Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Śmieci

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 24992
Przeczytał: 31 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 14:49, 18 Lut 2020    Temat postu: Śmieci

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów



Spis treści
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 3
2.2 Zbiór wszystkich zbiorów 4
2.2.1 Nazwa własna zbioru 4
2.3 Dziedzina 4
2.3.1 Zaprzeczenie zbioru 5
2.3.2 Dziedzina minimalna 5
2.3.3 Definicja znaczka różne # 6
2.4 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 7
2.4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 7
2.4.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 8
2.4.3 Prawo Kobry dla zbiorów 8
2.5 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 8
2.5.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 9
2.5.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 9
2.6 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 9
2.6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 12
2.7 Definicja poprawności matematycznej definicji w teorii zbiorów 13
2.8 Definicja poprawności matematycznej definicji w teorii zdarzeń 14
2.8.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q 17
2.8.2 Definicja operatora równoważności p|<=>q 20




2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:

Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:

Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:

Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty


2.1.1 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną pojęć lub zbiorów (+).

Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna

[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny

[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna

[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywnie:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór pusty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.2 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne


2.2.1 Nazwa własna zbioru

Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]


2.3 Dziedzina

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

2.3.1 Zaprzeczenie zbioru

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]

2.3.2 Dziedzina minimalna

Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji

Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]

Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla zbiorów A,B,C mających nazwy własne to zbiór A (ZWZ).

Przykład:
Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie mężczyzna byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd

2.3.3 Definicja znaczka różne #

Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też:
M=~K # K=~M

Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia (zbiory) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy”
M =~(K) = ~(~M) =M
cnd


2.4 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

2.4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

2.4.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

2.4.3 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

2.5 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

2.5.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

2.5.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


2.6 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  0
D: 0  1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego linie definiujące znaczki =>, ~> i „lub”(+) można dowolnie przestawiać, matematycznie to bez znaczenia.

Definicja tożsamości matematycznej p=q:
Dwa zbiory (zdarzenia) p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja równoważności:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p) = p<=>q =1
Inaczej:
Zdarzenia p i q są różne na mocy definicji ##
p##q <=> p=q = p<=>q =0

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0
                1     2         3     4         5

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Weźmy prawo Kubusia odczytane z tabeli B.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony.

2.6.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
Kod:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji

2.7 Definicja poprawności matematycznej definicji w teorii zbiorów

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja równoważności p<=>q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p) = p<=>q =1
Inaczej:
Zbiory p i q są różne na mocy definicji ##:
p##q <=> p=q = p<=>q =0

Najsmutniejsze twierdzenie w historii ziemskiej matematyki:
Żaden ziemski matematyk nie rozumie definicji równoważności p<=>q:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Dowód:
Brak w podręcznikach matematyki równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
R1
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP) =1*1 =1
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK

oraz
Brak w podręcznikach matematyki równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
R2
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(~SK=>~TP)
Ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Powyższa tożsamość logiczna oznacza tylko tyle, że mając udowodnioną równoważność p<=>q nie musimy dowodzić prawdziwości równoważności ~p<=>~q, bowiem mamy to jak w banku na mocy powyższego prawa rachunku zero-jedynkowego.

Żaden ziemski matematyk nie rozumie definicji tożsamości logicznej:
R1: TP<=>SK = R2: ~TP<=>~SK

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Równoważności R1 i R2 to nie jest jedno i to samo bo:
Zbiór trójkątów prostokątnych: TP=SK # Zbiór trójkątów nieprostokątnych: ~TP=~SK
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Przyjmijmy dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Matematycznie zachodzi:
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla trójkątów prostokątnych (TP)
TP+~TP =ZWT=1
oraz:
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest rozłączny ze zbiorem trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP*~TP = [] =0
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP] - zbiór wszystkich trójkątów minus zbiór trójkątów prostokątnych
TP = [ZWT-(~TP)] - zbiór wszystkich trójkątów minus zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP)

Dowód czarno na białym iż ziemscy matematycy nie rozumieją równoważności:
Klikamy na googlach:
„Równoważność Pitagorasa”
Wyników: 6
Oczywiście wszystkie przekierowania na sfinię do algebry Kubusia

Ciekawe, kiedy ziemscy matematycy zrozumieją iż twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK wyrażone zdaniem warunkowym „Jeśli TP to SK” nie jest tożsamą definicją trójkąta prostokątnego!

Tożsamą definicją trójkąta prostokątnego (TP) jest tylko i wyłącznie równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych - równoważność R1.
Podobnie:
Tożsamą definicją trójkąta nieprostokątnego (~TP) jest tylko i wyłącznie równoważność Pitagorasa dla trójkątów nie prostokątnych - równoważność R2.

Stąd mamy:
Definicja poprawności matematycznej definicji w algebrze Kubusia:
Dowolna definicja jest poprawna matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy jest definicją równoważnościową

U humanistów, w ich słownikach dowolnego języka, nie znajdziemy ani jednej definicji czegokolwiek, która nie byłaby definicją równoważnościową.
To samo dotyczy podręczników matematyki … ale niestety matematycy o tym nie wiedzą bowiem w żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy definicji poprawności matematycznej definicji jak wyżej.

2.8 Definicja poprawności matematycznej definicji w teorii zdarzeń

Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja równoważności:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p) = p<=>q =1
Inaczej:
Zdarzenia p i q są różne na mocy definicji ##
p##q <=> p=q = p<=>q =0

Rozważmy układ S1 sterowania żarówką dwoma szeregowo połączonymi przyciskami A i B
Kod:

S1 Schemat 1
             S               B             A       
       -------------       ______        ______
  -----| Żarówka   |-------o    o--------o    o----
  |    -------------                              |
  |                                               |
______                                            |
 ___    U (źródło napięcia)                       |
  |                                               |
  |                                               |
  -------------------------------------------------


Definicja dowolnego operatora implikacyjnego opisana jest serią czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Wyjaśnienie co to znaczy za chwilkę.

Implikacyjny operator logiczny to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli wciśniemy p?
Dla schematu S1:
p=(A*B)
2.
Co się stanie jeśli wciśniemy ~p?
Dla schematu S1:
~p=~(A*B)=(~A+~B) - prawo De Morgana

Na mocy definicji operatora implikacyjnego zadajemy dwa pytania 1 i 2:

1.
Co się stanie jeśli wciśniemy p=(A*B)?


Odczytujemy ze schematu S1:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
(A*B)=>S =1
co w logice jedynek oznacza:
(A=1 i B=1) => S=1
Jednoczesne wciśnięcie przycisków A i B jest wystarczające => dla świecenia się żarówki
Obliczamy zaprzeczenie :
~p=~(A*B) = (~A+~B) - prawo De Morgana
Kontrprzykład B dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem.

B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przycisk B (B=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
(A*B)~~>~S =0 - zdarzenie niemożliwe
co w logice jedynek oznacza:
A=1 i B=1 ~~> ~S=1 =0 - zdarzenie niemożliwe

2.
Co się stanie jeśli nie wciśniemy p (~p=(~A+~B))?


Odczytujemy ze schematu S1:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
(~A+~B) =>~S =1
co w logice jedynek oznacza:
~A=1 lub ~B=1 => ~S=1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) lub nie wciśnięcie przycisku B (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka nie świeciła się (~S=1)
Kontrprzykład D dla warunku wystarczającego => C musi być fałszem.

D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
(~A+~B)~~>S =0 - zdarzenie niemożliwe
Co w logice jedynek oznacza:
~A=1 lub ~B=1 ~~> S=1 =0 - zdarzenie niemożliwe

Stąd mamy wyjaśnienie co oznacza sformułowanie iż:
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego opisana jest serią czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Dowód: cztery zdania ABCD wyżej.

Ziemska definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Prawo kontrapozycji:
q=>p = ~p=>~q
Stąd tożsama definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Stąd mamy dowód iż układ S1 opisany jest relacją równoważności:

RA:
Równoważność dla wciśniętego przycisku p (p=(A*B)):

Wciśnięty jest przycisk A (A=1) i wciśnięty jest przyciska B (B=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
(A*B)<=>S = (A: (A*B)=>S)*(C: (~A+~B)=>~S) =1*1 =1

Równoważność RA definiuje tożsamość zdarzeń:
(A*B) = S
Pojęcie „oba przyciski wciśnięte” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci się”

Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd mamy:

RC:
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku p (~p=(~A+~B)):

Nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) lub nie jest wciśnięty przycisk B (~B=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
(~A+~B)<=>~S = (C: (~A+~B)=>~S)*(A: (A*B)=>S) =1*1 =1

Równoważność RC definiuje tożsamość pojęć:
(~A+~B) = ~S
Pojęcie „ nie jest wciśnięty którykolwiek z przycisków A lub B” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci się

Matematycznie zachodzi:
RA: (A*B)=S # RC: (~A+~B)=~S

Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Stan „żarówka świeci” (S=1) to nie jest to samo co stan „żarówka nie świeci” (~S=1)!
Wie o tym każdy 3 latek bojąc się ciemności w pokoju w godzinach nocnych (gdy nie śpi) z wyjątkiem matematyków bo co … bo ci nie boją się ciemności?

Żaden ziemski matematyk nie rozumie definicji tożsamości logicznej:
RA: (A*B)<=>S = RC: (~A+~B)<=>~S

Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi:
RA: (A*B)<=>S = RC: (~A+~B)<=>~S
Skoro zdaniem ziemskich matematyków równoważność RC jest zbędna bo to jest to samo co RA to który z nich zgodzi się na wypalenie obu oczu (jak Jurandowi w Krzyżakach)?

Dla układu S1 tożsamą definicją wciśnięcia obu klawiszy A i B jest tylko i wyłącznie równoważność RA.
Podobnie:
Dla układu S1 tożsamą definicją nie wciśnięcia któregokolwiek z klawisz A lub B jest tylko i wyłącznie równoważność RC.

Stąd mamy:
Definicja poprawności matematycznej definicji w algebrze Kubusia:
Dowolna definicja jest poprawna matematycznie wtedy i tylko wtedy gdy jest definicją równoważnościową

2.8.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q

Seria zdań warunkowych ABCD w powyższej analizie układu S1 widzianego z punktu widzenia równoważności jest następująca:
Kod:

S1 Schemat 1
             S               B             A       
       -------------       ______        ______
  -----| Żarówka   |-------o    o--------o    o----
  |    -------------                              |
  |                                               |
______                                            |
 ___    U (źródło napięcia)                       |
  |                                               |
  |                                               |
  -------------------------------------------------


Kod:

T1
Analiza symboliczna
układu S1 w oryginale
A: ( A* B)=> S =1 - A=1 i B=1 wystarcza => dla S=1
B: ( A* B)~~>~S=0 - zdarzenie niemożliwe (kontrprzykład dla A)
C: (~A+~B)=>~S =1 - ~A=1 lub ~B=1 wystarcza => dla ~S=1
D: (~A+~B)~~>S =0 - zdarzenie niemożliwe (kontrprzykład dla C)


Podstawmy:
p=A*B
stąd:
~p=~(A*B) = (~A+~B)
q=S

Stąd mamy układ zastępczy równoważności:
Kod:

S1 Schemat 1
           q=S              p=A*B     
       -------------       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o------------------
  |    -------------                              |
  |                                               |
______                                            |
 ___    U (źródło napięcia)                       |
  |                                               |
  |                                               |
  -------------------------------------------------


Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w zapisie symbolicznym:
Kod:

T2
RA:
p<=>q=(A: p=>q)*(C:~p=>~q)=1*1 =1
A: p=> q =1 - p jest wystarczające => dla q
B: p~~>~q=0 - kontrprzykład B dla prawdziwego => A musi być fałszem
RC:
~p<=>~q = (C:~p=>~q)*(A: p=>q)=1*1 =1
C:~p=>~q =1 - ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~>q =0 - kontrprzykład D dla prawdziwego => C musi być fałszem


Zauważmy, że mamy tu kolejną, tożsamą definicje równoważności zgodną z ziemską Wikipedią:
[link widoczny dla zalogowanych]
Irbisol napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym, jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykład:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4 (równoważność prawdziwa)

Mówię tu oczywiście o tej wytłuszczonej definicji w 100% zgodnej z algebrą Kubusia, bez badziewia zwanego przykładem równoważności które wygenerował Klasyczny Rachunek Zdań.

Na mocy definicji w Wikipedii zapisujemy:
Wciśnięcie przycisku p jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby żarówka świeciła się
Zdanie matematycznie tożsame:
Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Dowód:
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p to na 100% => żarówka świeci się
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p daje nam gwarancję matematyczną => świecenia żarówki q
Matematycznie zachodzi tożsamość w całym obszarze matematyki:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p to na 100% ~> żarówka świeci się
p~>q =1
Wciśniecie przycisku p jest konieczne ~> do tego aby żarówka świeciła się bo w układzie nie ma zmiennej wolnej która mogłaby zaświecić/zgasić żarówkę niezależnie od przycisku p.

Wciśnięcie przycisku p daje nam gwarancję matematyczną ~> do tego, aby żarówka świeciła się … ale tylko i wyłącznie w równoważności gdzie zachodzi tożsamość pojęć p=q

Matematycznie zachodzi tożsamość wyłącznie w obrębie równoważności p<=>q:
Warunek wystarczający ~> = gwarancja matematyczna ~>

Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunki koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że w zapisie słownym zdania A1 i B1 są identycznej z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo wszystko są to zdania różne na mocy definicji.
O tym co mamy na myśli informują nas jedynie znaczki => i ~> wplecione w treść zdań.

Identycznie mamy u humanistów.
Przykład:
może ## morze
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Logika matematyczna oparta wyłącznie na treści słownej zdań (logika ziemian niestety) jest fałszywą logiką matematyczną, bo znaleźliśmy jeden kontrprzykład - to wystarczy, by uznać logikę matematyczną ziemian za fałszywą w 100%.
Matematyka nie zna pojęcia litości, jeden fałszywy ruch (prawdziwy kontrprzykład) i wszystko ląduje w koszu na śmieci.

Zakodujmy powyższą analizę symboliczną z tabeli T2 zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA: p<=>q
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja    |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna  |Jedynek oznacza   |p<=>q             |
RA: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A: p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
B: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
RC:~p<=>~q   |                  |                  |
C: ~p=>~q=1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
  a    b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                | Prawa Prosiaczka |
                                | (~p=1)=(p=0)     |
                                | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q, zwanego krótko „równoważnością” p<=>q
Kodowanie tabeli symbolicznej T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RC: ~p<=>~q
pozostawiam czytelnikowi.
Podpowiedź:
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabele zero-jedynkowa 123.

2.8.2 Definicja operatora równoważności p|<=>q


Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk p jest wciśnięty?

Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „wciśnięty klawisz p” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci”
p=q

2.
Kiedy przycisk p nie jest wciśnięty?

Przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „nie wciśnięty klawisz p” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci”
~p=~q

Wniosek:
Z powyższego wynika, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności w logice dodatniej (bo q) p<=>q i spójnika równoważności w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q:
1.
Kiedy przycisk p jest wciśnięty?

p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
Kiedy przycisk p nie jest wciśnięty?

~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)

AAAAAAAA



Zauważmy, że mamy tu kolejną, tożsamą definicje równoważności zgodną z ziemską Wikipedią:
[link widoczny dla zalogowanych]
Irbisol napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym, jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykład:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4 (równoważność prawdziwa)

Mówię tu oczywiście o tej wytłuszczonej definicji w 100% zgodnej z algebrą Kubusia, bez badziewia zwanego przykładem równoważności które wygenerował Klasyczny Rachunek Zdań.

Na mocy definicji w Wikipedii zapisujemy:
Wciśnięcie przycisku p jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby żarówka świeciła się
Zdanie matematycznie tożsame:
Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Dowód:
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p to na 100% => żarówka świeci się
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p daje nam gwarancję matematyczną => świecenia żarówki q
Matematycznie zachodzi tożsamość w całym obszarze matematyki:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p to na 100% ~> żarówka świeci się
p~>q =1
Wciśniecie przycisku p jest konieczne ~> do tego aby żarówka świeciła się bo w układzie nie ma zmiennej wolnej która mogłaby zaświecić/zgasić żarówkę niezależnie od przycisku p.

Wciśnięcie przycisku p daje nam gwarancję matematyczną ~> do tego, aby żarówka świeciła się … ale tylko i wyłącznie w równoważności gdzie zachodzi tożsamość pojęć p=q

Matematycznie zachodzi tożsamość wyłącznie w obrębie równoważności p<=>q:
Warunek wystarczający ~> = gwarancja matematyczna ~>

Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunki koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że w zapisie słownym zdania A1 i B1 są identycznej z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo wszystko są to zdania różne na mocy definicji.
O tym co mamy na myśli informują nas jedynie znaczki => i ~> wplecione w treść zdań.

Identycznie mamy u humanistów.
Przykład:
może ## morze
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Logika matematyczna oparta wyłącznie na treści słownej zdań (logika ziemian niestety) jest fałszywą logiką matematyczną, bo znaleźliśmy jeden kontrprzykład - to wystarczy, by uznać logikę matematyczną ziemian za fałszywą w 100%.
Matematyka nie zna pojęcia litości, jeden fałszywy ruch (prawdziwy kontrprzykład) i wszystko ląduje w koszu na śmieci.

Zakodujmy powyższą analizę symboliczną z tabeli T2 zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA: p<=>q
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja    |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna  |Jedynek oznacza   |p<=>q             |
RA: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A: p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
B: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
RC:~p<=>~q   |                  |                  |
C: ~p=>~q=1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
  a    b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                | Prawa Prosiaczka |
                                | (~p=1)=(p=0)     |
                                | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q, zwanego krótko „równoważnością” p<=>q
Kodowanie tabeli symbolicznej T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RC: ~p<=>~q
pozostawiam czytelnikowi.
Podpowiedź:
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabele zero-jedynkowa 123.

2.8.2 Definicja operatora równoważności p|<=>q


Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk p jest wciśnięty?

Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „wciśnięty klawisz p” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci”
p=q

2.
Kiedy przycisk p nie jest wciśnięty?

Przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „nie wciśnięty klawisz p” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci”
~p=~q

Wniosek:
Z powyższego wynika, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności w logice dodatniej (bo q) p<=>q i spójnika równoważności w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q:
1.
Kiedy przycisk p jest wciśnięty?

p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
Kiedy przycisk p nie jest wciśnięty?

~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)

BBB


Zauważmy, że mamy tu kolejną, tożsamą definicje równoważności zgodną z ziemską Wikipedią:
[link widoczny dla zalogowanych]
Irbisol napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym, jak i dostatecznym przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykład:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4 (równoważność prawdziwa)

Mówię tu oczywiście o tej wytłuszczonej definicji w 100% zgodnej z algebrą Kubusia, bez badziewia zwanego przykładem równoważności które wygenerował Klasyczny Rachunek Zdań.

Na mocy definicji w Wikipedii zapisujemy:
Wciśnięcie przycisku p jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby żarówka świeciła się
Zdanie matematycznie tożsame:
Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Dowód:
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p to na 100% => żarówka świeci się
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p daje nam gwarancję matematyczną => świecenia żarówki q
Matematycznie zachodzi tożsamość w całym obszarze matematyki:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p to na 100% ~> żarówka świeci się
p~>q =1
Wciśniecie przycisku p jest konieczne ~> do tego aby żarówka świeciła się bo w układzie nie ma zmiennej wolnej która mogłaby zaświecić/zgasić żarówkę niezależnie od przycisku p.

Wciśnięcie przycisku p daje nam gwarancję matematyczną ~> do tego, aby żarówka świeciła się … ale tylko i wyłącznie w równoważności gdzie zachodzi tożsamość pojęć p=q

Matematycznie zachodzi tożsamość wyłącznie w obrębie równoważności p<=>q:
Warunek wystarczający ~> = gwarancja matematyczna ~>

Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunki koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że w zapisie słownym zdania A1 i B1 są identycznej z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo wszystko są to zdania różne na mocy definicji.
O tym co mamy na myśli informują nas jedynie znaczki => i ~> wplecione w treść zdań.

Identycznie mamy u humanistów.
Przykład:
może ## morze
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Logika matematyczna oparta wyłącznie na treści słownej zdań (logika ziemian niestety) jest fałszywą logiką matematyczną, bo znaleźliśmy jeden kontrprzykład - to wystarczy, by uznać logikę matematyczną ziemian za fałszywą w 100%.
Matematyka nie zna pojęcia litości, jeden fałszywy ruch (prawdziwy kontrprzykład) i wszystko ląduje w koszu na śmieci.

Zakodujmy powyższą analizę symboliczną z tabeli T2 zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RA: p<=>q
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T2 zero-jedynkowo:
Kod:

T3.
Definicja    |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna  |Jedynek oznacza   |p<=>q             |
RA: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A: p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1   =1
B: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0   =0
RC:~p<=>~q   |                  |                  |
C: ~p=>~q=1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
  a    b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                | Prawa Prosiaczka |
                                | (~p=1)=(p=0)     |
                                | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q, zwanego krótko „równoważnością” p<=>q
Kodowanie tabeli symbolicznej T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
RC: ~p<=>~q
pozostawiam czytelnikowi.
Podpowiedź:
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Po prostu, wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q, by uzyskać końcową tabele zero-jedynkowa 123.

2.8.2 Definicja operatora równoważności p|<=>q


Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:

1.
Kiedy przycisk p jest wciśnięty?

Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „wciśnięty klawisz p” jest tożsame z pojęciem „żarówka świeci”
p=q

2.
Kiedy przycisk p nie jest wciśnięty?

Przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Każda równoważność <=> definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
Pojęcie „nie wciśnięty klawisz p” jest tożsame z pojęciem „żarówka nie świeci”
~p=~q

Wniosek:
Z powyższego wynika, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności w logice dodatniej (bo q) p<=>q i spójnika równoważności w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q:
1.
Kiedy przycisk p jest wciśnięty?

p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
Kiedy przycisk p nie jest wciśnięty?

~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 20:19, 09 Lip 2020, w całości zmieniany 173 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin