Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Teoria implikacji prostej i odwrotnej v. Beta 3.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 18:59, 24 Sty 2008    Temat postu: Teoria implikacji prostej i odwrotnej v. Beta 3.0

Proste jest piękne

Stanisław Heller napisał:

Wyobraźcie sobie, że przeczytałem bez mała od dechy do dechy teorię implikacji i stwierdzam dwie rzeczy: jest autentycznie wielka .... Teoria implikacji ukazuje także przejście między logiką matematyki a logiką zjawisk społecznych, a więc przejście, którego brak jest przyczyną niepowodzenia w uzgadnianiu istoty obserwatora z istotą obserwowanych zjawisk. Zachęcam wszystkich do przestudiowania teorii implikacji.
Bartek (BD) napisał:
Gratuluję ciekawej teorii implikacji odwrotnej. Wygląda mi ona na wiarygodną. Próbował Pan opublikować wyniki swoich badań w jakimś fachowym piśmie?
Dzięki, Kubuś.

Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Część pierwsza elementarza poza fundamentami algebry Boole’a zawiera wiele nowości np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole'a, odkrycie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych, tablice logiki ... Zachęcam do przeczytania I części zarówno początkujących jak i zawodowców.


Część II
Teoria implikacji prostej i odwrotnej



Autor: Kubuś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi (sfinia) przyjaciele:

Wujzbój (sfinia), Miki (sfinia), Irbisol (sfinia).

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

To jest elementarz, przy pomocy którego chciałbym poznać algebrę Boole’a gdybym miał znowu 16 lat.
Kubuś


Spis treści.

1.0 Cel elementarza
1.1 Notacja

2.0 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach

3.0 Geneza implikacji
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia
3.4 Nowy symbol implikacji odwrotnej
3.5 Kryteria wyboru implikacji
3.6 Twierdzenia o implikacji prostej i odwrotnej
3.6.1 Twierdzenia o implikacji prostej
3.6.2 Twierdzenia o implikacji odwrotnej
3.7 Najważniejsze prawo implikacji matematycznej
3.8 Równoważność
3.8.1 Alternatywne wzory równoważności
3.9 Sens implikacji prostej i odwrotnej

4.0 Obietnice i groźby
4.1 Obietnica - przyszłość
4.2 Obietnica - przeszłość
4.3 Groźba-przyszłość
4.4 Groźba-przeszłość
4.5 Równoważność implikacyjna w obietnicy
4.6 Równoważność implikacyjna w groźbie

5.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych
5.1 Obietnica w równaniach matematycznych
5.2 Groźba w równaniach matematycznych
5.3 Analiza obietnicy w równaniach matematycznych
5.4 Analiza groźby w równaniach matematycznych


Wstęp:

Każdy człowiek od przedszkolaka do starca doskonale posługuje się matematyczną definicją implikacji prostej i odwrotnej.

Wikipedia.
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym

Przyczyną powyższego zdania jest brak akceptacji implikacji odwrotnej w matematyce. We wszelkich podręcznikach podawana jest wyłącznie definicja implikacji prostej.

Tymczasem bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek logiczne myślenie, w szczególności matematyczne.

Prawda jest jeszcze brutalniejsza.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek życie bo implikacji prostej wszystko co żyje używa do obsługi obietnic (nagrody) zaś implikacji odwrotnej wszystko co żyje używa do obsługi gróźb (kary). Rozróżnianie kary od nagrody to fundament wszelkiego życia. Stworzenia które tego nie odróżniały dawno wyginęły.


1.0 Cel elementarza

Najbardziej zaskakujące wnioski w dwuletniej walce z implikacją na forum www.sfinia.fora.pl (metodologia) wyniknęły po ułożeniu operatorów logicznych w tablicach logiki (Część I pkt.7.0). Z tablic tych wynika, że istnieją aż cztery operatory implikacji. Dwa w logice dodatniej (~> i =>) i dwa w logice ujemnej (<- i ->). Oczywiście operatorów w logice ujemnej nikt w języku mówionym nie używa podobnie jak operatorów NOR i NAND.

Implikacja prosta i implikacja odwrotna to jednak operatory po tej samej stronie księżyca co operatory AND ("i") i OR ("lub"). Są to zatem operatory stosowane w praktyce przez wszystkich bardzo często, także w matematyce.

Zdań podlegających pod implikację prostą jest dokładnie tyle samo co zdań podlegających pod implikację odwrotną.

Jest to oczywistość wynikająca z definicji implikacji prostej i odwrotnej oraz z praw Kubusia.
Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach ... to jest cel tego elementarza.

Prawa Kubusia mówią o matematycznych związkach między implikacją prostą a implikacją odwrotną.

=> - symbol implikacji prostej
~> - symbol implikacji odwrotnej

Prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną:
p=>q = ~p ~> ~q

Prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą:
p~>q = ~p => ~q

W prawie Kubusia negujemy zmienne p, q i zmieniamy operator => na ~> albo odwrotnie.


1.1 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
=> - symbol implikacji prostej (np. obietnica)
~> - symbol implikacji odwrotnej (np. groźba)
<=> - symbol równoważności (implikacji dwustronnej)


2.0 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach

Człowiek zawsze jako pierwsze wypowiada zdanie proste w logice dodatniej. Logika ujemna to zaprzeczenie zdaniu wypowiedzianemu w logice dodatniej.

Y = Jutro pójdę do kina – logika dodatnia bo Y
~Y = Jutro nie pójdę do kina – logika ujemna bo ~Y

W zdaniu twierdzącym wyjście Y występuje wyłącznie na poziomie abstrakcyjnym, nie jest dostępne w wypowiadanym zdaniu w przeciwieństwie do implikacji.

Oczywiście nigdy nie będzie:
Y = ~Y – bo algebra Boole’a leży w gruzach

Ze zdania w logice ujemnej można wrócić do logiki dodatniej na dwa sposoby.

I.
Wypowiadamy ponownie zdanie w logice dodatniej

Y=~(~Y)=Y
Jutro pójdę do kina

II.
Zaprzeczamy zdaniu w logice ujemnej
Y= ~(~Y)

Czyli:
Y = ~( Jutro nie pójdę do kina) – logika dodatnia bo Y.
Zaprzeczam, że jutro nie pójdę do kina
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina ...itp.

Matematycznie każde wypowiedziane zdanie twierdzące traktujemy jako prawdziwe i przypisujemy mu wartość PRAWDA czyli Y=1.

Y = Jutro nie pójdę do kina, logika dodatnia bo Y

Zdanie w logice przeciwnej.

~Y = Jutro pójdę do kina, logika ujemna bo ~Y

W zdaniu prostym nie mamy dostępnego wyjścia Y i w tym przypadku która logika jest ujemna a która dodatnia to rzecz umowna. Pewne jest, że istnieją dwie przeciwstawne logiki.

Zdanie proste w logice dodatniej (Y) nigdy nie będzie równoważne zdaniu prostemu w logice ujemnej (~Y)

Jutro pójdę do kina # Jutro nie pójdę do kina

... w przeciwieństwie do implikacji.

W implikacji wyjście Y jest dostępne w wypowiadanym zdaniu.

Kubuś do Zuzi:
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C – wierszyk to czekolada, logika dodatnia bo C (wyjście Y=czekolada)

Zuzia:
... a jak nie powiem wierszyka

Kubuś:
B.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~> ~C – nie wierszyk to nie czekolada, logika ujemna bo ~C (z negacją).

Zdania A i B są równoważne, mimo że wypowiedziane w przeciwnych logikach.

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej (=>) na implikację odwrotną (~>).

W=>C = ~W ~> ~C

Zdania A i B skutkują identyczną przyszłością w której Zuzia nawet jak nie powie wierszyka to i tak może dostać czekoladę.

... ale o tym w dalszej części elementarza.


3.0 Geneza implikacji

Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym.

3.1 Definicja implikacji prostej

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
p=>q

Jeśli zajdzie p to musi zajść q (z p wynika q)
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
=> - symbol implikacji prostej

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:
p q p=>q
1 1  1
1 0  0
0 0  1
0 1  1


Symboliczna definicja implikacji prostej przydatna w analizie zdań:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Oczywiście zakładamy logikę dodatnią gdzie:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

W implikacji prostej wartość funkcji p=>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy następuje zmiana z p=1 na q=0.


3.2 Definicja implikacji odwrotnej

Jeśli liczba naturalna jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
p~>q

Jeśli zajdzie p to może zajść q (z p może wynikać q)
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
~> - symbol implikacji odwrotnej

Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
Kod:
p q p~>q (p<=q)
1 1  1
1 0  1
0 0  1
0 1  0


Matematycznie zachodzi:
p~>q = p<=q

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej przydatna w analizie zdań:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Oczywiście zakładamy logikę dodatnią:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0

W implikacji odwrotnej wartość funkcji p~>q jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy następuje zmiana z p=0 na q=1.


3.3 Prawa Kubusia

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

W prawach Kubusia negujemy zmienne p i q oraz odwracamy operator implikacji na przeciwny.

Dowód praw Kubusia.

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Kod:
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  1    1  0    1
1 0  0    0  1    0
1 1  1    0  0    1


Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.

To samo co wyżej można udowodnić przy pomocy równań matematycznych:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p<=q - z definicji
~p~> ~q = ~p<= ~q = ~q=> ~p - do ostatniego wzoru stosujemy definicje implikacji prostej
~q=> ~p = ~(~q)+ ~p = q + ~p = ~p + q

Z powyższego widać że:
p=>q = ~q=>~p – bo prawe strony równań równe (~p+q)
p=>q = ~q=>~p = ~p <= ~q = ~p ~> ~q
Czyli:
p=>q = ~p ~> ~q
CND.

p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Kod:
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0  1    1  1    1
0 1  0    1  0    0
1 0  1    0  1    1
1 1  1    0  0    1

Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.


3.4 Nowy symbol implikacji odwrotnej

W definicji implikacji odwrotnej wprowadziliśmy nowy, nieznany w matematyce symbol ~>. Implikacja prosta i implikacja odwrotna to dwa zupełnie różne operatory logiczne podobnie jak AND i OR. To jest najprostsze uzasadnienie konieczności wprowadzenia symbolu implikacji odwrotnej ~>.

Matematycznie zachodzi związek:
p~>q = p<=q

Czy zatem konieczne jest wprowadzanie nowego symbolu ?

Rozważmy to na przykładzie.

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
p=>q – oczywista implikacja prosta
p=P4, q=P2
P4=>P2

=> w tym symbolu zdanie czytamy ZAWSZE w kierunku od podstawy wektora do strzałki.

Wtedy oczywiście:
P4=>P2 = P2<=P4

Implikacja odwrotna do powyższej będzie brzmiała (zamieniamy p z q):

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
p=P2, q=P4
p~>q – implikacja odwrotna
P2~>P4

Dzięki nowemu symbolowi implikacji odwrotnej zdanie czytamy identycznie jak w implikacji prostej czyli od podstawy wektora do strzałki.

Wtedy oczywiście:
P2~>P4 = P4<~ P2

Gdybyśmy nowego symbolu nie wprowadzili to mielibyśmy różne znaczenia tego samego symbolu => w zależności od jego kierunku.

Matematycznie zachodzi bowiem:
P2~>P4 = P2<=P4
<= - tu zdanie czytamy od strzałki do podstawy wektora, przeciwnie niż w implikacji prostej !

czyli:
p=>q - implikacja prosta, czytamy od p do q zgodnie ze strzałką.
p<=q - implikacja odwrotna, czytamy od p do q przeciwnie do strzałki.

Bez użycia nowego symbolu ~> mamy:
P4=>P2 = P2<=P4 – implikacja prosta, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką.
P2<=P4 = P4=>P2 – implikacja odwrotna, zdanie czytamy przeciwnie do strzałki !

Jeśli dorzucimy do tego prawa Kubusia to mamy bardzo ciężko strawne danie czyli chaos. Teoretycznie nowy symbol implikacji jest „zbędny” na tej samej zasadzie jak „zbędny” jest symbol AND (bo prawa de’Morgana). Idąc tym tropem dojdziemy do wniosku, że jedynym niezbędnym operatorem w logice jest operator NOR ... tyle że to będzie koszmar, czyli bezsens.


3.5 Kryteria wyboru implikacji

Implikacja jest bajecznie prosta jeśli zastosujemy zasadę znaną wszystkim DOBRYM logikom praktykom w cyfrowych układach logicznych:

Jak mówimy tak piszemy

To jest gwarancja, że nigdy nie wypadniemy z algebry Boole’a do śmietnika, że dowolny układ logiczny zbudowany na bramkach logicznych będzie nam działał.

Wypowiedzianą implikację analizujemy w oparciu o implikację prostą albo w oparciu o implikacją odwrotną.

Jak rozstrzygnąć z czym mamy do czynienia ?

Zgodnie z zasadą „Jak mówimy tak piszemy”.

Definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to „musi zajść” q (z p wynika q)
p=>q

gdzie:
A.
=> = „musi zajść” = musi być = musi mieć = muszę dostać nagrodę (w obietnicy) itp


Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to „może zajść” q (z p może wynikać q)
p~>q

gdzie:
B.
~> = „może zajść” = może być = może mieć = nie muszę zostać ukarany (w groźbie) itp.

Jak widać, o tym czy mamy do czynienia z implikacja prostą czy odwrotną decyduje użyty spójnik A=”musi” i B=”może”.

Implikacja matematyczna może być wyłącznie prosta => albo odwrotna ~>. Nie ma innych możliwości.

Oznaczenia:
xA – wybrana implikacja w wersji oryginalnej
xB – implikacja równoważna do xA na mocy prawa Kubusia

xC – implikacja odwrotna do xA powstała poprzez zamianę p i q.
xD – implikacja równoważna do xC na mocy prawa Kubusia

gdzie: x=1,2

1A.
Jeśli czworokąt ma kąty proste to jest kwadratem
Jeśli czworokąt ma kąty proste to „może być” kwadratem, bo prostokąt.
p~>q - implikacja odwrotna bo „może być”
K90~>KW – kąty proste to kwadrat

Zdanie równoważne na mocy prawa Kubusia:
K90~>KW = ~K90 => ~KW

1B.
Jeśli czworokąt nie ma kątów prostych to nie jest kwadratem
~K90 => ~KW – matematyczna oczywistość

Implikacja odwrotna do 1A powstała poprzez zamianę p z q.

1C.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to ma kąty proste
Jeśli czworokąt jest kwadratem to „musi mieć” kąty proste
p=>q - implikacja prosta bo „musi mieć”
KW=>K90 – jeśli kwadrat to kąty proste

Zdanie równoważne do 1C na mocy prawa Kubusia.
KW=>K90 = ~KW ~> ~K90

1D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to nie ma kątów prostych
~KW ~> ~K90
=1 bo rąb, równoległobok
=0 bo prostokąt

Kolejny przykład:

2A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to jest psem
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może być” psem bo kot, lis ...
p~>q - implikacja odwrotna bo „może być”
4L~>P – cztery łapy to „może być” pies

Implikacja równoważna na mocy prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

2B.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to nie jest psem
Każdy pies „musi mieć” 4 łapy.
~4L=>~P

Implikacja odwrotna do 2A powstała poprzez zamianę p iq.

2C.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to „musi mieć” cztery łapy
P=>4L - implikacja prosta bo „musi mieć”

Implikacja równoważna na mocy prawa Kubusia:
P=>4L = ~P~> ~4L

2D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to nie ma czterech łap
~P ~> ~4L
=1 bo wąż, ptak...
=0 bo kot, lis ...


3.6 Twierdzenia o implikacji prostej i odwrotnej

Praktyka jest zawsze najlepszym nauczycielem, dlatego przeanalizujemy wybraną implikację na wszelkie możliwe sposoby. Przy okazji poznamy cztery podstawowe twierdzenia w teorii implikacji prostej i odwrotnej.

Oznaczenia:
3A – wybrana implikacja w wersji oryginalnej
3B – implikacja równoważna do 3A na mocy prawa Kubusia

3C – implikacja odwrotna do implikacji 3A powstała poprzez zamianę p i q.
3D – implikacja równoważna do implikacji 3C na mocy prawa Kubusia

3.6.1 Twierdzenia o implikacji prostej

Twierdzenie 3.6.1
Jeśli w implikacji prostej zamienimy poprzednik p z następnikiem q to otrzymamy implikację odwrotną. Między tymi implikacjami nie zachodzą żadne związki matematyczne, to dwa różne zdania.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Rozpatrujemy zbiór liczb podzielnych przez 4.
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta

Po zamianie poprzednika z następnikiem otrzymujemy implikację odwrotną.

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Rozpatrujemy zbiór liczb podzielnych przez 2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4 bo 6,10,14...
P2~>P4 - implikacja odwrotna


3A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Rozpatrujemy zbiór liczb podzielnych przez 4.
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2
p=>q - implikacja prosta bo „musi być”
P4=>P2 – jeśli podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2

W analizie wszelkich implikacji bezkonkurencyjna jest analiza symboliczna w oparciu o symboliczne definicję implikacji (język asemblera). Pozwała ona odciąć się od kodu maszynowego implikacji czyli zer i jedynek.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Dla zdania 3A mamy:

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 – jeśli liczba podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2.

czyli:
p=P4 q=P2

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:

p q p=>q
(P4) (P2) = 1
(P4) ~(P2) = 0
~(P4) ~(P2) = 1
~(P4) (P2) = 1

Opuszczamy nawiasy.

Tabela 3A.
p q p=>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1

Analizujemy zdanie P4=>P2 według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.

Znak ~ oznacza przeczenie NIE.

P4 P2 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2 – OK.
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
PRAWDA bez żadnych wyjątków.

P4 ~P2 = 0
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2 – OK
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
FAŁSZ bez żadnych wyjątków.

~P4 ~P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2 - OK
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
=1 bo 3,5,7 ....
=0 bo 6,10,14 ...

~P4 P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2 - OK
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
= 1 bo 6,10,14 ....
= 0 bo 3,5,7 ....

Twierdzenie 3.6.2
Każda implikacja prosta jest równoważna implikacji odwrotnej na mocy prawa Kubusia.
P4=>P2 = ~P4~>~P2

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
~P4~>~P2 - implikacja odwrotna

Jest obojętne która implikację wypowiemy, bo to dwie równoważne implikacje.

Rozważmy implikację równoważną do 3A na mocy prawa Kubusia

3A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 – jeśli podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną:
P4=>P2 = ~P4~>~P2 – negujemy zmienne i zamieniamy operator na przeciwny.

Implikacja równoważna do 3A na mocy prawa Kubusia:
3B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
~P4~>~P2

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego zdania mamy:

p = ~P4 q = ~P2

Wstawiamy konkretne zmienne do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:

p q p~>q
(~P4) (~P2) = 1
(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) (~P2) = 0

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p~>q
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0

Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.

Tabela 3B.
p q p~>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1

Porównajmy otrzymaną tabelę 3B z tabela 3A wyżej. Widać że są identyczne, co jest dowodem poprawności praw Kubusia. Zdania 3A i 3B są równoważne.


3.6.2 Twierdzenia o implikacji odwrotnej

Twierdzenie 3.6.3
Jeśli w implikacji odwrotnej zamienimy poprzednik z następnikiem to otrzymamy implikację prostą. Między tymi implikacjami nie zachodzą żadne związki matematyczne, to dwa różne zdania.

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Rozpatrujemy zbiór liczb podzielnych przez 2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4 bo 6,10,14...
P2~>P4 - implikacja odwrotna

Po zamianie poprzednika z następnikiem otrzymujemy implikację prostą.

Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Rozpatrujemy zbiór liczb podzielnych przez 4.
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta


Rozważmy teraz implikację odwrotną do 3A powstałą poprzez zamianę p i q.

3A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2

Oczywiście musi to być implikacja odwrotna, bo wyżej mamy do czynienia z implikacją prostą.

3C
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4 bo 6,10,14...
p~>q
P2~>P4 - zapis symboliczny zdania

Spójnik „może być” decyduje o tym, iż jest to implikacja odwrotna.

Szczegółowa analiza.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego mamy:
p=P2 q=P4

Podstawiamy zmienne do symbolicznej definicji implikacji. Ze względu na prostotę darujemy tu sobie zabawę z nawiasami.

Tabela 3C.
p q p~>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0

Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “Jak czytamy tak piszemy”.

P2 P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 4,8,12 ...
=0 dla 6,10,14 ...

P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 6,10,14 ...
=0 dla 4,8,12 ...

~P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4 – OK.
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
PRAWDA bez żadnych wyjątków.

~P2 P4 = 0
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4 – OK.
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
FAŁSZ bez żadnych wyjątków.

Twierdzenie 3.6.4
Każda implikacja odwrotna jest równoważna implikacji prostej na mocy prawa Kubusia.
P2~>P4 = ~P2=>~P4

Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - implikacja odwrotna
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
~P2=>~P4 - oczywista implikacja prosta

Jest obojętne która implikację wypowiemy, bo to dwie równoważne implikacje.

Rozważmy teraz implikację równoważną do 3C na mocy prawa Kubusia.

3C
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
P2~>P4 - zapis symboliczny zdania

Prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą:
P2~>P4 = ~P2=>~P4

3D
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
~P2=>~P4 – matematyczna oczywistość

Szczegółowa analiza.

Dla powyższego mamy:
p= ~P2, q= ~P4

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~P2 i ~P4.
Tym razem lepiej nie opuszczać nawiasów aby uniknąć pomyłek.

p q p=>q
(~P2) (~P4) = 1
(~P2) ~(~P4) = 0
~(~P2) ~(~P4) = 1
~(~P2) (~P4) = 1

Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p=>q
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1

Analizować wypowiedziane zdanie 3D możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”

Tabela 3D.
p q p=>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0

Porównajmy tabelę 3D z tabelą 3C wyżej. Widać że są identyczne, zatem implikacje 3C i 3D są równoważne.


3.7 Najważniejsze prawo implikacji matematycznej

Implikacja matematyczna to pewne wynikanie w jedna stronę (implikacja prosta) i niepewne wynikanie w drugą stronę (implikacja odwrotna).

A.
Implikacja prosta jest zawsze wynikaniem pewnym:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q.

Jeśli w implikacji prostej zamienimy p i q to otrzymamy niepewną implikację odwrotną B.

B.
Implikacja odwrotna jest zawsze niepewnym wynikaniem, może zajść ale nie musi.
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajśc q.

Jeśli w dowolnej implikacji odwrotnej zamienimy p i q to otrzymamy pewną implikację prostą A.


Przykład implikacji:

Jeśli figura jest kwadratem to ma kąty proste
p=>q
KW=>K90 - implikacja prosta bo "musi mieć" kąty proste.

Po zamianie p i q musimy otrzymać implikację odwrotną:

Jeśli figura ma kąty proste to jest kwadratem
p~>q
K90~>KW - implikacja odwrotna bo "może być" prostokątem.

Przykład równoważności:

Jeśli figura jest kwadratem to ma kąty proste i boki równe
p=>q
KW=>K90*BR - oczywista implikacja prosta, bo "musi mieć" K90*BR

Po zamianie p i q otrzymujemy implikację odwrotną:

Jeśli figura ma kąty proste i boki równe to jest kwadratem
K90*BR~>KW - jeśli K90*BR to „musi być” kwadrat

Zauważmy, że tym razem mamy do czynienia w pewnym wynikaniem w implikacji odwrotnej. W druga stronę mamy zawsze pewne wynikanie w implikacji prostej.

Stąd definicja równoważności:

Równoważność to pewne wynikanie w implikacji prostej i pewne wynikanie w implikacji odwrotnej na tym samym zdaniu.

<=> = (p=>q)(p~>q)


3.8 Równoważność

Równoważność to pewne wynikanie w implikacji prostej i pewne wynikanie w implikacji odwrotnej na tym samym zdaniu.

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*~q + p*q

Definicja zero-jedynkowa równoważności:
p q p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*~q + p*q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

Przykładowa równoważność:

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma wszystkie kąty równe.
p<=>q - q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p

W powyższej równoważności w jedną stronę mamy do czynienia z implikacja prostą zaś w drugą stronę z implikację odwrotną. Nie da się tu rozstrzygnąć która implikacja jest prosta a która odwrotna bo to dwie pewne implikacje.

Możemy przyjąć dowolnie:

Implikacja prosta p=>q :
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma wszystkie kąty równe – OK.
R=>KR - jeśli równoboczny to "musi mieć" kąty równe
Pewne wynikanie w implikacji prostej.

Implikacja odwrotna powstała przez zamianę p i q.

Implikacja odwrotna p~>q :
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to jest równoboczny – OK.
KR~>R - jeśli kąty równe to "musi być" równoboczny
Pewne wynikanie w implikacji odwrotnej

Uwaga:
Tylko i wyłącznie w równoważności mamy do czynienia z pewnym wynikaniem w implikacji odwrotnej. W implikacji mamy zawsze do czynienia z niepewnym wynikaniem w implikacji odwrotnej, może zajść, ale nie musi.


3.8.1 Alternatywne wzory równoważności

W matematyce musi się wszystko zgadzać. W definicji implikacji odwrotnej wprowadziliśmy nowy symbol implikacji odwrotnej ~> z uzasadnieniem w pkt. 3.4.

Definicja równoważności:

Równoważność to pewne wynikanie w implikacji prostej i pewne wynikanie w implikacji odwrotnej na tym samym zdaniu.

p<=>q = (p=>q)*(p~>q)


I.
Definicja równoważności z użyciem wyłącznie symbolu =>.

Matematycznie zachodzi:
p~>q = p<=q – implikacja odwrotna

Podstawiając to do definicji równoważności mamy:

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(p<=q) = (p=>q)*(q=>p)

gdzie:
p=>q - implikacja prosta (zawsze pewne wynikanie)
q=>q - implikacja odwrotna (pewne wynikanie wyłącznie w równoważności)


II.
Definicja równoważności z użyciem wyłącznie symbolu ~>.

Matematycznie zachodzi:
p~>q = p<=q - implikacja odwrotna (pewne wynikanie wyłącznie w równoważności)
q~>p = q<=p = p=>q - implikacja prosta (zawsze pewne wynikanie)

Podstawiając ostatnią zależność do definicji równoważności mamy:

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (q~>p)*(p~>q)


3.9 Sens implikacji prostej i odwrotnej

Równoważność to pewna implikacja prosta i odwrotna w dwie strony. Implikacja to niepewna implikacja odwrotna w jedną stronę p~>q oraz pewna implikacja prosta w drugą stronę p=>q. Może się zdarzyć, że w implikacji odwrotnej po stronie p zaistnieją wszystkie warunki konieczne do przejścia niepewnej implikacji odwrotnej (może być) w pewną implikację odwrotną (musi być). W druga stronę cały czas mamy implikację prostą (musi być), zatem cała implikacja stanie się pewnym wynikaniem w dwie strony (równoważność).

Zobaczmy to na przykładzie.

1.
Jeśli czworobok ma kąty proste to jest kwadratem
Jeśli czworobok ma kąty proste to „może być” kwadratem, bo prostokąt.
K90~>KW – implikacja odwrotna bo „może być”

W druga stronę po zamianie p i q mamy implikację prostą bo:

Jeśli czworobok jest kwadratem to ma kąty proste
Jeśli czworobok jest kwadratem to „musi mieć” wszystkie kąty proste.
KW=>K90 – implikacja prosta bo „musi mieć”.

2.
Jeśli czworobok ma kąty równe i boki równe to jest kwadratem
K90*BR<=>KW
Po dodaniu warunku mówiącego o równych bokach niepewna implikacja odwrotna K90~>KW przeszła w pewną implikację odwrotną :
K90*BR~>KW - jeśli K90*BR to „musi być” kwadrat

W drugą stronę zawsze mamy implikację prostą co widać wyżej. Spełniony został warunek równoważności czyli pewnego wynikania w dwie strony.

Implikacja odwrotna służy zatem do przeglądania wszelkiej dostępnej wiedzy i wybieraniu z niej PRAWDY. Jeśli cała prawda zostanie skompletowana, to całość staje się równoważnością co widać w powyższym przykładzie.

Implikacja odwrotna służy do zbierania prawdy.
p q p~>q
0 1 0 – zakaz zbierania fałszu (zakaz zamiany fałszu w prawdę)

Implikacja prosta zapobiega gubieniu zebranej prawdy
p q p=>q
1 0 0 – zakaz gubienia prawdy (zakaz zamiany prawdy w fałsz)

W przypadku matematyki sprawa jest prosta. Jeśli zrozumiemy definicję kwadratu jak wyżej to nie da się jej obalić ... można co najwyżej zapomnieć. Co pewien czas naszym Wszechświatem wstrząsają rewolucje np. odkrycie Kopernika. Wtedy pewna dotychczasowa PRAWDA zamienia się w FAŁSZ.

O wiele gorzej jest z prawdą subiektywną. Może się zdarzyć, że dotychczasowa wiedza gromadzona jako PRAWDA uznana zostanie w pewnym momencie za FAŁSZ np. mąż mnie zdradził.

Sens implikacji opisują wzory matematyczne:

Implikacja odwrotna:
p~>q = ~(~p*q) – nie może się zdarzyć, aby z fałszu powstała prawda

Jeśli w zbiorze p nie ma prawdy to jej nie znajdziemy. Zbiór p ma wówczas wartość FAŁSZ.

Wyobraźmy sobie, że komputer wylosował 20 liczb naturalnych z zakresu 1 do 100. Naszym zadaniem jest poszukiwanie liczby podzielnej przez 5 w wylosowanym zbiorze. Jeśli wśród wylosowanych liczb nie ma liczby podzielnej przez 5 to wartość całego zbioru jest równa FAŁSZ. Nie mamy żadnych szans na znalezienie szukanej liczby, z fałszu nie może powstać prawda.

p=A1+A2+...A20 = 0

Wystarczy jednak jedna liczba podzielna przez 5 i już wartość całego zbioru jest równa PRAWDA – mamy szansę na znalezienie szukanej liczby.

Implikacja prosta:
p=>q = ~(p*~q) – nie może się zdarzyć, aby z prawdy powstał fałsz

Jeśli po stronie p mamy wyłącznie prawdę to nie ma szans na fałsz.

p = A1*A2*...*An = 1 – wszystkie elementy zbioru p mają wartość PRAWDA.


4.0 Obietnice i groźby

Groźba i obietnica w rozumieniu przeciętnego człowieka to równoważność z możliwością darowania kary w groźbie (akt łaski) oraz możliwością wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w obietnicy (akt miłości). Przeciętny człowiek ma rację, popartą od dnia dzisiejszego matematyką ścisłą.

Aksjomat:
Nagroda = NIE Kara
Kara = NIE nagroda

Powyższy aksjomat to fundament życia. Zwierzęta które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.

W świecie żywych nigdy nie może być:
Kara = Nagroda

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

W=>N
Implikacja prosta bo jeśli spełnię warunek nagrody to „muszę dostać” nagrodę. Dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać.

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
p=>q - jeśli zdam egzamin to „muszę mieć” komputer

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana obietnicy na równoważną groźbę

Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~p~>~q - implikacja odwrotna bo „mogę dostać” komputer mimo nie zdanego egzaminu (akt łaski)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

W~>K
Implikacja odwrotna bo nawet jak spełnię warunek kary to „nie muszę” zostać ukarany. Nadawca ma prawo darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
p~>q - implikacja odwrotna bo „nie muszę” dostać lania
Nadawca ma prawo darować karę - akt łaski.

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana groźby na równoważną obietnicę

Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~p=>~q - jeśli czyste spodnie to gwarancja braku lania.
Obietnic należy dotrzymywać.


4.1 Obietnica - przyszłość

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N

Wszelkie obietnice analizujemy w oparciu o implikację prostą bo obietnic „musimy” dotrzymywać.

Zdanie wypowiedziane:

4.1A
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - jeśli zdam egzamin to mam gwarancję dostania komputera

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Dla wypowiedzianego zdania mamy:
p=E, q=K

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:

p q p=>q

Tabela 4.1A
p q p=>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1

Analizujemy implikację E=>K według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.

Znak ~ oznacza przeczenie NIE.

E K = 1
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer - OK
PRAWDA bez żadnych wyjątków wymuszona przez linię niżej.

E ~K = 0
Zdałeś egzamin, nie dostaniesz komputera = KŁAMSTWO
Ojciec musi dać komputer w przypadku zdania egzaminu zgodnie z obietnicą wypowiedzianą wyżej, inaczej jest oczywistym kłamcą.

~E ~K = 1
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera - OK.
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec ma prawo nie dać nagrody i nie musi się z tego tłumaczyć - kłamcą nie zostaje. Może jednak wręczyć komputer z dowolnym uzasadnieniem niezależnym jak niżej (akt miłości)...

~E K = 1
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha (bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem ci ten komputer kupić itp.)

Rozważmy zdanie równoważne do 4.1A na mocy prawa Kubusia

4.1A
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - jeśli zdam egzamin to mam gwarancję dostania komputera

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną:
E=>K = ~E~>~K – negujemy zmienne i zamieniamy operator na przeciwny

Zdanie równoważne:

4.1B.
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E~>~K

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego zdania mamy:
p = ~E, q = ~K

Wstawiamy konkretne zmienne do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:

p q p~>q
(~E) (~K) = 1
(~E) ~(~K) = 1
~(~E) ~(~K) = 1
~(~E) (~K) = 0

Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p~>q
~E ~K = 1
~E K = 1
E K = 1
E ~K = 0

Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.

Tabela 4.1B.
p q p~>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1

Porównajmy otrzymaną tabelę 4.1B z tabelą 4.1A wyżej. Widać że są identyczne, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia. Zdania 4.1A i 4.1B są równoważne.


4.2 Obietnica - przeszłość

Obietnica-przyszłość:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - obietnica, implikacja prosta

Matematyczna implikacja odwrotna uzyskana poprzez zamianę p i q.

Obietnica-przeszłość:
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin
K~>E - musi być implikacja odwrotna bo wyżej mamy implikację prostą.

Czy to ma sens ?

Nikt przecież nie ma wątpliwości, że przeszłość nigdy nie będzie równa przyszłości. Pewne jest, że obietnica-przyszłość zaszła w oparciu o implikację prostą. Pewne jest również, że przeszłości nie da się zmienić - tu wszystko jest zdeterminowane.

Implikacja odwrotna ma jednak sens, bo abstrakcyjnie możemy wędrować w czasie.

Przenieśmy się zatem do przeszłości.

Kubuś-Junior, poznawszy teorię implikacji postanawia zaskoczyć Wuja.

Junior:
Wujek, tata obiecał mi komputer jak zdam egzamin. Dostałem komputer, zgadnij czy zdałem egzamin.

Wujek:
Nie znam Waszej teorii implikacji ale czekaj, niech pomyślę ?

Podkład matematyczny do rozważań Wuja dołożył po fakcie Kubuś-Junior.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin
K~>E

Mamy:
p=K, q=E

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji otrzymując:

p q p~>q
K E = 1
K ~E = 1
~K ~E = 1
~K E = 0

Rozważanie Wuja, który nigdy nie słyszał o teorii implikacji.

K E = 1
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin. Zaraz, ale przecież nawet jak nie zdałeś egzaminu to tata mógł ci kupić komputer mówiąc ….

~E K = 1
Nie zdałeś egzaminu dostajesz komputer bo widziałem że dużo się uczyłeś ale miałeś pecha, bo od dawna zamierzałem ci go kupić, bo cię kocham itp.

Brawo Wujek, a teraz załóżmy, że nie mam komputera i zgadnij czy zdałem egzamin !
~K ~E = 1
Jeśli nie masz komputera to na pewno nie zdałeś egzaminu. Tata miał prawo nie kupić ci komputera bo nie zdałeś egzaminu i oczywiście nie jest kłamcą.

Dopisek Juniora:
~K E = 0
Nie mam komputera, zdałem egzamin - tata jest kłamcą. Zatem jeśli nie mam komputera to nie mogłem zdać egzaminu bo mój tata nigdy nie kłamie.

Wujek, skąd znasz matematyczną teorię implikacji ?

Wujek:
He,He… Jeśli to ma być ta Wasza matematyka, to znają ją nawet przedszkolaki. Gorzej, Adam i Ewa już to znali !

Zauważmy, że w linii (~E K = 1) zamieniony został poprzednik z następnikiem. Wolno nam tak zrobić bo to jest przeszłość gdzie wszystko jest zdeterminowane i niczego nie można zmienić. Kolejność p i q w analizie przeszłości nie ma najmniejszego znaczenia.

Dla purystów ta sama analiza bez tej zamiany.

K E = 1
Jeśli mam komputer to zdałem egzamin - OK.

K ~E
Jeśli mam komputer to mogłem nie zdać egzaminu, ale w tym przypadku ojciec musiał zastosować akt miłości czyli dał komputer bo mnie kocha, bo tak czy siak zamierzał mi go kupić itp.

~K ~E = 1
Jeśli nie mam komputera to nie zdałem egzaminu - OK.
Ojciec nie jest kłamcą bo akt łaski to tylko i wyłącznie jego wolna wola, niczym nie ograniczona.

~K E = 0
Jeśli nie mam komputera a zdałem egzamin to ojciec jest kłamcą.
Mój ojciec zawsze dotrzymuje obietnic, zatem to nie mogło zajść.


4.3 Groźba-przyszłość

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K

Wszelkie groźby analizujemy w oparciu o definicję implikacji odwrotnej bo wypowiadający groźbę ma prawo („może”) darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.

Zdanie wypowiedziane:

4.3A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie

Szczegółowa analiza.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0

Dla powyższego mamy:
p=B q=L

Podstawiamy zmienne do symbolicznej definicji implikacji..

Tabela 4.3A.
p q p~>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0

Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “jak czytamy tak piszemy”.

B L = 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Mogę dostać lanie, ale nie muszę bo ojciec może zastosować akt łaski jak niżej.

B ~L = 1
Ubrudziłeś spodnie, nie dostaniesz lania bo samochód cię ochlapał (bo mam dobry humor, bo cię kocham itp.). Ojciec może także po prostu „zapomnieć” o wypowiedzianej groźbie i nie jest kłamcą, nie musi się tłumaczyć.

~B ~L = 1
Nie ubrudziłeś spodni, nie dostaniesz lania.
PRAWDA bez żadnych wyjątków gwarantowana przez następną linię.

~B L = 0
Nie ubrudziłeś spodni, dostajesz lanie = KŁAMSTWO
Aby nie być kłamcą, ojciec nie ma prawa uderzyć syna.

Rozważmy teraz zdanie równoważne do 4.3A na mocy prawa Kubusia.

4.3A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie

Prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą:
B~>L = ~B=>~L

4.3B
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B=>~L

Szczegółowa analiza.

Dla powyższego mamy:
p= ~B, q= ~L

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~B i ~L.

p q p=>q
(~B) (~L) = 1
(~B) ~(~L) = 0
~(~B) ~(~L) = 1
~(~B) (~L) = 1

Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia algebry Boole’a:
A = ~(~A)

p q p=>q
~B ~L = 1
~B L = 0
B L = 1
B ~L = 1

Analizować wypowiedziane zdanie 4.3B możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”

Tabela 4.3B.
p q p=>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0

Porównajmy tabelę 4.3B z tabelą 4.3A wyżej. Widać że są identyczne, zatem implikacje 4.3A i 4.3B są równoważne.


4.4 Groźba-przeszłość

Groźba-przyszłość:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to lanie
Implikacja odwrotna bo nadawca może darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach

Groźba-przeszłość:
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta bo wyżej jest implikacja odwrotna !

Wtedy i tylko wtedy implikacja jest matematycznym wynikaniem.

Przenieśmy się do przeszłości na imprezę Kubusiowej rodziny (ta sama co w pkt.4.2).
Kubuś-Junior jest zaskoczony, że Wuj doskonale posługuje się implikacją matematyczną mimo że nie zna teorii implikacji. Więcej, Wuj twierdzi że znają to przedszkolaki więc postanawia sprawdzić. Biegnie do sąsiedniego pokoju gdzie bawi się jego 5-letnia kuzynka Zuzia.

Kubuś-Junior.
Zuzia, wczoraj mój tata powiedział, że jak wrócę w brudnych spodniach to dostanę lanie.
Wróciłem w brudnych spodniach i zgadnij, czy dostałem lanie ?

Podkład matematyczny do wypowiedzi Zuzi dołożył Junior po fakcie.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q = 1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1

Groźba-przeszłość:
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta o ile jest to matematyczne wynikanie.

Mamy:
p=L, q=B

Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej.

p q p=>q
L B = 1
L ~B = 0
~L ~B = 1
~L B = 1

Analiza implikacji odwrotnej przez 5-letnia Zuzię.

L B = 1
Jeśli dostałeś lanie to na pewno wróciłeś w brudnych spodniach

Dopisek Juniora.
L ~B = 0
Zakaz lania w przypadku czystych spodni - brawo Zuzia.

~L ~B = 1 (~B = nie brudne = czyste)
Jeśli nie dostałeś lania to wróciłeś w czystych spodniach …

~L B = 1
… ale mogłeś też nie dostać lania jeśli wróciłeś w brudnych spodniach bo twój tata mógł darować ci lanie jeśli spodnie były mało brudne.

Junior do Zuzi.
Zuzia czy wiesz, że znasz teorię implikacji ?

Zuzia:
A co to jest ?

Junior:
Jak dorośniesz to będą cię o tym uczyć w szkole.


4.5 Równoważność implikacyjna w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Wszelkie obietnice obsługiwane są przez implikację prostą - dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać. Każda obietnica zawiera w sobie równoważność implikacyjną, może zajść ale nie musi.

Zobaczmy to na przykładzie:

Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K – implikacja prosta

Analiza:
1. E K =1 – egzamin to komputer (gwarancja)
2. E ~K = 0 – egzamin to nie komputer
3. ~E ~K =1 – nie egzamin to nie komputer
4. ~E K =1 – nie egzamin to komputer (akt miłości)

Jeśli zdałem egzamin to mam komputer. To wymuszenie jest identyczne w implikacji i równoważności.

Jeśli nie zdałem egzaminu to mogę mieć komputer albo nie mieć. Jeśli ojciec zastosuje akt miłości to mam komputer dzięki linii 4, zaszła implikacja. Ojciec ma jednak prawo nie wręczyć komputera zgodnie z linią 3 i nie jest kłamcą. W tym przypadku zajdzie równoważność implikacyjna. Zauważmy jednak, że równoważność implikacyjną możemy stwierdzić wyłącznie po fakcie egzaminu, czyli musztarda po obiedzie. W momencie wypowiadania obietnica jest zawsze implikacją bo nikt nie zna przyszłości.

W obietnicy prawdopodobieństwo zajścia implikacji jest duże, zaś równoważności implikacyjnej małe.


4.6 Równoważność implikacyjna w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Wszelkie groźby obsługiwane są przez implikację odwrotna gdyż nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach. Każda groźba zawiera w sobie równoważność implikacyjną, może zajść ale nie musi.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L – ubrudzone to lanie, implikacja odwrotna bo akt łaski.

Analiza:
1. B L =1 – brudne to lanie
2. B ~L =1 – brudne to nie lanie (akt łaski)
3. ~B ~L =1 – nie brudne to nie lanie (gwarancja)
4. ~B L =0 - nie brudne to lanie (zakaz lania)

W linii 3 mamy gwarancję braku lania w przypadku czystych spodni, co zachodzi zarówno w implikacji jak i równoważności.

Jeśli ubrudziłem spodnie to albo dostanę lanie albo nie. Wszystko zależy od nadawcy, który może zrobić co mu się podoba. Jeśli wykona karę zgodnie z linią 1 to zajdzie równoważność implikacyjna. Jeśli zrezygnuje z wykonania kary to zajdzie implikacja zgodnie z linią 2 (akt łaski). Podobnie jak w obietnicy możemy stwierdzić co zaszło dopiero po fakcie. W momencie wypowiadania groźba jest zawsze implikacją, bo nikt nie zna przyszłości.

W praktyce człowiek wypowiada dużo gróźb których nie wykonuje, w szczególności do dzieci. Zachodzi wówczas implikacja (akt łaski). Znaczna część gróźb jest jednak wykonywana przy spełnionym warunku kary (równoważność implikacyjna), inaczej groźby będą lekceważone przez odbiorcę.


5.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych

Powyżej analizowaliśmy obietnice i groźby przy pomocy zero-jedynkowych definicji implikacji prostej (obietnice) i implikacji odwrotnej (groźby). W praktyce po stronie warunku p może być dowolne zdanie złożone, które analizujemy przy pomocy algebry Boole’a. Istotne jest, aby możliwe było określenie dla jakich parametrów wejściowych warunek p jest spełniony. Równoważną do powyższej analizy zero-jedynkowej jest analiza gróźb i obietnic przy pomocy równań matematycznych.


5.1 Obietnica w równaniach matematycznych

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Równanie obietnicy:

N=W+U

Gdzie:
N=1 – mam nagrodę
N=0 – nie mam nagrody

W=1 – warunek nagrody spełniony
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:

N = 1+U = 1 – muszę dostać nagrodę.

W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

B.
W=0 – warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:

N=W+U=0+U=U

Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.

U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !

Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

Akt miłości nie zaszedł:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś.

Akt miłości zaszedł:
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)

Równanie obietnicy:

N=W+U=0+1=1 – mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:

N=W+U=0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


5.2 Groźba w równaniach matematycznych

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca nie anuluje kary aktem łaski.

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:

K=W*U

Gdzie:
K=1 – zostanę ukarany
K=0 – nie zostanę ukarany

W=1 – warunek kary spełniony
W=0 – warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:

U=1 – ukarać
U=0 – nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski). Prawo darowania dowolnej kary to fundament wolnej woli człowieka. Nie ma takiej kary, której nadawca nie miałby prawa darować, inaczej jego wolna wola leży w gruzach. W groźbach nadawca ma wolną wolę co oznacza, że może odstąpić od wykonania dowolnej kary i nawet nie musi się z tego tłumaczyć (np. przez „zapomnienie”), może także wykonać wszystkie kary przy spełnionym warunku kary i nie zostanie kłamcą (psychopata).
Akt łaski doskonale znają i stosują w praktyce wszystkie stworzenia na naszej planecie, w szczególności rodzice względem dzieci.

Analiza równania groźby.

K=W*U

A.
W=0 – warunek kary nie spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:

K=W*U=0*U=0 – zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania (dotyczy psychopatów).

B.
W=1 – warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:

K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:

U=1 – karać
U=0 – nie karać

Przykład:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 dowolne uzasadnienie niezależne)

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski

Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie

Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).

Równanie groźby:

K=W*U=1*1=1 – kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.


5.3 Analiza obietnicy w równaniach matematycznych

We wszelkich obietnicach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy dostaniemy nagrodę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy nie dostaniemy nagrody.

Przykład:

Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
P*~B=C

Przejdźmy z wypowiedzianym zdaniem do logiki ujemnej, aby rozstrzygnąć kiedy nie dostanę czekolady.

Zdanie wypowiedziane:

C= P* ~B
Dostanę czekoladę, gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

~C = ~P + B
Nie dostanę czekolady, gdy nie posprzątam pokoju lub będę bił siostrę.

Powyższym językiem mówionym posługują się wszyscy ludzie, to krystalicznie czysta algebra Boole’a. Rozważmy problem bardziej szczegółowo od strony matematycznej, zwracając szczególną uwagę na sens logiki dodatniej i ujemnej w obietnicach i groźbach.

Zbudujmy tabelę prawdy dla wypowiedzianej obietnicy.

Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
P*~B=C

Zobaczmy w tabeli zero-jedynkowej kiedy dostaniemy czekoladę:
P=1 – sprzątanie pokoju
P=0 – nie posprzątanie pokoju
B=1 – bicie siostry
B=0 - nie bicie siostry
C=1 – czekolada, warunek nagrody spełniony

Kod:
P B ~P ~B   C=P*~B   ~C= ~P+B
0 0  1  1   0         1
0 1  1  0   0         1
1 0  0  1   1         0
1 1  0  0   0         1


Z tabeli tej widać, że dostanę czekoladę (C) tylko w przypadku gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry (~B). W przeciwnym przypadku nie dostanę czekolady (~C).

Sposób przechodzenia z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a dla tej obietnicy opisano w pierwszej części elementarza pkt.5.3.

C=P*~B
Dostanę czekoladę, gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry

Obietnica w logice ujemnej przechodzi w groźbę (prawo Kubusia).
~C = ~P+B
Nie dostanę czekolady, gdy nie posprzątam pokoju lub będę bił siostrę

To samo co wyżej można zapisać przy pomocy równania równoważnego:

~C = ~P*~B + ~P*B + P*B – w tych przypadkach nie dostanę czekolady - jedynki w kolumnie ~C.

Zauważmy 100% zgodność języka mówionego z wypełniona wyżej tabelą zero-jedynkową.

Idźmy dalej ....

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
P*~B=C

W=P*~B - warunek otrzymania czekolady:
N=C - nagrodą jest czekolada

Równanie obietnicy:
N=W+U

Zgodnie z teorią obietnicy nawet w przypadku gdy nie spełnię warunku nagrody (W=0) to i tak mogę dostać nagrodę.

N=W+U = 0+U =U – wszystko w rękach nadawcy

Zmienną uznaniową U nadawca ma prawo ustawić na dowolną wartość:
U=1 – dam czekoladę (akt miłości)
U=0 – nie dam czekolady

Zauważmy, że jeśli warunek nagrody zostanie spełniony (W=1) to mam gwarancję czekolady bo:

N=W+U=1+U=1 – muszę dostać nagrodę, niezależnie od zmiennej U.

Załóżmy teraz, że nadawca wypowiedział tą sama obietnicę w logice ujemnej czyli de facto groźbę.

Obietnica wypowiedziana:
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
C=P*~B

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~C = ~P+B

Ta sama obietnica w formie równoważnej groźby:
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) nie dostaniesz czekolady (~C).
~C = ~P+B

Oznaczmy:
K= ~C – karą jest nie dostanie czekolady
czyli:
K= ~P+B
stąd warunek ukarania:
W= ~P+B

Tabelę zero-jedynkową mamy wypełnioną wyżej. Widać z niej, że dostanę czekoladę (C=P*~B), gdy posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B). W przeciwnym przypadku nie dostanę czekolady.

Matematyczne równanie groźby:

K=W*U

Jeśli warunek groźby zostanie spełniony (W= ~P+B=1) to i tak mogę uniknąć kary dzięki dobremu sercu nadawcy.

K= W*U = 1*U = U – wszystko w rękach nadawcy

Zmienną uznaniową U nadawca ma prawo ustawić na dowolną wartość:

U=1 – karać
K= ~C=1
czyli:
C=0 – karą jest nie dostanie czekolady

U=0 – nie karać
K= ~C=0
czyli:
C=1 – mam czekoladę, bo nadawca darował mi karę (akt łaski)

Zauważmy, że jeśli nie spełnię warunku kary (W= ~P+B=0) to nadawca ma zakaz karania bo:

K=W*U=0*U=0 – zakaz karania niezależnie od zmiennej uznaniowej U
K= ~C=0
czyli:
C=1 – mam czekoladę niezależnie od zmiennej U.


5.4 Analiza groźby w równaniach matematycznych

We wszelkich groźbach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy poniesiemy karę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy tej kary unikniemy.

Przykład:

Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P = L

Przejdźmy z wypowiedzianym zdaniem do logiki ujemnej, aby rozstrzygnąć kiedy nie dostanę lania.

Zdanie wypowiedziane:

L= B+ ~P
Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

~L= ~B*P
Nie dostanę lania (~L), gdy nie będę bił siostry (~B) i posprzątam pokój (P)

Powyższym językiem mówionym posługują się wszyscy ludzie, to krystalicznie czysta algebra Boole’a. Rozważmy problem bardziej szczegółowo od strony matematycznej, zwracając szczególną uwagę na sens logiki dodatniej i ujemnej.

Zbudujmy tabelę prawdy dla wypowiedzianej groźby.

Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P = L

Zobaczmy w tabeli zero-jedynkowej kiedy dostaniemy lanie:
B=1 – bicie siostry
B=0 - nie bicie siostry
P=1 – sprzątanie pokoju
P=0 – nie posprzątanie pokoju
L=1 – lanie, warunek kary spełniony

Kod:
B P ~B ~P   L=B+~P   ~L= ~B*P
0 0  1  1   1         0
0 1  1  0   0         1
1 0  0  1   1         0
1 1  0  0   1         0


Z tabeli tej widać, że nie dostanę lania (~L) tylko w przypadku gdy nie będę bił siostry (~B) i posprzątam pokój (P) - jedynka w kolumnie ~L. W przeciwnym przypadku dostanę lanie - jedynki w kolumnie L.

Sposób przechodzenia z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a dla tej groźby opisano w pierwszej części elementarza pkt.5.4.

L= ~B*~P + B*~P + B*P – w tych przypadkach dostanę lanie (jedynki w kolumnie L=B+~P)

~L= ~B*P – w tym przypadku lania nie dostanę (jedynka w kolumnie ~L)

Równoważna obietnica:
Jeśli nie będziesz bił siostry (~B) i posprzątasz pokój (P) nie dostaniesz lania (~L)

W logice ujemnej groźba przechodzi w obietnicę (prawo Kubusia).

Zauważmy 100% zgodność języka mówionego z wypełniona wyżej tabelą zero-jedynkową.

Idźmy dalej …

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P = L

Mamy:
K=L – kara to lanie
W= B+ ~P – warunek kary

Równanie matematyczne groźby:

K=W*U

Dla spełnionego warunku groźby (W=1) równanie przybierze postać:

K=W*U = 1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - ukarać (lanie)
U=0 – nie karać (akt łaski)

Zauważmy, że jeśli warunek groźby nie zostanie spełniony (W=0) to nadawca nie ma prawa karać bo:

K=W*U = 0*U = 0 – zakaz karania niezależnie od zmiennej uznaniowej U

Groźba w logice ujemnej przechodzi w równoważną obietnicę (prawo Kubusia). Załóżmy, że nadawca wypowiedział powyższą groźbę w formie obietnicy.

Jeśli nie będziesz bił siostry (~B) i posprzątasz pokój (P) nie dostaniesz lania (~L)
~L= ~B*P

Oznaczmy:

N= ~L - nagroda N to nie dostanie lania (~L)

W= ~B*P - warunek spełnienia obietnicy (widać w powyższej tabeli zero-jedynkowej )

Matematyczne równanie obietnicy:

N=W+U

Zgodnie z teoria obietnicy nawet jak nie spełnię warunku obietnicy (W=0) to i tak mogę otrzymać nagrodę.

N=0+U = U

Wszystko w rękach nadawcy:

U=1 - dam nagrodę
N= ~L=1
L=0 – nagrodą jest nie dostanie lania

U=0 – nie dam nagrody
N= ~L=0
L=1 – brak nagrody to dostanie lania

Zauważmy, że jeśli warunek obietnicy zostanie spełniony (W=1) to musimy dostać nagrodę niezależnie od zmiennej uznaniowej U.

N=W+U = 1+U=1 – nagroda gwarantowana

N=~L=1
L=0 – nagrodą jest nie dostanie lania


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 17:31, 24 Lut 2008, w całości zmieniany 41 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin