Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Śmietnik Kubusia

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 16:57, 29 Sie 2007    Temat postu: Śmietnik Kubusia

Dzięki kolejnej bezcennej podpowiedzi Zbója (dzięki) dopisałem punkty 7.0 w I cześci elementarza i 12.0 w II części elementarza, zaś część IV wylądowała w śmietniku niżej.

Implikacja - to definicja życia.

Jej stosowanie w świecie martwym mija się z celem bo będzie się zachowywała jak pijana krowa na granicy.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 17:00, 29 Sie 2007, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 16:57, 29 Sie 2007    Temat postu:

motto:
Implikacje świata martwego są bezpłciowe, wzbudzające zero emocji. W matematyce rządzi pewność, zaś w świecie martwym przypadek.

Poniższe rozważania zamieszczam wyłacznie po to, by obalić fałszywy slogan "z fałszu może powstać prawda" ... to jest nie do obrony nawet w przedszkolu.


Elementarz algebry Boole'a

Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Implikacja - Królowa algebry Boole'a
Część III Przykłady analizy zdań
Część IV Implikacje świata martwego


Część IV Implikacje świata martwego

Autor: Kubuś

Z wielką pomocą jego przyjaciół WujaZbója i Mikiego, wielkie dzięki !


1.0 Implikacje świata martwego

Implikacja świata martwego to implikacja związana z matematyką lub przyrodą martwą np.

Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa.

Jeśli jutro będzie świecić słońce to nie będzie padało.

W implikacji świata martwego nie może być mowy o pojęciach związanych z implikacją życia: obietnica, groźba, wolna wola, akt miłości, akt łaski, kłamstwo, prawdomówność ....


1.1 Jedynie słuszna implikacja matematyczna

W matematyce „wystarcza” pojęcie implikacji prostej w jedną stronę czyli jedynie słuszna implikacja-obietnica ze świata żywych ... tylko czy na pewno ?

Tabela zero-jedynkowa implikacji prostej:

p q p=>q
1 1 1
0 0 1
0 1 1
1 0 0

1=PRAWDA
0=FAŁSZ

Implikacja (wynikanie w jedną stronę), znana jest w matematyce i świecie martwym.

Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa - zdanie prawdziwe
Jeśli liczba jest podzielna przez dwa to jest podzielna przez cztery - zdanie odwrotne jest fałszywe


Przykład:

Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa
p = jeśli liczba jest podzielna przez cztery
q = to jest podzielna przez dwa

Analiza według powyższej tabeli zero-jedynkowej:

1 1 1
Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa - 1=zdanie prawdziwe

0 0 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez cztery to nie jest podzielna przez dwa - 1=zdanie prawdziwe ? … a 6/2 ?

0 1 1
Liczba nie jest podzielna przez cztery ale jest podzielna przez dwa = 1-prawda

Zdanie prawdziwe bo może wystąpić:

6/4 - nie jest podzielne przez 4
6/2 - jest podzielne przez 2

1 0 0
Liczba jest podzielna przez cztery, nie jest podzielna przez dwa = 0-FAŁSZ (oczywistość)

Jak widać wyżej poważne wątpliwości budzi linia 0 0 1. Wątpliwości te można wytłumaczyć bzdurą iż „z fałszu wynika wszystko” czyli 0 0 1 i 0 1 1 ... ale nie róbmy z siebie idiotów.

Zauważmy, że w powyższej analizie linia 0 0 1 dubluje linię implikacyjną 0 1 1 .... to jest oczywiście bez sensu.

Każda implikacja z definicji zawiera w sobie równoważność i może być rozumiana jako równoważność.

Jeśli liczba jest podzielna przez cztery jest podzielna przez dwa.

Powyżej interesują nas wyłącznie liczby podzielne przez cztery - sprawdzamy czy każda z nich jest podzielna przez dwa.

Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma wszystkie kąty równe.

Powyżej, mimo że to ewidentna równoważność praktycznie zawsze używamy implikacji „Jeśli p to q” bo jest to pojęcie szersze zawierające w sobie równoważność.


1.2 Implikacja prosta i odwrotna

W świecie martwym i matematyce wystarczające są implikacja prosta i implikacja odwrotna. Tu nie ma potrzeby dodatkowego rozróżniania obietnicy od groźby bo w świecie martwym pojęcia te nie występują.

Definicja implikacji prostej:

p q p=>q = p<~q
1 1 1
0 0 1
0 1 1 – implikacja prosta
1 0 0

p=>q = ~p + q – wzór implikacji prostej
=> - symbol implikacji prostej

W świecie żywym odpowiednikiem implikacji prostej jest implikacja-obietnica.

Definicja implikacji odwrotnej:

p q p~>q = p<=q
1 1 1
0 0 1
0 1 0
1 0 1 – implikacja odwrotna

p~>q = p + ~q – wzór implikacji odwrotnej
~> - symbol implikacji odwrotnej

W świecie żywym odpowiednikiem implikacji odwrotnej jest implikacja-groźba.

Oczywiście w świecie martwym też zachodzą znane nam prawa:

p=>q = ~p ~> ~q – prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną

p~>q = ~p => ~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Definicje:

Jeśli następnik nie jest zanegowany (q – logika dodatnia) to mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli następnik jest zanegowany (~q – logika ujemna) to mamy do czynienia z implikacją odwrotną.

Oczywiście, implikację prostą analizujemy przy pomocy definicji implikacji-prostej zaś implikację odwrotną analizujemy przy pomocy definicji implikacji-odwrotnej.

Każdą implikację wypowiedzianą w logice ujemnej (~q) możemy zamienić na logikę dodatnią (q) i analizować poprzez „jedynie słuszną” definicję implikacji prostej. W tym przypadku definicja implikacji odwrotnej nie jest do niczego potrzebna pod warunkiem że znamy i akceptujemy powyższe prawa.

Oczywiście, jak pewnie wszyscy zauważyli symbole => i ~> pokrywają się z implikacją życia (=> = obietnica, ~> = groźba) podobnie jak + (OR) i * (AND) pokrywają się z algebrą dziesiętną.

Nie ma potrzeby wprowadzania nowych symboli bo mamy na głowach mózgi a nie komputery. Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności.


1.2.1 Przykład implikacji prostej ze świata martwego.

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa.
P4=>P2 – jeśli podzielna przez 4 to podzielna przez 2 (zapis matematyczny)

Analiza:

1 1 1
Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa.

W powyższym zdaniu interesują nas wyłącznie liczby podzielne przez cztery i nie interesują nas liczby podzielne przez dwa a niepodzielne przez cztery. Wtedy zdanie jest oczywiście prawdziwe.

0 0 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez cztery to nie jest podzielna przez dwa - 1=zdanie prawdziwe ? … a 6/2 ?

Zdanie prawdziwe bo tu podobnie jak wyżej interesują nas wyłącznie liczby podzielne przez cztery i nie interesują nas liczby podzielne przez dwa a niepodzielne przez cztery. Wtedy zdanie jest oczywiście prawdziwe.

Powyższe zdania są równoważnością z zastrzeżeniem jak wyżej. Przypadkiem implikacyjnym, kiedy to liczba nie jest podzielna przez cztery i jest podzielna przez dwa zajmuje się linijka implikacyjna 0 1 1. Wtedy wszystko jest sensowne i nie ma potrzeby wygadywać głupot iż „z fałszu powstaje prawda”.

0 1 1
Liczba nie jest podzielna przez cztery, ale jest podzielna przez dwa = 1-prawda

Zdanie prawdziwe bo może wystąpić:

6/4 - nie jest podzielne przez 4
6/2 - jest podzielne przez 2

1 0 0
Liczba jest podzielna przez cztery, nie jest podzielna przez dwa = 0-FAŁSZ (oczywistość)

Powyższe rozważania można zobrazować trywialnym przykładem.

Załóżmy, że mamy pudełko z kulkami o numerach 1 do 100 i mamy je posegregować według powyższej implikacji.

W pudełku 1 1 1 znajdą się oczywiście wszystkie liczby podzielne przez cztery czyli: 4, 8, 12, 16.... W pudełku implikacyjnym 0 1 1 znajdą się liczby niepodzielne przez cztery, ale podzielne przez dwa czyli 6, 10, 12...
Pudełka 0 0 1 i 1 0 0 będą puste.


1.2.2 Przykład implikacji odwrotnej ze świata martwego

Weźmy zdanie z przykładu wyżej wypowiedzianego w równoważnej logice ujemnej.

Przykład:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez cztery to nie jest podzielna przez dwa.
~P4 ~> ~P2 – zapis matematyczny (implikacja odwrotna)

Najprostszym sposobem analizy powyższego zdania jest przejście na implikację prostą przy pomocy prawa:

p~>q = ~p => ~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Czyli:

~P4 ~> ~P2 = P4 => P2

Otrzymaną w ten sposób implikację prostą:

P4 => P2 – jeśli liczba jest podzielna przez 4 to podzielna przez 2

analizujemy identycznie jak w punkcie 1.2.1

Przeprowadźmy analizę tej implikacji odwrotnej w oryginale, aby sprawdzić czy wszystko w porządku.

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez cztery to nie jest podzielna przez dwa.
~P4 ~> ~P2 – zapis matematyczny (implikacja odwrotna)

Zauważmy, że mamy tu przeczenia w poprzedniku i następniku. Wygodnie będzie zatem skorzystać z symbolicznej definicji implikacji-odwrotnej aby nie pogubic się w przeczeniach. Niech brudną robotę wykona za nas komputer ... niestety nie mamy ani komputera ani programu zatem musimy robić za komputer.

Definicja implikacji odwrotnej w wersji symbolicznej:
p q p~>q
p q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
p ~q = 1 – implikacja odwrotna 1 0 1

Przyjęta notacja:

p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Do symbolicznej definicji wstawiamy konkretne wartości z naszego przykładu czyli:

p=~P4 – Jeśli liczba nie jest podzielna przez cztery
q=~P2 – to nie jest podzielna przez dwa

p q p~>q
(~P4) (~P2) = 1
~(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) (~P2) = 0
(~P4) ~(~P2) = 1 – implikacja odwrotna 1 0 1

Usuńmy nawiasy korzystając z prawa podwójnego przeczenia A = ~~A.

p q p~>q
~P4, ~P2 = 1
P4, P2 = 1
P4, ~P2 = 0
~P4, P2 = 1 – implikacja odwrotna przeszła w implikację prostą 0 1 1 !

Zauważmy, że chcąc nie chcąc wylądowaliśmy w implikacji prostej czyli tak, jakbyśmy skorzystali z prawa zamiany implikacji odwrotnej na implikacje prostą.

Odczytajmy powyższą tabelę metodą, jak widzimy tak piszemy.

Analiza słowna:

0 0 1 (~P4, ~P2 = 1)
Jeśli liczba nie jest podzielna przez cztery to nie jest podzielna przez dwa.

1 1 1 (P4, P2 = 1)
Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa

1 0 0 (P4, ~P2 = 0)
Jeśli liczba jest podzielna przez cztery to nie jest podzielna przez dwa (oczywisty fałsz)

0 1 1 (~P4, P2 = 1) – implikacja odwrotna przeszła w implikację prostą 0 1 1 !
Jeśli liczba nie jest podzielna przez cztery to jest podzielna przez dwa.

Zdanie prawdziwe bo może wystąpić:

6/4 - nie jest podzielne przez 4
6/2 - jest podzielne przez 2

Jeśli porównamy powyższą analizę z punktem 1.2.1 to łatwo zauważymy identyczność analiz czyli dowód iż prawidłowo działa prawo:

p~>q = ~p => ~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:42, 24 Gru 2007    Temat postu: Teoria implikacji prostej i odwrotnej v. Beta 2.0

motto
Proste jest piękne

Teoria implikacji prostej i odwrotnej v.Beta 2.0

Autor: Kubuś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi (sfinia) przyjaciele:

Wujzbój (sfinia), Miki (sfinia), Irbisol (sfinia).

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Artykuł w oryginale:
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Czytelnicy którzy nie znają elementarza algebry Boole'a proszeni są o przeczytanie zaledwie dwóch punktów 1.0 i 2.0 z tego linku - to wystarczy.
Część I Fundamenty algebry Boole'a

Spis treści.

1.0 Cel artykułu
1.1 Notacja

2.0 Operatory logiczne
2.1 Lista operatorów logicznych
2.2 Jak działają operatory logiczne

3.0 Kubusiowe tablice logiki
3.1 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND
3.2 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, <=, <-

4.0 Geneza implikacji
4.1 Równoważność
4.2 Implikacja prosta
4.3 Implikacja odwrotna
4.4 Prawa Kubusia
4.5 Analiza fałszu
4.6 Implikacja w detektywistyce
4.7 Implikacje śmiecie

5.0 Teoria groźby i obietnicy
5.1 Obietnica
5.1.1 Obietnica w równaniach matematycznych
5.2 Groźba
5.2.1 Groźba w równaniach matematycznych
5.3 Równoważność
5.4 Logika dodatnia i ujemna w obietnicach i groźbach
5.4.1 Obietnice
5.4.2 Groźby

6.0 Fundamenty logiki człowieka
6.1 Najważniejsze twierdzenie w logice człowieka
6.2 Obsługa obietnicy
6.3 Obsługa groźby
6.4 Pozorne sprzeczności z algebrą Boole’a
6.5 Dialogi
6.6 Pytania i odpowiedzi

7.0 Dodatek matematyczno-filozoficzny


Wstęp:

Kluczem do napisania tego artykułu była próba poustawiania operatorów logicznych w tabeli. Byłem pewien że jest ich osiem, że implikacja prosta to operator w logice dodatniej zaś odwrotna to operator w logice ujemnej. Ta koncepcja zupełnie nie pasowała do pozostałych operatorów. Wprowadziłem operatory ujemne implikacji jednak wtedy wyszło mi iż operatorów jest 10. Oczywiście dziesięć nie może być, musi być 16. Lokalizacja i zdefiniowanie pozostałych 6 operatorów było już łatwe. Ciekawy jest fakt, że wszystko co tu najważniejsze powstało w ciągu kilku godzin po imprezie Andrzejkowej ... gdyby Kubuś nie miał tak małego rozumku to napisałby to już dwa lata temu i by się nie męczył, przecież wszystko jest takie proste …


1.0 Cel artykułu

Najbardziej zaskakujące wnioski w mojej dwuletniej walce z implikacją na forum www.sfinia.fora.pl (metodologia) wyniknęły po ułożeniu operatorów logicznych w tablicach logiki (pkt.3.0). Z tablic tych wynika, że istnieją aż cztery operatory implikacji. Dwa w logice dodatniej (<= i =>) i dwa w logice ujemnej (<- i ->). Oczywiście operatorów w logice ujemnej nikt w języku mówionym nie używa podobnie jak operatorów NOR i NAND.

Implikacja prosta i implikacja odwrotna to jednak operatory po tej samej stronie księżyca co operatory AND ("i") i OR ("lub"). Są to zatem operatory stosowane w praktyce przez wszystkich bardzo często (także w matematyce), od przedszkolaków poczynając na starcach kończąc.

Zdań podlegających pod implikację prostą jest dokładnie tyle samo co zdań podlegających pod implikację odwrotną.

Jest to oczywistość wynikająca z definicji implikacji prostej i odwrotnej oraz z praw Kubusia.
Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach ... to jest cel tego artykułu.

Prawa Kubusia mówią o matematycznych związkach między implikacją prostą a implikacją odwrotną.

=> - symbol implikacji prostej
<= - symbol implikacji odwrotnej

Prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną:
p=>q = ~p <= ~q

Prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą:
p<=q = ~p => ~q

W prawie Kubusia negujemy zmienne p, q i odwracamy operator => na <= albo <= na =>.


1.1 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
=> - symbol implikacji prostej (np. obietnica)
<= - symbol implikacji odwrotnej (np. groźba)
<=> - symbol równoważności (implikacji dwustronnej)

Bardzo ważna notacja dla zdań implikacji:
1 1 1 - oznacza zawsze zdanie wypowiedziane (implikację)
x x x inne niż 1 1 1 - oznacza analizę zdania wypowiedzianego


2.0 Operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją jest odkrycie i nazwanie wszystkich operatorów matematycznych w algebrze Boole'a (jest ich 16 a nie jak niektórzy sądzą 8) oraz Kubusiowe tablice logiki zdefiniowane dzięki odkryciu logiki ujemnej w algebrze Boole'a. W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.


2.1 Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  <= <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
<=                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ



Jak to możliwe iż wszystkich operatorów jest 16 a nie 8 ?

Połowa z tych operatorów działa w logice dodatniej a druga połowa w logice ujemnej.

Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.

Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL). Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB - odpoczywaj. Jakby kto nie wiedział to w mikroprocesorze pracuje najprawdziwszy krasnoludek ...


Operatory logiczne w równaniach matematycznych:

OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)

<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~p*q + p*~q (logika ujemna)

Operator implikacji prostej:
=> = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
-> = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

Operator implikacji odwrotnej:
<= = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
<- = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q
NOP = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q (logika ujemna)

P = p
NP = ~p (logika ujemna)

Q = q
NQ=~q (logika ujemna)

Za operatory dodatnie przyjąłem te operatory których człowiek używa w języku mówionym.

Bez operatorów ujemnych niemożliwe byłoby zbudowanie jakiegokolwiek komputera. Najciekawszy jest fakt, iż w logice "wystarczy" jeden operator NOR albo NAND - reszta jest teoretycznie zbędna.

Sprzętowe DNA wszystkich Komputerów to zaledwie jedna dwuwejściowa bramka NOR albo NAND dostępna w dowolnej ilości - taki totalny "prymityw".

Bez operatorów ujemnych nic by nie działało ... nasz Wszechświat nie mógłby istnieć.


2.2 Jak działają operatory logiczne

To poważna sprawa, myślę iż potrzebna tu będzie pomoc moich przyjaciół ... krasnoludków.

Wyobraźmy sobie czarne pudełko z dwoma wyłącznikami lampek, jeden wyłącznik ma na imię p a drugi q. Przełączniki wyglądają jak te najzwyklejsze od lampek nocnych z napisem 1 = włącz i 0 = wyłącz.

Zapalane światełka widzi zarówno człowiek jak i pracujący w środku krasnoludek. Oczywiście nie widzimy ani krasnoludka ani jego przełącznika którym zapala swoją lampkę. Widzimy wyłącznie lampkę krasnoludka.

Zaobserwujmy pracę krasnoludka pracującego zgodnie z tabelą prawdy operatora NOR.

Kod:
p q NOR
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1


Ustawmy na przełącznikach p i q pierwszą linię powyższej tabeli prawdy. Jak widzimy lampka krasnoludka zgaszona. Podobną sytuację mamy w liniach 2 i 3.

Ustawiamy z niepokojem linię 4 i co widzimy ?

Jest - świeci się !

To jest dowód na istnienie krasnoludków w naszym Wszechświecie !


3.0 Kubusiowe tablice logiki

Kubuś o bardzo małym rozumku wypełni swoje tablice logiki tylko dla następujących operatorów:
OR, NOR, AND, NAND, <=>, XOR, =>, ->, <=, <-

Uzupełnienie tablicy dla pozostałych operatorów pozostawiam przedszkolakom ... a niech się trochę zabawią.


3.1 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND

Kod:

Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y      Związek logik

OR                            NOR

Y=A+B                         ~Y = A NOR B            A+B = ~(A NOR B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A*~B                    Y = ~A NAND ~B         ~(~A*~B) = ~A NAND ~B

                                                  Związek krzyżowy OR-NOR

                                                      A+B = ~A NAND ~B
                                                      ~A*~B = A NOR B



AND                           NAND

Y=A*B                         ~Y = A NAND B           A*B = ~(A NAND B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A + ~B                   Y = ~A NOR ~B         ~(~A+~B) = ~A NOR ~B

                                                   Związek krzyżowy AND-NAND

                                                      A*B = ~A NOR ~B
                                                      ~A+~B = A NAND B
                                                               


W komputerach występują wszystkie operatory wyżej wymienione. Człowiek w języku mówionym nie używa operatorów NOR i NAND. Czyżby komputer był mądrzejszy od człowieka ? Oczywiście nie bo co innego budowa komputera (harware) a co innego jego oprogramowanie (software). Asem atutowym człowieka w walce z komputerem jest absolutnie genialna implikacja nie mająca zastosowania w komputerach tzn. komputery nie mają pojęcia o wolnej woli opisywanej matematycznie przez implikację właśnie. Dopóki komputer nie będzie miał wolnej woli, dopóty nie będzie dorastał do pięt naszemu mózgowi tzn. człowiek jest i będzie jego Bogiem. Póki co największemu i najmądrzejszemu komputerowi na świecie wystarczy wyjąć wtyczkę od zasilania i już jest kupą złomu. "Mądrość" komputera należy brać w cudzysłowie bowiem najmądrzejszy komputer na świecie nie potrafi napisać najprostszego nawet programu. Komputer jest wyłącznie marionetką wypełniającą rozkazy człowieka - niczym więcej.


3.2 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, <=, <-

Kod:
Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y        Związek logik

<=>                           XOR                     <=> = ~XOR
                                                      XOR = ~(<=>)
<=>=(p=>q)*(p<=q)             XOR=(p->q)+(p<-q)

=>                            ->

p=>q                          p->q                     p=>q = ~(p->q)
                                                       p->q = ~(p=>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p=>q = ~p <= ~q               p->q = ~p <- ~q


<=                            <-

p<=q                          p<-q                     p<=q = ~(p<-q)
                                                       p<-q = ~(p<=q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p<=q = ~p => ~q               p<-q = ~p -> ~q




4.0 Geneza implikacji

W matematyce interesują nas tylko te zdania którym da się przypisać jednoznacznie prawdę albo fałsz. Dowolne zdanie proste albo złożone o tych cechach musi być albo prawdziwe albo fałszywe.

Jeśli wypowiedziane zdanie jest prawdziwe to jego zaprzeczenie musi być fałszem i odwrotnie (uzasadnienie w pkt.7.0).

Przykłady zdań prostych, matematycznie poprawnych:

Y = Księżyc jest z sera - FAŁSZ
~Y = Księżyc nie jest z sera - PRAWDA

Y = JPII był Polakiem - PRAWDA
~Y = JPII nie był Polakiem – FAŁSZ

gdzie Y jest symboliczną i abstrakcyjna wartością zdania (wyjście logiczne w układach cyfrowych). Abstrakcyjną dlatego, że nie występuje ona w zdaniu prostym wypowiedzianym, w przeciwieństwie do implikacji.

Przykłady zdań prostych matematycznie niepoprawnych:

ble, ble - ???
NIE ble, ble ???

Krasnoludki mają czerwone czapeczki ???
Krasnoludki nie mają czerwonych czapeczek ???

Zdania złożone "Jeśli...to..." poprawne matematycznie podlegają pod definicję implikacji. Spróbujmy zrozumieć genezę implikacji zaczynając od znanej wszystkim równoważności matematycznej.


4.1 Równoważność

Definicja równoważności:
p<=>q - p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
<=> - symbol równoważności

Przykład:
Jeśli czworobok ma wszystkie kąty proste to jest prostokątem
p<=>q

Twierdzenie o równoważności:
Warunkiem koniecznym i wystarczającym zajścia równoważności są dwie niepodważalne prawdy w zdaniu wypowiedzianym (p*q=1) oraz w przeczeniu zdania wypowiedzianego (~p*~q=1).

Dowód:
<=> = (p=>q)*(p<=q) = (p=>q)*(~p=>~q) - warunek równoważności w implikacji prostej
<=> = (p=>q)*(p<=q) = (~p<=~q)*(p<=q) - warunek równoważności w implikacji odwrotnej

gdzie:
p=>q - definicja implikacji prostej
p<=q - definicja implikacji odwrotnej
p<=q = ~p=>~q - prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na prostą
p=>q = ~p<=~q - prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na odwrotną

Utwórzmy wszystkie możliwe przeczenia dla dwóch parametrów p i q.

Definicja symboliczna równoważności:

p q p<=>q

p q =1
1 1 1
Jeśli czworobok ma wszystkie kąty proste to jest prostokątem
p=>q

~p ~q = 1
0 0 1
Jeśli czworobok nie ma wszystkich kątów prostych to nie jest prostokątem
~p=>~q

~p q = 0
0 1 0
Jeśli czworobok nie ma wszystkich kątów prostych to jest prostokątem
~p=>q

p ~q = 0
1 0 0
Jeśli czworobok ma wszystkie kąty proste to nie jest prostokątem
p=>~q

W równoważności mamy dwie zmienne p i q zatem cztery możliwe przypadki przeczeń jak wyżej.

Z punktu widzenia algebry Boole’a warunek iż całe zdanie musi być prawdziwe albo fałszywe mamy spełniony podwójnie gdyż mamy dwie pewne prawdy (p*q=1 i ~p*~q=1) i dwa pewne fałsze (~p*q=0 i p*~q=0)

Dla poprawności matematycznej wypowiedzianego zdania wystarczy nam jedna prawda i jeden fałsz.

W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją.


4.2 Implikacja prosta

Definicja implikacji prostej:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q (z p wynika q)
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
=> - symbol implikacji prostej

Implikacja jest implikacją matematyczną, jeśli zdaniu można przypisać fałsz albo prawdę. W implikacji prostej mamy gwarancję zajścia prawdy w zdaniu wypowiedzianym 1 1 1 co wymusza gwarancję fałszu w linii 1 0 0. W pozostałych liniach wszystko może się zdarzyć.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:

p q p=>q
1 1 1 - gwarancja zajścia prawdy (bo implikacja prosta)
0 0 1 - może zajść ale nie musi bo może wystąpić implikacja 0 1 1
0 1 1 - może zajść ale nie musi bo może zajść 0 0 1
1 0 0 - gwarancja fałszu (wymuszona gwarancją prawdy w 1 1 1)

Definicja symboliczna implikacji prostej, przydatna w analizie zdań:

p q p=>q
p p = 1
~p~q = 1
~p q = 1
p ~q = 0

Oczywiście, tabela symboliczna zapisana jest w logice dodatniej:
p=1 ~p = 0
q=1 ~q = 0

Twierdzenie o implikacji prostej:
Jeśli pewna prawda występuje wyłącznie w zdaniu wypowiedzianym p*q=1 (nie występuje w ~p*~q=1) to mamy do czynienia z implikacją prostą i zdanie wypowiedziane analizujemy w oparciu o definicję implikacji prostej.

Dowód:
Pewne prawdy w p*q=1 i ~p*~q=1 wymuszają równoważność.
Brak pewnej prawdy w p*q=1 wymusza implikację odwrotną.
Brak pewnej prawdy w p*q=1 i ~p*~q=1 wymusza matematycznego śmiecia.

Pewna prawda w zdaniu wypowiedzianym p*q=1 wymusza pewny fałsz w zdaniu p*~p=0.

1 1 1 – twarda prawda
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2
1 0 0 – twardy fałsz
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
P4=>~P2

W implikacji prostej w zaprzeczeniu zdania wypowiedzianego ~p*~q=1 nie musi występować pewna prawda co wymusza brak pewnego fałszu w zdaniu ~p*q czyli ~p*q=1.
I.
0 0 1 – prawda miękka bo 6, 10, 14..
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
~P4=>~P2
II.
0 1 1 – prawda miękka bo 6, 10, 14 ...
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
~P4=>P2

Zauważmy, że powyższe prawdy miękkie nigdy nie wystąpią jednocześnie. Dla 6, 10, 14 ... zdanie I jest fałszem zaś zdanie II jest prawdą. Dla innych liczb niepodzielnych przez 4 (np. 3, 5...) zdanie I jest prawdą zaś zdanie II fałszem.

Zauważmy, że jedynki w powyższych liniach I i II oznaczają iż prawda MOŻE zajść a nie MUSI zajść.

MOŻE – robi wielką różnicę

Zauważmy także, że nigdy nie może zajść równoczesna prawda w zdaniach I i II bo wówczas byłoby:

~P2=P2 - algebra Boole'a leży w gruzach (pkt.7.0)

Ogólnie, w definicji implikacji prostej mamy:
~p*~q = 1
~p*q = 1

Gdyby tu mogły wystąpić dwie twarde jedynki jednocześnie to byłoby:
~q=q - algebra Boole'a leży w gruzach

Przykład:
p*q=1
1 1 1 - zdanie wypowiedziane
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem

I.
~p*~q=1
0 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem

II.
~p*q=1
0 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to nie jest psem (np. kot)

Dla dwóch twardych jedynek w I i II mamy:

Pies = NIE Pies - algebra Boole'a leży w gruzach.

Jedynka w I oznacza, że zwierzę o czterech nogach może być psem ale nie musi być psem. Jedynka w II oznacza, że zwierzę o czterech nogach może nie być psem.

Wyobraźmy sobie, że do przedszkola przyszedł czarodziej i wyciąga z kapelusza losowo różne zwierzaki o czterech łapach pytając:

Czy to jest pies ?

Wszystkie dzieci zgodnym chórem potwierdzają gdy widzą psa (I=twarda prawda, II=twardy fałsz) albo zaprzeczają gdy widzą inne zwierzę np. kota, zająca itp czyli (I=twardy fałsz, II=twarda prawda).

Przed wyciągnięciem zwierzaka dzieci mogą tylko i wyłącznie stwierdzić że to może być pies abo może być nie pies. "Może być" ale nigdy nie "musi być".

Może - robi fundamentalną różnicę, to przyszłość której nikt nie zna.


4.3 Implikacja odwrotna

Definicja implikacji odwrotnej:

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p nie musi wynikać q)
p<=q = p + ~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
<= - symbol implikacji odwrotnej

Implikacja jest implikacją matematyczną, jeśli zdaniu można przypisać fałsz albo prawdę. W implikacji odwrotnej w zdaniu wypowiedzianym nie mamy gwarancji zajścia prawdy. Taką gwarancję mamy w przeczeniu zdania wypowiedzianego 0 0 1, co wymusza gwarancję fałszu w linii 0 1 0.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:

p q p<=q
1 1 1 - może zajść ale nie musi bo może wystąpić implikacja 1 0 1
0 0 1 - gwarancja zajścia prawdy (bo implikacja odwrotna)
0 1 0 - gwarancja fałszu (wynikająca z gwarancji prawdy w 0 0 1)
1 0 1 - może zajść ale nie musi bo może zajść 1 1 1

Definicja symboliczna implikacji odwrotnej, przydatna w analizie zdań:

p q p=>q
p p = 1
~p~q = 1
~p q = 0
p ~q = 1

Oczywiście, tabela symboliczna zapisana jest w logice dodatniej:
p=1 ~p = 0
q=1 ~q = 0

Twierdzenie o implikacji odwrotnej:
Jeśli w zdaniu wypowiedzianym p*q=1 nie występuje pewna prawda (ale występuje w ~p*~q=1) to mamy do czynienia z implikacją odwrotną i zdanie wypowiedziane analizujemy w oparciu o definicję implikacji odwrotnej.

Dowód:
Pewne prawdy w p*q=1 i ~p*~q=1 wymuszają równoważność.
Pewna prawda w p*q=1 wymusza implikację prostą.
Brak pewnej prawdy w p*q=1 i ~p*~q=1 wymusza matematycznego śmiecia.

A.
1 1 1 – prawda miękka bo 6, 10, 14 ...
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2<=P4
B.
1 0 1 – prawda miękka bo 4,8,12 ...
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
P2<=~P4

Zauważmy, że powyższe prawdy miękkie nigdy nie wystąpią jednocześnie. Dla 6, 10, 14 ... zdanie A jest fałszem zaś zdanie B jest prawdą. Dla innych liczb podzielnych przez 2 np. 4, 8, 12 zdanie A jest prawdą zaś zdanie B jest fałszem.

Zauważmy, że jedynki w powyższych liniach A i B oznaczają iż prawda MOŻE zajść a nie MUSI zajść.

MOŻE – robi wielką różnicę

Pewna prawda w przeczeniu zdania wypowiedzianego ~p*~q=1 wymusza pewny fałsz w zdaniu ~p*p=0.

0 0 1 – twarda prawda dla wszelkich liczb niepodzielnych przez 2
Jeśli dowolna liczba jest nie podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
~P2<=~P4

0 1 0 – twardy fałsz dla wszelkich liczb niepodzielnych przez 2
Jeśli dowolna liczba jest nie podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
~P2<=P4


Inny przykład:
A.
1 1 1 – prawda miękka bo prostokąt (=1 dla kwadratu ale =0 dla prostokąta nie będącego kwadratem)
Jeśli czworobok ma kąty proste to jest kwadratem
KP<=KW
B.
1 0 1 – prawda miękka bo prostokąt (=1 dla prostokąta ale =0 dla kwadratu)
Jeśli czworobok ma kąty proste to nie jest kwadratem
KP<=~KW

Dla prostokąta nie będącego kwadratem mamy fałsz w zdaniu A i prawdę w zdaniu B. Dla kwadratu mamy prawdę w zdaniu A i fałsz w zdaniu B.


0 0 1 – twarda prawda
Jeśli czworobok nie ma kątów prostych to nie jest kwadratem
~KP<=~KW

0 1 0 – twardy fałsz
Jeśli czworobok nie ma katów prostych to jest kwadratem
~KP<=KW


4.4 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia mówią o matematycznych związkach implikacji prostej z implikacją odwrotną.

Prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną:
p=>q = ~p <= ~q

Prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą:
p<=q = ~p => ~q

W prawie Kubusia negujemy zmienne p, q i odwracamy operator => na <= albo <= na =>.

Twierdzenie:
Zdań podlegających pod implikację prostą jest dokładnie tyle samo co zdań podlegających pod implikację odwrotną.

Jest to oczywistość wynikająca z definicji implikacji prostej i odwrotnej oraz z praw Kubusia. Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach.


Przykład zastosowania prawa Kubusia.

1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem
4L<=P - jeśli 4 łapy to pies

Nie jest to prawda niepodważalna (bo np. kot) zatem wypowiedziane zdanie jest albo matematyczną implikacją odwrotną, albo matematycznym śmieciem.

Zobaczmy co na to wyrocznia Kubusia:

4L<=P = ~4L=>~P

Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P

Prawda niepodważalna bo każdy pies ma cztery łapy, zatem wypowiedziane zdanie jest implikacją odwrotną.

Analiza:

1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem
4L<=P - jeśli 4 łapy to pies

0 0 1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L<=~P

0 1 0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to jest psem = FAŁSZ, czyli pies musi mieć cztery łapy.
~4L<=P

1 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to nie jest psem ... bo może być np. kotem itp
4L<=~P

Załóżmy, że ktoś wypowiedział takie zdanie:

1 1 1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P

Powyższe zdanie to prawda niepodważalna, zatem jest to implikacja prosta.

Na podstawie prawa Kubusia mamy implikację równoważną:

~4L=>~P = 4L<=P – negujemy operatory i zmieniamy <= na =>.


1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem
4L<=P - jeśli 4 łapy to pies

Analizę tego zdania mamy wyżej więc nic nie musimy robić. Bądźmy jednak bardziej ambitni i przeanalizujmy wypowiedziane zdanie w oryginale w oparciu o implikację prostą.

Analiza:

1 1 1 - prawda niepodważalna
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
~4L=>~P

0 0 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem
4L=>P - jeśli 4 łapy to pies

0 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to nie jest psem ... bo może być np. kotem itp
4L=>~P

1 0 0
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to jest psem = FAŁSZ, czyli pies musi mieć cztery łapy.
~4L=>P


4.5 Analiza fałszu

Logika dodatnia zajmuje się tylko i wyłącznie analizą prawdy. Analizą fałszu zajmuje się logika ujemna przy pomocy operatorów ujemnych (pkt. 3.0). Jeśli ktoś ma ochotę myśleć w logice ujemnej i używać takich operatorów jak NOR, NAND, ->, <- ... to bardzo proszę, tylko Kubuś w to nie wchodzi.

Aksjomat
PRAWDA = NIE FAŁSZ
FAŁSZ = NIE PRAWDA


Sensowna jest tylko analiza fałszu wynikającego z implikacji. Chodzi tu oczywiście o szukanie implikacji-matki wypowiedzianej w logice dodatniej => albo <=.

Odnalezienie implikacji-matki jest trywialne jeśli przyjrzymy się zero-jedynkowym definicjom implikacji prostej i odwrotnej.

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:

p q p=>q
1 1 1 - gwarancja zajścia prawdy (bo implikacja prosta)
0 0 1 - może zajść ale nie musi bo może wystąpić implikacja 0 1 1
0 1 1 - może zajść ale nie musi bo może zajść 0 0 1
1 0 0 - gwarancja fałszu (wymuszona przez gwarancję prawdy w 1 1 1)


Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:

p q p<=q
1 1 1 - może zajść ale nie musi bo może wystąpić implikacja 1 0 1
0 0 1 - gwarancja zajścia prawdy (bo implikacja odwrotna)
0 1 0 - gwarancja fałszu (wymuszona przez gwarancję prawdy w 0 0 1)
1 0 1 - może zajść ale nie musi bo może zajść 1 1 1

Z definicji widać, że jeśli w ewidentnym fałszu zanegujemy raz p a raz q to w jednym z tych przypadków musimy otrzymać PRAWDĘ. To zdanie będzie implikacją-matką wypowiedzianą w logice dodatniej.

Załóżmy, iż ktoś wypowiedział takie zdanie:

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2

Ewidentny fałsz, który może być wynikiem jakiejś poprawnej implikacji w logice dodatniej.

Negujemy raz p a raz q i sprawdzamy czy otrzymamy ewidentną prawdę.

1. Negujemy tylko p
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2

2. Negujemy tylko q
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2

Widać jak na dłoni iż implikacja-matka 1 to implikacja odwrotna zaś 2 to implikacja prosta.

cnd.


4.6 Implikacja w detektywistyce

Szukając przestępcy (lub cokolwiek innego) zakładamy w implikacji pewną prawdę i stosujemy implikację prostą np.

Jeśli Kubuś był w kinie to nie mógł zabić Zbója

Drogą logicznego rozumowania, w czym użyteczna jest implikacja prosta, wykluczamy co niektóre takie „pewne” prawdy doprowadzając do ujęcia „prawdziwego” przestępcy.

Zauważmy jednak, iż takie założenia to w wielu przypadkach tylko nasze chciejstwo a nie pewna prawda, bowiem kłamać może każdy. Co gorsza, przesłanki fałszywe możemy niekiedy uznać za prawdziwe i odwrotnie. Z tego powodu sądy czasami skazują na śmierć niewinnego człowieka. Zauważmy, że w demokratycznym państwie przestępca ma ustawowe prawo do kłamstwa w obronie własnej co oznacza iż nie może zostać skazany za to że kłamie, w przeciwieństwie do kłamiących świadków.

W groźbach i obietnicach o których za chwilę, sytuacja jest diametralnie różna. Tu wszystko jest matematycznie piękne i jasne dla każdego przedszkolaka ... mimo że to jest przyszłość, której nie znamy.


4.7 Implikacje śmiecie

Twierdzenie o implikacji śmieciu Nr.1.
Jeśli w zdaniu wypowiedzianym p*q=1 i w zdaniu przeczeniu ~p*~q=1 nie występuje pewna prawda to implikacja jest matematycznym śmieciem.

1 1 1
Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy ???
0 0 1
Jeśli księżyc nie jest z sera to pies nie ma czterech łap ???

Twierdzenie o implikacji śmieciu Nr.2
Jeśli w wypowiedzianym zdaniu poprzednik nie ma związku z następnikiem to implikacja jest matematycznym śmieciem.

Dowodem są tu definicje implikacji prostej i odwrotnej mówiące iż z p wynika q.

1 1 1
Jeśli księżyc nie jest z sera to pies ma cztery łapy

Oddzielne zdania, zarówno p jak i q są zdaniami prawdziwymi. Jednak konia z rzędem temu kto wykaże, że z faktu iż księżyc nie jest z sera wynikają w jakikolwiek sposób cztery łapy u psa.


5.0 Teoria groźby i obietnicy

Groźby i obietnice to przyszłość której co prawda nie znamy, ale dzięki matematyce możemy z całą pewnością stwierdzić kiedy nadawca zostanie w przyszłości matematycznym kłamcą a kiedy nie. To jest kryształowo czysta matematyka, którą posługują się w praktyce wszyscy ... od przedszkolaka poczynając.

Matematycznie, wszelkie obietnice podlegają pod implikację prostą, zaś wszelkie groźby pod implikację odwrotną. To jeszcze jeden bardzo ważny argument za zrównaniem praw obywatelskich implikacji prostej i implikacji odwrotnej.

Aksjomat:
Nagroda = NIE kara
Kara = NIE nagroda

Nigdy nie może być:
Kara = Nagroda

bo:

Aksjomat:
Stworzenia które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły


5.1 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Dla każdego normalnego człowieka jest oczywiste, że jeśli spełni warunek nagrody to musi otrzymać nagrodę, inaczej nadawca jest kłamcą.

W przypadku obietnicy mamy zatem do czynienia z implikacją prostą.

Definicja implikacji prostej, to definicja wszelkich obietnic:

Jeśli zajdzie p to zajdzie q (z p wynika q)
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
=> - symbol implikacji prostej

1 1 1 – pewna prawda bo jeśli coś obiecujemy to musimy dotrzymać przyrzeczenia
Jeśli spełnisz warunek nagrody to nagroda

Oczywiście jeśli nie dotrzymamy przyrzeczenia to jesteśmy kłamcami w oczach wszystkich normalnych ludzi. Mamy prawo do kłamstwa bo mamy wolną wolę.

1 0 0 – jeśli wyżej jest pewna prawda to tu musi być pewny fałsz
Jeśli spełnisz warunek nagrody to nie nagroda (nie nagroda = kara)

Powyższa linia gwarantuje nam matematyczne otrzymanie nagrody w przypadku spełnienia warunku nagrody.

0 0 1 – miękka prawda, bo mogę karać ale NIE MUSZĘ.
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to nie nagroda (nie nagroda = kara)

Mogę karać ale nie muszę oznacza, że nadawca ma prawo do aktu miłości jak niżej.

0 1 1 – miękka prawda, bo mogę skorzystać z aktu miłości (oczywiście nie muszę tego robić)
Jeśli nie spełnisz warunku nagrody to dostaniesz nagrodę ... bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem ci wręczyć nagrodę itp. (dowolne uzasadnienie niezależne).

Przykład:
1 1 1 – twarda prawda w obietnicy
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

1 0 0 – twardy fałsz w obietnicy
Zdałem egzamin, nie dostałem komputera – nadawca jest kłamcą
E=>~K

0 0 1 – miękka prawda, bowiem nadawca ma prawo tak postąpić ale nie musi.
Nie zdałem egzaminu, nie dostałem komputera
~E=>~K
Nadawca ma prawo tak postąpić, ale nie musi bowiem ma prawo do aktu miłości jak niżej.

0 1 1 – miękka prawda, mogę otrzymać nagrodę bo akt miłości
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer ... bo widziałem że bardzo dużo się uczyłeś ale miałeś pecha.
~E=>K

5.1.1 Obietnica w równaniach matematycznych

Wszelkie obietnice w sposób doskonały obsługuje operator implikacji prostej – 100% algebra Boole’a.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek (W) to nagroda

1 1 1
Jeśli zdasz egzamin (W) dostaniesz komputer

Oznaczenia:
W=1 – warunek spełniony
W=0 – warunek nie spełniony

U – zmienna uznaniowa ustawiana przez wypowiadającego obietnicę, którą może ustawić na 0 albo 1 wedle wolnej woli

U=1 – dam komputer
U=0 – nie dam komputera

Równanie matematyczne opisujące podarowanie nagrody w obietnicy:

K = W + U

gdzie:

K=1 – mam komputer
K=0 – nie mam komputera

Jeśli warunek otrzymania nagrody zostanie spełniony to nadawca nie ma wyjścia, musi wręczyć nagrodę inaczej zostaje kłamcą.

K = W + U = 1 + U = 1 (zmienna U jest tu bez znaczenia)

Jeśli warunek otrzymania nagrody nie zostanie spełniony to nadawca i tak może wręczyć nagrodę pod dowolnym pretekstem niezależnym (U=1)

0 1 1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem go kupić, bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha itp. U=1

Warunek otrzymania komputera:

K = W + U = 0 + U = U (wszystko zależy od wolnej woli nadawcy)

Nadawca może dosłownie wszystko, może nie dać nagrody albo dać, może nawet wręczyć komputer nie mówiąc słowa, ale nie może wręczyć komputera z uzasadnieniem zależnym bo będzie idiotą w oczach wszystkich normalnych (delikatnie kłamcą).

0 1 1
Nie zdałeś egzaminu (W=0) dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0)

Warunek wręczenia komputera w obietnicy:

K = W + U = 0 + 0 = 0 (zakaz wręczenia komputera z uzasadnieniem zależnym)

Gdyby to nie była algebra Boole’a to oczywiście uzasadnienie zależne byłoby równie dobre jak każde inne, tak oczywiście nie jest bo to jest 100% algebra Boole’a !

Zauważmy, że uzasadnień niezależnych jest nieskończenie wiele a tylko jedno jedyne (zależne) jest fałszem - taka kropelka fałszu w morzu prawdy.


5.2 Groźba

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Oczywistym jest, że nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary i nie jest kłamcą. Przykładem jest tu cała masa gróźb wypowiadanych wobec własnych dzieci, których rodzic z założenia nie ma zamiaru wykonać, ale może wykonać gdy dziecko przekroczy pewne granice.

Jeśli nadawca może wykonać karę, ale nie musi to we wszelkich groźbach mamy do czynienia z implikacją odwrotną.

Definicja implikacji odwrotnej, to definicja wszelkich gróźb:

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p nie musi wynikać q)
p<=q = p + ~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
<= - symbol implikacji odwrotnej

W implikacji odwrotnej mamy z definicji gwarancję prawdy w ~p*~q=1 czyli gwarancję nie wykonania kary w przypadku nie spełnienia warunku kary. Jest to naturalne i oczywiste.


1 1 1 – prawda miękka, mogę karać ale nie muszę.
Jeśli spełnisz warunek kary to kara
1 0 1 – prawda miękka, bo nadawca może darować dowolna karę (akt łaski)
Spełniłem warunek kary, nie zostałem ukarany ... bo nadawca darował mi karę.

0 0 1 – prawda twarda inaczej to matematyczny śmieć (bo wyżej mamy już prawdę miękką)
Nie spełniłem warunku kary, nie mam prawa być karany.
0 1 0
Nie spełniłem warunku kary, zostałem ukarany – nadawca jest kłamcą

Ostatnia linia oznacza zakaz karania w przypadku nie spełnienia warunku kary.

Przykład:

1 1 1 – prawda miękka, mogę dostać lanie ale nie muszę
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
1 0 1 – prawda miękka
Ubrudziłeś spodnie, nie dostaniesz lania ... bo dziś mam dobry humor

0 0 1 – prawda twarda
Nie ubrudziłeś spodni, nie dostaniesz lania
0 1 0 – twarde kłamstwo czyli ...
Zakaz lania w przypadku czystych spodni


5.2.1 Groźba w równaniach matematycznych

Wszelkie groźby w sposób doskonały obsługuje implikacja odwrotna czyli 100% algebra Boole’a.

Definicja groźby:
jeśli dowolny warunek (W) to kara

1 1 1
Jeśli ubrudzisz spodnie (W) dostaniesz lanie

Warunek matematyczny karania w groźbie:

K = W*U

gdzie:
K=1 – karę wykonać
K=0 – kary nie wykonać

W=1 – warunek kary spełniony
W=0 – warunek kary niespełniony

U – zmienna uznaniowa nadawcy która może ustawić na dowolną wartość 0 albo 1 wedle wolnej woli.

Jeśli warunek kary nie zostanie spełniony W=0 to nadawca nie ma prawa karać, inaczej będzie kłamcą.

K = W*U = 0*U = 0 – zakaz karania w przypadku nie spełnienia warunku kary

Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba bo:

K = W*U = 1*U = U – wszystko w „rękach” wolnej woli nadawcy

Może nawet udać że zapomniał o wypowiedzianej groźbie i nie wykonać kary. Nie może tylko i wyłącznie jednego. Podobnie jak w obietnicy nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym

1 0 1
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Warunek karania w groźbie:

K = W*U = 1*1 = 1 – kara musi być wykonana

Nie można darować kary z uzasadnieniem zależnym (U=W) bo nadawca będzie idiotą w oczach wszystkich normalnych (delikatnie kłamcą).

Gdyby to nie była algebra Boole’a to uzasadnienie zależne odstąpienia od kary byłoby tak samo dobre jak każde inne. To jednak jest 100% algebra Boole’a !


5.3 Równoważność

Równoważność matematyczna jest jasna dla każdego i tu nie ma o czym dyskutować. Implikacja jest pojęciem szerszym od równoważności dającym człowiekowi wolną wolę we wszelkich obietnicach i groźbach co zostało pokazane matematycznie wyżej.

Każda implikacja „Jeśli...to...” zawiera w sobie równoważność. W groźbach i obietnicach jest to genialna równoważność implikacyjna – może zajść ale nie musi. Przykładowo, w groźbach pozwala ona na wycofanie się z wypowiedzianej groźby na sekundę przed wykonaniem kary jak również na bezwzględne egzekwowanie kary. Gwarantuje zatem 100% wolną wolę we wszelkich groźbach.

W równoważności człowiek staje się bezduszną maszyną.
Zawsze musi wykonać karę gdy warunek kary spełniony i nie może dać nagrody gdy odbiorca nie spełni warunku nagrody bo będzie matematycznym kłamcą. Jego wolna wola leży w gruzach ! Równoważność, to szczególny przypadek implikacji.

W groźbach i obietnicach ludzie używają czasami zwrotu „wtedy i tylko wtedy” ale jest to tylko i wyłącznie implikacja wypowiedziana w ostrej formie bo przyszłości nikt nie zna. W przyszłości mogą zaistnieć takie szczególne okoliczności w których nadawca daruje karę i jego groźba=równoważność automatycznie stanie się implikacją - mówić to sobie może co chce. Te „szczególne” okoliczności to np. zmiana własnego zdania.


5.4 Logika dodatnia i ujemna w obietnicach i groźbach

Teorię logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a wyłożono w pkt. 3.0 tu:
Część I Fundamenty algebry Boole'a

W implikacji poprzednik p możemy traktować jako wejście układu logicznego zaś następnik q jako jego wyjście. Mamy tu pełną analogię do cyfrowych układów logicznych gdzie wyjście cyfrowe może być dostępne w logice ujemnej albo dodatniej.

Definicja:
Implikacja prosta p=>q albo odwrotna p<=q jest wypowiedziana w logice dodatniej jeśli wyjście q nie jest zanegowane czyli nie występuje przeczenie NIE.


5.4.1 Obietnice

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Wszelkie obietnice obsługuje implikacja prosta.

Kubuś do Juniora:
1 1 1
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C – logika dodatnia bo C

Aksjomat:
Kara = NIE nagroda
Nagroda = NIE kara

Prawo Kubusia zamiany obietnicy na groźbę:

W=>C = ~W<=~C – negujemy zmienne i zmieniamy operator na przeciwny.

Dokładnie ta sama obietnica wypowiedziana w formie groźby.

Junior:
... a jak nie powiem wierszyka ?

Kubuś:
1 1 1
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W<=~C – logika ujemna bo ~C

Powyższy dialog jest w życiu często spotykany. Oczywiście tylko małe dzieci zadają pytania w stylu „co będzie jak nie powiem”. Dorośli nie musza tego robić i nie robią bo jest to oczywistość. Obie te implikacje są równoważne, czyli skutkują identyczną przyszłością jak niżej.

Kubuś będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy Junior powie wierszyk i nie dostanie czekolady.

Dorośli nie robią jeszcze jednej rzeczy. Prawie nigdy nie wypowiadają jako pierwszej obietnicy w logice ujemnej ... bo nawet dziecko będzie miało tu wątpliwości co do poczytalności dorosłego.

Jeśli zatem dostaniemy do analizy obietnicę w logice ujemnej (=groźba) to prawie na pewno jest ona wyrwana z kontekstu jakiegoś dialogu lub sytuacji, co nie przeszkadza w analizie matematycznej takiej groźby.

5.4.2 Groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Dokładnie to samo co wyżej dotyczy wypowiadanych gróźb. Groźby obsługuje implikacja odwrotna.

Kubuś do Juniora:
1 1 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B<=L – logika dodatnia bo L

Aksjomat:
Nagroda = NIE kara
Kara = NIE nagroda

Prawo Kubusia zamiany groźby na obietnicę:
B<=L = ~B=>~L – negujemy zmienne i odwracamy operator

Dokładnie ta sama groźba wypowiedziana w formie obietnicy.

Junior:
... a jak nie ubrudzę spodni ?

1 1 1
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B=>~L

Obie powyższe implikacje skutkują identyczną przyszłością.

Kubuś będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy Junior wróci w czystych spodniach i dostanie lanie.

6.0 Fundamenty logiki człowieka

Fundamentem logiki człowieka jest algebra Boole’a.

Jednym z twardych dowodów iż fundament logiki człowieka to algebra Boole’a jest obsługa wszelkich gróźb i obietnic przy pomocy implikacji prostej (obietnice) i implikacji odwrotnej (groźby). Implikacja to 100% algebra Boole’a podobnie jak pozostałe operatory logiczne.

To jest ten przypadek, gdzie najłatwiej udowodnić iż fundamentem logiki człowieka jest algebra Boole’a. Obietnice i groźby to pojęcia nieobce przedszkolakom – musi to zatem być najprostsza rzecz pod słońcem, czyli algebra Boole’a na poziomie fundamentalnym.


6.1 Najważniejsze twierdzenie w logice człowieka

Wielu logików uważa w dniu dzisiejszym, że groźba to równoważność. Takie twierdzenie jest konsekwencją faktu niedopuszczenia do głosu implikacji odwrotnej obsługującej wszelkie groźby. We wszystkich podręcznikach i encyklopediach podawana jest wyłącznie definicja implikacji prostej (obietnica) jako jedynie słuszna. Bezcenna w logice implikacja odwrotna śpi i czeka na swój dzień.

W logice człowieka trzeba z definicji usunąć przypadki kłamstwa wbrew własnej woli spowodowane złośliwością i nieprzewidywalnością martwej natury.

Obiecuję, że jutro posprzątam swój pokój.

W międzyczasie dom spłonął i .... matematycznie jesteśmy kłamcami wbrew własnej woli, bo pokój który obiecaliśmy posprzątać ulotnił się z dymem.

Najważniejsze twierdzenie w logice człowieka:

Jeśli wykonanie przyrzeczenia jest fizycznie niemożliwe to następuje automatyczne zwolnienie z takiego przyrzeczenia czyli nie zostaję kłamcą np. śmierć, pożar, powódź, w banku zawiesił się system i nie mogę odblokować konta itp.

W pozostałych przypadkach obowiązują operatory czysto matematyczne:

Implikacja odwrotna (= groźba)
p<=q = p + ~q = ~(~p*q - prawo de'Morgana

Implikacja prosta (= obietnica)
p=>q = ~p +q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana

Powyższe twierdzenie gwarantuje człowiekowi matematyczną wolną wolę tzn. nie istnieje ani jedna groźba i ani jedna obietnica w której muszę zostać kłamcą wbrew własnej woli. Oczywiście kłamstwo to też element wolnej woli. Mogę kłamać kiedy zechcę, ale nic nie może mnie zmusić do kłamstwa wbrew mojej woli, przede wszystkim matematyka.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy iż groźba to równoważność to mamy tylko i wyłącznie takie wybory:

1.
Jestem zgodnie z definicją równoważności bezwzględnym sadystą wykonującym absolutnie każdą groźbę przy spełnionym warunku kary.
2.
Jestem normalnym człowiekiem ale wtedy kłamię na potęgę - matematyka do kosza.

Przykład obsługi groźby przez równoważność.

1 1 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

1 0 0
Gwarancja lania w przypadku brudnych spodni (równoważność)

Załóżmy, że syn wraca w brudnych spodniach bo pobili go bandyci ... a my biedni mamy tylko wybór 1 albo 2 jak wyżej. Oczywiście wybieramy kłamstwo - precz z matematyką.


6.2 Obsługa obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Obietnica obsługiwana jest przez implikację prostą.

Obietnica = implikacja prosta

W obietnicy mam możliwość wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody (0 1 1 = akt miłości). Jeśli obiecałem nagrodę to musze ją dać w przypadku spełnienia warunku nagrody - inaczej jestem kłamcą. Nie ma tu mowy o ograniczeniu wolnej woli bowiem nic i nikt nie zmusza mnie do obiecania czegokolwiek - robię to z własnej woli. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to mogę zrobić co mi się podoba, dać nagrodę (0 1 1) albo nie dać (0 0 1) - to tylko i wyłącznie moja wolna wola. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę bowiem szczęście człowieka polega na dzieleniu się szczęściem z bliźnim. Nadawca jest szczęśliwy, że odbiorca jest szczęśliwy i odwrotnie. Zauważmy, że nagrody dajemy przyjaciołom a nie wrogom.

Zwolnienia z obietnicy:
Do zwolnienia z wypowiedzianej obietnicy uprawniony jest odbiorca co oznacza, że w przypadkach nadzwyczajnych odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy.

Przykład:
1 1 1
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to odblokuję ci konto.

0 0 1
Przyszedłeś w brudnych spodniach nie odblokuję ci konta

0 1 1
Przyszedłeś w brudnych spodniach, odblokuje ci konto .. bo cię kocham (akt miłości)

1 0 0
Przyszedłeś w czystych spodniach, nie odblokuję ci konta = Kłamstwo.
Aby nie zostać kłamcą muszę odblokować konto zgodnie z obietnicą w 1 1 1.

Oczywiście kłamcą możemy zostać zawsze bo mamy wolna wolę, tylko co na to przyjaciel któremu obiecaliśmy nagrodę ?

Zauważmy, że w tym przypadku możemy zostać kłamcą wbrew własnej woli np. zawiesił się system bankowy, bank zbankrutował, odbiorca umarł itp. Jest to oczywiście złośliwość rzeczy martwych. W tym przypadku na mocy najważniejszego twierdzenia jesteśmy automatycznie zwolnieni z obietnicy co nie przeszkadza w dogadaniu się z odbiorcą i np. otworzenia mu konta w innym banku. Prawdziwym problemem jest tylko śmierć odbiorcy bo gdzie dostarczyć nagrodę, do nieba czy do piekła ?


6.3 Obsługa groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Groźba obsługiwana jest przez implikację odwrotną.

Groźba = implikacja odwrotna

W groźbie mam możliwość odstąpienia od wykonania dowolnej kary (1 0 1 = akt łaski) np. przez „zapomnienie” i nie zostaje kłamcą., co jest częstym przypadkiem w życiu. W groźbie mam też prawo nigdy i nikomu nie darować żadnej kary jeśli warunek kary zostanie spełniony (równoważność) i nie zostaję kłamcą (1 1 1) czyli mam matematyczną wolną wolę.
W groźbie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony to nie mam prawa karać (0 1 0) - to jedyny przypadek gdzie mogę zostać kłamcą … z własnej woli oczywiście.

Zwolnienia w groźbie:
W groźbie sam siebie mogę zwolnić z wykonania dowolnej groźby i nie jestem kłamcą - zapewnia mi to definicja groźby. Mogę nie oznacza muszę.

Przykład:
1 1 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

0 0 1
Czyste spodnie, nie dostajesz lania

0 1 0
Czyste spodnie, to zakaz lania - inaczej nadawca jest kłamcą.

1 0 1
Brudne spodnie, nie dostajesz lania … bo cię kocham (akt łaski)

Zauważmy, że w przypadku 1 0 1 nic nie zależy od złośliwości rzeczy martwych. W całej analizie wypowiedzianego zdania nie mam szans zostać kłamcą wbrew mojej woli. Mogę zostać kłamcą wyłącznie z własnej woli w przypadku 0 1 0. Nawet śmierć odbiorcy nie jest tu problemem bo:

1 0 1
Masz brudne spodnie, nie dostajesz lania … bo zabił cię samochód.

Jest jednak klasa gróźb w których złośliwość rzeczy martwych może wystąpić.

1 1 1
Jeśli ubrudzisz spodnie pozostawię twoje konto zablokowane

0 0 1
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to odblokuję ci konto.

0 1 0
Czyste spodnie to gwarancja odblokowania konta.

W tej linii możemy zostać kłamcą wbrew własnej woli bo system mógł się zaciąć, bank zbankrutować itp. Dlatego na mocy najważniejszego twierdzenia wykluczamy takie przypadki, inaczej matematyka do kosza.

1 0 1
Ubrudziłeś spodnie, odblokuje ci konto bo cię kocham (akt łaski)

Zauważmy, że w przypadku brudnych spodni możemy odblokować konto (1 0 1) albo pozostawić zablokowane (1 1 1), to tylko i wyłącznie nasza wolna wola.


6.4 Pozorne sprzeczności z algebrą Boole’a

Sprzeczności języka mówionego z algebrą Boole’a są pozorne bowiem nasz mózg często operuje algebrą Boole’a na poziomie procedur, nie zaś na poziomie podstawowym.

Człowiek nie widzi bezpośrednio algebry Boole’a w grach komputerowych, jednak logika komputera to 100% algebra Boole’a.

Przedstawię tylko trzy przykładowe pozorne sprzeczności z algebrą Boole’a.

1.
Jutro o dziewiątej będę w kinie lub w teatrze
Jutro o dziewiątej będę w kinie albo w teatrze

Matematycznie poprawne jest drugie zdanie bowiem nie możemy być jednocześnie w dwóch miejscach. Zauważmy, że pierwsze zdanie zawiera w sobie drugie plus nie wyklucza jednoczesnego bycia w dwóch miejscach. Z tego powodu zdecydowana większość ludzi rzadko używa spójnika „albo” w języku mówionym.

2.
Jutro pójdę do kina i teatru
Jutro pójdę do kina lub teatru

Pierwsze zdanie powiemy gdy zależy nam na podkreśleniu że pójdziemy do kina i do teatru. Spójnik „lub” zawiera w sobie spójnik „i”, jest zatem bezpieczniejszy bo nawet gdy pójdę w jedno miejsce to matematycznym kłamcą nie zostanę ... a przyszłości nikt nie zna.

3.
Jan wszedł i padł martwy
Jan padł martwy i wszedł

Spójnik „i” teoretycznie umożliwia zamianę argumentów jak wyżej. Drugie zdanie to idiotyzm jeśli zastosujemy tu żywcem algebrę Boole’a. Jeśli jednak trochę pomyślimy to sprzeczność zniknie. W powyższym przypadku mamy do czynienia z następstwem czasowym i poprawnie matematycznie zdanie powinno brzmieć tak.

Jan wszedł po czym padł martwy

Nasz mózg doskonale o tym wie i używa prostszej formy korzystając ze spójnika „i” bo po pierwsze tak jest krócej a po drugie spójnik „i” jest używany bardzo często w przeciwieństwie do „po czym”.


6.5 Dialogi

W języku mówionym człowiek używa wyłącznie operatorów w logice dodatniej (wyjątek to XOR=albo).

Każde pierwsze zdanie rozpoczynające dialog wypowiadamy w logice dodatniej. Odbiorca kontynuuje tą logikę gdy się z nami zgadza lub przechodzi do logiki przeciwnej gdy ma odmienne zdanie. Mamy tu pełną analogię do implikacji gdzie zdaniu wypowiedzianemu zawsze przypisuje się 1 1 1 bez względu na przeczenia użyte w p i q.

Oznaczmy:
Y – logika dodatnia
~Y – logika ujemna

A – dowolne wyrażenie (zdanie)
~A – przeczenie dowolnego wyrażenia (zdania)

Y = A – wyrażenie w logice dodatniej
~Y = ~A – to samo wyrażenie w logice ujemnej
~(~Y) = ~(~A) czyli:
Y = A – powrót do logiki dodatniej itd.

W poniższej tabeli Y oznacza wyrażenie (zdanie wypowiedziane) jako pierwsze w dialogu.

Kod:
Logika dodatnia Y        Logika ujemna ~Y
Y=2                        ~Y=-2
Y = A*B                    ~Y=~A+~B
Y=~A+~B                    ~Y=A*B
Y=TAK                      ~Y=NIE
Y=Byłem w kinie            ~Y=Nie byłem w kinie
Y=Zawsze chodzę do kina    ~Y=Nigdy nie chodzę do kina

Przykłady dialogów:

1.
A: Zawsze całuję kobiety w rączkę
B: Ja też zawsze je całuję - ta sama logika, zgodność

2.
A: Zawsze całuję kobiety w rączkę
B: A ja nigdy tego nie robię – logika przeciwna, niezgodność

3.
A: Nigdy nie całuję kobiet w rączkę
B: Ja też nigdy nie całuję – ta sama logika, zgodność

4.
A: Nigdy nie całuję kobiet w rączkę
B: Ja zawsze całuję kobiety w rączkę – przejście do logiki przeciwnej, niezgodność


6.6 Pytania i odpowiedzi

Jeśli o coś pytamy to nie znamy odpowiedzi na zadawane pytanie albo udajemy że nie znamy – na jedno wychodzi. Pytać możemy zatem zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej. Oczywiście odpowiadający odpowiada w tej samej logice co zadane pytanie jeśli potwierdza i w przeciwnej jeśli zaprzecza.

1.
A: Byłeś dzisiaj w szkole ?
B: Byłem w szkole – potwierdzenie w tej samej logice
B: Nie byłem w szkole – zaprzeczenie w logice przeciwnej

2.
A: Dlaczego nie byłeś dzisiaj w szkole ?
B: Nie byłem w szkole bo ... – potwierdzenie w tej samej logice
B: Nieprawda, byłem dzisiaj w szkole – zaprzeczenie w logice przeciwnej

Zauważmy, że w odpowiedzi B2 gdzieś musi być kłamstwo - albo syn kłamie, albo ktoś przekazał fałszywą informację matce. Możliwy jest też blef matki która nie wie czy syn był w szkole.


7.0 Dodatek matematyczno-filozoficzny

Aksjomat:
Żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Dobro # NIE dobro (=zło)
Ciepło # NIE ciepło (=zimno)

Punktem odniesienia dla dobra jest zło, punktem odniesienia dla ciepła jest zimno itd. Jeśli usuniemy jedno z tych pojęć to drugie zniknie automatycznie, bo zniknie punkt odniesienia.

A = ~A - oznacza pojęcie niedostępne w naszym punkcie odniesienia (w naszym Wszechświecie).

Najlepiej zrozumieć to na przykładzie ciepła i zimna.

A#~A
Ciepło # NIE ciepło (=zimno)

czyli:
Ciepło # zimno

Wyobraźmy sobie, że żyjemy we Wszechświecie o stałej, idealnej temperaturze T=const. Dla nas takie pojęcia jak ciepło-zimno nie istnieją, to pojęcia nie z naszego świata.

Wyobraźmy sobie teraz, iż żyjemy w kolejnych Wszechświatach w których dostępne różnice temperatur są coraz mniejsze. W n-tym Wszechświecie różnica temperatur jest dowolnie mała, ale skończona. W takim Wszechświecie istnieją jeszcze pojęcia zimno-ciepło.

Pojęcia te znikną dopiero wtedy gdy T=const, czyli w nieskończenie małej różnicy temperatur.

Ciepło # Zimno
Pomiędzy ciepłem a zimnem NIE MA NIC, te pojęcia będą sobie równe (styczne) w nieskończoności tzn. przy nieskończenie małej różnicy temperatur. Znikną wtedy z tego punktu odniesienia, w którym występują.

Gdyby możliwe było:

A = ~A

to algebra Boole'a leży w gruzach.

Dla A i ~A wyłącznie jedno z tych pojęć może być prawdą, drugie musi być fałszem.
A * ~A = 0

Z drugiej strony mamy twierdzenie mówiące o tym, iż A i ~A wzajemnie się uzupełniają.
A + ~A = 1 - suma logiczna A i ~A musi być prawdą.

Powyższe rozważania mają znaczenie dla teorii groźby i obietnicy.

Definicja implikacji:
p=>q - jeśli zajdzie p to zajdzie q (z p wynika q).

Nigdy nie może być:

p=~p, q=~q .. itp.

1 1 1
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer (obietnica)
p=>q

Rozważmy tylko przypadek nie zdania egzaminu.

0 0 1
Nie zdałeś egzaminu (~p), nie dostajesz komputera - ojciec nie skłamał.

0 1 1
Nie zdałeś egzaminu (~p), dostajesz komputer ... bo cię kocham (dowolne uzasadnienie niezależne, czyli różne od ~p)

0 1 1
Nie zdałeś egzaminu (~p), dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu (uzasadnienie zależne, czyli równe ~p)

W dzisiejszym rozumieniu implikacji ojciec może wręczyć komputer z powodu nie zdanego egzaminu (uzasadnienie zależne) i nie jest kłamcą !

Uzasadnienie wręczenia komputera może być wyłącznie niezależne albo zależne.

Oznaczmy:
~Z - uzasadnienie niezależne od zdania egzaminu (różne od ~p)
Z - uzasadnienie zależne (identyczne z ~p)

K=~Z - mam komputer dzięki uzasadnieniu niezależnemu
K = Z - mam komputer dzięki uzasadnieniu zależnemu

czyli:

Z=~Z
Zależne = NIEzależne

Zauważmy, iż uzasadnienia zależne (Z) i niezależne (~Z) wzajemnie się uzupełniają tzn. nie ma innych możliwości wręczenia komputera w przypadku nie zdania egzaminu.

Wracamy tu do fundamentalnych twierdzeń algebry Boole'a:

Z + ~Z = 1 - mam komputer, bo jeden z tych powodów jest prawdą (=1).

Z * ~Z = 0 - wyłącznie jedno z uzasadnień może być prawdą (=1), drugie musi być fałszem (=0).

Jedno z tych uzasadnień jest ewidentnym kłamstwem, oczywiście zależne czyli:

Z=0
~Z=1

W dzisiejszym rozumieniu implikacji ojciec może wręczyć komputer z dowolnego powodu, zależnego (Z) albo niezależnego (~Z) i nie jest kłamcą.

To jest bezpośrednie uderzenie w fundament logiki człowieka, algebrę Boole'a.

2007-12-24 KONIEC Podobno w Wigilię marzenia się spełniają .....


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:43, 24 Gru 2007, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 1:02, 14 Sty 2008    Temat postu: Nieznana teoria implikacji v. Beta 1.0

motto
Proste jest piękne

Nieznana teoria implikacji


Część I Nieznana teoria implikacji

Autor: Kubuś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi (sfinia) przyjaciele:

Wujzbój (sfinia), Miki (sfinia), Irbisol (sfinia).

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Czytelnicy którzy nie znają elementarza algebry Boole'a proszeni są o przeczytanie zaledwie dwóch punktów 1.0 i 2.0 z tego linku - to wystarczy.
Część I Fundamenty algebry Boole'a

Spis treści.

1.0 Cel artykułu
1.1 Notacja

2.0 Operatory logiczne
2.1 Lista operatorów logicznych
2.2 Jak działają operatory logiczne

3.0 Kubusiowe tablice logiki
3.1 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND
3.2 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-
3.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

4.0 Operatory logiczne języka mówionego
4.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących

5.0 Geneza implikacji
5.1 Definicja implikacji prostej
5.2 Definicja implikacji odwrotnej
5.3 Prawa Kubusia
5.4 Kryteria wyboru implikacji
5.5 Obietnice i groźby
5.6 Równoważność

Dodatek A
Nowy operator matematyczny w logice klasycznej


Wstęp:

Kluczem do napisania tego artykułu była próba poustawiania operatorów logicznych w tabeli. Byłem pewien że jest ich osiem, że implikacja prosta to operator w logice dodatniej zaś odwrotna to operator w logice ujemnej. Ta koncepcja zupełnie nie pasowała do pozostałych operatorów. Wprowadziłem operatory ujemne implikacji jednak wtedy wyszło mi iż operatorów jest 10. Oczywiście dziesięć nie może być, musi być 16. Lokalizacja i zdefiniowanie pozostałych 6 operatorów było już łatwe. Ciekawy jest fakt, że wszystko co tu najważniejsze powstało w ciągu kilku godzin po imprezie Andrzejkowej ... gdyby Kubuś nie miał tak małego rozumku to napisałby to już dwa lata temu i by się nie męczył, przecież wszystko jest takie proste …


1.0 Cel artykułu

Najbardziej zaskakujące wnioski w mojej dwuletniej walce z implikacją na forum www.sfinia.fora.pl (metodologia) wyniknęły po ułożeniu operatorów logicznych w tablicach logiki (pkt.3.0). Z tablic tych wynika, że istnieją aż cztery operatory implikacji. Dwa w logice dodatniej (~> i =>) i dwa w logice ujemnej (<- i ->). Oczywiście operatorów w logice ujemnej nikt w języku mówionym nie używa podobnie jak operatorów NOR i NAND.

Implikacja prosta i implikacja odwrotna to jednak operatory po tej samej stronie księżyca co operatory AND ("i") i OR ("lub"). Są to zatem operatory stosowane w praktyce przez wszystkich bardzo często (także w matematyce), od przedszkolaków poczynając na starcach kończąc.

Zdań podlegających pod implikację prostą jest dokładnie tyle samo co zdań podlegających pod implikację odwrotną.

Jest to oczywistość wynikająca z definicji implikacji prostej i odwrotnej oraz z praw Kubusia.
Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach ... to jest cel tego artykułu.

Prawa Kubusia mówią o matematycznych związkach między implikacją prostą a implikacją odwrotną.

=> - symbol implikacji prostej
~> - symbol implikacji odwrotnej

Prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną:
p=>q = ~p ~> ~q

Prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą:
p~>q = ~p => ~q

W prawie Kubusia negujemy zmienne p, q i odwracamy operator => na ~> albo ~> na =>.


1.1 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
=> - symbol implikacji prostej (np. obietnica)
~> - symbol implikacji odwrotnej (np. groźba)
<=> - symbol równoważności (implikacji dwustronnej)


2.0 Operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją jest odkrycie i nazwanie wszystkich operatorów matematycznych w algebrze Boole'a (jest ich 16 a nie jak niektórzy sądzą 8) oraz Kubusiowe tablice logiki zdefiniowane dzięki odkryciu logiki ujemnej w algebrze Boole'a. W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.


2.1 Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ



Jak to możliwe iż wszystkich operatorów jest 16 a nie 8 ?

Połowa z tych operatorów działa w logice dodatniej a druga połowa w logice ujemnej.

Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.

Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL). Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB - odpoczywaj. Jakby kto nie wiedział to w mikroprocesorze pracuje najprawdziwszy krasnoludek ...


Operatory logiczne w równaniach matematycznych:

OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)

<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~p*q + p*~q (logika ujemna)

Operator implikacji prostej:
=> = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
-> = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

Operator implikacji odwrotnej:
~> = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
<- = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q
NOP = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q (logika ujemna)

P = p
NP = ~p (logika ujemna)

Q = q
NQ=~q (logika ujemna)

Za operatory dodatnie przyjąłem te operatory których człowiek używa w języku mówionym.

Bez operatorów ujemnych niemożliwe byłoby zbudowanie jakiegokolwiek komputera. Najciekawszy jest fakt, iż w logice "wystarczy" jeden operator NOR albo NAND - reszta jest teoretycznie zbędna.

Sprzętowe DNA wszystkich Komputerów to zaledwie jedna dwuwejściowa bramka NOR albo NAND dostępna w dowolnej ilości - taki totalny "prymityw".

Bez operatorów ujemnych nic by nie działało ... nasz Wszechświat nie mógłby istnieć.


2.2 Jak działają operatory logiczne

To poważna sprawa, myślę iż potrzebna tu będzie pomoc moich przyjaciół ... krasnoludków.

Wyobraźmy sobie czarne pudełko z dwoma wyłącznikami lampek, jeden wyłącznik ma na imię p a drugi q. Przełączniki wyglądają jak te najzwyklejsze od lampek nocnych z napisem 1 = włącz i 0 = wyłącz.

Zapalane światełka widzi zarówno człowiek jak i pracujący w środku krasnoludek. Oczywiście nie widzimy ani krasnoludka ani jego przełącznika którym zapala swoją lampkę. Widzimy wyłącznie lampkę krasnoludka.

Zaobserwujmy pracę krasnoludka pracującego zgodnie z tabelą prawdy operatora NOR.

Kod:
p q NOR
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1


Ustawmy na przełącznikach p i q pierwszą linię powyższej tabeli prawdy. Jak widzimy lampka krasnoludka zgaszona. Podobną sytuację mamy w liniach 2 i 3.

Ustawiamy z niepokojem linię 4 i co widzimy ?

Jest - świeci się !

To jest dowód na istnienie krasnoludków w naszym Wszechświecie !


3.0 Kubusiowe tablice logiki

Kubuś o bardzo małym rozumku wypełni swoje tablice logiki tylko dla następujących operatorów:
OR, NOR, AND, NAND, <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Uzupełnienie tablicy dla pozostałych operatorów pozostawiam przedszkolakom ... a niech się trochę zabawią.


3.1 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND

Kod:

Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y      Związek logik

OR                            NOR

Y=A+B                         ~Y = A NOR B            A+B = ~(A NOR B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A*~B                    Y = ~A NAND ~B         ~(~A*~B) = ~A NAND ~B

                                                  Związek krzyżowy OR-NOR

                                                      A+B = ~A NAND ~B
                                                      ~A*~B = A NOR B



AND                           NAND

Y=A*B                         ~Y = A NAND B           A*B = ~(A NAND B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A + ~B                   Y = ~A NOR ~B         ~(~A+~B) = ~A NOR ~B

                                                   Związek krzyżowy AND-NAND

                                                      A*B = ~A NOR ~B
                                                      ~A+~B = A NAND B
                                                               


W komputerach występują wszystkie operatory wyżej wymienione. Człowiek w języku mówionym nie używa operatorów NOR i NAND. Czyżby komputer był mądrzejszy od człowieka ? Oczywiście nie bo co innego budowa komputera (harware) a co innego jego oprogramowanie (software). Asem atutowym człowieka w walce z komputerem jest absolutnie genialna implikacja nie mająca zastosowania w komputerach tzn. komputery nie mają pojęcia o wolnej woli opisywanej matematycznie przez implikację właśnie. Dopóki komputer nie będzie miał wolnej woli, dopóty nie będzie dorastał do pięt naszemu mózgowi tzn. człowiek jest i będzie jego Bogiem. Póki co największemu i najmądrzejszemu komputerowi na świecie wystarczy wyjąć wtyczkę od zasilania i już jest kupą złomu. "Mądrość" komputera należy brać w cudzysłowie bowiem najmądrzejszy komputer na świecie nie potrafi napisać najprostszego nawet programu. Komputer jest wyłącznie marionetką wypełniającą rozkazy człowieka - niczym więcej.


3.2 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Kod:
Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y        Związek logik

<=>                           XOR                     <=> = ~XOR
                                                      XOR = ~(<=>)
p<=>q=~p<=>~q                 p XOR q= ~p XOR ~q
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)         p XOR q=(p->q)+(~p->~q)
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)           p XOR q=(p->q)+(p<-q)
p<=>q=(p=>q)*(q=>p)           p XOR q=(p->q)+(q->p)


=>                            ->

p=>q                          p->q                     p=>q = ~(p->q)
                                                       p->q = ~(p=>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p=>q = ~p ~> ~q               p->q = ~p <- ~q


~>                            <-

p~>q                          p<-q                     p~>q = ~(p<-q)
                                                       p<-q = ~(p~>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p~>q = ~p => ~q               p<-q = ~p -> ~q



3.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

p=>q = q<=q
p~>q = q<~p

p~>q = p<=q
p<~q = p=>q

Prawa Kubusia:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


4.0 Operatory logiczne języka mówionego

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0


Kod:
Logika dodatnia Y  Logika ujemna ~Y

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-


Związek matematyczny logiki dodatniej i ujemnej:

Y = ~(~Y)

Człowiek jest w stanie myśleć wyłącznie w logice dodatniej co oznacza, że w języku mówionym używa operatorów z logiki dodatniej jak wyżej.

Najważniejszymi operatorami języka mówionego są operatory OR (lub), AND (i) oraz operator implikacji prostej => i operator implikacji odwrotnej ~>.

Pod operator implikacji prostej podlega dokładnie tyle samo zdań co pod operator implikacji odwrotnej. Gwarantują to prawa Kubusia. Ciekawostką jest fakt, że w matematyce zdecydowanie łatwiej znaleźć twierdzenia podlegające pod implikację odwrotną niż pod implikację prostą - wszystkie twierdzenia matematyczne w których zawarty jest warunek konieczny, ale nie wystarczający. Jeśli oba warunki są spełnione to twierdzenie jest równoważnością.


4.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących

Zdania twierdzące człowiek wypowiada wyłącznie w logice dodatniej, ponieważ nie potrafi posługiwać się operatorami ujemnymi. NOR, NAND, ->, <-.

Zdanie wypowiedziane:

Y = Jutro pójdę do kina i do teatru

Zapis matematyczny wypowiedzianego zdania

Y=K*T (kino i teatr)

gdzie:
Y - jest abstrakcyjnym wyjściem niedostępnym w wypowiadanym zdaniu (w przeciwieństwie do implikacji)

Twierdzenie o zamianie logiki na przeciwną:
Z dowolnego równania algebry Boole’a możemy przejść do logiki przeciwnej negując wszelkie zmienne i odwracając operatory na przeciwne.

Y=K*T - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej
~Y = ~K + ~T - przejście do logiki ujemnej
Y=K*T - powrót do logiki dodatniej

Oczywiście zachodzi

Y = ~(~Y) = ~(~K+~T)

Wypowiedziane zdanie jest zatem równoważne zdaniu:

K*T = ~(~K+~T) - prawo de’Morgana

Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru.

Sens logiki ujemnej w zdaniach twierdzących jest następujący.

Y - dotrzymam słowa
~Y - nie dotrzymam słowa (skłamię)

Y=K*T
Dotrzymam słowa jeśli jutro pójdę do kina i do teatru

~Y = ~K + ~T
Skłamię, jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru


5.0 Geneza implikacji

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym.


5.1 Definicja implikacji prostej

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
p=>q

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana

Kod:
p q p=>q
0 0  1
0 1  1
1 0  0
1 1  1


W implikacji prostej wartość funkcji p=>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy następuje zmiana z p=1 na q=0.


5.2 Definicja implikacji odwrotnej

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
p~>q

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p może wynikać q)
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana

Kod:
p q p~>q
0 0  1
0 1  0
1 0  1
1 1  1


W implikacji odwrotnej wartość funkcji p~>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy następuje zmiana z p=0 na q=1.


5.3 Prawa Kubusia

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

W prawach Kubusia negujemy zmienne p i q oraz odwracamy operator implikacji na przeciwny.

Dowód praw Kubusia.

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

To samo co wyżej można udowodnić przy pomocy równań matematycznych:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p<=q - z definicji
~p~>~q = ~p<= ~q = ~q=>~p - do ostatniego wzoru stosujemy definicje implikacji prostej
~q=> ~p = ~(~q)+ ~p = q + ~p = ~p + q
Czyli:
p=>q = ~p~> ~q
CND.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.


5.4 Kryteria wyboru implikacji

Wypowiedzianą implikację analizujemy w oparciu o implikację prostą albo w oparciu o implikacją odwrotną.

Definicja implikacji prostej:

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)
p=>q

gdzie:
musi zajść = musi być = musi mieć = muszę dostać nagrodę (w obietnicy) itp


Definicja implikacji odwrotnej:

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p może wynikać q)
p~>q

gdzie:
może zajść = może być = może mieć = nie muszę zostać ukarany (w groźbie) itp.

Implikacja jest bajecznie prosta jeśli zastosujemy zasadę znaną wszystkim DOBRYM logikom praktykom w cyfrowych układach logicznych:

Jak mówimy tak zapisujemy

To jest gwarancja, że nigdy nie wypadniemy z algebry Boole’a do śmietnika, że dowolny układ logiczny zbudowany na bramkach będzie nam działał.

I.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
p~>q - implikacja prosta bo „może być”

Jeśli zwierzę jest psem to musi mieć cztery łapy
p=>q - implikacja prosta bo „musi mieć”

II.
Jeśli to kwadrat to musi mieć kąty proste
p=>q - implikacja prosta bo „musi mieć”

Jeśli figura ma kąty proste to może być kwadratem
p~>q - implikacja odwrotna bo „może być”

III.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 4
p~>q - implikacja odwrotna bo „może być”

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to musi być podzielna przez 2
p=>q - implikacja prosta bo „musi być”

W mordę Jeża … czy widział ktoś coś prostszego w logice od prymitywnej implikacji ?

Porównajmy to sobie z kilkuset milionami bramek logicznych w najnowszych mikroprocesorach.

… po fakcie to wszyscy są mądrzy.


5.5 Obietnice i groźby

Aksjomat:
Nagroda = NIE Kara
Kara = NIE nagroda

Powyższy aksjomat to fundament życia. Zwierzęta które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

W świecie żywych nigdy nie może być:
Kara = Nagroda


Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

W=>N - implikacja prosta bo jeśli spełnię warunek to „muszę dostać nagrodę” (obietnic należy dotrzymywać)

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
p=>q - jeśli zdam egzamin to „muszę mieć” komputer

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana obietnicy na równoważną groźbę

Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~p~>~q - implikacja odwrotna bo „mogę dostać” komputer mimo nie zdanego egzaminu (akt miłości)


Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

W~>K - implikacja odwrotna bo nawet jak spełnię warunek kary to „nie musze zostać ukarany” ( nadawca ma prawo darować dowolna karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach )

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
p~>q - implikacja odwrotna bo „nie muszę” dostać lania (nadawca ma prawo darować karę - akt łaski)

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana groźby na równoważną obietnicę

Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~p=>~q - jeśli czyste spodnie to gwarancja braku lania (obietnic należy dotrzymywać)


5.6 Równoważność

Zdanie wypowiedziane:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma wszystkie kąty równe.
p<=>q - p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
p q p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Prawa matematyczne:
I.
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) - wynikanie w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) - wynikanie w dwie strony
bo:
p~>q = q=>p

Powyższe równanie powoduje wycięcie jedynek implikacyjnych w implikacji prostej i odwrotnej co widać w definicji zero-jedynkowej równoważności.

II.
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) - wynikanie w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
bo prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Równoważność zachodzi również gdy mamy dwie pewne prawdy w:

p=>q i ~p=>~q

Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma wszystkie kąty równe
p=>q - trójkąt równoboczny „musi mieć” wszystkie kąty równe

Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to nie ma wszystkich kątów równych
~p=>~q - jeśli nie jest równoboczny to „na pewno” nie ma wszystkich kątów równych


Dodatek A

Nowy operator matematyczny w logice klasycznej

czyli:

N-ta rewolucja w małym rozumku Kubusia

Kubuś jest elektronikiem, Wujzbój matematykiem.
Od dwóch lat Kubuś usiłuje rozpracować niesamowitą implikację, zaś Wuj mu w tym bez przerwy przeszkadza szukając matematycznych dziur w Kubusiowych teoriach.

Niniejsza rewolucja dowodząca konieczności wprowadzenia nowego symbolu w logice klasycznej to efekt pewnego dowodu matematycznego przedstawionego przez Wuja którego Kubuś nie mógł pojąć. Postępy w matematyce Kubuś niewątpliwie poczynił, bo zrozumiał to w dwa dni a nie jak w największej wojnie Wujowo-Kubusiowej dopiero po kilku miesiącach.

Mam nadzieję, że to ostatnia rewolucja ;P

W sumie to znakomicie się uzupełniamy:
Wujzbój – matematyk
Kubuś – praktyk, specjalista od cyfrowych układów logicznych którego dwa lata temu wkurzył sens implikacji materialnej.


A.0 Geneza implikacji

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym.


A.1 Definicja implikacji prostej

Zdanie wypowiedziane:

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
p=>q

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana

Kod:
p q p=>q
0 0  1
0 1  1
1 0  0
1 1  1


W implikacji prostej wartość funkcji p=>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy następuje zmiana z p=1 na q=0.


A.2 Definicja implikacji odwrotnej

Zdanie wypowiedziane w zupełnie innym miejscu i czasie niż w przykładzie wyżej. Tych zdań nie należy ze sobą kojarzyć bo w implikacji p=>q # p<=q z definicji. Tylko i wyłącznie w równoważności zachodzi p=>q = p<=q = q=>p, będzie o tym za chwilę.

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
p<=q

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p może wynikać q)
p<=q = p + ~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana

Kod:
p q p<=q
0 0  1
0 1  0
1 0  1
1 1  1


W implikacji odwrotnej wartość funkcji p<=q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy następuje zmiana z p=0 na q=1.


A.3 Prawa Kubusia

p=>q = ~p <= ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p<=q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

W prawach Kubusia negujemy zmienne p i q oraz odwracamy operator implikacji na przeciwny.

Dowód praw Kubusia.

p=>q = ~p <= ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p<=~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p=>q i ~p<=~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

p<=q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą

Kod:
p q p<=q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p<=q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

A.4 Kryteria wyboru implikacji

Wypowiedzianą implikację analizujemy w oparciu o implikację prostą albo w oparciu o implikacją odwrotną.

Definicja implikacji prostej:

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)
p=>q

Definicja implikacji odwrotnej:

Jeśli zajdzie q to może zajść p (z q może wynikać p)
q=>p

A.4.1 Przyczyna i skutek w implikacji

Zdanie wypowiedziane:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem

implikacja odwrotna do wypowiedzianej:

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy

Cztery łapy u zwierzęcia to nie jest warunek wystarczający aby stwierdzić czy zwierzę jest psem. Dodatkowo pies musi szczekać, mieć pysk, ogon itd.
Wynika z tego, ze 4 łapy u zwierzęcia to warunek konieczny (wejście=przyczyna) ale nie wystarczający by stwierdzić czy zwierzę jest psem (wyjście=skutek).

Na podstawie powyższych rozważań zdanie wypowiedziane możemy zapisać w takiej formie:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem

W implikacji prostej mamy gwarancję:
p=>q – z p wynika q

W implikacji odwrotnej nie mamy takiej gwarancji:
q=>p – z q może wynikać p

Widać, że idealnie pasuje tu implikacja odwrotna.

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
q=>p – implikacja odwrotna
q = Jeśli zwierzę ma cztery łapy (przyczyna=wejście)
p = to pies (skutek=wyjście)

W ten sposób rozstrzygnęliśmy, że do zdania wypowiedzianego należy zastosować implikację odwrotną.

Jeśli implikacja jest implikacją matematyczną, to do zdania odwrotnego do wypowiedzianego musi pasować implikacja prosta.

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
p=>q

To jest oczywista prawda bo pies musi mieć cztery łapy.


A.4.2 Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem

Zdanie wypowiedziane
1 1 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem (może być psem, ale nie musi bo np. kot)
q=>p – implikacja odwrotna
q = Jeśli zwierzę ma cztery łapy (przyczyna=wejście)
p = to jest psem (skutek=wyjście)
=> = może zajść (może być)
4L=>P – cztery łapy to może być pies

STOP !!!

bo implikacja odwrotna do wypowiedzianej:

Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
p=>q – implikacja prosta
=> = musi zajść !!!
P=>4L – Jeśli pies to musi mieć cztery łapy ???!!!

Zauważmy, że ten sam symbol => znaczy co innego w implikacji odwrotnej i prostej !!!!!

Zapisy matematyczne:
4L=>P – => może zajść (może być) ??!!
P=>4L - => - musi zajść (musi mieć) ??!!

NIE SĄ JEDNOZNACZNE !

Musimy zatem wprowadzić nowy symbol implikacji odwrotnej – inaczej mamy chaos !

Nie można zrezygnować z nowego symbolu implikacji odwrotnej podobnie jak nie można zrezygnować z AND w operatorach AND i OR.

Proponuję przeprosić starego dobrego znajomego:

~> - symbol implikacji odwrotnej (poczciwa groźba)

Kurde, wszystkie Kubusiowe tablice logiki trzeba przerabiać – dobrze że tylko tyle.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 17:58, 19 Sty 2008    Temat postu: Nieznana teoria implikacji v.Beta 4.2 !

Wersja Beta 4.2.
Na tej podstawie powstała:
"Teoria implikacji prostej i odwrotnej dla licealistów"

motto
Proste jest piękne


Nieznana teoria implikacji

Linki do oryginałów:
Elementarz algebry Boole'a
Nieznana teoria implikacji

Autor: Kubuś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi (sfinia) przyjaciele:

Wujzbój (sfinia), Miki (sfinia), Irbisol (sfinia).

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

Czytelnicy którzy nie znają elementarza algebry Boole'a proszeni są o przeczytanie zaledwie dwóch punktów 1.0 i 2.0 z tego linku - to wystarczy.
Część I Fundamenty algebry Boole'a

Spis treści.

1.0 Cel artykułu
1.1 Notacja

2.0 Operatory logiczne
2.1 Lista operatorów logicznych
2.2 Jak działają operatory logiczne

3.0 Kubusiowe tablice logiki
3.1 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND
3.2 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-
3.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

4.0 Operatory logiczne języka mówionego
4.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących

5.0 Geneza implikacji
5.1 Definicja implikacji prostej
5.2 Definicja implikacji odwrotnej
5.3 Prawa Kubusia
5.4 Nowy symbol implikacji odwrotnej

5.5 Szczegółowa analiza wybranej implikacji
5.5.1 Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
5.5.2 Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4

5.6 Zależności między implikacją prostą a implikacja odwrotną
5.7 Kryteria wyboru implikacji
5.8 Równoważność
5.9 Sens implikacji prostej i odwrotnej

6.0 Obietnice i groźby
6.1 Obietnica - przyszłość
6.2 Obietnica - przeszłość
6.3 Groźba-przyszłość
6.4 Groźba-przeszłość
6.5 Logika dodatnia i ujemna w obietnicy
6.6 logika dodatnia i ujemna w groźbie
6.7 Matematyczne warunki otrzymania nagrody w obietnicy
6.8 Matematyczne warunki uniknięcia kary w groźbie

7.0 O potrzebie implikacji odwrotnej w matematyce
8.0 Implikacja materialna nie jest wynikaniem
9.0 Dodatek matematyczno-filozoficzny


Wstęp:

Każdy człowiek od przedszkolaka do starca doskonale posługuje się matematyczną definicją implikacji prostej i odwrotnej.

Wikipedia.
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym

Przyczyną powyższego zdania jest brak akceptacji implikacji odwrotnej w matematyce. We wszelkich podręcznikach podawana jest wyłącznie definicja implikacji prostej.

Tymczasem bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek logiczne myślenie, w szczególności matematyczne.

Prawda jest jeszcze brutalniejsza.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek życie bo implikacji prostej wszystko co żyje używa do obsługi obietnic (nagrody) zaś implikacji odwrotnej wszystko co żyje używa do obsługi gróźb (kary). Rozróżnianie kary od nagrody to fundament wszelkiego życia. Stworzenia które tego nie odróżniały dawno wyginęły.

Kluczem do napisania tego artykułu była próba poustawiania operatorów logicznych w tabeli. Byłem pewien że jest ich osiem, że implikacja prosta to operator w logice dodatniej zaś odwrotna to operator w logice ujemnej. Ta koncepcja zupełnie nie pasowała do pozostałych operatorów. Wprowadziłem operatory ujemne implikacji jednak wtedy wyszło mi iż operatorów jest 10. Oczywiście dziesięć nie może być, musi być 16. Lokalizacja i zdefiniowanie pozostałych 6 operatorów było już łatwe. Ciekawy jest fakt, że wszystko co tu najważniejsze powstało w ciągu kilku godzin po imprezie Andrzejkowej ...

1.0 Cel artykułu

Najbardziej zaskakujące wnioski w mojej dwuletniej walce z implikacją na forum www.sfinia.fora.pl (metodologia) wyniknęły po ułożeniu operatorów logicznych w tablicach logiki (pkt.3.0). Z tablic tych wynika, że istnieją aż cztery operatory implikacji. Dwa w logice dodatniej (~> i =>) i dwa w logice ujemnej (<- i ->). Oczywiście operatorów w logice ujemnej nikt w języku mówionym nie używa podobnie jak operatorów NOR i NAND.

Implikacja prosta i implikacja odwrotna to jednak operatory po tej samej stronie księżyca co operatory AND ("i") i OR ("lub"). Są to zatem operatory stosowane w praktyce przez wszystkich bardzo często, także w matematyce.

Zdań podlegających pod implikację prostą jest dokładnie tyle samo co zdań podlegających pod implikację odwrotną.

Jest to oczywistość wynikająca z definicji implikacji prostej i odwrotnej oraz z praw Kubusia.
Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach ... to jest cel tego artykułu.

Prawa Kubusia mówią o matematycznych związkach między implikacją prostą a implikacją odwrotną.

=> - symbol implikacji prostej
~> - symbol implikacji odwrotnej

Prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną:
p=>q = ~p ~> ~q

Prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą:
p~>q = ~p => ~q

W prawie Kubusia negujemy zmienne p, q i zmieniamy operator => na ~> albo odwrotnie.


1.1 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
=> - symbol implikacji prostej (np. obietnica)
~> - symbol implikacji odwrotnej (np. groźba)
<=> - symbol równoważności (implikacji dwustronnej)


2.0 Operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją jest odkrycie i nazwanie wszystkich operatorów matematycznych w algebrze Boole'a (jest ich 16 a nie jak niektórzy sądzą 8) oraz Kubusiowe tablice logiki zdefiniowane dzięki odkryciu logiki ujemnej w algebrze Boole'a. W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.


2.1 Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ



Jak to możliwe iż wszystkich operatorów jest 16 a nie 8 ?

Połowa z tych operatorów działa w logice dodatniej a druga połowa w logice ujemnej.

Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.

Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL). Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB - odpoczywaj. Jakby kto nie wiedział to w mikroprocesorze pracuje najprawdziwszy krasnoludek ...


Operatory logiczne w równaniach matematycznych:

OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)

<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~p*q + p*~q (logika ujemna)

Operator implikacji prostej:
=> = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
-> = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

Operator implikacji odwrotnej:
~> = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
<- = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q
NOP = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q (logika ujemna)

P = p
NP = ~p (logika ujemna)

Q = q
NQ=~q (logika ujemna)

Za operatory dodatnie przyjąłem te operatory których człowiek używa w języku mówionym.

Bez operatorów ujemnych niemożliwe byłoby zbudowanie jakiegokolwiek komputera. Najciekawszy jest fakt, iż w logice "wystarczy" jeden operator NOR albo NAND - reszta jest teoretycznie zbędna.

Sprzętowe DNA wszystkich komputerów to zaledwie jedna dwuwejściowa bramka NOR albo NAND dostępna w dowolnej ilości - taki totalny "prymityw".

Bez operatorów ujemnych nic by nie działało ... nasz Wszechświat nie mógłby istnieć.


2.2 Jak działają operatory logiczne

To poważna sprawa, myślę iż potrzebna tu będzie pomoc moich przyjaciół ... krasnoludków.

Wyobraźmy sobie czarne pudełko z dwoma wyłącznikami lampek, jeden wyłącznik ma na imię p a drugi q. Przełączniki wyglądają jak te najzwyklejsze od lampek nocnych z napisem 1 = włącz i 0 = wyłącz.

Zapalane światełka widzi zarówno człowiek jak i pracujący w środku krasnoludek. Oczywiście nie widzimy ani krasnoludka ani jego przełącznika którym zapala swoją lampkę. Widzimy wyłącznie lampkę krasnoludka.

Zaobserwujmy pracę krasnoludka pracującego zgodnie z tabelą prawdy operatora NOR.

Kod:
p q NOR
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1


Ustawmy na przełącznikach p i q pierwszą linię powyższej tabeli prawdy. Jak widzimy lampka krasnoludka zgaszona. Podobną sytuację mamy w liniach 2 i 3.

Ustawiamy z niepokojem linię 4 i co widzimy ?

Jest - świeci się !

To jest dowód na istnienie krasnoludków w naszym Wszechświecie !


3.0 Kubusiowe tablice logiki

Kubuś o bardzo małym rozumku wypełni swoje tablice logiki tylko dla następujących operatorów:
OR, NOR, AND, NAND, <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Uzupełnienie tablicy dla pozostałych operatorów pozostawiam przedszkolakom ... a niech się trochę zabawią.


3.1 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND

Kod:

Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y      Związek logik

OR                            NOR

Y=A+B                         ~Y = A NOR B            A+B = ~(A NOR B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A*~B                    Y = ~A NAND ~B         ~(~A*~B) = ~A NAND ~B

                                                  Związek krzyżowy OR-NOR

                                                      A+B = ~A NAND ~B
                                                      ~A*~B = A NOR B



AND                           NAND

Y=A*B                         ~Y = A NAND B           A*B = ~(A NAND B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A + ~B                   Y = ~A NOR ~B         ~(~A+~B) = ~A NOR ~B

                                                   Związek krzyżowy AND-NAND

                                                      A*B = ~A NOR ~B
                                                      ~A+~B = A NAND B
                                                               


W komputerach występują wszystkie operatory wyżej wymienione. Człowiek w języku mówionym nie używa operatorów NOR i NAND. Czyżby komputer był mądrzejszy od człowieka ? Oczywiście nie bo co innego budowa komputera (harware) a co innego jego oprogramowanie (software). Asem atutowym człowieka w walce z komputerem jest absolutnie genialna implikacja nie mająca zastosowania w komputerach tzn. komputery nie mają pojęcia o wolnej woli opisywanej matematycznie przez implikację właśnie. Dopóki komputer nie będzie miał wolnej woli, dopóty nie będzie dorastał do pięt naszemu mózgowi tzn. człowiek jest i będzie jego Bogiem. Póki co największemu i najmądrzejszemu komputerowi na świecie wystarczy wyjąć wtyczkę od zasilania i już jest kupą złomu. "Mądrość" komputera należy brać w cudzysłowie bowiem najmądrzejszy komputer na świecie nie potrafi napisać najprostszego nawet programu. Komputer jest wyłącznie marionetką wypełniającą rozkazy człowieka - niczym więcej.


3.2 Kubusiowa tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Kod:
Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y        Związek logik

<=>                           XOR                     <=> = ~XOR
                                                      XOR = ~(<=>)
p<=>q=~p<=>~q                 p XOR q= ~p XOR ~q
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)         p XOR q=(p->q)+(p<-q)
p<=>q=(p=>q)*(p<=q)
p<=>q=(p=>q)*(q=>p)


=>                            ->

p=>q                          p->q                     p=>q = ~(p->q)
                                                       p->q = ~(p=>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p=>q = ~p ~> ~q               p->q = ~p <- ~q


~>                            <-

p~>q                          p<-q                     p~>q = ~(p<-q)
                                                       p<-q = ~(p~>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p~>q = ~p => ~q               p<-q = ~p -> ~q



3.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

p~>q = p<=q

Prawa Kubusia:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zapisy matematycznie równoważne:
Jeśli p to q
p=>q = q<=p – wektor implikacji prostej skierowany jest zawsze od p do q
p~>q = q<~p – wektor implikacji odwrotnej skierowany jest zawsze od p do q


4.0 Operatory logiczne języka mówionego

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0


Kod:
Logika dodatnia Y  Logika ujemna ~Y

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-


Związek matematyczny logiki dodatniej i ujemnej:

Y = ~(~Y)

Człowiek jest w stanie myśleć wyłącznie w logice dodatniej co oznacza, że w języku mówionym używa operatorów z logiki dodatniej jak wyżej.

Najważniejszymi operatorami języka mówionego są operatory OR (lub), AND (i) oraz operator implikacji prostej => i operator implikacji odwrotnej ~>.

Pod operator implikacji prostej podlega dokładnie tyle samo zdań co pod operator implikacji odwrotnej, gwarantują to prawa Kubusia.


4.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących

Zdania twierdzące człowiek wypowiada wyłącznie w logice dodatniej, ponieważ nie potrafi posługiwać się operatorami ujemnymi. NOR, NAND, ->, <-.

Zdanie wypowiedziane:

Y = Jutro pójdę do kina i do teatru

Zapis matematyczny wypowiedzianego zdania

Y=K*T (kino i teatr)

gdzie:
Y - jest abstrakcyjnym wyjściem niedostępnym w wypowiadanym zdaniu (w przeciwieństwie do implikacji)

Twierdzenie o zamianie logiki na przeciwną:
Z dowolnego równania algebry Boole’a możemy przejść do logiki przeciwnej negując wszelkie zmienne i odwracając operatory na przeciwne.

Y=K*T - zdanie wypowiedziane w logice dodatniej
~Y = ~K + ~T - przejście do logiki ujemnej
Y=K*T - powrót do logiki dodatniej

Oczywiście zachodzi

Y = ~(~Y) = ~(~K+~T)

Wypowiedziane zdanie jest zatem równoważne zdaniu:

K*T = ~(~K+~T) - prawo de’Morgana

Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru.

Sens logiki ujemnej w zdaniach twierdzących jest następujący.

Y - dotrzymam słowa
~Y - nie dotrzymam słowa (skłamię)

Y=K*T
Dotrzymam słowa jeśli jutro pójdę do kina i do teatru

~Y = ~K + ~T
Skłamię, jeśli jutro nie pójdę do kina lub nie pójdę do teatru


5.0 Geneza implikacji

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym.


5.1 Definicja implikacji prostej

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
p=>q

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
=> - symbol implikacji prostej

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1


Symboliczna definicja implikacji prostej przydatna w analizie zdań:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Oczywiście zakładamy logikę dodatnią gdzie:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

W implikacji prostej wartość funkcji p=>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy następuje zmiana z p=1 na q=0.


5.2 Definicja implikacji odwrotnej

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
p~>q

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p może wynikać q)
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
~> - symbol implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
Kod:
p q p~>q
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0


Symboliczna definicja implikacji odwrotnej przydatna w analizie zdań:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Oczywiście zakładamy logikę dodatnią:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

W implikacji odwrotnej wartość funkcji p~>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy następuje zmiana z p=0 na q=1.


5.3 Prawa Kubusia

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

W prawach Kubusia negujemy zmienne p i q oraz odwracamy operator implikacji na przeciwny.

Dowód praw Kubusia.

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

To samo co wyżej można udowodnić przy pomocy równań matematycznych:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p<=q - z definicji
~p~>~q = ~p<= ~q = ~q=>~p - do ostatniego wzoru stosujemy definicje implikacji prostej
~q=> ~p = ~(~q)+ ~p = q + ~p = ~p + q
Czyli:
p=>q = ~p~> ~q
CND.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.


5.4 Nowy symbol implikacji odwrotnej

W definicji implikacji odwrotnej wprowadziliśmy nowy, nieznany w matematyce symbol ~>. Implikacja prosta i implikacja odwrotna to dwa zupełnie różne operatory logiczne podobnie jak AND i OR. To jest najprostsze uzasadnienie konieczności wprowadzenia symbolu implikacji odwrotnej ~>.

Matematycznie zachodzi związek:
p~>q = p<=q

Czy zatem konieczne jest wprowadzanie nowego symbolu ?

Rozważmy to na przykładzie.

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
p=>q – oczywista implikacja prosta
p=P4, q=P2
P4=>P2

=> w tym symbolu zdanie czytamy ZAWSZE w kierunku od podstawy wektora do strzałki.

Wtedy oczywiście:
P4=>P2 = P2<=P4

Zdanie odwrotne do powyższego będzie brzmiało (zamieniamy p z q):

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
p=P2, q=P4
p~>q – implikacja odwrotna
P2~>P4

Dzięki nowemu symbolowi implikacji odwrotnej zdanie czytamy identycznie jak w implikacji prostej czyli od podstawy wektora do strzałki.

Wtedy oczywiście:
P2~>P4 = P4<~ P2

Gdybyśmy nowego symbolu nie wprowadzili to mielibyśmy różne znaczenia tego samego symbolu => w zależności od jego kierunku.

Matematycznie zachodzi bowiem:
P2~>P4 = P2<=P4
<= - tu zdanie czytamy od strzałki do podstawy wektora !!! (przeciwnie niż w implikacji prostej)

czyli:
p=>q - implikacja prosta (czytamy od p do q zgodnie ze strzałką)
p<=q - implikacja odwrotna (czytamy od p do q przeciwnie do strzałki)

Bez użycia nowego symbolu ~> mamy:
P4=>P2 = P2<=P4 – implikacja prosta (zdanie czytamy zgodnie ze strzałką)
P2<=P4 = P4=>P2 – implikacja odwrotna (zdanie czytamy przeciwnie do strzałki)

Jeśli dorzucimy do tego prawa Kubusia to mamy bardzo ciężko strawne danie czyli chaos.


5.5 Szczegółowa analiza wybranej implikacji

Wypowiedzianą implikację analizujemy w oparciu o implikację prostą albo w oparciu o implikacją odwrotną.

Definicja implikacji prostej:

Jeśli zajdzie p to „musi zajść” q (z p wynika q)
p=>q

gdzie:
=> = „musi zajść” = musi być = musi mieć = muszę dostać nagrodę (w obietnicy) itp


Definicja implikacji odwrotnej:

Jeśli zajdzie p to „może zajść” q (z p może wynikać q)
p~>q

gdzie:
~> = „może zajść” = może być = może mieć = nie muszę zostać ukarany (w groźbie) itp.

Implikacja jest bajecznie prosta jeśli zastosujemy zasadę znaną wszystkim DOBRYM logikom praktykom w cyfrowych układach logicznych:

Jak mówimy tak piszemy

To jest gwarancja, że nigdy nie wypadniemy z algebry Boole’a do śmietnika, że dowolny układ logiczny zbudowany na bramkach logicznych będzie nam działał.

Praktyka jest zawsze najlepszym nauczycielem, dlatego przeanalizujemy wybraną implikację na wszelkie możliwe sposoby.

Oznaczenia:
1A – wybrane zdanie w wersji oryginalnej
1B – zdanie równoważne do 1A na mocy prawa Kubusia

1C – zdanie odwrotne do zdania 1A powstałe poprzez zamianę p i q.
1D – zdanie równoważne do zdania 1C na mocy prawa Kubusia

5.5.1 Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2

1A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2
p=>q - implikacja prosta bo „musi być”
P4=>P2 – jeśli podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2

W analizie wszelkich implikacji bezkonkurencyjna jest analiza symboliczna w oparciu o symboliczne definicje implikacji (język asemblera). Pozwała ona odciąć się od kodu maszynowego implikacji czyli zer i jedynek.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Oczywiście zakładamy logikę dodatnią gdzie:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

Dla zdania 1A mamy:

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 – jeśli liczba podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2.

czyli:
p=P4 q=P2

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:

p q p=>q
(P4) (P2) = 1
(P4) ~(P2) = 0
~(P4) ~(P2) = 1
~(P4) (P2) = 1

Opuszczamy nawiasy.

Tabela 1A.
p q p=>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1

Analizujemy zdanie P4=>P2 według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.

Znak ~ oznacza przeczenie NIE.

P4 P2 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2 – OK.
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
PRAWDA bez żadnych wyjątków.

P4 ~P2 = 0
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2 – OK
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
FAŁSZ bez żadnych wyjątków.

~P4 ~P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2 - OK
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
=1 bo 3,5,7 ....
=0 bo 6,10,14 ...

~P4 P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2 - OK
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
= 1 bo 6,10,14 ....
= 0 bo 3,5,7 ....

Rozważmy zdanie równoważne do 1A na mocy prawa Kubusia

1A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 – jeśli podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną:
P4=>P2 = ~P4~>~P2 – negujemy zmienne i zamieniamy operator na przeciwny.

Zdanie równoważne do 1A na mocy prawa Kubusia:
1B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
~P4~>~P2

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego zdania mamy:

p = ~P4 q = ~P2

Wstawiamy konkretne zmienne do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:

p q p~>q
(~P4) (~P2) = 1
(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) (~P2) = 0

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p~>q
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0

Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.

Tabela 1B.
p q p~>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1

Porównajmy otrzymaną tabelę 1B z tabela 1A wyżej. Widać że są identyczne, co jest dowodem poprawności praw Kubusia. Zdania 1A i 1B są równoważne.


5.5.2 Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4

Rozważmy teraz zdanie odwrotne do zdania 1A powstałego poprzez zamianę p i q.
1A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2

Oczywiście musi to być implikacja odwrotna, bo wyżej mama do czynienia z implikacja prostą.

1C
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4 bo 6,10,14...
p~>q
P2~>P4 - zapis symboliczny zdania

Słówko „może być” decyduje o tym, iż jest to implikacja odwrotna.

Szczegółowa analiza.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego mamy:
p=P2 q=P4

Podstawiamy zmienne do symbolicznej definicji implikacji. Ze względu na prostotę darujemy tu sobie zabawę z nawiasami.

Tabela 1C.
p q p~>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0

Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “jak czytamy tak piszemy”.

P2 P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 4,8,12 ...
=0 dla 6,10,14 ...

P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 6,10,14 ...
=0 dla 4,8,12 ...

~P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4 – OK.
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
PRAWDA bez żadnych wyjątków.

~P2 P4 = 0
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4 – OK.
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
FAŁSZ bez żadnych wyjątków.

Rozważmy teraz zdanie równoważne do 1C na mocy prawa Kubusia.

1C
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - zapis symboliczny zdania

Prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą:
P2~>P4 = ~P2=>~P4

1D
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
~P2=>~P4 – matematyczna oczywistość

Szczegółowa analiza.

Dla powyższego mamy:
p= ~P2, q= ~P4

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~P2 i ~P4.
Tym razem lepiej nie opuszczać nawiasów aby uniknąć pomyłek.

p q p=>q
(~P2) (~P4) = 1
(~P2) ~(~P4) = 0
~(~P2) ~(~P4) = 1
~(~P2) (~P4) = 1

Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p=>q
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1

Analizować wypowiedziane zdanie 1D możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”

Tabela 1D.
p q p=>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0

Porównajmy tabelę 1D z tabelą 1C wyżej. Widać że są identyczne, zatem zdania 1C i 1D są równoważne.


5.6 Zależności między implikacją prostą a implikacja odwrotną

Dowody wszystkich poniższych twierdzeń zawarto w punkcie 5.5.

Twierdzenie 5.6.1
Jeśli w implikacji prostej zamienimy poprzednik p z następnikiem q to otrzymamy implikację odwrotną. Między tymi implikacjami nie zachodzą żadne związki matematyczne, to dwa zupełnie różne zdania.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta

Po zamianie poprzednika z następnikiem otrzymujemy implikację odwrotną.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - implikacja odwrotna

Oczywiście zachodzi też zależność odwrotna.

Twierdzenie 5.6.2
Jeśli w implikacji odwrotnej zamienimy poprzednik z następnikiem to otrzymamy implikację prostą. Między tymi implikacjami nie zachodzą żadne związki matematyczne, to dwa zupełnie różne zdania.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - implikacja odwrotna

Po zamianie poprzednika z następnikiem otrzymujemy implikację prostą.

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta

Twierdzenie 5.6.3
Każda implikacja prosta jest równoważna implikacji odwrotnej na mocy prawa Kubusia.
P4=>P2 = ~P4~>~P2

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
~P4~>~P2 - implikacja odwrotna

Jest obojętne która implikację wypowiemy, bo to dwie równoważne implikacje.

Twierdzenie 5.6.4
Każda implikacja odwrotna jest równoważna implikacji prostej na mocy prawa Kubusia.
P2~>P4 = ~P2=>~P4

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - implikacja odwrotna
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
~P2=>~P4 - oczywista implikacja prosta

Jest obojętne która implikację wypowiemy, bo to dwie równoważne implikacje.


5.7 Kryteria wyboru implikacji

Implikacja matematyczna może być wyłącznie prosta => albo odwrotna ~>. Nie ma innych możliwości. Rozstrzygnięcie z jaką implikacją mamy do czynienia jest trywialne jeśli zrozumieliśmy kluczowy punkt 5.5. Jeśli nie zrozumieliśmy to i tak stosujemy w praktyce obie implikacje w sposób podświadomy, bo to fundament logicznego myślenia, dostępny nawet przedszkolakom.

Oznaczenia w poniższych skrótowych analizach będą identyczne jak w pkt. 5.5.

Oznaczenia:
xA – wybrane zdanie w wersji oryginalnej
xB – zdanie równoważne do xA na mocy prawa Kubusia

xC – zdanie odwrotne do zdania xA powstałe poprzez zamianę p i q.
xD – zdanie równoważne do zdania xC na mocy prawa Kubusia

gdzie:
x=2,3,4,5...

2A.
Jeśli czworokąt ma kąty proste to jest kwadratem
Jeśli czworokąt ma kąty proste to „może być” kwadratem, bo prostokąt.
p~>q - implikacja odwrotna bo „może być”
K90~>KW – kąty proste to kwadrat

Zdanie równoważne na mocy prawa Kubusia:
K90~>KW = ~K90 => ~KW

2B.
Jeśli czworokąt nie ma kątów prostych to nie jest kwadratem
~K90 => ~KW – matematyczna oczywistość

Zdanie odwrotne do 2A powstałe poprzez zamianę p z q.

2C.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to ma kąty proste
Jeśli czworokąt jest kwadratem to „musi mieć” kąty proste
p=>q - implikacja prosta bo „musi mieć”
KW=>K90 – jeśli kwadrat to kąty proste

Zdanie równoważne do 2C na mocy prawa Kubusia.
KW=>K90 = ~KW ~> ~K90

2D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to nie ma kątów prostych
~KW ~> ~K90
=1 bo rąb, równoległobok
=0 bo prostokąt

Kolejny przykład:

3A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może być” psem bo kot, lis ...
p~>q - implikacja odwrotna bo „może być”
4L~>P – cztery łapy to „może być” pies

Implikacja równoważna na mocy prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

3B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
Każdy pies „musi mieć” 4 łapy.
~4L=>~P

Zdanie odwrotne do 3A powstałe poprzez zamianę p z q.
3C.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to „musi mieć” cztery łapy
P=>4L - implikacja prosta bo „musi mieć”

Implikacja równoważna na mocy prawa Kubusia:
P=>4L = ~P~> ~4L

3D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to nie ma czterech łap
~P ~> ~4L
=1 bo wąż, ptak...
=0 bo kot, lis ...


5.8 Równoważność

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
p q p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Zdanie wypowiedziane:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma wszystkie kąty równe.
p<=>q - p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q

Równoważność to wynikanie w dwie strony na tym samym zdaniu.

Matematycznie zachodzi::
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Powyższe równanie powoduje wycięcie jedynek implikacyjnych w implikacji prostej i odwrotnej co widać w definicji zero-jedynkowej równoważności.

We wzorze równoważności musimy mieć pewność wynikania co zapewnia wyłącznie implikacja prosta.

Matematycznie zachodzi:
p~>q = p<=q

Podstawiamy to do powyższego wzoru i mamy pewny wzór równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(p<=q) = (p=>q)*(q=>p) - wynikanie w dwie strony

Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma wszystkie kąty równe.
p<=>q - p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q

Wynikanie p=>q:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma wszystkie kąty równe – OK.

Wynikanie q=>p:
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to jest równoboczny – OK.


5.9 Sens implikacji prostej i odwrotnej

Równoważność jest szczególnym przypadkiem implikacji odwrotnej w której w poprzedniku występują wszystkie warunki konieczne do zajścia równoważności.

Zobaczmy to na przykładzie.

1.
Jeśli czworobok ma kąty proste to jest kwadratem
Jeśli czworobok ma kąty proste to „może być” kwadratem, bo prostokąt.
K90~>KW – implikacja odwrotna bo „może być”
2.
Jeśli czworobok ma kąty równe i boki równe to jest kwadratem
K90*BR<=>KW
Implikacja odwrotna przeszła w równoważność bo w poprzedniku mamy wszystkie warunki konieczne ku temu, by czworobok był kwadratem.

Implikacja odwrotna służy zatem do przeglądania wszelkiej dostępnej wiedzy i wybieraniu z niej PRAWDY.

p q p~>q
0 1 0 – zakaz zbierania fałszu (zakaz zamiany fałszu w prawdę)

Implikacja prosta zapobiega gubieniu zebranej prawdy
p q p=>q
1 0 0 – zakaz gubienia prawdy (zakaz zamiany prawdy w fałsz)

W przypadku matematyki sprawa jest prosta. Jeśli zrozumiemy definicję kwadratu jak wyżej to nie da się jej obalić ... można co najwyżej zapomnieć.

O wiele gorzej jest z wartościami duchowymi. Można dziesiątki lat umacniać wiarę w Boga X by w pewnym momencie wszystko to rozwalić i przejść na wiarę w Boga Y itp.

Sens implikacji opisują wzory matematyczne:

Implikacja odwrotna:
p~>q = ~(~p*q) – nie może się zdarzyć, aby z fałszu powstała prawda

Jeśli w zbiorze p nie ma prawdy to jej nie znajdziemy. Zbiór p ma wówczas wartość FAŁSZ.

Wyobraźmy sobie że komputer wylosował 20 liczb naturalnych z zakresu 1 do 100. Naszym zadaniem jest poszukiwanie liczby podzielnej przez 5 w wylosowanym zbiorze. Jeśli wśród wylosowanych liczb nie ma liczby podzielnej przez 5 to wartość całego zbioru jest równa FAŁSZ. Nie mamy żadnych szans na znalezienie szukanej liczby, z fałszu nie może powstać prawda.

p=A1+A2+...A20 = 0

Wystarczy jednak jedna liczba podzielna przez 5 i już wartość całego zbioru jest równa PRAWDA – mamy szansę na znalezienie szukanej liczby.

Implikacja prosta:
p=>q = ~(p*~q) – nie może się zdarzyć, aby z prawdy powstał fałsz

Jeśli po stronie p mamy wyłącznie prawdę to nie ma szans na fałsz.

p = A1*A2*...*An = 1 – wszystkie elementy zbioru p maja wartość PRAWDA.


6.0 Obietnice i groźby

Groźba i obietnica w rozumieniu przeciętnego człowieka to równoważność z możliwością darowania kary w groźbie (akt łaski) oraz możliwością wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w obietnicy (akt miłości). Przeciętny człowiek to nie idiota więc ma rację, popartą od dnia dzisiejszego matematyką ścisłą.

Aksjomat:
Nagroda = NIE Kara
Kara = NIE nagroda

Powyższy aksjomat to fundament życia. Zwierzęta które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

W świecie żywych nigdy nie może być:
Kara = Nagroda


Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

W=>N
Implikacja prosta bo jeśli spełnię warunek to „muszę dostać nagrodę”. Dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać.

W przypadku obietnic zamiast implikacja prosta będziemy zamiennie używać terminu implikacja-obietnica.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
p=>q - jeśli zdam egzamin to „muszę mieć” komputer

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana obietnicy na równoważną groźbę

Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~p~>~q - implikacja odwrotna bo „mogę dostać” komputer mimo nie zdanego egzaminu (akt miłości)


Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

W~>K
Implikacja odwrotna bo nawet jak spełnię warunek kary to „nie musze zostać ukarany”. Nadawca ma prawo darować dowolna karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

W przypadku gróźb zamiast implikacja odwrotna będziemy zamiennie używać terminu implikacja-groźba.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
p~>q - implikacja odwrotna bo „nie muszę” dostać lania
Nadawca ma prawo darować karę - akt łaski.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana groźby na równoważną obietnicę

Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~p=>~q - jeśli czyste spodnie to gwarancja braku lania.
Obietnic należy dotrzymywać.


6.1 Obietnica - przyszłość

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

Wszelkie obietnice analizujemy w oparciu o implikację prostą bo obietnic „musimy” dotrzymywać.

Zdanie wypowiedziane:

6.1A
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - jeśli zdam egzamin to mam gwarancję dostania komputera

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Dla wypowiedzianego zdania mamy:
p=E-egzamin q=K-komputer

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:

p q p=>q

Tabela 6.1A
p q p=>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1

Analizujemy zdanie E=>K według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.

Znak ~ oznacza przeczenie NIE.

E K = 1
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer - OK
PRAWDA bez żadnych wyjątków wymuszona przez linię niżej.

E ~K = 0
Zdałeś egzamin, nie dostaniesz komputera = KŁAMSTWO
Ojciec musi dać komputer w przypadku zdania egzaminu zgodnie ze zdaniem wypowiedzianym wyżej, inaczej jest oczywistym kłamcą.

~E ~K = 1
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera - OK.
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec ma prawo nie dać nagrody i nie musi się z tego tłumaczyć - kłamcą nie zostaje. Może jednak wręczyć komputer z dowolnym uzasadnieniem niezależnym jak niżej (akt miłości)...

~E K = 1
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha (bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem ci ten komputer kupić itp.)

Rozważmy zdanie równoważne do 6.1A na mocy prawa Kubusia

6.1A
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - jeśli zdam egzamin to mam gwarancję dostania komputera

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną:
E=>K = ~E~>~K – negujemy zmienne i zamieniamy operator na przeciwny

Zdanie równoważne:

6.1B.
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E~>~K

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego zdania mamy:
p = ~E q = ~K

Wstawiamy konkretne zmienne do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:

p q p~>q
(~E) (~K) = 1
(~E) ~(~K) = 1
~(~E) ~(~K) = 1
~(~E) (~K) = 0

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p~>q
~E ~K = 1
~E K = 1
E K = 1
E ~K = 0

Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.

Tabela 6.1B.
p q p~>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1

Porównajmy otrzymaną tabelę 6.1B z tabela 6.1A wyżej. Widać że są identyczne, co jest dowodem poprawności praw Kubusia. Zdania 6.1A i 6.1B są równoważne.


6.2 Obietnica - przeszłość

Obietnica-przyszłość:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - obietnica, implikacja prosta

Matematyczna implikacja odwrotna uzyskana poprzez zamianę p z q.

Obietnica-przeszłość:
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin
K~>E - musi być implikacja odwrotna bo wyżej mamy implikację prostą.

Czy to ma sens ?

Nikt przecież nie ma wątpliwości, że przeszłość nigdy nie będzie równa przyszłości. Pewne jest, że obietnica-przyszłość zaszła w oparciu o implikację prostą. Pewne jest również, że przeszłości nie da się zmienić - tu wszystko jest zdeterminowane.

Implikacja odwrotna ma jednak sens, bo abstrakcyjnie możemy wędrować w czasie.

Przenieśmy się zatem do przeszłości.

Kubuś-Junior, poznawszy teorię implikacji postanawia zaskoczyć Wuja.

Junior:
Wujek, tata obiecał mi komputer jak zdam egzamin. Dostałem komputer, zgadnij czy zdałem egzamin.

Wujek:
Nie znam Waszej teorii implikacji ale czekaj, niech pomyślę ?

Podkład matematyczny do rozważań Wuja dołożył po fakcie Kubuś-Junior.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin
K~>E

Mamy:
p=K, q=E

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji otrzymując:

p q p~>q
K E = 1
K ~E = 1
~K ~E = 1
~K E = 0

Rozważanie Wuja, który nigdy nie słyszał o teorii implikacji.

K E = 1
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin. Zaraz, ale przecież nawet jak nie zdałeś egzaminu to tata mógł ci kupić komputer mówiąc ….

~E K = 1
Nie zdałeś egzaminu dostajesz komputer bo widziałem że dużo się uczyłeś ale miałeś pecha, bo od dawna zamierzałem ci go kupić, bo cię kocham itp.

Brawo Wujek, a teraz załóżmy że nie mam komputera i zgadnij czy zdałem egzamin !
~K ~E = 1
Jeśli nie masz komputera to na pewno nie zdałeś egzaminu. Tata miał prawo nie kupić ci komputera bo nie zdałeś egzaminu i oczywiście nie jest kłamcą.

Dopisek Juniora:
~K E = 0
Nie mam komputera, zdałem egzamin - tata jest kłamcą. Zatem jeśli nie mam komputera to nie mogłem zdać egzaminu bo mój tata nigdy nie kłamie.

Wujek, skąd znasz matematyczną teorię implikacji ?

Wujek.
He,He… Jeśli to ma być ta Wasza matematyka, to znają ją nawet przedszkolaki. Gorzej, Adam i Ewa już to znali !

Zauważmy, że w linii (~E K = 1) zamieniony został poprzednik z następnikiem. Wolno nam tak zrobić bo to jest przeszłość gdzie wszystko jest zdeterminowane i niczego nie można zmienić. Kolejność p i q w analizie przeszłości nie ma zatem najmniejszego znaczenia.

Dla purystów ta sama analiza bez tej zamiany.

K E = 1
Jeśli mam komputer to zdałem egzamin - OK.

K ~E
Jeśli mam komputer to mogłem nie zdać egzaminu, ale w tym przypadku ojciec musiał zastosować akt miłości czyli dał komputer bo mnie kocha, bo tak czy siak zamierzał mi go kupić itp.

~K ~E = 1
Jeśli nie mam komputera to nie zdałem egzaminu - OK.
Ojciec nie jest kłamcą bo akt łaski to tylko i wyłącznie jego wolna wola, niczym nie ograniczona.

~K E = 0
Jeśli nie mam komputera a zdałem egzamin to ojciec jest kłamcą.
Mój ojciec zawsze dotrzymuje obietnic, zatem to nie mogło zajść.


6.3 Groźba-przyszłość

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K

Wszelkie groźby analizujemy w oparciu o definicję implikacji odwrotnej bo wypowiadający groźbę ma prawo darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Zdanie wypowiedziane:

6.3A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie

Szczegółowa analiza.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego mamy:
p=B q=L

Podstawiamy zmienne do symbolicznej definicji implikacji. Ze względu na prostotę darujemy tu sobie zabawę z nawiasami.

Tabela 6.3A.
p q p~>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0

Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “jak czytamy tak piszemy”.

B L = 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Mogę dostać lanie, ale nie muszę bo ojciec może zastosować akt łaski jak niżej.

B ~L = 1
Ubrudziłeś spodnie, nie dostaniesz lania bo samochód cię ochlapał (bo mam dobry humor, bo cię kocham itp.)
Ojciec może także po prostu „zapomnieć” o wypowiedzianej groźbie i nie jest kłamcą, nie musi się tłumaczyć.

~B ~L = 1
Nie ubrudziłeś spodni, nie dostaniesz lania.
PRAWDA bez żadnych wyjątków gwarantowana przez następną linię.

~B L = 0
Nie ubrudziłeś spodni, dostajesz lanie = KŁAMSTWO
Aby nie być kłamcą, ojciec nie ma prawa uderzyć syna.

Rozważmy teraz zdanie równoważne do 6.3A na mocy prawa Kubusia.

6.3A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie

Prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą:

B~>L = ~B=>~L

6.3B
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B=>~L

Szczegółowa analiza.

Dla powyższego mamy:
p= ~B, q= ~L

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~B i ~L.
Tym razem lepiej nie opuszczać nawiasów aby uniknąć pomyłek.

p q p=>q
(~B) (~L) = 1
(~B) ~(~L) = 0
~(~B) ~(~L) = 1
~(~B) (~L) = 1

Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p=>q
~B ~L = 1
~B L = 0
B L = 1
B ~L = 1

Analizować wypowiedziane zdanie 6.3B możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”

Tabela 6.3B.
p q p=>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0

Porównajmy tabelę 6.3B z tabelą 6.3A wyżej. Widać że są identyczne, zatem zdania 6.3A i 6.3B są równoważne.


6.4 Groźba-przeszłość

Groźba-przyszłość:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie
Implikacja odwrotna bo nadawca może darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach

Groźba-przeszłość:
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta bo wyżej jest implikacja odwrotna !

Wtedy i tylko wtedy implikacja jest matematycznym wynikaniem.

Przenieśmy się do przeszłości na imprezę Kubusiowej rodziny (ta sama co w pkt.6.2).
Kubuś-Junior jest zaskoczony, że Wuj doskonale posługuje się implikacją matematyczną mimo że nie zna teorii implikacji. Więcej, Wuj twierdzi że znają to przedszkolaki więc postanawia sprawdzić. Biegnie do sąsiedniego pokoju gdzie bawi się jego 5-letnia kuzynka Zuzia.

Kubuś-Junior.
Zuzia, wczoraj mój tata powiedział, że jak wrócę w brudnych spodniach to dostanę lanie.
Wróciłem w brudnych spodniach i zgadnij, czy dostałem lanie ?

Podkład matematyczny do rozmyślań Zuzi dołożył Junior po fakcie.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q = 1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Groźba-przeszłość:
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta o ile jest to matematyczne wynikanie.

Mamy:
p=L, q=B

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej.

p q p=>q
L B = 1
L ~B = 0
~L ~B = 1
~L B = 1

Analiza implikacji odwrotnej przez 5-letnia Zuzię.

L B = 1
Jeśli dostałeś lanie to na pewno wróciłeś w brudnych spodniach

Dopisek Juniora.
L ~B = 0
Zakaz lania w przypadku czystych spodni - brawo Zuzia.

~L ~B = 1 (~B = nie brudne = czyste)
Jeśli nie dostałeś lania to wróciłeś w czystych spodniach …

~L B = 1
… ale mogłeś też nie dostać lania jeśli wróciłeś w brudnych spodniach bo twój tata mógł darować ci lanie jeśli spodnie były mało brudne.

Junior do Zuzi.
Zuzia czy wiesz, że znasz teorię implikacji ?

Zuzia:
A co to jest ?

Junior:
Jak dorośniesz to będą cię o tym uczyć w szkole.


6.5 Logika dodatnia i ujemna w obietnicy

p=>q - obietnica, logika dodatnia bo q
p=>q – obietnica (q=nagroda), CHCĘ aby zaszło q, biegnę do q co wskazuje kierunek wektora.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q - groźba bo ~>, logika ujemna bo ~q

A+B =>q – obietnica, logika dodatnia bo wyjście q (q = nagroda)
Przejdźmy do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.
~A*~B ~> ~q – groźba, logika ujemna bo wyjście ~q (~q = kara)

Zastosowany aksjomat:
kara = NIE nagroda

Zauważmy, że operator OR w obietnicy przechodzi w operator AND w groźbie.

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer - obietnica
E=>K - egzamin to komputer, gwarancja komputera przy zdanym egzaminie
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera - groźba
~E~>~K - implikacja odwrotna, bo może zajść akt miłości.


6.6 logika dodatnia i ujemna w groźbie

p~>q - groźba, logika dodatnia bo q

Matematycznie zachodzi:
p~>q = p<=q
p<=q – groźba (q=kara), NIE CHCĘ aby zaszło q, uciekam od q co wskazuje kierunek wektora.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q - obietnica bo =>, logika ujemna bo ~q

A*B ~> q – groźba, logika dodatnia bo q (q=kara)
Przejdźmy do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne.
~A+~B => ~q – obietnica, logika ujemna bo wyjście ~q (~q = nagroda)

Zastosowany aksjomat:
nagroda = NIE kara

Zauważmy, że operator AND w groźbie przechodzi w operator OR w obietnicy.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie - groźba
B~>L - brudne to lanie, ale może zajść akt łaski
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania - obietnica
~B=>~L - gwarancja nie karania w przypadku czystych spodni


6.7 Matematyczne warunki otrzymania nagrody w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć, że spełnię warunek nagrody (p) i nie dostanę nagrody (~q).

W powyższym przypadku nadawca nie ma wyjścia. Musi wręczyć nagrodę jeśli odbiorca spełni warunek nagrody.

W praktyce jeśli komuś coś obiecujemy to jesteśmy przygotowani na danie nagrody. Chcemy dać tą nagrodę z własnej woli, nie ma tu zatem mowy o ograniczaniu wolnej woli nadawcy.

W przypadku nie spełnienia warunku obietnicy mamy wolna wolę i możemy zrobić co nam się podoba, choć większość tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym.

Warunek otrzymania nagrody w implikacji-obietnicy opisuje funkcja OR.

Oznaczmy:
W=1 – warunek nagrody został spełniony
W=0 – warunek nagrody nie został spełniony

Równanie otrzymania nagrody w obietnicy:

N = W + U

gdzie U jest zmienną uznaniową ustawiana przez nadawcę na U=1 (dam nagrodę) albo U=0 (nie dam nagrody).

Zauważmy, że dla W=1 nadawca MUSI wręczyć nagrodę bo:

N = W + U = 1+U = 1 – mam nagrodę niezależnie od U.

Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody (W=0) to nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostanie kłamcą bo:

N = W + U = 0+U = U

gdzie:
U=1 dam nagrodę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym - akt miłości
U=0 nie dam nagrody

Przykład:
E K = 1
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

~E K = 1 - implikacja w obietnicy
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer bo ... cię kocham (U=1 - akt miłości)

N = W + U = 0 + 1 = 1 - jest nagroda bo akt miłości (U=1).

Inne uzasadnienia niezależne:
bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo tak czy siak zamierzałem ci ten komputer kupić itp - akt miłości

W przypadku nie spełnienia warunku nagrody nadawca może zrobić co mu się podoba z małym wyjątkiem. Nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym (U=W) bo będzie idiotą, delikatnie kłamcą.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer, bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Matematyczny warunek otrzymania nagrody dla tego przypadku:

N=W+U = 0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym.

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


6.8 Matematyczne warunki uniknięcia kary w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

p~>q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć, że nie spełnię warunku kary (~p) i zostanę ukarany (q).

W powyższym przypadku nadawca nie ma wyjścia. Jeśli nie spełnię warunku kary to nie może karać.

W praktyce jeśli komuś grozimy, to oczekujemy iż delikwent nie spełni warunku kary i nie będziemy musieli karać. Nikt nie lubi tej czynności z wyjątkiem psychopatów.

W przypadku spełnienia warunku groźby możemy zrobić co nam się podoba (wyjątek to uzasadnienie zależne) i nie mamy szans zostania kłamcą. Sadysta może zawsze karać, zaś człowiek dobrotliwy może nigdy nie karać. Pomiędzy tymi skrajnościami są normalni ludzie, którzy czasami karzą a czasami nie.

Warunek uniknięcia kary w implikacji-groźbie opisuje funkcja AND.

Jest to zrozumiałe, gdyż jeśli do obietnicy pasowała funkcja OR, to do groźby musi pasować funkcja AND.

Oznaczmy:
W=1 – warunek kary został spełniony
W=0 – warunek kary nie został spełniony

Równanie karania w groźbie:

K = W*U

gdzie U jest zmienną uznaniową ustawiana przez nadawcę na U=1 (ukarać) albo U=0 (nie karać).

Zauważmy, że dla W=0 nadawca ma zakaz karania bo:

K = W*U = 0*U = 0 – zakaz karania w przypadku nie spełnienia warunku kary

Jeśli odbiorca spełni warunek kary (W=1) to nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostanie kłamcą bo:

K = W*U = 1*U = U

gdzie:
U=1 karać
U=0 nie karać z dowolnym uzasadnieniem niezależnym - akt łaski

Przykład:
B L = 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

B ~L 1 - implikacja w groźbie
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania (~L) bo ... cię kocham (U=0 - brak lania, akt łaski)

K = W*U = 1*0 = 0 - nie karać bo akt łaski (U=0).

Inne uzasadnienia niezależne:
bo dziś mam dobry humor, bo nie mam siły cię bić, bo wcale nie zamierzałem cię bić itd. - akt łaski.

Przy spełnionym warunku kary nadawca może darować karę pod byle pretekstem z małym wyjątkiem.

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1)

Matematyczny warunek karania w groźbie:

K = W*U = 1*1 = 1 - kara musi być wykonana, nie można darować kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka


7.0 O potrzebie implikacji odwrotnej w matematyce

Czy w matematyce potrzebna jest implikacja odwrotna na równych prawach z implikacją prostą ?

W obsłudze gróźb jest niezbędna, bowiem wszystko co żyje obsługuje groźby przy pomocy implikacji odwrotnej.

Zajmijmy się jednak czystą matematyką.

Pobawmy się dla odmiany matematycznymi równaniami implikacji.

Zobaczmy jak fatalna jest w poniższych przykładach implikacja prosta:

Definicja implikacji prostej
p=>q = ~(p*~q)

A.
Jeśli czworobok ma kąty proste to jest kwadratem
K90=>KW = ~(K90*~KW)
~(K90*~KW) - nie może się zdarzyć, że figura ma kąty proste i nie jest kwadratem ?!

a prostokąt ? …

B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2=>P4 = ~(P2*~P4)

~(P2*~P4) - Nie może się zdarzyć że liczba jest podzielna przez 2 i nie jest podzielna przez 4 ?!

6,10,14 ... a jednak się zdarza.


A teraz do akcji wchodzi wspaniała implikacja odwrotna:

Definicja implikacji odwrotnej.
p~>q = ~(~p*q)

A.
Jeśli czworobok ma kąty proste to jest kwadratem
K90~>KW = ~(~K90*KW) - „może być” kwadratem bo prostokąt
I.
~(~K90*KW) - nie może się zdarzyć, że czworobok nie ma kątów prostych i jest kwadratem

Prawo Kubusia:
K90~>KW = ~K90=>~KW
Jeśli czworobok nie ma kątów prostych to nie jest kwadratem
~K90=>~KW

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~(p*~q)
~K90=>~KW = ~(~K90*~(~KW)) = ~(~K90*KW) bo: A = ~(~A)

II.
~(~K90*KW) - nie może się zdarzyć, że czworobok nie ma kątów prostych i jest kwadratem

Zdania I i II są identyczne - prawo Kubusia działa.

B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 = ~(~P2*P4) - "może być" podzielna przez 4 bo 6,10,14...

~(~P2*P4) - nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 4.


8.0 Implikacja materialna nie jest wynikaniem

Implikacja materialna nie jest wynikaniem matematycznym.

Definicja wynikania matematycznego:
Jeśli wypowiedziana implikacja jest implikację prostą, to po zamianie poprzednika p z następnikiem q przechodzi w implikację odwrotną.
Jeśli wypowiedziana implikacja jest implikacją odwrotną, to po zamianie poprzednika p z następnikiem q przechodzi w implikację prostą.

Przykład 1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielana przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta

Po zamianie p z q:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - implikacja odwrotna

Przykład 2.
Jeśli zwierzę ma 4 łapy to jest psem
4L~>P - implikacja odwrotna

po zamianie p z q:
Jeśli zwierzę jest psem to ma 4 łapy
P=>4L

Jak widzimy wszystkie powyższe zdania są zdaniami prawdziwymi (implikacja prosta), lub mogą być prawdziwe (implikacja odwrotna)

Twierdzenie.
Implikacja materialna nie jest wynikaniem matematycznym

Definicja implikacji materialnej:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 = 0
0 0 = 1
0 1 = 1

W implikacji materialnej nie interesuje nas wynikanie matematyczne w sensie takim, jakim poznaliśmy wyżej.

W implikacji materialnej poprzednik p i następnik q może zawierać dosłownie wszystko czyli także nieskończoną ilość śmieci. Ważne tu jest aby dało się określić jednoznacznie prawdziwość albo fałszywość poprzednika i następnika. Jakikolwiek związek między poprzednikiem a następnikiem jest nieistotny.

W implikacji materialnej zdanie jest fałszywe wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy zaś następnik fałszywy.

1 0 = 0

Wypowiedzmy teraz zdanie które wykluczy wynikanie matematyczne w implikacji materialnej.

Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy
KS=>4L

To zdanie w implikacji materialnej jest prawdziwe bo z fałszu może wyniknąć wszystko ??!!

Jeśli to jest matematyczne wynikanie to po zamianie p z q powinniśmy uzyskać prawdziwą implikację odwrotną !

Jeśli pies ma cztery łapy to księżyc jest z sera
4L~>KS

Tymczasem według definicji implikacji materialnej mamy tu:

1 0 = 0 - zdanie fałszywe

Co było do obalenia.


9.0 Dodatek matematyczno-filozoficzny

Aksjomat:
Żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

Dobro # NIE dobro (=zło)
Ciepło # NIE ciepło (=zimno)

Punktem odniesienia dla dobra jest zło, punktem odniesienia dla ciepła jest zimno itd. Jeśli usuniemy jedno z tych pojęć to drugie zniknie automatycznie, bo zniknie punkt odniesienia.

A = ~A - oznacza pojęcie niedostępne w naszym punkcie odniesienia (w naszym Wszechświecie).

Najlepiej zrozumieć to na przykładzie ciepła i zimna.

A#~A
Ciepło # NIE ciepło (=zimno)

czyli:
Ciepło # zimno

Wyobraźmy sobie, że żyjemy we Wszechświecie o stałej, idealnej temperaturze T=const. Dla nas takie pojęcia jak ciepło-zimno nie istnieją, to pojęcia nie z naszego świata.

Wyobraźmy sobie teraz, iż żyjemy w kolejnych Wszechświatach w których dostępne różnice temperatur są coraz mniejsze. W n-tym Wszechświecie różnica temperatur jest dowolnie mała, ale skończona. W takim Wszechświecie istnieją jeszcze pojęcia zimno-ciepło.

Pojęcia te znikną dopiero wtedy gdy T=const, czyli w nieskończenie małej różnicy temperatur. Zauważmy, że z punktu odniesienia nieskończoności różnice temperatur w naszym Wszechświecie są prawie nieskończenie małe, ale istnieją.

Ciepło # Zimno
Pomiędzy ciepłem a zimnem NIE MA NIC, te pojęcia będą sobie równe (styczne) w nieskończoności tzn. przy nieskończenie małej różnicy temperatur. Znikną wtedy z tego punktu odniesienia, w którym występują.

Gdyby możliwe było:

A = ~A

to algebra Boole'a leży w gruzach.

Dla A i ~A wyłącznie jedno z tych pojęć może być prawdą, drugie musi być fałszem.
A * ~A = 0

Z drugiej strony mamy twierdzenie mówiące o tym, iż A i ~A wzajemnie się uzupełniają.
A + ~A = 1 - suma logiczna A i ~A musi być prawdą.

Koniec 2007-01-18
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin