Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Śmietnik Kubusia

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 21:30, 04 Mar 2015    Temat postu: Śmietnik Kubusia

Wypociny IroBe

http://www.sfinia.fora.pl/blog-irob,67/pierwsze-spuszczanie,7431-6750.html#451003
rafal3006 napisał:
IroB napisał:
niezgodnosc z prawem moze tylko uznac sad , tylko wyrok nezawislego sadu staje sie wiazace a i tak sie mozna odwolywac do kolejnej instancji.

jeszcze raz, nie popelniajcie czynow sprzecznych z prawem na mym blogu i bedzie gitara.

Matole jeden, do żadnej rozprawy sądowej na temat zapisów niezgodnych z prawem polskim na twoim blogu (były takie) by nie doszło - po prostu fora.pl wypierdoliłyby w kosmos zarówno twój blog jak i całą sfinię.
Ciekawe kiedy matoł taki jak ty to zrozumie?
Czy myślisz że to przypadek, że ktoś mądrzejszy od matoła IroBe wypierdolił w kosmos wszelkie zapisy łamiące prawo w twojego blogu ... mimo twojej rozpaczy zatytułowanej "chcieli połamać watek krzyżowy".
Teraz Wuj na takich matołów jak ty znalazł rozwiązanie salomonowe (wreszcie) - po prostu taki gówno-blog staje się niewidoczny dla wszystkich z wyjątkiem admina blogu na którym złamano prawo. Blog zostaje odblokowany po usunięciu gówno-zapisów łamiących prawo.
Coś na ten temat wiedzą Dyskurs i MMM - idź po nauki do nich.


http://www.sfinia.fora.pl/blog-irob,67/pierwsze-spuszczanie,7431-6750.html#451181

rafal3006 napisał:
IroB napisał:

sie wezno kurwa i upro i oddaj im plaszcz, a ja waszego plaszcza nie mam i co mi , kurwa, zrobicie......mnie polskie prawo nie dotyczy, moje prawo ma znaczenie najwazniejsze i sady zawisle polskie sie beda musialy tlumaczyc przed neizawislymi europejskimi.

Matoł jesteś nieskończony, piszesz na polskim forum, śfinii - i tu dotyczy cię prawo polskie.
Na śfinii musisz (powtórzę MUSISZ), zachowywać się zgodnie z prawem polskim, czyli kasować ze swego gówno-blogu wszelkie posty łamiące polskie prawo.
My śfinie w dupie mamy prawo niemieckie, bo nie piszemy na forach niemieckich - jak zaczniemy pisać to będzie nas obowiązywało prawo niemieckie.
Proste jak cep matole jeden.

P.S.
Jest trochę wyjątków ściganych solidarnie przez wszystkie cywilizowane kraje np. ściganie terrorystów, czy cośtamsiów.

IroB napisał:

Jeszcze raz powtarzam, piszacy tu maja obowiazek sie trzymania litery prawa jakiegokolwiek bo inaczej to w ryj.

Problem w tym że TY dostaniesz w ryj jak na twoim blogu pojawi się choćby jeden zapis sprzeczny z prawem polskim, czyli twój blog stanie się niewidoczny dla wszystkich z wyjątkiem ciebie matole.
Warunkiem odblokowania twojego blogu będzie wówczas usunięcie postu łamiącego prawo POLSKIE twoją łapką.
Czy jasno się wyraziłem?

Podsumowując:
Gówno-prawdą jest że na śfnii nie obowiązuje polskie prawo, jak se wymyślił koziołek matołek zwany IroBe.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 18:09, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 153 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 21:31, 04 Mar 2015    Temat postu:

5.4 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Stworzenie naszego Wszechświata - dzień trzeci.
Spojrzał Kubuś na powyższą tabelę implikacji prostej p|=>q i rzekł:
W implikacji prostej p|=>q mamy warunek wystarczający => po stronie p i chaos po stronie ~p
Zróbmy odwrotnie, czyli w operatorze chaosu p|~~>q zostawmy krasnoludkowi Odwrotnemu przycisk KO i zabierzmy Prostemu przycisk KP.
Tak powstał operator implikacji odwrotnej p|~>q z chaosem po stronie p, ale z gwarancją matematyczną => po stronie ~p.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234

5.4.1 Zdjęcie operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach


Zróbmy zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

Zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja możliwa (Ya=1) gdy nie wciśnięty KO=0
B: p~~>~q= p*~q = Yb=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa gdy wciśnięty KO=1
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa (Yc=1), stan przycisku KO=x
LUB
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yd=0), stan przycisku KO=x
KO=x - stan przycisku KO dowolny 1 albo 0.

Notacja:
p=1 - przycisk p włączony (=1)
p=0 - przycisk p nie włączony (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)

5.4.2 Komputerowa symulacja implikacji odwrotnej p|~>q

Algorytm komputerowej symulacji implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
      CALL IMP_ODWR     ;Wywołanie procedury implikacji odwrotnej p|~>q
      CALL DELAY200     ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
      JMP START         ;Zapętlenie programu głównego

;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji odwrotnej p|~>q:
IMP_ODWR:
     CALL  STAN_P        ;Pobierz stan klawisza p
     Jeśli p=0 to skocz do ET1
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
     CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KO
;Wyjście z GEN(KO)
;KO=1 - klawisz Odwrotnego wciśnięty
;KO=0 - klawisz Odwrotnego nie wciśnięty
     Jeśli KO=1 to skocz do WYG_LED    ;Wygaszenie diody LED (q=0)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
ZAS_LED:
     q=1     ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
     q=0      ;Wygaś LED
RETURN
;
;Procedura obsługująca przypadek: p=0 - klawisz p nie wciśnięty
ET1:
     JMP  WYG_LED  ;Wygaszenie diody LED (q=0)
                   ;Stan przycisku KO jest nieistotny KO=x



5.4.3 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójniku ~~>

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q


Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Wymagane:
KO=0 - przycisk krasnoludka Odwrotnego nie jest wciśnięty
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane:
KO=1 - przycisk krasnoludka Odwrotnego jest wciśnięty (zwiera diodę LED)
Dowód: patrz schemat ideowy

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest bez znaczenia:
KO=x
x=0 albo 1
Dowód: patrz schemat ideowy
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
KO=x - bez znaczenia
Nie jest możliwe ~~> (=0), że nie jest wciśnięty przycisk p (p=1) i świeci się dioda LED (q=1)
(~q=1)=(q=0) - prawo Prosiaczka
Dowód: patrz schemat ideowy
Zauważmy, że w przypadku nie wciśniętego klawisza p (p=0) przycisk krasnoludka Odwrotnego jest blokowany (KO=x), czyli może go sobie włączać i wyłączać bez jakiegokolwiek wpływu na świecenie diody LED.

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T1
Zdjęcie układu ze schematu R3
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=0

Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
Kod:

T1-T2
T1          |T2
A: p~~> q=1 | p~> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0

Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji odwrotnej p|~>q o definicji:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek wystarczający p=>q=?

Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B:
B: ~p~~>q=1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0

Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
Kod:

T1-T3
T1          |T2        |T3
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0

Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.

Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p~>q = A: q=>p =1
6.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C:~p=>~q = C: ~q~>~p =1

Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
Kod:

T1-T4
T1          |T2        |T3        ||T4
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0 || q=> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1 ||~q~~>p =1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0 ||~q~>~p =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0

W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją prostą:
q|=>p = (q=>p)*~(q~>p)
Czy też z równoważnością:
q<=>p = (q=>p)*(q~>p)
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia czy spełniony jest warunek konieczny:
q~>p =?
7.
Z prawdziwości kontrprzykładu B:
B: ~q~~>p =1
Wynika fałszywość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~q=>~p =0
8.
Prawo Kubusia:
C: ~q=>~p = A: q~>p
Z fałszywości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość warunku koniecznego ~> A
C: ~q=>~p = A: q~>p =0
Kod:

T1-T5
T1          |T2        |T3        ||T4        |T5
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0 || q=> p =1 | q~> p =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1 ||~q~~>p =1 |~q~~>p =1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0 ||~q~>~p =1 |~q=>~p =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0 |q~~>~p =0

Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora implikacji prostej q|=>p która to definicję odczytujemy z linii A

Definicja implikacji prostej q|=>p
Implikacja prosta q|=>p to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
q=>p =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
q~>p =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej q|=>p w równaniu logicznym:
q|=>p = (q=>p)*~(q~>p) = 1*~(0) = 1*1 =1

Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.

Doskonale tu widać, że prawo Tygryska spełnione jest także na poziomie operatorów logicznych:
p|~>q = q|=>p
cnd

Podsumowanie:

Na mocy naszej tabeli T2-T5 zapisujemy:
T2: p~>q = ~p=>~q [=] T4: q=>p = ~q~>~p =1
##
T3: p=>q = ~p~>~q [=] T5: q~>p = ~q=>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

5.4.4 Zgodność układu fizycznego p|~>q z teorią matematyczną

Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu implikacji odwrotnej p|~>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B oraz fałszywość dowolnego zdania serii A.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1


5.4.5 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~>, => i ~~>

Weźmy jeszcze raz nasz nieśmiertelny schemat ideowy implikacji odwrotnej p|~>q

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q


Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Tabelę prawdy naszego układu w spójnikach =>, ~> i ~~> wyprowadziliśmy wyżej, to tabela T2.
Kod:

T2
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D.
A: p~> q =1 - wciśnięcie p (p=1) jest konieczne ~> dla świecenia q (q=1)
              Krasnoludek Odwrotny musi tu ustawić KO=0 (rozwarty)
LUB
B: p~~>~q=1 - wciśnięty p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
              sytuacja możliwa (=1) gdy Odwrotny ustawi KO=1 (wciśnięty)

.. a jeśli nie jest wciśnięty p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
Stąd:
C:~p=>~q =1 - nie wciśnięcie p jest wystarczające => dla nie świecenia LED
              Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest bez znaczenia KO=x
D:~p~~> q=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
              Sytuacja niemożliwa.
              Stan przycisku Odwrotnego jest bez znaczenia KO=x


Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~> świeci się dioda LED (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia diody LED (q=1) bowiem jak nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci się dioda LED (~q=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: p~>q = C: ~p=>~q
Zauważmy, że warunkiem koniecznym ~> prawdziwości zdania A jest ustawienie przez krasnoludka Odwrotnego przycisku KO w stan:
KO=0 - nie jest (=0) wciśnięty przycisk KO
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie możliwe (=1) gdy Odwrotny wciśnie przycisk KO (KO=1)

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
stąd:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci dioda LED (~q=1)
~p=>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia diody LED (~q=1)
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia diody LED (~q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc.
Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest tu bez znaczenia KO=x
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenie niemożliwe (=0).
Stan przycisku KO jest bez znaczenia KO=x
Dowód: patrz schemat ideowy

Zauważmy że:
1.
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie świeci się dioda LED (~q=1)
Mówi o tym zdanie C: ~p=>~q =1
2.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to wszystko może się zdarzyć, czyli może ~> świecić dioda LED (q=1) o czym mówi zdanie A lub może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1) o czym mówi zdanie B.
Ewidentne „rzucanie monetą” widać tu jak na dłoni.
Kod:

Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p|~>q
w spójnikach ~>, => i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
                   |co w logice        |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
                   |jedynek oznacza    |A: p~>q           |
                   |                   |                  | p   q  p~>q
A: p~> q        =1 |( p=1)~> ( q=1) =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1   =1
B: p~~>~q= p*~q =1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0   =1
C:~p=> ~q       =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0   =1
D:~p~~> q=~p* q =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1   =0
   a    b  c  d  e                       Prawa Prosiaczka   1   2    3
                                         (~p=1)=(p=0)
                                         (~q=1)=(q=0)

Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
A: p~>q

Operator implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jedna linia A (warunek konieczny ~>)

Nasza tabela spełnia zatem definicję implikacji odwrotnej p|~>q.


5.4.6 Matematyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q

Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
II.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
III.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
IV.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.

Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat implikacji odwrotnej?

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach


Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny implikacji odwrotnej p|~>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Kod:

T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~>  q       =1 - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p=> ~q       =1 - zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Rozumowanie do zapamiętania (jak amen w pacierzu):
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0

Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1


5.5 Operator równoważności p<=>q

Stworzenie naszego Wszechświata - dzień czwarty.
Rozmyślania Kubusia:
W implikacji prostej p|=>q mamy warunek wystarczający => po stronie p i chaos po stronie ~p
W implikacji odwrotnej p|~>q mamy chaos po stronie p i warunek wystarczający => po stronie ~p
Rzekł Kubuś:
Niech stanie się równoważność p<=>q czyli zabieram krasnoludkom oba przyciski KP i KO z operatora chaosu p|~~>q.
Tak powstał operator równoważności p<=>q gdzie nie ma krasnoludka z jego wolną wolą, wszystko jest totalnie zdeterminowane, mamy warunek wystarczający => zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
Nie ma tu śladu „rzucania monetą” zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234


5.5.1 Zdjęcie operatora równoważności <=>

Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q w zdarzeniach


Zróbmy zdjęcie układu równoważności p<=>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

Zdjęcie układu równoważności p<=>q.
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja możliwa (Ya=1)
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yb=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa (Yc=1).
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yd=0).
 

Notacja:
p=1 - przycisk p włączony (=1)
p=0 - przycisk p nie włączony (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)

5.5.2 Komputerowa symulacja równoważności <=>

Algorytm komputerowej symulacji równoważności <=>:
Kod:

;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
      CALL ROWN         ;Wywołanie procedury równoważności p<=>q
      CALL DELAY200     ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
      JMP START         ;Zapętlenie programu głównego

;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji odwrotnej p|~>q:
ROWN:
     CALL  STAN_P        ;Pobierz stan klawisza p
     Jeśli p=0 to skocz do WYG_LED
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
ZAS_LED:
     q=1     ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
     q=0      ;Wygaś LED
RETURN



5.5.3 Analiza równoważności w spójniku ~~>

Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q



Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Dowód: patrz schemat ideowy
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy.

Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
Kod:

T1
Zdjęcie układu ze schematu R4
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=0

Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
Kod:

T1-T2
T1          |T2
A: p~~> q=1 | p=> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0

Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji prostej p|=>q o definicji:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek konieczny p~>q=?

Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =1
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1

Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
Kod:

T1-T3
T1          |T2        |T3
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0

Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję równoważności p<=>q

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.

Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p=>q = A: q~>p =1
6.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C:~p~>~q = C: ~q=>~p =1

Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
Kod:

T1-T4
T1          |T2        |T3        ||T4
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1 || q~> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1 ||~q=>~p =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0

W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q~>p = C: ~q=>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją odwrotną:
q|~>p = (q~>p)*~(q=>p)
Czy też z równoważnością:
q<=>p = (q~>p)*(q=>p)
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia czy spełniony jest warunek wystarczający:
A: q=>p =?
7.
Z fałszywości kontrprzykładu B:
B: ~q~~>p =0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: q=>p =1
8.
Prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~q
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> C
C: ~q~>~p =1
Kod:

T1-T5
T1          |T2        |T3        ||T4        |T5
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1 || q~> p =1 | q=> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0 |~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1 ||~q=>~p =1 |~q~>~p =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0 | q~~>~p=0

Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora równoważności którą to definicję odczytujemy z linii A

Definicja równoważności q<=>p
Równoważność q<=>p to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
q=>p =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
q~>p =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
q<=>p = (q=>p)*(q~>p) = 1*1 =1

Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.

Podsumowanie:

Na mocy naszej tabeli T2-T5 zapisujemy:
T2: p=>q = ~p~>~q [=] T4: q~>p = ~q=>~p =1
##
T3: p~>q = ~p=>~q [=] T5: q=>p = ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

5.5.4 Zgodność układu fizycznego p<=>q z teorią matematyczną

Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu równoważności p<=>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:

Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.

Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.

Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B oraz prawdziwość dowolnego zdania serii A.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji

Definicja równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
p<=>q = (B1: p~>q)*(A1: p=>q) = 1*1 =1


5.5.5 Analiza równoważności w spójnikach => i ~~>

Fizyczna realizacja operatora równoważności <=> w zdarzeniach



Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T6
Zdjęcie układu równoważności p<=>q.
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja możliwa (Ya=1)
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yb=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                         Sytuacja możliwa (Yc=1).
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                         Sytuacja niemożliwa (Yd=0).
 

Fałszywość kontrprzykładu B wymusza warunek wystarczający => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
Kod:

T7
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q       =1 - wciśnięcie p jest wystarczające => dla zaświecenia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
                     Sytuacja niemożliwa (=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
C:~p=>~q       =1 - nie wciśnięcie p jest wystarczające dla nie świecenia q
D:~p~~> q=~p* q=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
                    Sytuacja niemożliwa (=0).
 

Doskonale tu widać 100% zgodność ze schematem ideowym.

Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% => świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)
Wciśnięcie przycisku p (p=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia diody LED (q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania B

… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Jak widać z tabeli prawdy równoważności w spójnikach => i ~~> po stronie ~p mamy kolejny warunek wystarczający.
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci się dioda LED (~q=1)
~p=>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia diody LED (~q=1)
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia diody LED (~q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania D

Zauważmy że:
1.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to mamy gwarancje matematyczną => że świeci się dioda LED (q=1)
Mówi o tym zdanie A: p=>q =1
2
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie świeci się dioda LED (~q=1)
Mówi o tym zdanie C: ~p=>~q =1
Doskonale widać, że nie ma tu „rzucania monetą” ani po stronie p, ani też po stronie ~p.
Kod:

T7
Tabela prawdy operatora równoważności p<=>q
w spójnikach => i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
                       |co w logice        |Punkt odniesienia| Tabela
                       |jedynek oznacza    |RA: p<=>q        |tożsama
RA                     |                   |                 |
p<=>q=(p=>q)*~(p=>q)   |                   |                 | p   q  p<=>q
A: p=> q       =1      |( p=1)=> ( q=1) =1 |(p=1)=> (q=1)=1  | 1=> 1   =1
B: p~~>~q= p*~q=0      |( p=1)~~>(~q=1) =0 |(p=1)~~>(q=0)=0  | 1~~>0   =0
RC                     |                   |                 |
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)|                   |                 |
C:~p=> ~q      =1      |(~p=1)=> (~q=1) =1 |(p=0)=> (q=0)=1  | 0=> 0   =1
D:~p~~> q=~p* q=0      |(~p=1)~~>( q=1) =0 |(p=0)~~>(q=1)=0  | 0~~>1   =0
   a    b  c  d e                           Prawa Prosiaczka   1   2    3
                                            (~p=1)=(p=0)
                                            (~q=1)=(q=0)

Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja równoważności.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
RA: p<=>q

Z tabeli symbolicznej odczytujemy dwie kluczowe równoważności dla naszego układu z przyciskiem p i diodą LED.

Równoważność dotycząca wciśniętego przycisku p (p=1):
RA
Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci dioda LED (q=1)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Równoważność dotycząca nie wciśniętego przycisku p (~p=1):
RC
Przycisk p jest nie wciśnięty (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie świeci dioda LED (~q=1)
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)

Oczywiście stan:
p=1 - przycisk wciśnięty
jest rozłączny ze stanem:
~p=1 - przycisk nie wciśnięty

Dowód:
p*~p=0 - prawo rachunku zero-jedynkowego
cnd

Zastosujmy do równoważności RA prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
stąd:
p<=>q = A1: (p=>q)* B1: (p~>q)
Zdanie A1 czytamy:
A1.
Jeśli przycisk p jest wciśnięty (p=1) to na 100% świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)

Zdanie B1 czytamy:
B1.
Jeśli przycisk p jest wciśnięty (p=1) to na 100% świeci się dioda LED (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia diody LED (q=1)
To jest warunek konieczny ~> bowiem w równoważności nie ma krasnoludków, w szczególności nie ma krasnoludka Prostego ze swoim przyciskiem KP który mógłby zaświecić diodę LED poza naszą świadomością.

Armagedon ziemskiej logiki matematycznej:
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, dodatkowo oba te zdanie są prawdziwe … a mimo wszystko są to zdania różne na mocy definicji ##.
To jest czysto matematyczny to gwóźdź do trumny z napisem „Logika matematyczna ziemian” gdzie dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.

Ziemscy matematycy oczywiście są w błędzie bowiem różność na mocy definicji ## wynika z definicji równoważności!

Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q=1 ## B1: p~>q =1
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Powyższa definicja równoważności:
p<=>q=(p~>q)*(p=>q)
znana jest ziemianom w praktyce, ale nie potrafią jej matematycznie zapisać bowiem nie znają zero-jedynkowych definicji zarówno warunku wystarczającego => jak i warunku koniecznego ~>.

Kod:

Definicja warunku wystarczającego =>
   p  q p=>q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  0  1
D: 0  1  1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q=~p+q

Kod:

Definicja warunku koniecznego ~>
   p  q p~>q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  0  1
D: 0  1  0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q=p+~q


Dowód iż ziemianie znają w praktyce tą definicję równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)

[link widoczny dla zalogowanych]ównoważność
Wikipedia napisał:

Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym ~>, jak i dostatecznym => przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...

Tej definicji równoważności ziemscy matematycy nie potrafią zapisać matematycznie bowiem nie znają kluczowych, zero-jedynkowych definicji zarówno warunku koniecznego ~> jak i warunku wystarczającego =>
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = warunek dostateczny => = wystarcza =>
warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> = potrzeba ~>

Faktem jest, że powyższa definicja równoważności jest w powszechnym użyciu zarówno w matematyce jak i w innych naukach.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 600
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 800
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9 050
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 130
Klikamy na googlach:
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 1 130
Klikamy na googlach:
„wystarczające i konieczne”
Wyników: 2 320
Klikamy na googlach:
„wystarczającym i koniecznym”
Wyników: 494

Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
Twierdzenie tożsame:
Opisać okrąg na czworokącie można wtedy i tylko wtedy gdy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.

5.5.6 Matematyczna definicja równoważności <=>

Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
II.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
III.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
IV.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.

Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat równoważności p<=>q?

Fizyczna realizacja operatora równoważności <=> w zdarzeniach



Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

Kod:

T1
Definicja równoważności w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
   1    2        3

Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny równoważności p<=>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Rozumowanie do zapamiętania (jak amen w pacierzu):
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
Kod:

T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q       =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie p i ~q
.. a jeśli nie zajdzie p (~p=1)?
C:~p=>~q       =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie ~p i q

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q)
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości p=q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest tożsame [=] z zaświeceniem się diody LED (q=1)

Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
~p=~q <=> (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
czyli:
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest tożsame [=] z nie zaświeceniem się diody LED (~q=1)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:27, 21 Kwi 2019, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 13:19, 15 Maj 2015    Temat postu:

Część III
Operatory logiczne jednoargumentowe



Spis treści
3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe 1
3.1 Definicja negatora 1
3.1.1 Prawo podwójnego przeczenia 2
3.2 Prawa Prosiaczka 2
3.3 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 4
3.5 Operatory logiczne jednoargumentowe 5
3.5.1 Operator transmisji 5
3.5.2 Operator negacji 7
3.5.3 Operator chaosu 8
3.5.4 Operator śmierci 9



3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Interpretacja 1 i 0 w algebrze Kubusia:
1 = prawda (tak)
0 = fałsz (nie)

Matematyczny związek prawdy i fałszu:
1=~(0) - prawda nie może (~) istnieć bez fałszu
0=~(1) - fałsz nie może istnieć (~) bez prawdy
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Podobne aksjomaty binarne obowiązujące w naszym Wszechświecie:
D=~(Z) - dobro nie może (~) istnieć bez zła
Z=~(D) - zło nie może (~) istnieć bez dobra
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Z = ~(S) - Życie nie może (~) istnieć bez śmierci
S = ~(Z) - Śmierć nie może (~) istnieć bez życia
Bo zabraknie punktu odniesienia.
etc


3.1 Definicja negatora
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B

3.1.1 Prawo podwójnego przeczenia

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)


3.2 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wynikają z definicji negatora (~):
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2


I Prawo Prosiaczka:
Linia A12
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K) = Fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie (~K)

II Prawo Prosiaczka:
Linia B12
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K) = Fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do równań algebry Boole’a Y i ~Y opisujących tą tabelę (i odwrotnie)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO:

I prawo Prosiaczka:

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

II prawo Prosiaczka:

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

3.3 Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Skorzystajmy w definicji negatora z praw Prosiaczka.
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   p ~p            |                    |                |         |
A: 1  0            |( p=1)*(~p=0)       |( p=1)*( p=1)   |( p=1)   | p
B: 0  1            |( p=0)*(~p=1)       |(~p=1)*(~p=1)   |(~p=1)   |~p
   1  2               3      4             5      6         7        8

W AB7 skorzystano z prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*p=p
Z AB78 mamy w pionie prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1
Warunek wystarczający p=>~p zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego pojęć p i ~p.
A78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie p (p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1)
p=>~p=1
B78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie p (p=1)
~p=>p=1

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.


3.4 Funkcja logiczna jednej zmiennej binarnej

Definicja funkcji logicznej jednej zmiennej binarnej:
Funkcja logiczna Y jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p

Z definicji wynika, że możliwe jest cztery i tylko cztery różnych na mocy definicji funkcji logicznych jednoargumentowych.
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji odpowiedzi na wyjściu Y.

Kod:

T1
Wszystkie możliwe funkcje logiczne jednoargumentowe
   p   Y  Y  Y  Y
A: 1   1  0  1  0
B: 0   0  1  1  0
   p   1  2  3  4

W powyższej tabeli prawdy mamy jedną zmienną binarną p na wejściu układu cyfrowego i jedną zmienną binarną na wyjściu Y tego układu.

3.5 Operatory logiczne jednoargumentowe

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w tabeli T1 były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T2
Tabela prawdy wszystkich możliwych funkcji logicznych jednoargumentowych
z uwzględnieniem zmiennych w logice ujemnej (bo ~p)
        |Operator   |Operator  |Operator        |Operator
        |transmisji |negacji   |chaosu          |śmierci
   p ~p |Y=p ~Y=~p  |Y=~p ~Y=p | Y=p+~p ~Y=p*~p | Y=p*~p ~Y=p+~p
A: 1  0 | 1    0    | 0     1  |  1       0     |  0       1
B: 0  1 | 0    1    | 1     0  |  1       0     |  0       1
   1  2   3    4      5     6     7       8        9       0


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p)
2.
~Y=~f(p)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Funkcje logiczne różne na mocy definicji w tabeli operatorów jednoargumentowych to:
Kod:

   Operator   ## Operator ## Operator ## Operator
   transmisji ## negacji  ## chaosu   ## śmierci
A:  Y= p      ## Y=~p     ## Y=p+~p   ## Y=p*~p
B: ~Y=~p      ##~Y= p     ##~Y=p*~p   ##~Y=p+~p
    1            2           3           4

Jedną legalną operacją na dowolnej funkcji logicznej jest jej negacja stronami.
Doskonale widać, że jeśli wybierzemy dowolną funkcję logiczną z kolumny x to nie da się poprzez jej dwustronną negację uzyskać funkcji tożsamej z jakąkolwiek inną kolumną.
Przykład:
Wybieram funkcję logiczną B3:
B3: ~Y=p*~p
Poprzez dwustronną negację tej funkcji uzyskujemy funkcję logiczną A3:
A3: Y = ~(p*~q) = ~p+q = p+~q (prawo De Morgana)
Nie jest możliwe poprzez dwustronną negację funkcji B3 uzysknie funkcji tożsamej z którąkolwiek inna kolumną, 1, 2 czy też 4.

3.5.1 Operator transmisji

Kod:

Tabela prawdy operatora transmisji w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |            |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia    |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p  ~Y=~p |                |
A: 1  0 |  1     0   | Ya=1<=> p=1    | Ya= p
B: 0  1 |  0     1   |~Yb=1<=>~p=1    |~Yb=~p
   1  2    3     4   | 5       6        7   8

W operatorze transmisji zmienna wejściowa p transmitowana jest na wyjście Y bez żadnych modyfikacji co widać w tabeli prawdy - dokładnie dlatego jest to operator transmisji.

Definicja operatora transmisji to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Ya=Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice dodatniej (bo Y)
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Yb=~Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1

… a kiedy pani nie dotrzyma skłamie (~Y)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.5.2 Operator negacji

Kod:

Tabela prawdy operatora negacji w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |            |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia    |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=~p ~Y=p  |                |
A: 1  0 |  0     1   |~Ya=1<=> p=1    |~Ya= p
B: 0  1 |  1     0   | Yb=1<=>~p=1    | Yb=~p
   1  2    3     4   | 5       6        7   8

W operatorze negacji zmienna na wyjście Y transmitowana jest zanegowana zmienna wejściowa p - dlatego jest to operator negacji.

Definicja operatora negacji to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Yb=Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice dodatniej (bo Y)
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2.
~Ya=~Y - bo jest tylko jedna funkcja logiczna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=1 <=> ~K=1

… a kiedy pani nie dotrzyma skłamie (~Y)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.5.3 Operator chaosu

Kod:

Tabela prawdy operatora chaosu w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |                 |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia         |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p+~p  ~Y=p*~p |                |
A: 1  0 |  1        0     | Ya=1<=> p=1    | Ya= p
B: 0  1 |  1        0     | Yb=1<=>~p=1    | Yb=~p
   1  2    3        4     | 5       6        7   8

W logice jedynek w pinie (kolumna 7) stosujemy spójnik „lub”(+)

Definicja operatora chaosu to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z kolumny 7 odczytujemy:
Y=Ya+Yb
Po rozwinięciu mamy:
Y=p+~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
Wniosek:
Funkcja logiczna Y to twarda prawda:
Y=p+~p =1
której nie da się zamienić na twardy fałsz (Y=0) jakimikolwiek działaniami dostępnymi w naszym Wszechświecie.
2.
Funkcję ~Y otrzymujemy poprzez dwustronną negację funkcji 1.
~Y = ~(p+~p) = p*~p - prawo De Morgana
~Y=p*~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
Wniosek:
Funkcja logiczna ~Y to twardy fałsz:
~Y=p*~p =0
którego nie da się zamienić na twardą prawdę, czyli ustawić ~Y=1.

Związek tego operatora z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) kub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa.
Oczywistym jest że pani zdrowa na umyśle nigdy takiego zdania nie wypowie bo to jest po prostu bełkot, żadna konkretna deklaracja.

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(K+~K) = K*~K - prawo De Morgana
Prawo Rachunku zero-jedynkowego:
K*~K =0
Wniosek:
Funkcja logiczna ~Y to twardy fałsz:
~Y=K*~K =0
którego nie da się ustawić na twardą prawdę, czyli ustawić na ~Y=1
Wynika z tego że cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na kłamstwo (~Y=1)

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


3.5.4 Operator śmierci

Kod:

Tabela prawdy operatora śmierci w logice jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki
w pełnej tabeli zero-jedynkowej AB1234

        |                 |Co w logice     |Funkcje
Wejścia | Wyjścia         |jedynek oznacza |cząstkowe
   p ~p | Y=p*~p  ~Y=p+~p |                |
A: 1  0 |  0        1     |~Ya=1<=> p=1    |~Ya= p
B: 0  1 |  0        1     |~Yb=1<=>~p=1    |~Yb=~p
   1  2    3        4     | 5       6        7   8

W logice jedynek w pinie (kolumna 7) stosujemy spójnik „lub”(+).

Definicja operatora śmierci to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z kolumny 7 odczytujemy:
~Y=~Ya+~Yb
Po rozwinięciu mamy:
~Y=p+~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p =1
Stąd mamy:
~Y = p+~p =1
Mamy tu do czynienia z twardą prawdą (=1):
~Y=p+~p=1
której nie da się ustawić na twardy fałsz (=0):
~Y=0
środkami dostępnymi w naszym Wszechświecie.

… a kiedy zajdzie Y?
Funkcję Y otrzymujemy poprzez dwustronną negację funkcji ~Y
2.
Y = ~(p+~p) = p*~p - prawo De Morgana
Y=p*~p
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
Stąd mamy:
Y=p*~p =0
Mamy tu do czynienia z twardym fałszem (=0):
Y=p*~p=0
którego nie da się ustawić na twardą jedynkę (=1):
Y=1
środkami dostępnymi w naszym Wszechświecie.

Związek operatora śmierci z językiem potocznym jest następujący.

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
K*~K =0
Stąd:
Y=K*~K =0
Wypowiadając zdanie to pani jest kłamczuchą w trybie natychmiastowym (Y=0), bowiem niemożliwe jest aby jutro dzieci jednocześnie poszły do kina (K=1) i nie poszły do kina (~K=1).
Chwilą czasową (jednocześnie) jest tu cały jutrzejszy dzień.

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(K*~K) = (K+~K) - prawo de Morgana
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
K+~K =1
stąd:
~Y = K+~K =1
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi tzn. pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1) to skłamie (~Y=1).

Znaczenie symboli:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa ( = pani skłamie)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 5:39, 20 Kwi 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 13:22, 15 Maj 2015    Temat postu:

Część IV
Operatory logiczne dwuargumentowe



Spis treści
4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Definicja operatora AND(p,q) 3
4.1.1 Operatory logiczne typu AND 6
4.1.2 Prawo Jastrzębia 6
4.2 Definicja operatora OR(p,q) 9
4.2.1 Definicja spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych 12
4.2.2 Operatory logiczne typu OR 14
4.2.3 Definicja obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub” 15
4.3 Funkcje logiczne dwuargumentowe w logice dodatniej (bo Y) 18
4.3.1 Definicje znaczków elementarnych w zdarzeniach 19
4.3.2 Definicje znaczków elementarnych w zbiorach 19
4.3.3 Definicje znaczków złożonych 20
4.4 Operatory logiczne dwuargumentowe wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 21
4.4.1 Operatory logiczne grupy I 22
4.4.2 Operatory logiczne grupy II 23
4.4.3 Operatory logiczne grupy III 24
4.4.4 Operatory logiczne grupy IV 25



4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Definicja negatora
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

W kolumnie 1 mamy zdefiniowaną zmienną binarną p która w osi czasu może przybierać tylko dwie wartości 1 albo 0.
Kolumna 2 to negacja (~) zmiennej binarnej p
~(1) = 0 - linia A
~(0) = 1 - linia B

Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka wynikają z definicji negatora (~):
Kod:

Zero-jedynkowa
definicja negatora
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2


I Prawo Prosiaczka:
Linia A12
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że byłem w kinie (K) = Fałszem jest (=0) że nie byłem w kinie (~K)

II Prawo Prosiaczka:
Linia B12
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z prawdą (=1) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Przykład:
Prawdą jest (=1) że nie byłem w kinie (~K) = Fałszem jest (=0) że byłem w kinie (K)

Prawo podwójnego przeczenia w rachunku zero-jedynkowym:
p=~(~p)
Dowód formalny:
Kod:

   p ~p ~(~p)
A: 1  0  1
B: 0  1  0
   1  2  3

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 1=3 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
Jestem uczciwy (U) = nie (~) jestem nieuczciwy (~U)
U = ~(~U)

Prawo rozpoznawalności pojęcia p

Skorzystajmy w definicji negatora z praw Prosiaczka.
Kod:

Zero-jedynkowa     |Zapis matematycznie |Na mocy         |Zapis
definicja negatora |tożsamy             |praw Prosiaczka |Tożsamy
   p ~p            |                    |                |         |
A: 1  0            |( p=1)*(~p=0)       |( p=1)*( p=1)   |( p=1)   | p
B: 0  1            |( p=0)*(~p=1)       |(~p=1)*(~p=1)   |(~p=1)   |~p
   1  2               3      4             5      6         7        8

W AB7 skorzystano z prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*p=p
Z AB78 mamy w pionie prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1
Warunek wystarczający p=>~p zachodzi (=1) ale z definicji nie ma elementu wspólnego pojęć p i ~p.
A78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie p (p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1)
p=>~p=1
B78:
Jeśli wiem co znaczy pojęcie ~p (~p=1) to na 100% => wiem co znaczy pojęcie p (p=1)
~p=>p=1

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze
t=constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją, bo nie możemy zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur.

4.1 Definicja operatora AND(p,q)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1<=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1<=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Operator AND(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Matematyczne związki logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*q = ~(~p+~q)
Matematyczne związki logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y=~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Dokładnie to samo w tabeli zero-jedynkowej:
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w funkcji logicznej Y=p*q były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T1
Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+)
w funkcji logicznej Y=p*q
   p  q ~p ~q  Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q)
A: 1  1  0  0   1      0         0       1
B: 1  0  0  1   0      1         1       0
C: 0  1  1  0   0      1         1       0
D: 0  0  1  1   0      1         1       0
   1  2  3  4   5      6         7       8

Tożsamość kolumn 5=8 to dowód formalny prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn 7=6 to dowód formalny prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Definicja operatora AND(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1
Doskonale to widać w powyższej tabeli prawdy.

Rozważmy wewnętrzną budowę funkcji Y=p*q
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa funkcji logicznej Y=p*q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki pełnej tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela              |Co w logice         |Równania
funkcji Y=p*q             |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=p*q ~Y=? |                    |
A: 1  1  0  0   1     0   | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   0     1   |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   0     1   |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   0     1   |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5     6     a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych ABCDdef odczytujemy definicję operatora AND(p,q):
1.
Y=Ya - bo jest tylko jedna funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Po rozwinięciu mamy:
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> A: p=1 i q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 2:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q

Zachodzi tożsamość logiczna:
~Y=~p+~q = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q

4.1.1 Operatory logiczne typu AND

W logice matematycznej istnieją cztery i tylko cztery operatory logiczne typu AND o definicjach:

I.
AND(p,q)

1.
Y=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

II.
AND(p,~q)

1.
Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
2.
~Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

III.
AND(~p,q)

1.
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1
2.
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

III.
AND(~p,~q)

1.
Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 i q=1
2.
~Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1


4.1.2 Prawo Jastrzębia

Prawo Jastrzębia:
W dowolnym operatorze logicznym suma logiczna funkcji Y+~Y stanowi dziedzinę matematyczną którą jest zbiór zdarzeń rozłącznych (zbiorów rozłącznych) uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.

Dowód na przykładzie operatora AND(p,q) odczytujemy z równań cząstkowych w tabeli T2:
Y=A: p*q
~Y=B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Dowód iż zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne:
Iloczyn logiczny zdarzenia każdego z każdym jest zbiorem pustym o wartości logicznej równej 0
Przykład:
A: (p*q)* B: (p*~q) = [] =0
bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
q*~q =0
cnd
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y+~Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y+~Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
p+~p=1
cnd

Wnioski z prawa Jastrzębia:

Załóżmy że mamy operator logiczny AND(p,~q):
1.
Y=A: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p*~q) = ~p+q - prawo De Morgana

Jak wygenerować funkcję logiczną ~Y w postaci sumy zdarzeń rozłącznych bez użycia tabeli zero-jedynkowej?
Z prawa Jastrzębia wynika że funkcja logiczna ~Y to wszystkie pozostałe zdarzenia rozłączne nie występujące w funkcji logicznej Y, czyli:
~Y = B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q

Weźmy dwa przykłady z przedszkola

Przykład 1
Weźmy operator AND(p,q).
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawda jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K*T) = ~K+~T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K+~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Innymi słowy:
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)
Znaczenie zmiennych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)

Zauważmy, że zarówno zdanie 1 jak i zdanie 2 bez problemu zrozumie każdy 5-cio latek.
… ale weźmy przykład 2.

Przykład 2
Weźmy operator AND(p,~q)
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) ale nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Y=K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K*~T) = ~K+T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1

W tym momencie mamy schody bowiem zdania 2 nie rozumie nie tylko 5-cio latek …
Jak wytłumaczyć 5-cio latkowi kiedy pani skłamie?
Oczywiście korzystając z prawa Jastrzębia.
Pani do Jasia (lat 5):
Czy wiesz kiedy jutro skłamię?
Jaś:
Nie wiem
Pani:
Skłamię wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych poza zdarzeniem Y=K*~T
Czy możesz wymienić wszystkie zdarzenia możliwe związane z moją obietnicą 1?
Jaś:
Jutro możemy:
A: K*T =1*1 =1 - iść do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - iść do kina (K=1) i nie iść do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - nie iść do kina (~K=1) i iść do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1 =1 - nie iść do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Hura!
Teraz rozumiem kiedy pani skłamie (`Y):
~Y= A: K*T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Innymi słowy::
Zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń i już pani skłamie (~Y=1)


4.2 Definicja operatora OR(p,q)

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1<=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1<=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q =0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Operator OR(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 i ~q=1

Matematyczne związki logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q = ~(~p*~q)
Matematyczne związki logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y=~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Dokładnie to samo w tabeli zero-jedynkowej:
Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w funkcji logicznej Y=p+q były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T1
Matematyczne związki spójników „i”(*) i „lub”(+)
w funkcji logicznej Y=p*q
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q)
A: 1  1  0  0   1      0         0       1
B: 1  0  0  1   1      0         0       1
C: 0  1  1  0   1      0         0       1
D: 0  0  1  1   0      1         1       0
   1  2  3  4   5      6         7       8

Tożsamość kolumn 5=8 to dowód formalny prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn 7=6 to dowód formalny prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Definicja operatora OR(p,q) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1<=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1<=>~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać w powyższej tabeli prawdy.

Rozważmy wewnętrzną budowę funkcji Y=p+q
Kod:

T2
Pełna tabela zero-jedynkowa funkcji logicznej Y=p+q w logice jedynek
uwzględniająca wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki pełnej tabeli zero-jedynkowej
W poziomie stosujemy spójnik „i”(*), zaś w pionie spójnik „lub”(+)
Pełna tabela              |Co w logice         |Równania
funkcji Y=p+q             |jedynek oznacza     |Cząstkowe
   p  q ~p ~q  Y=p+q ~Y=? |                    |
A: 1  1  0  0   1     0   | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1   1     0   | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  1  1  0   1     0   | Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | Yc=~p* q
D: 0  0  1  1   0     1   |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5     6     a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych ABCDdef odczytujemy definicję operatora OR(p,q):
1.
Y=Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
2.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Y)
Po rozwinięciu mamy:
~Y= D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y):
Y=p+q

Zachodzi tożsamość logiczna:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q


4.2.1 Definicja spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych

Zapiszmy jeszcze raz powyższą tożsamość logiczną:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q

Stąd mamy:
Definicja ogólna spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Co w logice jedynek oznacza:
(p+q)=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

To jest bardzo ważna definicja którą każdy uczeń LO musi po prostu znać na pamięć:
Dlaczego?

Wszystkich możliwych operatorów logicznych typu OR jest cztery:
I. OR(p,q)
II. OR(p,~q)
III. OR(~p,q)
IV. OR(~p*~q)

Rozpiszmy dwa pierwsze:
I.
OR(p,q)

1.
Y=p+q
Definicja tożsama spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych którą musimy znać na pamięć.
p+q = p*q+p*~q+~p*q
Stąd funkcja tożsama:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
2.
~Y=~p*~q

II.
OR(p*~q)

1.
Y=p+~q
2.
~Y=~p+q

Jak wygenerować funkcję logiczną w równaniach cząstkowych tożsamą do funkcji:
1: Y=p+~q

Sposób 1.
Pamiętana definicja ogólna w spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiamy:
q=(~q)
stąd mamy:
p+(~q) = p*(~q) + p*~(~q) + ~p*(~q)
Po zdjęciu nawiasów mamy:
p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Stąd:
Y =p+~q = p*q + p*~q + ~p*~q

Sposób 2.
Dużo prostszy.
Przyjrzyjmy się definicji ogólnej spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
p i q po lewej stronie mogą być w dowolnych przeczeniach.

Algorytm generowania spójnika „lub”(+) przy dowolnie zaprzeczonych argumentach:
1.
Przepisujemy argumenty w oryginale połączone spójnikiem „i”(+):
ARG1*ARG2
2.
Dołączamy do zapisu sumę logiczną:
ARG1*~(ARG2) + ~(ARG1)*(ARG2)
Innymi słowy:
ARG1+ARG2 = ARG1*ARG2 + ARG1*~(ARG2) + ~(ARG1)*ARG2

Zobaczmy na przykładach jak to działa:
Y=p+~q = p*~q + p*q + ~p*~q
Y=~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p+q = ~p*q + ~p*~q + p*q

Wniosek:
Pamiętanie algorytmu generowania definicji spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych jest zdecydowanie bardziej uniwersalne i prostsze niż sposób 1 czy też generowanie tabeli T2.

Przykład 1

Weźmy operator OR(p,q).
Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawda jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

Uwaga:
Jeśli chcemy rozpisać wszystkie możliwe sytuacje w których pani dotrzyma słowa (Y=1) to musimy skorzystać z definicji spójnika „lub” w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Nasz przykład:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
2.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Znaczenie zmiennych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa (=skłamie)


4.2.2 Operatory logiczne typu OR

W logice matematycznej istnieją cztery i tylko cztery operatory logiczne typu AND o definicjach:

I.
OR(p,q)

1.
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

II.
OR(p,~q)

1.
Y=p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
2.
~Y=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1

III.
OR(~p,q)

1.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

III.
OR(~p,~q)

1.
Y=~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
2.
~Y=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1


4.2.3 Definicja obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub”

Rozważmy operator OR(~p,q):
1.
Y=~p+q
2.
~Y=p*~q

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do teatru
Y=~K+T
Kiedy pani dotrzyma słowa?
Matematyk sobie z tym poradzi korzystając z definicji spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
Y = ~K*T + K*T + ~K*~T
Po uporządkowaniu do naszego standardu (nie musimy tego robić):
Y = A: K*T + C: ~K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1

Zauważmy, że normalnemu człowiekowi (nie matematykowi) na dźwięk zdania 1 włosy staną na głowie, czyli najchętniej posłałby panią do diabła za taki stosunek do maluchów.
Co ta pani wyprawia, przecież żaden człowiek nie wypowiada tak „bezsensownego” zdania.

Dlaczego nie wypowiada?
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Stąd zdanie tożsame do 1 brzmi:
1’
Jeśli jutro pójdziemy do kina to na 100% => pójdziemy do teatru
K=>T =1
Pójście do kina jest warunkiem wystarczającym => do tego aby dzieci poszły także do teatru.
Na mocy definicji:
Y = (K=>T) = ~K+T
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1’ stronami:
2’
~Y = ~(K=>T) = K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1).
W każdym innym przypadku pani nie (~) skłamie (~Y), czyli dotrzyma słowa (Y) bo prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania nagrody
Dowolna obietnica to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przykład:
1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera.
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona na mocy definicji.
Tu nic a nic nie musimy udowadniać.
Innymi słowy:
Ojciec daje dziecku gwarancję matematyczną => że jak zda egzamin to dostanie komputera.
Jedyny przypadek kiedy ojciec skłamie (~Y=1) to sytuacja że syn zdaje egzamin i nie dostaje komputera. W każdym innym przypadku ojciec nie (~) skłamie (~Y).
~(~Y) = Y - ojciec dotrzyma słowa.
Zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (K=1) bowiem syn może dostać komputer mimo nie zdanego egzaminu
E~>K =0
Po egzaminie ojciec może powiedzieć:
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że bardzo się uczyłeś ale miałeś pecha (dostałeś trudne zadanie)
Ten przypadek to powszechnie znany w przyrodzie (także wśród zwierząt) matematyczny akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody, mimo nie spełnienia warunku nagrody (syn nie zdał egzaminu).

Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q = ~p+q

Nasz przykład:
E=>K =~E+K
… i już wiadomo dlaczego nikt przy zdrowych zmysłach nie wypowiada obietnicy w formie definicji spójnika „lub”(+).

Obietnica matematycznie tożsama do 1 wyrażona spójnikiem „lub”(+) brzmiałaby:
1’
Synku, nie zdasz egzaminu lub dostaniesz komputer
Y=~E + K
Pewne jest, że tej obietnicy żaden normalny człowiek nie zrozumie, bowiem nie ma tu w sposób jawny warunku wystarczającego =>, czyli gwarancji matematycznej => iż jeśli syn zda egzamin to na 100% => dostanie komputer - poza tym wszystko może się zdarzyć.

Znając definicję spójnika „lub”(+) w równaniach cząstkowych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
z dziecinną łatwością odpowiemy na pytanie:
Kiedy ojciec dotrzyma słowa Y, czyli kiedy ojciec nie (~) skłamie ~Y
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Nasz przykład:
~E+K = ~E*K + ~E*~K + E*K
Nasza funkcja logiczna:
Y = (E=>K) = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> E=1 i K=1 lub ~E=1 i ~K=1 lub ~E=1 i K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), ze ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K=1*1 =1 - jutro dam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
lub
C: ~E*~K = 1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)
lub
Matematyczny akt miłości:
D: ~E*K =1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)

Oczywistym jest, że ojciec może skorzystać z aktu miłości (przypadek D) ale nie musi tego robić.
Równie dobrze może zaistnieć sytuacja C, czyli ojciec tak może uzasadnić nie zajście przypadku D.
C.
Synku, nie zdałeś egzaminu, nie dostajesz komputera bo widziałem że kompletnie się nie uczyłeś - biegałeś za spódniczkami zamiast się uczyć.
W przypadku C syn nie dostaje komputera i kropka.

Oczywiście w jakiejś tam przyszłości syn może dostać komputer, ale ten komputer będzie miał zero wspólnego z obietnicą wypowiedziana przez ojca (E=>K).

… a kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1’ stronami:
1’.
Y=~E+K
Negujemy stronami:
~Y = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
Stąd mamy:
2’
~Y=E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) ze ojciec skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1

Znaczenie zmiennych binarnych:
Y = (E=>K) - ojciec dotrzyma słowa
~Y = ~(E=>K) - ojciec skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)

Doskonale widać, że wszystko jest tu zgodne z logiką matematyczną 5-cio latka z tym że:
Póki co w ziemskich przedszkolach uczą „aktu miłości”, czyli wręczenia nagrody mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody w pięknych opowiadaniach i bajkach dla dzieci.
Niestety, póki co żaden ziemian nie zna matematycznego podkładu pod kwint esencję wielu bajek dla dzieci.
… ale to się wkrótce zmieni!


4.3 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowa tabela szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają wszelkie prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnej:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
Kod:

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
   p  q  Y
A: 1  1  x
B: 1  0  x
C: 0  1  x
D: 0  0  x

Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.

Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)

Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - spójnik „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q

KONIEC!
W jedynej poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia, elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.

4.3.1 Definicje znaczków elementarnych w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

4.3.2 Definicje znaczków elementarnych w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny


4.3.3 Definicje znaczków złożonych

Wszystkie możliwe znaczki złożone zbudowane ze znaczków elementarnych ~~>, => i ~> to:
9.
Operator chaosu p|~~>q:
p~~>q = p*q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów p i q
p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) =1*1 =1
10.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
11.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
12.
Definicja równoważności p<=>q:
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
Stąd definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q =(p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
Definicja równoważności p<=>q uzasadnia zaliczenie jej do grupy zdaniowej „Jeśli p to q”, bowiem znaczki => i ~> są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”


4.4 Operatory logiczne dwuargumentowe wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p= (p=>~p)*(~p=>p) =1*1 =1

Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

W tabeli T1 elementarne znaczki logiczne podzielono na cztery grupy I do IV.
Celem tego podziału jest przejrzystość klasyfikacji.

Dowolny operator logiczny dwuargumentowy można wyrazić spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1


Kod:

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(+)
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
   p  q p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
   1  2  3
Definicja spójnika „lub”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „lub”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1



4.4.1 Operatory logiczne grupy I

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że aby zmienne w tabeli T1 były rozpoznawalne musimy uzupełnić tą tabelę o zmienne zanegowane.
Kod:

T2
Operatory logiczna grupy I
              | AND(p,q)   | OR(p,q)    | AND(~p,~q) | OR(~p,~q)
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=   |  Y=   ~Y=  |  Y     ~Y
   p  q ~p ~q | p*q  ~p+~q | p+q  ~p*~q | ~p*~q  p+q | ~p+~q  p*q
A: 1  1  0  0 |  1     0   |  1     0   |   0     1  |   0     1
B: 1  0  0  1 |  0     1   |  1     0   |   0     1  |   1     0
C: 0  1  1  0 |  0     1   |  1     0   |   0     1  |   1     0
D: 0  0  1  1 |  0     1   |  0     1   |   1     0  |   1     0
                 1     2      3     4       5     6      7     8


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T2
AND(p,q)   ## OR(p,q)    ## AND(~p,~q) ## OR(~q,~q)
1: Y=p*q   ## 1: Y=p+q   ## 1: Y=~p*~q ## 1: Y=~p+~q
2:~Y=~p+~q ## 2:~Y=~p*~q ## 2:~Y=p+q   ## 2: ~Y=p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różne na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.

4.4.2 Operatory logiczne grupy II

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy II bazują na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”
Kod:

T3
Operatory logiczna grupy II wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
              | =>         | ~>        |<=>           |~~>
              | OR(~p,q)   | OR(p,~q)  | Y=    ~Y=    |
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=  | p*q+   p*~q+ | Y=1)  ~Y=2)
   p  q ~p ~q |~p+q   p*~q | p+~q ~p*q |~p*~q  ~p*q   |   
A: 1  1  0  0 |  1     0   |  1     0  |   1     0    |  1      0
B: 1  0  0  1 |  0     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
C: 0  1  1  0 |  1     1   |  1     0  |   0     1    |  1      0
D: 0  0  1  1 |  1     1   |  0     1  |   1     0    |  1      0
                 1     2      3     4       5    6       7      8
1)
Y=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2)
~Y = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T3
=>        ## ~>        ## <=>            ## ~~>
OR(~p,q)  ## OR(p,~q)  ##                ##
1: Y=~p+q ## 1: Y=p+~q ## 1: Y=p*q+~p*~q ## 1: Y=  p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
2:~Y=p*~q ## 2:~Y=~p*q ## 2:~Y=p*~q+~p*q ## 2:~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różna na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.


4.4.3 Operatory logiczne grupy III

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy III to zanegowane spójniki grupy II, jednak opisane funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y), nie zaś funkcja logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) - dlatego są to funkcje różne na mocy definicji ##.
Kod:

T4
Operatory logiczna grupy III wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
              |~(=>)       |~(~>)      | „albo”($)   |~(~~>)
              | AND(p,~q)  | AND(~p,q) | Y=    ~Y=   |
              | Y=   ~Y=   | Y=   ~Y=  | p*~q+  p*q+ | Y=1)  ~Y=2)
   p  q ~p ~q | p*~q ~p+q  |~p*q  p+~q |~p*q   ~p*~q |   
A: 1  1  0  0 |  0     1   |  1    0   |  0      0   |  0      1
B: 1  0  0  1 |  1     0   |  1    0   |  1      1   |  0      1
C: 0  1  1  0 |  0     1   |  1    0   |  1      1   |  0      1
D: 0  0  1  1 |  0     1   |  0    1   |  0      0   |  0      1
                 1     2      3    4      5      6      7      8
1)
 Y = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
2)
~Y=p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1


Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny dwuargumentowy wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w ujemnej (bo ~Y).
1.
Y=f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Operatory logiczne w tabeli T3 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
Kod:

T4
~(=>)     ## ~(~>)     ## ~(<=>)         ## ~(~~>)
AND(p,~q) ## AND(~p,q) ## „albo”($)      ##
1: Y=p*~q ## 1: Y=~p*q ## 1: Y=p*~q+~p*q ## 1: Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
2:~Y=~p+q ## 2:~Y=p+~q ## 2:~Y=p*q+~p*~q ## 2:~Y=  p*q+p*~q+~p*q+~p*~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Zauważmy, że funkcje logicznie w pionie nie są różna na mocy definicji bowiem jedna z nich jest zaprzeczeniem drugiej.
Różna na mocy definicji jest dowolna funkcja logiczna z kolumny x oraz funkcja logiczna z kolumny różnej od x.

4.4.4 Operatory logiczne grupy IV

Kod:

T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
        |Grupa I        |Grupa II      |Grupa III             | Grupa IV
        |Spójniki       |Spójniki typu |Spójniki przeciwne    | Wejścia
        |„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q  |do grupy II           | p i q
        | Y  Y |  Y  Y  | Y  Y   Y  Y  |  Y    Y     Y    Y   | Y  Y  Y  Y
   p  q | *  + | ~* ~+  | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>)   $  ~(~~>)| p  q ~p ~q
A: 1  1 | 1  1 |  0  0  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 1  1  0  0
B: 1  0 | 0  1 |  1  0  | 0  1   0  1  |  1    0     1    0   | 1  0  0  1
C: 0  1 | 0  1 |  1  0  | 1  0   0  1  |  0    1     1    0   | 0  1  1  0
D: 0  0 | 0  0 |  1  1  | 1  1   1  1  |  0    0     0    0   | 0  0  1  1
          0  1    2  3    4  5   6  7     8    9    10   11    12 13 14 15

Operatory logiczne grupy IV to operatory jednoargumentowe omówione w części II algebry Kubusia.

I.
Operator transmisji

1.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

I.
Operator negacji

1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 5:40, 20 Kwi 2019, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 12:43, 18 Lut 2016    Temat postu:

Tragedia czysto matematyczna Ziemian
Czyli dwa grzyby (błędy czysto matematyczna) w jednym barszczu.

Temat:
Ziemianie nie umieją rozwiązywać nierówności
Prawo Borsuka i prawo Bobra

Przykład:
Dany jest zbiór
p =(x>2)
Wyznacz zbiór ~p przyjmując za dziedzinę zbiór liczb całkowitych
LC=[…-2,-1,0,1,2,3,4 …]

Zapisujemy zbiór:
p = (x>2) = [3,4…]
Zbiór ~p to uzupełnienie do dziedziny dla zbioru p
Zbiór ~p przyjmuje postać:
~p = ~(x>2)=[..-2,-1,0,1,2]
Zapis tożsamy dla ostatniego zbioru to:
x=<2
Stąd mamy:
~p = ~(x>2)=[..-2,-1,0,1,2] = (x=<2)
Wniosek:
~(x>2) = (x=<2)
Negacja nierówności zmienia jej znak na przeciwny:
> na =<
Stąd mamy prawa Borsuka.

Prawo Borsuka:
Negacja nierówności zmienia jej znak na przeciwny
I prawo Borsuka:
> na =<
=< na >
II prawo Borsuka:
< na >=
>= na <

Prawo Bobra
Negując dowolną nierówność zmieniamy znak wyłącznie przy zmiennej x nie dotykając strony przeciwnej

Prawo Bobra wynika bezpośrednio z dowodu prawa Borsuka.
Błędem czysto matematycznym jest jednoczesne negowanie stałej po przeciwnej stronie zmiennej x

Poprawnie matematycznie na mocy prawa Bobra i prawa Borsuka jest tak:
x > (2)
~x =< (2)

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemian to:
x> (2)
~x < (-2)
W tym zapisie ziemianie robią dwa błędy czysto matematyczne za jednym zamachem bo zgodnie z prawem Borsuka i prawem Bobra powinno być:
x > (2)
~x =< (2)

Prawo Borsuka spełnia definicję dziedziny.
p+~p =1
p*~p=0

Nasz przykład:
(x>2) = [3,4…]
~(x>2)=[..-2,-1,0,1,2]

Sprawdzamy:
(x>2)+~(x>2) =1 - zbiory x>2 i ~(x>2) wzajemnie uzupełniają się do dziedziny LC
(x>2)*~(x>2) =0 - zbiory x>2 i ~(x>2) są rozłączne
cnd

Zauważmy, że podręczniki „matematyki” ziemian gwałcą święte prawa Borsuka!

Dowód:
Zadanie Nr.4 w podręczniku dla gimnazjum w 100-milowym lesie
A: ~x>3

Prawo Borsuka:
Negacja nierówności stronami zmienia znak nierówności na przeciwny
czyli:
> na =<
>= na <
Czytamy:
>= - większe lub równe
=< - mniejsze lub równe = równe lub mniejsze

Zgodnie z prawem Borsuka i prawem Bobra zapisujemy:
A: ~x> (3)
Stąd:
C: x=< (3)
Na mocy prawa Bobra nie wolno nam dotykać liczby 3.
Ziemianie nie znają ani prawa Borsuka, ani prawa Bobra robiąc dwa grzyby (błędy matematyczne) w jednym barszczu.
Koszmarny błąd czysto matematyczny ziemian to zapis:
C: x < (-3) !!!???

Dokładnie to samo zadanie Nr.4 w podręczniku dla gimnazjum ziemian

[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie Nr. 4 w podręczniku matematyki do gimnazjum
A: ~x>(3)
C: x< (-3)
Komentarz do przejścia z A do C w ziemskim podręczniku dla gimnazjum to prawo głupka.

Prawo ziemskiego głupka:
Obie strony nierówności mnożymy przez liczbę ujemną więc zmieniamy znak nierówności na przeciwny:
> na <

Prawo ziemskiego głupka to dwa grzyby (błędy matematyczne) w jednym barszczu.
Dowód wyżej
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
fiklit




Dołączył: 24 Wrz 2012
Posty: 4196
Przeczytał: 1 temat


Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 13:34, 18 Lut 2016    Temat postu:

Teraz to już jestem pewny, że cie równo pogrzało.
Ale potem troche ochłnąłeś. :)
Co nie zmienia faktu, że jednak popełniłeś ten błąd. Masz naprawdę poważne problemy z rozumieniem tego czego sam nie stworzyłeś.


Ostatnio zmieniony przez fiklit dnia Czw 13:44, 18 Lut 2016, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 16:11, 19 Lut 2016    Temat postu:

fiklit napisał:
Teraz to już jestem pewny, że cie równo pogrzało.
Ale potem troche ochłnąłeś. :)
Co nie zmienia faktu, że jednak popełniłeś ten błąd. Masz naprawdę poważne problemy z rozumieniem tego czego sam nie stworzyłeś.

Fiklicie, nie rozumiesz najważniejszej tu rzeczy.
Ja z założenie nie sięgam do Wikipedii, robię to świadomie.

30 lat temu postanowiłem przekazać śmietankę wiedzy której mnie uczono na elektronice w sposób zrozumiały dla ucznia I klasy LO.

Zadanie wydawać by się mogło karkołomne i nie do zrealizowania, jednak cel osiągnąłem, zrobiłem to co planowałem z fantastycznym skutkiem - kiedyś się o tym dowiesz, mam nadzieję - to co zrobiłem jest już legendą, oczywiście w światku elektroniki.

Czy wiesz dlaczego osiągnąłem swój cel?
Bo z założenia nie zaglądałem do żadnych podręczników elektronicznych czy elektrycznych - wszystko musiało mi się ułożyć po równi pochyłej od zupełnego zera - a tym zerem było założenie że piszę do młodego człowieka, który ma czysty mózg, nie zna nawet prawa Ohma.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 15:27, 06 Kwi 2016    Temat postu:

fiklit napisał:

Cytat:
Ty natomiast dokonałeś redukcji startując od matematycznego bezsensu, czyli zdania fałszywego, bo twoja redukcja dotyczy takiego zdania wyjściowego.
B.
Każdy niepusty podzbiór LN ma element największy

Skoro musisz bronić swojej teorii kłamstwami to chyba nie ma sensu dyskutować, nie sądzisz? W którym poscie pisałem o "niekoniecznie skończonych" podzbioreach LN? Traktuję to jak przyznanie się do błędu. Nie musimy kontynuować tej dyskusji.

Jeśli jednak nadal uważasz że nie mam racji, to nawet do udowodnienienia fałszywości zdania B potrzebujesz wskazać element który należy do poprzednika i nie należy do następnika. Takimi elementami są (pod)zbiory. Ty jednak nie jesteś w stanie skonstruować zbioru składającego się ze zbiorów. Twoja teoria zbiorów jest na to za słaba.

Fiklicie,
Nie pisałeś, ja nie zarzucam ci kłamstwa.
Jeśli jednak chcemy redukować matematykę do poziomu gimnazjum to taka redukcja musi mieć sens, musi być odpowiednikiem twierdzenia ogólnego, które chcemy uprościć dla wyjaśnienia istoty rzeczy gimnazjalistom.

Pozwolisz że ja wyjdę od prawdziwego twierdzenia ogólnego i dokonam redukcji dokładnie do twojej dziedziny
D=[1,2,3]

Twoje prawdziwe twierdzenie ogólne było takie:
A.
Każdy niepusty skończony podzbiór LN ma element największy

Redukuję dziedzinę LN do dziedziny:
D=[1,2,3]
bo dokładnie to zrobiłeś, wolno ci tak zrobić, ja zrobiłem to samo na trochę szerszej dziedzinie D.

Ze zdania wyjściowego A wynika że musimy tu mówić o podzbiorach właściwych, nie wolno tego słówka opuścić bo wtedy nie będzie to poprawne matematycznie uproszczenie problemu A dla przedszkolaków, o czym było w moim ostatnim poście.

Wracając do tematu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-625.html#276062
fiklit napisał:
Ok. ograniczmy się do 4 psów Puc, Bursztyn, Rex, Azor oraz niepustych podzbiorów zbioru [1,2,3].
I Każdy pies ma na pewno => 4 łapy.
II Każdy podzbiór ma na pewno => element największy.
W I poprzednik to zbiór [Puc, Bursztyn, Rex, Azor]
W II poprzednik to zbiór [1,2,3,[1,2],[2,3],[1,3],[1,2,3]]
Czy tu jest jakiś błąd?

Na mocy powyższych rozważań koryguję twoje zdanie do podzbiorów właściwych, czyli zdanie brzmi tak.
Dziedzina:
D=[1,2,3]
A.
Każdy podzbiór właściwy dziedziny D nie będący zbiorem jednoelementowym na pewno => ma element największy.

W zbiorze jednoelementowym nie możemy mówić o elemencie największym z powodu prawa rozpoznawalności pojęcia, dlatego to zastrzeżenie wprowadziłem do twojego zdania.
Zastrzeżenie o zbiorze jednoelementowym w dalszej części pomijamy traktując je jako oczywiste i domyślne.

Wszystkie możliwe podzbiory właściwe dla dziedziny:
D=[1,2,3] i zdania A mamy zatem takie.
p=[1,2]
q=[1,3]
r=[2,3]
Podzbiór niewłaściwy:
s=[1,2,3]
A.
Jeśli zbiór Px jest podzbiorem właściwym dziedziny D to na pewno => ma element największy
Px=>EN =1
Bycie podzbiorem właściwym dziedziny D daje nam gwarancję matematyczną => iż w dowolnym zbiorze Px istnieje element największy
Widać to doskonale na przykładzie, bo mamy zaledwie trzy zbiory.
Spełniony warunek wystarczający => w zdaniu A plus fakt braku tożsamości pojęć Px i EN wymusza definicję implikacji prostej Px|=>EN
Px|=>EN = (Px=>EN)*~[Px=En]
To jest koniec analizy matematycznej zdania A
Dalszą część, zdania B, C i D wypełni automatycznie komputer po naciśnięciu przycisku START!

Dlaczego tak walczyłem o wydawałoby się nic nie znaczące słówko „właściwy”?
Bo bez tego słówka nie zachodzi implikacja prosta Px|=>EN, czyli matematyka leży w gruzach!
Oczywistym jest że uproszczenia matematyczne dla gimnazjalistów muszą startować od prawdziwych twierdzeń ogólnych, co w naszym przypadku gwarantuje słówko „właściwy”.

… nie musimy tego robić, ale pojedźmy z tą analiza do końca.

Z prawdziwości zdania A wynika fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli zbiór Px jest podzbiorem właściwym dziedziny D to może ~~> nie mieć elementu największego
Px~~>~EN =0
Nie jest to możliwe co widać w naszych zbiorach p, q, r

… a jeśli zbiór Px nie jest podzbiorem właściwym dziedziny D?
Prawo Kubusia:
Px=>EN = ~Px~>~EN
stąd:
C.
Jeśli zbiór Px nie jest podzbiorem właściwym dziedziny D to może ~> nie mieć elementu największego
~Px~>~EN =0

W tym momencie zrozumiałe swój błąd:
Podzbiór właściwy dla dziedziny D to oczywiście:
s=[1,2,3]
Zatem ma on element największy, zatem zdanie C jest fałszywe!

Oczywiście fałszywość zdania C wyklucza implikację prostą:
Px|=>EN = (Px=>EN)*~[Px=EN]

Stop.
Post leci do śmietnika
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 14:35, 26 Kwi 2016    Temat postu:

Algebra Kubusia
Część I

Spis treści
1.0 Definicje podstawowe 1
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
1.2 Spójniki implikacyjne 2
1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 2
2.0 Definicja definicji 4
2.1 Definicja minimalna 4
3.0 Podstawowe działania na zbiorach 5
3.1 Iloczyn logiczny zbiorów: 5
3.2 Suma logiczna zbiorów: 6
3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru: 6
4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” 7
4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q” 9
4.1.1 Prawo Czarnej Mamby 11
4.2 Aksjomaty Kubusia 11
4.3 Kwantyfikator mały ~~> 14
4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach 14
4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach 15
4.4 Warunek wystarczający => 15
4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach 16
4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów 18
4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach 19
4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń 19
4.5 Warunek konieczny ~> 20


1.0 Definicje podstawowe

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
p =[x] - zbiór niepusty
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
p =[] - zbiór pusty

Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty

1.1 Podstawowe operacje na zbiorach

„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka

Podstawowe operacje na zbiorach:

„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q

„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Wartościowanie podstawowych operacji na zbiorach:
1 (prawda) - zbiór wynikowy jest niepusty
0 (fałsz) - zbiór wynikowy jest pusty

1.2 Spójniki implikacyjne

Spójniki implikacyjne:
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p<=>q - równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Wartościowanie spójników implikacyjnych:
1 (prawda) - dany warunek jest spełniony
0 (fałsz) - dany warunek nie jest spełniony

1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej

W logice matematycznej mamy do czynienia z trzema rodzajami tożsamości:
1. Tożsamość definiująca
2. Tożsamość wartościująca
3. Tożsamość logiczna (tożsama z równoważnością)

Pojęcie tożsamości w logice jest wystarczająco precyzyjne, bowiem rodzaj tożsamości wynika z konkretnego zapisu matematycznego.

Zbiory:
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
p =[pies, kot] =1
p - nazwa zbioru
[pies, kot] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
=1 - wartość logiczna zbioru 1, bo zbiór niepusty

Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>)

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)

Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.

Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”

Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q


2.0 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


2.1 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC =1)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojęcie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc


3.0 Podstawowe działania na zbiorach

W logice matematycznej dostępne są zaledwie cztery podstawowe operacje na zbiorach.

3.1 Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
p*q
Wartościowanie:
p*q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p*q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
r=[7,8]
p*q =q*p =[1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p*r =r*p =[1,2,3,4]*[7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy jest pusty
Wnioski:
1.
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym to zbiory p i q są rozłączne (i odwrotnie)
2.
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny: p*q = q*p

3.2 Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
p+q
Wartościowanie:
1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
Z IV aksjomatu Kubusia (punkt 4.2) wnioskujemy, iż wynikiem sumy logicznej zbiorów może być wyłącznie zbiór niepusty.

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

3.3 Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p-q
Wartościowanie:
p-q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p-q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - zbiór wejściowy niepusty
r=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
s=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
q-p =[3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p-r =[1,2,3,4]-[1,2] =[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
r-p =[1,2]-[1,2,3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
r-s =[1,2]-[1,2] =[] =0
Wnioski:
1.
Jeśli zbiory p i q są nie są tożsame ~[p=q] to różnica zbiorów nie jest przemienna, bo zbiór wynikowy p-q jest różny od q-p
Jeśli zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] to nie jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q
2.
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów p-q jest zbiorem pustym [] (i odwrotnie)
p-q = q-p =[]
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów jest przemienna, co oznacza iż wszystko jedno jest który zbiór nazwiemy p a który q.


3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)

Przykład:
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru”
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru” to „uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny”
W naszym przykładzie zbiór ~p=[5,6] jest uzupełnieniem do dziedziny D=[1,2,3,4,5,6] dla zbioru p=[1,2,3,4]


4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne:
I. p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
II. p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
III. p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Wartościowanie zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Jeśli dany warunek jest spełniony (=1) to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest prawdziwe (=1), inaczej jest fałszywe (=0)

I.
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1*1 =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest (=1) sytuacja „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~>~P = 1*1 =0
Warunek konieczny ~> w zdaniu A2 nie jest spełniony (=0) bo zabieram chmury (CH=1) nie wykluczając sytuacji „nie pada” (~P=1)

II.
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

A3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = 1*1 =1
Warunek wystarczający => spełniony (=1) bo zawsze gdy wymuszam deszcz (P=1), pojawiają się chmury (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

III
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

A4.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => braku opadów (~P=1)
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Przykłady:
A5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH = 1*1 =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo możliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „są chmury” (CH=1)
A6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Doskonale widać, że warunkiem koniecznym prawdziwości zdania A6: P=>CH jest prawdziwość tego samego zdania pod kwantyfikatorem małym A5: P~~>CH
A7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH = 1*1 =[] =0
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe (=0) bo niemożliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „nie ma chmur” (~CH=1)

Na mocy prawa Kobry, jeśli w zdaniu A7 wymienimy spójnik na warunek wystarczający => lub konieczny ~> to zdanie A7 na pewno będzie fałszywe:
A7’.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie być pochmurno
P=>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.
A7’’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> nie być pochmurno
P~>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.


4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

Twierdzenie Pitagorasa - pełne brzmienie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK =1
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Bycie trójkątem prostokątnym daje nam gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów.
Jeśli w zdaniu A pod x podstawimy TP to wszystko jest w porządku:
x=TP
stąd:
TP*ZWT*TP =>SK
Prawa teorii zbiorów:
TP*TP = TP - bo iloczyn logiczny zbiorów tożsamych jest dowolnym ze zbiorów
ZWT*TP = TP - bo ZWT jest nadzbiorem zbioru TP
Stąd zapis matematycznie tożsamy:
TP=>SK
Wniosek:
Doskonale widać, że zdanie A jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla trójkątów prostokątnych i fałszywe dla trójkątów nieprostokątnych (~TP).
Dowód:
Podstawiamy:
x=~TP - trójkąt nieprostokątny
Stąd:
~TP*ZWT*TP => SK
Prawa teorii zbiorów:
~TP*TP =[] - bo zbiory ~TP i TP są rozłączne
[]*ZWT=[] - iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
stąd otrzymujemy:
A: [] =>SK =0
Dla trójkątów nieprostokątnych twierdzenie Pitagorasa jest fałszywe bo prawo Kobry.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A pod kwantyfikatorem małym ~~> brzmi:
A: [] ~~>SK = []*SK =[] =0
Wniosek:
Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A jest fałszywe.

Stąd mamy jak na dłoni, szczegółową budowę zdania warunkowego „Jeśli p to q”.
Zapiszmy jeszcze raz nasze zdanie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK

To samo w zapisie ogólnym:
AOG.
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest [p=wybrany element] to [q=konkretna cecha tego elementu]
x*X*p=>q
Tłumaczymy AOG na nasz przykład A:
Jeśli dowolny element x = Jeśli wylosowany trójkąt x
z przyjętej dziedziny x = ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT)
jest [p=wybrany element] = jest prostokątny (TP)
to [q=konkretna cecha tego elementu] = to w trójkącie tym zachodzi suma kwadratów

Zauważmy, że w schemacie ogólnym zdania warunkowego „Jeśli p to q” pod p i q nie możemy podstawić ani zbioru pustego (zabrania prawo Kobry), ani też zbioru pełnego (wybranej dziedziny).

Dowód:
1.
Spróbujmy podstawić pod p zbiór pusty:
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest […] to [q=konkretna cecha tego elementu]

W zbiorze pustym nie ma żadnego elementu, zatem nie jesteśmy w stanie opisywać konkretnej cechy elementu którego nie widzimy (nie znamy).

2.
Spróbujmy podstawić pod zbiór p dziedzinę.
Załóżmy najszerszą możliwą dziedzinę: Uniwersum
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny [Uniwersum] jest [Uniwersum] to [q=konkretna cecha tego elementu]
x*U*U =x
Prawa teorii zbiorów:
U*U =U - bo iloczyn logiczny zbiorów tożsamych jest dowolnym z tych zbiorów
x*U=x - bo x jest podzbiorem U
czyli poprzednik urywa nam się na zdaniu:
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny U (ale jaki element!) to [q=konkretna cecha tego elementu]

Wnioski:
W algebrze Kubusia dziedzina jest zawsze kluczowa i najważniejsza, w AK operujemy tylko i wyłącznie w obrębie wybranej dziedziny.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie możemy pod p lub q podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny (w szczególności Uniwersum)
Co udowodniono wyżej.

4.1.1 Prawo Czarnej Mamby

Prawo Czarnej Mamby wynika ze szczegółowej budowy zdania warunkowego „Jeśli p to q” omówionej wyżej.

Prawo Czarnej Mamby
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” pod p lub q nie możemy podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny D na której operujemy (w szczególności Uniwersum).

Przykład bezsensu:
Jeśli […] to ?
Jeśli Uniwersum to …?

Podzbiorem prawa Czarnej Mamby jest prawo Kobry.
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>


4.2 Aksjomaty Kubusia

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Aksjomaty Kubusia
I.
Człowiek może operować wyłącznie na pojęciach dla niego zrozumiałych
pies - pojęcie zrozumiałe
blebleku - pojęcie niezrozumiałe
II.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
Wniosek:
Logika, będąca zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” to matematyczny opis nieznanego
III.
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
W szczególności będzie to zbiór jednoelementowy
IV.
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste będące podzbiorem właściwym dziedziny na której operujemy.
Definicja podzbioru właściwego |=>:
Zbiór p jest podzbiorem właściwym |=> dziedziny D wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => dziedziny D i nie jest tożsamy z dziedziną D, co matematycznie zapisujemy ~[p=D]
p|=>D = (p=>D)*~[p=D]
Zobacz też prawo Czarnej Mamby (pkt.4.1.1)
V.
Zbiór pusty w logice matematycznej może powstać wyłącznie w matematycznych operacjach na zbiorach niepustych
Aksjomat V to wniosek z aksjomatu IV

Ad. II
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
Dowód:
W całym obszarze języka mówionego, we wszelkich środkach masowego przekazu, nie istnieje ani jedno zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w którym wartości logiczne p i q znane byłyby z góry.

Wniosek:
Definicja logiki matematycznej:
Logika to matematyczny opis nieznanego, czyli przyszłości lub nieznanej przeszłości

Wbrew pozorom przeszłość nie musi być znana.
Przykład :
Poszukiwanie mordercy
Założenia:
1. Morderstwa dokonano w Warszawie
2. Podejrzany Kowalski
A.
Jeśli Kowalski był w Warszawie w dniu morderstwa to mógł ~> zamordować
W~>Z =1
Bycie Kowalskiego w Warszawie w dniu morderstwa było warunkiem koniecznym ~>, aby był on mordercą.

Jeśli znamy rozwiązanie np. Kowalski jest mordercą to zdanie A wyżej traci sens, wiemy wszystko i żadna logika matematyczna nie jest nam tu potrzebna.

Ad. III
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem

Przykład matematyczny:
Zdefiniujmy dziedzinę:
LR - zbiór liczb rzeczywistych
Utwórzmy zbiór p zbudowany z jednej liczby tego zbioru:
p=[2]
Zaprzeczenie zbioru p to:
~p=[LR-2] - zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem liczby 2
Matematycznie zachodzi:
p+~p = [2]+[LR-2] = LR =1 (dziedzina)
Zbiór ~p=[LR-2] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p=[2]
oraz:
p*~p = [2]*[LR-2] = [] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Matematycznie zachodzi również:
p ## ~p
[2] ## [LR-2]
gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji

Przykład nie matematyczny
Zdefiniujmy zbiór zawierający jedno pojęcie z obszaru Uniwersum:
C = [kolor czerwony]
Przyjmijmy dziedzinę:
Uniwersum (U) - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Na mocy definicji zaprzeczenia zapisujemy:
~C = [U-C] - dowolne pojęcie z palety Uniwersum z wykluczeniem „koloru czerwonego”

Zaprzeczeniem „koloru czerwonego” jest dowolne pojęcie z Uniwersum różne od pojęcia „kolor czerwony”, w szczególności może to być dowolny inny kolor.
Wypiszmy kilka pojęć wchodzących do zbioru ~C.
~C =[kolor biały, krowa, krasnoludek, miłość, Wszechświat …]
Dowolne z tych pojęć jest zaprzeczeniem koloru czerwonego.

W tym ujęciu „kolor czerwony” to zbiór jednoelementowy:
C = [kolor czerwony]

Stąd mamy III aksjomat Kubusia:
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
W szczególności będzie to zbiór jednoelementowy

Ad. IV
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste będące podzbiorem właściwym dziedziny na której operujemy.
Aksjomat IV wynika bezpośrednio z prawa Czarnej Mamby (pkt. 4.1.1)

Prawo Czarnej Mamby
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” pod p lub q nie możemy podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny D na której operujemy (w szczególności Uniwersum).

Przykład bezsensu:
Jeśli […] to ?
Jeśli Uniwersum to …?

4.3 Kwantyfikator mały ~~>

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q

4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zbiory:
Dla udowodnienia zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q
Wartościowanie dla zbiorów:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zbiorów:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykłady w zbiorach:
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8 ..] np. 8
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.
Kwantyfikator mały jest przemienny bo argumenty w iloczynie logicznym są przemienne:
P8*P2 = P2*P8
P8*~P2 = ~P2*P8

4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdarzenia:
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q
Wartościowanie dla zdarzeń:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zdarzeń:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Możliwe jest (Vx) jednoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)

Przykłady w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona, bo możliwa jest (=1) sytuacja „pada” i „są chmury”
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =[] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Wniosek:
Dla prawdziwości kwantyfikatora małego ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzenia p i q
Kwantyfikator mały ~~> jest przemienny bo iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń) jest przemienny:
P*CH = CH*P
P*~CH = ~CH*P


4.4 Warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q

Przemienność argumentów w warunku wystarczającym =>:
Warunek wystarczający => nie jest przemienny, gdy zbiory (zdarzenia) p i q nie są tożsame ~[p=q]
LUB
Warunek wystarczający => jest przemienny gdy zbiory (zdarzenia) p i q są tożsame [p=q]

Przykład warunku wystarczającego => nieprzemiennego:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdanie odwrotne brzmi:
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(p<=q)

Nasz przykład:
RA.
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P8<=P2) = 1*0 =0
Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 nie wchodzi w skład definicji równoważności.

Przykład warunku wystarczającego => przemiennego:
A.
Jeśli dowolna liczba jest liczbą naturalną to na pewno => ta sama dowolna liczba jest liczbą naturalną
LN=>LN =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo poprzednik jest tu identyczny z następnikiem, co gwarantuje prawdziwość warunku wystarczającego w dwie strony, co gwarantuje przemienność argumentów w zdaniu warunkowym „Jeśli p to p”
LN<=>LN = (LN=>LN)*(LN<=LN) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek wystarczający A: LN=>LN wchodzi w skład definicji równoważności.


4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Wnioski:
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => na to, by ta liczba należała do zbioru q
Wylosowane dowolnej liczby ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest z zbiorze q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem zbioru q (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x)

Definicja podzbioru właściwego =>:
Zbiór p jest podzbiorem właściwym |=> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Argumenty w podzbiorze właściwym p|=>q nie są przemienne.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, stąd
p=>q =1
Zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p, stąd:
q=>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => nie są przemienne, zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja podzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest zbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Argumenty w podzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
[p=q] = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1


4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zbiorach
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] jest warunkiem wystarczającym => na to aby ta liczba należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna

Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: P8=>P2 jest zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym B: P8~~>~P2
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości kontrprzykładu B: P8~~>~P2 =0
Sprawdzamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Definicja kwantyfikatora nie jest spełniona (=0), bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Fałszywość kwantyfikatora małego B: P8~~>~P2 =0 daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1

Przemienność argumentów:
Argumenty w warunku wystarczającym A: P8=>P2 nie są przemienne bo:
A: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
AO: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]


4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p gdy zajście zdarzenia p wymusza => zdarzenie q

Wnioski:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => na to, by zaszło zdarzenie q
Zajście zdarzenie p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia zdarzenia q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q. (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego zdarzenia x, jeśli zajdzie p(x) to zajdzie q(x)


4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zdarzeniach
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy „pada”, „są chmury”
Padanie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego A: P=>CH =1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P~~> ~CH=0 (i odwrotnie).
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Z fałszywości kontrprzykładu B: P~~>~CH=0 wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A: P=>CH =1 (i odwrotnie)

Przemienność argumentów:
Warunek wystarczający A: P=>CH nie jest przemienny bo zdanie odwrotne jest fałszywe:
AO.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
CH=>P =0
Warunek wystarczający AO: CH=>P nie jest spełniony (=0) bo prawdziwy jest kontrprzykład:
B: CH~~>~P= CH*~P =1 - może się zdarzyć, że są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)


4.5 Warunek konieczny ~>

Definicja warunku koniecznego ~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q

Zbiory:
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Zdarzenia:
Warunek konieczny p~>q jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zajście zdarzenia q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zdarzenie q (Inaczej: p~>q =0)

Definicja nadzbioru właściwego |~>:
Zbiór p jest nadzbiorem właściwym |~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Argumenty w nadzbiorze właściwym p|~>q nie są przemienne.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, stąd
p~>q =1
Zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p, stąd:
q~>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> nie są przemienne, tonzbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja nadzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest nadzbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p~>q)*[p=q]
Argumenty w nadzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
q~>p =1 - zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jednocześnie zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
[p=q] = (p~>q)*(q~>p) = 1*1 =1

4.5.1 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem zbioru P8=[8,16,24..]
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8, bo jak liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego P2~>P8 z warunkiem wystarczającym ~P2~>~P8
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.


4.5.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Zabieram zdarzenie p wykluczając zajście zdarzenia q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie.
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> dla deszczu, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
CH~>P = ~CH=>~P
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego CH~>P z warunkiem wystarczającym ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.


Algebra Kubusia
Część I

Spis treści
1.0 Definicje podstawowe 1
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
1.2 Spójniki implikacyjne 2
1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 2
2.0 Definicja definicji 4
2.1 Definicja minimalna 4
3.0 Podstawowe działania na zbiorach 5
3.1 Iloczyn logiczny zbiorów: 5
3.2 Suma logiczna zbiorów: 6
3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru: 6
4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” 7
4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q” 9
4.1.1 Prawo Czarnej Mamby 11
4.2 Aksjomaty Kubusia 11
4.3 Kwantyfikator mały ~~> 14
4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach 14
4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach 15
4.4 Warunek wystarczający => 15
4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach 16
4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów 18
4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach 19
4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń 19
4.5 Warunek konieczny ~> 20


1.0 Definicje podstawowe

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
p =[x] - zbiór niepusty
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
p =[] - zbiór pusty

Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty

1.1 Podstawowe operacje na zbiorach

„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka

Podstawowe operacje na zbiorach:

„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q

„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Wartościowanie podstawowych operacji na zbiorach:
1 (prawda) - zbiór wynikowy jest niepusty
0 (fałsz) - zbiór wynikowy jest pusty

1.2 Spójniki implikacyjne

Spójniki implikacyjne:
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p<=>q - równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Wartościowanie spójników implikacyjnych:
1 (prawda) - dany warunek jest spełniony
0 (fałsz) - dany warunek nie jest spełniony

1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej

W logice matematycznej mamy do czynienia z trzema rodzajami tożsamości:
1. Tożsamość definiująca
2. Tożsamość wartościująca
3. Tożsamość logiczna (tożsama z równoważnością)

Pojęcie tożsamości w logice jest wystarczająco precyzyjne, bowiem rodzaj tożsamości wynika z konkretnego zapisu matematycznego.

Zbiory:
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
p =[pies, kot] =1
p - nazwa zbioru
[pies, kot] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
=1 - wartość logiczna zbioru 1, bo zbiór niepusty

Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>)

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)

Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.

Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”

Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q


2.0 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


2.1 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC =1)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojęcie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc


3.0 Podstawowe działania na zbiorach

W logice matematycznej dostępne są zaledwie cztery podstawowe operacje na zbiorach.

3.1 Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
p*q
Wartościowanie:
p*q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p*q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
r=[7,8]
p*q =q*p =[1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p*r =r*p =[1,2,3,4]*[7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy jest pusty
Wnioski:
1.
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym to zbiory p i q są rozłączne (i odwrotnie)
2.
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny: p*q = q*p

3.2 Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
p+q
Wartościowanie:
1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
Z IV aksjomatu Kubusia (punkt 4.2) wnioskujemy, iż wynikiem sumy logicznej zbiorów może być wyłącznie zbiór niepusty.

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

3.3 Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p-q
Wartościowanie:
p-q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p-q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - zbiór wejściowy niepusty
r=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
s=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
q-p =[3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p-r =[1,2,3,4]-[1,2] =[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
r-p =[1,2]-[1,2,3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
r-s =[1,2]-[1,2] =[] =0
Wnioski:
1.
Jeśli zbiory p i q są nie są tożsame ~[p=q] to różnica zbiorów nie jest przemienna, bo zbiór wynikowy p-q jest różny od q-p
Jeśli zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] to nie jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q
2.
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów p-q jest zbiorem pustym [] (i odwrotnie)
p-q = q-p =[]
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów jest przemienna, co oznacza iż wszystko jedno jest który zbiór nazwiemy p a który q.


3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)

Przykład:
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru”
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru” to „uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny”
W naszym przykładzie zbiór ~p=[5,6] jest uzupełnieniem do dziedziny D=[1,2,3,4,5,6] dla zbioru p=[1,2,3,4]


4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne:
I. p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
II. p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
III. p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Wartościowanie zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Jeśli dany warunek jest spełniony (=1) to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest prawdziwe (=1), inaczej jest fałszywe (=0)

I.
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q

A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1*1 =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest (=1) sytuacja „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~>~P = 1*1 =0
Warunek konieczny ~> w zdaniu A2 nie jest spełniony (=0) bo zabieram chmury (CH=1) nie wykluczając sytuacji „nie pada” (~P=1)

II.
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

A3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = 1*1 =1
Warunek wystarczający => spełniony (=1) bo zawsze gdy wymuszam deszcz (P=1), pojawiają się chmury (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

III
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

A4.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => braku opadów (~P=1)
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Przykłady:
A5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH = 1*1 =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo możliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „są chmury” (CH=1)
A6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Doskonale widać, że warunkiem koniecznym prawdziwości zdania A6: P=>CH jest prawdziwość tego samego zdania pod kwantyfikatorem małym A5: P~~>CH
A7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH = 1*1 =[] =0
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe (=0) bo niemożliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „nie ma chmur” (~CH=1)

Na mocy prawa Kobry, jeśli w zdaniu A7 wymienimy spójnik na warunek wystarczający => lub konieczny ~> to zdanie A7 na pewno będzie fałszywe:
A7’.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie być pochmurno
P=>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.
A7’’.
J


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:39, 03 Maj 2016, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 13:57, 25 Maj 2016    Temat postu:

Dochodzenie do końcowej wersji AK
2016-05-25

Algebra Kubusia

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek i inni.
Kubuś

Wstęp:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych totalnie izolowana od jakichkolwiek zer i jedynek. Cała logika matematyczna zaszyta jest tu w symbolach niezaprzeczonych (p) i zaprzeczonych (~p). W algebrze Kubusia wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka, które zapewniają bezproblemowe przejście z logiki równań logicznych do klasycznego rachunku zero-jedynkowego (i odwrotnie).
Z tego powodu algebra Kubusia jest algebrą, tak jak algebrą jest klasyczny rachunek zero-jedynkowy.
Pod algebrę Kubusia podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy. Najbardziej genialne są tu definicje implikacji prostej |=> i odwrotnej |~>, gdzie w jednej połówce mamy gwarancję matematyczną =>, natomiast w drugiej połówce zaszyta jest najzwyklejsza przypadkowość (~>, ~~>).
W świecie żywym operatory implikacji obsługują matematyczną „wolną wolę” wszystkich istot żywych. Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, i nie ma najmniejszych szans aby się spod niej uwolnić. To dzięki algebrze Kubusia człowiek może się sensownie komunikować z drugim człowiekiem i nie ma w tej komunikacji chaosu (bełkotu), jaki niechybnie byłby, gdyby nie algebra Kubusia.
Algebra Kubusia w matematyce to wszelkie twierdzenia matematyczne, zatem występuje w każdej dziedzinie matematyki, to również przepiękna obsługa zbiorów w naszym Wszechświecie, zewsząd nas otaczających.

Spis treści
1.0 Notacja 2
2. 0 Klasyczna algebra Boole’a 2
2.1 Operatory logiczne 3
2.2 Prawa Prosiaczka 4
2.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach 6
2.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka 6
2.3 Operatory jednoargumentowe 7
2.3.1 Operator transmisji 8
2.3.2 Operator negacji 12
2.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 15
2.4 Definicje operatorów OR(|*) i AND(|+) 17
2.4.1 Definicja operatora OR(|+) 19
2.4.2 Definicja operatora AND(|*) 21
2.4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne 23
2.5 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 25
2.5.1 Prawa De Morgana 27
2.5.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 28
2.6 Operatory jednoargumentowe 32
2.6.1 Definicja operatora negacji 32


1.0 Notacja

1 - prawda
0 - fałsz

2. 0 Klasyczna algebra Boole’a

Klasyczna algebra Boole’a to opis wszelkich tabel zero-jedynkowych, w tym operatorów logicznych przy pomocy spójników logicznych:
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„~” - negacja, przedrostek NIE z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Klasyczna algebra Boole’a to zarówno tabele zero-jedynkowe, jak i równania algebry Boole’a opisujące te tabele. Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) to tylko „połówki” operatorów logicznych OR(|+) i AND(|*) a nie kompletne operatory. Prawa logiczne na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na odpowiednie prawa logiczne na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*) - mówi o tym prawo Sowy i prawo Bociana, które wkrótce poznamy.


2.1 Operatory logiczne

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja układu logicznego:
Układ logiczny to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

        ------------------
p0 -----|                |
        |                |
p1 -----| f(p1,p2..pn)=? |------> Y=f(p1,p2..pn)
.....   |                |
pn -----|                |
        ------------------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Na wejściach [p1,p2..pn] mogą pojawiać się tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1
Na wyjściu Y również mogą się pojawiać tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1

Zauważmy że:
Dla jednego wejścia p mamy dwa możliwe wymuszenia na wejściu p:
p=[0,1]
2^n =2
Dla dwóch wejść p i q możliwych wymuszeń na wejściach p i q jest cztery:
p, q =[11, 10, 01,00]
2^n = 2^2 =4
Dla 3 wejść p, q i r możliwych wymuszeń na wejściach p, q, r jest osiem
p,q,r =[111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000]
2^n = 2^3 =8
itd.

Ilość operatorów logicznych (IOL) w powiązaniu z ilością wejść to:
IOL=(2^n)^2
gdzie:
n - ilość wejść układu logicznego
Stąd mamy:
Ilość operatorów jednoargumentowych (logika jednowartościowa):
(2^1)^2 = 2^2=4
Ilość operatorów dwuargumentowych (logika dwuwartościowa):
(2^2)^2 = 4^2 =16
Ilość operatorów trzyargumentowych (logika trójwartościowa)
(2^3)^2 = 8*8 =64
Ilość operatorów czteroargumentowych (logika czterowartościowa)
(2^4)^2 = 16*16 = 256
itd.
Łatwo policzyć, że w logice ośmiowartościowej operatorów logicznych będzie 65536.

Na mocy definicji operatora logicznego możemy zapisać.
Ilość operatorów logicznych w logice n wartościowej opisana jest wzorem:
IOL=(2^n)^2
gdzie:
n - ilość wejść w układzie logicznym (logika n-wartościowa)

W naszym Wszechświecie dostępne są wyłącznie operatory jednoargumentowe i dwuargumentowe, co odpowiada logice jednowartościowej i dwuwartościowej.
Operatory 3-ardumentowe i większe to czysta abstrakcja, bez związku z dostępną nam rzeczywistością, warta mniej więcej tyle co teoria o nieskończonej ilości Wszechświatów (skala makro) lub teoria strun (skala mikro). Obie te teorie mają tylko jedną zaletę, żadnej z nich nie da się zweryfikować, czyli obalić - na zawsze pozostaną one w sferze bajek (wierzeń).


2.2 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja negacji:
Negacją „~” zmiennej binarnej p nazywamy jej przeciwny stan zero-jedynkowy
Kod:

   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2
„~” - symbol negacji

Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka:
Opis linii A12:
A.
Jeśli p=1 to na pewno => ~p=0
(p=1)=>(~p=0)
Jeśli ~p=0 to na pewno => p=1
(~p=0)=>(P=1)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(p=1)
q=(~p=0)
Stąd mamy:
(p=1)<=>(~p=0) = [(p=1)=>(~p=0)]*[(~p=0)=>(p=1)] = 1*1 =1

Stąd mamy:
I prawo Prosiaczka:
(p=1) <=> (~p=0)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=1) = (~p=0)

Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka:
Opis linii B12:
B.
Jeśli p=0 to na pewno => ~p=1
(p=0)=>(~p=1)
Jeśli ~p=1 to na pewno => p=0
(~p=1)=>(p=0)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(~p=1)
q=(p=0)
Stąd mamy:
(p=0)<=>(~p=1) = [(p=0)=>(~p=1)]*[(p=0)=>(~p=1)] = 1*1 =1

Stąd mamy:
II prawo Prosiaczka:
(p=0) <=> (~p=1)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=0) = (~p=1)

Definicja tożsamości logicznej:
p<=>p
Zapis tożsamy:
p=p
Prawda po dowolnej stronie znaku tożsamości logicznej „=” wymusza prawdę po stronie przeciwnej
Fałsz po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałsz po stronie przeciwnej

Tożsamość logiczna ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej, dlatego możemy tu użyć znaku tożsamości klasycznej.

Przykład:
2=2
Zapis matematycznie tożsamy:
2<=>2
dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2<=>2 = (2=>2)*(~2=>~2) = 1*1 =1
Dziedzina jest tu bez znaczenia, może być:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolna zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej gdy nie jest zanegowana, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Stąd mamy końcową definicję praw Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)


2.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach

Kod:

-------------
|P          |
|     p=1   |
|    ~p=0   |
-------------

I prawo Prosiaczka dla zbiorów:
(p=1) = (~p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór p
(p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór ~p
(~p=0)
stąd:
(p=1) = (~p=0)

Kod:

-------------
|~P         |
|    ~p=1   |
|     p=0   |
-------------

II Prawo Prosiaczka dla zbiorów
(~p=1) = (p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór ~p
(~p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór p
p=0
Stąd:
(~p=1) = (p=0)


2.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.3 Operatory jednoargumentowe

Układ jednoargumentowy:
Układ jednoargumentowy to obiekt o jednym wejściu binarnym p i jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

       ----------
       |        |
 p ----| f(p)=? |----> Y=f(p)
       |        |
       ----------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

Operatory jednoargumentowe
p   T    N    D   ~D
1  =1   =0   =1   =0
0  =0   =1   =1   =0

T - operator transmisji, na wyjściu T pojawiają się stany z wejścia p
N - operator negacji, na wyjściu N pojawiają się zanegowane stany z wejścia p
D - dziedzina (zbiór pełny)
~D - zaprzeczenie dziedziny (zbiór pusty)
Kod:

Operatory jednoargumentowe w tabeli szczegółowej
     |Operator   |Operator   |Dziedzina
     |transmisji |negacji    |
     |    T      |     N     |       D
   p |Y=p  ~Y=~p |Y=~p  ~Y=p |D=Y+~Y   ~D=~(Y+~Y)=Y*~Y
A: 1 | =1    =0  | =0    =1  | =1        =0
B: 0 | =0    =1  | =1    =0  | =1        =0
   1    a     b     c     d     e         f

Wszystkich możliwych stanów na wyjściu Y, D i ~D jest cztery.


2.3.1 Operator transmisji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Definicja operatora transmisji:
Operator transmisji to generowanie na wyjściu Y stanu zawsze zgodnego z wejściem p
Kod:

   p  Y=?
A: 1  1
B: 0  0
   1  2

Na mocy praw Prosiaczka tworzymy tabelę zero-jedynkową z zanegowanymi zmiennymi p i Y:
~Y=f(~p)
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (p=0) = (~p=1)

Pełna definicja operatora transmisji:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora transmisji     |operatora transmisji
   p  Y=?  ~p ~Y=?       |
A: 1  1     0  0         | Y=1<=> p=1   Y= p
B: 0  0     1  1         |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Na mocy prawa Prosiaczka w tabeli AB1234 dla każdej linii zachodzą tożsamości matematyczne.
Linia A12= Linia A34
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=1) = A4: (~Y=0)
Linia B12 = Linia B34
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=0) = B4: (~Y=1)
W definicji symbolicznej operatora negacji AB56 opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki w pełnej definicji operatora negacji AB1234.
Jedynka (prawda) jest w logice matematycznej domyślna, stąd tabelę AB56 możemy zapisać w postaci tabeli AB78 nic nie tracąc na jednoznaczności.

Operator negacji w równaniach algebry Boole’a to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator negacji to układ równań logicznych:
1: A5678
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
2: B5678
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1

Dopiero w tym momencie w tabeli zero-jedynkowej AB1234 możemy podstawić wyznaczone funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora transmisji     |operatora transmisji
   p  Y=p  ~p ~Y=~p      |
A: 1  1     0  0         | Y=1<=> p=1   Y= p
B: 0  0     1  1         |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Doskonale widać, że:
Funkcja logiczna Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB12
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>p=1
Podobnie:
Funkcja logiczna ~Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB34
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1
Stąd mamy jedno z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Wynikowe zera w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to tylko kopie linii z jedynkami w wyniku z tabeli przeciwnej (prawo Prosiaczka) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Nasza tabela:
Linia A34 nie biorąca udziału w logice bo ~Y=0 to kopia linii A12 biorącej udział w logice bo Y=1 na mocy prawa Prosiaczka
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=1) = A4: (~Y=0)
Podobnie:
Linia B12 nie biorąca udziału w logice bo Y=0 to kopia linii B34 biorącej udział w logice bo ~Y=1 na mocy prawa Prosiaczka.
B3: (~p=1) = B1: (p=0)
B4: (~Y=1) = B2: (Y=0)

Prawo dziedziny
Dowolna tabela zero-jedynkowa operuje wyłącznie w obrębie dziedziny zdefiniowanej jako:
Y+~Y = D =1 (zbiór pełny)
Y*~Y =~D =0 (zbiór pusty)

Zauważmy, że definicja dziedziny to legalne operatory logiczne jednoargumentowe D i ~D.
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |Definicja dziedziny
operatora transmisji     |operatora transmisji  |
   p  Y=p  ~p ~Y=~p      |                      | D=Y+~Y  ~D=~(Y+~Y)=~Y*Y
A: 1  =1    0  =0        | Y=1<=> p=1   Y= p    | =1       =0
B: 0  =0    1  =1        |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p    | =1       =0
   1   2    3   4          5      6     7  8       9        0


Podsumowanie:
Definicja operatora transmisji w układzie równań logicznych:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia w logice dodatniej (bo Y):
Y = p = ~(~p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~p = ~(p) = ~p

Udajmy się do ekspertów algebry Kubusia, do przedszkola, celem zweryfikowania poznanej teorii.
Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 - logika dodatnia bo Y

Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia, poza jego świadomością, neguje stronami równanie A
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Jaś:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 - logika ujemna bo ~Y

Znaczenie symboli Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

Jak działa dziedzina dla naszego przykładu?

Definicja dziedziny:
D = Y+~Y =1
Y=K
~Y=~K
D = Y+~Y = K+~K =1
stąd:
Pani w przedszkolu:
C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K =D =1
Cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu szans na kłamstwo.
Stąd operator dziedziny D możemy również zdefiniować jako operator chaosu.

Matematyczna definicja operatora chaosu:
Chaos = wszystko może się zdarzyć
W praktyce języka mówionego:
chaos = bełkot
co widać na tym przykładzie.

Definicja zaprzeczenia dziedziny:
~D = Y+~Y = Y*~Y =1
Y=K
~Y=~K
~D = Y*~Y = K*~K =0

stąd:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
W momencie wypowiedzenia tego zdania pani popełniła seppuku, czyli skłamała (Y=0), nie mając żadnych szans na dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym.


2.3.2 Operator negacji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Definicja operatora negacji:
Operator negacji to generowanie na wyjściu Y stanu zawsze przeciwnego do wejścia p
Kod:

   p  Y=?
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

Na mocy praw Prosiaczka tworzymy tabelę zero-jedynkową z zanegowanymi zmiennymi p i Y:
~Y=f(~p)
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (p=0) = (~p=1)

Pełna definicja operatora negacji:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora negacji        |operatora negacji
   p  Y=?  ~p ~Y=?       |
A: 1  0     0  1         |~Y=1<=> p=1  ~Y= p
B: 0  1     1  0         | Y=1<=>~p=1   Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Na mocy prawa Prosiaczka w tabeli AB1234 dla każdej linii zachodzą tożsamości matematyczne.
Linia A12= Linia A34
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=0) = A4: (~Y=1)
Linia B12 = Linia B34
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=1) = B4: (~Y=0)
W definicji symbolicznej operatora negacji AB56 opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki w pełnej definicji operatora negacji AB1234.
Jedynka (prawda) jest w logice matematycznej domyślna, stąd tabelę AB56 możemy zapisać w postaci tożsamej tabeli AB78 nic nie tracąc na jednoznaczności.

Operator negacji w równaniach algebry Boole’a to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator negacji to układ równań logicznych:
1: B5678
Y = ~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2: A5678
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Dopiero w tym momencie w tabeli zero-jedynkowej AB1234 możemy podstawić wyznaczone funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora negacji        |operatora negacji
   p  Y=~p ~p ~Y=p       |
A: 1  0     0  1         |~Y=1<=> p=1  ~Y= p
B: 0  1     1  0         | Y=1<=>~p=1   Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Doskonale widać, że:
Funkcja logiczna Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB12
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~p=1
Podobnie:
Funkcja logiczna ~Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB34
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> p=1
Stąd mamy jedno z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Wynikowe zera w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to tylko kopie linii z jedynkami w wyniku z tabeli przeciwnej (na mocy praw Prosiaczka) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Nasza tabela:
Linia A12 nie biorąca udziału w logice bo Y=0 to kopia linii A34 biorącej udział w logice bo ~Y=1 na mocy prawa Prosiaczka
A3: (~p=0) = A1: (p=1)
A4: (~Y=1) = A2: (Y=0)
Podobnie:
Linia B34 nie biorąca udziału w logice bo ~Y=0 to kopia linii B12 biorącej udział w logice bo Y=1 na mocy prawa Prosiaczka.
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=1) = B4: (~Y=0)

Prawo dziedziny
Dowolna tabela zero-jedynkowa operuje wyłącznie w obrębie dziedziny zdefiniowanej jako:
Y+~Y = D =1 (zbiór pełny)
Y*~Y =~D =0 (zbiór pusty)

Zauważmy, że definicja dziedziny to legalne operatory logiczne jednoargumentowe D i ~D.
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |Definicja dziedziny
operatora negacji        |operatora negacji     |
   p  Y=~p  ~p ~Y=p      |                      | D=Y+~Y  ~D=~(Y+~Y)=Y*~Y
A: 1  =0     0  =1       |~Y=1<=> p=1  ~Y= p    | =1       =0
B: 0  =1     1  =0       | Y=1<=>~p=1   Y=~p    | =1       =0
   1  =2     3   4         5      6     7  8       9        0


Podsumowanie:
Definicja operatora negacji w układzie równań logicznych:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = ~p = ~(p) =~p

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)

Algebra Kubusia to logika matematyczna wszystkich 5-cio latków, udajmy się zatem do przedszkola aby ją zweryfikować.
Pani:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 - logika dodatnia bo Y

Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia, poza jego świadomością, neguje stronami równanie A
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Jaś:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 - logika ujemna bo ~Y

Znaczenie symboli Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

Jak działa dziedzina dla naszego przykładu?

Definicja dziedziny:
D = Y+~Y
Y=~K
~Y=K
D = ~Y+Y = K+~K
stąd:
Pani w przedszkolu:
C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y= K+~K =D =1
Cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu szans na kłamstwo.
Stąd operator D możemy również zdefiniować jako operator chaosu.

Matematyczna definicja chaosu:
Chaos oznacza że wszystko może się zdarzyć, matematycznie niczego nie można przewidzieć.
W praktyce języka mówionego:
chaos = bełkot
co widać na tym przykładzie.

Definicja zaprzeczenia dziedziny:
~D = ~(~Y+Y) = Y*~Y
Y=~K
~Y=K
~D = ~Y*Y = K*~K =0
stąd:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
W momencie wypowiedzenia tego zdania pani popełniła seppuku, czyli skłamała (Y=0), nie mając żadnych szans na dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym


2.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

„*” - symbol iloczynu logicznego, spójnik „i” w logice matematycznej (to nie jest operator AND(|*))
„+” - symbol sumy logicznej, spójnik „lub” w logice matematycznej (to nie jest operator OR(|+))

Definicja spójnika „i”(*):
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Zapis tożsamy tabeli |Definicja symboliczna
spójnika „i”(*)          |zero-jedynkowej      |spójnika „i”(*)
   p  q Y=p*q            |                     |
A: 1  1 =1               |(p=1)*(q=1)=(Y=1)    | Y= p* q
   1  2  3                 4     5     6         7  8  9

Definicja symboliczna spójnika „i”(*):
A1: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
A2: Y=1 <=> p=1 i q=1
Iloczyn logiczny zmiennych p i q jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne są równe 1

Zapisy matematycznie tożsame:
A1=A2

W równaniach algebry Boole’a jedynki są domyślne, stąd mając równanie A2 gdzie wszystkie zmienne na mocy praw Prosiaczka sprowadzone są do jedynek, możemy te jedynki pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności. W przypadku spójnika „i”(*) zmienne z definicji sprowadzone są do jedynek, więc tu nie musimy korzystać z prawa Prosiaczka, w przeciwieństwie do definicji spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+):

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

Definicja     | Tożsamy zapis     |Definicja symboliczna
zero-jedynkowa| zero-jedynkowy    |spójnika „lub”(+)
   p q Y=p+q  |                   |
A: 1 1 =1     |(p=1)*(q=1)=(Ya=1) |( p=1)*( q=1)=(Ya=1) |Ya= p* q
B: 1 0 =1     |(p=1)*(q=0)=(Yb=1) |( p=1)*(~q=1)=(Yb=1) |Yb= p*~q
C: 0 1 =1     |(p=0)*(q=1)=(Yc=1) |(~p=1)*( q=1)=(Yc=1) |Yc=~p* q
   1 2  3       4     5     6        7      8     9      a   b  c

Z definicji zero-jedynkowej ABC123 odczytujemy:
B1: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
B2: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Fakt ten widać doskonale w tabeli ABC123.
Matematycznie zachodzi:
B1=B2

Wyprowadzenie równoważnej definicji spójnika „lub”(+):
Przejścia z tabeli ABC456 do tabeli tożsamej ABC789 dokonano na mocy prawa Prosiaczka:
B5: (q=0) = B8: (~q=1)
C4: (p=0) = C7: (~p=1)
W logice matematycznej jedynki są domyślne, stąd możemy je pominąć w tabeli ABC789 otrzymując krystalicznie czyste równania algebry Boole’a w tabeli ABCabc.

Z tabeli ABCabc zapisujemy:
B3: Y = Ya+Yb+Yc
Po podstawieniu zawartości Ya, Yb i Yc mamy:
B3: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza (tabela ABC789):
B4: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Matematycznie zachodzi:
B3=B4

Równania B1 i B3 opisują dokładnie ten sam obszar tabeli zero-jedynkowej spójnika „lub”(+).
Stąd:
B1=B3
B1: Y=p+q = B3: A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q


2.4 Definicje operatorów OR(|*) i AND(|+)

W praktyce logiki matematycznej użyteczne są wyłącznie symboliczne definicje operatorów OR(|+) i AND(|+) wyrażone w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), bo tylko i wyłącznie spójniki logiczne mają związek z naturalną logiką matematyczną człowieka.

Symboliczna definicja operatora OR(|+) w układzie równań algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
1.
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Układ równań matematycznie tożsamy:
1.
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Symboliczna definicja operatora AND(|*) w układzie równań algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Układ równań matematycznie tożsamy:
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p*~q + ~p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Powyższe definicje operatorów OR(|+) i AND(|+) znane są doskonale każdemu 5-cio latkowi.
Dowód:
Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y=1<=>K=1 i T=1
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia dokonuje obliczeń poza jego świadomością:
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
D.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Pani:
Brawo Jasiu,
Czy możesz rozpisać wszystkie przypadki kiedy jutro dotrzymam sława?
Jaś:
Bardzo proszę,
Mózg Jasia wywołuje rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+):
1.
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
… i podstawia do niej parametry aktualne (z przykładu):
A.
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
A: K*T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Mówiąc w skrócie:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa.
Pani:
Świetnie Jasiu, w nagrodę dostajesz pluszowego Kubusia.


2.4.1 Definicja operatora OR(|+)

Zero-jedynkowa definicja operatora OR(|+):
Kod:

Definicja        |Definicja        |Definicja
zero-jedynkowa   |zero-jedynkowa   |symboliczna
operatora OR(|+) |operatora AND(|*)|operatora OR(|+)
   p  q Y=p|+q   |~p ~q ~Y=~p|*~q  |
A: 1  1  =1      | 0  0  =0        | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  =1      | 0  1  =0        | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  1  =1      | 1  0  =0        | Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | Yc=~p* q
D: 0  0  =0      | 1  1  =1        |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2   3        4  5   6          7       8      9     a   b  c

W tabeli symbolicznej operatora OR(|+) (ABCD789) wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Zauważmy, że nie musimy tu nawet znać praw Prosiaczka, w tabeli ABCD789 opisujemy dokładnie to co widzimy w pełnej, zero-jedynkowej definicji operatora OR(|+) - obszar ABCD123456.
Zauważmy że:
Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+) (ABC123) to zaledwie połówka tabeli zero-jedynkowej operatora OR(|+) w logice dodatniej (bo Y) (ABCD123).
Podobnie:
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*) D456 to zaledwie jedna linia w operatorze AND(|*) w logice ujemnej (bo ~Y) (ABCD456).

Wniosek:
Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) użyte w tabeli symbolicznej ABCD789abc to co innego niż operatory OR(|+) i AND(|*).

Symboliczna definicja operatora OR(|+) w układzie równań logicznych na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD123456:
1.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
W tym zapisie spójnik „lub”(+) (ABC123) to tylko fragment operatora OR(|+) (ABCD123) w logice dodatniej (bo Y).
2.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
W tym zapisie spójnik „i”(*) (D456) to tylko fragment operatora AND(|*) (ABCD456 )w logice ujemnej (bo ~Y)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logia ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

stąd mamy:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:

Przykład:
Y=(p*q)+(~p*~q)
Stąd na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej zapisujemy:
~Y=(~p+~q)*(p+q)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia z matematyki klasycznej i działa fenomenalnie dla dowolnie długiej funkcji logicznej.

Symboliczna definicja operatora OR(|+) w układzie równań logicznych na podstawie tabeli symbolicznej ABCD789abc:
1.
Tożsama definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Y = Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
2.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~Yd
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

W tabelach zero-jedynkowych operatora OR(|+) (ABCD123) i AND(|*) (ABCD4556) w logice matematycznej uczestniczą wyłącznie wynikowe jedynki. Wynikowe zera wszędzie są kopią z sąsiedniej tabeli na mocy praw Prosiaczka, to tylko uzupełnienie aktywnego logicznie spójnika „lub”(+) i „i”(*) (jedynki w wyniku) do pełnego operatora logicznego dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Przykład na linii B:
B1: (p=1) = B4: (~p=0)
B2: (p=0) = B5: (~p=1)
B3: (Y=1) = B6: (~Y=0)
itd.

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisuje wyłącznie jedynki w tej tabeli.

Doskonale to widać w tabelach ABCD123 i ABCD456.

Prawo Bociana:
Wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na prawa na poziomie spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) wewnątrz operatora.

Pamiętając o prawie Sowy i prawie Bociana możemy udowodnić dowolne prawo rachunku zero-jedynkowego zachodzące w spójnikach logicznych „lub”(+) i „i”(*) przy pomocy klasycznego rachunku zero-jedynkowego.

Przykład:
Dowód prawa De Morgana dla spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q) ~Y=~(Y)=~(p+q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =1     0  1  =0      =1                =0
C: 0  1 =1     1  0  =0      =1                =0
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)


2.4.2 Definicja operatora AND(|*)

Definicję operatora AND(|*) omówimy w skrócie bo problem jest tu totalnie symetryczny do omówionego wyżej operatora OR(|+).

Zero-jedynkowa definicja operatora AND(|*):
Kod:

Definicja        |Definicja        |Definicja
zero-jedynkowa   |zero-jedynkowa   |symboliczna
operatora AND(|*)|operatora OR(|+) |operatora AND(|*)
   p  q Y=p|*q   |~p ~q ~Y=~p|+~q  |
A: 1  1  =1      | 0  0  =0        | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  =0      | 0  1  =1        |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  =0      | 1  0  =1        |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  =0      | 1  1  =1        |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2   3        4  5   6          7       8      9     a   b  c

Bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 odczytujemy definicję spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
1.
Y =p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABCD456 odczytujemy definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
2.
~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Stąd mamy:
Definicja operatora AND(|*) w układzie równań logicznych:
1.
Y=p*q
2.
~Y=~p+~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q + ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Z tabeli symbolicznej ABCD789abc odczytujemy tożsamy układ równań logicznych definiujący operator AND(|*):
1.
Y=Ya
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

W tabelach zero-jedynkowych operatora AND(|*) (ABCD123) i OR(|+) (ABCD4556) w logice matematycznej uczestniczą wyłącznie wynikowe jedynki. Wynikowe zera wszędzie są kopią z sąsiedniej tabeli na mocy praw Prosiaczka, to tylko uzupełnienie aktywnego logicznie spójnika „lub”(+) i „i”(*) (jedynki w wyniku) do pełnego operatora logicznego dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Przykład na linii B:
B1: (p=1) = B4: (~p=0)
B2: (p=0) = B5: (~p=1)
B3: (Y=0) = B6: (~Y=1)
itd.

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisuje wyłącznie jedynki w tej tabeli.

Doskonale to widać w tabelach ABCD123 i ABCD456.

Prawo Bociana:
Wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na prawa na poziomie spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) wewnątrz operatora.

Pamiętając o prawie Sowy i prawie Bociana możemy udowodnić dowolne prawo rachunku zero-jedynkowego zachodzące w spójnikach logicznych „lub”(+) i „i”(*) przy pomocy klasycznego rachunku zero-jedynkowego.

Przykład:
Dowód prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q) ~Y=~(Y)=~(p*q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =0     0  1  =1      =0                =1
C: 0  1 =0     1  0  =1      =0                =1
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)


2.4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Algorytm Wuja Zbója:
Dana jest funkcja logiczna:
Y = p+q~r
Krok 1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki logiczne:
Y = p+(q*~r)
Krok 2
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo Y) negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = ~p*(~q+r) = ~p*~q + ~p*r

Prawo przejścia do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia wielomianów znanych z matematyki klasycznej. Niezwykłą użyteczność tego prawa zobaczymy na przykładzie definicji równoważności.
Podstawmy:
Y = p<=>q
Wyłącznie w celu skrócenia zapisów.

Zero jedynkowa i symboliczna definicja równoważności:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa                 |Definicja symboliczna
operatora równoważności                  |równoważności
   p  q  Y=p*q+~p*~q  ~p ~q ~Y=p*~q+~p*q |
A: 1  1  =1            0  0  =0          | Ya=1<=> p=1 i  q=1  | Ya= p* q
B: 1  0  =0            0  1  =1          |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1  |~Yb= p*~q
C: 0  0  =1            1  1  =0          | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1  | Yc=~p*~q
D: 0  1  =0            1  0  =1          |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1  |~Yd=~p* q
   1  2   3            4  5   6            7       8      9      a   b  c

W definicji symbolicznej ABCD789 spisujemy dokładnie to co widzimy w tabeli zero-jedynkowej ABCD123456 dla jedynek w przełożeniu 1:1 (prawo Prosiaczka).
W logice matematycznej biorą udział wyłącznie wynikowe jedynki z tabel zero-jedynkowych ABCD123456.

Z definicji symbolicznej ABCD789abc zapisujemy układ równań opisujących tabelę zero-jedynkową równoważności.
1.
Nagłówek w tabeli ABCD123:
Y= Ya+Yc
Y=p*q + ~p*~q
3.
Nagłówek w tabeli ABCD456:
~Y=~Yb+~Yc
~Y = p*~q + ~p*q

Stosujemy prawo przejścia do logiki przeciwnej dla równania 1:
1.
Y =(p*q) + (~p*~q)
stąd:
2.
~Y=(~p+~q)*(p+q)

Stosujemy prawo przejścia do logiki przeciwnej dla równania 3:
3.
~Y = (p*~q)+(~p*q)
stąd:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi:
1: Y =(p*q) + (~p*~q) = 4: Y = (~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi również:
3: ~Y = (p*~q)+(~p*q) = 2: ~Y=(~p+~q)*(p+q)

Funkcja typu:
Y = p*q + ~p*~q
Zwana jest funkcją alternatywno-koniunkcyjną (alternatywa koniunkcji)

Funkcja typu:
Y=(~p+q)*(p+~q)
Zwana jest funkcją koniunkcyjno- alternatywną (koniunkcja alternatyw)

Prawo Kruka:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej pod warunkiem. że w tabeli zero-jedynkowej którą te funkcje opisują istnieje więcej niż jedna wynikowa jedynka i więcej niże jedno wynikowe zero.

Dowód:
Przykład równoważności wyżej.


2.5 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - spójniki logiczne

Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Kod:

Definicja operatora OR dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p+q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =1
C: 0  1   =1
D: 0  0   =0
   1  2    3
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) opisujący wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli
Linia D to uzupełnienie spójnika „lub”(+) do pełnego operatora

Kod:

Definicja operatora AND dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p*q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =0
C: 0  1   =0
D: 0  0   =0
   1  2    3
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) opisujący wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli
Obszar BCD123 to uzupełnienie spójnika „i”(*) do pełnego operatora

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisuje wyłącznie jedynki w tej tabeli.

Doskonale to widać w powyższych tabelach.

Prawo Bociana:
Wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na prawa na poziomie spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) wewnątrz operatora.

Pamiętając o prawie Sowy i prawie Bociana możemy udowodnić dowolne prawo rachunku zero-jedynkowego zachodzące w spójnikach logicznych „lub”(+) i „i”(*) przy pomocy klasycznego rachunku zero-jedynkowego.

Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa

W klasycznym rachunku zero-jedynkowym nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego, czyli nie interesują nas cząstkowe równania logiczne opisujące poszczególne linie operatora, które do tej pory poznaliśmy.
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy to komputerowe (czyli bezmyślne) przemiatanie zer i jedynek na wszelkie możliwe sposoby, gdzie tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzącego prawa logicznego. To przemiatanie jest poprawne i ma sens wtedy i tylko wtedy gdy poprawnie matematycznie opisujemy wynikające z tego równania matematyczne, czego ziemscy matematycy niestety nie potrafią, bowiem nie znają kluczowych pojęć w logice matematycznej, logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y).

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.


2.5.1 Prawa De Morgana

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q) ~Y=~(Y)=~(p+q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =1     0  1  =0      =1                =0
C: 0  1 =1     1  0  =0      =1                =0
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Między tabelami ABCD123 i ABCD456 w poziomie zachodzą wszędzie prawa Prosiaczka.
Przykład dla linii B:
B1: (p=1) = B4: (~p=0)
B2: (q=0) = B5: (~q=1)
B3: (Y=1) = B6: (~Y=0)
itd
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q) ~Y=~(Y)=~(p*q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =0     0  1  =1      =0                =1
C: 0  1 =0     1  0  =1      =0                =1
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)


2.5.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3


Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1  0 1 0  1   1   1
B: 0  1 1 0  1   0   1
   1  2 3 4  5   6   7


Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1  0 1 0  1   0   0
B: 0  1 1 0  0   0   0
   1  2 3 4  5   6   7

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd

Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.


2.6 Operatory jednoargumentowe

Układ jednoargumentowy:
Układ jednoargumentowy to obiekt o jednym wejściu binarnym p i jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

       ----------
       |        |
 p ----| f(p)=? |----> Y=f(p)
       |        |
       ----------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

p ~p   N    T    D   ~D
1  0  =0   =1   =1   =0
0  1   =1   =0   =1   =0

N - operator negacji, na wyjściu N pojawiają się zanegowane stany z wejścia p
T - operator transmisji, na wyjściu T pojawiają się stany z wejścia p
D - dziedzina (zbiór pełny)
~D - zaprzeczenie dziedziny (zbiór pusty)


2.6.1 Definicja operatora negacji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu

Stąd:
Do definicji negacji musimy dołożyć wyjście funkcji logicznej Y aby opisywać operator negacji.

Operator negacji:
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator negacji         |Operator negacji
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
   p  Y=?  |~p ~Y=?      |
A: 1   =0  | 0   =1      |~Y=1<=> p=1      ~Y= p
B: 0   =1  | 1   =0      | Y=1<=>~p=1       Y=~p
   1    2    3    4        5      6         7  8

W wierszach tabeli zero-jedynkowej AB1234 zachodzi prawo Prosiaczka.
Przykład dla linii A:
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=0) = A4: (~Y=1)
itd.
Definicję symboliczną operatora negacji AB56 możemy utworzyć nie znając prawa Prosiaczka, wystarczy dla każdej linii opisać jedynki w tabeli zero-jedynkowej AB1234.
W tabeli symbolicznej operatora negacji AB56 mamy wszystkie zmienne binarne sprowadzone do jedynek. Jedynki są w logice matematycznej domyślne, co oznacza, że można je usunąć nic nie tracąc na jednoznaczności, co uczyniono w tabeli symbolicznej AB78. Doskonale widać, że operator negacji to układ równań logicznych, w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y).

Symboliczna definicja operatora negacji:
1.

Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne (tu ich nie ma)
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Zauważmy, że dopiero w tym momencie możemy nanieść poprawne funkcje logiczne nad kolumnami 2 i 4.
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator negacji         |Operator negacji
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
   p  Y=~p |~p ~Y=p      |
A: 1   =0  | 0   =1      |~Y=1<=> p=1      ~Y= p
B: 0   =1  | 1   =0      | Y=1<=>~p=1       Y=~p
   1    2    3    4        5      6         7  8

Doskonale widać, ze spełnione jest tu prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki

W tabeli AB12 funkcja logiczna Y=~p opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w punkcie B2.
W tabeli AB34 funkcja logiczna ~Y=p opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w punkcie A1
Fakty te doskonale widać w definicji symbolicznej AB56.

Zauważmy, że definicja negacji „~” w logice matematycznej (przedrostek „NIE”(~)) nie jest operatorem logicznym, bowiem prawo Prosiaczka występuje jedynie w wierszach powyższych tabel AB12 i AB34.

Natomiast operator logiczny to kolumny 2 i 4.
W kolumnie 2 nie zachodzi prawo Prosiaczka:
A1: (Y=0) # B2: (Y=1)
Podobnie w kolumnie 4 również nie zachodzi prawo Prosiaczka:
A4: (~Y=1) # B4: (~Y=0)
gdzie:
# - różne

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)







Operator transmisji:
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator transmisji      |Operator transmisji   |co matematycznie oznacza
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |
   p  Y=?  |~p ~Y=?      |                      |
A: 1   =1  | 0   =0      |  Y= p                | Y=1<=> p=1
B: 0   =0  | 1   =1      | ~Y=~p                |~Y=1<=>~p=1

Podstawiamy wyznaczone funkcje logiczne do tabeli prawdy:
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator transmisji      |Operator transmisji   |co matematycznie oznacza
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |
   p  Y=p  |~p ~Y=~p     |                      |
A: 1   =1  | 0   =0      |  Y= p                | Y=1<=> p=1
B: 0   =0  | 1   =1      | ~Y=~p                |~Y=1<=>~p=1
   1    2    3    4         5  6                  7      8

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej gdy nie jest zaprzeczona
Y - logika dodatnia (bo Y)
~Y - logika ujemne (bo ~Y)

Symboliczna definicja operatora transmisji:
Operator transmisji to układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki.



Zauważmy, że operator transmisji nie jest tożsamy

Wyznaczmy funkcje logiczne opisujące zera w zero-jedynkowej definicji operatora transmisji.
[code:1:24f882939c]
Algebra Boole’a |Algebra Kubusia
Operator transmisji |Operator transmisji |co matematycznie oznacza
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |
p Y=p |~p ~Y=~p | |
A
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 13:58, 25 Maj 2016    Temat postu:

Dochodzenie do końcowej wersji AK
2016-05-25

Algebra Kubusia

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek i inni.
Kubuś

Wstęp:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych totalnie izolowana od jakichkolwiek zer i jedynek. Cała logika matematyczna zaszyta jest tu w symbolach niezaprzeczonych (p) i zaprzeczonych (~p). W algebrze Kubusia wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka, które zapewniają bezproblemowe przejście z logiki równań logicznych do klasycznego rachunku zero-jedynkowego (i odwrotnie).
Z tego powodu algebra Kubusia jest algebrą, tak jak algebrą jest klasyczny rachunek zero-jedynkowy.
Pod algebrę Kubusia podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy. Najbardziej genialne są tu definicje implikacji prostej |=> i odwrotnej |~>, gdzie w jednej połówce mamy gwarancję matematyczną =>, natomiast w drugiej połówce zaszyta jest najzwyklejsza przypadkowość (~>, ~~>).
W świecie żywym operatory implikacji obsługują matematyczną „wolną wolę” wszystkich istot żywych. Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, i nie ma najmniejszych szans aby się spod niej uwolnić. To dzięki algebrze Kubusia człowiek może się sensownie komunikować z drugim człowiekiem i nie ma w tej komunikacji chaosu (bełkotu), jaki niechybnie byłby, gdyby nie algebra Kubusia.
Algebra Kubusia w matematyce to wszelkie twierdzenia matematyczne, zatem występuje w każdej dziedzinie matematyki, to również przepiękna obsługa zbiorów w naszym Wszechświecie, zewsząd nas otaczających.

Spis treści
1.0 Notacja 2
2. 0 Klasyczna algebra Boole’a 2
2.1 Operatory logiczne 3
2.2 Prawa Prosiaczka 4
2.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach 6
2.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka 6
2.3 Operatory jednoargumentowe 7
2.3.1 Operator transmisji 8
2.3.2 Operator negacji 12
2.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 15
2.4 Definicje operatorów OR(|*) i AND(|+) 17
2.4.1 Definicja operatora OR(|+) 19
2.4.2 Definicja operatora AND(|*) 21
2.4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne 23
2.5 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 25
2.5.1 Prawa De Morgana 27
2.5.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 28
2.6 Operatory jednoargumentowe 32
2.6.1 Definicja operatora negacji 32


1.0 Notacja

1 - prawda
0 - fałsz

2. 0 Klasyczna algebra Boole’a

Klasyczna algebra Boole’a to opis wszelkich tabel zero-jedynkowych, w tym operatorów logicznych przy pomocy spójników logicznych:
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„~” - negacja, przedrostek NIE z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Klasyczna algebra Boole’a to zarówno tabele zero-jedynkowe, jak i równania algebry Boole’a opisujące te tabele. Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) to tylko „połówki” operatorów logicznych OR(|+) i AND(|*) a nie kompletne operatory. Prawa logiczne na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na odpowiednie prawa logiczne na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*) - mówi o tym prawo Sowy i prawo Bociana, które wkrótce poznamy.


2.1 Operatory logiczne

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja układu logicznego:
Układ logiczny to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

        ------------------
p0 -----|                |
        |                |
p1 -----| f(p1,p2..pn)=? |------> Y=f(p1,p2..pn)
.....   |                |
pn -----|                |
        ------------------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Na wejściach [p1,p2..pn] mogą pojawiać się tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1
Na wyjściu Y również mogą się pojawiać tylko i wyłącznie sygnały 0 albo 1

Zauważmy że:
Dla jednego wejścia p mamy dwa możliwe wymuszenia na wejściu p:
p=[0,1]
2^n =2
Dla dwóch wejść p i q możliwych wymuszeń na wejściach p i q jest cztery:
p, q =[11, 10, 01,00]
2^n = 2^2 =4
Dla 3 wejść p, q i r możliwych wymuszeń na wejściach p, q, r jest osiem
p,q,r =[111, 110, 101, 100, 011, 010, 001, 000]
2^n = 2^3 =8
itd.

Ilość operatorów logicznych (IOL) w powiązaniu z ilością wejść to:
IOL=(2^n)^2
gdzie:
n - ilość wejść układu logicznego
Stąd mamy:
Ilość operatorów jednoargumentowych (logika jednowartościowa):
(2^1)^2 = 2^2=4
Ilość operatorów dwuargumentowych (logika dwuwartościowa):
(2^2)^2 = 4^2 =16
Ilość operatorów trzyargumentowych (logika trójwartościowa)
(2^3)^2 = 8*8 =64
Ilość operatorów czteroargumentowych (logika czterowartościowa)
(2^4)^2 = 16*16 = 256
itd.
Łatwo policzyć, że w logice ośmiowartościowej operatorów logicznych będzie 65536.

Na mocy definicji operatora logicznego możemy zapisać.
Ilość operatorów logicznych w logice n wartościowej opisana jest wzorem:
IOL=(2^n)^2
gdzie:
n - ilość wejść w układzie logicznym (logika n-wartościowa)

W naszym Wszechświecie dostępne są wyłącznie operatory jednoargumentowe i dwuargumentowe, co odpowiada logice jednowartościowej i dwuwartościowej.
Operatory 3-ardumentowe i większe to czysta abstrakcja, bez związku z dostępną nam rzeczywistością, warta mniej więcej tyle co teoria o nieskończonej ilości Wszechświatów (skala makro) lub teoria strun (skala mikro). Obie te teorie mają tylko jedną zaletę, żadnej z nich nie da się zweryfikować, czyli obalić - na zawsze pozostaną one w sferze bajek (wierzeń).


2.2 Prawa Prosiaczka

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja negacji:
Negacją „~” zmiennej binarnej p nazywamy jej przeciwny stan zero-jedynkowy
Kod:

   p ~p
A: 1  0
B: 0  1
   1  2
„~” - symbol negacji

Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka:
Opis linii A12:
A.
Jeśli p=1 to na pewno => ~p=0
(p=1)=>(~p=0)
Jeśli ~p=0 to na pewno => p=1
(~p=0)=>(P=1)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(p=1)
q=(~p=0)
Stąd mamy:
(p=1)<=>(~p=0) = [(p=1)=>(~p=0)]*[(~p=0)=>(p=1)] = 1*1 =1

Stąd mamy:
I prawo Prosiaczka:
(p=1) <=> (~p=0)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=1) = (~p=0)

Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka:
Opis linii B12:
B.
Jeśli p=0 to na pewno => ~p=1
(p=0)=>(~p=1)
Jeśli ~p=1 to na pewno => p=0
(~p=1)=>(p=0)
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
p=(~p=1)
q=(p=0)
Stąd mamy:
(p=0)<=>(~p=1) = [(p=0)=>(~p=1)]*[(p=0)=>(~p=1)] = 1*1 =1

Stąd mamy:
II prawo Prosiaczka:
(p=0) <=> (~p=1)
Równoważność oznacza tu matematyczną tożsamość logiczną:
(p=0) = (~p=1)

Definicja tożsamości logicznej:
p<=>p
Zapis tożsamy:
p=p
Prawda po dowolnej stronie znaku tożsamości logicznej „=” wymusza prawdę po stronie przeciwnej
Fałsz po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” wymusza fałsz po stronie przeciwnej

Tożsamość logiczna ma wszelkie cechy tożsamości klasycznej, dlatego możemy tu użyć znaku tożsamości klasycznej.

Przykład:
2=2
Zapis matematycznie tożsamy:
2<=>2
dowód:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2<=>2 = (2=>2)*(~2=>~2) = 1*1 =1
Dziedzina jest tu bez znaczenia, może być:
Uniwersum - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Dowolna zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej gdy nie jest zanegowana, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Stąd mamy końcową definicję praw Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)


2.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach

Kod:

-------------
|P          |
|     p=1   |
|    ~p=0   |
-------------

I prawo Prosiaczka dla zbiorów:
(p=1) = (~p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór p
(p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór ~p
(~p=0)
stąd:
(p=1) = (~p=0)

Kod:

-------------
|~P         |
|    ~p=1   |
|     p=0   |
-------------

II Prawo Prosiaczka dla zbiorów
(~p=1) = (p=0)
Zdanie:
Prawdą jest (=1) że to jest zbiór ~p
(~p=1)
jest tożsame ze zdaniem:
Fałszem jest (=0) że to jest zbiór p
p=0
Stąd:
(~p=1) = (p=0)


2.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.3 Operatory jednoargumentowe

Układ jednoargumentowy:
Układ jednoargumentowy to obiekt o jednym wejściu binarnym p i jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

       ----------
       |        |
 p ----| f(p)=? |----> Y=f(p)
       |        |
       ----------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

Operatory jednoargumentowe
p   T    N    D   ~D
1  =1   =0   =1   =0
0  =0   =1   =1   =0

T - operator transmisji, na wyjściu T pojawiają się stany z wejścia p
N - operator negacji, na wyjściu N pojawiają się zanegowane stany z wejścia p
D - dziedzina (zbiór pełny)
~D - zaprzeczenie dziedziny (zbiór pusty)
Kod:

Operatory jednoargumentowe w tabeli szczegółowej
     |Operator   |Operator   |Dziedzina
     |transmisji |negacji    |
     |    T      |     N     |       D
   p |Y=p  ~Y=~p |Y=~p  ~Y=p |D=Y+~Y   ~D=~(Y+~Y)=Y*~Y
A: 1 | =1    =0  | =0    =1  | =1        =0
B: 0 | =0    =1  | =1    =0  | =1        =0
   1    a     b     c     d     e         f

Wszystkich możliwych stanów na wyjściu Y, D i ~D jest cztery.


2.3.1 Operator transmisji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Definicja operatora transmisji:
Operator transmisji to generowanie na wyjściu Y stanu zawsze zgodnego z wejściem p
Kod:

   p  Y=?
A: 1  1
B: 0  0
   1  2

Na mocy praw Prosiaczka tworzymy tabelę zero-jedynkową z zanegowanymi zmiennymi p i Y:
~Y=f(~p)
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (p=0) = (~p=1)

Pełna definicja operatora transmisji:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora transmisji     |operatora transmisji
   p  Y=?  ~p ~Y=?       |
A: 1  1     0  0         | Y=1<=> p=1   Y= p
B: 0  0     1  1         |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Na mocy prawa Prosiaczka w tabeli AB1234 dla każdej linii zachodzą tożsamości matematyczne.
Linia A12= Linia A34
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=1) = A4: (~Y=0)
Linia B12 = Linia B34
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=0) = B4: (~Y=1)
W definicji symbolicznej operatora negacji AB56 opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki w pełnej definicji operatora negacji AB1234.
Jedynka (prawda) jest w logice matematycznej domyślna, stąd tabelę AB56 możemy zapisać w postaci tabeli AB78 nic nie tracąc na jednoznaczności.

Operator negacji w równaniach algebry Boole’a to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator negacji to układ równań logicznych:
1: A5678
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
2: B5678
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1

Dopiero w tym momencie w tabeli zero-jedynkowej AB1234 możemy podstawić wyznaczone funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora transmisji     |operatora transmisji
   p  Y=p  ~p ~Y=~p      |
A: 1  1     0  0         | Y=1<=> p=1   Y= p
B: 0  0     1  1         |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Doskonale widać, że:
Funkcja logiczna Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB12
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>p=1
Podobnie:
Funkcja logiczna ~Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB34
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>~p=1
Stąd mamy jedno z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Wynikowe zera w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to tylko kopie linii z jedynkami w wyniku z tabeli przeciwnej (prawo Prosiaczka) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Nasza tabela:
Linia A34 nie biorąca udziału w logice bo ~Y=0 to kopia linii A12 biorącej udział w logice bo Y=1 na mocy prawa Prosiaczka
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=1) = A4: (~Y=0)
Podobnie:
Linia B12 nie biorąca udziału w logice bo Y=0 to kopia linii B34 biorącej udział w logice bo ~Y=1 na mocy prawa Prosiaczka.
B3: (~p=1) = B1: (p=0)
B4: (~Y=1) = B2: (Y=0)

Prawo dziedziny
Dowolna tabela zero-jedynkowa operuje wyłącznie w obrębie dziedziny zdefiniowanej jako:
Y+~Y = D =1 (zbiór pełny)
Y*~Y =~D =0 (zbiór pusty)

Zauważmy, że definicja dziedziny to legalne operatory logiczne jednoargumentowe D i ~D.
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |Definicja dziedziny
operatora transmisji     |operatora transmisji  |
   p  Y=p  ~p ~Y=~p      |                      | D=Y+~Y  ~D=~(Y+~Y)=~Y*Y
A: 1  =1    0  =0        | Y=1<=> p=1   Y= p    | =1       =0
B: 0  =0    1  =1        |~Y=1<=>~p=1  ~Y=~p    | =1       =0
   1   2    3   4          5      6     7  8       9        0


Podsumowanie:
Definicja operatora transmisji w układzie równań logicznych:
1.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia w logice dodatniej (bo Y):
Y = p = ~(~p)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
~Y = ~p = ~(p) = ~p

Udajmy się do ekspertów algebry Kubusia, do przedszkola, celem zweryfikowania poznanej teorii.
Pani:
A.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 - logika dodatnia bo Y

Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia, poza jego świadomością, neguje stronami równanie A
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Jaś:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 - logika ujemna bo ~Y

Znaczenie symboli Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

Jak działa dziedzina dla naszego przykładu?

Definicja dziedziny:
D = Y+~Y =1
Y=K
~Y=~K
D = Y+~Y = K+~K =1
stąd:
Pani w przedszkolu:
C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K =D =1
Cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu szans na kłamstwo.
Stąd operator dziedziny D możemy również zdefiniować jako operator chaosu.

Matematyczna definicja operatora chaosu:
Chaos = wszystko może się zdarzyć
W praktyce języka mówionego:
chaos = bełkot
co widać na tym przykładzie.

Definicja zaprzeczenia dziedziny:
~D = Y+~Y = Y*~Y =1
Y=K
~Y=~K
~D = Y*~Y = K*~K =0

stąd:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
W momencie wypowiedzenia tego zdania pani popełniła seppuku, czyli skłamała (Y=0), nie mając żadnych szans na dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym.


2.3.2 Operator negacji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Definicja operatora negacji:
Operator negacji to generowanie na wyjściu Y stanu zawsze przeciwnego do wejścia p
Kod:

   p  Y=?
A: 1  0
B: 0  1
   1  2

Na mocy praw Prosiaczka tworzymy tabelę zero-jedynkową z zanegowanymi zmiennymi p i Y:
~Y=f(~p)
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (p=0) = (~p=1)

Pełna definicja operatora negacji:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora negacji        |operatora negacji
   p  Y=?  ~p ~Y=?       |
A: 1  0     0  1         |~Y=1<=> p=1  ~Y= p
B: 0  1     1  0         | Y=1<=>~p=1   Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Na mocy prawa Prosiaczka w tabeli AB1234 dla każdej linii zachodzą tożsamości matematyczne.
Linia A12= Linia A34
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=0) = A4: (~Y=1)
Linia B12 = Linia B34
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=1) = B4: (~Y=0)
W definicji symbolicznej operatora negacji AB56 opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki w pełnej definicji operatora negacji AB1234.
Jedynka (prawda) jest w logice matematycznej domyślna, stąd tabelę AB56 możemy zapisać w postaci tożsamej tabeli AB78 nic nie tracąc na jednoznaczności.

Operator negacji w równaniach algebry Boole’a to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y).
Operator negacji to układ równań logicznych:
1: B5678
Y = ~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
2: A5678
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Dopiero w tym momencie w tabeli zero-jedynkowej AB1234 możemy podstawić wyznaczone funkcje logiczne Y i ~Y.
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
operatora negacji        |operatora negacji
   p  Y=~p ~p ~Y=p       |
A: 1  0     0  1         |~Y=1<=> p=1  ~Y= p
B: 0  1     1  0         | Y=1<=>~p=1   Y=~p
   1  2     3  4           5      6     7  8

Doskonale widać, że:
Funkcja logiczna Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB12
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>~p=1
Podobnie:
Funkcja logiczna ~Y opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w tabeli zero-jedynkowej AB34
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> p=1
Stąd mamy jedno z najważniejszych praw logiki matematycznej.

Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli

Wynikowe zera w dowolnej tabeli zero-jedynkowej to tylko kopie linii z jedynkami w wyniku z tabeli przeciwnej (na mocy praw Prosiaczka) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Nasza tabela:
Linia A12 nie biorąca udziału w logice bo Y=0 to kopia linii A34 biorącej udział w logice bo ~Y=1 na mocy prawa Prosiaczka
A3: (~p=0) = A1: (p=1)
A4: (~Y=1) = A2: (Y=0)
Podobnie:
Linia B34 nie biorąca udziału w logice bo ~Y=0 to kopia linii B12 biorącej udział w logice bo Y=1 na mocy prawa Prosiaczka.
B1: (p=0) = B3: (~p=1)
B2: (Y=1) = B4: (~Y=0)

Prawo dziedziny
Dowolna tabela zero-jedynkowa operuje wyłącznie w obrębie dziedziny zdefiniowanej jako:
Y+~Y = D =1 (zbiór pełny)
Y*~Y =~D =0 (zbiór pusty)

Zauważmy, że definicja dziedziny to legalne operatory logiczne jednoargumentowe D i ~D.
Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |Definicja dziedziny
operatora negacji        |operatora negacji     |
   p  Y=~p  ~p ~Y=p      |                      | D=Y+~Y  ~D=~(Y+~Y)=Y*~Y
A: 1  =0     0  =1       |~Y=1<=> p=1  ~Y= p    | =1       =0
B: 0  =1     1  =0       | Y=1<=>~p=1   Y=~p    | =1       =0
   1  =2     3   4         5      6     7  8       9        0


Podsumowanie:
Definicja operatora negacji w układzie równań logicznych:
1.
Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y = ~p = ~(p) =~p

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)

Algebra Kubusia to logika matematyczna wszystkich 5-cio latków, udajmy się zatem do przedszkola aby ją zweryfikować.
Pani:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 - logika dodatnia bo Y

Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia, poza jego świadomością, neguje stronami równanie A
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Jaś:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 - logika ujemna bo ~Y

Znaczenie symboli Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

Jak działa dziedzina dla naszego przykładu?

Definicja dziedziny:
D = Y+~Y
Y=~K
~Y=K
D = ~Y+Y = K+~K
stąd:
Pani w przedszkolu:
C.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y= K+~K =D =1
Cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa.
Nie ma tu szans na kłamstwo.
Stąd operator D możemy również zdefiniować jako operator chaosu.

Matematyczna definicja chaosu:
Chaos oznacza że wszystko może się zdarzyć, matematycznie niczego nie można przewidzieć.
W praktyce języka mówionego:
chaos = bełkot
co widać na tym przykładzie.

Definicja zaprzeczenia dziedziny:
~D = ~(~Y+Y) = Y*~Y
Y=~K
~Y=K
~D = ~Y*Y = K*~K =0
stąd:
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
W momencie wypowiedzenia tego zdania pani popełniła seppuku, czyli skłamała (Y=0), nie mając żadnych szans na dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym


2.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

„*” - symbol iloczynu logicznego, spójnik „i” w logice matematycznej (to nie jest operator AND(|*))
„+” - symbol sumy logicznej, spójnik „lub” w logice matematycznej (to nie jest operator OR(|+))

Definicja spójnika „i”(*):
Kod:

Definicja zero-jedynkowa |Zapis tożsamy tabeli |Definicja symboliczna
spójnika „i”(*)          |zero-jedynkowej      |spójnika „i”(*)
   p  q Y=p*q            |                     |
A: 1  1 =1               |(p=1)*(q=1)=(Y=1)    | Y= p* q
   1  2  3                 4     5     6         7  8  9

Definicja symboliczna spójnika „i”(*):
A1: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
A2: Y=1 <=> p=1 i q=1
Iloczyn logiczny zmiennych p i q jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne są równe 1

Zapisy matematycznie tożsame:
A1=A2

W równaniach algebry Boole’a jedynki są domyślne, stąd mając równanie A2 gdzie wszystkie zmienne na mocy praw Prosiaczka sprowadzone są do jedynek, możemy te jedynki pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności. W przypadku spójnika „i”(*) zmienne z definicji sprowadzone są do jedynek, więc tu nie musimy korzystać z prawa Prosiaczka, w przeciwieństwie do definicji spójnika „lub”(+).

Definicja spójnika „lub”(+):

Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
Kod:

Definicja     | Tożsamy zapis     |Definicja symboliczna
zero-jedynkowa| zero-jedynkowy    |spójnika „lub”(+)
   p q Y=p+q  |                   |
A: 1 1 =1     |(p=1)*(q=1)=(Ya=1) |( p=1)*( q=1)=(Ya=1) |Ya= p* q
B: 1 0 =1     |(p=1)*(q=0)=(Yb=1) |( p=1)*(~q=1)=(Yb=1) |Yb= p*~q
C: 0 1 =1     |(p=0)*(q=1)=(Yc=1) |(~p=1)*( q=1)=(Yc=1) |Yc=~p* q
   1 2  3       4     5     6        7      8     9      a   b  c

Z definicji zero-jedynkowej ABC123 odczytujemy:
B1: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
B2: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Fakt ten widać doskonale w tabeli ABC123.
Matematycznie zachodzi:
B1=B2

Wyprowadzenie równoważnej definicji spójnika „lub”(+):
Przejścia z tabeli ABC456 do tabeli tożsamej ABC789 dokonano na mocy prawa Prosiaczka:
B5: (q=0) = B8: (~q=1)
C4: (p=0) = C7: (~p=1)
W logice matematycznej jedynki są domyślne, stąd możemy je pominąć w tabeli ABC789 otrzymując krystalicznie czyste równania algebry Boole’a w tabeli ABCabc.

Z tabeli ABCabc zapisujemy:
B3: Y = Ya+Yb+Yc
Po podstawieniu zawartości Ya, Yb i Yc mamy:
B3: Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza (tabela ABC789):
B4: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Matematycznie zachodzi:
B3=B4

Równania B1 i B3 opisują dokładnie ten sam obszar tabeli zero-jedynkowej spójnika „lub”(+).
Stąd:
B1=B3
B1: Y=p+q = B3: A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q


2.4 Definicje operatorów OR(|*) i AND(|+)

W praktyce logiki matematycznej użyteczne są wyłącznie symboliczne definicje operatorów OR(|+) i AND(|+) wyrażone w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), bo tylko i wyłącznie spójniki logiczne mają związek z naturalną logiką matematyczną człowieka.

Symboliczna definicja operatora OR(|+) w układzie równań algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
1.
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Układ równań matematycznie tożsamy:
1.
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=> ~p=1 i ~q=1

Symboliczna definicja operatora AND(|*) w układzie równań algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Układ równań matematycznie tożsamy:
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p*~q + ~p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Powyższe definicje operatorów OR(|+) i AND(|+) znane są doskonale każdemu 5-cio latkowi.
Dowód:
Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y=1<=>K=1 i T=1
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a kiedy pani skłamie?
Mózg Jasia dokonuje obliczeń poza jego świadomością:
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
D.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Pani:
Brawo Jasiu,
Czy możesz rozpisać wszystkie przypadki kiedy jutro dotrzymam sława?
Jaś:
Bardzo proszę,
Mózg Jasia wywołuje rozszerzoną definicję spójnika „lub”(+):
1.
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
… i podstawia do niej parametry aktualne (z przykładu):
A.
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
A: K*T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Mówiąc w skrócie:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa.
Pani:
Świetnie Jasiu, w nagrodę dostajesz pluszowego Kubusia.


2.4.1 Definicja operatora OR(|+)

Zero-jedynkowa definicja operatora OR(|+):
Kod:

Definicja        |Definicja        |Definicja
zero-jedynkowa   |zero-jedynkowa   |symboliczna
operatora OR(|+) |operatora AND(|*)|operatora OR(|+)
   p  q Y=p|+q   |~p ~q ~Y=~p|*~q  |
A: 1  1  =1      | 0  0  =0        | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  =1      | 0  1  =0        | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  1  =1      | 1  0  =0        | Yc=1<=>~p=1 i  q=1 | Yc=~p* q
D: 0  0  =0      | 1  1  =1        |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2   3        4  5   6          7       8      9     a   b  c

W tabeli symbolicznej operatora OR(|+) (ABCD789) wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Zauważmy, że nie musimy tu nawet znać praw Prosiaczka, w tabeli ABCD789 opisujemy dokładnie to co widzimy w pełnej, zero-jedynkowej definicji operatora OR(|+) - obszar ABCD123456.
Zauważmy że:
Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+) (ABC123) to zaledwie połówka tabeli zero-jedynkowej operatora OR(|+) w logice dodatniej (bo Y) (ABCD123).
Podobnie:
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*) D456 to zaledwie jedna linia w operatorze AND(|*) w logice ujemnej (bo ~Y) (ABCD456).

Wniosek:
Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) użyte w tabeli symbolicznej ABCD789abc to co innego niż operatory OR(|+) i AND(|*).

Symboliczna definicja operatora OR(|+) w układzie równań logicznych na podstawie tabeli zero-jedynkowej ABCD123456:
1.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
W tym zapisie spójnik „lub”(+) (ABC123) to tylko fragment operatora OR(|+) (ABCD123) w logice dodatniej (bo Y).
2.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
W tym zapisie spójnik „i”(*) (D456) to tylko fragment operatora AND(|*) (ABCD456 )w logice ujemnej (bo ~Y)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logia ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

stąd mamy:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:

Przykład:
Y=(p*q)+(~p*~q)
Stąd na mocy prawa przejścia do logiki przeciwnej zapisujemy:
~Y=(~p+~q)*(p+q)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia z matematyki klasycznej i działa fenomenalnie dla dowolnie długiej funkcji logicznej.

Symboliczna definicja operatora OR(|+) w układzie równań logicznych na podstawie tabeli symbolicznej ABCD789abc:
1.
Tożsama definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Y = Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
2.
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~Yd
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Matematycznie zachodzi:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q

W tabelach zero-jedynkowych operatora OR(|+) (ABCD123) i AND(|*) (ABCD4556) w logice matematycznej uczestniczą wyłącznie wynikowe jedynki. Wynikowe zera wszędzie są kopią z sąsiedniej tabeli na mocy praw Prosiaczka, to tylko uzupełnienie aktywnego logicznie spójnika „lub”(+) i „i”(*) (jedynki w wyniku) do pełnego operatora logicznego dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Przykład na linii B:
B1: (p=1) = B4: (~p=0)
B2: (p=0) = B5: (~p=1)
B3: (Y=1) = B6: (~Y=0)
itd.

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisuje wyłącznie jedynki w tej tabeli.

Doskonale to widać w tabelach ABCD123 i ABCD456.

Prawo Bociana:
Wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na prawa na poziomie spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) wewnątrz operatora.

Pamiętając o prawie Sowy i prawie Bociana możemy udowodnić dowolne prawo rachunku zero-jedynkowego zachodzące w spójnikach logicznych „lub”(+) i „i”(*) przy pomocy klasycznego rachunku zero-jedynkowego.

Przykład:
Dowód prawa De Morgana dla spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q) ~Y=~(Y)=~(p+q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =1     0  1  =0      =1                =0
C: 0  1 =1     1  0  =0      =1                =0
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)


2.4.2 Definicja operatora AND(|*)

Definicję operatora AND(|*) omówimy w skrócie bo problem jest tu totalnie symetryczny do omówionego wyżej operatora OR(|+).

Zero-jedynkowa definicja operatora AND(|*):
Kod:

Definicja        |Definicja        |Definicja
zero-jedynkowa   |zero-jedynkowa   |symboliczna
operatora AND(|*)|operatora OR(|+) |operatora AND(|*)
   p  q Y=p|*q   |~p ~q ~Y=~p|+~q  |
A: 1  1  =1      | 0  0  =0        | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  =0      | 0  1  =1        |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  =0      | 1  0  =1        |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  =0      | 1  1  =1        |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 |~Yd=~p*~q
   1  2   3        4  5   6          7       8      9     a   b  c

Bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABCD123 odczytujemy definicję spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y)
1.
Y =p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1

Bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABCD456 odczytujemy definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
2.
~Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Stąd mamy:
Definicja operatora AND(|*) w układzie równań logicznych:
1.
Y=p*q
2.
~Y=~p+~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q + ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Z tabeli symbolicznej ABCD789abc odczytujemy tożsamy układ równań logicznych definiujący operator AND(|*):
1.
Y=Ya
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

W tabelach zero-jedynkowych operatora AND(|*) (ABCD123) i OR(|+) (ABCD4556) w logice matematycznej uczestniczą wyłącznie wynikowe jedynki. Wynikowe zera wszędzie są kopią z sąsiedniej tabeli na mocy praw Prosiaczka, to tylko uzupełnienie aktywnego logicznie spójnika „lub”(+) i „i”(*) (jedynki w wyniku) do pełnego operatora logicznego dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Przykład na linii B:
B1: (p=1) = B4: (~p=0)
B2: (p=0) = B5: (~p=1)
B3: (Y=0) = B6: (~Y=1)
itd.

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisuje wyłącznie jedynki w tej tabeli.

Doskonale to widać w tabelach ABCD123 i ABCD456.

Prawo Bociana:
Wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na prawa na poziomie spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) wewnątrz operatora.

Pamiętając o prawie Sowy i prawie Bociana możemy udowodnić dowolne prawo rachunku zero-jedynkowego zachodzące w spójnikach logicznych „lub”(+) i „i”(*) przy pomocy klasycznego rachunku zero-jedynkowego.

Przykład:
Dowód prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q) ~Y=~(Y)=~(p*q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =0     0  1  =1      =0                =1
C: 0  1 =0     1  0  =1      =0                =1
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)


2.4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Kolejność wykonywania działań w algebrze Boole’a:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Algorytm Wuja Zbója:
Dana jest funkcja logiczna:
Y = p+q~r
Krok 1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki logiczne:
Y = p+(q*~r)
Krok 2
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo Y) negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = ~p*(~q+r) = ~p*~q + ~p*r

Prawo przejścia do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia wielomianów znanych z matematyki klasycznej. Niezwykłą użyteczność tego prawa zobaczymy na przykładzie definicji równoważności.
Podstawmy:
Y = p<=>q
Wyłącznie w celu skrócenia zapisów.

Zero jedynkowa i symboliczna definicja równoważności:
Kod:

Definicja zero-jedynkowa                 |Definicja symboliczna
operatora równoważności                  |równoważności
   p  q  Y=p*q+~p*~q  ~p ~q ~Y=p*~q+~p*q |
A: 1  1  =1            0  0  =0          | Ya=1<=> p=1 i  q=1  | Ya= p* q
B: 1  0  =0            0  1  =1          |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1  |~Yb= p*~q
C: 0  0  =1            1  1  =0          | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1  | Yc=~p*~q
D: 0  1  =0            1  0  =1          |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1  |~Yd=~p* q
   1  2   3            4  5   6            7       8      9      a   b  c

W definicji symbolicznej ABCD789 spisujemy dokładnie to co widzimy w tabeli zero-jedynkowej ABCD123456 dla jedynek w przełożeniu 1:1 (prawo Prosiaczka).
W logice matematycznej biorą udział wyłącznie wynikowe jedynki z tabel zero-jedynkowych ABCD123456.

Z definicji symbolicznej ABCD789abc zapisujemy układ równań opisujących tabelę zero-jedynkową równoważności.
1.
Nagłówek w tabeli ABCD123:
Y= Ya+Yc
Y=p*q + ~p*~q
3.
Nagłówek w tabeli ABCD456:
~Y=~Yb+~Yc
~Y = p*~q + ~p*q

Stosujemy prawo przejścia do logiki przeciwnej dla równania 1:
1.
Y =(p*q) + (~p*~q)
stąd:
2.
~Y=(~p+~q)*(p+q)

Stosujemy prawo przejścia do logiki przeciwnej dla równania 3:
3.
~Y = (p*~q)+(~p*q)
stąd:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi:
1: Y =(p*q) + (~p*~q) = 4: Y = (~p+q)*(p+~q)

Matematycznie zachodzi również:
3: ~Y = (p*~q)+(~p*q) = 2: ~Y=(~p+~q)*(p+q)

Funkcja typu:
Y = p*q + ~p*~q
Zwana jest funkcją alternatywno-koniunkcyjną (alternatywa koniunkcji)

Funkcja typu:
Y=(~p+q)*(p+~q)
Zwana jest funkcją koniunkcyjno- alternatywną (koniunkcja alternatyw)

Prawo Kruka:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej pod warunkiem. że w tabeli zero-jedynkowej którą te funkcje opisują istnieje więcej niż jedna wynikowa jedynka i więcej niże jedno wynikowe zero.

Dowód:
Przykład równoważności wyżej.


2.5 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy

Definicje podstawowe.

Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r

Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - spójniki logiczne

Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Kod:

Definicja operatora OR dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p+q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =1
C: 0  1   =1
D: 0  0   =0
   1  2    3
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) opisujący wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli
Linia D to uzupełnienie spójnika „lub”(+) do pełnego operatora

Kod:

Definicja operatora AND dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
   p  q   Y=p*q
A: 1  1   =1
B: 1  0   =0
C: 0  1   =0
D: 0  0   =0
   1  2    3
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) opisujący wyłącznie wynikowe jedynki w tabeli
Obszar BCD123 to uzupełnienie spójnika „i”(*) do pełnego operatora

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisuje wyłącznie jedynki w tej tabeli.

Doskonale to widać w powyższych tabelach.

Prawo Bociana:
Wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na prawa na poziomie spójników logicznych „lub”(+) i „i”(*) wewnątrz operatora.

Pamiętając o prawie Sowy i prawie Bociana możemy udowodnić dowolne prawo rachunku zero-jedynkowego zachodzące w spójnikach logicznych „lub”(+) i „i”(*) przy pomocy klasycznego rachunku zero-jedynkowego.

Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa

W klasycznym rachunku zero-jedynkowym nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego, czyli nie interesują nas cząstkowe równania logiczne opisujące poszczególne linie operatora, które do tej pory poznaliśmy.
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy to komputerowe (czyli bezmyślne) przemiatanie zer i jedynek na wszelkie możliwe sposoby, gdzie tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzącego prawa logicznego. To przemiatanie jest poprawne i ma sens wtedy i tylko wtedy gdy poprawnie matematycznie opisujemy wynikające z tego równania matematyczne, czego ziemscy matematycy niestety nie potrafią, bowiem nie znają kluczowych pojęć w logice matematycznej, logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y).

Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q

Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.

Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.

Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.

W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V

Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.


2.5.1 Prawa De Morgana

Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Dowód prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p+q ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~Y)=~(~p*~q) ~Y=~(Y)=~(p+q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =1     0  1  =0      =1                =0
C: 0  1 =1     1  0  =0      =1                =0
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Między tabelami ABCD123 i ABCD456 w poziomie zachodzą wszędzie prawa Prosiaczka.
Przykład dla linii B:
B1: (p=1) = B4: (~p=0)
B2: (q=0) = B5: (~q=1)
B3: (Y=1) = B6: (~Y=0)
itd
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.

Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Dowód prawa De Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

   p  q Y=p*q ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~Y)=~(~p+~q) ~Y=~(Y)=~(p*q)
A: 1  1 =1     0  0  =0      =1                =0
B: 1  0 =0     0  1  =1      =0                =1
C: 0  1 =0     1  0  =1      =0                =1
D: 0  0 =0     1  1  =1      =0                =1
   1  2  3     4  5   6       7                 8

Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 3 i 7 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice dodatniej (bo Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych 6 i 8 jest dowodem formalnym poprawności prawa De Morgana w klasycznym rachunku zero-jedynkowym w logice ujemnej (bo ~Y) na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)


2.5.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
Kod:

   p q Y=p+q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =1
C: 0 1  =1
D: 0 0  =0
   1 2   3


Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1  0 1 0  1   1   1
B: 0  1 1 0  1   0   1
   1  2 3 4  5   6   7


Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.

Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
Kod:

   p q Y=p*q
A: 1 1  =1
B: 1 0  =0
C: 0 1  =0
D: 0 0  =0
   1 2   3

Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Dowody formalne:
Kod:

   p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1  0 1 0  1   0   0
B: 0  1 1 0  0   0   0
   1  2 3 4  5   6   7

Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.

Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1

Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Y=p+q(r+~s)

Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1

Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd

Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.

Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.

Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.

Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:

Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.


2.6 Operatory jednoargumentowe

Układ jednoargumentowy:
Układ jednoargumentowy to obiekt o jednym wejściu binarnym p i jednym wyjściu binarnym Y
Kod:

       ----------
       |        |
 p ----| f(p)=? |----> Y=f(p)
       |        |
       ----------


Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu.

Wszystkie możliwe operatory jednoargumentowe to:
Kod:

p ~p   N    T    D   ~D
1  0  =0   =1   =1   =0
0  1   =1   =0   =1   =0

N - operator negacji, na wyjściu N pojawiają się zanegowane stany z wejścia p
T - operator transmisji, na wyjściu T pojawiają się stany z wejścia p
D - dziedzina (zbiór pełny)
~D - zaprzeczenie dziedziny (zbiór pusty)


2.6.1 Definicja operatora negacji

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu zwana funkcją logiczną Y na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach układu

Stąd:
Do definicji negacji musimy dołożyć wyjście funkcji logicznej Y aby opisywać operator negacji.

Operator negacji:
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator negacji         |Operator negacji
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
   p  Y=?  |~p ~Y=?      |
A: 1   =0  | 0   =1      |~Y=1<=> p=1      ~Y= p
B: 0   =1  | 1   =0      | Y=1<=>~p=1       Y=~p
   1    2    3    4        5      6         7  8

W wierszach tabeli zero-jedynkowej AB1234 zachodzi prawo Prosiaczka.
Przykład dla linii A:
A1: (p=1) = A3: (~p=0)
A2: (Y=0) = A4: (~Y=1)
itd.
Definicję symboliczną operatora negacji AB56 możemy utworzyć nie znając prawa Prosiaczka, wystarczy dla każdej linii opisać jedynki w tabeli zero-jedynkowej AB1234.
W tabeli symbolicznej operatora negacji AB56 mamy wszystkie zmienne binarne sprowadzone do jedynek. Jedynki są w logice matematycznej domyślne, co oznacza, że można je usunąć nic nie tracąc na jednoznaczności, co uczyniono w tabeli symbolicznej AB78. Doskonale widać, że operator negacji to układ równań logicznych, w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y).

Symboliczna definicja operatora negacji:
1.

Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne (tu ich nie ma)
2.
~Y=p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1

Zauważmy, że dopiero w tym momencie możemy nanieść poprawne funkcje logiczne nad kolumnami 2 i 4.
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator negacji         |Operator negacji
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna
   p  Y=~p |~p ~Y=p      |
A: 1   =0  | 0   =1      |~Y=1<=> p=1      ~Y= p
B: 0   =1  | 1   =0      | Y=1<=>~p=1       Y=~p
   1    2    3    4        5      6         7  8

Doskonale widać, ze spełnione jest tu prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki

W tabeli AB12 funkcja logiczna Y=~p opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w punkcie B2.
W tabeli AB34 funkcja logiczna ~Y=p opisuje wyłącznie wynikową jedynkę w punkcie A1
Fakty te doskonale widać w definicji symbolicznej AB56.

Zauważmy, że definicja negacji „~” w logice matematycznej (przedrostek „NIE”(~)) nie jest operatorem logicznym, bowiem prawo Prosiaczka występuje jedynie w wierszach powyższych tabel AB12 i AB34.

Natomiast operator logiczny to kolumny 2 i 4.
W kolumnie 2 nie zachodzi prawo Prosiaczka:
A1: (Y=0) # B2: (Y=1)
Podobnie w kolumnie 4 również nie zachodzi prawo Prosiaczka:
A4: (~Y=1) # B4: (~Y=0)
gdzie:
# - różne

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)







Operator transmisji:
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator transmisji      |Operator transmisji   |co matematycznie oznacza
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |
   p  Y=?  |~p ~Y=?      |                      |
A: 1   =1  | 0   =0      |  Y= p                | Y=1<=> p=1
B: 0   =0  | 1   =1      | ~Y=~p                |~Y=1<=>~p=1

Podstawiamy wyznaczone funkcje logiczne do tabeli prawdy:
Kod:

Algebra Boole’a          |Algebra Kubusia
Operator transmisji      |Operator transmisji   |co matematycznie oznacza
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |
   p  Y=p  |~p ~Y=~p     |                      |
A: 1   =1  | 0   =0      |  Y= p                | Y=1<=> p=1
B: 0   =0  | 1   =1      | ~Y=~p                |~Y=1<=>~p=1
   1    2    3    4         5  6                  7      8

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej gdy nie jest zaprzeczona
Y - logika dodatnia (bo Y)
~Y - logika ujemne (bo ~Y)

Symboliczna definicja operatora transmisji:
Operator transmisji to układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
2.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki.



Zauważmy, że operator transmisji nie jest tożsamy

Wyznaczmy funkcje logiczne opisujące zera w zero-jedynkowej definicji operatora transmisji.
[code:1:3fac673b9d]
Algebra Boole’a |Algebra Kubusia
Operator transmisji |Operator transmisji |co matematycznie oznacza
Definicja zero-jedynkowa |Definicja symboliczna |
p Y=p |~p ~Y=~p | |
A
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 7:40, 25 Lip 2016    Temat postu:

Implikacja i równoważność w algebrze Kubusia

Kod:

IP:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach implikacyjnych: =>,~>,~~>
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |spójników => i ~> w IP   |spójników => i ~>
   p  q ~p ~q | p=>q ~p~>~q q~>p ~q=>~p |              Y                 Y
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  0     0     0     0    | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  1     1     1     1    |~p~~>q =~p* q=1 | q~~>~p= q*~p =1
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d e    f  g   h  i  j
Matematycznie zachodzi:
p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p

Implikację prostą p|=>q opisują następujące zdania tożsame w spójnikach implikacyjnych => i ~>:
IP: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p

Prawo Puchacza:
Nagłówki kolumn wynikowych 5678 opisują wyłącznie jedną linię tabeli, linię ze spełnionym warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~>.
O którą linię chodzi widać w tabeli symbolicznej ABCDabcdefghi.
Informacja ta jest jednoznaczna, bowiem na podstawie definicji implikacji prostej |=> i odwrotnej |~> w zbiorach możemy tu odtworzyć kompletną kolumnę wynikową.
Operator implikacji prostej p|=>q czy odwrotnej p|~>q opisuje wszystkie linie powyższej definicji.
Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p=>q
p|~>q ## p~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Kompletny operator implikacji prostej p|=>q to seria czterech niezależnych zdań ABCD widocznych w tabeli symbolicznej ABCDabcde lub ABCDfghij, a nie jedno zdanie!

Prawo Puchacza jest analogiczne do prawa Sowy.
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) opisuje wyłącznie wynikowe jedynki.
Operator OR(|+) czy też AND(|*) opisuje wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej.
Matematycznie zachodzi:
p|+q ## p+q
p|*q ## p*q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Działanie prawa Sowy widać w definicji symbolicznej ABCDcde:
Y = A:p*q + C:~p*~q + D:~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p*q)=1 lub C: (~p*~q)=1 lub D: (~p*q)=1
Dla punktu Be mamy:
(Y=0)=(~Y=1) na mocy prawa Prosiaczka
Stąd równanie opisujące wynikowe zero w kolumnie ABCDe:
~Y = B: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: (p*~q)=1

Kod:

IO:
Definicja implikacji odwrotne p|~>q w spójnikach implikacyjnych: ~>,=>
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |spójników ~> i => w IO   |spójników ~> i =>
   p  q ~p ~q | p~>q ~p=>~q q=>p ~q~>~p |
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p~> q = p* q=1 | q=> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  1     1     1     1    | p~~>~q= p*~q=1 |~q~~>p =~q* p =1
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p=>~q =~p*~q=1 |~q~>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  0     0     0     0    |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d e   f   g   h  i  j
Matematycznie zachodzi:
p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p

Implikację odwrotną p|~>q opisują następujące zdania tożsame w spójnikach implikacyjnych => i ~>:
IO: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p

Kod:

RR:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych =>,~>
to po prostu wymnożenie logiczne tabel IP i IO
Wejścia:      |Definicja zero-jedynkowe |Definicje symboliczne
p,q,~p,~q     |równoważności Y=a<=>b    |spójników => i ~> w RR
   p  q ~p ~q |  Y     Y     Y     Y    |
A: 1  1  0  0 |  1     1     1     1    | p=> q = p* q=1 | q~> p = q* p =1
B: 1  0  0  1 |  0     0     0     0    | p~~>~q= p*~q=0 |~q~~>p =~q* p =0
C: 0  0  1  1 |  1     1     1     1    |~p~>~q =~p*~q=1 |~q=>~p =~q*~p =1
D: 0  1  1  0 |  0     0     0     0    |~p~~>q =~p* q=0 | q~~>~p= q*~p =0
   1  2  3  4    5     6     7     8      a   b   c  d     e   f   g  h  i

Podstawowa definicja równoważności to wymnożenie logiczne tabel IP i IO:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między dowolnymi dwoma punktami.
p<=>q =(p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Świat rzeczywisty opisywany przez równoważność to jednak zupełnie inny świat niż w operatorach implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że w równoważności wycięte zostały wynikowe jedynki, odpowiedzialne za rzucanie monetą w implikacji. W równoważności nie ma zatem mowy o jakimkolwiek rzucaniu monetą w warunku koniecznym ~>, czyli zdania prawdziwe pod kwantyfikatorem małym ~~>. Wykluczony jest tu zatem spójnik „może” w opisie warunku koniecznego ~> niezbędny w implikacji.

Podstawowa definicja równoważności:
RR:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> są następujące:
IP:
p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p
IO:
p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p

Podstawiając dowolny składnik tożsamości IP i IO do podstawowej definicji równoważności otrzymamy 16 tożsamych definicji równoważności z których najważniejsze to.
Definicja uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Definicja aksjomatyczna wynikła z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)

Podsumowanie:
1.
Implikację prostą p|=>q opisują następujące zdania tożsame w spójnikach implikacyjnych => i ~>:
IP: p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p
2.
Implikację odwrotną p|~>q opisują następujące zdania tożsame w spójnikach implikacyjnych => i ~>:
IO: p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p
3.
Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> są następujące:
IP:
p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p
IO:
p~>q = ~p=>~q = q=>p = ~q~>~p
Podstawiając dowolny składnik tożsamości IP i IO do podstawowej definicji równoważności otrzymamy 16 tożsamych definicji równoważności z których najważniejsze to.
Definicja uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Definicja aksjomatyczna wynikła z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 12:47, 24 Sty 2018    Temat postu:

Wycofuję ten post, bo zacząłem mieszać technikę mintermów i makstermów, na dodatek błędnie matematycznie.


Lekcja logiki matematycznej z dedykacją dla Irbisola

Część I

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-2775.html#360433
Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:
Irbisol napisał:
rafal3006 napisał:
Irbisol napisał:
Podaj zatem przypadek, gdzie p=1 i q=1 oraz p*q=0 - przy niezachowaniu prawa Orła oczywiście.

Jesli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
Y = (P~~>~CH) =P*~CH = 1*1 =0
(...)
p=P
q=~CH

I to jest przypadek, gdzie
p=1 i q=1
czyli gdzie
(p = (prawdą jest, że jutro będzie padać)) = 1
i
(q = (prawdą jest, że jutro nie będzie chmur)) = 1
?

Bo o taki przypadek pytam: p i q mają być równe 1.


Irbisolu, to ty musisz zdecydować o czym chcesz rozmawiać:
1.
O krystalicznie czystej logice matematycznej = teorii bramek logicznych.
Tylko i wyłącznie w tym przypadku wolno ci używać parametrów formalnych (ogólnych) p i q.
2.
Rozmawiamy o matematycznej obsłudze świata martwego i żywego.
Tu używamy symboli i znaczenia wprost z języka potocznego człowieka jak w moim cytacie wyżej.

Co wybierasz?

1.
To, że gramatyka nie dorasta do logiki, to już dawno odkryłem.
Odpowiedz na pytanie wyżej.

To twoje wytłuszczone to wierutny fałsz, jeśli będziesz współpracował odpowiadając na moje pytanie to udowodnię ci (i wszystkim pozostałym) że się mylisz.
Cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, podlega pod algebrę Kubusia, zatem język potoczny człowieka również!

Zacznijmy od krystalicznie czystej logiki matematycznej, od bramek logicznych.

Weźmy następującą tabelę zero-jedynkową:
Kod:

   p  q  Y=?
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =1
   1  2   3

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Z prawa rozpoznawalności pojęcia p wynika, że w powyższej tabeli musimy dopisać wszystkie sygnały zanegowane, zróbmy to:
Kod:

   p  q ~p ~q  Y=? ~Y=?
A: 1  1  0  0  =1   =0
B: 1  0  0  1  =0   =1
C: 0  1  1  0  =0   =1
D: 0  0  1  1  =1   =1
   1  2  3  4   5    6

Z tak zapisanej tabeli w bajecznie prosty sposób możemy utworzyć wszystkie możliwe równania algebry Boole’a ją opisujące.
W technice mintermów (opisywanie wyłącznie jedynek) dostaniemy równania alternatywno-koniunkcyjne, natomiast w technice makstermów (opisywanie wyłącznie zer) dostaniemy równania koniunkcyjno-altrnatywne.
Szczegóły są w tym linku:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-dla-matematykow-c-d-n,10481.html#355595
Rafal3006 napisał:

Definicja spójnika „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka:
Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
   p  q Y=p*q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =0
C: 0  1  =0
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja spójnika „i”(*):
Y=1<=>p=1 i q=1 - wyłącznie linia A123
Inaczej:
Y=0 - obszar BCD123
co doskonale widać w powyższej tabeli prawdy
Obszar BCD123 to uzupełnienie tabeli prawdy dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Definicja spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
   p  q Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
   1  2   3
Definicja spójnika „lub”(+):
Y=1<=>p=1 lub q=1 - wyłącznie obszar ABC123
Inaczej:
Y=0 - linia D123
co doskonale widać w powyższej tabeli prawdy
Linia D123 to uzupełnienie tabeli prawdy dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.


2.0 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych

Matematycznie istnieją dwie równoważne metody tworzenia równań logicznych jednoznacznie opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową

Metoda mintermów:
W metodzie mintermów opisujemy wyłącznie jedynki w kompletnej tabeli zero-jedynkowej uwzględniającej wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane.
W poziomach używamy spójnika „i”(*) tworząc funkcje cząstkowe, które łączmy spójnikiem „lub”(+) dla identycznych wartości wyjścia (Y lub ~Y)
Domyślną wartością logiczną w mintermach są jedynki które możemy pominąć otrzymując jednoznaczne równanie logiczne opisujące tabelę zero-jedynkową.

Metoda mintermów tworzy równania alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Metoda makstermów:
W metodzie makstermów opisujemy wyłącznie zera w kompletnej tabeli zero-jedynkowej uwzględniającej wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane.
W poziomach używamy spójnika „lub”(+) tworząc funkcje cząstkowe, które łączmy spójnikiem „i”(*) dla identycznych wartości wyjścia (Y lub ~Y)
Domyślną wartością logiczną w makstermach są zera które możemy pominąć otrzymując jednoznaczne równanie logiczne opisujące tabelę zero-jedynkową.

Metoda makstermów tworzy równania koniunkcyjno-alternatywne (koniunkcja alternatyw) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.


2.1 Pełna metoda mintermów i makstermów

Metoda mintermów:
W metodzie mintermów otrzymujemy równania alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Rozważmy przykładową tabelę zero-jedynkową:
Kod:

Pełna tabela prawdy   |Co w minetrmach     |Funkcje cząstkowe
bramki logicznej      |oznacza             |w mintermach
   p  q ~p ~q   Y  ~Y |                    |
A: 1  1  0  0  =1  =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1  =0  =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  1  1  0  =0  =1 |~Yc=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yc=~p* q
D: 0  0  1  1  =1  =0 | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yd=~p*~q
   1  2  3  4   5   6   a       b      c     d   e  f

Pełny opis dowolnej tabeli zero-jedynkowej to układ równań logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).

Funkcję w logice dodatniej (bo Y) odczytujemy z tabeli mintermów ABCDdef:
1.
Y=Ya+Yd
Y = p*q + ~p*~q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Funkcję w logice ujemnej (bo ~Y) odczytujemy z tabeli mintermów ABCDdef:
2.
~Y=~Yb+~Yc
~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)

Zauważmy, że naszą tabelę zero-jedynkową jednoznacznie opisuje dowolne równanie wyżej, bowiem znając funkcję logiczną Y bez problemu wygenerujemy funkcję ~Y poprzez negację równania Y stronami (i odwrotnie).
Nasz przykład:
Y = (p*q)+(~p*~q)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y=(~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y=p*~q + ~p*q
cnd

To co wyżej to krystalicznie czysta matematyka, algebra bramek logicznych.

Uważaj Irbisolu!

Z powyższej tabeli możemy wywalić w kosmos funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) i korzyatać wyłącznie z funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y).

Co się wtedy stanie?
Teoretycznie nic, pozbawimy się tylko możliwości operowania bezpośrednio równaniami algebry Boole’a bo ich w tym przypadku nie będzie.

Zróbmy to:
Metoda mintermów:
W metodzie mintermów otrzymujemy równania alternatywno-koniunkcyjne (alternatywa koniunkcji) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.

Rozważmy przykładową tabelę zero-jedynkową:
Kod:

Pełna tabela prawdy |Co w minetrmach     |Funkcje       |Zapis
bramki logicznej    |oznacza             |w mintermach  |tożsamy
   p  q ~p ~q   Y   |                    |              |
A: 1  1  0  0  =1   | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya=1<=> p* q |Ya= p* q=1*1=1
B: 1  0  0  1  =0   | Yb=0<=> p=1 i ~q=1 | Yb=0<=> p*~q |Yb= p*~q=1*1=0
C: 0  1  1  0  =0   | Yc=0<=>~p=1 i  q=1 | Yc=0<=>~p* q |Yc=~p* q=1*1=0
D: 0  0  1  1  =1   | Yd=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yd=1<=>~p*~q |Yd=~p*~q=1*1=1
   1  2  3  4   5   | a       b      c     d       e  f  g   h  i j k l

Z funkcji cząstkowych w mintermach ABCDdef odczytujemy:
Y=1 <=> Ya=1 + Yd=1
Y=1 <=> A: p*q + D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: (p*q)=1 lub D: (~p*~q)=1
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=1 <=> B: (p=1 i q=1) lub C: (~p=1 i ~q=1)

Z funkcji cząstkowych w mintermach ABCDdef odczytujemy również:
Yb=0 <=> (p*~q) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb=0 <=> (p=1 i ~q=1) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb= (p*~q) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb= (p*~q) = 1*1 =0


Kiedy zajdzie Y=0?
Odczytujemy z tabeli mintermów ABCDdef.
Y=0 <=> (Yb=0) *(Yc=0)
Y=0 <=> [B: (p*~q)=0]*[C: (~p*q)=0]
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=> B: (p*~q)=0 i C: (~p*q)=0
Zapis matematycznie tożsamy:
Y=0 <=> B: (p=1 i ~q=1)=0 i C: (~p=1 i q=1)=0
Komentarz:
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej opisujemy zera to musimy stosować technikę makstermów.
Innymi słowy z teorii ogólnej z uwzględnieniem logiki ujemnej (bo ~Y) mamy tu równanie:
~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
A. ~Y=1 <=> p*~q=1 lub ~p*q=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Z założenia nie widzimy funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
stąd mamy:
Y=0 <=> p*~q=0 i ~p*q=0
Bo oba człony po prawej stronie A muszą być równe 0 aby zaszło Y=0
cnd

Szczegóły tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-dla-matematykow-c-d-n,10481.html#355595

Największa tragedia ludzkości polega na tym, że nie widząc logiki ujemnej (bo ~Y) nie respektuje prawa rozpoznawalności funkcji logicznej Y. Ziemianie kaleczą tym samym logikę matematyczną lądując w wariatkowie.
W tym wariatkowie:
[link widoczny dla zalogowanych]
dr. Marek Kordas w powyższym linku napisał:

Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.

Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?

Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.

Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
.. .. ..
Powstają dwa pytania.
Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?
Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
.. .. ..
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.


Kwadratura koła dla Irbisola:
Co powiesz na wytłuszczoną część w tym poście?
Powtórzę:
Z funkcji cząstkowych w mintermach ABCDdef odczytujemy również:
Yb=0 <=> (p*~q) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb=0 <=> (p=1 i ~q=1) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb= (p*~q) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb= (p*~q) = 1*1 =0

To jest logika matematyczna, czy nie jest?

Pytanie do Irbisola:
Czy to jest zrozumiałe?
Jeśli powiesz tak to pójdziemy do części II, czyli do zastosowania ogólnej logiki matematycznej w bramkach logicznych tu wyłożonej do opisu świata rzeczywistego, między innymi języka potocznego człowieka.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 16:47, 24 Sty 2018, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Śro 16:50, 24 Sty 2018    Temat postu:

Wycofuję ten post, powód jak wyżej.

idiota napisał:
"To twoje wytłuszczone to wierutny fałsz"

A to wytłuszczone to nie pytanie, na które nie umiesz odpowiedzieć.


Nie masz racji idioto, popatrz:
Twierdzenie Pitagorasa wyrażone równoważnością w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Jeśli trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = TP*SK + ~TP*~SK

Budujemy tabelę prawdy dla tego zdania w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Kod:

A: TP~~> SK = TP* SK =1*1=1 - istnieje (=1) część wspólna zbiorów TP i SK
B: TP~~>~SK = TP*~SK =1*1=0 - nie istnieje (=0) część wspólna zbiorów TP i ~SK
C:~TP~~> SK =~TP* SK =1*1=0 - nie istnieje (=0) część wspólna zbiorów ~TP i SK
D:~TP~~>~SK =~TP*~SK =1*1=1 - istnieje (=1) część wspólna zbiorów ~TP i ~SK

Porównajmy to z teorią bramek logicznych wyłożoną w poście wyżej

Kwadratura koła dla Irbisola:
Co powiesz na wytłuszczoną część w poście wyżej?
Powtórzę:
Z funkcji cząstkowych w mintermach ABCDdef odczytujemy również:
Yb=0 <=> (p*~q) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb=0 <=> (p=1 i ~q=1) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb= (p*~q) =0
Zapis matematycznie tożsamy:
Yb= (p*~q) = 1*1 =0

To jest logika matematyczna, czy nie jest?

Pytanie do Irbisola:
Czy to jest zrozumiałe?
Jeśli powiesz tak to pójdziemy do części II, czyli do zastosowania ogólnej logiki matematycznej w bramkach logicznych tu wyłożonej do opisu świata rzeczywistego, między innymi języka potocznego człowieka.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 6:16, 21 Maj 2018    Temat postu:

Powód:
Zbiory ~P8*~P2 i ~P8*P2 nie są rozłączne

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/operatory-or-i-and,10313-150.html#381003

Ostatni przełom w algebrze Kubusia!
Czyli:
Definicja poprawnej dziedziny w równaniu logicznym!

Definicja poprawnej dziedziny:
Dla dowolnej funkcji logicznej Y o n argumentach przyjęta dziedzina jest poprawna wtedy i tylko wtedy gdy dzieli funkcję logiczną Y na rozłączne zbiory niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Maksymalna ilość takich zbiorów to 2^n dla funkcji logicznej Y mającej same jedynki w wyniku.

Niezbędna teoria dla zrozumienia niniejszego postu:
Algebra Kubusia w definicjach napisał:

4.0 Podstawowe definicje w algebrze Kubusia

Podstawowe definicje w algebrze Kubusia to:
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
p~~>q - definicja kwantyfikatora małego
p~~>~q=p*~q - definicja kontrprzykładu

4.1 Definicja warunku wystarczającego =>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej: p=>q =0

4.2 Definicja warunku koniecznego ~>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej: p~>q =0

4.3 Definicja kwantyfikatora małego ~~>

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja kwantyfikatora jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.
Inaczej: p~~>q = p*q =[] =0

4.3.1 Definicja kontrprzykładu

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
I Prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q
II Prawo Kubusia
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Prawa Tygryska:
Prawa tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
I Prawo Tygryska
p=>q = q~>p
II Prawo Tygryska:
p~>q = q=>p

Prawo Pytona:
Każde pojęcie jest tożsame z samym sobą

Dowód prawa Pytona:
Każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
Każde pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
p<=>p = (p=>p)*(p~>p) =1*1 =1
cnd
Pojęcie podzbioru i nadzbioru jest bezdyskusyjnie wspólne w algebrze Kubusia i logice matematycznej ziemian.


W poście wyżej udowodniłem, że podejście do logiki matematycznej proponowane przez Fiklita jest matematycznie błędne.

Przypomnijmy:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/operatory-or-i-and,10313-150.html#380903
Rafal3006 napisał:

Rozważmy podzbiór naszego Uniwersum:
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..]=1 - istnieje (=1) zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..]=1 - istnieje (=1) zbiór liczb podzielnych przez 2

Wyznaczenie zaprzeczeń zbiorów (uzupełnień do dziedziny):
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..] =1 - istnieje (=1) zbiór ~P8
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] =1 - istnieje (=1) zbiór ~P2

Nasze Uniwersum to:
U=[P8, P2, pies, 4L, Polak, Mickiewicz …]

Rozważmy zdanie:
A.
Istnieje (=1) zbiór P8 i istnieje (=1) zbiór P2
Ya = P8*P2 =1
Wartość logiczna zdania A to jeden bowiem istnieje (=1) niepusty zbiór wynikowy P8*P2=P8=[8,16,24..]
P8 jest podzbiorem => P2, stąd:
P8*P2 = P8 =1 - istnieje (=1) zbiór P8

Propozycja Fiklita polega na zanegowaniu zdania A, zróbmy to:
Nieprawda, że istnieje (=1) zbiór P8 i istnieje (=1) zbiór P2
~Ya = ~(P8*P2)
~Ya = ~P8+~P2
Obliczmy prawą stronę:
Zauważmy, że zbiór ~P2 jest nadzbiorem zbioru ~P8
Stąd mamy:
~P8+~P2 = ~P2 = [1,3,5,7,9…]
Oczywistym jest że suma logiczna zbiorów Ya+~Ya musi nam dać dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zauważmy że:
P8*P2 = P8=[8,16,24..] - bo zbór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Sprawdzamy czy Ya+~Ya=1
Ya+~Ya = P8*P2 + ~P2 = P8+~P2 =[8,16,24..]+[1,3,5,7,9..] = [1,3,5,7,8,9..]

Doskonale widać że Ya+~Ya nie daje nam twardej jedynki (zbioru liczb naturalnych), zatem w tym momencie logika matematyczna ziemian po prostu się zawaliła.

Wniosek:
Fałszywe jest podejście do logiki matematycznej w stylu jaki proponuje Fiklit.

Powtórzmy jedyną prawdziwą definicję logiki matematycznej.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to wyznaczanie relacji między dowolnymi pojęciami z obszaru Uniwersum.

Fragment naszego Uniwersum:
U =[P8, P2, pies, 4L…]

Rozważmy relację między zbiorami P8 i P2 traktując je kwantyfikatorem małym ~~>:
LN=[,1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych (dziedzina)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..]
Kod:

T1
A: P8~~> P2= P8* P2 =1 bo 8 - istnieje wspólne element zbiorów P8 i P2
B: P8~~>~P2= P8*~P2 =0      - nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1 bo 3 - istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P3
D:~P8~~> P2=~P8* P2 =1 bo 2 - istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2


Zrozumienie dalszej części niniejszego postu wymaga znajomości kluczowych definicji rodem z algebry Kubusia przedstawionych na początku postu.

Przepiszmy naszą tabelę T1 bez komentarza:
Kod:

T1
A: P8~~> P2= P8* P2 =1
B: P8~~>~P2= P8*~P2 =0
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1
D:~P8~~> P2=~P8* P2 =1

Na mocy definicji rodem z AK jedziemy!
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: P8=>P2 =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A, na mocy prawa Kubusia, wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1 - bo prawdziwe jest A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:
D: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~P8=>~P2 =0
4.
Na mocy prawa Kubusia fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~P8=>~P2 =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0 - bo fałszywe jest A

Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T1.
Kod:

T2                     |
A: P8=>  P2         =1 | P8~> P2 =0
B: P8~~>~P2= P8*~P2 =0 | P8~~>~P2=0
C:~P8~> ~P2         =1 |~P8=> ~P2=0
D:~P8~~> P2=~P8* P2 =1 |~P8~~> P2=1


Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami:
p=>q =1
p~>q =0
stąd:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład z tabeli T2:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1* ~(0) =1*1 =1
cnd

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami:
p~>q =1
p=>q =0
stąd:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład z tabeli T2:
~P8|~>~P2 = (~P8~>~P2)*~(~P8=>~P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

Zauważmy że w zbiorach, w przeciwieństwie do propozycji Fiklita, wszystko się tu zgadza!
Kod:

T3
A: P8=> P2 =[ P8* P2= P8]=1 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => P2
B: P8~~>~P2=[]           =0 - zbiór pusty
C:~P8~>~P2 =[~P8*~P2=~P2 =1 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
D:~P8~~>P2 =[~P8*P2      =1 - bo istnieje część wspólna zbiorów ~P8 i P2

Oczywistym jest że suma logiczna zbiorów:
A+B+C+D
musi dać nam dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Dowód:
A: P8=[8,16,24..] + C: ~P2=[1,3,5,7,9..] + D=[2,4,6..] =[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] = LN
cnd

Czyż algebra Kubusia nie jest bajecznie prosta i piękna?


http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/operatory-or-i-and,10313-100.html#380183
fiklit napisał:

A skąd wiesz, że w linii A p=1 i q=1? Jaki mają element wspólny?

Myślę, że tu jest bariera komunikacyjna.
Mickiewicz był Polakiem. Pies ma cztery łapy. Nieprawda, że Mickiewicz był Polakiem i pies ma cztery łapy.

Rozważmy kluczowe zdanie, które wałkujemy od dłuższego czasu.
A.
Mickiewicz był Polakiem i pies ma cztery łapy
Y = MP*P4L =?
Zastanówmy się, jaka jest wartość logiczna tego zdania.

Zastosujmy algorytm Fiklita dla pojęć MP i P4L z obszaru naszego Uniwersum.
U =[MP, P4L ..]
A.
Mickiewicz był Polakiem i pies ma cztery łapy
Y = MP*P4L =1*1 =0 - bo zbiory rozłączne
Przyjmujemy dziedzinę minimalną (bo węższej, zrozumiałej dla człowieka nie ma):
U=[Uniwersum]
Stąd mamy zbiory:
MP=1 - istnieje (=1) zbiór MP
P4L=1 - istnieje (=1) zbiór P4L
Obliczenia przeczeń (uzupełnień do dziedziny):
~MP=[U-MP] =1 - istnieje (=1) zbiór ~MP (kompletne Uniwersum z wykluczeniem MP)
~P4L=[U-P4L] =1 - istnieje (=1) zbiór ~P4L (kompletne Uniwersum z wykluczeniem P4L)
Negujemy równanie A stronami:
~Y=~(MP*P4L)
~Y= ~MP+~P4L
Sprawdzamy czy Y+~Y da nam kompletną dziedzinę Uniwersum:
Y+~Y = [] + U-MP + U-P4L =U
Doskonale widać że negacja zbioru pustego:
MP*P4L
daje nam dziedzinę U (Uniwersum)

Zauważmy jednak coś bardzo istotnego:
~Y = ~MP + ~P4L = [U-MP]+[U-4L]
Doskonale widać, że zbiory ~MP i ~P4L nie są wzajemnie rozłączne, mimo że ich suma logiczna stanowi dziedzinę.

Stąd mamy definicję poprawnej dziedziny.

Definicja poprawnej dziedziny:
Dla dowolnej funkcji logicznej Y o n argumentach przyjęta dziedzina jest poprawna wtedy i tylko wtedy gdy dzieli funkcję logiczną Y na rozłączne zbiory niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Maksymalna ilość takich zbiorów to 2^n dla funkcji logicznej Y mającej same jedynki w wyniku.

Przykład funkcji dwuargumentowej z samymi jedynkami w funkcji Y:
Kod:

   p  q Y=A: p*q+ B: p*~q+ C: ~p*q+ D: ~p*~q 
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  1

Funkcje cząstkowe ABCD są niepuste, wzajemnie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód:
Y = p*q+ p*~q+ ~p*q + ~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
cnd

Nasze wałkowane zdanie:
Mickiewicz był Polakiem i pies ma cztery łapy
MP*P4L =0
Nie spełnia definicji poprawnej dziedziny, zatem również z tego punktu odniesienia jest matematycznie fałszywe.
cnd

Zobaczmy jak działa definicja poprawnej dziedziny na przykładzie rodem z 7 klasy szkoły podstawowej.

Przytoczmy definicje z podręcznika matematyki do 7 klasy szkoły podstawowej:
1.
[link widoczny dla zalogowanych]
Mathedu napisał:

Definicja kwadratu:
Kwadratem nazywamy czworokąt, który ma wszystkie boki i kąty proste.
KW=CZ*BR*KP

2.
[link widoczny dla zalogowanych]
Mathedu napisał:

Definicja prostokąta:
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
PR=CZ*BR*KP

3.
Algebra Kubusia! napisał:

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem:
Prostokątem nie będącym kwadratem nazywamy czworokąt który nie ma wszystkich boków równych i ma wszystkie kąty proste.
PRNKW=CZ*~BR*KP

Ostatniej definicji nie ma w ziemskich podręcznikach matematyki, ale bez obawy, wkrótce będzie!
PRNKW to definicja doskonale znana dobrym matematykom np. Fiklitowi.

Dziedziną dla definicji 1,2,3 jest zbiór wszystkich czworokątów o definicji:
4.
[link widoczny dla zalogowanych]
Mathedu napisał:

Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ=4B*4KW

Matematycznie zachodzi tożsamość:
D.
PR = KW+PRNKW
Dowód:
KW = CZ*BR*KP
PRNKW=CZ*~BR*KP
Po podstawieniu do D mamy:
PR = CZ*BR*KP + CZ*~BR*KP
PR = CZ*KP*(BR+~BR)
PR = CZ*KP

Wyprowadzona definicja prostokąta jest zgodna z podręcznikową, zatem tożsamość D jest matematycznie poprawna.
Wynika z tego że dziedziną minimalną dla KW oraz PRNKW jest zbiór wszystkich prostokątów:
PR = CZ*KP
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
PR=[zbiór wszystkich prostokątów]
Zauważmy że człon:
CZ=[czworokąt]
Powtarza się w każdej definicji czworokątów, możemy zatem ten człon potraktować jako domyślny i wyrzucić go z równań logicznych, bowiem z punktu widzenia równań logicznych człon CZ nie ma żadnego znaczenia.

Mamy zbiory proste (niezanegowane):
KW = BR*KP - zbiór wszystkich kwadratów
PRNKW=~BR*KP - zbiór wszystkich prostokątów nie będących kwadratami
Dziedzina prostokątów bez logicznej redukcji to:
D = PR = BR*KP + ~BR*KP - zbiór wszystkich prostokątów PR
Stąd obliczamy przeczenia zbiorów KW i PRNKW, czyli uzupełnienia tych zbiorów do dziedziny PR:
~KW = [D-KW] = [BR*KP + ~BR*KP - BR*KP] = [~BR*KP] = PRNKW
~PRNKW = [D-PRNKW] = [BR*KP + ~BR*KP - ~BR*KP] = [BR*KP] = KW

Podsumowanie zachodzących tożsamości w dziedzinie wszystkich prostokątów PR:
D = PR = KW+PRNKW = BR*KP + ~BR*KP - dziedzina (zbiór wszystkich prosoikątów)
KW = BR*KP - zbiór wszystkich kwadratów
PRNKW=~BR*KP - zbiór wszystkich prostokątów nie będących kwadratami
~KW = PRNKW
PRNKW = ~KW

Analizujemy relacje zbiorów KW i PRNKW w dziedzinie PR kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli prostokąt PR jest kwadratem (KW=1) to może ~~> być prostokątem nie będącym kwadratem (PRNKW=1)
KW~~>PRNKW = KW*PRNKW = KW*~KW = ~PRNKW*PRNKW = [] =0 - zbiory rozłączne
B.
Jeśli prostokąt PR jest kwadratem (KW=1) to może ~~> nie być prostokątem nie będącym kwadratem (PRNKW=1)
KW~~>~PRNKW = KW*~PRNKW = KW*KW = ~PRNKW*~PRNKW =1 bo [2,2,2,2]
W dowodzeniu prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden kwadrat który nie jest PRNKW.
C.
Jeśli prostokąt PR nie jest kwadratem (~KW=1) to może nie być prostokątem nie będącym kwadratem (~PRNKW=1)
~KW~~>~PRNKW = ~KW*~PRNKW = ~KW*KW = PRNKW*~PRNKW =[] =0 - zbiory rozłączne
D.
Jeśli prostokąt nie jest kwadratem (~KW=1) to może ~~> być prostokątem nie będącym kwadratem (PRNKW=1)
~KW~~>PRNKW = ~KW*PRNKW = ~KW*~KW = PRNKW*PRNKW =1 bo [2,2,3,3]
W dowodzeniu prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden PRNKW który nie jest kwadratem.

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy podstawiając:
p=KW
q=PRNKW
Kod:

T4
A: p~~> q= p* q =0
B: p~~>~q= p*~q =1
C:~p~~>~q=~p*~q =0
D:~p~~> q=~p* q =1

Na mocy teorii wyłożonej na początku tego postu JEDZIEMY!
1.
Fałszywość kontrprzykładu A:
A: p~~>q = p*q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B:
B: p=>~q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => B, na mocy prawa Kubusia, wymusza prawdziwość warunku koniecznego D:
B: p=>~q = D: ~p~>q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu C:
C: ~p~~>~q = ~p*~q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => D:
D: ~p=>q =1
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego D, na mocy prawa Kubusia, wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B:
D: ~p=>q = B: p~>~q =1

Nanieśmy nasze rozważania do tabeli prawdy T4:
Kod:

T5
A: p~~> q= p* q =0 | p~~> q= p* q =0
B: p=>~q        =1 | p~> ~q       =1
C:~p~~>~q=~p*~q =0 |~p~~>~q=~p*~q =0
D:~p~> q        =1 |~p=>  q       =1


Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami:
Y = p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Nasza tabela (linia B) po odtworzeniu podstawienia:
Czworokąt jest kwadratem KW=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prostokątem nie będącym kwadratem (PRNKW=1)
RB: KW<=>~PRNKW = (KW=>~PRNKW)*(KW~>~PRNKW) =1*1 =1
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów:
KW = ~PRNKW

Nasza tabela (linia D) po odtworzeniu podstawienia:
Czworokąt nie jest kwadratem (~KW=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest prostokątem nie będącym kwadratem (PRNKW=1)
RD: ~KW<=>PRNKW = (~KW=>PRNKW)*(~KW~>PRNKW) =1*1 =1
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = PRNKW

Matematycznie zachodzi:
Y =p$q = ~(p<=>q) = (p<=>~q) = (~p<=>q)
Gdzie:
ALBO($) - równoważność typu ALBO($)

Stąd dla równoważności RB mamy:
Dowolny prostokąt (dziedzina!) jest kwadratem ALBO($) prostokątem nie będącym kwadratem
KW$PRNKW = KW<=>~PRNKW = (KW=>~PRNKW)*(KW~>~PRNKW) = 1*1 =1

Stąd dla równoważności RD mamy:
Dowolny prostokąt (dziedzina!) jest prostokątem nie będącym kwadratem ALBO($) jest prostokątem będącym kwadratem
PRNKW$KW = PRNKW<=>~KW = (PRNKW=>~KW)*(PRNKW~>KW) =1*1 =1

Zauważmy że spełniona jest tu definicja poprawnej dziedziny bowiem:
D - zbiór wszystkich prostokątów
D = KW+PRNKW = KW+~KW = ~PRNKW+PRNKW =1
Podsumowując:
Zbiory KW i PRNKW są rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy definicję dziedziny ciut szerszą np.
D=CZ - zbiór wszystkich czworokątów to definicja poprawnej dziedziny legnie w gruzach

Dowód:
Zbiory wejściowe to:
KW = BR*KP
PRNKW = ~BR*KP
CZ = [KW+ PRNKW+ Romb …] - zbiór wszystkich czworokątów (przyjęta dziedzina)
Obliczamy przeczenia KW i PRNKW (uzupełnienia do dziedziny):
~KW =[CZ-KW] = [(KW+PRNKW+Romb…)-KW = [PRNKW+Romb..]
~PRNKW=[CZ-PRNKW] = [(KW+PRNKW+Romb..) - PRNKW) = [KW+Romb..]

Doskonale widać, że zbiory ~KW i ~PRNKW nie są wzajemnie rozłączne, bo mają wspólny element „Romb” zatem nie jest spełniona definicja poprawnej dziedziny.

Definicja poprawnej dziedziny:
Dla dowolnej funkcji logicznej Y o n argumentach przyjęta dziedzina jest poprawna wtedy i tylko wtedy gdy dzieli funkcję logiczną Y na rozłączne zbiory niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Maksymalna ilość takich zbiorów to 2^n dla funkcji logicznej Y mającej same jedynki w wyniku.

Z powyższej definicji wynika, że jedyną poprawną dziedziną dla zbiorów:
KW=BR*KP
i
PRNKW =~BR*KP
jest zbiór wszystkich prostokątów:
PR = KW+PRNKW = BR*KP+~BR*KP
cnd
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25263
Przeczytał: 21 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 6:50, 21 Maj 2018    Temat postu:

Błędne definicje czworokątów w podręcznikach matematyki dla Szkoły Podstawowej![

Jeśli klikniemy na googlach hasło:
prostokąt rysunki
to zobaczmy wyłącznie prostokąty nie będące kwadratem PRNKW i żadnego kwadratu.
PRNKW = ~BR*KP
KW = BR*KP
Także we wszystkich podręcznikach szkolnych przy omawianiu definicji prostokąta widnieje de facto prostokąt nie będący kwadratem PRNKW.
Wedle obecnych definicji przy haśle „prostokąt” powinien być narysowany kompletny zbiór który tworzą prostokąty, czyli KW i PRNKW.
Oznacza to że matematycy zdefiniowali czworokąty KW i PRNKW niezgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka.
Nie ma problemów aby te błędne nazwy, niezgodne z praktyką matematyczną skorygować na poprawne jak niżej - wtedy świat wróci do normalności, czyli do zgody z tym co widzimy na obrazku klikając na googlach ”prostokąt obrazy”

Odpowiednie definicje przybiorą wówczas postać:
1.
[link widoczny dla zalogowanych]
Mathedu napisał:

Definicja kwadratu:
Kwadratem nazywamy czworokąt, który ma wszystkie boki i kąty proste.
KW=CZ*BR*KP

2.
Algebra Kubusia! napisał:

Definicja prostokąta:
Prostokątem nazywamy czworokąt który nie ma wszystkich boków równych i ma wszystkie kąty proste.
PR=CZ*~BR*KP

3.
Algebra Kubusia napisał:

Definicja zbioru wszystkich prostokątów:
Zbiór wszystkich prostokątów ZWP to:
1. Kwadrat
2. Prostokąt

Cecha charakterystyczną zbioru wszystkich prostokątów są wszystkie kąty proste
ZWP = kwadrat+ prostokąt
(nie ma więcej prostokątów!)
ZWP = KW+PR
ZWP = BR*KP + ~BR*KP = KP*(BR+~BR) = KP

Witamy w algebrze Kubusia w definicjach wreszcie zgodnych z naturalną logiką matematyczną człowieka, w definicjach zgodnych z tym co widzimy na obrazku w każdym podręczniku matematyki od szkoły podstawowej poczynając, na podręcznikach akademickich kończąc!

Definicja czworokątów jest dobra bo jest matematycznie jednoznaczna.
[link widoczny dla zalogowanych]
Mathedu napisał:

Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ=4B*4KW


Podsumowanie generalne:
Definicje pojęć matematycznych w matematyce muszą być matematycznie jednoznaczne, czyli muszą to być definicje wchodzące w skład operatora równoważności.

Przy nowych definicjach jak w niniejszym poście Jaś poproszony o narysowanie prostokąta ma polecenie jednoznaczne.
Musi narysować prostokąt o definicji:
Prostokąt to czworokąt który niema wszystkich boków równych i ma wszystkie kąty proste
PR = ~BR*KP

W starych definicjach (obecnych) Jaś może się bawić z panią matematyczką w ciuciu babkę i narysować cokolwiek:
KW=BR*KP
lub
PRNKW=~BR*KP

W starych, bublowych definicjach na hasło:
Jasiu, narysuj trapez, Jaś może spowodować, że biednej pani matematyczce niejednoznaczne, obecne nazwy bokami wyjdą.

Dowód:
W logice Ziemian nie da się precyzyjnie, czyli jednoznacznie narysować żadnego z czworokątów: prostokąta, rombu czy też równoległoboku.

Pani:
Jasiu narysuj trapez
- Jaś narysował kwadrat
Pani:
Nie o taki trapez mi chodziło, narysuj inny
- Jaś namalował prostokąt
Pani:
… no i nie trafiłeś, narysuj inny
- Jaś namalował romb
Pani:
Nie to miałam na myśli.
Jaś:
.. ale skąd ja mam wiedzieć co Pani ma na myśli?
Ja myślałem że chodzi Pani o kwadrat, później myślałem ze chodzi Pani o prostokąt …
Pani:
Siadaj pała,
Nie ważne synu co myślisz, ważne by twoje myśli z moimi się zgadzały
(ulubione powiedzonko polonisty że szkoły średniej Rafała3006)

Jeśli chodzi o jednoznaczność definicji to ziemscy matematycy są o lata świetlne za humanistami mającymi poprawne (jednoznaczne matematycznie) wszystkie definicje.

U humanistów zdarzają się co prawda niezwykle rzadko kolizje fonetyczne np. może i morze, jednak po pierwsze mamy tu różną pisownię, a po drugie w kontekście nikt tych nazw nie pomyli.
Dowód:
Może jutro pójdziemy nad morze?
Tu bez pisowni wszyscy wiemy o jakie „może’ i „morze” chodzi.

P.S.
Szerzej o problemie z definicjami czworokątów w podręcznikach matematyki w szkole podstawowej jest w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicje-czworokatow-w-algebrze-kubusia,8703.html#280635
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin