Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Śmieci

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25760
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:51, 31 Paź 2020    Temat postu: Śmieci

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
7.4 Przykłady operatorów równoważności p<=>q

Spis treści
7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 1
7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 2
7.4.2 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP 7
7.5 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 9
7.5.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 13
7.5.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach 17



7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadnia w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym
A1: p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Twierdzenie proste TP=>SK Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)

W świecie matematyki domyślnym twierdzeniem Pitagorasa jest twierdzenie proste Pitagorasa (A1: p=>q), zatem możemy mówić „twierdzenie Pitagorasa” bez słówka „proste”.
Oczywiście jeśli chcemy zaznaczyć, ż chodzi nam o twierdzenie odwrotne Pitagorasa to musimy to jawnie zapisać jako „twierdzenie odwrotne Pitagorasa” (B3: q=>p)

Badamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP =1
to samo w zapisie formalnym
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne q=>p Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest (=1) suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1) bo zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)

Wniosek:
Twierdzenie proste Pitagorasa i twierdzenie odwrotne Pitagorasa są częścią definicji równoważności dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK.

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Równoważność matematyczna Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

stąd mamy:
Definicja równoważności podstawowej p<=>q:
Równoważność podstawowa p<=>q to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność podstawowa Pitagorasa (TP<=>SK) to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Innymi słowy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy (tożsama wersja twierdzenia Pitagorasa):
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1

7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK

Nanieśmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
To samo w zapisach aktualnych dla punktu odniesienia:
p=TP, q=SK
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1

       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Punkt odniesienia to:
p=TP
q=SK
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q )= 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)

Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak
Kod:

T1:
Zbiór trójkątów prostokątnych:       |Zbiór trójkątów nieprostokątnych:
TP=SK                                |~TP=~SK
Równoważność Pitagorasa              | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP)     | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów:         |  Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK                                #  ~TP=~SK
TP=~(~TP)                            | ~TP=~(TP)
SK=~(~SK)                            | ~SK=~(SK)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK:
SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP
~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK
Zachodzi również:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP
~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia)
SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia)

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Nasz przykład:
Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK
Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)

Objaśnienia:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym
B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym

7.4.2 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP

Zapiszmy ponownie równoważności Pitagorasa w tabeli prawdy:
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
To samo w zapisach aktualnych dla punktu odniesienia:
p=TP, q=SK
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1

       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Definicja operatora równoważności q|<=>p:
Operator równoważności q|<=>p to złożenie równoważności q<=>p w logice dodatniej (bo p) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~q<=>~p w logice ujemnej (bo ~p) zdefiniowanej w kolumnie A4B4.

Innymi słowy:
Operator równoważności SK|<=>TP to odpowiedź na dwa pytania A3B3 i A4B4:

A3B3:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3.
A3B3:
Bycie trójkątem w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
SK=TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = SK<=>TP
Tożsamość zbiorów SK=TP wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
SK=TP # ~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
to samo w zapisach formalnych:
q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B3 musi być fałszem.
B3’.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to ten trójkąt może ~~> nie być prostokątny (~TP=1)
SK~~>~TP = SK*~TP =[] =0
to samo w zapisach formalnych:
q~~>~p = q*~p =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> SK i ~TP nie jest spełniona bo zbiory SK i ~TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów SK=TP która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP

A4B4:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4:
A4B4:
Bycie trójkątem w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~SK=~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = ~SK<=>~TP
Tożsamość zbiorów ~SK=~TP wymusza tożsamość zbiorów SK=TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~SK=~TP # SK=TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to na 100% => ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK=>~TP =1
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to ten trójkąt może ~~> być prostokątny (TP=1)
~SK~~>TP = ~SK*TP =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~SK i TP nie jest spełniona bo zbiory ~SK i TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~SK=~TP która wymusza tożsamość zbiorów SK=TP

7.5 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S3 Schemat 3
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
A1: A=>S =1
Tak, bo zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Zauważmy, że gdyby szeregowo z przyciskiem A występował przycisk zmiennej wolnej W to odpowiedź na powyższe pytanie byłaby negatywna (=0).
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka S świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam (=1) gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
B1: A~>S =1
Tak
Konieczne ~> dlatego, że nie ma przycisku zmiennej wolnej W podłączonego równolegle do przycisku A, który by zaświecił żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
cnd

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Wisienką na torcie naszych dotychczasowych rozważań jest odkrycie fizycznej realizacji definicji równoważności A<=>S w zdarzeniach
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S.

Jak udowodnić, iż schemat S3 to fizyczna realizacja równoważności?

Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach:
Równoważność p<=>q to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Załóżmy, że nasz schemat S3 spełnia definicję równoważności.
Wtedy mamy:
Definicja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
Równoważność A<=>S to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
stąd:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia żarówki S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
cnd

Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję równoważności.

Podstawowa definicja równoważności:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Innymi słowy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.

Innymi słowy:
Wszystko zależy tu od tego, którym znaczkiem (=> albo ~>) zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S3:
S3:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)

Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny (ogólny) zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dopiero po udowodnieniu iż układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

7.5.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach

Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności A<=>S do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.

Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Innymi słowy:
Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:

A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?

Kolumna A1B1
RA1B1:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A1B1 w warunku wystarczającym => jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na czym polega błąd ziemskich matematyków w podejściu do logiki matematycznej?
Ziemski matematyk buduje układ S3 po czym wykonuje nieskończoną ilość prób potwierdzających prawdziwość zdania A. Oczywistym jest, że w układzie S3 po skończonej liczbie wciśnięć przepali się żarówka - ziemski matematyk dochodzi wówczas do wniosku że obalona została definicja warunku wystarczającego => w zdaniu A.
W poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia, postępujemy inaczej.
Po pierwsze poznajemy teorię elektryczności którą możemy sprawdzić raz (słownie raz) dla potwierdzenia jej słuszności.
Dalsza analiza prawdziwości zdania A jest już czysto teoretyczna na bazie poznanej teorii elektryczności, tak więc w AK dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 nie budujemy żadnych układów - algebra Kubusia jest tu w pełni teoretyczna.

Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dowód:
Zdarzenia A=S i ~A=~S są rozłączne uzupełniając się wzajemnie do dziedziny:
a)
A+~A = D =1
Dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w stosunku do przycisku A
Przycisk A może być wciśnięty A=1 albo nie wciśnięty ~A=1, trzeciej możliwości brak.
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
b)
A*~A =0
Zdarzenia A i ~A są rozłączne tzn. przycisk A nie może być jednocześnie wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~A=1
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)

A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?

Kolumna A2B2
RA2B2:
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A2B2 w warunku wystarczającym => to:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w implikacji prostej p||=>q jak i w implikacji odwrotnej p||~>q.
3.
Punkt 2 jest odpowiedzią na pytanie:
Dlaczego ziemscy matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować ani implikacji prostej p||=>q, ani też implikacji odwrotnej p||~>q.
Po prostu, oba operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q to absolutny idiotyzm w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania, co za chwilkę zobaczymy na przykładzie komputerowego sterowania kierownicą.
4.
Wniosek:
Jedynym operatorem implikacyjnym mającym zastosowanie w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.

Dowód prawdziwości punktu 4 zademonstruję na dwóch przykładach.

Przykład 1
Sterowanie kierownicą zgodnie z algorytmem równoważności p|<=>q.


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to na 100% => skręcaj koła w lewo (L=1)
L=>L =1
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Przykład 2
Sterowanie kierownicą zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to wywołaj generator cyfr losowych postępując zgodnie z poniższym algorytmem:
„orzełek” - skręcaj kierownicą w lewo zgodnie z rozkazem kierowcy
„reszka” - skręcaj kierownicą w prawo ignorując rozkaz kierowcy
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Mam nadzieję, że nikogo nie muszę przekonywać, iż implikacji prosta p||=>q w świecie techniki to idiotyzm absolutny i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.


7.5.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach

Weźmy tabelę prawdy dla naszej równoważności A|<=>S.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1:                                                     A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.

Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Zauważmy, że punktem odniesienia w tabeli prawdy TR jest równoważność A<=>S definiowana kolumną A1B1.
A1B1:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Innymi słowy:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
to samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Stąd mamy punkt odniesienia obowiązujący w całej tabeli TR:
p = A (przycisk A)
q = S (żarówka S)

Definicja operatora równoważności S|<=>A:
Operator równoważności S|<=>A to złożenie równoważności S<=>A w logice dodatniej (bo A) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności ~S<=>~A w logice ujemnej (bo ~A) zdefiniowanej w kolumnie A4B4

Zauważmy, że definicja równoważności S<=>A opisana kolumną A3B3 przyjmie brzmienie:
A3B3:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
Innymi słowy:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by wciśnięty był przycisk A (A=1)
Zauważmy, że precyzyjnie powyższe zdanie brzmi następująco:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Dlaczego ta precyzja jest tu konieczna?
Wypowiedzmy warunek wystarczający => B3:
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Świecenie się żarówki S (S=1) jest wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)

Zauważmy, że w zdaniu B3 „świecenie się żarówki S” nie jest przyczyną dla skutku „przycisk A jest wciśnięty”
Dowód:
W laboratorium fizyki możemy łatwo zbudować układ S3 i stwierdzić iż rzeczywiście:
Wkręcenie żarówki (świeci) i wykręcenie żarówki (nie świeci) nie powoduje jakiejkolwiek zmiany stanu przycisku A.

Stąd mamy:
Definicja układu jednokierunkowego:
Układ jednokierunkowy to układ, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie możemy zamienić przyczyny p ze skutkiem q.
Oznacza to, że skutku q nie możemy traktować jako przyczyny dla zajścia p w zdaniu warunkowym „Jeśli q to p”
Dowód:
Nasz schemat S3

Wniosek:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście p na podstawie obserwacji wyjścia q.

Nasz schemat S3:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście A (przycisk A) na podstawie obserwacji wyjścia S (żarówka S).
W praktyce logiki matematycznej to wnioskowanie jest oczywistością, dlatego frazę „o wnioskowaniu” możemy niekiedy pominąć uznając ją jako domyślną w logice matematycznej.

Uwaga:
Zauważmy, że w teorii zbiorów (np. w równoważnościach Pitagorasa) układy jednokierunkowe nie występują, bo zawsze dochodzi tu do losowania elementów z kompletnej, wspólnej dziedziny D zawierającej wszystkie możliwe zbiory p, q, ~p, ~q.
cnd

Po tych wyjaśnieniach wracamy do definicji operatora równoważności S|<=>A

Na mocy tabeli prawdy TR mamy:
Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania A3B3 oraz A4B4:

A3B3:
W jakim stanie może być przycisk A jeśli żarówka będzie się świecić (S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3
A3B3:
Do tego aby żarówka S świeciła się (S=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A był wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Odpowiedź na pytanie A3B3 w warunku wystarczającym => to:
B3.
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o wciśniętym klawiszu A (A=1)
Mniej precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wciśnięcia klawisza A (A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że każdy nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” powinien uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’:
B3’
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to przycisk A może ~~> nie być wciśnięty (~A=1)
S~~>~A = S*~A =0
to samo w zapisie formalnym:
q~~>~p = q*~p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)

A4B4:
W jakim stanie może być przycisk A jeśli żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4
A4B4:
Do tego aby żarówka S nie świeciła się (~S=1) potrzeba ~> i wystarcza => by przycisk A nie był wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1

Odpowiedź na pytanie A4B4 w warunku wystarczającym => to:
A4.
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o nie wciśniętym klawiszu A (~A=1)
Mniej precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) nie jest warunkiem wystarczającym => dla nie wciśnięcia klawisza A (~A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że każdy nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” powinien uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’:
A4’
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
S~~>~A = S*~A =0
to samo w zapisie formalnym:
q~~>~p = q*~p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności S|<=>A jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie świecącej się żarówki (zdanie B3) jak i po stronie nie święcącej się żarówki (zdanie A4).
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w implikacji prostej p||=>q jak i w implikacji odwrotnej p||~>q.
3.
Punkt 2 jest odpowiedzią na pytanie:
Dlaczego ziemscy matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować ani implikacji prostej p||=>q, ani też implikacji odwrotnej p||~>q.
Po prostu, oba operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q to absolutny idiotyzm w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania, co za chwilkę zobaczymy na przykładzie komputerowego sterowania kierownicą.
4.
Wniosek:
Jedynym operatorem implikacyjnym mającym zastosowanie w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.

Dowód prawdziwości punktu 4 zademonstruję na dwóch przykładach.

Przykład 1
Sterowanie kierownicą zgodnie z algorytmem równoważności p|<=>q.


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to na 100% => skręcaj koła w lewo (L=1)
L=>L =1
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Przykład 2
Sterowanie kierownicą zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to wywołaj generator cyfr losowych postępując zgodnie z poniższym algorytmem:
„orzełek” - skręcaj kierownicą w lewo zgodnie z rozkazem kierowcy
„reszka” - skręcaj kierownicą w prawo ignorując rozkaz kierowcy
Oczywiście, algorytm szczegółowy komputerowego sterowania kierownicą musi uwzględniać definicję jazdy „na wprost”, ale to są szczególiki czysto programowe którymi się nie zajmujemy.

Mam nadzieję, że nikogo nie muszę przekonywać, iż implikacji prosta p||=>q w świecie techniki to idiotyzm absolutny i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 16:56, 13 Kwi 2021, w całości zmieniany 222 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25760
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 19:53, 31 Paź 2020    Temat postu:

...

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:59, 01 Lis 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 25760
Przeczytał: 19 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 23:49, 31 Paź 2020    Temat postu:

....

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:00, 01 Lis 2020, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin