M$K 4
17.1.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 9
17.1.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 13
17.1.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach 14
17.2 Prawo Bobra 15
17.2.1 Prawo Bobra w świecie martwym 16
17.2.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym 20
17.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym 21
17.3.1 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym 22


17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>

"$" - znaczek spójnika "albo" w algebrze Kubusia

Spójnik "albo"($) p$q to szczególny przypadek równoważności p<=>~q a nie szczególny przypadek spójnika "lub"(+), jak wielu, nawet matematyków uważa.
Dowód w niniejszym punkcie.

Spójnik "albo"($) to najtrudniejszy do zrozumienia spójnik implikacyjny, dlatego w niniejszym rozdziale prezentuję pełną jego definicję na przykładzie mężczyzny (M) i kobiety (K).

Brzytwa Ockhama - zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń.

W języku potocznym czasami zdarza się (rzadko), że człowiek wbrew brzytwie Ockhama, nadaje zaprzeczonemu pojęciu nazwę specjalną bez przeczenia.
Przykład:
człowiek: nie mężczyzna (~M) = człowiek: kobieta (K)
człowiek: nie kobieta (~K) = człowiek: mężczyzna (M)

Spójnik "albo"($) wielu ludziom sprawia kłopoty, wielu utożsamia go spójnikiem "lub"(+) co jest błędem czysto matematycznym.
Tymczasem spójnik "albo"($) to trywialny, szczególny przypadek równoważności <=> opisany poniższym równaniem.

Równanie spójnika "albo"($):
Kod:

T1
A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji

Komentarz:
RA2: Y = (p<=>~q)= p*~q + ~p*q ## RA4: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy mają różne prawe strony tzn. gdy opisują różne wyrażenia algebry Boole’a.

Jak widzimy, w tabeli T1 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest spełniona.

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)

Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0

Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)

Stąd mamy:
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
Kod:

Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1  [=]   2: p<=>~q=1    [=] 3: ~p<=>q=1
Równoważność RA2: p<=>~q definiuje |  Równoważność RA3:~p<=>q definiuje
tożsamość zbiorów:                 |  tożsamość zbiorów:
B:                 2: (p=~q)=1     #  3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Sens spójnika "albo"($) najłatwiej zrozumieć na konkretnym przykładzie w zbiorach.

Przykładem na którym łatwo pokazać o co chodzi w spójniku "albo"($) jest zbiór wszystkich ludzi.
Oznaczmy:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet

Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M

Stąd mamy:
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
~K (nie kobieta) = M (mężczyzna)

Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
Kod:

Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1  [=] 2: M<=>~K=1   [=] 3: ~M<=>K=1  ## 4: M<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość zbiorów w równoważności 2 i 3:
B:               2: (M=~K)=1    #  3: (~M=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Czytamy:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) "albo"($) albo kobietą (K=1)
M$K =1
[=]
A2.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K =1
##
A4.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M=1) i kobietą (K=1)
Na mocy prawa Irbisa w A4 zachodzi:
Mężczyzna (M) ## Kobieta (K)
M ## K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie mężczyzna (M) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia kobieta (K)

Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)

Na mocy prawa Irbisa środek (B2 i B3) czytamy:
B2.
Pojęcie "mężczyzna" (M=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kobieta" (~K=1)
(M=~K) =1
#
B3.
Pojęcie "nie mężczyzna" (~M) jest (=1) tożsame z pojęciem "kobieta" (K=1)
(~M=K) =1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Matematycznie zachodzi:
B2: (M=~K) # B3: (~M=K)
B2:
Zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie # zbioru kobiet (K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
(M=~K)
#
B3:
Zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie # zbioru mężczyzn (M) we wspólnej dziedzinie C ( człowiek)
(K=~M)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

17.1 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem M$K

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):

Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q

Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)

A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):

Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M (M) do zanegowanego K (~K)
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q (i odwrotnie)

Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
Kod:

TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:     |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=>~q=1  = 2:~p~>q=1   [=] 3:~q~>p=1 =   4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0                                  4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A:  1: M=>~K=1  = 2:~M~>K=1   [=] 3:~K~>M=1 =   4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0                                  4: K~~>M=1
       ##            ##              ##            ##              ##
B:  1: p~>~q=1  = 2:~p=>q=1   [=] 3:~q=>p=1   = 4: q~>~p=1 [=] 5:  p+ q =1
B':               2:~p~~>~q=0     3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B:  1: M~>~K=1  = 2:~M=>K=1   [=] 3:~K=>M=1   = 4: K~>~M=1 [=] 5:  M+ K =1
B':               2:~M~~>~K=0     3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q     =  2:~p$~q     [=] 3:~q$~p     = 4: q$p     [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K     =  2:~M$~K     [=] 3:~K$~M     = 4: K$M     [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zbiorów (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q  =  2:~p<=>q     |  3:~q<=>p    = 4: q<=>~p
    1: p=~q    #  2:~p=q       |  3:~q=p      # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K  =  2:~M<=>K     |  3:~K<=>M    = 4: K<=>~M
    1: M=~K    #  2:~M=K       |  3:~K=M      # 4: K=~M

Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Wyjaśnienia dla tabeli prawdy TA.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach dla spójnika "albo"($):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1
(i odwrotnie)

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q =~p+q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
A1: p=>~q = ~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
B1: p~>~q = p+~(~q) = p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Definicja spójnika "albo"($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q)= ~p*p+ ~p*q+ ~q*~p+ ~q*q = p*~q + ~p*q

Do zapamiętania:
Definicja spójnika "albo"($) wyrażona spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
p$q = p*~q+~p*q

W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).

A2B2.
Definicja spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):

Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Czytamy:
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
[=]
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B2: ~p<=>q

Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
plus definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q)

Dowód tożsamy to skorzystanie z definicji spójnika "albo"($) p$q w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q

Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p$q [=] A2B2: ~p$~q
Definicja spójnika "albo" p$q:
p$q = p*~q + ~p*q
Rozwijamy prawą stronę (A2B2) tożsamości logicznej [=] powyższą definicją:
A2B2: ~p$~q = (~p*)~(~q) + ~(~p)*(~q) = ~p*q + p*~q = p*~q + ~p*q = A1B1: p$q
cnd

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.

W tabeli prawdy TA spójnika "albo"($) doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q:

A1B1:
Dwa zbiory/zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
W "albo"($) A1B1: p$q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K = A1B1: M$K

2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q:

A2B2:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q = A2B2: ~p$~q
W "albo"($) A2B2: ~p$~q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K = A2B2: ~M$~K

3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=p:

A3B3.
Dwa zbiory/zdarzenia ~q i p są tożsame ~q=p wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~q jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) dla zajścia p.
A3B3: ~q=p <=> (A3: ~q~>p)*(B3: ~q=>p) = A3B3: ~q<=>p = A3B3: ~q$~p
W "albo"($) A3B3: ~q$~p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
Nasz przykład:
A3B3: ~K=M <=> (A3: ~K~>M)*(B3: ~K=>M) = A3B3: ~K<=>M = A3B3: ~K$~M

4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=~p:

A4B4:
Dwa zbiry/zdarzenia q i ~p są tożsame q=~p wtedy i tylko wtedy gdy zajście q jest konieczne ~> (B4) i wystarczające => A4) dla zajścia ~p
A4B4: q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = A4B4: q<=>~p = A4B4: q$p
W "albo"($) A4B4: q$p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
Nasz przykład:
A4B4: K=~M <=> (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M) = A4B4: K<=>~M = A4B4: K$M

Przemienność w tożsamości zbiorów jest oczywista:
Stąd mamy tożsamość [=]:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p
Nasz przykład:
Zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy [=] z zanegowanym zbiorem kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
A1B1: M=~K [=] A3B3: ~K=M
#
oraz tożsamość [=]:
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p
Nasz przykład:
Zanegowany zbiór mężczyzn (~M) jest tożsamy [=] ze zbiorem kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
A2B2: ~M=K [=] A4B4: K=~M
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D

17.1.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q)

Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Kod:

TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
       A1B1:         A2B2:     |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=>~q=1  = 2:~p~>q=1   [=] 3:~q~>p=1 =   4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0                                  4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A:  1: M=>~K=1  = 2:~M~>K=1   [=] 3:~K~>M=1 =   4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0                                  4: K~~>M=1
       ##            ##              ##            ##              ##
B:  1: p~>~q=1  = 2:~p=>q=1   [=] 3:~q=>p=1   = 4: q~>~p=1 [=] 5:  p+ q =1
B':               2:~p~~>~q=0     3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B:  1: M~>~K=1  = 2:~M=>K=1   [=] 3:~K=>M=1   = 4: K~>~M=1 [=] 5:  M+ K =1
B':               2:~M~~>~K=0     3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q     =  2:~p$~q     [=] 3:~q$~p     = 4: q$p     [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K     =  2:~M$~K     [=] 3:~K$~M     = 4: K$M     [=] 5: M*~K+~M*K

Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q  =  2:~p<=>q     |  3:~q<=>p    = 4: q<=>~p
    1: p=~q    #  2:~p=q       |  3:~q=p      # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K  =  2:~M<=>K     |  3:~K<=>M    = 4: K<=>~M
    1: M=~K    #  2:~M=K       |  3:~K=M      # 4: K=~M

Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)

Definicja spójnika „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?

Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q (kolumna A1B1) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q i odwrotnie.

Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla bycia ~q
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q

Nasz przykład:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Lewą stronę czytamy:
A1B1: M$K - dowolny człowiek jest mężczyzną M „albo”($) kobietą K (trzeciej możliwości brak)
Środek A1B1 czytamy:
(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: M<=>~K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)

Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
Dwa zbiory p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy bycie p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla bycia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Tożsamość A1B1 czytamy:
A1B1: M=~K
Zbiór mężczyzn (M=1) = zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Innymi słowy:
Mężczyzna (M) to nie kobieta (~K), i odwrotnie

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?

Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Nasz przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K=1
Bycie mężczyzną M (M=1) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Nasz przykład:
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia q

Nasz przykład:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2: ~M<=>K
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M$~K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) „albo”($) nie jest kobietą (~K)
Zachodzą tożsamości:
~M=K
~K=M
Stąd mamy zdanie tożsame zrozumiałe dla każdego 5-cio latka:
A2B2”: K$M
Dowolny człowiek jest kobietą (K) „albo”($) mężczyzną (M) (trzeciej możliwości brak)
Środek czytamy:
(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => (B2) by być kobietą (K)
Prawą stronę czytamy:
A2B2: ~M<=>K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)

Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zdarzeń ~p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M=K
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór ~M (nie mężczyzn) = zbiór K (kobiet)
Prawą stronę czytamy:
A2B2: ~M<=>K
Człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Innymi słowy:
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M) to jest kobietą (K), i odwrotnie

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Nasz przykład:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K=1)

Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Nasz przykład:
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie kobieta (~K)= Mężczyzna (M)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie jest mężczyzną (M=1)
cnd

Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1’, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać

17.1.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)

Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)

Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?

Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)

17.1.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach

Rozważmy zdanie:
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)

Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)

Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).

Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) oraz zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C=M+K

Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
Kod:

DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|Operator „albo” p|$q definiuje układ równań logicznych A1B1 i A2B2  |
| A1B1: p$ q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q   |
| A2B2:~p$~q = (A2:~p~> q)*(B2:~p=> q) = A2B2:~p<=> q = A2B2:~p= q   |
| Punkt odniesienia:                                                 |
| p=M (mężczyzna)                                                    |
| q=K (kobieta)                                                      |
----------------------------------------------------------------------
|     p=M                       #               ~p=~M                |
|-------------------------------|------------------------------------|
|    ~q=~K                      #                q=K                 |
|-------------------------------|------------------------------------|
|Równoważność:                  |  Równoważność:                     |
|A1B1: p<=>~q - zapis formalny [=] A2B2: ~p<=>q - zapis formalny     |
|A1B1: M<=>~K - zapis aktualny [=] A2B2: ~M<=>K - zapis aktualny     |
|definiuje tożsamość zbiorów:   |  definiuje tożsamość zbiorów:      |
|A1B1: p=~q - zapis formalny    #  A2B2: ~p=q - zapis formalny       |
|A1B1: M=~K - zapis aktualny    #  A2B2: ~M=K - zapis aktualny       |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K:         |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)             |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych)             |     
|   A1’:  p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty                            |
|   A1’:  M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty                            |
|   B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty                            |
|   B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty                            |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
 # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


17.2 Prawo Bobra

Weźmy nasz koronny przykład spójnika "albo"($):
Oznaczmy:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet

Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M

Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Kod:

T1
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1  [=]   2: M<=>~K=1    [=] 3: ~M<=>K=1
Równoważność RA2: M<=>~K definiuje |  Równoważność RA3:~M<=>K definiuje
tożsamość zbiorów:                 |  tożsamość zbiorów:
B:                 2: (M=~K)=1     #  3: (~M=K)=1
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony


17.2.1 Prawo Bobra w świecie martwym

Definicja "wolnej woli":
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez fizykę i matematykę)

Definicja świat martwego:
Świat martwy to brak możliwości ustawiania zmiennych binarnych wedle "widzi mi się" istoty żywej.
Wolna wola z definicji obowiązuje wyłącznie w świecie istot żywych (w tym u człowieka)

Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.

Uzasadnienie:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) - pkt. 17.1:
Y = p$q = B: p*~q + C: ~p*q

Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych - pkt. 1.11:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Zauważmy że:
W spełnionym spójniku "albo"($) pojęcia p i q (np. M i K) są z definicji rozłączne, stąd:
A: p*q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Stąd dla spójnika "albo"($) mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q := B: p*~q + C: ~p*q = p$q
bo:
A: p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
gdzie:
(:=) - redukcja spójnika "lub"(+) z powodu rozłączności zbiorów p i q (A: p*q=0) na mocy prawa algebry Boole'a:
0+x =x
Gdzie:
x - dowolna funkcja logiczna

Przykład wzorcowego użycia spójnia "albo"($):
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K)
Y = M$K = B: M*~K + C: ~M*K - na mocy definicji spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Trzeciej możliwości brak.

Praktycznie każdy człowiek w miejsce wzorcowego spójnika "albo"($) użyje tu spójnika "lub"(+).
A1".
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "lub"(+) kobietą (K).
Y=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K
bo:
M*K =0
Niemożliwe jest (=0) by człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Gdzie:
:= - redukcja funkcji Y na mocy teorii zbiorów: zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)

Podsumowanie:
Prawo Bobra jest poprawne dzięki temu, że nasz mózg to nie komputer i na mocy konkretnego przykładu jeśli pojęcia p i q będą rozłączne (np. M i K), co każdy 5-cio latek łatwo stwierdzi, jest mu wszystko jedno czy nadawca użyje w tym przypadku wzorcowego spójnika "albo"($), czy też mniej precyzyjnego spójnika "lub"(+). Mózg człowieka dokona korekty do spójnika "albo"($) automatycznie na wyższym poziomie obsługi logiki matematycznej.

Za użyciem w świecie martwym spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) przemawia wiele racjonalnych argumentów.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Najważniejszy argument to:
Wyłącznie spójnik "lub"(+) podlega pod algebrę Boole'a która z definicji nie widzi spójnika "albo"($), będącego w istocie szczególnym przypadkiem równoważności:
p$q = p<=>~q = ~p<=>q

Przykładem z dziedziny fizyki, gdzie mamy prawo w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+).
Rozważmy żarówkę w naszym pokoju:
Kod:

          S
      -----------
-----| Żarówka   |-------
      -----------

Doskonale widać że:
1.
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
S$Z =1
Trzeciej możliwości brak.

Zastąpmy w powyższym zdaniu matematycznie poprawny tu spójnik "albo"($) spójnikiem "lub"(+)
1".
Żarówka może się świecić (S=1) "lub"(+) być zgaszona (Z=1)
S+Z =?

Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.11):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Skorzystajmy z tej definicji dla zdania 1":
Y = (S+Z) = A: S*Z + B: S*~Z + C: ~S*Z
Zauważmy, że zdarzenie A jest twardym fałszem:
A: S*Z =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie żarówka świeci się (S) i jednocześnie jest zgaszona (Z)
Stąd mamy:
Y = (S+Z) = A: S*Z=0 + B: S*~Z + C: ~S*Z =: B: S*~Z + C: ~S*Z = S$Z
Gdzie:
=: - redukcja spójnika "lub"(+) do spójnika "albo"($) na mocy rozłączności zdarzeń S (świeci) i Z (zgaszona), bo prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Gdzie:
x - dowolna funkcja logiczna

Oczywistym jest, że każdy 5-cio latek wie, że żarówka nie może się (=0) jednocześnie świecić (S=1) i być zgaszoną (Z=1)
A: S*Z =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Z (zgaszona) = ~S (nie świeci)
Stąd mamy:
A: S*Z = S*~S=0 - na mocy prawa algebry Boole'a (p*~p=0)
cnd

Dokładnie z tego powodu zdecydowana większość ludzi użyje w tym przypadku spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($).

Humaniści doskonale wiedzą, iż w świecie martwym użycie spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) nigdy nie będzie błędem.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Użycie spójnika lub w zdaniach takich, jak „Przeżyję lub umrę”, nie jest błędem. Można się jedynie spierać o to, czy nie trafniej, dobitniej, wyraziściej itd. byłoby użyć w nim synonimicznego albo.
Mirosław Bańko


W wyróżnionym zdaniu użycie spójnika "lub"(+) jest poprawne bo wszyscy wiemy, że nie można być jednocześnie żywym i martwym.

Dowód:
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.11):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Zdanie z cytatu:
PU:
Przeżyję lub(+) umrę
Y = P+U = A: P*U + B: P*~U + C: ~P*U

Zdania składowe (funkcje cząstkowe Ya, Yb i Yc) czytamy:
A:
Ya = P*U=[]=1*1 =0
Zapis tożsamy:
Ya=0 <=> P=1 i U=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie (Ya): przeżyję (P=1) i umrę (U=1)
(Ya=0) <=> P=1 i U=1
Prawo Prosiaczka:
(Ya=0)=(~Ya=1)
Stąd mamy zapis tożsamy:
(~Ya=1) <=> P=1 i U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe zdarzenie (~Ya): przeżyję (P=1) i umrę (U=1)

B:
Yb = P*~U=1*1=1
Zapis tożsamy:
Yb=1 <=> P=1 i ~U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie (Yb): przeżyję (P=1) i nie umrę (~U=1)

C:
Yc = ~P*U =1*1=1
Zapis tożsamy:
Yc=1 <=> ~P=1 i U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie (Yc): nie przeżyję (~P=1) i umrę (U=1)

Stąd mamy:
PU:
Przeżyję lub(+) umrę
Y = P+U = A: P*U + B: P*~U + C: ~P*U := B: P*~U + C: ~P*U = P$U
bo:
A: P*U =0
prawo algebry Boole’a:
0+x =x
Gdzie:
:= - podświadoma redukcja spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) na wyższym poziomie obsługi w naszym mózgu

Stąd zdanie matematycznie wzorcowe po redukcji:
PU$:
Przeżyję albo($) umrę
P$U = B: P*~U + C: ~P*U

17.2.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym

Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.

Stąd mamy:
Odwrotne prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "lub"(+) możemy użyć spójnika "albo"($).
Odwrotne prawo Bobra jest fałszywe, bo poniższy kontrprzykład.

Sformułujmy kontrprzykład, gdzie w świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) prawo Bobra w odwrotną stronę, czyli od spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) nie zachodzi (jest fałszywe).

Rozważmy schemat elektryczny.
Kod:

S2 Schemat 2
                             q
                           ______
                       ----o    0-----
             S         |     p       |
       -------------   |   ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Pan od fizyki w I klasie LO:
Jasiu, powiedz nam kiedy żarówka będzie się świecić?
Jaś:
Żarówka S będzie się świecić wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska p lub wciśnięty jest przycisk q
Y = p+q =1
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków będzie wciśnięty i już żarówka świeci się.

Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Zauważmy, że w tym przypadku nie wolno nam w miejsce spójnika "lub"(+) użyć spójnika "albo"($), bo żarówka będzie się świecić także przy wciśniętych obu przyciskach p i q.
A: p*q =1 - żarówka świeci się
Stąd zabroniona jest jakakolwiek redukcja równania:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Podany kontrprzykład obala odwrotne prawo Bobra, jest fałszywe.
cnd

17.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym

Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.

Definicja świata żywego:
Świat żywy to świat, gdzie o prawdziwości/fałszywości zmiennej binarnej x decyduje "wolna wola" człowieka.

Pani w przedszkolu A wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)

Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) inie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Pani w przedszkolu B wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Podsumowując:
Zauważmy, że w świecie żywym pani w przedszkolanka z przedszkola B nie może w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+) bo możliwe jest zdarzenie A, o czym każdy 5-cio latek wie.
A: K*T=1*1=1 - jutro możemy pójść do kina (K=1) i do teatru (T=1)

Wniosek:
Prawo Bobra w świecie żywym jest w 100% fałszywe.
cnd

17.3.1 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym

Pani w przedszkolu nr.1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)

Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1

Pani w przedszkolu nr.2 wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1

Podsumowanie:
Zauważmy, że pani przedszkolanka z przedszkola nr.1 złożyła obietnicę rozsądniejszą od pani przedszkolanki z przedszkola nr.2
Dlaczego?
Obietnica pani przedszkolanki z przedszkola nr.1 (A+B+C) zawiera w sobie obietnicę pani przedszkolanki z przedszkola nr.2 (B+C).
Innymi słowy:
Pani przedszkolanka z przedszkola nr. 1 ma mniejsze szanse zostania w dniu jutrzejszym kłamczuchą, bo dodatkowo może iść z dziećmi do kina i do teatru, czego nie wolno pani z przedszkola nr. 2 (bo będzie kłamczuchą).

Zauważmy, ze nawet gdy w chwili wypowiadania obietnicy pani przedszkolanka wyklucza pójście w dniu jutrzejszym do kina i do teatru, to i tak korzystniej dla niej będzie użycie spójnika "lub"(+), bowiem mamy tu mniejsze prawdopodobieństwo kłamstwa w dniu jutrzejszym.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:45, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 7 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:31, 01 Mar 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
17.4 Algorytm Puchacza w spójniku "albo"($) M$K

Spis treści
17.4 Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) w zbiorach 1
17.5 Sztandarowy przykład spójnika "albo"($) M$K 4
17.5.1 Operator "albo"(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) 13
17.6 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 18
17.6.1 Zadanie W1: M~~>~K 18
17.6.2 Zdanie W2: M=>~K 19
17.6.3 Zdanie W3: M~~>K 19
17.6.4 Zdanie W4: ~M~~>K 20
17.6.5 Zdanie W5: ~M=>K 21
17.6.6 Zdanie W6: ~M~~>~K 22



17.4 Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) w zbiorach

Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) jest identyczny jak dla każdego innego spójnika implikacyjnego z tym, że wymaga ciut specyficznego podejścia (logicznego myślenia) o czym będzie w punkcie 17.5.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod:

T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
       A1B1:          A2B2:    |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=> q =?  = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =?  = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=?                                  4:~q~~>p=?
       ##             ##             ##             ##
B:  1: p~> q =?  = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =?  = 4:~q~>~p=?
B':                2:~p~~>q=?     3: q~~>~p=?

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.

Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.

Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.

5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia

Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.

17.5 Sztandarowy przykład spójnika "albo"($) M$K

Typowe zadania z logiki matematycznej brzmi.

Zadanie W:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to może być kobietą

Badamy spełnienie warunku stosowalności prawa Puchacza (punkty 1,2,3):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dziedzinę dla p i q
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Kompletna dziedzina C to suma logiczna zbioru mężczyzn (M) i kobiet (K)
Stąd mamy:
C = M+K
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
W algebrze Kubusia zbiory/zdarzenia mają wartości logiczne (pkt. 12.0):
p=[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p=[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Obliczamy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów:
a) M - zbiór mężczyzn
b) K - zbiór kobiet
c) ~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
d) ~K=[C-K]=[(M+K]-M]=M
Czytamy:
a)
M=1 - niepusty zbiór mężczyzn, stąd jego wartość logiczna to 1
b)
K=1 - niepusty zbiór kobiet, stąd jego wartość logiczna to 1
c)
Zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C
K=~M =1 - zbiór niepusty, stąd jego wartość logiczna to 1
d)
Zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C
M=~K =1 - zbiór niepusty, stąd jego wartość logiczna to 1

Wniosek:
Nasze zdanie W spełnia warunek stosowalności algorytmu Puchacza.

6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?

Zapiszmy jeszcze raz nasze zdanie W:
W.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
Niemożliwe jest (=0), aby dowolny człowiek był jednocześnie (*) mężczyzną (M) i kobietą (K)
… o czym każdy 5-cio latek wie.
cnd

Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość zdania W kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> M i K wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie)
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K=1
To samo w zapisach ogólnych:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => dla nie bycia kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
C=M+K
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M
Stąd:
M=>~K = M=>M=1
Na mocy definicji podzbioru => każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia (pkt. 2.3.2):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q

Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
Dla naszego przykładu mamy:
p=>~q = ~p+~(~q) = ~p+~q

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie).
A1'
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
To samo w zapisach ogólnych:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0), aby dowolny człowiek był jednocześnie (*) mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód:
M=~K - dowód wyżej
Stąd:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd

W tym momencie nasza tabela T0 matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> wygląda następująco.
Kod:

TA1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
       A1B1:         A2B2:     |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=>~q=1  = 2:~p~>q=1   [=] 3:~q~>p=1 =   4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0                                  4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A:  1: M=>~K=1  = 2:~M~>K=1   [=] 3:~K~>M=1 =   4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0                                  4: K~~>M=1
       ##            ##              ##            ##              ##
B:  1: p~>~q=1  = 2:~p=>q=1   [=] 3:~q=>p=1   = 4: q~>~p=1 [=] 5:  p+ q =1
B':               2:~p~~>~q=0     3:~q~~>~p=0
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

1.
Zauważmy, że w B1 musieliśmy formalnie zapisać:
B1: p~>~q
bowiem w zapisie formalnym poprzednik i następnik w B1 musi być identyczny jak w A1.
Pociąga to za sobą poprawne, formalne zapisy w liniach Bx i Bx'
2.
Wyjaśnienie dotyczące zapisów formalnych w kolumnie 5:
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Stąd dla kolumny A5 mamy:
A5.
A1: p=>~q = ~p+~q
cnd
Stąd dla kolumny B5 mamy:
B2: ~p=>q = ~(~p)+q = p+q
cnd
3.
Aby udowodnić z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.

Wybieramy zdanie B2 bowiem warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => dla bycia kobietą (K) bo zbiór ~M jest podzbiorem => zbioru K
Dowód:
C=M+K
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
Każdy zbiór (np. K) jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie).
B2'
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Bo zbiory ~M i ~K są rozłączne.
Dowód:
~M=K - dowód wyżej
Stąd:
B2': ~M~~>~K = ~M*~K = K*~K =[] =0
cnd

Stąd łatwo zapisujemy.
Równanie spójnika "albo"($) (pkt. 17.0):
Kod:

A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)

Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0

Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)

Stąd mamy:
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
Kod:

Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1  [=] 2: p<=>~q=1   [=] 3: ~p<=>q=1  ## 4: p<=>q=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość mamy zbiorów w równoważności 2 i 3:
B:               2: (p=~q)=1    #  3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Sens spójnika "albo"($) najłatwiej zrozumieć na konkretnym przykładzie w zbiorach.

Przykładem na którym łatwo pokazać o co chodzi w spójniku "albo"($) jest zbiór wszystkich ludzi.
Oznaczmy:
C (człowiek) zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet

Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M

Stąd mamy:
człowiek: nie mężczyzna (~M) = człowiek: kobieta (K)
człowiek: nie kobieta (~K) = człowiek: mężczyzna (M)

Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
Kod:

Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1  [=] 2: M<=>~K=1   [=] 3: ~M<=>K=1  ## 4: M<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość zbiorów w równoważności 2 i 3:
B:               2: (M=~K)=1    #  3: (~M=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Czytamy:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) "albo"($) albo kobietą (K=1)
Trzeciej możliwości brak.
M$K =1
[=]
A2.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K =1
##
A4.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M=1) i kobietą (K=1)
Na mocy prawa Irbisa w A4 zachodzi:
Mężczyzna (M) ## Kobieta (K)
M ## K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie mężczyzna (M) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia kobieta (K)

Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)

Na mocy prawa Irbisa środek (B2 i B3) czytamy:
B2.
Pojęcie "mężczyzna" (M=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kobieta" (~K=1)
(M=~K) =1
#
B3.
Pojęcie "nie mężczyzna" (~M) jest (=1) tożsame z pojęciem "kobieta" (K=1)
(~M=K) =1

Matematycznie zachodzi:
B2: (M=~K) # B3: (~M=K)
B2:
Zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie # zbioru kobiet (K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
B3:
Zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie # zbioru mężczyzn (M) we wspólnej dziedzinie C ( człowiek)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej

W logice matematycznej zwykle operujemy warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Przejdźmy na ten standard korzystając z tożsamości pojęć (na mocy prawa Słonia):
Relacja podzbioru => = Warunek wystarczający =>
Relacja nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>

Stąd mamy:
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):

Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q

Prawa strona spójnika "albo"($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by zaszło ~q
Do zajścia ~q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p

Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 100
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 11 900
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 3 850

Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)

A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):

Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo z) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M (M) do zanegowanego K (~K)
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla nie bycia kobietą (~K)

Prawa strona spójnika "albo"($) to definicja równoważności M<=>~K
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem konieczny ~> (B1) i wystarczającym => (A1) by nie być kobietą (~K)
Do tego by nie być kobietą (K) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by być mężczyzną (M)

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)

Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
Kod:

TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Prawa strona to definicja równoważności p<=>~q, stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=A1B1: p<=>~q
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
To samo w zapisach aktualnych (przykład):
A1: M=>~K=1 - bycie mężczyzną (M) wystarcza => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawa strona to definicja równoważności M<=>~K, stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K

       A1B1:         A2B2:     |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=>~q=1  = 2:~p~>q=1   [=] 3:~q~>p=1 =   4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0                                  4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A:  1: M=>~K=1  = 2:~M~>K=1   [=] 3:~K~>M=1 =   4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0                                  4: K~~>M=1
       ##            ##              ##            ##              ##
B:  1: p~>~q=1  = 2:~p=>q=1   [=] 3:~q=>p=1   = 4: q~>~p=1 [=] 5:  p+ q =1
B':               2:~p~~>~q=0     3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B:  1: M~>~K=1  = 2:~M=>K=1   [=] 3:~K=>M=1   = 4: K~>~M=1 [=] 5:  M+ K =1
B':               2:~M~~>~K=0     3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q     =  2:~p$~q     [=] 3:~q$~p     = 4: q$p     [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K     =  2:~M$~K     [=] 3:~K$~M     = 4: K$M     [=] 5: M*~K+~M*K

Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q  =  2:~p<=>q     |  3:~q<=>p    = 4: q<=>~p
    1: p=~q    #  2:~p=q       |  3:~q=p      # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K  =  2:~M<=>K     |  3:~K<=>M    = 4: K<=>~M
    1: M=~K    #  2:~M=K       |  3:~K=M      # 4: K=~M

Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)

Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q o definicji jak niżej.

17.5.1 Operator "albo"(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K)

Porada Sokoła:
Jeśli rozpatrujemy logikę matematyczną w teorii zbiorów to w tym momencie powinniśmy narysować diagram w zbiorach dla rozpatrywanego przypadku.

Uzasadnienie:
Jeśli skorzystamy w porady Sokoła to w analizie operatora implikacyjnego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nie będziemy musieli wypisywać dużej liczbę wzorków (niekoniecznie zrozumiałych dla ucznia I klasy LO) dla uzasadnienia prawdziwości/fałszywości każdego zdania "Jeśli p to q".
Innymi słowy:
Jeśli narysujemy diagram w zbiorach to wszystko będzie łatwo zrozumiałe dla ucznia I klasy LO.
Kod:

DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|Operator „albo” p|$q definiuje układ równań logicznych A1B1 i A2B2  |
| A1B1: p$ q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q   |
| A2B2:~p$~q = (A2:~p~> q)*(B2:~p=> q) = A2B2:~p<=> q = A2B2:~p= q   |
| Punkt odniesienia:                                                 |
| p=M (mężczyzna)                                                    |
| q=K (kobieta)                                                      |
----------------------------------------------------------------------
|     p=M                       #               ~p=~M                |
|-------------------------------|------------------------------------|
|    ~q=~K                      #                q=K                 |
|-------------------------------|------------------------------------|
|Równoważność:                  |  Równoważność:                     |
|A1B1: p<=>~q - zapis formalny [=] A2B2: ~p<=>q - zapis formalny     |
|A1B1: M<=>~K - zapis aktualny [=] A2B2: ~M<=>K - zapis aktualny     |
|definiuje tożsamość zbiorów:   |  definiuje tożsamość zbiorów:      |
|A1B1: p=~q - zapis formalny    #  A2B2: ~p=q - zapis formalny       |
|A1B1: M=~K - zapis aktualny    #  A2B2: ~M=K - zapis aktualny       |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K:         |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)             |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych)             |     
|   A1’:  p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty                            |
|   A1’:  M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty                            |
|   B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty                            |
|   B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty                            |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
 # - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja operatora „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K):
Operator „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o mężczyznę M (kolumna A1B1) i nie mężczyznę ~M (kolumna A2B2)
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=M<=>~K - co się stanie jeśli ze zbioru C wylosujemy M?
A2B2: ~M$~K= (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)=~M<=>K - co się stanie jeśli ze zbioru C wylosujemy ~M?

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy mężczyznę M?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K - co się stanie jeśli z C wylosujemy M?
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Lewą stronę czytamy:
A1B1: M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Trzeciej możliwości brak
Środek czytamy:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: M<=>~K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q determinuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)

Stąd mamy:
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów M=~K:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory M i ~K są tożsame M=~K wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Tożsamość A1B1 czytamy:
Zbiór mężczyzn (M) = zanegowany zbiór kobiet (~K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
A1B1: M=~K
Dowód: Diagram DA wyżej.

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy mężczyznę M?

Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>

Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie mężczyzną M jest wystarczające => by nie być kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
M = ~K - patrz diagram DA
cnd
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
C=M+K - wspólna dziedzina C (człowiek) to suma logiczna (+) zbiorów M (mężczyzna) i K (kobieta)
Stąd:
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M - zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy ze zbiorem ludzi nie będących kobietami (~K)
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1
Na mocy definicji podzbioru => każdy zbiór (M) jest podzbiorem => siebie samego (M)
cnd

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
A1': M~~>K=M*K=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>q =p*q=0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód "nie wprost":
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K wynika fałszywość kontrprzykładu A1': M~~>K=M*K=0 (i odwrotnie)
Nic a nic nie musimy więcej udowadniać, co nie oznacza że nie możemy tego faktu udowodnić w sposób bezpośredni.
Dowód bezpośredni rozłączności zbiorów M i K - patrz diagram DA
Dowód w matematycznych wzorkach:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd mamy:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> by być kobietą (K)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest wystarczające => by być kobietą (K)
Stąd:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2:~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B2: ~p<=>q
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M$~K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) „albo”($) nie jest kobietą (~K)
Łącznie z środkiem czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)

Prawa strona to definicja równoważności ~M<=>K:
A2B2: ~M<=>K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Całość czytamy:
Równoważność A2B2: ~M<=>K jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)

Stąd mamy:
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~M=K:
Dwa zbiory ~M i K są tożsame ~M=K wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Tożsamość A2B2 czytamy:
A2B2: ~M=K
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
Innymi słowy:
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K), i odwrotnie
Dowód bezpośredni tożsamości zbiorów A2B2: ~M=K - patrz diagram DA

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Dowód tego samego w matematycznych wzorkach:
C = M+K - dziecina C (człowiek) to suma logiczna zbiorów M(mężczyzn) i K(kobiet)
Stąd mamy:
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
Stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
bo każdy zbiór (K) jest podzbiorem => siebie samego (K)
cnd

Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
To samo w zapisach formalnych:
~p~~>~q = ~p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
1.
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
2.
Dowód bezpośredni na mocy diagramu DA:
Zbiory ~M i ~K są rozłączne w dziedzinie C (człowiek)
3.
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie kobieta (~K)= Mężczyzna (M)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
cnd

Podsumowując:
Spójnik „albo”($) M$K to gwarancja matematyczna => po stronie M, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać

Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)

Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?

Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)

17.6 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza

Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze "albo"(|$) M|$K mogą być następujące.

17.6.1 Zadanie W1: M~~>~K

Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
M~~>~K=M*~K =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> M i ~K (np. tata Jasia)
Rozstrzygnięcie prawdziwości zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> polega na pokazaniu jednego mężczyzny (np. tata Jasia) i rozstrzygnięciu iż nie jest to kobieta.
Nie analizujemy tu czy bycie mężczyzną jest warunkiem koniecznym ~>, czy też wystarczającym => dla nie bycia kobietą.

Na mocy analizy w punkcie 17.5 i 17.5.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający A1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów: M=~K - patrz diagram DA

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: M~~>~K jest częścią warunku wystarczającego => A1: M=>~K, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: M~~>~K=1 bo tata Jasia      ## A1: M=>~K =1 - M jest podzbiorem => ~K
                                ## Dowód: diagram DA
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: M~~>~K jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: M=>~K.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: M=>~K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

17.6.2 Zdanie W2: M=>~K

Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to nie jest kobietą (~K)

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.

Jak widzimy:
W2=A1
Stąd:.
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Dowody:
1.
Interpretacja na mocy prawa Słonia:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
W diagramie spójnika "albo"($) DA widzimy że zachodzi tożsamość zbiorów M=~K, co kończy dowód prawdziwości warunku wystarczającego A1 bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
2.
Dowód w matematycznych wzorkach:
C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna (+) zbiorów M(mężczyzn) oraz K(kobiet)
Stąd mamy:
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M - zachodzi tożsamość zbiorów ~K i M
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => sienie samego
cnd

Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza twierdzenie proste A1: M=>~K wchodzi w skład operatora "albo"($) M$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

17.6.3 Zdanie W3: M~~>K

Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może być kobietą (K)
M~~>K = M*K =?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
A1': M~~>K=M*K=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>q =p*q=0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód "nie wprost":
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K wynika fałszywość kontrprzykładu A1': M~~>K=M*K=0 (i odwrotnie)
Nic a nic nie musimy więcej udowadniać, co nie oznacza że nie możemy tego faktu udowodnić w sposób bezpośredni.
Dowód bezpośredni rozłączności zbiorów M i K - patrz diagram DA
Dowód w matematycznych wzorkach:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd mamy:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd

Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': M~~>K=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: M=>~K =1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

17.6.4 Zdanie W4: ~M~~>K

Zadanie W4:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może być kobietą (K)
~M~~>K = ~M*K =1
Dla dowodu prawdziwości elementu wspólnego zbiorów wystarczy pokazać jednego człowieka który nie jest mężczyzną (~M) i jednocześnie jest kobietą (K) (np. mama Jasia), co kończy dowód prawdziwości zdania W4. Nie analizujemy tu czy nie bycie mężczyzną jest warunkiem koniecznym ~>, czy też wystarczającym => dla bycie kobietą.

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
Badając punkt 17.5.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający B2:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~M~~>K jest częścią warunku wystarczającego => B2: ~M=>K, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.

Na mocy definicji zachodzi:
Kod:

Element wspólny ~~> zbiorów W4:   ## Warunek wystarczający => B2:
W4: ~M~~>K=~M*K=1 bo mama Jasia   ## B2: ~M=>K=1 - ~M wystarcza => dla K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~M~~>K jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~M=>K
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~M=>K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) M|$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

17.6.5 Zdanie W5: ~M=>K

Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W5.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to jest kobietą (K)

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W5.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.

Jak widzimy:
W5=B2
Stąd mamy zdanie tożsame B2.
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
1.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
2.
Dowód tego samego w matematycznych wzorkach:
C = M+K - dziecina C (człowiek) to suma logiczna zbiorów M(mężczyzn) i K(kobiet)
Stąd mamy:
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
Stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający B2:~M=>K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) M|$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.

17.6.6 Zdanie W6: ~M~~>~K

Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W6.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K=?

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
To samo w zapisach formalnych:
~p~~>~q = ~p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
1.
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>~K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
2.
Dowód bezpośredni na mocy diagramu DA:
Zbiory ~M i ~K są rozłączne w dziedzinie C (człowiek)
3.
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
Zachodzi tożsamość pojęć:
~K (nie kobieta) = M (mężczyzna)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
cnd

Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane B2': ~M~~>~K=0 to fałszywy kontrprzykład B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:46, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 10:21, 06 Mar 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
18.0 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach


Spis treści
18.0 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
18.1 Symboliczna definicja chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 3
18.1.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 5


18.0 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.

Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów

Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"

Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.

Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
cnd
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P3
stąd zdanie A1’’ w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1

Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..]

Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd

Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd

Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu operatora P8||~~>P3.

18.1 Symboliczna definicja chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3:
Chaos P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
Stąd:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Podstawmy to do tabeli prawdy chaosu p|~~>q.
Kod:

CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =0   = 2:~p~>~q   =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p   =0
A’: 1: p~~>~q=1   =               [=]               = 4:~q~~>p   =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1                   [=]                 4:~q~~>~p  =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q   =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B’:               = 2:~p~~>q   =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~p~~>~q  =1 [=] 3: q~~>p   =1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Komentarz do kolumny A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1': p~~>~q = p*~q =1 - istnieje element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =p*q=1
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0 - nie istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i q
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1''': p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd

Komentarz do kolumny A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2’’: ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2''': ~p=>q=1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdań B3” i A4”.

W tabeli chaosu CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.

Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p||~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.

18.1.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach

Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?

Kolumna A1B1:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24

LUB

A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?

Kolumna A2B2:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2

LUB

B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3

Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8||~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytania o ~P8 i P8:
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) będzie identyczna jak operatora chaosu P8||~~>P3 w logice dodatniej (bo P3) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:47, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 26 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 21:45, 11 Kwi 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
19.0 Rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów

Spis treści
19.0 Alternatywne rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów 1
19.1 Algorytm Puchacza 3
19.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów 4
19.2.1 Metoda zdjęciowa dla zdania W1: ~P8~~>P2 5
19.2.2 Metoda zdjęciowa dla zadania W2: P2~~>~P8 10
19.2.3 Metoda zdjęciowa dla zdania W3: ~TP~~>SK 16
19.3 Alternatywne rozwiązanie zadań prawem Orła w teorii zbiorów 21
19.3.1 Prawo Orła dla zdania W1: ~P8~~>P2 21
19.3.2 Prawo Orła dla zadania W2: P2~~>~P8 23
19.3.3 Prawo Orła dla zdania W3: ~TP~~>SK 25


19.0 Alternatywne rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów

Metoda zdjęciowa to alternatywne udowadnianie punktów 6 i 7 z algorytmu Puchacza poprzez zrobienie zdjęcia układu.

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
Kod:

T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
       A1B1:          A2B2:    |     A3B3:       A4B4:
A:  1: p=> q =?  = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =?  = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=?                                  4:~q~~>p=?
       ##             ##             ##             ##
B:  1: p~> q =?  = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =?  = 4:~q~>~p=?
B':                2:~p~~>q=?     3: q~~>~p=?

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.

Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Przykład:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
K=0 - fałszem jest (=0) że jutro pójdziemy do kina (K)
Prawo Prosiaczka:
(K=0)=(~K=1)
Stąd zdanie tożsame w standardzie dodatnim:
A"
Jutro nie pójdziemy do kina
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)

19.1 Algorytm Puchacza

Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.

Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.

5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia

Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.

Uwaga:
W metodzie zdjęciowej punkty 6 i 7 zastępowane są analizą zdjęcia układu.

19.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów

Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia metody zdjęciowej.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja kontrprzykładu i prawa Kubusia są potrzebne i wystarczające by ze zdjęcia układu odtworzyć definicję spójnika implikacyjnego p?q.

Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> w tym samym kierunku (na mocy prawa Kłapouchego p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.

Tabela prawdy zdjęcia układu dla zbiorów jest następująca:
Kod:

Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?

Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zobaczmy to na przykładach

19.2.1 Metoda zdjęciowa dla zdania W1: ~P8~~>P2

Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.

Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2

Badanie stosowalności algorytmu Puchacza
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Nasz przykład:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
Definicja dziedziny LN dla p:
P8+~P8= LN =1
P8*~P8= [] =0
Definicja tej samej dziedziny LN dla q:
P2+~P2= LN =1
P2*~P2= [] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
Nasz przykład:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (niepusty)
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (niepusty)
~q=~P2=[LN-P2] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza

Podsumowując:
Wspólna dziedzina LN oraz wyznaczenie zbiorów niepustych {P8, P2, ~P8, ~P2} jest dowodem, iż zdanie W1 należy do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych.
Naszym zadaniem jest rozstrzygnięcie jaki to operator?

Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q w kierunku od p do q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..].
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd

Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
Kod:

T1
Zdjęcie układu P8?P2
A: p~~> q=1 | P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np.8
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~p~~>~q=1 |~P8~~>~P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np.1
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np.2

Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki

Krok 1
Zauważmy, że w linii B mamy zero (rozłączność zbiorów P8 i ~P2), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?

1.
Zakładamy, że zdanie B jest fałszem:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający A.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8=>P2 =1
To sam w zapisie formalnym:
A: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zachodzącą tu relację podzbioru P8=>P2 potrafi udowodnić każdy matematyk.
cnd

2.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z udowodnionego warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
B: P8~~>~P2 = P8*~P2=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =[]=0
Na mocy definicji kontrprzykładu rozłączność zbiorów P8 i ~P2 gwarantuje nam udowodniony wyżej warunek wystarczający => A: P8=>P2=1. To jest dowód „nie wprost” fałszywości zdania B.
cnd

3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nasz przykład:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8~>~P2=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Oczywiście nie musimy dowodzić zachodzącej tu relacji nadzbioru ~P8~>~P2, bowiem wynika ona z prawa Kubusia i z prawa Słonia. To jest dowód nie wprost prawdziwości zdania C.

4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
Kod:

T2
Zdjęcie układu P8?P2
A: p=>  q=1 | P8=>  P2=1 – zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 – zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – co oznacza linia D dowiemy się w kroku 2


Krok 2
5.
Zdanie D przyjmuje brzmienie:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
D: ~P8~~>P2 = ~P8*P2=1 bo 2
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q=~p*q =1
Na mocy definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P8 i P2 by udowodnić prawdziwość zdania D

6.
Z prawdziwości kontrprzykładu D: ~P8~~>P2=1 wynika fałszywość warunku wystarczającego C: ~P8=>~P2=0
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to na 100% => nie jest podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =0
Fałszywości warunku wystarczającego C nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości kontrprzykładu D. To jest dowód „nie wprost” fałszywości warunku wystarczającego => C
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..].
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego C to pokazanie kontrprzykładu w relacji podzbioru ~P8=>~P2.
Kontrprzykład:
Liczba 2 należy do zbioru ~P8 i nie należy do zbioru ~P2 z czego wynika fałszywość relacji podzbioru:
~P8=>~P2 =0
cnd

7.
Dla fałszywego warunku wystarczającego => C zastosujmy prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = A: p~>q =0

Na mocy prawa Kubusia mamy rozstrzygnięcie, iż w linii A nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =0
Fałszywości warunku koniecznego ~> A nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 (P2), bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..].

8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

T3
Zdjęcie układu P8|=>P2
A: p=>  q=1 | P8=>  P2=1 | P8~> P2=0 – P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 |
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 |~P8=>~P2=0 - ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 |

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

W linii A mamy definicję implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2):
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1

W linii C mamy definicję implikacji odwrotnej ~P82|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2):
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Stąd:
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2: ~P8~>~P2)* ~(B2: ~P8=>~P2) = 1*~(0)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P8|=>P2 [=] A2B2: ~P8|~>~P2
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q

Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q (pkt. 2.10):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 2.10):
p|~>q = p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka ~>:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd

Zadanie W1 brzmiało.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2

Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
~p~~>q = ~p*q =1

Wniosek:
Zdanie W1 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2.
Analizę szczegółową operatora implikacji prostej P8||=>P2 mamy w punkcie 14.3.1

19.2.2 Metoda zdjęciowa dla zadania W2: P2~~>~P8

Zadanie W2:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8

Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?

Badanie stosowalności algorytmu Puchacza
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Nasz przykład:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
Definicja dziedziny LN dla p:
P2+~P2= LN =1
P2*~P2= [] =0
Definicja tej samej dziedziny LN dla q:
P8+~P8= LN =1
P8*~P8= [] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
Nasz przykład:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (niepusty)
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (niepusty)
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~p=~P2=[LN-P2] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (niepusty)
~q=~P8=[LN-P8] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza

Podsumowując:
Wspólna dziedzina LN oraz wyznaczenie zbiorów niepustych {P2, P8, ~P2, ~P8} jest dowodem, iż zdanie W1 należy do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych.
Naszym zadaniem jest rozstrzygnięcie jaki to operator?

Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q w kierunku od p do q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~P2 i P8 są rozłączne.

Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
Kod:

T1
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~~> q=1 | P2~~> P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i P8 np.8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np.2
C:~p~~>~q=1 |~P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np.1
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i P8


Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki

Krok 1
Zauważmy, że w linii D mamy zero (rozłączność zbiorów ~P2 i P8), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?

1.
Zakładamy, że zdanie D jest fałszem:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q=1

2.
Jak udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego => C?
Najprościej skorzystać z prawa kontrapozycji, dzięki czemu pozbędziemy się przeczeń.
Prawo kontrapozycji dla zdania C.
C: ~P2=~>~P8 = C1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
stąd mamy:
C1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
C1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość relacji podzbioru P8=>P2 bez trudu udowodni każdy matematyk.
cnd
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwość warunku wystarczającego C1: P8=>P2 wymusza prawdziwość interesującego nas warunku wystarczającego C: ~P2=>~P8 (i odwrotnie)

3.
Zapiszmy zdanie C jeszcze raz:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
C: ~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q=1
Dowód „nie wprost” prawdziwości warunku wystarczającego C z wykorzystaniem prawa kontrapozycji mamy wyżej.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy tu:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Innymi słowy:
Udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego C automatycznie udowodniliśmy zachodzącą tu relację podzbioru => C: ~P2=>~P8

4.
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie).
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
D: ~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[]=0
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q = ~p*q =[]=0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania D wynika z definicji kontrprzykładu.
cnd

5.
Zastosujmy do zdania C prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8 =1
Stąd w linii A mamy spełniony warunek konieczny ~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
A: P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A wynika z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

6.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
Kod:

T2
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~>  q=1 | P2~>  P8=1 – zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – co oznacza linia B dowiemy się w kroku 2
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 – zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – zbiory ~P2 i P8 są rozłączne


Krok 2
7.
Zdanie B przyjmuje brzmienie:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
B: P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8…] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
Pokazanie jednego wspólnego elementu ~~> zbiorów P2 i ~P8 kończy dowód prawdziwości zdania B.

8.
Udowodniona wyżej prawdziwość kontrprzykładu B: P2~~>~P8=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: P2=>P8=0.
Warunek wystarczający => A przyjmuje brzmienie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
A: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p=>q =0
Fałszywość warunku wystarczającego => A wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost”
Na mocy prawa Słonia możemy tu zapisać:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego => A to pokazanie jednej liczby należącej do zbioru P2 i nie należącej do zbioru P8 np. 2, co kończy dowód.

9
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

T3
Zdjęcie układu P2|~>P8
A: p~>  q=1 | P2~>  P8=1 | P2=> P8=0 – P2 nie jest (=0) podzbiorem => P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 |
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 |~P2~>~P8=0 - ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0

Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

W linii A mamy definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8):
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1=1*1=1

W linii C mamy definicję implikacji prostej ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8):
Implikacja odwrotna ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P2~>~P8=0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8=1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Stąd:
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2:~P2~>~P8)*(B2:~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P2|~>P8 [=] A2B2: ~P2|=>~P8
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q

Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q (pkt. 2.10):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 2.10):
p|~>q = p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka =>:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd

Zadanie W2 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8

Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q = p*~q =0

Wniosek:
Zdanie W2 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
Analizę szczegółową operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1

19.2.3 Metoda zdjęciowa dla zdania W3: ~TP~~>SK

Zadanie W3:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)

Rozwiązanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =?

Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktu 4 w algorytmie Puchacza.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla TP i SK dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
Poprzednik p=TP:
Trójkąt może być prostokątny (TP) albo nieprostokątny (~TP)
Trzeciej możliwości brak
TP+~TP = ZWT - wspólna dziedzina
TP*~TP=[] - zbiór pusty
Następnik q=SK:
W trójkącie może być spełniona suma kwadratów (SK) albo nie być spełniona suma kwadratów (~SK)
Trzeciej możliwości brak.
SK+~SK=ZWT - wspólna dziedzina
SK*~SK=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych (zbiór niepusty)
~p=~TP=[ZWT-TP] - zbiór ZWT pomniejszony o TP (zbiór niepusty)
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zbiór niepusty)
~q=~SK = [ZWT-SK] - zbiór ZWT pomniejszony o SK (zbiór niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu Puchacza

Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny TP w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) np. [3,4,5], co kończy dowód prawdziwości zdania A
cnd
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów TP i ~SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory TP i ~SK są rozłączne.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt nieprostokątny ~TP w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK) np. [3,4,6], co kończy dowód prawdziwości zdania C
cnd
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~TP i SK są rozłączne.

Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
Kod:

T1
Zdjęcie układu TP?SK
A: p~~> q=1 | TP~~> SK=1 – istnieje wspólny element TP i SK np. [3,4,5]
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu TP i ~SK
C:~p~~>~q=1 |~TP~~>~SK=1 – istnieje wspólny element ~TP i ~SK np. [3,4,6]
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK

Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki

Krok 1
Zauważmy, że po stronie trójkątów prostokątnych (TP) podejrzewamy, że zdanie B jest fałszem.
Jak to udowodnić matematycznie?

1.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie B jest fałszem:
B: TP~~>~SK = TP*~SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => A:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A: TP=>SK =1
W zapisie formalnym:
B: p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)

2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => A: TP=>SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
B: TP~~>~SK = TP*~SK =0
W zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =0
Rozłączność zbiorów TP i ~SK wynika tu tylko i wyłącznie z udowodnionego warunku wystarczającego A: TP=>SK=1. To jest dowód „nie wprost” wynikający z definicji kontrprzykładu.

3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Nasz przykład:
A: TP=>SK = C: ~TP~>~SK =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP~>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> C: ~TP~>~SK=1 wynika z prawa Kubusia.
To jest dowód „nie wprost”

4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu
Kod:

T2
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=>  q=1 | TP=>  SK=1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 – bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK


Krok 2
W zdaniu D podejrzewamy brak wspólnego elementu zbiorów ~TP i SK.
Jak to udowodnić matematycznie?

5.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie D jest fałszem:
B: ~TP~~>SK = ~TP*SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => C:
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP=>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =1
Dla zdania C skorzystajmy z prawa kontrapozycji by pozbyć się przeczeń przy zbiorach.
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
Nasz przykład:
C: ~TP=>~SK = C1: SK=>TP
Zdanie C1 to oczywiste twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: q=>p.
C1.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
C1: SK=>TP =1
W zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Na mocy prawa Słonia dowód ten oznacza:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem ~> zbioru TP

6.
Stąd na mocy prawa kontrapozycji mamy udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q który nas interesuje.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Prawdziwość warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK wynika z prawa kontrapozycji, gdzie udowodniliśmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: SK=>TP=1 – to jest dowód metodą „nie wprost”.

7.
Na mocy definicji kontrprzykładu z prawdziwości warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania D wynika z definicji kontrprzykładu dla prawdziwego warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 – to jest dowód „nie wprost”

8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Kod:

T3
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=>  q=1 | TP=>  SK=1 | TP~> SK=1 –  TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 |~TP=>~SK=1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – zbiory ~TP i SK są rozłączne


W linii A mamy definicję równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenie sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenie sumy kwadratów SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1

W linii C mamy definicję równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK)
Równoważność ~TP<=>~SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~TP~>~SK =1 - bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla nie zachodzenia sumy kwadratów ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 – bycie ~TP jest (=1) wystarczające => dla nie zachodzenia sumy kwadratów ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2:~TP=>~SK)*(B2:~TP~>~SK)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q

Dowód:
Definicja równoważności p<=>q (pkt. 2.10)
p<=>q = p*q + ~p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka <=>:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd

Zadanie W3 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK=~TP*SK =0

Analizę operatora równoważności TP|<=>SK wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W3 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 16.7.1

19.3 Alternatywne rozwiązanie zadań prawem Orła w teorii zbiorów

Prawo Orła jest genialne w teorii zdarzeń gdzie zawsze mamy do czynienia zaledwie z czterema zdarzeniami niepustymi {p, ~p, q, ~q}.
Rozwiązywanie zadań prawem Orła w zdarzeniach to poziom 5- cio letniego dziecka, o czym było w punkcie 9.0

Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)

Prawo Orła działa również w teorii zbiorów z tym, że w tym przypadku udowodnienie rozłączności dwóch zbiorów nieskończonych metodą wprost poprzez iterowanie element po elemencie jest fizycznie niewykonalne.
Jak dowodzi się rozłączności dwóch zbiorów nieskończonych mamy opisane w algorytmie zdjęciowym wyżej.
Weźmy dokładnie te same przykłady w zbiorach nieskończonych rozwiązane prawem Orła.

19.3.1 Prawo Orła dla zdania W1: ~P8~~>P2

Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.

Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P2

Robimy zdjęcie układu dla zdania W1:
Kod:

T1
Zdjęcie układu P8?P2
A: p~~> q=1 | P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np.8
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~p~~>~q=1 |~P8~~>~P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np.1
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np.2


Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)

1.
Dla naszego zdjęcia T1 mamy:
p=P8
q=P2
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
P8*(P2+~P2) dzn P2*(P8+~P8)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
P8*P2+P8*~P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Stąd mamy:
P8*P2+0 dzn P8*P2 + ~P8*P2
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
P8*P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2
3.
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => sumy logicznej zbiorów niepustych i rozłącznych (P8*P2+~P8*P2)
Wniosek:
dzn = =>
P8*P2 => P8*P2 + ~P8*P2 =1
Czytamy:
Zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru (P8*P2+~P8*P2)
4.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Czytamy:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane W1 musimy zbadać spełnienie/niespełnienie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
Zapiszmy jeszcze raz równanie 2.
2.
P8*P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2
5.
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> sumy logicznej zbiorów niepustych i rozłącznych (P8*P2+~P8*P2)
Wniosek:
dzn = ~>
P8*P2 ~> P8*P2 + ~P8*P2 =0
Czytamy:
Zbiór P8*P2 nie jest (=0) nadzbiorem zbioru (P8*P2+~P8*P2)
6.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Czytamy:
Zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2.

Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1

Zadanie W1 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2

Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
~p~~>q = ~p*q =1

Wniosek:
Zdanie W1 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2.
Analizę szczegółową operatora implikacji prostej P8||=>P2 mamy w punkcie 14.3.1

19.3.2 Prawo Orła dla zadania W2: P2~~>~P8

Zadanie W2:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P2
q=P8

Robimy zdjęcie układu dla zdania W2:
Kod:

T2
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~~> q=1 | P2~~> P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i P8 np.8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np.2
C:~p~~>~q=1 |~P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np.1
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i P8


Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)

1.
Dla naszego zdjęcia T2 mamy:
p=P2
q=P8
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
P2*(P8+~P8) dzn P8*(P2+~P2)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8 + ~P2*P8
Ze zdjęcia T2 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8 + 0
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8
3.
Doskonale widać, że suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych (P2*P8+P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
Wniosek:
dzn = ~>
P2*P8 + P2*~P8 ~> P2*P8
Czytamy:
Zbiór (P2*P8+P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
4.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Czytamy:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane W2 musimy zbadać spełnienie/niespełnienie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami.
Zapiszmy jeszcze raz równanie 2.
2.
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8
5.
Doskonale widać, że suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych (P2*P8+P2*~P8) nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2*P8
P2*P8 + P2*~P8 => P2*P8 =0
6.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Czytamy:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24.]
cnd

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną P2|~>P8.

Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1=1*1=1

Zadanie W2 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8

Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q = p*~q =0

Wniosek:
Zdanie W2 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
Analizę szczegółową operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1

19.3.3 Prawo Orła dla zdania W3: ~TP~~>SK

Zadanie W3:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=TP
q=SK

Robimy zdjęcie układu dla zdania W3
Kod:

T3
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=>  q=1 | TP=>  SK=1 | TP~> SK=1 –  TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 |~TP=>~SK=1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – zbiory ~TP i SK są rozłączne

Jak dowodzi się rozłączności zbiorów nieskończonych mamy w punkcie 19.2.3.

Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)

1.
Dla naszego zdjęcia T3 mamy:
p=TP
q=SK
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
TP*(SK+~SK) dzn SK*(TP+~TP)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
TP*SK+TP*~SK dzn TP*SK + ~TP*SK - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T3 odczytujemy:
B: TP~~>~SK=TP*~SK=0 – nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów TP i ~SK
D:~TP~~> SK=~TP*SK=0 – nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK

Stąd mamy:
TP*SK+0 dzn TP*SK + 0
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
TP*SK dzn TP*SK
3.
Doskonale widać tożsamość zbiorów:
Zbiór TP*SK jest tożsamy "=" ze zbiorem TP*SK
TP*SK=TP*SK
Oczywistość bo każdy zbiór jest tożsamy "=" sam ze sobą
4.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Wniosek:
dzn = <=>
TP*SK <=> TP*SK =1
Czytamy:
Zbiór TP*SK jest (=1) równoważny ze zbiorem TP*SK
Na mocy prawa irbisa zapisujemy:
TP*SK = TP*SK
Zbiór TP*SK jest (=1) tożsamy „=” ze zbiorem TP*SK
Oczywistość, bo każdy zbiór jest tożsamy „=” sam ze sobą
5.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
TP<=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q =1
Czytamy:
Zbiór TP jest (=1) tożsamy "=" ze zbiorem SK
cnd

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z równoważnością TP<=>SK

Definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenie sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 – bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenie sumy kwadratów SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1

Zadanie W3 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK=~TP*SK =0

Analizę operatora równoważności TP|<=>SK wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W3 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 16.9.1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:48, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 29 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 11:00, 10 Cze 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
20.0 Rachunek zero-jedynkowy - operatory jednoargumentowe

Spis treści
20.0 Rachunek zero-jedynkowy - operatory jednoargumentowe 1
20.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 2
20.1.1 Definicja negacji 3
20.1.2 Definicja wyrażenia algebry Boole'a 5
20.1.3 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a: 5
20.1.4 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym 5
20.1.5 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q 7
20.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 7
20.2.1 Definicja zmiennej binarnej i stałej binarnej 9
20.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 9
20.3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 12
20.4 Prawa Prosiaczka 14
20.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 15
20.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 16
20.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 17
20.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 18
20.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 19
20.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 20
20.5.1 Operator transmisji Y|=p 21
20.5.2 Operator negacji Y|=~p 23
20.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 25
20.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 27
20.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x) 29



20.0 Rachunek zero-jedynkowy - operatory jednoargumentowe

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych (pkt. 20.3.1)

20.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1= prawda
0 = fałsz

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) – negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

20.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki lub same zera.

Przykład:
Kod:

DN
Definicja negacji:
   p # ~p
A: 1 #  0
B: 0 #  1
   1    2
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
p#~p
Dowodem jest tu definicja negacji DN.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że w definicji negacji DN symbole p i ~p są zmiennymi binarnymi.
Dowód:
W osi czasu (kolumna A1B1) może zajść przypadek, że zmienna binarna p przyjmie wartość logiczną 1 (A1) albo wartość logiczną 0 (B1).
W osi czasu (kolumna B2A2) może zajść przypadek, że zmienna binarna ~p przyjmie wartość logiczną 1 (B2) albo wartość logiczną 0 (A2)
cnd

Stąd mamy:
Definicja osi czasu w logice matematycznej
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej oś czasu to zawartość kolumny opisanej symbolem nad tą kolumną.

W technice cyfrowej znaczek różne # o definicji jak wyżej jest odpowiednikiem dwustronnego negatora "o".
Kod:

Definicja znaczka # w bramkach logicznych
              -----
p --x---------| ~ |o-x--> ~p
    |         -----  |
    |                |
    | p=~(~p) -----  |
    -<-------o| ~ |--x--- ~p
              -----
Gdzie:
o - symbol negacji (wyjście bramki negatora)
W świecie rzeczywistym musi tu być negator z otwartym kolektorem (OC)
na przykład typu SN74LS06


Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Matematyczne związki w definicji negacji:
   p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1  0    1    0
B: 0  1    0    1
   1  2    3    4

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)
Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy

20.1.2 Definicja wyrażenia algebry Boole'a

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q = (p*q)+(~p*~q)
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

20.1.3 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W szczególnym przypadku funkcja logiczna Y może być stałą binarną 1 albo 0.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc

20.1.4 Definicja standardu dodatniego w języku potocznym

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka, które za chwilkę wyprowadzimy.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.

Przykład:

Pani w przedszkolu A:
A1
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Znaczenie zmiennych w standardzie dodatnim:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
~K=1 - prawdą jest (=1), że jutro nie pójdziemy do kina (~K), standard dodatni

Przykładowe kodowanie zdania A1 w standardzie mieszanym:

Pani w przedszkolu A:
A1"
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Naturalne znaczenie zmiennych w kodowaniu zdania A1":
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
K=1 - prawdą jest (=1), że jutro pójdziemy do kina (K), standard dodatni

Dokładnie tak mózg każdego człowieka odczyta kodowanie zdania A1', co jest niezgodne ze zdaniem A1 wypowiedzianym przez panią przedszkolankę.

Poprawny odczyt kodowania A1' jest możliwy wtedy i tylko wtedy gdy dołączymy znaczenie wszystkich zmiennych użytych w kodowaniu mieszanym.

TZ - tabela zmiennych:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), standard dodatni
K=1 - prawdą jest (=1), że jutro NIE pójdziemy do kina (K), standard ujemny

Zając tabelę TZ zdanie A1" czytamy:
A1"
Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro NIE pójdziemy do kina (K=1)

Jak widzimy dołączenie do zdania A1" tabeli zmiennych TZ kodowanych w standardzie mieszanym również prowadzi do poprawnego odczytu zdania pani przedszkolanki.

Podsumowując:
Standard mieszany jest w praktyce matematycznej bezużyteczny, bo generuje gówniane w praktyce tabele zmiennych TZ. Wyłącznie masochiści mogą się tak bawić

To mniej więcej tak jakby nauczyciel matematyki powiedział:
Od teraz cyfra 2 będzie oznaczała dawną cyfrę 1, zaś cyfra 1 będzie oznaczała dawną cyfrę 2.
Po takim przyporządkowaniu matematyka klasyczna dalej będzie działać poprawnie!
Czy wszyscy czują bluesa?
Kto będzie bawił się w taką matematykę klasyczną, poza masochistami?

20.1.5 Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych to cyfrowy układ o dwóch wejściach p i q dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

20.2 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego

Definicja funkcji logicznej Y jednej zmiennej binarnej p:
Funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściu p
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
   p  Y=f(p)
A: 1  x
B: 0  x
Gdzie:
x={0,1}
f(p) - jednoargumentowe wyrażenie algebry Boole’a

Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwych jest cztery i tylko cztery różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.

Definicja bramki logicznej jednej zmiennej binarnej p
Bramka logiczna jednej zmiennej binarnej p to układ cyfrowy o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
Gdzie:
p, Y - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne {0,1}

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)

Każda ze zmiennych binarnych {p, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.

Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego Y|=f(p)
to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
   p  Y=f(p)  #  ~p ~Y=~f(p)
A: 1  x       #   0 ~(x)
B: 0  x       #   1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka #
    jest negacją drugiej strony
{p,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,Y} inaczej błąd podstawienia 


20.2.1 Definicja zmiennej binarnej i stałej binarnej

Weźmy definicję zdania zawsze prawdziwego ZZP i zdania zawsze fałszywego ZZF które wyprowadzimy w następnym punkcie.
Kod:

ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=D=1
   p + ~p  Y=p+~p=D =1
A: 1 +  0  1
B: 0 +  1  1
Gdzie:
D - dziedzina wspólna dla p i ~p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1

Kod:

ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
   p * ~p  Y=p*~p=[]=0
A: 1 *  0  0
B: 0 *  1  0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować dwie wartości logiczne {0,1}.

W tabelach ZZP i ZZF zmiennymi binarnymi są symbole p i ~p co widać w kolumnach p i ~p.

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol będący w osi czasu twardą prawdą (ZZP_Y), albo twardym zerem (ZZF_Y)

W tabeli ZZP symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardej jedynki.
W tabeli ZZF symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardego zera.
Nie ma możliwości w czasie od minus do plus nieskończoności, by stała binarna przyjęła przeciwną
wartość logiczną.

W świecie rzeczywistym, opisane wyżej właściwości zmiennych binarnych i stałych binarnych możemy zaobserwować na oscyloskopie, przyrządzie pomiarowym służącym do obserwacji szybkich przebiegów zmiennych.

20.3 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych
Kod:

Definicja negacji:
   p # ~p
A: 1 #  0
B: 0 #  1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p+ q  Y=p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 1  1
D: 0+ 0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Kod:

Definicja jednoargumentowego spójnika „lub”(+):
Dla q=~p mamy:
   p + ~p  Y=p+~p=1
A: 1 +  0  1
B: 1 +  0  1
C: 0 +  1  1
D: 0 +  1  1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze prawdziwego (Y=1)
Kod:

ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=1
   p + ~p  Y=p+~p=D=1
A: 1 +  0  1
B: 0 +  1  1
Gdzie:
D=p+~p - wspólna dziedzina
~p jest uzupełniniem do dziedziny D dla p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1

Podobnie:
Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p* q  Y=p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 1  0
D: 0* 0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja jednoargumentowego spójnika „i”(*):
Dla q=~p mamy:
   p * ~p  Y=p*~p=[]=0
A: 1 *  0  0
B: 1 *  0  0
C: 0 *  1  0
D: 0 *  1  0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0

Stąd mamy tożsamą tabelę prawdy, definicję zdania zawsze fałszywego (Y=0)
Kod:

ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
   p * ~p  Y=p*~p=[]=0
A: 1 *  0  0
B: 0 *  1  0
Gdzie:
p*~p=[]=0 - zbiory/zdarzenia p i ~p są rozłączne
Y - stała binarna o wartości logicznej 0

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy:
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                 A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1  ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1         ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1         ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #         ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                 B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0  ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0         ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0         ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9            10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

Dokładnie ta sama tabela zapisana prościej, wyłącznie funkcjami logicznymi Y i ~Y bez rozpisywania w tabelach zero-jedynkowych.
Kod:

TF1
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji         |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p                   #  B0: ~Y=~p
   ##                             ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji            |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p                   #  B1: ~Y= p
   ##                             ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe    |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1           #  B2: ~Y= p*~p=0
   ##                             ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe     |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0           #  B3: ~Y= p+~p=1

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

20.3.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


Największą tragedią ziemskiego rachunku zero-jedynkowego jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi on zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?

Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych zapisanych w tabeli TF1
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym opisywane są wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a, a nie funkcjami logicznymi Y i ~Y jak to jest w algebrze Kubusia.
W porywach (rzadkich przypadkach) ziemskiego rachunku zero-jedynkowego znajdziemy zapis funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y), ale nigdzie nie znajdziemy tej samej funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).

Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF1 pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
Kod:

TF1"
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
A0: p                      #  B0: ~p
   ##                             ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
A1:~p                      #  B1:  p
   ##                             ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
A2: p+~p=1                 #  B2: p*~p=0
   ##                             ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
A3: p*~p=0                 #  B3: p+~p=1

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Po usunięciu funkcji logicznych Y i ~Y najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## leży gruzach bowiem w tabeli TF1" zachodzą następujące tożsamości logiczne
Kod:

A0: p                      =  B1:  p
A1: ~p                     =  B0: ~p
A2: p+~p=1                 =  B3:  p+~p=1
A3: p*~p=0                 =  B2:  p*~p=0

Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.

20.4 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej, jak również w stosunku do dowolnej stałej binarnej.

Wyprowadzenie praw Prosiaczka:
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                 A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1  ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1         ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1         ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #         ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                 B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0  ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0         ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0         ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9            10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w sposób tożsamy:
Kod:

TF23
A2: Y=1  #  B2: ~Y=0
    ##          ##
A3: Y=0  #  B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF23 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

W wierszach A2 i A3 doskonale widać prawa Prosiaczka.

20.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka

Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
Kod:

TF23
A2: Y=1  #  B2: ~Y=0
    ##          ##
A3: Y=0  #  B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji

I prawo Prosiaczka widać w linii A2-B2:

I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) # B2: (~Y=0)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 0
Stąd mamy zapis tożsamy I prawa Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0)

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1

Stąd:
I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) = (A2: (Y=1)=>B2: (~Y=0))*(B2: (~Y=0)=>A2: (Y=1)) =1*1 =1

Twierdzenie proste A2: p=>q brzmi:
A2.
Jeśli A2: (Y=1) to na 100% => B2: (~Y=0)
cnd
Twierdzenie odwrotne B2: q=>p brzmi:
B2.
Jeśli B2: (~Y=0) to na 100% => A2: (Y=1)
cnd

Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q

Na mocy prawa Irbisa mamy:
A2: (Y=1) <=> B2: (~Y=0) [=] A2: (Y=1) = B2: (~Y=0)

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy

Stąd końcowa postać I prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)

Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.

I Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=0)=(Y=1)
cnd

20.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka

Zapiszmy funkcje logiczne A2 i A3 w tabeli prawdy
Kod:

TF23
A2: Y=1  #  B2: ~Y=0
    ##          ##
A3: Y=0  #  B3: ~Y=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negację drugiej strony
## - różne na mocy definicji

II prawo Prosiaczka widać w linii A3-B3:

II Prawo Prosiaczka:
A3 (Y=0) # B3: (~Y=1)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 0 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 1 (i odwrotnie)
Stąd mamy zapis tożsamy II prawa Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1)

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie twierdzenia prostego p=>q i twierdzenia odwrotnego q=>p
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1

Stąd:
II Prawo Prosiaczka:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) = (A3: (Y=0)=>B3: (~Y=1))*(B3: (~Y=1)=>A3: (Y=0)) =1*1 =1

Twierdzenie proste A3: p=>q brzmi:
A3.
Jeśli A3: (Y=0) to na 100% => B3: (~Y=1)
cnd
Twierdzenie odwrotne B3: q=>p brzmi:
B3.
Jeśli B3: (~Y=1) to na 100% => A3: (Y=0)
cnd

Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q i odwrotnie
p<=>q [=] p=q

Na mocy prawa Irbisa mamy:
A3: (Y=0) <=> B3: (~Y=1) [=] A3: (Y=0) = B3: (~Y=1)

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Tożsame znaczki tożsamości logicznej które możemy używać zamiennie celem precyzyjnego zapisu prawa logicznego np. prawa Irbisa
<=>, „=”, [=]
<=> - wtedy i tylko wtedy

Stąd końcowa postać II prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie.

II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)

Tożsamość jest przemienna stąd mamy wersję tożsamą.
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo Y)
(~Y=1)=(Y=0)
cnd

20.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych

Realizacja praw Prosiaczka w bramkach logicznych:
Kod:

I prawo Prosiaczka:
(Y=1)<=>(~Y=0)
        Y=1   ------    <=>  ~Y=0
------------->| #  |o----------------->
              ------
Po minięciu negatora # funkcję Y=1 musimy negować dwustronnie ~Y=0
        ##                    ##
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0)<=>(~Y=1)
        Y=0   ------    <=>  ~Y=1
------------->| #  |o----------------->
              ------
Po minięciu negatora # funkcję Y=0 musimy negować dwustronnie ~Y=1
Gdzie:
„o” - symbol negatora (#)
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

20.4.4 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co w logice jedynek oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co w logice jedynek oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

20.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

20.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków

Znaczenie symboli Y i ~Y dla potrzeb prezentowanych dalej przykładów:
1.
Znaczenie symbolu Y:
1: Y - pani dotrzyma słowa
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa

#
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
2: ~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani nie dotrzyma słowa.

W języku potocznym zachodzi tożsamość pojęć:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) = Pani skłamie (S)
~Y = S

Na mocy powyższego mamy:
1: Y # 2: ~Y
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (negator)

Ale!
Kod:

1: Y                #  2: ~Y
Ale!
I Prawo Prosiaczka  ## II prawo Prosiaczka
1A: (Y=1)=(~Y=0)    ## 2A: (~Y=1)=(Y=0)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (negator)
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne ## na mocy definicji:
Wyrażenia po obu stronach znaczka ## są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame, ani żadne z nich nie jest negacją drugiej strony.

Zauważmy, że jeśli zanegujemy 1A to nie otrzymamy tożsamości ze stroną 2A.
Dowód:
Negujemy 1A:
1A': (~Y=0)=(Y=1)
Doskonale widać, że człon 1A' jest różny na mocy definicji od człony 2A - oczywiście porównujemy symbole w tej samej logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y)

20.5.1 Operator transmisji Y|=p
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład zdania wypowiedzianego A0: Y=K
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   K ~K  Y=K  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~K  K ~Y=~K ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Przykład A0
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
A0: Y=1 <=> K=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
B0: ~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd

Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

20.5.2 Operator negacji Y|=~p

Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych funkcji negacji A1: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji negacji B1: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y)
A1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład zdania wypowiedzianego A1: Y=~K
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~q  Y=q  ##  K ~K  Y=~K  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  q ~Y=~p ## ~K  K ~Y=K   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Przykład A1
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
A1: Y = ~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Y=1 <=> ~K=1

Zuzia do Jasia:
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A1 stronami:
B1: ~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
B1: ~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 6.
W części A1 doskonale widać że:
Y=1 <=> ~K=1
W części B1 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> K=1
cnd

Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A1: Y=~K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
2.
Także odpowiedź B1 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 456 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 456 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

20.5.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p

Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań funkcji logicznej A2: Y=p+~p=1 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej B2: ~Y=~p*p=0 w logice ujemnej (bo ~Y)

A2.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A2: Y=p+~p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
co w logice jedynek oznacza:
A2: Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że funkcja logiczna Y ma wartość logiczną twardej jedynki (Y=1), niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1
Doskonale to widać w kolumnie Y: A2_9

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2: ~Y=~(p+~p) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~p*p =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie ~Y
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9

Przykład zdania zawsze prawdziwego A2: Y=K+~K=1:
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~q  Y=q  ##  K ~K  Y=~K  ##  K ~K  Y=K+~K=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  q ~Y=~p ## ~K  K ~Y=K   ## ~K  K ~Y=~K*K=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Przykład A2
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani jutro dotrzyma słowa (Y), niezależnie od tego czy pójdziemy do kina (K), czy też nie pójdziemy do kina (~K)
Z chwilą wypowiedzenia zdania A2 pani ustawiła tu twardą jedynkę i nie ma szans na zostanie w dniu jutrzejszym kłamczuchą.

#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y
B2: ~Y = ~(K+~K) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~K*K =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9

Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Wniosek
Pani przedszkolanka w przedszkolu A2 wypowiadając zdanie A2 nie ma szans na nie dotrzymanie słowa (~Y=1) w dniu jutrzejszym

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 9.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 789 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 789 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.

Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

20.5.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p:
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań logicznych A3: Y=p*~p=0 w logice dodatniej (bo Y) oraz B3: ~Y=~p+p=1 w logice ujemnej (bo ~Y)

A3.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A3: Y=p*~p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12

… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A3 stronami:
B3: ~Y=~(p*~p) =1
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B3: ~Y=~p+p =1 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p+p=1
co w logice jedynek oznacza:
B3: ~Y=1 <=> ~p=1 lub p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y, niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1.
Musi zajść p=1 albo ~p=1 - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12

Przykład zdania zawsze fałszywego A3: Y=K*~K=0
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=K*~K=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~K+K=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12


Przykład A3.
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
A3: Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12

#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y.
B3.
~Y = ~(K*~K) =0
Na mocy prawa De Morgana:
B3: ~Y=~K+K =1 - bo prawo algebry Boole'a: ~p+p =1
co w logice jedynek oznacza:
B3: (~Y=1) <=> ~K=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y), niezależnie od tego czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jutro możemy pójść do kina (K=1) albo nie pójść do kina (~K=1) - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12

Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Wniosek:
Pani przedszkolanka w przedszkolu A3 wypowiadając zdanie A3 nie ma szans na dotrzymanie słowa (Y=1) w dniu jutrzejszym.
W momencie wypowiedzenia zdania A3 pani jest kłamczuchą, o czym każdy 5-cio latek wie.

Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 12.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 10:11:12 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 10:11:12 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd

Stąd mamy:
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

20.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x)

Weźmy tabelę zero-jedynkową wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych.
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                 A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1  ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1         ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1         ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #         ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                 B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0  ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0         ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0         ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9            10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja dziedziny D na której operowaliśmy w naszych przykładach:
K+~K=D=1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zdarzenia K
K*~K=[]=0 - zdarzenia K i ~K są rozłączne

Znaczenie zmiennych na których operowaliśmy w naszych przykładach wyżej było następujące:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
K+~K=D=1 - jutro możemy pójść do kina (K) albo nie pójść do kina (~K), trzeciej możliwości brak
K*~K=[]=0 - zdarzenie "pójdziemy do kina" (K) jest rozłączne ze zdarzeniem "nie pójdziemy do kina" (~K)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej zdarzenia K i ~K są rozłączne

Definicja dziedziny D na poziomie funkcji logicznej Y:
Definicja dziedziny dla dowolnej funkcji logicznej Y=f(x) (także wieloargumentowej):
Y+~Y = D =1 - funkcja logiczna ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
Y*~Y=[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne

Znaczenie funkcji logicznych Y i ~Y z naszych przykładów wyżej omówionych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
Y+~Y=D=1 - pani może dotrzymać słowa (Y) albo nie dotrzymać słowa (~Y), trzeciej możliwości brak
Y*~Y=[]=0 - pani nie może równocześnie dotrzymać słowa (Y) i nie dotrzymać słowa (~Y)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej pani dotrzyma słowa (Y=1) albo nie dotrzyma słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:19, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 14 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 14:53, 13 Cze 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"


Spis treści
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" 1
21.1 Fundament algebry Kubusia dla zdań warunkowych "Jeśli p to q" 2
21.2 Dowód praw Tygryska na gruncie rachunku zero-jedynkowego 2
21.3 Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych 5
21.4 Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q, największa tragedia ziemian 9
21.5 NAND i NOR - ekstremalny odjazd od języka potocznego 12
21.5.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>CH 14
21.5.2 Implikacja prosta P|=>CH 17
21.5.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w przedszkolu 20
21.6 Tożsamość Hipcia p=>q = p<=>q + ~p*q 22
21.6.1 Tożsamość Hipcia w świecie martwym i w matematyce 22
21.6.2 Tożsamość Hipcia w świecie żywym 26
21.7 Tożsamość Geparda p+q = p$q + p*q 27
21.7.1 Tożsamość Geparda w świecie martwym i w matematyce 27
21.7.2 Tożsamość Geparda w świecie żywym 28
21.8 Tożsamość Pumy p~~>q = p<=>q + p$q 29
21.8.1 Tożsamość Pumy w świecie martwym i w matematyce 29
21.8.2 Tożsamość Pumy w świecie żywym 31



21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"

Przypomnijmy sobie definicje warunków wystarczających => i koniecznych ~> w zdarzeniach (pkt. 2.2.2 i 2.2.3)

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

21.1 Fundament algebry Kubusia dla zdań warunkowych "Jeśli p to q"

W punkcie 2.4 wyprowadziliśmy tabelę T0 matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


21.2 Dowód praw Tygryska na gruncie rachunku zero-jedynkowego

Szczegółową, bajeczną prostotę wszelkich dowodów w algebrze Kubusia pokażemy na przykładzie dowodów zero-jedynkowych praw Tygryska.

I prawo Tygryska dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
II prawo Tygryska dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B3: q=>p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q =p+~q
cnd

Kod:

TW
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Interpretacja słowna warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.

##
Kod:

TK
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q = q<~p = p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Interpretacja słowna warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) konieczne ~> dla q
Inaczej:
p~>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I prawo Tygryska dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A3: q~>p

Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku wystarczającego A1: p=>q:
Kod:

TA1
Definicja warunku
wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3

W tabeli TA3 obok zapisujemy te same p i q w zerach i jedynkach uzupełnione znaczkiem warunku koniecznego ~> w kierunku od q do p, co wynika z I prawa Tygryska które mamy do udowodnienia.
Kod:

TA1                         [=]   TA3
Definicja warunku           [=]
wystarczającego =>          [=]
    A1: Y=                  [=]   A3: Y=
   p  q p=>q = q<=p = ~p+q  [=] p  q  A3: q~>p = A3: p<~q
A: 1=>1  1                  [=] 1<~1   1
B: 1=>0  0                  [=] 1<~0   0
C: 0=>0  1                  [=] 0<~0   1
D: 0=>1  1                  [=] 0<~1   1
   1  2  3                      4  5   6

Kolumnę wynikową Y w tabeli TA3 wypełniliśmy na mocy definicji warunku koniecznego ~>.

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym (ogólnym) I prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
cnd

##

II prawo Tygryska dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B3: q=>p

Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku koniecznego B1: p~>q
Kod:

TB1
Definicja warunku
koniecznego ~>
    B1: Y=
   p  q p~>q = = q<~p = p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3

W tabeli TB3 obok zapisujemy te same p i q w zerach i jedynkach uzupełnione znaczkiem warunku wystarczającego => w kierunku od q do p, co wynika z II prawa Tygryska które mamy do udowodnienia.
Kod:

TB1                        [=] TB3
Definicja warunku          [=]
koniecznego ~>             [=]
    B1: Y=                 [=]   B3: Y=
   p  q p~>q = q<~p = p+~q [=] p  q  B3: q=>p = B3: p<=q
A: 1~>1  1                 [=] 1<=1   1
B: 1~>0  1                 [=] 1<=0   1
C: 0~>0  1                 [=] 0<=0   1
D: 0~>1  0                 [=] 0<=1   0
   1  2  3                     4  5   6

Kolumnę wynikową Y w tabeli TB3 wypełniliśmy na mocy definicji warunku wystarczającego =>

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym (ogólnym) II prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
cnd

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dowód formalny:
Kod:

TA1A3                      ## TB1B3
I prawo Tygryska:          ## II Prawo Tygryska:
Y=                         ## Y=
A1: p=>q = A3: q~>p = ~p+q ## B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Najważniejsza definicja logiki matematycznej to definicja znaczka różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q dają różne kolumny wynikowe Y

Doskonale tu widać, że funkcje logiczne Y zdefiniowane tabelami TA1A3, TB1B3 są różne na mocy definicji ##, bo mają identyczne wymuszenia na wejściach p i q, ale różne kolumny wynikowe Y
cnd

21.3 Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Podstawowa definicja równoważności (znana każdemu człowiekowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
cnd
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego by zaszło q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego by zaszło q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p

Dowód iż ta definicja jest znana wszystkim (nie tylko matematykom).
Klikamy na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 12 500
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 11 200
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 3 330

Jak widzimy, powyższa definicja równoważności wymaga od nas na starcie zapisania zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Zróbmy to:
Kod:

TW
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Interpretacja słowna warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.

##
Kod:

TK
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q = q<~p = p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Interpretacja słowna warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) konieczne ~> dla q
Inaczej:
p~>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.

Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Podstawowa definicja równoważności (znana każdemu człowiekowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
cnd

Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku wystarczającego A1: p=>q:
Kod:

T1
Definicja warunku
wystarczającego =>
    A1: Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3

Obok tabeli T1 zapisujemy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B: p~>q wymaganą przez definicję równoważności p<=>q.
Kod:

T1                 ## T2
Definicja warunku  ## Definicja warunku
wystarczającego => ## koniecznego ~>
    A1: Y=         ##   B1: Y=
   p  q p=>q=~p+q  ## p  q  p~>q=p+~q
A: 1=>1  1         ## 1~>1   1
B: 1=>0  0         ## 1~>0   1
C: 0=>0  1         ## 0~>0   1
D: 0=>1  1         ## 0~>1   0
   1  2  3            4  5   6

Między tabelami T1 i T2 postawiliśmy znak różne na mocy definicji ## bo wyprowadzamy definicję zero-jedynkową równoważności p<=>q gdzie ten znak między A1 i B1 występuje.
Dowód:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji
cnd

Z definicji równoważności wynika algorytm uzyskania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q:
1.
Do tabeli T3 przepisujemy identyczne wejścia p i q
2.
Kolumnę wynikową równoważności:
Y = p<=>q uzyskamy wymnażając logicznie linia po linii kolumny wynikowe:
T1: (A1: p=>q) oraz T2: (B1: p~>q)

Zróbmy to:
Kod:

T123
T1           ## T2           ## T3
Definicja => ## Definicja ~> ##
    A1: Y=   ##   B1: Y=     ##  A1B1: Y= 
   p  q p=>q ## p  q  p~>q   ## p   q  p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A: 1=>1  1   ## 1~>1   1     ## 1<=>1    1
B: 1=>0  0   ## 1~>0   1     ## 1<=>0    0   
C: 0=>0  1   ## 0~>0   1     ## 0<=>0    1
D: 0=>1  1   ## 0~>1   0     ## 0<=>1    0
   1  2  3      4  5   6        7   8    9

Jak widzimy, tabelę zero-jedynkową równoważności mamy w kolumnach 789.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń zero-jedynkowych na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y

Z tabeli zbiorczej T123 widać, że funkcje logiczne Y definiowane kolumnami 3, 6 i 9 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
cnd

21.4 Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q, największa tragedia ziemian

Największa tragedia logiki matematycznej ziemskich matematyków to prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
które to prawo każdy matematyk musi bezwzględnie stosować bo nie zna algebry Kubusia, czyli logiki matematycznej wyrażonej warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Tej logiki matematycznej:
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Bezsensowność prawa eliminacji warunku wystarczającego => pokażemy na przykładzie definicji obietnicy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N.
W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody N.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Weźmy sztandarową obietnicę szczegółowo omówiona w punkcie 3.5.
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. Warunek otrzymania nagrody precyzuje poprzednik p=E (zdasz egzamin)
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Analizę tej obietnicy mamy w punkcie 3.6.
W warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest ona doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Dowód:
Prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku otrzymania nagrody (tu nie zdał egzaminu) jest w prawie wszystkich bajkach dla dzieci plus w Biblii.

Największą tragedią logiki matematycznej ziemskich matematyków jest prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
E=>K = ~E+K

Dlaczego to jest tragedia?
Bo jak sama nazwa wskazuje eliminuje ono warunek wystarczający =>, a tym samym papużkę nierozłączkę, warunek konieczny ~>. O bajecznie prostej analizie obietnicy E=>K przedstawionej w punkcie 3.6 możemy zapomnieć.

Wypowiedzmy tego potworka (formalnie tożsamego) który nam powstał po zastosowaniu prawa eliminacji warunku wystarczającego =>

Tata do synka Jasia (lat 14):
Który ma zdawać pierwszy poważny egzamin w swoim życiu, egzamin ośmioklasisty, dający przepustkę do najlepszych LO (o ile syn zda celująco).
A1.
Nie zdasz egzaminu (~E) lub dostaniesz komputer (K)
Y = ~E+K
Zakładamy tu, że Tata zna algebrę Kubusia i zachciało mu się robić "jaja" z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>.
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Tata dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E) lub dostanie komputer (K)

Synek:
Tata, ja nic z tego nie rozumiem

Tata:
Już tłumaczę:
Moje zdanie:
Y=~E+K
W logice jedynek oznacza że:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdasz egzaminu (~E=1) lub dostaniesz komputer (K=1)

Synek:
Tata, ja dalej nic z tego nie rozumiem

Tata:
To są synku uroki prawa eliminacji warunku wystarczającego => w logice ziemskich matematyków.

Matematycznie jest tak:
1.
Y = ~E+K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1=~E=1 lub K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdasz egzaminu (~E=1) lub dostaniesz komputer (K=1)

.. a kiedy skłamię ~Y?
Zachodzi tożsamość pojęć:
Skłamię ~Y = nie dotrzymam słowa (~Y)

Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
Stąd mamy jedyny możliwy przypadek w którym skłamię (~Y):
~Yb= B: E*~K
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Yb=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Mamy tylko jeden przypadek kiedy skłamię, stąd:
~Yb=~Y
Co w logice jedynek oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zdasz egzamin (E=1) i nie dostaniesz komputera (~K=1)

Synek:
Dobrze tata, zrozumiałem kiedy skłamiesz ale dalej nie wiem o co ci chodzi?
Kiedy dotrzymasz słowa?

Tata:
W każdym innym przypadku synku dotrzymam słowa, te rozłączne przypadki to:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=E*K=1*1=1 - zdasz egzamin (E=1) i dostaniesz komputer (K=1)
lub
C: Yc=~E*~K=1*1=1 - nie zdasz egzaminu (~E=1) i nie otrzymasz komputera (~K=1)
lub
D: Yd=~E*K=1*1=1 - nie zdasz egzaminu (~E=1) i dostaniesz komputer (K=1)

Synek:
Dobrze tata, rozumiem kiedy dotrzymasz słowa, ale o co tu chodzi?
Przecież nic mi nie obiecałeś!

Tata:
Widzisz synku, to są całe uroki eliminacji warunku wystarczającego => we współczesnej, ziemskiej logice matematycznej.
W rzeczywistości chodzi tu o banalną moją obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Omówioną wyżej w punkcie 3.6.

Synek:
Przeczytałem punkt 3.6, rzeczywiście, matematyczna obsługa obietnicy w znaczkach:
~~> - zdarzenie możliwe
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
to poziom 5-cio letniego dziecka, omówiony w prawie każdej bajce oraz w Biblii.

… a to ziemskie prawo eliminacji warunku wystarczającego => które każdy matematyk obligatoryjnie musi stosować (bo nie zna algebry Kubusia) to jakieś badziewie, przy pomocy którego nie sposób się porozumieć.

Tata:
Zgoda w 100%.
Pisałem wyżej te pomyje wynikłe z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>, by zakpić a aktualnej logiki matematycznej ziemskich matematyków.

Synek:
Udało ci się tata, gratuluję.

21.5 NAND i NOR - ekstremalny odjazd od języka potocznego

Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q w spójnikach NAND i NOR to ekstremalny odjazd od języka potocznego.

W świecie techniki w miejsce spójników "lub"(+) i "i"(*) można używać odpowiednio spójniki NOR oraz NAND .. ale będzie to miało zero wspólnego z językiem potocznym, tzn. żaden normalny człowiek tego nie zrozumie.
Definicja NOR:
Y = pNORq = ~(p+q)
Definicja NAND:
Y = pNANDq = ~(p*q)

Przykład wykładowcy logiki Volratha:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-50.html#69446
volrath napisał:

Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to to samo co prosta.
Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)

Innymi słowy Vorath twierdzi że:
p=>q = ~p+q = p NAND (p NAND q)
Mało który matematyk zrozumie iż funkcja logiczna:
Y= p NAND (p NAND q)
jest tożsama z funkcją logiczną:
Y = ~p+q
.. a o języku potocznym w przypadku NAND i NOR możemy zapomnieć.

Dowód:
pNANDq = ~(p*q)
Y = pNAND (pNANDq) = ~(p*~(p*q)) = ~p+p*q - prawo De Morgana
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q) = p*~p + p*~q = p*~q
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Stąd:
p=>q = ~p+q = p NAND (p NAND q)
cnd

Rozmowa taty który jest matematykiem z 14-letnim synkiem

Posłuchaj synku, tata będzie cię teraz uczył zaawansowanej logiki matematycznej.

Teoria czysto matematyczna zapisana wyżej przez Volratha:
Y = (p=>q) = ~p+q = p NAND (p NAND q)
Podstawmy:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Stąd mamy w zapisie aktualnym:
Y = (P=>CH) = ~P+CH = P NAND (P NAND CH)

Prawą stronę w języku potocznym czytamy:
NAND.
Jutro będzie padało (P) NAND (będzie padało (P) NAND będzie pochmurno (CH))
Y = P NAND (P NAND CH)
Czy rozumiesz synku sens zdania NAND?

Synek:
Nic a nic tatko nie rozumiem

21.5.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>CH

Tata:
Dobrze, uproszczę problem wypowiadając to samo zdanie w znanych ci spójnikach "lub"(+) i "i"(*)
Y = (P=>CH) = ~P+CH = P NAND (P NAND CH)

Środek to znane matematykom prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
1".
Jutro nie będzie padało lub będzie pochmurno
Y = (P=>CH) = ~P+CH
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub CH=1
Czy teraz rozumiesz synku sens zdania 1"?

Synek:
Nadal nic z tego nie rozumiem.

Tata:
Zastosujmy do zdania 1" definicję spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1.
Y = ~P+CH = A: ~P*CH + B: ~P*~CH + C: P*CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: ~P=1 i CH=1 lub B: ~P i ~CH lub C: P=1 i CH=1
Czytamy:
1.
Prawdą jest (=1), że prawdziwe jest zdanie złożone Y:
Y=Ya+Yb+Yc
A: Ya = ~P~~>CH = ~P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
B: Yb = ~P~~>~CH = ~P*~CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
C: Yc = P~~>CH = P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
Wystarczy, że którakolwiek funkcja cząstkowa Ya, Yb albo Yc przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja główna Y przyjmie wartość logiczną 1

Czy rozumiesz synku sens zdania 1 w zdarzeniach rozłącznych?
Y = Ya+Yb+Yc

Synek:
Rozumiem doskonale.
Tata:
Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia jutro zdarzenia Ya albo Yb albo Yc?
Synek:
Oczywiście że 1/3
Tata:
Czy widzisz w zdarzeniach cząstkowych Ya, Yb, Yc jakąkolwiek gwarancję matematyczną =>?
Synek:
W zdarzeniach cząstkowych Ya, Yb, Yc nie ma żadnej gwarancji matematycznej =>, bowiem prawdopodobieństwo zajścia każdego z tych zdarzeń wynosi 1/3.

Tata:
Doskonale synku
Teraz odpowiedzmy sobie na pytanie kiedy zdanie 1 nie będzie prawdziwe (~Y=1)?
Mamy równanie minimalne:
1": Y=~P+CH
Negujemy dwustronnie:
2.
~Y = ~(~P+CH) = P*~CH - prawo De Morgana
Stąd mamy:
D: ~Yd=P*~CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
D: ~Yd=1 <=> P=1 i ~CH=1
Zauważmy, że jest tylko jedno zdarzenia cząstkowe w logice ujemnej (bo ~Yd), stąd mamy tożsamość logiczną:
D: ~Yd = D: ~Y

Prawą stronę czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że nie jest prawdziwe (~Yd) zdanie:
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH)
D: ~Yd=P*~CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
D: ~Yd=1 <=> P=1 i ~CH=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
stąd mamy:
D: (~Yd=1) = B: (Yd=0)
Stąd zapis tożsamy:
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
D.
Fałszem jest (=0), że prawdziwe jest zdanie (Yd):
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1

Zauważmy, że zdanie 1 opisuje wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne jakie jutro mogą zajść.
Zdanie 1:
A: Ya = ~P~~>CH = ~P*CH=1*1=1 - jutro może nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
B: Yb = ~P~~>~CH = ~P*~CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
C: Yc = P~~>CH = P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)

Zdanie 2:
Natomiast zdanie 2 opisuje zdarzenie fizycznie niemożliwe.
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
D.
Fałszem jest (=0), że prawdziwe jest zdanie (Yd):
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1

Podsumowanie:
Jutro ma szansę wystąpić wyłącznie jedno ze zdarzeń rozłącznych Ya albo Yb albo Yc.
Logiczne jedynki które opisują te zdarzenia są jedynkami miękkimi tzn. nie widomo która z tych jedynek będzie jutro twardą jedynką. Pewne jest tylko, że jeśli jedno z trzech możliwych zdarzeń {Ya, Yb, Yc} przyjmie wartość twardej jedynki to w tym momencie trzy pozostałe zdarzenia będą twardym fałszem.

Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka może zajść ale nie musi

Przykład:
W opisie przyszłości (jutro) wszystkie zdarzenia Ya, Yb oraz Yc są miękkimi jedynkami, mogą zajść ale nie muszą

Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero może zajść ale nie musi

Przykład:
Dowolne ze zdarzeń Ya, Yb, albo Yc może w przyszłości przyjąć wartość logiczną 0

Definicja twardego zera:
Twarde zero to pojęcie/zdarzenie które nie ma szans na zmianę wartości logicznej z zera na jedynkę.

Przykład:
Jeśli jutro zajdzie zdarzenie Ya (twarda jedynka) to czasu nie da się cofnąć i spowodować by zaszło zdarzenie Yb albo Yc (twarde zera).

Zauważmy, że zdarzenie Yd jest twardym fałszem (=0) od minus do plus nieskończoności co oznacza, że w naszym Wszechświecie niemożliwy jest (=0) przypadek Yd: pada (P) i nie jest pochmurno ~CH)

Więcej na temat miękkich jedynek i zer oraz twardych jedynek i zer można poczytać w punkcie 21.0

Synek:
Tata, ja poszczególne zdania doskonale rozumiem, bo mieliśmy w szkole podstawy algebry Kubusia.

Problem w tym że:
Po pierwsze:
Trzeba znać tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego => oraz skomplikowaną dla normalnego człowieka algebrę Boole'a, by wyprowadzić prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
plus trzeba rozpisać to prawo na serię czterech zdarzeń rozłącznych jak to zrobiłeś wyżej, bowiem wtedy i tylko wtedy zrozumiemy sens wszystkich zdań składowych Ya, Yb, Yc i Yd wchodzących w skład definicji warunku wystarczającego => wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+).

Po drugie i najważniejsze:
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
zabijamy występującą tu gwarancję matematyczną, bowiem każdy warunek wystarczający => to w istocie gwarancja matematyczna =>

21.5.2 Implikacja prosta P|=>CH

W algebrze Kubusia mamy tak:
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).

Nasz przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
innymi słowy:
Padanie (P) daje nam gwarancję matematyczną => że jest pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd

Zauważmy, że wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej w zapisach formalnych (ogólnych):
Warunek wystarczający: p=>q = ~p+q ## Warunek konieczny: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy dowód, iż nasze zdania A1 i B1 wchodzą w skład definicji implikacji prostej P|=>CH.

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1

Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1

W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Kod:

IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
       A1B1:         A2B2:       |     A3B3:        A4B4:
Zapis formalny:
A:  1: p=>q   =1  = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p   =1 =  4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0                [=]                 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A:  1: P=>CH  =1  = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P  =1 =  4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0                [=]                 4:~CH~~>P=0
       ##              ##               ##            ##
Zapis formalny:
B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p   =0 =  4:~q~>~p =0
B':                 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B:  1: P~>CH =0   = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P  =0 =  4:~CH~>~P=0
B':                 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q), co wyżej zrobiliśmy, nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie P (kolumna A1B1) i nie padanie ~P (kolumna A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?

Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.3.1.

21.5.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w przedszkolu

Udajmy się do przedszkola by potwierdzić tezę, że 5-cio latki w praktyce języka potocznego doskonale znają matematyczną wersję analizy operatora implikacji prostej P||=>CH przedstawioną w punkcie 3.3.1.

Jaś (lat 14) testuje czy Zuzia (lat 5) zna teorię algebry Kubusia przedstawioną w tabeli prawdy IP.

Jaś:
Powiedz mi Zuzia co jutro może się wydarzyć w odniesieniu do padania (deszczu) i chmurki jeśli jutro będzie padało?
Komentarz:
Odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało?
mamy w kolumnie A1B1 w tabeli prawdy IP

Zuzia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na pewno => będzie pochmurho (CH)
P=>CH =1
Padanie deszczu wymusza => istnienie chmur bo padać może wyłącznie z chmury.
Innymi słowy:
Padanie deszczu gwarantuje nam => istnienie chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Innymi słowy:
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na pewno => = Wymusza => = Gwarancja => = Warunek wystarczający =>

Jaś:
Czy możliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Zuzia:
A1'
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada i nie jest pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
cnd
Komentarz:
To jest dowód bezpośredni zrozumiały przez każdego 5-cio latka, fałszywości kontrprzykładu A1'
A1'.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Fałszywość kontrprzykładu A1' wymuszona jest przez prawdziwość warunku wystarczającego:
A1: P=>CH =1
Nie musimy udowadniać fałszywości zdania A1' w sposób bezpośredni, choć w tym przypadku to jest oczywistość jak wyżej.

Jaś:
Brawo Zuzia.
Powiedz mi teraz co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Komentarz:
Ten przypadek opisuje kolumna A2B2 w tabeli IP.

Zuzia:
B2B2':
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> (A2) nie być pochmurno (~CH) lub może ~~> (B2') być pochmurno (CH)

Jaś:
Brawo, weźmy pierwszą część zdania A2B2' które wypowiedziałaś:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Czy brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH)?

Zuzia:
Tak, brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH), bo jak pada (P) to zawsze => są chmury (CH)
Komentarz:
Zauważmy, że prawo Kubusia samo tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1

LUB

Jaś:
Weźmy teraz drugą część zdania A2B2' które wypowiedziałaś.
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Czy możliwe jest zdarzenie B2'?

Zuzia:
B2'.
Tak, możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmuro (~CH)
To jest oczywiste dla każdego 3-latka, a ja mam lat 5.

Wnioski:
Jak widzimy, Zuzia teoretycznie nie ma pojęcia o tabeli prawdy IP którą w istocie jej mózg się posługuje, czego dowodem jest jej perfekcyjna odpowiedzieć na dwa kluczowe tu pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)? - zdania A1 i A1', kolumna A1B1 w tabeli prawdy IP
2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)? - zdania A2 i B2', kolumna A2B2 w tabeli prawdy IP

Podsumowanie:
Żadna ze znanych ziemianom logik matematycznych nie zna zapisanej wyżej tabeli prawdy implikacji prostej IP: P|=>CH którą w praktyce doskonale się posługuje mózg każdego 5-cio latka, co wyżej udowodniono.
Innymi słowy:
Logika matematyczna ziemskich matematyków nie dorasta do pięt logice matematycznej, którą na co dzień posługują się mózgi wszystkich 5-cio latków.

21.6 Tożsamość Hipcia p=>q = p<=>q + ~p*q

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2900.html#719741
Irbisol, to mój 15-letni partner w dyskusji na temat logiki matematycznej.
Irbisol napisał:

Jest to zapis ogólny warunku wystarczającego p=>q
p=>q = p<=>q + ~p*q

Skąd Irbisol wytrzasnął tą tożsamość?
Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) = ~p+q
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
Y = (p=>q) = ~p+q = ~p*q + ~p*~q + p*q
Suma logiczna (+) jest przemienna, stąd mamy prawo eliminacji warunku wystarczającego => w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych A, B i C
1.
p=>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: ~p*q
2.
Prawo eliminacji równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawiając 2 do 1 mamy:
3.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q

21.6.1 Tożsamość Hipcia w świecie martwym i w matematyce

W świecie martwym i w matematyce tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
jest fałszywa, co można udowodnić w dwóch krokach na gruncie matematyki (teorii zbiorów):
Krok 1 - dowód fałszywości tożsamości Hipcia dla zbiorów tożsamych p=q
Krok 2 - dowód fałszywości tożsamości Hipcia dla zbiorów nietożsamych p##q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Krok 1
Zbadajmy tożsamość Hipcia dla zbiorów tożsamych p=q gdzie zachodzi równoważność p<=>q.

Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów tożsamych p=q:
1
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
Dla równoważności p<=>q prawdziwej, na mocy prawa Irbisa mamy tożsamość zbiorów p=q, stąd:
~p*q = ~p*p=0
cnd
4.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej:
p=>q := p<=>q
:= - redukcja równania logicznego na mocy definicji tożsamości zbiorów p=q
5.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
Dowód fałszywości tożsamości Hipcia na gruncie matematyki:
p=>q =~p+q ## p<=>q = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Przykład:
1.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
Przyjmijmy:
p=TP
q=SK
2.
Weźmy równoważność Pitagorasa:
A1: TP=>SK =1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: TP=>SK=1
B3: SK=>TP=1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: SK=>TP
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu, stąd na mocy prawa Irbisa mamy tożsamość zbiorów TP=SK
3.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy są w relacji równoważności TP<=>SK
TP=SK = A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Równoważność Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu, zatem zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
4.
Podstawmy to do tożsamości Hipcia:
TP=>SK = (TP<=>SK) + ~TP*SK = (TP<=>SK) + ~TP*TP := (TP<=>SK) + 0 =TP<=>SK
bo:
Na mocy prawa Irbisa mamy:
TP=SK
stąd:
~TP*SK = ~TP*TP=0
Stąd mamy:
TP=>SK := TP<=>SK
Gdzie:
:= - minimalizacja funkcji logicznej na mocy prawa Irbisa
Stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną bo:
TP=>SK := TP<=>SK
Czyli:
Y = (TP=>SK) = ~TP+SK ## Y = (TP<=>SK) = TP*SK + ~TP*~SK
To samo w zapisie ogólnym:
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
W matematyce tożsamość Hipcia została obalona dla zbiorów tożsamych TP=SK
cnd

Krok 2

Zbadajmy tożsamość Hipcia dla zbiorów nietożsamych p##q gdzie zachodzi warunek wystarczający p=>q.
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji

Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów nietożsamych p##q:
1
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Dla zbiorów nietożsamych p##q mamy:
p<=>q =0 - na mocy prawa Irbisa
Stąd:
p=>q = p<=>q +~p*q := 0+~p*q
p=>q := ~p*q
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
4.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q - wyprowadzenie w punkcie 2.10
5.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej w tożsamości Hipcia:
Y = (p=>q) =~p+q ## Y = (p|=>q) = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Przykład:
Wprowadzenie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk łatwo udowodni tu relację podzbioru P8=>P2.
Z faktu, że zbiór P8 jest podzbiorem => P2 oraz zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] są różne na mocy definicji ## wnioskujemy, iż spełniony jest tu warunek wystarczający P8=>P2 wchodzący w skład implikacji prostej P8|=>P2.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
P8|=>P2 = ~P8*P2
Dowód w punkcie 2.10.

Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów nietożsamych P8##P2:

1.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
Przyjmijmy:
p=P8
q=P2
Stąd:
P8=>P2 = P8=>P2 + ~P8*P2
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Dla zbiorów nietożsamych p##q mamy:
p<=>q =0 - na mocy prawa Irbisa
Stąd:
p=>q = p<=>q +~p*q := 0+~p*q
p=>q := ~p*q
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa

Tożsamość Hipcia dla naszego przykładu:
P8=>P2 = P8<=>P2 + ~P8*P2 := 0 + ~P8*P2
bo:
P8<=>P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] nie są (=0) tożsame
Stąd mamy:
P8=>P2 := ~P8*P2
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
4.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q - wyprowadzenie w punkcie 2.10
5.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej w tożsamości Hipcia:
Y = (p=>q) =~p+q ## Y = (p|=>q) = ~p*q
Nasz przykład:
Y = (P8=>P2)=~P8+P2 ## Y = (P8|=>P2) = ~P8*P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

Podsumowanie:
Tożsamość Hipcia została obalona zarówno dla zbiorów tożsamych TP=SK jak i nietożsamych P8##P2.

Wniosek:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Hipcia:
3.
p=>q = p<=>q + ~p*q
jest fałszywa, co w 100-milowym lesie uczeń I klasy LO Jaś, udowodni w dwóch krokach jak wyżej.

21.6.2 Tożsamość Hipcia w świecie żywym

Zauważmy, że w świecie żywym, mającym "wolną wolę", tożsamość Hipcia jest prawdziwa

Definicja "wolnej woli" istot żywych:
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym

Dowód prawdziwości tożsamości Irbsola w świecie żywym.

Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q

Podstawmy:
p= K (kino)
q= T (teatr)
Stąd mamy:
TI.
K=>T = A: K<=>T + B: ~K*T

Wypowiedzmy prawą stronę tożsamości Hipcia:.
TI.
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T) lub nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y = (K=>T) = A: K<=>T lub B: ~K*T
Zauważmy, że w świecie żywym prawdziwa może być zarówno równoważność A: K<=>T jak i połączony spójnikiem "lub"(+) człon:
Yb=~K~~>T = ~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Każdy z członów rozłącznych A albo B ma szansę jutro zajść, zatem nie możemy tu w jakikolwiek sposób minimalizować tożsamości Hipcia.

Zauważmy, że równanie TI, choć poprawne matematycznie to sztuka dla sztuki, czyli w praktyce języka potocznego nieużywane.

Uwaga:
W języku potocznym nieużywane jest również prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
Y = (K=>T) = ~K+T = K*T + ~K*~T + ~K*T
Dowód w punkcie 21.4

21.7 Tożsamość Geparda p+q = p$q + p*q

Analogiczna do tożsamości Irbisiola jest tożsamość Geparda.

1.
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych A, B, C:
Y = p+q = A: p*~q + B: ~p*q + C: p*q
2.
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
3.
Podstawiając 2 do 1 mamy.
Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q

21.7.1 Tożsamość Geparda w świecie martwym i w matematyce

Rozważmy zdanie:
Dowolny człowiek Y mówi prawdę (P) lub kłamie (K)
Y = P+K

Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q

Podstawmy nasz przykład:
p= P (mówi prawdę)
q = K (kłamie)

Stąd mamy:
Tożsamość Geparda:
Y = P+K = AB: P$K + C: P*K
Zauważmy, że dowolny człowiek nie może równocześnie mówić prawdy (P) i kłamać (K)
stąd człon C w świecie martwym i w matematyce oraz w świecie niezależnym od wolnej woli człowieka (nasz przypadek) jest fałszem (=0)
C: Yc= P*K =0

Stąd mamy minimalizację tożsamości Geparda:
Y = P+K = AB: P$K + C: P*K := AB: P$K + 0 = AB: P$K
Gdzie:
:= - minimalizacja równania na mocy teorii zdarzeń

Stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną bo:
Y = P+K ## Y = AB: P$K = A: P*~K + B: ~P*K
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
Y = p+q ## Y= AB: p$q = A: p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Geparda została obalona dla zdarzeń rozłącznych A, B, C.
cnd

21.7.2 Tożsamość Geparda w świecie żywym

Zobaczmy jak zachowuje się tożsamość Geparda w świecie żywym gdzie w grę wchodzi "wolna wola" istoty żywej.

Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q

Podstawmy;
p = K (kino)
q = T (teatr)

Tożsamość Geparda przyjmuje tu postać:
Y = K+T = AB: K$T + C: K*T

Środek tożsamości Geparda jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka.

Pani w przedszkolu:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Korzystając z definicji spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*~q + B: ~p*q + C: p*q
mamy dla naszego przykładu:
Y = K+T = A: K*~T + B: ~K*T + C: K*T
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i ~T=1 lub B: ~K=1 i T=1 lub C: K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
B: Yb=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: Yc=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Gdzie:
Y = Ya + Yb + Yc
Wystarczy, że którakolwiek z funkcji cząstkowych Ya, Yb, Yc przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja Y przyjmie wartość logiczną 1 (Y=1).
Zauważmy, że w przeciwieństwie do świata martwego i matematyki nie mamy tu szans na wyrugowania jakiegokolwiek członu funkcji logicznej Y.

Tożsamość Geparda dla naszego przykładu:
Y = K+T = AB: K$T + C: K*T

Poprawne matematycznie jest w tym przypadku zdanie złożone (prawa strona tożsamości Geparda).
ABC:
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru lub pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
Y = AB: K$T + C: K*T
Spójnik "albo"($) to z definicji wybór jednej z dwóch możliwości, tu wybieramy między pójściem do kina (K) "albo"($) pójściem do teatru (T) - człon AB.
Dodatkowo mamy tu możliwość jednoczesnego pójścia do kina (K) i do teatru (T) - człon C.
W żadnym z powyższych przypadków nie zostaniemy kłamcą.

W języku potocznym człowiek prawie nigdy nie wypowiada spójnika "albo"($) zastępując go zawsze i wszędzie spójnikiem "lub"(+). Teoretycznie, gdyby nasz mózg był komputerem, to tego nie wolno robić. Na szczęście mózg każdego 5-cio latka nie jest komputerem i doskonale sobie z tym zastępstwem radzi, czego dowód mamy w punkcie 7.0.

21.8 Tożsamość Pumy p~~>q = p<=>q + p$q

Chaos p|~~>q, czyli zdanie zawsze prawdziwe poznaliśmy w punkcie 8.0
Istota operatora chaosu p||~~>q to seria czterech zdań prawdziwych kodowanych zdarzeniami możliwymi i rozłącznymi przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Stąd mamy:
Definicja zdania zawsze prawdziwego ~~> wynikła z operatora chaosu p||~~>q to:
p~~>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
p<=>q = p*q + ~p*~q

Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "lub"(+) i "i"(*)
p$q = p*~q + ~p*q

Stąd mamy:

Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q

21.8.1 Tożsamość Pumy w świecie martwym i w matematyce

Definicja zdania zawsze prawdziwego ~~> wynikła z operatora chaosu p||~~>q to:
p~~>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q
Dla zdania zawsze prawdziwego ~~> prawdziwe muszą być wszystkie cztery człony A, B, C i D

Dziedzina fizyczna dla zdania zawsze prawdziwego ~~> to suma logiczna członów ABCD.
Dowód:
Y = A: p*q + C: p*~q + B: ~p*~q + D: ~p*q - bo suma logiczna (+) jest przemienna
Stąd mamy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
Dziedzina fizyczna jest poprawna.
cnd

Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q

Stąd:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Pumy jest fałszem bo:
1.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
Równanie zdania zawsze prawdziwego ~~>:
Y = (p~~>q) = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q = TR: p<=>q + C: p*~q + D: ~p*q
Zbiory/zdarzenia w członie TR na 100% nie są tożsame p##q bo może być prawdziwy człon C albo D.
Wniosek:
Tożsamość Pumy jest fałszywa w świecie martwym i w matematyce.

Przykład:
Weźmy sztandarowe zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

Dowód formalny iż zdanie A jest częścią operatora chaosu ABCD: P8||~~>P3 (pkt. 18.1.1) to analiza funkcji cząstkowych ABCD przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Kod:

Dowód iż zdanie A: P8~~>P3 jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3:
A: P8~~> P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
B:~P8~~>~P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P3 np. 1
C: P8~~>~P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P3 np. 8
D:~P8~~> P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P3 np. 3
cnd

Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q

Zapiszmy tożsamość Pumy dla naszego przykładu:
P8~~>P3 = TR: P8<=>P3 + TA: P8$P3

Zauważmy, że na gruncie matematyki oba człony po prawej stronie tożsamości Pumy są fałszem (=0):
TR: P8<=>P3 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12..] nie są tożsame
TA: P8$P3 =0 - bo dowolna liczba naturalna nie należy tylko i wyłącznie do zbiorów P8 albo P3

Wniosek:
Tożsamość Pumy na gruncie teorii zbiorów (matematyka) jest totalnie fałszywa:
Y = (P8~~>P3) ## Y = TR: P8<=>P3 + TA: P8$P3
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

21.8.2 Tożsamość Pumy w świecie żywym

Definicja "wolnej woli":
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej obowiązujących w świecie martwym i w matematyce

Definicja "wolnej woli" obowiązuje tylko i wyłącznie w świecie żywym, bowiem świat martwy z definicji nie może złamać jakiegokolwiek prawa logiki matematycznej, pod którą sam podlega.

Wniosek:
Wyłącznie w świecie żywym mającym "wolną wolę" równanie zdania zawsze prawdziwego ~~> możemy zapisać w postaci tożsamości Pumy.

Tożsamość Pumy:
Zdanie zawsze prawdziwe w postaci p~~>q = p<=>q + p$q
Y = p~~>q = p<=>q + p$q

Podstawmy:
p= K (kino)
q= T (teatr)

Stąd mamy tożsamość Pumy w zapisie aktualnym:
Y = K~~>T = K<=>T + K$T

Środek to zdanie zawsze prawdziwe zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.

Pani w przedszkolu:
A1.
Możliwe, że jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K~~>T = A: K*T + B: ~K*~T + C: K*~T + D: ~K*T
Oczywistym jest, ze cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie skłamie.
Zdaniem A1 pani przedszkolanka sonduje chęć dzieci pójścia do kina (K) lub do teatru (T)
Konkretną obietnicę złoży obserwując reakcję dzieci.

Może przykładowo powiedzieć:
A2.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Gdy zobaczy, że za pójściem do kina są prawie wszystkie dzieci.

Zauważmy, że pani przedszkolanka może tu skorzystać z tożsamości Pumy … tylko które dziecko ją zrozumie?

Tożsamość Pumy w odniesieniu do zdania zawsze prawdziwego:
Y = K~~>T = AB: K<=>T + CD: K$T

Prawą stronę czytamy:
ABCD:
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy <=> gdy pójdziemy do teatru (T) lub pójdziemy do kina (K) "albo"($) do teatru (T)
Y = AB: K<=>T + CD: K$T
Jest oczywistym, że zdanie ABCD mimo że matematycznie poprawne i tożsame ze zdaniem A1, ale to jest sztuka dla sztuki, w języku potocznym niewystępująca.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:20, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:00, 24 Lip 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań "Jeśli p to q"

Spis treści
22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań "Jeśli p to q" 1
22.1 Cytat wykładowcy logiki matematycznej Volratha 1
22.2 Prawo Krokodyla 4
22.2.1 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji prostej p||=>q 4
22.2.2 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q 6
22.2.3 Twarde jedynki w operatorze równoważności p|<=>q 8
22.2.4 Twarde jedynki w operatorze "albo" p|$q 10
22.2.5 Brak twardych jedynek w operatorze chaosu p||~~>q 12


22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań "Jeśli p to q"

Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dedykowany jest matematykom znającym logikę matematyczną zwaną "Klasyczny Rachunek Zdań".
Algebra Boole’a jest fundamentem KRZ, zatem wszelkie prawa algebry Boole’a muszą być honorowane przez KRZ.

22.1 Cytat wykładowcy logiki matematycznej Volratha

2023-01-24
Największą dla mnie niespodzianką w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia jest wykorzystanie cytatu wykładowcy logiki matematycznej Volratha z roku 2008 do udowodnienia wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".

Algebra Kubusia która spełnia wymagania poprawnej logiki matematycznej z cytatu Volratha jest wewnętrznie niesprzeczna. Najśmieszniejszy w tym wszystkim jest fakt, że na mocy cytatu Volratha rachunek predykatów w algebrze Kubusia jest zbędny, nie ma prawa bytu!

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-100.html#72062
Wysłany: Śro 13:43, 10 Gru 2008
wykładowca logiki matematycznej volrath napisał:

Niestety bazowa logika Boole'a domyślnie zakłada, że wszystkie jedynki są miękkie, a zera twarde. Tak już jest skonstruowana - jeśli z zdania wychodzi 0, to znaczy, że na pewno nie ma obiektu spełniającego to zdanie, a jeśli 1 - to może być, ale nie musi. Rozumienie, że "na pewno jest obiekt spełniający zdanie" nie mieści się w logice Boole'a.

Czyli trzeba zrobić tak:
0 - twarde zero
1 - twarda jedynka
2 - miękkie coś (jedynka lub zero - są równoważne)


Alternatywnie należałoby dodać do logiki rachunek predykatów pierwszego rzędu (i tak się robi obecnie, w ogóle logika nie rozpoznaje zdania "jeśli p to może q", chociaż jedno jego rozumienie jako warunku koniecznego da się zapisać logiką Boole'a, a drugie da się zapisać rachunkiem predykatów lub rozszerzając logikę Boole'a do trójwartościowej - w sumie to rachunek predykatów jest po to by zdania zawierające "dla każdego" i "istnieje" jakoś przetwarzać.)

W sumie to ciekawy problem - poprawne skonstruowanie logiki trójwartościowej tak, by nie potrzeba było rachunku predykatów do przetwarzania zdań "istnieje" i "dla każdego" oraz zawierał trzy wartości "prawda" = twarda prawda, "fałsz" = twardy fałsz i "może" = miękki fałsz/prawda.

Ludzie na co dzień przetwarzają zdania typu "istnieje X" i "dla każdego ze zbioru Y zachodzi Z". I część tych zdań nie mieści się w logice podstawowej (wymaga rachunku predykatów) - a może powinna.

Jak widzimy, wykładowca logiki matematycznej Volrath napisał czego brakuje w logice matematycznej ziemian i to czego brakuje jest w algebrze Kubusia!
W algebrze Kubusia zawsze gdy jest twarde zero jest też twarda jedynka, której logika zwana KRZ nie widzi z powodu prawa eliminacji warunku wystarczającego => (w KRZ prawo eliminacji implikacji =>)

Najważniejsza uwaga do cytatu Vorahta:
Algebra Kubusia jest logiką dwuwartościową bo w każdej chwili czasowej mamy do wyboru jedną z dwóch możliwości a mimo to AK obsługuje zdania warunkowe "Jeśli p to może q".

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Wnioski z cytatu Voratha:

1.
Prawo Krokodyla:

W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.

Uwaga:
W algebrze Kubusia pod logikę matematyczną podlegają zdania warunkowe „Jeśli p to q” spełniające algorytm Puchacza (pkt. 2.11), wszelkie inne zdania są w AK fałszywe.

Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
Na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q=1 (twarda jedynka) wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>~q=0 (twarde zero) i odwrotnie

Przykład dla zbiorów:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Twarda jedynka w A1: p=>q =1 wymusza twarde zero w kontrprzykładzie A1’: p~~>~q=0 (twarde zero) i odwrotnie

Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarde zero to fałszywość zdania A1’: p~~>~q =0 kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) lub elementem wspólnym zbiorów ~~> (dla zbiorów) w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
Na mocy definicji fałszywy kontrprzykład A1’: p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwy warunek wystarczający => A1: p=>q (twarda jedynka) i odwrotnie.

Przykład dla zbiorów:
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1’: p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Możliwy jest ~~> przypadek: zajdzie p i nie zajdzie q
Twarde zero w A1’: p~~>~q =0 wymusza twardą jedynkę w warunku wystarczającym => A1: p=>q =1 (i odwrotnie)
Notacja w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1 oznaczamy A1’

Szczegóły:
1.
W obsłudze implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q poprawna logika matematyczna musi widzieć jedno twarde zero i jedną twardą jedynkę, oraz dwie jedynki miękkie
2.
W obsłudze równoważności p<=>q i spójnika "albo"$ poprawna logika matematyczna musi widzieć dwa twarde zera i dwie twarde jedynki (zero jedynek miękkich)
3.
W obsłudze chaosu p|~~>q gdzie mamy same jedynki w kolumnie wynikowej nie ma ani jednego twardego zera, a tym samym nie ma warunku wystarczającego =>, wszystkie cztery jedynki są tu miękkimi jedynkami.

2.
Prawo Aligatora:

W logice matematycznej niesprzecznej na mocy prawa Krokodyla (algebra Kubusia) rachunek predykatów jest zbędny, nie ma prawa bytu!

3.
Sprzeczność KRZ:

Ziemska logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań z powodu obligatoryjnego korzystania z prawa eliminacji warunku wystarczającego => (w KRZ implikacji =>) z definicji nie widzi jakiegokolwiek warunku wystarczającego => (twardej jedynki), co oznacza iż jest wewnętrznie sprzeczna.

4.
Prawo Mamuta
(którego już nie ma):
Ziemski matematyk który zastosuje prawo eliminacji warunku wystarczającego => (w KRZ implikacji =>):
p=>q = ~p+q
w odniesieniu do zdania warunkowego "Jeśli p to q" popełnia błąd fatalny, bo zabija warunek wystarczający => (twardą jedynkę)

22.2 Prawo Krokodyla

Prawo Krokodyla:
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.

22.2.1 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia operator implikacji prostej p||=>q opisany jest jedna twardą jedynką, jedynym twardym zerem, oraz dwoma jedynkami miękkimi, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.1.2

Cytuję:
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q:
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Kod:

T1
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
                Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
                Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q =1
A2: ~p~>~q =1 - bo prawo Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q
                Miękka jedynka w A2 na mocy definicji p||=>q
LUB
B2':~p~~>q =1 - fałszywy B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2'
                Miękka jedynka w B2' na mocy definicji p||=>q

Prawo Krokodyla (pkt 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.

Jak widzimy, w operatorze implikacji prostej p||=>q mamy jedną twardą jedynkę (A1), jedno twarde zero (A1') oraz dwie miękkie jedynki (A2 i B2') wymuszone definicją tego operatora, co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku.

Definicja twardej jedynki:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Definicja twardego zera:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.

Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka może zajść, ale nie musi.

Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero może zajść, ale nie musi.

Jak działają w praktyce miękkie jedynki i miękkie zera?
W operatorze implikacji prostej p||=>q dwie miękkie jedynki mamy na pozycjach A2 i B2’.

Przypadek 1.

Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii A2.
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
A2: ~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Innymi słowy, może się zdarzyć pojedyncze iterowanie ~~>:
Y(A2) = ~p~~>~q = ~p*~q=1
Co w logice jedynek oznacza:
Y(A2)=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Dla tego przypadku zdanie B2’ będzie miękkim fałszem:
B2’ = ~p~~>q = ~p*q =0
Dowód:
Z założenia Y(A2) mamy:
(~q=1)=(q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd mamy:
Y(B2’) =~p*q = 1*0 =0
cnd

Wniosek:
Miękka jedynka w linii A2 wymusza miękkie zero w linii B2’ (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.

Przypadek 2.

Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii B2’.
B2’
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Innymi słowy może się zdarzyć pojedyncze iterowanie:
Y(B2’) = ~p*q =1
Co w logice jedynek oznacza:
Y(B2’)=1 <=> ~p=1 i q=1

Dla tego przypadku zdanie A2 będzie miękkim fałszem:
A2 = ~p~~>~q = ~p*~q =0
Dowód:
Z założenia Y(B2’) mamy:
(q=1)=(~q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd mamy:
Y(A2) = ~p*~q = 1*0 =0
cnd

Wniosek:
Miękka jedynka w linii B2’ wymusza miękkie zero w linii A2 (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.

22.2.2 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia operator implikacji odwrotnej p||~>q opisany jest jedną twardą jedynką, jedynym twardym zerem, oraz dwoma jedynkami miękkimi, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.3.2

Cytuję:
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q

Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
Kod:

T1
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
B1:  p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
                Miękka jedynka w B1 na  mocy definicji p||~>q
LUB
A1': p~~>~q=1 - fałszywy A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1'
                Miękka jedynka w A1' na mocy definicji p||~>q
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
B2: ~p=>~q =1 - bo prawo Kubusia B1: p~>q = B2: ~p~>~q
                Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
                Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)

Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.

Jak widzimy, w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q mamy jedną twardą jedynkę (B2), jedno twarde zero (B2') oraz dwie miękkie jedynki (B1 i A1') wymuszone definicją tego operatora, co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku

Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka może zajść, ale nie musi.

Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero może zajść, ale nie musi.

Jak działają w praktyce miękkie jedynki i miękkie zera?
W operatorze implikacji odwrotnej p||~>q dwie miękkie jedynki mamy na pozycjach B1 i A1’.

Przypadek 1.

Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii B1.
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy, może się zdarzyć iterowanie:
Y(B1) = p~~>q = p*q=1 - pojedyncze iterowanie
Co w logice jedynek oznacza:
Y(B1)=1 <=> p=1 i q=1

Dla tego iterowania zdanie A1’ będzie miękkim fałszem:
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Y(A1’) = p~~>~q = p*~q =0
Dowód:
Z założenia Y(B1) mamy:
(q=1)=(~q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd dla tego iterowania mamy:
Y(A1’) = p*~q = 1*0 =0
cnd

Wniosek:
Miękka jedynka w linii B1 wymusza miękkie zero w linii A1’ (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.

Przypadek 2.

Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii A1’.
A1’
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1’ = p~~>~q = p*~q =1
Innymi słowy, może się zdarzyć iterowanie:
Y(A1’) = p~~>~q = p*~q=1 - pojedyncze iterowanie
Co w logice jedynek oznacza:
Y(A1’)=1 <=> p=1 i ~q=1

Dla tego iterowania zdanie B1 będzie miękkim fałszem:
Y(B1) = p~~>q = p*q =0
Dowód:
Z założenia Y(A1’) mamy:
(~q=1)=(q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd mamy:
Y(B1) = p*q = 1*0 =0
cnd

Wniosek:
Miękka jedynka w linii A1’ wymusza miękkie zero w linii B1 (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.

Definicja twardej jedynki:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
B2.
Innymi słowy, jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q

Definicja twardego zera:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu B2’: ~p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.

22.2.3 Twarde jedynki w operatorze równoważności p|<=>q

W algebrze Kubusia operator równoważności p|<=>q opisany jest dwoma twardymi jedynkami i dwoma twardymi zerami, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.5.2

Definicja tabeli prawdy operatora równoważności p|<=>q:
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q

Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q:
Kod:

T1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1:  p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
                Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
                Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
                Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
                Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)

Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.

Jak widzimy, w operatorze równoważności p|<=>q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku

I.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie p

Definicja twardej jedynki po stronie p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Definicja twardego zera po stronie p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.

Podsumowując:
Twarda jedynka w linii A1 wymusza twarde zero w linii A1’ (i odwrotnie).

II.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie ~p


Definicja twardej jedynki po stronie ~p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
B2.
Innymi słowy, jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q

Definicja twardego zera po stronie ~p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu B2’: ~p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.

Podsumowując:
Twarda jedynka w linii B2 wymusza twarde zero w linii B2’ (i odwrotnie).

22.2.4 Twarde jedynki w operatorze "albo" p|$q

W algebrze Kubusia operator "albo" p|$q opisany jest dwoma twardymi jedynkami i dwoma twardymi zerami, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.8.2

Cytuję:
Definicja tabeli prawdy operatora "albo" p|$q:
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q

Tabela prawdy operatora "albo" p|$q na mocy analizy w poprzednim punkcie:
Kod:

T1
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q
A1B1:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A1:  p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
                Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>q =0 - prawdziwość A1: p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
                Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2:
~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
B2: ~p=> q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
                Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>~q=0 - prawdziwość B2:~p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
                Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)

Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.

Jak widzimy, w operatorze "albo" p|$q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku

I.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie p


Definicja twardej jedynki po stronie p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1

Definicja twardego zera po stronie p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>~q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.

Przykład:
A1’.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
Nie może się zdarzyć ~~> (=0), że dowolny człowiek jest jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
To samo w zapisach formalnych:
p~~>q = p*q =0

Podsumowując:
Twarda jedynka w linii A1 wymusza twarde zero w linii A1’ (i odwrotnie).

II.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie ~p


Przykład o mężczyźnie i kobiecie dla tego przypadku znajdziemy w punkcie 17.5.1

Definicja twardej jedynki po stronie ~p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
B2.
Innymi słowy, jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
B2: ~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q

Definicja twardego zera po stronie ~p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
B2’: ~p~~>~q = ~p*~q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu B2’: ~p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.

Podsumowując:
Twarda jedynka w linii B2 wymusza twarde zero w linii B2’ (i odwrotnie).

22.2.5 Brak twardych jedynek w operatorze chaosu p||~~>q

Tu posłużę się dwoma, kluczowymi odnośnikami:

Punkt 10.10
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1

Punkt 10.10.2
Definicja tabeli prawdy operatora chaosu p||~~>q:
Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q

Zauważmy, że w operatorze chaosu p||~~>q z definicji nie ma żadnego warunku wystarczającego ~> co wymusza brak warunku koniecznego ~>.
Stąd w tabeli operatora chaosu p||~~>q w analizie tego operatora przez wszystkie możliwe przeczenia p i q muszą być wszędzie wynikowe jedynki.

Zapiszmy tabele prawdy operatora chaosu p||~~>q wyprowadzoną w poprzednim punkcie dla ułatwienia upraszczając indeksowanie, co jest bez znaczenia
Kod:

T2
Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q
A: p~~> q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.

W operatorze chaosu p||~~>q wszystkie jedynki są miękkie, nie ma tu żadnego warunku wystarczającego =>, zatem nie ma tu ani jednej twardej jedynki, co pociąga za sobą brak twardego zera.
Prawo Krokodyla jest oczywiście spełnione, co oznacza brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:41, 28 Sty 2024, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:12, 24 Lip 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a

Spis treści
23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a 1
23.1 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym => 2
23.1.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym => 5
23.2 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=> 11
23.2.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=> 16


23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.5.7 i 1.5.8)

Tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że nie zna ona pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y), akceptując wyłącznie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y).

Na początek przypomnijmy sobie kluczową definicję funkcji alternatywno-koniunkcyjnej podaną w punkcie 1.14.2 często używaną w poniższych rozważaniach.

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną

Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.

Wniosek:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.

W tym miejscu czytelnik proszony jest o przypomnienie sobie wiadomości elementarnych w kwestii warunków wystarczających => i koniecznych ~> zawartych w punktach 2.4 do 2.5

23.1 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym =>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym (pkt. 2.5)
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań

Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q oraz definicji kontrprzykładu w zdarzeniach nasza tabela T0 przyjmuje szczegółową postać implikacji prostej p|=>q
Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
       A1B1:         A2B2:    |     A3B3:         A4B4:           A5B5:
       Y=            Y=             Y=            Y=              Y=
A:  1: p=> q= 1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1  = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q
A’: 1: p~~>~q=0 =                              4:~q~~>p=1
       ##            ##             ##            ##              ##
       Y=            Y=             Y=            Y=              Y=
B:  1: p~> q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=> p =0 = 4:~q~>p =0 [=] 5:  p+~q
B’:               2:~p~~>q=1     3: q~~>~p=1
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
##
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych na bazie kolumn A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p

Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: (p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może być jeśli zajdzie ~p?

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno.

Na mocy prawa Kłapouchego (pkt. 2.7) nasz punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania mamy w punkcie 3.4.1.

Rozwiązanie skrótowe jest następujące:
Operator implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?

Skrócona, symboliczna tabela prawdy operatora P||=>CH jest następująca:
Kod:

T1.
Operator implikacji prostej P||=>CH w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
A1:   P=> CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
A1’:  P~~>~CH=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie jest pochmurno
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
A2:  ~P~> ~CH=1 – brak padania jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur
B2’: ~P~~> CH=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i jest pochmurno

Cechą charakterystyczną algebry Kubusia jest jej przełożenie na język potoczny w przełożeniu 1:1.
Przejdźmy z naszego przykładu na zapis ogólny przez podstawienie:
p=P(pada)
q=CH(chmury)

Stąd mamy tabelę T1 w zapisie ogólnym:
Kod:

T1.
Operator implikacji prostej p||=>q w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1:   p=> q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’:  p~~>~q=0 – niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście p i ~q
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2:  ~p~> ~q=1 – zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
B2’: ~p~~> q=1 – możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Z tabeli operatora implikacji prostej p||=>q łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q w logice dodatniej (bo q).
Jak to się robi znajdziemy w punkcie 10.1.2.
Kod:

TW
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
   p  q  Y=(p=>q)=~p+q
A: 1  1   1
B: 1  0   0
C: 0  0   1
D: 0  1   1

Z powyższego wynika, że z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego p=>q łatwo dojdziemy do symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q podejmując działania odwrotne, co opisano w punkcie 10.2.

23.1.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym =>

Na bazie wyprowadzonej wyżej zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => TW możemy łatwo rozszyfrować o co chodzi w twierdzeniu Volratha.

Twierdzenie Volratha:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-100.html#72062
Wysłany: Śro 13:43, 10 Gru 2008
wykładowca logiki matematycznej volrath napisał:

Niestety bazowa logika Boole'a domyślnie zakłada, że wszystkie jedynki są miękkie, a zera twarde. Tak już jest skonstruowana.

Kod:

TW
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  Y=(p=>q)=~p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =1
   1  2   3

Jak wygenerować z tej tabeli operator implikacji prostej p||=>q?
Szczegóły znajdziemy w punkcie 10.2

Największą tragedią wszelkich ziemskich logik matematycznych jest prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u Ziemian prawo eliminacji implikacji =>):
Y = (p=>q) = ~p+q
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => prowadzi do zagłady wszelkich sensownych ziemskich logik matematycznych, gdyż po jego zastosowaniu wywalamy w kosmos kluczowe pojęcia logiki matematycznej tzn. zarówno definicję warunku wystarczającego => jak i definicję warunku koniecznego ~>.
Dosadniej mówiąc, wywalamy w kosmos poniższy fundament wszelkich sensownych logik matematycznych, nieznany ziemskim matematykom.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Weźmy to nieszczęsne prawo eliminacji warunku wystarczającego => które sprowadza tabelę T0 wyżej do definicji operatora „lub”(|+) mającej zero wspólnego zarówno z warunkiem wystarczającym =>, jak i koniecznym ~>.

Definicja operatora „lub”(|+):
Operator „lub”(|+) układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zajdzie Y (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zajdzie p (~p=1) lub zajdzie q (q=1)

… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = (~p+q) = p*~q – na mocy prawa De Morgana
stąd mamy:
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie Y (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)

Uwaga:
W każdym innym przypadku zajdzie Y.
Zauważmy, że mamy tylko jedno zdarzenie rozłączne dające odpowiedź na pytanie o ~Y, dlatego łatwo generujemy funkcję logiczną Y w zdarzeniach rozłącznych tzn. wszystkie pozostałe zdarzenia z wykluczeniem zdarzenia ~Y.
1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
1’: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Oczywistym jest, że matematycznie musi zachodzić tożsamość logiczna [=]:
1: Y=~p+q [=] 1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Sprawdzenie poprzez minimalizację prawej strony:
1’.
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q) – wyciągnięcie zmiennej ~p przed nawias
Y = ~p + (p*q) – bo ~q+q=1 oraz x*1=x, prawa algebry Boole’a
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q – bo p*~p=0 oraz 0+x=x, prawa algebry Boole’a
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wyminę spójników:
Y = ~p+q
Stąd mamy dowód interesującej nas tożsamości:
1: Y=~p+q [=] 1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
c.n.d

Zobaczmy jak beznadziejne jest prawo eliminacji warunku wystarczającego => na naszym przykładzie.
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada, jest pochmurno.
Innymi słowy:
Padanie (P) daje nam gwarancję matematyczną => istnienie chmur (CH), o czym każdy 5-cio latek wie
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Znaczenie zdania A1 jak wyżej rozumie każdy 5-cio latek.

Zastosujmy do zdania A1 prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
P=>CH = ~P+CH
Stąd zdanie „tożsame” do zdania A1 brzmi:
1.
Jutro nie będzie padało (~P) lub będzie pochmurno (CH)
1: Y = ~P+CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub CH=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że jutro wystąpi zdarzenie Y (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie padało (~P) lub będzie pochmurno (CH)
Oczywistym jest, że sensu tego zdania żaden 5-cio latek nie zrozumie, że nie wspomnę o tożsamości:
A1: P=>CH = 1: ~P+CH
która formalnie zachodzi, ale która zabija występujący w zdaniu A1 warunek wystarczający =>.

… a kiedy nie zajdzie zdarzenie Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(~P+CH) = P*~CH
Stąd mamy:
2.
~Y = P*~CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie zajdzie zdarzenie (~Y): pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH)

Znaczenie symbolu Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że zajdzie zdarzenie Y (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że nie zajdzie zdarzenie Y (~Y)

Jak widzimy, sens zdania 2 rozumie każdy 5-cio latek, czego nie da się powiedzieć o zdaniu 1.

Aby zrozumieć sens zdania 1 musimy skorzystać z rozpiski tego zdania na zdarzenia rozłaczne, co wyżej w zapisach formalnych wyprowadziliśmy:
1: Y=~p+q [=] 1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Nasz przykład:
1: Y=~P+CH [=] 1’: Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Stąd mamy:
1’.
Kiedy zajdzie zdarzenie (Y=1)?
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), ze możliwe jest zdarzenie Y (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=P*CH=1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)
lub
C: Yc=~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
lub
D: Yd=~P*CH=1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Jak widzimy, prawdziwość zdań składowych Ya, Yc i Yd jest oczywista dla każdego 5-cio latka, ale by do tych zdań dojść trzeba znać zawansowaną algebrę Boole’a w postaci zamiany sumy logicznej p+q na serię zdarzeń rozłącznych.

Prawo zamiany sumy logicznej p+q na serię zdarzeń rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Dowód poprawności powyższego prawa.
Nasz przykład w zapisach formalnych:
Y = ~p+q = (~p)*q + (~p)*~q + ~(~p)*q
stąd po minimalizacji mamy:
Y = ~p+q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Przejdźmy teraz do finału naszych rozważań:
Kod:

T2
Pełna tabela prawdy opisująca operator „lub”(|+)
Y=ACD:~p+q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
                                        |Komentarz
   p  q ~p ~q  Y=ACD:~p+q # ~Y=B: ~p*~q |
A: 1  1  0  0   1         #   0         | Ya= p* q |Yacd=~p+q = Ya+Yc+Yd
B: 1  0  0  1   0         #   1         |~Yb= p*~q |~Yb=p*~q
C: 0  0  1  1   1         #   0         | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0   1         #   0         | Yd=~p* q
   1  2  3  4   5             6           7   8  9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Nasz przykład (poziom 5-cio latka):
Kod:

T3
Pełna tabela prawdy opisująca operator „lub”(|+)
Y=ACD:~P+CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
                                           |Komentarz
   P CH ~P ~CH  Y=ACD:~P+CH # ~Y=B: ~P*~CH |
A: 1  1  0  0    1          #   0          | Ya= P* CH |Yacd=Ya+Yc+Yd
B: 1  0  0  1    0          #   1          |~Yb= P*~CH |~Yb=P*~CH
C: 0  0  1  1    1          #   0          | Yc=~P*~CH
D: 0  1  1  0    1          #   0          | Yd=~P* CH
   1  2  3  4    5              6            7   8   9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

W tabeli T3 doskonale widać, że w pełnej tabeli zero-jedynkowej operatora „lub”(|+) opisujemy wyłącznie jedynki prowadzące do równań alternatywno-koniunkcyjnych, gdyż tylko te równania są zrozumiałe dla człowieka.
Opis wynikowych zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, których żaden człowiek nie rozumie od 5-cio latka poczynając, na najwybitniejszych matematykach kończąc, czego dowód mamy w punkcie 1.10 (prawo Pandy).

Definicja twardego zera w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej twarde zero w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż nie istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji twardego zera może pojawić się jedynka.

Zauważmy, ze w tabeli T3 jedyne twarde zero w logice dodatniej (bo Y) które dla dowolnego iterowania nigdy nie przyjmie wartości logicznej 1 mamy na pozycji B5.

Dowód:
Dowód iż w tabeli T3 mamy do czynienia z jednym twardym zerem to matematyczny opis punktu B5:
B5: Yb=0 <=> P=1 i ~CH=1
Interpretacja:
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie (Yb): pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.

Definicja miękkiej jedynki w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej miękka jedynka w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji jedynki pojawia się logiczne zero.

Zbadajmy jak to jest z logicznymi jedynkami w kolumnie wynikowej Y (ABCD5).
Wynikowe jedynki w kolumnie wynikowej Y (ABCD5) opisuje równanie logiczne:
Y = ~P+CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
W rozpisce spójnika „lub”(+) na zdarzenia rozłączne mamy:
1.
Kiedy zajdzie (Y=1)?

Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1

I.
Założenie konkretnego iterowania Ya:
A: Ya = P*CH =1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie (Ya): pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Założenie:
P=1 i CH=1
Prawo Prosiaczka:
(P=1)=(~P=0)
(CH=1)=(~CH=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A: P*CH + C:~P*~CH + D: ~P*CH = A: (P=1)*(CH=1)=1 + C: (~P=0)*(~CH=0)=0 + D: (~P=0)*(CH=1)=0
Jak widzimy, dla iterowania P=1 i CH=1 wyłącznie w linii A mamy jedynkę, zaś w liniach C i D mamy 0.
Innymi słowy:
Jedynki w liniach C i D w tabeli T3 są miękkimi jedynkami, bo dla konkretnego iterowania (tu P=1 i CH=1) mogą przyjąć wartości logiczne 0.
Zauważmy, że dla tego iterowania zero w punkcie B5 (Yb) pozostanie zerem.
Dowód:
Yb=0 <=> B: P*~CH = (P=1)*(~CH=0)= 1*0=0

II.
Założenie konkretnego iterowania Yc:
C: Yc=~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie (Yc): nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
Założenie:
~P=1 i ~CH=1
Prawo Prosiaczka:
(~P=1)=(P=0)
(~CH=1)=(CH=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A: P*CH + C:~P*~CH + D: ~P*CH = A: (P=1)*(CH=0)=0 + C: (~P=1)*(~CH=1)=1 + D: (~P=1)*(CH=0)=0
Dla iterowania ~P=1 i ~CH=1 wyłącznie w linii C mamy jedynkę, zaś w liniach A i D mamy 0.
Innymi słowy:
Jedynki w liniach A i D w tabeli T3 są miękkimi jedynkami, bo dla konkretnego iterowania (tu ~P=1 i ~CH=1) mogą przyjąć wartości logiczne 0.
Zauważmy, że dla tego iterowania zero w punkcie B5 (Yb) pozostanie zerem.
Dowód:
Yb=0 <=> B: P*~CH = (P=0)*(~CH=1)= 0*1=0

III.
Ostatnie możliwe iterowanie to Yd:
D: Yd = ~P*CH =1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie (Yc): nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Założenie:
~P=1 i CH=1
Prawo Prosiaczka:
(~P=1)=(P=0)
(CH=1)=(~CH=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y= A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH = A: (P=0)*(CH=1)=0 + C: (~P=1)*(~CH=0)=0 + D: (~P=1)*(CH=1)=1
Jak widzimy, dla iterowania ~P=1 i CH=1 wyłącznie w linii D mamy jedynkę, zaś w liniach A i C mamy 0.
Innymi słowy:
Jedynki w liniach A i C w tabeli T3 są miękkimi jedynkami, bo dla konkretnego iterowania (tu ~P=1 i CH=1) mogą przyjąć wartości logiczne 0.
Zauważmy, że dla tego iterowania zero w punkcie B5 (Yb) pozostanie zerem.
Dowód:
Yb=0 <=> B: P*~CH = (P=0)*(~CH=0) = 0*0=0

Jak widzimy wyżej dla dowolnego iterowania tabeli T3 zero w punkcie B5 zawsze pozostanie zerem (Yb=0), co oznacza iż jest to twarde zero.

Podsumowując:
W kolumnie ABCD5 wszystkie jedynki są miękkimi jedynkami, co jest dowodem wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej po zastosowaniu prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
A1: P=>CH = ~P+CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
bowiem w znaczkach =>, ~> i ~~> w punkcie A5 występuje ewidentna twarda jedynka wymuszająca twarde zero punkcie B5 (kontrprzykład).

Dowód:
Kod:

T1.
Operator implikacji prostej P||=>CH w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
A:  P=> CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B:  P~~>~CH=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie jest pochmurno
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
C: ~P~> ~CH=1 – brak padania jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur
D: ~P~~> CH=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i jest pochmurno



23.2 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym (pkt. 2.5)
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań

Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)

A1B1:
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Na mocy definicji równoważności p<=>q oraz definicji kontrprzykładu w zdarzeniach nasza tabela T0 przyjmuje szczegółową postać równoważności p<=>q
Kod:

T1
Definicja implikacji równoważności p<=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
       A1B1:         A2B2:    |     A3B3:         A4B4:           A5B5:
       Y=            Y=             Y=            Y=              Y=
A:  1: p=> q= 1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1  = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q
A’: 1: p~~>~q=0 =                              4:~q~~>p=1
       ##            ##             ##            ##              ##
       Y=            Y=             Y=            Y=              Y=
B:  1: p~> q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~>p =1 [=] 5:  p+~q
B’:               2:~p~~>q=0     3: q~~>~p=0
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
##
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Dany jest schemat elektryczny sterowania żarówką S przez przycisk A .
Kod:

S1 Schemat 1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Zbadaj jaki operator implikacyjny realizuje powyższy układ?

Rozwiązanie:
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk A (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (S=1), bo w układzie nie ma przycisku C (zmienna wolna) połączonego szeregowo z przyciskiem A

Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=A (przycisk)
q=S ( żarówka)
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1

Badamy spełnienie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk A (A=1) to na 100% ~> świeci się żarówka S (S=1)
A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem konicznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bo w układzie nie ma dodatkowego przycisku B (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który by zaświecił żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.

Stąd mamy rozwiązanie iż mamy tu to czynienia z równoważnością A<=>S:
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
W układzie S1 nie ma zmiennych wolnych.

Stąd mamy:
Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Stąd mamy definicję równoważności A<=>S w równaniu logicznym:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)

Stąd mamy to samo w zapisie formalnym:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo p) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1

Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

Przejdźmy na zapis aktualny podstawiając:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)

Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S w zapisie aktualnym:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o wciśnięty przycisk A (A) oraz o nie wciśnięty przycisk A (~A)
Kolumna A1B1:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~A<=>~S = (A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?

Szczegółową analizę operatora równoważności A|<=>S znajdziemy w punkcie 6.6.1.
Podsumowanie tej analizy mamy w poniższej tabeli prawdy.
Kod:

T1
Operator równoważności A|<=>S w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
A1:  A=> S =1 – wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1’: A~~>~S=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci ~S
A2B2:
~A<=>~S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
B2: ~A=>~S =1 –nie wciśnięcie ~A jest wystarczające => dla nie świecenia ~S
B2’:~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty ~A i świeci S

Cechą charakterystyczną algebry Kubusia jest jej przełożenie na język potoczny w przełożeniu 1:1.
Przejdźmy z naszego przykładu na zapis ogólny przez podstawienie:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Stąd mamy tabelę T1 w zapisie ogólnym:
Kod:

T1
Operator równoważności p|<=>q w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
A1:  p=> q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p i nie zajdzie ~q
A2B2:
~p<=>~q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
B2: ~p=>~q =1 –nie zajście ~p jest wystarczające => dla nie zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie zajdzie ~p i zajdzie q

Z tabeli operatora równoważności p|<=>q łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q).
Jak to się robi znajdziemy w punkcie 10.5.3
Kod:

TR
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>:
   p  q  Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1  1   1
B: 1  0   0
C: 0  0   1
D: 0  1   0

Z powyższego wynika, że z zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q łatwo dojdziemy do symbolicznej definicji operatora równoważności p|<=>q podejmując działania odwrotne, co opisano w punkcie 10.6.

23.2.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=>

Na bazie wyprowadzonej wyżej zero-jedynkowej definicji równoważności TR możemy łatwo rozszyfrować o co chodzi w twierdzeniu Volratha.

Twierdzenie Volratha:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-100.html#72062
Wysłany: Śro 13:43, 10 Gru 2008
wykładowca logiki matematycznej volrath napisał:

Niestety bazowa logika Boole'a domyślnie zakłada, że wszystkie jedynki są miękkie, a zera twarde. Tak już jest skonstruowana.

Kod:

TR
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>:
   p  q  Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  0  =1
D: 0  1  =0
   1  2   3

Jak wygenerować z tej tabeli operator równoważności p|<=>q?
Szczegóły znajdziemy w punkcie 10.6

Największą tragedią wszelkich ziemskich logik matematycznych jest prawo eliminacji równoważności <=>, które każdy ziemski matematyk zna i obligatoryjnie stosuje:
Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q

Prawo eliminacji równoważności <=> prowadzi do zagłady wszelkich sensownych ziemskich logik matematycznych, gdyż po jego zastosowaniu wywalamy w kosmos kluczowe pojęcia logiki matematycznej tzn. zarówno definicję warunku wystarczającego => jak i definicję warunku koniecznego ~>.
Dosadniej mówiąc, wywalamy w kosmos poniższy fundament wszelkich sensownych logik matematycznych, nieznany ziemskim matematykom.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Weźmy to nieszczęsne prawo eliminacji równoważności <=> które sprowadza tabelę T0 wyżej do definicji operatora równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) który ma zero wspólnego zarówno z warunkiem wystarczającym =>, jak i koniecznym ~>.

Definicja operatora równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator równoważności p<=>q układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y = (p<=>q)= p*q+~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i zajdzie q lub nie zajdzie ~p i nie zajdzie ~q

… a kiedy zajdzie ~Y
Mamy równanie 1:
1: Y=(p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2’: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Otrzymaliśmy funkcję koniunkcyjno-alternatywną której w języku potocznym nikt nie rozumie, co za chwilkę udowodnimy.
Przejście do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej przez każdego 5-cio latka polega tu na wymnożeniu wielomianu logicznego po prawej stronie:
2: ~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
bo:
~p*p=0, 0+x=x – prawa algebry Boole’a
~q*q=0, 0+x=x – te same prawa algebry Boole’a
Przemienność spójników „i’(*) i „lub”(+)
Kolejność wykonywania działań w logice matematycznej jest identyczna jak w matematyce klasycznej dla znaczków mnożenia algebraicznego (*) i sumy algebraicznej (+):
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Stąd mamy:
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i nie zajdzie ~q lub nie zajdzie ~p i zajdzie q

Podstawmy pod powyższą matematykę formalną nasz przykład:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)

Wtedy mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Definicja operatora równoważności A|<=>S układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
Y = (A<=>S)= A: A*S+C: ~A*~S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdarzenia możliwe (Y=1) to:
A: Ya=A*S=1*1=1 – przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
lub
C: Yc=~A*~S=1*1=1 – przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdzie:
Zdarzenia możliwe Y to suma logiczna zdarzeń cząstkowych:
Y = Ya+Yc
Y = A: A*S+C: ~A*~S

… a które zdarzenia są niemożliwe (~Y=1)?
2.
~Y=A*~S + ~A*S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> A=1 i ~S=1 lub ~A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
B: Yb=A*~S=1*1=1 – przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
lub
D: Yd=~A*S=1*1=1 – przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdzie:
Zdarzenia niemożliwe ~Y to suma logiczna zdarzeń cząstkowych:
~Y = ~Yb+~Yd
Stąd po rozwinięciu mamy:
~Y = B: A*~S + D: ~A*S

Jak widzimy, wszystkie zdania wyżej są zrozumiałe dla każdego ucznia I klasy LO.
Ale!
Weźmy funkcję Y w logice dodatniej (bo Y):
1.
Y = (A*S) + (~A*~S)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2’.
~Y = (~A+~S)*(A+S) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Wypowiedzmy zdanie 2’ zapisane w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
(nie wciśnięty przycisk ~A lub żarówka nie świeci się ~S)
„i”(*)
(wciśnięty przycisk A lub żarówka świeci się S)

Jak widzimy, języku potocznym dostaliśmy bełkot którego nikt nie rozumie.
Stąd mamy prawo Pandy (pkt. 1.10).

Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y jest w postaci koniunkcyjno-alternatywnej lub mieszanej.

Wniosek:
Wszelkie człony koniunkcyjno-alternatywne w funkcji logicznej Y musimy logicznie wymnożyć przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej, bo tylko taka postać jest zrozumiała dla człowieka.

Dokładnie dlatego w naszej analizie schematu S1 przeszliśmy z funkcją koniunkcyjno-alternatywną:
2’: ~Y = (~A+~S)*(A+S)
do tożsamej funkcji alternatywno- koniunkcyjnej:
~Y=A*~S + ~A*S
która jest rozumiana przez każdego człowieka od ucznia I klasy LO poczynając.

Przejdźmy teraz do finału naszych rozważań.
Zero-jedynkowa tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to:
Kod:

T2
Pełna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q w „i”(*) i „lub”(|+)
 Yac = Ya + Yc = A: p* q + C: ~p*~q
~Ybd = ~Yb+~Yd = B: p*~q + D: ~p* q
                                         |Komentarz
   p  q ~p ~q  Yac=Ya+Yc  # ~Ybd=~Yb+~Yd |
A: 1  1  0  0   1         #   0          | Ya= p* q | Yac=p* q + ~p*~q
B: 1  0  0  1   0         #   1          |~Yb= p*~q |~Ybd=p*~q + ~p* q
C: 0  0  1  1   1         #   0          | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0   0         #   1          |~Yd=~p* q
   1  2  3  4   5             6            7   8  9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

To samo dla naszego przykładu A|<=>S:
Kod:

T3
Pełna tabela prawdy operatora równoważności A|<=>S w „i”(*) i „lub”(|+)
 Yac = Ya + Yc = A: A* S + C: ~A*~S
~Ybd = ~Yb+~Yd = B: A*~S + D: ~A* S
                                         |Komentarz
   A  S ~A ~S  Yac=Ya+Yc  # ~Ybd=~Yb+~Yd |
A: 1  1  0  0   1         #   0          | Ya= A* S | Yac=A* S + ~A*~S
B: 1  0  0  1   0         #   1          |~Yb= A*~S |~Ybd=A*~S + ~A* S
C: 0  0  1  1   1         #   0          | Yc=~A*~S
D: 0  1  1  0   0         #   1          |~Yd=~A* S
   1  2  3  4   5             6            7   8  9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

W tabeli T3 doskonale widać, że w pełnej tabeli zero-jedynkowej operatora równoważności A|<=>S wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisujemy wyłącznie jedynki prowadzące do równań alternatywno-koniunkcyjnych (algorytm w pkt. 1.13.1), gdyż tylko te równania są zrozumiałe dla człowieka.
Opis wynikowych zer (algorytm w pkt. 1.13.2) prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, których żaden człowiek nie rozumie od 5-cio latka poczynając, na najwybitniejszych matematykach kończąc, czego dowód mamy wyżej oraz w punkcie 1.10 (prawo Pandy).

Definicja twardego zera w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej twarde zero w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż nie istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji twardego zera może pojawić się jedynka.

Zauważmy, ze w tabeli T3 mamy dwa twarde zera (B5 i D5) w logice dodatniej (bo Y) które dla dowolnego iterowania nigdy nie przyjmie wartości logicznej 1.

Dowód:
Dowód iż w tabeli T3 mamy do czynienia z twardym zerem na B5 to matematyczny opis punktu B5:
B5: Yb=0 <=> A=1 i ~S=1
Interpretacja:
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie (Yb): wciśnięty przycisk A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Podstawiając do tabeli T3 mamy zdanie tożsame:
B6: ~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie zdarzenie Yb (~Yb): wciśnięty przycisk A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.

Z ostatniego zapisu mamy poprawne równanie cząstkowe alternatywno-koniunkcyjne które z definicji opisuje wyłącznie jedynki w linii B w tabeli T3.
B6: ~Yb=A*~S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
B6: ~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
Ten zapis jest w 100% zgodny z tabelą T3.

Zauważmy, że na mocy prawa Prosiaczka poprawna jest tożsamość zdań:
B5: Yb=0 <=> A=1 i ~S=1 [=] B6: ~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
bo operujemy tu na wartościowaniu linii B.

Jeśli opuścimy wartościowanie to dostaniemy błąd czysto matematyczny:
Kod:

T4
B5: Yb=A*~S ## B6:~Yb=A*~S
Gdzie:
## - funkcje różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T4 definicja znaczka ## jest spełniona.

Podobnie:
Dowód iż w tabeli T3 mamy do czynienia z jednym twardym zerem to matematyczny opis punktu D5:
D5: Yd=0 <=> ~A=1 i S=1
Interpretacja:
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie (Yd): nie wciśnięty przycisk A (~A=1) i świeci żarówka S (S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Yd=0)=(~Yd=1)
Podstawiając do tabeli T3 mamy:
D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Stąd zdanie tożsame:
D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie zdarzenie Yd (~Yd): nie wciśnięty przycisk A (~A=1) i świeci żarówka S (S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.

Z ostatniego zapisu mamy poprawne równanie cząstkowe dla linii D:
D6: ~Yd=~A*S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Ten zapis jest w 100% zgodny z tabelą T3.

Zauważmy, że na mocy prawa Prosiaczka poprawna jest tożsamość zdań:
D5: Yd=0 <=> ~A=1 i S=1 [=] D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
bo operujemy tu wartościowaniu linii D.

Jeśli opuścimy wartościowanie to dostaniemy błąd czysto matematyczny:
Kod:

T5
D5: Yd=~A*S ## D6:~Yd=~A*S
Gdzie:
## - funkcje różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T5 definicja znaczka ## jest spełniona.

Definicja miękkiej jedynki w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej miękka jedynka w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji jedynki pojawia się logiczne zero.

Zbadajmy jak to jest z logicznymi jedynkami w kolumnie wynikowej Y (ABCD5).
Wynikowe jedynki w kolumnie wynikowej Y (ABCD5) opisuje równanie logiczne:
Y = A5: A*S + C5: ~A*~S

W rozpisce spójnika „lub”(+) na zdarzenia rozłączne mamy:
1.
Kiedy zajdzie (Y=1)?

Y = A5: A*S + C5: ~A*~S
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A5: A=1 i S=1 lub C5: ~A=1 i ~S=1

I.
Założenie konkretnego iterowania Ya:
A: Ya = A*S =1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie (Ya): przycisk wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
Założenie:
A=1 i S=1
Prawo Prosiaczka:
(A=1) = (~A=0)
(S=1)=(~S=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A5: A*S + C5: ~A*~S = A5: (A=1)*(S=1)=1*1=1 + C5: (~A=0)*(~S=0)=0*0=0
Jak widzimy, dla iterowania A=1 i S=1 wyłącznie w punkcie A5 mamy jedynkę, zaś w punkcie C5 mamy zero.
Innymi słowy:
Jedynka w punkcie C5 w tabeli T3 są jest miękką jedynką, bo dla konkretnego iterowania (tu A=1 i S=1) przyjmuje wartość logiczną 0.
Zauważmy, że dla naszego iterowania (A=1 i S=1) w punktach B5 i D5 dostaniemy 0.
Dowód:
B5: Yb=0 <=> B5: A*~S = B5: (A=1)*(~S=0)=1*0 =0
D5: Yd=0 <=> D5: ~A*S = D5: (~A=0)*(S=1)=0*1=0

II.
Ostatnie możliwe założenie konkretnego iterowania Yc to:
C5: Yc=~A*~S=1*1=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie (Yc): nie wciśnięty A (~A=1) i żarówka nie świeci ~S
Założenie:
~A=1 i ~S=1
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A5: A*S + C5: ~A*~S = A5: (A=0)*(S=0)=0*0=0 + C5: (~A=1)*(~S=1)=1*1=1
Jak widzimy, dla iterowania ~A=1 i ~S=1 wyłącznie w punkcie C5 mamy jedynkę, zaś w linii A mamy zero.
Innymi słowy:
Jedynka w punkcie A5 w tabeli T3 są jest miękką jedynką, bo dla konkretnego iterowania (tu ~A=1 i ~S=1) przyjmuje wartość logiczną 0.
Zauważmy, że dla naszego iterowania (~A=1 i ~S=1) w punktach B5 i D5 dostaniemy 0.
Dowód:
B5: Yb=0 <=> B: A*~S = B: (A=0)*(~S=1)=0*1 =0
D5: Yd=0 <=> D: ~A*S = D: (~A=1)*(S=0)=1*0 =0

Jak widzimy wyżej dla dowolnego iterowania tabeli T3 zera w punktach B5 i D5 zawsze pozostaną zerami, co oznacza iż są to twarde zera.

Natomiast jedynki w punktach A5 i C5 są miękkimi jedynkami bo istnieją iterowania (przypadki) dla których w tych miejscach pojawia się zero.

Podsumowując:
W kolumnie ABCD5 wszystkie jedynki są miękkimi jedynkami, co jest dowodem wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej po zastosowaniu prawa eliminacji równoważności A<=>S:
Y = (A<=>S) = A5: A*S + C5: ~A*~S
bowiem w znaczkach =>, ~> i ~~> w punkcie A5 istnieje twarda jedynka wymuszająca twarde zero w punkcie B5 (kontrprzykład)
Także w punkcie C5 występują ewidentna twarda jedynka wymuszająca twarde zero punkcie D5 (kontrprzykład).

Dowód:
Kod:

T1.
Operator równoważności p|<=>q w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
A5:  A=> S =1 – wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B5:  A~~>~S=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci S
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
C5: ~A=>~S=1 –nie wciśnięcie A(~A=1) wystarcza => dla nie świecenia S(~S=1)
D5: ~A~~>S=1 –niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty A i świeci S

c.n.d.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:38, 04 Lut 2024, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:14, 24 Lip 2023    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika

Spis treści
24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika 1
24.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 2
24.1.1 Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 3
24.2 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych 3
24.2.1 Prawo Sokoła 5
24.2.2 Wielkie prawo Kubusia 5
24.3 Operator dwuargumentowy prosty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
24.3.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika 5
24.3.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej prostej 6
24.3.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej prostej 8
24.4 Operator dwuargumentowy złożony w spójnikach „i”(*) I „lub”(+) 9
24.4.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika 9
24.4.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej złożonej 9
24.4.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej złożonej 13



24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika

W niniejszym rozdziale zajmiemy się ćwiczeniami z prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowych.

Operatory dwuargumentowe definiowane w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dzielimy na:
- operatory dwuargumentowe proste
- operatory dwuargumentowe złożone

Definicja zdania dwuargumentowego prostego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe proste to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną wyłącznie jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q
~Y=~p+~q
Przykład poznaliśmy w punkcie 1.19.

Definicja zdania dwuargumentowego złożonego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe złożone to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną więcej niż jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q+~p*~q
~Y= p*~q + ~p*q

Definicja funkcji logicznej minimalnej:
Funkcja logiczna minimalna to funkcja której nie da się już minimalizować

Przykład:
Dana jest funkcja logiczna:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Polecenie:
Zbadaj, czy powyższa funkcja zapisana jest w postaci minimalnej.
Rozwiązanie:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q – wyciągnięcie zmiennej przed nawias
Y = p*1 + ~p*q – prawo algebry Boole’a: q+~q =1
Y = p+(~p*q) – prawo algebry Boole’a: x*1=x
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q – wymnożenie wielomianu
~Y = 0+ ~p*~q – prawo algebry Boole’a
~Y = ~p*~q – prawo algebry Boole’a: 0+x=x
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
Y = p+q
Stąd szukana funkcja w wersji minimalnej to:
Y = p+q
Stąd mamy często wykorzystywane prawo logiki matematycznej.

Prawo zamiany spójnika „lub”(+) na serię zdarzeń rozłącznych A, B i C
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

24.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

Definicja spójnika „i”(*):
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Przykład:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y = K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Definicja spójnika „lub”(+):
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1

Przykład:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

24.1.1 Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(x)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną Y dwustronnie:
#
2.
~Y=~f(x)

Gdzie:
f(x) – dowolne wyrażenie algebry Boole’a
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład:
f(x) = p*q + ~p*~q
stąd mamy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + ~p*~q

24.2 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

Definicja funkcji kluczowych dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika:
Funkcje kluczowe dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika, to funkcje A1 i A2 o budowie jak niżej:
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji
f(x) – dowolne wyrażenie algebry Boole’a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)

Przykład:
f(x) = p*q+~p*~q
co wymusza funkcję logiczną:
Y = p*q + ~p*~q

Definicja operatora kluczowego:
Operator kluczowy to układ równań Y i ~Y dla funkcji kluczowych A1 i A2

Weźmy funkcję A1:
A1: Y=f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A1:
B1: ~Y=~f(x)

##

Weźmy funkcję A2:
A2: Y=~f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A2:
B2: ~Y=f(x)

Umieśćmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Funkcja A1:
A1: Y= f(x)   #  B1: ~Y=~f(x)
    ##               ##
Funkcja A2:
A2: Y=~f(x)   #  B2: ~Y= f(x)

Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~f(x)=~(f(x))
Stąd mamy:
Wyrażenie f(x) musi być wszędzie tym samym f(x), inaczej błąd podstawienia
Podobnie funkcja Y musi być wszędzie tą samą funkcją Y, inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej

W tabeli T1 widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy zatem z tabeli T1 wszelkie funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

T1"
Funkcja A1:
A1: f(x)   #  B1:~f(x)
Funkcja A2:
A2:~f(x)   #  B2: f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli T1” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

24.2.1 Prawo Sokoła

Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.

Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

24.2.2 Wielkie prawo Kubusia

Wielkie prawo Kubusia:
Warunkiem koniecznym braku wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest akceptacja prawa Sokoła

24.3 Operator dwuargumentowy prosty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja zdania dwuargumentowego prostego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe proste to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną wyłącznie jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q
~Y=~p+~q

Definicję i sens operatora dwuargumentowego prostego poznamy na przykładach rodem z przedszkola.

24.3.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika

Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika:
Przykład kluczowy to dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) o następującej budowie
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że funkcje logiczne A1 i A2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##

24.3.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej prostej

A1.
Weźmy funkcję logiczną A1:

A1: Y=p+q

Definicja operatora logicznego Y|=p+q:
Operator logiczny Y|=p+q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1.
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
B1.
~Y=~p*~q

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

Przykład z przedszkola A1
A1.
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Kto wie kiedy jutro dotrzymam słowa?
Jaś (lat 5):
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Pani:
Bardzo dobrze Jasiu, a kiedy jutro nie dotrzymam słowa (~Y=1)?
#
Jaś (lat 5):
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y

##

A2.
Weźmy funkcję logiczną A2:

A2: Y=~(p+q)=~p*~q - prawo De Morgana

Definicja operatora logicznego Y|=~p*~q:
Operator logiczny Y|=~p*~q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A2.
Y=~p*~q
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2.
~Y=p+q

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

Przykład z przedszkola A2
A2.
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy równanie A2 stronami:
B2.
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych w logice dodatniej bo (Y)
A1: Y=p+q ## A2: Y=~p*~q

Umieśćmy nasze przykłady A1 i A3 w tabeli prawdy:
Kod:

PA1A2:
A1: Y= K+ T  # B1: ~Y=~K*~T 
   ##              ##
A2: Y=~K*~T  # B2: ~Y= K+ T

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy że:
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie Y.
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie ~Y.

Doskonale widać, że w tabeli PA1A2 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Znaczenie funkcji Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
lub krótko:
Y - pani dotrzyma słowa Y

Także znaczenie funkcji ~Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko:
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y

O różności na mocy definicji ## dokładnie tych samych funkcji w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie tego samego symbolu Y.
cnd

24.3.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej prostej

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
Kod:

PA1A2":
A1: K+ T  # B1: ~K*~T 
A2:~K*~T  # B2:  K+ T

Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

24.4 Operator dwuargumentowy złożony w spójnikach „i”(*) I „lub”(+)

Definicja zdania dwuargumentowego złożonego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe złożone to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną więcej niż jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q+~p*~q
~Y= p*~q + ~p*q

Definicję i sens operatora dwuargumentowego złożonego poznamy na przykładach rodem z I klasy LO.

24.4.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika

Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika:
Przykład kluczowy to dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) o następującej budowie
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że funkcje logiczne A1 i A2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##

24.4.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej złożonej

A1.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q

Definicja operatora logicznego Y|=p*q+~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny Y|=p*q+~p*~q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1.
Y=(p*q)+(~p*~q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1”.
~Y=(~p+~q)*(p+q)
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka (dowód w pkt. 1.10) dlatego musimy wymnożyć wielomian przechodzą do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
B1.
~Y = p*~q + ~p*q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

Przykład ze szkoły A1
A1.
Pani w szkole A1 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc

Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Odpowiedź na to pytanie wyprowadziliśmy wyżej:
B1.
~Y = B: K*~T + D: ~K*T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yd - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd

Doskonale widać, że ta odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) również jest intuicyjnie zrozumiała.

##

A2.
Definicja spójnika „albo”($) wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):

Y= p$q = p*~q + ~p*q

Definicja operatora logicznego Y|= p*~q + ~p*q
Operator logiczny Y|=p*~q + ~p*q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A2.
Y= (p*~q) + (~p*q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2”.
Przejście z funkcją A2 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = (~p+q)*(p+~q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka (dowód w pkt. 1.10) dlatego musimy wymnożyć wielomian przechodzą do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = 0 + ~p*~q + q*p + 0 = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
B2.
~Y = p*q + ~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony

Przykład ze szkoły A2
A2.
Pani w szkole A2 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K*~T + D: ~K*T
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Gdzie:
Y = Yb+Yd – suma logiczna funkcji cząstkowych Yb i Yd

Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.

Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?

Odpowiedź na to pytanie wyprowadziliśmy wyżej:
B2.
~Y = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
„lub”(+)
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yd - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd

Doskonale widać, że ta odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) również jest intuicyjnie zrozumiała.

Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych w logice dodatniej bo (Y)
A1: Y=p*q + ~p*~q ## A2: Y=p*~q+~p*q

Umieśćmy nasze przykłady A1 i A2 w tabeli prawdy:
Kod:

PA1A2:
A1: Y= K* T+~K*~T  # B1: ~Y= K*~T+~K* T
   ##                    ##
A2: Y= K*~T+~K* T  # B2: ~Y= K* T+~K*~T

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zauważmy że:
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie Y.
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie ~Y.

Doskonale widać, że w tabeli PA1A2 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Znaczenie funkcji Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
lub krótko:
Y - pani dotrzyma słowa Y

Także znaczenie funkcji ~Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko:
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y

24.4.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej złożonej

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
Kod:

PA1A2”:
A1: K* T+~K*~T  # B1: K*~T+~K* T
A2: K*~T+~K* T  # B2: K* T+~K*~T

Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:55, 18 Lut 2024, w całości zmieniany 16 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:49, 28 Sty 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej.

Spis treści
25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej 2
25.1 Ogólny algorytm Małpki 3
25.1.1 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej 4
25.2 Algorytm Małpki dla równoważności p<=>q 4
25.2.1 Prawo Małpki dla równoważności p<=>q 7
25.2.2 Prawo Goryla 9
25.2.3 Logika jedynek = logika 5-cio latka 10
25.2.4 Logika zer = logika Diabła 11
25.3 Mutacje prawa Małpki dla równoważności p<=>q 12
25.3.1 Analiza funkcji logicznej B1 12
25.3.2 Analiza funkcji logicznej A1” 13
25.3.3 Analiza funkcji logicznej B1” 13
25.4 Algorytm Małpki dla spójnika „albo”($) 13
25.4.1 Prawo Małpki dla spójnika „albo”($) 17
25.4.2 Logika jedynek = logika 5-cio latka 18
25.4.3 Logika zer = logika Diabła 19
25.5 Mutacje prawa Małpki dla spójnika „albo”($) 20
25.5.1 Analiza funkcji logicznej B1 20
25.5.2 Analiza funkcji logicznej A1” 21
25.5.3 Analiza funkcji logicznej B1” 21
25.6 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) 21
25.6.1 Prawo Grzechotnika dla spójników równoważności p<=>q i „albo”($) 22
25.7 Funkcja dwuargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne 23
25.7.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka 24
25.7.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala 26
25.7.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala 28
25.8 Funkcja jednoargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne 29
25.8.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka 29
25.8.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala 30
25.8.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala 30



25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej

Definicja wyrażenia algebry Boole'a (pkt. 1.3):
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a

Przykład:
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.

W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Zapis funkcji logicznej Y w technice cyfrowej:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
Y - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych {p, q}

Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) (pkt. 1.3.2):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)

Definicja startowej funkcji logicznej w języku potocznym:
Startowa funkcja logiczna w języku potocznym to funkcja w logice dodatniej (bo Y) opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę matematyczną tego zdania.

Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)

Przykład wyrażenia algebry Boole'a:
f(x) = p*q + ~p*~q
stąd funkcja startowa dla tego wyrażenia przyjmuje postać
Y = p*q + ~p*~q

Prawo negacji funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.15.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną

Logiką zrozumiałą dla człowieka jest tylko i wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.

Prawo Małpiątka (pkt. 1.15.2):
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.

Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie

W poprawnym rozwiązaniu prawa Małpki dostaniemy tu dwie funkcje tożsamościowe: w logice dodatniej Y=Y oraz w logice ujemnej ~Y=~Y związane ze sobą spójnikiem „albo”($)
Zajdzie Y albo zajdzie ~Y, trzeciej możliwości brak

25.1 Ogólny algorytm Małpki

Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)

Ziemscy matematycy nie znają komputerowego algorytmu pozwalającego znaleźć wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne dla dowolnej funkcji startowej.

Zadanko Małpki:
Dana jest funkcja startowa:
Y=f(x)
gdzie:
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a

Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.

Podany niżej algorytm rozwiązania zdanka Małpki to fundament programu komputerowego automatycznie rozwiązującego zadanko Małpki dla n-zmiennych binarnych.
Program który trzeba tu napisać jest banalny i wkrótce taki program ludzkość napisze.

Ogólny algorytm Małpki:

Krok 1
T1 - pełna tabela zero-jedynkowa dla funkcji startowej Y=f(x) (pkt. 1.15.3)
Należy wygenerować pełną tabelę zero-jedynkową opisującą funkcję startową Y=f(x)
Najłatwiej to zrobić dla funkcji alternatywno-koniunkcyjnej co oznacza, że jeśli na wejściu dostaniemy funkcję startową Y=f(x) koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną to wymnażamy wszystkie człony koniunkcyjno-alternatywne przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.

Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).

Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)

Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki

25.1.1 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną

Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.

Prawo Małpiątka:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.

25.2 Algorytm Małpki dla równoważności p<=>q

Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)

Zadanko Małpki dla równoważności p<=>q:
A1.
Dana jest startowa funkcja logiczna równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q

Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.

Wykonujemy kolejne punkty algorytmu rozwiązania zadania Małpki:

Krok 1
Nasza startowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = (p<=>q) = p*q +~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Stąd w punktach A5 i C5 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
Kod:

Pełna tabela zero-jedynkowa
   p  q ~p ~q  Y ~Y
A: 1  1  0  0  1
B: 1  0  0  1
C: 0  0  1  1  1
D: 0  1  1  0
   1  2  3  4  5  6

Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
Kod:

T1
   p  q ~p ~q  Y ~Y
A: 1  1  0  0  1  0
B: 1  0  0  1  0  1
C: 0  0  1  1  1  0
D: 0  1  1  0  0  1
   1  2  3  4  5  6


Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
Kod:

T2
Pełna definicja     |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y    |w logice jedynek
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji alternatywno-koniunkcyjnych.

Definicja logiki 5-cio latka:
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne rozumiane przez każdego człowieka

Dowód na przykładzie iż dowolne funkcje alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiane przez człowieka od 5-cio latka poczynając mieliśmy w punkcie 1.10.

Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
Kod:

T3
Pełna definicja     |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y    |w logice zer
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |
A: 1  1  0  0 =1 =0 |~Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =0 =1 | Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =1 =0 |~Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =0 =1 | Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka czego dowód w punkcie 1.10

Definicja logiki Diabła:
Logika Diabła to funkcje koniunkcyjno-alternatywne totalnie niezrozumiałe dla człowieka

Uzasadnienie nazwy „Logiki Diabła”:
W języku potocznym funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym matematyku kończąc.
Dowód tego faktu mieliśmy w punkcie 1.10.
Z tego względu w języku potocznym zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki

Podsumowanie:

Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
[=]
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tabele zero-jedynkowe T2 i T3 są tożsame T2[=]T3

Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd mamy prawo Małpki.
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y

25.2.1 Prawo Małpki dla równoważności p<=>q

Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie

Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
Kod:

T2T3 – Prawo Małpki
Tabela T2                 |  Tabela T3
Logika 5-cio latka        |  Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y?      |  A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1:  Y = p* q + ~p*~q    [=] A1”:  Y = (~p+ q)*(p+~q)
     #                    |        #
B1: Kiedy zajdzie ~Y?     |  B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1   |  Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y = p*~q + ~p* q    [=] B1”: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
[=], „=”, <=> (wtedy i tylko wtedy)

Doskonale widać, że końcowym rozwiązaniem prawa Małpki dla funkcji startowej:
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
są dwa rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y).

Rozwiązania te wiąże definicja spójnika „albo”($):
Zajdzie Y albo($) ~Y
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak

Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd

Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak

Wisienka na torcie:
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są (=0) tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0

Dowód:
Prawo Irbisa dla zbiorów/zdarzeń (pkt. 2.9):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć/zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie.
Stąd mamy:
p=q <=> A1B3: (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y)=0

25.2.2 Prawo Goryla

W oparciu o algorytm prawa Małpki łatwo napisać program „Prawo Małpki” który wydrukuje nam zawsze identyczne rozwiązanie podane w tabeli T2T3 wyżej, niezależnie od tego którą z czterech tu funkcji A1, B1, A1”, B1” ustawimy na jego wejściu (dowód w pkt. 25.3)

Oczywiście, możliwy jest też proces odwrotny definiowany przez prawo Goryla

Prawo Goryla:
Do jednoznacznego odtworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej opisywanej przez prawo Małpki jest potrzebna i wystarczająca znajomość dowolnej z czterech funkcji logicznych wygenerowanych przez program „Prawo Małpki”: A1, B1, A1”, B1”.

Najprościej udowodnić prawo Goryla posługując się funkcjami alternatywno-koniunkcyjnymi A1 i B1 doskonale rozumianymi przez każdego 5-cio latka.
Znając algorytm programu „Prawo Małpki” możemy też zbudować algorytm odtworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej korzystając z funkcji w logice Diabła: A1” i B1” - pozostawiam to w gestii ambitnych czytelników (nie jest to trudne).

Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej dla funkcji A1 mamy podany w punkcie Krok 1 w algorytmie programu „Prawo Małpki”.
Zajmijmy się funkcją B1.

Zadanko Goryla:
Dana jest funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y):
B1: ~Y = p*~q + ~p*q

Polecenie:
Odtwórz pełną tabelę zero-jedynkową opisywaną przez tą funkcję.

Krok 1
Nasza funkcja logiczna to:
~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Stąd w punktach B6 i D6 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
Kod:

Pełna tabela zero-jedynkowa
   p  q ~p ~q  Y ~Y
A: 1  1  0  0 
B: 1  0  0  1     1
C: 0  0  1  1 
D: 0  1  1  0     1
   1  2  3  4  5  6

Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
Kod:

T1
   p  q ~p ~q  Y ~Y
A: 1  1  0  0  1  0
B: 1  0  0  1  0  1
C: 0  0  1  1  1  0
D: 0  1  1  0  0  1
   1  2  3  4  5  6


25.2.3 Logika jedynek = logika 5-cio latka

Analiza dowolnej, pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek (pkt. 1.14.1) prowadzi do funkcji alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, co udowodnimy niżej, na przykładzie.

Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Pani w przedszkolu:
A1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: Yc=~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję A1 pozostając w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
B1.
~Y = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: ~Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w samych symbolach:
Y – pani dotrzyma słowa
~Y – pani nie dotrzyma słowa

Doskonale widać, że sens wszystkich funkcji alternatywno-koniunkcyjnych jest zrozumiały nawet dla 5-cio latka

25.2.4 Logika zer = logika Diabła

Analiza dowolnej pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice zer (pkt. 1.14.2) prowadzi do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka, co udowodnimy niżej, na przykładzie.

Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Pani w przedszkolu A1” wypowiada zdanie:
A1”.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = (B: ~K+T)*(D: K+~T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=~K+T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
„i”(*)
D: Yd K+~T – juto pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Jak widzimy w języku potocznym mamy tu „bełkot” przez nikogo nie zrozumiały
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy funkcję A1” pozostając w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
~Y = (A: ~K+~T)*(C: K+T)
czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya=~K+~T - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
C: ~Yc K+T – juto pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy, mamy tu „bełkotu” ciąg dalszy

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Wniosek:
Łatka „logiki Diabelskiej” w stosunku do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych jest ze wszech miar słuszna.

25.3 Mutacje prawa Małpki dla równoważności p<=>q

Podstawowe rozwiązania prawa Małpki dla funkcji startowej:
Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
jest następujące.
Kod:

T2T3 Prawo Małpki
Tabela T2                 |  Tabela T3
Logika 5-cio latka        |  Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y?      |  A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1:  Y = p* q + ~p*~q    [=] A1”:  Y = (~p+ q)*(p+~q)
    #                     |        #
B1: Kiedy zajdzie ~Y?     |  B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = p*~q + ~p* q    [=] B1”: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia

Zbadajmy jak zachowa się program komputerowy gdy na jego wejściu ustawimy dowolny z członów występujących w rozwiązaniu B1, A1”, B1”

25.3.1 Analiza funkcji logicznej B1

B1.
Ustawmy na wejściu programu funkcję logiczną B1 w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
B1: ~Y= p*~q + ~p*q

Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1 to funkcja:
A1: Y = p*q + ~p*~q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.2

25.3.2 Analiza funkcji logicznej A1”

A1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową A1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
A1”: Y = (~p+q)*(p+~q)

Tu program komputerowy wypisze nam informację:
Każdy człowiek doskonale rozumie wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne, gdzie domyślne są jedynki. Dotyczy to także tworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej.
Stąd wymnażamy logicznie funkcję wejściową A1” przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej A1.
A1”:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q + ~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~p*~q + 0 = p*q+~p*~q = A1
Stąd mamy:
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q

Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.2

25.3.3 Analiza funkcji logicznej B1”
B1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
B1”: ~Y= (p+q)*(~p+~q)

Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej to funkcja:
A1”: Y = (~p+q)*(p+~q)

Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.3.2

25.4 Algorytm Małpki dla spójnika „albo”($)

Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)

Zadanko Małpki dla spójnika „albo”($):
A1.
Dana jest startowa funkcja logiczna spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = p*~q + ~p*q

Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.

Wykonujemy kolejne punkty algorytmu rozwiązania zadania Małpki:

Krok 1
Nasza startowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = (p$q) = p*~q +~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Stąd w punktach B5 i D5 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
Kod:

Pełna tabela zero-jedynkowa
   p  q ~p ~q  Y ~Y
A: 1  1  0  0 
B: 1  0  0  1  1
C: 0  0  1  1
D: 0  1  1  0  1
   1  2  3  4  5  6

Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
Kod:

T1
   p  q ~p ~q  Y ~Y
A: 1  1  0  0  0  1
B: 1  0  0  1  1  0
C: 0  0  1  1  0  1
D: 0  1  1  0  1  0
   1  2  3  4  5  6


Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
Kod:

T2
Pełna definicja     |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y    |w logice jedynek
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |
A: 1  1  0  0 =0 =1 |~Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =0 =1 |~Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =1 =0 | Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Yb+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Ya+~Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji alternatywno-koniunkcyjnych.

Definicja logiki 5-cio latka:
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne rozumiane przez każdego człowieka

Dowód na przykładzie iż dowolne funkcje alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiane przez człowieka od 5-cio latka poczynając mieliśmy w punkcie 1.10.

Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
Kod:

T3
Pełna definicja     |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y    |w logice zer
                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |
A: 1  1  0  0 =0 =1 | Ya=~p+~q
B: 1  0  0  1 =1 =0 |~Yb=~p+ q
C: 0  0  1  1 =0 =1 | Yc= p+ q
D: 0  1  1  0 =1 =0 |~Yd= p+~q
   1  2  3  4  5  6   d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Ya*Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Yb*~Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka czego dowód w punkcie 1.10

Definicja logiki Diabła:
Logika Diabła to funkcje koniunkcyjno-alternatywne totalnie niezrozumiałe dla człowieka

Uzasadnienie nazwy „Logiki Diabła”:
W języku potocznym funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym matematyku kończąc.
Dowód tego faktu mieliśmy w punkcie 1.10.
Z tego względu w języku potocznym zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.

Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki

Podsumowanie:

Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Y= B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
[=]
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] – zero-jedynkowe tabele T2 i T3 są tożsame

Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd mamy prawo Małpki.
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y

25.4.1 Prawo Małpki dla spójnika „albo”($)

Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie

Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
Kod:

T2T3
Prawo Małpki:
Tabela T2                 |  Tabela T3
Logika 5-cio latka        |  Logika Diabła
A1:  Y = p*~q + ~p* q    [=] A1”:  Y = (p+ q)*(~p+~q)
Kiedy zajdzie ~Y?         |  Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1   |  Negujemy dwustronnie A1”
    #                     |        #
B1: ~Y = p* q + ~p*~q    [=] B1”: ~Y = (p+~q)*(~p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
[=], „=”, <=> (wtedy i tylko wtedy)

Doskonale widać, że końcowym rozwiązaniem prawa Małpki dla funkcji startowej:
A1: Y= p$q = p*~q + ~p*q
są dwa rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y).

Rozwiązania te wiąże definicja spójnika „albo”($):
Zajdzie Y albo($) ~Y
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak

Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd

Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak

Wisienka na torcie:
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są (=0) tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0

Dowód:
Prawo Irbisa dla zbiorów/zdarzeń (pkt. 2.9):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć/zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie.
Stąd mamy:
p=q <=> A1B3: (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y)=0 (fałsz)

25.4.2 Logika jedynek = logika 5-cio latka

Analiza dowolnej, pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek (pkt. 1.14.1) prowadzi do funkcji alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, co udowodnimy niżej, na przykładzie.

Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Pani w I klasie LO mówi:
A1.
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami pozostając w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
B1: ~Y = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i do pójdziemy do teatru (T=1
lub
C: Yc=~~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w samych symbolach:
Y – pani dotrzyma słowa
~Y – pani nie dotrzyma słowa

Doskonale widać, że sens wszystkich funkcji alternatywno-koniunkcyjnych jest zrozumiały nawet dla 5-cio latka

25.4.3 Logika zer = logika Diabła

Analiza dowolnej pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice zer (pkt. 1.14.2) prowadzi do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka, co udowodnimy niżej, na przykładzie.

Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Pani w I klasie LO mówi:
A1”.
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = (A: ~K+~T)*(C: K+T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~K+~T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
C: K+T – jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy, w języku potocznym mamy tu „bełkot” przez nikogo nierozumiany.
#
… a Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A1” pozostając w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
~Y = (B: ~K+T)*(D: K+~T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K+T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
„i”(*)
D: K+~T – jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Jak widzimy, tu również nic a nic nie rozumiemy.

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Wniosek:
Łatka „logiki Diabelskiej” w stosunku do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych jest ze wszech miar słuszna.

25.5 Mutacje prawa Małpki dla spójnika „albo”($)

Podstawowe rozwiązania prawa Małpki dla funkcji startowej:
Y= p$q = p*~q + ~p*q
jest następujące.
Kod:

T2T3 Prawo Małpki
Tabela T2                 |  Tabela T3
Logika 5-cio latka        |  Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y?      |  A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1:  Y = p*~q + ~p* q    [=] A1”:  Y = (p+ q)*(~p+~q)
     #                    |        #
Kiedy zajdzie ~Y?         |  Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1   |  Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y = p* q + ~p*~q    [=] B1”: ~Y = (p+~q)*(~p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia

Zbadajmy jak zachowa się program komputerowy gdy na jego wejściu ustawimy dowolny z członów występujących w rozwiązaniu B1, A1”, B1”

25.5.1 Analiza funkcji logicznej B1

B1.
Ustawmy na wejściu programu funkcję logiczną B1 w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
B1: ~Y= p*q + ~p*~q

Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1 to funkcja:
A1: Y = p*~q + ~p*q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.4

25.5.2 Analiza funkcji logicznej A1”

A1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową A1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
A1”: Y = (p+q)*(~p+~q)

Tu program komputerowy wypisze nam informację:
Każdy człowiek doskonale rozumie wyłącznie wszelkie funkcje alternatywno-koniunkcyjne, gdzie domyślne są jedynki. Dotyczy to także tworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej.
Stąd wymnażamy logicznie funkcję wejściową A1” przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej A1.
A1”:
Y = (p+q)*(~p+~q) = p*~p + p*~q + q*~p + q*~q = 0 + p*~q + ~p*q + 0 = p*~q+~p*q = A1
Stąd mamy:
A1: Y= p$q = p*~q + ~p*q

Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.4

25.5.3 Analiza funkcji logicznej B1”
B1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
B1”: ~Y= (p+~q)*(~p+q)

Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej to funkcja:
A1”: Y = (p+q)*(~p+~q)

Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.5.2

25.6 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($)

Zobaczmy jaka jest relacja matematyczna między spójnikiem równoważności p<=>q a spójnikiem „albo”($).

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
##
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - funkcje logiczne różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice, dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy wyrażenia algebry Boole’a z prawej strony tych funkcji nie są tożsame.

Doskonale widać, że spójnik równoważności p<=>q jest różny na mocy definicji ## od spójnika „albo”($).

Jest oczywistym, że jak rozpiszemy szczegółowo te spójniki to wyskoczy nam słynne prawo Grzechotnika.

25.6.1 Prawo Grzechotnika dla spójników równoważności p<=>q i „albo”($)

Zapiszmy w tabeli prawdy szczegółowe definicje spójnika równoważności p<=>q i spójnika „albo”($), oczywiście wyłącznie w logice 5-cio latka, czyli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych.

Pani w szkole A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A1 pozostając w logice alternatywno-koniunkcyjnej:
B1.
~Y = ~(K<=>T) = K*~T + ~K*T
##
Pani w szkole A2:
A2.
Jutro pójdziemy do kina albo to teatru
Y = K$T = K*~T + ~K*T
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A2 pozostając w logice alternatywno-koniunkcyjnej:
B2.
~Y = ~(K$T) = K*T + ~K*~T

Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolne strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Zapiszmy powyższe dialogi w tabeli prawdy:
Kod:

PA1A2
A1: Y = K* T + ~K*~T   #  B1: ~Y = K*~T + ~K* T
   ##                         ##
A2: Y = K*~T + ~K* T   #  B2: ~Y = K* T + ~K*~T

Definicja znaczka #
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.

W tabeli PA1A2 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.

Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.

Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.

Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
Kod:

PA1A2”:
A1: K* T+~K*~T  # B1: K*~T+~K* T
A2: K*~T+~K* T  # B2: K* T+~K*~T

Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.

25.7 Funkcja dwuargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne

Definicja startowej funkcji logicznej w języku potocznym:
Startowa funkcja logiczna w języku potocznym to funkcja w logice dodatniej (bo Y) opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę matematyczną tego zdania.

Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)

Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.15.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną

Logiką zrozumiałą dla człowieka jest tylko i wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.

Na mocy powyższej definicji zaprzeczenie dowolnego wyrażenia dwóch zmiennych binarnych uznajemy za postać koniunkcyjno-alternatywną.
Przykład:
Y = ~(~p*~q) - postać koniunkcyjno-alternatywna
By zapisać powyższą postać koniunkcyjno-alternatywną w tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej musimy skorzystać z prawa De Morgana
Y = ~(~p*~q) = p+q - na mocy prawa De Morgana
Stąd szukana postać alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = p+q
Kod:

T1
Definicje spójnika „lub”(+) oraz „i”(*)
w logice dodatniej bo brak przeczeń
   p  q  p+q  p*q
A: 1  1   1    1
B: 1  0   1    0
C: 0  1   1    0
DL 0  0   0    0

W przypadku funkcji dwuargumentowej precyzyjnie możemy mówić o rozwiązaniu podstawowym (logika 5-cio latka) oraz o rozwiązaniu alternatywnym wynikłym z praw De Morgana (logika Szakala)

25.7.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka

Definicja funkcji logicznej podstawowej:
Funkcja logiczna podstawowa Y=f(x) to brak wyrażeń koniunkcyjno-alternatywnych oraz zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a

Definicja rozwiązania podstawowego:
Rozwiązanie podstawowe to likwidacja wszelkich, zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy prawa De Morgana

Przykład:
Y = ~(~p*~q) - to nie jest funkcja logiczna podstawowa
Y =~(~p*~q) = p+q - na mocy Prawa De Morgana
Y = p+q - to jest funkcja logiczna podstawowa

Definicja logiki 5-cio latka
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje logiczne podstawowe Y=f(x) gdzie brak jest zarówno członów koniunkcyjno-alternatywnych jak i zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a

Rozważmy przykład:
Dana jest funkcja startowa jednej dwóch zmiennych binarnych:
A1:
Y=p+q
Polecenie:
Przeanalizuj startową funkcją logiczną A1 w logice 5-cio latka

Rozwiązanie:
Mamy funkcję startową podstawową A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
Czytamy:
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p lub zajdzie q
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1:
B1:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
W rozwiązaniu podstawowym nie może być negacji dowolnego wyrażenia algebry Boole’a.
Stąd mamy jedynie poprawne rozwiązanie:
~Y = ~p*~q
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i zajdzie ~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Zapiszmy to w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Logika 5-cio latka
Rozwiązanie podstawowe dla funkcji startowej A1:
A1:  Y= p+ q    # B1: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja logiki 5-cio latka
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje logiczne podstawowe Y=f(x) gdzie brak jest zarówno członów koniunkcyjno-alternatywnych jak i zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a

Przykład:
Pani w przedszkolu A1 mówi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru

Treść polecenia:
Zapisz w logice 5-cio latka odpowiedź na pytanie „Kiedy pani dotrzyma słowa” (Y) oraz „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)

Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.

Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
A1: Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A1 stronami likwidując zaprzeczenie wyrażenia algebry Boole’a:
B1:
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
Stąd mamy poprawną odpowiedź dla rozwiązania podstawowego:
B1: ~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w naturalnym języku człowieka:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa

Zapiszmy to w tabeli prawdy:
Kod:

T2
Rozwiązanie podstawowe dla funkcji logicznej A1:
A1: logika 5-cio latka       |  B1: logika 5-cio latka
A1:  Y= K+ T                 #  B1: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza: |  co w logice jedynek oznacza:
A1: Y=1 <=> K=1 lub T=1      #  B1: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Jak widzimy rozwiązanie podstawowe dla funkcji logicznej A1 jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka

25.7.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala

Definicja funkcji logicznej podstawowej:
Funkcja logiczna podstawowa Y=f(x) to brak wyrażeń koniunkcyjno-alternatywnych oraz zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a

Definicja rozwiązania alternatywne:
Rozwiązanie alternatywne to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.

Definicja logiki Szakala
Logika Szakala to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.

Przykład:
Y = p+q - to jest funkcja logiczna podstawowa
Y = p+q = ~(~p*~q) - na mocy Prawa De Morgana
Y = ~(~p*~q) - to jest funkcja alternatywna z zaprzeczonym wyrażeniem algebry Boole’a

Generowanie rozwiązania alternatywnego dla naszego przykładu z przedszkola:
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Stąd mamy:
A1: Y=p+q = A1”: Y = ~(~p*~q) - na mocy prawa De Morgana
B1: ~Y=~p*~q = B1”: ~(~(~p*~q) = ~(p+q) - prawo podwójnego przeczenia plus prawo De Morgana
Stąd mamy:
Rozwiązanie alternatywne końcowe:
A1”: Y = ~(~p*~q)
B1”: ~Y = ~(p+q)

Rozważmy funkcję startową alternatywną:
Logika Szakala
A1”:
Kiedy zajdzie Y?
Y=~(~p*~q)
Czytamy:
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że zajdzie ~p i ~q

#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1” z wymuszeniem zaprzeczonego wyrażenia algebry Boole’a:
B1”:
~Y=~(p+q)
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że zajdzie p lub zajdzie q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Zapiszmy to w tabeli prawdy:
Kod:

T3
Rozwiązanie alternatywne dla funkcji startowej A1”:
Logika Szakala
A1”:  Y=~(~p*~q)    # B1”: ~Y=~(p+q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja logiki Szakala
Logika Szakala to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.

Przykład:
Pani w przedszkolu A1 mówi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru

Treść polecenia:
Zapisz w logice Szakala odpowiedź na pytanie „Kiedy pani dotrzyma słowa” (Y) oraz „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)

Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.

Pani w przedszkolu A1” wypowiada zdanie startowe w logice Szakala:
A1”:
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = ~(~K*~T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T).
To zdanie jest zrozumiałe, ale nikt przy zdrowych zmysłach nie wypowie tego zdania w języku potocznym jako zdania startowego (pierwszego) w dialogu.
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną A1” pozostawiając najprostsze możliwe, zanegowane wyrażenie algebry Boole’a
B1”:
~Y = ~(K+T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), iż jutro pójdziemy do kina (K+T) lub do teatru (T)
Gdzie:
# - dowolna strona # jest negacją drugiej strony

Zauważmy, że w języku potocznym logika 5-cio latka jest niebotycznie prostsza od logiki Szakala, choć na upartego logikę Szakala da się zrozumieć.

25.7.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala

Porównajmy logikę 5-cio latka z logiką Szakala na naszym przykładzie:
Kod:

Rozwiązanie podstawowe    |  Rozwiązania alternatywne
Logika 5-cio latka        |  Logika Szakala
A1:  Y=K+T               [=] A1”:  Y=~(~K*~T)
     #                             #
… a kiedy zajdzie ~Y?     |  … a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie A1   |  Negujemy dwustronnie A1”
z wyrażeniem bez negacji  |  z zanegowanym wyrażeniem algebry Boole’a
B1: ~Y=~K*~T             [=] B1”: ~Y = ~(K+T)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej

Zauważmy, że podstawowe zdanie A1 wypowiedziane przez panią przedszkolanką brzmi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)

Prawo Szakala:
Nie istnieje ziemskie przedszkole, w którym pani zamiast startowego zdania A1 w logice 5-cio latka:
A1: Y=K+T
wypowiedziała by to samo zdanie w logice Szakala:
A1”: Y = ~(~K*~T)

Zdanie A1 w logice Szakala, może nam wyskoczyć w specyficznych okolicznościach, ale na pewno nie jako zdanie startowe (pierwsze wypowiedziane).

Przykład:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Jaś (lat 5):
Proszę pani, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Pani:
Oczywiście Jasiu, że nie może się zdarzyć ~(..) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
A1”: Y = ~(~K*~T)

Podobnie jest z odpowiedzią na pytanie „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)?
Logika 5-cio latka:
B1: ~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)

Zdanie tożsame w logice Szakala:
B1”: ~Y = ~(K+T)
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)

25.8 Funkcja jednoargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne

W przypadku funkcji jednoargumentowej mamy dostęp tylko i wyłącznie do prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Stąd analiza funkcji logicznej jednoargumentowej podstawowa i alternatywna z wykorzystaniem prawa podwójnego przeczenia, będzie tu bardzo prosta.
Kod:

Rozwiązanie podstawowe    |  Rozwiązania alternatywne
Logika 5-cio latka        |  Logika Szakala
A1:  Y= p                [=] A1”:  Y=~(~p)
     #                             #
… a kiedy zajdzie ~Y?     |  … a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie A1   |  Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y=~p                [=] B1”: ~Y= ~(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

W logice Szakala wszelkie zdania zaczynają się od frazy nie może się zdarzyć ~(..).
Zobaczmy różnicę między logiką 5-cio latka a logika Szakala na konkretnym przykładzie.

25.8.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka

Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Jutro pójdziemy do kina
A1:
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A1 stronami:
B1:
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Gdzie:
# - dowolna strona # jest negacją drugiej strony

25.8.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala

Dokładnie ten sam dialog w logice Szakala.

Pani w przedszkolu A1”:
Logika Szakala
A1”:
Y = ~(~K)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy zdanie A1” pozostawiając frazę „nie może się zdarzyć” ~(..)
B1”.
~Y = ~(K)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że jutro pójdziemy do kina (K)

Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa

Prawo Szakala:
Nie istnieje ziemskie przedszkole w którym pani przedszkolanka w zdaniu startowym wypowiedziała by zdanie startowe z logiki Szakala:
A1”: Y=~(~K)
zamiast zdania z logiki 5-cio latka:
A1: Y=K

25.8.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala

W języku potocznym, w specyficznej sytuacji może paść zdanie z logiki Szakala A1” ale nie jako zdanie startowe.

Przykład:
Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K

Jaś (lat 5):
Proszę pani, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K)?
Pani:
A1”:
Y = ~(~K)
Czytamy:
Nie drogi Jasiu, nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)

Identycznie mamy w odpowiedzi na pytanie „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)?
Logika 5-cio latka:
B1:
~Y=~K
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)

Zdanie tożsame na mocy prawa Szakala:
B1”:
~Y = ~(K)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro pójdziemy do kina (K)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 8:22, 06 Mar 2024, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:52, 28 Sty 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
26.0 Obietnice i groźby złożone

Spis treści
26.0 Obietnice i groźby złożone 1
26.1 Obietnice złożone typu f(p)=>f(q) 1
26.1.1 Prawo transformacji w obietnicy 3
26.2 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony 4
26.2.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z 6
26.3 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę i klocki lego 11
26.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C*L) 12
26.4 Groźby złożone typu f(p)~>f(q) 17
26.4.1 Prawo transformacji w groźbie 18
26.5 Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie 20
26.5.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)||~>L 22


26.0 Obietnice i groźby złożone

Niezbyt złożone obietnice i groźby dość często występują w języku potocznym, dlatego z ich matematyczną obsługą teraz się zapoznamy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

26.1 Obietnice złożone typu f(p)=>f(q)

Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi wyrażeniami algebry Boole’a tzn. akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(x)=p*q+~p*~q
W praktyce, w obietnicach występują tu najprostsze wyrażenia typu:
f(x) = p+q
f(x)=p*q

Przykład:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę
(P*G)=>C =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = P*G - posprzątasz pokój i będziesz grzeczny
q = C - dostaniesz czekoladę
Stąd mamy to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Posprzątanie pokoju i bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady.
Dostanie czekolady jest dla dziecka nagrodą, stąd obietnicę A1 musimy kodować warunkiem wystarczającym p=>q wchodzącym w skład implikacji prostej p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Zapiszmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji.

26.1.1 Prawo transformacji w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Na mocy prawa Kłapouchego to samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=OP (otworzę parasol)
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p

Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
to samo w zapisach formalnych:
~q=>~p =1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …

Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłeś parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
To samo w zapisach formalnych:
A4: ~q=>~p =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało, że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1
To samo w zapisach formalnych:
A4: ~q=>~p =1

W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się złożonymi obietnicami w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


26.2 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Weźmy złożoną obietnicę Chrystusa (MK16):
A1.
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
(W*CH)=>Z =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(W*CH) - wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH)
q= Z (zbawienie)
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)

Rozstrzygnięcie:
W następniku mamy tu nagrodę „zbawienie”, gdzie warunek otrzymania tej nagrody jest precyzyjnie określony, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający (W*CH)=>Z wchodzący w skład implikacji prostej (W*CH)|=>Z.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane tzn. nic więcej nie musimy udowadniać.
Zdanie A1: (W*CH)=>Z to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: (W*CH)|=>Z.

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład:
A1: (W*CH)=>Z =1 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia (Z)
B1: (W*CH)~>Z =0 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia (Z)
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1

Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W*CH,Z}:
A1B1:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest
q=Z    - zostanie zbawiony
A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest wystarczająca dla zbawienia
B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie jest konieczna dla zbawienia
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:               A2B2:
A:  1: p   => q  =1 =  2: ~p ~>  ~q   =1
A:  1: W* CH=> Z =1 =  2: ~W+~CH ~>~Z =1
A’: 1: p ~~>~q   =0 =
A’: 1: W* CH~~>~Z=0 = 
       ##                  ##
B:  1: p   ~> q  =0 =  2: ~p   => ~q  =0
B:  1: W* CH ~> Z=0 =  2: ~W+~CH=>~Z  =0
B’:                    2: ~p   ~~> q  =1
B’:                    2: ~W+~CH~~> Z =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: (W*CH)|=>Z na mocy definicji obietnicy.

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1

26.2.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z

Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p

Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli uwierzę (W) i przyjmę chrzest (CH)?
A1B1:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Punkt odniesienia:
p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest
q=Z - zostanie zbawiony
A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia
B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie (=0) jest konieczna ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1

A1.
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH), będzie zbawiony (Z)
Ya = (W*CH)=>Z =1
To samo w zapisie formalnym:
Ya = p=>q =1
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Czytamy:
Chrystus dotrzyma słowa (Ya=1) gdy człowieka który w niego wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1), zbawi (Z=1)

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) może ~~> nie zostać zbawiony (~Z)
Yb = (W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =0
To samo w zapisie formalnym:
Yb = p~~>~q = p*~q =1*1 =0
Zapis matematycznie tożsamy to:
(Yb=0) <=> p=1*~q=1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy człowiek który wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1) nie zostanie zbawiony (~Z=1)
Innymi słowy:
Zakaz karania kogokolwiek kto spełnił w 100% warunek otrzymania nagrody w zdaniu A1.
Uwaga:
W całej niniejszej analizie Chrystus może zostać kłamcą tylko i wyłącznie w opisanym wyżej fałszywym kontrprzykładzie A1’, czyli gdyby kogokolwiek kto uwierzył (W) i przyjął chrzest (CH) nie zbawi (pośle do piekła). Sęk w tym, że nie może tego zrobić, bo wówczas wiara w niego straciłaby sens. Człowiek może bez problemu nie dotrzymać dowolnej obietnicy (fundament działania oszustów), ale Bóg nie ma do tego prawa i w tym sensie wolna wola Chrystusa jest mniejsza od wolnej woli człowieka.
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd:
Zapis w naturalnej logice matematycznej człowieka, gdzie domyślnie mamy do czynienia wyłącznie z logicznymi jedynkami
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy człowieka który wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1), nie zbawi (~Z=1)
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1

… a jeśli nie spełnię warunku nagrody?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Skrócony algorytm przejścia do logiki ujemnej (bo ~q):
W równaniu A1 negujemy zmienne i zamieniamy wszystkie znaczki na przeciwne: (*) na (+) oraz (=>) na (~>)
Mamy zdanie A1:
A1: (W*CH) => Z
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
stąd po negacji zmiennych i wymianie spójników na przeciwne mamy:
A2: (~W+~CH)~>~Z
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~> bo w następniku mamy tu czystą karę:
~Z - nie zostanie zbawiony (pójdzie do piekła)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Nie zbawiony (~Z) = idzie do piekła (P)
~Z=P
Idzie do piekła (P) = nie zbawiony (~Z)
P = ~Z
Stąd mamy:

Kolumna A2B2:
Odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli nie uwierzę (~W) lub nie przyjmę chrztu (~CH)?
A2B2:
Kto nie uwierzy lub nie przyjmie chrztu, ten nie będzie zbawiony.
(~W+~CH)~>~Z =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Gdzie:
~p = (~W+~CH) - nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH)
~q=~Z - nie zostanie zbawiony (~Z)
A2: (~W+~CH) ~>~Z =1 - (~W+~CH) jest (=1) konieczne ~> dla nie zbawienia (~Z)
B2: (~W+~CH) =>~Z =0 - (~W+~CH) nie jest (=0) wystarczające => dla nie zbawienia (~Z)
Stąd:
A2B2: (~W+~CH)|~>~Z = (A2: (~W+~CH)~>~Z)*~(B2: (~W+~CH)=>~Z)=1*~(0)=1*1=1

A2.
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH), ten ~> nie zostanie zbawiony (~Z)
A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: Yc = ~p~>~q =1
Brak wiary (~W) lub nie przyjęcie chrztu (~CH) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z), bo jak kto wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) to na 100% => zostanie zbawiony (Z).
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: (~W+~CH)~>~Z = A1: (W*CH) =>Z
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

Przyjrzyjmy się bliżej grupom ludzi które Chrystus ma prawo nie zbawić (~Z) na mocy warunku koniecznego ~> A2 i matematycznym kłamcą nie będzie.
A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=~W (nie uwierzy)
q=~CH (nie przyjmie chrztu)
Stąd mamy:
~W+~CH = (~W)*(~CH) + (~W)*~(~CH) + ~(~W)*(~CH) = ~W*~CH + ~W*CH + W*~CH
Stąd w przełożeniu na nasz przykład mamy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
~W+~CH = 1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH
Po rozwinięciu poprzednika w zbiorach rozłącznych mamy:
A2: Yc = (1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH) ~>~Z =1
Gdzie:
Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania A2 to:
1: W*~CH =1*1 =1 - wierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie wierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
~W*CH =1*1 =1 - nie wierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1)
Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo nie zbawić (posłać do piekła) i matematycznym kłamcą nie będzie

LUB

Fałszywy warunek wystarczający B2: (~W+~CH)=>~Z=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (CH), ten może ~~> zostać zbawiony (Z)
B2’: Yd = (~W+~CH) ~~>Z = (~W+~CH)*Z =1
To samo w zapisie formalnym:
B2’: Yd = ~p~~>q =~p*q =1
Jest taka możliwość (=1) na mocy definicji obietnicy A1.

Przyjrzyjmy się bliżej grupom ludzi które Chrystus ma prawo zbawić (Z) na mocy prawdziwego kontrprzykładu B2’ i matematycznym kłamcą nie będzie.
B2’: Yd = (~W+~CH) ~~>Z = (~W+~CH)*Z =1
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Rozpiszmy poprzednik zdania B2’ w zbiorach rozłącznych podstawiając:
p=~W (nie uwierzy)
q=~CH (nie przyjmie chrztu)
Stąd mamy:
~W+~CH = (~W)*(~CH) + (~W)*~(~CH) + ~(~W)*(~CH) = ~W*~CH + ~W*CH + W*~CH
Stąd w przełożeniu na nasz przykład mamy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
~W+~CH = 1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH
Po rozwinięciu poprzednika w zbiorach rozłącznych mamy:
B2’: Yd = (1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH) ~~>Z =1
Gdzie:
Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania B2’ to:
1: W*~CH =1*1 =1 - wierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie wierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
~W*CH =1*1 =1 - nie wierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1)
Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo zbawić (posłać do nieba) i matematycznym kłamcą nie będzie
Czytamy:
Jeśli człowiek należy do dowolnej z grup ludzi opisanych zdaniem B2’ to na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może ~~> mimo wszystko zbawić takiego człowieka, co ma potwierdzenie w setkach przypadków w Biblii.

Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do obietnicy A1: (W*CH)=>Z=1, czyli wręczenie nagrody (Z=zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (W*CH)=0
Zdanie B2’ to także piękny akt łaski w stosunku do groźby A2:
A2: (~W+~CH) ~>~Z =1
czyli odstąpienie od wykonania kary (~Z=brak zbawienia) mimo że odbiorca spełnił warunek kary (~W+~CH =1)
Oba te akty, „akt miłości” i „akt łaski” są doskonale znane w świeci żywym (nie tylko w świecie człowieka).

Nie jest tu istotne co sobie myślimy o ludziach z grupy B2’.
Na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może zbawić absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ (z Hitlerem na czele) i matematycznym kłamcą nie będzie.
Może zbawić nie oznacza że musi zbawić.
Twarda skrajność z drugiej strony to posłanie do piekła absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ na mocy zdania A2. Ten przypadek nie może zajść bowiem w Biblii roi się aktów łaski wypowiedzianych przez Chrystusa (zdanie B2’) np.
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

Wniosek:
Zanana filozofom idea powszechnego zbawienia jest możliwa, bo ma swoje podstawy matematyczne.

[link widoczny dla zalogowanych]
Apokatastaza (od gr. apokatastasis czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) – końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.

Podsumowanie:
1.
Wszystkie możliwe przypadki w których Chrystus dotrzyma słowa (Y=1) opisane są zdaniami:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
Ya = A: (W*CH)=>Z =1
Ya = A: p=>q =1
lub
Yc = C: (~W+~CH)~>~Z =1
Yc = C: ~p~>~q =1
lub
Yd = D: (~W+~CH)~~>Z =1
Yd = D: ~p~~>q =1
2.
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Y=1) wyłącznie w zdaniu A1’
A1’
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) wtedy i tylko wtedy gdy człowieka który uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zbawi (~Z), czyli pośle do piekła.

26.3 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę i klocki lego

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
W+P => C*L =1
Nasz punkt odniesienia to:
p = W+P - powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q= C*L - to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
Stąd to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) i klocków lego (L)
W następniku mamy tu czystą nagrodę, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający A1: (W+P)=>(C*L) wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: (W+P)|=>(C*L).
Wszystko mamy tu zdeterminowane na mocy definicji obietnicy, nic a nic nie musimy udowadniać.

Zapiszmy obietnicę A1 w tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W+P,C+L}:
A1B1:
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+P=1 - Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q = C*L=1 - to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1: W+P=>C*L=1 - wierszyk lub piosenka są wystarczające =>
                 dla otrzymania czekolady i klocków lego
B1: W+P~>C*L=0 - wierszyk lub piosenka nie są konieczne ~>
                 dla otrzymania czekolady i klocków lego
Stąd:
A1B1: (W+P)|=>(C*L) = (A1: W+P=>C*L)*~(B1: W+P~>C*L)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:                  A2B2:
A:  1: p => q      =1 =   2: ~p ~>  ~q     =1
A:  1: W+ P=> C* L =1 =   2: ~W*~P ~>~C+~L =1
A’: 1:    p~~>~q   =0 =
A’: 1: W+ P~~>~C+~L=0 = 
       ##                     ##
B:  1: p  ~> q     =0 =   2: ~p   => ~q   =0
B:  1: W+ P ~> C* L=0 =   2: ~W*~P=>~C+~L =0
B’:                       2: ~p   ~~> q   =1
B’:                       2: ~W*~P~~>C* L =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: W+P|=>C+L na mocy definicji obietnicy.

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1

26.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C*L)

Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p

Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P)?
A1: W+P=>C*L=1 - wierszyk lub piosenka są wystarczające => dla otrzymania czekolady i klocków lego
B1: W+P~>C*L=0 - wierszyk lub piosenka nie są konieczne ~> dla otrzymania czekolady i klocków lego
Stąd:
A1B1: (W+P)|=>(C*L) = (A1: W+P=>C*L)*~(B1: W+P~>C*L)=1*~(0)=1*1=1

Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1: Ya= W+P => C*L =1
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+P - Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz piosenkę
q= C*L - to dostaniesz czekoladę i klocki lego
Stąd mamy to samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) i klocków lego (L)

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Na mocy tej definicji rozpiszmy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
(W+P)=>(C*L) =1
p=W (wierszyk)
q=P (piosenka)
Stąd mamy:
W+P = 1: W*P + 2: W*~P + 3: ~W*P
Stąd zdanie tożsame do A1 to:
A1.
Ya = (1: W*P + 2: W*~P + 3: ~W*P) => (C*L) =1
Czytamy:
Warunek wystarczający => A1 będzie spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy Jaś wykona dowolną czynność zapisaną w poprzedniku, zaś ojciec wręczy mu nagrodę widoczną w następniku.
Innymi słowy:
Wykonanie przez odbiorcę dowolnej czynności zapisanej w poprzedniku jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania prezentu zapisanego w następniku

Jaś, aby mieć gwarancję matematyczną => nagrody musi wykonać jedną z trzech rozłącznych czynności zapisanych w poprzedniku zdania A1:
1: W*P =1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W) i śpiewa piosenkę (P)
2: W*~P = 1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W), ale nie śpiewa piosenki (~P)
3: ~W*P =1*1 =1 - Jaś nie mówi wierszyka (~W), ale śpiewa piosenkę (P)

Jeśli Jaś spełni dowolny z powyższych warunków to ojciec musi mu wręczyć prezent zdefiniowany w następniku, inaczej jest kłamcą o czym mówi zdanie A1’.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Obliczamy negację następnika q w zdaniu A1:
q = C*L
Negujemy dwustronnie:
~q = ~(C*L) = ~C+~L - na mocy prawa De Morgana

Stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to możesz ~~> nie dostać czekolady (~C=1) lub nie dostać klocków lego (~L=1)
A1’: Yb = (W+P) ~~>~C+~L =0
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) oraz zdarzy się, że nie dostanie czekolady (~C) lub nie dostanie klocków lego (~L)
Innymi słowy:
Na mocy definicji obietnicy wystarczy, że przy spełnionym warunku otrzymania nagrody zdefiniowanym w poprzedniku zajdzie (=1) którykolwiek składnik sumy logicznej w następniku i już ojciec jest kłamcą.

Tu również możemy skorzystać z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz następnik:
~q = ~C+~L
Stąd mamy:
~C+~L = (~C)*(~L) + (~C)*~(~L) + ~(~C)*(~L) = ~C*~L + ~C*L + C*~L
suma logiczna jest przemienna, stąd:
~C+~L = 1: C*~L + 2: ~C*~L+ 3: ~C*L
Stąd przy spełnionym poprzedniku zdarzenia rozłączne w następniku po zajściu któregokolwiek z nich ojciec będzie kłamcą to:
1: C*~L - Jaś dostanie czekoladę (C) i nie dostanie klocków lego (L)
2: ~C*~L - Jaś nie dostanie czekolady (C) i nie dostanie klocków lego (~L)
3: ~C*L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i dostanie klocki lego (L)

Zdanie tożsame:
A1’: Yb = (W+P) ~~>~C+~L =~(C*L) =0
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie zdarzy się ~(..), że dostanie czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1’: Yb = (W+P) ~~>~(C*L) =0
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd mamy odpowiedź na pytanie kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) w naturalnej logice matematycznej człowieka akceptującej wyłącznie jedynki.
A1’: ~Yb = (W+P)~~>~(C*L) =1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie zdarzy się ~(..), że dostanie czekoladę (C) i klocki lego (L)
Uwaga:
Zdanie A1’ to jedyne zdanie gdzie ojciec jest w stanie fizycznie skłamać bo ma „wolną wolę”, czyli zdolność go gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy.
Dowód tego faktu wynika z kolumny A2B2 w tabeli implikacji prostej IP gdzie oba zdania A2 i B2’ są prawdziwe.

Kolumna A2B2
Mamy zdanie wypowiedziane:
A1: W+P => C*L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Przejście ze zdaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwna tzn. „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie oraz warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
A2: ~W*~P ~> ~C+~L
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Gdzie:
~p=~(W+P) = ~W*~P - prawo De Morgana
~q = ~(C*L)=~C+~L

Dojście alternatywne na piechotę do zapisu A2:
Prawo Prosiaczka:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Podstawiając ~p i ~q mamy:
A2: ~W*~P ~> ~C+~L

A2B2:
Stąd mamy odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś nie powie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewa piosenki (~P=1)?
A2: ~W*~P ~>(~C+~L)=1 - ~W i ~P jest (=1) konieczne ~> dla ~C lub ~L
B2: ~W*~P => (~C+~L)=0 - ~W i ~P nie jest (=0) wystarczające => dla ~C i ~L
Stąd:
A2B2: ~W*~P|~>(~C+~L) = (A2: ~W*~P~>(~C+~L))*~(B2: ~W*~P=>(~C+~L))=1*~(0)=1*1=1

A2.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to możesz ~> nie dostać czekolady (~C) lub nie dostać klocków lego (~L)
A2: Yc = (~W*~P) ~> (~C+~L) =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Czytamy:
Nie powiedzenie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewanie piosenki (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~>, by Jaś nie dostał czekolady (~C=1) lub nie dostał klocków lego (~L=1)
Innymi słowy:
Na mocy definicji obietnicy w zdaniu A2 ojciec dotrzyma słowa (Yc=1), gdy Jaś nie powie wierszyka (~W) i nie zaśpiewa piosenki (~P), zaś ojciec nie da mu czekolady (~L) lub nie da mu klocków lego (~L).
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Rozpiszmy następnik zdania A2 w zdarzeniach rozłącznych:
p=~C (nie czekolada)
q=~L (nie klocki lego)
stąd mamy:
~C+~L = (~C)*(~L) + (~C)*~(~L) + ~(~C)*(~L) = ~C*~L + ~C*L + C*~L
Suma logiczne jest przemienna, stąd:
~C+~L = 1: C*~L + 2: ~C*~L + 3: ~C*L
Stąd mamy:
A2: Yc = (~W*~P) ~> (1: C*~L + 2: ~C*~L + 3: ~C*L) =1

Na mocy definicji obietnicy w zdaniu A2 ojciec dotrzyma słowa (Yc=1), gdy Jaś nie powie wierszyka (~W) i nie zaśpiewa piosenki (~P), oraz zajdzie jedno z trzech możliwych tu zdarzeń rozłącznych:
1: C*~L - Jaś dostanie czekoladę (C) i nie dostanie klocków lego (~L)
2: ~C*~L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i nie dostanie klocków lego (~L)
3: ~C*L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i dostanie klocki lego (L)
Wniosek:
Brak czekolady (C) i klocków lego (L) w następniku ~(C*L) to dla Jasia ewidentna kara, zatem zdanie A2 spełnia definicję groźby.

Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~W*~P => (~C+~L)=0
To samo w zapisach formalnych:
B2: ~p=>~q =0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Mamy:
~q=(~C+~L) = ~(C*L) - na mocy prawa De Morgana
Po dwustronnej negacji powyższej tożsamości mamy wyliczone q:
q = C*L

Stąd kontrprzykład B2’ (patrz również kolumna A2B2) na mocy którego ojciec może darować dowolną karę zależną od niego brzmi:
B2’.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to możesz ~~> dostać czekoladę (C=1) i klocki lego (L=1)
B2’: Yd = (~W*~P) ~~> (C*L) = (W*~P)*(C*L) =1
To samo w zapisie formalnym:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Czytamy:
Może się zdarzyć (=1) , że Jaś spełni warunek kary (~W*~P=1) i dostanie nagrodę, czekoladę i klocki lego (C*L)

Podsumowanie:
1.
W przypadku gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) to ojciec na 100% => musi mu dać nagrodę w postaci czekolady (C) i klocków lego (L) zapisaną w następniku zdania A1, inaczej będzie kłamcą.
2.
Natomiast jeśli Jaś nie spełni warunku nagrody zawartej w poprzedniku obietnicy A1:
A1: ~(W+P) = ~W*~P
to cokolwiek by ojciec nie zrobił to nie ma szans na zostanie kłamcą.
W tym przypadku ojciec może ~> nie wręczyć nagrody ~q=~(C*L) na mocy zdania A2, albo wręczyć nagrodę w następniku zdania B2’, czyli dać Jasiowi czekoladę i klocki lego q=C*L
q+~q = (C*L)+~(C*L) =1
Wynika z tego że jeśli Jaś nie spełni warunku obietnicy w zdaniu A1:
A1: ~p = ~(W+P)=~W*~P =1
to ojciec nie ma żadnych szans na zostanie matematycznym kłamcą, cokolwiek nie zrobi to dotrzyma słowa.

26.4 Groźby złożone typu f(p)~>f(q)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
Groźba złożona typu f(p)~>f(q) to groźba klasyczna W~>K gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi wyrażeniami algebry Boole’a tzn. akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(x)=p*q+~p*~q
W praktyce, w obietnicach występują tu najprostsze wyrażenia typu:
f(x) = p+q
f(x)=p*q

Zgodnie z definicją groźby warunek ukarania f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie karę.

Przykład:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
~P+B~>L
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

Zapiszmy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji

26.4.1 Prawo transformacji w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna obietnica to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.

Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.

Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o nie dostaniu lania które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K

Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B

Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak jutro dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są nagrodą dla dziecka, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość.
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1

W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się groźbą w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


26.5 Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Weźmy groźbę ojca:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
~P+B~>L
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {~P+B,L}:
A1B1:
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę
to dostaniesz lanie
Nasz punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
A1: (~P+B)=>L =0 - ~P+B nie jest (=0) wystarczające => dla lania (L)
B1: (~P+B)~>L =1 - ~P+B jest (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L)
A1B1: (~P+B)|~>L=~(A1: (~P+B)=>L)*(B1: (~P+B)~>L)=~(0)*1=1

       A1B1:              A2B2:
A:  1: p=> q    =0 =  2: ~p ~> ~q  =0
A:  1:~P+ B=> L =0 =  2:  P*~B~>~L =0
A’: 1: p~~> ~q  =1 =
A’: 1:~P+ B~~>~L=1 = 
       ##                 ##
B:  1: p ~> q   =1 =  2: ~p =>~q   =1
B:  1:~P+ B~> L =1 =  2: P*~B=>~L  =1
B’:                =  2: ~p  ~~> q =0
B’:                =  2: P*~B~~> L =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją odwrotną A1B1: (~P+B)|~>L na mocy definicji groźby.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1

26.5.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)||~>L

Operator implikacji odwrotnej p||~>q do układ równań A1B1: p|~>q i A2B2: ~p|=>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p, czyli gdy Jaś nie posprząta pokoju (~P) lub będę bił siostrę (B)?
Nasz punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
A1: (~P+B)=>L =0 - nie posprzątanie ~P lub bicie siostry B nie jest (=0) wystarczające => dla lania (L)
B1: (~P+B)~>L =1 - nie posprzątanie ~P lub bicie siostry B jest (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L)
A1B1: (~P+B)|~>L=~(A1: (~P+B)=>L)*(B1: (~P+B)~>L)=~(0)*1=1

B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L)
B1: Ya = ~P+B ~> L =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju (~P) lub bicie siostry (B) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L)
Nasz punkt odniesienia to:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Obliczamy przeczenia p i q:
~p=~(~P+B) = P*~B - na mocy prawa De Morgana
~q=~L - nie dostaniesz lania (~L)
W następniku zdania B1 mamy tu ewidentną groźbę, zatem na mocy definicji groźby zdanie B1 to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary w zdaniu A1’ bez względu na ostrość wypowiedzianej groźby w zdaniu B1.

Zauważmy, że w kolumnie A1B1 warunek wystarczający => w zdaniu A1 jest fałszem:
A1: (~P+B)=>L =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q = p*~q =1

Stąd mamy:
LUB

Nasz kontrprzykład A1’ brzmi:
A1’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to możesz ~~> nie dostać lania (~L)
A1’: Yb = ~P+B~~>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
A1’: p~~>~q =1
Jest taka możliwość na mocy definicji groźby.

Rozpiszmy poprzednik w zdaniach B1 i A1’ na zdarzenia rozłączne.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla p=~P+B i q=L mamy warunek wykonania kary w zdarzeniach rozłącznych:
~P+B = (~P)*(B) + (~P)*~(B) + ~(~P)*(B) = ~P*B + ~P*~B + P*B
Suma logiczna jest przemienna, stąd:
p = ~P+B = 1: P*B + 2: ~P*~B + 3: ~P*B
Stąd mamy:
Warunek kary będzie spełniony (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
1: P*B =1 - Jaś posprząta pokój (P), ale będzie bił siostrę (B)
lub
2: ~P*~B=1 - Jaś nie posprzątam pokoju (~P) i nie będzie bił siostry (~B)
lub
3: ~P*B=1 - Jaś nie posprząta pokoju (~P), i będzie bił siostrę (B)
Matematycznie zachodzi:
Y = 1+2+3
Wystarczy, że którakolwiek z cząstkowych funkcji rozłącznych (1,2,3) przyjmie wartość logiczną 1 i już warunek kary będzie spełniony.

Zauważmy że:
Warunek konieczny ~> B1 umożliwia ojcu wykonanie maksymalnej kary w 100%, czyli jeśli synek spełni którąkolwiek z funkcji cząstkowych (1,2,3) to kara widoczna w groźbie B1 może być wykonana.

Podsumowując:
W przypadku spełnienia któregokolwiek z częściowych warunków kary (1,2,3) ojciec ma 100% wolnej woli, czyli może wykonać karę L (lanie).
W zdaniu A1’ zaszyty jest doskonale znany w świecie żywym „alt łaski”, czyli możliwość darowania w 100% dowolnej kary zależnej od nadawcy.
„Akt łaski” to fundament Biblii gdzie roi się od tego typu przykładów:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Wniosek:
Biblia to Algebra Kubusia napisana językiem zrozumiałym dla prostych ludzi, tych sprzed 2000 lat.

… co może się wydarzyć jeśli Jaś nie spełni warunku kary w zdaniu B1?
Mamy groźbę B1:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L)
(~P+B) ~> L
to samo w zapisach ogólnych:
p~>q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
a) „lub”(+) na „i”(*)
b) „i”(*) na „lub”(+)
c) warunek konieczny ~> na warunek wystarczający =>
Stąd mamy:
B2: (P*~B) => ~L
to samo w zapisach ogólnych:
~p=>~q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli warunek kary w zdaniu B1 nie zostanie spełniony (~p=1) mamy w kolumnie A2B2.

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p, czyli gdy Jaś posprząta pokój (P) i nie będzie bił siostry (~B)?
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
A2: (P*~B)~>~L =0 - posprzątanie P i nie bicie siostry ~B nie jest (=0) konieczne ~> dla braku lania (~L)
B2: (P*~B)=>~L =1 - posprzątanie ~P i nie bicie siostry B jest (=1) wystarczające => dla braku lania (~L)
A2B2: (P*~B)|=>~L=~(A2: P*~B~>~L)*(B2: P*~B=>~L) = ~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisach formalnych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

B2.
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L)
P*~B => ~L =1
To samo w zapisach formalnych:
A2: ~p=>~q =1
Czytamy:
Posprzątanie pokoju (P) i nie bicie siostry (~B) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L) … tylko i wyłącznie z powodu że posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B).
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>.
Lania z innego powodu są możliwe, ale nie dotyczą one obietnicy B2

Prawdziwy warunek wystarczający B2’: ~p=>~q =1 na mocy definicji wymusza fałszywy kontrprzykład B2’: ~p~~>q=~p*q=0 (i odwrotnie)

B2’
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to możesz ~~> dostać lanie (L)
P*~B~~>L =0
Nie może się zdarzyć (=0), że nie spełnię warunku kary w groźbie B1, czyli:
Posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B) i dostanę lanie (L)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:50, 27 Mar 2024, w całości zmieniany 18 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32228
Przeczytał: 32 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 7:53, 27 Mar 2024    Temat postu:

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
27.0 Krótka historia rozszyfrowywania algebry Kubusia

Spis treści
27.0 Krótka historia rozszyfrowywania algebry Kubusia 1
27.1 Jak to się zaczęło? 2
27.1.1 Początki – rok 2006 2
27.2 Irbisol – odwieczny wróg algebry Kubusia 3
27.3 Matematyczna tragedia współczesnej logiki matematycznej 4
27.3.1 Algorytm Małpki z podręcznika akademickiego matematyki 5
27.3.2 Rozwiązanie prawa Małpki dla funkcji z podręcznika akademickiego 7
27.3.3 Dowód błędu fatalnego popełnionego przez prof. L. Newelskiego 9
27.4 Błędy nauki 9
27.5 Podziękowanie dla Irbisola 11


27.0 Krótka historia rozszyfrowywania algebry Kubusia

Definicja:
Klasyczny Rachunek Zdań to logika matematyczna, będąca fundamentem wszelkich ziemskich logik matematycznych.

1
"Wszyscy wiedzą, że czegoś nie da się zrobić, aż znajdzie się taki jeden, który nie wie, że się nie da, i on to robi."
Albert Einstein

2.
"Historia wynalazków naukowych i technicznych uczy nas, że rasa ludzka uboga jest w niezależną myśl twórczą i wyobraźnię... człowiek musi niejako dosłownie potknąć się o rzecz samą, aby mu zakwitła Idea."
Albert Einstein

3.
"Jedyną pewną metodą unikania porażek jest nie mieć żadnych, nowych pomysłów."
Albert Einstein


Ad.1
Dopiero 26 lat po ukończeniu elektroniki na Politechnice Warszawskiej (rok 1980) po raz pierwszy w życiu usłyszałem termin Klasyczny Rachunek Zdań, tak więc z definicji nie wiedziałem, że u ziemskich matematyków KRZ jest nie do obalenia.

Ad.2
Moje potknięcie o Klasyczny Rachunek Zdań to wyjaśnienia Wuja Zbója, że ateiści mogą do tego samego nieba co wierzący na mocy definicji implikacji która w technice jest idiotyzmem bo opisuje "wolną wolę" istot żywych. Świat martwy z definicji "wolnej woli" nie ma i nigdy mieć nie może.
Puszka Pandory prowadząca do zagłady wszelkich ziemskich logik matematycznych została otwarta.

Ad.3
Mój nowy pomysł po bliższym zapoznaniu się z Klasycznym Rachunkiem Zdań to wniosek, iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka zatem musi być fałszem, co zostało udowodnione na pierwszych stronach algebry Kubusia w postaci prawa Grzechotnika (pkt. 1.5.7, 1.5.8, 1.7.1)

Dowód iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka to przykładowe zdania tu prawdziwe:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]

27.1 Jak to się zaczęło?

Wszystko zaczęło się na forum wiara.pl gdzie Wuj Zbój zaczął mi udowadniać w rachunku zero-jedynkowym, że ateiści mogą do tego samego nieba co wierzący.
W swoim dowodzie użył nieznanej mi wówczas zero-jedynkowej definicji implikacji, mimo że z racji zawodu byłem ekspertem bramek logicznych (elektronika na Politechnice Warszawskiej).
Po krótkiej dyskusji Wuj zaprosił mnie na swoje forum śfinia.

ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury.

Link do forum filozoficznego sfinia z jego niezwykłym regulaminem pozwalającym głosić dowolne herezje bez obawy o bana - tylko i wyłącznie dzięki temu algebra Kubusia została rozszyfrowana:
http://www.sfinia.fora.pl/zaprzyjaznione-portale,60/
Na forum śfinia mamy dostęp do pełnej, 18 letniej historii rozszyfrowywania algebry Kubusia.

Startowa dyskusja w temacie logiki matematycznej jest w tym linku:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicja-implikacji-wedlug-rafala3006-p-wieczorka,685.html#14369

Tu algebra Kubusia była niemowlęciem jeszcze, musiało minąć kolejnych 18 lat zanim została w 100% rozszyfrowana.

Efekt końcowy na dzień 2024-02-07 w wersji pdf mamy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kod:
https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0


27.1.1 Początki – rok 2006

Kluczowym przełomem w dyskusji na temat logiki matematycznej było odkrycie przeze mnie w rachunku zero-jedynkowym praw Kubusia.

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Gdzie:
=> - definicja obietnicy
~> - definicja groźby
… tak to się wtedy nazywało, bo te znaczki pasowały mi do obsługi obietnic i gróźb w świecie żywym

Nazwa obecna:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q – zajęcie p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q

Wuj Zbój potwierdził matematyczną poprawność praw Kubusia.
Tu jest ten historyczny moment:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/implikacja-na-miare-xxi-wieku,1483.html#28815
Wysłany: Pon 15:02, 01 Sty 2007
wujzboj napisał:
rafal3006 napisał:
p~>q = ~p=>~q
p=>q = ~p~>~q
OK.

Ze zdziwieniem stwierdziłem, że praw Kubusia nie mogę znaleźć w Internecie, co było dla mnie wielkim zaskoczeniem.

Kolejnym przełomem w odkrywaniu algebry Kubusia było okrycie definicji brakującego tu znaczka zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q =1 – możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q

Pierwsza dyskusja z zawodowym logikiem Volrathem była dla mnie arcyciekawa bo doskonale znał teorię bramek logicznych i mieliśmy wspólny w tym temacie język.
Znaczenie tej dyskusji doceniłem dopiero 16 lat później, gdy wnioski Volratha z naszej dyskusji wykorzystałem w końcowej algebrze Kubusia (pkt. 22.0).

Kolejny zawodowy matematyk z którym dyskutowałem to Macjan, dyskusja była ciekawa bo Macjan zaakceptował znaczki => i ~> (wtedy jeszcze nie było znaczka ~~>).

Ostatnim kluczowym partnerem w dyskusji na temat algebry Kubusia był Fiklit, który na bieżąco wskazywał słabe punkty algebry Kubusia, dzięki czemu mogłem ją korygować. Wiedza prezentowana przez Fiklita, oraz jego 6-cio letnia cierpliwość w dyskusji ze mną wskazuje, iż być może jest znakomitym wykładowcą logiki matematycznej - stąd jego cierpliwość dla początkującego studenta.

27.2 Irbisol – odwieczny wróg algebry Kubusia

Oddzielnym tematem jest Irbisol, zaciekły wróg algebry Kubusia, od 15 lat za wszelką cenę pragnący ją zniszczyć.
Link do końcowego wątku dyskusji z Irbisolem:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-4650.html#777141

Dlaczego 15-letnia dyskusja z Irbisolem była dla mnie bezcenna?

Dzięki dyskusji z Irbisolem wędrowaliśmy po dziewiczych obszarach matematyki do których bez jego pomocy nigdy bym nie dotarł.

Wypunktuję dlaczego dyskusja z Irbisolem była dla mnie bezcenna:
1.
Irbisol nie jest matematykiem (jest absolwentem uczelni technicznej, jak ja) - to jest najważniejsza jego korzystna cecha na potrzeby naszej dyskusji
2.
Irbisol rozumie równania algebry Boole'a którymi się posługuję co znajduje potwierdzenie w dawnej naszej dyskusji
3.
Irbisol ślepo wierzy, że przy pomocy KRZ da się opisać logikę matematyczną, którą posługują się ludzie.
Innymi słowy:
KRZ jest dla niego bogiem (póki co) któremu nie jest w stanie się sprzeciwić

Cecha Nr.3 jest tu kluczowa, dzięki niej możliwe było starcie wszech czasów:
Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań (w wersji Irbisola)

Podsumowując:
Z żadnym ziemski matematykiem nie miałbym szans na dyskusję w stylu Irbisola posługującego się jego prywatnym KRZ z KRZ matematyków mającym zero wspólnego.

Kluczowa różnica:
Irbisol ślepo wierzy w poniższą tożsamość:
Warunek wystarczający => = Implikacja rodem z KRZ =>

W świecie matematyków to jest oczywista brednia.
cnd

Uwaga:
Dzięki pseudo-tożsamości Irbisola mieliśmy wspólny punkt zaczepienia, bo definicję warunku wystarczającego => rozumieliśmy identycznie, od zawsze.
Przykładowo, Irbisol bez najmniejszych oporów zrozumiał, że równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)=1*1=1
Definiuje tożsamość zbiorów TP=SK, o czym na dzień dzisiejszy, żaden ziemski matematyk nie ma najmniejszego pojęcia.

27.3 Matematyczna tragedia współczesnej logiki matematycznej

Opracowano na podstawie dyskusji z Irbisolem począwszy od tego postu:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-5925.html#786367

Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie

Matematyczna tragedia współczesnej logiki matematycznej to błąd czysto matematyczny w rozwiązaniu prawa Małpki

Na czym ten błąd polega?

W poprawnej logice matematycznej dla funkcji startowej:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
mamy dwa nietożsame rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y) związane ze sobą spójnikiem „albo”($)

1: Y (alternatywa koniunkcji [=] 3: Y (koniunkcja alternatyw)
„albo”($)
2: ~Y (alternatywa koniunkcji) = 4: ~Y (koniunkcja alternatyw)

Tymczasem:
Współczesna logika w rozwiązaniu prawa Małpki w podręczniku akademickim prof. L. Newelskiego widzi tylko jedno rozwiązanie:
1: Y (alternatywa koniunkcji) [=] 4:~Y (koniunkcja alternatyw)

Oczywistym jest że zapis:
1: Y [=] 4: ~Y
jest sprzeczny z algebrą Boole’a, jest błędem fatalnym w logice matematycznej.
Dowód tego faktu w kolejnym punkcie.

27.3.1 Algorytm Małpki z podręcznika akademickiego matematyki

Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie

W poprawnym rozwiązaniu prawa Małpki dostaniemy tu dwie funkcje tożsamościowe: w logice dodatniej Y=Y oraz w logice ujemnej ~Y=~Y związane ze sobą spójnikiem „albo”($)
Zajdzie Y albo zajdzie ~Y, trzeciej możliwości brak

Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)

Zadanko Małpki dla funkcji logicznej z podręcznika akademickiego (uwaga 2.7):
[link widoczny dla zalogowanych]
Cytat:
https://www.math.uni.wroc.pl/~newelski/dydaktyka/wdm-A/skrypt3/skrypt/node3.html

A1.
Dana jest startowa funkcja logiczna w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + p*~q*r

Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.

Wykonujemy kolejne punkty algorytmu rozwiązania zadania Małpki (pkt 25.0):

Krok 1
Nasza startowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + p*~q*r
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 i r=1 lub ~p=1 i q=1 i ~r=1 lub p=1 i ~q=1 i r=1

Stąd w punktach B7, C7 i F7 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
Kod:

T1
   p  q  r ~p ~q ~r Y=? ~Y=?
A: 0  0  0  1  1  1
B: 0  0  1  1  1  0  1
C: 0  1  0  1  0  1  1
D: 0  1  1  1  0  0 
E: 1  0  0  0  1  1
F: 1  0  1  0  1  0  1
G: 1  1  0  0  0  1
H: 1  1  1  0  0  0
   1  2  3  4  5  6  7    8

Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
Kod:

T1
   p  q  r ~p ~q ~r Y=? ~Y=?
A: 0  0  0  1  1  1  0    1
B: 0  0  1  1  1  0  1    0
C: 0  1  0  1  0  1  1    0
D: 0  1  1  1  0  0  0    1
E: 1  0  0  0  1  1  0    1
F: 1  0  1  0  1  0  1    0
G: 1  1  0  0  0  1  0    1
H: 1  1  1  0  0  0  0    1
   1  2  3  4  5  6  7    8


Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Logika jedynek:
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).

Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Logika zer:
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)

Stąd po wykonaniu kroku 2 i 3 otrzymujemy tabelę symboliczną:
Kod:

T23
                              | I.             | II.
                              | Logika jedynek | Logika zer
   p  q  r ~p ~q ~r Y=? ~Y=?  |                |
A: 0  0  0  1  1  1  0    1   | ~Ya=~p*~q*~r   |  Ya= p+ q+ r
B: 0  0  1  1  1  0  1    0   |  Yb=~p*~q* r   | ~Yb= p+ q+~r
C: 0  1  0  1  0  1  1    0   |  Yc=~p* q*~r   | ~Yc= p+~q+ r
D: 0  1  1  1  0  0  0    1   | ~Yd=~p* q* r   |  Yd= p+~q+~r
E: 1  0  0  0  1  1  0    1   | ~Ye= p*~q*~r   |  Ye=~p+ q+ r
F: 1  0  1  0  1  0  1    0   |  Yf= p*~q* r   | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1  1  0  0  0  1  0    1   | ~Yg= p* q*~r   |  Yg=~p+~q+ r
H: 1  1  1  0  0  0  0    1   | ~Yh= p* q* r   |  Yh=~p+~q+~r
   1  2  3  4  5  6  7    8   |  a   b  c  d   |  e   f  g  h

I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek (ABCDEFGHabcd) :

1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
#
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer (ABCDEFGHefgh) :

3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
#
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

27.3.2 Rozwiązanie prawa Małpki dla funkcji z podręcznika akademickiego

Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 3: Y
oraz:
2: ~Y = 4: ~Y
Dowód:
Powyższy układ równań Y i ~Y opisuje tą samą tabelę zero-jedynkową ABCDEFGHabcdefgh

Stąd:
Dla funkcji startowej:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
mamy dwa nietożsame rozwiązania prawa Małpki Y=Y oraz ~Y=~Y związane ze sobą spójnikiem ”albo”($)

Rozwiązanie:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)

„albo”($)

2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
$ - spójnik „albo”($)
[=] - znaczek tożsamości logicznej

Doskonale widać, że końcowym rozwiązaniem prawa Małpki dla funkcji startowej:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
są dwa nietożsame rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y):
1: Y (alternatywa koniunkcji [=] 3: Y (koniunkcja alternatyw)
„albo”($)
2: ~Y (alternatywa koniunkcji) = 4: ~Y (koniunkcja alternatyw)

Rozwiązania te wiąże definicja spójnika „albo”($):
Zajdzie Y albo($) ~Y
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak

Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd

Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak

Wisienka na torcie:
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są (=0) tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0

Dowód:
Prawo Irbisa dla pojęć/zdarzeń/zbiorów (pkt. 2.9):
Dwa pojęcia/zdarzenia/zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y)=0

27.3.3 Dowód błędu fatalnego popełnionego przez prof. L. Newelskiego

prof. L. Newelski (podobnie jak pozostali ziemscy matematycy) nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y), stąd wychodzi mu czysto matematyczny fałsz, jakoby zachodziła tożsamość matematyczna:
1: Y = 4: ~Y
Czyli:
Postać tożsama dla funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
to funkcja koniunkcyjno-alternatywna:
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)

Oczywistym jest że zapis:
1: Y [=] 4: ~Y
jest sprzeczny z algebrą Boole’a, jest błędem fatalnym w logice matematycznej.

Oczywiście jak wywalimy w kosmos funkcje logiczne Y i ~Y to będzie zachodziła tożsamość:
1: A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
4: A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
.. ale to jest błąd czysto matematyczny, czyli wewnętrzna sprzeczność ziemskiej logiki matematycznej na poziomie funkcji logicznych!

27.4 Błędy nauki

Autor: Luc Bürgin

Ludzie mają widocznie skłonność do przedwczesnego i negatywnego oceniania perspektyw rozwojowych pewnych dziedzin nauki. Niektóre rewolucyjne odkrycia lub idee przez lata bojkotowano i zwalczano tylko dlatego, że dogmatycznie nastawieni luminarze nauki nie umieli odrzucić swych ulubionych, choć przestarzałych i skostniałych idei i przekonań. Jednym słowem: „Niemożliwe!" hamowali postęp nauki, a przykładami można dosłownie sypać jak z rękawa:

• Gdy w XVIII wieku Antoine-Laurem de Lavoisier zaprzeczył istnieniu „flogistonu" – nieważkiej substancji, która wydziela się w trakcie procesu spalania i w którą wierzyli wszyscy ówcześni chemicy – i po raz pierwszy sformułował teorię utleniania, świat nauki zatrząsł się z oburzenia. „Observations sur la Physique", czołowy francuski magazyn naukowy, wytoczył przeciwko Lavoisierowi najcięższe działa, a poglądy uczonego upowszechniły się dopiero po zażartych walkach.

• Gdy w 1807 roku matematyk Jean-Baptiste Joseph de Fourier wystąpił przed Paryską Akademią Nauk z wykładem na temat przewodnictwa cieplnego w obwodzie zamkniętym i wyjaśnił, że każdą funkcję okresową można przedstawić w postaci nieskończonej sumy prostych funkcji okresowych (sinus, cosinus), wstał Joseph-Louis de Lagrange, jeden z najwybitniejszych matematyków tamtej epoki, i bez ogródek odrzucił tę teorię. A ponieważ przeciwko Fourierowi wystąpili także inni słynni uczeni, np. Pierre-Simon de Laplace, Jean-Baptiste Biot, Denis Poisson i Leonhard Euler, musiało minąć sporo czasu, zanim uznano doniosłość jego odkrycia. Obecnie nie można sobie wyobrazić matematyki i fizyki bez analizy Fouriera.

• Gdy w latach czterdziestych XIX wieku John James Waterston, nieznany młody fizyk, przedstawił brytyjskiemu Towarzystwu Królewskiemu swój rękopis, dwaj recenzenci nie pozostawili na nim suchej nitki. Gdyby w 1891 roku fizyk i późniejszy laureat Nagrody Nobla John William Rayleight nie odnalazł oryginalnego rękopisu w archiwach tej szacownej instytucji, na próżno szukalibyśmy w podręcznikach fizyki nazwiska Waterstona. A to właśnie on był pierwszym badaczem, który sformułował tak zwaną zasadę ekwipartycji energii dla specjalnego przypadku. W 1892 roku Rayleight napisał: „Bardzo trudno postawić się w sytuacji recenzenta z 1845 roku, ale można zrozumieć, że treść artykułu wydała mu się nadmiernie abstrakcyjna i nie przemówiły do niego zastosowane obliczenia matematyczne. Mimo to dziwi, że znalazł się krytyk, według którego: "Cały artykuł to czysty nonsens, który nie nadaje się nawet do przedstawienia Towarzystwu". Inny opiniujący zauważył: "[...] analiza opiera się – co przyznaje sam autor – na całkowicie hipotetycznej zasadzie, z której zamierza on wyprowadzić matematyczne omówienie zjawisk materiałów sprężystych [...]. Oryginalna zasada wynika z przyjęcia założenia, którego nie mogę zaakceptować i które w żadnym razie nie może służyć jako zadowalająca podstawa teorii matematycznej".

• Gdy pod koniec XIX wieku Wilhelm Conrad Röntgen, odkrywca promieni, bez których trudno sobie wyobrazić współczesną medycynę, opublikował wyniki swoich badań, musiał wysłuchać wielu krytycznych komentarzy. Nawet światowej sławy brytyjski fizyk lord Kelvin określił promienie rentgenowskie mianem .,sprytnego oszustwa''. Friedrich Dessauer, profesor fizyki medycznej, w czasie wykładu wygłoszonego 12 lipca 1937 roku na uniwersytecie w szwajcarskim Fryburgu powiedział w odniesieniu do odkrycia Röntgena: „Nadal widzę sceptyków wykrzykujących: "Niemożliwe!". I nadal słyszę proroków, wielkie autorytety tamtych lat, którzy odmawiali promieniom rentgenowskim jakiegokolwiek, także medycznego, znaczenia".

• Gdy Werner von Siemens, twórca elektrotechniki, zaprezentował przed Scientific Community teorię ładunku elektrostatycznego przewodów zamkniętych i otwartych, wywołał falę gwałtownych sprzeciwów. „Początkowo nie wierzono w moją teorię, ponieważ była sprzeczna z obowiązującymi w tamtych czasach poglądami", wspominał Siemens w autobiografii wydanej pod koniec XIX wieku.

• Podobnych przeżyć doświadczył William C. Bray z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley, gdy w 1921 roku poinformował o zaobserwowaniu oscylującej okresowo reakcji chemicznej. W 1987 roku w fachowym czasopiśmie „Chemical and Engineering News" ukazał się artykuł R. Epsteina, który napisał, że amerykański uczony został wyśmiany i wyszydzony, bo reakcja taka wydawała się niepodobieństwem. I choć odkrycie Braya potwierdzono w teorii i w praktyce, to musiało upłynąć pięćdziesiąt lat, nim uznano znaczenie jego pracy.

Studenci rzadko mają okazję zetknąć się z podobnymi przykładami, ponieważ naukowcy, jak wszyscy inni ludzie, przejawiają osobliwą skłonność do zapominania o rozmaitych „wpadkach", z jakimi na przestrzeni lat musiała się uporać ich dyscyplina wiedzy. Z dumnie wypiętą piersią sprzedają uczniom historię nauki jako pasmo nieustających sukcesów. Wstydliwie przemilczają opowieści o walkach, które poprzedzają wielkie przełomy.


27.5 Podziękowanie dla Irbisola

W tym poście Irbisol był jedną nogą w klubie algebry Kubusia - niestety, w ostatniej chwili zdezerterował:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-4650.html#777141

Tuż po opublikowaniu powyższego postu zadzwonił do mnie czerwony telefon z pomocą którego mam bezpośrednią łączność z Kubusiem ze 100-milowego lasu, rzeczywistym autorem algebry Kubusia.
Kubuś prosił mnie, bym podziękował Irbisolowi za 15-letnią dyskusję argumentując, że nowa teoria matematyczna, jaką jest algebra Kubusia musiała mieć wroga nr. 1 w osobie Irbisola, by w ogóle móc zaistnieć, co niniejszym czynię

Dzięki Irbisolu za 15 letnią dyskusję – bez ciebie nie byłoby algebry Kubusia!

Tak w ogóle to nie mam pewności, czy wszelkimi naszymi poczynaniami nie sterował bezpośrednio Kubuś, ale to by oznaczało, że nasza "wolna wola" jest picem, tak więc lepiej zrezygnować z takiego "filozofowania".

https://www.youtube.com/watch?v=Fz8J-WXXjaA
Sprzedawcy Marzeń - Myslovitz napisał:

Płyta : Korova Milky Bar.

Tekst :

Jaki piękny jest ten świat, tylko czarne, białe
To jest proste, widzę - wiem
Już tu siedzę jakiś czas, lubię dużo wiedzieć
I nie wzrusza mnie już nic

Ty widzisz we mnie coś, nie ma ideału
A miłość ślepa jest
I chyba nie wiesz, że telewizja kłamie
Nie wszystko możesz mieć

Nie mogę zrobić nic, sterowany jestem wciąż
Nie musisz starać się, przecież jesteś też jak ja

Powiedzieć coś bym chciał, mam pustkę w głowie
Zgubiłem znowu się
I nie chce mi się nic, jestem już zmęczony
To nie był dobry dzień

Nie mogę zrobić nic, sterowany jestem wciąż
Nie musisz starać się, przecież jesteś też jak ja
Nie mogę zrobić nic, sterowany jestem wciąż
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Ten temat jest zablokowany bez możliwości zmiany postów lub pisania odpowiedzi    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony Poprzedni  1, 2
Strona 2 z 2

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin