Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Boole'a - ciekawe cytaty z matematyki.pl

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22209
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 7:36, 04 Wrz 2008    Temat postu: Algebra Boole'a - ciekawe cytaty z matematyki.pl

Kubuś postanowił pobawić się trochę na metematyce.pl i pokazać matematykom jak prosta jest algebra Boole'a.

Na pamięć to wystarczy znać definicje sumy logicznej i iloczynu logicznego pus prawa de'Morgana oraz definicje implikacji prostej i implikacji odwrotnej plus prawa Kubusia.

... reszta to logiczne myślenie !


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej


Definicje implikacji prostej i odwrotnej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q


Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 14:36, 08 Wrz 2008, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22209
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 7:38, 04 Wrz 2008    Temat postu:

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
Nad tym postem można sobie obejrzeć jak biedni matematycy walczą z trywiałem. Tabela zero-jedynkowa jest OK, tylko po co się męczyć ? Zawiłe wywody pod tą tabelą też są poprawne ... tylko co to za matematyka ? :shock:

To co niżej to algebra Boole'a praktyków, czyli Kubusia :grin:

izulek napisał:
proszę o pomoc w odpowiedzi na poniższe zagadnienie:

Czy wyrażanie p → /~p → q/ jest tautologią i jak to sprawdzić?

z góry dziękuję za pomoc

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q

~p=>q = ~(~p)+q = p+q

p=>(~p=>q) = p=>(p+q) = ~p+p+q = 1+q =1
bo:
~p+p =1 - prawo algebry Boole'a
1+q=1 - prawo algebry Boole'a
CND

P.S.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
Prawo Kubusia działające w całym obszarze algebry Boole'a, bez żadnych wyjątków:
p=>q = ~p~>~q - prawo zaminy implikacji prostej na odwrotną

Stąd:
p=>(~p=>q) = p=>(p~>~q) = ~p~>~(p~>~q) - też tautologia

Słyszał ktoś o czymś takim ? ... zobacz podpis.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 8:59, 04 Wrz 2008, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22209
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 7:43, 04 Wrz 2008    Temat postu:

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
Powyżej tego postu z kolei można zobaczyć przykład, jak matematyk ma zapisany w mózgu zestaw jakichś praw i poza nie, nie jest w stanie się wychylić czyli ... dowód trywiału okrężną drogą.

... a Kubuś nie zna żadnych praw poza definicjami sumy logicznej i iloczynu logicznego plus prawa de'Morgana i prawa Kubusia :)

123456 napisał:

(p+r)*(q=>r) = (p*~q)+r

Udowodnilem to za pomoca tabelki. Wyszly same jedynki.
Jest pytanie, CZY JEST TO TAUTOLOGIA? Jesli tak to Formalny Zapis (Dowod)
Jak to zrobic???


(p+r)*(q=>r) = (p*~q)+r

q=>r = ~q+r - definicja implikacji prostej [~q+r = ~(q*~r) - prawo de'Morana]

Lewa strona:
(p+r)*(~q+r) = (p*~q)+r - lewa strona identyczna jak prawa CND

Ostatnie należałoby udowodnić tabelą zero-jedynkową, ale to na pewno prawo algebry Boole'a.

Można też bez tabeli:
A.
(a+c)*(b+c) = a*b+c - prawo X
Diabli wiedzą jak to się formalnie nazywa, nie mam zamiaru zaśmiecać sobie mózgu głupotami, nazwijmy to "prawo X" :)

Dowód:
Jeśli c=1 to lewa i prawa strona sa równe, na podstawie definicji sumy logicznej
(a+1)*(b+1) = a*b+1
1*1 = 1
bo:
x+1 = 1 - wynika z definicji sumy logicznej

Jeśli c=0 to:
(a+0)(b+0)=a*b + 0
czyli:
a*b=a*b
Równanie A zachodzi niezaleznie od wartości zmiennej c, czyli jest zawsze prawdziwe CND


Ciekawostaka matematyczna, znacie to ?

(a+c)*(b+c) = (a*b)+c - prawo X w logice dodatniej

Z powyższym równaniem przechodzimy do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne

(~a*~c)+(~b*~c) = (~a+~b)*~c

A teraz traktujemy logike ujemną, jako dodatnią czyli negujemy wszystkie zmienne:
A.
(a*c)+(b*c) = (a+b)*c - prawo X w logice ujemnej

Dowód formalny:
Jeśli c=0 to:
(a*0)+(b*0) = (a+b)*0
czyli:
0+0=0 - na podstawie definicji iloczynu logicznego
Lewa strona równa prawej stronie

Jeśli c=1 to:
(a*1)+(b*1) = (a+b)*1
czyli:
a+b = a+b
Lewa strona równa prawej stronie

Równanie A zachodzi niezaleznie od wartości zmiennej c, czyli jest zawsze prawdziwe CND

Czy ktoś wie co to jest logika ujemna w algebrze Boole'a ? ... zobacz podpis.

W algebrze Boole'a na pamięć to wystarczy znać definicje sumy logicznej i iloczynu logicznego pus prawa de'Morgana oraz definicje implikacji prostej i implikacji odwrotnej plus prawa Kubusia.

... reszta to logiczne myślenie, zobacz podpis.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 17:00, 04 Wrz 2008, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22209
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 8:27, 04 Wrz 2008    Temat postu:

To co niżej to absolutna perełka z matematyki.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Pytanie do wszystkich normalnych.
Jak taki debilizm matematyczny może funkcjonować w matematyce ? :grin:

Wizard napisał:
Panowie,

Dziękuję, że zaintersowaliście się moim problemem. Niestety nie dotykacie esencji tego problemu. Być może wynika to z tego, że coś źle od początku tłumaczyłem. Ale do rzeczy... Oba prawa są już dla mnie zupełnie jasne. Wskazówki znalazłem w świetnym artykule na temat z [link widoczny dla zalogowanych]. Polecam przeczytać, bo takich wiadomości jak tam, nie znalazłem w żadnej książce matematycznej. :shock:

Całe szczęście że nie znalazłeś. W Polsce nie ma takich IDIOTÓW jak na Uniwersytecie Stanforda :grin:

Wizard napisał:

Przejdźmy do prawa niesprzeczności:

Kod:

p ~p p+~p
0  0 =0
0  1 =1
1  0 =1
1  1 =1


Oto definicja Leitnera i Żakowskiego: z dwóch zdań p oraz ~p co najmniej jedno jest fałszywe. Prawo to orzeka, że dwa zdania sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe.

Prawo Kubusia:
Z dwóch zdań p oraz ~p jedno z nich jest fałszywe zaś drugie prawdziwe, inaczej algebra Boole'a (logika człowieka) leży w gruzach.
Wizard napisał:

Teraz dochodzimy do wiersza pierwszego: dwa zdania niesprzeczne mogą być jednocześnie fałszywe? Ten pierwszy wiersz tabeli pozornie nie wyklucza bowiem istnienia trzeciej możliwości. Wrócę do przykładu z kątami. Mając zdania:

[center]kąt prosty jest > 90 stopni

oraz

kąt prosty jest < 90 stopni[/center]

mamy do czynienia ze zdaniami jednocześnie fałszywymi, które nie są sprzeczne, z punktu widzenia tego prawa. To jest tzw. sprzeczność w ujęciu potocznym.

Te zdania są jednocześnie fałszywe, tyle że to dwa zupełnie różne zdania p i q, nigdy p i ~p.

Poprawnie masz tak:
p= kąt prosty jest większy od 90 stopni
~p = kąt prosty jest mniejszy lub równy 90 stopni

To jest matematyka na poziomie gimnazjum ...

Oczywiście p jest fałszywe, zaś ~p prawdziwe. Nigdy nie mogą być zdania p i ~p jednocześnie prawdziwe czy fałszywe bo fundament algebry Boole'a jest taki.

Y#~Y - żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia.

Oczywiście operując śmietnikowym aparatem matematycznym, twoja tabelka, udowodnisz co zechcesz.

Nie masz żadnych szans na podanie konkretnego przykładu w którym zdania p i ~p byłyby jednocześnie prawdziwe lub fałszywe, próbuj dalej ...

Logika człowieka = algebra Boole'a - dowód w podpisie.

Prawa matematyczne algebry Boole'a są takie:

A*~A = 0 - tu jest gwarancja że obie zmienne nie mogą być równe 1
A+~A = 1 - tu jest gwarancja że obie zmienne nie mogą być równe 0
CND


Przykład:
ciepło#zimno
ciepło#nie ciepło
A#~A
Wyobraźmy sobie że żyjemy w kolejnych Wszechświatach w których rozpiętośc temperatur jest coraz mniejsza. W n-tym Wszechświecie różnica temperatur może być dowolnie mała ale istnieje. W takim Wszechświecie istnieją jeszcze pojęcia ciepło-zimno. We Wszechświecie gdzie różnica temperatur jest równa zeru pojęcia ciepło i zimno nie istnieją - znikaja z tego Wszechświata, z tego punktu odniesienia.

Tylko dla nieskończenie małej różnicy temperatur możemy zapisać:
Ciepło = nie ciepło
Y=~Y


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 9:48, 04 Wrz 2008, w całości zmieniany 8 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22209
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 8:49, 08 Wrz 2008    Temat postu:

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

luke82 napisał:
Jaka jest wartość logiczna poniższych zdań? Uzasadnij.
Jeżeli liczby 20,80,90 są miarami kątów trójkąta ABC, to trójkąt ten jest prostokątny.

Jeżeli liczby 5,6,13 są długościami boków trókąta ABC to trójkąt ten jest prostokątny.

spajder napisał:
1. poprzednik jest falszywy (czemu?) więc implikacja musi być prawdziwa
2. to sam...

michand napisał:
Zaden z tych trójkątów nie istnieje. W pierwszym suma miar kątów przekracza 180 stopni, natomiast długości boków drugiego nie spełniają tzw. nierówności trójkąta. Poprzedniki implikacji w obu tych zdaniach mają wartość logiczną 0, zatem oba zdania mają wartość logiczną 1.

frej napisał:
Moim zdaniem oba zdania są prawdziwe. Z fałszu wynika fałsz, zatem implikacja jest prawdziwa :)


Ludzie, nie dajcie z siebie robić IDIOTÓW. Każdy gimnazjalista powie wam, iż oba zdania są fałszywe ... dzieci mają rację, król jest nagi :)

Implikacja materialna z definicji wymusza brak związku między p i q, co jest oczywistym idiotyzmem w matematyce i logice człowieka, to analiza śmieci typu:

Jeśli księżyc świeci to pies ma cztery łapy
Jeśli bleble to kwadrat ma kąty proste
Jeśli trójkąt ma kąty równe to kwadrat ma kąty proste

To co wyżej to implikacja materialna, zdania prawdziwe, "matematyka" świrów.

Normalną algebrę Boole'a macie w podpisie.

U normalnych zdanie jest implikacją prostą jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q albo zdanie jest implikacją odwrotną jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q. To wynika bezpośrednio z definicji zero-jedynkowych tych implikacji.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L - implikacja prosta
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P - implikacja odwrotna
Cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa

P.S.
Wszelkie twierdzenia matematyczne spełniają warunek wystarczający, to algebra Boole'a normalnych.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:49, 08 Wrz 2008, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 22209
Przeczytał: 42 tematy

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 16:25, 16 Lis 2008    Temat postu:

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
Progmast napisał:
Wlasnie przerabiam logike i jaki przyklad twierdzenia w postaci implikacji zostalo nam podane tw. Pitagorasa czyli : "jezeli trojkat jest prostokatny to suma kwadratow jego przyprostokatnych jest rowna kwadratowi jego przeciwprostokotnej".
Czyli jezeli p jest prawda to q jest prawda.Jezeli p jest prawda a q nie to zdanie ma logiczna wartosc 0.I tu sie zaczyna :).Jezeli p jest prawda to q moze byc prawda albo nie. Implikacje rozumiem tylko jak to ma sie do tw. Pitagorasa.Bo jak wiemy jezeli q jest prawdo to :"Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a,b i c takie, że a2 + b2 = c2, to istnieje trójkąt o bokach długości a,b i c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty."Wiec jezeli p jest falszem to q nie moze byc prawda :???:
Mam nadzieje ze nie namieszalem za bardzo.

To nie jest żadna implikacja, to oczywista równoważność czyli pewne wynikanie w dwie strony.
Jeśli w trójkącie suma kwadratów jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi jego przeciwprostokątnej to trójkąt jest prostokątny.
q=>p
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Zdanie ujęte w spójnik "Jesli ...to..." może być implikacją prostą =>, implikacja odwrotną ~> lub równoważnością <=>.
To trzy kompletnie różne światy matematyczne czyli fundamentalnie inne definicje.
caute napisał:
można przeprowadzić wartościowania ale aby faktycznie rozstrzygnąć czy zdanie jest prawdziwe czy fałszywe trzeba wnikać w treść.

Oczywiście że trzeba wnikać w treść. Inaczej mamy matematykę zależną od chciejstwa człowieka, bo jeden wypowie twierdzenie Pitagorasa w formie "wtedy i tylko wtedy" zaś drugi w formie "Jeśli...to...". Wpajanie uczniom że cytowane twierdzenie to implikacja jest równoważne twierdzeniu że "koło jest kwadratowe". To kosmiczna bzdura.

Piotr Ratajczak napisał:
Twierdzenie pitagorasa: "Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnych". Koniec kropka TYLKO tyle.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa (powinniście mieć temat o twierdzeniach odwrotnych): "Jeśli w trójkącie istnieje taki bok, że kwadrat jego długości jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków to trójkąt ten jest prostokątny, a bok ten jego przeciwprostokątną".

To koniec i kropka jest znakomite, natomiast to co dalej napisałeś jest bez znaczenia. W twierdzeniu Pitagorasa zawsze musi ci wyjść pewne wynikanie w dwie strony czyli 100% równowazność.

Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej
p=jeśli trójkąt jest prostokatny
q=to suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej
p=>q - zdanie wypowiedziane jak wyżej

Po zamianie p i q masz najprostszą impliakcję odwrotną.

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości jego przeciwprostokątnej to trójkąt jest prostokatny
q=>p według oznaczeń wyżej

To jest twardy dowód że jest to równoważność bo w obie strony mamy pewne wynikanie.

p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
* = AND

Oczywista równoważność, absolutnie żadna implikacja. Każdy kto twierdzi że powyższe zdanie jest implikacją jest matematycznym debilem, bo implikacja i równoważność to kompletnie inne definicje.

Jak ktoś mi poda definicję czegokolwiek co jest jednocześnie implikację i równoważnością dostanie milion ....


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 15:51, 08 Gru 2008, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie EET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin