Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Implikacja Część I Fundamenty algebry Boole'a v. BETA 5.0

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25108
Przeczytał: 37 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 18:45, 24 Sty 2008    Temat postu: Implikacja Część I Fundamenty algebry Boole'a v. BETA 5.0

Proste jest piękne

Stanisław Heller napisał:
Wyobraźcie sobie, że przeczytałem bez mała od dechy do dechy teorię implikacji i stwierdzam dwie rzeczy: jest autentycznie wielka .... Zachęcam wszystkich do przestudiowania teorii implikacji.
Bartek (BD) napisał:
Gratuluję ciekawej teorii implikacji odwrotnej. Wygląda mi ona na wiarygodną. Próbował Pan opublikować wyniki swoich badań w jakimś fachowym piśmie?
Dzięki, Kubuś.

Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej
Część III Dyskusje o implikacji
Część IV Teoria implikacji prostej i odwrotnej w pigułce


Część II elementarza zawiera teorię implikacji prostej i odwrotnej. Bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek logiczne myślenie, niemożliwe jest też życie bowiem wszelkie istoty żywe używają implikacji prostej do obsługi obietnic oraz implikacji odwrotnej do obsługi gróźb. Najwyższy więc czas przeprosić implikację odwrotną i umieścić ją obok jedynie słusznej implikacji prostej widniejącej we wszystkich podręcznikach i encyklopediach ... to jest cel całego elementarza.

Częsć I
Fundamenty algebry Boole’a


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś


W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.

To jest elementarz przy pomocy którego chciałbym poznać algebrę Boole’a, gdybym miał znowu 16 lat.
Kubuś


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Cztery szkoły logiki klasycznej
1.2 Jedynka i zero, najważniejsze cyfry w naszym Wszechświecie

2.0 Fundament algebry Boole’a
2.1 Definicja iloczynu logicznego
2.2 Definicja sumy logicznej
2.3 Definicja negacji
2.4 Najważniejsze twierdzenia algebry Boole’a

3.0 Logika dodatnia i ujemna
3.1 Fizyczne sposoby przejścia z logiki dodatniej na ujemną

4.0 Przejście z kodu zero-jedynkowego do równań w algebrze Boole’a
4.1 Przejście z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a

5.0 Logika dodatnia i ujemna w języku mówionym
5.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących
5.2 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
5.3 Obietnica
5.4 Groźba
5.5 Wykresy czasowe w algebrze Boole'a

6.0 Matematyczne operatory logiczne
6.1 Lista operatorów logicznych
6.2 Związek algebry Boole’a z rzeczywistością
6.3 Jak działają operatory logiczne

7.0 Tablice logiki
7.1 Tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND
7.2 Tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-
7.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

OD AUTORA

Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:

Zbanowany Uczy napisał:
Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!!
Zbanowany Uczy napisał:
Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.


Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum www.sfinia.fora.pl (metodologia) po dwóch latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.

Jest niesamowicie prosta, bo posługują się nią wszystkie dzieci w przedszkolu. Fundament logiki człowieka, to zaledwie sześć kluczowych zer i jedynek w matematycznej definicji implikacji. To jest coś tak absolutnie zaskakującego i prostego, że niektórzy pewnie w to nie uwierzą.

Logika człowieka to algebra Boole'a. Rozwiązanie problemu wszelkich obietnic i gróźb, czyli opisanie ich przy pomocy algebry Boole’a, ma fundamentalne znaczenie, bo wiąże swobodny język mówiony z tą algebrą.

Starałem się napisać „Teorię implikacji prostej i odwrotnej” od zupełnego zera, tzn. przy założeniu że czytelnik nie ma pojęcia o algebrze Boole’a. Moim marzeniem jest, aby tą teorię mogły zrozumieć 16-letnie dzieci z wiedzą matematyczną na poziomie I klasy LO. Nie wiem czy mi się to udało, mam nadzieję, że tak.

Życzę Wszystkim przyjemnej lektury, Kubuś


Wstęp.

Sens implikacji w obietnicach i groźbach w języku mówionym to po prostu prawo do wręczenia nagrody przy nie spełnionym warunku nagrody (implikacja prosta = akt miłości) oraz prawo do darowania dowolnej kary przy spełnionym warunku kary (implikacja odwrotna = akt łaski). Myślę, że o wiele łatwiej jest nauczyć pięknej algebry Boole’a młodego człowieka który nic o niej nie wie, niż przekonać zawodowego logika że w temacie implikacji jest w błędzie. Dlatego właśnie teoria implikacji prostej i odwrotnej zaczyna się od zupełnego zera, czyli od fundamentów algebry Boole’a. Myślę, że wiedza w elementarzu przedstawiona jest w inny sposób niż to czynią podręczniki szkolne, mam nadzieją że prostszy i ciekawszy. Jest tu wiele nowości np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole'a, odkrycie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych, tablice logiki ... Zachęcam do przeczytania elementarza zarówno początkujących jak i zawodowców.


1.0 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."

Logika dodatnia:
1 = PRAWDA
0 = FAŁSZ

Zmienne binarna – zmienna mogąca przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1


1.1 Cztery szkoły logiki klasycznej

Definicja:
Logika klasyczna, to logika zbudowana na fundamencie algebry Boole’a

Algebra Boole’a jest jedna. Tymczasem logik klasycznych jest wiele. Poniżej przedstawiam cztery które poznałem w Internecie, istniejące w naszej rzeczywistości. Oczywiście tylko jedna z nich może być prawdziwa.

Początkujący czytelnicy powinni potraktować ten punkt jako ciekawostkę, gdyż jego pełne zrozumienie możliwe jest po zapoznaniu się z „Teorią implikacji prostej i odwrotnej” część I i II.

Implikacji prostej do obsługi obietnic i implikacji odwrotnej do obsługi gróźb używają wszelkie żywe stworzenia na naszej planecie. Oczywiście nie znają matematyki, ale się nią doskonale posługują w praktyce.

Matematyczna rzeczywistość, czyli krystalicznie czysta algebra Boole’a !

Definicja obietnicy:

Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q = ~p + q – implikacja prosta

Definicja groźby:

Jeśli dowolny warunek to kara
p~>q = p + ~q – implikacja odwrotna

Cztery szkoły logiki klasycznej:

I.
Ta szkoła logiki klasycznej analizuje wszelkie obietnice w oparciu o implikację materialną (wszystkie podręczniki) unikając jak ognia analizy jakiejkolwiek groźby. Groźby w tej logice to temat tabu.

II.
Ta grupa logików analizuje w oparciu o implikację materialną zarówno obietnice jak i groźby nie przejmując się faktem, że uderza to w fundament logiki człowieka, algebrę Boole’a.

Jeśli analizujemy groźby i obietnice przez tą samą definicję implikacji materialnej to mamy:

Groźba = Obietnica

czyli:

Kara = Nagroda

Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły

Aksjomat:
Nagroda = NIE kara

Podstawiając to do wzoru wyżej otrzymujemy:

Kara = NIE Kara

czyli:
Y = ~Y

Powyższa równość, to rozwalenie fundamentu na którym zbudowana jest cała algebra Boole’a !!!

Aksjomat - fundament algebry Boole'a:

Y# ~Y – żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia

III.
Tu spotkałem się zaledwie z dwoma przedstawicielami (Irbisol i Sinner) którzy zapisali taką matematyczną definicję groźby.

p<=>q = (p=>q)*(~p => ~q) – definicja groźby

Prawo Kubusia zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą:

p~>q = ~p => ~q – negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

Podstawiając to do powyższego równania mamy:

p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(q=>p)

bo:
p~>q = q=>p

To co wyżej to definicja równoważności czyli pewne wynikanie w dwie strony, nic więcej (pkt. 3.8 w części II elementarza)

Oczywistym jest, że mnożąc logicznie implikację prostą (obietnicę) przez implikację odwrotną (groźbę) otrzymamy równoważność, bo matematycznie wycinamy wówczas jedynki implikacyjne.

Jeśli uznamy, że groźba to równoważność na podstawie powyższego wzoru, to automatycznie musimy uznać że obietnica = równoważność na podstawie tego samego wzoru.

I rzeczywiście, w tej szkole obowiązuje to równanie:

obietnica = groźba = równoważność

czyli:

Jeśli cokolwiek obiecuję to nie mogę wręczyć nagrody gdy odbiorca nie spełni warunku nagrody. Moja wolna wola leży w gruzach, bo chcę to zrobić (akt miłości) a nie mogę.

W groźbie jestem sadystą, bo jeśli odbiorca spełni warunek kary to muszę wykonać karę. Moja wolna wola leży w gruzach bo nie mogę darować kary (akt łaski).

Zauważmy, że w tej szkole również zachodzi:

obietnica = groźba

co jest walnięciem bezpośrednio w fundament algebry Boole’a Y#~Y (dowód w pkt. II)


IV
Czwarta szkoła logiki klasycznej to w dniu dzisiejszym noworodek, dopiero co się narodził.

To oczywiście:

Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Noworodek, a już ma czterech zwolenników – całkiem nieźle jak na początek.

Dwóch napisało recenzję plus WujZbój i Rafał3006.


1.2 Jedynka i zero, najważniejsze cyfry w naszym Wszechświecie

Wszyscy doskonale znamy algebrę dziesiętną. To że człowiek liczy w systemie dziesiętnym wynika z dziesięciu palców u obu rąk. Gdybyśmy mieli osiem palców z całą pewnością liczylibyśmy w systemie ósemkowym. Dawno temu co niektórzy liczyli w systemie dwunastkowym co wynikało z dziesięciu palców plus dwie nogi. Komputery liczą w systemie dwójkowym (binarnym) bo te cyfry najłatwiej zrealizować w praktyce np.

Sygnały TTL:
0 = 0-0,4V – logiczne zero odpowiada napięciu 0V do 0,4V
1 = 2,4-5V – logiczne jeden odpowiada napięciu 2,4V do 5V

Gdyby człowiek miał tyko jedną rękę z dwoma palcami to na pewno liczylibyśmy w systemie dwójkowym i mielibyśmy naturalny system liczenia identyczny jak w komputerach. Wszystkie systemy liczenia są absolutnie równoważne. Człowiek wpisuje z klawiatury np. mnożenie dwóch liczb dziesiętnych i otrzymuje wynik na ekranie w postaci liczby dziesiętnej. W rzeczywistości komputer zamienia wprowadzone liczby dziesiętne na odpowiadające im liczby binarne, wykonuje mnożenie którego wynikiem jest liczba binarna po czym zamienia wynik na liczbę dziesiętną. Laicy nie mają o tym zielonego pojęcia, ale tak to w rzeczywistości się dzieje.

Fundamentem naszego Wszechświata są dwie cyfry zero i jeden.

Zastosowanie 0 i 1 w algebrze dwójkowej jak wyżej to pryszcz w porównaniu z zastosowaniem zera i jedynki w logice. Tu cyfry zero i jeden nie mają konkurentów, są najważniejsze. Cały nasz Wszechświat jest binarny: dobro-zlo, prawda-fałsz, nagroda-kara, miłość-nienawiść, życie-śmierć ...

Logika to algebra Boole’a w której występują wyłącznie dwie cyfry.

1 = PRAWDA
0 = FAŁSZ

1 = dobro (stopniowanie dobra jest nieistotne, dobro zawsze pozostanie dobrem)
0 = zło (stopniowanie zła jest nieistotne, zło zawsze pozostanie złem)

Każdy musi podjąć decyzję czy coś jest dla niego dobrem czy złem jak wyżej (algebra Boole’a). Takiemu z definicji dobru czy złu można oczywiście przyporządkować wartość w postaci dowolnej liczby np. dodatniej dla dobra i ujemnej dla zła.

Aksjomat:
DOBRO = nie ZŁO (D=~Z)
ZŁO = nie DOBRO (Z=~D)

Nigdy nie może być:
DOBRO=ZŁO (D#Z)


2.0 Fundament algebry Boole’a

Fundamentem algebry Boole’a są definicje iloczynu i sumy logicznej oraz definicja negacji. DNA wszelkich komputerów to zaledwie suma logiczna albo iloczyn logiczny plus definicja negacji. Dysponując zaledwie dwuwejściową bramką OR (suma logiczna) oraz inwerterem realizującym negację można zbudować każdy komputer.


2.1 Definicja iloczynu logicznego

Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych jest równa jeden.
Y = 1*1*1*1...*1 = 1

albo definicja równoważna.

Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest zeru gdy którakolwiek ze zmiennych równa jest zero
Y = 1*0*1*1....*1 = 0

Używanie zer i jedynek w definicjach to średniowiecze, to pisanie programu komputerowego w kodzie maszynowym. Po wynalezieniu komputera człowiek błyskawicznie zorientował się, że pisanie programu w kodzie maszynowym to horror i natychmiast wynalazł język symboliczny. Fundamentalnym językiem symbolicznym każdego mikroprocesora jest język asemblera.

Zapis definicji iloczynu logicznego w postaci symbolicznej

Y = A1*A2*A3 ... *An

gdzie:
* - symbol iloczynu logicznego w algebrze Boole’a (spójnik „i” a języku mówionym ang. AND)

Y, A1, A2 ... – zmienne binarne tzn mogące przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1

A1,A2..An – zmienne binarne wejściowe

Y – binarna zmienna wyjściowa np. wartość zdania

Jak widać mnożenie logiczne niczym nie różni się od mnożenia algebraicznego.

Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T – zapis matematyczny zdania

Tabela prawdy iloczynu logicznego dla dwóch zmiennych:

Kod:
K T Y=K*T
0 0 =0
0 1 =0
1 0 =0
1 1 =1


gdzie:
K= 1 – pójdę do kina.
K= 0 – nie pójdę do kina
T=1 – pójdę do teatru
T=0 – nie pójdę to teatru

* - iloczyn logiczny, w języku mówionym spójnik „i” (ang. AND)
Y – abstrakcyjna zmienna binarna wyjściowa, niedostępna w wypowiadanym zdaniu.

Y=1 - dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina i do teatru, co widać w tabeli prawdy.
Y=0 – w przeciwnym przypadku skłamię


2.2 Definicja sumy logicznej

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest zeru wtedy i tylko wtedy gdy każda ze zmiennych równa jest zero
Y = 0+0+0+0....+0 = 0

albo definicja równoważna

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.

Y = 0+1+0+0 ... +0 = 1 – wystarczy że jedna zmienna jest równa jeden
Y = 1+1+1+1 ....+1 = 1 – mogą być nawet wszystkie zmienne równe jeden

Zapis definicji sumy logicznej w postaci symbolicznej

Y = A1+A2+A3 ... +An

gdzie:
+ - symbol sumy logicznej w algebrze Boole’a (spójnik „lub” a języku mówionym ang. OR)

Y, A1, A2 ... – zmienne binarne tzn mogące przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1

A1,A2..An – zmienne binarne wejściowe

Y – binarna zmienna wyjściowa np. wartość zdania

Jak widać suma logiczna różni się od sumy algebraicznej. Wystarczy, że którakolwiek ze zmiennych wejściowych równa jest jeden i już całe wyrażenie przyjmuje wartość 1.

Przykład:
Jutro pójdę do lina lub do teatru
Y=K+T – zapis matematyczny zdania

Tabela prawdy sumy logicznej dla dwóch zmiennych:

Kod:
K T Y=K+T
0 0 =0
0 1 =1
1 0 =1
1 1 =1


gdzie:
K=1 – pójdę do kina.
K=0 – nie pójdę do kina
T=1 – pójdę do teatru
T=0 – nie pójdę to teatru

+ - suma logiczna, w języku mówionym spójnik „lub” (ang. OR)
Y – abstrakcyjna zmienna binarna wyjściowa, niedostępna w wypowiadanym zdaniu.

Y=1 - dotrzymam słowa wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina lub do teatru, co widać w tabeli prawdy.
Y=0 – w przeciwnym przypadku skłamię


2.3 Definicja negacji

W algebrze Boole’a dostępne są wyłącznie cyfry 0 i 1, stąd łatwo wydedukować definicję negacji.

1=~0
0=~1

Definicja negacji w zapisie symbolicznym, to funkcja logiczna realizowana przez negator (ang. inverter)

Y=~A

~ - symbol negacji (odpowiednik przeczenia NIE w języku mówionym)
A – zmienna binarna wejściowa
Y – zmienna binarna wyjściowa

W technice cyfrowej fizyczna realizacja negatora jest niesłychanie prosta (układ scalony 7404). Negator to czarna skrzynka do której dochodzi sygnał wejściowy A, zaś wychodzi sygnał wyjściowy Y = ~A np. w standardzie TTL opisanym w pkt. 1.2.

Jeśli zmienna wejściowa A przyjmie wartość 1 to wyjście Y przyjmie wartość 0, jeśli zmienna wejściowa A przyjmie wartość 0 to Y=1.

Tabela prawdy przeczenia:

Kod:
A Y=~A
0 1
1 0


Prawo podwójnego przeczenia

A = ~~A

Dowód 1
Y=A
Negujemy równanie dwustronnie
~Y=~A – ten manewr wynika z zero-jedynkowej definicji negacji
Przenosimy ~ na prawą stronę
Y=~~A – też wynika z zero-jedynkowej definicji negacji jak wyżej.
cnd

Dowód 2
Twierdzenia w algebrze Boole’a dowodzi się niezwykle prosto budując tabele zero-jedynkowe dla wszystkich możliwych przypadków.
Kod:

A ~A ~(~A)
0  1   0
1  0   1

Identyczność kolumn A i ~~A dowodzi prawdziwości twierdzenia czyli:

A=~~A

Przykład:

Jestem uczciwy
Jestem NIEuczciwy
NIE jestem NIEuczciwy = jestem uczciwy
~~U=U

Aksjomaty znane ludziom od tysiącleci:

Nagroda to brak kary
N=~K – zapis matematyczny
N (nagroda) = dostałem czekoladę

Kara to brak nagrody
K=~N
K=~N = nie dostałem czekolady

Oczywistym jest że zachodzi:
N = ~K = ~(~N) = N – na podstawie prawa podwójnego przeczenia

N (nagroda) = nieprawdą jest, że nie dostałem czekolady = dostałem czekoladę

Identyczne aksjomaty obowiązują dla prawda-fałsz, dobro-zło ... itd.


2.4 Najważniejsze twierdzenia algebry Boole’a

* - operator iloczynu logicznego (spójnik „i” ang. AND)
+ - operator sumy logicznej (spójnik „lub” ang. OR)

Twierdzenia wynikające bezpośrednio z definicji iloczynu i sumy logicznej
A*1 = A
A*0 = 0
A+1 = 1
A+0 = A
A*A = A
A+A = A

Fundamentalne prawa algebry Boole’a
A*~A=0
A+~A=1

Dowód:
Kod:

A ~A A*~A A+~A
0 1   0    1
1 0   0    1


Widać, że powyższe prawa obowiązują dla dowolnej wartości zmiennej binarnej A, która z definicji może przyjmować wartości wyłącznie 0 albo 1.

A(A+B) = A + A*B = A
Dowód:
A(A+B) = A*A +A*B = A+A*B = A

A+A*B=A
Jeśli A=0 to A+A*B=0 bo: A=0 i A*B=0
Jeśli A=1 to A+A*B=1 bo: A=1 przy A*B dowolnym (def. sumy logicznej)
... niezależnie od B CND.

Dowód powyższego równania przy pomocy tabel zero-jedynkowych:

Kod:

A B A+B A(A+B) A*B A+A*B
0 0  0    0     0    0
0 1  1    0     0    0
1 0  1    1     0    1
1 1  1    1     1    1

Równość kolumn A, A(A+B) oraz A+A*B dowodzi poprawności twierdzenia.

W technice cyfrowej powyższe połączenie sygnałów to bezsens czyli zero pożytku i sensu.


Prawa de'Morgana

A+B = ~(~A * ~B) - prawo zamiany sumy logicznej na iloczyn logiczny
A*B = ~(~A + ~B) - prawo zamiany iloczynu logicznego na sumą logiczną

Dowód prawa de'Morgana przy pomocy tabeli zero-jedynkowej.

A+B = ~(~A * ~B)
Kod:

A B A+B ~A ~B ~A*~B ~(~A*~B)
0 0  0   1  1   1       0
0 1  1   1  0   0       1
1 0  1   0  1   0       1
1 1  1   0  0   0       1


Jak widać w dowodzie tym sprawdzamy czy zachodzi równość dla wszystkich możliwych kombinacji zmiennych A i B.

Identyczność kolumn A+B oraz ~(~A*~B) dowodzi poprawności prawa.

Dowody twierdzeń w postaci tabel jak wyżej to klasyka w algebrze Boole’a, prosta i piękna … tyle że uciążliwa przy dużej ilości zmiennych.


3.0 Logika dodatnia i ujemna

Logika ujemna to lustrzane odbicie logiki dodatniej.

Fizycznie, dowolna funkcja logiczna Y:
Y=A+B(C*D) .....
Może przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Po przepuszczeniu jej przez prościutki negator otrzymamy funkcję ~Y będącą lustrzanym odbiciem funkcji Y.

Oczywiście zachodzi:
Y = ~(~Y)

O tym, że logika ujemna istnieje można się łatwo przekonać w technice cyfrowej obserwując wszystko na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Twardym dowodem istnienia logiki ujemnej jest także 16 matematycznych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej o czym będzie za chwilę. Logicy praktycy, ci od cyfrowych układów logicznych doskonale wiedzą, że istnieją sygnały cyfrowe w logice ujemnej i ten fakt zaznaczają kółkiem na schematach ideowych oraz sygnały cyfrowe w logice dodatniej (na schematach bez kółka).
Fizycznie łączyć można wyłącznie logiki zgodne, inaczej nic nie działa !

Spójrzmy na prawa de’Morgana od tej właśnie strony.

Definicja iloczynu logicznego.

Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

Definicja sumy logicznej.

Y=A1+A2 ….+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru

Jeśli:

Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

to:

~Y= ~A1+~A2…+~An = 0 - bo wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0.

Oczywistym jest że:

Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli A1=1 to ~A1=0 itd.

Z ostatniego równania mamy:

Y= ~(~A1+~A2…+~An) = ~(0) = 1 czyli:

A1*A2 ….*An = ~(~A1+~A2…+~An) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla sumy logicznej.

Jeśli:

Y = A1+A2…+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równa zeru

to:

~Y = ~A1*~A2…*~An =1 - bo wszystkie składniki iloczynu logicznego są równe 1

W tym przypadku mamy;

Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli A1=0 to ~A1=1 itd.

Z ostatniego równania mamy:

Y = ~(~A1*~A2…*~An) = ~(1) = 0

czyli:

A1+A2…+An = ~(~A1*~A2…*~An) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Definicja.
Logika ujemna - jeśli wartość funkcji binarnej jest zanegowana to mamy do czynienia z logiką ujemną.

Prawa de’Morgana mówią o związkach między logiką dodatnią a ujemną na dowolnie długiej funkcji logicznej z dowolnie pomieszanymi operatorami.

Y=A+(B*C)

przejście do logiki ujemnej

~Y = ~A * (~B + ~C) - totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów na przeciwne tzn. OR(+) na AND(*) i odwrotnie.

Powrót do logiki dodatniej

Y=A+(B*C) - ponowna totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów


Twierdzenie 3.0
Przejście z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y) polega na zamianie wszystkich zmiennych na przeciwne oraz wszystkich operatorów na przeciwne czyli AND(*) na OR(+) i OR na AND. Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej zmieni się na: nawiasy, OR, AND.

Logika dodatnia:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
A.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Przejście do logiki ujemnej:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej: nawiasy, OR(+), AND(*)
B.
~Y=~A*~B+(~C*D)*~E+F – logika ujemna (~Y)

Przejścia powrotnego do logiki dodatniej dokonujemy w identyczny sposób.

Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
C.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Zmiana kolejności wykonywania działań w logice ujemnej jest oczywista bowiem przy przejściu z logiki dodatniej do ujemnej AND zamienia się w OR.

Dowód twierdzenia:
I.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – funkcja zapisana w logice dodatniej (Y)

Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory.
II.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)

negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
III.
~Y=~A*(~B+(~C*D))*(~E+~F) – logika ujemna (~Y)

Zauważmy, że jeśli przyjmiemy domyślną kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (~Y): nawiasy, OR, AND to zbędne stanie się dokładanie nawiasów.

Przejście powrotne do logiki dodatniej wykonujemy w identyczny sposób tj. zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.
IV.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)

Aby powrócić do funkcji pierwotnej I usuwamy dołożone nawiasy.

Y=A+B(C+~D)+E*~F – oryginał, logika dodatnia (Y)

Zauważmy, że w tej metodzie uzupełniamy nawiasy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną oraz usuwamy je przy przejściu powrotnym by dojść do oryginału. W sumie niepotrzebna syzyfowa praca bowiem o fakcie zapisania funkcji w logice ujemnej informuje precyzyjnie przeczenie przy wartości funkcji (~Y).

Zauważmy, że prawo de’Morgana pozwala w prosty sposób zamienić operatory na przeciwne w dowolnym fragmencie nawet nieskończonej funkcji logicznej. Wystarczy dowolny fragment ciągu ująć w nawiasy, postawić przed nimi znak przeczenia ~, zaś w środku tych nawiasów zamienić wszystkie zmienne i operatory na przeciwne. W tym przypadku bezpieczniej będzie uzupełnić brakujące nawiasy domyślne, aby nie pogubić się w kolejności wykonywania działań.


3.1 Fizyczne sposoby przejścia z logiki dodatniej na ujemną

Wyobraźmy sobie, że dysponujemy fizyczną bramką OR (np. układ 7432) mającą dwa wejścia A i B oraz jedno wyjście Y.

Bramka ta realizuje funkcje logiczną:

Y = A + B

Najprostsze przejście do logiki ujemnej to zanegowanie wyjścia Y.

~Y = ~(A+B)

... czyli wystarczy dołożyć jeden prościutki negator na wyjściu Y i mamy dostępny sygnał ~Y.

Przejście równoważne na podstawie pkt. 3.0 to negacja wszystkich sygnałów i wymiana operatorów na przeciwne czyli:

~Y = ~A*~B

W tym przypadku musimy użyć trzech negatorów, dwóch na wejściu do negacji sygnałów A i B, oraz jednego na wyjściu do negacji sygnału wyjściowego Y. W miejsce bramki OR należy użyć bramkę AND (np. układ 7408)

Jest jeszcze jeden sposób uzyskania funkcji ~Y, bardzo nietypowy, ale możliwy do realizacji ... to coś w rodzaju my jeździmy prawą strona a Anglicy lewą.

W powyższych równaniach zakładaliśmy następujące poziomy sygnałów logicznych w standardzie TTL.
0 = 0-0,4V – zero odpowiada napięciu 0 do 0,4 Volta
1 = 2,4-5V – jeden odpowiada napięciu 2,4 do 5 Volt

To co wyżej to sprawa czysto umowna np. umawiamy się, że w Polsce jeździmy prawą stroną.

Równie dobrze moglibyśmy przyjąć:

0 = 2,4-5V – zero odpowiada napięciu 2,4 do 5 Volt
1 = 0-0,4V – jeden odpowiada napięciu 0 do 0,4 Volta

Będziemy wówczas Anglikami czyli umawiamy się, że jeździmy lewą stroną.

Zauważmy, że przy tej notacji sygnały na naszej bramce OR (układ 7432) mamy zanegowane z definicji czyli w tym przypadku ten fizyczny układ scalony realizuje funkcję.

~Y = ~A + ~B – z definicji mamy logikę ujemną (Anglik)

Przejdźmy do logiki dodatniej negując wszystkie sygnały i operatory.

Y = A*B – logika dodatnia, fizyczny układ 7432 (Anglik)

Jak widać, każdy „Anglik” będzie święcie przekonany że fizyczny układ 7432 realizuje iloczyn logiczny. Tymczasem Polak z uporem maniaka będzie twierdził, że Anglik to głupek bo układ 7432 realizuje sumę logiczną.

Y=A+B – logika dodatnia, ten sam fizyczny układ 7432 (Polak) !

Z powyższego mamy logikę ujemną:

~Y = ~A * ~B – logika ujemna (Polak)

Zauważmy, że ten sam układ fizyczny widziany z różnych punktów odniesienia wygląda zupełnie inaczej, zarówno po stronie logiki dodatniej Y jak i logiki ujemnej ~Y.

Jeśli Anglik i Polak nie ustalą wspólnego punktu odniesienia czyli wspólnego standardu sygnałów to mogą się pozabijać ...

Z powyższego powodu w katalogu spotkamy zapis:

7432
Y = A + B – logika dodatnia

Dopisek logika dodatnia informuje, że stosuje się notację Polaka (umownie dodatnią). Anglik ma prawo twierdzić, że to jego logika jest logiką dodatnią a nasza ujemną. Jak widać wszystko zależy od punktu odniesienia, zaś dyskusja bez ustalenia wspólnego punktu odniesienia nie ma sensu.

Encyklopedyczna definicja logiki ujemnej dotyczy właśnie interpretacji sygnałów ... i jest bez sensu gdyż jej użyteczność jest zerowa. Wszyscy producenci i wszyscy ludzie na ziemi stosują „logikę dodatnią” czyli polską. Nie ma obawy, że jeśli zamówimy gdziekolwiek bramkę OR to w rzeczywistości dostaniemy AND.

Logika ujemna w interpretacji punktu 3.0 jest natomiast bardzo użyteczna i tylko o takiej logice będziemy mówić.


4.0 Przejście z kodu zero-jedynkowego do równań w algebrze Boole’a

Wszyscy wiedzą jak udowodnić dowolne równanie w algebrze Boole’a np.

A+B = ~(~A*~B) – prawo de’Morgana

trzeba po prostu rozpisać wszystkie możliwe kombinacje zmiennych A i B. W kolumnach wynikowych widać czy zachodzi tożsamość.

Wielu logików praktyków (tych od scalaków) ma problemy z przejściem odwrotnym czyli z tabel zero-jedynkowych do równań w algebrze Boole’a. Świadczy o tym sporo błędów w katalogach układów cyfrowych np.

Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy A=1 i B=0 i C=0

W katalogu firmy Intel widnieje taka bzdura:

Y=A*B*C

National też popełnił błąd, zaś Texas zapisał poprawnie ale w logice ujemnej (na schemacie jest bramka AND a w zapisie funkcji występuje OR).

Poprawny zapis powyższego równania w logice dodatniej (wyjście Y bez negacji) wynika bezpośrednio z definicji iloczynu logicznego i wygląda tak:

Y=A*~B*~C

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny n zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy każda składowa iloczynu jest równa jeden.

Zatem jeśli w zapisie słownym był warunek:

B=0 to do równania należy wstawić ~B=1 itd.

Zapiszmy to samo w logice ujemnej czyli wyjście Y zanegowane (~Y).

Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0

Zapis powyższej równoważności w logice ujemnej wygląda tak:

~Y=~A+B+C

co wynika bezpośrednio z definicji sumy logicznej:

Suma logiczna n zmiennych binarnych równa jest zeru wtedy i tylko wtedy gdy każda składowa sumy jest równa zeru.

Jeśli zatem w opisie słownym mamy:

Y=1 to do równania wstawiamy ~Y=0
A=1 to do równania wstawiamy ~A=0

zmienne B i C mają z założenia wartość zero więc je tylko przepisujemy.

Tym rozumowaniem odkryliśmy znowu prawa de’Morgana.

Zauważmy bowiem że:

Y= A*~B*~C
Y= ~(~Y) = ~(~A+B+C)

czyli:
A*~B*~C = ~(~A+B+C) – prawo de’Morgana
cnd

Zauważmy, że równanie:

Y=A*~B*~C

Określa warunek w którym wyjście Y przyjmuje wartość jeden. Ten warunek to:

Y=1 <=> A=1 i ~B=1 i ~C=1

czyli:
Y=1 <=> A=1 i B=0 i C=0

bo jeśli ~B=1 to B=0 itd.

W pozostałych kombinacjach zmiennych wejściowych A,B,C wyjście Y=0 .... bo przecież to algebra Boole’a.

Budowanie tabeli zero-jedynkowej dla udowodnienia prawa de’Morgana pozbawione jest zatem sensu. Możemy oczywiście to zrobić udowadniając powyższe prawo de’Morgana dla trzech zmiennych ... tyle że udowodniliśmy to w zdecydowanie prostszy sposób korzystając z definicji sumy i iloczynu logicznego.


4.1 Przejście z tabel zero-jedynkowych do równań algebry Boole’a

Weźmy tabelę zero-jedynkową implikacji zdefiniowaną jak niżej.
Kod:

p q r
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1

Jak z takiej tabeli wyprowadzić równanie w algebrze Boole’a ?

Po prostu opisujemy słownie to co widzimy na obrazku.

Sposób I.

Najprościej opisać słowami linię trzecią dla kolumny r bo wtedy i tylko wtedy wyjście r=0.

r=0 <=> p=1 i q=0

Dalej postępujemy jak w punkcie 4.0 czyli sprowadzamy wszystko do jedynki bez zmiany operatorów albo do zera ze zmianą operatorów na przeciwne.

Sprowadzenie do jedynki:

~r = p * ~q

czyli:

r = ~(p* ~q) = ~p + q – prawo de’Morgana

To samo co wyżej można uzyskać bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej poprzez sprowadzenie wszystkich zmiennych do zera z zamianą AND na OR:

r = ~p + q


Sposób II.

Równoważne równanie uzyskamy opisując słownie kolumnę r dla wszystkich r=1 czyli:

r=1 <=> (p=0 i q=0) lub (p=0 i q=1) lub (p=1 i q=1)

Wygenerowanie z powyższego opisu słownego równania logicznego jest trywialne.

Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki zachowując operatory czyli:

r = (~p * ~q) + (~p * q) + (p*q)

Zbudujmy tabele zero-jedynkową dla przypadku II.
Kod:

p q ~p ~q ~p*~q ~p*q p*q  r= (~p * ~q) + (~p * q) + (p*q)
0 0  1  1   1     0   0   1
0 1  1  0   0     1   0   1
1 0  0  1   0     0   0   0
1 1  0  0   0     0   1   1


Doskonale widać, że kolumna r w powyższej tabeli jest identyczna jak w tabeli na wstępie rozdziału 4.1 co dowodzi tożsamości.


5.0 Logika dodatnia i ujemna w języku mówionym

Przy przejściu z języka mówionego do algebry Boole’a obowiązuje świętość doskonale znana wszystkim specjalistom od cyfrowych układów logicznych - „Jak mówimy tak zapisujemy”. Oczywiście trzeba przy tym myśleć, bowiem nasz mózg czasami stosuje algebrę Boole’a na poziomie ukrytych procedur, wtedy bezmyślne kodowanie prowadzi prosto do śmietnika. W poniższych przykładach nie będzie tego typu sztuczek.


5.1 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach twierdzących

Człowiek zawsze jako pierwsze wypowiada zdanie proste w logice dodatniej. Logika ujemna to zaprzeczenie zdaniu wypowiedzianemu w logice dodatniej.

Y = Jutro pójdę do kina – logika dodatnia bo Y
~Y = Jutro nie pójdę do kina – logika ujemna bo ~Y

W zdaniu twierdzącym wyjście Y występuje wyłącznie na poziomie abstrakcyjnym, nie jest dostępne w wypowiadanym zdaniu w przeciwieństwie do implikacji.

Oczywiście nigdy nie będzie:
Y = ~Y – bo algebra Boole’a leży w gruzach

Ze zdania w logice ujemnej można wrócić do logiki dodatniej na dwa sposoby.

I.
Wypowiadamy ponownie zdanie w logice dodatniej

Y=~(~Y)=Y
Jutro pójdę do kina

II.
Zaprzeczamy zdaniu w logice ujemnej
Y= ~(~Y)

Czyli:
Y = ~( Jutro nie pójdę do kina) – logika dodatnia bo Y.
Zaprzeczam, że jutro nie pójdę do kina
Nie może się zdarzyć, że jutro nie pójdę do kina ...itp.

Matematycznie każde wypowiedziane zdanie twierdzące traktujemy jako prawdziwe i przypisujemy mu wartość PRAWDA czyli Y=1.

Y = Jutro nie pójdę do kina, logika dodatnia bo Y

Zdanie w logice przeciwnej.

~Y = Jutro pójdę do kina, logika ujemna bo ~Y

W zdaniu prostym nie mamy dostępnego wyjścia Y i w tym przypadku która logika jest ujemna a która dodatnia to rzecz umowna. Pewne jest, że istnieją dwie przeciwstawne logiki.

Zdanie proste w logice dodatniej (Y) nigdy nie będzie równe zdaniu prostemu w logice ujemnej (~Y)

Jutro pójdę do kina # Jutro nie pójdę do kina

... w przeciwieństwie do implikacji.

W implikacji wyjście Y jest dostępne w wypowiadanym zdaniu.

Kubuś do Zuzi:
A.
Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C – wierszyk to czekolada, logika dodatnia bo C (wyjście Y=czekolada)

Zuzia:
... a jak nie powiem wierszyka

Kubuś:
B.
Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W~> ~C – Jeśli nie wierszyk to nie czekolada, logika ujemna bo ~C (z negacją).

Implikacje A i B są równoważne, mimo że wypowiedziane w przeciwnych logikach.

Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej (=>) na implikację odwrotną (~>).

W=>C = ~W ~> ~C – negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

gdzie:
=> - operator implikacji prostej
~> - operator implikacji odwrotnej

Implikacje A i B są równoważne i skutkują identyczną przyszłością w której Zuzia nawet jak nie powie wierszyka to i tak może dostać czekoladę.

.... ale o tym w II części elementarza.


5.2 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

Poniższe przykłady to implikacje o których będzie mowa w II części elementarza. W tym rozdziale potraktujemy je jako najzwyklejsze równoważności, badając warunki spełnienia lub nie spełnienia złożonych obietnic i gróźb. Warunki te będą potrzebne przy analizie złożonej implikacji, różniącej się od równoważności tym, że nadawca może darować karę przy spełnionym warunku kary w groźbie (akt łaski) jak również może wręczyć nagrodę przy nie spełnionym warunku nagrody w obietnicy (akt łaski).

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q - Jeśli zajdzie p to musi zajść q (implikacja prosta)
Jeśli spełnię warunek nagrody to muszę dostać nagrodę, inaczej nadawca jest kłamcą. Nawet jeśli nie spełnię warunku nagrody to nadawca może wręczyć nagrodę i nie jest kłamcą (akt miłości)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
p~>q - Jeśli zajdzie p to może zajść q (implikacja odwrotna)
Jeśli spełnię warunek kary to nie muszę zostać ukarany, bo nadawca ma prawo darować dowolna karę i nie jest kłamcą (akt łaski)


5.3 Obietnica

We wszelkich obietnicach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy dostaniemy nagrodę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy nie dostaniemy nagrody.

Obietnica wypowiedziana:

Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) dostaniesz czekoladę (C)
P*~B=C

Przejdźmy z wypowiedzianym zdaniem do logiki ujemnej, aby rozstrzygnąć kiedy nie dostanę czekolady.

~(P*~B) = ~C (logika ujemna bo ~C)

Nie może się zdarzyć ~(...), że jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to nie dostaniesz czekolady (~C).

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne w obietnicy wypowiedzianej.

~P + B = ~C

Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to nie dostaniesz czekolady (~C).

Powyższym językiem mówionym posługują się wszyscy ludzie, to krystalicznie czysta algebra Boole’a. Rozważmy problem bardziej szczegółowo od strony matematycznej, zwracając szczególną uwagę na sens logiki dodatniej i ujemnej w obietnicach i groźbach.

C= P* ~B
Dostanę czekoladę, gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry

Zobaczmy w tabeli zero-jedynkowej kiedy dostaniemy czekoladę:
P=1 – sprzątanie pokoju
P=0 – nie posprzątanie pokoju
B=1 – bicie siostry
B=0 - nie bicie siostry
C=1 – czekolada, warunek nagrody spełniony

Kod:

   P B ~P ~B   C=P*~B   ~C= ~P+B
1. 0 0  1  1   0         1
2. 0 1  1  0   0         1
3. 1 0  0  1   1         0
4. 1 1  0  0   0         1


Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tworzenia równań w algebrze Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest znajomość definicji sumy i iloczynu logicznego plus logiczne myślenie. Nic więcej nie jest potrzebne.

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru.

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki iloczynu są równe jeden

Z powyższej tabeli widać, że dostanę czekoladę (C – logika dodatnia) tylko w przypadku gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry (~B). Jedynki w kolumnie ~C (logika ujemna) informują nas kiedy czekolady nie dostaniemy.

Najprostsze równanie dla powyższej tabeli można utworzyć korzystając z linii 3.

W kolumnie wynikowej logiki dodatniej (C) mamy samotną jedynkę więc równanie jest trywialne.

C=P*~B – wszystkie trzy sygnały sprowadzamy do jedynki

Można też wszystkie trzy sygnały sprowadzić do zera stosując definicję sumy logicznej.

~C= ~P+B

Przechodzimy do logiki dodatniej czyli negujemy sygnały i zmieniamy operator OR na AND.

C=P*~B – mamy to samo CND.

Jedynka w kolumnie C informuje nas kiedy czekoladę dostaniemy.

C=P*~B
Dostanę czekoladę gdy posprzątam pokój i nie będę bił siostry

Jedynki w kolumnie ~C informują nas kiedy czekolady nie dostaniemy. Zauważmy, że ~C to nazwa tej kolumny.

Dla tej kolumny najprostsze równanie uzyskamy także z linii 3, ale tym razem w kolumnie wynikowej mamy samotne zero.

Ułóżmy równanie sprowadzając wszystkie sygnały do jedynki i korzystając z definicji iloczynu logicznego.

A.
~(~C)= P* ~B
czyli:
~C = ~(P*~B) = ~P+B – prawo de’Morgana

i tu kluczowe dla zrozumienia istoty logiki dodatniej i ujemnej pytanie.

Dlaczego w równaniu A nie skorzystano z prawa podwójnego przeczenia i nie zapisano tego tak.

C=P*~B ?!

Niby równoważne. Zauważmy jednak, że wylądowaliśmy w logice dodatniej i to równanie opisuje nam kiedy czekoladę dostaniemy czyli kolumnę po lewej stronie. W logice ujemnej interesuje nas zupełnie co innego.

W logice ujemnej chodzi nam o przypadek kiedy czekolady nie dostaniemy czyli o funkcję ~C. To dwie zupełnie różne funkcje bo nigdy nie będzie:

C = ~C

.... gdyż wówczas algebra Boole’a leży w gruzach.


Zapis ~C nad kolumną z logiką ujemną to nazwa sygnału, której integralną częścią jest przeczenie NIE (~). Tego przeczenia nie wolno nam DOTYKAĆ bo wylądujemy w zupełnie innym punkcie odniesienia, w logice dodatniej ... a przecież nie o to nam chodzi.

Zapamiętajmy:

~C – to jest nazwa funkcji (logika ujemna bo ~C)

~(~C) – to jest nazwa jak wyżej zaprzeczona

~(~C)=C – a to jest błąd w zapisie, bo zmieniliśmy punkt odniesienia i wylądowaliśmy w logice dodatniej. Tego nie wolno robić, bo nazwa ~C to rzecz święta, jeśli analizujemy logikę ujemną.

Jak ktoś nie może się z tym pogodzić to niech po prostu zapisze nad kolumną z logiką ujemną

Y= ~P+B

gdzie oczywiście:

Y= ~C

Y – warunek kiedy czekolady nie dostaniemy (jedynki w tej kolumnie).

... i po bólu.

W katalogach układów cyfrowych jest cała masa nazw sygnałów z kreską nad nazwą (logika ujemna) i bez kreski nad nazwą (logika dodatnia). To jest bardzo ważna informacja, wspólny punkt odniesienia. Oczywistym jest, że przyjętych nazw nie wolno zmieniać w czasie przekształcania równań algebry Boole’a tzn. usuwać przeczeń będących integralną częścią nazwy sygnału bo wyjdzie z tego bełkot, dla nikogo nie zrozumiały. Poza tym regułą jest, że jeśli w nazwie sygnału jest kreska (logika ujemna) to sygnał bez kreski (logika dodatnia) jest fizycznie niedostępny.

Wróćmy do tematu czyli kolumny nie dostania czekolady (~C) w logice ujemnej.

~C = ~P+B
Czekolady nie dostanę, gdy nie posprzątam pokoju lub będę bił siostrę.

Jedynki w kolumnie ~C określają dokładnie wszystkie przypadki w których czekolady nie dostanę. Zapiszmy te linie w formie równań algebry Boole’a sprowadzając każdą linię do jedynek logicznych.

Nie dostanę czekolady gdy:
1.
~C= ~P*~B
nie posprzątam pokoju (~P) i nie będę bił siostry (~B)
2.
~C= ~P*B
nie posprzątam pokoju (~P) i będę bił siostrę (B)
4.
~C= P*B
posprzątam pokój (P) i będę bił siostrę (B)

gdzie:
~C - to integralna nazwa kolumny w logice ujemnej.

Oczywiście, czekolady nie dostanę gdy zajdzie którekolwiek zdarzenie czyli:

~C = ~P*~B + ~P*B + P*B

Jeśli zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń to czekolady nie dostanę (~C) bo suma logiczna będzie miała wówczas wartość jeden (def. sumy logicznej).


5.4 Groźba

We wszelkich groźbach w logice dodatniej mamy odpowiedź kiedy poniesiemy karę, zaś w logice ujemnej odpowiedź kiedy tej kary unikniemy.

Groźba wypowiedziana:

Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P = L

Przejdźmy z wypowiedzianym zdaniem do logiki ujemnej, aby rozstrzygnąć kiedy nie dostanę lania.

~(B+ ~P) = ~L

Nie może się zdarzyć ~(...), że jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) to nie dostaniesz lania (~L).

Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne w groźbie wypowiedzianej.

~B*P = ~L

Jeśli nie będziesz bił siostry (~B) i posprzątasz pokój (P) to nie dostaniesz lania (~L)

Powyższym językiem mówionym posługują się wszyscy ludzie, to krystalicznie czysta algebra Boole’a. Rozważmy problem bardziej szczegółowo od strony matematycznej, zwracając szczególną uwagę na sens logiki dodatniej i ujemnej.

Jeśli będziesz bił siostrę (B) lub nie posprzątasz pokoju (~P) dostaniesz lanie (L).
B+ ~P = L

Zobaczmy w tabeli zero-jedynkowej kiedy dostaniemy lanie:
B=1 – bicie siostry
B=0 - nie bicie siostry
P=1 – sprzątanie pokoju
P=0 – nie posprzątanie pokoju
L=1 – lanie, warunek kary spełniony

Kod:

   B P ~B ~P   L=B+~P   ~L= ~B*P
1. 0 0  1  1   1         0
2. 0 1  1  0   0         1
3. 1 0  0  1   1         0
4. 1 1  0  0   1         0


Z tabeli tej widać, że nie dostanę lania (~L) tylko w przypadku gdy nie będę bił siostry (~B) i posprzątam pokój (P) - jedynka w kolumnie ~L. W przeciwnym przypadku dostanę lanie - jedynki w kolumnie L.

~L= ~B*P – tylko w tym przypadku lania nie dostanę (samotna jedynka w kolumnie ~L)

Negując logikę ujemną przechodzimy do logiki dodatniej:

~(~L)= ~(~B*P)
czyli:
L= ~(~B*P)
Nie może się zdarzyć ~(...), że jeśli nie będę bił siostry (~B) i posprzątam pokój (P) to dostanę lanie (L)

Zauważmy, że tym razem świadomie usunęliśmy przeczenie z nazwy sygnału ~L w logice ujemnej bo chodzi nam o przejście do logiki dodatniej czyli o odpowiedź na pytanie kiedy dostaniemy lanie (L).

L= ~(~B*P) = B+ ~P - prawo de’Morgana.
Dostanę lanie gdy będę bił siostrę lub nie posprzątam pokoju.

Równoważne do powyższego jest poniższe równanie wynikłe z jedynek w kolumnie L.

L= ~B*~P + B*~P + B*P – w tych przypadkach dostanę lanie (jedynki w kolumnie L=B+~P)

Jeśli zajdzie którekolwiek z powyższych zdarzeń to dostanę lanie (def. sumy logicznej)

Dostanę lanie gdy:
1.
~B*~P – nie będę bił siostry (~B) i nie posprzątam pokoju (~P)
3.
B*~P – będę bił siostrę (B) i nie posprzątam pokoju (~P)
4.
B*P – będę bił siostrę (B) i posprzątam pokój (P)

Poniżej na wykresach czasowych mamy dowód, że logika ujemna istnieje i jest lustrzanym odbiciem logiki dodatniej.


5.5 Wykresy czasowe w algebrze Boole'a

Wykresy czasowe w algebrze Boole'a to graficzne przedstawienie tabel zero-jedynkowych. Punktem odniesienia (osią liczbową) są tutaj wszystkie możliwe kombinacje sygnałów na wejściu oraz odpowiadający im stan na wyjściu. Wykresy czasowe są bezkonkurencyjne w opisie układów cyfrowych średniej skali integracji.

[link widoczny dla zalogowanych]

Rys. 5.5 Wykresy czasowe iloczynu logicznego i sumy logicznej

Wygodne dla rysowania wykresów czasowych definicje sumy i iloczynu logicznego są następujące.

Definicja iloczynu logicznego.
Wyjście Y przyjmuje wartość jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne na wejściu maja wartość jeden. W przeciwnym przypadku Y=0 ... bo to algebra Boole’a.

Definicja sumy logicznej.
Wyjście Y przyjmuje wartość zero wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne na wejściu mają wartość zero. W przeciwnym przypadku Y=1 ... bo to algebra Boole’a.

Powyższy wykres czasowy w punktach 1 i 2 pokazuje wszystkie możliwe kombinacje zmiennych wejściowych A i B w funkcji czasu.

Wykres 3 to cytowana wyżej definicja iloczynu logicznego zaś wykres 5 to definicja sumy logicznej.

Wykres ~Y to negacja wyjścia iloczynu logicznego, zaś wykres ~Z to negacja wyjścia sumy logicznej. Zauważmy, że wykres ~Y jest lustrzanym odbiciem sygnału Y, zaś wykres ~Z jest lustrzanym odbiciem sygnału Z.

Sygnały ~Y i ~Z to logika ujemna na wyjściu układu cyfrowego. Jak widać, najprostszy sposób przejścia do logiki ujemnej na wyjściu to użycie prostego negatora negującego wyjście Y albo Z.

Zauważmy ciekawą rzecz w opisie sygnałów.

Y = A*B - logika dodatnia (Y)
~Y = ~(A*B) - logika ujemna (~Y) powstała poprzez użycie prościutkiego negatora

W opisie układów cyfrowych ten zapis jest powszechnie stosowany. Zapis ~Y oznacza tu nazwę oddzielnego wyjścia, na którym dostępny jest zanegowany sygnał cyfrowy Y. Oczywiście, mając w układzie cyfrowym dostępny tylko sygnał Y możemy go zanegować negatorem i otrzymamy sygnał ~Y.

Zauważmy, że w powyższym opisie wykresu czasowego nie możemy zastosować systemu:

Y = A*B - wyjście w logice dodatniej
Y = ~(A*B) - to samo wyjście na którym pojawia się logika ujemna.

... bo nawet początkujący matematyk to wyśmieje, gdyż z zapisu tego wynika bzdura:

A*B = ~(A*B)

Teoretycznie dopuszczalny jest taki zapis:

Y = A*B

X = ~(A*B)

tyle że to bez sensu bo wiadomo iż zachodzi:

X = ~Y - po cholerę wprowadzać dodatkowa zmienną ?


Punkt odniesienia.

Pani do Jasia w szkole.

Y=2

Napisz Jasiu czemu jest równe -Y

Jaś:

X=-2

Jasiu, nie pytałam cię czemu jest równe X, pytanie brzmiało czemu jest równe -Y

Jaś:

-Y=-2

Siadaj Jasiu, szóstka.


6.0 Matematyczne operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją na www.sfinia.fora.pl (metodologia) jest odkrycie i nazwanie wszystkich operatorów matematycznych w algebrze Boole'a (jest ich 16 a nie jak niektórzy sądzą 8) oraz tablice logiki zdefiniowane dzięki odkryciu logiki ujemnej w algebrze Boole'a. W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.


6.1 Lista operatorów logicznych

Kod:
p q  OR NOR  AND NAND  <=> XOR  => ->  ~> <-  FILL NOP  P NP  Q NQ
0 0  0   1    0   1     1   0   1  0    1  0   1    0   0 1   0 1
0 1  1   0    0   1     0   1   1  0    0  1   1    0   0 1   1 0
1 0  1   0    0   1     0   1   0  1    1  0   1    0   1 0   0 1
1 1  1   0    1   0     1   0   1  0    1  0   1    0   1 0   1 0


Kod:
Logika dodatnia    Logika ujemna

OR                 NOR
AND                NAND
<=>                XOR
=>                 ->
~>                 <-
FILL               NOP
P                  NP
Q                  NQ

Jak to możliwe iż wszystkich operatorów jest 16 a nie 8 ?

Połowa z tych operatorów działa w logice dodatniej a druga połowa w logice ujemnej.

Co to jest logika ujemna ? ... widać w powyższych tabelach.

Każdy operator dodatni ma swego oponenta w postaci operatora ujemnego. Negując operator dodatni otrzymamy operator ujemny i odwrotnie. Iloczyn logiczny tych operatorów jest zawsze równy zeru (operator NOP), zaś suma logiczna zawsze równa 1 (operator FILL).

Jest to zgodne z fundamentem algebry Boole’a:
A*~A=0
A+~A=1

Same jedynki (FILL) to czysta pamięć mikroprocesora przed wpisaniem programu. Rozkaz NOP jest w każdym mikroprocesorze i oznacza NIC NIE RÓB - odpoczywaj. Jakby kto nie wiedział to w mikroprocesorze pracuje najprawdziwszy krasnoludek ...

Operatory logiczne w równaniach matematycznych:

OR = ~(~p*~q) = p + q - prawo de’Morgana
NOR = ~OR = ~p*~q = ~(p+q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

AND = p*q = ~(~p+~q) - prawo de'Morgana
NAND = ~AND = ~(p*q) = ~p+~q - prawo de'Morgana (logika ujemna)

<=> = (~p*~q)+(p*q)
XOR = ~(<=>) = ~p*q + p*~q (logika ujemna)

Operator implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - prawo de'Morgana
p->q = ~(p=>q) = p*~q = ~(~p + q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

Operator implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - prawo de'Morgana
p<-q = ~(p~>q) = ~p*q = ~(p+~q) - prawo de'Morgana (logika ujemna)

FILL = ~p*~q + ~p*q + p*~q + p*q = 1
NOP = ~FILL = ~(1) = 0 (logika ujemna)

P = p
NP = ~P = ~p (logika ujemna)

Q = q
NQ = ~Q = ~q (logika ujemna)

Za operatory dodatnie przyjąłem te operatory których człowiek używa w języku mówionym.

Operatory człowieka w języku mówionym są konsekwencją przyjęcia następującego standardu.

Logika dodatnia:
Y=1 = PRAWDA
Y=0 = FAŁSZ
Związek logiki dodatniej z logika ujemną:
Y= ~Z
Powyższy standard determinuje wygląd tablicy operatorów wyżej w taki a nie inny sposób.

Równie dobry jest standard poniższy.

Logika ujemna:
Z=0 = PRAWDA
Z=1 = FAŁSZ
Związek logiki ujemnej z logika dodatnią:
Z=~Y

Na szczęście nikt standardu w logice ujemnej nie używa bo technika cyfrowa rozwinęła się bardzo szybko w przeciwieństwie do np. języków mówionych. Która logika jest ujemna a która dodania to też sprawa czysto umowna.

Oczywistym jest, że standardów tych nie wolno mieszać losowo bo wyjdzie zapis matematyczny typu groch z kapustą. Można sobie wyobrazić grupę matematyków która przyjęła standard logiki ujemnej, wtedy wszystko jest w porządku poza utrudnioną (ale nie niemożliwą) komunikacją z resztą świata. Na szczęście to kłopoty czysto teoretyczne bo nie ma takiej grupy matematyków.

Fizycznie, logika dodatnia i ujemna istnieje o czym świadczy 16 różnych operatorów logicznych w powyższej tabeli. Obie logiki można zaobserwować na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Najcenniejszym operatorem w powyższej tabeli jest operator w logice ujemnej NOR (albo NAND), dzięki któremu działają wszelkie komputery, dzięki któremu istnieje nasz Wszechświat.

Dowodów na to, że pewne grupy ludzkości używają przeciwnych logik jest wiele: Anglicy jeżdżą lewą stroną, Bułgarzy kiwają głową na TAK i NIE odwrotnie, Anglicy używają operatora NEVER zaś Polacy NIGDY_NIE (ang.NEVER_NOT), Niemcy strzałkują napięcie na źródle napięcia odwrotnie niż Polacy itp.

Jeśli turysta wjeżdża do Anglii to musi jeździć lewą stroną i wszystko jest w porządku. Brak logiki to losowe stosowanie operatorów matematycznych przez każdego człowieka z osobna – oczywiście wtedy wszyscy się pozabijają.


6.2 Związek algebry Boole’a z rzeczywistością

Aby związać matematykę z rzeczywistością musimy przyjąć kolejny standard, wiążący cyfry binarne 0 i 1 z fizyką. Najpopularniejszym takim standardem jest standard TTL.

Cyfrowy standard TTL:
Y = 1 = 2,4-5,0V – logicznej jedynce odpowiadają napięcia 2,4-5,0V
Y= 0 = 0 – 0,4V – logicznemu zeru odpowiadają napięcia 0-0,4V

Y - rzeczywista zmienna cyfrowa mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Taką zmienną można obejrzeć na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Jeśli zanegujemy tą zmienną prościutkim negatorem to otrzymamy lustrzane odbicie zmiennej Y w osi czasu czyli znajdziemy się w logice ujemnej ~Y.

W algebrze Boole’a obowiązuje wyłącznie logika binarna, nie ma innych cyfr poza 0 i 1.

Jak zatem działają komputery ?

Zapis matematyczny dowolnej liczby w algebrze dziesiętnej:

An .... A2 A1 A0 = An*10**n + A2*10**2 + A1*10**1 + A0*10**0

UWAGA !
Tylko i wyłącznie w tym punkcie znaki * i + oznaczają co innego niż w całej publikacji (pkt.1.0)
* - symbol mnożenia algebraicznego
** - symbol potęgi
+ - symbol sumy algebraicznej
10**2 – oznacza 10 do potęgi drugiej
10**0 = 1 bo dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa 1.

Gdzie cyfry dziesiętne mogą przyjmować jedną z wartości [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]

Przykład:
1985 = 1*10**3 + 9*10**2 + 8*10**1 + 5*10**0 = 1*1000 + 9*100 + 8*10 + 5*1 = 1985

Zapis matematyczny dowolnej liczby w algebrze Boole’a:

Bn...B2 B1 B0 = Bn*2**n ...+ B2*2**2 + B1*2**1 + B0*2**0

Gdzie cyfry binarne mogą przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.

Przykład:
1101 = 1*2**3 + 1*2**2 + 0*2**1 + 1*2**0 = 1*8+1*4+0*2+1*1= 8+4+0+1=13 (dziesiętnie)

Sposób zamiany liczby binarnej na liczbę dziesiętną jest trywialny, widać go wyżej.
Liczba binarna 1101 odpowiada liczbie dziesiętnej 13. Liczbę taką czytamy jako „jeden, jeden, zero, jeden” bo inne cyfry poza zero i jeden nie występują w algebrze Boole’a.
Każdą liczbę zapisana w systemie binarnym można zapisać w systemie dziesiętnym i odwrotnie. Komputery pracują wyłącznie w systemie binarnym bo fizycznie najłatwiej jest zrealizować cyfry 0 i 1. Jeśli zadamy komputerowi np. mnożenie dwóch liczb dziesiętnych to pracujący w nim krasnoludek zamienia liczbę dziesiętną na binarną, wykonuje mnożenie w systemie binarnym po czym zamienia wynik na liczbę dziesiętną i wyświetla go na ekranie.

Fizycznie liczbę binarną można sobie przedstawić jako uporządkowany zbiór przewodów na których mogą występować wyłącznie stany 0 albo 1 np. w standardzie TTL jak wyżej. W każdym mikroprocesorze występuje magistrala adresowa (liczba n-bitowa) do adresowania komórek pamięci oraz magistrala danych służąca do przesyłania danych między pamięcią a mikroprocesorem. Interpretacji różnych liczb binarnych jest bardzo dużo np. każdy znak wciśnięty na klawiaturze ma swój odpowiednik w liczbie binarnej, każdy punkt na ekranie monitora opisany jest przez zestaw liczb binarnych itd.


6.3 Jak działają operatory logiczne

To poważna sprawa, myślę iż potrzebna tu będzie pomoc moich przyjaciół ... krasnoludków.

Wyobraźmy sobie czarne pudełko z dwoma wyłącznikami lampek, jeden wyłącznik ma na imię p a drugi q. Przełączniki wyglądają jak te najzwyklejsze od lampek nocnych z napisem 1 = włącz i 0 = wyłącz.

Zapalane światełka widzi zarówno człowiek jak i pracujący w środku krasnoludek. Oczywiście nie widzimy ani krasnoludka ani jego przełącznika którym zapala swoją lampkę. Widzimy wyłącznie lampkę krasnoludka.

Zaobserwujmy pracę krasnoludka pracującego zgodnie z tabelą prawdy operatora NOR.

Kod:
p q NOR
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Ustawmy na przełącznikach p i q pierwszą linię powyższej tabeli prawdy. Jak widzimy lampka krasnoludka zgaszona. Podobną sytuację mamy w liniach 2 i 3.

Ustawiamy z niepokojem linię 4 i co widzimy ?
Jest - świeci się !
To jest dowód na istnienie krasnoludków w naszym Wszechświecie !


7.0 Tablice logiki

Wypełnimy tablice logiki tylko dla następujących operatorów:
OR, NOR, AND, NAND, <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Uzupełnienie tablicy dla pozostałych operatorów pozostawiam czytelnikowi.


7.1 Tablica logiki dla operatorów OR, NOR, AND, NAND

Kod:

Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y      Związek logik

OR                            NOR

Y=A+B                         ~Y = A NOR B            A+B = ~(A NOR B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A*~B                    Y = ~A NAND ~B         ~(~A*~B) = ~A NAND ~B

                                                  Związek krzyżowy OR-NOR

                                                      A+B = ~A NAND ~B
                                                      ~A*~B = A NOR B



AND                           NAND

Y=A*B                         ~Y = A NAND B           A*B = ~(A NAND B)
Prawo de'Morgana              Prawo de'Morgana
~Y = ~A + ~B                   Y = ~A NOR ~B         ~(~A+~B) = ~A NOR ~B

                                                   Związek krzyżowy AND-NAND

                                                      A*B = ~A NOR ~B
                                                      ~A+~B = A NAND B                                                             

Powyższa tabela obowiązuje zarówno dla logiki dodatniej jak i ujemnej, bo nie ma w niej powiązań z kodem maszynowym czyli z zerami i jedynkami.

Logika dodatnia:
A=1=PRAWDA
A=0=FAŁSZ

Logika ujemna:
A=0=PRAWDA
A=1=FAŁSZ

Człowiek przyzwyczaił się do logiki dodatniej i niech tak zostanie. Logika ujemna jest jednak możliwą i równoprawną logiką. Gdybyśmy w niniejszym elementarzu zamienili zera z jedynkami w wynikach operatorów matematycznych to otrzymalibyśmy jego wersję dla logiki ujemnej. Pewne jest, że kosmici operujący logiką ujemną będą twierdzić że to ich logika jest dodatnia a nasza ujemna. Jest obojętne którą logikę uznamy za dodatnią, logika ujemna zawsze będzie istniała. Twardym dowodem jest tu fizyczne istnienie 16 różnych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej.


7.2 Tablica logiki dla operatorów <=>, XOR, =>, ->, ~>, <-

Poniższe operatory omówione będą w części II elementarza.

Kod:
Logika dodatnia Y             Logika ujemna ~Y        Związek logik

<=>                           XOR                     <=> = ~XOR
                                                      XOR = ~(<=>)
p<=>q=~p<=>~q                 p XOR q= ~p XOR ~q
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)         p XOR q=(p->q)+(p<-q)
p~>q = q=>p
p<=>q=(p=>q)*(q=>p)


=>                            ->

p=>q                          p->q                     p=>q = ~(p->q)
                                                       p->q = ~(p=>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p=>q = ~p ~> ~q               p->q = ~p <- ~q


~>                            <-

p~>q                          p<-q                     p~>q = ~(p<-q)
                                                       p<-q = ~(p~>q)
Prawo Kubusia                 Prawo Kubusia
p~>q = ~p => ~q               p<-q = ~p -> ~q



7.3 Najważniejsze zależności między operatorami w logice dodatniej

p=>q – implikacja prosta
p~>q = q=>p – implikacja odwrotna

gdzie:
=> - symbol implikacji prostej znany w matematyce
~> - nowy symbol implikacji odwrotnej nieznany w matematyce

Uzasadnienie wprowadzenia nowego symbolu implikacji odwrotnej ~> w części II.

Prawa Kubusia:

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:06, 24 Mar 2008, w całości zmieniany 59 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin