 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 32685
Przeczytał: 43 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 7:34, 04 Lip 2021 Temat postu: Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń (04-07-2021) |
|
|
Wersja Beta 1.0
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#604303
Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 3
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
2.3.1 Definicja tożsamości logicznej [=] 8
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 9
2.5 Najważniejsze definicje i prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia 11
2.5.1 Prawo Kangura 12
2.6 Zastosowanie praw logiki matematycznej w języku potocznym 13
2.6.1 Definicja dowodu „nie wprost” 14
2.7 Definicja spójnika implikacyjnego, prawo Kłapouchego 14
2.7.1 Przykład zastosowania prawa Kłapouchego w P|=>CH 15
2.7.2 Prawo Kameleona 18
2.7.3 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych 19
2.8 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań 19
2.9 Logika, sens i wątpliwości 21
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.
I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p+q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
| Kod: |
A1: Y= (p=>q)=~p+q ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
# #
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
A1: Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna A1 w logice dodatniej (bo Y)
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna A1 w logice ujemnej (bo ~Y)
|
Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
| Kod: |
T1: Y= (p=>q)=~p+q ## T2: Y =(p~>q)=p+~q ## T3: Y= p+q ## T4: Y=p*q
# # # #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
T1: Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna T1 w logice dodatniej (bo Y)
T1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna T1 w logice ujemnej (bo ~Y)
|
Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
2.3.1 Definicja tożsamości logicznej [=]
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y= ~Y=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q # p*~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y= ~Y=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
Podsumowanie:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.5 Najważniejsze definicje i prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.5.1 Prawo Kangura
Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {CH,~CH} muszą być uwzględnione w zapisie formalnym np. {p, ~p}
Przykład:
1: p = CH (chmury)
2: ~p=~CH (nie chmury)
Zauważmy, że zapisie formalnym w 1 i 2 zachodzi:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w rozumieniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Linii 2 nie wolno kodować tak:
3: s=~CH (nie chmury)
Dlaczego nie wolno?
Zauważmy że w kodowaniu 3 powyższa relacja znaczka różne # jest zabijana.
1: p=CH ? 3: s=~CH
Negując dowolną stronę znaczka „?” nie otrzymamy drugiej strony
Dowód:
s=~CH ? ~s=CH
cnd
2.6 Zastosowanie praw logiki matematycznej w języku potocznym
W języku potocznym stosujemy prawa logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) bezpośrednio na parametrach aktualnych {niżej: P, CH} nie interesując się ich związkiem z parametrami formalnymi {p,q}.
Zobaczmy to na przykładach.
Przykład 1
1.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =?
Matematycznie założyć że w zdaniu 1 zachodzi warunek konieczny ~> zawsze możemy, ale:
Jak udowodnić, że w zdaniu 1 zachodzi/nie zachodzi warunek konieczny ~>?
Prawo Kubusia:
1: ~P~>~CH = 2: P=>CH
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania 2.
2.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania 2 wymusza prawdziwość zdania 1 (i odwrotnie).
Stąd mamy:
1
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona co udowodniono wyżej dowodem „nie wprost”.
Zauważmy, że nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego ~> w zdaniu 1 w sposób bezpośredni - dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.
Przykład 2
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może nie padać (~P=1)
CH~>~P =?
Matematycznie założyć, że w zdaniu 3 zachodzi warunek konieczny ~> zawsze możemy, ale:
Jak udowodnić, że w zdaniu 3 zachodzi/nie zachodzi warunek konieczny ~>?
Prawo Kubusia:
3: CH~>~P = 4: ~CH=>P
Stąd mamy:
4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>~P =0
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Stąd mamy:
4’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =[] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
cnd
Na mocy prawa Kobry fałszywość zdania 4’ wymusza fałszywość zdania 4
cnd
Z kolei fałszywość zdania 4 wymusza fałszywość zdania 3:
4: CH=>~P = 3: CH~>~P =0
Stąd mamy:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może nie padać (~P=1)
CH~>~P =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona co udowodniono wyżej dowodem „nie wprost”
Zauważmy, że nie musimy dowodzić fałszywości warunku koniecznego ~> w zdaniu 3 w sposób bezpośredni - dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.
2.6.1 Definicja dowodu „nie wprost”
Definicja dowodu „nie wprost”:
Dowód „nie wprost” to dowód prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, Prawa Tygryska, Prawa kontrapozycji, prawo Kobry)
Poprawność tej definicji pokazano na przykładach wyżej.
2.7 Definicja spójnika implikacyjnego, prawo Kłapouchego
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Powyższa definicja jest w logice matematycznej domyślną (wspólnym punktem odniesienia) co oznacza, że możemy pomiąć frazę „w logice dodatniej (bo q)”. W niniejszym podręczniku będziemy z tego korzystać.
Wniosek z powyższej definicji to prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” potrzeba ~> i wystarcza => sprowadzić je do postaci „Jeśli p to …” badając jego prawdziwość/fałszywość oraz zbadać prawdziwość/fałszywość tego samego zdania z wymienionym znaczkiem (=> na ~> albo odwrotnie)
Sprowadzenie dowolnego zdania warunkowego do postaci „Jeśli p to …” jest możliwe dzięki prawom logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji.
Prawo Kłapouchego musimy stosować tylko i wyłącznie w odpowiedzi na pytanie:
W skład jakiego spójnika logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q”?
Prawo Kłapouchego zapewnia wspólny punkt odniesienia dla wszystkich dyskutujących o logice matematycznej, co jest kluczowe dla sensownej dyskusji.
Warunek konieczny prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zbiory/pojęcia {p, q, ~p i ~q} muszą być niepuste i należeć do wspólnej dziedziny.
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym „Jeśli p i q”
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q należą do wspólnej dziedziny wtedy i tylko wtedy gdy między dowolnymi przeczeniami p i q występuje co najmniej jeden warunek wystarczający => albo między wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q spełniona jest definicja zdarzenia możliwego ~~> (dla zdarzeń) lub definicje elementu wspólnego zbiorów ~~> (dla zbiorów)
Wniosek:
Żadne z pojęć {p, q, ~p, ~q} nie może być zdaniem twierdzącym.
2.7.1 Przykład zastosowania prawa Kłapouchego w P|=>CH
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” potrzeba ~> i wystarcza => sprowadzić je do postaci „Jeśli p to …” badając jego prawdziwość/fałszywość oraz zbadać prawdziwość/fałszywość tego samego zdania z wymienionym znaczkiem (=> na ~> albo odwrotnie)
Zadanie z I klasy LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać
Polecenie:
W skład jakiego spójnika logicznego wchodzi to zdanie?
Zapisz tabelę prawdy dla powyższego zdania.
Rozwiązanie:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~>~CH =?
W prawie Kłapouchego interesują nas wyłącznie zdania z niezanegowanym poprzednikiem p.
Korzystając z prawa Kubusia sprowadzamy nasz przykład do niezanegowanego poprzednika p.
Prawo Kubusia w zapisie formalnym {p,q}:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Prawo Kubusia w zapisie aktualnym {P,CH}:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Stąd mamy:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2 (i odwrotnie).
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym:
Dowód „nie wprost” prawdziwości warunku koniecznego A2 mamy wyżej.
Udowodnienie prawdziwości zdania A1: P=>CH =1 jest potrzebne ~> i wystarczające => dla prawdziwości wszystkich zdań w linii Ax (w tym zdania A2).
Na mocy prawa Kłapouchego badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =?
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =?
Jak udowodnić prawdziwość fałszywość zdania B1?
Prawo Tygryska w zapisie formalnym {p,q}:
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawo Tygryska w zapisie aktualnym (P,CH}
B1: P~>CH = B3: CH=>P
stąd:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Udowodnienie fałszywości warunku wystarczającego => B3 determinuje fałszywość warunku koniecznego ~> B1.
Stąd:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Dowód „nie wprost” mamy wyżej.
Dowód zdania B1 wprost jest tu trywialny:
B1: P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłączne warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłączne warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji prostej P|=>CH dla naszego przykładu.
| Kod: |
IPA1B1:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Punkt odniesienia w naszym przykładzie to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym {P,CH}:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] =1 5: ~p+q
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] =1 5: ~P+CH
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] =0 5: p+~q
B: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P [=] =0 5: P+~CH
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Szczegółowe rozwiązanie zadania:
A2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać
A2: ~CH~>~P =1
1.
Zdanie A2: ~CH~>~P wchodzi w skład definicji implikacji prostej P|=>CH:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1
2.
Tabela prawdy której częścią składową jest zdanie A2 to tabela IPA1B1
2.7.2 Prawo Kameleona
Zapiszmy zdania A1 i B1 których prawdziwość/fałszywość udowodniliśmy wyżej:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Znaleziony kontrprzykład A1 i B1.
Zdania A1 i B1 rozróżniamy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
2.7.3 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Weźmy nasz zdania A1 i B1:
| Kod: |
T1
Zapis formalny {p,q}:
Y= A1: (p=>q) =~p+q # ~Y= A1:~(p=>q)= p*~q
##
Y= B1: (p~>q) = p+~q # ~Y= B1:~(p~>q)=~p*q
================================================
Zapis aktualny {P,CH}:
Y= A1: (P=>CH)=~P+CH # ~Y= A1: (P=>CH)=~P+CH
##
Y= B1: (P~>CH)= P+~CH # ~Y= B1:~(P~>CH)= P*~CH
|
W tabeli T1 widzimy, że warunek wystarczający A1:
Y = A1: (p=>q) =~p+q
jest różny na mocy definicji ## od warunku koniecznego B1:
Y = B1: (p~>q) = p+~q
cnd
2.8 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
Weźmy definicje które poznaliśmy wyżej:
Warunek konieczny prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zbiory/pojęcia {p, q, ~p i ~q} muszą być niepuste i należeć do wspólnej dziedziny.
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym „Jeśli p i q”
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q należą do wspólnej dziedziny wtedy i tylko wtedy gdy między dowolnymi przeczeniami p i q występuje co najmniej jeden warunek wystarczający => albo między wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q spełniona jest definicja zdarzenia możliwego ~~> (dla zdarzeń) lub definicje elementu wspólnego zbiorów ~~> (dla zbiorów)
Wniosek:
Żadne z pojęć {p, q, ~p, ~q} nie może być zdaniem twierdzącym.
Zauważmy, że wyprowadzony wyżej wniosek to Armagedon dla Klasycznego Rachunku Zdań.
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować
|
Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Przepisałem wiernie, pozostawiając niepoprawną interpunkcję oraz nadużycie leksykalne polegające na tłumaczeniu angielskiego proposition jako propozycja, zamiast stwierdzenie.
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
Podsumowując:
Mam nadzieję, że w tym momencie każdy ziemski matematyk rozumie dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z fanatykami Klasycznego Rachunku Zdań, gdzie ja stosuję definicje obowiązujące w algebrze Kubusia a fanatyk KRZ swoje, jedynie słuszne definicje.
Wielu matematyków doskonale rozumie, że aktualna logika matematyczna ziemian to szpital psychiatryczny - dowód w kolejnym punkcie.
2.9 Logika, sens i wątpliwości
Pełna treść artykułu zawodowego matematyka, który odważył się poddać w wątpliwość sens aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Dlaczego takich matematyków jest tak mało?
Bo zawsze są wściekle atakowani przez fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań.
Kim jest pan Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Marek Tomasz Kordos - polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys:
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego pracuje jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
