Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Kubusiowa szkoła logiki na żywo. Dyskusja z Volrathem
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3, 4, 5, 6  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:44, 02 Lis 2008    Temat postu:

Lekcja 5

Równoważność czy implikacja

volrath napisał:

Dla danych p i q zdanie p ~> q jest fałszem wtedy i tylko wtedy gdy p jest fałszywe, a q prawdziwe, tak?

To jest dobre wyłącznie dla zapamiętania tabelki zero-jedynkowej.

Implikacja to operowanie na zmiennych, nigdy na stałych których wartość jest z góry znana.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Jaką wartość znaną z góry ma tu p a jaką q ?

W implikacji odwrotnej z góry to wiesz tylko i wyłącznie to że jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Wszystko znane z góry masz tylko i wyłącznie w równoważności, bowiem w implikacji prostej z kolei totalnie nie wiesz co zajdzie w przypadku nie spełnienia warunku p.

Jeśli zwierzę jest psem to na ma pewno ma cztery łapy
P=>4L
… a jak zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap lub może mieć cztery łapy
~P~>~4L+4L

Algorytm rozpoznawania równowazności i implikacji:
1.
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi pewne wynikanie wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności, inaczej zdanie może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub implikacją fałszywą czyli nie spełniającą definicji implikacji.
2.
Zdanie jest implikacją wtedy i tylko wtedy gdy po wykluczeniu równoważności stwierdzimy dowolny warunek wystarczający lub konieczny w kwadracie logicznym implikacji, inaczej zdanie nie jest ani implikacją, ani równoważnością.
3.
Dopiero po stwierdzeniu że zdanie jest implikacją możemy zapisać:
Implikacja prosta p=>q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i nie zajdzie q.
Implikacja odwrotna p~>q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy nie zajdzie p i zajdzie q

Kwadrat logiczny równoważności
Kod:

p=>q              q=>p
W.Wystarczający   W .wystarczający

~p=>~p           ~q=>~p
W.wystarczający   W.wystarczający

Zdanie „Jeśli…to..” jest równoważnością gdy zachodzi pewne wynikanie wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności.

Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60<=>R
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
R<=>K60
Oba powyższe zdania są prawdziwe i poprawne. Oczywiście oba zdania matematycznie kodujemy jako równoważność bo to jest ewidentna równoważność, czyli zachodzi pewne => wynikanie w dwie strony

W równoważności jest obojętne gdzie leży q a gdzie p bo w obie strony mamy pewne wynikanie proste:
p=>q = q=>p
Oczywiście w równoważności zachodzą tożsamości we wszelkich możliwych kierunkach: w poziomie, w pionie i po przekątnych (prawa kontrapozycji)

Prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

Prawa kontrapozycji są poprawne tylko i wyłącznie w równoważności, bo tylko i wyłącznie w równoważności możemy zapisać pewne wynikanie w q=>p.
q=>p
Jeśli zajdzie q to musi zajść p

W implikacji poprawny zapis tego samego jest taki:
q~>p - jeśli zajdzie q to „może” ~> zajść p
Oczywiście w drugą stronę mamy pewne wynikanie proste:
p=>q - jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q


Kwadrat logiczny implikacji

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to po prostu operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
W.Wystarczający             W.Konieczny
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
W.Konieczny                 W.Wystarczający
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Lewa strona to pełna operatorowa definicja implikacji prostej, zaś prawa strona to pełna operatorowa definicja implikacji odwrotnej. W pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne. Doskonale widać prawa Kubusia zachodzące w pionach.

volrath napisał:

Ok, rozumiem, że ~> jest dla ciebie warunkiem koniecznym.

Definicja spójnika „może” ~>
Wystarczy udowodnić że zdanie jest prawdziwe dla jednego elementu

W implikacji odwrotnej zdanie może być prawdziwe lecz implikacja odwrotna fałszywa np.
Jeśłi liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 = 1 bo 15
Zdanie jest prawdziwe, lecz implikacja fałszywa bo P3 nie jest konieczne dla P5. Implikacja odwrotna jest prawdziwa jeśli zachodzi warunek konieczny w A2 lub C1 i zdanie jest prawdziwe.

O warunkach koniecznych możemy mówić wyłacznie w zdaniach A2 i C1. W zdaniach B2 i D1 trudno mówić o jakichkolwiek warunkach.
Analogicznie jest z warunkiem wystarczającym, na pewno musi zachodzić w zdaniach A1 i C2, w zdaniach B1 i D2 jest to nie do stwierdzenia.

Oczywiście wszystko zależy od treści zdania.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym dostania komputera. To jest wystarczający dowód poprawności wszystkich ośmiu zdań w układzie implikacyjnym.

Jeśli zdasz egzamin to nie dostaniesz komputera
E=>~K
Oczywiście zdanie egzaminu nie jest warunkiem wystarczającym nie dostania komputera.

Wynika z tego że operatora „musi”=> nie można rozumieć jako warunku wystarczającego. Analogicznie operatora implikacji odwrotnej „może” nie można rozumieć jako warunku koniecznego.

Gwarancją w implikacji jest operator implikacji prostej =>, ten w którym zachodzi warunek wystarczający. W kwadracie logicznym implikacji mamy dwie możliwości.

Gwarancja w implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Gwarancja w implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p musi być wystarczające dla ~q

Bush do Husajna:
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu uderzymy na Irak
~W~>U - implikacja odwrotna bo groźba
Nie wycofanie się z Kuwejtu jest warunkiem koniecznym uderzenia na Irak. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje tylko i wyłącznie nadawca. Odbiorca nie ma tu nic do gadania.
Gwarancja:
~W~>U = W=>~U - prawo Kubusia
W=>~U
Jeśli wycofasz się z Kuwejtu to na pewno => nie uderzymy na Irak, z powodu że wycofałeś się z Kuwejtu. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Wycofanie się z Kuwejtu jest warunkiem wystarczającym dla braku uderzenia na Irak z powodu wycofania się z Kuwejtu. W tym przypadku Bush musi szukać innego pretekstu uderzenia na Irak, jeśli bardzo chce uderzyć.

O tym czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikację czy równoważnością decyduje treść zdania, nigdy użyty spójnik.

Jeśli będzie padać to na pewno będzie pochmurno
p=>CH
Będzie padać wtedy i tylko wtedy gdy będzie pochmurno
P=>CH

Oba zdania są prawdziwe i poprawne. Oczywiście nie jest to równoważność bo nie zachodzi pewne wynikanie w dwie strony P=>CH i CH=>P. Z tego powodu matematycznie ostatnie zdanie kodujemy jako implikację prostą, nigdy równoważność.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:00, 03 Lis 2008, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:26, 02 Lis 2008    Temat postu:

volrath napisał:

Dla danych p i q zdanie p ~> q jest fałszem wtedy i tylko wtedy gdy p jest fałszywe, a q prawdziwe, tak?

W takim razie czemu nie zgadzasz się na zgodę z tą definicją rozumienie zdanie 4Ł ~> ~P?

p = 4Ł
q = ~P

Fałszywe wtedy i tylko wtedy gdy p jest prawdziwe (4Ł), a q fałszywe (P) - czyli dla 4Ł i P (pies). :shock:

Moim zdaniem zapis w Twoich tabelkach jest mylący, bo pisząc:

rafal3006 napisał:

LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
B: 4L~>~P =1 bo słoń, krowa …


Tak na prawdę nie masz na myśli " 4L~>~P" - bo z definicji operatora i tego co wiemy to jest fałsz, ale masz na myśli "4L AND ~P" (czyli słoń, krowa).

Zdanie 4L~>~P jest zdaniem prawdziwym bo w operatorze „może” wystarczy pokazać jeden element dla którego to zdanie jest prawdziwe.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15
Tu mamy zdanie prawdziwe, ale implikację odwrotną fałszywą bowiem P3 nie jest konieczne dla P5
Napisałem o tym wyżej.

Wracając do spornego zdania:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P = 1 bo słoń
Oczywiście tu mamy do czynienia ze zdaniem prawdziwym i implikacją prawdziwą !

To ostatnie łatwo stwierdzić zapisując drugi i ostatni możliwy przypadek dla implikacji odwrotnej w tym układzie implikacyjnym.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
Oczywiście cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa
Tym sposobem rozstrzygnęliśmy poprawność wszystkich ośmiu zdań w obu układach implikacyjnych !

Zapiszmy symbolicznie układ implikacyjny wynikający z powyższych zdań:

4L~>P =1 bo pies
4L~>~P =1 bo słoń
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
~4L=>~P =1 - twarda prawda
~4L=>P =0 - twardy fałsz
Oczywistym jest że zdanie 4L~>~P jest zdaniem prawdziwym. Zobaczmy co się stanie jeśli zdanie to uznamy zgodnie z twoim postulatem za fałszywe.

4L~>P =1 bo pies
4L~>~P =0 - zgodnie z postulatem dzisiejszej logiki
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
~4L=>~P =1 - twarda prawda
~4L=>P =0 - twardy fałsz

Oczywistym jest że powyższa tabela to tabela równoważności a nie implikacji. Myślę, że dzisiejsi logicy mówiąc o implikacji tak naprawdę nieświadomie poruszają się w obrębie równoważności.

Dowód jest trywialny.
Nie ma implikacji prostej bez operatora implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> i nie ma implikacji odwrotnej bez operatora implikacji prostej, spójnika „musi” =>.

Wynika to bezpośrednio z definicji zero-jedynkowych implikacji prostej i odwrotnej.

Dowód jest na początku tego postu:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo,3591-40.html#69410

volrath napisał:

To jest jedna rzecz. A druga:

Cytat:

Prawa kontrapozycji sa takie:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q

Gdyby to było to samo to po co zapisywac dwa prawa zamiast jednego ?


Po to, że mając ustalone zdania p i q zdanie "p => q" nie jest równoważne "q => p".
Ale tak poza tym to jedno jest zbędne. Bo mając zdania oznaczone A i B można przypisać:
1. p = A i q = B i zapisać A => B = ~B => ~A
2. p = B i q = A i zapisać B => A = ~A => ~B

Więc w zasadzie wystarczy 1 prawo kontrapozycji: p=>q = ~q=>~p

Jeśli wystarczy jedno prawo to cała dzisiejsza logika operuje na równoważności mając złudzenie że to implikacja.

… no i stary numer Kubusia.
volrath napisał:

Po to, że mając ustalone zdania p i q zdanie "p => q" nie jest równoważne "q => p".


Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
p=>q - tu wszystko jest proste i piękne

Zapiszmy teraz implikację odwrotną q=>p:

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2???P8

Jak w miejsce ??? wstawić operator implikacji prostej, spójnik „musi” => ???!!!

Oczywiście bez operatora implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~> to jest niewykonalne, zgadza się ? …. a bez spójnika „może” nie ma mowy o jakiejkolwiek implikacji ani prostej, ani odwrotnej. Dzisiejsza logika porusza się wyłącznie po równoważności nie zdając sobie z tego faktu sprawy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:35, 02 Lis 2008, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Nie 13:38, 02 Lis 2008    Temat postu:

W implikacji nie jest obojętne czy napiszemy p => q czy q => p. Oba te zdania są różne, dlatego to jest implikacja, a nie równoważność.

Prawo kontrapozycji wystarczy jedno nie dlatego, że p => q równoważne q => p, ale dlatego, że wygląda tak samo dla dowolnych a i b wstawionych w a => b.

Wystarczy jedno prawo, ale "p => q <=> ~q => ~p" nie jest równoważne "q => p <=> ~p => ~q" dla zadanych zdań p i q.

To są dwa nierównoważne zastosowania jednego prawa do którego starczy jeden zapis.

rafal3006 napisał:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Jaką wartość znaną z góry ma tu p a jaką q ?


Zależną od przypadku jaki rozpatrujemy (czyli zmienne).

Słoń = 4L AND ~P
Pies = 4L AND P
Mrówka = ~4L AND ~P
Kaleki pies = ~4L AND P

Istnienie kalekich psów wykluczamy.

Każde zdanie z składowymi P i 4L (np. P=>4L) by było prawdziwe, to musi być prawdziwe dla mrówki, słonia i psa (i innych istniejących obiektów).
Może być fałszywe dla psa o 3 czy 7 nogach (bo wiemy, że one nie istnieją).

By sprawdzić prawdziwość zdania logicznego trzeba sprawdzić jak ono działa dla każdego obiektu (bo jeśli podamy przykład obiektu, który istnieje i nie spełnia zdania logicznego, to nie jest ono prawdziwe).

Czyli zdanie P => 4L jest prawdziwe, jeśli:
Dla każdego obiektu X z istniejących obiektów prawdziwe jest ~P lub 4L.

Moje dotychczasowe rozumienie 4L ~> P było takie, że ono jest prawdziwe jeśli:
Dla każdego obiektu X z istniejących obiektów prawdziwe jest 4L lub ~P.

Twoje rozumienie P ~> Q jest najwyraźniej takie:
Istnieje obiekt X dla którego prawdziwe jest P i Q.
Czasem też, że nie istnieje obiekt Y dla którego prawdziwe jest P i ~Q. Ale nie zawsze.

Na przykład dla:
4L ~> P = Istnieje obiekt dla którego prawdziwe są 4L i P. Nie istnieje obiekt dla którego prawdziwe jest ~4L i P.
To jest też zgodne z moją definicją, bo "nie istnieje obiekt dla którego ~4L i P" to to samo, co "dla każdego obiektu ~(~4L i P)" czyli "dla każdego obiektu 4L lub ~P".

Ale już dla:
4L ~> ~P = Istnieje obiekt dla którego prawdziwe są 4L i ~P.
Brak drugiej części rozumienia... Czemu ona znika?

W ukryty nieco sposób wchodzą tu do rozumienia kwantyfikatory (dla każdego przy => i istnieje przy ~>).
Nie rozumiem czemu zachodzi przejście na kwantyfikator "istnieje" w tym momencie - dla 4L ~> ~P.
Czemu wystarczy pokazać tutaj, że istnieje 4L i ~P, ale nie trzeba pokazywać, że nie istnieje ~4L i ~P?
Podczas gdy dla "4L ~> P" trzeba było pokazać, że istnieje 4L i P, ale także że nie istnieje ~4L i P (pies bez 4 łap).

Ale pomijając kwestię kwantyfikatorów (bo jak podejrzewam nie zgodzisz się z interpretacją, że one tam się kryją, ważniejsze byś odniósł się do tego co napiszę poniżej):

Załóżmy, że źle zrozumiałem 4L ~> P i to znaczy, że istnieje coś spełniającego P i 4L (pies), ale nic nie mówi o sytuacji ~4L. Ok?

Jednak wtedy tabelka dla operatora p ~> q jest taka:
p q p~>q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1

I nie jest równoważna groźbie.
Groźba wymaga fałszywości gdy ~p=1 i q=1. Wymaga tabelki:

p q p~>q
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Wymaga tego, by zdanie było fałszywe gdy p=0 i q=1.

Jeśli tak samo rozumieć 4L ~> ~P (tak jak groźbę), to:
p=4L
q=~P
p=0 gdy 4L=0
q=1 gdy ~P=1 czyli P=0
Czyli 4L ~> ~P musi być fałszywe gdy P=0 i 4L=0
Zgadzasz się z takim rozumowaniem?

Czyli mrówki nie mogą istnieć (przykład mrówek pokazuje, że zdanie to jest fałszywe).

Są dwa możliwe rozumienia p~>q:
1) Rozumiesz p~>q tak, że wystarczy pokazać przykład spełniający p i q by było prawdziwe
2) Rozumiesz p~>q tak, że jest to warunek konieczny (fałszywy wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1)

Jeśli 1 to wtedy nie jest to groźba ani nie zachodzi p=>q <=> ~p~>~q.
Czemu? Bo zdanie p ~> q może być prawdziwe gdy ~p i q.
W groźbie pojawia się niesprawiedliwość.
Przykład: 4L ~> ~P jest według Ciebie prawdziwe, choć istnieją obiekty dla których ~p i q czyli ~4L i ~P (choćby mrówki).

Jeśli 2 to wtedy jest to groźba, zachodzi p=>q <=> ~p~>~q, ale zdanie 4L ~> ~P jest fałszywe.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Nie 13:41, 02 Lis 2008    Temat postu:

Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to to samo co prosta.

Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)

I że 4L ~> ~P jest fałszywe bo istnieją mrówki.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 14:19, 02 Lis 2008    Temat postu:

volrath napisał:

Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to to samo co prosta.

Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)

W dzisiejszej logice masz rację, bo dzisiejsza logika jak słusznie zauważył Emde jest ślepa.
Algebra Boole’a jest ślepa w bramkach NAND i NOR, ale nie w implikacji. Jeśli dopuścimy zamianę argumentów w implikacyjnym iloczynie logicznym lub sumie logicznej to łatwo udowodnić powyższe równanie.

Problem w tym, że w implikacji tego robić nie wolno bo zniszczymy superważne gwarancje w implikacji prostej lub odwrotnej. Dokładnie z tego powodu cała dzisiejsza logika nie ma pojęcia o superważnej gwarancji w implikacji odwrotnej (groźby !) czyli dokładnie połowa wszelkich implikacji jest przez dzisiejszą matematykę nierozpoznawalna ! Oczywiście chodzi tu o implikacje odwrotne i operator „może” ~>.

Dowód że w implikacji nie wolno zamieniać argumentów w implikacyjnym iloczynie logicznym jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo,3591-40.html#69421
Wyróżniłem fragment na niebiesko.

Myślę, że udało nam się odkryć oczy w algebrze Boole’a. Algebra Boole’a już nie jest ślepa, jest prosta i piękna, matematycznie na poziomie I klasy LO.

volrath napisał:

I że 4L ~> ~P jest fałszywe bo istnieją mrówki.

Poprawiłem definicję spójnika „może” ~> w implikacji. Nie jest to oczywiście żaden warunek konieczny. Definicja spójnika „może” jest na poziomie przedszkolaka.

Definicja spójnika „może” ~>
Wystarczy udowodnić że zdanie jest prawdziwe dla jednego, jedynego elementu !

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń

Czy masz jakieś wątpliwości, że powyższe zdanie jest prawdziwe dla słonia ?
Mrówki nie mają tu nic do rzeczy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 14:26, 02 Lis 2008, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 23:05, 02 Lis 2008    Temat postu:

volrath napisał:

W implikacji nie jest obojętne czy napiszemy p => q czy q => p. Oba te zdania są różne, dlatego to jest implikacja, a nie równoważność.

Prawo kontrapozycji wystarczy jedno nie dlatego, że p => q równoważne q => p, ale dlatego, że wygląda tak samo dla dowolnych a i b wstawionych w a => b.

Wystarczy jedno prawo, ale "p => q <=> ~q => ~p" nie jest równoważne "q => p <=> ~p => ~q" dla zadanych zdań p i q.

To są dwa nie równoważne zastosowania jednego prawa do którego starczy jeden zapis.

Zapis q=>p wymusza równoważność, jeśli spójnik => jest rozumiany zgodnie z jego zero-jedynkową definicją jako spójnik „musi” !
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2???P8
Poproszę cie o wstawienie spójnika => w dowolny sposób wraz z uzasadnieniem co on oznacza.

Zauważ cos ciekawego:
Jeśłi według ciebie zapisy p=>q i q=>p w prawach kontrapozycji dotyczą implikacji to jak zapiszesz dwustronne wynikanie w równoważności ?

Jeśli trójkąt ma wszystkie katy równe to jest równoboczny
K60<=>R
p=K60
q=R
To jest oczywiste pewne wynikanie w dwie strony które zapisujemy tak:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (~p+q)(~q+p) = ~p*~q+~p*p+q*~q+q*p = ~p*~q+q*p
bo:
~p*p=q*~q=0

Tu jest oczywista kolizja z prawem kontrapozycji. Tej kolizji nie ma wtedy i tylko wtedy jeśli prawa kontrapozycji dotyczą równoważności ... tak właśnie jest. Ciekawe kiedy logicy to zrozumieją ?

P.S.
Masz rację, prawa kontrapozycji dotyczą implikacji, operują na implikacji prostej z dwóch niezależnych układów implikacyjnych, pomiędzy którymi nie ma powiązań matematycznych. Są poprawne wyłącznie w ślepej algebrze Boole'a która nie odróżnia kierunków w implikacji.
volrath napisał:

rafal3006 napisał:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Jaką wartość znaną z góry ma tu p a jaką q ?


Zależną od przypadku jaki rozpatrujemy (czyli zmienne).

Słoń = 4L AND ~P
Pies = 4L AND P
Mrówka = ~4L AND ~P
Kaleki pies = ~4L AND P

Istnienie kalekich psów wykluczamy.

Każde zdanie z składowymi P i 4L (np. P=>4L) by było prawdziwe, to musi być prawdziwe dla mrówki, słonia i psa (i innych istniejących obiektów).
Może być fałszywe dla psa o 3 czy 7 nogach (bo wiemy, że one nie istnieją).

Kurde, czyżbyśmy mieli kompletnie inne pojęcie implikacji ?

Moje rozumienie implikacji jest takie:
P=>4L =1 - twarda prawda
P=>~4L =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
P=>4L =~P~>~4L
~P~>~4L =1 bo kura
~P~>4L =1 bo słoń

Oczywiście dla dowolnego przypadku tylko jedno z powyższych zdań jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe !
Jedynki w poszczególnych liniach oznaczają tylko tyle, że dla nieskończonych losowań zwierzaków pudełka przy których zapisane są wynikowe jedynki będą pełne. Puste będzie tylko i wyłącznie pudełko przy którym w wyniku jest zero czyli P=>~4L
Czy tak rozumiesz implikację ?

volrath napisał:

Moje dotychczasowe rozumienie 4L ~> P było takie, że ono jest prawdziwe jeśli:
Dla każdego obiektu X z istniejących obiektów prawdziwe jest 4L lub ~P.

Tu rozumiemy identycznie, bo tego nie da się inaczej. Tylko mi nie są potrzebne żadne obiekty !!!

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Zamiast dla każdego obiektu itd. ja stwierdzam iż cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa i mam pewność poprawności wszystkich ośmiu zdań wynikających z definicji implikacji (dwa układy implikacyjne). Kwantyfikatory, formy zdaniowe itp. są tu po pierwsze zbędne wobec stwierdzenia warunku koniecznego, a po drugi są totalnie ślepe (emde) bo nie maja pojęcia o istocie implikacji, czyli o gwarancji matematycznej w implikacji odwrotnej.

Na podstawie definicji implikacji odwrotnej mamy:
4L~>P = 4L+~P =~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem.
Mamy tu zatem gwarancję, że kura, wąż, stonoga … nie są psem
Dokładnie to samo mamy z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
czyli mamy gwarancję że kura, wąż, stonoga… nie jest psem

Weźmy teraz implikacje prostą:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
Tu mamy gwarantowane, że każdy pies ma cztery łapy
Dokładnie to samo mamy z definicji implikacji prostej:
P=>4L = ~P+4L = ~(P*4L)
~(P*4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
Gwarancja:
Każdy pies ma cztery łapy

Zauważ, że mamy totalnie inną gwarancję w implikacji odwrotnej 4L~>P i prostej P=>4L. Oczywistym jest że nie wolno zamieniać argumentów w implikacyjnej sumie lub iloczynie logicznym.

To jest ten pierwszy przełom w dyskusji z tobą, pkt. 3.3 w podpisie.

Oczywistym jest że równanie:
4L~>P = 4L+~P =~(~4L*P)
Wymusza taka tabelkę zero-jedynkową
p q p~>q
4L~>P =1
1 1 =1
4L ~> ~P =1
1 0 =1
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
~4L=>~P =1
0 0 =1
~4L =>P =0
0 1 =0
Piękna implikacja odwrotna bo w tabeli zero-jedynkowej mamy trzy jedynki i zero. Tą tabelkę zagwarantowaliśmy sobie na wstępie stwierdzając warunek konieczny w 4L~>P !!!

Weźmy teraz tabelkę zero-jedynkowa dla implikacji prostej.
Oczywistym jest że równanie:
P=>4L = ~P+4L = ~(P*4L)
Wymusza taką tabelkę zero-jedynkową.
p q p=>q
P=>4L =1
1 1 =1
P=>~4L =0
1 0 =0
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L
~P~>~4L =1
0 0 =1
~P~>4L =1
0 1 =1
Mamy trzy jedynki i jedno zero czyli piękną implikację prostą. Gwarancję poprawności tej tabelki mamy na podstawie stwierdzonego warunku koniecznego w implikacji 4L~>P. W tym przypadku nawet nie musimy badać warunku wystarczającego w tej implikacji P=>4L, choć oczywiście możemy.

Z tym zdaniem 4L~>~P =1 to masz trochę racji

Zdanie to jest oczywiście prawdziwe co wynika z tabeli wyżej. Nie jest to jednak implikacja, to jest fragment analizy implikacji odwrotnej 4L~>P. Nie jest też implikacją drugie możliwe zdanie z powyższej tabeli ~4L=>P =0. To zdanie jest fałszywe jednak jest to fragment poprawnej implikacji odwrotnej 4L~>P.

Z drugiej tabeli analogiczne zdania które są fragmentem analizy poprawnej implikacji P=>4L są następujące.
P=>~4L=0
~P~>4L=1

Pytanie jest teraz takie ?
Czy sensowne jest odtworzenie kompletnego układu implikacyjnego na podstawie dowolnego zdania z tego układu.

Załóżmy że ktoś powiedział zdanie:
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L =0
Oczywiście zdanie jest fałszywe, jednak przy jego pomocy możliwe jest trywialne odtworzenia całego układu implikacyjnego ośmiu zdań w skład którego to zdanie wchodzi. To samo dotyczy wszystkich pozostałych zdań, w szczególności pozwala udowodnić że zdania 4L~>~P i ~P~>4L są zdaniami prawdziwymi.

Myślę ze to ma sens :think:

Nie może być przecież tak, że w analizie implikacji 4L~>P zdanie 4L~>~P jest ewidentnie prawdziwe. Zaś jeśli wypowiemy samo zdanie 4L~>~P to wtedy jest fałszywe bo wówczas matematyka nie będzie matematyką, raz A=prawda a innym razem A=fałsz.

Zauważ proszę, że jedynkę w spornym zdaniu wymusza definicja implikacji odwrotnej:
4L~>P = 4L+~P =~(~4L*P)
Uznając zdanie 4L~>~P za fałszywe musielibyśmy zmienić definicję implikacji odwrotnej !!!

Identycznie mamy ze zdaniem:
~P~>4L=1
To zdanie jest fragmentem analizy implikacji prostej P=>4L i wynika bezpośrednio z definicji implikacji prostej.
P=>4L = ~P+4L = ~(P*4L)
Uznając zdanie ~P~>4L za fałszywe musielibyśmy zmienić definicje implikacji prostej !!!

To oczywisty nonsens !
Tak więc zdania:
4L~>~P
~P~>4L
muszą być zdaniami prawdziwymi, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach !

CND
volrath napisał:

Ale pomijając kwestię kwantyfikatorów (bo jak podejrzewam nie zgodzisz się z interpretacją, że one tam się kryją, ważniejsze byś odniósł się do tego co napiszę poniżej):

Załóżmy, że źle zrozumiałem 4L ~> P i to znaczy, że istnieje coś spełniającego P i 4L (pies), ale nic nie mówi o sytuacji ~4L. Ok?

Musisz się zdecydować, albo zapisujesz
4L~>P
i badasz czy zachodzi tu warunek konieczny, oczywiście zachodzi zatem z góry wiesz co będzie w przypadku ~4L.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P - gwarancja !!!

Jeśli nie wiesz co to jest to możesz zapisać błędnie:
4L=>P
Tu masz dwa możliwe rozstrzygnięcia cz jest to implikacja poprawna:
1.
Sprawdzasz czy istnieje warunek wystarczający który tu oczywiście nie istnieje, zatem taka implikacja jest fałszywa.
2.
Przepuszczasz zdanie przez definicję implikacji prostej do pierwszego błędu. Tu błąd będzie już w pierwszej linii.
4L=>P
Jeśli zwierze ma cztery łapy to na pewno jest psem
4L=>P - oczywisty fałsz, bo słoń

Zauważ:
1.
Aby wykazać, że implikacja prosta jest fałszywa wystarczy wykazać, że nie zachodzi dla jednego elementu
2.
Aby wykazać że implikacja odwrotna jest prawdziwa wystarczy wykazać że zachodzi dowolny warunek konieczny i że zdanie jest prawdziwe dla jednego elementu.

Konieczność udowodnienia dowolnego warunku koniecznego w implikacji odwrotnej jest konieczna bo zdanie może być prawdziwe, zaś implikacja fałszywa np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 bo 15
Zdanie prawdziwe ale implikacja fałszywa bo P3 nie jset konieczne dla P5

volrath napisał:

Załóżmy, że źle zrozumiałem 4L ~> P i to znaczy, że istnieje coś spełniającego P i 4L (pies), ale nic nie mówi o sytuacji ~4L. Ok?
Jednak wtedy tabelka dla operatora p ~> q jest taka:
p q p~>q
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 1

I nie jest równoważna groźbie.
Groźba wymaga fałszywości gdy ~p=1 i q=1. Wymaga tabelki:

p q p~>q
0 0 1
0 1 0
1 0 1
1 1 1

Wymaga tego, by zdanie było fałszywe gdy p=0 i q=1.

Jeśli tak samo rozumieć 4L ~> ~P (tak jak groźbę), to:
p=4L
q=~P
p=0 gdy 4L=0
q=1 gdy ~P=1 czyli P=0
Czyli 4L ~> ~P musi być fałszywe gdy P=0 i 4L=0
Zgadzasz się z takim rozumowaniem?

Czyli mrówki nie mogą istnieć (przykład mrówek pokazuje, że zdanie to jest fałszywe).

Z mrówkami to masz rację, wyjaśnienie wyżej. Zdanie 4L~>~P nie jest implikacją. Zdanie 4L~>~P jest prawdziwe dlatego, że jest fragmentem poprawnej implikacji 4L~>P.

Jeśli źle zrozumiałeś to oznacza że wprowadziłeś błędne dane do programu komputerowego. Tu przypomniał mi się program gry który pisałem an II roku studiów. Dobry w tym byłem, program nie działał choć sprawdzałem jego poprawność 1000razy, błąd okazał się trywialny źle wprowadzałem dane, pomyliłem się w deklaracji danych wejściowych. Jak to poprawiłem to całkiem duży program zaskoczył za pierwszym razem, był bezbłędny.

W technice cyfrowej masz tak, jak cos skopiesz to nie ma przeproś, nie będzie działać. Z prawami matematycznymi jest dużo gorzej, bo robisz ewidentny błąd jak ten wytłuszczony na początku i usiłujesz wyciągać konkretne, oczywiście błędne wnioski. Niestety w tym przypadku nie masz żadnych środków wspomagających odpluskwienie. Gdyby takie były to ludzie już dwa tysiące lat wcześniej odkryliby istotę implikacji odwrotnej i prawa Kubusia.

To co się stało na SFINII wcale nie musiało zajść, odkrycie że ziemia jest okrągła to trywiał, wcześniej czy później musiało nastąpić.
volrath napisał:

Są dwa możliwe rozumienia p~>q:
1) Rozumiesz p~>q tak, że wystarczy pokazać przykład spełniający p i q by było prawdziwe
2) Rozumiesz p~>q tak, że jest to warunek konieczny (fałszywy wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1)

Jeśli 1 to wtedy nie jest to groźba ani nie zachodzi p=>q <=> ~p~>~q.
Czemu? Bo zdanie p ~> q może być prawdziwe gdy ~p i q.
W groźbie pojawia się niesprawiedliwość.
Przykład: 4L ~> ~P jest według Ciebie prawdziwe, choć istnieją obiekty dla których ~p i q czyli ~4L i ~P (choćby mrówki).

Jeśli 2 to wtedy jest to groźba, zachodzi p=>q <=> ~p~>~q, ale zdanie 4L ~> ~P jest fałszywe.

W p~>q wystarczy że udowodnisz warunek konieczny. Absolutnie nic więcej nie musisz robić, implikacja odwrotna jest poprawna i działa doskonale w całym obszarze algebry Boole’a.

Oczywiście że dla spójnika „może” wystarczy pokazać że zdanie jest prawdziwe dla jednego przypadku, ale wcześniej musisz wykazać że zachodzi warunek konieczny dla dowolnego z ośmiu zdań implikacyjnych ! Zdanie może być prawdziwe bo jest implikacją np. 4L~>P=1 lub fragmentem implikacji np. 4L~>~P=1

Z tymi mrówkami to masz chyba rację. Zdanie 4L~>~P=1 jest prawdziwe dlatego, że jest to fragment analizy poprawnej implikacji 4L~>P - dopisałem odpowiedni tekst wyżej ... nie ma to jak rzeczowa dyskusja.

Groźby w implikacji odwrotnej są obsługiwane absolutnie genialnie.

Jeśli jesteś winny zostaniesz ukarany
W~>U - implikacja odwrotna bo groźba

Gwarancja:
W~>U = ~W=>~U
~W=>~U
Jeśli jesteś niewinny to na pewno nie zostaniesz ukarany - zakaz karania niewinnego !!!

Na podstawie definicji implikacji odwrotnej mamy:
Jeśli jesteś winny to możesz zostać ukarany
W~>U
LUB
Jeśli jesteś winny to możesz nie zostać ukarany
W~>~U - prawo do darowania dowolnej kary z którego nadawca może skorzystać, ale nie musi (akt łaski) … czyli masz tu gwarantowaną 100% wolną wolę


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:01, 03 Lis 2008, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pon 12:47, 03 Lis 2008    Temat postu:

Analogia z programem jest dosyć udana. Ja bym powiedział, że mój program opisujący logikę dostał dane w złym formacie (formacie dla Twojego programu).

Z tego co rozumiem to tak samo rozumiemy implikację => i odwrotną implikację ~> tylko inaczej rozkładamy je na składowe. Przynajmniej jak chodzi o tabelkę, bo o innych "pozatabelkowych" różnicach napiszę dalej.

Ty rozkładasz na składowe:
P=>4L = 1 (pies)
P=>~4L = 0 (nieistnieje)
~P~>~4L =1 (mrówka)
~P~>4L =1 (słoń)

Ja rozkładam na składowe:
P AND 4L = 1 (pies)
P AND ~4L = 0 (nieistnieje)
~P AND ~4L =1 (mrówka)
~P AND 4L =1 (słoń)

I operatory w składowych ja traktuję dosłownie, iterując po obiektach i przypisując im P lub ~P i 4L lub ~4L, a następnie podstawiając. Jeśli nie znajdę obiektu dla którego implikacja jest fałszywa, to implikacja jest prawdziwa.

Ty zaś operatory w analizie częściowych traktujesz nieco inaczej - bierzesz tylko jedną gwarancję dla p=>q (prawdziwość = wystarczy wykazać, że dla wszystkich p i q) i jedną dla r~>s (prawdziwość = wystarczy wykazać, że dla jednego r i s).

W sumie wychodzi na to samo (lub prawie to samo).

Spróbujmy sprawdzić, czy są różnice.

rafal3006 napisał:

Jedynki w poszczególnych liniach oznaczają tylko tyle, że dla nieskończonych losowań zwierzaków pudełka przy których zapisane są wynikowe jedynki będą pełne. Puste będzie tylko i wyłącznie pudełko przy którym w wyniku jest zero czyli P=>~4L
Czy tak rozumiesz implikację ?


Ja rozumiem implikację tak, że po nieskończonych losowaniach zwierzaków pudełko przy którym zapisane jest 0 musi być puste. Pozostałe pudełka mogą być pełne lub puste.

Gdyby istniały psy bez 4 łap - to zdanie byłoby fałszywe. Tu się zgadzamy na pewno.

Gdyby, załóżmy, nie istniały nie psy bez 4 łap (stonogi, mrówki etc.), ale istniały słonie i psy o 4 łapach, to zdanie byłoby prawdziwe, czy nie?

Dla mnie tak.

Gdyby, załóżmy, nie istniały psy (ani z 4 łapami ani bez), ale istniały słonie, mrówki, to czy zdanie byłoby prawdziwe?

Dla mnie tak (tak jak w zwykłej logice).
Chociaż intuicyjnie można też postrzegać, że nie.
Możliwe, że postawienie tutaj nie jest tym, co różni Twoją logikę od tradycyjnej?

Gdyby, załóżmy, nie istniały słonie (nie psy z 4 łapami), ale istniały mrówki i psy o 4 łapach, to czy byłoby prawdziwe?

Dla mnie tak.

Dla mnie wątpliwość budzi przypadek gdy nie istnieją psy o 4 łapach ani te bez 4 łap.

Jeśli założymy, że muszą one istnieć (psy o 4 łapach) by implikacja była prawdziwa (co jest sensownym rozwiązaniem jak chodzi o opis intuicji człowieka), to po nieskończonych losowaniach pudełko z napisaem p i q powinno być pełne, z napisaem p i ~q powinno być puste, a pudełka z ~p mogą być pełne, a mogą puste (nie muszą być puste).

Wtedy do logiki matematycznej dochodzi dodatkowy warunek prawdziwości implikacji - że musi istnieć przypadek dla którego p i q (pierwsze pudełko musi być pełne, normalna logika mówi że pudełka z 0 muszą byc puste, a pozostałe nie muszą być puste, więc mogą być pełne, ale pełne też być nie muszą, więc mogą być puste).

Wtedy p => q nie jest równoważne ~q => ~p, bo choć tabelki będą równe, to p => q mówi, że musi być obiekt spełniający p i q, a ~q => ~p mówi, że musi być obiekt spełniający ~q i ~p (a więc to może być ta gwarancja o której piszesz).

Po prostu wtedy treść implikacji nie mieści się w samych tabelkach i na łamach dotychczasowej logiki tą treść trzeba by było zapisywać przy użyciu kwantyfikatorów (jeśli chcielibyśmy definiować "nową logikę" na bazie "starej".).

p => q byłoby równoważne rozumieniu (Istnieje x, że p i q) AND (Dla każdego y ~(p i ~q)) na bazie "starej logiki".
Podczas gdy normalne p=>q jest rozumiane tylko jako (Dla każdego y ~(p i ~q)).

Przynajmniej jak chodzi o "algorytm" sprawdzania prawdziwości zdania.

W dotychczasowej logice wystarczy wykazać, że nie ma obiektów dla których p i ~q lub wykazać, że dla każdego obiektu ~p lub q (obie te operacje są równoważne - co wynika z rachunku predykatów pierwszego rzędu lub z intuicji).

W takiej zmienionej logice trzeba dodatkowo wykazać, że są obiekty dla których p i q.

W tym co napisałeś:
rafal3006 napisał:

Jedynki w poszczególnych liniach oznaczają tylko tyle, że dla nieskończonych losowań zwierzaków pudełka przy których zapisane są wynikowe jedynki będą pełne. Puste będzie tylko i wyłącznie pudełko przy którym w wyniku jest zero czyli P=>~4L


Trzeba jeszcze dodatkowo wykazać, że są obiekty dla których ~p i ~q oraz że są obiekty dla których ~p i q. Ale nie wiem czy to na pewno miałeś wcześniej na myśli pisząc o gwarancjach, a także nie jestem pewien czy to nie za bardzo daleko idące modyfikacje (bo mówiąc P => 4Ł nie obchodzi nas istnienie lub nie istnienie mrówek).

Jeśli bym już modyfikował logikę w kierunku bardziej intuicyjnej to bym powiedział:

p=>q jest prawdziwe gdy jeśli przeiterujemy po wszystkich obiektach i w zależności od tego czy dla nich p czy ~p i czy q czy ~q powrzucamy do 4 pudełek (nazwanych po mojemu: p AND q, p AND ~q, ~p AND q, ~p AND ~q albo po Twojemy p=>q, p=>~q, ~p~>q, ~p~>~q i ponumerowanych 1, 2, 3, 4), to pudełko 1 będzie pełne, 2 puste, a 3 i 4 mogą być pełne, a mogą puste.

Dotychczasowa matematyczna logika zaś stwierdza:

p=>q jest prawdziwe gdy jeśli przeiterujemy po wszystkich obiektach i w zależności od tego czy dla nich p czy ~p i czy q czy ~q powrzucamy do 4 pudełek (nazwanych po mojemu: p AND q, p AND ~q, ~p AND q, ~p AND ~q albo po Twojemy p=>q, p=>~q, ~p~>q, ~p~>~q i ponumerowanych 1, 2, 3, 4), to pudełko 2 będzie puste, a 1, 3 i 4 mogą być pełne, a mogą puste.

Czyli tłumaczenie matematycznej logiki na Twoje nazewnictwo w przykładzie z zwierzakami to jest coś takiego: iteruję po wszystkich zwierzakach i pudełka z jedynkami mogą być pełna, a mogą puste, natomiast pudełka z zerami muszą być puste.

W tłumaczeniu na Twoją tabelkę:

P~>4Ł = 1
P=>~4Ł = 0
~P~>4Ł = 1
~P~>~4Ł = 1.

Pies może mieć 4 łapy i "może" użyte tutaj nie dlatego, że może być pies bez 4 łap, ale dlatego, że może nie być psa o 4 łapach.

Zauważ, że 0 i 1 są takie same. Ale w tradycyjnej logice pudełko P AND 4Ł (pierwsze) może być puste. W zmodyfikowanej - nie może.

W tłumaczeniu Twojej logiki (lub przynajmniej tego jak ją rozumiem) na matematyczną z zapisem korzystającym z kwantyfikatorów pewnie nie widzisz dużego sensu. Ale pozwala mi to lepiej zrozumieć o co chodzi (jestem przyzwyczajony do tradycyjnej logiki i używania kwantyfikatorów).

Na razie muszę zrozumieć różnice w interpretacji (a szczególnie w warunkach prawdziwości zdania logicznego, także takiego z implikacją).

Potem powałkujemy jeszcze temat ewentualnej zamiany p i q miejscami w p=>q <=> ~q=>~p.

Jeśli jest tak jak myślę - że pudełko z 4Ł i P (psy) dla implikacji P => 4Ł nie może być puste, to rzeczywiście nie można p i q zamienić miejscami.
W tradycyjnej matematycznej logice pudełko 4Ł i P może być puste.

Np. zdanie "jeśli niebo jest zielone to kaczor donald wygra wybory" jest prawdziwe w tradycyjnej logice, choć pudełko "niebo zielone i kaczor donald wygra wybory" lub u Ciebie "jeśli niebo zielone to kaczor donald wygra wybory" jest puste.

Prawo kontrapozycji jest błędne jeśli implikację rozumiemy tak, że pudełko pierwsze musi być pełne (musi być przykład dla którego zachodzi p i q).

Prawa Kubusia wtedy jednak nadal zachodzą, bo dla p~>q gwarancja się zmienia, pełne musi być ~p i ~q (czyli dla ~p~>~q to jest p i q, czyli tak jak w p=>q).


Ostatnio zmieniony przez volrath dnia Pon 12:48, 03 Lis 2008, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 21:51, 03 Lis 2008    Temat postu:

Lekcja 6

Definicje spójnika „musi” => i „może”~> w algebrze Boole'a

Znaczenie spójników „musi” i „może” jest absolutnie naturalne, zgodne z logiką przedszkolaka.

Definicja implikacji prostej
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja spójnika „musi” =>:
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
P8 jest warunkiem wystarczającym dla P2
Jeśli zwierzę jest psem to ma skrzydła
P=>S =0
Pies spełnia warunek p i nie spełnia warunku q

W języku mówionym spójnik „na pewno” => jest domyślny i nie musi być wypowiadany.


Definicja implikacji odwrotnej
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Definicja spójnika „może” ~>:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i warunek q
Zdanie jest fałszywe gdy nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8
P2 jest warunkiem koniecznym dla P8
P8 jest warunkiem wystarczającym dla P2

Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 5
P3~>P5 =1 zdanie prawdziwe bo 15
P3 nie jest warunkiem koniecznym dla P5 bo 5
P5 nie jest warunkiem wystarczającym dla P3 bo 5
Z punktu widzenia implikacji zdanie bezwartościowe bo na pewno nie jest częścią żadnej implikacji

Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P =0
Nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q
Nie istnieje pies ze skrzydłami.

Zauważmy fenomenalną analogię spójników „musi” do AND i „może” do OR.

AND
Iloczyn logiczny jest prawdziwy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki iloczynu są równe 1, fałszywy gdy istnieje przynajmniej jeden element o wartości 0.

Definicja spójnika „musi” =>:
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q.

OR
Suma logiczna jest prawdziwa gdy istnieje przynajmniej jeden element prawdziwy, fałszywa gdy wszystkie składniki sumy maja wartość 0.

Definicja spójnika „może” ~>:
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Zdanie jest prawdziwe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i warunek q
Zdanie jest fałszywe gdy nie istnieje element spełniający warunek p i warunek q


Błędne użycie spójników „musi” i „może”

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
P8~>P2 =1

Oczywiście zgodnie z definicja spójnika „może” zdanie jest prawdziwe, ale na pewno nie jest to implikacja odwrotna.

Mamy tu podobny przypadek jak z rozpoznawaniem równoważności i implikacji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo,3591-40.html#69437

Algorytm rozpoznawania równoważności i implikacji:
1.
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi pewne wynikanie wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności, inaczej zdanie może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub implikacją fałszywą czyli nie spełniającą definicji implikacji.
2.
Zdanie jest implikacją wtedy i tylko wtedy gdy po wykluczeniu równoważności stwierdzimy dowolny warunek wystarczający lub konieczny w kwadracie logicznym implikacji, inaczej zdanie nie jest ani implikacją, ani równoważnością.
3.
Dopiero po stwierdzeniu że zdanie jest implikacją możemy zapisać:
Implikacja prosta p=>q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i nie zajdzie q.
Implikacja odwrotna p~>q jest fałszywa wtedy i tylko wtedy nie zajdzie p i zajdzie q

Jak widać, dzięki temu że w pierwszym kroku eliminujemy równoważność, w drugim mamy ułatwione zadanie bo wystarczy udowodnić dowolny warunek wystarczający, który dowodzi się dużo prościej niż warunek konieczny.

Analogicznie mamy w przypadku zdania:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
P8~>P2 =1
Błędnie użyty spójnik „może” korygujemy już w pierwszym kroku algorytmu niżej

Algorytm rozróżniania spójnika „musi” od spójnika „może”:

1.
Sprawdzamy czy zdanie jest prawdziwe dla spójnika „musi”. Jeśli jest to zlokalizowaliśmy implikację prostą. Oczywiście w tym przypadku trzeba wykluczyć równoważność zgodnie z algorytmem wyżej.
Zauważmy, że w spójniku „musi” mamy gwarantowaną implikację prostą o ile zdanie jest prawdziwe i nie jest równoważnością.

2.
Sprawdzamy zdanie dla spójnika „może”. Jeśli jest fałszywe to wyrzucamy go do kosza z napisem „śmieć”.
Jeśli zdanie ze spójnikiem „może” jest prawdziwe to mamy takie możliwości:

A.
Zdanie jest implikacją odwrotną. Tu musi zachodzić warunek konieczny w stronę p~>q lub wystarczający w stronę q=>p.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
W tym przypadku oba warunki są oczywistością, konieczny w stronę P2~>P8 i wystarczający w stronę P8=>P2.

B.
Zdanie nie jest implikacja odwrotną, ale jest częścią poprawnej implikacji odwrotnej.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być niepodzielna przez 8
P2~>~P8 =1 bo 2
To zdanie jest cenne z punktu widzenia logiki, bo bez problemu pozwala odtworzyć wszystkie osiem zdań z dwóch układów implikacyjnych, czyli pozwala zlokalizować wszystkie cztery możliwe implikacje (dwie proste i dwie odwrotne) których jest częścią.

Algorytm lokalizacji implikacji odwrotnej jest tu banalny. Negujemy następnik i zdanie musi być piękną implikacja odwrotną.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
P2 jest konieczna dla P8 zatem jest to piękna implikacja odwrotna.

Odtworzenie pozostałych zdań implikacyjnych to zadanie dla przedszkolaka, dosłownie !!!

C.
Zdanie jest prawdziwe ale nie jest ani implikacją odwrotną, ani też częścią implikacji odwrotnej czyli nie spełnia warunków A i B.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to jest podzielna przez 15
P3~>P15 =1 bo 15
Oczywiście tu ani P3 nie jest konieczne dla P15, ani też P15 nie jest wystarczające dla P3. Z punktu widzenia logiki zdanie bezwartościowe.

P.S.
Z punktu widzenia logiki zdanie fałszywe też może być cenne, bowiem może to być fragment jakiejś pięknej implikacji. To jest problem na poziomie przedszkolaka, bowiem aby to stwierdzić wystarczy zanegować następnik, musi być warunek wystarczający, inaczej to ewidentny śmieć.

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=>~4L
Negujemy następnik i mamy:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy, zetem rozpatrywane zdanie fałszywe jest fragmentem pięknej implikacji prostej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 17:04, 29 Lis 2008, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 1:07, 04 Lis 2008    Temat postu:

Powiem szczerze, próbowałem się wgryźć w to co napisałeś z zerowym efektem tzn. coś tam rozumiałem, ale żeby zapanować na całością trzeba być biegłym w dzisiejszej logice … a Kubuś nie widział na oczy żadnej książki do logiki.
volrath napisał:

Z tego co rozumiem to tak samo rozumiemy implikację => i odwrotną implikację ~> tylko inaczej rozkładamy je na składowe. Przynajmniej jak chodzi o tabelkę, bo o innych "poza tabelkowych" różnicach napiszę dalej.

Ty rozkładasz na składowe:
P=>4L = 1 (pies)
P=>~4L = 0 (nieistnieje)
~P~>~4L =1 (mrówka)
~P~>4L =1 (słoń)

Ja rozkładam na składowe:
P AND 4L = 1 (pies)
P AND ~4L = 0 (nieistnieje)
~P AND ~4L =1 (mrówka)
~P AND 4L =1 (słoń)

I operatory w składowych ja traktuję dosłownie, iterując po obiektach i przypisując im P lub ~P i 4L lub ~4L, a następnie podstawiając. Jeśli nie znajdę obiektu dla którego implikacja jest fałszywa, to implikacja jest prawdziwa.

Ty zaś operatory w analizie częściowych traktujesz nieco inaczej - bierzesz tylko jedną gwarancję dla p=>q (prawdziwość = wystarczy wykazać, że dla wszystkich p i q) i jedną dla r~>s (prawdziwość = wystarczy wykazać, że dla jednego r i s).

W sumie wychodzi na to samo (lub prawie to samo).

Zdecydowanie prawie to samo bo zauważ, że ja w implikacji rozróżniam kierunki a Ty nie. Moja definicja wyżej jest w pierwszej części implikacja prostą =>, zaś w drugiej implikacją odwrotną ~>.
Ja mam jeszcze jedna tabelkę obsługującą implikacje odwrotne, operuję na ośmiu zdaniach implikacyjnych a ty na czterech.
Twoja logika nie potrafi zapisać matematycznie absolutnie żadnej implikacji odwrotnej bo ta jest u ciebie nielegalna.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
To co wyżej mamy wspólne.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
Oczywiście to są dwie matematycznie różne implikacje. Owszem, udowodnisz że to jest to samo ale wyłącznie w ślepej algebrze Boole’a która nie odróżnia kierunków, w której p można zamieniać z q.
volrath napisał:

rafal3006 napisał:

Jedynki w poszczególnych liniach oznaczają tylko tyle, że dla nieskończonych losowań zwierzaków pudełka przy których zapisane są wynikowe jedynki będą pełne. Puste będzie tylko i wyłącznie pudełko przy którym w wyniku jest zero czyli P=>~4L
Czy tak rozumiesz implikację ?

Ja rozumiem implikację tak, że po nieskończonych losowaniach zwierzaków pudełko przy którym zapisane jest 0 musi być puste. Pozostałe pudełka mogą być pełne lub puste.

Wyobraź sobie że jesteś Bogiem. Wybierasz po kolej wszystkie żywe zwierzęta na ziemi i wkładasz je do wiadomych trzech pudełek. Wybrałeś wszystkie możliwe zwierzęta, oczywiście pudełko z napisem P=>~4L jest puste.
Wynik działalności Boga jest oczywisty:
W pudełku z napisem P=>4L będą absolutnie wszystkie ziemskie psy
W pudełku z napisem ~P~>~4L będą absolutnie wszystkie zwierzaki które nie mają czterech łap (np.mrówka)
W pudełku z napisem ~P~>4L będą absolutnie wszystkie zwierzaki które nie są psem i mają cztery łapy (np.słoń)

Oczywiście na ziemi nie pozostało ani jednego żywego zwierzaka, Bóg wszystko wyczyścił. Załóżmy że wszystkich zwierzaków na ziemi jest 2 do potęgi milion, tyle losowań wykonał Bóg. Ta ogromna liczba jest oczywiście zerem w skali nieskończoności.

Nie ma absolutnie żadnej możliwości aby którekolwiek z powyższych pudełek było puste, to matematyczny absurd … chyba że psy na ziemi nie istnieją, to z kolei żadna logika.

Błąd jest na poziomie definicji implikacji, byłem tego pewien już trzy lata temu, dlatego drążyłem temat.

Załóżmy, że jest tak jak mówisz i po nieskończonej ilości losowań jedno z powyższych pudełek jest puste. Wtedy obaliłeś definicję implikacji bo masz jedno pewne pudełko puste P=>~4L i drugie np. P=>4L. W wyniku masz więc dwa zera i dwie jedynki czyli twoja definicja implikacji jest dziurawa, leży w gruzach.

volrath napisał:

W dotychczasowej logice wystarczy wykazać, że nie ma obiektów dla których p i ~q lub wykazać, że dla każdego obiektu ~p lub q (obie te operacje są równoważne - co wynika z rachunku predykatów pierwszego rzędu lub z intuicji).

Po co komu rachunek predykatów ?
Powyższa równość wynika z definicji implikacji prostej i prawa de'Morgana:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
CND
Myślę, że tu jest właśnie problem, bo w ten sposób odróżniasz tylko prawdę od fałszu, a to w implikacji nie wystarczy.

Pen Bóg wysłał na ziemię dwóch krasnoludków Wystarczającego i Koniecznego z zadaniem wyłapania wszystkich psów. Wystarczający bezbłędnie odróżnia psa od nie psa, zaś Konieczny doskonale odróżnia zwierzęta z czterema łapami od zwierząt bez czterech łap. Zauważmy, że obaj działają w logice binarnej

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Tu wystarczy jeden krasnoludek Wystarczający który łapie wszystkie zwierzaki i psy wkłada do pudełka P=>4L. Dla Wystarczającego następnik q nie ma znaczenia. Wszystkie zwierzaki nie będące psem przekazuje Koniecznemu, a ten z nudów układa je do pudełek ~P~>~4L (np. mrówka) i ~P~>4L (np. słoń). Zauważmy, że dla Koniecznego poprzednik nie ma znaczenia.

Jak widać, w przypadku implikacji prostej krasnoludek Wystarczający wystarczy, aby wyłapać wszystkie ziemskie psy.

Weźmy teraz implikację odwrotną:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Tu zwierzęta wyłapuje krasnoludek Konieczny bo on jest w poprzedniku. Oczywiście odróżnia tylko zwierzęta o czterech łapach od tych które nie mają czterech łap. Zwierzaki z czterema łapami przekazuje Wystarczającemu który doskonale odróżnia psy od nie psów i wkłada psy do pudełka 4L~>P zaś inne zwierzaki do pudełka 4L~>~P (np. słoń).

Zauważmy że działalność krasnoludków jest sekwencyjna i kierunkowa. Błędem jest wstawienie krasnoludka Wystarczającego do poprzednika dla obsługi zdania:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Bo Wystarczający nie wie co to są cztery łapy.

Z kolei Konieczny nie wie co to pies i wstawiony do poprzednika w zdaniu:

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
nie rozpozna psa.

Zauważ, że gdyby w implikacji nie było gwarancji pustego pudełka i trzeba by było posegregować zwierzaki na cztery rodzaje to wtedy dwóch krasnali do obsługi implikacji nie wystarczy, musiałoby być trzech. Zauważ też, że gdyby Konieczny rozpoznawał zwierzątka ze skrzydłami od tych bez skrzydeł, to w implikacji odwrotnej nie ma szans na wyłapanie wszystkich ziemskich psów, bo do Wystarczającego przekazuje wyłącznie zwierzątka ze skrzydełkami, gdyż wśród nich zgodnie z całym zdaniem powinien być pies.

Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P
volrath napisał:

W tym co napisałeś:
rafal3006 napisał:

Jedynki w poszczególnych liniach oznaczają tylko tyle, że dla nieskończonych losowań zwierzaków pudełka przy których zapisane są wynikowe jedynki będą pełne. Puste będzie tylko i wyłącznie pudełko przy którym w wyniku jest zero czyli P=>~4L

Trzeba jeszcze dodatkowo wykazać, że są obiekty dla których ~p i ~q oraz że są obiekty dla których ~p i q. Ale nie wiem czy to na pewno miałeś wcześniej na myśli pisząc o gwarancjach, a także nie jestem pewien czy to nie za bardzo daleko idące modyfikacje (bo mówiąc P => 4Ł nie obchodzi nas istnienie lub nie istnienie mrówek).

W implikacji prostej istnienie mrówek nas nie obchodzi, tu wystarczy krasnoludek Wystarczający. W implikacji odwrotnej krasnoludek Konieczny doskonale odróżnia mrówkę od psa bo ta nie ma czterech łap.

Są obiekty które nie są psem i nie mają czterech łap ???!!!

Nasze pojęcie implikacji jest różne, ja tego nie potrzebuję, u mnie implikacja działa sekwencyjnie, jak wszystkie komputery, według opisu wyżej.
volrath napisał:

Dotychczasowa matematyczna logika zaś stwierdza:

p=>q jest prawdziwe gdy jeśli przeiterujemy po wszystkich obiektach i w zależności od tego czy dla nich p czy ~p i czy q czy ~q powrzucamy do 4 pudełek (nazwanych po mojemu: p AND q, p AND ~q, ~p AND q, ~p AND ~q albo po Twojemy p=>q, p=>~q, ~p~>q, ~p~>~q i ponumerowanych 1, 2, 3, 4), to pudełko 2 będzie puste, a 1, 3 i 4 mogą być pełne, a mogą puste.
Czyli tłumaczenie matematycznej logiki na Twoje nazewnictwo w przykładzie z zwierzakami to jest coś takiego: iteruję po wszystkich zwierzakach i pudełka z jedynkami mogą być pełna, a mogą puste, natomiast pudełka z zerami muszą być puste.

To jest ewidentny błąd w dzisiejszej logice, bo jeśli puste będą dwa pudełka to leży definicja implikacji, w wyniku będziesz miał dwa zera i dwie jedynki.
volrath napisał:

W tłumaczeniu na Twoją tabelkę:

P~>4Ł = 1
P=>~4Ł = 0
~P~>4Ł = 1
~P~>~4Ł = 1.

Pies może mieć 4 łapy i "może" użyte tutaj nie dlatego, że może być pies bez 4 łap, ale dlatego, że może nie być psa o 4 łapach.

Zauważ, że 0 i 1 są takie same. Ale w tradycyjnej logice pudełko P AND 4Ł (pierwsze) może być puste. W zmodyfikowanej - nie może.

Oczywiście że nie może bo wówczas implikacja nie jest implikacją, w wyniku będziesz miał dwa zera i dwie jedynki.
volrath napisał:

W tłumaczeniu Twojej logiki (lub przynajmniej tego jak ją rozumiem) na matematyczną z zapisem korzystającym z kwantyfikatorów pewnie nie widzisz dużego sensu. Ale pozwala mi to lepiej zrozumieć o co chodzi (jestem przyzwyczajony do tradycyjnej logiki i używania kwantyfikatorów).

Kwantyfikatory użyłem wyżej w definicji spójników „musi” i „może”. Poza tym przykładem na razie nie widzę innego zastosowania kwantyfikatorów w algebrze Boole’a.

volrath napisał:

Jeśli jest tak jak myślę - że pudełko z 4Ł i P (psy) dla implikacji P => 4Ł nie może być puste, to rzeczywiście nie można p i q zamienić miejscami.

O to właśnie chodzi !
volrath napisał:

W tradycyjnej matematycznej logice pudełko 4Ł i P może być puste.

Np. zdanie "jeśli niebo jest zielone to kaczor donald wygra wybory" jest prawdziwe w tradycyjnej logice, choć pudełko "niebo zielone i kaczor donald wygra wybory" lub u Ciebie "jeśli niebo zielone to kaczor donald wygra wybory" jest puste.

Jeśli niebo jest zielone to kaczor Donald wygra wybory ?

Nie rozumiem co oznacza powyższe zdanie, bo nikt tak nie mówi …. chyba że w dowcipie. Czy mamy matematycznie analizować dowcipy ?
volrath napisał:

Prawa Kubusia wtedy jednak nadal zachodzą, bo dla p~>q gwarancja się zmienia, pełne musi być ~p i ~q (czyli dla ~p~>~q to jest p i q, czyli tak jak w p=>q).

Prawa Kubusia muszą działać zawsze i wszędzie bo są bezinterpretacyjne. Interpretacyjne są same definicje implikacji prostej i odwrotnej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 16:44, 04 Lis 2008, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Wto 18:22, 04 Lis 2008    Temat postu:

O ile dobrze rozumiem analogię z zwierzakami, to żeby implikacja p=>q była prawdziwa, to musi:

1) Nie istnieć coś, dla czego zachodzi p i ~q
2) Istnieć coś, dla czego zachodzi p i q
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~p i q
4) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~p i ~q.

Czyli pudełka z 1 mają coś zawierać. A pudełka z 0 nic nie zawierać.
Tak?

Jeśli tak jest to wtedy zachodzi p=>q <=> ~q=>~p, ponieważ w ~q=>~p musi:

1) Nie istnieć coś, dla czego zachodzi ~q i p
2) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~q i ~p
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi q i ~p
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi q i p

Zmienia się kolejność zdań, ale nie znaczenie.
W takiej dwuwartościowej logice nadal jest zachowana zasada kontrapozycji.

Po prostu z warunków:
- tam gdzie 0 to na pewno nie istnieje
- tam gdzie 1 to może nie istnieje, a może istnieje

Przechodzimy na warunki:
- tam gdzie 0 to na pewno nie istnieje
- tam gdzie 1 to istnieje

Wymuszając istnienie jakichś obiektów spełniających implikację (w każdej jej składowej) nadal pozostawiamy ją "bezkierunkową".

rafal3006 napisał:

Nie ma absolutnie żadnej możliwości aby którekolwiek z powyższych pudełek było puste, to matematyczny absurd …


Załóżmy, że zdanie A to P3 AND P10
Załóżmy, że zdanie B to P6 AND P5

PX to podzielność przez X.

Teraz mamy implikację "A=>B".

Przykład na A i B to 30 (A=>B = 1)
Przykładu na A i ~B nie ma (A=>~B = 0)
Przykład na ~A i ~B to 7 (~A~>~B=1)
Przykładu na ~A i B nie ma (~A~>B=0)

Pudełko ~A ~> B jest puste.

W takim razie zdanie A=>B czyli "jeśli liczba jest podzielna przez 3 i przez 10, to jest podzielna przez 6 i przez 5" jest fałszywe - według Twojej logiki?

Ogólnie chodzi o to, że w Twojej logice jeśli prawdziwe jest p <=> q to nie prawdziwe jest p => q.
Podczas gdy w Boolowskiej logice jeśli prawdziwe jest p <=> q to prawdziwe jest p=>q oraz q=>p.

Moim zdaniem bardziej sensowna jest logika (jak chodzi o opis intuicyjnej logiki człowieka) jaką opisałem wcześniej (jak chodzi o implikacje):
A i B - musi istnieć przykład
~A i ~B - nie może istnieć przykład
~A i B - może istnieć przykład, ale nie musi
A i ~B - może istnieć przykład, ale nie musi

Wtedy istnieje kierunek i nie można zamieniać p i q, a co za tym idzie w takiej logice nie dozwolona jest kontrapozycja.

Ale to jednocześnie, jak słusznie zauważyłeś, wymaga "trzech krasnoludków", czyli bez kwantyfikatorów to należałoby ją zdefiniować jako logikę trójwartościową.

Wróćmy na chwilę do lekcji 6, spróbuję ustalić szczegóły definicji implikacji i implikacji odwrotnej:

rafal3006 napisał:

Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q


W zasadzie zrozumienie (z mojej strony) definicji Twojej implikacji sprowadza się do pytań (proszę o odpowiedź na nie):

A. Mamy zdanie p=>q

AN (i BN) będę oznaczał pytania - chodzi o to by określić czy w danej sytuacji implikacja (a potem implikacja odwrotna) jest prawdziwa, czy fałszywa

A1.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

To byłoby pytanie retoryczne - w tej sytuacji zdanie prawdziwe - zadaję je dla porządku i jako przykład o co mi chodzi.

A2.
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

A3.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - istnieje

A4.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - nie istnieje

A5.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - nie istnieje

A6.
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - istnieje

A7.
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - nie istnieje

A8.
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - nie istnieje

Jak rozumiem wszystkie kolejne A9-A16 dla których byłoby "p i ~q - istnieje" byłyby fałszywe, tak?

B. Mamy inne zdanie p~>q:

Jeśli ~p ~> ~q <=> p => q, to definicja moim zdaniem powinna być taka:

p~>q jest fałszywe gdy istnieje przynajmniej jeden element nie spełniający p a spełniający q, a prawdziwe jeśli istnieje element nie spełniający ani p ani q - na bazie definicji p=>q i prawa Kubusia (chyba że inaczej rozumiemy równoważność, nie jako to samo znaczenie logiczne).

Ale wróćmy do pytań do zdania p~>q (UWAGA: mam na myśli p~>q, a nie ~p~>~q), może one coś wyklarują:

B1.
p i q - istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

B2.
p i q - nie istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

B3.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

B4.
p i q - istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - nie istnieje

B5.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - nie istnieje

B6.
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

B7.
p i q - nie istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - nie istnieje

B8.
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - nie istnieje

B9.
p i q - istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - istnieje

B10.
p i q - nie istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - istnieje

B11.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - istnieje

B12.
p i q - istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - nie istnieje

B13.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - nie istnieje

B14.
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - istnieje

B15
p i q - nie istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - nie istnieje

B16
p i q - nie istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - nie istnieje

Wiem, sporo tych pytań, ale możesz je załatwić grupowo.

Dla definicji => i ~> na bazie logiki Boole'a to byłoby:
A1-A8 - prawda
A9-A16 - fałsz
B1-B8 - fałsz
B9-B16 - prawda

(UWAGA: tabelki nie są symetryczne jak chodzi o kolejność, w A są posortowane po p i ~q, w B po ~p i q, ale poza tym to nieco chaotycznie).

Dla definicji zmodyfikowanej logiki z wymaganiem istnienia p i q to byłoby:
A1,A3,A4,A5 - prawda
A2,A6,A7-A16 - fałsz
B1-B8,B12,B13,B15,B16 - fałsz
B9,B10,B11,B14 - prawda

Dla Twojej logiki - chciałbym się dowiedzieć. :)

Z tego co piszesz to:
A1,B9 - prawda
reszta - fałsz

Ale może źle rozumiem - stąd moja lista pytań.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 0:36, 05 Lis 2008    Temat postu:

Lekcja 7

Implikacyjny algorytm człowieka.

W naturalnym języku mówionym po „Jeśli …” zawsze występuje poprzednik implikacji p zaś po „to…” zawsze mamy na następnik q niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta, implikacja odwrotna czy też równoważność (częsta w matematyce).

Kwadrat logiczny to po prostu operatorowa definicja implikacji prostej p=>q z lewej strony, oraz operatorowa definicja implikacji odwrotnej p~>q z prawej strony. Prawe strony równań uzyskano korzystając z definicji implikacji prostej i odwrotnej.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Kod:

A1:  p=>q = ~p+q            A2:  p~>q = p+~q
W.Wystarczający             W.Konieczny
B1:  p=>~q = ~p+~q          B2:  p~>~q = p+q

C1: ~p~>~q = ~p+q           C2: ~p=>~q = p+~q
W.Konieczny                 W.Wystarczający
D1: ~p~>q = ~p+~q           D2: ~p=>q = p+q

Lewa strona to pełna operatorowa definicja implikacji prostej, zaś prawa strona to pełna operatorowa definicja implikacji odwrotnej. W pionach mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.

Kubuś do 5-letniej Zuzi:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P =0 - Kubuś doskonale wie że to jest fałsz, dlatego tu jest 0

Zuzia:
Nieprawda (~) - przejście do logiki przeciwnej.

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P=1

Jak widać Kubuś i Zuzia zaczęli rozmowę sensownie i ściśle matematycznie, Kubuś chciał tu sprawdzić logikę 5-letniej Zuzi. Dalsza sensowna dyskusja na temat czterech łap i psa może się odbywać tylko i wyłącznie w obrębie ośmiu zdań implikacyjnych.

Możliwe są tu dwa scenariusze, algorytm implikacyjny uruchamiany jest dynamicznie w zależności od przebiegu rozmowy (bardziej prawdopodobne), lub też pod algorytm ogólny implikacji jak wyżej podstawiane są dane aktualne w postaci wzorów. Ze względów edukacyjnych przyjmijmy tą drugą wersję.

Zbudujmy algorytm wszystkich możliwych dialogów na temat psa i czterech łap.

Implikacja prosta:
A1: P=>4L =1
Pies jest wystarczający dla 4 łap
B1: P=>~~4L =0
C1: ~P~>~4L =1
D1: ~P~>4L =1

Zera i jedynki wymusza definicja implikacji prostej.
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
P=>4L = ~(P*~4L)

Implikacja odwrotna:
A2: 4L~>P =1
Cztery łapy są konieczne dla psa
B2: 4L~>~P =1
C2: ~4L=>~P =1
D2: ~4L=>P =0

Zera i jedynki wymusza definicja implikacji odwrotnej.
P~>q = p+~q = ~(~p*q)
4L~>P = ~(~4L*P)

Przy algorytmie tworzonym z góry zera i jedynki w implikacji generuje matematyka ścisła, człowiek nie ma tu nic do gadania. Oczywiście według wzoru matematycznego opisującego dowolną implikacje prostą (A1,C2) gdzie zachodzi warunek wystarczający, lub wzoru matematycznego opisującego dowolną implikacje odwrotną (A2,C1) gdzie zachodzi warunek konieczny.

Takie działanie naszego mózgu jest jednak mało prawdopodobne. Najpewniej wynikowe zera i jedynki generujemy na bieżąco w zależności od treści zawartej w spójniku „Jeśli…to…”. Pewne jest, że 5-letnia Zuzia będzie swobodnie poruszać się w obrębie powyższych zdań i nigdy nie pomyli spójnika implikacji prostej (musi) ze spójnikiem implikacji odwrotnej (może).


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:22, 05 Lis 2008, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 0:43, 05 Lis 2008    Temat postu:

volrath napisał:

O ile dobrze rozumiem analogię z zwierzakami, to żeby implikacja p=>q była prawdziwa, to musi:

1) Nie istnieć coś, dla czego zachodzi p i ~q
2) Istnieć coś, dla czego zachodzi p i q
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~p i q
4) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~p i ~q.

Czyli pudełka z 1 mają coś zawierać. A pudełka z 0 nic nie zawierać.
Tak?

1) - Twoja gwarancja bez kierunku
1* - moja gwarancja z kierunkiem

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L - każdy pies ma cztery łapy (gwarancja)
Gwarancja wynikająca z definicji implikacji:
P=>4L = ~P+4L = ~(P*~4L)
1* - Moja gwarancja z kierunkiem, odpowiednik twojej 1)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
Czyli:
Pies ma cztery łapy

volrath napisał:

Jeśli tak jest to wtedy zachodzi p=>q <=> ~q=>~p, ponieważ w ~q=>~p musi:

1) Nie istnieć coś, dla czego zachodzi ~q i p
2) Istnieć coś, dla czego zachodzi ~q i ~p
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi q i ~p
3) Istnieć coś, dla czego zachodzi q i p

Zmienia się kolejność zdań, ale nie znaczenie.
W takiej dwuwartościowej logice nadal jest zachowana zasada kontrapozycji.

Po prostu z warunków:
- tam gdzie 0 to na pewno nie istnieje
- tam gdzie 1 to może nie istnieje, a może istnieje

Przechodzimy na warunki:
- tam gdzie 0 to na pewno nie istnieje
- tam gdzie 1 to istnieje

Wymuszając istnienie jakichś obiektów spełniających implikację (w każdej jej składowej) nadal pozostawiamy ją "bezkierunkową".

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Prawo Kubusia:
4L~>P= ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Czyli:
Mrówka, stonoga, kura … nie jest psem
Ta sama gwarancja wynikająca z definicji:
4L~>P= ~4L=>~P = 4L+~P = ~(~4L*P)
~(~4L*P)
2* - moja gwarancja wynikająca z definicji
Nie może się zdarzyć że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Czyli:
Mrówka, stonoga, kura … nie jest psem
W mojej gwarancji 2* jest mowa o wszystkich pozostałych zwierzakach które nie mają czterech łap.

Oznaczmy teraz:
1*
A = Zbiór wszystkich psów (oczywiście wszystkie mają cztery łapy)
2*
~A = zbiór wszystkich pozostałych zwierzaków, dopełnienie zbioru A

Oczywiście:
A+~A =1 - zbiór wszystkich zwierzaków

Jeśli twierdzisz, że te gwarancje są równe (a takie są jeśli dopuścisz zamianę p i q), to obaliłeś algebrę Boole’a bo twierdzisz że:
A=~A

Zauważ:
A+~A =1 - tu jest gwarancja że oba parametry nie mogą być równe 0
A*~A =0 - tu jest gwarancja że oba parametry nie mogą być równe 1

Tu jest problem logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a o której nikt na świecie (patrz Wikipedia) nie ma najmniejszego pojęcia. Owszem, praktycy wiedzą tylko tyle, że nie wolno łączyć sygnałów z kółkiem (logika ujemna) z sygnałami bez kółka (logika dodatnia) co sprowadza się do definicji podanej w Wikipedii. Szerzej na ten temat jest w Elementarzu w podpisie.

Prawa de’Morgana mówią na przykład o związku logiki dodatniej z logiką ujemną, kto o tym wie ?

Y=A+B - logika dodatnia bo Y (abstrakcyjna funkcja logiczna)
Przejście do logiki ujemnej (~Y), negujemy sygnały i zamieniamy operatory
~Y=~A*~B
Oczywiście:
Y=~(~Y)
czyli:
A+B=~(~A*~B) - prawo de’Morgana

Totalny prymityw, tylko pokaż mi matematyka który w ten sposób dowodzi prawa de’Morgana ?

Zauważ, że jeśli uznasz prawa kontrapozycji za poprawne w implikacji, w ślepej algebrze takie są, to natychmiast otrzymujesz bzdurę:
p=>q = q~>p
Czyli implikacja prosta jest równa implikacji odwrotnej.

To jest przyczyna wszelkich kłopotów dzisiejszej logiki bo w zdrowej algebrze Boole’a, tej z oczami gdzie nie wolno w implikacji zamieniać p i q, powyższe równanie jest oczywiście fałszywe.

Dowód zero-jedynkowy masz tu:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo,3591-20.html#69294

volrath napisał:

rafal3006 napisał:

Nie ma absolutnie żadnej możliwości aby którekolwiek z powyższych pudełek było puste, to matematyczny absurd …


Załóżmy, że zdanie A to P3 AND P10
Załóżmy, że zdanie B to P6 AND P5

PX to podzielność przez X.

Teraz mamy implikację "A=>B".
….

Rozumiem że zdania A i B brzmią:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 10
P3~>P10 =1 bo 30
Jeśli liczba jest podzielna przez 6 to może być podzielna przez 5
P6~>P5 =1 bo 30

W obu zdaniach nie ma ani warunku koniecznego ani wystarczającego w dowolną stronę p~>q lub q=>p. W Kubusiowej logice to są zdania prawdziwe, ale bezwartościowe, bo ani same nie są żadną implikacją, ani też nie są częścią jakiejkolwiek implikacji.

Jeśli „może” zamienimy na „musi” to oba zdania będą oczywistym fałszem.

Koniec analizy matematycznej w logice Kubusia

Proszę cie na przyszłość, abyś przy porównywaniu naszych logik ograniczał się do danych poprawnych w Kubusiowej logice (warunki wystarczające lub knieczne) … o ile chcesz wykazać jej słabe punkty lub ją obalić. Inaczej nie ma sensu bo jeśli do najwspanialszego nawet programu komputerowego wpuścisz śmiecie to na wyjściu otrzymasz śmiecie.
volrath napisał:

rafal3006 napisał:

Implikacja prosta:
Zdanie jest prawdziwe jeśli dla każdego elementu spełniającego warunek p zajdzie warunek q
Zdanie jest fałszywe jeśli istnieje przynajmniej jeden element spełniający warunek p i nie spełniający warunku q


W zasadzie zrozumienie (z mojej strony) definicji Twojej implikacji sprowadza się do pytań (proszę o odpowiedź na nie):

A. Mamy zdanie p=>q

AN (i BN) będę oznaczał pytania - chodzi o to by określić czy w danej sytuacji implikacja (a potem implikacja odwrotna) jest prawdziwa, czy fałszywa

A1.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

To byłoby pytanie retoryczne - w tej sytuacji zdanie prawdziwe - zadaję je dla porządku i jako przykład o co mi chodzi.
…..
Jak rozumiem wszystkie kolejne A9-A16 dla których byłoby "p i ~q - istnieje" byłyby fałszywe, tak?

Wszystkie tabele poza powyższą są fałszywe.

Tylko to co wyżej jest implikacją p=>q bo ma poprawnie ustawione wszystkie zera i jedynki wynikowe, wszystko inne jest fałszywe. Oczywiście w implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q. Nie podoba mi się tu zapis w postaci iloczynów, jest oczywiście poprawny bo wynika z definicji z tym że nic nie mówi o kierunkach w przeciwieństwie do mojego zapisu operatorowego.

Moja równoważna tabela do twojej jest taka:
p=>q =1
p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~>q =1

U mnie widać, że pierwsze dwie linie to implikacja prosta zaś ostatnie dwie to implikacja odwrotna. U ciebie nic nie widać.

... i najważniejsz sprawa !
Zapis operatorowy pozwala analizować zdania w sposób zgodny z naturalnym jezykiem mówionym człowieka, z jezykiem przedszkolaka. Wszystkie poprawne spójniki "musi"=> i "może" ~> występują w zapisie matematycznym. Myślę, że to jest niezwyle cenna właściwość.
volrath napisał:

B. Mamy inne zdanie p~>q:

Jeśli ~p ~> ~q <=> p => q, to definicja moim zdaniem powinna być taka:

p~>q jest fałszywe gdy istnieje przynajmniej jeden element nie spełniający p a spełniający q, a prawdziwe jeśli istnieje element nie spełniający ani p ani q - na bazie definicji p=>q i prawa Kubusia (chyba że inaczej rozumiemy równoważność, nie jako to samo znaczenie logiczne).

Nie, bo definicje implikacji prostej i odwrotnej zapisujesz zawsze dla p i q niezanegowanych !

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Widać jak na dłoni, że poprawna definicja jest taka:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
LUB
p~>~q
Jeśli zajdzie p to może zajść q.
To ostanie jest zbędne bo wynika z pierwszego.

W logice nie może być świętej krowy, ani tej p=>q ani też tej p~>q.
Po Jeśli… zawsze występuje p zaś po to… q, obojętnie czy jest to implikacja prosta czy odwrotna

volrath napisał:

Ale wróćmy do pytań do zdania p~>q (UWAGA: mam na myśli p~>q, a nie ~p~>~q), może one coś wyklarują:
…..
Dla Twojej logiki - chciałbym się dowiedzieć. :)

Z tego co piszesz to:
A1,B9 - prawda
reszta - fałsz


A1.
p i q - istnieje
p i ~q - nie istnieje
~p i q - istnieje
~p i ~q - istnieje

To byłoby pytanie retoryczne - w tej sytuacji zdanie prawdziwe - zadaję je dla porządku i jako przykład o co mi chodzi.

B9.
p i q - istnieje
p i ~q - istnieje
~p i q - nie istnieje
~p i ~q - istnieje

Ale może źle rozumiem - stąd moja lista pytań.

Oczywiście tylko i wyłącznie te dwie tabele są poprawne, wszystkie inne są fałszywe. Każda z definicji implikacji opisana jest ściśle określonym równaniem algebry Boole’a np.
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
Dla tego równania poprawne jest jedno i tylko jedno odwzorowanie zero-jedynkowe. Każda inna kombinacja zer i jedynek wymuszana przez dzisiejszą logikę na pewno nie jest implikacją, to po prostu śmieć.


Implikacja prosta:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
A1.
p=>q =1
p=>~q=0
~p~>~q=1
~p~>q =1

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma 4 łapy
P=>4L
p=P
q=4L

Implikacja odwrotna:
p~>q = p+~q = ~(~p*q)

B9.
p~>q =1
p~>~q =1
~p=>~q =1
~p=>q =0

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem
4L~>P
p=4L
q=P

Niech żyją równe prawa implikacji prostej i odwrotnej. Po Jeśli zawsze mamy poprzednik p, zaś po to… zawsze jest następnik q.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:49, 05 Lis 2008, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Śro 8:56, 05 Lis 2008    Temat postu:

rafał3006 napisał:

Rozumiem że zdania A i B brzmią:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 10
P3~>P10 =1 bo 30
Jeśli liczba jest podzielna przez 6 to może być podzielna przez 5
P6~>P5 =1 bo 30


Nie, zdania brzmią:

A: "Liczba x jest podzielna przez 10 i przez 3"
B: "Liczba x jest podzielna przez 5 i przez 6"

Albo dokładniej:

p = P10
q = P3
r = P5
s = P6

A <=> p AND q
B <=> r AND s

A=>B <=> (p AND q) => (r AND s)

I rozważamy zdanie "A => B" czyli "Jeśli liczba x jest podzielna przez 10 i jest podzielna przez 3 to liczba x jest podzielna przez 5 i podzielna przez 6".

Chyba, że w Twojej logice nie ma opertarora "AND"?

Tabelka:
A=>B = 1
A=>~B = 0
~A~>~B = 1
~A~>B = 0

A więc w Twojej logice zdanie "Jeśli liczba x jest podzielna przez 10 i jest podzielna przez 3 to liczba x jest podzielna przez 5 i jest podzielna przez 6" jest fałszywe.

Dowód na to, że w Twojej logice prawo kontrapozycji zachodzi:

((p => q) <=> (~q => ~p)) - powinno być prawdziwe dla dowolnych p i q
Innymi słowy by prawo kontrapozycji zachodziło nie mogą istnieć zdania p i q dla których prawo kontrapozycji jest błędne.

r <=> p=>q
s <=> ~q=>~p

x<=>y jest prawdziwe jeśli x i y są oba prawdziwe lub x i y są oba nieprawdziwe.
x<=>y jest nieprawdziwe jeśli jedno z zdań x i y jest nieprawdziwe, a drugie prawdziwe
A=>B jest prawdziwe tylko gdy nie istnieje A i ~B, a istnieją A i B, ~A i B oraz ~A i ~B

Podstawmy zdania pod definicje:
r to p=>q czyli jest prawdziwe tylko gdy nie istnieje p i ~q, a istnieją p i q, ~p i q oraz ~p i ~q
Podstawiłem pod definicję A=>B zdania A=p i B=q.

s to ~q=>~p czyli jest prawdziwe tylko gdy nie istnieje ~q i p, a istnieją ~p i ~q, q i ~p oraz p i q
Zauważ, że pod definicję A=>B podstawiłem tu A=~q i B=~p

r<=>s jest fałszywe tylko gdy gdy zachodzi przynajmniej jedno z dwojga:
1) ~(p=>q) AND (~q=>~p)
2) (p=>q) AND ~(~q=>~p)
A prawdziwe jeśli zachodzi jedno z dwojga:
3) (p=>q) AND (~q=>~p)
4) ~(p=>q) AND ~(~q=>~p)

3 i 4 można połączyć do 5: ((p=>q) AND (~q=>~p)) OR (~(p=>q) AND ~(~q=>~p)).
1 i 2 także, ale nie będzie mi to potrzebne, bo udowodnię, że zarówno 1 jak i 2 są fałszywe.

Załóżmy dla pożądku dodatkowe pomocne zdania:

a = istnieje p i q
b = istnieje p i ~q
c = istnieje ~p i q
d = istnieje ~p i ~q

1) (~(~b AND a AND c AND d)) AND (~b AND d AND c AND a)
Od razu widać, że to zdanie fałszywe nie zależnie od wartości a,b,c,d.
Zdanie typu ~A AND A.
~r<=>s = 0
2) Zdanie typu A AND ~A - analogicznie do 1)
r<=>~s = 0

5) ((~b AND a AND c AND d) AND (~b AND d AND c AND a)) OR (~(~b AND a AND c AND d) AND ~(~b AND d AND c AND a))

To jest jak wyraźnie widać zdanie typu (A AND A) OR (~A AND ~A), bo w iloczynie można zamieniać (~b AND a AND c AND d <=> ~b AND d AND c AND a).

Tabela prawdy dla zdania (A AND A) OR (~A AND ~A) to:
A zdanie
0 1
1 1

Tak więc udowodniłem, że 1 i 2 nie zachodzą dla żadnych zdań p i q, jakie byś nie wybrał, a co najmniej jedno z dwojga (3 lub 4) zachodzi nie zależnie od tego jakie byś p i q nie wybrał.

Czyli w Twojej logice zachodzi:
p => q <=> ~q => ~p

Wydaje mi się, że Twój zapis dla implikacji p=>q:
p=>q = 1
p=>~q = 0
~p~>q = 1
~p~>~q = 1

w którym twierdzisz, że jest kierunek, jest niespójny z opisem tekstowym dla implikacji, który sprowadza się do tego, że tylko zdania A1 (p i q istnieje, p i ~q nie istnieje, ~p i q istnieje oraz ~p i ~q istnieje) są prawdziwe, a taka logika jest tak samo bezkierunkowa jak logika Boola.

Zapis:
p=>q = 1
p=>~q = 0
~p~>q = 1
~p~>~q = 1

Sugeruje, że:
1) musi istnieć p i q
2) nie może istnieć p i ~q
3) może istnieć ~p i q
4) może isnieć ~p i ~q

Co jest sprzeczne z opisem tekstowym.

Logika z tego zapisu jest tak na prawdę logiką trójwartościową, ale w nieco ukryty sposób.
Po prostu w tabeli oprócz 1 i 0 istnieje też rozróżnienie na => i ~>
A to można zakodować tak (p=>q, k to kierunek, kierunek 0 = =>, kierunek 1 = ~>, w to wynik logiczny):
p q k w
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1

Teraz k i w połączyć w jedną wartość jako 00=0 01=1 10=2 11=3.
p q kw
1 1 1
1 0 0
0 1 3
0 0 3

Widać, że mamy logikę trójwartościową.
I widać czemu w logice z takiego zapisu nie działa kontrapozycja. Bo tabelka dla ~q=>~p to:
p q k w
1 1 1 1
1 0 0 0
0 1 1 1
1 1 0 1

czyli:
p q kw
1 1 3
1 0 0
0 1 3
0 0 1

Czyli co innego niż w p=>q (dla ~q=>~p musi istnieć ~q i ~p, a może q i p, dla p=>q musi istnieć q i p, a może ~q i ~p).

Wnioski:
Twoja logika z opisu tekstowego zachowuje kontrapozycje i jest dwuwartościowa. Nie zachowuje zaś definicji p<=>q jako (p=>q AND q=>p).
Twoja logika z tabelek nie zachowuje kontrapozycji i jest tak na prawdę trójwartościowa. Trudno powiedzieć czy zachowuje definicję p<=>q jako (p=>q AND q=>p). Należałoby najpierw poszerzyć tabelki operatorów o dodatkową wartość "3" albo o kierunek (na jedno wychodzi).
Bo tabelka:
1 1 1
1 0 0
0 1 3
0 0 3
to tylko kawałek większej - należałoby zdefiniować co jeśli p lub q są "3" - czyli "może".

Jaki jest sens wartości 0,1,3?
0 = fałsz (nie istnieje)
1 = prawda (istnieje na pewno)
3 = może (może istnieje, a może nie istnieje)


Ostatnio zmieniony przez volrath dnia Śro 9:01, 05 Lis 2008, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 17:20, 05 Lis 2008    Temat postu:

volrath napisał:

rafał3006 napisał:

Rozumiem że zdania A i B brzmią:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 10
P3~>P10 =1 bo 30
Jeśli liczba jest podzielna przez 6 to może być podzielna przez 5
P6~>P5 =1 bo 30


Nie, zdania brzmią:

A: "Liczba x jest podzielna przez 10 i przez 3"
B: "Liczba x jest podzielna przez 5 i przez 6"

To co wyżej to zdania twierdzące, nie ma tu ani poprzednika ani następnika.
Dla jakich liczb X jest ona podzielna przez 5 i 6
Czy musze rozwiązywać zagadki matematyczne ? ….. ostatni raz robiłem to 30 lat temu.
Rozwiązanie:
X=30,60,180 itd

volrath napisał:

Albo dokładniej:

p = P10
q = P3
r = P5
s = P6

A <=> p AND q
B <=> r AND s

A=>B <=> (p AND q) => (r AND s)

I rozważamy zdanie "A => B" czyli "Jeśli liczba x jest podzielna przez 10 i jest podzielna przez 3 to liczba x jest podzielna przez 5 i podzielna przez 6".

Chyba, że w Twojej logice nie ma opertarora "AND"?

Tabelka:
A=>B = 1
A=>~B = 0
~A~>~B = 1
~A~>B = 0

A więc w Twojej logice zdanie "Jeśli liczba x jest podzielna przez 10 i jest podzielna przez 3 to liczba x jest podzielna przez 5 i jest podzielna przez 6" jest fałszywe.

Dowód na to, że w Twojej logice prawo kontrapozycji zachodzi:

((p => q) <=> (~q => ~p)) - powinno być prawdziwe dla dowolnych p i q
Innymi słowy by prawo kontrapozycji zachodziło nie mogą istnieć zdania p i q dla których prawo kontrapozycji jest błędne.

W mojej logice implikacja jest fałszywa, to oczywista prawda. Nic nie może być jednocześnie implikacją i równoważnością.
Skoro ci wyszła w mojej logice tabelka jak wyżej, to jest to dowód że mamy do czynienia z równoważnością a nie z implikacją i tabela musi być skorygowana na poprawną:
A=>B = 1
A=>~B = 0
~A=>~B = 1
~A=>B = 0

A<=>B = (A=>B)(~A=>~B) = A*B+~A*~B
Dalej będzie przykład na ten temat.

Jeśli liczba x jest podzielna przez 10*3 to x jest podzielna przez 5*6

Dla dowolnego X to jest implikacja typu:
Jeśli p to p
gdzie p=30,300 itp

Do równoważności należy stosować definicje równoważności, na pewno mamy identyczne.
p<=>q = (p=>q)(q=>p)= p*q+~p*~q - to jest nasza wspólna definicja równoważności, oczywiście spójnik AND tu występuje.

Stosowanie definicji implikacji do obsługi równoważności jest błędem który wyjdzie przy analizie takiej „implikacji”

Przykład:
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to jest równoboczny
K60=>R

Załóżmy, że powyższe zdanie jest implikacją i spróbujmy przeanalizować je w oparciu o definicję implikacji.

Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1

STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość

Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0

Równoważność to kompletnie inny operator matematyczny niż implikacja.

Mam dwie prośby
I.
Czy możemy dyskutować o implikacjach typu:
p=>q
p~>q
Oczywiście można to skomplikować implikacje:
Jeśli jutro będzie ładna pogoda i będę miał czas to pójdziemy do kina lub do teatru
p=LP*CZ
q=K+T
Analiza powyższego to tez jest banał ale ponieważ wszystko jest w fazie testowania sensownym jest ograniczenie się do najprostszych implikacji.

II.
Czy możemy zejść z matematyki lub ograniczyć matematykę do prostych implikacji typu:
Jeśli czworokąt ma boki równe to może być kwadratem
BR~>KW
Boki równe są warunkiem koniecznym dla kwadratu

Jeśli czworokąt jest kwadratem to ma boki równe
KW=>BR
Bycie kwadratem jest warunkiem wystarczającym dla równych boków

volrath napisał:

r <=> p=>q
s <=> ~q=>~p

x<=>y jest prawdziwe jeśli x i y są oba prawdziwe lub x i y są oba nieprawdziwe.
x<=>y jest nieprawdziwe jeśli jedno z zdań x i y jest nieprawdziwe, a drugie prawdziwe
A=>B jest prawdziwe tylko gdy nie istnieje A i ~B, a istnieją A i B, ~A i B oraz ~A i ~B

Podstawmy zdania pod definicje:
r to p=>q czyli jest prawdziwe tylko gdy nie istnieje p i ~q, a istnieją p i q, ~p i q oraz ~p i ~q
Podstawiłem pod definicję A=>B zdania A=p i B=q.

s to ~q=>~p czyli jest prawdziwe tylko gdy nie istnieje ~q i p, a istnieją ~p i ~q, q i ~p oraz p i q
Zauważ, że pod definicję A=>B podstawiłem tu A=~q i B=~p

r<=>s jest fałszywe tylko gdy gdy zachodzi przynajmniej jedno z dwojga:
1) ~(p=>q) AND (~q=>~p)
2) (p=>q) AND ~(~q=>~p)
A prawdziwe jeśli zachodzi jedno z dwojga:
3) (p=>q) AND (~q=>~p)
4) ~(p=>q) AND ~(~q=>~p)

3 i 4 można połączyć do 5: ((p=>q) AND (~q=>~p)) OR (~(p=>q) AND ~(~q=>~p)).
1 i 2 także, ale nie będzie mi to potrzebne, bo udowodnię, że zarówno 1 jak i 2 są fałszywe.

Załóżmy dla pożądku dodatkowe pomocne zdania:

a = istnieje p i q
b = istnieje p i ~q
c = istnieje ~p i q
d = istnieje ~p i ~q

1) (~(~b AND a AND c AND d)) AND (~b AND d AND c AND a)
Od razu widać, że to zdanie fałszywe nie zależnie od wartości a,b,c,d.
Zdanie typu ~A AND A.
~r<=>s = 0
2) Zdanie typu A AND ~A - analogicznie do 1)
r<=>~s = 0

5) ((~b AND a AND c AND d) AND (~b AND d AND c AND a)) OR (~(~b AND a AND c AND d) AND ~(~b AND d AND c AND a))

To jest jak wyraźnie widać zdanie typu (A AND A) OR (~A AND ~A), bo w iloczynie można zamieniać (~b AND a AND c AND d <=> ~b AND d AND c AND a).

Tabela prawdy dla zdania (A AND A) OR (~A AND ~A) to:
A zdanie
0 1
1 1

Tak więc udowodniłem, że 1 i 2 nie zachodzą dla żadnych zdań p i q, jakie byś nie wybrał, a co najmniej jedno z dwojga (3 lub 4) zachodzi nie zależnie od tego jakie byś p i q nie wybrał.

Niestety twój dowód to dla mnie horror, gdybym się zawziął i wgryzł to może by się udało to zrozumieć. Jeśli to ma być dowód poprawności prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
To oczywiście to prawo zachodzi w ślepej algebrze Boole’a która dopuszcza zamianę p i q w implikacji.

Cały problem sprowadza się zatem do udowodnienia:
Wolno zamieniać pi q czy nie wolno
volrath napisał:

Czyli w Twojej logice zachodzi:
p => q <=> ~q => ~p

Owszem, zachodzi tyle że w twoim aparacie matematycznym gdzie możesz zamieniać p i q.

U Kubusia tego robić nie wolno, przedstawię dowód dwoma sposobami, na przykładzie i w tabelach zero-jedynkowych.

Rozumiem że prawa Kubusia zaakceptowałeś i wolno mi się nimi posługiwać.

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna czyli:
Jest gwarancja to jest implikacja
Nie ma gwarancji to nie ma implikacji

Twierdzenie o równoważności implikacji:
Implikacje są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczne gwarancje.

Dowód że nie wolno zamieniać p i q na przykładzie:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>~4L
Gwarancja jest w implikacji prostej jawna !
Każdy pies ma cztery łapy

Zamieniamy p i q:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
W implikacji prostej gwarancja jest jawna czyli:
~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem.
Gwarancja:
mrówka, kura, wąż … nie są psami

Zauważmy, że istnieje jeszcze trzecia grupa zwierząt których nie obejmuje ani gwarancja w implikacji prostej, ani też odwrotnej. To zwierzęta o czterech łapach nie będące psem.
Koń, słoń ….

Jak widać gwarancje w implikacji prostej i odwrotnej nie są równe zatem w implikacji nie wolno zamieniać p i q.


Dowód w tabeli zero-jedynkowej

Dowód iż prawo kontrapozycji jest błędne w implikacji jest trywialny.

Kod:
Tabela 5
p q p=>q q p q~>p ~q ~p ~q=>~p
1 1  1   1 1  1    0  0   1
1 0  0   1 0  1    0  1   1
0 0  1   0 0  1    1  1   1
0 1  1   0 1  0    1  0   0


Jeśli w implikacji p=>q zamienimy p i q miejscami to otrzymamy implikację odwrotną q~>p.
Oczywiście w implikacji odwrotnej to q jest poprzednikiem zaś p następnikiem. Należy zatem tylko i wyłącznie zamienić nazwy kolumn zero-jedynkowych, po czym zastosować definicję implikacji odwrotnej. Absolutnie nic innego nie można robić !!!

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
q=P2
p=P8
Tu nie wolno użyć spójnika „musi” bo wtedy mamy nonsens:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to musi być podzielna przez 8
P2=>P8 - oczywisty fałsz dla „musi”

Jak widać, kolumny p=>q i ~q=>~p są różne zatem prawo kontrapozycji w implikacji jest błędne.

W tabeli wyżej doskonale widać jedno z praw Kubusia:
q~>p = ~q=>~p


volrath napisał:

Wydaje mi się, że Twój zapis dla implikacji p=>q:
p=>q = 1
p=>~q = 0
~p~>q = 1
~p~>~q = 1

w którym twierdzisz, że jest kierunek, jest niespójny z opisem tekstowym dla implikacji, który sprowadza się do tego, że tylko zdania A1 (p i q istnieje, p i ~q nie istnieje, ~p i q istnieje oraz ~p i ~q istnieje) są prawdziwe, a taka logika jest tak samo bezkierunkowa jak logika Boola.

Zapis:
p=>q = 1
p=>~q = 0
~p~>q = 1
~p~>~q = 1

Sugeruje, że:
1) musi istnieć p i q
2) nie może istnieć p i ~q
3) może istnieć ~p i q
4) może isnieć ~p i ~q

Co jest sprzeczne z opisem tekstowym.

Nie ma żadnej sprzeczności, zapis tekstowy wynika bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej implikacji.

Definicja implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =1

to co wyżej jest równoważne naturalnemu czytaniu poszczególnych linii:
=> - musi
~> - może
p=>q =1
p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~>q =1

Kierunkowość powyższego zapisu doskonale widać jeśli skorzystamy z zależności:
p~>q = p<=q - jeśli zajdzie p to może zajść q

<= - ten wektor czytamy przeciwnie do strzałki, wtedy to jest spójnik „może”
=> - ten wektor czytamy zgodnie ze strzałką, wtedy to jest spójnik „musi”

Przepiszmy powyższą tabelę z wektorem <= może:
p=>q =1
p=>~q =0
~p<=~q =1
~p<=q =1

=> - musi
<= - może

Widać tu doskonale na czym polega błąd w prawie kontrapozycji.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p<=~q
Logicy prawą stronę tego równania błędnie interpretują jako spójnik „musi” i zapisują tak:
p=>q = ~q=>~p - no i mamy „prawo” kontrapozycji
bo formalnie matematycznie zachodzi:
~p<=~q = ~q=>~p
Tyle że to równanie jest poprawne wtedy i tylko wtedy jeśli czytamy je przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” !

Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - biegnę do nagrody, chcę tego

Prawo Kubusia w wersji ze spójnikiem „może” <=:
W=>C = ~W<=~C
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W<=~C
Oczywiście:
C = czekolada = nagroda
~C = nie czekolada = kara
czyli:
W=>C - biegnę do nagrody, ja tego chcę
~W<=~C - uciekam od kary, ja tego nie chcę

Na tym właśnie polega kierunkowość w implikacji.

Z praw Kubusia wynika że obietnica w logice dodatniej (C), jest równoważna groźbie w logice ujemnej (~C)

… ale groźba może być też wypowiedziana w logice dodatniej:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno nie dostaniesz lania
~B=>~L

czyli:
Groźba w logice dodatniej (L) jest równoważna obietnicy w logice ujemnej (~L)

volrath napisał:

Logika z tego zapisu jest tak na prawdę logiką trójwartościową, ale w nieco ukryty sposób.
Po prostu w tabeli oprócz 1 i 0 istnieje też rozróżnienie na => i ~>

Z punktu widzenia algebry Boole’a implikacja jest logiką dwuwartościową bo w definicjach nie innych cyfr poza 0 i 1.
Z punktu odniesienie człowieka implikacja jest logiką czterowartościową.

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2

Zauważ, że są tu cztery ciągi:
P8=>P2 = 1 bo 8,16,24…
P8=>~P2 - ciąg pusty
~P8~>~P2 =1 bo 1,3,5…
~P8~>P2 =1 bo 4,6,10 …

Aksjomat:
świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.

Jeśli wyślemy płytę cyfrową DVD z nagranym filmem w kosmos i przejmie je jakaś obca cywilizacja, załóżmy że na wyższym poziomie niż nasza, to z łatwością odczyta miliony zer i jedynek, czyli cały zapis jest binarny.
Będą mieli nieziemskie problemy z interpretacją tych zer i jedynek, czy zdołają odczytać ją poprawnie i wyświetlić film o ziemianach ?
volrath napisał:

Wnioski:
Twoja logika z opisu tekstowego zachowuje kontrapozycje i jest dwuwartościowa. Nie zachowuje zaś definicji p<=>q jako (p=>q AND q=>p).

W mojej logice prawa kontrapozycji są błędne, bo u mnie nie wolno zamieniać p i q.
Równoważność i implikacja to dwa różne światy, wyciągnąłeś poprawny wniosek że:
p=>q # p<=>q
Oczywiście że u mnie zachodzi:
p<=>q = (p=>q)(q=>p)
volrath napisał:

Twoja logika z tabelek nie zachowuje kontrapozycji i jest tak na prawdę trójwartościowa. Trudno powiedzieć czy zachowuje definicję p<=>q jako (p=>q AND q=>p). Należałoby najpierw poszerzyć tabelki operatorów o dodatkową wartość "3" albo o kierunek (na jedno wychodzi).

Z punktu widzenia algebry Boole’a implikacja jest dwuwartościowa, z punktu odniesienia człowiek czterowartościowa - jest o tym wyżej.

Twoja implikacja też jest czterowartościowa, inaczej być nie może.

Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W*C =1 - powiesz wierszyk to na pewno czekolada
W*~C =0 - powiesz wierszyk i nie czekolada
A jak nie powiesz wierszyka to może zajść:
~W*~C =1
~W*C =1

To mamy identyczne bo inaczej się nie da !!!


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:14, 05 Lis 2008, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 18:52, 05 Lis 2008    Temat postu:

Ten post rzeczywiście był niepotrzebny bo dublował post wyżej :grin:

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:18, 05 Lis 2008, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
Budyy




Dołączył: 04 Sty 2008
Posty: 1735
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Warszawa

PostWysłany: Śro 19:03, 05 Lis 2008    Temat postu:

Czy ty się dobrze czujesz drogi rafale? Tyle tekstu, którego nikt nie czyta.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 19:20, 05 Lis 2008    Temat postu:

Czyżbyś nie zauważył że trwa fajna dyskusja o algebrze Boole'a ?
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:36, 06 Lis 2008    Temat postu:

Lekcja 8

Autor: Kubuś, wirtualny Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Najważniejszy dowód w całej historii Kubusia na SFINII

Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji, prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie w równoważności.
Dowód jest nieprawdopodobnie prosty pod warunkiem, że znamy technikę bramek logicznych na poziomie minimalnym.

Kubuś jest pewien, że to koniec ery starej logiki.
W zakresie implikacji całą dzisiejszą logikę trzeba wywrócić do góry nogami, wtedy świat będzie normalny.
W zakresie równoważności czyli stosowania praw kontrapozycji w matematyce nic się nie zmieni, bo te prawa są poprawne w równoważności.
Implikacja i równoważność to dwa różne światy, nic nie może być równocześnie implikacją i równoważnością.

Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnej logice człowieka spójnik "musi" między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka spójnik "może" między p i q


Część I
Dowód

Implikacja odwrotna

Bramka logiczna implikacji odwrotnej:
Kod:

       ------
p ----|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
q ---O|     |
       ------

Oczywiście na wejściu bramki dla p i q można ustawiać dowolne kombinacje zer i jedynek. Na wyjściu bramki p~>q otrzymujemy funkcję logiczną zgodną z definicją implikacji odwrotnej.

Definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Def.1
p q p~>q
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0

Z powyższej tabeli wynika równanie w algebrze Boole’a:
p~>q = p+~q

Z pierwszych dwóch linii widać słowną definicję implikacji odwrotnej.
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
p~>~q
Linia B wynika z pierwszej zatem jest zbędna.
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej linia A jest twardym fałszem czyli definicja leży w gruzach !

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P =0
Skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa
Oczywisty fałsz bo psy nie mają skrzydeł


Implikacja prosta

Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

       ------
q ----|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
p ---O|     |
       ------

Jak widać układ logiczny się nie zmienił, jednak nastąpiła zamiana sygnałów na wejściu. Realizacja układu logicznego który jednym sygnałem np. obietnica=1/groźba=0 zamienia sygnały wejściowe p i q to totalny prymityw … a może by tak zbudować sztucznego człowieka ? To oczywiście żart.
Na wejściu bramki dla p i q można ustawiać dowolne kombinacje zer i jedynek. Na wyjściu p=>q otrzymujemy funkcję logiczną zgodną z definicją implikacji prostej.


Definicja implikacji prostej:
Kod:

Def.2
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1

Z powyższej tabeli wynika równanie w algebrze Boole’a:
p=>q = ~p+q

Zauważmy, że w powyższej definicji zachowano zgodność sygnałów wejściowych z Def.1. Ma to kluczowe znaczenie dla łatwości dowodzenia wszelkich twierdzeń implikacyjnych.

Z pierwszych dwóch linii widać słowną definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
bo druga linia p=>~q jest fałszem.
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Jeśli zwierzę jest psem to musi mieć cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym by mieć cztery łapy

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej i odwrotnej
p~>q = p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Oczywistym jest że jeśli w implikacji prostej p jest warunkiem wystarczającym dla q to w drugą stronę q jest warunkiem koniecznym dla p.
czyli:
Jeśli w implikacji prostej p=>q zamienimy p i q miejscami to musimy mieć poprawną implikację odwrotną q~>p bo w tą stronę zachodzi warunek konieczny.

Zróbmy tabelę zero-jedynkową dla tego przypadku.
Kod:

Def.3
q p q~>p
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0

Oczywiście w Def.3 mamy układ z Def.1 bo w Def.3 laik w technice cyfrowej zamienił w implikacji poprzednik p z następnikiem q, ale nie zmienił nazw sygnałów zgodnie z definicją implikacji prostej Def.1. Zarówno w implikacji prostej jak i odwrotnej po „Jeśli…” zawsze mamy poprzednik p zaś po „to…” zawsze jest następnik q.

Tabela odpowiedniości sygnałów między Def.1 i Def.3

Kod:
Def.1 Def.3
p      q
q      p


Z tabel Def.2 i Def.3 widać że zachodzi:
p=>q # q~>p
Bo kolumny wynikowe są różne.

Dowód iż prawo kontrapozycji jest błędne w implikacji.

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Kod:
Tabela 5
p q p=>q q p q~>p ~q ~p ~q=>~p
1 1  1   1 1  1    0  0   1
1 0  0   1 0  1    0  1   1
0 0  1   0 0  1    1  1   1
0 1  1   0 1  0    1  0   0


Jak widać, kolumny p=>q i ~q=>~p są różne zatem prawo kontrapozycji w implikacji jest błędne.
W tabeli wyżej doskonale widać jedno z praw Kubusia:
q~>p = ~q=>~p

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to musi być podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
q=P2
p=P8

Tu nie wolno użyć spójnika „musi” bo wtedy mamy nonsens:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to musi być podzielna przez 8
P2=>P8 - oczywisty fałsz dla „musi”
czyli:
q=>p - oczywisty fałsz dla "musi"


Część II
Dowód, iż w implikacji nie wolno zamieniać p i q

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna czyli:
Jest gwarancja to jest implikacja
Nie ma gwarancji to nie ma implikacji

Twierdzenie o równoważności implikacji:
Implikacje są równoważne wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczne gwarancje.

Dowód że nie wolno zamieniać p i q na przykładzie:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Gwarancja jest w implikacji prostej jawna.
Każdy pies ma cztery łapy

Zamieniamy p i q:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
W implikacji prostej gwarancja jest jawna czyli:
~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem.
Gwarancja:
mrówka, kura, wąż … nie są psami

Zauważmy, że istnieje jeszcze trzecia grupa zwierząt których nie obejmuje ani gwarancja w implikacji prostej, ani też odwrotnej. To zwierzęta o czterech łapach nie będące psem.
Koń, słoń ….

Jak widać gwarancje w implikacji prostej i odwrotnej są różne zatem w implikacji nie wolno zamieniać p i q.


Część III
Geneza błędu w prawie kontrapozycji

Definicja implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

to co wyżej jest równoważne naturalnemu czytaniu poszczególnych linii:
=> - musi
~> - może
p=>q =1
p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~>q =1

Kierunkowość zapisu doskonale widać jeśli skorzystamy z zależności:
p~>q = p<=q - jeśli zajdzie p to może zajść q

<= - ten wektor czytamy przeciwnie do strzałki, wtedy to jest spójnik „może”
=> - ten wektor czytamy zgodnie ze strzałką, wtedy to jest spójnik „musi”

Przepiszmy powyższą tabelę z wektorem <= może:
p=>q =1
p=>~q =0
~p<=~q =1
~p<=q =1

=> - musi
<= - może

Widać tu doskonale na czym polega błąd w prawie kontrapozycji.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p<=~q
Logicy prawą stronę tego równania błędnie interpretują jako spójnik „musi” i zapisują tak:
p=>q = ~q=>~p - no i mamy „prawo” kontrapozycji
bo formalnie matematycznie zachodzi:
~p<=~q = ~q=>~p
Tyle że to równanie jest poprawne wtedy i tylko wtedy jeśli czytamy je przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” !

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N - implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K - implikacja odwrotna bo groźba
W groźbach spójnik „może” jest ukryty bo osłabiałby groźbę

Przykład:
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - obietnica

Prawo Kubusia w wersji ze spójnikiem „może” <=:
W=>C = ~W<=~C
=> - spójnik „musi” czytany zgodnie ze strzałką
<= - spójnik „może” czytany przeciwnie do strzałki

Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W<=~C - groźba
Oczywiście:
C = czekolada = nagroda
~C = nie czekolada = kara
czyli:
W=>C - biegnę do nagrody, ja tego chcę
~W<=~C - uciekam od kary, ja tego nie chcę
Na tym właśnie polega kierunkowość w implikacji.

Z praw Kubusia wynika, że obietnica w logice dodatniej (C), jest równoważna groźbie w logice ujemnej (~C)

… ale groźba może być też wypowiedziana w logice dodatniej.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B<=L - groźba, <= spójnik „może” czytany przeciwnie do strzałki
Prawo Kubusia:
B<=L = ~B=>~L
<= - „może”
=> - „musi”
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno nie dostaniesz lania
~B=>~L - obietnica

czyli:
Groźba w logice dodatniej (L) jest równoważna obietnicy w logice ujemnej (~L)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:03, 09 Lis 2008, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 16:37, 06 Lis 2008    Temat postu:

Dzięki Volrath za najbardziej pasjonującą dyskusję na SFINII, zmusiłeś mój mózg do pracy na najwyższych obrotach, doszło do wielu przełomów, ostatni jest wyżej. Teraz muszę co najmniej dwa tygodnie odpocząć od implikacji.

Kubuś
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pią 15:10, 07 Lis 2008    Temat postu:

Obecnie nie mam za bardzo czasu odpisywać, przepraszam. Może w weekend coś więcej napiszę. Na razie tylko to:

rafal3006 napisał:

Prawo Kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p

Kod:

Tabela 5
p q p=>q q p q~>p ~q ~p ~q=>~p
1 1  1   1 1  1    0  0   1
1 0  0   1 0  1    0  1   1
0 0  1   0 0  1    1  1   1
0 1  1   0 1  0    1  0   0


Jak widać, kolumny p=>q i ~q=>~p są różne zatem prawo kontrapozycji w implikacji jest błędne.


To nie są poprawne tabelki dla (p=>q) <=> (~q=>~p)

W ~q=>~p w tym prawie p i q są dokładnie tymi samymi p i q co w p=>q. Nie zmienia się wartości p i q rozważając tabelki. Nie zależnie od tego czy rozważasz proste zdanie p=>q czy złożone ((p AND q) => (r OR s) OR (p=>s)).

Poprawna tabelka:

Kod:

Tabela 5
p q p=>q q~>p ~q ~p ~q=>~p
1 1  1    1    0  0  1
1 0  0    1    1  0  0
0 0  1    1    1  1  1
0 1  1    0    0  1  1
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pią 15:36, 07 Lis 2008    Temat postu:

Dowód kontrapozycji w czterech prostych krokach:

A=>B <=> A+~B - definicja

1) Podstawiamy za A p, za B q:

p => q <=> p+~q

2) Podstawiamy za A ~q, za B ~p

~q => ~p <=> ~q+p

3) p+~q <=> ~q+p - bo OR jest przemienne A+B = B+A

4) Łączymy składniki:

(p=>q <=> p+~q <=> ~q+p <=> ~q=>~p) <=> (p=>q <=> ~q=>~p) bo równoważność jest przechodnia (czyli jeśli A <=> B i B <=> C to A <=> C).
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
volrath




Dołączył: 05 Sty 2006
Posty: 146
Przeczytał: 0 tematów


PostWysłany: Pią 16:25, 07 Lis 2008    Temat postu:

W logice rozważa się także bardziej skomplikowane zdania niż p=>q, na przykład:

Z = ((p AND q) => (r AND s)) OR (~s=>~p)

A = (p AND q) => (r AND s)
B = (~s=>~p)
Z = A OR B

Kod:

Tabelka dla takiego zdania:
p q r s p*q r*s ~s ~p  B A Z
1 1 1 1 1   1    0  0  1 1 1
1 1 1 0 1   0    1  0  0 0 0
1 1 0 1 1   0    0  0  1 0 1
1 1 0 0 1   0    1  0  0 0 0
1 0 1 1 0   1    0  0  1 1 1
1 0 1 0 0   0    1  0  0 1 1
1 0 0 1 0   0    0  0  1 1 1
1 0 0 0 0   0    1  0  0 1 1
0 1 1 1 0   1    0  1  1 1 1
0 1 1 0 0   0    1  1  1 1 1
0 1 0 1 0   0    0  1  1 1 1
0 1 0 0 0   0    1  1  1 1 1
0 0 1 1 0   1    0  1  1 1 1
0 0 1 0 0   0    1  1  1 1 1
0 0 0 1 0   0    0  1  1 1 1
0 0 0 0 0   0    1  1  1 1 1


Z tabelki widać, że (((p*q) => (r*s)) OR (~s=>~p)) <=> (~p+~q+s).

Gdyby trzeba było zamieniać p i q wartościami podstawiając do q=>p, to logika strasznie by się skomplikowała. Dla operatora => nie ważne jest jakie zdania się podstawia. Definicja jego pozostaje taka sama dla p=>q jak i dla q=>p. A p=>q nie jest równoważne q=>p, bo sama definicja operatora zakłada inne traktowanie pierwszego parametru, a inaczej drugiego. Zawsze jednak pierwszy parametr jest traktowany tak samo i drugi tak samo (jako p+~q dla p=>q i ~q+p dla ~q=>~p, bo w p=>q pierwszym parametrem jest p i się go nie zaprzecza, a drugim jest q i się go zaprzecza, a w ~q=>~p pierwszym parametrem jest ~q które się nie zaprzecza, a drugim ~p, którego się nie zaprzecza - w efekcie suma logiczna jest taka sama).

=> jest stałą "bramką logiczną", jak podepniesz pod pierwsze wejście p, a pod drugie q to wyjdzie na niej to samo, co jak podepniesz pod pierwsze wejście ~q, a pod drugie ~p.

Możesz zaprojektować bramkę logiczną => i sprawdzić sam.

Podam jeszcze jeden przykład, z programowania dla odmiany.

To tak jak byś miał w programowaniu dwie funkcje:

Kod:

int f1 (int x, int y) {
  return x*2 + y*3;
}

int f2 (int x) {
  return 5-x;
}


f1 odpowiada =>
f2 odpowiada ~

f1(2,3) = f1(f2(3),f2(2))

Tutaj zasada jest taka jak przy => i ~.

Weźmy inne funkcje, bardziej bliskie naszym przykladom (logiczne).
Załóżmy, że 0 to fałsz, nie 0 (np. 1) to prawda.

Kod:

// funkcja dzialajaca jak operator x=>y
int jesli (int x,int y) {
   if (x != 0 || y == 0) // bo p=>q równoważne p+~q
     return 1;
   else
     return 0;
}

// funkcja dzialajaca jak operator ~x
int nie (int x) {
   if (x == 0) // bo p=>q równoważne p+~q
     return 1;
   else
     return 0;
}


I teraz "jesli(p,q)" da taki sam wynik jak "jesli(nie(q),nie(p))".
Można to sprawdzić podstawiając dowolne p i q:

Kod:

p q not(p) not(q) jesli(p,q) jesli(nie(q),nie(p))
1 1 0      0      1          1
1 0 0      1      1          1
0 1 1      0      0          0
0 0 1      1      1          1


Albo wpisując funkcje do programu i go odpalając.
Albo realizując analogiczny program na bramkach cyfrowych.

Po prostu w operatorze A=>B nie wolno zamieniać wejść A i B w zależności od tego jakie są A i jakie B (bo Ty jak A = p i B = q to nie zamieniasz wejść, a jak A = ~p, a B=~q to je sobie zamieniasz).

To tak jak byś dostał poprawnie działający układ logiczny i w trakcie jego działania grzebał w połączeniach w środku w zależności od tego jakie dobierasz sobie wejścia, a potem narzekał, że układ źle działa (nie tak, jak w teori dla danych wejść powinien się zachowywać).
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
macjan




Dołączył: 27 Maj 2008
Posty: 345
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Wrocław
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 0:17, 08 Lis 2008    Temat postu:

rafal3006:
rafal3006 napisał:
Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji, (...)
Kod:
Tabela 5
p q p=>q q p q~>p ~q ~p ~q=>~p
1 1  1   1 1  1    0  0   1
1 0  0   1 0  1    0  1   1
0 0  1   0 0  1    1  1   1
0 1  1   0 1  0    1  0   0

Moim zdaniem prawo jest fałszywe dlatego, że kolega źle przepisał zmienne i p i q w kolumnie "p=>q", to nie są te same, co w kolumnie "~q=>~p". Proponuję przyjrzeć się tej tabelce dokładnie.

volrath: Ja ci się dziwię, że masz jeszcze na to siłę. Przecież to rzucanie grochem o ścianę. Choćbyś nie wiem jak tłumaczył - w kółko te same bzdury.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 18:51, 09 Lis 2008    Temat postu:

macjan napisał:
rafal3006:
rafal3006 napisał:
Dowód fałszywości praw kontrapozycji w implikacji, (...)
Kod:
Tabela 5
p q p=>q q p q~>p ~q ~p ~q=>~p
1 1  1   1 1  1    0  0   1
1 0  0   1 0  1    0  1   1
0 0  1   0 0  1    1  1   1
0 1  1   0 1  0    1  0   0


Moim zdaniem prawo jest fałszywe dlatego, że kolega źle przepisał zmienne i p i q w kolumnie "p=>q", to nie są te same, co w kolumnie "~q=>~p". Proponuję przyjrzeć się tej tabelce dokładnie.

volrath: Ja ci się dziwię, że masz jeszcze na to siłę. Przecież to rzucanie grochem o ścianę. Choćbyś nie wiem jak tłumaczył - w kółko te same bzdury.

Poproszę o dowód Macjanie a nie „moim zdaniem”.
Jak masz kłopoty ze zrozumieniem to użyj najprostszego przykładu:

Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
p=>q

Oczywiście implikacja odwrotna do powyższej przy jedynie słusznym, komunistycznym punkcie odniesienia będzie brzmiała:

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
q~>p

Tu nie wolno ci pisać, q=>p bo to jest oczywisty fałsz:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to musi być podzielna przez 8
P2=>P8
q=>p - absolutny fałsz nad fałszami !!!

Aby porównywać wektory p=>q i q~>p musisz im na wejściu ustawić te same matryce, identyczne dla poprzednika i nastepnika. Poprzednik wskazuje podstawa wektora, zaś następnik strzałka.

Tabela 5 dla konkretnego przykładu wyżej:

Kod:
Tabela 5
P8 P2 P8=>P2 P2 P8 P2~>P8 ~P2 ~P8 ~P2=>~P8
1  1    1    1  1    1     0   0     1
1  0    0    1  0    1     0   1     1
0  0    1    0  0    1     1   1     1
0  1    1    0  1    0     1   0     0

Doskonale widać wyzej jedno z praw Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8

Widać jak na dłoni, iż prawo kontrapozycji jest błędne w implikacji bo:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
Podstawiając sztywny punkt odniesienia z jedynie słusznej lewej strony mamy:
p=P8
q=P2
p=>q # ~q=>~p
CND

Poproszę cię o obalenie powyższego

P.S.
Mógłbyś nie docinać ?
Volrath w przeciwieństwie do ciebie usiłuje zrozumieć to równanie:
Logika Kubusia = logika przedszkolaka = algebra Boole’a

Macjanie, prawa Kubusia zaakceptowałeś, zgadza się ?

Zupełnie cię zatem nie rozumiem bowiem akceptacja praw Kubusia wymaga uznania równych praw implikacji prostej p=>q i odwrotnej p~>q.
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej i odwrotnej
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Oczywiście zachodzi:
p=>q # p~>q bo to dwie różne definicje (o tym też w następnym poście).

Prawa Kubusia i prawa kontrapozycji to zupełnie co innego, popatrz:

Kubuś do 5-cio letniej Zuzi:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L

Zuzia:
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap

Zuzia:
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Dzisiejszy logik:
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
P=>4L = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem

Zuzia do mamy:
Mama ten logik to wariat albo jest pijany bo pieprzy zupełnie nie na temat.

Czy rozumiesz już różnice między prawami Kubusia a prawami kontrapozycji ?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 19:50, 09 Lis 2008, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25043
Przeczytał: 14 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 20:42, 09 Lis 2008    Temat postu:

volrath napisał:

Dowód kontrapozycji w czterech prostych krokach:

A=>B <=> A+~B - definicja

1) Podstawiamy za A p, za B q:

p => q <=> p+~q

2) Podstawiamy za A ~q, za B ~p

~q => ~p <=> ~q+p

3) p+~q <=> ~q+p - bo OR jest przemienne A+B = B+A

4) Łączymy składniki:

(p=>q <=> p+~q <=> ~q+p <=> ~q=>~p) <=> (p=>q <=> ~q=>~p) bo równoważność jest przechodnia (czyli jeśli A <=> B i B <=> C to A <=> C).

Dowód prawa kontrapozycji w dwóch krokach:
p=>q = ~p+q
~q=>~p = ~(~q)+~p = q+~p = ~p+q
Prawe strony równe zatem prawo kontrapozycji zachodzi ... tyle że tam gdzie można zamieniać p i q i dalej mamy implikację prostą ....

Wszystko jest fajne, tyle że dotyczy to równoważności bo tylko tu dla implikacji bazowej:
p=>q - jeśli zajdzie p to musi zajść q
możesz zamienić p i q i zapisać:
q=>p - jeśli zajdzie q to musi zajść p

Dla implikacji po zamianie p i q poprawny jest tylko i wyłącznie ten zapis:
q~>p - jeśli zajdzie q to może zajść p
Prawo Kubusia jest gwarancją dla powyższej implikacji odwrotnej:
q~>p = ~q=>~p

MUSI i MOŻE to fundamentalnie co innego.

Czy zgadzasz się z powyższym ?

Dla równoważności zachodzi:
p=>q = q=>p = ~p=>~q = ~q=>~P
Tu na pewno się zgadzamy i nie ma o czym dyskutować.

Problem praw kontrapozycji można uprościć do problemu czy:
p=>q = q~>p
Jeśli tak to prawa kontrapozycji bezdyskusyjnie zachodzą.

Nie zgadamy się w kluczowym równaniu:
Volrath:
p=>q = q~>p
Kubuś:
p=>q # q~>p

Mój dowód:
Bramka logiczna implikacji prostej:
Kod:

Bramka A - punktem odniesienie są tu sygnały o nazwach p i q
       ------
q ----|     |
      | OR  |------- p=>q = ~p+q
p ---O|     |
       ------


Bramka logiczna implikacji prostej po podstawieniu q=~q i p=~p:
Kod:

Bramka B - punktem odniesienia są tu sygnały o nazwach ~p i ~q
       ------
~q ---|     |
      | OR  |------- ???
~p --O|     |
       ------

To co wyżej to dwa identyczne układy widziane z różnych punktów odniesienia. Punktem odniesienia dla bramki A są sygnały p i q zaś dla bramki B sygnały ~p i ~q. Aby cokolwiek porównywać musimy na to patrzeć ze wspólnego punktu odniesienia.

Dla ostatniej bramki mamy przekształcenia:
Etap I
Negacje z nazw sygnałów wkładamy do bramki, aby na wejściu otrzymać sygnały p i q identyczne jak w bramce A
Kod:

       ------
q ---O|     |
      | OR  |-------
p --OO|     |
       ------

Korzystamy z prawa A=~(~A) i mamy końcową bramkę:
Kod:

Bramka C - punktem odniesienie są tu sygnały o nazwach p i q identyczne jak w bramce A
       ------
q ---O|     |
      | OR  |------- p~>q = p+~q
p ----|     |
       ------

Dopiero teraz mamy identyczny punkt odniesienia jak w bramce A. Oczywiście wzór opisujący tą bramkę to:
p+~q
A to jest tylko i wyłącznie wzór opisujący implikację odwrotną, stąd przy opisie powyższej bramki musisz użyć operatora implikacji odwrotnej, spójnika „może” ~>:
p~>q = p+~q

Bramka C realizuje definicję implikacji odwrotnej, zaś bramka A realizuje definicję implikacji prostej. To dwie różne definicje zatem:
p~>q # p=>q

Dokładnie to samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:

Kod:
Tabela 5
p q p=>q p q p~>q ~p ~q ~p=>~q = p~>q
1 1  1   1 1  1    0  0   1
1 0  0   1 0  1    0  1   1
0 0  1   0 0  1    1  1   1
0 1  1   0 1  0    1  0   0


Powyżej mamy dowód dwoma sposobami iż zachodzi:
p=>q # p~>q

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
p=P8
q=P2
Po zamianie p i q mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
p =P2
q=P8
Oczywiście również na przykładzie widać że:
P8=>P2 # P2~>P8

Czyli, dla jedynie słusznego komunistycznego punktu odniesienia ze zdania A mamy:
p=P8
q=P2
p=>q # q~>p

Poproszę cię teraz o udowodnienie tego co Ty twierdzisz:
p=>q = q~>q


P.S.
Twój post z bardzo skomplikowanym zapisem => jest w matematyce poprawny.
Logika człowieka = logika Kubusia = logika przedszkolaka = algebra Boole’a
czyli:
Jeśli w matematyce myślisz logicznie i zapisujesz poprawnie to co myślisz to nie masz szans na wypadnięcie z algebry Boole’a do śmietnika - myślenie logiczne może być dowolnie skomplikowane.

Dyskutujemy tu jednak o fundamentach czyli najprostszych rzeczach. Te najprostsze rzeczy to naturalny język człowieka i prawa matematyczne nim rządzące.
Problem na poziomie fundamentu jest taki:
Volrath:
p=>q = q~>p
Kubuś:
p=>q # q~>p
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony Poprzedni  1, 2, 3, 4, 5, 6  Następny
Strona 3 z 6

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin